Воронец А. М. Очерки по методике математики в школах 1 ступени. — 1925

А. М. Воронец
ОЧЕРКИ
по
МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКИ
В ШКОЛАХ 1 СТУПЕНИ
Пособие для учителей и слушателей педтехникумов
Допущено Научно-Педагогической Секцией
Государственного Ученого Совета

I. Новые программы.
Схемы ГУС'а уничтожили в школах I ступени предмет-
ное преподавание, заменив его комплексным. Тем не менее
остается в силе распределение предметных материалов в соот-
ветствии с возрастными группами, так как совершенно оче-
видно, что всякая комплексная тема должна быть доступна
учащимся не только в отношении своего основного содер-
жания, но главным образом в отношении средств исследования.
Так, в первой возрастной группе нельзя разбирать тот чис-
ловой материал избранной темы, который выходит за пре-
делы возрастного понимания числа. Возьмем для примера
одну из начальных тем: „семья“. С детьми 8-летнего воз-
раста можно говорить о численном составе семьи, о том,
на сколько душ в одной семье больше, чем в другой, но в первом
триместре первого года еще рано ставить вопрос: на сколько
лет отец старше сына? В процессе исследования различных
вопросов, объединяемых комплексными темами, учащиеся
в школах I ступени должны научиться между прочим ариф-
метическим действиям с числами целыми и дробными. Этого
никто не может отрицать. Но столь же очевидно и то, что
нельзя оперировать числами любой величины, прежде чем
не будет усвоена техника операций с числами скромного
размера. Стало быть, известная постепенность в математи-
ческих упражнениях остается, иначе мы пришли бы к абсурду.
Вот эту-то постепенность математического обучения в отдель-
ных возрастных группах, или, иначе сказать, объемное содер-
жание математических навыков, приобретаемых учащимися
в течение учебного года, я и называю предметною программой
по математике. Такого рода программа напечатана и в схемах
ГУС'а и мы знаем, например, что на первом году требуется
выполнить следующую программу по математике.
„Все действия в пределах первых двух десятков. Все
действия с круглыми десятками до 100. Половинные и чет-
верти доли. Меры длины и веса. Умение обращаться с часами:
час, минуты, полчаса, четверть часа. Квадрат, треугольник,
прямоугольник, круг“. (Новые программы для ед. тр. шк.
Вып. I. Гос. Изд. 1923 г., стр. 50.)
Эта цитата с полною очевидностью указывает на то,
что раздельные программы продолжают существовать; я не

стал бы останавливаться на таких азбучных истинах, если бы
не слышал мнений или предположений учительства и даже
инструкторов, что в настоящее время упразднены всякие
предметные программы. Это, конечно, не так; но схемы ГУС'а
и сопровождающие их разъяснения чрезвычайно мало говорят
о методических вопросах и в частности о том, что касается
собственно математики. Причина этого обстоятельства по-
нятна: центр тяжести новых схем лежит в идее комплекса,
следовательно, отдельные учебные дисциплины не дифферен-
цируются. Тем не менее я полагаю, что учительство, проводя
комплексное преподавание, все же интересуется тем, как
и при новом положении наилучшим и наибыстрейшим спо-
собом научить детей, например, операциям с десятичными
дробями, когда и в какой группе приступить к этим опе-
рациям и т. п.
В отношении объемного содержания математического
курса дело в общем не изменилось по сравнению с 1918 г.,
когда старая школа была преобразована в единую трудовую.
Тогда дореволюционные программы подверглись коренной
ломке, и преподавание математики было реформировано, пожа-
луй, более углубленно, чем других учебных предметов, напри-
мер, естествознания. Старая программа по математике, которую
можно охарактеризовать признаком строгой систематичности,
сменилась программою, построенною по принципу широкой
концентричности. Эта смена оказалася не столь чувстви-
тельною в двух младших группах школ I ступени, как
в двух старших. В самом деле, еще до революции в тех
классах, которые соответствовали теперешним двум младшим
группам школ I ступени, дети оперировали с простейшими
дробями (г/2, !/4, !/в), знакомились с некоторыми мерами,
а иногда и с геометрическими фигурами. Такого рода
упражнения встречались в начальных учебниках и пособиях
по математике, например, у Беллюстина, Гольденберга и др.
Но с третьего года начиналась детальная систематизация:
целые числа, отвлеченные, таблица мер, именованные числа;
на четвертом году- признаки делимости, разложение чисел
на первоначальные делители, общий наибольший делитель,
общее наименьшее кратное, дроби простые, дробные имено-
ванные числа, десятичные дроби, метрическая система мер.
О пятом годе, где изучались знаменитые правила: простое
и сложное тройное, смешения, цепное, учета векселей и пр.,
я не буду говорить здесь подробно по двум причинам: во-пер-
вых, пятый год отошел ко второй ступени, а во-вторых, еще
в 1896 г., при обсуждении вопроса о реформе школьных
программ, были сделаны предложения об изъятии из курса
математики перечисленных „правил“, как архаического бал-
ласта. Последний был выброшен за борт школы в 1918 г.
новыми программами, которые, впрочем, не сразу вошли

в жизнь. В 1919—1923 годах я лично наблюдал в разных
школах, как учащиеся решали по старинке задачи на сложное
тройное правило, на смешение 2-го рода и т. п., при чем
учащие оправдывались тем, что иначе нельзя, так как уча-
щиеся, при переходе в другую школу, на поверочном испы-
тании по математике должны будут решать подобные задачи.
Не ручаюсь за то, что теперь повсеместно покончили с „пра-
вилами“, несмотря на появление схем ГУС'а.
Особая уродливость в прежней „систематичности“ пре-
подавания математики заключалась в том, что при изучении
отвлеченных чисел нельзя было говорить об именованных,
при операциях с числами целыми исключить дроби и т. д.
Строгая разграниченность традиционных глав арифметики
сменялась обособленностью отделов математики, и в даль-
нейшем мы встречали нелепые задачи на обязательное при-
менение собственно арифметики, когда та же задача легко
решается алгебраически, на затруднительное применение
исключительно геометрии, когда дело просто решалось три-
гонометрически, и т. д. В задачниках всегда имелись заклю-
чительные отделы общие, смешанные, повторительные, где
как будто объединялось то, что было пройдено разрозненно;
были даже специальные задачники „микстурного“ типа,
в которых каждая задача представляла собою нагроможде-
ние вопросов чуть ли не по всему курсу. Таковы были
задачники Арбузова, Мининых и Назарова, Боголепова и др.
по арифметике, Верещагина, Клионовского и др. по алгебре.
В настоящее время такие книги являют собою курьезные
памятники дореволюционной схоластики школьного препо-
давания математики. Это схоластическое направление было
разрушено лозунгами единой трудовой школы, но разру-
шено более декларационно, чем фактически; в самом деле,
принципы новой школы резко противоречат прежним устоям
преподавания предметного, отвлеченного и имевшего основ-
ною целью формальное развитие учащихся, но новые прин-
ципы далеко еще не получили широкого практического
распространения, так как кадровое учительство оказалось
совсем неподготовленным к проведению в жизнь школьной
реформы; оно, сочувствуя реформе, не могло немедленно
взяться за дело, потому что не было учебных пособий,
на которые можно опереться для нового преподавания. Затем
слишком велика сила привычки к старому, испытанному,
чтобы с легким сердцем сразу порвать с прошлым и без-
боязненно, уверенно начать по неизведанному новому. Тре-
бовалось много времени для того, чтобы новые принципы
стали ясными учительству как в теоретическом, так мщв прак-
тическом отношении. Теперь уже совсем не слышно воз-
ражений против нового курса преподавания математики
(я говорю пока о курсе до появления схем ГУС'а); оппозиция

исчезла не потому, что она раздавлена физически, а по той
причине, что самые упорные защитники старого академизма
подались в сторону освежения приемов преподавания мате-
матики. Произошел колоссальный сдвиг, после которого орга-
нически не может быть возвращения к стилю Евтушевского,
Малинина и Буренина, Комарова и т. п.
Программы трудовой школы построены, как я уже ска-
зал, между прочим на принципе концентричности и фузи-
онизма, т.-е. слияния в одно целое искусственно разъеди-
ненных раньше глав и отделов математики. Разрушены
ненужные перегородки между числами отвлеченными и име-
нованными, целыми и дробными, арифметикою и алгеброю,
арифметикою и геометриею и т. д. Каждый год обучения
охватывает вопросы собственно арифметики, в том числе
арифметики чисел и отвлеченных, и именованных, и целых,
и дробных, алгебры и геометрии. В этом заключается суще-
ственное отличие новых программ от старых, в которых был
единственный пункт слияния арифметики с геометриею,
именно меры длины, поверхности и объема, при чем этот
благодарный для живого преподавания материал превра-
щался в скучное зазубривание трудных числовых соотно-
шений, в роде того, что один кубический фут равен 1728 ку-
бическим дюймам, и в не менее скучное и безжизненное
применение квадратуры и кубатуры, как, например, решение
такой задачи: сколько придется заплатить за прямоугольный
участок земли, имеющий в длину 0,375 версты, в ширину
0,48 версты, если цена одной квадратной сажени равна
38,5 коп.? Следует отметить, что я привел для образца срав-
нительно безобидную задачу, между тем как большинство
их доходило до рекордных нелепостей.
Когда бесповоротно осужденный старый принцип сме-
няется новым, ему противоположным, то всегда, как бы
по третьему закону механики Ньютона (всякое действие вызы-
вает равное противодействие), происходит слишком резкое
перегибание палки в другую сторону. Так и случилось при
составлении новых программ. Всем памятна первая пример-
ная программа для трудовой школы, составленная в 1918 г.
Нар. Ком. Проев.; в этой программе для школ первой сту-
пени, которая захватывала тогда 5 лет обучения, идея
фузионизма отделов математики была выявлена настолько
ярко, что на пятом году обучения включались даже элементы
тригонометрии; верная мысль приблизить математику к реше-
нию практических вопросов была утрирована до такой сте-
пени, что на первом же году сказались иллюстративные
вопросы, недоступные данной возрастной группе. Такие
шероховатости постепенно исчезали в различных программах,
составлявшихся в 1919 — 1921 годах; за эти годы повсеместно
разрабатывались программы и теперь трудно подсчитать,

сколько вариантов было напечатано. Я лично знаком с 12 вари-
антами, составленными в авторитетных учреждениях центра
и окраин, но уклоняюсь здесь от детального их разбора,
считая это дело более интересным теперь для историка,
чем для методиста, так как из всех вариантов можно вывести
нечто среднее, вполне определенное и законченное и то, что
остается в силе при новых схемах ГУС'а. Само собой разу-
меется, что я имею пока в виду только объемное содержание
программы.
Никакая программа не должна и не может быть брони-
рованною, жесткою. Слишком велико разнообразие местных
условий и обстоятельств, а потому нельзя подчинить все
школы одному и тому же обязательному образцу. Персо-
нальный и численный состав учащихся, их предварительная
подготовка, инвентарь учебных пособий, средства снабжения,
условия транспорта для экскурсий и т. д., и т. д. пред-
ставляют собою такие могущественные факторы, которые
стихийно влияют на выполнение заданной программы. Нако-
нец, нельзя упускать из вида индивидуальность учащих
и не давать педагогу возможности действовать, в известных
границах, свободно и творчески. Педагогическое дело туск-
неет и обрастает корою рутины, когда стремятся превратить
его в ремесло выполнения разработанных рецептов; наоборот,
если смотреть на преподавание, как на творческое искусство,
и предоставить ему возможность искать и прокладывать
новые пути, то только тогда рождаются новые идеи и экспе-
рименты, из которых происходит прогресс школы.
Сделанная оговорка позволяет мне предложить теперь
следующую программу математики для отдельных возраст-
ных групп школ первой ступени.
1 год. Все действия с числами в пределах первых
двух десятков. Сложение и вычитание до 100. Числовые
уравнения. Доли 1/2, 1/1 и Ч9, сложение и вычитание дробей
с знаменателями 2 и 4. Метр с подразделениями на четвертые
доли, дециметр, литр и килограмм с подразделениями
на восьмые доли. Показания термометра. Циферблат часов.
Год, месяц, дни, недели, час, минута. Знакомство с фигу-
рами: квадрат, прямоугольник, треугольник, круг. Куб,
брусок и шар.
2 год. Все действия с числами в пределах первой
сотни. Сложение и вычитание до 1000. Числовые уравнения.
Доли 0,1 и 0,01; процент. Сложение и вычитание дробей
с знаменателями 2, 4 и 8, умножение таких дробей на целое
число. Сложение и вычитание дробей с знаменателями 10 и 100.
Километр, центиметр и миллиметр. Грамм. Секунда. Табель-
календарь. Год простой и високосный. Угол, транспортир.
Квадратура прямоугольника и квадрата. Прямолинейные
диаграммы. Нивелирование. Высотомер.

3 год. Все действия с целыми числами любой вели-
чины. Признаки делимости на 2 и на 5. Доля 0,001. Сложение
и вычитание дробей с знаменателями 10, 100 и 1000, умно-
жение таких же дробей на целое число. Вычисление про-
центных и промилльных соотношений. Гектолитр. Тонна.
Показатель степени. Квадратура треугольника, равнобочной
трапеции, многоугольника, произвольного контура. Квад-
ратные меры. Ар, гектар. Эккер. Обмер в натуре прямо-
угольного участка земли. План комнаты, небольшого здания.
Чтение плана участка земли. Круговые диаграммы.
4 год. Признаки делимости на 4, 25, 3 и 9. Число
первоначальное. Общий наибольший делитель и наименьшее
кратное несложных чисел. Действия с дробями простыми
и десятичными. Приближенные вычисления. Килограмм-метр,
калория; оценка мощности работы. Семка плана несложного
участка земли. Вычисление длины окружности и площади
круга. Кубические меры. Кубатура призмы, пирамиды,
цилиндра, конуса и шара. График. Чтение и составление
буквенных формул.
Изложенная программа должна рассматриваться только
как примерная. Она вытекает, как результативная, из работ
многих комиссий и выявляет современное направление
по отношению к преподаванию математики. Я подчеркиваю
название программы примерною, так как отдельные ее вопросы
могут быть перенесены, по усмотрению учащего и без всякого
нарушения общего принципа, из одной возрастной группы
в другую. Я не сопровождаю предложенную программу
подробною объяснительною запискою, потому что все основные
вопросы, как-то: метрология, геометрия, алгебра и другие,
будут разобраны мною достаточно подробно в соответ-
ственных главах этой книги. Я ограничусь пока немногими
замечаниями.
Можно считать программу слишком обширною по объему
и трудно выполнимою при современных условиях, когда
еще не изжита общая разруха в отношении школьного
снабжения, когда еще нет вполне подходящих печатных
пособий и т. д. Но речь идет сейчас не о том, что касается
насущного дня; я говорю о программе, желательной и выпол-
нимой в школе, работающей в нормальных условиях. Скоро ли
подойдем мы к ним вплотную, это другой вопрос; что сейчас
трудно, это верно, но ведь нужно же стремиться к лучшему
и невозможно говорить о реформе, поддаваясь пессимисти-
ческому настроению, вытекающему из временных затруд-
нений. Затем существует еще одно веское соображение
в пользу некоторой лишней нагрузки программы. Подавля-
ющее большинство населения ограничивает и, к сожалению,
еще очень долго будет ограничивать свое образование школою
первой ступени. Поэтому последняя должна давать первый

концентр образования законченным и дать по возможности
больше, так как весьма немногие пополнят свои знания вне
школы, самообразованием. Вот по какой причине я настаиваю
на удержании в программе мер работы и мощности. По суще-
ству я отнес бы этот вопрос на более позднее время; если бы
я был уверен,что большая часть учащихся получит, например,
семилетнее образование, я согласился бы на перенесение
оценки работы и мощности даже на 7-й год. Но если школа,
доступная большинству, ограничена четырьмя годами, то
в эти годы надо во что бы то ни стало втиснуть трактуемый
вопрос. Двигатели и машины разного рода настолько глубоко
проникают в нашу жизнь, что школа, обучающая своих
питомцев мерам длины, веса, времени и т. д., не может
не научить мерам работы и ее мощности. По тем же сооб-
ражениям приходится включать в четвертую группу Семку
плана и другие вопросы, а перегружая эту группу, поневоле
приходится несколько форсировать предыдущие группы.
В изложенной программе дан перечень или сухой
инвентарь тех вопросов, которые подлежат изучению; в этом
перечне есть некоторая систематичность и явное разобщение
отделов математики. Читатель не должен усматривать в этом
противоречия новому принципу фузионизма. Я уже высказал,
что говорю об объемном содержании программы; следовательно,
я просто перечисляю то, что на каком году обучения надо
сделать. А как это сделать, в какой последовательности —
указано довольно определенно в новом издании программ
ГУС'а (Гос. Изд. 1924 г.).
Принцип концентрического построения программы оче-
виден. В самом деле, из перечня, касающегося первой
возрастной группы, мы видим, что он обнимает математику
довольно разносторонне, но в пределах небольших чисел,
не свыше 100. В дальнейшем программа концентрически
раздвигает размеры оперируемых чисел. Эти пределы,
в соответствии с возрастными нормами учащихся, были
установлены еще давно, сначала интуитивно и разрозненными
опытами, а затем научно. Экспериментальная педагогика
достигла в этом отношении серьезных успехов; она уже знает,
какой круг восприятий доступен определенному возрасту.
Мы пользуемся трудами европейских и американских ученых,
так как у нас еще не было массового обследования детей
разных возрастов и в зависимости от социальных условий.
В связи с программою находится вопрос о предвари-
тельной подготовке учащихся. Наши школы первой ступени
принимают в младшую возрастную группу детей около 8 лет
и неграмотных. В больших городах, где имеются детские
дома и сады, значительная часть детей поступает в школы,
уже умея читать, немного считать и писать. Такая подго-
товка является огромным облегчением для труда учащего

в первой группе: он получает в готовом виде то, что дости-
гается ценою продолжительных занятий, при таких условиях
школьная программа может быть расширена. Деревенские
дети растут в менее благоприятной обстановке, среди мало-
грамотных взрослых, при отсутствии книг и педагогически
ценных игр; таким образом с деревенскими детьми прихо-
дится начинать действительно с азов, а потому сельскому
учительству достается тяжелее. Но в отношении математики
дело обстоит все же лучше. Жизнь научает счету и вне
школы, научает и взрослых и детей. Трудно представить
себе недефективного ребенка 8 лет, выросшего даже в самой
глухой деревне, который не видел монет, не считал денег,
не знал из практики долей: половина, одна четверть,
не понимал ходовых мер и т. п. Наличие таких математи-
ческих понятий, несомненно, облегчает выполнение школьной
программы.

II. Роль математики в комплексе
и методы преподавания.
Новые программы распределяют весь учебный материал
по определенным темам, объединяющим в своем содержании
разного рода общеполезные сведения и развитие навыков.
Такого рода объединения совсем не было в старой школе.
Все отдельные учебные дисциплины шли каждая по своей
дороге, без всякого взаимного соответствия, и поэтому неко-
торые вопросы всплывали в разное, часто неподходящее,
время и в различном освещении. Учащиеся зазубривали
зимою стихотворения на осенние мотивы, весной слушали
об отлете птиц и т.д. Здесь дело не в распределении материала
по временам года; такое распределение было знакомо еще
в дореволюционной литературе, например, по хрестоматии
Острогорского; дело в том, что об отлете птиц на зиму
упоминается и в литературе, и в биологии, но эти учебные
предметы не координировали своего общего материала,
и поэтому школьные занятия были калейдоскопичными.
Внимание и интерес учащихся не могли сосредоточиться
на затронутой теме; мысль должна была перебегать с одного
предмета на другой без всякой органической связи. Объеди-
нение всех учебных дисциплин в одно гармоничное целое
представляет собою огромное достоинство новых программ.
Но их построение еще глубже, оно объединяет весь учебный
материал на почве изучения природы и человека, труда
и общества. Целевая установка школьного дела получилась
совершенно иная—вместо лоскутных сведений, большею
частью отвлеченных, мы имеем планомерное изучение тех
факторов, из которых слагается жизнь и деятельность людей.
Изучение идет концентрически, от легкого к сложному,
сообразно временам года, по определенным темам, распа-
дающимся естественно на подтемы.
Какое отношение имеет математика к описанному строй-
ному, но сложному комплексу?
Теперь не приходится говорить о связи математики
с другими учебными предметами; такая связь, конечно,
существует и имеет свое значение, но теперь приходится
ставить вопрос шире и спрашивать о связи математики
с данною темою. Нет такой темы, всесторонняя разработка

которой может обойтись без математики. Может случиться,
что соответственная математическая разработка непосильна
для данной возрастной группы, но зато она вполне доступна
для другой группы. Возьму для примера тему „Октябрьская
революция“. Она встречается во всех возрастных группах.
Какие материальные блага получили рабочие и крестьяне
от революции? Рабочий работал 6 дней в неделю по 12 часов,
следовательно, был занят в течение недели 72 часа; при 8-часо-
вом рабочем дне он занят 48 часов в неделю, следовательно,
выиграл 24 часа или целые сутки в неделю! За год это
составит почти два месяца. Крестьяне получили бывшую
помещичью землю. Так, например, в Никольской волости
Раненбургского уезда, Рязанской губернии, крестьяне имели
до революции 4186 десятин пахотной земли, а в настоящее
время 9587 десятин пашни (Методические письма. Письмо
2-е. „Наша волость“. 2-е изд. Из-во „Работник Просвещения“.
Москва 1924 г. 25 к.); в означенной волости насчитывается
1054 двора с населением 5861 человек; сколько пашни приба-
вилось в среднем на двор, на душу? Поставленные вопросы,
конечно, не исчерпывают всех благ, полученных рабочими
и крестьянами, эти вопросы представляют собою маленькую
частицу того, что можно исследовать математически по отно-
шению к выбранной теме, они взяты только для примера,
для доказательства двух тезисов: 1) всякая тема допускает
математическую разработку; это доказано хотя бы двумя
приведенными вопросами, касающимися темы „Октябрьская
революция“, каковая тема, казалось бы, исключительно обще-
ствоведческая, представляется многим не допускающею
математического вмешательства; 2) разработка темы может
оказаться непосильной для одной возрастной группы, но зато
подходящею для другой группы; это доказывается теми же
двумя приведенными вопросами; в самом деле, вопрос о рабочих
может быть решен во второй группе, но не в первой, так
как числовые операции 12 — 8, 4.6 преждевременны в октябре
месяце первого года обучения; вопрос о крестьянах может
быть решен только в третьей группе, так как мы имеем
дело с числами, превышающими тысячу.
Из сказанного вытекает вопрос: как же поступить
в том случае, если данная тема не поддается математиче-
ской разработке в данной группе? Я думаю, что ответ должен
быть простым: оставить без соответственной разработки
и никоим образом не придумывать искусственных вопросов,
иначе легко впасть в карикатуру. Не следует навязывать
программам ГУС'а того, чего они не требуют; надо с полною
определенностью усвоить, что всякий комплекс должен быть
естественным и что всякое насилование идеи комплекса
притягиванием к любой теме, во что бы то ни стало, всех
отраслей знания представляет собой абсурд и нарушение

той жизненной правды, которая положена в основу идеи
комплекса. Возвращаясь к теме „Октябрьская революция“,
полагаю, что в этой теме нет места для биологии и что
задача: „в день праздника революции учащиеся устроили
шествие колонною по 4 человека в ряд; всего рядов было 12;
сколько учащихся было в колонне?“ — никакого логического
отношения к революции не имеет.
Если учащий не располагает готовым материалом для
избранной темы или не может сам придумать безусловно
подходящего материала, то лучше совсем обойти по отно-
шению к этой теме ту или иную отрасль знания, чем сочи-
нять неподходящее и насиловать логику и правду. Лучше
исследовать тему односторонне, но верно, чем многосторонне,
но искусственно и неправдиво. Педагог не должен забывать
великой истины, что учебный материал должен быть правдив
и что именно эта истина лежит в основе новой широкой
схемы школьного образования. Насилование комплекса пред-
ставляет собою неверное понимание схем ГУС‘а.
При выборе материала для разработки комплекса надо
проявлять величайшую осторожность и относиться строго-
критически к печатным сведениям, так как и авторы учеб-
ников не свободны от разного рода ошибок. Разумеется,
учащие не ответственны за ошибки и опечатки в книгах,
когда пользуются сообщаемыми сведениями; но все же следует
относиться вдумчиво ко всякого рода источнику. Хуже всего
сочинять числовые задания без серьезных для того осно-
ваний. Не меньшая осторожность требуется при подборе
содержания задач для разработки данной комплексной темы,
и потому, если учащий затрудняется в подборе задачи,
то лучше совсем не решать задач, чем решать неподходящие
или нежизненные и повторять таким образом ошибки дорево-
люционной школы.
Я высказал, что каждая тема может быть разработана
математически. Большею частью математические вопросы
напрашиваются сами собою и остается только искать в спра-
вочниках надежные числа, если нельзя обойтись наблюдениями
и измерениями самих учащихся. Но каждая тема распа-
дается на подтемы, и может случиться, что какая-либо
подтема не поддается математическому учету. Это вполне
возможно, и тогда такая подтема должна остаться вне участия
математики. Иногда учитель не находит помощи ни в печат-
ном пособии, ни в догадке; и в этом случае придется поми-
риться с пробелом. Иногда помощь приходит от учащихся,
и за нее следует крепко уцепиться, всемерно ее использовать.
Приведу пример, произведший на меня большое впечатление.
При обсуждении в педтехникуме темы „приготовления
к зиме“ я заметил, что, поскольку приготовления делаются
человеком, математический материал получается обильный

и очевидный: расчеты запасов топлива, кормов, продоволь-
ствия и т. д.; но если разбивать тему на подтемы, как это
делается в школах, а именно если расчленять приготовле-
ния к зиме человека, животных, птиц и даже насекомых,
то я затруднился бы посоветовать подходящий материал;
задачи в роде: „в саду было 20 птиц, из них 15 улетели
на зиму, сколько осталось?“ были, конечно, забракованы.
Дело клонилось к единодушному признанию названных
подтем безнадежными, как вдруг одна из слушательниц
предложила навести справки, сколько пуха собирается
с гуся позднею осенью или в начале зимы. Это был прекрас-
ный выход из положения.
Я рекомендую учительству собираться по. объединениям
в начале каждого триместра и коллективно разрабатывать
как последовательность тем и подтем, так и их содержание»
Совместная работа ведет к значительному обогащению учеб-
ного материала, так что члены коллектива собирают нужные
сведения из различных источников.
Математика, участвуя в разработке каждой комплексной
темы, должна, кроме того, развиваться сама по себе в смысле
приобретения учащимися навыков. Речь идет не о пред-
метном преподавании математики, как самодовлеющего учеб-
ного предмета, а о развитии математических навыков,
необходимых для разработки комплексных тем. Развитие
навыков никоим образом не может происходить внутри
комплексных тем, особенно на первых двух годах обучения,
так как размер чисел, над которыми оперируют дети двух
младших возрастных групп, невелик, а потому математиче-
ский анализ тем первых двух лет не может проникать
глубоко. Кроме того, первые темы (в течение почти двух
дет) вызывают только легкие задачки определенного содер-
жания, которые невозможно решать долгое время, иначе
они попросту надоедят учащимся. Возьмем для примера
одну из первых тем: „состав семьи“; тема ставит очевидные
задачки: „сколько едоков в твоей семье?“, „на сколько
едоков больше, чем в соседней?“, „на сколько лет ты старше
своей сестры?“ и т. д.; но ведь нельзя же решать такие
задачи ежедневно целую неделю. Пора приниматься за писание
цифр, за записывание действий. Такое занятие легко импуль-
сировать любою темою, но оно должно происходить и неза-
висимо от текущей темы, так как всякого рода навыки
приобретаются в систематическом, методически продуманном
распорядке. Без вычислений так называемых строчек и стол-
биков обойтись невозможно в реформированной школе.
Серьезную, даже тяжкую, ошибку делает тот, кто утвер-
ждает, что программы ГУС'а упразднили специальные счето-
вые упражнения как устные, так и письменные. Учительство
боится таких упражнений, как бы ревизор не упрекнул

в ведении дела по старинке. Такие многочисленные случаи
мне известны; они выявляют большое, принципиальное недо-
разумение. В самом деле, программы ГУС'а дают нам широкую
схему исследования окружающих нас явлений, при чем
основным стержнем исследования является обществоведение.
Никакое серьезное исследование не обойдется без кальку-
ляций, без графической интерпретации. Возьмем для примера
заключительную тему четвертой группы: „Первое мая—
международный праздник всех трудящихся“. Допустим,
что ее разрабатывает обществовед. Он, несомненно, расскажет
учащимся историю рабочего движения, приведшего между
прочим к установлению международного праздника труда.
Но ведь история состоит не только в хронологии и в биогра-
фии вождей движения. Самое движение обусловлено глубо-
кими материалистическими или экономическими причинами,
вскрытие которых требует сообщения огромного числового
материала и исследования разного рода функциональных
зависимостей. Слушатель должен быть достаточно подго-
товлен к пониманию чисел и их графического изображения;
кроме того, роль слушателя не может быть пассивною. Только
тот хорошо воспринимает сообщаемые ему числовые расчеты,
кто умеет сам их проделать. Я полагаю, что не стоит тратить
больше слов на доказательство необходимости хорошо знать
арифметику для исследования обществоведческих вопросов.
Я подчеркиваю эти вопросы, так как обществоведение
является краеугольным камнем программ ГУС'а. Но, кроме
того, никто не может отрицать практической пользы усвоения
школьного курса математики для обыденной жизни, для труда.
Работа образованного рабочего более экономична и продук-
тивна, чем работа неграмотного. Мелиорация крестьянского
хозяйства не удастся до тех пор, пока числовые расчеты
не проникнут глубоко в среду земледельцев. Я отсылаю
читателей к моей статье „Математика на службе в деревне“,
напечатанной в № 10 журнала „Народный Учитель“ за 1924 г.;
в этой статье я стремился посильно выяснить, какую огром-
ную культурную роль может сыграть рациональная поста-
новка преподавания математики в сельской школе.
Итак, приобретение математических навыков в объеме
курса школы I ступени необходимо без всяких оговорок
и сомнений. Навыки же, какие бы они ни были, приобре-
таются детьми лишь в порядке длительных повторных
и систематических упражнений. Математические навыки,
более, чем другие, требуют определенной последовательности,
строго продуманной; они менее зависят от времен года
или от других явлений и обстоятельств, чем занятия другими
специальностями. Странно было бы изучать весною стихо-
творения, описывающие осень; не менее странно было бы
изучение майского жука в ноябре месяце, но весна, например,

сама по себе не обладает такими свойствами, чтобы в течение
ее месяцев изучать дроби, а не целые числа, меры веса,
а не меры длины и т. д. В младшей группе чисто-арифме-
тический материал располагается в таком порядке: числа
до 10, числа до 20, счет круглыми десятками, нумерация
чисел до 100. Обратного или перетасованного порядка быть
не может. Следовательно, нельзя связать одну из первых
тем „Состав семьи“ со счетом круглых десятков; ее можно
связать только со счетом в пределах первого десятка. Отсюда
и из предыдущего вытекает неизбежное и естественное
отношение математики к системе комплексного преподавания,
которое можно формулировать следующими тезисами.
1. Участие математики в разработке очередных тем
увеличивается прогрессивно в каждой возрастной группе
и в каждом триместре любой группы, начинаясь в первом
триместре первой группы с решения немногих легких
задачек.
2. Каждая очередная тема использовывается или для
жизненного применения уже приобретенных математических
знаний, или для импульсирования приобретения новых
знаний, или для того и другого.
3. Независимо от участия математики в разработке
очередных тем, занятия математикою должны происходить
и в особое время, вне очередной темы для развития разного
рода навыков, необходимых для разработки последующих
тем и приобретаемых в строгой методической последова-
тельности.
Последним тезисом я хочу подчеркнуть необходимость
отдельных занятий по математике, столь же неизбежных,
как и занятий для приобретения грамотности в родном
языке. Возьму для примера вопрос о делении трехзначного
числа на двухзначное. Чтобы учащиеся усвоили такое
деление, они должны много раз его совершить при разных
числовых заданиях. Никакая жизненная тема не дает нам
упражнений с отвлеченными числами. Всякий жизненный
вопрос, вытекающий из очередной темы, ставит ту или иную
задачу обязательно с именованными числами, ставит, повто-
ряю, задачу, а не отвлеченный числовой пример. Поэтому,
если ограничиваться только тем материалом, который содер-
жится в данной теме, мы получим только задачи. При решении
задачи внимание учащихся разбивается на решение поста-
вленного вопроса и на сопряженные с этим числовые
выкладки, при чем, очевидно, что центр внимания должен
быть обращен на решение задачи, а не на процесс вычис-
лений. Решение задачи требует гораздо более времени,
чем производство тех выкладок, которые ведут к ее решению.
Поэтому приобретение технических навыков счета путем
только решения задач потребует колоссальной затраты

времени в ущерб всем остальным занятиям в школе. Ясно,
что необходимы и упражнения в действиях с отвлеченными
числами, следовательно для выполнения всех широких задач
новой программы надо заниматься и специальными счето-
выми упражнениями. Казалось бы, что все это настолько
очевидно, что не заслуживает столь пространной защиты.
Но я знаю, что программы ГУС'а понимались и, может быть,
понимаются неправильно в том смысле, что комплексная
система яко бы исключает специальные упражнения для
развития грамотности и уменья считать.
По вопросу о математической разработке комплексных
тем я предостерегаю учительство от однообразного отношения
ко всем темам и шаблона в деталях. Как часто приходилось
наблюдать следующие положения. Разрабатывается тема
„фабрика“; дело сводится к диаграммам и к вычислениям
квадратуры и кубатуры. Следующая тема „крестьянское
хозяйство“; опять диаграммы, квадратура и кубатура.
Дальше „ремесло“ и снова диаграммы, квадратура и. куба-
тура. И так далее, и так далее. Такой скучный, я бы сказал
даже удручающий, подход к делу имеет очевидные причины:
материал, подходящий для разнообразной разработки тем,
распылен в печатных источниках так, что одному человеку
не под силу его собрать; учительство, не имея в руках
комплексного справочника и будучи перегружено много-
гранною работою, лишено возможности обстоятельно гото-
виться к каждой отдельной теме и невольно идет по пути
среднего шаблона. Со временем, когда учебная литература
разработает полнее и глубже современные больные вопросы,
дело пойдет лучше, а пока все-таки хочется высказать
пожелание, чтобы каждый учитель, по мере сил и возмо-
жности, стремился к улучшению приемов преподавания
и к большему разнообразию учебного материала. Это может
быть достигнуто до некоторой степени следующим способом:
пусть каждый учитель вменит себе в правило делать выписки
при чтении книг, газет и журналов; накопляемый таким
образом материал сообщается и обсуждается на собраниях
в объединениях. Еще более помогло бы делу концентрирование
такого материала в определенном периодическом издании,
и я хотел бы этими строками вызвать инициативу наиболее
удобного для учительства разрешения одного из больных
современных вопросов.
В главе о диаграммах читатель найдет указания, как
можно разнообразить хотя бы внешний вид диаграмм. Здесь
же я коснусь одной детали в отношении вопроса о кубатуре
разного рода построек. Кубатура здания далеко не всегда
интересна. Если во время экскурсии на железнодорожные
сооружения учащимся предлагается обмерить кубатуру
вокзала, то это будет ошибкою. Кубатура вокзала не даст

ответа ни на какой интересный по существу вопрос и упра-
жнение в обмере, ради лишнего упражнения, неосновательно,
так как для этого упражнения не стоит посещать жел.-дор.
станцию: школьное здание и соседние для этой цели доста-
точны. Но среди жел.-дор. построек встречаются особые,
такие, кубатура которых интересна сама по себе. Например,
неподвижные и подвижные цистерны для хранения нефти
в других местах почти не встречаются. Кубатура пакгаузов
тоже заслуживает внимания с точки зрения количества
вмещающихся разных предметов. Кубатура фабричного
корпуса, в котором производится работа, не имеет большого
значения, но кубатура общежития, в котором проживают
рабочие, дает материалы для ценного исследования. Таким
образом я хочу сказать, что, ставя вопрос о кубатуре данного
сооружения, необходимо прежде всего уяснить себе, для чего
это нужно и насколько это интересно не абсолютно, а по
сравнению с другими сооружениями.
Такой же критицизм следует проявлять по отношению
к любому вопросу. Не всякая диаграмма интересна или
выявляет такую особенность, которая заслуживает внимания.
Не всякая калькуляция ведет к поучительным результатам.
Я думаю, что всегда можно выбрать наиболее яркое, выпуклое;
конечно, для этого нужен огромный выбор материала, а поэтому
надо всемерно стремиться к его собиранию.
Необходимо еще предостеречь учительство от такого
неверного понимания комплексной разработки очередной
темы, которое приводит к задачам, имеющим только общие
слова с текстом темы, но не имеющим с темою никакой логи-
ческой связи. Допустим, например, что прорабатывается тема
„домашние животные“ и из нее выделяется подтема „кошка“.
В большинстве случаев дети решают тогда такие задачи:
на дворе 4 кошки; одна убежала, сколько осталось?
сколько лап у 5 кошек?
Эти задачи никакого отношения к избранной подтеме
не имеют, кроме повторения слова „кошка“. Замените
в тексте приведенных задач слова кошка любым из слов:
собака, лошадь, овца, коза и т. д., и получится одно и то же.
Что характерного в отношении кошки то, что несколько
их усмотрено на дворе? Разве число ног или лап у кошки
тоже особенно-примечательно? Какой поучительный вывод
можно сделать из того, что у 5 кошек всего 20 лап?
Может быть задача: „на крыше 4 кошки, одна убежала,
сколько осталось?“ лучше отвечает цели, так как здесь
подстановка слов собака, лошадь и т. д. неуместна? Конечно
нет, так как наблюдение или простое констатирование факта,
что на крыше замечены 4 кошки, не представляет собою
изучения кошки. Между тем идея комплексного преподавания
состоит в том, что избранная тема исследуется и изучается

всесторонне, исследуется всеми способами, которые подходят
к делу, а никак не в спряжении или склонении данного
слова. Математика должна принять участие в посильном
изучении и исследовании поставленного вопроса, а не решать
задачи, в тексте которых только встречается избранное слово
и которые вопроса нисколько не исследуют.
Если меня спросят, какие же задачи относятся к подтеме
„кошка“, я отвечу, что, может быть,ни одна задача не подойдет.
И в этом никакой беды нет. Математическое участие в разра-
ботке темы состоит не только в решении задач; ведь всякая
задача должна преследовать исследовательскую цель, поэтому
не всегда можно построить исследовательское вычисление.
Я думаю, что подтема „кошка“ обойдется без решения задач,
но эта же подтема допускает следующую математическую
проработку: измерить рост кошки и сравнить его с ростом
других животных, сравнить число зубов кошки и их особен-
ности с числом зубов собаки, мыши. Такое исследование
дает мало материала для счетовых упражнений, но я уже
выяснял, что, кроме математической разработки очередной
темы, должны существовать отдельные занятия математикою
для приобретения и развития навыков. В процессе счетовых
упражнений цитированные задачи уместны, но им не должно
быть места в комплексной разработке темы. Если на очереди
тема „зима“ и учитель предлагает задачу: „на салазках
каталось 5 детей, к ним подошли еще 2 детей, сколько
собралось детей?“ то пусть учитель не думает, что он разра-
батывает с учащимися подтему „зимние игры“, так как подсчет
собравшихся на катке детей не есть исследование процесса
катания на салазках. Может быть, эта подтема не допускает
никакой математической проработки в первой группе; тогда
математический элемент просто и естественно выпадает
из данной подтемы.
В отмеченном мною неверном понимании пригодности
задач для комплекса, наблюдаемом теперь в очень широком
масштабе, я не могу винить учительство, так как оно
повторяет ошибку авторов задачников, составленных „при-
менительно к схемам ГУС'а“. Я полагаю, что научно-педа-
гогическая секция ГУС'а должна относиться строже к содер-
жанию задач, печатаемых под флагом комплексной разра-
ботки тем.
В непосредственную связь с системою комплексного препо-
давания принято ставить вопрос о методах обучения. Много-
численные конференции тратят массу времени на дискуссию,
какой метод наилучший, Этот вопрос ставится обыкновенно
во всей его полноте и остается неразрешенным. Прежде
всего ошибочно обобщать дело и полагать, что комплексная
система требует определенного метода. Изучение литературы,
знакомство с мерами веса, наблюдения природы, изучение

быта рабочего и т. д. представляют собою процессы
неоднородные и зачастую настолько резко отличающиеся
один от другого, что об единстве методов, ведущих к регули-
рованию названных процессов, не должно быть речи.
Методов, известных по их не всегда верной классификации,
великое множество. В статье А. Дарского „Школы II ступ,
гор. Москвы по материалам заключительного учета“ („Вестник
Просвещения“, № 10 за 1923 г., стр. 132) мы находим
следующий перечень методов, упоминающихся в школьных
отчетах: лекционный, реферативный, экскурсионный, лабора-
торный, иллюстративный, исследовательский, эвристический,,
сократический, акроаматический, комплексный, корреля-
тивный, комбинационный, демонстративный. Список, конечно,
не полон, существуют и изобретаются и другие названия,
Я не собираюсь распутывать правильность и смысл перечис-
ленных терминов, я имею в виду подчеркнуть ту путаницу
понятий, в которую вовлечено учительство при его трудной
работе. Ограничимся пока тем, что методов много, и поищем
ответа на вопрос, какому из методов отводится преобладающая
роль в комплексном преподавании и какие методы опорочены
этою системою. Наиболее распространенное мнение то, что ком-
плексное преподавание требует преимущественного приме-
нения исследовательского метода и осуждает метод лекцион-
ный. Такой теоремы математика доказать не может,
но нетрудно доказать другую: любой метод и хорош и плох;
он хорош там, где он к месту, и плох там, где он неуместен;
другими словами, весь школьный курс провести одним методом
нельзя, и наилучшим методом следует признать разумную
комбинацию различных методов.
Воздерживаясь от вторжения в чуждые мне специаль-
ности, я ограничиваю поставленный вопрос точкою зрения
преподавания математики и разберу сначала ряд частных
примеров.
1. Запись сложения многозначных чисел.
Я могу объяснить запись в немногих словах и потом пред-
ложить учащимся самостоятельные упражнения. В момент
объяснения я применяю лекционный метод. Я могу поступить
иначе; я даю детям на руки учебник, открываю его на подхо-
дящей странице и предлагаю разобраться самим; этот метод,
вероятно, следует назвать лабораторным. Можно применить
и метод эвристический: пусть учащиеся сами изобретают
форму записи сложения. Вряд ли в данном случае уместен
метод экскурсионный. Я полагаю, что в приведенном примере
лучше всего прибегнуть к лекционному способу.
2. Формула площади треугольника. Здесь
придется предпочесть метод эвристический (см. главу
о геометрии), так как учащиеся сами легко выведут искомую
формулу.

3. Меры веса. Ясно, что тут отпадают методы лекци-
онный, эвристический и другие. Необходимо, чтобы учащиеся
активно взвешивали разные предметы; следовательно, здесь
наилучшим методом явится лабораторный.
4. Знакомство с устройством железно-
дорожного полотна может быть осуществлено комби-
нацией экскурсионного и лабораторного методов, так как
надо пойти к полотну и производить разного рода измерения.
5. Решение вопросов, связанных с интер-
полированием на графике, разумнее всего проводить
исследовательским методом.
Таких примеров можно привести бесчисленное множество.
Оказывается, что в одном случае наиболее целесообразным
является один метод, в другом случае—другой. Вот почему
я высказал, что лучше всего комбинировать методы, выбирая
в каждом отдельном случае наиболее подходящий. Как же
производит* выбор? Он может быть подсказан или удачно
составленным учебником, или советом другого человека,
или личным чутьем педагога.
Можно ли возражать против достоинств исследователь-
ского метода? Конечно, нет. Целесообразно ли провести весь
курс исследовательским методом? Разумеется, нет, реши-
тельно нет. Не целесообразно потому, что иногда он непо-
силен учащимся, а иногда требует колоссальной затраты
времени. Например, решение вопроса о преимуществах
метрической системы или о кубатуре круглых тел иссле-
довательским методом определенно непосильно школьни-
кам I ступени. Между тем для усвоения признаков дели-
мости сам собою напрашивается метод исследовательский.
Безошибочно можно утвердить, что весь курс математики
в школе I ступени невозможно провести исследовательским
методом, но что этот метод должен найти свое место в неко-
торой части курса.
Одинаково, с соответственными изменениями, можно
высказаться по отношению и к другим методам. Каждый
метод имеет свои выдающиеся достоинства и вреден в моно-
польном положении.
Переводя вопрос на практическую почву, я утверждаю,
что вообще наилучший метод тот, которым владеет учитель.
Если преподаватель достигает хороших и быстрых резуль-
татов своим излюбленным методом, то пусть он и применяет
этот метод. Неумелое использование прекрасного, самого
по себе, метода может искалечить дело. Тем не менее нельзя
рекомендовать педагогу довольствоваться определенною,
застывшею для него, формою. Хороший педагог никогда
не должен быть доволен собою и всегда должен искать
улучшений. Надо внимательно прислушиваться ко всем
новым начинаниями, пропускать их через строгий фильтр

бесстрастной критики, усваивать то, что признано полезным,
и вносить в свою работу освежающую струю. Но никогда
не следует применять нового метода до серьезной его
проработки.
Что же касается злободневного, особенно по отношению
к школе II ступени, вопроса о Дальтон-плане, то я не усма-
триваю, в реальных условиях существования нашей школы
первой ступени, возможности осуществлять теперь этот план.
Имея в виду отсутствие в школах элементарнейших приборов,
как-то: стенные часы, весы с разновесками, компас, термометр
и т. д., боязливо рекомендуя пользование миллиметрового
бумагою ит. д., неуместно говорить о том, как проводить
курс математики по Дальтон-плану. Это—вопрос будущего.
Когда школы будут снабжены всеми необходимыми пособиями,
тогда будет своевременно поставить этот интересный вопрос,
но и то, я полагаю, по отношению к третьей и четвертой
группам. Дальтон-план значительно суживает активность
преподавателя, предоставляя последнему мало заметную роль
и перенося центр активности на учащихся. Всемерно разделяя
идею максимального повышения активности учащихся, я тем
не менее полагаю, что в двух младших группах школы
I ступени дети нуждаются в постоянном руководительстве
педагога. Для работы по Дальтон-плану надо выучиться
работать. Дети, предоставленные с первого же дня в школе
сами себе, не выучатся работать, так как они ничего не знают,
ничего не умеют, они еще неграмотны, они не знают, что
такое школа и чему и как надо учиться. Здесь без актив-
ности педагога дело не обойдется; но она нисколько
не исключает одновременной и величайшей активности
учащихся.

III. Метрология.
Чем ниже культурный уровень народа, тем меньше
потребность в числовом учете всякого рода взаимоотношений;
как только последние приобретают организованную форму,
так сейчас же неизбежно появляются условные меры. Уже
меновая торговля требует мер длины, объема и веса; затем
возникают деньги, тоже как мера экономических операций.
В истории культуры можно проследить интересную эво-
люцию мер у разных народов, приведшую к установлению
единой системы мер, объединяющей все человечество. Как
бы ни был интересен вопрос о происхождении и видоизме-
нении различных систем мер, в том числе и нашей, — в этой
книге нет места для его изложения, тем более, что в насто-
ящий момент перед учительством встала серьезная и ответ-
ственная задача преподавать меры по-новому, по-новому как
в отношении системы мер, так и в отношении целей и методов
преподавания. Замена наших обиходных мер метрической
системой обусловлена декретом 14 сентября 1918 г., а изме-
нение приемов преподавания метрологических сведений
диктуется новыми школьными программами.
Здесь необходимо высказаться относительно обеих новых
сторон дела. Сначала коснусь самой метрической системы,
вызывающей много кривотолков в обывательских сферах
и, к сожалению, среди интеллигенции. Приходится слышать,
что введение метрических мер в нашем государстве, где
более 50% населения неграмотно, вызывает непреодолимые
затруднения, что даже образованному человеку, привыкшему
к определенным мерам, очень трудно переучиваться и приспо-
сабливаться к новым, что у нас, вследствие нашей общей
бедности, не скоро окажется достаточного количества эта-
лонов метра, литра и килограмма и т. д. Я не собираюсь
ни перечислять, ни предугадывать всех возражений против
метрической системы, так как это совершенно бесполезно,
потому что основной подход к делу неверен. Если что-либо
целесообразно и ведет к прогрессу, то не стоит тратить
времени на сетования, что реформа трудна; наоборот, следует
как можно энергичнее преодолевать все затруднения и во что
бы то ни стало добиваться прогресса. Иначе мы останемся
в состоянии обломовской прострации и не сдвинемся с места.

Никто не станет возражать против того, что трехполье
и чересполосица представляют собой убийственные явления
в крестьянском хозяйстве, что переход на многополье и цель-
ность обрабатываемого участка необходим в кратчайшее время
и что следует срочно устранять отмеченное зло. Но последнее
осознано и потому против соответственных реформ не слышно
возражений. Значение же метрической системы до сих пор
понимается неверно, вследствие чего она воспринимается
с неудовольствием. Причина неверного понимания реформы
мер кроется в дореволюционном преподавании метрической
системы, с которою мы знакомы по старым учебникам,
учившим нас, что преимущества метрической системы заклю-
чаются в следующих двух принципах. Первый — тот, что
метрическая система построена на природной величине —
на реальной длине одной сорокамиллионной части Париж-
ского меридиана, в то время как все остальные системы
не имеют единой природной базы; из метра, основной меры
длины, происходят литр и килограмм, даже франк, как
монетная единица латинского союза (Франция, Швейцария,
Бельгия, Италия, Греция и др.) и равная стоимости 5 граммов
чистого серебра. Между тем другие системы мер не имеют
органической связи между единицами длины, веса, денег
и т. д. Второй принцип метрической системы, выгодно
отличающий ее от остальных, заключается в десятичных
подразделениях; поэтому вычисления значительно упроща-
ются. Нам давали наглядные примеры. В самом деле: 5 кило-
граммов 4 гектограмма 8 декаграммов 3 грамма 6 дециграммов
7 центиграммов и 2 миллиграмма быстро раздробляются
в миллиграммы и в ответе получается 5483672 миллиграмма;
между тем раздробление 5 берковцев 8 пудов 17 фунтов 28 лотов
2 золотников 69 долей в доли требует длительных вычислений.
Пример весьма убедительный, но совсем в ином смысле!
Это пример тех бессмысленных упражнений в составных:
именованных числах, наполнявших дореволюционные задач-
ники, и мне еще придется вернуться к этому частному
вопросу, а пока обращаюсь к мотивировке преимуществ
метрической системы. Если основываться на тех принципах,
которые только что изложены и знакомы нам по дореволю-
ционным учебникам, то действительно трудно стать убе-
жденным сторонником реформы 14 сентября 1918 г. Наш аршин
нисколько не менее „природен“, чем метр. Аршин есть
длина шага взрослого человека среднего роста, поэтому,
если заставить тысячу взрослых людей шагать, измерить
длину шагов и взять среднюю величину из многих изме-
рений, можно получить весьма точный эталон аршина;
длина земного меридиана не есть величина неизменная,
так как поверхность земного шара еще не находится в состо-
янии устойчивого равновесия. Затем между нашими мерами

существует соотношение, подобное зависимости килограмма
от метра. Действительно, аршин содержит 28 дюймов, и 1000
кубических дюймов воды весят 1 пуд.
Это соотношение полезно помнить на случай опреде-
ления веса предмета без взвешивания, когда мы знаем объем
предмета в кубических дюймах. Наконец, десятичность под-
разделений в метрической системе теперь совсем не такая
строгая, как устанавливалась в первоначальном проекте.
Один километр делится не на 10 и не на 100, а на 1000
частей; промежуточные подразделения не употребляются.
Точно так же из мер емкости остались лишь гектолитр
и литр, из земельных мер—гектар и ар. Но самое важное
то, что в обиходе всякая метрическая мера делится на поло-
вины, четверти и восьмушки, совершенно так же, как и у нас.
Мы покупаем, например, 15/8 фунта, а не 1 фунт 20 лотов
мяса, 21/4 аршина, а не 2 аршина 4 вершка материи; и в тех
странах, где принята метрическая система, покупают 1х/4
килограмма, а не 1 килограмм 2 гектограмма и 5 декаграммов,
V8 литра, а не 1 децилитр, 2 центилитра и 5 миллилитров
и т. д. Таким образом те козыри метрической системы,
которые выдвигались раньше, оказались мифическими и совсем
не убедительными. Их надо оставить и принять во внимание,
что главное и единственное преимущество метрической
системы состоит в ее международности. Метрическая
система сама по себе далека от совершенства и требует
поправок, но она была задумана для устранения тех не-
удобств, которые вызываются в международных сношениях
различиями в мерах, построена на принципах, приемлемых
всеми национальностями, и стала международным досто-
янием. Никакие изменения в метрической системе мер невоз-
можны без единодушных постановлений международных
конференций, и таковые уже происходили. Все, что объеди-
няет и сближает народы, заслуживает величайшего внимания
и требует неотложного проведения. Допустим, что аршины,
пуды и ведра научнее, удобнее, чем метры, килограммы
и литры, все равно, надо без сожалений и колебаний от них
отказаться и скорее войти в культурное единение с другими
государствами, которые не принуждают нас к принятию
их мер, а которые сами восприняли международные меры.
Такое единение приобретает с каждым годом все большее
значение, так как мировая экономика перестала быть собра-
нием розрозненных районных явлений и уже приближается
к монолитному состоянию. Мировой товарообмен теперь не тот,
каким он был 100 лет тому назад; дело совсем не в масштабе
мировой торговли, а в ее органическом значении для любого
района. Слишком очевидно то, что все, ведущее к затруд-
нению мирового товарообмена, не вызывает прогресса и наобо-
рот; так же очевидно и то, что единство мер значительно

облегчает взаимоотношения государств. Вот почему мы
должны всемерно содействовать скорейшему введению у нас
общей для всех народов метрической системы мер. При этом
необходимо иметь в виду, что реформа мер должна быть
проведена в население через школу и что школе, являю-
щейся очагом культуры и прогресса, не следует дожидаться
того времени, когда взрослые, а через них и дети освоятся
с новыми мерами. Путь должен быть противоположный:
пусть неграмотные взрослые научатся от школьников.
Преподавание метрических мер не вызывает затруднений
с методической точки зрения. Тех школьных работников,
которые испытывают какие-либо сомнения и опасения,
я должен успокоить простым указанием на то, что во всех
западных государствах начальная школа не знает других
мер, кроме метрических, и что преподавание мер начинается
с первого года обучения. Почему же мы не можем поступать
так, как это делается много лет в Европе? Я думаю, что
опасения учительства происходят от дореволюционного
разучивания метрической системы, от зазубривания залпом
огромного количества трудных названий. Известно, что для
названий мер, больших основной, установлены, как приставки,
греческие слова: мирна—10000, кило—1000, гекто—100,
дека—10 и для мер, меньших основной,—латинские слова:
деци—10, центи—100, милли—1000; таким образом для
каждого из основных названий метр, грамм и литр
могут быть 7 производных мер. Все они заучивались,
но без всякой пользы. Научная, техническая и жизненная
практика сохранила лишь немногие из производных названий,
но зато ввела немногие добавочные слова. В настоящее
время имеют употребление лишь следующие метрическ. меры:
Меры длины: километр, метр, дециметр, центиметр,
миллиметр, микрон.
Меры емкости для жидких тел: гектолитр, литр.
Меры веса (точнее массы): тонна, килограмм, грамм
и миллиграмм.
Земельные меры: гектар и ар.
Квадратные и кубические меры не имеют специальных
названий; к мерам длины присоединяют или слово квад-
ратный, или кубический.
Из 14 вышеупомянутых названий для школ I ступени
остаются лишь 12, так как микрон и миллиграмм следует
отнести к курсу школ II ступени. Оставшиеся 12 мер должны
быть распределены по годам обучения следующим образом:
1 группа знакомится с метром, дециметром, литром
и килограммом, при чем подразделения литра и килограмма
берутся на половины, четверти и восьмушки, а метра—
сначала на половины и четверти, а затем на десятые доли,
т.-е. на дециметры.

II группа изучает километр, центиметр, миллиметр
и грамм.
III группа—гектолитр, тонна, гектар, ар и квадрат-
ные меры.
IV группа—кубические меры, меры работы и мощ-
ности.
Предлагаемое распределение устраняет опасения в пере-
грузке учащихся усвоением новых терминов и является,
в полном соответствии с духом новых программ, концен-
трическим.
Каждая мера должна быть усвоена учащимися с помощью
целого ряда активных упражнений и соображений. Мало
сделать преподавание наглядным, мало сделать усвоение
активным в смысле непосредственных измерений; необходимо,
чтобы учащиеся, путем разного рода исследований, познали
данную меру всесторонне и наиболее конкретно. Этот тезис,
которому я придаю очень большое значение, я не замедлю
разъяснить.
В первой возрастной группе, когда дети усвоят
все арифметические действия над числами от 1 до 10, следует
ознакомить их с метром. Любая из очередных комплексных тем
может служить этой цели. Весьма подходящею темою является
„наш класс“. Каковы размеры классной комнаты в длину,
ширину и высоту? Протяжение комнаты в длину и в ширину
легко оценить шагами, но такая оценка неопределенна.
Шаг учащегося и шаг учащего суть величины, сильно
разнящиеся одна от другой. Для определенности оценки
протяжения существует особая мера, называемая метром.
Само собою разумеется, что учащимся первой группы прежде-
временно сообщать, что такое метрическая система мер, что
метр равен 1:40000000 части парижского меридиана и т. д.
Метр должен явиться как первая, самостоятельная мера;
никаких объяснений в этот момент не нужно. Учащиеся видят
эталон метра, демонстрируемый учителем. Этот эталон должен
быть сделан из деревянной планки. Учащиеся вырезывают
из развернутого листа газетной бумаги (одна из больших
столичных газет) полоски той же длины, как и показываемая
им планка, перегибают полоску пополам, еще раз пополам
и получают полоску, разделенную на четверти метра. Затем
учащиеся сделают дома деревянные планки, разметят на ней
четверти метра по имеющейся бумажной полосе. Теперь
начинаются многократные измерения метром окружающих
предметов сначала в классной обстановке, а потом в домашней.
Такого рода измерения уже делаются в современных школах,
и потому мне не придется останавливаться подробна на этом
вопросе. Замечу только, что для измерений удобно соединять
учащихся парами и что необходимо, чтобы каждое измерение
было записано в тетради связною фразою, в роде „длина

классной комнаты—7!/4 метра“. Одновременно следует научить
детей записывать дроби 1/4, уа и 3/4. Описанное ознакомление
с метром нельзя не признать активным, но я не считаю воз-
можным удовольствоваться этим. Я настойчиво рекомендую
исследование всевозможных предметов, длину или вышину
которых можно оценивать одним метром, двумя метрами,
половиною или четвертью метра и т. п. Необходимо, чтобы
учащиеся, после очень многих и разносторонних измерений,
сознательно и верно отвечали на вопросы: выше или ниже
метра обеденный стол? на какой высоте от пола делается
сиденье стула или табуретка? Какой длины обыкновенная
кровать? Какие животные имеют рост в V4> 1U> 1 и 2 метра?
Радует ли крестьянина рожь в поле, если она имеет рост
в 1 метр? Овес вышиною в 1 метр? Какой ширины тротуар
и мостовая в переулке, на большой улице? Какова ширина
деревенской улицы, проселка, большака? Какие взрослые
кусты имеют рост в 1 метр? И т. д. Только при таких наблю-
дениях и измерениях окружающих предметов учащиеся
будут относиться сознательно к метру, как к мере длины,
и будут понимать протяжения. Из описанных наблюдений,
производимых многократно, развивается глазомерная оценка
длины и высоты, подчеркнутая в программах Наркомпроса
1918 года. Я лично не разделяю увлечения развивать в уча-
щихся школ I ступени глазомерную оценку. Не считая ее
бесполезною, я думаю, что значение ее сильно преувеличено.
Конечно, было бы очень хорошо, если бы каждый умел
определить достаточно точно на-глаз размеры комнаты или
вес свертка, но я предпочитаю во всем точность, даваемую
измерением или взвешиванием, а затем полагаю, что хорошо
развитая глазомерная оценка есть дело но существу профес-
сиональное и достигается специальными упражнениями.
Так, красноармеец должен определять расстояние в поле,
почтовый служащий—не подлежит ли письмо добавочной
оплате и т. д.; подобные обстоятельства, где глазомерная оценка
очень важна, являются, конечно, слишком специальными.
Сказанное относительно способов усвоения метра рас-
пространяется, с надлежащими изменениями, и на остальные
меры длины, кроме дециметра, который нам нужен только
для подхода к литру. Измерения дециметром можно вовсе
опустить; в течение всего первого года обучения школьники
измеряют метром и его подразделениями на четвертые доли.
Вторая возрастная группа измеряет метрами
и центиметрами, при чем попутно выучивается записывать
результат измерений в виде 128 центиметров или 1,28 метра,
т.-е. усваивает запись десятичных дробей со знамена-
телем 100. Все измерения, сделанные в прошлом году, т.-е.
в первой группе, полезно повторить, на измерять с значи-
тельно большею точностью, а именно до одного центиметра.

Кроме того, следует измерять разные предметы только цен-
тиметрами с подразделениями на миллиметры и выучиться
записывать: 5,6 центиметра или 56 миллиметров. Необходимо
развить среди учащихся понимание того, что́ следует изме-
рять метрами, что́ центиметрами и что́ миллиметрами. Это
понимание развивается с помощью многократных измерений
различных предметов и коллективного обсуждения, какая
мера является в данном случае наиболее подходящею.
В результате должны получаться сознательные ответы на во-
просы: какой длины зубья у грабель? каковы размеры кирпича
по длине, ширине и толщине? какова толщина теса? каковы
размеры пиленого куска сахара? длина колоса ржи? длина
зерна ржи? и т. д. В условиях городской жизни подобные
вопросы тоже легко подобрать.
Третья возрастная группа знакомится с кило-
метром и, конечно, не описательно, а активным промером.
В сельской школе очень легко организовать обмер кило-
метра и даже обратить это дело в общественно важное.
Не следует пожалеть нескольких учебных дней в теплое
время года, например, в сентябре, для всесторонне полезного
обмера километровых расстояний, при чем попутно уча-
щиеся могут сделать ряд ценных географических и биоло-
гических наблюдений. Цель измерений километра в деревне
двойная: во-первых, она преследует активное знакомство
с самою крупною для земных расстояний мерой, а во-вто-
рых, пора оживить наш проселок столбами с обозначением
километров. Школы определенного района, например, волости,
должны сговориться между собою о плане измерений, о смычке
работ отдельных школ. Удобно взять исходным пунктом
железнодорожную станцию или село, имеющее особо важное
местное значение; тогда одна или несколько школ обмери-
вают по проезжим дорогам километры от избранного пункта,
вкапывают в надлежащих местах столбы с соответственными
обозначениями и указаниями, откуда и куда ведет дорога,
а затем передают работу соседней школе, которая начинает
измерения от одного какого-либо, уже установленного, столба,
продолжает до передачи своей соседней школе. Тогда район
покроется культурными указаниями пути, к очевидной пользе
местного населения, и постепенно изживется то безобразное
обстоятельство нашей деревни, про которое говорят, что
„версты баба мерила клюкой, да махнула рукой“. Описанная
культурная работа отпадает для школьников крупного города;
в таком случае все же необходимо, чтобы учащиеся III группы
сделали специальную загородную экскурсию для обмера
в натуре расстояния, равного одному километру. Во всяком
случае важно, чтобы учащиеся, сделав самостоятельный
промер километра, почувствовали эту меру глазами, руками
и ногами и оценили ее по отношению ко времени:

во сколько минут пешеход, идя ровным шагом, проходит
один километр?
Техника измерения километрового расстояния, при
помощи самодельных приспособлений, в высшей степени
проста. Надо взять бечевку длиною в 100 метров, привязать
концы ее к колышкам; первый колышек вбивается в землю
у начального пункта, бечевка протягивается вдоль дороги,
пока не придется вбить второй колышек при натянутой
бечевке. В местах излома или поворотов дороги вбиваются
вспомогательные колышки, дающие направление натянутой
бечевке. Когда будет пройдено 10 раз расстояние в 100 мет-
ров, получится расстояние в 1 километр.
Очень важно приучить учащихся, конечно, начиная
с III группы, к двоякой оценке расстояния: километрами
и временем, учитывая условия данной формы транспорта.
Взрослый пешеход, идя ровным шагом, проходит в час около
5 километров. Учащийся 10 лет проходит в среднем 4 кило-
метра в час. Крестьянская лошадь идет шагом 5 километр,
в час, а если кое-где, например, под гору, потрусит рыс-
цой—то 7 килом. Московский извозчик везет со скоростью
9 килом, в час, а московский трамвай проходит около
12 килом, в час. Опираясь на приведенные сведения, не-
трудно перевести оценку расстояния, данную в километрах,
на время.
Я уже высказал, что микрон, как мера длины, может
быть опущен из курса школ 1 ступени и перенесен в курс
П ступени, так как микрон встречается исключительно
в тонких научных расчетах, и учащиеся познакомятся с ним
на уроках физики. Но с малыми протяжениями полезно
знакомить учащихся IV группы, так как получается пре-
восходное упражнение на деление десятичных дробей. В самом
деле, если, например, книга, содержащая 280 страниц, имеет
толщину 13 миллиметров, то толщина одного листика бумаги,
из которой сделана книга, равна 13<140 или приблизительно
0,093 миллиметра. Здесь мы имеем интересный и поучи-
тельный для учащихся пример, как весьма малая величина,
не поддающаяся непосредственному измерению, может стать
известною благодаря косвенному измерению и вычислению.
В первой возрастной группе учащиеся, после обстоя-
тельного изучения метра, знакомятся с литром. Учащий
должен заранее изготовить из бумаги или тонкого картона
кубическую коробку, ребра которой равны одному дециметру,
и запастись стеклянною банкою, на наружной поверхности
которой наклеены узенькие полосочки бумаги, указывающие
уровень воды в объеме и целого литра; эти бумажные
мешки должны быть сделаны после вливания в банку чет-
верти, затем половины, трех четвертей и, наконец, целого
литра воды с помощью хорошей градуированной мензурки,

которую можно найти в любой школе II ступени или
в ближней аптеке. Учащий показывает коробку емкостью
в один литр, а затем банку с отметками по V* литра.
Учащиеся приносят в класс по обыкновенной бутылке,
вливают в нее два раза по 1/4 литра воды и отмечают сна-
ружи уровень воды в обоих случаях бумажными полосками.
Удобно брать бумажки от краев листов с почтовыми марками.
Имея бутылку с пометками в lU и х/2 литра, учащиеся
должны обмерить дома емкость разной посуды: бидона для
молока, самовара, чугунного котелка для варки супа, чет-
вертной бутыли, ведра и т. д. Обмеры, сделанные учащи-
мися, обсуждаются в классе; сравниваются емкости разных
самоваров, подсчитывается, сколько стаканов вмещает данный
самовар, для чего узнается, сколько стаканов содержит
литр; оценивается удойность коров; подсчитывается, сколько
литров воды поглощает человек в своем суточном питании
(чай, суп, квас и т. д.), сколько литров воды требуется,
чтобы напоить лошадь, корову, овцу, сколько воды тратится
на поливку цветов в горшках, стоящих на окнах, сколько
ведер и, следовательно, литров расходуется ежедневно в до-
машнем хозяйстве.
Гектолитр, как более крупная мера (100 литров),
не имеет большого значения в деревенском обиходе. В городе
гектолитр применяется при учете снабжения населения
водою из водопровода; так как при этом получаются боль-
шие числа, то знакомство с гектолитром проводится в третьей
группе городской школы.
Гектолитр и литр суть меры исключительно жидких
тел и применяются для оценки количества воды, молока,
вина и растительного масла, редко для бензина и керосина.
Даже растительное масло отпускается преимущественно
по весу. А так как легкое (столовое) виноградное вино
совсем не встречается в обиходе наших центральных губер-
ний, то жизненное применение гектолитра и литра гораздо
более узко, чем мер длины и веса.
После знакомства с литром школьники первой группы,
изучают килограмм с подразделениями на половину, чет-
верть и восьмую долю. Учащимся сообщается, что вес воды
в объеме одного литра называется килограммом. По существу
это, конечно, не так, потому что килограмм есть масса
воды в объеме литра при добавочных ограничительных усло-
виях; но школьникам первой ступени трудно усвоить раз-
ницу между массою и весом тела. Поэтому мы должны
сознательно допускать научную неточность, говоря школь-
никам, что килограмм есть мера веса; эта ошибка диктуется
педагогическими соображениями.
Каждая школа должна быть снабжена весами и гирями,
так как невозможно преподавать меры веса отвлеченно,

по-книжному, без многочисленных взвешиваний. Но, к вели-
чайшему прискорбию, наши школы, особенно деревенские,
лишены самых необходимых приборов. Приходится считаться
с ужасною действительностью, что в подавляющем боль-
шинстве школ нет весов, и искать надлежащего выхода.
Весы и гири должны быть сделаны в таком случае самим
преподавателем. Ровно отструганная деревянная планка
послужит коромыслом, два одинаковых картонных или
деревянных круга или квадрата—чашами, бечевки одина-
ковой длины—подвесами. Такие самодельные весы подве-
шиваются за середину коромысла к деревянному кронштейну,
приделываемому к классной стене. Гири делаются из мешоч-
ков, наполняемых мелкими камешками, но не песком, так
как песок все же гигроскопичен, и выверяются на настоящих
весах, для чего учителю придется побывать или в коопера-
тивной лавке, или в школе II ступ. Необходимо сделать
по два экземпляра гирь в 1, l/2, lU и V8 килограмма и, конечно,
надписать химическим карандашом на каждом мешочке
его весовое достоинство. На таких самодельных весах,
несмотря на их сомнительную равноплечность и чувстви-
тельность, можно производить достаточно точное взвешивание,
если прибегнуть к так называемому способу тарирования.
Испытуемый предмет кладется на одну чашу весов и урав-
новешивается каким-либо грузом (тарою), например, короб-
кою с песком или камешками; снимаем испытуемый предмет,
кладем на его место гири и уравновешиваем тару; тогда
мы можем утверждать, что вес испытуемого предмета равен
весу гирь, так как эти два груза уравновешивают, при
всех прочих равных условиях, один и тот же третий
груз—тару.
Учащиеся должны сделать себе, по описанному образцу,
весы и гири и взвешивать разнообразные грузы, но, разу-
меется, не всякие, а такие, вес которых не превышает
2 килограммов (5 фунтов), так как самодельные весы
не выдержат больших тяжестей и поломаются. Таким образом
учащиеся познакомятся активно с грузами от г/8 до 2 кило-
граммов ; но и в этих пределах можно сделать многое. Необ-
ходимо, чтобы учащиеся не только взвешивали разнообразные
предметы, но и отвешивали определенные веса разных про-
дуктов, чтобы постепенно привыкнуть к оценке веса по объему
и по мускульным ощущениям руки. Пусть учащиеся взве-
сят дома (как взвешивать—они узнают в классе и первые
взвешивания проделают на глазах учителя) разную посуду
и разные предметы; взвесив по частям все принадлежности
зимней одежды, они узнают ее общий вес; вес учебных
принадлежностей, носимых из дома в класс? вес полена? и т. д.
Все добытые сведения оглашаются и обсуждаются в классе,
из них естественно вытекают разные счетовые вопросы,

т.-е. задачки, например: на сколько шуба Пети тяжелее
шубы Оли? если 4 книги весят 1 килограмм, то сколько
весит каждая? вес п.устой миски V2 килограмма, вес той же
миски с водою 2 килограмма, сколько весит вода? сколько
это литров воды? Затем учащимся предлагается отвешивать
дома определенные грузы: отвесь в отдельном пакетике
1/2 килограмма сухого песка и принеси в класс. Такие
пакетики сличаются на классных весах. Отрежь себе 74 кило-
грамма хлеба; довольно ли тебе такого куска к завтраку?
Отсыпай в мешок несколько раз по 2 килограмма песка
и каждый раз поднимай мешок одною рукою. Заметь
и запиши в тетради, сколько килограммов песка ты можешь
поднять в мешке с пола на табуретку. В классе обнару-
жится, кто самый сильный, на сколько килограммов Миша
поднимает больше, чем Маня. Указанным взвешиванием
по частям, т.-е. определением веса мешка с песком (прибли-
зительно 12—16 килограммов), учащиеся подводятся к подни-
манию сравнительно больших грузов, например, веса человека;
и когда учитель поведет своих питомцев в кооперативную
лавку и взвесит их всех на десятичных весах, то дети будут
понимать смысл именованных чисел в роде 30 килограммов.
Взвешивания продолжаются и в последующих группах
с постепенным усложнением вопроса и соответственных
вычислений. Например, во второй группе возможны следу-
ющие действия: отвесь один килограмм картофеля, причем
подбирай картофелины примерно одинакового размера;
сосчитай, сколько картофелин пошло на один килограмм,
и вычисли в граммах средний вес одной, зная, что кило-
грамм содержит 1000 граммов. При этом надо ознакомиться
конкретно с граммом, для чего делаются особые весы, совсем
легкие—аптекарского типа. Легкая спица будет коромыслом,
маленькие картонные кружки или квадраты (чашки) подве-
шиваются на нитках; разновески надо сделать из кусочков
жести и выцарапать обозначения. Разумеется, такие разно-
вески делаются по хорошим образцам на хороших весах
самим учителем, а затем дети копируют себе по классным
весам, изготовленным учителем. Нужно сделать набор раз-
новесок в 10, 5, 3,1 и 1/2 грамма. Полезно знать, что сере-
бряная монета (новой чеканки) в 50 коп., т.-е. полтинник,
весит 10 граммов, а рублевик 20 граммов; но монетами в 20,
15 и 10 коп. неудобно пользоваться, как разновесками, так
как гривенник весит не 2 грамма, а 1,85 грамма, пятиал-
тынный не 3, а 2,78 грамма. Отсутствие пропорциональности
в весах монет в 10 и 50 коп. объясняется тем, что рублевики
и полтинники чеканятся из сплава, в котором 90% чистого
серебра и 10% лигатуры, а гривенники, пятиалтынные
и двугривенные—из сплава, содержащего по 50% чистого
серебра и лигатуры.

Школьники второй группы знакомятся с граммом
на такого рода опытах: взвесь чайную ложку сахарного
песка, один кусок пиленого сахара, порцию соли, которую
мать кладет в котелок с супом, и т. д. Отвесь 2 грамма
орехов или жолудей, 1 грамм соли и сообрази, довольно ли
такого количества соли, чтобы посыпать ломоть хлеба?
Сколько весит лист почтовой бумаги с конвертом (обыкно-
венное письмо)? Сколько весит непочатый карандаш? и т. д.
В третьей группе возможны более сложные опыты.
Возьми небольшое сырое полено, взвесь его, запиши кален-
дарную дату и вес; положи полено на шкаф и взвешивай
регулярно каждую неделю в определенные дни, каждый
раз записывай день взвешивания и вес; продолжай поступать
так в течение двух месяцев и вычерти график убыли веса
полена. Эти графики выставляются рядом на стене классной
комнаты и сличаются; учащиеся убедятся в том, что ломаные
линии, вычерченные порознь, имеют один и тот же тип.
Взвешивай ежедневно, в течение двух недель, один и тот же
кусок хлеба, вычерти график. Сравнить все такие графики.
В летнее время, когда принесешь из леса грибов, взвесь
их; очисти грибы для сушки и узнай вес сырых грибов;
высуши грибы и узнай вес сухих. Проследи постепенную
убыль веса. Такие же опыты в отношении сушки вишен,
яблок, картофеля; не забывай все записывать с сопровожде-
нием календарных дат и заметок, как что сушилось, в печке
или на солнце. Те же самые опыты полезно повторить
в четвертой группе с добавлением вычислений процентных
отношений и графического изображения процентных изме-
нений. Чрезвычайно важно, чтобы такие опыты проделывались
всеми учащимися отдельно, а затем необходимо сличать
добываемые результаты и, следовательно, изучать массовый
опыт и делать коллективно определенные выводы. При этом
поучительны средние величины и отдельные наибольшие
уклонения, или свидетельствующие об ошибках опыта или
происходящие от особых обстоятельств, которые необходимо
выяснить.
Учащиеся третьей группы должны ознакомиться с тонною.
Это единственная мера, которую придется преподать описа-
тельно, так как чрезвычайно трудно организовать непосред-
ственное взвешивание груза в одну тонну, или 1000 кило-
граммов, или приблизительно 61 пуд. Можно, впрочем,
предложить учащимся принести в мешках по 10—12 кило-
граммов, песка и ссыпать его в кучу, пока не наберется
одна тонна. Следует отметить, что тонна, как мера веса,
принята преимущественно в морской практике, что вне
морского дела всякие тяжелые грузы, как бы велики они
ни были, оцениваются килограммами. Таким образом для
обихода земледельца или фабричного рабочего тонна не может

иметь большого значения, а потому настаивать на большом
количестве упражнений с вычислением тонн не приходится.
В результате изучения мер веса учащиеся должны
отчетливо понимать такие величины: вес взрослого человека
среднего роста и сложения, грузоподъемность товарного
вагона, вес кирпича, грузоподъемность крестьянской лошади
по проселочной дороге и т. п. Само собою разумеется, что
здесь следует отличать абсолютные числа от относительных;
если грузоподъемность товарного вагона или вес кирпича
суть постоянные величины, то вес человека или грузоподъ-
емность лошади суть величины, которые нельзя оценивать
с отчетливою определенностью; в таких случаях необходимо
понимать границы, между которыми содержится рассматри-
ваемая величина. Важно, чтобы учащиеся сразу отметили
несообразность сообщений, что взрослый человек весит
30 килограммов, что рабочий при кладке стен несет на спине
100 кирпичей и т. п.
В четвертой группе следует ознакомить учащихся
с малыми долями грамма, при чем получается прекрасное
упражнение с десятичными дробями. Отвесить 1 грамм
зерен ржи, сосчитать число зерен и вычислить средний вес
одного зерна. Взвесить 3 листа писчей бумаги и вычислить вес
1/64 части четвертушки. Взвесить моток тонкой проволоки
и вычислить вес погонного центиметра такой проволоки.
Такие опыты и вычисления легко придумывать.
Следует сообщить учащимся IV группы, что дозы
лекарств исчисляются граммами и их десятыми долями.
Обычный порошок хины, аспирина и т. п. весит 0,3 грамма.
Прежние аптекарские меры — граны, скрупулы и т. д.—
вышли повсеместно из употребления и потому ни изучения,
ни даже упоминания не заслуживают.
Меры времени должны быть усвоены концентрически,
начиная с первого года обучения, и также максимально
конкретно. Я настойчиво рекомендую начинать рабочий день
в каждой группе сообщением календарного числа, пока
учащиеся не освоятся вполне с годичным календарем.
В первую группу дети поступают неграмотными; тем не менее
с первого же дня следует сказать, например: „сегодня третье
сентября“. Пусть эти слова воспринимаются сначала
не вполне сознательно; это не беда, дети постепенно при-
выкнут понимать, так как в комплексной проработке широкой
темы „времена года(ъ (схема I года, колонка „природа
и человек) необходимо изучение календаря; это изучение
не может быть проведано залпом, оно должно быть разбито
на концентрические части. Дети начинают с наблюдений
осенних явлений и занимаются ими в течение осенних ме-
сяцев: сентября, октября и ноября. Эти названия месяцев
появляются первыми. Одновременно дети усваивают названия

и последовательность дней недели, а самые числа месяцев
остаются пока названиями и только во второе полугодие
можно будет использовать арифметическую сущность этих
чисел. В первом полугодии дети будут слышать: сегодня
1 сентября, среда; сегодня 2 сентября, четверг и т. д.; здесь
внимание сосредоточивается на смене дней недели и на том,
что переживается первый осенний месяц. 1-го октября
и 1-го ноября уместно задать детям вопрос: сколько осенних
месяцев осталось до наступления зимы? В течение осенних
месяцев, после того, как дети запомнят (не зубрением,
а ежедневным упоминанием — в продолжение нескольких
недель) дни недели, нужно спрашивать: сколько дней оста-
лось до конца недели (началом недели считается воскре-
сенье). Во втором полугодии центр внимания переносится
на календарные числа, и детям предлагаются вопросы:
сегодня 20 марта; сколько дней осталось до следующего
месяца? В том же втором полугодии дети знакомятся с рим-
скою нумерациею (до 12), с часовым циферблатом, с делением
суток на 24 часа и часа на 1/2 и 1/4 часа и П°Д конец года
на 60 минут, чтобы прочесть вполне определенно показание
часовых стрелок. Необходимо добавить, что в каждой
классной комнате должен висеть отрывной суточный
календарь, а в комнатах, начиная
со второй группы, кроме того, само-
дельные табель-календарь и суточ-
ный, состоящий из рамы (деревянной
или картонной), в которую вклады-
ваются подвижные картонки с над-
писями месяцев, чисел и дней недели,
так что такой календарь выглядит,
как изображено на черт. 1. Дежурный
по классу обязан отрывать, перед
началом занятий, вчерашний листок
на отрывном календаре, зачеркивать
вчерашнее число на табель-кален-
даре и устанавливать как следует
подвижной календарь.
Во второй группе тоже необходимо сообщать ежедневно
календарную дату и определять ее место по отношению
к дням осеннего и весеннего равноденствий и зимнего и лет-
него солнцестояний. Например: сегодня 20 ноября; что
длиннее: день или ночь? Когда восходит и заходит сегодня
солнце (эти сведения добываются из отрывного печатного
календаря)? Сколько часов и минут продолжается сегодня
день и сколько ночь? Это изо дня в день записывается, и
получается прекрасный материал для месячного, а затем
годичного графика темных и светлых часов суток. Необхо-
димо ежедневно справляться по календарю о фазе луны>
Черт. 1.

отмечать дни новолуний и полнолуний. В той же группе
дети знакомятся с секундою и проделывают ряд опытов:
сколько цифровых или буквенных знаков можно написать,
при скорописи, но разборчиво, в одну секунду? Сколько
шагов при быстром беге делается в секунду? Во сколько
секунд читается, не торопливо, а с должною дикциею, какое-
нибудь недлинное стихотворение или басня? Сколько слов
выговаривается при этом в секунду? Тот же опыт по отно-
шению к отчетливой скороговорке. Такие опыты, которые
нетрудно разнообразить, дают конкретное понимание опре-
деленного промежутка времени.
Учащиеся третьей группы должны, при вышеописанных
условиях, хорошо понимать календарь. Теперь необходимо
сообщить астрономические обоснования календаря и какие
меры времени взяты из природы, а какие придуманы. Год
и сутки обусловлены вращением земли около солнца и своей
оси; час, минута и секунда—меры искусственные, а месяц
и неделя имеют отношение к луне: месяц есть несколько
удлиненный, и не всегда одинаково, лунный год, т.-е. про-
межуток оборота луны около земли, а неделя есть прибли-
зительная продолжительность лунной фазы.
Оценка промежутков времени в связи с трудовыми
процессами заслуживает серьезного внимания и должна
проводиться обстоятельно с третьего года обучения. Жела-
тельно производить учеты; сколько времени занимает, на-
пример, дойка коровы, умолот определенного количества
снопов, вспашка участка земли, перекопка ручным заступом
квадратного метра земли на огороде и т. п. Следует заметить,
сколько времени отнимает переписка от руки некоторого
печатного отрывка, сосчитать в нем число типографских
знаков и сравнить с работою опытной машинистки и набор-
щика, набирающего около 800 знаков в час. Сколько времени
требует вдумчивое прочтение газеты или печатного листа
книги (16 страниц)? Сколько времени расходуется ежедневно
на утренний завтрак, обед и ужин? И т. д. Такого рода
исследования производятся учащимися или в одиночку, или
по-двое, а затем добытые результаты оглашаются в классе
и обсуждаются, после чего вычисляется средняя величина,
как наиболее вероятная оценка из массового опыта.
Вопрос об изучении квадратных и кубических мер
излагается мною в особой главе о геометрии.
Меры бумаги, т.-е. десть и стопа, имеют гораздо мень-
шее значение, чем меры длины, веса и времени, и могут
найти свое место во второй и последующих группах при разра-
ботке таких комплексных тем, в которых встретится снаб-
жение бумагою школ, канцелярий или печатания газет и книг.
Перечисленными мерами исчерпывается тот перечень,
который существовал и в дореволюционных программах,

но преподавался исключительно книжно, отвлеченно, вне
реального понимания изучаемых мер. Тем не менее озна-
ченный перечень мер не может считаться полным без вклю-
чения мер работы и мощности, каковые в прежнее время
не имели того огромного значения, которое они приобрели
теперь. Машина проникла глубоко в обиход нашей жизни.
Не говоря о машинах, служащих нам для транспорта
и работающих на фабриках и заводах, следует иметь в виду,
что швейная машина, велосипед, мясорубка и т. д. стали
доступны широким кругам населения. Автомобиль и аэро-
план перестали быть диковинками, трактор и электрофици-
рующие установки проникают в деревню. Почти каждый
нумер газеты содержит сведения об установке там или здесь
двигателя во столько-то сил. Поэтому незнание мер работы
и мощности является в настоящее время несомненным
невежеством. Эти меры необходимо преподать в школах
I ступени, конечно, в четвертой группе; методические сооб-
ражения отодвинули бы изучение означенных мер в более
старшие группы, но нельзя пройти мимо того обстоятельства,
что огромная масса населения еще долгое время будет
получать образование только в школах первой ступени;
поэтому школа должна научить всех тем мерам, которые
приобрели теперь существенно важное значение.
Единицею работы считается то усилие, которое требуется
для поднятия одного килограмма, по отвесному направлению,
на высоту одного метра. Такая работа называется килограмм-
метром. Поэтому поднятие 5 килограммов на высоту 4 метров
есть работа 5.4 = 20 килограмм-метров; очевидно, что та же
работа получится при поднятии 4 килограммов на высоту
5 метров. Человек, весящий 60 килограммов и поднявшийся
на пятый этаж, при высоте каждого этажа в 3 метра совершил
работу 60.12 = 720 килограмм-метров. Эта оценка вследствие
непривычности термина „килограмм-метров“ не является
достаточно наглядною или легко понимаемою. Поэтому
следует ознакомиться и с другою мерою работы—с калориею.
Малою калориею называется то количество тепла, которое
требуется для согревания одного грамма воды на один градус
Цельсия. Большою калориею называется то количество тепла,
которое требуется для согревания одного килограмма или
одного литра воды на один градус Цельсия. Ясно, что
большая калория в 1000 раз больше малой. Чтобы вскипятить
литр воды, взятой при комнатной температуре 15° Реомюра
или 12° Цельсия, надо затратить 100—12 = 88 больших или
88000 малых калорий. Но всякая механическая работа произ-
водит тепло и, наоборот, всякое тепло может произвести
механическую работу. Каждый, даже ребенок, по опыту
знает, что руки согреваются, если потереть одну о другую,
знает, как сильно согревается человек, напрягающий свои

мускулы при тяжелой работе. Нетрудно объяснить детям
причину работы паровозов, фабричных машин и т. д.; машины
эти работают благодаря сгоранию топлива, т.-е. благодаря
теплу. Таким образом устанавливается органическая связь
между теплотою и механическою работою и сообщается
добытое наукою знание, что малая калория равносильна
0,427 килограмм-метра, а большая калория равносильна
427 килограмм-метра. Если человек, как сказано выше,
совершил работу, равную 720 kg-m, то она равна ^=1,7
больших калорий, т.-е. человек, весящий 60 kg и поднявшийся
на высоту 12 метров, совершил работу достаточную, чтобы
нагреть литр воды почти на 2 градуса. Заметим, для поста-
новки самостоятельных задач, что;
1 час ходьбы производит 281 б. калорий
1 „ езды на велосип. (при отсутств. ветра) п 312 „ „
1 „ ходьбы в гору п 576 „
Тяжелая работа в течение рабочего дня „ 3900 „ „
Швея „ „ 1500 ,
Оценка работы калориями гораздо нагляднее. Нетрудно
усмотреть в расчетах по переводу килограмм-метров в калории
и обратно материал для жизненных задач.
Килограмм-метр или калория оценивают произведенную
работу без отношения ко времени. Если груз в 16 килограммов
приблиз. 1 пуд) поднимается на высоту 2 метров (приблиз.
1 саж.), то производится работа 16.2 = 32 kg-m. Взрослый
человек поднимет этот груз (например, мешок зерна) сразу
и перенесет на нужную высоту; ребенок 5 лет не поднимет
пудового мешка, но пуд зерна перетаскает на высоту 1 сажени
в несколько приемов и следовательно произведет ту же работу,
что и взрослый, но в течение более долгого промежутка
времени. Муравей тоже перетаскает пуд зерна по зернышку
и потратит на это массу времени. Взрослый человек сильнее
ребенка, ребенок сильнее муравья, а потому одна и та же
работа производится ими в разные промежутки времени.
Чем кто сильнее, тем скорее будет произведена одна и та же
работа. Поэтому работа, оцененная по отношению ко времени,
дает нам меру мощности. Единицею меры мощности считается
75 килограмм-метров в секунду (75 ; эта единица назы-
вается в обиходе „сила“. Если мы читаем фразу: „мотор
в Ю сил“, то ее надо понимать так, что мотор обладает
мощностью поднятия 750 килограммов на высоту одного метра
в одну секунду или поднятия 1 килограмма на высоту
750 метров в одну секунду или поднятия 75 килограммов
на высоту Ю метров в одну секунду и т. д. Мощность „силы“
равняется мощности 10 взрослых рабочих. Поэтому работа
двигателя в 10 сил заменяет мускульное, напряжение 100 рабо-
чих. Волховстрой, устанавливающий машины в 30000 сил, даст

работу, которую могла бы выполнить огромная армия
из 300000 рабочих.
Насос, поднимающий 90 килограммов воды на высоту
20 метров в 5 секунд, обладает мощностью в 90520 : 75=360: 75=
5 сил. Искомое число округлено здесь до целых единиц,
так как „аптекарская^ точность в данном вопросе не имеет
смысла.
Необходимо выяснить еще оценку работы по передви-
жению предметов в горизонтальном направлении. Усилие,
передвигающее груз в а килограммов по горизонтальному
направлению, равно ab килогр., где Ъ есть так называемый
коэффициент трения, соответствующий обстоятельствам Вот
специальная справочная таблица. Коэффициент трения равен:
Повозка при дороге по сыпучему песку 0,22
по проселочной дороге, в зависимости от ее
состояния. . . . от 0,08 до 0,16
по грязному шосс 0,035
по сухому, хорошему шоссе 0,023
по булыжной мостовой 0,033
„ по хорошей торцовой мостовой 0,018
„ по асфальтовой мостовой 0,013
Сани на деревянных полозьях по снегу и льду. . . . 0,035
„ „ обитых железом полозьях 0,02
Железнодорожные вагоны 0,004
Если телега с грузом весит 30 пудов или 50 кило-
граммов, то лошадь, везущая этот воз по грязному шоссе, делает
усилие, равное 50.0,035= 1,75 килогр., и на протяжении одного
километра совершает работу 1,75.1000=1750 килограмм-
метров, т.-е. работу поднятия 50 килограммов на высоту
1750 :50 = 35. метров.
На основании изложенного материала учащиеся сами
поставят и решат ряд интересных жизненных вопросов,
например, насколько легче лошади тащить воз на железных
полозьях но снегу, чем такого же веса воз на колесах
по проселку?
Если груз a kg передвигается не по горизонтальному
пути, а по наклонному, то сила тяги в гору вычисляется
но формуле а (Ъ + с), где Ь есть знакомый уже коэффициент
трения, а с есть дробь, числитель которой показывает, на какую
вышину поднимается дорога, а знаменатель—на каком протя-
жении дороги произошел данный подъем. Например, дорога
длиною в 1000 метров делает подъем на 17 метров, тогда
17
с = = 0,017. Заметим, что на равнинных железных дорогах
наибольшее значение с допускается равным 0,01.
Если груз передвигается под гору, то предыдущая
формула преобразуется так: а.(Ь — с).

IV. Задачи.
Задачею, в арифметическом смысле, принято называть
вопрос, решение которого требует числовых операций. Для
развития навыков в числовых операциях можно предлагать
учащимся отвлеченные упражнения и задачи; отвлеченные
упражнения неизбежны, но сами по себе скучны и потому
ограничиться ими нельзя. Естественно, возникают задачи
как для оживления дела, так и для применения арифмети-
ческих действий к решению практических жизненных
вопросов; такая применимая арифметика была названа
Магницким (1703 г.) „арифметика политика или гражданская“.
Магницкий был автором первого печатного в России учеб-
ника математики; с тех пор прошло немногим более 200 лет,
но во что выродились задачи Магницкого, большая часть
которых действительно имели гражданское значение!
Во второй половине XIX века окончательно выработался
тип задачника, по которому обучалось много поколений
вплоть до революции. Задачники Евтушевского, Малинина
и Буренина, Верещагина и др. выдержали десятки изданий
и воспитали отвращение к решению задач и предубеждение
против математики вообще.
Каким требованиям должны удовлетворять допустимые
в школе арифметические задачи? Могут ли они иметь
фантастическое содержание? Допустимы ли задачи, вызы-
вающие чувство нравственной брезгливости? Можно ли
вводить в задачи числовые задания, противоречащие здравому
смыслу или жизненной правде? Педагогично ли выбирать
сюжеты, абсолютно чуждые учащемуся? Педагогично ли
сочинять усложнения для решения задачи ради самого
усложнения? Хорош ли дидактический прием нагромождения
таких искусственных и посторонних условий, при которых
совершенно стушевывается основной вопрос? Хорошо ли
подбирать числовые задания так, чтобы после одоления
груды выкладок получить округленный ответ? Полезно ли
воспитывать в учащихся привычку не проверять выкладок,
не считать вычисления ответственными?

Отрицательный ответ на перечисленные вопросы напра-
шивается сам собою и аргументировать его—значит ломиться
в открытую дверь. Одинаково не стоит доказывать, что
всякая задача должна: 1) иметь безусловно жизненное содер-
жание, понятное учащимся; 2) быть абсолютно свободною
от искусственных нагромождений и специально придуманных
усложнений; 3) оперировать над числовыми заданиями,
соответствующими жизненной правде, иначе говоря, взятыми
из фактических или естественных условий; 4) вести решаю-
щего не к заранее подобранному ответу, а к ответу,
вытекающему из вычислений; 5) приучать к ответственности
вычислений и к умению дать верный и осмысленный ответ
на поставленный вопрос.
Подавляющее большинство задач, наполняющих напе-
чатанные до революции задачники, совершенно не удовле-
творяют перечисленным требованиям и, как раз наоборот,
построены на тех принципах, которые нельзя не признать
неверными и даже вредными. Это легко доказать. В самом
деле, задачи, в которых говорится о бассейнах, курьерах,
разноцветных сукнах, смесях и т. п., принадлежат к числу
фантастических; подобных фактов в жизни не встречается.
Мелькающие на каждой странице любого задачника сюжеты:
„купец купил“..., „барышник купил*4..., „сколько прибыли
получится“—безусловно недопустимые в школьном обиходе.
Дело не в купле-продаже, а в постоянных расчетах барыша
или убытка; в самом деле, недостойно воспитывать детей
на таких соображениях. Ведь особо привлекательная чистота
детской души в значительной степени зависит от незна-
комства с материальными расчетами, которые накладывают
на человека тяжелый отпечаток; чем позднее жизнь заставит
в них окунуться, тем лучше; зачем же вводить разлагающее
начало в детскую душу, зачем культивировать пропедевтику
спекуляции? Сомнительным в нравственном отношении
я считаю и такой сюжет: „отец платит сыну за каждую
верно решенную задачу а коп., а за неверно решенную
задачу штрафует на в коп. и т. д.“. Такого рода задачи
все же встречались, хотя и не слишком часто.
Нагромождение побочных условий и усложнение вопроса
считались как бы обязательными. Очевидно, предполагалось,
что учащиеся могли обнаружить свои знания лишь реше-
нием очень сложных задач. Иначе ничем нельзя объяснить той
искусственной сложности, которая увеличивалась в каждом
задачнике постепенно и в заключительном отделе доходила
до чудовищных размеров. Приведу несколько примеров,
которые я не подбирал с умыслом, а которые попались мне
так: я раскрывал книгу наугад и брал случайно попавшееся.
Вот задача № 3727 из 20-го издания задачника Малинина
и Буренина.

„Некто был должен по трем векселям, всего столько рублей,
сколько надо положить в банк по б°/о, чтобы через 2 года 4 месяца
иметь капитал, достаточный для покупки прямоугольного участка
земли в 0,576 версты длины и 22/о версты ширины по 38 рублей
за десятину. Валюта первого векселя относилась к валюте второго,
как 2,375 :2; валюта третьего—к валюте второго, как 0,0625:0,04.
Все три векселя были учтены коммерческим способом по 6 % и за
них уплачено было 4639 р. 60 к. За первый вексель заплачено
больше, чем за второй, на столько рублей, сколько надо взять
фунтов сахарного песка в 13*/2 коп- за фунт, чтобы, смешав его
с 12 п. 34 ф. песка в 11 1/4 коп., получить песок в 4 р. 80 к. пуд.
За второй вексель заплачено меньше, чем за третий, на столько
рублей, сколько золотников чистого золота содержится в 10 фунтах
золота 69,65 пробы. Определить, за сколько месяцев до срока учтен
каждый вексель*.
По поводу такой задачи прежде всего напрашивается
замечание спартанца, который, прослушав красноречивую
речь афинянина, сказал: „я не понял конца, потому что
забыл начало“. В самом деле, чего только нет в цитированной
задаче! Вычисление площади земельного участка с переводом
квадратных верст в десятины, учет векселей, правило
смешения, проба золотой вещи, правило процентов, правило
пропорционального деления—все это свалено в одну кучу,
разобраться в которой весьма не легко. Но самое тяжкое то,
что в заданиях сплошная фальшь и противоречия жизненной
правде. Разве мы объясняемся друг с другом шарадами
или загадками? Представим себе такие диалоги: „сколько
вы задолжали?“ — „Столько, сколько нужно для покупки
участка земли такой-то меры и ценности“. — „Какова валюта
вашего векселя?“—„Она равна числу фунтов сахарного
песка“. Такие разговоры можно слышать только в доме
умалишенных. Когда участки земли меряются верстами
и даже тысячными долями версты? При каких обстоятель-
ствах и для чего устраивается смесь из разных сортов
сахарного песка? Как технически организовать смешение
нескольких десятков пудов сахарного песка? Разве когда-
нибудь фунт сахарного песка расценивался в четвертых
долях копейки? Пуд сахара мог стоить 4 р. 50 к., но фунт
такого сахара никогда не продавался по II1/1 коп. Разве
где-нибудь и когда-нибудь проба золотых вещей опреде-
лялась с точностью до сотой доли единицы? Зачем же все
эти бессмысленные нагромождения? Только для того, чтобы
получилась „содержательная“ задача, чтобы учащийся мог
обнаружить свои познания в арифметике. Но разве это
арифметика? Это какая-то кабалистика!
Другой пример—задача № 3132 из 6-го издания задачника
Верещагина.
„Крестьянин ехал из деревни в город со скоростью 8,(3) версты
в час; таким образом он должен был прибыть туда в 9 ч. 40 м. утра.
Не доезжая lSll20/9 от 1111/© версты до города, крестьянин встретил

своего знакомого, ехавшего по той же дороге, но с другой скоростью,
и поехал рядом с ним обратно и со скоростью этого знакомого;
проехав так 3,75 версты, он опять стал продолжать свой путь
по направлению к городу со своею прежней скоростью и прибыл
туда в 10,61(6) часа утра. 1) С какою скоростью ехал знакомый
крестьянина и в котором часу он выехал из города? 2) С какой
скоростью должен был бы ехать первый крестьянин после того,
как он расстался со своими знакомыми, дабы приехать в город
в определенный ранее срок, т.-е. в 9 час. 40 мин. утра?“
В этой задаче жизненно лишь то, что крестьянин ехал
из деревни в город и встретил своего знакомого. Остальное
все нелепо. Крестьянин встретил своего знакомого на том
примечательном пункте, который отстоит от города на рас-
стоянии 13 1/2% от 1111/9 версты! Как конкретно отмерить
1/9 версты? После приключения в дороге крестьянин приехал
в город в 10,61 (6) часа утра! На какой планете время отме-
чается такими числами?
Но вот еще более поразительный пример (задача № 3157
из 6-го изд. задачника Верещагина):
„Два брата, будучи на работе в поле, расположились
в полдень обедать. Обед, принесенный их женами, состоял
лишь из гречневой каши и масла; вес каши для старшего брата
относился к весу каши для младшего, как 0,8(3): 0,(6), и отноше-
ние веса масла для старшего к весу масла для младшего
было 1,16; вес же всего масла составлял 40°/о веса каши того и дру-
гого брата вместе. Лишь только они хотели приняться за еду,
как к ним подошел сельский учитель, которого они и при-
гласили отобедать вместе с ними, и для этого сложили всю
кашу и все масло в один сосуд. Каждый из троих съел поровну,
т.-е. по трети всей каши и по трети всего масла. По окончании
обеда учитель в благодарность за угощение заплатил братьям
5*/з% с 4 р. 50 к. Предполагая, что цена фунта каши относится
к цене фунта масла, как 0,1(6): 0,24(9), разделить между братьями
деньги, выданные сельским учителем“.
В этой задаче интересны: тонкие арифметические расчеты
хозяек, варивших кашу, и сельского учителя, вкус обедавших,
евших в сущности не кашу с маслом, а масло с кашей
(вес масла составлял 40% веса каши), дележ денег и пр.
И вот сколько поколений решали такие задачи, находя их
противными, трудными, но не смешными! Сколько тысяч
учителей с искренно серьезным видом диктовали такие задачи
печальным учащимся! Никто не смеялся, все думали, что
делают нужное, но затруднительное дело. А теперь допу-
стимы ли в школе такие задачи?
Я предвижу замечание читателя: не стоит теперь и гово-
рить об этих задачах, бесповоротно осужденных и не могу-
щих возродиться вновь, так как схемы ГУС'а требуют раз-
работки исключительно жизненных тем. Теоретически это
верно, но только теоретически. Если „гражданская арифме-
тика“ Магницкого выродилась в цитированные задачи, если
последние решались много, много лет без признаков смеха

учащих и учащихся, то я не вижу гарантий, что подобные
задачи не воскреснут под флагом комплексного преподавания.
Разве цитированная задача относительно крестьянина, ехав-
шего в город, не может вызвать соблазна использовать ее для
темы „деревня и город?“ Задача о двух братьях и сельском
учителе, обедавших в поле, тоже как будто формально отве-
чает теме „смычка интеллигенции с крестьянством“. Я никого
не имею в виду обидеть, но думаю, что такие ошибки воз-
можны. Мало того, я лично наблюдал их за последнее время
в тех школах, где организовано комплексное преподавание.
Я слышал задачу: „обоз шел 9 дней, ежедневно по 16 часов,
со скоростью 5 верст в час; какое расстояние прошел обоз?“
Эта задача была предложена во второй группе в связи
с разбором известного стихотворения Н. А. Некрасова и путе-
шествия Ломоносова из Холмогор в Москву; в этой задаче
нет такой утрировки, как в предыдущих, но все же проти-
воречие жизненной правде есть. Учитель и учащиеся
не заметили противоречия и удовлетворились ответом, полу-
ченным из вычислений. Между тем лошадь не может тащить
воз 9 дней под ряд по 16 часов в сутки, а потому обоз не мог
пройти в 9 дней вычисленных 720 верст.
Приведенными цитатами из дореволюционных задачников
я хотел резко подчеркнуть вкоренившуюся у нас привычку
не замечать качества числовых заданий и относиться к ним
непродуманно, я хочу предостеречь учительство от повто-
рения таких ошибок, которые становятся особенно грубыми
теперь, когда школа строится на принципе: от жизни к ученью
и от ученья к жизни. Теперь числовые задания не могут
быть произвольными, выдуманными и взятыми небрежно;
они должны быть взяты из окружающей жизни и, следова-
тельно, безукоризненно правдивы. Что же касается побочных
усложнений задачи, то цитирование старых нелепых задач
имеет большое значение и теперь, так как часто приходится
слышать тревожные вопросы учащих: всякая жизненная
тема, разрешаемая начальною арифметикой, требует в боль-
шинстве случаев применения одного действия, редко двух
или трех действий; поэтому, если давать учащимся только
жизненные задачи и не усложнять последние искусственно,
то учащиеся привыкнут решать только простенькие задачи
и не приобретут навыков разбираться в сложных вопросах?
Затем, если нужно проверить познания учащихся, то как
это сделать на задачке, решение которой требует только
одного или двух действий?
Действительно, всякая жизненная задача чрезвычайно
проста в отношении плана решения и количества действий,
и поэтому учащиеся, решая исключительно жизненные задачи,
никогда не приобретут навыков решения искусственно
сложных, так называемых разборных задач. В прежнее время

печатались специальные задачники, например, Комарова,
Терешкевича, кружка преподавателей и другие, где задачи
распределялись по типам; в прежних методических руко-
водствах, например, Шохор-Троцкого, Егорова и др., подробно
разбиралось решение задач по типам. Так было, но так
не будет. Задачи „по типам“ все без исключения искус-
ственные, зачастую противоречат жизненной правде и здра-
вому смыслу, а потому им не место в реформированной
школе; разборные, сложные задачи вызывают, как думали
и говорили, развитие смекалки, следовательно имеют педа-
гогическую ценность. Но ведь это один из вредных пред-
рассудков старины. Сколько лет работали над развитием
своеобразной смекалки и что получилось? Вспомним рассказ
Чехова „Репетитор“. Как мастерски описал наш великий
художник затруднения, испытанные гимназистами первого
и седьмого классов при решении разборной задачи! Вник-
ните в педагогическую сущность дела. Гимназисту первого
класса, и отнюдь не дефективному, прививают смекалку,
но без помощи репетитора обойтись нельзя; репетитор, гимна-
зист 7-го класса, уже одолевший в свое время развитие
арифметической смекалки, вновь очутился лицом к лицу
с разборною задачею и оказался перед нею столь же беспо-
мощным, как и репетируемый младший товарищ. Сколько бы
методистов ни собралось спорить по вопросу о ценности
разборных задач, лучше, чем это сделал Чехов, решить вопрос
нельзя. И в то время, когда русские школьники мучились
над задачами „по типам“, американцы выбросили из школы
этот хлам и занялись делом. Сравните задачник Верещагина
(или другой аналогичный) с книгою Норрис и Смит, Практи-
ческая арифметика (Гос. Изд. 1923 г. 2-е изд.). Там курьеры,
бассейны, смеси двух родов, а здесь расчеты передачи
движения, действия машин, их мощности и т. д. Кто и где
получит развитие нужной смекалки?
Остается вопрос, как проверять знания учащихся, пред-
лагая им простенькие, жизненные задачи? Обходя соображения
относительно необходимости и целесообразности проверки
знаний учащихся, я скажу, что и простенькие задачки дают
полную возможность обстоятельно и рационально произвести
экзамен, если действовать по французскому образцу, при-
нятому в соответственных случаях. У нас было принято
давать на всяком экзамене одну, но трудную задачу, а во Фран-
ции на всякого рода испытаниях предлагается решить
в течение определенного промежутка времени несколько
легких задачек. Допустим, что дано 10 легких вопросов
и отводится полчаса; ясно, что те, которые за это время
представят верное решение 8 задач, обладают большими
познаниями и навыками, чем те, которые одолеют только
2—3 задачки; так обстоит дело на конкурсном испытании;

если же последнее необходимо в абсолютном смысле, то почему
не выспросить экзаменуемого обстоятельно по всему курсу,
давая ему опять-таки ряд легких задачек?
Если же все-таки существует беспокойство относительно
трудности задач, то я спешу успокоить сомневающихся:
задачи, нужные новой школе, в одном смысле труднее прежних
с их искусственными, побочными нагромождениями. Я имею
в виду ответственность вычислений и округление ответа.
На этом вопросе стоит остановиться.
В старой школе учащийся, решив задачу, условия
которой занимают половину печатной страницы (в роде мною
цитированных), и получив округленный ответ, вздыхал облег-
ченно и произносил или вслух, или про себя традиционную
фразу: „задача вышла“. Округленность ответа служила как бы
гарантией верного решения. Так составлялись задачи. Возь-
мите любую хитроумную задачу из сборников Малинина
и Буренина, Верещагина, Боголепова и др., загубите для
решения потребный продолжительный промежуток времени
и вы непременно получите простенький ответ. Так разре-
шались выкладки над самыми экзотическими числами и дро-
бями; мы к этому привыкли органически, и рецензенты
ученого комитета мин. нар. проев, хвалили тех авторов,
которые удачно подбирали аршинные числа и дроби для
получения маленького результативного числа. Вспомните
свое прошлое, с какою тревогою и волнением вы подбира-
лись к последнему действию, ведущему к ответу, и ждали,
что получится? Если заключительное деление совершается
без остатка и частное получается приятное—вы были спо-
койны—задача вышла. Сложная дробь в ответе—явное ука-
зание на ошибку в решении! Задача не вышла! Когда
учащийся проверял свое решение? Только в том случае,
если в ответе не получилось округленного числа. Между
тем действительно жизненная задача приводит в исключи-
тельных случаях к округленному ответу. В подавляющем
большинстве случаев приходится округлять ответ сообразно
различным добавочным условиям. Возьмем для примера
несколько жизненных вопросов.
Кооператив, насчитывающий 377 членов, закупает сахар
по расчету 5 кг. на каждого; сколько сахара придется закупить?
Умножив 5 кг. на 377, мы получим 1885 кг.; но последнее
число не может служить ответом на поставленный вопрос.
Сахар закупается в такой партии оптом, надо принять
во внимание вес единицы оптовой упаковки и отчислить
определенный процент на провес и на неизбежную рассыпку.
Надо на месте, в кооперативе, узнать эти добавочные условия,
прежде чем давать такую задачу учащимся. Мы видим здесь,

как жизненные обстоятельства естественно усложняют кажу-
щийся простым вопрос.
Паровоз скорого поезда расходует 17 кг. угля на каждый
километр пробега; вычислить расход угля на расстоянии 156 кг.
Умножив 17 кг. на 156, мы получим 2652 кг. Это число,
конечно, не может служить ответом, так как 17 кг. пред-
ставляют собою средний расход угля на один километр про-
бега, расход, вычисленный по многим отчетам. Число 2652
есть число приблизительное, а не абсолютно точное, поэтому
мы его округлим и скажем, что на расстоянии 156 кт.
паровоз израсходует от 2600 до 2700 кг. угля.
Содержание в детском доме 63 детей стоило в течение
года 28572 р. 64 к. Вычислить расход суточного содержания
одного ребенка.
Несмотря на то, что для решения этой задачи придется
сделать два действия, план решения вряд ли вызовет затруд-
нения со стороны учащихся; задача решается одним из трех
следующих способов:
(2857264 к: 365) : 63
(2857264 к : 63):365
2857264 к: (365 . 63)
Какой способ ни избрать, ни одно деление не совер-
шается без остатка. Принимая во внимание,что 28572 р. 64 к.
представляют собою точный (по ответственному отчету)
годовой расход по содержанию детского дома, необходимо
вычислить суточное содержание одного ребенка с точностью
большею, чем одна копейка, так как, если мы округлим
ответ до целых копеек, мы уклонимся от точного годичного
расхода на сумму до 1 к.. 365 . 63 = 229 р. 95 к., на очень
заметную величину. Поэтому среди учащихся может возник-
нуть вопрос: какой из трех упомянутых способов ведет
к более точному ответу? Если этот вопрос не будет поставлен
самими учащимися, то учащий должен его поставить и пред-
ложить решить задачу всеми тремя способами. Из всех
числовых операций выяснится, что можно удовлетвориться
ответом 1 p. 24 1/4 коп.
Приведенные мною три примера выясняют достаточно
наглядно, что жизненные задачи чрезвычайно просты в отно-
шении плана решения; в самом деле, когда задача сводится
к одному, к двум действиям, учащиеся не затрудняются,
какое именно действие нужно сделать и с какими числами,
и, следовательно, не попадают в положение, описанное
в чеховском рассказе „Репетитор“. Но те же самые про-
стенькие задачи вызывают целый ряд побочных соображений
для обработки ответа, и вот получается неожиданное ослож-

нение, но совсем иного порядка, чем в старых разборных
задачах. Если последние ценились, как средство для развития
смекалки, но смекалки, я скажу, неприменимой, то сообра-
жения, относящиеся к обработке ответа на жизненный вопрос,
должны быть признаны гораздо лучшим материалом для
общего развития учащихся, развития именно жизненного,
а не отвлеченного и отнюдь не специфически утилитарного.
Затем жизненные задачи должны воспитывать ответ-
ственность вычислений, чего органически не могли делать
задачи отвлеченные, искусственные. Последние не заинтере-
совывали учащихся и вызывали формальное к себе отношение;
решавшие задачи интуитивно угадывали их никчемность
и, следовательно, проделывали все выкладки без всякого
воодушевления, нудно, совершенно так же, как вообще
работает человек, когда он или не видит смысла в данной
работе или когда ему очевидно, что она бесполезна. Ясно,
что при таких условиях не может быть речи о чувстве
ответственности работы. Если отсутствие этого чувства
у рабочего губит производство, то в педагогическом отно-
шении формализм со стороны учащихся представляет собою
не менее грозное явление. Тягостное времяпровождение
в школе и дома ради школы создает отвращение к учебному
делу, убивает любознательность, активность, парализует
чувство долга и ответственности и воспитывает поэтому бюро-
крата во всех жизненных обстоятельствах. Необходимо под-
черкнуть это отрицательное явление, свившее себе прочное
гнездо в старой школе, и указать строителям новой школы
на то, что учебная работа должна быть осмысленною,
способною захватить учащихся и воспитать ответственность
работы. В этом отношении жизненные задачи дают богатый
материал. В самом деле, всякий расчет-, имеющий жизненное
значение, не может вызвать у учащихся чувство скуки
и бессмысленной тяготы; затем каждый, делающий расчет,
понимает, что последний ничего не стоит, если в нем имеются
ошибки, что следует дать верный ответ на поставленный
вопрос. Отсюда вытекает между прочим понимание того,
что нет ошибок грубых и не грубых, что всякая ошибка
есть грубая ошибка. Дифференцирование ошибок по кате-
гориям создалось на почве балльной системы оценки познаний
учащегося и вообще регламентации воздействия на учащихся
за ту или иную провинность; если ученик, решавший
сложную задачу, действовал по верному плану, но где-нибудь
при сложении счел 2 + 5 = 8, то эта ошибка считалась
легкою, объяснялась случайным недосмотром и влекла за собою
понижение балла на одно очко. Получить балл 4 вместо 5—
это еще не катастрофа. Но если ученик сделал умножение
там, где следовало произвести Деление, то решение задачи,
вследствие допущенной грубой ошибки, признавалось неудо-

влетворительным со всеми проистекавшими отсюда тяжкими
последствиями. Так воспитывалось из поколения в поколение
странное отношение к ошибке. Между тем не все ли равно,
какую ошибку сделает кассир при составлении отчета:
запишет ли он на приход то, что относится к расходу, или
ошибется в сложении при подведении итога? В обоих случаях
отчет неверен и его надо переделывать, т.-е. искать и исправить
ошибку. Не все ли равно, какую ошибку сделал инженер
при расчете толщины балки, долженствующей выдержать
определенную нагрузку, применил ли он неверную формулу
интегрирования или сделал неверное вычитание? Опять-
таки в обоих случаях расчет одинаково негоден. Школьники,
как будущие граждане, должны воспитаться в сознании,
что всякая ошибка аннулирует результат вычислений, что
всякое вычисление должно быть тщательно проверено, прежде
чем сдано с рук. Ведь только бесшабашные, не заслужи-
вающие ни уважения, ни доверия люди представляют,
работая на службе, непроверенные ведомости и отчеты. Какой,
дорожащий своим местом и социально воспитанный, кассир
позволит себе представить итог дневной выручки, не проверив
тщательно этого итога? Кто из школьных работников соста-
вляет небрежно платежные ведомости? Легко согласиться
с тем, что взрослые зачастую „стараются“ на службе только
из побуждений так называемого шкурного вопроса; но невоз-
можно мириться с таким отношением ко всякой общественной
работе. Необходимо социальное воспитание, при котором
сознание обще-государственного блага перевешивает персо-
нальные расчеты; такое воспитание должна дать школа,
и одним из частных средств этого воспитания является
развитие у школьника ответственности его работы, а в этом
развитии не малую роль играет ответственное решение
жизненных задач. К такой категории задач надо отнести
в первую очередь всякого рода статистический материал,
который должен быть в возможно большем количестве исполь-
зован во всех возрастных группах; при этом следует выбирать
преимущественно тот материал, который наглядно указывает
на недопустимость ошибки. Например, в первой группе,
при начальном обучении счету, полезны вопросы: сколько
едоков в твоей семье? Сколько голов скота у тебя во дворе?
В котором часу начинаются занятия в школе? В дальнейшем
подобного рода вопросы облегчаются тем, что . учащиеся
постепенно воспринимают понимание увеличивающихся
по размеру чисел; тогда с каждым месяцем можно усложнять
разработку статистических данных. К концу первого года
возможно составление ежедневных ведомостей о манкировках,
о ходе температуры, инвентаря классной комнаты. На втором
году: инвентарь школьной библиотечки, учет населения
в деревне с распределением по категориям: мужчины, жен-

щины, грамотные, неграмотные и т. д., учет стада и т. и.
На третьем году — учет всякого рода в целых числах
с нахождением средних величин, на четвертом году всевоз-
можные расчеты с дробными числами.
Учащие должны приучить своих питомцев с первого же
года представлять непременно проверенные решения задач:
разумеется, это относится главным образом к письменному
решению. Учитель не должен принимать тетради, не спросив:
проверил? Если нет, садись и проверяй. При этом учащиеся
должны приучиться делать все записи аккуратно, по воз-
можности каллиграфически. Недопустимы записи, похожие
на бутерброд с икрою. Цифры и знаки действий должны
выглядывать, как хорошие солдаты на смотру: стройные
ряды, столбцы, цифры одинакового роста. Учитель должен
быть неумолимым в отношении качества записей и добиться,
хотя бы ценою неприятного детям переписывания, акку-
ратной, нарядной записи.
В отношении поверки решения задачи я не имею в виду
традиционных правил проверки арифметических действий^
Этим правилам я не придаю большого значения. Дело совсем
в том,какой прием проверки избран. Важно то, что проверка
делается с наибольшею тщательностью и добросовестностью.
Важно то, что сам вычислитель озабочен получением верного
ответа и с своей стороны принял все меры, чтобы избежать
какой бы то ни было ошибки. Разумеется, от ошибки не гаран-
тирован никто, так как не ошибается только тот, кто ничего
не делает. Учитель должен проявить величайшую чуткость
и никоим образом не должен корить учащегося, сделавшего
ошибку при очевидной идеальной добросовестности; в таких
случаях надо ласково исправить ошибку и успокоить юного
вычислителя, что он не виноват, что случайный недосмотр
может произойти с каждым, что ошибки встречаются все же
очень редко, когда относишься к делу должным образом.
Я высказал, что не придаю большого значения ходовым
правилам проверки арифметических действий. Вот почему.
Когда сообщают, что „для проверки сложения надо переставить
слагаемые и вновь их сложить; если результат получился
прежний, значит сложение произведено верно44, то среди
учащихся создается впечатление, что указанный рецепт
гарантирует от ошибки. Представим себе встречающееся
иногда положение, когда что-то защелкнет, как говорят,
в мозгу и от сложения 5 и 2 получается 6, сколько раз
ни возвращаться к этому сложению; тогда сумма 354+125
не будет отличаться в результате от суммы 125-}-354. Разу-
меется, если существует неотвязная мысль, что 5+2=6, то
делу не поможет никакая проверка. Но я больше всего боюсь
формального отношения к вычислениям. Если ошибка про-
изошла при наличии абсолютной добросовестности вычисли-

теля, никакой беды нет; но если вычислитель понадеялся
не на себя, а на рецепт, дело грозит культивированием
формального авторитета. Учащийся должен притти к созна-
нию, что проверка сложения вычитанием или деления умно-
жением и т. п. только помогает делу, но не гарантирует
безошибочности; вместе с тем учащиеся должны привыкнуть
к максимальному, обязательному самоконтролю, который
является наилучшим регулятором при исправлении случай-
ных промахов.
Обращаюсь теперь к вопросу о составлении и выборе
задач для учащихся. В прежнее время этот вопрос решался
чрезвычайно просто: учитель мог выбрать любой из допу-
щенных к школьному употреблению задачников и провести
на нем весь курс. В настоящее время дело сильно усложни-
лось отсутствием печатных пособий, удовлетворяющих тре-
бованиям новой системы комплексного преподавания. Учащие
предоставлены сами себе; хотя на книжном рынке появилась
обширная литература по вопросам комплексного препода-
вания и в ней имеется много ценных общих и частных заме-
чаний и указаний, но пока не хватает самого нужного
рядовому учительству: учебника или пособия, в котором
было бы конкретно и детально изложено, как вести препо-
давание изо дня в день в той или иной возрастной группе.
Мы имеем прекрасные книги по отдельным специальностям,
например, Афанасьева — Методика родного языка в трудовой
школе, Циглера — От игры к счету (на немецком языке),
Игнатьева и Соколова—Наблюдай природу, и другие, но син-
теза всех специальностей в едином учебнике еще нет.
В отсутствии такого объединящего учебника заключаются
наиболее существенные затруднения учительства. Я полагаю,
что учительство не скоро дождется такой книги; я был
бы рад ошибиться, но пока не вижу объективных данных
для скорого составления желательней книги. И я лично,
излагая в этой книге свои соображения о преподавании
математики, стараюсь посильно помочь учительству только
в частном направлении и большего сделать пока не могу.
Привычка и сравнительное удобство пользования печат-
ным задачником вызывают среди учительства чувство беспо-
мощности, когда подходящего к новым требованиям задач-
ника не существует. Я думаю, что такого нельзя и составить,
что нужда в задачнике преувеличена и что легко обойтись
без него.
В самом деле, какие задачи уместны в двух младших
группах, где размеры чисел, над которыми производятся опе-
рации, весьма ограничены? Здесь возможны лишь задачки-
вопросики, которые ни изобретать, ни печатать не стоит.
„Брату 9 лет, а сестре 7 лет; на сколько лет брат старше
сестры?“ — „Маня нашла 5 грибов, а Коля на 3 гриба

больше; сколько грибов нашли они оба вместе?“ — „Мама
сорвала 9 яблок, одно оставила себе, а остальные отдала
поровну двум детям; по скольку яблок получил каждый
ребенок?“ Когда читаешь такие задачи в книге, то грустно
и досадно становится. Для чего затрачены труды автора
и наборщика и бумага? Я бы ответил: ради пустословия.
Неужели учащий не может сам „придумывать“ такие задачи?
Когда преподаватель в классной комнате, не держа в руках
книги, обращается к учащимся и спрашивает: „Миша, сколько
тебе лет?“ — „8“. — „А твоей сестре?“ — „5“. — „На сколько
лет ты старше?“, то эта задача звучит жизненно и живо.
Но та же самая задача в печатной книге противна, так как
вряд ли кто станет с удовольствием перечитывать такой
текст. Между тем я считаю только ту книгу интересною,
которую и читаешь и перечитываешь с интересом или
к которой часто прибегаешь за справками. Если книга
не удовлетворяет этим требованиям, она не интересна
и не нужна. С другой стороны, составители подобных задач
невольно оскорбляют учителя: ты не можешь сам придумать
такие задачи, так вот тебе готовая шпаргалка.
Я категорически отрицаю надобность печатания про-
стеньких задач-вопросов для двух младших групп. Любая
комплексная тема в схемах ГУС'а вызывает сама собою
напрашивающиеся задачки. Дело обстоит иначе в двух
старших группах I ступени, но и здесь собственно задач-
ника тоже не нужно. Здесь нужен темник-справочник, и прав
был П. Казанцев, автор книги „Схема задачника для сель-
ской школы I ст.“ Гос. Изд. 1920. г. К сожалению, опыт
Казанцева, ценный как пионерский, оказался не вполне
удачным вследствие бедности содержания; еще более жалко
то, что идея, так или иначе реализованная Казанцевым,
не получила должного развития. Книжки Добровольского
„Математика в I ступ.“ и Ланкова „Математика на службе
труда“ построены по тому же верному принципу, но также
не велики по объему и не богаты разнообразием материала.
Я не собираюсь восполнить в настоящей книге указанный
пробел, так как последняя разрослась бы тогда до нежела-
тельного объема; может быть, я выполню эту работу в отдель-
ной книге, а пока, в главе q разработке комплексных тем,
я изложу хоть часть того материала, который, по моему
мнению, является гораздо более существенным, чем готовые,
составленные задачи. Большая часть готовых задач носит
на себе печать выдуманности, искусственности, а следова-
тельно, противоречит принципам новой школы. Дело должно
быть поставлено так, чтобы задача составлялась, на осно-
вании справочного материала, самим учителем, а еще лучше—
самими учащимися. Без печатного справочного материала,
конечно, нельзя обойтись, потому что невозможно собрать

своими силами достаточно интересных и необходимых сведе-
ний. Например, хорошо собрать статистические данные
об урожае в данной местности; но, чтобы сравнить эти данные
с урожаем других мест, надо иметь соответственные сведения.
Допустим, что учащиеся составляют ведомость урожая
ржи в своей деревне; каждый сообщает в классе, что
у такого-то домохозяина при такой-то запашке уродилось
столько-то. Из этих сообщений сами собою вытекают задачи:
общий итог урожая? Средняя урожайность на гектар? Срав-
нение с нормальною урожайностью, например, в Германии
(справочник)? Сколько килограммов приходится в среднем
на едока? и т. д. Тут не приходится проявлять особой
находчивости при составлении подобных вопросов, предста-
вляющих собою именно те задачи, которые соответствуют духу
новой школы. Рядовой учитель, даже учащиеся не затруд-
нятся постановкою вопросов, естественно вытекающих из добы-
тых чисел. Вот в каком направлении можно говорить о соста-
влении задач самими учащимися.
Я подошел вплотную к одному частному вопросу,
о котором много говорилось и который осуществлялся в школе
неверно. Я имею в виду увлечение идеей, чтобы учащиеся
сами составляли задачи; эта идея навязывалась зачастую, как
предписание учащим со стороны инструкторов. Сочинение
задач детьми сводилось обыкновенно к варианту числовых
заданий в определенной теме. Вот характерный образец,
прослушанный мною в одной школе. Дети решали задачки
на сложение и стали, по предложению учащего, сочинять
новые: 1) мама дала мне 10 баранок и папа дал 15 баранок;
сколько баранок получил я?; 2) мама дала мне 20 кон. и папа
дал мне 15 коп.; сколько копеек получил я?; 3) садовник
посадил один раз 10 роз и в другой раз 5 роз; сколько
роз посадил садовник?; 4) мама дала мне 20 карандашей и папа
дал мне 10 карандашей; сколько карандашей досталось мне?;
остальные 6—7 задач все имели сюжетом: мама дала мне...
Мы видим, что из десятка сочиненных задач только одна
обнаруживает крупицу оригинальности; остальные представ-
ляют собою повторение одних и тех же слов. В приведенном
мною примере нет никакой утрированности; именно так всегда
и бывает, когда детей заставляют „сочинять“ задачи ради
сочинения. Тут нет ничего педагогически ценного; наоборот,
получается бесполезная трата времени. Другое дело, когда
сведения, добытые самими учащимися или сообщенные им,
вызывают естественные вопросы, требующие арифметических
расчетов. Тогда вытекает хорошая ценная задача. Если
вы измеряете рост учащихся или взвешиваете их, то послед-
ние сами сочинят задачи: кто и на сколько выше или тяжелее
того-то? А вам останется наталкивать учащихся на углу-
бление исследовательских вопросов, в роде того, какой сред-

кий рост всей группы, сколько уклоняется в ту и другую
стороны от среднего роста или веса и т. п.
Мною было высказано резко и определенно, что всякая
задача должна быть жизненною и безыскусственною. Необхо-
димо обратить внимание на два исключительных положения.
Во-первых, иногда вполне допустима некоторая фантастич-
ность, связанная с каким-либо научным вопросом. Например,
для ясного понимания расстояния от земли до солнца можно
поставить вопрос: во сколько времени прошел бы это расстоя-
ние поезд, идущий без остановок со средней скоростью
100 километров в час? Или для уяснения количества осад-
ков, выпадающих в течение года в данной местности, почему
не задаться соображением, какой глубины получилось бы
озеро определенной площади? Здесь фантастика имеет
служебное значение, как наглядная иллюстрация больших
чисел. Во-вторых, не только допустимы, но и желательны
задачи-шутки, даваемые от поры до времени для оживления
класса. Я не могу возражать против старой как мир задачки:
летела стая гусей и т. д. Математическим развлечениям
должно быть отведено заметное место в школе: в этом отно-
шении следует подражать французам, у которых соответ-
ственная учебная литература чрезвычайно богата и инте-
ресна. Указанные две категории задач, не относящиеся
к жизненным, могут быть использованы не в виде основной
системы, а лишь в виде добавлений, подобно пряностям
в здоровом домашнем столе.
Я бы добавил, но на этом не настаиваю, еще третью
категорию задач, которые, по моему мнению, желательно
использовать в двух младших группах, но которые не имеют
непосредственного отношения к жизненным вопросам. Я имею
в виду задачи комбинаторического содержания, следуя за-
ветам Фребеля, придававшего комбинаторике важное зна-
чение для обучения детей счету. Я предлагаю задачки
такого образца: 1) написать все трехзначные чис-
ла, изображаемые с помощью каких-нибудь трех
цифр: получится 27 комбинаций; 2) сколькими спо-
собами можно распределить 5 предметов между
двумя лицами; оказывается 30 способов; 3) сколь-
кими и какими способами можно разместить 4 пас-
сажиров в четырехместном купэ? 24 способа;
4; сколькими и какими способами можно наклеить на конверт
почтовых марок на 6 коп., имея марки достоинства в 1, 2
и 3 коп.? 7 способов; 5) сколькими и какими способами
можно одеть куклу, имея 4 разноцветных платка, 4 разноцвет-
ных кофты и 4 разноцветных юбки? 64 способа. Тут полезно
рисовать одинаковые фигурки и соответственно их раскра-
шивать. 6) Азбука для слепых состоит из выпуклых точек,
размещаемых в 6 ячейках изображенной фигуры (черт. 2);
Черт. 2.

буквы и знаки изображаются от одной до шести точками;
сколько разных знаков (и какие именно) можно сделать при
всех комбинациях точек? 63 знака; больше, чем существует
букв в алфавите, цифр и знаков препинания. Этими шестью
примерами я, конечно, не исчерпал всех комбинаторических
тем, я привел только показательные образцы. Такого рода
упражнения я отношу к категории математических развле-
чений, продолжая настаивать на том, что последние имеют
важное значение в деле обучения, именно как витамины
и пряности среди необходимых белков, жиров и углеводов.

V. Счет в уме.
Ценность умения быстро считать в уме не может
подлежать сомнению: слишком очевидна практическая польза
от возможности обойтись без карандаша и бумаги при решении
простеньких жизненных задач или при беглом подсчете.
Поэтому упражнения в умственном счете должны занимать
видное место в школьных занятиях арифметикой.
С. А. Рачинский в предисловии к своей книжке „1001 за-
дача для умственного счета“ говорит: „что касается до пользы,
которую приносят ученикам упражнения в умственном счете,
то ее не следует преувеличивать. Способность к нему —
способность весьма специальная и от других независимая,
нередко сильно развитая в детях ума самого ограниченного.
Тем не менее способность эта полезна и в отношении
практическом, и как средство для здоровой умственной
гимнастики“.
В последних строках С. А. Рачинский отдает дань обще-
распространенному до революции мнению, что главное зна-
чение школьного преподавания математики заключается
в гимнастике мозга, в развитии логического мышления; такая
целевая установка преподавания математики оправдывала
решение никчемных в практическом, бессмысленных в жизнен-
ном отношении разборных, хитроумных задач, оправдывала
и общее отвлеченное преподавание математики. Школа,
созданная революцией, категорически отвергает всякий ака-
демизм, гимнастику мозга ради этой гимнастики; гимнастика
мозга, несомненно, необходима, но в направлении жизненном,
практическом. А поэтому та гимнастика мозга, которая ведет
к полезному жизненному уменью — быстро подсчитать в уме,
безусловно полезна и должна остаться в обиходе новой школы.
Я не мог не выделить без особого разъяснения слова Рачинского
относительно умственной гимнастики, потому что иначе
читатель заподозрел бы меня в апологии дореволюционного
академизма, но выписанные мною строки имеют для меня
большое значение в отношении оценки способности быстро
считать в уме. Действительно, Рачинский глубоко прав,
называя эту способность специальною и зачастую присущею
весьма ограниченным людям. Иноди, Диаманди и другие
лица, поражавшие своими способностями производить в уме

очень сложные числовые операции, ни-в чем больше не выдви-
нулись. В противовес этому приходится отметить, что многие
выдающиеся ученые - математики (самый яркий пример —
А. Пуанкаре) отличались изумительною беспомощностью при
подсчете в уме небольших чисел. Весьма важно, чтобы
преподаватели не делали неверных предсказаний относи-
тельно учащихся, резко выдающихся в отношении умственного
г чета; дурно считающие могут оказаться впоследствии хоро-
шими математиками и, наоборот, самые заурядные люди
могут вырасти из блестящих счетчиков.
Итак, не преувеличивая значения умственных вычис-
лений, но считая их безусловно полезными и даже необхо-
димыми, следует ввести соответственные упражнения на всем
протяжении занятий по арифметике. Ясно, что на первом
году обучения счет в уме неизбежно предшествует пись-
менному счету, так как еще неграмотные дети уже понимают
кое-что в счете и могут решать в уме некоторые задачки.
Поэтому, до обучения детей арифметическому чтению и письму,
упражнения в счете будут преимущественно устные, а затем
уступят свое место письменным вычислениям. Тем не менее
д после того вычисления в уме должны занимать некоторую
долю классного времени. Я полагаю, что необходимо и доста-
точно уделять ежедневно 10 —15 минут для счета в уме;
необходимо—потому, что каждое детское упражнение должно
быть часто повторным, иначе не может быть нужного
результата; достаточно—потому, что в 10 — 15 минут можно
проделать много вычислений, а при большей их продолжи-
тельности, принимая во внимание их неизбежную интенсив-
ность, они могут вызвать вредное утомление. Опытность
учащего, учитывающего все сопутствующие обстоятельства,
как> например, активность и подготовку учащихся, качество
материала для счета и т. д., лучше всего определит продол-
жительность отдельного сеанса вычислений в уме.
С. А. Рачинский в том же предисловии к своей книжке
говорит: „я почти никогда не пользовался печатными задач-
никами, но постоянно импровизировал задачи возрастающей
сложности, сообразные с силами учеников. Импровизация
эта не стоила мне ни малейшего труда и, вероятно, придавала
этим урокам то необыкновенное оживление, которое поражало
всех посетителей моей школы“. И далее: „только постоянная
умственная работа его (учителя) во время уроков возбуждает
подобную же работу в умах учеников“.
Эти строки я считаю существенно важными для учителя.
Немногими словами изложены простые, но часто забываемые
истины. Разве можно возражать что-нибудь против того,
что учащиеся работают интенсивно только тогда, когда
работает учитель, и что энергия учащихся возрастает, когда
они слышат живую речь учителя, а не вычитывание им

из книжки? Секрет увлекательности уроков С. А. Рачинского
оказался простым: педагог импровизировал задачи. Эта
увлекательность увековечена на известной картине Богданова-
Вельского „Устный счет“; художник, ученик С. А. Рачинского,
изобразил хорошо знакомую ему обстановку урока любимого
учителя.
Если учащий почему-либо не может импровизировать
задачи для счета в уме, то он должен симулировать импро-
визацию, а именно; подготовиться к уроку, подобрать
примеры и задачи, подзубрить их, а в классе сообщать
подготовленный для упражнений материал, как будто импро-
визированный.
Цитируя слова С. А. Рачинского, я не думаю пропа-
гандировать его книжку для школьного употребления; его
задачи в настоящее время устарели и свой век отжили,
а, кроме того, они в общем трудны для счета в уме.
Материал для упражнений в умственном счете должен
соответствовать прежде всего наличной подготовке учащихся.
Поэтому на первом году обучения в школе и даже ранее
полезно прибегать к некоторым играм арифметического
и комбинаторического содержания (см. отдельную главу),
наблюдая за тем, чтобы размер оперируемых чисел соответ-
ствовал детскому пониманию. В дальнейшем материал для
умственного счета будет состоять из примеров и задач.
Относительно задач приходится лишний раз повторить, что
они должны быть свободны от всякой искусственности
и должны согласоваться с жизненною правдою как в отно-
шении темы, так и состава чисел. Что же касается примеров,
т.-е. упражнений с отвлеченными числами, то здесь не только
допустим, но даже желателен такой подбор чисел, чтобы
учащиеся знакомились с некоторыми примечательными свой-
ствами чисел, например: 1-[-2 + 3=6; 3.3 + 4.4 = 5.5;
5.5 + 12.12 = 13.13; 37.3 = 111; (36:2) + (36:3) + (36:6) = 36;
Vi + Vt + Ve = 1; 7.11.13 = 1001 и т. п. Чрезвычайно важно,
чтобы материал для упражнений в умственном счете сообщался
учащимся двояко: или диктованием задания, без записи
на доске, или только молчаливою записью на доске. В первом
случае будет упражняться слуховомоторная память, во втором
зрительная. Оба вида памяти существенно важны и ну-
ждаются как в диференцированном, так и в сочетательном
развитии. Между прочим исследования психологов показали,
что феноменальные счетчики Иноди, Диаманди и другие
обладали гипертрофиею (переразвитием) или зрительной
памятью (Диаманди) или слуховомоторной (Иноди). Задачи,
которые решал Диаманди, необходимо было написать на доске;
беглого взгляда на доску было достаточно, чтобы Диаманди
запомнил надолго полученный зрительный образ, он мог по-
вторить безошибочно записанные цифры по строкам и по столб-

дам, совершенно так же, как если бы мы читали написанное.
Но Диаманди не мог решить задачу, если ему ее только
диктовали; Иноди, наоборот, запоминал задания не по зри-
тельным ощущениям, а по слуховомоторным. Затем большую
роль играет, конечно, огромная практика и знание некоторых
приемов, упрощающих вычисления.
К упражнениям в умственном счете я отношу следующие
специальные, преимущественно для развития зрительно-
комбинаторной памяти. Учитель должен заранее сделать
и раскрасить большие плакаты с изображением симметрично
или иначе расположенных фигур, чисел, показывать уча-
щимся плакаты на весьма короткое время, на одно мгновение
и требовать ответа, что и сколько чего они видели. Вот
образец для плакатов (черт. 3).
Такого рода плакаты можно сочинять сколько угодно;
за один сеанс следует использовать 2 — 3 плаката и один
и тот же вторично не показывать. Прежде чем показать
плакат, надо предупредить учащихся: вы увидите (сообразно
содержанию плаката) кружки; скажите потом, сколько круж-
ков вы видели? вы увидите дом, сколько в нем окон? вы
увидите кружки красные и зеленые, сколько зеленых
и сколько красных? вы увидите разноцветные полоски,
перечислите порядок цветов; сделайте то вычисление, кото-
рое указано (пл. 15); какие числа вы видели (пл. 10)? вы
увидите слово (пл. 12 и 17), сколько в нем букв? сколько
раз обмотана веревка вокруг палки (пл. 18)?
Упражнения с подобными плакатами на первых 3 воз-
растных группах чрезвычайно оживляют дело. Я обращаю
внимание на плакат 14, с помощью которого можно конста-
тировать редкий, но все же встречающийся, дефект зрения—
дальтонизм (тождественное восприятие красного и зеленого
цветов).
Быстрота счета в уме зависит между прочим от приема
счета. Существует очень много приемов, называемых упро-
щающими счет. Возьму для примера такой „упрощенный“
прием сложения. „Два двухзначных числа, взятые одно
между 10 и 19, а другое между 90 и 99, или одно между
20 и 29, а другое между 80 и 89, или одно между 30 и 39,
а другое между 70 и 79 и т. д., дают в сумме 100, сложенное
с суммою простых единиц обоих слагаемых“ (А. А. Лямин.
Физико-математическая хрестоматия. Т. 1, стр. 202). Гораздо
проще складывать числа непосредственно, чем запомнить,
а для учащихся, кроме того, усвоить приведенный прием.
Этого примера, я думаю, достаточно, чтобы согласиться с сле-
дующими положениями:
1) простота приема есть дело условное; всякий вариант
привычного правила одному кажется простым, другому
сложным; простейший прием, без сомнения, тот, который

хорошо усвоен и стал привычным; а еще лучше тот прием,
который придуман самим вычислителем;
2) припоминание для каждого отдельного случая специ-
ального приема более трудно и занимает больше времени,
чем непосредственное вычисление.
Поэтому было бы большою ошибкою сообщать учащимся
много разных приемов; число последних надо свести к мини-
муму и самые приемы следует вводить при разучивании
основного правила, т.-е. так, чтобы эти приемы стали
привычными с самого начала. Выбор приемов следует предо-
ставить учащему, так как только те приемы хорошо пере-
дадутся учащимся, которыми владеет учащий. Интересу-
ющихся различными приемами, упрощающими вычисления,
отсылаю к книгам: Март ель—Приемы быстрого счета. Гос. Изд.,
В. Гречушкин—Арифметический задачник. 4-е изд. Думнова
1917 г. Во всяком случае не следует переоценивать значения
разных приемов вычислений, имеющих целью их упрощение,
и, следовательно, сделать вычисления более быстрыми.
Быстрота вычислений в уме развивается главным образом
от практики. Поэтому для достижения успеха следует
побольше и почаще упражняться. Учащий должен поставить
себе общим правилом обходиться без письменных выкладок
во всех случаях, когда можно вычислить в уме, и посте-
пенно приучить к тому же учащихся. В этом отношении
необходима строгая постепенность и осторожность; пока
учащиеся не окрепли в счете вообще, их следует заставлять
разрешать все сомнительные вычисления письменно.
Остается указать на то, как организовать общую работу
устного счета в многолюдном классе, Ведь необходимо сделать
так, чтобы все учащиеся упражнялись и чтобы учащий мог
знать успешность каждого. Для этого удобен следующий
способ, много лет и с хорошими результатами применявшийся
мною на практике. До вычислений все учащиеся получают
по листочку (1/8 или 1/16 листа) бумаги, на котором они
должны записать свою фамилию и перенумеровать у левого
края листка столько строк, сколько отдельных задачек или
примеров учитель предполагает дать, Я давал обычно
8—10 вопросов. На листочках учащиеся записывают в соответ-
ственных строках ответы на те вопросы, примеры и задачи,
которые последовательно даются. Учащему легко следить
даже за многолюдным классом, действительно ли все вычис-
ления производятся в уме. Для каждого из этих вычислении
дается столько времени, сколько нужно большинству уча-
щихся; это количество времени легко определяется учащим
по наблюдению за записыванием ответов и за ожиданием
со стороны кончивших вычисления следующего задания.
По окончании вычислений листочки отбираются, и учащиеся
должны записать в свои тетради все предложенные задали

и вновь получить ответы, хотя бы письменно. Пока учащиеся
заняты этим делом, учащий просматривает листочки,
сравнивал с заранее заготовленным списком, отмечает
на листочках неверные ответы, подводит для себя итог
чисел сделанных ошибок и задач, оставшихся нерешенными,
а затем, когда учащиеся закончат вторичные вычисления,
возвращает листочки по принадлежности. Тогда учащиеся
будут иметь возможность проконтролировать и проанали-
зировать свои ошибки. В итоге получится совершенно закон-
ченная работа. Необходимо добавить, что учащий должен
давать столько времени для обдумывания ответа, сколько
это нужно для большинства; в классе всегда найдется
некоторый процент учащихся, которые не поспевают про-
делывать все вычисления в течение заданного срока; следует
предупреждать, что не успевший решить данную задачу
оставляет соответственную строчку пустою и обдумывает
следующую с того момента, когда последняя сообщена.
В нормальном порядке ведения дела процент отсталых
постепенно, но заметно, уменьшается.

VI. Механизация счета.
До той механизации деловых вычислений, когда инже-
нер оперирует логарифмической линейкой и арифмометром,
школе первой ступени, конечно, еще очень далеко. Тем
не менее школа первой ступени должна принять посильное
участие в реализации идеи механизации счета, хотя бы
в самой подготовительной стадии. Если школы второй ступени,
фабзавучи и рабфаки мало обращают внимания на меха-
нические приемы вычислений, то это не должно смущать
школы первой ступени. Там дело не может наладиться,
в отношении развития механизации счета, главным образом
по материальным—надо надеяться, временным—условиям:
у нас слишком мало вычислительных линеек и арифмометров,
они недоступны учащейся молодежи. А школе первой ступени
не нужны эти дорого стоящие приборы; она для решения
более простых задач, может обойтись скромными средствами.
Нужны обыкновенные торговые счеты, которые стоят недорого
и имеют широкое распространение, а остальные приспо-
собления легко сделать домашним способом.
Прежде всего несколько слов относительно самой идеи
механизации счета, почему я выделяю ее в самостоятельную,
хотя и короткую, главу.
Техника всякого рода сделала за последнее время и
продолжает делать гигантские успехи; всевозможные расчеты
умножаются и усложняются. Продукции сельского хозяйства,
фабрик и заводов увеличиваются настолько быстро, что
итоги, сводившиеся недавно к миллионам, выражаются теперь
миллиардами и скоро достигнут триллионов. Транспорт
расширяется всесторонне: и в отношении способов, и в отно-
шении количества передвижений. Товарообмен государ-
ственного и международного масштабов также разросся
и будет непрерывно увеличиваться. Мировая экономика
оценивается грандиозными числами, и мы уж привыкли
к числовым расчетам при обсуждении любого явления
общественной жизни. Калькуляция перестала быть досто-
янием одной лишь торговли, притом оптовой; без кальку-
ляции не обходится никакое дело. Но всякого рода подсчет,
вычисления не являются чем-либо самодовлеющим; они
представляют собою лишь средство для решения того или

иного вопроса. Поэтому, так как принцип экономии времени
и труда требует упрощения всего того, что является вспомо-
гательным, необходимо сделать возможно легким процесс
калькуляции, следовательно, его механизировать. Никакая
машина думать за человека не может, но всякая машина,
разгружающая труд, полезна.
В отношении вычислений механизация их состоит
не только в применении собственно машин, в роде арифмо-
метра и приборов, как, например, логарифмическая линейка,
но и в использовании разного рода справочных таблиц.
Логарифмирование с помощью таблиц есть процесс, весьма
близкий к механическому. Точно так же нахождение квад-
ратного или кубического корня по печатным таблицам
не есть вычисление но существу, так как вычислительная
работа уже произведена, результаты ее напечатаны и остается
воспользоваться уже готовым материалом.
Для школ первой ступени можно найти гораздо более
механических приемов вычислений, чем принято думать.
Начну с описания подходящих приборов.
Уже в первой возрастной группе можно механизировать
сложение и вычитание весьма простеньким приспособлением,
состоящим из двух деревянных планок или бумажных полос,
градуированных на
центиметры. Пусть
надо сложить 27 и 14.
Приставим (черт. 4)
нулевую черту вто-
рой планки к тому
месту первой, где у последней обозначено 27. Тогда черта
второй планки, обозначающая 14, придется под той чертой
первой планки, где обозначено 41. Ясно, что с помощью
такого прибора легко производить и вычитание. Само собой
разумеется, что описанный прибор не должен заменить собой
сознательного сложения; он должен быть использован после
усвоения учащимися принципа и процесса сложения и быть
дополнением к практике сложения. Затем прибор будет
иметь значение как первый этап к проведению в обиходе
школы механизации счета; с этой точки зрения я полагаю,
что Циглер, автор книжек „От игры к счету“, методически
прав, рекомендуя описанный прибор для занятий в первой
группе. Наконец, прибор имеет еще то значение, что учащиеся,
пользуясь им, действуют не только мыслью, но и руками;
получается повышенная активность и конкретность работы,
что весьма важно для школьников младшего возраста.
Прибор позволяет делать умножение и деление; в первом
случае, например, если нужно умножить 16 на 3, мы возьмем
3 полоски по 16 центиметров и приложим их рядом, начиная
с нулевой точки, к одной из планок. Если нужно сделать
Черт. 4.

деление, то придется ограничиться случаем деления по содер-
жанию ; при этом (напр., 28 : 7) мы сделаем полоски по 7 центим,
и посмотрим, сколько таких полосок уложится на протяжении
28 центиметров. Если при делении получается остаток^
то* последний виден весьма наглядно.
Тот же прибор при миллиметровом градуировании
применим во второй группе.
Обыкновенные так называемые торговые счеты пред-
ставляют собою действительно деловой прибор, механи-
зирующий вычисления. Счеты имеют весьма широкое и заслу-
женное распространение. Интересно отметить, что русские
счеты до войны стали проникать в Европу, и в 1910—1913 гг.
в германских правительственных и частных учреждениях
можно было видеть вывезенные из России счеты. Встречаются
виртуозы, проделывающие чрезвычайно быстро умножение
и деление на счетах; но по существу счеты наиболее
полезны для сложения и вычитания. Вводя счеты в школьный
обиход, следует ограничить их применение только сложением
и вычитанием, так как лишь в этом случае мы имеем
подлинную механизацию вычислений. Когда на счетах
делается умножение или деление, то самые счеты играют
второстепенную роль, так как самые вычисления произво-
дятся собственно в уме. Поэтому в дальнейшем будет
говориться лишь о сложении и вычитании с помощью счет.
Счеты ни в каком случае не должны быть пособием
для обучения сложению и вычитанию; счетами можно поль-
зоваться только после того, как учащиеся овладели этими
арифметическими действиями. Я хочу подчеркнуть особенно
резко тот тезис, что учащиеся должны сначала выучиться
считать, прежде чем пользоваться механическими прибо-
рами. Последние имеют своим назначением упростить, уско-
рить процесс вычислений, когда центр тяжести работы
находится вне этого процесса. Но если вычисления важны
сами по себе, если они имеют образовательное или воспи-
тательное значение, то главная роль и принадлежит самому
процессу вычислений, тогда механизирующие приспосо-
бления могут принести вред. Итак, механизация счета в школе
не есть метод обучения, а заслуживает серьезного внимания
как подготовка к практическим ответственным вычисле-
ниям и притом, повторяю, лишь после того, как учащиеся
выучились считать. На основании изложенных соображений
я настаиваю на использовании счет никак не ранее третьей
возрастной группы и решительно расхожусь с теми, кото-
рые советуют практиковать на счетах детей даже первой
группы. Я бы предложил использовать указание схем ГУС'а,
в которых колонка под заглавием „Труд“ назначает для
третьей группы изучение хозяйства местного края; при этом
изучении учащиеся неизбежно столкнутся с разного рода

<статистическими таблицами, и вот пользование счетами легко
будет импульсировать подведением итогов или проверкою
готовых итогов длинных столбцов слагаемых. После этого,
когда учащиеся овладеют прибором, можно рекомендовать
постоянно пользоваться счетами, если нужно произвести
сложение многих слагаемых и проверить сумму вычитанием.
По опыту знаю, что учащиеся третьей группы очень быстро
усваивают пользование счетами; я не думаю, чтобы нужно
было распространяться о том, как объяснять учащимся опе-
рирование со счетами. Дело слишком простое.
К механическим приборам для умножения следует
отнести так называемые „палочки“ Непера (1550—1617 г.г.),
творца таблиц логарифмов. Следует сделать из толстого
картона или, еще лучше, из дерева планки. Каждая из них
состоит из 9 квадратов, при чем в 8 из них проводятся диаго-
нали, все одного направления, как указано на черт. 5. Верх-
Черт. 5.
ние квадраты, свободные от диагоналей, содержат одно-
значные числа от 0 до 9 включительно. В остальных квадратах
надписываются произведения верхнего однозначного числа

от 2 до 9 включительно. При этом каждое произведение
представляется в виде двухзначного числа, цифра десятков
которого пишется над диагональю, а цифры единиц под
диагональю. Если произведение однозначно, например, 2.4=8,
то оно все же изображается с помощью двух цифр, а имено 08.
На чертеже наши планки изображены слитно, вплотную одна
к другой; на самом деле они раздельны; чертеж надо раз-
резать по вертикальным перегородкам.
С помощью палочек Непера умно-
жение производится следующим обра-
зом. Допустим, что надо умножить 627
на 83. Положим рядом (черт. 6) те
палочки, в верхних частях которых
имеются числа 6, 2 и 7. Найдем ту
строку, в которой записаны результаты
умножения на 8; эта строка отмечена
на черт, знаком-f-. Складываем одно-
значные числа в этой строке по диаго-
нальным направлениям, т.-е. находим
сумму: 415
866
5016
Найдем теперь ту строку,
в которой записаны резуль-
таты умножения на 3.
Эта строка отмечена на чертеже зна-
ком + +. Складываем однозначные
числа в этой строке по диагональным
направлениям, т.-е. находим сумму: 102
861
1881
Остается сложить обычным поряд-
ком полученные частные произве-
дения 5016
1881
52041
и искомое произведение
равно 52041.
Если множимое содержит повто-
ряющиеся цифры, то надо иметь
соответственное число палочек. Напри-
мер, если множимое равно числу
39892, то надо иметь две одинаковые
палочки, верхние части которых содержат цифру 9. Поэтому
полезно заготовить палочки с дубликатами. Следует иметь
в виду, что иногда удобнее переставить множимое и мно-
житель. Само собой разумеется, что палочками Непера имеет
смысл пользоваться только при умножении многозначных
чисел или длинных десятичных дробей.
К приему Неперовых палочек весьма близко подходит
индусский способ умножения, тоже почти механический,
но не требующий никаких приспособлений, кроме разлиновки
бумаги в квадратную сетку. Пусть надо умножить 57086
на 2913. Размещаем данные числа по квадратным клеткам, так
Черт. 6.

как указано на чертеже 7, и проводим в тех клетках, над
которыми и справа от которых надписаны цифры множи-
мого и множителя, диагонали одного и того же направления.
Черт. 7.
В каждой клетке, где имеется диагональ, вписываем произ-
ведение двух однозначных чисел: стоящего в верхнем столбце
и стоящего в правой строке; при этом расщепляем произве-
дение, как и в палочках Непера, так, что цифра десятков
произведения пишется над диагональю, а цифра единиц
произведения—под диагональю. Складываем теперь в диаго-
нальных направлениях однозначные числа, т.-е. производим
сложение следующих слагаемых:
Результат сложения окажется
написанным в левой стороне
таблицы и он читается, начи-
ная с верхнего левого угла вниз
и затем направо к наружному
правому углу. Искомое произ-
ведение есть 166291518. Опи-
санный способ чрезвычайно
удобен для перемножения
многозначных чисел и длинных десятичных дробей, он совсем
не требует умственного напряжения, так как дело сводится
к таблице умножения, является способом действительно
механическим и практическим. Я лично настолько привык

к этому способу умножения, что к другому, даже обычному,
не прибегаю.
К механизации вычислений относится также пользо-
вание готовыми таблицами. Для школ II ступени мною
составлен специальный справочник „Справочник по матема-
тике для учащихся в школах II ст.“ Гос. Изд. 2-е изд. 1923 г.
1 р., в котором имеется много таблиц по переводу рус-
ских мер в метрические и обратно, процентных отноше-
ний и др. Я полагаю, что для школьников I ступени не сле-
дует печатать таких таблиц. Необходимо, чтобы школьники
I ступени сами составляли такие таблицы и уже потом
пользовались ими. Составление таблиц дает возможность раз-
вивать технику счета и представляет собою полезную, произ-
водственную работу. В третьей возрастной группе учащиеся
должны составить таблицы произведений двухзначных чисел.
Для этого надо взять листы
бумаги возможно больших
размеров, аккуратно разли-
новать в квадратную сетку,
надписать сверху (черт. 8)
множимые и множители, а
в соответственных клетках
вписать произведения, кото-
рые получаются по строкам
или столбцам простым сло-
жением (на счетах!). Может
быть, понадобится несколько
листов бумаги, чтобы сде-
лать достаточно полную та-
блицу умножения двухзнач-
ных и некоторых трехзнач-
ных чисел. Такую работу
можно выполнить по частям
коллективом класса; тогда получится весьма полная
справочная таблица. Точно так же коллективною работою
класса могут быть составлены таблицы разложения чисел
от 1 до 1000 на первоначальные множители, процентных
отношений однозначных и двухзначных чисел, переведенных
таблиц русских мер в метрические и т. д. Таблицы этого
рода пригодятся и в третьей группе, а особенно в четвертой,
когда учащиеся приступят к составлению отчетов, смет
и разного рода расчетов.
Весьма важно участие школы во всех статистических
работах района. Собирание всякого рода статистических
данных и их обработку следует поручить школьному кол-
лективу. При этом достигаются две цели: школа будет
втянута в окружающую общественную жизнь, и государство
будет нести минимальные расходы на статистический аппа-
Черт. 8.

рат; кроме того, собирание и обработка статистических
данных представляют собою богатейший материал для
жизненного применения математических навыков. Вот здесь,
когда школьники, разумеется, старшей возрастной группы,
будут заняты общественной работой и ответственными
вычислениями, очень и очень пригодятся разного рода
заранее составленные справочные таблицы, которые и сыг-
рают роль механизаторов счета. Затем умение пользо-
ваться разного рода справочными таблицами очень ценно
в практическом отношении; поэтому приучение школь-
ников к пользованию готовыми таблицами следует считать
делом существенно важным и обязательным в программе
занятий по математике. Я бы прибавил еще одну частность:
с третьей группы следовало бы ознакомить учащихся с изда-
ваемым ежегодно, даже два раза в год, официальным путе-
водителем по железным дорогам и пароходам и задавать
составление кратчайших маршрутов между отдаленными
друг от друга городами и вычисление проездной платы
со взрослых и детей в вагонах жестких, мягких, без приплаты
и с приплатой за скорость и плацкарту. Такого рода вычис-
ления могут принести серьезную пользу местному населению,
особенно в деревне: школа явится справочным бюро, в котором
крестьяне смогут узнать, сколько стоит проезд до опреде-
ленного города, сколько времени поезд находится в пути и т. д.
Во всяком случае означенные расчеты окажутся необходи-
мыми при математической разработке комплексной темы
„транспорт“ или „связь города с деревней“.
Таблицы, о которых сказано выше (см. черт. 8), и исполь-
зование Неперовых палочек позволяют механизировать
деление больших чисел. Деление есть самое затруднительное
из четырех арифметических действий и вот как легко свести
его к простенькому делу. Пусть надо разделить 580562 на 13.
Берем готовую таблицу произведений двух-
значных чисел на однозначные (см. черт. 8).
Глядя на таблицу, мы сразу усматриваем,
что в числе 58 число 13 содержится 4 раза,
так как 52 < 58 < 65. Старшая цифра
частного (4) найдена. Нам нет надобности
умножать делитель (13) на 4, так как
такое произведение имеется в таблице.
Подписываем готовое произведение, вычи-
таем и сносим следующую цифру делимого.
В дальнейшем поступаем, как уже сказано.
Мы замечаем, что деление сводится к лег-
кому вычитанию.
Пусть надо разделить 23610547 на 627. Составляем
из Неперовых палочек число 627 (см. черт. 6) и подводим

итог в каждой строке палочек. Тогда мы получим готовые
произведения числа 627 на
однозначные числа, которые
и устраняют наибольшие
затруднения при делении, а
именно—соображения, сколь-
ко раз делитель содержится
в данной части делимого.
В самом деле, первая цифра
частного получается от де-
ления 2361 на 627. Чтобы
найти верную цифру, надо прикидывать
в уме, а может быть, даже подвычислить
сбоку. Вот этот самый трудный момент
деления устраняется подготовленными произведениями числа
627 на однозначные числа. Глядя на эти произведения,
мы видим сразу, что в 2361 число 627 содержится 3 раза,
так как 1881 < 2361 < 2508. Деление сводится к вычитанию.
Рекомендуя вниманию учительства палочки Непера
и описанный прием деления, добавлю, что я лично разучился
производить иначе умножение и деление больших чисел,
вернее сказать, я перестал пользоваться традиционными
приемами, так как механический способ дает огромную
экономию времени и избавляет от лишнего напряжения
мысли.

VII. Диаграммы и графики.
В дореволюционное время школа знала диаграммы
и графики только по учебникам географии, появившимся
лишь в текущем столетии. Любопытно отметить, что та же
самая география захватила в свои руки право вычерчивания
плана классной и жилой комнаты для подготовки к пониманию
карты. Математика не занималась планами, в ее учебниках
планов не было... Характерно и то, что популяризатором
графического изображения статистических сведений был
у нас не математик, а профессор политической экономии
И. X. Озеров.
Программы единой трудовой школы по реформе 1918 г.
отвели графическому методу надлежащее место, правильно
поручив истолкование его математике, а применение—всем
учебным дисциплинам. Диаграммы и графики появились
во всех пособиях по математике для школы 1 ступени,
изданных после 1918 г. Обществоведение, естествознание
также стали широко пользоваться графическим истолкова-
нием числовых сведений. Получилось даже противополож-
ное—перепроизводство диаграмм. Теперь нет в СССР, класс-
ной комнаты, в которой не были бы развешаны по стенам
многочисленные диаграммы работы самих учащихся. Школь-
ники младшей группы уже занимаются диаграммами. Неиз-
бежная реакция после дореволюционного игнорирования
графического метода переходит тот предел умеренности, когда
слишком частое применение нового приема грозит сделать
последний надоедливым и потому обременительным для
учащихся. Мне приходилось уже слышать жалобы детей,
что им опротивело вычерчивать диаграммы. Во избежание
такого прискорбного обстоятельства необходимо соблюдать
осторожность по отношению к количеству предлагаемых
графических упражнений и стремиться разнообразить их
и по внешнему виду и по содержанию.
Диаграмма дает нам наглядное изображение различ-
ных величин, взятых при определенных числовых значениях;
на диаграмме мы сравниваем величины. Последние мы изобра-
жаем или отрезками, или прямоугольными полосками, или
частями круга, или художественными рисунками. Например,
мы можем изобразить распределение населения земного шара

по государствам отрезками разной длины, или частями
прямоугольной полосы, или секторами круга, или изображе-
нием людей (разного роста, при чем сравнительные величины
роста дают понятие о сравнительной численности населения)
определенных национальностей. Таким образом диаграмма
дает нам возможность делать сравнение определенных
величин. График же разъясняет изменение данной
величины в зависимости от изменения другой,
следовательно, дает наглядное изображение функциональной
зависимости; для построения графика применяется метод коор-
динат, обыкновенно прямоугольных координат Декарта. Можно
и не знать научного обоснования координат как для чтения,
так и для вычерчивания графиков; принцип дела настолько
понятен каждому, даже школьнику 3-й и 4-й группы, что
нет никакой нужды прибегать к научной терминологии.
Для построения графика обыкновенно откладывают по гори-
зонтальному направлению последовательные значения одной
величины, а по вертикальному направлению соответственные
значения другой величины, изменяющейся в зависимости
от изменения первой; соседние концы вертикальных отложений
соединяются между собою, и на чертеже получается ломаная
линия (по существу дела кривая), характеризующая ход
изменения исследуемой величины. Для построения графика
особенно удобна бумага, разлинованная в квадратную клетку,
или, еще лучше, миллиметровая бумага, которая снова стала
изготовляться и появилась в продаже по недорогой сравни-
тельно цене. Лист миллиметровой бумаги, имеющий длину
один метр и ширину 71 центиметр, стоит 30 коп.; такого
листа хватит на очень много графиков.
Очевидно, что диаграмма по идее проще графика;
поэтому график вводится в школе гораздо позднее диа-
граммы. В схемах ГУС'а слова „составление простейших
линейных диаграмм“ значатся в программе весенне-летнего
семестра второго года. Это правильно в том отношении,
что более раннее вычерчивание диаграмм не приводит
к хорошим результатам. Я полагаю, что школьники первой
группы еще не могут разбираться в диаграммах вполне
сознательно и, кроме того, вряд ли ими заинтересовываются;
школьники первой группы представляют собою детей, еще
не втянувшихся в научный смысл изучаемого и ценящих
в изобразительном искусстве не прямолинейную точность,
а весьма вольную образность. Затем диаграмма должна быть
исполнена хорошо; а дети 8 лет еще не могут вычертить
как следует прямолинейную фигуру, даже с помощью линейки
по клетчатой бумаге. Диаграммы, выполняемые школьниками
первой группы, всегда выглядят непривлекательно. Совсем
другое дело детские рисунки; сколь бы плохи они ни были
с точки зрения взрослого, они понятны и милы детям, как

их собственные произведения; в намалеванных уродливых
фигурах дети видят то, что они хотели изобразить; к пра-
вильному изображению они привыкают позднее и постепенно.
Вот почему я считаю диаграмму с ее правильными, стро-
гими очертаниями не вполне доступной или, лучше сказать,
мало интересной для детей первой группы. Учащиеся вто-
рой группы, особенно к концу года, уже резко разнятся
в психологическом отношении от учащихся первой группы;
они втягиваются в замену воображения реализмом, в орга-
низованность, в схематизацию с помощью правильных, инстру-
ментальных форм. Конечно, и учащиеся второй группы еще
не сумеют вычертить хорошей диаграммы, но при собствен-
ном старании и настойчивости учителя достигнут приличных
результатов. Само собой разумеется, что во второй группе
возможны лишь прямолинейные диаграммы, выполняемые
на клетчатой бумаге с помощью линейки. Затем выполне-
нию диаграмм должно предшествовать их чтение. Для этого
учитель должен озаботиться приисканием или изготовлением
показательных диаграмм. Диаграммы, помещаемые в задач-
никах, неудовлетворительны для первого знакомства, так
как имеют малые размеры, некрасивы и напечатаны без
красок. Чрезвычайно важно, чтобы первое впечатление было
сильным, чтобы у учащихся возникло желание подражать,
по мере сил, нарядности показательных диаграмм.
Первое знакомство с диаграммою легко связать с весен-
нею темою „наш огород“ в сельской школе или „деревенские
работы“ в городской школе. В первом случае показатель-
ные диаграммы будут говорить о распределении огородного
участка по отдельным посевам картофеля, лука, моркови и т. д.,
о числах дней созревания разных овощей и т. д.; во втором
случае — о сравнительной урожайности на земле удобренной
и неудобренной, при трехпольи и многопольи и т. д.
Диаграммы объясняются, при чем особое внимание обращается
на масштаб для оценки сравниваемых величин, учащиеся
измеряют сравниваемые фигуры миллиметровою шкалою
и переводят диаграмму на числовую таблицу, записываемую
в тетради. После показательных диаграмм читаются те, кото-
рые имеются в учебнике или в периодических изданиях —
журналах и газетах, при чем сначала выбираются простые,
прямолинейные диаграммы. Когда учащиеся привыкнут
к чтению диаграмм, следует упражнять их в составлении
и в вычерчивании диаграмм; здесь приходится повторить
о необходимости выбора на первых порах легкого в ариф-
метическом смысле материала. Это необходимо, во-первых,
потому, что учащиеся второй группы оперируют над числами,
не превышающими 1000, а во-вторых, потому, что при пер-
вых упражнениях в составлении диаграмм центр внимания
должен быть обращен на сформирование внешности чертежа

и на его исполнение, но не на арифметические расчеты.
Позднее, в третьей группе, центр тяжести графической
работы следует перенести на вычисления.
Возьмем для примера сведения о средней продолжитель-
ности созревания сельскохозяйственных растений в централь-
ных губерниях:
Озимая рожь созревает 340 дней.
Овес ... „ 115 „
Ячмень. . . „ 120 „
Лен ... . „ 105 „
Гречиха „ 90 „
и переведем эти сведения на диаграмму, которую вычертим
на четвертушке бумаги, разлинованной в квадратную сетку.
Первый вопрос, который следует предложить коллективному
обсуждению класса, это — как расположить диаграмму?
Какой край бумаги удобнее выбрать верхним? Эти вопросы
обсуждаются в связи с заданными числами. Удобно ли будет
отметить один день одною клеткою? Не лучше ли отметить
одною клеткою 10 дней? Может быть, еще лучше отметить
одною клеткою 5 дней? Тогда вместо заданных чисел 340,
115, 120, 105 и 90 придется изобразить числа 68, 23, 24,
21 и 18. Если эти числа будут изображены полосами разной
длины, то какую ширину надо выбрать для полос? Чем шире
полоса, тем она короче. Нам нельзя выбирать широкие
Черт. 9.

полосы, так как число их равно 5 и они могут не поме-
ститься на нашем листке бумаги; с другой стороны, чем
шире полосы, тем меньше они будут разниться друг от друга
длиною. Между тем нам необходимо сделать так, чтобы
разница длины полос была отчетливою. Попробуем сделать
полосы шириною в 2 клетки; тогда самая длинная полоса
должна иметь длину 68:2=34 клетки. Сосчитав число кле-
ток по длинной стороне четвертушки бумаги, мы увидим,
что полоса длиною в 34 клетки едва умещается на листке
и что не останется места для надписей. Поэтому решаем
сделать полосы шириною в 3 клетки. Тогда длины полос
будут соответственно 68:3=222/3, 23:3=72/8, 24:3=8, 21:3=7
и 18:3=6. Теперь обводим по линейке (черт. 9) пять полос
шириною по 3 клетки и длиною 222/3, 72/3> 8, 7 и 6 клеток,
при чем две трети клетки откладываем по глазомеру. Диа-
грамма должна сопровождаться пояснительными надписями,
сделанными как можно более тщательно. С первого же раза
следует приучить учащихся делать надписи, подражая
печатным буквам, соблюдая одинаковую вышину букв и оди-
наковые интервалы между словами. Затем необходима над-
пись, поясняющая величины на чертеже; в данном случае
следует указать, что одна клетка чертежа соответствует,
как мы выбрали, пяти дням.
Раскрашивание диаграмм—дело трудное, посильное уча-
щимся не ранее 5-го года обучения; хорошее раскрашивание
акварельными красками требует исполнения чертежа на ват-
манской бумаге, широкой кисти, очень хороших красок
и сноровки руки. Раскрашивание цветными карандашами
редко удается. Обыкновенно получается непривлекательная
пятнистость, уместная и неизбежная в рисунке, но недо-
пустимая на чертеже. Чертеж всегда должен выглядеть
нарядным, чистым, ровным, строгим. Совсем не беда, если
чертеж исполнен карандашом. Карандашный чертеж можно
сделать очень аккуратно и он будет выглядеть прекрасно.
Так как школьники первой ступени, особенно сельских
школ, вряд ли будут обладать рейсфедерами, а с помощью
обыкновенного пера слишком трудно обвести чертежные
линии чернилами, то придется ограничиться карандашным
исполнением чертежа, но, повторяю, следует требовать вели-
чайшей тщательности исполнения. Если учащиеся обнару-
жат стремление раскрашивать диаграммы, то лучше всего
пользоваться разноцветною бумагою, вырезывать из нее
(после соответственного чертежа на обратной стороне) необ-
ходимые полосы или фигуры и наклеивать последние
на вычерченную диаграмму, для которой следует выбирать
в таком случае бумагу потолще. Наклеивать надо свежим
клейстером, хорошо разглаживать и высушивать под прессом.

Черт. 10.

Учащиеся должны составить несколько таких прямо-
линейных диаграмм, чтобы овладеть пониманием дела и тех-
никою исполнения. Но длительное занятие одним и тем же,
а главное—при однообразии внешней формы, может приску-
чить. Я высказал уже желательность разнообразия внешнего
вида диаграмм, а теперь приведу несколько примеров таких
форм, которые еще не надоели и вместе с тем просты
в смысле исполнения. Вот мы имеем (черт. 10) диаграмму
времени рождения и смерти русских классиков, писателей
и поэтов. Я не претендую на полноту этого списка, я поль-
зуюсь только теми данными, которые я сам собрал. Благодаря
миллиметровой бумаге, на которой вычерчена диаграмма,
мы легко можем распознать годы рождения и смерти каждого
из перечисленных писателей; например, не трудно усмотреть,
что Л. Толстой родился в 1828 г. и умер в 1910 г. Иссле-
дование диаграммы позволяет решить много интересных
вопросов, из которых упомяну следующие: 1) с кем из пи-
сателей и поэтов мог видеться А. П. Чехов по окончании
курса гимназии (или университета)? 2) какие десятилетия
прошлого века надо считать временем наибольшего расцвета
русской поэзии? Диаграмма дает материал и для легких
арифметических подсчетов: кто жил дольше всех, какова
средняя продолжительность жизни всех поименованных
лиц и т. д.
Указанный тип диаграммы очень удобен для наглядной
записи работ по огороду, если мы по тому же плану отметим,
когда посеяно какое растение, когда оно взошло, когда
созрело или взято с огорода и т. д.
На следующей диа-
грамме (черт. 11),
которую я заимство-
вал из книги С. Н.
Жаркова „Метеоро-
логические наблюде-
ния в школе“, 2-е изд.,
Гос. Изд., Москва,
1923 г., стран. 228,
рис. 77, изображена
так называемая „ро-
за ветров“. Здесь от
центральной точки
отложены в 8 напра-
влениях, основных
по отношению к стра-
нам света, отрезки,
длины которых ПрО-
Черт. 11.

порциональны числам, указывающим средние числа наблю-
денных направлений ветра. Наблюдения делались 3 раза
в день и из наблюдений в течение многих лет получи-
лись для декабря те средние числа, которые надписаны.
Дробные числа получились потому, что они являются сред-
ними за несколько лет. Диаграмма сразу обнаруживает, что
преобладающее направление ветра в декабре отмечается
юго-западным сектором.
Такой внешний тип диаграммы подходит для изобра-
жения разнообразных статистических данных, например:
Сравнительная частота смертных случаев в СССР, по месяцам года.
январь 96 май 87 сентябрь 88
февраль 84 июнь 123 октябрь 84
март 96 июль 158 ноябрь 82
апрель 89 август 120 декабрь 93
Для построения соответственной диаграммы придется
провести из одной точки 12 лучей, образующих друг с другом
одинаковые углы; для этого следует провести сначала две
взаимно перпендикулярные прямые, а затем разделить
каждый из образовавшихся прямых углов на 3 равные части;
это деление можно произвести или известным циркульным
построением, или с помощью транспортира.
Диаграмму, подобную розе ветров (черт. 11), можно
вычертить в городской школе большого города, собрав све-
дения, в каком направлении от школы проживают учащиеся
данного класса или, еще лучше, всей школы. Для этого
учащиеся рассматривают план города и находят места школы
и своего дома; каждое показание записывается, а потом
подводятся итоги.
В третьей возрастной группе возможны круговые диа-
граммы. Для построения их очень удобен процентный транс-
портир, т.-е окружность, разделенная на 100 равных частей.
Такие транспортиры стали появляться в новых книгах,
например в книге В. В. Добровольского: „Графический метод
в школе“, Гос. Изд. Москва, 1924 г., в моей книге „Пособие
по математике для 1-го года сельской школы II ступ.“,
Гос. Изд. Москва, 1925 г., и др. Массовое производство про-
центных транспортиров, при очень дешевой продажной цене,
предприняло Госманапо (Гос. мастерские наглядных пособий,
Москва, здание Политехнического музея). С помощью про-
центного транспортира очень легко и прочесть и составить
круговую диаграмму, причем для составления ее надо сде-
лать перевод данных чисел в процентные отношения.
Допустим, что мы хотим изобразить распределение
животных в сельском стаде, зная, что в нем 58 лошадей,
97 коров, 170 свиней и 248 овец. Так как в стаде всего

58+97+170+248=573 голов, то число лошадей составляет
58/573=0,10 = 10%, число коров 97/573=17%, свиней 170/573 = 30% и
248
овец —=43°/0. Поверка: 10-f-l 7+30+43 = 100. В таких вы-
числениях нет смысла вычислять доли процента, так как
на маленьком круге дуга, равная 0,01 всей окружности,
едва видна; надо округлять до целых единиц процента
и потом проверить общий итог: он должен равняться 100.
Накладываем вычерченный нами круг на процентный транс-
портир так, чтобы центры кругов совпали; отмечаем точками
на нашем листе бумаги нужные деления транспортира,
приставляем линейку к одной из точек и к центру и про-
водим соответственный радиус в нашем круге. Таким образом
мы проведем несколько радиусов, которые разделят наш
круг на секторы; длины дут и площади секторов будут
пропорциональны намеченным числам, в данном случае 10,
17, 30 и 43. Само собою разумеется, что построению круговых
диаграмм должно предшествовать знакомство с вычислением
процентных отношений.
В третьей же группе возможно чтение и построение
простейших графиков, а в четвертой группе можно заняться
этим делом несколько основательнее и ознакомить учащихся
с интерполированием и экстраполированием.
График следует вычерчивать или на бумаге, разлино-
ванной в квадратную клетку, или, еще лучше, на милли-
метровой бумаге. Последняя должна сделаться очень ходовым
школьным пособием. Учащиеся первой ступени не сумеют
сделать хорошую линовку для графика, они должны поль-
зоваться готовою, отчетливою линовкою, так как иначе
получится плохой чертеж и, следовательно, профанация
графика.
На графике по горизонтальному направлению обыкно-
венно откладываются одинаковые промежутки времени,
а по вертикальному направлению величины, пропорциональ-
ные числовым значениям исследуемой величины, соответ-
ствующим данному моменту времени. Следует иметь в виду,
что масштабы для величин по горизонтальному и по вертикаль-
ному направлениям могут быть различными, так как эти вели-
чины разнородные. Например, если мы исследуем изменение
температуры воздуха по часам суток, то мы имеем здесь
дело с двумя величинами: температура и время, которые
меряются различными единицами; поэтому мы можем откла-
дывать на чертеже промежутки времени в одном масштабе,
а температурные изменения — в другом. Тот же пример
разъясняет нам то, что на графике, при соединении соседних
вертикальных отложений, получается резко выраженная
ломаная линия, когда эти отложения далеки одно от другого,

т.-е. когда горизонтальные промежутки велики; наоборот,
линия, выявляемая графиком, тем более приближается
к кривой, чем меньше промежутки времени. Если мы изме-
ряем температуру больного два раза в сутки (утром и вече-
ром) и наносим показания термометра на клетчатую бумагу,
то получаем график в виде резкой ломаной. Но самопишу-
щий прибор, отмечающий непрерывно температуру воздуха,
вычерчивает более или менее плавную кривую.
Составлению графика, так же как и по отношению
к диаграмме, должно предшествовать чтение и исследование
готовых графиков. Учителю следует добыть или заготовить
несколько показательных графиков. Привожу для образца
следующие графики, которые следует скопировать наболь-
ших листах, в сильно увеличенном виде, чтобы было возможно
демонстрировать в классе.
На черт. 12 имеем ход температуры больного воспале-
нием легкого. Очень наглядны резкие повышения температуры
Черт. 12.
в день заболевания и падение на седьмом дне; это падение,
как начало выздоровления, называется благоприятным кри-
зисом. Чтение графика состоит в переводе чертежа на та-
бличную запись температуры. Сличение графика с таблицею
приводит к бесспорному заключению, насколько графическое
изображение нагляднее и яснее характеризует изучаемое
явление.

На черт. 13 мы видим нормальный суточный ход силы
ветра при хорошей погоде летом по наблюдениям в Ленин-
граде (из книги С. Н. Жаркова: „Метеорологические наблю-
Черт. 13.
дения в школе“, 2-е изд., Гос. Изд., Москва, 1923 г., стр. 177,
рис. 60). По горизонтальному направлению отложены про-
межутки времени по 2 часа, при чем начало суток (полночь)
отмечено цифрою 0, полдень—числом 12 и начало следующих
суток—числом 24. По вертикальному направлению указана
сила ветра, измеренная скоростью движения воздуха; скорость
обозначена числом метров в секунду. График показывает,
что воздух спокойнее всего (надо помнить, что речь идет
о хорошей погоде летом) в ночные часы от 4 до 6 часов
и имеет наибольшее движение от 14 до 16 час, т.-е. от 2 до
4 час. дня. Этот график надо также перевести на числовую
таблицу; я еще вернусь к нему, так как он весьма удобен
для интерполирования.
Для построения третьего показательного графика я
приведу только числовые сведения, так как самое построе-

ние, после вышеприведенных примеров, не может причинить
учащим серьезных затруднений. Средние месячные темпе-
ратуры воздуха в Москве по наблюдениям за 35 лет с 1872 г.
по 1906 г. выражаются следующими числами градусов Цельсия.
январь —9,5 май -+14,9 сентябрь... +8,4
февраль —7,9 июнь -j-18,1 октябрь....
март —1,4 июль +18,9 ноябрь —4,3
апрель -J-7,8 август +14,4 декабрь —9,7
График, который получится, имеет значение в двух
отношениях. Во-первых, температуры будут отложены вверх
и вниз от нулевой горизонтальной черты, и мы увидим
наглядное изображение положительных и отрицательных
чисел. Во-вторых, этот график будет интересно сличить
с тем, который получится на основании школьных наблю-
дений. Пользуюсь случаем настойчиво рекомендовать учи-
тельству организацию метеорологических наблюдений, тем
более, что они выдвинуты на видное место программою ГУС'а.
Эта организация, благодаря неоднократно цитированной
мною прекрасной книге С. Н. Жаркова, значительно облег-
чается; книга обстоятельно указывает, какие ценные наблю-
дения могут делать школьники, даже не располагая приборами.
Но термометр, хотя бы и недорогой, должен быть в числе
обязательных школьных пособий. Учитель обязан принять
все зависящие от него меры, чтобы школа обладала термо-
метром. Если органы снабжения не дают самого термометра
или денег на его приобретение, то надо найти местные
средства, хотя бы путем обложения родителей учащихся.
Как производить наблюдения — я отсылаю читателя к книге
С. Н Жаркова и в дальнейшем буду предполагать, что на-
блюдения ведутся регулярно, изо дня в день, записываются
и на основании записей вычисляются между прочим средние
месячные температуры и средняя годовая. Когда многие
школы в различных местностях соберут такой материал
за несколько лет, то государство получит неоцененные данные
для изучения климата того или иного района. Каждому
должно быть ясным, насколько важно знание местного
климата в земледельческой стране; а мы, к нашему стыду,
этого не знаем и продолжаем относиться небрежно к во-
просу первостепенной важности. Если старая школа не сумела
завести правильные метеорологические наблюдения, то игно-
рирование их новою школою будет непростительным грехом.
Кроме общегосударственного значения метеорологических
наблюдений, они важны и в учебном отношении; они дают
богатейший материал для разного рода действительно жиз-
ненных и математически разнообразных задач. И вот, говоря
о построении графиков, мы столкнулись вплотную с метео-
рологическими наблюдениями, особо ценными для обсу-

ждаемого вопроса. Наблюдения, сделанные учащимися, необ-
ходимо использовать для построения графиков. Кроме того,
следует брать разного рода обществоведческий материал,
например, рост населения, промышленности, транспорта и т. д.
Построение каждого графика требует серьезных арифмети-
ческих расчетов и чертежного искусства; мы усматриваем,
что в одном деле сливаются математика, изобразительное
искусство и вопрос из естествознания или обществоведения,
так что в общем получается безыскусственный и действенный
комплекс.
График не только дает нам наглядное изображение
изменения исследуемой величины, он позволяет нам вычислять,
с достаточною приблизительностью, некоторые неизвестные
значения той же величины, заключающиеся между двумя
известными значениями той же величины; такое вычисление
промежуточного значения между двумя данными назы-
вается интерполированием. Оно может быть произведено
и без чертежа, т.-е. без графика, простыми арифметиче-
скими расчетами. Допустим, например, что нам известно,
что в одном городе в 1910 г. было 49 тысяч жителей,
а в 1920 г. было 56 тысяч жителей, и что население
этого города непрерывно увеличивалось; сколько жителей
было в том же городе в 1917 году? Мы получим ответ
на основании следующих рассуждений. За промежуток
времени с 1910 по 1920 годы, т.-е. за 10 лет, население
города увеличилось на 56 — 49 = 7 тысяч человек, следо-
вательно в течение одного года население увеличивалось
в среднем на 0,7 тысячи, а поэтому за промежуток с 1910
по 1917 годы, т.-е. за 7 лет, увеличение равно 0,7. 7 = 4,9 ты-
сячи, или, округляя до целых единиц, 5 тысячам. Итак, в 1917 г.
население города было 49 -|- 5 = 54 тысячи. Ясно, что этот
ответ приблизительный. Неточность ответа происходит, ко-
нечно, не от того, что мы округлили число 4,9 до 5, а от того
что мы предполагали, что население города увеличивалось
равномерно из года в год, иначе говоря, увеличивалось
по закону прямой пропорциональности, чего на самом деле
не бывает. Если величина изменяется по закону прямой
пропорциональности, то график величины представляет
собою прямую линию; при другом законе изменения полу-
чается кривая линия. Но очень короткая дуга всякой кривой
линии мало отличается от прямолинейного отрезка, и мы
часто на практике отождествляем, без видимой ошибки,
малую дугу кривой с прямым отрезком. Например, когда
мы стреляем из ружья в близкую цель, мы прицеливаемся
так, как будто пуля полетит по прямой линии; на самом же
деле пуля двигается по кривой линии (параболе), но короткая
дуга такой параболы почти совпадает с прямолинейным
отрезком. Если же целятся из ружья на далекую дистанцию,

то приходится учесть кривизну пути пули; известно, что
на военных винтовках есть особая поднимающаяся мушка
для далекого прицела. Из приведенного примера становится
понятным, что вычисление промежуточной величины тем
менее надежно, чем дальше друг от друга крайние зна-
чения величины, между которыми мы интерполируем.
Интерполирование значительно облегчается графиком.
Вернемся к черт. 13, на котором изображен суточный ход силы
ветра; допустим, что этот чертеж составлен на основании
наблюдений, производившихся через каждые два часа,
именно в четные часы. Тогда очевидно, что для того, чтобы
узнать, какова была сила ветра в промежуточные часы,
например, в 19 час. или в 7 час. вечера, надо провести
к горизонтальной прямой, на которой обозначены часы,
в точке, отмечающей 19 часов (на средине между 18 и 20),
перпендикуляр до встречи с кривою. Этот перпендикуляр,
как видно из чертежа, встретит кривую линию на высоте,
обозначенной слева числом 4,5. Итак, в 7 час. вечера сила
ветра была равна 4,5 метра в секунду.
Предлагаю составить график роста народонаселения
в России по следующим данным:
и узнать, с помощью графического интерполирования, число
миллионов жителей для некоторых годов, не значащихся среди
приведенных данных, например, в 1825, 1861, 1877 годах и др.
Интерполирование между узкими пределами приводит
к удовлетворительным в смысле приблизительности резуль-
татам и поэтому широко практикуется при разного рода каль-
куляциях. Обратимся теперь к экстраполированию, т.-е.
к определению значения исследуемой величины, находяще-
гося вне данных, или известных значений. В этом случае мы
не знаем дальнейшего хода изменения величины, мы делаем
более или менее вероятное предположение; в переводе дела
на график мы имеем кривую, обрывающуюся в какой-либо
точке, и хотим продолжить эту кривую. Но как она пойдет, мы
не знаем; мы можем только делать предположения, осно-
ванные на изучении наличного хода кривой. Рассмотрим,
например, черт. 14, изображающий рост населения некоторого
города; числа, помеченные в левой стороне чертежа, ука-
зывают число тысяч жителей. Сколько жителей будет в этом
городе в 1930 г.? Кривая (сплошная) остановилась, как

видно, на точке, показывающей, что в 1924 г. в городе
числилось 49 тысяч жителей. Как пойдет кривая дальше?
Черт. 14.
Предполагаем, что до 1930 г. в городе не случится таких
экстренных обстоятельств, которые изменят ход роста насе-
ления, наблюдавшийся до сих пор. Тогда мы можем про-
должить кривую (это сделано на чертеже пунктиром) сооб-
разно ее предыдущему течению и найдем, что в 1930 г. число
жителей достигнет, вероятно, 58 тысяч. Способ получения
этого числа и называется экстраполяцией; она всегда более
или менее гадательна, но другого способа нет, когда мы
хотим сделать наиболее вероятное предсказание. Такого
рода вычисления безусловно необходимы и неизбежны
при планировании всякого хозяйства во всяком масштабе.
Развивая промышленность, сеть железных дорог, школ и т. д.,
государственные деятели должны производить много вычис-
лений, основанных на экстраполяции имеющихся данных.
Школьники, изучающие государственное хозяйство, начиная
от его основной ячейки—крестьянского двора, через волость,
уезд, губернию и т. д. должны познакомиться с методом
предсказаний при составлении графиков. Это занятие вполне
доступно учащимся четвертой группы и легко может быть
связано с различными обществоведческими темами и под-
темами.

VIII. Математические игры и развле-
чения, числовые курьезы.
Игры, содержащие арифметический, комбинаторический,
геометрический и вообще математический материал, могут
служить превосходным пособием для обучения детей мате-
матике. Особая ценность такого пособия состоит в том,
что учащиеся, играя, не замечают, что упражняются в мате-
матических навыках; игра более свойственна детскому
возрасту, чем учоба, и вызывает максимальную активность
со стороны учащихся. Игры должны быть использованы
в школе по двум соображениям. Первое то, что игры, орга-
низуемые школою, делают менее заметным переход ребенка
от абсолютно вольного режима к школьному и представляют
собою ценное педагогическое средство; а второе—то, что школа,
культивируя образовательные игры, благотворно повлияет
и на взрослых членов семьи учащегося. В нашей глухой
деревне дети играют в бабки, чижика, лапту, городки;
эти игры имеют лишь спортивное значение, как движение
на открытом воздухе; образовательный элемент отсутствует.
Взрослые не знают других игр, кроме азартных карточных.
О разумной, интересной и совместной игре взрослых и детей
говорить не приходится; это явление, весьма распростра-
ненное в европейских государствах, вовсе не наблюдается
у нас. Между тем объединение всех членов семьи в часы
досуга веселою увлекательною игрой внесло бы культурную
струю в деревенский быт. Школа может помочь этому,
прививая детям хорошие игры, например, avanti или рич-рач,
в которых материальный интерес отсутствует, но имеется
безобидный азарт, способный увлечь и взрослого.
К сожалению, хороших, образовательных игр изобретена
немного и, кроме того, они редко встречаются на рынке
игрушек. Государство должно организовать издательство
математических игр, привлечь к редактированию таких игр
компетентных лиц и установить щедрое поощрение изобре-
тателей новых игр, заслуживающих одобрения с педагоги-
ческой точки зрения.
Перехожу к перечислению и критике известных игр,
при чем делю их на две категории: игры коллективные
и игры в одиночку, обычно называемые головоломками.

Игры коллективные.
1. Домино следует признать отличною игрою для
дошкольников и школьников первой группы, так как оно
содержит элементы комбинаторики, геометрических фигур
и упражняет в усвоении чисел от 1 до 6 по зрительным
образам (фигурные числа Песталоцци). Игру можно огра-
ничить процессом составления цепи открытых шашек; тогда
выигрыш определяется только освобождением от имеющихся
на руках шашек и игра не содержит элемента счета.
Но во второй половине первого года можно ввести в игру
счет, оценивая проигрыш по числу очков оставшихся на руках
шашек; этот счет можно усложнить условиями, что шашка,
содержащая в одной из половин пустышку, оценивается
двойным числом очков на второй половине и что наличность
у одного из проигравших двойной пустышки увеличивает
весь проигрыш вдвое. Геометрический элемент игры может
быть усилен требованием складывать фигуру определенной
формы, например, в виде квадрата или прямоугольника
или греческого орнамента и т. д. Домино удобно тем>
что легко изготовляется домашними средствами, например,
из толстого картона; каждая шашка должна иметь форму
двойного квадрата. Заслуживает особого внимания домино,
в котором вместо шаблонных круглых очков делаются худо-
жественные рисунки предметов, вызывающих представление
об определенном числе (глаза вместо числа 2 и т. п.).
Следовало бы объявить конкурс на составление такого художе-
ственного домино и затем широко размножить премированную
модель. Игра усложняется и приобретает большую мате-
матическую ценность, если прибавить число шашек, сделав
старшую не 6/6, а 9/9. Существует еще интересный в счетовом
отношении вариант игры в домино, при старшей шашке 6/6,
когда к свободному концу шашки приставляется новая
так, чтобы сумма очков на прикладываемых друг к другу
половинках была равна 7. К пустышке прикладывается
только пустышка. Этот вариант почему-то называется
„козырное домино“.
2. Арифметическое лото, состоящее из 3-полос-
ных карт с числами от 1 до 90, размещенными по 5 чисел
в каждой полосе, упражняет играющих только в чтении
и выговаривании однозначных и двухзначных чисел и совер-
шенно не содержит элемента счета. Поэтому такое арифме-
тическое лото не представляет собою большой ценности
в образовательном отношении и может служить в первой
возрастной группе лишь пропедевтическим упражнением
в знакомстве с двухзначными числами. Лото легко может
быть изготовлено домашними средствами. Необходимо, чтобы
шашки с обозначенными на них числами были одинаковой

формы и размера, иначе разновероятность извлечения
из мешка той или другой шашки будет нарушена. Что же
касается изготовления карт, то расстановка на них чисел
может быть произвольною. Число карт, исчерпывающих
все комбинации, огромно и равно числу сочетаний из 90 эле-
ментов по 15.
3. Игра в крестики, состоящая из заполнения
крестиками клеток квадратной фигуры и подсчета числа
занятых клеток по горизонтальному, вертикальному и диаго-
нальным направлениям, достаточно содержательна в отно-
шении счета и заслуживает внимания для второй группы.
Геометрический элемент в игре ничтожен и даже исчезает,
если клетчатая фигура, крестики и зачеркивание делаются
небрежно. Недостатком игры следует признать ее скучно-
ватость и еще более то, что в процессе игры требуемая
фигура делается от руки, небрежно.
4. Игра в „извощика“ вряд ли может быть причис-
лена к математическим и не заслуживала бы упоминания,
если бы не встречалась в методических указаниях (И. И. Гра-
цианский. Первые шаги). Числа, отмечающие пункты, между
которыми совершается путаное передвижение, имеют значе-
ние не арифметическое, а лишь знаков отличия или названия
пунктов. Траектории движения безусловно неинтересны
в геометрическом отношении. Комбинаторика отсутствует.
Остается упражнение в своеобразной смекалке, которое
по недоразумению попадает в математический инвентарь
методических пособий. Оставив в стороне математику, следует
воспользоваться случаем для указания на отрицательную
сторону трактуемой игры, так как бедность ее замысла
и процесса позволяет играющим делать небрежный чертеж,
между тем как азбука педагогики запрещает всякую
небрежность. Затем читателю может показаться странным
и мелочным с моей стороны обращение внимания на всегда
возмущающее меня явление — выдирание листка бумаги
для такой игры. Манеру вырывать бумагу из тетради для
случайных надобностей я могу назвать только отврати-
тельною.
5. Avanti (итальянское слово: вперед). Эта превос-
ходная игра встречается и теперь среди продажных лото
под разными названиями: цирк, козел и т. д. Большой
картон, в продаже сложенный вчетверо и по размеру равный
развернутому листу бумаги, разделен на 120 одинаковых
клеток (черт. 15), расположенных в 10 рядов и перенуме-
рованных так, как указано на черт. Каждый играющий
получает шашку определенного цвета или формы. Число
играющих не должно быть велико, не более 6, так как иначе
каждому приходится долго ждать своей очереди. Игроки
выбрасывают две обыкновенные игральные кости, т.-е. два

Черт. 15.
одинаковые кубика, на гранях которых отмечены фигурным
способом или цифрами числа от 1 до 6. Сумма чисел, вскрыв-
шихся на верхних гранях костей, определяет, на сколько
клеток подвигается вперед шашка игрока. Выигрывает тот,
кто раньше достиг клетки 120. Интерес игры и безобидный
азарт получаются от подъемов и падений шашки на карте,
так как некоторые клетки соединены восходящими линиями,
а другие нисходящими. Игрок, ставший, например, на клетку 32,
поднимается на клетку 93, или ставший на клетку 103
опускается на клетку 22. Таким образом непрерывного
движения нет; движение капризно, и игрок, опередивший
других, может в следующую очередь оказаться сзади всех.
Игра может быть изготовлена домашними средствами; места
и вышина подъемов и спусков могут быть расположены
произвольно, но желательно разнообразно и так, чтобы общее
число подъемов было равно числу спусков. Необходимо доба-
вить условие, что попавший на верхнюю строку подвигается
по ней после выбрасывания только одной кости и что
выигрышную клетку 120 нельзя перескочить, т.-е., например,
стоящий на клетке 116 может выиграть одним ударом, лишь
вскрыв на кости число 4. Если вскроется больше, то делается
отражение от клетки 120 назад. Таким образом стоящему
на пороге выигрыша приходится иногда долго ждать счаст-

ливого вскрытия подходящей грани. Эта игра, доступная
учащимся второй группы, способна увлечь и взрослых:
так забавны капризы передвижения.
6. Лото Архимеда. Так назвал я игру, приду-
манную мною для упражнения детей второй группы в та-
блице умножения. Делаются 5 карт, на которых изображены
числа: 1) 16, 28, 32, 40, 45, 54 и 72; 2) 24, 25, 30, 35, 36,
42 и 56; 3) 20, 28, 36, 40, 48, 49 и 63; 4) 24, 30, 35, 45, 54,
64 и 72; 5) 20, 32, 42, 48, 56, 63 и 81. Играющих 5, и каждый
получает по карте и по 7 шашек для покрытия чисел
на карте. Игроки выбрасывают по очереди две кости, т.-е.
два одинаковые кубика, на гранях которых изображены
числа: 4, 5, 6, 7, 8 и 9; вскрытые на верхних гранях числа
перемножаются, и если полученное произведение имеется
на карте играющего, то он закрывает это число, если же
полученного произведения нет на карте, то очередь игрока
пропадает безрезультатно. Каждый игрок закрывает числа
только в своей очереди, так что владелец третьей карты
(см. выше) не закрывает числа 48, если владелец первой
карты выкинул 6X8. Выигравшим считается тот, кто раньше
закроет все числа своей карты; число очередей выбрасы-
вания костей должно быть одинаковым для всех игроков.
Математический недочет игры состоит в том, что не все
карты равноценны, так как вероятность получения в произ-
ведении 36 больше, впрочем, на ничтожную величину, других
чисел.
7. Прыжки до 100 0. Так назвал я игру для упраж-
нения учащихся второй группы в таблице умножения и в сло-
жении до 1000. Число играющих не более 5—6, так как
иначе каждому придется долго ждать своей очереди. Играю-
щие выбрасывают два одинаковые кубика, на гранях которых
изображены числа от 4 до 9 включительно; числа на вскрытых
гранях перемножаются, и игрок записывает полученное
произведение. В следующую очередь тот же игрок приба-
вляет новое произведение к предыдущему и т. д. Число
очередей у всех игроков должно быть одинаковым. Выигры-
вает тот, кто раньше достигнул числа 1000, а если в п-ой
очереди несколько игроков превзошли 1000, то выигрывает
тот, у кого получилось большее число.
8. Бросание мешка. Игра хороша тем, что число
играющих может быть большое; весь класс может принять
участие. Все играющие делятся на две партии. Необходимо
сшить мешочек из плотной материи, насыпать чистого, сухого
песка так, чтобы вес мешочка был равен приблизительно
V2 килограмма, и хорошенько зашить мешочек. Игра проис-
ходит в зале или в просторной классной комнате, где на полу
много свободного места. На полу вычерчиваются мелом,
привязанным к бечевке, три концентрические окружности,

радиусы которых последовательно равны приблизительно
50, 75 и 100 центиметрам. Играющие становятся на рассто-
янии 4—5 метров (это расстояние может быть по желанию
увеличено или уменьшено) от наружной окружности и бро-
сают мешок, стараясь, чтобы он лег во внутреннем круге.
Место, откуда производится бросание, отмечается на полу
меловою чертою. Жребием устанавливается, какая партия
начинает, но в дальнейшем каждая партия имеет одина-
ковое число бросаний мешка; сначала бросает первый игрок
первой партии, за ним первый игрок второй партии, потом
второй из первой партии и т. д. Если мешок ляжет
во внутреннем круге, то партия присчитывает себе 3 очка;
если мешок ляжет во внутреннем кольце—2 очка, если
в наружнем кольце—1 очко; если мешок окажется вне боль-
шого круга, то партия теряет 2 очка; если же мешок ложится
на черту внутренней окружности, то присчитывается 2 очка;
на черту средней окружности—1 очко, на черту наружной
окружности—удар пропадает безрезультатно. Каждый игрок
действует в пользу своей партии и выигрывшею считается
та, которая собрала за определенное число очередей больше
очков. Заинтересованность обеих партий заставляет всех
участников считать. В отношении счета игра доступна
младшей группе. Но ее можно использовать и в других
возрастных группах, заменив основные числа 3, 2 и 1 любою
другою тройкою чисел, например, 6, 4 и 2 или 15, 10 и 5 и т. д.
9. Бросание кольца. На наружной стене дома
ввинчиваются на одинаковых расстояниях друг от друга
крюки или вбиваются наклонные втулки; число крюков или
втулок произвольно, но не более 12. С расстояния 3—4 метра
от стены бросается железное или сплетенное из ивы кольцо
так, чтобы оно повисло на крюке или на втулке; в этом
случае партия присчитывает себе столько очков, сколько
написано под крюком или втулкою; подписанные числа могут
быть произвольными. Порядок игры такой же, как и преды-
дущей. Игра при соответсвенном подборе чисел доступна
любой возрастной группе и проходит оживленно, развивая
одновременно меткость руки и глаза.
10. Рич-рач, или тише едешь, дальше будешь.
Делается квадратная картонная доска размером приблизи-
тельно в развернутый лист бумаги; на карте вычерчивается
фигура, изображенная на чертеже, при чем удобно сделать
одинаковые кружки, обводя карандашом двугривенный. Неко-
торые кружки, как указано на черт. 16 одинаковыми метками,
надо раскрасить одною и тою же краскою, всего понадо-
бится 4 цвета. Тех же цветов делаются по 4 шашки, уста-
навливаемые на местах в стороне от крестовины. В игре
участвуют 4 человека. Требуется одна игральная кость,
т.-е. кубик, на гранях которого обозначены числа от 1 до 6.

Черт. 16.
Каждая шашка входит на крестовину только в том случае,
если кость вскрыла 1 или 6, а затем подвигается вперед,
держась левой стороны, по наружным кружкам крестовины,
пока не обойдет ее кругом и не выйдет в свой внутренний
ряд. Выиграл тот, кто раньше других проведет свои 4 шашки
кругом в свой ряд. Шашка подвигается вперед на столько
мест, сколько очков вскрылось на кости. Если шашка
должна стать на кружок, уже занятый чужою шашкою,
то последняя сбивается с места и возвращается на перво-
начальное положение в стороне от крестовины, откуда может
снова начать полный обход, когда кость вскроет 1 или 6.
Игрок может подвигать вперед любую из тех своих шашек,
которые уже стоят на крестовине. Вскрытие на кости числа 6
дает право на повторное бросание кости. Игра доступна
младшей возрастной группе и, подобно игре Avanti, дает
много оживления, способного заразить и взрослых.
11. Продовольственная лавка. Игра может
занять большое число детей и повторяться при перераспреде-
лении ролей между играющими. Необходимо заготовить:
1) предметы, которые изобразят в игре продовольственные
продукты, например: песок—вместо муки, шишки—карто-

феля, камешки—сахара и т. д.; 2) весы с гирями, лучше
2—3 весов и несколько комплектов гирь. Весы и гири можно
изготовить домашним способом, а взвешивать способом тари-
рования (см. главу о метрологии); 3) листочки бумаги, лучше
разноцветные, для обозначения денежных знаков. Играющие
распределяют между собою роли приемщиков товара, про-
давцов, покупателей, контролеров, кассира и ревизоров.
Производится учет товара, затем продажа его покупателям;
контролеры составляют счета, кассир принимает деньги,
ревизоры проверяют счета, кассу, и в заключение произво-
дится учет оставшегося товара и составляется отчет. Игра
весьма богата разнообразным счетовым материалом и наи-
более подходит для второй возрастной группы, давая подго-
товку к пониманию реальных операций кооперативной лавки.
12. Шашки и шахматы почти не содержат математи-
ческого элемента, но, благодаря упражнениям в комбина-
торике, заслуживают серьезного внимания. Труднейшая
из всех игр — шахматы — отличается особым благородством
и далека от материальных расчетов. Чтобы сделаться хорошим
шахматистом, надо ознакомиться с игрою возможно ранее.
Дети в возрасте 7—8 лет отлично усваивают ходы шахматных
фигур. Не следует думать, что способности к шахматной
игре и к математике тождественны; более того, выдающийся
шахматист представляет собою зачастую весьма ограни-
ченного человека и, наоборот, видный ученый или госу-
дарственный деятель может оказаться посредственным
шахматистом.
Что касается шашек, то эта сравнительно легкая игра
имеет недурные варианты, как, например, игра в поддавки,
в волки и овцы и т. д.
Игры в одиночку, головоломки.
1. Магические квадраты, т.-е. квадраты, состо-
ящие из 9, 16, 25 и т. д. клеток, в которых размещаются
числа 1 — 9, 1 —16, 1—25 и т. д. так, чтобы сумма чисел
в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух
главных диагоналей была одна и та же и соответственно
равна 15, 34, 65 и т. д., вообще 11 ] —, где п—число клеток
в одной строке или в одном столбце. Выдающиеся по сооб-
разительности учащиеся могут найти общее теоретическое
решение магического квадрата.
Можно усложнять квадраты не числом клеток, а раз-
мерами чисел, например, задать квадрат из 9 клеток с рас-
становкою чисел от 18 до 26 так, чтобы суммы по строкам,
по столбцам и по главным диагоналям были равны 66.

Вместо квадратов можно брать и другие
фигуры, например, как изображено на
черт. 17, где числа от 1 до 12 разме-
щаются так, чтобы любые 4 числа,
лежащие на одной прямой линии, и
внутренние 6 чисел давали одну и
ту же сумму, а именно 26.
2. Пифагорова головоломка
встречалась в продаже среди игрушек
и заслуживает самого широкого рас-
пространения. Деревянный или из
толстого картона квадрат распили-
вается на 7 частей, как показано на
черт. 18, а именно на 2 неодинаковые квадрата, параллелограмм
и на 2 пары равнобедренных прямоугольных треугольников.
Из этих 7 кусочков складываются самые
разнообразные и замысловатые фигуры,
которые в отпечатанном виде прикла-
дывались к коробочке с распиленным
квадратом. Достаточно указать несколько
образцов, а именно предложить сло-
жить: 1) прямоугольник, 2) треугольник,
3) прямоугольную раму с квадратным
отверстием внутри, 4) печатные большие
буквы Г и Т, 5) крест. Упражнения этого
рода доступны со второй возрастной
группы, имеют непосредственное отношение к комбинаторике
и довольно близкое к геометрии, так как при складывании
фигур приходится иметь дело с симметрией их частей,
с превращением фигур в им равновеликие и т. д.
3. Задача кон я—обойти конем всю шахматную доску,
начиная с произвольной клетки — принадлежит к упраж-
нениям исключительно комбинаторического характера. Но не
лишнее вспомнить, что великий Эйлер занимался теорией
этой задачи и дал ее решение. Учащихся заинтересовывает
размещение стихотворения из 64 слов по слогу в каждой
клетке шахматной доски с переходом от одного слога
к другому ходом коня и расшифровывание подобной записи,
заранее сделанной.
4. Расстановка 8 ферзей на шахматной доске
так, чтобы ни одна ферзь не была под ударом другой,
есть также комбинаторическое упражнение, доступное уча-
щимся 1-й группы.. Задача может быть упрощена расста-
новкой 4 или 5 ферзей на доске, содержащей соответственно
16 или 25 клеток.
5. Солитер — хорошее упражнение комбинаториче-
ского характера, но не может иметь широкого распростра-
нения вследствие затруднительности изготовления доски
Черт. 17.
Черт. 18.

с ямками и шариков домашним способом и дороговизны
готового прибора.
6. Ханойская башня—отличное упражнение для
детей 1-й группы и легко изготовляется своими средствами.
На доске укрепляются отвесно, на некотором расстоянии
друг от друга, 3 палочки. На одну из палочек надеваются
просверленные в центре деревянные кружочки, диаметры
которых заметно уменьшаются снизу вверх. Задача состоит
из перенесения всех кружков с одной палочки на другую
при соблюдении следующих двух условий: 1) не переносить
за один прием более одного кружка и 2) снятый кружок
переносить или на свободную палочку или же накладывать
на кружок большего диаметра, но ни в каком случае не на
меньший. Легко вычислить, что число перенесений кружков
равно 2П—1, где п есть число кружков. Поэтому число
кружков не должно быть большим. Вполне достаточно брать
8 кружков, так как в этом случае, для решения задачи,
придется сделать 28—1 = 255 перенесений. Если же мы
возьмем 9 кружков, то минимальное число перенесений
будет уже 29—1 = 511.
7. Такен, так же как и солитер, обязательно упоми-
нается во всех книгах, касающихся математических раз-
влечений. В квадратном ящичке или коробке укладываются
вплотную 16 одинаковых квадратных шашек так, что лицевая
поверхность шашки составляет Vie площади дна коробки.
Шашки перенумеровываются числами от 1 до 15 включительно
и одна остается пустою. Последняя удаляется из коробки,
а, остальные перетасовываются и вновь укладываются в ко-
робке так, чтобы в правом нижнем углу образовалось сво-
бодное место. Задача состоит в том, чтобы, не вынимая
шашек из коробки, а только передвигая их в плоскости
дна коробки за счет постоянно имеющегося свободного
места, расположить шашки в последовательном порядке,
т.-е. чтобы в четырех рядах коробки шашки легли в порядке
нумеров: 1) 1, 2, 3 и 4; 2) 5, 6, 7 и 8; 3) 9, 10, 11, 12;
4) 13, 14, 15 и пустое место. Игра имеет разработанную
теорию, которая, как и практика, показывает, что после
легкой укладки первых 12 шашек задача неразрешима,
если в последнем ряду оставшиеся три шашки оказались
в порядке 13, 15, 14 или 14, 13, 15 или 15, 14, 13. Прибор
для игры легко может быть изготовлен домашним способом.
Игра, доступная детям даже 1-й группы, скучна и не имеет
математической ценности.
8. Расстановка в очередь. Игра имеет несколько
вариантов, названий и происходит яко бы из „исторических“
фактов.
1-й вариант (историк Иосиф). Расставить по окружности
40 белых кружков (шашек) и один черный так, чтобы, начав

отсчитывать с первого места по 3, выбрасывать третий
кружок и т. д. и чтобы в результате на окружности остался
только один черный кружок.
2-й вариант (христиане и магометане на корабле
во время бури). Расставить по окружности 15 белых и 15
черных кружков так, чтобы, начав отсчитывать с первого
места по 9, выбрасывать каждый девятый кружок и т. д.
и чтобы в результате на окружности остались только
черные кружки. Игра доступна детям 1-й группы, но скучна
и бедна в математическом отношении.
9. Разрезная шахматная доска. Вычертить на
картоне, раскрасить и вырезать 14 фигурок, изображенных
на черт. 19. Задача игры — собрать из этих 14 фигурок
Черт. 19.
шахматную доску. Прекрасное упражнение, доступное со
второй возрастной группы, в отношении счета, геометри-
ческих и комбинаторических соображений. Задача совсем
не так легка, как кажется. Решение ее следует записать
с помощью соответственного чертежа.
10. Игры со спичками. Под таким заглавием была
напечатана в 1912 г. Одесским издательством Матезис книжка
С. Тромгольд. Очень хорошая книжка, содержащая много
остроумных задачек, легко решаемых детьми первой группы
и дающих материал для первоначального геометрического
развития. Некоторые темы, встречающиеся в книжке С. Тром-
гольд, использованы в книге Е. Г. Шалыт „Наглядная
геометрия“. Гос. Изд. 1923 г.
Изложенный мною список игр одиночных и коллек-
тивных далеко не полон. Я умышленно обхожу такие неинте-
ресные игры, как, например, чет-нечет, Ним, и не считаю
заслуживающими рекомендации все комбинации с колодою
игральных карт, несмотря на то, что некоторые из них
не лишены счетового элемента. Уж очень опошлено у нас

употребление игральных карт, сводящееся в конце-концов
ic безобразному денежному азарту. Придется отложить
на долгое время, до культурного оздоровления наших
массовых „развлечений“, использование карт для образова-
тельной цели. Последняя должна быть руководящею
в школьных начинаниях, а потому приходится действовать
осторожно, чтобы не превратить безобидную игру во вредное,
в социальном смысле, времяпровождение.
К математическим развлечениям в школе I ст. я отношу
еще решение задач-шуток, задач-загадок и вообще забавных
задачек. Я придаю очень большое значение элементу зани-
мательности в младших школьных группах, но не разделяю
направления Лезана, рекомендующего делать из элемента
занимательности фундамент школьных занятий. Русская
пословица: „делу время, а потехе час“, излагает верную
и мудрую мысль; было бы большим извращением поступать
по принципу „потехе время, а делу час“, но без „потехи“
детям обойтись нельзя. От поры до времени и в школьной
обстановке дети должны встряхнуться, культурно позаба-
виться. Дети просидели добросовестно над вычислениями,
несколько устали, и вот учитель предлагает, для оживления
настроения, задачу-шутку. Очень хороший педагогический
прием. Учащие могут найти большой арсенал забавных задач
в книгах: Литцман. „Веселое и занимательное в числах и фигу-
рах“. Издание Френкеля. Москва, 1923 г., Игнатьев. „В царстве
смекалки“ I ч. Гос. Изд. 1924 г., Горячев и Воронец. „Задачи,
вопросы и софизмы для любителей математики“. Москва, 1903 г.
Рекомендуемые мною игры и развлечения я не связываю
ни с какою комплексною темой, так как не строю на них
системы школьного обучения. Я обращаю лишь внимание
учащих, как между прочим использовать разумно, весело
и небесцельно школьный и внешкольный досуг.
В главе о новых программах я высказал, что комплекс-
ное преподавание отнюдь не отрицает приобретения учащи-
мися навыков, в том числе навыков в счете. Теперь я хочу
показать, какими приемами можно оживить чисто-счетовые
операции, вычисления над отвлеченными числами. Я пред-
лагаю давать учащимся второй группы упражнения на отга-
дывание слов и фраз. Для этого перенумеруем наш алфавит,
так, что каждой букве соответствует свое нумерное число:

Выберем для отгадки какое-нибудь слово, например,
гроза. Этим буквам, в последовательном порядке, отвечают
числа 4, 16, 14, 8 и 1. Составим пять строк на вычисления
так, чтобы ответы в наших строках были равны этим
числам, например:
(5.12) —(7.8)= 4
(91 :13)+ (72: 8) = 16
100 —69 —17 = 14
(24.3) —(16. 4) = 8
(27 + 37) — (28 + 35) = 1
Учащиеся, произведя вычисления, найдут последова-
тельно числа 4, 16, 14, 8 и 1 и, справившись с алфавитом,
отгадают задуманное слово. Вычисления такого рода про-
ходят оживленно и приучают к аккуратному счету, так как
всякая ошибка ведет или к искажению слова, или к несу-
ществующему слову. Можно составлять таким образом неболь-
шие фразы, можно предложить учащимся самим составлять
такие примеры для отгадывания слов другими товарищами.
Составление примеров учащимися вызывает повышенную
активность и чувство ответственности счетовых выкладок.
В третьей и четвертой группах удобно использовать
некоторые числовые курьезы для развития техники счета.
Например, если обратить внимание учащихся на такую любо-
пытную комбинацию: 122 = 144 и 212 = 441, и указать, что она.
не единственная, учащиеся станут искать и, конечно, найдут
другие: 132= 169 и 312 = 961, 1022 = 10404 И 2012 = 40401
и др. Комбинация 6 . 21 = 126 влечет за собою искание подоб-
ных и открытие 3 . 51 = 153 и 8 . 86 = 688.
Деление 97524:10836 примечательно тем, что пяти-
значные делимое и делитель изображаются всеми цифрами,
встречающимися лишь по одному разу, и тем, что полу-
чается целое частное 9. Учащиеся поищут и найдут новые
подобные комбинации: 95823:10647 = 9 и 95742:10638 = 9.
Интересны следующие свойства чисел:
92 = 81 II1 ~Ц
12 = 1
0.9- -1 = 1
992 = 9801 112--г 121 112=121 1.9- -2=11
9992 = 998001 II3—1331 1112 =: 12321 12.9- -3 = 111
99992 :99980001 II4=14641 llll2 ^1234321 123.9- -4=1111
и Т. Д. исследовать исследовать исследовать
продолжение. продолжение. продолжение.
Указанные исследования приводят к интересным резуль-
татам, заинтересовывающим учащихся и побуждающим
искать примечательные свойства чисел.
Заслуживают также внимания следующие комбинации:
32 + 42 = 52; 33 + 43 + 53 = 63; 113+ 123+ 133+ 143 = 203;
12345679.9= 111111111; 1 +23 + 45 + 67 + 89 = 225;
11. 13 + 352. 7 = 352352.

100=111 —11 =3.33 + 1=5.5.5 — 5.5=(5 + 5 + 5-f 5).5~
1+2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8.9) = 74+ 25 + 1 + ^ = 95 +
4 + 38/76 + Т = 98+1+4 + 27/54-
Более трудные соотношения:
28 + 59 -4- 61 = 31 4- 49 4- 68 и 282 + 592 4- 612 = 3124-492-{-682
17 + 59-j-68 = 28 + 37-4- 79 и 172 + 592 + 682 = 282-|-372-|-792
76479 = 3202 — 1612= 204 — 171= 106 — 314.
Изыскание любопытных свойств чисел в простейших
приведенных примерах доступно подавляющему большин-
ству учащихся и ведет к большой практике числовых
операций, которая и имеется в виду для развития техники
письменного счета. Трудные соотношения надо сообщать
лишь избранным учащимся, обнаружившим повышенный
интерес к числам; исследователи этого рода могут оказаться
впоследствии сильными математиками.
Область простых дробей также открывает разные курьезы,
которые удобно использовать для развития техники операций
с дробями. Например, интересна древне-египетская манера
разлагать дробь на сумму дробей с числителями, равными
единице:
(из книги В. И. Лебедева „Как постепенно обобщалось поня-
тие о числе“. Москва, 1917 г.).
Учащимся достаточно сообщить идею разложения дроби
и показать 2—3 примера из указанных, а затем учащиеся
сами найдут остальные разложения, для чего много поупраж-
няются в сложении и вычитании дробей.
Интересны комбинации: 8 2/5: 21 = 2/5; 65 5/7: 92 = 5/7.
Когда будет пройдено и хорошо усвоено сокращение
дробей, не мешает показать один из трех следующих
26 2 16 i 19 1
примеров: ^ = — , —=—, — = —у в которых верное сокра-
щение дроби достигается беззаконным зачеркиванием по оди-
наковой цифре в числителе и знаменателе; учащиеся, проделав
много упражнений, найдут и остальные два примера.
Конечно, нужно им сказать, что показанный пример не един-
ственный и что следует поискать еще подобных дробей.

IX. Некоторые частные вопросы пре-
подавания арифметики.
В этой книге я совсем не касаюсь методики развития
устных и письменных вычислений в пределах до 1000, так
как этот вопрос прекрасно разработан давно и хорошо
изложен, например, в книге А. И. Гольденберга „Беседы
по счислению“. Тот же вопрос хорошо трактуется в новейших
задачниках. Что же касается целых чисел любого размера,
дробей и процентных отношений, то эти вопросы и раньше
были разработаны слабее, а теперь приобрели усиленное
значение. Осветить эти вопросы во всей их полноте я не имею
возможности, так как тогда моя книга разрослась бы
до огромных размеров. Я поэтому ограничусь пока немногими
замечаниями, которые вызовут дальнейшую разработку дела.
1. Чтение и запись больших чисел. Я считаю
серьезною ошибкою начинать курс III группы с общепри-
нятого, в дореволюционных задачниках, чтения и записи
больших чисел, так как это является нарушением принципа
концентрического изучения чисел. Учащиеся второй группы
оперируют с числами до 1000 и знают, следовательно,
разряды: единицы, десятки и сотни. В третьей группе надо
последовательно завоевывать каждый разряд и подбирать
примеры и задачи так, что сначала появляются тысячи и, когда
они усвоены, переходим к вычислениям с 5-значными числами,
читаем десятки тысяч и т. д. Дальше дело идет само собою
скорее, и учащиеся быстро усваивают сотни тысяч, миллионы,
десятки и сотни миллионов. Миллиард—по-моему, последний
разряд, на котором должна окончиться их систематизация.
Упражнения в выговаривании чисел с большим числом цифр
я считаю схоластическими. Следует заметить, что еще
не существует международной договоренности относительно
значения слов биллион, триллион и т. д. В 1871 году число
1000000000 называлось французами миллиардом, а немцами—
биллионом, и это дало повод к серьезному недоразумению
при переговорах об условиях мира, так как немцы потре-
бовали 5 биллионов франков контрибуции (5000000000),
а французы поняли по-своему это число так: 5000000000000.
Не может быть авторитетного ответа на вопрос, что такое
биллион: тысяча миллионов или миллион миллионов? Числа,

превышающие миллиард, не имеют большого жизненного
значения. В статистических ведомостях, где речь идет
о больших числах, числа округляются до целых миллионов
или целых тысяч, так что размер числа сильно сокращается,
а наименование изменяется. На вопрос: сколько угля добыто
в 1912 г. в России, мы вполне довольствуемся ответом:
31,3 миллиона тонн. Ответ в виде „31298716 тонн“ нельзя
даже признать удовлетворительным, так как даже сотни тонн
при 31 миллионе тонн не имеют никакого значения; ответ
в последней форме следует считать пустословием. Население
государства мы оцениваем целым числом миллионов, насе-
ление города—целым числом тысяч. Вообще при оценке
чего-либо мы смотрим на старшие разряды числа. Учащихся
следует приучить к такой оценке и к манере записывать
ответ, после решения задачи с большими числами, в компактной
форме. При таком подходе к делу отпадает само собою
выговаривание экзотических чисел, чем в старину мучили
учащихся. См. „великое число словенское“ в книге В. К. Бел-
люстина „Как постепенно дошли люди до настоящей арифме-
тики“.
2. Арифметические действия с большими
числами. Я настойчиво рекомендую приучать к сложению
двух или немногих слагаемых с левой стороны к правой;
это особенно верно для устного счета [87 +74 = 80 + 70 +
+7+ 4 = 150+11 = 161]; это полезно и для письменных
вычислений. Точно так же удобно производить вычитание,
начиная со старших разрядов. Что же касается умножения
и деления, то этот вопрос рассмотрен мною в главе о меха-
низации счета. Здесь же я только замечу, что традиционные
приемы арифметических действий вовсе не единственные
и далеко не лучшие. Мы производим действия так, как нас
учили, и учим так, как сами знаем. Если мы знаем единствен-
ный прием, например, умножения, то мы его и преподаем. Реко-
мендуя ознакомиться с названною выше книгою В. К. Беллю-
стина, я отмечаю одно из ее достоинств, состоящее в том,
что автор сообщает много разных приемов действий. Чита-
тель волен выбрать понравившийся ему прием и культи-
вировать его в школе. Я лично предпочитаю индусский прием
(см. главу о механизации счета) умножения нашему тради-
ционному.
3. Признаки делимости. Признаки делимости
на 2, 5, 4, 25 и 3 безусловно надо знать как для составления
общего знаменателя данных дробей и сокращения дроби,
так и вообще для разных соображений при вычислениях.
Будучи сторонником концентрического построения всего
курса математики, я полагаю, что признак делимости на 2
должен быть усвоен в первой группе вместе с разделением
чисел на четные и нечетные. Признаки делимости на 5 и 3

легко могут быть усвоены во второй группе, при чем отыскание
признаков достигается исследовательским или эвристическим
методом. Тот же метод может быть применен в третьей
группе для нахождения признаков делимости на 4,25 и 9.
Частые упражнения во второй группе с делением двух-
значных чисел на однозначные с остатком и без остатка
должны открыть существование первоначальных чисел
11, 13,17, 19 ит. д. В третьей группе список первоначальных
чисел может быть продолжен до начала третьей сотни извест-
ным способом Эратосфенова решета: пишется ряд всех чисел,
без пропуска, от 1 до 300 или до другого предела, затем
вычеркиваются все четные числа, как делящиеся без остатка
на 2; присчитывая к числу 3 постепенно по три, мы вычеркнем
все числа, кратные трем; присчитывая к 5 по пяти, мы вычерк-
нем все числа, кратные пяти и таким образом просеем, как
через решето, все числа, кратные меньшим; в списке оста-
нутся лишь числа 1,2,3,5,7,11,13 и т. д., т.-е. первоначальные.
Признаки делимости на 7,11 и др. практического значения
не имеют, непосильны в эвристическом отношении школь-
никам первой ступени и, следовательно, не должны загро-
мождать собою программу по математике.
Разложение числа на первоначальные делители, нахо-
ждение общего наибольшего делителя и наименьшего кратного
не заслуживают выделения в самостоятельную главу, как
это делалось в дореволюционное время, когда производились
сокращения таких бессмысленных дробей, как -288288/11027016, или
не менее бессмысленные сложения, в роде
1873 32359/87373 + 6421 46439/119119 + 4845 64189/148379 + 5834 131489/275561
(Е. Д. Конашевич, „Сборник арифметич. примеров“. Часть П.
Дроби, стр. 21—26).
Для операций с дробями, числители и знаменатели
которых суть огромные числа, конечно, необходимы вспомо-
гательные средства в виде разложения чисел на первона-
чальные делители и т. д. Но если мы согласимся ограничить
курс простых дробей (здесь невольно приходится забежать
вперед) самыми несложными дробями, то все вспомогатель-
ные операции сами собою отпадают. Поэтому я считаю
возможным опустить нахождение общего наибольшего дели-
теля и заниматься нахождением общего наименьшего крат-
ного простым подбором только при сложении и вычитании
дробей, только применительно к каждому отдельному случаю,
но никак не самостоятельно без дальнейшей цели.
4. Простые дроби. Здесь приходится высказаться
прежде всего по много раз дебатировавшемуся вопросу:
с каких дробей следует начинать—с простых или десятичных?
Было время, когда сторонники предварительного изучения

простых дробей считались консерваторами, а их про-
тивники либералами. Это было сплошным недоразумением;
оно еще более очевидно теперь, когда концентрическое
построение программы решительно и бесповоротно взяло
верх над систематическим. В самом деле, уже в первой
группе дети знакомятся с половиною, четвертыми и восьмыми
долями; во второй группе делают сложение и вычитание
простых дробей с знаменателями 2, 4 и 8, а также деся-
тичных с знаменателями 10 и 100. Вычисление про-
центных отношений, вполне уместное в третьей группе,
заставляет еще ближе познакомиться с долями 0,01 и даже
0,001. Таким образом учащиеся придут в четвертую группу
с некоторым запасом знаний относительно дробей. А в чет-
вертой группе с каких дробей начинать? Этот вопрос решается
тем, что простые дроби изучаются только для всестороннего
уяснения свойств дроби, но не для практических вычислений
с ними, так как в деловых вычислениях простые дроби
вытеснены десятичными. Существенные свойства дробного
числа познаются, конечно, на простых дробях. Поэтому не
может подлежать сомнению, что в четвертой группе должен
быть пройден сначала курс простых и притом простеньких
дробей с тем, чтобы перейти к калькуляциям со всякими
десятичными дробями.
Понятия о дроби правильной, неправильной должны
быть обстоятельно выяснены. Не менее важно разъяснить
понятие о дроби обращенной и, следовательно, о двух вели-
чинах, взаимно обратных. Дробь 3/5 (правильная) обратна
по величине дроби б/3 (неправильная); дробь 72 обратна
дроби 21х или целому числу 2; целое число 5 обратно дроби
Vs. Не следует упустить из вида представления целого
числа в виде дроби, например, з==6/о==15/5=18/6 и т. д. Исклю-
чение целого числа из неправильной дроби и обращение
смешанного числа в неправильную дробь представляют
собою также важные преобразования. Особое внимание
должно быть обращено на свойство дроби сохранять неиз-
меняемость величины при умножении или делении числителя
и знаменателя на одно и то же число; на этом свойстве
построено сокращение дробей и приведение их к общему
знаменателю при сложении и вычитании. При выяснении
означенного свойства непременно следует показать на чис-
ловых примерах и наглядными иллюстрациями, что при
других преобразованиях, например, при умножении или
делении только числителя или только знаменателя или
при прибавлении к числителю и знаменателю одного
и того же числа, дробь изменяется по величине. Учащиеся
должны отчетливо понимать, например, что (a+-c)/(b+-c)=|=a/b; не-

равенство дано здесь в буквенных обозначениях, но учащиеся
усваивают его на числовых примерах и формулируют сло-
весно. Сокращение дробей производится на многочисленных
примерах, но обязательно несложных. Более трехзначного
числа в знаменателе никоим образом брать не следует,
да из трехзначных чисел надо выбирать особо примеча-
тельные, как, например, 125, 144, 225, 256, 360 и т. п. Боль-
шинство примеров на сокращение дробей следует ограничить
двухзначными знаменателями. Так как, для разгрузки курса
от лишнего балласта, мы исключим разложение чисел на
первоначальные множители и нахождение общего наиболь-
шего делителя, то при сокращении дробей можно мириться
с сокращением в несколько приемов. Например, если уча-
щиеся не усмотрят сразу, что дробь 96/168 сокращается
на 24, то пусть сокращают последовательно, хотя бы на 2,
2, 2 и 3. Необходимо достигнуть того, чтобы учащиеся
производили все описанные операции с простыми дробями
в уме; при этом члены дроби должны быть не более двухзнач-
ных чисел. Само собой разумеется, что операции с дробями
следует производить, кроме того, письменно, но такие вычис-
ления, как, например, 31/3 = 10/3, 24/36 = 2/3, 25/6 = 41/6 и т. п.
должны производиться быстро в уме.
Сложение и вычитание дробей всегда усваивается
очень легко. Если встретится затруднение, то хорошо при-
бегнуть к методу графическому, излагаемому теперь почти
во всех задачниках. Вообще же в четвертой группе прибе-
гать к наглядным пособиям при изучении дробей можно
только в тех случаях, когда учащиеся обнаруживают неко-
торую отсталость; в нормальных условиях пора поставить
на очередь работу отвлеченной мысли. Этими словами я ни-
коим образом не пропагандирую отвлеченного преподавания
вообще. Я только отмечаю, что наступает такой момент,
когда учащиеся уже могут обойтись без наглядности. Если
в первой группе счет должен обязательно производиться
на конкретных предметах, которые дети видят или осязают,
то в третьей группе уже нет смысла обставлять нагляд-
ностью вычисление 357 + 269. В четвертой группе учащиеся
еще взрослее, и чрезмерная наглядность, чем иногда педагоги
излишне увлекаются, может быть оскорбительною.
В курсе дробей самым больным местом является умно-
жение. Воздерживаясь от исторического обзора этого вопроса
и от критики всех предлагавшихся определения умножения,
вывода и объяснения правила, я выскажу то, что не вижу
другого выхода из трудного положения, как определить
умножение дробей следующим образом: умножить одну
дробь на другую — значит получить третью дробь, числитель
которой равен произведению числителей данных дробей
и знаменатель которой тоже равен произведению данных

знаменателей. Здесь правило умножения включено в опреде-
ление, но я лично не умею поступить иначе, так как все
другие определения и объяснения меня не удовлетворяют.
Формулированное мною опре-
деление умножения я иллю-
стрирую учащимся графи-
чески. Пусть надо умножить
3/5 на 1/2- Из курса 3-й группы
учащиеся знают, что площадь
прямоугольника равна произ-
ведению его сторон; поэтому
умножение 3/5 на 7* сводится
к нахождению площади прямо-
угольника, стороны которого
суть 3/5 и У2, например, метра.
Вычерчиваю по клетчатой бу-
маге (см. черт. 20) квадрат,
стороны которого равны по
длине 10 (наименьшее крат-
ное данных знаменателей
5 и 2) клеткам, и этот отрезок считаю изображением метра.
Тогда заштрихованный прямоугольник имеет площадь 3/5.1/2
квадр. метра и содержит 6.5 = 30 клеток. Квадратный же метр
в избранном масштабе содержит 100 клеток. Таким образом
получившийся прямоугольник составляет ,7^ = т^ части
квадрата. Мы видим наглядно, что-5- ^ =5~2 = То* После такого
показательного примера следует предложить учащимся
сделать самостоятельно несколько подобных чертежей.
Когда выяснено умножение дробей, то объяснение деления
уже не вызывает затруднений. Так как деление есть действие,
обратное умножению, то деление дроби:— на дробь ^ можно
заменить умножением дроби у на дробь ^, обратную дроби -j-
Числовые примеры на умножение и деление простых
дробей должны быть весьма несложные, но необходимо
вводить в примеры и смешанные числа.
Нахождение части данного числа путем умножения
его на дробь, несомненно, заслуживает проработки и не затруд-
няет учащихся. Обратная задача, т.-е. нахождение числа по
данной его части, обыкновенно достается труднее, и я полагаю,
что эту задачу следует ограничить в 4-й группе простей-
шими случаями, когда доля числа дается в виде правильной
дроби, а самая часть — целым числом. Например, вполне
возможны упражнения в роде: найти число, 2/з которого
равны 16. Более трудные случаи, например: найти число, 12/5
Черт. 20.

которого равны 23/*, следует отложить, по моему мнению,
до пятой группы, когда учащиеся познакомятся с соста-
влением и решением уравнений.
5. Десятичные дроби. В них должен быть центр
тяжести арифметического курса четвертой группы. По опыту
знаю, что прохождение действий с десятичными дробями
удается сравнительно легко.
Чтение и запись десятичных дробей должна итти так
же концентрически, как целых чисел. Учащиеся в третьей
группе уже познакомились с долями десятыми, сотыми
и тысячными. Более мелкие доли познаются постепенно.
Далее точного выговаривания миллионных долей итти
не стоит. Если же встретится, например, дробь 0,0014306
(коэффициент линейного расширения бетона), то ее можно
выговарить так: „нуль целых, а после запятой идут цифры:
нуль, нуль, единица, четыре, три, нуль, шесть“. Необходимо
добиться отчетливого понимания, как изменяется дробь при
переносе запятой вправо или влево. Это необходимо для
умножения и деления дробей.
Упражнения в действиях с десятичными дробями посте-
пенно усложняются в отношении, так сказать, длины дробей
с тем, чтобы учащиеся не боялись выкладок с любыми
десятичными дробями. Деловые калькуляции зачастую имеют
дело с длинными дробями, и поэтому техника операций
с десятичными дробями должна быть хорошо развита
в четвертой группе. Благодарным и жизненным материалом
для действий с десятичными дробями является перевод
русских мер в метрические и обратно.
Особого внимания заслуживает обращение простых
дробей в десятичные, так как, повторяю, все жизненные
расчеты делаются теперь с десятичными дробями. Поэтому,
если в числе заданий встречается простая дробь, то, до
решения задачи, надо обратить ее в десятичную. Обратная
задача, т.-е. обращение десятичной дроби в несократимую
простую, может быть вовсе опущена, как не имеющая
теперь практического значения.
Известно, что не всякая простая дробь обращается в закон-
ченную десятичную, что иногда получается бесконечная, но
всегда периодическая дробь, период которой иногда трудно
найти. Например, = 0,(0344827586206896551724137931).
Учащиеся сами натолкнутся на периодичность дробей
и обратят внимание на это обстоятельство, а наиболее любо-
знательные потребуют углубления вопроса; здесь мы сталки-
ваемся с математическою темою, которой, конечно, нет места
в школьном курсе, но которая может послужить превосходным
материалом для кружковой работы.

Нахождение периода, исследование признаков, по
которым простая дробь обращается в законченную десятичную
или в периодическую, и обращение периодической дроби
чистой и смешанной в простую не имеют практического
значения, а поэтому справедливо изъяты из программы
трудовой школы. Но те же вопросы, не без пользы для
математического развития, могут быть перенесены в доба-
вочную, кружковую работу, около которой собираются
учащиеся, выявившие сознательное тяготение к математике
и избравшие себе в дальнейшем путь углубленного матема-
тического образования.
Когда при обращении простой дроби в десятичную
получается периодическая, то последнюю следует обрывать
на соответствующей данной задаче цифре. Например, пусть
требуется сложить -j и 0,1457; мы оборвем периодическую
дробь -g =0,83333... на четвертой цифре после запятой,
так как второе слагаемое ограничено десятитысячными до-
лями; получим ~ + 0,1457 = 0,8333 +0,1457 = 0,9790 — 0,979.
Если бы пришлось разделить ^ на 0,43, то мы оборвем дробь
7/12= 0,58 (3) на второй цифре после запятой, так как дели-
тель дан в сотых долях.
В заключение сказанного о десятичных дробях прихо-
дится упомянуть о забытом теперь распоряжении Нар. Ком.
Просв, заменить при начертании десятичных дробей тради-
ционную запятую точкою, поставленною у верхней четверти
цифры, изображающей единицы. Согласно означенному
распоряжению, сделанному, кажется, в 1920 г., дробь 2,5 должна
была бы быть записанною так: 2 5. Это англо-американская
манера записи, имеющая за собою серьезные основания.
В самом деле, прочтите запись: „Сложить 2,5, 3,145,
2,86 и 4,16“.
В этой записи запятые, как знаки препинания, пере-
мешиваются с запятыми, относящимися к десятичным
дробям. Запись
„Сложить 2*5, 3*145, 2*86 и 4-16“ уже никаких недо-
умений не вызывает.
Пользуюсь случаем высказать пожелание, чтобы забытое
распоряжение Нар. Ком. Проев, было повторено, но уже
для обязательного исполнения.
6. Процент. Процентные отношения. Новые
программы дают верную установку понятия о проценте.
Вместо дореволюционного „правила процентов“, сводивше-

гося к вычислениям прибыли на капитал, капитала по при-
были и т. д., теперь следует заниматься вычислением
процентных отношений, наглядно иллюстрирующих иссле-
дуемые величины. Вычисление основывается на определении
процента, как сотой доли; процентное отношение двух чисел
есть дробное число, выраженное в сотых долях единицы
и равное частному от деления меньшего числа на большее.
Понятие о проценте и вычисление процентных отношений
настолько элементарны, что вполне доступны школьникам
III группы. Учащиеся должны усвоить, что 1=100 , Ч2—50%,
74—25%, zll—76%, 1ls—12,5%. Приведенные записи усваи-
ваются не столько символически, сколько по существу,
на конкретных примерах. В классе 40 учащихся, мальчи-
ков и девочек поровну; какой процент мальчиков? Так как
мальчиков половина всего числа учащихся, то, стало быть,,
их 50°/о. Такой же процент и девочек. Как изменились бы
проценты числа, если в классе из 40 человек 10 мальчиков?
1 /4о^-1/4=0,25=25,,/о.
В селе 27 дворов крыты железом, остальные 49 дворов
крыты соломою. Какой процент дворов, крытых железом?
В селе всего 27-f-49=76 дворов; число дворов, покрытых
железом, составляет 27/76 долю всех дворов; следовательно,,
для ответа надо перевести дробь 27/76 в десятичную с зна-
менателем 100. Получаем 0,36. Ответ: 36°/0.
При решении таких задач мы сталкиваемся с понятием
о дроби, как результате деления одного числа на другое,
с символикою дроби и с преобразованием дроби в десятич-
ную. Казалось бы, что все это относится непосредственно
к четвертой группе и преждевременно для третьей. На самом
деле, я полагаю, это не так. Понятие о дроби учащиеся
имеют уже в первой группе; символика дроби тоже известна
с первой группы, где необходимо приучать к записям 1/2,1/4,1/8.
Остается обращение дроби в десятичную. В третьей группе,
независимо от трактуемого вопроса, учащиеся усваивают
доли 1/10 и 1/100 и записи 0,1 и 0,01; тогда уже совсем не трудно
рассуждать так: сколько раз содержится 76 в 27? Ни разу;
записываем 0 и ставим запятую. Раздробляем 27 в десятые
доли, их получится 270. Число 76 содержится в 270 три
раза и т. д. Вся эта операция вполне уместна в третьей
группе. В четвертой группе продолжается вычисление про-
центных отношений, что особенно важно при составлении
диаграмм и при решении разного рода жизненных задач.
Дореволюционные задачи на вычисление процентов
надо, конечно, оставить. Но вполне уместно делать вычисле-
ния наращения процентов по вкладам в трудовые сберега-
тельные кассы. Для таких вычислений никакого специального
„правила“ не требуется. Вопрос решается на основании
заданий по здравому смыслу.

7. Пропорции. Их, несомненно, следует отнести
к курсу II ступени. Упоминаю здесь о пропорциях только
потому, что часто слышу вопросы, в какой группе их изучать.
8. Тройное правило, правило смешения
и т. д. изъяты из программ трудовой школы в 1918 году,
так как действительно представляют собою схоластический
мусор. Идея пропорциональности, заключающаяся в так
называемом тройном правиле, сама по себе чрезвычайно
проста и доступна детям младшей группы. Задача: „сколько
следует заплатить за 5 яблок, если 3 яблока стоят 6 коп.?“
непосредственно относится к „тройному правилу“, но решает-
ся без всяких ненужных слов, попросту, в первой группе.
Никакого специального „правила“ не требуется там, где
действует здравый смысл. Одинаково учащиеся второй
группы, не зная „правил“, легко решат задачу: „как разделить
75 руб. между тремя рабочими, из коих один работал 4 дня,
второй 5 дней и третий 6 дней?“ Между тем эти задачи
на „правило пропорционального деления“. Все „правила“
заключительной части арифметики в дореволюционной школе
представляют собой или нелепые усложнения простеньких
идей или вычисления нереальных комбинаций, в роде сме-
шения разных сортов вина и т. д. Очевидно, что в трудовой
школе не может быть места извращению здравого смысла
и жизненной правды.

X. Алгебра в школах I ступени.
Между арифметикой и алгеброй есть разница только
формальная, но никак не по существу; разница состоит
в обозначениях и в том, что так называемая арифметика,
вернее сказать, школьная арифметика, производит только
4 действия над числами очень немногих категорий, а именно
над числами целыми и дробными, при чем дроби ограничи-
ваются лишь конечными. Совершенно естественно, что в курс
школ первой ступени не могут войти обобщения понятия
о числе и усложненные операции над числом, так как
возрастная норма учащихся препятствует усвоению таких
понятий. Если школьники первой ступени выучатся опери-
ровать быстро и верно с целыми и дробными числами для
решения соответственных жизненных вопросов, то школа,
в отношении арифметической программы, выполнит свое
назначение. Тем не менее весьма полезно затронуть и в школе
первой ступени некоторые вопросы, обычно относимые к
алгебре. Я имею в виду числовые уравнения, символ пока-
зателя степени, символ скобок, буквенные обозначения
и прогрессии. Скобки и числовые уравнения встречались
и в дореволюционных задачниках, при чем упражнения,
содержащие скобки, доходили до чудовищных размеров.
Например, во второй части задачника Конашевича встречаются
упражнения, не помещающиеся в одной строке и грандиозные
настолько, что целая страница убористой печати содержит
только 4 — 5 упражнений. Такое использование скобок есть
грубая утрировка. В школе допустимы короткие числовые
упражнения, содержащие лишь круглые скобки; прямые
скобки могут появиться только в исключительных случаях,
а фигурные следует оставить в наследство школе второй
ступени. Я полагаю, что упражнения со скобками можно
ввести во второй половине первого года и затем широко
использовать во второй группе, при чем рекомендую давать
параллельные примеры с одними и теми же числами со
скобками и без скобок; это особенно важно, когда перед
скобкою ставится знак вычитания. Я имею в виду примеры
такого рода:
1) 20 —(8 + 3);
2) 20— 8 4-3.

Различие в получаемых ответах (в первом случае 9,
а во втором 15) очень наглядно поясняет значение скобок,
как особого рода символа порядка производимых действий.
Разумеется, надо соблюдать осторожность при составлении
таких параллельных примеров, чтобы не получить в одном
из двух случаев отрицательного числа; например, не годятся
два такие упражнения:
20 —(17 —15) И 20—17 — 15,
потому что во втором получаемый ответ равен—12.
Что касается числовых уравнений, то они представляют
собою превосходное математическое упражнение, являющееся
пропедевтическим к основному методу математического
анализа. Поэтому я вполне присоединяюсь к составителям
программ 1918 г. для трудовой школы, подчеркнувшим
необходимость решать в школе I ступени числовые уравнения.
Я полагаю, что последние можно ввести сравнительно рано,
а именно в первой группе сейчас же вслед за письменными
упражнениями в сложении и вычитании. Когда дети при-
выкнут к записям в роде 3 + 4 = 7 или 8 — 2 = 6, следует
давать уравнения в роде х = 2 + 7, 5 + х= 8 и 6 — х = 4.
Такие уравнения должны разъясняться параллельными
вопросами: какое число получится от сложения 2 и 7; какое
число надо прибавить к 5, чтобы получить 8; какое число
надо отнять от 6, чтобы получить 4. Одновременно сооб-
щается, что отыскиваемое число обозначается латинскою
буквою „х“-—икс. Здесь приходится решительно поддер-
жать тех, кто протестует против замены икса знаком вопроса;
я тоже нахожу недопустимым записи в роде 5 + ? = 8.
Начертание буквы икс не может затруднять учащихся, так
как эта буква имеется и в русском алфавите, произношение
„икс“ также легко. Но дело не в этом, а в международности
математической символики. В математике нет символа „?“.
Знак восклицательный при букве—тот имеет общепризнан-
ное значение, как знак факториала или произведения после-
довательных чисел натурального ряда; так n!=l.2.3.... (п—1). п.
Но запись 5 + ? = 8 не будет международно-понятною, между
тем как представитель любой национальности без колебаний
поймет запись 5 +х = 8. Международность должна быть
для всех священною и нарушать ее не следует никому
и никогда, как бы пустячным ни казалось дело.
Возвращаясь к уравнениям указанного типа, я добавлю,
что они должны иллюстрироваться подходящими задачками,
так, например, уравнение 5 + х = 8 может быть переведено
на задачу: Ваня нашел под одним деревом 5 грибов и не-
сколько грибов под другим деревом, а всего он нашел
8 грибов; сколько грибов он нашел под вторым деревом?
Такие задачки сочиняются или учителем или учащимися,
и решение записывается в форме уравнения.

В дальнейшем уравнения будут встречаться после
усвоения каждой новой операции. После практики в умно-
жении и делении чисел от 1 до 20 предлагаются уравнения
типов: х.3 = 12; 5.х=10; 15:х = 3; х: 2 = 8, и к таким
уравнениям подбираются задачки.
В последующих группах уравнения усложняются в отно-
шении чисел, но не следует, по моему мнению, усложнять
тип уравнения. Я воздержался бы от задания решить
уравнение 5 — (х — 2) = 4, находя его преждевременным,
в отношении трудности, для школы I ступени.
Символ показателя степени чрезвычайно прост и удобен
для сокращения записей. Повторные умножения встречаются
и в арифметической практике, и в особенности при решении
геометрических вопросов, как-то: при определении площади
квадрата и объема куба. Поэтому я предлагаю приучить
детей третьей группы записывать произведение 2.2.2. в виде
23, вычислять выражения в роде З2, 52, З3 и т. д., ограничивая
показатели числами 2 и 3. Большие показатели необходимы
только для числа 10, чтобы записывать сокращенно числа:
1000= Ю3, 10000= 104, 1000000= 105, миллион=106, мил-
лиард =109. Полезно обратить внимание учащихся на эко-
номию места и набора записью 109 вместо слова миллиард
или числа 1000000000, предложив подсчитать в каждом
из этих трех случаев число типографских знаков.
Если бы школа первой ступени содержала более воз-
растных групп, чем 4, как в настоящее время, то я не ре-
комендовал бы знакомить учащихся четвертой группы
с буквенными обозначениями, а предложил бы отложить
этот вопрос до пятого года, так как учебный материал
четвертой группы и без того велик. Но, учитывая печальное
обстоятельство, что большинство учащихся ограничивают
свое образование школою первой ступени, я полагаю, что
следует затронуть в четвертой группе поставленный вопрос.
Его разрешение, хотя бы самое поверхностное, необходимо
потому,, что в различных справочниках и вообще в книгах,
вполне доступных окончившему курс школы первой ступени,
встречаются буквенные формулы. Понимание их, конечно,
не вызывает серьезных затруднений, но оно значительно
облегчается своевременным объяснением в школе.
В разных популярных книгах по сельскому хозяйству
встречается, например, эмпирическая формула Вольфа для
вычисления веса свежего навоза:
Х=(1 + Ь). 4,
где х обозначает искомый вес навоза, а—вес сухого вещества
корма, выданного животным, и Ъ—вес подстилки. Эта фор-
мула позволяет земледельцу быстро подсчитать, сколько

навоза накопилось во дворе; разумеется, для этого нужно
было делать учет корма и подстилки.
Вот для примера и другая, более сложная, формула:
вес (в пудах) полусухого соснового бревна равен
0,13. т. dz. [1+0,4. т. (1+0,33. т)]9
где d есть толщина (в вершках) бревна в отрубе,
и к есть длина (в саженях) бревна. Формула удобна для
определения веса без взвешивания, а самые вычисления,
конечно, доступны школьнику 4-й группы во втором полу-
годии.
Для того, чтобы приучить детей к буквенным обозначе-
ниям, я предлагаю использовать правила действий с простыми
дробями. Когда учащиеся усвоят на числовых примерах
означенные действия, усвоят не только рецепт действия,
но и его объяснение, тогда легко пояснить записи:
Точно также легко объясняются записи:
которыми формулируется закон переместительности в сло-
жении и умножении.
Материалом для буквенных записей могут служить
и формулы площади квадрата, прямоугольника, треуголь-
ника, трапеции, объема разных тел.
Дальше составления таких формул, смысл которых
хорошо известен учащимся, и чтения несложных математи-
ческих и эмпирических формул с вычислением их при опре-
деленных числовых заданиях в четвертой возрастной группе
итти не следует. Для образца подобных вычислений приведу
формулу, по которой можно узнать, на какой день недели
пришлась или придется определенная календарная дата.
Вычисляется остаток от деления числителя на знаменателя
следующей дроби:
где а есть номер данного года, *—целое частное (остаток
отбрасывается) от деления числа а на 4, b—число дней, про-
текших с 1 января данного года по данное число включи-

тельно; 23 число постоянное, которое вычитается, если
год а простой. Ели же год а високосный, то вычитается
не 23, а 24. Если остаток от деления числителя на 7 равен 1,
то в ответе получаем воскресенье; если остаток равен 2,
то выходит—понедельник и т. д., если 6—пятница, если же
остаток есть 0, то—суббота. Следует иметь в виду, что фор-
мула применима лишь для старого стиля. Поэтому, прежде
чем производить вычисления, надо перевести календарную
дату на старый стиль. На какой день недели придется
7 мая 1929 г.? По старому стилю это выходит 24 апреля 1929 г.,
год не високосный. Имеем:
а = 1929 ; ~ = 482 ; b = 31 + 28 + 31 + 24 — 114
а + 1 +b —23 = 1929 + 482 + 114 — 23 = 2502.
Остаток от деления 2502 на 7 равен 3; следовательно,
7 мая 1929 года (по нов. стилю) придется на вторник.
Учащиеся заинтересуются и вычислят, на какие дни
недели пришлись выдающиеся события, например, 7 ноября
1917 года, 21 января 1923 года и др., вычислят, кто в какой
день недели родился; попутно можно сообщить, что в ста-
рину дни недели посвящались небесным светилам, следы
чего сохранились в европейских языках:
воскресенье—день солнца (немецк. Sonntag, англ. Sunday),
понедельник—день луны (нем. Montag, англ. Monday, франц. Lundi),
вторник—день Марса (франц. Mardi),
среда—день Меркурия (франц. Mercredi),
четверг—день Юпитера «франц. Jeudi),
пятница—день Венеры (франц. Uendredi),
суббота—день Сатурна (англ. Saturday).
Кроме солнца и луны, здесь упоминаются самые яркие
планеты солнечной системы. Весьма важно направить ин-
терес учащихся к наблюдению планет и к чтению популярных
книг по астрономии для получения сведений об этих пла-
нетах и для уяснения того, что календарь зависит от условий,
в которых находится данная планета, что у каждой
планеты свой календарь, иногда сильно отличающийся
от нашего; например, на Сатурне год длится в 30 раз больше
нашего, а сутки содержат только 10 наших часов.
Решение задач на прогрессии, если ограничиться чис-
ловыми примерами, относится собственно к арифметике.
При развитии навыков в счете и раньше практиковались,
да и теперь практикуются, упражнения в постепенном
присчитывании одного и того же числа; такого рода упраж-
нения производятся и в младшей группе. Например, дается
число 5 и предлагается последовательно прибавлять число 3;
получается ряд 5, 8, 11, 14 и т. д., т.-е. разностная (или
арифметическая) прогрессия. Обратный счет дает убывающую

прогрессию. Счет круглыми десятками, круглыми сотнями
тоже приводит к прогрессиям. Я полагаю, что весьма по-
лезно, начиная со второй возрастной группы, составлять
при упражнениях в умственном или письменном счете
кратные (или геометрические) прогрессии, т.-е. ряды, обра-
зующиеся последовательно умножением (или делением).
Например, дается число 3 и предлагается последовательно
умножать на 2; получается краткая прогрессия 3, 6, 12, 24,
48, 96, 192 и т. д. Или дается число 512 и предлагается
последовательно делить на 2. Для таких упражнений учителю
полезно иметь в виду таблицу степеней чисел 2, 3 и 5:
Во всех описанных упражнениях на составление про-
грессий надо обрывать получающийся ряд чисел там, где
или самое вычисление становится трудным (в уме или
письменно), или число выходит за пределы понимания
данной возрастной группы.
В третьей группе можно предлагать последовательно
прибавлять дробное число или умножать последовательно
на дробное число, например, составлять ряды:
3, 4^ 6, 7^ 9 и т. д. или 64, 64.| = 96> 144> 216> 324 и т- Д-
Z у I у &
В четвертой группе можно использовать любые дроби.
В третьей же группе, а особенно в четвертой можно
предлагать подсчитывание суммы всех чисел законченного
ряда. Здесь открывается благодарный материал для иссле-
довательской работы учащихся. Если предложить учащимся
написать ограниченную разностную прогрессию, например,
7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55
и поискать в ней примечательных числовых соотношений,
то, несомненно, учащиеся переоткроют истину, что сумма
членов прогрессии, равно удаленных от начала и конца,
равна сумме крайних членов. Также откроется закон
образования членов прогрессии. Затем, если предложить
учащимся написать произвольную прогрессию, например,
5, 8, 11, 14, 17, 21,
подписать под этим рядом тот же ряд, но в обратном по-
рядке 21, 17, 14, 11, 8, 5
и сложить оба ряда, складывая числа парами (два числа,
стоящие в одном столбце), то учащиеся откроют формулу

суммы членов разностной прогрессии, которая в буквах
S1= (a + u). m/2,
записывается так:
где S есть искомая сумма, а — первый член, и — последний
и m — число членов ряда.
В связи с этим очень хороши задачи: 1) Сколько при-
дется заплатить за рытье колодца глубиною а метров, если
за рытье первого метра взимается Ь рублей, а за рытье
каждого последующего метра на с рублей больше, чем
за предыдущий? Числа о, Ъ и с следует взять из местных
условий по обсуждении вопроса с учащимися. 2) Свободно
падающее тело (без начального толчка) проходит, как из-
вестно из курса физики, в первую секунду 4,9 метра,
а в каждую последующую секунду на 9,8 метра больше,
чем в предыдущую. Сколько секунд падает дождевая капля
с высоты а метров? Какую скорость имеет капля в последнюю
минуту падения? Число а обсудить и выбрать по метеоро-
логическим данным; оно не менее 200 метров. 3) Население
С. С. С. Р. достигает в настоящее время 130 миллионов
и удваивается через каждые 50 лет. Когда население до-
стигнет миллиарда?

XI. Геометрия в школах I ступени.
В дореволюционное время преподавание геометрии
в школах, соответствующих теперешней первой ступени,
ограничивалось мерами линейными, квадратными и куби-
ческими, при чем собственно геометрический элемент отодви-
гался на второстепенное место, а центр тяжести переносился
на утомительные арифметические операции с составными
именованными числами целыми, а потом и дробными. Каза-
лось бы, что определение площади фигуры и вычисление
объема тела представляют собою богатый материал для инте-
ресных и жизненных задач. Но старая школа была пропитана
духом схоластичности и отвлеченности, а поэтому на жиз-
ненность учебного материала не обращалось почти никакого
внимания Свойства, хотя бы простейшие, геометрических
фигур не изучались в начальной школе по той причине, что
всякое свойство формулируется теоремою, а никакая теорема
не мыслилась без доказательства. Так как строго логическое
доказательство недоступно школьникам младшего возраста,
то систематический „научный“ курс геометрии отодвигался
на вторую ступень, а первая довольствовалась перечислен-
ными мерами длины, поверхности и объема, которые заучи-
вались без проникновения в их геометрический смысл.
Еще до революции раздавались голоса, что основные
положения геометрии заслуживают изучения в начальной
школе, как материал, удобопонятный раннему возрасту уча-
щихся и полезный для облегчения прохождения^ дальнейшем,
систематического курса. Появились учебники пропедевти-
ческой геометрии. Между ними следует упомянуть „Геомет-
рию для уездных училищ“, составленную профессором
А. Ю. Давидовым, автором известного учебника для гимназий.
Этот учебник геометрии для уездных училищ выдержал
к 1918 году 32 издания и примечателен тем, что содержит
достаточное число задач и упражнений практического
характера.
Программы математики дла школ I ступени, составлен-
ные в начале революции, выдвинули геометрию на очень
почетное место, и сообразно с этим в нашей учебной лите-
ратуре появилось множество учебников, большею частью
оригинальных. Как ни странно, но арифметических задач-

ников составлено за последние годы меньше, чем учебников
начальной геометрии для I ступени, список которых довольно
длинен. В самом деле, следующие авторы дали нам свои
курсы пропедевтической геометрии: А. М. Астряб, Ф. X. Вольф,
И. Гордон, М. Н. Иовлев, И. Н. Кавун, П. Н. Карасев,
Н. И. Козлов, В. Кемпбель, А. Р. Кулишер, П. Мартин
и О. Шмидт, Ф. Г. Миккельсар, А. И. Никитин, Я. И. Перельман,
Е. Г. Шалыт и Г. Шаррельман.
Пособия, составленные поименованными авторами, рас-
считаны на использование в третьей и четвертой группах,
а может быть, как, например, обе части учебника И. Н. Кавуна,
и на пятую группу, относящуюся уже ко второй ступени.
Только книга Е. Г. Шалыта дает некоторый материал, который
может быть использован в младших группах, а именно,
в первой и во второй; в этом отношении книга Е. Г. Шалыта
(наглядная геометрия) выгодно отличается от аналогичных.
Все поименованные пособия по геометрии для школ
I ступени излагают свойства простейших фигур, числовую
зависимость между элементами фигур, квадратуру и куба-
туру, иллюстрируют геометрические формы и их свойства
жизненными примерами и содержат практические задачи
и упражнения. Как ни отличаются друг от друга все эти
пособия в отношении манеры изложения, распланировки
материала, количества и качества задач и т. д., все они
объединяются тем общим свойством, что представляют собою
пособия как бы для предметного преподавания геометрии.
Яснее сказать, эти пособия трактуют собственно геометрию;
жизненные иллюстрации разъясняют геометрические истины;
задачи и упражнения решают геометрические вопросы.
Решение их требует, конечно, арифметических действий,
но арифметика играет здесь служебную, подчиненную гео-
метрии, роль, но органически с геометрией не связана.
Поэтому все перечисленные пособия по геометрии не могут
служить непосредственно системе комплексного препода-
вания; их отношение к комплексу может быть только кос-
венным, а именно в том отношении, что учитель будет
искать и находить в таких книгах отдельные кусочки для
включения в разработку очередной комплексной темы. Таким
образом напечатанные за революционные годы пособия
по геометрии послужат лишь в помощь учителю, но никак
не в виде учебников, выдаваемых на руки учащимся.
В библиографической главе этой книги читатель найдет
описание индивидуальных особенностей учебников геометрии.
Геометрический материал содержится и во всех ариф-
метических задачниках, появившихся за последние годы;
в них геометрия теснее переплетается с арифметикою,
но занимает второстепенное место. Тут на первом плане
арифметика, в которую вкрапливаются местами геометри-

ческие упражнения. Такое построение курса математики,
конечно, более правильно. Ведь с первой ступени не должно
быть отдельной арифметики и отдельной геометрии; должна
быть единая математика, которая, кроме того, согласно схемам
ГУС'а, должна раствориться в общей комплексной системе.
Но если говорить специально о математике, следует прежде
всего держаться принципа единой математики и, принимая
во внимание, что основной базой обучения начальной мате-
матики является арифметика, необходимо признать, что
при построении курса математики в школе первой ступени
равнение должно итти на арифметику. Это нисколько
не роняет количественного и качественного значения гео-
метрии; дело только в том, что нельзя делать курс геометрии
основным и пристраивать к нему арифметику. Последняя
не уложится тогда в правильные методические рамки.
Наоборот, если мы возьмем основою, в методическом отно-
шении, арифметику и к ней будем пристраивать геометрию,
то последняя не пострадает, так как ее материал доступен
самым разнообразным перетасовкам.
Арифметические задачники, напечатанные в револю-
ционные годы, а именно С. В. Зенченко и В. Л. Эменова—
„Жизнь и знание в числах“ (для 2, 3 и 4 годов обучения),
Е. Звягинцева и А. Бернашевского—„Живой счет“ (по 3 части
для сельских и для городских школ), А. В. Ланкова—
„Арифметический задачник на основе обществоведения“ (для
1—4 годов), Д. В. Волковского—„Математика для детей“ (пока
в 2 частях), В. В. Егорова, П. А. Карасева и А. А. Фролов-
ского—„Новый сборник задач“ (счет до 1000), И. И. Грациан-
ского и И. Н.Кавуна—„Сборник арифметических упражнений“,
В. В. Добровольского—„Математика для I ступени“ я др.—все
содержат более или менее богатый и разнообразный геометри-
ческий материал, который насыщает главным образом части,
предназначенные для 3 и 4 годов обучения. Те же выпуски
задачников, которые составлены для двух младших возраст-
ных групп, содержат значительно менее геометрического
материала, сводящегося притом к познанию мер длины
и площади и сравнительно мало касающегося геометрических
форм. Я думаю, что авторы не использовали всех возмож-
ностей, которые и уместны и полезны в первых двух годах
обучения. Разумеется, изучение свойств геометрических
фигур преждевременно в двух младших группах, но пред-
варительное знакомство с фигурами, комплексируемое
с рисованием и счетом, весьма легко, доступно детям и их
интересует.
Дети первой группы, пока еще не научились читать,
писать и хорошо считать, уже могут рисовать по клеточной
бумаге разные фигурки и заниматься при этом счетом.
Возьму для примера одну из первых тем по программам

ГУ С'а—состав семьи. Пусть дети обведут карандашом отдельно
столько клеток, сколько членов имеется в семье. Если семья
небольшая, то учащийся обводит клетки, говоря про себя:
отец, мать, брат, старшая сестра, младшая сестра и я сам;
сколько же всего клеток? Здесь будет порядковый счет
видимых фигур, изображающих людей, и знакомство с квадра-
том, пока без соответствующей терминологии. Если окажется,
что у кого либо семья очень большая, то учащийся все же
обводит отдельные клетки, говоря про себя: бабушка, отец,
мать, тетка, брат Иван, брат
Михаил, брат Сергей, сестра
Мария, сестра Ольга, сестра
Анна, сестра Вера и я сам;
сколько всего клеток? Тут,
может быть, учащийся запу-
тается в счете или просто не
сумеет сосчитать. Вероятно,
что и другие учащиеся не
сосчитают. В таком случае полу-
чается естественный подход
к обучению счету. Для упраж-
нений в счете однозначных
чисел удобно использовать фигурки, образцы которых
изображены на черт. 21. Учитель разлиновывает классную
доску в квадратную сетку, вычерчивает такие фигурки,
предлагает детям срисовывать их на клетчатой бумаге и
считать, сколько
клеток содержит-
ся внутри данной
фигуры. При этом
счете развивается
подготовка к груп-
повому счету, и
глаз приучается
к распознаванию
симметрии. На
чертеже даны при-
мерные фигурки;
сочинять их легко.
Надо предложить и детям сочинять такие фигурки.
Последние имеют, несомненно, большое геометрическое
значение и создаются в процессе повышенной, активности.
Получается в своем роде лабораторная работа. Когда дети
освоятся хорошо со счетом до 10, можно вернуться к рисо-
ванию фигур, но более сложных, как изображено, напр.,
на черт. 22. Здесь также приучение глаза к симметрии
и подготовка к групповому счету. Во второй группе также
можно вернуться к счету, но уже обязательно групповому,
Черт. 21.
Черт. 22.

с помощью вычерчивания разного рода фигурных линий,
как изображено на черт. 23; такие линии проводятся в тетради
во всю ширину страницы, и при этом подсчитывается длина
линии по отношению к ширине
одной клетки. Группирование
частей каждой линии, для счета,
очевидно. Весьма желательно,
чтобы учащиеся сами приду-
мывали разные фигурные линии.
Такого же рода упражнения
возможны со спичками. Дети скла-
дывают из спичек квадраты, тре-
угольники и другие геометри-
ческие фигуры, считают число
фигур и затем число спичек,
израсходованных на фигуры. Из
спичек можно складывать всевоз-
можные узоры, фигурки людей,
животных; конечно, следует тре-
бовать при этом счета числа
спичек.
Графическое изображение до-
лей единицы на клетчатой бумаге
встречалось и в дореволюционных
пособиях, а теперь встречается
еще чаще и потому настолько общеизвестно, что я про-
хожу мимо этого прекрасного, наглядного способа изу-
чения дробей. Я остановлюсь на одном частном приеме
наглядного сложения дробей, знаменатели которых суть
2, 4 и 8, так как этот прием не использован ни в одном
печатном пособии. Я опять прибегаю к фигуркам, вычерчи-
ваемым на клетчатой бумаге. Черт. 24 сразу поясняет дело.
Надо подсчитать, во сколько раз площадь данной фигуры
более одной клетки. На фигурках ясно видны доли целой
клетки; счет следует производить группами, тогда полу-
чится упражнение и в умножении дробей. Здесь тоже
приходится повторить пожелание, чтобы учащиеся сами
составляли фигуры.
Из описанных упражнений с фигурами и спичками
вытекает знакомство детей с квадратом, прямоугольником
и треугольником. Так как речь идет о первой возрастной
группе, то знакомство с перечисленными фигурами должно
ограничиваться пониманием того, что обозначают слова
„квадрат“, „прямоугольник“ и „треугольник“. Никоим обра-
зом не следует ни сообщать детям строгих определений
геометрических форм, ни требовать точного описания этих
форм. Понимание детьми указанных терминов удостоверяется
ответами на вопрос, где в окружающей обстановке встре-
Черт. 23.

чается та или иная форма. Какую форму имеют: сидение
табуретки, скамьи, отверстия колодца, подпорки стенной
полки и т. д.? Если учащиеся понимают особенности пере-
численных форм, значит, они поняли все, что нужно. Точно
так же выясняются термины: круг, куб, брусок и шар. Я оста-
навливаю внимание преподавателей на том, что слово „бру-
сок“ гораздо легче усваивается, чем „прямоугольный парал-
лелепипед“; последний термин следует отнести ко второй
ступени. Знакомство с кругом возникает при обведении
на бумаге контура монеты, отверстия стакана и т. д.; детям
первой группы рано еще давать в руки циркуль или его
суррогат в виде бумажной полоски с булавкою. Кубики
Черт. 24.
сами по себе хорошо знакомы детям, а прекрасною моделью
бруска является спичечная коробка или кирпич. Шар знаком
по мячику. Очень важно, чтобы дети лепили из глины кубики,
бруски и шары и вырезывали из картофелин кубики и бруски;
вылепленные предметы могут служить, кроме того, для счета
как порядкового, так и группового.
Во второй группе дети должны познакомиться с гра-
дусным делением окружности и с пользованием транспор-
тиром для обмера углов. О минутах и секундах следует
умолчать, отнеся знакомство с ними к школе второй ступени.
Во второй группе надо приучить пользоваться линейкою
с циркулем, лучше всего циркульного ножкою, надевающеюся
на карандаш. Дети чертят углы, измеряют их транспор-
тиром, им же измеряют углы по межам на плане, вычер-
чивают окружности, вырезывают круги из бумаги, переги-
бают круг для образования 4, 8 и 16 одинаковых секторов.
Учащиеся должны усвоить, что такое центр окружности
или круга, радиус, диаметр или поперечник. Слово сектор
можно и не упоминать, заменяя его определенною частью
круга. Следует показать деление прямого угла на 3 равные
части и, следовательно, деление окружности и крута на 12 рав-

ных частей. Такое деление необходимо для устройства цифер-
блата часов, для некоторых диаграмм и т. д. В той же группе
учащиеся усваивают определение площади квадрата и прямо-
угольника. Это делается с помощью вычерчивания квадратов
и прямоугольников разных величин по квадратной сетке
и подсчетом числа клеток внутри фигуры. Детям легко
переоткрыть формулы площадей этих двух фигур и пусть
они сами сделают открытие. Не надо давать готовых формул,
ничего не надо подсказывать. Надо предложить вычерчивать
фигуры, конечно, небольшие, и считать сколько клеток зани-
мает фигура по длине, по ширине и сколько клеток внутри.
После этого следует предложить самостоятельные работы:
обмер площади классной комнаты, окна, домашней ком-
наты и т. д.
Первоначальные геодезические работы, как-то: прове-
шивание прямых линий вообще, провешивание с помощью
эккера перпендикулярных и параллельных линий, обмер
в натуре площади прямоугольного участка земли, простейшее
нивелирование и пользование высотомером, можно поделить
между второю и третьего группою, работая со второю группою
весною и с третьего осенью. На протяжении полугода тут
не будет заметной возрастной разницы между учащимися
обеих групп, а потому упомянутый геодезический материал
можно перетасовывать по желанию преподавателя. Озна-
ченные работы описаны весьма обстоятельно в нескольких
из напечатанных пособий, а потому я, для экономии объема
настоящей книги, обхожу этот вопрос. Я замечу только, что
под простейшим нивелированием я понимаю обмер откоса
берега реки, насыпи, земляной выемки, оврага с помощью
планки (самая удобная
в 2 метра длины) и плот-
ничьего ватерпаса, а под
высотомером—узкую ли-
нейку (приблизительно
ги метра длины), туго
вращающуюся около гвоз-
дя, вбитого через середину
линейки к верхнему краю
палки,втыкаемой в землю.
На черт. 25 горизонталь-
ный уровень земли изоб-
ражен линиею BE; АВ
есть предмет (дерево, фабричная труба, радио-мачта и т. д.),
высоту которого желательно определить. Высотомер вбит
в землю в точке D, высота палки есть CD, а линейка MN визи-
рована на вершину А предмета АВ и на точку Е на земле, отме-
чаемую камешком и т. п. Высотомер втыкается в землю в про-
извольном расстоянии от АВ, и линейка устанавливается так,
Черт. 25.

чтобы из конца N была видна вдоль линейки точка А;
затем, не трогая линейки, заходят с другой стороны и от
конца М визируют через линейку MN точку Е. Расстояния
BE и DE измеряются непосредственно. Высота АВ во столько
раз больше высоты CD, во сколько раз BE больше, чем DE.
Я считаю этот прием определения высоты предмета наиболее
надежным из всех, описываемых в учебниках. Известный
способ определения высоты по теням дает весьма неточные
результаты, но он очень импонирует учащимся, почему
не следует его категорически отвергать. Лучше всего при-
менить оба способа, указав, почему способ измерения теней
менее надежен.
В третьей группе, при провешивании коротких перпенди-
кулярных прямых, следует использовать древний египетский
прием, основанный на том, что треугольник, стороны которого
суть 3, 4 и 5 линейных единиц,—прямоугольный, при чем
прямой угол образован сторонами, равными 3 и 4. Это свойстве
треугольника, представляющее собою частный случай теоремы
Пифагора, учащиеся усвоят, начертив на клетчатой бумаге
прямоугольный треугольник с катетами в 3 и 4 клетки;
обмерив гипотенузу, учащиеся убедятся, что длина ее равна
точно 5 клеткам. Надо начертить несколько таких треуголь-
ников, принимая за единицу длины не одну клетку, а 2,3 и т. д.;
тогда катеты будут соответственно 6 и 8, 9 и 12 клеток и т. д.,
а гипотенуза окажется длиною 5 2—10, 5.3 = 15 клеток и т. д.
Попутно приходится сказать, что теорема Пифагора в общем
виде должна быть отнесена к курсу школы второй ступени,
но учащиеся третьей группы должны усвоить термины
„катет“ и „гипотенуза“. Необходимо преподать, путем само-
стоятельных работ самих учащихся, свойства равнобедренного
треугольника; эти свойства нужно знать, например, для пони-
мания устройства стропил под крышею.
Когда учащиеся убедятся в свойстве треугольника
со сторонами 3, 4 и 5, они возьмут три бечевки, длиною,
например, 3, 4 и 5 метров, и прикрепят один конец первой
и один конец второй бечевки к первому колышку; второй
конец второй бечевки и первый конец третьей—ко второму
колышку и второй конец третьей бечевки и второй конец
первой бечевки—к третьему колышку. Растянув бечевки
и вбив колышки в землю, мы получим ясно обозначенный
прямой угол, вдоль сторон которого можно провешивать
взаимно перпендикулярные прямые. Этот способ очень удобен
для устройства тока на гумне, прямоугольных грядок,
площадки для игр и т. д., вообще когда устраиваемый
участок земли не велик.
Учащиеся 3-й группы должны ознакомиться с равно-
бедренною трапециею, так как придется для разных практи-
ческих целей вычислять ее площадь. Но сначала надо

вывести формулу площади треугольника; это должны сделать
сами учащиеся после следующих упражнений. На клетчатой
бумаге вычерчиваются различные треугольники, как пока-
зано на черт. 26, сначала прямоугольные, дополняемые
(пунктирные линии на чертеже) до прямоугольного. Потом
непрямоугольные треугольники, тоже дополняемые до прямо-
угольника и разрезаемые высотою на две части. Советую
избегать таких случаев, когда высота треугольника проходит
вне его; для этого надо
выбирать за основание самую
длинную сторону треуголь-
ника. Указанные построения
и расчеты, проделанные
с несколькими треугольни-
ками, приведут к открытию
искомой формулы. Нет никакой надобности знакомить уча-
щихся школ I ступени с параллелограммом и ромбом; эти
фигуры войдут в курс II ступени. Когда формула пло-
щади треугольника выведена, следует проделать ряд изме-
рений площадей треугольников, начерченных на нели-
нованной бумаге; основания и высоты треугольников (высоты
проводятся с помощью линейки и угольника) измеряются
миллиметрами, следовательно площадь будет получаться
в квадратных миллиметрах. После этого на нелинованной
бумаге вычерчиваются разнообразные многоугольники, в том
числе могут быть и параллелограммы, выделять которые под
специальным названием не стоит. Многоугольники делятся
на возможно меньшее число треугольников (лучше всего
проведением диагоналей), вычисляются площади отдельных
треугольников и, наконец, суммируются. Необходимо выде-
лить, как выше было сказано, равнобедренную (иначе равно-
бочную) трапецию. Сделав несколько раз
на клетчатой бумаге чертеж равнобедрен-
ной трапеции и проведя вспомогательные
линии, обозначенные на черт. 27 пункти-
ром, учащиеся сами выведут формулу,
что площадь трапеции равна произве-
дению средней линии на высоту.
Одновременно с вычислением площадей фигур учащиеся
должны усвоить две весьма важные истины. Первая состоит
в том, что две одинаковые но площади (равновеликие)
фигуры могут иметь и вообще имеют различные по длине
границы (периметры); эта истина легко обнаруживается
из построения на клетчатой бумаге нескольких прямоуголь-
ников, имеющих одну и ту же площадь, но разные формы;
начертим, например, три прямоугольника, соседние стороны
которых равны соответственно 9 и 4, 12 и 3, 6 и 6; площади
всех трех прямоугольников действительно одинаковы, так
Черт. 26.
Черт. 27.

как каждый содержит 36 клеток; но границы у них разные,
а именно равны соответственно 26, 30 и 24; учащиеся обна-
руживают при этом, что наименьшую границу или межу
имеет квадрат. Вторая истина состоит в том, что площади
подобных фигур пропорциональны квадратам сходственных
сторон; эта точная формулировка геометрической теоремы
трудна для понимания школьников третьей возрастной
группы и сообщена только к сведению преподавателя;
учащиеся могут усвоить теорему в следующей, более простой
обработке; начертим, по клетчатой бумаге, прямоугольник
и определим его площадь; возьмем, например, прямо-
угольник со сторонами 3 и 4; его площадь равна 12;
начертим второй прямоугольник со сторонами 6 и 4; той же
формы второй прямоугольник, как и первый? нет; какова
площадь второго прямоугольника? 24; во сколько раз больше,
чем первого? в 2 раза; начертим третий прямоугольник
со сторонами 6 и 8; какова его форма? такая же, как у первого;
какова площадь третьего? в 4 раза более, чем первого;
верно ли, что стороны третьего вдвое длиннее, чем первого?
да; а площадь третьего в 2 раза больше, чем первого?
нет; во сколько же раз больше? в 4 раза; начертим четвертый
прямоугольник, стороны которого суть 9 и 12; та же ли форма,
как первого? да; во сколько раз площадь четвертого больше,
чем первого? в 9 раз; если бы мы начертили пятый прямо-
угольник со сторонами 12 и 16, т.-е. в 4 раза большими,
чем у первого, то во сколько раз площадь пятого прямо-
угольника будет больше, чем первого? в 16 раз; теперь
начертим ряд квадратов, стороны которых суть последо-
вательно 2, 3, 4, 5 и т. д.; каковы их площади? 4, 9,16,25 и т. д.;
какая закономерность подмечается здесь? 2.2 = 4, 3.3 = 9,
4.4 = 16 и т. д.; вообразим два квадрата, из которых у одного
сторона в 10 раз больше, чем у другого; во сколько раз
площадь одного больше, чем у другого?
Описанные упражнения имеют целью подготовить
определение площади фигуры, начерченной в известном
масштабе. Мы подбираемся таким образом к вычислению
площади (к квадратуре) по данному плану жилого поме-
щения или участка земли.
Параллельно с геометрическими приемами вычисления
площадей прямолинейных фигур следует показать способ
приближенной оценки площади с помощью готовой квад-
ратной сетки. Для этого особенно удобна миллиметровая
бумага. Промаслим кусок миллиметровой бумаги и высушим
ее; бумага станет достаточно прозрачною, настолько, что
контуры фигуры отчетливо видны из-под наложенной сверху
промасленной бумаги. Черт. 28 изображает неправильный
четыреугольник, на который наложена промасленная милли-
метровая бумага. Определение площади четыреугольника

в квадратных миллиметрах производится непосредственным
подсчетом, затруднений не вызывает, но, конечно, дает только
приблизительный результат, так как мы усматриваем разные
доли квадратного миллиметра,
оцениваем эти доли по глазо-
меру и суммируем их с неко-
торым округлением. Указан-
ный прием незаменим для
приближенной оценки пло-
щади неправильных фигур,
например, листьев того или
другого дерева. Из курса бо-
таники можно получить справ-
ку, сколько воды испаряет
в определенный промежуток
времени квадратная единица
древесного листа; обратимся к молодой, например, 4-хлетней
яблоне, подсчитаем число ветвей, число листьев на одной
ветви, общее (приблизительное) число листьев и подсчитаем,
сколько воды испаряет летом наша яблонька в сутки.
Знакомство с масштабом возникло еще во второй группе
при построении простейших прямолинейных диаграмм.
В третьей группе надо углубить понимание масштаба
и заняться чтением и составлением несложных планов жилых
помещений, хозяйственных построек и небольших участков
земли. Так же, как и в отношении диаграмм и графиков,
составлению планов должно предшествовать их чтение, для
чего учитель добывает или изготовляет показательные планы.
Такие планы, соответственно реальной практике, должны
быть раскрашены; раскраска обыкновенно делается акварель-
ными красками; в крайности можно обойтись цветными каран-
дашами. Начинаем с плана жилого помещения, на котором
надо прежде всего изучить условные обозначения и смысл
раскраски; с этой целью беру черт. 29, на котором пред-
ставлены все виды встречающихся знаков и окрасок. Красный
цвет (кр) обозначает каменные или кирпичные стены, желтый
(ж)--деревянные стены или перегородки, синим цветом (с)
закрашивается половина печки, кухонного очага, вообще
всякого отопительного приспособления. Числа 1, 2, 3 и 4
поставлены на плане у окон с двойными рамами, 5 — у окна
€ одною рамою, 6 и 7 — у дверей в каменных стенах, 8 —
у двери в деревянной перегородке; места в стенах, занятые
окнами или дверями, не закрашиваются. Число 11 поставлено
у изображения лестницы; стрелка указывает направление
движения по лестнице, следовательно, первая ступенька
не у двери (6), а у окна (5); число узких полосок на изобра-
жении лестницы показывает число ступеней, поэтому видно,
что на этой лестнице 14 ступеней.
Черт. 28.

После усвоения обозначений на плане учащиеся изме-
ряют, с помощью приложенного масштаба, размеры (длину
и ширину) комнат; вычисляют их площадь, исключая места,
занятые печами; определяют толщину стен и перегородок,
ширину окон и дверей, размеры печей. Затем учащиеся
составляют на клетчатой, а еще лучше на миллиметровой
бумаге, план классной комнаты, а после — своей избы или
комнаты. Если по внешнему виду нельзя определить, какая
стена: деревянная или каменная, то это узнается постуки-
ванием; каменная стена дает глухой звук, а деревянная —
звонкий. Центр внимания при составлении плана сосредо-
точивается на соблюдении масштаба, который должен быть
обязательно приложен к плану. Учащиеся должны основа-
тельно понять, что план без масштаба не имеет смысла.
Черт. 29.
От плана классной и жилой комнаты учащиеся пере-
ходят к составлению плана небольшого здания, например,
школьного, городской квартиры в несколько комнат и кре-
стьянского двора. Если здание содержит 2 или 3 этажа,
то план каждого этажа составляется отдельно. Затем соста-
вляется план небольшого прямоугольного участка земли,
например, огорода, крестьянской усадьбы и т. д. Семку
плана Прямолинейного, но не прямоугольного участка
я отношу к четвертой группе.
Определение площади фигур требует знания квадратных
мер. Познание квадратного метра, квадратного центиметра

и кв. миллиметра достается легко. Кв. метр должен быть
обведен углем или мелом на стене и на полу классной
комнаты; кв. центиметр и кв. миллиметр вычерчиваются
в тетради. Земельные меры ар и гектар должны быть
усвоены столь же активно, как меры длины и веса, а именно
учащиеся должны сами обмерить на каком-нибудь пустыре
ар и гектар, зная, что ар равен 100 кв. метр., а гектар равен
100 арам или 10000 кв. метров. Ар и гектар обмериваются
в виде квадратов со сторонами соответственно 10 и 100 метрам;
для обмера пользуются эккером и мерной тесьмою или
бечевкою, градуированною на метры. Пониманию величины
ара и гектара содействует расстановка учащихся по меже
этих участков, лицом внутрь участка; тогда учащиеся
образуют живые вехи по границам участка и отчетливо
обозревают отмеренный участок.
В четвертой группе вводится небольшое усложнение
составления планов, а именно планы неправильных четырех-
угольников и многоугольников, проходимых по всем напра-
влениям. Если дело касается комнаты не прямоугольной
формы (когда стены дома образуют между собою острый
или тупой угол) или небольшого огорода, то я рекомендую
триангуляционный способ, состоящий в разбивке данной
фигуры на треугольники и в обмере всех сторон этих
треугольников. Вернемся к черт. 28 и предположим, что четы-
реугольник ABCD изображает снимаемый на план участок.
Измеряем длины АВ, ВС, CD, DA и АС; тогда мы можем
построить, в определенном масштабе, треугольник АБС
и пристроить к нему треугольник ACD; построение произ-
водится с помощью циркуля. Если снимаемый на план
участок земли сравнительно большой, то придется прибегнуть
к помощи эккера или самодельной астролябии; по этому
делу я отсылаю читателя к моей книге „Пособие по мате-
матике для 5-го года обучения в сельской школе“, или
к книге С. В. Орлова „Первые работы по измерению земли“,
или к книге Н. И. Козлова „Практическая геометрия, курс
сельской школы“, или к книге Н. И. Ткаченко „Семка планов“.
Способ определения площади фигуры по плану мною
описан выше, а теперь добавляю, что учащимся следует
указать еще на другой прием, а именно на палетку,
состоящую из полупрозрачной бумаги, на которой вычерчена
квадратная сетка, при чем каждый квадрат изображает ар
или гектар—соответственно масштабу плана. Удобно поль-
зоваться для устройства палетки миллиметровой бумагой.
Допустим, что план земельного участка составлен в таком
масштабе, что каждому миллиметру чертежа соответствует
10 метров в натуре; следовательно, чертеж дает уменьшение
линейных размеров в 10000 раз,а площади в 100002=100000000
раз. Поэтому одному гектару в натуре, равному 10000 кв.

метров или 10000 10000=100000000 кв. центиметров, должен
соответствовать на плане один кв. центиметр; тогда берем
для палетки миллиметровую бумагу, промасливаем ее,
высушиваем, покрываем план и считаем квадратные центи-
метры; их число и покажет нам число гектаров в натуре.
Меры объема и вычисление объемов тел я отношу к чет-
вертой группе, так как эта часть математики сравнительно
трудна для усвоения, а младшие группы и без того имеют
весьма содержательную программу. Я допускаю, что и в третьей
группе можно заняться кубатурою в простейших случаях,
но предпочитаю серьезно заняться этим вопросом в четвертой
группе.
Уяснение объемных соотношений затруднительно в том
смысле, что наглядность и активность требуют сравнительно
сложных приспособлений. Надо иметь разборный кубический
дециметр и набор многих одинаковых кубиков (не менее 64).
R первом случае учащиеся скоро поймут, что кубич. дециметр,
ребро которого равно 10 центиметрам, в 10.10.10 = 1000 раз
более кубич. центиметра. Во втором случае строятся кубы
из 8, 27 и 64 кубиков и становится ясным, что объем куба
увеличивается в 23, З3 и 43 раз, когда ребро увеличивается
в 2, 3 и 4 раза. Из одинаковых кубиков строятся бруски
(прямоугольные параллелепипеды), например, в 2 слоя
ко 3 4=12 кубиков в каждом слое; такой брусок содержит
2.3.4=24 кубика.
После таких упражнений становится понятным изме-
рение объема ящика, комнаты, вообще тела в форме прямо-
угольного параллепипеда. Для лучшего понимания числа
куб. метров, содержащихся в объеме классной комнаты, следует
сколотить из 12 планок, длиною по одному метру каждая,
остов куба и поставить его в пустом углу комнаты. Куби-
ческие центиметры учащиеся должны вырезывать из карто-
фелины, пользуясь для обмера миллиметрового линейкою.
Это прекрасное лабораторное упражнение.
Вывод формул объема призмы, цилиндра, пирамиды
и конуса гораздо труднее обставить наглядностью и актив-
ностью, но все же возможно. Учащиеся вырезают из крупной
картофелины брусок и разрезают его по диагональной
плоскости; получаются две одинаковые треугольные призмы^
объем каждой из которых, очевидно, равен половине объема
бруска. Возьмем теперь другой брусок, поставим его на стол
и разрежем брусок по отвесному направлению на две неравные
части. Во сколько раз объем одной части больше другой?
Очевидно, во столько раз, во сколько раз площадь основания
одной части больше площади основания другой; следовательно,
объем прямой призмы равен произведению площади основания
на высоту. Теперь можно определить объем кормушки для
скота, канавы, насыпи железнодорожного полотна и т. д.

С объемом пирамиды дело обстоит еще труднее. Я не
знаю другого приема, кроме взвешивания. Вырезаем из кар-
тофеля или брюквы треугольную призму (черт. 30) и находим
ее вес. Делаем разрез через вершины А, В и С,
получаем треугольную пирамиду, вес которое
оказывается равным одной трети веса пира-
миды. Отсюда получается вывод, что объем тре-
угольной пирамиды равен трети произведения
площади основания на высоту. Вырезаем много-
угольную пирамиду, разрезаем ее через вер-
шину и диагонали основания, выходящие из
одной точки, на части, представляющие собою
треугольные пирамиды с одною и тою же
высотой. Так как объем многоугольной пирамиды равен
сумме объемов ее частей — треугольных пирамид, то ясно,
что объем многоугольной пирамиды равен одной трети
произведения площади многоугольника в основании на
высоту пирамиды. Объем пирамиды приходится определять
для вывода формулы объема конуса. Объем пирамиды сам
по себе нам не нужен, так как эта форма редко встре-
чается в практике, но умение вычислить объем конуса
весьма важен, так как куча зерна на гумне, куча щебня
и т. д. имеют коническую форму, а нахождение объема кучи
ведет к определению ее веса, что практически чрезвычайно
существенно. Если по каким-либо причинам усвоение объема
цилиндра и конуса, а также усеченной пирамиды вызовет
затруднения, то я предпочел бы дать учащимся соответ-
ственные формулы догматически, чем тратить время на
нудные занятия.
В той же четвертой группе учащиеся должны узнать
измерение длины окружности и площади круга. Этот вопрос
может быть поставлен и раньше учения об объемах, но после
ознакомления с десятичными дробями. Определение длины
окружности легко произвести опытным путем при участии
всех учащихся класса. Им раздаются разные круглые
предметы: тарелка, ведро, стакан, обруч, дно круглой коробки
ц т. д. Учащиеся измеряют в миллиметрах длину окружности
и ее диаметр, а затем вычисляют, во сколько раз первая
длина более второй, при чем это кратное отношение находится
целым числом и тысячными долями единицы. При таком
массовом опыте, когда обмерялись разные окружности, полу-
чается чрезвычайно убедительный результат: большинство
учащихся найдут 3,141 или 3,142. Вероятно, будут ответы,
более или менее сильно уклоняющиеся от среднего числа 3,14...;
в таких случаях учащиеся будут искать и найдут ошибку
или в измерении, или в вычислениях. Итак, будет добыта
важная истина: для получения длины окружности следует
умножить длину диаметра на постоянное и отвлеченное
Черт. 30.

число 3,14. Следует сообщить учащимся, что это замеча-
тельное число, носящее особое название я (пи), равно беско-
нечной дроби 3.141592..., и дать для последующих вычислений
таблицу:
π = 3,14159
С помощью этой таблицы можно быстро вычислить длину
окружности, радиус которой известен. Допустим, что радиус
равен 17,3 центиметра, тогда диаметр равен 34,6 центи-
метров. Но 34,6 = 30 + 4 + 0,6, поэтому
Десятичные доли, стоящие правее пунктирной черты,
мы отбрасываем при сложении, так как они выражают сотые
и более мелкие доли миллиметра; сотые доли центиметра,
равные десятым долям миллиметра, мы все-таки складываем,
так как сумма десятых долей миллиметра может дать не-
сколько целых миллиметров; мы получили после сложения
98,68 центиметров и округляем это число до целых милли-
метров: 98,7. Попутно следует разъяснить учащимся, что до-
пускаемая нами неточность не имеет никакого значения
в практическом отношении, так как сделанное нами округ-
ление касается одной—двух десятых долей миллиметра
величины, незаметной глазу и исчезающей при числе 98
слишком центиметров, т.-е. почти при целом метре.
Из предыдущего вытекает, что для определения диа-
метра, если длина окружности известна, надо разделить
длину окружности на π, или умножить длину окружности
на - = 0,3183. Воспользуемся второю таблицею:

Если мы измерили длину некоторой окружности и на-
шли 75,8 центиметров, то диаметр равен:
Вычисление радиуса, если известен диаметр, не должно
выбывать затруднений.
Площадь круга определяется как сумма площадей сек-
торов, которые, когда их много, уподобляются треугольникам;
каждый такой треугольник имеет основанием маленькую
дугу, похожую на прямолинейный отрезок, а высотою—оче-
видно, радиус. Тогда площадь круга получается равною
(я опускаю подробности, которые понятны) тт. г2, где г есть
величина радиуса. Вычисление площади круга производится
с помощью первой из сообщенных таблиц.
Теперь можно указать на формулы объема цилиндра
и конуса. Цилиндр рассматривается, как призма с круглым
основанием, а конус, как пирамида с круглым основанием.
Если вывод формул объема призмы и пирамиды был сделан,
то нетрудно вывести формулы объема цилиндра конуса;
в противном случае можно дать эти формулы догматически.
Точно так же догматически сообщается формула объема шара;
но я полагаю, что без такой формулы легко обойтись в курсе
школы I ступени. О частях шара и говорить не приходится.
Если же встретится практическая надобность узнать объем
предмета в форме шара, полушара, вообще круглой или
криволинейной формы, то проще всего прибегнуть к изме-
рению литром, если предмет полый, или к погружению
в градуированный сосуд с водою, если предмет не пред-
ставляет собою посуды, и узнать объем по вытесненной воде.
Кубатура, т.-е. вычисление объема, имеет разнообраз-
нейшие практические применения, а потому заслуживает
серьезного внимания в курсе математики. Практические
применения очевидны: кубатура классной и жилой комнаты
по отношению к числу пользующихся данным помещением
людей, кубатура складочных помещений (пакгаузы, трюмы,
вагоны и т. д.) по отношению к количеству вмещаемых
товаров или предметов, кубатура земляных работ по отно-
шению ко времени исполнения и к оплате труда, кубатура
сложенного сена или соломы, кучи зерна или щебня или
песка и т. д. для определения общего веса без взвешивания
далеко не исчерпывают всех действительно жизненных

и производственных вопросов, решение которых сводится
между прочим к вычислению объема. Пользуюсь случаем
повторить сказанное мною в главе о метрологии относитель-
но важности умения определять вес предмета без взве-
шивания. Для этого нужно узнать объем предмета в метри-
ческих мерах и умножить объем на удельный вес предмета.
Если объем найден в
кубич. центиметрах, то объем выразится в граммах
дециметрах „ „ „ килограммах
„ метрах „ „ тоннах.
Так как вес воды в объеме кубич. центиметра равен
грамму, в объеме куб. децим.—килограмму, в объеме кубич.
метра—тонне, а удельный вес дается числом, показывающим,
во сколько раз данный предмет тяжелее или легче воды,
взятой в том же объеме. Для справок, нужных при решении
разных задач, привожу следующую таблицу удельного веса:

XII. Лабораторные занятия.
Работа школьника наиболее плодотворна тогда, когда
она ведется лабораторным методом, т.-е. когда учащийся
приобретает полезные сведения путем самостоятельных опы-
тов, измерений и исследований. Но, очевидно, нельзя провести
все обучение лабораторно. Некоторые вопросы органически
не помещаются в лабораторные рамки. Например, по отно-
шению к математике, механизм арифметических действий,
всякого рода символика и другие вопросы не могут быть
проработаны без активного объяснения учителя. Но те
вопросы, которые поддаются лабораторному методу, так
и должны быть поставлены. Хотя лабораторный метод тре-
бует значительно больше времени, чем лекционный и дру-
гие, следует иметь в виду, что проигрыш во времени покры-
вается выигрышем в качестве усвоения.
Рассмотрим, что может быть проработано лабораторно
в отдельных возрастных группах.
1-й год. Деление, наиболее трудное для учащихся
из арифметических действий, т.-е. получение частного
и остатка, легко усваивается с помощью следующих занятий.
Сначала уча-
щиеся делают
бумажные ко-
робочки. Для
этого берется
прямоугольный
листок бумаги и
перегибается
внутрь по пунк-
тирным лини-
ям, указанным
на черт. 31.
Угловые прямо-
угольники пе-
регибаются по направлению к коротким сторонам и излиш-
ние концы коротких стенок загибаются назад, так что
Черт. 31.

получается аккуратная и довольно прочная коробочка
(см. черт. 32). Коробочку можно получить и другим, веро-
ятно, всем известным, способом — многократным перегиба-
нием квадратного листка
бумаги; но в этом случае
коробка и менее прочна
и менее изящна. Каждый
учащийся должен изго-
товить себе по нескольку
коробок, не менее 6. Затем
каждый учащийся полу-
чает однородные пред-
меты, например, спички или зерна фасоли, или камешки и т. п.
Работа состоит теперь в том, что учащийся должен отсчитать
определенное число предметов, например, 10 спичек, и раз-
ложить их поровну в нескольких коробочках, например, в 4.
При этом получаются частные и остатки, которые записы-
ваются в следующей табличке, вычерчиваемой учащимися
в тетради, разлинованной в квадратную клетку. В верхней
отроке записываются делимые числа, в левом столбце—числа,
на которые делят (числа коробок). Под делимым числом,
против соответственного делителя, записываются рядом
частные (сколько предметов оказалось в коробке) и остатки.
Таблица показывает, что произведено 12 делений, из коих
в 7 случаях получился остаток. Пользуюсь случаем повто-
рить не раз высказываемое мною замечание, что учащиеся
должны с первого же года обучения привыкать к делению
с остатком и потому не бояться остатка, как это имело
Черт. 32.

место в дореволюционной школе, когда наличие остатка
вызывало подозрение в неблагополучности решения задачи.
Деление, производимое при решении истинно жизненных
задач, очень редко обходится без остатка. Я полагаю, что
следует вести упражнения на деление так, чтобы учащиеся
получили впечатление, что деление без остатка предста-
вляет собою редкий случай, а никак не наоборот.
Черт. 33.
К лабораторным занятиям в первой группе следует
отнести порядковый и групповой счет на конкретных пред-
метах или на фигурах, рисуемых учащимися В этой книге
читатель найдет образцы геометрических фигур, вычерчи-
ваемых детьми по клетчатой бумаге и служащих для
упражнений в счете. Кроме того, заслуживают внимания
композиции всевозможных фигурок из квадратов, прямо-
угольников, равносторонних и равнобедренных прямоуголь-
ных треугольничков, вырезанных из разноцветного картона.
Для этого надо обклеить листы картона разноцветною глян-
цевитою бумагою, вычертить на оборотной стороне картона
фигурки (см. черт. 33) так, чтобы AB=AC=DM=DE=FG=HK=
KL=HL=3 cm., FN=6 cm., вырезать эти фигурки, раздать
учащимся по не-
скольку фигурок
каждого сорта и
разных цветов и
предложить соста-
влять разные сим-
метричные узоры.
Учащийся подсчи-
тывает каждый
раз, сколько фигурок он использовал для комбинационной
фигуры, срисовывает ее в тетрадь и раскрашивает цветными
карандашами соответственно своей композиции. Здесь полу-
чается упражнение в комбинаторике, симметрии и пока
только зрительном знакомстве с простейшими геометриче-
скими фигурами.
Очевидно, что все упражнения, касающиеся усвоения
мер длины и веса (см главу о метрологии), относятся
к лабораторным занятиям.
2-й год. В этой возрастной группе метрологические
упражнения становятся более содержательными, и, следова-
тельно, лабораторные занятия могут быть поставлены
шире.
Измерения разного рода протяжений следует соединить
с аккуратною и систематичною записью получаемых резуль-
татов. Допустим, что учащиеся измеряют размеры своей
жилой комнаты. Необходимо требовать, чтобы в тетради
появилась запись следующей формы.

Моя комната:
Длина комнаты .... 6 метров 15 центиметров.
Ширина „ .... 4 „ 70 „
Вышина „ .... 3 „ 85 „
Дверь: вышина .... 3 „ 16
ширина .... 2 „ 05
Окно: вышина .... 2 „ 87
ширина .... 2 „ 36 „
Запись должна быть сделана по возможности каллигра-
фически, т.-е. чисто, четко, равными строками с буквами
одинакового роста и с цифрами тоже одинакового роста,
при чем рост цифр должен превышать в 2 раза рост строчных
букв и равняться росту больших начальных букв. Этим будет
достигнута четкость и внешняя нарядность, которая
особенно нужна в математических записях; кроме того, будет
исполняться правильное требование Нар. Ком. Прос. о при-
учении школьников к разборчивому письму. В дореволюцион-
ное время существовали специальные уроки чистописания,
на которых учащиеся выводили скучные строки однообразных
частей букв, затем целых букв, а впоследствии копировали
неинтересные прописи или списывали случайный текст из слу-
чайной книги. Такие упражнения были оторваны от других
занятий и сами по себе не могли заинтересовать учащихся;
уроки чистописания принадлежали обыкновенно к числу самых
нудных уроков. Новая школа не должна повторять старых
ошибок, не должна воскрешать противных специальных
уроков чистописания. Но новая школа обязана обратить
серьезнейшее внимание на четкость письма; для этого надо
искоренять всякую торопливую, неряшливую запись и куль-
тивировать нарядность всякого рода записей. В этом
отношении математика может оказать наиболее заметную
помощь, так как неорганизованные математические записи
имеют отрицательную ценность, затемняя усвоение матема-
тической сущности дела и способствуя появлению лишних
ошибок.
Многократное взвешивание, необходимое во второй группе
для усвоения килограмма и грамма, позволяет поставить
ряд разнообразных опытов, выполняемых учащимися само-
стоятельно. Полезны, например, следующие упражнения.
1) Отвесить один килограмм картофеля ровной, средней
величины и вычислить средний вес в граммах одной
картофелины; проверить на малых весах. 2) Взвесить обычную
порцию сахарного песка для одного стакана чая (2 чайных
ложки), вычислить суточное и месячное потребление сахара.
3) Сколько сухих зерен фасоли весят один грамм? Здесь
обнаружится, что гирька в один грамм почти уравновеши-
вается тремя зернами; следовательно, одно зерно фасоли

весит Vs грамма. Получится в своем роде разновеска на случай
надобности отвесить нормальную дозу хины, аспирина и др.
несильных лекарственных порошков, так -как 11/3 грамма
соответствует привычной старой аптекарской дозе в 5 гран
для взрослого человека. 4) Сколько тыквенных семечек
весят один грамм? Такие упражнения можно разнообразить
до бесконечности.
В главе о геометрии читатель найдет материал для
лабораторных занятий во второй группе. Сюда же надо
причислить составление простейших диаграмм.
3-й год. К лабораторным занятиям относятся все
упражнения, касающиеся усвоения остальных метрических
мер длины, веса и площадей (см. главы о метрологии и гео-
метрии), а также построение диаграмм. Последнее дело
расширяется и углубляется в третьей группе, а поэтому
займет достаточно времени, проводимого лабораторно. Кроме
того, обширный и благодарный материал доставляется модели-
рованием геометрических тел. Учащиеся делают выкройки
развернутых на плоскости граней тел, перегибают по ребрам
и склеивают. Наилучшим материалом для изготовления таких
моделей является плотная неразлинованная бумага или
ватманская бумага; хорошо использовать и плотную милли-
метровую бумагу, но в этом случае надо устроить так, чтобы
все ребра тела были равны целым числам центиметров
и чтобы миллиметровая разлиновка приходилась снаружи
Черт. 34.

тела; тогда площади всех граней будут отчетливо выражаться
целыми числами квадратных центиметров, и модель будет
выглядеть нарядно. Склеивание производится холодным
клейстером без комков. Существенно важно сделать выкройку
так, чтобы число склеиваемых граней было наименьшим.
На черт. 34 изображена выкройка полной поверхности пря-
мой треугольной призмы, основание которой суть одинаковые
треугольники CED и C'E'D' со сторонами ED=E'D,=2 ст.,
СЕ=С,Е,=3 ст. и CD=CfD'?=4 ст. Боковые ребра призмы
суть AAf (DD,)=BB»==CCI=4 ст; таким образом грань CDCfDr
есть квадрат. Эта подробность сама по себе несущественна,
но важно, чтобы учащиеся обнаружили ее самостоятельно.
Для склеивания оставлены у ребер АВ, ВС, DD', А'В' и В'С'
язычки, отгибаемые под прямым углом. Сначала грань
АВВ'А' склеивается с язычком при DD' так, чтобы ребро АА'
совпало с DD', потом грань CED наклеивается на язычки
при АВ и, ВС и, наконец, грань C'E'D' наклеивается на язычки
при А'В> и В'C'
Начальными упражнениями по моделированию следует
избрать составление выкройки и склеивание бруска (спичеч-
ной коробки) и куба; при этом учащиеся имеют в руках
готовую модель и оперируют при достаточной наглядности.
Затем можно перейти к склеиванию разных призм, пирамид
и цилиндра. Если склеить большие коробки цилиндрической
или призматической формы, без крышек, то такие коробки
могут оказаться полезными в домашнем хозяйстве для
укрытия пищи от пыли и мух, что имеет весьма большое
значение в санитарном отношении.
Аккуратно склеенные коробки необходимы для лабора-
торной же проработки кубических мер. Учащийся склеивает
кубик с ребром, равным одному цинтиметру, а затем еще
кубики с ребрами, равными соответственно 2,3, 4 и 5 центим.
Все эти кубики делаются без верхней грани. Насыпая
в полученные кубические коробки сухой чистый песок
и взвешивая отдельно каждую коробку с песком, учащийся
убедится, что если первый кубик весит а граммов, то сле-
дующие весят соответственно 8 а, 27 а, 64 а и 125 а граммов.
Песок в коробке, имеющей форму обыкновенного ящика
(прямоугольный параллелепипед),с размерами 4X3X2 центим.
весит 24а. граммов (4. 3. 2). Ряд такого рода опытов приве-
дет учащихся к познанию того, что объем призматического
(а также цилиндрического) тела равен произведению площади
основания на высоту. С пирамидами, а следовательно
и с конусом, дело обстоит значительно сложнее; поэтому
кубатура пирамидальных тел откладывается до четвертого
года обучения. Что же касается цилиндра, то для изгото-
вления его модели нет надобности в точном расчете соот-
ветствия длины окружности основания с длиною прямо-

угольника, являющегося разверткою боковой поверхности;
проще всего взять длину прямоугольника несколько большею
длины окружности вырезанного круга и полученный излишек
прямоугольника наклеить на его начало.
4-й год. К лабораторным занятиям непосредственно
относятся все упражнения, касающиеся измерения протя-
жений и веса и описанные в главах о метрологии и о геоме-
трии; я подчеркну здесь определение толщины листа бумаги
в книге или тетради; определение веса одного зерна по счету
числа зерен, весящих 1 или V2 грамма; взвешивание через
одинаковые промежутки времени высыхающего полена, рас-
четы процентной убыли веса и вычерчивание соответствен-
ного графика. Очевидно, что и все геодезические работы,
рекомендуемые в четвертой группе, относятся к лабораторным
занятиям. К ним же надо отнести построение диаграмм
и графиков.
Моделирование геометрических тел следует продолжать
Учащиеся изготовят модели разных пирамид, полных и усе-
ченных, а затем конуса полного и усеченного. Такое занятие
имеет ценность в отношении активного и наглядного зна-
комства с геометрическими формами, часто встречающимися
в жизни. В самом деле правильная 4-угольная пирамида
дает модель палатки, крыши над колодцем или сарайчиком;
8-угольн. пирамида—шатровой крыши. Усеченные пирамиды
дают формы куч песка, булыжника и т. д. Кроме того, опи-
санные многогранники подготовляют учащихся к усвоению
кубатуры тел. Я рекомендую еще моделирование сельско
хозяйственных и простейших городских и других построек:
изба, сарай, 2-этажный дом, 3-этажный фабричный корпус,
неподвижная цистерна для хранения нефти, 6-гранная желез-
нодорожная водокачка с граненою или конусообразною кры-
шею, фабричная труба и т. д. Такие модели хорошо раскраши-
вать и изображать окна, двери и т. д. При изготовлении таких
моделей, представляющих собою комбинированные многогран-
ники, учащиеся встретятся с целым рядом подлинно геомет-
рических соображений, которые весьма полезны для развития
пространственных представлений. Я присоединил бы сюда
моделирование радио-станции с ее мачтами (деревянные
спицы, прикрепленные к доске), закреплениями мачт (наклон-
ные нити) и антенною (нити), моделирование железнодорож-
ного полотна (лепка из глины) с рельсами (выкрашенные
под цвет железа деревянные планки) и телеграфными стол-
бами (спицы) с проводами (нити) и путевыми знаками. В этих
моделированиях наличие богатого геометрического элемента
очевидно.
Остается высказаться относительно связи всех предла-
гаемых лабораторных занятий с комплексным преподаванием.
Прежде всего, поскольку школьное обучение имеет одною

из своих целей приобретение учащимися полезных навыков,
в том числе математических, всякие лабораторные исследо-
вания и упражнения с жизненным, доступным детям, мате-
риалом не могут противоречить схемам ГУС'а. Затем описанные
занятия, касающиеся усвоения метрологии, геодезической
практики, построения диаграмм и графиков, с полною оче-
видностью вливаются в разработку отдельных комплексных
тем. Одинаково нет надобности, я полагаю, доказывать, что
моделирование построек, радио станции, железнодорожного
полотна и т. д. может быть непосредственно приурочено
к определенным темам. Наконец, если некоторые упражнения
не имеют естественной связи с очередною темою, но являются
своевременными с точки зрения методической проработки
математического курса, то я лишний раз повторю и подчеркну,
что часть учебного времени должна быть посвящена разви-
тию навыков в счете, независимо от обязательной разработки
срочной темы. Иначе дети так и не выучатся как следует
счету, что и происходит при неверном, узком и односторон-
нем понимании схем ГУС'а.