Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Т. 3. — 1913

ТРУДЫ
1-го Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей
МАТЕМАТИКИ.
27 декабря 1911 г. — 3 января 1912 г.
ТОМЪ III.
С.-ПЕТЕРБУРГЪ,
1913.

Журналъ
засѣданія Организаціоннаго Комитета І-аго Всерос-
сійскаго Съѣзда преподавателей математики.
21 Ноября 1913 года.
Предсѣдательствовалъ: 3. А. Макшеевъ.
Присутствовали: С. Α. Богомоловъ, И. Н. Кавунъ,
А. Р. Кулишеръ, М. Г. Попруженко, Э. Ю. Лундбергъ, П. А.
Некрасовъ, Д. Э. Теннеръ.
I) Заслушаны и утверждены отчетъ казначея и докладъ
Ревизіонной Комиссіи, разсмотрѣвшей относящіеся къ отчету
казначея документы и провѣрившей имѣющуюся наличность
въ размѣрѣ 910 рублей 41 коп.
II) Постановлено: 3-й томъ «Трудовъ» разослать безплатно
всѣмъ членамъ Съѣзда, уплатившимъ за первые два тома. Та-
кимъ образомъ всѣ три тома ((Трудовъ» обойдутся въ 3 р. чле-
намъ Съѣзда, участвовавшимъ въ предварительной подпискѣ
(2 р. подписныхъ-|-1 р. наложеннаго на 2-й томъ платежа), и
въ 3 p. 10 коп.—не участвовавшимъ въ ней (наложенный на
1-й томъ платежъ 80 к.-)-2 р. 30 к. платежа налож. на 2-й
томъ); сюда входятъ и почтовые расходы. Для членовъ Съѣзда,
не участвовавшихъ въ подпискѣ, почтовыхъ расходовъ на 10 к.
больше.
III) Заслушенъ предварительный разсчетъ стоимости из-
данія 3-го тома Трудовъ Съѣзда. Изъ этого разсчета слѣ-
дуетъ, что за покрытіемъ расходовъ по составленію, печатанію,
упаковкѣ и разсылкѣ 3-го тома, изъ имѣющейся въ налич-
ности суммы 910 p. 41 к. останется не болѣе нѣсколькихъ
десятковъ рублей. Продажная цѣна 3-го тома опредѣлена въ
75 коп.

IV) Имѣющіяся на лицо деньги и дальнѣйшія поступленія
по продажѣ «Трудовъ» и «Указателя» постановлено передавать
на храненіе въ кассу Педагогическаго Музея. При этомъ казна-
чей Съѣзда Д. Э. Теннеръ выразилъ согласіе вести въ даль-
нѣйшемъ относящуюся къ сказаннымъ суммамъ отчетность.
V) Постановлено: если къ 1-му января 1915 г. изъ де-
нежныхъ остатковъ по Съѣзду и доходовъ отъ продажи «Тру-
довъ» и «Указателя» составится сумма, превышающая 300 р.,
учредить премію « 1 -го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей
математики» на слѣдующихъ основаніяхъ.
§ 1. Премія въ размѣрѣ не менѣе 300 руб. составляется
изъ остатковъ изъ суммъ 1-го Всероссійскаго Съѣзда препо-
давателей мат-ки и изъ доходовъ отъ продажи «Трудовъ» и
«Указателя» и выдается: или за такой учебникъ алгебры для
средней школы, въ которомъ черезъ весь курсъ прове-
дена и на примѣрахъ изъ геометріи, физики, меха-
ники, космографіи, статистики и пр. ярко освѣ-
щена идея функциональной зависимости*), или за
математическую хрестоматію, которая должна обни-
мать:
1) Статьи выясняющія значеніе математики,
какъ науки.
2) Статьи дополняющія школьный курсъ мате-
матики и смежныя съ этимъ курсомъ ученія, напримѣръ: опре-
дѣлители. уравненія, вѣроятности, нѣкоторыя части проективной
геометріи, ученіе о многогранникахъ, теорема Моавра и при-
мѣненіе ея и пр.
3) Статьи углубляющія и болѣе научно изла-
гающія нѣкоторыя части элементарнаго курса
математики. Напримѣръ: общелогическія ученія, соприка-
сающаяся съ математикой; развитіе понятія о числѣ; аксіома-
тика геометріи и пр.
4) Статьи относящіяся къ исторіи математики,
причемъ необходимъ и общій историческій очеркъ (въ связи съ
культурой), и болѣе детальная разработка такихъ вопросовъ,
*) См. резолюцію Съѣзда (Томъ I, стр. 568, 560).

какъ квадратура круга, дѣленіе окружности на равныя части,
удвоеніе куба, развитіе анализа и пр. При этомъ весьма же-
лательно, чтобы большая часть статей хрестоматіи была соста-
влена по первоисточникамъ—въ переводѣ ихъ или въ
обработкѣ (Архимедъ, Ньютонъ, Лейбницъ и пр.) *).
§ 2. Премія можетъ быть присуждена за тѣ печатныя
сочиненія, отвѣчающія по своему содержанію § 1-му, которыя
вышли въ свѣтъ въ промежутокъ между 1-мъ января 1912 г.
и 1-мъ сентября 1917 года.
§ 3. Премія за сочиненія эти, по предварительномъ раз-
смотрѣніи ихъ въ открытыхъ засѣданіяхъ Отдѣла Математики
Педагогическаго Музея Б. Уч. Зав., присуждается Особой Ко-
миссіей, созываемой директоромъ Музея изъ членовъ Органи-
заціоннаго Комитета 1-го Вое росс. Съѣзда преподавателей ма-
тематики и чаеновъ названнаго Отдѣла. Вопросъ о преміи
рѣшается въ Комиссіи простымъ большинствомъ голосомъ.
§ 4. На обложкѣ премированной книги автору предо-
ставляется право указать, что она удостоена преміи 1-го Все-
россійскаго Съѣзда преподавателей математики.
VI) Если къ 1-му января 1915 г. изъ остатковъ отъ
суммы 1-го Съѣзда и доходовъ отъ продажи «Трудовъ» и «Ука-
зателя» не наростетъ сумма въ 300 р., то всѣ накопившіяся
деньги обращаются на изданіе «Трудовъ 2-го Всероссійскаго
Съѣзда преподавателей математики», на ту-же надобность
обращаются тогда и всѣ дальнѣйшія поступленія за «Труды»
1-го Съѣзда и «Указателя».
*) Частью могутъ быть использованы для хрестоматіи статьи, помѣщен-
ныя въ «Математическомъ листкѣ» А. И. Гольденберга, на что имѣется согла-
сіе вдовы покойнаго, А. И. Гольденбергъ.

КРАТКІЙ ОТЧЕТЪ
о суммахъ I Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики къ 19 ноября
1913 года.
Приходъ.
1) Получено заимо-
образно
500
Ρ·
к.
2) Членскихъ взно-
совъ (1222 <№№ за
исключеніемъ 6) по
3 р. и одинъ въ
5 руб. (вмѣстѣ съ
добавками на пе-
ресылку ИЛИ от-
3650
38
3) Плата за пользо-
ваніе квартирами
115 по 3 р. 50 к. .
402
50
4) Отъ продажи ука-
зателя по матема-
тикѣ
161
07
5) Подписка на«Труды»
1526
„
—
„
6) По почтѣ получено
за «Труды »съ 26 фев-
раля 1913 г. . . .
1847
47
7) Продано 89 экз. I т.
и 43 экз. II тома . .
298
95
8) За объявленія во
II томѣ
65
*
9) Субсидіи:
Главнаго
Управл.
в.-уч. за-
веденій . 500 p. — к.
Минист.
Народн.
Проев. . 1000 „ — „
Мин.Тор-
говли и
Промыш-
ленности 998 „ 50 „
2498
P-
50
к.
Всего въ приходѣ . 10949
Ρ·
87
к.
Расходъ
1) Возвращенъ долгъ
500
Ρ-
—
к.
2) Канцелярскихъ,
почтовыхъ и друг,
расходовъ по со-
зыву, открытію и
закрытію съѣзда .
728
30
3) Типографскихъ
расходовъ на обра-
щенія, извѣщенія,
бюллетени и резо-
люціи
640
72
4) Изданіе указателя
математической ли-
тературы
186
5) Устройство квар-
тиръ для членовъ
съѣзда
374
30
6) Устройство и раз-
борка выставки . .
388
48
7) Освѣщеніе помѣ-
щенія и прислуга .
134
—
„
8) Стенографированіе
преній
352
и
-
9) Изданіе I тома . .
3541
и
37
10) Изданіе II тома . .
1771
»
25
11) Разсылка I и II том.
1423
04
Всего въ расходѣ .
10039
Ρ·
46
к.
На лицо
910
41
»
10949
Ρ·
87
К.
Казначей Д. Тенмеръ.
Председатель Ревизіонной Комиссіи //. Некрасовъ.
Члены Комиссіи: С. Богомоловъ.

Международная Комиссія по преподаванію математики.
(Очеркъ дѣятельности).
Докладъ проф. Д. M. Синцова.
9 — 16 августа этого года соберется въ Кембриджѣ
V Международный Математическій Конгрессъ. Умѣстно и свое-
временно поэтому попытаться подвести нѣкоторые итоги той
работѣ, которая сдѣлана со времени IV (Римскаго) Конгресса
1908 г. и отчетъ о которой долженъ былъ быть доложенъ
Кембриджскому Конгрессу.
Я говорю о дѣятельности Международной Комиссіи по
преподаванію математики, которая была создана на IY Между -
народномъ Конгрессѣ въ Римѣ по почину и предложенію
D. E. Smith'a, и которая получила за это время такое разви-
тіе, какого, можетъ-быть, не ожидалъ самъ иниціаторъ, и, во
всякомъ случаѣ, не предполагали тѣ, кто вотировалъ это пред-
ложеніе въ засѣданіи 4-ой секціи Конгресса 9 и 11 апрѣля
1908 г. (н. ст.).
Мнѣ приводилось уже не одинъ разъ давать отчеты о дѣя-
тельности Комиссіи, начиная съ отчета о самомъ Римскомъ
съѣздѣ *), затѣмъ о Брюссельскомъ Собраніи дѣятелей комис-
сіи въ 1910 году 2) и о Миланскомъ съѣздѣ 1911 года 3).
Я поэтому былъ очень радъ, когда ко мнѣ обратились, съ
одной стороны, Организаціонный Комитетъ I Всероссійскаго
Съѣзда преподавателей математики, съ другой--редакція «Мате-
матическаго Образованія» предложила мнѣ дать опросъ дѣя-
тельности Комиссіи.
V) «Вѣстникъ Опытной Физики» № 460.
2) Ib., № 524, 525.
3) Ib., До 550.

Я чувствую себя въ долгу передъ русскою математи-
ческою публикою, ибо по нѣкоторымъ обстоятельствамъ не
могъ сдѣлать предположеннаго доклада на съѣздѣ.
Да будетъ мнѣ позволено, однако, возмѣстить этотъ свой
долгъ хотя на страницахъ «Трудовъ» съѣзда, который, въ свою
очередь, не могъ не оказать вліянія на характеръ настоящаго
очерка: если раньше я имѣлъ нѣкоторыя основанія сомнѣ-
ваться въ интересѣ русскихъ педагоговъ-математиковъ къ во-
просамъ такъ называемой «реформы» математическаго препо-
даванія, то теперь послѣ Съѣзда я знаю, что если она имѣетъ
противниковъ, то она имѣетъ и сторонниковъ, убѣжденныхъ
въ ея необходимости.
И это даетъ мнѣ больше смѣлости снова писать о дѣя-
тельности Международной Комиссіи по преподаванію мате-
матики.
Но вліяніе съѣзда на эту статью сказывается еще и въ
другомъ отношеніи,—на выборѣ, который я дѣлаю изъ матеріала,
въ изобиліи собраннаго дѣятелями комиссіи. Исчерпать его въ
предѣлахъ краткой статьи, которая могла бы быть прочитана
на съѣздѣ, невозможно. Объ этомъ слѣдовало бы написать
цѣлую книгу. Приходится поэтому ограничивать себя и выбирать
одно, оставляя другое, быть-можетъ, не менѣе важное и инте-
ресное.
Изъ прочитанныхъ на Съѣздѣ докладовъ я убѣдился, что
съ дѣятельностью комиссіи въ Германіи, тѣсно связанной съ
именемъ проф. Φ. Клейна, стоящаго во главѣ движенія въ
пользу реформы въ Германіи и составляющаго самую душу
дѣятельности Комиссіи, въ Россіи сравнительно знакомы.
Равнымъ образомъ положеніе преподаванія математики во
Франціи затрагивалось въ рѣчахъ, произнесенныхъ на съѣздѣ
проф. К. А. Поссе и В. В. Струве.—Тотъ матеріалъ, который
я самъ собралъ для предполагавшагося доклада съѣзду, былъ
мною самимъ отчасти использованъ въ другомъ моемъ очеркѣ,—
предполагавшемся «докладѣ по вопросу объ объединеніи про-
граммъ средней и высшей школы». Но на съѣздѣ шла рѣчь
о преподаваніи математики въ Швеціи. И какъ-разъ въ тру-
дахъ Международной Комиссіи томъ. изданный шведскою деле-

гаціей и посвященный преподаванію математики въ Швеціи,
занимаетъ одно изъ выдающихся мѣстъ. Я хочу поэтому, въ
измѣненіе первоначальнаго плана, отбросить то, что я собирался
говорить о дѣятельности германской и французской національ-
ныхъ подкомиссий и остановиться подробнѣе именно на Швеціи.
Было бы, конечно, интересно говорить о постановкѣ
преподаванія математики въ Италіи, Англіи и Америкѣ, но
труды этихъ подкомиссий еще не опубликованы вполнѣ, и
потому о нихъ умѣстно будетъ говорить впослѣдствіи.
На Римскомъ Конгрессѣ постановленіе объ организаціи
международной комиссіи, внесенное D. E. Smith'омъ и Archen-
hold7 омъ въ засѣданіи IV секціи 9 апрѣля, вылилось въ
формѣ слѣдующаго постановленія, принятаго въ засѣданіи сек-
ціи 11 апрѣля и всѣмъ конгрессомъ въ заключительномъ об-
щемъ собраніи въ тотъ же день: «Конгрессъ, признавая важ-
ность сравнительнаго изученія программъ и методовъ препо-
даванія математики въ среднихъ школахъ у различныхъ націй,
поручаетъ Клейну, Гринхиллю и Фэру дѣло организаціи Между-
народной Комиссіи, которая изучила бы вопросъ и представила
бы отчетъ ближайшему конгрессу».
Такъ организовалось это международное бюро, въ кото-
ромъ представитель Германіи, проф. Φ. Клейнъ, сталъ предсѣ-
дателемъ, маститый Sir George Greenhill (Лондонъ)—товари-
щемъ предсѣдателя и проф. H. Fehr (Женева)—секретаремъ, а
редактируемый послѣднимъ журналъ « Enseignement Mathéma-
tique» сдѣлался оффиціальнымъ органомъ Комиссіи.
Въ сентябрѣ того же года члены Комитета собрались въ
Кёльнѣ и приняли предварительный докладъ объ организаціи
Комиссіи и объ общемъ планѣ ея работы.
Ими было рѣшено организовать въ каждой странѣ г).
которая была достаточнымъ образомъ представлена на Между-
народныхъ Математическихъ Конгрессахъ (имѣла, въ сред-
немъ, не менѣе 10 представителей), національныя подко-
1) Эти страны, назыв. участвующими, суть: Германія, Австрія, Сѣв.-Ам.
Соед. Штаты, Франція, Венгрія, Великобританія, Италія, Россія и Швейцарія
(имѣютъ по 3 делегата), Бельгія, Данія, Испанія, Греція, Голландія, Норвегія,
Португалія, Румынія, Швеція (по 1 делегату) и присоединенная позже Японія.

миссій, съ делегатами, членами международной Комис-
сіи во главѣ, которыя взяли бы на себя организацію со-
ставленія отчетовъ, каждая въ своей странѣ, и кооптировали бы
себѣ по мѣрѣ надобности новыхъ членовъ, которые, однако,
являются лишь членами національныхъ подкомиссій. но не
самой Комиссіи (на практикѣ, впрочемъ, различіе это мало
ощутительно). Бюро составило Центральный Комитетъ, объ-
единяющей дѣятельность національныхъ подкомиссій и на пер-
выхъ порахъ занявшійся прежде всего ихъ организаціей.
Предварительный докладъ, напечатанный « Enseignement
Mathématique» 15. XI. 1908, былъ переведенъ и переизданъ въ
рядѣ странъ, участвующихъ въ Комиссіи.
Въ Россіи, делегацію которой составили Предсѣдатель
Ученаго Комитета Министерства Нар. Проев, ак. И. Я. Сонинъ
и Члены Комитета —проф. В. М. Кояловичъ и К. В. Фохтъ,
дир. 2 Спб. р. уч., онъ былъ переведенъ и помѣщенъ въ «Жур-
налѣ Мин. Нар. Просв.» 1909 г. и перепечатанъ въ «Мо-
сковскомъ Математич. Сборникѣ» т. 27, № 1, ((Кіевскихъ Уни-
верситетскихъ Извѣстіяхъ» 1909 г. № 11, «Техническомъ и
Коммерческомъ Образованіи» 1909 г. № 3 и др., а также разо-
сланъ во всѣ ученыя общества и учрежденія, имѣющія отно-
шеніе къ преподаванію математики. Такимъ образомъ этотъ
докладъ можетъ считаться достаточно знакомымъ русской ма-
тематической публикѣ. Тѣмъ не менѣе, трудно обойти его и
не остановиться на его содержаніи, ибо онъ характеризуетъ
тѣ взгляды, съ которыми руководители дѣятельности Ко-
миссіи приступали на работѣ, чего они хотѣли, ибо лишь при
сравненіи съ этимъ можно правильно оцѣнить то, чего они
достигли.
Соотвѣтственно заданію Римскаго Конгресса, предвари-
тельный докладъ главную цѣль Комиссіи полагаетъ въ томъ,
чтобы произвести анкету и опубликовать общій
отчетъ о современныхъ тенденціяхъ математи-
ческаго преподаванія въ различныхъ странахъ.
Необходимо обратить вниманіе не только на методы пре-
подаванія и на учебные планы, но и на самую организацію
обученія, не вдаваясь въ изложеніе ея историческаго развитія

и въ статистическія свѣдѣнія. Работа Комиссіи должна скорѣе
стремиться выставить общіе принципы, которыми долженъ
вдохновляться преподаватель, чѣмъ устанавливать единообразіе
въ деталяхъ или вырабатывать программы, пригодныя для
учебныхъ заведеній различныхъ странъ. Желательно, чтобы
главные пункты докладовъ подверглись предварительному об-
сужденію въ собраніяхъ профессоровъ и въ обществахъ науч-
ныхъ, техническихъ и иныхъ, которыя интересуются успѣхами
преподаванія математики. Предполагалось, что отчеты націо-
нальныхъ подкомиссій будутъ доставлены генеральному секре-
тарю, т.-е. проф. Феру, въ началѣ 1911 года, и что на пасхаль-
ныхъ каникулахъ 1911 года Комиссія соберется, чтобы сдѣ-
лать общій обзоръ вопросовъ, поднятыхъ въ предварительномъ
докладѣ, и установить основанія общаго доклада. Первоначаль-
ное заданіе Римскаго конгресса Центральный Комитетъ въ
своемъ докладѣ значительно расширилъ, рѣшивъ не ограни-
чивать своей работы преподаваніемъ математики въ средней
школѣ, но распространить ее на всю совокупность ма-
тематическаго обученія, съ первыхъ шаговъ до выс-
шаго образованія, не ограничиваясь общеобразовательными
учебными заведеніями, но изучая преподаваніе и въ школахъ
техническихъ и профессіональныхъ.
Доклады національныхъ подкомиссій по мысли Комитета,
должны въ первой своей части давать обзоръ современной
организаціи обученія математикѣ, системы экзаменовъ, мето-
довъ преподаванія и подготовки преподавательскаго персонала.
Лишь послѣ этого можно будетъ изучить и ясно представить
современныя тенденціи преподаванія, часто обнаруживающійся
въ характерѣ реформъ, принятыхъ въ послѣднее время, чему
должна быть посвящена вторая часть отчетовъ. Соотвѣтственно
этому Комитетъ намѣчалъ общій планъ отчетовъ въ такой
схемѣ: I. Различные типы школъ. II. Цѣль преподаванія ма-
тематики и отдѣлы ея, преподаваемые въ школѣ. III. Экза-
мены. IV. Методъ преподаванія. У. Подготовка кандидатовъ
въ преподаватели.
Тѣ же подраздѣленія намѣчены и для второй части отче-
товъ, но уже съ инымъ содержаніемъ; здѣсь должны найти

мѣсто: I. Современныя идеи, относящіяся къ организаціи
школы, новые типы школъ, вопросъ о совмѣстномъ обученіи
обоихъ половъ. П. Современныя тенденціи, относящіяся къ
цѣлямъ математическаго образованія и къ предметамъ препо-
даванія: указаніе новыхъ отдѣловъ или главъ, которыми слѣ-
довало бы замѣстить отдѣлы, безполезные для дальнѣйшихъ
частей науки или имѣющіе мало значенія, но сохраняемые въ
силу традицій. Было бы полезно выяснить, въ какой мѣрѣ
можно считаться съ требованіями введенія началъ анализа
безконечно-малыхъ и аналитической геометріи, нѣкоторыхъ
понятій по начертательной и проективной геометріи, а также
изученія физики съ математической точки зрѣнія и введенія
нѣкоторыхъ болѣе спеціальныхъ понятій (какъ понятій о функ-
ціи, о группахъ, объ ансамбляхъ). III. Проектъ преобразованія
существующей системы экзаменовъ, а также полнаго ихъ устра-
ненія. IV. Современныя идеи относительно методовъ препода-
ванія на различныхъ ступеняхъ и въ школахъ различныхъ ти-
повъ (роль подготовительнаго преподаванія, необходимо ли
предпосылать теоретическому курсу интуитивный пропедевтиче-
ский, и съ какого момента долженъ получать преобладающее
значеніе чисто - логическій элементъ,—напр., въ элементарной
геометріи и дифференціальномъ и интегральномъ исчисленіи).
Практическія приложенія (складывание бумаги, работы на откры-
томъ воздухѣ, практическіе и приближенные методы вычисле-
нія, графики въ алгебрѣ, клѣтчатая бумага, вопросъ о мате-
матическихъ лабораторіяхъ и моделяхъ, изготовляемыхъ уча-
щимися). Связь между различными отдѣлами математики
(насколько возможно стереть условныя границы между геомет-
ріей и алгеброй, алгеброй и анализомъ безконечно-малыхъ, между
евклидовой и аналитической геометріей, между геометріей и
тригонометрией, въ частности, мѣсто наглядной геометріи по
отношенію къ алгебрѣ, сліяніе планиметріи со стереометріей,
болѣе тѣсное единеніе дифференціальнаго исчисленія съ инте-
гральнымъ). Связь математики съ другими отраслями знаній,
геометрическимъ и техническимъ черченіемъ и рисованіемъ,
прикладными науками, съ физикой, химіей, біологіей, геогра-
фіей и пр., съ философіей и съ практическою жизнью. Воз-

можность и желательность сообщенія въ школѣ свѣдѣній по
исторіи математики. У. По отношенію къ подготовкѣ препо
давательскаго персонала анкета должна выяснить, что долженъ
изучить кандидатъ въ преподаватели, насколько должны они
знакомиться съ пріемами научныхъ изслѣдованій, какъ лучше
излагать имъ теоретическую и практическую науку о воспи-
таніи, полъ преподавателя на различныхъ ступеняхъ обученія,
время, которое слѣдовало бы удѣлять ознакомленію съ исто-
ріей математики, исторіей ея преподаванія, съ математическими
развлеченіями, съ общей литературой о математическомъ обра-
зованіи. Въ заключеніе Комитетъ приглашаетъ подчеркнуть
характерныя черты предлагаемыхъ реформъ, указать и опасно-
сти, которыхъ слѣдуетъ избѣгать, и тѣ возраженія и аргументы,
которые выставляются ихъ противниками. Такъ, желаніе сдѣлать
изложеніе привлекательнымъ не должно понижать серьезности
преподаванія; психологія, плохо понятая, могла бы привести или
къ преувеличенному выдвиганію логическихъ основъ математики,
или, наоборотъ, къ не менѣе вредному пренебреженію абстрактной
стороной ея; сліяніе такихъ отдѣловъ, какъ алгебра и геоме-
трія, можетъ повести къ утратѣ специфическихъ преимуществъ
того и другого отдѣла.
Такимъ образомъ, намѣтивъ широкую программу, охваты-
вающую всѣ вопросы математическаго преподаванія и матема-
тическаго образованія, Комитетъ желалъ бы возможной объек-
тивности, безъ излишнихъ увлеченій новшествами, но съ
подведеніемъ итоговъ и констатированіемъ всего, что было
прежде, и что внесено въ новѣйшее время въ область матема-
тической педагогики.
Конечно, вторая часть представляетъ и наибольшія труд-
ности.
Выяснить наилучшіе методы и способы преподаванія,
наиболѣе отвѣчающіе научнымъ требованіямъ и запросамъ
жизни, если и возможно, то полученные отвѣты неизбѣжна
будутъ имѣть лишь относительное, временное значеніе. Про-
грессъ науки и измѣненіе условій человѣческаго существова-
нія будутъ ставить все новыя задачи воспитанію и образованію
вообще, и преподаванію математики, и самой роли ея въ вое-

питаніи—въ частности. И въ этомъ отношеніи даже для такой
точной науки, какъ математика, возможны различныя воззрѣ-
нія, возможны различные взгляды на то, что можно и должно
преподавать, и на то, какъ можно и должно.
Національныя различія играютъ здѣсь, можетъ быть,
меньшую роль, — если сила традиціи или культурная отста-
лость осуждаютъ въ иной странѣ математику на подчиненную
роль въ школьномъ образованіи, это не можетъ мѣшать от-
дѣльнымъ просвѣщеннымъ представителямъ націи держаться
наиболѣе прогрессивныхъ воззрѣній и стоять на одномъ уровнѣ
съ представителями болѣе передовыхъ націй. Съ другой сто-
роны, цѣлый рядъ намѣченныхъ вопросовъ, хотя бы вопросъ
объ экзаменахъ или о значеніи совмѣстнаго обученія мальчи-
ковъ и дѣвочекъ, выходитъ за предѣлы только преподаванія
математики. Это —вопросы обще-педагогическіе, и по отношенію
къ нимъ компетентны педагоги вообще.
Понятно поэтому, что дѣятельность Комиссіи сосредото-
чилась, главнымъ образомъ, на первой задачѣ. Первый годъ
ушелъ на подготовительную организаціонную работу, на обра-
зованіе національныхъ подкомиссий. Центральному Комитету
приходилось иногда прибѣгать даже къ дипломатическому
посредничеству.
Собравшись въ Карлсруэ 5—6 апрѣля 1909 г., Коми-
тетъ подвелъ итогъ сдѣланному въ различныхъ странахъ: изъ
18 участвующихъ странъ делегаціи были уже организованы
въ 16 (кромѣ Бельгіи и Великобританіи На собраніи въ
Базелѣ 28 XII того же года -) Комитетъ могъ уже 'конста-
тировать организацію дѣла и въ этихъ двухъ странахъ: въ
Бельгіи роль делегата принялъ на себя проф. льежскаго
университета J. Neuberg, соредакторъ журнала «Mathesis» и
одинъ изъ основателей геометріи треугольника, организовавшій
бельгійскую подкомиссию. Въ Англіи Sir G. Greenhill зару-
чился содѣйствіемъ Board of Education—учрежденія, не вполнѣ
соотвѣтствующаго нашимъ оффиціальнымъ учрежденіямъ, — не
столько завѣдывающаго народнымъ образованіемъ, сколько
1) См. циркуляръ Комитета № 1, «Enseignement mathém.» 15. V. 1909 г.
2) Цирк. № 2, «Ens. math.», 15. III 1910 г.

играющаго роль центральнаго статистическаго комитета по
народному образованію.
Въ настоящее время закончены и отпечатаны доклады
подкомиссій французской, голландской, шведской и швейцарской.
Очень много сдѣлала германская подкомиссія, подъ лич-
нымъ руководствомъ проф. Клейна: ею уже опубликовано
20 выпусковъ изъ числа проектированныхъ пяти томовъ
Но значительное разнообразіе постановки преподаванія въ раз-
личныхъ автономныхъ единицахъ, входящихъ въ составъ Гер-
манской имперіи, очень умножаетъ число отдѣльныхъ отче-
товъ, a стремленіе дать выраженіе различнымъ сторонамъ дѣла,
такъ или иначе связаннымъ съ преподаваніемъ математики,
значительно увеличили первоначально проектированное число
рефератовъ. Это выяснилось уже на Миланскомъ съѣздѣ, гдѣ
проф. Клейнъ сообщилъ намъ, что у германской подкомиссій
останется работы еще на годъ послѣ Кембриджскаго съѣзда.
Германская система публикаціи отдѣльныхъ выпусковъ
принята и въ Австріи, національная подкомиссія которой также
выпустила цѣлый рядъ отчетовъ (до сего времени 20 отче-
товъ въ 11 тетрадяхъ), которые въ цѣляхъ болѣе широкаго
ихъ распространенія среди австрійскихъ педагоговъ безплатно
прилагаются къ двумъ австрійскимъ педагогическимъ журна-
ламъ: ((Zeitschrift für d. österreichischen Gymnasien» и ((Zeit-
schrift für das Realschnlwesen».
Ту же систему приняла и Венгрія, гдѣ изъ 12 намѣчен-
ныхъ отдѣльныхъ отчетовъ пока опубликовано четыре (о
техническихъ школахъ, о подготовкѣ преподавателей для сред-
нихъ учебныхъ заведеній и для народныхъ школъ и объ опыт-
ной гимназіи для первыхъ).
Но французская система опубликованія отчетовъ не от-
дѣльными выпусками, а сразу, оказалась для завершенія дѣла
лучшею.
То, что было на брюссельской конференціи въ августѣ 1910 г.
l) Распредѣленіе матеріала въ нихъ таково: 1) Среднія школы въ Сѣ-
верной Германіи. 2) Среднія школы въ Южной и Средней Германіи. 3) Отдѣльные
вопросы математическаго преподаванія. 4) Математика въ техническихъ шко-
лахъ. 5) Математика въ народныхъ школахъ и учительскихъ институтахъ.

обѣщано отъ имени французской подкомиссии ея представителемъ,
С. Bourlet, то къ Миланскому съѣзду въ сентябрѣ 1911 г.
оказалось и выполненнымъ. Маститый предсѣдатель француз-
ской подкомиссій, A. de St. Germain, съ чувствомъ законной гор-
дости представилъ собранію вполнѣ готовые и отпечатанные
всѣ пять томовъ французскаго отчета 1). Отчеты эти въ выс-
шей степени интересны и поучительны, особенно томы, ка-
сающіеся средняго и высшаго образованія. Но, излагая хорошо,
сжато, безъ лишняго многословія современное положеніе дѣла
преподаванія математики, какъ оно сложилось послѣ реформъ
1902—1905 гг., и вкратцѣ давая даже историческую перспек-
тиву, эти отчеты сравнительно мало удѣляютъ мѣста второй части
программы. Отвѣты на поставленные въ ней вопросы, пожалуй,
даже и есть, но они разбросаны въ видѣ отдѣльныхъ замѣча-
ній, и можно, пожалуй, согласиться, что къ пяти томамъ хо-
рошо бы прибавить еще 6-ой, дающій общіе выводы, которые
невольно напрашиваются при чтеніи того или другого тома и
его сравненіи съ предварительнымъ докладомъ.
Но и система работы, усвоенная германской подкомиссіей,
имѣетъ свои достоинства.
Конечно, при ней попадаетъ въ печать подчасъ кое-что
липшее и мало интересное, но зато получается не мало инте-
реснѣйшихъ детальныхъ изслѣдованій, которымъ не нашлось
бы мѣста, будь вся работа уложена въ строго размѣренныя
рамки. Укажемъ, напр., на работу Timerdinga—«Математика въ
учебникахъ физики», въ которой онъ показываетъ, какъ не-
обходимость введенія нѣкоторыхъ понятій такъ называемой
высшей математики и невозможность на нихъ опираться за-
ставляетъ физиковъ прибѣгать въ качествѣ суррогата къ ме-
тодамъ, существовавшимъ до изобрѣтенія анализа безконечно-
малыхъ; укажемъ далѣе интересную монографію движенія въ
пользу реформы преподаванія въ Германіи, написанную Р. Шим-
маномъ. Поучительны обзоры учебной математической литера-
1) Т. 1. «Начальное образованіе» подъ ред. Ch. Bioche. T. II. «Среднее
образованіе» подъ ред. Ch. Bioche. T. III. «Высшее образованіе» подъ ред. A. de
St. Germain. T. IV. «Техническое образованіе», подъ ред. Р. Rollet. Т. V. «Жен-
ское образованіе», подъ ред. M-lle Amieux. Изданіе Hachette, Paris.

туры, составленные В. Лицманномъ для среднихъ и научныхъ
школъ *). А его же «Die Organisation des înathematischen Unter-
richts an den höheren Knabenschulen in Preussen» даетъ инте-
ресный образчикъ примѣненія системы объѣзда референтомъ
интересныхъ въ томъ или другомъ отношеніи учебныхъ заве-
деній.
Весьма интересна и своеобразна организація дѣятельности
американской національной подкомиссій, Американская делегація:
D. E. Smith, W. Osgood, J. W.-A. Young избрала президентомъ D.E.
Smith'a и организовала особый при себѣ совѣтъ въ составѣ настоя-
щаго и бывшихъ комиссаровъ по народному образованію (United
States Comissioner of Education), настоящаго и бывшихъ предсе-
дателей Американскаго Математическаго Общества и Амери-
канской федераціи преподавателей математическихъ и естествен-
ныхъ наукъ, президентовъ трехъ большихъ американскихъ уни-
верситетовъ Harvard (Cambridge, Man.), Chicago (Chicago) и Co-
lumbia (New-York City) въ качествѣ совѣщательнаго органа для
обсужденія болѣе важныхъ вопросовъ. Составлена обширная
организація, распредѣляющая работу на 16 комитетовъ, подраздѣ-
ляющихся, въ свою очередь, на 77 подкомиссій; изъ нихъ
10 комитетовъ составляютъ отчеты съ подраздѣленіями, ука-
занными въ планѣ центральнаго комитета, по различнымъ
типамъ школъ; изъ предметовъ занятій другихъ отмѣтимъ:
VIII подготовка преподавателей общественныхъ школъ (въ немъ
особая подкомиссия. 4. Ошибки въ методахъ преподаванія, ихъ
природа, ихъ причины и средства противъ нихъ). XL Вліянія,
стремящіяся улучшить работу учителя (1. Періодическія из-
данія; 2. Ассоціаціи учителей, въ томъ числѣ кружки для
чтенія; 3. Учительскіе институты: 4. Надзоръ за учителями со
стороны Государства; 5. Работы издателей и ихъ агентовъ)
Отчеты подкомитетами и комитетами даются о современномъ
состояніи и о предложеніяхъ измѣненій, сдѣланныхъ достаточ-
нымъ числомъ преподавателей, но могутъ выражать и соб-
') «Stoff u. Methode im mathematischen Unterricht der Norddeutschen
höheren Schulen aut Grund der vorhandenen Lehrbüchern» (L 1.); его же «Stoff, u.
Methode des Rechenunterichts in Deutschland» (W. 1.) и еще не опубликованная
«Stoff u. Methode d. Kaumlehreunterrichts» etc. (V. 2).

ственныя пожеланія комитетовъ. Объемъ отчетовъ не ограни-
ченъ. Подкомитеты представляютъ ихъ своимъ комитетамъ, со-
ставляющемъ на ихъ основаніи свои отчеты съ собственными, если
понадобится, замѣчаніями. Отчеты комитетовъ направляются
въ національную американскую подкомиссію для составленія
окончательнаго отчета. Выражалось желаніе предварительнаго
обсужденія отдѣльныхъ отчетовъ подкомиссій на съѣздахъ и
въ періодическихъ изданіяхъ. Въ циркулярѣ 4 центральнаго
комитета («Ens. math.», 15. III. 1911) сообщается, что всѣ под-
готовительныя работы закончены, отчеты подкомитетовъ частью
будутъ напечатаны въ различныхъ изданіяхъ, a общій отчетъ
будетъ опубликованъ Bureau of Education. Изъ отдѣльныхъ
отчетовъ три напечатаны въ «Bulletin of the American Mathemati-
cal Society»: XIV. 1. Университетскіе курсы математики и
степень магистра (Vol. XVII, п° 5, с. 23 0 — 249), 2. (Vol. XVII,
п° 6, с. 305 — 311) Подготовка къ научнымъ изслѣдованіямъ
и степень доктора математики. 3. Подготовка инструкторовъ
по математикѣ для колледжей и университетовъ (Vol. XVII,
η" 2, с. 77—100). Говорить о нихъ подробнѣе лучше, однако,
послѣ появленія всѣхъ работъ американской комиссіи.
Изъ законченныхъ отчетовъ значительный интересъ
представляетъ отчетъ шведской подкомиссій, изданный проф.
Η. v. Koch и Oberlehrer'омъ Ε. Göransson. Какъ говорятъ они во
вступительной статьѣ, вопросъ о цѣли математическаго пре-
подаванія въ школѣ и въ связи съ этимъ изысканіе наиболѣе
подходящаго способа организаціи этого преподаванія давно уже
дебатируется въ педагогическихъ кругахъ Швеціи. Выли и
есть въ Швеціи представители мнѣнія, что математика должна
играть, главнымъ образомъ, служебную роль, должна служить
орудіемъ для практической жизни и для извѣстныхъ искусствъ
и наукъ, и что поэтому изъ учебнаго плана надо исключить
всѣ тѣ части, которыя не служатъ этой цѣли. Но было въ
Швеціи достаточно представителей и противоположнаго воз-
зрѣнія, что главнѣйшею задачею математики въ школѣ
является развитіе мыслительной способности ученика, какъ въ
формальномъ, такъ и въ реальномъ отношеніяхъ. Сторонники
этого взгляда трудились надъ преобразованіемъ преподаванія

въ этомъ направленіи. Эти противоположныя теченія увѣнчи-
вались поперемѣннымъ успѣхомъ, и въ настоящее время дѣло
стоитъ въ общемъ такъ, что обѣ точки зрѣнія нашли извѣст-
ное признаніе въ постановкѣ преподаванія въ разнаго рода
школахъ.
Какъ особенно важное съ указанныхъ точекъ зрѣнія со-
вершенно справедливо выставляютъ, говорятъ Н. v. Koch и
Ε. Göransson, понятіе о функціи вмѣстѣ съ соотвѣтствующими
графическими представленіями, и въ послѣднее время въ Шве-
ціи, какъ и въ другихъ культурныхъ странахъ, обращено вни-
маніе на значеніе этого понятія для всего міросозерцанія и,
посредственно, для развитія характера юношества. Указы-
вается, что это понятіе является основнымъ для пониманія
явленій природы и ихъ взаимной связи и, слѣдовательно, въ из-
вѣстной степени для пониманія самыхъ явленій человѣческой
жизни. Швеція не осталась въ сторонѣ отъ могучаго рефор-
маціоннаго движенія, захватившаго въ послѣднее десятилѣтіе
всю Европу,—тому свидѣтельствомъ новые учебные планы, при-
мѣчательные во многихъ отношеніяхъ, которые установлены
для реальныхъ училищъ и для гимназій. Существенная ихъ
особенность—введеніе понятія о функціи, а для реальныхъ
гимназій—и началъ анализа безконечно-малыхъ. Затруднитель-
ный вопросъ о томъ, въ какой мѣрѣ надо ограничить и пере-
работать другія части предмета, чтобы дать мѣсто этимъ нов-
шествамъ. намѣченъ этимъ учебнымъ планомъ, но такое рѣ-
шеніе не считается шведскими педагогами окончательнымъ,
такъ какъ не хватаетъ еще достаточнаго опыта. И отчетъ не
ограничивается констатированіемъ фактическаго положенія ве-
щей, но и указываетъ по всѣмъ пунктамъ, въ какихъ напра-
вленіяхъ намѣчаются желательныя измѣненія. Я оставляю въ
сторонѣ вопросъ о математикѣ въ народной школѣ Швеціи,
хотя отмѣчу мимоходомъ, что, кромѣ ариѳметики, проходится
и геометрія, при чемъ планиметрія не отдѣляется отъ стерео-
метріи, но въ каждый изъ двухъ лѣтъ ученія проходятъ нѣ-
которыя плоскія фигуры и пространственныя, которыя на
нихъ опираются. Курсъ этотъ эмпирическаго характера, съ
практическою цѣлью «чертить, описывать и измѣрять», и соеди-

няется съ курсомъ линейнаго черченія. Что же касается на-
родныхъ школъ высшаго разряда—высшихъ народныхъ школъ
(отчетъ называетъ ихъ Fortsetzuiigsschulen),—не многихъ по
числу (въ 1909 г. ихъ было 31 съ 1000 учениками и учени-
цами), но важныхъ по положенію въ системѣ, а также по за-
дачѣ и хорошему въ общемъ устройству, то ихъ курсъ совпа-
даетъ приблизительно съ курсомъ реальныхъ училищъ. Я
остановлюсь, главнымъ образомъ, на среднихъ учебныхъ заве-
деніяхъ.
Съ 1904 г. общеобразовательныя среднія учебныя заве-
денія Швеціи раздѣлены на гимназіи и реальныя училища, и
школы болѣе низкаго тина преобразованы въ реальныя учи-
лища. Реальное училище состоитъ изъ 6 одногодичныхъ клас-
совъ, съ 5 уроками математики во 2-мъ, 3-мъ, 4-мъ и 6-мъ классахъ
и съ 4 уроками въ 1-мъ и 5-мъ. Реальное училище имѣетъ
цѣлью, выходя изъ области, гдѣ дѣйствуетъ народная школа,
давать общее образованіе для среднихъ классовъ («allgemeine
bürgerliche Bildung», какъ выражается отчетъ, отдавая дань
сословному строю Швеціи). Въ учебномъ планѣ цѣлью препо-
даванія математики ставится дать учащимся знанье и умѣніе
производить ариѳметическія дѣйствія, въ особенности въ при-
ложеніи къ задачамъ обыденной жизни, а также освоенность
съ элементарными понятіями и методами геометріи въ
объемѣ, соотвѣтствующемъ требованіямъ общаго образованія
и въ то же время достаточномъ для подготовки къ тѣмъ заве-
деніямъ для продолженія образованія, которыя примыкаютъ
къ реальному училищу. Въ ариѳметикѣ очень рано начинается
счетъ съ децималями (Dezimalen),—чтобы не говорить еще о
дробяхъ вообще,—тройное правило самимъ учебнымъ планомъ
ограничивается легкими примѣрами, для которыхъ оно дей-
ствительно является методомъ рѣшенія; правило процентовъ
въ 3-мъ классѣ должно ограничиваться примѣрами, гдѣ разы-
скивается процентъ. Понятіе объ ирраціональномъ числѣ,
если время позволитъ, вводится въ пятомъ, въ противномъ
случаѣ, въ 6-мъ классѣ. Учебный планъ подчеркиваетъ, что
планиметрическія задачи на вычисленіе составляютъ естествен-
ный исходный пунктъ для введенія ирраціональныхъ чиселъ,
указывая въ противоположность предложеніямъ комиссіи 1902 г.,

что безъ квадратичныхъ ирраціональностей область препода-
ванія была бы слишкомъ сужена; однако, вмѣсто обычнаго
пріема извлеченія квадратныхъ корней предлагается пользо-
ваться таблицами *), для объясненія которыхъ предлагается,
чтобы ученики сами вычислили рядъ корней изъ чиселъ гра-
фическимъ путемъ при помощи діаграммы у = х2, можетъ-быть,
съ приложеніемъ теоремы Пиѳагора, и такимъ путемъ соста-
вили бы сами часть таблицы квадратныхъ корней. Это нов-
шество вызвало очень мало возраженій. При анкетѣ, органи-
зованной шведской подкомиссіей, поступило только два возра-
женія, при чемъ въ одномъ случаѣ требовалось полное устра-
неніе ученія объ ирраціональныхъ числахъ изъ курса средней
школы, мотивированное плохими результатами, обнаруженными
на экзаменахъ и зависящими отъ недостатка хорошихъ учебни-
ковъ и неспособности учителей отрѣшиться отъ привычныхъ
пріемовъ изслѣдованія и перейти къ новымъ. Относительно
геометріи Отчетомъ отмѣчается, что Швеція едва ли не раньше
другихъ странъ, еще съ 1820 г., ввела пропедевтическій курсъ,
имѣвшій цѣлью подготовить учениковъ къ систематическому
курсу, сдѣлавъ имъ знакомыми основныя геометрическія по-
нятія, но выродившійся въ отдѣльный отъ геометріи курсъ
«Anschauungslehre» и линейнаго черченія. Въ настоящее время
этотъ пропедевтическій курсъ сопровождается упражненіями
въ измѣреніяхъ, напр., въ различномъ объемѣ, въ различныхъ
заведеніяхъ, и изъ 60 отвѣтовъ и писемъ по этому вопросу
только два отзываются отрицательно, большая же часть счи-
таетъ его единственнымъ правильнымъ методомъ начальнаго
преподаванія геометріи и указываетъ на вызываемый имъ ин-
тересъ. Въ дальнѣйшемъ ходѣ занятій, помимо точныхъ постро-
еній, рекомендуется планомъ вычерчиваніе діаграммъ и пр.
Интересно отмѣтить, что, подчеркивая какъ цѣль и задачу
преподаванія геометріи развитіе полнаго пространственнаго воз-
зрѣнія, учебный планъ предоставляетъ преподавателю устана-
вливать въ зависимости отъ состава класса тотъ объемъ, въ
которомъ онъ пройдетъ обязательный для 6-го класса курсъ
началъ стереометріи.
1) Такія таблицы изданы Hagström. 1907, Hedström—Rehndal 1910, Malm-
borg—Norén 1910.

Нельзя обойти также молчаніемъ, что новый учебный
планъ сдѣлалъ то, чего не могли подѣлать всѣ разсужденія
въ теченіе всего XIX столѣтія: державшееся въ силу вѣковой
традиціи преподаваніе по «Началамъ» Евклида быстро исче-
заетъ (хотя учебный планъ и даетъ указаніе, какъ это дѣлать),
послѣ въ 1904 — 5 уч. году, въ 60 школахъ пользовались
Евклидомъ, и только въ 15—новыми книгами, то черезъ че-
тыре года въ 1908—9 г. цифры почти обратныя.
Переходимъ теперь къ гимназіямъ, имѣющимъ за собою
въ Швеціи долгую исторію,—первая основана Густавомъ II
Адольфомъ въ 1620 г. Въ настоящее время, въ результатѣ послѣд-
ней реформы 1905 г., учащійся продѣлываетъ 5 первыхъ лѣтъ
въ реальномъ училищѣ, гдѣ преподаваніе свободно отъ латин-
скаго языка, и лишь затѣмъ начинается бифуркація: или уче-
никъ переходитъ въ 6-й классъ реальнаго и въ немъ оканчи-
ваетъ, или же переходитъ въ гимназію реальную или латин-
скую, въ которой и остается еще 4 года, при чемъ въ латин-
ской гимназіи онъ можетъ съ 3-го класса обратиться къ чисто-
классическому отдѣленію безъ математики и рисованія, но съ
греческимъ языкомъ 2). Число часовъ, посвящаемыхъ матема-
тикѣ, таково:
I
II
III
IV
Итого.
Дореформ.
Реальныхъ гимназій . .
7
(i
6
6
25
26 і
Латинскихъ гимназій .
5
4
4
5
18
18
Латин. гимн., кл. отд. .
Г)
4
0
0
9
18
J) Вотъ схема взаимоотношенія:

Такимъ образомъ, число часовъ при произведенной ре-
формѣ не увеличено, а даже уменьшено. Тѣмъ не менѣе, въ
алгебрѣ дается примѣненіе прямоугольныхъ координатъ для
графическаго изображенія и изученія простыхъ функцій; съ
3-го класса реальной гимназіи вводится, сверхъ того, понятіе
о производной и аналитико-геометрическое изученіе кривыхъ
2-го порядка. Понятіе объ интегралѣ въ учебномъ планѣ не
фигурируетъ, но во многихъ гимназіяхъ оно понятно было
введено съ успѣхомъ и примѣнялось къ вычисленію площадей
и объемовъ, и къ задачамъ динамики. Но я не буду остана-
вливаться долѣе на интересномъ отчетѣ шведской подкомиссіи,
который умѣло соединяетъ въ небольшомъ сравнительно объ-
емѣ не только очеркъ современнаго положенія вещей въ связи
съ прошлымъ преподаванія математики, но и указываетъ, какъ
мы видѣли, и тѣ измѣненія, какія находятъ желательными
шведскіе педагоги.
До извѣстной степени даютъ это послѣднее и другіе отчеты,
напр., въ бельгійскій отчетъ включена статья H. Ploumen, Inspec-
teur de renseignement moyen: ((Les tendances actuelles de renseignement
mathématique en Belgique et leur influence sur les méthodes et les
programmes». Но если бы Международная комиссія выполнила
одну только первую часть задачи,—дала бы только обстоятель-
ный, составленный компетентными лицами, обзоръ того, какъ
и въ какомъ объемѣ преподается математика въ различныхъ
культурныхъ странахъ, то и тогда дѣло комиссіи надо было
бы признать большимъ и въ высшей степени полезнымъ. Уже
одна возможность сравненія положенія преподаванія въ своей
странѣ съ тѣмъ, что дѣлается у сосѣдей, вызываетъ соревно-
ваніе и освѣщаетъ путь, которому должно слѣдовать.
Но работа Комиссіи будетъ и при этомъ имѣть значеніе,
конечно, и для второй части программы. Практика ея дѣя-
тельности показала невыполнимость первоначальнаго заданія
Римскаго Конгресса. Этотъ общій отчетъ, который долженъ
былъ подвести итоги, очень интриговалъ первое время дѣя-
телей Комиссіи, и даже на Брюссельскомъ Собраніи о немъ
еще говорили, хотя, пожалуй, болѣе неопредѣленно. На Милан-
скомъ Съѣздѣ стало ясно, что такого отчета,—по крайней

мѣрѣ Кембриджскому Конгрессу—представлено не будетъ;
вмѣсто этого Предсѣдателемъ Комиссіи будетъ внесено пред-
ложеніе продолжить до слѣдующаго Конгресса работу Комис-
сіи. Но для меня лично ясно, что такого общаго отчета, какъ
резюме всей дѣятельности Комиссіи, не будетъ и вообще. Бу-
дутъ закончены отчеты отдѣльныхъ національныхъ подкомис-
сій, и всякій желающій будетъ изъ нихъ черпать свѣдѣнія о
фактическомъ положеніи преподаванія въ различныхъ странахъ.
Матеріалъ этотъ будетъ несомнѣнно пополняться и освѣжаться
регистраціей новыхъ мѣропріятій въ области учебнаго дѣла во-
обще и учебныхъ плановъ математики въ частности. Но вмѣсто
общихъ отчетовъ жизнь выдвинула другое,—періодическіе съѣзды
дѣятелей комиссіи, или вѣрнѣе, лицъ, интересующихся вопро-
сомъ преподаванія математики во всемъ его объемѣ.
Такихъ Съѣздовъ было уже два -въ Брюсселѣ и Миланѣ.
Успѣхъ этихъ опытовъ показываетъ, что и въ дальнѣйшемъ
этимъ именно путемъ можно будетъ прійти къ хорошимъ ре-
зультатамъ и въ области подведенія итоговъ. Вопросъ о томъ,
какой методъ преподаванія той или другой математической
дисциплины лучше, рѣшается не статистическимъ путемъ,
какъ нельзя получить типичный портретъ математика, на-
кладывая хотя бы сто портретовъ математиковъ одинъ на
другой. Напротивъ, живой обмѣнъ мнѣній по вопросу, заранѣе
намѣченному, можетъ дать несравненно больше. Такими во-
просами на Миланскомъ Съѣздѣ были: 1) строгость въ мате-
матическомъ преподаваніи средней школы: въ какой степени
можно въ средней школѣ придерживаться систематическаго
изложенія математики; 2) вопросъ о сліяніи различныхъ вѣт-
вей математики въ средней школѣ; 3) каково должно быть
математическое образованіе, теоретическое и практическое, для
физиковъ и натуралистовъ.
На Кембриджскомъ Конгрессѣ послѣдній вопросъ будетъ
обсуждаться снова въ отношеніи въ частности физиковъ (ма-
тематика въ университетскихъ занятіяхъ физиковъ). Другой
вопросъ, поставленный на порядокъ дня,—интуиція и опытъ
въ преподаваніи математики въ средней школѣ
1) См. «Enseignement mathem.», 15. III. 1912, гдѣ приведены и опросные
циркуляры С. Runge и W. Lietztmann'a.

Да позволено будетъ въ заключеніе остановиться на от-
ношеніи работъ Международной Комиссіи въ Россіи. Русская
подкомиссія къ Кембриджскому съѣзду почти закончитъ свою
работу: изъ предположенныхъ 16 отчетовъ 10 уже отпечатаны,
остается отпечатать еще 6 отчетовъ, которые уже предста-
влены. Въ своей совокупности они даютъ представленіе, какова
въ настоящее время организація преподаванія математики,
каковы учебные планы и программы ея въ учебныхъ заведе-
ніяхъ различныхъ типовъ. Этимъ заканчивается обязательная
часть работъ,—то, что Россія должна сдѣлать для заграницы.
Но намъ самимъ, можетъ-быть, важнѣе другое,—важно исполь-
зовать возможно болѣе полно работу Комиссіи для насъ са-
михъ, для чего нужно прежде всего болѣе детальное знаком-
ство русской математической публики съ результатами дѣя-
тельности Комиссіи, съ постановкою и особенностями препо-
даванія математики въ различныхъ странахъ. Краткій отчетъ,
въ родѣ настоящаго доклада, для этого недостаточенъ,—нужно
что-нибудь болѣе детальное. Во-вторыхъ, опытъ Международ-
ной Комиссіи необходимо использовать въ томъ отношеніи,
чтобы по примѣру нѣкоторыхъ странъ выполнить работы, без-
условно необходимыя. Таковъ, напримѣръ, вопросъ объ обзорѣ
существующихъ учебниковъ: для русскихъ педагоговъ было бы
въ высшей степени полезно имѣть работу, подобную работамъ
Лицманна, можетъ-быть, въ нѣсколько иномъ духѣ, скорѣе, кри-
тико-библіографическаго характера, нѣчто въ родѣ толковаго ука-
зателя наличной учебной литературы. Было бы желательно органи-
зовать и у насъ анкету, подобную той, которую устроила шведская
подкомиссія. Словомъ, есть цѣлый рядъ работъ, которыя могутъ
быть осуществлены лишь при дружной коллективной работѣ
блестящій примѣръ которой даетъ намъ Международная Комис-
сія по преподаванію математики.

О согласованіи программъ средней и высшей школы.
Докладъ проф. Д. М. Синцова (Харьковъ).
Вопросъ о согласованіи программъ школы средней и
школы высшей можно понимать въ широкомъ смыслѣ и
въ смыслѣ болѣе узкомъ. Въ широкомъ его можно понимать
какъ вопросъ о взаимномъ отношеніи школы высшей и школы
средней,—какъ вопросъ о томъ, какъ сдѣлать, чтобы были
соблюдены оба основныхъ требованія: 1) средняя школа должна
давать законченное образованіе, 2) средняя школа должна под-
готовлять къ высшей.
Если стать на эту точку зрѣнія, то вопросъ расширится
далеко за предѣлы простого сравнительно вопроса о препода-
ваніи математики и, конечно, тогда долженъ быть взятъ во
всей широтѣ: постановка учебнаго дѣла должна быть такова,
чтобы начинающему учиться была обезпечена возможность пойти
такъ далеко, какъ это требуютъ его способности, и насколько
позволяютъ его жизненныя условія. Только тогда, когда ка-
ждому Ломоносову будетъ обезпечена возможность дойти до
Академіи Наукъ, и каждому, вынужденному оставлять обра-
зованіе на томъ или другомъ этапѣ, пройденный путь будетъ
давать достаточно общаго образованія для послѣдующей его
дѣятельности, будетъ школьное обученіе доставлять наиболь-
шую возможную пользу всѣмъ его получающемъ. Этой цѣли
наша система, конечно, отвѣчаетъ лишь въ весьма слабой
степени. Къ ней стремятся въ странахъ передовыхъ, напр., во
Франціи. Несомнѣнно, только такая система отвѣчаетъ инте-
ресамъ и потребностямъ страны, въ особенности такой страны,
какъ Россія. Возможность для лучшихъ учениковъ низшей
школы продолжать образованіе въ средней, раздѣленіе средней
школы на два цикла, дающіе каждый законченное образованіе,

сокращеніе курса классической гимназіи на 1 годъ и обра-
щеніе VIII класса въ дополнительный (можетъ-быть, прибавка
въ реальныхъ училищахъ одного года для уравненія тѣхъ и
другихъ въ ихъ общемъ образованіи)—эта, такъ сказать, фран-
цузская система встрѣтитъ, конечно, не менѣе противниковъ,
чѣмъ сторонниковъ, и, можетъ-быть, удобнѣе на этомъ 1-омъ
съѣздѣ не тратить времени на дебаты, а избрать комиссію,
которая подготовила бы по этому вопросу докладъ къ слѣ-
дующему съѣзду.
Перехожу къ болѣе узкой постановкѣ вопроса: насколько
и какъ возможно согласовать курсъ средней и высшей школы,
не производя коренной ломки существующаго школьнаго
строя,—что возможно при измѣненіи программъ и методовъ
преподаванія.
Можно утверждать, что согласованіе есть; но это согла-
сованіе, такъ сказать, вынужденное: высшая школа получаетъ
извѣстный матеріалъ, студенты являются съ извѣстной под-
готовкой. Мы принимаемъ ихъ такими, каковы они есть, и
соотвѣтственно этому строимъ свои программы. Но и при
условіи, что курсы математики, читаемые студентамъ 1-го
семестра, не предполагаютъ никакихъ знаній сверхъ тѣхъ,
которыя значатся въ утвержденныхъ программахъ, не всегда
наши курсы оказываются понятными. Не всегда поступающіе
въ университетъ, даже на математическій факультетъ, знаютъ
хорошо математику. По личному опыту я убѣдился, что изъ
100 поступающихъ на 1-ый курсъ на второй переходятъ, или—
лучше—остаются на 2-ой годъ на математическомъ отдѣленіи
не свыше 60. Для 40 человѣкъ изъ 100 этотъ первый годъ
оказывается въ значительной степени потеряннымъ. А если
оцѣнивать въ 600 руб. стоимость этого года (если принять
въ разсчетъ то, что затрачивается государствомъ на каждаго
учащагося въ высшемъ учебномъ заведеніи, то надо цифру
эту удвоить), то это дастъ на 100 студентовъ потерю въ
24000 руб. Считая въ Петербургѣ 800, Москвѣ 600, Кіевѣ
300, Одессѣ, Казани, Харьковѣ, Юрьевѣ, Варшавѣ по 100,—
это дастъ 2200 поступающихъ и, слѣдовательно, ежегодную
матеріальную потерю около 500000 руб. Не поддается оцѣнкѣ
психологическое значеніе этой потери.

Отчего же это происходитъ? Здѣсь, конечно, не столь
существенно, что студенты, даже хорошіе ученики, обыкно-
венно не помнятъ именно тѣхъ формулъ и соотношеніи, кото-
рыя нужны намъ
(напр.: Cos2x = (1+cos2x)/2, Sin2x =(1-cos2x)/2 ).
Важнѣе отсутствіе геометрическаго воображенія. Еще въ пло-
скихъ чертежахъ и фигурахъ студенты болѣе или менѣе раз-
бираются, но пространственныя формы всегда для нихъ—ка-
мень преткновенія. Я бы сказалъ, однако, что еще болѣе суще-
ственное значеніе имѣетъ полное отсутствіе представленія о
томъ, что такое высшая математика, благодаря полной разоб-
щенности и даже извѣстному антагонизму средней и высшей
школъ.
Какъ часто такъ называемые хорошіе математики средней
школы, переходя черезъ порогъ университета, разочаровы-
ваются въ себѣ и въ математикѣ вообще. Вину за это нельзя
возлагать на одну высшую школу: рѣзкость перехода должна
быть сглажена съ обѣихъ сторонъ. Разгруженіе 1-го курса,
можетъ-быть, нѣкоторый контроль за занятіями студентовъ
(во Франціи въ высшей школѣ существуютъ спрашиванія—
interrogations), введеніе нѣкоторыхъ курсовъ, которые служили
бы соединительнымъ звеномъ между средней и высшей шко-
лой, какъ-то: введеніе въ анализъ, избранныя главы элемен-
тарной геометріи, какъ введеніе въ геометрію, исторія мате-
матики, преимущественно элементарной—это во власти выс-
шей школы и можетъ быть ею сдѣлано (я говорю объ уни-
верситетѣ). Но часть переработки въ сторону взаимнаго объ-
единенія должна взять на себя и средняя школа. Она должна
сдѣлать шагъ къ сближенію съ высшей школой и согласиться
на расширеніе своихъ программъ. Различеніе элементарной или
низшей математики и неэлементарной или высшей —чисто-искус-
ственное; историкъ математики скажетъ вамъ, господа, что
было время, когда ваша элементарная математика была выс-
шей, такой высшей, что даже умноженіе цѣлыхъ чиселъ счи-
талось доступнымъ только мудрецамъ. Не дѣтскимъ заня-

тіемъ было изученіе «Началъ Евклидовыхъ». И легче они,
конечно, не стали оттого, что ихъ начинаютъ изучать не въ
18, a въ 14 лѣтъ. Въ исторіи вы не ограничиваете программу
сверженіемъ Ромула-Августула. въ физикѣ не находите нуж-
нымъ сообщать ученіе о теплородѣ, въ исторіи словесности
русская литература не оканчивается на Третьяковскомъ.
Только въ математикѣ ставятся границы доступнаго дѣтскому
и юношескому уму тамъ, гдѣ начинается новая исторія мате-
матики. Только въ древнихъ языкахъ, языкахъ мертвыхъ,
отбрасывается, какъ недостойное изученія, то, что написано
послѣ золотого вѣка римской или греческой литературы. Но
тамъ, вѣдь, наступилъ упадокъ, тамъ, подъ вліяніемъ напора
варваровъ, произошло постепенное паденіе культуры, мѣсто
изящной прозы и поэзіи заняла кухонная латынь. Этого нѣтъ
въ исторіи математики. Не упадокъ ея начинается съ Декарта,
Лейбница и Ньютона, а новая жизнь, имѣющая корень въ
старой, не выбрасывающая ее за бортъ, а оживляющая и опло-
дотворяющая ее новыми идеями. Но школа консервативна.
Отъ абака и дѣйствій съ нимъ мы почти отказались,—мы
отправили его въ приготовительный классъ, гдѣ господа препо-
даватели приготовительнаго класса и обучаютъ дѣтишекъ искус-
ству дѣйствій на счетахъ. Но сколько еще осталось дорогихъ по-
койниковъ въ курсѣ средней школы. Дорогого сердцу Магницкаго
«гусинаго» и «дѣвичьягоъ правила уже нѣтъ, но когда 35 лѣтъ
тому назадъ я покупалъ ариѳметику Малинина и Буре-
нина, нашъ учитель еще заставлялъ насъ вычеркивать напе-
чатанное въ ней всѣми буквами «цѣпное правило». Теперь
ею, можетъ-быть, нѣтъ—не знаю; можетъ-быть, оно перешло
въ курсъ коммерческой ариѳметики и заняло тамъ почетное
мѣсто.
[Надо сказать, что мы, математики, очень грѣшимъ тѣмъ,
что совершенно не занимаемся этимъ отдѣломъ, который
выросъ въ цѣлую науку].
Но этого слишкомъ мало. Когда мы въ небольшомъ кружкѣ
готовились къ съѣзду и толковали о предстоящихъ докладахъ,
намъ рисовалась возможность цѣлаго ряда докладовъ, обосновы-
вающихъ то или другое сокращеніе, казавшееся, можетъ-быть,

намъ самимъ нѣсколько смѣлымъ. Но когда я сталъ просматри-
вать затѣмъ отчеты французской комиссіи по преподаванію
математики, я убѣдился. что то, о чемъ мы только мечтали, во
Франціи уже принято. Вотъ что говоритъ Guitton, Prof, au lycée
Henri IV въ Парижѣ, въ своей статьѣ «Rapport sur 1'algèbre»
во II т. «Rapports de la sous-commisson française de la Commis-
sion Internationale de TEnseign. Mathém.»; посвященномъ сред-
нему образованію: «Такъ какъ главная трудность въ обуче-
ніи алгебры заключается въ пріученіи къ буквенному счету, то
чѣмъ раньше начинать, тѣмъ лучше. Въ 5-омъ, т.-е. нашемъ
2-мъ, изучаютъ дѣйствія надъ числами; изображая ихъ бук-
вами, переводятъ на языкъ формулъ найденныя правила;
дальнѣйшее обученіе покажетъ перманентность этихъ формулъ.
Начинаютъ со свойствъ суммы: позднѣе скажутъ, что сло-
женіе есть операція коммутативная и ассоціативная. Потомъ
являются правила сложенія, вычитанія или умноженія суммы;
приложеніе представляетъ разложеніе квадрата а~\-Ъ. Нако-
нецъ, произведенія множителей и возвышеніе въ степень доста-
вляютъ новыя формулы, которыя возвращаются въ теченіе
всего хода занятій. Ученики уже въ состояніи разрѣшать урав-
ненія первой степени съ цѣлыми коэффиціентами, лишь бы рѣ-
шенія были цѣлыя, и не приходилось бы встрѣчаться съ невоз-
можными вычитаніями. Позднѣе они будутъ рѣшать подобные
вопросы механическими пріемами; но на первой стадіи обуче-
нія нужно подтверждать правило каждый разъ, какъ его при-
мѣняешь. Когда ученикъ написалъ уравненія задачи, онъ далъ
только осязательный образъ условій задачи. Онъ можетъ тот-
часъ же естественными пріемами получить изъ нихъ рѣшеніе.
Метода настолько проста, что для того, чтобы сдѣлать труд-
нѣе нѣкоторые экзамены, на которыхъ фигурируютъ ариѳме-
тическіе вопросы, допускаютъ только «ариѳметическія» рѣше-
нія, какъ-будто мы выходимъ изъ области ариѳметики, изоб-
ражая число буквою. Когда нельзя употреблять буквъ, про-
стыя задачи становятся часто настоящими головоломками и
требуютъ отъ кандидатовъ продолжительной тренировки; ихъ
время могло бы быть употреблено болѣе полезнымъ образомъ».
И принято это не гдѣ-нибудь, а именно во Франціи, гдѣ

преподаваніе математики стоитъ высоко, настолько высоко, что
даже нѣмцы при всемъ ихъ, можно сказать, шовинизмѣ, тѣмъ
не менѣе, говорятъ: «In der Mathematik sind die Franzosen uns
überlegen». И я полагаю, что тѣ измѣненія, то взаимное про-
никновеніе и сліяніе, о которомъ говоритъ Guitton, вполнѣ
осуществимы и сберегутъ массу времени и силъ. Надо раздѣ-
лить ариѳметику на двѣ части: практическую ариѳметику и
ариѳметику теоретическую, и въ младшихъ классахъ сохранить
только первую. Алгебраическія обозначенія вводить, какъ
можно, раньше,—все это положенія, возражать противъ кото-
рыхъ можно, но которыя представляются совершенно нату-
ральными; на ряду съ этимъ, уже въ ариѳметику надо вводить
простыя геометрическія понятія—интуитивную, наглядную ге-
ометрію, безъ которой вся метрическая система, все ученіе о
мѣрахъ становятся совершенно безцѣнными. И это францу-
зами уже сдѣлано. Въ высшей степени интересными являются
не только самыя программы и планы, и тѣ замѣчанія, кото-
рыя имъ посвящены въ обзорахъ A. Levy, Guitton и Rousseau,
но и самыя руководства, составленныя примѣнительно къ
этимъ планамъ.
Такова, напр., коллекція, издаваемая подъ общимъ име-
немъ: «Collection Bourlet» книгоиздательской фирмы Hachette, ко-
торой вышло уже 16 томиковъ. Примѣръ французской школы
убѣждаетъ насъ, что при надлежащей группировкѣ матеріала
можно достичь введенія началъ такъ называемой высшей ма-
тематики безъ обремененія учащихся, если только ограничиться
введеніемъ ея въ умѣренной дозѣ, полезной для всѣхъ, ка-
кова бы ни была ихъ спеціальность. Эта доза опредѣляется
прежде всего тѣмъ, что нужно для другихъ предметовъ, ко-
торые въ средней школѣ уже преподаются, и куда высшая ма-
тематика прокралась контрабандой «гони природу въ дверь;
она влетитъ въ окно»):
a) Графики, графическое изображеніе хода температуры,
давленія, работы паровой машины, пути падающей точки, за-
писаннаго на вращающемся цилиндрѣ.
b) Коническія сѣченія (параболическія зеркала; движеніе
кометъ, планетъ въ космографіи).

с) Начала ученія о производныхъ (скорость и ускореніе;
касательная) и т. д. Передъ опредѣленіемъ площадей при по-
мощи интеграла я останавливаюсь, хотя графическое опредѣле-
ніе работы паровой машины, коэффициента полезнаго дѣйствія
и т. п. достаточно убѣдительно говорятъ за необходимость и
этого понятія.
Если обратиться теперь къ этому пополненію съ точки
зрѣнія запросовъ высшей школы, главнымъ образомъ техниче-
ской, то, разумѣется, чѣмъ болѣе высшей математики даетъ
средняя школа, тѣмъ для высшей лучше: для университета,
для математическаго факультета, тѣмъ, чтобы получить болѣе
сознательныхъ слушателей на математическомъ отдѣленіи
и отбросить элементарныя части высшей математики;
для естественнаго отдѣленія физико-математическаго факуль-
тета и для медицинскаго факультета и даже для юридическаго
понятіе о функціи, производной, о графическомъ изображеніи,
я бы сказалъ, прямо необходимо.
Абсолютно не нужно все это развѣ только для филологовъ;
но ихъ такъ немного, что не бѣда, если и они получатъ новое
интересное понятіе, которое иногда, можетъ-быть, пригодится
и имъ. Еще болѣе, чѣмъ для математическаго отдѣленія уни-
верситета, введеніе началъ высшей математики въ среднюю
школу имѣетъ значеніе для высшей технической школы, гдѣ
математика играетъ служебную роль: тамъ эта возможность
облегчить первый курсъ особенно важна. И французы въ этомъ
отношеніи довольно радикальны: послѣ пересмотра плановъ и
усиленія началъ высшей математики въ средней школѣ въ
Ecole des Beaux-Arts въ Парижѣ каѳедра математики была
уничтожена, какъ ненужная болѣе, и соотвѣтственныя требо-
ванія перенесены въ программу вступительныхъ конкурсныхъ
экзаменовъ. У насъ этого не придется дѣлать. Послѣ того,
какъ введено будетъ болѣе полное преподаваніе началъ выс-
шей математики въ средней школѣ, останется еще много ра-
боты для математики въ технической школѣ.
Достаточно указать на книгу А. Н. Крылова, «Лекціи о
приближенныхъ вычисленіяхъ», чтобы убѣдиться въ справед-
ливости этого. Придется обратить больше вниманія на диффе-

ренціальную геометрію, на вычисленіе безконечно-малыхъ раз-
личныхъ порядковъ, словомъ, дать въ системѣ то, что теперь
каждый прикладной математикъ дѣлаетъ у себя и часто не-
достаточно строго и правильно. Систематизировать этотъ ма-
теріалъ значило бы заполнить ту пропасть, которая теперь
существуетъ въ высшихъ техническихъ учебныхъ заведеніяхъ,
между курсомъ высшей математики и курсомъ практической
механики и проч., и которая имѣетъ результатомъ заучиваніе
первой только для экзамена, чтобы послѣ него основательно за-
бываться.
Что касается французскаго Classe de Mathématiques Spécia-
les, который часто приводится у насъ для пущаго посрамленія
нашей отсталости въ математическомъ отношеніи, то, конечно,
это одно изъ рѣшеній вопроса о преподаваніи высшей мате-
матики въ средней школѣ, и притомъ на первый взглядъ
самое простое. Но при ближайшемъ разсмотрѣніи возникаютъ
нѣкоторыя сомнѣнія въ желательности именно такого рѣшенія
вопроса.
Прежде всего это явленіе чисто-французское, связанное съ
доминирующимъ значеніемъ, которое во Франціи занимаетъ Поли-
техническая Школа: ежегодно тысяча аспирантовъ съѣзжается
со всѣхъ концовъ Франціи держать конкурсные экзамены. Какъ
общее правило, только не попавшіе въ Политехническую Школу
идутъ въ университетъ, и широкую программу этой школы мо-
жетъ вынести только та отборная кучка, которая проходитъ
благополучно черезъ всѣ испытанія. Къ этимъ-то строгимъ
экзаменамъ и готовитъ Classe de Mathématiques Spéciales.
Учитель здѣсь имѣетъ право заявить ученику, что его
способности недостаточны для подготовки, и что ему лучше
уйти (не всѣ, конечно, этого слушаются). И изъ не выдер-
жавшихъ экзаменъ многіе снова возвращаются въ тотъ же
Classe de Mathématiques Spéciales, чтобы готовиться къ новому
конкурсному экзамену. Требованія экзаменныхъ программъ мѣ-
няются, и. напр., до послѣдней реформы особое развитіе имѣли
алгебра и аналитическая геометрія. Показателемъ объема тре-
бованій можетъ служить трехтомный курсъ аналитической гео-
метріи Pruvost; хорошій ученикъ Classe de Mathématiques Spé-

dales, по словамъ С. Bourlet, зналъ его отъ доски до доски. Не это,
конечно, намъ нужно и, во всякомъ случаѣ, не это одно. Если
мы говоримъ о французской системѣ, то, главнымъ образомъ,
имѣемъ въ виду распредѣленіе на секціи. Со времени реформы
1902 года французская средняя школа раздѣляется на два
цикла—низшій 4 года и высшій—2 года съ третьимъ допол-
нительнымъ
Первый циклъ обнимаетъ классы 6-й, 5-й, 4-й и 3-й и
раздѣляется на два'отдѣленія: одно—съ латинскимъ и другое
безъ латинскаго. Въ 1-омъ за 4 года 9 уроковъ математики,
во второмъ—17.
Вотъ что говоритъ Grevy, характеризуя реформу 1902 г.
(цитирую по статьѣ Ch. Bioche въ указанномъ уже «Отчетѣ»):
«Доминирующая идея реформы была та, чтобы отвести
€коль возможно большую долю занятіямъ науками физико-ма-
тематическими и новыми языками, чтобы ученикъ, выходя-
щій изъ лицея, могъ понимать многообразныя промышленныя
примѣненія, которыя ему встрѣтятся съ самаго начала его
дѣятельности, и не остаться чуждымъ экономическаго движе-
нія, значеніе котораго возрастаетъ съ каждымъ днемъ.
«Наиболѣе интересное нововведеніе реформы 1902 года—
это созданіе въ первомъ (младшемъ) циклѣ отдѣленія безъ ла-
тинскаго языка 2); циклъ этотъ составленъ былъ такъ, чтобы
ученики, покидающіе лицей по окончаніи 3-го класса, были
вооружены достаточнымъ научнымъ багажемъ, чтобы начать
свою дѣятельность на поприщѣ торговли или промышленности,
и чтобы остальные подготовились къ занятіямъ болѣе высо-
каго порядка.
«Одна изъ характеристическихъ чертъ плана занятій
1905 года есть ясное различіе, которое имъ устанавливается
между характеромъ преподаванія въ первомъ циклѣ и во второмъ.
До 1902 года геометрія преподавалась, начиная съ 4-го класса
[соотвѣтствующаго русскому 3-му], если не совершенно въ духѣ
евклидовыхъ «Элементовъ», то, по крайней мѣрѣ, способомъ
*) Болѣе подробныя свѣдѣнія объ организаціи учебныхъ заведеній см.
напр, Vuibert, «Annuaire de la jeunesse».
2) «Enseignement Secondaire». 1904, № 14.

логическимъ, представляющимъ большія аналогіи съ ученіемъ
Евклида; напротивъ, по учебному плану 1905 года «геометрія
должна быть преподаваема—въ первомъ циклѣ—путемъ экспе-
риментальным^— во всякомъ случаѣ, по крайней мѣрѣ, тогда,
когда дѣло идетъ о понятіяхъ прямой, плоскости, параллель-
ныхъ и проч.; всякій новый элементъ долженъ быть сопрово-
ждаемъ его точнымъ построеніемъ съ помощью линейки и
циркуля, а не проведеніемъ отъ руки, не пріучающимъ къ точ-
ности; геометрическое черченіе должно быть вспомогательнымъ
средствомъ при преподаваніи геометріи». Словомъ, преподаваніе
въ первомъ циклѣ должно быть сколь возможно конкретно; въ
естественныхъ классахъ второго цикла начинаютъ снова прохо-
дить во 2-мъ планиметрію, въ 1 -омъ—стереометрію уже логиче-
скимъ образомъ.
Циклъ высшій раздѣляется на четыре отдѣленія:
Α. Латинскій—греческій.
B. Латинскій—новые языки.
C. Латинскій—науки естественныя (sciences).
D. Новые языки—науки естественныя (sciences).
Первые два математику изучаютъ въ значительно мень-
шемъ объемѣ; два другіе—въ значительно большемъ: въ пер-
выхъ на математику отводится по два урока годовыхъ въ двухъ
классахъ (2-омъ и 1-омъ —по французской терминологіи), въ
С и D—въ тѣхъ же классахъ по 5. По окончаніи ихъ, А, В
идутъ въ Classe de philosophie, гдѣ математикѣ отводится 1 часъ
въ полугодіи обязательныхъ (космографія) и 2 часа факуль-
тативнаго курса; отдѣленія же С и D—въ Classe de Mathéma-
tiques, гдѣ математикѣ отводится 8 часовъ годовыхъ. При та-
комъ сокращеніи времени, отводимомъ на математику на сек-
ціяхъ А, В, все же удается, благодаря переработкѣ программъ,
доходить до сообщенія ученикамъ понятій о производной и
аналитической геометріи.
Здѣсь не мѣсто, конечно, распространяться подробно о
программахъ. Не лишнее, можетъ-быть, лишь напомнить, что
программы 1902 года были реакціей противъ увлеченій пред-
шествовавшихъ программъ введеніемъ духа строгости и систе-

матичности, доходившей до устраненія геометрическихъ иллю-
страцій понятія о производной.
Эти программы 1902 года были составлены выдающимися
учеными, не имѣвшими, однако, опыта, преподаванія въ средней
школѣ, и вызвали оживленную критику со стороны педагоговъ,
и уже въ 1905 году былъ произведенъ общій пересмотръ про-
граммъ преподаванія математики. Въ 1909 году произведенъ
былъ новый пересмотръ программъ словесныхъ отдѣленій (А
и В) второго цикла.
Во'Гъ что по этому поводу говоритъ Ch. Bioche въ своей всту-
пительной къ отчету статьѣ «Sur la place et l'importance des
Mathématiques dans renseignement Secondaire en France».
«Программа математики классовъ 2-го и 1-го А и В со-
держитъ теперь понятія о графическомъ изображеніи функцій,
съ приложеніями къ равномѣрно ускоренному движенію, и
элементарныя свѣдѣнія по тригонометріи, — свѣдѣнія, достаточ-
ныя для того, чтобы, пользуясь таблицами натуральныхъ зна-
ченій тригонометрическихъ линій, употребленіе которыхъ ста-
новится очень обычнымъ, дать возможность ученикамъ рѣшать
различныя простыя задачи, встрѣчающіяся на практикѣ. Время,
посвященное математикѣ—2 часа въ недѣлю,—достаточно для
того, чтобы можно было настаивать на численныхъ приложе-
ніяхъ. Если теперь ученики выучиваютъ менѣе теоремъ, чѣмъ
прежде, зато они пріобрѣтаютъ интересныя понятія и на-
учаются ихъ примѣнять».
Нѣтъ надобности указывать, что доза высшей математики
въ отдѣленіяхъ естественно-научныхъ (С и D) несравненно выше.
Можно бы думать, что эти отдѣленія оказываются очень трудными
для учениковъ и мало избираемыми. Оказывается наоборотъ,—
они-то именно и привлекаютъ наибольшее количество учащихся.
Вотъ цифры, которыя любезно сообщилъ мнѣ въ прошломъ
году В. Niewenglowski, Inspecteur général de l'Enseignement Se-
condaire,—они даютъ процентное отношеніе учащихся во 2-омъ
и въ 1-омъ классахъ 4-хъ отдѣленій за семь лѣтъ 1903 —
1909 (1903-й годъ нѣсколько неправиленъ, ибо реформа про-
изведена въ 1902-мъ году).

Лицеи и колледжи.
1903
1904
1905
1906
1907
1908
1909
А
10,83
10,03
9,21
8,40
8,18
7,76
7,76
В
12,30
16,95
17,87
19,18
18,62
18,61
18,83
С
24,95
24,89
24,13
23,05
22.98
22,85
22,56
D
51,91
48,12
48,77
49,36
50,21
50,77
50,93
А
37,39
18,49
13,83
12,07
11,77
10,05
9,73
В
14,29
16,73
20,26
21,54
22,82
23,19
22,07
С
30,28
28,97
25,44
25,04
23,09
22,84
22,95
D
18,13
35,80
40,43
41,33
42,31
43,91
45,24
Цифры эти достаточно характерны и говорятъ сами.
Мы видимъ, что почти три четверти всего числа уча-
щихся въ первомъ циклѣ избираютъ именно тѣ отдѣленія, ко-
торыя наиболѣе насыщены математикой. И такъ какъ нѣтъ
основаній предполагать, что французская нація характеризуется
особою природного одаренностью къ математикѣ въ трехъ чет-
вертяхъ своихъ, то мы должны будемъ признать, что болѣе
обширный курсъ математики, проходимый на отдѣленіяхъ
С и D, не является непреодолимымъ для большинства.
Но эти цифры чрезвычайно любопытны и въ другомъ еще
отношеніи. Онѣ показываютъ, какъ падаетъ число изучающихъ
древніе языки, и число отдающихся словеснымъ наукамъ (отд.
А и В вмѣстѣ) даетъ все уменьшающуюся долю, приближаю-
щуюся къ 0,25. И секція С, которая, казалось, должна бы
быть самою многолюдною (такъ мнѣ и сообщалъ сначала г. Ни-
венгловскій), привлекаетъ всего 22—23°/0, и число это, хотя и
медленно, но непрерывно падаетъ. При важности латинскаго
языка и римской культуры для Франціи не удивительно, что
такое положеніе вещей начинаетъ даже тревожить просвѣщен-
ныхъ людей Франціи, и это, можетъ-быть,—причина того, что
за послѣднее время въ средѣ представителей науки и техники
во Франціи раздаются голоса о значеніи классическаго обра-
зованія. Но это уже выходитъ изъ области прямой нашей темы-

И я позволю себѣ, чтобы не затягивать доклада, ограни-
читься сказаннымъ и выразить пожеланіе, чтобы и для насъ
наступило время, когда математикѣ будетъ отведено подобаю-
щее ей мѣсто, и чтобы дѣло пересмотра плановъ происходило
при совмѣстной работѣ представителей средней и высшей
школы.

Историческій обзоръ развитія понятія о функціи.
Докладъ прив.-доц. С. H. Бернштейна (Харьковъ).
Въ настоящее время можно считать общепризнаннымъ,
что понятіе математической функціи относится къ числу основ-
ныхъ понятій человѣческаго мышленія. Уже давно многіе вы-
дающіеся математики и педагоги настаиваютъ на необходимо-
сти введенія понятія о функціональной зависимости въ обще-
образовательный курсъ средней школы; и, безъ сомнѣнія, од-
нимъ изъ крупнѣйшихъ культурныхъ завоеваній нашихъ дней
является осуществленіе этой идеи.
Въ виду того, что на долю многихъ изъ васъ выпадаетъ
трудная и ответственная, но въ высшей степени благодарная
задача проведенія въ жизнь новой реформы, мнѣ казалось
умѣстнымъ въ краткомъ и, по возможности, элементарномъ
очеркѣ изложить вамъ исторію развитія понятія функціи отъ
его возникновенія до нашихъ дней.
Понятіе функціи впервые, повидимому, вводится Декар-
томъ одновременно съ открытіемъ аналитической геометріи.
Для него, какъ и для другихъ математиковъ XVII столѣтія,
всякая функція представляется въ видѣ нѣкоторой линіи; ор-
дината точки на данной линіи есть функція ея абсциссы.
То же интуитивное геометрическое воззрѣніе на функцію мы
находимъ и у основателей дифференціальнаго и интегральнаго
исчисленій, Лейбница и Ньютона. Объ этомъ обстоятельствѣ.
свидѣтельствующемъ о чрезвычайной плодотворности геометри-
ческаго представленія о функціи, слѣдуетъ всегда помнить
тѣмъ, кто преподаетъ основанія анализа. Безъ сомнѣнія, со-
временная математика, какъ мы увидимъ, ушла и должна

была уйти далеко отъ этого наивнаго воззрѣнія на функцію,
замѣняющаго точное ея опредѣленіе; но начинающаго полезно
лишь постепенно знакомить съ послѣдовательными усовершен-
ствованіями этого понятія, прибѣгая вездѣ, гдѣ возможно, къ
наглядной геометрической иллюстраціи отвлеченныхъ теоремъ.
Уже въ началѣ XVIII столѣтія мы встрѣчаемъ у Іоанна
Бернулли первую попытку аналитическаго опредѣленія функціи,
которому Эйлеръ придалъ слѣдующую нѣсколько болѣе точную
форму: Functio quantitatis variabilis est expressio analytica quomo-
docunque composita ex illa quantitate variabili, et numeris seu
quantitatibus constantibus (функціей нѣкоторой перемѣнной ве-
личины называется аналитическое выраженіе, составленное
при помощи этой перемѣнной величины и постоянныхъ коли-
чествъ). Однако, Эйлеръ, подобно большинству своихъ совре-
менниковъ, считалъ аналитическое опредѣленіе функціи далеко
неравнозначнымъ, но гораздо болѣе узкимъ, чѣмъ первона-
чальное геометрическое опредѣленіе. Казалось недопустимымъ,
что линія, начерченная совершенно произвольно, напримѣръ,
ломанная линія, можетъ быть на всемъ своемъ протяженіи
представлена однимъ и тѣмъ же аналитическимъ выраже-
ніемъ.
Даніилъ Бернулли одинъ не раздѣлялъ общаго взгляда, и
своимъ рѣшеніемъ физической задачи о колебаніяхъ струны,
при помощи тригонометрическихъ рядовъ, онъ поставилъ на
очередь этотъ основной для теоріи функцій вопросъ, утвер-
ждая, что всякая функція можетъ быть разложена въ триго-
нометрическій рядъ. Въ знаменитомъ спорѣ, возникшемъ по
этому поводу, ближе къ истинѣ былъ Д. Бернулли, но доводы
его и его противниковъ были одинаково неудовлетворительны
въ математическомъ отношеніи.
Съ теченіемъ времени, въ особенности послѣ вмѣша-
тельства въ споръ Лагранжа, а также благодаря соотвѣтствію
слѣдствій изъ теоріи звука Д. Бернулли съ данными опыта,
его воззрѣнія перестали казаться столь парадоксальными. На-
конецъ, точка зрѣнія Д. Бернулли получила болѣе или менѣе
общее признаніе въ началѣ XIX столѣтія, послѣ появленія
знаменитаго сочиненія Фурье по теоріи теплоты, въ которомъ

онъ показалъ, что тригонометрическій рядъ въ различныхъ
промежуткахъ можетъ представлять функціи, ничего общаго
между собой не имѣющія, т.-е., выражаясь современнымъ
языкомъ, можетъ представлять произвольныя функціи, имѣю-
щія даже нѣсколько точекъ разрыва. Доказательства Фурье
въ математическомъ отношеніи уже значительно болѣе удо-
влетворительны, чѣмъ разсужденія его предшественниковъ, но
и они, въ большинствѣ случаевъ, не выдерживаютъ строгой ма-
тематической критики; и мы знаемъ теперь, благодаря изслѣ-
дованіямъ послѣднихъ десятилѣтій, и, въ особенности, послѣд-
нихъ лѣтъ, что существуютъ непрерывныя функціи, которыя
не могутъ быть представлены въ видѣ сходящагося ряда
Фурье.
Какъ вы видите, въ разсужденіяхъ математиковъ XVIII
столѣтія не было той обычной для насъ строгости, которая
дѣлала бы ихъ выводы обязательными для всѣхъ и ограждала
бы отъ роковыхъ ошибокъ.
Увлеченные мощностью новыхъ методовъ анализа, при
помощи которыхъ одна за другой разрѣшались важнѣйшія за-
дачи астрономіи и физики, великіе геометры XVIII столѣтія
мало обращали вниманія на непрочность основаній, на кото-
рыхъ они строили свое грандіозное зданіе. А между тѣмъ
противорѣчія и парадоксы накоплялись и грозили бы неми-
нуемой катастрофой, если бы математики первой половины XIX
столѣтія, главнымъ образомъ, Абель, Дирикле и Коши, не по-
ложили начала новому критическому періоду въ матема-
тикѣ, —періоду пересмотра принциповъ и строгаго обоснованіи
анализа.
Прежде всего необходимо было соотвѣтствующимъ обра-
зомъ ограничить объектъ изслѣдованій анализа, а именно: за-
мѣнить прежнія расплывчатыя опредѣленія математической
функціи точнымъ опредѣленіемъ, изъ котораго вполнѣ строго
можно было вывести обычно приписываемыя ей свойства (су-
ществованіе производныхъ, интеграла и т. д.). Такое опредѣле-
ніе, въ высшей степени плодотворное, было дано еще Лагран-
жемъ. Онъ называетъ аналитическими функціями функ-
ціи S (JC), которыя около всякаго значенія х = а (за исключе-

ніемъ, можетъ-быть, отдѣльныхъ значеній а) разлагаются въ рядъ
Тэйлора по возрастающимъ степенямъ χ — а, и пытается дока-
зать, что всѣ функціи вещественной перемѣнной суть анали-
тическій. Это утвержденіе безусловно ошибочно, и современ-
ный анализъ уже не можетъ быть заключенъ въ тѣ узкія
рамки, которыя назначилъ ему Лагранжъ, но сто лѣтъ тому
назадъ его воззрѣнія были приняты безъ существенныхъ воз-
раженій, потому что всѣ встрѣчавшіяся до тѣхъ поръ функціи
(алгебраическія, тригонометрическая, эллиптическія и т. д.)
были всегда аналитическими; предположеніе же, что данная
функція аналитическая, чрезвычайно упрощало разсужденія и
вычисленія. Такимъ образомъ главнымъ аргументомъ въ пользу
идей Лагранжа являлась не ихъ теоретическая обоснованность,
а исключительно практическая цѣлесообразность. Какъ бы то
ни было, одной изъ величайшихъ заслугъ Лагранжа останется
навсегда то, что онъ обратилъ вниманіе математиковъ на са-
мый общій признакъ, объединяющій всѣ извѣстныя дотолѣ
функціи, и предугадалъ чрезвычайную важность аналитиче-
скихъ функцій и для будущаго.
Другой признакъ, общій всѣмъ аналитическимъ функціямъ,
былъ замѣченъ Копіи, который является истиннымъ основа-
телемъ теоріи аналитическихъ функцій. Вы знаете, конечно*
что, если степенной рядъ
S {x) — aQ + (h *-fa2 X2+ · · .+ X" + · · .
сходится для вещественнаго значенія Х= Ä, то онъ бу-
детъ также сходящимся и для всѣхъ комплексныхъ значеній
Х = и-\-гг\і модуль которыхъ менѣе R.
Такимъ образомъ аналитическая функціи Лагранжа, дан-
ныя лишь для вещественной перемѣнной, получаютъ вообще
вполнѣ опредѣленныя значенія и для комплексныхъ значеній
перемѣнной. Этимъ свойствомъ пользовались въ различныхъ
частныхъ случаяхъ еще въ ΧΥΊΙΙ столѣтіи; достаточно вспо-
мнить знаменитое тождество Эйлера, обнаруживающее періодич-
ность показательной функціи ех и ея тѣснѣйшую связь съ
функціями Cos X и Sin Χ.
Коши разсматриваетъ непосредственно функцію комплекс-

ной перемѣнной X, произвольно данную внутри нѣкоторой
области, и доказываетъ со всей математической строгостью,
что всякая функція комплексной перемѣнной, имѣющая опре-
дѣленную производную въ каждой точкѣ данной области,
является аналитической въ смыслѣ Лагранжа.
Такимъ образомъ предложеніе, которое Лагранжъ тщетно
пытался доказать для функцій вещественной перемѣнной, ока-
залось правильнымъ для функцій комплексной перемѣнной; до-
статочно знать, что функція (комплексной перемѣнной) имѣетъ
первую производную, чтобы утверждать, что она имѣетъ про-
изводныя всѣхъ порядковъ, и что ея строка Тэйлора имѣетъ
конечный радіусъ сходимости! Этотъ поистинѣ замѣчатель-
ный результатъ показывалъ, что комплексное число, обобще-
ніе вещественнаго числа, логически необходимое въ алгебрѣ,
являлось также элементомъ, который цѣлесообразно было по-
ложить въ основу анализа. Дѣйствительно, на этомъ новомъ
основаніи анализъ окрѣпъ и обогатился величайшими откры-
тіями, сравнявшись съ алгеброй по безупречной строгости сво-
ихъ выводовъ. На первыхъ порахъ теорія аналитическихъ функ-
цій и оставалась, по преимуществу, продолженіемъ алгебры,
создавая и изощряя свои методы на изслѣдованіи алгебраиче-
скихъ функцій и интеграловъ и въ особенности на знамени-
той задачѣ обращенія эллиптическаго интеграла. Эти изслѣдо-
ванія обнаружили значеніе такъ называемыхъ критическихъ
или особенныхъ точекъ, въ которыхъ разсматриваемая функ-
ція не разлагается въ строку Тэйлора, или, какъ говорятъ, не
голоморфна (напр., единственной критической точкой функціи
%r~ j является Х= 1); оказалось, что всякая аналитическая
функція вполнѣ охарактеризована всѣми своими особенностями,
такъ что разность между двумя функціями, имѣющими однѣ
и тѣ же особенности, есть постоянная величина. Благодаря
этому, зная всѣ особенности функціи, можно написать ея ана-
литическое выраженіе, позволяющее вычислить функцію для
любого значенія перемѣнной.
Такимъ образомъ, теорія аналитическихъ функцій открыла
въ высшей степени простой въ принципѣ и удивительно кра-
сивый методъ для классификаціи и вычисленія функцій.

Съ другой стороны, Копіи показалъ, что область анали-
тическихъ функцій чрезвычайно обширна; онъ доказалъ по-
средствомъ разсужденій, которыя останутся классическими,
что главный источникъ новыхъ функцій въ анализѣ, диффе-
ренціальныя уравненія, во всѣхъ извѣстныхъ въ то время слу-
чаяхъ всегда приводятъ къ аналитическимъ функціямъ, если
только данныя функціи были аналитическими. Этимъ объ-
ясняется универсальное значеніе функцій комплексной пере-
мѣнной: и ничего нѣтъ удивительнаго, что при обиліи и важ-
ности задачъ, выдвигаемыхъ теоріей аналитическихъ функцій,
она почти безраздѣльно царила надъ анализомъ въ теченіе
прошлаго столѣтія.
Но въ началѣ XIX столѣтія, почти одновременно съ
аналитической функціей было введено также самое общее по-
нятіе о функціи, которое вы встрѣтите теперь во всѣхъ учеб-
никахъ: ij = f(x) называется (однозначной) функціей веществен-
ной перемѣнной χ въ нѣкоторомъ промежуткѣ AB. если ка-
ждому значенію χ (A L Χ <£) соотвѣтствуетъ вполнѣ опре-
дѣленное значеніе у. Это опредѣленіе, принадлежащее Дирикле,
отличается чрезмѣрной общностью, и до настоящаго времени
плодотворнымъ оказывалось только изученіе функцій, кото-
рымъ приписывались еще нѣкоторыя дополнительныя свойства.
Одно изъ важнѣйшихъ ограниченій, которое всегда подразу-
мѣвалось математиками XVII и XVIII столѣтій, и которое
точно было формулировано Кош и, есть непрерывность
функціи, опредѣленіе которой всѣмъ вамъ достаточно хорошо
извѣстно.
Лишь послѣ опредѣленія непрерывной функціи, даннаго
Коши (а также послѣ установленія понятія сходимости безко-
нечныхъ рядовъ), принципіальный вопросъ, раздѣлявшій, какъ
вы помните, геометровъ XVIII столѣтія, могъ получить вполнѣ
точную математическую форму, а именно: можетъ ли произ-
вольная непрерывная функція быть выражена посредствомъ
сходящагося ряда данныхъ функцій (напримѣръ, многочле-
новъ или тригонометрическихъ функцій?). Первый и чрезвы-
чайно важный шагъ для рѣшенія того вопроса былъ сдѣланъ
Дирикле; онъ доказалъ, что для того, чтобы произвольно

данная функція могла быть въ нѣкоторомъ промежуткѣ разло-
жена въ сходящійся тригонометрический рядъ, достаточно,
чтобы она не имѣла въ данномъ промежуткѣ ни безконечнаго
числа точекъ разрыва, ни безконечнаго числа максимумовъ и
минимумовъ. Это чрезвычайно общее условіе носитъ названіе
условія Дирикле.
Хотя, благодаря обманчивости геометрической интуиціи,
на первый взглядъ кажется, что всякая непрерывная функція
удовлетворяетъ условію Дирикле, но не трудно указать при-
мѣръ непрерывной функціи {ij = x Sin ί-), которая имѣетъ без-
конечное множество максимумовъ и минимумовъ около точки
Х = 0.
Такимъ образомъ и глубокія изслѣдованія Дирикле не
дали окончательнаго отвѣта на поставленный вопросъ. Этотъ
отвѣтъ заставилъ себя ждать еще полстолѣтія, вѣроятно, по-
тому, что середина XIX вѣка была эпохой величайшаго рас-
цвѣта и исключительнаго увлеченія теоріей аналитическихъ
функцій, и всѣ интересы геометровъ этого времени были со-
средоточены вокругъ нея.
Какъ бы то ни было, въ 1885 г. отвѣтъ, который ока-
зался утвердительнымъ, былъ найденъ Вейерштрассомъ:
всякая непрерывная функція можетъ быть представлена въ
видѣ сходящаго ряда многочленовъ. Такимъ образомъ непре-
рывная функція, взятая безъ всякихъ ограниченій, перестала
быть чѣмъ-то недоступнымъ и получила такое же математи-
ческое выраженіе въ видѣ безконечнаго ряда, какъ аналити-
ческая функція; при этомъ нерѣдко ряды, представляющіе
функціи, не разлагаемыя въ строку Тэйлора и даже не
имѣющія производныхъ ни въ одной точкѣ, чрезвычайно
просты и отличаются большимъ сходствомъ съ рядами, выра-
жающими хорошо извѣстныя аналитическія функціи. Этого
замѣчанія было бы достаточно, чтобы понять, что чистый ана-
лизъ не долженъ болѣе ограничиваться изученіемъ функцій
комплексной перемѣнной. Но есть на то еще и другое не менѣе
существенное основаніе, лежащее въ самой теоріи аналитиче-
скихъ функцій. Вы помните, что всякая функція комплексной

перемѣнной вполнѣ опредѣляется совокупностью всѣхъ своихъ
особенностей; для функцій, которыя были изучены первыми,
особенностями служили отдѣльныя особенныя точки, анало-
гичныя тѣмъ, которыя встрѣчались у алгебраическихъ функцій.
Однако, постепенно особенности разсматриваемыхъ функцій
усложнялись: и одна изъ основныхъ задачъ теоріи эллиптиче-
скихъ интеграловъ не замедлила дать примѣръ функціи ком-
плексной перемѣнной, для которой вся вещественная ось ока-
зывается особой линіей: ни при какомъ вещественномъ значе-
ніи эта функція не разлагается въ строку Тэйлора.
Дальнѣйшія изслѣдованія показали, что вообще функціи
комплексной перемѣнной, имѣющія особыя линіи, не являются
исключеніями; напротивъ, исключеніями слѣдуетъ считать
функціи, не имѣющія ихъ. На особыхъ линіяхъ функція мо-
жетъ становиться безконечной или неопредѣленной, но мо-
жетъ также, въ частности, принимать и вполнѣ опредѣленныя
значенія, выражаемыя произвольной, по существу, непрерыв-
ной функціей дуги на разсматриваемой линіи.
Такимъ образомъ, само логическое развитіе функціи ком-
плексной перемѣнной неизбѣжно возвращаетъ анализъ на его
первоначальную почву—къ функціи вещественной перемѣнной.
Къ началу двадцатаго столѣтія непосредственное изученіе
функцій вещественной перемѣнной дѣлается снова одной изъ
важнѣйшихъ очередныхъ задачъ. При этомъ не замедлилъ обна-
ружиться очень интересный фактъ: въ весьма многихъ случаяхъ
предположеніе, что функція вещественной перемѣнной имѣетъ
одну или нѣсколько производныхъ, влечетъ за собой суще-
ствованіе всѣхъ производныхъ и сходимость ея разложенія
въ строку Тэйлора, подобно тому, какъ Копіи доказалъ это
для комплексной перемѣнной; всѣ вещественныя функціи,
представляющія собой не искусственный аггрегатъ, а органи-
ческое цѣлое, т.-е. обладающія свойствомъ, что онѣ вполнѣ
опредѣлены во всей области своего существованія, если только
онѣ даны на произвольно маломъ отрѣзкѣ, оказываются анали-
тическими, при нѣкоторыхъ чрезвычайно общихъ допущеніяхъ.
Благодаря этому видное мѣсто въ современномъ анализѣ
занимаютъ вещественныя аналитическія функціи, методы изу-

ченія которыхъ должны значительно отличаться отъ методовъ
общей теоріи аналитическихъ функцій, такъ какъ комплекс-
ный особенности ихъ отличаются чрезвычайной сложностью
и не представляютъ никакого практическаго интереса.
Недавно былъ предложенъ общій принципъ для класси-
фикаціи всѣхъ непрерывныхъ функцій вещественной перемѣн-
ной. Изъ теоремы Вейерштрасса, о которой я говорилъ выше,
мы знаемъ, что всякая непрерывная функція можетъ быть
представлена съ какой угодно точностью, въ видѣ многочлена
достаточно высокой степени. Предлагается различныя функціи
характеризовать величиной погрѣшности, которая дѣлается,
если замѣнять ихъ приближенными многочленами возрастаю-
щихъ степеней.
Въ частности, оказалось, что изъ всѣхъ функцій веще-
ственной перемѣнной только аналитическія функціи характе-
ризуются свойствомъ, что, при увеличеніи степени приближен-
наго многочлена, ошибка убываетъ въ геометрической про-
грессію для другихъ функцій ошибка уменьшается медленнѣе,
тѣмъ медленнѣе, чѣмъ сложнѣе дифференциальная природа
функціи. Такимъ образомъ, независимо отъ приложеній ана-
лиза и отъ введенія въ него комплекснаго числа, теорія ана-
литическихъ функцій должна войти въ него какъ первая
глава теоріи функцій вещественной перемѣнной,—глава, посвя-
щенная функціямъ, наименѣе отличающимся отъ многочле-
новъ.
Разумѣется опытъ также мало можетъ намъ отвѣтить
на вопросъ, аналитическая ли данная функція или нѣтъ, какъ
и на вопросъ, раціонально ли то или другое число; это вопросы
чисто-теоретическіе, и на нихъ можетъ отвѣтить только
теорія.
Тѣмъ не менѣе, если при интерполированіи (т.-е. при
замѣнѣ приближенными многочленами) эмпирической функціи
мы быстро получаемъ большую точность, то вслѣдствіе ука-
заннаго результатата слѣдуетъ ожидать, что, на основаніи
теоретическихъ изслѣдованій, эту функцію цѣлесообразно бу-
детъ считать аналитической; если, напротивъ, самое искусное
интерполированіе будетъ давать плохое приближеніе, то мало

шансовъ, чтобы теорія разсматриваемой функціи была анали-
тически проста.
Я не буду долѣе задерживать вашего вниманія, но прежде,
чѣмъ кончить, долженъ замѣтить, что непрерывныя функціи
далеко не исчерпываютъ область анализа. И если въ настоя-
щее время еще сравнительно рѣдки приложенія прерывныхъ
функцій, то, во всякомъ случаѣ, изслѣдованія послѣднихъ де-
сятилѣтій подготовили для нихъ прекрасную почву. Благодаря
глубокой классификаціи различныхъ видовъ прерывности, мы
знаемъ теперь, что функціи, которыя могутъ быть выражены
аналитически (въ смыслѣ Эйлера), безконечно разнообразнѣе
функцій, представляемыхъ геометрическими линіями; доста-
точно вспомнить функцію Дирикле, разлагаемую БЪ ДВОЙНОЙ
рядъ многочленовъ, которая при всѣхъ ирраціональныхъ зна-
ченіяхъ перемѣнной равна нулю, а при раціональныхъ зна-
ченіяхъ равна единицѣ.
Въ этомъ краткомъ очеркѣ я имѣлъ въ виду только ука-
зать важнѣйшія направленія, въ которыхъ развивалось и раз-
вивается понятіе о функціи; при этомъ, чтобы не расширить
своего доклада, я пропустилъ не мало существенныхъ фактовъ
и много крупныхъ именъ. Но въ мою задачу не могла вхо-
дить оцѣнка роли, сыгранной отдѣльными лицами; имена слу-
жили для меня, главнымъ образомъ, сокращенными обозначе-
ніями извѣстныхъ направленій и эпохъ.

Обзоръ современной литературы по теоретической ариѳметикѣ
и тригонометріи.
Докладъ составленъ Я. В. Іодынскимъ при участіи слу-
шателя педагогическихъ курсовъ вѣдомства военно - учебныхъ
заведеній по отдѣлу математики, H. И. Зубковскаго (С.-Петер-
бургъ).
Приступая къ обзору современной учебной литературы
по ариѳметикѣ и тригонометріи, я считаю нужнымъ выяснить
тѣ цѣли, которыя будутъ мною преслѣдоваться. Не вдаваясь
въ критику учебниковъ, я намѣренъ указать между ними и
тѣ изъ нихъ, на которыхъ отразились новыя теченія. Группи-
руя учебники по тождественности взглядовъ составителей на
основные вопросы, я вкратцѣ укажу особенности каждаго и
въ своемъ изложеніи постараюсь придерживаться тѣхъ форму-
лировок^ къ которымъ прибѣгаютъ сами авторы. Естественно,
что мною будутъ указаны далеко не всѣ авторы, а только бо-
лѣе распространенные.
Ариѳметика.
Обращаясь къ разсмотрѣнію учебниковъ по такъ назы-
ваемой теоретической ариѳметикѣ, необходимо установить, ка-
кой матеріалъ въ нихъ обыкновенно излагается.
Согласно существующимъ программамъ и установившейся
практикѣ, авторы этихъ учебниковъ излагаютъ слѣдующее:
даютъ понятіе о числѣ, о системѣ счисленія; обосновываютъ
дѣйствія надъ цѣлыми числами; знакомятъ съ элементарными
свойствами чиселъ и съ ученіемъ о дробяхъ.
Одни авторы, прежде чѣмъ говорить о производствѣ ка-
кого-нибудь ариѳметическаго дѣйствія, приводятъ тѣ прин-

ципы или теоремы, на которыхъ это дѣйствіе основывается.
У нихъ рельефно выступаютъ на первое мѣсто законы: пере-
мѣстительный, сочетательный и распредѣлительный, т.-е. тѣ
законы, которые сохраняютъ свою силу и при операціяхъ надъ
дробными, отрицательными и иррациональными числами.
Въ учебникахъ второй категоріи тѣ основные принципы
или теоремы, на которыхъ покоятся операціи сложенія, вычи-
танія и т. д., не подчеркнуты такъ рѣзко, какъ въ учебни-
кахъ первой группы; объ этихъ принципахъ говорится лишь
попутно, при выясненіи порядка производства самого дѣйствія.
Къ первой категоріи относятся учебники:
Глаголева, Бѣльскаго, Стрекалова, Каспарьянца, Гри-
горьева, Воинова и Тура.
А. Н. Глаголевъ,
«Курсъ теорети-
ческой ариѳме-
тики».
У Глаголева мы находимъ болѣе полнымъ
отдѣлъ: «Элементарныя свойства чиселъ». Кромѣ
обычнаго матеріала, въ этотъ отдѣлъ включено
еще слѣдующее: 1) признаки дѣлимости на числа, оканчиваю-
щіяся единицею; 2) болѣе подробное указаніе на число дѣленій
при отысканіи общаго наибольшаго дѣлителя (теорема Binet);
3) три доказательства теоремы: рядъ простыхъ чиселъ не-
ограниченъ; 4) теорема Гаусса: произведеніе двухъ цѣлыхъ
положительныхъ чиселъ, изъ которыхъ каждое меньше про-
стого числа ρ, не дѣлится на ρ; 5) теорема о суммѣ и про-
изведеніи всѣхъ дѣлителей числа; 6) совершенныя и друже-
ственныя числа; 7) теорема о числѣ чиселъ небольшихъ дан-
наго и первыхъ съ нимъ (Эйлеръ); 8) высшая степень про-
стого числа, входящаго въ произведеніе чиселъ отъ единицы до
η: 9) число чиселъ въ рядѣ натуральныхъ чиселъ, не дѣля-
щихся на данныя простыя числа (Legendre); 10) о числѣ про-
стыхъ чиселъ между единицею и п. Между главой объ общемъ
наибольшемъ дѣлителѣ и главой о наименьшемъ кратномъ
имѣется отдѣльная глава, посвященная числамъ относительно-
простымъ.
Въ учебникѣ можно отмѣтить еще слѣдующее: формаль-
ное ученіе о дробяхъ; обобщенное ученіе о дробяхъ; свѣдѣнія
о происхожденіи числа, названій чиселъ и системъ счисленія

(историческій очеркъ); много упражненій теоретическаго харак-
тера, среди нихъ много теоремъ (теорема Вильсона).
Н. В. Бѣльскій
«Курсъ теоретич.
ариѳметики».
Бѣльскій вначалѣ трактуетъ довольно об-
ширно объ основныхъ понятіяхъ ариѳметики;
основными онъ называетъ понятія о величинѣ, объ измѣ-
реніи и о числѣ. Авторъ тутъ же даетъ опредѣленіе цѣлому,
дробному и ирраціональному числу; послѣднее опредѣляется
какъ результатъ измѣренія, который не выражается точно ни
въ единицахъ, ни въ частяхъ единицы. Дается опредѣленіе
понятія счета: «счетъ есть операція, основывающаяся на
томъ, что мы въ состояніи удержать въ памяти послѣдова-
тельность, въ которой являлись во времени одинъ за другимъ
акты нашего сознанія» (Гельмгольцъ). Указана «аксіома
счета»: «результатъ будетъ одинъ и тотъ-же, въ какомъ бы
порядкѣ мы ни сосчитывали данную совокупность однород-
ныхъ предметовъ (объектовъ счета)». Обращается вниманіе на
однозначность суммы (сложеніе есть операція однозначная) и
на то, что результатъ дѣйствія вычитанія можетъ быть полу-
ченъ изъ ряда натуральныхъ чиселъ тремя способами, вслѣд-
ствіе чего и носитъ названія: «дополненія, разности и
остатка» *). Производство дѣйствій надъ числами авторъ на-
зываетъ «техникой дѣйствій»; признаки дѣлимости выводитъ
на основаніи общей теоремы N—kp. Β + αί + α2ζ1 + α^ζ2 +. . .
+ αηζη—ι. Въ статьѣ «Элементарныя свойства чиселъ», кромѣ
обычнаго матеріала, имѣются слѣдующія дополненія: 1) нѣко-
торыя обобщенія къ теоріи признаковъ дѣлимости; 2) при-
знаки дѣлимости на числа, оканчивающіяся единицей; 3) теорема
Фермата; 4) сумма и произведеніе всѣхъ дѣлителей числа;
5) совершенныя числа и дружественныя числа. При изло-
женіи теоріи дробей авторъ, опредѣливъ дробь какъ совокуп-
1) Результатъ назыв. «дополненіемъ», когда имѣется переходъ отъ мень-
шаго числа къ большему путемъ прямого счета неизвѣстной совокупности
единицъ; результатъ назыв. «разностью», если переходъ совершается отъ боль-
шаго числа къ меньшему путемъ обратнаго счета неизвѣстной совокупности
единицъ, и «остаткомъ» въ случаѣ перехода отъ большаго числа къ неизвѣст-
ному посредствомъ обратнаго счета извѣстной совокупности единицъ—а
именно: меньшаго даннаго числа. Для поясненія всего этого въ учебникѣ при-
ведены схемы.

ность равныхъ частей цѣлаго, вводитъ новую единицу счета
įį-= 1' и прежде, чѣмъ разсматривать дѣйствія надъ дробями,
доказываетъ, что дробь есть частное; дѣйствіе надъ дробями
обосновываетъ на томъ, что дробь есть частное; при разсмо-
трѣніи сложенія онъ пользуется также и новой единицей
счета. Затѣмъ авторъ дѣлаетъ краткое замѣчаніе о томъ,
что всѣ тѣ свойства, которыя установлены для дѣйствій надъ
цѣлыми числами (т. - е. законы — перемѣстительный, соче-
тательный и распредѣлительный), легко могутъ быть распро-
странены и на дѣйствія надъ дробями.
Въ учебникѣ имѣется историческій очеркъ происхожденія
числа. Въ концѣ книги много задачъ и упражненій.
В. Стрекаловъ,
«Теоретическая
ариѳметика».
Авторъ говоритъ, что подъ «счетомъ разу-
мѣютъ послѣдовательное называніе натураль-
ныхъ чиселъ по мѣрѣ образованія ихъ изъ единицы», и что
((ариѳметическое дѣйствіе опредѣляется по цѣли, для которой
оно предназначено, и состоитъ въ преобразованіи одного дан-
наго числа при помощи другого, согласно указанной цѣли».
Числа, служащія для производства дѣйствій, называются
элементами; то число, которое преобразовывается, назыв. пре-
образуемым^ а другое —преобразующимъ; результатомъ назы-
вается число, которое получится изъ перваго при помощи вто-
рого. «Ариѳметическія дѣйствія обладаютъ различными свой-
ствами; эти свойства представляютъ видоизмѣненія трехъ
законовъ: перестановительнаго, собирательнаго и распредѣли-
тельнаго». До разсмотрѣнія дѣйствій въ отдѣльности устанавли-
вается понятіе объ обратныхъ дѣйствіяхъ: сложенію и умно-
женію соотвѣтствуютъ по два обратныхъ дѣйствія, но такъ
какъ вышеназванныя прямыя дѣйствія перестановительны, т.-е.
преобразуемый элементъ можетъ быть разсматриваемъ какъ
преобразующій (и обратно), то каждому такому дѣйствію
соотвѣтствуетъ лишь одно обратное. Авторъ подробно говоритъ
о примѣняемости законовъ—перестановительнаго, собирательнаго
и распредѣлительнаго—къ ариѳметическимъ дѣйствіямъ (указы-
ваетъ, напр., «что умноженію распредѣлительно относительно
сложенія и вычитанія по множимому и множителю, т.-е.

вполнѣ распредѣлительно относительно этихъ дѣйствій ». Въ
учебникѣ говорится о возвышеніи въ степень, объ извлеченіи
корней и логариѳмированіи; дается понятіе объ обобщеній
дѣйствій. Дробь опредѣляется какъ частное; вводятся единицы
различныхъ порядковъ (напр., -1· —единица β-го порядка); за-
коны перестановительный, собирательный и распредѣлительный
распространяются на дѣйствія надъ дробными числами. Распро-
странивъ правила нумераціи на дроби, авторъ дѣйствія надъ
цѣлыми числами и десятичными дробями разсматриваетъ со-
вмѣстно. Даны необходимыя свѣдѣнія изъ теоріи чиселъ.
В. Каспарьянцъ,
«Учебникъ тео-
ретическ. ариѳ-
метики».
Каспарьянцъ называетъ счетъ ((первоначаль-
нымъ ариѳметическимъ понятіемъ» (не имѣю-
щимъ опредѣленія).
При разсмотрѣніи дѣйствій вычитанія и дѣленія указы-
вается на то, что обратными дѣйствіями рѣшаются два раз-
личныхъ вопроса, но, благодаря перемѣстительному закону раз-
рѣшенія обоихъ вопросовъ, выполняются однимъ дѣйствіемъ—
или вычитаніемъ, или дѣленіемъ. При опредѣленіи цифръ
частнаго авторъ прибѣгаетъ къ тому объясненію, которое при-
мѣняется при извлеченіи корня квадратнаго изъ чиселъ. Въ
статьѣ о дробяхъ, до разсмотрѣнія дѣйствій, доказывается, что
дробь есть частное. Законы перемѣстительный и сочетатель-
ный распространяются на дѣйствія надъ дробями; распредѣли-
тельный же законъ въ статьѣ о дробяхъ не упоминается, а
при умноженіи цѣлыхъ чиселъ законъ этотъ приведенъ въ
видѣ теоремы.
A. M. Григорь-
евъ, «Теорети-
ческая ариѳме-
тика».
Въ учебникѣ говорится о свойствахъ на-
туральнаго ряда чиселъ: 1) рядъ начинается
первымъ числомъ—единицей; 2) за каждымъ
числомъ слѣдуетъ только одно число, и каждому числу ряда
предшествуетъ только одно число; 3) ни одно число въ ряду
не повторяется. Счетъ есть пріемъ, при помощи котораго
узнаютъ, сколько единицъ въ данной группѣ; результатъ
<;чета—число. Первое основное дѣйствіе—прямой счетъ; сло-
женіе есть тотъ же счетъ, но группами. Въ основѣ всѣхъ ариѳ-

метическихъ дѣйствій лежатъ слѣдующія аксіомы: 1) число-
вая величина не зависитъ отъ порядка счета; 2) къ равнымъ
величинамъ можно прибавлять и убавлять поровну, и онѣ
останутся равными; 3) равныя величины можно увеличивать
и уменьшать въ одинаковое число разъ, и онѣ останутся
равными; 4) 2-я и 3-я аксіомы относятся и до величинъ не-
равныхъ; 5) двѣ величины, порознь равныя третьей, равны
между собою; 6) цѣлое больше своей части. При разсмотрѣніи
вычитанія и дѣленія указывается, что, благодаря перемѣсти-
тельному свойству прямыхъ дѣйствій, два обратныхъ вопроса
(для каждаго прямого) рѣшаются одной операціей. Говоря объ
операціяхъ высшихъ ступеней, составитель упоминаетъ о воз-
вышеніи въ сверхъ-степень и указываетъ, что прямыя и обрат-
ный операціи третьей ступени не подчиняются законамъ
«перестановочности и соединительности». Отсутствуетъ техника
дѣйствій. Элементарныя свойства чиселъ изложены кратко.
Для вывода признаковъ дѣлимости дана общая теорема
(N- кр В + аг + aj\ + а9г2 + ... + апгп-і).
А. Войновъ,
«Очеркъ теоре-
тической ариѳ-
метики».
Воиновъ говоритъ, что число—понятіе основ-
ное (не поддающееся опредѣленію), что въ ма-
тематикѣ разсматриваются только тѣ величины,
относительно которыхъ можно установить понятіе равенства и
суммы. Авторъ приводитъ свойства натуральнаго ряда чиселъ:
1) ни одно число въ этомъ ряду не повторяется; 2) каждому
числу предшествуетъ только одно и за каждымъ числомъ
слѣдуетъ только одно число; а также указываетъ на то, что
нуль для обобщенія понятія о числѣ разсматриваютъ какъ
число, стоящее въ натуральномъ ряду непосредственно передъ
единицей, и что, вслѣдствіе этого, нуль обладаетъ свойствами
этого ряда. Говорится о томъ, что арабская система счисленія
«аддиціональна»: въ этой системѣ число равно суммѣ зна-
ченій цифръ, которыми оно написано. Указывается, что два
обратныхъ сложенію вопроса разрѣшаются однимъ дѣйствіемъ—
вычитаніемъ, вслѣдствіе перемѣстительнаго закона, и два обрат-
ныхъ умноженію вопроса разрѣшаются однимъ дѣйствіемъ —
дѣленіемъ, вслѣдствіе того же закона. Обращается вниманіе

на то, что опредѣленіе умноженія на дробь (((взять эту дробь
числа») не находится въ противорѣчіи съ опредѣленіемъ умно-
женія на цѣлое число.
К. Туръ, «Теоре-
тическая ариѳ-
метика».
Въ учебникѣ вначалѣ приводятся нѣкото-
рыя первичныя данныя или истины: I) число
не измѣняется отъ перемѣщенія составляющихъ
его единицъ и отъ сочетанія ихъ на различныя части; 2) по-
нятіе о равенствѣ и неравенствѣ чиселъ; 3) понятіе о цѣломъ и
части (если всѣ части мы увеличимъ или уменьшимъ въ
нѣсколько разъ, то цѣлое увеличится или уменьшится въ то
же число разъ). Этого авторъ считаетъ достаточнымъ, чтобы
возвести науку о числахъ (ариѳметику) въ степень умозри-
тельной науки. Въ учебникѣ говорится, что основное ариѳме-
тическое дѣйствіе есть счетъ; вводится понятіе о сочетатель-
номъ и перемѣстительномъ свойствѣ «вычитаемыхъ и дѣли-
телей». Доказательства ведутся на числахъ, изображенныхъ
цифрами.
Ко второй категоріи я отношу учебники: Билибина, Бер-
трана, Серре, Серре и Комберуса, Бореля и Будаевскаго. Уста-
навливая правила дѣйствій надъ цѣлыми числами, эти авторы,
какъ было уже сказано, попутно приводятъ тѣ принципы, на
которыхъ дѣйствія основываются.
H. Билибинъ,
«Теоретич. ариѳ-
метика».
Понятіе суммы авторъ считаетъ первона-
чальнымъ и не опредѣляетъ. Приводится одинъ
принципъ, на которомъ основывается теорія сло-
женія, и два принципа, на которыхъ основывается теорія вы-
читанія. Эти принципы не доказываются, а принципы, на кото-
рыхъ основывается умноженіе, доказываются. Говорится о тео-
ремахъ, относящихся къ каждому дѣйствію. Признаки дѣли-
мости выводятся на основаніи общей теоремы:
Х= kp. А + К + , а/ а,г, + ... -f I
Сейчасъ же послѣ опредѣленія понятія дроби доказы-
вается теорема, что дробь есть частное. Приведено обобщеніе
теоріи дробей.

Ж. Бертранъ,
«Ариѳметика», пе-
рев. М. В. Пирож-
кова.
Опредѣленіе дѣйствій сложенія и умноженія
авторъ основываетъ на понятіи о величинѣ
и приводитъ принципы, на которыхъ основы-
вается теорія дѣйствій. О теоремахъ, относящихся къ дѣй-
ствіямъ, говорится по разсмотрѣніи каждаго изъ нихъ. Сейчасъ
же послѣ опредѣленія дроби доказывается, что дробь есть
частное. Дается обобщеніе теоріи дробей. Десятичныя дроби
выясняются такимъ образомъ: ничто не заставляетъ насъ,
говоритъ авторъ, слѣдуя закону нумераціи, остановиться на
цифрѣ простыхъ единицъ: можно далѣе, вправо отъ послѣдней,
продолжать ставить цифры, первая изъ которыхъ выразитъ
десятыя части единицы, вторая—сотыя, третья—тысячныя и
т. д. Числа, написанныя по этому способу, назыв. десятичными
дробями. Въ учебникѣ приведена теорія квадратовъ и квад-
ратныхъ корней, теорія несоизмѣримыхъ чиселъ (разсматривае-
мыхъ какъ предѣлы), теорія прогрессій и теорія логариѳмовъ.
Въ концѣ каждой главы имѣются конспекты изложеннаго въ
этой главѣ и упражненія.
А. Серре, «Курсъ
ариѳметики», пе-
рев. А. Юденича.
Приводятся принципы, на которые опира-
ются дѣйствія. Глава ((Начальныя свойства
чиселъ» содержитъ въ себѣ и теоремы, отно-
сящіяся къ дѣйствіямъ. Въ теоріи дробей доказательство того,
что дробь есть частное, помѣщено послѣ умноженія. Приведены
теоремы, относящіяся Къ дѣйствіямъ: умноженію, дѣленію и
возвышенію въ степень цѣлыхъ и дробныхъ чиселъ; всѣ эти
теоремы сгруппированы въ одномъ мѣстѣ и являются слѣд-
ствіемъ одной теоремы, вытекающей изъ перемѣстительнаго
свойства, установленнаго для цѣлыхъ и дробныхъ чиселъ. Дана
теорія квадратныхъ и кубичныхъ корней, теорія несоизмѣри-
мыхъ чиселъ (послѣднія разсматриваются какъ предѣлы). Го-
ворится о дѣйствіяхъ вообще (и притомъ не надъ числами,
a надъ величинами). Теоремы, относящіяся къ дѣйствіямъ,
распространяются на числа несоизмѣримыя. Далѣе говорится
о корняхъ вообще, о прогрессіяхъ и логариѳмахъ. Въ концѣ
книги много упражненій.

Серре и Комберусъ,
«Курсъ ариѳмети-
ки», пер. Е. Гутора.
Принципы, на которыхъ основываются дѣй-
ствія, формулируются такъ же, какъ и у Серре.
О теоремахъ, относящихся къ дѣйствіямъ, гово-
рится послѣ того, какъ соотвѣтствующее дѣйствіе разсмотрѣно.
Въ теоріи дробей доказательство того, что дробь есть частное,
дано при разсмотрѣніи дѣленія дробей. Обобщается перемѣсти-
тельное свойство произведенія цѣлыхъ чиселъ на произведеніе
дробей. Въ главѣ «Отношенія и пропорціи» дается понятіе о
несоизмѣримыхъ числахъ, разсматриваемыхъ какъ предѣлы.
Почти всѣ элементарныя свойства чиселъ выводятся на чис-
лахъ, изображенныхъ цифрами.
Э. Борель, «Ариѳ-
метика». Первый
циклъ.
Авторъ говоритъ объ аксіомѣ числа и при-
водитъ теоремы, на которыхъ онъ основываетъ
дѣйствія надъ цѣлыми числами; далѣе отмѣчаетъ,
что возможность разсматривать всякое число въ видѣ суммы
столькихъ чиселъ, сколько въ немъ содержится цифръ (пр
условіи, что каждое изъ этихъ чиселъ образуется изъ одно;
значащей цифры), не представляетъ необходимую часть системы
нумераціи; она является лишь существеннымъ дополненіемъ
легко себѣ представить, что можно научиться считать до J ОС
понимать значеніе словъ « сорокъ шесть», «сорокъ», «шесть»
знать соотвѣтствующіе письменные знаки и въ то же врем,
не замѣчать, что 46 --40 + 6. Въ учебникѣ говорится о квад-
ратныхъ корняхъ, объ ариѳметической и геометрической про-
грессіяхъ. Въ теоріи дробей доказательство того, что дроб
есть частное, приводится сразу послѣ опредѣленія дроби. Ав-
торъ замѣчаетъ, что любую теорему относительно дробных-
чиселъ можно свести къ соотвѣтствующей теоремѣ относительн
цѣлыхъ чиселъ.
Имѣются упражненія какъ теоретическаго, такъ и прак-
тическаго характера. Доказательства ведутся на числахъ, изо-
браженныхъ цифрами. Прежде, чѣмъ доказывать какую-нибудь
теорему, Борель часто поясняетъ ее на задачахъ.
С. Будаевскій,
«Ариѳметика».
Будаевскій, при разсмотрѣніи каждаго дѣй-
ствія, приводитъ тѣ положенія, на которыхъ

основываются эти дѣйствія. Въ отдѣлѣ «Элементарныя свойства
чиселъ» послѣ дѣлимости излагается теорія простыхъ чиселъ.
Для этого понадобилось довольно сложное доказательство тео-
ремы: если произведеніе двухъ множителей дѣлится на третье
число, первое съ однимъ изъ нихъ, то второе дѣлится на это
третье. Законъ перемѣстительный распространяется только на
умноженіе дробей. Дается понятіе о перемѣнныхъ числахъ.
Кромѣ перечисленныхъ учебниковъ по теоретической apиѳ-
метикѣ на русскомъ языкѣ, я назову два труда по теоретиче-
ской ариѳметикѣ на иностранныхъ языкахъ: «Theoretische Arith-
metik» von dr. Otto Stolz und dr. J. A. Gmeiner — на нѣмец-
комъ языкѣ и «Leçons d'arithmétique théorique et pratique» par
Jules Tannery—на французскомъ. Въ первомъ сочиненіи поло-
жено въ основаніи ученія о числахъ теорія Пеано. Въ немъ
излагается аналитическая и синтетическая теорія раціональ-
ныхъ чиселъ. Второе сочиненіе заключаетъ въ себѣ, какъ
самъ авторъ говоритъ, свѣдѣнія, необходимыя какъ для начи-
нающихъ изучать предметъ, такъ и для тѣхъ, которые же-
лаютъ пріобрѣсти болѣе обширныя и глубокія познанія πα
ариѳметикѣ. Преподаватель можетъ найти въ этой книгѣ пол-
ное и обстоятельное изложеніе курса ариѳметики съ весьма
полезными замѣчаніями, освѣщающими различныя стороны во-
проса. Въ настоящее время вышелъ переводъ этой книги на
русскій языкъ А. А. Котляревскаго подъ редакціей Д. Л. Вол-
ковскаго въ изд. т-ва И. Д. Сытина.
Тригонометрія.
Задавшись цѣлью по возможности избѣжать пространнаго
перечисленія всѣхъ деталей каждаго учебника, я буду придер-
живаться въ своемъ изложеніи слѣдующаго плана. Выбравъ
три распространенныхъ учебника, я отмѣтилъ въ нихъ тѣ во-
просы, которые не всѣми авторами одинаково обстоятельно
разбираются, а иногда и совсѣмъ опускаются. Эти три учеб-
ника въ совокупности даютъ приблизительно тѣ свѣдѣнія, ко-
торыя должны интересовать преподавателя. Въ остальныхъ

учебникахъ мною отмѣчаются только характерныя ихъ особен-
ности. Сначала я укажу на тѣ курсы, которые содержатъ
какъ свѣдѣнія изъ теоріи круговыхъ функцій (гоніометрію),
такъ и собственно тригонометрію, т.-е. рѣшеніе треугольни-
ковъ. Затѣмъ упомяну также о курсахъ, которые общей теоріи
круговыхъ функцій не касаются, a даютъ болѣе или менѣе
исчерпывающія свѣдѣнія о рѣшеніи плоскихъ прямолинейныхъ
фигуръ. Послѣдніе составлены по принципу, выраженному въ
программахъ M. H. Пр. 1906 г. Начну свой перечень съ пер-
вой категоріи учебниковъ.
Къ первой группѣ мною отнесены учебники: Билибина II ч.,
Бореля, Бріо и Буке, Будаевскаго, Воинова, Де-Сеньи, Дми-
тріева, Злотчанскаго. Кильдюшевскаго, Малинина, Мрочека II ч.,
Пржевальскаго, Ребьера, Рыбкина, Серре, Симашко, Слетова,
Тиме, Чемолосова, Шапошникова 2 кн., Шиффъ и Шмуле-
вича.
Изъ перечисленныхъ выберу слѣдующіе три учебника:
Рыбкина, Шапошникова и Серре, и остановлюсь на нихъ по-
дольше съ цѣлью, которая мною была уже указана.
Н. Рыбкинъ,
«Учебникъ пря-
молинейной три-
гонометріи и со-
браніе задачъ».
Во введеніи выясняется преимущество рѣ-
шенія треугольниковъ вычисленіемъ, дается
краткое понятіе о функціи, — о градусномъ и
радіальномъ измѣреніи угловъ. По разсмотрѣніи
тригонометрическихъ функцій угловъ первой четверти рѣша-
ются прямоугольные треугольники при помощи натуральныхъ
тригонометрическихъ величинъ. Въ дальнѣйшемъ изложеніи
говорится: о построеніи угла по данной его тригонометриче-
ской функціи; объ обобщеній формулъ соотношеніи между три-
гонометрическими функціями одного и того лее угла; о періо-
дичности тригонометрическихъ функцій (замѣчаніе); объ общ-
ности формулъ приведенія; о понятіи объ обратныхъ круго-
выхъ функціяхъ; о двойственности знаковъ въ тригонометри-
ческихъ формулахъ; о тригонометрическихъ уравненіяхъ; о
вычисленій угловъ, близкихъ къ 0 или 90°; о степени точности
при опредѣленіи угла по пятизначнымъ таблицамъ Пржеваль-
скаго; о независимыхъ соотношеніяхъ между элементами тре-

угольника; о формулахъ Мольвейде; о выраженіи радіуса, опи-
саннаго и вписаннаго круговъ; о выраженіи площади треуголь-
ника черезъ полупериметръ и тангенсы половинныхъ угловъ
его; о контрольныхъ вычисленіяхъ; о геометрическомъ и ана-
литическомъ изслѣдованіи случая рѣшенія треугольника, когда
даны двѣ стороны и уголъ противъ одной изъ нихъ; объ измѣ-
реніи на мѣстности; о тріангуляціи.
Н. А. Шапошни-
ковъ,«Курсъ пря-
молинейной три-
гонометріи и со-
браніе тригоно-
метрическихъ за-
дачъ.»
Болѣе подробныя свѣдѣнія, чѣмъ въ дру-
гихъ учебникахъ, о функціяхъ. Двоякое измѣ-
реніе угловъ и дугъ. Условныя опредѣленія угла
и дуги. Обобщенное понятіе объ углѣ и дугѣ.
Понятіе о геометрическомъ и математическомъ
синусѣ, косинусѣ ит. д. Различіе между тригоно-
метрической линіей дуги и тригонометрической функціей угла.
Опредѣленіе аргумента по данной его функціи (построен.).
О періодичности. Кратко о знакахъ въ формулахъ дѣленія. Объ
общности формулъ приведенія. Формулы sin3a cos3a (ука-
зывается, что отысканіе этихъ выраженій приводитъ къ гео-
метрической трисекціи угла). Приведеніе къ логариѳмическому
виду выраженія корней квадратнаго уравненія. Подробно о
вычисленій тригонометрическихъ функцій (послѣдовательное
вычисленіе по формуламъ Симпсона; ряды, выражающіе синусъ
и косинусъ; степень точности при вычисленій съ помощью
таблицы Лаланда). Подробно объ обратныхъ круговыхъ функ-
ціяхъ (общія выраженія обратныхъ функцій; формулы, связы-
вающія обратныя функціи, вычисленіе обратныхъ функцій;
вычисленіе π). Особые случаи рѣшенія треугольниковъ. Кратко
объ ислѣдованіи формулъ рѣшенія треугольниковъ по тремъ
сторонамъ. Аналитическое изслѣдованіе рѣшенія треугольника
по двумъ сторонамъ и углу противъ одной изъ нихъ. Въ при-
ложеніи: о рѣшеніи нѣкоторыхъ многоугольниковъ, объ измѣ-
реніи на мѣстности, о тріангуляціи.
Изложеніе носитъ характеръ аналитическій.
А. Серре, «Триго-
нометрія », пер.
Е. Гутора.
Нѣсколько словъ о функціяхъ. Обобщен-
ное понятіе о дугѣ. О тригонометрическихъ
линіяхъ дуги. О дугахъ, соотвѣтствующихъ дан-

ной тригонометрической линіи. Обобщеніе формулъ соотноше-
ніи между тригонометрическими линіями одной и той же дуги.
Сумма косинусовъ и синусовъ ряда дугъ, составляющихъ ариѳ-
метическую прогрессію. Выраженіе sin2a въ функціи sina и
cosa. Опредѣленіе sin3a, cos3a и tg3a и вообще sinma,
cosma и tgma. Выраженіе для sin- и cos^ въ функціи sma
и tgg въ функціи tga (изслѣдованіе знаковъ). Опредѣленіе
sin0 ? cos0 ·> to;. , sin cos~ и te---- • Опредѣленіе три-
гонометрическихъ функцій нѣкоторыхъ дугъ (напр., дугъ,
выраженныхъ формулой 9т и др.). Замѣчаніе объ отноше-
ніяхъ между различными тригонометрическими функціями (о
возможности образованія произвольнаго числа тождественныхъ
отношеній). Болѣе подробно—вычисленіе тригонометрическихъ
линій (формулы Симпсона: объ ошибкахъ при вычисленій три-
гонометрическихъ функцій). Рѣшеніе уравненіи второй и третьей
степени посредствомъ тригонометрическихъ таблицъ. Радіаль-
ное измѣреніе угловъ. О независимыхъ соотношеніяхъ между
элементами треугольника. Нѣкоторые особенные случаи рѣше-
нія треугольниковъ. Рѣшеніе вписаннаго четыреугольника.
Задачи практической тригонометріи (на мѣстности).
Изложено все подробно и обстоятельно.
Въ слѣдующихъ учебникахъ укажу на ихъ характерныя
особенности.
H. Билибинъ,
«Курсъ тригоно-
метріи» . Часть
вторая. «Основа-
нія теоріи триго-
нометрическихъ
(круговыхъ)
функцій».
При изложеніи этого курса авторъ вы-
ясняетъ «на тригонометрическихъ фунціяхъ
основныя понятія, относящіяся къ теоріи функ-
цій, а именно: о функціи и ея непрерывности,
о графическомъ изображеніи функцій, υ нуляхъ
и полюсахъ функцій, о возрастаніи и убываніи
функцій, о производной, о maximum'ахъ и mini-
mum'ахъ и объ обратимости функцій. Курсъ этотъ представляетъ
изложеніе основаній теоріи тригонометрическихъ функцій».

Эмиль Борель,
«Тригонометрія»,
переводъ О. В. С.
подъ редакціей
профессора харь-
ковскаго универ-
ситета H. H. Сал-
тыкова.
Авторъ даетъ понятіе о прямоугольной
координатной системѣ и пользуется ею при
опредѣленіи тригонометрическихъ функцій. За-
тѣмъ къ особенностямъ этого учебника слѣдуетъ
отнести: 1) десятичное дѣленіе окружности; 2)
построеніе синусоиды (графическое изслѣдова-
ніе измѣненія синуса); 3) теоремы о проекціяхъ;
4) доказательство теоремы сложенія на основаніи теоріи про-
екций; 5) ознакомленіе съ производными круговыхъ функцій.
Въ концѣ книги помѣщены таблицы логариѳмовъ и антилога-
риѳмовъ съ четырьмя десятичными знаками и таблицы лога-
риѳмовъ круговыхъ функцій дугъ, выраженныхъ въ градахъ.
Имѣются задачи изъ космографіи, физики и механики.
Бріо-Буке, «Три-
гонометрія. Пря-
молинейная три-
гонометрія», пе-
рев. Н. И. Мамон-
това.
Приведена статья о проекціяхъ. Выводы
соотношеніи между круговыми функціями одной
и той же дуги и доказательство теоремы сло-
женія основаны на теоріи проекцій.
С. Будаевскій,
«Прямолинейная
тригонометрія».
Дается понятіе о координатной системѣ.
Имѣются графическое выраженіе тригонометри-
ческихъ и «круговыхъ» обратныхъ функцій и
основныя теоремы проекцій. Доказательство
теоремы сложенія основано на теоріи проекцій.
А. Войновъ,
« Прямолинейная
тригонометрія».
Въ учебникъ находимъ графическое изслѣ-
дованіе измѣненія синуса (указывается, что
этимъ путемъ можно обнаружить періодичность
функцій) и нѣкоторыя дополнительныя пред-
ложенія о треугольникѣ.
Н. Ди-Сеньи,
«Курсъ прямоли-
нейной тригоно-
метріи».
Подробно разработанъ вопросъ о двойствен-
ности знаковъ. Обращено вниманіе на методы
рѣшенія тригонометрическихъ уравненіи. Из-
слѣдуются формулы для рѣшенія треугольниковъ
по тремъ сторонамъ. Учебникъ написанъ авто-
ромъ для лицъ, поступающихъ въ спеціальныя заведенія, и
сообразованъ съ программами этихъ заведеній.

А. Дмитріевъ,
«Начальныя ос-
нованія прямоли-
нейной тригоно-
метріи».
Авторъ говоритъ о синусѣ-верзусѣ и ко-
синусѣ-верзусѣ, о хордовомъ масштабѣ, о мас-
штабѣ тригонометрическихъ линій и о вычис-
леній треугольниковъ по масштабамъ. Приве-
дено изслѣдованіе формулъ рѣшенія треуголь-
ника по тремъ сторонамъ. Въ прибавленіи дано аналитическое
изслѣдованіе сомнительныхъ случаевъ рѣшенія треугольниковъ,
краткое понятіе о съемкѣ плановъ и нивелированіи. Имѣются
краткія замѣтки изъ исторіи математики. Въ прибавленіи
помѣщены сокращенныя таблицы обыкновенныхъ логариѳмовъ,
составленныя по руководству Вега Ѳедоромъ Буссе.
П. Злотчанскій,
«Прямолинейная
тригонометрія».
Говорится о происхожденіи названій три-
гонометрическихъ функцій. Имѣются аналитиче-
скій выводъ cos(a+b) (есть и геометрическій)
и вычисленіе значеній тригонометрическихъ ве-
личинъ съ помощью приближенныхъ значеній π. Въ статьѣ
объ уравненіяхъ указаны руководящія начала для ихъ рѣ-
шеній.
Н. П. Кильдюшев-
скій, «Прямоли-
нейная тригоно-
метрія».
Учебникъ приспособленъ къ прохожденію
курса, согласно новымъ программамъ реальныхъ
училищъ (указаны параграфы, которые прохо-
дятся въ VI кл., и параграфы въ VII кл.). Имѣются
замѣчанія о механическомъ и геометрическомъ
углахъ, графики тригонометрическихъ функцій, обобщеніе
теоремы сложенія, геометрическое и аналитическое и примѣне-
ніе таблицъ Деламбра для вычисленія угловъ, близкихъ къ 0
и 90°.
А. Малининъ.
«Тригонометрія».
Подробно излагается статья о вычисленіи
тригонометрическихъ величинъ и составленіи
логариѳмическихъ таблицъ. Доказательство тео-
ремы сложенія основано на теоремѣ Птоломея.
В. Мрочекъ,
«Прямолинейная
тригонометрія и
Дается понятіе о синусѣ-верзусѣ и коси-
нусѣ-верзусѣ. Имѣются мнемоническія пра-
вила для запоминанія формулъ приведенія,

основанія теоріи
геометрическихъ
функцій». Вторая
часть.
графики синуса, тангенса и секанса, формулы
Деламбра, а также дается примѣненіе его
таблицъ къ рѣшенію различныхъ вопросовъ.
Подробно изложены статьи: 1) объ обратныхъ
круговыхъ функціяхъ (графики, непрерывность, многозначность,
дѣйствія надъ обратными круговыми функціями) и 2) о
тригонометрическихъ уравненіяхъ (методы рѣшеній). Приведены
задачи Паппуса, Паскаля, Патенота и др. (рѣшенія и изслѣ-
дованія).
Е. Пржевальскій,
«Прямолинейная
тригонометрія и
собраніе тригоно-
метрическихъ за-
дачъ».
Тригонометрическія величины опредѣляются
какъ отношенія перпендикуляра къ наклонной,
перпендикуляра къ проекцій, проекцій къ на-
клонной и обратно. Указывается, что формулы
сложенія могутъ быть выведены геометрически
для всѣхъ угловъ, и приводится примѣръ. За-
тѣмъ въ учебникѣ находимъ: 1) таблицы хордъ и тангенсовъ; 2)
введеніе тригонометрическихъ величинъ въ мнимыя выраже-
нія; 3) формулу Моавра: 4) рѣшеніе двучленныхъ уравненіи
вида xm=a, гдѣ а—дѣйств. или мнимое, a т~~цѣлое и поло-
жительное число: 5) суммирование нѣкоторыхъ тригонометри-
ческихъ рядовъ; 6) формулы Деламбра: 7) доказательство тео-
ремы, что разность логариѳмовъ тригонометрическихъ функцій
приблизительно пропорціональна разностямъ соотвѣтствующихъ
имъ угловъ. Подробно объ инструментахъ для измѣренія на
мѣстности. Много задачъ.
А. Ребьеръ,
«Курсъ элемен-
тарной тригоно-
метріи и собра-
ніе примѣровъ и
упражненій», пе-
рев. Н.де-Жоржъ.
Графики синуса и косинуса. Подробное
изслѣдованіе рѣшеній треугольниковъ. Тригоно-
метрически способъ выраженія мнимыхъ вели-
чинъ. Теорема проекцій. Глава, посвященная раз-
нымъ задачамъ. Задача Патенота и др.
θ. Симашко,
«Тригонометрія».
Подробно излагается статья о вычислен!и
тригонометрическихъ величинъ, о предѣлахъ
погрѣшности при вычисленій угловъ но семи-
значнымъ таблицамъ Вега, редактированнымъ Бремикеромъ.

Говорится о предѣлѣ погрѣшности при рѣшеніи треугольни-
ковъ.
H. П. Слетовъ,
« Прямолинейная
тригонометрія».
Матеріалъ расположенъ въ учебникѣ такъ,
что книга можетъ служить руководствомъ при
прохожденіи тригонометріи въ реальныхъ учи-
лищахъ по программамъ 1906 г. Разбитъ этотъ матеріалъ на
двѣ части, въ первой части—собственно тригонометрія, а во
второй — гоніометрія. Методъ изложенія индуктивный. Приве-
дены формулы Деламбра для вычисленія логариѳмовъ триго-
нометрическихъ величинъ малыхъ угловъ. Имѣются графики
синуса, косинуса и тангенса.
Г. Тиме,
«Плоская триго-
нометрія».
Авторъ даетъ свѣдѣнія о логариѳмахъ Гаусса,
историческій очеркъ плоской тригонометріи и
пользуется при вычисленіяхъ таблицами лога-
риѳмовъ Лаланда.
С. Чемолосовъ.
«Прямолинейная
тригонометрія».
Тригонометрическія величины опредѣляются,
какъ отношенія сторонъ прямоугольнаго тре-
угольника. Теорема сложенія доказывается для
угловъ, сумма которыхъ меньше двухъ пря-
мыхъ; полученныя формулы обобщаются для частнаго случая
180 < а < 270; 270 < а < 360, и указывается, что подобнымъ
же образомъ можно доказать справедливость формулъ для
угловъ а и b всякой величины. Въ дополненіи посвящается
отдѣльная глава вычисленій) поверхностей и объемовъ тѣлъ
вращенія при помощи теоремы Гульдена.
Н. А. Шапош-
никова « Новый
( алгебраическій )
курсъ прямоли-
нейной тригоно-
метріи».
Курсъ построенъ на новыхъ началахъ. При-
ведены основанія плоскостнаго исчисленія (сек-
торъ, понятіе о комплексахъ), и на этихъ
основаніяхъ построена теорія тригонометриче-
скихъ функцій. Подробно излагается статья о
рядахъ.
Вѣра Шиффъ,
« Прямолинейная
тригонометрія».
Вначалѣ авторъ даетъ понятіе о проек-
ціяхъ и координатахъ, a затѣмъ пользуется
этимъ при опредѣленіяхъ и доказательствахъ
теоремъ. Курсъ строится такъ, что синусъ и

косинусъ опредѣляются изъ геометрическихъ соображеній, а
дальнѣйшія положенія устанавливаются какъ функціи синуса
и косинуса. Много разнообразныхъ интересныхъ задачъ и
упражненій.
П. К. Шмулевичъ,
«Курсъ прямоли-
нейной тригоно-
метріи (энцикло-
педія тригоно-
метріи)».
Не останавливаясь на характерныхъ осо-
бенностяхъ курса, слѣдуетъ, однако, указать
на обстоятельную разработку всѣхъ теорети-
ческихъ и практическихъ вопросовъ, которые
могутъ быть изложены элементарно. Обращено
большое вниманіе на методы рѣшенія задачъ.
Ко второй группѣ учебниковъ по тригонометріи отнесены
мною тѣ изъ нихъ, въ которыхъ заключается матеріалъ курса
VI кл. реальныхъ училищъ по новымъ программамъ 1906 г.,
а именно: даются самыя необходимыя свѣдѣнія о тригономет-
рическихъ функціяхъ остраго и тупого угла и затѣмъ разби-
рается рѣшеніе плоскихъ прямолинейныхъ фигуръ. При рѣ-
шеніи треугольниковъ авторы пользуются или натуральными
тригонометрическими величинами угловъ, или логариѳмами
этихъ величинъ. Нѣкоторые составители учебниковъ изла-
гаютъ свой курсъ болѣе подробно, a другіе ограничиваются
разсмотрѣніемъ основныхъ случаевъ рѣшенія треугольниковъ.
Курсъ прямолинейной тригонометріи β. Шидловскаго из-
ложенъ кратко; авторъ пользуется натуральными величинами
тригонометрическихъ величинъ. Въ курсѣ тригонометріи А. Жи-
линскаго мы находимъ болѣе подробное изложеніе, а также
задачи изъ стереометріи: примѣняются логариѳмическія та-
блицы при вычисленіяхъ. Въ учебникѣ В. Мрочека «Прямоли-
нейная тригонометрія и основанія теоріи гоніометрическихъ
функцій». 1 ч., затронуто больше вопросовъ, нежели въ преды-
дущихъ. Учебникъ знакомитъ съ разнообразными случаями,
которые могутъ встрѣтиться при рѣшеніи треугольниковъ.
Обращено вниманіе на систематизацію особенныхъ случаевъ
рѣшенія треугольниковъ. Данъ историческій очеркъ развитія
тригонометріи. Имѣются примѣры и задачи для упражненій.
Примѣняются логариѳмическія таблицы.
Книга первая курса тригонометріи Егунова и Яновича,

составленная В. А. Егуновымъ, относится къ категоріи пере-
числяемыхъ. Вычисленія ведутся съ помощью логариѳмиче-
скихъ таблицъ. Въ концѣ книги имѣются таблицы натураль-
ныхъ тригонометрическихъ величинъ. Дано свыше двухсотъ
задачъ для самостоятельныхъ упражненій.
Часть 1-ая «Тригонометріи» Я. Билибина пріурочена къ
той же основной цѣли. Этотъ учебникъ можетъ быть при-
знанъ интересной и полезной книгой для преподавателя.—на
столько тамъ широко и глубоко разобраны всѣ вопросы. Къ
этой же категоріи относится учебникъ прямолинейной триго-
нометріи проф. Глазенапа. Въ книгѣ проф. Глазенапа обращено
взиманіе на провѣрку вычисленій и на мало употребительныя
таблицы Гаусса; задачи, помѣщенныя въ этомъ курсѣ, подо-
браны изъ области механики, физики, астрономіи, геодезіи и
геометріи. Упомяну еще объ учебникѣ элементарной геометріи
Д. Ройтмана, въ которомъ посвящается отдѣльная глава на-
чаламъ тригонометріи.

Обзоръ учебниковъ по аналитической геометріи, составленныхъ
для реальныхъ училищъ.
Докладъ В. I. Шиффъ (Петербургъ).
Разсмотрѣнные мною учебники можно раздѣлить на двѣ
группы: 1) учебники, составленные согласно программѣ, выра-
ботанной въ 1906 году M. Н. Пр.
Сюда относятся учебники: А. Воинова, ((Основанія анали-
тической геометріи». 1906 г., стр. 78; К. Н. Рашевскаго,
«Основанія аналитической геометріи» 1911 годъ, стр. 138:
JI. Горячева, «Основанія аналитической геометріи на плоско-
сти». 1908 г., стр. 86.
Содержаніе этихъ учебниковъ слѣдующее: Понятіе о пря-
молинейныхъ прямоугольныхъ координатахъ. Понятіе о поляр-
ныхъ и биполярныхъ координатахъ. Уравненіи прямой. Основ-
ныя задачи на прямую. Уравненія круга и кривыхъ 2-го по-
рядка. Касательныя къ кривымъ 2-го порядка. Діаметры кри-
выхъ 2-го порядка.
Во всѣхъ вышепоименованныхъ учебникахъ изложеніе стра-
даетъ нѣкоторой неполнотой, такъ, напр.. у г-на Воинова въ
вопросѣ объ опредѣленіи координатъ точки пересѣченія двухъ
прямыхъ совсѣмъ не изслѣдованы полученныя рѣшенія, и даже
объ асимптотахъ гиперболы ничего не сказано.
Примѣры помѣщены преимущественно числовые и въ
очень небольшомъ числѣ.
Уравненія кривыхъ 2-го порядка во всѣхъ этихъ учебни-
кахъ получаются пересѣченіемъ конуса плоскостью, не прохо-
дящей черезъ вершину конуса и, согласно программѣ, ничего
не говорится объ уравненіяхъ кривыхъ 2-го порядка въ общемъ
видѣ. Вслѣдствіе этого не выясняется основная идея анали-

тической геометріи. Вообще, если введеніе въ среднюю школу
аналитической геометріи имѣетъ цѣлью развитіе у учащихся
функціональнаго мышленія и усвоеніе главной идеи, положен-
ной въ основу метода аналитической геометріи—именно, какъ
изъ соотношеніи числовыхъ получить геометрическія свойства
фигуры и обратно, какъ выразить геометрическія свойства
фигуры посредствомъ числовыхъ соотношеніи, т.-е. уравненіемъ,
то, конечно, этой цѣли большинство изъ вышепоименован-
ныхъ учебниковъ служить не можетъ.
Ко второй группѣ я отношу учебники:
М. П. Никонова, «Элементарный курсъ аналитической
геометріи на плоскости». 1911 г., стр. 117.
Далѣе, гораздо подробнѣе составленные учебники:
А. Фролова, ((Приложеніе алгебры къ геометріи и начала
аналитич. геометріи на плоскости». Первая часть. ((Приложеніе
алгебры къ геометріи». 2-я часть. « Аналитич. геометрія на пло-
скости». По программѣ кадетскихъ корпусовъ. Изданіе десятое.
1911 г., стр. 196.
К. Б. Пеніонжкевича, ((Основанія аналитич. геометріи».
1911 г., стр. 186.
ß. IL Свѣнцицкаго, «Краткій курсъ аналитической гео-
метріи на плоскости». 1910 г., стр.299.
Въ учебникахъ Фролова, Пеніонжкевича и Свѣнцицкаго вхо-
дятъ какъ изслѣдованіе геометрическихъ мѣстъ по ихъ урав-
неніямъ, такъ и изслѣдованіе общаго уравненія 2-ой степени съ
двумя перемѣнными.
Кромѣ численныхъ примѣровъ, есть и задачи.
Полнѣе всѣхъ вышепоименованныхъ учебниковъ-—учеб-
никъ г-на Прежевальскаго, который отличается еще тѣмъ, что.
кромѣ очень большого числа примѣровъ и задачъ, содержитъ
еще нѣкоторыя свѣдѣнія изъ аналитической геометріи въ про-
странствѣ.
Позволю себѣ теперь указать тѣ мѣста, которыя, по мо-
ему мнѣнію, подлежатъ исправленію, именно: у г-на Никонова,
стр. 20.
«Опредѣленіе функціи». «Алгебраическое выраженіе ax + b
называется двучленомъ (биномомъ) первой степени, въ кото-

ромъ а и b—постоянныя величины, принимаемый обыкно-
венно за извѣстныя; величина χ—неизвѣстная, опредѣляемая
при помощи а и b, есть величина въ то же время перемѣнная».
Далѣе, на стр. 22:
«При обозначеніи зависимости двухъ величинъ между со-
бой въ видѣ: ij^zS^x), Z—G (у), v—F (и) и т. д. можетъ
случиться, что намъ будетъ извѣстенъ родъ этой зависимости,
но неизвѣстенъ законъ, или правило изображенія зависимости
между этими перемѣнными при помощи уравненія. Въ такомъ
случаѣ функція называется «неявной», въ отличіе отъ «явной»,
когда дана опредѣленная зависимость между перемѣнными
величинами.
Стр. 39. Прямая образуетъ съ осью х-овъ уголъ α; вся-
кая точка прямой выходитъ изъ О подъ угломъ α.
У г-на Рашевскаго.
Стр. 17. «Два совмѣстныхъ уравненія:
ilX+blJ + C = 0
lUX + b^ + Ci — O
выражаютъ на плоскости точку».
Не сдѣлано никакой оговорки относительно выраженія
abi—алЪ) a вѣдь, какъ извѣстно, въ случаѣ àbx — αιδ = 0,
при сЪх— Сі δ —О, получается не одна, а безчисленное множе-
ство точекъ.
Стр. 26. Уравненіе всякой прямой можетъ быть пред-
ставлено БЪ такомъ видѣ: y = kx + m.
A если прямая параллельна оси у-овъ?
Стр. 27. Не оговорено, что уравненіе
ОС У
- -f- "г = 1 не можетъ выражать прямую, проходящую
черезъ начало координатъ.
У г-на Пеніонжкевича. Стр. 18.
«Пусть намъ дано ур. F(x,y) = 0 съ двумя перемѣнными
л* и у, гдѣ F есть знакъ неявной непрерывной функ-
ціи.
Стр. 32. «При у// = ;х> уравненіе прямой: у = mx + Ь) на-
писанное предварительно въ видѣ:

обращается въ уравненіе л: — 0 при Ь конеч-
т m
номъ, которое и выражаетъ тогда ось ординатъ, при конеч-
номъ уравненіи выражаетъ прямую, параллельную оси орди-
натъ ».
Ничего не объяснено относительно ^ при ш = оо.
У г-на Фролова. Изданіе десятое.
Стр. 24. § 19. «Предметъ аналитической геометріи со-
стоитъ въ изслѣдованіи геометрическихъ мѣстъ, выраженныхъ
уравненіями».
Опредѣленіе, конечно, не полное, ибо аналитическая гео-
метрія занимается не только изслѣдованіемъ геометрическихъ
мѣстъ, выраженныхъ уравненіями, но также и составленіемъ
уравненія, исходя изъ геометрическихъ свойствъ точки, при-
надлежащей геометрическому мѣсту.
Стр. 28. При изслѣдованіи ур.: у — ах + Ь говорится слѣ-
дующее: «При a — œ будетъ и /^Z = oo, уголъ α сдѣлается
прямымъ, a линія AB совпадаетъ съ осью у-овъ. Въ этотъ
моментъ уравненіе прямой, у — ах+b, должно быть одинаково
съ ур. оси 2/-овъ, т.-е. оно должно принять видъ χ— О. И
точно, если предварительно раздѣлены всѣ его члены на а,
то выйдетъ it = χ -J-—; положивъ теперь а = оо, получимъ
О —X)). Въ этомъ разсужденіи, очевидно, авторъ считаетъ у
постояннымъ: при перемѣнномъ лее у требуется объясненіе,
почему Ü при a = œ будетъ равно нулю, вѣдь у также мо-
жетъ стремиться къ безконечности. Авторъ ничего не гово-
ритъ объ ур. Х=пост., такъ что у него нѣтъ ур. прямой
параллельной оси у.
Стр. 36. «Приведите уравненіе — + ~ = 1 къ общему виду,
полагая сперва р = 0, потомъ q = 0.
По вѣдь при р = 0, или q = 0 совсѣмъ нельзя пи-
сать ур. прямой подъ видомъ — ~f-— =1.

Стр. 73. «Отношеніе перемѣнныхъ величинъ всегда равно
отношенію предѣловъ, къ которымъ онѣ стремятся».
Стр. 89. «По мѣрѣ удаленія точекъ кривой отъ ея вер-
шинъ, дробь --ъ стремится къ нулю, радикалъ ,/ \ _ а стре-
мится къ единицѣ, а ординаты гиперболы стремятся къ pa-
венству съ ординатами прямыхъ У = + — х\ тѣ и другія ста-
новятся, дѣйствительно, равными только при х = + оо».
Тутъ совсѣмъ непонятно, какъ можно утверждать, что
Я позволила себѣ указать только на наиболѣе грубыя
ошибки въ этомъ учебникѣ, которыя тѣмъ болѣе непріятны,
что онѣ встрѣчаются въ 10-омъ изданіи этого учебника.
Составленіе подходящаго учебника аналитической гео-
метріи для средне-учебнаго заведенія такъ трудно, что весьма
понятны нѣкоторые изъ встрѣчающихся недочетовъ.
Мнѣ пришлось сначала просмотрѣть учебникъ по аналитич.
геометріи г-на Рашевскаго, изданный въ 1908 году, и когда
я ознакомилась съ новымъ изданіемъ 1911 года этого учеб-
ника, то увидѣла между этими двумя изданіями громадную
разницу—всѣ крупные недочеты были исправлены. Во всѣхъ
вышепоименованныхъ учебникахъ по аналитической геометріи
есть много хорошаго, въ особенности въ учебникѣ г-на Ра-
шевскаго, изданномъ въ 1911 году.
Въ заключеніе моего доклада позволю себѣ указать, что
выводъ ур. кривыхъ 2-го порядка, какъ коническихъ сѣченій.
представляется мнѣ крайне сложнымъ для учащихся и при-
томъ, въ просмотрѣнныхъ мною учебникахъ, страдаетъ непол-
нотою, именно: показывается, что при пересѣченіи конуса
плоскостью, не проходящей черезъ вершину конуса, получается
одна изъ кривыхъ 2-го порядка, но ничего не сказано, какъ
получить, пересѣкая конусъ плоскостью, данную кривую 2-го
порядка, вслѣдствіе чего у учащихся можетъ появиться со-

вершенно невѣрная мысль, что если дана гипербола, то при
пересѣченіи плоскостью любого кругового конуса можно по-
лучить данную гиперболу, а это, какъ извѣстно, невѣрно,
ибо тутъ должно быть выполнено условіе, что уголъ при вер-
шинѣ конуса долженъ быть не менѣе угла между асимпто-
тами гиперболы.
Далѣе думается мнѣ, что желательно говорить о поляр-
ныхъ координатахъ не въ концѣ курса, a сейчасъ же послѣ
опредѣленія прямолинейныхъ и больше ихъ примѣнять.
Выводъ формулы, выражающей разстояніе между двумя
точками на плоскости въ полярныхъ координатахъ, очень
простъ и вполнѣ общъ, какъ-бы ни были расположены обѣ
точки, чего нельзя сказать, когда при выводѣ этой формулы
въ Декартовыхъ координатахъ примѣняютъ теорему Пиѳагора.
Переходъ же отъ полярной системы координатъ къ прямоли-
нейной прямоугольной—крайне простъ. Вообще же я нахожу
желательнымъ главное вниманіе сосредоточивать на выводахъ
геометрическихъ мѣстъ и на изученіи, на сколько это возможно
безъ дифференціальнаго исчисленія, вида геометрическаго мѣста
но его уравненіи). Очень хорошо было бы ознакомить учащихся
съ циссоидой и конхоидой и показать, какъ, пользуясь этими
кривыми, рѣшаются задачи объ удвоеніи куба и трисекціи
угла.
Очень желательно при изложеніи аналитической геомет-
ріи пользоваться проекціей, ибо это значительно обобщаетъ
выводы.
Весьма также желательно, имѣя въ виду выводъ ур. гео-
метрическихъ мѣстъ, ознакомить учащихся и съ прямолиней-
ными косоугольными координатами и указать имъ, что для
каждаго случая надо умѣть выбрать наиболѣе подходящую сис-
тему координатъ, а также обратить ихъ вниманіе на то, что
одно и то Hie ур., напр., х+у = а, выражаетъ въ Декарто-
выхъ координатахъ прямую линію, въ биполярныхъ же—эллипсъ;
у р. 2) х=^ау—въ Декартовыхъ координатахъ- -прямую, a въ
полярныхъ, принимая χ за радіусъ векторъ, а у за полярный
уголъ—Архимедову спираль.
Принимая во вниманіе недостатокъ времени, удѣляемаго

на прохожденіе аналитич. геометріи, и имѣя въ виду изложеніе
анализа безконечно-малыхъ, возможно было бы въ курсѣ ана-
литической геометріи для средней школы совершенно не го-
ворить о касательныхъ къ эллипсу, гиперболѣ и параболѣ,
ограничиваясь только выводомъ ур. касательной къ кругу,
разсматривая касательную какъ прямую, перпендикулярную
къ радіусу въ точкѣ касанія.

ВЫСТАВКА.

Организація выставки при I всероссійскомъ съѣздѣ пре-
подавателей математики была поручена особой комиссіи, въ
составъ которой вошли слѣдующія лица: С. А. Богомоловъ.
B. И. Гартьеръ, М. А. Знаменскій, И. Н. Кавунъ, А. Р. Ку-
лишеръ, В. Р. Мрочекъ, Д. Э. Теннеръ (предсѣдатель), Η. Α.
Томилинъ, Φ. В. Филипповича M. Л. Франкъ, П. С. Эрен-
фестъ и Т. А. Эренфестъ.
Общій планъ подготовительной работы комиссіи заклю-
чался въ томъ, что она. пользуясь пособіями Педагогиче-
скаго музея в. уч. з., составила основную коллекцію пособій
по математикѣ. Съ этой цѣлью комиссія пересмотрѣла всѣ
имѣвшіяся въ Педагогическомъ музеѣ пособія по математикъ,
пополнила ихъ частью выпиской нѣкоторыхъ пособій отъ
торговыхъ фирмъ (русскихъ и заграничныхъ), частью посо-
біями, изготовленными въ музеѣ подъ руководствомъ А. Р.
Кулишера, И. H. Кавуна. M. А. Знаменскаго, Д. Э. Теннера
и М. Л. Франка. Съ другой стороны, комиссія составила списки
фирмъ, изготовляющихъ пособія по математикѣ и издающихъ
книги математическаго и методическаго содержанія, и вошла съ
ними въ сношенія съ цѣлью привлечь ихъ къ участію въ выставкѣ.
Работа эта была слѣдующимъ образомъ распредѣлена ме-
жду членами комиссіи: оборудованіе лабораторнаго стола взялъ
на себя В. Р. Мрочекъ, отдѣлъ ариѳметики—В. H. Гартьеръ.
Μ. Α. Знаменскій и И. Η. Кавунъ, отдѣлъ геометріи—А. P.
Кулишеръ и Д. Э. Теннеръ. отдѣлъ графикъ—Д. Э. Теннеръ.
Н. А. Томилинъ и M. Л. Франкъ, отдѣлъ математической учеб-
ной литературы—Ф. В. Филипповича
Во всѣхъ подготовительныхъ работахъ принимали дѣятель-
ное участіе и оказывали серьезную помощь слѣдующія лица
изъ числа учащихся на курсахъ для подготовки учителей въ
кадетскіе корпуса въ Педагогическомъ Институтѣ, на Высшихъ
Женскихъ Курсахъ, спб. университетѣ и Технологическомъ
институтѣ: И. Φ. Акимовъ, Ε. Α. Алексѣева, А. В. Анучинъ.
А. В. Благодатова, Бодалева, А. П. Бѣляникова, В. Ф. Вильнитъ,
C. М. Витковская, Д. В. Волькенау, Н. П. Говорова, В. В.

Грибовскій, А. В. Давыдовъ, M. A. Добромыслова, В. К. Дор-
мидонтова, В. А. Дубровинъ, А. Е. Дувина, В. К. Егоровъ,
А. Ю. Зааль, К. И. Зрене, Л. Н. Кашинцева, А. А. Козлова,
Е. И. Колнабечъ, Е. А. Кондратьева, θ. θ. Крыловъ, Α. Η.
Лаврентьева, Τ. Α. Недзельская, Л. А. Нестерева,, Я. Г. Не-
сторовичъ, II. У. Носалевичъ, Макарьева; А. В. Миловидова,
Л. С. Орлова, Павлова. Д. М. Пашкевичъ, Пернадзе, Рабан-
ношкова, С. Ю. Рапопортъ, Η. М. Савичъ, А. С. Семко-Савой-
ская, Т. Г. Смирнова, Соколина, А. Л. Сорокинъ, Б. А. Тара-
бутинъ, Н. А. Тарасевичъ, В. А. Тяжелова, 3. Я. Чумакова,
Ю. Г. Шиперко и Ярошъ.
Эти же лица помогали выставочной комиссіи въ пріемѣ
прибывавшихъ на выставку пособій, распредѣленіи ихъ въ вы-
ставочномъ помѣщеніи, а по окончаніи съѣзда въ возвращеніи
пособій экспонентамъ.
Въ работѣ по распредѣленію и пріему пособій принимали
участіе всѣ члены выставочной комиссіи, но особенный трудъ
выпалъ на долю избраннаго комиссіей комиссара выставки,
M. A. Знаменскаго.
Для облегченія членамъ съѣзда обозрѣнія выставки чле-
нами выставочной комиссіи давались въ опредѣленные часы
объясненія; для той же цѣли на выставкѣ были учреждены
постоянныя дежурства учащейся молодежи изъ числа прини-
мавшихъ участіе въ подготовительной къ съѣзду работѣ.
Наконецъ, послѣдней задачей былъ выпускъ описанія вы-
ставки. Недостатокъ денежныхъ средствъ и неопредѣленность
ихъ заставили значительно затянуть появленіе описанія и сокра-
тить его до возможнаго минимума.
Ниже приведено описаніе выставки, которое было соста-
влено слѣдующими лицами: I. Пособія Педагогическаго музея
в. уч. заведеній: а) лабораторный столъ—В. Р. Мрочекомъ,
б) ариѳметика —И. Н. Кавуномъ, в) геометрія—А. Р. Кули-
шеромъ, г) графика — М. Л. Франкомъ. П. Пособія, выста-
вленныя отдѣльными фирмами и лицами,—3. Я.Чумакова: по-
слѣдней также принадлежитъ составленіе списковъ пособій,
относящихся къ каждой иллюстраціи.
Д. Теннеръ.

Пособія Педагогическаго Музея в.-уч. Заведеній.
Лабораторный столъ (T. I).
При оборудованіи лабораторнаго стола руководились слѣ-
дующими соображеніями:
1. «Столъ» долженъ содержать инструменты и матеріалы,
необходимые для самостоятельныхъ ученическихъ работъ.
2. На нѣсколькихъ примѣрахъ долженъ быть показанъ
ходъ изготовленія моделей, пособій, иллюстрацій и пр.
На приведенномъ снимкѣ расположены: слѣва—инстру-
менты и матеріалы для картонажныхъ работъ, а справа—для
металлическихъ. Кромѣ того, на столѣ помѣщены. и нѣкоторые
образцы работъ.
Картонажныя ра-
боты.
Модель куба (вычерчиваніе развертки, вы-
рѣзываніе, сгибаніе); различныя доли единицы—
въ частяхъ прямоугольника; умноженіе дроби на дробь и др.
Металлическія и
деревянныя ра-
боты.
Брусъ изъ спицъ и пробокъ, съ діагоналями;
брусъ съ діагоналями, подвижной, изъ «трубо-
чекъ Мрочека»; подвижной четыреугольникъ изъ
«трубочекъ»; индусскій разборный кругъ и др.
Нѣкоторыя тѣла изъ пластилина: сѣченія
Лѣпныя работы.
бруса, изъ мыла и др.
Прим. Подробный перечень инструментовъ, матеріаловъ
и работъ см. въ «Каталогѣ Экспонатовъ Педагогическаго Му-
зея», 1912 г., стр. 251 и далѣе.

Ариѳметика (T. II и III).
Въ отдѣлѣ выставки, организованномъ Педагогическимъ
Музеемъ Военно-учебныхъ заведеній, были представлены по
ариѳметикѣ, главнымъ образомъ, тѣ пособія, которыя относятся
къ курсу среднихъ учебныхъ заведеній. При выборѣ приборовъ
устроители обращали свое вниманіе на простоту конструкціи,
такъ какъ сложность и вычурность пособія всегда затемняетъ
ту мысль, которую должно сдѣлать ясной. Избѣгались уни-
версальные приборы (за исключеніемъ «русскихъ счетовъ»),
такъ какъ постоянное употребленіе прибора притупляетъ къ
нему интересъ учениковъ. На выставкѣ отведено мѣсто не
только такъ называемымъ класснымъ пособіямъ, на которыя
учащіеся во время объясненія учителя только смотрятъ,
но и работамъ, которыя выполняются самими учениками.
Эти послѣднія должны служить важнымъ средствомъ къ под-
нятія) у учениковъ рабочаго настроенія и къ усвоенію пред-
мета. Къ сожалѣнію, устроители выставки не имѣли возмож-
ности собрать ученическія работы, но зато были изготовлены
модели и діаграммы такихъ работъ.
Пособія подобраны такъ, чтобы они иллюстрировали основ-
ныя идеи курса: понятіе о числѣ и нумераціи, законы ариѳ-
метическихъ дѣйствій, измѣренія, приближенныя вычисленія,
зависимость между величинами, дробныя числа.
Понятіе о числѣ.
Какъ уже упомянуто выше, коллекціи
Педагогическаго Музея предназначены, главнымъ
образомъ, для нуждъ средней школы, чѣмъ и объясняется незначи-
тельное число пособій, служащихъ для образованія понятія цѣлаго
числа, — понятія, съ которымъ дѣти уже являются въ среднюю
школу, какъ съ готовымъ. Однакоже, оба главныхъ теченія въ
области методики представлены. Приборъ Лай'я—классный и руч-
ной (табл. II)—является представителемъ пособій для образованія
понятія о числѣ непосредственнымъ воспріятіемъ числовыхъ фи-
гуръ, независимо отъ процесса счета. Той же цѣли отчасти
можетъ служить аппаратъ Борна. Къ другой группѣ относятся
приборы, связывающіе образованіе представленія о числѣ съ

процессомъ счета. Къ нимъ можно отнести ариѳметическій
ящикъ, приборъ Тиллиха, ариѳметическій ящикъ Познера и
Лангера (табл. II).
Нумерація.
Слѣдующія ступени въ обученіи ариѳметикѣ,
связаны съ десятичной нумераціей.
Для нагляднаго ознакомленія съ нею могутъ служить
упомянутые выше приборы Тиллиха, Познера и Лангера. При-
боры эти служатъ для ознакомленія съ десятичной системой
въ устномъ счисленіи. Другой родъ приборовъ служитъ для
установленія перехода отъ устной нумераціи къ письменной и
для уясненія помѣстнаго значенія цифръ числа. Къ нимъ надо
отнести русскіе счеты, шведскіе счеты, дугообразные счеты
Канаева, абакъ Кавуна; въ послѣднемъ выдѣлены не только
разряды, но и классы.
Дѣйствія и ихъ
законы.
Нѣкоторыя изъ упомянутыхъ пособій могутъ
быть полезны при изученіи ариѳметическихъ
дѣйствій, какъ, напр., русскіе счеты; они, однако-
же, неудобны какъ пособія при изученіи законовъ ариѳметиче-
скихъ дѣйствій. Для этой цѣли изготовлены подъ руководствомъ
И. H. Кавуна картограммы, представляющія образцы работъ,
которыя могутъ выполняться учениками на клѣтчатой бумагѣ;
здѣсь поясняются: 1) сложеніе и вычитаніе отрѣзковъ, на ко-
торыхъ разъясняется опредѣленіе вычитанія какъ дѣйствія
обратнаго сложенія, перемѣстительный и сочетательный законы
суммы; 2) измѣненіе разности; 3) перемѣстительный законъ
умноженія: сомножители—число клѣтокъ въ ряду и число
рядовъ; 4) сопоставленіе распредѣлительнаго и сочетательнаго
законовъ: сомножители—число клѣтокъ въ ряду и число ря-
довъ; δ) иллюстрація сочетательнаго закона умноженія; 6)
сравненія, — измѣненія суммы и произведенія при умно-
женіи данныхъ чиселъ на одно и то же число; 7) измѣненіе
произведенія при увеличеніи въ НЕСКОЛЬКО разъ сомножителей
(табл. II).
Для иллюстраціи абсолютной погрѣшности суммы, разности
и произведенія приведены картограммы: слагаемыя числа изо-

бражены прямыми отрѣзками; построена сумма приближенныхъ
чиселъ и суммы ихъ предѣльныхъ значеній; отсюда видно, что
абсолютная погрѣшность суммы равна суммѣ абсолютныхъ по-
грѣшностей слагаемыхъ.
Подобная же графика дана для разности.
Произведеніе двухъ приближенныхъ чиселъ представлено
въ видѣ площади прямоугольника, стороны котораго изобра-
жаютъ данные сомножители. Абсолютная погрѣшность произ-
веденія выражается суммой двухъ прямоугольниковъ.
Понятіе о дробяхъ
и дѣйствія надъ
ними.
Составленію конкретнаго представленія о
дроби посвящено много пособій. Одни изъ нихъ,
какъ дробные счеты, приборъ Брухмана, дроби,
счетчикъ Филипповича (табл. II и III), носятъ
характеръ пассивный, при пользованіи которыми ученикъ самъ
не принимаетъ участія въ изготовленіи долей и дробныхъ
частей единицы; другія, представленныя въ видѣ картограммъ,
служатъ образчиками ученическихъ работъ, съ помощью кото-
рыхъ можно дать ученикамъ живыя конкретныя предста-
вленія о дроби, о раздробленіи дробей въ болѣе мелкія доли и
объ обратной операціи, о дѣйствіяхъ съ простѣйшими дробями.
Дѣйствія при этомъ выполняются устно, безъ особыхъ правилъ,
по соображенію. Дробь обозначается въ видѣ части отрѣзка
прямой, квадрата или круга. Такимъ образомъ, единица не
фиксирована. Для лучшаго различенія дроби, части квадрата и
круга закрашиваются или заклеиваются цвѣтной бумагой
(бумага альбомная или «подъ кожу»). Упражненія съ простѣй-
шими дробями составляютъ необходимую ступень для перехода
къ систематическому курсу дробей.
Къ числу такихъ упражненій надо отнести:
1) Образованіе дроби: } отрѣзка, квадрата и круга.
2) Образованіе неправильной дроби; исключеніе цѣлаго
числа изъ неправильной дроби.
3) Раздробленіе долей; доли представлены въ видѣ секто-
ровъ круга. ·2 = 4= s = ΙΓ,' /1=8 — w s —1ϋ·
То же. Доли представлены частями квадрата.
1 λ ί) . 1 'Л — с»

4) Сложеніе дробей: Доли выражены частями
круга.
То же: доли взяты какъ части двухъ квадратовъ.
5) Дѣленіе доли: |:3; į изображена секторомъ.
То-же. į изображена въ видѣ квадрата.
6) По данной одной долѣ числа найти цѣлое число: часть
числа обозначена на клѣтчатой бумагѣ нѣсколькими клѣт-
ками.
По нѣсколькимъ долямъ числа отыскать цѣлое число (на
клѣтчатой бумагѣ).
7) Дѣленіе дробей: 2| : |; f : 2; į : 2. Всѣ дроби представлены
какъ части квадратовъ, на клѣтчатой бумагѣ.
8) Умноженіе дробей: fx f.
Взято f отъ į квадрата: доли получаются пятнадцатыя.
9) Число 3 раздѣлено на 4 равныя части. Единица обо-
значена кружкомъ.
Идея зависимости
величинъ.
Идея зависимости между величинами на-
шла выраженіе только въ двухъ группахъ ра-
ботъ, которыя могутъ быть выполнены самими
учениками.
Изображеніе прямой и обратной пропорціональности.
1) Измѣненіе площади прямоугольника въ зависимости
отъ измѣненія его высоты.
2) Измѣненіе площади сектора при измѣненіи его дуги.
3) Измѣненіе основанія прямоугольника въ зависимости
отъ измѣненія его высоты при постоянной площади; площадь
прямоугольника взята равной 48 кв. ед. на клѣтчатой бумагѣ.
Графики, дающія возможность судить объ измѣненіи
явленія. Доступны для пониманія учениковъ младшихъ клас-
совъ. Исполнены подъ руководствомъ М. А. Знаменскаго.
1) Обозначеніе разстоянія и времени при равномѣрномъ
движеніи: пѣшеходъ движется со скоростью 4 верстъ въ часъ.
Узнать пройденное имъ разстояніе въ 2, 5 ч.; черезъ сколько
времени онъ будетъ на разстояніи 14 в.? Разстояніе и проме-
жутки времени откладываются на осяхъ координатъ.

4) Измѣненіе температуры за сутки. Промежутки времени
(каждый часъ) откладываются на оси X, значенія температуры—
на оси Y.
3) Вытяженіе пружины при измѣненіи подвѣшеннаго къ
ней груза (законъ Гука): значенія груза и длины пружины
нанесены на осяхъ координатъ.
4) Количество осадковъ въ Москвѣ по мѣсяцамъ изобра-
жены въ видѣ раскрашенныхъ столбиковъ, длина которыхъ
пропорціональна количеству осадковъ.
Изображеніе относительнаго значенія величинъ съ по-
мощью раскрашенныхъ секторовъ круга:
1) Расходъ въ Россіи на народное образованіе: общая
сумма обозначена кругомъ, части ея—секторами.
2) Грамотность въ Россіи. Общее число жителей—кругъ;
числа грамотныхъ и неграмотныхъ—секторы.
Какъ примѣръ ознакомленія дѣтей съ дробями приведены
работы, исполненныя въ 8-классномъ Коммерческомъ Училищѣ
въ Лѣсномъ.
На первой изъ двухъ таблицъ показаны нѣкоторые
пріемы иллюстраціи начальнаго курса дробей при по-
мощи прямоугольныхъ полосъ и прямоугольныхъ
параллелопипедовъ (плитокъ или брусковъ).
Двѣ полосы одной и той же (но произвольной) длины
дѣлятся путемъ сгибанія или при помощи раздѣленной линейки
соотвѣтственно: одна на 2, 4, 8 и т. д. части, другая—на 3,
6, 12, 24 части. Діаграмма, составленная изъ этихъ полосъ,
позволяетъ обозрѣть сравнительную величину этихъ долей.
На той же діаграммѣ показаны сложеніе и вычитаніе
дробей, и весьма важный при изученіи дѣленія дро-
бей моментъ (содержаніе одной какой-нибудь доли въ еди-
ницѣ, напр., 1 : 1/9) изображенъ при помощи прямоугольныхъ пли-
токъ, изготовленныхъ изъ дюймов, бумаги (или изъ развертокъ,
наносимыхъ на бумагу самимъ ученикомъ).
Въ тетрадяхъ учащихся, прикрѣпленныхъ къ таблицѣ, со-
держатся тѣ же работы въ томъ видѣ, въ какомъ онѣ выпол-
няются дѣтьми на урокахъ.

Вторая таблица даетъ представленіе объ одномъ изъ
уроковъ ариѳметики на открытомъ воздухѣ.
На фотографіяхъ *) показано: a) измѣреніе длины зданія,
b) обхвата дерева и с) высоты зданія.
Изъ разнообразныхъ мѣръ вѣса и протяженія представлены
тѣ, главнымъ образомъ, которыя не получили еще широ-
каго распространенія, и тѣ, которыя могутъ быть изготовлены
самими учениками; какъ-то: мѣры длины, изготовленныя изъ
миллиметровой и дюймовой бумаги; мѣры площадей (кв. метръ,
аршинъ, футъ, дециметръ, вершокъ и дюймъ), главнымъ об-
разомъ, изъ готовой графической бумаги; мѣры объемовъ (куб.
метръ, аршинъ, футъ, дециметръ, вершокъ, дюймъ и санти-
метръ), частью изготовленные изъ палочекъ, соединенныхъ при
помощи кубиковъ съ тремя отверстіями, частью изъ картона.
На выставкѣ были представлены нѣкоторыя измѣритель-
ныя работы. Цѣль этихъ работъ—дать понятіе о приближен-
ныхъ числахъ. Только въ томъ случаѣ, если ученики сами
производятъ измѣренія, они могутъ пріобрѣсти понятіе о при-
ближенныхъ значеніяхъ величинъ и о зависимости точности
измѣренія отъ приборовъ. Производя измѣренія и вычисленія,
относящіяся къ одному и тому же предмету, и сравнивая между
собою результаты, учащіеся научаются понимать смыслъ по-
грѣшности. Наконецъ, эти работы пріучаютъ къ пользованію
математикой, какъ орудіемъ при изученіи явленій съ коли-
чественной стороны, и даютъ хорошія, вполнѣ конкретныя за-
дачи для упражненія въ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ. Вычис-
ленія съ приближенными числами можно сдѣлать доступными
для учениковъ 3—4 классовъ среднихъ учебныхъ заведеній.
Работы были подобраны такія, которыя не требуютъ особой
спеціальной подготовки. Взяты онѣ могутъ быть изъ руко-
водствъ къ практическимъ занятіямъ по физикѣ. Вотъ образцы
такихъ работъ:
Опредѣлить среднюю толщину мѣдной пластинки, зная
плотность мѣди и измѣряя массу пластинки.
*) На фотографіи, къ сожалѣнію, эти графики не видны. за исключе-
ніемъ одной.

Найти плотность алюминія, измѣряя массу алюминіеваго
цилиндра, его высоту и діаметръ основанія.
Опредѣлить плотность мѣди, измѣряя массу и размѣры
прямоугольнаго параллелопипеда.
Вычислить отношеніе длины окружности металличе-
скаго круга къ длинѣ его діаметра, сравнивая массы круга и
квадрата, сторона котораго равна радіусу круга.
Были выставлены угломѣръ Манга для измѣренія
угловъ возвышенія и универсаль-угломѣръ Омана, могущій
служить и для снятія плана, и для нивелировки. Оба прибора
въ рукахъ учениковъ могутъ служить для рѣшенія задачъ на
мѣстности и для полученія изъ этихъ задачъ числового мате-
ріала для обработки.
Слѣдующіе два прибора служатъ для упражненія въ
«оцѣнкѣ на глазъ».
Деревянный метръ съ движущимся по нему указателемъ.
Преподаватель держитъ метръ обращеннымъ глухой сто-
роной къ ученикамъ и дѣленіями къ себѣ. Учащіеся опредѣ-
ляютъ на глазъ часть метра или длину, отмѣченную указа-
телемъ.
Ручной самодѣльный угломѣръ, состоящій изъ картон-
наго квадрата, на которомъ наклеена половина бумажнаго
транспортира (цѣна δ коп.); по шкалѣ движется картонный
указатель. Каждый изъ учениковъ, имѣя такой угломѣръ,
опредѣляетъ сперва на глазъ уголъ зрѣнія, затѣмъ произво-
дитъ провѣрку съ помощью угломѣра.
Въ качествѣ приборовъ для вычисленій, доступныхъ школѣ
по цѣнѣ и по способу примѣненія, выставлены логариѳмиче-
скія линейки, стоимостью номин. отъ 0,75 м. и до 12 м. Здѣсь
же помѣщена большая классная линейка, длиною 2 м. *).
Деревянная классная логариѳмическая линейка большихъ
размѣровъ.
Логариѳмическая линейка съ целлулоидной шкалой, съ
цилиндрическимъ стекломъ, длина 27 см. (Wichinann, Berlin,
*) Линейки эта были доставлены на выставку Политехническими кур-
сами т-ва профессоровъ и преподавателей.

Karlstr., 13; JVJ ПО каталогу 474; ц. S мк. Дупа къ ней от-
дѣльно стоитъ 3,50 м.). Линейка служитъ для умноженія,
дѣленія, возвышенія въ квадратную и кубическую степени,
извлеченія квадр. и куб. корней и для вычисленій съ сину-
сами и тангенсами.
Карманная логариѳмическая линейка, 15 см. длины. На
обратной сторонѣ подвижной линейки шкала съ синусами
и тангенсами (Wichmann. № 458. Ц. М. 4,50).
Логариѳмическая линейка изъ картона. Даетъ возмож-
ность умножать, дѣлить, возвышать во вторую и третью
степени и извлекать кв. и куб. корни (Wichmann, № 431;
ц. 1 м., руководство къ ней—0,25 м.). Рекомендуемъ для уча-
щихся. Длина 27 см.
Линейки № 41 и 43 позволяютъ получать результаты съ
тремя значущими цифрами; карманная же линейка, какъ бо-
лѣе короткая, даетъ менѣе точные результаты.
Карманная логариѳмическая линейка изъ картона, длиной
13 см. (Wichmann, № 466, ц. 0,75 м.).
Пособіями для уясненія геометрическаго значенія число-
выхъ тождествъ служатъ кубы и квадраты, построенные на
суммѣ отрѣзковъ (табл. VI).
Въ качествѣ нагляднаго пособія при преподаваніи мате-
матики, преимущественно для выясненія идеи функціональной
зависимости, служатъ графики.
Пособія по геометріи (T. IV, V π VI).
Общій обзоръ.
Въ собраніе геометрическихъ моделей и другихъ
пособій вошли: A) Коллекціи работы русскихъ
и заграничныхъ мастеровъ, сохранившія свое значеніе по на-
стоящее время и имѣющія потому не одинъ только истори-
ческій интересъ. Б) Различныя пособія, пріобрѣтенныя Педа-
гогическимъ Музеемъ за послѣдніе годы. В) Нѣкоторыя
модели и таблицы, изготовленныя во вторую половину 1911 года
для выставки при Первомъ Всероссійскомъ съѣздѣ

Таблица. IV.

преподавателей Математики *). При
выборѣ пособій для выставки руководствова-
лись слѣдующими соображеніями.
Одно и то же пособіе часто мо-
жетъ найти рядъ разнообразныхъ
примѣненій въ силу самаго характера и
строенія моделей или благодаря возможности
нѣкоторой опредѣленной группировки частей
коллекціи. Въ другихъ случаяхъ пособіе, по-
видимому, надлежитъ примѣнять пред-
почтительно для освѣщенія лишь какой-
либо опредѣленной идеи2).
Разсмотрѣніе
геометрическихъ
образовъ со сто-
роны ихъ формы
и со стороны ихъ
размѣровъ.
Согласно самому ха-
рактеру геометріи какъ
предмета, изучающаго про-
странственные образы
не только со стороны ихъ
размѣровъ, ихъ измѣре-
нія (направленіе геометріи метрическое), но и
со стороны ихъ формы, взаимнаго распо-
ложенія ихъ частей, ихъ способа воз-
никновенія, способа образованія и т.
п. Къ каждой модели можно подойти съ
этихъ двухъ точекъ зрѣнія.
Расширеніе во-
проса. Сѣченія
геометрическихъ
образовъ.
Далѣе, при разсмотрѣніи
пособія съ второй изъ двухъ
упомянутыхъ нами точекъ зрѣ-
нія можетъ явиться необхо-
димость въ дальнѣйшемъ углубле-
ніи и расширеніи изученія формы:
'j Въ изготовленіи послѣднихъ принимали участіе
слушательницы Женскаго Педагогическаго Института въ
СПБ.: Ε. Α. Алексѣева, С. M. Витковская, Кондратьева,
H. M. Савичъ, 3. Я. Чумакова
2) Рядъ болѣе детальныхъ соображеній по поводу
пользованія наглядными пособіями по геометріи выска-
занъ въ докладѣ Д. Э. Теннера. См. «Труды Съѣзда
Преп. Матем.», т. I. Стр. 223.

можетъ встрѣтиться надобность въ распространеніи
этого изученія не только на ознакомленіе съ тѣми
признаками, по которымъ данный образъ (на-
примѣръ, какое-нибудь геометрическое тѣло) отли-
чается отъ другого тѣла, не только характеромъ
его элементовъ, но и характеромъ его сѣче-
ній, въ простѣйшемъ случаѣ сѣченій плоскихъ,
въ болѣе сложныхъ—пересѣченій его другими по-
верхностями.
Пересѣченіе даннаго тѣла даже плоско-
стями, въ свою очередь, можетъ быть очень
простымъ, но можетъ быть и весьма слож-
нымъ и требующимъ значительно развитой спо-
собности воображенія, въ зависимости отъ цѣлей
разсѣченія, отъ мѣста разсматриваемаго вопроса въ
курсѣ отъ характера самого курса и т. д.
Такія пособія, какъ, напримѣръ, коллекція Га-
шетта*), коллекція Ожаровскаго или аналогичныя
коллекціи (быть-можетъ, въ нѣсколько увеличенномъ
размѣрѣ и съ незначительными измѣненіями въ смыслѣ
дополненій и окраски), могли бы удовлетворить тѣмъ
требованіямъ, какія возникаютъ при обстоятельномъ
даже изученіи курса геометріи по учебнику Ле-
жандра (или примыкающимъ къ нему другимъ
курсамъ) и рѣшеніи соотвѣтственныхъ задачъ на
построеніе, могли и могутъ въ настоящее время
иллюстрировать и другіе курсы, нѣсколько иначе
построенные, помочь пониманію чертежей, изобра-
жающихъ на плоскости образы трехъ измѣреній.
Сказанное сохраняетъ свою силу по отношенію къ
названнымъ пособіямъ и въ томъ случаѣ, если пособія
эти даже не будутъ прямо «показываться» уча-
щимся, но станутъ предметомъ совмѣстной разработки
учителемъ и учащимися и т. д. Равнымъ образомъ
]) См. изображенія этого и другихъ нижепоименованныхъ
пособій на соотвѣтствующихъ таблицахъ.

многое сохранитъ свою цѣнность въ
смыслѣ ознакомленія съ признаками и
особенностями пространственныхъ обра-
зовъ, если будутъ допущены тѣ или
иныя отступленія отъ курса Лежан-
дра въ направленіи переплетенія пла-
ниметріи съ стереометріей и
т. д.
Вниманіе наше далѣе обращаютъ
коллекціи развертокъ 2), разсмотрѣніе
которыхъ (ихъ отысканіе по даннымъ
тѣламъ?) можетъ въ зависимости отъ
взгляда преподавателя занять то или
иное мѣсто въ курсѣ. Иногда большое
количество сѣченій (какъ это иногда
бываетъ въ пособіяхъ, примѣняемыхъ
при изученіи равновеликости, см.
ниже) въ модели можетъ заслонить
предъ учащими тѣ стороны объекта,
которыя желательно отмѣтить на болѣе
раннихъ ступеняхъ курса, и потому
пособіе, весьма полезное для одной
части курса, не всегда будетъ пригод-
нымъ на всемъ протяженіи курса.
Измѣреніе геоме-
трическихъ вели-
чинъ.
Къ числу пособій,
въ которыхъ сторона
измѣрительная от-
четливо выдвинута, надо отнести такъ
называемый симплексъ - аппа-
1) Разумѣется, мы не имѣемъ здѣсь воз-
можности коснуться общаго вопроса о размѣрахъ
примѣнимости и наглядности въ нашемъ
предметѣ и отсылаемъ обозрѣвателя опять къ
упомянутому выше докладу Д. Э. Теннера и
къ другимъ аналогичнымъ работамъ.
2) Особенности отдѣльныхъ пособій и слу-
чаи ихъ примѣнимости указаны ниже въ соот-
вѣтственныхъ мѣстахъ общаго обзора.

ратъ, одну изъ таблицъ съ пособіями Кэппа, въ значительной
мѣрѣ пособія для вычисленія объема шара на основаніи
принципа Кавальери и т. п.
Съ другой стороны, пособіе Блюммеля или его
видоизмѣненія 1) можно примѣнить также для по-
ясненія нахожденія размѣровъ площадей фигуръ или
объемовъ, воспроизводимыхъ съ его помощью геометриче-
скихъ тѣлъ, создавая соотвѣтственныя модели; но, главнымъ
образомъ, интересны подобные приборы въ тѣхъ случаяхъ, когда
надо изучать формы и взаимное расположеніе ихъ частей.
Только-что сказанное относится также къ примѣненіямъ сте-
реоскопа къ стереограммамъ, хотя въ числѣ послѣднихъ
мы найдемъ интересную стереограмму, поясняющую нахо-
жденіе объема прямоугольнаго параллелопипеда.
Сѣченія.
Чаще всего въ геометрическихъ пособіяхъ
сѣченія производятся въ цѣляхъ раздѣленія фигуры или тѣла
на части, необходимыя для установленія того или другого тео-
ретическаго положенія. Но иногда сами сѣченія становятся
предметомъ изученія со стороны формы или размѣ-
ровъ.Таковы, напримѣръ, сѣченія конусовъ и цилин-
дровъ или сѣченія въ прозрачныхъ моделяхъ Латвезена
и въ извѣстной степени шаръ Шварца, поучительныя сѣче-
нія въ моделяхъ Дюпена. Въ послѣднихъ одновременно
получаются сѣченія многогранниковъ и вписанныхъ
въ послѣдніе круглыхъ тѣлъ.
Въ отдѣльныхъ пособіяхъ сѣченія, сверхъ того, служатъ
объектомъ для соотвѣтственныхъ измѣреній площади (Дю-
пенъ, см. выше, Мрочекъ и Филипповичъ). Въ по-
слѣднемъ пособіи на сѣченіи даже нанесена соотвѣт-
ственно разграфленная клѣтчатая бумага; наконецъ,
рядъ пособій одинаково пригоденъ для обѣихъ цѣлей, т.-е.
для изученія формы въ широкомъ смыслѣ слова и чис-
ловыхъ разсчетовъ. Сюда относятся, напримѣръ, развертки
и т. д.
1) См., напримѣръ, видоизмѣненіе, предлож. Д. Э. Теннеромъ.

Развертки съ
точки зрѣнія пло-
щадей.
Матеріаломъ для опредѣленія вели-
чинъ площадей различныхъ фигуръ могутъ
быть также разнаго рода развертки.
Пособіе, какъ
иллюстрація мето-
дологическихъ прі-
емовъ и какъ сред-
ство примѣненія
даннаго пріема,
Движеніе.
Пособія могутъ также служить для препо-
давателя указаніемъ на существованіе извѣст-
наго методологическаго пріема и сред-
ствомъ къ проведенію метода.
Такъ,напримѣръ, примѣненіе движенія1)
въ болѣе широкомъ масштабѣ, чѣмъ это дѣлалось (безъ осо-
баго подчеркиванія) въ курсѣ Эвклида и Лежандра и
т. д., и подвижныхъ моделей вызвало такія пособія, какъ мо-
дели Винеке, коллекцію Франка и сходныя съ послѣд-
ней въ нѣкоторыхъ частяхъ заграничныя пособія и ориги-
нальное пособіе, предложенное Д. Э. Теннеромъ, позволяю-
щее наблюдать въ плоскости сдвигъ площади треугольника
(это же пособіе полезно при изученіи равновеликости паралле-
лограмма, высота котораго остается неизмѣнной). Раньше
движеніемъ пользовались по преимуществу при изученіи тѣлъ
вращенія: см., напримѣръ, пособіе П. А. Литвинскаго.
Движеніемъ пользуются также при преобразова-
ніяхъ фигуръ, какъ это можно видѣть изъ поясни-
тельнаго чертежа къ составленной по Трейтлейну та-
блицѣ.
Методологическимъ же пособіемъ могутъ слу-
жить всякаго рода схематическія таблицы для обзора положе-
ній, заключающихся въ какомъ-либо изученномъ отдѣлѣ пред-
мета, а также такія иллюстраціи пріемовъ мышленія, какъ
таблицы, составленныя Д. Э. Теннеромъ.
Другимъ примѣромъ пользованія пособіемъ, какъ
матеріаломъ для иллюстраціи основныхъ теоретиче-
1) Вопросы о желательности пользованія допустимости
конкретными движеніями при преподаваніи геометріи, или, напро-
тивъ, о послѣдовательномъ исключеніи движенія u замѣны его некото-
рыми равносильными постулатами мы здѣсь не касаемся. См.
докладъ А. Р. Кулишера: «О нѣкоторыхъ руководствахъ по гео-
метріи». «Труды Перваго Съѣзда Препод. Математ.», т. II, стр. 37.

скихъ положеній, могущимъ служить также указаніемъ
цѣлесообразнаго плана самостоятельныхъ ученическихъ
работъ, будутъ пособія, примѣнимыя при изученіи равно-
великости фигуръ и тѣлъ.
Равновеликость.
Вопросъ о равновеликости заслужи-
ваетъ въ курсѣ народной и средней школы по многимъ сооб-
раженіямъ большаго вниманія, чѣмъ ему обычно раньше
удѣлялось. Разложимость равновеликихъ плоскихъ
фигуръ на совмѣстимыя части, возможность дополнить
равновеликія фигуры такъ, чтобы получить совмѣстныя,
должны бы въ той или иной мѣрѣ найти освѣщеніе въ
школьной работѣ. Съ этой точки зрѣнія найдется много
интереснаго матеріала въ пособіяхъ Кэппа и Трейт-
лейна и кое-что въ пособіи Франка, въ нѣкоторыхъ моделяхъ,
поясняющихъ теорему Пиѳагора, и т. п. Равновели-
кость геометрическихъ образовъ трехъ измѣреній можно ил-
люстрировать при помощи разнообразныхъ пособій въ
указанныхъ выше коллекціяхъ, при помощи коллекцій, пособій
допускающихъ въ пространствѣ по аналогіи многія изъ
построеній, указанныхъ выше на плоскости, и интереснаго
пособія Кюстера *).
Взаимное распо-
ложеніе частей
фигуры.
Вопросъ о разысканіи учащимися развер-
токъ тѣлъ вообще можетъ привести въ част-
ности къ разысканію развертокъ поверх-
ности куба, представляющей собой рядъ равновеликихъ
фигуръ, состоящихъ изъ 6 квадратовъ. Однѣ изъ этихъ
фигуръ могутъ непосредственно обрисовать кубъ, изъ
другихъ получить кубъ прямо путемъ одного сгиба-
нія нельзя. При помощи простого пособія (пред-
ложено А. Р. Кулишеромъ) возможно обратить вниманіе уча-
щихся на важность взаимнаго расположенія частей геоме-
Въ свое время тотъ же ученикъ не безъ интереса хотя бы услы-
шитъ отъ преподавателя, что два равновеликихъ тетра-
эдра, вообще говоря, не могутъ быть разложены на равное число
равновеликихъ частей. См. докладъ В. Ф. Кагана, «Труды Съѣзда Препод.
Математ.», стр. 579.

трическаго образа другъ относительно друга и тѣмъ у мѣ-
ста подчеркнуть одну изъ главныхъ цѣлей изученія
геометріи. Аналогичныя соображенія могутъ возникнуть у
обозрѣвателя при видѣ пособія Кюстера.
Наконецъ, должно бы найти мѣсто въ курсѣ внима-
тельное разсмотрѣніе того своеобразнаго взаимнаго
распредѣленія другъ относительно друга точекъ
въ пространствѣ, которое носитъ названіе симметріи отно-
сительно точки (на плоскости и въ пространствѣ), относительно
прямой (на плоскости и въ пространствѣ) и относительно пло-
скости. Къ этимъ случаямъ симметріи составители пособій
(Д. Э. Теннеръ и А. Р. Кулишеръ) пробовали подойти съ
болѣе общей точки зрѣнія, воспользовавшись нѣкоторыми
образами, извѣстными въ проективной геометріи, а именно:
связкой прямыхъ и пучкомъ прямыхъ и плоско-
стей, и приложить затѣмъ эти образы къ геометрическимъ
фигурамъ и тѣламъ, извѣстнымъ уже раньше учащимся.
ГРАФИКИ (Т. V, VI и VII).
Графики, составленныя подъ руководствомъ Д. Э. Тен-
нера и М. Л. Франка, должны служить нагляднымъ пособіемъ
преподаванія математики, преимущественно для выясненія идеи
функціональной зависимости на сравнительно простыхъ при-
мѣрахъ. Вычерчиваніе такихъ графикъ во время классныхъ
занятій на доскѣ является трудно осуществимымъ, потому что
для ихъ нанесенія требуется опредѣленіе цѣлаго ряда точекъ,
что отнимаетъ значительное количество времени. Кромѣ того,
лишь исключительно хорошо рисующій преподаватель можетъ
нанести мѣломъ на доскѣ кривую такъ плавно, чтобы ея об-
разъ дѣйствительно соотвѣтствовалъ наглядному изображенію
той или иной функціи. Наконецъ, во многихъ случаяхъ весьма
полезнымъ является совмѣстное разсмотрѣніе цѣлой системы
кривыхъ, представляющихъ собою одну и ту же функцію съ
какимъ-нибудь перемѣннымъ параметромъ. Вычерчиваніе та-

нихъ системъ во время классныхъ занятій является совершенно
невозможнымъ.
Графики, составленныя комиссіей, дѣлятся на слѣдующія
группы:
Функціи алгебраическія:
a) линейная функція.
1) Уравненіе у=ах-\-Ъ
2) Система уравненіи у=ахх-\-Ъл
у=а2х-\-Ь2
служатъ какъ изображенія линейныхъ функцій, а также
нагляднаго поясненія рѣшенія одного уравненія съ однимъ
неизвѣстнымъ и системы двухъ уравненіи съ двумя неизвѣст-
ными.
3) Система прямыхъ у=ах+Ь
при различныхъ значеніяхъ />,
4) система прямыхъ у—ах
при различныхъ значеніяхъ коэффиціента а
служатъ для выясненія значенія коэффиціента при неза-
висимой перемѣнной (неизвѣстномъ) и извѣстнаго члена.
5) Графическая таблица перевода вѣса изъ кило-
граммовъ въ фунты.
6) Графическая таблица перевода температуры по
градусникамъ Цельсія, Реомюра и Фаренгейта
служатъ какъ примѣры линейныхъ функцій.
7) Система уравненіи
axx+bxy+c\z+dx=o
asx+b.yĄ'C%z+db=o
служитъ: 1) для выясненія характера движенія точки пересѣ-
ченія двухъ прямыхъ при пропорціональномъ приращеніи свобод-
ныхъ членовъ и 2) для поясненія исключенія неизвѣстныхъ
изъ системъ уравненіи со многими неизвѣстными.
b) Функціи второй степени.
8) Уравненіе вида tj—x+rpx+q
9) Кривая y=x2+px и прямая y=—q

10) Кривая у—х2+ q и прямая у~—рх
11) Кривая у=х2 и прямая y=—px+—q
служатъ какъ примѣры графическая изображенія функціи
2-й степени, а также для графическая рѣшенія квадратнаго
уравненія.
12) Кривая у—χ2 и х=у2 (у=+]/лГ)
13) Кривая y=x2+px+q и x=y2+py+q,
какъ примѣръ прямыхъ и обратныхъ функцій.
14) Система параболъ у—ах2
для различныхъ коэффиціентовъ а.
15) Система параболъ у—х2+Ъх
для различныхъ коэффиціентовъ b.
15a) Система параболъ y—x2-\-c
для различныхъ коэффиціентовъ с
служатъ для выясненія значенія коэффиціентовъ функціи
2-й степени, а также для поясненія перенесенія начала ко-
ординатъ.
c) Неявныя функціи 2-й степени.
16) Конфокальные эллипсы и гиперболы.
17) Конфокальный параболы.
18) Построеніе эллипса по точкамъ.
19) Построеніе параболы по точкамъ.
20) Построеніе гиперболъ по точкамъ.
d) Функція 3-ей степени.
21) Кривая у=х3хрх2+рх+г'
какъ примѣръ функцій 3-й степени π примѣръ
графическаго рѣшенія уравненія 3-й степени.
22) Система кривыхъ y—xs+ax
для различныхъ значеній коэффиціента а,
какъ изображеніе всѣхъ возможныхъ формъ
кривыхъ, соотвѣтствующихъ явной функціи
3-й степени.
e) Функція томографическая.
а
23) Кривая у=

можетъ служить для изображенія закона
Бойль-Маріотта.
m
24) Система кривыхъ ?/=~
для различныхъ значеній m
можетъ служить какъ изображеніе системы изо-
термъ для постоянныхъ газовъ.
f) Функція степенная.
25) Система кривыхъ у—хт
для различныхъ значеній m и притомъ какъ
цѣлыхъ, такъ и дробныхъ, но положительныхъ.
26) Система кривыхъ у~х~т
для различныхъ значеній m какъ цѣлыхъ, такъ
и дробныхъ.
Графики служатъ для поясненія быстроты возрастанія и
убыванія функціи у-хп\ а также какъ наглядное изобра-
женіе того, что у—хп и у = χ суть функціи, обратныя одна
другой.
Трансцедентныя функціи.
27) Вспомогательная таблица для графическаго по-
строенія величины тх при χ цѣломъ и дробномъ.
а) Функціи логариѳмическія и показательный:
28) Кривыя у—2х и ij=lg2x,какъ примѣры логариѳ-
мической и обратной ей показательной функціи.
29) Система кривыхъ у=тх
30) Система кривыхъ y—lgmx
для различныхъ значеній m какъ цѣлыхъ, такъ
и дробныхъ
служитъ для общаго изученія логариѳмической и показательной
функціи и поясненія смысла перехода отъ одной системы ло-
гариѳмовъ къ другой.
в) Тригонометрическая функціи.

31) Кривыя y—sinx\ y—cosx\ y—tgx и ctg χ;
32) Кривыя y=sinx; y^arcsinx
служатъ для изученія свойствъ тригонометрическихъ функ-
цій и введенія понятія о функціи обратно-круговой.
Образованіе и построеніе циклическихъ кри-
выхъ.
33) Циклоида.
34) Эпициклоида.
35) Гипоциклоида.
36) Развертка круга.
Образованіе кривыхъ какъ эволютъ системы
прямыхъ или кривыхъ.
37) Прямая, какъ эволюта системъ окружностей, про-
ходящихъ черезъ одну точку, центры которыхъ
расположены на параболѣ.
38) Окружность, какъ эволюта прямыхъ—равныхъ
хордъ въ другой окружности.
39) Окружности, какъ эволюты равныхъ окружно-
стей, центры которыхъ расположены на окруж-
ности.
40) Парабола, какъ эволюта системы прямыхъ.
41) Кардіоида, какъ эволюта системы прямыхъ.
42) Парабола, какъ эволюта перпендикуляровъ къ
лучамъ, исходящимъ изъ фокуса, въ точкахъ ихъ
пересѣченія съ касательной въ вершинѣ прямой.
43) Эллипсъ, какъ эволюта перпендикуляровъ къ лу-
чамъ, исходящимъ изъ фокуса въ точкахъ ихъ
пересѣченія съ окружностью касательной къ эл-
липсу въ его вершинахъ.
44) Гипербола, какъ эволюта перпендикуляровъ къ
лучамъ, исходящимъ изъ фокуса, въ точкахъ
ихъ пересѣченія съ окружностью, касательной
къ гиперболѣ въ ея вершинахъ.

Пособія учрежденій, лицъ и фирмъ, приглашенныхъ
комиссіей.
Кавказскій учебный округъ (Т. VIII и IX) пред-
ставилъ слѣд. работы учениковъ реальнаго училища г. Баку:
1) графики, изобр., напр., измѣненія sin» и COSa;
2) развертки и модели геом. тѣлъ, склеенныхъ изъ раз-
вертокъ;
3) модели нѣкот. геом. тѣлъ; I) изъ картона; II) деревян-
ныхъ палочекъ и пробокъ; III) стекла;
4) приборы по физикѣ. кот., какъ не относящіеся къ вы-
ставкѣ, не описываются.
Высшіе Женскіе Курсы и Женскій Педагогиче-
скій Институтъ (T. IX) доставили на выставку слѣд.
модели:
1) гипсовыя модели поверхностей і'-го порядка;
2) нитяныя подвижныя модели: однополаго гиперболоида,
гиперболическаго параболоида;
3) модель конфокальныхъ поверхностей 2-го порядка;
4) модель поверхности съ постоянной отрицательной кри-
визной;
5) модели (гипсовая и картонная) развертывающейся вин-
товой поверхности;
6) модель косой винтовой поверхности;
7) модель кривыхъ двойной кривизны съ ихъ проекціями
на три взаимно перпендик. плоскости (особенныя точки);
8) кинематическія модели изъ картона.
Технологическій институтъ доставилъ кинематическіе при-
боры для образованія циклическихъ кривыхъ и модели для
полученія аффинныхъ преобразованій.
Императорское Училище Глухонѣмыхъ (T. XV
и XVI). 1 ) Нумераціонный ящикъ, состоящій изъ 3 вертикаль-
ныхъ ящичковъ. Въ первомъ ящичкѣ справа находится 9 пало-

чекъ, въ среднемъ—9 связокъ по 10 палочекъ и въ III—сотня
палочекъ. На этомъ пособіи проходится устная и письменная
нумерація въ предѣлѣ 199 и два дѣйствія f сложеніе и вычи-
таніе) въ томъ же предѣлѣ. 2) Самодѣльные вѣсы и кружки
для взвѣшиванія при примѣненіи лабораторнаго метода обученія
счету, который былъ подробно описанъ въ доставленной на
выставку рукописи «Лабораторный методъ обученія счету».
3) Вырѣзанныя фигурки для обученія счету. 4) Мѣры длины
и вѣса.
Работы ученицъ Козловской Женской Гимна-
зіи Сатиной (T. X), исполненныя подъ руководствомъ З. В.
Масленко. Приготовленныя учащимися модели состояли изъ:
1) бумажныхъ плоскихъ фигуръ къ первоначальнымъ тео-
ремамъ планиметріи;
2) картонажей къ нѣкоторымъ теоремамъ стереометріи;
3) діаграммъ;
4) моделей изъ нитокъ по стереометріи;
5) куба изъ глины для нагляднаго поясненія формулы:
(a+b)3.
Работы учениковъ Костромской Обществен-
ной Гимназіи (T. XI) подъ руководствомъ Г. В. Лех-
ницкаго состояли изъ:
1) моделей изъ картона тѣлъ, изучаемыхъ въ стереомет-
ріи, напр., модель пирамиды, икосаэдра;
2) моделей стереометрическихъ и планиметрическихъ фи-
гуръ изъ картона, оклееннаго цвѣтной бумагой;
3) моделей планиметріи и стереометріи изъ цвѣтныхъ пало-
чекъ, соединяемыхъ метал, уголками, напр., модели угловъ;
4) моделей изъ комбинаціи цвѣтныхъ палочекъ и нитей,
поясняющихъ начальныя теоремы стереометріи.
На выставку былъ доставленъ также тригонометрический
приборъ (сдѣл. по иниціативѣ и самостоятельно 2-мя учениками
старшаго класса) для показанія измѣненій тригонометрическихъ
линій угловъ < 180°.
Криворожское Коммерч. Училище (T. XII) до-
ставило работы учениковъ:
1) выпиленныя изъ дерева модели, на кот. наглядно про-

Таблица IX.
Впереди: Пособія по физикѣ и географіи Кавк. Учебн.
Округа.
Модели В. Ж. Курсовъ, Ж. П. Инст. и
Техн. Инст.
Сзади: Счеты Лая.
Счеты Канаева.
Таблица для изученія дробей.
Выставка книгъ Педаг. Музея В. У. 3.

вѣряются нѣк. теоремы и опредѣленія планиметріи, какъ, напр.,—
вписанный уголъ = £ центр, угла, опирающагося на ту же дугу
(см. снимокъ);
2) простѣйшія геометр, тѣла, сдѣланныя изъ картона;
3) рисунки.
Пособіе, изготовленное ученицами Св. Владимірской
Церковно - учительской школы (T. XIII) подъ руко-
водствомъ Д. Э. Теннера, состоитъ изъ пробковой плоскости,
обтянутой матеріей, палочекъ съ иголками на концахъ и шта-
тива подобно тому, какъ это имѣется въ пособіи Блюммеля.
Кромѣ того, въ составъ пособія введены пробковые шарики и
полушарія, служащіе для соединенія палочекъ; для изображе-
нія плоскостей изготовлены изъ тѣхъ же палочекъ рамки,
обтянутыя матеріей, напоминающей собою рѣдкую канву. Бла-
годаря чему плоскости являются и прозрачными, и проницае-
мыми. Ко всему этому присоединяются картоны, круги, па-
раболы и гиперболы.
«Наглядная стереометрія» Ефремовича (Т. XVI).
Пособіе состоитъ изъ тетради съ чертежами, изъ которыхъ путемъ
вырѣзыванія и склеиванія самими учащимися приготовляются
модели, выясняющія содержаніе теоремъ. У каждаго чертежа
указаны параграфъ и соотвѣтствующій общепринятый учебникъ
геометріи (напр., Давыдовъ, Киселевъ). На выставку были
представлены также, кромѣ чертежей, и нѣкоторыя модели.
«Черченіе и счетъ» И. Износкова (Т. XV). Подъ та-
кимъ заглавіемъ на выставку были доставлены магическіе
квадраты или «волшебныя фигуры», которыя могутъ служить
пособіемъ для изученія разложенія чиселъ на слагаемыя.
«Абакъ» Мрочека (Т. У Π) служитъ для двухъ цѣлей. Ниж-
няя часть прибора представляетъ собой счеты Лая въ предѣлахъ
100, а верхняя даетъ возможность показать нумерацію цѣлыхъ
и десятичныхъ чиселъ (см. вращающіеся цилиндры подъ ка-
ждымъ стержнемъ). Кромѣ того, верхняя часть прибора служитъ
для суммирования различныхъ рядовъ и для построенія графикъ
столбиками или шариками (точками) двухъ цвѣтовъ.
«Школьный счетный приборъ» (модель) М. Н. Пе-
соцкаго (Т. XIV). Съ помощью этого пособія проходится уст-

Верхъ: плоскія фигуры. Картонажи къ нѣкотор. те-
оремамъ стереометріи.
Нитяныя модели къ задачамъ по стерео-
метріи.
Низъ: бумажныя плоскія фигуры. Разборный кубъ
двучлена изъ глины (α + į)3.
ная и письменная нумерація надъ числами любой величины,
начиная съ 1.
Модель представляетъ собой черную доску (на подставкѣ),
раздѣленную на четыреугольники. Въ каждую клѣтку въ из-
вѣстномъ порядкѣ (см. снимокъ) вставлено по 9 крючковъ, на
которые вѣшаются цвѣтные диски.
При изученіи нумераціи въ предѣлѣ 10 изъ одноцвѣтныхъ
дисковъ образуютъ числовыя фигуры. Нуль изображается
большимъ кольцомъ. Число взятыхъ дисковъ для образованія
числовыхъ фигуръ изображается большой арабской цифрой на
карточкѣ, которая вѣшается въ ту же клѣтку, гдѣ находится
числовая фигура. При дальнѣйшемъ прохожденіи нумераціи

каждые 10 дисковъ складываются въ открывающ. коробочку--
цилиндръ другого цвѣта, которая представляетъ собой новую
счетную единицу, а 10 дисковъ такого же цвѣта складываются
въ другую коробочку новаго цвѣта, которая опять даетъ пред-
ставленіе о новой счетной единицѣ, и т. д.
Универсальный геометрический приборъ Е.Н.
Полушкина (Т. XV и XVI). (СПБ. Вас. Остр., Средній просп.,
д. 48, кв. 41).
Универс. приборъ приспособленъ для прохожденія курса
геометріи, тригонометріи, начал. аналитич. геометріи и начерт.
геометріи.
Онъ основанъ на примѣненіи кинематическаго метода пре-
подаванія геометріи и служитъ для демонстрирования процесса
измѣненія формы въ связи съ измѣненіемъ геом. величинъ.
Напр., показанный на снимкѣ параллелограммъ можетъ быть
преобразованъ во всѣ виды четыреугольниковъ, а 6-тиуг. пира-
мида (см. др. снимокъ) преобразовывается передвиженіемъ
уравновѣшеннаго стержня, къ кот. прикрѣплена ея вершина,
въ правильныя, наклонныя, равновеликія формы.
Фигуры плоскія и пространственныя изображаются гиб-
кими натянутыми нитями или жесткими стерженьками.
«Пособіе по стереометріи» Розенбергера (г. Кара-
чевъ). Пособіе служитъ для построенія фигуръ самими уча-
щимися въ классѣ при прохожденіи и рѣшеніи задачъ по стерео-
метріи. Оно представляетъ собой цинковую кюветку (пособіе
можетъ быть сдѣлано самими учащимися) съ застывшей массой
изъ вазелина и желтаго воска и стержней съ вилообразными
концами. Чтобы построить, напр., 3-угольную призму, помѣ-
щаютъ на восковую поверхность 1 желѣзный треугольникъ изъ
проволоки и втыкаютъ около каждой вершины, параллельно
другъ другу по стержню, на вилообразные концы кот. надѣ-
ваютъ другой треугольникъ.
При изученіи взаимнаго положенія плоскостей пользуются,
какъ 2-ой плоскостью (I плоск.—поверхность массы), стеклян-
ной пластинкой.

Верхъ: Примѣры геометрическихъ плоскихъ фигуръ изъ пало-
чекъ, скрѣпленныхъ металлич. уголками.
Средина. Стереом. тѣла изъ бѣлаго картона.
Стереом. модели изъ дерева и разноцвѣтныхъ нитокъ
Тритоном, приборъ.
Низъ. Стереом.тѣла изъ бѣлаго картона съ цвѣтными сѣченіями.
Планим. модели для доказат. теоремы Пиѳагора.

Пособія Франка (T. XII): a) для иллюстраціи жест-
кихъ и изменяющихся геометрическихъ тѣлъ, сдѣланныхъ изъ
дерев, палочекъ и скрѣпленныхъ каучуковыми трубочками;
б) для иллюстраціи неизменяемости сѣченій пирамидъ при
пропорціональномъ измѣненіи реберъ и ихъ отрѣзковъ. Сѣченія
и основныя пирамиды сдѣланы изъ палочекъ, a боковыя ребра
изъ резиновыхъ полосъ.
«Культура».
1) Наборы плоскихъ фигуръ изъ цинка и изъ дерева для
нагляднаго ознакомленія съ теоремами планиметріи.
2) Коллекціи по стереометріи Дюпьи (проволочныя), Кэппа,
(изъ жести π проволоки 25 моделей), Гензинга (вычисленіе
объема шара по Архимеду).
3) Модели пересѣченія тѣлъ плоскостями и между собою.
4) Стеклянныя модели по сферической тригонометріи и
транспортиры Крешмера для опредѣленія тригонометрическихъ
величинъ.
5) Модели кристалловъ изъ груш, дерева.
6) Мангъ. Квадратъ для измѣренія угловъ возвышенія.
Редакція «Художественно - педагогическаго
журнала» выставила наборы для игръ и занятій Меккано и
Мотадоръ, пластицынъ, пригодный для лѣпки геометрическихъ
тѣлъ и цвѣтные мѣлки для класснаго черченія.
«Песталоцци». СПБ. Казанская, 14.
1) Пособія по ариѳметикѣ:
Арием, ящикъ «Arithmos» съ кубиками для построекъ;
Мюллеръ—таблицы первой, счета; Песталоцци—4 табл. дробей;
счеты — Бромбергера, Фритче съ двуцвѣтн. призмами, Лая;
принадлежности для(лабораторнаго метода въ математикѣ спицы,
вѣсы и т. д.); коллекція метрич. мѣръ и таблицы мѣръ метрич.
системы Боппа и Дингеса.
2) Пособія по геометріи: подвижныя фиг. Винеке, Гюн-
целя.
Разборныя тѣла и развертки Мрочека и Филипповича, «Пе-
сталоцци», Кольштока; разборный шаръ Шварца; модели изъ
грушеваго дерева, коллекція геом. тѣлъ изъ мѣди.

3) Аппаратъ съ подвижными синусомъ и секансомъ.
4) Универсальный циркуль для классной доски.
Природа и Школа (T. VII). Адр.: Москва, Б. Прѣсня,
Волковъ пер., д. № 17.
1) 5 моделей по начертательной геометріи инж. Калліониди.
Каждая модель представляетъ собой 2 вз. J_ доски съ на-
клеенными на нихъ чертежами и натянутыми разноцвѣтными
нитями, показывающими линіи, плоскости, точки ихъ пере-
сѣченія въ пространствѣ и ихъ проекцій на 2 плоскости;
2) наборъ плоскихъ деревянныхъ фигуръ для нагляднаго:
а) опредѣленія величины площадей прямоугольника, паралле-
лограмма, треугольникъ и трапеціи; b) доказательствъ теоремы
Пиѳагора;
3) наборъ изъ 3 круглыхъ тѣлъ, одинаковаго діаметра и
высоты;
4) наборъ разборныхъ тѣлъ для опредѣленія объемовъ
призмы, пирамиды и параллелопипеда;
5) круговая діаграмма съ нѣсколькими подвижными разно-
цвѣтными кругами, служащая пособіемъ при первонач. зна-
комствѣ съ дробями и углами;
6) циферблатъ съ подвижными метал, стрѣлками;
7) образцы мѣръ линейныхъ, квадр. и куб.;
8) абакъ въ видѣ доски съ вынимающимися разноцвѣт-
ными шариками.
Мастерская Шварца. СПБ. Серпуховская ул., 6.
1) разборный шаръ Шварца;
2) разборныя деревянныя геом. тѣла;
3) проволочный никкелированныя стереометр, модели съ
приставными обозначеніями;
4) различныя модели для нагляднаго доказательства тео-
ремы Пиѳагора;
5) приборъ для демонстрирования построенія и измѣненія
величинъ и знаковъ тригонометрическихъ функцій;
6) приборъ для нагляднаго изученія нумераціи цѣлыхъ
чиселъ и десят. дробей.
«Стереометрія въ стереоскопѣ» Юсевича. На вы-
ставку были представлены слѣд. экспонаты:

Ill
Таблица XIV.
Модель Школьнаго счетнаго прибора M. H. Песоцкаго.
1) «Стереометрія въ стереоскопѣ», сост., Менковичемъ:
2) дополненія къ «Стереометріи въ стереоскопѣ », сост.
Юсевичъ, заключающія: 1) стереом. задачи; 2) аналит. геомет-
ріи; 3) космографіи; 4) начерт. геометріи и пр.;
3) «Кристаллографія въ стереоскопѣ», сост. Юсевичъ.
Подборъ стереограммъ отвѣчаетъ теоремамъ общеприня-
тыхъ курсовъ геометріи.
Математическая и методическая литература.
Математическую и учебную литературу представили на
выставку слѣдующія учрежденія и лица:
Педагогическій музей в.-уч. зав. Спб,, Vuibert—Paris, Бе-
резовскій—Спб., Mathesis—Одесса, «Новое Время» —Спб., «Обще-

На столѣ: Кружки Имп. Училища Глухонѣмыхъ.
Тѣла изъ развертокъ Ефремовича.
Нумераціон. ящикъ Имп Училища Гухонѣмыхъ.
„Магическіе квадраты" Износкова.
Предъ столомъ: Геом. приборъ Ε. П. Полушкина.
ственная Польза», «Посредникъ»—Москва, Ф. И. Трескина—
Рига, «Художественно-педагогическій журналъ»—Спб., Вол-
ковскій, Η. Α. Извольскій, А. П. Киселевъ, В. В. Лермартовъ,
П. П. Мироносицкій, П. Никульцевъ.

Замѣченныя во II томѣ опечатки.
Страница:
Строка:
Напечатано:
Надо:
306
8
I III II и I III II
I III II и I IUI II
307
1
d
G
307
9
и II III
и 11 НИ
307
14
и II III
и II ІІІІ
310
10
пло-
самихъ пло-
311
20
транспортиры
транспортиръ
312
2
многогранники
многогранника
312
21
и
или
314
5
сургучныя и
сургучные и
мастичныя
мастичные
314
8
построенія
построеніе:
На стр, 339 въ спискѣ лицъ, выступавшихъ въ собраніяхъ секціи, пропущенъ
Д. Э. Теннеръ (т. II, стр. 286).