Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Т. 2: Секции. — 1913

ТРУДЫ
1-го Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей
МАТЕМАТИКИ.
27-го Декабря 1911 г.
3-го Января 1912 г.
ТОМЪ II.
СЕКЦІИ.
С.-ПЕТЕРБУРГЪ.
Тип. «СѢВЕРЪ», Невскій пр., 140—2.
1913.

1-я секція.
Учебная литература по математикѣ.

Предсѣдатель секціи: M. Г. Попруженко.
Товарищъ предсѣдателя: Б. Б. Піотровскій.
Секретари: Б. В. Грибовскій и H. И. Зубковскій.
Организаціоннымъ Комитетомъ Съѣзда были объявлены въ
программѣ Съѣзда слѣдующіе доклады къ заслушанію въ
1-ой секціи:
1) Н. А. Изволъскій (Москва). «Современное состояніе
курса геометріи въ связи съ обзоромъ наиболѣе распространен-
ныхъ учебниковъ».
2) А. Р. Кулишеръ (Спб.). «Обзоръ современной учебной
литературы по геометріи».
3) Б. Б. Піотровскій (Спб.). «Обзоръ современной учеб-
ной литературы по алгебрѣ».
4) В. X. Майдель (Спб.). «Обзоръ современной учебной
литературы по ариѳметикѣ» (общіе курсы).
Трудъ по обзору литературы по ариѳметикѣ былъ раздѣ-
ленъ между В. X. Майделемъ и Л. Н. Тяпкиной, поэтому въ
журналѣ засѣданій секціи вслѣдъ за докладомъ В. X. Май-
деля приводится и докладъ Л. Η. Тяпкиной, хотя она своего
доклада въ засѣданіи и не читала.

5) В. Р. Мрочекъ (Спб.). «Обзоръ современной литературы
на русскомъ языкѣ по методикѣ ариѳметики».
*)6) Я. Б. Іодынскій (Спб.). «Обзоръ современной учебной
литературы по ариѳметикѣ (курсы теоретической ариѳметики,
для старшихъ классовъ) и по тригонометріи».
*)7) В. L Шиффъ (Спб.). «Обзоръ современной учебной
литературы по аналитической геометріи».
*)8) Р. Л- Пономаревъ (Харьковъ). «Объ организаціи педа-
гогическихъ библіотекъ по математикѣ и о педагогической би-
бліотека Харьковскаго математическаго общества».
*)9) Л- M. Синцовъ, проф. (Харьковъ). «О Харьковской
математической библіотекѣ».
10) H. H. Володкевичъ (Кіевъ). «О реальномъ направленіи
преподаванія математики въ связи съ жизненными фактами».
Въ выше приведенномъ перечнѣ докладовъ отмѣчены звѣз-
дочкой тѣ изъ нихъ, которые не состоялись.
Сверхъ докладовъ, объявленныхъ въ программѣ съѣзда,
секціей были заслушаны:
1) Сообщеніе А. В. Годнева (Симбирскъ) о составленномъ
имъ курсѣ геометріи.
2) Заявленіе Л. Α. Сельскаго о составленномъ имъ за-
дачникѣ по ариѳметикѣ—это заявленіе было заслушано въ
связи съ преніями по докладу H. H. Володкевича «О реаль-
номъ направленіи преподаванія математики въ связи съ жиз-
ненными фактами».
3) Докладъ В. А. Соколова (Майкопъ, Кубанской обл.).
«Обоснованіе ариѳметическихъ дѣйствій».
Секція имѣла три засѣданія: 28-го, 30-го декабря и
2-го января.
Доклады, посвященные обзору учебной литературы по
тому или иному изъ отдѣловъ курса математики средней
школы, носили по преимуществу информаціонный характеръ;
докладчики не входили въ детальный разборъ учебниковъ и
ихъ критику, отмѣчая лишь, главнымъ образомъ, тѣ или иныя
направленія въ современной литературѣ и указывая ихъ пред-
ставителей; поэтому эти доклады и не вызывали преній, хотя

по поводу нѣкоторыхъ изъ нихъ членами съѣзда были высказаны
замѣчанія и дополненія. Наиболѣе оживленныя пренія были
вызваны докладами H. A. Извольскаго и Η. Η. Володкевича и
сообщеніемъ А. В. Годнева.
Въ первомъ своемъ засѣданіи секція, по предложенію
предсѣдателя, почтила вставаніемъ память покойнаго А. И.
Гольденберга, какъ выдающагося работника въ русской
учебной математической литературѣ. Предсѣдателемъ секціи
былъ возбужденъ вопросъ о математической хрестоматіи и
было предложено желающимъ членамъ секціи образовать осо-
бое совѣщаніе, посвященное болѣе детальному обсужденію этого
вопроса, но, несмотря на весьма сочувственное отношеніе сек-
ціи къ вопросу о математической хрестоматіи, совѣщаніе это
не состоялось, вѣроятно, за недостаткомъ времени и обреме-
ненностью работой членовъ Съѣзда.
Подводя итогъ работы секціи, можно указать, что эта ра-
бота отразилась на слѣдующихъ резолюціяхъ, принятыхъ въ
общемъ собраніи Съѣзда 3-го января.
«Съѣздъ признаетъ своевременнымъ опустить изъ курса
математики средней школы нѣкоторые вопросы второстепеннаго
значенія, провести черезъ курсъ и ярко освѣтить идею функ-
ціональной зависимости, а также—въ цѣляхъ сближенія пре-
подаванія въ средней школѣ съ требованіями современной
науки и жизни—ознакомить учащихся съ простѣйшими и не-
сомнѣнно доступными имъ идеями аналитической геометріи и
анализа».
« Съѣздъ признаетъ крайне желательнымъ, чтобы авторы
настоящихъ и будущихъ учебниковъ приняли во вниманіе
точки зрѣнія, изложенныя въ предыдущемъ пунктѣ настоя-
щихъ резолюціи. Въ частности признается желательнымъ вы-
работка задачниковъ, соотвѣтствующихъ кругу интересовъ
учащихся на каждой ступени ихъ обученія и включающихъ въ
себя данныя изъ физики, космографіи, механики π пр., а
также составленіе математической хрестоматіи, дополняющей
и углубляющей свѣдѣнія, выносимыя учащимися изъ обяза-
тельной программы».

«Въ цѣляхъ повышенія спеціальнаго и педагогическаго
самообразованія преподавателей желательно, чтобы библіотеки
учебныхъ заведеній были въ полной мѣрѣ снабжены необходи-
мыми учеными, учебными, методическими сочиненіями, спра-
вочными изданіями и журналами».
«Съѣздъ признаетъ желательнымъ, чтобы педагогическимъ
совѣтамъ учебныхъ заведеній было предоставлено больше само-
стоятельности въ дѣлѣ распредѣленія учебнаго матеріала по
классамъ и въ выборѣ учебныхъ руководствъ».

Первое засѣданіе.
28 декабря 8 ч. вечера.
Предсѣдательствовалъ М. Г. Попруженко.
При открытіи Собранія, предсѣдателемъ было заявлено,
что секція не ставила своей цѣлью дать подробный разборъ
и оцѣнку учебниковъ; точно также не имѣлось въ виду вы-
носить резолюціи относительно пригодности каждаго изъ нихъ.
Докладчикамъ было поручено ознакомить интересующихся съ
содержаніемъ различныхъ учебниковъ и отмѣтить ихъ глав-
нѣйшія особенности. Критиковать учебники не предполагалось;
но возможно, что попутно будутъ сдѣланы и указанія на не-
дочеты. Докладчики имѣли въ виду, главнымъ образомъ, но-
вѣйшую учебную литературу; исчерпать же весь перечень
существующихъ учебниковъ не могли изъ за недостатка вре-
мени.
Послѣ этого заявленія, предсѣдателемъ былъ возбужденъ
вопросъ о математической хрестоматіи.
Председатель. «Среди различныхъ группъ педагоговъ уже
давно возбуждался вопросъ о математической хрестоматіи, т.-е.,
о такой книгѣ, которая предназначена для самостоятельной
работы учениковъ, съ цѣлью углубленія и расширенія ихъ
математическихъ знаній, сообщенія историческихъ и философ-
скихъ элементовъ, ознакомленія съ математическими перво-
источниками и пр. Первая мысль о такой хрестоматіи воз-
никла послѣ смерти незабвеннаго А. И. Гольденберга въ связи
съ желаніемъ использовать для этой хрестоматіи статьи «Ма-
тематическаго Листка», издававшагося покойнымъ педагогомъ.

Затѣмъ мысль объ этой хрестоматіи подвергалась различнымъ
эволюціямъ, и теперь она предлагается вашему обсужденію безъ
всякаго предрѣшенія вопроса о томъ, въ какой формѣ реали-
зуется ея осуществленіе».
Собраніе просило внести вопросъ о хрестоматіи въ Орга-
низационный Комитетъ Съѣзда*).
Затѣмъ, въ краткихъ, но теплыхъ выраженіяхъ помянулъ
предсѣдатель педагогическую дѣятельность умершаго Λ. И.
Гольденберга, и Собраніе почтило память умершаго педагога
вставаніемъ.
Прочитано письмо проф. Императорскаго Университета
Св. Владиміра H. M. Бубнова, въ которомъ онъ шлетъ при-
вѣтствіе Съѣзду и предлагаетъ безплатно желающимъ членамъ
Съѣзда 100 экземляровъ подготовляемаго имъ къ печати труда:
«Древній Абакъ—колыбель современной ариѳметики». Про-
фессоръ въ новомъ своемъ трудѣ, представляющемъ переработку
вышедшей въ свѣтъ въ 1911 г. его книги «Подлинное сочи-
неніе Гербарта объ Абакѣ», предполагаетъ опустить нѣкото-
рыя филологическія изысканія, мало интересующія математи-
ковъ по спеціальности, а остановиться, главнымъ образомъ,
на систематическомъ изложеніи Абака и на численныхъ при-
мѣрахъ.
Предложено членамъ Съѣзда, желающимъ получить под-
готовляемый къ печати трудъ проф. Бубнова, записаться на
особомъ листѣ съ указаніемъ своего адреса. За пересылку бу-
детъ наложенъ платежъ.
Послѣ оглашенія этого письма, по просьбѣ участника
собранія В. Я. Гебеля, ему было предоставлено слово объ
умершемъ А. И. Гольденбергѣ.
В. Я. Гебель (Москва). «На приглашеніе г-на предсѣ-
дателя собранія вамъ угодно было почтить память покойнаго
А. И. Гольденберга. Я имѣлъ счастье знать этого замѣча-
тельнаго педагога въ послѣдніе годы его жизни, поэтому счи-
таю своимъ долгомъ подѣлиться съ вами своими воспомина-
ніями. Представьте себѣ сѣдого худощаваго человѣка со слѣ-
*) См. Резолюціи Съѣзда.
Прим. Ред.

дами болѣзненности на утомленномъ лицѣ, но съ быстро за-
горающимися живыми глазами, со страстной нервной рѣчью
на устахъ, когда дѣло шло о дѣлѣ, которому онъ отдалъ свою
жизнь и свой талантъ, когда дѣло шло о математикѣ.
Таковъ былъ А. И. Гольденбергъ въ послѣдніе годы
своей жизни. Артиллеристъ по образованію, онъ доказалъ
своею жизнью и дѣятельностью, что не спеціальное или про-
фессіональное образованіе, а горячая любовь и призваніе къ
наукѣ и преподаванію — создаютъ истиннаго педагога. Велика
была его работа, велика была и его скромность. Въ журналѣ,
о которомъ упомянулъ г. предсѣдатель, въ «Математическомъ
Листкѣ», созданномъ А. И. Гольденбергомъ и представлявшемъ
первый въ Россіи журналъ для преподавателей и любителей
элементарной математики, ^большая часть статей была напи-
сана имъ безъ всякой подписи.
Въ послѣдніе годы, со всѣмъ рвеніемъ своей пылкой на-
туры, онъ отдался интересамъ преподаванія математики въ
начальной народной школѣ, ведя руководящія бесѣды на пе-
дагогическихъ съѣздахъ для народныхъ учителей. Даже въ
послѣднемъ предсмертномъ бреду онъ говорилъ о палочкахъ,
прутикахъ, соломинкахъ (наглядныхъ пособіяхъ по счету). Мы
исполнили только свой долгъ, почтивъ память такого само-
отверженнаго, славнаго педагога»!

I. Обзоръ современной учебной литературы по алгебрѣ.
Докладъ Б. Б. Піотровскаго (Спб.).
"Въ настоящемъ докладѣ не имѣется въ виду дать исчерпы-
вающій обзоръ всѣхъ современныхъ руководствъ и пособій по
предмету алгебры. Цѣль доклада — отмѣтить лишь различныя
направленія въ литературѣ этого предмета и кратко характе-
ризовать ихъ представителей; при этомъ прежде всего прихо-
дится обратить вниманіе на то новое направленіе въ препода-
ваніи математики, которое въ теченіе послѣднихъ 10—15 лѣтъ
наблюдается въ Западной Европѣ и успѣло уже вылиться въ
конкретныя формы во французскихъ учебникахъ Бореля, Бурле,
Таннери и другихъ, составленныхъ согласно новымъ програм-
мамъ 1902 и 1905 г.г., а также въ нѣкоторыхъ нѣмецкихъ
руководствахъ, составленныхъ въ духѣ идей, представителями
которыхъ являются Феликсъ Клейнъ и составители Меран-
скаго плана. Не входя въ подробную характеристику этого
новаго направленія, которое уже находитъ откликъ и въ рус-
ской педагогической мысли, напомнимъ лишь его существен-
ныя черты:
1) Содержаніе курса и методы изложенія должны быть
на различныхъ ступеняхъ обученія согласованы съ психологіей
возраста учащихся. Вслѣдствіе этого, на первыхъ ступеняхъ
обученія признаются неумѣстными отвлеченность и строго де-
дуктивные методы изложенія: наглядности, въ нѣкоторыхъ
случаяхъ непосредственному усмотрѣнію и эксперименту (лабо-
раторный методъ) отводится видное мѣсто. Изъ этого же тре-
бованія вытекаетъ желательность концентрическаго расположе-
нія матеріала въ общемъ планѣ курса математики средней
школы — при этомъ въ послѣднемъ концентрѣ найдетъ себѣ

мѣсто и логическій элементъ съ болѣе пли менѣе строгимъ
обоснованіемъ курса.
2) Содержаніе курса математики должно быть обновлено,
какъ въ соотвѣтствіи съ современнымъ содержаніемъ науки,
такъ и въ соотвѣтствіи съ требованіями жизни и практиче-
скихъ приложеній, поэтому и въ курсѣ алгебры должны за-
нять подобающее имъ мѣсто: идея перемѣннаго числа, понятіе
о функціи и изученіе процесса измѣненія простѣйшихъ алге-
браическихъ функціи—причемъ графическому методу изображе-
нія функциональной зависимости должно быть дано широкое
развитіе.
3) Различные отдѣлы школьнаго курса математики должны
быть по возможности сближены другъ съ другомъ. То же са-
мое желательно по отношенію къ курсу математики, съ одной
стороны и къ курсамъ: физики, космографіи, химіи, естество-
знанія, статистики — съ другой стороны.
Въ предлагаемомъ обзорѣ учебной литературы по алгебрѣ
мы будемъ различать двѣ группы учебныхъ руководствъ:
1) тѣ руководства, на которыхъ не отразилось вышеуказанное
направленіе, 2) тѣ руководства, авторы которыхъ въ той или
другой степени считались съ этимъ направленіемъ—будемъ въ
дальнѣйшемъ называть его ((реформистское» направленіе.
1-ая группа руководствъ. Представителями этой группы
мы считаемъ учебники: Давидова, Пржевальскаго, Шапошни-
кова и Киселева (въ первыхъ двадцати двухъ изданіяхъ).
Учебникъ Давидова долгое время являлся наиболѣе распро-
страненнымъ въ нашей средней школѣ руководствомъ и слиш-
комъ хорошо всѣмъ извѣстенъ. Въ смѣнившемъ его учебники
Киселева мы видимъ стремленіе въ большей степени удовле-
творить современнымъ научнымъ требованіямъ въ смыслѣ
общности и строгости изложенія нѣкоторыхъ вопросовъ—изло-
женію этихъ вопросовъ (напр. вопросъ объ отрицательныхъ
числахъ) приданъ формальный характеръ—въ духѣ изложенія
Бертрана. Считаемъ необходимымъ оговориться, что мы въ на-
стоящемъ докладѣ не имѣемъ въ виду разсмотрѣнія вопроса,
насколько такое изложеніе умѣстно въ курсѣ средней школы

и насколько это изложеніе удачно проведено въ курсѣ А. П.
Киселева съ научной и логической точекъ зрѣнія.
Въ учебникѣ алгебры Я. А. Шапошникова (проф. Мо-
сковскаго Императорскаго Техническаго Училища), авторъ тоже
имѣетъ въ виду дать болѣе или менѣе строгое изложеніе
курса, но при этомъ, кромѣ формальныхъ доказательствъ при
изложеніи вопроса, онъ обращается къ болѣе глубокому, исчерпы-
вающему разсмотрѣнію, какъ самого вопроса по существу, такъ
и способа доказательствъ. Въ этомъ отношеніи заслуживаютъ
вниманія преподавателя, напримѣръ, слѣдующія статьи: поня-
тіе объ алгебрическомъ количествѣ (числа абсолютныя и от-
носительныя); выраженія положительныя и отрицательныя (по
формѣ); особый случай умноженія двучленовъ (обращено вни-
маніе на способъ доказательства—методъ математической ин-
дукціи); особый случай дѣленія многочлена на двучленъ (обра-
щено вниманіе на способъ доказательства — дедукція); общая
теорія равенства (статья о равносильности уравненіи): ирраціо-
нальныя числа; уравненія высшихъ степеней; общая теорія
логариѳмовъ (дается понятіе о перемѣнномъ числѣ, функціи и
непрерывности). Кромѣ того, укажемъ еще на тѣ статьи, ко-
торыя приведены въ учебникѣ, но не входятъ въ составъ
оффиціальныхъ программъ: способъ неопредѣленныхъ коэффи-
ціентовъ, наибольшія и наименьшія значенія трехчлена второй
степени, общія теоремы о рядахъ, распространеніе формулы
бинома Ньютона, предѣлы нѣкоторыхъ показательныхъ выра-
женій (число е\ разложеніе показательной функціи и лога-
риѳма въ ряды.
Мы и здѣсь не будемъ входить въ разсмотрѣніе до-
стоинствъ и недостатковъ въ постановкѣ и изложеніи различ-
ныхъ отдѣловъ курса H. А. Шапошникова, отмѣтимъ лишь,
что во многихъ вопросахъ требованія дѣйствительнаго логиче-
скаго обоснованія и доказательства не удовлетворены, при от-
сутствіи въ то же время достаточной конкретизаціи. Обратимъ,
напримѣръ, вниманіе на статью объ ирраціональныхъ числахъ:
авторъ, опредѣливъ несоизмѣримое число, какъ такое, «которое
не можетъ быть точно выражено ни въ единицахъ, ни въ ка-
кихъ доляхъ единицы», приводитъ статью: «вычисленіе ирра-

ціональныхъ чиселъ» и затѣмъ говоритъ: «разсужденія о вы-
численій ирраціональныхъ чиселъ устанавливаютъ особый
взглядъ на эти числа, какъ на неизмѣнные предѣлы, къ кото-
рымъ безконечно приближаются перемѣнныя соизмѣримыя
числа соотвѣтствующихъ видовъ». Войдя далѣе въ болѣе или
менѣе подробное разсмотрѣніе понятія о предѣлѣ перемѣннаго
числа, авторъ устанавливаетъ дѣйствія надъ ирраціональными
числами, исходя изъ теоріи предѣловъ. Такое изложеніе во-
проса не выдерживаетъ критики съ логической точки зрѣнія—
вѣдь для того, чтобы имѣть право утверждать: ирраціональ-
ное число А есть предѣлъ перемѣннаго раціональнаго надо
имѣть возможность показать, что (А— х) можетъ быть сдѣлано
какъ угодно мало; слѣдовательно, понятіе о разности А—χ
должно предшествовать утвержденію: А — пред. (я), а не на-
оборотъ.
Курсъ элементарной алгебры Пржевальскаго по общему
характеру курса довольно близокъ къ курсу Шапошникова,
содержитъ въ текстѣ значительное количество упражненій и
примѣровъ.
11-я группа учебниковъ. Къ этой группѣ мы относимъ
руководства: Глаголева, Лебединцева, Левитуса и Киселева
въ двадцать третьемъ изданіи, вмѣстѣ съ дополняющей его
статьей «Графическое изображеніе нѣкоторыхъ функцій, раз-
сматриваемыхъ въ элементарной алгебрѣ» — эта статья издана
отдѣльной брошюрой въ 50 страницъ.
Въ этихъ руководствахъ, какъ мы сказали, читатель най-
детъ отраженіе тѣхъ взглядовъ на содержаніе и методъ изло-
женія школьнаго курса алгебры, которые мы выше назвали
« реформистскими ». Обращаясь къ краткой характеристик
каждаго изъ перечисленныхъ учебниковъ, мы укажемъ, въ
какой степени указанные взгляды на данномъ учебникѣ отра-
зились, какая изъ сторонъ реформистскаго направленія полу-
чила въ немъ наибольшее развитіе, и вліяніе какихъ иностран-
ныхъ авторовъ на немъ наиболѣе сказалось—если такое влія-
ніе имѣло мѣсто.
1) Глаголевъ. Элементарная алгебра; части I и IL
Разнообразный, обширный матеріалъ, изложенный на

восьмистахъ страницахъ. Отличительная черта—авторъ вклю-
чилъ въ свой курсъ всѣ тѣ вопросы, которые признаются не-
обходимыми въ курсѣ съ точки зрѣнія реформистовъ, изложилъ
ихъ достаточно полно и обоснованно и въ то же время не
поступился ни одной изъ статей традиціоннаго курса алгебры,
разработавъ изложеніе нѣкоторыхъ изъ нихъ нѣсколько иначе,
чѣмъ это обычно дѣлалось. Изложеніе теоріи сопровождается
многочисленными примѣрами и задачами, представляющими
интересъ, какъ въ смыслѣ освѣщенія и усвоенія теоретическихъ
вопросовъ, такъ и въ смыслѣ практическихъ приложеній.
Чтобы дать понятіе о содержаніи и характерѣ этого курса,
отмѣтимъ слѣдующее:
1) Статья: «алгебраическія числа» начинается съ разсмо-
трѣнія направленныхъ отрѣзковъ и изъ этого разсмотрѣнія
устанавливается понятіе объ отрицательномъ числѣ. Опредѣ-
ливъ дѣйствія надъ новыми числами, авторъ обращаетъ вни-
маніе, что согласно сдѣланнымъ опредѣленіямъ этихъ дѣйствій
соблюдается принципъ постоянства формальныхъ законовъ
операцій (въ общемъ видѣ этотъ принципъ не формулиро-
ван^,
2) Авторъ даетъ формальное опредѣленіе умноженія алге-
браическихъ чиселъ, но прежде чѣмъ дать это опредѣленіе
разсматриваетъ задачу объ опредѣленіи разстоянія, пройденнаго
точкой при равномѣрномъ движеніи при условіи, что скорость
и промежутокъ времени принимаютъ и положительныя и отри-
цательныя значенія.
3) Въ статьѣ «приложенія ученія объ алгебраическихъ
числахъ» дается теорема Шаля-Мебіуса. Замѣтимъ, что эта
теорема является дѣйствительно необходимой для достаточно
обоснованнаго изложенія нѣкоторыхъ вопросовъ тригонометріи
и аналитической геометріи.
4) Понятіе о функціи дается вслѣдъ за изложеніемъ во-
проса о дѣйствіяхъ надъ многочленами и алгебраическими дро-
бями.
Послѣ этого авторъ сейчасъ же знакомитъ учащихся съ
нѣкоторыми свойствами цѣлой алгебраической функціи.

5) Передъ статьей объ уравненіяхъ дана статья «особыя
формы числовыхъ значеній алгебраическихъ выраженій»
f m о m СО о 00 „ f\~\ л ΓΥΛ \
[ 5 -—j —? -—? —? —? СО — 00, о. со ·
\ ο m œ m ο οο J
6) Вопросъ объ ирраціональныхъ числахъ и дѣйствіяхъ
надъ ними изложенъ по Дедекинду. Установивъ понятіе о
«сѣченіи» раціональныхъ чиселъ на два класса, авторъ даетъ
слѣдующее опредѣленіе: «ирраціональное число есть та черта (?)
или правило (?), которое раздѣляетъ всѣ раціональныя числа
на двѣ группы, опредѣляющія это число».
7) Послѣ статьи о рѣшеніи уравненіи дано изслѣдованіе
свойствъ квадратнаго и биквадратнаго трехчленовъ, и затѣмъ
уже авторъ знакомитъ учащихся съ графическимъ изображе-
ніемъ алгебраическихъ функцій.
Въ вопросѣ о графикахъ въ средней школѣ различные
авторы держатся различныхъ взглядовъ на взаимоотношеніе
между этимъ вопросомъ и элементами аналитической геометріи.
Глаголевъ по этому поводу высказывается слѣдующимъ обра-
зомъ: (простѣйшій пріемъ изслѣдованія различныхъ алгебраи-
ческихъ выраженій состоитъ въ воплощеніи алгебраическихъ
выраженій въ геометрическіе образы и изслѣдованіи послѣд-
нихъ. Средства для такого геометрическаго представленія даетъ
аналитическая геометрія, съ простѣйшими эле-
ментами которой прежде всего и необходимо по-
знакомиться».
Согласно этому взгляду, авторъ и предваряетъ статью
«графика измѣненія алгебраическихъ функцій» изложеніемъ
элементовъ аналитической геометріи (понятіе о координатахъ
точки, разстояніе между двумя точками, уравненіе прямой,
уравненія: круга, эллипса, гиперболы и параболы). Изложенію
этихъ элементовъ аналитической геометріи посвящено двадцать
двѣ страницы.
Въ статьѣ «графики измѣненія алгебраическихъ функцій»,
авторъ даетъ: 1) построеніе графики линейной функціи и изу-
ченіе процесса измѣненія этой функціи; въ связи съ этимъ
изученіемъ даны изслѣдованія уравненія 1-ой степени и системы
двухъ уравненіи 1-ой степени, вмѣстѣ съ графическими интер-

претаціями этихъ изслѣдованій; 2) графическое представленіе
измѣненія трехчлена второй степени и примѣры построенія раз-
личныхъ кривыхъ, заданныхъ сравнительно сложными уравненіями
Зх2— 4х + 3 2х2 — 8х + 8
—напр.: у= χ2 + 1 ,у=х*_5х+4 и т. п.
8) Въ изложеніи статьи о логариѳмахъ авторъ отступаетъ
отъ обычно принятаго въ нашихъ руководствахъ опредѣленія
логариѳма, какъ показателя степени, устанавливая понятіе о
логариѳмѣ изъ разсмотрѣнія двухъ прогрессій—геометрической
и ариѳметической, первые члены которыхъ соотвѣтственно
суть 1 и 0. При такой постановкѣ вопроса автору удается
выяснить ученикамъ значеніе Неперовой системы логариѳ-
мовъ.
9) Дано гораздо болѣе подробное, сравнительно съ дру-
гими учебниками, изложеніе вопросовъ о сложныхъ процен-
тахъ, учетѣ и рентахъ.
10) Въ курсѣ дается понятіе объ исчисленіи вѣроятностей
и приложенія этого исчисленія къ рѣшенію практическихъ
вопросовъ, напр., страхованіе капитала на случай смерти, по-
жизненная рента.
11) Статьи: непрерывныя дроби, неопредѣленныя уравненія,
теорія соединеній, биномъ Ньютона, комплексный числа по-
дробно и обстоятельно изложены въ разсматриваемомъ курсѣ.
12) Дана дополнительная статья въ объемѣ ста страницъ,
имѣющая цѣлью дать болѣе строгое обоснованіе изученію
процесса измѣненія функцій введеніемъ элементовъ анализа
безконечно-малыхъ. Содержаніе этой статьи составляютъ слѣ-
дующіе вопросы: 1) предѣлы (20 стр.); 2) непрерывность
функцій (7 стр.) 3) производный простѣйшихъ функцій (16 стр):
4) приложеніе производныхъ къ изслѣдованію измѣненія
функцій (57 стр.).
Полагаемъ, что приведеннымъ нами самымъ краткимъ
обзоромъ содержанія курса Глаголева оправдывается данное
выше указаніе на разнообразіе и обширность матеріала этого
курса. «Реформистскіе» взгляды отразились въ этомъ курсѣ
главнымъ образомъ на введеніи новыхъ статей (элементы уче-
нія о функціи), но нельзя сказать, чтобы эти статьи были

связаны въ одно цѣлое съ остальными статьями курса, нельзя
сказать, чтобы трудъ Глаголева представлялъ собою опытъ
планомѣрно разработаннаго, выдержаннаго въ опредѣленномъ
направленіи элементарнаго курса алгебры для средней школы.
Вліяніе французскихъ авторовъ замѣтно отразилось на многихъ
статьяхъ курса—особенно замѣтно вліяніе курса Бурле.
К. Ѳ. Лебединцевь. Курсъ алгебры для среднихъ
учебныхъ заведеній.
Курсъ состоитъ изъ 2-хъ частей въ объемѣ 580 страницъ;
первая часть курса вышла уже вторымъ изданіемъ.
Въ предисловіи къ 1-му изданію первой части курса
авторъ обращаетъ вниманіе на слѣдующее: «содержаніе курса
построено такъ, чтобы онъ представлялъ изъ себя параллель-
ное развитіе двухъ основныхъ идей—понятія о числѣ и по-
нятія о функциональной зависимости». Развивая далѣе въ
томъ же предисловіи взгляды на содержаніе и методъ изло-
женія элементарнаго курса алгебры, авторъ ссылается на
Клейна, Бореля, а также и на автора экспериментальной ди-
дактики Лайя (взглядъ на сущность процесса отвлеченія).
Содержаніе курса: всѣ тѣ статьи, которыя обычно, въ
соотвѣтствіи съ оффиціальными программами, составляютъ со-
держаніе школьнаго курса алгебры и, кромѣ того, слѣдующія
дополненія: 1) вслѣдъ за ученіемъ объ уравненіяхъ и нера-
венствахъ 1-ой степени авторъ излагаетъ статью: функціи
перваго порядка и ихъ наглядное изображеніе.
Равнымъ образомъ за статьей о квадратныхъ уравненіяхъ по-
мѣщена статья: функціи второго порядка отъ одного незави-
симаго перемѣннаго и ихъ наглядное изображеніе; 2) основы
ученія о предѣлахъ въ связи съ понятіемъ о производной
функціи; 3) основы ученія о мнимыхъ и комплексныхъ
числахъ.
Относительно общаго характера изложенія и разработки
отдѣльныхъ статей курса отмѣтимъ слѣдующее:
1) Авторъ, какъ это можно видѣть изъ предисловія,
желалъ бы избѣжать абстрактно-дедуктивнаго метода изложе-

нія, противупоставляя этому методу методъ конкретно-индук-
тивный.
Исходя изъ этой точки зрѣнія авторъ предполагаетъ
строить теорію отрицательныхъ чиселъ, a затѣмъ и несоизмѣ-
римыхъ чиселъ на фундаментѣ конкретныхъ примѣровъ.
Что касается до построенія теоріи отрицательныхъ чиселъ,
мы должны замѣтить, что по существу авторъ въ своемъ
изложеніи стоитъ на формальной точкѣ зрѣнія; толкованіе
же умноженія и дѣленія отрицательныхъ чиселъ на приведен-
ныхъ авторомъ конкретныхъ задачахъ вызываетъ сомнѣніе въ
его приемлемости, какъ съ логической, такъ и съ дидактиче-
ской точки зрѣнія.
2) Въ изложеніи статьи о несоизмѣримыхь числахъ авторъ
сдѣлалъ попытку дать въ школьномъ курсѣ алгебры болѣе
или менѣе исчерпывающую вопросъ и логически обоснованную
теорію несоизмѣримаго числа.
Отличительной особенностью изложенія этой статьи слѣ-
дуетъ признать стремленіе автора методически подойти къ
различнымъ моментамъ излагаемой теоріи; съ этой цѣлью
авторъ начинаетъ съ частнаго примѣра (]/2) и постепенно
подводитъ учащагося къ общему понятію о несоизмѣримомъ
числѣ; при этомъ авторъ постоянно имѣетъ въ виду конкре-
тизація) вопроса, прибѣгая къ толкованію отвлеченныхъ по-
нятій на отрѣзкахъ прямой.
Чтобы дать представленіе о томъ, какимъ образомъ авторъ
въ концѣ концовъ устанавливаетъ понятіе о несоизмѣримомъ
числѣ, приведемъ данное авторомъ опредѣленіе: «мы будемъ
вообще называть несоизмѣримымъ числомъ такое (?), которое
по опредѣленію своему будетъ болѣе любого соизмѣримаго
числа, входящаго въ группу чиселъ, опредѣленныхъ какимъ-
нибудь условіемъ, и менѣе любого соизмѣримаго числа, не
входящаго въ эту группу; причемъ группы эти обладаютъ
свойствомъ, что въ первой изъ нихъ нѣтъ наибольшаго числа,
а во второй нѣтъ наименьшаго».
Дѣйствія надъ несоизмѣримыми числами авторъ устана-
вливаетъ, пользуясь слѣдующей теоремой: «если имѣемъ два

перемѣнныхъ числа к и /, измѣняющихся по какому угодно за-
кону, но такъ что:
1) всѣ значенія ихъ положительны и всякое значеніе к
менѣе всякаго значенія /;
2) разность соотвѣтствующихъ значеній / и к можетъ
сдѣлаться и оставаться менѣе любого напередъ заданнаго по-
ложительнаго числа, то существуетъ такое число х, и только
одно, которое удовлетворяетъ неравенству к < χ < I при вся-
кихъ соотвѣтствующихъ значеніяхъ к и /». Перемѣнныя числа
к и / авторъ называетъ перемѣнными границами, опредѣляю-
щими число χ.
3) Въ изложеніи статей объ алгебраическихъ преобразо-
ваніяхъ и уравненіяхъ не замѣчается осуществленія какихъ-
либо новыхъ взглядовъ на содержаніе и характеръ изложенія
этихъ статей.
4) Понятіе о перемѣнномъ числѣ и функціональной за-
висимости впервые появляется въ концѣ первой части курса,
въ статьѣ: функціи перваго порядка и ихъ наглядное изобра-
женіе. Статья эта начинается ознакомленіемъ учащихся съ
элементами аналитической геометріи—дано довольно подробное
изученіе уравненія прямой и тутъ же дано наглядное изобра-
женіе рѣшенія уравненія первой степени и рѣшенія системы
двухъ уравненіи. Такимъ образомъ, геометрическая интерпре-
таціи рѣшенія и изслѣдованія уравненіи ведется не параллельно
съ изученіемъ самого рѣшенія и изслѣдованія, a отдѣльно отъ
изученія этихъ вопросовъ. Равнымъ образомъ не установлено
непосредственной связи между рѣшеніемъ и изслѣдованіемъ
уравненія второй степени съ одной стороны и изученіемъ
функціи 2-й степени и ея графика—съ другой. Послѣ по-
строенія графика функціи: y = ax2 + bx + c устанавливаются
геометрическія свойства построенной кривой (фокусъ и дирек-
трисса параболы). Вслѣдъ за изслѣдованіемъ цѣлой функціи
2-ой степени дается изслѣдованіе дробной функціи вида:
!І = άι#+&ι ' и затѣмъ также устанавливаются геометрическія
свойства кривой, заданной вышенаписаннымъ уравненіемъ
(центръ, оси симметріи, фокусы и ассимптоты гиперболы).

Всѣ указанныя статьи, относящіяся къ изученію свойствъ
простѣйшихъ функцій, изложены внѣ зависимости отъ теоріи
предѣловъ и понятія о производной функціи. Теорію предѣловъ
и ученіе о производной, вмѣстѣ съ примѣненіемъ производ-
ной функціи къ изслѣдованію свойствъ первообразной, авторъ
даетъ въ VII-мъ отдѣлѣ второй части курса—этотъ отдѣлъ
можетъ быть разсматриваемъ въ видѣ дополнительной къ курсу
статьи; въ этой статьѣ авторъ даетъ, между прочимъ, «при-
мѣненіе теоріи предѣловъ къ выводу формулы длины окруж-
ности и площади круга».
5) Статьѣ о логариѳмахъ предшествуетъ изученіе пока-
зательной функціи и ея графика. Изученіе логариѳма иллю-
стрируется построеніемъ графика логариѳмической функціи.
Благодаря тому, что авторъ далъ въ своемъ курсѣ теорію
ирраціональнаго числа, явилась возможность въ нѣкоторыхъ
вопросахъ статьи о показательной функціи и логариѳмахъ
говоритъ болѣе обоснованно.
Заканчивая разсмотрѣніе курса Лебединцева, укажемъ,
что и въ этомъ курсѣ такъ же, какъ и въ курсѣ Глаголева,
вліяніе « реформистская» направленія сказалось главнымъ
образомъ на введеніи въ курсъ новыхъ статей (изученіе про-
стѣйшихъ алгебраическихъ функцій и ихъ графикъ) и оно
сравнительно мало сказалось на общей конструкціи курса.
Введеніе новыхъ статей и болѣе широкое развитіе нѣкоторыхъ
изъ тѣхъ статей, которыя обычно входятъ въ составъ курса
элементарной алгебры (напр., статья объ ирраціональномъ
числѣ), новело къ весьма значительному, сравнительно, объему
курса (579 страницъ). Въ изложеніи статей, относящихся къ
вопросу объ изученіи простѣйшихъ алгебраическихъ функцій,
наиболѣе замѣтно отразилось вліяніе Бореля.
Д. Левитусъ. Курсъ элементарной алгебры для
среднихъ учебныхъ заведеній, ч. I и II.
Трудъ Левитуса еще не законченъ — мы имѣемъ лишь
первыя двѣ части курса, содержаніе которыхъ составляютъ
слѣдующія статьи:
і-Я часть — ученіе объ алгебраическихъ обозначеніяхъ и
преобразованіяхъ въ предѣлахъ четырехъ основныхъ дѣйствій

и рѣшеніе численныхъ уравненіи первой степени съ однимъ
неизвѣстнымъ.
2-я часть—ученіе о преобразованіяхъ дробныхъ выраже-
ній, рѣшеніе уравненіи первой степени съ однимъ и многими
неизвѣстными и графическій методъ изслѣдованія въ примѣ-
неніи къ задачамъ первой степени.
Отмѣтимъ слѣдующія наиболѣе характерныя черты въ
содержаніи, конструкціи и методѣ изложенія этого курса:
1) Авторъ имѣетъ въ виду дать концентрическое распо-
ложеніе матеріала своего курса — такъ, напримѣръ: указавъ
въ § 4 второй части отличіе алгебраической дроби отъ ариѳ-
метической и напомнивъ учащимся основное свойство ариѳме-
тической дроби, авторъ говоритъ: «въ послѣдней части на-
шего курса приведено доказательство того, что и въ этомъ
случаѣ (въ случаѣ алгебраической дроби) основное свойство
дроби остается въ силѣ. Пока же примемъ безъ доказатель-
ства, что числитель и знаменатель алгебраической дроби
можно умножить или раздѣлить на одно и то же число; отъ
этого величина дроби не измѣнится», да и въ расположеніи
матеріала, составляющаго содержаніе первыхъ двухъ частей
курса, можно отмѣтить осуществленіе принципа концентриче-
скаго расположенія этого матеріала—различные вопросы курса
постоянно переплетаются между собой: ученіе объ алгебраиче-
скихъ преобразованіяхъ и рѣшеніе уравненіи изложены не въ
видѣ отдѣльныхъ статей, болѣе или менѣе исчерпывающихъ
содержаніе вопроса — нѣтъ, эти вопросы излагаются парал-
лельно другъ другу; на первыхъ же страницахъ авторъ знако-
митъ учащихся съ составленіемъ и рѣшеніемъ самыхъ про-
стыхъ уравненіи, усложняя ихъ дальше по мѣрѣ накопленія
фактическаго матеріала въ области формальныхъ преобразованій.
2) Изученіе алгебраическихъ преобразованій проводится
весьма постепенно, при этомъ авторъ очень мало заботится о
доказательности. Путемъ нѣкоторыхъ разъясненій, a глав-
нымъ образомъ, путемъ рѣшенія различныхъ примѣровъ, въ
большомъ количествѣ сопровождающихъ изложеніе статей учеб-
ника; онъ старается научить учениковъ техникѣ алгебраиче-
скихъ преобразованій.

Равнымъ образомъ, въ этомъ концентрѣ не дается ника-
кой теоріи уравненіи—авторъ на примѣрахъ знакомитъ учени-
ковъ съ различными пріемами рѣшенія уравненіи.
3) Въ статьѣ ((положительныя и отрицательныя числа»
авторъ, указавъ на невозможность вычитанія въ томъ случаѣ,
когда уменьшаемое меньше вычитаемаго, далѣе говоритъ: «Въ
алгебрѣ разсматриванія числа особаго рода, называемыя отри-
цательными. Они обладаютъ (?) тѣмъ свойствомъ, что отъ ихъ
прибавленія получается меньше, чѣмъ было раньше. Такія
числа отмѣчаются знакомъ минусъ передъ ними. Такъ, напр., —3
обозначаетъ число, отъ прибавленія котораго то, что было,
уменьшится на 3». Послѣ сдѣланнаго, весьма кратко, замѣча-
нія о томъ, что будто бы «нѣтъ ничего страннаго въ томъ,
что въ алгебрѣ разсматриваются такія особенныя числа», авторъ
безъ всякихъ опредѣленій, обоснованій на чемъ бы то ни было,
даетъ правила сложенія и вычитанія положительныхъ и отри-
цательныхъ чиселъ, выводя ихъ изъ разсмотрѣнія слѣдующихъ
четырехъ примѣровъ: 1) (+ 3) + (+ 5); 2) (— 3) + (— 5);
3) (+3) + (-5); 4) (+7) + (-4).
Приведемъ для характеристики разъясненіе, сопровожда-
ющее рѣшеніе одного изъ этихъ примѣровъ:
«Сложить +3 и —5. Число —δ состоитъ изъ пяти от-
рицательныхъ единицъ; три изъ нихъ взаимно уничтожатся
съ тремя положительными единицами, содержащимися въ
числѣ +3, и въ суммѣ останутся только двѣ отрицательныя
единицы.
Итакъ, (+3)-Ь(—5) = —2.
Опредѣленіе умноженія и дѣленія отрицательныхъ дано
не непосредственно вслѣдъ за сложеніемъ и вычитаніемъ, а
значительно позже.
Къ геометрическимъ интерпретаціямъ понятія объ отрица-
тельныхъ числахъ и дѣйствій надъ ними авторъ совершенно
не прибѣгаетъ и, видимо, не случайно, такъ какъ въ изложе-
ніи нѣкоторыхъ другихъ вопросовъ авторъ пользуется ихъ гео-
метрическимъ толкованіемъ.
4) Послѣднія пять главъ изъ тринадцати, составляющихъ
вторую часть курса, посвящены вопросамъ, связаннымъ съ по-

нятіемъ о функциональной зависимости. Содержаніе этихъ
главъ слѣдующее: 1) общія понятія о функциональной зависи-
мости и о графикѣ функціи; 2) прямая пропорціональности
3) линейная функція: 4) примѣненіе графическая метода къ
рѣшенію различныхъ задачъ; δ) особенные случаи системы
двухъ уравненіи съ двумя неизвѣстными.
При изложеніи этого отдѣла авторъ не считаетъ нужнымъ
давать какія-либо предварительныя свѣдѣнія изъ аналитиче-
ской геометріи; для него графикъ интересенъ лишь какъ на-
глядное изображеніе той или другой функциональной зависи-
мости, геометрическія свойства полученной кривой совершенно
игнорируются.
Ознакомленіе съ построеніемъ графика проводится мето-
дически, останавливая вниманіе учащихся на различныхъ мо-
ментахъ этого построенія; при этомъ затрагиваются вопросы о
непрерывности и интерполированіи.
Трудно, конечно, дать общую характеристику труда г. Ле-
витуса, вслѣдствіе. того, что трудъ этотъ еще не законченъ,
но, однако же, и теперь уже можно сказать, что на намѣре-
ніяхъ автора «реформистскіе взгляды отразились въ слѣду-
ющемъ: 1) введеніе въ курсъ новыхъ статей (изученіе функ-
цій и ихъ графикъ), 2) принципъ концентрическаго располо-
женія матеріала, съ примѣненіемъ въ каждомъ концентрѣ со-
отвѣтствующаго метода изложенія.
По поводу концентрическаго расположенія матеріала,
въ связи съ разсмотрѣніемъ труда г. Левитуса, счи-
таемъ умѣстнымъ высказать слѣдующее: мы не можемъ
указать въ иностранной литературѣ, по предмету алгебры,
учебника, въ которомъ былъ бы выдержанъ принципъ кон-
центрическаго расположенія матеріала, но, напримѣръ, во фран-
цузской средней школѣ въ различныхъ классахъ примѣняются,
спеціально для этихъ классовъ составленные, учебники одного
и того же или различныхъ авторовъ; русскіе же авторы, въ
соотвѣтствіи съ оффиціальными программами и школьной прак-
тикой, обыкновенно составляютъ учебникъ по данному пред-
мету для примѣненія его во всѣхъ классахъ и, часто, въ учеб-
ныхъ заведеніяхъ всѣхъ типовъ — многіе недочеты нашихъ

современныхъ учебниковъ и въ дидактическомъ и въ научномъ
отношеніяхъ при этомъ являются совершенно неизбѣжными.
А. Киселевь. Элементарная алгебра; изданіе двад-
цать третье (переработанное).
Ею же. Графическое изображеніе нѣкоторыхъ
функцій, разсматриваемыхъ въ элементарной
алгебрѣ. Пособіе для кадетскихъ корпусовъ и другихъ учеб-
ныхъ заведеній.
Въ разсматриваемомъ изданіи курса элементарной алгебры
авторъ далъ изложеніе статей объ отрицательныхъ числахъ и
о числахъ несоизмѣримыхъ совершенно отличное отъ того,
которое имѣло мѣсто въ предыдущихъ изданіяхъ его учебника.
Понятіе объ алгебраическихъ числахъ устанавливается
изъ разсмотрѣнія конкретныхъ величинъ, «имѣющихъ напра-
вленіе».
Изъ разсмотрѣнія сложенія направленныхъ отрѣзковъ
устанавливается понятіе о суммѣ алгебраическихъ чиселъ и
указывается, что сложеніе этихъ чиселъ подчиняется законамъ:
перемѣстительному и сочетательному. Умноженіе алгебраиче-
скихъ чиселъ опредѣляется формально съ соотвѣтствующими
разъясненіями: указывается, что законы: перемѣстительный,
сочетательный и распредѣлительный имѣютъ мѣсто и въ слу-
чаѣ умноженія алгебрическихъ чиселъ; мелкимъ шрифтомъ
дано толкованіе смысла умноженія этихъ чиселъ на конкрет-
ной задачѣ.
Ученіе о несоизмѣримыхъ числахъ дано въ двухъ различ-
ныхъ изложеніяхъ — одно изложеніе дано въ текстѣ учебника
и проведено соотвѣтственно среднимъ классамъ гимназіи, дру-
гое изложеніе дано въ приложеніи къ курсу, въ немъ доста-
точно строго и подробно проведена теорія несоизмѣримыхъ чи-
селъ по Дедекинду.
Конструкція статьи о несоизмѣримомъ числѣ, приведен-
ной въ текстѣ учебника, въ общихъ чертахъ такова: 1) раз-
сматривается измѣреніе прямолинейнаго отрѣзка и. въ случаѣ
его несоизмѣримости съ выбранной единицей, указывается на
невозможность полученія «точнаго результата при измѣреніи»—
«но тогда мы можемъ», говоритъ авторъ, «находить прибли-

женные результаты измѣренія (?) и притомъ съ какою угодно
точностью».
2) Устанавливается соотвѣтствіе между числами и точ-
ками прямой, указывается, что не всякой точкѣ, взятой на
«числовой прямой», соотвѣтствуетъ нѣкоторое число и затѣмъ
создается понятіе о несоизмѣримомъ числѣ слѣдующимъ обра-
зомъ: «допускаютъ, что при данной единицѣ длины каждой
точкѣ В числовой прямой соотвѣтствуетъ опредѣленное число,
принимаемое за мѣру того отрѣзка AB, концомъ котораго слу-
житъ эта точка В. Если отрѣзокъ AB соизмѣримъ съ едини-
цей длины, то точкѣ В соотвѣтствуетъ соизмѣримое число;
если же онъ несоизмѣримъ съ единицей длины, то точкѣ В
соотвѣтствуетъ нѣкоторое несоизмѣримое число, которое нельзя
выразить цифрами (?), но можно обозначить какимъ-ни-
будь знакомъ, напримѣръ, одной изъ буквъ греческаго алфа-
вита: α, β? γ . . . . ».
Приближенный результатъ измѣренія несоизмѣримаго
отрѣза съ точн. до - (это понятіе установлено ранѣе при
разсмотрѣніи процесса измѣренія), которому мѣрою служитъ
несоизмѣримое число «, авторъ называетъ приближеннымъ зна-
ченіемъ числа ÖL съ точностью до — и затѣмъ ставитъ усло-
віе, согласно которому несоизмѣримое число α больше всякаго
изъ приближенныхъ значеній съ недостаткомъ и меньше вся-
каго изъ приближенныхъ значеній съ избыткомъ.
3) Установивъ понятіе о равенствѣ и неравенствѣ несо-
измѣримыхъ чиселъ, авторъ переходитъ затѣмъ къ опредѣле-
нію дѣйствій надъ несоизмѣримыми числами. Приведемъ, въ
видѣ примѣра, данное авторомъ опредѣленіе сложенія: «сло-
жить числа α, β, γ . . . значитъ найти число, большее каждой
суммы а + Ъ + с + · . .и меньше каждой суммы А + В +
+ С+ . . . . , гдѣ подъ а, Ъ, с . . . . разумѣются какія
угодно приближенный значенія чиселъ в, ρ, γ , . . · , взятыя
съ недостаткомъ, a подъ А, В, С . » . . какія угодно при-
ближенныя значенія тѣхъ же чиселъ, взятыя съ избыткомъ».
Доказательства существованія искомаго числа не приводится.
Опредѣленіе поясняется на примѣрѣ.

Рассматриваемая нами въ связи съ этимъ курсомъ бро-
шюра того же автора: «Графическое изображеніе нѣкоторыхъ
функцій, разсматриваемыхъ въ элементарной алгебрѣ » содер-
житъ слѣдующія статьи: 1) общее понятіе о функціи и ея
графическомъ изображеніи; 2) графическое изображеніе дву-
члена 1-й степени, измѣненіе двучлена 1-й степени, графиче-
ское изображеніе системы двухъ уравненіи 1-й степени; 3) гра-
фическое изображеніе трехчлена 2-й степени, измѣненіе трех-
члена 2-й степени, графическій способъ рѣшенія квадратнаго
уравненія; 4) графическое изображеніе функцій показательной и
логариѳмической; δ) упражненія. Относительно изложенія этихъ
статей отмѣтимъ слѣдующее:
1) Вопросъ о непрерывности функцій не затрагивается.
2) Изученіе двучлена первой степени и его графика
проводится постепенно, начиная съ построенія графика
функціи у— ах въ случаѣ ß> о. При этомъ доказывается, что
всѣ точки, у которыхъ абсциссами служатъ значенія χ, а орди-
натами, соотвѣтствующія значенія, у лежатъ на одной и той
же прямой, проходящей черезъ начало координатъ и обратно:
координаты всякой точки построенной прямой удовлетворяютъ
уравненію: у —ах. Затѣмъ строится графикъ той же функціи
для случаевъ: а<Со и а — о.
Далѣе разсматривается измѣненіе положенія прямой въ
зависимости отъ измѣненія коэффиціента а, при этомъ дается
понятіе объ угловомъ коэффиціентѣ прямой.
Графикъ функціи: у — ах + Ь, авторъ получаетъ параллель-
нымъ перенесеніемъ графика: у —ах, кромѣ того указывается
способъ построенія прямой: у — ах + Ь по точкамъ пересѣченія
этой прямой съ осями координатъ.
Измѣненіе двучлена: αχ + Ь устанавливается непосред-
ственно изъ разсмотрѣнія графика.
3) При изученіи трехчлена второй степени послѣдова-
тельно строятся графики функцій: у —χ2, у —ах1, у—ах2 + с,
у — а(х + т)2 и, наконецъ, y = ax2 + b + c. При этомъ указы-
вается, что всѣ получаемыя кривыя имѣютъ одинъ и тотъ же
характеръ. Геометрическихъ свойствъ пароболы авторъ не раз-
сматриваетъ.

Въ статьѣ о графикахъ показательной u логариѳмической
функцій устанавливается связь между этими функціями и ихъ
графиками.
Отмѣченныя выше измѣненія, внесенныя г. Киселевымъ
въ послѣднее изданіе своего курса, а также составленіе имъ
дополнительныхъ къ курсу статей, относящихся къ понятію
функціональной зависимости, указываютъ на то, что авторъ
этого, наиболѣе распространеннаго въ нашей средней школѣ и
наиболѣе приспособленнаго къ оффиціальнымъ программамъ,
курса счелъ необходимымъ, не дожидаясь измѣненія оффи-
ціальныхъ программъ (программа курса алгебры, составленная
въ духѣ проведенія идеи функціональной зависимости, введена
у насъ лишь въ кадетскихъ корпусахъ), считаться съ тѣмъ
новымъ направленіемъ въ преподаваніи математики, которое
въ настоящее время привлекаетъ вниманіе педагоговъ и полу-
чаетъ въ томъ или иномъ видѣ осуществленіе въ школьной
практикѣ и учебной литературѣ различныхъ странъ.
Намъ остается еще указать на «Курсъ элементарной алгебры,
составленный по Бертрану, Бурле, Таннери и др.)) Н. Били-
оина, изданіе пятое, измѣненное.
Этотъ трудъ не можетъ быть разсматриваемъ въ ряду,
разсмотрѣнныхъ нами руководствъ, такъ какъ авторъ ставитъ
себѣ задачу иначе, чѣмъ большинство составителей русскихъ
учебниковъ по алгебрѣ,—онъ имѣетъ въ виду лишь старшіе
классы среднихъ учебныхъ заведеній и по этому
поводу говоритъ въ своемъ предисловіи слѣдующее: «Настоя-
щее, пятое изданіе «Курса алгебры» назначается, подобно преды-
дущимъ изданіямъ, для старшихъ классовъ среднихъ учебныхъ
заведеній, а не для первоначальнаго изученія алгебры, каковое
должно вестись, главнымъ образомъ, на примѣрахъ и задачахъ,
при попутномъ истолкованіи теоретическихъ основъ».
Существеннымъ и интереснымъ отличіемъ пятаго из-
данія курса Билибина является выдѣленіе и объединеніе всѣхъ
тѣхъ статей школьнаго курса алгебры, которыя носятъ «ариѳме-
тическій» характеръ и имѣютъ въ виду «расширеніе понятія
о числѣ».
Изложеніе этихъ статей и составляетъ содержаніе первой

книги курса. Мы нѣсколько подробнѣе остановимся на раз-
смотрѣніи этой первой книги; что же касается до остальныхъ,
то ограничимся лишь указаніемъ, что преподаватель найдетъ
въ нихъ подробное и строгое изложеніе вопросовъ, обычно
относимыхъ къ школьному курсу алгебры. Изложеніе дано въ
духѣ большихъ французскихъ курсовъ—самъ авторъ указы-
ваетъ на вліяніе на свой трудъ Курса Бурле. «Leçons d'algèbre
élémentaire». Дается подробное изслѣдованіе цѣлой функціи
второй степени, но къ графикамъ функціи авторъ
нигдѣ не прибѣгаетъ.
Обращаясь къ первой книгѣ курса, перечислимъ прежде
всего статьи, составившій ея содержаніе: основныя ариѳмети-
ческія понятія, относительныя числа, приложенія положи-
тельныхъ и отрицательныхъ чиселъ, корни, ирраціональныя
числа.
Въ главѣ «основныя ариѳметическія понятія» авторъ
подробно разсматриваетъ свойства суммы, разности, произве-
денія и частнаго натуральныхъ и дробныхъ чиселъ.
Для ознакомленія съ характеромъ изложенія этой главы
укажемъ на конструкцію статьи о сложеніи. Опредѣленія
суммы двухъ чиселъ не дается; основныя свойства суммы по-
стулируются слѣдующими равенствами: ОЛ~ A—A{Y) и ΑΛ-
Λ- ВЛ~ С~АЛг СЛ~В(2); изъ этихъ двухъ равенствъ выво-
дится, какъ слѣдствіе: ВЛ~ С—СЛ-В.
Указывается, что равенство (2), допущенное для цѣлыхъ
чиселъ, остается справедливымъ и для дробныхъ чиселъ.
Далѣе доказывается теорема: «сумма какого ни есть
числа слагаемыхъ не измѣняется отъ перемѣны порядка сло-
женіи» и изъ этой теоремы выводятся слѣдствія: 1) «въ
суммѣ какія ни есть слагаемыя можно замѣнить изъ вычи-
сленной суммой», 2) «для того, чтобы къ числу А прибавить
сумму, достаточно прибавить каждое слагаемое послѣдова-
тельно».
Дается опредѣленіе: «говорятъ, что число A болѣе числа
если оно получено отъ прибавленія къ числу В нѣкотораго
числа, отличнаго отъ нуля. Обратно: говорятъ, что число В
менѣе числа А».

На основаніи этого опредѣленія доказываются слѣдующія
положенія: 1) «если 1?> А и С>В> то С>А», 2) «если
двѣ суммы состоятъ изъ одного и того же числа слагаемыхъ,
причемъ слагаемыя первой суммы соотвѣтственно болѣе сла-
гаемыхъ второй, то первая сумма болѣе второй».
Глава II-я посвящена изложенію вопроса объ относитель-
ныхъ числахъ. Указавъ, что, въ цѣляхъ сохраненія общности
выраженія А—Б, должно ввести «числа новой природы»,
авторъ даетъ слѣдующія опредѣленія: 1) «положительнымъ
числомъ называется всякое абсолютное число, за исключеніемъ
нуля, предшествуемое знакомъ + », 2) «отрицательнымъ числомъ
называется всякое абсолютное число, за исключеніемъ нуля,
предшествуемое знакомъ — ».
Послѣ этого дается опредѣленіе равенства относительныхъ
чиселъ и опредѣленія основныхъ дѣйствій надъ относитель-
ными числами.
Обращаемъ вниманіе на доказательство теоремы: «сумма
трехъ слагаемыхъ (въ случаѣ относительныхъ чиселъ) не из-
мѣняется отъ перестановки двухъ послѣднихъ» — принятое
авторомъ построеніе статьи объ относительныхъ числахъ и
дѣйствіяхъ надъ ними заставляетъ его при доказательствѣ
этой теоремы заняться скучнымъ разсмотрѣніемъ восьми (!)
отдѣльныхъ случаевъ.
Установивъ дѣйствія надъ относительными числами, авторъ
переходитъ къ понятію объ «алгебраической суммѣ». Весьма
подробно разсмотрѣвъ соглашенія, лежащія въ основѣ этого
понятія, авторъ далѣе приводитъ цѣлый рядъ теоремъ, уста-
навливающихъ свойства алгебраической суммы.
Въ главѣ III-ей, «приложенія положительныхъ и отри-
цательныхъ чиселъ» дается подробное разсмотрѣніе направлен-
ныхъ отрѣзковъ и устанавливается соотвѣтствіе между этими
отрѣзками и точками на нѣкоторой оси, съ одной стороны и
относительными числами—съ другой. Между прочимъ, дается
теорема Шаля-Мебіуса. Кромѣ того, понятіе объ относитель-
ныхъ числахъ и дѣйствіяхъ надъ ними конкретизируется на
разсмотрѣніи направленныхъ промежутковъ времени и задачъ
на равномѣрное движеніе.

Конструкція изложенія статьи объ ирраціональныхъ чи-
слахъ въ общихъ чертахъ такова:
Въ главѣ IV, «корни», дается понятіе о корняхъ абсолютнаго
числа съ точностью до единицы и вообще съ точностью до h —
при этомъ замѣтимъ, что опредѣленіе этихъ понятій никакой
логической погрѣшности не заключаетъ.
Доказавъ теорему: «Разности между числомъ А и r-овыми
степенями его r-овыхъ корней, съ точностью до h, съ недо-
статкомъ и съ избыткомъ, суть, при достаточно маломъ зна-
ченіи h, числа, меньшія напередъ заданнаго числа α, и, при
уменьшеніи этого значенія h, продолжаютъ быть менѣе этого
числа α», авторъ даетъ затѣмъ слѣдующее опредѣленіе: «го-
ворятъ, что число Α, въ случаѣ несуществованія r-оваго
раціональнаго корня этого числа, имѣетъ ирраціональный
r-овый корень, который обозначается символомъ: " и
далѣе, послѣ нѣкоторыхъ поясненій, говоритъ: «Итакъ, если
, то, по опредѣленію символа можемъ
писать:
Затѣмъ дается обращеніе ирраціональнаго корня въ деся-
тичную дробь и доказываются, что получаемая при этомъ
обращеніи безконечная десятичная дробь не есть періоди-
ческая.
Въ главѣ Ѵ-ой. «Ирраціональныя числа», устанавливается
общее понятіе объ ирраціональномъ (несоизмѣримомъ числѣ) и
излагается, достаточно исчерпывающая вопросъ, теорія этого
числа.
Понятіе объ ирраціональномъ числѣ устанавливается изъ
разсмотрѣнія «разрѣза» (сѣченія) всѣхъ раціональныхъ чиселъ
на двѣ совокупности — такимъ образомъ авторъ становится
на точку зрѣнія Дедекинда.
Замѣтимъ, что въ трудѣ того же автора «Основанія ана-
лиза безконечно-малыхъ» дано изложеніе статьи объ ирраціо-
нальномъ числѣ, ближе примыкающее къ теоріи Мере-Кан-
тора.
Вліяніе этой теоріи, въ разсматриваемомъ курсѣ, отрази-
лось до нѣкоторой степени въ статьѣ «Послѣдовательности».

составляющей одинъ изъ параграфовъ главы объ ирраціональ-
номъ числѣ.
Въ этой статьѣ авторъ доказываетъ, что двумя послѣдо-
вательностями чиселъ, удовлетворяющими нѣкоторымъ опре-
дѣленнымъ условіямъ, опредѣляется одно и только одно ра-
ціональное и иррациональное число. Какъ примѣръ такого
опредѣленія числа, разсмотрѣна система послѣдовательностей,
опредѣляющая число е.
Въ заключеніе главы объ ирраціональномъ числѣ уста-
навливается соотвѣтствіе между значеніями величины и чи-
слами.
При разсмотрѣніи различныхъ учебниковъ по алгебрѣ, мы
не разъ обращали вниманіе на изложеніе вопроса объ ирра-
ціональномъ числѣ—этотъ вопросъ, видимо, стоитъ на очереди,
интересуетъ преподавателей, а потому позволимъ себѣ указать
на нѣкоторыя сочиненія, которыя, по нашему мнѣнію, могли
бы быть полезны преподавателю въ этомъ отношеніи:
1) Encyclopédie des sciences mathématiques
pures etappliquées. Томъ I—статья Принсгейма (во фран-
цузскомъ изданіи изложенная и обработанная Молькомъ). Чита-
тель найдетъ здѣсь сущность различныхъ теорій ирраціональ-
наго числа, историческія указанія и богатыя указанія литера-
туры вопроса.
2) Веберъ и Вельштейнъ. Энциклопедія элемен-
тарной математики. Переводъ съ нѣмецкаго подъ редак-
ціей В. Ф. Кагана. Изданіе Матезисъ. Точка зрѣнія Деде-
кинда.
3) Проф. А. В. Васильевъ. Введеніе въ анализъ.
Выпускъ II. Обобщеніе понятія о числѣ. (Складъ изданія:
Казань, Маркеловъ и Шароновъ).
Сущность различныхъ теорій ирраціональнаго числа.
4) Дедекиндъ. Непрерывность и ирраціональныя
числа. Пер. съ нѣм. С. О. Шатуновскаго. Изданіе Матезисъ.
Это же сочиненіе помѣщено въ весьма интересномъ «Сбор-
никѣ статей по основамъ ариѳметики», изданіе
математическаго кружка при Казанскомъ университетъ, подъ
редакціей Н. Н. Парфентьева.

5) Проф. Б. Я. Букрѣевъ. Ученіе объ ирраціональномъ
числѣ съ точки зрѣнія Г. Кантора и Э. Гейне.
6) Проф. Селивановъ. Безконечныя десятичныя
дроби и ирраціональныя числа. Точка зрѣнія Вейер-
штрасса.
7) Ариѳметика ирраціональныхъ чиселъ. Обра-
боталъ M. В. Пирожковъ. Эта книжка, какъ видно изъ пре-
дисловія, представляетъ обработку теоріи ирраціональныхъ
чиселъ, изложенную ученикамъ старшихъ классовъ Спб. 5-ой
гимназіи покойнымъ преподавателемъ этой гимназіи Владимі-
ромъ Андреевичемъ Марковымъ. Въ изложенной теоріи прово-
дится точка зрѣнія, примыкающая къ Вейерштрассу.
8) Проф. Б. M. Кояловичъ. Лекціи по высшей ма-
тематикѣ.
Читатель найдетъ весьма доступное и элементарное изло-
женіе теоріи ирраціональнаго числа—точка зрѣнія Дедекинда
и отчасти Мере-Кантора.
9) Проф.Боннскаго универ. Гергардъ Ковалевский. Основы
дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій.
Перев. съ нѣм. подъ ред. С. О. Шатуновскаго. Изд. Ма-
тезисъ.
При опредѣленіи ирраціональныхъ чиселъ авторъ примы-
каетъ къ Дедекинду, a въ опредѣленіи ариѳметическихъ опе-
рацій надъ ними—къ Кантору.
10) Meray. Leçons nouvelles sur l'analyse infi-
nitésimale.
11) J. Tannery. Introduction à la théorie des fonc-
tions.
12) J. Tannery. Leçons d'arithmétique.
Въ этихъ двухъ сочиненіяхъ читатель найдетъ весьма
ясное и изящное изложеніе теоріи ирраціональныхъ чиселъ по
Дедекинду.
13) Б. Nieivengloivs'ky. Cours d?algèbre. Tome premier.
5-е изд.
Изложеніе теоріи ирраціональныхъ чиселъ примыкаетъ
къ Мере.

14) Проф. Фоссъ. Осущности математики. Рѣчь про-
изнесенная въ публичномъ засѣданіи Баварской академіи наукъ.
Пер. I. В. Яшунскаго. С.-Петербургъ 1911 г.
Читатель можетъ познакомиться въ этой брошюрѣ съ
сущностью различныхъ теорій ирраціональнаго числа въ связи
съ вопросомъ развитія понятія о числѣ вообще.
Хотя мы въ своемъ докладѣ *и не задаемся цѣлью дать
полный обзоръ по литературѣ предмета алгебры, однако, мы
не считаемъ возможнымъ не коснуться нашихъ періодическихъ
изданій, въ которыхъ затрагиваются вопросы преподаванія
математики.
Наша задача, правда, облегчается тѣмъ, что такихъ из-
даній у насъ къ сожалѣнію, слишкомъ мало. Журнала, спе-
ціально посвященнаго вопросамъ преподаванія математики, у
насъ нѣтъ совсѣмъ *); статьи, относящіяся къ преподаванію
математики, чаще всего встрѣчаются въ журналѣ: «Вѣстникъ
опытной физики и элементарной математики», затѣмъ въ «Пе-
дагогическомъ сборникѣ», издаваемомъ при главномъ управленіи
военно-учебныхъ заведеній-и рѣдко въ «Журналѣ Министер-
ства народнаго просвѣщенія» (почти только рецензіи учебни-
ковъ и пособій) и «Русской Школѣ».
Въ виду интереса, возбужденнаго вопросомъ о реформѣ
преподаванія математики, въ послѣднихъ семестрахъ журнала
«Вѣстникъ опытной физики и элементарной математики»
появилось больше, сравнительно съ предъидущими семестрами,
статей, посвященныхъ вопросамъ преподаванія математики; изъ
нихъ укажемъ на слѣдующія:
В. Каганъ. Что такое алгебр а?—(42-ой семестръ)
эта статья издана Матезисомъ въ видѣ небольшой брошюры.
Авторъ, между прочимъ, обращаетъ вниманіе на то, что статьи
относящіяся къ вопросу расширенія понятія о числѣ, должны
быть отнесены къ ариѳметикѣ. предметомъ алгебры
*) Послѣ того, какъ этотъ докладъ былъ прочитанъ на съѣздѣ, вышелъ
первый номеръ журнала Московскаго математическаго кружка «Математиче-
ское Образованіе».

является изученіе алгебраическихъ функцій
и эту точку зрѣнія на содержаніе предмета алгебры авторъ
полагаетъ возможнымъ провести, хотя бы до нѣкоторой сте-
пени, въ выпускномъ классѣ средней школы.
2) По вопросу объ ирраціональныхъ числахъ читатели
найдутъ въ журналѣ статьи Ε. Смирнова и К. Лебединцева
(43-й и 44-й семестры).
Въ № 4, 45-го семестра помѣщена интересная статья
прив. доц. С. Виноградова «Новая книга по алгебрѣ». Авторъ
знакомитъ съ новымъ учебникомъ алгебры, принадлежащимъ
двумъ англійскимъ педагогамъ-математикамъ Барнарду и
Чайльду. Въ этой статьѣ указывается, что авторы разсма-
триваемаго учебника стремились создать такой курсъ элемен-
тарной алгебры, въ которомъ ярко выступала бы связь между
отдѣльными главами, выбравъ для этой цѣли понятіе о числѣ,
какъ центральное.
Разработку въ курсѣ понятій объ уравненіи и функціи
молено назвать, по словамъ С. Виноградова, образцовой.
Въ журналѣ «Педагогическій Сборникъ» отмѣтимъ статью
Лебединцева, помѣщенную въ Сентябрьской книжкѣ 1910 г. и
посвященную вопросу о постановкѣ курса алгебры въ средней
школѣ».
Послѣ этого доклада было сдѣлано слѣдующее заявленіе
К. Η. Деруновымъ.
К. Η. Деруновъ (Спб.), составитель книги «Примѣрный
библіотечный каталогъ» *), просилъ присутствовавшихъ помочь
библіографамъ, и ему въ частности, въ дѣлѣ подбора избран-
ной математической литературы. Указавъ на желательность
распространенія образцовыхъ популярныхъ изданій математиче-
скаго характера и отмѣтивъ неосвѣдомленность многихъ препо-
давателей и любителей математики относительно нѣкоторыхъ
*) Примѣрный библіотечный каталогъ. Избранная литература по всѣмъ
отраслямъ знанія. I и II части изд. Спб. 1908—1911 г.

изданій общаго математическаго или историко-философскаго
содержанія,—К. H. Деруновъ предложилъ выяснить путемъ об-
мѣна мнѣніями названія такого рода сочиненій. Кромѣ того,
К. H. Деруновымъ былъ предложенъ листъ съ небольшимъ пе-
речнемъ подобранныхъ имъ самимъ изданій, и составитель об-
ратился къ присутствовавшимъ съ просьбой вычеркнуть все
малоцѣнное или устарѣвшее и, наоборотъ, вписать тѣ сочине-
нія, которыя заслуживаютъ вниманія.
Математика.
15. Бертранъ Ж.-АриѲметпка. Спб. 01. 2 р. Изд. Пирожкова
16. „ Алгебра. 2 в. Спб. 99. 3 p.
17. Бобынинъ Б. В.—Философское, научное и педагогическое значеніе исторіи
[математики. M. 86. 50 к.
18- „ Происхожденіе, развитіе u современное состояніе исторіи
[математики M. 86. 50 к.
19. „ Изслѣдованіе по исторіи математики. M. 87—96. 1 p. 75 к.
20. „ Біографіи знаменитыхъ математиковъ XIX ст. M. 86—-94.
[3 p. 35 к.
21. Васильевъ Α.—Изъ исторіи и философіи понятія о цѣломъ положительномъ
[числѣ Кз. 91. 30 к.
22. „ Н. И. Лобачевскій. Кв. 94. 50 к.
23. Ващенко-Захарченко M. 3. Исторія математики т. I. Кв. 83. 6 p.
24. „ Алгебр, анализъ Кв. 87. 4 p. 50 к.
25. Веберъ и Вельштейнъ. — Энциклопедія элементарной математики. Изд.
[«Math», т. I. Од. 07. 3 p. 50 к.
26. Гауссъ, Бельтрами и др.—Объ основаніяхъ геометріи; 2 изд. Кз. 95, 1 р. 25 к.
27. Гельмгольцъ Г.—О происхожденіи и значеніи геометрическихъ аксіомъ.
[Изд. «Н. Об.» Спб. 95. 30 к.
28. Гельмгольцъ Г. Счёт и измерение Пр. Васильева. Кз, 93. 50 к.
Кронккеръ Л. Понятие о числе.
29. Гюнтеръ В.—Аналитическая геометрія. Спб. 04.
30. Дедекиндъ Р. — Непрерывность и ирраціональныя числа. Изд. «Math»
[Од. 06. 40 к.
31. Дюрингъ Е.—Мысли о лучшей постановкѣ преподаванія и изученія мате-
матики. Пр. Маракуева. М. 04. 1 р.
32. Ермаковъ В. П—Теорія вѣроятпостей. Кз. 79. 1 р. 50 к.
33. Клейнъ Ф.—Сравнительное обозрѣніе новыхъ геометрическихъ изслѣдова-
ній.—Пр. Синцова. Кз. 96. 35 к.
34. η . Лекціи по избраннымъ вопросамъ геометріи. Кз. 98. 75 к.
35. Клоссовскій А.—Символы элементарной математики. Од. 05.
36. Коптъ О.—Курсъ положительной философіи. Т. I. Изд. Гартье. Спб. 00.
37. Лежандръ.—Элементарная геометрія. 2 изд. Спб. 79.

38. Литвинова Ε. θ.—Η. И. Лобачевскій. Спб. 95. 25 к. Изд. Павленкова.
39. „ С. В. Ковалевская. Спб. 94. 25 к.
40. Лоренцъ Г.—Элементы высшей математики. 2 т. 2 изд. Сытина. (В. д. С.)
[М. 08. 5 р.
41. Люкасъ Э.—Математическія развлеченія. Изд. Павленкова. Спб. 83. 1 р.
42. Начала Евклида. Изд. Ващенко-Захарченко. Кв. 80 6 р.
43. Нернстъ В. и Шенфлисъ А.—Краткій и элементарный курс, дифференці-
альнаго и интегральнаго исчисленій.Изд. Ненашева. M. 01. 2 p.
44. Папелье Ж.—Начала анализа безконечно-малыхъ. Изд. Іовлева и Коротнева.
[В. I. Кз. 06. 1 р.
45- Перри Д.—Курсъ высшей математики., Изд. Гольстена 2 ч. Спб. 02—4.
46. Покровскій П. М.—Памяти К. Вейерштрасса. Кв. 98. 25 к.
47. Поссе К.—Курсъ дифф. и интегр. исчисленія. Спб. 03. 4 р.
48. Празднованіе Имп. Казан. Ун. 100-лѣтія годовщины дня рожденія H. И.
[Лобачевскаго. Ks. 94. 1 р.
49. Ройтманъ Д.—Начала геометріи. Спб. 05. 40 к.
50. Сборникъ научно-популярныхъ статей Пуанкарэ и др. по основаніямъ ариѲ-
метики. Пр. п. р. Парфентьева. Ks. 06. 1 р. 10 к.
51. Серрэ.—Тригонометрія. Пр. Вроблевскаго. Спб. 02.
52. Смирновъ А. В.—Объ аксіомахъ геометріи въ связи съ ученіемъ неогеоме-
метровъ. Кз. 94. 50 к.
53. Сомовъ П. О.—Векторіальный анализъ. Спб. 07. 2 р.
54. η Начертательная геометрія. 3 изд. Спб. 81. 2 p.
55. Суворовъ θ. M.—Объ основаніяхъ геометріи Лобачевскаго. Ks. 94. 20 к.
56. Тодгентеръ И.—Координатная геометрія на плоскости. Езд. Павленкова. Спб.
[01. 1 р. 50 к.
57. щ Начальн. теорія уравненіи. Изд. Вольфа 3 р.
58. η Алгебра. Изд. Павленкова. Спб. 91.
59. Тороповъ К.—Краткій курсъ прямолинейной тригонометріи. Прм. 95.
60. Филипповъ M.—Элементарная теорія вѣроятностей. Спб. 96. 40 к.
61. Фрейсинэ Ш.—Очерки философіи математики. 2 изд. «Обр.» Спб. 02. 60 к.
62. Шаль.—Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ
[методовъ. M. 83. 3 p.
63. Шереметевскій В.—Значеніе математическаго анализа для изученія при-
воды. M. 97. 40 к.
64. Эригъ Г.—Тригонометрія. Изд. «Фз. Лб». Нк. 05. 45 к.
6423. (II.) Адлеръ, Α.—Теорія геометрическихъ построеній. Изд. «Math.» Од. 10.
[2 р. 25 к.
6424. Белюстинъ, В.—Какъ постепенно дошли люди до настоящей ариѳметики.
[Изд. «Пд. Л.» М. 07. 75 к.
6425. Борель-Штекель.—Элементы математики. Изд, «Math». Од. 11. 3 р.
6426. Веберъ и Велльштейнъ. — Энциклопедія элементарной математики.
[Изд. «Math».
6427. Власовъ, А. К.—Теорія вѣроятностей. M. 0«. T. IL Од. 09—10. 5 p. 50 к.
6428. Володкевичъ, H. H—Къ вопросу о реформѣ преподаванія математики.
[Кв. Ю.40 к.
6429. Дедекиндъ, Р.—Непрерывность и ирраціональныя числа. Изд. «Math»
[Од. 08. 40 к.
6430. Каганъ, В. Ф—Основанія геометріи. Од. 07.

6431. Каганъ, В. Ф.—Что такое алгебра? Од. 10 40 к.
6432. Ковалевскій, Г.—Введеніе въ исчисленіе безконечно-малыхъ. Изд. «Math».
[Од. 09. 1 р.
6433. η Основы дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій. Изд.
[«Math». Од. 1. 13 p. 50 к.
6434. Кэджори. Ф.-Исторія элементарной матиматики.Изд.«Math*. Од. 10.2 р.50 к.
6435. Лапласъ.—Опытъ философіи теоріи вѣроятностей. Пер. п. p. Власова.
[M. 08. 1 p.
6436. Лоджъ, О.—Легкая математика. Изд. Сытина. М. 09. 1 р. 60 к.
6437. Лоренцъ, Г.—Элементы высшей математики. 3 изд. Сытина. T. I. М. 10.
6438. Марковъ, А.—Исчисленіе вѣроятностей. Спб. 08.
6439. Морозовъ, Н.—Начала векторіальной алгебры. Изд. «Общ.Плз.» Спб. 09. 2 р.
6440. Перри, Д.—Практ. математика. Изд. Сытина. M. 08. 90 к.
6441. Фоссъ, Α.—О сущности математики. Изд. «Phys.» Спб. 11. 85 к.
Къ заявленію К. H. Дерунова собраніе отнеслось съ инте-
ресомъ, но, вѣроятно, изъ-за недостатка времени и утомленія
присутствовавшихъ—просьба К. Н. осталась въ концѣ-концовъ
неудовлетворенной.
II. Обзоръ нѣкоторыхъ руководствъ по элементарной геометріи.
Докладъ А. Р. Кулишера (Спб.).
«Въ обзорѣ руководствъ по элементарной геометріи я оста-
новлюсь на описаніи, главнымъ образомъ, слѣдующихъ семи
сочиненій 1) Лаццери и Б а с с а н и *). Начала геометріи.
2) Генрици и Трейтлейнъ. Учебникъ элементарной гео-
метріи. 3) Мерэ. Новыя начала геометріи. 4) Веронезе.
Начала геометріи. 5)Энрикесъ и Амальди. Начала гео-
метріи. 6) Клейнъ. Вопросы элементарной и высшей мате-
матики т. II гл. 3 и 7) Энрикесъ, Вопросы элементарной гео-
метріи. Сверхъ того, въ связи съ книгой Мерэ, нельзя бу-
детъ не упомянуть о примыкающихъ къ ней двухъ учебни-
кахъ Бурлэ и Бореля—8 и 9. Послѣдніе два учебника и первыя
*) G. Lazzeri und A. Bassani. Elemente d. Geometrie. Переводъ съ
2-го итальянскаго изд. (1-е изд. вышло въ свѣтъ въ 1891 г.). Р. Treu tr-
ie i n'a Berlin, 1911 г. ХУІ+491 стр. (большой форматъ).
2)1. Henrici et P. Treutlein. Lehrbuch d. Elementar-Geometrie. Изд.
4-е, Лейпцигъ, 1910 (1-е изд., 1891 г.). 571 стр. (большой форматъ).

пять изъ названныхъ сочиненій характерны для существующихъ
на Западѣ теченій въ преподаваніи геометріи и вмѣстѣ съ тѣмъ
позволяютъ намъ въ томъ случаѣ, если бы мы согласились съ
точкой зрѣнія авторовъ, непосредственно приложить на прак-
тикѣ въ преподаваніи ту или другую часть разработанныхъ
ими курсовъ и отчасти избавить себя и учениковъ отъ нѣ-
которыхъ ошибокъ и увлеченій, сопровождающихъ всякое зна-
чительное измѣненіе въ преподаваніи. Хотя первыя изданія
этихъ книгъ помѣчены датами довольно отдаленными, но идеи,
въ нихъ заключающіяся, даже на родинѣ авторовъ получили
широкое распространеніе лишь въ послѣднее десятилѣтіе, а не
являются сколько-нибудь устарѣлыми. Сочиненія же Клейна
и Энрикеса (6 и 7 въ нашемъ спискѣ) могутъ освѣтить
преподавателю геометріи его путь съ болѣе широкихъ точекъ
зрѣнія. Что касается до литературы по элементарной геометріи
за послѣдніе годы на русскомъ языкѣ, то я ее здѣсь не раз-
сматриваю, такъ какъ предполагаю, что по поводу другихъ
докладовъ, соприкасающихся съ даннымъ предметомъ и помѣ-
щенныхъ въ программѣ занятій Съѣзда, докладчики и лица,
принимающіе участіе въ преніяхъ, быть можетъ даже не ка-
саясь самихъ учебниковъ, отмѣтятъ все сколько-нибудь для
послѣднихъ характерное. Къ тому же учебную литературу на
русскомъ языкѣ обсуждаютъ всегда въ многочисленныхъ ре-
цензіяхъ, помѣщаемыхъ въ журналахъ.
3) Ch. M é r a y. nouveaux Éléments de Géométrie. Изд. 3-е Дижонъ
1906 г., 309 стр.
[В о r el. Géométrie. С. В our le t. Cours abrégé de géométrie (см. ниже)].
4) G. V e r o n e s e. Elementi di Geometria. 4-е изд. (1-е изд. въ 1897 г.)
Падуя. 1909 г. (мал. форм.), 384 стр.
5) F. Enriques et U. A m al d i. Elementi di Geometria. 5-е изд. (1-е
Изд. въ 1903 г.). Болонья, 1911 г. (мал. форматъ) 616 стр...
6) F. Klein. Elementar-Mathematik vom höheren Standpunkte aus. Т. II.
Лейпцигъ, 1909 г., 514 стр., въ изд. Mathesis печатается русскій переводъ.
7) F. Enriques. Fragen d. Elementar-Mathematik. Перев. съ итальянскаго
(1-е изд. 1900 г.) XI + 714; согласно проспекту въ издательствѣ Physice готов,
русскій переводъ.
8) E. В о r e 1. Géométrie. Парижъ, 1905 г., Х+383 (мал. форм.).
9) С В ourle t. Cours abrégé de Géométrie. Парижъ, 1908 г., XXII+
646 стр. (мал. форм.).

I. Мы представимъ себѣ характеръ сочиненія Лаццери
и Б асе а ни, быть можетъ, наиболѣе ясно, если остановимся
подробно на одной изъ пяти «книгъ», на которыя распадается
эта работа, и лучше всего на первой «КНИГЕ».
По выясненіи того, какимъ путемъ создаются у насъ
конкретныя представленія о пространствѣ, тѣлѣ,
поверхности, линіи и точкѣ, авторы на протяженіи пяти
страницъ крупнаго формата (за вычетомъ небольшого числа
строкъ, посвященныхъ второстепеннымъ опредѣленіямъ и НЕ-
КОТОРЫМЪ поясненіямъ) излагаютъ первые 7 постулатовъ и
ихъ подраздѣленія. Это будутъ: I пост у латъ о геометриче-
скихъ образахъ; II и III постулаты движенія; ІУ посту-
латъ о дѣлимости на части пространства, поверхностей и
линій; V-й постулатъ опредѣляющій прямую; УІ-й посту-
латъ опредѣляющій плоскость) УП-й постулатъ, опредѣ-
ляющій взаимное расположеніе плоскостей и также пря-
мыхъ, другъ съ другомъ пересѣкающихся или совмѣщающихся.
Двумя доказанными на основаніи этихъ постулатовъ те-
оремами и слѣдствіями изъ нихъ заканчивается первый
отдѣлъ (Abschnitt) первой книги. Во второмъ отдѣлѣ разби-
рается вопросъ объ отрѣзкахъ и углахъ линейныхъ
и двугранныхъ. Отрѣзкамъ, какъ таковымъ, удѣлено очень
немного мѣста, по сравненію съ разбираемыми ниже курсами
Энрикеса-Амальди и Веронезе. Уголъ линейный
(двугранный) опредѣляется, какъ одна изъ двухъ частей, на
которыя раздѣляются плоскость (пространство) двумя полу-
прямыми, выходящими изъ одной точки (полуплоскостями, про-
ходящими черезъ одну прямую). УП-ой Постулатъ сколь-
женія или сдвига, а также вращенія прямой и плоскости, слѣд-
ствіемъ изъ котораго является равенство развернутыхъ
угловъ. ІХ-й Постулатъ Архимеда и рядъ теоремъ и
слѣдствій, съ нимъ связанныхъ, отрѣзки и углы подводятся
подъ понятія классовъ величинъ. Третій отдѣлъ (начи-
ная съ стр. 25) отводится совмѣстному изученію основныхъ
свойствъ круга и шара, и пересѣченіи окружности, закан-
чивающемуся установленіемъ (путемъ доказательствъ) пропор-
ціональности между центральными углами и соотвѣтствен-

ными имъ дугами, съ одной стороны, и аналогичной зависи-
мостью между сферическими двусторонниками и
соотвѣтствующими имъ двугранными углами, съ другой сто-
роны. Четвертый отдѣлъ (стр. 35 — 51) посвященъ сов-
мѣстному же изслѣдованію параллельности прямыхъ
и плоскостей, при чемъ признакомъ параллельности
прямыхъ, находящихся въ одной плоскости, является ихъ
непересѣченіе. Доказывая параллельность такихъ прямыхъ
при равенствѣ угловъ, внутреннихъ на-крестъ лежащихъ,
авторы "перекладываютъ» отрѣзокъ сѣкущей (такъ, чтобы
прежнее начало его совпадало съ прежнимъ концомъ и об-
ратно) заключенный между 2-мя параллельными вмѣстѣ съ
соотвѣтствующей частью плоскости, при томъ такъ, чтобы
эта часть, находившаяся вправо отъ сѣкущей, была наложе-
на на часть, находившуюся влѣво. Для насъ важно отмѣтить
лишь тотъ фактъ, что тутъ при доказательствѣ пользуются (съ
полнымъ правомъ) движеніемъ, которое раньше было над-
лежащимъ образомъ постулировано. По содержанію своему
этотъ отдѣлъ мало разнится (но все же разнится) отъ того,
что обычно мы находимъ въ соотвѣтственныхъ частяхъ кур-
совъ планиметріи и стереометріи, если только не забыть, что
здѣсь вопросъ трактуется одновременно на плоскости и въ
пространствѣ, и что тутъ неминуемо читатель встрѣтитъ нѣко-
торыя мелкія интересныя детали, обусловленныя самимъ по-
строеніемъ сочиненія. Въ теоремахъ 53, 54, 55 и 56 уста-
навливается возможность дѣленія отрѣзковъ (при томъ
только однимъ способомъ) на любое число разныхъ частей и
раздѣленія на 2, 4, 8 и т. д. равныхъ частей угловъ ли-
нейныхъ и двугранныхъ и указываются способы выпол-
ненія этихъ построеній.
Въ пятомъ отдѣлѣ(стр. 52—61), аналогично предыдущему
четвертому отдѣлу, изучается вопросъ о перпендикуляр-
ности прямыхъ и плоскостей (въ частности доказатель-
ство перпендикулярности прямой къ плоскости основы-
вается на вращеніи). Разсмотрѣно также построеніе крат-
чайшаго разстоянія между двумя не пересѣкающимися прямыми,
не лежащими въ одной плоскости (что же касается до равен-

ства прямыхъ угловъ, то оно является слѣдствіе равенства раз-
вернутыхъ угловъ, а, стало быть, и ихъ половинъ; въ отличіе
отъ многихъ обычныхъ доказательствъ съ тѣмъ же ходомъ
мысли, здѣсь при всей простотѣ вывода каждый шагъ над-
лежащимъ образомъ обоснованъ, но это, разумѣется, не
единственный путь доказательства равенства прямыхъ
угловъ).
На 61-ой страницѣ дается опредѣленіе симметріи отно-
сительно точки, оси и плоскости, а также симметріи фи-
гуры относительно ея самой, съ указаніемъ примѣровъ сим-
метріи въ изученныхъ фигурахъ и тѣлахъ.
Въ промежуткѣ между 4-мъ и 5-мъ постулатами дано опре-
дѣленіе однозначнаго соотвѣтствія, которымъ и пользу-
ются въ соотвѣтственныхъ мѣстахъ изложенія, нѣсколько из-
мѣняя обычную формулировку положеній. Не упущенъ изъ
виду также вопросъ о направленіи сторонъ угла. Книга заканчи-
вается спискомъ теоремъ (числомъ 33), геометрическихъ мѣстъ
(47 вопросовъ) и задачъ (74 задачи), трудность которыхъ та-
кова, что съ ними можетъ справиться средній ученикъ, добро-
совѣстно проработавшей предшествующія страницы. Эти заклю-
чительные вопросы подобраны съ тщательностью и притомъ
такъ, что при разрѣшеніи хотя бы даже небольшого числа
учащійся найдетъ здѣсь матеріалъ не только для укрѣпленія
въ памяти изученныхъ отдѣловъ, но и для послѣдовательнаго
ихъ развитія.
Во вторую книгу вошли многоугольники, въ част-
ности треугольники (линіи ломаныя, стороны треугольника и
углы, зависимость между ними и т. д.).
Равенство треугольниковъ мы находимъ на стр. 79,
затѣмъ идутъ теоремы, относящіяся къ равенству много-
угольниковъ; въ общемъ довольно близкое къ обычному
разсмотрѣніе параллелограмма, прямоугольника, ромба.
Но на страницѣ 94-й мы опять возвращаемся къ пространству
трехъ измѣреній и знакомимся съ многограннымъ угломъ,
взаимнымъ расположеніемъ его плоскихъ угловъ въ от-
дѣльныхъ случаяхъ, съ угломъ треграннымъ, при-
знаками равенства угловъ трехгранныхъ, построе-

ніемъ тѣхъ и другихъ, достаточно обстоятельнымъ разсмотрѣ-
ніемъ многогранниковъ вообще, пирамидъ и призмъ
въ частности.
Удѣливъ еще 4 страницы параллелепипеду (125 —
128 стр.), авторы переходятъ къ нѣкоторымъ несложнымъ тео-
ремамъ и основнымъ построеніямъ на плоскости и въ простран-
ствѣ (геометрическое мѣсто точекъ, равно удаленныхъ отъ кон-
цовъ отрѣзка, отъ двухъ точекъ на плоскости и т. п., опусканіе
перпендикуляра на прямую изъ данной точки, дѣленіе угла
на плоскости на двѣ равныя части и т. д.).
Приложено къ второй книгѣ 236 теоремъ, предложеній, от-
носящихся спеціально къ геометрическимъ мѣстамъ, и задачъ,
также тщательно подобранныхъ, какъ и въ первой книгѣ. Ха-
рактеръ книги, думается, настолько опредѣленъ указанной
выше послѣдовательностью въ распредѣленіи матеріала въ пер-
вой книгѣ, что въ дальнѣйшемъ, говоря о содержаніи сочи-
ненія достаточно будетъ отмѣтить лишь нахожденіе въ книгѣ
страницъ, на которыхъ разсматриваются вопросы о совокуп-
ностяхъ окружностей и совокупностяхъ сферъ (ихъ сте-
пени), геометрія на сферѣ, инверсія, общее ученіе о рав-
новеликости и его приложеніяхъ (260 — 307 стр.), соиз-
мѣримыя и несоизмѣримыя геометрическія величины,
вопросъ о подобномъ расположеніи и подобіи и что
число всѣхъ дополнительныхъ вопросовъ для самостоятель-
ныхъ работъ учениковъ въ книгѣ равно 1066.
Эта книга можетъ быть полезна для преподавателя:
во 1-хъ, какъ образецъ талантливаго, увѣреннаго,
смѣлаго, не поверхностнаго соединенія планиметріи съ
стереометріей;
во 2-хъ, какъ руководство, въ которомъ имѣется, помимо
богатаго матеріала, много страницъ, гдѣ знакомые намъ
по обычнымъ курсамъ, въ нѣсколько отрывочной формѣ, вопросы
излагаются особенно сжато и связно;
въ 3-хъ потому, что авторы, пользуясь въ своихъ дока-
зательствахъ время отъ времени движеніемъ (въ томъ
смыслѣ, какъ мы понимаемъ движеніе твердыхъ тѣлъ), счи-
таютъ необходимымъ обосновать это движеніе (равно какъ

и всѣ остальные моменты изложенія) соотвѣтственными по-
стулатами. Сверхъ того, они отводятъ движенію огра-
ниченную роль.
4) Въ книгѣ тщательно проведено и выяснено раздѣленіе
матеріала на вопросы чисто геометрическіе и тѣ пункты,
гдѣ приходится оперировать при помощи числа.
δ) Книга при всей простотѣ и конкретности ея основныхъ
положеній (постулатовъ) можетъ служить въ средней школѣ
примѣромъ системы дедуктивныхъ умозаключений
(интересно также введеніе къ ней).
6) Сочиненіе является, въ силу сказаннаго, учеб-
никомъ доказательнаго курса геометріи, хотя, ко-
нечно, нѣтъ надобности брать книгу во всемъ ея объемѣ, осо-
бенно въ виду нахожденія въ ней нѣсколькихъ не вполнѣ вы-
держанныхъ по изложенію мѣстъ.
П. Учебникъ Генрици и Трейтлейна *) состоитъ изъ
трехъ частей (отдѣльныя книжки): въ первой содержится
план им e τ pi я за исключеніемъ вопроса о подобіи, пер-
спективномъ расположеніи фигуръ и измѣреніи длины
периметра правильныхъ многоугольниковъ, длины окру-
жности и площади круга, вошедшихъ вмѣстѣ съ эле-
ментами проективной геометріи на плоскости и очень
основательнымъ курсомъ тригонометріи, и изученіемъ
коническихъ сѣченій во вторую часть (239 страницъ); на-
конецъ, третья часть содержитъ обычныя главы стереоме-
тріи и сферической тригонометріи въ изложеніи,
соотвѣтствующемъ тому, какое принято въ первыхъ двухъ
частяхъ, элементы начертательной геометріи и допол-
нительное ученіе о коническихъ сѣченіяхъ) всего въ
3-ей части 240 стр.).
На первыхъ 19 страницахъ авторы разсматриваютъ основ-
ные геометрическіе образы и возможность возникно-
венія ихъ посредствомъ движенія, расположеніе двухъ
точекъ на прямой и двухъ прямыхъ на плоскости, отрѣзки,
направленіе прямыхъ, совмѣстимость равныхъ отрѣз-
ковъ, опредѣленіе угла, какъ части плоскости и какъ
образа, возникающего при в ращеніи прямой, первыя τ e о-

ремы относительно смежныхъ и прямыхъ угловъ, опре-
дѣленіе параллельности и харатеристика прямоли-
нейныхъ фигуръ на основаніи сторонъ фигуры и ея
угловъ; ихъ совмѣстимость, указаніе возможности совмѣ-
стимости плоскихъ фигуръ и ихъ совмѣщенія путемъ
слѣдующихъ 4-хъ видовъ движенія: 1) вращенія вокругъ
точки въ плоскости самой фигуры; 2) поворота пло-
скости фигуры вокругъ оси, лежащей въ этой плоскости на
два прямыхъ угла; 3) сдвига фигуры въ ея плоскости;
4) вращенія фигуры въ ея плоскости на опредѣленный уголъ.
Заканчиваются первыя двѣ главы (19 стр.) разсмотрѣніемъ
характера тѣхъ ум о заключеній, съ которыми прихо-
дится имѣть дѣло въ геометріи, то есть тѣмъ, съ чего книга
Лаццери и Бассани начинается. Мы не находимъ
также тѣхъ явно выраженныхъ постулатовъ, на которыхъ
строятъ свое изложеніе авторы предыдущей книги. Тутъ насъ
знакомятъ съ нѣкоторыми образами, а также съ нѣко-
торыми пріемами измѣненія положенія этихъ образовъ,
молчаливо опираясь при этомъ на нашъ опытъ въ области
перемѣщеній твердыхъ тѣлъ въ окружающемъ насъ
мірѣ. Но начиная съ третьей главы, при помощи такого, на-
примѣръ, геометрическаго образа (см. книгу) вскрывается бо-
лѣе детально характеръ вращенія фигуры вокругъ точки
и сразу черезвычайно просто и изящно доказывается рядъ
теоремъ, и слѣдствій относящихся къ угламъ съ вза-
имно параллельными и перпендикулярными сторо-
нами. Учащійся долженъ неминуемо увидѣть, что въ его рас-
поряженіи имѣются весьма цѣнные способы изслѣдо-
ванія плоскихъ фигуръ, и это представленіе, благодаря
мастерскому расположенію авторами матеріала, учащійся мо-
жетъ пріобрѣсти основательно изучивъ подъ руководствомъ
преподавателя всего 29 первыхъ страницъ!
Равнымъ образомъ поворотъ плоскости фигуры на
два прямыхъ угла даетъ поводъ связать это движеніе
съ вопросомъ о симметріи относительно оси, что въ
свою очередь сопровождается разсмотрѣніемъ съ соотвѣтствую-
щей точки зрѣнія равнодѣлящей угла, прямой перпен-

дикулярной къ отрѣзку и проходящей черезъ его
середину и свойствъ элементовъ равнобедренныхъ
треугольниковъ, неравныхъ отрѣзковъ въ треуголь-
никѣ, а также его «примѣчательныхъ» точекъ (все это образуетъ
главу четвертую 29—38 стр.). Тутъ умѣстно будетъ указать,
что въ разсматриваемой книгѣ широко примѣняется съ
самаго же начала пріемъ изложенія, основанный на
соотвѣтствіи нѣкоторыхъ свойствъ геометрическихъ образовъ,
на двойственности, пріемъ широко использованный въ
проективной геометріи и въ послѣднее время встрѣ-
чающійся въ нѣкоторыхъ руководствахъ по элементарной,
геометріи. Пріемъ этотъ изобрѣтенный Жергонемъ,
состоитъ въ расположеніи въ два столбца соотвѣтствен-
ныхъ опредѣленій и теоремъ. Такъ у нашихъ авторовъ
мы найдемъ уже на стр. 15 слѣдующія строки:
на стр. 17:
Три точки, соединенныя тремя
прямыми, образуютъ треуголь-
никъ.
Три прямыя, взаимно пересѣ-
кающіяся въ трехъ точкахъ, образу-
ютъ трехсторонникъ.
Въ совмѣстимыхъ фигурахъ:
a) соотвѣтствующія точки лежатъ
на соотвѣтствующихъ прямыхъ.
b) прямой соединяющей двѣ точки
соотвѣтствуетъ прямая, соединяющая
соотвгьтственныя же двѣ точки.
a) соотвѣтствующія прямыя про-
ходятъ черезъ соотвгьтственныя же
точки.
b) Точкѣ пересѣченія (а также углу)
двухъ прямыхъ отвѣчаетъ точка пере-
сѣченія (а также уголъ) соотвѣтст-
венныхъ прямыхъ.
Или, скажемъ, на стр. 31, гдѣ рѣчь идетъ о равнобедрен-
ныхъ треугольникахъ.
1. Если m равнодѣлящая угла
между прямыми α и δ, то на этихъ
послѣднихъ имѣется рядъ точекъ А
и B, которыя при поворотѣ фигуры
вокругъ m на два прямыхъ угла по-
парно совпадаютъ; каждая такая
пара точекъ вмѣстѣ съ точкой пере-
сѣченія прямыхъ а и b (точкой С)
является концами раннихъ отрѣз-
ковъ.
Точки А, В, С образу ютъ тре-
угольникъ съ двумя равны-
ми сторонами.
1. Если точки А и В расположены
на равныхъ разстояніяхъ отъ пря-
мой ж, то инъ этихъ точекъ можно
пронести рядъ полулучей, а и b ко-
торые при поворотѣ фигуры на два
прямыхъ угла вокругъ m попарно
совпадаютъ; каждая такая пара по-
лулучей вмѣстѣ съ отрѣзкомъ между
А и В (отрѣзкомъ с) образуютъ соот-
вѣтстненно равные углы.
Прямыя α, δ, с образуютъ трех-
сторонникъ съ двумя равны-
ми углами.

Читатель безъ труда укажетъ много примѣровъ изложе-
нія въ два столбца на послѣдующихъ страницахъ.
Немалый интересъ въ первой книгѣ представляетъ изло-
женіе вопроса о равновеликости фигуръ *).
Не вдаваясь въ дальнѣйшее описаніе книги отмѣтимъ
нѣкоторыя важнѣйшія ея особенности:
1) Со стороны содержанія книга заключаетъ въ себѣ,
кромѣ элементарной геометріи, еще тригонометрію плоскости и
сферы, начала проективной, аналитической и начертательной
геометріи и большое собраніе задачъ.
2) При изложеніи планиметріи авторы не вводятъ
соотвѣтственныхъ вопросовъ стереометріи (быть можетъ, это
распредѣленіе матеріала было въ свое время нѣкоторой уступ-
кой мнѣнію руководящихъ круговъ германской школы: пе-
реводъ книги Лаццери и Вассани на нѣмецкій языкъ
выполненъ Трейтлейномъ и въ предисловіи своемъ къ
послѣднему сочиненію переводчикъ выражаетъ пожеланіе
относительно хотя-бы частичнаго проникновенія въ школу
даннаго пріема изложенія).
3) Изложеніе опирается не на явно указанную систему
постулатовъ (хотя бы и обширную), но на группу фак-
товъ связанныхъ съ нашими представленіями о пространствѣ
и совершающихся въ немъ движеній.
4) Авторы широко пользуются при изложеніи движе-
ніемъ, но дѣлаютъ это въ превосходной съ педагогической
точки зрѣнія формѣ и при томъ такъ, что вся книга произ-
водитъ впечатлѣніе чего-то единаго.
5) Съ другой стороны, во всѣхъ вопросахъ изложеніе
ведется, такъ сказать, въ направленіи проективномъ.
6) Достаточно отчетливо проведена грань между гео-
метріей измѣренія и геометріей положенія.
7) Весьма интересны для педагога пріемы из-
ложенія, состоящіе въ томъ, что общія положенія
время отъ времени даются въ книгѣ лишь послѣ того, какъ
х) См. статью Дарбу въ сочиненіи Rouse-Ball Histoire des Mathé-
mati bues, v. II, p. 2*36. Парижъ 1907.

разработаны соотвѣтственныя частныя теоремы, а также въ
распредѣленіи ряда положеній въ два столбца.
III. Сочиненіе профессора Дижонскаго университета Мер э,
опирающееся на работу геометровъ главнымъ образомъ послѣд-
няго вѣка, было написано болѣе 35 лѣтъ тому назадъ, когда
высказанныя авторомъ соображенія относительно направле-
нія преобразованія преподаванія геометріи не могли быть
достаточно оцѣнены ни широкими кругами соотечественни-
ковъ, ни въ другихъ странахъ. Зато послѣднія оффиціаль-
ныя программы французской средней школы уже примы-
каютъ къ плану, намѣченному Мерэ. Подробное изложеніе
первыхъ двухъ книгъ въ нашемъ обзорѣ значительно облег-
чаетъ намъ характеристику сочиненія Мерэ, т. к. авторы
ихъ ярко воплотили въ своихъ учебникахъ идеи, заключающіяся
въ послѣдней работѣ, хотя, разумѣется, сочиненіе Мерэ было
только частью тѣхъ новыхъ въ дидактическомъ отношеніи
работъ, которыми располагали авторы итальянскаго *) и нѣ-
мецкаго учебниковъ. Въ соотвѣтствій съ тѣмъ, что нами
только что было сказано, основными идеями Мерэ будутъ—
примѣненіе движенія, какъ принципа изложенія, слія-
ніе планиметріи и стереометріи и (до извѣстной сте-
пени) проведеніе проективной точки зрѣнія. Авторъ всюду
старается показать, гдѣ находятся корни тѣхъ абстрактныхъ
представленій, которыми мы пользуемся въ геометріи и далеко
не всѣ приводимыя имъ поясненія стали при помощи соотвѣт-
ственныхъ руководствъ достояніемъ учительскихъ круговъ. У
него нѣтъ явно выраженной системы постулатовъ, но, будучи
приверженцемъ изложенія, основаннаго на движеніи 2), онъ
позволяетъ себѣ говорить о перенесеніи только послѣ цѣ-
лаго ряда теоремъ; ту же осторожность мы видимъ и въ дру-
гихъ мѣстахъ этой работы. Время отъ времени мы встрѣчаемся
съ обобщенными предложеніями, связывающимъ сразу въ одно
цѣлое такіе образы, какъ, прямую, уголъ, часть плос-
кости между двумя параллельными прямыми и часть про-
1) См. ниже указаніе на статью профессора Векки.
2) Ниже нами будутъ указаны руководства, въ которыхъ понятіе дви-
женія выключено.

странства между двумя параллельными плоскостями... Въ
другомъ мѣстѣ мы встрѣчаемся съ такимъ характернымъ вы-
раженіемъ, какъ «вырожденіе трехгранной пирамиды» въ плос-
кій образъ, гдѣ всѣ четыре ея вершины будутъ лежать въ
одной плоскости. Проективная точка зрѣнія особенно ясно
выступаетъ въ изложеніи свойствъ фигуръ подобно-
расположенных ъ. При всей внутренней стройности и за-
конченности геометрическаго зданія, при множествѣ мѣстъ
разработанныхъ настолько, что ихъ можно примѣнить непо-
средственно къ преподаванію, при множествѣ разсѣянныхъ
намековъ на возможность того или другого способа изложенія,
сочиненіе Мерэ остается книгой для преподавателя весьма по-
лезной, но и не особенно легкой для чтенія.
Учебники Бореля и Бурле, построенные примѣнительно
къ педагогическимъ идеямъ Мерэ, написаны болѣе сжато, чѣмъ
книги Бассани и Трейтлейна, не обладаютъ ихъ рельеф-
ностью со стороны разработки матеріала въ той мѣрѣ и
съ тѣмъ освѣщеніемъ, какія мы желали бы видѣть въ средней
школѣ, но заключаютъ небезъинтересныя иллюстраціи. Со сто-
роны содержанія надо отмѣтить въ каждой изъ нихъ нѣ-
сколько вопросовъ тригонометріи, поскольку послѣдніе необхо-
димы при первоначальныхъ вычисленіяхъ элементовъ тре-
угольниковъ.
Книгѣ Бореля предпосланъ краткій обзоръ курса, обзоръ,
который однако ни въ какомъ случаѣ нельзя признать доста-
точнымъ въ качествѣ пропедевтическаго курса. Въ книгѣ
Бурле планиметрія отдѣлена отъ стереометріи. Въ
книгѣ Бореля часть работы чисто геометрическая
предшествуетъ той, въ которой разсматривается вопросъ
объ измѣреніи площадей и объемовъ. Очень хорошо
изложены въ книгѣ Бурле въ его стереометріи начала на-
чертательной геометріи, которой онъ пользуется какъ
при изученіи тѣлъ, такъ и въ теоріи тѣней. Не забыты въ
обоихъ учебникахъ коническія сѣченія, а также нѣкоторыя
другія кривыя. Въ томъ видѣ, какой учебники эти имѣютъ
теперь, они, несмотря на новизну и талантливость изложенія,
проигрываютъ по сравненію съ сочиненіями Бассани и

Трейтлейна. При нѣкоторыхъ видоизмѣненіяхъ (вѣроятно,
опытъ французской школы укажетъ авторамъ, каковы должны
быть эти измѣненія) книги, цѣнныя уже теперь для препода-
вателя школы (главнымъ образомъ французской) не будутъ вы-
зывать тѣхъ возраженій, какіе невольно возникаютъ у обо-
зрѣвателя теперь.
При описаніи двухъ учебниковъ другого характера мы
ограничимся лишь слѣдующими немногими строками, взятыми
изъ статьи профессора Векки1).
...«Отъ евклидовой системы откололась цѣлая группа руко-
водствъ, выходившихъ въ свѣтъ одно за другимъ, внося въ
школу результаты критики основъ геометріи, и, стало быть,
болѣе высокую степень точности и строгости. Это теченіе
завершается появленіемъ « Элементовъ Геометріи » Веро-
незе 2). Уже въ своихъ «Основахъ геометріи многихъ измѣ-
реній и многократно именованныхъ прямолинейныхъ единицъ,
изложенныхъ въ элементарной формѣ» 3), опираясь на глубокій
анализъ основоначалъ, этотъ извѣстный ученый далъ въ изло-
женіи своей геометрической системы руководящіе принципы.
Въ названныхъ «Началахъ» онъ даетъ (предварительно въ
формѣ школьнаго руководства) при помощи точно выполнен-
наго теоретическаго изслѣдованія, строгое изложеніе и логи-
ческое обоснованіе элементарной геометріи. Выключивъ при
помощи превосходныхъ по силѣ критическаго анализа сообра-
женій понятіе о движеніи, характеризующее предшествующія
руководства, онъ перечисляетъ въ явномъ видѣ всѣ посту-
латы, которые заложены въ фундаментъ его зданія, и дѣлаетъ
обращеніе къ интуиціи, желая тѣмъ освободить мышленіе: онъ
отправляется отъ одного единственнаго основного понятія, по-
нятія о точкѣ, изъ котораго логически слѣдуетъ построеніе
другихъ геометрическихъ образовъ, причемъ существованіе
J) Маріо Векки. Характеристика главнѣйшихъ руководствъ по элемен-
тарной геометріи, вышедшихъ въ свѣтъ въ Италіи за послѣднее пятидесяти-
летие. См. книгу Юнга. Какъ преподавать математику. Спб. 1912. прилож. 1-ое.
2) G. Veronese. Mementi di Geometria- Падуя. 1897.
3) G. Veronese. *Fondamenti di Geometria a più dimensioni*... Падуя,
1891. Имѣется нѣмецкій переводъ, выполненный A. ScheppWb, Лейп-
цигъ, 1894.

этихъ послѣднихъ уже нѣтъ болѣе необходимости постулиро-
вать. Наиболѣе характерной чертой разсматриваемаго сочине-
нія является оригинальная теорія равенства, понимаемаго какъ
извѣстное соотвѣтствіе; за основное понятіе принята здѣсь
совмѣстимость отрѣзковъ; къ нему затѣмъ послѣдовательно
приводится совмѣстимость другихъ образовъ. Опредѣленію парал-
лельности и постулату параллельности, которые фигурируютъ
у Евклида, авторъ придаетъ форму, болѣе согласную съ вы-
ставленнымъ требованіемъ выражать въ постулатахъ только тѣ
наблюденія, которыя осуществлены; что касается «фузіонизма»,
то въ этой книгѣ установлены общія свойства прямой плоско-
сти и пространства, что даетъ автору возможность трактовать
затѣмъ одновременно спеціальные вопросы: теорію равенства
подобія и измѣренія величинъ. Веронезе, который въ нѣ-
сколько лѣтъ выпустилъ рядъ изданій своего руководства, за-
вершилъ циклъ этого рода книгъ, составивъ учебники геоме-
тріи для средней школы различныхъ типовъ въ соотвѣтствіи
съ программами 1900 года, внося въ каждый изъ нихъ свое
тонкое критическое чутье и большія знанія элементарной
геометріи.
Большое сочиненіе профессора Федериго Энрикеса,
о которомъ упомянуто выше въ замѣткѣ Марио Векки и
которое включено нами въ настоящій обзоръ, состоитъ изъ
17 работъ, содержащихъ въ себѣ какъ изложеніе крупныхъ
наиболѣе теоретическихъ результатовъ, достигнутыхъ геоме-
тріей въ 19 столѣтіи, такъ и вопросъ о разнаго рода π острое-
ніяхъ, ихъ осуществимости и осуществленіи.
Уже въ 1900 году вышли въ свѣтъ «Вопросы элемен-
тарной геометріи)) Φ. Энрикеса1), который въ этой
своей книгѣ въ систематической формѣ изучилъ и разобралъ
основные вопросы, относящіеся къ предмету сочиненія, опре-
дѣленно удѣляя свое вниманіе требованіямъ педагогическимъ.
Книга, состоящая только изъ оригинальныхъ и чрезвы-
чайно цѣнныхъ статей, была вѣрно задумана и имѣла успѣхъ.
J) F.Enriques. „Questioni rigardanü delà geometria elementare".Болонья,
1900. Нѣм. переводъ: Die Fragen der Elementar géométrie. Берлинъ 1911 г. Есть
русскій переводъ 1913 г.

Въ ней приняли участіе ученые и дѣятельные работники;
много исключительнаго труда положилъ на эту работу уже
знаменитый геометръ Федериго Энрикесъ, бывшій
вдохновителемъ и руководителемъ изданія, и стоявшій въ
преддверіи своей славы Уго Амальди.
Книга должна служить пособіемъ къ «Элементамъ гео-
метріи)), выпущеннымъ въ свѣтъ обоими названными авто-
рами въ 1903 году Особая цѣнность руководства объя-
сняется тѣмъ, что въ немъ съ удивительной гармоніей соче-
таются строго научное изложеніе основоначалъ и соблюденіе
наиболѣе тонкихъ требованій педагогическаго характера; на
смѣну выключеннаго авторами принципа движенія, они вво-
дятъ понятіе о равенствѣ но не только отрѣзковъ, но и
угловъ, примыкая такимъ образомъ ко взглядамъ Гильберта,
постулаты котораго въ существенныхъ чертахъ тутъ нашли
себѣ мѣсто. Конгруэнція другихъ образовъ устанавливается
шагъ за шагомъ въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ при помощи
соотвѣтственныхъ частныхъ опредѣленій, связывающихъ ее съ
конгруэнціей отрѣзковъ и угловъ, которые въ данный образъ
входятъ 2).
Новизна и строгость придается цѣнность также изложе-
нію теоріи равновеликое™, которое тутъ представлено въ формѣ
совершенно необычной и законченной. Для многоугольниковъ
и призмъ сопоставленіе проводится авторами на почвѣ кри-
теріи разложимости на равныя части (Д ю г а м e л ь), а для
образовъ плоскихъ и тѣлъ, для которыхъ этотъ критерій (какъ
доказалъ P e τ и, затѣмъ Денъ ивъ недавнее время Каган ъ)
является недостаточнымъ, введено понятіе о равенствѣ про-
тяженіи (поверхностныхъ и объемныхъ), что позволяетъ дать
строгую, съ точки зрѣнія логики формулировку классическаго
процесса истощенія, который въ свою очередь пріобрѣтаетъ
1) F. Enriquese U. A m а 1 d i. Mementi di Geometria. Болонья 1903 г.
2) Среди многихъ деталей книги, характерныхъ своей новизной но
сравненію со всѣми предшествовавшими руководствами, надо упомянуть о
чрезвычайно изящномъ изложеніи одного вопроса, а именно: на основаніи из-
вѣстной теоремы о равнонаклоненныхъ сѣченіяхъ двуграннаго угла, устанав-
ливаются, независимо отъ постулата параллельности, критеріи равенства трех-
гранныхъ и многогранныхъ угловъ.

здѣсь изящнѣйшую оболочку. Въ главѣ о пропорціяхъ авторы,
оставаясь на почвѣ евклидова опредѣленія, придали теоріи
законченность, благодаря которой отвлеченная сторона вопроса
доводится до минимума, а выдвигаются отчетливо на первый
планъ въ ихъ естественной связи конкретныя геометрическія
приложенія. Таковы въ общихъ чертахъ особенности этой
книги превосходной и новой, обладающей среди прочихъ своихъ
достоинствъ также классической чистотой формы и совершенной
прозрачностью изложенія, благодаря которымъ быстро понадо-
билось одно за другимъ нѣсколько изданій руководства, поль-
зующегося въ школѣ всеобщимъ признаніемъ. Выдающіяся
черты описаннаго нами руководства сохранились также въ
тѣхъ сокращенныхъ переработкахъ, которыя съ тонкимъ по-
ниманіемъ педагогическихъ требованій авторы написали для
различнаго рода среднеобразовательныхъ учебныхъ заведеній;
каждое изъ такихъ маленькихъ руководствъ стяжало себѣ
ПРОЧНЫЙ уСПѢхЪ"...
Въ книгу Энрикеса «Вопросы элементарной геоме-
тріи вошли слѣдующія статьи: 1) о философскомъ
значеніи вопросовъ, относящихся къ основонача-
ламъ геометріи (Энрикесъ); 2) замѣчанія о препода-
ваніи научной геометріи (Энрикесъ); 3) О понятіи
прямой и плоскости (Амальди). 4; Конгруенціяи
движеніе. О приложеніяхъ постулата непрерыв-
ности въ элементарной геометріи (Витали); 6) Уче-
ніе о равновеликости (Амальди); 7) Ученіе о про-
порціяхъ (Вальяти); 8) Теорія параллельныхъ линій
и неевклидова геометрія (Бонола).
Въ девяти остальныхъ статьяхъ авторы этой энциклопе-
діи разбираютъ вопросы, относящіеяся къ рѣшенію задачъ на
построеніе.
Строгое (и доступное для многихъ) научное освѣщеніе
всѣхъ названныхъ вопросовъ, пользованіе первоисточниками,
творческій характеръ всей дѣятельности авторовъ этихъ ста-
тей дѣлаетъ изученіе этой книги для преподавателей весьма
желательнымъ, если не обязательнымъ.
Упомянемъ еще только, что статья покойнаго геометра

Бонола по содержанію нѣсколько разнится отъ его главной
книги «неевклидова геометрія». Въ энциклопедіи Энрикеса
Бонола удѣляетъ большее вниманіе неевклидовымъ постро-
еніямъ.
Не менѣе высокій интересъ представляетъ книга Клейна
(часть 2-ая). Не буду приводить теперь ея содержанія, такъ
какъ переводъ этого сочиненія долженъ выдти въ свѣтъ въ
ближайшемъ времени: въ ней переплетены вопросы элементар-
ной и высшей математики, исторіи преподаванія этихъ обла-
стей науки и замѣчанія фактическаго характера.
Наконецъ, слѣдуетъ упомянуть о недавно вышедшей въ
свѣтъ коллективной работѣ подъ редакціей профессора Дж.
В. А. Юнга подъ названіемъ Modern Mathematics. Содержаніе
этой послѣдней книги указано въ спискѣ книгъ въ переводѣ
названнаго выше сочиненія Юнга «Какъ преподавать мате-
матику?»
III. Обзоръ литературы по ариѳметикѣ младшихъ и среднихъ
классовъ среднихъ учебныхъ заведеній.
Докладъ В. X. Майделя (Спб.)
«Предлагаемый вниманію Съѣзда обзоръ не исчерпываетъ
всю учебную литературу названнаго отдѣла ариѳметики. Сдѣ-
лать обзоръ всѣхъ вышедшихъ за послѣднее время учебниковъ,
не представляется возможнымъ, да и надобности въ этомъ,
думается, нѣтъ, такъ какъ многіе учебники различаются
между собою не по существу, a въ деталяхъ.
Всѣ учебники можно раздѣлить на двѣ группы: учебники
систематическаго курса ариѳметики и учебники болѣе или
менѣе конспективнаго характера, авторы которыхъ считались
при составленіи своихъ учебниковъ съ тѣмъ взглядомъ, что въ
самыхъ младшихъ классахъ изученіе ариѳметики должно ве-
стись со словъ преподавателя и если нуженъ учебникъ, то
только въ видѣ краткаго изложенія основныхъ моментовъ
изучаемаго курса въ удобопонятной для ученика формѣ.

Къ учебникамъ первой группы принадлежатъ: «Ариѳме-
тика)) В. Ѳ. Гартца, изд. 4-е Спб. 1909 г. «Систематическій
курсъ ариѳметики» M. Б. Кюрзена, изд. 3-е. Спб. 1912 г.,
«Ариѳметика» А. Б. Сахарова, изд. 2-е. Спб. 1910 г., къ
разсмотрѣнію которыхъ я и перейду.
Курсъ ариѳметики Гартца состоитъ изъ трехъ частей и
прибавленія. Въ первой части изложено ученіе о цѣлыхъ
числахъ, во второй—дроби, въ третьей—отношенія и пропор-
ціи и связанныя съ ними задачи и, наконецъ, въ прибавленіи —
статья о буквенныхъ доказательствахъ въ ариѳметикѣ и опре-
дѣленіе срока векселя (1 1/2 странички). Отмѣчу только осо-
бенности курса. Въ первой части, во введеніи, установивъ
понятіе о единицѣ, объ одинаковыхъ, различныхъ, именован-
ныхъ и отвлеченныхъ единицахъ, авторъ даетъ опредѣленіе
цѣлаго числа, какъ собранія или совокупности единицъ. Чтобы
узнать число, надо въ первомъ случаѣ сосчитать единицы,
или измѣрить величину—во второмъ.
Въ главѣ о письменномъ счисленіи авторъ устанавливаетъ
признакъ для сравненія двухъ чиселъ (стр. 11).
Сложеніе опредѣляется авторомъ, какъ нахожденіе суммы,
а сумма — какъ совокупность единицъ всѣхъ слагаемыхъ,
(стр. 14).
Въ вычитаніи подчеркивается случай, когда вычитаніе
невозможно (изъ меньшаго числа большее), (стр. 18). Приве-
денъ случай нѣсколькихъ вычитаемыхъ и свойство остатка,
(стр. 21). Приведена особая глава о четырехъ дѣйствіяхъ въ
совокупности, въ которой авторъ даетъ понятіе о задачѣ, ея
рѣшеніи, и о примѣненіи скобокъ, для иллюстраціи чего при-
водитъ таблицу всѣхъ возможныхъ примѣровъ изъ 2, 3 и 4
данныхъ чиселъ (стр. 61). Приведены свойства О. H. Д.
(стр. 108) и О. Н. К. (стр. 112). Дѣленію на дробь дается
двоякій смыслъ: нахожденіе неизвѣстнаго по извѣстной его
части и сравненіе (стр. 145).
Имѣется глава о дробяхъ съ дробными числителями и
знаменателями (стр. 150). Послѣ § о сравненіи десятичныхъ
дробей, дается понятіе о приближенныхъ дробяхъ и о мѣрѣ
точности при этомъ (стр. 165). Въ дѣленіи десятичныхъ дро-

бей приведенъ случай дѣленія съ помощью простыхъ дробей,
(стр. 171). Отношеніе опредѣляется какъ два сравниваемыхъ
числа, между которыми находится знакъ дѣленія (стр. 193).
Въ главѣ о пропорціональныхъ величинахъ дается понятіе о
постоянныхъ и перемѣнныхъ величинахъ (стр. 205). . . .
Особенности второго изъ названныхъ учебниковъ—((Систе-
матическаго курса ариѳметики»—Кюрзена, заключаются въ слѣ-
дующемъ.
Послѣ каждаго отдѣла имѣются вопросы, исчерпывающее
матеріалъ предшествующаго имъ отдѣла. Дѣйствія обосновы-
ваются истинами (теоремами), выражающими, положимъ, для
суммы, перемѣстительное, сочетательное и т. п. свойства ея.
Однако, эти истины формулируются иногда весьма своеобразно:
такъ, для вычитанія авторъ приводитъ такую истину: «если
два числа разложены на одинаковое число частей такъ, что
части меньшаго числа не превышаютъ соотвѣтственныхъ частей
большаго, то разность этихъ чиселъ равна суммѣ разностей
соотвѣтствующихъ частей» (стр. 43). Вычитаніе многознач-
ныхъ чиселъ авторъ объясняетъ (исходя изъ того, что увели-
ченіе уменьшаемаго и вычитаемаго на одно и то же число не
измѣняетъ разности) такъ:
9 3 5 4
— 3.7.8.9
5 5 6 5
т. е. девять изъ четырнадцати — пять; т. к. мы прибавили.
10 къ уменьшаемому, то прибавляемъ 10 и къ вычитаемому,
т. е. вычитаемъ 9 (вмѣсто 8-ми) изъ 15-ти, получаемъ 6. 8
изъ 13-ти—5 и т. д. *) (стр. 49). Послѣ вычитанія дается
понятіе о сравненіи двухъ чиселъ въ разностномъ и кратномъ
отношеніяхъ (стр. 53). Примѣняется округленіе дѣлителя при
дѣленіи (стр. 101). Подробно перечисляется въ какихъ слу-
чаяхъ (числомъ 5) употребляется устное и письменное дѣленіе
(стр. 108).
Дробь опредѣляется двояко: съ одной стороны дробь есть
нѣкоторое число одинаковыхъ долей единицы, съ другой—
*) Такое объясненіе приводится у Брел* въ его «Ариѳметикѣ».

частное. Въ главѣ объ отношеніяхъ и пропорціяхъ приведенъ
§ о рядѣ равныхъ отношеній и указано примѣненіе ихъ къ
пропорціональному дѣленію. Въ курсѣ въ соотвѣтствующихъ
главахъ приведены историческія справки о знакахъ дѣйствій,
о мѣрахъ, о деньгахъ, о времени и т. п. Имѣется глава о
торговлѣ и товариществахъ. Въ приложеніи, между прочимъ,
обращеніе періодической дроби въ обыкновенную объясняется,
какъ нахожденіе предѣла періодической дроби. Тутъ же дается
понятіе о непрерывныхъ дробяхъ и объ ирраціональномъ числѣ.
Примѣромъ ирраціональнаго числа авторъ даетъ... десятичную
періодическую дробь (§ 435). Въ разныхъ частяхъ курса раз-
бросаны (болѣе 40) типичныя задачи съ подробнымъ анали-
зомъ и планомъ ихъ рѣшенія, причемъ этимъ задачамъ даны
опредѣленія...
Перехожу къ ((Ариѳметикѣ» Сахарова. Главная особен-
ность этого учебника состоитъ въ томъ, что авторъ его нашелъ
болѣе методическимъ главу о десятичныхъ дробяхъ помѣстить
непосредственно за ученіемъ о цѣлыхъ числахъ, a затѣмъ уже
говорить о дробяхъ обыкновенныхъ. Остальныя особенности
выражаются въ слѣдующемъ.
Съ самаго начала курса выясняется понятіе о величинѣ,
какъ о томъ свойствѣ предмета, которое можетъ измѣняться,
увеличиваясь или уменьшаясь.
Дѣйствія обосновываются аксіомами, выражающими свой-
ства суммы, разности и т. д. Статья объ именованныхъ числахъ
начинается историческимъ очеркомъ о происхожденіи мѣръ
Въ числѣ мѣръ приведены также мѣры дугъ и угловъ. Статья
о рѣшеніи задачъ на время разработана подробнѣе, чѣмъ это
вообще принято, строгимъ разграниченіемъ календарныхъ чи-
селъ и именованныхъ чиселъ времени. Въ этой же статьѣ
приведена кривая зависимость продолжительности дня отъ вре-
мени года, a въ задачахъ на время—таблица, показывающая
порядокъ дня отъ начала года, въ зависимости отъ числа и
мѣсяца.
Въ мѣрахъ площадей приведены наиболѣе употребитель-
ныя плоскія фигуры, въ мѣрахъ объема—многогранники.
За цѣлыми числами, какъ упомянуто выше, слѣдуетъ

глава о десятичныхъ дробяхъ, которыя разсматриванія, какъ
дальнѣйшее развитіе десятичной системы счисленія. Въ этой
же главѣ дается понятіе о процентѣ, которое и примѣняется
на соотвѣтствующихъ примѣрахъ. Послѣ статьи о періодиче-
скихъ дробяхъ очень кратко говорится о приближенныхъ вычи-
сленіяхъ. Въ дополнительныхъ статьяхъ, слѣдующихъ послѣ
ученія объ обыкновенныхъ дробяхъ, дается историческій очеркъ
о возникновеніи метрической системы, сама система и выяс-
няются ея выгоды; далѣе дается понятіе объ извлеченіи корня.
Здѣсь же дается понятіе объ ирраціональномъ числѣ. Въ
отношеніяхъ и пропорціяхъ теоремы доказываются уже на
общемъ числѣ. Далѣе идетъ статья о пропорціональныхъ рядахъ,
изъ ученія о которыхъ выводятся, какъ частные случаи, про-
изводныя пропорціи и рѣшаются задачи на пропорціональное
дѣленіе. Здѣсь же въ статьѣ о пропорціональныхъ величинахъ
дается понятіе о постоянныхъ и перемѣнныхъ величинахъ и о
функціональной зависимости двухъ перемѣнныхъ. Въ концѣ
приведена статья о торговлѣ съ правилами товарищества, про-
центовъ и учета векселей.
Отдѣльно отъ перечисленныхъ учебниковъ стоятъ два
учебника: «Ариѳметика»—Эмиля Вор e ля, первый циклъ,
переводъ съ французскаго, Москва, 1910 г. и та же ариѳметика
Бореля въ обработкѣ Штеккеля, изданіе Mathesis, Одесса,
1911 г., въ одной книжкѣ вмѣстѣ съ курсомъ алгебры того
же Бореля, которые однако могутъ быть отнесены къ той же
группѣ учебниковъ. Упомяну о первой книжкѣ, такъ какъ, въ
сущности, обработка Штеккеля состояла главнымъ образомъ въ
сокращеніи учебника Бореля. (Выпущены статьи о процес-
сіяхъ и статьи коммерческой ариѳметики).
Подчеркнувъ основное условіе письменной нумераціи, Бо-
рель устанавливаетъ понятіе о равенствѣ двухъ чиселъ, на
основаніи котораго формулируетъ аксіому числа, состоящую
въ томъ, что два данныхъ числа либо равны, либо первое
больше или меньше второго.
На основаніи этой аксіомы онъ выводитъ положеніе, что
два равныхъ числа въ десятичной системѣ изображаются оди-
наковыми знаками и наоборотъ, и даетъ признакъ, по которому

можно судить о сравнительной величинѣ двухъ чиселъ, напи-
санныхъ по десятичной системѣ.
Дѣйствія обосновываются теоремами. Эти теоремы суть
слѣдствія аксіомы числа. Въ сложеніи эти теоремы выражаютъ
перемѣстительное и сочетательное свойства суммы.
Въ вычитаніи доказываются теоремы о вычитаніи суммы
и разности и свойства разности. Эти теоремы доказываются
на подходящихъ числовыхъ задачахъ.
Въ умноженіи приводятся аналогичныя теоремы.
Разъясняется смыслъ умноженія нуля и на нуль. Обращается
вниманіе на смыслъ умноженія въ случаѣ, когда оба сомно-
жителя числа именованный.
Въ статьѣ о дѣлимости приводятся теоремы о дѣлимости
суммы и разности. Въ статьѣ о первоначальныхъ числахъ при-
ведена основная теорема о возможности разложенія всякаго
числа только на одно опредѣленное произведеніе первоначаль-
ныхъ сомножителей. Дробь разсматривается, какъ результатъ
дѣленія.
Опредѣленіе умноженія на дробь не дается.
Дѣленіе опредѣляется, какъ умноженіе на дробь, обратную
дѣлителю.
Дается только понятіе о періодической дроби.
Въ статьѣ о квадратномъ корнѣ приведены теоремы о
квадратѣ суммы, дроби и т. п. Данъ способъ нахожденія при-
ближеннаго квадратнаго корня съ данною степенью точности.
Имѣется статья объ ариѳметической и геометрической
прогрессіяхъ. Выводится сумма первыхъ η нечетныхъ чиселъ,
которая доказывается геометрическимъ построеніемъ.
Имѣются статьи коммерческой ариѳметики.
Изъ учебниковъ второй группы назову: ((Учебникъ
ариѳметики съ изложеніемъ методовъ рѣшеній ариѳметическихъ
задачъ»—А. Н. Воробьева, изд. 2-е, Астрахань, 1908 г. и
«Курсъ ариѳметики» В. Иванова (Дубравина). Вып. 1-й. Цѣлыя
и десятичныя числа. Изд. 1911 г. Псковъ.
Разсмотримъ вкратцѣ сперва «Учебникъ ариѳметики»
Воробьева.
Въ предисловіи къ своей книгѣ авторъ объясняетъ ежа-

тостъ изложенія курса желаніемъ заставить учителя работать
въ классѣ и облегчить ученику домашнюю работу, не умень-
шая при этомъ ни научности, ни полноты курса.
Насколько удалось автору достигнуть своей цѣли, рѣшать
не буду, а приведу только нѣсколько выдержекъ изъ его
курса.
Такъ, напримѣръ, при сокращеніи дробей, авторъ, не
говоря ни слова о разложеніи на множители, въ § 142 пишетъ:
«Ясно 504 = 2.2.3.3.14» (стр. 33).
На стр. 37 авторъ даетъ такое опредѣленіе умноженію
на дробь: «Умножить к. н. число на 3/7, значитъ взять его
слагаемыя 3/Ï раза, т. e не 1 разъ, а только3/? раза... и т. д.
въ такомъ же родѣ.
Главная особенность курса, сжатость, доведена до различ-
наго рода табличекъ, схемъ, условныхъ обозначеній для разъ-
ясненія которыхъ учителю дѣйствительно придется много пора-
ботать въ классѣ. Приведу два примѣра.
Такъ, для выраженія «измѣненія результатовъ дѣйствій
отъ измѣненія факторовъ» приведена такая схема:
D сл. I сл. II сл. см. d см.
+7 б + β = И +5
+5 13 + 5 = 18 +7
17 + 5 = 13
ув. изм. пост. изм. ув.
<кл. = d см. (§ 73).
Зависимость суммы и слагаемыхъ выражена такъ:
прямая разн. зав.
I сл. II сл. сумма
обратная разн. зав. (§ 79).
и т. п.
Для перехода отъ ученія о цѣлыхъ числахъ къ десятич-
нымъ дробямъ удѣлена одна страница для обыкновенныхъ дробей.
Давъ понятіе о приближенномъ значеніи десятичной періо-
дической дроби, авторъ безъ дальнѣйшихъ оговорокъ перехо-

дитъ къ четыремъ дѣйствіямъ съ періодическими дробями
(стр. 40).
Много мѣста отводитъ авторъ въ своемъ учебникѣ рѣше-
нію задачъ, преимущественно методомъ предположенія, кото-
рый авторъ считаетъ пропедевтикой къ рѣшенію задачъ помощью
уравненіи и вообще отдаетъ ему предпочтеніе передъ всякими
другими.
Эта сторона учебника разработана авторомъ подробнѣе и
лучше другихъ отдѣловъ, почему и представляетъ наибольшій
интересъ; однако задачи приводимыя авторомъ содержатъ иногда
очень замысловатыя условія.
Другая изъ названныхъ книгъ, «Курсъ ариѳметики»—
В. Иванова (Дубравина) отличается еще большею сжатостью.
Обнимая собою всего 67 страницъ обычнаго формата учебника,
«курсъ» включаетъ въ себя курсъ ариѳметики (за исключені-
емъ отдѣла объ обыкновенныхъ дробяхъ), ученіе объ отрицатель-
ныхъ числахъ и дѣйствія съ цѣлыми алгебраическими выраже-
ніями. Короче «курсъ» имѣетъ характеръ не конспекта даже,
a скорѣе сборника правилъ для производства дѣйствій, т. к.
многія изъ нихъ ничѣмъ не обосновываются.
Такъ авторъ, на 2-й страницѣ, находитъ возможнымъ, въ
главѣ о письменномъ счисленіи, дать понятіе о десятичномъ
числѣ и далѣе всѣ дѣйствія разсматриваетъ одновременно съ
цѣлыми и десятичными числами. На 23 страницѣ, въ статьѣ
о порядкѣ дѣйствій, дается понятіе и объ отрицательномъ
числѣ. Обративъ вниманіе, что при вычитаніи можетъ встрѣ-
титься случай, когда изъ меньшаго числа придется вычитать
большее, напримѣръ 4—7, авторъ говоритъ: «ясно, что дѣй-
ствіе невозможно, но чтобы не дѣлать передъ этимъ остановки,
условились въ этомъ случаѣ записывать невыполненное вычи-
таніе, пишутъ 4 — 1 — — 3, т.е. слѣдуетъ отнять еще 3. Такія
числа называются отрицательными, a всѣ остальныя положи-
тельными». Дальнѣйшаго расширенія понятія объ отрицатель-
номъ числѣ въ «курсѣ» не имѣется.
Въ статьѣ объ умноженіи дается понятіе о прибли-
женномъ умноженіи, a затѣмъ указаны правила первыхъ
трехъ дѣйствій съ одночленами и многочленами. Въ дѣленіи

приводится примѣръ безконечнаго дѣленія, дается понятіе о
періодическомъ десятичномъ числѣ, и далѣе всѣ четыре дѣй-
ствія производятся съ десятичными числами точно или прибли-
женно, въ зависимости. отъ того, конечная или безконечная
десятичная дробь получается во время дѣйствій. Такимъ путемъ
авторъ исключаетъ весь отдѣлъ ученія о простыхъ дробяхъ
изъ своего курса. Этимъ исчерпывается характеръ учебника
г. Иванова.
Въ заключеніе нахожу не лишнимъ упомянуть о двухъ
книжкахъ, которыя, по крайней мѣрѣ по заглавію, имѣютъ
отношеніе къ курсу ариѳметики младшихъ классовъ.
Говорю «по заглавію», т. к. къ сожалѣнію болѣе полныхъ
свѣдѣній дать не могу, умолчать же объ нихъ не считалъ себя
въ правѣ: эти книги затрагиваютъ назрѣвшіе вопросы и потому,
независимо отъ ихъ достоинства, вызываютъ къ себѣ извѣст-
ный интересъ. Одна изъ нихъ «Введеніе въ алгебру (ариѳме-
тическая подготовка»)—П. Панова и Т. Сотеренко, изд. 1910 г.
Одесса; другая—«Опытъ приложенія графики въ области пре-
подаванія начальной ариѳметики»—Каминскаго, изд. 1909 г.
Кременчугъ».
IV. Обзоръ 4-хъ учебниковъ по ариѳметикѣ.
Докладъ Л. H. Тяпкиной (Спб.).
«По порученію предсѣдателя первой секціи M. Г. Попру-
женко я разсмотрѣла четыре учебника ариѳметики:
1. — Б. Чихапова. Учебникъ ариѳметики (курсъ
среднихъ учебныхъ заведеній), 7-е изд., (142 стр.), Минскъ.
1912 г., ц. 60 коп.; (6-е изд. Ученымъ Комитетомъ Министер-
ства Народнаго Просвѣщенія допущено, какъ руководство для
среднихъ учебныхъ заведеній Министерства).
2. —А. Тумермана (препод. Торговой Школы). Краткій
курсъ ариѳметики (для городскихъ училищъ и младшихъ
классовъ среднихъ учебныхъ заведеній).Спб., 1911 г., (121 стр.),
ц. 30 коп.

3. —M. Хрущинскаго (препод. Коммерческаго училища въ
Спб.). Краткій учебникъ ариѳметики (курсъ I, II и
III кл. среднихъ учебныхъ заведеній) Спб., 1911 г., (135 стр.),
ц. 70 коп.
4. — К. H. Рашевскаю (препод. Московскаго реальнаго
училища). Краткій курсъ ариѳметики (для среднихъ
учебныхъ заведеній), 3-е изд., (94 стр.). Москва, 1911 г.,
ц. 30 коп.
Учебникъ Чиханова отъ обычныхъ систематическихъ
курсовъ отличается тѣмъ, что содержитъ, кромѣ полнаго основ-
ного курса, особенности котораго- будутъ указаны ниже, рядъ
историческихъ свѣдѣній и нѣсколько интересныхъ добавочныхъ
статей:
1. — Приближенный вычисленія (5*/г стр.). На
примѣрахъ разъясняются правила нахожденія суммы, раз-
ности, произведенія и частнаго съ данною степенью точ-
ности.
2. — Ариѳмометры (2 стр.). Дается краткое описаніе
ариѳмометра Однера (изображ. въ треть своей величины) и
объясняется, какимъ образомъ производится на немъ вычисле-
ніе произведенія: 89026 x 17612.
3. — Общій обзоръ ариѳметическихъ дѣйствій
(2 стр.). Образованіе натуральнаго ряда чиселъ и его свой-
ства. Опредѣленіе суммы. Обоснованіе дѣйствій: сложенія, умно-
женія и возвышенія въ степень на понятіи суммы. Противо-
поставленіе каждому изъ вышеупомянутыхъ дѣйствій двухъ
обратныхъ.
4. — Происхожденіе и развитіе понятія о
числѣ (1 стр.). Краткая исторія развитія первоначальныхъ
ариѳметическихъ знаній.
5. — Къ ученію объ именованныхъ числахъ
(2*/2 стр.). Допустимость именованнаго множителя.
Особенности основного курса:
1) Кромѣ описанія различныхъ системъ счисленія, при-
водятся обозначенія нѣсколькихъ чиселъ по двоичной системѣ,
описанной въ книгѣ «Іекимъ», приписываемой древнѣйшему
Китайскому императору Фохи.

2) Опредѣленію дѣйствія сложенія, какъ чиселъ цѣлыхъ,
такъ и дробныхъ, предшествуетъ опредѣленіе суммы.
3) Послѣ обычнаго способа вычитанія многозначныхъ чи-
селъ указывается способъ вычитанія путемъ дополненія еди-
ницъ каждаго изъ разрядовъ вычитаемаго до числа единицъ
соотвѣтствующаго разряда уменьшаемаго.
4) Повѣрка «числомъ 9» дѣйствій сложенія и вычи-
танія.
5) Описаніе индусскаго способа умноженія.
6) Предложенный Ε о ш и способъ для производства дѣй-
ствія умноженія и его повѣрки.
7) Способъ дѣленія помощью дополненій.
8) Въ отдѣлѣ, озаглавленномъ «особенности при рѣшеніи
нѣкоторыхъ задачъ», помѣщены рѣшенія нѣсколькихъ задачъ
способами названными: способомъ предположенія, способомъ
приведенія къ единицѣ, способомъ отношеній, способомъ срав-
ненія оборотовъ, способомъ подстановки.
9) Выводъ признака дѣлимости на 9 основывается на
предварительномъ разъясненій, что всякое число равно крат-
ному 9, сложенному съ суммою его цыфръ.
10) Послѣ обычнаго вывода всѣхъ признаковъ дѣлимости
указано, какимъ образомъ наиболѣе употребительные признаки
дѣлимости могутъ быть выведены довольно просто и одно-
образно изъ равенства:
Ν=α+ 106+100 c+ . . .
11) Указывается свойство всякаго первоначальнаго числа?
уменьшеннаго или увеличеннаго на единицу, дѣлиться на 6.
12) Способъ повѣрки умноженія и дѣленія числомъ 9 и 11.
13) Въ отдѣлѣ дѣйствій съ дробными именованными чи-
слами для рѣшенія примѣра и двухъ задачъ примѣняется ра-
складочный способъ умноженія, называемый также итальян-
скимъ или Вельта.
14) Въ отдѣлѣ умноженія десятичныхъ дробей приво-
дится способъ расположенія вычисленій, предложенный Лагран-
жемъ.

15) Въ отдѣлѣ «тройныя правила» указывается, какъ из-
бѣжать тѣ несообразности, къ которымъ приводитъ рѣшеніе
нѣкоторыхъ задачъ этого типа способъ приведенія къ единицѣ.
16) Въ статьѣ о процентахъ и учетѣ векселей даются
свѣдѣнія изъ Коммерческой ариѳметики (вычисленіе процент-
ныхъ денегъ способомъ процентныхъ нумеровъ, понятія объ
акціяхъ, облигаціяхъ и др. проц. бумагахъ, биржи, банки).
17) Въ концѣ книги помѣщены: таблица разложенія на
первоначальныхъ дѣлителей нѣкоторыхъ составныхъ чиселъ,
таблица первоначальныхъ чиселъ (1—2000) и таблица для вы-
численія сложныхъ процентовъ.
Учебники Тумермана и Хрущинскаго носятъ назва-
нія «Краткихъ курсовъ» и отличаются отъ «систематиче-
скихъ», главнымъ образомъ, тѣмъ, что не содержатъ тѣхъ до-
полнительныхъ статей теоретическаго курса ариѳметики, кото-
рыя проходятся въ старшихъ классахъ (кромѣ того и въ систе-
матическихъ курсахъ печатаются обыкновенно мелкимъ шриф-
томъ). Оба эти учебника заключаютъ въ себѣ всѣ основныя
опредѣленія и правила ариѳметики съ объясненіями и при-
мѣрами, а также и рѣшенія задачъ на тр. пр., проц., учетъ
веке, пропорц. дѣл., цѣпное пр. и смѣшеніе; ничѣмъ суще-
ственнымъ въ изложеніи этого матеріала они не отличаются
отъ обычныхъ курсовъ; можно указать только на нѣкоторыя
особенности въ деталяхъ.
Такъ въ учебникѣ Тумермана:
1) Вопросъ объ измѣненіи суммы, разности, произведенія
и частнаго выдѣленъ въ особую главу, причемъ разсматрива-
ются измѣненія суммы и разности не только при измѣненіяхъ
данныхъ чиселъ на нѣсколько единицъ, но и въ нѣ-
сколько разъ, a измѣненія произведенія не только при из-
мѣненіяхъ множимаго и множителя въ нѣсколько разъ,
но и при измѣненіи ихъ на нѣсколько единицъ.
2) Подробно излагаются отношенія и пропорціи, какъ
геометрическія, такъ и ариѳметическія.
3) Для наглядности характеръ пропорціональности между
капиталомъ, проц. таксой, срокомъ и проц. деньгами изобра-
жается на чертежѣ, который легко запоминается. Для рѣшенія

задачъ на проц. составляются и формулы, опредѣляющія каж-
дую изъ величинъ черезъ остальныя.
4) Приложеніе содержитъ главы:
a) Различныя системы счисленія.
į) Упражненія для усвоенія метрической системы мѣръ.
c) Вопросы для повторенія, исчерпывающіе въ порядкѣ
изложенія курса все его содержаніе до мельчайшихъ подроб-
ностей.
Въ учебникѣ Хрущинскаго:
1) Каждое изъ 4-хъ дѣйствій надъ цѣлыми отвлеченными
числами излагается такъ:
d) Опредѣленіе.
b) Зависимость между данными и искомымъ.
c) Свойства искомаго числа.
d) Дѣйствія надъ однозначными числами.
e) Обоснованіе и выводъ правила дѣйствія для много-
значныхъ чиселъ.
f) Примѣненіе дѣйствія.
2) Для наглядности на отрѣзкахъ прямыхъ иллюстри-
руется:
d) Сравненіе дробей съ одинаковымъ числителемъ.
δ) Сравненіе дробей съ одинаковымъ знаменателемъ.
c) Измѣненіе величины дробей съ измѣненіемъ ея чле-
новъ.
d) Неизмѣняемость величины дробей при приведеніи ея
къ иному знаменателю.
3) За отдѣломъ: «Цѣлыя именованный числа и дѣйствія
надъ ними» слѣдуетъ отдѣлъ: "Подраздѣленіе задачъ на типы
и способы рѣшенія ихъ» (9 страницъ). Въ предисловіи къ
учебнику авторъ пишетъ, что онъ вводитъ этотъ отдѣлъ по-
тому, что придаетъ большое значеніе «умѣнію рѣшать задачи»
а этого, по его мнѣнію, можно достичь не количествомъ рѣ-
шенныхъ задачъ, но систематическимъ изученіемъ встрѣчае-
мыхъ чаще типовъ.
Отдѣлъ этотъ распадается на слѣдующіе параграфы:
1) Зависимость между величинами; задачи: простыя и
сложныя.

2) Выводныя задачи (6 группъ).
3) Задачи на предположеніе (6 группъ).
Въ каждой группѣ одинъ или нѣсколько типовъ; всѣ
типы перечисляются, но не приводится ни одной задачи съ
числами, а лишь указывается, какія величины задаются и ка-
кіе вопросы составляются для рѣшенія.
Напримѣръ, одинъ изъ типовъ таковъ: ((Дается: ^раз-
стоянія, проходимыя каждымъ лицомъ или тѣломъ въ опредѣ-
ленное время; 2) время, по истеченіи котораго одно лицо или
тѣло догнало другое; отыскивается: первоначальное раз-
стояніе, отдѣляющее двухъ лицъ. Составляютъ вспомогательныя
задачи: 1) Найти разстояніе, проходимое каждымъ лицомъ или
тѣломъ въ единицу времени (2 вопр.); 2) узнать разницу въ
скоростяхъ; 3) опредѣлить первоначальное разстояніе, отдѣля-
ющее двухъ лицъ, два движущихся тѣла.
Учебникъ Рашевскаго, первое изданіе котораго носило
названіе: «Правила и опредѣленія ариѳметики» отличается отъ
другихъ «краткихъ курсовъ ариѳметики» для младшихъ клас-
совъ среднихъ учебныхъ заведеній. Выпущены длинныя пра-
вила, какъ нумераціи, такъ и дѣйствій съ многозначными от-
влеченными и составными именованными числами. Дается
лишь таблица съ распредѣленіемъ разрядовъ по классамъ и
рѣшаются примѣры на каждое дѣйствіе. Правила для нахожде-
нія наибольшаго дѣлителя и наименьшаго кратнаго даются
безъ доказательствъ, перечисляются лишь основныя истины,
на которыхъ основывается дѣлимость чиселъ. Нахожденіе части
отъ числа и числа по его части разсматриваются уже послѣ
дѣйствій умноженія и дѣленія на дробь, а потому и рѣшаются
прямо этими дѣйствіями.
Изъ дѣйствій съ дробными именованными числами при-
водится только рѣшеніе двухъ простыхъ примѣровъ: на пре-
вращеніе и раздробленіе.
Опредѣленію процента въ коммерческомъ смыслѣ пред-
шествуетъ общее опредѣленіе процента, какъ сотой доли, обра-
щается вниманіе на то, какую часть даннаго числа соста-
вляютъ: 50°/о, 25°/о, 75°/о и т. п.

Выраженія:
0x25 = 0; 25χ 1 = 25; 5 : 1 = 5
25Х 0 = 0; 1 х 25 = 25; 5:5 = 1
выдѣлены въ особый параграфъ, какъ особые случаи умноже-
нія и дѣленія.
Вопросу о постановкѣ наименованій отводится отдельная
статья, въ которой подчеркивается, что множитель всегда дол-
женъ быть отвлеченнымъ числомъ, но предлагается, для удоб-
ства вычисленій, записывать иногда множитель надъ множи-
мыми
Такъ, напримѣръ:
354 руб множитель
χ 4 » .... множимое
1416 руб.
Отдѣлъ дѣйствій надъ обыкновенными и десятичными
дробями заканчивается главами: о приближенномъ частномъ,
обращеніемъ обыкновенныхъ дробей въ десятичныя, обраще-
ніемъ періодическихъ дробей въ обыкновенныя. Послѣдняя
глава: «Приложеніе ариѳметики» содержитъ краткія свѣдѣ-
нія о геометрическомъ отношеніи и пропорціяхъ.
Затѣмъ приводятся рѣшенія простѣйшихъ задачъ на пра-
вила: тройное (простое и сложное), проценты, пропорциональ-
ное дѣленіе и смѣшеніе.
Всѣ опредѣленія и правила напечатаны курсивомъ. Чтобы
обратить вниманіе ученика на тѣ выраженія въ нихъ, кото-
рыя должны быть особенно отмѣнены, эти послѣднія отпеча-
таны болѣе жирнымъ шрифтомъ, что придаетъ изложенію осо-
бую выпуклость».

V. Обзоръ литературы на русскомъ языкѣ по методикѣ ариѳметики.
Докладъ1) В. Р. Мрочека (Спб.).
«По порученію Организаціоннаго Комитета имѣю честь
предложить вниманію собравшихся обзоръ литературы на рус-
скомъ языкѣ по вопросамъ преподаванія ариѳметики.
Подъ «методикой ариѳметики» обыкновенно под-
разумѣваются тѣ ходячія книжки, въ которыхъ разсматрива-
нія вопросы обученія ариѳметикѣ въ русскихъ начальныхъ
школахъ. Громадное большинство авторовъ совершенно не ка-
сается при этомъ вопросовъ дидактики и все свое вниманіе
устремляетъ на разработку деталей курса. При этомъ, конечно,
имѣется ввиду лишь начальная школа, а о существованіи
школъ другихъ типовъ, гдѣ тоже проходится ариѳметика, ав-
торы повидимому забываютъ.
Въ настоящее время педагогика математики существуетъ,
какъ самостоятельная научная дисциплина; ея задача—«клас-
сифицировать 2) собранный математическій матеріалъ, отдѣлить
общедоступные элементы отъ предметовъ роскоши, найти сред-
ства и пути для сообщенія этихъ элементовъ наибольшему
числу лицъ при наименьшей Затратѣ индивидуальныхъ усилій
ума и воли».
Отсюда слѣдуетъ, что къ каждому отдѣлу математики,
предназначенному для школы, необходимо предъявлять подоб-
ныя же требованія. Такъ, прежде чѣмъ приступить къ мето-
дикѣ отдѣльныхъ частей ариѳметики, необходимо обосновать:
1) цѣль школьной ариѳметики, 2) ея мѣсто въ ряду другихъ
учебныхъ предметовъ, 3) ея содержаніе въ связи съ тѣмъ или
инымъ типомъ школы, 4) планъ распредѣленія матеріала по
годамъ обученія, 5) распредѣленіе матеріала по отдѣльнымъ
*) Настоящій докладъ представляетъ конспективное изложеніе одной
главы изъ готовящихся къ печати моихъ «Лекцій по педагогикѣ ариѳметики».
2) В. Мрочекъ и Φ. Филиппович ъ, Педагогика математики, т. I
1910, стр. 2.

періодамъ школьнаго года и 6) главныя методы разработки
ариѳметики въ школѣ. При такомъ обоснованіи приходится по-
стоянно опираться какъ на эволюцію ариѳметики научной,
такъ и на многочисленныя экспериментально-научныя изслѣ-
дованія въ области школьной ариѳметики и ея методики; при-
ходится опираться на экспериментальную педагогику, дѣтскую
психологію, психофизіологію и гигіену; наконецъ, приходится
считаться и съ чисто соціальными проблемами, какъ-то: на-
значеніе школы того или иного типа, общеобразовательныя
или утилитарныя тенденціи, доступность школы для тѣхъ или
иныхъ классовъ общества и т. п.
При разработкѣ вопросовъ школьной ариѳметики необхо-
димо, кромѣ того, имѣть въ виду еще: а) исторію развитія
ариѳметики у отдѣльныхъ народовъ и у всего человѣчества,
б) ея неизбѣжныя и непосредственныя приложенія во внѣ-
школьной жизни.
Пользуясь установленнымъ масштабомъ, я разсмотрю су-
ществующую на русскомъ языкѣ литературу по методикѣ ариѳметики.
Въ существующей методической литературѣ можно раз-
личать три направленія: эмпирическое, переходное и экспери-
ментальное.
А. Эмпирическое направленіе.
Въ основу построенія методики положены не научные,
дидактическіе и психологическіе принципы, а «голый опытъ».
Каждый изъ авторовъ добавлялъ свои эмпирическія крупицы
къ той массѣ крупицъ, которая составилась до него трудами
отдѣльныхъ эмпириковъ XVIII и XIX столѣтій. Отдѣльныя
детали часто вѣрны; иныя замѣчанія практическаго характера
предвосхищаютъ выводы экспериментальной дидактики; но
общій характеръ изложенія совершенно не удовлетворяетъ по-
ставленнымъ выше требованіямъ.
Къ этому направленію принадлежатъ:
1) Аржениковъ, К. П. Методика начальной ариѳметики.
2) Белюстинъ, В. К. Методика ариѳметики.

3) Вишневский, Г. M. Записки по методикѣ элементарной
ариѳметики.
4) Голъденбергъ, А. И. Методика ариѳметики.
5) » Бесѣды по счисленію.
6) Евтушевскій, В. Методика ариѳметики.
7) Житковъ, С. В. Методика ариѳметики.
8) Куперштейнъ, В. М. Записки по методикѣ ариѳметики.
9) Латышевъ, В. А. Руководство къ преподаванію ариѳметики.
10) Лувенецъ, Т. Методика ариѳметики.
11) Павловъ, Методика ариѳметики.
12) Шохоръ-Троцкій, С. И. Методика ариѳметики^
и др.
В. Переходное направленіе.
Авторы второй категоріи въ большинствѣ случаевъ уже
знакомы съ новой постановкой вопроса; они отчасти вводятъ
экспериментальныя изслѣдованія, отчасти считаются съ науч-
ными данными; нѣкоторые изъ нихъ обращаютъ вниманіе и
на исторію вопроса.
Сюда относятся:
13) Дожъ, Φ. Методологія ариѳметики, пер. съ франц.,
1886 г.
14) Енько, П. Лабораторный методъ обученія начальному
счету, 1911.
15) Литвинскій, П. А. Изученіе ариѳметики дѣтьми,
1908.
16) Мукаловъ, Я. Записки по методикѣ ариѳметики,
1910.
17) Шохоръ-Троцкій, С. И. Методика ариѳметики. Для
учителей средн. уч. заведеній, 1912.
18) Штеклинъ I. Методика ариѳметики, пер. съ нѣм.
Ч. I, 1911, ч. П, 1912.
и др.

С. Экспериментальное направленіе.
Пока единственнымъ крупнымъ представителемъ научна
поставленной методики ариѳметики является Лай. книга ко-
тораго переведена на русскій яз. Къ сожалѣнію, въ книгѣ
Лая разработанъ* лишь вопросы, относящіеся къ обученію ариѳ-
метикѣ въ предѣлахъ перваго десятка и намѣчены детали раз-
работки первой сотни и тысячи. Но общій планъ изслѣдованія,
обоснованіе начальныхъ принциповъ, широкое примѣненіе экспе-
риментальнаго метода—все это ставитъ книгу Лая въ обра-
зецъ всѣмъ дальнѣйшимъ авторамъ методикъ.
Изъ русскихъ авторовъ необходимо отмѣтить Галанина,
книга котораго вышла въ трехъ частяхъ; третья часть содер-
житъ попытку болѣе широкаго обоснованія методики.
Изъ иностранныхъ авторовъ, писавшихъ спеціально πα
ариѳметикѣ, переведены Герляхъ и Вентвортъ и Ридъ.
Книжка Герляха характерна среди нѣмецкихъ методикъ:
вмѣсто скучнѣйшихъ деталей и утомительныхъ разжевываній
она даетъ общую схему изложенія и на этомъ фонѣ, какъ от-
дѣльныя иллюстраціи, являются тѣ или иныя детали курса.
Американскій же учебникъ Вентворта и Рида задается чиста
практическими цѣлями: дать хорошо проработанный матеріалъ,
съ которымъ учитель справится самъ. Методика тѣхъ же ав-
торовъ—это расширенный ихъ же учебникъ. Такое направле-
ніе американскихъ методистовъ станетъ понятнымъ, если вспом-
нить, что еще въ 1907 г. было 528 каѳедръ педагогики въ
Университетахъ, Колледжахъ и Учительскихъ Институтахъ и
Семинаріяхъ Сое д. Штатовъ: весь центръ тяжести подготовки
учительскаго персонала переносится на учебныя заведенія. Въ
Россіи до сихъ поръ каждый практикъ долженъ самъ забо-
титься о своемъ профессіонально-педагогическомъ образованіи.
Въ нижеслѣдующемъ перечнѣ я укажу не только книги
по методикѣ математики вообще, но и тѣ журнальныя статьи^
въ которыхъ отразились новыя теченія въ области школьной
ариѳметики. Въ настоящее время «учитель ариѳметики))—это
пережитокъ старины. Книги Клейна, Лезана, Юнга и др. пока-
зываютъ, чѣмъ долженъ заниматься учитель на урокахъ
ариѳметики, что онъ долженъ знать самъ и чему учить другихъ.

19) Алексѣевъ, В., проф. Учебникъ разумной математики,
Вышній Волочекъ, 1908, ц. 1 р. 20 к.
20) Burnham, проф. Гигіена ариѳметики, какъ учебнаго
предмета, пер. съ англ. Журналъ «Народное Образованіе»,
1911, кн. 7 и 8.
21) Вентвортъ и Ридъ, Начальная ариѳметика, ч. I и II,
пер. съ англ. подъ ред. В. Р. Мрочека, изд. «Новая Школа»,
Спб. 1911, ц. 60 к.
22) Галанинъ, Л. Методика ариѳметики, и Введеніе,
1910—11, ц. 1 р. 80 к.
23) Герляхъ, А. Какъ преподавать дѣтямъ ариѳметику въ
духѣ творческаго воспитанія, пер. съ нѣм., 1910—11, ц. 35 к.
24) Клейнъ, Ф. проф. Вопросы элементарной и высшей
математики, т. I, пер. съ нѣм., 1912, ц. 3 р.
25) Лай, В. А. Руководство къ первоначальному обученію
ариѳметикѣ, основанное на результатахъ дидактическихъ опы-
товъ, пер, съ нѣм., 1910, ц. 80 коп.
26) Лезанъ, Шарль, проф. Введеніе въ математику, пер.
съ франц. подъ редак. В. Р. Мрочека, изд. «Герольдъ», Спб.
1912, ц. 30 коп.
27) Лоджъ, Оливеръ, проф. Легкая математика, преиму-
щественно ариѳметика, пер. съ англ., 1909, ц. 1 р. 60 к.
28) Мрочекъ, В. и Филлипповичъ, Ф. Педагогика мате-
матики, т. I, 1910, ц. 1 р. 50 к.
29) Мрочекъ, В. Ариѳметика въ ея настоящемъ и прош-
ломъ. Журналъ «Обновленіе Школы», 1911, кн. I и Ш.
30) Пуанкарэ, проф. Наука и методъ, пер. съ φρ., 1910,
ц. 1 р. 50 к.
31) Радосавльевичъ, П., пр.-доц. Экспериментальный из-
слѣдованія психическихъ процессовъ въ математикѣ, какъ
наукѣ и какъ учебномъ предметѣ. Журналъ «Обновленіе
Школы», 1911—12—13, кн. 5 и слѣд.
Туфановъ, Ал. Обученіе ариѳметикѣ въ предѣлѣ пер-
ваго десятка. Журналъ «Обновленіе Школы», 1912, кн. 5.
33) Юнгъ, Дж., проф. Какъ преподавать математику?
Пер. съ англ., 1912, ц. 3 p.».

Второе засѣданіе
30 декабря 8 час. веч.
Предсѣдательствовалъ Б. Б. Піотровскій.
VI. Современное состояніе курса геометріи въ средней школѣ
въ связи съ обзоромъ наиболѣе распространенныхъ учебниковъ.
Докладъ Н. А. Извольскаго (Москва).
«Я позволю себѣ начать свой докладъ словами маститаго
французскаго ученаго Г. Пуанкаре:
«Чѣмъ объяснить, что многіе умы отказываются понимать
математику? Не парадоксально ли это? Въ самомъ дѣлѣ, вотъ
наука, которая аппелируетъ только къ основнымъ принципамъ
логики ,—и все же встрѣчаются люди, которые нахо-
дятъ эту науку темной! И этихъ людей даже большинство!
Пусть бы они оказались неспособными изобрѣтать,—это еще
допустимо. Но они не понимаютъ доказательствъ, которыя имъ
предлагаютъ и т. д.». (Г. Пуанкаре. «Наука и Методъ». Пе-
реводъ подъ ред. И. К. Брусиловскаго).
Далѣе Пуанкаре анализируетъ понятіе ((пониманіе», и же-
лающіе могутъ найти много интереснаго на страницахъ ука-
занной книги, посвященныхъ ((математическому разсужденію».
Но оставимъ Пуанкаре и обратимся къ современному
курсу геометріи и къ учебникамъ, которые являются вырази-
телями этого курса, съ цѣлью разобраться, нѣтъ ли въ этомъ
курсѣ причинъ, хотя бы отчасти объясняющихъ ((непониманіе
математики» или, по крайней мѣрѣ, показывающихъ, что бла-
годаря современному состоянію нашего курса геометріи (я го-

ворю только о геометріи) число «непонимающимъ геометрію»
должно увеличиваться.
Необходимо остановиться на фактахъ, характеризующихъ
проявленія логики въ нашемъ курсѣ геометріи.
Вообще говоря, логика можетъ и должна проявляться въ
курсѣ геометріи двояко:
1) въ логичномъ построеніи всего курса, направляемомъ
руководящими мыслями, положенными въ основу курса,—это,
такъ сказать, внутреннее проявленіе логики;
2) въ видѣ ряда силлогизмовъ, которыми доказываются
теоремы.
Полагаю, что я не ошибусь, что авторы нашихъ обычныхъ
учебниковъ и все, регулируемое этими учебниками, обученіе
геометріи главное вниманіе обращаютъ на второе проявленіе
логики. Подтвержденіе этого я вижу во многихъ программахъ,
въ которыхъ на первый планъ выдвигается развитіе формаль-
наго мышленія учащихся.
Съ моей точки зрѣнія первое проявленіе логики въ курсѣ
геометріи неизмѣримо цѣннѣе второго. Здѣсь мало, чтобы по-
слѣдующее опиралось на предыдущее, здѣсь надо стремиться
къ идеалу стройности курса: введеніе въ курсъ новыхъ объ-
ектовъ, комбинирование ихъ, обобщеніе основныхъ понятій
должно быть выполнено по строго логическому плану. Тогда
эта сторона курса окажетъ доминирующее вліяніе на развитіе
учащихся и вліяніе неизмѣримо большее, чѣмъ отъ проведенія
требованія, чтобы все, что не аксіома, доказывалось. Эта строй-
ность плана повлечетъ за собою развитіе у учащихся потреб-
ности примѣнять къ изученію геометріи логику; навыкъ въ
построеніи силлогизмовъ само-собою, безъ навязыванія его уча-
щимся, займетъ въ курсѣ надлежащее мѣсто, такъ какъ уча-
щіеся сами почувствуютъ и необходимость формальной логики
и пользу ея.
Несмотря на то, что авторы нашихъ учебниковъ большее
вниманіе обращаютъ на второе проявленіе логики, все же,
какъ это ни удивительно, имѣются вкоренившіяся въ нашъ
курсъ геометріи ошибки даже и противъ этого проявленія логики.
Къ выясненію этихъ ошибокъ я теперь и приступаю.

II.
Общеизвѣстна теорема: «сумма двухъ смежныхъ угловъ
равна 2d)). Для доказательства этой теоремы пишется рядъ
равенствъ, приводится рядъ разсужденій, но оказывается, что
здѣсь нѣтъ матеріала для доказательства.
Для выясненія этого наиболѣе удобно перенести вопросъ
на строго-логическую почву, отказавшись отъ тѣхъ образовъ,
съ которыми мы связываемъ мысль, выражаемую этою «тео-
ремою». Для этой цѣли слѣдуетъ воспользоваться символами.
Имѣемъ классъ объектовъ: a, b, с, d, е. ... , которые
мы называемъ углами и относительно которыхъ надо доказать,
что а + Ъ = 2d, гдѣ а я b суть два объекта этого класса, осо-
беннымъ образомъ выбранные, a d есть объектъ этого же
класса, обладающій особыми признаками.
Всѣ объекты нашего класса удовлетворяютъ слѣдующимъ
постулатамъ: 1) постулата сложенія: для всякихъ двухъ объ-
ектовъ а я b возможно найти въ этомъ же классѣ третій
объектъ, называемый суммою двухъ первыхъ, т. е. возможно
найти a-{-b; 2) 2d значитъ d.i-d; 3) надо перевести образ-
ное представленіе смежныхъ угловъ на символы. Обычное опре-
дѣленіе смежныхъ угловъ [смежными углами называются два
угла, имѣющіе (общую вершину), одну общую сторону, a двѣ
другихъ стороны которыхъ образуютъ одну прямую] въ связи
съ образнымъ процессомъ сложенія угловъ возможно перевести
на символы въ такой формѣ: въ условіи теоремы даны два
такихъ объекта а л b, что ихъ сумма равна нѣкоторому осо-
бому объекту с; 4) надо сдѣлать подобный же переводъ на
символы для прямого угла, обозначаемаго знакомъ d. «Пря-
мымъ угломъ называется одинъ изъ двухъ равныхъ смежныхъ
угловъ», т. е. символъ d есть такой особенный объектъ на-
шего класса, что d-\rd=c (на основаніи 3) или (на основа-
ніи 2) 2d=c.
Все доказательство сводится тогда къ тому, что къ двумъ
даннымъ посылкамъ: а-\-Ъ=*с и 2d=c надо присоединить
третью: два объекта (обыкновенно говорятъ «двѣ величины»),

порознь равные третьему, равны между собою, и заключить
отсюда «слѣдовательно α-\-ά — 2ώ).
Но въ нашихъ наиболѣе распространенныхъ учебникахъ
даже и этого дѣлать не приходится. Въ самомъ дѣлѣ, тамъ
избѣгается введеніе въ курсъ геометріи того особеннаго угла,
который обозначенъ символомъ с (въ нѣкоторыхъ учебникахъ
вводится этотъ особенный уголъ; называемый развернутымъ,
или выпрямленнымъ, но эти учебники почти не употребляются
въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ); разъ этотъ уголъ не вхо-
дитъ въ курсъ, a взамѣнъ его вводятъ лишь одинъ особый
уголъ прямой, названный символомъ d, то намъ остается 4-ый
постулатъ выкинуть, a 3-ій измѣнить: данные въ условіи
теоремы символы а и b связаны между собою соотношеніемъ
a-\-b — 2d. Что же тогда доказывать? Содержаніе теоремы
вовсе исчезаетъ.
А сколько трудовъ затрачиваютъ несчастные ученики—
и это въ самомъ началѣ курса,—чтобы быть въ состояніи вос-
произвести самимъ доказательство этой теоремы съ нулевымъ
содержаніемъ!
Вмѣсто того, чтобы изучать доказательство этой якобы
теоремы, слѣдовало бы выполнять рядъ упражненій, пріучаю-
щихъ учениковъ видѣть сумму двухъ или нѣсколькихъ слага-
емыхъ угловъ и показывающихъ, что эта сумма иногда мо-
жетъ оказаться выпрямленнымъ угломъ (2d).
Такую же цѣнность имѣетъ и обратная теорема, доказа-
тельство которой такъ трудно дается учащимся. Понятно те-
перь, почему? Потому что, въ сущности, здѣсь доказывать
нечего, надо лишь видѣть. Здѣсь дѣло еще хуже; чтобы по-
казать это, выписываю эту теорему въ редакціи одного изъ
учебниковъ:
«Если сумма двухъ прилежащихъ угловъ ВВС
и СВА равна двумъ прямымъ, то ихъ внѣшнія сто-
роны ВВ и В A образуютъ прямую линію; слѣд., эти
прилежащіе углы будутъ смежными».
Если ученикъ усвоитъ понятія «прямой уголъ» и «сумма
двухъ угловъ», то каково ему читать или слушать начало до-
казательства: «предположимъ, что ВВ не будетъ про-

долженіемъ прямой ВА и т. д.». Ученикъ вправѣ ска-
зать, что мы не имѣемъ права этого предполагать, такъ какъ
дано, что ^-DBCĄ- GBA — 2d, а это равносильно тому, со-
гласно опредѣленіямъ суммы угловъ и прямого угла, что ΌΒ
ВА являются продолженіемъ другъ друга. Преподавателю
остается затуманить мысль и воображеніе ученика, чтобы
заставить его принять предлагаемое доказательство.
III.
Вотъ еще нѣсколько примѣровъ, указывающихъ, что у
насъ въ сущности на первомъ планѣ въ курсѣ геометріи не
логика, a шаблонъ и традиція.
Во многихъ учебникахъ, слѣдуя Лежандру, принимаютъ
за аксіому, что прямая линія есть кратчайшее раз-
стояніе между двумя точками.
Нельзя согласиться съ тою формою этой аксіомы, какая
дана выше. Въ самомъ дѣлѣ, сейчасъ же возникаетъ вопросъ,
что такое разстояніе между двумя точками; если на эту
аксіому смотрѣть, какъ на опредѣленіе понятія о разстояніи,
то слѣдовало бы выразить ее въ видѣ: прямолинейный отрѣ-
зокъ, соединяющій двѣ точки, называется разстояніемъ между
этими точками.
Изъ текста этой аксіомы (въ томъ ея видѣ, который при-
веденъ выше) можно еще почерпнуть, что между двум а точ-
ками существуютъ разныя разстоянія, изъ которыхъ выби-
рается кратчайшее; между тѣмъ, никто не назоветъ разстоя-
ніемъ земли отъ солнца ломанную или кривую, идущую отъ
земли къ Сиріусу, потомъ къ Венерѣ и затѣмъ къ солнцу
Если бы эту фразу сказать въ формѣ: «кратчайшій путь
между двумя точками идетъ по прямолинейному отрѣзку, со-
единяющему эти точки», то противъ такой формы ничего
нельзя было бы сказать: форма правильная, но понятіе «путь»
не геометрическое и опирается на понятіе о линіи.
Повидимому, если желаемъ разсматриваемую фразу пере-
дѣлать въ аксіому, мы должны это сдѣлать въ слѣдующей
формѣ:

1. Аксіома. Прямолинейный отрѣзокъ, соединяю-
щій двѣ точки, меньше всякой другой линіи, со-
единяющей тѣ же точки.
Понятіе «меньше» въ примѣненіи къ отрѣзкамъ уже было
выяснено.
2. Опредѣленіе. Въ виду предыдущей аксіомы, прямоли-
нейный отрѣзокъ, соединяющій двѣ точки, назы-
вается разстояніемъ между этими точками.
Интересна еще очень распространенная обратная теорема,
которая встрѣчается въ курсѣ геометріи дважды: въ плани-
метріи и въ стереометріи.
Въ планиметріи доказываютъ прямую теорему: «если изъ
точки на прямую опущенъ перпендикуляръ и проведены на-
клонныя, то перпендикуляръ короче всякой наклонной»; за-
тѣмъ дается обратная теорема, доказательство которой часто
предоставляется самимъ учащимся: «кратчайшее разстояніе
отъ точки до прямой есть перпендикуляръ».
Попробуемъ примѣнить сюда способъ составленія обратной
теоремы изъ прямой, обычно излагаемый въ учебникахъ.
Прямая теорема читается «перпендикуляръ короче всякой
наклонной». Слѣдовательно, здѣсь дано: 1) OA^_MN, 2) OB
наклонная къ MN\ требуется доказать, что OAвимъ обратную теорему: одно изъ условій надо помѣнять мѣ-
стомъ съ заключеніемъ. Тогда дано: 1) ОА<ОВ и 2) OB
наклонная къ M; требуется доказать 0A\_MN (!?).
Не трудно, если вникнуть въ суть дѣла, а не ограничи-
ваться игрою въ слова, понять, что 2 предложенія: 1) пер-
пендикуляръ короче всякой наклонной и 2) крат-
чайшая изъ всѣхъ прямыхъ, проведенныхъ изъ
точки къ прямой, есть перпендикуляръ—суть выра-
женія одной и той же мысли и, отнюдь, одно изъ нихъ не
обратно другому.
Вотъ еще примѣръ, указывающій, что на первый планъ
выдвигается діалектика, а суть дѣла въ загонѣ. Въ курсѣ гео-
метріи J. Hadamard'a для доказательства существованія несо-
измѣримыхъ отрѣзковъ разсматривается равнобедренный треу-
гольникъ, у котораго уголъ при вершинѣ= Ца, вмѣсто классиче-

скаго примѣра діагонали и стороны квадрата. Въ русскихъ
учебникахъ также имѣетъ мѣсто указанная замѣна, мотиви-
рованная соображеніемъ, что въ этомъ примѣрѣ доказательство
проще, чѣмъ въ классическомъ.
Къ сожалѣнію, для ученика этотъ примѣръ вовсе не убѣ-
дителенъ, ибо ученикъ въ этомъ мѣстѣ курса еще не умѣетъ
дѣлить прямой уголъ на б равныхъ частей и осуществить
указаннаго равнобедреннаго треугольника не можетъ.
Слѣдуетъ подвергнуть тщательному пересмотру весь нашъ
обычный курсъ геометріи и переработать тѣ мѣста его, кото-
рыя вызываютъ сомнѣнія. Вотъ еще сомнительное мѣсто курса:
при изученіи вопроса объ измѣреніи площади прямоугольника
доказываютъ рядъ теоремъ (аналогично ведутъ дѣло и въ во-
просѣ объ измѣреніи объема прямоугольнаго параллелопипеда).
Не касаясь вопроса о содержаніи этихъ теоремъ, вызываю-
щемъ сомнѣнія, обращу вниманіе гг. членовъ Съѣзда на то,
что здѣсь болѣе умѣстно повѣствоватедьное изложеніе, гдѣ
учащіеся познакомились бы съ творческою работою человѣче-
ской мысли, результатомъ которой явилось сознаніе, что воз-
можно площадь каждаго прямоугольника выразить числомъ.
IV.
Предупредивъ предварительно, что я вовсе не стою за
изученіе учащимися опредѣленій основныхъ понятій—моя точ-
ка зрѣнія будетъ изложена ниже,—я все же остановлюсь на
изслѣдованіи того, какія системы опредѣленій даются въ на-
шихъ курсахъ. Я долженъ сдѣлать это потому, что Г) этимъ
рядомъ опредѣленій характеризуется внутренняя логичность курса,
которой я придаю столь большое значеніе и 2) нѣкоторыя изъ
учебныхъ программъ обращаютъ вниманіе на то, чтобы учени-
ки усвоили систему опредѣленій. Здѣсь, такъ какъ мнѣ нуженъ
рядъ опредѣленій, я долженъ остановиться на отдѣльныхъ
учебникахъ; однако я не стану называть ихъ именъ. Буду
выбирать лишь учебники, допущенные Уч. Ком. Мин. Нар.
Пр. въ качествѣ руководства для среднихъ учебн. заведеній,
Вотъ рядъ опредѣленій изъ одного новаго учебника, но,

несмотря на новизну, составленнаго въ традиціонномъ напра-
вленіи:
1) Въ самомъ началѣ учебника читаемъ: «часть простран-
ства, занимаемая физическимъ тѣломъ, называется его объе-
момъ или геометрическимъ тѣломъ».
Отсюда мы вправѣ сдѣлать выводъ: Объемъ и Геоме-
трическое тѣло суть понятія тождественныя, откуда слѣ-
дуетъ, что можно говорить лишь объ объемѣ физическаго тѣла,
но нельзя говорить объ объемѣ геометрическаго тѣла. Но въ
дальнѣйшемъ авторъ забываетъ начало своего учебника, или
надѣется, что ученикъ не усвоилъ этого начала и не сумѣетъ
сдѣлать указаннаго вывода. Въ самомъ дѣлѣ, въ дальнѣйшемъ,
гдѣ изучается вопросъ объ измѣреніи объемовъ, находимъ:
2) Многогранникомъ называется тѣло, ограниченное со
всѣхъ сторонъ плоскостями.
3) Какъ извѣстно, пространство, занимаемое тѣломъ назы-
вается его объемомъ.
Да, это извѣстно о физическомъ тѣлѣ, но неужели авторъ,
говоря далѣе «объемъ многогранника», «объемъ призмы» и т. п.
подразумѣваетъ физическія призмы, пирамиды и т. п. Такое
объясненіе слѣдуетъ отбросить, такъ какъ геометрія не зани-
мается изученіемъ физическихъ тѣлъ. Если бы авторъ сталъ на
эту оригинальную точку зрѣнія, то онъ долженъ былъ бы
оговорить это въ предисловіи. Остается думать, что авторъ
(умышленно или не умышленно) забылъ начало своего учебника.
Тѣ же сомнѣнія возникаютъ въ главѣ, гдѣ начинается изученіе
тѣлъ вращенія; здѣсь дѣло еще хуже, такъ какъ еще яснѣе,
что авторъ подъ именемъ тѣлъ вращенія понимаетъ геометри-
ческія тѣла. Вотъ, напр., опредѣленіе шара: «тѣло, образован-
ное вращеніемъ полукруга около своего діаметра, называется, ша-
ромъ», a «кругомъ называется часть плоскости, ограниченная
окружностью» и т. д.,—здѣсь ничего физическаго нѣтъ.
Другой рядъ недоразумѣній возникаетъ на почвѣ слѣдую-
щихъ опредѣленій:
1) Сочетаніе какихъ-нибудь точекъ, линій, поверхностей,
тѣлъ, а также каждый изъ этихъ элементовъ въ отдѣльности
называется геометрическою фигурою.

2) Многоугольникомъ назыв. часть плоскости, ограничен-
ная со всѣхъ сторонъ прямыми.
Сопоставленіе этихъ опредѣленій позволяетъ заключить:
многоугольникъ не есть фигура, между тѣмъ какъ многогран-
никъ (опредѣленіе цитируется выше) есть фигура, потому что
именемъ «фигура» можетъ быть названо тѣло (часть простран-
ства), но не часть плоскости (поверхность, упоминаемая въ
опредѣленіи фигуры, совсѣмъ не то же самое, что часть ея).
Далѣе имѣемъ еще опредѣленіе:
3) Часть плоскости, ограниченная со всѣхъ сторонъ, назы-
вается площадью.
Изъ (2) и (3) опредѣленій вытекаетъ: многоугольникъ
есть частный видъ площади; также изъ опредѣленія круга
(дано выше) слѣдуетъ: кругъ есть частный видъ площади.
Какой же смыслъ имѣютъ встрѣчающіяся далѣе выраженія,
«площадь прямоугольника, многоугольника, круга и т. п.»?
Далѣе имѣемъ: «фигуры, хотя и не равныя, но имѣющія
равныя площади, назыв. равновеликими».
О какихъ фигурахъ здѣсь рѣчь? Вѣдь многоугольникъ,
какъ указано выше, самъ, по мнѣнію автора, есть площадь;
объ иныхъ объектахъ, которые можно разсматривать какъ фи-
гуры и относительно которыхъ можно утверждать, что они
имѣютъ площадь, въ курсѣ нѣтъ и помину. Да и вообще, что
значитъ «фигура, имѣющая площадь»?
Въ одномъ изъ самыхъ распространенныхъ учебниковъ
обращено вниманіе на недоразумѣнія, создающіяся тѣмъ обстоя-
тельствомъ, что часть пространства иногда называютъ просто
«тѣло», а иногда «объемъ тѣла» и т. п. и сдѣлана попытка
устранить эти недоразумѣнія. Вотъ рядъ выписокъ изъ этого
учебника:
1) Всякая ограниченная часть пространства назыв. reo ме-
трическимъ тѣломъ.
2) Объемомъ геометрическаго тѣла называется величина
той части пространства, которую занимаетъ это тѣло.
Итакъ здѣсь, чтобы отличить опредѣленія тѣла и его
объема, вводится слово «величина». Ясно ли значеніе выраже-
нія «величина части пространства»? Мнѣ приходилось слышать,

a можетъ быть и читать гдѣ-либо (сейчасъ не припомню, гдѣ
именно), поясненіе этого выряженія: надо разсматривать часть
пространства независимо отъ ея формы. Повидимому, многіе
преподаватели согласны, что выраженіе «величина части про-
странства» безъ поясненій, безъ дополненія—туманно, но выше-
указанное поясненіе, предлагающее мыслить опредѣленную часть
пространства независимо отъ ея формы, еще усиливаетъ этотъ
туманъ. Какъ, въ самомъ дѣлѣ, я могу отказаться отъ формы
выдѣленной части пространства? Вѣдь потому лишь я считаю
ее опредѣленною частью, что ей придана извѣстная форма.
Въ нѣкоторыхъ учебникахъ ариѳметики настоятельно про-
водится мысль о различіи понятій о величинѣ и о значеніи
величины. Нельзя не согласиться съ правильностью такого
взгляда, а между тѣмъ въ курсѣ геометріи такое различіе
не проводится такъ строго, какъ въ ариѳметикѣ (сравнить,
напр., учебники ариѳметики и геометріи А. Киселева). Если
держаться этого различія, то слѣдовало бы опредѣленіе 2-ое пере-
дѣлать:
Объемомъ тѣла назыв. значеніе величины «ограниченная
часть пространства»), которое она принимаетъ для даннаго тѣла.
Поэтому прежде всего слѣдуетъ установить, что ограни-
ченныя части пространства можно разсматривать какъ величину,
т. е. что здѣсь примѣнимы понятія «равно, больше, меньше»
и понятіе о суммѣ; затѣмъ надо установить, какъ выбирать
значеніе этой величины, соотвѣтствующее данному тѣлу. Если
тѣло (см. выше данное опредѣленіе 1) есть ограниченная часть
пространства, то само тѣло и является значеніемъ нашей вели-
чины, соотвѣтствующимъ этому тѣлу. Приходимъ опять къ
результату, что и здѣсь, несмотря на введеніе слова «величина»
(или «значеніе величины»), объемъ тѣла совпадаетъ съ самимъ
тѣломъ.
Интересно еще остановиться на понятіи «длина». Обычно
это понятіе вовсе не опредѣляется, и вотъ, напр., въ одномъ
учебникѣ находимъ §, озаглавленный «соизмѣримыя и несоиз-
мѣримыя длины», но въ этомъ § вовсе, кромѣ заглавія, не
встрѣчаемъ слова «длина», a вмѣсто того все время говорится
о соизмѣримыхъ и несоизмѣримыхъ прямолинейныхъ отрѣзкахъ.

Повидимому, хотя авторъ этого и не поясняетъ, все время по-
нятія "длина» и «прямолинейные отрѣзки» въ этомъ учебникѣ
считаются тождественными.
Вопросъ о длинѣ долженъ разрабатываться по слѣдующему
плану: сначала учимся строить прямолинейные отрѣзки (прямо-
линейный отрѣзокъ въ сущности есть комбинація прямой и
двухъ точекъ) и оперировать надъ ними; затѣмъ устанавли-
ваемъ возможность, опираясь на возможность распознавать
равные отрѣзки, отличать большій отъ меньшаго, находить
сумму двухъ отрѣзковъ, выражать каждый отрѣзокъ числомъ.
Такимъ образомъ вовсе нѣтъ нужды говорить «о длинѣ прямол.
отрѣзка»; въ примѣненіи къ другимъ объектамъ, какъ гео-
метрическимъ, такъ и физическимъ, терминъ «длина» остается:
мы говоримъ «длина ломаной линіи», «длина комнаты» и т. п.
Тогда подъ именемъ длина какого либо объекта—надо пони-
мать опредѣленный отрѣзокъ, связанный извѣстнымъ образомъ
съ этимъ объектомъ: напр., подъ именемъ «длина ломаной»
понимаютъ прямолинейный отрѣзокъ, который служитъ сум-
мою всѣхъ сторонъ ломаной; подъ длиною комнаты понимаютъ,
если полъ комнаты имѣетъ форму прямоугольника, наиболь-
шую изъ сторонъ этого прямоугольника. Иногда прямолиней-
ные отрѣзки, связанные съ извѣстными объектами, назы-
ваютъ и другими именами: ширина, глубина, разстояніе и т. д.
Возможно указать, что употребляютъ неправильное выраженіе
«длина прямолинейнаго отрѣзка», здѣсь также надо съ объек-
томъ «прямолинейный отрѣзокъ» связать извѣстнымъ обра-
зомъ опредѣленный отрѣзокъ, и этимъ послѣднимъ является
самъ данный объектъ.
Здѣсь, хотя бы лишь мимоходомъ, слѣдуетъ указать на
нѣкоторыя нарушенія стройности плана курса геометріи въ
обычномъ его изложеніи. Вотъ два примѣра: 1) вопросъ о раз-
стояніи между двумя точками переплетается съ развитіемъ
мысли «противъ большаго угла лежитъ большая сторона и
обратно», 2) развитіе идеи о перепендикулярности между пря-
мой и плоскостью переплетается съ вопросами о параллель-
ности прямыхъ въ пространствѣ.

V.
Работая надъ составленіемъ своего курса геометріи, я
прежде всего, чтобы найти выходъ изъ указанной путаницы
геометрической терминологіи, долженъ былъ остановиться на
вопросѣ, нельзя ли части плоскости, части пространства въ
самомъ дѣлѣ разсматривать «независимо отъ формы»?
Исходнымъ пунктомъ явилось соображеніе, что можно
разсматривать прямолинейные отрѣзки независимо отъ ихъ
положенія. Для этого слѣдуетъ лишь откладывать отрѣзки,
равные даннымъ, на опредѣленной прямой, отъ ея опредѣлен-
ной точки, въ опредѣленномъ направленіи. Тогда можно на-
зывать длиною даннаго отрѣзка ту часть, которую займетъ
этотъ отрѣзокъ при наложеніи его на нашу опредѣленную
прямую.
Подобное же наложеніе является возможнымъ выполнять
и для ограниченныхъ прямыми линіями частей плоскости. Здѣсь
надо прежде всего дать полную теорію превращенія части пло-
скости въ другую ей равновеликую, независимо отъ измѣренія
площадей. Конечно, цѣлью этой теоріи является установленіе
положенія, что всякая, ограниченная прямыми линіями, часть
плоскости можетъ быть превращена въ равновеликій прямо-
угольникъ, имѣющій данное основаніе. Тогда, выдѣливъ изъ
плоскости неопредѣленную прямоугольную полосу (см. чертежъ),
мы можемъ всякую часть плоскости, ограниченную прямыми
линіями, превратить въ прямоугольникъ, основаніе котораго
равно ширинѣ нашей полосы, и наложить этотъ прямоугольникъ
на нашу полосу; тогда подъ именемъ «площадь ограниченной
части плоскости» мы можемъ понимать то протяженіе нашей
полосы, которое окажется занятымъ полученнымъ прямо-
угольникомъ.
Подобнымъ же образомъ необходимо, далѣе, дать теорію,
позволяющую чисто геометрически превращать каждую огра-
ниченную плоскостями часть пространства въ прямоугольный
параллелопипедъ съ даннымъ основаніемъ, опредѣленнымъ разъ
навсегда. Тогда понятіе объ объемѣ выяснялось бы аналогично
понятію о площади.

При такомъ толкованіи явилась бы возможность сохра-
нить традиционную терминологію: фигура есть часть плоскости,
а ея площадь есть та часть прямоугольной полосы, выбранной
разъ навсегда, которую займетъ наша фигура на этой полосѣ
послѣ соотвѣтствующаго превращенія; тѣло есть часть про-
странства, a объемъ тѣла есть соотвѣтствующая часть «про-
странственной прямоугольной полосы».
Авторы нашихъ учебниковъ не могутъ ссылаться на то,
что такъ именно они и понимаютъ дѣло; не могутъ ссылаться
потому, что въ ихъ учебникахъ нѣтъ чисто геометрической,
независимой отъ измѣренія, теоріи превращенія частей пло-
скости и пространства въ прямоугольники и прямоугольные
параллелопипеды съ даннымъ основаніемъ. А между тѣмъ, такая
теорія для частей плоскости можетъ быть дана въ чисто гео-
метрическомъ видѣ; для частей же пространства, ограниченныхъ
плоскостями, дать такую теорію возможно лишь съ помощью
принципа Кавальери, примѣняя его къ вопросу о превращеніи
пирамиды въ равновеликую призму. Но даже и проведеніе этой
теоріи въ курсахъ геометріи не поколебало бы моей увѣрен-
ности въ томъ, что надо отказаться теперь отъ принятой тер-
минологіи, Пусть Евклидъ, Архимедъ, Гюйгенсъ и проч. по-
нимали подъ именемъ «треугольникъ» часть плоскости, но
вѣдь они за то не употребляли выраженія «площадь треуголь-
ника»; они говорили: треугольникъ равенъ квадрату..., а мы
теперь говоримъ: площадь треугольника равна площади квад-
рата...
Такое измѣненіе оборота нашей рѣчи вызвано тѣмъ взгля-
домъ на объекты геометріи, который теперь лишь постепенно
завоевываетъ надлежащее мѣсто, среди математической лите-
ратуры. Этотъ взглядъ сложился несомнѣнно подъ вліяніемъ
создавшейся послѣ Евклида, Архимеда, Гюйгенса... отрасли
геометрической науки, которая раньше называлась у насъ —
Высшая геометрія (у нѣмцевъ Die Geometrie der Lage), a
теперь называется Проэктивная геометрія.
Вотъ тотъ взглядъ на объекты, съ которыми оперируетъ
геометрія, который сложился у меня и который мнѣ предста-
вляется единственно правильнымъ. Въ изложеніи этого взгляда

я буду руководиться мыслями, высказанными Г. Пуанкаре въ
его мемуарѣ «Наука и методъ».
VI.
Геометрія, какъ и всякая наука, имѣетъ дѣло съ фак-
тами. Подъ вліяніемъ опыта наше сознаніе пришло къ воз-
можности признать существованіе нематеріальныхъ точекъ,
линій и поверхностей, причемъ вмѣстилищемъ ихъ является
пространство. Далѣе, изъ этихъ фактовъ выбираются простѣйшіе;
таковыми мы признаемъ точку, прямую линію и плоскость.
Затѣмъ начинается комбинаціонная работа, которая такъ хо-
рошо изложена въ указанномъ сочиненіи Г. Пуанкарре: мы
строимъ изъ этихъ фактовъ различныя комбинаціи, изыски-
ваемъ почему-либо интересныя среди нихъ. Каждая такая
комбинація и является объектомъ для геометрическаго изслѣ-
дованія. Такимъ образомъ на прямолинейный отрѣзокъ слѣ-
дуетъ смотрѣть, какъ на комбинацію прямой линіи и двухъ
точекъ на ней расположенныхъ, на уголъ—какъ на комбина-
цію точки и двухъ лучей изъ нея исходящихъ, на треуголь-
никъ—какъ на комбинацію трехъ точекъ и трехъ попарно
соединяющихъ ихъ прямыхъ и т. д.; въ связи съ этимъ
названія кругъ и окружность должны считаться синонимами,
какъ это часто на самомъ дѣлѣ и дѣлаютъ, и должны обоз-
начать геометрическое мѣсто точекъ плоскости, одинаково удален-
ныхъ отъ данной точки. Термины «площадь треугольника, пло-
щадь многоугольника, площадь кругам при вышеизложенномъ воз-
зрѣніи получатъ опредѣленный смыслъ и будутъ обозначать
части плоскости, выдѣляемыя треугольникомъ, многоугольникомъ,
кругомъ. Слѣдуетъ замѣтить относительно многоугольника, что
можно построить такой, напр., 6-угольникъ (комбинація изъ
6 точекъ и 6 соединяющихъ ихъ въ опредѣленномъ порядкѣ
прямыхъ), что смыслъ понятія «площадь этого 6-угольника»
возможно установить лишь при условіи приписывать частямъ
Плоскости знаки + и —. Если же, какъ это обычно дѣлается
въ элементарномъ курсѣ, отказаться отъ знаковъ для кусковъ
плоскости, то слѣдуетъ говорить, что у этого 6-угольника

нѣтъ площади,—такіе многоугольники, неимѣющіе площади,
обычно называются звѣздчатыми.
Аналогично этому долженъ развиваться взглядъ и на про-
странственные объекты: подъ именемъ призма, пирамида, много-
гранникъ и т. п. слѣдуетъ понимать всякій разъ вполнѣ опре-
дѣленную комбинацію точекъ, прямыхъ и плоскостей. Тогда
подъ именемъ «объемъ призмы», «объемъ пирамиды», (Объемъ
многогранника» слѣдуетъ понимать часть пространства, огра-
ниченную соотвѣтствующей комбинаціею точекъ, прямыхъ и
плоскостей. Болѣе общее понятіе «тѣло» слѣдуетъ толковать
какъ комбинацію точекъ, какихъ-либо линій и какихъ-либо
поверхностей, выдѣляющую изъ пространства опредѣленную
часть. Тогда подъ именемъ «объемъ тѣла» явится возможнымъ
понимать часть пространства, выдѣляемую этимъ тѣломъ (т. е.
этою комбинаціею). Также, наконецъ, подъ именемъ шаръ
надо понимать геометр, мѣсто точекъ пространства, равноуда-
ленныхъ отъ данной точки. Тогда терминъ «объемъ шара»
получитъ смыслъ и будетъ выражать часть пространства, вы-
дѣляемую разсматриваемымъ геометр, мѣстомъ. Возможно, на-
конецъ, сдѣлать еще шагъ впередъ и понимать подъ именемъ
фигура любую комбинацію линій и точекъ на плоскости, а
подъ именемъ тѣло любую комбинацію точекъ, линій и по-
верхностей въ пространствѣ (напр., тогда совокупность двухъ
параллельныхъ плоскостей и перпендикулярной къ нимъ пря-
мой является тѣломъ).
Возвращусь еще разъ къ нашимъ обычнымъ учебникамъ.
Совершенно непонятною является разница между двумя опре-
дѣленіями:
1) Многоугольникомъ назыв. фигура, образованная замк-
нутою ломаною линіею (иногда добавляютъ: вмѣстѣ съ частью
плоскости, ограниченною этою линіею).
2) Многогранникомъ называется тѣло (a подъ этимъ име-
немъ понимаютъ въ учебникахъ часть пространства), ограни-
ченное со всѣхъ сторонъ плоскостями.
Первое опредѣленіе какъ бы указываетъ на желаніе
смотрѣть на многоугольникъ, какъ на совокупность точекъ и пря-
мыхъ линій (впрочемъ, здѣсь видна туманность воззрѣній ав-

торовъ учебниковъ; на это указываютъ: 1 ) совершенно не нуж-
ное слово «образованная» и 2) добавленія «вмѣстѣ съ частью
плоскости, ограниченной этою линіею»,—вѣдь иногда невоз-
можно и разобрать, какую часть плоскости эта линія ограни-
чиваетъ). Почему же второе опредѣленіе (многогранника) не
идетъ аналогично первому? Почему и на многогранникъ нельзя
смотрѣть, какъ на замкнутую многогранную поверхность или
какъ на комбинацію точекъ, прямыхъ и плоскостей?
При вышеизложенномъ воззрѣніи на геометрическіе объ-
екты становятся понятными требованія «построить уголъ, тре-
угольникъ, кругъ» и т. п. «построить призму, пирамиду» и
т. п., становятся понятными и съ теоретической, и съ прак-
тической точекъ зрѣнія.
Съ теоретической точки зрѣнія построить какой либо
объектъ на плоскости или въ пространствѣ значитъ—фиксиро-
вать свое вниманіе на опредѣленныхъ точкахъ и линіяхъ на
плоскости, или на опредѣленныхъ точкахъ, линіяхъ и поверх-
ностяхъ въ пространствѣ.
Съ практической точки зрѣнія мы прежде всего постули-
руемъ возможность построенія точекъ, прямыхъ и круговъ на
плоскости и еще плоскостей въ пространствѣ, и это постули-
рование даетъ намъ возможность осуществить объектъ, подле-
жащій построенію, если въ его составъ входятъ только пере-
численные основные элементы.
При взглядѣ же напр., на многоугольникъ, какъ на часть
плоскости, непонятнымъ является требованіе «построить много-
угольникъ» ни съ теоретической, ни съ практической точекъ
зрѣнія: 1) нельзя фиксировать свое вниманіе на части
плоскости, не останавливая его на тѣхъ объектахъ, кото-
рыми эта часть выдѣляется, 2) мы постулируемъ возможность
осуществленія точекъ, прямыхъ, плоскостей, а не частей пло-
скости и не частей пространства.
VII.
Въ заключеніе остановлюсь на вопросахъ общаго характера.
Въ настоящее время широкимъ распространеніемъ пользу-
ется мысль о необходимости раздѣлить обученіе геометріи на

два курса: на пропедевтическій и на систематическій. Изъ
основного положенія, что въ созиданіи геометріи участвуютъ
двѣ нашихъ духовныхъ способности, интуиція и логика, дѣлаютъ
неправильный выводъ (см. докладъ С. А. Богомолова), что
необходимо построить два курса геометріи, каждый изъ кото-
рыхъ опирался бы на одну изъ этихъ способностей. Вызываетъ
прежде всего большія сомнѣнія вопросъ, возможно-ли отдѣлить
вполнѣ другъ отъ друга роль интуиціи и логику въ созиданіи
геометріи? И тѣ научныя работы, которыя посвящены этому
вопросу, еще не рѣшили этой задачи.
Нѣтъ, если интуиція и логика обѣ участвуютъ въ созида-
ніи геометріи, то отсюда слѣдуетъ, что должно стремиться къ
созданію такого учебнаго курса, въ которомъ бы эти наши
способности были бы гармонически соединены для достиженія
общей цѣли: сдѣлать близкими сознанію учащихся тѣ объекты,
надъ которыми работаетъ геометрія. Въ этомъ курсѣ и интуи-
ція, и логика должны идти рука объ руку. Не можетъ служить
возраженіемъ противъ возможности такого курса указаніе на
плохіе результаты изученія геометріи по существующимъ кур-
самъ; не можетъ служить потому, что, какъ я это старался
показать въ своемъ докладѣ, въ современномъ курсѣ геометріи
имѣютъ мѣсто постоянные конфликты между логикой и интуиціею
и даже логика нашего курса оказывается весьма сомнительной.
Кромѣ того, пусть сторонники раздѣленія курса геометріи на про-
педевтическій и систематическій дадутъ такіе курсы: нельзя же
видѣть рѣшеніе этой задачи лишь въ томъ, что-бы, прежде
чѣмъ изучать геометрію по нашимъ обычнымъ учебникамъ
(неужели курсъ, излагаемый въ нихъ, можно назвать система-
тическимъ?), дать учащимся наборъ фактовъ, безъ углубленія
въ изученіе ихъ, накопляя ихъ въ безпорядкѣ другъ за дру-
гомъ въ представленіи учащихся, какъ это дѣлается въ со-
временныхъ пропедевтическихъ курсахъ (Кутузовъ, Астрябъ и
другіе). Если мы правильно подошли бы къ рѣшенію задачи о
раздѣленіи курса геометріи на пропедевтическій и систематиче-
скій, то, можетъ быть, однимъ изъ главныхъ условій такого
раздѣленія оказалась бы мысль, что въ систематическомъ курсѣ
не должно повторяться то, что уже усвоено въ пропедевти-

ческомъ, и такимъ образомъ оба курса слились бы въ одинъ
общеобразовательный курсъ, гдѣ въ началѣ первенствующее
мѣсто занимала бы интуиція и лишь постепенно все большія
и большія права захватывала бы логика.
Если будетъ признано необходимымъ познакомить учащихся
съ работами въ области геометріи, задачею которыхъ является
отдѣленіе интуиціи и логики, то этому знакомству нѣтъ мѣста
въ общеобразовательномъ курсѣ. Оно возможно лишь въ спе-
ціальныхъ математическихъ классахъ, которые имѣютъ мѣсто
во Франціи и на необходимость которыхъ для русской школы
въ этихъ же самыхъ стѣнахъ Педагогическаго Музея указалъ
20 лѣтъ тому назадъ В. В. Струве, докладъ котораго по этому
лее поводу будетъ еще нами заслушанъ.
Другое добавленіе общаго характера я сдѣлаю по методикѣ
геометріи.
Современное обученіе геометріи направляется двумя поло-
женіями: 1) желаніемъ доказывать все, что не аксіома и 2)
требованіемъ исходить въ этихъ доказательствахъ изъ опредѣ-
леній. Во многихъ оффиціальныхъ программахъ, даже новѣйшаго
времени, указывается на «развитіе формальнаго мышленія»
учащихся и на «построеніе системы опредѣленій».
Главною цѣлью моего доклада было намѣреніе показать,
до чего доходитъ на практикѣ слѣдованіе этимъ двумъ поло-
женіямъ: мы доказываемъ теоремы, не имѣющія содержанія,
a, съ другой стороны, мы даемъ опредѣленія, противорѣчащія
другъ другу.
На наше счастье имѣются ученики, способные къ мате-
матикѣ, которые сами начинаютъ смутно сознавать, что не въ
томъ суть, что опредѣленія выставляются въ курсѣ геометріи
лишь для порядка, а на самомъ дѣлѣ не ихъ надо стремиться
усвоить.
Да, конечно, суть дѣла не въ опредѣленіяхъ. Если мы
возьмемъ какой-либо геометрический объектъ, даже не изъ основ-
ныхъ (опредѣленія основныхъ геометрическихъ объектовъ были
разобраны въ докладѣ), напр., ромбъ, то даже здѣсь можно
было бы поднять споръ объ его опредѣленіи: одни говорили бы,
что ромбъ есть параллелограмъ, у котораго двѣ сосѣднія сто-

роны равны, a другіе утверждали бы, что ромбъ есть параллело-
грамму котораго всѣ стороны равны, а между тѣмъ образъ ромба
у всѣхъ насъ одинъ и тотъ же. Создать систему опредѣленій
основныхъ геометрическихъ понятій—дѣло крайне трудное, и
предыдущія страницы моего доклада касаются этого вопроса.
Поэтому въ основу обученія геометріи должно быть поло-
жено созданіе правильныхъ образовъ геометрическихъ объектовъ,
а не «система опредѣленій*. Опредѣленія всегда остаются лишь
словами, и эти слова, если они заучены, не являются еще
гарантіею того, что учащіеся представляютъ себѣ объекты, со-
отвѣтствующіе этимъ словамъ. Если же мы добьемся того,
чтобы учащіеся свыклись съ образами геометрическихъ объектовъ,
то описаніе ихъ словами является задачею, легко разрѣшаемою.
Итакъ, исходнымъ пунктомъ является созданіе образовъ.
Все обученіе геометріи должно, по моему мнѣнію, въ каждой
части курса распадаться на 4 стадіи: 1) прежде всего необхо-
димо научиться осуществлять объектъ; въ области элементарной
геометріи осуществленіе объекта сводится къ построенію цир-
кулемъ и линейкою, но не слѣдуетъ пренебрегать осуществле-
ніемъ и при помощи модели; 2) послѣ того, какъ объектъ
осуществленъ, слѣдуетъ всестороннее изученіе какъ самого
объекта, такъ и тѣхъ вопросовъ, которые возникаютъ при его
осуществленіи,—это изученіе направляется сопоставленіемъ
этого объекта съ тѣми, которые уже были изучены, 3) далѣе,
должны слѣдовать упражненія въ построеніяхъ, причемъ подъ
этимъ именемъ я понимаю не общепринятыя задачи на по-
строеніе, a тѣ малыя упражненія, которыя необходимы, чтобы
образъ объекта лучше запечатлѣлся въ сознаніи учащихся,
напр.: для усвоенія образа перпендикулярныхъ прямыхъ не-
обходимо строить (а иногда даже только рисовать отъ руки)
перпендикуляры къ даннымъ прямымъ, располагая ихъ во все-
возможныхъ положеніяхъ по отношенію къ краямъ доски или
страницы тетради; для ознакомленія съ разнообразіемъ образовъ
параллелограмовъ надо строить рядъ параллелограмовъ по дан-
нымъ, не вполнѣ опредѣляющемъ параллелограмъ (напр., по двумъ
противоположнымъ вершинамъ и т. п.),—здѣсь важнымъ мо-
ментомъ обученія является сознаніе учащагося, что онъ можетъ

удовлетворить требованіямъ задачи и въ то же время слѣдовать
своему произволу; 4) наконецъ, можно обратить преимуществен-
ное вниманіе на логику и предложить рядъ логическихъ
упражненій, сводящихся къ составленію различныхъ возможныхъ
словесныхъ опредѣленій изученнаго объекта и къ выводу изъ
составленнаго какого-либо опредѣленія, въ которомъ перечис-
ленъ рядъ признаковъ объекта, другихъ признаковъ того же
объекта.
Необходимо обратить вниманіе на то, что предлагаемая
методика обученія геометріи требуетъ много времени, быть
можетъ, значительно больше, чѣмъ его дается теперь на уроки
геометріи. И поэтому мнѣ представляется крайне желатель-
нымъ увеличить время, отведенное на геометрію, безъ увели-
ченія (a можетъ быть, даже и съ сокращеніемъ) программы;
особенно это необходимо для женскихъ гимназій, какъ Мин.
Нар. Проев., такъ и особенно Вѣдом. Имп. Маріи.
Кромѣ того, если мы хотимъ правильно обучать геометріи
и добиться осязательныхъ результатовъ, необходимо отказаться
отъ установившейся внѣшней схемы преподаванія. Эта внѣш-
няя схема у насъ состоитъ изъ четырехъ моментовъ: объ-
ясняется, задается, спрашивается, оцѣнивается.
Пора отказаться отъ этой схемы; не должно быть ни за-
даній, ни спрашиваній; все время должна идти одна непре-
рывная работа учащихся подъ руководствомъ преподавателя
надъ усвоеніемъ разбираемыхъ вопросовъ, надъ углубленіемъ
въ ихъ сущность. Эта работа, начинаясь въ классѣ, можетъ
быть продолжаема въ извѣстные моменты учащимися и внѣ
класса. Уже изъ того положенія, что основою обученія является
не выучиваніе опредѣленій, a созданіе образовъ, слѣдуетъ, что
безцѣльно задавать разучивать страницы учебниковъ и спра-
шивать выученное дома. Если внимательно вникнуть въ со-
держаніе той работы, которая выше мною разбита на 4 ста-
діи (осуществленіе образа, его изученіе, упражненія въ по-
строеніяхъ, логическія упражненія), то легко видѣть, что въ
этой работѣ нѣтъ мѣста ни задаванію, ни спрашиванію, а
тѣмъ болѣе нѣтъ мѣста для оцѣнки баллами этихъ отдѣль-
ныхъ спросовъ.

Тѣ точки зрѣнія, которыя я развивалъ въ своемъ докладѣ,
я проводилъ не только въ составленныхъ мною курсахъ гео-
метріи, но и на практикѣ: въ двухъ женскихъ гимназіяхъ и
на общеобразовательныхъ курсахъ Московскаго Общества На-
родныхъ Университетовъ. Правда, недостатокъ времени не
позволялъ провести курсъ вполнѣ такъ, какъ хотѣлось бы, а,
съ другой стороны, установившаяся схема преподаванія заста-
вляла прибѣгать къ искусству жонглированія; но я видѣлъ,
что мои ученицы и мои слушатели относились къ занятіямъ
геометріею съ интересомъ. A видѣть этотъ интересъ на сво-
ихъ урокахъ для насъ, преподавателей, и должно являться
наиболѣе цѣнною, наиболѣе желательною наградою».
Конспектъ.
Сложившійся у насъ курсъ геометріи въ средней школѣ
обладаетъ недостатками, которые мѣшаютъ пониманію курса
учащимися.
Логика въ курсѣ геометріи должна проявляться двояко:
1) въ планѣ построенія курса и 2) въ силлогизмахъ, служа-
щихъ для доказательства теоремъ.
Наибольшее значеніе должно имѣть первое проявленіе
логики, между тѣмъ, какъ нашъ курсъ обращаетъ больше вни-
манія на второе.
Современный курсъ геометріи грѣшитъ противъ обоихъ
проявленій логики:
1) Примѣрами прегрѣшеній противъ второго проявленія
служатъ прямая и обратная теорема о смежныхъ углахъ, одна
изъ аксіомъ о прямой линіи, одна изъ обратныхъ теоремъ о
перпендикулярѣ и наклонныхъ и проч.
2) Погрѣшности противъ перваго проявленія логики про-
являются въ опредѣленіяхъ основныхъ понятій (тѣло, объемъ,
многоугольникъ, площадь, длина и т. п.), а также въ недо-
статочномъ отдѣленіи развитія одной идеи отъ развитія другой.
Выходъ изъ указанныхъ затрудненій возможенъ лишь съ

установленіемъ новой терминологіи, заимствованной изъ про-
ективной геометріи.
Обученіе геометріи должно покоиться не на изученіи
системы опредѣленій, а на созданіи образовъ въ представленіи
учащихся.
Желательность измѣненія внѣшней схемы преподаванія.
Необходимость увеличенія времени для курса геометріи,
особенно въ женскихъ гимназіяхъ.
Пренія по докладу H. A. Извольскаго.
A. IL Киселевь (Спб.) относительно методическихъ указаній
докладчика сдѣлалъ слѣдующія замѣчанія:
I. Теорема о суммѣ смежныхъ угловъ имѣетъ смыслъ даже
и тогда, когда она основывается на понятіи о развернутомъ углѣ,
и смыслъ ея совершенно ясенъ, если не введено въ самомъ на-
чалѣ геометріи понятія о развернутомъ углѣ.
II. Если имѣетъ смыслъ прямая теорема, то и обратная ей
имѣетъ смыслъ.
III. Утвержденіе докладчика, что выраженіе „перпендикуляръ
короче всякой наклонной" и выраженіе „кратчайшее разстояніе
отъ точки до прямой есть перпендикуляръ, опущенный изъ этой
точки на прямую" — равносильны, является утвержденіемъ не-
правильнымъ: предложннія эти — различны. Это становится со-
вершенно яснымъ, если вообразить, что не изъ всякой точки
можно опустить перпендикуляръ на прямую.
IV. Вопросъ объ опредѣленіяхъ для площади и объема при-
надлежитъ къ труднѣйшимъ. Не достаточно удовлетворительно
опредѣлены эти понятія и въ научныхъ сочиненіяхъ, а потому со-
отвѣтственная неточность въ элементарномъ курсѣ геометріи не
является особенно важной.
Е. С. Томагиевичъ (Москва). «Докладчикъ, коснувшись боль-
ныхъ мѣстъ нашихъ учебниковъ геометріи, совсѣмъ не упомянулъ
о томъ недостаткѣ, который имѣется въ изложеніи вопросовъ,
касающихся пропорціональности различныхъ величинъ и измѣ-
ренія площадей и объемовъ. Во всѣхъ этихъ статьяхъ постоянно
разсматриваются случаи соизмѣримости и несоизмѣримости и раз-
сматриваются очень плохо: логика и строгость здѣсь отсутствуютъ.
Напримѣръ, при сравненіи площадей двухъ прямоугольниковъ
перемножаются отношенія отрѣзковъ по способу перемноженія

дробей, безъ всякаго права на такое дѣйствіе. Не проще ли при
измѣреніи площади прямоугольника получить приближенный ре-
зультатъ съ указаніемъ, какъ ошибки, такъ и средства къ ея
уменьшенію. Еще слабымъ мѣстомъ учебниковъ является статья
о длинѣ окружности и площади круга".
/7. А. Компанеецъ (Одесса) замѣтилъ, что совершенно на-
прасно авторы учебниковъ избѣгаютъ давать понятіе о „развер-
нутомъ углѣ": по наблюденіямъ П. А. Компанейца, это понятіе
легко усваивается учениками.
А. Л, Остроумова (Тихвинъ, Новг. г.) высказала пожеланіе,
чтобы въ главѣ объ измѣреніи угловъ были рѣзко подчеркнуты
три возможныхъ типа угловъ, стороны которыхъ пересѣкаютъ
окружность: 1) вершина угла лежитъ на окружности; 2) вершина
лежитъ внѣ круга и 3) вершина лежитъ внутри круга.
0. П. Перли (Ростовъ на Дону) выразилъ сожалѣніе о томъ,
что докладчикъ не коснулся болѣе подробно вопроса о задачахъ
на построеніе. Затѣмъ О. П. Перли отмѣтилъ слѣдующіе недо-
статки въ школьныхъ курсахъ геометріи.
1. Уголъ трактуется въ учебникахъ, какъ часть плоскости.
II. Въ учебникахъ имѣются три теоремы о равенствѣ тре-
угольниковъ и нѣсколько теоремъ о равенствѣ прямоугольныхъ
треугольниковъ; основныхъ же задачъ на построеніе треугольни-
ковъ—четыре и основныхъ случаевъ рѣшенія косоугольныхъ тре-
угольниковъ въ тригонометріи-четыре; слѣдовательно, теоремъ о
равенствѣ треугольниковъ должно быть четыре.
III. О подобіи треугольниковъ говорится раньше, чѣмъ опро-
порціональныхъ отрѣзкахъ: теорема „Въ подобныхъ треугольникахъ
сходственныя стороны пропорціональны" предшествуетъ теоремѣ:
„Двѣ параллельныя прямыя разсѣкаютъ стороны угла на про-
порціональныя части". Слѣдовало бы держаться обратнаго по-
рядка.
П. А. Доліушинъ (Кіевъ) отмѣтилъ большое число нападокъ
на неясность въ опредѣленіяхъ основныхъ понятій (напр., „угла")
и, во избѣжаніе споровъ на эту тему въ будущемъ, предложилъ
просить Организаціонный Комитетъ слѣдующаго Съѣзда о томъ,
чтобы компетентными лицами было подготовлено нѣсколько до-
кладовъ объ основныхъ математическихъ понятіяхъ.
По поводу пожеланія, высказаннаго П. А. Долгушинымъ,
присутствовавшій предсѣдатель Организаціоннаго Комитета 3. А.
Макшеевъ обратился къ Собранію со слѣдующимъ заявленіемъ:
„Организаціонный Комитетъ сочтетъ своей обязанностью содѣй-
ствовать осуществленію только тѣхъ пожеланій, которыя будутъ

переданы ему Собраніемъ, — съ своей стороны, я могу только
пожелать, чтобы такого рода заявленія отъ васъ туда по-
ступали!"
H. А. Лзволъскій (Москва). „Выпрямленный уголъ есть един-
ственный изъ угловъ, отличающійся отъ всѣхъ остальныхъ осо-
бымъ признакомъ; поэтому введеніе его въ курсъ необходимо.
Безъ этого угла нѣтъ смысла говорить о суммѣ двухъ смежныхъ
угловъ: безъ него былъ бы нарушенъ постулатъ о сложеніи, по-
тому что сложеніе оказалось бы не всегда возможнымъ".
„Доводы А. П. Киселева не убѣдили меня, и я опять-таки
утверждаю, что предложенія „перпендикуляръ короче всякой на-
клонной" и „кратчайшее разстояніе точки отъ прямой есть пер-
пендикуляръ" — являются различными словесными выраженіями
одной и той же мысли".
„Я очень благодаренъ Ε. С. Томашевичу, который привелъ
еще другіе примѣры изъ курса геометріи, указывающіе на не-
правильное трактованіе предмета. Задачи и упражненія на по-
строеніе должны быть основою всего курса геометріи".
„Прямой уголъ по моему плану долженъ быть введенъ въ
курсъ только тогда, когда онъ самъ-собою получается, т. е., послѣ
построенія ромба".
„Знакомство съ основами проективной геометріи является не-
обходимымъ для преподавателя: подъ ея вліяніемъ измѣнился
взглядъ на геометрическіе объекты. Если Эвклидъ, Архимедъ,
Гюйгенсъ и др. подъ именемъ «треугольникъ» понимали «часть
плоскости», то они никогда не говорили „площадь треугольника".
Послѣ нихъ развилась проективная геометрія, которая на всякій
многоугольникъ смотритъ, какъ на комбинацію точекъ и прямыхъ.
Такой взглядъ необходимо перенести и въ элементарный курсъ;
причемъ подъ площадью многоугольника надо понимать ту часть
плоскости, которая имъ ограничивается, если многоугольникъ не
звѣздчатый; если же многоугольникъ звѣздчатый, то для уста-
новленія понятія о его площади необходимо приписывать частямъ,
плоскости знаки „+и и »—"· Несомнѣнно, въ моемъ курсѣ гео-
метріи имѣется много недостатковъ (нѣкоторые изъ нихъ я уже
самъ замѣтилъ); но надо смотрѣть на мои книги, какъ на одну
изъ первыхъ попытокъ построить курсъ геометріи на новыхъ
основаніяхъ".

VII. О реальномъ направленіи преподаванія математики въ связи
съ жизненными и научными фактами.
Докладъ H. H. Володкевича (Кіевъ).
«Требованіе жизненности и реальности изучаемаго матеріала
не означаетъ признанія утилитарной цѣли, какъ наивысшей
цѣли образованія. Утилитарная точка зрѣнія оцѣниваетъ знаніе
по его непосредственной практической приложимости; но не-
посредственно утилизируемое знаніе есть прикладная наука, и
ея изученіе входитъ въ задачу спеціальной или профессіональ-
ной, а не общеобразовательной школы. Цѣль науки болѣе вы-
сокая, чѣмъ непосредственная польза; она стремится къ открытію
истины и удовлетворенію наиболѣе высокихъ запросовъ души
человѣка. Какъ говоритъ Laisant, измѣрять науку по ея по-
лезности — это почти преступленіе. Оцѣнивать науку по ея
практической полезности, въ качествѣ руководящей точки
зрѣнія въ общеобразовательной школѣ, такъ же абсурдно, какъ
совершенно устранить всякое практическое приложеніе науки
въ спеціальной школѣ. Но требованіе основывать преподаваніе
науки въ общеобразовательной школѣ на жизненныхъ и реаль-
ныхъ фактахъ не только не исключаетъ основную идею обще-
образовательной школы—всестороннее развитіе душевныхъ силъ
воспитанника — но даже единственно имѣетъ ее въ виду,
утверждая только, что достиженіе этой цѣли наиболѣе надежно
гарантируется жизненнымъ и реальнымъ содержаніемъ. Какія же
основанія могутъ быть приведены для этого утвержденія?
Наука занимается общимъ, а не спеціальнымъ, абстракт-
нымъ, а не конкретнымъ. Абстракція составляетъ ея сущность.
Путемъ абстракціи она строитъ свои обобщенія, свои законы,
гипотезы и теоріи—весь тотъ удивительный міръ символовъ,
въ которомъ умъ человѣка, повидимому, ничѣмъ не стѣсненный,
кромѣ собственныхъ законовъ, свободно и легко вращается.
Вся наука представляетъ идеальное построеніе; законы, клас-
сификація, обобщенія существуютъ только въ умѣ человѣка,
въ природѣ же нѣтъ общихъ, а только конкретные, единичные

факты. Иногда очень близко соприкасаясь съ конкретнымъ,
какъ въ естественныхъ наукахъ, наука иногда почти безко-
нечно отъ него удаляется, и въ математике стоитъ такъ далеко
отъ конкретнаго міра, что, повидимому, ничего не имѣетъ съ
нимъ общаго. Кантъ сказалъ, что наука лишь постольку за-
служиваетъ названія науки, поскольку она проникается мате-
матикой; это стремленіе всякой науки принять математическую
обработку обусловливается самой ея сущностью,—тѣмъ, что ея
область—общее и абстрактное, а не единичное и конкретное,
вѣчное, а не временное; поэтому наука дѣлается тѣмъ болѣе
научной, чѣмъ болѣе она удаляется отъ конкретнаго и вре-
меннаго, чѣмъ болѣе принимаетъ математическую обработку.
Необходимость абстракціи и выработки общихъ идей
вытекаетъ изъ безграничной сложности явленій конкретной
дѣйствительности и ограниченной силы нашего ума. Всякій
простѣйшій конкретный фактъ, воспринимаемый нами какъ
нѣкоторое единство, по существу представляетъ сложную сово-
купность причинъ, условій и свойствъ; чтобы мыслить конк-
ретный фактъ, какъ единое цѣлое и въ то же время безко-
нечно-сложное цѣлое, необходимы мыслительный силы, превы-
шающій ограниченныя силы нашего ума. Отсюда необходимость
упростить явленіе, выдѣлить то, что составляетъ его сущность,
т. е. совершить тѣ умственныя операціи, которыя называются
абстрагированьемъ и обобщеніемъ, и подставить вмѣсто конк-
ретнаго факта отвлеченную идею, т. е. символъ, обнимающій
всѣ однородные факты въ одномъ усиліи мысли.
Но этотъ міръ символовъ, составляющій науку и созда-
ваемый абстрагирующей и обобщающей дѣятельностью ума
человѣка, не есть его самостоятельное твореніе; умъ самъ по
себѣ, своей собственной и ничѣмъ не стѣсненной дѣятель-
ностью, не можетъ создать ни одной общей идеи, основной
матеріалъ для которой не былъ бы взятъ изъ конкретнаго
міра. Поэтому вся наука въ цѣломъ представляетъ только
идеальное отображеніе въ умѣ человѣка всеобщей связи вещей
и явленій конкретнаго міра и обусловливается неспособностью
нашего ума понимать конкретное иначе, какъ sub specie ab-
stract!. Такимъ образомъ наука, какъ и наша мысль, остается

навѣки и неразрывно связанной съ конкретнымъ. Какъ бы
далеко не уносился нашъ умъ въ своей абстрагирующей и
обобщающей дѣятельности отъ реальнаго міра. единственнымъ
критеріемъ правильности его дедукцій остается согласіе ихъ съ
реальными фактами. Въ этомъ мірѣ символовъ, отвлеченныхъ
построеній, теорій и дедукцій изъ нихъ, который составляетъ
науку, легко заблудиться и придти къ нелѣпымъ выводамъ,
если упускать изъ виду, что идеальное лишь постольку истинно,
поскольку оно соотвѣтствуетъ дѣйствительности; необходима
поэтому постоянная провѣрка результатовъ, добытыхъ умствен-
ными операціями, на ихъ согласіе съ дѣйствительностью. Ре-
альное, конкретное — это тотъ оселокъ, на которомъ испыты-
вается достоинство всякой теоріи, всякаго идеальнаго постро-
енія въ какой бы то ни было области знанія — въ наукахъ о
природѣ, гуманитарныхъ или математическихъ. Въ этомъ вза-
имодѣйствіи идеальнаго и реальнаго осуществляется возможная
для насъ полнота нашего знанія; одни конкретные факты не
могутъ составить научнаго знанія—совокупность ихъ есть не что
иное, какъ грубый эмпиризмъ, но и одно отвлеченное знаніе
не имѣетъ цѣны, потому что въ своихъ выводахъ оно шатко
и недостовѣрно. Рождаясь изъ конкретныхъ фактовъ, наши
умозрѣнія и теоріи должны обратно вернуться къ конкретному
міру и изъ согласія съ нимъ получить свое оправданіе и по-
черпнуть дальнѣйшую поддержку. Такимъ образомъ, проникно-
веніе науки конкретнымъ содержаніемъ обусловливается самой
природою науки, зависящей отъ природы нашей мыслитель-
ности и нашей познавательной дѣятельности. Но связь науки
съ конкретнымъ міромъ необходима еще для достоинства самой
науки, — для того, чтобы она не превратилась въ пустую и
безполезную игрушку.
Этотъ конкретный міръ. къ которому должна вернуться
наука, чтобы не потерять послѣ ряда дедукцій своей точки
опоры, есть міръ единичныхъ фактовъ, тотъ міръ, въ которомъ
мы живемъ и дѣйствуемъ. Оперируя въ наукѣ съ общими,
отвлеченными идеями, мы въ жизни, въ реальномъ мірѣ имѣ-
емъ дѣло только съ единичными, конкретными фактами. Пе-
реходъ отъ абстрактнаго къ конкретному означаетъ, слѣдова*

тельно, переходъ отъ научныхъ выводовъ и общихъ положеній
къ жизненному и реальному, переходъ отъ того, что мыслится,
къ тому, что дѣлается. Конечно, наука или знаніе не является
primum moyens нашихъ поступковъ, но, освѣщая факты и ихъ
взаимоотношенія, она призвана руководить нашимъ поведеніемъ.
Поэтому, элементъ полезности никоимъ образомъ не можетъ
быть устраненъ изъ науки. Не заботясь о непосредственной
приложимости своихъ выводовъ, наука не можетъ совершенно
забыть о пользѣ, приносимой ею посредственно. Въ глубинѣ
сознанія всякаго безкорыстнаго дѣятеля науки живетъ мысль
о томъ, что его работа содѣйствуетъ благу и счастью людей,
и что въ этомъ смыслѣ она полезна. Отымите у него это
сознаніе; пусть онъ придетъ къ убѣжденію, что его работа
абсолютно безполезна для блага общества; найдется ли человѣкъ,
кромѣ душевно-больного, который сталъ бы продолжать такую
работу? Какъ бы далеко ни отстояло практическое приложеніе
къ жизненнымъ задачамъ отъ выводовъ науки, какіе проме-
жутки времени или рядъ промежуточныхъ звеньевъ ни раздѣ-
ляли ихъ, въ конечномъ счетѣ только въ отношеніи къ жиз-
неннымъ фактамъ наука находитъ свое оправданіе, свое право
на существованіе. Съ идеальной стороны задача науки—разы-
сканіе истины; но эта истина существуетъ только въ мірѣ
фактовъ, или какъ согласіе теоретическихъ построеній съ
конкретной дѣйствительностью, или какъ осуществленіе того,
что мы считаемъ за истину въ нашемъ поведеніи; наука, которая
стоитъ выше или внѣ фактовъ, которая не имѣетъ никакого
отношенія къ нимъ и не оказываетъ вліянія на наше поведеніе
въ человѣческомъ общежитіи, такая наука, въ случаѣ, если бы
она была возможна, практически для насъ не существовала бы.
Она могла бы служить предметомъ развлеченія, какъ, напри-
мѣръ, теорія шахматной игры или филателія, но никогда не
служила бы факторомъ прогресса.
Въ служеніи на пользу человѣчества еще Бэконъ Веру-
ламскій полагалъ достоинство науки. Наука для науки—такое же
уродливое явленіе, какъ и искусство для искусства. Наука,
какъ искусство, какъ и все, созданное человѣкомъ, служитъ
для человѣка, для его нуждъ и потребностей, для улучшенія

его жизни и расширенія его счастья, для приближенія его къ
идеальному состоянію. Поэтому нѣтъ самодовлѣющей науки.
Всякая наука сама по себѣ имѣетъ только служебное значеніе,
какъ способъ познанія одной изъ сторонъ единой Великой
Истины, къ полному познанію которой стремится вся ихъ
совокупность, какъ одинъ изъ способовъ осуществить идеальное
состояніе на землѣ. Такимъ образомъ, только въ связи съ
другими науками и въ служеніи ихъ всѣхъ вмѣстѣ на пользу
человѣка наука обрѣтаетъ свое достоинство и значеніе. Замы-
каясь въ ограниченную область своихъ собственныхъ понятій
и представленій, становясь внѣ этой взаимной связи и внѣ
отношеній къ міру конкретныхъ фактовъ и обширной области
человѣческихъ дѣйствій, какъ отдѣльная наука, такъ и все
наше знаніе превращается въ безплодную игру ума; вмѣсто
реальныхъ вещей и отношеній между вещами предметомъ изу-
ченія дѣлаются ихъ словесные символы и отношенія между
словами, т. е. возникаетъ вербализмъ и формализмъ, все то,
чѣмъ характеризуется схоластика.
Требованіе, чтобы наука считалась съ реальными фактами
и служила на пользу человѣчества, не слѣдуетъ понимать въ
томъ смыслѣ, чтобы дѣятель науки въ своихъ изслѣдованіяхъ
непремѣнно руководился этой цѣлью. Наука не представляетъ
результата планомѣрной дѣятельности человѣческаго ума; она
развивается черезъ посредство людей, но помимо ихъ воли и
намѣреній. Каждый отдѣльный изслѣдователь не знаетъ, къ
чему приведутъ его изысканія въ избранной имъ области науки;
еще менѣе онъ знаетъ то, какъ отразятся его открытія въ
умахъ его современниковъ и будущихъ поколѣній, какія возбу-
дятъ въ нихъ мысли и къ какимъ приведутъ результатамъ.
Ученый, правда, ставитъ себѣ цѣль изслѣдованія; но до-
стигнетъ ли онъ ея, или, напротивъ, не приведутъ ли его
изысканія къ чему-либо совершенно для него неожиданному, —
для него неизвѣстно. Ассоціированье и возникновеніе мыслей
въ душѣ человѣка совершается непроизвольно, въ зависимости
отъ внѣшнихъ условій и отъ комплекса идей, образовъ, пред-
ставленій и чувствованій, имѣющихся въ душѣ, или, по вы-
раженію Гербарта, отъ апперцепціонной массы души. Поэтому

не правъ Бэконъ, считая задачей научной деятельности умно-
жение полезныхъ изобрѣтеній: всякое изобрѣтеніе такъ же
непроизвольно, какъ и любая мысль, возникающая въ душѣ
человѣка. Но такъ какъ научная мысль развертывается, хотя
и не произвольно, но въ зависимости отъ психическаго содер-
жанія, то является въ высшей степени важнымъ, что бы въ
числѣ другихъ, въ душѣ содержалась и правильная идея о
характерѣ научной дѣятельности и о значеніи науки въ об-
щемъ культурномъ движеніи человѣчества.
Примѣнимъ всѣ эти мысли къ педагогическому дѣлу.
Если школьное преподаваніе не составляетъ самой цѣли, если
въ школѣ желательно учить не для школы, а для жизни, если
въ ея задачу входитъ не только снабженіе воспитанника зна-
ніями, но и выработка изъ него личности, обладающей извѣст-
нымъ міровоззрѣніемъ, живущей въ обществѣ и способной
творить и дѣйствовать, т. е. пользоваться своими знаніями,
то школьное преподаваніе должно быть поставлено такъ, что
бы въ немъ проводилась такая же тѣсная связь между аб-
страктнымъ и конкретнымъ, которая характеризуетъ научную
дѣятельность. Необходимо, чтобы наши воспитанники поняли,
что конкретные факты—единственная истина, доступная намъ
вполнѣ; что они представляютъ основу нашихъ абстракціи и
теорій и instantiam crucis для ихъ провѣрки; что всякая теорія
содержитъ только частичную истину, и ни одна не можетъ
представить ее во всей полнотѣ; что поэтому всякая теорія
есть только ступень къ достиженію истины и имѣетъ только
временное значеніе. Въ то же время они должны помнить,
что одни факты еще не даютъ научнаго значенія, потому что
оно состоитъ не въ одномъ знаніи фактовъ, но и въ устано-
вленіи между ними той или иной связи, которая дается тео-
ріей; что поэтому ни теорія безъ фактовъ, ни факты безъ
теоріи не имѣютъ значенія. Мы должны пріучить нашихъ вос-
питанниковъ къ постоянной провѣркѣ теоретическихъ построе-
ній на ихъ согласіе съ дѣйствительностью; внушить имъ не-
обходимость добросовѣстнаго признанія факта и уваженія къ
нему, какъ къ высшей силѣ, отмѣнить которую никто не въ

силахъ *). Съ другой стороны, мы должны выработать въ нихъ
уваженіе къ теоріи, которая одна даетъ смыслъ фактическому
содержанію; но въ то же время должны предохранить ихъ
отъ переоцѣнки теорій, отъ привычки къ категорическимъ
сужденіямъ безъ достаточнаго и всесторонняго изслѣдованія
фактовъ, по отношенію къ которымъ онѣ высказываются.
Правильное пониманіе соотношенія между теоріями и фактами
и правильная оцѣнка значенія тѣхъ и другихъ составляетъ
основу научнаго скептицизма, весьма важнаго не только въ
наукѣ, но и въ жизни. Мы должны вооружить имъ нашихъ
воспитанниковъ съ тѣмъ, чтобы они не принимали безъ кри-
тической оцѣнки ни факта, ни теоріи, но привыкли провѣ-
рять факты на ихъ согласіе съ теоріей, какъ теоріи—на ихъ
согласіи съ фактами, чтобы они пріучились преклоняться пе-
редъ фактомъ, признавши послѣ добросовѣстнаго изслѣдованія
его неоспоримость, и могли мужественно отказываться отъ
теоріи въ случаѣ ея несогласія съ достовѣрнымъ фактомъ; на-
конецъ, мы должны вызвать въ нашихъ воспитанникахъ со-
знаніе того, что наука не пустая игрушка, но что она слу-
житъ великимъ цѣлямъ—розысканію истины и созданію луч-
шихъ культурныхъ условій для жизни людей.
Каждая личность достигаетъ полнаго, возможнаго для
нея духовнаго развитія только благодаря соціальной средѣ;
работая въ человѣческомъ общежитіи, содѣйствуя благу и
счастью другихъ людей, расширяя ихъ силы, личность
строитъ и собственное счастье и расширяетъ собственныя
силы. Ея назначеніе — активная жизнь, дѣятельность въ ка-
кой бы то ни было, области — практической или умствен-
ной. Только въ такой дѣятельности она достигаетъ полноты
духовнаго и въ частности умственнаго развитія, а не въ изу-
ченіи книжныхъ формулъ и не въ умственной гимнастикѣ.
Во всѣхъ случаяхъ плодотворность дѣятельности стоитъ въ
прямомъ соотношеніи съ широтою взглядовъ, ее направляю-
щихъ. Широта же взгляда есть такая точка зрѣнія на вещи,
1) Признаніе факта есть утвержденіе: «что есть, то есть», и не означаетъ
непремѣнно примиренія съ нимъ.

которая принимаетъ во вниманіе не одну или немногія, но
возможно большее число ихъ сторонъ, т. е. стремится раз-
сматривать вещи не изолированно или въ немногихъ ихъ
связяхъ съ другими вещами, но во всей совокупности ихъ
отношеній ко всѣмъ другимъ вещамъ и фактамъ; но эта спо-
собность видѣть и принимать во вниманіе всю многосторон-
ность отношеній каждаго факта и есть ничто иное, какъ ум-
ственное развитіе. Такимъ образомъ, умственное развитіе ока-
зывается неотдѣлимымъ отъ знакомства съ вещами и отноше-
ніями конкретнаго міра. Подготовляя воспитанника къ плодо-
творной практической дѣятельности, мы вводимъ его въ пони-
маніе конкретныхъ фактовъ и обезпечиваемъ вмѣстѣ съ этимъ
и его умственное развитіе; точно также и въ области ум-
ственной дѣятельности умственное развитіе основывается на
конкретномъ содержаніи, потому что истинная наука никогда
не упускаетъ изъ вида своего отношенія къ конкретной дѣй-
ствительности.
Такимъ образомъ, чтобы достигнуть педагогическихъ и
общественныхъ цѣлей, имѣющихъ въ виду выработку людей,
способныхъ дѣйствовать и быть живыми и полезными членами
общества, обладающими нужнымъ для этого душевнымъ раз-
витіемъ, необходимо, чтобы преподаваніе въ цѣломъ, общее
его направленіе отводило видное мѣсто конкретному содержа-
нію, а не изгоняло его такъ тщательно, какъ это часто на-
блюдается теперь. Если ошибоченъ взглядъ, по которому тре-
бованіе жизненности и реальности учебнаго матеріала озна-
чаетъ признаніе за наивысшую задачу образованія утилитар-
ную цѣль, то также глубоко ошибоченъ и другой взглядъ,
смѣшивающій заботу о конкретномъ содержаніи съ матеріали-
стическимъ направленіемъ преподаванія; проводникомъ этого
мнѣнія былъ графъ Д. А. Толстой, но оно не вполнѣ отверг-
нуто и въ настоящее время. «Вопросъ между древними язы-
ками, какъ основой всего дальнѣйшаго научнаго образованія,
и всякимъ другимъ способомъ обученія есть вопросъ не только
между серьезнымъ и поверхностнымъ ученіемъ, но и вопросъ
между нравственнымъ и матеріалистическимъ направленіемъ
обученія и воспитанія, a слѣдовательно и всего общества»,

писалъ графъ Д. Толстой въ 1871 году. Изъ-за той же мате-
ріалистической опасности вліятельные члены Государственнаго
Совѣта высказывались въ 1872 году противъ уравненія въ
правахъ реальныхъ училищъ съ гимназіями: изъ-за этого лее
опасенія учебный планъ гимназій 1872 года, вводя изученіе
древнихъ языковъ, на первое мѣсто выдвигалъ ихъ грамма-
тику, а не содержаніе твореній великихъ писателей древности.
Но если здѣсь изгонялось реальное содержаніе, то въ другихъ
случаяхъ, гдѣ по существу нельзя было его избѣгнуть, стре-
мились обезвредить его изгнаніемъ всякой теоріи, всякаго
обобщенія. Эта тенденція ясно выражена, напримѣръ, въ опуб-
ликованной Министерствомъ Народнаго Просвѣщенія въ 1893 г.
программѣ для составленія учебника естественной исторіи на
соисканіе преміи Императора Петра Великаго. Первымъ и
главнѣйшимъ дѣломъ въ естественнной исторіи, говорится
здѣсь, должно быть изученіе естественной системы; анатоми-
ческія свѣдѣнія нужно сообщать лишь въ той мѣрѣ, въ какой
они надобны для системы. Конечно, система важна и необхо-
дима; но если она ставится какъ конечная цѣль изученія, то
результатомъ является формализмъ, который ведетъ не къ
развитію учащагося, a къ его отупѣнію. Изгнаніе изъ препо-
даванія конкретнаго содержанія или его обезвреживаніе вы-
двиганіемъ на первый планъ формы убиваетъ чутье реальнаго
и жизненнаго и дѣлаетъ изъ воспитанниковъ «безплодныхъ
мечтателей», рабовъ теоретическихъ построеній, упорныхъ
доктринеровъ, не считающихся съ фактами, въ своей практи-
ческой дѣятельности одинаково вредныхъ и тогда, когда ихъ
теоріи ложны, и тогда, когда онѣ истинны; при столкновеніи
съ жизненными фактами всякая теорія, даже обоснованная и
выведенная изъ неоспоримыхъ фактовъ, должна примѣняться къ
специфической, особенной, никогда не повторяющейся ихъ комби-
націи и соотвѣтственно съ этимъ видоизмѣняться и претерпѣвать
ограниченія—понять же это, воспитанные на однихъ теорети-
ческихъ умозрѣніяхъ и на словесныхъ формулахъ никогда не
будутъ въ силахъ. Только связь абстрактнаго съ конкретнымъ,
ихъ взаимное проникновеніе въ состояніи первому придать
практическую приложимость, а второму — смыслъ и значеніе.

Математика представляетъ ту особенность сравнительно
съ другими науками, что ея содержаніе наиболѣе отвлеченно и
наиболѣе далеко отъ конкретнаго міра. Ея научное зданіе
строится изъ собственнаго матеріала, которымъ являются не-
многія аксіомы, опредѣленія и условія, и для сооруженія его
она не нуждается, повидимому, ни въ конкретномъ матеріала,
доставяяемомъ другими науками, ни въ опытной провѣркѣ
своихъ выводовъ; болѣе. чѣмъ всякая другая наука, матема-
тика представляетъ собою идеальное построеніе, такъ какъ все
ея содержаніе—одна теорія. Находясь, такимъ образомъ, въ
полной, повидимому, независимости отъ другихъ наукъ, какъ
въ отношеніи своего матеріала, такъ и своихъ обобщеній, ма-
тематика наиболѣе склонна принять характеръ самоцѣли, само-
давлѣющей науки, особенно въ школьномъ преподаваніи, и
превращаться, такимъ образомъ, въ безполезную игрушку.
Однако, математика отличается и съ другой стороны отъ
остальныхъ наукъ. Именно, математика изучаетъ измѣряемую
сторону всѣхъ явленій міра; поэтому, если ея конкретное со-
держаніе ничтожно, то приложеніе ея къ изученію конкретнаго
міра безпредѣльно. Въ этомъ ея сила и значеніе. Замыкаясь
въ свою собственную область математическихъ символовъ, ма-
тематика оказывается, можетъ быть, и удивительной по тон-
кости своего анализа наукой, но зато и вполнѣ безполезной;
напротивъ, въ своихъ приложеніяхъ она дѣлается наиболѣе
значительной наукой, распространяющей свое главенство на
всѣ остальныя. Такимъ образомъ, математика, чтобы быть
факторомъ прогресса, должна, подобно другимъ наукамъ, не
замыкаться въ кругъ собственныхъ понятій, превращаться въ
самоцѣль, но помнить о своемъ служебномъ значеніи для до-
стиженія высшей цѣли — открытія истины; она не должна
чуждаться конкретныхъ и жизненныхъ фактовъ; не должна
упускать изъ виду, что ея достоинство и оправданіе заклю-
чается въ служеніи нуждамъ чѣловѣческаго общества. Но въ
школьномъ преподаваніи всѣ эти простыя истины обыкновенно
забываются, и школьная математика носитъ на себѣ ясный
отпечатокъ схоластицизма, т. е. удаленности отъ жизни и пол-
ной безполезности.

Въ болѣе широкомъ смыслѣ схоластицизмъ—это рутина
въ области мысли. Онъ возникаетъ всякій разъ, когда науч-
ное мышленіе перестаетъ соотвѣтствовать потребностямъ и за-
дачамъ времени. Если наука и жизнь опередили движеніе
мысли, то наступаетъ разрывъ между содержаніемъ науки и
потребностями жизни, въ томъ числѣ и жизненными потреб-
ностями самой науки. Въ то время, какъ передовые дѣятели
науки двигаютъ ее по пути новыхъ завоеваній, въ высшей
школѣ часто продолжаютъ еще господствовать приверженцы
старыхъ взглядовъ, пережевывающіе давно отвергнутыя схемы,
a въ средней школѣ, несвободной къ тому же въ своей дѣя-
тельности, безраздѣльно дарятъ старые методы и старое со-
держаніе. Представляя въ свое время прогрессивное явленіе,
пришедшее на смѣну отжившей мысли, всякое научное на-
правленіе молитъ превратиться въ схоластику, если оно упорно
продолжаетъ держаться стараго и не считается съ новыми
запросами жизни. Такъ, то направленіе, которое называется
схоластикой въ тѣсномъ смыслѣ, было прогрессивнымъ на-
правленіемъ въ свое время; въ періодъ времени отъ Абеляра
до Оккама оно вполнѣ отвѣчало запросамъ жизни, и терминъ
« схоластика» не имѣлъ тогда того оттѣнка, который онъ при-
нялъ впослѣдствій. Точно также и направленіе эпохи возро-
жденія, потому смѣнившее схоластику, что лучше ея отвѣ-
чало потребностямъ времени, было прогрессивнымъ явленіемъ;
но для насъ оно является теперь въ общемъ схоластическимъ.
Выло бы схоластикой — не считаться въ настоящее время съ
біологическимъ направленіемъ въ естествознаніи и, оставаясь
въ кругѣ идей Линнея, полагать въ изученіи систематики всю
задачу наукъ о природѣ. Во всѣхъ случаяхъ характеризуетъ
схоластику несоотвѣтствіе запросамъ жизни, оторванность отъ
ея стремленій и очередныхъ задачъ, и, какъ слѣдствіе этого,
преобладаніе вербализма и формализма; въ оправданіе схола-
стицизма появляются и педагогическій теоріи, усматривающія
въ формальномъ развитіи ума главную задачу воспитанія. Та-
кимъ образомъ, схоластицизмъ въ преподаваніи зависитъ отъ
общей причины—неистребимой склонности человѣческаго ума
къ консерватизму и рутинѣ.

Въ частности, схоластицизмъ школьной математики объ-
ясняется историческими условіями ея проникновенія въ школу.
Школа періода схоластики и эпохи возрожденія не чувство-
вала потребности въ изученіи математики; какъ учебный пред-
метъ, она впервые (такъ какъ нельзя считать за математику
ариѳметику triviumY) была введена въ свѣтскія школы, осно-
ванныя купеческими обществами и гильдіями подъ давленіемъ
потребностей жизни, главнымъ образомъ, торговыхъ интересовъ.
Но и впослѣдствіи математика съ трудомъ пробивала себѣ
дорогу въ школу; и удалось ей утвердиться въ ней вначалѣ
только подъ флагомъ науки формальнаго характера, содѣй-
ствующей формальному развитію ума. Эти условія опредѣлили
какъ ея содержаніе, такъ и формальный и отвлеченный ме-
тодъ ея преподаванія, вплоть до настоящаго времени.
Я не буду входить въ разсмотрѣніе того, какъ отра-
жается рутина на современномъ преподаваніи математики,
такъ какъ это не входитъ въ мою задачу. Оставивъ въ сто-
ронѣ ея собственное, математическое содержаніе, я остано-
влюсь на разсмотрѣніи приложеній математики въ школѣ, т. е.,
на содержаніи задачъ, разрѣшаемыхъ учащимися, такъ какъ
на нихъ наиболѣе ясно можно видѣть удаленность школьной
математики отъ жизни и формальный характеръ ея препо-
даванія.
Наиболѣе сильно сказывается традиція на преподаваніи
ариѳметики. Отъ тѣхъ отдаленныхъ временъ, когда въ началѣ
XII в. былъ открытъ въ Италіи рядъ городскихъ школъ купе-
ческими обществами, дошло до насъ переполненіе задачниковъ
по ариѳметикѣ задачами на куплю-продажу различныхъ товаровъ,
главнымъ образомъ, чаю, сахару, кофе, сукна, шелка и бархата.
Тогда подобныя задачи имѣли жизненное значеніе, но теперь
онѣ стоятъ далеко отъ интересовъ и будущей дѣятельности
нашихъ воспитанниковъ, которые, вѣроятно, только въ рѣд-
кихъ случаяхъ будутъ заниматься мелочной торговлей. По-
требностями торговли были вызваны и задачи на проценты,
занимающія столь видное мѣсто въ нашихъ задачникахъ; но
всѣ подобныя задачи правильнѣе было бы отнести въ курсъ
коммерческой ариѳметики, чѣмъ забивать ими головы мало-

лѣтнихъ школьниковъ, не могущихъ составить себѣ никакого
представленія о капиталѣ, наростаніи его изъ процентовъ, о
векселяхъ, о коммерческомъ и особенно о математическомъ
учетѣ, нигдѣ, кромѣ школьныхъ задачниковъ, не практикую-
щемся. Изъ тѣхъ же временъ дошло до насъ множество «пра-
вилъ» простого и сложнаго тройного (есть даже семерного,
двадцатерного), смѣшенія, процентовъ, учета векселей, товари-
щества, пропорціональнаго дѣленія; сюда же можно было бы от-
нести правило бассейновъ, курьеровъ, стаи гусей и т. п. Въ
учебникѣ Lionarbo Fibonacci 1202 года приводятся еще правила
сплавовъ, слѣпого, дѣвицъ, пьяницъ, двухъ человѣкъ съ дина-
ріями, находки кошелька, путешественниковъ, и пр., и пр.—
столько же правилъ, сколько задачъ. Въ настоящее время въ
задачникахъ сохраняются многочисленные слѣды подобныхъ
правилъ; можно ли оправдать это? Въ XIII в. такіе пріемы
были понятны, потому что тогда алгебра была только въ за-
чаткѣ, и общіе способы рѣшенія задачъ не были выработаны; но
пользоваться теперь частными пріемами, въ то время когда суще-
ствуютъ обобщенные способы, представляетъ чистую схоластику.
Частные способы представляютъ спеціальную догадку на
спеціальный случай; люди, не обладающіе знаніемъ общихъ
способовъ, любятъ упражнять свою догадливость въ нахожде-
ніи рѣшенія подобныхъ частныхъ задачъ, подобно тому, какъ
всѣ первобытные народы, а также и дѣти, любятъ загадки.
Сборникъ такихъ задачъ на догадливость представляетъ сочиненіе
Bachet ((Problèmes plaisants et délectables» (3-ье изданіе Labosne'a
1874 г.) *). Характерно самое заглавіе задачъ, которое часто
начинается со слова deviner. Вотъ примѣръ одной задачи:
тремъ ревнивымъ мужьямъ пришлось однажды ночью пере-
правляться вмѣстѣ со своими женами черезъ рѣку, причемъ
они нашли только маленькую лодочку безъ перевозчика, на-
столько узкую, что она могла вмѣстить только двухъ чело-
вѣкъ; спрашивается, какъ могутъ эти шесть человѣкъ пере-
ѣхать попарно, такъ чтобы ни разу ни одна жена не остава-
валась въ обществѣ одного или двухъ чужихъ мужей въ от-
1) 1-ое изд. 1612 г., 2-ое 1624 г.

сутствіи собственнаго мужа? Теперь такія задачи не входятъ,
конечно, въ наши задачники, но ихъ главная цѣль—разви-
вать догадливость—сохранилась въ нихъ и теперь неприко-
сновенною. Однако, можно подвергнуть сомнѣнію, развивается-ли
въ учащихся догадливость рѣшеніемъ подобныхъ задачъ, и
не запоминаютъ ли они просто шаблоны для ихъ рѣшенія,
какіе представляютъ, напримѣръ, правила смѣшенія, товари-
щества, пропорціональнаго дѣленія? Во вторыхъ, если и раз-
вивается догадливость, то имѣетъ ли она какое-нибудь зна-
ченіе для душевнаго развитія? Въ третьихъ, составляетъ ли
эта догадливость математическое развитіе, и можно ли ста-
вить цѣлью преподаванія математики развитіе такой догадли-
вости? На всѣ три вопроса, мнѣ кажется, слѣдуетъ отвѣтить
отрицательно. Эти вопросы составляютъ часть другого болѣе
общаго вопроса о формальномъ развитіи. Современное его рѣ-
шеніе состоитъ въ томъ, что человѣкъ представляетъ собою
орудіе для спеціальныхъ реакціи на спеціальныя воздѣйствія;
поэтому, упражненіе въ извѣстной области даетъ человѣку
развитіе именно въ этой области, а не во всѣхъ. Упражненіе
учащихся въ задачахъ на догадливость поведетъ или къ тому,
что они механически запомнитъ пріемы для ихъ рѣшенія, или
же—въ лучшемъ случаѣ—къ тому, что они пріобрѣтутъ на-
выкъ въ рѣшеніи подобныхъ задачъ, что нисколько не гаран-
тируетъ такого же навыка и умѣнія въ рѣшеніи задачъ дру-
гого рода, напримѣръ, алгебраическихъ или геометрическихъ,
a тѣмъ болѣе въ рѣшеніи задачъ изъ другихъ областей знанія
или же задачъ жизненнаго характера. Точно также, упраж-
няясь въ рѣшеніи ребусовъ, можно достигнуть высокаго раз-
витія въ этой области и оставаться безпомощнымъ въ дру-
гихъ случаяхъ, когда то же требуется догадливость, или,
лучше сказать, изобрѣтательная, творческая сила. Это ложное
убѣжденіе въ томъ, что рѣшеніе задачъ на догадливость раз-
виваетъ математическія способности, порождаетъ взглядъ, что
необходимо во что бы то ни стало требовать отъ учащихся
рѣшенія задачъ ариѲметическимъ путемъ даже и въ томъ
случаѣ, если они безъ затрудненія могли бы рѣшить ихъ
алгебраическимъ путемъ. Не схоластично ли требованіе поль-

зоваться худшимъ способомъ, когда мы знаемъ лучшій? По-
чему тогда не требовать отъ учащихся, что бы они произво-
дили ариѳметическія дѣйствія надъ числами, изображая ихъ
непремѣнно римскими цифрами? Вѣдь пользованіе римскими
цифрами несомнѣнно развивало бы извѣстную ловкость и до-
гадливость, правда, только въ ихъ примѣненіи. Наконецъ, не
дѣло математики развивать догадливость, потому что ея цѣли
гораздо значительнѣе и выше. Допустимо ли пользоваться
этимъ замѣчательнымъ орудіемъ изслѣдованія природы для
рѣшенія безполезныхъ и никому не нужныхъ вопросовъ и
курьезныхъ случаевъ?
Стремленіе развивать умъ съ формальной стороны и лож-
ное убѣжденіе въ томъ, что эта цѣль достигается упражне-
ніями на задачахъ, для рѣшенія которыхъ нужно догадаться
примѣнить какой-нибудь особый пріемъ, или же вообще пре-
одолѣть большія трудности, ведетъ къ появленію задачъ съ
нарочито запутаннымъ и темнымъ условіемъ. Такія задачи
существовали уже въ очень отдаленныя времена и стремленіе
составлять ихъ не исчезло и въ наше время. Мнѣ пришлись
слышать отъ одного учителя математики, что слишкомъ боль-
шая легкость рѣшенія задачъ можетъ развить въ учащихся
неуваженіе къ математикѣ, какъ слишкомъ легкой наукѣ.
Вотъ примѣръ вліянія рутины (и въ то же время непони-
манія психологіи и задачъ педагогики).
Такимъ образомъ, въ результатѣ убѣжденія въ необходи-
мости формальнаго развитія, а также традиціи, идущей отъ
тѣхъ временъ, когда математика примѣнялась только для ком-
мерческихъ надобностей, появилась общая черта задачъ, на
которыхъ упражняются наши ученики—ихъ удаленность отъ
жизни. Правда, матеріалъ ихъ почерпается изъ жизни, но
жизненные факты берутся въ такихъ сложныхъ и странныхъ
сочетаніяхъ, въ которыхъ они никогда не встрѣчаются въ
жизни. Типическій образецъ крайняго удаленія отъ жизни
представляетъ извѣстный алгебраическій задачникъ, съ кото-
рымъ, конечно, всѣ преподаватели математики знакомы, такъ
какъ, повидимому, онъ пользуется значительнымъ распростра-
неніемъ, судя потому, что онъ вышелъ уже седьмымъ изда-

ніемъ. Чтобы дать оцѣнку этому задачнику, достаточно только
вообразить себѣ, что вы попали въ городъ, всѣ жители кото-
раго получили свое математическое образованіе по системѣ
автора задачника (а это необходимо допустить, потому что въ
задачникѣ занимаются математическими вычислениями даже
извозчики). Вы спрашиваете на вокзалѣ у извозчика, сколько
онъ возьметъ довезти васъ до гостинницы, и получаете въ
отвѣтъ требованіе уплатить ему число копѣекъ, удовлетво-
ряющее уравненію j/2 Vx"1 + Į/2 у*тг ~~ 6
за вычетомъ столькихъ копѣекъ, сколько единицъ въ коэффи-
ціентѣ того члена разложенія (]/а3 + )/а4) по биному Нью-
тона, который содержитъ л3»9. Вы приходите въ магазинъ ку-
пить себѣ полотна и на вопросъ о стоимости его получаете
подобный лее отвѣтъ, требующій для разрѣшенія его нѣсколь-
кихъ часовъ времени. Не скажете ли вы, что фантазія автора
уже предвосхищена Джонатаномъ Свифтомъ въ его описаніи
жителей острова Лапуты, гдѣ портной, чтобы сшить платье,
снимаетъ мѣрку только съ большого пальца и размѣры платья
вычисляетъ затѣмъ при помощи высшихъ отдѣловъ матема-
тики (причемъ платье оказывается никуда не годнымъ, такъ
какъ въ вычисленія вкралась ошибка)? Такой задачникъ пред-
ставляетъ профанацію математики; пользоваться биномомъ
Ньютона для разсчетовъ съ извозчиками все равно, что взвѣ-
шивать на химическихъ вѣсахъ говядину на базарѣ, или упо-
треблять античную вазу, какъ печной горшокъ. Нельзя даже
сказать, что бы задачникъ этотъ сдѣлался болѣе пригоднымъ
для употребленія, если бы уничтожить въ немъ весь текстъ
и оставить только численные примѣры; это не составило бы
большого его улучшенія, потому что въ немъ примѣняются
различные отдѣлы алгебры въ столь прихотливыхъ и неесте-
ственныхъ сочетаніяхъ, въ какихъ они навѣрное не сопостав-
ляются ни при какомъ научномъ изслѣдованій реальнаго, а
не выдуманнаго вопроса. Съ этой стороны задачникъ вызы-
ваетъ въ памяти другого англійскаго юмориста, въ разсказѣ
котораго нѣкій господинъ, составляя отъ нечего дѣлать упраж-

ненія для перевода на французскій языкъ, придумалъ между
прочимъ такую фразу для повторенія пройденнаго: ((Пришелъ
громадный левъ и съѣлъ яблоки, садовника, тетку жены мо-
его двоюроднаго дяди, сапоги, ваксу и сапожную щетку».
Другого рода несоотвѣтствіе съ реальными отношеніями
встрѣчается даже въ лучшихъ задачникахъ. Напримѣръ, у
Гольденберга х) въ числѣ задачъ на составныя именованныя
числа встрѣчаются такія, въ которыхъ величина дается съ
точностью до ничтожно - малыхъ долей сравнительно со всей
величиной. Панримѣръ, № 587. 29 кв. верстъ 34 кв. фута
раздѣлить на 8; но что значитъ площадь въ 34 кв. фута
сравнительно съ площадью въ 29 кв. верстъ, или 355.250.000
кв. футовъ? Гдѣ можно встрѣтить измѣреніе площадей въ
квадратныя версты съ точностью до квадратныхъ футовъ?
Jß 405. Изъ 90 пудовъ вычесть 57 пудовъ 25 фунтовъ
24 золотника; эти 24 золотника при 90 пудахъ имѣютъ зна-
ченіе развѣ только при учетѣ золота въ золотосплавочной ла-
бораторіи; точно также счетъ секундъ при нѣсколькихъ сут-
кахъ (№ 415) можетъ встрѣтиться только при астрономиче-
скихъ вычисленіяхъ. Подобныя задачи вселяютъ въ сознаніе
учащихся превратныя представленія о реальныхъ соотноше-
ніяхъ. Сюда же относится употребленіе для обыкновенныхъ
цѣлей логариѳмовъ съ 7 десятичными знаками, тогда какъ
точность, достигаемая съ ними, требуется только въ астро-
номическихъ вычисленіяхъ и представляется абсурдной въ
примѣненіи къ обыкновеннымъ жизненнымъ случаямъ. Не
примѣняется въ жизни превращеніе періодическихъ дробей въ
простыя; сравнительно рѣдко встрѣчаются въ жизни конечные
результаты ариѳметическихъ вычисленій, чаще же жизненныя
задачи рѣшаются съ приближеніемъ; но на эту сторону въ
учебникахъ не обращается вниманіе.
Въ результатѣ подобныхъ упражненій вырабатываются
воспитанники, которые, можетъ быть, и наловчились въ рѣше-
ніи задачъ на бассейны, наполняемые водой и никогда не
наполняющееся, на курьеровъ, которые никогда не встрѣчаются
J) Гольденбергъ. Сборникъ задачъ и примѣровъ для обученія начальной
ариѲметикѣ. Вып. П-й, изд. 32.

и не догоняютъ другъ друга, потому что теперь такіе курьеры
не ѣздятъ, на смѣшеніе разныхъ сортовъ кофе такимъ спосо-
бомъ, котораго никогда не примѣнялъ ни одинъ бакалейный
торговецъ, на раздѣлъ наслѣдства между братьями, способомъ,
который могутъ примѣнять развѣ только ненормальные люди;
но зато эти воспитанники оказываются лишенными всякаго
чутья реальныхъ соотношеніи, вытравленнаго изъ нихъ дол-
гими упражненіями надъ искусственными и нелѣпыми зада-
чами. Всякій житейскій или научный вопросъ люди, воспи-
танные на подобныхъ пріемахъ, рѣшаютъ исключительно какъ
математическую задачу, нисколько не заботясь о томъ, въ
какой степени полученный ими результатъ соотвѣтствуетъ
дѣйствительности. Примѣровъ такой аберраціи ума учащихся
можно привести сколько угодно; всякій преподаватель мате-
матики знаетъ такіе примѣры и изъ собственной практики,
и изъ литературы. Въ одной, кажется, французской статьѣ я
читалъ объ ученикѣ, который, рѣшая задачу, сколько потре-
буется почтовыхъ марокъ для оклейки стѣны, получилъ въ
результатѣ единицу съ дробью и добросовѣстно продолжалъ
вычисленіе до десятаго десятичнаго знака и продолжалъ бы
вѣроятно вычислять и далѣе, если бы его не остановилъ учи-
тель. Изъ собственной практики я знаю, какъ трудно заста-
вить учащихся давать себѣ отчетъ въ вѣроподобности полу-
чаемыхъ ими результатовъ. Опредѣляя въ ІУ классѣ отноше-
ніе килограмма къ фунту, ученица получаетъ два раза около
2,45 и одинъ разъ 0,03 и, не задумываясь, выводитъ изъ
всѣхъ трехъ чиселъ среднее. Представленіе о единицахъ измѣ-
ренія у большинства отсутствуетъ. Профессоръ механики раз-
сказывалъ мнѣ, какъ одинъ студентъ сказалъ ему на экза-
менѣ, что метръ равенъ четверти земного меридіана и, сдѣ-
лавъ эту ошибку, съ улыбкой отвѣтилъ на вопросъ профессора,
что какъ же метръ можетъ помѣститься въ экзаменаціонной
комнатѣ, если онъ такой большой.
Но не слѣдуетъ обвинять учащихся и смѣяться надъ ихъ
глупостью; они на самомъ дѣлѣ вовсе не такъ глупы, какъ
кажется. Дѣло въ томъ, что наши методы не только не раз-
виваютъ чутья реальнаго, но даже убиваютъ его; между тѣмъ,

эта способность вовсе не такъ обыкновенна среди людей и
требуетъ упражненія для своего развитія. Задача математики
въ школѣ состоитъ вовсе не въ томъ, чтобы научиться рѣ-
шать фокусный задачи, и вовсе не въ этомъ умѣніи состоитъ
математическое развитіе; нѣтъ, оно состоитъ въ особомъ рас-
положеніи души—въ привычкѣ смотрѣть на окружающій міръ
съ точки зрѣнія количественныхъ отношеній, и затѣмъ, ко-
нечно, въ извѣстной технической ловкости въ обращеніи съ
числами и формулами; къ достиженію этихъ цѣлей, придавая
преобладающее значеніе первой, и должно стремиться препо-
даваніе математики въ школѣ; тогда, конечно, сдѣлаются не-
возможными случаи, вродѣ приведенныхъ.
Въ то время, когда математика только начинала прони-
кать въ школы, изученіе явленій природы было въ зачаточ-
номъ состояніи и совершалась только эмпирическимъ, но не
научнымъ методомъ; запасъ реальныхъ знаній научной цѣн-
ности былъ въ то время очень невеликъ. Поэтому единствен-
ное почти примѣненіе математики заключалось только въ рѣ-
шеніи задачъ на коммерческія сдѣлки и было почти исключи-
тельно утилитарнымъ. Но съ тѣхъ поръ наука совершила гро-
мадныя завоеванія. Подъ вліяніемъ расширившагося изученія
природы развивалась и математика и изобрѣтала новые методы.
Безъ астрономическихъ трудовъ Кеплера не было бы, быть
можетъ, дифференціальнаго исчисленія, на нашихъ глазахъ тре-
бованія политической экономіи, статистики и естественныхъ
наукъ вырабатываютъ новые методы въ теоріи вѣроятностей.
Такимъ образомъ, передъ математикой стоятъ теперь другія
задачи, чѣмъ тѣ, которыя стояли передъ ней когда-то. Мате-
матика является теперь необходимымъ орудіемъ познанія міра,
качественное знаніе съ развитіемъ математики постепенно
смѣняется количественнымъ, индуктивный методъ изслѣдова-
нія стремится перейти въ дедуктивный. Всѣ вещи въ мірѣ
имѣютъ количественную сторону и подлежатъ измѣренію, на-
чиная со счета яблокъ въ корзинѣ торговки и вплоть до вы-
численія движенія небесныхъ тѣлъ и до механики атомовъ.
Такимъ образомъ, поле приложенія математики безпредѣльно;
мы не знаемъ, есть ли также предѣлъ и развитію ея мето-

довъ. Въ этомъ состоитъ значеніе математики, какъ всеобщей
истолковательницы явленій міра, изученію котораго посвя-
щаютъ себя всѣ остальныя науки. При такомъ пониманіи сущ-
ности и задачъ математики передъ преподавателемъ ея возни-
каетъ несравненно болѣе значительная, благодарная и завле-
кательная цѣль, чѣмъ натаскиваніе ученика въ рѣшеніи ни-
кому не нужныхъ, никогда и нигдѣ не встрѣчающихся, без-
полезныхъ, нелѣпыхъ и скучныхъ задачъ. Нѣтъ, ему пред-
стоитъ развить въ ученикѣ способность смотрѣть на міръ и
оцѣнивать его явленія съ количественной точки зрѣнія; уяс-
нить ему значеніе математики на его собственномъ опытѣ,
какъ необыкновенно тонкаго орудія для ихъ изслѣдованія и
установленія законовъ природы; дать ему почувствовать кра-
соту порядка, вносимаго математикой въ наше представленіе
о мірѣ, въ которомъ по словамъ поэта, «Богъ все распредѣ-
лилъ по мѣрѣ, числу и вѣсу»; наконецъ, научить его пользо-
ваться этимъ орудіемъ, но не для безполезныхъ и глупыхъ, а
для благородныхъ и возвышенныхъ цѣлей. Какъ жалка и ни-
чтожна въ сравненіи съ этой задачей школьная работа нашихъ
учениковъ!
Для достиженія этой цѣли, конечно, имѣетъ большое зна-
ченіе и техническая ловкость, развиваемая рѣшеніемъ, такъ назы-
ваемыхъ, примѣровъ; но сама по себѣ она не составляетъ ко-
нечной цѣли, и не для того, чтобы овладѣть ею должны уче-
ники работать, подобно тому, какъ играютъ на роялѣ этюды
не для нихъ самихъ, а для того, чтобы впослѣдствіи играть
сонаты Бетховена. Для упражненія въ техническомъ навыкѣ
нужно отвести въ задачникѣ мѣсто численнымъ и буквен-
нымъ примѣрамъ; но чтобы умѣнье рѣшать ихъ не преврати-
лось въ самоцѣль, въ пустую форму, нужно дать преобладаю-
щее значеніе задачамъ съ содержаніемъ, которое должно быть
тщательно подобрано. На этихъ задачахъ ученики будутъ прі-
учаться пользоваться математикой для приложеній, что и со-
ставляетъ ея главную задачу, если не считать ее за самоцѣль.
Такъ какъ эти приложенія безпредѣльны, то нужно дать ихъ
изо всѣхъ областей, доступныхъ ученику: изъ обыденной жизни,
изъ наукъ, изучаемыхъ ученикомъ въ школѣ, изъ области

техники, статистики, политико-экономическихъ отношеній, то-
варообмѣна и т. д. и т. д. Не только не нужно, чтобы усло-
вія задачъ были запутаны и сложны, но даже необходимо,
чтобы они были просты и понятны; не только излишни, но и
вредны безконечныя передѣлки, которыми такъ любятъ щего-
лять наши задачники. Въ особенности важно соблюдать про-
стоту и понятность на первыхъ ступеняхъ обученія. Нѣтъ ни-
чего легче, какъ составить- замысловатую задачу и на пер-
выхъ же порахъ ошеломить ребенка мудренымъ условіемъ,
вселивъ въ него этимъ самымъ на всю жизнь отвращеніе къ
математикѣ. Гораздо труднѣе, но зато и почетнѣе для препо-
давателя, ввести ребенка постепенно, шагъ за шагомъ, безъ
насилія въ міръ математическихъ символовъ, сдѣлавъ для него
привычнымъ и пріятнымъ обращеніе съ ними. Необходимымъ
условіемъ должно быть соотвѣтствіе содержанія задачъ съ
реальными фактами; все искусственное, никогда небывалое или
несуществующее теперь, должно быть устранено изъ нихъ;
нужно, чтобы онѣ были отраженіемъ самой жизни въ
ея теперешнемъ состояніи; чтобы онѣ будили интересъ
ученика, обогощали его умъ свѣдѣніями и наталкивали
его на новыя и самостоятельныя изслѣдованія явленій жизни
и науки съ ихъ количественной стороны; ихъ руководящей
идеей долженъ быть лозунгъ—школа для жизни въ ея без-
конечно разнообразныхъ проявленіяхъ.
На всѣхъ ступеняхъ обученія содержаніе задачъ должно
браться изъ круга близкихъ и доступныхъ ученикамъ понятій;
но въ особенности это имѣетъ значеніе при началѣ обученія.
Очень часто затрудняетъ учащихся не математическая сторона
задачи, но отсутствіе реальныхъ представленій, необходимыхъ
для пониманія ея содержанія. Какъ можетъ ученикъ пригото-
вительнаго класса рѣшать задачу о числѣ буквъ, набираемыхъ
наборщикомъ, если онъ никогда не видалъ работы въ типо-
графіи? На первыхъ ступеняхъ обученія, когда учащіеся имѣютъ
очень ограниченный запасъ реальныхъ свѣдѣній, содержаніемъ
задачъ должны служить факты дѣтской жизни, наиболѣе имъ
знакомые и близкіе ихъ интересамъ, постепенно содержаніе
задачъ должно расширяться. По мѣрѣ того, какъ на урокахъ

міровѣдѣнія или отечественнаго языка учащіеся знакомятся
съ новыми фактами съ ихъ качественной стороны, на урокахъ
математики тѣ же факты могутъ изучаться съ ихъ количе-
ственной стороны. Такимъ образомъ, изученіе математики бу-
детъ идти pari passu съ умноженіемъ свѣдѣній учащихся;
такое же соотношеніе между математикой и другими науками
должно соблюдаться и впослѣдствіи. Польза такой постановки
дѣла очевидна; повтореніе и углубленіе на урокахъ математики
вопроса, изученнаго на урокѣ другого учебнаго предмета, раз-
смотрѣніе его количественной стороны, служитъ какъ для
лучшаго его усвоенія, такъ и для уясненія связи математики
съ другими науками и ея значенія. Вездѣ, гдѣ только воз-
можно, нужно пользоваться измѣреніями; разстоянія, длины,
площади, вѣса, объемы должны оцѣниваться учащимися и на
глазъ, и измѣряться посредствомъ приборовъ. Для этого въ
классѣ должны быть всегда наготовѣ вѣсы, аршины, метры,
измѣрительные цилиндры. Вмѣстѣ съ этимъ можетъ быть све-
денъ до минимума тяжелый и скучный отдѣлъ объ именован-
ныхъ числахъ. Можно много придумать задачъ, въ которыхъ
дано только содержаніе, а числа должны доставить сами уча-
щіеся. Сколько шаговъ отъ вашего дома до школы? Измѣрьте
длину классной комнаты шагами, потомъ аршинами; найдите,
сколькимъ вершкамъ равняется длина вашего шага и вычи-
слите, сколько саженей отъ вашего дома до школы. Сколько
понадобится кусковъ обоевъ для оклейки вашей комнаты?
Сколько десятинъ занимаетъ ваша улица или часть ея, скверъ,
въ которомъ вы играете. Кубическое содержаніе класса? ва-
шей комнаты? сколько кубическихъ футовъ приходится на
одного ученика? И проч., и проч. Примѣромъ задачъ, захва-
тывающихъ жизненныя темы и приспособленныхъ къ интересамъ
и пониманію дѣтей, можетъ служить напримѣръ задачникъ Hel-
lermann'a и Krämer'a для городскихъ школъ, отдѣльныя тетради
котораго вышли уже 232, 240 и даже 270 изданіемъ. Вотъ
темы задачъ: 1-ый годъ; трудовая недѣля, рождественская
елка, игры, сберегательная касса, почта, семья, жилище,
кухня, ѣда и питье, мелкія покупки, школа. 2-ой годъ: часы,
недѣля, годъ; деньги; садъ, поле, деревенскій дворъ; школа;

зданіе, книги, тетради, учебныя занятія, пропуски уроковъ;
булочникъ, купецъ, переплетчикъ; домашняя жизнь. 3-ій годъ:
доходы и расходы семьи, почтовыя марки, открытки. 4-ый
изъ географіи: Берлинъ: число жителей, призрѣніе бѣдныхъ,
движеніе иногороднихъ, пассажирское движеніе по городскимъ
трамваямъ, почтовые обороты, бойни, городскія школы, город-
скіе доходы; провинція Бранденбургъ: населеніе, распредѣленіе
земельныхъ угодій, сборъ хлѣбовъ; королевство Пруссія: пло-
щадь областей, населеніе; Германская Имперія: населеніе, рас-
предѣленіе его по вѣроисповѣданію, внѣшняя торговля, импер-
скіе доходы и расходы; объ арміи; о защитѣ животныхъ
(польза, приносимая ими); о скоростяхъ. 5-ый годъ: бумажныя
деньги, запись дохода и расхода, расписаніе желѣзно-дорож-
ныхъ поѣздовъ; изъ отчизновѣдѣнія, изъ географіи Европы.
Подобнымъ же образомъ усложняется содержаніе задачъ и въ
послѣдующіе годы *).
По мѣрѣ того, какъ учащіеся подвигаются въ классахъ и
увеличивается запасъ ихъ фактическаго знанія, должны до-
ставлять матеріалъ для задачъ новые, изучаемые ими, пред-
меты. Очень хорошо, если въ младшихъ классахъ ведутся прак-
тическія занятія по естественной исторіи и проходится на-
глядная или интуитивная геометрія; въ этомъ случаѣ можно
сильно увеличить разнообразіе задачъ. Много темъ даютъ факты
изъ жизни животныхъ и растеній, сообщаемые на урокахъ
естественной исторіи. Вычислить потомство мухи въ теченіе
лѣта; сколько гусеницъ или насѣкомыхъ съѣстъ въ теченіе лѣта
пѣвчая птичка или ласточка; самъ сколько далъ урожай хлѣба—
вотъ примѣры такихъ задачъ. Наглядная геометрія даетъ много
темъ, въ томъ числѣ для 3-го класса—темъ геодезическаго ха-
рактера; напримѣръ, опредѣлить высоту дерева, ширину рѣки, раз-
стояніе между двумя точками, изъ которыхъ одна недоступна,
и проч. Много задачъ можетъ быть составлено на измѣреніе
площадей и объемовъ. Въ связи съ практическими работами
по физикѣ въ 4-мъ классѣ, она даетъ темы такого рода, какъ
1) На русскомъ языкѣ мнѣ извѣстенъ задачникъ г. Лубенца, содержаніе
задачъ котораго взято изъ крестьянской жизни.

опредѣленіе вѣса и стоимости куска золота или серебра пра-
вильной геометрической формы. Между прочимъ, я лично при-
сутствовалъ при рѣшеніи подобныхъ задачъ въ 4-мъ классѣ
лицея въ Парижѣ, хотя тамъ этимъ упражненіямъ не предше-
ствуетъ курсъ наглядной геометріи. Географія даетъ большое
количество темъ уже въ младшихъ классахъ, a въ старшихъ
можетъ дать еще больше. Который часъ въ Лондонѣ, когда
въ нашемъ городѣ 12 часовъ? Съ какой быстротой мы дви-
гаемся вслѣдствіе вращенія земли? Во сколько разъ быстрѣе
двигается житель экватора въ сравненіи съ нами? На какой
параллели (приблизительно) находится солнце сегодня? Вычис-
лить приблизительно по картѣ площадь страны. Затѣмъ без-
конечно - разнообразны темы, доставляемыя статистикой, отъ
самыхъ простыхъ до самыхъ сложныхъ, почему ими можно
пользоваться на всѣхъ ступеняхъ обученія. Между прочимъ,
именно для рѣшенія подобнаго рода задачъ слѣдовало бы при-
способить ученіе о процентахъ въ 3-мъ классѣ, а не для рѣ-
шенія задачъ на коммерческія сдѣлки. Для учениковъ этого
класса еще совершенно неясны функціи капитала, и эти задачи
представляютъ для нихъ затрудненіе главнымъ образомъ по
существу, а не съ ихъ математической стороны. Въ наукѣ же
чаще находятъ примѣненіе проценты, какъ способъ сравненія
между собой одинаковыхъ долей сложнаго цѣлаго; съ этой
точки зрѣнія было бы полезнѣе отложить коммерческіе про-
центы до старшихъ классовъ, a въ младшихъ пріучать уча-
щихся къ пониманію процентовъ какъ дробей, приведенныхъ
для удобства сравненія къ одному знаменателю, которымъ вы-
брано число 100, съ той же цѣлью удобства при помноженіи
и дѣленіи. Полезно было бы употреблять не только проценты,
но и промилли въ подходящихъ случаяхъ. Начиная съ 4 и осо-
бенно съ 5 класса громадное число темъ для задачъ можетъ
и должна доставлять физика, а позже химія, космографія, фи-
зическая географія; въ старшихъ классахъ математика должна
пользоваться всѣмъ запасомъ научныхъ свѣдѣній учащихся.
Опытъ подобнаго задачника представляютъ сборники задачъ съ
примѣненіемъ къ общественной жизни, геометріи, физики, астро-
номіи, мореплаваніи, техники и политической экономіи, соста-

вленные Schülke (изданія 1902 и 1906 г.). Широкое мѣсто должно
быть отведено въ задачникѣ графическому методу. Съ этимъ
пріемомъ изученія явленій можно начать знакомить учащихся
уже съ I класса, пріучая ихъ наносить на миллиметровую бу-
магу результаты ихъ ежедневныхъ наблюденій температуры
воздуха, а позже и барометрическаго давленія. Въ старшихъ
классахъ слѣдуетъ примѣнять графическій методъ для выра-
женія результатовъ опытовъ, производимыхъ учащимися на
практическихъ занятіяхъ по физикѣ. Полезно также пріучать
учащихся къ составленію графикъ по коммерческой географіи
или, что то же, по статистикѣ. Такимъ образомъ, всѣ науки,
изучаемыя въ школѣ, будутъ приносить свою долю помощи
для усвоенія математическихъ понятій.
Задачи, подобныя тѣмъ, содержаніе которыхъ набросано
выше, должны имѣть большое значеніе для умственнаго раз-
витія учащихся. Такія задачи все время удерживаютъ воспи-
танника на почвѣ реальности, потому что онѣ рѣшаются не
только какъ математическая задача, вродѣ численныхъ или
буквенныхъ примѣровъ, но и какъ вопросъ, имѣющій реальное
значеніе. Поэтому на такихъ задачахъ учащимся приходится
оцѣнивать реальную возможность полученнаго ими результата
Многочисленными примѣрами эти задачи показываютъ учащи-
муся связь математики съ реальной жизнью и наукой; уча-
щемуся постепенно выясняется значеніе математики, какъ все-
общей истолковательницы явленій, какъ того орудія, при по-
мощи котораго строятся научныя теоріи и двигается впередъ
матеріальная культура. Постепенно учащійся проникается убѣ-
жденіемъ, что всякая вещь въ мірѣ имѣетъ кромѣ качествен-
ной и количественную сторону, и привыкаетъ смотрѣть на
явленія міра съ точки зрѣнія количественныхъ отношеній, въ
этомъ и состоитъ математическое развитіе, а не только въ
технической ловкости, т. е. въ умѣніи производить математи-
ческія передѣлки, не понимая того, какія явленія реальнаго
міра символизируют полученный результатъ. Сознаніе такого
всеобщаго значенія математики дѣйствительно вызоветъ въ уча-
щихся уваженіе къ этой «царицѣ наукъ», тогда какъ нелѣпыя
задачи нашихъ задачниковъ, вродѣ тѣхъ, гдѣ хозяйка распла-

чивается съ кухаркой вмѣсто денегъ шелкомъ и бархатомъ,
какъ будто не имѣютъ другой цѣли, какъ доказать учащимся,
что математика—пустая и ни къ чему полезному не пригод-
ная наука.
Однако, составленіе подобнаго задачника дѣло не легкое.
Передъ составителями распространенныхъ теперь задачниковъ
возникла въ сущности одна трудность—разработка математи-
ческаго матеріала, приспособленіе его къ теоретическому курсу
о содержаніи же задачъ составители ихъ мало заботились. По-
этому и дожили до нашихъ дней типы задачъ чуть не изъ
сборника Алкуина, и всѣ эти задачи на курьеровъ и на бас-
сейны. Но для составителя задачника въ разсматриваемомъ
мною духѣ присоединяются къ этой новыя трудности; во-пер-
выхъ, приспособленіе данныхъ реальнаго міра и данныхъ науки
для математической разработки, соотвѣтственно теоретическому
курсу и пониманію дѣтей; во-вторыхъ, выборка подходящихъ
для этой разработки данныхъ изо всей безгранично-разнооб-
разной области науки и человѣческихъ отношеній. Поэтому,
мнѣ кажется, что составленіе такого задачника должно было бы
быть коллективнымъ дѣломъ; съ одной стороны въ немъ должны
принять участіе спеціалисты въ разныхъ областяхъ знанія, до-
ставленіемъ соотвѣтствующаго содержанія и численныхъ дан-
ныхъ, оцѣнивая при этомъ его значеніе съ точки зрѣнія своей
науки; съ другой стороны математики разрабатывали и при-
способляли бы этотъ матеріалъ съ математической стороны.
Позволю себѣ поставить на обсужденіе Съѣзда слѣдующіе
вопросы:
1) Желательно ли составленіе подобнаго задачника; 2) же-
лательно ли его составленіе коллективными силами; 3) если
желательно, то въ какомъ видѣ могло бы оно осуществиться».
Тезисы.
1. Сущность науки составляетъ общее и отвлеченное, въ
противоположность единичному и конкретному. Поэтому наука
дѣлается тѣмъ болѣе научной, чѣмъ болѣе она удаляется отъ
конкретныхъ фактовъ.

2. Однако научныя отвлеченія и обобщенія основываются
исключительно на конкретныхъ фактахъ, а не создаются само-
стоятельной и независимой дѣятельностью ума.
3. Поэтому для правильнаго развитія науки необходима
непрерывная провѣрка ея обобщеній на ихъ согласіе съ дѣй-
ствительностью.
4. Съ другой стороны, если наука имѣетъ не самодо-
влѣющее значеніе, а служитъ для регулированія и направленія
нашего поведенія, то это ея значеніе обезпечивается точно
также непрерывнымъ установленіемъ связи науки съ конкрет-
ными и жизненными фактами.
5. Съ педагогической точки зрѣнія это означаетъ, что
наука должна изучаться въ школѣ въ ея отношеніяхъ къ жиз-
неннымъ и научнымъ фактамъ. Нужно научить въ школѣ при-
мѣнять общія положенія къ единичнымъ конкретнымъ случаямъ.
6. Внѣ отношенія къ означеннымъ фактамъ, изученіе
науки въ школѣ вырождается въ схоластицизмъ, ведетъ къ
потерѣ учениками чутья реальнаго и вырабатываетъ изъ нихъ
пустыхъ фразеровъ, непригодныхъ для жизни.
7. Въ математикѣ жизненное и реальное направленіе пре-
подаванія достигается примѣненіемъ ея ко всей области знаній,
сообщаемыхъ ученику (физика, химія, естествознаніе, географія).
8. Для достиженія этой же цѣли, содержаніе математи-
ческихъ задачъ должно имѣть отношеніе къ жизни и къ тому,
что изучается въ школѣ, а также къ кругу интересовъ уче-
ника, соотвѣтственно его возрасту; не должны допускаться
задачи, содержаніе которыхъ искусственно, выдуманно, нелѣпо
и стоитъ въ противорѣчіи съ жизненными фактами. Оно должно
быть таково, чтобы на дѣлѣ показать безконечную приложи-
мость математики къ изученію всѣхъ явленій міра.
9. Составленіе такого задачника, матеріалъ котораго взятъ
изъ безконечно-разнообразной области науки и человѣческихъ
отношеній, представляетъ настоятельную потребность.
10. Но его составленіе не подъ силу одному лицу,—оно
должно быть коллективнымъ дѣломъ многихъ спеціалистовъ.

VIII. Обоснованіе ариѳметическихъ дѣйствій.
Докладъ В. А. Соколова (Майкопъ, Кубанской обл.).
« 1. Положимъ, буква A означаетъ предметъ, опредѣ-
ленно отличимый отъ другихъ предметовъ, и
С—собраніе предметовъ А или одно A, притомъ С
обладаетъ слѣдующимъ свойствомъ: если отъ С отдѣлять по-
слѣдовательно по одному А, то можно дойти до уничтоженія С.
Я буду говорить, что одно О находится съ другимъ въ
связи С) если элементы (отдѣльные А) одного С связаны въ
нашей мысли съ элементами другого С такъ, что каждое А
одного связано съ однимъ и только съ однимъ А другого и
обратно.
2. Всѣ С\ въ которыхъ опредѣленно указаны
элементы 4 можно раздѣлить на виды по слѣ-
дующему признаку (признакъ г): если между
однимъ С и другимъ возможна связь с, то они
одного вида, если—нѣтъ, то разныхъ.
Дѣйствительно, легко доказать, 1) что сужденіе о томъ,
принадлежитъ ли одно С къ одному виду съ другимъ не за-
виситъ отъ порядка, въ которомъ мы перебираемъ элементы б7
при установленіи связи с, 2) что отношеніе одного С къ дру-
гому, опредѣляемое возможностью между ними связи £, транзи-
тивно. Кромѣ того, для каждаго С мы или найдемъ въ ре-
альномъ мірѣ или можемъ создать хотя бы въ нашей мысли
другое (7, съ которымъ данное можетъ быть связано
связью с.
Положимъ, M одно изъ С. Всѣ другія О, которыя мо-
гутъ быть связаны съ M связью с составляютъ одинъ видъ,
потому что они всѣ могутъ быть связаны этой связью другъ
съ другомъ. Если M есть новое с, принадлежащее къ одному
виду съ M, то M, какъ и і/, даетъ основаніе новому виду О
и т. д.
Такимъ образомъ, каждое О будетъ въ этой
системѣ принадлежать какому-нибудь виду. Оно
будетъ принадлежать только къ одному,потому что,

при допущеніи противоположнаго, мы пришли бы къ заклю-
ченію, что С одного вида могутъ быть связаны съ С другого
связью с, т. е., что два вида сливаются въ одинъ.
3. Виды могутъ быть опредѣлены по ихъ представите-
лямъ, хорошо намъ извѣстнымъ и удобнымъ для изслѣдованія.
Такихъ представителей всѣхъ возможныхъ ви-
довъ даетъ намъ рядъ словъ и знаковъ повто-
ряющихся всегда въ одномъ и томъ же порядкѣ:
U 2, 3, 4 ... .
a b d
1 2 3
написанное здѣсь собраніе буквъ я, è, с одного вида съ собра-
ніемъ знаковъ 1, 2, 3.
Знаки 1, 2, 3... называются числовыми симво-
лами. Послѣднее изъ нихъ всегда опредѣляетъ все собраніе
предшествующихъ, a, слѣдовательно, опредѣляетъ и его видъ
по признаку г (см. 2).
4. Числовые символы опредѣляютъ собой видъ С въ ука-
занной выше системѣ; нѣкоторые ихъ уславливаются считать
именами этихъ видовъ, но я не буду употреблять слова одинъ,
два, и т. д. какъ имена видовъ.
Въ моемъ обозначеніи имена видовъ будутъ одно А,
два А и т. д. (значеніе А см. 1).
Если всѣ A, входящія въ составъ даннаго С (напр. ЗА.),
кромѣ свойства соозначаемаго именемъ A (опредѣленная отли-
чимость одного отъ другого) обладаютъ еще какимъ-нибудь
общимъ свойствомъ, то по этому общему свойству имъ мо-
жетъ быть дано общее имя, это имя можетъ быть подста-
влено въ сложное имъ собраніе ЗА вмѣсто буквы А, напр.,
собраніе a b и d, гдѣ элементы a, bud будутъ носить имя
трибуны.
Числовой символъ, поставленный передъ име-
немъ предмета, опредѣляетъ собой операцію, ко-
торая, будучи приложена къ названному за нимъ
предмету, даетъ собраніе, опредѣляемое всѣмъ
сложнымъ именемъ. Въ этомъ числовой символъ

совершенно подобенъ знаку f въ обозначеніи
функціи f(t). Операцію эту я буду называть умно-
женіемъ предмета А на числовой символъ.
Умноженіе производится, какъ пока-
зано на планѣ справа. Въ разныхъ част-
ныхъ случаяхъ это умноженіе называется ^
отсчитываніемъ, отмѣриваніемъ...
Предметъ, имя котораго стоитъ въ названіи
С послѣ числового символа, я буду называть
предметной единицей.
6. Дѣйствія надъ чистыми числовыми символами осно-
вываются на слѣдующемъ принципѣ.
Въ случаяхъ сложенія, вычитанія, умно-
жения и дѣленія, числовой символъ результата
опредѣляется числовыми символами данныхъ и
не зависитъ отъ единицы.
Въ этомъ докладѣ докажу его только для умноженія, но
его можно доказать для всѣхъ дѣйствій и надъ всякими
числовыми символами.
7. Положимъ С есть пВ, и В есть тЕ. Здѣсь m и n
числовые символы.
Имена тЕ и В означаютъ здѣсь одни и тѣ же предметы,
эту равносильность именъ В и тЕ я обозначу
такъ: 11 и тЕ
При этомъ условіи пВ^ п(тЕ).
Докажемъ, что п{тЕ) есть нѣкоторое С не только по
отношенію къ элементу тЕ, но и по отношенію къ элементу E.
п(тЕ) есть С, видъ котораго по отношенію къ эле-
менту тЕ опредѣляется (г) символомъ п. Поэтому мы можемъ
связать всѣ тЕ, входящіе въ п(тЕ), связью с съ рядомъ
J, 2, 3, . . . . , η
знаковъ III I
тЕ тЕ тЕ. . . . тЕ.
По свойству С, мы, отдѣляя по одному Ε. можемъ унич-
тожить тЕ, связанное съ любымъ изъ знаковъ 1, 2, . . . , п.
Слѣдовательно, отдѣляя по одному Ε, мы можемъ уничто-
жить одно за однимъ послѣдовательные тЕ въ п(мЕ), a въ

такомъ случаѣ, по свойству С мы можемъ дойти до уничто-
женія п(тЕ). Итакъ, отдѣляя по одному Е9 мы можемъ дойти
до уничтоженія nfmEj, слѣдовательно, п(тЕ) есть нѣкоторое
С изъ Ε. Положимъ, видъ его опредѣлится числовымъ симво-
ломъ р, т. е. п{гпЕуирЕ.
Докажемъ, что ρ не зависитъ отъ Ε и вполнѣ опре-
дѣлятся символами τη и п. Опредѣлить ρ значитъ опредѣлить
видъ даннаго С въ указанной выше системѣ. Опредѣлимъ его
по представителю, который составимъ такъ:
1 2 3 m
1 1 1 1 1
2 1 1 i 1
h 1 1 1 J
Докажемъ, что собраніе черточекъ въ этой таблицѣ одного
вида (по признаку г) съ п{тЕ), каково бы ни было Е.
Собраніе черточекъ есть собраніе n рядовъ, слѣдовательно,
принимая за элементы рядъ и тЕ, мы можемъ установить
такую связь (с), что каждый рядъ будетъ связанъ съ однимъ
тпЕ и только съ однимъ, и обратно. Соединимъ всѣ черточки
каждаго ряда съ E соотвѣтственныхъ собраній тЕ, связью с,
тогда собраніе п(тЕ), разсматриваемое какъ собраніе элемен-
товъ Д будетъ связано связью с съ черточками таблицы.
Слѣдовательно, таблица, какъ собраніе черточекъ одного вида
η(ηιΕ) или pE, и видъ^і/, a съ ними и числовой символъ^
опредѣлятся по приведенной таблицѣ, которая вполнѣ опредѣ-
ляется числовыми символами m и n и не зависитъ отъ p.
Итакъ p вполнѣ опредѣляется числовыми символами m и п.
Назовемъ p произведеніемъ символа m на символъ /г, операцію,
въ которой находится это произведеніе, умноженіемъ, и будемъ
обозначать произведеніе m на n сложнымъ символомъ п. m,
т. е. примемъ, что р — п.т.
На основаніи этого условія
(а) п(тЕ)т{п.т)Е
Въ послѣднемъ равенствѣ (по тождеству означаемыхъ
классовъ) E означаетъ какой угодно предметъ изъ класса

А (см. 1). Этотъ предметъ самъ можетъ быть собраніемъ и
опредѣляться при помощи числового символа и единицы.
Равенство α даетъ основаніе для вывода свой-
ства сочетательности при умноженіи числовыхъ
символовъ. Оно же выражаетъ и условіе приложи-
мости числовыхъ символовъ и дѣйствій надъ
ними къ реальнымъ предметамъ».
Пренія по докладу В. А. Соколова.
На предложеніе предсѣдателя собранія высказаться по по-
воду заслушаннаго доклада никто изъ присутствовавшихъ не
отозвался.
Предсѣдатель Собранія, Б. Б. Піотровскій, считаетъ необхо-
димымъ отмѣтить слѣдующее:
„Докладчикомъ затронутъ весьма интересный и трудный, какъ
въ научномъ, такъ и въ педагогическомъ отношеніяхъ, вопросъ
объ основныхъ понятіяхъ ариѳметики.
Устанавливая понятіе о числѣ, докладчикъ, видимо, имѣлъ
ввиду исходить при этомъ изъ понятій: объ ансамблѣ (комплексѣ),
объ однозначномъ соотвѣтствіи элементовъ ансамбля и объ
ансамбляхъ одинаковой мощности.
Такая система построенія основъ ариѳметики проведена,
между прочимъ, въ „Энциклопедіи элементарной математики" Ве-
бера и Вельштейна.
Не входя въ подробный разборъ настоящаго доклада, при-
ходится, однако, отмѣтить, что какъ указанныя выше понятія, такъ и
предложенное докладчикомъ обоснованіе ариѳметическихъ дѣй-
ствій, основанное на этихъ понятіяхъ, изложены недостаточно
ясно и методически не разработаны, и поэтому докладъ В. А. Со-
колова врядъ ли что-нибудь вноситъ въ рѣшеніе вопроса объ
обоснованіи ариѳметическихъ дѣйствій съ точки зрѣнія интересовъ
преподаванія".
IX. Сообщеніе А. В. Годнева (Симбирскъ).
Основныя положенія, которыми руководствовался А. В.
Годневъ при составленіи своего труда по геометріи, и его осо-
бенности сводятся къ слѣдующему.

Для упрощеннаго построенія геометріи и расширенія ея
содержанія, слѣдуетъ:
A) разсматривать движеніе геометрическихъ элементовъ,
коимъ образуются геометрическая фигуры, не какъ неизбѣжное
зло при построеніи геометрической науки, a какъ вспомога-
тельное орудіе построенія, логически вполнѣ законное и въ
вышей степени важное.
B) для полученія сплошного, а не отрывистаго построенія
геометрическихъ фигуръ ввести аксіомы: какъ непрерывности
фигуръ, образуемыхъ движеніемъ непрерывныхъ геометриче-
скихъ элементовъ, такъ и соотвѣтствующей непрерывности
измѣряющихъ эти фигуры чиселъ.
Переходя затѣмъ къ самому построенію геометріи въ
частности, получаемъ, не вводя новыхъ постулатовъ, выводы:
1) что къ каждой точкѣ на безконечныхъ прямыхъ ли-
ніяхъ прилежатъ равныя (по совмѣстимости при наложеніи)
безконечныя прямыя;
2) что къ каждой точкѣ, взятой на какихъ угодно без-
конечныхъ плоскостяхъ, прилежатъ равныя безконечныя пло-
скости (по совмѣстимости при наложеніи);
3) новое опредѣленіе линейнаго угла, какъ отклоненіе
другъ отъ друга пересѣкающихся прямыхъ линій при точкѣ
ихъ пересѣченія;
4) понятіе о полномъ линейномъ углѣ. Равенство полныхъ
линейныхъ угловъ и его важныя слѣдствія;
5) взглядъ на кривыя линіи, какъ на линіи непрерывно-
ломанныя. Важность обобщенія ломанныхъ и кривыхъ линій.
6) доказательство равенства большей части геометриче-
скихъ фигуръ опирается на единичность способа ихъ построенія
изъ даннаго числа одинаковыхъ ихъ элементовъ;
7) новый постулатъ въ теоріи параллельныхъ линій, опре-
дѣляющій ихъ эквидистантность; неприводимыя нынѣ слѣдствія
этого постулата.
8) идеальное понятіе о минимальной, ближайшей по вели-
чинѣ къ нулю, части прямой линіи и соизмѣримость всѣхъ
отрѣзковъ прямыхъ линій при дѣленіи на эту часть;

9) построеніе всѣхъ симметрическихъ фигуръ;
10) новая теорія подобія плоскихъ геометрическихъ фи-
гуръ;
11) доказательство принципа Кавальери по отношенію къ
плоскимъ геометрическимъ фигурамъ.
Пренія по сообщенію А. В. Годнева.
В. Я. Гебель (Москва) обратилъ вниманіе Собранія на то,
что трудъ г. Годнева представляетъ собой опытъ составленія
учебника въ соотвѣтствіи съ новымъ направленіемъ преподава-
нія геометріи: авторъ вводитъ, напримѣръ, элементы движенія
понятіе о гомотетіи—съ этой точки зрѣнія трудъ г. Годнева и
его сообщеніе представляютъ интересъ.
£. Б. Піотровскій (Спб.). „Въ трудѣ г. Годнева есть такіе
пункты, относительно которыхъ необходимо высказаться въ на-
стоящемъ собраніи. Я имѣю ввиду опредѣленіе кривой, какъ
линіи «непрерывно ломаной» и понятіе «о минимальной, бли-
жайшей по величинѣ къ нулю, части прямой»".
„Опредѣленіемъ кривой, какъ непрерывно - ломаной, до-
кладчикъ предлагаетъ избѣжать понятія о предѣлѣ и этимъ
упростить изложеніе нѣкоторыхъ вопросовъ курса геометріи—въ
томъ или иномъ видѣ такія понятія давно дѣлались, ихъ логи-
ческая несостоятельность установлена".
„Что же касается до понятія о минимальной, ближайшей къ
нулю, части прямой, то это понятіе вноситъ какой-то метафизи-
ческій характеръ въ математическія понятія. Я полагаю, что слѣ-
дуетъ рѣшительно высказаться о непріемлемости предложеній до-
кладчика въ указанныхъ пунктахъ".
М. Е. Волокобинскій (Рига), вполнѣ присоединяясь къ сло-
вамъ предсѣдателя, указываетъ, что ломаніе прямой линіи, не-
извѣстно по какому способу, можетъ и не привести къ окруж-
ности. Необходимо доказать, что такая кривая, полученная изъ
непрерывно-ломаной линіи, будетъ замкнута и будетъ непре-
мѣнно окружность. Въ курсахъ геометріи точка зрѣнія автора
проводилась и мысль признана несостоятельной. Книга г. Год-
нева является шагомъ назадъ.

Третье засѣданіе
2 января 1912 г. 8 ч. веч.
Предсѣдательствовалъ M. Г. Попруженко.
Пренія по докладу В. Р. Мрочека.
(См. стр. 68).
Л- Л. Волковскій (Москва) сдѣлалъ слѣдующія возраженія:
1) классификація направленій въ методикахъ ариѳметики, указан-
ная г. Мрочекомъ, несостоятельна, такъ какъ эта классификація
невѣрна по существу и не характерна для методическихъ взгля-
довъ нѣкоторыхъ методистовъ; такъ, напр., между методическими
взглядами Евтушевскаго и Гольденберга—громаднѣйшая разница,
а г. Мрочекъ отнесъ ихъ къ одному направленію.
2) Характеристика методическихъ взглядовъ Гольденберга
невѣрна. Г. Мрочекъ находитъ «глубокій разладъ между Мето-
дикой ариѳметики Гольденберга и его же Бесѣдами по
счисленію» .Между тѣмъ, здѣсь нѣтъ никакого разлада, а есть
путь эволюціи во взглядахъ почтеннаго методиста, а такой путь
есть естественный путь въ развитіи человѣка.
3) Утвержденіе, что методики гг. Арженикова, Беллюстина
«перекроены изъ другихъ методикъ» невѣрно, такъ какъ въ этихъ
методикахъ есть нѣкоторыя особенности, присущія только этимъ
методикамъ, и вообще эти работы являются почтенными въ рус-
ской методической литературѣ.
4) Обзоръ русскихъ и иностранныхъ методикъ ариѳметики
не полонъ и не характеренъ. Такъ, напр., не были указаны такія
солидныя работы, какъ методики гг. Бобровникова и Гурьева.
Кромѣ того, г. Волковскій указалъ на особенности методи-
ческихъ взглядовъ гг. Галанина, Герлаха, Лая и Штеклина и за-
тѣмъ высказалъ слѣдующія положенія, примыкающія къ вопросу
о методикѣ ариѳметики.
1) Слѣдуетъ осторожно и критически относиться къ дан-

нымъ экспериментальной психологіи и дидактики, ибо въ нихъ
не мало спорнаго по вопросу, касающемуся ариѳметики.
2) Не слѣдуетъ увлекаться рисованіемъ на урокахъ
ариѳметики, какъ это теперь нерѣдко дѣлается въ Россіи съ
легкой руки американцевъ.
3) Признавая полезность и необходимость жизненныхъ прак-
тическихъ задачъ, а также задачъ, содержаніе которыхъ чер-
пается изъ другихъ учебныхъ предметовъ, какъ, напр., географія,
исторія, естественныя науки, приходится предостеречь отъ увле-
ченія этимъ.
4) Обобщая направленія въ области иностранныхъ методикъ
ариѳметики, г. Волковскій замѣтилъ, что изъ иностранцевъ больше
всѣхъ разрабатываютъ методику ариѳметики нѣмцы и амери-
канцы, но работы нѣмцевъ слишкомъ систематичны и нерѣдко
педантичны, а работы американцевъ слишкомъ практичны.
10) Русскіе методисты должны пойти среднимъ путемъ:
должны планомѣрно и цѣлесообразно соединить систематичность
съ практичностью, теоретичность съ жизненностью, избѣгая одно-
сторонностей, ибо какъ излишняя теоретичность, такъ и из-
лишняя практичность въ равной мѣрѣ не совмѣстимы со здра-
вымъ обученіемъ вообще и ариѳметикой въ частности.
Въ заключеніе высказанныхъ имъ замѣчаній, г. Волковскій
призываетъ русскихъ методистовъ къ совмѣстной и дружной
работѣ въ этомъ направленіи.
В. Р. Мрочекь (Спб.). „Прежде, чѣмъ возражать моему оп-
поненту по существу, я долженъ напомнить, что въ докладѣ я
ограничилъ разсмотрѣніе методической литературы по ариѳме-
тикѣ только книгами, изданными на русскомъ языкѣ. Поэтому
ясно, что я не могъ вдаваться въ обзоръ иностранной методи-
ческой литературы".
„Перехожу къ отдѣльнымъ пунктамъ. Г. Волковскій утвер-
ждаетъ, что предположенная мною классификація несостоя-
тельна, невѣрна и не характерна; для доказательства онъ
ссылается на Евтушевскаго и Гольденберга, которыхъ я отнесъ
къ одному направленію, тогда какъ между ихъ взглядами будто-бы
громаднѣйшая разница. Очень жаль, что оппонентъ не ука-
залъ деталей этой разницы. Ни для кого не секретъ, что споръ
между Евтушевскимъ и Гольденбергомъ велся изъ за вопроса о
числѣ; ни тотъ, ни другой не являлись сколько-нибудь самостоя-
тельными творцами, а лишь болѣе или менѣе умѣло добавляли
крупицы своего опыта къ такимъ же крупицамъ предшествен-
никовъ и современниковъ. И при томъ, развѣ по существу
методъ доказательства у Евтушевскаго и Гольденберга различенъ?

ПРЕНІЯ ПО ДОКЛАДУ В. Р. МРОЧЕКА.
133
Оба опираются на личный опытъ, оба стараются этотъ эмпиризмъ
возвести въ догму. Развѣ кто-либо изъ нихъ — или изъ всѣхъ
остальныхъ, указанныхъ мною эмпириковъ — хотя бы пытался
призвать на помощь теорію познанія, психологію, исторію мате-
матики? Развѣ они могли—при всемъ желаніи—сдѣлать это, если
научная ариѳметика и научная методика зародилась послѣ нихъ?
И развѣ при такомъ заколдованномъ кругѣ всѣ новыя „Мето-
дики" не будутъ неизбѣжно перекраиваться изъ старыхъ? Де-
тали у каждаго на 5%—10% могутъ расходиться; да развѣ въ
въ этомъ дѣло? Духъ книги, узость и замкнутость педагогиче-
скаго и математическаго міросозерцанія—вотъ что вѣетъ со стра-
ницъ всѣхъ этихъ «Методикъ» и это заставляетъ отнести ихъ къ
одному направленію".
„Я согласенъ, что не указалъ старыхъ методикъ (начала
XIX ст.); но вѣдь я читалъ докладъ не по исторіи преподаванія
ариѳметики!"
„Я не буду вдаваться въ филологію и выяснять сущность и
различіе терминовъ эмпирическій и эксперименталь-
ный. Г. Волковскій, вѣроятно, знаетъ, что наука была эмпири-
ческой, затѣмъ стала догматической, a потомъ — эксперименталь-
ной. Вотъ такая же точно эволюція происходитъ и съ педаго-
гикой. Во всякомъ случаѣ, смѣшивать эти два направленія нѣтъ
никакихъ основаній".
„Затѣмъ г. Волковскій перешелъ къ установленію собственныхъ
взглядовъ на методику ариѳметики. Въ первую очередь онъ от-
несся критически къ Лаю и вообще къ экспериментально-педаго-
гическому направленію. Я былъ изумленъ его словами: вѣдь онъ
такъ недавно рекомендовалъ русской публикѣ книгу Лая и даже
редактировалъ ея переводъ? Правда, что съ тѣхъ поръ прошло
2 года и теперь подъ его же редакціей выходитъ методика Штек-
лина. Но развѣ Штеклинъ можетъ быть принятъ въ серьезъ и
противопоставленъ Лаю? На стр. 10—13 онъ осмѣиваетъ и кри-
тикуетъ «изобрѣтателя квадратныхъ числовыхъ фигуръ» (т. е. Лая),
a. слѣдовательно, и самыя фигуры, но дальше (стр. 152, 154—156
и др.) онъ не только заявляетъ, «что и горизонтальный, и верти-
кальный рядъ, составленный изъ 10 одинаковыхъ точекъ (свѣт-
лыхъ или темныхъ), страдаетъ полнымъ отсутствіемъ наглядно-
сти», но и указываетъ, какъ должны ученики рисовать числовыя
фигуры на грифельныхъ доскахъ, совѣтуетъ дать имъ въ руки
индивидуальное наглядное пособіе въ видѣ числовыхъ фигуръ,
«составленныхъ изъ точекъ», и, наконецъ, прямо утверждаетъ,
«что тотъ, кто прибѣгаетъ къ счету, никогда не научится по-
рядочно вычислять». Справедливо-ли послѣ этого противополагать

подобнаго методиста Лаю? И вообще—можно ли серьезно утвер-
ждать, что опыты Вальземана, Книллинга и др. противорѣчатъ
даннымъ Лая?"
„Но г. Волковскій этимъ не ограничился. Онъ заявилъ, что
въ психологіи есть 2 школы, что въ Петербург!* есть Нечаевъ,
но зато въ Москвѣ есть Челпановъ. Я приведу только одну справку.
На II Всероссійскомъ Съѣздѣ по Педагогической Психологіи
(1909 г.), a затѣмъ въ «Вопросахъ Философіи и Психологіи» Чел-
пановъ утверждалъ, что психологія одна и никакой эксперимен-
тальной психологіи нѣтъ. Но въ то время, какъ въ Петербургѣ
съ каѳедры Челпановъ громилъ экспериментъ, какъ хламъ, въ
Москвѣ, въ магазинѣ Карбасникова, продавался его литографи-
рованный «Курсъ экспериментальной психологіи», читанный сту-
дентамъ Московскаго Университета..."
„Въ заключеніе г. Волковскій рекомендовалъ сугубую осто-
рожность во взглядахъ, поэтому—совѣтовалъ не увлекаться рисо-
ваніемъ, жизненными задачами, излишней практичностью и т. п.
Все это—человѣчество слышало сотни разъ; но какъ все это скучно!
Напротивъ—не надо бояться новаго, широкаго и разносторонняго!
Отбросимъ старые рецепты нашихъ «Методикъ», сблизимъ учи-
теля съ ученикомъ, a ихъ обоихъ—съ жизнью, дадимъ имъ воз-
можность принаравливаться къ условіямъ мѣста, времени, среды.
Довольно съ насъ старыхъ задачниковъ для Сибири и Москвы,
Архангельска и Кавказа. Нужны районные задачники, тѣсно свя-
занные съ кругомъ представленій учащихся, съ ихъ индивидуаль-
нымъ и біологическимъ интересами. Намъ нужна не совмѣстная
осторожная нивеллировка методистовъ, а творческая, свободная
дѣятельность учителя".
M. Г. Попруженко (Спб.). „Резумируя пренія по поводу до-
кладовъ о методикахъ ариѳметики, я съ сожалѣніемъ долженъ
отмѣтить излишнюю страстность, внесенную въ обсужденіе, и
неполную обоснованность нѣкоторыхъ выводовъ".
„Такъ, напримѣръ, классификація методикъ, сдѣланная г.
Мрочекомъ, вызываетъ разнообразныя сомнѣнія по поводу психо-
логическихъ началъ, положенныхъ въ основу ея, и во всякомъ
случаѣ изъ нея не вытекаетъ заключеніе, что новѣйшія методики
«научнѣе», являются наилучшими, заслоняющими собой всѣ пред-
шествующія. И въ прежнихъ методикахъ есть глубокія психоло-
гическія наблюденія опытныхъ педагоговъ и ищущій преподава-
тель можетъ найти въ нихъ очень цѣнныя для него указанія".

Пренія по докладу H. H. Володкевича.
(См. стр. 94).
Л. А. Сельскій (Варшава) дѣлаетъ сообщеніе о своей попыткѣ
составить задачникъ по ариѳметикѣ примѣнительно къ жизни.
Всѣ задачи въ задачникѣ составлены имъ для его уроковъ въ
гимназіи и всѣ рѣшались въ классѣ. Во всѣхъ задачахъ операціи
производятся не надъ числами, не имѣющими никакого жизнен-
наго смысла, a надъ вполнѣ опредѣленными величинами, взятыми
изъ географіи, исторіи, естественныхъ наукъ и т. п. При этомъ
всѣ числа вполнѣ отвѣчаютъ дѣйствительности, но въ нѣкоторыхъ
задачахъ числа округлены. Во многихъ Мѣстахъ дается понятіе о
среднихъ величинахъ и о нѣкоторыхъ приближенныхъ дѣйствіяхъ.
Матеріалъ для задачъ взятъ, по большей части, изъ данныхъ для
Россіи, только иногда для сравненія берутся данные другихъ го-
сударствъ. Такъ, напр., для сложенія берутся число жителей въ
городахъ, губерніяхъ, ихъ пространства, разстоянія между горо-
дами, длины рѣкъ съ притоками и т. п. Въ задачахъ съ истори-
ческимъ элементомъ ученики оперируютъ надъ промежутками
времени между моментами различныхъ событій, находятъ моментъ
нѣкотораго событія, когда извѣстенъ моментъ другого событія и
промежутокъ времени между этими моментами. Во многія задачи
включены свѣдѣнія изъ статистики Россіи и другихъ государствъ.
Есть задачи, гдѣ фигурируетъ бюджетъ. Задачи о курьерахъ за-
мѣнены соотвѣтственными задачами изъ жизни: встрѣча парохо-
довъ, поѣздовъ. Въ задачахъ на бассейны можетъ быть взятъ
для примѣра Нарзанъ. Пользуясь задачами на приходъ и расходъ,
капиталъ и долгъ, время до и послѣ событія, температура и т. д.,
можно и въ 1-мъ классѣ дать понятіе объ отрицательныхъ
числахъ.
Д. Л. Волковский (Москва). „Вопросъ о содержаніи задачъ
очень важенъ и не новъ. Нельзя увлекаться этимъ. Необходимо
всегда при рѣшеніи задачи выяснить ея смыслъ, а это можно дѣ-
лать только послѣ того, какъ предметъ задачи ужъ извѣстенъ
изъ пройденнаго курса (по другимъ предметамъ), но въ 1 классѣ
многіе предметы, свѣдѣніями изъ которыхъ г. Сельскій предла-
гаетъ пользоваться, не проходятся и поэтому придется на урокахъ
ариѳметики проходить и исторію, и географію, и другіе предметы.
Это можетъ отвлечь вниманіе учениковъ отъ основной цѣли
урока".
Б. M. KijneptumeuHb (Елисаветградъ) указываетъ, что нельзя
въ первомъ классѣ рѣшать, напр., такія задачи, гдѣ встрѣчается

бюджетъ Россіи. Это приведетъ къ необходимости обширныхъ
объясненій въ этой области и не всегда это будетъ понятно уче-
никамъ. Затѣмъ необходимо различать задачники для дѣтей го-
родскихъ и для дѣтей деревенскихъ. У нихъ совершенно разный
кругъ представленій, и поэтому задачники однихъ не годятся
для другихъ. Всѣ наши задачники для начальнаго обученія соста-
влены для сельской школы, а потому являются непригодными для
городскихъ дѣтей.
Я. Я. Володкевичъ (Кіевъ) предлагаетъ Съѣзду высказаться о
желательности составленія задачника, отвѣчающаго жизненнымъ
условіямъ, и указываетъ на способъ коллективнаго составленія
такого задачника. Каждый преподаватель могъ бы прислать куда-
либо въ опредѣленное мѣсто составленныя имъ задачи и по нако-
пленіи матеріала могла бы быть произведена коллективная же
разработка этого матеріала.
M. Г. Попруженко (Спб.) высказываетъ опасеніе, какъ бы требо-
ванія жизненности и практичности содержанія задачъ не отодви-
нули на задній планъ тѣ требованія, которымъ долженъ удовлетво-
рять задачникъ, имѣя въ виду главную цѣль — обученіе ариѳме-
тикѣ, какъ бы составители задачниковъ не стали бы главнымъ
образомъ заботиться о томъ, чтобы заполнить свои сборники
возможно болѣе разнообразными свѣдѣніями изъ исторіи, геогра-
фіи, статистики и т. п.
Что касается задачника г. Сельскаго, то М. Г. Попруженко
указываетъ на полную непрактичность нѣкоторыхъ изъ помѣщен-
ныхъ въ этомъ сборникѣ задачъ.
Предсѣдатель секціи, М. Г. Попруженко, докладываетъ,
что, согласно выраженному въ засѣданіи 28-го Января же-
ланію членовъ секціи Организационный Комитетъ включаетъ въ
число резолюціи и резолюцію о желательности изданія мате-
матической хрестоматіи.

2-я секція.
Программы и экзамены.

Во второй секціи обсуждались вопросы о программахъ
математики въ средней школѣ и объ экзаменахъ. Докладамъ
перваго рода было посвящено 1-ое засѣданіе, происходившее
27 декабря, докладамъ второго рода—2-ое засѣданіе, происхо-
дившее 30 декабря.
Въ первомъ засѣдании были заслушаны доклады:
1) Н. А. Тамамгиевой (Спб.). «О реформѣ преподаванія
математики. Общія положенія и программы».
2) Г. П. Кузнецова (Новочеркасскъ). «О желательности
временныхъ измѣненій въ преподаваніи алгебры въ женскихъ
учебныхъ заведеніяхъ ».
Во второмъ засѣдании были заслушаны доклады:
3) проф. П. А. Некрасова (Спб.). «О результатахъ препо-
даванія анализа безконечно-малыхъ и аналитической геометріи
въ реальныхъ училищахъ».
4) Б. А. Марковича (Спб.). «Объ экзаменахъ по мате-
матикѣ въ средней школѣ».
За каждымъ докладомъ сейчасъ же слѣдовали пренія,
отличавшіяся сравнительною оживленностью; особенно много
обсуждался докладъ Г. П. Кузнецова.
Засѣданія второй секціи происходили подъ предсѣдатель-
ствомъ проф. Михайловской Артиллерійской Академіи ген.-
маіора С. Г. Петровича при секретарѣ П. А. Самохваловѣ.

I. О реформѣ преподаванія математики. Общія положенія и про-
граммы. Содержаніе курса математики за первыя шесть лѣтъ
обученія.
Докладъ H. А. Тамамшевой (Спб.).
«Абсолютное незнаніе математики, полное отсутствіе ка-
кихъ бы то ни было математическихъ понятій и представленій,
незнакомство съ основными методами математическаго изслѣдо-
ванія, пренебрежительное, но вмѣстѣ съ тѣмъ не лишенное
страха отношеніе къ математикѣ, — все это является у насъ
обычнымъ и даже считается вполнѣ естественнымъ. Не есть
ли это неопровержимое доказательство полной непригодности
принятыхъ у насъ методовъ преподаванія и нецелесообразности
выбора и распредѣленія матеріала, составляющаго курсъ мате-
матики нашихъ школъ? Бъ оправданіе говорятъ, что матема-
тика далека отъ жизни. Дѣйствительно, далеки отъ жизни
математическія теоріи, научныя разработки математическихъ
вопросовъ, но развѣ далеки отъ жизни математическія понятія
и представленія? Развѣ намъ не приходится постоянно сталки-
ваться съ понятіями о рядѣ, безконечности, непрерывности и
функціональной зависимости, а также съ пространственными
и временными соотношеніями; развѣ внѣшній міръ не даетъ
безконечнаго многообразія геометрическихъ формъ, развѣ мы
не сталкиваемся со всякаго рода измѣреніями, взвѣшиваніями,
съ опредѣленіями объемовъ, площадей, съ различными видами
движенія, съ примѣненіями математическихъ методовъ къ изу-
ченію явленій природы, съ географическими и астрономиче-
скими понятіями о формѣ земли, небесныхъ тѣлъ, ихъ орбитѣ;
развѣ не опредѣляемъ положенія точки, предмета при помощи
координатъ, не пользуемся графиками и т. д. и т. д. И развѣ

все это далеко отъ жизни? А именно эти понятія и предста-
вленія и должны быть даны на первыхъ ступеняхъ обученія.
И только тогда, когда они будутъ усвоены, когда они сдѣ-
лаются полнымъ достояніемъ учениковъ, можно приступить
къ изученію математики, къ ознакомленію съ ея методами и
законами, словомъ, къ пріобрѣтенію знаній. А у насъ начинаютъ
съ того, что даютъ обрывки знаній, которые пріобрѣтаются
большею частью на память и, не имѣя за собой правильныхъ
понятій и представленій, остаются разрозненными, не находятъ
себѣ примѣненій и скоро забываются. Такое преподаваніе, ко-
нечно, не только не даетъ знаній, но и не способствуетъ
выработкѣ математическихъ сужденій и опредѣленій, не про-
буждаетъ ума, не пріучаетъ къ наблюдательности, не разви-
ваетъ самостоятельности и изобрѣтательности.
Цѣлью всякаго обученія должно быть полное всестороннее
развитіе всѣхъ способностей и творческихъ силъ человѣка.
Этому долженъ способствовать весь учебный матеріалъ: ка-
ждая отрасль науки должна будетъ развивать тѣ способности,
тѣ стороны души человѣка, которыя ближе методамъ и цѣ-
лямъ данной науки. Математика пріучаетъ къ обобщеній), къ
абстракціи, къ синтезу, вмѣстѣ съ тѣмъ она учитъ наблюде-
нію, дифференціаціи признаковъ и строгому всестороннему ана-
лизу. Она способствуетъ выработкѣ точнаго и краткаго языка,
яснаго опредѣленія мысли и учитъ употребленію символовъ
для выраженія идей, установленію связи между абсолютнымъ
и относительнымъ, конкретнымъ и абстрактнымъ. Но для дости-
женія намѣченныхъ цѣлей математика не должна преподно-
ситься въ видѣ ряда отдѣльныхъ положеній, истинъ и теоремъ,
ничѣмъ не связанныхъ между собой, принимаемыхъ зачастую на
вѣру, не намѣчающихъ путей къ послѣдующимъ изслѣдованіямъ.
Курсъ математики долженъ представлять изъ себя органи-
ческое цѣлое. Всѣ отдѣлы слѣдуетъ тѣсно взять между собой
и, когда возможно, иллюстрировать. Черезъ весь курсъ должна
ярко проходить идея о функціональной зависимости и о выра-
женіи всякой зависимости въ видѣ уравненія. Тогда началь-
ный курсъ математики будетъ тѣсно связанъ съ изученіемъ
математики, какъ науки.

Гдѣ возможно, должна быть установлена тѣсная связь
между анализомъ и геометріей. Пространственныя представле-
нія должны быть даны и восприняты возможно ярче и опре-
дѣленнѣе. Этому будутъ способствовать ученіе о координа-
тахъ и теорія проэкцій. Въ геометрію должно быть введено
понятіе движенія, и статическое изученіе явленій должно быть
замѣнено динамическимъ.
При разсмотрѣніи каждаго отдѣльнаго вопроса, надо ука-
зать на его мѣсто среди другихъ вопросовъ, на его конечную
цѣль и назначеніе. Необходимо подчеркнуть, что нѣкоторыя
положенія принимаются безъ доказательствъ, служатъ посту-
латами, аксіомами, познакомить съ тѣмъ, что называется гипо-
тезами, сообщить тѣ изъ нихъ, которыя доступны, указать,
насколько возможно, на вопросы, намѣченные для рѣшенія
въ будущемъ.
Тогда станутъ яснѣе цѣли и задачи науки, откроются ея
горизонты, и изученіе ея пріобрѣтетъ цѣнность и интересъ.
Надо познакомить съ исторіей математики, указывая на ея
этапы и на естественный путь ея развитія. Должны быть
приведены также примѣненія различныхъ отдѣловъ математики
къ изученію явленій природы, къ естественнымъ наукамъ и
различнымъ отраслямъ техники. Не слѣдуетъ обособлять мате-
матику отъ другихъ наукъ, a напротивъ, указать на ея мѣсто
среди нихъ, на ея значеніе для физики, химіи, механики,
астрономіи и т. д.
Я буду говорить о преподаваніи математики въ первые
шесть лѣтъ обученія, т. е. въ тотъ періодъ, за который дол-
женъ быть пройденъ весь подготовительный курсъ. За этотъ
періодъ дѣти должны воспринять всѣ основныя математическія
представленія и понятія и получить достаточную подготовку,
чтобы приступить къ систематическому изученію математики,
какъ науки.
Прежде всего скажу, что на этой ступени обученія мате-
матика должна быть, насколько это возможно, сближена съ
жизнью. Вѣдь сама жизнь съ ея нуждами, наблюденіе и изученіе
явленій окружающаго міра, необходимость, а не абстрактныя
соображенія породили математику. A преподаваніе должно

вестись именно такъ, чтобъ дѣти шли по естественному пути
развитія науки, знакомились съ тѣмъ, что вызвало зарожде-
ніе той или иной науки, того или иного ея отдѣла. Надо
предлагать дѣтямъ задачи, которыя они должны выполнять
сами и при рѣшеніи которыхъ они будутъ наталкиваться на
необходимость знаній того или иного отдѣла математики.
Тогда цѣль и назначеніе этого отдѣла, этого знанія будутъ
ясны и опредѣленны.
Надо, чтобы преподаваніе было перенесено изъ классовъ
въ лабораторіи, чтобъ ученики перестали повторять за учите-
лемъ далекія, ненужныя, a подчасъ и непонятныя имъ истины,
a чтобъ они сами доискивались этихъ истинъ, сами замѣчали
и открывали основныя свойства явленій, сами находили опре-
дѣленные математическіе законы и соотношенія, чтобъ все
новое было плодомъ ихъ творческой работы, какъ бы ихъ
маленькимъ открытіемъ.
Вотъ приблизительное содержаніе того курса, который я
считаю возможнымъ пройти за первыя шесть лѣтъ обученія.
Содержаніе курса математики первыхъ шести лѣтъ обученія.
1-ый годъ.
Установленіе понятій — одинъ, много, мало, ничего, нѣ-
сколько, больше, меньше—при помощи наглядныхъ пособій.
Счисленіе. Изученіе чиселъ 1 — 10. Наглядныя пособія.
Четыре дѣйствія надъ числами перваго десятка.
Установленіе понятій — длина, ширина, высота, глубина,
вѣсъ, скорость, сила, температура, время и т. п.—при помощи
самостоятельныхъ работъ въ лабораторіяхъ.
Счисленіе отъ 10—20. Четыре дѣйствія въ предѣлахъ
10—20.
Первоначальныя понятія о доляхъ и дробяхъ.
Знакомство съ геометрическими тѣлами, фигурами и ли-
ніями. Кубъ, брусъ, пирамида. Цилиндръ, конусъ, шаръ. Че-
тыреугольникъ, треугольникъ, кругъ. Горизонтальный и вер-
тикальныя линіи. Уровень и отвѣсъ. Прямыя, ломаныя и кри-
выя линіи. Острые, тупые и прямые углы.

2- ой годъ.
Счисленіе отъ 1 —100. Четыре дѣйствія надъ числами
первой сотни. Введеніе знаковъ.
Увеличеніе и уменьшеніе дробей; выраженіе однѣхъ долей
въ другихъ; сравненіе дробей.
Введеніе буквенныхъ обозначеній.
Первыя попытки составленія формулъ и уравненіи при
рѣшеніи задачъ.
Самостоятельныя измѣренія и взвѣшиванія. Знакомство
съ мѣрами длины, вѣса и времени. Планы и масштабы.
Первыя геометрическія понятія о тѣлахъ, фигурахъ, пло-
скостяхъ, углахъ, линіяхъ. Многогранники.
Многоугольники. Различные виды четыреугольниковъ и
треугольниковъ. Круглыя тѣла и ихъ части.
Кругъ, окружность, діаметръ, радіусъ.
Параллельныя и перпендикулярныя линіи. Самостоятель-
ныя изготовленія моделей. Лѣпка, вырѣзываніе изъ картона,
черченіе, развертки. Опредѣленіе положенія точки на горизон-
тальной и вертикальной прямой. Координаты точки. Опредѣ-
леніе мѣста дерева въ саду, города на картѣ и т. п. Графики.
Изображеніе различныхъ величинъ, въ видѣ отрѣзковъ, пря-
моугольниковъ, секторовъ. Самостоятельныя измѣренія для
полученія данныхъ при составленіи графиковъ.
3- ій годъ.
Письменное и устное счисленіе отъ 1 —1000. Четыре
дѣйствія надъ числами первой тысячи.
Понятіе объ отрицательныхъ числахъ. Установленіе по-
нятія отрицательнаго числа: температура выше и ниже нуля,
теченія рѣки и движеніе лодки противъ теченія, долгъ и ка-
питалъ, прошедшее и будущее и т. д. Графическая иллю-
страція.
Сокращенія дробей. Выраженіе дробей въ одинаковыхъ
доляхъ. Четыре дѣйстія надъ дробями съ небольшими знаме-
нателями.
Мѣры сыпучихъ тѣлъ, жидкости и бумаги. Происхожденіе
мѣръ. Процентъ, какъ сотая часть. Самостоятельныя измѣренія.

Первоначальныя понятія о степени. Возвышеніе въ степень.
Геометрический способъ нахожденія квадрата и куба.
Понятіе о функциональной зависимости. Измѣненіе пути
со временемъ, количества сгораемаго вещества со временемъ,
объема тѣла съ температурой и т. д. Установленіе этой
зависимости при помощи самостоятельныхъ наблюденій и
работъ въ лабораторіяхъ. Основныя понятія по физикѣ.
Выраженіе всякой зависимости въ видѣ уравненія. Гра-
фическое изображеніе функциональной зависимости. Рѣшеніе
задачъ при помощи уравненія и при помощи графиковъ.
Понятіе объ объемахъ, поверхностяхъ и площадяхъ.
Самостоятельныя измѣренія. Развертки куба и параллели-
пипеда. Изготовленіе моделей. Наглядные способы опредѣленія
объема и поверхности куба и параллелопипеда. Площадь квад-
рата, прямоугольника, треугольника. Аналогія съ возвы-
шеніемъ въ квадратъ и въ кубъ. Квадратныя и кубическіе
мѣры.
Перемѣщеніе. Траэкторія. Поступательное движеніе. Па-
раллельныя линіи. Вращательное движеніе. Перпендикулярныя
линіи.
4-ый годъ.
Нумерація. Четыре дѣйствія надъ числами любой вели-
личины. Зависимость между факторами дѣйствій и ихъ ре-
зультатами.
Метрическая система мѣръ.
Понятіе о десятичныхъ числахъ. Десятичные знаки, какъ
продолженіе разрядныхъ единицъ вправо отъ разряда единицъ.
Увеличеніе и уменьшеніе десятичныхъ чиселъ. Четыре дѣй-
ствія надъ десятичными числами по аналогіи съ четырьмя
дѣйствіями надъ цѣлыми числами.
Отрицательныя числа, какъ продолженіе натуральнаго
ряда чиселъ влѣво отъ нуля. Абсолютная величина отрица-
тельныхъ чиселъ. Четыре дѣйствія надъ отрицательными чи-
слами. Выясненіе правила знаковъ.
Уравненія съ отрицательными числами.
Второй, третій и четвертый координатные углы. Графики.

Составленіе таблицъ значеній функціи. Графическое изо-
браженіе уравненіи.
Понятіе о непрерывности и разрывѣ непрерывности. Вели-
чины соизмѣримыя и несоизмѣримыя.
Приближенный вычисленія. Вычисленія съ данной точ-
ностью.
Отношенія и пропорціи.
Возвышеніе въ степень. Степени ΙΟ2, ΙΟ3, 104> . . . .
Объемъ призмы. Поверхность призмы. Площадь парал-
лелограма, треугольника. Площади многоугольниковъ. Равен-
ство и равновеликость фигуръ. Пропорціональныя линіи. По-
добіе фигуръ. Знакомство съ землемѣрными инструментами.
Землемѣрныя работы. Функціональная зависимость между
элементами фигуры и ея площадью, элементами тѣла и его
объемомъ. Установленіе этой зависимости опытнымъ путемъ.
Понятіе о симметріи. Ось симметріи. Симметрія относительно
точки, прямой, плоскости. Симметричныя фигуры. Доказа-
тельство нѣкоторыхъ теоремъ при помощи симметріи. Понятіе
о проэкціи. Проэкціи точки, линіи, фигуры и тѣла на гори-
зонтальную и вертикальную оси или плоскости проэкціи.
Изображеніе въ зеркалѣ, въ двухъ взаимно перпендику-
лярныхъ зеркалахъ.
Основныя понятія по механикѣ. Сила, скорость, время,
пройденный путь и т. д. Различные виды движенія.
5-ый годъ.
Понятіе о безконечности (натуральный рядъ чиселъ вправо
и влѣво отъ нуля; прямая, плоскость и т. д.). Понятіе о
безконечно-малыхъ (дроби, знаменателями которыхъ служатъ
числа безконечно-большія и т. п.).
Ряды. Сумма первыхъ // нечетныхъ чиселъ (1+3 + 5 +
+ ....+ 2п—1). Сумма первыхъ и четныхъ чиселъ (2 +
4 + 6+ ... . +2//). Сумма натуральнаго ряда чиселъ (1 +
2 + . . . . + п). Сумма квадратовъ (12 + 22+ . . . . + п2).

Сумма кубовъ (13 + 23 + 33 + . . . .-f/r3) и т. д. Опредѣленіе
суммъ этихъ рядовъ экспериментальнымъ путемъ.
Ариѳметическая прогрессія. Наглядный способъ опредѣ-
ленія суммы членовъ ариѳметической прогрессіи. Опредѣленіе
послѣдняго члена. Геометрическая прогрессія. Опредѣленіе
суммы членовъ геометрической прогрессіи при помощи алге-
браическаго дѣленія и нагляднымъ способомъ. Опредѣленіе
послѣдняго члена. Графическая иллюстрація прогрессіи.
Рѣшеніе системы уравненіи съ двумя неизвѣстными.
Составленіе уравненій. Графическое изображеніе уравненіи.
Наглядные способы опредѣленія объема цилиндра. Площадь
круга. Длина окружности. Поверхность цилиндра. Зависимость
между радіусомъ и площадью круга. Развертка поверхности
цилиндра.
Объемъ пирамиды. Поверхность пирамиды. Построеніе.
Развертка. Усѣченная пирамида. Объемъ конуса. Поверхность
конуса. Понятіе объ эллипсѣ, гиперболѣ, параболѣ. Ихъ вы-
черчиваніе. Орбиты свѣтилъ.
Прямоугольныя оси координатъ, разстояніе между двумя
точками. Выборъ осей координатъ.
6-ой годъ.
Дроби. Обращеніе десятичныхъ дробей въ простыя и про-
стыхъ въ десятичныя.
Формулы (а + δ)2, (a-δ)2, (а + δ) (a—δ).
Геометрическое и алгебраическое доказательство этихъ фор-
мулъ.
Формулы (а + й)3, (a + è)4.
Квадратныя уравненія. Аналитическое и геометрическое
рѣшеніе квадратныхъ уравненіи. Объемъ шара. Поверхность
шара. Географическія понятія: ось земли, меридіанъ, параллели
и т. п. Тѣла вращенія. Начальныя понятія по астрономіи.
Опредѣленіе высоты свѣтила, діаметра луны и т. д.
Рѣшеніе треугольниковъ. Понятіе о нѣкоторыхъ тригоно-
метрическихъ функціяхъ. Составленіе таблицъ. Понятіе о геоде-
зіи. Простѣйшія задачи.

Понятіе о функціи. Возрастающая и убывающая функція.
Непрерывная функція. Графическая интерпретація функцій.
Уравненіе прямой, проходящей черезъ начало координатъ.
Уравненіе всякой прямой. Геометрическое значеніе уравненіи.
Скажу нѣсколько словъ о нѣкоторыхъ вопросахъ про-
граммы, которые не вводятся обыкновенно въ курсъ мате-
матики младшихъ классовъ.
Прежде всего скажу, что начинать надо съ того, чтобы
давать дѣтямъ основныя математическія понятія и предста-
вленія, и только когда они будутъ усвоены, можно перехо-
дить къ пріобрѣтенію знаній. Для усвоенія этихъ понятій
нужно возможно шире пользоваться наглядными пособіями,
причемъ этими пособіями должны быть предметы, близкіе ре-
бенку, предметы, которые онъ можетъ непосредственно наблю-
дать, которые онъ неоднократно воспринималъ своими орга-
нами чувствъ. Какъ только признается возможнымъ по воз-
расту и развитію ребенка начать его обученіе математикѣ,
надо помѣстить его не въ классъ, a въ лабораторію и на-
глядно, при помощи всевозможныхъ его собственныхъ опытовъ,
дать ему основныя понятія счета, измѣренія, опредѣленія
формы, величины и положенія предметовъ. Тутъ же надо бу-
детъ познакомить дѣтей съ понятіями о силѣ, скорости, прой-
денномъ пути, времени и т. п.
Не буду говорить о томъ, какъ должны быть устано-
влены эти понятія, скажу только, что всѣ они должны выте-
кать, какъ слѣдствіе изъ самостоятельныхъ работъ подъ руко-
водствомъ учителя въ лабораторіяхъ.
Выясненіе этихъ понятій будетъ связано съ выясненіемъ
зависимости между ними и послужитъ естественнымъ перехо-
домъ къ установленію понятія о функціональной зависимости.
Нашъ элементарный курсъ математики не заключаетъ въ
себѣ и совершенно не отражаетъ этого понятія, между тѣмъ какъ
ученіе о функціональной зависимости составляетъ основу и
сущность математики. Отсутствіе ученія о функціональной
зависимости въ нашемъ элементарномъ курсѣ является одной

изъ главныхъ причинъ того, что онъ не имѣетъ ничего об-
щаго съ курсомъ высшей математики. Только съ введеніемъ
въ курсъ понятія о функціи, о функціональной зависимости,
о выраженіи всякой зависимости въ видѣ уравненія, о коор-
динатахъ и о графическомъ изображеніи функціи можно бу-
детъ связать эти курсы, выяснить основные математическіе
методы и дать понять, почему эти методы дѣлаютъ изъ ма-
тематики могучее орудіе изслѣдованія явленій и ставятъ ее
во главѣ всѣхъ естественныхъ наукъ.
Между тѣмъ, какъ дать дѣтямъ понятіе о функціональ-
ной зависимости вполнѣ возможно даже въ самомъ раннемъ
возрастѣ: идея эта элементарна и сталкиваться съ ней въ
жизни приходится постоянно. Надо только научить дѣтей под-
мѣчать функціональную зависимость.
Они сами видятъ, что все измѣняется, и одни измѣненія
вызываютъ сейчасъ же другія, зависящія отъ нихъ. Напри-
мѣръ: сгораютъ дрова — становится тепло въ комнатѣ, т. е.
увеличивается количество сгораемаго вещества и повышается
температура; становится теплѣе въ комнатѣ—термометръ по-
казываетъ большее число градусовъ, т. е. повышается темпе-
ратура—расширяется и подымается ртуть въ термометрѣ. Та-
кихъ примѣровъ можно указать безчисленное множество, и если
направить на это вниманіе дѣтей, они сами будутъ ихъ под-
мѣчать и приводить. Напримѣръ: зависимость между количе-
ствомъ керосина, сгорающаго въ лампѣ, и временемъ горѣнія
лампы; количествомъ или величиной кубиковъ или брусковъ, изъ
которыхъ дѣти строятъ домики, и величиной этихъ домиковъ; объ-
емомъ тѣла него вѣсомъ; работой и числомъ рабочихъ; временемъ
и приростомъ народонаселенія; вѣсомъ жидкости, наполняющей
сосудъ и вмѣстимостью сосуда; долготой или широтой и тем-
пературой; долготой и временемъ дня и т. п. Въ зависимости
отъ возраста дѣтей, конечно, и примѣры будутъ различны.
Позже, для выясненія функциональной зависимости, можно
пользоваться ихъ познаніями изъ области физики. Примѣрами
могутъ служить: зависимость между объемомъ газа и темпе-
ратурой или же давленіемъ, длиной математическаго стержня и
температурой, растворимостью вещества и температурой, вѣ-

сомъ тѣла и растяженіемъ пружины вѣсовъ, атмосфернымъ
давленіемъ и показаніями барометра и т. д. Хорошей иллю-
страціей функциональной зависимости является зависимость
между пройденнымъ путемъ и временемъ, причемъ надо ука-
зать, что зависимость эта опредѣляется скоростью. Функціо-
нальная зависимость между всѣми этими величинами должна
быть установлена, конечно, при помощи самостоятельныхъ ра-
ботъ въ лабораторіяхъ.
Я предполагаю, что на этой ступени обученія дѣти бу-
дутъ проходить пропедевтическіе курсы физики, химіи, меха-
ники, астрономіи и будутъ знакомы съ начатками этихъ на-
укъ. Учитель математики долженъ быть освѣдомленъ относи-
тельно того, что проходится на другихъ урокахъ и брать при-
мѣры изъ матеріала, знакомаго ученикамъ. Если же такіе
курсы не будутъ проходиться, то учитель математики долженъ
будетъ самъ познакомить учениковъ съ первоначальными, до-
ступными имъ понятіями изъ области этихъ наукъ и заста-
вить ихъ продѣлать въ лабораторіяхъ нѣкоторые опыты. Пока
ученики сами не опредѣлятъ, не установятъ опытнымъ путемъ
этой зависимости, они не будутъ чувствовать и понимать ее.
При прохожденіи курса математики надо, гдѣ только воз-
можно, обращать вниманіе на существованіе и значеніе функ-
циональной зависимости. Такъ при прохожденіи ариѳметиче-
скихъ дѣйствій надо каждый разъ устанавливать зависимость
между результатами и факторами дѣйствій; заставить дѣтей
увеличить или уменьшить одно изъ данныхъ и потомъ опре-
дѣлить, какое измѣненіе это внесло въ результатъ и какая
между ними существуетъ зависимость. Дроби, пропорціи и про-
центы также могутъ служить для иллюстрированія идеи функ-
ціональной зависимости. Геометрія представляетъ особенно бо-
гатый матеріалъ въ этомъ отношеніи. Какъ только дѣти по-
знакомятся съ различными тѣлами и фигурами и будутъ сами
лѣпить, вырѣзать и склеивать ихъ, надо будетъ обратить вни-
маніе дѣтей на зависимость между элементами фигуръ и тѣлъ
и ихъ величиной. Можно дать спицы различной величины и
предложить строить изъ нихъ квадраты и прямоугольники;
постепенно дѣти убѣдятся, что чѣмъ больше сторона квадрата

или прямоугольника, тѣмъ больше ихъ периметръ и площадь.
Можно также предложить имъ построить или начертить пря-
моугольникъ съ данными сторонами, потомъ увеличить эти
стороны въ 2 раза и на нихъ построить новый прямоуголь-
никъ; изъ чертежа будетъ видно, что полученный прямоуголь-
никъ будетъ равенъ четыремъ первоначальнымъ, т. е. площадь
его будетъ въ четыре раза больше, а периметръ въ два раза
больше площади и периметра первоначальнаго. Потомъ можно
заставить вырѣзать и склеивать кубы различной величины
и показать, что объемъ куба зависитъ отъ величины ребра,
отъ площади основанія. Можно также заставитъ дѣлать шары
изъ спицъ различной величины и указать на зависимость между
радіусомъ шара и его объемомъ и поверхностью. Ограничусь
этими примѣрами.
Послѣ цѣлаго ряда подобныхъ примѣровъ дѣти убѣдятся,
что между величинами, съ которыми имъ приходилось имѣть
дѣло, существуетъ нѣкоторая зависимость, причемъ зависи-
мость эта иногда можетъ быть выражена вполнѣ опредѣлен-
нымъ образомъ. Такъ, разсматривая зависимость между сум-
мой и слагаемыми , находимъ, что s = ^+ & + между раз-
ностью, уменьшаемымъ и вычитаемымъ d—m — s, между
произведеніемъ и множителями Ρ —Mm: между частнымъ,
дѣлимымъ и дѣлителемъ, d=^~: между площадью прямо-
угольника, его основаніемъ и высотой s = bh, между вѣ-
сомъ, объемомъ и плотностью p = \d\ между пройденнымъ
путемъ, скоростью и временемъ s = г/, и т. д. (Съ бук-
венными обозначеніями дѣти уже знакомы; составляя всѣ
эти выраженія, надо будетъ каждый разъ указывать на про-
исхожденіе данныхъ обозначеній; такъ, имѣемъ: путь = ско-
рость χ время, spatium = velocitas X tempus, s= v t.). Всѣ эти вы-
раженія, опредѣляющія зависимость между величинами и
дающія возможность, зная нѣкоторыя изъ этихъ величинъ,
опредѣлить черезъ нихъ другія, называются уравненіями. При
такомъ подходѣ къ уравленіямъ легче будетъ выяснить въ буду-
щемъ, что уравненіе есть частный видъ функціи.
Для выясненія зависимости между двумя величинами

лучше всего пользоваться графической интерпретацией и гра-
фической записью явленій. Это особенно важно въ тѣхъ слу-
чаяхъ, когда зависимость между величинами не можетъ быть
выражена уравнениями. Но прежде чѣмъ говорить о графи-
кахъ, скажу нѣсколько словъ о теоріи координатъ.
Понятія о прямоугольныхъ осяхъ координатъ и объ опре-
дѣленіи положенія точки, линіи, фигуры при помощи коорди-
натъ должны быть даны возможно раньше. Усвоеніе ихъ не
представляетъ особеннаго затрудненія, такъ какъ дѣти сами
часто пользуются ими, не отдавая себѣ въ этомъ отчета, для
опредѣленія положенія какого-нибудь предмета, напр., шарика
въ игрѣ, мячика или стула, мѣсто котораго они хотятъ запом-
нить, дерева, около котораго имъ хочется играть или сойтись
и т. п. Они всегда отмѣряютъ шагами, рукой, веревкой раз-
стояніе предмета отъ какихъ-нибудь двухъ приблизительно
взаимно-перпендикулярныхъ пересѣкающихся прямыхъ: отъ
стѣнъ комнаты, отъ забора сада и т. п., другими словами,
они выбираютъ какія-нибудь оси координатъ и опредѣляютъ
абсциссу и ординату данной точки; и обратно, зная абсциссу
и ординату, опредѣляютъ они положеніе точки.
Конечно, начинать надо будетъ съ того, чтобы научить
дѣтей опредѣлять положеніе точки относительно вертикальной
и горизонтальной оси.
Понятіе объ опредѣленіи положенія точки при помощи
координатъ можно дать слѣдующимъ образомъ: предложить
дѣтямъ игру, гдѣ бы внутри прямоугольника были какъ-ни-
будь расположены шарики, напр., маленькій комнатный крокетъ.
Въ крокетѣ будутъ шары и ворота. Положимъ, дѣтямъ надо
будетъ запомнить, гдѣ стояли ворота или гдѣ лежалъ какой-
нибудь шаръ, чтобъ снова положить ихъ на то же мѣсто.
Какъ имъ поступить въ этомъ случаѣ?
Если вы имъ предложите этотъ вопросъ, то можете полу-
чить слѣдующій отвѣтъ: надо какъ-нибудь отмѣтить это мѣ-
сто мѣломъ, краской, сдѣлать дырочку и т. и. Съ нашей
точки зрѣнія, этотъ отвѣтъ, конечно, совершенно не цѣненъ.
Если мы получимъ такой отвѣтъ, то можно указать дѣ-
тямъ на неудобство подобнаго разрѣшенія вопроса.

Можетъ быть, нѣкоторыя дѣти предложатъ отмѣрить раз-
стояніе отъ шара до вершины угла, составленнаго сторонами
прямого угла, и запомнить его, a потомъ отмѣрить это раз-
стояніе и положить туда шаръ. Тогда надо имъ предоставить
это дѣлать. Они отмѣрятъ это разстояніе и возьмутъ шаръ; но
когда они захотятъ положить его, то убѣдятся, что такихъ
точекъ будетъ много; тутъ можно ихъ заставить отмѣтить
нѣсколько такихъ точекъ и указать, что онѣ лежатъ на дугѣ
окружности, всѣ точки которой находятся на данномъ разстоя-
ніи отъ точки пересѣченія сторонъ прямого угла; что они
измѣрили радіусъ и могутъ найти всѣ точки, лежащія на
дугѣ даннаго радіуса, а не одну опредѣленную точку (объ
окружности они уже имѣютъ понятіе). Тогда дѣти поймутъ,
что не достаточно знать одно разстояніе, что необходимо
знать два.
Наконецъ, нѣкоторыя, послѣ всего этого, a вѣрнѣе сразу,
скажутъ, что надо отмѣрить разстояніе отъ шара до сторонъ
прямого угла. Они уже знаютъ, что разстоянія измѣряются
по перпендикулярамъ. Дѣти измѣрятъ эти разстоянія, возьмутъ
шаръ, но, когда они захотятъ снова положить его, то явится
новое затрудненіе: они не будутъ знать, откуда отмѣрять эти
разстоянія.
Тогда надо заставить ихъ снова положить шаръ и отъ
шара до сторонъ прямого угла натянуть веревки или положить
палочки такъ, чтобъ получился прямоугольникъ. Они увидятъ,
что разстоянія отъ вершины прямого угла до точекъ пересѣ-
ченія упомянутыхъ перпендикуляровъ со сторонами прямого
угла равны разстояніямъ отъ шара до сторонъ прямого угла
и что можно измѣрять эти разстоянія отъ точки пересѣченія
сторонъ прямого угла по этимъ сторонамъ, т. е. отъ опреде-
ленной точки по опредѣленнымъ прямымъ, иначе говоря, отъ
начала координатъ по осямъ. Зная эти разстоянія, они отмѣ-
рятъ ихъ отъ начала координатъ по осямъ и въ полученныхъ
точкахъ возставятъ перпендикуляры; точка ихъ пересѣченія
и будетъ искомымъ мѣстомъ шара.
Можно заставить дѣтей найти такимъ образомъ мѣста
нѣсколькихъ шаровъ, т. е. положеніе нѣсколькихъ точекъ.

Потомъ надо положить шаръ во 2-ой координатный уголъ.
Одной осью будетъ служить та же сторона прямоугольника,
а вторую можно получить, продолживъ другую сторону прямо-
угольника. Какъ опредѣлить положеніе шара относительно
осей, дѣти уже знаютъ. Понятіе о 2-омъ координатномъ углѣ
надо давать тогда, когда уже пройдены отрицательныя числа
и дѣти знаютъ, что отрѣзки прямыхъ считаются положитель-
ными въ одну сторону отъ опредѣленной точки и отрицатель-
ными въ другую. Тогда они поймутъ, что въ данномъ случаѣ
абсцисса будетъ отрицательная. Послѣ этого они должны опре-
дѣлять положеніе шара въ 3-емъ и 4-омъ координатныхъ углахъ.
Можно будетъ также предложить дѣтямъ опредѣлить
мѣсто даннаго ученика въ классѣ, дерева въ саду, города на
картѣ и т. д., иначе говоря, найти координаты точки. Потомъ
можно заставить ихъ сдѣлать обратную задачу, т. е. по дан-
нымъ координатамъ опредѣлить положеніе точки. Можно пред-
ложить имъ, напр., посадить дерево на разстояніи трехъ са-
женей отъ одного забора и двухъ саженей отъ другого и т. п.
Дѣти сами должны выбирать оси и начало координатъ.
Когда они освоятся съ опредѣленіемъ положенія точки
относительно осей координатъ, надо будетъ заставить ихъ
чертить оси координатъ, координаты точки и познакомить съ
терминами.
Когда уже дѣти знаютъ, что такое функциональная зави-
симость и имѣютъ понятіе объ осяхъ координатъ, можно пе-
рейти къ графической записи явленій. Съ графиками въ видѣ
отрѣзковъ, прямоугольниковъ, секторовъ и круговъ, конечно,
надо знакомить дѣтей раньше, какъ это мною и указано въ
программѣ.
О значеніи графиковъ и такой записи много говорить не
приходится; это теперь достаточно признано, и графиками
широко пользуются во всѣхъ отрасляхъ науки. Графики имѣютъ
для дѣтей еще то громадное значеніе, что развиваютъ наблю-
дательность и вниманіе, пріучаютъ къ систематическому на-
блюденію явленій, даютъ болѣе яркое и отчетливое предста-
вленіе объ этихъ явленіяхъ и наглядно иллюстрируютъ функ-
циональную зависимость.

Матеріаломъ для графической записи могутъ служить
измѣненія температуры, барометрическаго давленія, количества
народонаселенія, посѣщаемость уроковъ, глубина рѣкъ, измѣ-
неніе цѣнъ на какіе-нибудь товары, измѣненіе объема газа
отъ давленія, удлиненіе металлическаго стержня отъ измѣне-
нія температуры и всѣ тѣ примѣры, которые были разобраны
съ дѣтьми для выясненія функціональной зависимости.
Для вычерчиванія графиковъ надо пользоваться разграф-
леной бумагой, вначалѣ съ большими клѣтками, a потомъ,
для вычерчиванія непрерывныхъ графиковъ, миллиметровой бу-
магой. Дѣти имѣютъ уже понятіе о координатахъ, и потому
имъ можно предложить выбрать самимъ какую-нибудь точку
на этой бумагѣ за начало координатъ и какія-нибудь двѣ
прямыя за оси координатъ.
Потомъ надо произвести съ дѣтьми рядъ наблюденій,
напр., надъ удлиненіемъ резиновой нити въ зависимости отъ
увеличенія вѣса привѣшеннаго къ ней груза или надъ растя-
женіемъ пружины подъ вліяніемъ измѣненія дѣйствующей на
нее силы, и полученныя изъ этихъ наблюденій данныя запи-
сать.
Для первыхъ примѣровъ числа должны быть небольшія,
чтобы каждую клѣтку бумаги можно было считать за единицу.
Данныя хорошо записывать въ видѣ двухъ столбцовъ, изъ
которыхъ одинъ представляетъ послѣдовательныя измѣненія
одной величины, а другой—соотвѣтствующія измѣненія другой,
зависящей отъ первой, т. е., иначе говоря, составить таблицу
значеній функціи.
Надо указать, что значенія одной величины должны быть
отложены по одной оси, a значенія другой—по другой. Для
того же, чтобъ получить общій характеръ явленія, дѣти должны
найти точки, соотвѣтствующія обоимъ измѣненіямъ.
Когда будутъ нанесены всѣ данныя, полученныя изъ
наблюденія, въ видѣ точекъ, надо ихъ соединить. Полученная
линія и будетъ изображать наблюдаемое явленіе, будетъ его
графической интерпретаціей.
Такимъ образомъ можетъ быть дано дѣтямъ понятіе о
томъ, какъ составлять графики по даннымъ числовымъ зна-

ченіямъ. Послѣ этого надо будетъ ихъ научить обратному
процессу, т. е. тому, какъ, имѣя графикъ, найти числовыя
значенія какой-нибудь его точки. Напр., имѣя графикъ тем-
пературы, опредѣлить температуру въ данный день.
Графиками можно пользоваться для опредѣленія нѣко-
торыхъ неизвѣстныхъ значеній опредѣляемыхъ величинъ, Напр.:
дано количество народонаселенія за нѣкоторые года, найти
графикъ, изображающій измѣненія количества народонаселенія
и опредѣлить по графику количество народонаселенія въ про-
межуточные и послѣдующіе года.
Послѣ того, какъ будетъ рѣшено достаточно примѣровъ
на графики и дѣти будутъ имѣть ясное представленіе о функ-
циональной зависимости, можно будетъ имъ дать понятіе о
функціи.
Новымъ тутъ, въ сущности говоря, будетъ только слово
функція и ея обозначеніе. Можно будетъ вспомнить примѣры
функцій, которые встрѣчались раньше, и заставить записать,
что, напр., объемъ тѣла есть функція температуры, пройден-
ный путь — функція скорости, притяженіе между данными
массами—функція разстоянія между ними и т. д.
За недостаткомъ времени не буду подробно говорить о
томъ, какъ дать дѣтямъ понятіе о функціи и о графическомъ
изображеніи уравненіи, скажу только, что, какъ видно изъ
всего изложеннаго выше, это не представляетъ особеннаго
затрудненія, а, между тѣмъ, имѣетъ громадное значеніе какъ
для дальнѣйшаго прохожденія курса, такъ и для того, чтобы
сразу ввести дѣтей въ область математики, какъ науки.
Перейду теперь къ геометріи. Прежде всего скажу, что
обученіе геометріи должно начинаться одновременно съ обуче-
ніемъ счету. Когда даются основныя понятія счета, измѣренія,
тогда же должны быть даны основныя понятія формы, вели-
чины и положенія. Для этого на первыхъ же ступеняхъ обу-
ченія долженъ проходиться наглядный пропедевтическій курсъ
геометріи. «Пріученіе дѣтей къ наблюденію простыхъ геоме-
трическихъ формъ и соотношеніи между предметами, которые
ежедневно попадаются на глаза, обученіе ихъ употребленію
простыхъ инструментовъ для геометрическихъ построеній и

ознакомленіе ихъ съ разнообразными наглядными способами
опредѣленія длины, площади, объема и положенія предметовъ—
все это самое естественное и самое могучее средство, какъ
для пріученія ихъ къ наблюдательности, такъ и для выработки
привычки къ сосредоточенному и продолжительному вниманію».
Геометрія на этой ступени должна быть, насколько это
возможно, сближена съ жизнью. Надо научить дѣтей подмѣ-
чать геометрическія формы въ окружающемъ насъ мірѣ, въ
природѣ. Примѣрами могутъ служить поверхность воды въ
озерахъ, прудахъ, дуга радуги, конусообразная форма горы,
почти вертикальное направленіе растущаго дерева, причемъ
можно при помощи отвѣса опредѣлить его уклоненіе отъ вер-
тикальнаго направленія и уголъ, который онъ составляетъ съ
горизонтальной и вертикальной линіями и т. п. Такихъ примѣ-
ровъ можно подобрать безчисленное множество.
Пространственныя представленія должны даваться дѣтямъ
съ самаго начала, одновременно съ плоскостями, и даже пред-
шествовать имъ. Понятіе о тѣлѣ, объемѣ легче дать ребенку,
чѣмъ понятіе о фигурѣ, плоскости, линіи. Дѣти все время
имѣютъ дѣло съ тѣлами; тѣла производятъ на глазъ болѣе
рельефное, выпуклое впечатлѣніе и легче поддаются воспріятію
при помощи осязаній.
Кая;дому ребенку можно показать—да онъ и видѣлъ—шаръ,
цилиндръ, конусъ, пирамиду; на этихъ тѣлахъ легко выяснить
понятіе объема, поверхности, установить разницу между кри-
вой поверхностью и плоскостью. Поверхность должна разсма-
триваться, какъ граница, предѣлъ тѣла, линія—какъ граница
поверхности, точка—какъ граница линіи. Можно также пока-
зать, что линія, плоскость, тѣло получаются отъ движе-
нія точки, линіи, плоскости. Для установленія всѣхъ этихъ
понятій надо широко пользоваться всевозможными наглядными
пособіями, заставлять дѣтей вырѣзывать, лѣпить, клеить разныя
тѣла, получать ихъ развертки, вычерчивать ихъ и т. д.
Когда дѣти привыкнутъ разсматривать предметы со сто-
роны ихъ формы, можно будетъ приступить къ разсмотрѣнію
предметовъ со стороны величины. Для этого надо познакомить
дѣтей съ тѣмъ, какъ производить линейный измѣренія, какъ

опредѣлять площади и объемы фигуръ и тѣлъ. Конечно, я го-
ворю о чисто наглядныхъ способахъ измѣренія. При этомъ,
прежде всего, дѣтямъ надо дать понятіе о томъ, что предметы
различной формы могутъ имѣть одинаковые площади и объемы.
Для этого можно имъ предложить продѣлать слѣдующее: вы-
рѣзать изъ бумаги или изъ картона какую - нибудь фигуру,
напр., прямоугольникъ, разрѣзать ее на части и приложить
эти части другъ къ другу въ различныхъ комбинаціяхъ. По-
лученныя фигуры будутъ имѣть различныя формы, но пло-
щади ихъ будутъ равны. Продѣлавъ нѣсколько такихъ опытовъ,
дѣти познакомятся съ тѣмъ, что называется равновеликими фи-
гурами.
Для сравненія тѣлъ различныхъ формъ, но одинаковыхъ
объемовъ, можно взять сосуды различныхъ формъ и одинако-
выхъ объемовъ и предложить дѣтямъ всыпать въ нихъ одина-
ковое количество песку, или вливать одно и то же количество
воды; можно также взять какое-нибудь тѣло, разрѣзать его
на части и сложить ихъ въ различныхъ комбинаціяхъ, или
взять столбикъ какихъ-нибудь кружковъ и сдвинуть нѣкото-
рые изъ нихъ и т. п.
Послѣ этого можно перейти къ опредѣленію площадей и
объемовъ. Наглядныхъ способовъ для ихъ опредѣленія суще-
ствуетъ множество.
Перейду теперь къ вопросу о симметріи.
Ученіе о симметріи обыкновенно отсутствуетъ въ нашихъ
курсахъ, а между тѣмъ, оно имѣетъ громадное значеніе, такъ
какъ способствуетъ большей ясности плоскостныхъ и простран-
ственныхъ представленій и такъ какъ на основаніи симметріи
могутъ быть доказаны гораздо проще, нагляднѣе и рельефнѣе
многія теоремы.
Введеніе понятія о симметріи не представляетъ затруд-
ненія даже на первой ступени обученія, такъ какъ симметрія
очень распространена въ природѣ. наблюдается почти во всѣхъ
окружающихъ предметахъ и съ ней очень свыкся нашъ глазъ.
Симметричны всѣ животныя, почти всѣ цвѣты, листья,
человѣкъ, большая часть зданій, столы, стулья, почти всѣ ор-
наменты, нѣкоторыя буквы и т. д.

Должно быть дано понятіе о симметріи относительно пря-
мой, плоскости и точки.
Для выясненія понятія о симметріи относительно прямой
можно поступить слѣдующимъ образомъ: взять листъ бумаги,
сложить его вдвое и на одной изъ сторонъ нарисовать чер-
нилами какую-нибудь фигуру; потомъ, пока чернила еще не
высохли, сложить опять этотъ листъ, какъ въ первый разъ.
На другой части листа получится изображеніе, симметричное
первому относительно линіи сгиба листа, т. е. относительно
прямой.
Примѣромъ симметріи относительно плоскости можетъ
служить изображеніе предмета въ плоскомъ зеркалѣ. Это изо-
браженіе будетъ сходно съ предметомъ, но не тождественно
ему. Такъ, напр., правая рука даетъ въ зеркалѣ лѣвую, пер-
чатка съ одной руки дастъ со своимъ изображеніемъ въ
зеркалѣ пару и т. д.
Примѣрами симметріи относительно точки, т. е. централь-
ной симметріи, могутъ служить: кругъ, эллипсъ, правильный
многоугольникъ съ четнымъ числомъ сторонъ.
Надо познакомить дѣтей съ вертикальной и горизонталь-
ной симметріей, съ нѣкоторыми свойствами симметричныхъ
фигуръ и теоремами, доказываемыми при помощи симметріи.
Напр.: 1) если двѣ точки симметричны относительно какой-
нибудь прямой, то эта прямая перпендикулярна къ прямой,
соединяющей эти двѣ точки въ ея серединѣ; 2) осью сим-
метріи угла является его биссектриса; 3) въ равнобедренномъ
треугольникѣ высота, медіана и биссектриса относительно
одной и той же вершины совпадаютъ и служатъ осью сим-
метріи; 4) осью симметріи круга служитъ діаметръ.
Приведу доказательства послѣднихъ двухъ теоремъ.
3) Имѣемъ равнобедренный треугольникъ ABC] АВ=АС\
ΑΏ биссектриса угла А. Если повернуть ьАВВ вокругъ
AD, то AB совпадетъ съ АС, вслѣдствіе равенства угловъ
DAB и D АС, точка В совпадетъ съ точкой С, такъ какъ
АВ=АС. Отсюда имѣемъ, что С симметрично съ В относи-
тельно AD. Слѣдовательно, AD, перпендикуляръ къ ВС въ
ея серединѣ, и есть высота и медіана треугольника.

4) Пусть Αι симметрично съ А относительно оси ВО;
ОАі = ОА. Если одна изъ этихъ прямыхъ служитъ радіусомъ,
т. е. одна изъ этихъ точекъ лежитъ на окружности, то и
другая принадлежитъ окружности. Значитъ, діаметръ служитъ
осью симметріи окружности.
Ограничусь этими примѣрами и перейду къ слѣдующему
вопросу.
Въ геометрію по возможности долженъ вводиться элементъ
движенія. Статическое изученіе явленій должно уступить мѣсто
динамическому. Такъ, понятіе о параллельности должно быть
связано съ поступательнымъ движеніемъ; перпендикулярныя
линіи и плоскости могутъ быть разсмотрѣны съ точки зрѣнія
вращательнаго движенія; равенство фигуръ можетъ быть дока-
зано при помощи ихъ переноса.
Прежде всего надо дать дѣтямъ понятіе о перемѣщеніи,
какъ о такомъ измѣненіи положенія тѣла, при которомъ не
мѣняется ни его форма, ни его величина. Потомъ познако-
мить ихъ съ самыми простыми видами движенія: поступатель-
нымъ и вращательнымъ.
Для выясненія понятія поступательнаго движенія можно
пользоваться треугольникомъ и линейкой. Скольженіе треуголь-
ника по линейкѣ и есть поступательное движеніе. Линейка
является неподвижной плоскостью, a треугольникъ движущейся
плоскостью. Примѣрами могутъ также служитъ: листъ бумаги,
который мы вкладываемъ въ конвертъ, или ящикъ, который
выдвигается или задвигается.
Покажу теперь, какъ вывести понятіе о параллельности
при помощи поступательнаго движенія. Прежде всего надо,
чтобы дѣти сами путемъ измѣренія убѣдились, что при посту-
пательномъ движеніи всѣ точки движущагося тѣла проходятъ
одинаковыя разстоянія. Для полученія параллельныхъ линій
нужно заставить скользить треугольникъ вдоль линейки и
отчерчивать карандашемъ одну сторону треугольника; всѣ
точки полученныхъ линій будутъ отстоять другъ отъ друга на
равныхъ разстояніяхъ, т. е. эти линіи будутъ параллельны
другъ другу.
Понятіе о параллельныхъ плоскостяхъ можетъ быть вы-

яснено слѣдующимъ образомъ: возьмемъ книгу, положимъ ее
на край выдвинутаго ящика такъ, чтобы она заняла наклон-
ное положеніе по отношенію къ ящику, и будемъ задвигать
ящикъ. Книга будетъ совершать поступательное движеніе. Всѣ
точки ея при этомъ будутъ проходить равныя разстоянія, и
послѣдовательныя положенія, занимаемыя переплетомъ книги,
будутъ параллельны другъ другу.
Программный характеръ темы моего доклада не позволяетъ
мнѣ останавливаться дольше на разработкѣ каждаго отдѣль-
наго вопроса.
Сейчасъ истекаетъ время, данное мнѣ для доклада, и по-
тому мнѣ не удастся поговорить о задачахъ. Скажу только,
что матеріалъ задачъ долженъ быть по возможности разно-
образный, жизненный и интересный, данныя должны быть
взяты, напр., изъ физики, механики, астрономіи, геодезіи,
исторіи, біологіи, географіи и т. д.; конечно, нужно брать
самыя простыя соотношенія. Для составленія задачъ надо поль-
зоваться результатами, полученными самими дѣтьми при измѣ-
реніяхъ и изъ опытовъ при работахъ въ лабораторіяхъ. Должны
быть совершенно исключены искусственные способы рѣшенія
задачъ, ихъ должны замѣнить уравненія и графики, которые
значительно облегчать какъ пониманіе, такъ и рѣшеніе
задачъ.
Я думаю, что прохожденіе курса математики въ млад-
шихъ классахъ по предлагаемой мною программѣ дастъ возмож-
ность ввести въ старшіе классы основы такъ называемой
высшей математики, и этого настоятельно требуетъ сама
жизнь. Наука идетъ впередъ и съ каждымъ годомъ стано-
вится сложнѣе, техника развивается съ невѣроятной быстро-
той, математическіе выводы и законы находятъ себѣ все бо-
лѣе широкое примѣненіе, жизнь предъявляетъ къ человѣку
все большія и большія требованія, а мы продолжаемъ учить
дѣтей въ средней школѣ тому, чему ихъ учили много лѣтъ
тому назадъ».

Тезисы.
1. Математика не такъ далека отъ жизни, какъ это ка-
жется.
2. Курсъ математики долженъ быть составленъ такъ,
чтобы ученики чувствовали въ немъ органическое цѣлое.
3. Черезъ весь курсъ должна ярко проходить идея о
функціональной зависимости и о выраженіи всякой зависи-
мости въ видѣ уравненія.
4. Для выясненія зависимости между двумя величинами
должны быть введены графики и графическія интерпретаціи.
5. По мѣрѣ возможности должна быть установлена тѣс-
ная связь между анализомъ и геометріей.
6. Пространственныя представленія должны быть даны
и восприняты возможно ярче и опредѣленнѣе. Для этого
должны быть введены въ курсъ основы аналитической геоме-
тріи и теоріи проэкціи.
7. Въ геометрію должно быть введено понятіе движенія.
Статистическое изученіе явленій должно быть замѣнено дина-
мическимъ.
8. Къ пріобрѣтенію знанія можно приступить только
тогда, когда уже усвоены основныя математическія понятія и
представленія.
9. Основныя математическія представленія и понятія
должны быть установлены при помощи самостоятельныхъ ра-
ботъ въ лабораторіяхъ.
10. Математическіе законы и соотношенія должны выво-
диться самими учениками, быть плодомъ ихъ творческой ра-
боты, какъ бы ихъ собственнымъ открытіемъ.
11. Между математикой и другими науками должна быть
установлена тѣсная связь.

Пренія по докладу Η. А. Тамамшевой.
Я. Α. Извольскій (Москва). „Вопросъ о выполнимости намѣ-
ченной въ шесть лѣтъ программы вызываетъ сомнѣнія. Нельзя
такъ просто относиться къ тѣмъ упражненіямъ, которыя необхо-
димы для усвоенія матеріала. Примѣромъ служатъ упражненія на
усвоеніе понятій: „столько же", „больше", „меньше". Практика
показываетъ, что организовать такія упражненія (безъ введенія
чиселъ) для цѣлаго класса крайне затруднительно, но, повидимому,
они легко и съ пользой могутъ быть примѣнены къ обученію от-
дѣльныхъ дѣтей. Кромѣ того, ошибкою является то построеніе
„малаго" курса геометріи, которое начинается съ разсмотрѣнія
искусственныхъ тѣлъ, (куба, призмы и т. п.). Слишкомъ много
основныхъ геометрическихъ образовъ надо усвоить для усвоенія
понятія о кубѣ (или его модели). Нѣтъ, этотъ „малый" курсъ дол-
женъ базироваться на иныхъ основаніяхъ, и первымъ изъ нихъ
является сознаніе: „я умѣю построитъ прямую линію".
К Я. Соколовский (Маріинскъ, Томск, г.). „Докладчица гово-
рила о томъ, что преподаваніе математики въ теченіе первыхъ
шести лѣтъ должно имѣть связь съ жизнью, а между тѣмъ по
программѣ, предложенной ею, на третій годъ проходится счисле-
ніе лишь въ предѣлѣ тысячи, тогда какъ въ жизни часто дѣтямъ
приходится встрѣчаться съ числами значительно большими. Что
касается ознакомленія съ координатами, функціями и т. п., то,
конечно, это хорошо, и будетъ ли это сдѣлано въ шесть или семь
лѣтъ, это безразлично.—Возражаю только противъ того, что пре-
подаватели математики должны знакомить учащихся съ основами
другихъ наукъ, если преподаватели соотвѣтствующихъ предметовъ
не успѣютъ этого сдѣлать. Преподаватель математики, задавшись
цѣлью знакомить учащихся съ основами другихъ дисциплинъ,
тѣмъ самымъ нанесетъ ущербъ своему предмету. — Докладчица
говоритъ: „можно заставить сдѣлать то-то и то-то". Да, заставить
можно, но усвоятъ ли учащіеся преподносимый матеріалъ? Вы-
учатъ и будутъ отвѣчать, но сознательно ли?"
В. А. Соколовъ (Майкопъ, Кубанск. обл.). „Въ докладѣ цѣнны
указаніе на необходимость введенія вопросовъ изъ физики и тре-
бованіе связи преподаванія ариѳметики съ жизнью. Но безконечно-
малыя не удастся въ первыя шесть лѣтъ обученія связать съ
жизнью. Начинать выясненіе безконечно-малыхъ при помощи дро-
бей нельзя, какъ это показываетъ опытъ; лучше выяснить это
геометрическимъ путемъ. Огульное обвиненіе современной школы

въ томъ, что функциональная зависимость и симметрія не разсма-
триванія, несправедливо".
H. А. Колубовскал (Спб.). „Желательно выяснить, есть ли
указанный курсъ систематическій или только подготовительный?
Если подготовительный, то гдѣ и какъ можетъ итти системати-
ческій курсъ? Если можно привѣтствовать указанный матеріалъ,
то лишь для практическихъ работъ. Желательно указаніе, гдѣ и
когда такой курсъ былъ проведенъ?"
Α. Φ. Гатлихъ (Москва). „Въ докладѣ нельзя не привѣт-
ствовать требуемаго при преподаваніи принципа наглядности и жиз-
ненности. Но погоня за многимъ создастъ много недоразумѣній
Какъ, напр., опытнымъ путемъ, какъ говоритъ докладчица,
дать понятіе безконечности, интерполяціи и экстраполяціи? Что оста-
нется отъ такого курса у дѣтей, начинающихъ обученіе, повиди-
мому, съ самаго малаго возраста?"
Я. А. Тамамшева (Спб.). „На заданные мнѣ вопросы отвѣчу
слѣдующее".
„Курса по предлагаемой мною программѣ цѣликомъ я не
проходила, такъ какъ я занималась въ женской гимназіи Мини-
стерства Народнаго Просвѣщеніи, и не была свободна въ выборѣ
матеріала. Но нѣкоторые вопросы, напр., отрицательныя числа,
графики, опредѣленіе положенія точки при. помощи координатъ,
нѣкоторые наглядные способы опредѣленія площадей и объемовъ
были пройдены мною, и не скажу, чтобы они вызвали больше
затрудненій, чѣмъ тѣ вопросы, которые вводятся обыкновенно въ
программу. Курсъ этотъ разсчитанъ на первые шесть лѣтъ обу-
ченія, т. е. приблизительно на возрастъ отъ 7 до 13 лѣтъ".
„Мнѣ возражали, что пропедевтическій курсъ геометріи нельзя
начинать съ разсмотрѣнія искусственныхъ тѣлъ, а надо сначала
дать дѣтямъ опредѣленіе точки, прямой. Но тѣло производитъ
болѣе рельефное, выпуклое впечатлѣніе, оно легче поддается вос-
пріятію органовъ чувствъ, съ нимъ дѣти постоянно встрѣчаются
въ жизни, и поэтому выгоднѣе исходить отъ него и черезъ него
притти къ понятію плоскости, линіи, точки".
„Мнѣ говорили также, что „въ предлагаемой мною программѣ
на третій годъ приходится счисленіе лишь въ предѣлѣ тысячи,
между тѣмъ, какъ въ жизни дѣтямъ приходится встрѣчаться съ
числами значительно большими". Я не считаю, конечно, обяза-
тельнымъ ограничиваться одной только первой тысячью; можно
захватить числа первыхъ тысячъ, но не слѣдуетъ затруднять дѣ-
тей вычисленіями надъ большими числами, тѣмъ болѣе, что съ
ними приходится очень рѣдко имѣть дѣло".
„Мнѣ было указано также, что врядъ ли будутъ доступны

дѣтямъ понятія интерполяціи и экстраполяціи, но я вѣдь пред-
лагаю выяснить эти понятія на рядѣ задачъ при помощи графи-
ческая метода послѣ того, какъ дѣтьми будутъ вполнѣ усвоены
понятія о функціональной зависимости, о графикахъ, уравненіяхъ
и составленіи таблицъ значеній функцій. При такихъ условіяхъ
не думаю, чтобы это могло вызвать серьезное затрудненіе".
„Насчетъ вопроса о безконечности скажу слѣдующее: поня-
тіе о безконечности врывается съ самаго начала въ изученіе ма-
тематики. Образуя натуральный рядъ чиселъ прибавленіемъ по-
слѣдовательно по единицѣ, дѣти замѣчаютъ, что рядъ этотъ не
имѣетъ конца, что какъ бы велико ни было послѣднее число этого
ряда, мы всегда можемъ прибавить къ нему единицу и, слѣдо-
вательно, получить число больше предыдущаго. Отсюда естественно
вытекаетъ понятіе о безконечности. Отрицательныя числа, дѣленіе
чиселъ на разряды, дроби, простыя и десятичный, также могутъ
служить иллюстраціей понятія о безконечности. Приступая къ
изученію геометріи, мы сейчасъ же наталкиваемся на понятіе о
безконечности прямой и плоскости. Такъ не лучше ли дать дѣ-
тямъ при изученіи величинъ понятіе о безконечности, помочь имъ
разобраться въ этомъ вопросѣ, чѣмъ замалчивать его и вносить
незаконченность въ математическія представленія дѣтей, тѣмъ
болѣе, что понятіе о безконечности какъ нельзя лучше вводитъ
дѣтей въ область математики и роднитъ съ ея методами".
II. О нѣкоторыхъ измѣненіяхъ въ программѣ по алгебрѣ въ
женскихъ гимназіяхъ Министерства Нар. Проcв., которыя жела-
тельно было-бы сдѣлать временно впредь до общей реформы
женскихъ гимназій.
Докладъ Г. П. Кузнецова, составленный по порученію Ново-
черкасскаго Математическаго Кружка (Новочеркасскъ).
«Въ настоящее время, какъ извѣстно, программа по мате-
матикѣ въ семи-классныхъ женскихъ гимназіяхъ Мин. Нар.
Пр. составлена такимъ образомъ, что курсъ ариѳметики про-
ходится въ младшихъ четырехъ классахъ (I—IV) съ повторе-
ніемъ его въ VIl-мъ классѣ; курсъ же алгебры и геометріи
проходится въ старшихъ классахъ (съ У-го по VII), если не
считать пропедевтическаго курса геометріи, который долженъ

проходиться въ первыхъ трехъ классахъ (І-ІІ-ІІІ), но который
обычно не проходится, какъ таковой, въ виду недостатка вре-
мени.
Такъ какъ цѣлью нашего доклада является желаніе ука-
зать на неудобства, съ которыми приходится встрѣчаться при
прохожденіи курса алгебры въ женскихъ гимназіяхъ Мин. Нар.
Проев, и которыя желательно было бы устранить, то мы пе-
рейдемъ непосредственно къ главной нашей задачѣ, т. е. къ
условіямъ прохожденія курса алгебры въ настоящее время,
отчасти только касаясь условій прохожденія геометріи и совсѣмъ
не останавливаясь на ариѳметикѣ.
Самое главное неудобство въ прохожденіи курса матема-
тики въ старшихъ классахъ заключается въ томъ, что изученіе
алгебры начинается одновременно съ геометріей, т. е. ученицы
У класса должны сразу входить въ два новыхъ круга идей,
что, конечно, должно быть для нихъ весьма затруднитель-
нымъ.
Далѣе, если всмотрѣться въ программу по алгебрѣ жен-
скихъ гимназій, то изъ нея можно видѣть, что программа со-
ставлена такъ, что алгебра должна проходиться, какъ пред-
метъ вспомогательный, необходимый для изученія геометріи;
между тѣмъ, какъ изъ того самаго факта, что алгебра прохо-
дится, начиная съ V класса, одновременно съ геометріей, слѣ-
дуетъ, что алгебра не можетъ долгое время оказывать пользу
для изученія геометріи, какъ напр.:
1) чуть-ли не съ самаго начала рѣшенія численныхъ за-
дачъ по геометріи необходимо прибѣгать къ уравненіямъ 1-ой
степени (задачи на углы въ треугольникѣ, многоугольникахъ).
A такъ какъ ученицы не умѣютъ рѣшать уравненіи, то при-
ходится ограничивать кругъ задачъ, избираемыхъ для рѣшенія
пользуясь задачами, которыя можно рѣшать пріемами, извѣст-
ными изъ ариѳметики;
2) при рѣшеніи задачъ на прямоугольный треугольникъ
необходимо умѣть извлекать квадратный корень изъ чиселъ, какъ
изъ цѣлыхъ, такъ и изъ дробныхъ (съ извѣстной точностью), или
же надо каждый разъ подбирать точные квадраты цѣлыхъ
чиселъ, квадратные корни изъ которыхъ можно находить съ

помощью разложенія на первоначальные множители, что, во-
первыхъ, весьма затруднительно при большихъ числахъ, а, во-
вторыхъ, не всегда возможно, такъ какъ не всѣ данныя и не
во всякомъ треугольникѣ могутъ быть всегда числами раціо-
нальными (треугольникъ съ угломъ въ 45°, 60° и т. n.s діагональ
квадрата);
3) при рѣшеніи задачъ на правильные многоугольники
необходимо знать дѣйствія надъ радикалами (сторона квадрата,
треугольника и т. д.);
4) при рѣшеніи нѣкоторыхъ задачъ приходится встрѣчаться
съ квадратнымъ уравненіемъ (a, q, b, p, с?—Рыбкинъ, 342)
и т. п.
Второе неудобство заключается въ распредѣленіи отдѣль-
ныхъ статей алгебры по классамъ и состоитъ въ слѣдующемъ:
почти весь учебный матеріалъ по алгебрѣ падаетъ на VI классъ
(см. программу УІ кл.), въ то время, какъ въ У классѣ по-
лагается проходить только предварительныя свѣдѣнія, приве-
деніе подобныхъ членовъ и дѣйствія надъ одночленами, а
курсъ ΥΠ класса циркуляромъ Министра Нар. Пр. отъ 8 іюня
1900 г. перенесенъ цѣликомъ въ УПІ классъ. Правда, въ про-
граммѣ по алгебрѣ УІ класса нѣтъ упоминанія о разложеніи
многочленовъ на первоначальные множители и объ алгебраи-
ческихъ дробяхъ, но вѣдь всякій изъ насъ знаетъ, что выки-
нуть этотъ отдѣлъ совершенно невозможно, и что прохожденіе
его необходимо, какъ для развитія техники алгебраическихъ
вычисленій, для сознательнаго рѣшенія уравненіи, содержащихъ
алгебраическія дроби, такъ и для развитія болѣе широкаго
пониманія сущности самой алгебры. Но если задаться цѣлью
пройти болѣе или менѣе основательно этотъ отдѣлъ алгебры,
то на прохожденіе остальныхъ отдѣловъ программы оказывается
весьма мало времени, вслѣдствіе чего приходится переносить
на 7-ой классъ все, что касается теоріи квадратнаго корня,
квадратнаго уравненія и вообще ирраціональностей, ограничи-
ваясь въ УІ классѣ извлеченіемъ квадратнаго корня изъ чи-
селъ и рѣшеніемъ квадратнаго уравненія безъ изслѣдованій
его свойствъ и проч. (выдѣляя точный квадратъ изъ лѣвой
части уравненія на численныхъ примѣрахъ). Указанное пере-

несеніе въ настоящее время возможно потому, что въ VII классѣ
почти вся программа по алгебрѣ перенесена въ VIII классъ.
Но это послѣднее обстоятельство только отчасти облегчаетъ
нашу задачу—пройти нѣкоторые отдѣлы алгебры по возмож-
ности ранѣе для того, чтобы облегчить рѣшеніе задачъ по
геометріи; нельзя не признать, что въ данномъ случаѣ нару-
шается, какъ и стройность программы, такъ и научность изло-
женія курса, т. е. получается нѣкоторая скомканность.
Какъ же выйти изъ этого затрудненія?
На этотъ вопросъ можно отвѣтить такъ:—начать изученіе
алгебры не съ V класса, a съ IV класса, т. е. на годъ раньше
изученія геометріи, какъ дѣлается это въ мужскихъ гимна-
зіяхъ и реальныхъ училищахъ. Нужно сказать, что и въ учеб-
ныхъ заведеніяхъ Вѣдом. Имп. Маріи мѣра эта проведена, какъ
это видно изъ циркуляра Главноуправляющаго Вѣдомствомъ,
если не ошибаюсь, отъ 12 іюня 1911 г., такъ что ученицы
IV кл. женскихъ гимназій и институтовъ В. Им. M. съ осени
этого года уже приступили къ изученію алгебры.
Замѣчаніе. (IV классъ. Вступленіе. Отрицательныя числа.
Алгебраическое сложеніе и вычитаніе.
III кл.—Умноженіе. Рѣшеніе уравненіи 1-ой степени.
II кл.—Рѣшеніе уравненіи со многими неизвѣстными.
Квадратное уравненіе).
Кромѣ того, въ нѣкоторыхъ женскихъ епархіальныхъ учи-
лищахъ, въ которыхъ добавлены VII и VIII классы, изученіе
алгебры также начинается съ IV кл., какъ, напр., въ Донскомъ
епархіальномъ училищѣ.
Такимъ образомъ, очередь осталась за женскими гимна-
зиями Мин. Нар. Проев. Указанное измѣненіе является въ
настоящее время необходимымъ еще по слѣдующей причинѣ.
Какъ извѣстно, по новымъ правиламъ, которыя въ недалекомъ
будущемъ получатъ силу закона, лица женскаго пола, прослу-
шавшія курсъ наукъ въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ и
желающія подвергнуться государственнымъ экзаменамъ, обя-
заны выдержать дополнительныя испытанія при мужскихъ
гимназіяхъ по языкамъ—русскому, латинскому и одному изъ
новыхъ,—а также по математикѣ и физикѣ по программѣ муж-

скихъ гимназій. Но программа по математикѣ въ мужскихъ
гимназіяхъ отчасти пополняется въ УШ классѣ женскихъ
гимназій на отдѣленіи математики. Но и это пополненіе стоитъ
очень большихъ трудовъ, какъ ученицамъ, такъ и преподава-
телю, и возможно только при хорошемъ составѣ VIII класса
(нужно сказать, что во 2-мъ полугодіи изъ числа 6 недѣль-
ныхъ уроковъ около 2-хъ приходится на приготовленіе къ проб-
нымъ урокамъ, на самые уроки, разборъ и т. п.). Главнымъ
затрудненіемъ является именно прохожденіе курса алгебры
примѣнительно къ курсу мужскихъ гимназій (курсъ УІ и VII
классовъ мужскихъ гимназій). Въ случаѣ же перенесенія на-
чала изученія алгебры на IV классъ и сопряженныхъ съ нимъ
измѣненій программы алгебры въ остальныхъ классахъ явится
возможность возстановить программу VII класса въ прежнемъ
видѣ и такимъ образомъ облегчить ученицамъ VIII класса
математическаго отдѣленія прохожденіе курса алгебры примѣ-
нительно къ программѣ мужскихъ гимназій.
Итакъ, возвращаясь къ нашей главной цѣли, я отъ имени
Новочеркасскаго Математическаго Кружка прошу, въ случаѣ
согласія съ сущностью доклада, Первый Всероссійскій Съѣздъ
Преподавателей Математики войти съ ходатайствомъ въ Мин.
Народн. Проев, сдѣлать слѣдующія временныя измѣненія въ
программѣ по алгебрѣ женскихъ гимназій.
Пунктъ I. Начать изученіе алгебры съ IV класса съ та-
кимъ разсчетомъ, чтобы курсъ алгебры въ женскихъ гимна-
зіяхъ соотвѣтствовалъ приблизительно курсу мужскихъ гимназій
слѣдующимъ образомъ (въ главныхъ чертахъ):
курсъ IV кл. женск. гимн.
» V » » »
» VI » » »
» VII » » »
» VIII » » »
курсу III кл. мужск. гимн.
» IV » » »
» V » » »
» VI » » »
» VII » » »
Пунктъ II. Отмѣнить циркуляръ отъ 8 іюня 1900 г. за
№ 14962, содержаніе котораго слѣдующее:
«исключить о кубическихъ корняхъ, прогрессіяхъ и лога-
риѳмахъ и перенести изученіе этихъ статей въ VIII классъ

и только тѣми ученицами, которыя избираютъ математику глав-
нымъ предметомъ изученія, и сохранить повтореніе ариѳметики».
Пунктъ III. Увеличить число недѣльныхъ уроковъ по
математикѣ въ III, IV и V классахъ съ 3-хъ до 4-хъ.
Нѣкоторыя объясненія относительно предлагаемыхъ пунк-
товъ.
Къ пункту I. 1) Къ курсу IV класса по алгебрѣ при
2-хъ урокахъ отнести: предварительныя понятія; отрица-
тельныя числа; четыре дѣйствія съ одночленами; алгебраическія
одночленныя дроби; сложеніе, вычитаніе и умноженіе много-
членовъ; дѣленіе многочлена на одночленъ; сокращенное умно-
женіе; рѣшеніе уравненіи 1-ой степени съ численными знаме-
нателями.
2) Къ курсу V класса: дѣленіе многочленовъ; сокращен-
ное дѣленіе; простѣйшіе случаи разложенія многочленовъ на
множители; алгебраическія дроби; рѣшеніе уравненіи 1-ой сте-
пени въ общемъ видѣ.
3) Къ курсу VI класса: остальные пункты программы
УІ класса, т. е. о корняхъ, извлеченіе квадратнаго корня;
квадратное уравненіе; дѣйствія съ радикалами.
4) Къ курсу VII класса: всѣ отдѣлы по прежней программѣ.
5) Курсъ VIII класса: примѣнительно къ курсу VII класса
мужскихъ гимназій.
Къ пункту П. При возстановленіи программы VII класса
желательно не вводить статьи объ извлеченіи кубическаго корня
изъ чиселъ.
Къ пункту III. Табель уроковъ въ женской гимназіи и
мужской гимназіи въ данное время слѣдующій:
I кл. жен. гимн. 3 ур. пригот. кл. мужск. гимн.—6 ур.
Π » » » 3 » I » » » 4 »
Ш » » » 3 » II » » » 4 »
IV » » » 3 » III » » » 4 »
V » » » 3 » IV » » » 4 »
VI » » » 4 » V » » » 5 »
VII » » » 4 » VI » » » 4 »
VIII » » » 6 » VII-VIII » » »3+3=6 »

Не касаясь числа уроковъ въ первыхъ классахъ, мы ви-
димъ^ что въ настоящее время въ 3-мъ классѣ полагается три
урока на прохожденіе курса дробей противъ 4-хъ уроковъ
IT кл. мужскихъ гимназій, a въ IV классѣ три урока на про-
хожденіе тройныхъ правилъ противъ 2-хъ уроковъ III класса
мужскихъ гимназій. Конечно, курсъ дробей проходить при
3-хъ урокахъ труднѣе, чѣмъ при 4-хъ, а потому обычно часть
курса дробей переносится на IV классъ, что возможно, въ виду
только что сказаннаго (въ IV кл. женск. гимн, на 1 урокъ
болѣе, чѣмъ въ III кл. мужск. гимн.).
Перенося начало изученія алгебры на IV классъ, мы
должны удѣлить въ IV классѣ 2 часа въ недѣлю на алгебру
изъ числа 3 уроковъ. Въ такомъ случаѣ, перенесеніе части
курса дробей изъ III класса на IV-ый будетъ невозможно, да
и на ариѳметику въ IV классѣ остается всего одинъ часъ въ
недѣлю.
Въ виду этого, является необходимымъ увеличить число
уроковъ въ III и IV классахъ съ трехъ до четырехъ часовъ
въ недѣлю.
Увеличеніе числа уроковъ въ V классѣ не требуетъ
объясненія. Возможно ли увеличеніе числа уроковъ? Названное
увеличеніе вполнѣ возможно, ибо табель показываетъ, что ни
въ одномъ изъ названныхъ классовъ число уроковъ не дости-
гаетъ тридцати, а именно: въ III кл.—27 ур., въ IV кл.—28
и въ V кл.—26 (при слушаніи обоихъ новыхъ языковъ), при-
чемъ число недѣльныхъ часовъ, назначенныхъ на предметы,
по которымъ уроки не задаются на домъ, въ III кл.—8 ур.,
въ IV кл.—8 и въ V кл.—6 (къ этимъ предметамъ относятся:
чистописаніе, рисованіе, рукодѣліе, пѣніе, танцы и гимнастика»).
Пренія по докладу Г. П. Кузнецова.
Б. И. Магалифъ (Воронежъ). „Во-первыхъ, слѣдуетъ перенести
преподаваніе космографіи въ восьмой классъ, такъ какъ свѣдѣнія
по стереометріи, необходимыя для космографіи, не имѣются у уче-
ницъ седьмого класса, гдѣ только что начинается изученіе сте-
реометріи".

„Во-вторыхъ, дѣленіе многочлена на многочленъ слѣдуетъ
перенести на седьмой классъ при повтореніи алгебры: мѣшать
прохожденію курса это не будетъ, а между тѣмъ, полное понима-
ніе этой статьи чисто алгебраическаго характера возможно только
при сравнительно хорошемъ математическомъ развитіи“.
„Въ третьихъ, слѣдуетъ освободить седьмой классъ отъ пов-
торенія ариѳметики. Для дѣйствительно основательнаго повторе-
нія ариѳметики времени нѣтъ, а между тѣмъ отнимается время
отъ болѣе основательнаго повторенія алгебры и геометріи и луч-
шаго усвоенія курса на задачахъ. Ариѳметику (какъ и космогра-
фію) слѣдуетъ обязательно перенести въ восьмой классъ для уче-
ницъ всѣхъ спеціальностей, потому что восьмой классъ даетъ
право на учительницу начальной школы“.
И. М. Бѣльтеневъ (Вольмаръ, Лифл. губ.). „Въ женскихъ
гимназіяхъ необходимо видоизмѣнить распредѣленіе курса алгебры.
Выполнить это можно такимъ образомъ: въ первыхъ трехъ клас-
сахъ слѣдуетъ пройти только чисто практическій курсъ ариѳметики
и сохранить ея прикладную часть; тогда явится экономія во
времени и можно, не увеличивая числа учебныхъ часовъ по ариѳ-
метикѣ, ввести занятіе по алгебрѣ въ четвертомъ классѣ. Распре-
дѣленіе же алгебраическаго матеріала по классамъ нѣтъ надобно-
сти строго распредѣлять, такъ какъ это зависитъ отъ метода
преподаванія“.
„Въ седьмомъ классѣ вмѣстѣ съ алгеброй слѣдуетъ выяснить
нѣкоторыя основныя положенія ариѳметики, чтобы подготовить
ученицъ къ прохожденію методики ариѳметики въ восьмомъ классѣ“.
Е. З. Сокольская (Пенза). „Во-первыхъ, прохожденіе ариѳметики
въ седьмомъ классѣ необходимо, такъ какъ не всѣ ученицы
идутъ въ восьмой классъ; и желательно вмѣстѣ съ тѣмъ имѣть
въ седьмомъ классѣ лишній часъ для ариѳметики. Во-вторыхъ,
въ нѣкоторыхъ гимназіяхъ уже и теперь введены въ пятомъ
классѣ четыре часа, такъ что къ Рождеству возможно пройти
четыре алгебраическихъ дѣйствія; въ пятомъ же классѣ приходится
имѣть дѣло съ нулевыми и отрицательными показателями; нако-
нецъ, лишнимъ является перенесеніе дѣленія многочлена на много-
членъ въ шестой или седьмой классъ“.
Б. А. Марковичъ (Спб.). „Программы разныхъ отдѣловъ мате-
матики не согласованы не только съ космографіей, но и съ фи-
зикой. (Приходится въ самомъ началѣ курса физики говорить
объ объемахъ и поверхностяхъ многогранниковъ и круглыхъ
тѣлъ, и надо было бы дѣлать задачи на измѣреніе объемовъ и
поверхностей, а стереометрія проходится лишь въ седьмомъ
классѣ). Но даже и между собой программы разныхъ отдѣловъ

математики не согласованы. Напр., мы задаемъ въ пятомъ классѣ
геометрическая задачи съ буквенными выраженіями, требующія
знанія уравненіи, a послѣднія изучаются лишь въ шестомъ классѣ,
и часто—во второмъ полугодіе.
„Главное, однако, не въ программахъ, a въ методахъ обученія,
Одинъ изъ предыдущихъ ораторовъ указалъ, что слѣдуетъ въ
пятомъ классѣ воздержаться отъ дѣленія многочлена на много-
членъ; между тѣмъ, слѣдуя установленнымъ методамъ, онъ задаетъ
въ томъ же пятомъ классѣ примѣры умноженія и дѣленія сложныхъ
одночленовъ съ буквенными и притомъ двучленными показателями".
„Это болѣе трудно и менѣе понятно, чѣмъ дѣленіе многочлена
на двучленъ (положительно необходимое для многихъ преобра-
зованій и доказательствъ) и даже на трехчленъ съ несложными
коэффиціентами и небольшими числовыми показателями. Другимъ
примѣромъ служатъ наши безполезныя и безсмысленныя задачи
коммерческаго характера, притомъ помощью устарѣлыхъ мето-
довъ (пропорціи и др.). Наконецъ, наши ариѳметическія задачи,
такъ называемаго, „алгебраическаго характера", рѣшаемыя безъ
помощи уравненіи".
„Такимъ образомъ, основной вопросъ не въ перераспредѣле-
ніи учебныхъ часовъ, хотя, конечно, въ частныхъ случаяхъ и это
можетъ оказаться полезнымъ, a въ реформѣ преподаванія и всего
учебнаго плана".
К. И. Соколовскій (Маріинскъ, Томск, губ.). „Увеличеніе ча-
совъ на алгебру за счетъ ариѳметики путемъ сведенія ея на чисто
практическую почву счета не желательно. Да и на прохожденіе
ариѳметики-счета понадобится больше времени, чѣмъ на тепе-
решнюю полутеоретическую ариѳметику. Главная же ненормаль-
ность постановки преподаванія въ женской гимназіи,—это двоя-
кое требованіе отъ восьмого класса: классъ этотъ долженъ дать
ученицамъ и завершеніе общаго средняго образованія, и въ то же
время сдѣлать изъ нихъ спеціалистокъ-педагоговъ. Слѣдовало бы
либо восьмой классъ оставить общеобразовательнымъ и тогда
учредить девятый классъ, спеціально педагогическій, либо парал-
лельно съ восьмымъ классомъ общеобразовательнымъ установить
восьмой спеціально-педагогическій. Только послѣ рѣшенія этого
вопроса можно обсуждать программы".
А. А. Чебышевъ-Дмитріевъ (Спб.). „Во-первыхъ, временныя
мѣры, предлагаемыя докладчикомъ, могутъ быть осуществлены
безъ особыхъ постановленій Съѣзда, при добромъ желаніи уча-
щаго персонала, педагогическихъ и попечительныхъ совѣтовъ
(примѣръ—Царскосельская ж. г. M. H. П.). Во-вторыхъ, почти
главнымъ и вмѣстѣ съ тѣмъ труднымъ и жгучимъ вопросомъ

является вопросъ о постановкѣ преподаванія въ восьмомъ классѣ,—
придать ли этому преподаванію общеобразовательный или педаго-
гическій характеръ"?
M. Α. Сахновскіи (Черниговъ). „Жизнь показала необходи-
мость широкаго общаго образованія женщинъ, поэтому полу-
мѣры, предлагаемыя Новочеркасскимъ Математическимъ Круж-
комъ, должны быть отвергнуты. Съѣзду слѣдовало бы формули-
ровать свою резолюцію въ видѣ желательности полной тожде-
ственности программъ женскихъ гимназій съ таковыми же рефор-
мированными мужскихъ гимназій".
Р. К. Давидовъ (Кишиневъ). „Мнѣ удалось избѣжать нѣкото-
рыхъ затрудненій, указанныхъ предыдущими ораторами. Въ пя-
томъ классѣ до 1-го ноября ведется курсъ алгебры при трехъ
часахъ, a послѣ 1-го ноября—курсъ геометріи при двухъ часахъ
и алгебры при одномъ. Теорія уравненіи проходитъ черезъ весь
курсъ пятаго и шестого классовъ. Въ седьмомъ классѣ курсъ
космографіи начинается съ описательной части. Въ восьмомъ
классѣ въ первомъ полугодіи пять часовъ отдается на теорети-
ческій курсъ и одинъ часъ на методику, а во второмъ полугодіи
на методику отходитъ три часа".
А. Л. Остроумова (Тихвинъ, Новгородск. губ.). „Необходимо
изученіе методикъ русскаго языка и ариѳметики для всѣхъ кон-
чающихъ гимназію, безъ исключенія, чтобы будущія матери могли
умѣло помогать своимъ дѣтямъ въ начальномъ обученіи".
Я. M. Бѣльтеневъ (Вольмаръ, Лифлянд. губ.). „О полномъ
уравненіи программъ среднихъ мужскихъ и женскихъ учебныхъ
заведеній говорить преждевременно, такъ какъ авторитеты по
вопросамъ женскаго образованія, напр., Скойтенъ, находятъ, что
женское образованіе должно итти особымъ путемъ, сообразно тре-
бованіямъ природы женщины".
5. В. Токаревъ (Новомосковска Екатеринослав. губ). „Во-
первыхъ, репетированіе должно исчезнуть изъ обученія,—въ этомъ
стремленіе школы,—и этотъ мотивъ разницы женскаго и мужского
образованія отпадаетъ. Во-вторыхъ, число уроковъ должно быть
увеличено на одинъ часъ въ четвертомъ классѣ и на одинъ въ
пятомъ. Въ третьихъ, космографія должна носить только описа-
тельный характеръ при настоящемъ математическомъ уровнѣ уче-
ницъ седьмого класса".
/. И. Каширинъ (Ржевъ, Твер. губ.). „Курсъ космографіи
долженъ быть пройденъ въ седьмомъ классѣ. Этотъ курсъ рас-
ширяетъ воззрѣнія ученицъ на окружающую природу, и лишить
этихъ знаній нашихъ ученицъ было бы жестоко. Курсъ Покров-

скаго даетъ ученицамъ полную возможность легко усвоить основ-
ныя положенія космографіи".
А. Л. Остроумова (Тихвинъ, Новгород, губ.). „Космографію
въ седьмомъ классѣ можно преподавать безъ особыхъ математи-
ческихъ выкладокъ и при этомъ дать ясныя и опредѣленныя по-
нятія о движеніи солнца, луны и т. дЛ
Г. П. Кузнецовъ (Новочеркасскъ). „Временныя мѣропріятія,
предлагаемыя Новочеркасскимъ Математическимъ Кружкомъ, не-
обходимы; нельзя согласиться съ оппонентомъ, считающимъ эти
мѣропріятія за полумѣры и требующимъ полной реформы. На са-
момъ дѣлѣ, предлагаемыя мѣры не терпятъ отлагательства, такъ
какъ уже и теперь многія ученицы теряютъ лишній годъ для при-
готовленія къ такъ называемымъ дополнительнымъ при мужскихъ
гимназіяхъ испытаніямъ. За эти мѣропріятія говоритъ какъ жизнь,
такъ и возможность немедленнаго ихъ проведенія. Что же касается
того, что нѣкоторые шаги въ указанномъ направленіи уже сдѣ-
ланы въ нѣкоторыхъ частныхъ гимназіяхъ, и поэтому лишнимъ
будто бы явится резолюція Съѣзда въ желательномъ для Кружка
смыслѣ, то противъ этого надо сказать, что измѣненія программы
по отдѣльнымъ гимназіямъ встрѣтятъ много препятствій: потре-
буется солидарность преподавателей математики съ одной стороны,
педагогическихъ совѣтовъ съ другой; кромѣ того, надо согласіе попе-
чительныхъ совѣтовъ и разрѣшеніе Попечителя Учебнаго Округа".
„Замѣчанія нѣкоторыхъ оппонентовъ выходятъ изъ рамокъ
доклада, изъ этихъ замѣчаній слѣдуетъ отмѣтить учрежденіе вось-
мого класса съ общеобразовательнымъ характеромъ; но это по-
требуетъ много времени въ виду законодательнаго характера
этого предложенія".
„Остается отвѣтить на отдѣльныя возраженія".
„1) Въ седьмомъ классѣ полагается только повтореніе
ариѳметики, прохожденіе же дополнительныхъ статей обязательно для
ученицъ восьмого класса, которыя, какъ будущія домашнія учи-
тельницы, обязаны пройти ариѳметику по программѣ мужскихъ
гимназій. 2) Прохожденіе статьи о дѣленіи многочлена на много-
членъ не встрѣчаетъ большихъ затрудненій. 3) При первоначаль-
номъ изученіи алгебры необходимо только понятіе о нулевомъ и
отрицательномъ показателяхъ; дѣйствія же съ этими и дробными
показателями необходимо проходить непосредственно передъ изу-
ченіемъ логариѳмовъ. 4) Успѣшное прохожденіе алгебры, о кото-
ромъ сообщалось здѣсь, можетъ быть объяснено лишь особенно
благопріятными условіями, напр., увеличеніемъ числа часовъ, либо
исключительною опытностью преподавателя".

Второе засѣданіе.
30 Декабря 8 ч. веч.
III. О результатахъ преподаванія началъ анализа безконечно-
малыхъ, аналитической геометріи и теоретической ариѳметики
въ реальныхъ училищахъ и въ гимназіяхъ.
Сообщеніе проф. П. А. Некрасова (Спб.).
Докладчикъ сообщилъ, что интересуясь постановкою пре-
подаванія математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ, онъ
посѣщалъ въ прошломъ учебномъ году классы Петербургскихъ
гимназій и реальныхъ училищъ, гдѣ нынѣ проходятся въ стар-
шихъ классахъ теоретическая ариѳметика и основанія анализа
безконечно-малыхъ.
По мнѣнію профессора Некрасова, распоряженіе о введеніи
курса теоретической ариѳметики было встрѣчено, какъ въ гим-
назіяхъ, такъ и въ реальныхъ училищахъ, преподавателями
различно. Многіе недоумѣвали, какой матеріалъ долженъ былъ
войти въ составъ курса. Курсъ оказался, вообще говоря, ском-
каннымъ; старались удовлетворить только формальнымъ тре-
бованіямъ. Въ одной гимназіи, однако, результаты преподаванія
оказались превосходными. Программа, сходная съ той, которую
сообщилъ на Съѣздѣ г. Піотровскій, была проведена препода-
вателемъ (директоромъ гимназіи) систематично и классъ
усвоилъ курсъ, при оживленномъ отношеніи учениковъ къ
дѣлу. Докладчикъ полагаетъ, что тамъ, гдѣ знаютъ, какъ по-
ставить курсъ теоретической ариѳметики, дѣло можетъ итти; въ
противномъ же случаѣ возникновеніе недоразумѣній естественно.
Что касается аналитической геометріи, то здѣсь, по мнѣ-
нію профессора Некрасова, дѣло идетъ успѣшнѣе и этотъ пред-
метъ безъ особыхъ затрудненій является достояніемъ учениковъ.
Относительно преподаванія основаній анализа безконечно-
малыхъ, докладчикъ сообщилъ, что въ одномъ реальномъ учи-
лищѣ ученики усвоили начала дифференціальнаго исчисленія

и давали хорошіе отвѣты. Преподаватель былъ опытный и
сумѣлъ обойти осложненія; опредѣленія давались по существу,
элементарныя, краткія, несложныя. Начала же интегральнаго
исчисленія давались ученикамъ съ большимъ трудомъ, здѣсь
даже опытный преподаватель не могъ почти ничего сдѣлать,
при отведенномъ времени на преподаваніе. Можетъ быть это
зависѣло отъ новизны дѣла и отъ излишнихъ осложненій, вно-
симыхъ въ предметъ преподавателями. Со стороны преподава-
телей иногда прилагалось много усердія, но отвѣты учениковъ
были нудные, несвязные. Видно, что ученики думали, старались
понять и усвоить, но предметомъ они не овладѣли, когда дѣло
касалось усложненныхъ понятій. Дифференцировать сознательно
и съ объясненіями ученики всѣхъ реальныхъ училищъ могли.
Въ одномъ изъ московскихъ училищъ, гдѣ докладчикъ наблю-
далъ преподаваніе въ концѣ учебнаго года, началъ интегральнаго
исчисленія также, какъ оказалось, не успѣли даже коснуться.
По письменнымъ работамъ учениковъ нѣкоторыхъ учеб-
ныхъ округовъ, которыя разсматривалъ профессоръ Некрасовъ,
онъ затрудняется сдѣлать какой-нибудь опредѣленный выводъ
о степени усвоенія матеріала учениками, такъ какъ задачи
были очень просты и шаблонны.
Общее заключеніе профессора Некрасова состоитъ въ томъ,
что введеніе въ курсъ реальныхъ училищъ началъ анализа
безконечно-малыхъ, при наличности опытнаго преподавателя,
можетъ внести очень многое въ общее развитіе учащихся и что
замѣчающіеся въ настоящее время недочеты, объясняющееся
главнымъ образомъ новизною дѣла, со временемъ сгладятся.
Пренія по сообщенію проф. П. А. Некрасова.
М. Р. Блюмепфсльдь (Спб.) сообщилъ Собранію, что въ одномъ
изъ петербургскихъ частныхъ реальныхъ училищъ курсъ анализа
безконечно-малыхъ проходится въ значительно большемъ объемѣ,
чѣмъ это требуется оффиціальными программами 1907 года.
Л. 1. Санько (Курскъ). „Курсъ седьмого класса при пяти
урокахъ въ недѣлю содержитъ пять отдѣльныхъ предметовъ.
Можетъ быть, лучше было бы соединить анализъ и алгебру въ

одинъ курсъ «введеніе въ изчисленіе безконечно-малыхъ». Здѣсь
будутъ изложены статьи о предѣлахъ, о функціи, о графикахъ
функціи, о видахъ и свойствахъ функціи, въ частности—цѣлой
только послѣ этого понятіе о производной (нахожденіе производной
отъ функціи одной независимой перемѣнной), теорема Ролля,
maxima и minima".
M. Г. Попруженко (Спб.). „Конструкціи курса анализа без-
конечно-малыхъ могутъ быть различны,—можно его сжать или
расширить,—но во всякомъ случаѣ нельзя ограничиться только
понятіемъ о производной, а необходимо приложить его къ изслѣ-
дованію хода функціи, къ возрастанію и убыванію ея, къ опре-
дѣленію maximum'a и minimum'a, къ рѣшенію геометрическихъ,
механическихъ, физическихъ и иныхъ задачъ. При недостаткѣ
времени можно отказаться отъ нѣкоторыхъ теоремъ о предѣ-
лахъ, ограничить область разсматриваемыхъ функцій и, въ край-
немъ случаѣ, отказаться отъ интегральнаго исчисленія".
Л. Α. Зборомірскій (Новгородъ). „Программу седьмого класса
реальныхъ училищъ желательно сохранить; но при такой про-
граммѣ ученики перегружены, нѣтъ времени у учениковъ на про-
думываніе, усвоеніе проходимаго. Необходимъ восьмой классъ,
тогда въ седьмомъ классѣ будетъ усвоена аналитическая геоме-
трія, а въ восьмомъ—дифференціальное и интегральное исчисленія".
А. 1. Казаровъ (Ейскъ, Кубанск. обл.). „Въ виду недостатка
времени для прохожденія анализа можно предложить слѣдующее:
1) Часть курса геометріи, до подобія треугольниковъ, отнести
къ четвертому классу. 2) Элементарныя свѣдѣнія по тригонометріи
и разсмотрѣніе простѣйшихъ случаевъ рѣшенія прямоугольныхъ
треугольниковъ проходить въ пятомъ классѣ въ связи съ геоме-
тріей. 3) Курсъ тригонометріи заканчивать въ шестомъ классѣ.
4) Такъ какъ неопредѣленныя уравненія требуются впослѣд-
ствіи для «теоріи чиселъ», не изучаемой въ техническихъ учеб-
ныхъ заведеніяхъ, то выключить эти уравненія и отнести теорію
общаго наибольшаго дѣлителя и наименьшаго кратнаго къ отдѣлу
дробей въ курсѣ алгебры; тогда получится возможность посвя-
тить въ седьмомъ классѣ всѣ пять часовъ аналитической геоме-
тріи, изученію свойствъ цѣлой функціи и анализу".
Проф. П. Α. Некрасовъ. „По наблюденіямъ, сдѣланнымъ въ петер-
бургскихъ учебныхъ заведеніяхъ, понятіе о предѣлѣ и основныя тео-
ремы о предѣлахъ устанавливаются раньше, до седьмого класса,
а это даетъ большую экономію во времени. Затѣмъ, какъ въ пе-
тербургскихъ гимназіяхъ, такъ и въ реальныхъ училищахъ, поня-
тіе о функціи негласнымъ образомъ уже вошло въ обиходъ. Въ
импровизированномъ моемъ докладѣ не было упомянуто о при-

ложеніяхъ производной. Но, конечно, послѣ того, какъ дано поня-
тіе о производной, должны быть пройдены и приложенія ея къ
изслѣдованію функцій, maximum'a и minimum'a функціи, a также
и приложенія интегральнаго исчисленія къ геометріи. Что касается
установленія существованія производной, то здѣсь замѣчено больше
всего трудности. Одни преподаватели обходили эту трудность, не
вникая глубоко въ суть функціи, не говорили о прерывности и
дальше «особыхъ точекъ» не шли. Другіе, наоборотъ, вдавались
въ большія тонкости, говорили даже о функціяхъ, не имѣющихъ
производной. Въ заключеніе можно утверждать, что экономія,
достигнутая надлежащей подготовкой учениковъ въ предыдущихъ
классахъ, позволитъ даже при одномъ только часѣ въ седьмомъ
классѣ дать закругленный курсъ началъ дифференціальнаго исчис-
ленія, но, конечно, не интегральнаго".
IV. Къ вопросу объ экзаменахъ по математикѣ въ средней
школѣ.
Докладъ Б. А. Марковича (Спб.).
I.
Письменные экзамены.
Алгебра и
ариѳметика.
1) На письменныхъ экзаменахъ русской
средней школы по алгебрѣ предлагаются одна
или двѣ задачи3 въ рѣшеніи которыхъ учащіеся должны об-
наружить знаніе элементарныхъ преобразованій и достаточный
навыкъ въ вычисленіяхъ.
2) Общій характеръ этихъ задачъ—ихъ сложность, гро-
моздкость и совершенно фантастическія комбинаціи математи-
ческихъ заданій, которыя не могутъ встретиться ни въ прак-
тическихъ примѣненіяхъ, ни на какой-либо послѣдующей сту-
пени теоретическаго обученія математики *).
Эти задачи явно распадаются на нѣсколько отдѣль-
ныхъ (3 и больше), а эти, въ свою очередь, — на нѣкоторое
число вычисленій; въ общемъ, получается цѣлый рядъ элемен-
1) Типичные образцы такого рода задачъ можно найти въ сборникѣ Быч-
кова (напр., Отд. IV, Л° 1557 и «Смѣшанныя задачи»—Изд. XII) и въ новѣй-
шемъ сборникѣ Ипатова—№№ 475^ 494 ц др.

тарныхъ преобразованій и вычисленій по заученнымъ форму-
ламъ. Встрѣчающіяся въ этихъ задачахъ уравненія даются
готовыми или, вообще, сразу составляются—чисто механически;
лишь въ немногихъ сравнительно случаяхъ предлагается со-
ставленіе уравненія по сложнымъ и запутаннымъ условіямъ,
но всѣ эти «трудныя составленія» сводятся къ немногимъ
традиціоннымъ, излюбленнымъ типамъ (бассейнъ, курьеры съ
ихъ разновидностями; ученики, ошибающіеся при умноженіи;
переливаніе изъ одного сосуда въ другой и пр., и пр.). По-
этому и задачи послѣдней категоріи, вообще, не трудны для
учениковъ, получающихъ долгую и спеціальную подготовку
къ задачамъ этихъ излюбленныхъ типовъ.
3) Вѣрныя рѣшенія такихъ задачъ свидѣтельствуютъ
больше всего объ аккуратности вычисленій (небольшая
ошибка, даже описка, въ началѣ рѣшенія часто подрываютъ
весь послѣдующій ходъ, чрезвычайно осложняя остальныя вы-
численія; иногда такія ошибки приводятъ къ алгебраическимъ
формамъ, неразрѣшимымъ средствами элементарной матема-
тики,—получается, напр., обыкновенное уравненіе четвертой
степени вмѣсто ((возвратнаго»).
4) Практика, однако, показываетъ, что средняя быстрота
вычисленій и аккуратность въ производствѣ отдѣльныхъ дѣй-
ствій не равнозначны умѣнью вычислять — въ смыслѣ
умѣлаго пользованія сокращенными пріемами и выбора наи-
болѣе выгоднаго сочетанія дѣйствій: вычисленія производятся
элементарно и топорно.
5) Такіе результаты совершенно не окупаютъ громад-
ной затраты учебнаго времени, посвящаемаго въ старшихъ
классахъ спеціальной, систематической тренировкѣ учениковъ
въ задачахъ указаннаго типа.
6) Тѣ лее соображенія относятся и къ письменнымъ ра-
ботамъ по ариѳметикѣ: въ нихъ еще рѣзче обнаруживается
неумѣніе вычислять.
Въ виду этого желательно:
A) Содержаніе письменныхъ работъ раздѣлять на рядъ
вопросовъ, задачъ и размѣровъ.

B) Часть матеріала должна быть посвящена вычисленіямъ
и преобразованіямъ, но рѣшеніе предлагаемыхъ примѣровъ
должно свидѣтельствовать не только о знаніи формулъ и дѣй-
ствій и аккуратности въ ихъ примѣненіи, но также объ умѣлости
ученика выбирать наиболѣе выгодныя комбинаціи дѣйствій и
пользоваться нѣкоторыми сокращенными пріемами.
C) Остальная часть вопросовъ должна касаться теоріи,
обнаружить умѣніе экзаменующагося ясно доказывать отдѣль-
ныя теоремы и послѣдовательно, хотя бы и конспективно,
излагать содержаніе различныхъ отдѣловъ (главъ) теоретиче-
скаго курса.
D) При этихъ условіяхъ письменная работа можетъ полу-
чить преобладающее,—или даже исключительное,—значеніе въ
экзаменной аттестаціи.
Геометрія и
тригонометрія.
7) Обычныя теперь работы по геометріи и
тригонометріи значительно болѣе цѣлесообразны,
чѣмъ соотвѣтственныя заданія по алгебрѣ; однако, и онѣ не
свободны отъ излишней сложности и даже вычурности.
8) Спеціальная подготовка учениковъ къ обычнымъ экза-
менаціоннымъ работамъ также отвлекаетъ слишкомъ много
учебнаго времени, въ ущербъ болѣе производительной работѣ
учениковъ и преподавателя.
Въ виду этого желательно:
Ε) Предлагать на письменныхъ экзаменахъ менѣе слож-
ныя заданія; кромѣ задачъ и примѣровъ (тригонометрическихъ),
свидѣтельствующихъ о навыкѣ въ преобразованіяхъ и вычисле-
ніяхъ, требовать, хотя и не подробныхъ, но ясныхъ, послѣдова-
тельныхъ отвѣтовъ по вопросамъ теоріи.
II.
Устные экзамены.
9) Не распространяясь объ общеизвѣстныхъ отрицатель-
ныхъ сторонахъ устныхъ испытаній, можно согласиться, что
при предлагаемомъ характерѣ письменныхъ экзаменовъ устные
должны получить второстепенное значеніе.

F) Желательно установить для устныхъ экзаменовъ
характеръ бесѣды (коллоквіумъ) по поводу письменной работы *).
Пренія по докладу Б. А. Марковича.
К. Ѳ. Лебединцевъ (Москва). „Вполнѣ согласенъ со всѣми по-
ложеніями докладчика, но нахожу, что предлагаемыя имъ мѣры
представляютъ только минимумъ необходимыхъ измѣненій. Дѣло
въ томъ, что экзамены не обнаруживаютъ дѣйствительныхъ по-
знаній учащихся по предмету. Всякій педагогъ знаетъ, что экза-
менаціонные отвѣты и работы учащихся, даже лучшихъ, нерѣдко
оказываются болѣе слабыми, чѣмъ можно было бы ожидать, a темпъ
работы у всѣхъ вообще учащихся при экзаменаціонной обстановкѣ
замедляется. То же самое подтверждаютъ и экспериментально-
психологическія изслѣдованія послѣдняго времени (напр., работы
Лобзина). Въ виду этого, дѣйствительную оцѣнку познаній уча-
щихся можно производить только на основаніи ряда самостоя-
тельныхъ работъ учащихся, домашнихъ и классныхъ, распредѣ-
ленныхъ въ теченіе всего учебнаго года и поставленныхъ такъ,
чтобы онѣ не носили экзаменаціоннаго характера".
3. А. Архимовичъ (Кіевъ). „Вопросъ объ экзаменахъ находится
въ зависимости отъ требованій, предъявляемыхъ къ выпускному
классу. Прежде задачи для экзаменовъ въ восьмомъ классѣ при-
сылались изъ учебныхъ округовъ, и онѣ отличались громозд-
костью. Теперь хотя задачи для экзаменовъ предлагаются препо-
давателями, но по прежнему рецензированіе работъ производится
учебными округами, и гг. рецензенты удовлетворяются только
громоздкими задачами, считая, что на такихъ задачахъ испытуе-
мые могутъ показать разностороннее знаніе отдѣловъ математики.
Такимъ образомъ, преподаватели поставлены въ необходимость
тренировать своихъ учениковъ въ установленномъ направленіи.
Отсюда понятенъ спросъ на задачники со сложными громоздкими
задачами. Тренировка учениковъ въ умѣніи рѣшать сложныя
задачи отнимаетъ много времени и лишаетъ возможности оста-
новиться на интересныхъ дополненіяхъ курса, способствующихъ
уясненію и углубленію знаній учениковъ. Отмѣна рецензированія
работъ учебными округами явится мѣрой, способствующей повы-
шенію математическаго образованія въ средней школѣ. Наконецъ,
слѣдуетъ отмѣтить, что экзаменаціонныя работы большинства
х) Это можетъ служить не только матеріаломъ для болѣе полной оцѣнки
знаній ученика, но π средствомъ обнаружить недобросовѣстность работы, въ слу-
чаѣ соотвѣтственныхъ подозрѣній.

учениковъ по совершенно понятнымъ причинамъ значительно
ниже ихъ знаній, а потому качество этихъ работъ не можетъ слу-
жить вѣрнымъ показателемъ познаній учениковъ и характеристи-
кой постановки преподаванія въ данной школѣ".
С. Я. Γι/ковъ (Ст. Каменская, Дон. обл.). „Реальныя училища,
помимо всего прочаго, должны считаться съ тѣми требованіями,
которыя предъявляются къ молодымъ людямъ на конкурсныхъ
экзаменахъ въ спеціальныхъ училищахъ".
Б. А. Марковичи. „Устанавливая согласіе гг. членовъ Съѣзда со
всѣми положеніями доклада, отмѣчаю еще разъ создавшееся не-
нормальное положеніе большинства современныхъ школъ, обра-
тившихся въ школы тренировки. Будемъ надѣяться, что голосъ
Съѣзда поможетъ облегчить созданіе лучшей программы и луч-
шихъ условій для средней школы".
Къ своему докладу Б. А. Марковичъ приложилъ слѣдующій
проектъ резолюціи по вопросу объ экзаменахъ.
1) Принимая во вниманіе:
a) что задачи, какъ предлагаемыя для письменныхъ ра-
ботъ на выпускныхъ экзаменахъ средней школы,—особенно по
алгебрѣ и ариѳметикѣ,—лишены практическаго смысла и сво-
дятся къ ряду непосредственныхъ вычисленій или къ соста-
вленію уравненіи небольшого числа шаблонныхъ типовъ;
b) что, несмотря на искусственную сложность такихъ
задачъ, они захватываютъ лишь 3 или 4, рѣдко 5 вопросовъ
изъ различныхъ отдѣловъ учебнаго предмета и потому не мо-
гутъ дать обстоятельной оцѣнки знаній экзаменующагося и:
степени его математическаго развитія;
c) что, въ виду обязательности такого типа задачъ, пре-
подаватели принуждены терять очень много учебнаго времени
въ 7-омъ и особенно въ 8-омъ классахъ для специфическаго
подготовленія учениковъ къ требуемымъ вычурнымъ задачамъ,
что крайне неблагопріятно отражается на общемъ ходѣ препо-
даванія,—съѣздъ высказываетъ пожеланіе, чтобы педагогиче-
скіе совѣты не были стѣсняемы въ выборѣ темъ для выпуск-
ныхъ письменныхъ испытаній какими-либо обязательными ша-
блонами вродѣ нынѣ предписываемыхъ учебными вѣдомствами.
При этомъ съѣздъ рекомендуетъ педагогическимъ совѣтамъ:
а) по алгебрѣ—ставить по нѣсколько отдѣльныхъ вопро-

совъ теоріи и отдѣльныя задачи, требующія умѣлыхъ, характер-
ныхъ, но не продолжительныхъ и притомъ искусственныхъ слож-
ныхъ вычисленій1).
b) по геометріи—кромѣ задачъ на вычисленіе и притомъ
безъ примѣненія тригонометрическихъ и логариѳмическихъ вы-
численій, ставить теоретическіе вопросы, вродѣ доказательства
какой-нибудь основной теоремы или изложенія систематики
того или другого отдѣла (филіація теоремъ и слѣдствій).
c) по тригонометріи—ставить: 1) одинъ или два теорети-
ческихъ вопроса; 2) несложную планиметрическую задачу съ не-
большимъ числомъ логариѳмическихъ вычисленій; 3) стереометри-
ческую задачу, требующую примѣненія тригонометрическихъ
функцій и преобразованій, но не слишкомъ трудныхъ и сложныхъ.
d) по ариѲметикѣ, если только не будутъ измѣнены
программы и пока будутъ обязательны выпускныя испытанія
по общему курсу ариѳметики,—ставить: 1) примѣры, которые
могли бы обнаружить умѣлость и навыкъ въ вычисленіяхъ;
2) задачу, имѣющую фактическій смыслъ, напр., вычисленіе
доходности какого-нибудь предпріятія, хотя-бы по многимъ
даннымъ, но однороднаго характера, или разсчетъ стоимости
себѣ издѣлій въ зависимости отъ реальныхъ факторовъ.
2) Въ частности, относительно ариѳметическихъ задачъ,
Съѣздъ высказываетъ пожеланіе, чтобы ученики не были при-
нуждаемы вычислять и разсуждать по устарѣлымъ или элемен-
тарнымъ пріемамъ (младшихъ классовъ) и получили право
пользоваться могучимъ пособіемъ составленія уравненіи и пре-
образованій, относимыхъ теперь къ курсу алгебры.
3) Принимая во вниманіе, что при указанномъ, болѣе
раціональномъ выборѣ темъ для письменныхъ работъ, возможна
обстоятельная оцѣнка знаній и развитія ученика, Съѣздъ
высказываетъ пожеланіе, чтобы устные экзамены, со всею
ихъ неблагопріятною для оцѣнки знаній экзаменующагося обста-
новкой, были замѣнены устною бесѣдой (colloquium) по поводу
ошибокъ поданной работы или въ случаѣ подозрѣнія въ ея
несамостоятельности.
г) Весенній циркуляръ 1912 г. по Мин. Нар. Проев, вполнѣ соотвѣтствуетъ
указанному пункту проекта революціи. Прим. ред.

3-я секція.
Методика математики.

Председатель секціи: С. И. Шохоръ-Троцкій.
Товарищъ предсѣдателя: В. Α. Крогіусъ.
Секретари: Α. Ε. Дувина, К. И. Зрене, А. Н. Лав-
рентьева и С. Р. Соколовскій.
Организаціоннымъ Комитетомъ Съѣзда были объявлены
въ программѣ Съѣзда слѣдующіе доклады къ заслушанію въ
3-ей секціи:
1) Д. Д. Галанинъ (Москва). «Объ измѣненіи метода
обученія въ низшей и средней школѣ».
2) θ. Α. Эрнъ (Рига). ((Спорные вопросы въ современной
методикѣ ариѳметики».
3) К. Ѳ. Лебединцевъ (Москва). «Методъ обученія мате-
матикѣ въ старой и новой школѣ».
4) Я. θ. Лебединцевъ (Москва). «Вопросъ о дробяхъ въ
курсѣ ариѳметики».
5) В. А. Крогіусъ (Спб.). «Приближенныя и сокращен-
ныя вычисленія».
6) Д. M. Левиту съ (Спб.). «Объ алгебраическихъ преобра-
зованіяхъ».
Τ) Б. А. Марковичъ (Спб). «Желательныя измѣненія въ
преподаваніи въ средней школѣ теоріи и практики логариѳ-
мовъ».
*8) В. Р. Мрочекъ (Спб.). «О функціональности».
*9) Г. А. Грузинцевъ (Кологривъ, Костр. губ.). «О пре-
подаваніи тригонометріи».
10) Д. Э. Теннеръ (Спб.). «О графическихъ иллюстра-
цияхъ рѣшеній системы уравненіи».
11) И. М. Травчетовъ (Спб.). «О первой теоремѣ эле-
ментарной геометріи Эвклида».
12) П. А. Лоліушииъ (Кіевъ). «Неэвклидова геометрія
въ средней школѣ».
Докладъ П. А. Долгушина былъ сдѣланъ на общемъ
собраніи и помѣщенъ въ I томѣ «Трудовъ» съѣзда.
13) Е. С. Томашевичъ (Москва). «Принципъ совмѣсти-
мости плоскихъ и пространственныхъ фигуръ».

14) Л* M. Левитусъ (Спб.). «О роли геодезическихъ
упражненій при обученіи математикѣ».
15) С. Α. Неаполитанскій (Варшава). «Элементы логики
въ школьной математикѣ».
Сверхъ докладовъ, объявленныхъ въ программѣ Съѣзда,
секціей были заслушаны:
1) H. П. Поповъ (Баку). «О лабораторныхъ занятіяхъ
по математикѣ въ среднихъ уч. заведеніяхъ Кавказскаго учеб-
наго округа)).
2) И. И. Александровъ (Москва). «Построеніе параллело-
грамовъ)).
3) Л. Α. Сельскій (Варшава). «Вопросъ объ измѣреніяхъ
въ системѣ ариѳметики )).
Кромѣ общихъ собраній секціи, состоялись два частныхъ
совѣщанія, возникшихъ по иниціативѣ нѣкоторыхъ членовъ
секціи. Одно изъ нихъ, сначала подъ предсѣдательствомъ С. И.
Шохоръ-Троцкаго, a затѣмъ—Н. А. Колубовской, было
посвящено вопросу о курсѣ математики въ женскихъ гимна-
зіяхъ; другое, подъ предсѣдательствомъ θ. А. Эрна—вопросу
о возможныхъ сокращеніяхъ курса математики въ школѣ. Въ
результатѣ перваго изъ этихъ совѣщаній получилось пожела-
ніе участниковъ его, чтобы курсъ математики въ женскихъ и
мужскихъ школахъ былъ одинаковъ. На совѣщаніи подъ
предсѣдательствомъ Ѳ. А. Эрна докладчикомъ выступилъ
С.И. Шорохъ-Троцкий. Выяснилось, что путемъ перераспре-
дѣленія учебнаго матеріала, перенесенія нѣкоторыхъ статей
курса изъ однихъ классовъ въ другіе и путемъ прямого исклю-
ченія нѣкоторыхъ ингредіентовъ курса изъ учебныхъ плановъ
и программъ, можно достигнуть большого выигрыша времени.
Протоколы этихъ частныхъ совѣщаній, за недостаткомъ
мѣста, не помѣщаются въ «Трудахъ Съѣзда)).
Въ секретаріатъ секціи поступило также заявленіе члена
съѣзда Д. П. Цинзерлинга о желательности раздѣленія
курса математики на двѣ ступени, отчасти совпавшее съ по-
желаніями, выраженными въ нѣкоторыхъ резолюціяхъ Съѣзда.

Первое засѣданіе.
27 декабря 8 ч. веч.
Предсѣдательствовалъ С. И. Шохоръ-Троцкій.
Почетный предсѣдатель—И. И. Александровъ.
Предсѣдатель. «Было время, и это время далеко еще не
прошло, когда къ методикѣ математики даже достойные
всяческаго уваженія представители математики, какъ науки и
учебнаго предмета, относились съ пренебреженіемъ и когда
такъ относиться къ этой отрасли дидактики считалось чуть
ли не признакомъ наилучшаго тона. Тотъ неожиданный при-
ливъ членовъ этого Съѣзда, котораго свидѣтелями мы являемся
въ настоящую минуту, доказываетъ, что методика математики
существуетъ, что ея вопросы интересуютъ преподавателей ма-
тематики въ средней школѣ и что пренебрежительное къ ней
отношеніе должно отойти въ область исторіи. Привѣтствую
Васъ и въ лицѣ вашемъ—въ высшей степени отрадный фактъ —
интересъ стоящихъ у дѣла математическаго образованія къ ме-
тодикѣ математики».
Послѣ этого заявленія почетнымъ предсѣдателемъ было
предоставлено слово для внѣочередного заявленія С. И. Шо-
хоръ-Троцкому.
С. И. Шохоръ-Троцкій (Спб.). «Въ ночь съ 22 на 23
сего декабря мѣсяца, послѣ тяжкой и неизлѣчимой болѣзни,
скончался членъ нашего съѣзда Д. В. Ройтманъ, котораго
докладъ въ общемъ собраніи 30 декабря долженъ былъ быть
посвященъ вопросамъ систематическаго курса геометріи. Д. В.
скончался, не достигнувъ сорокалѣтняго возраста. Его перу
принадлежитъ много статей и докладовъ разнообразнаго со-

держанія. Имъ составлены также извѣстныя Вамъ книги по
геометріи, космографіи и начаткамъ астрономіи. Онъ былъ въ
Россіи однимъ изъ самыхъ видныхъ поборниковъ коренной
реформы преподаванія математики въ школѣ. Кто видѣлъ Д. В.
на собраніяхъ, позналъ его лично, тотъ не могъ думать, что
этого сильнаго духомъ борца за реформу математическаго обра-
зованія такъ скоро не станетъ. Блестящій и строго-логическій
умъ соединялся въ немъ съ основательнымъ философскимъ
образованіемъ и какою-то особенною преданностью дѣлу обра-
зованія вообще и математическаго—въ частности. Это былъ
благородный человѣкъ, честный общественный дѣятель, при-
лежный и добросовѣстный работникъ, превосходный товарищъ
и педагогъ Божьею милостью. Тезисы къ докладу своему на
нашъ Съѣздъ онъ написалъ уже лежа, можно сказать, на
смертномъ своемъ одрѣ, написалъ карандашемъ, на клочкѣ
бумаги. Намъ остается съ благодарностью вспомнить о немъ,
помнившемъ о насъ тогда, когда уже дни его были сочтены,
со скорбью отмѣтить понесенную русской школою утрату и
почтить память покойнаго вставаніемъ».
I. Объ измѣненіи метода обученія въ низшей и средней школѣ.
Докладъ Д. Д. Галанина (Москва).
((Преподаваніе математики въ послѣднее время возбудило
много толковъ, главнѣйшей причиной и основнымъ мотивомъ
которыхъ было то, что это обученіе отстало отъ общепедагоги-
ческихъ идеаловъ, установленныхъ еще Коменскимъ и Песта-
лоцци и блестяще подкрѣпленныхъ и обрисованныхъ работами
по экспериментальной психологіи и педагогикѣ Математика
не осталась чужда этому движенію, и мы въ настоящее время
пользуемся, напримѣръ, геометрическими моделями, чертежами
для вырѣзанія и склеиванія геометрическихъ моделей и т. п.
Однако, учебные планы перестали удовлетворятъ педагоговъ и
требуютъ реформы. Но реформа возможна только тогда, когда
она будетъ построена на пробныхъ курсахъ, изучая которые

мы имѣемъ возможность нѣсколько подойти къ вопросу съ его
внутренней психологической стороны. Одни только пожеланія
недостаточны. Лишь конкретный курсъ можетъ дать матеріалъ
для сужденій, изъ которыхъ можетъ выясниться планъ будущаго
метода обученія.
Я различаю два понятія: образованіе и обученіе. Образо-
ваніемъ я называю то, что человѣкъ пріобрѣтаетъ самъ, лично,
путемъ внутренней психологической и логической обработки
даннаго жизненнаго опыта, чтенія книгъ и школьнаго обученія.
Обученіемъ я называю тотъ процессъ внѣшняго воздѣйствія
на психику человѣка, благодаря которому къ своему личному
опыту онъ присоединяетъ опытъ другихъ людей, отчасти
усваивая его, отчасти запоминая. Въ образованіи центръ тя-
жести лежитъ въ мышленіи и творчествѣ, a въ обученіи—
въ памяти и усвоеніи. Согласно этому, наилучшимъ путемъ
въ обученіи я считаю тотъ, который даетъ матеріалъ для мыш-
ленія и творческихъ повтореній, даетъ матеріалъ для созданія
идей, a самыя идеи возникаютъ уже непосредственно въ душѣ
ребенка путемъ естественной дѣятельности его психическаго аппа-
рата. Путь для такого построенія курса я вижу въ опытѣ ребенка,
въ его конкретныхъ чувственныхъ воспріятіяхъ, которыя уже
имъ самимъ перерабатываются въ идеи, а эти идеи сами собой
перерабатываются въ логическія понятія и сужденія. Съ этой
цѣлью я начинаю обученіе съ непосредственнаго опыта ученика
въ измѣреніи длинъ, вѣсовъ, объемовъ и т. п., и думаю, что
онъ уже самъ изъ моихъ опытовъ получитъ идею числа и функцио-
нальной зависимости. Отъ числа онъ перейдетъ къ счету и пра-
виламъ производства вычисленій, a отъ функциональной зави-
симости—къ идеѣ дѣйствій надъ количествомъ. Въ силу этого,
я думаю, что такіе отдѣлы геометріи, какъ равенство треуголь-
никовъ, вычисленіе площадей и объемовъ, измѣреніе длинъ и
угловъ должны войти въ курсъ школьнаго обученія, какъ про-
педевтическое знаніе первой ступени. Это знаніе не есть
абстрактное геометрическое доказательство, а—реальный фактъ,
полученный изъ разсмотрѣнія и приготовленія моделей. Ребе-
нокъ, не доказывая равенства треугольниковъ, убѣждается въ
немъ, накладывая одинъ вырѣзанный треугольникъ на другой.

Онъ непосредственно убѣждается въ равенствѣ площадей, за-
полняя площадь фигуры (многоугольника) площадями треуголь-
никовъ и т. п. Изъ такихъ реальныхъ опытовъ онъ изучаетъ
свойства плоскихъ фигуръ и ихъ измѣреніе.
Для конкретнаго усвоенія измѣренія площадей я предла-
гаю особое наглядное пособіе, состоящее изъ листа бумаги,
разбитаго дырочками на кв. дюймы или кв. вершки (или,
можетъ быть, на кв. сантиметры). Отрѣзывая отъ этого листа
площади въ 6, 8, 24 кв. единицы, ученикъ непосредственно
сосчитываете единицы, a вырѣзывая изъ цвѣтной бумаги
равный прямоугольникъ и перегибая его по діагонали, онъ по-
лучаетъ понятіе объ измѣреніи площадей треугольниковъ и
параллелограмовъ. Площади многоугольниковъ и трапецій раз-
биваются на площади треугольниковъ. Зная лишь вычисленіе
площадей прямоугольниковъ, можно вычислить поверхности
призмъ и пирамидъ. Аналогично этому идетъ изученіе измѣ-
ренія объемовъ прямыхъ и прямоугольныхъ параллелопипедовъ
и проч.
Кромѣ геометріи, въ начальномъ курсѣ я предлагаю отвести
большое мѣсто физическимъ измѣреніямъ вѣса и объема, поль-
зуясь вѣсами и мензуркой, и думаю, что эти конкретныя
воспріятія дадутъ ребенку идею функціональной зависимости
и пропорціональности.
Переходя къ среднему образованію по математикѣ, я не
могу согласиться съ раздѣленіемъ его на самостоятельные
отдѣлы. Математика въ начальномъ обученіи должна быть
слита въ одно цѣлое. Ея цѣлью должно быть не изу-
ченіе формальныхъ доказательствъ, a изученіе функціональ-
ныхъ зависимостей. Въ настоящее время, число получило
слишкомъ доминирующее значеніе въ математическомъ обра-
зованіи, а количество (именованное число) настолько нахо-
дится въ тѣни, что объ его свойствахъ говорятъ только въ
прикладныхъ наукахъ и въ геометріи, гдѣ оно продолжаетъ
оставаться изолированнымъ и совершенно чуждымъ общему
міросозерцанію ученика. Но если измѣреніе должно составить
основу начальнаго курса обученія, то свойства количествъ
должны быть положены въ основу среднеобразовательнаго

курса. Основнымъ понятіемъ этого изученія будетъ понятіе
объ отношеніи и о равенствѣ. Рѣшеніе уравненіи и пропор-
ціональность должны лежать въ основѣ второго концентра обу-
ченія.
Въ извѣстной мнѣ математической литературѣ я нашелъ
только двухъ авторовъ, гдѣ идеѣ пропорціональности количествъ
отводится подобающее ей мѣсто, это — въ геометріи Руше
и Комберусъ и въ «Ариѳметикѣ» Глаголева. Α. H. Глаголевъ
справедливо замѣчаетъ: «свойства чиселъ при извѣстномъ
условіи можно примѣнить къ величинамъ: такимъ образомъ
числа могутъ служить однимъ изъ средствъ къ изученію ве-
личинъ».
При изученіи пропорціональности, по моему мнѣнію, весьма
важно выяснить, что пропорціональность количествъ не зави-
ситъ отъ ихъ числового выраженія и есть свойство самихъ
количествъ. Для выясненія этого необходимо вновь ввести
установленіе пропорціональности, данное Эвклидомъ, и дока-
зать по Эвкдиду теорему о пропорціональности отрѣзковъ
сторонъ угла при пересѣченіи ихъ параллельными линіями. У
Эвклида нѣтъ этого доказательства, у него берутся отдѣльно
начерченныя прямыя, тогда какъ въ современномъ курсѣ эта
теорема доказывается на основаніи числовой величины отно-
шенія. Доказавъ ее по Эвклиду, я думаю, что весь вопросъ о
пропорціональныхъ линіяхъ ставится внѣ вопроса о числовой ве-
личинѣ этихъ линій. Геометрія, такимъ образомъ, позволяетъ
дать примѣръ пропорціональности независимо отъ чиселъ и до-
казать эту пропорціональность. По отношенію къ прочимъ ве-
личинамъ мы не имѣемъ такого метода и должны довольство-
ваться ихъ числовымъ представленіемъ. Вотъ почему мы не
имѣемъ права отбрасывать наименованіе при вычисленій и
должны вести учетъ какъ числовымъ операціямъ, такъ и
наименованіямъ. При этомъ возникаетъ необходимость не только
допустить умноженіе именованнаго числа на именованное, но
и дать необходимое объясненіе новымъ количествамъ, полу-
ченнымъ, какъ результаты умноженія. Эту точку зрѣнія необхо-
димо провести черезъ весь курсъ, старательно отдѣляя опе-
раціи числовыя отъ операцій количественныхъ. Я думаю, что

когда эта точка зрѣнія войдетъ въ жизнь и мы привыкнемъ
считать, напр., произведенія (20 дней χ 15 рабочихъ,) за вели-
чину работы, то многіе вопросы будутъ гораздо проще и яснѣе
для учениковъ, и для нихъ измѣренія въ физикѣ и механикѣ
перестанутъ быть пугаломъ, какъ это наблюдается въ настоящее
время. Введеніе этого вопроса въ курсъ нѣсколько рискованно.
Я основываюсь здѣсь, кромѣ личныхъ симпатій, на авторитетѣ
Вебера и Вельштейна, но думаю, что именно эта сторона во-
проса можетъ затемнить болѣе важную идею методической
проработки курса начальной алгебры. Лично я несу мѣлъ отка-
заться отъ введенія новаго метода умноженія, но не увѣренъ
вполнѣ въ его безусловной необходимости.
Теперь перехожу къ самой важной части реформы. Въ
современномъ курсѣ алгебра оторвана отъ ариѳметики двумя
отдѣлами: курсомъ арабскихъ правилъ, именуемыхъ тройнымъ,
процентовъ, товарищества и т.д., и введеніемъ преобразованія
формулъ раньше рѣшенія уравненіи. Что касается до араб-
скихъ правилъ, то я увѣренъ, что они доживаютъ послѣдніе
дни, что не ныньче, такъ завтра они будутъ выброшены изъ
оффиціальныхъ программъ курса обученія въ средней школѣ.
Если этого не случилось до сихъ поръ, то причина за-
ключается въ томъ, что въ этихъ правилахъ есть и цѣнная
сторона: изученіе пропорціональности, вопросъ о дѣленіи на не-
равныя части и вопросъ о процентахъ. Задачи на арабскія
правила могутъ быть рѣшаемы при помощи уравненіи, причемъ
все то цѣнное, что еще держитъ ихъ въ курсѣ средней школы,
сохраняется въ силѣ. Такимъ образомъ, если начинать курсъ
алгебры съ уравненіи, то можно выбросить отдѣлъ, который
справедливо и давно уже считается лишнимъ. Но возможно
ли начинать курсъ алгебры съ уравненіи безъ познаній въ
области алгебраическихъ преобразованій?
Обозначивъ неизвѣстное въ данной ариѳметической задачѣ
буквой и производя надъ этой буквой рядъ указанныхъ въ
задачѣ дѣйствій, мы получаемъ уравненіе, какъ общій спо-
собъ рѣшенія ариѳметическихъ задачъ. Этотъ способъ можно
связать съ ариѳметикой самымъ разнообразнымъ манеромъ.
Рѣшеніе задачъ на арабскія правила при помощи уравне-

ній даетъ ученику идею количества и въ связи съ этимъ
идею функціональной зависимости, которую необходимо иллю-
стрировать рядомъ примѣровъ на миллиметровой бумагѣ.
При построеніи графиковъ ученикъ усвоитъ двѣ идеи: 1) изо-
браженіе количества можетъ быть двоякое: или въ видѣ числа,
или въ видѣ отрѣзка прямой; 2) откладывая количества и
строя кривую ихъ зависимости, учащійся наглядно видитъ
направленіе количествъ, о чемъ и особо идетъ рѣчь при озна-
комленіи учащихся съ отрицательнымъ числомъ.
Построеніе функціональной зависимости позволяетъ мнѣ
указать на ея простѣйшее выраженіе прямой линіей, связавъ
эту прямую съ уравненіемъ. Тогда становится простымъ и
нагляднымъ сложное алгебраическое доказательство, что вся-
кое уравненіе 1-ой степени имѣетъ корень и только одинъ.
Познакомившись съ количествами и ихъ функціональной
зависимостью, я перехожу къ подробному изученію простѣйшей
изъ нихъ, къ пропорціональной зависимости. Я думаю, что
соединеніе ученія о пропорціональности и ученія о подобіи
треугольниковъ въ одно цѣлое выгодно для того и другого.
Для перваго оно дастъ конкретный примѣръ, а для второго—
числовое обоснованіе. Мнѣ кажется, что вся трудность ученія
о подобіи фигуръ въ 5-омъ классѣ является слѣдствіемъ его
оторванности отъ изученія свойствъ пропорціи.
Изучивъ такимъ образомъ не только числовыя, но и коли-
чественныя пропорціи, я перехожу къ изученію пропорціональ-
ныхъ количествъ. Здѣсь особое значеніе пріобрѣтаетъ понятіе
коэффициента пропорціональности, который существенно отли-
чается отъ того коэффиціента, который дается въ современ-
номъ алгебраическомъ курсѣ. Смѣю думать, что понятіе о
коэффиціентѣ, какъ о коэффиціентѣ пропорціональности, важ-
нѣе обычнаго.
Заканчивая этимъ изученіе алгебры въ 3-мъ классѣ, я
перехожу въ слѣдующемъ классѣ къ ур-ніямъ съ 2-мя
неизвѣстными. При этомъ, пользуясь опытомъ предыдущаго,
нахожу совершенно возможнымъ представить общія рѣшенія,
какъ координаты точки пересѣченія двухъ прямыхъ.
Потомъ непосредственно можно перейти къ изученію рѣ-

шенія уравненіи квадратныхъ и приводимыхъ къ квадратнымъ,
познакомивъ съ извлеченіемъ квадратнаго корня.
Закончивши рѣшеніе уравненіи, можно съ большей обстоя-
тельностью начать второй концентръ алгебры, гдѣ всѣ дѣй-
ствія надъ алгебраическими количествами должны быть строго
и научно обоснованы. Вмѣстѣ съ алгеброй идетъ изученіе
геометріи съ подробнымъ доказательствомъ теоремъ, и мнѣ
кажется возможнымъ даже излагать какъ Эвклидову, такъ и
Неэвклидову геометрію.
Мнѣ кажется, что при такомъ измѣненіи матеріала уче-
ники не только легко воспримутъ курсъ математики, но и
усвоятъ его гораздо глубже и гораздо лучше, творя дальнѣй-
шее на основаніи опыта и конкретныхъ воспріятіи. Кто знаетъ,
быть можетъ, и типъ ученика, неспособнаго къ изученію мате-
матики, сильно измѣнится, если не пропадетъ окончательно».
Тезисы.
1) Обученіе въ низшей школѣ должно быть построено
на измѣреніи величинъ. Такое построеніе дѣлаетъ его нагляд-
нымъ, доступнымъ чувственнымъ воспріятіямъ и этимъ при-
ближаетъ къ обученію по другимъ предметамъ.
2) Согласно этому, въ начальный курсъ преподаванія мате-
матики должна войти геометрія и простѣйшіе физическіе
измѣрительные процессы, и все обученіе сосредоточится не на
счетномъ матеріалѣ, а на опытномъ изученіи функціональныхъ
соотношеніи величинъ.
3) Курсъ обученія въ средней школѣ долженъ непосред-
ственно примыкать къ курсу низшей школы: въ низшей изу-
чается ариѳметика, въ средней—алгебра.
4) Изученіе алгебры должно быть начато съ рѣшенія
уравненіи, и въ этомъ изученіи должно быть положено въ
основу изученіе функциональной зависимости величинъ при
помощи алгебраическихъ формулъ.
δ) Умноженіе и дѣленіе слѣдуетъ разсматривать, какъ самосто-
ятельныя дѣйствія, дающія новыя количества. Произведеніе ли-
ній есть площадь; произведеніе силы на разстояніе-работа и т. п.

Пренія по докладу Д. Д. Галанина.
Л. Р. Кулитеръ (Спб.). „Въ заслушанномъ нами докладѣ
имѣется рядъ положеній, еще не проникшихъ въ школу, но заслу-
живающихъ возможно скорѣйшаго введенія въ школьный обиходъ.
Ребенокъ живетъ въ мірѣ пространственныхъ образовъ и число-
выхъ отношеній. Дать ему возможность изучить эти соотношенія
путемъ планомѣрнаго распредѣленія работы—задача школы. Между
прочимъ, придется имѣть ввиду выполненіе въ школѣ планомѣрно
проведенныхъ измѣреній. Важно также, чтобы ребенокъ неспѣшно
изучилъ рядъ числовыхъ соотношеніи на конкретномъ матерьялѣ.
По словамъ одного изъ новѣйшихъ методологовъ Юнга, мы также
пользуемся конкретнымъ. Предоставимъ же ребенку, по крайней
мѣрѣ, ту степень удовлетворенія, которая соотвѣтствуетъ его
физическому и психическому развитію и которую мы требуемъ
для себя самихъ. По вопросу о „тройныхъ правилахъ", несмотря
на то, что въ проведеніи этого курса я значительно отступаю
отъ общепринятаго раньше порядка, я разойдусь съ докладчикомъ.
Надо откинуть, можетъ быть, названіе тройныхъ правилъ, надо
выбирать задачи живыя, интересныя. Но не слѣдуетъ отбрасывать
способа приведенія къ единицѣ, этого могущественнаго пріема
разсужденія, который явится логическимъ элементомъ уже въ
курсѣ 3-го класса".
„Далѣе идетъ рѣшеніе тѣхъ же задачъ при помощи про-
порціи—орудія болѣе тонкаго. Онѣ, какъ справедливо было ука-
зано, могутъ служить переходомъ къ уравненіямъ. И, наконецъ,
мы приходимъ къ отношеніямъ. Какъ дать учащемуся почувство-
вать возможность могущество этого орудія—зависитъ отъ искус-
ства преподавателя. Наконецъ, коснусь вопроса объ умноженіи
и дѣленіи именованныхъ чиселъ на именованныя. Изучать эти
операціи возможно, но съ большими предосторожностями".
В. М. Куперштейнъ (Елисаветградъ). „Не отвергая пользы
измѣреній, я считаю все же необходимымъ на первыхъ порахъ
знакомить дѣтей съ числомъ путемъ счета предметовъ, рѣшая
съ ними простыя задачи, близкія къ ихъ жизни. Когда дѣти счи-
таютъ: двѣ тетради и три тетради, два яблока и три яблока, двѣ
коп. и три коп. и т. п., то у нихъ непремѣнно возникаетъ поня-
тіе о томъ, что 2 да 3—пять. Опасаюсь, что первый тезисъ можетъ
ввести учителя въ заблужденіе. Слишкомъ часто изъ-за новаго
опускаютъ важное старое. Правъ докладчикъ, утверждая, что мы
въ школѣ должны образовывать, а не обучать. Для этого надо
дѣтямъ объяснять новое не сразу, а постепенно, маленькими до-

зами, на каждомъ урокѣ выводя неизвѣстное изъ извѣстнаго.
Тогда у дѣтей новыя понятія вырастутъ эволюціоннымъ путемъ
и это будетъ образованіемъ".
В. Р. Мрочекъ (Спб.). „Здѣсь былъ затронутъ вопросъ о трой-
ныхъ правилахъ и о пресловутомъ приведеніи къ единицѣ. Кругъ
примѣненія тройного правила весьма ограниченъ; въ него не вхо-
дятъ: пропорціональность второго и высшихъ порядковъ, случаи
„дробныхъ единицъ" (рабочіе, животныя и пр.) и др. Въ осталь-
ныхъ-же случаяхъ, уже весьма немногочисленныхъ, очень часто
приходятъ къ абсурдамъ. Это достаточно выяснено Шарлемъ Ле-
заномъ въ его послѣднемъ сочиненіи. Я могу резюмировать свой
взглядъ въ такихъ словахъ: методъ, имѣющій столь малый кругъ
примѣненій и даже въ этомъ кругѣ приводящій къ частымъ ло-
гическимъ абсурдамъ—скверный методъ!"
А. Г. Пичушнъ (Красноуфимскъ). „Къ тезису второму („все
обученіе сосредоточится не на счетномъ матеріалѣ, a"...) дѣлаю
слѣдующее замѣчаніе. Я считаю счетъ, притомъ устный, важнымъ
какъ въ низшей, такъ и въ средней школѣ, а также въ жизни.
По поводу тезиса третьяго („Въ низшей изучается ариѳметика,
въ средней—алгебра") скажу: такого дѣленія я предполагаю не
дѣлать; лучше слить ариѳметику съ алгеброй. Конецъ ариѳметики
есть обобщеніе, въ алгебраической формѣ, дѣйствій ариѳметики.
Пропорціи ариѳметики надо отнести къ алгебрѣ въ связи съ про-
порціональными линіями въ геометріи. Такимъ образомъ послѣднія
послужатъ иллюстраціей къ первымъ. Обобщеніе ариѳметики есть
начало алгебры. Засимъ должно итти понятіе о координатахъ и
о графикахъ, которыми сопровождается рѣшеніе уравненіи".
Л. С Лунаковъ (Одесса). „Не отрицая цѣнности лабораторнаго
и экспериментальнаго методовъ изученія пропорціональности
величинъ, я нахожу, что этотъ методъ имѣетъ одну опасную
сторону. Именно: если ученикъ произведетъ измѣреніе съ доста-
точной тщательностью, то результаты окажутся не пропорціональны.
Пропорціональность можетъ быть обнаружена лишь въ случаѣ
грубыхъ методовъ измѣренія, (какъ, напр., была открыта обратная
пропорціональность между объемомъ газа и давленіемъ). Если же
ученикъ, произведя тщательныя измѣренія, получитъ числа не
пропорціональныя и обратится съ недоумѣніемъ къ учителю, то
придется отвѣтить, что онъ ошибся и, что результаты должны
быть пропорціональны, т. е. сослаться на существующую въ нашемъ
умѣ (a priori) идею пропорціональности измѣряемыхъ величинъ.
Такимъ образомъ лабораторныя измѣренія служатъ не для открытія
закона пропорціональности, даже не для его провѣрки, а лишь
для его иллюстраціи".

B. Я. Дубравинъ (Псковъ). „Нельзя согласиться съ докладчи-
комъ, будто изученіе алгебры должно начинаться съ рѣшенія
уравненіи. Прежде чѣмъ приступить къ рѣшенію уравненія, не-
обходимо пріучить учениковъ пользоваться буквами и производить
надъ ними простѣйшія вычисленія. Алгебраическія свѣдѣнія должны
сообщаться постепенно и чередоваться съ числовыми примѣрами.
Тогда ученики, незамѣтно для самихъ себя, вполнѣ освоятся съ
употребленіемъ буквъ для обозначенія количествъ и перестанутъ
смотрѣть на букву, какъ на нѣчто непонятное и имъ недоступное.
Давая, напр., понятіе о многочленѣ, можно его, съ внѣшней сто-
роны, сопоставить съ многозначнымъ числомъ. Алгебраическія
свѣдѣнія, предлагаемыя въ видѣ обобщенія, оживляютъ учениковъ
и будятъ интересъ къ работѣ. Чтобы отмѣтить аналогію между
многочленомъ и десятичнымъ числомъ, цѣлесообразно пріучать
учениковъ, при умноженіи многозначныхъ чиселъ, начинать дѣй-
ствіе умноженія съ высшихъ разрядовъ множителя. Изученію
рѣшенія ур—ій должно предпослать усвоеніе учащимися пропор-
ціональности величинъ. Что касается рѣшенія задачъ на тройное
правило путемъ приведенія къ единицѣ, которое отстаивалъ одинъ
изъ ораторовъ, то можно сказать, что этотъ способъ длиненъ и
годится только для одного случая. Лучше отнести это правило
къ рѣшенію вопроса о прямой и обратной пропорціональности.
Слѣдуетъ пріучить учениковъ къ тому, чтобы они выражали за-
висимость между пропорціональными величинами формулой, каковой
и пользовались бы при рѣшеніи задачъ".
А- В. Соболевъ (Рязань) возражаетъ и вооружается противъ
самой возможности умноженія одного именованнаго числа на
другое и иллюстрируетъ свой взглядъ на вопросахъ объ измѣреніи
работы силы, о законѣ Бойля-Маріотта и т. п. Онъ указываетъ
на то, что въ этихъ случаяхъ мы дѣйствія производили только
надъ отвлеченными числами, а не надъ величинами. Равнымъ
образомъ онъ рѣшительно отказывается говорить о раздѣленіи
одного именованнаго числа на другое именованное же число,
выраженное въ единицахъ другого рода. Оппонентъ указываетъ
также на то, что докладчикъ какъ бы не считаетъ пропорціею
равенство отношенія двухъ извѣстныхъ чиселъ отношенію другихъ
двухъ извѣстныхъ чиселъ, a говоритъ о пропорціи только какъ
объ уравненіи.
C. И. Шохоръ-Троцкій (Спб.). „Въ основѣ только-что сдѣлан-
наго замѣчанія лежитъ явное недоразумѣніе. Въ наукѣ (въ меха-
никѣ и физикѣ) и въ техникѣ произведенія двухъ и болѣе име-
нованныхъ чиселъ получили права полнаго гражданства. Гельмгольцъ
и оба брата Лоджа и всѣ современные физики не задумываются

надъ свободнымъ употребленіемъ подобныхъ произведеній и
частныхъ. Все дѣло и весь вопросъ только въ томъ, что это
значить помножить длину на длину, площадь на длину, вѣсъ на
длину, что это значитъ—раздѣлить длину на промежутокъ времени
и т. п. Все дѣло въ цѣлесообразномъ опредѣленіи, и если то или
другое изъ двухъ дѣйствій полезно, то надо только установить
его смыслъ, и тогда никакой опасности для образованія, для
логики и для науки не предвидится. Долженъ, однако, отмѣтить,
что это—вопросъ, выходящій за предѣлы задачъ нашей секціи, въ
которой должны бы обсуждаться вопросы методовъ и пріемовъ
обученія, а не вопросъ о дозволительности или недозволительности
тѣхъ или иныхъ, важныхъ, съ научной и логической точки зрѣнія,
и уже въ наукѣ установленныхъ опредѣленій".
А. И. Лещенко (Кіевъ). „Первоначальное понятіе о числѣ
создается лишь путемъ счета однородныхъ предметовъ или пу-
темъ созерцанія количества ихъ въ данной группѣ. Измѣреніе же
предполагаетъ уже умѣнье сознательно считать и требуетъ порой
много времени для производства самого измѣренія. Въ виду этого,
измѣреніе ни въ коемъ случаѣ нельзя признать за раціональный
пріемъ на первой ступени ознакомленія учащихся съ числомъ.
Приходится присоединиться къ мнѣнію тѣхъ, кто путемъ счета
(палочекъ, кубиковъ, карандашей, зеренъ и т. под.) получаетъ
одно и тоже число. Что касается дѣйствія умноженія, то придется
признать безусловно неумѣстнымъ начинать ознакомленіе съ
умноженіемъ съ того случая, когда приходится умножать имено-
ванное число на именованное. Считаю правильнымъ тотъ пріемъ,
который разсматриваетъ сначала умноженіе, какъ способъ, упро-
щающій нахожденіе суммы равныхъ слагаемыхъ. Мысли докладчика
объ измѣненіяхъ въ преподаваніи алгебры опасны въ особенности
тѣмъ, что не устанавливаютъ тѣсной связи между ариѳметикой и
алгеброй".
Пр.-доц. С- О. Шатуновскій (Одесса) указываетъ на то, что во-
просъ объ установленіи или неустановленіи понятія о произведеніи
двухъ именованныхъ чиселъ есть вопросъ удобства и цѣлесообразно-
сти. Здѣсь нѣтъ императива, заставляющаго или запрещающаго
дать то или другое опредѣленіе произведенія двухъ именованныхъ
чиселъ. Не только практическія надобности, но часто и теорети-
ческіе интересы побуждаютъ насъ вложить то или другое содер-
жаніе въ терминъ «произведеніе двухъ именованныхъ чиселъ».
Въ качествѣ иллюстраціи оппонентъ привелъ такъ наз. «прямую»
Гильберта, представляющую собою произведеніе двухъ конечныхъ
прямыхъ. Цѣль Гильбертова опредѣленія произведенія двухъ от-
рѣзковъ—развитіе ученія о подобіи независимо отъ ученія о

безконечно-маломъ. Оппонентъ защищаетъ право перемножать
какія угодно величины, лишь бы было дано опредѣленіе этого
умноженія и лишь бы оно было цѣлесообразно.
Л. А. Сельскій (Варшава). „Я коснусь только пятаго тезиса.
Умноженіе и дѣленіе всегда выражаютъ зависимость между вели-
чинами, лежащую, такъ сказать, въ самой ихъ природѣ. Напр.,
можно дѣлить яблоки на кучи, мальчиковъ на классы, массы на
объемы, километры на путевые часы; мы выражаемъ распредѣ-
леніе однихъ атрибутовъ предметовъ между другими".
„Отношеніе величинъ (вида выражаетъ зависимость между
ними. Если вѣсъ въ 8 килограммовъ относится къ объему въ 4 куб.
децим., то
8 кгр. _ 2 кгр.
4 куб. дцм. 1 куб. дцм.
Получается крайне наглядная картина взаимоотношенія величинъ.
Въ случаѣ же, такъ наз., отвлеченнаго дѣленія мы приходимъ къ
странному окончанію процесса:
2 кгр.
I
два килограмма дѣленные на одну часть, что невозможно: на одну
часть дѣлить нельзя".
„Взаимная зависимость величинъ, которая рисуется отношеніемъ
величинъ, крайне близка пониманію дѣтей: они постоянно пишутъ
дѣлителя—именованнымъ. Докладчикъ предлагаетъ чрезвычайно
продуктивный для школы пріемъ. Высказанное здѣсь мнѣніе,
будто измѣреніями могутъ быть затушеваны чисто числовыя
представленія, совершенно невѣрно, такъ какъ измѣренія всегда
ведутъ къ созданію множественнаго, т. е. числового предста-
вленія".
Предсѣдатель секціи С. И. Шохорь-Троцкій въ своемъ резюме
доклада Д. Д. Галанина и преній указываетъ, что многіе боятся
увлеченія измѣреніемъ и что выяснились разногласія по вопросу
о возникновеніи понятій счета, числа и измѣренія. Игнорировать
измѣреніе столь же невозможно и нецѣлесообразно, какъ строить
понятіе о числѣ безъ счета. Безъ счета нѣтъ числа въ полномъ
смыслѣ этого послѣдняго слова, но это не исключаетъ чрезвы-
чайной педагогической важности упражненій въ измѣреніи при
обученіи ариѲметикѣ.

II. Начала логики въ курсѣ школьной геометріи.
Докладъ С. А. Неаполитанскаго (Варшава).
«При разсмотрѣніи новыхъ программъ математики, при
чтеніи статей о реформѣ преподаванія математики мнѣ ни
разу не приходилось встрѣчаться съ мыслью о необходи-
мости ввести въ программу геометріи, въ качествѣ пропедев-
тическаго матеріала, знакомство учениковъ съ элементами ло-
гики. Между тѣмъ, по моему крайнему разумѣнію, краткій
курсъ логики, курсъ, конечно, наглядный и разсчитан-
ный на полное пониманіе и интересъ со стороны учащихся
весьма цѣлесообразенъ и даже необходимъ для успѣшнаго усво-
енія математики вообще и началъ дедуктивной геометріи въ
особенности. Поэтому, цѣлью настоящаго доклада служитъ:
во 1-хъ, выясненіе необходимости введенія въ программу школь-
ной математики знакомства учениковъ съ началами логики,
какъ пропедевтическаго курса къ изученію дедуктивной гео-
метріи и, во 2-хъ, выясненіе характера и содержанія этого курса.
Къ моей радости, первая задача весьма мнѣ облегчена
докладами проф. А. В. Васильева и С. А. Богомолова. Что знакомить
учениковъ среднихъ классовъ средней школы съ элементами логики
цѣлесообразно, въ этомъ едва ли кто нибудь будетъ сомнѣваться.
Дѣйствительно, возрастъ ученика ІУ класса въ смыслѣ ум-
ственнаго развитія является критическимъ: въ это время у
него формируется способность къ отвлеченному мышленію,
является напряженная любознательность и стремленіе офор-
мить, осмыслить и обосновать свои знанія. Съ этой точки
зрѣнія краткій курсъ логики явится не только пропедевтиче-
скимъ для изученія дедуктивной геометріи, но и курсомъ, за-
вершающимъ первый циклъ средняго образованія вообще.
Спросите ученика VII класса, почему неправильно опре-
дѣленіе: параллелограмъ есть четыреугольникъ, въ которомъ
противуположныя стороны параллельны и діагонали въ точкѣ
пересѣченія дѣлятся пополамъ? Въ лучшемъ случаѣ естествен-
ная логика подскажетъ ему, что послѣдній признакъ лишній.

Но почему онъ является лишнимъ, гдѣ базисъ этого утвер-
жденія—онъ не скажетъ ибо оазисомъ служитъ извѣстное ло-
гическое правило, а его—то онъ и не знаетъ. Между тѣмъ,
почти все среднее образованіе—и общее, и математическое—про-
ходится теперь безъ логическаго освѣщенія.
Необходимость началъ логики, какъ пропедевтическаго
курса къ изученію дедуктивной геометріи, будетъ еще яснѣе,
если мы на минуту представимъ себѣ положеніе учителя и
ученика, начинающихъ одинъ—обучать, а другой—обучаться
геометріи. Дедуктивная геометрія имѣетъ дѣло съ идеальными
понятіями, смыслъ и содержаніе которыхъ учитель обязанъ
выяснить ученикамъ. Я спрашиваю, въ силахъ ли учитель
сдѣлать это выясненіе, если ученикъ не имѣетъ яснаго и от-
четливаго сознанія о томъ, что такое понятіе вообще.
Далѣе, извѣстно, какую важную роль въ дѣлѣ успѣшнаго
изученія математики имѣютъ точныя и хорошо составленныя
опредѣленія. И мы даемъ такія опредѣленія, а ученики ихъ
выучиваютъ наизусть.
Выяснивъ ученикамъ геометрическія понятія и подчер-
кнувъ при этомъ, что геометрическихъ прямыхъ, плоскостей,
квадратовъ и т. п. не существуетъ реально, мы начинаемъ
фаршировать учениковъ различными теоремами, доказывая ихъ
преимущественно дедуктивнымъ путемъ. И отсюда начинается
истинная драма и для учениковъ, и для учителя. Во 1-хъ, у
всякаго, болѣе или менѣе любознательнаго ученика явится
вопросъ о цѣлесообразности геометріи,—вопросъ о томъ, за-
чѣмъ существуетъ наука, объектомъ которой служитъ то, что
не существуетъ. Однажды ученикъ, помню, при теоремѣ о
биссектриссѣ равнобедреннаго треугольника спросилъ меня: за-
чѣмъ намъ эта теорема, вѣдь равнобедреннаго треугольника
все равно не существуетъ? Я, признаться, оказался въ прене-
пріятномъ положеніи: я долженъ былъ или отдѣлаться какимъ
нибудь банальнымъ отвѣтомъ, или выяснить ученику цѣль и
значеніе абстрактныхъ наукъ вообще и геометріи въ частно-
сти. Первый отвѣтъ, понятно, не достоенъ учителя, второй же
предполагаетъ предварительное сообщеніе тѣхъ свѣдѣній, о ко-
торыхъ идетъ рѣчь.

Драма заключается и въ томъ, что ученики на первыхъ
порахъ никакъ не могутъ осмыслить и понять предлагаемыхъ
доказательствъ.
И это вполнѣ понятно. Ученики просто не знаютъ, чего
отъ нихъ требуютъ. Они только знаютъ, что нужно что—то го-
ворить, чтобы договориться до излюбленной фразы: «что и
требовалось доказать». И дѣло здѣсь не въ томъ, что доказа-
тельства сами по себѣ непонятны ученикамъ, a въ томъ, что
знакомятся-то они съ доказательствами на матеріалѣ, который
очень далекъ отъ міра ихъ постоянныхъ представленій и
умственныхъ переживаній. Выводъ напрашивается самъ собой:
нужно предварительно на примѣрахъ, доступныхъ ученикамъ,
выяснить, что такое доказательство и каковы его виды.
Даже при существованіи курса наглядной геометріи, по
моему мнѣнію, знакомство учениковъ съ элементами логики
является далеко не излишнимъ. Въ самомъ дѣлѣ: какова бы
ни была программа наглядной геометріи, она всегда останется
эмпирической и, слѣдовательно, индуктивной. Она не научитъ
учениковъ составленію правильныхъ опредѣленій, не выяснитъ
характера абстрактной науки, не дастъ образцовъ анализа и
синтеза, такъ что переходъ отъ геометріи наглядной къ дедук-
тивной безъ связующаго ихъ звена—курса логики, будетъ скач-
комъ.
По моему убѣжденію, нормальная программа геометріи въ
средней школѣ должна быть такова: 1) наглядная геометрія;
2) знакомство учениковъ съ элементами логики, какъ введеніе
въ дедуктивную геометрію; 3) геометрія дедуктивная.
Программа предлагаемаго мною курса логики слѣдующая:
Сложное представленіе, какъ умственный образъ предмета,
возникающій благодаря памяти.—Признаки предмета существен-
ные и случайные.—Простое представленіе.—Понятіе, какъ
общее представленіе.—Процессъ образованія понятій. (Замѣча-
ніе. При выясненіи послѣдняго желательно обратить вниманіе
учениковъ на то, что понятіе существуетъ лишь, какъ умствен-
ное построеніе, но реальнаго существованія не имѣетъ, т.-е.
выяснить, что реально существуетъ вотъ это животное, вотъ
этотъ человѣкъ, но нѣтъ реальнаго образа, соотвѣтствующаго

словамъ: животное, человѣкъ, подобно тому, какъ нѣтъ лица,
соотвѣтствующаго портрету, полученному при помощи состав-
ной фотографіи Гальтона).—Дѣленіе понятій на абстрактныя и
конкретныя.—Признаки понятій.—Родъ, видъ, выводной и
случайный признаки.—Объемъ и содержаніе понятія.—Зави-
симость между содержаніемъ понятія и его объемомъ.—Опре-
дѣленіе, какъ перечисленіе признаковъ понятія.—Неопредѣлен-
ныя или простыя понятія. Способъ составленія опредѣленія.—
Требованіе логическаго опредѣленія: соразмѣрность, ясность,
положительность, отсутствіе «круга».—Выясненіе и опредѣле-
ніе геометрическихъ понятій.—Геометрическое тѣло, поверх-
ность, линія, точка, прямая, плоскость.—Сужденіе или пред-
ложеніе, какъ соединеніе двухъ или нѣсколькихъ понятій или
представленій на основаніи увѣренности, что утверждаемая
связь соотвѣтствуетъ дѣйствительности.—Подлежащее и ска-
зуемое.—Сужденія общія и частныя, утвердительный и отри-
цательныя.—Сужденія категорическія, условныя и раздѣли-
тельныя.—Законы мышленія.—Умозаключеніе, какъ способъ
изъ двухъ или нѣсколькихъ сужденій выводить новое сужденіе
одинаковой достовѣрности съ данными.—Посылки.—Тезисъ.—
Непосредственное умозаключеніе.—Силлогизмъ.—Аксіома силло-
гизма.—Примѣры силлогизма.—Выводъ изъ условныхъ и раз-
дѣлительныхъ сужденій.— Сокращенные силлогизмы.—Индук-
ція, какъ заключеніе отъ частнаго къ общему.—Доказательство.—
Виды доказательства: анализъ, синтезъ и доказательство отъ
противнаго.—Аксіома.—Теорема.—Составъ и виды теоремъ.—
Наука, какъ совокупность знаній о данномъ предметѣ, распо-
ложенныхъ по опредѣленному плану для лучшаго ихъ пони-
манія и усвоенія. — Науки конкретныя и абстрактныя.—Ихъ раз-
личіе.—Значеніе и цѣль абстрактныхъ наукъ.—Цѣль, значеніе
и содержаніе геометріи, какъ абстрактной науки.
Изложенный матеріалъ предлагается ученикамъ въ формѣ
бесѣдъ съ цѣлымъ классомъ. Вызываніе учениковъ, отмѣтки
и задаваніе уроковъ на-домъ должно быть устранено. Опре-
дѣленія выводятся индуктивнымъ путемъ изъ конкретныхъ
примѣровъ, a гдѣ можно -и изъ математики. Заботы учителя
должны быть направлены не столько на формальное усвоеніе

бесѣдъ, сколько на ихъ пониманіе, и цѣль бесѣдъ можно счи-
тать достигнутой, если ученики будутъ въ состояніи привести
правильные примѣры на выясненныя положенія. Матеріалъ
расчитанъ на 8 —10 учебныхъ часовъ.
Если разсматривать предложенный курсъ какъ пропедев-
тический, вводящій въ изученіе геометріи, то при прохожденіи
его необходимо обратить вниманіе на два момента: на выясне-
ніе видовъ доказательствъ и на выясненіе смысла и цѣли изу-
ченія геометріи, какъ абстрактной науки.
Для ознакомленія учениковъ съ синтезомъ и анализомъ
мы разсматривали классическій примѣръ: пусть господинъ M
хочетъ доказать, что онъ происходитъ отъ родоначальника А.
Извѣстно, что путь отъ родоначальника A къ M въ нисходя-
щей линіи будетъ путь синтеза, а обратный путь отъ M къ
A въ восходящей линіи—путь анализа.
На этомъ примѣрѣ ученикъ убѣждался въ особенностяхъ
синтеза и анализа.
Для ознакомленія съ доказательствами отъ противнаго
брался примѣръ вродѣ слѣдующаго. Въ извѣстномъ городѣ въ
извѣстное время совершена кража вещи, о которой знаютъ
только три лица А, Д С. Какъ доказать, что кражу совер-
шилъ С? Для этой же цѣли служили ариѳметическія задачи,
изъ рѣшенія которыхъ ученики могли усмотрѣть выводы ана-
литическая метода и значеніе синтетическаго.
Приступая къ выясненію смысла и значенія дедуктивной
геометріи, я сравненіемъ наукъ—географіи и исторіи съ на-
уками естествовѣдѣніемъ и ариѳметикой устанавливаю харак-
теристическую особенность абстрактной науки, какъ науки о
томъ, какимъ долженъ быть предметъ, какъ науки о типахъ,
образцахъ и норм ахъ, съ которыми сравниваются реальные
предметы и ихъ свойства. Затѣмъ примѣрами, взятыми изъ
дѣтской жизни, выясняю, какую пользу получаетъ человѣкъ
отъ изученія абстрактной науки.
Геометрія—наука абстрактная, a значитъ цѣль и значе-
ніе ея объясняются цѣлью и значеніемъ абстрактныхъ наукъ
вообще. Прямой линіи не существуетъ,—это вѣрно, но зато
существуетъ много тѣлъ, которые ограничены линіями, очень

похожими на прямыя. Геометрія какъ бы говоритъ изучающе-
му ее: «вотъ тебѣ образцовыя фигуры и ихъ свойства. Смотри,
на какую изъ изученныхъ тобою фигуръ болѣе всего похожа
та, свойства которой тебя интересуютъ? Если она похожа, напр.,
на кругъ, то примѣни къ ней свойства круга въ полной увѣ-
ренности, что свойства круга къ ней будутъ примѣнимы тѣмъ
вѣрнѣе, чѣмъ больше на кругъ она похожа.
Послѣ намѣченнаго въ общихъ чертахъ логическаго вве-
денія можно безбоязненно отправиться въ путь изслѣдованія
геометрическихъ истинъ, въ полной увѣренности, что немалый
трудъ, затраченный преподавателемъ на это введеніе, прине-
сетъ обильные плоды».
III. Методъ обученія математикѣ въ старой и новой школѣ.
Докладъ К. Ѳ. Лебединцева (Москва).
(См. «Математическое Образованіе», 1911 г., X 1, и
1912 г., № 2).
Тезисы.
1) Традиціонный абстрактно-дедуктивный методъ обученія
математикѣ является недостаточно обоснованнымъ психологи-
чески и на практикѣ встрѣчается съ серьезными препятствіями.
2) Поиски новаго метода должны привести не къ кон-
фликту, a къ синтезу научно-математической и педагогической
точекъ зрѣнія.
3) Въ учебномъ предметѣ нельзя утверждать чего-либо
противорѣчащаго научнымъ даннымъ, нельзя и пользоваться
такими способами объясненій, которые содержатъ логическій
дефектъ; въ соблюденіи этихъ условій и заключается науч-
ность курсовъ, преподаваемыхъ въ средней школѣ.
4) Въ учебномъ предметѣ можно и должно, въ случаѣ
надобности, вмѣсто дедуктивнаго доказательства той или иной
математической истины заставлять учащихся убѣждаться въ
справедливости ея индуктивнымъ путемъ, на цѣлесообразно

подобранныхъ конкретныхъ примѣрахъ; можно и должно, въ
подходящихъ случаяхъ, сообщать неполныя опредѣленія, съ
тѣмъ, чтобы впослѣдствіи ихъ расширять. Такова педагогиче-
ская точка зрѣнія.
5) Методъ преподаванія математики въ теченіе курса
средней школы долженъ постепенно видоизмѣняться сообразно
развитію логическихъ способностей учащихся, и въ этомъ раз-
витіи можно намѣтить три цикла:
6) Первый циклъ соотвѣтствуетъ отроческому возрасту
учащихся 10—13 л. (когда изучается ариѳметика, начальныя
свѣдѣнія по алгебрѣ и, согласно современнымъ воззрѣніямъ^
такъ назыв. конкретная геометрія). На этой ступени усвоеніе
новыхъ понятій и истинъ должно итти исключительно кон-
кретно-индуктивнымъ путемъ, съ широкимъ примѣненіемъ
такъ назыв. лабораторныхъ пріемовъ.
7) Второй циклъ соотвѣтствуетъ переходному возрасту
13—16 л. (въ которомъ изучается основной курсъ алгебры и
такъ назыв. систематическій курсъ геометріи со включеніемъ
началъ тригонометріи). На этой, именно, ступени должно на-
чаться развитіе дедуктивныхъ пріемовъ усвоенія новыхъ истинъ,
наряду съ индуктивными, и должны быть, насколько можно,
приведены въ логическую связь между собою важнѣйшія
истины, изученныя до сихъ поръ чисто эмпирически.
8) Третій циклъ соотвѣтствуетъ юношескому возрасту
16—18 л. (когда должны, согласно современнымъ воззрѣніямъ,
изучаться основы высшаго анализа и должно идти системати-
зирующее и обобщающее повтореніе основъ всего курса мате-
матики). Здѣсъ дедуктивные пріемы должны получить полное
свое развитіе, не вытѣсняя, впрочемъ, конкретно-индуктивнаго
метода при изложеніи существенно новыхъ истинъ.
9) На всѣхъ ступеняхъ обученія должно быть обращено
вниманіе на установленіе тѣсной связи между различными
отдѣлами математики между собою и съ другими науками, а
характеръ практическихъ упражненій долженъ быть близокъ
къ окружающей дѣйствительности.