Макляк Н. М. Психология усвоения арифметических операций учениками первого класса : автореф. — 1955

В связи с задачами дальнейшего улучшения учебно-воспитательной работы нашей общеобразовательной школы в свете исторических решений XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза особенную актуальность приобретает изучение усвоения школьниками основ наук и, в частности, овладение ими арифметическими знаниями. Повышение качества их усвоения учениками требует усовершенствования методического руководства этим процессом со стороны учителя, что, в свою очередь, обусловливает необходимость более детального изучения данного конкретного вида познавательной деятельности детей. Хотя в этом направлении у нас проведена значительная работа, однако и до настоящего времени еще не получил своего достаточного освещения ряд важнейших вопросов методики и психологии обучения арифметике. К числу их надо отнести и вопрос об особенностях процесса усвоения арифметических знаний первоклассниками, о тех трудностях, с которыми они встречаются при овладении программным материалом по арифметике. Между тем эти трудности, как показывает школьная практика, далеко не всегда успешно преодолеваются учениками, о чем говорит сравнительно высокий процент их неуспеваемости по этому учебному предмету.

В данной работе и была поставлена задача осветить особенности овладения учениками первого класса арифметическими операциями, выявить типичные трудности, с которыми встречаются первоклассники при овладении арифметическими операциями, их причины и наиболее эффективные пути их преодоления.

Марксистко-ленинское учение о значении языка для мышления, о роли его в познавательной деятельности человека, получившее свое дальнейшее развитие в трудах И. В. Сталина по вопросам языкознания, дает неопровержимые основания изучать мыслительные процессы по их речевым проявлениям, по-новому раскрыть соотношение чувственного и логического, конкретного и абстрактного, образа и слова в процессе усвоения учениками арифметических операций.

При решении поставленной задачи была использована литература по данному вопросу, результаты систематических на-

блюдений на уроках арифметики в 1-ом классе, изучения методов и приемов работы учителей, контрольные работы и данные специальных индивидуальных занятий с учениками, которым трудно давалось усвоение программного арифметического материала. С целью выяснить, с каким уровнем развития числовых представлений приходят семилетки в школу, был проведен ряд наблюдений и экспериментальных занятий с детьми дошкольного возраста. Исследования проводились в 1948— 1953 гг. в 1-х классах школ №№ 92, 155 г. Киева, №№ 4, 23, 50 г. Запорожья, в детском саду № 1 г. Прилуки и детских садах №№ 1, 3 г. Киева.

Результаты этих исследований изложены в данной работе, состоящей из следующих разделов: 1) Вступление, 2) Состояние освещения данного вопроса в литературе, 3) Задачи и методика исследования, 4) Овладение детьми счетом, 5) Усвоение учениками 1-го класса действий сложения и вычитания, 6) Особенности усвоения первоклассниками действий умножения и деления, 7) Выводы.

***

Ценный вклад в разработку вопросов психологии усвоения учащимися арифметических операций на первых его этапах сделали наши передовые отечественные педагоги и методисты арифметики.

Великий русский педагог и психолог К. Д. Ушинский отстаивал ведущее значение руководимой учителем сознательной активности учащихся в усвоении ими понятия о числе и действий над числами. Арифметика, по его словам, должна преподаваться в школах так, чтобы каждый ученик оперировал знаками действий и числовыми величинами «...с таким же ясным сознанием, с каким он пишет самые обычные, понятные для него слова». Ушинский придавал огромное значение в сознательном усвоении учащимися арифметических знаний наглядности и овладению ими арифметическим языком, «от непривычки к которому ...главным образом, бывает неуспех в изучении арифметики», а также подчеркивал важную роль в усвоении арифметических действий образования числовых ассоциаций, функционирующих в языковой форме.

Принцип сознательности в усвоении арифметических операций выдвигали на первый план и передовые русские методисты арифметики (П. С. Гурьев, Ф. И. Егоров, К. А. Аржеников, А. И. Гольденберг и др.). Они ставили перед учителем требование добиваться понимания учащимися арифметических действий, используя для этой цели наглядность на уроках арифметики, умелый переход от действий над множествами предметов к абстрактным действиям над числами. Трудности,

с которыми встречаются школьники при начальном изучении арифметики, они рассматривали, как явления, причины которых коренятся прежде всего в содержании и организации самого учебного процесса, в методах руководства познавательной деятельностью детей, а не в каких-то наследственных их особенностях. «...В педагогике, — отмечал Л. Н. Толстой, — в неуспехах виноватым не может быть ученик, а всегда учитель».

В работах передовых русских дореволюционных методистов мы находим много ценных мыслей по данному вопросу, свидетельствующих о том, что их авторы стояли принципиально выше не только современных им, но и нынешних зарубежных методистов и психологов, занимающихся вопросами усвоения детьми арифметических операций.

Исходя из идеалистических позиций в понимании природы числа и умственного развития ребенка, зарубежные психологи и методисты, разделяющие априорную кардинальную или ординальную концепцию числа, либо эклектически их соединяющие, обнаруживают свою полную несостоятельность в решении вопроса о развитии понятия числа у детей, усвоении детьми арифметики. Своими псевдонаучными «теориями» они пытаются «обосновать» классовую реакционную политику буржуазии в области обучения и воспитания детей. Так, этой цели служит «психологическое обоснование» методов преподавания арифметики, разрабатываемое американскими буржуазными психологами и направленное на то, чтобы обеднить до крайних пределов содержание тех арифметических знаний, которые предлагаются детям трудящихся, и ограничить объективные возможности их умственного развития.

Полное игнорирование принципа сознательности в усвоении арифметических знаний является характерным для той концепции «психологии арифметики», которую развивает Э. Торндайк, идеологический оруженосец разбойничьего американского империализма. Разлагая арифметические действия на ряд элементарных операций и сводя последние к навыкам, он все обучение арифметике превращает в механические упражнения, в выработку у учащихся отдельных связей, при чем эту методику механической дрессуры в обучении Торндайк предлагает для элементарной школы, в которой обучаются дети трудящихся.

Появление тех или иных трудностей в усвоении детьми арифметических знаний буржуазные психологи пытаются объяснить наследственными и возрастными особенностями детей, отрицая тем самым ведущую роль методов обучения в возникновении и преодолении этих трудностей. В работе дается критика антинаучного, фаталистического истолкования бур-

жуазными психологами ошибок школьников в арифметических операциях (Веймер, Кислинг, Земан, Корн и др.).

Качественно новым этапом в разработке вопросов усвоения детьми понятия числа и действий над числами являются работы советских методистов арифметики, учителей и психологов.

Исходя из диалектико-материалистического понимания процесса обучения, продолжая и развивая прогрессивные идеи прошлого, обобщая опыт работы нашей школы, советские методисты сделали значительный вклад в научное выяснение основных вопросов обучения арифметике. Особенно успешно развернулась эта работа после исторических решений ЦК ВКП(б) о начальной и средней школе и о педологических извращениях в системе Наркомпросов.

В трудах советских методистов арифметики и психологов нашел свою дальнейшую разработку принцип сознательности в усвоении учащимися арифметических знаний, начиная с первых его этапов (работы Н. А. Менчинской, А. С. Пчелко, А. М. Астряба, Н. С. Поповой, Н. Н. Никитина и др.). В ряде работ советских психологов и методистов освещается вопрос о путях формирования у детей числовых понятий и действий над числами, показывается значение опытного познания множеств предметов и языка в этом процессе (работы Н. А. Менчинской, А. М. Астряба, Г. С. Костюка, Л. А. Яблокова, Ф. Н. Блехер, Е. Н. Корзаковой), освещаются вопросы применения наглядности на уроках арифметики, перехода от счета к арифметическим действиям, формирования арифметических навыков, решения арифметических задач, дается характеристика ряда трудностей, с которыми встречаются учащиеся при этом и пр. Добытые советскими методистами и психологами данные и выводы облегчают задачу постановки и успешного решения тех вопросов психологии первоначального усвоения арифметических операций школьниками, которые еще не нашли своего достаточного выяснения, в частности, вопроса, который явился предметом данного исследования.

***

Понятие числа, как и все другие понятия, является «мысленным отражением» вещей, возникающим на основе опыта. «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления» (Ф. Энгельс). Числовые понятия сформировались у людей исторически в связи с развитием у них способности отвлекаться от всех других свойств вещей, кроме их количественных отношений, способности, которая является «результатом долгого, опирающегося на опыт, исторического

развития» (Ф. Энгельс). Существенную роль в процессе их развития сыграл язык, являющийся средством обмена мыслями между людьми и вместе с тем орудием абстрагирующей работы человеческого мышления. Классические положения И. В. Сталина о языке как общественном явлении, его неразрывной связи с мышлением, его роли в развитии мышления имеют основополагающее значение для правильного понимания исторического возникновения числовых понятий и их усвоения детьми.

Формирование понятия числа у детей начинается, как известно, еще до школы. Существенную роль в этом процессе играет опытное познание детьми множества конкретных предметов, их восприятие, практическое оперирование ими и усвоение числительных, с помощью которых совершается абстрагирование ими количественных отношений вещей. Познание детьми этих отношений представляет собой сложнейшую аналитико-синтетическую работу их мозга, начинающуюся в первой сигнальной системе, продолжающуюся и развивающуюся во второй сигнальной системе в ее взаимодействии с первой корковой системой. На разных этапах этого процесса имеет место разное соотношение восприятия множества предметов, практического оперирования ими и счета. Роль счета постепенно все более возрастает по мере овладения им детьми, уступая затем ведущее место в процессе дальнейшего развития понятия числа арифметическим действиям.

Процесс овладения детьми числовыми понятиями зависит прежде всего от организации их познавательной деятельности взрослыми и методов руководства ею. При этом роль специального обучения (как это показали исследования Е. Н. Корзаковой и др.) с возрастом все время повышается. Сказываются на темпах овладения детьми числом и их индивидуальные особенности. Овладение счетом детьми требует развития у них способности при рассмотрении конкретных предметов абстрагироваться от всех прочих их свойств кроме числа, а это в свою очередь предполагает выработку у них умения выделять в воспринимаемой их совокупности отдельные предметы, соотносить с ними по порядку усвоенные числительные и с помощью последнего из названных числительных схватывать количество предметов данной конкретной их совокупности.

В основе этого сложного для ребенка умения лежит образование целого ряда временных нервных связей в первой и второй сигнальной системах.

Взаимоотношение одних и других нервных связей на разных уровнях овладения счетом и простейшими действиями над числами постепенно изменяется в сторону все возрастающей

роли словесных сигналов, постепенного перехода к более высоким уровням, на которых эти действия начинают функционировать, как «...корковые процессы, возникающие под влиянием словесных воздействий и получающие свое внешнее выражение в словесных же реакциях или в их торможении» (А. Г. Иванов-Смоленский).

При овладении началами счета дошкольники встречаются с целым рядом трудностей, значительная часть которых преодолевается к моменту поступления их в школу, но у разных детей в разной степени. Если у детей среднего дошкольного возраста, как показывают полученные нами опытные данные, довольно частыми являются трудности неарифметического характера, например, затруднения в координации называния числительных и выделения элементов пересчитываемой совокупности предметов (по нашим данным они лежат в основе 20—25% ошибок детей этого возраста в счете), то для детей старшего дошкольного возраста эти трудности являются уже мало характерными.

Фактические достижения в овладении счетом ко времени поступления в школу у разных детей весьма различны. Из 72-х семилеток, у которых мы в первые дни посещения школы изучили эти достижения, в пределах пяти считали 3, в пределах десяти — 26, в пределах двадцати — 31, в пределах ста— 10 детей, свыше ста — 2 детей. Особенно высокие результаты в этом отношении показали дети, воспитывавшиеся в детских садах. Умение применять называемые числительные у большинства детей значительно отставало от их последовательного воспроизведения. В отдельных случаях имели место затруднения в абстрагировании количества предметов от других свойств предметов. Многим детям трудно было считать непосредственно не данные предметы (по памяти). В счете одновременно воспринимаемых объектов дети допускали в полтора раза меньше ошибок, нежели в счете объектов, следующих один за другим во времени. Хорошо владея прямым счетом, дети-семилетки в большинстве случаев не справлялись с обратным счетом, что свидетельствует о негибком еще, инертном характере лежащих в его основе временных нервных связей. Некоторые дети также не справлялись с заданием считать, начиная не с единицы, а с любого пункта натурального ряда чисел. Большинство детей, определяя количество предметов, пользовались их пересчетом по единице, некоторые владели простейшими видами группового счета и самыми элементарными действиями над небольшими числами. Учет этих различий в овладении детьми счетом при поступлении их в школу имеет существенное значение в правильной организации работы по арифметике в первом классе.

Обучение детей в школе является качественно новым этапом в развитии их познавательной деятельности. Оно знаменует собой также качественно новый этап в формировании у них понятия о числе и действий над числами. Задача учителя в самом начале этого этапа заключается в том, чтобы укрепить прямой счет у детей, которые им еще недостаточно владеют, научить их считать с любого пункта натурального ряда чисел, помочь овладеть обратным счетом, сделав таким образом гибкими связи, лежащие в его основе, перейти от присчитывания и отсчитывания по единице к счету группами, от разложения множеств предметов к разложению чисел, познанию их состава, т. е. их взаимных отношений друг к другу, к действиям над числами, устным и письменным вычислениям, их варьированию и выработке наиболее рациональных приемов их выполнения.

При переходе от счета к арифметическому действию важное значение имеет умение учителя дать возможность детям правильно понять цель этого действия (не просто «сосчитать», а «прибавить», «отнять», «найти сумму двух или нескольких чисел» и т. п.), научить их правильно пользоваться знаком действия и выработать, опираясь на достижения детей в групповом счете, соответствующие новой цели способы действия. Овладение первоклассниками арифметическими действиями требует дальнейшего развития у них анализа и синтеза, выработки систем временных нервных связей, ассоциаций в первой сигнальной системе и их обобщения во второй сигнальной системе. Выполнение арифметического действия требует наличия определенных средств, с помощью которых оно осуществляется. Таковыми являются ранее выработанные системы ассоциаций, лежащие в основе закрепленного в словах знания состава чисел, результатов их сложения и разложения, арифметических навыков, необходимых для овладения новыми, более сложными действиями.

Арифметические операции формируются у детей на основе счета и практических их действий с множествами предметов путем постепенного абстрагирования количественных соотношений между ними. Успешное протекание этого процесса зависит, как показывают наши данные, от того, как обеспечивается постепенность перехода детей от конкретных действий над предметами к отвлеченным вычислениям в уме, основным средством выполнения которых является слово. В тех классах, где учителя, видимо, ориентируясь на наиболее подготовленных учеников, очень поспешно переводят детей от наглядности к отвлеченным операциям над числами, у многих детей возникает целый ряд специфических трудностей, о наличии которых

свидетельствуют факты формального оперирования ими числами. С другой стороны, чрезмерная задержка детей на тренировке в прямом счете, которым они уже хорошо владеют, на пересчитывании небольших наглядно данных совокупностей предметов приводит к тому, что у них задерживается выработка отвлеченного понятия числа, переход к арифметическим операциям.

Переход от предметных действий к отвлеченным арифметическим операциям осуществляется постепенно. Этапы этого перехода, как они выделяются и в литературе, сводятся к следующим: пересчитывание, присчитывание и отсчитывание по одному, счет группами и выполнение арифметического действия (сложения или вычитания) путем непосредственного припоминания результатов. Некоторые из этих этапов требуют более детального анализа. В частности, присчитывание является для детей различным по своей трудности заданием в зависимости от того, приходится ли им присчитывать определенное наглядно данное количество предметов или отбирать из большой совокупности предметов нужное их количество. Выполнение задания в последнем случае оказывается более трудным для детей процессом, о чем говорит и тот факт, что они допускают при этом обычно в два-три раза больше ошибок, чем в случае присчитывания готовой совокупности. То же следует сказать и относительно отсчитывания, которое во всех своих видах является вначале более трудным для детей, чем присчитывание. Важным шагом на пути к отвлеченному вычислению является счет группами.

В основе каждого из этих способов определения количества предметов лежит образование и применение ассоциаций различной степени сложности. Если в пересчитывании актуализируется последовательный ряд единичных словесных ассоциаций, каждая из которых соотносится с каждым предметом пересчитываемой совокупности, а последнее из воспроизводимых числительных выступает в качестве обобщающей ее количественной характеристики, то в действиях над числами, полностью освобожденных от связанности наглядными предметами, имеет место функционирование систем ассоциаций, обобщенных во второй сигнальной системе.

Материалы наблюдений во время уроков, индивидуальных занятий с учениками первых классов и изучения контрольных работ, выполненных ими, дают возможность осветить некоторые характерные трудности, с которыми встречаются первоклассники при усвоении действий сложения и вычитания. Показателями этих трудностей являются типичные ошибки, встречающиеся у них при выполнении этих действий.

У части детей эти ошибки бывают связаны с недостаточ-

ным осознанием смысла того или иного действия. О недостаточном понимании смысла действия некоторыми первоклассниками говорят и ошибки замены действий (например, вычитания сложением), «инерции действия» в случаях, когда замена действия обусловливается влиянием ранее выполненных действий, персеверации и т. д. Ошибки, причиной которых является неадекватное осознание чисел, данных в примерах, чаще встречаются в сложении и вычитании с переходом через десяток. Данные наблюдений показывают, что такие ошибки чаще имеют место там, где учителя поспешно переходят к отвлеченным действиям, в частности, письменным вычислениям, резко отделяют изучение чисел второго десятка от изучения чисел первого десятка. Ошибки данного типа связаны со слабой подвижностью нервных процессов, влиянием ранее выработанных стереотипов на выполнение новых действий, недостаточно тонкой дифференцировкой у некоторых учеников элементов арифметического примера. Хотя в целом ошибки данного типа, как показывает анализ контрольных работ, составляют в среднем всего 5—10% общего числа наблюдающихся у них ошибок, однако преодолеваются они гораздо медленнее, чем другие виды ошибок. Важную роль в их преодолении, кроме правильной организации системы упражнений, играет также воспитание у первоклассников активного внимания и самоконтроля в учебной работе.

Наибольшими по своей частоте (в среднем 50—60% общего количества ошибок) в действиях сложения и вычитания являются ошибки, связанные с несоответствием новым заданиям тех средств, которыми пользуются некоторые первоклассники, выполняя задания. Особенно типичными в таких случаях являются ошибки, связанные с неправильной репродукцией табличных результатов, ошибки, причиной которых является нетвердое знание состава чисел, недостаточность упражнений в их разложении. Кроме этого, на самых первых этапах изучения сложения и вычитания среди ошибок данной категории значительный процент составляют ошибки, причиной которых является недостаточное овладение групповым и обратным счетом.

Появление ошибок данного типа, надо полагать, связано с тем, что актуализирующиеся системы связей, ранее выработанные динамические стереотипы не соответствуют тем конкретным условиям, в которых они применяются. Строгая постепенность в переходе к новым и более трудным заданиям, закрепление каждого достижения — основное условие предупреждения таких явлений. «Главное — постепенность, тренировка. В клинике и педагогике это необходимо считать основным правилом» (И. П. Павлов).

Среди ошибок следующей группы, причины которых следует выявлять, анализируя способы выполнения арифметических действий (эти ошибки составляют 25—30% общего числа всех ошибок), наиболее часто встречаются ошибки, возникающие вследствие использования первоклассниками нерациональных вычислительных приемов при сложении и вычитании, оказывающихся мало эффективными при решении более сложных примеров. Особенно это проявляется там, где открываются более широкие возможности варьирования вычислительных приемов, опирающегося на знание состава чисел (например, в действиях с переходом через десяток). Одни из этих приемов оказываются менее, другие более рациональными.

Кроме этого, выбирая тот или иной прием, ученики, как показывают данные наблюдений, прибегают при этом к рассуждению, сравнению, сопоставлению данных числовых комбинаций с теми, которые им уже известны, что также нередко приводит к появлению ошибок.

Ошибки данной группы также свидетельствуют о том, что у тех учащихся, которые их допускают, тонкость их аналитико-синтетической деятельности не соответствует тем требованиям, которые к ней предъявляет решение таких примеров. В ряде случаев здесь имеет место и недостаточная согласованность функционирования связей в двух сигнальных системах, сказывающаяся в том, что некоторые ученики оперируют числами и цифрами, не соотнося их надлежащим образом с объективно существующими соотношениями между предметами реальной действительности. В устранении ошибок этой группы, помимо указанных выше условий, важное значение имеет помощь учащимся в выработке наиболее рациональных приемов вычисления.

***

Действия умножения и деления на первых порах усваиваются первоклассниками при помощи предметных действий и ранее изученных арифметических операций. Сначала они выполняются ими посредством сложения и вычитания путем актуализации числовых ассоциаций, выработанных при усвоении этих действий. Под влиянием упражнений в выполнении новых действий происходит группировка, объединение ранее выработанных числовых ассоциаций, их обобщение. Закрепление таких обобщений, систем ассоциаций лежит в основе запоминания учащимися таблицы умножения, дающего затем возможность им при восприятии примера сразу находить результат действия, минуя те опосредующие звенья, которые необходимы им были на первых этапах усвоения умножения и деления.

В осознании цели новых арифметических действий первоклассники, как показывают данные наблюдений и анализ допускаемых ими в контрольных работах ошибок, не встречают больших трудностей в условиях, если им конкретно показана специфика этих новых действий. Встречающиеся по этой линии ошибки выражаются в замене одних действий другими. Чаще всего умножение заменяется сложением. Довольно характерными для некоторых учеников на данном этапе являются ошибки «инерции действия» и персеверации, особенно там, где им приходится решать структурно одинаковые примеры, в которых действия или числа повторяются и т. д.

При выполнении умножения и деления главная часть трудностей первоклассников связана бывает с недостаточным овладением ими средствами, необходимыми для их выполнения. Это является причиной около ²/₃ общего количества ошибок, встречающихся в контрольных работах, проанализированных нами. Среди этих ошибок наибольшую частоту имеют ошибки неправильной репродукции учащимися табличных результатов, довольно типичными, особенно на первых этапах овладения умножением и делением, являются также ошибки, связанные с тем, что учащиеся выполняют эти действия при помощи сложения и вычитания. Недостаточно владея сложением и вычитанием, будучи иногда еще связанными наглядными средствами при их выполнении (например, пальцами), некоторые учащиеся в силу этого затрудняются в решении примеров на умножение и деление, допускают ошибки.

Появление ряда трудностей, с которыми встречаются ученики первого класса при выполнении умножения и деления, бывает связано также с тем, что эти действия предъявляют к ним значительно большие требования в отношении выбора способов их выполнения, особенно в сложных примерах, включающих ряд различных действий. Наиболее типичными среди ошибок данной группы (около 15—20% общего количества ошибок) являются ошибки, вызванные применением нерациональных способов вычисления, а также ошибки в примерах на порядок действий, связанные с тем, что учащиеся иногда игнорируют скобки, не соблюдают правильной последовательности в выполнении действий и т. д. Поскольку такие комбинированные задания являются особенно сложными, допускающими применение самых разнообразных приемов их выполнения, большое внимание здесь должно быть уделено выработке у учащихся наиболее эффективных, рациональных и надежных приемов вычисления.

***

Таким образом, усвоение арифметических операций школьниками представляет собой действенное познание ими коли-

чественных отношений вещей, осуществляемое под руководством учителя. Абстрагирующая работа мышления детей, необходимая для их усвоения, имеет свою чувственную основу в восприятии множеств конкретных предметов и в практическом оперировании ими. Познание детьми этих множеств начинается с ощущений, восприятий, представлений о них. «Вне этих образов, восприятий, представлений мысль пуста, лишена всякого содержания, то-есть она не существует» (И. В. Сталин). Усваивая понятие числа, дети совершают при этом диалектический переход от живого созерцания множеств конкретных предметов к первым начаткам отвлеченного мышления. Этот переход осуществляется с помощью языка. Являясь средством общения учеников и учителя, язык, усваиваемые учениками числительные выступают вместе с тем и как орудие абстрагирования и обобщения познаваемых детьми количественных отношений вещей. Здесь, как и всюду, «реальность мысли проявляется в языке» (И. В. Сталин). С помощью слов из практических действий с множествами предметов вырабатываются арифметические действия, характеризующиеся своими специфическими целями, средствами и способами достижения. Понятие числа в его отношении к другим числам вырабатывается у первоклассников путем действий с числами, арифметических операций, вместе с тем оно становится существенной предпосылкой успешного осуществления этих операций.

В процессе усвоения учениками арифметических операций имеет место тесное взаимодействие двух сигнальных систем, принимающее на разных этапах этого процесса разный характер, сказывающийся в своеобразном соотношении образа, практического действия и слова. Усвоение понятия числа первоклассниками требует выработки целого ряда междусигнальных связей и последующей их систематизации, объединения, обобщения во второй сигнальной системе, открывающей возможности освобождения арифметических операций от связанности их наглядным материалом и быстрого их применения к любым объектам. Однако и на этом этапе усвоения детьми понятия числа наглядное не исчезает в выполняемых ими отвлеченных арифметических операциях, а претерпевает качественные изменения, выступая в виде обобщенных представлений о тех или иных количествах. Эта связь словесного с наглядным имеет очень важное значение в сознательном усвоении первоклассниками арифметических операций. Слова являются могущественнейшим средством обобщения и абстрагирования, но, употребляя их, ученики должны «разуметь за ними действительность» (И. П. Павлов). Иначе эти слова могут превратиться в названия, лишенные конкретного содержания, как это случается иногда с цифровыми обозначениями

у учащихся, которые механически запоминают комбинации цифр, не понимая конкретного их смысла.

Отсюда вытекает важность стоящей перед каждым учителем первого класса задачи: обучая детей умело сочетать наглядность и слово, обеспечивать ведущую роль в формировании арифметических операций слова, прочно опирающегося на наглядность, широко используя наглядность на первых этапах обучения арифметике, как источник чувственных данных и опору умственных действий детей, заботиться о том, чтобы применение ее помогало учащимся осознавать арифметическую сторону выполняемых ими заданий; варьировать ее так, чтобы она облегчала ученикам абстрагирование количественных отношений вещей от прочих их свойств и пространственного их расположения; добиваться того, чтобы ученики сами как можно больше оперировали наглядными предметами. Чтобы предупредить формальное усвоение учащимися табличных результатов, не следует на первых порах особенно акцентировать употребление цифр, уделяя достаточное внимание устным вычислениям, на которые должны опираться письменные вычисления.

Усвоение арифметических операций первоклассниками проходит успешно там, где учитель обеспечивает строгую постепенность в переходе от простых заданий к более сложным, благодаря которой образование новых связей опирается на ранее выработанные и закрепленные связи, а последние используются для достижения новых целей. При соблюдении строгой последовательности создаются наиболее благоприятные условия для дифференциации образуемых связей, их обобщения, выработки их гибкости, подвижности. О важности строжайшей последовательности в изучении арифметических операций говорит и тот факт, что подавляющее большинство ошибок при выполнении первоклассниками всех четырех арифметических действий относится за счет недостаточного овладения ими необходимыми средствами их выполнения.

Размеры и характер трудностей, с которыми встречаются первоклассники при усвоении арифметических операций, зависят от того, как учитель следит за особенностями этого усвоения, как он предвидит трудности, с которыми могут встретиться ученики, как он облегчает им преодоление этих трудностей, как он учитывает, начиная с самых первых уроков арифметики, особенности овладения счетом и арифметическими действиями каждым учеником и осуществляет индивидуальный подход к ученикам в процессе обучения.

Поскольку счет на первых порах является важнейшим способом выполнения арифметических операций, необходимо предлагать учащимся разнообразные упражнения в счете (счет

прямой и обратный, счет группами, группами с началом отсчета от разных пунктов натурального ряда чисел, счет объектов, следующих один за другим во времени, упражнения с карточками, на которых написаны числа натурального ряда и т. д.).

При овладении учащимися действиями сложения и вычитания особенное внимание необходимо обратить на те случаи, когда учащийся не помнит верхнего и нижнего «предела», до которого производится присчитывание или отсчитывание. Опыт работы учителей показывает, что наиболее целесообразной является такая последовательность в изучении первых арифметических действий, когда сначала проходят сложение чисел первой пятерки, затем вычитание этих же чисел и, наконец,— изучение сложения и вычитания в пределах первого десятка. При изучении действия сложения и вычитания в первом классе особенно важное значение имеет прочное овладение учащимися составом чисел первого десятка, а также усвоение ими таблиц сложения и вычитания. Предупреждая возможность появления трудностей при изучении действий сложения и вычитания с переходом через десяток, следует избегать резкого отделения операций над числами второго десятка от операций над числами первого десятка, применяя разные приемы перехода через десяток, а также упражняя учащихся в прямом и обратном счете в пределах двадцати. При изучении действий сложения и вычитания в пределах двадцати полезно также давать упражнения в счете предметов в пределах ста.

Учитывая то обстоятельство, что учащиеся при выполнении арифметических действий пользуются самыми разнообразными способами вычисления, необходимо добиваться того, чтобы они в совершенстве овладевали наиболее рациональными приемами. Особенное значение приобретает овладение этими способами при решении сложных примеров, требующих соблюдения определенного порядка действий.

При изучении действий умножения и деления очень важное значение имеет четкое доведение до сознания детей специфики каждого из этих действий. В частности, оно дает возможность предупреждать появление ошибок, сказывающихся в замене одних действий другими, особенно умножения сложением. Учитывая исключительно важную роль последовательности в изучении действий умножения и деления, необходимо обратить серьезное внимание на прочное овладение учащимися соответствующими средствами их выполнения, на усвоение табличных результатов, в частности — таблицы умножения.

Важное значение при изучении действий умножения и деления имеет также решение учащимися примеров, в которых надо соблюдать определенный порядок действий, способствую-

щее четкому осознанию ими различия между действиями первой и второй ступени.

Поскольку некоторые ошибки учащихся при выполнении ими умножения и деления нередко бывают связаны с неправильными рассуждениями, необходимо систематически приучать их делать последовательные, четкие и обоснованные умозаключения, предлагать учащимся рассуждать вслух, добиваясь сначала правильных развернутых рассуждений, а потом, по мере овладения арифметическими операциями, — постепенного их сокращения, автоматизации устных и письменных вычислений. Это является важным условием сознательного усвоения учащимися арифметических действий.

В данном исследовании изучались самые первые этапы овладения учащимися арифметическими операциями. Изучение этого вопроса имеет важное значение не только для практики преподавания арифметики в первом классе. Оно дает материал, проливающий свет на развитие абстрагирующего мышления детей в процессе овладения учебными предметами, на процесс формирования у них понятий.