Пиаже Ж. и др. Преподавание математики. — 1960

Глава 1.
СТРУКТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ОПЕРАТОРНЫЕ
СТРУКТУРЫ МЫШЛЕНИЯ1.
Жан Пиаже.
I.
Станем на практическую точку зрения педагога, задачей ко-
торого является преподавание математических истин, или на тео-
ретическую точку зрения эпистемолога*, размышляющего о сущ-
ности математических объектов, тогда центральная проблема
представится в двух аспектах: порождены ли математические со-
отношения деятельностью ума или эта деятельность только от-
крывает их, как некую внешнюю реальность, действительно суще-
ствующую. Эта проблема, такая же древняя, как восточная фило-
софия, с современной точки зрения может быть поставлена, как
одна из проблем психологии и даже психологии ребенка. Одна из
задач изучения умственного развития заключается в том, чтобы
установить: достаточны ли действия субъектов и операции мысли
для получения конструкции математических объектов или эти
последние были открыты извне, как физические сущности с их
объективными свойствами. Таковыми являются также объекты,
созданные синтагмами языка, присущими социальной группе дан-
ного индивидуума. (Нам известно, что взаимосвязь между объек-
тами логико-математическими и лингвистическими признается
значительным числом логистов и основана или на теории конвен-
ционалистов, или на теории платоников.) [1]
И вот если методы приближения к разрешению этой вечной
проблемы могут быть улучшены путем обращения к генетической
1 Статья, которая составляет эту главу, обсуждалась на конференции в
Решепте около Милана в 1952 г. Этот коллоквиум, посвященный, между про-
чим, изучению математических и психологических структур, начинался сообще-
нием г. Дьедонне по первой из этих тем. Доклад, который следовал за ним,
отвечал на доклад Дьедонне с точки зрения психологической. Вот поэтому он
часто ссылается на тезисы этого автора, не резюмированные в настоящей
статье, но согласованные с тезисами Бурбаки в целом. (См. Бурбаки «Строе-
ние математики" в книге "Главные направления математической мысли», из-
данной Ф. Ле Лионне).
Bourbaki. L' architecture des mathématiques in Les grands courants de la
pensée mathématique, édité par F. Le Lionnais, 1948 (см. прим. [3]).
* Эпистемология — наука о законах познания (от греческого—επιστήμη—
знание).

психологии, то сами понятия проблемы были недавно обновлены
благодаря работам Бурбаки в области строения математики и бла-
годаря фундаментальной роли, отведенной в этих работах понятию
«структуры».
Основой общего здания математики долгое время считались
некоторые простые объекты, рассматриваемые более или менее
изолированно друг от друга. Это были целые числа, которые
Кронеккер приписывал самому богу, противопоставляя их всем
остальным числам, изобретенным человечеством.^ Это были точка,
линия и т. д., композиции которых порождали пространство. Но
это всегда были вещи, данные сами в себе, которые наш разум
привлекал или для созерцания, если он еще не осознал роли опера-
ций, или для манипуляций над ними, если он употреблял их как
простые элементы, как средства производства, которые использует
каменщик, чтобы зацементировать первоначальный материал при
постройке стены или дома.
Но если в основу положить понятие структуры и если благо-
даря ему познание переходит одновременно от простого к сложному
и от общего к частному, то перспективы будут совершенно иные.
Структура, как например «группа», есть система операторная,
и возникает вопрос, существуют ли до нее эти чрезвычайно разно-
родные элементы, над которыми оперирует структура, т. е., други-
ми словами, имеют ли они значение достаточно независимое от
нее или, наоборот, они суть результат действия структуры — дей-
ствия не вполне ясного вначале, потому что порядок сознания
противоположен порядку генезиса, которым определяются эти
элементы. Более точно, психологическая проблема (а это един-
ственная, которую мы будем иметь в виду) заключается в том,
чтобы выяснить: или объекты, служащие элементами структуры,
представляют собою результат операций, которые их породили,
или они предшествовали операциям, последовательно включаясь
в них. [2]
Перестройка, которую вносит идея структуры в ход определе-
ний и доказательств, играет существенную роль в этом отношении.
Вместо того чтобы определять элементы изолированно, путем со-
глашения или конструктивно, структурное определение состоит
в том, чтобы характеризовать их путем операторных взаимоотно-
шений, которыми определяются их функции в системе.
Структурное определение элемента будет иметь место при до-
казательстве существования этого элемента, так как он рассматри-
вается, как принадлежащий к системе, состоящей из отдельных
взаимозависимых между собою частей. Таким образом, принцип
аксиоматической полноты системы дается с самого начала, и эта
полнота будет обязательно операторной природы. То же самое
происходит и в системе чистых отношений, каковыми являются
структуры порядка: если произведение двух отношений есть тоже
отношение, то это значит, что они координированы между собою
операциями логики отношений.
и

Не менее замечательны преобразования, полученные благодаря
введению понятия структуры в «архитектуру» математических наук,
другими словами, в порядок, в конструкцию или преемственность
многочисленных классов, которые можно различать в этих аб-
страктных объектах. По этому поводу можно сказать, что введение
структур представляет собою прогресс, аналогичный тому, какого
сравнительная анатомия добилась в биологии, установив класси-
фикацию, основанную на внутренних генетических связях, по
сравнению с классификацией, опирающейся на внешние признаки
в их разрозненной статичности. Если отправляться от нескольких
основных структур, то дальнейшее движение состоит в их диффе-
ренциации от общего к частному и в комбинировании их друг с
другом от простого к сложному. Так получается конструкция, за-
меняющая прежнее внешнее сочетание отдельных областей науки
серией систем, подчиненных друг другу, согласно вышеуказан-
ным двум методам получения. Отсюда следует снова принцип пол-
ной подчиненности элементов или классов элементов динамике
конструкции в собственном смысле слова.
Отметим также большой интерес для психологии математичес-
кой мысли к методу открытия структур — и это нас вновь приве-
дет к исходной альтернативе: либо строение математики есть ре-
зультат работы мысли, или идеальные объекты действительно су-
ществуют и наш разум схватывает их как бы извне. На первый
взгляд наблюдения за попытками математика получить фундамен-
тальные структуры, кажется, приводят ко второму из этих поло-
жений. Далекий от того, чтобы обнаружить их сразу, он замечает
аналогии, получаемые от сравнения друг с другом форм рассуж-
дений в областях, не имеющих заметного сходства друг с другом,
потом, в известной степени индуктивно и исходя из эксперимен-
тальных фактов, он находит общие методы, вплоть до выделе-
ния наиболее общих законов искомой структуры. И только тогда
вступает в дело аксиоматика, т. е. применение этих общих зако-
нов к частным теориям путем прогрессивной дифференциации.
Более того, переход от первоначальных структур к структурам
вторичным совершается путем комбинаций многочисленных струк-
тур: и здесь эта комбинация не есть еще дедукция, потому что
для каждой новой структуры нужно использовать новые
аксиомы, чтобы в нее можно было бы включить новые эле-
менты.
Хотя этот переход к открытию структур является до некоторой
степени индуктивным, он все же раскрывает отношения структуры
к элементам, которые она упорядочивает. Если, исторически, эти
элементы кажутся данными до открытия структуры, и если эта
последняя играет таким образом существенную роль рефлективно-
го инструмента, предназначенного выявлять их наиболее общие
свойства, то не надо забывать, что психологически порядок осо-
знавания противоположен порядку генезиса: то, что является пер-
вым в порядке сознания, будет последним в рефлективном анализе,

потому что субъект осознает результаты умственных построений
до того, как они постигаются внутренними механизмами1.
Мы далеки от того, чтобы выдвигать определенный аргумент
в пользу независимости «структур» по отношению к работе мышле-
ния. Их позднее и как бы индуктивное открытие заставляет, нао-
борот, предполагать их первоначальный и порождающий характер.
Но если эти основные мысли выразить в терминах анализа, то мы
убедимся, что обратное предложение не будет обязательно верным
и возникает проблема: как избавиться от случайных связей между
первоначальными структурами математики и операторными струк-
турами, которые, с точки зрения умственного развития, можно рас-
сматривать как основные части логико-математической конструк-
ции. Это и требуется теперь рассмотреть с точек зрения психоге-
незиса.
Три фундаментальные структуры, на которых покоится зда-
ние математики, по определению Бурбаки, суть алгебраические
структуры, прототипом которых является «группа», структуры
порядка, к которым относятся использующаяся сейчас с таким
успехом (излишне даже в некоторых случаях) «решетка», и структу-
ры топологические. Число три не является исчерпывающим, и
развитие математики может его увеличить. Но при настоящем со-
стоянии знаний эти три структуры являются неприводимыми по от-
ношению друг к другу и играют таким образом роль основных
структур. [3]
. Большой интерес вызывает тот факт, что если проследить до
самых истоков психологическое развитие арифметических и гео-
метрических операций в сознании ребенка и особенно операций
логических, осуществляющих в них все необходимые предвари-
тельные условия, то вновь находят все этапы — вначале фунда-
ментальные тенденции к организации целого или системы, вне
которой элементы не имеют ни значения, ни вообще существования,
а затем распределение этих систем совокупностей по трем типам,
которые в точности соответствуют структурам алгебраическим,
структурам порядка и топологии. Это мы и собираемся показать,
рассматривая их одну за другой, чтобы выявить потом основной
смысл этого совпадения.
П.
Нужно прежде всего напомнить, что понятие структуры форми-
ровалось в течение нескольких десятилетий, независимо от совре-
менной эволюции математических дисциплин, как одно из привыч-
ных понятий психологии познавательных функций (восприятие
1 Подумайте, например, о запоздалом введении Кантором операции
приведения элементов во взаимно однозначное соответствие, которая явля-
ется одной из главных операций при формировании понятия целого числа
у ребенка и у дикаря,

и рассудок). В совершенно различных областях психологи вы-
нуждены были допустить, что «естественное» течение ума, со-
стоящее в отыскании первоначальных элементов и выведении но-
вых путем сочетания с другими, покоилось на ошибочных анало-
гиях с материальным производством. В области восприятий, в част-
ности, где действие поля сознания можно легко проанализировать
экспериментально, пришли к выводу, что так называемые «элемен-
ты» суть всегда продукты диссоциации или вычленения из целого
внутри начальной совокупности и что ни одно частное соотношение
не может быть выделено без выявления с самого начала характер-
ных структурных свойств совокупности.
В специальной области рассудка, которая одна нас здесь ин-
тересует, обобщения играют ту же самую роль, но они представляют
здесь иную форму, чем в области восприятий. Ум выявляется, по
существу, как координация действий. Эти последние суть вначале
просто материальные или чувственно двигательные процессы (без
вмешательства символики и отображения), но уже и тогда они не-
сут в себе схемы, которые допускают определенные структуры обоб-
щения. Потом с помощью функциональной символики, и особенно
с помощью умственных и языковых отображений, действия про-
грессивно самоуглубляются, и после более или менее длительного
периода транспозиции между материальным актом и актом воспро-
изведения (период, который мы назовем периодом подготовительной
мысли между двумя и семью-восемью годами) они преобразуются
в действия в собственном смысле этого слова и представляются
тогда под типичной формой структурных совокупностей, харак-
терных для интеллекта.
Чтобы понять сущность этих операторных структур, надо исхо-
дить из основного факта, что в противоположность процессам
перцепции, которые необратимы, потому что зависят от формы воз-
можных композиций, ум с самого начала опирается на обратимость
[4 ], значение которой в процессе развития все время увеличивается.
Без сомнения, начальные чувственно-двигательные действия тоже
необратимы, потому что они направлены к единственной практичес-
кой цели, которую они стремятся достигнуть. Но, начиная с момента
координации чувственно-двигательных схем, ум становится спо-
собным к известной подвижности в прямом и обратном направлении,
и тогда можно видеть появление обратимости более или менее сис-
тематической, которая обнаруживается в области представлений.
В этом новом плане обратимость еще далека до полного завершения.
В продолжение всей подготовительной фазы субъект больше рас-
суждает конфигурациями, чем преобразованиями, и вопрос со-
стоит в том, чтобы научить его мыслить, чего он достигает в дей-
ствии (например, представляет себе систему перемещений после
того, как он уже выучился совершать это материально). Точно
так же представления, возникающие в течение всего раннего пе-
риода детства, заключают в себе систематические трудности в от-
ношении обратимости и, следовательно, в сохранении элементар-

ных инвариантов (длина, расстояние, непрерывные совокупности,
физические величины и т. д.). Но, начиная с этой дооперативной
фазы, все более и более регулированное действие ведет к постоян-
ному исправлению ошибок, исходящих от начальной необратимос-
ти, и приходит таким образом к оперативной обратимости.
Появление первых систематических действий к семи-восьми
годам указывает на переход к состоянию равновесия, к которому
стремилась мысль в продолжение предшествующей начальной фазы,
и надо хорошо понять это отношение прогрессивного равновесия
между фазой дооперативной и первым оперативным периодом (от
7 — 8 до 11—12 лет), чтобы не рассматривать эту последнюю как
безусловно начальную форму.
Зарождающиеся операции, таким образом, подготовлены чув-
ственно двигательными координациями и регулярными доопера-
тивными отображениями и обнаруживают тогда следующие свой-
ства. Они суть действия в буквальном смысле, являясь продолже-
нием материальных предшествующих действий, но в то же время
внутренне мыслимых, благодаря способности выражаться символи-
чески. Они по существу обратимы, т. е. другими словами, операции
и действия могут развертываться в двух направлениях, и понима-
ние одного из этих направлений вызывает ipso facto* понимание
другого. И особенно важно то, что с самого начала они являются
связанными с одной и той же системой: не существует изолирован-
ной операции потому, что изолированное действие не будет опе-
рацией. Операция, таким образом, необходимо сочетается с другими
операциями, и сама их природа отвечает этому свойству мобиль-
ной и обратимой композиции внутри системы. Таким образом,
операторные структуры появляются, как только появляются опе-
рации, а структура целого не является последующим продуктом
композиции между дооперативными операциями, потому что дей-
ствие, вначале необратимое, становится операторным и обратимым
только внутри структуры и под влиянием своей собственной ор-
ганизации.
Прежде чем перейти к детальному рассмотрению типов структур,
отметим еще, что обратимость, составляя, без сомнения, фунда-
ментальный закон композиции, свойственный уму, представляется
с самого начала (т. е. от схем чувственно-двигательных) под двумя
формами — взаимодополняющими и неприводимыми: обращение,
или отрицание, и взаимность. Когда ребенок от 10 до 12 месяцев,
начинающий систематическим образом организовывать перемеще-
ния в ближайшем к нему пространстве, переместил предмет из
Л в ß, он может аннулировать это преобразование обратной тран-
спозицией, переводя предмет обратно из В в Л, что в итоге экви-
валентно нулевому движению. Но он может также оставить пред-
мет в ß, а сам переместиться из Л в В, что воспроизведет началь-
ное положение, когда предмет был против его собственного тела.
* Ipso facto — в силу самого факта.

В этом случае движение предмета не было аннулировано, но оно
просто компенсировалось путем соответствующего перемещения
собственного тела, что составило другое преобразование. Не имея
намерения заключить в логические нормы поведение ребенка,
отметим все же, что эта существенная разница между отрицанием
и обращением и между взаимностью и компенсацией определяет с
самого начала две формы обратимости, которые будут находиться
рядом в продолжение всего развития и которые превратятся в син-
тез в единой системе только в формальных операциях после 11 —
12 лет, когда построится группа четырех форм суждений [5]
(которые, если мы используем пример перемещений, только тогда
позволят ребенку координировать в одно все перемещения по двум
системам отсчета сразу — одно мобильное, другое неподвижное).
Теперь мы уже сможем уточнить, в каком смысле три фунда-
ментальные структуры Бурбаки соответствуют элементарным струк-
турам мышления, формальным продолжением которых они являются.
III.
Алгебраические структуры, а именно «группы», соответствуют
операторным механизмам ума, подчиненным первым из двух форм
обратимости, которую мы называем инверсией или отрицанием
(произведение операции на обратную есть тождественная операция,
или нулевое преобразование).
В этом отношении необходимо обратить серьезное внимание на
тот факт, что, как бы ни запаздывало открытие понятия группы в
математике (XIX век), такая структура изображает в действительно-
сти определенные, наиболее характерные для мышления механизмы.
Вспомним с этой точки зрения четыре элементарных свойства
группы: произведение двух элементов группы дает также элемент
группы; всякой прямой операции соответствует одна и только одна
обратная; существует операция тождества и последовательные ком-
позиции ассоциативны. Выраженные на языке интеллектуальных
действий эти четыре свойства означают: (1) координация двух сис-
тем действия составляет новую схему, присоединяемую к преды-
дущим; (2) координация может по желанию осуществляться или
быть упраздненной или, проще говоря, интеллектуальное действие
(операция) может развиваться в двух направлениях; (3) при воз-
вращении к исходной точке мы находим эту точку неизменной;
(4) к одной и той же данной точке можно прийти различными путя-
ми, причем сама точка останется неизменной. В общем смысле
«группа» есть символический перевод некоторых определенных
фундаментальных свойств действия мышления: возможность ко-
ординации действий, возможность возвращения и отходов. Но,
более того, собственные преобразования группы всегда связаны
с определенными инвариантами, откуда следует, что построение
группы идет параллельно с построением инвариантов, которые к

ней относятся. Что касается непосредственных форм организации,
которые осуществляются мышлением в процессе своего развития,
то первоначальной необратимости операций соответствует отсут-
ствие сохранения их, а построению обратимых структур соответ-
ствует выработка сохранения понятий в построенной таким об-
разом области.
Начиная с чувственно-двигательного уровня, эти процессы
можно рассматривать путем практического предвосхищения (свя-
занного с ближайшим пространством) того, чем станут эти операции
в области представления или мышления. Так, в продолжение пер-
вых месяцев существования перемещения не могут быть организо-
ваны в «группу», потому что они сосредоточены на собственном те-
ле и являются следствием определенных систематических ошибок,
вызванных этим эгоцентризмом1. На этом уровне нет также еще
постоянных объектов на пути собственного действия. К концу пер-
вого года, наоборот, появляется одновременное осуществление
этой экспериментальной группы перемещений, уже упомянутых
Пуанкаре (но которые он считал врожденными, тогда как они сос-
тавляют конечную устойчивую чувственно-двигательную форму
организации), и выработка схемы постоянных предметов (в функ-
ции последовательных локализаций, каковыми являются прибли-
жения и удаления).
Развитие предметного мышления в период дооперативной фазы
и на уровне первых конкретных операций (7— 11 лет) дает анало-
гичную картину. Пока имеется необратимость мысли, мы не смо-
жем получить понятие постоянства даже в областях наиболее прос-
тых наблюдений (сохранение совокупности в случаях изменения
конфигурации ее элементов; сохранение эквивалентности между
двумя соответственными совокупностями, когда одни элементы
рассматриваются с точки зрения других, не представляя больше
оптического соответствия; сохранение равенства длин двух твер-
дых стержней, когда один из них немного смещен по отношению к
другому; сохранение расстояния между двумя неподвижными эле-
ментами, когда новые элементы вставляются между ними и т. д.,
и т. д.). Напротив, строение первых предметных обратимых струк-
тур к 7 — 8 годам фактически влечет за собою переработку соответ-
ствующих понятий постоянства.
Бесполезно производить здесь описание многочисленных обра-
тимых структур алгебраического типа, которые мы отметили в
другом месте, при переработке ребенком 6 — 8 лет понятий целого
числа, проективных или евклидовых прямых, геометрической ме-
ры, времени и т. д. Важно напомнить, что каждая из этих конструк-
ций предполагает предварительную логическую переработку при-
менением логики классов и что первые операции этой логики, ко-
торые доступны ребенку, требуют для их осуществления опреде-
1 См. Ж. Пиаже «Построение действительности у ребенка», главы I и II.
Piaget. La construction du réel chez l'enfant, chap I— IL

ленных структур алгебраического типа, еще не идентичных с груп-
пой, но представляющих все же некоторые из ее свойств.
Возьмем в качестве примера включение частного класса А в
общий класс В. Кажется, нет ничего легче понять действие такого
включения, если все элементы расположены одновременно в одном
и том же поле восприятия. Пусть, например, В равно совокупности
нескольких деревянных шариков, А равно части В, образуемой
из 20 коричневых шариков, и А' равно другой части, образуемой
из 2—3 белых шариков. Между тем достаточно спросить у ре-
бенка, будет ли все В более или менее многочисленно, чем большая
часть А (или «имеется ли здесь больше шариков из дерева или боль-
ше шариков коричневых?» и т. д.), чтобы заметить оперативную
сложность этого действия включения. До 7 лет в среднем ребенок
ответит, что А одерживает верх над ß, и это потому, что тотчас же,
как В разлагается на части, это целое, как таковое, уже не сущест-
вует, а то, что остается от ß, есть только другая часть А' («имеется
больше коричневых, чем деревянных, потому что осталось всего
два белых», говоря так, ребенок все же знает, что коричневые ша-
рики тоже из дерева). Чтобы установить отношение А < ß, ре-
бенок должен пройти через обратимую операцию А + А' = ß,
откуда А = В — А' и А' = В — Л. И только тогда достигается
обратимость логического сложения и вычитания классов, когда це-
лое В сохраняет независимость от подразделений, которые можно в
нем усмотреть. Другими словами, включение части в целое уже само
предполагает в себе предварительную алгебраическую структуру.
Из чего состоит эта структура? Ее наиболее простая форма,
которую мы называем структурой элемент ірных «группировок»,
может быть иллюстрирована, например, классификациями или
суммарными группировками классов.
Основные из этих операций суть:
(1) А +А' = В\ ß + ß' = C; C + C' = D и т. д., где все клас-
сы одного и того же порядка разъединены (Α χ А' = 0; В χ В' =
= 0 и т. д.),
(2) — А — А' = — ß, откуда А' = В — А и т. д.,
(3) А — А = 0,
(4) А + А = А (тавтология),
(5) ассоциативность, ограниченная в нетавтологических опера-
циях:
(А+ А')-\- В' = A+ (Α'-\-В'), но А + (А — А)Ф (А+ А) — А.
В этих структурах мы узнаем определенные преобразования,
общие с «группой», такие, как +Л, — Л и 0. Но ассоциативность,
с одной стороны, ограничена, а, с другой стороны, преобразования
осуществляются только над смежным классом, т. е. над классом
непосредственно высшим. Эти два ограничения, естественно, силь-
но уменьшают общность этой структуры. Но с точки зрения гене-
тической она представляется не менее интересной, потому что вы-
являет, без сомнения, необходимость перехода через алгебраические

структуры для получения наиболее простых логических кон-
струкций.
Отметим также, что некоторые формы научной мысли принад-
лежат структурам этого типа, например зоологическая классифи-
кация, в которой мы находим каждый из этих признаков, включая
и смежность (нельзя расчленить два таких класса, как «верблюды»
и «черви», чтобы сделать из них новый класс, не проходя через
серию выключения типа: А' + С = D — β' и т. д.).
С другой стороны, мы видим, что эти структуры образуют с
точки зрения структуры порядка неполные сетки, потому что все
внутренние границы между классами одного и того же порядка ну-
левые. Но с интересующей нас здесь точки зрения возникно-
вения структур от механизмов непосредственного развития ума,
гораздо важнее найти вне структур главное значение определенных
первоначальных форм организации, которые выявляют их прими-
тивный характер, так как они ускользнули от формулировок
логистов и математиков.
IV.
Структуры порядка, к которым мы теперь обратимся, суть так
называемые структуры отношений, а не действий: таковы, например,
«сетка» и «решетка». Примем некоторые условия. Без сомнения,
можно полностью определить сетку в терминах отношений вместо
введения операций + и X : в этом случае мы рассматриваем как
основные понятия «х предшествует у» или «у следует за х», вместо
того чтобы получить их из операций χ X у = x и x + у = у. [6]
Но даже при рассмотрении отношений между полуупорядочен-
ными элементами остается все же то, что транзитивность, «если χ
предшествует у, у предшествует ζ, а потому χ предшествует ζ»,
состоит в соединении двух операций в одну, которую мы будем
рассматривать как операцию аддитивную, но произведенную над
отношениями.
Но сетка не есть только операторная структура: в действитель-
ности она является еще и структурой обратимой. Большое психо-
логическое значение этих систем заключается в том, что их обрати-
мость не является под общей формой инверсии или отрицания.
(Лишь некоторые виды дистрибутивных сеток являются опреде-
ленным образом дополнительными и обладают, таким образом, «до-
полнительными элементами первого и второго рода».) Главная об-
ратимость, свойственная сетке, есть «взаимность». Действительно,
сетка заключает в себе закон двойственности, который состоит
в том, чтобы менять знаки X и + точно так же, как отношения
«предшествует» и «следует». Применим теперь закон двойственно-
сти в следующем примере, обозначая символом отношение
«предшествует» и символом отношение «следует»:
(1) AB - А и AB ->В; А - (Л -\- В) и В ^ {А + В),

откуда
(2) (AB)-+(А + В),
в силу двойственности в этом случае имеем:
(3) (А + В)~(AB). [7]
Итак, констатируем, что (3) совсем не является отрицанием
(2), но, наоборот, оно является простым обращением отношения (2).
В основном закон двойственности, свойственный сетке, не при-
водит к инверсии или отрицанию, как это имело место в алгебраи-
ческих структурах, но к перемене, основанной на взаимности,
т. е. перестановке порядка. В то время как инверсия приводит
к отрицанию самой операции, независимо от отношения порядка,
взаимность возвращается к изменению порядка, без отрицания
операций в действии.
Структуры порядка так же фундаментальны для механизма
мышления, как структуры групп (или другие смежные структуры),
и легко показать, как мы делали для этих последних, что они форми-
руются на дооперативном уровне, начиная с действий чувственно-
двигательных, и a fortiori* в течение всего периода зрительных пред-
ставлений от 2 до 7—8 лет. Но ограничимся характеристикой
роли, которую они играют на уровне конкретных операций (7—
11 лет), до появления словесных или формальных операций (11—
12 лет) и выявлением роли их взаимоотношений на этом первом опе-
ративном уровне по сравнению с алгебраическими структурами.
Структуры порядка образуются в продолжение этого периода
от 7 до 11 лет системами отношений. В то время как элементарные
группировки классов покоятся на методе обратимости, группы от-
ношений покоятся на другом принципе, а именно на взаимности.
Наиболее простым примером этих самовозникающих систем,
развитие которых можно проследить на чувственно-двигательной
деятельности и которые достигаются в периоде равновесия (т. е.
на своем оперативном уровне) в возрасте 6—7 лет, являются
связи асимметричных транзитивных отношений или «качественной се-
рийности». Начиная с чувственно-двигательного уровня, когда
ребенок от 1— до 2 лет строит башню, кладя в основание ее
самые большие кубики и продолжая строить во все уменьшающем-
ся порядке, можно сказать, что он вырабатывает путем проб
(попытки и неудачи) практическую схему, подготавливающую се-
рийность. Но здесь мы имеем только эмпирическую схему, ос-
нованную на воспринимаемой конфигурации и на бросающемся в
глаза неравенстве объектов. Если вместо этих элементов, разница
в величине между которыми заметна с первого взгляда, мы пре-
доставим ребенку элементы, которые нужно более детально срав-
нивать попарно (например, 10 стержней от 10 до 19 см, расположен-
* â fortiori — тем более.

ных в беспорядке), то должны будем констатировать, что систе-
матическая серийность есть нечто другое, чем серийность эмпири-
ческая и что она предполагает комплекс операторных действий.
Действительно, после серии подготовительных этапов (совокуп-
ностей маленьких серий, не координированных между собою, с
последующими исправлениями) ребенок придет к ним, но только
в возрасте 6-^- — 7 лет [8], открывая метод, которой на этот раз
обеспечит конструкцию полной и точной серийности бе^ проб и
ошибок: он ищет путем сравнения самый маленький из все* стер-
жней — Ли кладет его; он отыскивает путем таких же сравнений
самый маленький из оставшихся — стержень В и кладет его ря-
дом с Л; он отыскивает стержень С — самый маленький из еще не
определенных стержней и т. д. Выявляющийся здесь метод пред-
полагает понимание следующих отношений: (I) что какой-нибудь
элемент Ε будет больше всех предшествующих: £>Л, Ву С, D;
(II) что этот же саЦ>ш элемент меньше всех последующих: Ε < F,
G, Я и т. д. Более того, существенно отметить, что на уровне серий,
производя пробы, ребенок вовсе не будет уверен в транзитивности
неравенств: после того как он увидел рядом два элемента Л < В
и два элемента В < С, он может не заметить отношение Л < С,
если от него спрятать Л, оставив на виду С. Напротив, откры-
тие двух отношений £>D, Сит. д. и Ε < F, G и т. д. влечет
ipso facto транзитивность — (III) Л <С, если Л < В и В < С.
Если мы захотим установить отношения, используемые ребен-
ком в процессе этого упорядочения, то найдем структуру, ана-
логичную классификации, но только опирающуюся на одни отно-
шения. Назовем через а отношение Л < В, через b — отношение
Л < С, через с — отношение Л < D и т. д. и назовем через а'
отношение В < С, через Ъ' — отношение С < D и т. д. Тогда
будем иметь:
(1) а + а' = b\ b + Ъ' =» с и т. д.,
(2) b — а'=а\ и т. д.,
(3) а— а = 0,
(4) а + а! »= а
и (5) неполная ассоциативность, как на странице 18.
Заметим, однако, что, если вычитание классов Л — Л О
дает нулевой класс, что является свойством обращения, вычитание
отношений а — а 0 дает разность 0, причем это вычитание не
является той же самой операцией, потому что разность 0 обозна-
чает эквивалентность. Композиция в области отношений состоит
просто в чтении отношений между крайними элементами двух от-
резков сопоставленных серийностей: А(а)В + В(а')С = А(b)С
и обратная операция перемены порядка: А(b)С — В(а)С = Л(&)С-}-
+ С(а)В =* А(а)В. С этой точки зрения обратимость в действии
в таких системах покоится на взаимности, а не на отрицании: вот

поэтому а — а приводит к эквивалентности, а не к нулевому от-
ношению.
Таким образом, можно утверждать, что от 7 до 11 лет на уров-
не конкретных операций (элементарные сочетания классов и от-
ношений между самими предметами путем противопоставления сло-
весных выражений действию) структуры классов зависят от обра-
щений (алгебраические структуры), а структуры отношений — от
взаимности (структуры порядка). Но существуют ли эти два
типа структур в своем первоначальном периоде без связи между
собою или, наоборот, можно указать некоторую связь, сущест-
вующую между обеими системами?
С точки зрения психологии мыслительных операций, оставляя
в стороне случайную закономерность первоначальных оператор-
ных систем, необходимо сделать существенное замечание: если опи-
раться на известное различие между объемом и содержанием поня-
тия, то, естественно, нужно принять (с чем согласен весь мир),
что объем понятия определяется системами классов, в которых
имеет место обращение, приводящее к алгебраическим структурам,
тогда как содержание понятия всегда определяется системами от-
ношений (что не всегда замечается). Все свойства, включенные в
содержание понятия, определяются суждениями, по внешнему виду
безусловными (деревья суть «деревянные», трава есть «зеленая»
и т. д.) или вполне очевидными отношениями (рожденные прежде
старше рожденных после и т. д.). Отсюда ясно, что о сказуемых
первого типа возможно мыслить лишь в терминах отношений:
«зеленый» означает или качество более или менее серийное — кон-
тинуум цветов от желтого или голубого к зеленому, или качество,
общее различным предметам: «зеленый» есть, таким образом, пси-
хологическое отношение асимметричное или симметричное в за-
висимости от контекста.
С этой точки зрения между структурами классов, основанных
на обратимости, и структурами отношений, основанных на взаим-
ности, существует тесная связь, обусловленная связью между объе-
мом и содержанием понятий.
Вот поэтому четыре основных условия группы, которые мы могли
различить в структурах классов на уровне конкретных операций
(группы аддитивные и мультипликативные и в формах взаимно одно-
значного или однозначного его соответствия), соответствуют по-
членно четырем элементарным условиям отношений. Другими сло-
вами, одни и те же совокупности элементов могут быть образованы
в структуры или по форме классов, или по форме отношений, что
обеспечивает психологическую общность системы. Но с точки зрения
операторной структуры на уровне конкретных операций не су-
ществует структур, которые соединяли бы все эти свойства в одну и
ту же систему преобразований и которые таким образом обеспечи-
вали бы синтез обратимости и взаимности.
Этот синтез двух фундаментальных форм обратимости осущест-
вится только на последнем этапе равновесия в развитии логичес-

ких операций, т. е., другими словами, в стадии операций над суж-
дениями, о которых мы будем говорить ниже, в главе VI.
V.
Если алгебраические структуры и структуры порядка кажутся
глубоко укоренившимися в психологическую деятельность ум-
ственных операций, можно ли тоже самое сказать о структурах то-
пологических?
Особенно интересно по этому поводу констатировать, что по-
рядок формирования геометрических понятий и операций в са-
мостоятельном развитии ребенка1 абсолютно не соответствует ис-
торическому порядку этапов геометрии и больше приближается
к порядку преемственности основных групп, с которыми связаны
различные виды пространств. Исторически метрическая евклидова
геометрия опередила на несколько веков проективную геометрию,
а топология получила свою самостоятельность в эпоху еще более
позднюю. С точки зрения основных групп, наоборот, топология яв-
ляется первой, а за ней уже идет метрическая евклидова геометрия
(как переход к общей геометрии) и геометрия проективная (эта по-
следняя присоединяется к евклидовой метрике посредством связыва-
ющих звеньев — аффинной геометрии и геометрии подобия). И вот,
хотя ребенок и не отходит, естественно, от топологических главных
схем (потому, что его топологические интуиции зависят от опреде-
ленных перспективных условий, быстро заключаемых в структуры
по евклидову методу) 2, не менее удивительно, что при первых
попытках рисования ребенок не различает квадратов, окружностей,
треугольников и других метрических фигур, но прекрасно разли-
чает фигуры открытые и замкнутые, положение «вне» или «внутри»
по отношению к границе (включая сюда и положение «на границе»),
разделение и соседство (не различая расстояния) и т. д.
Исходя, таким образом, от интуиции фундаментальной тополо-
гии, он ориентируется в дальнейшем в направлении проективных
структур и структур метрических.
С чисто операторной точки зрения наряду с операциями над
классами и отношениями, которые одни составляют логические опе-
рации действия на уровне конкретных операций, надо различать
те, которые мы называем «операциями инфралогическими». В то
время как логическая операция исходит от индивидуального объек-
та и, расширяясь, примыкает к классам, независимым от простран-
ственных конфигураций составляющих их элементов, операция
инфралогическая, наоборот, расчленяет предмет, взятый в отдель-
ности, или его заново составляет по отношению к его элементам.
Этот метод композиции отличается от предыдущего введением
1 Под «самостоятельным» здесь подразумевается развитие, независимое
от школьного преподавания, но не от влияния социальной среды вообще.
2 Но нужно было бы иметь возможность изучить пространство восприя-
тия с первых недель,

континума и конфигураций. Отличные по их структуре от логических
операций, операции инфралогические не предшествуют им во вре-
мени. На уровне дооперативном нет никакой разницы между пер-
выми инфралогическими и первыми логическими интуициями,
тогда как на уровне конкретных операций оба вида структур об-
разуются параллельно. Интересно отметить этот параллелизм на
уровне первых операторных структур, потому что, как бы ни были
скромно и незаметно построены элементарные формы оператор-
ных организаций, можно там распознать корни этого родства или,
вернее, глубокой взаимодополнительности между топологичес-
кими структурами и структурами алгебраическими, которая
стала очевидной лишь благодаря последним открытиям в топо-
логии1.
VI.
Не будет преувеличением утверждать, что операторные струк-
туры мышления, формируясь, выявляют с самого начала наличие
трех больших типов систем, соответствующих в математике ал-
гебраическим структурам, структурам порядка и структурам то-
пологическим. Отметим, между прочим, что очень скоро материн-
ские структуры координируются между собою и порождают по-
средством межструктурных композиций определенные, более позд-
ние структуры, значение которых будет не менее важным для
конструкции логических и математических понятий.
На уровне конкретных операций, связанных с действиями над
предметами и заключающими только определенные операции над
классами и отношениями (элементарные «группировки»), не су-
ществует еще никаких структурных ансамблей, которые соединяли
бы в одну и ту же систему преобразований чистые обращения
в алгебраические структуры и чистые взаимности в структуры
порядка. Но к 11—12 годам в среднем к этим конкретным опе-
рациям прибавляется совокупность новых операций, опираю-
щихся на этот раз на предложения, а не на предметы, и эти опе-
рации над суждениями составляют тогда двойную структуру групп
и сеток, причем каждый из этих двух аспектов привлекает в свою
очередь чистое обращение в алгебраические структуры и чистую
взаимность в структуры порядка
Группа, которая теперь начинает действовать, содержит четыре
преобразования (группа Клейна) которые можно определить сле-
дующим образом в операциях над предложениями:
(1) Обращение, или отрицание, N операции есть ее дополнение
в базовой совокупности, например:
N(p*q) =* pvq =*(p-q) или N(pz)q) = (pZDq) = (ρ-q).
1 Ср. работы Понтрягина в изложении Б. Экмана (lopologie und
Algebra Viertel, d. Naturf. Zürich, 1944 p. 26) в смысле «взаимодополнитель-
ности» между понятиями топологическими и алгебраическими.

(2) Взаимность R операции есть та же операция, но между
отрицательными предложениями, например:
R(pVq) = Çpy'q) = (p/q) или R(p=>q) = (pz>q) = (q=>p). [9]
Отметим, что взаимность возвращает опять к перемене по-
рядка терминов включения, что имеет общее значение, потому что
вся операция над суждениями может принять вид включения.
Пример:
(ρ ν q) = (pzjq) или R(pz>q) = (flop) = (p/q).
(3) Корреляция С операции есть результат замены (ν) и (.)
в нормальной форме этой операции. Например,
С(р ν q) = {р\ q). (pvq) = (ρ V?) = (p-q).
C(pzDq) = (pvq).(pvq) .(p\/q) = (p.q).
(4) Тождественное преобразование I оставляет операцию неиз-
менной. Имеем коммутативную группу:
NR = С; NC = /?; RC = N; NRC = I.
Например, в случае pz)q имеем:
N(qpp) = (p.q) = C(pzDq) будет NR = С,
N(p.q) = (qzip) = R(pzDq) будет NC = R,
_R(p.q) =Jp ~q) = N(pz^q) будет RC = N,
R(p.q) = (p.q) и N(p.q) = (pz)q) будет NRC = I.
Таким же образом поступаем с тройничными операциями и т. д. 1.
В определенных случаях (диагонали двойничных, тройничных и
т. д. операций в таблице) имеем: R = N и С=І или R = I и
С = N, но обращение N, естественно, всегда отличается от I.
Констатируем, что эта группа INRC, которая составляет алге-
браическую структуру, все же заключает в себе взаимности, которые
составляют обратимую форму структур порядка. Психологически
эта группа осуществляет одновременно синтез и форму конечного
равновесия двух операторных структур, до этих пор различных
и основанных одна — на обращении, другая — на взаимности.
Но система операций над суждениями составляет в то же вре-
мя сетку: вся совокупность операций предполагает внутреннюю
границу, определяемую их общей частью (.), например (р = q)X
X(pv^) = (ρ · q), и внешнюю границу, определяемую их объедине-
нием (ν), например (р - q) ν (ρ · q) = (p.= q). Только из того факта,
что эта сетка дополнительна, она допускает операции обращения.
Между прочим, и это важно подчеркнуть, две данные операции,
их внутренняя граница (=BJ) и внешняя граница (=BS) вместе
составляют группу, которая не является группой INRC, но ко-
1 См. Пиаже «Очерки о преобразованиях логических операций», Па-
риж, 1952. Piaget. Essai sur les transfomations des operations logiques, Paris
(PUF), i*>2.

торая ей изоморфна и состоит из преобразований, которые мы
назовем Ια, Na, Ray Ca и которые определим следующим
образом.
Дана двухчленная операция pvq. Ее можно рассматривать
как состоящую из двух единичных операций рис, связанных
составляющей операцией (ν). Рассмотрим также трехчленную опе-
рацию:
(p-?-r)V(p.9.r)V(p.ç.r)V(p.^ f) = [foop).(p3r)]f
которую можно рассматривать как состоящую из двух двойных
операций (qzDp)n (р3г), связанных составляющими операциями (.).
Мы назовем тогда Ja, Na, Ra и Ca преобразования У, Ν, R и С, свя-
занные с составляющей операцией. Если теперь мы назовем χ и
у две какие-то операции сетки, BJ — их внутреннюю границу
и ßS — их внешнюю границу, то будем иметь группу1:
(Іа)х-у( = BJ) и (la)xvy( = BS),
(Na)x/y = xvy (Να)х- у,
(Rä)x. у (Ra)x/y = х\ у ,
(Ca)xvy( = BS) (Са)х.у( = BJ),
тогда имеем:
Ca(BJ) = BS и Ca (BS) = В J.
Дальше имеем:
Να (ВJ) = Ra(BS) и Na (BS) = Ra(BJ).
И все обычные преобразования группы:
Na(x-y) = Ra Са(х-у)\ Na RaCa(x-y) = (х-у) = х-у и т.д.
Другими словами, если группа INRC включает взаимность,
то сетка операций над суждениями включает обращение и допус-
кает структуру группы для фундаментальных отношений между
границами и операциями, которые они соединяют.
Итак, с точки зрения генетической эта двойная структура
группы и сетки, которую составляют операции над суждениями,
есть только присоединение элементарных структур к группиров-
кам, которые, как мы видели, представляют несовершенные груп-
пы, группы неассоциативные целые и полусетки.
Переход от группы классов и отношений к структуре группы
и сетки операций над суждениями может действительно рассмат-
риваться как результат обратимости комбинаторных операций,
1 См. Пиаже «Очерк о преобразованиях логических операций»,
стр. 159, Piaget. Essai sur les transformations des operations logiques (теорема
247. См. также следующие теоремы и теорему 263).

замещаемых в операциях просто аддитивных или мультиплика-
тивных. Другими словами, в простых включениях, классифика-
циях и т. д. сетка представляет собою «совокупность частей» пу-
тем комбинирования η с η этих частей между собою. Но такая ком-
бинаторная композиция сама порождает классификацию: совокуп-
ность частей, которые составляют двойную структуру сетки
и группы, о которых идет речь, являются результатом совокупности
возможных классификаций, приложенных к элементам группи-
ровки, переведенные на язык предложений.
VII.
Нам остается прийти к заключению, которое мы можем сде-
лать либо с точки зрения общего представления математики,
влияние которой должен учитывать воспитатель, хочет он этого
или нет, либо с точки зрения практических применений.
Что касается первого из этих двух вопросов, то существенная
проблема заключается в том, чтобы узнать: должен ли препода-
ватель следовать строгой логике в платоновском духе, чтобы быть
на уровне современной математики, или он может рассматривать
математическую мысль как продолжение непосредственных кон-
струкций ума и таким образом исходить в преподавании и от пси-
хологии так же, как и от логики.
Если психологические данные, на которые мы опираемся, точ-
ны, то конфликт между логизмом и психологизмом кажется под-
лежащим некоторому ослаблению при условии все же введения
некоторого числа понятий, нужных для того, чтобы отделить «пси-
хологию» от «психологизма» и «логику» от «логизма».
«Психологизм» есть попытка основать логику на психологиче-
ских законах: «Для психологии, — сказал Л. Апостел,—логи-
ческие законы суть законы психологические, и они описывают
реальные умозаключения или как наиболее частые, или как наи-
более нормальные, или как наиболее легко осуществимые прак-
тически»1. Проще говоря, психологизм есть метод применения
психологии в области, где она уже не компетентна, потому что
психологические законы опираются на констатацию фактов, а
законы логики управляют нормативными или дедуктивными необ-
ходимостями.
Обратно, «логизм» есть вторжение размышлений логика в об-
ласть фактов. Он состоит, например, в утверждении, что ум кон-
кретного индивидуума (касается ли это самих ученых или школь-
ников, начинающих изучать математику) достигает логической
строгости только следуя определенным этапам: понимание сущ-
ностей, подчинение индивидуума правилам языка, усвоенным
извне, и т. д., и т. д.
1 Л. Апостел, Логика и доказательство. Методы, т. 5 (1953), стр. 303.
L. Apostel. Logique et preuve, Methodos, vol. 5 (1953), p. 303.

Если мы предоставим психологии заботу изучать факты, а
логике — анализировать основания, получится то, что эти две
науки будут иметь между собою больше контактов, чем при по-
мощи философских «измов», в которых их хотели согласовать.
Эти контакты полезны воспитателю более, чем посторонние докт-
ринерские противодействия на той же ступени тех же самых
наук.
Психология действительно протягивает руку логике в том, что
ум непосредственно ориентирован на организацию определенных
операторных структур, изоморфным таким же или некоторым час-
тям математических структур, которые математики кладут в на-
чало их конструкций или которые логики находят в системах,
перерабатываемых ими. Но этот частный изоморфизм не означает,
что логические правила суть законы мысли. Структуры совокуп-
ностей, на которые ориентируется ум в процессе своего развития,
не соответствуют ни направляющим структурам (или имеющих
форму à priori), ни структурам физическим, полученным эмпири-
чески: это суть только законы равновесия под формой систем воз-
можных операций, из которых лишь некоторые активизируются
в функции окружающих физических или социальных условий. Это
те возможности, которыми располагает логика для изучения извне
полных совокупностей, свободно снабжая их основами, которыми
она располагает: это не значит, что мы хотим сохранить пункты
трения между дедуктивным анализом, с одной стороны, а с дру-
гой — экспериментальными определениями возможностей или не-
возможностей, которыми характеризуются формы равновесия, со-
ответственные различным уровням организации ума. Без сомне-
ния, алгебраическая техника логиста в психологии может быть
и полезной при описании форм равновесия и структур, но это
не значит, что можно без церемоний прилагать законы логики
к законам мысли.
Что же касается того, будет ли логик искать некоторых кон-
тактов с психологией, то история будущих исследований отве-
тит нам на этот вопрос. Некоторые логики продолжают отно-
ситься недоверчиво к психологизму в целом, как например наш
друг Бет, который в своей интересной главе уточнит свои по-
зиции. Зададим еще вопрос: «Лежит ли боязнь психологизма в
основе самой логики, или же она заключается в зачатках логиз-
ма, бессознательно ведущего логика к выбору в психологиче-
ской области одной концепции преимущественно перед другой
тем же методом, которым индивидуум приходит к достижению
логических связей?». Некоторые логики, как Апостел, отмечают
различие между традиционным психологизмом и другими более
тонкими средствами психологии: «...мы не утверждаем, как пси-
хологи XIX века (Зигварт, Гейман, Вундт, Эрдман), что логи-
ческие законы суть законы мысли. Мы только говорим, что су-
ществуют такие законы мысли, что в известной социальной
структуре и для индивидуумов, обладающих определенными

качествами, мы можем обязательно (с физической необходи-
мостью) заставить их признать наши заключения, если они
признали наши посылки, лишь бы мы производили определен-
ные операции, подчиненные на всех этапах правилам коррект-
ного доказательства» \
В общем, весьма возможно, что актуальные работы об отноше-
ниях между логикой и языком кончаются признанием того, что
сам язык проникает своими корнями в области, где его структуры
отражают структуры логики в операторных системах более глу-
боких, чем связи, существующие между одними только вербаль-
ными символами.
Коротко — будущее взаимоотношений между психологией и ло-
гикой остается широко открытым и не будет зависеть от предвзя-
тых мнений прошлого. С практической точки зрения для воспи-
тателя не стоит вопрос о выборе между методом формальным,
основанным на логике, и методом активным, основанным на пси-
хологии: цель преподавания математики остается все время в
достижении логической строгости и точно так же — в достаточном
понимании формальной стороны математики. Но только одна психо-
логия способна снабдить педагогов такими данными, чтобы и эта
строгость и этот формализм были бы обязательно достигнуты.
Нельзя считать доказанным, что, пользуясь с самого начала фор-
мальным методом, мы не придем в конце концов к псевдоформа-
лизму или к скороспелому словесному формализму, и в этом за-
ключается опасность применения метода, пренебрегающего зако-
нами умственного развития.
В действительности, если здание математики покоится на «струк-
турах», которые соответствуют существующим структурам мышле-
ния, то дидактическую математику нужно основывать только на
прогрессивной организации операторных структур. Психологиче-
ски операции происходят от действий, которые, самоуглубляясь,
координируются в структуры. Напрасно думать, что обращение
к начальным действиям компрометирует высшую строгость и по-
ощряет эмпиризм. Эмпиризм получается тогда, когда воспитатель
заменяет математическое доказательство физическим эксперимен-
том с простым запоминанием полученных результатов. Но как
только эксперимент служит средством координации действий, то
абстракция переносится на сами эти действия, а не на предмет
эксперимента, подготавливая ум к дедукции, а не противодействуя
1 Л. Апостел, Логика и доказательство. Методы, т. 5 (1953),
стр. 305. Таким образом, позиция Апостела состоит в признании «сосущест-
вования психосоциальных и логических операций» (стр. 305), чем определяет-
ся область сотрудничества, в которой работы психологов нельзя признать
не существующими, как он предполагает.
Трудность для психолога заключается в допущении «физической необ-
ходимости», отличной от необходимости психической, если это понятие не
приводится в конечном счете к тому, что называется законом равновесия
(согласно гештальттеории). [10]

ей1. Если все знание ребенка предполагает эксперимент для своего
осуществления, то это психологическое утверждение не оправды-
вает эмпиризма, потому что существуют две формы эксперимен-
та: эксперимент физический, ведущий к абстракции свойств,
взятых от самих предметов, и эксперимент логико-математиче-
ский с абстракцией по отношению к действиям или операциям,
осуществляемым над предметами, а не по отношению к самому
предмету, как он есть. Таким образом, обращение к эксперименту
и действию и в общем смысле так называемая активная педаго-
гика не компрометирует ни в чем высшую дедуктивную строгость,
но, наоборот, подготовляет ее, создавая ей реальную, а не только
вербальную базу.
1 Например, в экспериментах порядка (порядок прямой, порядок обра-
тный, образуемый противоположным движением или вращен ем и т. д.) ребе-
нок абстрагирует порядок не предметов, как таковых, но действия и опе-
рации, благодаря которым они возникли. Его понимание будет, естественно,
настолько лучшим, насколько активным он будет в действии, не ограничи-
ваясь только пассивным созерцанием результатов действий, выполняемых
другими,

Глава II .
РАЗМЫШЛЕНИЯ ОБ ОРГАНИЗАЦИИ И МЕТОДЕ
ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ.
Эварт Бет.
I. Соотношения между программами преподавания в высшей
и средней школах.
Проблемы, которые нас занимают, очень сложны, и дискуссия
о них может нас увлечь в рассмотрение деталей школьной органи-
зации, которая к тому же в разных странах очень различна; по-
пытка объяснить это различие привела бы нас к очень углублен-
ным работам в области истории, социологии и политики.
Позвольте же мне применить здесь аксиоматический метод и
исходить от определенного числа основных постулатов.
1. Всякая высшая школа имеет одной из своих целей подго-
товить учеников, называемых студентами, разрешать самостоя-
тельно вопросы, принадлежащие одной или нескольким областям
специальных наук, и приложить результаты к разрешению опре-
деленных практических проблем; в частности, имеются такие ин-
ституты, которые готовят студентов к самостоятельному решению
математических вопросов и применению их к разрешению про-
блем, поставленных преподаванием математики.
2. Каждая средняя школа имеет своей целью, между прочим,
подготовить будущих студентов.
3. Преподаватели средних школ получают свое образование
в высшей школе.
4. Математика составляет часть нормальной программы сред-
них учебных заведений.
Эти постулаты определяют в то же время и употребление таких
терминов: школа высшая (или средняя), преподаватель, ученик
и студент, не зависящих от деталей школьной организации.
Из наших постулатов вытекает, что можно предвидеть довольно
глубокую взаимосвязь между программами математики обоих
типов школ. С одной стороны, программа преподавания средней
школы должна обеспечить надлежащую подготовку будущих сту-
дентов, которым нужно приспособляться к преподаванию в выс-
шей школе; с другой стороны, эта последняя должна считаться
с тем фактом, что сегодняшние студенты могут стать преподавателями
завтра. Отметим факт, о котором очень часто забывают, — про-
грамма преподавания должна быть способной не только заинтере-

совать учеников, но также вдохновить учителя; очевидно, что под-
готовка преподавания оказывает влияние на метод, которым эта
программа вводится в действие.
Если имеется сильная двойная тенденция к сближению этих
двух программ преподавания, то имеется также двойная тенден-
ция антагонизма между ними; тот факт, что преподавание в сред-
ней школе имеет дело с учениками еще очень молодыми, среди
которых только меньшинство одарено особенными способностями
к изучению математики, обусловливает довольно строгие ограни-
чения по отношению к программам преподавания в этой школе.
В то же самое время непрерывный прогресс математических иссле-
дований обусловливает быструю эволюцию программ преподавания
в высшей школе.
Развитие математики в течение XIX века и все более и более
определенная тенденция беречь, щадить учеников в преподавании
в средней школе одинаково разрушили взаимосвязь и так уже не
прочную обеих программ.
Увеличивающаяся роль анализа, введение методов рассуждения
все более и более сложных и отвлеченных и все увеличивающиеся
требования строгости в математике, вытекающие из применения
этих методов, породили между двумя программами бездну, кажу-
щуюся непреодолимой. С одной стороны, элементарная матема-
тика — предмет, преимущественно изучаемый в средней школе,
кажется, потерявший всякий научный интерес, с другой стороны,
сложность теорий, установленных новейшими открытиями, не дает
возможности перенесения их в программы средней школы.
II. Влияние идей Ф. Клейна,
В своем знаменитом курсе «Элементарная геометрия с точки
зрения высшей» и в своих попытках реформы преподавания в сред-
ней школе Клейн старался перебросит'о мост между обеими про-
граммами. Все же идеи Клейна, вопреки их полезному влиянию,
не послужили полному обновлению программ, как на это можно
было надеяться. Они произвели реформу скорее в методах препо-
давания, чем в самих программах. Упомянем все же новую про-
грамму, установленную в Pays — Bas в 1937 году в серии докла-
дов, публикуемых инспекторской комиссией по реформе препо-
давания математики, начало которой было положено в 1925 году
под председательством Н.J.E.Beth. Нетрудно объяснить, почему
усилия Клейна привели только к частичным результатам. Этот
неуспех заключался в том, что геометрические теории, возглав-
ляемые Клейном, хотя они и занимали промежуточную позицию
между программами средней и высшей школ, оставались все же
далекими от основных интересов как тех, так и других. Однако
прогресс исследований продолжался и тогда, когда анализ раз-
вернул свою деятельность в самых различных областях, и скром-
ное место, которое некогда занимала элементарная геометрия, рас-

сматриваемая с высшей точки зрения Клейна, преобразилось в
огромную область интеллектуального мира — область открытия
алгебраических структур, которые приобрели неожиданно боль-
шое значение для математики в целом. В то же время исследования
в области обоснований, которые ведут свое начало скорее от про-
блем философских, сделались источником открытий для боль-
шинства математиков наших дней. Развитие этих новых исследо-
ваний имеет, по моему мнению, большое значение для сближения
обеих программ обучения. Констатация этого факта не должна
пугать читателя: действительно, речь идет не о том, чтобы ввести
изучение алгебраических структур или основ математики в про-
граммы средних школ. Я хочу только подчеркнуть важность раз-
вития обширного поля изучения, которое имеет большое значение
и для углубления предметов, составляющих содержание действу-
ющей программы средней школы, и для понимания определенных
трудностей, которые обыкновенно испытывают ученики.
III. Пояснения.
Я хочу сказать несколько слов о переходе от системы F раци-
ональных чисел к системе R чисел действительных. Для облегче-
ния вопроса я буду иметь дело только с обычным порядком в этих
двух совокупностях и обойду молчанием арифметические опе-
рации1.
1. Рассмотрим вначале способ перехода от структуры [F,<]
к структуре [/?,<]. Назовем сечением всякую данную пару (Л, В)
подмножеств Л и В от F, удовлетворяющих следующим условиям:
(і) имеется элемент χ в А и элемент у в В\ (ij) каждый элемент из
F есть в А или в В\ (iij) для каждого л: в Л и для каждого у в В
имеем: х<Су.
Для некоторого сечения (Л, В) могут иметь место три следую-
щих случая: (/) имеется наибольший элемент χ в Л; (ij) имеется
наименьший элемент у в В; (iij) не имеется наибольшего элемента
в Л, ни наименьшего элемента в В.
Тот факт, что случай (iij) может иметь место, показывает, что
система [Л<1 при кажущейся непрерывности имеет пробелы.
2. Эти пробелы заполняются при помощи известного метода
Дедекинда. Назовем эквивалентными два сечения (Л, В) и (Α',Β')
такого рода, что имеется не более одного элемента χ из F, кото-
рый будет в Л и в В' или в Л7 и в β. Пусть [Л, В ]—множество сече-
ний (х, у), которые эквивалентны данному сечению (Л, В)\ тогда,
чтобы [Л, В] = [С, D], необходимо и достаточно, чтобы (Л, В)
было эквивалентно (С, D). Говорят, что [Л, В] < [C,D ], если
В и С имеют по крайней мере два общих элемента.
1 Для более детального изучения можно обратиться к моим «Основам
логики и математики», 2-е изд., Париж, 1955. Е, W, Beth, Fondaments
logiques des mathématiques, 2-е ed., Paris, 1955,

Пусть R — совокупность всех действительных чисел [А, В); из-
вестно, что 1/?,<] представляет непрерывный порядок без про-
белов.
3. Теперь мы хотим показать разницу между двумя структу-
рами \F,ним методы символической логики в форме, подходящей для
наших целей.
Введем переменные х, у, 2, элементарные выражения χ = χ,
χ = у, χ = ζ, у = χ, у = у,..., ζ = JC,..., χ<χ, JC<Î/, ..., {/<#,..„
и операторы — («нет»), V («или»), & («и»), -» («если..., то...»),
(*)» (у)у (2),...(«для всякого X, для всякого {/, для всякого г») и (£*),
(£#), (£г),... («имеется χ такой, что..., имеется у такой, что...,
имеется ζ такой, что...»).
Выражения замкнутые (не содержащие ни одной переменной,
которая не была бы связана с соответствующим квантором) пред-
ставляют собою утверждение, выражающее характерное свойство
упорядоченных структур, которые мы рассматриваем.
Например, выражение
(x)(y)[x(«для всякого χ и всякого у при х<Су имеется 2 такое, что x<2
и 2<#») является истинным для обеих структур [/\<1 и [/?,<],
выражение (Ex) (у) \х — yV · х<у\ («имеется χ такой, что для
всякого у имеем χ - 'у») не будет истинным ни для tofi, ни для дру-
гой. Чтобы определить разницу между двумя структурами, нужно
найти замкнутое выражение, которое, будучи истинным для одной,
было бы не верно для другой.
4. Отыскание этого выражения было облегчено тем, что в 1927 г.
Лангфорд дал решение проблемы для структуры [£,<],
т. е., другими словами, он установил метод, позволяющий для
всякого данного замкнутого выражения разрешить вопрос, явля-
ется ли оно истинным для данной структуры, или нет. Вместо того
чтобы дать общее описание этого метода, я покажу применение
его на частном случае следующего выражения:
(Ex)(Ey)[xВначале мы рассмотрим, в частности, выражение
{z)[zили лучше его отрицание
(Ez)[г<у.&-г<г],
которое допускает следующее сокращение (нетрудно убедиться
в правильности следующих преобразований):
(Ez)[z(Ez)[{z

(Εζ) [zΧ < У · ν · χ < у
х<у.
Наше начальное выражение эквивалентно:
(Ex)(Ey)[х<у.&-х<у]
Выражение, очевидно, не истинно.
Теперь мы можем сделать интересное наблюдение, что наш
метод решения остается действительным, если мы заменим струк-
туру [/\<] структурой [/?,<], т. е. что нельзя иметь никакого
замкнутого выражения, которое, будучи истинным по отношению
к одной из этих структур, не будет истинным и ко второй1.
5. Эти заключения, кажущиеся невероятными на первый взгляд,
легко объяснимы: неразрешимость, которая встает перед нами при
отыскании различия между структурами [/\<] и [/?,<], про-
исходит от того, что мы имеем в своем распоряжении очень огра-
ниченные средства выражения.
Чтобы прийти к желаемому построению, надо расширить нашу
слишком узкую систему. Мы можем, например, ввести наряду
с индивидуальными переменными х, у, г,... переменные множества
X, У, Ζ,... и наряду с элементарными выражениями χ = х>
х=у,..., у = χ,..., элементарные выражения Х(х), Х(у),...,
У(*),..., У(х),..., («χ есть в X», «у есть в X»,..., «х есть в У»,...)
тогда, между прочим, понадобится введение кванторов (X), (У),...,
(£Х), (£У), .., соответствующих переменным.
В формальной системе, расширенной подобным образом, может
быть выражена аксиома непрерывности Дедекинда, которая дей-
ствительна для структуры [/?,отсюда следует, что метод решения, найденный Лангфордом, не-
применим к выражениям расширенной системы.
6. Педагогические следствия нашего исследования сводятся
к двум проблемам, довольно трудно разрешимым:
а) Как объяснить ученикам переход от структуры [/\<1 к
структуре [Ry < I?
б) Как объяснить им соответственные свойства этих двух струк-
тур?
Здесь уместно одно замечание. Проблема а) не вставала бы
перед нами, если бы включили в программы но алгебре и по алге-
браическому анализу аксиоматический метод вместо метода гене-
тического, который состоит в последовательном построении сис-
тем чисел целых, рациональных, действительных и комплексных,
1 А. Тарский показал, что это выражение остается справедливым
и при сложении и умножении, лишь бы только совокупность F рациональных
чисел была бы замещена совокупностью F алгебраических действительных
чисел.

исходя от системы натуральных чисел. Здесь на нас оказывает
излишнее влияние историческое развитие Но проблему б) мы не
можем обойти, если мы хотим достичь необходимого уровня мате-
матической строгости при изложении теории пределов.
Мы приходим к выводу, что невозможно определить разницу
между структурами [F,<] и [/?,<], если мы остаемся в области
элементарной логики, т. е., другими словами, если будем избе-
гать всякого обращения к понятиям теории множеств. Если мы
хотим объяснить взаимные свойства наших двух структур, мы
вынуждены будем выйти из области элементарной логики. Под-
черкнем, что здесь мы совершенно не имеем в виду достичь уров-
ня строгости, которая была бы недоступна для учеников. Но даже
если мы решимся на то, чтобы использовать не вполне точные
средства выражения, все же нам придется выйти за границы эле-
ментарной логики, чтобы выразить или подсказать, в чем состоит
разница между двумя структурами. Предыдущий обзор объясняет
трудности, которые ученик должен испытывать, чтобы понять
взаимные свойства структур [/*\<]и [R,< ]. Математика в про-
граммах средних школ принадлежит почти целиком области
элементарной логики. В этой области ученик чувствует себя, так
сказать, как дома; вполне понятно, что он испытывает очень
большие затруднения, если его принуждают выйти за границы
этой знакомой ему области.
IV. Логика и психология.
Наши тезисы, согласно которым педагогика математики вы-
двигает определенные проблемы, которые могут быть разрешены
скорее с помощью логики, чем психологии, заставляют нас уси-
лить взаимосвязь между этими двумя дисциплинами, т. е. мате-
матикой и логикой.
Кризис основ науки, который мы можем отнести к эпохе между
1890 и 1910 гг. [12] породил немедленный эффект, заставив как
математиков, так и психологов почувствовать настоятельную не-
обходимость найти определенную точку зрения, позволяющую
им ориентироваться в хаотической области, которую представляли
собою математические науки. Такую точку зрения нельзя было
найти внутри области математики и потому вполне понятно, что
было решено ее искать вне. Большинство исследователей были
согласны найти в логике достаточную базу для всего здания мате-
матики; но вскоре основы логики были признаны так же мало
солидными, как и основы математики. [131
Вследствие этого решено было искать основы за границами
формальных наук и прибегнуть к реальным наукам, чтобы найти
надежное основание и для логика и для математика. С другой
стороны, было очевидно, что и естественные науки не могли ни-
когда предоставить этой базы. Их неспособность в этом отноше-
нии была выявлена в дискуссиях по основаниям геометрии, вы-

званных открытием неевклидовой геометрии. Это открытие было
тем более убедительным, что геометрия по распространенному
убеждению занимала промежуточное положение между чистой
математикой и естественными науками.
Поэтому вполне естественно, что обратились к психологии,
которая в этот период быстро выдвинулась вперед в своем разви-
тии. С одной стороны, дискуссии об основаниях геометрии уже
создали контакт между психологией и отысканием фундамен-
тальных оснований, с другой стороны, логика обладала с неза-
памятных времен многочисленными связями с психологией. Бы-
ло особенно важно для педагогики математики, чтобы между ло-
гикой и психологией была установлена тесная связь в отношении
исследований фундаментальных основ. Действительно, сотруд-
ничество между этими тремя областями способствовало бы, без
сомнения, скорейшему разрешению практических проблем препо-
давания математики. Между тем надо констатировать, что пси-
хология сама по себе никогда не приближала желанного реше-
ния. В тот момент, когда многие математики хотели позаимство-
вать из ее источников, она отвернулась от своего традиционного
интеллектуализма, чтобы посвятить себя почти исключительно
изучению аффектов и подсознательного.
Со стороны же математиков, наоборот, нужда в сближении
все время остро ощущалась. Положение было особенно демора-
лизующим в отношении преподавателей средних школ. Зачем
вбивать в головы учеников математику, если ее теоремы не толь-
ко оказывались бесполезными с практической точки зрения, но и
лишены были солидного основания? Зачем их утруждать требо-
ваниями строгости, присущей дедуктивному методу, если он не
мог гарантировать точности результатов?
Настоятельная потребность найти исходную точку, отправля-
ясь от которой можно было бы судить о проблеме оснований, да-
ла место целой серии попыток рассматривать эту проблему, ис-
ходя от данных или понятий, заимствованных у психологии.
С некоторой осторожностью 1 мы можем сказать, что психоло-
гия не способствовала выяснению проблемы оснований логики и
математики. Уже Фреге горячо боролся против посредничества
психологии в разрешении этой проблемы, а сегодня большин-
ство специалистов в этой области сходятся во мнении, что надо
избегать всяческого посредничества с этой стороны.
Надо точно различать проблему права и проблему факта.
Единственный факт заключается в том, что до сих пор роль пси-
хологии в отыскании основ была незначительной, еще не указы-
вает, что и в будущем,она будет такой же.
1 Мы не будем говорить отдельно о работах Г. Маннури и его школы
по психолингвистическому анализу математики и о работах Ж- Пиаже о
генетической эпистемологии.

Чтобы судить о возможности такого развития, надо разобрать
следующие вопросы:
(/) Как объяснить тот факт, что до этого времени роль психо-
логии не была более значительной?
(//") Какова в принципе могла быть эта роль психологии?
Развивая (/), можно попытаться защитить следующие поло-
жения:
1. Представители современной психологии не располагают в
основном математическим аппаратом, который составляет необхо-
димое условие для всякой успешной работы по проблеме осно-
ваний.
. 2. Психология не достигла еще того уровня, который необхо-
дим. Ни тот, ни другой из этих ответов не кажется вполне удов-
летворительным. Действительно, было бы естественным, что пси-
холог, который хочет изучить проблему оснований, начинает с
усвоения необходимого математического аппарата; между про-
чим, если развитие психологии не достигло еще достаточного уров-
ня, то это скорее всего заметит психолог, и можно ожидать, что
он сделает усилие, чтобы способствовать развитию психологии,
а не для того, чтобы разрешить проблему, трудность которой от
него ускользнет. Тем не менее часто получается впечатление, что
психологи не дооценивают важность проблем как логических, так
и математических, выдвинутых благодаря кризису оснований, и
что они имеют преувеличенное представление о могуществе их
науки по отношению к этим проблемам. Это неосознание реаль-
ности положения раздражает специалистов в отыскании оснований
и заставляет их держаться на страже против всякого вторжения
психологии. Из положения (//), по моему мнению, роль психоло-
гии остается всегда очень скромной.
Конечно, проблема поисков оснований не сможет совсем избе-
жать психологических проблем. Но исследователи всегда мо-
гут сделать так, что проблемы психологические, которые могут
встретиться, будут разрешены в границах психологии в общем
смысле
Возьмем вначале очень простой пример. Чтобы иметь дело с
символической логикой, надо, чтобы умели различать и узнавать
символы определенного вида. Может случиться, что логик совер-
шит ошибки, потому что он не сможет различить символы опреде-
ленной формы. Этот логик может случайно явиться патологиче-
ским примером для психоаналиста, который сумеет ему показать
или, еще лучше, заставить его самого увидеть глубокие причины
его ошибки. Такой метод, в лучшем случае, способен помочь пси-
хическому выздоровлению нашего логика, но в своей логической
работе этот последний может развиваться вполне самостоятельно,
заменяя в данной проблеме символы новыми разнообразными сим-
волами.
С общей точки зрения психолог будет стремиться открыть
подлинный аппарат мысли. Логик будет поступать так, как будто

он не знает деталей этого механизма. Действительно, самонаблю-
дения, разговоры со своими собратиями, а в особенности история
логики и математики, будут к его услугам для того, чтобы пока-
зать, насколько полон этот механизм и как разнообразны его
функции. Так же и логическая теория, объясняющая наше зна-
ние этого механизма, никогда не достигнет строгости и общего
характера, который все же необходим.
Искусство, которое позволит логику обойтись совершенно без
привлечения нашего сознания к механизму мысли, есть, как из-
вестно, формализация. Не удивительно поэтому, что взгляды
логиков и психологов на этот предмет сильно отличаются друг от
друга. Для логиков еще можно допустить их незнания механизма
мысли, но для психологов незнание этого механизма является
непростительным недостатком.
V. Роль математической подготовки.
Эта дискуссия заставляет нас остерегаться тенденции преуве-
личения компетенции психологии по отношению к проблемам педа-
гогики математики.
Действительно, для математика проблема педагогики пред-
ставляется совсем иначе, чем в других предметах преподавания
в средних школах. Там имеет место главным образом необходи-
мость объяснить ученикам известные факты или заставить их
понять известные правила или отношения; следовательно, психо-
логия может оказать там драгоценную услугу, научив нас, как
нам сделать, чтобы эти факты были бы легко усвоены и чтобы эти
правила и эти отношения были бы легко поняты.
Роль математического образования в преподавании средних
школ состоит почти исключительно, как мне кажется, в усвоении
учащимися дедуктивного метода.
Таким образом, преувеличенное значение, присваиваемое дан-
ным психологии, может оказать только нежелательное влияние.
Под предлогом того, что ученики на первых годах обучения
не являются достаточно зрелыми, чтобы понимать дедуктивный
метод, приходят к необходимости обучать их геометрическим тео-
ремам эмпирическим методом.
Обойдем молчанием вопрос о зрелости; если даже ученики пер-
вых лет обучения не достигли еще соответственного уровня, это
вовсе не оправдывает введение упомянутого метода. Действи-
тельно, если бы вопрос касался только обучения учеников изве-
стному числу геометрических теорем, всегда было бы предпочти-
тельнее представить их в догматической форме. Факт применения
эмпирического метода показывает, что имеет место плохое пони-
мание, если чувствуется необходимость убедить учеников очевид-
ностью теорем, т. е. другим путем, чем путем дедукции, но мне
кажется исключительным заблуждением применять в этом случае
метод, который не выдерживает никакой критики.

VI. Психолингвистика и генетическая эпистемология.
Мне осталось сказать только несколько слов об идеях Маннури
и Пиаже. Психолингвистика Маннури отличается от форм психо-
логизма, о котором мы уже говорили, тем, что она исходит от
исследования проблем оснований. Это объясняется тем, что Ман-
нури был уже математиком, прежде чем сделаться психологом.
Психолингвистика есть, конечно, результат довольно сложного
развития. После применения психологических методов к изуче-
нию оснований Маннури искал применения этих методов фило-
софской критики к проблемам, выдвинутым другими науками.
Таким образом, он мало-помалу пришел к построению обширной
доктрины, которая заслуживала бы более глубокого и более де-
тального исследования. Но интересно отметить то, что Маннури
и его ученики отказались присоединить к их системе новые итоги
в открытии оснований. Трудно не увидеть в этом сильное влияние
психологического предубеждения.
Генетическая психология Пиаже отличается от современного
психологизма стремлением не применять логики к реальному ме-
ханизму мысли, но описать различные фазы интеллектуального
развития посредством структур, вырабатываемых современной ло-
гикой. Этот метод в принципе является неоспоримым с логической
точки зрения, и одно внимательное наблюдение интеллектуаль-
ного развития, которому Пиаже посвятил десятки лет исканий,
настолько же терпеливых, насколько и проницательных, может
показать, будет ли такое описание возможным.
Единственное принципиальное возражение, которое логик мо-
жет сделать Пиаже, это то, что автор извлекает из своих резуль-
татов аргументы против определенных выводов в исследовании
оснований. Это, возможно, непоследовательность, проистекающая
от влияния современного психологизма*.
Во всяком случае, мне хочется подчеркнуть, что интеллекту-
альное вдохновение, которое характеризует психологию Пиаже,
мне глубоко симпатично.
* См. предисловие Бюро.

Глава III.
АБСТРАКЦИЯ В МАТЕМАТИКЕ И ЭВОЛЮЦИЯ
АЛГЕБРЫ.
Жан Дьедонне.
Во все времена математика наряду с метафизикой представ-
ляла собою область, где оперируют только с «абстракциями» да-
леко от «конкретной» реальности и чувственного эксперимента.
Отсюда сомнительный аспект, который они приобретают в глазах
широкой публики, и тот факт, что многие, кто легко воспринимает
идеи в других направлениях, остаются упорно несклонными ко
всякой абстрактной мысли и приходят даже к объявлению «пре-
ступным» малейшие математические рассуждения. Мы склонны
в наши дни, в частности среди преподавателей, оплакивать такое
положение вещей и ухищряться маскировать или уменьшать воз-
можно дольше абстрактный характер математики. Это, на мой
взгляд, большое заблуждение. Конечно, речь идет не о том, чтобы
с самого начала поставить детей перед лицом очень абстрактных
понятий, но чтобы по мере развития их ума они этими понятиями
овладевали и чтобы математика представилась бы в своем настоя-
щем виде, когда у них сформируются структуры мысли. В конце
концов, к каким целям стремятся в нашем цивилизованном мире,
преподавая математику детям? Конечно, не к таким, чтобы позна-
комить их с определенным числом более или менее остроумных
теорем о биссектрисе треугольника или о последовательностях
простых чисел, которым они никогда не найдут ни малейшего
применения (по крайней мере, если они не станут профессиона-
лами-математиками), но для того, чтобы научить их приказывать
своим мыслям и управлять ими по методу, которым пользуются
математики, а также и потому, что эти упражнения являются пре-
красным средством развития ясности ума и строгости суждений.
Именно эта сущность математического метода должна стать осно-
вой преподавания, а преподаваемый материал представляться
лишь хорошо выбранной иллюстрацией.
Но в чем же заключается могущество математики, как не в
возможности абстрагировать и оперировать над абстрактными по-
нятиями? Мы колебались бы объявить такую тривиальную истину,
если бы, как мы об этом говорили выше, эта истина не имела бы
иногда тенденцию теряться из вида. Вот почему я думаю, что не-

бесполезно напомнить, что великий прогресс в математике был
всегда связан с способностью подняться немного выше в область
абстракции.
История алгебры от ее первого лепета до нашей «современной
алгебры» иллюстрирует этот тезис на следующих страницах.
I. Алгебраические понятия.
Мы не будем задерживаться на происхождении (довольно тем-
ном) первых математических понятий, таких, как число, прост-
ранство или время. Отметим все же мимоходом, что, хотя они и
служат нуждам практики, эти понятия все же очень абстрактны:
если современная цивилизация, основой которой они являются,
заставила бы нас забыть этот факт, достаточно было бы нам вспом-
нить о тех затруднениях, которые испытывает ребенок, чтобы
достигнуть ясного усвоения этих понятий, или о некоторых при-
митивных культурах, у которых нумерация не идет дальше не-
скольких единиц и где иногда даже смешивают порядковые числа
со считаемыми предметами.
Понятие числа развивается наряду с обычными арифметиче-
скими операциями, и желание производить эти операции быстро
и корректно, как только возможно, привело, как мы знаем, неко-
торые культурные народы к тому, чтобы отмечать числа специ-
альными знаками, расположенными таким образом, что арифме-
тические операции могли осуществляться прямо на символах,
обозначающих рассматриваемые числа, при помощи приспособ-
ленных для этого правил (не возвращаясь к определениям этих
же самых операций и помогая при нужде для ускорения вычис-
лений, например, употреблением счетов). Было несколько попы-
ток такого рода, более или менее удачных, и понадобились
многие века, прежде чем пришли к изображению системы, настолько
удовлетворительной, как наша действующая «позиционная нуме-
рация». Мы упомянули об этом, как об основной тенденции ал-
гебры: обозначать сокращенно операции и их результаты как бы
путем стенографии, довольно гибкой и довольно совершенной,
чтобы сделать маневрирование этими операциями одновременно
и более ясным, и более быстрым, и более легким1.
Польза таких сокращений выявляется сразу, как только мы
начинаем комбинировать арифметические операции между собою
несколько более сложным способом, например тождества, которые
мы напишем:
(1) 1+2+3+.. . + (Л_1) + Я=*«±І!,
^ 1 Отметим попутно появление нуля в позиционной нумерации, кото-
рый является существенной фигурой и свидетельствует об абстракции, до
которой сами греки не могли никогда подняться.

(2) (α + bf = as + b3 + 3ab(a + 6),
можно, конечно, выразить на обычном языке, но это будет гораздо
менее понятно, чем изображение их в виде формул1. Попутно от-
метим, что понимание даже таких равенств требует уже более вы-
сокого уровня абстракции, чем при обычном понятии числа: дей-
ствительно, надо сообразить, что операции, которые мы описали
в двух частях равенства (1) и (2), осуществляются в общем виде,
т. е. безотносительно к частным значениям чисел, которые там
фигурируют. Замечательно, что эти законы были уже выведены
(конечно, вначале эмпирически) у наиболее передовых народов
древности, как у вавилонян и греков. Но они достаточно точно
могут быть выражены обычным языком, и, несмотря на очевидную
упрощенность, которую нам дает их алгебраическая транскрипция,
нам кажется, что потребность в такой «стенографии» дала себя
чувствовать слишком рано.
И только, без сомнения, в связи с решением уравнений эта по-
требность выявилась прежде всего. Известно, что эта проблема
состоит в определении одного или нескольких чисел, удовлетво-
ряющих данным условиям, которые могут быть записаны алге-
браическими равенствами.
Возьмем в качестве примера следующую задачу: найти прямо-
угольник, разность сторон которого равняется 2, а площадь рав-
на 8; переводим это на язык уравнения.
(3) х(х + 2) = 8 — для наименьшей стороны х.
Когда это касается простой задачи, можно решение выразить
обыкновенным языком, без особых затруднений. Так обычно делают
в наши дни с так называемыми «арифметическими» задачами в
начальных классах: вопрос идет о задачах, приводящих к решению
уравнения первой степени с одним неизвестным ах = b, но которые,
следуя ранее указанному методу (смешения, курьеры и т. д.), раз-
решаются каждый раз рассуждениями ad hoc*. Такие приемы
известны были вавилонянам2, у которых мы их находим, к тому же
без объяснений (они нам известны по крайней мере из всех учебни-
ков арифметики). У них находят также классическое правило ре-
шения уравнения второй степени, но без указания, каким путем они
его получили. Греки классической эпохи разрешают уравнение вто-
рой степени, приводя его к проблемам геометрического построения и
1 Например, равенство (2) означает: куб суммы двух чисел есть сумма
кубов этих чисел плюс утроенное произведение суммы данных чисел на их
произведение.
* ad hoc — для этой цели.
2 Их почтенная древность, несомненно, служит причиной тому, что
эти правила остаются такими, какими их преподают в наши дни. несмотря
на неоднократные протесты математиков: если признать доказанным, что
ребенок 10 лет не может понять механизма уравнений первой степени с од-
ним неизвестным, пусть подождут несколько лет, но не вдалбливают ему в
голову множество ненужных приемов.

оставаясь в стороне от течения алгебраической мысли в чистом
виде; и хотя теоретическая алгебра выявляется у вавилонян
уже на довольно высоком уровне, все же только у Диофанта
(IV век н. э.) мы находим первые письменные источники, которые
дошли до нас.
Прямой анализ уравнения одними средствами алгебры состоит,
как мы знаем, в воспроизведении серии операций над неизвестным
(или неизвестными), как будто это относилось к количеству уже
известному; например, для уравнения (3) мы пишем последовательно
χ (х + 2) + 1 = 9, замечая, что первый член равен (х + I)2, по-
лучим (х + I)2 = 9, откуда χ + 1 = 3; χ = 2. Мы найдем очень
многочисленные и разнообразные примеры этого метода у Дио-
фанта, который им оперировал с редкой виртуозностью. Современ-
ный математик настолько привык к этому методу рассуждений,
что эта смелость для нас неощутима; но на самом деле он требует
такой абстракции, к которой могут оказаться неспособными даже
наши, получившие научное образование современники, как толь-
ко они сходят с проторенной дорожки1.
И, конечно, не случайно, что впервые у Диофанта мы встречаем
специальный знак, чтобы обозначить неизвестное проблемы: не-
трудно понять необходимость, которая толкнула его на это, когда
он пытался выразить на обычном языке операций, которые он при-
менял для решения уравнений. В нашем примере (3) надо было бы
сказать: «если прибавить единицу к площади прямоугольника,
получат площадь квадрата, сторона которого будет меньшей сто-
роной прямоугольника, увеличенной на единицу; плошадь квад-
рата равна 9, сторона квадрата 3 и наименьшая сторона прямоуголь-
ника будет 2».
В этом примере можно легко выйти из положения благодаря
геометрической интерпретации, но если хотим подобным образом
оперировать в чисто алгебраических проблемах и особенно, когда
имеется несколько неизвестных, то сразу попадают в галиматью,
о которой даже юридический жаргон («вышеупомянутый, в третьем
1 Все офицеры — слушатели артиллерийских курсов в 1930 году (во Фран-
ции) вспоминают знаменитый урок (на торжественном открытии) стрельбы по
самолету: дело касалось стрельбы по цели, движущейся в предполагаемом
известном направлении, и офицер-инструктор разрешил проблему следую-
щим образом. Если в какой-то данный момент известно место М0 самолета,
то знают время, необходимое разрывному снаряду, чтобы его достичь. В кон-
це этого времени t0 самолет достигнет известной точки M и необходимо по-
пытаться стрелять (начальный момент) в точку М, но длительность полета
разрывного снаряда от пушки до M не равна здесь t0; следовательно, заклю-
чил инструктор: «Мы пришли к порочному кругу, который можно решить,
прибегая к методу последовательных приближений». В действительности,
если t есть время, необходимое для перемещения из точки Мп в Р, то время
Т, необходимое снаряду, чтобы достичь Р, будет известная функция F (t)
(таблицы стрельбы). Точка будущего положения самолета, которую нужно
визировать и достичь в конце времени есть корень уравнения /= F(t).
Это и есть «порочный» круг задачи!

лице») дает только слабое представление1. Диофант во всех случаях
обозначает неизвестное и его шесть первых степеней символами:
σσ, σν , κν, σσν , σκν ,κκν , но он не имел символов для одновременно-
го обозначения нескольких неизвестных, что практически мешает
дать полное решение задачи, где имеется более одного неизвестного.
В течение средних веков методы и понятия Диофанта очень мед-
ленно совершенствовались. Были введены символы, позволяющие
обозначить несколько неизвестных и их степени с небольшими
показателями, и специальные знаки для некоторых современных
алгебраических операций (например, у большинства алгебраистов
этой эпохи + и — обозначаются ρ и m, квадратный корень R\
но знак равенства = вводится только в середине XVI века и был
везде принят только в конце XVII столетия).
Надо было ждать Шюке (XV век), чтобы увидеть появление обо-
значения показателей, которые входят в употребление только пос-
ле Стевина (1600). Но и здесь еще наибольший прогресс был свя-
зан с наиболее абстрактной концепцией в алгебре: осознание факта,
что процесс решения известных в то время уравнений (формулы
решения уравнения до 4-й степени) не зависит от значения число-
вых коэффициентов, а лишь от степени уравнения. Виет (1540—
1603) приходит к мысли обозначать буквами не только неизвестные,
но также и «данные» — коэффициенты уравнений и его обозначе-
ния, значительно улучшенные Декартом и Ньютоном, уже сильно
приближаются к нашим. Когда после Ньютона и Лейбница (послед-
ний прогресс) обозначили буквой степень самого уравнения и бук-
вой с индексом ак — коэффициент хк в уравнении, уже подошли
к такой точке, с которой можно разглядеть в общем виде проблему
решения алгебраического уравнения:
а0 + ахх + ... + an xп = 0.
Изучение этой проблемы займет весь XVIII век, чтобы завершиться
наконец теорией Галуа (1830). Здесь уже можно сказать, дотра-
гиваются пальцем до самого главного: такие обширные проблемы
не могли бы даже быть корректно сформулированы, ни тем более
разрешены с каким бы то ни было шансом на успех, до того как по-
нятия, которые в них фигурируют, не сделались бы достаточно аб-
страктными, чтобы претендовать на решение, свободное от всяких
случайностей, затемняющих ранее известные частные случаи.
II. Неразрешимые уравнения.
Алгебраисты должны были очень скоро встретиться с пробле-
мами, не допускающими решения. Мы здесь не будем вспоминать,
как «неразрешимые» задачи первой степени заставили индусских
1) Мы найдем убедительный пример этого изложения в правиле (в сти-
хах!), которым Тарталья ознакомил Кардана со своим методом решения
уравнения 3-й степени. Moritz Kantor. Vorlesungen über die Geschichte
der Mathematik, т. II, стр. 448, Лейпциг (В, G. Teubner), 1892),

математиков (V — VIII века н. э.) ввести отрицательные чис-
ла, тем более что в начале это делалось «формально», посредством
расширения обычного счисления, каковой путь мы укажем ниже.
Эти новые числа должны были довольно скоро достичь «конкретных»
интерпретаций, приводя естественным образом к правилам, кото-
рые руководили операциями счета, а формальная точка зрения на
них должна была появиться только в стадии дальнейшей эволюции
алгебры (отрицательные числа в продолжение нескольких веков
были предметом недоверия большинства математиков: Виет в XVI
веке не хотел и слышать о них!). Гораздо более типичный пример
дадут нам мнимые числа.
Как только был найден способ извлечения квадратного корня,
заметили, что квадрат числа всегда положителен, и немногие ал-
гебраисты средних веков, которые оперировали без колебания с
отрицательными числами, казалось, не имели никогда побужде-
ния (которое показалось бы, бесспорно, бессмысленным и парадо-
ксальным) извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
Только открытие решения «в радикалах» уравнения 3-й степени
должно было показать необходимость расширения обычного вы-
числения квадратных корней. В начале XVI века итальянский ма-
тематик Сципион дель Ферро открывает формулу (названную «фор-
мулой Кардана»), определяющую корень уравнения х3 = ах + b:
Когда в данном уравнении имеем —^j3<0, форму-
ла (4) не имеет смысла. Между тем Кардан и его ученики не
замедлили заметить, что даже в этом случае уравнение может иметь
корни. Возьмем, например, уравнение х3 = 15х + 4, рассматри-
ваемое Бомбелли (конец XVI века); оно имеет корень χ = 4, хо-
тя — j — ί-у 1 = — 121. Но примем, так как это сделал
Бомбелли, что квадратные корни из отрицательных чисел были бы
действительными числами, к которым применялись бы все обыч-
ные правила алгебраических вычислений, тогда после применения
формулы (2) будем иметь:
(2 -ЬК^Т)3 = 8+12 К=Т — 6 — =2+ V^Î2\,
что позволяет написать
и также

и формула (4) дает путем сложения корень χ = 4. Другими слова-
ми, мы пришли к точному результату путем вычислений, не имев-
ших смысла.
Прежде чем пришли к возможности объяснить этот кажущийся
парадокс, понадобилось два века размышлений и попыток, во вре-
мя которых математики мало-помалу осваивались с «мнимыми»
числами и научились применять их все более и более продуктивно.
Но только в начале XIX века дали себе отчет в том, что можно «счи-
тать» определенные «вещи», которые не суть числа, так, как будто
бы это были числа. Так как это может быть самый трудный шаг
при достижении вершин абстракции, мы попытаемся проанализи-
ровать подробно механизм операций над мнимыми числами.
1. Будем исходить от «вычислений», вначале лишенных смысла,
как поступают с «мнимыми» числами а + b )f~^\, когда употре-
бляют γ^Γ\ как будто это обыкновенное число, квадрат которого
равен — 1. Все операции алгебры основаны на сложении и на ум-
ножении, поэтому нам достаточно рассмотреть эти последние, что-
бы получить следующие результаты:
(5) (а {- b \Г=Г{) + (а> _і_ ν іЛГТ) = (а + а') + (b + b')\Г=ЛУ
(6) (а + b|/"=Т)(α' + V V^\) =(αα' — bb') + (ab' + ba')\f—[.
Отметим еще раз, что как таковые эти равенства не имеют смыс-
ла, потому что |/"^Л не существует как общеупотребительное чис-
ло. Но если мы заметим, что данное «мнимое» число а + b
связано с данной парой (а, b) обыкновенных чисел, то сейчас же ста-
новится ясным, что равенства (5) и (6) могут вводиться как опре-
деляющие операции сложения и умножения над парами (а, b) обык-
новенных чисел посредством условий:
(7) (a,b)-\-(a\b') = (ai-a\ b + b\
(8) (ayb)(a',b') = (αα' —bb\ ab' + bar).
Заметим, между прочим, что в «вычислениях» (лишенных смыс-
ла) над мнимыми числами число а + 0 |/ — ι заменяют обыкновен-
ным числом а, что позволяет, как мы это видели выше, после «вы-
числений» над мнимыми числами прийти к конечному результату,
который будет представлять собою обычное число.
В нашей интерпертации эта значит, что мы отождествляем пару
(а, 0) с числом а; эта «тождественность» оправдывается тем, что
числа а и пары (α,Ο) взаимно однозначно соответствуют друг дру-
гу, и, более того, это соответствие допускает операции сложения
и умножения потому, что мы имеем по (7) и (8):
(9) (α,Ο) + (α'0) = (α-(-α',0)
(10) (α,Ο)(α\0) = (αα',0).
Имеется, как говорят, изоморфизм между обычным вычисле-
нием и вычислением над парами (а, 0).

2. Этот первый шаг привел нас, таким образом, к определению
двух операций над парами (а, b) обычных чисел, но можно без тру-
да понять, что можно определить много других операций над эти-
ми парами (например, с первого взгляда видно, что естественнее
<было бы принять за правило умножения правило (а, b) (α', b') =
= (αα', bb') вместо правила (8). Это правило удовлетворяет также ус-
ловию (10). Это совершенно не объясняет факта (констатирован-
ного эмпирически), что алгебра «мнимых чисел» подчиняется тем
же законам, каким подчиняется обычная алгебра. Это последнее
утверждение довольно смутно, но можно его уточнить следующим
способом: легко удостовериться, что все правила обычной алгебры,
за исключением тех, где вводятся неравенства, суть логические
следствия следующих правил:
* + + = (* + #) +ζ; *+У = У + х
O+Jt = χ, х+ {— х) = 0
x{yz) = (xy)z, xy = ух
I -χ = χ, χ·(\/χ) = I, если x^О.
Например, из этих правил следует, что χ · χ = (0 + χ) - х=
= 0 . χ + χ . xt откуда 0 = (х . х) + (— χ - χ) = (0 . х-}- χ · х)+
-|-(_χ . χ) = 0 . * + . * + (— Λ: - x)) = 0 . Λ;+0 = 0 . *. Так-
же, если χ Φ 0 и у 0, имеем: xy Φ 0; действительно, в против-
ном случае, мы имели бы из равенства xy = 0 последовательно
(1/х) (**/) =0, потом ((Ι/χ) χ )у = 0,1 . у = 0 и окончательно у = 0,
что приводит к противоречию.
Установив это и заменяя числа JC, у, г парами (a, è) с правилами
действий (7) и (8), убедимся, что правила (R) также справедливы,
если только заменим 0 парой (0,0),1 — парой (1,0), —(а, b) через
(—а, —b) и 1/ (а, 6) (для а и й, не равных 0) через — — .
а2 + Ь2 а2 -\-Ь2
Это объясняет возможность производить над нашими парами
(а, b) все обычные алгебраические вычисления; между прочим, в
новой системе «комплексных чисел» пара і = (0,1) такова, что і2 =
= (—1,0), согласно (8). «Вычисления над мнимыми числами» та-
ким образом полностью узаконены.
3. Между прочим, этим мы лишь установили факт и потому,
естественно, может возникнуть вопрос: можно ли дать другие пра-
вила вычислений пар (а, 6), которые так же удовлетворяли бы
условиям (R). Оказывается, можно показать, что всякое другое
•определение, удовлетворяющее этим условиям, дает то же самое
исчисление, лишь бы только сохранилось определение (7) сложения
и чтобы имело место соотношение (а,0) (с, d) = (ас, ad) (II) (други-
ми словами, частный случай соотношения (8), где первый множи-
тель будет типа (а,0). Тогда мы получим возможность отождест-

вить (α,Ο) с числом а (соотношения (9) и (10)), в частности, пара (1,0)
отождествляется с числом 1; если положить е = (0,1), вся
пара (а, b) может тогда быть записана в виде ae + b. Четыре
первых правила (R) могут быть установлены теми же подстанов-
ками, как приведенные выше. Соотношение а + be = 0 будет эк-
вивалентно а =* b = 0. Установив это, будем иметь, в частности,
е2 = $+αе,
для двух, подходящим образом подобранных чисел α, β; но это
условие можно записать и так:
(в — = β + -γ- или (12) в'* = γ, где е' = е *-
и 7 = ß + 4-
Покажем, что число γ будет обязательно отрицательным.
Действительно, в противном случае можно было бы написать λ = λ2,
и отсюда сейчас следовало бы согласно правилам (R)y предпо-
лагаемых истинными, и из (11), что
(e' — λ) (е'-\-Х) = 0.
Но выше мы видели, что из правил (R) с необходимостью сле-
дует: или е' — λ = 0 или е' + λ = 0, а ни одно из этих условий не-
возможно, потому что в первом члене каждого из них коэффициент
при е не равен 0. Поэтому следует предположить у < 0. Пусть
у=» — μ2 при μ > 0. Положив é =—е получим: е" = — 1.
μ
Заметим также, что можно написать а + be = а' + b'е", где а' =
= а + b-^- и Ъ' = 6μ; из этих формул видим, что обратно а и b
можно выразить как линейные функции от а' и b\ следова-
тельно, мы установили этим взаимно однозначное соответствие
между парами (а, b) и парами (α', b') так, что сложению и умножению,
определенным для пар (а, b)у для пар (α', 6'), соответствуют сло-
жение и умножение, определяемые (7) и (8). Другими словами,
имеется изоморфизм между двумя исчислениями, в чем и заключает-
ся свойство единственности, которое мы имели в виду.
4. Другая идея, которая, естественно, возникла в начале XIX
века, состояла в том, чтобы выяснить, возможно ли получить по-
добные результаты, рассматривая не только пары, но и тройки
(а, 6, с) или вообще системы (ах а2,...,а„) этих чисел. Замечательно,
что уже нельзя было установить правил (R) по крайней мере тогда,
когда хотим сохранить для сложения определение, аналогичное
(7), а для умножения — единственное аналогичное условие (II).
Покажем это, например, по отношению к п= 3.
Условия будут следующие:
(13) (а,о^)+(а/,У,^) = (а+а/, b+b'9c + c')t
(14) (а^0)(а\b\с') = (aa',ab',ac'),

откуда, в частности, мы должны будем иметь:
(15) (α,0,0) + (α\0,0) = (α+α',0,0),
(16) (α,0,0) (α7 ДО) = (αα',0,0),
что позволит написать а вместо (а, 0,0), откуда (а, 6, с) = а -\- be1 -{-
+ се2 , где е1 = (0,1,0) и е2 = (0,0,1). Четыре первых правила
(/?) будут действительны для 0 = (0,0,0) и — (а, 6, с) = (— а,
— b, —с)\ соотношение а -\- bev -\- се2 = 0 будет эквивалентно
α = ft = с = 0. Отсюда теория линейных уравнений показывает,
что так как нужно иметь е\ = (α, β, γ) и е? = (α', β', γ7) и для
соответственных троек нужно иметь линейную зависимость меж-
ду четырьмя тройками 1, еи ё\, е\ с коэффициентами, не равными 0
одновременно, то получим:
ао + а\е\ + аіеУ + a-ß" = 0.
Очевидно, невозможно, чтобы имелось равенство: а2 = а3 = 0;
но если а3 φ 0, то полином третьей степени а3х3 + а2х2 + ахх + а0
допускает по крайней мере один действительный корень b и мо-
жет быть записан тождественно в виде а.л(х — b) (х2 + b{x + bQ).
Применяя вновь правило (R)y мы получим:
α3(έ?, — b) (е2 +b]el + b0) = 0
и так как уже было указано, ^^0 и е1 — b = 0, то отсюда полу-
чим: е2\ + bßx + b0 = 0. Во всех случаях мы найдем соотношения
того же вида, и, рассуждая, как и выше для пар, мы видим, что,
заменяя е1 соответствующей комбинацией вида λβγ + μ, где
λ φ 0, можно положить, что е'і = — 1. Подобным же образом
можно привести к случаю, где е\ = — 1; но тогда из равенства
е{ — e'i посредством правила (R) получим (е, — е2) (eY -f- е2) = 0,
чего не может быть, потому что ни один из членов е1 — е2, е1 + е2
не равен нулю. Аналогичный метод ведет к таким же результатам
и для системы (а1 α2>···» an) некоторого числа элементов.
III. Формальные вычисления и современная алгебра.
Изложение теории комплексных чисел, которые мы имеем в ви-
ду, обязано своим открытием Гамильтону (1840), но по существу
оно восходит к фундаментальным работам о геометрическом пред-
ставлении мнимых чисел Весселя, Гаусса и Аргана в начале XIX ве-
ка. Эти работы, так же как и другие, относящиеся к той же самой
эпохе, принимая вид теории групп, делают первый решительный
шаг к абстрактной алгебре: они уже рискуют определять по от-
ношению к некоторым типам предметов операции, которые не были
даны «естественно». Другими словами, в сознание математиков
начинает проникать идея возможностей создания новых исчислений
над новыми предметами, вместо того чтобы пассивно ограничиться
теми, которые казались внушенными ему конкретным содержание
математики.

Одним из свойств природы революции является — никогда не
останавливаться на полпути: едва был только сделан этот первый
шаг к освобождению, как новые силы снесли с земли старую тюрьму,
где укрылась классическая математика. С исчислением комплексных
чисел начали искать возможность расширения области «чисел»,
для которой операции обычной алгебры были бы применимы, но
не собирались изменять фундаментальных правил (R) алгебраи-
ческих исчислений; отсюда, в частности, бесплодные попытки, о
которых мы говорили выше. Второй акт освобождения уничтожил
и это табу.
В рассмотренном выше случае исчисление операторов открыло
путь. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, где числу
а -\- β/ сопоставляется точка плоскости с прямоугольными коорди-
натами ((χ, β), дает, между прочим, и простую геометрическую
интерпретацию некоторых алгебраических операций. Например,
известно, что функция комплексного переменного, которая данному
числу ζ относит число ζ -\- а, где а = α -)-β/, соответствует тран-
сляции с вектором (α , ß); точно так же функция, в которой вся-
кому числу ζ соответствует число ζζ, где ζ = cos Θ -j- ism θ,
соответствует вращение на угол θ около начала. Осуществляя
два вращения на углы θ, θ' последовательно, приходим к после-
довательному умножению ζ на два постоянных числа: ζ и ζ' =
cos Θ'-j- isinö', что приводит также к умножению ζ на ζ'ζ. От-
сюда совершенно естественно переходим к «символическому» обоз-
начению, где обозначаются сами вращения (а не связанные с ними
комплексные числа) буквами S, S', и SS— вращение, получен-
ное последовательным применением вращения S, потом вращения
S' (здесь имеет место к тому же SS' =S S). Это обозначение, очевид-
но, очень близко подходит по смыслу и по форме к обозначению
f(g(x)y введенному во времена Лейбница для суперпозиции функ-
ций. Естественно подобную символику распространить и на
другие геометрические преобразования. Например, обозначая бук-
вой некоторое движение плоскости, обозначим TS движение, полу-
ченное применением вначале движения S, потом — движения Т. Мы
находимся в положении, имеющем некоторую аналогию с исчис-
лением пар: на этот раз мы определили «умножение» движений,
получив, таким образом, одну операцию вместо двух. Можно ли
так же исчислять эти новые объекты?
На первый взгляд это не кажется возможным, потому что пер-
вые 5 правил (R) не имеют больше смысла; в основном, между про-
чим, уже не является верным, что TS = ST, что можно увидеть,
приняв за Τ трансляцию, а за S вращение на 180° вокруг точки.
Все же мы имеем еще (ST)U = S (TU) для трех произвольных дви-
жений S, Ту U, и, подбирая подходящим образом символы, мы
убедимся, что и два последних правила (R) имеют место в нашем но-
вом «исчислении». Достаточно, действительно, условиться рас-
сматривать как движение «тождественное движение» — / операцию,
которая состоит в преобразовании каждой точки плоскости в саму

себя; с другой стороны, можно привести в соответствие каждому
движению S движение «обратное» S-1, которое, будучи применено
к каждой точке, возвращает ее в положение, которое она занимала
до движения S. На основании этих условий получим правила:
IS = SI = S и SS'1 = S' XS = /. Таким образом, мы пришли к
некоторому виду «частичного исчисления», когда не только пред-
меты не являются больше числами (и являются понятиями доволь-
но далекими от обычных чисел), но где даже сами правила исчис-
ления не являются больше обычными правилами. Мы видим, что
эти последние отнюдь не неосязаемы, и, начиная с середины XIX
века, можно уже различить алгебру более обширную, где соеди-
нились наряду со старой классической алгеброй все «исчисления»,
которые появлялись мало-помалу в многочисленных областях ма-
тематики по мере ее развития.
Это направление, в котором более или менее сознательно рабо-
тала большая часть алгебраистов в течение более одного столетия
и которое все более развивалось, нашло свое осуществление в на-
шей современной алгебре. Во время этой большой работы все бо-
лее и более выявлялось, что из двух основных составляющих вся-
кого «исчисления», т. е. из тех объектов, над которыми производят
какие-то операции и, с другой стороны, правилами операций,
только последние являются действительно существенными. На
этом высшем этапе абстракции, к которой, естественно, вели мно-
гочисленные примеры постоянно наблюдаемого «изоморфизма»,
«предметы» вычислений имеют «природу», которая остается почти
целиком неопределенной: точнее, алгебраист в своих вычислениях
не хочет знать об этих объектах ничего, кроме единственного фак-
та, что они послушны законам, которые он изучает. В этом и сос-
тоит то, что называется аксиоматическим методом в алгебре.
С этой точки зрения при изучении «исчисления», или, как еще
говорят, алгебраической структуры, принимают за основу данное
множество предметов Ε и определенное число операций /г, каждая
из которых состоит в отнесении к двум произвольным элементам
χ, у из Ε третьего элемента ft (χ,у) (1 < і < η). Результат каждой
из этих операций определяется обычно разделением χ и у знаком,
определяющим операцию как +, или X, или :, или Т, или да-
же приставляя χ и у один к другому без всякого знака; выбор это-
го знака зависит всецело от желания математика, выбирающего
его сообразно с применением, которое он имеет в виду: здесь еще
не имеется знаков «натуральных» (или традиционных!), заранее
заданных. Что характеризует вид алгебраической структуры, ко-
торую мы изучаем, — это различные соотношения (или «аксиомы»
структуры), которые вводят apriori между данными операциями.
Например, структура, где имеются две операции, обозначенные
+ и . (этот знак может быть по желанию опущен), с двумя при-
вилегированными элементами, обозначенными 0,1, и для каждого
χ в Ε (соотв. χφϋ) имеется элемент, обозначенный х' (соотв. 1/х)
в Е, и притом такая, что правила (R) будут все приемлемы, назы-

вается структурой коммутативного тела. Такая структура имеется
в совокупности комплексных чисел, в совокупности чисел рацио-
нальных, в совокупности чисел а + b\/~2, где а и b рациональны,
и еще во многих других. Точно так же исчисление движений, о
котором мы говорили выше, есть частный случай структуры групп:
в этой структуре имеется одна операция, которую мы вводим под
обозначением Т, и привилегированный элемент, обозначенный е
с «аксиомами»:
(Gi) хТ (yTz) = (хТу) Тг, какие бы ни были х, у, ζ из Е\
(G2) еТх = хТе = x, какой бы ни был χ из Е\
(G3) для всякого χ из Ε имеется х' из £ так, что χΊχ' =
= х'Тх = е.
Заметим, что три правила (R), относящиеся к сложению в ком-
мутативном теле, будут переводом предыдущих аксиом, сделанным
по следующему «словарю»: заменяют Τ через + , е через О
и χ1 через (—х). Также три правила (/?), относящиеся к умножению
в совокупности элементов ^0 тела, суть переводы аксиом групп,
сделанные на этот раз по другому «словарю»: заменяют Τ через-
(или ее подразумевают), заменяют е через 1 и х' через 1/х. Эти при-
меры указывают на большое число различных случаев, обнаружи-
вающих присутствие структуры групп: действительно, нет ни одной
области современной математики, где бы не использовалась эта
структура, часто несколькими методами. Они показывают также,
что, если хотят прийти к понятию, приложимому к наибольшему
числу возможных случаев, надо уметь отвлечься от частных осо-
бенностей каждого из этих случаев и рассуждать совершенно аб-
страктно.
Можно видеть также, что изучение этих структур может пре-
доставить математику орудия универсальной значимости. В море
развития математических работ всех видов, которое с каждым годом
становится все более и более полноводным, только аксиоматический
метод позволяет установить связь между различными новыми от-
крытиями, классифицировать их, присоединять их к предыдущим
результатам, часто их очень упрощая, а иногда увеличивая их
содержание, анализируя до глубины их возможности и поднимая
их на большую принципиальную высоту. Но, чтобы они могли пол-
ностью выполнить свою функцию, необходимо, чтобы алгебраи-
ческие структуры достигли своей гибкости и своей пластичности
ценой абстракции, поднятой на наибольшую высоту, которой
она достигнет только благодаря усилиям интеллекта.

Глава IV.
ПРОНИКНОВЕНИЕ ДУХА СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ АЛГЕБРУ И ГЕОМЕТРИЮ
А. Лихнерович.
В процессе преподавания такой науки, как наша, возникают
существенные трудности двоякого рода, которые необходимо ра-
зумно преодолеть. Наше преподавание, на каком бы уровне оно
ни находилось, должно опираться на непосредственную очевидность
для наших учащихся, что часто бывает наиболее трудным. В то же
время оно должно иметь в виду и характер современной науки,
а мы знаем, что сочетание обоих требований вызывает наибольшие
затруднения. Но я думаю, что как раз эти самые трудности и сос-
тавляют гордость нашей науки.
Я не буду здесь останавливаться на трудностях первого рода,
потому что в выступлениях несравненно более компетентных и ав-
торитетных, чем мое, вам было рассказано о результатах больших
педагогических экспериментов в преподавании математики в сред-
ней школе. Моя роль будет иная.
В течение многих лет я занимался подготовкой будущих учи-
телей для средней школы и, с другой стороны, я по мере моих сил
принимал участие в развитии современной математики. Упомянутое
выше требование вызывает во мне чувство некоторого затруднения,
которое мне хотелось бы разрешить вместе с вами: в какой степени
возможно внести дух современной математики в наше препода-
вание в средней школе?
Я хотел бы, чтобы вы убедились в необходимости постановки
такой проблемы. Преподаватель высшей школы в процессе своей
работы часто убеждается в том, что классическое преподавание в
наших лицеях обусловливает для довольно широкого круга слу-
шателей такое понимание математики, которое напоминает игру
в «гусек», недавно возобновившуюся в Греции (14), и каковое,
с другой стороны, ведет свое начало от опыта математиков середи-
ны XIX столетия. За последние сто лет было сделано много мате-
матических открытий, многие этапы были пройдены и сами стрем-
ления математиков, их собственные точки зрения радикально из-
менились. На наших же учеников все это произвело впечатление
удара. Они резко столкнулись с идеями современной математики,

и это болезненное столкновение дает себя чувствовать в универ-
ситете и в других высших школах. Учащийся в известной мере дол-
жен делать вещи, являющиеся сложными для всех, он должен уметь
полностью освобождаться от некоторых условностей, он должен
осваивать представления до этого ему чуждые и прийти к пере-
распределению совокупности его знаний в свете новых понятий,
выраженных иным языком, языком не только отличным от прежне-
го, но который также приносит новые мысли; все это короче можно
выразить фразой, которую я лично часто слышал, и думаю, что не
я один: «То, что вы нам преподаете, — это уже не математика» —
фраза довольно курьезная, которая указывает на известную рас-
терянность и неуверенность. Я думаю, что все это относится не
только к тем, кто посвятил себя математике. Это тоже касается и
тех, кто, как инженер, техник или физик, вынужден пользоваться
математикой как средством или инструментом. А кто же в нашем
обществе не думал в той или иной степени о математике как об
инструменте?
Не является ли прикладная математика нашего времени в гла-
зах классика не менее абстрактной и не менее чуждой ему, чем так
называемая чистая математика. Я думаю, что мы должны согласить-
ся с этим положением. Нам нужно найти средство ослабить выше-
указанное столкновение и добиться такого преподавания, которое
даже с самого начала было бы более близким к жизни нашей науки.
Прошу извинить меня, но я не думаю, что для достижения этой це-
ли нам нужно строить преподавание в историческом плане. Я да-
же думаю, что наше преподавание на самом деле и без того слиш-
ком считается с историческими традициями и что математические
понятия, которые оно дает, еще далеки от их современной трактовки.
Что я могу сказать о классической арифметике, которая пре-
подается во Франции в математических классах? Я скажу, что она
излагается в стиле начала XIX столетия и что она представляет со-
бой вид смешного преклонения перед операциями, скрытый смысл
которых не зависит от чисел, над которыми она оперирует. Наши
учащиеся, какими мы их получаем, верят в существование сло-
жения и умножения, действующих в абсолютно бесконечной
вселенной.
Что касается нашей элементарной геометрии, то ее прогресс
дал наиболее интересные результаты, но все же она еще слишком
близка к Евклиду.
Существенное затруднение и основное препятствие в препода-
вании в историческом плане заключается в характерной для ма-
тематики особенности думать и передумывать про все целиком, но
это же является и залогом ее прогресса. Нельзя иметь, как мне ка-
жется, раз и навсегда приложимые ко всем случаям способы из-
ложения арифметики и элементарной геометрии, которые только
немного нужно было бы подправить в свете указаний педагогической
психологии. Но в силу самой общности математики уяснение пер-
воначальных понятий и теорем подвергается неизбежной и полной

переработке. То, что являлось первоначальным этапом на пути ис-
каний, превращается в простое упражнение при новых точках зрения.
Прежде чем перейти к непосредственно математическим вопро-
сам, я позволю себе рассказать маленький анекдот. Несколько лет
тому назад я дал в одной книге более или менее современное изло-
жение старой теории определителей, и во время конкурсных эк-
заменов один кандидат — это была даже кандидатка — использо-
вала это изложение для того, чтобы дать урок, который был к
тому же хорошим. Реакция же некоторых членов жюри была сле-
дующей (она не была бы такой, если бы не господствовала сила при-
вычки): «Это те же классические теоремы, но порядок их необычен,
и они плохо воспринимаются. Все это кажется не более естественным,
чем обычный метод изложения». Жюри все же признало урок от-
личным. Не желая защищать свое авторское самолюбие, я все
же подумал, что это есть результат, вызванный привычной точкой
зрения, заставившей признать этот урок также мало естественным,
как и классическое изложение, которое, надо признаться, являет-
ся прямо-таки чудовищным. Я думаю, что нужно опасаться при-
знавать естественным или близким к очевидности лишь то, к че-
му мы, преподаватели, привыкли, и что мы сами в известной ме-
ре создаем. То, что является естественным для преподавателя,
не всегда совпадает ни с чисто математической очевидностью, ни
с очевидностью для учащихся. В итоге этот вывод скорее ободря-
ет и облегчает, потому что он дает нам уверенность, что в нашем
преподавании мы можем пользоваться бо́льшей свободой, чем это
кажется на первый взгляд. Понятие естественности или очевидно-
сти, конечно, не должно приниматься á priori, но должно быть пред-
метом терпеливого и детального экспериментального исследования.
Итак, что же мы можем сделать в преподавании в школе вто-
рой ступени, если мы хотим, чтобы оно было достаточно активным и
разумным и чтобы его метод не противоречил основам нашего
педагогического опыта? Характерной особенностью понятий сов-
ременной математики, являющейся, как мне кажется, основной,
есть преимущественное положение структур и алгебраических опе-
раций. Я нахожу это вполне подходящим для того, чтобы в те-
чение достаточно продолжительного времени мы могли подгото-
вить базу для освоения начал алгебраической техники. И мне ка-
жется, что путем настойчивых экспериментов каждого из нас,
оставляя в неприкосновенности священные программы, можно
внести до некоторой степени дух современной алгебры в арифметику
и элементарную алгебру и в бо́льшей степени (что частично уже
сделано) в элементарную геометрию.
В таком преподавании не может быть речи о догматическом из-
ложении абстрактных теорий, но, я думаю, что посредством много-
численных элементарных примеров можно выводить основные
понятия так, чтобы приучить учеников с самого начала усваи-
вать принципы алгебраических структур, с которыми они встре-
чаюся очень рано, но которых им не дают возможности узнать. Уча-

щиеся, производя действия над целыми числами и производя дей-
ствия над многочленами, смутно чувствуют нечто общее между
ними, но очень редко им объясняют причину этой общности при
переходе от чисел к многочленам.
Что же в конце концов представляет собою элементарная ал-
гебра в ее основах? Это, без сомнения, есть конструкция (я прошу
извинения — это будет единственное слово, которое я буду упот-
реблять без определения) определенных множеств чисел — чисел
рациональных, чисел действительных, положительных или лю-
бых знаков, в которой изучают то, что на языке современной ал-
гебры называется законом композиции в этих множествах чисел.
С другой стороны, само учение современной алгебры начинается
с закона композиции, который двум элементам множества а и b
относит третий элемент, что обозначается вполне произвольным
способом записи. Этот закон композиции может быть или не быть
ассоциативным или коммутативным, допускать или не допускать
нейтральный элемент. Примеры подобного рода, которые вначале
поражают наших учащихся, на самом деле встречались им и рань-
ше, но они этого не замечали, что, может быть и хорошо, так как
мы можем помочь им это заметить путем беседы с ними. Может
быть, стоит обратить их внимание на то, что существует закон
композиции над рациональными числами, именно — аb , закон,
сочетающий рациональные числа а и b, очень простой и постоянно
встречающийся, но который в то же время не является ни ассо-
циативным, ни коммутативным; этот закон является для них от-
носительно простым. Таким образом, закон, который не является
ни ассоциативным, ни коммутативным, не представится им чудо-
вищным, так как они с ним имели дело.
Нейтральный элемент для закона композиции (я беру муль-
типликационное обозначение), обозначаемый мною через е, обла-
дает таким свойством, что при композиции с любым элементом а
справа или слева он вновь дает тот же элемент а. Но существует
очень простой закон композиции, который, очевидно, не имеет
нейтрального элемента; это, например, закон, согласно которому
из каждой пары рациональных чисел а и b выбирается наибольшее.
Эта композиция рациональных чисел дает определенное число, но
для этой композиции не существует нейтрального элемента. Не
существует такого элемента е, который в композиции с любым
рациональным а дал бы то же самое а как максимальное число
этой пары.
Наконец, в классах элементарной математики изучаются дви-
жения в плоскости и в пространстве, и в этих движениях мы встре-
чаемся с законами, которые ассоциативны, но не коммута-
тивны.
Тогда становится возможным, учитывая эти замечания, довести
до сознания учащихся разницу между движениями и сопоставить эти
результаты друг с другом, а также с хорошо известными ре-
зультатами сложения и умножения рациональных чисел.

Первым основным понятием алгебры является понятие абстра-
ктной группы.
На самом деле понятие группы вполне элементарно, по край-
ней мере в тех примерах, с которыми мы встречаемся. Вы зна-
ете, что группа есть множество, в котором установлен закон ком-
позиции в смысле только что указанном мною, закон этот дол-
жен удовлетворять трем условиям.
Первое из условий есть закон ассоциативности, что вполне
очевидно.
Второе условие состоит в необходимости существования ней-
трального элемента, также в указанном мною смысле. При муль-
типликативном способе обозначения этот закон таков:
а.е = е.а = а.
Наконец, третьим условием является существование обратного
элемента для каждого элемента множества, это значит, что для
каждого элемента а можно найти такой элемент ûH, что а . а~{ =
=а~1 -а = е.
Я пользуюсь здесь мультипликативным обозначением закона
композиции. Но можно использовать и другие обозначения, на-
пример обозначение аддитивное, в котором нейтральный элемент
обозначается знаком нуль. Группа называется коммутативной или
абелевой, если закон композиции коммутативен; для коммутатив-
ных групп обычно применяется аддитивное обозначение компози-
ции; многочисленные примеры подобного рода мы имеем в ал-
гебре.
С обычным сложением в качестве закона композиции мы встре-
чаемся в числах целых, рациональных и действительных всех
знаков, которые по отношению к сложению образуют абелевы
группы. Закон композиции, очевидно, ассоциативен, и для каж-
дого элемента существует обратный, элемент с противоположным
знаком.
Заметим также, что многочлены или рациональные дроби при
надлежащем выборе закона композиции образуют такие же груп-
пы. Это же можно получить и с обычным умножением в этих
множествах; тогда целые, рациональные, действительные числа
(исключая число «нуль») обязательно положительные или целые,
рациональные, действительные, отличные от нуля, образуют муль-
типликативные группы. Это же самое имеет место и для рацио-
нальных дробей. В геометрии математических классов теперь
вводят, и по-моему довольно успешно, понятие о группе преоб-
разований. Здесь положение несколько меняется. В данном слу-
чае рассматриваемое множество есть совокупность точечных пре-
образований пространства и закон композиции- дан; это есть обыч-
ное произведение преобразований. Итак, можно попытаться сопо-
ставить, с одной стороны, аксиомы групп, а с другой стороны,
известные свойства преобразований подобия и движения, напри-
мер, в пространстве. Непосредственно очевидно, что, для того

чтобы множество G преобразований было группой преобразований,
необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись три основных
условия.
Каким же условиям мы должны их подчинить? Ассоциатив-
ность закона композиции выполняется автоматически, также ав-
томатически определяется нейтральный элемент, которым явля-
ется тождественное преобразование, не изменяющее ни одной
точки пространства, имеется также возможность для каждого
преобразования определить преобразование обратное. Необходимо,
чтобы эти условия выполнялись в совокупности G рассматривае-
мых преобразований.
Необходимо, следовательно:
а1) чтобы произведение преобразований, принадлежащих G,
например, χ и у давало бы преобразование, также принадлежа-
щее G.
Ь1) чтобы нейтральный элемент — тождественное преобразова-
ние — принадлежало G.
с1) чтобы преобразование, обратное любому преобразованию χ
из G, также принадлежало G.
Таковы аксиомы группы преобразований. Не считая возмож-
ным совершенно отрешиться от этих абстрактных понятий, я все
же думаю, что, когда хотят в процессе доказательства выделить
определенные свойства применяемой аксиомы, их нужно сделать
очевидными на конкретных примерах. Я хочу обратить внимание
на то, что существует относительно простое понятие, которое,
несмотря на свою полезность, редко вводится, и полагаю, что его
можно было бы объяснить довольно просто; я имею в виду поня-
тие отношения эквивалентности.
Что называется отношением эквивалентности между двумя
элементами из Е? Это такое отношение, когда все рассматривае-
мые в данном аспекте свойства элементов таковы, что мы эти эле-
менты считаем равными. Каковы эти свойства? Эти свойства даны
в следующей записи, в которой мы отношение эквивалентности
обозначим обычным знаком равенства:
а") первое, абсолютно необходимое свойство состоит в том,
что каждый элемент χ эквивалентен самому себе χ = χ.
b") Второе свойство состоит в том, что это отношение между
двумя элементами симметрично, т. е. из отношения χ = у следует
У = Х-
с") Третье свойство заключается в законе транзитивности (две
величины, равные одной и той же третьей, равны и между собою),
который состоит в том, что если χ эквивалентен у, a у эквивалентен
ζ, то χ эквивалентен г.
Нетрудно видеть, что аксиомы отношения эквивалентности в
точности соответствуют аксиомам группы преобразований.
Рассмотрим некоторую фигуру F обычного пространства и
группу преобразований G. Будем говорить, что фигура F экви-
валентна фигуре F относительно группы G, если в группе G су-

шествует преобразование x, которое преобразует F в F\ что мы
запишем так: F' == xF (χ преобразует фигуру F). Будет ли это от-
ношением эквивалентности? Это будет соотношением эквивалент-
ности в силу трех аксиом группы преобразований. F эквивалентна
самой себе. Лучше сказать F = F, т. е. преобразование тождества,
принадлежащее G, преобразует F саму в себя. Когда мы хотим до-
казать b"), то должны убедиться, что если фигура F' эквивалентна
F, то и, обратно, фигура F эквивалентна F''. Но первое соотношение
существует, если существует такое преобразование х, что F тождест-
венно с xFy а тогда в G существует и такое х-1 , что F = x~lF'. Нако-
нец, если мы возьмем а"), то мы должны доказать, что из отноше-
ний F' эквивалентна F и F" эквивалентна F" следует, что F эквива-
лентна F. Переведем все это на язык преобразований. Мы имеем
такое преобразование х, что F' = xF, и такое преобразование у, что
F" ~ yFf. Мы видим, что F" есть yxF, но ух, как произведение
преобразований, принадлежит G. Следовательно, мы пришли к
отношениям эквивалентности. Мы рассмотрели применение понятия
эквивалентности по отношению к произвольной группе. Именно
с точки зрения эквивалентности (или равенства) группа движений
рассматривается в геометрии. Я думаю, что это понятие эквивалент-
ности может быть использовано сравнительно рано и притом в
весьма разнообразных целях. Я хотел бы еще привести несколь-
ко простых примеров. На уроках в первом классе изучают клас-
сически параллельность прямых и плоскостей. Для того чтобы
понятие параллельности прямых сделать более ясным, нужно об-
ратить внимание на то, что соотношение параллельности двух пря-
мых есть в то же время отношение эквивалентности; систематичес-
ким разъяснением этого факта можно добиться и более ясного и
более элегантного изложения теории параллельности прямых и
плоскостей.
Точно так же классическое соотношение эквивалентности меж-
ду связанными векторами есть опять-таки отношение эквивалент-
ности. В арифметике пример отношения эквивалентности дают
классы целых чисел, сравнимых по модулю р, что непосредственно
связано с теорией делимости в арифметике. В этом случае экви-
валентными считаются два целых числа, дающие равные остатки
при делении на одно и то же целое число р.
Хорошо известной группой является аддитивная группа клас-
сов действительных чисел, сравнимых по модулю 2π.
Уже в этих примерах можно увидеть некоторые случаи очень
элементарного изоморфизма между группами, который заключается
в том, что можно найти подходящий словарь между двумя сово-
купностями элементов, математическая «природа» которых различна.
Глубокое основание этого факта заключается в том, что матема-
тическая «природа» есть то, что не имеет никакого точного смысла.
Изоморфизм между двумя группами заключается в том, что при
помощи надлежащим образом подобранного словаря можно зако-
ны композиции одной группы перенести на другую.

Наиболее элементарным примером такого изоморфизма может
послужить группа вращений в плоскости с одним и тем же центром
и аддитивной группой классов действительных чисел, сравнимых
по модулю 2π. Вращение около постоянного центра вполне опреде-
ляется заданием угла в его классическом определении. В этом
изоморфизме подразумевается, что понятие угла должно быть обоб-
щено. Для этого угол представляют при помощи числа, чем обус-
ловливается факт изоморфизма между двумя группами.
Интересно также, что логарифмическая функция позволяет
установить изоморфизм между мультипликативной группой су-
щественно положительных чисел и аддитивной группой действи-
тельных чисел всех знаков.
Быть может, при помощи этих примеров стоило бы попробовать
разрушить непроницаемые перегородки между отдельными об-
ластями элементарной математики и показать, что существуют
некоторые понятия, которые очень интересным способом могут
быть введены в различные ответвления математики.
Помимо предыдущих понятий, которые лежат в основе других
фундаментальных понятий, существуют другие, относительно прос-
тые, которые могут быть довольно легко разъяснены. Современная
алгебра пользуется понятием кольца и тела. Известно, что кольцо
есть множество, для которого определено два закона композиции:
один закон аддитивный, определяющий сложение в кольце, и за-
кон мультипликативный, определяющий умножение; эти два за-
кона определяются следующими условиями: первый, определяющий
сложение, дает абелеву коммутативную группу, т. е. он пользуется
свойствами обычного сложения; второй закон является ассоциа-
тивным в себе и дистрибутивным справа и слева по отношению к
сложению (я говорю справа и слева, потому что второй закон мо-
жет и не быть коммутативным).
Множество целых чисел, множество рациональных и действи-
тельных чисел всех знаков дают, очевидно, примеры колец. Это
же имеет место для многочленов, для рациональных дробей. Все
это — кольца, с которыми приходится постоянно обращаться. На-
конец, еще один интересный пример кольца дают нам классы эк-
вивалентных между собою целых чисел, сравнимых по простому
модулю р.
Понятию кольца можно привести очень большое число приме-
ров. Среди этих колец интересным частным случаем является
тот, когда кольцо представляет собою тело. Тело есть кольцо, ко-
торое состоит из двух групп. Мультипликативный закон этого
кольца таков, что на множестве его элементов, за исключением ну-
ля, т. е. нейтрального элемента аддитивной группы, имеется струк-
тура группы. Отсюда непосредственно следует, что каждому эле-
менту, за исключением элемента, обозначаемого символом 0, в
мультипликативном смысле соответствует обратный элемент. Да-
лее, отсюда выводим, что множества рациональных чисел, действи-
тельных чисел, рациональных дробей являются телом в смысле

только что данного определения, и большая часть операций над
ними совершается по правилам тела. Это не имеет места ни для
целых чисел, ни для многочленов; число, обратное целому, вооб-
ще говоря, не является целым. Множество чисел, обратных це-
лым, не принадлежит множеству целых чисел, поэтому целые чис-
ла дают простейший пример кольца, не являющегося телом. Это
же можно сказать и о многочленах.
Наконец, в кольце классов целых чисел, сравнимых по модулю ру
можно указать очень интересный пример. Именно: известен эле-
ментарный факт, ντο если ρ есть простое число, то это кольцо бу-
дет телом.
Последним понятием, о котором мне хотелось бы сказать не-
сколько слов, прежде чем перейти к заключению, и которое хотя И
принадлежит к области современной алгебры, но в то же время яв-
ляется в известной степени ответвлением элементарной геометрии,
служит понятие векторного пространства. Понятие векторного
пространства есть в сущности перевод на алгебраический язык
основных свойств свободных векторов в элементарной геометрии.
Рассмотрим множество свободных векторов обычной геометрии
и дополним его множеством чисел (скалярных величин), которые
образуют тело действительных чисел. Прежде всего на множестве
векторов мы имеем чрезвычайно простой закон композиции, ко-
торым является сложение векторов. Мы умеем складывать векторы
и знаем свойства этой операции. Они таковы, что мы имеем право
назвать их абелевой группой. С другой стороны, мы имеем закон
композиции, которым определяется операция между вектором и
элементом нашего поля действительных чисел, — это есть умноже-
ние вектора χ на некоторый скаляр а, т. е. αχ, которое обладает
следующими интересными свойствами:
1° χ = χ ,
2° a(ßjc) = (α3)Ι-,
3° OL(x -f- у) = ax -\-ау, (α -f- Ъ)х = ах -f- β*.
По существу, вся неметрическая векторная алгебра заключает-
ся в том, что по отношению к сложению векторов мы имеем абеле-
ву группу и что ах обладает вышеуказанными свойствами. Все
остальное будет самоочевидными следствиями.
Я не думаю, что понятие векторного пространства можно бы-
ло бы полностью включить в элементарное преподавание, но когда
изучают векторное исчисление, то я спрашиваю: разве нельзя сде-
лать очевидной фундаментальную роль системы аксиом и — что
было бы наиболее интересным — выделить два закона композиции
— сложение векторов и умножение вектора на скаляр, которые
суть законы аффинной геометрии, соответствующие более частной

структуре, т. е. евклидову векторному пространству, куда вместе
со скалярным произведением вводятся метрические свойства.
Перед заключением я хотел бы сделать еще несколько замеча-
ний. В нашем преподавании до известной степени смешаны раз-
личные исторические стадии. В нем сохранились не очень инте-
ресные пережитки прошлого. Я думаю, например, о понятии годо-
графа в механике. Существует целая серия таких понятий, кото-
рые еще не исчезли, хотя они уже сыграли свою историческую
роль. Я давно уже борюсь с понятием годографа. В известный мо-
мент годограф был полезен, когда еще не сложилось понятие сво-
бодного вектора. С того момента, как были введены свободные век-
торы, понятию годографа нет места в преподавании. Существует
целый ряд понятий, которыми еще пользуются, когда по существу
они недопустимы, так как этим нарушается равновесие в препо-
давании. Я хочу также заметить, что, может, было бы интересно
не пользоваться классической системой косоугольных координат.
Если известно векторное исчисление, то можно использовать в ка-
честве репера совокупность точки и трех векторов, что является
единственно нужным геометрическим элементом.
В том же порядке идей я думаю, что было бы целесообразно
еще дальше развить векторное исчисление, чтобы ввести в него
понятие матрицы и, когда это понятие будет усвоено, использо-
вать его при замене репера, в чем уже не будет ничего удивитель-
ного. Я думаю, что более удивительным будет вывод тригонометри-
ческих формул сложения. Вывод этих формул можно сделать
вполне естественно, не прибегая к построению сложных фигур.
Это есть простой вариант классического доказательства, но, по-
моему, более естественный. Я рассматриваю два единичных взаим-
но перпендикулярных вектора і и / и поворот этих векторов на
угол Ѳі. Непосредственно очевидно, что
іх = ÎCOS©! -f- /sin0b
jx = — i sin ©! + / cos Ѳь
где вторая формула получена из первой заменой пары (і, /) на па-
ру (/. — О-
По существу, классическое доказательство прибегает к различ-
ным видам формализма. Я же считаю полезным использовать толь-
ко что рассмотренный формализм — взять за начальные векторы
іі и /і и получить векторы і2 и /2 путем поворота на угол Ѳ2. Яс-
но, что те же векторы і2 и /2 можно получить из векторов і и / по-
воротом на угол (®і + Ѳ2). Подставляя в выражения і2 через
іі и /а значения этих векторов, получим формулы для cos (Ѳі +
+ θ2) И Sin (θι + θ2).

В своей сущности этот метод не отличается от общеупотреби-
тельного. Это просто алгебраические операции над соответ-
ствующими векторами. Но здесь является первый пример, хотя
и не вполне очевидный с первого взгляда, — умножения матриц,
так как это является по существу умножением матриц с четырьмя
элементами. Мне кажется, что это и есть тот вид примера, который
можно употреблять. Я считаю, что в элементарном преподавании
нельзя использовать большое число алгебраических понятий, но
можно на них указывать.Можно думать, что если у самого препода-
вателя сохранились в памяти различные понятия с их основными
свойствами, то существует возможность, что они войдут и в созна-
ние учащихся и оставят там некоторый след, а это избавит
учащихся от многих затруднений в дальнейшем, так как конечной
целью нашего преподавания является сделать учащихся причаст-
ными к тому, что составляет сущность науки1.
1 Текст этой главы был подготовлен для конференции, происходившей
в Педагогическом музее в Париже 26 марта 1953 г.

Глава V.
О ПРЕПОДАВАНИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Густав Шоке.
Введение.
Уже в течение нескольких лет отмечались возрастающие затруд-
нения у тех, кто преподает элементарную геометрию. Каждый по-
нимает, что не все благополучно в учебниках и традициях, которы-
ми мы обязаны прошлому.
В частности, все, кто пробовал преподавать начала элементар-
ной геометрии, испытали известное затруднение, когда они хотели
уточнить самые исходные положения. Никакие учебники не могли
им помочь в этом отношении.
Элементарная геометрия есть прекрасное путешествие, но начало
его часто теряется в тени сомнений, а последующая дорога проходит
через такие дебри перемещений и ориентации, что у прошедшего
по ней остается ощущение перенесенной пытки.
Удивительно, до какой степени все теоретические открытия по-
следних веков имели мало влияния на преподавание элементарной
геометрии. В то время когда мы обладаем всеми элементами для
построения научной системы, стройной и простой, и имеем такие
открытия, как открытия Гильберта, полностью объясняющие сущ-
ность и роль основных аксиом, школьные учебники остаются боль-
шей частью на уровне «Начал» Евклида в том виде, как он излагал
их более 2000 лет тому назад.
В этом, вероятно, мы можем видеть влияние слишком жестких
программ. Сообразоваться с буквой и духом программ является
для автора учебника необходимей предпосылкой, которая ему за-
темняет более существенные проблемы-.
Частичным выходом из этого положения было бы предостав-
ление возможности в определенных классах, например элементарной
математики, организации свободного сектора, где было бы позволе-
но преподавателю объяснить данный вопрос по его собственному
выбору.
По этому поводу можно заметить, что за границей, где програм-
мы бывают часто не такие жесткие, как во Франции, мы находим

наиболее интересные попытки нового преподавания элементарной
геометрии1.
Но я не хочу, чтобы плохо поняли смысл этих замечаний. Я,
конечно, не рассматриваю как возможное или даже как желатель-
ное предоставление молодым ученикам, например 14 лет, аксиома-
тически строгого курса геометрии. Только сам преподаватель должен
понять, каким должен быть этот курс, и он же должен знать, какие
определения будут наилучшими и какой логический порядок дол-
жен быть принят.
Он приноровит тогда свое преподавание к возрасту и уровню
своих учеников. Важно то, что существует система определений,
причем не более, а иногда даже менее трудно использовать хорошие
определения, чем плохие. Одной из обязанностей преподавателя
является необходимость вложить в свою работу хорошее содержа-
ние, все более и более уточняя его, но он не будет иметь никакого
шанса на успех, если он сделает из этой работы карикатуру. Про-
должая это изложение, я хотел бы показать, как можно, оставаясь
очень близким к чувственному эксперименту ребенка, осуществить
преподавание элементарной классической геометрии. Я войду в не-
которые детали первых теорем, чтобы сделать более осязаемым то,
что может остаться строгим, используя только элементарные сред-
ства. Моей целью не является дать преимущество какому-нибудь
аксиоматическому обучению перед другим. Право же я буду рас-
сматривать свою цель достигнутой, если мой читатель, не удовлетво-
ренный моим выбором основных аксиом, попытается придумать
другие. Он откроет тогда, что применение правил в математических
работах есть очень приятное упражнение для ума, создание же и
критическое испытание новых правил не только принесет ему удов-
летворение новым порядком, но поможет ему, когда он возвратится
к классическим правилам, понять более ясно строение геометрии.
Из потребителя он сделается конструктором и скоро заметит, что,
когда построишь сам мотор, как бы несовершенен он ни был, го-
раздо лучше поймешь работу других.
I. Критический разбор учебников.
Я формулировал выше довольно туманные критические заме-
чания, относящиеся к содержанию некоторых учебников. Я считаю
нужным войти теперь в некоторые детали для того, чтобы лучше
видеть подводные камни, наиболее часто встречающиеся. Здесь мы
будем касаться только учебников геометрии классов второго, пер-
вого и элементарной математики (от 15 до 18 лет приблизительно).
[15]
1 См. например, Г. Б. Хальстед «Рациональная геометрия», Готье-Вил
яр, 1911. (G. В. Halsted, Rational Geometry, New-Jork, 1907.)

Интуитивное изложение.
Мы оставим в стороне учебники, в которых основания имеют
конкретный характер. В них очень много говорят о шелковой
нитке, о кальке и т. д. Все там очень заботливо вычерчено, фигуры
очень выразительны, важные результаты заключены в рамки. Их
девиз — «Как понять геометрию с помощью листа бумаги и ножниц».
Они не претендуют на построение дедуктивного курса геометрии:
их стремление заключается в сообщении ученику знания опреде-
ленного числа свойств обычных фигур, делая их очевидными или
прибегая к опыту, полученному из реального мира, и к частным
суждениям.
Мы не разбираем сейчас вопрос, уместны ли эти учебники во
втором или первом классе. Заметим только, что при ограниченных
возможностях авторов их достижения бывают иногда достаточно
полными.
Одна из причин, по которой я не могу считать их совершенными,
есть та, что обычно постулат Евклида поднят у них на высоту с
почти религиозным поклонением и к тому же совершенно непонят-
ным, потому что известно, что этот постулат можно заменить одной
из следующих аксиом, гораздо более полезных в геометрии «бумага —
ножницы», чем постулат Евклида.
«Существует по крайней мере один квадрат (четырехугольник с
равными сторонами и с прямыми углами)», или еще: «Всякий че-
тырехугольник содержится в треугольнике», или даже: «Две пря-
мые, параллельные третьей, параллельны между собой»*.
Аксиомы и постулаты.
Но большая часть преподавателей не довольствуется таким ин-
туитивным изложением и желает обосновывать по мере возможно-
сти первые шаги в области геометрии. В их книгах находят вполне
ясные предложения, обозначенные под именем аксиом или посту-
латов.
В лучших из этих книг роль аксиом корректно объяснена и
имеется вполне определенное число таких аксиом; между тем уди-
вительно то, что вместо избыточной системы аксиом, что было бы
совершенно извинительно и даже в какой-то мере допустимо, эти
аксиомы фигурируют в недостаточном числе. Например, отсутству-
ет часто аксиома, устанавливающая возможность вращения фигуры
вокруг прямой. А очень часто сам автор не имеет ясного понятия,
что из себя представляют аксиомы. Вот пример пояснения об
аксиомах и постулатах:
* Подробный анализ этих предложений показывает, что каждое из
них может быть принято в качестве аксиомы параллельности. Подробнее
об этом можно прочитать в любом учебнике по основаниям геометрии.

«Аксиома есть предложение само собою очевидное». Например,
два количества, равные третьему, равны между собою. «Постулат
есть предложение, которое мы допускаем без доказательства».
Молчание кажется предпочтительнее такому объяснению, ко-
торое рискует надолго затемнить ум ученика.
У другого автора находят непростительную путаницу между
понятием математической истины и приложением математики в
физическом мире: он различает очевидные свойства и свойства не
очевидные, но которые... «все же являются истинными, потому что
они подтверждаются опытом и следствиями, получаемыми из
них.
Такое верное предложение, но которое нельзя доказать, на-
зывается постулатом».
Тот же самый автор, выразив аксиому «между двумя точками
можно провести прямую и притом только одну», комментирует ее
таким образом: «Мы будем говорить, что это есть свойство, харак-
терное для прямой. Это значит, что из всех линий только прямая
обладает этим свойством».
Непонятно, зачем тогда будут нужны другие аксиомы, если эта
является характерной! [16]
Конечно, мы не должны преуменьшать трудности, которые ис-
пытывают, когда хотят объяснить роль аксиомы ученику, геометри-
ческие понятия которого не совсем еще освободились от его чувст-
венного эксперимента и который, имея дело с одной классической
геометрией, не может дать себе отчета, что правила этой геометрии
не абсолютны и что можно выбрать другие, вполне разумные и так
же хорошо приложимые к чувственному миру.
Роль аксиом может быть иллюстрирована различными методами
применительно к умственному возрасту учащегося. Разве нельзя,
например, предоставить ему следующие предложения:
«Мы будем говорить о серии новых предметов, хотя и имеющих
уже общепринятые названия: точки, прямые, окружности. Мы
о них ничего не знаем. До новых информации их свойства, даже
самые простые, нам неизвестны. Это будет как бы игра. Нам дадут
применительно к этим предметам ряд указаний. Их снабдят свой-
ствами, которые их обрисуют, по крайней мере частично, и ваше
участие в игре будет состоять в том, чтобы открыть, каким будет
поведение этих предметов при данных обстоятельствах».
Такое положение будет иметь некоторую аналогию с положением,
выдвигаемым в хорошем детективном романе. Автор вводит вна-
чале определенное число предметов: мужчин или женщин, Н1,
Яг,..., Иту места Li, L2,..., Ln1 времена 7\..., Тр. Первая часть
его книги посвящена их введению, т. е., другими словами, объяс-
нению определенного числа отношений, существующих между
Я, L и Т. Во второй части он ставит проблему, например, в следую-
щей форме: какое значение нужно дать неизвестному л, чтобы но-
вое данное отношение / (Я/ Lj X) можно было бы вывести из
начальных отношений, данных в первой части.

Логически роман может на этом остановиться и предоставить
читателю дальнейшее действие. В действительности он почти всег-
да имеет третью часть, где автор (или тот, от лица которого ведется
рассказ) предлагает дать свое собственное решение. Тогда обычно
замечают, что система начальных отношений бывает недостаточной.
И чтобы устранить неопределенность, автор вводит в последний мо-
мент дополнительное отношение, которое совершенно разрешает
проблему, т. е. позволяет вполне определить х.
Но это уже неважно и читатель вполне удовлетворен. Он будет
гораздо менее удовлетворен, если система начальных отношений,
назовем их аксиомами, будет противоречива. Это будет в том слу-
чае, если начальные отношения приводят к утверждению, что х,
который должен быть единственным, идентичен сразу и с Η ι и с
#2, которые между собою различны. Тогда мы находимся перед ли-
цом неумелого или недобросовестного автора. Интерес к игре про-
падает.
Когда мы будем играть в элементарную геометрию, то надеемся
быть достаточно счастливыми, чтобы наш выбор начальных отно-
шений не был бы противоречивым. [17]
Некоторые случаи ошибок.
Предположим пройденным опасный этап частичного, полного
или сверхобильного введения аксиом. Положение тогда предста-
вится таким. Достигнуто тем или иным способом обладание извест-
ным числом предложений, рассматриваемых как верные и в прин-
ципе вполне достаточные для того, чтобы строго изложить остаю-
щийся раздел планиметрии.
Казалось бы, что эта конструкция должна теперь осуществлять-
ся без задержки. Ничего подобного: случай равенства треугольни-
ков, теория перемещений, ориентация фигур и позднее измерение
величин (например, углов) придадут двусмысленность определе-
ниям и блестящие возможности появиться псевдотеоремам.
Равенство фигур — перемещения.
Психологу и историку предоставляется возможность объяс-
нить живучесть лишенных смысла, почти универсально исполь-
зуемых определений, как, например, в теории перемещений. Их
авторы слишком явно забыли, что определение не должно исполь-
зовать термины, не определенные предварительно или более точно:
что единственные термины, которые не нуждаются в определении,
это те, которые фигурируют в аксиомах, но что все другие должны
быть определены более или менее точно, исходя от этих первоначаль-
ных терминов.
Вот некоторые примеры этих определений.
Равенство двух фигур. «Говорят, что две фигуры будут равны,
когда они допускают наложение одной на другую. Это значит,

что можно перенести одну на другую таким образом, что осуществит-
ся полное совпадение».
Не только термины «налагаемые, переносить, совпадение» ни-
где не определены в другом месте, но это определение в целом
вносит неправильное представление о равенстве двух фигур и
их наложении одна на другую путем непрерывного перемещения.
Вот еще другое, более опасное, потому что оно ведет к непра-
вильным следствиям:
«Если две плоские фигуры таковы, что трем произвольным точ-
кам Л, В, С первой соответствуют всегда три точки А\ В', С вто-
рой, определяя треугольник, равный треугольнику ABC, то они
равны».
Не будем настаивать на том, что равенство треугольников не
было определено. Заметим только, что это определение значило
бы. что всякая фигура £, содержащаяся в фигуре Е\ будет всегда
ей равна.
Источник затруднений не всегда заключается в столь очевид-
ных промахах. Они скрываются иногда в терминах, рассматри-
ваемых в общем как очевидные.
Возьмем, например, слово «треугольник». Это — иногда фигура,
образуемая тремя прямыми, иногда фигура, образуемая тремя от-
резками AB, BC, CA; но может произойти, что в предложении
подразумевают прямо и без предупреждения, что дело идет о со-
вокупности трех вершин. Может быть, здесь же заключается опас-
ность слова «фигура». В уме человека, применяющего его, оно не
обозначает точно совокупность точек, но относит к некоторому оп-
ределенному минимальному множеству все то, что может быть по-
лучено отсюда точным построением: например, высоты треуголь-
ника рассматриваются как
принадлежащие треуголь-
нику.
Чтобы избежать подобной
опасности, мы систематиче-
ски избегаем слова «фигура»
и используем вместо него сло-
во «совокупность».
Я закончу тем, что пока-
жу, как можно получить
курьезные теоремы, если мы
примем такие определения,
как те, что мы только что
критиковали.
Теорема (!) Пусть ABC—
сферический треугольник, А/ В' С — плоский треугольник. Для
того чтобы треугольники были равны, необходимо и достаточ-
но, чтобы их стороны были попарно равны
Рис.
(AB - А'В'; ВС = В'С'-, CA = C'A'). [18]

Доказательство: 1. Если треугольники равны, то их стороны,
очевидно, будут попарно равны.
2. Обратно, предположим (рис. 1), что AB=А'В\ ВС = В'С\
CA = С'А'. Произведем перемещение так, чтобы А совпала с А',
В с В', что является возможным, потому что AB=А/В/. Если
С и С7 находятся по разные стороны от AB, то симметрией (или
поворотом) относительно AB приводим С по ту же сторону, что
и С. Предположим, что мы имеем этот последний случай. Я гово-
рю,что С и С будут тогда совпадать. В противном случае, рас-
смотрим единственную ось симметрии С и С Она содержит А и
В, потому что АС = АС и ВС = ВС'\ значит, она совпадает с AB,
что невозможно, потому что тогда С и С были бы по разные
стороны от AB.
Ориентация фигур.
Мы не будем подробно разбирать теорию ориентации, всегда
основанную на интуитивных соображениях и вводящую наблю-
дения вне плоскости.
Кажется, что авторы учебников признали раз и навсегда невоз-
можность корректного математического определения ориентации.
Вот, например, приблизительно одно из лучших определений
перемещения, которые я мог найти в учебниках: «Фигуры F и F'
могут быть получены одна из другой путем перемещения, если су-
ществует взаимно однозначное соотношение между F и F', такое,
что если А, В — две какие-то точки/7, то будем иметь А'В' = AB,
и если А, В, С три произвольные точки F, то ориентированные уг-
лы АСВ и А'С В' будут равны». Понятие ориентации предвари-
тельно определено обычным методом, т. е. используя фиктивное
наблюдение. Они, безусловно, правы, если мы заметим, что поня-
тие ориентации опирается на структуру множества плоских изо-
метрий и что его определение требует недвусмысленного опреде-
ления равенства и перемещения.
Использование этого наивного определения оказывается на-
столько основательным, что у многих авторов равенство ориенти-
рованных углов всегда предшествует прямому равенству фигур.
Выбор системы аксиом.
Существует только одна система аксиом, которая позволит
установить сущность классической геометрии. [19]
Гильбертова аксиоматика.
Гильберт — первый, кто открыл явные и неявные аксиомы, со-
ставлявшие основу евклидовой геометрии. Что такое изложение
можно сделать элементарным, было пространно доказано Халь-

стедом в его небольшой книге «Рациональная геометрия». [20]
Аксиомы разделены там на 4 группы: восемь аксиом сочетания,
четыре аксиомы порядка, шесть аксиом конгруэнтности и, нако-
нец, аксиома параллельности. Аксиома Архимеда и аксиома не-
прерывности имеют особое место и никоим образом не являются
существенными по крайней мере в начале геометрии.
Таким образом, геометрия Евклида в совершенном виде опи-
рается на 19 аксиом. Конечно, число аксиом довольно внушитель-
но, но можно надеяться, что эти аксиомы будут сгруппированы
около интуитивных понятий, настолько простых, что их необхо-
димость обнаружится очень ясно.
Это имеет место для большинства аксиом сочетания, трех ак-
сиом порядка, относящихся к порядку на прямой, и трех аксиом
конгруэнтности, касающихся конгруэнтности отрезков прямой.
Но уже надо думать, что аксиома Паша, касающаяся пересе-
чения прямой со сторонами треугольника, дает пример введения
слишком сложной фигуры и говорит о свойствах, мало исполь-
зуемых в дальнейшем.
Одним из ее существенных следствий является то, что всякая
прямая делит плоскость на две однозначно определяемые части.
Нехорошо только то, что это следствие выражено более просто
и пользуется фигурой более простой, чем сама аксиома.
Ученику гораздо более очевидным кажется деление плоскости
прямою, чем аксиома Паша.
Предложения становятся еще более сложными, когда прихо-
дят к аксиомам конгруэнтности. Конгруэнтность углов не опре-
деляется непосредственно из конгруэнтности отрезков, она
является вначале существенным отношением эквивалентности в
совокупности углов. Потом непосредственная связь между кон-
груэнтностью отрезков и конгруэнтностью углов обеспечивается
следующей аксиомой. «Если для двух треугольников АВС,А'В'С'
имеем конгруэнтности AB = А'В'\ АС = А'С'\ угол ВАС = углу
В' А'С, то всегда будет иметь место также две конгруэнтности:
угол ABC = углу А'В'С, угол АСВ= углу А'С'В'».
Этим утверждается, что мы допускаем часть условия для од-
ного из классических случаев равенства треугольников. Выбор
этой части кажется довольно произвольным. Надо доказать
тогда вторую часть классического выражения, т. е., другими сло-
вами, что при тех же самых условиях мы будем иметь также
ВС = В/С/. Юному учащемуся это может показаться излишним.
Положение остается, очевидно, таким же, если мы заменим
эту аксиому другим предложением — полностью или частично —
классическим случаем равенства треугольников.
Если мы не хотим дать ученику впечатление, что математика
есть пустая забава, где допускаются с самого начала сложные
свойства, из которых потом выводят свойства более простые, надо,
чтобы наши аксиомы имели бы простые выражения, использующие
только понятия, к которым ученик уже привык, которые были бы

непосредственно переносимы в его чувственный опыт и которые в
то же время были бы эффективными, т. е. позволяющими быстро
установить довольно существенные свойства.
По этой самой причине мы отбрасываем, как плохо примени-
мые в преподавании элементарной геометрии, всякое изложение
евклидовой геометрии, опирающееся на проективную геометрию,
а также, несмотря на его изящество, аксиоматическое изложение,
основанное на свойствах группы движений, при котором равенства
отрезков определяется при помощи отношений этой группы.
Плоскость, рассматриваемая как абстрактное пространство.
Если бы мы стремились только к быстроте и простоте изложения,,
то лучшим определением плоскости и пространства было бы опре-
деление, выведенное из структуры абстрактного пространства. [21]
Сделаем беглый набросок начал такой геометрии, чтобы потом
получить отсюда критические выводы.
Если x, у, z суть какие-то действительные числа, то трехмерное
пространство R3 будет определено как совокупность всех троек
(х, у, г).
Плоскостью называется совокупность троек, удовлетворяющих
условию: ах + by + cz — dy где α> ly с не равны нулю одновременно.
Прямая будет определена как предполагаемое не пустым пере-
сечение двух различных плоскостей, или как множество точек:
х = otf + ß,
0 = α'7 + β', 0<;<¥
ζ = α'7 -f- 3", α,α', α'' не равны 0 одновременно.
На этой стадии мы имеем уже довольно богатую геометрию и
можно даже заметить, что нет необходимости брать за x, y, zy ау
by су d произвольные действительные числа. Можно предположить,
что эти элементы взяты в произвольном подмножестве К от R (на-
пример, тело рациональных чисел).
Далее определяем понятие вектора, линейного преобразования^
замену осей, одним словом, строим аффинную геометрию, ассоцииро-
ванную с векторным пространством R*.
Если мы допустим теперь, что этому телу вместе с каждым его
элементом а > 0 принадлежит и его квадратный корень1 Y а,
то наша геометрия может обогатиться введением понятия расстоя-
ния d (МХМ2) > 0 между двумя точками Мг и М2:
d\M,M2) = [(*.-*)• +(f.- Уг)2 + (г2— ζ,η
Эта функция двух точек обладает следующими свойствами,,
важными при изучении метрического пространства:
1 В действительности, достаточно предположить, что если aÎ К и bÎК
то имеем также + ι е К%

d(M1M2) = d(M2Ml),
d(MxM2) = 0 эквивалентно Mx = M2.
^d(MlM2) < d(MiM3) + d(M3M2) неравенство будет строгим, если
точки Ми М2% М3 не расположены на одной прямой.
Это позволяет уже теперь рассмотреть перпендикулярность
двух прямых: пусть αϊ, ßx, уг; α2, ß2, 72 — направляющие параметры
прямых; говорят, что прямые перпендикулярны (±), если
αια2+Ριβ2+ΤιΪ2 = 0.
Но особенно важно то, что мы можем определить изометрию.
Пусть F и F' — два подмножества пространства; взаимно однознач-
ное соответствие М' = ψ(Μ) между F и F' называется изометрией,
если для каждой пары точек А и В из F будем иметь:
d (ф(Л), φ (В)) = d(AB).
Можно доказать, например, что две произвольные прямые изо-
метричны (и, в частности, изометричны с осью xx', которая в свою
очередь изометрична с телом К) и то же самое — по отношению к
двум плоскостям. И обратно: всякое множество, изометричное пря-
мой (соотв. плоскости), есть тоже прямая (соотв. плоскость).
Отсюда следует важная теорема: Всякая изометрия между дву-
мя множествами F и F' может быть продолжена на изометрию про-
странства R3 на самого себя. Это продолжение единственно, если
F содержит по крайней мере 4 некомпланарные точки. Имеется два
таких продолжения, если F расположено в одной плоскости и со-
держит по крайней мере три точки, не лежащие на одной и той же
прямой». [22 ]
Эта теорема позволяет ввести знаки (+ ) и (—) в каждой изо-
метрии между двумя не плоскими фигурами F и F'. Действительно,
если χ, у, ζ суть векторы, полученные преобразованием из единич-
ных векторов осей xx', yy', zz' в изометрии всего пространства,
являющейся продолжением изометрии между F и F', то определитель
их компонент равен или + 1, или — 1. Знак этого определителя
принимается за знак изометрии между F и F\
Определитель произведения двух изометрии равен произведе-
нию определителей сомножителей, откуда мы получим, что пря-
мые изометрии (со знаком -)-) образуют группу. Теперь мы уже мо-
жем определить движения.
Обобщим это: пусть дана тройка векторов с общей начальной
точкой: Vl9 V2l I/3, не параллельных и не лежащих в одной и той

же плоскости; говорят: ориентированный триэдр, который они
определяют, есть положительный (соотв. отрицательный), если
определитель, образуемый его компонентами, >0 (соотв. <0).
С неменьшей легкостью определяется скалярное произведение
векторов, их векторное произведение и т. д.
Критический обзор этой геометрии.
Мы дали довольно детальный очерк «аналитического» представ-
ления геометрии, во-первых, потому, что, по нашему мнению, на
определенной стадии он может быть использован в преподавании,
а во-вторых, потому, что многие выдающиеся математики считают,
что здесь мы имеем один из способов изложения элементарной гео-
метрии. По этой же причине мы хотим сделать довольно основа-
тельный критический обзор.
Нет необходимости указывать, какие большие возможности
мы получаем, используя это преобразование пространства. Этим
путем могут быть введены наиболее тонкие понятия геометрии и
формальные методы, лежащие в основе этого процесса, дают могу-
щественное средство для дальнейшего развития, так как мы полу-
чаем аналитическую геометрию. Эти возможности обусловлены
тем, что мы, исходя из некоторых основных понятий, используем
с самого начала весьма сильные средства, каковыми являются:
числовая прямая, абстрактное пространство, квадратичная форма
(x2 + у2 + z2), сопряженная с бинарной формой (xx' + yy' +
+• ζζ'), и т. д.
Другое важное преимущество: эта конструкция геометрии не
является аксиоматическим построением. В ней мы встречаемся с
определениями, в которых используется только лишь понятие дей-
ствительного числа. На самом же деле подразумевается вся аксио-
матика, лежащая в основе определения действительных чисел Но
если мы вспомним, что действительная прямая построена на понятии
совокупности целых чисел путем введения промежуточной совокуп-
ности рациональных чисел [23] и что сама совокупность целых чи-
сел построена на нескольких основных аксиомах теории множеств,
го мы убедимся, что получили определение пространства с мини-
мальным числом промежуточных этапов — аксиоматическую базу,
наиболее солидную, гак как она приближается к базе самой теории
множеств.
Еще преимущество: использованный процесс открывает путь
многочисленным обобщен и ям.
a) Определение Rn—евклидово пространство η измерений. Вмес-
то того чтобы рассматривать тройки (х. £/, г) или лучше (χλ x22,
**з), возьмем упорядоченные последовательности η действительных
чисел (х}. х2,. xп).
b) Определение Сп . То обстоятельство, что все х/ суть числа
действительные, применяется довольно редко в большей части тео-

рий. действительную прямую или тело К можно заменить телом
комплексных чисел (или также каким-нибудь другим телом). Та-
ким образом, приходят к обобщению евклидова пространства по-
средством мнимых точек, что имеет значение для интерпретации
даже очень простых свойств этого пространства.
с) Определение проективных пространств действительных или
комплексных и т. д.
Вот действительно существенные аргументы в защиту этого
представления евклидовой плоскости, и мне кажется, что это будет
наилучшее представление при обращении к умам, уже развитым,
имеющим довольно большой математический и геометрический опыт.
Уже в классе специальной математики (класс подготовительный к
высшей школе) этот метод представления имеет преимущества хотя
бы в своей строгости и своей элегантности. На этом этапе ученик
знает уже определенно, что плоскость и пространство могут быть
отнесены к системе прямоугольных осей, и он уже достаточно опе-
рировал с этим в аналитической геометрии, чтобы определение плос-
кости, сферы, скалярного произведения векторов и т. д., которые
ему дадут, не показались бы бесплодной игрой.
Если наше физическое пространство ориентировано в трех пер-
пендикулярных направлениях, то нет сомнения, что можно было
бы надлежащим образом ввести его математическую модель как
пространство троек (х, /у, ζ). К сожалению, это не так Наше про-
странство довольно определенно ориентировано благодаря наличию
тяжести, но эта ориентировка недостаточная, и существование в
зале пола и двух вертикальных прямоугольных стен недостаточно,
чтобы дать ему удовлетворительную ориентацию.
Если мы ограничимся изучением плоскости, положение несколь-
ко улучшится, потому что современный мир нам представляет для
изучения плоских поверхностей, ориентируемых в двух направле-
ниях, клетчатую бумагу, графики и т. д.
Предположим даже, что мы достигли понятия плоскости и про-
странства при помощи координат. Осталось 'сделать самый труд-
ный шаг.
Давая двум направлениям плоскости привилегированную роль,
мы уничтожили ее изотропность. Наклонные прямые теряют свое
значение, можно во всех случаях сомневаться, что они будут иг-
рать ту же самую роль, что и параллельные к осям.
Ввести на этой стадии теорему Пифагора, чтобы вновь установить
эту изотропность, есть процесс грубый и неприемлемый. Эта фун-
даментальная, но совершенно не очевидная теорема должна по-
явиться как существенное свойство, открытое на основе более эле-
ментарных свойств, а не как аксиома или определение.
Конечно, можно ввести квадратичную форму (х2 + у2 + ζ2)
через канал линейных форм, потом форм билинейных и, наконец,
скалярного произведения Но понятия равенства расстояний, пря-
мой линии, перемещения, такие интуитивные и фундаментальные
понятия будут таким образом принесены в жертву!

Мы не имеем там приемлемой для ума геометрии, осуществляе-
мой в физическом мире, но геометрию, предназначенную для чис-
того разума, без контакта с физической реальностью.
Первый пример аксиоматики, связанной с совокупностью
инструментов.
Если мы хотим дать геометрии базу не только логически кор-
ректную, что было бы недостаточно, но довольно близкую к чув-
ственному эксперименту каждого из нас, мы должны на одно мгно-
вение сделать усилие и забыть все, что мы знаем о свойствах плос-
кости и пространства и даже о понятиях прямой, окружности,
сферы, которые мы хотим туда включить.
Другими словами, поставим себя в положение ищущего ума,
пытающегося избавиться от различных встречающихся частных
случаев и создать новое понятие, которое он еще не ясно различает.
Ограничимся изучением плоскости. Положение будет следую-
щим:
Мы уже встречали куски плоскости: поверхность пруда, белый
листок на столе и т. д. и, исходя из этого, мы можем даже пред-
ставить такую поверхность безгранично продолжающуюся, т. е.
без ощущаемых границ.
С другой стороны, мы имеем определенные инструменты, ос-
трие или мел, чтобы обозначать точки, циркуль с постоянным или
меняющимся раствором, линейку с одной или двумя параллель-
ными сторонами, угольник и т. д.
Обладание известным числом этих инструментов позволит нам
исследовать плоскость.
Пусть / — совокупность инструментов ilf ί2»···> *л» которыми
мы располагаем. Она нам позволит сделать совокупность выводов,
которые мы сгруппируем в небольшое число предложений. Ко-
нечно, мы не узаконим эти предложения для всех возможных слу-
чаев, но они узаконены во всех осуществляемых экспериментах, и,
если мы достаточно варьировали данные эксперимента, мы имеем
право заключить, что эти предложения правильны во всех случаях.
Эти выражения составляют совокупность а постулатов или аксиом.
Каждый из них выражается в терминах, дающих возможность
ввести скрыто или открыто инструменты ίι,..., іп из /.
Можно, конечно, ввести термины, которые затемнят их роль,
но всегда останется, что а тесно связано с /.
Было бы интересно найти влияние / на математиков Халдеи,
а особенно Греции.
Не является случайностью, что тот, кого можно рассматри-
вать как основателя проективной геометрии — Дезарг, был вна-
чале превосходный техник и как умелый чертежник, хорошо вла-
дел линейкой: когда совокупность / ограничивается карандашом,
чтобы обозначать точки на плоскости, и линейкой, чтобы проводить
прямые, можно основать только проективную геометрию.

Попытаемся, например, увидеть, как будет осуществляться а,
когда плоскость осуществляется плоской твердой поверхностью и
когда / ограничивается карандашом, чтобы ставить точки на плос-
кости, и измерительным циркулем с концами ножек а и b, кото-
рые достаточно длинные, чтобы удовлетворять всему нашему опы-
ту (гипотеза циркуля с малым раствором представляет тоже ин-
терес) Этот циркуль должен к тому же рассматриваться только
как инструмент перенесения расстояния. Его механизм не должен
быть введен в дело.
Циркуль позволяет сравнивать пары точек АхАг плоскости.
Скажем, что две такие пары А В, А'В' конгруэнтны (Α'Β' ~ AB),
если, не изменяя раствора циркуля, можно заставить сначала
совпасть А с а, В с b, потом А 'с а, В' с b.
Повторные эксперименты приводят к первым предложениям
а: Существует соотношение в совокупности пар AB точек плоскости:
AB ~ Α'Β', называемое конгруэнтностью, таким образом, что
(1) AB^AB,
(2) (AB — Α'Β') (Α'Β' ~ AB),
(3) (AB ~ Α'Β') и (Α'Β'— А"В") -+(AB~А"В"\
(4) AB—BA.
Три первых предложения показывают, что эта конгруэнтность
есть отношение эквивалентности. Можно, таким образом, преобра-
зовать совокупность пар AB в класс интервалов, в котором каждый
будет называться «длина» каждого из его элементов AB или рас-
стоянием между точками А и В : d (AB).
Четвертое предложение означает, что d (AB) тождественно d(BA).
Введение этой длины позволит уже дать очень точные определе-
ния, которые упростят дальнейшие предложения.
Определение.Изометрией называют такое взаимно однозначное
соответствие между двумя подмножествами Ε и Е' плоскости, что
две пары соответственных точек имеют одно и то же рассто-
яние.
Можно было бы тогда уточнить интуитивное или эксперименталь-
ное утверждение, что плоскость изотропна или, более точно, что
не только все точки будут равнозначны, но также и все направле-
ния вокруг каждой точки тоже будут равнозначны:
(5) Если AB = Α'Β', то существует изометрия по крайней ме-
ре та, которая преобразует плоскость саму в себе и А в А' и В вВ'.
Можно было бы здесь постулировать существование подгруппы
изометрий плоскости на ней самой (перемещения) таким образом,
что существует одна и только одна из этих ведущих изометрий,
преобразующих AB и в Α'Β'. Но это было бы предложение, с тру-
дом осуществимое при помощи наших инструментов. [24 ]
Мы приходим к открытию существования соотношения порядка
между различными длинами. Нельзя думать, что для этого можно

использовать изменение угла циркуля, потому что этот последний
должен являться для нас только переносителем расстояний.
Но эксперимент дает нам множество предложений, которые удоб-
но выразить следующим определением:
«Если OA и О'А' —две пары точек, то рассмотрим все пары
OB, О'В' такие, что OA = OB; ΟΆ' = Ο'Β'. Если для каждой
точки В существует такая точка Β', что по меньшей мере AB =
А'В\ то мы говорим, что OA < ОМ'». [25]
Предложение (5) нас убеждает в том, что это соотношение оста-
ется действительным, если мы заменим OA и ΟΆ' парами конгруэн-
тными. Это будет соотношение между длинами. Запишем его:
d(OA) < d(0'A') или / < /'.
Эксперимент дает нам предложения:
(6) Для / и Г произвольных по крайней мере одно из двух со-
отношений / < /'; /' < / будет иметь место.
(7) / < / (это есть результат определения соотношения <).
(8) Если / < Г и Г < Г, имеем / < Г (то же замечание).
(9) Если / < /' и /' < /, имеем / = Если / < Г при / = Г
запишем, что / < Г.
Эти новые соотношения исчерпывающим образом выражают
соотношения порядка.
Существование сложения длин и неравенства треугольника
получим из следующего предложения:
(10) Даны две длины а и b и OA — пара точек таких, что d
(OA) = а. Между всеми точками В, такими, что d (AB) = b,
имеется ß0 и притом. единственная \ такая, что d (OB) < d(OB0)
для каждого В. Так приходим к определению d(OB0) = (а + b).
Из предложения (5) мы получаем, что определение (а + b)
независимо от пары выбранных точек OA. Неравенство треуголь-
ника для каждой тройки (ABC)) есть непосредственное следствие
определения и существования суммы двух длин.
То же самое предложение (5) дает нам первую теорему, кото-
рую нам необходимо знать.
Теорема 1. Имеем всегда а + b = b + а.
Новое предложение:
(11) Если b < b\ имеем: а + b < а + bf для всякого а\ позволяет
всегда, используя предложение (5), доказать:
Теорема 2. Имеем всегда (а + b) + с = а + (b + с).
Критика этой аксиоматики и выбор других инструментов.
Мы остановим здесь развитие этой частичной аксиоматики;
можно было бы теперь дать определение коллинеарности трех то-
чек, потом ввести прямую как совокупность точек, расположенных
на одной прямой с двумя данными точками, и т. д.
1 Единственность не является необходимой до теоремы 1 включитель-
но, но сильно упрощает следующую.

Заметим, что, если начала этой аксиоматики были просты и
натуральны, вынужденные ограничения в формулировке предло-
жений в терминах конгруэнтности — в силу единственности ра-
бочего инструмента (циркуля) — быстро привели нас к довольно
сложным определениям.
Вместе с тем нет сомнения в том, что, прибавляя еще несколько
аксиом, мы могли бы получить аксиоматику, эквивалентную аксио-
матике Гильберта.
Урок, который мы можем извлечь из этой попытки, заключается
в том, что, если мы хотим приблизиться к аксиоматике простой и
дающей большие результаты, надо увеличить нашу совокупность
/ используемых инструментов. Наша частичная неудача заключает-
ся в том, что мы не могли с самого начала ввести прямые. Действи-
тельно, они играют в евклидовой плоскости роль настолько же
важную, какую играет конгруэнтность пар точек. Они действитель-
но связаны с понятием конгруэнтности двумя основными фак-
тами:
1. Каждая прямая обладает транзитивной группой изометрии
(скольжения).
2. Всякая изометрия плоскости на нее саму, которая обладает
больше, чем одной инвариантной точкой (симметрии), оставляет
инвариантной всякую прямую; это соответствие между симметрия-
ми и прямыми взаимно однозначное [26]
Это замечание приводит нас к уточнению инструмента /, а по-
том к изменению направления линий нашего изложения.
Инструменты /. а) Плоскость, которую мы будем изучать, осу-
ществляется плоским листом бумаги (на котором не изображено
никакого знака), который может быть сложен. b) Как и в преды-
дущем примере, имеется карандаш и циркуль (без карандаша).
Бесполезно добавлять сюда линейку, потому что из свойства лис-
та складываться мы получим наряду с другими понятиями и пря-
мые.
Построение аксиом а.
Как и в предыдущем случае, циркуль даст нам аксиомы кон-
груэнтности и совокупности пар точек плоскости и понятие длины
отрезка. Но теперь мы ассоциируем всякому сгибанию плоско-
сти совокупность ее неподвижных точек, которую мы будем на-
зывать «прямая».
Следующие предложения могут быть легко допущены:
Через две произвольные точки проходит прямая и притом толь-
ко одна (единственность складывания при двух неподвижных точ-
ках).
На каждой прямой можно двумя способами выбрать направление.
Всякая прямая обладает транзитивной группой изометрии (име-
ется единственное скольжение, которое совмещает одну точку
прямой с другой). Это скольжение легко дает понятие суммы двух
длин.
Все прямые изометричны.

После складывания плоскость разделяется соответствующей пря-
мой на две части так, что всякий отрезок прямой, соединяющий две
точки, расположенные в двух различных частях, встречает эту
прямую.
Эти предложения вводят почти исключительно соотношения,
содержащие точки, лежащие на одной прямой. Сюда надо приба-
вить предложения, позволяющие изучать точки, не лежащие на
одной прямой. Это неравенство треугольника, которое мы на-
ходим, используя по-новому циркуль:
Каковы бы ни были точки Л, 5, С, имеем всегда
d(AC) что соответствует не очень точному классическому выражению:
«отрезок прямой есть наикратчайший путь от одной точки к дру-
гой».
Этой короткой схемы достаточно, чтобы показать, что имеется
возможность начать изучение геометрии с изучения прямой. Это
изучение позволит выработать удобный словарь и получить сово-
купность теорем, которые можно использовать в геометрии плос-
кости.
Когда в свою очередь плоскость будет достаточно изучена,
можно переходить к определению пространства в терминах пря-
мых и плоскостей.
Таким образом, мы начнем с тщательного изучения прямой,
потом перейдем к изучению плоскости.
Мы надеемся на следующих страницах достаточно ясно пока-
зать происхождение аксиом, которые мы выбираем, чтобы читателю
было легко найти в каждой из них ее интуитивное обоснование.
[27]
Повторим последний раз, что все, что здесь изложено, написано
для использования преподавателем и ни в коем случае не может
служить началом учебника. Что это изложение может быть исполь-
зовано в преподавании, я верю, но нужно было бы его переработать
соответственно каждой ступени умственного развития.
П. Геометрия прямой.
Мы будем иногда использовать обозначения с, U» П» ко-
торые удобны даже в элементарной геометрии и которые желатель-
но было бы ввести и в преподавание.
χ Ç А означает, что χ есть элемент множества А.
В Œ А означает, что В есть подмножество А
A {J В есть объединение А и ß.
A f) В есть пересечение или общая часть А и В.
(А—ß) совокупность точек из Л, которые не принадлежат ß.
χ = у λ элементы хну (или множества А и ß),
А = ß J тождественны.

Определение ориентированной прямой Δ.
I. Ориентированная прямая есть прежде всего вполне упоря-
доченное множество. Другими словами, прямая есть множество
Δ точек, для которых дано двойное соотношение1, которое мы обо-
значим а <ЬУ обладающее следующими свойствами:
01) Какими бы ни были точки а и b ζ Δ, обязательно имеет мес-
то один из трех следующих случаев, которые взаимно исключают
друг друга: a02) Если имеем: а Определения. Если а, b, с суть три точки Δ, то говорят, что b
находится между awe, если имеем:
а < b < с или с < b < а.
Совокупность точек, расположенных между двумя точками а,
by называется открытым интервалом с концами a, b и обозначается
]а, Ы. Если к открытому интервалу присоединить его концы, то
получим замкнутый интервал [а, b]2.
Легкие упражнения. 1. Если ]а, b\ и ]а', b[ тождественны и
не пустые, то их концы тождественны в том же порядке. 2. Если
а1 а2,..., an суть η различных точек ориентированной прямой, то
существует одна и только одна перестановка ръ р2, рп целых
чисел 1, 2..., я, при которой ар1 <ар2... <арг. 3. Пересечение ко-
нечного числа открытых интервалов (соотв. — замкнутых) будет
пустым или открытым интервалом (соотв. — замкнутым). 4. Сумма
конечного числа открытых интервалов (соотв. — замкнутых), име-
ющих попарно общие точки, есть интервал открытый (соотв. —
замкнут.).
Упражнения менее легкие. Если il9 ί2, іп суть интервалы
открытые или замкнутые, имеющие попарно общие точки, то они
имеют по крайней мере одну общую точку.
II. С другой стороны, существует в совокупности упорядочен-
ных точек Δ соотношение эквивалентности, которое мы будем на-
зывать конгруэнтность и обозначать (a, b)^(a\ b'). Другими
словами, это соотношение будет удовлетворять аксиомам:
С1)(а,&)~(а,&),
С2) (а,b)~(а',b')-+(а',b')^(а,b)9
С3) (a,b)^(a\V) и (а\b')~(а\b'')^{а,b)ъ(а\b'').
1 Двойное соотношение на Δ есть определенная функция множества
упорядоченных пар (а, b) точек Δ, единственными качествами которых
будут «истинно» или «ложно».
2 Эти интервалы, следовательно, не ориентированы: имеем, например
[atb] = [bt al.