Лебединцев К. Ф. Введение в современную методику математики. — 1925

ОТДЕЛ I.
Цели, программа и метод обучения математике
в трудовой школе.
Глава I.
Понятие о задачах методики математики.
Из личного опыта и рассказов наших сверстников и знакомых мы
знаем, что бывают учителя, у которых дети учатся математике неохотно
и с трудом, плохо ее понимают и не выучиваются как следует вычислять
и решать задачи; у других же учителей дети учатся той же математике
без больших усилий и с интересом, и усваивают ее сознательно и хорошо.
А случается и так, что дети, которые уже потеряли охоту к занятиям
по математике и считались недостаточно способными к этому предмету,
потом, перейдя к другому учителю, обнаруживают и способности, и лю-
бовь к математическим знаниям.
Отчего это так бывает?
Разумеется, оттого, что не все учителя одинаково хорошо умеют
обучать детей, т. е. помогать им приобретать должные познания и на-
выки; один применяет такие приемы обучения, которые делают матема-
тику ясной и доступной детям и способны приохотить детей к занятиям
счислением и измерением; другой этих приемов не знает или не умеет
ими пользоваться, и оттого у него дело обучения плохо ладится.
Методика математики и имеет целью выяснить, ка-
кие способы обучения необходимы для тог о, чтобы уча-
щиеся понимали и усваивали математику возможно луч-
ше и с наименьшей затратой усилий. Но для того, чтобы мы
могли разобраться в этом вопросе, мы должны дать себе отчет в том, за-
чем изучается математика в школе и чему учить на уроках, ей посвя-
щенных; а после этого нам легче будет вникнуть и в то, как учить де-
тей математике.

Глава II.
Цели обучения математике.
Мы знаем, что в повседневной жизни нам часто приходится выпол-
нять различные расчеты и измерения; напр., при всякой покупке мы
должны уметь расчитать, сколько придется заплатить за покупаемый
товар, сколько получить сдачи; имея запас хлеба или другой еды, мы
должны уметь расчитать, на сколько дней нам хватит этого запаса,
или как разделить этот запас между несколькими едоками; если нам
нужно сшить платье, мы должны знать, сколько на него пойдет ситцу,
сукна или другой материи и во что обойдется нам эта материя, пуго-
вицы и т. д.; если нужно оклеить обоями комнату, надо уметь измерить
площадь стен и высчитать, сколько понадобится кусков обоев, сколько
это будет стоить и т. д. А для всего этого нам нужно уметь считать и
производить вычисление над целыми и дробными числами, нужно уметь
измерять длину, вес, время, площади и объемы—одним словом, надо иметь
целый ряд познаний и умений, которые мы можем приобрести только с
помощью изучения математики. Ясно, что всему этому надо научиться в
школе, и поэтому одна из целей, ради которых мы учимся математике и
обучаем ей своих детей, есть цель практическая—приобрести те све-
дения и навыки, которые необходимы для расчетов, встречающихся нам в
повседневной жизни.
Но этим не исчерпывается задача обучения математике в школе
Учась выполнять разного рода вычисления и измерения, мы устанавли-
ваем те или иные правила действий, свойства чисел или фигур, приемы
измерений и т. д., и применяем эти правила и выводы к решению задач
и других вопросов повседневной жизни; вместе с тем мы постоянно даем
себе отчет в том, почему данное вычисление - нужно произвести так, а
не иначе, почему данную задачу нужно решить напр. умножением, а не
другим действием, почему напр. всякий треугольник составляет половину
прямоугольника с тем же основанием и высотой и т. д. При этом мы
постоянно выполняем те или иные рассуждения и незаметно для себя
приучаемся рассуждать точно и правильно, потому что какая-нибудь
неточность или ошибка в рассуждении или вычислении сейчас же даст
себя знать и может быть нами обнаружена и исправлена. Таким обра-
зом, изучение математики вырабатывает у нас привычку правильно мы-
слить, и вот другая цель, ради которой изучается математика в школе—
цель общеобразовательная: помочь учащимся развить у себя при-
вычку к правильным суждениям, умозаключениям и выводам.
Итак обучение математике в школе имеет двоякую
цель — практическую и общеобразовательную: с одной

стороны — научить детей выполнять вычисления и изме-
рения, которые необходимы для расчетов, встречаю-
щихся в повседневной жизни; с другой стороны—помочь
им выработать привычку правильно мыслить, т. е. состав-
лять правильные суждения, умозаключения и выводы.
Необходимо однако отдать себе отчет в том, в какой мере и при
каких условиях изучение математики может помочь детям научиться
правильно мыслить. Можем ли мы ожидать, что, обучаясь математике и
привыкая составлять правильные суждения и выводы в области матема-
тики, учащиеся приобретают вместе с тем способность правильно рас-
суждать и во всех других областях знания и жизни? Или, быть
может, эта привычка к правильному мышлению обнаружится у них
только в некоторых других областях? Посмотрим, что говорят
нам по этому вопросу повседневные наблюдения и данные психологии.
Мы знаем, что есть дети, которые с успехом обучаются математике
и в то же время оказываются малоспособными в других областях знания;
есть знаменитые счетчики, которые с поразительной быстротой и искус-
ством выполняют очень сложные вычисления, и в то же время не про-
являют выдающихся способностей в других отношениях, даже иногда
являются людьми малообразованными*); есть, наконец, выдающиеся и
даже гениальные математики, которые за пределами своей специаль-
ности не обнаруживают превосходства над людьми среднего уровня2)*
Наоборот, встречаются люди, не обнаруживающие особенных способно-
стей или склонности к математике, но в других отношениях даровитые
и выдающиесяг>)- Все эти обстоятельства заставляют нас заключить, что
изучение математики и развитие в области математики может и не со-
провождаться всесторонним умственным развитием, и, значит, развиваю-
щее влияние математики может в других областях знания и жизни
сказываться очень неравномерно или не проявляться вовсе.
Посмотрим теперь, что известно по интересующему нас вопросу в
психологии. Мы не имеем правда, прямых опытов, которые позволили
бы нам заключить о влиянии обучения математике на умственное раз-
витие; но все же современная психология дает некоторые основания
думать, что упражнение какой-либо нашей способности в одной области
может сопровождаться развитием этой способности и в других областях.
х) См, напр, сведения о знаменитых счетчиках Диаманди и Иноди, поме-
щенные в брошюра Челпанова „О памяти и мнемонике" (СПБ. 1900 г., стр.
106—113) и в книге Гольденберга „Беседы по счислению" (Саратов 1906 г., по-
смертное изд. под ред. Волковского, стр. 77—83).
2) Напр. Ньютон, один из наиболее гениальных математиков и физиков
всех времен, в других областях науки и жизни был человеком среднего уровня,
будучи же членом парламента, не проявил себя в качестве общественного деятеля.
3) Таковы, напр., известные наши писатели—Короленко и Надсон.

Так, напр., известный немецкий психолог Мейман, производя опыты над
памятью и запоминанием, нашел, что упражнение в заучивании бессмыс-
ленных слогов сопровождается усилением памяти не только на бессмыс-
ленные слоги, но также некоторым усилением всех других видов памяти,
причем это «сопутствующее упражнение» более всего сказывалось на
видах памяти, родственных с данным, напр. на памяти на отдельные
буквы, цифры, вообще при усвоении материала запоминаемого более или
менее механически; на остальных же видах памяти «сопутствующее
упражнение» сказывалось в меньшей и меньшей мере. При этом Мейман
прибавляет, что это явление—сопутствующее упражнение родственных
видов деятельности—«есть вероятно общее психофизическое явление,
так как мы наблюдаем его во всех психических и физических функциях».
(Мейман, «Лекции по экспериментальной педагогике», т. III, стр. 237—241;
или же последнее немецкое издание тех же лекций 1922 года, т. III,
стр. 137—146).
Основываясь на этом, мы можем считать вероятным, что изучение
математики сопровождается развитием не только «математического»
мышления, но и других видов мышления, более или менее родствен-
ных ему.
Что же это за виды мышления?
В математических рассуждениях мы чаще всего встречаемся с умо-
заключениями, с дедукцией; поэтому мы можем ожидать, что изучение
математики отразится более или менее благоприятно на развитии де-
дуктивного мышления; что же касается индуктивного мышления, то на
его развитии изучение математики должно сказаться в значительно
меньшей мере, потому что в математике индукция (вывод общего свой-
ства или правила из частных случаев) требует сравнительно небольшого
числа простых наблюдений, в других же областях знания и жизни она
должна опираться на гораздо более многочисленные и сложные наблю-
дения и опыты.
А кроме того и самый процесс умозаключения и вообще дедук-
тивного мышления не может считаться простым психическим актом,
всегда тождественным во всевозможных случаях. Постараемся уяснить
себе это на следующих примерах.
Пусть школьник решает задачу: «Поезд железной дороги проходит
35 верст в каждый час; сколько верст пройдет он за 12 часов?». Пусть
он рассуждает при этом так: «в первый час поезд пройдет 35 верст, во
второй еще 35 верст, в третий еще 35 верст и т. д.; чтобы узнать,
сколько верст он пройдет за все 12 часов, нужно 35 умножить на 12».
Если бы школьник мог облечь свою мысль в форму полного умозаклю-
чения, то он должен был бы выразиться примерно так: «если в задаче
приходится складывать несколько одинаковых чисел, то такая задача

решается умножением; в этой задаче приходится складывать 12 раз по
35, значит нужно 35 умножить на 12». Чтобы наш школьник действи-
тельно мог построить свое умозаключение, даже в той упрощенной фор-
ме, как сказано выше (и как обыкновенно выражаются при решении
задач),—для этого необходимы два обстоятельства: во-первых, он должен
заметить, что в данной задаче приходится складывать 12 одинаковых
чисел, каждое из которых есть 35; во-вторых, он должен помнить из
предыдущего своего опыта, что задачи,-в которых приходится складывать
одинаковые числа, решаются умножением,—иначе говоря, у него в памяти
должны сохраниться сходные прошлые переживания, состоящие в выпол-
нении процесса сложения одинаковых чисел и последующей замене этого
вычисления сокращенным приемом—умножением.
С этим умозаключением сравним другое. Пусть тот же школьник в
летний день соображает: «сегодня очень жарко, и тучи собираются; по-
жалуй, будет гроза». Если бы он и здесь мог выразить свою мысль в
форме полного умозаключения, то сказал бы приблизительно так: «если
в летний день особенно жарко и притом собираются тучи, то можно
ожидать грозы; сейчас очень жарко и тучи собираются; поэтому веро-
ятно, что сегодня будет гроза». Чтобы подобное умозаключение (хотя и
в неполной форме, как это обыкновенно бывает) могло действительно
сложиться в уме нашего школьника, необходимы опять две психологи-
ческие предпосылки: во-первых, он должен заметить, что сегодня более
жарко, чем обыкновенно в летние дни, и притом на небе собираются
тучи; во-вторых, он должен помнить из предыдущих своих наблюдений,
что в подобные дни бывает гроза, т. е. в его памяти должны сохраниться
прошлые переживания, когда восприятия жаркого дня и скопляющихся
туч сменялись бы впечатлениями последующей грозы.
Возьмем и третье умозаключение того же школьника, в таком роде:
«был звонок; пора идти в класс». Чтобы такое умозаключение пришло
на ум нашему школьнику, он должен, во-первых, услышать звонок; во-
вторых, он должен помнить, что звонок во время перерыва между заня-
тиями есть призыв собираться в класс для работы,—т. е. в его психике
должен сохраниться и ряд прошлых переживаний, когда восприятие звонка
сменялось бы впечатлениями начавшегося урока.
И вообще, чтобы в нашем уме могло возникнуть какое-нибудь
умозаключение, необходимы всякий раз те же две психологические пред-
посылки; во-первых, мы должны установить какой-либо определенный
факт (как, напр., в предыдущих умозаключениях: наличность ряда равных
слагаемых, или наличность духоты в воздухе и туч на небе, или факт
раздавшегося звонка); во-вторых, мы должны иметь в прошлом пережи-
вания, во время которых восприятие фактов, похожих на данный, было
бы связано с рядом других постоянных впечатлений.

Эти впечатления, появляясь в нашем сознании по ассоциации с уста-
новленным нами фактом, и обусловливают, таким образом, возможность
последующего умозаключения.
Но для установления определенного факта необходимо всякий раз
предварительное наблюдение, или самонаблюдение, т. е. такой психиче-
ский процесс, который совершается через посредство различных орга-
нов чувств и различных сторон нашей психической жизни, да и ассо-
циации, которые необходимы для возникновения умозаключения, могут
относиться к совершенно различным областям представлений. Поэтому
с психологической точки зрения мы не можем считать
различные умозаключения за тождественные процессы,
и не все виды дедуктивного мышления можем считать одинаково род-
ственными друг другу. А отсюда вытекает важный вывод, что не все виды
дедуктивного мышления могут подвергаться влиянию сопутствующего
упражнения от изучения математики. Можно, напр., ожидать, что
изучение математики облегчит нам составление пра-
вильных суждений в области физики, техники или астро-
номии, наконец статистики, но надеяться на то, что человек,
изучивший математику, тем самым приобретет сметливость и сообрази-
тельность во всех областях жизни и знания, можно было бы в столь же
малой степени, как ожидать, что искусный игрок в шахматы должен
быть непременно хорошим полководцем1).
1) Московский педагог Ланков в своей книге „Математика в трудовой
школе" (изд. кн-ва „Работник Просвещения", 1923 г., стр. 7—8) пытается оспари-
вать эти мои рассуждения, излагавшиеся и в предыдущих моих трудах, но в
пользу своего мнения приводит только ссылки на книги: Лая „Руководство к
первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических
опытов" (изд. 1910 г., стр. 197—205) и Юнга „Как преподавать математику"
(вып. I, стр. 30). Между тем Лай на указанных страницах доказывает лишь ту
мысль, что знание чисел действий над ними должно быть связано с умением
применять его к предметам и явлениям окружающего мира; „благодаря этому—
говорит Лай на стр. 205,—знание счисления расширяется, углубляется, укрепляется
и становится знанием действительно предметного счисления"; к этому он при-
бавляет: „последнее же имеет весьма большое значение, как в деле развития
умственных способностей, так и в практической жизни"— но никаких доказа,
тельств этой последней мысли (о влиянии счисления на развитие умственных
способностей) у Лая нет, так как этого вопроса он и вовсе не рассматривает.
Что же касается Юнга, то он доказывает лишь то, что пути логического мыш-
ления, применяющиеся в математике, могут иметь место и в других областях-
довольно далеких от математики; но ни Юнг, ни Лай, ни Ланков не ставят
даже вопроса о том, можно ли считать процессы умозаключений, имеющих
место в математике, психологически тождественными с процессами умозаклю-
чений, совершающихся в других областях знания. А поскольку последнее не
доказано (и даже, как видно из предыдущего изложения, нужно считать доказан-
ным обратное), то и все возражение т. Ланкова падает. Впрочем, на той же
стр 8, в окончательном выводе из своего рассуждения он высказывает (без
указания источника) мою же собственную мысль о том, что влияние математики
на умственное развитие детей находится в прямой зависимости от материала,
которым мы пользуемся при обучении, и что последний должен иметь тесную
связь со всевозможными явлениями окружающей действительности (см. мою
книгу „Математика в народной школе", изд. журн. „Народный Учитель", Москва,
1918 г., стр. 12—13).

Развитое математическое мышление, с точки зрения общепедаго-
гической, есть хотя и весьма важный, но специальный навык; а общее
умственное развитие может быть приобретено только более или менее
равномерной работой в различных областях знания.
Из всего изложенного можно сделать важные педагогические вы-
воды. То влияние, которое может оказывать обучение счислению и во-
обще математике на умственное развитие детей, находится в прямой
зависимости от материала, которым мы пользуемся при обучении: если
в учебном материале будут преобладать (как это было в старой шчоле)
отвлеченные упражнения в действиях и хитроумные задачи с условиями,
лишенными внутренней связи и по существу далекими от жизни, то
упражняя учащихся на таком материале, мы, может быть, и выработаем
у них формальные навыки в вычислениях и пожалуй, изощрим их ум для
разгадывания разных ребусов и головоломок, но отнюдь не сделаем их
более способными к правильному мышлению в жизни или какой-либо
бласти знания. Если же мы хотим, чтобы обучение математике, кроме
своей непосредственной практической задачи, дало толчок и умственному
развитию детей, и притом возможно более широкому, то мы должны
гак подбирать учебный материал, чтобы он имел прямую и тесную связь
о всевозможными явлениями окружающей жизни; только при этом усло-
вии в уме учащихся может образоваться тот запас представлений и
подбор ассоциаций, на которые будет опираться их дальнейшее мышление.
Таким образом, приходится признать, что общеобразователь-
ная цель обучения математике — возможное содействие
умственному развитию детей — совершенно не может
быть отделяема от практической цели — сообщения им
известных познаний и навыков, необходимых для жизни.
Преследуя эту практическую цель, разрешая с учащимися вопросы мате-
матического характера, возникающие из жизни и с нею связанные, и
помогая детям вырабатывать и усваивать необходимые для этого приемы
вычислений и измерений, мы тем самым разовьем, насколько это вообще
возможно, и умственные их способности,—конечно, при одном непремен-
ном условии: если метод обучения будет способствовать сознательному,
а не механическому усвоению учебного материала.
Глава III.
Программа математики в современной трудовой школе.
Рассмотрим теперь, какой круг познаний и навыков из области
математики мы должны считать необходимым для современной трудовой
школы,—иначе говоря, как должна быть построена программа курса

математики, чтобы школа могла удовлетворить в этом отношении требо-
ваниям современной жизни.
В дореволюционные времена, при трехлетнем курсе начальной школы»
практическая цель обучения математике сводилась к одному: научить
детей четырем действиям над целыми числами и решению соответствую-
щих задач. Знакомство с дробями вводилось лишь в самых ограниченных
размерах—поскольку без него нельзя обойтись в простейших повседнев-
ных расчетах. Знакомство с мерами сводилось по большей части к упражне-
ниям и задачам с составными именованными числами, выработка же навыков
измерительного характера не входила в задачи обучения в начальной
школе1). Да и трудно было задаваться более широкими целями при огра-
ниченности времени, имевшегося в распоряжении учителя, и при необходи-
мости (в условиях жизни дореволюционной школы) обращать усиленное
внимание на подготовку к окончательному экзамену учащихся последнего
года обучения, нередко в ущерб образовательным задачам школы.
Такие размеры математики и в дореволюционную эпоху были недо-
статочны, а тем более нельзя ограничиваться такими рамками теперь. Те
расчеты, с которыми неизбежно встречается ребенок из трудящейся сель-
ской или городской среды в своей семье, школе, детском коллективе или
окружающей жизни, не ограничиваются только вычислением стоимости
покупок на базаре или подведением итога приходо-расходной книги; тут
может понадобиться уменье определить размеры того или иного участка
земли, подсчитать количество семян, необходимым для его засева; опре-
делить величину или стоимость запасов продуктов, необходимых для про-
кормления семьи или детского коллектива на определенный срок; опреде-
лить выгодность или убыточность той или иной статьи домашнего хозяй-
ства; подсчитать размеры той или иной постройки или ее ремонта, коли-
чество или вес нужных для этого бревен, досок или кирпича, железа для
крыши; выразить в процентах и изобразить диаграммою те или иные ста-
тистические данные из жизни семьи, детского коллектива или села, го-
г) Вот как определялись размеры курса арифметики в программе для на-
чальных училищ министерства народного просвещения, изданной в 1897 г. и
действовавшей до революции 1917 года:
1- й год. Счет прямой и обратный до 100. Четыре действия в пределе пер-
вых двух десятков. Знакомство с цифрами и ^знаками действий. Указание—на
примерах—основных арифметических понятий (прибавить, отнять, повторить,
сколько раз содержится, разделить, на сколько больше или меньше, во сколько
раз больше или меньше). Римская нумерация до XX.
2- й год. Нумерация и четыре действия в пределе 100 и 1000. Объяснение
арифметических выражений: сложение, вычитание, умножение, деление. Разно-
стное и кратное сравнение чисел. Увеличение и уменьшение в 10, в 100 раз и т.д.
Ознакомление с наиболее употребительными русскими мерами. Решение задач,
устно и письменно, соответствующих курсу. Знакомство с долями.
3- й год. Нумерация и четыре действия над числами любой величины и по-
верка действий. Действия над составными именованными числами. Простейшие
вычисления с долями. Решение устных и письменных задач.

рода; подсчитать обороты кооператива и распределение взносов между
членами его, и т. п. А для всего этого необходимо знакомство с дей-
ствиями не только над целыми числами, но и над дробями, простыми и де-
сятичными, и с простейшими процентными вычислениями; необходимы на-
выки в производстве элементарных измерений длины, веса, в вычислении
различных площадей и объемов, а следовательно нужно знакомство и с
важнейшими геометрическими формами и элементарными свойствами фи-
гур и тел; необходимо при этом практическое ознакомление и с новыми
нашими мерами—метрическими, которые отчасти уже проникли в наш жи-
тейский обиход, а в недалеком будущем должны стать единственною упо-
требительною системою мер. Эти сведения и навыки должны лечь в основу
программы математики младшей ступени современной трудовой школы—
ее первых четырех лет обучения, которые в ближайшее время, повидимому,
и явятся первой ступенью образования, доступной и обязательной для
широких кругов пролетарского населения. При этом ясно, что знаком-
ство с мерами и дробями, а также приобретение измерительных навыков и
сведений геометрического характера не может изучаться в виде обособ-
ленного отдела, а должно быть распределено по всему школьному курсу,
начиная с первого года, и притом в тесной связи с арифметикой целых
чисел. Только при этом условии обучение математике будет опираться
на те числовые и измерительные соотношения, которые окружают ребенка
в его повседневной жизни, и даст ему возможность применять вырабаты-
ваемые навыки и усваиваемые сведения к решению разного рода матема-
тических вопросов, возникающих из жизни. Следует заметить также, что
в связи с изучением мер, календаря и нумерации необходимо ввести в
программу и некоторые доступные детям сведения исторического харак-
тера—о том, как произошли и развивались изучаемые цифры, меры и
измерения, потому что только это даст возможность детям уяснить себе,
что изучаемая ими наука есть плод напряженной мысли и коллективной
работы многих поколений человечества.
На основании вышеизложенного, программа занятий по математике
для первых четырех лет трудовой школы может быть построена по та-
кому образцу:1).
1-й год. Программа. Все действия над числами первых двух де-
сятков. Круглые десятки первой сотни. Нумерация чисел первой сотни.
Сложение и вычитание в пределе первой сотни.
Простейшие дроби (напр., половина, четверть, восьмая и состав-
ляемые из них дроби); вычисления над ними, выполняемые наглядно.
Ознакомление с важнейшими мерами и выполнение простейших
измерений длины, веса и времени. Ознакомление с наиболее употре-
бительными деньгами, с показаниями часов и термометра.
Здесь приведена (с небольшими изменениями) программа, составленная
автором по • поручению Киевского Губнаробраза и отпечатанная последним в
книге: „План работ в семилетней трудовой школе" (Киев, 1922 г.).

Наглядное ознакомление с геометрическими телами и фигурами,
наиболее встречающимися в окружающей обстановке (шар, куб, круг,
квадрат, треугольник).
Решение задач на все усвоенные отделы.
Занятия, которые могут дать материал для раз-
работки указанных вопросов. Детские игры—домино,
лото с числовыми фигурами, цифровое лото; разные игры, связанные
с выбрасыванием очков на кубиках и соответствующим передвиже-
нием игрушечных фигур по циферблату («скачки с препятствиями»,
«катанье с горы», «кошки и мышки», и т. п.); игры в мяч, кегли,
городки, игры с камешками; игра в лавочку, почту и т. д.
Задачи, связанные с школьной и детской жизнью,
экскурсиями и прогулками—подсчет детей в классе, подсчет
тетрадей, карандашей, перьев, листов бумаги, которые нужно раз-
дать или собрать, тарелок, стаканов, ложек, которые необходимо
приготовить для еды, подсчет кубиков и кирпичиков в детских по-
стройках; подсчет собранных цветов, огурцов, яблок, грибов и т. п.;
измерение длины и ширины комнаты, двора; измерение роста детей;
взвешивание небольших порций хлеба, картофеля и т. п., деление на
равные части небольшого хлеба, яблока, листа бумаги и т. д.
Изготовление игрушек и простейших наглядных
пособий—изготовление домино, лото, марок и примерных денег
для лавочки, предметов для примерной покупки и продажи при игре
в лавочку, изготовление числовых фигур, ручных счетов, наглядных
таблиц сложения и умножения, мер длины, циферблата для часов
(из картона), стенного календаря и т. п.
Математические развлечения—игры со спичками и
палочками, магические квадраты, задачи-загадки, задачи-шутки и т. п.
Беседы исторического характера—о том, как счи-
тали первобытные люди и дикари.
2-й год. Программа. Умножение и деление в пределе первой
сотни. Нумерация и четыре действия в пределе первой тысячи.
Расширение сведений о дробях (доли и дроби с наиболее употре-
бительными знаменателями в пределе первых двух десятков, напри-
мер: треть, шестая, двенадцатая доля, пятая, десятая и т. п.). Пре-
образования таких дробей и вычисления с ними по соображению.
Меры длины, веса, времени, стоимости. Меры сыпучих тел и
жидкостей, бумаги. Название дней недели и месяцев, число дней в
году и в каждом месяце.
Наши старые (национальные) меры и новые (метрические); важ-
нейшие соотношения между ними.
Расширение знакомства с геометрическими телами и фигурами,
встречающимися в окружающей жизни (куб, прямоугольная призма,
квадрат, прямоугольник; углы; прямые линии, пересекающиеся и па-
раллельные, горизонтальные и вертикальные, перпендикулярные и
наклонные). Измерение простейших прямоугольных площадей.
Выполнение соответствующих курсу измерений. Задачи на все
пройденные отделы.
Занятия, которые могут дать материал для раз-
работки и усвоения указанных вопросов. Детские

игры—игра в лавочку с ведением примерной приходо-расходной
книги; некоторые подвижные игры—кегли, чехарда, игра в мяч л т. п.
Задачи, связанные to школьной и детской жизнью—
простейшие расчеты хозяйственного характера по школе, школь-
ному саду, огороду; подобные же расчеты из домашней жизни де-
тей; подсчет расходов по устройству экскурсии или детского празд-
ника; измерение роста, веса и мускульной силы детей; различные
меры длины, веса, сыпучих и жидких тел, связанные с хозяйствен-
ными надобностями школы и детей; наблюдение над температурой
воздуха; простейшие случаи измерения скорости езды и ходьбы.
Изготовление простейших наглядных пособий—
таблицы умножения, образцов мер, календаря и т. д.
Математические развлечения—игры со спичками и
палочками, магические квадраты, задачи-загадки и шутки; интерес-
ные запоминания числа дней в месяцах—«по кулаку», или таблицы
умножения—на пальцах и т. п.
Беседы исторического характера—о происхождении мер.
3 й год. Программа. Нумерация и четыре действия с целыми
числами (преимущественно в пределе миллиона).
Простые дроби с наиболее употребительными знаменателями в
пределе первой сотни; преобразование этих дробей (по соображе-
нию), их сложение и вычитание, умножение и деление на целое число.
Простейшие десятичные дроби (десятые, сотые, тысячные доли
и составляемые из них дроби). Способы записи их, сложение и вы-
читание, умножение и деление на целое число (кроме случая беско-
нечного деления). Понятие о проценте. Устные преобразования не-
сложных десятичных дробей в простые и наоборот.
Метрическая система мер. Календарь; старый и новый стиль.
Более систематическое ознакомление (на моделях и предметах
окружающей обстановки) с важнейшими геометрическими телами и
их частями: призма, пирамида, шар, цилиндр, конус; плоская и кри-
вая поверхность, прямая и кривая линия; треугольник, круг, окруж-
ность, диаметр, радиус. Измерение площади прямоугольника, тре-
угольника, параллелограмма, многоугольника. Измерение объемов, огра-
ниченных прямоугольными стенками. Квадратные и кубические меры.
Упражнения в соответствующих курсу измерениях и задачи на
зсе пройденное.
Занятия, дающие материал для упражнений по
указанным вопросам. Задачи, связанные со школьной
и детской жизнью—подсчеты хозяйственного характера по шко-
ле, школьному саду и огороду; подобные же расчеты из домашней
жизни детей; измерение площади пола, двора, грядок, сада и огорода,
в связи с подсчетом количества семян или рассады, необходимых для
обсеменения, или с вычислением количества краски, досок, обоев,
необходимых для ремонта; определение объема комнаты в связи с
вычислением количества воздуха, которое приходится на каждого
учащегося; подсчет дров, сложенных в поленицу, или кирпичей,
сложенных в столбец; вычерчивание плана классной комнаты, двора,
сада, участка земли и т. п.
Работы из бумаги, картона, дерева и глины—изго-
товление тетрадей, коробок, ящиков; изготовление модели классной

комнаты, школьного или иного здания, изготовление моделей геоме-
трических тел (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара); приготов-
ление елочных украшений, фонариков, ведерок, горшечков и т. п.
Изготовление учебных пособий—линейки, науголь-
ника, отвеса, ватерпаса и пользование ими при картонажных, чер-
тежных и землемерных работах.
Простейшие метеорологические наблюдения—над
температурою, количеством осадков, числом ясных и дождливых дней,
с вычислением средней температуры или среднего количества осад-
ков, и с вычерчиванием соответствующих диаграмм и график.
Математические развлечения—задачи-загадки и шут-
ки, особенно интересные случаи вычислений, отгадывание задуманных
чисел, складывание интересных фигур из бумаги и т. п.
Беседы по истории математики—о происхождении
метрической системы мер, о календарях разных народов, о старом
и новом стиле и т. д.
4-й год. Программа. Нумерация и четыре действия над числами
любой величины.
Завершение и систематизация сведений о дробях; четыре дей-
ствия над простыми и десятичными дробями. Процентные вычисления.,
Расширение и систематизация сведений об измерении длин, поверх-
ностей и объемов (измерение площадей правильных многоугольников,
длины окружности и площади круга, поверхностей и объемов прямой
призмы и цилиндра, а в случае наличности времени—и иных геоме-
трических тел). Сведения об измерении углов. Простейшие измере-
ния на местности.-
Решение задач на все отделы, в том числе и выполнение рас-
четов из области сельского хозяйства, строительной практики, ко-
оперативного дела и т. п.
Занятия, дающие материал для более подробной
разработки программы.
Задачи из школьной и домашней жизни детей, а
также из области сельского и городского хозяйства,
природоведения и географии—подсчеты хозяйственного ха-
рактера из школьной и домашней обстановки детей; расчеты,
связанные с постройкой дома, устройством колодца, пасекц, раз-
ведением домашних животных и птиц, с работой на огороде, лугу,
в поле, с лесным хозяйством и лесной промышленностью; под-
счеты, связанные с устройством отопления, водопровода, канали-
зации, с освещением и уборкой улиц и т. д.; подсчеты, свя-
занные с разными ремеслами и работами в мастерских, фабрик и
заводов; подсчеты из практики кооперативов, статистические под-
счеты (с процентными вычислениями) из жизни деревни, города,
школы, государства; подсчеты, связанные с жизнью растений и жи-
вотных, с хозяйством и жизнью других стран и т. п.; измерение
площади различных участков различной формы, съемка и вычерчива-
ние планов: подсчет железа, необходимого для покрытия крыши, для
сооружения водосточной трубы, ведра; измерение толщины дерева
по его обхвату и обратно; измерение вместимости различных ящи-
ков, посуды различной формы, бака или бассейна для воды и т. п.;
измерение вышины дерева с помощью картонного треугольника (пря-

моугольного и равнобедренного) или с помощью палки, равной ро-
сту измеряющего и т. п.
Работы из бумаги, картона, дерева и глины—выре-
зывание и складывание геометрических фигур, изготовление моделей
геометрических тел, моделей несложных построек; изготовление
игрушек, елочных украшений, фонариков, посуды и т. п.
Изготовление наглядных пособий—линейки,треуголь-
ника, циркуля, ватерпаса, эккера, палетки с мензулою и пользова-
ние ими при картонажных, строительных и землемерных работах.
Простейшие метеорологические и астрономиче-
ские наблюдения—над температурою, осадками, высотою солнца,
точками его восхода и захода и т. п.
Математические развлечения—интересные случаи вы-
числений; рассчеты, приводящие к неожиданно большим числам, как,
напр., прогрессия размножения каких-либо растений, насекомых, жи-
вотных; задачи про распространение слухов, про пшеничные зерна на
шахматной доске (легенда про изобретателя шахматной игры), под-
счеты распространения света от неподвижных звезд до земли; под-
счет суммы членов натурального ряда чисел, ряда четных чисел и т. п.
Беседы по истории математики—о возникновении и
развитии наших цифр и нумерации, о счислении дробей у наших
предков и вообще у древних народов, о возникновении десятичных
дробей и т. п.
Такою приблизительно должна быть программа математики для пер-
вых четырех лет обучения; школа же семилетка, ясно, может и должна
ставить себе более широкие задачи, в связи с большим развитием пси-
хических сил детей и с большей сложностью вопросов, которые у них
будут возникать. Здесь придется иметь в виду не только математику
обыденной жизни, но и вопросы математического характера, связанные
с практическим землемерием, с техникой, естествознанием, физикой,
астрономией; интересы учащихся или практические их потребности мо-
гут поставить их перед необходимостью произвести съемку плана, изме-
рение расстояния до недоступной точки, изучать устройство и работу
того или иного станка, машины; исследовать строение кристаллов, за-
коны плавания тел, расширения тел от тепла, законы падения тел, изме-
нения силы звука или света и т. д. Для решения подобных вопросов по-
надобится прежде всего расширение арифметической техники—упрощен-
ные и приближенные вычисления, знакомство с вычислением степеней и
корней; понадобится знакомство с алгеброю—элементы буквенного исчи-
сления, изучение уравнений первой и второй степени, знакомство с ме-
тодами изучения простейшей функциональной зависимости величины и ее
графического изображения; понадобится изучение ряда геометрических
соотношений, как, напр., подобие фигур, Пифагорова теорема и основан-
ные на ней числовые зависимости между элементами треугольника и дру-
гих фигур, знакомство с правильными многогранниками; наконец понадо*-

бятся начатки тригонометрии с приложением к простейшим случаям реше-
ния треугольников. Сообразно этому, программа старших групп школы—
семилетки может быть построена по образцу следующей:
5-й год. Программа. Употребление букв для обозначения чи-
сел и решения арифметических задач с помощью линейных уравне-
ний с одним и двумя неизвестными. Возведение в степень и извле-
чение корня в связи с решением соответствующих геометрических
и арифметических задач. Простейшие способы возведения в степень
и извлечения квадратного корня.
Пропорциональные величины и решение соответствующих задач
упрощенными и сокращенными способами. Простейшие сведения о
равенстве и подобии фигур. Семка планов. Диаграммы и графики;
наглядное изображение пропорциональных величин. Числовая и гео-
метрическая зависимость между сторонами прямоугольного треуголь-
ника (Пифагорова теорема) и задачи, относящиеся к ней.
Отрицательные числа и их наглядное изображение.
Простейшие приближенные вычисления.
Дополнение и систематизация сведений об измерении площа-
дей и объемов.
Измерения, решение задач и выполнение расчетов по всему
пройденному курсу.
Занятия, дающие материал для более детального
усвоения программы.
Задачи из различных областей знания и жизни—
см. предыдущий год.
Сверх того расчеты по школьной смете, по заведыванию школь-
ной столовой, составление проектов школьных завтраков в связи с ги-
гиеническими нормами питания и данными о составе продуктов, со-
ставление статистических таблиц и диаграмм; изготовление график
и диаграмм, иллюстрирующих жизнь школы, развитие различных от-
раслей местного хозяйства, государственного хозяйства и т. п.
Семка планов, вычисление площадей земельных участков, про-
стейшие геометрические измерения при распланировке сада, ого-
рода, поля, проведении дорог и т. д. Измерение высоты дерева по
его тени или с помощью угломерного инструмента и т. д.
Составление температурных и железнодорожных график; гра-
фическое решение вопросов, связанных с движением.
Занятия по ручному труду и изготовлению на-
глядных пособий—см. предыдущий год.
Наблюдения — кроме указанных для предыдущего года,
наблюдения над движением солнца, луны и звезд с помощью эле-
ментарного угломерного инструмента.
Математические развлечения и беседы по исто-
рии математики—см. предыдущий год; кроме того, задачи исто-
рического содержания из какого либо старинного руководства по
математике; беседы про способы измерения площадей у древних
народов; египетский треугольник; исторические сведения о Пифа-
горе и Пифагоровой теореме; различные приемы наглядного доказа-
тельства Пифагоровой теоремы, известные еще в древности; задачи
индусов, китайцев, греков и др., связанные с этой теоремой; история
начальной алгебры и вопроса об отрицательных числах, и т п.

6- й год. Программа. Уравнения первой степени с одним или
несколькими неизвестными, в связи с изучением необходимых для
этого алгебраических преобразований; функции первого порядка
вида у = ах и у — ах-\-Ъ и их графическое изображение.
Основные свойства простейших геометрических форм (треуголь-
ник, параллелограмм, ромб, квадрат, трапеция, круг; куб, призма
прямая и наклонная, пирамида), в связи с изучением необходимых
для этого сведений о взаимном положении плоскостей и прямых
линий. Вычисление площадей и объемов указанных форм. Подобие фи-
гур и пропорциональность их сторон. Пропорциональность между
углами и дугами.
Занятия,-дающие материал для разработки ука-
занной программы.
Исследования и задачи изобласти физики и окру-
жающей жизни—исследование процессов равномерного изменения
(различные случаи равномерного движения, растяжение резиновой
трубки под влиянием подвешенного к ней груза, расширение тел от
теплоты (линейное) и т. п.); определение плотности тел, теплоемкости,
скрытой теплоты и т. п.; вычерчивание график, связанных с процес-
сами равномерного движения и вообще равномерного изменения—гра-
фики температурные, железнодорожные и др.
Простейшие геодезические измерения — см. пре-
дыдущий год.
Наблюдения метеорологические и астрономи-
чески е—те же, что и ранее.
Занятия* по ручному труду и изготовлению на-
глядных пособий—плотничные и столярные работы, требующие
применения уровня, ватерпаса и отвеса; работы из жести—изготовле-
ние посуды, ящиков и т. п., изготовление моделей геометрических
тел—сплошных из дерева или пустых из картона и жести и т. п.
Математические развлечения и беседы по исто-
рии математик и—простейшие парадоксы геометрического харак-
тера (обман зрения: 64-65; прямой угол равен тупому; из всякой точки
можно провести к данной прямой два перпендикуляра; окружность
может иметь два центра; через точку вне прямой можно провести
к ней две различных параллельных линии и т. п.), истолкование
алгебраических формул, в которух делителем является нуль, и па-
радоксы, с этим связанные.
Символические обозначения и уравнения у египтян, индусов,
геометрическая алгебра греков. Развитие современных алгебраиче-
ских обозначений. Декарт—творец графического метода исследования.
Наглядное восприятие и логическое обоснование геометрических
истин. Логическое построение системы геометрии у греков.
7-й год. Программа. Квадратные уравнения, в связи с изучением
необходимых для них алгебраических преобразований. Понятие об
иррациональном и мнимоіуі числе. Функции второго порядка вида
у = ах2 и у = —; их графики; графическое решение квадратных
уравнений. Простейшие уравнения и функции высших степеней
Пифагорова теорема и основанные на ней числовые соотноше-
ния между элементами треугольника и других фигур и тел. Пра-

вильные многоугольники и многогранники. Золотое деление. Площади
подобных фигур и объемы подобных многогранников. Приближенное
вычисление длины окружности и площади круга, поверхностей и
объемов круглых тел. Конические сечения (эллипс, парабола, гипер-
бола) и их основные свойства.
Понятие об основных тригонометрических величинах острого
угла (синус, косинус, тангенс, котангенс). Важнейшие соотношения
между тригонометрическими величинами одного и того же угла и
разных углов. Решение прямоугольных треугольников при помощи
натуральных таблиц.
Тригонометрические величины тупого угла и простейшие слу-
чаи решения косоугольных треугольников. Приложение сведений из
тригонометрии к решению простейших вопросов из геодезии, физики
и астрономии.
Тригонометрические величины, как функции угла, и их графи-
ческое изображение.
Занятия, дающие материал для разработки ука-
занной программы.
Исследования и задачи из области физики и окру-
жающей жизни—исследование движения тела по наклонной плос-
кости, по желобу, свободного падения и вообще равноускоренного
движения: исследование связи между объемом газа и давлением (за-
кон Бойль-Мариота), и вообще задачи, приводящие к установлению
обратной пропорциональности; изучение оптических стекол; изме-
нение силы света в зависимости от расстояния; изучение отражения
и преломления света и т. п.
Вычерчивание график, связанных с процессами равноускорен-
ного движения и с другими указанными физическими процессами.
Практические приемы вычисления тригонометрических функций.
Простейшие геодезические и астрономические
измерения — определение высоты доступного или недоступного
предмета (дерева, башни, здания); определение расстояния до недо-
ступной точки или между двумя недоступными точками (напр., опре-
деление расстояния до дерева на другом берегу реки или расстояния
между двумя деревьями на другом берегу реки); определение высоты
облака по его отражению в озере; вычисление (приблизительное)
величины земного радиуса по углу понижения горизонта и т. п.
Занятия по ручному труду и изготовлению на-
глядных пособий —см. предыдущий год.
Математические развлечения и беседы по исто-
рии математики—парадоксы, связанные с возвышением в степень
и извлечением корня (доказательство, что 2=3 и вообще все числа
равны между собой; неразрешимые уравнения и т. п.).
Расширение исторических сведений о Пифагоровой теореме;
Пифагоровы числа. Понятие о теореме Ферма. Знаменитые историче-
ские задачи древности: трисекция угла, удвоение куба, квадратура
круга. Исторические сведения о коничессих сечениях. Законы Кеп-
лера. Сведения по истории тригонометрии у индусов, греков и ара-
бов; происхождение тригонометрических терминов в связи с нагляд-
ным изображением тригонометрических величин.

Само собою разумеется, что предлагаемая здесь программа является
лишь примерной, определяющей общее направление работы по матема-
тике и приблизительный объем достижений для отдельных ступеней; на
практике всегда приходится считаться только с общим духом программы, а
отдельные вопросы изменять, переносить из одного года в другой и даже
вовсе выпускать, в зависимости от способности и подготовки учащихся,
продолжительности учебного года и других особенностей данной школы.
ГЛАВА IV.
Метод обучения математике.
В стародавние времена обучение математике состояло в том, что
учащиеся со слов учителя (или по книге) заучивали на память приемы
вычислений и определения действий и вообще математических понятий.
Так. напр., первое русское печатное руководство по математике—«Ариф-
метика» Магницкого, появившееся в 1703 году—содержит только опреде-
ления действий и изложение приемов вычислений и решения задач, без
каких либо пояснений, почему надо поступать так, а не иначе. И нередко
в ней встречаются указания на необходимость вытвердить на память то
или иное правило или таблицу; напр., о таблице умножения говорится:
«... ко умноженію потребно есть послѣдующую таблицу толь твердо
въ памяти имѣти, яко да коеждо число, съ коимждо умноживъ, безъ
всякого медленія рѣчію сказати, или написати, якоже 2жды 2 есть 4,
или 2жды 3 есть 6 и Зжды 3 есть 9, и прочая»; а в заключение приво-
дятся такие нравоучительные стихи:
«Аще кто не твердить
таблицы, и гордитъ,—
Не можетъ познати
числомъ что множати.
И во всей науки
несвободъ отъ муки.
Колико ни учитъ,
туне ся удручитъ.
И въ пользу не будетъ,
аще ю забудет».
Этот способ обучения—метод механического усвоения—
применялся у нас в старину в значительном большинстве школ и дер-
жался даже до 60-х годов XIX века ]).
Всем, однако, известно, к чему он приводил: учащиеся хотя и запо-
минали в конце концов приемы вычислений, но помнили их не очень
х) См., напр., книгу Е. Стрельцова: „Из 25-летней практики сельского учи-
теля. Часть первая. Сельская школа 1849—1864 г.*.

тдердо и не понимали их смысла, а потому и не умели решать самых
простых задач из обыденной жизни; да и самое обучение арифметике
становилось для них очень тяжелым, трудным и неинтересным; считалось
даже признанным, что научиться арифметике могут только те дети, ко-
торые имеют к ней особое природное дарование.
Однако, уже и тогда находились педагоги, которые сознавали, что
причина этих плохих успехов в математике, да и в других областях зна-
ния заключается не в неспособности детей, а в самом методе обучения.
Так, напр., еще в 1810 г. министерство народного просвещения из-
дало циркуляр, в котором указывалось следующее: «Усмотрено, что во
многих училищах преподаются науки без всякого внимания к пользе уча-
щихся, что учителя стараются более обременять, нежели изощрять память
их, и вместо развивания рассудка постепенным ходом, притупляют оный,
заставляя выучивать наизусть от слова до слова то, из чего ученик дол-
жен удерживать одну только мысль и доказывать, что понимает ее, соб-
ственными, хотя бы и несвязными, но не книжными выражениями...» и на
©сновании этого предлагалось: «1) чтобы при определении учителей тре-
бовано было от них знание методы учения не механической, но способ-
ствующей к действительному обогащению ума полезными и нужными ис-
тинами; 2) чтобы предписано было директорам и смотрителям училищ
иметь неослабный надзор за учителями, дабы в облегчение себя не за-
трудняли детей одним только вытверживанием наизусть уроков, но при-
водили бы их легким, простым образом к пониманию всего им преподава-
емого, останавливаясь на каждом слове, сколько-нибудь для них непо-
нятном, и объясняя оные удобовразумительным для их лет способом».
А впоследствии в таком же смысле высказался П. С. Гурьев, первый
русский методист-математик, который в 1839 г. выпустил в свет «Руко-
водство к преподаванию арифметики малолетним детям», значительно
•передившее современные ему приемы обучения; в другом своем сочи-
нени «Практическая арифметика» (вышедшем в 1860 г.), он говорит по
этому поводу так:
«Дети четыре, пять лет сряду учатся в школах арифметике, твер-
дят бесперестанно одно и то же, а все-таки большая часть учащихся, по
окончании столь долговременного курса, не только не усваивает ее себе,
как бы следовало, но еще, наконец, получает отвращение и от ней, и от
всей математики. Между тем при ином изложении и заблаговременном
возбуждении самостоятельности в учащихся, нет сомнения, та же самая
наука отнюдь не показалась бы им столь тяжелою и скучною; ибо они
скоро убедились бы, что все, о чем в ней говорится, есть только даль-
нейшее развитие того, что они сами уже делали и делают без всякого
ностороннего посредства» !).
1) П. С. Гурьев. Практическая арифметика, I, стр. XI—XII (3-е издание).

Эти педагоги, стремясь по возможности улучшить обучение и сде-
лать его более интересным и менее трудным для детей, стали добиваться
прежде всего, чтобы учащиеся понимали приемы вычислений, определения
и свойства действий и прочие математические истины, которым они обу-
чаются. Они считали, что понимание изучаемых приемов и правил, во
первых, облегчает детям их усвоение и запоминание, во вторых, делает
это усвоение более прочным и надежным, и, наконец, облегчая обучение,
вызывает и интерес к занятиям математикой. В этом они были, конечно»
вполне правы, и теперь уже никто не сомневается, что сознательное вос-
приятие изучаемого есть первый шаг успешного усвоения; современные
психологи (напр., Эбинггауз) установили даже при помощи опытов, что
сознательное усвоение требует приблизительно в 10 раз меньшей затра-
ты усилий, чем чисто механическое запоминание.
Таким образом, старому методу механического запоминания был про-
тивопоставлен метод сознательного усвоения: учащиеся при этом
методе должны были сначала понять сущность того или иного определения,
обоснование того или иного правила, а потом уже усваивать понятый и
осознанный ими материал. Но какими же путями можно достигнуть со-
знательного усвоения детьми математических истин? Мы увидим, что та-
ких путей может быть два, и постараемся уяснить сущность их на сле-
дующих примерах.
Пусть нужно объяснить учащимся, что такое арифметическая про-
грессия. Учитель может сделать это так: сначала сообщить им общее
определение: «арифметическая прогрессия—это ряд чисел, в котором каж-
дое следующее больше или меньше предыдущего на одно и то же число»,
а затем пояснить это частными примерами—«напр., такой ряд: 4, 7, 10,
13, 16...; или такой: 20, 18, 16, 14, 12,....». Или же он может вместо этого
повести с учащимися следующий разговор: «напишите такие ряды чисел:
4, 7, 10, 13, 16,...
3, 7, 11, 15, 19,...
20, 18, 16, 14, 12,...»
«Не замечаете-ли вы какой нибудь особенности чисел первого ряда?»
(Каждое следующее число больше предыдущего на 3). «А во втором ряду?»
(Каждое следующее число больше предыдущего на 4). «А в третьем?»
(Каждое следующе число меньше предыдущего на 2). «Напишите еще сами
какой нибудь ряд чисел в этом роде» (3, 6, 9, 12, 15 и т. д.).—«Вот та-
кие ряды чисел и называются арифметическими прогрессиями. Как же
сказать вообще, что такое арифметическая прогрессия?» (Это ряд чисел,
в котором каждое следующее больше или меньше предыдущего на одно
и то же число).
Пусть еще нужно объяснить учащимся, чему равняется сумма углов
треугольника. Учитель может сразу изложить учащимся общее доказа-

тельство: «Докажем, что сумма углов треугольника равна двум прямым
углам. Для это начертим какой нибудь треугольник ABC (рис. 1) и около
его вершины В, при сторонах АВ и СВ, отложим вне треугольника углы
АВМ и CBN, соответственно равные углам А и С нашего треугольника-
Тогда сумму трех углов нашего треугольника (А, В и С) можно заменить
суммою трех углов при точке В (ABM, ABC и CBN).
Рассмотрим, чему будет равна эта последняя сумма.
Заметим сначала, что прямая линия ВМ будет параллельна стороне
треугольника АС, так как у них внутренние накрест лежащие углы (А
и АВМ) равны. Точно также и линия BN будет параллельна АС, так как
у них внутренние накрест лежащие углы (С и CBN) равны. Но через
одну и ту же точку (В) можно провести только одну прямую линию, па-
раллельную данной линии АС; поэтому обе линии ВМ и BN должны ле-
жать на одной прямой. А если так, то сумму трех углов при точке В
можно превратить в сумму двух смежных (напр., МВС и CBN), значит,
она равна двум прямым углам.
Итак, сумма трех углов нашего
треугольника равна двум пря-
мым углам, что и требовалось
доказать».
Но можно подойти к во-
просу и иначе. Учитель может
повести с учащимися такой раз-
говор: «Вырежьте из бумаги ка-
кой нибудь треугольник. Отор-
вите у него два угла и приложите их вершинами к третьему. Как рас-
положены теперь крайние стороны этих углов?» (На одной прямой линии).
«Значит, чему равна сумма всех трех углов треугольника?» (Сумме двух
смежных, или двум прямым углам).
Для учащихся младшего возраста этого и достаточно, им уже оче-
видно, что из трех углов треугольника можно образовать сумму двух
смежных, или два прямых угла; у старших же учащихся, которые чув-
ствуют необходимость логического обоснования выполняемых рассуждений,
может возникнуть сомнение, действительно ли крайние стороны данных
углов должны лежать на одной прямой линии.
Тогда учитель предложит им разобраться в этом вопросе так: «На-
чертите треугольник, который вы имели перед тем (ABC—рис. 1), а около
его вершины (В) нарисуйте углы, которые вы оторвали и приложили к
ней (АВМ и CBN). Что вы знаете про углы А и АВМ?» (Они равны). А
какое положение занимают эти углы относительно линий ВМ и АС и
пересекающей их стороны АВ?» (Они внутренние накрест лежащие). «Что
же можно теперь сказать относительно линий ВМ и АС?» (Они должны

быть параллельны). «Теперь рассмотрите углы С и CBN. Что вы можете
сказать по поводу их?» (Они внутренние накрест лежащие при линиях
BN и AG, и притом равны; значит линия BN также параллельна АС). А
через точку В сколько может проходить линий, параллельных АС?» (Толь-
ко одна). «Какой же вывод относительно линий ВМ и BN?» (Они должны
лежать на одной прямой).
Пусть, наконец, нужно выяснить учащимся, что такое умножение
на дробь и как оно производится. Учитель может и здесь начать с об-
щего определения: «Пусть мы должны умножить 5 на —. Умножить на
дробь—это значит из множимого составить новое число так, как множи-
тель составлен из единицы; но множитель — составлен из единицы так-
взята единица, разделена на 4 равных части и таких частей взято 3; так
мы должны поступить и с данным числом 5—разделить его на 4 равных
части и взять таких частей 3. Но если мы 5 разделим на 4 части, то
будем иметь —; это число мы должны взять 3 раза и получим —. Итак
мы нашли, что 5. — = —; сравнивая теперь полученный результат с дан-
ными числами, можем установить такое правило: чтобы умножить (целое)
число на дробь, достаточно разделить это число на знаменателя дроби и
полученное умножить на числителя.»
Но возможен и здесь другой подход. Учитель начинает с решения
задачи, по смыслу которой требуется найти часть от данного числа, напр.,
предлагает такую задачу: «Пешеход проходит 5 верст в час. Сколько
верст пройдет он при этом за — часа?» Учащиеся решают эту задачу,
конечно, двумя действиями: сначала узнают, сколько верст пройдет пеше-
ход за одну четверть часа ^5:4 = -^-j, а затем—сколько верст он прой-
дет за 3 четверти часа .3 = ^ = 3 . Когда задача таким об-
разом решена и оба действия записаны, то дальше ведется такой разго-
вор: «Сколько действий вы затратили на решение этой задачи?» (Два).
«А если бы вместо дробного числа часов было целое, напр., 3 часа—
как бы вы решили задачу?» (5.3= 45). «Сколько понадобилось действий
и каких?» (Одно—умножение). «Посмотрим теперь, нельзя ли и нашу за-
дачу решить и записать в одном действии. Сообразим, что мы сначала
сделали с данным числом 5?» (Разделили его на 4, или нашли от него
одну четверть). «А потом что сделали с этой четвертью?» (Взяли ее 3

раза). «Значит, какую же часть мы взяли от данного числа 5?» (Три че-
тверти). «И чему равнялись эти три четверти от 5?» (^pj- «Запишите
это так: от 5 взять —л будет Припомните теперь—каким дейст-
вием вы решали эту задачу, когда вместо дробного числа часов име-
ли целое (3)?» (Умножением—мы множили 5 на 3). «Так вот заметьте: вме-
сто того, чтобы сказать «от 5 взять -^-»—мы будем говорить и в этом слу-
чае: «умножить на -^-». Как тогда можно будет записать решение на-
шей задачи?» ^5 умножить на-^- будет или знаками: ^.^- = ^.
«Запишите это. Итак, что значит умножить 5 на — ?» (От 5 взять
—, или иначе: от 5 найти одну четверть и взять ее 3 раза). «А что бу-
дет значить—12 умножить на -^-?» (От 12-ти найти , иначе говоря—
от 12-ти найти -^- и взять ее 5 раз).» «Высчитайте это». (От 12 найти
2 будет 2; взять 5 раз—будет 10). «Запишите еще: 10. — . Что это
значит?» (От 10-ти найти —, или же: от 10 найти — и взять ее 7 раз).
«Вычислите это» (От 10 найти 1 восьмую—будет -^; взять это 7 раз—
будет , или 8 -^-, иначе 8 -^. «Скажите теперь вообще, что значит
умножить на дробь?» (Умножить на дробь—это значит от данного числа
найти указанную часть, или иначе: от данного числа найти такую долю,
которая обозначена знаменателем дроби, и повторить ее столько раз,
сколько единиц в числителе дроби).
Теперь ясно, что учащиеся уже поняли, что зВачит умножить на
дробь и как выполнить самое умножение; если же учитель захочет, чтобы
они установили и самое правило, то он поведет разговор так: «Посмот-
рим, как мы выполняли умножение на дробь. В первом примере мы мно-
жили 5 на — и получили —; какие действия мы при этом выполняли
над числом 5?» (Делили 5 на 4, т е. на знаменателя дроби, а полученное
множили на 3—на числителя дроби). «Во втором примере мы множили 12

на -g-; что мы делали при этом с числом 12?» (Делили его на 6—на зна-
менателя дроби, и множили полученное на 5—на числителя дроби). «А в
третьем примере мы множили 10 на — ; что делали при этом с числом
10?» (Делили его на 8—на знаменателя дроби, и множили полученное на
7—на числителя дроби). «Значит, как можно вообще умножить число на
дробь?» («Нужно это число разделить на знаменателя дроби и полученное
помножить на числителя») и т. д.
Из примеров, которые мы тут рассмотрели, видно, что для выяснения
учащимся какого либо нового понятия, правила или вообще неизвестной
им до той поры математической истины, возможен один из двух методов.
Первый из них состоит в том, что учитель сообщает учащимся общее
определение, общий вывод или доказательство данной математической
истины, а учащиеся, усвоив со слов учителя сущность этого общего опре-
деления, правила или истины, уясняют ее себе затем более подробно и
обстоятельно на частных случаях и практических приложениях; это аб-
страктно-дедуктивный метод, метод перехода от общих отвлеченных по-
ложений к частным примерам и конкретным приложениям. В противопо-
ложность ему, другой—конкретно-индуктивный метод заключается в том,
что всякое новое понятие, правило или истина уясняются учащимися
сперва на конкретных, надлежащим образом подобранных, частных при-
мерах, задачах или образцах, и только тогда, когда учащиеся на этих
конкретных примерах уяснят себе сущность данного понятия или истины,
они сами, под руководством учителя, составляют общее определение, вы-
вод или правило.
Абстрактно-дедуктивный метод стал появляться у нас с конца XVIII
века, и был в большом распространении в нашей школе, особенно сред-
ней, начиная с 60-х годов XIX века и до революции 1905 г.; яркими об-
разчиками этого метода являются всем известные руководства Евтушев-
ского, Малинина, Киселева и другие им подобные (да и после 1905 года
этот метод не сразу вышел из употребления; в целом ряде школ он про-
должал применяться до наших дней — до октябрьской революции 1917 г.
и последовавшей после нее реформы школы в трудовую). В ту пору на
математику в школе смотрели преимущественно, как на орудие общего
умственного развития учащихся и полагали, что этой цели можно достиг-
нуть главным образом при помощи логически обоснованного изложения
математической теории. Так, в объяснительной записке к программе ма-
тематики для гимназий 1890 г. находим такие мысли: «Математика, как
наука точная и отвлеченная, представляя изучающим ее простое и пото-
му удобное средство к правильному развитию мышления, составляет одну
из основ общего образования... При преподавании математики должно быть

обращено существенное» внимание на основательное и строго-системати-
ческое изучение теоретического курса ее; практические же упражнения
должны служить, во первых, к разъяснению теории, во вторых, к приоб-
ретению навыка в вычислениях... Производство арифметических действий
будет сознательно только тогда, когда оно основано на точных опреде-
лениях этих действий и на некоторых принципах. Принципы эти должны
быть доказываемы, а не предлагаемы догматически.»
Абстрактно-дедуктивный метод преподавания и находился в полном
соответствии с этими основными мыслями; изучение математики своди-
лось при нем к усвоению, со слов учителя, общих определений, правил и
теорем, только после чего уже имело место приложение отвлеченно-тео-
ретических познаний к задачам и другим упражнениям.
Абстрактно-дедуктивный метод обладает, на первый взгляд, одним
внешним преимуществом: именно, при нем учителю приходится затрачи-
вать меньше времени на выяснение сущности того или иного математи-
ческого понятия или истины. Но это кажущееся преимущество сопряжено
с целым рядом весьма серьезных недостатков.
Во 1-х, при этом методе определения тех или иных понятий даются,
как мы видели, сразу в готовом, законченном виде, и лишь затем разъясня-
ются на частных примерах. Между тем, такой способ изложения отнюдь не
способствует сознательному и отчетливому усвоению определяемых поня-
тий учащимися. Пусть, напр., учитель начинает излагать учение о корнях с
общего определения: «корнем какой либо степени из данного числа назы-
вается такое число, которое будучи возвышено в указанную степень, дает
в результате первоначально данное число». Очевидно, что в психике уча-
щихся, которые выслушают это определение, может при этом происходить
двоякий процесс: либо они представят себе какое-нибудь вполне определен-
ное число и другое, которое после возвышения в степень даст в результате
первое, напр., 25 = 5.5 или 8 = 2.2.2; либо они не смогут сразу подо-
брать подобного примера и будут представлять себе только слова, перед
этим произнесенные учителем, не вкладывая в них никакого определенного
содержания. Без сомнения, чаще всего будет иметь место этот последний
случай, так как новые определения даются при абстрактно-дедуктивном ме-
тоде изложения как раз тогда, когда учащиеся только приступают к изуче-
нию данного вопроса и, естественно, не могут еще самостоятельно подыскать
подходящих примеров. Если при этом учитель не укажет сам такой при-
мер, то все его дальнейшее изложение можно считать потерянным Для
учащихся: не имея отчетливого представления о корне, они не в состо-
янии будут сознательно усвоить ни одного из его свойств, и в лучшем
случае механически заучат определения и доказательства; но такое зна-
ние, разумеется, не имеет никакой цены. И даже в том случае, если учи-
тель, формулировав общее определение, постарается сейчас же привести

учащимся подходящий конкретный пример, — даже и в этом случае то
время, которое ушло на предварительное изложение этого определения,
нужно считать затраченным бесцельно и бесполезно: все равно надлежа-
щее представление о корне могло сложиться у значительного большин-
ства учащихся только после разбора этого примера.
Во 2-х, при абстрактно-дедуктивном методе логические доказатель-
ства математических истин сообщаются, как мы видели выше, также в
готовом и законченном виде, так что учащиеся, выслушивая доказатель-
ство, не могут уяснить себе, зачем нужно провести ту или другую линию
на чертеже, выполнить то или иное преобразование формулы, и только
по привычке доверять авторитету учителя предполагают, что в ходе до-
казательства это зачем нибудь да пригодится. И когда ученик, воспроиз-
водя доказательство, усвоенное со слов учителя или по учебнику, гово-
рит: «рассмотрим треугольники ABC и DEF» и т. д., то он делает это не
в силу сознания логической необходимости рассмотреть именно эти тре-
угольники для доказательства теоремы, а просто он помнит, что рассмо-
трение этих треугольников или проведение такой то линии на чертеже
есть исходная точка для дальнейших рассуждений и выводов. И нередки
были случаи, когда учащиеся, повидимому усвоившие доказательство дан-
ной математической истины, оказывались в безвыходном положении, если
им переменить чертеж, из которого они привыкли исходить, или дать не-
привычное для них обозначение общей формулы. А случалось и так, что
учащийся усвоит доказательство теоремы и может его последовательно
изложить, но совершенно не представляет себе конкретного содержания
этой теоремы: в практике старой школы бывало, что учащийся, доказав
по всем правилам логики теорему: «площади подобных треугольников от-
носятся, как квадраты соответствующих сторон», становился втупик перед
вопросом: «что сделается с площадью треугольника, если каждую сторону
его увеличить в три раза?»
В 3-х, абстрактно-дедуктивный метод совершенно не считался с тем,
чувствуют ли учащиеся потребность в логическом обосновании математи-
ческих истин и способны ли они воспринять данный ряд рассуждений и
уловить между ними связь. Эта потребность и способность сознательно
пользоваться рядом умозаключений возникает у учащихся довольно поздно;
по данным Меймана, совпадающим и с данными непосредственного школь-
ного опыта, приблизительно лишь на 14 году жизни учащиеся «оказыва-
ются в состоянии видеть связь между выполняемыми умозаключениями и
понимать их».1). Кроме того, потребность в логическом обосновании и
систематизации какой-нибудь группы математических истин, напр., геоме-
2) Мейман. Лекции по экспериментальной педагогике, том I, стр. 228—229,
(изд. 1910 г.).

трии, может возникнуть у учащихся только тогда, когда у них есть уже
некоторый запас фактических сведений из этой области—знание некоторых
свойств геометрических фигур; между тем при абстрактно - дедуктивном
методе учащиеся знакомились с логическими доказательствами геометри-
ческих истин сразу и непосредственно, не имея почти никаких предвари-
тельных сведений и обобщений о свойствах геометрических тел, фигур и
линий, и наряду с этим должны были усваивать доказательства и таких
истин, справедливость которых им представлялась совершенно очевидной,
напр., что «все прямые углы равны между собой» или «из данной точки
на прямую можно опустить только один перпендикуляр». Все это, конечно,
приводило к тому, что учащиеся усваивали одну внешнюю сторону дока-
зательства, не получая надлежащего представления о существенных свой-
ствах изучаемых фигур и не отдавая себе отчета,- зачем нужно доказы-
вать ту или иную истину.
В 4-х, при абстрактно-дедуктивном методе различного рода условия
и соглашения, вводимые в математику, напр., при постепенном расшире-
нии понятия о числе устанавливаются обыкновенно без должной мотива
ровки, без достаточного выяснения того, зачем именно вводится это со-
глашение или условие. Так, напр., ознакомление с понятием об отрицатель-
ном числе сводилось приблизительно к такому рассуждению: «условимся
разность между меньшим и большим числом считать равною избытку
большего числа над меньшим, взятому со знаком минус впереди, напр.,
7 —10 = — 3, и подобные числа будем называть отрицательными; тогда
можно будет вычислять значение разности а — Ь при любых значениях
а и Ь.» Ясно, что при таком подходе отрицательное число должно было
представляться учащимся чем то странным и непостижимым. Дело в том,
что учащиеся привыкли представлять себе число, как символ, который
выражает значение той или иной величины, вообще нечто реальное; напр.,
для учеников понятен смысл числа 10, потому что с этим числом может быть
связано представление о десяти пальцах, десяти яблоках и т. п.; понятно
для них и число —, потому что с ним связывается представление о
трех четвертях листа бумаги, трех четвертях часа и т. п.; но как могут
они усвоить смысл числа—3, если ему не соответствует никакого пред-
мета или явления, свойства которого можно выразить при помощи этого
числа? Только убедившись в том, что существует группа величин взаим-
но-противоположных, как отрезки, отсчитываемые вправо и влево, вверх
и вниз; температура, считаемая выше и ниже нуля, прибыль и убыток,
прирост и убыль населения и т. п., и что свойства этих величин могут
быть с удобством выражены при помощи отрицательных чисел, учащиеся
поймут, что числа эти появились на свет не по странному капризу ка-
кого-либо из ученых математиков, а в силу необходимости решать целый

ряд задач на эти противоположные величины и выражать их соотношения
и зависимость. Одна же формальная мотивировка, что при введении этих
чисел можно вычислять значения формулы а — бив случае, когда а мень-
ше Ь, для них, конечно, неубедительна.
Еще хуже обстоит дело тогда, когда какое либо из подобных усло-
вий вводится совершенно без объяснений—-чисто догматически, напр., когда
учитель говорит учащимся: «Условимся произведением двух дробей назы-
вать такую дробь, числитель которой равен произведению числителей дан-
ных дробей, а знаменатель—произведению знаменателей». Такое опреде-
ление вполне допустимо с чисто научной стороны, но идет целиком
вразрез с элементарными требованиями педагогики, потому что оставляет
без ответа естественный и законный вопрос учащегося, почему же уста-
навливается именно это условие, а не какое нибудь иное. И только вы-
яснение смысла данного действия на основе целесообразно подобранных
задач, одним словом, только обращение к конкретно-индуктивному мето-
ду может, как мы видели выше, дать нам ключ к правильному разреше-
нию этого вопроса.
Далее, в 5-х] еще один серьезный недостаток абстрактно-дедуктив-
ного метода заключается в том, что при нем по необходимости учащиеся
только пассивно воспринимают те истины, которые им сообщает учитель,
но сами не ведут никакой активной работы, направленной к постепен-
ному открытию, уяснению и установлению этих истин. Раз все новые
определения, истины и доказательства формулирует учитель уже в гото-
вом виде, то учащимся остается только внимательно выслушать объясне-
ния учителя и усвоить их с его слов или по учебнику; активность они
могут проявить уже только при решении задач, когда усвоят тот или
иной отдел математической теории. Таким образом, абстрактно-дедуктив-
ный метод есть вместе с тем метод пассивного усвоения, который может
вырабатывать лишь подражательные навыки; в противоположность этому
конкретно-индуктивный метод ест ьметод активной работы, при нем уча-
щиеся ничего не получают в готовом виде, но сами, под руководством
учителя, устанавливают определенные свойства чисел или геометрических
фигур, составляют те или иные определения и доказательства, выводят
правила действий или формулы, одним словом, как бы наново открывают
математические истины и изобретают приемы вычисления и решения задач.
Наконец, в 6-х, необходимо отметить, что при абстрактно-дедуктив-
ном методе школьная математика являлась крайне отвлеченной наукой,
совершенно оторванной от какой бы то ни было связи с жизненными яв-
лениями. Если пересмотреть задачники, употреблявшиеся в нашей дорево-
люционной школе, то можно изумиться, с одной стороны, обилию чисто
отвлеченных упражнений с числами и формулами, с другой стороны, в
задачах, взятых как будто из жизни, найти не мало примеров резкого

расхождения с действительностью. Вот, напр., две типичных задачи на «со-
ставные именованные числа»:
«У медника было 7 пуд. 5 фунт. 31 лот 1 зол. 48 долей меди;
из V3 части ее он сделал несколько самоваров весом по 11 ф. 29
лот. 30 долей каждый, а из остальной меди—несколько кастрюль,
причем на каждую из них пошло по 5 фун. 30 лот. 1 зол. 93 доли.
Сколько тех и других вещей изготовил медник»?
«Необходимо вымостить два шоссе: одно длиною в 142 версты
4 саж. 2 фут. 7 дюймов, а другое—в 73 версты 3 саж. 5 фут. 10
дюймов. На сколько первое шоссе длиннее второго»?
Разумеется, любопытно было бы знать, на каких весах медник мог
взвесить семь с лишним пудов меди с точностью до одной доли, или ка-
кими измерительными приборами ухитрились измерить длину шоссе почти
в полтораста верст с точностью до одного дюйма; но любопытнее всего,
что эти задачи - не анекдот, а факт из нашей недавней школьной прак-
тики, и взяты они из задачников, имевших большое распространение в
дореволюционной школе—первая из задачниха Борисова и Сатарова (вып.
III, 12-е изд. 1911 г., стр. 50, № 252), а вторая из сборника Соколова и
Сахарова «Новый арифметический задачник- для городских и сельских на-
чальных народных школ» (ч. III, изд. 1912 г., стр. 45, № 267).
А в задачниках для старших классов средней школы можно было
найти настоящие перлы.
Вот, напр., условие задачи № 370 из сборника Ипатова, появившегося
в свет в 1910 г.:
«Нанят слуга с условием платить ему за каждый следующий
месяц больше предыдущего на 80 копеек; когда истек тот месяц,
за который он получил 16 руб. 50 коп., то он рассчитал, что те же
деньги за все прослуженное время он мог бы заработать раньше на
число месяцев, логарифм которого при основании 2°^ равен 1 (6),
если бы ему каждый месяц платили столько рублей, сколько единиц
в члене разложения бинома
содержащем первую степень при а? = 0,1. Когда слуга сделал этот
рассчет»?
А вот еще задача № 3053 из задачника Тихомирова «Примеры и за-
дачи по начальной алгебре», вышедшего в 1909 г. седьмым изданием:
«В тот* момент, когда поезд поднялся на вершину длинного
подъема, последний вагон оторвался и начал спускаться назад, про-
бегая в первую секунду 5 аршин, во вторую 15 арш., в третью 25
арш. и т. д. В конце 12-й минуты вагон достиг нижней точки подъе-
ма и разбился. Какова была скорость (его) в последнюю секунду»?
В этой последней задаче как будто бы нет ничего несообразного.
Но если произвести вычисление согласно условию, то оказывается, во 1-х,

что в последнюю секунду вагон должен был пролететь расстояние около
5 верст (7195 аршин; это число дано и в списке ответов, что исключает
возможность предполагать опечатку в условии); во 2-х, что весь подъем,
с которого скатился этот вагон в течение 12 минут, имел в длину 1728
верст, т. е. был немногим короче, чем расстояние от Ленинграда до Одес-
сы; в 3-х, что подъем этот, если считать его за наклонную плоскость,
представлял крутую.гору с уклоном не менее 46 градусов, а в вышину
должен был превосходить самые высокие горы, имеющиеся на земной по-
верхности, приблизительно в полтораста раз. Остается лишь вообразить
себе, насколько прочным должно было быть то препятствие, о которое в
конце концов разбился этот вагон, мчавшийся с такой головокружитель-
ной быстротой.
Конечно, такого рода задачи, выходящие из ряда вон по своей не-
сообразности, были исключениями даже в практике старой школы. Но эти
исключения хорошо характеризуют ту систему, на почве которой они вы-
росли. Полная оторванность математики от жизни и интересов учащихся,
огромное количество чисто формальных упражнений и задач отвлеченного
характера, полное расхождение с действительностью даже в таких при-
мерах, которые как будто взяты из окружающей жизни, и наряду с этим
необычайно сухое, формальное и отвлеченное изложение теоретических
истин математики—все это типично для старой дореволюционной школы
с ее абстрактно-дедуктивным методом преподавания.
И неудивительно, что именно этот метод, который не считался ни с
данными психологии, ни с интересами учащихся, был причиною того, что
математика в старой школе иногда даже весьма способным и развитым
юношам казалась какою-то странной деятельностью ума, внушающей ува-
жение своей бесспорной логичностью, но в то же время порождающей не-
доумение своей явной бесцельностью и бесполезностью. «Алгебра—это
ряд каких то странных логических фокусов»—так выразил свое представ-
ление об алгебре, сложившееся у него под влиянием школьного преподо-
вания, один ученик дореволюционной средней школы в сравнительно не-
давнее время (см. статью А. Шапошникова «Кризис современного препо-
давания алгебры» в журнале «Педагогический Сборник» за март 1908 г.).
А известный критик Писарев в своей статье «Наша университетская на-
ука», появившейся в свет в 1863 году, вспоминая преподавание матема-
тики в современной ему гимназии, высказался еще красочнее: «У нас ма-
тематика есть не что иное, как собрание сочинений Боско и Пинетти 1);
это ряд удивительных фокусов, придуманных бог знает зачем4 и бог знает
какой эквилибристикой человеческого мышления». Эти мнения можно бы-
ло бы, пожалуй, счесть за насмешку, если бы они принадлежали лицам,
[) Боско и Пинетти~два знаменитых фокусника тех времен.

плохо справлявшимся с школьной премудростью, но тот юноша, о кото-
ром говорится в статье Шапошникова, был вдумчивым и даровитым уче-
ником, а Писарев, как известно, кончил гимназию с медалью, да и впо-
следствии до конца своей жизни приписывал математике огромное образо-
вательное и даже воспитательное значение.
Из всего вышеизложенного ясно, что для современной школы может
быть пригоден лишь конкретно-индуктивный метод, метод изучения мате-
матических истин на конкретных задачах и образцах из окружающей
жизни, связанный с активной работой учащихся и самостоятельными их
обобщениями и выводами под руководством учителя. Этот метод, во 1-х,
обеспечивает лучшее понимание и усвоение учащимися изучаемого мате-
риала; при нем, как мы видели, учитель не дает готовых определений;
вместо этого учащиеся знакомятся с данным понятием или истиной на кон-
кретных образцах, подмечают их существенные свойства и затем уже са-
ми доходят до формулировки данного понятия, правила или свойства.
Сторонники старой школы обычно возражали тут, что обращение к на-
глядности может помешать выработке отвлеченных математических поня-
тий, так как случайные признаки рассматриваемого объекта могут в гла-
зах учащихся сойти за существенные. Но совершенно ясно, что дело учи-
теля так подобрать конкретный пример, чтобы на первый план в нем
выступали именно важные, существенные признаки данного понятия, и
именно на эти признаки и обратить внимание учащихся. Кроме того, по
взглядам современной психологии, в нашем сознании не существует об-
щих понятий, как представлений только о существенных признаках той
или иной вещи; наоборот, самый процесс отвлечения может происходить
только в рамках конкретного: когда мы думаем, например, о шаре вооб-
ще, мы представляем себе шар вполне определенных размеров в опреде-
ленном положении, но направляем наше внимание лишь на существенные
свойства данного шара и по этой именно причине представление об одном
определенном шаре играет для нас роль родового образа. Другими слова-
ми, как говорит Гефдинг в своей книге «Очерки психологии, основанной
на опыте» (стр. 167),—«мы имеем типические индивидуальные представле-
ния и общие представления только в том смысле, что мы можем выбрать
примеры или заместителей целой группы восприятий и в состоянии со-
средоточить внимание на известных определенных частях или свойствах,
которые (в более или менее измененном виде) Можно снова встретить во
всех сходных восприятиях... Искусство отвлечения основывается преиму-
щественно на способности сосредоточить внимание указанным образом».
Во 2-х, конкретно-индуктивный метод дает возможность всякую ма-
тематическую истину представить в такой форме, что понимание ее делается
доступным и детям младшего возраста, которые не могут еще усваивать от-
влеченных логических доказательств, да и не чувствуют потребности в них.

Так, например, детям, которые знакомятся с арифметикой целых чисел,
совершенно недоступно логическое доказательство переместительного за-
кона умножения; но заметить на ряде частных примеров, что 4 X 7 = 7 X 4>
8Х6 = 6Х8> 3X12 = 12X3 и т. д., вообще, что «от перемены поряд-
ка сомножителей произведение не меняется»—это не только посильно
для детей, но именно таким путем дети с 9—10-летнего возраста и ус-
ваивают это свойство умножения и пользуются им при вычислениях, да-
же еще не умея формулировать его словами вполне точно. Точно также
и логическое доказательство геометрических истин недоступно учащимся
на младшей ступени обучения; но, например, вырезать из бумаги модель
равнобедренного треугольника и убедиться путем ее.перегибания в том,
что высота этого треугольника делит угол между равными сторонами по-
полам, что углы, лежащие против равных сторон, равны; убедиться по-
добным же образом на модели, что треугольник составляет половину
прямоугольника с тем же основанием и высотою, что три высоты тре-
угольника пересекаются в одной точке, что сумма углов треугольника
равна двум прямым—это не только посильно детям младшего возраста,
но и вообще знакомство со свойствами геометрических фигур и тел мо-
жет происходить на этой ступени обучения исключительно конкретно-
индуктивным путем—при помощи изучения предметов окружающей обста-
новки, вырезывания, склеивания и вылепливания моделей геометрических
фигур и тел, изготовления чертежей и т. п.; путем таких непосредствен-
ных восприятий (зрительных и осязательных) дети знакомятся со свойст-
вами и особенностями куба, призмы, цилиндра, шара, прямоугольника,
треугольника, различных углов и линий, переходя от частных случаев к
общим заключениям и выводам. Сторонники старой школы и тут выска-
зывали опасение, что наглядное восприятие может подорвать в глазах
учащихся достоверность математических истин: вместо вполне точных и
логически обоснованных они будут казаться детям лишь приблизительно
верными, на подобие выводов естествознания. Однако, они упускали при
при этом из виду, что для детей и подростков, которые только присту-
пают к изучению математики, наивысшая степень убедительности дается
не логическим умозаключением, а непосредственным восприятием данной
истины или свойства, и лишь впоследствии, достигнув возраста 14—15
лет, они начинают критически относиться к показаниям своих чувств и
искать иного, более устойчивого обоснования воспринимаемых истин. Тут
то и наступает время перейти от чисто конкретного восприятия мате-
матических истин к их логическому обоснованию и систематизации; это
будет уже вполне уместно и своевременно, так как у учащихся есть
уже достаточный запас конкретных представлений, которые можно обоб-
щать и систематизировать, и есть потребность проверить логическими
умозаключениями те истины, которые раньше казались для них бесспор-

ными и очевидными. Но даже и на этой старшей ступени конкретно-ин-
дуктивный метод не теряет своего значения: при усвоении какой либо
существенно новой истины и тут целесообразнее всего предоставить уча-
щимся сначала открыть эту истину на частных примерах и лишь затем
перейти к ее общему доказательству.
В 3-х, конкретно-индуктивный метод дает возможность учащимся
Бместо усвоения в готовом виде логических доказательств самим состав-
лять такие доказательства под руководством учителя и на основании
воспринятого уже конкретного содержания данной истины. Так, напр.,
одно из довольно трудных доказательств—общее доказательство Пифаго-
ровой теоремы—учащиеся смогут самостоятельно составить, если сначала
вырежут из бумаги модель фигуры, состоящей из двух квадратов, пост-
роенных на катетах треугольника (см. рис. 2), а затем отрежут от
нее треугольники 1 и 2, переложат их на места 3 и 4 и таким образом
из прежней фигуры получат квадрат, постро-
енный на гипотенузе. Эта модель помогает им
усвоить основную идею доказательства; а затем
им остается только построить соотвествующий
чертеж и проанализировать: 1) почему треу-
гольники 1, 2, 3 и 4 должны быть все равны;
2) что нужно доказать относительно четыре-
угольника, составленного из фигуры 5 и тре-
угольников 3 и 4; 3) как доказать, что все его
стороны равны, а все углы прямые. Произведя
под руководством учителя этот анализ, уча-
щиеся смогут уже построить и последовательно изложить и все доказа-
тельство.
В 4-х, только конкретно-индуктивный метод позволяет учащимся
уяснить себе, зачем вводятся в математику различные условия и согла-
шения, напр., то или.иное расширение понятия о числе или смысла дей-
ствий. Так, напр., введение отрицательных чисел выполняется на основе
какой либо целесообразно подобранной задачи, напр., такой: «Гребец отъ-
ехал в лодке в правую сторону от пристани, против течения реки, и про-
плыл а метр.; затем перестал грести, и течение снесло его назад на Ь
метр. На каком расстоянии от пристани он теперь находится»? Сначала
учащиеся иллюстрируют эту задачу при помощи схематического чертежа
(полагая, конечно, что а>Ь), и составляют формулу решения задачи
х — а = 6, где х обозначает искомое расстояние. Затем они определяют
числовое значение ответа при каких либо частных значениях а и Ь, удов-
летворяющих данному заданию (напр. при а = 45, 6 = 20). После этого
учитель задает такие значения а и 6, чтобы а было меньше Ь (напр.,
а = 30, Ь = 38), и предлагает учащимся попробовать решить задачу по

той же формуле. Когда они убеждаются, что при этом приходится из
меньшего числа вычитать большее (х = 30— 38), то учитель ставит им
вопрос, становится ли самая задача при данных значениях а и Ь невоз-
можною или нет. Конечно, учащимся ясно, что задача своего смысла не
теряет и дает вполне определенный ответ: гребец находится в 8 метр,
влево от пристани. После одного-двух таких частных примеров им не-
трудно будет составить и общую формулу х = Ь — а, пригодную для ре-
шения задачи при а < &. Тогда учитель обращает их внимание на то, что
неудобно решать одну и ту же задачу по двум различным формулам, да
еще указывать каждый раз направление, в котором должно отсчитывать
данное число метров от пристани; вместе с тем он указывает, что этого
можно избежать, если ввести некоторые условия, а именно: во 1-х, на-
правление расстояний «вправо» и «влево» выражать знаками + и —,
поставленными перед числом; во 2-х, в тех случаях, когда приходится из
меньшего числа вычитать большее, производить вычитание наоборот, пи-
сать полученное число со знаком минус впереди и называть этот резуль-
тат разностью данных чисел. Само собою разумеется, что условия эти
излагаются сперва применительно к частным примерам, а потом уже фор-
мулируются так, как здесь указано. Когда учащиеся освоятся с этими
условиями, они легко заметят, что при этом оказывается возможным решать
задачу по одной и той же формуле х — а — Ь независимо от т\)го, будет
ли уменьшаемое больше вычитаемого или наоборот.
Разбор еще двух или трех таких общих задач убеждает учащихся
в том, что отрицательное число выражает значение величины, протовопо-
ложной той, которая выражается в этом же вопросе числами положитель-
ными, и что введение в алгебру отрицательных чисел позволяет упрощать
и обобщать решение задач и других вопросов.
Подобным же образом следует поступать, как мы видели выше, и
яри расширении понятия о действиях, напр., при установлении смысла ум-
ножения на дробное число или на отрицательное число и т. д.
В 5-х, как мы могли убедиться и в предыдущем изложении, конк-
ретно-индуктивный метод основан на постоянной активной работе уча-
щихся: они сами, под руководством учителя, устанавливают определен-
ные свойства чисел или геометрических фигур, выводят формулы или пра-
вила вычислений, составляют те или иные определения или доказатель-
ства, иначе говоря, как бы заново изобретают математику (см. стр. 23—27);
и при этом им приходится выполнять не одну лишь отвлечённую работу ума,
но и ряд работ динамического характера, вовлекающих в дело различные ор-
ганы чувств: они постоянно должны измерять, взвешивать, вырезывать, склеи-
вать, лепить, рисовать самые разнообразные предметы, и на основе та-
кого разностороннего и активного восприятия вещей улавливать их свой-
ства и законы. Как мы знаем из психологии и из повседневных наблюде-

ний, это и вполне соответствует склонностям ребенка, и делает его вос-
приятия более яркими и разносторонними, и повышает у него интерес к
изучению математики.
Наконец, в 6-х, конкретно-индуктивный метод, построенный на пе-
реходе от реальных, непосредственно наблюдаемых учащимися вещей к
умозаключениям и выводам, влечет за собой необходимость все обучение
математике построить на неразрывной связи между знанием и жизнью и
видеть в математике прежде всего не гимнастику ума, а орудие для поз-
нания окружающего мира, для изучения функциональной зависимости ве-
личин, нами в этом мире наблюдаемых. Математика на основе конкретно-
индуктивного метода—это символический язык, на котором мы можем на-
иболее просто, сжато и точно выражать законы природы—функциональ-
ные соотношения воспринимаемых нами вещей; а обладая этим познанием,
мы прилагаем затем эти законы к решению самых разнообразных вопро-
сов науки и практики. Математика, таким образом, перестает бцть са-
модовлеющей целью логических умозаключений; изучение ее неизбежно
завершается рядом приложений к естествознанию, физике, технике, гео-
графии, обществоведению и знакомство с этими приложениями помогает
учащимся оценить ту огромную роль, которую играла и играет матема-
тика в культурной жизни человечества, то место, которое она занимает
в современной технике и в борьбе человека с природой. Сущность кон-
кретно-индуктивного метода выражается таким образом в немногих сло-
вах: самостоятельное установление математических законов при помощи
изучения конкретных фактов, и приложение этих законов к решению
разных вопросов, которые ставит человеку жизнь. И ясно, что только
при этих условиях изучение математики является драгоценным вкладом в
образование подростающих поколений.
Первые попытки конкретно-индуктивного метода в обучении мате-
матике возникли давно, еще тогда, когда в школах было в. ходу чисто
механическое заучивание. Так, мы видели (стр. 22), что еще Гурьев в
1860 г. в своей книге «Практическая арифметика» (да и в более ранних
своих работах) указывал на необходимость «заблаговременного возбуж-
дения самостоятельности в учащихся» и полагал, что при надлежащем
преподавании они скоро убедились бы, что все, о чем в ней (науке) го-
ворится, есть только дальнейшее развитие того, что они уже давно де-
лали и делают без всякого постороннего посредства». Начало же и по-
степенное развитие основ этого метода было дано Шохор-Троцким в ряде
его трудов по обучению математике, начиная с 80-х годов прошлого
столетия1); правда, Шохор-Троцкий называет его «методом целесообраз-
!) Важнейшие из этих трудов:
Методика арифметики, с приложением сборника упражнений для учащихся.
1886 г. (впоследстие переиздавалась неоднократно в переработанном и дополнен-
ном виде).

ных задач» и применяет только для младшей ступени обучения матема-
тике, но по существу это есть тот же конкретно-индуктивный метод.
До революции 1905 года эти идеи не имели большого распространения,
после же 1905 г., в связи с начавшимся движением к реформе обучения
и воспитания, а также и под влиянием педагогических идей Запада, кон-
кретно-индуктивный метод начинает находить себе все более сторонни-
ков; в 1910 г. тот же Шохор-Троцкий дает ему обстоятельное обоснова-
ние в статье: «Начальная математика. Методы первоначального обучения»
(в издании «Педагогическая Академия в очерках и монографиях», т. II.,
«ч. I). Психологическое обоснование и характеристику конкретно-индук-
тивного метода, как такового (с выяснением его роли и на старших сту-
пенях обучения), дал также и автор настоящего труда в своей статье:
«Программа и метод преподавания алгебры в средней школе» (журнал
«Педагогический сборник,» СПБ. 1910 г.) и в книге: «Метод обучения ма-
тематике в старой и новой школе» (Москва, 1914 г.)
Конкретно-индуктивный метод, как известно, может быть осущест-
влен в двух различных направлениях, сущность которых и будет сей-
час выяснена.
В тех образцах применения конкретно-индуктивного метода, кото-
рые были рассмотрены выше, ход работы сводится к следующему: учи-
тель задает учащимся какую либо задачу, или работу (напр,, изготовле-
ние геометрической фигуры), и на основании подобных работ или задач
учащиеся устанавливают то или иное математическое понятие, или свой-
ство геометрической фигуры, или правило действия. Так, напр., чтобы
научить детей измерять площадь прямоугольника, учитель предлагает им
взять лист бумаги или вырезать из бумаги прямоугольник определенной
длины и ширины (выраженной целым числом вершков, сантиметров или
других единиц), разметить каждую сторону этого прямоугольника на от-
дельные единицы длины, затем разграфить или же просто перегибанием
бумаги разделить весь этот прямоугольник на квадратные клетки, и, нако-
нец, сосчитать, сколько этих квадратных единиц вмещает в себе весь
прямоугольник и сообразить, как получается это число из данных, вы-
ражающих длину и ширину. Точно также, чтобы научить детей умноже-
нию или делению, учитель задает им ряд задач, подобранных в такой по-
следовательности, чтобы дети уяснили себе и смысл действия, и приемы
вычислений и приобрели мало - по - малу навык в выполнении этих
действий, и т. д.
Во всех этих случаях выбор самой работы и постановка для разре-
шения того или иного математического вопроса исходит от учителя, а он
Цель и средства преподавания низшей математики с точки зрения тре-
бований общего образования. 1892 г.
Наглядность и наглядные пособия при обучении арифметике. 1904 г.
Геометрия на задачах. 1908—09 г.

ставит на очередь ту или иную работу просто потому, что имеет в виду
выяснить детям очередной вопрос программы: способы умножения или
деления в области первой сотни, измерение площади прямоугольника, по-
нятие об умножении на дробь и т. п. Почин здесь исходит всецело от
учителя, а целью работы является выяснение данного математического
вопроса, независимо от того, какая при этом работа будет произведена:
решение ли арифметической задачи, рисование чертежа, вырезывание или
вылепливание какой-нибудь геометрической модели, или съемка плана.
Этот вид конкретно - индуктивного метода принято называть лабора-
торным вследствие того, что в основе его лежит определенная работа
учащихся, связанная нередко с ручным трудом и эта работа служит
основанием для последующих наблюдений и выводов (название «лабора-
торный метод» вошло у нас в употребление после 1905 г., в связи с при-
менением ручного труда в области обучения геометрии).
Но можно подойти к вопросу и иначе. В жизни школы и детского
коллективу бывает не мало моментов, когда разрешение того или иного
вопроса математического характера необходимо для удовлетворения те-
кущих потребностей учащихся или всего коллектива, и математическая
задача ставится таким образом не учителем, а самой жизнью детей или
той среды, ів которой он являются активными участниками. И можно так
поставить обучение, чтобы именно эти моменты использовать для выяс-
нения детям *той или иной математической истины или приема вычислений,
или для выработки у них того или иного математического навыка. Так,
напр., нередко бывает нужно раздать детям тетради, карандаши или перья
по одному или по несколько и для этого подсчитать, сколько всего нали-
цо детей, сколько понадобится раздать им тетрадей или других вещей,
взять соответствующее количество их из ящика или полки и произвести
самую раздачу. Все это могут выполнить в подходящих случаях и сами
дети, и активное участие в этой работе будет для них прекрасным и
естественным упражнением в пересчитывании предметов и в простейших
арифметических действиях. «Вот вам нужно раздать тетради,—говорит учи-
тель детям.—Посчитай, Митя, сколько вас всех» (26). «А ты, Ваня, сосчи-
тай, сколько есть тетрадей на полке» (18). «Дай их сюда на стол. А ты,
Маруся, скажи, хватит ли этого на всех» (Нет). «Сколько нужно еще
взять тетрадей, чтобы хватило всем». (8). «Пойди, возьми их из шкапа и
положи на стол. Теперь ты, Катя, раздай всем по тетради», и т. п.
Подобное же подсчитывание необходимо, когда детям приходится на-
крывать на стол к еде и считать, сколько поставлено или нужно поста-
вить на стол тарелок, стаканов, ложек, сколько нужно столов, чтобы за
ними разместились все дети и т. п.; этот момент может быть использо-
ван или непосредственно (напр., руководителем детского дома, летней ко-
лонии), или во время занятий для составления и решения соответствую-

щих. жизненных задач. «Вот, нам нужно накрыть столы к завтраку. Как
узнать, сколько понадобится столов?» (Нужно сосчитать, сколько всего
детей, и сколько может сесть за каждым столом). «Сосчитай, Петя, сколь-
ко сегодня детей во всех трех группах» (В первой—27, да во второй
35—итого 62; в третьей—31, а всего 93). «А ты, Ксения, скажи, сколько
можно посадить детей за каждым столом». (12). «Сколько же нам нужно
столов?» (Если поставить 7 столов, то за ними сядет всего детей 84; да
еще останется 9— для них понадобится восьмой стол; а всего 8). «Те-
перь скажи ты, Митя, сколько нужно поставить тарелок?» (93). «А сколь-
ко всего в шкапу?» (66). «Сколько нужно еще принести из кух-
ни?» (27), и т. п.
Детские игры, как лото, домино, игры в мяч, городки, кегли, раз-
личные игры, связанные с выбрасыванием чисел на кубиках и с передви-
жением игрушечных фигур по циферблату, могут также служить превос-
ходным материалом для упражнений в счете и действиях; особенно благо-
приятными являются в этом отношении те игры, в которые можно вов-
лечь сразу целую группу детей. Вот, напр., игра «катанье с горы»; игру-
шечный циферблат представляет ряд больших клеток с написанными в
них последовательными числами 1—100; в некоторых клетках нарисованы
картинки, изображающие различные моменты катанья с горы на санках.
Играющие бросают пару кубиков и передвигают своих игрушечных детей
на столько клеток вперед по циферблату, сколько выпало на кубиках;
выигрывает тот, чья куколка первая достигнет цифры 100. Игра ослож-
няется побочными правилами: некоторые клетки, в связи с изображен-
ной на них картинкой, считаются счастливыми или несчастливыми, и по-
павший на них передвигается вперед или назад на определенное число
шагов. Игра эта связана с непрерывными вычислениями в области сотни:
напр., куколка Вера стояла на цифре 37, выброшено 9—она передвигается
на 46; клетка 46 оказывается несчастливой: нужно идти назад на 7 кле-
ток—Вера отходит на 39; другая куколка Наташа стояла на цифре 28,
выброшено 6—она передвигается на 34; эта клетка счастливая—Наташа
передвигается еще вперед на 8 клеток и стоит теперь на 42. Чтобы
вовлечь в игру побольше детей, можно составить из них две, три группы,
каждая из которых имеет свою куколку, а бросают кубики и считают
все поочередно. Цифры, нумерация, сложение и вычитание в сотне усва-
ивается с помощью подобной игры незаметно.
В дальнейшем задачи, возникающие из жизни, приводят и к более
сложным понятиям арифметики. Напр., в четвертой группе из 39 учащих-
ся пришли в школу 34, а в третьей из 43—37; дети желают найти, в
какой группе присутствовало на занятиях сравнительно большее число
учащихся. Ясно, что в четвертой группе было налицо -— всего ее со-

става, а в третьей — ; сравнить эти два числа непосредственно доволь-
но неудобно, поэтому учитель предлагает детям выразить ту и другую
дробь в сотых долях; непосредственным делением дети находят, что в пер-
вой дроби =87 сотых, во второй 86; ясно, что в четвертой группе посе-
щаемость класса немного больше. Эта задача может таким образом слу-
жить поводом к установлению понятия о проценте; учителю остается
только добавить, что сотую долю в подобных расчетах принято называть
процентом и обозначать знаком %.
Подобным же образом в процессе детской жизни и детского труда
возникают и вопросы геометрического характера. Напр., чтобы склеить
коробку или ведерко, детям нужно ознакомиться с развертками приз-
мы или цилиндра, с вычерчиванием прямоугольника и круга; чтобы рас-
считать, сколько пойдет цветной бумаги на оклейку коробки, или сколь-
ко нужно обоев на оклейку стены, им нужно знать, как измеряется пло-
щадь прямоугольника; измерение величины грядок в саду или участков
земли на огороде приводит к необходимости вычислять площади прямоу-
гольника, треугольника, трапеции и т. д.
При такой постановке дела обучение математике основывается
прежде всего на тех вычислениях и измерениях, которые непосредствен-
но вызываются текущими потребностями жизни учащихся и их коллекти-
ва, а также и на тех задачах и вопросах, которые имеют реальную
связь с их интересами, трудом и окружающей их обстановкою. Это
трудовой метод обучения, провозглашенный у нас после октябрьской ре-
волюции 1917 года и являющейся основой современного обучения матема-
тике. Его главное отличие от лабораторнаго метода в том, что инициа-
тива в постановке на очередь того или иного математического вопроса
перестает уже быть исключительным делом учителя, а в значительной
мере переходит в руки самих учащихся; кроме того и самый вопрос ма-
тематический изучается не сам по себе, не как самоцель, а как средство
для разрешения определенной практической задачи, связанной с жизнью и
трудом учащихся и окружающей их среды; и этим устанавливается непо-
средственная, ощущаемая самими учащимися связь между математичес-
кими знаниями и жизнью.
Моменты приложения трудового метода при обучении математике
могут быть чрезвычайно разнообразны. Ежедневно в жизни семьи или
детского дома приходится рассчитывать, сколько необходимо приобресть
или выдать для продовольствия членов коллектива хлеба, молока, яиц,
сахару или других продуктов в лавке или на базаре, во что обойдется
продовольствие семьи или детского дома в день, неделю, месяц и т. д.,
сколько заготовить дров или воды для приготовления пищи на день, или
сколько всего пойдет дров или воды для приготовления еды, для стирки

белья за тот или иной промежуток времени. Кроме арифметических под-
счетов с целыми числами и простейшими дробями тут возникает и необ-
ходимость взвешивания, причем большая часть работы под силу самим
детям, как, напр., взвешивание порций хлеба в */2 Ф- или 1/1 ф., взвеши-
вание не очень больших порций сахару, крупы, картофеля и т. д. Целый
ряд подобных подсчетов связан и с чисто учебной жизнью школы—сколь-
ко понадобится иметь для данного класса и для всей школы чернил, мелу,
бумаги для письма, рисования, или ручных работ, глины для лепки, досок
для мастерской и т. п., и во что обойдется приобретение этих материалов.
Работа в школьном саду и огороде также связана с целым рядом
подсчетов и измерений: необходимо бывает, напр., измерить длину, шири-
ну или площадь той или иной грядки, участка земли, подсчитать стои-
мость семян или рассады; сосчитать количество собранных огурцов, груш,
яблок, взвесить то или иное количество картофеля, бураков, ягод, вычи-
слить урожайность той или иной грядки, размер всхожести семян, про-
должительность проростания или созревания того или иного растения и т. д.
Ремонт школьного помещения вызывает необходимость определить,
сколько нужно, напр., обоев на оклейку той или иной стены или комнаты, до-
сок для настилки пола, железа для крыши или водосточной трубы; сколь-
ко будет стоить побелка потолка, окраска пола или крыши, вставка це-
лых стекол взамен разбитых и т. п., и тут снова приходится иметь де-
ло не только с вычислениями, но и с измерением длины и площадей раз-
личных форм. Обследование школьного помещения с гигиенической точки
зрения выдвигает необходимость определить отношение площади окон к
площади пола в классной комнате, измерить количество воздуха, прихо-
дящееся на одного ученика, а для этого нужно уметь определять объем
(вместимость) помещения.
С различными подсчетами связано устройство какой либо экскурсии
или школьного праздника, организация школьного кооператива, а также
и детские игры, как былр указано выше. Игры со спичками и палочками
пробуждают интерес к построению и изучению геометрических фигур, а
работы из картона, дерева, лепка и гончарные работы приводят к изго-
товлению коробок, ящиков, пеналов, горшечков, посуды различной формы
и могут быть самым тесным образом связаны с изучением геометриче-
ских тел и изготовлением их моделей.
Переходы из дома в школу и наоборот, а также экскурсии и про-
гулки могут привести к мысли об измерении продолжительности того
или иного путешествия или скорости ходьбы пешком, езды верхом, на
трамвае, на пароходе, автомобиле, железной дороге и т. д.; во время
экскурсий и прогулок учащимся неоднократно представляется повод изу-
чить те или иные геометрические формы или поставить вопрос об изме-
рении высоты дерева, здания, башни, о расстоянии до недоступной точки

и т. д. Смена будних и праздничных дней, смена времен года приводят к
ближайшему ознакомлению f названиями дней недели и месяцев, вооб£це
с календарем, а простейшие наблюдения над погодой—к измерению темпе-
ратуры в J различные часы дня, с записью результатов наблюдений над
температурой и с вычерчиванием температурных график.
Болезнь кого либо из учащихся также дает повод к измерению тем-
пературы тела и вычерчиванию соответствующей медицинской графики,
а периодические измерения роста, веса тела и мускульной силы учащих-
ся дают повод к изготовлению наглядных диаграмм, выражающих сравни-
тельный рост, вес или силу учащихся данной группы, или дающих графи-
ческое изображение того, как изменялись рост, вес или сила* одного и
того же учащегося на протяжении месяца, года или другого срока.
Богатейший материал для разных вычислений и иллюстраций при
помощи диаграмм и график дают также разные статистические сведения,
связанные со школой—состав учащихся по полу, возрасту,-распределе-
ние по группам, посещаемость занятий, успешность и т. п., а затем ста-
тистика деревни, города, округа, губернии и всего государства—состав на-
селения по возрасту, полу, национальности, социальному положению, ро-
ду занятий; статистика различных отраслей народного хозяйства и проис-
ходящих в нем изменений, и т. д.
В старшем возрасте учащихся потребность в приобретении тех или
иных математических знаний возникает в связи с изучением различных
вопросов физики, естествознания, техники, геодезии и астрономии.
Так, напр., расширение тел от, теплоты, вычисление коэффициента
расширения, теплоемкости того или иного тела, скрытой теплоты таяния
требуют знакомства с решением линейных уравнений и с необходимыми
для этого алгебраическими преобразованиями Исследование падения тел,
изучения изменения силы света и свойств оптических стекол приводят к
изучению квадратной функции, к решению физических вопросов с по-
мощью квадратных уравнений. Приближенное вычисление результатов фи-
зических формул приводит к необходимости пользования простейшими
таблицами логарифмов; измерения на местности, съемка планов и простей-
шая триангуляция требуют знакомства с основами тригонометрии и поль-
зования тригонометрическими таблицами, равным образом и изучение
преломления света требует знакомства с понятием о синусе угла. Изме-
рение кривых поверхностей и объемов, ограниченных ими, а также воп-
рос о скорости и ускорении неравномерного движения требует предва-
рительного ознакомления с понятием о бесконечно-малой величине, о пре-
деле, вообще знакомства с элементами высшей математики; того же тре-
бует изучение работы машин или вопросов электротехники, и т. д.
Таким образом видно, что в трудовой школе найдется достаточно
поводов для усвоения тех или иных математических познаний, непосред-

ственно связанных или с текущей жизнью и потребностями школы и
учащихся, или с изучением окружающей обстановки— природы, жизни
и труда людей.
Очевиднр, что трудовой метод обучения имеет преимущество перед
лабораторным: во 1-х, он делает для учащихся ясной и непосредственно
ощутимой связь между знанием и жизнью—самое изучение того или ино-
го вопроса математики ставится на очередь тогда, когда решение этого-
вопроса необходимо для практической цели, для удовлетворения той или
иной потребности; ао 2-х, он заставляет учащихся быть активными и
самодеятельными не только в разрешении поставленной задачи, но и в
самой ее постановке; в 3-х, он необычайно повышает интерес учащихся
к изучению математики, потому что для них ясно всякий раз, зачем
нужно разрешение данного математического вопроса и что они должны
выполнить, чтобы к разрешению его подойти вплотную.
Противники трудового метода высказывали по поводу его такое
опасение: если мы будем ограничиваться в трудовой школе разработкой
только тех вопросов математики, которые возникнут в процессе жизни
и труда данной группы учащихся, или вообще так или иначе, быть может
случайно, попадут в круг их интересов, то не отразится ли такой ме-
тод изучения самым неблагоприятным образом на результатах всей обра-
зовательной работы, не окажутся ли математические знания и навыки
учащихся слишком разрозненными, случайными и несистематическими, а
они сами бессильными перед разрешением других практических задач,
не встречавшихся им дотоле?
Но дело в том, что мы вовсе не думаем все обучение математике
свести к решению только тех практических задач, которые возникают
в связи с текущими потребностями детской жизни или с необходимостью
осветить те или иные вопросы физики и техники. Если, напр., кто желает
научиться хорошо стрелять из ружья, то он не будет учиться этому
только в процессе охоты или в минуту нападения грабителей; наоборот,
он постарается выучиться стрелять заблаговременно, чтобы на охоте или
в момент обороны не рисковать бесцельной затратой энергии и не под-
вергаться напрасной опасности. И если кто желает научиться хорошо
ездить на велосипеде, хотя бы с чисто практическими целями, то он не
станет садиться на велосипед только тогда, когда ему нужно спешно по-
пасть в какое-нибудь место по служебным делам; он сначала поста-
рается приобресть необходимую тренировку, чтобы в случае надобности
ехать уверенно и быстро, а не колесить из стороны в сторону с риском
напрасной потери времени и с опасностью для целости машины.
Точно также, если мы желаем, чтобы дети научились сознательно,
быстро и изящно выполнять математические вычисления, мы не можем
полагаться на то, что все необходимые для этого навыки они приобре-

тут в процессе решения практических задач, которые выдвигаются те-
кущей жизнью школы: мы всегда рискуем, что некоторые навыки будут
приобретены детьми не в полной мере, а другие разовьются позднее и с
большею затратою энергии, чем в том случае, когда мы специально об
этом позаботимся. Всем, напр., известно, что жизненная практика чаще
требует выполнения прямых арифметических действий—сложения и умно-
жения, чем обратных—вычитания и деления. И если мы ограничим ариф-
метическую практику детей только этими вычислениями, то может ока-
заться, что у них слабо будет развита техника обратных действий, ко-
торые при том являются более трудными для выполнения. Помочь делу в
подобных случаях можно только специальным подбором задач и упраж-
нений, согласованных с интересами детей и их психологией; на то и су-
ществует школа и школьная наука, чтобы «сокращать нам опыты быстро-
текущей жизни».
Поэтому в общеобразовательной школе трудовые процессы и прак-
тические задачи, которые возникают на почве необходимости удовлетво-
рения текущих потребностей детского коллектива, будут служить нам
основою и исходной точкой для возбуждения интереса к математическим
знаниям и к условию тех или иных приемов вычисления и измерения; но
для усовершенствования в этих приемах и навыках и для
углубления и систематизации математических знаний
неизбежно придется уделять время и специальным зада-
чам и упражнениям чисто математического характера,
хотя эти задачи и упражнения и будут, конечно, согласованы с интере-
сами детей и их психологией, а по содержанию своему не должны стоять
в противоречии с реальными условиями жизни, окружающей школу.
Под конец своей школьной работы учащиеся трудовой школы долж-
ны, между прочим, приобресть и определенный запас знаний и навыков
математического характера, и школа должна отдавать себе полный от-
чет в том, какой минимум^знаний и навыков является желательным и
возможным в конце каждой ступени обучения. Без сомнения, этот обра*
зовательный минимум математических знаний и умений и пути к его до-
стижению должны вырабатываться в соответствии с требованиями жизни
и в согласии с особенностями психологии учащихся данной ступени; и
разумеется, тот или иной план и программу работ математического ха-
рактера нельзя предлагать всем школам без различия к обязательному
исполнению со всеми подробностями и в наперед установленном порядке;
но руководящие идеи этой работы и ее общие контуры должны быть на-
мечены ясно, иначе школа перестанет быть трудовою школою
Трудовой метод обучения математике может иметь двоякий уклон,
в зависимости от того, как мы используем трудовые процессы и практи-
ческие задания текущей жизни для общих целей школьной работы. Пусть

напр., группа воспитанников детского дома или летней колонии отправ-
ляется в соседний лес за дровами и за шишками для самовара. Эту экс-
курсию мы можем, между прочим, использовать и для обучения матема-
тике; в связи с ней естественно возникают, напр., такие задачи: сколько
всего собрано шишек (по весу), на сколько времени может хватить этого
запаса шишек для самовара; как определить возраст срубленного дерева
по кольцам древесины; как высчитать толщину растущего дерева по его
обхвату; как измерить высоту дерева (по длине его тени или другими
способами); как подсчитать, сколько приблизительно получится дров из
срубленного дерева; сколько нужно срубить деревьев, чтобы запасти
определенное количество дров для варки пищи или для отопления и т. п.
Если поставить себе целью использовать эту экскурсию, а также и
ряд других подходящих моментов, для обучения математике, как таковой,
то это будет предметное обучение, хотя и по трудовому методу; но мы
можем поставить себе более широкую цель—путем таких экскурсий озна-
комить детей с лесом в его целом, с лесом, как определенной областью
жизни, и изучить этот «уголок жизни» более или менее всесторонне, уяс-
нить его роль в природе и его значение для хозяйственной жизни чело-
века. При таком обучении лес, как цельный уголок жизни, окажется на
некоторое время тем центром, который объединит около себя чуть не все
школьные «предметы» и даст могучие толчки для активной, интересной обра-
зовательной работы в самых различных направлениях. Здесь прежде всего
возникнут вопросы; какие деревья, кустарники и травы растут в лесу и
как они живут; какие живут в лесу звери, птицы, насекомые и как склады-
вается их жизнь в данной обстановке; какое влияние имеет лес на климат
окружающей местности, на характер рек, по берегам которых он растет; ка-
кие настроения переживает человек во время пребывания в лесу; что дает
лес человеку для удовлетворения тех или иных его хозяйственных потреб-
ностей; как должно быть поставлено лесное хозяйство, чтобы лес был
использован с наибольшей выгодой для государства; что вырабатывается
из дерева, каким образом, на каких заводах и фабриках; как разраба-
тывались наши лесные богатства при дореволюционном капиталистическом
строе и теперь и т. д. Ясно, что здесь около изучения леса объединяются
и ботаника, и зоология, и физика с физической географией, и элементар-
ная технология, и культуроведение, и обществоведение, и математика с
ее разнообразными подсчетами и измерениями; найдется видное место и
родному языку с литературой, и изобразительным искусствам: ведь, кроме
научного изучения леса дети выразят свои переживания во время пребы-
вания в лесу в ряде рассказов, повестей, может быть даже лирических
стихотворений, песен, изобразят этот самый лес, его отдельные уголки,
деревья, травы и его обитателей в картинках, рисунках и на моделях;
перечитают и те произведения художественной литературы, в которых

отразилась жизнь леса, поставят, быть может, и какую нибудь драмати-
зацию жизни леса и человека в лесу. При такой постановке обучения
данный уголок жизни—лес представится учащимся, как цельный комплекс
явлений, изучаемый с самых разнообразных точек зрения; знания, почерп-
нутые ими из разных наук,. окажутся органически связанными в одно
цельное, многогранное представление. Это—комплексное обучение, кото-
рое и стремится осуществить современная трудовая школа; его задача—
сделать основным предметом изучения для детей самую жизнь, жизнь
природы и социальной среды, окружающей ребенка, а отдельные дисцип-
лины—естествознание, физика, математика—становятся при этом сред-
ствами для всестороннего изучения этой жизни и отдельных ее уголков
с различных точек зрения.
Вот еще образец комплекса: в связи с вопросом о шитье и починке
одежды учащиеся изучают работу и устройство швейной машины. Тут
возникает такой ряд вопросов: из каких частей состоит машина и для
чего предназначается каждая часть; как образуется шов; каким образом
прилагаемая к машине движущая сила передается работающим частям; ка-
кова зависимость между скоростью вращения и количеством стежков; при
каких условиях работа на швейной машине является наиболее продук-
тивной; сколько идет времени на изготовление определенного количества
белья или одежды и во сколько раз работа на машине продуктивнее руч-
ной работы; как работают в настоящее время швейные мастерские, ма-
шиностроительные заводы; как организована швейная и машиностроитель-
ная промышленность теперь и в дореволюционное время при капиталисти-
чеслом строе; как была изобретена швейная машина и почему ее изоб-
ретение было использовано главным образом владельцами фабрик и ма-
стерских, а не рабочими, и т. п. При разборе этих вопросов и здесь около
одного центрального явления—швейной машины и шитья на ней—объеди-
няются и элементы машиноведения, и механика, и математика (геометри-
ческие соотношения и арифметические расчеты), и рисование с черчением,
и родной язык (писание сочинений и чтение соответствующей литера-
туры), и история культуры, и обществоведение; и здесь эти отдельные
области знания являются не самодовлеющими учебными предметами, а
средствами для всестороннего изучения данного уголка жизни,
Комплексное обучение, конечно, создает значительно более благо-
приятную почву для успешной работы по математике, чем предметное
обучение. Во 1-х, при нем гораздо ярче проявляется связь между матема-
тикой и другими областями знания и жизни, и в психике учащихся воз-
никает ряд ассоциаций, связывающих математические законы с явлениями
природы и социальной среды,—а мы видели в свое время (стр. 38), что
лишь при этом условии обучение математике может не только обогатить
ум учащихся практически ценными познаниями, но« и оказать благоприят-

ное влияние на их умственное развитие. Во 2-х, в условиях комплексного
обучения математика предстает перед учащимся не как самодовлеющая
дисциплина, а как могучее орудие миропонимания, как средство познать
окружающую природу и социальную среду с точки зрения меры и числа
и использовать это познание для удовлетворения потребностей человека
и организованного коллектива трудящихся.
По поводу комплексного обучения возникает тот же вопрос, кото-
рый ставился и относительно трудового метода вообще, а именно: можно
ли уложить весь процесс изучения математики (или другой области зна-
ния) целиком в рамки комплексного обучения, не уделяя некоторого вре-
мени и специально-математическим задачам и упражнениям? Ответ ясен—
из тех соображений, которые были выставлены выше, математические на-
выки не.могут быть усвоены исключительно между делом, в процессе ре-
шения тех практических задач, которые связаны с изучением того или дру-
гого данного комплекса; во всяком случае, мы рискуем, что некоторые из
этих навыков не разовьются своевременно и в должной мере, и во избежа-
ние этого мы неизбежно должны в некоторые моменты школьной работы
сосредоточивать внимание учащихся и на чисто математическом материале
для выработки определенных навыков, необходимых в дальнейшем.
Вообще мы представляем себе процесс школьной работы в виде ряда
целесообразно подобранных комплексов, но при переходе от одного
«куска жизни» к следующему придется закреплять в сознании и памяти
учащихся те технические навыки, которые вытекают из данного комплекса
и необходимы для подхода к следующему—в том числе и навыки мате-
матического характера; комплексное обучение будет таким образом че-
редоваться с предметным, как трудовой метод—с лабораторным.
Принято думать, что комплексное обучение свойственно главным обра-
зом младшей ступени обучения, а не старшей, где возникает необходимость
полного обособления учебных дисциплин. С этим нельзя вполне согласиться.
На младшей ступени обучения комплексная работа легче осуществима,
потому что всю образовательную работу ведет один учитель и он вполне
свободно может ее сосредоточивать на определенном «куске жизни» и
затем переходить к углублению и разработке отдельных его сторон; да
и возраст таков, что один учитель может еще быть энциклопедистом,
способным удовлетворять образовательные запросы этих детей. На стар-
шей же ступени комплексное обучение также возможно, но оно тре-
бует уже согласованной (аккордной) работы нескольких учителей, и по-
тому встречается с более значительными практическими трудностями;
но это уже вопрос техники, а не принципа.
Подведем теперь итоги всему сказанному о методах обучения мате-
матике в современной школе. Их наглядно иллюстрирует схема на стр. 50.
Метод механической зубрежки, господствовавший в старину, привел к тре-

бованию сознательности усвоения; в поисках последнего были открыты
две дороги: одна привела к абстрактно-дедуктивному методу старой «сло-
весной» школы, другая к конкретно-индуктивному методу—исходному
пункту и основанию современной «жизненной» школы. Из этого пункта
исходят два пути; один—это путь «лабораторного» метода—«школа дей-
ствия» при активном руководстве учителя; другой—это «трудовой» ме-
тод—от практических задач, возникающих в процессе удовлетворения
жизненных потребностей, к построению теоретического звания. И тру-
довой принцип дает начало двум дорогам: к изучению данного предмета
по трудовому методу, или к изу-
чению «кусков жизни», цельных
«комплексов» жизненных явлений,
при котором математика (как и
другие дисциплины) становится
орудием познания жизни и упра-
вления жизнью. Так в современной
школе ребенок, а затем юноша—
учится на основе жизни создавать
математическое (и всякое другое)
знание, а овладевши им — снова
прилагать к изучению окружающей
природы и к разумному устроению,
жизни человеческого коллектива.
И только при этих условиях школь-
ная наука действительно «сокра-
щает нам опыт быстротекущей
жизни».
Рис. 3. Схема развития метода обучения ма-
тематике (от старой школы до современной).
В заключение необходимо рас-
смотреть еще один вопрос, кото-
рый ежедневно может возникнуть
у современного педагога, а именно:
остаются ли в силе наши выводы
относительно метода обучения и
в том случае, когда занятия в школе (напр., в старших ее группах)
организованы не по обычной классной системе, а гго Дальтонскому лабо-
раторному плану?
Как известно, существенное отличие Дальтонского плана от клас-
сной системы состоит в том, что учитель занимается со всей своей груп-
пой только изредка,—главным образом в начале занятий, когда он объ-
ясняет очередное задание для самостоятельной работы, и в конце, когда
подводятся итоги по выполнению этого задания; в остальное же время
учащиеся работают самостоятельно, группами или в одиночку, обраща-

ясь к учителю за отдельными указаниями тогда, когда чувствуют в этом
необходимость. Однако, основная задача учителя при этом не изменяется;
он попрежнему должен добиться того, чтобы учащиеся, пользуясь его
указаниями и выполняя очередную работу задания, самостоятельно дохо-
дили до установления и уразумения математических истин и приобре-
тали навыки прилагать их к решению жизненных вопросов. А путь к
этому, как мы видели выше, заключается в конкретно-индуктивном ме-
тоде с его дальнейшими разветвлениями; этим методом все равно при-
дется идти учителю и при очередной работе с отдельными учащимися, и
в особенности при составлении и объяснении своих общих заданий; удач-
ная формулировка задания это основное условие успешности работы при
занятиях по Дальтонскому плану, и только конкретно-индуктивный ме-
тод может помочь учителю правильно разрешить эту свою основную задачу.
Вот, напр., каково может быть задание для очередной самостоя-
тельной работы на тему: «Пифагорова теорема»:
«1) Нарисуйте (на клеточной
сантиметровой бумаге) прямоуголь-
ный треугольник, один катет ко-
торого 3 см., а другой 4 см. и из-
мерьте его гипотенузу.
Постройте квадрат, сторона
которого равнялась бы гипотенузе,
этого треугольника. Сколько кв.
см. содержит его площадь? Срав-
ните теперь площадь первого ква-
драта (построенного на гипотенузе)
и площадь других, взятых вместе.
Какое заключение можете вы вы-
вести?
2) Проделайте то же самое с прямоугольным треугольником, у
которого катеты 5 и 12 см., и выведите заключение.
3) Проделайте то же самое с прямоугольным треугольником,
у которого катеты 8 и 15 см., и выведите заключение.
4) Проверьте теперь, справедливо ли ваше заключение для вся-
кого прямоугольного треугольника.
Для этого сделайте так:
Начертите (на обыкновенной бумаге или картоне) какой хотите пря-
моугольный треугольник, постройте квадрат на его большем катете,
а рядом с ним пристройте квадрат, сторона которого равна мень-
шему катету (как показано на рисунке).
Вырежьте теперь фигуру, состоящую из двух квадратов, от-
режьте от нее данный треугольник (обозначенный на рисунке циф-
рою 1), наложите его на оставшуюся фигуру в положение 2, от-
режьте от нее треугольник 2 и приложите один из отрезанных тре-
угольников к оставшейся фигуре так, чтобы его прямой угол во-
шел в прямоугольную впадину этой фигуры, а меньший катет со-
впал с равной ему стороной той же фигуры; потом приложите к по-

лученной фигуре второй треугольник таким же образом. Какую фи-
гуру получили вы после этого? Какое заключение можно из этого
вывести?
Затем постройте два квадрата, стороны которых были бы равны:
у первого—большему катету, а у второго—меньшему катету тре-
угольника. Определите площади каждого из них в кв. см.
5) Теперь докажите справедливость вашего заключения на чер-
теже.
Нарисуйте на бумаге ваш основной треугольник (1) и фигуру
из двух квадратов* построенных на его катетах, как показано на
прежнем рисунке; правый конец треугольника 1 соедините с пра-
вым верхним углом меньшего квадрата, а полученный треугольник
назовите цифрою 2. Затем продолжьте правую сторону большего
квадрата на длину меньшего катета, и конец полученной линии со-
едините с ближайшими вершинами обоих квадратов. Образовавшиеся
при этом прямоугольные треугольни си назовите цифрами 3 и 4, а
среднюю часть фигуры (около которой расположены треугольники
1, 2, 3 и 4)—цифрою 5. Обозначьте -буквами вершины всех квад-
ратов и треугольников.
Сравните теперь треугольники 1, 2, 3 и 4—нет ли у них рав-
ных частей? Что вы можете сказать относительно этих треуголь-
ников?
Рассмотрите затем четыреугольник, составленный из фигуры
5 и треугольников 3 и 4. Нет ли у него равных частей? Что вы
можете сказать окончательно про этот четыреугольник?
Из каких частей состоит площадь только что рассмотренного
четыреугольника? А площадь фигуры, образованной двумя квадра-
тами, построенными на катетах треугольника? Какое заключение
можете вы сделать относительно этих двух тощадей?
Как выразить окончательно полученный вывод о площадях
квадратов, построенных на гипотенузе и на катетах?
Назовите буквами длину гипотенузы и каждого из катетов и
запишите полученный вывод в виде алгебраической формулы. Нельзя
ли еще по иному выразить смысл полученной формулы?
6) Прочтите теперь главу о Пифагоровой теореме по руковод-
ству (указать соответствующие места из курса геометрии).
Знаете ли вы, кто такой был Пифагор? Прочтите о Пифагоре-в
книгах по истории математики и общей истории (указать соответ-
ствующие книги).
7) Примените выведенную теорему к решению таких задач
(указать соответствующие задачи на вычисление, построение и ре-
шение уравнений)».
Таким образом, основной метод обучения и в этом случае, соб-
ственно говоря, не меняется; изменяется только внешняя обстановка его
применения, но не сущность.

ОТДЕЛ II.
Современные педагогические исследования в
области вопросов, связанных с методикой на-
чальной математики.
Глава V.
Развитие числовых и геометрических представлений у ребенка
в дошкольном возрасте.
До последнего времени методика математики, не только у нас, но
и в других странах, шла вперед и развивалась чисто эмпирическим пу-
тем: отдельные талантливые педагоги, скорее чутьем, чем на основании
положительных данных, находили удачные приемы для разъяснения уча-
щимся тех или иных понятий, для сообщения им тех или иных навы-
ков; эти приемы связывались в более или менее стройную систему,
сообразно общим педагогическим воззрениям их изобретателя, и под-
вергались проверке в его личной учебной практике; другие же педагоги
либо воспринимали эти приемы на веру, поддаваясь авторитету ^творца
данной системы, либо оценивали достоинство применяемых приемов на
основании обй*их результатов своей учебной деятельности. Такой путь
развития методики имел, конечно, свои ценные стороны, потому что
приемы обучения создавались не без связи со школьной жизнью; но он
был сопряжен и с существенными недостатками, так как по общим ре-
зультатам обучения нельзя еще было судить, насколько целесообразен
тот или иной отдельный прием, то или иное расположение учебного ма-
териала или наглядное пособие; и личный опыт одного учителя не мог
служить достаточным контролем для личного опыта других, даже не мог
быть сравниваем с личным опытом других педагогов. Поэтому за послед-
нее время укрепилось убеждение, что и методика математики, подобно
другим отраслям педагогической науки, должно исходить из данных, до-
бытых точным наблюдением и опытом, доступным всестороннему контролю
и проверке; иначе говоря, методика математики должна строиться на

данных педологии (науки о развитии ребенка) и для установления своих
истин и выводов должна, в помощь и на смену чисто-эмпирическому ме-
тоду, привлечь метод экспериментальный. Вот почему, приступая к по-
строению современной методики математики, мы должны предварительно
ознакомиться с педологическими и экспериментально-дидактическими ис-
следованиями, на которые нам придется опираться в дальнейшем.
Первым и одним из важнейших вопросов, который нам необходимо
выяснить, является вопрос о том, как возникают и развиваются у ре-
бенка его первые представления о числе и форме предметов; ясно, что
изучив ход развития числовых и геометрических представлений у ре-
бенка в дошкольном возрасте и зная, какие условия способствуют этому
развитию или тормозят его, мы можем правильно и уверенно руководить
его математической работой не только в дошкольный период, но и в
первые годы школьного обучения.
Сначала мы постараемся выяснить, под влиянием каких обстоя-
тельств образуются у ребенка его первые числовые представления. На
этот счет мнения современных психологов сильно расходятся: одни по-
лагают, что первые числовые представления складываются у детей под
влиянием пересчитывания однородных предметов, т. е. последовательного
их восприятия, с называнием прц этом соответствующих имен числового
ряда—один, два, три, четыре, пять и т. д.; другие думают, что первые
представления о числе возникают при одновременном восприятии неболь-
ших групп однородных предметов. Представителем первого мнения является
Мейман; в последнем издании его «Лекций по экспериментальной пе-
дагогике» говорится определенно: «По этому вопросу исследования дают
нам три факта: 1) что числовые представления ребенка по сравнению
с прочими его представлениями возникают относительно поздно; 2) что
они развиваются на основе пересчитывания предметов;
3) что они сначала имеют определенный характер конкретных индиви-
дуальных представлений количества предметов или явлений» *). В противопо-
ложность этому, Лай на основании своих наблюдений над детьми приходит
к заключению, что «на первой ступени развития счет является производ-
ным от числа, а не наоборот» 2) и думает, что первые числовые представ-
ления возникают путем непосредственного восприятия вещей, объединенных
в небольшие группы.
Вопрос этот может быть решен, конечно, только путем системати-
ческих наблюдений над детьми дошкольного возраста и в моей книге
«Развитие числовых представлений у ребенка в раннем детстве» (Киев»
1) См. немецкое издание „Лекций" Меймана 1922 г., т. III, стр. 638; подоб-
ное же утверждение повторяется и далее, на стр. 644.
2) См. Лай, „Руководство к первоначальному обучению арифметике", стр.41
(изд. 5-е, Москва, 1916 г.).

1923 г.) я изложил те выводы, к которым пришел на основании своих
наблюдений. Выводы эти противоположны мнению Меймана; я полагаю,
что понятие о первых числах до 5 включительно ребенок
приобретает без посредства сосчитывания, путем не-
посредственного восприятия зрением, а отчасти и осяза-
нием, групп однородных предметов, находящихся вокруг
(стр. 20—21).
В пользу такого заключения говорят следующие обстоятельства. Во
1-х, числовые представления нередко возникают у детей
не в порядке числового ряда, и представление единицы
не является при этом первым и наиболее простым. Так,
напр., старшая моя дочь Люся сознательно освоилась с числом «два» в
возрасте 1 г. 7 м. и даже верно назвала по одному разу три предмета (1 ;8 1)
и четыре предмета (1 ;10), и только после этого обнаружила знакомство с
числом «один» (1;11); также и вторая моя дочь Леночка приобретала первые
числовые представления не в порядке числового ряда—сначала «два», потом
«один» (1;7); а моя младшая дочь Люля в возрасте 2^іет сознательно и пра-
вильно назвала число пальцев на своей руке («пять»), не зная еще чисел «три»
и «четыре» («Развитие числовых представлений», стр. 20). Сходную кар-
тину дают и наблюдения Лая: сын его Вернер обнаружил первое представле-
ние о числе «два» в возрасте 1 г. 10 мес; затем на третьем году освоился с
понятиями «два», и «много» и только в самом конце третьего года обна-
ружил знакомство с числом «один» (Лай, «Руководство к первоначаль-
ному обучению арифметике», стр. 27—30). Также и в книге Левбнев-
ского «Мой ребенок» (изд. Богдановой, Птгр. 1914 г., стр. 194—195) со-
общается, что мальчик Дима, за которым велись систематические наблю-
дения, стал правильно употреблять слово «два» на третьем году (2;5), а
затем уже на четвертом—слова «один, «одна» (3;3), «четыре» и «пять»
Э;4). Очевидно, что такой порядок возникновения числовых представле-
ний указывает на появление их без помощи сосчитывания.
Во 2-х, дети часто обнаруживают правильные и отчет-
ливые представления о числах 2—5, не умея еще считать
в этих пределах, и научатся счету лишь спустя более
или менее продолжительный промежуток времени. Так,
напр., Люся на третьем году жизни уже неоднократно называла три
и даже четыре предмета без сосчитывания; и только после этого обна-
ружила первые удачные попытки счета предметов до трех (2;3) и до
четырех (2;5); также и первый правильный счет до пяти (3;5) был
выполнен ею только тогда, когда она знала уже, что у нее на руке
пять пальцев и несколько раз определяла численность пяти предметов,
воспринимая их группами (3-}-2, З-f-l-fl); но еще и после этого случа-
1) Запись вроде 1;8 означает возраст: 1 год 8 месяцев.

лось, что она пересчитывала четыре или пять предметов так: «один, два,
три, один», или: «один, два, три, двенадцать, восемнадцать». Также и Ле-
ночка на четвертом году жизни успела уже твердо освоиться с числом
«три» и сознательно применяла и слово «четыре», но счет предметов в
тех же пределах ей еще не давался; вместо него получалось беспорядоч-
ное называние числительных имен вроде: «один,два, пять, восемь» («Разви-
тие числовых представлений», стр. 21—22). Подобным образом и сын Лая
Вернер на пятом году жизни сознательно и правильно употреблял слова
«три» и «четыре», не умея еще считать от 1 до 4 (Лай, стр. 32—34).
В 3-х, первоначальное употребление детьми слов
«два», «три», «четыре», «пять»—с вязано с восприятием та-
ких предметов окружающего мира, которые при своей
полной однородности резко выделяются из ряда других
предметов и образуют естественные группы, привлекаю-
щие внимание. Так, напр., у моих детей упоминание о числе «два» было
связано с восприятием пары рук, ног, глаз, шариков, кубиков, пуговок, ламп,
подушек и т. п.; «три»—с восприятием подушек, картинок, пуговиц, бабок
из песку; «четыре»—с восприятием числа ног у медведя (игрушечного), у со-
баки, коровы, лошади, стола, стула; «пять»-^с пальцами руки, и т. п.
(«Развитие числовых представлений» стр., 22). Также и у сына Лая Вер-
нера восприятие числа 2 было связано с парою сосок, пряников, рук,
ушей; восприятие 4-х—с ножками стула (Лай, стр. 27—30 ]).
В 4-х, восприятие числа возможно не только без сче-
та, но и без употребления числительных, путем непо-
средственного сравнения групп предметов и установле-
ния между ними взаимно-однозначного соответствия.
Так, напр., Люся на четвертом году, еще не умея считать до 5, нашла,
что на веточке дикого винограда столько же листиков, сколько у нее
пальцев на руке; в другой раз, не называя числа, поставила на стол четыре
пальца своей руки и сказала, что у лошади столько ног («Развитие чис-
ловых представлений», стр. 28). Подобным же образом сын Лая Вернер в
возрасте около 4 лет мог установить соответствие между четырьмя ку-
биками и квадратною группою из четырех точек, не умея еще правильно
назвать соответствующего числа или пересчитать кубики (Лай, стр. 31 2).
1) Интересно сопоставить с этим и тот факт, что названия первых пяти
чисел у дикарей и первобытных народов нередко обозначают группы предме-
тов, постоянно встречающихся вместе в окружающей обстановке. Так, слово
„один" обозначает иначе луну, два"-глаза, руки, ноги, крылья; "три"—ногу
страуса с 3 пальцами, „четыре"—ногу птицы с 4 пальцами, пять"—руку чело-
века с 5 пальцами и т. п (см. книгу Кенэнта „The Number Concept",
цитируемую у Лая, стр. 12).
2) И здесь следует указать для сопоставления, что есть дикари, не име-
ющие в своем языке числительных имен; но тем не менее они обладают чис-
ловыми представлениями. так как в случае надобности показывают требуемое
количество на пальцах, прибавляя при этом: вот столько (Лай, стр. 24).

Правда, можно было бы возразить по поводу всего изложенного, что
не у всех детей развитие числовых представлений идет по пути, указан-
ному выше; в педологической литературе отмечены случаи, когда в языке
ребенка первым из числительных имен появлялось слово «один» или «раз»
в связи с попытками пересчитать какие-либо предметы. Так, наприм., в
книге Рыбникова «Язык ребенка» (Москва, 1920 г.) упоминается, что маль-
чик Адя Рыбников впервые в возрасте 1 г. 6 мес. • при восхождении на
лестницу пересчитывал ступеньки «ать-ать-ать» (раз-раз-раз... стр. 14);
в книге Соколова «Жизнь ребенка» (Москва 1918 г.) упоминается, что
мальчик Боря (1;5) считает пальцы на своей руке, шаги, стулья—«тат,
тат, тат» (раз-раз-раз); также и В. Штерн в своей книге «Психология
раннего детства до шестилетнего возраста» (Птгр., 1922 г.) высказывается
в том смысле, что числовые представления ребенка возникают на почве
распознавания в окружающей обстановке сходных предметов и образова-
ния в силу этого «множественных» представлений. «В тесной связи с
этими логическими достижениями», говорит Штерн (стр. 200—201), «на-
ходится деятельность счета. Действительный счет (каковым, разумеется,
нельзя назвать бессмысленное повторение чисел) устанавливается вместе
с сознательным помещением рядом одинаковых объектов. Если двухлетний
ребенок имеет перед собою несколько яблок или несколько чурбашек, он
констатирует последовательное повторение совпадающих впечат^ний по-
средством повторения одинаковых слов, напр.: один, один,* один или еще
один, еще один и т. п. Никогда не случалось наблюдать, чтобы таким об-
разом сопоставлялось неоднородное; значит, здесь, действительно проис-
ходит образование множественных понятий. Затем, при маленьких коли-
чествах, на место этих одинаковых слов медленно выступает ряд числи-
тельных, посредством которых каждому экземпляру как бы указывается
определенное место. Но ребенок все еще цепляется за единичные объекты;
ему стоит большого труда уразуметь, что последнее названное число есть
в то же время связующее общее обозначение для всех перечисленных эк-
земпляров; главное (количественное) число, выражающее родовое понятие,
развивается, таким образом, позднее порядкового, которое есть множе-
ственное понятие». И далее приводится пример из жизни дочери Штерна
Гильды (3; 7): «когда ей протягивают пять пальцев и спрашивают, сколько
пальцев, она говорит: «сейчас сосчитаю», и считает правильно от 1 до 5.
Если тотчас затем спросить: «так сколько же пальцев?»—она начинает
считать снова и так несколько раз подряд. Последний палец для нее пя-
тый, но совокупность еще не означает для нее суммы пять».
Ясно, однако, что в подобных примерах мы имеем дело не с вос-
приятием числа и даже не с восприятием совокупности предметов, а только
с последовательным восприятием однородных вещей; «считая» какие-либо
вещи и произнося при этом «один, один, один», ребенок обнаруживает

только знание слова «один» или «раз», но не знакомство с числом один,
а самый акт «пересчитывания» является у него чисто внешним подража-
нием взрослым людям; даже усвоив правильную последовательность слов:
«один, два, три, четыре, пять», ребенок может не иметь еще надлежащего
представления о числе «пять», как это показывает случай с Гильдою
Штерн и другие аналогичные (см. «Развитие числовых представлений», стр.
22, примеч. 1). Восприятие числа имеет место на этой ступени развития
только тогда, когда ребенок может охватить и воспринять группу
предметов, как целое, а затем уже обратить внимание
и на отдельные элементы этой группы.
Таким именно путем—от группы, как целого, R ее отдельным еди-
ницам—и идет, как я думаю, у ребенка восприятие определенного мно-
жества и развитие первых представлений о числе. Ребенок видит, напр.,
свои руки, протягивает их матери, слышит, как она говорит: «дай мне
ручки! две ручки!», и в то же время рассматривает и каждую руку в от-
дельности и получает впечатление, что «две руки»—все равно, что «рука
и рука», или «рука» и другая рука». Понятно при этом, почему пред-*
ставление двух нередко является первым числовым представлением ребенка
(даже раньше представления неопределённого множества): в окружающей
обстановке имеется немало природных пар, напр.: руки, ноги, глаза, сапоги,
крылья *птицы и т. п., кроме того при непосредственном восприятии груп-
пы из двух предметов достаточно уловить одно сходство между этими
предметами, а при таком же восприятии неопределенного множества нужно
уловить то же сходство более одного раза; представление двух является
при этих условиях психологически наиболее простым.
В дальнейшем представление двух влечет за собою возникновение
представлений «много» и «один», так как ребенок в своем- повседневном
опыте сталкивается с необходимостью различать группы в два предмета
от группы, содержащих более, чем два предмета, а также воспринимать
отдельно каждый предмет пары. Понятие «много» обозначает у него на
первых порах, собственно говоря, «два—и еще», т. е. из группы в не-
сколько предметов, воспринимаемой как целое, он выделяет сначала два
предмета, а потом видит, что кроме двух есть еще подобный предмет или
предметы, и это представление «два—и еще» ассоциируются у него со
словом «много». Представление же единицы возникает у ребенка, повиди-
мому, тогда, когда ему приходится обращать внимание на один предмет
из какой-либо привычной пары (или группы), наприм., когда вместо двух
башмаков имеется на лицо только один, когда у кого-нибудь из окружа-
ющих завязан или закрыт один глаз, видна только одна рука, ножка
стула и т. п.
Подобным же образом возникают у ребенка и представления о чис-
лах 3—5. Ребенок видит какую-либо группу из трех предметов (напр. три

яйца) и слышит, что взрослые называют это «три»; сам же он различает
тут, на основании своих предыдущих восприятий, «два и один», и это со-
держание ассоциируется у него со словом «три». Точно также ребенок
видит группы из четырех предметов (напр., ноги у кошки, у лошади, у
стула), и сам воспринимает такую группу, как «два и два», а в то же
время слышит, что взрослые называют это «четыре», и научается и сам
употреблению слова «четыре». Так как природные четверки в виде сово-
купности двух пар (ноги лошади, коровы, стула, стола, углы у комнаты,
ящика и т. п.) встречаются в окружающей ребенка обстановке чаще, чем
тройки, то этим обменяется, почему ребенок может иногда быть знако-
мым с понятием «четыре», не зная еще трех. Представление пяти возни-
кает, естественно, в связи с восприятием пальцев руки, причем ребенок
видит здесь, положим, «три и два», а слышит от взрослых, что здесь
«пять пальцев», и научается потом воспринимать пять, как группу паль-
цев руки, или нечто похожее на нее, или же как три и два («Развитие
числовых представлений», стр. 24—26).
Таким путем возникают у ребенка—под влиянием восприятия групп
однородных предметов и разложения их на отдельные составные части—
представления об отдельных числах в пределе 1—5; но считать в этих
пределах он в это время еще не умеет: вместо счета у него получается
беспорядочное называние числительных имен, и даже если он случайно и
усвоит правильную последовательность числового ряда, то это не обусловли-
вает еще сознательного восприятия «пересчитанной» группы предметов,
как совокупности, как некоторого числа. Отчего это так? Да оттого, что
последовательный счет, который можем выполнять мы, взрослые, и вос-
приятие числа, как результата подсчитывания отдельных единиц—это для
ребенка в данную пору слишком сложная и отвлеченная функция, гораздо
более сложная, чем, напр., восприятие двух пар ног у собаки или установ-
ление соответствия между пальцами руки и листиками на веточке какого-
либо растения. Когда мы, взрослые, говорим, напр., что на тарелке лежит
пять яиц, мы этим утверждаем, что множество яиц, находящихся на та-
релке, можно пересчитать словами: «одно, два, три, четыре, пять»,—т. е.
привести это множество, яиц во взаимно-однозначное соответствие с из-
вестным нам постоянным рядом символов: «один, два, три, четыре, пять»—г
каждый из которых означает множество, получаемое из предыдущего путем
присоединения еще одного предмета («три»—все равно, что «два и один»
«четыре»—«три и один» и т. д.). Но когда ребенок 3—4 лет говорит, что
на тарелке пять яиц, то он утверждает этим только, что их «три и два»»
или что их столько, сколько у него пальцев на руке; а чтобы быть в со-
стоянии их пересчитать, он должен был бы знать из предыдущего, что
«три»—это «два и один», «четыре»—«три и один», а «пять»—«четыре и
один», и должен еще знать, что последовательным присоединением единиц

он может образовать группы, известные ему под названием «два», «три»,
«четыре», «пять». А этого знания как раз и не хватает ребенку в дан-
ном возрасте; он представляет себе «четыре» обычно, как «два и два», а
«пять»—как «три» и «два», и пока он не узнает, что четыре есть в то
же время «три и один», а «пять»—«четыре и один», и не научится со-
ставлять три из двух и одного, четыре—из трех и одного и т. д.,—до
тех пор сознательный и правильный счет для него невозможен.
А между тем потребность в счете дает себя знать, так как пред-
меты, подлежащие исчислению, не всегда образуют группу, которую можно
охватить глазом с одного разу или разложить на меньшие; а исчисление
предметов, воспринимаемых последовательно, или же последовательных
явлений во времени—и вовсе невозможно без счета. Вот почему вскоре
после сформирования первых конкретных числовых представлений в об-
ласти чисел 1—5, ребенок начинает учиться считать, т. е. от восприятия
числа, как группы предметов, и разложения этой группы на меньшие и
на отдельные единицы переходит к составлению числа из единиц и к рас-
положению известных ему чисел в ряд по возрастающей величине: «один,
два, три, четыре, пять». Делает он это, опять же, подражая взрослым,
которые считают, напр., огурцы, яйца, грибы, ступеньки лестницы при
подъеме, выливаемые ведра воды, удары часов и т. п.; но так как взрос-
лые считают не всегда достаточно медленно и не заботятся о том, чтобы
отсчитанные уже предметы отделять от неотсчитанных, то ему не сразу
удается уловить последовательность чисел и заметить, что каждой при-
соединяемой единице соответствует новое число. Счет до трех идет у
него сравнительно благополучно, так как он давно уже знает, что три—
это два и один; но что после трех следует четыре,—т. е. что «три и
один» образуют знакомую ему уже группу «четыре» или «два и два»—
это дается ему не сразу и не без труда, так как отсчитанные четыре
предмета не всегда образуют группу, удобную для непосредственного вос-
приятия. И только тогда, когда он при помощи зрительных, а отчасти и
осязательных восприятий прочно усвоит соотношения: «три и один—че-
тыре», «четыре и один—пять» и научится -быстро оценивать формируе-
мые им при присоединении единиц группы предметов последовательными
.числами: «іва, три, четыре, пять»—он овладевает наконец рядом чисел
1—5, как счетным рядом, и становится способным прилагать счет к оцен-
ке численности любых предметов и явлений. Счет на этой стадии
развития является таким образом не источником новых
числовых представлений, а средством углубления, рас-
ширения и приведения в систему уже имеющихся число-
вых представлений.
В дальнейшем оценка численности той или иной группы предметов
или явлений идет обоими путями: и с помощью непосредственного вое-

приятия численности единиц в группе, и путем сосчитывания. Непосред-
ственное восприятие числа имеет место при небольших группах предме-
тов, которые ребенку нетрудно охватить глазом с одного раза; поэтому
оно имеет место во всех случаях при восприятии двух предметов, сильно
преобладает при трех, а при четырех или пяти уже начинает уступать
свое место сосчитыванию; последнее применяется в тех случаях, когда
приходится воспринимать какие-либо предметы или явления последова-
тельно, или когда непосредственное восприятие числа затруднено в виду
неоднородности данных предметов или их неудобного расположения, или,
наконец, в силу их многочисленности.
Попытки применить счет к более многочисленным группам предме-
тов ведут уже теперь к тому, что дальнейший счет становится
средством расширения известного ребенку числового
ряда и создания новых числовых представлений. В самом
деле, последовательное формирование чисел при счете помощью присо-
единения единиц привело ребенка к уразумению того, что три и один—
четыре, четыре и один—пять; естественно, что в случае надобности даль-
нейшего расширения он образует за этим группы: пять и один—шесть,
шесть и один—семь, и т. д. Названия чисел он узнает от взрослых, к
которым обращается с вопросами, а отчасти припоминает и сам, так как
в качестве слов без содержания они были ему известны и раньше. Чи-
словой ряд, известный ребенку, таким образом быстро расширяется до 10
и далее (до 15—20), и ребенок сознательно и большею частью без оши-
бок выполняет счет в этих пределах (ошибки в сосчитывании возникают
лишь от того, что ребенок, заторопившись, пропускает те или иные счи-
таемые предметы, или, наоборот, некоторые сосчитает по два раза).
Развитие числовых представлений у ребенка проходит, таким об-
разом, три основных этапа: 1) образование отдельных конкретных чи-
словых представлений в области чисел 1—5 при помощи непосредствен-
ного восприятия групп однородных предметов и разложения этих групп
на меньшие и на отдельные единицы; 2) объединение этих числовых пред-
ставлений в числовой ряд, при помощи восприятия групп предметов, со-
ставляемых последовательным присоединении единиц, и выработка на этой
почве уменья выполнять счет (конкретный) в пределах 1—5; 3) расши-
рение известного ребенку числового ряда и числовых представлений до
10-ти и далее (до 15—20) при помощи конкретного счета.
Возможны, конечно, и уклонения от указанного нормального хода
развития числовых представлений у детей. Бывает, что ребенок, подражая
взрослым, усвоит внешнюю сторону процесса счета и даже правильную
последовательность числительных имен до известного предела, в то время,
когда конкретных числовых представлений у него в этих пределах еще
нет; тогда получается явление, отмеченное Штерном (см. выше стр. 57):

«пересчитывая» какие-либо предметы, напр., свои пальцы, словами: «один,
два, три, четыре, пять»—ребенок относит эти слова к отдельным после-
довательным предметам, а не к их совокупностям, образуемым последо-
вательным прибавлением единицы, и в результате «счета» не может ска-
зать, сколько же всего имеется предметов. И только тогда, когда он пой-
мет", что слова: два, три, четыре и т. д. означают не отдельные предметы,
а образуемые из них совокупности—только тогда у него образуются со-
ответственные конкретные числовые представления, и он становится спо-
собным сознательно выполнять счет тех или иных вещей и таким обра-
зом находит их численность. Преждевременное усвоение внешней стороны
счета может, таким образом, задержать надлежащее развитие числовых
представлений у ребенка.
Как было указано выше, ребенок вначале знает только конкретное
число; то или иное число связано у него с определенной группой данных
конкретных вещей—шариков, кубиков, пальцев и т.д.(Штерн в своей
«Психологии раннего детства», стр. 201, приводит пример мальчика, ко-
торый на вопрос деда: «сколько у меня пальцев?»—отвечал: «этого я не
знаю, я могу считать только свои пальцы»); но мало-по-малу способ-
ность ребенка к отвлечению растет, и он научается замечать сходство и
между не вполне однородными вещами, напр., соображает, что курица и
утка—это две птицы, что мальчик и две девочки—это трое детей, и, на-
конец, доходит до сознания, что можно пересчитывать или вообще чи-
сленно выразить всякие вещи, именно как вещи, воспринимаемые одно-
временно или последовательно; так, напр., Люся (3;7) говорила, что ее
мишка, коробка и шарик—это «три вещи», а Леночка (2; 11) заявляла,
что она сама, ее медвеженок и кукла—это трое («Развитие числовых пред-
ставлений», стр. 37); также и сын Лая Вернер (4; 10) утверждал, что «ча-
сы и лампа—два» (Лай, стр. 34); и под влиянием подобных случаев, когда
ребенок численно воспринимает неоднородные вещи, у него складывается
представление о числе, как числе каких угодно вещей. Это не значит,
что представление о числе перестает быть уже связанным с наглядными
образами; наоборот, ребенок может представлять себе число «три», как
совокупность трех шариков или трех пальцев, или как совокупность слу-
ховых образов: «один, два, три»—но он понимает уже, что каждый из
этих пальцев или шариков может быть заменен любой другой вещью, и
всех вещей будет все-таки три. Так ведь и мы, взрослые, если думаем о
числе «три» и представляем себе не цифру 3 и не слово «три», а число,
как таковое—непременно воображаем его себе в виде трех кружков, то-
чек, черточек или иных вещей, или наконец в виде последовательно про-
износимых числительных: «один, два, три»—но это наглядное представ-
ление является для нас в то же время символом или заместителем всех
возможных «троек» на свете. Подобное представление о числе вырабаты-

вается у ребенка окончательно уже тогда, когда он овладевает первыми
числами не только путем непосредственного восприятия, но и с помощью
счета,—так как восприятие совокупности неоднородных вещей обычно
требует предварительного пересчитывания; признаком того, что ребенок
уже владеет представлением об отвлеченном числе, является выражение
им суждений о числах без упоминания единиц, напр., «четыре больше, чем
два», «три и три будет шесть», и т. п.
В каком возрасте обнаруживаются у ребенка первые числовые пред-
ставления и когда он овладевает вполне числовым рядом 1—5 или 1—10—
это мы можем пока указать лишь приблизительно, так как точных на-
блюдений в этой области произведено сравнительно не много, и между
отдельными детьми замечаются большие индивидуальные различия, оче-
видно, в зависимости от влияния окружающей среды. По моим наблюде-
ниям, первые числовые представления («два», «один» и «много») могут воз-
никнуть у ребенка уже во второй половине второго года (в возрасте от
IV2 Д° 2^ лет—см. «Развитие числовых представлений», стр. 20); представ-
ления же о числах 1—5, а также и уменье считать в этих пределах,
могут развиться у него ко второй половине четвертого года (возраст от
31/2 до 4 лет). С этими данными более или менее совпадают указания
Монтессори, которая говорит, что «дети трех лет уже умеют считать до
двух или трех, когда поступают в наши школы» (Монтессори, «Дом ре-
бенка», стр. 294); также и Мейман полагает, что четырехлетний ребенок
Способен сосчитать 4 монеты, и что с четвертого года начинается более
быстрое развитие понимание числа («Лекции», т. III, изд. 1922 г., стр.
639). Наиболее обстоятельные данные по этому вопросу находим в статье
Бекмана «Развитие числовых навыков у детей от 2 до 6 лет» («Die Ent-
wicklung der Zahlleistung bei 2 bis 6-jahrigen Kindern», в журнале
«Zeitschrift fur angewandte Psychologie» 1923, №1—2); автор этой
статьи обследовал числовые представления у 465 детей из детских домов
и садов в указанном возрасте, предлагая им подать определенное число
кубиков, шариков и т. д. или ответить на вопрос, сколько перед ними
имеется подобных вещей, и на основании результатов этих опытов, на-
шел, что правильное представление числа 2 (т. е. уменье выполнить ука-
занное задание относительно двух вещей) обнаружили в возрасте 2 лет
всего 30% обследованных им детей, в возрасте 3 лет—70%, 4 лет—90%,
5 и 6 лет—все 100%; представление о числе 3: в возрасте 3 лет—20%,
4 лет—63%, 5 лет—82% и 6 лет—96°/о; представление о числе 4: в воз-
расте 3 лет—4%, 4 лет—39%, 5 лет—64°/о и. 6 лет—92%; представле-
ние о числе 5: в возрасте 4 лет—17°/о, 5 лет—45%, 6 лет—74°/о; таким
образом в среднем ребенок приобретает правильные представления о чи-
слах 1—5 приблизительно к возрасту в 5 лет; при этом Бекман указы-
вает, что наибольший прирост числовых навыков у детей падает на вто-

рую половину четвертого года (возраст от ЗГ/2 до 4 лет); кроме того он
обследовал и типы воспроизведения числа: он обнаружил, что имеются
дети-«счетчики», которые образуют заданную им группу кубиков или др. ве-
щей путем составления по одному; затем дети-«интуитивисты», которые—
сразу и уверенно, или же после некоторого размышления—ставят цели-
ком заданную группу кубиков, и дети-«групповики», которые образуют
данную группу кубиков по частям (2 + 1, 2 -f- 2, 3 + 2). В этом отноше-
нии им было обследовано 385 детей из указанного ранее числа, и оказа-
лось, что в возрасте 3—3*/2 лет к типу «счетчиков» принадлежало 58%
всех детей, а к типу «не-счетчиков»—42%; в возрасте 4 лет «счетчи-
ков» было 57%, «не-счетчиков»—43%; в возрасте 5 лет—39% и 61%; в
возрасте 6 лет—48% и 52%. Любопытно еще замечание Бекмана, что еди-
ница лишь у немноі их детей указанного возраста имеет характер числа;
при показывании одною предмета на вопрос «сколько» дети нередко за-
труднялись отвечать или отвечали: 3, 6, 8, 4; на предложение: «подай мне
один» (кубик), многие подавали 3, 4 и более, в то время, как требова-
ние: «дай мне один кубик» (с ударением на слове «кубик») выполнялось
теми же детьми без затруднения.
Что же касается индивидуальных различий между детьми в развитии
числовых представлений и навыков, то они могут быть очень значитель-
ными, даже в одинаковом возрасте. В то время как некоторые дети на
четвертом году овладевают уже всеми числами первого десятка и даже
далее, другие не знают еще твердо и числа «два»; а обследование Эк-
хардта, произведенное во Франкфурте среди шестилетних детей, посту-
пающих в школу, показало, что в то время, как многие из них созна-
тельно владели счетом в пределах 100, а иные даже до 1000,—среди них
попадались в то же время и такие дети, которые не могли считать далее
трех или четырех (Мейман, т. III, стр. 639). Это показывает, конечно, что
числовые представления и навыки детей могут развиться довольна широко
и полно, или же остаться в зачаточном состоянии, в зависимости от
влияния окружающей среды.
С соотношениями между числами ребенок знакомится впервые еще
тогда, когда знакомится и с самими числами: так, сплошь и рядом он
воспринимает «три», как «два и один», «четыре»—как «два и доа» и т. п.
Поводом для ознакомления с этими соотношениями служит, как мы ви-
дели, восприятие соответствующих групп однородных предметов, причем
ребенок либо разлагает данную группу из меньших и из отдельных еди-
ниц. Так ребенок приобретает познания о соотношениях первых чисел в
пределе 1—5, но окончательное овладение этими соотношениями проис-
ходит уже тогда, когда ребенок осьаиьается и со счетом в указанном
пределе; знакомство же с соотношениями чисел 5—10 (и далее) идет уже
исключительно с помощью присчитывания, так как непосредственное вое-

приятие подобной группы предметов при обычных условиях уже пере-
стает быть возможным. Таким образом источником знания соотношений
между числами первого десятка является восприятие групп вещей—или
непосредственное, или с помощью последовательного счета; в связи с
этим возникает вопрос о том, какие условия восприятия группы вещей
ведут к возникновению наиболее ярких и отчетливых числовых представ-
лений и наиболее облегчают усвоение соотношений между числами. Во-
прос этот был подробно исследован Лаем и Вальземанном и будет рас-
смотрен нами особо в следующей главе.
Следует заметить, что наряду с познаниями о целых числах ребенок
приобретает понятие о простейших долях (половина, четверть); сведения
эти приобретаются под влиянием /случаев действительного дробления пред-
метов на части, особенно таких, когда «часть» по форме своей непохожа
на «целое» (деление пополам круглой лепешки, хлеба, яблока, крутого
яйца и т. п.), и возникают они довольно рано, иногда в возрасте 3—4
лет, когда ребенок не ознакомился еще вполне и с числами 1—5 («Разви-
тие числовых представлений», стр. 18—19 и 32).
Дальнейшее расширение числовых представлений ребенка (за пре-
делы двух десятков) находится в связи с необходимостью пересчитать до-
вольно большое число однородных вещей (камешков, огурцов, яиц, яблок,
перьев, тетрадей), что случается в жизни нередко, и приводит ребенка к
ознакомлению со счетом десятками и с десятичной системой. Счет десят-
ками он заимствует в подходящих случаях у взрослых; а бывает и так,
что, исчерпав известный ему ряд числительных, он снова начинает число-
вой ряд сначала, и таким образом на некоторое время может создать
себе и не-десятичную систему счисления; но и в том и другом случае он
прибегает к соединению предметов в группы и к восприятию нового числа,
как совокупности известных ему групп—а этим путем он шел и раньше
при образовании числовых представлений. Также и знакомство с цифрами
происходит под влиянием окружающей ребенка среды; городской ребенок,
который постоянно видит вокруг себя разные цифры на номерах домов,
на трамваях, часах, отрывном календаре, кубиках и т. п.—знакомится с
ними довольно рано и незаметно в ежедневном общении со взрослыми и
в игре, иногда уже в возрасте 4—5 лет; а деревенский ребенок может не
встретиться с ними и до самой школы.
Остается еще сказать несколько слов о развитии у детей представ-
лений о форме и величине предметов. Уже на втором, году жизни ^дети
узнают на. картинках знакомых животных и птиц, узнают близких им
людей по фотографиям; это показывает, что они воспринимают сходство
форм на основе подобия. Нетрудно и понять, почему эта способность
развивается так рано: размеры предметов кажутся нам больше или меньше
в зависимости от того, находимся ли мы ближе или дальше от них, но

подобие формы при этом сохраняется неизменным и эта неизменность бро-
сается ребенку в глаза прежде всего, даже раньше, чем он может соста-
вить представление о величине предметов. Из геометрических же форм,
как таковых, ребенок знакомится довольно рано с шаром и кубом, бла-
годаря своим игрушкам—мячикам и кубикам; так, напр., моя старшая дочь
Люся в возрасте 1 г. 7 мес. называла все шарообразные предметы мячи-
ками, в том числе и электрический фонарь в вагоне трамвая («Развитие
числовых представлений», стр. 43). Но в дальнейшем знакомство ребенка
с геометрическими формами в дошкольный период обычно не идет далеко,
если только он не подвергается специальному влиянию в этом смысле; в
лучшем случае он узнает, что такое круг, квадрат, треугольник, а кроме
того, не умея назвать, отличает прямоугольную форму от круглой или
квадратной. Причины понятны—в обыденной жизни названия геометричес-
ких форм, кроме вышеупомянутых, неупотребительны; а кроме того, ре-
бенок, как сказано выше, чувствует сходство форм непосредственно в
случае их геометрического подобия; поэтому он сравнительно легко вос-
принимает сходство шаров, кругов, квадратов, но ощутить, напр., что
ведро и фабричная труба имеют общую форму цилиндра—он пока еще
не в состоянии. Зато оценка сравнительной величины предметов, находя-
щихся под руками ребенка, дается ему довольно рано; на 3—4 году он
уже бывает способен правильно судить о том, какая из двух вещей
больше или меньше, и в случае надобности может воспользоваться для
сравнения «способом наложения»: так, напр., Люся однажды (3;5), сидя
около меня, взяла в руку два листка бумаги, один серый, другой белый,
смотрела на них, вертела, потом положила один на другой так, что они
совместились, и сказала мне: «этот листок такой же большой, как и вот
этот» («Развитие числовых представлений», стр. 60).
Глава VI.
Условия, наиболее благоприятствующие восприятию числа.
В предыдущей главе было указано, что при развитии первых число-
вых представлений у детей играет существенную роль восприятие групп
однородных предметов, причем одновременное восприятие таких групп
возможно при обычных условиях в пределах 3—4 предметов и может
иметь место раньше, чем ребенок научится счету в тех же пределах.
Ясно, что непосредственное восприятие группы предметов быстрее дает
возможность оценить их численность, чем пересчитывание; есть также
основание думать, что непосредственное восприятие численности группы
бывает связано с меньшим числом ошибок при восприятии, чем счет (см.
«Развитие числовых представлений», стр. 16—17). Поэтому возникает

вопрос: нельзя ли каким-либо образом расширить предел чисел, доступ-
ных непосредственному восприятию в виде групп однородных вещей, и
если можно, то от каких условий это зависит?
Вопрос этот был исследован впервые известным немецким педагогом
Лаем в его труде «Руководство к первоначальному обучению арифметике,
основанное на результатах дидактических опытов», упоминавшемся в пре-
дыдущей главе г). Лай поставил себе целью изучить путем систематиче-
ских опытов целый ряд вопросов, связанных с восприятием числа детьми,
а именно: при каких условиях в уме ребенка возникают наиболее ясные
и отчетливые числовые представления—при восприятии ли группы одно-
родных предметов, расположенных в пространстве, или же при восприя-
тии ряда однородных явлений, следующих друг за другом во времени? до
какого предела простирается область чисел, доступных непосредствен-
ному восприятию? зависит ли этот предел от различного расположения
однородных предметов, при помощи которых изображено число, и если
да, то какое расположение предметов в пространстве является наиболее
благоприятным для непосредственного восприятия числа? какое значение,
в смысле наилучшего восприятия числа, имеют величина, форма и окраска
воспринимаемых зрением предметов? могут ли отчетливые числовые пред-
ставления возникать только при посредстве чувства зрения, или же и
другие чувства, как напр., осязание, также способствуют возникновению
этих представлений, и т. д.
Исследования Лая коснулись crtepea вопроса о том, какие восприя-
тия более благоприятны для образования отчетливых представлений числа—
восприятие ли группы однородных предметов, или восприятие последова-
тельных однородных явлений. Уже одно то обстоятельство, что все упо-
требительные наглядные пособия для обучения- счислению построены
именно на восприятии групп однородных предметов, заставляет предпо-
лагать, что пространственные восприятия играют в данном случае более
важную роль; но Лай желал получить по этому вопросу более точные
данные и произвел ряд опытов над отдельными детьми 4—6-летнего воз-
раста. С одной стороны, он заставлял их воспринимать ряд последова-
тельных стуков по столу или по доске (от 2 до 4 стуков в секунду),
причем стук производился так, что дети не видели стучащего предмета,
а только слышали звуки; с другой стороны, он показывал им однородные
предметы (тоже от 2 до 4), расположенные в ряд, причем время, в тече-
ние которого они могли видеть эти предметы, было еще более коротким,
1) Это сочинение Лая вышло в свет в Германии в 1898 г., а переведено на
русский язык в 1909 г.; русский перевод выполнен (под редакцией Д. Л. Волков-
ского) по 2-му немецкому изданию, появившемуся в 1907 г.; последнее же рус-
ское издание 1916 г, выполнено по 3-му немецкому, вышедшему незадолго до
европейской войны 1914 года.

чем в первом случае, и возможность пересчитать предметы один за дру-
гим была тем самым исключена. Количество ошибок, сделанных детьми
при том и другом способе восприятия числа, замечалось и сравнивалось:
в результате обнаружилось, что при обозрении однородных предметов
дети делали значительно меньше ошибок, чем при восприятии стуков, и
тем самым была подтверждена мысль, что восприятие однородных пред-
метов более способствует образованию ясных и отчетливых числовых
представлений, чем восприятие явлений, последовательных во времени
(Лай, изд. 1916 г., стр. 118—119).
После того Лай перешел к наиболее важной части своих опытов,
именно к исследованию вопроса о том, какое расположение однородных
предметов в пространстве может вызывать наиболее ясные и отчетливые
представления числа. Эти опыты он производил в более широком мас-
штабе, в классах, а не над отдельными детьми, и из всех возможных рас-
положений предметов выбирал именно те, которые применялись в наибо-
лее употребительных наглядных пособиях: так, напр., он задался целью
сравнить: как выгоднее располагать кружки или шарики, в один ли го-
ризонтальный ряд, как расположены шарики русских счетов, или в два
горизонтальных ряда, с промежутками после каждого кружка или шарика.
Рис. 5. Борновские числовые фигуры.
Опыты эти располагались следующим образом. Были изготовлены
таблицы из белой бумаги, на которых числа первого десятка были изо-
бражены черными кружками, расположенными то в один ряд, то в два
ряда в виде так называемых Борновских числовых фигур х). (См. рисунок).
Какая-либо из этих таблиц прикреплялась к классной доске, при-
чем до времени опыта она была закрыта от глаз учащихся ширмой; пе.
1) Борновские числовые фигуры, названные так по имени их изобретателя,
немецкого педагога Борна, представляют изображения чисел первого десятка
помощью кружков, расположенных в два горизонтальных ряда, с одинаковыми
промежутками после каждого кружка (были введены в употребление еще в
60-х годах).

ред началом опыта пускался в ход метроном, делавший от 60 до 140 ка-
чаний в минуту; экспериментатор предупреждал учащихся, чтобы они
смотрели внимательно на доску, снимал ширму в такт метронома, а за
следующим ударом маятника ставил ее снова на место, так что учащиеся
могли наблюдать таблицу с кружками втечение одного качания маятника
(1—3/7 сек.). Затем они должны были сейчас же изобразить на бумаге
ту числовую фигуру, которую только что видели. Подобным образом им
показывали попеременно числовые фигуры то одного, то другого из срав-
ниваемых типов; затем отбирали листки со сделанными изображе-
ниями фигур, подсчитывали количество ошибок, сделанных в той и дру-
гой группе изображений, и сравнивали, какому расположению кружков
соответствует меньшее число ошибок. Такие опыты Лай производил с
одной стороны над учащимися первого года обучения, с другой стороны—
над учащимися учительской семинарии; для сравнения двух расположений
кружков—в один ряд и в два ряда в виде Борновских числовых фигур—
было рассмотрено в общем более тысячи отдельных записей учащихся,
причем расположение кружков в два ряда в виде Борновских числовых
фигур оказалось значительно более благоприятным: оно дало лишь 17,3%
ошибочных записей против 41% ошибок при расположении кружков в
один горизонтальный ряд (Лай, стр. 157—158).
Подобным же образом были сравниваемы друг с другом и иные рас-
положения однородных предметов в пространстве. В результате своих
опытов Лай нашел, что изображение чисел помощью черточек прямо-
угольной формы, а также изображение чисел на пальцах дает гораздо ме-
нее удовлетворительные результаты, чем применение указанных выше
Борновских числовых фигур; сверх того, оказалось, что есть одно рас-
положение кружков, несколько более благоприятное, чем Борновские чис-
ловые фигуры; именно, если в Борновских числовых фигурах увеличить
промежуток после каждой группы из четырех кружков, образующей
квадрат, то составленные таким образом числовые фигуры (получившие
название квадратных), будучи сравниваемы с Борновскими фигурами, дали
в результате еще меньший процент ошибочных записей—14,1% против
17,3°/о (Лай, стр. 162—163).
Далее Лай нашел, что наиболее благоприятные результаты получа-
ются в том случае, когда отдельные кружки квадратных числовых фигур
удалены друг от друга на расстояние, равное диаметру кружка, а каж-
дая квадратная группа из четырех кружков отстоит от предыдущего
квадрата на расстояние, равное 1*/2 диаметрам кружка; что наиболее
подходящими по форме предметами для составления числовых фигур явля-
ются именно кружки или шарики, а наиболее благоприятное сочетание
красок дают белые или красные предметы на черном фоне.

Наконец последняя серия опытов Лая выяснила, что чувство осяза-
ния может способствовать возникновению в уме учащихся столь же яс-
ных и живых представлений числа, как и чувство зрения.
Аналогичные опыты были произведены и другими педагогами и пси-
хологами, главным образом в Германии; наиболее обстоятельные исследо-
вания были произведены Вальземанном, который изложил свои выводы в
сочинении «Anschaaungslehre der Rechenkunst» (учение о наглядности
в преподавании счисления), вышедшем в свет в 1907 г. В общем, резуль-
таты этих исследований подтвердили заключения Лая, и разногласие об-
наружилось лишь по одному вопросу, имеющему, в сущности говоря,
второстепенное значение; именно, как было раньше указано, Лай нашел,
что наиболее благоприятными в смысле отчетливого и точного восприятия
числа являются созданные им квадратные числовые фигуры, а Борновские
числовые фигуры немного уступают им по степени благоприятности, хотя
и являются лучшими из всех остальных числовых фигур; Вальземанн же
на основании своих опытов пришел к обратному заключению,—он нашел,
что Борновские или, как он их называет, нормальные числовые фигуры
имеют некоторое преимущество перед квадратными (стр. 97—99). Ко-
нечно, окончательное разрешение этого вопроса могли бы дать только
новые, более обширные экспериментальные исследования; но важна от-
метить то обстоятельство, что оба вида числовых фигур, по исследова-
ниям как Лая, так и Вальземанна, дают возможность непосредственного
восприятия всех чисел первого десятка и в этом смысле оказываются
значительно более благоприятными, чем все другие группировки воспри-
нимаемых предметов.
Рис. 6. Квадратные числовые фигуры Лая.
Эксперименты Лая, Вальземанна и др., имеют, конечно, не только
психологическое, но и дидактическое значение. В самом деле, во время
этих экспериментов учащимся показывали ту или иную числовую фигуру,
а затем они должны были по памяти воспроизвести ее на бумаге, или

обозначить цифрою соответствующее ей число или даже указать, из ка-
ких двух слагаемых составлено данное число (в этом последнем случае
части числовой фигуры, изображавшие отдельные слагаемые, различались
между собой по окраске кружков). При всех опытах время восприятия
фигур было настолько малым (не более 1 Уз сек.), что совершенно исклю-
чалась возможность пересчитывания кружков; тем не менее подвергав-
шиеся опытам учащиеся могли правильно воспроизводить или оценивать
числом все числовые фигуры первого десятка и определять по числовым
фигурам сумму двух однозначных чисел. Таким образом было достоверно
обнаружено, что возможно непосредственное определение, в пределах
первого десятка, численности группы объектов без сосчитывания, а равно
и выполнение действий в указанном пределе также без пользования про-
цессом счета. Эти факты, разумеется, крайне важньГ в педагогическом
отношении, так как возможность обходиться без сосчитывания, хотя бы
в некоторых случаях, при определении численности предметов и при дей-
ствиях над однозначенными числами должна вести за собой существенную
экономию времени при начальном обучении, не говоря уже о том, что от-
четливые числовые представления в области первого десятка или двух
десятков дают прочное основание для всех дальнейших сведений по
арифметике.
В этом смысле поучительны те наблюдения, которые произвел Лай
при занятиях по своему методу с детьми, еще не начинавшими учиться
до того времени; он рассказывает, напр., о мальчике 5 лет, умевшем
считать только до 4-х, с которым он занимался в общей сложности
6 часов, обучая его счислению в пределах от 1 до 8. В конце этого
срока,—пишет Лай,—он мог лишь медленно произнести последовательный
ряд числительных от 1 до 8; между тем мог решать задачи в роде сле-
дующей: на нашей улице было 8 деревьев; 3 из них срубили; сколько
осталось? С другим мальчиком того же возраста, после занятий, продол-
жавшихся в общей сложности 10 часов, был достигнут подобный же ре-
зультат для чисел в пределах 1—10 (См. Лай, 5-е изд. 1916 года, стр.
136—137).
На основании принципа числовых фигур были построены как Лаем,
так и Вальземанном наглядные пособия для классного и индивидуального
обучения. Я вкратце опишу здесь наглядные пособия Лая. Для классного
употребления им построены счеты о 20 и о 100 шариках; первые состоят
из черной доски с двумя горизонтальными проволоками, на которых
надеты десять белых шариков, расположенных в виде соответствующей
числовой фигуры, и затем десять красных шариков в виде такой же фи-
гуры (см. рис. 6).
Чтобы можно было передвигать по проволокам часть фигуры, не на-
рушая взаимного расположения шариков, между последним вставлены чер-

ные металлические цилиндрики. Подобным образом устроены и большие
счеты о 100 шариках. Для пользования учащихся построены счетная ли-
нейка и счетный ящичек; линейка черного цвета (рис. 8) представляет в
уменьшенном размере точную копию классных счетов о 20 шариках.
Рис. 7. Классные счеты Лая о 20 шариках.
Ящичек же (рис. 9) представляет обыкновенный пенал, в котором
на внутренней стороне крышки вырезаны 20 круглых углублений, распо-
ложенных так же, как и шарики на счетах; в эти углубления вставляются,
по мере надобности, белые и красные костяные пуговицы.
Рис. 8. Счетная линейка Лая.
Практическое значение числовых фигур (составленных из кружков
или шариков) заключается не только в том, что они делают доступными
непосредственному восприятию все числа до 10—12, но главным образом
в том, что при помощи их дети могут наглядно воспринимать и целый
Рис. 9. Счетный ящичек (пенал) Лая.
ряд соотношений между числами в пределах данной числовой фигуры. Так,
напр., числовая фигура 8-ми (рис. 10 слева) дает возможность непосред-
ственно видеть, что 4 + 4 = 8, 5 + 3 = 8, 6 + 2 = 8, 7 + 1^=8; 8—1=7,
8 — 2 = 6,8 — 3 = 5 и т. д.; 4X2 = 8, 2Х* = 8, 8 : 2 = 4, 8 : 4 = 2 и
т. д.; числовая фигура 12-ти (рис. 10 справа) не только дает возможность

непосредственно видеть ряд соотношений вроде 10-(-2 = 12, 8-|-4 = 12,
12 — 2 = 10, 12 — 4 = 8, 4X3 = 12, 6X2 = 12, 12:2 = 6, 12:3 = 4 и
т. д., но и может иллюстрировать самым метод сложения однозначных
чисел с переходом через десяток; в самом деле, при помощи ее непосред-
ственно видно, что сложение 8 4 сводится к дополнению 8 до десятка
путем прибавления 2-х, и к прибавлению к десятку остающихся сверх
того 2-х единиц (8-j-4 = 8-f-2-f-2 = 10-}-2 = 12). Применение же шари-
ков двоякой окраски дает возможность наглядно представить и все числа
второго десятка в виде совокупности десяти белых шариков и несколь-
ких красных; легко могут быть иллюстрированы и действия над одно-
значными числами, особенно сложение и вычитание в пределе 20.
В связи с указанными преимуществами числовых фигур и возмож-
ностью при помощи их воспринимать числа и соотношения между ними
без пересчитывания—возникает вопрос о том, какое же место будет при
этом занимать счет при зна-
комстве с числами в указанных
пределах; не придется ли и вовсе
обойтись без него в педагоги-
ческой практике? На этот по-
следний вопрос нужно, однако, ответить отрицательно. Дело в том,
что уменье считать, т. е\ называть числительные имена в порядке
натурального ряда и в соответствии с рядом объектов, последовательно
воспринимаемых,—необходимо нам для повседневной жизненной практики.
При пересчитывании предметов мы еще можем иногда соединять их в не-
большие группы и не нуждаемся тогда в последовательном назывании
каждого, числа (напр., считая тетради в .кипе, говорим: три, шесть, де-
вять, двенадцать и т. д.), но при пересчитывании явлений, последователь-
ных в времени, мы часто не имеем другого способа, кроме обыкновен-
ного счета: один, два, три, четыре и т. д.; так, напр., приходится считать
при измерении длины какой-нибудь мерой, при наливании жидкости ста-
канами, ложками или каплями, при сосчитывании ударов пульса или ка-
чаний маятника и т. д.; счет упрощается, если последовательность явле-
ний образует ритм (получаются своего рода числовые фигуры в времени),
но такие случаи сравнительно редки, и если педагогическая практика
оставит беглый последовательный счет совершенно в стороне, то этим
затормозится выработка одного из умений, необходимых для жизни. А
что такие последствия возможны, доказывают те самые исследования Лая,
о которых говорилось раньше: тот мальчик, который с помощью число-
вых фигур научился уже решать задачи, требующие вычитания 3 из 8,
не мог еще выполнять беглый последовательный счет от 1 до 8. Поэтому
нельзя не согласиться с мнением Меймана, который в своих «Лекциях
по экспериментальной педагогике» указывает, что метод, опирающийся

только на применение числовых фигур, представляет такую же односто-
ронность, как и обучение, основанное исключительно на счете; в первом
случае дети будут представлять себе число, главным образом, как группу
однородных предметов, и будут затрудняться, когда им придется прило-
жить известные им числовые соотношения к последовательности явлений
во времени; во втором случае число будет воспринято только как ре-
зультат счета, а при таких условиях у детей не могут возникнуть от-
четливые и живые представления чисел первого десятка. «Только при
правильном соединении обоих методов,—говорит Мейман,—возможно ис-
черпывающим образом уяснить ребенку сущность представления о числе
и сущность арифметических действий» (т. III, стр. 174). Такое комбини-
рование обоих методов тем более необходимо, что среди учащихся попа-
даются дети слухового типа, следовательно более предрасположенные к
восприятию явлений, последовательных во времени; и эти дети при обу-
чении по методу, основанному только на применении числовых фигур,
будут в столь же невыгодном положении, в каком находятся дети зри-
тельного типа при господствовавшем до сих пор «счетном» методе.
Рис. 11. Различные способы наглядного изображения дроби 5/8 1).
Из других экспериментальных исследований в области восприятия
числа заслуживают еще внимания опыты Вальземанна, произведенные в
1906 г. по вопросу о наиболее целесообразных средствах восприятия
простейших дробных чисел. Вальземанн задался целью сравнить три спо-
соба наглядного изображения долей и дробей, наиболее употребительные
в педагогической практике, а именно изображение дробей посредством
частей прямолинейного отрезка, посредством круга, разделенного на сек-
торы, или. квадрата, разделенного на прямоугольники (см. рис. 11).
1) При опыіах Вальземанна соответствующие данной дроби части фигур
были заштрихованы синим карандашем.

С этой целью он показывал учащимся картонные таблицы, на кото-
рых были изображены различные доли (пятые, шестые, восьмые, девятые»
двенадцатые, пятнадцатые) одним из трех упомянутых способов. Испыта-
ниям подвергались ученицы учительской семинарии (в Шлезвиге) и на-
чальной школы при ней, причем в первой группе опытов они должны
были только указывать, какие доли изображены на данной таблице, а во
второй группе опытов—какие и сколько долей. Время восприятия каж-
дой таблицы не превышало 17б сек.; всего было исследовано более ты-
сячи отдельных ответов для каждого вида таблиц, и в результате оказа-
лось, что изображение дробей посредством частей прямой линии дало в
первой группе опытов 40°/о, а во второй 66,3% неверных ответов; изо-
бражение посредством частей круга—33,7% и 50°/о неверных, ответов, а
изображение дробей с помощью квадрата, разделенного на прямоуголь-
ники—только 11,4°/о и 12,3°/о ошибок. Эти исследования имеют большую
важность для педагогической практики, так, как они указывают, что рас-
пространенная в нашей дореволюционной школе прямая линия, собственно
говоря, не может считаться сколько-нибудь удовлетворительным нагляд-
ным пособием при ознакомлении с простейшими дробями (интересно, что
те опыты Вальземанна, которые были проведены над детьми начальной
школы, дали для прямой линии 58,3% и 72% ошибок); и даже круг, раз-
деленный на секторы, оказывается, по числу возможных при нем ошибок,
в 3—4 раза менее целесообразным, чем квадрат, разделенный на прямо-
угольные доли1). (Вальземанн, «Anschauungslehre», стр. 104—106).
В предыдущем изложении я постарался дать сущность и итоги того,
к чему пришла современная педология и экспериментальная дидактика в
вопросе о развитии числових представлений у детей и восприятии числа
детьми. Как видно, на основании одних этих данных нельзя еще создать
полную и детально разработанную систему методических указаний для
работы по математике с детьми дошкольного возраста и первых лет обу-
чения; но основные вехи, определяющие направление и характер этой ра-
боты, наметить м.ожно, равно как можно и необходимо в отдельных слу-
чаях использовать для педагогической практики тот материал, который
нам дают изложенные выше исследования. По отношению к дошкольному
возрасту это будет сделано в следующей главе.
1) Это не исключает, однако, возможности использования круга, разделяе-
мого на секторы, для первоначальной иллюстрации простейших долей (половина,
четверть, треть и т. п.), так как здесь доли круга имеют другое преимущество
„часть" Заметно не похожа на „целое".

Глава VII.
Математика в детском саду.
Из предыдущего изложения (гл. V) известно, что числовые представ-
ления начинают формироваться у детей весьма рано—на третьем и даже
на втором году, а темп их дальнейшего развития зависит от влияния
окружающей среды. Бывают случаи, что шестилетний ребенок твердо вла-
деет уже соотношениями чисел в пределе десятка, а счетом предметов до
20 и даже до 100 (см. «Развитие числовых представлений», стр. 34); воз-
можны даже случаи, когда подобные умения развиваются у ребенка и на
пятом году (см. там же, стр. 30); дети же до 8 лет, поступающие в шко-
лы, обычно приносят уже из домашней среды знание чисел первого де-
сятка, если не всех, то некоторых из них, а также отчасти м соотно-
шений, между ними. Все это показывает, что дошкольный возраст от 4
до 8 лет имеет существенное значение в деле развития числовых пред-
ставлений у ребенка, и поэтому, организуя образовательную работу де-
тей в детском саду или в соответствующих группах детского дома, мы
не можем оставить без внимания эту сторону душевной жизни ребенка;
наоборот, от нас зависит облегчить развитие числовых представлений в
этот период, сделать их более или менее отчетливыми и живыми.
Первый вопрос, который здесь возникает, таков: будем ли мы стре-
миться к тому, чтобы ребенок к концу дошкольного периода (к 8 годам)
приобрел определенную сумму познаний или навыков в области чисел,
напр., овладел числовыми соотношениями в пределе 1—20 или 1—10? На этот
вопрос приходится отвечать отрицательно, по многим соображениям.
Прежде всего, мы не знаем еще, какое развитие числовых представлени
можно считать нормальным для ребенка в 6—7 лет, и потому не можем
поставить определенной нормы и для развития математических навыков
у питомцев детского сада к концу дошкольного возраста: нормальное для
одних детей может тут оказаться преждевременным для других. Затем,
преднамеренное развитие формальных навыков, хотя бы в области счета
и вычислений, может оказаться для детей данного возраста слишком
отвлеченной и потому непосильной работой, в то время как школа,
имеющая дело с более взрослыми детьми, уже может понемногу задаваться
и этими целями. Наконец, мы в настоящее время и в первые годы трудо-
вой школы не спешим с накоплением чисто-формальных знаний, а стре-
мимся, чтобы они по возможности приобретались ребенком незаметно, в
процессе производительного труда или наблюдения окружающей жизни,
или даже в процессе игры; тем более нет оснований держаться иной ру-
ководящей линии в работе с детьми дошкольного возраста.

Итак основная задача наша в деле математического развития детей
дошкольного возраста—не столько ускорить ход развития числовых пред-
ставлений, сколько углубить и систематизировать эти представления,
сделать их возможно более живыми, яркими и отчетливыми. А эта задача,
очевидно, может быть правильно разрешена лишь в том случае, если мы
в нашей работе с детьми будем ориентироваться на те пути, которыми
идет естественное развитие числовых предоставлений у ребенка в первые
года его детства. Мы знаем (гл. V), что в основе этого развития лежит
восприятие ребенком небольших групп однородных вещей из окружающей
обстановки (в пределах 1—5), и потому прежде всего постараемся исполь-
зовать те случаи, когда жизнь, труд и игра ребенка предоставляет ему
возможность подобных восприятий.
Таких случаев будет в жизни детского сада и в окружающей обста-
новке более чем достаточно: у каждого ребенка две руки, две ноги, два
глаза, двй уха, один нос или рот; у курицы, у воробья или голубя две
ноги, два крыла, два глаза; у кошки, собаки, лошади или коровы четыре
ноги; в комнате бывает, напр*, две двери, три окна, четыре стены, одна
печка; четыре ноги бывает у стула, у стола, скамейки; на столе или на
полке может находиться две, три, четыре тарелки, ложки, стакана и т. д.;
у каждого из нас на руке пять пальцев; лошадей запрыгают парами и
тройками; у телеги четыре колеса; вишни растут на дереве парами и
тройками, каштанов в цельной скорлупе бывает тоЖе два—три; цветок
сирени имеет обыкновенно четыре лепестка, но часто попадается также
три или пять; у жука, стрекозы или бабочки четыре крыла, два глаза и
шесть ног, и т. п.
Прежде всего, мы, конечно, постараемся выяснить себе, до какого
предела развиты числовые представления у детей, составляющих данную
группу. Это лучше всего можно сделать попутно во время работы или
игры, поручая тому или иному ребенку подать или принести небольшое
количество необходимых в данный момент вещей, напр., принести два—три
карандаша, подать на стол к завтраку два, три, четыре стакана или та-
релки, ложки, поставить во время игры на указанное место два—три ку-
бика или шарика, подать три—четыре каштана, фасолинки и т. п.; или
же, задавая иногда вопросы о численности тех или иных вещей, напр.,
сколько здесь (перед глазами ребенка) шариков, кубиков, горошин; сколько
стаканов на столе; сколько ног у человека, у петуха, у кошки или со-
баки; сколько на руке пальцев и т. п. Для старших детей (6—7 лет) эти
вопросы соответственно усложняются, охватывая область чисел первого
десятка и даже несколько далее. При помощи таких контрольных вопро-
сов и поручений мы можем узнать, имеет ли ребенок реальные и отчет-
ливые представления о двух, трех, четырех, пяти вещах, и даже как он
воспринимает эти группы вещей—сразу или по частям, или наконец от-

дельными единицами, выполняя при этом последовательный счет. Ясно,
разумеется, что эти поручения и вопросы должны предлагаться в подхо-
дящий момент, в связи с очередное работой или игрой, и притом так,
чтобы ребенок не замечал, что его хотят этими вопросами проконтроли-
ровать; тогда только перед нами развернется подлинный круг его развития.
Такое обследование может показать довольно разнообразную кар-
тину развития числовых представлений у детей; в то время, как одни
имеют уже ясные представления о числах 1—5 и владеют счетом в этой
области, другие могут идти еще не далее 3; а среди старших детей 6—7 лет
бывают и такие, которые владеют уже числами первого десятка и даже
более. Дальнейшая наша задача будет состоять в том, чтобы каждому ре-
бенку предоставить возможность нормального развития числовых предста-
влений, начиная с той ступени, на которой он в данный момент находится.
Тем детям, которые не обладают еще числовыми представлениями в
пределах до 5—6, мы должны дать возможность непринужденного и неза-
метного овладения числами и счетом в этих пределах. Достигается это
при помощи восприятия ребенком соответственных групп предметов, как
непосредственно, так и при помощи пересчитывания. Напр., Петя, кото-
рый владеет числами не далее 3, и Вася, который имеет представления
о числах до 5 включительно, играют с «мишкой»; если мы в подходящий
момент спросим Васю, «сколько у мишки ног?» и он скажет: «четыре»,
то у Пети, который слышит этот разговор и видит мидікины ноги, воз-
никает ассоциация между числом мишкиных ног и словом «четыре». Воз-
можно, что после этого у него останется в памяти, что у мишки четыре
ноги; возможно, что это обстоятельство поможет ему установить, что у
собаки, у лошади или у стола тоже четыре ноги; это мы можем про-
контролировать через некоторое время путем вопросов при подходящих
условиях. Или, напр., тот же самый Петя получает от нас поручение взять
из коробки карандаши—для себя, для Васи, для Кати и для Веры. По
всей вероятности, он справится с этим поручением, даже не умея счи-
тать до четырех, но мы можем воспользоваться этим случаем, чтобы рас-
ширить круг его познаний о числах, если во время его работы поставим
ему несколько вопросов. Когда он возьмет один карандаш для себя и дру-
гой для Васи, мы спросим его: «сколько ты взял карандашей?» («Два»).
Затем он присоединит к ним третий карандаш—для Кати, а мы спро-
сим его: «сколько теперь карандашей?» («Три»). Наконец он возьмет
и четвертый—для Веры; мы снова спросим4 его: «а теперь сколько
карандашей?» Так как он не знает еще числа четыре, то на этот
вопрос он либо вовсе не ответит, либо скажет: «три и один», после
чего наступит наша очередь сказать, что всех карандашей четыре,
или сообщить ему, что «три и один» иначе называется «четыре». Воспри-
ятие четырех карандашей ассоциируется тогда у Пети со словом «четыре».

Прекрасным средством для непосредственного восприятия чисел 1—6
служит игра в домино; на косточках домино соответствующие числа изо-
бражены, как известно, группами кружков в виде числовых фигур, и хотя
эти числовые фигуры и не вполне удовлетворяют заданиям Лая и Валь-
земанна, но все же дают яркие и отчетливые образы чисел 1—6 (есть и
пустая косточка, наглядно изображающая «ничего», т. е. нуль). За неиме-
нием готового домино его можно сделать из картона—вместо косточек
изготовить прямоугольные карты, разделяя каждый прямоугольник чертою
пополам и изображая на обеих его половинах необходимое число очков
от 0 до 6. Во время игры приходится отыскивать всякий раз число, рав-
ное числу на предыдущей косточке (или карте); таким образом, эта игра
дает ряд незаметных упражнений в непосредственной оценке численности
той или иной группы кружков. Для той же цели могут служить различ-
ные игры, связанные с бросанием кубика: на кубике изображены числа
1—6 при помощи числовых фигур из точек или кружков; дети поочередно
бросают кубик и должны, напр., брать из коробки столько фасолинок,
сколько выпало точек; игра продолжается, пока все фасолинки не будут
таким образом разобраны.
Особенное внимание приходится обращать при этом на случаи, когда
дети воспринимают ту или иную группу вещей путем перечисления. Как
было указано в свое время (гл. V), при этом случается, что дети либо в
беспорядке называют числительные имена, либо даже усваивают правильный
порядок, но схватывают только внешнюю сторону пересчитывания—после-
довательное показывание пальцем на отдельные предметы с произнесе-
нием слов: «один, два, три, четыре, пять» и т. д., и не отдают себе при
этом отчета в том, сколько же они насчитали вещей. Во избежание этого,
всякое пересчитывание должно производиться на первых порах отчетливо
и не спеша, так, чтобы ребенок мог каждый раз воспринять группу, обра-
зовавшуюся из предыдущей путем присоединения новой единицы. Весьма
небесполезно при этом контролировать выполняемый ребенком счет пу-
тем вопросов, напр : «Сколько у тебя теперь фасолинок?» («Три»). Ре-
бенок кладет еще одну. «А теперь?» («Четыре»). Ребенок положил еще
одну. «А теперь сколько?» («Пять»)—и т. д. Всякое же бесцельное и ме-
ханическое повторение слов числового ряда, как, напр., в известной пе-
сенке: «Раз, два, три, четыре, пять—вышел зайчик погулять,» или в стиш-
ках вроде: «Раз, два—булава; три, четыре—прицепили; пять, шесть—хо-
тим есть...» является безусловно вредным для развития числовых пред-
ставлений и правильного сознательного счета.
Когда ребенок хорошо ознакомится с числами до 5—6, он может не-
заметно усвоить и соотношения между числами в этих пределах, сводя-
щиеся к прибавлению или отниманию. Этому он научается, выполняя в
повседневной жизни вычисления вроде следующих: «На столе стоит 3 ста-

кана и на подносе 2. Сколько всего стаканов?»—или: «В корзине лежит
4 яйца. На яичницу нужно взять 3 яйца. Сколько яиц останется?»—или
наконец: «Мне нужно вырезать из бумаги 4 кружка; я вырезал 2. Сколько
кружков мне еще осталось вырезать?» Если мы используем разнообраз-
ные случаи, когда ребенку приходится выполнять подобные вычисления в
процессе его труда (приготовление к столу и уборка его после пищи,
уборка комнаты), во время занятий (лепка, рисование) или игр, то все
подобные соотношения он усвоит без труда и незаметно.
Одновременно или несколько позже ребенок начинает усваивать и
счет до 10, даже несколько далее (до 12—15), и таким образом знакомится
со всеми числами первого десятка. Материал для этого счета в изобилии
дает окружающая жизнь: в окне бывает вставлено 6, а иногда и 7 сте-
кол; у мухи 6 ног, у паука 8 ног, у рака 10; на веточке акации бывает
7—9 листиков; венчикир азличных цветков состоят из 5—6 и более лепест-
ков; во время завтрака приходится ставить на столб—10 и более стака-
нов или тарелок; на платье бывает пришито 10—12 пуговиц; на дворе мож-
но видеть курицу с 6—10 и большим числом цыплят, утку с утятами; для
детских построек нужно бывает брать 6—10 и более кубиков, и т. д.
Основная наша задача в этой стадии развития ребенка—следить, чтобы
счет, как и до сих пор, оставался сознательным и отчетливым процессом
образования групп—посредством присоединения всякий раз новой едини-
цы; этого мы достигнем, если будем следить, чтобы счет выполнялся до-
статочно медленно, чтобы отсчитанные предметы по возможности отделя-
лись от неотсчитанных, и чтобы ребенок таким образом успевал воспри-
нимать каждый раз всю образовавшуюся группу предметов, а не один
только последний считаемый предмет. В этой стадии ребенок должен на-
учиться прилагать счет по всем возможным случаям восприятия вещей, а
потому не следует упускать случая, когда ему представляется возмож-
ность считать не только предметы, но и последовательные явления, напр.,
удары часов, размахи маятника, наливаемые стаканы воды, шаги или
прыжки во время игры и т. п.
Так как при восприятии свыше 4—5 вещей весьма редко возможно не-
посредственное восприятие всей их группы, то следует особенно ценить
те случаи, когда это все-таки может иметь место. Для этой цели можно
использовать числовые фигуры при игре в лото: среди рисунков лото
можно дать числовые фигуры по образцу фигур Лая или Вальземанна,
при помощи которых числа первого десятка изображаются группами
кружков и доступны непосредственному зрительному восприятию (необхо-
димые для игры карты с числовыми фигурами нетрудно изготовить из
твердого картона). Кроме того, здесь уместно показать детям, как ис-
пользовать эти числовые фигуры для записи числа; чтобы записать, что
в кукольном доме 8 кукол, ребенок рисует, как умеет, куклу, а под ней

или около нее изображает кружками числовую фигуру 8; фигуру эту ре-
бенок может либо рисовать карандашем, либо составить при помощи на-
клеивания кружков из цветной бумаги.
В процессе ежедневных расчетов, связанных с играми и трудом,
ребенок незаметно усвоит целый ряд соотношений между числами 1—10.
Случаи для подобных расчетов представляются на каждом шагу: напр.,
на тарелке лежит 4 яйца, я кладу туда еще 2—сколько всех яиц; на
одной ветке дерева 3 груши, а на другой 4—сколько всего груш; под
одной сосной мы нашли 5 грибов, под другой 3—сколько всех грибов;
сколько пальцев на двух руках; на заборе сидело 7 воробьев, 2 из них
улетело—сколько осталось; на тарелке лежит 10 огурцов, мы хотим
съесть 4—сколько останется; к столу нужно подать 8 ложек, я принес
5—сколько еще нужно принести, и т. п.
Подобные расчеты часто делаются над вещами, имеющимися налицо,
но на данной ступени иногда бывает нужно подсчитать и такие предметы,
которых нет перед глазами детей—и тут весьма целесообразно^ если вы-
числения иллюстрируются рисунками детей, хотя бы самыми примитив-
ными; эти рисунки вносят большую отчетливость в восприятие числа.
Наиболее естественно иллюстрируются такими рисунками вопросы, сво-
дящиеся к сложению: напр., я сорвал с одной веточки 3 вишни и с дру-
гой тоже 3—сколько у меня вишен; на одной стороне улицы 4 фонаря,
на другой 3—сколько всех фонарей; но не исключается возможность изо-
бразить рисунком и задачу на вычитание, хотя и с некоторой долей
условности и символизма—напр., если на заборе сидело 7 воробьев и из
них улетело 2, то ребенок может для иллюстрации этого нарисовать
7 воробьев на заборе, а затем двух из них перечеркнуть, или же нари-
совать рядом другую картину, где два воробья будут изображены летя-
щими, а сидящими на заборе остальные 5. Особенно уместны такие ри-
сунки, как запись виденного во время прогулки, экскурсии, или пережи-
того во время игры; на основе этих впечатлений и их иллюстрации могут
возникать тогда целые группы последовательных расчетов. Кроме зари-
совывания, весьма полезно также использовать и числовые фигуры, как
средство для записи числа; с помощью числовой фигуры дети могут не-
посредственно изображать результаты вычисления; но те же числовые фи-
гуры могут служить и для записи самого процесса вычисления: для записи
сложения мы будем составлять числовую фигуру из кружков различного
цвета, или еще проще—из кружков заштрихованных и незаштрихован-
ных; а для записи вычитания будем пользоваться вычеркиванием части
кружков из фигуры.
Мы не задаемся целью заставить каждого ребенка усвоить таким
образом все числовые соотношения в пределе 10, но значительная часть
этих соотношений сама собою запечатлеется при этом в памяти детей

Сначала это будут соотношения, касающиеся сложения двух равных сла-
гаемых: З.-f- 3, 4 -f- 4, 5 -f - 5, потом постепенно остальные соотношения
сложения и вычитания; из других соотношений понадобится практически
еще деление пополам и сравнительно реже—на четыре или три части^
причем деление это не ограничится, конечно, случаями деления нацело,
а приведет к знакомству с половинами, четвертями и третями. Повод для
этого—такие случаи, как необходимость разделить двум детям поровну
четыре яблока, шесть орехов, один хлеб, лист бумаги, ленту или же раз-
делить эти вещи поровну четверым, троим детям. Ясно, что деление по-
полам здесь является самым простым случаем; деление на четыре части
сводится к двойному делению пополам, а нахождение третьей части—заг
дача более сложная и требующая большего напряжения мысли. И здесь
процесс вычисления может быть иллюстрирован числовой фигурой (для
случаев деления нацело); деления же, приводящие к дробям, здесь ограни-
чивается обычно такими случаями, когда и «целое», и его части нахо-
дятся непосредственно перед глазами ребенка.
Далее возникает вопрос—знакомить ли детей с записью числа циф-
рами и когда это сделать? Дети в городской обстановке (среди которой
приходится вести свою работу большинству наших детских садов и до-
мов) окружены изображениями цифр—на номерах домов, на трамваях,
отрывном календаре и т. п., и потому не следует уклоняться от озна-
комления их с цифрами, но только необходимо, чтобы это ознакомление
происходило без принуждения и при удобном к тому случае. Наиболее
подходящее время для того будет тогда, когда ребенок знаком уже со
всеми числами 1—10 и с некоторыми их соотношениями, а также умеет
изображать числа первого десятка в виде числовых фигур; ознакомление
с цифрой будет тогда только естественным дальнейшим шагом—упроще-
нием и символизацией записи числа. Ближайшим поводом для ознакомле-
ния с цифрами может быть какая-либо цифра окружающей обстановки—
номер дома, квартиры, трамвайного вагона и т. п.; лучшим же средством
для усвоения значения цифр являются игры с выбрасыванием кубика, и
цифровое лото. В играх с кубиком на сторонах этого кубика изображены
уже не числовые фигуры, а цифры 1—6, в остальном же игра ведется, как
и раньше; игра же в цифровое лото состоит в том, чтобы по вынутой
цифре найти на карте лото ту числовую фигуру или группу предметов,
которая этой цифре соответствует.
Будем ли мы идти далее и помогать детям знакомиться с числами
второго десятка, а затем и сотни? Мы не преследуем целей системати-
ческого обучения ребенка в детском саду или соответствующих группах
детского дома, и потому большинство детей к концу пребывания в детском
саду (к концу 7—8 года жизни), вероятно, ограничатся указанными зна-
ниями о числах; отдельные же более быстро развивающиеся дети озна-
комятся и с числами второго десятка и даже со счетом десятками до ста.

Наряду с числовыми представлениями дети приобретут в процессе
повседневных расчетов также и представления о простейших мерах и
измерении длины и веса. Поводом к этому будут служить такие случаи,
как развешивание небольших порций хлеба или сахара, измерение длины
и ширины комнаты, окна, стола, расчеты, связанные с шитьем белья или
платья и т. п. Меры, с которыми при этом попутно JH практически озна-
комятся дети, могут быть, конечно, только из числа небольших и наибо-
лее употребительных в жизни—в настоящее время это будут фунт, пол-
фунта и четверть фунта, аршин, пол—и четверть аршина, вершки; в даль-
нейшем, когда метрические меры вытеснят у нас старые образцы, место
аршина и фунта займут здесь метр и килограмм и их части.
Подобным же путем—в процессе наблюдения окружающих вещей и
занятий лепкой и рисованием—дети приобретут представления и о наи-
более употребительных геометрических формах (шар, куб, круг, квадрат,
прямоугольник, треугольник, прямая и кривая линия). Замечу, что искус-
ственное расширение познаний детей о геометрических формах за пре-
делы указанных, употребительных в обыденной жизни—возможно и не
представляет больших затруднений, но в нем и нет вместе с тем ника-
кой необходимости. Плоские геометрические формы лучше всего и неза-
метно изучаются детьми при помощи игр со спичками и палочками.
Подводя итоги сказанному выше, мы можем придти к таким заклю-
чениям. В основе числовых представлений лежит восприятие ребенком
групп однородных вещей, а потому и арифметическая работа детей в до-
школьном возрасте должна опираться в первую очередь на восприятие
и воспроизведение ребенком небольших групп предме-
тов в связи с слуховыми восприятиями соответствую-
щих числительных имен. Поводов для этой работы мы не будем
создавать искусственно, но используем для нее все подходя-
щие случаи, возникающие в процессе жизни, труда и
игры детей. При этом группы однородных предметов должны воспроиз-
водиться и восприниматься ребенком как целиком, так и по частям
и посредством пересчитывания, но счет должен быть
конкретным, отчетливым и настолько медленным, чтобы
ребенок при нем воспринимал каждый раз и ассоциировал
с произносимым числом полностью всю образовавшуюся
при присоединении данной единицы группу, а не только
последний предмет; механическое и бессознательное повторение слов
числового ряда должно быть исключено, так как оно идет во вред разви_
тию числовых представлений у детей. Только при этих условиях мы мо-
жем расчитывать, что числовые представления, которые будут разви-
ваться у детей на почве их труда, игры и наблюдения окружающей жизни,
окажутся достаточно живыми и разносторонними и скажутся благопри-

ятными результатами в последующей работе детей, при изучении ими окру-
жающего мира и организации их жизни в коллективе. Мы используем
при этом все средства, которые дают возможность сде-
лать числовые представления детей (в области первого
десятка) наиболее живыми и отчетливыми (применение
числовых фигур), но вместе с тем будем избегать всякого
преждевременного и искусственного вмешательства в
развитие числовых представлений у детей, а также пред-
намеренного развития у них определенных формальных
навыков. В отношении измерительных навыков и восприя-
тия форм — достаточно ограничиться теми из них, кото-
рые связаны с повседневной жизнью детей.
На этом я мог бы и закончить рассмотрение основных вопросов,
касающихся математической работы с детьми дошкольного возраста; но
так как установленные здесь принципы в значительной степени противо-
чат традиционной практике, то необходимо будет с точки зрения их под-
вегнуть критике некоторые течения педагогической мысли в данной об-
ласти—в первую очередь систему Монтессори, изложенную в ее книге
«Дом ребенка» (Москва, изд. «Задруга», 1913).
Основной недостаток всей системы Монтессори в том, что она стре-
мится развить до возможно более высокого уровня все психические силы
и способности детей, независимо от того, вызывается ли это жизненными
потребностями ребенка в данный период или нет; так напр. чтению и
письму в детских садах Монтессори научаются дети 4—5 лет, т. е. в таком
возрасте, когда у ребенка еще очень беден запас непосредственных впе-
чатлений от жизни, и нет еще необходимости делиться с кем-нибудь
своими переживаниями на письме, а чтение книг, т. е. восприятие чужой
мысли вместо развития своей, является безусловно преждевременным. Так
построена у Монтессори и математическая работа детей: дети в возрасте
3—6 лет обучаются счету и вычислениям сначала в пределе 10, а потом
и до 100, не только устным, но и письменным, и хотя по свидетельству
Монтессори («Дом ребенка», стр. 304) большинство из них и приобретает
эти навыки, но нельзя не видеть, что для детей данного возраста такой
высокий уровень арифметических познаний отнюдь не является жизненно
необходимым, а интерес к упражнениям с числами оказывается вызванным
искусственно. В основу же ознакомления с числами первого десятка у
Монтессори положен однобокий метод сосчитывания—сначала дети счи-
тают предметы окружающей обстановки, потом применяют свои познания
к счету и размену денег, а после этого переходят к сосчитыванию деци-
метровых делений на серии соответствующих палочек (длиною от 1 до
10 дециметров); эти деления раскрашены поочередно в синий и красный
цвета (стр. 294—295). Цифры изучаются довольно рано (четырехлетними

детьми) и сначала чисто механически: ребенку показывают цифру, выре-
занную из наждачной бумаги и говорят—это один, это два, и т. п.; и
только после этого идут упражнения в установлении соответствия между
цифрами и числом. Но верхом искусственности являются при этом упраж-
нения с нулем: детям не только показывают 0, как отдельную цифру, обо-
значающую «ничего», т. е. отсутствие числа, но и задают им казуисти-
ческие поручения вроде: «подойди ко мне нуль раз» (стр. 297), что, ко-
нечно, сначала совершенно сбивает детей с толку и заставляет руково-
дительницу пространно разъяснять недоразумение, ею же самой вызванное.
Действия в пределе 10 и далее до 20 изучаются не столько на жизненных
задачах, сколько путем отвлеченных упражнений с дециметровыми палоч-
ками и с записью произведенного вычисления при помощи цифр и знаков
действий (стр. 300—304).
Насколько все это односторонне, абстрактно, подчас даже схола-
стично и решительно противоречит всем установленным выше принципам—
ясно без комментариев. Вообще подобная система не заслуживала бы
даже рассмотрения, если бы под нею не стояло имя Монтессори, считаю-
щейся авторитетом в деле дошкольного образования, и имеющей и у нас
своих ярых поклонников.
Не менее односторонним является приступ к изучению чисел первого
десятка в известной книге Лезана «Initiation mathematique», переведенной
на русский язык под названием «Новые пути ознакомления детей с мате-
матикой» (изд. Горбунова-Посадова,1) Москва, 1909). Книга эта вообще
содержит много ценного дидактического материала и пользуется поэтому
заслуженной известностью, но начинается она с безусловной дидакти-
ческой ошибки: автор советует использовать для первоначального зна-
комства с числами (для детей 4—5 лет) рисование и счет вертикальных
и горизонтальных палочек, и последовательные числа 1—10 изображать
соответственными рядами таких палочек. К этому он прибавляет: «Тут
же, рядом с нарисованными палочками, раскладывают ряды бобов, хлебных
зерен и других каких нибудь предметов и, показывая на них, говорят:
один, два, десять бобов, хлебных зерен и проч.» (стр. 10).
Ясно, что подобный приступ в достаточной мере является искус-
ственным, опирающимся односторонне преувеличенно на последовательный
счет и оставляющим без внимания восприятие группы предметов, как
целого. Правда, немного далее Лезан прибавляет: «хорошо также приучать
ребенка схватывать как можно быстрее взглядом кучку каких-либо пред-
метов, напр., жетонов, или бобов, и говорить число их сразу, не пересчи-
тывая один за одним; для этого необходимо начинать с очень маленьких
1) Книга Лезана в 1909—11 годах появилась на русском языке в нескольких
переводах под различными названиями; в 1922 году переиздана вновь Госизда-
том Р. С. Ф. С. Р.

чисел и увеличивать их постепенно» (стр. 11)—но, как известно, при
расположении палочек и даже бобов и жетонов в ряд это возможно лишь
при 3—4 предметах; о зависимости успешности восприятия и расширения
его пределов от способа расположения предметов в группу Лезан не
упоминает.
Книда. Лезана не предназначена специально для дошкольного обу-
чения; но в свое время она оказала у нас влияние и на эту область.
Так, напр., лениградский педагог Игнатьев, написавший книгу «Арифме-
тика для родителей и задачи для детей дошкольного возраста» (изд. Кар-
басникова, СПБ. 1909 г.), заимствует у Лезана целый ряд методических
приемов по обучению счету, нумерации, а затем и действиям в пределе
сотни. Книга Игнатьева написана для таких родителей, которые в те
времена имели возможность обучать своих детей дома до 9—10 летнего
возраста, а затем отдавали их прямо в среднюю школу; поэтому она со-
держит много материала, который в настоящее время уже никак нельзя
назвать «дошкольным» (приемы изучения нумерации, действия в пределе
100 и выше). Но начало книги как раз посвящено интересующему нас
вопросу—первоначальному ознакомлению ребенка с числами первого де-
сятка. И вот оказывается, что Игнатьев не только буквально повторяет
весь неудачный приступ Лезана (стр. 10—11), но и советует предвари-
тельно упражнять ребенка в усвоении механического счета. Вот что он
говорит на стр. 6—7 своей книги: «Первоначальное упражнение, напр.,
может состоять в частом повторении при ребенке слов: один, два, три.
Так, напр., можно их повторять, готовясь бросить, или подбросить мяч,
собираясь играть с ребенком в перегонки, или догонять его... и т. д.
Упражнения, очевидно, можно разнообразить всячески, лишь бы порядок
этих трех слов незаметно и механически сам собою врезался в память
ребенка, и он без всякого принуждения будет при случае повторять их
сам. Далее можно прибегнуть, напр., к счету пальчиков на руке, пред-
метов на картинках или кубиков. до 5, или очков домино до 5, или
спичек, или иных предметов и т. д.... Простой, легкий и притом
весьма доступный способ обратить внимание ребенка на слова последо-
вательного счета состоит также в том, чтобы громко и последовательно
считать при нем ступеньки крыльца или лестницы, взбираясь или спу-
скаясь... Опыт показывает, что при упражнениях, подобных указан-
ным выше, и где детей не заставляют ничего ни повторять, ни заучи-
вать, они довольно скоро и легко научаются вести правильный последо-
вательный счет (или, вернее, называть слова) от 1 до 10 или до 12, и
даже до 20». Автор, повидимому, отдает себе отчет в том, что таким
образом ребенок запоминает только слова числового ряда, но не увели-
чивает своего запаса сведений о числах, однако нисколько этим не сму-
щается и определенно утверждает, что «если после всего этого малень-

кий ребенок на самых первых порах обнаружит в небольших сравни-
тельно пределах просто механическое только усвоение счета по порядку
то это нисколько не помешает дальнейшему, а, напротив, поможет»
(стр. 8).
Мы видели уже, что последнее заключение автора следовало бы вы-
сказать как раз наоборот: механическое усвоение счета, рекомендуемое
им, не только не поможет дальнейшей работе детей, а, напротив, поме-
шает им во-время выработать сознательные и отчетливые представления
о числах первого десятка. Вся система первоначального введения ребенка
в область арифметических понятий, рекомендуемая Игнатьевым, оказы-
вается, таким образом, построенной на песке.
Указанные выше примеры расхождения между выводами современной
педологии и приемами, которых придерживаются в математической работе
с детьми дошкольного возраста даже авторитетные педагоги—показы-
вают, что в этой области должна быть произведена основательная пере-
работка и переоценка ценностей традиционной дошкольной педагогики,
И есть основания думать, что она будет произведена в духе принципов
установленных в настоящем труде.

ПРИЛОЖЕНИЕ.
Указатель литературы по вопросам методики математики, рас-
сматриваемым в данном труде.
Список книг, приводимый ниже, имет целью помочь читателю без
лишней затраты времени ориентироваться в современной литературе по
методике математики—в той части ее, которая относится к вопросам,
разбираемым в настоящем труде. Поэтому в него включены не все суще-
ствующие по данному предмету книги и даже не все сочинения, известные
автору, а только те из них, которые либо прямо могут быть рекомендо-
ваны читателю, либо хотя и страдают недочетами (указываемыми в отзы-
вах), но могут быть по тем или иным причинам полезными или инте-
ресными для более обстоятельного ознакомления с данным вопросом.
I. Книги по общим вопросам методики математики и ее психологиче-
ского обоснования (цели, программа и метод обучения математике).
1. Шохор-Троцкий. Начальная математика. Методы первоначаль-
ного обучения (статья в издании «Педагбгическая Академия в очерках и
монографиях», изд. кн-ва «Польза», Москва, 1910 г.).
В данной статье изложены психологические основы и существенные
черты конкретно-индуктивного метода обучения начальной математике и
указаны в общих чертах те приемы, при помощи которых он должен
проводиться на практике. Статья эта написана еще в дореволюционную
пору, но до сих пор сохраняет свою ценность, как введение в методику
начальной математики.
2. Юнг. Как преподавать математику. Перев. с англ. под ред. Ку-
лишера, изд. т-ва «Общественная Польза», вып. I—II, Птгр. 1912 г. Стр. 428»
(переиздано Госиздатом РСФСР в 1922 г.).
Автор этой книги—профессор методики математики в одном из аме-
риканских университетов (в Чикаго), сторонник реформы преподавания
математики на началах активной работы учащихся и близости учебного
материала к жизни. Его сочинение представляет собою обстоятельный и
ценный труд, посвященный обучению математике в средней школе; общие
вопросы методики математики рассматриваются в первой части книги.

3. Володкевич. К вопросу о реформе преподавания математики.
Изд. кн-ва «Сотрудник», Птгр.—Киев, 1910 г. Стр. 60.
Небольшая брошюра, рассматривающая главным образом вопрос о
методе обучения геометрии на начальной ступени, но вместе с тем в ней
исследуются и психологические предпосылки метода обучения математике
вообще! и даются сведения о заграничном реформационном движении в
этой области.
4. Мрочек и Филиппович. Педагогика математики. Том I. Изд.
Богдановой, Птгр. 1910 г. Стр. 380.
Компилятивная работа по иностранным источникам, посвященная
психологическому и историческому обоснованию лабораторного метода в
преподавании математики и разработке его основных положений. Книга
написана живо и, не без интереса, но страдает существенными промахами
как в обще-теоретической, так и в прикладной части (многие утвержде-
ния авторов необоснованы, а методические приемы не всегда целе-
сообразны).
5. Симон. Дидактика и методика математики в средней школе.
Перев. с нем. Яшунского. Изд. т-ва «Физика», Птгр. 1912 г. Стр. 257.
(Переиздана т-вом «Начатки Знаний» по заказу Госиздата РСФСР в 1922 г.
под названием «Дидактика и методика математики в школе 2-й ступени»).
Книга имеет главным образом исторический интерес: автор ее—
педагог старой германской школы и смотрит на математику преимуще-*
ственнно как на орудие формального умственного развития. Что же ка-
сается реформистеских идей в преподавании математики в Германии, то
они нашли свое отражение в следующих крупных трудах, не переведенных
на русский язык: 1) Hofler. Didaktik des mathematischen Unterrichts-
Verlag v. Teubner, Leipzig und Berlin 1910. S. 509. 2) Lietzmann.
Methodik des mathematischen Unterrichts. Verlag v. Quelle und Meyer,
Leipzig 19І9, I Teil. S. 337, II Teil. S. 367 (второе изд. вышло в 1923 г.).
6. Ланков. Математика в трудовой школе. Изд. кн-ва «Работник
Просвещения», Москва 1923 г. Стр. 167.
Краткий, но содержательный очерк методики математики для учителей
младших групп трудовой школы, ценный как введение в практическую
сторону современной методики. Теоретическому обоснованию принципов
методики уделено, однако, мало места; классификация методов неудовле-
творительна. Книжка .содержит довольно подробный указатель литера-
туры по обучению математике.
7. Воропай. Математика в трудовій школі. Вид. Держвидату
Украши, Полтава 1923 р. Ст. 60.
Краткий очерк основных положений современной методики с прило-
жением образца программы по математике для семилетней трудшколы.
Программа составлена в духе современных принципов, по несоразмерно

велика для трудовой школы (для 7-го года введена, напр., теория пределов
с приложениями, основы учения о производной и интеірале); есть спорные
методические указания (напр., решение простейших уравнений начи-
нается с первого года).
8. План работ в семилетней трудовой школе, вырабо-
танный экспертной комиссией при Киевском Губсоцвосе. Изд. Губнар-
образа, Киев 1922 г. Стр. 168.
В этом труде дается программа по математике для семилетней тру-
довой школы (приведенная и на стр.13—20 данной книги), с объяснительной
запиской и с указанием занятий и трудовых процессов, дающих материал
для ее разработки. Имеется также указатель литературы по обучению
математике.
Программы младшего концентра семилетней трудовой школы, данные
в указываемом труде, были пересмотрены Киевским Научпедкомом и
переизданы отдельно под названием «Опыт практического осуще-
ствления комплексного метода» (изд. Госиздата Украины, Киев
1923 г., стр. 92—на русском и украинском языках). Программа матема-
тики для первых трех лет трудовой школы в этом издании почти совпадает
с соответствующей частью программы предыдущего издания; кроме того,
дается еще программа четвертого года для четырехлетней сельской школы.
9. Программы семилетней единой трудовой школы.
Изд. Наркомпроса РСФСР, Москва 1921 г. Стр. 360.
Программы математики (стр. 107—122) составлена в духе совре-
менных методов и снабжена подробной объяснительной запиской и особым
приложением (стр. 123—144), посвященным графическому методу в ал-
гебре. Невполне удачно распределение материала первых лет; обучение
наглядной геометрии обособлено от арифметики. Несмотря на это про-
грамма остается ценной для современной школы.
10. Новые программы для единой трудовой школы.
Вып. I. Изд. Госиздата РСФСР, Москва 1923 г. Стр. 142.
В этом первом выпуске новых программ трудовой школы Нарком-
проса РСФСР даются программы первых двух лет школы 1-й ступени и
первого года школы 2-й ступени (соответствующего пятому году обучения
вообще). Программы составлены на основе идеи комплексного обучения и
в этом отношении значительно ушли вперед от программы 1921 года. По
математике в программе 1-й ступени уделено слишком мало внимания
сравнительно с другими областями образовательной работы. Программа
по математике для первого года 2-й ступени (стр. 123—127) более об-
стоятельна и стремится обосновать обучение математике на материале
из окружающей жизни, главный образом сельско-хозяйственной.
В 1924 г. вышло новое издание этих программ («Новые про-
граммы единой трудовой школы первой ступени». I, II, III

и IV годы обучения. Изд-во «Работник Просвещения». Стр. 121), в кото-
ром дается комплексная программа для первых четырых лет обучения, с
отдельными вариантами для сельской и городское школы для первых трех
лет. И в этом издании программ математике уделено слишком мало вни-
мания; весьма важный вопрос о соотношении между разработкой ком-
плексных тем и приобретением математических навыков освещен недо-
статочно ясно и определенно (стр. 5, 14).
11. Руководство,по социальному воспитанию, вып. I-
Изд. 2-е Главсоцвоса УССР, Харьков 1923 г. Стр.338 (есть параллельное
издание и на украинском языке).
Программа по математике для семилетней трудовой школы (стр.
186—224) составлена в духе современных методов и сопровождается об-
стоятельной объяснительной запиской. Много методических указаний, за
небольшими исключениями, ценных и вполне соответствующих духу со-
временной школы. Есть недочеты в распланировке математического мате-
риала (дроби в арифметике, курс геометрии в старших группах); ука-
затель литературы по математике (данный в конце книге на стр. 324—327)
несистематичен, пестрит опечатками.
Новое издание «Руководство по социальному воспитанию» (Госизд.
Украины 1924 г. Стр. 319)—дает комплексные программы для трудшколы-
семилетки, в двух вариантах—для сельской школы (стр. 151—211) и для
городской (стр. 212—262); имеется и объяснительная записка к программе
математики и астрономии с перечнем формальных знаний для каждого
года (стр. 279—285), однако записка эта слишком коротка и не решает
основного вопроса о взаимоотношении между комплексными темами и до-
стижением программного минимума математических знаний.
II. Исследования по вопросам о развитии числовых представлений у детей
и условиях, ему благоприятствующих. Пособия по математической работе
с детьми дошкольного возраста.
12. Лебединцев. Развитие числовых представлений у ребенка в
раннем детстве. Изд. Госиздата Украины, Киев 1923 г. Стр. 100.
Исследования автора, излагаемые в этой книге, легли в основу
главы V настоящего труда и неоднократно в ней цитируются.
13. Лай. Руководство к первоначальному обучению арифметике,
основанное на результатах дидактических опытов. Перев. с нем. под. ред.
Волковского. Изд. 5-е, Москва 1916 г. Стр. 408.
Самым ценным в этом известном труде Лая являются его изыскания
по вопросу об условиях, наиболее способствующих восприятию числа и
образованию отчетливых числовых представлений (см. главу VI настоящего
труда); интересны также сведения о развитии числовых представлений у

первобытных народов и дикарей. Методическая же система Лая разрабо-
тана применительно к условиям немецкой начальной школы (где, между
прочим, систематическое обучение начинается с шестилетнего возраста)
и поэтому в нашей современной трудовой школе неприменима без соот-
ветствующей переработки.
Другой труд, также содержащий весьма ценные экспериментально-
дидактические исследования в области восприятия детьми чисел—Walse-
mann. Anschauungslehre der Rechenkunst. Verlag v. Ibbeken, Schleswig
1907, S. 218—остался непереведенным на русский язык (см. о нем также
в гл. VI).
14. Мейман. Лекции по экспериментальной педагогике, ч. III. Перев.
с нем. под ред. Виноградова, изд. т-ва «Мир», Москва 1910 г. Стр. 259.
(Последнее немецкое изд. носит название: Vorlesungen zur Einftihrung
in die experimentelle Pudagogik und ihre psychologischen GrundlageiK
Verlag v. Engelmann, Leipzig 1922 r. S. 919).
В этой части капитального труда Меймана есть глава (лекция 16-я
по русскому изданию и 19-я по указанному немецкому), которая посвя-
щена вопросу о" психологических основах обучения счислению и об экс-
периментальных исследованиях в области восприятия числа. Вопрос
изложен с большой полнотой и объективностью, но взгляды на развитие
первоначальных числовых представлений вызывают возражения (см. гл. V
настоящей книги).
15. Монтессори. Дом ребенка. Перев. с итал. Займовского, изд.
т-ва «Задруга», Москва 1913 г. Стр. 339.
Труды Монтессори в области дошкольного воспитания пользуются
большой известностью; математической работе посвящены отделы на
стр. 209—214 и 218—220 (знакомство с геометрическими формами), а
также стр. 294—304 (обучение счету и введение в арифметику). Обучение
начаткам счисления по Монтессори страдает односторонностью—опи-
рается почти исключительно на пересчитывание, и уделяет слишком
много места развитию формальных навыков вне зависимости от жизненных
потребностей в том ребенка (см. гл. VII настоящей книги, стр. 84—85).
16. Лезан. Новые пути ознакомление детей с математикой. Перев.
с франц. Шараповой, изд. Горбунова-Посадова, Москва-1909 г. Стр. 131,
(переиздано Госиздатом РСФСР в 1922 г.).
Книга Лезана, написанная независимо от какой-либо программы,
имеет в виду детей преимущественно школьного возраста; но первые
страницы ее (7—11) посвящены первоначальному знакомству ребенка с
числами и тем самым захватывают область дошкольной работы. Труд
Лезана был одной из первых попыток реформировать начальное матема-
тическое образование в духе современных принципов и имеет и до сих
пор большую ценность для школьных работников; что же касается пер-

воначального подхода к числам, то он невполне удачен (см. в данной
книге на стр. 85—87—критику указанной части труда и составленной под
его влиянием книги Игнатьева «Арифметика для родителей и задачник для
детей дошкольного возраста», изд. Карбасникова, Птгр. 1909 г. Стр. 84).
17. Дорошенкова. Дитячий садок. Вид. профспілки цукровиків,
Ки?в 1922 р. Ст. 224.
Арифметической работе с детьми посвящены стр. 191—195 данной
книги; автор высказывается против систематического обучения детей
счислению в детском саду и с этой точки зрения критикует методы Мон-
тессори и Тихеевой, с чем можно вполне согласиться.
18. Грацианский. Первые шаги. Методические указания и сбор-
ник упражнений и задач для обучения начаткам математики. Изд. т-ва
«Начатки Знаний», Птгр. 1922 г. Стр. 80.
Книга эта предназначена, собственно говоря, для первого года
школьного обучения; но первая глава ее (стр. 5—20) посвящена перво-
начальному ознакомлению с числами первого десятка, и рекомендуемые
там приемы вполне применимы и для дошкольной работы с детьми в духе
современных принципов; там между прочим указывается, как использовать
числовые фигуры Лая, а также детские игры—домино, лото и др. в целях
попутного математического развития детей.
19. Цунзер и Горбунова. Живые числа. Наглядная арифметика
для школы и семьи. Изд. Горбунова-Посадова, Москва 1912 г. Стр. 132
(переиздано Госиздатом РСФСР в 1922 г.).
В этом задачнике арифметический материал переплетается с упраж-
нениями в рисовании, вырезывании, с рассказами из детской жизни и
детскими играми; задачник предназначен для первого года обучения, но
первые два отдела его могут быть использованы и в дошкольной работе
детей.
20. Тромгольт. Игры со спичками. Перев. с нем. Изд. «Матезис»,
Одесса 1907 г. Стр. 146.
В этой книжечке дается целый ряд интересных игр со спичками,
простейшие из которых могут быть доступны и для детей дошкольного
возраста.
21. Кемниц. Математика в детском саду. Изд. Сытина, Москва
1921 г. £тр. 80.
Книжка изложена в форме ряда примерных бесед с детьми, приво-
дящих последних в процессе работы (рисования, вырезывания и т. п.) к
наглядному усвоению чисел первого десятка и простейших геометриче-
ских понятий. Хотя книжка эта имеет в виду систематическое изучение
счисления в детском саду и с этой стороны вызывает возражение, но
многие рекомендуемые в ней приемы вполне подходят для детей дошколь-

ного возраста и могут быть использованы для попутного ознакомления
их с числом и формой.
22. Струтзерс. Числа в играх. Перев. с англ. Лансберг под ред.
Чехова. Изд. т-ва «Задруга», Москва 1914 г. Стр. 56.
В книжке этой дан порядочный подбор игр, главным образом по-
движных, в процессе которых дети дошкольного возраста могут ознако-
миться с числами первого десятка и цифрами. Часть рекомендуемых игр
нельзя не признать искусственными, но все же книжка представляет
интерес для работников детских садов.