Лебединцев К. Ф. Метод обучения математике в старой и новой школе. — 1914

Методъ обученія математикѣ въ старой
и новой школѣ.
Мы въ свое время много смѣялись надъ практикой классической
школы, вмѣнявшей въ обязанность учащимся переводить съ рус-
скаго на греческій языкъ такія, напр., фразы: „плоды масличныхъ
деревъ были благородны"; „души ростовщиковъ были потрясены
силою пассатныхъ вѣтровъ", или даже: „лѣнивые люди похожи
на мореплавателей, ибо и тѣ и другіе, хотя и постоянно плаваютъ,
но проплытое оставляютъ ничѣмъ не удобнѣе непроплытаго".
Но и въ практикѣ современнаго намъ преподаванія математики
можно указать такіе же перлы. Вотъ, напр., условіе задачи 370-й
изъ сборника Ипатова 1), появившагося въ свѣтъ въ 1910 г. и
черезъ годъ выпущеннаго вторымъ изданіемъ:
„Нанятъ слуга съ условіемъ платить ему за каждый слѣдующій
мѣсяцъ больше предыдущаго на 80 копеекъ; когда истекъ тотъ
мѣсяцъ, за который онъ получилъ 16 руб. 50 к., то онъ разсчи-
талъ, что тѣ же деньги за все прослуженное время онъ могъ бы
заработать раньше на число мѣсяцевъ, логариѳмъ котораго при
основаніи 2 0,6 равенъ 1,(6), если бы ему каждый мѣсяцъ платили
столько рублей, сколько единицъ въ членѣ разложенія бинома,
1) В. M. Ипатовъ. Сборникъ алгебраическихъ задачъ (повторительный курсъ
средн. уч. заведеній).

содержащемъ первую степень х, при х = 0,1. Когда слуга сдѣлалъ
этотъ расчетъ?"
A вотъ еще задача 3053-я изъ задачника Тихомирова1), вы-
шедшаго въ 1909 I. седьмымъ изданіемъ:
„Въ тотъ моментъ, когда поѣздъ поднялся на вершину длин-
наго подъема, послѣдній вагонъ оторвался и началъ спускаться
назадъ, пробѣгая въ первую секунду 5 арш., во вторую 15 арш.,
въ третью 25 арш. и т. д. Въ концѣ 12-й минуты вагонъ достигъ
нижней точки подъема и разбился. Какова была скорость (его) въ
послѣднюю секунду?"
Соль этой задачи не сразу даетъ себя почувствовать. Но если
произвести вычисленіе согласно условію, то выходитъ во 1-хъ,
что въ послѣднюю секунду вагонъ долженъ былъ. пролетѣть раз-
стояніе около 5 верстъ (7195 аршинъ; это число дано и въ спискѣ
отвѣтовъ, что исключаетъ возможность предполагать опечатку
въ условіи); во 2-хъ, что весь подъемъ, съ котораго скатился
этотъ вагонъ въ теченіе 12 минутъ, имѣлъ въ длину 1728 верстъ,
т.-е. былъ немногимъ короче, чѣмъ разстояніе отъ Петербурга до
Одессы; въ 3-хъ, что подъемъ этотъ, если считать его за наклон-
ную плоскость, представлялъ крутую гору съ уклономъ не менѣе
46 градусовъ, a въ вышину долженъ былъ превосходить самыя
высокія горы, имѣющіяся на земной поверхности, приблизительно
въ полтораста разъ. Остается вообразить себѣ, насколько солид-
нымъ должно быть то препятствіе, о которое въ концѣ концовъ
разбился данный вагонъ, мчавшійся съ такой головокружитель-
ной быстротой!
Конечно, такого рода задачи, выходящія изъ ряда вонъ по
своей несообразности, являются исключеніями. Но эти исключенія
хорошо характеризуютъ ту систему, на почвѣ которой они вы-
росли. Если пересмотрѣть сборники задачъ по всѣмъ отдѣламъ
математики, наиболѣе употребительные въ нашей средней школѣ,
то можно удивиться изобилію чисто формальныхъ упражненій и
задачъ отвлеченнаго характера, a въ задачахъ, взятыхъ
1) Е. II. Тихомировъ. Примѣры и задачи по начальной алгебрѣ. Система-
тическое пособіе для среднихъ учебн. заведеній.

какъ будто изъ жизни, найти немало примѣровъ рѣзкаго расхо-
жденія съ дѣйствительностью. Если же взять какой-либо изъ
сборниковъ, служащихъ для подготовки къ выпускнымъ экзаме-
намъ, или одно изъ собраній задачъ, предлагавшихся на этихъ
экзаменахъ въ послѣднія 10—15 лѣтъ, то можно убѣдиться, что
входящія въ нихъ задачи носятъ сплошь отвлеченный характеръ,
и по большей части (какъ и приведенная задача изъ сборника
Ипатова), состоятъ изъ ряда отдѣльныхъ вопросовъ, чисто меха-
нически связанныхъ въ одно нестройное и неудобопроизносимое цѣ-
лое. И вообще матеріалъ для практическихъ упражненій по мате-
матикѣ въ нашей средней школѣ (да и не только въ средней),
какъ показываютъ примѣняемые въ ней задачники, страдаетъ
двумя недостатками: абстрактностью содержанія и отсутствіемъ
связи съ жизнью.
Подобнымъ же образомъ обстоитъ дѣло и съ теоретическимъ
курсомъ математики. Какъ извѣстно, въ руководствахъ, составлен-
ныхъ примѣнительно къ традиціонному методу обученія, дается
обыкновенно такъ называемое систематическое изложеніе того или
иного отдѣла математики въ видѣ логической цѣпи истинъ, опи-
рающихся въ концѣ концовъ на возможно меньшее число аксіомъ
и соглашеній. Такой способъ изложенія принято называть науч-
нымъ. Правильнѣе было бы назвать его наукообразнымъ, такъ
какъ, разумѣется, ни въ одномъ самомъ строго систематическомъ
учебникѣ для средней школы не излагаются основанія ариѳметики
въ такомъ видѣ, какъ они формулированы, напр., у Дедекинда
или основанія геометріи по Гильберту, а всегда допускается большее
или меньшее число различныхъ „нестрогостей". Кто знакомъ съ
наиболѣе употребительными учебниками, составленными въ тра-
диціонномъ духѣ, тотъ знаетъ, что подчасъ эти „нестрогости"
появляются даже тамъ, гдѣ безъ нихъ отлично можно обойтись,
и что существуютъ такіе злополучнее ;отдѣлы въ курсѣ элемен-
тарной математики, традиціонное изложеніе которыхъ представля-
етъ одну сплошную „нестрогость": напр., ученіе о „кажущейся
неопредѣленности" въ алгебрѣ или въ геометріи ученіе объ от-
ношеніяхъ несоизмѣримыхъ отрѣзковъ, о длинѣ окружности и
площади круга, о поверхностяхъ и объемахъ круглыхъ тѣлъ. Но

это обстоятельство, т.-е. наличность чисто-научныхъ промаховъ
во многихъ традиціонныхъ учебникахъ, не является еще самымъ
серьезнымъ ихъ недостаткомъ; болѣе существенно то, что всѣ они,
въ томъ числѣ и безупречные съ научной точки зрѣнія, изложены
съ явнымъ и подавляющимъ преобладаніемъ абстракціи надъ кон-
кретнымъ матеріаломъ и логики надъ интуиціей: сначала предла-
гаются, въ чисто отвлеченной формѣ, общія опредѣленія и положенія,
и лишь затѣмъ они поясняются на частныхъ примѣрахъ, зачастую
тоже носящихъ отвлеченный характеръ; доказываются при помощи
логическихъ умозаключеній подчасъ даже и такія истины, несо-
мнѣнность которыхъ кажется учащимся совершенно очевидной. Вотъ
этотъ-то абстрактно-дедуктивный методъ изложенія и является глав-
нымъ тормозомъ при изученіи математики въ средней школѣ, такъ
какъ способность къ логическому мышленію у учащихся младшаго
и даже средняго возраста не развита еще въ такой мѣрѣ, чтобы
они могли осилить предлагаемую имъ систему отвлеченныхъ истинъ.
Правда, практика преподаванія не всегда слѣдуетъ за традиціон-
нымъ учебникомъ и допускаетъ, въ особенности въ младшихъ
классахъ, довольно существенныя отступленія въ сторону нагляд-
ности и удобопонятности изложенія, но тамъ, гдѣ традиціонный
методъ проводится во всей его неприкосновенности — тамъ матема-
тика становится для учащихся скучнымъ, сухимъ и необычайно
тяжелымъ предметомъ, такимъ самымъ жупеломъ, какимъ явля-
лись въ былыя времена древніе языки съ ихъ грамматикой и
экстемпораліями.
Справедливость вышеизложеннаго признаютъ обыкновенно и сами
сторонники традиціоннаго метода преподаванія. Они соглашаются,
что наша школьная математика, излагаемая въ видѣ системы от-
влеченныхъ истинъ, усваивается учащимися съ большимъ трудомъ
и по окончаніи курса быстро исчезаетъ изъ памяти послѣднихъ.
Но они считаютъ, что эти соображенія все же не колеблютъ основъ
традиціонной системы. Они полагаютъ, что учащіеся, изучая ма-
тематику въ ея систематическомъ изложеніи, получаютъ значитель-
ное формальное развитіе умственныхъ способностей, совершенно
независимо отъ того, приложимы ли къ чему-нибудь изучаемыя
ими истины и удерживаются ли онѣ въ памяти послѣ окончанія

школы. И въ этомъ именно формальномъ умственномъ развитіи
они видятъ цѣль и смыслъ изученія математики въ школѣ.
Вотъ эта вѣра въ безусловное развивающее вліяніе математики
и представляетъ собою тотъ базисъ, на которомъ держится тра-
диціонная система преподаванія математики уже столько лѣтъ.
Намъ и предстоитъ разобрать, насколько эта вѣра обоснована.
Прежде всего нужно выяснить точно и опредѣленно, что соб-
ственно подразумѣвается здѣсь подъ формальнымъ умственнымъ
развитіемъ. Когда утверждаютъ, что изученіе математики способ-
ствуетъ формальному умственному развитію учащихся, то этимъ
обыкновенно хотятъ сказать, что лицо, изучавшее математику,
сравнительно съ лицомъ, не изучавшимъ таковой, окажется при
прочихъ равныхъ условіяхъ болѣе способнымъ составлять правиль-
ныя сужденія, умозаключенія и выводы не только въ области мате-
матики и ея приложеній, но и въ другихъ областяхъ науки и жизни.
Это утвержденіе должно бы быть обосновано или на резуль-
татахъ опыта, или на данныхъ психологическаго анализа. Но,
какъ извѣстно, прямыхъ опытовъ, подтверждающихъ такую роль
математики въ дѣлѣ умственнаго развитія, мы не имѣемъ: экспе-
риментальная психологія и педагогика трудятся пока еще надъ
разрѣшеніемъ болѣе простыхъ проблемъ, и если мы можемъ рас-
считывать въ будущемъ на освѣщеніе интересующаго насъ вопроса
экспериментальными данными, то все же въ настоящемъ такихъ
данныхъ у насъ еще нѣтъ. Данныя же простого наблюденія го-
ворятъ, что учащіеся, съ успѣхомъ занимающіеся математикой, не
всегда оказываются способными къ изученію другихъ наукъ, и что
подчасъ даже выдающіеся математики обнаруживаютъ весьма
невысокій умственный уровень, когда имъ приходится составлять
сужденія въ какой-либо области знаній за предѣлами своей спе-
ціальности. Конечно, выдающіеся успѣхи въ математикѣ иной разъ
совмѣщаются съ широкимъ умственнымъ развитіемъ и въ другихъ
областяхъ, но уже одна наличность вышеупомянутыхъ фактовъ
односторонняго умственнаго развитія въ области математики за-
ставляетъ заключать, что традиціонное мнѣніе о безусловномъ
развивающемъ вліяніи математики не вполнѣ согласуется съ дѣй-
ствительностью.

Обратимся теперь къ даннымъ психологическаго анализа. Какъ
извѣстно, въ современной психологіи имѣются нѣкоторыя основа-
нія утверждать, что упражненіе какого-либо частнаго вида данной
психической функціи сопровождается развитіемъ не только этого
вида функціи, но и другихъ ея категорій, или, какъ иначе гово-
рятъ, сопровождается сопутствующимъ упражненіемъ соответствен-
ной общей функціи. Такъ, напр., Мейманъ, производя экспери-
менты надъ памятью, нашелъ, что упражненіе въ заучиваніи без-
смысленныхъ слоговъ сопровождается усиленіемъ памяти не только
на безсмысленные слоги, но также и нѣкоторымъ усиленіемъ
всѣхъ другихъ видовъ памяти, при чемъ это „сопутствующее
упражненіе" болѣе всего сказывалось на видахъ памяти, родствен-
ныхъ съ даннымъ, напр., памяти на отдѣльныя буквы, числа,
вообще при усвоеніи матеріала, запоминаемаго болѣе или менѣе
механически; на остальныхъ же видахъ памяти „сопутствующее
упражненіе" сказывалось въ меньшей и меньшей мѣрѣ*). При
этомъ Мейманъ прибавляетъ, что это явленіе—-сопутствующее
упражненіе родственныхъ видовъ дѣятельности—„есть, вѣроятно,
общее психофизическое явленіе, такъ какъ мы наблюдаемъ его
во всѣхъ психическихъ и физическихъ функціяхъ2).
Взгляды Меймана раздѣляются не всѣми психологами, но до-
пустимъ, что они безспорны, и посмотримъ, возможно ли на нихъ
обосновать традиціонную точку зрѣнія. Въ самомъ дѣлѣ, исходя
изъ вышесказаннаго, мы можемъ признать вѣроятнымъ, что изу-
ченіе математики сопровождается развитіемъ не только математи-
ческаго мышленія, но и другихъ видовъ мышленія, болѣе или ме-
нѣе родственныхъ послѣднему. Вся суть теперь въ томъ, какіе же
виды мышленія мы можемъ считать родственными съ математиче-
скимъ. Такъ какъ въ математикѣ мы имѣемъ дѣло преимуще-
ственно съ дедукціей, то мы въ правѣ ожидать, что изученіе ма-
тематики скажется въ развитіи дедуктивныхъ видовъ мышленія,
возможность же сопутствующаго упражненія и въ области индук-
1 ) Мейманъ. Лекціи по экспериментальной педагогикѣ (перев. подъ редакц.
Виноградова), ч. II, стр. 237—240.
2) Тамъ же, стр. 241.

тивнаго мышленія будетъ весьма ограничена, такъ какъ въ ма-
тематикъ индукція требуетъ сравнительно небольшого числа про-
стыхъ наблюденій, въ другихъ же наукахъ она совершается при
посредствѣ многочисленныхъ и сложныхъ наблюденій и опытовъ.
A кромѣ того и самый процессъ дедуктивнаго мышленія не мо-
жетъ считаться вполнѣ тождественнымъ во всѣхъ областяхъ зна-
нія, такъ какъ составленіе меньшей посылки силлогизма требуетъ
всегда констатированія нѣкотораго факта, а для этого необходимо
предварительное наблюденіе или самонаблюденіе, т.-е. процессъ,
который въ различныхъ случаяхъ требуетъ дѣятельности весьма
различныхъ сторонъ человѣческаго организма и психики. Пояс-
нимъ это примѣромъ.
Пусть математикъ вычисляетъ произведеніе 53.47 и строитъ
такой силлогизмъ: „произведеніе суммы какихъ-либо двухъ чиселъ
на ихъ разность равно разности квадратовъ этихъ чиселъ; въ данномъ
случаѣ множимое 53 представляетъ сумму двухъ чиселъ (50-(-3),
а множитель 47 — разность тѣхъ же чиселъ: слѣдовательно,
искомое произведеніе должно быть равно 502 — З2". Чтобы такой
силлогизмъ могъ сложиться въ умѣ этого математика, необходима
наличность двухъ условій: во 1-хъ, онъ долженъ констатировать
фактъ, что первое изъ данныхъ чиселъ является суммою двухъ
чиселъ, а второе—ихъ разностью; во 2-хъ, въ его психикѣ
должна существовать ассоціація между представленіемъ объ этомъ
фактѣ и о тождествѣ искомаго произведенія и разности квадра-
товъ указанныхъ чиселъ.
Съ этимъ силлогизмомъ сравнимъ другой. Пусть присяжный за-
сѣдатель при разборѣ дѣла объ убійствѣ приходитъ къ заключе-
нію, что убійство имѣло мѣсто въ состояніи необходимой оборо-
ны, и разсуждаетъ такъ: „если кто-либо совершитъ убійство въ
состояніи необходимой обороны, то въ дѣяніи его нѣтъ состава
преступленія; доказано, что подсудимый Сидоровъ убилъ Петрова
въ состояніи необходимой обороны; слѣдовательно, въ его дѣйствіи
нѣтъ состава преступленія". Такой силлогизмъ возможенъ въ умѣ
даннаго присяжнаго засѣдателя опять же при наличности двухъ
условій: во 1-хъ, онъ долженъ констатировать фактъ, что убійство
совершенно въ состояніи необходимой оборовы; во 2-хъ, въ его умѣ

должна быть прочная ассоціація между представленіями объ этомъ
фактѣ и объ отсутствіи состава преступленія.
Нетрудно видѣть, что тѣ психологическія предпосылки, которыя
въ обоихъ разсмотрѣнныхъ случаяхъ обусловливаютъ возможность
дѣйствительнаго возникновенія данныхъ силлогизмовъ, не могутъ
считаться тождественными: и констатированіе факта требуетъ со-
вершенно разнородныхъ наблюденій, и необходимыя ассоціаціи
исходятъ изъ различныхъ областей. Поэтому мы въ правѣ ска-
зать, что не всѣ виды дедуктивнаго мышленія могутъ считаться
одинаково родственными другъ другу, a слѣдовательно, не всѣ виды
дедуктивнаго мышленія могутъ въ равной мѣрѣ подвергаться влія-
нію сопутствующаго упражненія отъ изученія математики. Можно,
напр., ожидать, что изученіе математики разовьетъ способность къ
правильному мышленію въ области теоретической механики или
астрономіи, вообще такихъ наукъ, положенія которыхъ находятся
въ тѣсной ассоціативной связи съ математическими или которыя
сходны съ математикой по способу установленія фактовъ; но со-
путствующеее умственное развитіе въ другихъ областяхъ знанія
можетъ сказываться въ меньшей и меньшей мѣрѣ или вовсе не
будетъ имѣть мѣста; напр., изученіе математики врядъ ли ока-
жется подготовкой къ усвоенію сравнительнаго языкознанія, и
для послѣдней цѣли, несомнѣнно, гораздо важнѣе предваритель-
ное изученіе отдѣльныхъ языковъ. Такимъ образомъ, развитое
математическое мышленіе, съ точки зрѣнія педагогики, есть хотя
и весьма важный, но спеціальный навыкъ, обладаніе которымъ
еще не гарантируетъ общаго умственнаго развитія; послѣднее
пріобрѣтается только болѣе или менѣе равномѣрной работой въ
различныхъ областяхъ знанія.
Изъ установленныхъ нами положеній мы можемъ теперь сдѣ-
лать одинъ выводъ, крайне важный для педагогической практики.
Именно, мы можемъ заключить, что, упражняя учащихся въ пере-
дѣлкѣ громоздкихъ отвлеченныхъ примѣровъ и въ рѣшеніи вычур-
ныхъ, неестественныхъ задачъ въ родѣ тѣхъ, которыя были цитиро-
ваны во вступленіи, мы, пожалуй, совершенствуемъ ихъ мысль въ
дѣлѣ расшифровки математическихъ и иныхъ ребусовъ и голово-
ломокъ, но отнюдь не дѣлаемъ ихъ болѣе способными къ пра-

вильному мышленію въ какой-либо области, имѣющей отношеніе
къ жизни или наукѣ. Иначе говоря, мы приходимъ къ одному
изъ кардинальныхъ положеній современной методики математики,
именно: если мы желаемъ, чтобы учащіеся получили благодаря
изученію математики возможно болѣе широкое умственное разви-
тіе, то мы должны упражнять ихъ математическое мышленіе на
такомъ матеріалѣ, который имѣлъ бы прямую связь съ областью
другихъ наукъ и съ явленіями жизни въ самомъ обширномъ смы-
слѣ этого слова.
Этимъ положеніемъ опредѣляется желательный для новой школы
характеръ практическихъ упражненій по математикѣ. На ряду съ
этимъ необходимо установить соотвѣтственную точку зрѣнія и на
преподаваніе теоретическаго курса ея.
Какъ было уже упомянуто, традиціонный абстрактно-дедуктив-
ный методъ преподаванія математики на практикѣ сталкивается
съ весьма серьезными препятствіями: съ одной стороны, дедук-
тивный доказательства многихъ важныхъ истинъ очень сложны и
непосильны для учащихся (напр., доказательство неизмѣняемо-
сти произведенія отъ перемѣны порядка сомножителей въ курсѣ
ариѳметики цѣлыхъ чиселъ); съ другой стороны, учащіеся никакъ
не могутъ взять въ толкъ, зачѣмъ доказываются при помощи раз-
сужденій такія истины, справедливость которыхъ имъ и безъ того
очевидна (напр., теорема о томъ, что на данную прямую изъ
точки, лежащей внѣ ея, можно опустить только одинъ перпенди-
куляръ). Поэтому естественно поставить вопросъ: должны ли мы
при преподаваніи математики излагать ее учащимся въ системати-
ческой формѣ, возможно болѣе приближающейся къ ея научному
изложенію, или необходимы, изъ педагогическихъ соображеній,
отступленія отъ этой формы, и если да, то въ какой мѣрѣ?
Необходимость считаться съ психологіей обучающихся матема-
тикѣ дѣтей и юношей сдѣлалась въ настоящее время настолько
очевидной, что врядъ ли кто станетъ стоять за абстрактно-дедук-
тивный методъ на протяженіи всего курса средней школы; но
какъ именно сочетать въ этомъ • курсѣ научныя и педагогическія
точки зрѣнія,—этотъ вопросъ является въ настоящее время са-
мымъ жгучимъ. Находятся и такіе сторонники реформы, которые

предлагаютъ не считаться вовсе съ научными данными и считаютъ
допустимыми въ преподаваніи неточныя и даже завѣдомо невѣрныя
объясненія, лишь бы только эти объясненія казались понятными
для учащихся; а равно допускаютъ и догматическое сообщеніе
тѣхъ истинъ, объясненіе которыхъ слишкомъ затруднительно 1).
Разумѣется, эти предложенія, какими бы заманчивыми и на видъ
прогрессивными доводами они ни мотивировались, должны быть
рѣшительно отвергнуты. Догматизмъ въ преподаваніи всегда оста-
вляетъ нѣкоторую неудовлетворенность въ сознаніи учащихся и
ни къ чему, кромѣ механическаго запоминанія, привести не мо-
жетъ; а если школа вступитъ на дорогу завѣдомо неточныхъ и
невѣрныхъ объясненій, то она рискуетъ совершенно утратить въ
глазахъ учащихся свой авторитетъ: рано или поздно учащійся
узнаетъ, что нѣкоторыя сообщенныя ему свѣдѣнія ошибочны, и
невольно заподозритъ достовѣрность всего того, чему онъ научился
въ школѣ.
Напротивъ, необходимо установить категорически и безъ вся-
кихъ исключеній, что въ учебномъ предметѣ мы не можемъ ни
утверждать чего-либо противорѣчащаго тому, что утверждается
въ наукѣ, ни пользоваться такими способами объясненій, которые
содержатъ логическій дефектъ и потому не могутъ считаться
пріемлемыми съ научной точки зрѣнія. Въ этомъ, т.-е. въ отсут-
ствіи противорѣчій между наукой и учебнымъ предметомъ, и за-
ключается необходимая научность курсовъ, предлагаемыхъ въ
средней школѣ. Но мы можемъ и должны въ подходящихъ слу-
чаяхъ вмѣсто дедуктивнаго доказательства той или иной матема-
тической истины заставлять учащихся убѣдиться въ справедливо-
сти ея индуктивнымъ путемъ на рядѣ цѣлесообразно подобран-
ныхъ конкретныхъ примѣровъ. Вмѣсто того, чтобы доказывать уча-
щимся перваго класса при помощи логическихъ умозаключеній
перемѣстительный законъ умноженія, достаточно дать имъ продѣ-
лать нѣкоторое число примѣровъ на умноженіе одинаковыхъ
!) См., напр., „Труды перваго всероссійскаго съѣзда учителей городскихъ
по Положенію 1872 года училищъ", т. II, ч. 2, стр. 12, рѣчь проф. химіи
Алексѣева.

сомножителей въ разномъ порядкѣ и убѣдиться въ неизмѣняемо-
сти произведенія во всѣхъ этихъ случаяхъ. Вмѣсто того, чтобы дока-
зывать, что на прямую изъ внѣшней точки можно опустить только
одинъ перпендикуляръ, достаточно заставить учащихся продѣлать
соотвѣтственное построеніе помощью линейки и наугольника и по-
пробовать построить черезъ ту же точку второй перпендикуляръ.
Такой конкретно-индуктивный методъ обученія дѣлаетъ излиш-
ними всякій догматизмъ и логическія натяжки. Зачѣмъ, напр.,
заставлять ученика принимать на вѣру, что всѣ прямые углы рав-
ны между собой, если при помощи сгибанія и наложенія соотвѣт-
ствующихъ вырѣзокъ изъ бумаги, легко изготовляемыхъ имъ по
указаніямъ учителя, онъ можетъ пріобрѣсти достаточно прочную
увѣренность въ равенствѣ прямыхъ угловъ? Зачѣмъ нагромождать
цѣлый рядъ небезупречныхъ логическихъ ухищреній, какъ это
дѣлается при обычномъ вычисленій отношенія окружности къ діа-
метру, если при помощи непосредственныхъ измѣреній круглыхъ
предметовъ учащіеся могутъ безъ особеннаго труда опредѣлить
это отношеніе, хотя бы и съ небольшой степенью точности?
Кромѣ того, конкретно-индуктивный методъ обученія даетъ
наибольшій возможный просторъ самодѣятельности учащихся. Не
пассивное воспріятіе разсужденій со словъ учителя ставится при
немъ въ основу преподаванія, а самостоятельная работа учащихся
и самостоятельные ихъ выводы и заключенія подъ руководствомъ
учителя.
При этомъ подъ самостоятельной работой учащихся мы под-
разумѣваемъ не одно только наблюденіе свойствъ чиселъ, фор-
мулъ и чертежей, а вообще изученіе всѣхъ предметовъ и явленій
внѣшняго міра, могущихъ служить матеріаломъ для ознакомленія
съ математическими истинами.
Особенно ясно сказывается эта сторона конкретно-нндуктивнаго
метода при первоначальномъ обученіи геометріи: изученіе свойствъ
геометрическихъ тѣлъ по окружающимъ предметамъ, вырѣзываніе,
склеиваніе и вылѣпливаніе моделей и послѣдующее ихъ изученіе
и измѣреніе, изготовленіе чертежей, производство измѣреній на
мѣстности—вотъ тѣ пути, помощью которыхъ знакомятся уча-
щіеся новыхъ школъ съ основными геометрическими истинами.

Самая важная черта конкретно-индуктивнаго метода состоитъ въ
томъ, что онъ даетъ учащимся наивысшую степень субъективной
увѣренности въ достовѣрности изучаемыхъ истинъ. Какъ извѣстно,
и мы взрослые не всегда удовлетворяемся умозрительнымъ дока-
зательствомъ той или иной теоріи, того или иного положенія;
даже тогда, когда мы не сомнѣваемся въ правильности нашихъ
выводовъ, мы стремимся провѣрить, согласуются ли они съ пока-
заніями нашихъ чувствъ. Тѣмъ болѣе это справедливо относительно
дѣтей и подростковъ, изучающихъ школьную математику и не
владѣющихъ еще въ полной мѣрѣ аппаратомъ логическаго мышленія.
Въ виду вышеизложеннаго, даже въ тѣхъ случаяхъ, когда де-
дуктивное доказательство какой-либо математической истины до-
ступно для учащихся, бываетъ небезполезно предпосылать ему
нѣкоторую индуктивную подготовку. Такъ, напр., при изученіи
свойствъ ариѳметической прогрессіи, прежде чѣмъ доказывать въ
общемъ видѣ, что сумма членовъ, равноотстоящихъ отъ крайнихъ,
будетъ равна суммѣ крайнихъ, цѣлесообразнѣе всего сперва за-
ставить учащихся открыть эту истину на частныхъ примѣрахъ и
лишь затѣмъ познакомить ихъ съ общимъ доказательствомъ.
Наконецъ, конкретно-индуктивный методъ представляетъ един-
ственно правильный съ педагогической точки зрѣнія путь при
усвоеніи опредѣленій и условій, вводимыхъ въ математику. Тотъ
порядокъ, котораго держалась при изложеніи опредѣленій старая
школа—сперва дать опредѣленіе догматически, a затѣмъ пояснитъ
его на частныхъ примѣрахъ—страдаетъ существенными недостат-
ками. Если, напр., учитель сообщаетъ учащимся опредѣленіе:
„логариѳмомъ даннаго числа называется показатель степени, въ
которую надо возвысить нѣкоторое постоянное число, называем е
основаніемъ, чтобы получить въ результатѣ данное число",—то
лишь тѣ учащіеся, которые способны одновременно вообразить
подходящій конкретный примѣръ, воспримутъ данное опредѣлен е
сознательно; остальные же не будутъ представлять себѣ ничего,
кромѣ словъ, и если преподаватель тутъ же не иллюстрируетъ
своего опредѣленія конкретными примѣрами, то все дальнѣйшее
изложеніе будетъ построено на пескѣ. Но не проще ли въ та-
комъ случаѣ и начать съ этихъ конкретныхъ примѣровъ? Пусть

преподаватель заставитъ учащихся вычислить рядъ степеней въ родѣ
слѣдующаго: 52 = 25,5s = 125,5* = 625,55 = 3125 , и укажетъ,
что показателей принято называть логариѳмами полученныхъ чи-
селъ при данномъ основаніи 5; пусть онъ предложитъ учащимся
написать нѣсколько подобныхъ рядовъ съ другими основаніями, и
послѣ. этого они смогутъ точно и сознательно формулировать от-
вѣтъ на вопросъ, что такое логариѳмъ даннаго числа при дан-
номъ основаніи.
Такой пріемъ находится въ соотвѣтствіи съ данными современ-
ной психологіи. Можно считать безспорнымъ, что процессъ отвле-
ченія совершается у насъ только въ рамкахъ конкретнаго; если
мы думаемъ, напр., о шарѣ вообще, мы представляемъ себѣ шаръ
вполнѣ опредѣленныхъ размѣровъ въ опредѣленномъ положеніи,
но направляемъ наше вниманіе лишь на существенныя свойства
даннаго шара, и по этой именно причинѣ представленіе объ од-
номъ опредѣленномъ шарѣ играетъ для насъ роль родового об-
раза. Другими словами, „мы имѣемъ типическія индивидуальныя
представленія и общія представленія только въ томъ смыслѣ, что
мы можемъ выбрать примѣры или замѣстителей цѣлой группы
воспріятіи и въ состояніи сосредоточить вниманіе на извѣстныхъ
опредѣленныхъ частяхъ или свойствахъ, которыя (въ болѣе или
менѣе измѣненномъ видѣ) можно снова встрѣтить во всѣхъ сход-
ныхъ воспріятіяхъ... Искусство отвлеченіе основывается преиму-
щественно на способности сосредоточивать вниманіе указаннымъ
образомъ** *). А потому задача учителя при составленіи новыхъ
понятій въ курсѣ математики въ томъ и состоитъ, чтобы дать
учащимся такіе типичные конкретные примѣры, въ которыхъ на
первый планъ выступили бы важные, существенные признаки дан-
наго понятія, и привлечь вниманіе учащихся именно къ этимъ
признакамъ; словесная формулировка понятія, такимъ образомъ
пріобрѣтеннаго, будетъ уже не трудна, и учащіеся смогутъ
дать ее вполнѣ самостоятельно или съ помощью наводящихъ
вопросовъ.
1) Гефдингъ. Очерка психологіи, основанной на опытѣ. Пере», подъ ред.
Колубовскаго, стр. 167.

Подобнымъ образомъ слѣдуетъ поступать и при расширеніи ка-
кихъ-либо понятій, напр., понятія о числѣ и о дѣйствіяхъ. Въ
этомъ вопросѣ грѣшатъ абстрактностью и догматизмомъ не только
традиционные способы объясненій, но и пріемы, выдвигаемые нѣ-
которыми сторонниками реформы. Напр., правило знаковъ при
умноженіи отрицательныхъ чиселъ въ нѣкоторыхъ руководствахъ,
какъ стараго, такъ и новаго типа излагается просто въ видѣ
условія, сообщаемаго догматически: условимся называть произве-
деніемъ двухъ положительныхъ или отрицательныхъ чиселъ то
положительное число, абсолютная величина котораго равна про-
изведенію абсолютныхъ величинъ данныхъ чиселъ, a произведе-
ніемъ отрицательнаго числа на положительное или наоборотъ—
то отрицательное число, абсолютная величина котораго равна
произведенію абсолютныхъ величинъ данныхъ чиселъ. Такой прі-
емъ находится въ соотвѣтствіи съ научными взглядами: такъ на-
зываемое „правило знаковъ" есть, въ сущности говоря, опре-
дѣленіе произведенія; но съ педагогической точки зрѣнія такой
пріемъ никакъ не можетъ быть оправданъ, такъ какъ учащіеся,
естественно, спросятъ, съ какой же цѣлью принимается подоб-
ное условіе, и этотъ ихъ совершенно законный вопросъ останется
безъ всякаго отвѣта. Поэтому необходимо, здѣсь и въ другихъ
аналогичныхъ случаяхъ, исходить изъ условія подходящей со-
вершенно конкретной задачи. Для даннаго случая пригодна, напр.,
такая задача: „Со станціи желѣзной дороги отходитъ, направляясь
вправо, поѣздъ, проходящій по a верстъ въ каждый часъ; гдѣ
онъ будетъ спустя t часовъ?" Полагая сперва данныя числа а и
t положительными (напр., а = 40, 2 = 3), учащіеся найдутъ, что
задача рѣшается умноженіемъ (искомое разстояніе x — at)\ тогда
можно предложить имъ придать одному или обоимъ даннымъ чи-
сламъ не только положительныя, но и отрицательныя значенія,
рѣшать каждый разъ получаемую задачу по соображенію и во
всѣхъ случаяхъ считать найденный отвѣтъ произведеніемъ дан-
1) Билибинъ. Учебникъ алгебры.
Левитусъ. Курсъ элементарной алгебры.
Чихавовъ. Учебникъ алгебры.

ныхъ чиселъ. Такъ, для случая отрицательныхъ значеній обоихъ
данныхъ чиселъ, напр., а =— 40, t = — 3, задача приметъ видъ:
„Со станціи выходитъ влѣво поѣздъ, проходящій по 40 верстъ въ
каждый часъ; гдѣ онъ былъ 3 часа тому назадъ (если предполо-
жить, что движеніе его совершалось съ той же скоростью и въ
томъ же направленіи)?" Такъ какъ очевидно, что поѣздъ долженъ
былъ при этихъ условіяхъ придти на станцію съ правой стороны,
и 3 часа тому назадъ находился въ 120 верстахъ вправо отъ нея,
то отвѣтъ задачи выражается положительнымъ числомъ 120, и мы
получаемъ (— 40). (— 3) = —|— 120. Разобравъ подобнымъ образомъ
всѣ возможные случаи сочетанія знаковъ, учащіеся подъ руковод-
ствомъ вопросовъ преподавателя могутъ сами формулировать из-
вѣстное правило.
Какъ видно изъ вышеизложеннаго, конкретно-индуктивный ме-
тодъ играетъ существенную роль на всѣхъ ступеняхъ обученія
математикѣ; но само собою разумѣется, что онъ не только не
исключаетъ дедукціи, но долженъ быть съ нею неразрывно свя-
занъ, въ особенности на высшихъ ступеняхъ курса. По мѣрѣ
того, какъ развиваются логическія способности учащихся и воз-
никаетъ у нихъ потребность въ прочномъ обоснованіи изучаемыхъ
истинъ, долженъ имѣть мѣсто переходъ отъ чисто индуктивныхъ
воспріятіи къ болѣе или менѣе сложнымъ разсужденіямъ, отъ
констатированія отдѣльныхъ математическихъ истинъ къ устано-
вленію логической связи между этими истинами. Когда именно
долженъ начаться такой переходъ,—этого мы не можемъ устано-
вить вполнѣ опрёдѣленно, такъ какъ законы развитія отвлеченнаго
мышленія у ребенка еще не изучены; но согласно изслѣдованіямъ
Меймана, совпадающимъ съ данными простого наблюденія, можно
думать, что приблизительно лишь на 14-мъ году жизни учащіеся
дѣлаются способными сознательно пользоваться рядомъ умозаклю-
ченіе „оказываются въ состояніи видѣть связь между выполняе-
мыми умозаключеніями и понимать ихъ" 1). Въ связи съ этимъ
обстоятельствомъ можно предложить раздѣленіе курса нынѣшней
средней школы на концентры, въ каждомъ изъ которыхъ методъ
1) Мейманъ. Лекціи по экспериментальной педагогикѣ, т. I, стр. 228—229.

преподаванія видоизмѣнялся бы сообразно степени умственнаго
развитія учащихся.
Первый концентръ, соотвѣтствующій отроческому возрасту уча-
щихся отъ 10 до 13 лѣтъ, включаетъ обученіе ариѳметикѣ, гео-
метріи и начальнымъ свѣдѣніямъ по алгебрѣ. На этой ступени
усвоеніе новыхъ понятій и истинъ должно идти исключительно
конкретно-индуктивнымъ путемъ, съ широкимъ примѣненіемъ такъ
называемыхъ лабораторныхъ пріемовъ: со свойствами геометриче-
ских ь тѣлъ и фигуръ учащіеся будутъ знакомиться путемъ изуче-
нія предметовъ окружающей обстановки и моделей,' ими самими
изготовляемыхъ изъ бумаги, картона, глины, деревянныхъ доще-
чекъ и палочекъ и т. д., наконецъ, путемъ простѣйшихъ геоде-
зическихъ измѣреній; дѣйствія надъ числами будутъ изучаться при
посредствѣ цѣлесообразныхъ задачъ, съ содержаніемъ, близкимъ
къ жизни, а основные законы дѣйствій и принципы алгебры бу-
дутъ устанавливаться на основаніи конкретныхъ примѣровъ, надле-
жащимъ образомъ подобранныхъ.
Второй концентръ, соотвѣтствующій переходному возрасту отъ
13 до 16 лѣтъ, обнимаетъ основной курсъ алгебры (уравненія и
функціи 1-й и 2-й степени въ связи съ необходимыми алгебраи-
ческими преобразованіями, ученіе о прогрессіяхъ и логариѳмахъ),
и сверхъ того такъ называемый систематическій курсъ геометріи
со включеніемъ началъ тригонометріи. Въ этомъ именно концентрѣ
учащіеся должны быть мало-по-малу пріучаемы къ дедуктивному
мышленію. Съ этой цѣлью преподаватель можетъ предварительно
на конкретныхъ примѣрахъ выяснить учащимся, что бываютъ такіе
случаи, когда эмпирическое установленіе какой-либо истины за-
труднительно вслѣдствіе погрѣшностей въ измѣреніяхъ 1), и за-
тѣмъ помощью наводящихъ вопросовъ онъ будетъ въ состояніи
заставить учащихся обосновать эту истину на какихъ-либо дру-
гихъ, болѣе для нихъ очевидныхъ. Выяснивъ себѣ такимъ обра-
зомъ сущность и значеніе дедуктивныхъ пріемовъ разсужденія,
учащіеся смогутъ установить логическую связь между многими
1) Весьма подходящимъ примѣромъ является вопросъ о суммѣ угловъ тре-
угольника.

положеніями, изучавшимися раньше чисто эмпирически и незави-
симо другъ отъ друга, и такимъ образомъ приведутъ свои позна-
нія въ нѣкоторую систему, различая тѣ истины, которыя
установлены ими на основаніи опыта, отъ тѣхъ, которыя доказы-
ваются на основаніи предыдущихъ. Такого рода умственная ра-
бота можетъ быть проведена главнымъ образомъ въ геометріи,
вслѣдствіе чего ея курсъ и названъ здѣсь систематическимъ кур-
сомъ; но, конечно, невозможно, да и не нужно превращать всѣ
прежнія „аксіомы" въ „теоремы", и не можетъ быть рѣчи о по-
строеніи такого систематическаго курса геометріи, который содер-
жалъ бы наименьшее возможное число недоказуемыхъ истинъ; всѣ
совершенно очевидныя истины, а также и тѣ, дедуктивное дока-
зательство которыхъ непосильно для учащихся, должны попреж-
нему оставаться на положеніи „аксіомъ", устанавливаемыхъ на
основаніи опыта. Что касается опредѣленій, соглашеній и пра-
вилъ, то они, разумѣется, попрежнему должны разрабатываться
конкретно-индуктивнымъ путемъ; равнымъ образомъ найдутъ при-
мѣненіе, въ подходящихъ случаяхъ, лабораторные пріемы, вклю-
чая сюда и принципъ графическаго изображенія.'
Наконецъ, третій и послѣдній концентръ, соотвѣтствующій
юношескому возрасту отъ 16 до 18 лѣтъ, долженъ быть посвя-
щенъ ознакомленію съ элементами аналитической геометріи, диф-
ференціальнаго и интегральнаго исчисленія, а также систематизи-
рующему повторенію основъ всего пройденнаго курса математики,
въ связи съ сообщеніемъ необходимыхъ философскихъ и истори-
ческихъ свѣдѣній. И на этой ступени конкретно-индуктивный ме-
тодъ сохраняетъ свою силу при усвоеніи новыхъ понятій' опре-
дѣленій и правилъ, но зато здѣсь доказываются дедуктивно и та-
кія истины, которыя на предыдущихъ ступеняхъ были усвоены
чисто эмпирически (напр., всѣ почти основные законы дѣйствій
надъ числами), и такимъ образомъ заканчивается необходимая
систематизація всѣхъ отдѣловъ математики; конечно, и здѣсь
нѣтъ надобности стремиться къ минимуму недоказуемыхъ основ-
ныхъ истинъ; важно, чтобы учащіеся восприняли и усвоили себѣ
не только содержаніе математики, какъ орудія міропознанія, но
и ея научный строй.

Нечего добавлять, что на всѣхъ ступеняхъ обученія должно
быть обращено вниманіе на установленіе тѣсной связи различныхъ
отдѣловъ математики между собой и съ другими науками, a ха-
рактеръ практическихъ упражненій долженъ быть близокъ къ ок-
ружающей насъ дѣйствительности.
Таковы основы метода обученія математикѣ, соотвѣтствующаго
духу новой школы. Сущность этого метода можетъ быть выражена
въ немногихъ словахъ: самостоятельное установленіе математиче-
скихъ законовъ при помощи изученія конкретныхъ фактовъ, и
приложеніе этихъ законовъ къ рѣшенію разныхъ вопросовъ, ко-
торые ставитъ человѣку жизнь. И только при этихъ условіяхъ
изученіе математики является драгоцѣннымъ вкладомъ въ общее
образованіе.

Экспериментальныя изслѣдованія въ
области методики начальной ариѳме-
тики.
До послѣдняго времени методика ариѳметики, не только у насъ,
но и въ другихъ странахъ, шла впередъ и развивалась чисто
эмпирическимъ путемъ: отдѣльные талантливые педагоги, скорѣе
чутьемъ, чѣмъ на основаніи положительныхъ данныхъ, находили
удачные пріемы для разъясненія учащимся тѣхъ или иныхъ поня-
тій, для сообщенія имъ тѣхъ или другихъ навыковъ; эти пріемы
связывались въ болѣе или менѣе стройную систему, сообразно
общимъ педагогическимъ воззрѣніямъ ихъ изобрѣтателя, и подвер-
гались провѣркѣ въ его личной учебной практикѣ: другіе же пе-
дагоги либо воспринимали эти пріемы на вѣру, поддаваясь авто-
ритету творца данной системы, либо оцѣнивали достоинство при-
мѣняемыхъ пріемовъ на основаніи общихъ результатовъ своей
учебной дѣятельности. Такой путь развитія методики ариѳметики
имѣлъ, конечно, свои цѣнныя стороны, потому что пріемы обуче-
нія создавались не безъ связи со школьной практикой и до из-
вѣстной степени провѣрялись въ школьной жизни; но онъ былъ
сопряженъ и съ существенными недостатками, такъ какъ по
общимъ результатамъ обученія нельзя еще было судить, на-
сколько цѣлесообразенъ тотъ или иной отдѣльный пріемъ, то или
иное расположеніе учебнаго матеріала или наглядное пособіе; и
личный опытъ одного учителя не могъ служить достаточнымъ
контролемъ дли личнаго опыта другихъ, даже не могъ быть срав-

ниваемъ съ личнымъ опытомъ другихъ педагоговъ. Поэтому sa
послѣднее время все болѣе и болѣе распространяется убѣжденіе,
что и методика ариѳметики, подобно другимъ отраслямъ педагоги-
ческой науки, должна исходить изъ данныхъ, добытыхъ точнымъ
наблюденіемъ и опытомъ, доступнымъ всестороннему контролю и
провѣркѣ; иначе говоря, въ помощь и на смѣну чисто эмпириче-
скому способу установленія истинъ методики ариѳметики долженъ
придти способъ экспериментальный. Вотъ почему небезполезно бу-
детъ выяснить, какія были произведены важнѣйшія эксперимен-
тальныя изслѣдованія въ области методики начальной ариѳметики
и какое вліяніе они могутъ оказать на школьную практику.
Я остановлюсь прежде всего на изслѣдованіяхъ нѣмецкаго пе-
дагога Лая, изложенныхъ въ его трудѣ „Руководство къ перво-
начальному обученію ариѳметикѣ, основанное на результатахъ ди-
дактическихъ опытовъ" (это сочиненіе вышло въ свѣтъ въ Гер-
маніи въ 1898 г. *), а переведено на русскій языкъ въ 1909 г.).
Лай однимъ изъ первыхъ пришелъ къ мысли, что наличность мно-
жества нерѣшенныхъ вопросовъ въ современной методикѣ ариѳме-
тики и противорѣчій между отдѣльными методистами объясняется
отсутствіемъ твердой почвы для сравненія изслѣдованій отдѣльныхъ
педагоговъ, и задался цѣлью разрѣшить нѣкоторые вопросы изъ
области первоначальнаго обученія ариѳметикѣ съ помощью плано-
мѣрныхъ опытовъ надъ отдѣльными дѣтьми и надъ цѣлыми клас-
сами, притомъ опытовъ такого рода, которые могли бы въ точно-
сти воспроизводиться и другими изслѣдователями и результаты
которыхъ можно было бы точно записывать и сравнивать между
собой. Вопросы, которые онъ себѣ поставилъ, были слѣдующіе:
при какихъ условіяхъ въ умѣ ребенка возникаютъ наиболѣе ясныя
и отчетливыя числовыя представленія—при воспріятіи ли группы
однородныхъ предметовъ, расположенныхъ въ пространствѣ, или
же при воспріятіи ряда однородныхъ явленій, слѣдующихъ другъ
за другомъ во времени? до какого предѣла простирается область
чиселъ, доступныхъ непосредственному воспріятію? зависитъ ли
1) Русскій переводъ выполненъ (подъ редакціей Д. Л. Волковскаго) по
2-му нѣмецкому изданію, появившемуся въ 1907 г,

этотъ предѣлъ отъ различнаго расположенія однородныхъ предме-
товъ, при помощи которыхъ изображено число, и если да, то ка-
кое расположеніе предметовъ въ пространствѣ является наиболѣе
благопріятнымъ для непосредственнаго воспріятія числа? какое зна-
ченіе, въ смыслѣ наилучшаго воспріятія числа, имѣютъ величина,
форма и окраска воспринимаемыхъ зрѣніемъ предметовъ? могутъ
ли отчетливыя числовыя представленія возникать только при по-
средствѣ чувства зрѣнія или же и другія чувства, напр., осязаніе,
также способствуютъ возникновенію этихъ представленій, и т. д.
Изслѣдованія Лая коснулись сперва вопроса о томъ, какія вос-
пріятія болѣе благопріятны для образованія отчетливыхъ предста-
вленій числа—воспріятіе ли группы однородныхъ предметовъ или
воспріятіе послѣдовательныхъ однородныхъ явленій. Уже одно то
обстоятельство, что всѣ употребительныя наглядныя пособія для
обученія счисленію построены именно на воспріятіи группъ одно-
родныхъ предметовъ, заставляетъ предполагать, что простран-
ственный воспріятія играютъ въ данномъ случаѣ болѣе важную
роль; но г. Лай желалъ получить по этому вопросу болѣе точныя
данныя и произвелъ рядъ опытовъ надъ отдѣльными дѣтьми 4—6-
лѣтняго возраста. Съ одной стороны, онъ заставлялъ ихъ воспри-
нимать рядъ послѣдовательныхъ стуковъ по столу или по доскѣ
(отъ 2 до 4 стуковъ въ секунду), при чемъ стукъ производился
такъ, что дѣти не видѣли стучащаго предмета, а только слышали
звуки; съ другой стороны, онъ показывалъ имъ однородные пред-
меты (тоже отъ 2 до 4), расположенные въ рядъ, при чемъ время,
въ теченіе котораго они могли видѣть эти предметы, было еще
болѣе короткимъ, чѣмъ въ первомъ случаѣ, и возможность пере-
считать предметы одинъ за другимъ была тѣмъ самымъ исклю-
чена. Количество ошибокъ, сдѣланныхъ дѣтьми при томъ и дру-
гомъ способѣ воспріятія числа, замѣчалось и сравнивалось: въ
результатѣ обнаружилось, что при обозрѣніи однородныхъ пред-
метовъ дѣти дѣлали значительно меньше ошибокъ, чѣмъ при вос-
пріятіи стуковъ, и тѣмъ самымъ была подтверждена мысль, что
воспріятіе однородныхъ предметовъ болѣе способствуетъ образова-
нію ясныхъ и отчетливыхъ числовыхъ представленій, чѣмъ воспрія-
тіе явленій, послѣдорательныхъ во времени.

Послѣ того Лай перешелъ къ наиболѣе важной части своихъ
опытовъ, именно къ изслѣдованію вопроса о томъ, какое распо-
ложеніе однородныхъ предметовъ въ пространствѣ можетъ вызы-
вать наиболѣе ясныя и отчетливыя представленія числа. Эти опыты
онъ производилъ въ болѣе широкомъ масштабѣ, въ классахъ, а
не надъ отдѣльными дѣтьми, и изъ всѣхъ возможныхъ располо-
женіи предметовъ выбиралъ именно тѣ, которыя примѣнялись въ
наиболѣе употребительныхъ наглядныхъ пособіяхъ; такъ, напр.,
онъ задался цѣлью сравнить: какъ выгоднѣе располагать кружки
или шарики, въ одинъ ли горизонтальный рядъ, какъ расположены
шарики русскихъ счетовъ, или въ два горизонтальныхъ ряда, съ
промежутками послѣ каждаго кружка или шарика.
Рис. 1. Борновскія числовыя фигуры.
Опыты эти располагались слѣдующимъ образомъ. Были изгото-
влены таблицы изъ бѣлой бумаги, на которыхъ числа перваго де-
сятка были изображены черными кружками, расположенными то
въ одинъ рядъ, то въ два ряда въ видѣ такъ называемыхъ
Борновскихъ числовыхъ фигуръ !). (См. рисунокъ).
Какая-либо изъ этихъ таблицъ прикрѣплялась къ классной
доскѣ, при чемъ до времени опыта она была закрыта отъ глазъ
!j Борновскія числовыя фигуры, названныя такъ по имени ихъ изобрѣта-
теля, нѣмецкаго педагога Борна, представляютъ изображенія чиселъ перваго
десятка помощью кружковъ, расположенныхъ въ два горизонтальныхъ ряда,
съ одинаковыми промежутками послѣ каждаго кружка (были введены въ упо-
требленіе еще въ GO-хъ годахъ).

учащихся ширмой; передъ началомъ опыта пускался въ ходъ ме-
трономъ, дѣлавшій отъ 60 до 140 качаній въ минуту; экспери-
ментаторъ предупреждалъ учащихся, чтобы они смотрѣли внима-
тельно на доску, снималъ ширму въ тактъ метронома, а за слѣ-
дующимъ ударомъ маятника ставилъ ее снова на мѣсто, такъ что
учащіеся могли наблюдать таблицу съ кружками въ теченіе одного
качанія маятника (1—3/7 сек.). Затѣмъ они должны были сейчасъ
же изобразить на бумагѣ точками ту числовую фигуру, которую
только-что видѣли. Подобнымъ образомъ имъ показывали попере-
мѣнно числовыя фигуры то одного, то другого изъ сравниваемыхъ
типовъ; затѣмъ отбирали листки съ сдѣланными изображеніями
фигуръ, подсчитывали количество ошибокъ, сдѣланныхъ въ той и
другой группѣ изображеній, и сравнивали, какому расположенію
кружковъ соотвѣтствуетъ меньшее число ошибокъ. Такіе опыты
Лай производилъ, съ одной стороны, надъ учащимися перваго года
обученія, съ другой стороны, надъ учащимися учительской семи-
наріи; для сравненія двухъ расположеній кружковъ — въ одинъ
рядъ и въ два ряда въ видѣ Борновскихъ числовыхъ фигуръ —
было разсмотрѣно въ общемъ около тысячи отдѣльныхъ записей
учащихся, при чемъ расположеніе кружковъ въ два ряда въ видѣ
Борновскихъ числовыхъ фигуръ оказалось значительно болѣе
благопріятнымъ: оно дало лишь 17,7% ошибочныхъ записей про-
тивъ 42% ошибокъ при расположеніи кружковъ въ одинъ гори-
зонтальный рядъ.
Подобнымъ же образомъ были сравниваемы другъ съ другомъ и
иныя расположенія однородныхъ предметовъ въ пространствѣ. Въ
результатѣ своихъ опытовъ Лай нашелъ, что изображеніе чиселъ
помощью черточекъ прямоугольной формы, а также изображеніе
чиселъ на пальцахъ даетъ гораздо менѣе удовлетворительные ре-
зультаты, чѣмъ примѣненіе указанныхъ выше Борновскихъ число-
выхъ фигуръ; сверхъ того, оказалось, что есть одно расположеніе
кружковъ, нѣсколько болѣе благопріятное, чѣмъ Борновскія чис-
ловыя фигуры; именно, если въ Борновскихъ числовыхъ фигурахъ
увеличить промежутокъ послѣ каждой группы изъ четырехъ круж-
ковъ, образующей квадратъ, то составленныя такимъ образомъ
числовыя фигуры (получившія названіе квадратныхъ), будучи

сравниваемы съ Борновскими фигурами, дали въ результатъ еще
меньшій процессъ ошибочныхъ записей.
Далѣе Лай нашелъ, что наиболѣе благопріятные результаты
получаются въ томъ случаѣ, когда отдѣльные кружки квадрат-
ныхъ числовыхъ фигуръ удалены другъ отъ друга на разстояніе,'
равное діаметру кружка, а каждая квадратная группа изъ четы-
рехъ кружковъ отстоитъ отъ предыдущаго квадрата на разстоя-
ніе, равное 1 1/2 діаметрамъ кружка; что наиболѣе подходящими
по формѣ предметами для составленія числовыхъ фигуръ являются
именно кружки или шарики, a наиболѣе благопріятное сочетаніе
красокъ даютъ бѣлые или красные предметы на черномъ фонѣ.
Рис. 2. Квадратныя числовыя фигуры Лая.
Наконецъ, послѣдняя серія опытовъ Лая выяснила, что чувство осяза-
нія можетъ способствовать возникновенію въ умѣ учащихся столь
же ясныхъ и живыхъ представленій числа, какъ и чувство зрѣнія.
Аналогичные опыты были произведены и другими педагогами и
психологами, главнымъ образомъ въ Германіи; наиболѣе обстоя-
тельныя изслѣдованія были произведены Вальземанномъ, который
изложилъ свои выводы въ сочиненіи „Anschauungslehre der Re-
chenkunst" (ученіе о наглядности въ преподаваніи счисленія), вы-
шедшемъ въ свѣтъ въ 1907 г. Въ общемъ, результаты этихъ
изслѣдованій подтвердили заключенія Лая, и разногласіе обнару-
жилось лишь по одному вопросу, имѣющему, въ сущности говоря,
второстепенное значеніе: именно, какъ было раньше указано, Лай
нашелъ, что наиболѣе благопріятными, въ смыслѣ отчетливаго и

точнаго воспріятія числа, являются созданныя имъ квадратныя
числовыя фигуры, a Борновскія числовыя фигуры немного усту-
паютъ имъ по степени благопріятности, хотя и являются лучшими
изъ всѣхъ остальныхъ числовыхъ фигуръ; Вальземаннъ же на
основаніи своихъ опытовъ пришелъ къ обратному заключенію,—
онъ нашелъ, что Борновскія, или, какъ онъ ихъ называетъ,
нормальныя числовыя фигуры имѣютъ нѣкоторое преимущество
передъ квадратными. Конечно, окончательное разрѣшеніе этого
вопроса могли бы дать только новыя, болѣе обширныя экспери-
ментальный изслѣдованія; но важно отмѣтить то обстоятельство,
что оба вида числовыхъ фигуръ, по изслѣдованіямъ какъ Лая,
такъ и Вальземанна, даютъ возможность непосредственнаго вос-
пріятія всѣхъ чиселъ перваго десятка и въ этомъ смыслѣ оказы-
ваются значительно болѣе благопріятными, чѣмъ всѣ другія группи-
ровки воспринимаемыхъ предметовъ.
Въ предыдущемъ изложеніи я касался, главнымъ образомъ, пси-
хологической стороны экспериментовъ Лая и Вальземанна; теперь
необходимо уяснить ихъ дидактическое значеніе. Во время этихъ
экспериментовъ учащимся показывали ту или иную числовую фи-
гуру, a затѣмъ они должны были по памяти воспроизвести ее на
бумагѣ, или обозначить цифрою соотвѣтствующее ей число, или
даже указать, изъ какихъ двухъ слагаемыхъ составлено данное
число (въ этомъ послѣднемъ случаѣ части числовой фигуры, изоб-
ражавшія отдѣльныя слагаемыя, различались между собой по
окраскѣ кружковъ). При всѣхъ опытахъ время воспріятія фигуры
было настолько малымъ (не болѣе 1 1/3 сек.), что совершенно ис-
ключалась возможность пересчитыванія кружковъ; тѣмъ не менѣе
подвергавшіеся опытамъ учащіеся могли правильно воспроизводить
или оцѣнивать числомъ всѣ числовыя фигуры перваго десятка и
опредѣлять по числовымъ фигурамъ сумму двухъ однозначныхъ
чиселъ. Такимъ образомъ было достовѣрно обнаружено, что воз-
можно непосредственное опредѣленіе, въ предѣлахъ перваго де-
сятка, численности группы объектовъ безъ сосчитыванія, а равно
и выполненіе дѣйствій въ указанномъ предѣлѣ также безъ поль-
зованія процессомъ счета. Эти факты, разумѣется, крайне важны
для педагогической практики, такъ какъ возможность обходиться

безъ сосчитыванія при опредѣленіи численности предметовъ и при
дѣйствіяхъ надъ однозначными числами должна вести за собой су-
щественную экономію времени при начальномъ обученіи, не говоря
уже о томъ, что отчетливыя числовыя представленія въ области
перваго десятка или двухъ десятковъ даютъ прочное основаніе
для всѣхъ дальнѣйшихъ свѣдѣній по ариѳметикѣ.
Въ этомъ смыслѣ поучительны тѣ наблюденія, которыя произ-
велъ Лай при занятіяхъ по своему методу съ дѣтьми, еще не на-
чинавшими учиться до того времени; онъ разсказываетъ, напр., о
мальчикѣ 5 лѣтъ, умѣвшемъ считать только до 4-хъ, съ которымъ
онъ занимался въ общей сложности 6 часовъ, обучая его счисле-
нію въ предѣлахъ отъ 1 до 8. Въ концѣ этого срока,—пишетъ
Лай,—онъ могъ лишь медленно произнести послѣдовательный рядъ
числительныхъ отъ 1 до 8; между тѣмъ могъ рѣшать задачи въ
Рис. 3. Классные счеты Лая о 20 шарикахъ.
родѣ слѣдующей: на нашей улицѣ было 8 деревьевъ; 3 изъ нихъ
срубили; сколько осталось? Съ другимъ мальчикомъ того же воз-
раста, послѣ занятій, продолжавшихся въ общей сложности 10 ча-
совъ, былъ достигнутъ подобный же результатъ для чиселъ въ
предѣлахъ 1—10. (См. Führer durch den Rechenunterricht der
Unterstufe, изд. 2-е, 1907 г., стр. 95—96).
На основаніи принципа числовыхъ фигуръ были построены какъ
Лаемъ, такъ и Вальземанномъ наглядныя пособія для класснаго
и индивидуальнаго обученія. Я вкратцѣ опишу здѣсь наглядныя
пособія Лая. Для класснаго употребленія имъ построены счеты о
20 и о 100 шарикахъ; первые состоятъ изъ черной доски съ двумя
горизонтальными проволоками, на которыхъ надѣты десять бѣ-
лыхъ шариковъ, расположенныхъ въ видѣ соотвѣтствующей чис-
ловой фигуры, и затѣмъ десять красныхъ шариковъ въ видѣ
такой же фигуры. (См. рис. 3).

Чтобы можно было передвигать по проволокамъ часть фигуры,
не нарушая взаимнаго расположенія шариковъ, между послѣдними
вставлены черные металлическіе цилиндрики. Подобнымъ образомъ
устроены и большіе счеты о 100 шарикахъ. Для пользованія уча-
щихся построены счетная линейка и счетный ящичекъ; линейка
Рис. 4. Счетная линейка Лая.
чернаго цвѣта (рис. 4) представляетъ въ уменьшенномъ размѣрѣ
точную копію классныхъ счетовъ о 20 шарикахъ.
Ящичекъ же (рис. 5) представляетъ обыкновенный пеналъ, въ
которомъ на внутренней сторонѣ крышки вырѣзаны 20 круглыхъ
углубленіи, расположенныхъ такъ же, какъ и шарики на счетахъ;
въ эти углубленія вставляются, по мѣрѣ надобности, бѣлыя и
красныя костяныя пуговицы.
Рис. 5. Счетный ящичекъ (пеналъ) Лая.
Теперь необходимо выяснить, какъ примѣняются пособія Лая
при классномъ обученіи; замѣчу, что расположеніе учебнаго ма-
теріала у Лая и порядокъ его прохожденія отличается отъ прак-
тики нашихъ школъ, что и не удивительно, такъ какъ въ нѣмец-
кихъ начальныхъ школахъ обученіе начинается съ 6-лѣтняго
возраста. При усвоеніи чиселъ перваго десятка Лай изучаетъ

каждое число въ отдѣльности, по порядку, при чемъ при изученіи
чиселъ 1—5 проходится. только сложеніе и вычитаніе, а начина і
съ числа 6 изучается также умноженіе и дѣленіе по содержанію,
затѣмъ дѣленіе на части; съ цифрами учащіеся знакомятся так;
только съ того времени, какъ дойдутъ до числа 6. Числовыя фи-
гуры при этомъ примѣняются прежде всего при ознакомленіи съ
новымъ числомъ; ихъ составляетъ учитель на классныхъ счетахъ,
a учащіеся—на находящихся въ ихъ рукахъ линейкахъ и пена-
лахъ; кромѣ того, учащіеся рисуютъ нужныя числовыя фигуры въ
своихъ тетрадяхъ. Далѣе числовыя фигуры играютъ существен-
ную роль при изученіи соотношеніи между даннымъ числомъ и
другими, раньше изученными; эти соотношенія изучаются путемъ
разложенія соотвѣтствующихъ числовыхъ фигуръ на части, напр.,
числовая фигура 6-ти даетъ возможность усвоить, что 1+5=6,
2 + 4 = 6 и т. д.; 6—1 = 5, 6 — 2 = 4 и т. д.; 3×2 = 6,
2 × 3 = 6, 6:2 = 3, 6:3 = 2 и т. д. Кромѣ того, числовыя фи-
гуры до введенія цифръ служатъ записью числа, и самое введеніе
цифръ облегчается благодаря этому способу записи.
При изученіи второго десятка существенную роль играетъ раз-
личіе шариковъ по окраскѣ, такъ какъ всякое число между 10 и
20 включительно можетъ быть весьма легко и наглядно представ-
лено помощью совокупности десятка бѣлыхъ шариковъ и нѣсколь-
кихъ красныхъ; безъ труда также могутъ быть иллюстрированы
дѣйствія надъ однозначными числами, особенно сложеніе и вычи-
таніе. Начиная съ этого концентра, т.-е. со второго десятка по-
рядокъ прохожденія учебнаго матеріала у Лая приближается л
тому, который принятъ у насъ, именно отъ изученія чиселъ и ихъ
соотношеніи дѣлается переходъ къ систематическому изученію
дѣйствій.
При ознакомленіи съ числами, превышающими 20, нагляднымъ
пособіемъ служатъ уже счеты изъ 100 шариковъ. При помощи ихъ
можно иллюстрировать составъ чиселъ первой сотни изъ десятковъ
и единицъ, а также четыре дѣйствія надъ числами первой сотни,
однако съ меньшей степенью наглядности, чѣмъ въ предѣлахъ
первыхъ двухъ десятковъ.
Я изложилъ здѣсь въ общихъ чертахъ, на чемъ обоснованъ

принципъ числовыхъ фигуръ, и какъ онъ примѣняетея при обу-
ченіи по методу Лая. Теперь постараюсь подвергнуть все выше-
: сложенное критической оцѣнкѣ.
у Какъ было указано выше, примѣненіе числовыхъ фигуръ даетъ
возможность опредѣлять численность группы предметовъ безъ со-
считыванія и совершать дѣйствія, напр., сложеніе однозначныхъ
чиселъ, также безъ посредства счета. По поводу этого возника-
ютъ важные вопросы: доказано ли вмѣстѣ съ тѣмъ, что счетъ не
играетъ никакой роли при первоначальномъ возникновеніи число-
выхъ понятій, и если доказано, то можетъ ли быть счетъ въ виду
этого совершенно устраненъ изъ педагогической практики?
Отвѣтъ на первый вопросъ мы можемъ почерпнуть изъ соотвѣт-
ствующихъ наблюденій надъ дѣтьми дошкольнаго возраста, въ
связи съ данными этнографіи о состояніи числовыхъ понятій у
первобытныхъ народовъ и дикарей. На основаніи собственныхъ
наблюденій я знаю, что ребенокъ въ возрастѣ двухъ лѣтъ можетъ
уже правильно употреблять слова „два" и „много" (послѣднее въ
примѣненіи ко всякому числу предметовъ, большему двухъ),
раньше, чѣмъ научится примѣнять слово „одинъ"; a въ возрастѣ
3 лѣтъ можетъ имѣть представленіе о числѣ 4 (въ формѣ двухъ
паръ), не ознакомившись еще вполнѣ твердо съ числомъ 3 и во
всякомъ случаѣ не умѣя считать до четырехъ. Въ силу подобныхъ
обстоятельствъ можно заключить, что первыя числовыя предста-
вленія возникаютъ у ребенка главнымъ образомъ благодаря воспрія-
тію небольшихъ группъ однородныхъ предметовъ, имѣющихся въ
окружающей средѣ (глаза, руки, ноги, ножки стола и т. д.). Это
подтверждаютъ и данныя филологіи и этнографіи, приводимыя въ
книгѣ Лая (стр. 9); изъ нихъ слѣдуетъ, что первоначальное зна-
ченіе числительныхъ именъ у многихъ народовъ связано съ груп-
пами конкретныхъ предметовъ, напр., слово „одинъ" обозначаетъ
также луну, „два"—глаза, крылья, руки, „три"—ногу страуса,
„четыре"—ногу птицы о четырехъ пальцахъ, „пять"—руку чело-
вѣка о пяти пальцахъ и т. д. Конечно, мы еще не можемъ утвер-
ждать, что процессъ счета не играетъ никакой роли при образо-
ваніи первыхъ числовыхъ понятій; въ книгѣ Прейера „Душа ре-
бенка" (Die Seele des Kindes) приводится наблюденіе надъ ребен-

комъ около 2 1/2 лѣтъ, который, не знал еще ни одного числа,
попытался впервые сосчитать свои десять кубиковъ въ формѣ:
одинъ, еще одинъ, еще одинъ и т. д.; но, сопоставляя все выше-
сказанное, можемъ прійти къ выводу, что одновременное воспріятіе
небольшихъ группъ однородныхъ предметовъ имѣетъ въ данномъ
вопросѣ гораздо большее значеніе, чѣмъ счетъ.
Роль счета, какъ орудія пріобрѣтенія числовыхъ представленій,
начинается лишь тогда, когда нѣсколько первыхъ числовыхъ по-
нятій уже болѣе или менѣе прочно выработались въ умѣ ребенка
независимо отъ счета; наблюдая за развитіемъ числовыхъ пред-
ставленій у моей дочери, я замѣтилъ, что въ возрастѣ отъ 1 1/2
до 3 1/2 лѣтъ она постепенно пріобрѣла представленія о первыхъ
пяти числахъ, не умѣя еще считать до 5, и могла опредѣлить въ
этихъ границахъ число какихъ-либо предметовъ, находившихся
передъ ея глазами, если они составляли удобообозримую для нея
группу; въ возрастѣ же послѣ 3 1/2 лѣтъ она научилась правильно
считать отъ 1 до 5, a вскорѣ и до 8 (научилась она этому, по
всей вѣроятности, путемъ подражанія, наблюдая, какъ въ необхо-
димыхъ случаяхъ считали бѣлье, ложки, стаканы и т. п. пред-
меты), и послѣ этого могла пересчитывать любое число предме-
товъ, не превышающее 8, какъ бы они ни были расположены, а
равно и отобрать нужное ей число предметовъ изъ группы.
Но какую бы незначительную роль мы ни приписывали счету въ
дѣлѣ образованія первыхъ числовыхъ понятій, все же было бы
неправильно думать, что въ силу этого счетъ можетъ быть исклю-
ченъ изъ педагогической практики. Дѣло въ томъ, что умѣнье
считать, т.-е. называть имена числительныя въ порядкѣ натураль-
наго ряда и въ соотвѣтствіи съ рядомъ объектовъ, послѣдовательно
воспринимаемыхъ, необходимо намъ для повседневной практики.
При пересчитываніи предметовъ мы еще можемъ иногда соединять
ихъ въ небольшія группы и не нуждаемся тогда въ послѣдова-
тельномъ называніи каждаго числа (напр., считая тетради въ
кипѣ, говоримъ: три, шесть, девять, двѣнадцать и т. д.); но при
пересчитываніи явленій, послѣдовательныхъ во времени, мы часто
не имѣемъ другого способа, кромѣ обыкновеннаго счета: одинъ,
два, три, четыре и т. д.; такъ, напр., приходится считать при

измѣреніи длины какой-нибудь мѣрой, при наливаніи жидкости ста-
канами, ложками или каплями, при сосчитывали ударовъ пульса
или качаній маятника и т. д.; счетъ упрощается, если послѣдо-
вательность явленій образуетъ ритмъ (получаются своего рода чи-
словыя фигуры во времени), но такіе случаи сравнительно рѣдки,
и если педагогическая практика оставитъ бѣглый послѣдователь-
ный счетъ совершенно въ сторонѣ, то этимъ затормозится выра-
ботка одного изъ умѣній, необходимымъ для жизни. А что такія
послѣдствія возможны, доказываютъ тѣ самыя изслѣдованія Лая,
о которыхъ говорилось раньше: тотъ мальчикъ, который съ по-
мощью числовыхъ фигуръ научился уже рѣшать задачи, требую-
щія вычитать 3 изъ 8, не могъ еще выполнять бѣглый послѣдо-
вательный счетъ отъ 1 до 8. Поэтому нельзя не согласиться съ
мнѣніемъ Меймана, который въ своихъ „Лекціяхъ по эксперимен-
тальной педагогикѣ" указываетъ, что методъ, опирающійся только
на примѣненіе числовыхъ фигуръ, представляетъ такую же одно-
сторонность, какъ и обученіе, основанное исключительно на счетѣ;
въ первомъ случаѣ дѣти будутъ представлять себѣ число, глав-
нымъ образомъ, какъ группу однородныхъ предметовъ и будутъ
затрудняться, когда имъ придется приложить извѣстныя имъ чи-
словыя отношенія къ послѣдовательности явленій во времени; во
второмъ случаѣ число будетъ воспринято только какъ результатъ
счета, а при такихъ условіяхъ у дѣтей не могутъ возникнуть от-
четливыя и живыя представленія чиселъ перваго десятка. „Только
при правильномъ соединеніи обоихъ методовъ, — говоритъ Мей-
манъ,—возможно исчерпывающимъ образомъ уяснить ребенку сущ-
ность представленія о числѣ и сущность ариѳметическихъ дѣй-
ствій" (т. III, стр. 174). Такое комбинированіе обоихъ методовъ
тѣмъ болѣе необходимо, что среди учащихся попадаются дѣти
слухового типа, слѣдовательно, болѣе предрасположенныя къ вос-
пріятію явленій, послѣдовательныхъ во времени; и эти дѣти при
обученіи по методу, основанному только на примѣненіи числовыхъ
фигуръ, будутъ въ столь же невыгодномъ положеніи, въ какомъ
находятся дѣти зрительнаго типа при господствующемъ теперь
„счетномъ" методѣ.
Теперь я выскажусь относительно наглядныхъ пособій, построен-.,

ныхъ Лаемъ, и примѣнимости ихъ въ нашей школѣ. Весьма цѣле-
сообразнымъ пособіемъ являются, по-моему, малые счеты Лая (о
20 шарикахъ) и соотвѣтствующіе ручные приборы для учащих-
ся—счетная линейка и пеналъ. Эти пособія очень пригодны при
первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ въ предѣлахъ первыхъ
двухъ десятковъ; возможность производить дѣйствія надъ одно-
значными числами безъ помощи присчитыванія и отсчитыванія
значительно облегчаетъ усвоеніе таблицъ сложенія и вычитанія, а
также начатковъ умноженія и дѣленія; вмѣстѣ съ тѣмъ налич-
ность ручного прибора у учащихся даетъ имъ возможность ак-
тивно воспринимать каждый дальнѣйшій шагъ въ обученіи. Что
касается большихъ счетовъ (изъ ста шариковъ), то они не пред-
ставляютъ такихъ удобствъ, такъ какъ наглядность при иллю-
страціи чиселъ и дѣйствій далеко не всегда достигается съ ихъ
помощью.
Въ нашей начальной школѣ наглядныя пособія Лая и методъ
числовыхъ фигуръ могли бы быть примѣняемы, конечно, лишь въ
соотвѣтствіи съ условіями нашей школьной обстановки. Какъ
было указано выше, въ нѣмецкой начальной школѣ обученіе на-
чинается съ 6 лѣтъ, когда дѣти обладаютъ очень небольшимъ
запасомъ числовыхъ представленій; поэтому неудивительно, что
Лай, какъ и многіе другіе нѣмецкіе педагоги, при обученіи счи-
сленію въ первомъ десяткѣ переходитъ въ послѣдовательномъ
порядкѣ отъ числа къ числу, медленно и понемногу расширяя
кругъ чиселъ, знакомыхъ дѣтямъ, и изучая подробно всевозмож-
ныя соотношенія между даннымъ числомъ и предыдущими. Въ на-
шей же школѣ начальное обученіе начинается съ 8 лѣтъ, и за-
пасъ числовыхъ представленій, приносимыхъ дѣтьми изъ домаш-
ней обстановки, болѣе обширенъ, въ особенности въ городскихъ
школахъ, гдѣ поступающія дѣти часто знаютъ уже всѣ числа
перваго десятка. Поэтому у насъ учителю, который пожелалъ бы
пользоваться на практикѣ пособіями Лая, пришлось бы сообразо-
ваться въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ со степенью ариѳметиче-
ской подготовки своихъ учащихся; тамъ, гдѣ приступающія къ
ученію дѣти не знаютъ еще всѣхъ чиселъ перваго десятка, не-
безполевно было бы, выяснивъ предѣлъ чиселъ, имъ хорошо зна-

комыхъ, придерживаться, въ области перваго десятка, послѣдова-
тельнаго изученія чиселъ и ихъ соотношеніи; опасаться, что та-
кимъ образомъ мы воспроизводимъ давно забракованный методъ
Грубе, нѣтъ рѣшительно никакихъ основаній, такъ какъ числа
перваго десятка съ помощью числовыхъ фигуръ становятся дѣй-
ствительно доступны для непосредственнаго воспріятія, а во вто-
ромъ десяткѣ мы переходимъ къ послѣдовательному изученію дѣй-
ствій. Въ тѣхъ же школахъ, гдѣ дѣти при началѣ обученія об-
наруживаютъ уже знакомство со всѣми числами перваго десятка,
нѣтъ надобности даже и въ этомъ отступленіи отъ принятаго у
насъ расположенія первоначальныхъ упражненій. Слѣдуетъ еще
имѣть въ виду, что не всякая изъ нашихъ школъ могла бы поль-
зоваться пособіями Лая по чисто матеріальнымъ причинамъ; но
при недостаткѣ средствъ можно было бы ограничиваться классными
счетами о 20 шарикахъ, а ручные приборы предоставить сдѣлать
самимъ учащимся изъ деревянной дощечки или кусочка картона
и обыкновенныхъ круглыхъ пуговицъ, горошинъ и т. п. предме-
товъ; также необходимо было бы примѣнять и рисованіе число-
выхъ фигуръ въ тетрадяхъ.
Изъ другихъ экспериментальныхъ изслѣдованій въ области мето-
дики ариѳметики заслуживаютъ еще вниманіе опыты Вальземанна,
произведенные въ 1906 г. по вопросу о наиболѣе цѣлесообразныхъ
наглядныхъ пособіяхъ для первоначальнаго ознакомленія съ дро-
бями. Вальземаннъ задался цѣлью сравнить три способа нагляд-
наго изображенія долей и дробей, наиболѣе употребительные въ
школьной практикѣ, именно, изображеніе дробей посредствомъ
частей прямолинейнаго отрѣзка, посредствомъ круга, раздѣленнаго
на секторы, и, наконецъ, посредствомъ квадрата, раздѣленнаго на
прямоугольники (см. рис. 6).
Съ этой цѣлью онъ показывалъ учащимся картонныя таблицы,
на которыхъ были изображены различныя доли (пятыя, шестыя,
восьмыя, девятый, двѣнадцатыя, пятнадцатыя) однимъ изъ трехъ
указанныхъ способовъ. Испытаніямъ подвергались ученицы учи-
тельской семинаріи (въ Шлезвигѣ) и начальной школы при ней,
при чемъ въ первой группѣ опытовъ онѣ должны были только
указывать, какія доли изображены на данной таблицѣ, а во вто-

рой группѣ опытовъ — какія и сколько долей. Время воспріятія
каждой таблицы не превышало 1% сек.; всего было изслѣдовано
болѣе тысячи отдѣльныхъ отвѣтовъ для каждаго вида таблицъ, и
въ результатѣ оказалось, что изображеніе дробей посредствомъ ча-
стей прямой линіи дало въ первой группѣ опытовъ 40%, а во
второй 66,3% невѣрныхъ отвѣтовъ; изображеніе посредствомъ ча-
стей круга—33,7°/о и 50% невѣрныхъ отвѣтовъ, a изображеніе
дробей съ помощью квадрата, раздѣленнаго на прямоугольники,—
только 11,4% и 12,3% ошибокъ. Эти изслѣдованія имѣютъ боль-
Рис. 6. Различные способы нагляднаго изображения дроби 5/8 1).
шую важность для педагогической практики, такъ какъ они ука-
зываютъ, что распространенная въ нашей школѣ прямая линія,
собственно говоря, не можетъ считаться сколько-нибудь удовле-
творительнымъ нагляднымъ пособіемъ при ознакомленіи съ простѣй-
шими дробями (интересно, что тѣ опыты Вальземанна, которые были
проведены надъ дѣтьми начальной школы дали для прямой линіи
58,3% и 72% ошибокъ); и даже кругъ, раздѣленный на секторы,
который начинаетъ за послѣдніе годы входить у насъ въ моду,
какъ „новое" наглядное пособіе въ курсѣ дробей, оказывается, по
*) При опытахъ Вальземанна соотвѣтствующія данной дроби части фигуръ
были заштрихованы синимъ карандашомъ.

числу возможныхъ ори немъ ошибокъ, въ 3—4 раза менѣе цѣлесо-
образнымъ, чѣмъ квадратъ, раздѣленный на прямоугольныя доли.
Я постарался изложить сущность современныхъ эксперименталь-
ныхъ изслѣдованій въ области методики начальной ариѳметики и
гѣ практическіе выводы, которые можно сдѣлать на основаніи
этихъ изслѣдованій. Изложенное позволяетъ отвѣтить на вопросъ,
ставшій у насъ въ послѣднее время предметомъ усиленнаго вни-
манія, именно, на вопросъ о томъ, можно ли въ настоящее время
построить методику ариѳметики на основаніи точныхъ эксперимен-
тальныхъ данныхъ, и на мѣсто нашихъ приблизительныхъ обоб-
щеній создать строго обоснованную систему методическихъ ука-
заній и пріемовъ.
Безспорно, прошло уже то время, когда методика ариѳметики,
какъ и прочія отрасли педагогическаго дѣла, развивалась грубо
эмпирическимъ путемъ, когда сторонники совершенно противопо-
ложныхъ взглядовъ въ подтвержденіе ихъ ссылались каждый на
свои личныя наблюденія, и эти наблюденія велись въ такой формѣ,
что не могли быть ни провѣряемы, ни сравниваемы между собой.
Несомнѣнно, спорные вопросы методики ариѳметики могутъ быть
успѣшно разрѣшены только тогда, когда изслѣдующіе ихъ педа-
гоги будутъ исходить въ своихъ заключеніяхъ изъ фактовъ, до-
бытыхъ объективными, планомѣрными наблюденіями, доступными кон-
тролю и провѣркѣ, иначе говоря, вполнѣ обоснованная система мето-
дики ариѳметики можетъ быть построена только на эксперименталь-
ныхъ данныхъ. И въ настоящее время, какъ я старался показать, дѣ-
лаются уже попытки пойти по этому новому пути къ разрушенію
методическихъ вопросовъ, и добыты цѣнныя данныя, которыми
можетъ воспользоваться педагогическая практика. Но, въ общемъ,
это лишь первыя попытки, и отсюда еще далеко до возможности
построить цѣлую систему методики ариѳметики на основѣ научно-
педагогическаго эксперимента. Небезполезно привести по этому
вопросу мнѣніе такого выдающагося сторонника экспериментальнаго
направленія, какъ Мейманъ; въ своихъ „Лекціяхъ по эксперименталь-
ной педагогикѣ" (т. III, стр. 174—175) онъ говоритъ слѣдующее:
„Чтобы достигнуть психологическаго обоснованія преподаванія ариѳ-
метики, намъ надо было бы выяснить, главнымъ образомъ, три пункта

что, несмотря на все якобы экспериментальное обоснованіе дидактики,
еще совершенно не сдѣлано: 1) необходимо чисто опытное изслѣ-
дованіе вопроса о томъ, какъ фактически развиваются у ребенка
первыя числовыя представленія; 2) необходимо опредѣленный, вы-
веденный изъ опыта, а не изъ отвлеченныхъ умозрѣній, взглядъ
относительно того, въ чемъ состоитъ сущность числа и дѣйствій
надъ числами, и каковы въ этомъ отношеніи различія между ре-
бенкомъ и взрослымъ человѣкомъ; 3) необходимо эксперименталь-
нымъ путемъ выяснить относительную цѣнность различныхъ ариѳ-
метическихъ методовъ и наиболѣе цѣлесообразный способъ со-
вмѣстнаго ихъ примѣненія". Съ тѣхъ поръ, какъ были написаны
эти слова, положеніе вопроса, въ общемъ, измѣнилось мало; и
потому, выражая твердую увѣренность, что экспериментальныя
изслѣдованія методическихъ вопросовъ представляютъ наиболѣе
надежный путь къ ихъ разрѣшенію и что на этотъ путь и наша
методика ариѳметики должна непремѣнно вступить, мы должны
ясно сознавать, что въ этомъ направленіи сдѣланы пока лишь
первые шаги; только при этомъ условіи мы можемъ предохранить
себя отъ слѣпого увлеченія методами иностранной педагогики, по-
добнаго тому, которое имѣло мѣсто въ 60-е годы по отношенію
къ методу Грубе, и заимствовать изъ практики нашихъ культур-
ныхъ сосѣдей только тѣ сѣмена, которыя могутъ успѣшно про-
расти и на нашей педагогической нивѣ и принести на ней обиль-
ные плоды.

Вопросъ о дробяхъ въ курсѣ ариѳме-
тики.
(Основныя положенія методики курса дробей.)
Ученіе о дробяхъ принадлежитъ, какъ извѣстно, къ числу боль-
ныхъ мѣстъ традиціонной системы преподаванія ариѳметики. Болѣе
сложные отдѣлы курса, какъ, напр., умноженіе и дѣленіе на
дробь, обычно съ трудомъ усваиваются учащимися, а такой
сравнительно легкій отдѣлъ, какъ дѣйствія надъ десятичными
дробями, служитъ постояннымъ источникомъ ошибокъ въ вы-
численіяхъ, порою даже въ старшихъ классахъ. Причины этого
явленія общеизвѣстны. Съ одной стороны, традиціонный курсъ
дробей вообще излагается въ слишкомъ отвлеченной формѣ; съ
другой стороны, при прохожденіи его обыкновенно слишкомъ
много вниманія удѣляется второстепеннымъ вопросамъ, лишь
косвенно связаннымъ съ ученіемъ о дробяхъ и не имѣющимъ
серьезнаго практическаго значенія,—напр., вопросу о дѣлимости
чиселъ или о періодическихъ дробяхъ,—а на пріобрѣтеніе проч-
ныхъ навыковъ въ дѣйствіяхъ надъ дробями, встрѣчающимися
въ ариѳметической практикѣ, остается недостаточно мѣста и вре-
мени; объ устномъ же счетѣ надъ простѣйшими дробями или о
примѣненіи въ частныхъ случаяхъ болѣе удобныхъ и изящныхъ
пріемовъ вычисленія—школа обыкновенно и не помышляетъ.
Очевидная ненормальность такого положенія заставляетъ по-
ставить вопросъ о томъ, каково же должно быть содержаніе уче-
нія о дробяхъ въ курсѣ ариѳметики и какъ должны разрабаты-

ваться съ учащимися важнѣйшіе пункты этого ученія. Я и имѣю
въ виду дать посильный отвѣтъ на этотъ вопросъ.
Съ этой цѣлью я остановлюсь прежде всего на самомъ спорномъ
въ настоящее время пунктѣ методики ученія о дробяхъ—на вопросѣ
объ относительномъ порядкѣ изученія дробей, простыхъ и деся-
тичныхъ. Должны ли десятичныя дроби изучаться, какъ частный
случай обыкновенныхъ, или предшествовать имъ, подъ псевдони-
момъ „десятичныхъ чиселъ" или подъ своимъ настоящимъ именемъ?
Старая школа, какъ извѣстно, рѣшала этотъ вопросъ весьма
просто: сперва должны изучаться общія положенія и общіе законы,
a затѣмъ тѣ формы, въ которыя они облекаются въ частныхъ
случаяхъ; поэтому десятичныя дроби должны идти вслѣдъ за
обыкновенными. Нельзя сказать при этомъ, чтобы въ традиціонной
практикѣ строго выдерживалась система—разсматривать десятич-
ную дробь, какъ частный случай простой; напр., какъ извѣстно,
правило умноженія десятичныхъ дробей чаще всего выводилось
при помощи отбрасыванія запятыхъ у сомножителей и примѣненія
законовъ объ измѣненіи произведенія, а не какъ частный случай
правила умноженія простыхъ дробей. Но, въ общемъ, указанное
распредѣленіе курса вполнѣ отвѣчало абстрактно-дедуктивному
методу обученія математикѣ, принятому въ старой школѣ.
Въ сочиненіяхъ сторонниковъ реформы1), да и въ практикѣ
школъ новаго типа замѣчается опредѣленная тенденція предпо-
сылать изученіе десятичныхъ дробей простымъ и ставить деся-
тичныя дроби въ соотвѣтствіе скорѣе съ цѣлыми числами, чѣмъ
съ обыкновенными дробями. Вмѣстѣ съ тѣмъ наблюдается также
стремленіе ограничить изученіе простыхъ дробей, даже раздаются
голоса, требующіе изъятія курса простыхъ дробей изъ школы.
Въ пользу предварительнаго изученія десятичныхъ дробей при-
водится обыкновенно то соображеніе, что дѣйствія надъ десятич-
ными дробями проще соотвѣтственныхъ дѣйствій надъ простыми
дробями и что предварительное ознакомленіе съ ними отвѣчаетъ
требованіямъ индуктивнаго метода въ обученіи. Кромѣ того, го-
1) AI. Hofler. Didaktik des mathematischen Unterrichts.
В. Мрочекъ и Ф. Филипповичъ. Педагогика математики, т. I.
Ивановъ (Дубравинъ). Курсъ ариѳметики, вып. I.

ворятъ, что правила дѣйствій надъ десятичными дробями анало-
гичны таковымъ же правиламъ для цѣлыхъ чиселъ, что сами по
себѣ десятичныя дроби представляютъ естественное развитіе нуме-
раціи вправо, а потому и цѣлесообразно сопоставлять ихъ именно
съ цѣлыми числами, а не съ дробями вообще. Наконецъ, указы-
ваютъ, что десятичныя дроби имѣютъ гораздо большее практиче-
ское значеніе, чѣмъ простыя, что послѣднія мало или вовсе не
встрѣчаются въ практическихъ вычисленіяхъ и что поэтому школа
и должна пораньше знакомить учащихся съ десятичными дробями
и главное свое вниманіе удѣлять изученію.точныхъ и приближен-
ныхъ вычисленій съ ними, a простымъ дробямъ посвящать время
лишь постольку, поскольку въ частныхъ случаяхъ онѣ могутъ
способствовать сокращенію вычисленій.
При этомъ сторонники предварительнаго изученія десятичныхъ
дробей обыкновенно предлагаютъ при прохожденіи дѣйствій надъ
ними, въ частности—умноженія и дѣленія на десятичную дробь,
не касаться вопроса о сущности этихъ дѣйствій и ссылаться при
отбрасываніи запятой въ множителѣ и дѣлителѣ на законы измѣ-
ненія произведенія и частнаго, установленные для цѣлыхъ чиселъ.
Не отрицая логическихъ дефектовъ, допускаемыхъ при такомъ
способѣ объясненія 1), они готовы мириться съ этими дефектами
въ виду незамѣтности послѣднихъ для учащихся и ради тѣхъ
внѣшнихъ удобствъ, которыя- проистекаютъ изъ принятаго ими
расположенія курса. Однимъ словомъ, какъ имъ кажется, они
отдаютъ предпочтеніе дидактическимъ и педагогическимъ сообра-
женіямъ передъ чисто-логическими.
Я полагаю, однако, что отрицательныя стороны такой поста-
новки вопроса болѣе серьезны, чѣмъ это кажется на первый
взглядъ. Уже то обстоятельство, что учащіеся будутъ употреблять
хорошо знакомый имъ терминъ „умножить" въ приложеніи къ та-
кимъ случаямъ, когда этотъ терминъ будетъ имѣть уже нѣсколько
иной смыслъ, и при томъ этотъ новый смыслъ не будетъ имъ
выясненъ,—уже это одно обстоятельство нужно считать непріем-
лемымъ съ педагогической точки зрѣнія. A сверхъ того, если мы,
1) См., напр., вышеупомянутое сочиненіе Höfler'a, стр. 82.

умножая какое-либо число хотя бы на 0,3, говоримъ, что при
отбрасываніи запятой во множителѣ искомое произведеніе увели-
чивается въ 10 разъ, то мы, не имѣя логическаго права распро-
странять на сферу дробныхъ чиселъ тотъ законъ, который уста-
новленъ нами пока лишь для цѣлыхъ чиселъ, вводимъ въ скры-
томъ видѣ опредѣленіе смысла умноженія на 0,3, то самое опре-
дѣленіе, котораго хотѣли избѣжать. Мы, въ сущности, говоримъ:
„подъ произведеніемъ даннаго множимаго на 0,3 мы будемъ ра-
зуметь такое число, которое въ 10 разъ меньше произведенія
того же множимаго на 3", только этому новому опредѣленію мы
придаемъ такую форму, которая имѣетъ внѣшній видъ логическаго
доказательства. А такой пріемъ, какъ извѣстно, стоитъ въ ко-
ренномъ противорѣчіи съ требованіями современной дидактики.
А если еще принять въ соображеніе, что чисто внѣшнее изученіе
правилъ умноженія и дѣленія на десятичную дробь не можетъ
обезпечить должной увѣренности при' производствѣ учащимися
этихъ дѣйствій въ задачахъ, то придется въ концѣ концовъ при-
знать, что ни логическія, ни педагогическія соображенія не
оправдываютъ такого способа прохожденія курса „десятичныхъ
чиселъ", который обыкновенно предлагается.
Можно было бы признать непротиворѣчащимъ дидактическимъ
требованіямъ только такое предварительное прохожденіе курса
десятичныхъ дробей, при которомъ смыслъ дѣйствій надъ ними
не замалчивался бы, и умноженіе на дробь опредѣлялось бы хотя
бы, какъ повтореніе слагаемымъ нѣкоторой десятичной доли мно-
жимаго. Было бы даже вполнѣ возможно установить подобное
опредѣленіе на подходящихъ задачахъ и вообще провести разра-
ботку его съ учащимися въ духѣ конкретно-индуктивнаго метода.
Подобнымъ же образомъ можно было бы поступить и при изученіи
дѣленія на десятичную дробь. Такое построеніе курса было бы,
съ моей точки зрѣнія, допустимо; но оно вызвало бы возраженія
уже со стороны цѣлесообразности. Въ самомъ дѣлѣ, этотъ распо-
рядокъ только переноситъ въ курсъ десятичныхъ дробей всѣ
трудности ознакомленія съ понятіемъ объ умноженія и дѣленіи на
дробь; a съ другой стороны, при немъ не вполнѣ выдерживается
переходъ отъ болѣе простого къ болѣе сложному, такъ какъ въ

курсѣ обыкновенныхъ дробей, оставляемоМъ напослѣдокъ, без-
спорно есть вопросы, дидактически болѣе простые, чѣмъ умно-
женіе и дѣленіе на десятичную дробь. При этомъ надо замѣтить,
что и всѣ остальныя соображенія, которыя обычно приводятся въ
пользу изученія курса десятичныхъ дробей передъ простыми, еще
не обусловливаютъ собою именно такого порядка изученія: если
знакомство съ десятичными дробями крайне важно для практики,
то отсюда вытекаетъ, что ихъ нужно хорошо изучать въ школѣ,
но еще тѣмъ самымъ не доказано, что ихъ нужно изучать передъ
простыми дробями.
Слѣдуетъ ли изъ всего предыдущаго, что я высказываюсь за
традиціонный порядокъ изученія курса: сперва простыя дроби, а
затѣмъ десятичныя, какъ ихъ частный случай? Нисколько. Я
полагаю, что наиболѣе цѣлесообразно будетъ распредѣлить весь
курсъ дробей, простыхъ и десятичныхъ, на циклы, въ каждый
изъ которыхъ входили бы вопросы приблизительно одинаковой
дидактической трудности; подобная идея практиковалась и до
сихъ поръ въ формѣ такъ называемаго пропедевтическаго курса
дробей, но исключительно по отношенію къ простымъ дробямъ;
я предложилъ бы распространить ту же точку зрѣнія и на де-
сятичныя дроби.
Первый изъ этихъ цикловъ долженъ быть посвященъ конкрет-
ному ознакомленію съ простѣйшими, наиболѣе употребительными
долями и дробями, выполняемому при помощи дѣйствительныхъ
измѣреній и дѣленія предметовъ на части. Здѣсь слѣдуетъ имѣть
въ виду экспериментальный изслѣдованія Вальземанна 1J, который,
между прочимъ, занимался вопросомъ о наиболѣе цѣлесообразныхъ
наглядныхъ пособіяхъ при первоначальномъ ознакомленіи съ дро-
бями. Онъ нашелъ, что наиболѣе ясныя и отчетливыя предста-
вленія о доляхъ и дробяхъ получаются при употребленіи квад-
ратныхъ таблицъ, разграфленныхъ на прямоугольныя или квад-
ратный клѣтки, а не при помощи круга, раздѣленнаго на секторы,
или прямой, раздѣленной на равные отрѣзки (см. въ этой книгѣ
статью вторую).
*) Dr. Hermann Walsemann, Anschauungslehre der Rechenkunst, Schles-
wig 1907.

Цѣлью изученія этого перваго цикла являются твердое знаніе
кратныхъ соотношеній между простѣйшими долями и умѣніе вы-
полнять надъ ними счетъ и дѣйствія, преимущественно устно.
Какія доли считать простѣйшими и важнѣйшими — это вопросъ
довольно спорный, но я полагаю, что здѣсь нельзя ограничиваться
2-ми, 3-ми, .... 10-ми долями, а необходимо разсматривать и
разныя доли со знаменателями въ предѣлахъ первой сотни, нахо-
дящіяся въ несложныхъ кратныхъ соотношеніяхъ съ вышеука-
занными. Дѣло въ томъ, что основательное знакомство съ этими
долями и составляемыми изъ нихъ дробями не безполезно для
практическихъ вычисленій и отнюдь не можетъ быть замѣнено
изученіемъ десятичныхъ дробей, какъ это иногда предлагаютъ.
Само собой разумѣется, что въ этомъ циклѣ всѣ дѣйствія со-
вершаются по соображенію и учащимся не сообщаются какія-
либо правила и опредѣленія; достаточно ограничиться объясне-
ніемъ смысла важнѣйшихъ терминовъ (числитель, знаменатель,
дробь правильная и неправильная и т. д.). Но задачи, которыя
рѣшаются въ этомъ отдѣлѣ, должны быть по возможности разно-
образнѣе и могутъ касаться любого дѣйствія надъ дробями, если
только послѣднія разсматриваются, какъ собранія конкретныхъ
долей цѣлаго; такъ что, напр., вопросъ о томъ, сколько разъ
1/12 доля содержится въ 2/3 можетъ быть съ успѣхомъ разбираемъ
на этой ступени.
Въ общемъ, первый циклъ можетъ обнимать собою слѣдующіе
вопросы: первоначальное понятіе о дроби, какъ совокупности кон-
кретныхъ долей цѣлаго; изображеніе и чтеніе дробныхъ чиселъ;
смыслъ числителя и знаменателя; понятіе о правильной и непра-
вильной дроби; обращеніе неправильной дроби въ смѣшанное
число и наоборотъ; раздробленіе болѣе крупныхъ долей въ болѣе
мелкія и обратный вопросъ; сложеніе и вычитаніе дробей съ оди-
наковыми, a затѣмъ и съ разными знаменателями; умноженіе и
дѣленіе дроби на цѣлое число помощью соотвѣтственныхъ дѣй-
ствій надъ числителемъ; опредѣленіе кратныхъ соотношеній между
дробными числами въ тѣхъ случаяхъ, когда искомое частное —
цѣлое; нахожденіе данной части отъ цѣлаго числа; нахожденіе

нѣкотораго числа по данной его части въ томъ случаѣ, когда
эта часть искомаго выражена цѣлымъ числомъ (при чемъ каждый
изъ послѣднихъ двухъ вопросовъ рѣшается двумя дѣйствіями съ
помощью умноженія и дѣленія на цѣлое число).
Какъ видно, этотъ первый циклъ по содержанію сходенъ съ
практикующимся у насъ пропедевтическимъ курсомъ дробей, но
въ отличіе отъ традиціонной практики я подчеркиваю необходи-
мость возможно большей конкретности при его прохожденіи. Только
при этомъ условіи можно добиться того, чтобы учащіеся освои-
лись со счетомъ простѣйшихъ дробныхъ чиселъ хотя бы въ такой
мѣрѣ, въ какой они усваиваютъ дѣйствія надъ цѣлыми числами
въ предѣлахъ первой сотни.
Изученіе перваго цикла дробей можетъ найти себѣ мѣсто, какъ
и теперь, въ концѣ курса перваго класса средней школы (т.-е на
11-мъ году жизни учащихся). Возможно, конечно, выдѣлить изъ
него еще болѣе узкій концентръ, именно знакомство съ дробями,
знаменатели которыхъ не превышаютъ 10 или 12, "и изучать
этотъ концентръ въ еще болѣе раннюю пору обученія (въ приго-
товительномъ классѣ средней школы); но представляетъ ли такой
распорядокъ значительныя преимущества—этотъ вопросъ можетъ
рѣшить только практическій опытъ.
Второй циклъ (съ котораго, по моему мнѣнію, можетъ начи-
наться курсъ второго класса) долженъ быть посвященъ озна-
комленію съ десятичными дробями (преимущественно десятая,
сотыя, тысячныя доли) ы рѣшенію при помощи ихъ всѣхъ подхо-
дящихъ вопросовъ, но безъ введенія понятія объ умноженіи и
дѣленіи на дробь. Первоначальное знакомство съ десятичными
дробями должно, конечно, сопровождаться конкретными иллюстра-
ціями, для чего хорошій матеріалъ даютъ метрическая система и
подраздѣленія рубля. Затѣмъ (сохраняя все время представленіе
о дроби, какъ собраніи конкретныхъ долей цѣлаго) можно послѣ-
довательно изучить соотношенія между десятичными долями раз-
личныхъ разрядовъ, выяснить тѣсную связь ихъ съ нумераціей
цѣлыхъ чиселъ и научить учащихся быстрому обращенію болѣе
крупныхъ разрядныхъ единицъ въ болѣе мелкія, и наоборотъ.
Послѣ этого учащіеся легко пріобрѣтутъ привычку смотрѣть на

десятичную дробь, какъ на совокупность долей различныхъ раз-
рядовъ, расположенныхъ по десятичной системѣ, и безъ труда
смогутъ изучить и прилагать въ задачахъ сложеніе и вычитаніе
десятичныхъ дробей и умноженіе десятичной дроби на цѣлое
число. Что же касается дѣленія, то, разумѣется, сперва слѣдуетъ
задавать только такія задачи, въ которыхъ частное отъ дѣленія
десятичной дроби на цѣлое число выражалось бы конечной деся-
тичной дробью, а также такія, въ которыхъ приходилось бы рѣ-
шать, сколько разъ данная десятичная дробь содержится въ
другой или въ цѣломъ числѣ, при чемъ искомое частное было бы
цѣлымъ. Затѣмъ, конечно, можно разбирать и случаи приближен-
наго дѣленія десятичной дроби на цѣлое число (аналогично дѣле-
нію съ остаткомъ въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ); въ связи съ этимъ
слѣдуетъ разобрать, на несложныхъ примѣрахъ, и вопросъ отно-
сительно обращенія простой дроби въ десятичную путемъ дѣленія
числителя на знаменателя; но, разумѣется, относительно случаевъ
необратимости простой дроби въ конечную десятичную достаточно
ограничиться констатированіемъ, на примѣрахъ, факта безконеч-
наго дѣленія и не слѣдуетъ даже подымать вопроса о періодиче-
скихъ дробяхъ.
Въ этомъ же циклѣ слѣдуетъ рѣшать и вопросы, касающіеся
нахожденія той или иной десятичной части отъ цѣлаго числа и
наоборотъ, но безъ введенія понятія объ умноженіи и дѣленіи на
дробь двумя дѣйствіями, совершаемыми при цѣломъ множителѣ
или дѣлителѣ.
Необходимо добавить, что сюда же должно войти и ученіе о
процентѣ, какъ сотой долѣ даннаго числа, и должны рѣшаться
разнаго рода задачи на процентный вычисленія, не требующія
производства умноженія или дѣленія на дробь.
Наконецъ, третій циклъ (приходящійся также на курсъ второго
класса) посвящается такъ называемому систематическому курсу
дробей, простыхъ и десятичныхъ, изучаемыхъ параллельно, при чемъ
десятичныя дроби разсматриваются уже какъ частный случай
простыхъ. Я называю этотъ курсъ систематическимъ не потому,
чтобы въ немъ могла изучаться какая-либо формальная теорія
дробей, а потому, что въ немъ должны быть приведены въ систему

тѣ свѣдѣнія о дробяхъ, съ которыми учащіеся доселѣ познако-
мились. Въ этомъ курсѣ прежде всего придется остановиться на
измѣненіи величины дроби при измѣненіи ея числителя и знаме-
нателя, на неизмѣняемости этой величины при увеличеніи или
уменьшеніи числителя и знаменателя въ одинаковое число разъ
и на преобразованіяхъ, основанныхъ на этомъ послѣднемъ законѣ—
на сокращеніи дробей и приведеніи ихъ къ одному энаменателю.
Такъ какъ само собою разумѣется, что въ задачи на этотъ курсъ
должны входить дроби съ не особенно большими знаменателями,
то можно предложить сдѣлать въ немъ довольно значительныя
сокращенія сравнительно съ традиціонной программой, именно
можно безусловно упразднить ученіе объ отысканіи общаго наи-
большаго дѣлителя, такъ какъ сокращеніе дробей, дѣйствительно
употребляемыхъ на практикѣ, всегда выполняется путемъ отыска-
нія „на-глазъ" общихъ множителей числителя и знаменателя. Что
же касается отысканія наименьшаго кратнаго, выполняемаго для
приведенія дробей къ одному знаменателю, то оно производится
на практикѣ почти всегда на основаніи сохраненныхъ памятью
учащихся важнѣйшихъ кратныхъ соотношеніи между числами
первой сотни, а не путемъ примѣненія общихъ правилъ; поэтому
я считаю вѣроятнымъ, что въ курсѣ младшихъ классовъ, о кото-
ромъ здѣсь идетъ рѣчь, можно обойтись и безъ ученія о наи-
меньшемъ кратномъ, a въ связи съ вышеизложеннымъ опустить и
вообще ученіе о дѣлимости чиселъ, за исключеніемъ самыхъ тер-
миновъ: „общій дѣлитель", „общее кратное", „общее наименьшее
кратное" и т. д., которые полезны для сокращенія рѣчи и потому
должны быть пояснены и употребляемы. Изученіе же теоріи дѣли-
мости чиселъ, общаго наибольшаго дѣлителя и наименьшаго крат-
наго слѣдовало бы отнести къ курсу теоретической ариѳметики,
которому мѣсто въ послѣднемъ классѣ средней школы.
Изученіе или, вѣрнѣе, повтореніе сложенія и вычитанія дроб-
ныхъ чиселъ не представитъ никакихъ затрудненій. Не мѣшаетъ
обратить вниманіе учащихся на то, что при сложеніи и вычитаніи
обыкновенныхъ дробей приведеніе къ одному знаменателю обяза-
тельно, а при соотвѣтствующихъ дѣйствіяхъ надъ десятичными
дробями—не обязательно.

Наконецъ, мы должны будемъ подойти къ кульминаціонному
пункту всего курса—къ ученію объ умноженіи и дѣленіи на дробь.
Старая школа, какъ извѣстно, выводила правило умноженія на
дробь при помощи общаго опредѣленія этого дѣйствія: „умножить—
значитъ составить изъ множимаго новое число такъ, какъ множи-
тель составленъ изъ единицы". Опредѣленіе это сообщалось
обыкновенно догматически, съ разъясненіемъ на частномъ при-
мѣрѣ того обстоятельства, что оно охватываетъ собою и случай
умноженія на цѣлое число, a затѣмъ предлагалось разсужденіе
въ родѣ слѣдующаго: „умножить 5 на 3/4 значитъ, согласно опре-
дѣленію, составить изъ 5 новое число такъ, какъ множитель со-
составленъ изъ единицы; но множитель -у составленъ изъ еди-
ницы такъ: взята единица, раздѣлена на 4 равныхъ части, и
такихъ частей взято 3; поэтому для полученія искомаго произве-
денія мы должны раздѣлить число 5 на 4 равныхъ части и полу-
ченное число 5/4 взять (слагаемымъ) 3 раза; будемъ имѣть 15/4".
Послѣ этого путемъ сравненія полученнаго числа съ данными
выводилось и самое правило умноженія на дробь.
Общеизвѣстны и тѣ серьезные дефекты, которыми страдаетъ
этотъ традиціонный пріемъ объясненія вопроса.
Во-первыхъ, онъ не вполнѣ удовлетворителенъ съ логической
стороны, такъ какъ способъ составленія числа изъ единицы, под-
разумѣваемый въ немъ, является не единственнымъ, и мы можемъ,
нисколько не нарушая буквы опредѣленія, разсуждать слѣдую-
щимъ образомъ: „число 3/4 составлено изъ единицы такъ: взята
единица 3 раза слагаемымъ, затѣмъ 4 раза слагаемымъ, и первое
изъ полученныхъ чиселъ сдѣлано числителемъ дроби, второе—ея
знаменателемъ"; составляя же по этому „способу" новое число
изъ множимаго 5, мы получимъ дробь 15/20, а не 15/4, какъ слѣдовало
бы. Чтобы избѣжать этого парадокса, пришлось бы здѣсь (и въ
другихъ аналогичныхъ случаяхъ) предварительно строго огова-
ривать, о какомъ именно способѣ составленія числа изъ единицы
идетъ рѣчь; а благодаря этому, все объясненіе становится искус-

ственнымъ и теряетъ свою убѣдительность. Во-вторыхъ, съ ди-
дактической точки зрѣнія данное объясненіе страдаетъ излишней
общностью, такъ какъ на этой ступени курса требуется выяснить
только смыслъ умноженія на дробь, а не умноженія вообще Въ-
третьихъ, съ педагогической стороны надо считать догматическое
сообщеніе опредѣленій въ такой же мѣрѣ недопустимымъ, какъ и
догматическое заучиваніе правилъ.
Неудовлетворительность традиціоннаго пріема заставляетъ искать
новыхъ путей, и мы видимъ, что въ настоящее время предлага-
ются двѣ точки зрѣнія. Одни *) воскрешаютъ старинный пріемъ
вывода правила умноженія на дробь при помощи законовъ измѣ-
ненія произведенія, установленныхъ для цѣлыхъ чиселъ, и пред-
лагаютъ разсуждалъ примѣрно такъ: „вмѣсто умноженія 5 на -
будемъ множить 5 на 3; получимъ 15. Ho, отбросивъ знаменателя
во множителѣ, мы увеличимъ его въ 4 раза; слѣдовательно и про-
изведеніе увеличилось въ 4 раза противъ истиннаго; чтобы его испра-
вить, уменьшаемъ найденное число 15 въ 4 раза и получаемъ
15
-j-w. Этотъ пріемъ дѣйствительно легче традиціоннаго для запо-
минанія, но по существу онъ непріемлемъ по тѣмъ же причинамъ,
какъ и разсмотрѣнное выше объясненіе умноженія на десятичную
дробь: смыслъ умноженія на дробь остается невыясненнымъ для
учащихся, а приведенное разсужденіе содержитъ замаскированное
опредѣленіе дѣйствія, такъ какъ мы не имѣемъ логическаго нрава
ссылаться здѣсь на законы измѣненія произведенія, установленные
пока лишь для цѣлыхъ чиселъ, и, въ сущности говоря, вводимъ
условіе считать произведеніемъ 5 на ^ такое число, которое было
бы въ 4 раза меньше произведенія 5 на 3. Поэтому, какъ было
выяснено выше, данный пріемъ стоитъ въ коренномъ противорѣчіи
съ однимъ изъ существенныхъ требованій современной дидактики:
не пытаться симулировать доказательствъ тамъ, гдѣ нужно вводить
новыя определенія или условія.
1) Л. Б. Сахаровъ. Ариѳметика. Опытъ методическаго изложенія предмета.
Спб. 1910 г.

Другіе авторы 1) и педагоги предлагаютъ вмѣсто традиціоннаго
объясненія просто вводить условія въ родѣ слѣдующаго: „подъ про-
изведеніемъ двухъ дробей a/b и c/d мы будемъ разумѣть дробь
ac/bd" (числителемъ которой является произведеніе числителей дан-
ныхъ дробей, а знаменателемъ—произведеніе знаменателей),—и
сопровождать эти условія подходящей графической иллюстраціей.
Такой пріемъ не грѣшитъ уже противъ логики, такъ какъ опре-
дѣленіе произведенія вводится въ правильной и явной формѣ; но
съ педагогической точки зрѣнія онъ столь же неудовлетворителенъ,
какъ и прежніе, такъ какъ цѣль установленія указанныхъ здѣсь
условій остается совершенно неясной для учащихся. Взрослый
человѣкъ, который изучаетъ ариѳметику въ научномъ изложеніи,
можетъ сознавать, что подобныя условія вводятся ради сохраненія
основныхъ законовъ ариѳметическихъ дѣйствій при расширеніи
понятія о числѣ, но учащемуся младшаго возраста такая точка
зрѣнія совершенно недоступна, и онъ восприметъ сообщенное ему
условіе просто, какъ правило, которое надо выучить, хотя, быть-
можетъ, въ глубинѣ души будетъ сознавать, что его законный
вопросъ—зачѣмъ введено это условіе—оставленъ безъ отвѣта.
Что же касается графической иллюстраціи, то она можетъ пояс-
нить только содержаніе принимаемаго условія, но не цѣль, ради
которой оно принято.
Если, напр., учащійся беретъ 4/5 нѣкотораго разграфленнаго
на клѣтки прямоугольника, составляющаго въ свою очередь 2/3
другого большаго прямоугольника 2), и при этомъ убѣждается,
что получаемая въ результата фигура составляетъ 8/15 большаго
прямоугольника, то онъ выноситъ наглядное подтвержденіе той
мысли, что 4/5 отъ 2/3 равны 8/15, но не видитъ никакихъ мотивовъ,
1) См. В. Мрочекъ и Ф. Филипповича Педагогика математики, томъ I.
Страница 252.
2) См. тамъ же.

въ силу которыхъ отвѣтъ на данный вопросъ записывается въ
формѣ 4/5·2/3=8/15 и самому дѣйствію приписывается названіе
умноженія.
Чтобы выйти изъ всѣхъ этихъ затрудненій, необходимо соблюсти
основное требованіе конкретно-индуктивнаго метода, именно—ис-
ходить при установленіи понятія объ умноженіи на дробь изъ
условія типичной конкретной задачи, которая рѣшалась бы съ
помощью этого дѣйствія. Пусть, напр., будетъ взята хотя бы та-
кая задача: „пѣшеходъ проходитъ 5 верстъ въ каждый часъ;
сколько верстъ пройдетъ онъ за 3/4 часа (двигаясь равномѣрно съ
той же скоростью)?" Такую задачу учащіеся умѣютъ рѣшать, но
двумя дѣйствіями: сперва они узнаютъ, сколько верстъ пройдетъ
пѣшеходъ за одну четверть часа (5:4 = 5/4), a затѣмъ найдутъ,
сколько верстъ пройдетъ онъ за 3 четверги часа (5/4·3=15/4).
Послѣ того, какъ эта задача рѣшена и рѣшеніе ея записано въ
двухъ строкахъ, необходимо выяснить учащимся, путемъ наводя-
щихъ вопросовъ, смыслъ произведенныхъ ими дѣйствій (мы на-
шли четвертую долю отъ 5 и затѣмъ взяли ее 3 раза слагаемымъ),—
a затѣмъ указать, что вмѣсто этого принято говорить короче: „мы
умножили число 5 на — и записывать рѣшеніе задачи вмѣсто
двухъ строчекъ въ одной: 5 · 3/4 =15/4. Тогда учащимся нетрудно
будетъ уже сообразить, что, напр., умножить 10 на 5/8 значитъ
найти восьмую долю отъ 10 и взять ее слагаемымъ 5 разъ, и
вообще установить, что умножить на дробь значитъ взять такую
долю множимаго, изъ какихъ состоитъ множитель, и повторить ее
слагаемымъ столько разъ, сколько долей во множителѣ. Нетрудно
будетъ также сравнить полученный результатъ съ данными числа-
ми и установить правило умноженія на дробь, напр., въ такой
формѣ:4 „чтобы умножить на дробь, нужно умножить данное число
на числителя и полученный результатъ раздѣлить на знаменателя'1.
Здѣсь, конечно, необходимо выяснить съ помощью конкретныхъ

примѣровь, что порядокъ указанныхъ дѣйствій—умноженія на
числителя и дѣленія на знаменателя—можетъ быть измѣненъ безъ
измѣненія получаемаго произведенія.
Предложенный здѣсь пріемъ объясненія умноженія на дробь,
разумѣется, не представляетъ чего-либо существенно новаго. Онъ
является видоизмѣненіемъ давно извѣстнаго пріема—разсматри-
вать умноженіе на дробь, какъ нахожденіе данной части отъ цѣ-
лаго. Но при такомъ способѣ объясненія учащіеся будутъ пони-
мать смыслъ самаго процесса умноженія на дробь, притомъ въ
наиболѣе конкретной формѣ и въ согласіи съ любой научной тео-
ріей дробей. Кромѣ того, для нихъ будетъ сразу ясна одна изъ
цѣлей, ради которой вводится предлагаемое условіе; цѣль эта—
сокращеніе рѣчи и записи. Слѣдуетъ выяснить тутъ же и другую
цѣль, ради которой повтореніе нѣкоторой доли даннаго числа но-
ситъ названіе умноженія на дробь; именно, если замѣнить въ
условіи разобранной задачи дробное число 3/4 цѣлымъ, напр., 3-мя,
то учащіеся увидятъ, что однородная съ данной задача на цѣлыя
числа (пѣшеходъ проходитъ по 5 верстъ въ часъ; сколько верстъ
пройдетъ онъ за 3 часа)—рѣшается умноженіемъ на цѣлое число.
Всю силу этого мотива они оцѣнятъ, однако, уже тогда, когда
будутъ учиться составлять буквенныя формулы рѣшенія задачъ:
тогда имъ станетъ ясно, что для упрощенія языка формулъ одно-
родныя по смыслу задачи должны рѣшаться одинаковыми дѣй-
ствіями.
До сихъ поръ здѣсь шла рѣчь объ умноженіи цѣлаго числа на
дробь, такъ какъ на подобномъ примѣрѣ легче всего выяснить
смыслъ умноженія на дробь; когда же этотъ смыслъ усвоенъ уча-
щимися, нетрудно примѣнить установленную точку зрѣнія и къ
случаю умноженія дроби на дробь. Такъ, напр., умноженіе 4/5 на
2/3 мы будемъ разсматривать, какъ взятіе одной третьей доли отъ 4/5
(4/5 : 3 =4/15) и повтореніе полученнаго числа 4/15 два раза сла-
гаемымъ (4/15·2 = 8/15; сравнивъ затѣмъ окончательный результатъ

8/15 съ данными числами, мы легко заставимъ учащихся вывести
извѣстное правило перемноженія двухъ дробей.
Какъ только усвоено понятіе объ умноженіи на дробь, необ-
ходимо распространить его и на случай десятичныхъ дробей; из-
вѣстное правило умноженія на десятичную дробь получается тогда,
какъ частный случай правила, установленнаго вообще для дробей.
Опытъ показываетъ, что умноженіе на десятичную дробь воспри-
нимается учащимися съ этой точки зрѣнія болѣе сознательно,
такъ какъ они уясняютъ себѣ, что перемноженіе данныхъ чиселъ
съ отброшенными запятыми есть, собственно говоря, перемноже-
ніе числителей данныхъ дробей, а постановкою запятой на долж-
номъ мѣстѣ произведенія мы уменьшаемъ полученное число во
столько разъ, какъ велико произведеніе знаменателей данныхъ
дробей.
Дѣленіе на дробь можетъ быть изъяснено пріемомъ, вполнѣ ана-
логичнымъ тому, который былъ указанъ при разсмотрѣніи умно-
женія. Возьмемъ, напр., задачу: „Гребецъ проѣхалъ въ лодкѣ
5 верстъ въ теченіе 3/4 часа; сколько верстъ могъ бы онъ проѣхать
въ часъ, двигаясь съ той же скоростью?" Подобную задачу уча-
щіеся рѣшаютъ двумя дѣйствіями: сперва они узнаютъ, сколько
верстъ проѣхалъ бы гребецъ въ одну четверть часа (5:3 = 5/3),
a затѣмъ опредѣлятъ, сколько верстъ онъ могъ бы проѣхать въ
часъ (5.3· 4 = 20/3 или 6 2/3). Затѣмъ нужно предложить учащимся
сдѣлать повѣрку задачи; очевидно, для этой цѣли придется рѣ-
шить обратный вопросъ: зная, что гребецъ проплыветъ въ лодкѣ
6 2/3 версты въ часъ, найти, сколько верстъ проплыветъ онъ за
3/4 часа. Этотъ вопросъ рѣшается умноженіемъ на дробь (6 2/3 · 3/4) и
мы получаемъ въ результатѣ 5. Теперь ясно, что въ первоначаль-
ной задачѣ мы нашли такое число, которое, будучи умножено на
3/4, дастъ въ результатѣ 5; условимся, какъ и въ ученіи о цѣлыхъ
числахъ, называть отысканіе такого числа дѣленіемъ, и запишемъ

рѣшеніе нашей задачи такъ: 5:3/4 = 20/3, т.-е. въ одной строчкѣ
вмѣсто двухъ. Сравнивая полученный результатъ съ данными
числами, мы установимъ съ учащимися и правило дѣленія на дробь,
хотя бы въ такой формулировкѣ: „чтобы раздѣлить на дробь,
нужно раздѣлить данное число на числителя дроби и полученный
результатъ умножить на ея знаменателя"; при этомъ необходимо
выяснить, на данномъ и другихъ конкретныхъ примѣрахъ, что
относительный порядокъ этихъ дѣйствій—дѣленія на числителя
и умноженія на знаменателя—не вліяетъ на окончательный ре-
зультатъ.
Затѣмъ необходимо показать, что сдѣланные выводы могутъ
быть распространены и на тѣ случаи, когда приходится рѣшать
вопросы, сколько разъ одно дробное число содержится въ другомъ,
или какую часть одного числа составляетъ другое. Для этой цѣли
пригодна, напр., такая задача: фунтъ кофе стоитъ 3/4 рубля;
сколько фунтовъ этого кофе можно купить на 5 рублей? Рѣшая
эту задачу непосредственно, учащіеся найдутъ сперва, сколько
четвертей рубля заключается въ 5 рубляхъ (4.5 = 20), a затѣмъ—
сколько разъ 3 четверти рубля содержится въ 20 четвертяхъ
рубля (20:3 = 6 2/3), или могутъ разсуждать такъ: если бы фунтъ
кофе стоилъ 1 четверть рубля, то на рубль можно было бы ку-
пить 4 ф. кофе, а на 5 рублей 4.5 = 20 фунтовъ; но такъ какъ
цѣна фунта кофе—не 1/4 рубля, a въ 3 раза больше 3/4 р.), то
на тѣ же деньги можно купить кофе въ 3 раза меньше, т.-е.
20:3, или 6 2/3 фунта. Затѣмъ дѣлается провѣрка задачи, и
оказывается, что искомое въ ней число, будучи умножено на 3/4,
даетъ въ результатѣ 5; слѣд. можно условиться называть его част-
нымъ данныхъ чиселъ и писать по предыдущему: 5 : 3/4=20/3 или 6 2/3.
Какъ и при разборѣ умноженія, слѣдуетъ показать учащимся,
что однородныя съ данными задачи на цѣлыя числа рѣшаются
дѣленіемъ на цѣлое число; a затѣмъ необходимо распространить

установленныя условія и на случай дѣленія дроби на дробь. Такъ,
напр., дѣленіе 4/5 на 3/8 мы будемъ понимать, какъ отысканіе та-
кого числа, которое, будучи помножено на 3/8, даетъ въ резуль-
татѣ 4/5. Въ силу этого опредѣленія 3/8 искомаго числа должны быть
равны 4/5 ; 1/8 искомаго числа должна быть въ 3 раза меньше 4/5,
т.-е. 4/15; а все искомое число должно быть въ 8 разъ больше по-
лученной дроби, т.-е. равно 32/15. Сравнивая этотъ результатъ съ
данными числами, учащіеся могутъ установить извѣстное правило
дѣленія дроби на дробь.
Далѣе, всѣ сдѣланные выводы должны быть распространены на
случай дѣленія на десятичную дробь. Дѣленіе на десятичную дробь
лучше всего разсматривать, какъ частный случай дѣленія на
дробь вообще: напр., при дѣленіи 2 на 0,3 мы должны умножить
2 на знаменателя данной дроби, т.-е. на 10, и полученное число
20 раздѣлить на числителя 3; слѣд., 2 : 0,3 = 20 : 3 = 6 2/3; при
дѣленіи 0,002 на 0,03 мы должны умножить 0,002 на знаменателя
дѣлителя, т.-е. на 100, и результатъ 0,2 раздѣлить на числителя
3; найдемъ частное 0,0666... Такимъ образомъ мы легко выяснимъ
учащимся, что дѣленіе на десятичную дробь можетъ быть при-
ведено къ дѣленію на цѣлое число.
Изложеннымъ исчерпываются, собственно говоря, всѣ основные
вопросы методики курса дробей, проходимаго въ младшихъ клас-
сахъ нашей средней школы и соотвѣтствующихъ классахъ другихъ
учебныхъ заведеній. Какъ извѣстно, традиціонная практика, кромѣ
упомянутыхъ здѣсь вопросовъ, удѣляетъ довольно много времени
и вниманія ученію о безконечныхъ десятичныхъ періодическихъ
дробяхъ и объ обращеніи ихъ въ обыкновенныя. Но въ настоящее
время уже никто не оспариваетъ той истины, что этому ученію
совсѣмъ не должно быть мѣста въ курсѣ дробей, изучаемомъ въ
младшемъ возрастѣ, тѣмъ болѣе, что оно не можетъ быть изло-
жено на данной ступени безъ крупныхъ логическихъ натяжекъ.

Вопросъ о періодическихъ дробяхъ долженъ быть отнесенъ къ
курсу теоретической ариѳметики, гдѣ онъ, въ связи съ понятіемъ
о безконечной неперіодической десятичной дроби, играетъ нѣ-
которую роль при изложеніи ученія о несоизмѣримомъ числѣ; въ
младшемъ же возрастѣ ученіе о періодическихъ дробяхъ, ихъ
видахъ и правилахъ ихъ обращенія въ простыя является тяже-
лымъ и совершенно безполезнымъ балластомъ, отъ котораго давно
нора освободить нашу программу ариѳметики и наши подрастающія
поколѣнія.

Программа и методъ преподаванія
алгебры въ средней школѣ.
Когда одному изъ учащихся въ нашей школѣ пришлось форму-
лировать то представленіе объ алгебрѣ, которое сложилось у него
подъ вліяніемъ школьнаго преподаванія, то онъ выразилъ его
такъ: „алгебра—это рядъ какихъ-то странныхъ логическихъ фо-
ку совъ".
Такъ разсказываетъ объ этомъ фактѣ, относящемся къ не осо-
бенно далекому прошлому, А. Шапошниковъ въ своей статьѣ „Кри-
зисъ современнаго преподаванія алгебры" 1).
По этому поводу невольно вспоминается саркастическій афоризмъ
Писарева о преподаваніи математики въ современной ему гимназіи.
„У насъ", писалъ онъ, „математика есть не что иное, какъ собра-
ніе сочиненій Боско и Пинетти; это рядъ удивительныхъ фоку-
совъ, придуманныхъ Богъ знаетъ зачѣмъ и Богъ знаетъ какой
эквилибристикой человѣческаго мышленія" 2).
Если бы эти мнѣнія принадлежали лицамъ, плохо справлявшимся
съ гимназической премудростью, то ихъ можно было бы счесть
за насмѣшку, но тотъ юноша, о которомъ идетъ рѣчь въ статьѣ
Шапошникова, былъ вдумчивымъ и развитымъ ученикомъ, a Пи-
саревъ, какъ извѣстно, кончилъ гимназію съ медалью, да и впо-
слѣдствіи до конца своей жизни приписывалъ математикѣ огромное
образовательное и даже воспитательное значеніе.
!) „Педагогическій Сборникъ" 1908 г., мартъ.
2) Соч. Писарева, т. 3, статья „Наша университетская наука".

Сходство обоихъ отзывовъ, раздѣленныхъ солиднымъ промежут-
комъ времени, само бросается въ глаза; можно было бы принять
его за случайное совпаденіе, если бы подобные факты были еди-
ничными; но всякій преподаватель средней школы, порывшись въ
своихъ педагогическихъ воспоминаніяхъ, можетъ привести не одинъ
примѣръ, когда школьная математика, и въ частности алгебра,
представлялась даровитымъ и развитымъ юношамъ какой-то стран-
ной дѣятельностью ума, внушающей уваженіе своей безспорной
логичностью, но въ то же время порождающей недоумѣніе своей
явной безцѣльностью и безполезностью.
Приходится, поэтому, предположить, что всѣ эти факты вызы-
ваются какой-то общей причиной, присущей постановкѣ школьнаго
преподаванія математики вотъ ужъ въ теченіе длиннаго ряда лѣтъ.
Чтобы выяснить себѣ эту причину, разсмотримъ вкратцѣ, какими
цѣлями задается это преподаваніе и какими средствами оно пред-
полагаетъ ихъ достигать.
Если вы спросите любого образованнаго человѣка, зачѣмъ изу-
чается математика въ средней школѣ, то въ большинствѣ случа-
евъ вы получите отвѣтъ: „конечно, въ цѣляхъ общаго умствен-
наго развитія учащихся". А если вы затѣмъ зададите вопросъ,
какимъ образомъ изученіе математики можетъ содѣйствовать
умственному развитію занимающихся ею, то вамъ скажутъ: вѣдь
математика есть наука точная и отвлеченная, а потому изученіе
ея вырабатываетъ привычку къ правильному мышленію; въ
этомъ и состоитъ ея значеніе, какъ общеобразовательнаго пред-
мета" .
Эти положенія кажутся безспорнымъ Ихъ придерживались и
придерживаются многіе педагоги; и, безъ сомнѣнія, эти взгляды
наложили свою печать и на школьное преподаваніе. Исходя изъ
этихъ положеній, ихъ сторонники при прохожденіи курса выдви-
гаютъ на первое мѣсто изученіе общей теоріи, придавая задачамъ
лишь второстепенный и служебный характеръ. Далѣе они счита-
ютъ всѣ отдѣлы программы равноценными по своему общеобразо-
вательному значенію, независимо отъ того, имѣютъ ли эти отдѣлы
практическое приложеніе или нѣтъ. Наконецъ, для нихъ не суще-
ствуетъ вопроса о методѣ преподаванія: строгая систематичность

и послѣдовательность въ изложеніи общей теоріи, съ примѣненіемъ
конкретныхъ примѣровъ лишь для иллюстраціи теоретическихъ
истинъ—вотъ единственный методъ, признаваемый сторонниками
вышеуказанныхъ воззрѣній.
Программа по алгебрѣ, дѣйствующая нынѣ въ гимназіяхъ и
дѣйствовавшая до самыхъ послѣднихъ дней (до 1906—7 учебнаго
года) и въ реальныхъ училищахъ, а также и наиболѣе распро-
страненный руководства носятъ явные слѣды такихъ взглядовъ.
Мы видимъ, напр., въ программѣ цѣлую группу отдѣловъ, почти
не имѣющихъ практическихъ приложеній и внутренней связи между
собою и съ остальнымъ курсомъ—таковы теорія соединеній, тео-
рія непрерывныхъ дробей, вопросъ о неопредѣленныхъ уравне-
ніяхъ. Чѣмъ можно объяснить наличность въ курсѣ алгебры этихъ
вопросовъ, какъ не увѣренностью въ томъ, что они, при всей своей
обособленности и практической бозполезности, представляютъ удоб-
ный матеріалъ для развитія отвлеченнаго мышленія? Далѣе, мы
видимъ руководства по алгебрѣ, излагающія предметъ въ строгой
системѣ, но въ то лее время въ самой общей и отвлеченной фор-
мѣ, и потому мало доступныя для пониманія учащимися. Чѣмъ
можно объяснить выборъ такого способа изложенія, какъ не убѣ-
жденіемъ въ томъ, что развитіе отвлеченнаго мышленія дости-
гается лишь усвоеніемъ отвлеченной системы, и что введеніе
конкретности въ методъ изложенія только затормозило бы этотъ
процессъ развитія?
Это отсутствіе внутренней связи въ самомъ курсѣ алгебры, эта
разобщенность между областью алгебраическихъ истинъ и другими
науками, а также явленіями дѣйствительной жизни, наконецъ
этотъ абстрактно дедуктивный методъ изложенія предмета въ ру-
ководствахъ и при классномъ преподаваніи,—безспорно и явились
причиною, почему алгебра для лучшихъ учащихся могла предста-
вляться сѣтью логическихъ фокусовъ, а для менѣе развитыхъ
была просто собраніемъ формулъ и правилъ, которыя нужно было
осилить памятью, подобно правиламъ латинской грамматики и
синтаксиса. Конечно, я далекъ отъ мысли утверждать, что плоды
школьнаго изученія алгебры были такими повсемѣстно; конечно,
педагогическое чутье и талантъ отдѣльныхъ преподавателей во

многихъ случаяхъ исправляли недостатки системы и заставляли
уклоняться отъ нея, но тамъ, гдѣ эта система проводилась пря-
молинейно, результаты не могли быть удовлетворительными, такъ
какъ система исходила изъ апріорныхъ соображеній и не прини-
мала въ расчетъ психологіи ребенка и юноши.
Въ настоящее время, когда въ области преподаванія мате-
матики происходитъ переоцѣнка всѣхъ цѣнностей, мнѣ предста-
вляется крайне необходимымъ разобрать вопросъ о томъ, въ ка-
комъ духѣ нужно преобразовать программу курса алгебры въ
средней школѣ и каковы должны быть основы метода преподава-
нія этой науки и изложенія ея въ руководствахъ. A передъ этимъ,
конечно, надо установить свою точку зрѣнія на дѣль и смыслъ
преподаванія математики и въ частности алгебры въ средней школѣ.
Какъ мнѣ уже приходилось говорить въ этой книгѣ (статья первая),
я считаю, что вліяніе на умственное развитіе учащихся, приписы-
ваемое математикѣ традиціоннымъ воззрѣніемъ, никогда и никѣмъ
не было доказано, и несомнѣнно преувеличено. И данныя опыта,
и данныя элементарнаго психологическаго анализа, на которыя мнѣ
приходилось ссылаться въ указанномъ мѣстѣ, свидѣтельствуютъ,
что занятія математикой не могутъ служить орудіемъ всесторон-
няго умственнаго развитія; изученіе математики можетъ содѣйство-
вать составленію правильныхъ сужденій въ такой области знанія,
которая имѣетъ сходство съ мамематикой по способу установле-
нія фактовъ и истины которой по существу своему находятся въ
тѣсной ассоціативной связи съ математическими; такова, напри-
мѣръ, теоретическая механика; но изученіе той же математики
нимало не способствуетъ усвоенію и открытію новыхъ истинъ срав-
нительнаго языкознанія или государственнаго права, вообще такихъ
наукъ, которыя требуютъ совершенно иныхъ пріемовъ наблюденія
и въ которыхъ указанная связь съ математическими истинами
вовсе или почти не имѣетъ мѣста.
Такимъ образомъ, развивающее вліяніе математики оказывается
не такимъ всестороннимъ и не такимъ значительнымъ, какъ это
принято думать. Значитъ ли это, что я хотѣлъ бы умалить зна-
ченіе математики, какъ предмета изученія въ средней школѣ?
Отнюдь нѣтъ.

Я полагаю, что роль математики, какъ общеобразовательнаго
предмета, основывается на томъ значеніи, которое имѣла и имѣетъ
эта наука въ культурной жизни человѣчества. Математика была и
является средствомъ наиболѣе просто, ясно и точно выражать
наши познанія о мірѣ при помощи особыхъ символовъ и пріобрѣ-
тать новыя познанія о тѣхъ его предметахъ и явленіяхъ, свойства
которыхъ могутъ быть выражены при помощи этихъ символовъ.
И если школьное преподаваніе будетъ такъ поставлено, что смо-
жетъ раскрыть передъ учащимися именно эту сторону математики,
то послѣдняя перестанетъ быть въ ихъ глазахъ собраніемъ логи-
ческихъ фокусовъ, а явится для нихъ могущественнымъ орудіемъ
познанія, вносящимъ свѣтъ и ясность въ огромное число вопро-
совъ науки и жизни. Вмѣстѣ съ тѣмъ она, какъ было только-что
указано, дастъ имъ возможность кратчайшимъ путемъ дѣлать
правильные выводы въ тѣхъ областяхъ знанія, къ которымъ ея
истины могутъ быть приложены, т.-е. она послужитъ для нихъ и
средствомъ умственнаго развитія, хотя и не всеобщаго, но доволь-
но многосторонняго, такъ какъ область примѣненія математиче-
скихъ истинъ весьма обширна. Само собою разумѣется, что выска-
зываемый мною взглядъ на математику отнюдь не требуетъ низве-
денія ея на степень собранія свѣдѣній, полезныхъ для рѣшенія
практическихъ вопросовъ; въ результатѣ школьнаго изученія она
должна предстать передъ учащимися и какъ орудіе міропознанія,
и какъ научная система; какъ этого достигнуть — это вопросъ
программы и метода, и я постараюсь въ дальнѣйшемъ дать на
него посильный отвѣтъ, имѣя въ виду главнымъ образомъ ал-
гебру.
Если мы теперь въ вышеупомянутой точки зрѣнія будемъ раз-
сматривать вопросъ о постановкѣ преподаванія алгебры въ средней
школѣ, то для насъ станетъ ясно, въ какомъ духѣ должна быть
преобразована ея программа, чтобы достигались намѣченныя выше
цѣли. Она должна вообще состоять изъ такихъ отдѣловъ, которые
либо непосредственно могутъ быть прилагаемы къ рѣшенію разно-
образныхъ вопросовъ науки и жизни, либо необходимы для теоре-
тическаго обоснованія, подтвержденія и приведенія въ систему
отдѣловъ предыдущей категоріи. Все же не удовлетворяющее этимъ

требованіямъ должно быть исключено безъ всякихъ оговорокъ, какъ
не соотвѣтствующее той цѣли, ради которой изучается въ сред-
ней школѣ математика. Такъ, напримѣръ, изученіе алгебраиче-
скихъ преобразованій можетъ быть сведено до минимума, который
необходимъ для рѣшенія уравненіи и изученія другихъ отдѣловъ
курса: умноженіе и дѣленіе многочленовъ, разложеніе ихъ на
множителей, дѣйствія надъ дробями и радикалами слѣдуетъ огра-
ничить наиболѣе простыми случаями, подобными тѣмъ, которые
дѣйствительно встрѣчаются въ алгебраической практикѣ. Сверхъ
того, могутъ быть упразднены отдѣлы, составляющіе значитель-
ную часть курса нынѣшняго 6-го и 7-го классовъ гимназій: рѣше-
ніе возвратныхъ, двучленныхъ и трехчленныхъ уравненіи, рѣше-
ніе неопредѣленныхъ уравненіи, теорія непрерывныхъ дробей,
теорія соединеній и ея приложеніе къ выводу формулы бинома
Ньютона. Такимъ образомъ, можно было бы сберечь не мало
времени и явилась бы возможность безъ увеличенія объема курса
выполнить то, чего такъ настойчиво добивается современная
педагогическая мысль въ области преподаванія математики—мы
говоримъ о введеніи въ курсъ средней школы элементовъ высша-
го анализа, главнымъ образомъ понятія о функціи и функціо-
нальной зависимости въ связи со способомъ графическая изобра-
женія измѣненій функціи при помощи декартовыхъ координатъ, а
также краткаго ученія о производной и объ интегралѣ, съ при-
ложеніемъ этихъ понятій къ рѣшенію различныхъ вопросовъ мате-
матики и другихъ наукъ.
Нѣтъ надобности указывать, насколько важно ознакомленіе съ
понятіемъ о функціи и съ методами ея графическаго изображенія
для тѣхъ учащихся средней школы, которые впослѣдствіи зай-
мутся изученіемъ естествознанія, психологіи, статистики, полити-
ческой экономіи, даже соціологіи: нѣтъ надобности подчеркивать,
какую существенную пользу окажетъ изученіе элементовъ высшаго
анализа для тѣхъ, кто и въ высшей школѣ будетъ продолжать
занятія матеметическими науками: не нужно напоминать, что безъ
теоріи предѣловъ немыслимо сколько-нибудь удовлетворительное
изложеніе вопросовъ объ измѣреніи длины окружности и площади
круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ, что безъ понятія

о производной не можетъ быть составлено надлежащее предста-
вленіе о скорости и ускореніи неравномѣрнаго движенія, и т. д.;
не нужно, наконецъ, настаивать и на томъ, что элементы выс-
шаго анализа, въ надлежащемъ изложеніи, не представляютъ ни-
чего неодолимаго для пониманія учащихся въ средней школѣ и
не являются непосильнымъ бременемъ для ихъ мыслительныхъ
способностей. Всѣ эти положенія достаточно уже разработаны и
подтверждены въ педагогической литературѣ, и проникли уже въ
жизнь средней школы, сперва на Западѣ, a въ послѣдніе годы и
у насъ, такъ какъ въ 1906 году въ курсѣ 7-го класса реаль-
ныхъ училищъ введено ознакомленіе съ элементами аналитической
геометріи, дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія. Поэтому
я буду здѣсь говорить не о необходимости введенія этихъ отдѣ-
ловъ въ курсъ средней школы,—это вопросъ, о которомъ не мо-
жетъ быть двухъ мнѣній, а о иаилучшемъ распредѣленіи ихъ въ
программѣ.
Нельзя считать цѣлесообразнымъ, чтобы элементы высшаго
анализа изучались въ видѣ совершенно обособленнаго отдѣла,
хотя бы и завершающаго собою курсъ математики въ средней
школѣ. При такомъ условіи та пропасть, которая теперь -суще-
ствуетъ между содержаніемъ и методомъ такъ называемой эле-
ментарной математики и высшаго анализа, не исчезаетъ, а только
переносится внутрь курса средней школы, и самыя идеи выс-
шаго анализа не могутъ принести надлежащей пользы. Я не го-
ворю уже о томъ, что при такихъ условіяхъ учащимся придется
изучать нѣкоторые важные вопросы,—напримѣръ, вышеупомянутый
вопросъ объ измѣреніи долины окружности и площади круга, по
два раза: сперва въ такъ называемомъ элементарномъ изложеніи,
неудовлетворительномъ съ логической стороны, a затѣмъ ужъ въ
правильномъ освѣщеніи. Необходимо поэтому такъ перестроить
программу, чтобы элементы высшаго анализа вошли въ нее не
какъ механическая пристройка, a какъ органическая составная
часть, и чтобы между ними и другими частями курса математики
существовала тѣсная связь и простой и естественный переходъ.
Первоначальныя понятія о функціи и о функціональной зави-
симости можно дать учащимся въ связи съ изученіемъ уравненіи

1-й степени. Здѣсь слѣдуетъ познакомить ихъ съ системой прямо*
угольныхъ координатъ двухъ измѣреній и изложить вопросъ объ
опредѣленіи положенія прямой на плоскости при помощи уравне-
нія 1-й степени; затѣмъ дать понятіе о функціи и функціональ-
ной зависимости, остановиться на свойствахъ функціи перваго по-
рядка вида у=ах+b и дать ея графическое изображеніе. На
основаніи изученнаго матеріала и сдѣланныхъ выводовъ можно
будетъ наглядно иллюстрировать рѣшеніе и изслѣдованіе уравне-
ніи 1-й степени съ однимъ и двумя неизвѣстными и указать гра-
фически способъ рѣшенія этихъ уравненіи; также можетъ быть
дано понятіе о графикахъ желѣзнодорожнаго движенія, графикахъ
температуры и т. д.
Дальнѣйшее развитіе понятія о функціи найдетъ себѣ мѣсто
въ связи съ изученіемъ квадратныхъ уравненіи и неравенствъ.
Именно, здѣсь будетъ вполнѣ умѣстно разсматривать квадратный
трехчленъ, какъ функцію второго порядка вида y=ax2+bx+c,
и изученіе его свойствъ иллюстрировать графическимъ изображе-
ніемъ этой функціи; одновременно можетъ быть указанъ и графи-
чески способъ рѣшенія квадратныхъ уравненіи съ однимъ неиз-
вѣстнымъ, a въ частныхъ случаяхъ и съ двумя неизвѣстными.
Приблизительно въ то же время придется пройти и теорію пре-
дѣловъ. Понятіе о безгранично маломъ можетъ быть дано еще и
раньше, въ связи съ ученіемъ о несоизмѣримыхъ числахъ, но по-
нятіе о предѣлѣ и теорію предѣловъ удобнѣе всего излагать уже
тогда, когда ученіе о несоизмѣримыхъ числахъ усвоено учащими-
ся. Принято иногда давать понятіе о предѣлѣ въ связи съ этимъ
послѣднимъ ученіемъ; но это мнѣ кажется нецѣлесообразнымъ,
такъ какъ ученіе о предѣлѣ не можетъ быть тогда иллюстриро-
вано достаточными приложеніями, да и теорія несоизмѣримыхъ чи-
селъ достаточно трудна сама по себѣ, чтобы можно было осло-
жнять изученіе ея знакомствомъ съ новымъ и важнымъ понятіемъ
о предѣлѣ. Опредѣлять же самое несоизмѣримое число, какъ пре-
дѣлъ нѣкотораго ряда соизмѣримыхъ чиселъ, значитъ впадать въ
логическій кругъ; въ самомъ дѣлѣ, если мы опредѣляемъ несоиз-
мѣримое число х, какъ предѣлъ перемѣннаго соизмѣримаго чи-
сла а, то мы тѣмъ самымъ, въ силу понятія о предѣлѣ, утвер-

ждаемъ, что разность х—а безгранично мала; другими словами,
мы пытаемся истолковать незнакомое еще для насъ понятіе о не-
соизмѣримомъ числѣ X при помощи тѣмъ 'болѣе не выясненнаго
понятія о разности между этимъ самымъ неизвѣстнымъ х и извѣст-
нымъ соизмѣримымъ числомъ a. Въ силу этихъ соображеній ясно,
что несоизмѣримому числу необходимо давать онредѣленіе, неза-
висимое отъ понятія о предѣлѣ; а излагая теорію предѣловъ уже тогда,
когда учащіеся знакомы съ ученіемъ о несоизмѣримыхъ числахъ,
мы получаемъ возможность приложить ее къ важнымъ вопросамъ
объ измѣреніи длины окружности и площади круга. Замѣтимъ, что
теорію предѣловъ необходимо проходить въ настолько полномъ
объемѣ, чтобы ея приложенія къ указаннымъ вопросамъ могли
быть вполнѣ обоснованы; въ настоящемъ же жалкомъ и урѣзан-
номъ ея видѣ она является для учащихся только источникомъ не-
доумѣній и ошибокъ и воспринимается вмѣстѣ съ приложеніями въ
значительной части своей на вѣру; напр., положенія о томъ, что
при безграничномъ увеличеніи числа сторонъ правильнаго вписан-
наго многоугольника длина его стороны безгранично мала, длина
апоѳемы имѣетъ предѣломъ радіусъ, а для периметра существуетъ
предѣлъ, притомъ независимый отъ закона увеличенія числа сто-
ронъ,—всѣ эти положенія остаются недоказанными.
Знакомство съ теоріей предѣловъ даетъ возможность въ даль-
нѣйшемъ курсѣ (послѣ изученія вопросовъ о прогрессіяхъ н ло-
гариѳмахъ) обосновать понятіе о производной функціи. Нечего до-
бавлять, что это понятіе, будучи достаточно усвоено аналитически
и истолковано геометрически, позволяетъ внести полную ясность и
въ разные вопросы физики, какъ, напримѣръ, установить понятіе о
скорости и ускореніи неравномѣрнаго движенія и изучить зависи-
мость между этими послѣдними величинами и разстояніемъ, прохо-
димымъ движущимся тѣломъ.
Чтобы придать курсу алгебры и анализа большую закончен-
ность и вполнѣ ознакомить учащихся съ аналитическими метода-
ми, желательно (по крайней мѣрѣ въ тѣхъ школахъ, которыя при-
ближаются къ типу реальныхъ училищъ) изложить имъ краткое
ученіе о производныхъ, а также ознакомить ихъ съ понятіемъ
объ интегралѣ и со способомъ опредѣленія простѣйшихъ поверх-

ностей и объемовъ при помощи элементарныхъ истинъ интеграль-
ного исчисленія. Изученію этихъ вопросовъ, въ большемъ или
меньшемъ объемѣ, и слѣдовало бы отвести время и мѣсто въ
послѣдніе два года пребыванія учащихся въ средней школѣ, ра-
зумѣется, въ связи съ дополненіемъ пріобрѣтенныхъ свѣдѣній изъ
аналитической геометріи, съ повтореніемъ въ послѣднемъ классѣ
основныхъ истинъ всего курса и съ расширеніемъ понятія о чи-
слѣ и о дѣйствіяхъ. Кстати, основы ученія о мнимыхъ и комплекс-
ныхъ числахъ слѣдовало бы совсѣмъ изъять изъ курса сред-
нихъ классовъ, гдѣ ученіе это не имѣетъ существеннаго значе-
нія,—и отнести именно къ повторительному курсу; тогда явится
возможность сильнѣе подчеркнуть обобщающее значеніе этихъ чи-
селъ; конечно, при этомъ весьма желательно геометрическое ихъ
истолкованіе.
Разумѣется, выполненіе предлагаемой здѣсь программы потре-
буетъ нѣсколько иного распредѣленія курса геометріи, сравни-
тельно съ нынѣ дѣйствующимъ. Не вдаваясь въ подробности, ска-
жу, что мнѣ представляется наиболѣе цѣлесообразнымъ такое изу-
ченіе этого предмета, при которомъ въ младшихъ классахъ (1—3)
проходится краткій курсъ наглядной геометріи, a систематическій
курсъ распредѣляется не на планиметрію и стереометрію, а по ме-
тодамъ доказательствъ (сперва изучаются теоремы, справедливость
которыхъ обнаруживается способомъ наложенія, затѣмъ теоремы,
къ доказательству которыхъ примѣняется способъ пропорціи и во-
обще алгебраическія вычисленія, и наконецъ теоремы, доказывае-
мыя по способу предѣловъ).
Можно, повидимому, опасаться, что изученіе предлагаемыхъ
новыхъ отдѣловъ окажется невыполнимымъ при томъ числѣ уро-
ковъ, которое нынѣ отводится на математику, и потребуетъ зна-
чительнаго увеличенія учебнаго времени. Но не слѣдуетъ забывать,
что предлагаемый планъ, на ряду съ введеніемъ новыхъ отдѣловъ,
проектируетъ и значительныя сокращенія въ учебномъ матеріалѣ,
указанныя нами выше. Желательно даже расширить эти сокраще-
нія, а именно, съ одной стороны, опустить нѣкоторыя главы эле-
ментарной геометріи, не имѣющія самостоятельнаго значенія (какъ,
напр., вопросъ объ относительномъ положеніи окружностей); съ

другой стороны, упразднить ученіе о періодическихъ дробяхъ въ
ариѳметикѣ и почти весь нынѣшній курсъ ариѳметики 3 клас-
са—ученіе о пропорціяхъ и рѣшеніе задачъ на такъ называемыя
„правила". По первому вопросу, какъ уже признано теперь въ
педагогической литературѣ, совершенно достаточно ограничиться
изученіемъ признака, указывающаго, обратится ли данная дробь въ
конечную десятичную или нѣтъ; большинство же задачъ на спе-
ціальныя „правила" представляютъ изъ себя "совершенно излиш-
ній балластъ, a простѣйшія, дѣйствительно необходимыя задачи
на проценты и пропорціональное дѣленіе могутъ быть рѣшаемы
безъ всякихъ „правилъ". На мѣсто этого упраздняемаго курса
слѣдуетъ, конечно, ввести изученіе приближенныхъ вычисленій; а
остатокъ свободнаго времени будетъ такимъ образомъ выигранъ
для изученія геометріи и алгебры.
При наличности всѣхъ указанныхъ сокращеній я полагаю, что
намѣчаемый курсъ математики окажется, въ основныхъ своихъ
частяхъ, выполнимымъ при 32—33 урокахъ въ теченіе восьми-
лѣтняго курса *) средней школы (приготовительные классы здѣсь
не принимаются въ расчетъ), при условіи, конечно, если методъ
преподаванія будетъ сообразоваться съ требованіями психологіи и
педагогики.
Вопросъ о методѣ преподаванія алгебры и анализа имѣетъ, по
моему мнѣнію, еще большую важность, чѣмъ вопросъ объ измѣ-
неніи программы. Въ самомъ дѣлѣ, методика алгебры, въ проти-
воположность методикѣ ариѳметики, остается до настоящаго вре-
мени почти совсѣмъ не разработанной, и не установлены даже
основныя ея положенія. Сторонники строго-систематическаго изу-
ченія алгебры считаютъ методику ея даже излишней, и единствен-
ная уступка возрасту и психологіи учащихся, допустимая по ихъ
мнѣнію, состоитъ въ томъ, чтобы предлагать догматически тѣ по-
ложенія, доказательство которыхъ оказывается для учащихся не-
1) Сравн., напр., программу, выработанную Кіевскимъ физико-математиче-
скимъ обществомъ (напечатанную въ книгѣ К. M. Щербины: „Математика въ
русской средней школѣ". Кіевъ 1908 г.).

посильнымъ, a впослѣдствіи, при повтореніи курса, доказывать и
эти истины. Съ такимъ пріемомъ, разумѣется, нельзя согласить-
ся, такъ какъ догматическое изложеніе математики лишено всякой
убѣдительности и подрываетъ достовѣрность математическихъ
истинъ въ глазахъ учащихся; но абстрактно-дедуктивный методъ
изложенія имѣетъ еще и другія, болѣе уязвимыя стороны, къ раз-
смотрѣнію которыхъ мы сейчасъ и переходимъ.
Во 1-хъ, при немъ опредѣленія тѣхъ или иныхъ понятій да-
ются сразу въ законченномъ видѣ, и лишь затѣмъ иногда разъ-
ясняются на примѣрахъ. Между тѣмъ, такой способъ изложенія
отнюдь не способствуетъ сознательному и отчетливому усвоенію
опредѣляемыхъ понятій учащимися.
Пусть, напримѣръ, преподаватель начинаетъ излагать ученіе о
предѣлахъ и говоритъ: „предѣломъ даннаго перемѣннаго количе-
ства называется постоянное, обладающее тѣмъ свойствомъ, что
разность между нимъ и даннымъ перемѣннымъ безгранично мала".
Нетрудно видѣть, что въ психикѣ учащихся, которые выслу-
шаютъ это опредѣленіе, можетъ при этомъ происходить двоякій
процессъ. Либо они представятъ себѣ какое-либо вполнѣ опре-
дѣленное перемѣнное количество и другое постоянное, обла-
дающее указаннымъ свойствомъ, напримѣръ, припомнятъ величину
угла правильнаго многоугольника, опредѣляемую по формулѣ
x=180°–360°/n
и сравнятъ ее съ постояннымъ числомъ 180°, при условіи, что
число сторонъ многоугольника (и) безгранично возрастаетъ, либо
они не смогутъ подобрать подобнаго примѣра изъ предыдущей
практики, и будутъ представлять себѣ только слова, передъ этимъ
произнесенныя преподавателемъ, не вкладывая въ нихъ никакого
опредѣленнаго содержанія. Безъ сомнѣнія, чаще всего будетъ
имѣть мѣсто именно этотъ послѣдній случай, такъ какъ поныл
опредѣленія даются при абстрактно-дедуктивномъ методѣ изложе-
нія какъ разъ тогда, когда учащіеся только приступаютъ къ
изученію даннаго вопроса и, естественно, не могутъ самостоя-
тельно подыскать подходящихъ примѣровъ. Если при этомъ пре-

подаватель не найдетъ нужнымъ указать такой примѣръ, то все
его дальнѣйшее изложеніе можно считать потеряннымъ для уча-
щихся: не имѣя отчетливаго представленія о предѣлѣ, они, ко-
нечно, не въ состояніи будутъ сознательно усвоить ни одного по-
ложенія, касающагося свойствъ предѣловъ, и въ лучшемъ случаѣ
заучатъ механически опредѣленія и доказательства, но такое
знаніе въ глазахъ педагога не можетъ имѣть никакой цѣны. Но
даже въ томъ случаѣ, когда преподаватель, формулировавъ основ-
ное опредѣленіе, постарается сейчасъ же привести учащимся под-
ходящій примѣръ,—даже и въ этомъ случаѣ нельзя считать про-
дуктивно использованнымъ того времени, которое ушло на пред-
варительное изложеніе опредѣленія преподавателемъ: все равно
представленіе о предѣлѣ могло сложиться у значительнаго боль-
шинства учащихся только послѣ разбора этого примѣра.
Совершенно иная картина получится въ томъ случаѣ, если пре-
подаватель сперва заставитъ учащихся припомнить или опредѣ-
лить величину угла правильнаго многоугольника объ п сторонахъ,
выражаемую вышеупомянутой формулой; если онъ затѣмъ пред-
ложитъ имъ выразить разность между постояннымъ количествомъ
180° и найденной величиной угла многоугольника; если послѣ
этого онъ заставитъ ихъ убедиться, что эта разность, равная 360°,
при безграничномъ увеличеніи числа сторонъ многоугольника (n),
уменьшается и можетъ сдѣлаться и оставаться менѣе любого по-
стояннаго положительнаго числа h°; если наконецъ онъ скажетъ,
что въ силу послѣдняго обстоятельства мы будемъ называть по-
стоянное количество 180° предѣломъ даннаго перемѣннаго х, то
въ сознаніи учащихся будутъ налицо всѣ элементы, необходимые
для составленія новаго понятія, и преподаватель можетъ безъ
труда заставить ихъ самихъ формулировать общее опредѣленіе,
съ которымъ будетъ теперь связано опредѣленное и отчетливое
представленіе. Рядъ новыхъ примѣровъ, указанныхъ преподава-
телемъ и самими учениками, укрѣпитъ затѣмъ въ ихъ памяти
ассоціативную связь между отдѣльными элементами новаго по-
нятія и позволитъ строить дальнѣйшіе выводы *на прочномъ
основаніи.

Очевидно, что подобный методъ изложенія можетъ быть съ
успѣхомъ приложенъ не только къ установленію новыхъ опре-
дѣленій, но и вообще для предварительнаго усвоенія новыхъ алге-
браическихъ истинъ, если нужно достигнуть того, чтобы новая
истина запечатлѣлась въ сознаніи учащихся возможно болѣе ярко
и отчетливо. Такъ, напримѣръ, если учащіеся должны усвоить
теорему: „десятичный логариѳмъ числа, изображаемаго единицей
съ нулями, равенъ столькимъ единицамъ, сколько нулей въ изоб-
раженіи этого числа", то цѣлесообразнѣе всего предварительно
заставить ихъ отыскать lg10, lg100, lg1000 ... до lg1000000 вклю-
чительно, затѣмъ предоставить имъ самимъ формулировать эту
теорему въ общемъ видѣ и уже послѣ этого изложить имъ общее
доказательство.
Въ тѣхъ же случаяхъ, когда дедуктивное доказательство какой-
либо истины оказывается вовсе непосильнымъ для учащихся, ука-
занный конкретно-индуктивный методъ изложенія представляетъ
единственное средство обнаруженія достовѣрности этой истины и
единственный способъ сознательнаго ея усвоенія.
Такимъ именно способомъ учащіеся могутъ усвоить, при перво-
начальномъ изученіи алгебры, основные законы алгебраическихъ
дѣйствій; этимъ устраняется необходимость прибѣгать въ подоб-
ныхъ случаяхъ къ догматическому изложенію. Впослѣдствіи же,
при систематизаціи курса алгебры въ послѣднемъ классѣ, уча-
щимся должно быть предложено и дедуктивное доказательство
вышеупомянутыхъ законовъ и истинъ, въ тѣхъ случаяхъ, разу-
мѣется, когда* данная истина не носитъ характера аксіомы.
Во 2-хъ, при абстрактно дедуктивномъ методѣ изложенія раз-
личныя условія, вводимыя въ алгебру, сообщаются обыкновенно
безъ должной мотивировки. Между тѣмъ, учащіеся только тогда
могутъ сознательно освоиться съ этими условіями, когда будутъ
въ состояніи ясно представить себѣ тѣ цѣли, ради которыхъ эти
условія вводятся. Въ особенности это обстоятельство сказывается
въ самомъ началѣ изученія алгебры, когда учащіеся должны по-
стигнуть смыслъ и цѣль употребленія буквенныхъ обозначеній.
Начать преподаваніе алгебры указаніемъ на то, что въ алгебрѣ
числа принято выражать не цифрами, а буквами, и затѣмъ ne-

рейти къ выясненію понятій объ алгебраическомъ выраженіи, фор-
мулахъ, знакахъ дѣйствій и т. д.,—значитъ навѣрняка отбить у
учащихся охоту къ дальнѣйшимъ занятіямъ такимъ неинтерес-
нымъ и непонятнымъ предметомъ. Даже если послѣ такого всту-
пленія преподаватель и укажетъ учащимся пригодность буквен-
ныхъ обозначеній къ обобщенію задачъ и нахожденію ихъ рѣ-
шеній, нельзя быть увѣреннымъ въ томъ, что это запоздалое объ-
ясненіе вернетъ потерянный интересъ къ дѣлу и внесетъ должную
ясность въ первоначальный курсъ алгебры. Между тѣмъ, есть
полная возможность такъ поставить дѣло, чтобы условіе относи-
тельно употребленія буквъ въ алгебрѣ представлялось для уча-
щихся совершенно естественнымъ и даже необходимымъ. Пусть
преподаватель предложитъ учащимся рѣшить какую-нибудь не-
сложную ариѳметическую задачу, напримѣръ, такую: „два поѣзда
вышли одновременно навстрѣчу другъ другу изъ двухъ городовъ,
разстояніе между которыми 480 верстъ. Первый поѣздъ прохо-
дитъ въ каждый часъ 36 верстъ, второй 24. Черезъ сколько ча-
совъ они встрѣтятся?" Пусть затѣмъ учащіеся выразятъ ходъ рѣ-
шенія зтой задачи при помощи ариѳметической формулы; пусть
далѣе преподаватель дастъ имъ для рѣшенія вторую задачу съ
такимъ же условіемъ, но съ другими числами, и пусть для нея
будетъ также составлена соотвѣтственная ариѳметическая формула.
Послѣ этого преподавателю нетрудно будетъ добиться отъ уча-
щихся, чтобы они выразили словами общій способъ рѣшенія по-
добныхъ задачъ, хотя бы такъ: „чтобы найти искомое число часовъ,
нужно раздѣлить разстояніе между городами на скорость 1-го по-
ѣзда въ часъ, сложенную со скоростью 2-го поѣзда въ часъ", а
затѣмъ записали бы все это болѣе кратко:
„искомое число часовъ = разстоянію между городами/скор. 1-го п. въ час]+скор. 2-го п. въ часъ".
Если наконецъ преподаватель укажетъ, что подобная запись
все же весьма громоздка и длинна, и предложитъ ученикамъ
обозначить каждую изъ входящихъ въ задачу величинъ одной
буквой, напр., искомое число часовъ—буквою разстояніе между
городами — d, скорость поѣздовъ — буквами а и Ь, то для уча-

щихся сразу станетъ ясно преимущество получаемой краткой
записи
x=d/a+b
передъ прежней; нетрудно будетъ выяснить имъ, что эта новая
запись даетъ возможность рѣшать всякую новую задачу съ по-
добнымъ же условіемъ при помощи простой подстановки чиселъ,
безъ повторенія тѣхъ разсужденій, которыя были нужны для рѣ-
шенія первой задачи. Смыслъ и цѣль употребленія буквъ въ ал-
гебрѣ станутъ такимъ образомъ для нихъ совершенно ясными.
Въ 3-хъ, абстрактно-дедуктивный методъ при расширеніи по-
нятія о числѣ обращаетъ вниманіе учащихся только на одну цѣль
введенія новыхъ чиселъ—на обобщеніе формулъ, а другое обстоя-
тельство—существованіе цѣлаго ряда величинъ, значенія которыхъ
могутъ быть съ удобствомъ выражаемы при помощи этихъ новыхъ
чиселъ—игнорируется и остается въ тѣни. Напримѣръ, если пре-
подаватель ведетъ по такому методу ознакомленіе съ понятіемъ
объ отрицательномъ числѣ, то суть его объясненій сводится къ
слѣдующему: „условимся разность между меньшимъ и большимъ
числомъ считать равной избытку большаго надъ меньшимъ, взя-
тому со знакомъ минусъ впереди, напримѣръ, 7 — 10 = — S, и
условимся подобныя числа называть отрицательными; тогда можно
будетъ вычислять значеніе разности а —- Ъ при любыхъ значеніяхъ
а и!»". Какъ извѣстно, усвоеніе вопроса объ отрицательныхъ
числахъ при такомъ формальномъ ихъ опредѣленіи представляетъ
для учащихся огромныя, почти непреодолимыя трудности. Главное
затрудненіе состоитъ даже не въ томъ, что они должны предста-
влять себѣ возможнымъ то, что до сихъ поръ привыкли видѣть
невозможнымъ; это затрудненіе можно обойти указаніемъ на то,
что и дѣйствіе дѣленія не всегда было возможно въ ариѳметикѣ
цѣлыхъ чиселъ, и только введеніе новыхъ чиселъ—дробныхъ—
сдѣлало возможнымъ выражать частное при любыхъ цѣлыхъ зна-
ченіяхъ дѣлимаго и дѣлителя. Основное затрудненіе заключается
въ томъ, что учащіеся привыкли представлять себѣ число, какъ
символъ, которому можетъ соотвѣтствовать значеніе какой-либо
величины, вообще нѣкоторая реальность; для нихъ понятенъ

смыслъ числа 10, такъ какъ съ этимъ числомъ можетъ быть свя-
зано представленіе о 10 пальцахъ, 10 яблокахъ и т. д.; также по-
нятнымъ является и число 3/4 , такъ какъ съ нимъ связывается
представленіе о 3/4 листа бумаги, 3/4 часа и т. д.; но какъ могутъ
они усвоить себѣ смыслъ числа — 3, если ему не соотвѣтствуетъ
никакого предмета или явленія, свойства котораго могли бы быть
при помощи этого числа выражены? При такихъ условіяхъ теорія
отрицательныхъ чиселъ является въ ихъ глазахъ попыткой истол-
кованія и замѣны чего-то невозможнаго чѣмъ-то непонятнымъ, и
закладываются первыя зерна того сомнѣнія, которое впослѣдствіи
разрастается въ формулу: „алгебра—это рядъ какихъ-то стран-
ныхъ логическихъ фоку совъ".
Попробуемъ подойти къ вопросу иначе. Пусть преподаватель
предложитъ учащимся какую-нибудь цѣлесообразно подобранную
задачу, напримѣръ, такую: „Гребецъ отъѣхалъ въ лодкѣ въ пра-
вую сторону отъ пристани, противъ теченія рѣки, и проплылъ
а саж., затѣмъ пересталъ грести, и теченіе снесло его назадъ
на Ъ саж. На какомъ разстояніи и по какую сторону отъ при-
стани находится онъ теперь?" Пусть затѣмъ преподаватель за-
ставитъ учащихся изобразить условіе задачи наглядно, при по-
мощи схематическаго чертежа (полагая сперва, конечно, что а>b),
и составить формулу рѣшенія задачи х = а — b (гдѣ х, понятно,
обозначаетъ искомое разстояніе). Пусть далѣе учащіеся опредѣ-
лятъ числовое значеніе отвѣта при какихъ-либо частныхъ значе-
ніяхъ а и b, удовлетворяющихъ принятому условію (напримѣръ,
при а = 45, b = 20). Пусть затѣмъ преподаватель дастъ числамъ
а и b такія частныя значенія, чтобы а было менѣе b (напримѣръ,
а = 30, b = 38), и предложитъ ученикамъ попробовать рѣшить задачу
но той же формулѣ. Когда они убѣдятся, что составленная формула
приводитъ къ вычитанію большаго изъ меньшаго (х = 30 — 38),
пусть преподаватель задастъ имъ вопросъ: становится ли самая
задача при данныхъ значеніяхъ а и b невозможной или нѣтъ?
Конечно, учащіеся безъ труда сообразятъ, что задача своего
смысла не теряетъ и даетъ вполнѣ опредѣленный отвѣтъ: „Гребецъ

находится въ 8 саж. влѣво отъ пристани". Послѣ одного-двухъ
такихъ частныхъ примѣровъ имъ нетрудно будетъ составить и
общую формулу х = b— а, пригодную для рѣшенія задачи при
а < b. Тогда преподаватель можетъ обратить ихъ вниманіе на не-
удобство рѣшать задачу въ различныхъ случаяхъ по двумъ раз-
личнымъ формуламъ и притомъ указывать каждый разъ напра-
вленіе, въ которомъ должно отсчитываться найденное число саженъ
отъ пристани; вмѣстѣ съ тѣмъ онъ укажетъ, что для устраненія
этого неудобства вводятся нѣкоторыя условія, а именно: во 1-хъ,
направленіе разстояніи „вправо" и „влѣво" выражать зна-
ками + и —, поставленными передъ числомъ; во 2-хъ, въ тѣхъ
случаяхъ, когда изъ меньшаго числа приходится вычитать большее,
производить вычитаніе наоборотъ, писать полученное число со
знакомъ минусъ впереди и называть этотъ результатъ разностью
данныхъ чиселъ. Само собою разумѣется, что условія эти изла-
гаются сперва на частныхъ примѣрахъ, a затѣмъ уже формули-
руются такъ, какъ сейчасъ указано. Когда учащіеся освоятся съ
этими условіями, они легко замѣтятъ, что эти условія даютъ воз-
можность рѣшать задачу по одной и той же формулѣ х = а — b
какъ въ случаѣ a>b, такъ и при аРазборъ еще двухъ-трехъ подобныхъ общихъ задачъ разъ-
ясняетъ учащимся, что отрицательное число выражаетъ значеніе
величины, противоположной той, которая выражается въ томъ же
вопросѣ числами положительными, и что введеніе въ алгебру
отрицательныхъ чиселъ подъ указаннымъ условіемъ относительно
вычитанія большаго изъ меньшаго позволяетъ упрощать и обоб-
щать рѣшеніе задачъ и другихъ вопросовъ.
Опытъ показываетъ, что при такомъ способѣ изложенія уча-
щіеся не только не затрудняются усвоеніемъ вопроса объ отри-
цательныхъ числахъ, но и обнаруживаютъ большой интересъ къ
данному вопросу.
Подобнымъ же образамъ обстоитъ дѣло и съ несоизмѣримыми,
числами. При формальномъ ихъ опредѣленіи преподаватель сперва
указываетъ ученикамъ, что если взять пару перемѣнныхъ чи-
селъ k и l, обладающихъ тѣмъ свойствомъ, что всякое значеніе
Je меньше всякаго значенія l, а разность l—k безгранично мала

то система этихъ чиселъ иногда опредѣляетъ собою единственное
цѣлое или дробное число х, удовлетворяющее неравенству
k < x < l, а иногда не опредѣляетъ никакого соизмѣримаго числа.
Затѣмъ вводится условіе: „условимся въ послѣднемъ случаѣ го-
ворить, что система чиселъ k и l опредѣляетъ нѣкоторое особое
число удовлетворяющее неравенству k< z < l; подобныя числа
будемъ называть несоизмѣримыми". Врядъ ли нужно доказывать,
что такое опредѣленіе, несмотря на всю свою правильность, не
разъяснить, а только запутаетъ для учащихся изучаемый во-
просъ; и ужъ ни въ какомъ случаѣ имъ не придетъ въ голову, что
эти мудреныя числа могутъ пригодиться для выраженія значеній
нѣкоторыхъ величинъ, тѣмъ болѣе, что вопросъ о существованіи
несоизмѣримыхъ отрѣзковъ, угловъ и другихъ несоизмѣримыхъ
объектовъ остается для нихъ обыкновенно подъ сомнѣніемъ.
Если же преподаватель пожелаетъ примѣнить къ дѣлу кон-
кретно-индуктивный методъ, то онъ прежде всего подберетъ ка-
кую-либо цѣлесообразную задачу, напримѣръ, такую: „по сторонѣ
даннаго квадрата, принимаемой за единицу, найти сторону квад-
рата, имѣющаго вдвое большую площадь".
Учащіеся легко убѣждаются, что рѣшить данную задачу вычис-
леніемъ они не могутъ, такъ какъ искомая сторона должна была
бы выразиться такимъ числомъ, квадратъ котораго равенъ 2, а
такого числа нѣтъ среди извѣстныхъ имъ до сихъ поръ. Тогда
преподаватель задаетъ имъ вопросъ: становится ли вслѣдствіе
этого задача невозможной? и предлагаетъ подумать, нельзя ли
рѣшить данную задачу построеніемъ. Такое построеніе оказывается
очень m сложнымъ, и въ результатѣ искомой стороной является
діагональ даннаго квадрата.
Длина этой діагонали, какъ видно учащимся изъ предыдущаго
положенія, не можетъ быть выражена никакимъ соизмѣримымъ
числомъ; отсюда ясно, что необходимо ввести новое число для ея
обозначенія. Естественно принять условіе, чтобы эта длина была
выражена числомъ √2, при чемъ выраженію: „нѣкоторый отрѣзокъ
равенъ √ 2 единицы длины", приписывается пока такой смыслъ:
„нѣкоторый отрѣзокъ равенъ діагонали квадрата, сторона котораго
равна единицѣ длины".

Чтобы учащіеся могли составить себѣ полное представленіе о
новомъ символѣ, необходимо еще ввести условіе, которымъ опре-
дѣлялось бы мѣсто послѣдняго въ ряду соизмѣрімыхъ чиселъ.
Это проще всего сдѣлать такъ.
Сперва преподаватель показываетъ учащимся, что вышеупомя-
нутая діагональ можетъ быть измѣрена приблизительно при по-
мощи любой доли принятой единицы длины. Пусть, напримѣръ,
нужно измѣрить ее въ десятыхъ доляхъ указанной единицы, и
пусть наибольшее число этихъ десятыхъ долей, укладывающихся
на данной діагонали, будетъ а; построивъ квадраты на отрѣзкахъ,
составленныхъ соотвѣтственно изъ а и a -j— 1 десятой доли еди-
ницы, и сравнивая ихъ съ квадратомъ, построеннымъ на діаго-
нали, учащіеся легко убѣждаются, что площадь послѣдняго должна
заключаться между площадями первыхъ двухъ, т.-е. что число а
удовлетворяетъ неравенству:
(a/10)2<2<(a+1/10)2,
или равносильному ему:
a2<200<(a+1)2.
Послѣ этого для нихъ становится ясно, что a представляетъ
наибольшее цѣлое число, квадратъ котораго не превышаетъ 200;
такое число они умѣютъ находить, и легко опредѣлятъ, что
r/=i]4, a слѣдовательно, искомая діагональ содержится между
двумя отрѣзками, соотвѣтственно равными 1,4 и 1,5 принятой
единицы.
Теперь преподаватель можетъ безъ затрудненія ввести второе
условіе относительно символа \/ 2, а именно: „если какое - нибудь
число выражаетъ длину отрѣзка, меньшаго, чѣмъ данная діа-
гональ, то оно считается менѣе числа |/ 2, а если оно выражаетъ
длину отрѣзка, большаго, чѣмъ данная діагональ, то оно счи-
тается болѣе \/2"\ въ примѣненіи къ данному случаю это условіе
сейчасъ же даеть:
1,4<√2<1,5

Подобнымъ же образомъ учащіеся могутъ найти, что
1,41 <√2 < 1,42
и т. д.
Въ заключеніе преподаватель обращаетъ вниманіе учащихся
на то, что принятое условіе относительно сравнительной вели-
чины \/ 2 можетъ быть выражено въ такой формѣ: „число √ 2
считается болѣе всякаго числа, квадратъ котораго менѣе 2, — и
менѣе всякаго числа, квадратъ котораго болѣе 2", и наконецъ
указываетъ, что введенное новое число √ 2 принято называть
несоизмѣримымъ.
Сдѣланныя условія естественно обобщаются на случай извле-
ченія квадратнаго корня изъ любого неполнаго квадрата, т.-е.
√А, гдѣ А неполный квадратъ, опредѣляется, какъ число,
большее всякаго числа, квадратъ котораго менѣе А, и меньшее
всякаго числа, квадратъ котораго болѣе А. Легко также
показать, при помощи примѣненія пиѳагоровой теоремы, возможность
построенія отрѣзка, длина котораго выражается числомъ √ Л,
при всякомъ А (при этомъ предполагается, что доказательство
пиѳагоровой теоремы основано на способѣ наложенія, а не на
измѣреніи сторонъ).
Далѣе тѣ же условія могутъ быть обобщены на случай
n√ А, гдѣ подкоренное число есть неполная n-я степень; такимъ
образомъ учащіеся будутъ имѣть вполнѣ ясное представленіе о
корнѣ изъ неполной степени, какъ о несоизмѣримомъ числѣ;
когда же преподавателю впослѣдствіи понадобится дать общее
понятіе о несоизмѣримомъ числѣ, то онъ сможетъ это сдѣлать
безъ особенныхъ затрудненій, такъ какъ учащіеся окажутся доста-
точно къ тому подготовленными. Ему придется тогда пройти еще
слѣдующія методическія ступени: 1) выяснить ученикамъ, что опре-
дѣленіе каждаго изучаемаго ими несоизмѣримаго числа было свя-
зано съ распредѣленіемъ всѣхъ соизмѣримыхъ чиселъ на двѣ
группы, одна изъ которыхъ содержитъ числа, меньшія даннаго,
а другая—числа, большія его; 2) выяснить, что въ первой группѣ
нельзя указать наибольшаго числа, а во второй—наименьшаго.
Послѣ этого нужно указать, что перечисленные признаки являются

существенными для понятія о несоизмѣримомъ числѣ, и обратить
вниманіе учащихся на возможность существованія несоизмѣри-
мыхъ- чиселъ и помимо извлеченія корней; это послѣднее можно
выяснить на примѣрѣ такъ называемыхъ безконечныхъ неперіоди-
ческихъ десятичныхъ дробей.
Наконецъ, мы должны отмѣтить еще одинъ крупный недоста-
токъ абстрактно-дедуктивнаго метода, тѣсно связанный съ тѣмъ
духомъ формальнаго обобщенія, который, по мнѣнію сторонни-
ковъ указаннаго метода, долженъ выступать въ преподаваніи
алгебры на первый планъ. Именно, при немъ недостаточно под-
черкивается въ глазахъ учащихся та истина, что выводимыя
алгебраическія формулы и правила можно считать общими лишь
для того рода чиселъ, для котораго они были получены, а если
приходится имѣть дѣло съ другими категоріями чиселъ или вы-
раженій, то иныя формулы и правила сохраняютъ свою силу,
иныя же нѣтъ.
Въ силу этого обстоятельства у учащихся слагается ложное
представленіе объ абсолютной всеобщности алгебраическихъ фор-
мулъ и правилъ, а когда, напримѣръ, имъ приходится столкнуться
съ фактомъ, что алгебраическія дроби a/b и am/bm, равносильныя
при m не равномъ нулю, перестаютъ быть равносильными при m
равномъ нулю, или съ другимъ фактомъ, что отъ перемноженія
многочленовъ (ирраціональныхъ) можетъ получитъся одночленъ,
или, наконецъ, съ тѣмъ обстоятельствомъ, что правило перемно-
женія квадратныхъ корней, выведенное для случая положитель-
ныхъ подкоренныхъ чиселъ непримѣнимо въ случаѣ отрицатель-
ныхъ под коренныхъ чиселъ (т.-е. къ мнимымъ квадратнымъ
корнямъ),—вообще во всѣхъ тѣхъ случаяхъ, когда имъ прихо-
дится хотя бы случайно убѣдиться въ отсутствіи этой абсолютной
всеобщности выводовъ, они начинаютъ сомнѣваться въ достовѣр-
ности математическаго познанія, такъ какъ они не могутъ объ-
яснить себѣ источника этихъ противорѣчій.
Я полагаю поэтому, что при прохожденіи курса алгебры факты,
подобные только-что перечисленнымъ, должны не обходиться мол-
чаніемъ, какъ это часто дѣлается, а подчеркиваться, чтобы

учащіеся могли своевременно ознакомиться съ дѣйствительнымъ
характеромъ алгебраическихъ обобщеній и избавиться такимъ об-
разомъ отъ возможныхъ ошибокъ и недоумѣній. Въ тѣхъ же
цѣляхъ должны быть совершенно устранены изъ курса всѣ по-
пытки излишнихъ, искусственныхъ обобщеній при изслѣдованіи
уравненіи, напримѣръ, распространеніе формулъ рѣшеній квадрат-
наго уравненія вида ax2+bx+c=0 на случай, когда а=0; совер-
шенно ясно, что въ этомъ случаѣ мы имѣемъ дѣло съ уравне-
ніемъ первой степени вида bx+c=0 и только путемъ крайней
натяжки мысли и дѣйствительно „странныхъ логическихъ фоку-
совъ" удается авторамъ нѣкоторыхъ руководствъ доказать, что
въ этомъ случаѣ уравненіе имѣетъ тоже два корня.
Подводя итоги всему вышеизложенному, мы можемъ устано-
вить слѣдующія основныя положенія методики алгебры:
1) Всякое новое понятіе и всякая новая истина должны быть
разъяснены на частныхъ примѣрахъ, подобранныхъ такъ, чтобы
существенныя черты этого понятія или истины выступали въ нихъ
какъ можно отчетливѣе, такъ сказать, сами бросались въ глаза;
направивъ затѣмъ вниманіе учащихся на эти существенныя черты,
преподаватель можетъ достигнуть того, чтобы учащіеся сами сфор-
мулировали изучаемую истину въ общемъ видѣ, подъ руковод-
ствомъ его наводящихъ вопросовъ.
2) Если дедуктивное обоснованіе какого-либо положенія че-
резчуръ затруднительно для учащихся даннаго возраста, то
слѣдуетъ обнаружить съ ними это положеніе индуктивно, на част-
ныхъ, цѣлесообразно подобранныхъ примѣрахъ; впослѣдствіи же,
при повтореніи курса, излагается и дедуктивное доказательство.
3) Даже въ тѣхъ случаяхъ, когда дедуктивное доказательство
какой-либо истины доступно для учащихся, полезно предпосылать
ему индуктивную подготовку; отъ этого положенія можно отсту-
пать безъ ущерба для дѣла только тамъ, гдѣ дедуктивный вы-
водъ опирается на хорошо извѣстныя учащимся понятія и пред-
ставляетъ кратчайшій путь къ открытію и выясненію новой истины.
4) При всякомъ расширеніи понятія о числѣ необходимо не
ограничиваться указаніемъ на формальныя цѣли введенія новыхъ
чиселъ въ алгебру, но знакомить учащихся и съ той категоріей

величинъ, значенія которыхъ могутъ быть выражены этими чис-
лами. Съ этой цѣлью лучше всего подбирать каждый разъ цѣле-
сообразную задачу, вполнѣ конкретную и незамысловатую по
содержанію. Понятіе о мнимомъ числѣ, какъ дающее менѣе кон-
кретныхъ приложеній, слѣдуетъ отложить до конца курса.
5) При обобщеніи формулъ и понятій о дѣйствіяхъ необходимо
подчеркивать то обстоятельство, что прежде доказанныя истины
могутъ и не имѣть мѣста при новыхъ условіяхъ (въ особенности
важно такъ поступать, когда въ формулѣ одно изъ неявныхъ
количествъ обращается въ нуль).
При такомъ методѣ преподаванія будетъ достигнуто прежде
всего лучшее пониманіе. Всякій математическій терминъ будетъ
связанъ съ вполнѣ опредѣленнымъ представленіемъ объ извѣстной
категоріи величинъ или свойствахъ ихъ, а не останется въ умѣ
учащихся только словомъ безъ содержанія. Необходимость само-
стоятельно доходить до формулировки понятій и истинъ дастъ
наибольшій просторъ самодѣятельности, а это обстоятельство въ
связи съ отчетливымъ пониманіемъ предмета подниметъ интересъ
къ дѣлу. Мы считаемъ излишнимъ прибавлять, что вырабатывае-
мыя понятія и изучаемыя истины должны быть затѣмъ, въ рѣ-
шеніи задачъ, приложены къ самымъ разнообразнымъ областямъ
жизни, и что съ этой цѣлью характеръ задачъ долженъ быть
такъ измѣненъ, чтобы онѣ могли выполнять свое главное назна-
ченіе — служить связующимъ звеномъ между теоріей и жизнью.
Сторонники абстрактно-дедуктивнаго метода преподаванія обычно
выставляютъ противъ всего вышеизложеннаго два возраженія.
Во 1-хъ, они говорятъ, что обращеніе къ наглядности можетъ
помѣшать выработкѣ отвлеченныхъ понятій, такъ какъ случайные
признаки разсматриваемаго объекта въ глазахъ учащихся могутъ
сойти за существенные. Но совершенно ясно, что дѣло учителя такъ
подобрать конкретный примѣръ, чтобы на первый планъ въ немъ
выступали именно важные, существенные признаки общаго понятія,
и именно на эти признаки и обратить вниманіе учащихся. Кромѣ
того, можно считать установленнымъ, что въ нашемъ сознаніи не
существуетъ общихъ понятій, какъ совокупности представленій
только о существенныхъ признакахъ того или иного объекта;

когда мы мыслимъ, напримѣръ, о треугольникѣ вообще, мы пред-
ставляемъ себѣ треугольникъ, имѣющій совершенно опредѣленные
размѣры и положеніе, и данный единичный треугольникъ лишь
потому играетъ въ нашей психикѣ роль родового образа, что мы
направляемъ наше вниманіе на существенныя его свойства. Таковъ
взглядъ, который является преобладающимъ въ современной пси-
хологіи, и требованіе конкретности въ методѣ обученія математикѣ
сводится именно къ тому, чтобы дать учащимся эти типичные образы,
которые могли бы въ ихъ сознаніи сдѣлаться замѣстителями цѣлаго
рода объектовъ, сходныхъ съ ними въ существенныхъ чертахъ.
Во 2-хъ, противъ конкретно-индуктивнаго метода приводится
еще и другое, болѣе сильное возраженіе, сводящееся къ тому,
что онъ подрываетъ достовѣрность математическихъ истинъ въ
глазахъ учащихся, такъ какъ вмѣсто вполнѣ убѣдительнаго де-
дуктивнаго доказательства онъ во многихъ случаяхъ даетъ имъ
индукцію, которая не можетъ считаться столь убѣдительной.—Но
не слѣдуетъ упускать изъ виду, что для дѣтей и подростковъ,
приступающихъ къ изученію математики, наивысшая степень убѣ-
жденія дается не логическимъ умозаключеніемъ, a непосредствен-
нымъ воспріятіемъ, и лишь впослѣдствіи, когда они переходятъ
въ юношескій возрастъ, они начинаютъ критически относиться
къ показаніямъ своихъ чувствъ и ощущаютъ потребность найти
иной, болѣе устойчивый критерій истины. И вотъ въ этомъ-то
возрастѣ, при окончаніи курса средней школы, и должны быть
сведены въ научную систему и*ъ математическія познанія; эта
система будетъ построена на прочномъ основаніи, такъ какъ въ
сознаніи учащихся есть уже въ эту пору фундаментъ конкрет-
ныхъ представленій, подлежащихъ систематизаціи, и есть потреб-
ность провѣрить логическими заключеніями тѣ истины, которыя
ранѣе казались для нихъ совершенно очевидными и безспорными.
И тогда, убѣдившись въ незыблемости основъ построеннаго зданія
математической науки и въ достовѣрности ея результатовъ, они
ощутятъ потребность и въ другія области знанія внести такую же
ясность, такую же точность и такую же достовѣрность. И можно
будетъ съ увѣренностью сказать, что изученіе математики, какъ
науки и какъ орудія міропознанія, не пропало для нихъ даромъ.

Вопросъ о способахъ оцѣнки и контро-
ля познаній учащихся.
(Отмѣтки и экзамены.)
Что можно сказать новаго по вопросу о формахъ оцѣнки и
контроля познаній учащихся, или, выражаясь болѣе привычнымъ
языкомъ, объ отмѣткахъ и экзаменахъ? Развѣ недостатки тра-
диціонныхъ формъ не стали общеизвѣстной истиной, развѣ не
отмѣчались они уже въ теченіе десятковъ лѣтъ, вызывая то хлад-
нокровное осужденіе, то страстные протесты? Но именно тотъ
фактъ, что старыя формы уже изжиты, но не умерли оконча-
тельно, a новыя только возникаютъ, и позволяетъ мнѣ надѣяться,
что, быть-можетъ, и мои соображенія по данному старому, но
вѣчно новому вопросу окажутся не лишними.
Мы всѣ хорошо знаемъ ту систему цифровыхъ отмѣтокъ, съ
которой намъ приходилось имѣть дѣло еще на школьной скамьѣ,
и которая дожила и до нашихъ дней въ полной неприкосновен-
ности: я говорю о знаменитой пятибалльной системѣ, по которой
успѣхи учащихся обозначаются отмѣтками: „5 — отлично, 4 — хо-
рошо, 3 — удовлетворительно, 2 — неудовлетворительно и 1 —
худо". Общеизвѣстно и то, что школьная практика нерѣдко обра-
щала эту пятибалльную систему чуть не въ 15-балльную, такъ какъ
на ряду съ офиціальной пятеркой, четверкой и т. д. существовали
отмѣтки 5—, 4-}-, 4— и т. д. (пять съ минусомъ, четыре съ
плюсомъ, четыре съ минусомъ...); особенно сложная система про-
межуточныхъ ступеней была на границѣ между тройкой и двой-
кой: въ ходу были отмѣтки 3—, 3=, 3=, 2 7а> 2+ и т. д.

Были школы,—да и теперь еще онѣ не исчезли,—въ которыхъ
офиціально была принята 12-балльная цифровая система отмѣ-
токъ (отъ і до 12), а есть говорятъ, даже заграницей, школы
съ 24 - балльной системой. Всѣ эти цифровыя системы произво-
дятъ на первый взглядъ впечатлѣніе чего-то точнаго, чего-то по-
зволяющая не только измѣрить успѣхи учащихся въ нѣкоторыхъ
условныхъ единицахъ, но и сравнивать успѣхи различныхъ уча-
щихся между собою. Но, въ сущности, никогда ариѳметика не дѣ-
лалась предметомъ большаго злоупотребленія, чѣмъ въ примѣне-
ніи къ оцѣнкѣ познаній учащихся цифрами; если одинъ учащій-
ся получалъ за свой отвѣтъ четверку, а другой единицу, то это
никогда не значило, что первый знаетъ въ четыре раза больше
или лучше второго, и—что самое главное—одна и та же цифро-
вая оцѣнка у разныхъ лицъ могла соотвѣтствовать весьма раз-
личнымъ фактическимъ знаніямъ, и наоборотъ, одинъ и тотъ же
отвѣтъ учащагося могъ быть оцѣненъ различными лицами при
помощи весьма различныхъ цифръ; строгій экзаминаторъ могъ по-
ставить двойку за такой отвѣтъ, который у снисходительнаго оцѣ-
нивался четверкой. Эта субъективность и шаткость основаній, по
которымъ познанія учащагося оцѣниваются данной, а не иной
цифрой, служила и служитъ источникомъ безконечныхъ недоразу-
мѣній между педагогами и учащимися. Я не буду говорить здѣсь
о тѣхъ школьныхъ драмахъ, которыя создаются на этой почвѣ,
если учитель обнаружитъ пристрастное отношеніе къ ученику;,
для меня важнѣе всего подчеркнуть, что при цифровой системѣ
отмѣтокъ и самый добросовѣстный педагогъ не избѣжитъ нарека-
ній и упрековъ въ несправедливости, такъ какъ развѣ можетъ онъ
указать какія-либо объективныя, внѣшнія основанія, въ силу ко-
торыхъ онъ выставляетъ учащемуся за отвѣтъ ту или иную цифру?
Въ самомъ дѣлѣ, какъ вы докажете, что данный ученикъ отвѣ-
тилъ вамъ именно на тройку, а не на четверку? Развѣ у васъ
есть какой-либо психическій силомѣръ, который позволилъ бы
вамъ измѣрять познанія учащихся такъ, какъ мы измѣряемъ фи-
зическую силу динамометромъ или окружность груди съ помощью
сантиметровой ленты?
Это отсутствіе достаточныхъ объективныхъ основаній для оцѣнки

познаній учащихся той или иной цифрой—было фактомъ, кото-
рый не ускользалъ отъ вниманія педагоговъ й въ старой школѣ.
Такъ, напр., въ правилахъ объ экзаменахъ на аттестатъ зрѣлости
въ мужскихъ гимназіяхъ (изд. 1891 г.) мы встрѣчаемъ только по-
пытку опредѣлить болѣе или менѣе точно, какія познанія оцѣни-
ваются отмѣткою 3: для полученія этой отмѣтки требуется „на-
выкъ въ рѣшеніи ариѳметическихъ, алгебраическихъ, геометриче-
скихъ и тригонометрическихъ задачъ, не требующихъ особой изо-
брѣтательности; навыкъ и надлежащая внимательность въ произ-
водствѣ вычисленій и ясное пониманіе связи между всѣми 'основ-
ными положеніями элементарной математики, при чемъ въ письмен-
ныхъ работахъ должны быть излагаемы не только самыя вычи-
сленія, но и тѣ соображенія, по коимъ произведены эти вычисле-
нія, такъ чтобы каждая задача была вполнѣ разъяснена сколь
можно короче, но съ строгою послѣдовательностью". Какъ видно,
эти требованія довольно растяжимы; относительно же отмѣтокъ
4 и 5 сказано только, что этими отмѣтками оцѣниваются позна-
нія, которыя превышаютъ указанный для тройки уровень „въ ко-
личественномъ и особенно въ качественномъ отношеніи". Такимъ
образомъ, и старой школѣ не чуждо было сознаніе, что мы, въ
сущности говоря, можемъ только намѣтить извѣстный минимумъ
познаній и навыковъ, которыми долженъ обладать учащійся къ
концу той или иной стадіи обученія, и болѣе или менѣе опредѣ-
ленно выяснять, кто изъ данныхъ учащихся удовлетворяетъ этимъ
минимальнымъ требованіямъ, и кто нѣтъ; для болѣе же деталь-
наго распредѣленія учащихся на группы по количеству и качеству
ихъ познаній у насъ нѣтъ еще достовѣрныхъ способовъ. Школы
же новаго типа, какъ извѣстно, открыто признали этотъ фактъ,
п, отказавшись отъ традиціонной цифровой пятибалльной системы,
перешли къ системѣ словесныхъ оцѣнокъ: трехбалльной, сущность
которой сводится къ терминамъ: „весьма удовлетворительно", „удо-
влетворительно" и „неудовлетворительно"; или чаще всего двухбалль-
ной, выражаемой терминами: „удовлетворительно" и „неудовлетво-
рительно", или „успѣваетъ* и „не успѣваетъ".
Эта послѣдняя система была, конечно, шагомъ впередъ по срав-
ненію со всѣми предыдущими. Ею устранялась возможность со-

перничества изъ-за лучшихъ отмѣтокъ и оскорбленныхъ самолю-
бій по поводу того, что „мнѣ", молъ, „поставили 4, а такой-то,
который знаетъ нисколько не лучше меня, получилъ 5". Затѣмъ,
эта система не могла быть съ легкостью обращена въ 15-балль-
ную, такъ какъ нельзя было присоединять знаки + и — къ при-
нятымъ терминамъ: „удовлетворительно" и „неудовлетворительно";
правда, школьная практика и здѣсь вводила термины: „вполнѣ
удовлетворительно", „не вполнѣ удовлетворительно", „почти удо-
влетворительно", „едва удовлетворительно",—но въ этомъ отно-
шеніи нельзя было уже заходить такъ далеко, какъ при системѣ
цифровыхъ отмѣтокъ. Наконецъ, новыя школы обыкновенно вовсе
отказывались отъ оцѣнки отдѣльныхъ отвѣтовъ учащихся, и сохраня-
ли свою трехбалльную или чаще двухбалльную систему отзывовъ
только для оцѣнки успѣховъ учащихся за какой-либо довольно про-
должительный періодъ времени—по мѣсяцамъ, четвертямъ или тре-
тямъ учебнаго года; при этомъ отзывы: „успѣваетъ" или „неуспѣ-
ваетъ", сопровождались и болѣе подробными словесными поясненіями
того, въ чемъ именно выразилась неуспѣшность, или какъ вообще
ученикъ усваиваетъ предметъ; иногда эти отзывы обращались въ
подробную характеристику познаній, развитія и отношенія къ дѣлу
учащихся. Вмѣсто какой-нибудь безсодержательной „четверки", со-
ставлялась, напр., такая аттестація занятій ученика: „Обнаружи-
ваетъ интересъ къ предмету, принимаетъ дѣятельное участіе въ
классной работѣ и безъ большого труда усваиваетъ проходимый
теоретическій курсъ алгебры и геометріи. При рѣшеніи задачъ об-
наруживаетъ изобрѣтательность, во не всегда достаточно выдержки
и внимательности, и потому допускаетъ ошибки въ преобразо-
ваніяхъ и вычисленіяхъ. Выражаетъ свои мысли въ общемъ ясно
и достаточно связно". Вмѣсто сухой „двойки" получались такія
характеристики: „Обладаетъ достаточными способностями для того,
чтобы понимать и усваивать предметъ, но въ классѣ невнимате-
ленъ, задаваемые уроки исполняетъ крайне неаккуратно, и вслѣд-
ствіе этого познанія по пройденному отрывочны и сбивчивы, и не
могутъ считаться удовлетворительными. Особенно плохо усвоенъ
вопросъ о подобіи фигуръ и рѣшеніе квадратныхъ уравненіи съ
однимъ неизвѣстнымъ". Или: „Занимается въ общемъ добросовѣстно

какъ въ классѣ, такъ и дома, но научаемое усваиваетъ чаще
всего на память, не отличая существеннаго отъ маловажнаго; ока-
зывается не въ состояніи отвѣчать на вопросъ, если онъ выра-
женъ не тѣми словами, что въ учебникѣ. Рѣшеніе задачъ, даже
не требующихъ изобрѣтательности, дается съ большимъ трудомъ
и только въ тѣхъ случаяхъ, когда раньше уже рѣшались похо-
жія задачи. Выражаетъ свои мысли отрывочно и неясно; чертитъ
плохо. Успѣхи въ общемъ неудовлетворительны".
Разумѣется, такіе отзывы давали и учащемуся, и родителямъ
его, и самимъ преподавателямъ гораздо больше, чѣмъ голыя цифры
или равносильныя имъ условныя отписки: вмѣсто сухого статисти-
ческаго значка, указывающаго, въ какую категорію зачисленъ
ученикъ по успѣшности, школьныя* аттестаціи стали живой рѣчью,
характеризующей и способности, и отношеніе къ дѣлу, и резуль-
таты работы учащихся. Но все же и эта практика новыхъ школъ
не была свободна отъ недостатковъ. Первый изъ нихъ состоялъ
въ томъ, что преподаватели новыхъ школъ не всегда составляли
свои отзывы объ успѣшности или неуспѣшности и свои характе-
ристики на основаніи достаточнаго фактическаго матеріала. Такъ
какъ оцѣнка отдѣльныхъ отвѣтовъ учащихся была отмѣнена, то
случалось, что преподаватель не велъ никакихъ записей о работѣ
учащихся, и при наступленіи срока оцѣнки давалъ свѣдѣнія объ
ихъ успѣхахъ по памяти, руководясь общимъ впечатлѣніемъ, ко-
торое составилось у него о томъ или иномъ ученикѣ. При этомъ,
конечно, могли происходить невольныя ошибки; послѣднія впеча-
тлѣнія или какія-нибудь болѣе отчетливыя детали могли засло-
нить собою существенныя черты духовной физіономіи даннаго уче-
ника, и оцѣнка получалась приблизительная, часто соотвѣтству-
ющая дѣйствительному состоянію познаній, но иногда и уклоняю-
щаяся отъ реальности. Бывало и такъ, что преподаватель, при-
выкшій ранѣе къ цифровой системѣ, продолжалъ и въ школѣ
новаго направленія ставить цифровыя отмѣтки въ свою записную
книжку, и подъ конецъ четверти переводилъ средній баллъ на
языкъ принятыхъ въ школѣ терминовъ; отмѣтки такимъ обра-
зомъ изъ явныхъ становились тайными, но отзывы не дѣлались
болѣе обоснованными. Иногда бывало и такъ, что школа въ на*

чалѣ своей дѣятельности затрачивала немало усилій на составленіе
подробныхъ словесныхъ характеристикъ учащихся, a затѣмъ, по
мѣрѣ возрастанія многолюдства въ школѣ, эти характеристики
становились все менѣе содержательными и замѣнялись рядомъ
шаблонныхъ терминовъ: „слабъ", „усилить занятія", „удовлетво-
рителенъ" и т. п. Второй существенный дефектъ былъ въ томъ,
что требованія, которыя предъявлялись учащемуся для признанія
его успѣвающимъ, попрежнему носили субъективный и неясный
характеръ: и въ новой школѣ ученикъ могъ быть аттестованъ
однимъ преподавателемъ, какъ успѣвающій, между тѣмъ какъ
другой преподаватель при тѣхъ же условіяхъ призналъ бы его
неуспѣвающимъ.
Очередной задачей новой школы и является усовершенствованіе
системы оцѣнки познаній въ смыслѣ освобожденія ея отъ указан-
ныхъ дефектовъ. Словесные отзывы объ успѣхахъ учащихся
должны быть обоснованы на достаточномъ фактическомъ матеріалѣ,
а этого можно достигнуть лишь тогда, когда преподаватель дастъ
себѣ трудъ регистрировать всѣ впечатлѣнія о познаніяхъ уча-
щихся, которыя онъ получаетъ во время учебной работы. Спро-
сивъ у ученика заданный урокъ, преподаватель можетъ записать
хотя бы въ самой краткой формѣ, о чемъ именно отвѣчалъ уче-
никъ и зналъ ли онъ этотъ урокъ, или зналъ нетвердо, или со-
всѣмъ не зналъ; выражалъ ли ученикъ при этомъ свои мысли ясно,
точно и связно, или, наоборотъ, неясно, отрывочно; усвоилъ ли уче-
никъ этотъ урокъ сознательно или механически, главнымъ обра-
зомъ на память. Провѣривъ домашнюю или классную письменную
работу, преподаватель можетъ отмѣтить, было ли правильно рѣ-
шеніе задачи, и если нѣтъ, то въ чѣмъ состояли ошибки; рѣшена
ли задача наиболѣе простымъ путемъ; какъ написано объясненіе—
послѣдовательно, логично, подробно, или же въ немъ есть неточ-
ности, неясности, пропуски мыслей; обнаружена ли оригиналь-
ность въ данной работѣ или она выполнена по шаблону и т. п.
Разрабатывая въ классѣ новый матеріалъ, преподаватель можетъ
подмѣчать, кто изъ учениковъ обнаруживаетъ способность къ
быстрымъ и правильнымъ обобщсніямъ или умозаключеніямъ, кто
проявляетъ склонность къ активному участію въ работѣ и кто—

къ пассивному воспріятію, кто, наконецъ, съ трудомъ сосредото-
чиваетъ свое вниманіе на предметѣ классной работы; всѣ эти
впечатлѣнія также подлежатъ регистраціи. Подобнымъ же обра-
зомъ, преподаватель можетъ подмѣчать и записывать, кто изъ
учащихся обнаруживаетъ стремленіе выйти изъ рамокъ задавае-
мая, и въ чемъ именно. Такія записи лучше всего заносить въ
спеціальный дневникъ, какъ это дѣлаютъ, напр., психологи или
врачи, наблюдающіе за развитіемъ тѣхъ или иныхъ психическихъ
или физическихъ функцій ребенка; хорошо при томъ, чтобы впе-
чатлѣнія записывались немедленно послѣ урока, по горячимъ слѣ-
дамъ, пока они не смѣнились впечатлѣніями отъ уроковъ въ дру-
гихъ классахъ и съ другими учащимися. При наличности такой
регистраціи подъ конецъ контрольнаго срока (мѣсяца, четверти
или трети) у преподавателя окажется въ рукахъ достаточно пол-
ный матеріалъ для того, чтобы составить свой отзывъ объ уча-
щемся въ ясныхъ и точныхъ выраженіяхъ, и чтобы этотъ отзывъ
былъ фактически обоснованъ. По личному опыту нѣсколькихъ
лѣтъ я знаю, что подъ конецъ четверти можно бываетъ имѣть о
каждомъ изъ учащихся въ среднемъ около десятка записей, ха-
рактеризующихъ ту или иную сторону его познаній или отноше-
нія къ дѣлу. Правда, веденіе этихъ записей отнимаетъ время и
при большомъ числѣ учащихся требуетъ большой затраты труда,
но трудъ этотъ съ избыткомъ окупается тѣми благопріятными ре-
зультатами, которые получаются отъ фактической обоснованности
характеристикъ.
Для устраненія второго дефекта—несогласованности требованій
отдѣльныхъ преподавателей—школа должна воспользоваться нѣко-
торыми методами экспериментальной психологіи. Бинэ въ своей
книгѣ „Современныя идеи о дѣтяхъ" указываетъ (стр. 78—79),
какъ ему удалось составить схемы для сужденія объ умственномъ
развитіи ребенка въ различные возрасты: путемъ опроса и испы-
танія многихъ сотенъ дѣтей онъ убѣдился, какіе умственные акты
успѣшно выполняются дѣтьми въ опредѣленномъ возрастѣ, но
вмѣстѣ съ тѣмъ оказываются въ общемъ непосильными для дѣтей,
которые моложе возрастомъ, хотя бы только на одинъ годъ; та-
кимъ образомъ для каждаго возраста былъ составленъ цѣлый рядъ

вопросовъ и дѣйствій, посильныхъ для нормальнаго ребенка именно
въ данную пору его жизни, и умѣнье выполнять эти испытанія и
является мѣриломъ умственнаго развитія ребенка. Такъ, напр.,
для 7-лѣтняго возраста находимъ слѣдующій списокъ умѣній, ко-
торыя долженъ обнаружить, по Бинэ, нормальный ребенокъ: „Ука-
зать пробѣлы на рисункѣ. Сосчитать свои пальцы. Списать напи-
санную фразу. Срисовать ромбъ. Повторить пять цифръ". Можно,
конечно, сомнѣваться, насколько то или иное изъ этихъ испытаній
дѣйствительно посильно для дѣтей даннаго возраста; есть психо-
логи, которые оспариваютъ схемы Бинэ, да и самъ онъ не былъ
склоненъ считать свои схемы окончательно установленными; можно
навѣрняка ожидать, что схемы эти, выработанныя для француз-
скихъ дѣтей, окажутся неподходящими для дѣтей другой страны
и національности; но именно методъ, которому слѣдовалъ Бинэ
при составленіи своихъ схемъ, могъ бы быть съ успѣхомъ при-
мѣненъ и для разрѣшенія интересующаго насъ вопроса. Школа
должна была бы путемъ многочисленныхъ наблюденій установить,
какого рода математическія умѣнія и навыки являются посиль-
ными для учащихся даннаго возраста или класса и непосильными
для предыдущихъ; напр., съ какого времени учащіеся начинаютъ
ощущать потребность въ логическомъ обоснованіи математическихъ
истинъ; когда они становятся способными давать связное объясне-
ніе рѣшаемыхъ задачъ; съ какого возраста они обнаруживають
умѣнье строить послѣдовательный рядъ умозаключеній и т. д.
Послѣ этого школа имѣла бы возможность выяснить болѣе или
менѣе объективно, какія требованія можно предъявлять учащимся
различныхъ классовъ при изученіи математики; и задача согласо-
ваніи требованій была бы рѣшена, или по крайней мѣрѣ значи-
тельно приблизилась бы къ своему разрѣшенію.
Теперь я перейду ко второму вопросу, намѣченному въ началѣ
этой статьи,—къ вопросу о способахъ контроля познаній уча-
щихся. Старая школа, какъ мы всѣ хорошо знаемъ, разрѣшала
этотъ вопросъ въ высшей степени неудовлетворительно. Въ теченіе
учебнаго года контроль познаній учащихся долженъ былъ осуще-
ствляться при помощи спрашиванія задаваемыхъ уроковъ, а
таковые при помощи письменныхъ работъ, домашнихъ и класс-

ныхъ; въ концѣ года для той же цѣли служила система устныхъ
и письменныхъ экзаменовъ. При этомъ, спрашивая урокъ у одного
какого-либо ученика, преподаватель старой школы обыкновенно
не тревожилъ остальныхъ учащихся класса и предоставлялъ имъ
пребывать въ состояніи пассивнаго вниманія или, лучше сказать,
невниманія; такимъ образомъ въ многолюдныхъ классамъ препо-
даватель могъ освѣдомиться о познаніяхъ каждаго ученика только
разъ въ мѣсяцъ или даже разъ въ четверть, при чемъ вызванный
ученикъ въ случаѣ' удовлетворительнаго отвѣта обыкновенно по-
чивалъ на лаврахъ вплоть до того момента, когда разсчитывалъ
снова быть спрошеннымъ. На помощь учителю приходили въ этомъ
случаѣ классныя письменныя работы, которыя служили средствомъ
одновременной провѣрки познаній всѣхъ учащихся. Провѣрка по-
знаній, такимъ образомъ, переставала быть непрерывной и пріуро-
чивалась къ нѣкоторымъ опредѣленпымъ моментамъ учебнаго года,
преимущественно къ четвертнымъ срокамъ. Это обстоятельство от-
ражалось на ходѣ учебнаго дѣла самымъ неблагопріятнымъ обра-
зомъ: учащіеся привыкали работать вообще спустя рукава и напря-
гать свою энергію только тогда, когда ожидали быть спрошен-
ными или когда предстояла письменная работа, требующая подго-
товки; кромѣ того, провѣрочные отвѣты, въ особенности письмен-
ные, всегда болѣе или менѣе нервировали учащихся и съ одной
стороны такое взвинченное настроеніе понижало качество самихъ
отвѣтовъ, съ другой стороны, учащіеся въ цѣляхъ полученія удо-
влетворительнаго балла пускались на разныя хитрости и широко
пользовались подсказкой и списываніемъ, обращая провѣрку зна-
ній въ провѣрку своего умѣнья выдавать чужой трудъ за свой.
Всѣ эти отрицательныя черты старой школы достигали своего куль-
минаціоннаго пункта на экзаменахъ, которые предназначались для
окончательной и рѣшительной провѣрки знаній за весь учебный годъ.
Картина школьныхъ экзаменовъ намъ всѣмъ настолько обще-
извѣстна, что я воздержусь отъ соблазна воспроизводить здѣсь ея
иаиболѣе комическіе или трагическіе уголки. Я не буду описывать,
напр., той сложной системы ухищреній, которая практиковалась
учащимися старой школы, чтобы заранѣе узнать темы письмен-
ныхъ экзаменовъ, или же во время письменныхъ экзаменовъ неза-

мѣтно воспользоваться запретной помощью со стороны; не буду
разсказывалъ, по какимъ неуловимымъ намекамъ учащіеся ста-
раются догадаться (и небезуспѣшно), что именно изъ программы
устнаго экзамена имъ нужно основательнѣе всего разучить и что
можно оставить безъ вниманія; не буду описывать, какъ „дѣла-
ются" экзамены *) въ тѣхъ случаяхъ, когда экзаминатору хочется
поразить кого слѣдуетъ блестящими отвѣтами учащихся, или на-
оборотъ, когда онъ находитъ нужнымъ предъявить особенно стро-
гія требованія и добиваться отъ учащихся „основательныхъ" зна-
ній; не буду, наконецъ, напоминать ни тѣхъ тяжелыхъ пережива-
ній, которыя связаны у учащихся съ экзаменной лихорадкой, ни
тѣхъ трагическихъ моментовъ, когда обрывались молодыя жизни,
надломленныя гнетомъ экзаменной неудачи. Наоборотъ, я возьму
самый обыкновенный случай, когда и экзаминаторы не слишкомъ
требовательны, и программы не чрезмѣрно велики, и экзаменъ
выдержанъ классомъ болѣе или менѣе удовлетворительно,—и по-
ставлю вопросъ прямо: можетъ ли школа питать увѣренность, что
результаты экзамена соотвѣтствуютъ дѣйствительной успѣшности
учащихся, и насколько продуктивно затраченъ учащимися тотъ
трудъ, который они употребили на подготовку къ этому экзамену?
Всякій изъ насъ по воспоминаніямъ своихъ школьныхъ лѣтъ
или своей учительской дѣятельности можетъ припомнить не мало
примѣровъ, когда учащіеся, особенно хорошіе, оказывались на
экзаменѣ далеко ниже своей дѣйствительной силы и дѣлали,
будто нарочно, такія ошибки, которыхъ никогда не допускали во
время обычныхъ занятій. Изъ своей практики я помню, напр., слу-
чай, когда ученикъ четвертаго класса, хотя и не изъ блестящихъ,
но вполнѣ удовлетворительный, въ экзаменаціонный письменной
работѣ по алгебрѣ, желая выразить стоимость проданнаго товара,
складывалъ стоимость одного фунта этого товара съ числомъ фун-
товъ, и поступилъ такъ не однажды, а дважды, такъ какъ при-
шлось составлять два уравненія. А еще былъ случай, когда на
устномъ экзаменѣ по геометріи ученикъ пятаго класса, также
1) См. по этому поводу напр., статью подъ названіемъ „Какъ дѣлаются
экзамены" въ „Вѣстникѣ Воспитанія", 1913 г., № 6.

учившійся въ году удовлетворительно и уже отвѣтившій на болѣе
трудные вопросы, никакъ не могъ вспомнить, что такое паралле-
лограммъ, и упорно чертилъ вмѣсто него трапецію. Помню и еще
случай, когда на выпускномъ экзаменѣ одинъ изъ лучшихъ уче-
никовъ, изучавшій математику и сверхъ гимназической программы
и поступившій затѣмъ на математическій факультетъ, совершенно
забылъ, какъ выводится формула суммы членовъ ариѳметической
прогрессіи, и не могъ вспомнить этого вывода, несмотря на наво-
дящіе вопросы экзаминатора. Съ другой стороны, нерѣдки случаи,
когда лѣнивый и мало знающій ученикъ, съ большимъ снисхожде-
ніемъ допущенный къ экзамену, на скорую руку усваивалъ нѣ-
которые отдѣлы программы и на экзаменѣ, получивъ билетъ по
выученному отдѣлу, изумлялъ экзаминатора своимъ безукоризнен-
нымъ отвѣтомъ. Всѣ подобные факты въ достаточной мѣрѣ свидѣ-
тельствуютъ, что исходъ экзамена очень часто не отвѣчаетъ дѣй-
ствительнымъ познаніямъ ученика; объ томъ же говорятъ и дан-
ныя, собранныя экспериментальной педагогикой. Еще въ 1905 г.
Лобзинъ опубликовалъ въ журналѣ „Experimentelle Pädagogik"
нѣкоторыя свои изслѣдованія по вопросу о вліяніи экзаменной
обстановки на успѣшность отвѣтовъ учащихся. Онъ произвелъ
опытъ надъ 54 восьмилѣтними учащимися Кильской средней школы,
задавая имъ въ теченіе двухъ послѣдовательныхъ дней письменныя
работы одинаковой трудности—они должны были рѣшить каждый
разъ по 20 задачъ на сложеніе и вычитаніе; при этомъ въ первый
разъ они исполняли работу при обычныхъ условіяхъ, а во второй
имъ было объявлено, что эта работа будетъ служить основаніемъ
для оцѣнки ихъ успѣховъ. Оказалось, что въ первый разъ всѣ
ученики выполнили въ общемъ 1024 задачи, а во второй за то
же самое время только 990; число ошибокъ у всѣхъ учениковъ
въ первый разъ было 402, а во второй разъ—въ экзаменной об-
становкѣ—490, т.-е. среднимъ числомъ на каждую задачу прихо-
дилось въ первомъ случаѣ 0,39 ошибки, а во второмъ 0,49.
Кромѣ того, Лобзинъ разсмотрѣлъ отдѣльно работы, принадле-
жавшія группѣ хорошихъ, среднихъ и плохихъ учениковъ, и на-
шелъ, что хорошіе ученики въ первомъ случаѣ выполнили удовле-
творительно 88% всѣхъ задачъ, а во второмъ только 69°/0; сред-

ніе въ первомъ случаѣ 66%, а во второмъ 55%, и плохіе въ
первомъ случаѣ 27% , а во второмъ 21%. Такимъ образомъ, экза-
менная обстановка имѣла безспорное ухудшающее вліяніе на ус-
пѣшность работъ, при чемъ достойно вниманія то обстоятельство,
что это неблагопріятное вліяніе болѣе всего отразилось на рабо-
тахъ лучшихъ учениковъ.
Было бы въ высшей степени важно, чтобы и русскіе педагоги
произвели подобныя изслѣдованія въ своей школѣ; но и указан-
ныхъ фактовъ достаточно, чтобы утверждать, что экзамены ни
въ коемъ случаѣ не могутъ быть мѣриломъ успѣшности учащихся,
& что контролировать познанія учащихся съ помощью экзаменовъ
столь же рисковано, какъ и производить взвѣшиваніе на завѣдомо
испорченныхъ вѣсахъ. Впрочемъ, давно уже замѣчено, что экза-
менъ представляетъ изъ себя, въ сущности, не испытаніе успѣш-
ности, a испытаніе памяти, или, лучше сказать, испытаніе только
одного вида памяти, а именно способности къ быстрому, но весьма
непродолжительному запоминанію большого фактическаго матеріала.
Еще Писаревъ подчеркивалъ этотъ фактъ, когда въ шутку пред-
лагалъ современной ему школѣ продѣлать такой опытъ: въ тотъ
день, когда учащіеся придутъ держать экзаменъ, скажемъ, по
латинскому языку, объявить имъ, что латинскаго экзамена не
будетъ, a вмѣсто того повторится экзаменъ изъ географіи, уже
выдержанный ими за три дня до того; при этомъ онъ предсказы-
валъ, что такой повторный экзаменъ обратится въ повальный раз-
громъ, и „кто получилъ (раньше) пять балловъ, помирится на
трехъ, а кто довольствовался тремя, тотъ не скажетъ ни одного
путнаго слова" *). Если подобный опытъ никогда и никѣмъ не
продѣлывался, то, вѣроятно, потому, что всѣ мы и такъ хорошо
убѣждены въ крайней непрочности экзаменныхъ познаній; да и
любой учебникъ психологіи скажетъ намъ, что свѣдѣнія, усвоенныя
въ короткій промежутокъ времени, да еще въ состояніи предъэкза-
меннаго волненія и усталости, улетучиваются изъ памяти съ
чрезвычайной быстротой. Въ силу всего этого нельзя не согласиться,
что трудъ, затрачиваемый учащимися на подготовку къ экзаме-
1) Соч. Писарева, т. 3, статья „Наша университетская наука".

намъ, трудъ усиленный и нерѣдко идущій въ ущербъ ихъ здоро-
вью, а равно и трудъ, употребляемый преподавателями на самое
производство экзаменовъ,—никакой педагогической цѣнности не
имѣютъ.
Сторонники экзаменовъ обыкновенно не отрицаютъ, что экза-
менная система страдаетъ всѣми указанными серьезными дефек-
тами; но они полагаютъ, что другихъ, лучшихъ способовъ конт-
роля познаній учащихся нѣтъ, и что экзамены, при всѣхъ своихъ
отрицательныхъ сторонахъ, все же заставляютъ учащихся лучше
учиться, и кромѣ того, даютъ имъ возможность охватить пред-
метъ въ его цѣломъ, не сосредоточиваясь на частностяхъ. Я охотно
вѣрю, что есть такія учебныя заведенія, въ которыхъ учащіеся
въ виду экзаменовъ подтягиваются и усерднѣе берутся за книжки;
готовъ повѣрить даже и тому, что въ этихъ учебныхъ заведені-
яхъ безъ помощи экзаменовъ учащіеся учились бы еще хуже, чѣмъ
въ дѣйствительности, но думаю, что школа, которая только при
помощи экзаменной угрозы можетъ заставить своихъ учащихся
заниматься, тѣмъ самымъ расписывается въ своемъ полномъ нрав-
ственномъ банкротствѣ. А что касается до возможности охватить
предметъ въ его цѣломъ, то она, во 1-хъ, очень сомнительна, разъ
въ программу экзаменовъ входитъ весь курсъ цѣлаго года или
нѣсколькихъ лѣтъ: существенное несомнѣнно потонетъ въ массѣ
мелочей; во 2-хъ, развѣ нельзя дать учащемуся эту возможность
и помимо экзаменовъ? И въ этомъ вопросѣ сказывается несосто-
ятельность традиціонныхъ путей нашей педагогики.
Наша новая школа опредѣленно стала на путь отмѣны экзаме-
новъ и рѣшенія вопроса о переводѣ учащихся изъ класса въ классъ
по годовымъ оцѣнкамъ. Но мало было экзамены отмѣнить,—нужно
было вмѣсто нихъ создать другую, болѣе надежную систему конт-
роля познаній; а это далеко не всегда и не вездѣ имѣло мѣсто.
Мнѣ уже приходилось выше указывать, что оцѣнка познаній уча-
щихся въ школахъ новаго типа не всегда была достаточно обо-
снована фактическими данными; этотъ недостатокъ былъ не чуждъ
и годовымъ оцѣнкамъ, и бывали случаи, когда удовлетворительная
оцѣнка основывалась только на томъ, что ученикъ понимаетъ объ-
ясненія учителя, a помнитъ ли онъ при этомъ существенные факты

и можетъ ли приложить свои познанія къ частнымъ случаямъ —
это оставалось не вполнѣ освѣщеннымъ. И вотъ въ такихъ слу-
чаяхъ бывало, что школа, нѣсколько лѣтъ обучая ученика и счи-
тая его удовлетворительнымъ, потомъ случайно „вдругъ" обнару-
живала, что познанія его нетверды и сбивчивы и никакъ не мо-
гутъ считаться достаточными. Наличность подобныхъ случаевъ на-
водила на сомнѣнія въ полезности новаго направленія, и бывало,
что школа, отмѣнившая было экзамены, потомъ возвращалась на
старую дорогу и возстановляла ихъ въ чистомъ видѣ или подъ
названіемъ репетицій, провѣрокъ и т. п. Но предоставимъ жела-
ющимъ повторять старыя ошибки и замыкаться въ этомъ заколдо-
ванномъ кругу; очевидно, что очередной задачей новой школы и
является выработка такой системы контроля познаній учащихся,
которая давала бы школѣ возможность обходиться безъ всякихъ
экзаменовъ. А это возможно только въ томъ случаѣ, если школа
дастъ себѣ трудъ осуществить систему подробной регистраціи
впечатлѣній и отзывовъ преподавателей объ успѣхахъ учащихся,
о которой я говорилъ раньше; тогда контроль успѣшности не бу-
детъ пріуроченъ къ опредѣленнымъ, довольно рѣдкимъ моментамъ,
нервирующимъ учениковъ однимъ своимъ наступленіемъ, a будетъ
осуществляться, такъ сказать, исподволь, непрерывно и незамѣтно
для учащихся; подъ конецъ четверти у преподавателя будетъ до-
вольно обширный фактическій матеріалъ для сужденія объ успѣ-
хахъ учащихся за четверть, a подъ конецъ года онъ сможетъ съ
полной опредѣленностью выяснить, имѣются ли недочеты въ по-
знаніяхъ учащихся по пройденному курсу, и можетъ ли этотъ уче-
никъ съ успѣхомъ продолжать занятія въ слѣдующемъ классѣ
или нѣтъ. Тогда экзаменъ въ концѣ года станетъ просто ненуж-
нымъ; зачѣмъ школѣ продѣлывать еще какой-то спеціальный и
притомъ явно ненадежный контроль познаній для рѣшенія вопроса о
переводѣ учащихся въ слѣдующій классъ, если она ихъ и безъ того
хорошо знаетъ и можетъ рѣшить этотъ вопросъ на основаніи ма-
теріала, собиравшагося и провѣреннаго въ теченіе цѣлаго года? Эти
соображенія относятся въ равной мѣрѣ и къ выпускнымъ экзаме-
намъ, которые вѣдь отличаются отъ переводныхъ только тѣмъ,
что выдержаніе ихъ сопряжено съ пріобрѣтеніемъ извѣстныхъ правъ

по образованію; и даже вступительные экзамены нѣкоторыя новыя
школы пытались, и не безъ успѣха, замѣнить организаціей, въ те-
ченіе нѣсколькихъ дней, правильныхъ школьныхъ занятій съ по-
ступающими, чтобы собрать впечатлѣнія о нихъ въ обстановкѣ
обычнаго школьнаго дня, а не экзаменной лотереи..
Экзамены въ специфическомъ смыслѣ этого слова должны бы
быть сохранены только для тѣхъ случаевъ, когда провѣрка знаній
и подготовки производится внѣ школы или хотя бы и въ самой
школѣ, но лицами, не занимавшимися ранѣе съ тѣми, чьи знанія
подлежатъ контролю: напр., когда производятся для экстерновъ
испытанія на свидѣтельство за курсъ гимназіи или нѣсколькихъ
ея классовъ, или когда имѣють мѣсто экзамены для полученія ка-
кихъ-либо правъ, производимые посторонней школѣ экзаменаціон-
ной комиссіей; пока экспериментальная педагогика не придумала
для этой цѣли лучшихъ средствъ, приходится поневолѣ прибѣгать
къ экзамену и только заботиться о томъ, чтобы по возможности
смягчить его отрицательныя стороны.
Что касается письменныхъ работъ, то онѣ, конечно, и въ новой
школѣ найдутъ себѣ мѣсто, но должны будутъ утратить свой про-
верочный, экзаменный характеръ; письменныя работы будутъ но-
сить характеръ самостоятельныхъ упражненій по проходимому
курсу, притомъ такихъ, которыя давали бы возможно большій про-
сторъ самодѣятельности и творчеству учащихся.
И объединеніе познаній по курсу цѣлаго года или цѣлаго пред-
мета въ новой школѣ никоимъ образомъ ne исчезнетъ; оно только
не будетъ пріурочено къ вопросу о переводѣ учащихся и не бу-
детъ состоять въ повтореніи, со всѣми деталями, цѣлыхъ круп-
ныхъ отдѣловъ курса. Наоборотъ, преподаватель, проходя въ шко-
лѣ свою науку, будетъ выбирать изъ каждаго ея отдѣла сравни-
тельно мало фактическаго матеріала, иногда, быть-можетъ, не
болѣе, чѣмъ это требуется на обыкновенный урокъ; но въ этомъ
избранномъ матеріалѣ будетъ заключена суть дѣла. И вотъ эту
суть дѣла онъ постарается внѣдрить въ сознаніе и въ память
учащихся настолько прочно, чтобы для ея воспроизведенія не тре-
бовалось никакой спеціальной подготовки, а достаточно было од-
ного вопроса; тогда, заканчивая прохожденіемъ какой-либо отдѣлъ,

онъ не упуститъ случая заставить учащихся воспроизвести снова
весь этотъ существенный матеріалъ и сдѣлать такимъ образомъ
объединяющій обзоръ усвоеннаго. Такіе обзоры могутъ имѣть мѣ-
сто какъ среди учебнаго года, такъ и въ концѣ его, но ни въ
какомъ случаѣ не должны быть непосредственно связаны съ чет-
вертной или годовой оцѣнкой познаній; только при такихъ условіяхъ
работа въ школѣ будетъ носить равномѣрный и продуктивный ха-
рактеръ, а не будетъ состоять въ смѣнѣ періодовъ бездѣлья и
періодовъ напряженнаго натаскиванія познаній къ моменту гене-
ральнаго смотра.
Пройдетъ, быть-можетъ, не мало времени, пока эти принципы
получатъ широкое распространеніе въ нашей школьной практикѣ.
Но тѣ школы, которыя желаютъ быть на высотѣ требованій со-
временной педагогики, пусть найдутъ въ себѣ мужество рѣши-
тельно вступить на новый путь; онѣ смогутъ тогда выпускать въ
жизнь людей, которые дѣйствительно владѣли бы своими позна-
ніями, а не изнемогали бы подъ бременемъ своей „учености".