Лебединцев К. Ф. Математика в народной школе. — 1919

ГЛАВА I.
Цѣли, программа и методъ обученія математикѣ
въ начальной школѣ.
Въ настоящее время всѣ сознаютъ, что поста-
новка обученія математикѣ въ начальной школѣ
нуждается въ серьезныхъ измѣненіяхъ. Но для того,
чтобы эти измѣненія были цѣлесообразны и отвѣчали
требованіямъ жизни и современной педагогической
мысли, нужно, чтобы для школы и учителя былъ
ясенъ вопросъ, зачѣмъ изучается математика, и чему
и какъ учить дѣтей на урокахъ, ей посвящаемыхъ.
•Вотъ почему я считаю нужнымъ прежде всего остано-
виться на вопросѣ о цѣляхъ, программѣ и методѣ
обученія математикѣ въ начальной школѣ.
Принято думать, что обученіе математикѣ въ
начальной школѣ преслѣдуетъ двѣ цѣли: матеріаль-
ную—сообщить извѣстный рядъ свѣдѣній и навыковъ,
необходимыхъ и полезныхъ для жизни, и формаль-
ную—содѣйствовать умственному развитію учащихся.
Въ то время, какъ первая цѣль является общепонят-
ной и безспорной—въ необходимости умѣть произво-
дить вычисленія и имѣть простѣйшія геометрическія

свѣдѣнія il измѣрительные навыки никто не сомнѣ-
вается,—вторая цѣль, формальная, |если призаду-
маться надъ этимъ вопросомъ, можетъ вызвать нѣ-
которыя сомнѣнія и недоумѣнія. Что собственно
утверждаемъ мы, когда говоримъ, что изученіе мате-
матики содѣйствуетъ умственному развитію уча-
щихся? Всякое ли обученіе счисленію или другимъ
отдѣламъ математики оказываетъ полезное вліяніе
на умственное развитіе дѣтей, и если нѣтъ, то каковъ
долженъ быть методъ обученія, чтобы достигалась
эта желаемая ціль? Вотъ вопросы, которые мы должны
выяснить себѣ, чтобы имѣть руководящую нить въ
дальнѣйшемъ.
Когда говорятъ, что занятія математикой содѣй-
ствуютъ умственному развитію учащихся, то этимъ
обыкновенно хотятъ сказать, что человѣкъ, изучав-
шій математику, по сравненію съ человекомъ не
изучающимъ ея, окажется, при прочихъ равныхъ
условіяхъ, болѣе способнымъ составлять правиль-
ныя сужденія, умозаключенія и выводы не только
іо> области математики, но и въ другихъ областяхъ
науки и жизни.
Это утвержденіе Должно бы быть обосновано
или на результатамъ опыта, или на давнихъ психоло-
гическаго анализа. Но прямыхъ опытовъ, которые
подтверждали бы такую роль математики въ Дѣлѣ
умственнаго развитія, мы не имѣемъ: эксперимен-
тальная психологія и педагогика трудятся пока еще
надъ разрѣшеніемъ болѣе простыхъ задачъ, и стели
мы ложемъ разсчитывать въ будущемъ на

освѣщеніе интересующаго насъ вопроса эксперимент
тальными данными, то въ настоящемъ та-
кихъ данныхъ у насъ еще нѣтъ. Данныя же простого
наблюденія говорятъ намъ, что есть дѣти, которыя
съ успѣхомъ обучаются счисленію и въ то же время
оказьваются малоспособными въ другихъ областяхъ
знанія; есть знаменитые счетчики, которые съ пора-
зительной быстротой и ловкостью выполняютъ очень
сложныя вычисленія, и въ то же время не проявляютъ
выдающихся способностей въ другихъ отношеніяхъ,
даже являются людьми малообразованными; есть
наконецъ, выдающіеся математики, которые обнару-
живаютъ весьма невысокій умственный уровень, когда
имъ приходится составлять сужденія въ какой либо
области знаній за предѣлами своей спеціальности.
Наличность такихъ фактовъ односторонняго, спе-
ціальнаго умственнаго развитія въ области матема-
тики заставляете заключить, что изученіе математики
можетъ и не сопровождаться всестороннимъ.умствен-
нымъ развитіемъ, и что обычное представленіе о фор-
мально развивающемъ значеніи математики нуждается
въ серьезныхъ поправкахъ. Обратимся теперь къ
даннымъ психологическаго анализа. Въ современной
психологіи имѣются нѣкоторыя основанія думать,
что упражненіе какого либо частнаго вида данной
психической функціи сопровождается развитіемъ не
только этого вида функціи, но и другимъ ея видовъ,
иди» какъ иначе говорятъ, сопровождается сопутствую-
щимъ упражненіемъ соотвѣтственной общей функціи.
Такъ напр. Мейманъ, производя эксперименты надъ

памятью, нашелъ, что упражненіе въ заучиваніи
безсмысленныхъ.слоговъ сопровождается усиленіемъ
памяти не только на безсмысленные слога, но также
нѣкоторымъ усиленіемъ всѣхъ другихъ видовъ па-
мяти, причемъ это «сопутствующее упражненіе» бо-
лѣе всего сказывалось на видахъ памяти, родствен-
ныхъ съ даннымъ, напр., памяти на отдѣльныя буквы,
цифры, вообще при усвоеніи матеріала, запоминаемаго
болѣе или менѣе механически; на остальныхъ же
видахъ памяти «сопутствующее упражненіе» сказы-
валось въ меньшей и меньшей мѣрѣ. При этомъ Мей-
манъ прибавляетъ, что это явленіе—сопутствующее
упражненіе родственныхъ видовъ дѣятельности—«есть
вѣроятно общее психофизическое явленіе, такъ какъ
мы наблюдаемъ его во всѣхъ психофизическихъ и пси-
хическихъ функціяхъ» (Мейманъ—Лекціи по экспери-
ментальной педагогикѣ, т. III, стр. 237—241);
Эти взгляды Меймана не являются общепризнан-
ными въ психологіи;есть ученые, которые ихъ оспари-
ваютъ; но если даже считать положенія Меймана
безспорнымъ то и на нихъ нельзя обосновать тради-
ціонной вѣры въ формально-развивающую силу ма-
тематики. Въ самомъ дѣлѣ, исходя изъ вышесказан-
наго, мы можемъ считать вѣроятнымъ, что изученіе
математики. сопровождается развитіемъ не только
математическаго мышленія, но и другихъ видовъ
мышленія, болѣе или менѣе родственныхъ съ нимъ.
Вся суть теперь въ томъ, какіе же виды мышленія
мы можемъ считать родственными съ математическимъ.
Такъ какъ въ математикъ мы имѣемъ дѣло преиму-

щественно съ умозаключеніямъ съ дедукціей, то мы
вправѣ обкидать, что изученіе математики отразится
болѣе или менѣе благодѣтельно на развитіи дедук-
тивныхъ видов*? мышленія, возможность же сопут-
ствующая упражненія въ области индуктивнаго мыш-
ленія будетъ маловѣроятна и во всякомъ случаѣ
весьма ограничена, такъ какъ въ математикъ индук-
ція требуетъ сравнительно небольшого числа про-
стыхъ наблюденій, въ другихъ же областяхъ знанія
и жизни она должна опираться на многочисленныя
й сложныя наблюденія и опыты.
A кромѣ того и самый процессъ умозаключенія
и вообще дедуктивнаго мышленія не можетъ считаться
простымъ психическимъ актомъ, всегда тождествен-
нымъ во всевозможныхъ случаяхъ. Постараюсь пояс-
нить это примѣрами.
Пусть школьникъ рѣшаетъ задачу: «Поѣздъ же-
лѣзной дороги проходитъ 35 верстъ въ каждый часъ;
сколько верстъ пройдетъ онъ за 12 часовъ»? Пусть
онъ. разсуждаетъ при этомъ такъ: «въ первый часъ
поѣздъ проходитъ 35 верстъ, да во второй еще 35
верстъ, да въ третій еще 35 верстъ и т.д.; чтобы узнать,
сколько верстъ онъ пройдетъ за всѣ 12 часовъ, нужно
35 верстъ умножить на 12». Если бы школьникъ могъ
облечь свою мысль въ форму полнаго умозаключенія,
то онъ долженъ былъ бы выразиться примѣрно такъ:
«если въ задачѣ приходится складывать несколько
одинаковыхъ чиселъ, то эта задача рѣшается умно-
женіемъ; въ этой задачѣ приходится складавать
12 разъ по 35 верстъ; поэтому нужно 35 верстъ умно-

жить на 12». Чтобы нашъ школьника дѣйствительно
могъ построить свое умозаключеніе, даже въ той
упрощенной формѣ, какъ сказано выше (и какъ
обыкновенно выражаются при рѣшеніи задачъ), для
этого необходимы двѣ психологическія предпосылки:
во первыхъ, онъ долженъ з а м ѣ т и т ь, что въ дан-
ной задачѣ приходится складывать 12 одинаковыхъ
чиселъ, каждое Изъ которыхъ есть 35; во вторыхъ,
онъ долженъ помнить изъ предыдущего своего
факта, что задачи, въ которыхъ приходится склады-
вать одинаковыя числа, рѣшаются умноженіемъ.
Иначе говоря, въ его умѣ должна существовать проч-
ная ассоціація между замѣченнымъ фактомъ и необ-
ходимостью произвести умноженіе по извѣстнымъ
правиламъ.
Съ этимъ умозаключеніемъ сравнимъ другое. Пусть
тотъ же школьникъ въ лѣтній день соображаетъ:
«Вонъ какъ паритъ, и тучи собирается; пожалуй,
будетъ, гроза». Если бы онъ и здѣсь могъ облечь свою
мысль въ форму полнаго умозаключенія, то сказалъ бы
приблизительно такъ: «если въ лѣтній день особенно
душно и притомъ собираются тучи, то можно ждать
грозы; сегодня сильно паритъ и тучи собираются;
поэтому вѣроятно, что сегодня будетъ гроза». 'Чтобы
подобный силлогизмъ (хотя и въ неполной формѣ,
какъ это постоянно бываетъ) могъ дѣйствительно
сложиться въ умѣ нашего школьника, необходимы
опять двѣ психологическія предпосылки: во первыхъ,
онъ долженъ замѣтить, что сегодня болѣе
душно, чѣмъ обыкновенно в лѣтніе дни, и что при-

томъ на небѣ собираются тучи; во вторыхъ, онъ
долженъ помнить изъ предыдущихъ своихъ
наблюденій, что въ подобные дни часто бываетъ
гроза, т. е. въ его умѣ должна существовать ассо-
ціація между испытываемыми температурными, зри-
тельными и другими ощущеніями и представленіемъ
возможности грозы.
Возьмемъ еще и третье умозаключеніе того же
школьника, въ такомъ родѣ: «Былъ звонокъ; пора
идти въ классъ». Чтобы такое умозаключеніе пришло
на умъ нашему школьнику, онъ долженъ, во первыхъ,
услышать звонокъ; во вторыхъ, онъ долженъ пом-
нить, что звонокъ во время перемѣны или отдыха есть
призывъ идти въ классъ на занятія, т.-е. у него должна
сложиться въ умѣ прочная ассоціація между услы-
шаннымъ въ перемѣну звонкомъ и сознаніемъ необхо-
димости идти въ классъ. И вообще, чтобы въ нашемъ
умѣ могло возникнуть какое нибудь умозаключеніе,
необходимы всякій разъ тѣ же двѣ психологическія
предпосылки: во 1-хъ, мы должны установить какой-
нибудь опредѣленный фактъ (какъ напр., въ предыду-
щихъ умозаключеніяхъ: наличность равныхъ слагае-
мыхъ, или наличность духоты въ воздухѣ и тучъ
на небѣ, или фактъ раздавшагося звонка); во 2-хъ,
представленіе объ этомъ установленномъ фактѣ должно
быть связано въ нашемъ умѣ прочными ассоціаціями
съ другими представленіями. Но для установленія
опредѣленнаго факта необходимо всякій разъ пред-
варительное наблюденіе, или самонаблюденіе, т.-е.
такой психическій процессъ, который совершается

черезъ посредство дѣятельности различныхъ
органовъ чувствъ и различныхъ сторонъ на-
шей психической жизни, да и ассоціаціи, которыя
необходимы для возникновенія силлогизма, могутъ
относиться къ совершенно различнымъ областямъ
представленій. Поэтому мы не можемъ считать раз-
личныя умозаключенія всегда тождественными пси-
хическими процессами, и не всѣ виды дедуктивнаго
мышленія можемъ считать одинаково родственными
другъ другу. А отсюда вытекаетъ важный выводъ,
что не всѣ виды дедуктивнаго мышленія могутъ
подвергаться вліянію сопутствующаго упражненія
отъ изученія математики. Можно напр., ожидать,
что изученіе математики облегчаетъ составленіе- пра-
вильныхъ сужденій въ области физики, но надѣяться
на то, что человѣкъ, изучившій математику, тѣмъ
самымъ пріобрѣтетъ смѣтливость и сообразительность
во всѣх областяхъ жизни, можно было бы въ такой же
малой степени, какъ ожидать, что искусный игрокъ
въ шахматы долженъ быть непремѣнно хорошимъ
полководцемъ.
Развитое математическое мышленіе, съ точки зрѣ-
нія общепедагогической, есть хотя и весьма важный,
но спеціальный навыкъ; а общее умственное разви-
тіе можетъ быть пріобрѣтено только болѣе или ме-
нѣе равномѣрной работой въ различныхъ областяхъ
знанія.
Изъ всего вышеизложеннаго можно сдѣлать важ-
ные педагогическіе выводы. То вліяніе, которое мо-
жетъ оказывать обученіе счислен ію и вообще матема-

тикѣ на умственное развитіе дѣтей, находится въ пря-
мой зависимости отъ матеріала, которымъ мы поль-
зуемся при обученіи, если въ учебномъ матеріалѣ
будутъ исключительно преобладать отвлеченныя
упражненія въ дѣйствіяхъ и хитроумныя задачи
съ условіями, лишенными внутренней связи и по
существу далекими отъ жизни,—то упражняя уча-
щихся на такомъ матеріалѣ, мы можемъ быть и усо-
вершенствуемъ ихъ умъ въ отношеніи разгадыванія
разныхъ ребусовъ и головоломокъ, но отнюдь не
сдѣлаемъ ихъ болѣе способными къ правильному
мышленію въ жизни или въ,какой либо области зна-
нія. Если же мы хотимъ, чтобы умственное развитіе
дѣтей, обучающихся счисленію или другому отдѣлу
математики, получило возможно болѣе продуктивный
характеръ, то мы должны для этой цѣли такъ под-
бирать учебный матеріалъ, чтобы онъ имѣлъ прямую
и тѣсную связь со всевозможными явленіями окру-
жающей дѣйствительности; только въ этомъ случаѣ
въ умѣ учащихся можетъ образоваться подборъ тѣхъ
ассоціацій, на которыя будетъ опираться ихъ Даль-
нѣйшее мышленіе.
Такимъ образомъ приходится признать, что фор-
мальная цѣль обученія счисленію и вообще мате-
матикѣ—возможное, содѣйствіе умственному разви-
тію дѣтей—совершенно неотдѣлима отъ матеріаль-
ной цѣли—сообщенія извѣстныхъ познаній и на-
выковъ необходимыхъ для жизни.. Преслѣдуя эту
матеріальную цѣль, сообщая учащимся свѣдѣнія и
навыки, необходимые для практическихъ надобностей

мы тѣмъ самымъ разовьетъ, насколько возможно,
и умственныя ихъ способности, - конечно, при одномъ
необходимомъ условіи: если методъ обученія будетъ
способствовать сознательному, а не механическому
усвоенію учебнаго матеріала.
Какой же кругъ познаній и навыковъ изъ области
математики мы должны считать подходящимъ для
современной начальной школы? Иначе говоря, какъ
должна быть измѣнена, программа начальной мате-
матики, чтобы школа могла удовлетворить въ этомъ
отношеніи требованиямъ современной?
Въ. прежнее время, при трехлѣтнемъ курсѣ на-
чальной школы, матеріальная дѣль обученія ариѳме-
тикѣ сводилась къ одному: научить дѣтей четыремъ
дѣйствіямъ надъ цѣлыми числами и рѣшеніи соотвѣт-
ствующихъ задачъ. Знакомство съ дробями вводилось
лишь въ самыхъ ограниченныхъ размѣрахъ-по-
скольку безъ него нельзя обойтись въ повседневныхъ
разсчетахъ. Знакомство съ мѣрами, сводилось по
большей части къ упражненіямъ и задачамъ съ со-
ставными именованными числами, выработка же на-
выковъ измѣрительнаго характера не входила къ
задали обученія въ начальной школѣ. Да и трудно
было задаваться болѣе широкими цѣлями при ограни-
ченности времени, имѣвшагося въ распоряженіи учи-
теля, и при необходимости обращать усиленное вни-
маніе на подготовку, къ окончательному экзамену
учащихся, послѣдняго года обученіе, нерѣдко въ
ущербъ образовательнымъ задачамъ школы.
Такіе размѣры курса математики и въ прежнее

время, были недостаточны, a тѣмъ болѣе нельзя огра-
ничиваться такими рамками теперь. Жизнь требуетъ
отъ широкихъ круговъ населенія не только умѣнья
составить или провѣрить лавочный счетъ, или под-
вести итогъ приходо-расходной книги, но и умѣнья
опредѣлить размѣры тош или иного участка земли,
подсчитать количество сѣмянъ, необходимыхъ для
его засѣва, составить планъ веденія хозяйства и.опре-
дѣлить его доходность или убыточность; подсчитать
размѣры и стоимость той или иной постройки, коли-
чество или вѣсъ нужныхъ для этого бревенъ, досокъ
или кирпича, желѣза для крыши; сообразить выгоду
того или иного помѣщенія капитала въ предпріятіе,
размѣры дохода отъ вклада, въ сберегательную кассу;
подсчитать распределеніе прибыли или, взносовъ
между членами кооператив , и т. д. А для всего
этого необходимо знакомство съ, дѣйствіями не только,
надъ цѣлыми числами, но и надь дробями, простыми
И десятичными, и съ простѣйшими процентными.
вычисленіями; необходимы навыки въ производствѣ
элементарныхъ измѣреній длины, вѣса, въ вычисленіи
различныхъ площадей и объемовъ, а слѣдовательно,
нужно знакомство и съ важнѣйшими геометрическими
формами и элементарными свойствами, фигуръ и тѣлъ.
Необходимо также знакомство и съ метрическими
мѣрами, которыя проникаютъ уже въ нашъ, жизнен-
ный обиходъ, и, конечно, будутъ получать все большее
распространеніе по мѣрѣ развитія связей съ другими
странами. Такъ какъ теперь начальной школѣ
устанавливается четырехлѣтній и даже пятилѣтній

курсъ, то бремени найдется достаточно для выполне-
нія этихъ задачъ, особенно, если отказаться* отъ не-
нужныхъ упражненій на составныя именованные
числа и отъ рѣшенія задачъ громоздкаго и искусствен-
наго характера, переполняющихъ многіе употреби-
тельные нынѣ задачники.
Знакомство съ мѣрами и дробями, а также пріоб-
рѣтеніе измѣрительныхъ навыковъ и свѣдѣній геомет-
рическаго характера, должно быть распредѣлено
по всему школьному курсу, начиная съ первыхъ его
ступеней и притомъ въ тѣсной связи съ обычнымъ
курсомъ счисленія. Только при этомъ условіи обуче-
ніе математикѣ будетъ опираться на тѣ числовыя
и измѣрительныя соотношенія, которыя окружаютъ
ребенка въ его повседневной жизни, и даетъ ему
возможность примѣнять выробатываемые навыки к
усваиваемыя свѣдѣнія къ рѣшенію разнаго рода
математическихъ вопросовъ, возникающихъ изъ
жизни.
Въ общемъ, распредѣленіе учебнаго матеріала
при четырехлѣтнемъ курсѣ можетъ быть сдѣлано
приблизительно такъ:
1-й годъ. Всѣ дѣйствія надъ числами первыхъ
двухъ десятковъ. Круглые десятки первой сотни.
Нумерація чиселъ первой сотни; сложеніе и вычита-
ніе въ предѣлѣ первой сотни.
Простѣйшія дроби (половина, четверть, восьмая;
Треть, шестая доля и составляемыя изъ нихъ дроби);
вычисленія надъ ними, выполняемыя наглядно.
Знакомство съ важнѣйшими мѣрами (аршинъ, вер-

шокъ, сажень, фунтъ, пудъ; часъ, минута, сутки;
рубль, копейка) и производство простѣйшихъ измѣ-
реній длины, вѣса и времени; ознакомленіе съ наиболѣе
употребительными деньгами и почтовыми марками.
Рѣшеніе задачъ на всѣ изученные отдѣлы.
2- й годъ. Умноженіе и дѣленіе въ предѣлѣ первой
сотни. Нумерація и четыре дѣйствія въ предѣлѣ
первой тысячи.
Расширеніе свѣдѣній о дробяхъ (доли и дроби
съ наиболѣе. употребительными, знаменателями въ пре-
дѣлѣ первыхъ двухъ десятковъ); преобразованія та-
кихъ дробей и вычисленія надъ ними по соображенію*
Русскія мѣры длины, вѣса, времени, стоимости;
сыпучихъ тѣлъ и жидкостей, бумаги. Названія дней
недѣли и мѣсяцевъ въ году; число дней въ году и въ
каждомъ мѣсяцѣ.
Выполненіе соотвѣтствующихъ курсу измѣреній.
Задачи на <всѣ пройденные отдѣлы.
3- й годъ. Нумерація и четыре дѣйствія надъ цѣ-
лыми числами въ предѣлѣ милліона.
Простыя дроби съ наиболѣе употребительными
знаменателями въ предѣлѣ первой сотни; преобразо-
ванія такихъ дробей (по соображенію), ихъ сложеніе
и вычитаніе; умноженіе и дѣленіе на цѣлое число.
Простѣйшія десятичный дроби (десятыя, сотыя, ты-
сячныя доли и дроби, образуемая изъ нихъ); способъ
ихъ записи, ихъ сложеніе и вычитаніе, умноженіе,
и дѣленіе на цѣлое число (Kpoiyrfe случаевъ безконеч-
наго дѣленія). Понятіе о процентъ. Устныя преобра-

зованія несложныхъ десятичныхъ дробей въ простые
дроби и обратно,
Важнѣйшія метрическія мѣры и связь ихъ съ
русскими.
Ознакомленіе (на моделяхъ и предметахъ окру-
жающей обстановки) съ важнѣйшими геометри-
ческими формами (кубъ; прямоугольная призма, пи-
рамида, шаръ, цилиндръ, конусъ; плоская и» кривая
поверхность, прямая и кривая линія; прямоуголь-
никъ, квадратъ, треугольникъ, кругъ, окружность;
углы; прямыя пересѣкающіяся и параллельныя, пря-
мыя горизонтальная и вертикальныя, прямыя пер-
пендикулярныя и наклонныя). Измѣреніе прямоуголь-
ныхъ площадей; измѣреніе объемовъ, ограниченныхъ
прямоугольными стѣнками; квадратный и кубическія
мѣры.
Упражненія въ соотвѣтствующихъ курсу измѣре-
ніяхъ и задачи на всѣ пройденные отдѣлы.
4-й гадъ. Нумерація и четыре дѣйствія надъ числами
любой величины.
Завершеніе свѣдѣній,о дѣйствіяхъ надъ простыми
и десятичными дробями. Процентные вычисленія.
Расширеніе свѣдѣній объ измѣреніи длинъ, по-
верхностей и объемовъ (измѣреніе площади парал-
лелограмма, треугольника, трапеціи; длины окруж-
ности и площади круга, поверхностей и объемовъ
прямой призмы и цилиндра, a въ случаѣ возможности—
и иныхъ геометрическихъ тѣлъ). Понятіе объ измѣре-
ніи угловъ.
Рѣшеніе задачъ на всѣ отдѣлы, въ томъ числѣ и

выполненіе разсчетовъ изъ области сельскаго хозяй-
ства, строительной практики, торговой практики,
Кооперативная дѣла и т. п.
Такой циклъ свѣдѣній и навыковъ изъ области
математики я считаю необходимымъ для современной
начальной Школы и вполнѣ осуществимымъ при че-
тырехлѣтнемъ курсѣ; если же какая школа распола-
гаетъ еще и пятымъ годомъ обученія, то его
планъ могъ бы быть таковъ:
Употребленіе буквъ для обозначенія чиселъ и,
рѣшеніе ариѳметическихъ задачъ съ помощью про-
стѣйшихъ уравненіи.
г Понятіе о степени и корнѣ въ связи съ рѣшеніемъ
соотвѣтствующихъ геометрическихъ и ариѳметиче-
ческихъ задачъ. Простѣйшіе способы возвышенія
чиселъ въ квадратъ и извлеченія квадратнаго корня.
Пропорціональныя величины и рѣшеніе соотвѣт-
ствующихъ задачъ упрощенными и сокращенными
пріемами.
Простѣйшія свѣдѣнія о равенствѣ и подобіи фи-
гуръ. Съемка плана. Диаграммы; наглядное изобра-
женіе пропорціональности величинъ. Числовая и
геометрическая зависимость между сторонами прямо*
угольника, треугольника (теорема Пиѳагора).
Простѣйшія приближенный вычисленія.
Расширеніе—въ случаѣ надобности—свѣдѣній по
курсу предыдущихъ лѣтъ (напр. изъ области ученія
о дробяхъ и объ измѣреніи площадей и объемовъ);
производство измѣрёній и рѣшеніе задачъ на всѣ
Пройденные отдѣлы.

Какъ было уже выше указано, и ycBoewfe прог-
раммы и достиженіе возможнаго умственнаго развитія
дѣтей требуютъ вполнѣ сознательнаго съ ихъ стороны
воспріятія школьнаго курса математики. Каковъ же
долженъ быть методъ обученія счисленію и другимъ
отраслямъ начальной математики, чтобы воспринимае-
мый дѣтьми свѣдѣнія и навыки усваивались ими
сознательно и прочно, и чтобы цѣль обученія мате-
матикѣ, какъ матеріальная, такъ и формальная,
была достигнута въ полной мѣрѣ?
Давно уже установлено, что наука и учебный
предметъ—не одно и то же; что нельзя излагать
напр.ариѳметику дѣтямъ въ той же формѣ,что юношамъ
или взрослымъ, если только мы хотимъ добиться
сколько нибудь сознательнаго усвоенія изучаемаго.
Но въ чемъ именно должна выражаться связь между
наукой и соотвѣтствующимъ учебнымъ предметомъ,—
этотъ вопросъ возбуждаетъ нерѣдко разногласія.
Нѣкоторые педагоги доходятъ даже до полнаго от-
рицанія этой связи; напр. на первомъ съѣздѣ учите-
лей городскихъ училищъ, состоявшемся въ Петро-
градъ въ 1909 г., профессоръ химіи Алексѣевъ утвер-
ждалъ, что въ цѣляхъ педагогическихъ можно при-
бѣгать къ неточнымъ и даже завѣдомо невѣрнымъ
объясненіямъ, если только они помогаютъ учащимся
уразумѣть суть дѣла. Подобные взгляды нужно,
конечно/признать совершенно непріемлемымъ рано
или поздно учащіеся узнаютъ, что нѣкоторыя
сообщенныя имъ свѣдѣнія невѣрны, и тогда невольно
заподозрятъ достовѣрность всего того, чему они

научились въ школѣ; авторитетъ учителя и школъ
будетъ тѣмъ самымъ совершенно подорванъ.,Наобо-
ротъ; необходимо установить категорически и безъ
всякихъ исключеній, что въ учебномъ предметѣ мы
не можемъ ни утверждать чего либо, противорѣчащаго
тому, что утверждается въ наукѣ, ни пользоваться
такими способами объясненій, которые страдаютъ
логическими недочетами и потому не могутъ считаться
допустимыми съ научной точки зрѣнія.
Въ отсутствіи -противорѣчій и должно выразиться
соотвѣтствіе между учебнымъ предметомъ и наукой;
по существу они должны говорить одно'и то же, и
различіе должно быть только въ формѣ, въ которой
тѣ или иныя свѣдѣнія усваиваются учащимися и
могутъ быть ими воспринимаемы. Постараюсь пояснить
это различіе формъ на частномъ примѣрѣ. И взрослые,
прошедшіе университетскій курсъ математики, и дѣта,
едва начавшіе свое обученіе счислен ію, знакомы съ
однимъ изъ основныхъ законовъ умноженія: «отъ
перемѣны порядка сомножителей произведеніе не
мѣняется». Но взрослый человѣкъ, знакомый съ
теоретической ариѳметикой, не только сумѣетъ пра-
вильно формулировать этотъ законъ и пояснить его
подходящими примѣрами, но сможетъ притомъ до-
казать помощью разсужденій и логическихъ выво-
довъ, что законъ этотъ долженъ имѣть мѣсто для
любыхъ чиселъ, цѣлыхъ или дробныхъ, и притомъ для
любого количества сомножителей. Юноша, прошед-
шій такъ называемый полный курсъ ариѳметики млад-
шихъ классовъ средней школы, не сможетъ доказать

общеобязательности этого закона для любыхъ цѣлыхъ
и дробныхъ чиселъ, но съумѣетъ правильно выра-
зить его словами и подобрать подходящіе частные;
примѣры, и кромѣ того, имѣетъ твердую увѣренность,
почерпнутую изъ опыта, индуктивнымъ путемъ, что
законъ этотъ остается справедливымъ', къ какимъ бы
числамъ мы его ни примѣняли. Наконецъ, ребенокъ;
обученный счисленію въ границахъ первой.^
не съумѣетъ даже выразить этого, закона словами,
но все же знаетъ самый законъ, такъ какъ напр.
вмѣсто 3.17 всегда сосчитаетъ 17.3 и будетъ твердо
увѣренъ, на основаніи опыта своихъ предыдущихъ
вычисленій, что получаемый результатъ отъ этого
не измѣнится. Спрашивается, кто же изъ нихъ; по
настоящему знаетъ перемѣстительный законъ умно-
женія? Очевидно, здѣсь можно примѣнять только
относительную мѣрку, и придется сказать, что ка-
ждый изъ нихъ знаетъ этотъ законъ і если онъ владѣетъ
имъ въ этой формѣ, которая отвѣчаетъ его вопросу
и умственному развитію, Задача педагога сводится
теперь къ тому, чтобы установить, какому возрасту,
какая форма усвоенія и, воспроизведенія; познаній
доступна.
Нужно сказать, что эта задача не можетъ считаться
разрѣшенной въ полномъ объемѣ, такъ какъ мы не
имѣемъ еще точныхъ данныхъ о ходѣ развитія мыш-
ленія у дѣтей и у юношей. Однако по изслѣдованіямъ
Меймана, которыя .согласуются съ данными простого
наблюденія, можно думать, .что тол wo около 14-го года
жизни ребенокъ становится въ состояніи сознательна

пользоваться рядомъ умозаключеній, «оказывается
въ состояніи видѣть связь между выполняемыми
умозаключеніями и понимать ихъ». Поэтому въ отно-
шеніи къ учащимся начальныхъ школъ .вопросъ
упрощается: отъ нихъ можно требовать вначалѣ
только сознательнаго и твердаго пользованія пріемами
вычисленій и рѣшенія задачъ, a впослѣдствіи-(къ
концу обученія) также и правильнаго употребленія
й объясненія смысла важнѣйшихъ математическихъ
терминовъ,' словеснаго* выраженія, извѣстныхъ имъ
правилъ и болѣе или менѣе обстоятельныхъ и связ-
ныхъ отвѣтовъ на вопросы, какъ рѣшена та или иная
задача и какъ выполнено определенное вычисленіе
или измѣреніе.
Сущность методики начальной'математики и со»
стоитъ въ уясненіи того, какъ добиваться этой цѣли,
т. е. отвѣтѣ на три вопроса: какъ достигнуть правиль-
наго и яснаго понимания учащимися изучаемаго
матеріала? какъ обезпечатъ наилучшее запоминаніе
изученнаго? и какъ добиться правильнаго воспроиз-
веденія преданнаго и примѣненія къ дѣлу? При
этомъ, конечно, предполагается, что все это должно
быть достигнуто безъ излишней затраты усилій со
стороны учащихся и учащихъ.
Тѣ данныя психологіи и педагогіи, которыми мы
можемъ въ настоящее время располагать, позволяютъ
намъ дать достаточно удовлетворительный отвѣтъ
на первый вопросъ. Сущность этого отвѣта знакома
изъ опыта всякому сколько нибудь вдумчивому пѣ-
дагогу. Пусть напр. учитель желаетъ довести дѣтей

до сознанія, что произведеніе какого нибудь числа
за 7 можно вычислить по частямъ: сначала умножить
это число на 5, потомъ на 2, и полученныя числа
сложить. Съ этой цѣлью онъ задастъ имъ подходящую
задачу, хотя бы такую: «Въ одной комнатѣ 5 оконъ,
въ другой 2. Въ каждое изъ этихъ оконъ стекольщикъ
вставилъ по 4 стекла. Сколько всего стеколъ вста-
вилъ онъ въ эти окна»? Задача разрабатывается съ
помощью вопросовъ такого рода: «Сколько стеколъ
вставилъ стекольщикъ въ первой комнатѣ? 4.5=20,
Сколько стеколъ вставилъ онъ во второй комнатѣ?
4.2=8. Сколько всего стеколъ вставилъ. онъ? 20+8=28.
А во сколько всего оконъ вставлялъ онъ стекла?
5+2=7. Значитъ, сколько разъ вставилъ онъ по 4
стекла? 7 разъ. Какъ же мы сосчитали 7 разъ по 4
стекла? Сосчитали такъ: 5 разъ до 4—20, 2 раза по
4—8, всего 28».
Проработавъ двѣ—три задачи въ такомъ же родѣ,,
мы добьемся того, что дѣти въ дальнѣйшихъ вычи-
сленіяхъ будутъ уже самостоятельно примѣнять дан-
ный пріемъ—вмѣсто умноженія на 7 множить число
сначала на 5, потомъ на 2, и складывать полученныя
числа. Это покажетъ, что они уже овладѣли сущностью
пріема, хотя бы не умѣли выразить его словами.
Тогда можно поставить й обобщающіе вопросъ: «Какъ
взять какое ни будь число 7 разъ по частямъ? «и по*
лучить на него отвѣтъ: «Надо взять это число сначала
5 разъ, потомъ еще 2 раза и что получится— сложить».
Какъ извѣстно, этотъ методъ принято называть
конкретно-индуктивнымъ, или методомъ цѣлесооб-

разныхъ задачъ, и сущность его въ томъ, что подле-
жащая усвоенію истина представляется вниманію
учащихся не въ отвлеченномъ видѣ, a въ выпуклой,
конкретной формѣ, на понятномъ частномъ примѣрѣ,
подобранномъ такъ, чтобы существенная сторона
вопроса сама собой бросилась учащимся въ глаза.
Такой методъ находится въ полномъ соотвѣтствіи
съ данными современной психологіи; мы можемъ
считать безспорнымъ, что отвлеченныя понятія не
существуютъ въ нашей психикѣ отдѣльно отъ кон-
кретныхъ представленій; если мы думаемъ напр.
о березѣ вообще, мы представляемъ себѣ березу
вполнѣ опредѣленнаго размѣра въ опредѣленномъ
мѣстѣ, но направляемъ наше вниманіе только на
существенные признаки этой березы, и по этой при-
чинъ представленіе объ одной опредѣленной березѣ
можетъ играть для насъ роль родового образа. Какъ
говоритъ по этому вопросу Гефдингъ въ своихъ «Очер-
кахъ психологіи», «мы имѣемъ типическія индиви-
дуальныя представленія и общія представленія только
въ томъ смыслѣ, что мы можемъ выбрать примѣры
или замѣстителей цѣлой группы воспріятіи и въ
состояніи сосредоточить вниманіе на извѣстныхъ
опредѣленныхъ частяхъ или свойствахъ, которыя
(въ болѣе или менѣе измѣненномъ видѣ) можно снова
встрѣтить во всѣхъ сходныхъ воспріятіяхъ... Искус-
ство отвлеченія основывается преимущественно на
способности сосредоточивать вниманіе указаннымъ
образомъ». И задача учителя при установленіи новымъ
понятій, правилъ или пріемовъ вычисленій въ курсѣ

математики въ томъ и состоитъ, чтобы дать учащимся
такіе типичные конкретные примѣры, въ которыхъ
на первый планъ выступали бы важные, существенные
признаки даннаго понятія, и-привлечь вниманіе
учащихся именно къ этимъ признакамъ; послѣ этого,
когда понадобится выразить словами данное понятіе
или правило, учащіеся, подъ руководствомъ наво-
дящихъ вопросовъ учителя, смогутъ это сдѣлать
безъ труда.
Вопросъ о способахъ, наилучшаго запоминанія
имѣетъ большую важность въ дѣлѣ обученія счи-
сленію: чтобы умѣть вычислять бѣгло и съ увѣ-
ренностью, мы должны твердо и безошибочно знать
такъ называемыя таблицы сложенія и умноженія';
кромѣ того, для той же цѣли бываетъ небезполез-
но помнить и нѣкоторыя соотношенія между чис-
лами первой сотни, выходящія изъ предѣловъ та-
блицы умноженія, а также составъ нѣкоторыхъ чи-
селъ первой сотни изъ сомножителей.
Въ свое время вопросъ о запоминаніи того учеб-
наго матеріала, который нужно удерживать въ па-
мяти, рѣшался весьма просто: таблицу сложенія и
умноженія твердили наизусть, равно какъ и прави-
ла дѣйствій, подлежащія усвоенію; издавна извѣст-
ны и нѣкоторые пріемы, направленные къ облегче-
нію запоминания изучаемаго (напр. таблица умноже-
нія «на пальцахъ», или правило о числѣ дней въ
мѣсяцахъ «по кулаку»). Однако уже съ 60-хъ го-
довъ прошлаго столѣтія наши лучшее методисты
отодвигаясь эти способы чисто внѣшняго усвоенія

на второй-планъ, и рекомендуютъ напр. не затвер-
живать наизусть табличку умноженія, a путемъ
постояннаго упражненія въ подходящихъ задачахъ
и въ устномъ счетѣ добиваться того, чтобы резуль-
таты умноженія въ концѣ концовъ сами собой твер-
до запечатлѣвались въ памяти учащихся. И надо
сказать, что ори въ этомъ отношеніи чутьемъ уловили
и предвосхитили тѣ выводы, къ которымъ приходитъ и
современная экспериментальная психологія:по изслѣ-
дованіямъ Эббинггауза оказывается, что на механическое
запоминаніе безсмысленнаго матеріала тратится при-
близительно въ 10 разъ болѣе труда, чѣмъ на запоми-
наніе такого же количества матеріала осмысленнаго
и сознательно воспринимаемаго; и мы можемъ опре-
деленно утверждать, что отчетливое пониманіе учеб-
наго, матеріала есть первый и необходимый шагъ
къ лучшему его запоминанію. Съ этими выводами
согласуются у данныя, приводимыя Мейманомъ въ
его «Лекціяхъ по экспериментальной педагогикѣ»
и въ era трудѣ «Экономія и техника памяти».
Слѣдуетъ еще подчеркнуть, что весь ариѳмети-
ческій матеріалъ, подлежащій въ концѣ концовъ
усвоенію на память, требуетъ длительнаго и прочнаго
запоминанія (на все время обученія и даже на всю
жизнь); а это достигается, какъ видно изъ указанныхъ
изслѣдованій Меймана, только постояннымъ упраж-
неніемъ втеченіе довольно долгаго времени, и при
условіи, что въ школѣ поддерживается постоянный
интересъ къ изучаемому предмету и хорошее само-
чувствіе учащихся.

Содѣйствуетъ лучшему запоминанию также и рит-
мичность изучаемаго матеріала. Всѣмъ намъ извѣстно,
что школьники гораздо легче и скорѣе запоминаютъ
суммы равныхъ слагаемыхъ или произведенія 5.5=25,
6.6=36, чѣмъ произведенія 6.9=54 или 7.8=56.
Въ послѣднее время Шохоръ-Троцкій предложилъ
даже цѣлую систему ритмическаго изученія таблицы
умноженія и сложенія (см._его «Методику для учи-
телей начальныхъ школъ», изд. 8-е и 9-е); но при всей
правильности его основного принципа нельзя не
отмѣтить, что ритмъ имѣетъ значеніе главнымъ об-
разомъ для учащихся слухового и двигательнаго
типа, а не зрительнаго; и кромѣ того, пріемы ритми-
ческаго запоминанія, какъ и всякіе вообще мнемо-
техническіе пріемы, умѣстны только тогда, когда
сдѣлана уже главная работа—сознательное воспрія-
тіе изучаемаго матеріала.
Наконецъ 'по вопросу о воспроизведеніи и примѣ-
неніи изученнаго можно придти къ слѣдующимъ ди-
дактическимъ выводамъ. Слово должно быть сред-
ствомъ для выраженія мысли, а не прикрытіемъ для
отсутствія мысли, какъ это нерѣдко бываетъ; поэтому
мы лишь тогда можемъ требовать отъ дѣтей воспроиз-
веденія какихъ либо познаній въ словесной формѣ,
когда имѣемъ твердую увѣренность, что дѣти уже
совершенно освоились съ даннымъ понятіемъ, пра-
виломъ или пріемомъ вычисленія на рядѣ конкрет-
ныхъ примѣровъ или цѣлесообразныхъ упражненій;
это необходимо по самому существу конкретно-ин-
дуктивнаго метода. Но разъ такая работа конкрет-

наго усвоенія какого либо вопроса уже закончена
дѣтьми, то не только можно, но и должно добиваться
отъ нихъ правильнаго и яснаго изложенія этого
вопроса въ доступной имъ формѣ; при этомъ, вопреки
часто высказываемому мнѣнію, я считаю возможнымъ
и полезнымъ, чтобы дѣти къ концу курса усвоили
и правильно употребляли важнѣйшіе математическіе
термины, какъ напр. сумма, произведеніе, числитель,
знаменатель, квадратъ, перпендикуляръ и т. д.; вѣдь
стремимся же мы къ тому, чтобы дѣти научились
вообще ясно и точно передавать свои мысли, a знаніе
этихъ математическихъ терминовъ часто позволяетъ
имъ короче и яснѣе выражаться. Иное дѣло—фор-
мальныя опредѣленія этихъ понятій; знаніе полныхъ
и исчерпывающихъ опредѣленій необходимо только
на той ступени школы, гдѣ на эти опредѣленія прихо-
дится ссылаться при доказательствахъ и логическихъ
выводахъ; a въ курсѣ начальной школы вмѣсто фор-
мальныхъ опредѣленій достаточно въ подходящихъ
случаяхъ требовать отъ учащихся объясненія смысла
употребляемаго ими слова въ доступныхъ имъ выра-
женіяхъ на конкретномъ примѣрѣ. Напр. если уча-
щійся на вопросъ, что значитъ умножить 18 на 3—
отвѣтитъ: это все равно, что сложить 18, еще 18 и
еще 18—то онъ понимаетъ смыслъ умноженія на цѣ-
лое число не хуже, чѣмъ математикъ, который можетъ
сказать: умножить одно цѣлое число на другое зна-
читъ найти сумму столькихъ слагаемыхъ, равныхъ
первому числу, сколько единицъ во второмъ числі
Наконецъ, необходимо замѣтить, что умѣнье вы

числять не совпадаетъ еще съ умѣньемъ находит!
то дѣйствіе, которое нужно выполнить для рѣшенія
данной задачи; это послѣднее умѣнье обезпечивается
только при обстоятельномъ и. реальномъ знакомствѣ
съ соотношеніями величинъ, входящихъ въ данную
задачу. А отсюда ясно, что наша школьная практика
не можетъ ограничиваться изученіемъ счёта и дѣйствій,
какъ таковыхъ; мы должны дать дѣтямъ возможность
при помощи счета и дѣйствій изучать окружающую
ихъ жизнь съ количественной стороны, и самое изу-
ченіе счета и дѣйствій должно вестись въ постоянной
связи съ тѣми числовыми и геометрическими соотно-
шеніями, которыя встрѣчаются въ жизни дѣтей и въ
окружающей ихъ обстановкѣ, и могутъ быть ими
активно.восприняты и усвоены.

ГЛАВА II.
Упрощенные пріемы вычисленій.
Если мы ставимъ себѣ цѣлью научить дѣтей созна-
тельно, быстро и изящно выполнять ариѳметическія
вычисленія, то мы не можемъ- ограничиться тѣмъ,
чтобы сообщить имъ обычные пріемы письменнаго
производства дѣйствій надъ числами. Знаніе этихъ
пріемовъ, конечно, необходимо, и даетъ возможность
во всѣхъ случаяхъ опредѣлять искомый результатъ,
но часто съ помощью очень несложныхъ соображеній
можно настолько упростить вычисленія, что отпа-
даетъ надобность въ письменномъ производствѣ дѣй-
ствія; напр. умножая 848 на 25, мы должны были бы
по обычнымъ правиламъ умножить 848 на_5, затѣмъ
на 2, причемъ подписать второе число подъ первымъ,
отступивъ влѣво на одну цифру, и сложить полу-
ченные результаты; вмѣсто этого, какъ извѣстно
намъ достаточно раздѣлить 848 на 4 и къ полученному
числу 212 приписать справа два нуля, чтобы найти
искомое произведеніе 21200. Такимъ образомъ, если бы
мы стали во всѣхъ случаяхъ дѣйствій надъ числами
примѣнять обычные пріемы письменнаго вычисленія.

то это повело бы насъ къ излишней потерѣ времени
и труда; особенно ощутительна эта напрасная зат-
рата труда въ тѣхъ случаяхъ, когда дѣти, обучившись
пріемамъ письменнаго вычисленія, чисто механически
начинаютъ примѣнять ихъ и къ небольшимъ числамъ,
вмѣсто того, чтобы вычислять результатъ въ умѣ.
Поэтому при обученіи счисленію слѣдовало бы дер-
жаться такого руководящаго принципа: во первыхъ,
не прибѣгать къ пріемамъ письменнаго вычисленія
въ тѣхъ случаяхъ, когда учащіеся могутъ произвести
его устно или, какъ говорятъ, полуписьменно (за-
писывая только данныя числа и вычисленный въ
умѣ результатъ); во-вторыхъ, отступать отъ правилъ
письменнаго вычисленія во всѣхъ тѣхъ случаяхъ,
когда это отступленіе можетъ быстрѣе привести къ
желаемой цѣли.
Что касается вопроса о томъ, до какого предѣла
слѣдуетъ доводить умѣнье учащихся выполнять ум-
ственныя вычисленія, то, конечно, трудно было бы
разрѣшить его единообразно для всѣхъ школъ и для
всѣхъ учащихся, а можно указать въ этомъ отношеніи
только необходимый минимумъ. Такимъ минимумомъ
будетъ требованіе, чтобы учащіеся могли производить
устно всѣ безъ исключенія вычисленія въ предѣлѣ
первой сотни; эти вычисленія и другія, сводящіяся
къ нимъ, очень часто встрѣчаются въ обыденныхъ
житейскихъ разсчетахъ, и школа не выполнила бы
своей задачи въ дѣлѣ обученія счисленію, если бы не
научила учащихся дѣлать въ подобныхъ случаяхъ
необходимый разсчетъ безъ бумаги и карандаша.

Конечно, если есть время й ВОЗМОЖНОСТЬ добиться
того, чтобы нѣкоторые учащіеся могли устно склады-
вать и вычитать трехзначный числа въ предѣлѣ ты-
сячи, перемножать двухзначный числа, хотя бы не
превышающія 30, или выполнять соотвѣтствующія
дѣленія, то такое расширеніе ихъ навыковъ въ устномъ
счетѣ можетъ быть только полезнымъ, но ставить
это цѣлью для всѣхъ нѣтъ возможности—что потре-
бовало бы черезчуръ большой затраты времени и
труда, и взамѣнъ того слѣдуетъ обратить вниманіе
на упрощенные пріемы дѣйствій въ нѣкоторыхъ
Устныхъ случаяхъ.
Если мы желаемъ добиться хорошихъ результа-
товъ fib устномъ счетѣ, то упражненія въ немъ должны
идти непрерывно; во время каждаго урока слѣдуетъ
посвящать на устный счетъ минутъ 5—10. Важно
обратить здѣсь вниманіе, между прочимъ, на слѣ-
дующее обстоятельство. Если учащій будетъ вести
устный счетъ только «разговорнымъ» методомъ, т.-е.
будетъ всегда только называть тѣ числа, ко-
торыя нужно напр. прибавить къ полученному ра-
нѣе результату или на которыя надо умножить по-
лученный результатъ, то при этомъ дѣти будутъ
воспринимать числа только по с л у х у, и тѣ изъ
нихъ, которыя не принадлежатъ къ слуховому типу
воспріятія (a такихъ обыкновенно большинство),
окажутся въ менѣе выгодномъ положеніи сравнительно
А остальными. Чтобы избѣжатъ такой односторон-
ности, полезно чередовать упражненія въ устномъ
счетѣ по разговорному методу съ упражненіями по

зрительному методу; для этой цѣли служатъ,
какъ извѣстно, таблицы, на которыхъ отпечатаны
крупными цифрами ряды чиселъ, обыкновенно дву-
значныхъ и одиозначныхъ (подобныя таблицы.соста-
влены напр. Шохоръ-Троцкимъ); такая таблица вѣ-
шается на классной стѣнѣ, и учитель при помощи
указки указываетъ на ней поочередно нужныя числа,
сопровождая свои указанія словами: прибавить, ум-
ножить и т. п.; чтобы при такомъ счетѣ вовлекать
въ работу всѣхъ учащихся класса, можно требовать
отъ нихъ записыванія окончательнаго результата
въ тетрадяхъ.
Необходимо обратить вниманіе учащихся на то,
что при устныхъ вычисленіяхъ мы начинаемъ дѣй-
ствіе съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ, какъ
при письменномъ производствъ дѣйствій. Напр. вы-
числяя сумму 58+26, мы считаемъ: 50 да 20—70,
8 да 6—14; 70 да 14—84, или еще лучше 58 да 20—78,
да еще 6—84; подобнымъ же образомъ разность
82—38 вычисляется такъ: 82 безъ 30—52, да еще безъ
8—44; умножая 24 на 7, вычисляемъ: 20×7=140
4×7=28; 140+28=168.
Изъ числа пріемовъ упрощенія вычисленій, ко-
торые должны быть примѣняемы какъ при устныхъ,
такъ и при письменныхъ вычисленіяхъ, можно наз-
вать, какъ наиболѣе важные, слѣдующіе.
При сложеніи и вычитаніи очень большую пользу
можетъ оказать пріемъ закругленія слагаемыхъ или
вычитаемыхъ: напр. вмѣсто 326—97 мы считаемъ такъ;
326+100=426; 426—3=423; вмѣсто 326—97 вычи-

сляемъ такимъ образомъ: 326—100=226; 226+3=229.
Объясненія при этомъ даются въ такомъ родѣ: когда
мы отъ 326 отняли 100 вмѣсто 97, то мы отняли 3 лиш-
нихъ единицы, поэтому найденное число 226 меньше
истиннаго на 3; чтобы найти истинное число, нужно
къ 226 прибавить 3.
Подобный же пріемъ закруглен ія чиселъ можетъ
быть очень полезенъ и при умноженіи и дѣленіи.
Напр. вмѣсто умноженія на 9, 19, 29 и т. д. мы мно-
жимъ данное число на 10, 20 , 30 и т. д..и изъ резуль-
тата отнимаемъ множимое: отыскивая напр. произ-
веденіе 26×19, вычисляемъ такъ: 26×20=520;
520—26= 494. Объясненіе—вродѣ предыдущаго: намъ
нужно было 26 взять 19 разъ, а мы взяли его 20 разъ;
значитъ мы взяли 26 единицъ лишній разъ, и чтобы
получить вѣрное число, надо отъ полученныхъ 520
единицъ отнять 26; находимъ 494. Подобнымъ же
образомъ закругляется и множимое: умножая 97
на 7, мы вычисляемъ такъ: 100X7=700; 3X7=21 ;
700—21=679.
При дѣленіи въ подходящихъ случаяхъ закруг-
ляемъ дѣлимое: напр. раздѣляя 594 на 6, мы дѣлимъ
вмѣсто того 600, на 6 получаемъ 100; такъ какъ мы при
этомъ дѣлили 6 лишнихъ единицъ, то на каждую
часть придется 1 лишняя единица; значитъ истинное
частное будетъ 99.
Но нередко приходится закруглять и дѣлителя,
напр. дѣля 160 на 38, мы разсуждаемъ такъ: 160—это
16 десятковъ, 1 а 38—почти 4 десятка; значитъ 38 со-
держится въ 160 приблизительно столько же разъ,

какъ 4 десятка въ 16 десяткахъ, т.-е. 4 раза. Провѣ-
ряемъ: 38×4=152,—это меньше 160 на 8; значитъ
160:38=4 съ остаткомъ 8.
Даже если мы дѣлимъ на незакруглимое число,
полезно бываетъ закруглять дѣлителя, чтобы подоб-
рать приблизительную цифру частнаго. Пусть напр,
дано раздѣлить 252 на 36. Разсуждаемъ такъ: 252—
это 25 десятковъ оъ лишнимъ, а 36 больше 3 десят-
ковъ, но меньше 4 десятковъ; 3 десятка содержатся
въ 25 десяткахъ 8 разъ, а 4 десятка—6 разъ, значитъ
36 содержится въ 252, по всей вѣроятности, отъ 6 до 8
разъ. Возьмемъ среднее число между 6 и 8,
т.-е. 7, и провѣримъ его; взявъ 7 разъ 36, находимъ
какъ разъ 252; значитъ 252:36= 7.
Замѣтимъ, что этотъ пріемъ закруглен ія постоянно
примѣняется и въ письменномъ дѣленіи; напр. дѣля
9483:29=327
78
203
0
9483 на 29, мы дѣлимъ сначала
94 на 29 или вмѣсто этого при-
близительно—9 на 3; находимъ
цифру сотенъ частнаго—3; за-
тѣмъ дѣлимъ 78 на 29, или приблизительно—8 на 3;
получаемъ цифру десятковъ 2; наконецъ дѣлимъ
203 на 29, или приблизительно 20 на 3; получаемъ 6,
но эта цифра единицъ оказывается слишкомъ малой,
и приходится взять 7 единицъ; такимъ образомъ по-
лучаемъ 9483:29=327
Далѣе, при умноженіи на 11, 21, 31.и т. д. мы
упрощаемъ дѣйствіе съ помощью умноженія по ча-
стямъ: множимъ данное число на 10, 20, 90 и т. д.
и къ результату прибавляемъ множимое. Если дѣй-

ствіе производится письменно, то и запись его можетъ
быть упрощена, именно подъ множимымъ прямо
подписываемъ его произведеніе на цифру десятковъ
множителя, отступая, какъ полагается влѣво на одно
мѣсто, напр.:
54.31
162
1674
Пріемъ умноженія на 11 въ примѣненіи къ дву-
значнымъ числамъ можетъ быть еще упрощенъ. Въ
самомъ дѣлѣ, разсмотримъ слѣдующіе примѣры умно-
женія на 11:
1) 53.11 2) 74.11
53 74
583 814
Нетрудно подмѣтить, что весь пріемъ можетъ
быть сведенъ къ такому краткому правилу: чтобы
умножить двузначное число на 11, надо найти сумму
цифръ даннаго числа, и если она не больше 9, то вста-
вить ее между цифрами даннаго числа; если же она
больше 9, то между цифрами даннаго числа вставля-
ется цифра единицъ этой суммы, а первая цифра
нашего числа увеличивается на 1.
Общеизвѣстенъ пріемъ послѣдовательнаго умно-
женія: представляемъ множителя въ видѣ произве-
денія нѣсколькихъ чиселъ и множимъ данное мно-
жимое на одно изъ этихъ чиселъ, полученный резуль-
татъ на'другое и т. д. На этомъ пріемѣ основано умно-
женіе на 4 съ помощью послѣдовательнаго удвоенія

къ нему же сводится извѣстное правило умножен!»
на число, оканчивающееся нулями: чтобы умножить
какое либо число на 600, мы множимъ его на 6, а по-
лученное число еще на 100,. приписывая къ нему
два нуля. Можно указать и другіе случаи, въ которыхъ
полезенъ данный пріемъ; напр. умножая 75 на ,12,
мы можемъ умножить 75 сначала на 4, а полученное
число 300 еще на 3, послѣ чего находимъ 900
Пріемы умноженія на 5, 25 и 125 основаны на
соединеніи умноженія съ дѣленіемъ. Чтобы умножить
число на 5, множимъ его на 10 и дѣлимъ полученное
на 2, напр. 35×5=350:2=175. Объясненіе таково:
мы должны были 35 взять 5 разъ, a вмѣсто этого
взяли его 10 разъ, значитъ полученное число 350 въ
2 раза больше истиннаго, и чтобы найти истинное
число, надо раздѣлить 350 на 2; найдемъ 175. Если
множится четное число, то удобнѣе измѣнить поря-
докъ дѣйствій; напр. умножая 36 на 5, множимъ
вмѣсто того половину 36-ти, т.-е. 18, на 10, И находимъ
180; когда учащіеся знакомы уже съ дробями, та
этотъ измѣненный порядокъ можно примѣнять во всѣхъ
случаяхъ. Подобнымъ же образомъ, желая умножить
число на 25, мы умножаемъ его на 100 и дѣлимъ по-
лученное на 4, напр. 38×25=3800: 4=950; если
множимое дѣлится на 4, то порядокъ дѣйствій полезно
измѣнить: умножая 48 на 25, мы беремъ вмѣсто того
четверть даннаго числа, т е.. 12, и множимъ ее на 100;
выходитъ 1200. И опять же, если учащіеся знаютъ
дроби, то можно примѣнять этотъ измѣненный по-
рядокъ во всѣхъ случаяхъ. Наконецъ, желая умно-

жить число на 125, мы можемъ умножить его на 1000
и раздѣлить полученное на 8, или, въ подходящихъ
случаяхъ, найти восьмую долю даннаго числа и умно-
жить ее на 1000.
Очень важенъ еще упрощенный пріемъ письмен-
наго перемноженія двузначныхъ чиселъ—такъ назы-
ваемое умноженіе «крестикомъ». Онъ состоитъ въ
слѣдующемъ.
78
×54
4212
Пусть напр. намъ нужно умножить 78
на 54. Подписываемъ данныя числа другъ
подъ другомъ и вычисляемъ единицы
произведенія; получаемъ 8×4=32, пишемъ 2 подъ
единицами, а 3 (десятка) запоминаемъ, и вычисляемъ
теперь, сразу десятки произведенія: они получатся
ю> умноженія 7 десятковъ множимаго на 4 единицы
множителя и 5 дес. множителя на 8 еД. множимаго;
вычисляемъ: 7 на 4—28,5 на 8—40; 40 да 28—68, да еще
3 дес. въ умѣ, всего 71 десятокъ; пишемъ 1 подъ де-
сятками, а 7 сотенъ запоминаемъ; вычисляемъ теперь
сотни произведенія—онѣ получатся отъ перемноже-
нія десятковъ сомножителей: 7 на 5—35, да еще 7
сотенъ въ умѣ, всего 42 сотни. Такимъ образомъ
получаемъ произведеніе 4212.
При должномъ навыкѣ этотъ пріемъ значительно
упрощаетъ перемноженіе двузначныхъ чиселъ. Можно
примѣнить его и къ трехзначнымъ числамъ, только
вычисленіе гораздо сложнѣе.
Умножимъ напр. 759 на 327.

759
×327
248193
Вычисляемъ .единицы произведенія:
9×7=63; пишемъ 3 подъ единицами,
а 6 дес. -запоминаемъ. Десятки про-
изведенія получатся отъ перемноженія десятковъ
одного сомножителя на единицы другого: 5×7=35,
2×9=18-35 да 18—53, да еще 6 дес. въ умѣ, всего
59 десятковъ; пишемъ подъ десятками 9, а 5 сотенъ
запоминаемъ.
Сотни произведенія получатся отъ умноженія
сотенъ на единицы и десятковъ на десятки: 7×7=49,
3×9=27, 5×2=10; 49 да 27 да 10—86 сотенъ, да
еще 5—91 сотня; 1 пишемъ подъ сотнями, а 9 тысячъ
запоминаемъ
Тысячи произведенія получатся отъ умноженія
сотенъ на десятки: 7×2=14, 3×5=15; 14 да 15—29
да еще 9 въ умѣ—всего 38 тысячъ; 8 пишемъ, а 3
(десятые.) запоминаемъ.
Наконецъ десятки тысячъ получатся отъ перемно-
женія сотенъ: 7×3=21, да еще 3 въ умѣ—24 десятка
тысячъ; вписываемъ ихъ на свои мѣста, и находимъ
произведенія 248193.
При обычномъ перемноженіи многозначныхъ чи-
селъ удобнѣе записывать множителя рядомъ съ мно-
жимыми а не подъ нимъ; а если при этомъ одна изъ
цифръ множителя есть 1, то запись можетъ быть еще
упрощена, какъ видно изъ слѣдующихъ примѣровъ*'
1) 324.157
+1620
2268
50868
2) 276.561
+1656
1380
154836
3) 283.512
+ 566
1415
144896

Въ первомъ примѣрѣ первая цифра множе-
теля есть 1; поэтому начинаемъ умноженіе съ вы-
шихъ разрядовъ множителя: множимъ 324
на 1 сотню, получаемъ 324 сотни и вмѣсто того, чтобы
подписывать это частичное произведеніе подъ мно-
жимыми принимаемъ запись множимаго (324) за
это частичное произведеніе помня, что оно будетъ
обозначать теперь 324 сотни. Дальше множимъ
324 на 5 десятковъ и «а 7 единицъ и полученныя
произведенія—1620 десятковъ и 2268 единицъ—под-
писываемъ подъ первой записью такъ, чтобы единицы
одинаковыхъ разрядовъ стояли другъ подъ другомъ;
сложивъ вес, получаемъ 50868.
Во второмъ примѣрѣ послѣдняя цифра
множителя есть 1; начинаемъ умноженіе съ низ-
щихъ разрядовъ, т. е. съ единицъ, и опять
принимаемъ запись множимаго (276) за первое частич-
ное произведеніе 276 на 1. Дальше продолжаемъ
вычисленіе, какъ обычно, пока не найдемъ произве-
деніе 154836, .
Наконецъ въ третьемъ примѣрѣ цифра 1 стоитъ
посреди цифръ множителя (и обозначаетъ де-
сятки);множимъ сначала 283 на 1 десятокъ и считаемъ,
что запись множимаго (283) будетъ обозначать нами
полученные 283 десятка; потомъ множимъ 283 на
2 единицы и на 5 сотенъ и подписываемъ эти частич-
ныя произведенія такъ, чтобы цифры одинаковыхъ
разрядовъ стояли въ одномъ столбцѣ; послѣ сложе-
нія получаемъ окончательно 1,44896.
При дѣленіи можетъ оказать пользу пріемъ оп-

степеннаго дѣленія: именно, если дѣлитель предста-
вляетъ произведеніе двухъ или нѣсколькихъ чиселъ,
то мы можемъ дѣлить данное дѣлимое сперва на одно
изъ этихъ чиселъ, потомъ полученный результатъ
на другое и т. д. На этомъ сображеніи основано напр.
дѣленіе на 4 съ помощью послѣдовательнаго дѣленія
пополамъ, а также дѣленіе на число, оканчивающееся
нулями: чтобы раздѣлить напр. 240Ѳ на 600, мы дѣ-
лимъ сперва 2400 на 10fr (отбрасывая нули), a затѣмъ
полученное число 24 еще на 6, и находимъ 4 (впро-
чемъ, какъ извѣстно, отбрасываніе одинаковаго числа
нулей въ дѣлимомъ и дѣлителѣ можно объяснить
и иначе, исходя изъ того положенія, чт« частное
не мѣняется отъ уменьшенія дѣлимаго и дѣлителя
въ одинаковое число разъ). Можно подыскать и дру-
гіе случаи, когда полезно послѣдовательное дѣленіе:
напр. вмѣсто того, чтобы дѣлить 516 на 12, удобно
раздѣлить 516 на 3 и полученное частное 172 уже
на 4; найдемъ 43.
Чтобы раздѣлить число на 5, 25 или 125, приго-
денъ пріемъ, обратный тому, который примѣнялся
при умноженіи на эти числа; именно, чтобы раздѣ-
лить на 5, мы множимъ данное число на 2 и дѣлимъ
полученное на 10, напр. 2385:5=4770:10=477; чтобы
раздѣлить число на 25, множимъ это число на 4; а полу-
ченное дѣлимъ на 100, напр. 3475:25=13900:100=139,
и т. п?(объяснять этотъ пріемъ проще всего, опираясь
на неизмѣняемость частнаго при увеличеніи дѣлимаго
и дѣлителя въ одинаковое число разъ).
Теперь я остановлюсь еще на двухъ дѣйствіяхъ»

которыя обычно не проходятся въ начальномъ курсѣ
ариѳметики, но часто попадаются въ простѣйшихъ
задачахъ геометрическаго содержанія—при вычисле-
ній площади квадрата и стороны квадрата или прямо-
угольна го треугольника. Это возвышеніе чиселъ въ
квадратъ и извлеченіе изъ нихъ квадратнаго корня
(въ предложенной выше примѣрной программѣ эти
вопросы отнесены къ пятому году обученія, гдѣ та-
ковой имѣется; но если есть время и возможность*
то небесполезно коснуться этихъ вопросовъ и въ
четырехлѣтней школѣ въ послѣдній годъ обученія).
Возвысить число въ квадратъ—значитъ, какъ из-
вѣстно, умножить это число на самого себя, и это
умноженіе можетъ выполняться и непосредственно;
но въ немъ возможны, какъ увидимъ,-значительныя
упрощенія.
Пусть напр. намъ нужно возвысить въ квадратъ
число 57. Если мы будемъ умножать
57 на 57 «крестикомъ», то вычисленіе
57
пойдетъ такъ:
×57
3249
Перемножаемъ сперва единицы: 7×7=49; 9 пи-
шемъ; а 4 десятка замѣчаемъ.
Потомъ вычисляемъ десятки; для этого придется
перемножить 5×7 и еще 5×7 и полученное сложить;
будетъ 70, да еще 4 въ умѣ, всего 74 десятка; пишемъ
4, а 7 сотенъ замѣчаемъ.
Наконецъ сотни получатся отъ перемноженія де-
сятковъ: 5×5=25, да еще 7 въ умѣ, всего 32 сотни.
Пишемъ это на своемъ мѣстѣ и получаемъ оконча-
тельно 3249.

Нетрудно замѣтить слѣдующее правило: мы бе-
ремъ сначала квадратъ единицъ даннаго числа (7×7),
и получаемъ единицы; потомъ перемножаемъ цифры
даннаго числа между собой (5×7) и полученное
число удваиваемъ—это будутъ десятки результата;
наконецъ беремъ квадратъ цифры десятковъ данного
числа (5×5)—и это будутъ сотни результата. По
этому, правилу очень просто вычисляется квадратъ
всякаго двузначнаго числа, напр. 68 2.
68 2
4624
Вычисляемъ такъ: 8 2 =64, 4 пишемъ,
6 въ умѣ ; дальше 6×8=48, да вдвое—96,
да еще 6 въ умѣ—102; это будутъ десятки; пишемъ
2 подъ десятками, а 10 (сотенъ) запоминаемъ; наконецъ
6 2=36, да еще 10 въ умѣ-46; это сотни, пишемъ ихъ
на своемъ мѣстѣ и имѣемъ 4624.
Можно подобнымъ же способомъ возвысить въ
квадратъ и трехзначное число, если разсматривать
его, какъ состоящее изъ десятковъ и единицъ, напр.:
138 2
19044
Вычисляемъ единицы: 8 2=64; 4 пи-
шемъ, 6 въ умѣ; затѣмъ десятки:
13×8=104, да вдвое—208, да 6 въ умѣ—214; 4 пи-
шемъ, 21 запоминаемъ; наконецъ сотни: 13 2=
13×13=169, да 21 въ умѣ—190; всего 19044.
Еще проще возвышаются въ квадратъ числа,
у которыхъ цифра единицъ есть 5. .Пусть напр. намъ
85 2
7225
нужно возвысить въ квадратъ числе
85; начнемъ вычисленіе съ высшихъ
разрядовъ: мы должны тогда перемножить 8 десятковъ
на 8 десятковъ, потомъ два раза 8 десятковъ на 5 еди-
ницъ, или вмѣсто этого 8 десятомъ на 1 десятокъ

всего такимъ образомъ намъ придется умножить
8 десятковъ на 9 десятковъ—получимъ 72 сотни;
остается еще перемножить единицы: 5×5=25, и по-
лучаемъ окончательно 7225. Нетрудно замѣтить, какъ
сразу получить это число: надо взять число десятковъ
(8),.умножить его на слѣдующее число (9) и къ полу-
ченному произведенію (72) приписать 25. Замѣтивъ
это правило, мы можемъ въ другихъ подобныхъ
случаяхъ писать результатъ сразу; такъ напр.
45 2=2025, 105 2=11025 и т. д.
Подобное же правило примѣнимо и къ возвышенію
въ квадратъ цѣлаго числа съ дробью 1/2; напр. воз-
вышая 7 1/2 въ квадратъ, мы множимъ 7 на слѣдующее
число 8 и къ произведенію 56 прибавляемъ 1/4; полу-
чаемъ 56 1/4. Объясняется этотъ пріемъ такъ же: при
умноженіи 7 1/2 на 7 1/2 мы должны умножить 7×7,
потомъ два раза 7 на 1/2, или вмѣсто того 7×1 ; вмѣстѣ
получается 7×8; остается еще прибавить 1/2×1/2,
т.-е. 1/4.
Для извлеченія квадратнаго корня существуютъ
общіе пріемы, излагаемые въ алгебрѣ; объясненіе
ихъ довольно сложно и для учащихся начальной
школы мало доступно. Но можно указать простой
и вполнѣ пригодный пріемъ для извлеченія квад-
ратныхъ корней съ помощью дѣленія.
Пусть напр. намъ нужно извлечь квадратный
корень изъ 4489. Это значитъ—найти число, которое
при умноженіи на самого себя давало бы 4489. Оче-
видно искомое число должно быть двузначнымъ
(т.-е. состоять изъ десятковъ и единицъ), такъ какъ

только двузначное число при умноженія на самого
себя можетъ дать четырехзначное число 4489. По-
стараемся сообразить, сколько въ искомомъ корнѣ
десятковъ. Десятки корня при умноженіи на самихъ
себя даютъ сотни, a сотенъ въ нашемъ числѣ 44; зна-
читъ мы должны подобрать число, которое при умно-
женіи на самого себя давало бы 44, или около этого.
Такое число есть 6 (потому что 6 2=36, а 7 2=49);
значитъ въ нашемъ корнѣ 6 десятковъ и еще нѣсколько
единицъ. Такимъ образомъ нашъ корень содержится
между 60 и 70; посмотримъ, не будетъ ли онъ равенъ
среднему между ними числу, т.-е. 65. Для про-
вѣрки раздѣлимъ 4489 на 65; если наше предполо-
женіе вѣрно, то мы должны получить въ частномъ
тоже 65.
4489:65=69 (ост. 4)
—390
589
—585
8
Мы получили въ част-
номъ 69 и въ остаткѣ 4;
значитъ 65 не будетъ ис-
комымъ корнемъ; но мы
можемъ показать, что ко-
рень долженъ лежать между 65 и 69. Въ самомъ дѣлѣ,
дѣлимое (4489) равно дѣлителю (65), умноженному
на частное (69), плюсъ остатокъ (4), или:
4489=65. 69+4
Если бы искомой корень былъ менѣе 65, то будучи
умноженъ на самого себя, онъ далъ бы менѣе, чѣмъ
65.65, а это менѣе 4489; если же предположимъ, что
искомый корень болѣе 69, то квадратъ его долженъ
быть болѣе, чѣмъ 69.69, т.-е. болѣе 4489. Значитъ
искомый корень содержится между 65 и 69; посмотримъ

опять, не будетъ ли онъ равенъ среднему между
ними числу, т.-е. 67. Для провѣрки раздѣлимъ 4489
на 67; получаемъ въ частномъ
ровно 67; значитъ 67 есть та-
кое число, которое при умноже-
ніи на самого себя даетъ 4489,
т.-е. оно и есть искомый ко-
рень. Подобнымъ же образомъ можно разсуждалъ
«въ другихъ случаяхъ; и данный пріемъ пригоденъ
для извлеченія корня не только точнаго, но и при-
ближеннаго.
Для упрощенія вычисленій весьма полезно знать
еще и такое соотношеніе: если сумму двухъ чиселъ
умножить на ихъ разность, то получается разность
квадратовъ этихъ чиселъ. Это свойство доказывается
въ" алгебрѣ весьма просто съ помощью буквенной
формулы; но можно выяснить его учащимся и не
прибѣгая къ буквамъ. Пусть напр. намъ нужно
умножить 38 на 42. Мы выполняемъ это такъ: мно-
жимъ 30 сначала на 40, потомъ на 2, и полученныя
вдела складываемъ. Но чтобы умножить 38 на 40,
мы можемъ опять же умножить сначала 40.40, потомъ
2.40, и полученныя' числа вычесть; чтобы умножить
38 на 2, мы также умножимъ 40.2 и 2.2 и полученныя
числа вычтемъ; потомъ результатъ второго вычисле-
нія нужно будетъ прибавить къ первому. Запишемъ
Теперь по порядку всѣ вычисленія:
(40.40—2,40)+(40.2—2.2)
или : 40.40—2.40 +40.2—2.2

Теперь видно, что среднія два дѣйствія уничтожаютъ
другъ друга, и полученный результатъ таковъ:
40.40—2.2
Итакъ видимъ, что разность 40—2, будучи умно-
жена на сумму 40+2, даетъ въ результата разность
квадратовъ тѣхъ же чиселъ: 40.40—2.2, и вычисляемъ:
38.42=40 2—2 2=1600—4=== 1596. Проведя такое раз-
сужденіе на нѣсколькихъ примѣрахъ, учащіеся вскорѣ
смогутъ уже прямо вычислять такія, произведенія:
45Х55=( 50—5).( 50+5)= 502—52= 2500—25=2475,
96. Ю4=(100—4).(100+4)= 1002—42= 10000—16=9984
и т. д.
Наоборотъ, иногда бываетъ удобно замѣнить вы-
численіе разности квадратовъ двухъ чиселъ произве-
деніемъ ихъ суммы на разность; это бываетъ тогда,
когда данныя числа мало отличаются другъ #тъ
друга, напр.
129 2—126 2=(129+126).(129—126)=255.3=765
Если берется разность квадратовъ двухъ послѣ-
довательныхъ чиселъ, то легко видѣть, что резуль-
татъ равенъ суммѣ данныхъ чиселъ, напр.
61 2-60 2=(61+60).(61—60)=61+60=121.
Въ заключеніе укажу еще на упрощенные спо-
собы вычисленія нѣкоторыхъ замѣчательныхъ суммъ,
встрѣчающихся въ практическихъ задачахъ, и обна-
руживающихъ интересныя свойства чиселъ.
Пусть напр дана задача: «Журавли летаютъ обык-
новенно клиномъ; впереди летитъ одинъ журавль,
за нимъ два» далѣе три и т. д. Сколько журавлей

въ стаѣ, если они летятъ такимъ образомъ въ 10
рядовъ»?
Въ этой задачѣ приходится найти сумму чиселъ
натуральнаго ряда: 1+2+3+...+10. Чтобы выяснить
упрощенный способъ вычисленія этой суммы, на-
пишемъ рядъ данныхъ чиселъ отъ 1 до 10, a подъ
димъ рядъ тѣхь же чиселъ, но въ обратномъ порядкѣ;
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
10,9,8,7,6,5,4,3,2, 1.
Если мы теперь сложимъ каждыя два числа,
стоящія другъ подъ другомъ, то будемъ каждый разъ
получать 11. Всѣхъ суммъ, такимъ образомъ найден-
ныхъ, будетъ 10; слѣд. сумма всѣхъ чиселъ, написан-
ныхъ въ обѣихъ строкахъ, равна ПО; а сумма чиселъ
одной строки будетъ вдвое менѣе, т.-е. 55.
Легко замѣтить правило: чтобы сложить числа
натуральнаго ряда, нужно взять число слагаемыхъ
(10), умножить его на слѣдующее число (11), и полу-
ченное раздѣлить пополамъ.
Правило это можно представить наглядно. Соста-
вимъ фигуру изъ квад-
ратиковъ вродѣ изоб-
раженной на черт. 1
съ лѣвой стороны: въ
верхнемъ ея ряду
одинъ квадратикъ, въ
слѣдующемъ два, за-
тѣмъ три и т. д. По-
томъ приставимъ къ
ней рядомъ точно
Черт. I.

такую же фигуру изъ квадратиковъ, повернувъ ее ниж-
нимъ кон домъ наверхъ; мы получимъ тогда прямоуголь-
никъ. Ясно, что число квадратиковъ въ каждой изъ
нашихъ фигуръ есть сумма чиселъ натуральнаго
ряда: 1+2+3+... и т. д.; прямоугольникъ же содер-
житъ столько полосъ, сколько мы взяли слагаемыхъ
въ натуральномъ ряду, а квадратиковъ въ каждой
полосѣ—однимъ больше. Значитъ мы найдемъ число
квадратиковъ всего прямоугольника, если умножимъ
число всѣхъ слагаемыхъ на слѣдующее за нимъ число.;
a въ нашей фигурѣ ихъ помѣщается вдвое меньше.
На нашемъ чертежѣ фигура" изображаетъ сумму
6 чиселъ натуральнаго ряда, и число квадратиковъ
въ ней
6.7 т.-е. 21.
2
Зная это, мы легко сможемъ опредѣлить и сумму
ряда четныхъ чиселъ:
2,4,6,8,10,...
Такъ какъ каждое число этого ряда вдвое больше
соотвѣтствующаго числа натуральнаго ряда
1,2,3,4,5,...
то 8 сумма чиселъ четна го ряда должна быть вдвое
болѣе суммы чиселъ натуральнаго ряда, т.-е. полу-
чается отъ умноженія числа слагаемыхъ на слѣдую-
щее за нимъ число. Напр» сумма первыхъ 20 четныхъ
чиселъ—20.21=420.
Нетрудно, конечно, опредѣлить и сумму таком
ряда чиселъ:
3,6,9,12,15,..

>всѣ числа этого ряда втрое болѣе соотвѣтствую-
щихъ чиселъ натуральнаго ряда; поэтому намъ до-
статочно будетъ найти сумму соотвѣтственнаго числа
членовъ натуральнаго ряда и увеличить ее втрое.
Очень интересна сумма ряда нечетных* чиселъ:
1,3,5,7,9,...
Если мы будемъ складывать подрядъ написанныя
числа, то найдемъ
1+3= 4=2*,
1+3+5= 9=32,
1+3+5+?=*Ц5=42,
1+3+5+7+9=25= 52,
т.-е. сумма первыхъ двухъ нечетныхъ чиселъ=22,
сумма трехъ нечетныхъ чиселъ=3 2, и т. д.; вообще
сумма любого числа первыхъ нечетныхъ чиселъ равна
квадрату ихъ числа.
Это замѣчательное свой-
ство ряда нечетныхъ чиселъ
можно сдѣлать нагляднымъ
при помощи фигуры, изоб-
раженной на черт. 2. Какъ
видно, ока составлена такъ:
берется одинъ квадратикъ,
къ нему приставляется фи-
гура изъ трехъ квадрати-
ковъ, затѣмъ фигура изъ
пяти квадратиковъ и т. д.;
Черт. 2.
I очевидно, что всякій разъ изъ этихъ фигуръ
образуется квадратъ, содержащій столько клѣтокъ,

сколько получится отъ возведенія въ квадратъ числа
всѣхъ слагаемыхъ.
Нетрудно также найти сумму любого числа чле-
новъ ариѳметической прогрессіи, т.-е. такого ряда
чиселъ, въ которомъ каждое слѣдующее получается
изъ предыдущаго прибавленіемъ (или отниманіемъ)
одного и того же числа.
Возьмемъ напр. слѣдующій рядъ изъ семи чиселъ:
2,5,8,11,14,17,20
Подпишемъ подъ нимъ тѣ же числа въ обратномъ
порядкѣ:
20,17,14,11,8,5,2
Если теперь сложимъ каждыя два числа, стоящія
другъ подъ другомъ, то получимъ каждый разъ 22,
т.-е. сумму крайнихъ чиселъ (20 и 2); и эта сумма
будетъ повторяться столько разъ, сколько всѣхъ чи-
селъ въ каждой строкѣ, т.-е. 7 разъ. Значитъ сумма
всѣхъ чиселъ обѣихъ строкъ—22.7, а сумма всѣхъ
чиселъ данной намъ строга вдвое меньше, т.-е. равна
22.7 или 77. Легко замѣтить и общее правило: сумма
чиселъ, возрастающихъ или убывающихъ на одинако-
вое число единицъ (сумма членовъ ариѳметической
прогрессіи) равна половинѣ суммы крайнихъ чиселъ,
умноженной на число ихъ.
Приведу теперь пару задачъ изъ числа тѣхъ,
въ которыхъ приходится складывать числа по указан-
нымъ здѣсь правиламъ.
1) Рабочіе нанялись рыть колодецъ на такихъ
условіяхъ, чтобы за первый аршинъ глубины имъ

было заплачено 40 коп. а за каждый слѣдующій на
25 коп. дороже, чѣмъ за предыдущій. Сколько нужно
имъ заплатить, если колодецъ будетъ имѣть 9 арш.
глубины?
Опредѣляемъ сперва сколько они получатъ за
послѣдній аршинъ; для этого нужно къ 40 коп. при-
бавить 8 разъ по 25 коп., т.-е. 2 рубля; получимъ
2 р. 40 коп. Теперь искомая сумма вычисляется такъ:
складываемъ крайнія числа: 40 к. и 2 р. 40 к.; ихъ
сумму (2 р. 80 к.) дѣлимъ пополамъ, и найденно:
число 1 р. 40 к. множимъ на число аршинъ (9); имѣемъ
12 р. 60 коп.
2) Если камень падаетъ на землю, то онъ въ первую
секунду пролегаетъ 16,1 фута, а въ каждую слѣдую-
щую на 32,2 фута больше, чѣмъ въ предыдущую. Съ
какой высоты нужно бросить камень, чтобы онъ упалъ
на землю черезъ 10 секундъ?
Напишемъ рядъ чиселъ, выражающихъ, сколько
футовъ пролетитъ камень за первую, вторую, третью
и т. д. секунду своего паденія:
16,1; 48,3; 80,5; 112,7;...
Видимъ, что эти числа получаются отъ умноженія
чиселъ нечетнаго ряда: 1, 3, 5, 7... на 16,1; слѣд.
искомая высота будетъ равна суммѣ 10 чиселъ нечет-
наго ряда, умноженной на 16,1; а такъ какъ сумма
10 чиселъ нечетнаго ряда равна 10, или 100, то
искомая высота = 16,1. 100, или 1610 футамъ.

ГЛАВА III.
Какъ облегчить учащимся рѣшеніе задачъ.
Педагогическая практика на каждомъ шагу даетъ
намъ почувствовать, что умѣнье совершать дѣйствія
надъ числами .отнюдь не обезпечиваетъ учащимся
навыка въ рѣшеніи задачъ: ученикъ можетъ хорошо
знать, какъ выполнить то или иное дѣйствіе, и можетъ
затрудняться въ томъ, какое - именно дѣйствіе онъ
долженъ совершить въ задачѣ, такъ какъ для него
можетъ быть невполнѣ ясна зависимость между ве-
личинами, входящими въ задачу. Всѣмъ извѣстно,
какъ часто дѣти пытаются дѣлать сложеніе въ тѣхъ
случаяхъ, когда въ задачѣ сказано: въ 3 раза
больше, и умноженіе въ тѣхъ случаяхъ, когда
дано: на 3 больше; изъ своей практики я знаю
случаи, когда дѣти, желая узнать стоимость куплен-
наго товара, складывали стоимость одного
фунта съ числомъ фунтовъ всего товара. Для того,
чтобы дѣти. могли справиться съ задачей, необходимо
прежде всего, чтобы они совершенно ясно предста-
вляли себѣ соотношенія между тѣми величинами,
о которыхъ идетъ рѣчь; поэтому въ началѣ обученія

слѣдуеть задавать только такія задачи, данныя
которыхъ взяты изъ окружающей дѣтей обстановки
и входятъ въ кругъ ихъ интересовъ. Напр. врядъ ли
цѣлесообразно задавать въ сельской школѣ та-
кія задачи: «Сестра пришила 1 арш. 4 вершк. резинки къ
своей шляпѣ и къ шляпѣ матери. Сколько вершковъ
резинки ушло на шляпу матери, если къ своей шляпѣ
она пришила 9 вершковъ»?—«Изъ 2 ф. 4 лотовъ га-
руса вышло 4 пары гамашъ. Сколько гаруса пойдетъ
на 5 паръ такихъ гамашъ»? Съ другой стороны город-
скія дѣти съ трудомъ разберутся въ задачахъ
такого рода: «крестьянинъ согнулъ 3 вязовыхъ дуги
и 2 ветловыхъ. Сколько всего дугъ согнувъ онъ»?—
сНа лугу было сметано нѣсколько стоговѣ сѣна; когда
б стоговъ увезли, то на лугу осталось 2 стога. Сколь-
ко стоговъ сѣна было сметано на лугу»? — Въ
виду этого, нельзя не согласиться съ мыслью, что
подборъ задачъ для дѣтей, обучающихся въ городскихъ
школахъ, долженъ быть отличенъ отъ того, какой
предлагается въ сельскихъ школахъ; въ послѣдніе
годы появились даже особые задачники для город-
скихъ школъ, и эту попытку слѣдуетъ признать
вполнѣ цѣлесообразной.
Но съ другой стороны, нельзя ограничиваться
при обученіи только тѣми задачами, данныя кото-
рыхъ знакомы дѣтямъ по ихъ дошкольнымъ и домаш-
нимъ наблюденіемъ; это слишкомъ съуживало бы
дѣтскій кругозоръ. Поэтому выходъ только въ одномъ:
если есть основаніе предполагать, что у дѣтей нѣтъ
еще должныхъ представленій о величинахъ, входя-

щихъ въ данную задачу, то прежде, чѣмъ приступить
къ ея рѣшенію, нужно постараться создать эти необ-
ходимыя представленія въ дѣтскомъ умѣ.
Пусть напр. рѣшается задача: «Разстояніе между
двумя деревнями 35 верстъ. Изъ первой деревни
вышелъ во вторую пѣшеходъ; въ каждый часъ онъ
проходитъ 4 версты. Въ это самое время навстрѣчу
ему изъ второй деревни вышелъ другой пѣшеходъ,
который проходитъ въ каждый часъ по 3 версты.
Черезъ сколько часовъ они встрѣтятся»?—Какъ из-
вѣстно, при рѣшеніи подобныхъ задачъ дѣти затруд-
няются главнымъ образомъ тѣмъ обстоятельствомъ,
что не могутъ себѣ ясно представить соотношенія
между временемъ движенія и разстояніемъ, раздѣ-
ляющимъ пѣшеходовъ; даже если задать предваритель-
ную задачу съ вопросомъ, насколько уменьшается
въ каждый часъ разстояніе между пѣшеходами, то,
это еще не всегда наводитъ дѣтей на мысль, что до
встрѣчи пройдетъ столько часовъ, сколько разъ
сумма ихъ часовыхъ скоростей (7 верстъ) содержится
во всемъ разстояніи.
Поэтому для выясненія сути дѣла цѣлесообразнѣе
всего сдѣлаетъ такъ, чтобы учащіеся могли собствен-
ными глазами увидѣть уменьшеніе разстоянія
со временемъ, подобное тому, которое имѣетъ мѣсто
въ данной задачѣ. Пусть напр. учитель вызоветъ
одного ученика и велитъ ему отмѣрить вдоль стѣны
классной комнаты разстояніе въ 35 какихъ нибудь
произвольныхъ мѣръ, напр. четвертей аршина (это
можно отмѣрить ПРЯМО рукой, такъ какъ разстояніе

между концами вытянутыхъ, пальцевъ руки—у взрос-
лыхъ перваго и второго, а у дѣтей—перваго и пятаго—
приблизительно равно четверти аршина); начало и ко-
нецъ разстоянія должны быть отмѣчены какими нибуДь
замѣтными мѣтками. Затѣмъ учитель вызываетъ еще
двухъ учениковъ и велитъ имъ помѣститься по кон-
цамъ отмѣреннаго разстоянія, и изображать пѣшехо-
довъ, о которыхъ идетъ рѣчь въ задачѣ; отмѣряю-
щему же ученику велитъ отмѣтить разстояніе въ 4
«четверти», считая отъ перваго изъ «пѣшеходовЪ»
и 3 «четверти», считая отъ второго; послѣ этого, па
данному учителемъ знаку ученики—«пѣшеходы» пе-
редвигаются навстрѣчу другъ другу на указанныя
разстоянія (слѣдуетъ, конечно, чтобы они одновре-
менно двинулись другъ другу навстрѣчу и' одновре-
менно остановились въ указанныхъ имъ мѣстахъ).
Теперь можно задать классу вопросы: «Сколько
верстъ было между пѣшеходами въ началѣ, при вы-
ходѣ»?—«А на сколько уменьшилось это разстояніе
за одинъ часъ»?—«Сколько же верстъ будетъ между
ними черезъ одинъ часъ»? «Затѣмъ отмѣряющій уче-
никъ еще разъ отсчитываетъ 4 «четверти» впередъ
отъ перваго «пѣшехода» и 3 «четверти» отъ второго
a «пѣшеходы» по знаку учителя снова передвигаются
на указанныя имъ мѣста, выполняя свои передвиженій
одновременно, какъ и въ первый разъ. Классу снова
задаются вопросы: «Сколько" верстъ было между пѣ-
шеходами черезъ одинъ часъ»?—«Насколько умень-
шилось это разстояніе за второй часъ»?—«Сколько же
верстъ останется между ними черезъ два часа»? По-

добное передвиженіе можно повторять и дальше;
но какъ только ученики замѣтили, что разстояніе
между пѣшеходами уменьшается въ каждый часъ
на 7 верстъ, они смогутъ сообразить, сколько разъ
можно отнимать по 7 верстъ отъ всего разстоянія,
и слѣдовательно, сколько часовъ понадобится пѣше
ходамъ идти до встрѣчи..
Небезполезно, если учащіеся будутъ одновременно
зарисовывать ходъ рѣшенія въ своихъ тетрадяхъ.
При этомъ нѣтъ надобности, чтобы рисунокъ былъ
непремѣнно полнымъ; онъ можетъ быть»и схематич-
нымъ—достаточно напр. изобразить дорогу прямой
линіей, пѣшехода—вертикальной чертой и т. д.
При такомъ способа разработки вопроса учащіеся
пріобрѣтутъ необходимыя свѣдѣнія о томъ процессѣ
измѣненія, который описывается въ задачѣ, и при-
томъ воспримутъ ихъ на основаніи личнаго опыта,
а не только со словъ учителя. Все это обезпечиваетъ
наибольшую возможность сознательнаго усвоенія
дѣла, и можно тогда разсчитывать, что дальнѣйшія
задачи подобнаго рода будутъ разрѣшаться вполнѣ
успѣшно.
Подобнымъ образомъ, если нужно рѣшить задачу:
«Палка длиной 4 арш. отбрасываетъ тѣнь въ 6 арш.;
въ это самое время колокольня отбрасываетъ тѣнь
въ 13 саженъ; найти высоту колокольни»—то прежде
всего необходимо удостовериться, знаютъ ли уча-
щіеся, что тѣнь отъ колокольни во столько же разъ
длиннѣе (или короче) колокольни, во сколько разъ
тѣнь отъ палки длиннѣе (или короче) самой палки

Если они, какъ обыкновенно бываетъ, не знакомы
съ этимъ закономъ, то нужно въ подходящій солнеч-
ный день на самомъ дѣлѣ измѣрить съ ними длину
нѣсколькихъ вертикальныя предметовъ и ихъ тѣ-
ней, и заставить ихъ на опытѣ убѣдиться въ указа-
ной пропорціональности. Точно также и такія зави-
симости, какъ пропорціональность между количе-
ствомъ воды, песку или иного вещества и вѣсомъ
этихъ веществъ, между количествомъ товара и стои-
мостью товара—могутъ быть усвоены и провѣрены
дѣтьми при помощи подобныхъ же опытовъ, къ кото-
рымъ по возможности должны привлекаться всѣ
учащіеся класса.
Однимъ изъ средствъ сдѣлать обученіе счисленію
болѣе нагляднымъ іл болѣе интереснымъ для дѣтей
является также примѣненіе картинокъ для счета,
рѣшенія и составленія задачъ. Этотъ пріемъ сдѣлался
въ послѣдніе годы особенно моднымъ; привилось
немало иллюстрированныхъ задачниковъ для началь-
наго обученія счисленію, a въ нѣкоторыхъ изъ нихъ
первыя страницы состоятъ сплошь изъ однѣхъ карти-
нокъ дат-численныхъ примѣровъ на различныя дѣй-
ствія. Небезполезно поэтому поставить себѣ вопросъ,
какую роль играютъ иллюстраціи при обученіи счи-
сленію, и въ какой мѣрѣ онѣ должны быть въ немъ
примѣняемы.
Прежде всего замѣчу, что при помощи картинки
мы можемъ получить понятіе только о той или иной
группѣ предметовъ, существующихъ въ простран-
ствѣ, но никакая картинка не можетъ.передать по*

слѣдовательности явленій, совершающихся другъ за
другомъ во времени. Поэтому ясно, что картинка
можетъ служить пособіемъ для упражненія въ сосчи-
тываніи предметовъ, на ней изображенныхъ, въ про-
изводствѣ сложенія и умноженія: если напр. на кар-
тинкѣ изображены семь птицъ, сидящихъ на одной
вѣткѣ дерева, и три птицы, сидящія на другой вѣткѣ,
то по поводу этой картинки цѣлесообразно задать
вопросы: «сосчитайте, сколько всего птицъ сидитъ на
деревѣ»,—или: «на одной вѣткѣ сидитъ семь птицъ,
на другой три; сколько всего птицъ на деревѣ»?
Точно также, если изображены четыре пары птицъ,
сидящихъ на вѣткахъ дерева, то по поводу этой кар-
тинки умѣстно составить задачу: «на каждой изъ
четырехъ вѣтокъ дерева сидитъ па двѣ птицы; скоЛько
всего птицъ на деревѣ»? Разумѣется, при этомъ
нужно, чтобы иллюстраціи боли выполнены безу-
коризненно, и чтобы птицы были болѣе или менѣе
одинаковой формы и величины—это облегчаетъ счетъ;
при иллюстраціи задачи на умноженіе важно, чтобы
каждая пара птицъ или вообще каждая изъ равныхъ
группъ предметовъ рѣзко отдѣлялась отъ другихъ.
Кромѣ того, слѣдуетъ вообще признать, что счетъ
предметовъ по картинкамъ умѣстенъ только какъ
дополненіе къ счету реальныхъ предметовъ; конечно,
цѣлесообразнѣе считать дѣйствительные орѣхи или
перья, чѣмъ нарисованные, потому что при;счетѣ
дѣйствительныхъ предметовъ учащіеся воспринимаютъ
и зрительный, и осязательныя, и мускульный впе-
чатлѣнія, а при счетѣ по картинкѣ только зритель-

ныя. Поэтому умѣстно изобразить на счетныхъ кар-
тинкахъ напр. животныхъ, какіе нибудь крупные
плоды или вообще предметы, которые нельзя имѣть
въ классѣ, но едва ли целесообразно изображать
палочки, пальцы, очки игральныхъ картъ и вообще
все то, что можно считать <<на самомъ дѣлѣ».
Если такимъ образомъ можно признать въ извѣ-
стной мѣрѣ полезнымъ употребленіе картинокъ для
иллюстраціи счета и прямыхъ дѣйствій—сложенія
и умноженія, то не такъ просто обстоитъ дѣло съ об-
ратными дѣйствіями—вычитаніемъ и дѣленіемъ. Дѣло
въ томъ, что мы не можемъ изобразить на одной и той же
картинкѣ два или нѣсколько моментовъ, a тѣмъ бо-
лѣе цѣлый процессъ дѣйствія; если напр. дается
задача:«на деревѣ висѣло 10 групп ; Зизъ нихъ упали;
сколько грушъ осталось на деревѣ»?—то на
картинкѣ невозможно изобразить десять грушъ
висящими на деревѣ и въ то же время три изъ нихъ
лежащими на землѣ; а если нарисовать, какъ это
дѣлается, семь грушъ висящими на деревѣ и три
груши лежащими на землѣ], то ученикъ, который
разсуждаетъ самостоятельно, а не по указкѣ учителя,
составитъ по этой картинкѣ задачу на сложеніе:
«7 грушъ висятъ на деревѣ, а 3 лежатъ на землѣ;
сколько всего грушъ? «Для иллюстраціи же задачи
на вычитаніе трехъ грушъ изъ десяти было бы не-
обходимо по крайней мѣрѣ двѣ картинки: на одной
нужно было бы изобразить 10 грушъ висящими на
деревѣ, а на другой—7 изъ нихъ на прежнихъ мѣстахъ
на деревѣ и 3 упавшими на землю. И вообще, для

ïoro, чтобы изобразить процессъ дѣйствія надъ вели-
чинами или группами предметовъ, нужна не картинка,
а кинематографъ, и только тогда, когда онъ будетъ
примѣненъ въ школѣ, мы сможемъ иллюстрировать
на урокахъ ариѳметики явленія, протекающія во
времени.
Еще менѣе удачными нужно признать иллюстра-
ціи основныхъ понятій о размѣрахъ и скоростяхъ,
даваемыя въ нѣкоторыхъ а°дачникахъ. Понятіе о
предметахъ длинныхъ и короткихъ, высокихъ и низ-
кихъ, широкихъ и узкихъ, толстыхъ и тонкихъ,
тяжелыхъ и легкихъ—можно и нужно дать непо-
средственно: всегда и во всякой школѣ учитель мо-
жетъ показать длинную и короткую палку, толстую
и тонкую книгу, тяжелый и легкій камень и т. д.,
и изображать все это на картинкахъ нѣтъ ровно ни-
какой надобности; даже понятіе о большей или мень-
шей глубинѣ можно дать при помощи сосуда съ водой,
а пытаться изобразить на картинкѣ различныя ско-
рости движенія—значитъ ставить себѣ недостижимый
цѣли.
Изъ предыдущаго ясна, что картинки являются
лишь вспомогательнымъ средствомъ для достиженія
дѣйствительной конкретности въ обученіи; все, что
можно, нужно показывать ша самомъ дѣлѣ», съ по-
мощью реальныхъ предметовъ и дѣйствій надъ ними,
выполняемыхъ самими учащимися, и только тамъ,
гдѣ невозможны такія реальныя иллюстраціи, по-
лезно обращаться къ картинкѣ, преимущественно
для. выполненія счета и прямыхъ дѣйствій.

Мнѣ остается разобрать еще одинъ модный вопросъ
методики ариѳметики—какую роль при обученіи счи-
сленію играетъ такъ называемое распредѣленіе за-
дачъ по типамъ.
По этому вопросу существуютъ два взаимно про-
тивоположныхъ мнѣнія: одни утверждаютъ, что pa-
спредѣленіе задачъ по типамъ значительно повышаетъ
успѣхи дѣтей въ рѣшеніи задачъ и ведетъ къ тому,
что они «чуть не на лету» рѣшаютъ любую задачу
употребительныхъ типовъ, другіе, наоборотъ, кате-
горически высказываются противъ классификаціи за-
дачъ по типамъ, находя, что рѣшеніе задачъ по типамъ
убиваетъ мышленіе.
Примыкая по существу rçb послѣднему мнѣнію,
я постараюсь выяснить, въ чемъ здѣсь суть дѣла.
Никто не будетъ спорить противъ того, что задачи
должны быть предлагаемы дѣтямъ въ извѣстной
послѣдовательности, такъ чтобы рѣшеніе дальнѣй-
шихъ облегчалось и подготовлялось рѣшеніемъ пре-
дыдущихъ; иначе говоря, врядъ ли кто будетъ возра-
жать противъ принципа распредѣленія задачъ сооб-
разно педагогическимъ требованіямъ; суть только
въ томъ, какое распредѣленіе задачъ нужно считать
удовлетворяющимъ педагогическимъ требован і ямъ.
Съ одной стороны мы можемъ распредѣлять задачи
сообразно ихъ содержанію: въ одну группу отнести
на р. задачи на вычисленіе прибыли или убытка,
въ другую—задачи на передвиженіе и т. д.; но если бы
мы попытались провести эту классификацію черезъ
весь курсъ, то встрѣтились бы съ непреодолимыми

затрудненіями, такъ какъ въ каждой группѣ оказа-
лись бы наряду съ очень легкими задачами и очень
трудныя, и никакъ нельзя было бы переходить по-
слѣдовательно отъ одной группы къ другой. Съ дру-
гой стороны можно распредѣлять задачи по методамъ
ихъ рѣшенія: задачи на сложеніе, вычитаніе, умно-
женіе и дѣленіе въ отдѣльности и на тѣ или иныя
опредѣленныя комбинаціи этихъ дѣйствій. Эта по-
слѣдняя классификація отчасти проводится въ ка-
ждомъ задачникѣ; но разумѣется и она сама по себѣ
недостаточна, такъ какъ и среди задачъ, рѣшаемыхъ
однимъ и тѣмъ же пріемомъ, напр. дѣленіемъ, мо-
гутъ быть задачи легкія и трудныя по своему содер-
жанію. Если мы разсмотримъ, какъ распредѣляются
задачи «по типамъ» въ употребительныхъ задачни-
кахъ, то замѣтимъ полное смѣшеніе обоихъ спосо-
бовъ классификаціи: съ одной стороны есть типы,
объединенные методомъ рѣшенія, напр. задачи на
приведеніе къ единицѣ; съ другой стороны имѣются
типы, объединенные исключительно содержаніемъ за-
дачъ, напр. группы задачъ на «бассейны», на «встрѣчу»,
на «обмѣнъ предметовъ» и т. д. Можно однако замѣ-
тить, что въ этомъ распредѣленіи задачъ по «типамъ»
есть особая система, и состоитъ она въ слѣдующемъ.
Какъ извѣстно, есть задачи, въ которыхъ учащихся
особенно затрудняетъ постановка какого нибудь од-
ного вопроса; возьмемъ напр. задачу на «встрѣчу»,
разсмотрѣнную выше: «Разстояніе между двумя де-
ревнями 35 верстъ. Изъ первой деревни вышелъ во
•xûDin пѣшеходъ; въ каждый часъ онъ проходитъ

* версты.-Въ это самое время навстрѣчу ему изъ
второй деревни вышелъ другой пѣшеходъ, который
проходитъ въ каждый часъ по 3 версты. Черезъ сколько
часовъ они встретятся»? Здѣсь учащимся наиболѣе
трудно поставить первый вопросъ: «на сколько верстъ
уменьшается разстояніе между пѣшеходами въ ка-
ждый часъ»? Если же этотъ вопросъ уже поставленъ,
то дальнѣйшее рѣшеніе не представляетъ затрудненій;
этотъ вопросъ является, такимъ образомъ, ключемъ
ко всей задачѣ. Точно также, если дана задача: «9
грушъ стоятъ 15 коп.; сколько стоятъ 15 такихъ же
грушъ»?—то здѣсь затрудненіе въ томъ обстоятель-
ствѣ, что учащіеся, не знающіе дробей, не могутъ
узнать цѣну одной груши; и ключъ къ рѣшенію за-
дачи въ томъ, чтобы поставить вопросъ: «сколько
стоятъ три груши»? Вотъ такія то задачи, затрудни-
тельныя для учащихся или по методу ихъ рѣшенія,
или чаще всего по содержанію, и сгруппированы въ
особые «типы» въ упомянутыхъ употребительныхъ
задаткахъ, причемъ къ каждому «типу» отнесены
задачи, имѣющія одинаковый «ключъ» къ рѣшенію.
Такъ напр. въ задачахъ на «бассейны» ключъ состоитъ
въ томъ, чтобы спросить, сколько вливается (или
выливается) всего воды въ одну минуту, или другую
единицу времени; въ задачахъ на «встрѣчу» ключъ,
какъ указано, въ вопросѣ, насколько уменьшается
разстояніе между ѣдущими въ часъ; въ задачахъ
на «пропорціональное дѣленіе» ключъ въ томъ, чтобы
узнать,* на сколько всего частей придется дѣлить
данную величину; и вотъ эти задачи распредѣляются

въ задачникахъ по тремъ совершенно различномъ
типамъ, хотя ариѳметическій способъ рѣшенія ихъ
по большей части совершенно одинаковъ: приходится
дѣлить одно данное число на сумму двухъ другихъ
данныхъ чиселъ. Мало того, есть задачи, рѣшаемыя
совершенно тѣми же дѣйствіями и въ томъ же порядкѣ,
но не относимыя къ числу «типичныхъ», напр.. такая
задача: «Въ классѣ учатся 17 мальчиковъ и 13 дѣво-
чекъ; имъ нужно раздать 150. тетрадей, каждому
поровну; сколько тетрадей придется дать каждому
изъ учащихся»?—или такая: «Въ фунтѣ сахару 50 ку-
сковъ; я расходую утромъ 3 куска сахару, a вечеромъ
2; на сколько дней мнѣ хватитъ фунта сахару»? По-
добныя задачи рѣшаются также дѣленіемъ одного дан-
наго числа на сумму двухъ другихъ, но по содержанію
своему настолько просты, что не нуждаются въ ключѣ;
и вотъ мы видимъ, что такія задачи не попадаютъ въ
число «типичныхъ». Распредѣленіе задачъ по типамъ,
обычно практикуемое, пригодно такимъ образомъ для
совершенно особой цѣли: для запоминанія ключей,
ведущихъ къ разрѣшенію наиболѣе затруднительныхъ
задачъ. Такое запоминаніе ключей очень полезно
на экзаменахъ, й нѣтъ ничего удивительнаго, если
учащіеся, обученные по подобнымъ задачникамъ,
оказывали на испытаніяхъ выдающіеся успѣхи въ
рѣшеніи «типичныхъ» задачъ. Но всякій педагогъ
знаетъ, что подобное запоминаніе «ключей» нисколько
не доказываетъ сознательнаго усвоенія предмета,
и учащіеся, очень хорошо «натасканные» на рѣшеніи
«типичныхъ» задачъ, могутъ стать втупикъ передъ

рѣшеніемъ самой простой задачи «не типичной»'
въ журналѣ «Народное Образованіе» за мартъ 1910 г.
приводится напр. случай, когда дѣвочка, рѣшившая
сперва довольно трудную задачу, затѣмъ не могла
отвѣтить на вопросъ, сколько она выручитъ денегъ
за полтора десятка яицъ по 12 коп. десятокъ; «мы»,
говорила она, «на яйца задачъ не рѣшали».
Поэтому я полагаю, что принципъ распредѣлен<я
задачъ на типы сообразно «ключамъ» къ ихъ рѣшенію
долженъ быть рѣшительно отвергнут Распредѣлять
задачи слѣдуетъ прежде всего по ариѳметическому
методу ихъ рѣшенія; a въ каждой группѣ задачъ,
рѣшаемыхъ однимъ и тѣмъ же методомъ,—по содер-
жанію въ порядкѣ возврастающей трудности При
томъ въ особыя группы выдѣляются прежде всего
задачи, рѣшаемыя однимъ дѣйствіемъ: сложеніемъ,
вычитаніемъ, умноженіемъ или дѣленіемъ—какъ это
и теперь дѣлается. Затѣмъ можно будетъ выдѣлить
задачи, рѣшаемыя.послѣдовательностью двухъ дѣй-
ствій: сложеніемъ и вычитаніемъ, сложеніемъ и умно-
женіемъ и т. д., причемъ въ одну и ту же группу
попадутъ задачи, рѣшаемыя не только одинаковыми
дѣйствіями, но и въ одинаковомъ порядкѣ, т.-е.
такія, которыя имѣютъ одну и ту же формулу рѣ-
шенія. При этомъ, конечно, найдутъ свое мѣсто и
«типичныя» задачи въ обычномъ смыслѣ этого слова
напр. задачи на «встрѣчу» попадутъ въ группу задачъ,
рѣшаемыхъ дѣленіемъ одного изъ данныхъ чиселъ
на сумму двухъ другихъ, а задачи на «ѣзду въ до-
гонку»—въ близкую группу задачъ, рѣшаемыхъ дѣ-

леніемъ одного изъ даннаго числа на разность двухъ
другихъ; подобныя задачи, какъ болѣе затруднитель-
ныя по содержанію, будутъ, конечно, помѣщаться
въ концѣ соотвѣтствующихъ отдѣловъ; но запоминать
ключи къ ихъ рѣшенію не понадобится, если разра-
ботка ихъ будетъ произведена конкретно, и въ случаѣ
надобности «въ лицахъ», какъ было разсказано выше.
Считаю нужнымъ подчеркнуть, что въ задачни-
никахъ для учащихся не должно быть, по моему,
никакихъ подзаголовковъ, характеризующихъ типъ
рѣшенія; эти подзаголовки прямо подсказываютъ
опредѣленный способъ рѣшенія, и если даже распре-
дѣлить задачи по ариѳметическимъ методамъ ихъ
рѣшенія и обозначить это распредѣленіе въ подзаго-
ловкахъ соотвѣтствующими словами или общими
формулами, то способъ рѣшенія будетъ навязанъ
вполнѣ опредѣленно.
Въ повторительныхъ отдѣлахъ, гдѣ даются 6o«j
лѣе сложныя задачи на всѣ четыре дѣйствія, полезно
провести еще идею распредѣленія задачъ по областямъ
жизни, напр. дать цѣлый рядъ задачъ изъ области
сельскаго хозяйства, торговыхъ разсчетовъ, строитель-
на го дѣла, кооперативнаго дѣла, ссудосберегатель-
ныхъ операцій и т. д.; вообще дать отдѣлы, въ каждомъ)
изъ которыхъ въ связномъ рядѣ задачъ была du
всесторонне представлена въ числахъ та или иная
область жизни, окружающей ученика. И это, конечно,
будетъ содѣйствовать сознательному усвоенію «счет-
ной мудрости» въ гораздо большей мѣрѣ, чѣмъ рѣ-
шеніе задачъ по типамъ.

ГЛАВА IV.
Курсъ дробей въ начальной школѣ.
До послѣдняго времени въ курсъ начальной школы
входили обычно только вычисленія надъ простѣйшими
дробями, выполняемыя по соображенію и преиму-
щественно устно. Знаніе этихъ вычисленій имѣетъ
непосредственное практическое значеніе, и подобныя
вычисленія нерѣдко встрѣчаются учащимся въ жи-
тейскомъ обиходѣ: найти стоимость 1/2 ф. сахару,
3/4 арш. сукна, 1/8 ф. чаю и т. п.—все это вопросы,
непосредственно связанные съ практикой, жизни.
При трехлѣтнемъ срокѣ обученія трудно было дать
учащимся что нибудь сверхъ этого небольшого цикла
свѣдѣній;*но современныя требованія идутъ дальше
и при четырехлѣтнемъ (a тѣмъ болѣе при пятилѣт-
немъ) курсѣ * могутъ быть вполнѣ удовлетворены.
Совершенно необходимо,, чтобы учащіеся научились
выполнять вычисленія съ десятичными дробями,
такъ какъ эти дроби постоянно примѣняются въ
техническихъ разсчетахъ и въ процентныхъ вычисле-
ніяхъ, a знаніе послѣднихъ въ свою очередь имѣетъ
прямую практическую важность; кромѣ того, деся-

тичныя дроби необходимы при употребленіи метри-
ческой системы мѣръ, также внѣдряющейся въ нашъ
жизненный обиходъ. Что касается общихъ правилъ
дѣйствій надъ простыми дробями, то знаніе ихъ для
практики какъ будто менѣе необходимо: если знаме-
натели дробей невелики, то вычисленія выполняются
по соображенію, если же знаменатели дробей сколько
нибудь сложны, то при желаній можно замѣнить
простыя дроби десятичными, точными или прибли-
женными, какъ это и дѣлается въ техническихъ
разсчетахъ; а вопросы, требующіе разысканія части
отъ цѣлаго или наоборотъ, можно рѣшать и не зная
общихъ правилъ умноженія и дѣленія на дробь,
двумя послѣдовательными дѣйствіями умноженія и
дѣленія на цѣлое число; напр. желая найти, сколько
верстъ пройдетъ поѣздъ за 3/4 часа, если дана его ча-
совая скорость, мы, конечно, можемъ рѣшить вопросъ,
узнавъ сперва, сколько верстъ пройдетъ поѣздъ въ
одну четверть часа, a потомъ—сколько верстъ онъ
пройдетъ въ три четверти часа,и тѣмЬ не менѣе при
сколько нибудь удовлетворительномъ построеній
курса безъ изученія дѣйствій надъ простыми дробями,
въ частности, безъ понятія объ умноженій и дѣленій
на дробь обойтись нельзя: для того, чтобы умѣть вы-
числять хотя бы площадь прямоугольника, стороны
котораго выражены дробными числами, нужно имѣТь
понятіе объ умноженій на дробь, простую или деся-
тичную; а если школа пожелаетъ ознакомить дѣтей
л> употребленіемъ буквъ, то предварительно они
должны быть знакомы'съ умноженіемъ и дѣленіемъ

на дробь,—иначе составляемый, ими общія формулы
не будутъ годиться для случая дробныхъ значеній
буквъ, Кромѣ того, знакомство съ понятіемъ объ
умноженіи и дѣленіи на дробь дозволяетъ: нерѣдко
упрощать вычисленія; и этого одного уже достаточно
чтобы признать цѣлесообразнымъ ознакомленіе дѣ-
тей съ понятіями объ этихъ дѣйствіяхъ.
Знакомство съ простѣйшими долями можетъ на-
чинаться съ перваго же года обученія, такъ какъ дѣти
обычно еще въ дошкольномъ возрастѣ знаютъ» что
такое половина и четверть и употребляютъ эти слова
сознательно. Въ первый годъ достаточно, будетъ исполь-
зовать эти дошкольный познанія дѣтей и отчасти ихъ
расширить, ознакомляя дѣтей съ половинами, четвер-
тями, восьмыми, третьими .и шестыми долями и обра-
зуемыми изъ нихъ дробями и рѣшая простѣйшіе
вопросу изъ этой, области—обозначеніе долей и дро-
бей, сложеніе и вычитаніе одноименныхъ долей и
дробей, a затѣмъ и разноименныхъ съ помощью
раздробленія болѣе крупныхъ долей въ болѣе мелкія,
нахожденіе данной доли отъ цѣлаго числа (когда
результатъ есть цѣлое число) и т. п. Первоначальное
ознакомленіе съ долями, какъ извѣстно, ведется
наглядно, при помощи дѣйствительнаго дѣленія пред-
метовъ на части; лучше всего прибѣгать къ дѣленію
такихъ предметовъ, которые ясно представляются
дѣтямъ, какъ нѣчто цѣлое, непохожее на свои части,—
напр. яблоко, круглый хлѣбъ, листъ бумаги и т. д.
Изъ числа искусственныхъ наглядныхъ пособій наибо-
лѣе распространено изображеніе дробей съ помощью

отрѣзковъ прямыхъ линій, частей круга или же пря-
моугольника, раздѣленнаго на прямоугольный или
квадратныя клѣтки; слѣдуетъ имѣть въ виду, что
сравнительное достоинство этихъ наглядныхъ"'пособій
. было изслѣдовано нѣмецкимъ педагогомъ-экспери-
ментаторомъ Вальземанномъ; онъ заставлялъ уча-
щихся оцѣнивать величину долей и частей, предста-
вленныхъ каждымъ изъ этихъ трехъ способовъ, и
нашелъ, что наименьшее число ошибокъ получается
при употребленіи прямоугольниковъ, раздѣленныхъ
на прямоугольныя и квадратныя доли; форма круга
оказалась нѣсколько менѣе благопріятной, a упо-
требленіе прямой линіи вело къ наибольшему числу
ошибочныхъ оцѣнокъ.
Во второй годъ обученія придется нѣсколько
расширить этотъ кругъ первоначальныхъ свѣдѣній
о доляхъ, рассматривая доли съ наиболѣе употреби-
тельными знаменателями въ области первыхъ двухъ
десятковъ. Въ этой области могутъ быть разобраны
такіе вопросы: изображеніе и чтеніе дробныхъ чиселъ;
смыслъ числителя и знаменателя; обращеніе цѣлаго
числа съ дробью въ неправильную дробь и наоборотъ;
сложеніе и вычитаніе дробей съ одинаковыми знаме-
нателями; умноженіе дроби на цѣлое число помощью
умноженія числителя, а также дѣленіе дроби на цѣ-
лое помощью дѣленія числителя (если это дѣленіе
выполняется нацѣло); нахожденіе части отъ даннаго
числа (при условіи, что данное цѣлое дѣлится на зна-
менателя дроби, -напр. найти 3/4 отъ 16), и нахожденіе
нѣкотораго числа по данной его части (въ томъ слу-

чаѣ, когда эта часть представляетъ цѣлое число,
дѣлящееся на числителя данной дроби, напр. 2U иско-
маго числа равны 24); наконецъ раздробленіе болѣе
крупныхъ долей въ болѣе мелкія и составленіе болѣе
крупныхъ долей изъ болѣе мелкихъ, â также сложе-
ніе и вычисленіе дробей съ разными знаменателями,
въ тѣхъ простѣйшихъ случаяхъ, когда однѣ изъ дан-
ныхъ долей непосредственно раздробляются въ дру-
гія. Разумѣется, всѣ эти вопросы разбираются на-
глядно и по соображенію, и преимущественно устно.
На третій годъ выпадетъ прежде всего дальнѣйшее
расширеніе круга долей, съ которыми производятся
вычисленія; если во второмъ году дѣти знакомились
съ дробями со знаменателями въ предѣлѣ первыхъ
двухъ десятковъ, то теперь слѣдуетъ вводить въ вы-
численія всѣ доли и дроби съ наиболѣе употребитель-
ными знаменателями въ предѣлѣ сотни. Самый су-
щественный вопросъ въ курсѣ даннаго года—это
раздробленіе болѣе крупныхъ долей въ болѣе мелкія
и наоборотъ, что необходимо для приведенія дробей
къ одному знаменателю и сокращенія ихъ при сложе-
ніи и вычисленій. Конечно и здѣсь это раздробленіе
должно выполняться не по общимъ правиламъ, а по
соображенію, на основаніи знанія кратныхъ соотно-
шеніи между важнѣйшими долями; учащіеся должны
ясно понимать и твердо помнить, что напр. 6-ыя доли
можно раздробить въ 12-я, 18-я, 21-я и т. д.; 14-ыя-
въ 28-я, 42-я и т. д. Разсужденія ведутся здѣсь при-
близительно такъ. Пусть нужно сложить 3/8 и 5/12; надо
сообразить прежде всего, въ какія доли можно раз-

дробить и 8-ыя, и 12-ыя — это будутъ 24-ыя доли.
Дальше разсуждаемъ такимъ образомъ: въ цѣлой
единицѣ 24 двадцать-четвертыхъ, значитъ въ одной
восьмой — 3 двадцать-четвертыхъ, а въ трехъ вось-
мыхъ — 9 двадцать-четвертыхъ; точно также въ одной
двѣнадцатой — 2 двадцать-четвертыхъ, а въ пяти двѣ-
надцатыхъ — 10 двадцать-четвертыхъ; итакъ 3/8 = 9/24,
а 5/12 = 10/24; складывая, получаемъ 19/24. Разумѣется,
и здѣсь полезно начинать со случаевъ, когда одинъ
изъ знаменателей дѣлится на всѣхъ остальныхъ
потомъ перейти къ случаямъ, когда знаменатели
не имѣютъ вовсе общихъ дѣлителей, и наконецъ, раз-
сматривать случаи, когда знаменатели имѣютъ об-
щихъ дѣлителей и приходится подыскивать по сообра-
женію такое число, которое дѣлилось бы на данныхъ
знаменателей. Одновременно съ этимъ можно раз-
бирать и вопросы, въ которыхъ приходится узнать,
сколько разъ данная дробь содержится въ другой
дроби или въ цѣломъ числѣ (если при этомъ искомый
отвѣтъ выражается цѣлымъ числомъ); эти вопросы
на данной ступени рѣшаются съ помощью раздробле-
бленія данныхъ чиселъ въ одинаковыя доли. Точно
также къ курсу этого года слѣдуетъ отнести и дѣленіе
дроби на цѣлое число путемъ умноженія знаменателя
(что сводится къ раздробленію данныхъ долей въ бо-
лѣе мелкія), и умноженіе дроби на цѣлое число пу-
темъ дѣленія знаменателя (т.-е. посредствомъ замѣны
данныхъ долей болѣе крупными); кромѣ того, нужно
выяснить дѣтямъ понятіе о дроби, какъ о частномъ
отъ дѣленія числителя на знаменатель, и упражнять

ихъ въ дѣйствияхъ надъ смѣшанными числами, про-
ходя сложеніе и вычитаніе ихъ, умноженіе и дѣленіе
на цѣлое число; въ соотвѣтствіи съ расширеніемъ
круга свѣдѣній о дробяхъ могутъ быть усложняемы
и задачи на нахожденіе части даннаго числа и числа
по данной его части.
Наконецъ, къ третьему же году слѣдуетъ отнести
и курсъ простѣйшихъ десятичныхъ дробей (ознако-
мленіе съ десятыми, сотыми и тысячными долями),
съ рѣшеніемѣ при помощи ихъ всѣхъ подходящимъ
вопросовъ, но безъ введенія понятія объ умноженіи
и дѣлёніи на дробь. Первоначальное знакомство съ
десятичными дробями должно, конечно, сопрово-
ждаться подходящими иллюстраціями, для чего хо-
рошій матеріалъ даютъ метрическія мѣры и подраз-
дѣленія рубля. Затѣмъ (сохраняя все время взглядъ
на дробь,'какъ на собраніе конкретныхъ долей цѣ-
лаго) можно послѣдовательно изучить соотношеніе
между десятичными долями различныхъ разрядовъ,
выяснить тѣсную связь ихъ съ нумераціей цѣлыхъ
чиселъ и научить учащихся быстрому обращенію
болѣе крупныхъ разрядныхъ единицъ въ болѣе мел-
кія и наоборотъ. Послѣ этого учащіеся легко пріоб-
рѣтутъ привычку смотрѣть на десятичную дробь,
какъ на совокупность долей различныхъ разрядовъ,
расположенныхъ по десятичной системѣ, и безъ труда
смогутъ изучить и прилагать въ задачахъ сложеніе
и вычитаніе десятичныхъ дробей, а также умноженіе
десятичной дроби на цѣлое число. Что же касается
дѣленія, то, разумѣется, сперва слѣдуеть задавать

только такія задачи, въ которыхъ частное отъ дѣленія
десятичной дроби на цѣлое число выражалось бы
конечной десятичной дробью, а также такія, въ ко-
торыхъ приходилось бы рѣшать, сколько разъ данная
десятичная дробь заключается въ другой или въ цѣ-
ломъ числѣ, при немъ искомое частное было бы цѣлымъ;
въ связи съ дѣленіемъ слѣдуетъ разобрать, на неслож-
ныхъ примѣрахъ, и вопросъ относительно обращенія
простой дроби въ десятичную (и наоборотъ),—или
путемъ непосредственнаго раздробленія, или посред-
ствомъ дѣленія числителя на знаменателя. Можно
коснуться здѣсь и случаевъ приближеннаго дѣленія
десятичной дроби на цѣлое число (подобно дѣленію
съ остаткомъ въ цѣлыхъ числахъ), а также и случаевъ,
когда простая дробь не обращается въ конечную
десятичную; въ этихъ случаяхъ достаточно лишь
довести учащихся до сознанія, что дѣленіе не закон-
чится, и не слѣдуетъ поднимать и вопроса о періоди-
ческихъ дробяхъ.
Въ этомъ же циклѣ слѣдуетъ рѣшать и вопросы,
касающіеся нахожденія той или иной десятичной
части/ даннаго числа, или наоборотъ, нахожденія
числа по данной его десятичной части, но опять же
пока безъ введенія понятія объ умноженіи и дѣленіи
на дробь, a какъ и въ простыхъ дробяхъ, двумя дѣй-
ствіями умноженія и дѣленія на цѣлое число. Сюда же
войдетъ и ученіе о процентѣ, какъ сотой долѣ числа,
и тутъ же должны рѣшаться, съ помощью изученныхъ
дѣйствій, и простѣйшія задачи на выполненіе процент-
ный» вычисленій. Замѣчу, что здѣсь нужно обратить

большое вниманіе на устное вычисленіе процентовъ,
и между прочимъ необходимо, чтобы дѣти умѣли за-
мѣнять процентный числа простыми дробями и на-
оборотъ, напр. чтобы они знали, что 75°/о все рав-
но, что % даннаго числа, а 7в все равно, что 20%;
въ концѣ концовъ они должны даже, путемъ по-
стоянныхъ упражненій, запомнить процентныя чис-
ла, соотвѣтствующія простѣйшимъ дробямъ,—напр.
что 50% соотвѣтствуетъ половинѣ, 33 1/3 %— одной
трети, 25%—четвертой долѣ и т. д.; при этомъ
условіи процентный вычисленія могутъ быть значи-
тельно упрощаемы.
Наконецъ въ четвертый/годъ обученія тѣ свѣ-
дѣнія о дробяхъ, съ которыми учащіеся до той поры по-
знакомились, должны быть расширены, углублены и
приведены въ систему, причемъ дѣйствія надъ простыми
и десятичными дробями слѣдуетъ изучать параллельно
и разсматривать десятичныя дроби уже какъ частный
случай простыхъ/ Въ этомъ циклѣ придется прежде
всего остановиться на измѣненіи величины дроби
при измѣненіи ея числителя и знаменателя, на неиз-
мѣняемости этой величины при увеличеніи или умень-
шеніи числителя и знаменателя въ одинаковое число
разъ, и на преобразованіяхъ, основанныхъ на этомъ
послѣднемъ свойствѣ дроби—на сокращеніи дробей'
простыхъ и десятичныхъ, и приведеніи
ихъ къ одному знаменателю. Само собою разумѣется,
что и въ этомъ циклѣ слѣдуетъ вводить въ вычисленія
преимущественно такія дроби, которыя сколько ни-
будь употребительны въ практикѣ (напр. 200-ыя или

360-ыя доли, но не 211-ыя или 359-ыя), т.-е. такія
знаменатели которыхъ не особенно велики и нахо-
дятся въ ясныхъ кратыхъ соотношеніяхъ съ важнѣй-
шими числами первой сотни; поэтому и въ данномъ
циклѣ можно не изучать теоріи дѣлимости чиселъ
и общихъ способовъ нахожденія общаго наибольшаго
дѣлителя и :наименьшаго краткаго: сокращеніе,: дро-
бей можно попрежнему выполнять постепенно, пу-
темъ отысканія «на глазъ» общихъ множителей чи-
слителя и знаменателя, a приведеніе къ одному зна-
менателю—тѣми, же способами, что и на предыдущей
ступени обученія, т. е. путемъ постепеннаго раздро-
бленія данныхъ долей въ болѣе мелкія и подысканія,
по соображенію, такихъ долей, въ которыя можно
было бы раздробить всѣ данныя. Изъ всей теоріи
дѣлимости придется, воспользоваться развѣ только
названіями: «общій дѣлитель», «общій наибольшій
дѣлитель», «общее кратное» и т. д., которыя могутъ
Сыть введены и употребляемы, какъ полезныя для
сокращенія рѣчи.
Изученіе, или вѣрнѣе, повтореніе сложенія и вы-
читанія дробныхъ чиселъ не представитъ при этомъ
никакихъ затрудненій. Не мѣшаетъ обратить вни-
маніе учащих я на то, что при сложеніи и вычитаніи
обыкновенных.» дробей приведеніе къ одному знаме-
нателю обязательно, а при соотвѣтствующихъ дѣй-
ствіяхъ надъ десятичными дробями—необязательно,
Наконецъ мы должны будемъ подойти къ самому
трудному вопросу всего курса - къ ученію объ умно-
женіи и дѣленіи на дробь. Для объясненія смысла

и правила дѣйствія умноженія на дробь существуетъ
нѣсколько пріемовъ. Вь учебникахъ ариѳметики ста-
раго типа пр вило умноженія на дробь выводит, я
при помощи общаго опредѣленія умноженія: «умно-
жить значитъ составить изъ множимаго ново? число
такъ, какъ множитель .составленъ изъ единицы»
На основаніи этого опредѣленія разсуждаютъ далѣе
въ такомъ родѣ: «умножить 5 на 3/4 значитъ, согласно
опредѣленію, составить зъ 5 новое число такъ, какъ
множитель 3/4 составленъ изъ. единицы; но число 3/4
Составлено изъ единицы такъ: взята единица, раз-
дѣлена на 4 равныхъ части, и такихъ частей взято 3;
поэтому для полученія искомаго произведенія мы
должны раздѣлить число 5 на 4 равныхъ части, и
полученное число 5/4 взять (слагаемымъ) 3 раза;
будемъ имѣть 15/4». Послѣ этого путемъ сравненія
найденнаго числа съ данными выводится и правило
умноженія на дробь.
Общеизвѣстны и тѣ серьезные недостатки, которыми
страдаетъ этотъ пріемъ объясненія вопроса,. Во пер-
выхъ, онъ не вполнѣ удовлетворителенъ съ логической
стороны, такъ какъ способъ составленія числа изъ
единицы, подразумѣваемый въ немъ, является не
единственнымъ, и мы можемъ, нисколько не нарушая
буквы опредѣленія, разсуждать слѣдующимъ обра-
зомъ; «число 3/4 составлено изъ единицы такъ: взята
единица 3 раза слагаемымъ, затѣмъ 4 раза
слагаемымъ, и первое изъ полученныхъ чиселъ
сдѣлано числителемъ дроби, второе—ея знаменате-
лемъ»: составляя же по этому «способу» новое число

изъ множимаго 5, мы получимъ дробь 15/20, а не 16/4, какъ
слѣдовало бы. Во вторыхъ, на данной ступени обу-
ченія требуется только выяснить смыслъ умноженія
на дробь, а не умноженія вообще, и наконецъ, сооб-
щая дѣтямъ отвлеченное опредѣленіе, да еще чисто
догматически, мы добьемся развѣ только того, что они
запомнитъ сказанныя учителемъ слова, но чтобы
усвоеніе это было сколько-нибудь сознательнымъ—
въ этомъ можно сильно сомнѣваться.
Другой старинный пріемъ, въ послѣдніе годы
воскрешенный въ нѣкоторыхъ учебникахъ, *), основанъ
на законахъ измѣненія произведенія; слѣдуя ему,
разсуждаютъ примѣрно такъ: «вмѣсто умноженія
5 на 3/4 будемъ множить 5 на 3; получимъ 15. Но от-
бросивъ знаменателя во множителѣ, мы увеличили
множителя въ 4 раза; слѣд. и произведеніе увеличи-
лось въ 4 раза противъ истиннаго; чтобы его испра-
вить, уменьшаемъ найденное число 15 въ 4 раза и
получаемъ 15/4». Но подобный пріемъ, несмотря на
свою внѣшнюю простоту, также по существу не
пріемлемъ, такъ какъ заключаетъ въ себѣ явную
логическую ошибку: вѣдь законъ объ увеличеніи
произведенія въ нѣсколько разъ при увеличеніи од-
ного изъ сомножителей во столько же разъ былъ нами
установленъ пока Только для случая перемноженія
цѣлыхъ чиселъ, a справедливъ ли онъ для случая
умноженія на дробь, мы не знаемъ напередъ и не
имѣемъ права ссылаться на него, пока не установили
*) А. Б. Сахаровъ, Ариѳметика. Опытъ методическаго
изложенія предмета.

на опытѣ или путемъ разсуженія, что онъ имѣетъ мѣсто
и для дробнымъ чиселъ. Для того же, чтобы въ этомъ
убѣдиться, нужно прежде всего установить, что зна-
чить умножить какое либо число на 3/4 или вообще
на дробь.
Если мы, несмотря на необоснованность нашего
заключенія, все же пришли къ вѣрному результату,
то это поэтому, что въ нашемъ разсужденіи есть мол-
чаливо подразумѣваемое опредѣленіе смысла
умноженія на 3/4: мы въ сущности вводимъ, не огова-
ривая того, условіе—считать произведеніемъ 5 на 3/4
такое число, которое въ 4 раза меньше произведенія
5 на 3- Наше разсужденіе было бы логически обосно-
вано, если бы мы ввели это опредѣленіе предварительно
и въ явномъ видѣ, но врядъ ли кто станетъ сомнѣвать-
ся, что подобное опредѣленіе, чисто отвлеченное,
да еще изложенное въ неуклюжей формѣ, будетъ.со-
вершенно недоступно для учащихся начальной школы.
Иные авторы *) предлагаютъ взамѣнъ того просто
вводить условіе вродѣ слѣдующаго: «подъ произве-
деніемъ двухъ дробей a/в и с/д мы будемъ разумѣть
дробь ас/вд» (числителемъ которой является произве-
деніе числителей данныхъ дробей, а знаменателемъ—
произведеніе знаменателей),—и сопровождать это усло-
віе подходящей графической иллюстраціей. Такой
пріемъ не грѣшитъ уже противъ логики, потому что
*) Мрочекь и Филипповичъ, Педагогика математики, Т.

опредѣленіе умноженія вводится въ правильной и
явной формѣ; но съ педагогической точки зрѣнія онъ
столь же неудовлетворителенъ, какъ и прежніе, такъ
какъ цѣль установленія указанныхъ здѣсь условій
остается совершенно неясной для учащихся. Взрослый
человѣкъ, который изучаетъ ариѳметику въ научномъ
изложеніи, можетъ сознавать, что подобныя условія
вводятся ради сохраненія основныхъ законовъ ариѳ-
метическихъ дѣйствій при расширеніи, понятія о
числѣ; но учащееся начальной школы такая точка
зрѣнія совершенно недоступна, и онъ восприметъ
сообщаемое ему условіе просто какъ правило, кото-
рое надо выучить, хотя въ глубинѣ души будетъ соз-
навать, что его законный вопросъ—зачѣмъ введено
это условіе—оставленъ безъ отвѣта. Что же касается
графической Иллюстраціи, то она можетъ пояснить
только содержаніе, принимаемаго условія, но не цѣль,
ради которой оно принято. Если'напр. учащійся бе-
ретъ 8А нѣкотораго разграфленнаго на клѣтки прямо-
угольника, составляющаго въ свою очередь 2/3 другого
большаго прямоугольника, и при этомъ убѣждается,
что получаемая въ результатѣ фигура составляетъ
8/15 большаго прямоугольника, то онъ выноситъ на-
глядное подтвержденіе той мысли, что 4/5 отъ 2/3 равны
8/15,ноне видитъ никакихъ мотивовъ, въ силу кото-
рыхъ отвѣтъ на данный вопросъ записывается въ фор-
мѣ 4/5×2/3=8/15 самому дѣйствію приписывается на-
званіе умноженія.
Чтобы выйти изъ всѣхъ затрудненій, связанныхъ
съ выясненіемъ понятія объ умноженій на дробь,

необходимо исходить изъ разсмотрѣнія подходящей
конкретной задачи, которая рѣшалась бы съ помощью
этого дѣйствія. Пусть напр. будетъ взята такая
задача: «пѣшеходъ проходитъ 5 верстъ въ каждый
часъ; сколько верстъ пройдетъ онъ за 3/4 часа (если
будетъ двигаться равномѣрно съ той же скоростью?»
Такую задачу учащіеся умѣютъ рѣшить, но двумя
дѣйствіями: сперва они узнаютъ, сколько верстъ прой-
детъ пѣшеходъ за одну четверть часа (5: 4=5/4), а
затѣмъ найдутъ, сколько верстъ онъ пройдетъ за 3
четверти часа (5/4×3=15/4). Послѣ того, какъ эта за-
дача рѣшена и рѣшеніе ея записано въ двухъ стро-
кахъ, необходимо выяснить учащимся, путемъ наво-
дящихъ вопросовъ, смыслъ произведенныхъ ими дѣй-
ствій (мы нашли четвертую долю отъ 5 и потомъ взя-
ли ее 3 раза слагаемымъ),—a затѣмъ указать, что
вмѣсто этого принято говорить короче: «мы умножили
5 на 3/4», и записывать рѣшеніе задачи вмѣсто двухъ
строчекъ въ одной: 5×3/4=15/4. Подобнымъ же обра-
зомъ учащимся нетрудно будетъ сообразить, при по-
мощи наводящихъ вопросовъ учителя, что напр.
умножить 10 на 5/8 значить найти восьмую долю отъ
10 и взять ее слагаемымъ 5 разъ, и вообще уразумѣть,
что умножить на дробь значить взять такую долю мно-
жимаго, изъ какихъ состоитъ множитель, и повто-
рить ее слагаемымъ столько разъ, сколько долей въ
множителѣ. Затѣмъ они смогутъ установить и пра-
вило умноженія на дробь, напр. въ такой формѣ:
«чтобы умножить на дробь, нужно умножить данное
число на числителя дроби, и полученное раздѣлить

на знаменателя». Здѣсь, конечно, необходимо выяс-
нить на конкретныхъ примѣрахъ, Что порядокъ ука-
занныхъ дѣйствій—умноженія на числителя и дѣленія
на знаменателя—можетъ быть измѣненъ безъ измѣ-
нен'я получаемаго произведенія.
При такомъ способѣ разработки вопроса учащіеся
будутъ понимать смыслъ самаго процесса умноженія
на дробь, притомъ въ наиболѣе конкретной формѣ
и въ согласіи съ любой научной теоріей дробей.
Кромѣ того, для нихъ б детъ сразу ясна одна изъ
цѣлей/ ради которыхъ вводится предлагаемое усло-
віе;4 цѣль эта—сокращеніе рѣчи и письма. Слѣдуетъ
тутъ же выяснить и другую цѣль, ради которой повто-
реніе опредѣленной доли даннаго числа носитъ назва-
ніе умноженія на дробь; именно, если замѣ-
нить въ условіи разобранной задачи дробное число 3/4
цѣлымъ, напр. 3-мя, то учащіеся-увидятъ, что одно-
родная съ данной задача на цѣлыя числа (пѣшеходъ
проходитъ по верстъ въ часъ; сколько верстъ прой-
детъ онъ за 3 часа?)—рѣшается умноженіемъ на
цѣлое число. А если впослѣдствіи учащіеся ознако-
мятся и съ составленіемъ буквенныхъ формулъ, то
они увидятъ, что при этомъ условіи и только благо-
даря ему однородныя задачи, на умноженіе рѣшаются
по одной и той же формулѣ какъ при цѣлыхъ, такъ
и при дробныхъ вычисленіяхъ буквъ.
До сихъ поръ здѣсь шла рѣчь объ умноженія,
цѣлаго числа на дробь, такъ какъ на подобномъ
примѣрѣ легче всего выяснить дѣтямъ смыслъ умно-
женія на дробь; когда же этотъ смыслъ уясненъ,

нетрудно примѣнить установленную точку зрѣнія и къ
случаю умноженія дроби на дробь. Такъ напр. умно-
женіе 4/5 на 2/3 мы будемъ разсматривать, какъ взятіе
одной третьей доли отъ 4/5 (4/5:3=4/5) И повтореніе по-
лученнаго числа 4/5 два раза слагаемыхъ (4/5×2=8/5);
сравнивъ затѣмъ окончательный результатъ 8/5 съ
данными числами, мы легко заставивъ учащихся
вывести извѣстное правило перемноженія двухъ дро-
бей.
Какъ только усвоено понятіе объ умноженіи на
дробь, необходимо распространить его и на случай
десятичныхъ дробей (напр. умножить 12 на 0,3 зна-
читъ найти десятую долю 12-ти и затѣмъ взять ее
3 раза). Извѣстное правило умноженія десятичныхъ
дробей получается тогда, какъ частный случай пра-
вила, установленнаго вообще для дробей. Опытъ
показываетъ, что умноженіе на десятичную дробь
воспринимается учащимися съ этой точки зрѣнія
болѣе легко й сознательно, и они уясняютъ себѣ,
что перемноженіе данныхъ чиселъ съ отброшенными
запятыми есть, собственно говоря, перемноженіе чи-
слителей данныхъ дробей, а постановкою запятой
на должномъ мѣстѣ произведенія мы уменьшаемъ по-
лученное число во столько разъ, какъ велико произве-
деніе знаменателей данныхъ дробей.
Дѣленіе на дробь можетъ быть выяснено пріемомъ,
совершенно аналогичнымъ тому, который былъ ука-
занъ для умноженія. Возьмемъ напр. задачу: «Гребецъ
проѣхалъ въ лодкѣ 5 верстъ втеченіе 3/4 часа; сколько
верстъ онъ могъ бы проѣхатъ въ часъ, двигаясь съ

той же скоростью?» Подобную задачу учащіеся рѣ-
шаютъ двумя дѣйствіями : сперва они узнаютъ, сколько
верстъ проѣхалъ бы гребецъ въ одну четверть часа
(5:3=7з), a потомъ опредѣляютъ, сколько верстъ
онъ могъ бы проѣхать въ часъ (7зХ4=2%=62/з).
Затѣмъ нужно предложить учащимся сдѣлать повѣрку
задачи; очевидно для этой цѣли придется рѣшить
обратный вопросъ: зная, что гребецъ проплываетъ
въ лодкѣ б 2/3 версты въ часъ, найти, сколько верстъ
проплываетъ онъ за 3/4 часа. Этотъ вопросъ рѣшается
умноженіемъ на дробь (6 2/3×3/4), и мы получаемъ
въ результатѣ 5. Теперь ясно, что въ первоначальной
задачѣ мы искали—и нашли—такое число, которое,
будучи умножено на 3U, даетъ 5; будемъ, какъ* и въ
цѣлыхъ числахъ, называть такое число частнымъ
данныхъ, a отысканіе его—дѣленіемъ, и запишемъ
рѣшеніе нашей задачи такъ: 5:3/4—20/3, т. е. въ одной
строчкѣ вмѣсто двухъ. Сравнивая полученное число
еѣ данными, мы установимъ съ учащимися и правило
дѣленія, хотя бы въ такой формѣ: чтобы раздѣлить
на дробь, нужно раздѣлить данное число на числителя
дроби и полученное умножить на ея знаменателя;
при этомъ необходимо выяснить, на данномъ и на
другихъ конкретныхъ примѣрахъ, что относительный
порядокъ этихъ дѣйствій—дѣленія на числителя и
умноженія на знаменателя—не вліяетъ на окончатель-
ный результатъ.
Затѣмъ необходимо показать что сдѣланные вы-
воды могутъ быть распространены и на тѣ случаи,
когда приходится рѣшать вопросы, сколько разъ

одно дробное число содержится въ другомъ, или ка-
кую часть одного числа составляетъ другое. Для
этой цѣли пригодна напр. такая задача: «на отдѣлку
шляпы идетъ 3/4 аршина ленты; на сколько такихъ
шляпъ хватитъ б аршинъ этой ленты»? Рѣшая эту
задачу непосредственно, учащіеся найдутъ сперва,
сколько четвертей аршина содержится въ б аршинахъ
(4×6=24), a затѣмъ—-сколько разъ 3 четверти
аршина содержатся въ 24 четвертяхъ аршина (24:3—8);
или могутъ разсуждать такъ: если бы на каждую
шляпу выходила 1 четверть аршина ленты, то одного
аршина хватило бы на 4 шляпы, а 6 аршинъ—на
4×6, или 24 шляпы; но такъ какъ на каждую шляпу
идетъ не 1/4 арш. ленты, a въ 3 раза больше—тотѣмъ же
количествомъ ленты можно отдѣлать не 24 шляпы,
a въ Зраза меньше, т. е. 24:3=8. Затѣмъ дѣлается
провѣрка задачи и оказывается, что искомое въ ней
число (8), будучи перемножено съ 3А, даетъ 6; поэтому
мы называемъ его частнымъ данныхъ чиселъ и будемъ
писать по предыдущему 6:3/4=8.
Какъ и при разборѣ умноженія, слѣдуетъ показать
учащимся, что однородныя съ данными задачи на
цѣлыя числа рѣшаются дѣленіемъ,на цѣлое число;
a затѣмъ необходимо распространить установленныя
условія и на случай дѣленія дроби на дробь. Такъ
напр, дѣленіе 4/5 на 3/8 мы будемъ понимать, какъ
отысканіе такого числа, которое, будучи перемножено
съ 3/8, даетъ въ результатѣ 4/5. Иначе говоря, 3/8
искомаго числа равны 4/5; 1/8 искома го числа должна
быть въ 3 раза меньше 4/5, т. е. равна 4/15; а все искомое

число должно быть въ 8 разъ больше полученной
дроби, т. е. равно 82/*в. Сравнивая полученное число
съ данными, выводимъ извѣстное правило дѣленія
дроби на дробь.
Далѣе всѣ сдѣланные выводы должны быть распро-
странены на случай дѣленія на десятичную дробь. Дѣ-
леніе на десятичную дробь лучше всего разсматривать
какъ частный случай дѣленія та дробь вообще: напр.
при дѣленіи 2 на 0,3 мы должны умножить 2 на знаме-
нателя данной дроби, т. е. на 10, и полученное число 20
раздѣлить начислителя 3: имѣемъ 2:0,3=20:3=6 2/3; при
дѣленіи 0,002 на 0,03 мы должны умножить 0,002 на
знаменателя второй дроби, т. е. на 100, и полученное
число 0,2 раздѣлить на числителя 3; найдемъ частное
0,0666... Такимъ образомъ мы легко выяснимъ уча-
щимся, что дѣленіе на десятичную дробь можетъ
быть приведено къ дѣленію на цѣлое число.
Этимъ исчерпываются, собственно говоря, всѣ
основные вопросы методики курса дробей. Періоди-
ческихъ дробей, разумѣется, нѣтъ надобности вводить
въ начальную школу, какъ вслѣдствіе ихъ практи-
ческой безполезности, такъ и потому, что вопросъ
объ обращеніи ихъ въ простыя дроби не можетъ быть
изложенъ на данной ступени обученія безъ крупныхъ
логическихъ натяжекъ. Равнымъ образомъ не должно
быть мѣста въ начальной школѣ и такъ называемымъ
тройнымъ правиламъ: всѣ необходимыя задачи'этого
рода—на пропорціональныя величины и на процент-
ныя вычисленія—съ успѣхомъ рѣшаются по соображе-

пію, и мы не должны обременять начальный курсъ
ариѳметики этими остатками схоластики, отъ кото-
рой освобождается теперь и наша средняя школа.

ГЛАВА V.
Обученіе геометріи въ начальной школѣ.
Старая программа начальныхъ школъ не давала
учащимся никакихъ познаній геометрическаго' ха-
рактера; даже изученіе квадратныхъ и кубическихъ
мѣръ признавалось этой программой необязательнымъ,
хотя и весьма желательнымъ, особенно въ сельскихъ
школахъ. Что знакомство съ измѣреніемъ поверхно-
стей и объемовъ является насущнымъ вопросомъ
житейской практики, такъ какъ напр. сельско'му
населенію постоянно приходится сталкиваться съ
вопросомъ объ измѣреніи земельныхъ участковъ—въ
этомъ не можетъ быть никакого сомнѣнія. Но въ
настоящее время нельзя уже ограничиваться въ на-
чальной школѣ однимъ только изученіемъ квадрат-
ныхъ и кубическихъ мѣръ, a слѣдуетъ расширить
сообщаемыя свѣдѣнія до размѣровъ небольшого курса
геометріи, изучаемаго неразрывно со счисленіемъ.
За такое расширеніе говорятъ какъ практическія,
такъ и педагогическія соображенія; съ одной стороны
для практическихъ цѣлей недостаточно умѣть измѣ-
рять только прямолинейный длины или прямоуголь-

ные объемы и площади: практика жизни требуетъ
напр. умѣнья измѣрить площадь треугольника, тра-
пеціи, длину окружности или площадь круга, найти
объемъ призмы, цилиндра или шара; съ другой сто-
роны, знаніе геометрическихъ соотношеніи позво-
ляетъ въ высокой степени разнообразить матеріалъ
для ариѳметическихъ задачъ, присоединяя къ обыч-
ному математическому обиходу учащихся обширную
группу вопросовъ, близко связанныхъ съ жизнью;
наконецъ, изученіе естествознанія и географіи, да
и самой ариѳметики по конкретно-индуктивному и
трудовому методу требуетъ нѣкоторыхъ познаній
Ii измѣрительныхъ навыковъ геометрическаго хара-
ктера.
Я постараюсь теперь намѣтить группу вопросовъ
изъ области геометріи, которые мнѣ представляются
наиболѣе подходящими для изученія въ начальной
школѣ, при четырехлѣтнемъ курсѣ.
Первоначальныя свѣдѣнія о простѣйшихъ геомет-
рическихъ формахъ (напр. понятіе о шарѣ, кубѣ,
прямоугольномъ брускѣ) и объ измѣреніи длины
дѣти пріобрѣтаютъ еще въ дошкольный періодъ
жизни и въ первый годъ обученія, когда имъ прихо-
дится имѣть дѣло и съ кубиками ариѳметическаго
ящика, и съ числовыми фигурами, и съ нагляднымъ
изображеніемъ простѣйшихъ дробей съ помощью
частей прямоугольника, и круга и съ простѣйшими
мѣрами длины. Затѣмъ уже во второмъ году обученія
небезполезно знакомить дѣтей съ дѣленіемъ .прямо-
угольника и квадрата на квадратный клѣтки и со

счетомъ этихъ клѣтокъ; подобный счетъ квадратовъ
въ прямоугольной или квадратной площади служитъ
какъ подготовкой къ измѣренію площадей, такъ и
хорошимъ упражненіемъ и нагляднымъ средствомъ
для усвоенія таблицы умноженія. Въ третій же годъ
обученія слѣдуетъ расширить, углубить и система-
тизировать геометрическія познанія и навыки, пріоб-
рѣтенные до той поры; здѣсь учащіеся должны озна-
комиться съ важнѣйшими геометрическими тѣлами
(кубъ, прямоугольная призма, пирамида, шаръ, ци-
линдръ, конусъ) и ихъ гранями (прямоугольникъ,
квадратъ, треугольникъ, многоугольникъ, кругъ,
окружность), и съ основными геометрическими поня-
тіями—о плоской и кривой поверхности, прямой
и кривой линіи, о прямыхъ горизонтальныхъ и вер-
тикальныхъ, о прямыхъ пересѣкающихся и параллель-
ныхъ; объ углахъ—прямыхъ, острыхъ и тупыхъ;
о перпендикулярныхъ и наклонныхъ прямыхъ ли-
ніяхъ и т. п.; и наконецъ нужно изучить съ дѣтьми
измѣреніе прямоугольныхъ площадей и объемовъ,
ограниченныхъ прямоугольными стѣнками, и вмѣстѣ
съ этимъ—квадратныя и кубическія мѣры, какъ
русскія, такъ и метрическія. Въ четвертый годъ
тогда будетъ возможно расширить и дополнить свѣ-
дѣнія объ измѣреніи длинъ, поверхностей и объемовъ—
изучить измѣреніе площади Параллелограмма, тре-
угольника, трапеціи; длины окружности и площади
круга, поверхностей и объемовъ прямой призмы,
цилиндра,кон уса и шара, а равно и тѣлъ неправиль-
ной формы; наконецъ, дать понятіе объ измѣреніи
угловъ градусами.

Если же школа располагаетъ пятымъ годомъ обу-
ченія, то въ нее можно внести еще новый циклъ свѣ-
дѣній геометрическаго характера: о равенствѣ и по-
добіи фигуръ, о соотношеніи между сторонами и пло-
щадями подобныхъ фигуръ, о съемкѣ плановъ, о
наглядномъ изображеніи пропорціональныхъ вели-
чинъ (съ вычерчиваніемъ діаграммъ и графиковъ)
о числовой и геометрической зависимости между
сторонами прямоугольнаго треугольника (теорема Пи-
ѳагора) и т. д., съ приложеніемъ къ рѣшенію цѣлаго
ряда практическихъ и интересныхъ вопросовъ.
Всякій согласится съ тѣмъ, что усвоеніе предла-
гаемаго курса свѣдѣній и навыковъ геометрическаго
характера даетъ учащимся возможность выполнять
многіе практическіе разсчеты; они смогутъ напр.
измѣрить и вычислить площадь участка земли, ко-
личество сѣмянъ для засѣва поля или грядки, стои-
мость окраски пола, оклейки обоями стѣны, коли-
чество досокъ для настилки пола, бревенъ для по-
стройки, кирпичей для дома; объемъ ямы для посадки
дерева, вырытой канавы; количество сложенныхъ
дровъ, кирпичей, сѣна въ сараѣ; вмѣстимость ящика,
комнаты, дома; количество желѣза, приходящагося
на крышу, на ведро, на жолобъ трубы, стоимость
окраски или позолоты церковнаго купола и т. д.
Предложенная программа можетъ вызвать вопросы
только въ двухъ отношеніяхъ: во первыхъ, откуда
взять время на выполненіе ея наряду съ другими
отдѣлами школьной математики, и во вторыхъ, ка-
кимъ методомъ она должна быть разрабатываема?

Время можно найти, если исключить изъ школьной
практики разныя ненужныя и громоздкія упражненія
надъ составными именованными числами и «натаски-
ваніе» учащихся въ рѣшеніи «задачъ по типамъ»
и сложныхъ и неуклюжихъ задачъ «повторительнаго»
характера. Составныя именованныя числа слѣдуетъ
вообще не выдѣлять въ особый отдѣлъ, а изучать
параллельно съ соотвѣтствующими дѣйствіями надъ
отвлеченными числами, такъ какъ по существу дѣй-
ствія надъ тѣми и другими числами совершаются по
однимъ и тѣмъ же правиламъ; въ задачахъ же не
слѣдуетъ задавать составныхъ именованныхъ чиселъ,
содержащихъ болѣе двухъ видовъ смежныхъ мѣръ:
дѣл.о въ томъ, что въ практическихъ разсчетахъ
никогда не употребляются многосоставный именован-
ныя данныя, такъ какъ измѣренія не производятся
съ такой точностью, чтобы можно было опредѣлять
золотники при пудахъ или дюймы при верстахъ;
a кромѣ того, для упрощенія разсчетовъ стараются
вообще избѣгать дѣйствія надъ составными именован-
ными числами, замѣняя ихъ при случаѣ простыми
именованными или же дробями—не говорятъ напр,
«4 саж. 2 арш.» сукна, а 14 арш. сукна, и вмѣсто
2 арш. 8 вершк. предпочитаютъ сказать 2 1/2 аршина;
въ техническихъ разсчетахъ сажень дѣлятъ обыкно-
венно даже не на аршины и вершки, а на десятый и со-
тыя доли. Поэтому смѣшно читать напр. задачи такого
сорта: «У мѣдника было 7 пуд. 5 ф. 31 л. 1 зол. 48 дол.
мѣди; изъ 1/3 части ея онъ сдѣлалъ нѣсколько самова-
ровъ вѣсомъ пр 11 ф. 29 л. 90 дол. каждый, a изъ осталь-

ной мѣди приготовилъ нѣсколько KacTf голь, употре-
бивъ на каждую по 5 ф. 30 л. 1 зол. 93 доли. Сколько
тѣхъ и другихъ вещей сдѣлано мѣдникомъ»? (сборникъ
задачъ Борисова и Сатарова, 12-е изд., вып. Ш,
№ 224),—ИЛІ: «Надо замостить два шоссе:.одно дли-
ною въ 142 версты 4 саж. 2 ф. 7 , юйм., а другое—въ
73 версты 3 саж. 5 ф. 10 дюйм. На сколько первое
шоссе длиннѣе второго»? (Новый ариѳметическій за-
дачникъ для городскихъ и сельскихъ начальныхъ
училищъ Соколова и Сахарова, ч. III, № 267).
Вмѣсто упражненія въ подобныхъ вычисленіяхъ
и громоздкихъ задачахъ «повторительнаго» характера
гораздо цѣлесообразнѣе пройти краткій курсъ свѣ-
дѣній по геометріи, что даетъ возможность ввести
въ школьную практику разнообразныя практическія
задачи изъ области измѣреній, близкія к жизни
и интересныя для дѣтей. Въ тѣхъ школахъ, гдѣ вве-
дено обученіе рисованію, нѣкоторыя свѣдѣнія изъ
облости геометріи сообщаются и примѣняются и на
урокахъ рисованія: Наконецъ, предложенная прог-
рамма курса геометріи весьма эластик на,и пожеланію
учителя можетъ быть сокращаема или расширяема
въ зависимости отъ подготовки и развитія дѣтей и
другихъ условій жизни школы.
Что же касается вопроса о методѣ обученія на-
чаткамъ геометріи, то, конечно, въ начальной школѣ
не можетъ быть и рѣчи о дедуктивномъ курсѣ геомет-
ріи, въ которомъ изъ нѣсколькихъ основныхъ поло-
женій, опредѣленій и условій выводились бы чисто
логически всѣ остальныя изучемыя истины. Усвоеніе

начатковъ геометріи должно совершаться конкретно,
съ помощью изученія предметовъ окружающей об-
становки и моделей геометрическихъ тѣлъ, склеива-
нія и вылѣпливанія такихъ моделей по указаніямъ
учителя, изготовленія чертежей, вырѣзыванія геомет-
рическихъ фигуръ изъ бумаги, производства измѣре-
ній на мѣстности и тому подобныхъ способовъ нагляд-
наго ознакомленія со свойствами геометрическихъ
объектовъ. Только при такомъ способу обученія
можно разсчитывать на то, что изучаемый'свойства
пространства и его частей будутъ ясно представляться
умственному взору учащихся и будутъ усвоены ими
сознательно.
Вотъ какъ напр. можно было бы проводить озна-
комленіе дѣтей со свойствами куба, прямоугольной
призмы и ихъ граней. Первымъ предметомъ изъ окру-
жающей обстановки, который придется въ данномъ
случаѣ поближе изучить, будетъ классная комната.
Учитель начинаетъ съ того, что предлагаетъ дѣтямъ
измѣрить длину'и ширину, a затѣмъ и вышину ком-
наты (измѣрять можно приблизительно, напр. съ
точностью до четверти или до половины аршина; при
измѣреніи вышины нѣтъ надобности, конечно, влѣ-
зать на потолокъ, а достаточно достать до него палкой).
Затѣмъ учитель предлагаетъ изобразить на чертежѣ,
въ уменьшенномъ видѣ, полъ этой комнаты; съ этой
цѣлью учащіеся на листѣ бумаги, разграфленной
на крупныя клѣтки, должны вычертить прямую ли-
нію въ столько клѣтокъ или другихъ единицъ длины
(дюймовъ, сантиметровъ), сколько аршинъ занимаетъ

полъ комнаты въ длину; затѣмъ отмѣрить такимъ же
образомъ ширину и изобразить остальные края пола.
Послѣ этого непосредственно рядомъ съ выполненнымъ
чертежемъ пола, вправо и влѣво, вверхъ и внизъ,
вычерчиваются такимъ же образомъ стѣнки комнаты,
далѣе рядомъ внизу или вверху—потолокъ; получается
чертежъ всей комнаты въ развернут омъ видѣ. Затѣмъ
учитель предлагаетъ вырѣзать этотъ чертежъ и склеить
изъ него изображеніе комнаты въ маломъ видѣ; съ
этой цѣлью къ частямъ чертежа, изображающимъ
стѣнки и потолокъ, предварительно причерчиваются
вспомогательныя полоски для склеиванія; вырѣзавъ
и склеивъ чертежъ,, учащіеся получаютъ коробку съ
прямоугольными стѣнками, которая и будетъ желае-
мой моделью комнаты. Чтобы все это было выполнено
удачно, необходимо вычерчивать выкройку комнаты
на плотной бумагѣ или гибкомъ картонѣ; необходимо,
чтобы вся выкройка умѣстилась на одномъ листѣ,
а для этого учитель долженъ заранѣе вымѣрять
размѣры комнаты и разсчитать, какимъ числомъ
«клѣтокъ» или другихъ единицъ измѣренія нужно
изобразить каждый аршинъ, чтобы весъ. чертежъ
умѣстился на одномъ листѣ и не былъ въ то же время
слишкомъ малъ. Вырѣзываніе и склеиваніе дѣти
выполняютъ въ первое время въ классѣ подъ руковод-
ствомъ учителя, a впослѣдствіи и какъ самостоятель-
ное упражненіе въ классѣ и дома. Когда коробка
склеена, дѣти изучаютъ ея важнѣйшія свойства
(напр. что стѣнокъ въ ней 6, причемъ противополож-
ныя одинаковы, краевъ или реберъ 12, изъ нихъ

одинаковы тѣ, сто лежатъ между противоположивши
стѣнками; вершинъ 8, и т. д.); затѣмъ учитель можетъ
показать и деревянную модель прямоугольной призмы
и сообщить, что такой предметъ называется прямо-
угольной призмой или прямоугольнымъ брускомъ.
Далѣе учитель предлагаетъ назвать различные пред-
меты, похожіе на прямоугольную коробку или бру-
сокъ (сундукъ, шкапъ, ящикъ, книга и т. д.). Послѣ
этого учащіеся рисуютъ еще разъ нижнюю грань
коробки, учитель напоминаетъ, что полученная фи-
гура называется прямоугольникомъ и проситъ наз-
звать нѣсколько предметовъ, похожихъ на прямо
угольникъ (полъ и потолокъ комнаты, дворъ, листъ
бумаги, доска и т. д.); въ видѣ упражненія вычерчи-
вается на клѣтчатой бумагѣ еще нѣсколько прямо-
угольниковъ по заданнымъ размѣрамъ, напр. измѣ-
ряется длина и ширина классной доски ц чертится
въ маломъ видѣ соотвѣтствующій прямоугольникъ.
Подобнымъ образомъ проводится и изученіе куба.
Учитель показываетъ учащемся модель куба и за-
ставляетъ измѣрить его длину, ширину и вышину;
затѣмъ чертится выкройка куба и склеивается. Изу-
чая кубъ, учащіеся знакомятся также и съ квадра-
томъ.
Въ такомъ же духѣ можетъ быть проведено озна-
комленіе и съ остальными геометрическими тѣлами
(пирамида, цилиндръ, конусъ) и ихъ частями; тутъ же
выясняется понятіе о плоской и кривой поверхности,
о прямой и кривой линіи, о'горизонтальныхъ и вер-
тикальныхъ плоскостяхъ и прямыхъ.

Понятіе объ углѣ и сравненіе угловъ по величинѣ
выясняется также конкретно, при помощи вырѣзокъ
изъ бумаги. Прямой уголъ лучше всего опредѣлять
здѣсь какъ уголъ между горизонтальной и вертикаль-
ной прямой линіей, или всякій другой, ему равный;
такое объясненіе является болѣе конкретнымъ и до-
ступнымъ учащимся, чѣмъ' теоретическое понятіе
о прямомъ углѣ, какъ объ одномъ изъ двухъ равныхъ
смежныхъ угловъ.
Точно также понятіе о параллельныхъ прямыхъ
легче всего дается учащимся, если разсматривать
ихъ какъ такія прямыя, которыя вездѣ находятся
на одинаковомъ разстояніи другъ отъ друга; чѣмъ
при обычномъ ихъ геометрическомъ опредѣленіи (какъ
прямыхъ линій, лежащихъ въ одной плоскости и
нигдѣ не пересѣ кающихся).
Когда учащіеся такимъ образомъ освоились сі
основными геометрическими понятіями и пріобрѣли
должный навыкъ въ изготовленіи моделей и въ вы-
черчиваніи изучаемыхъ фигуръ и линій, можно пе-
рейти съ ними къ изученію вопроса объ измѣреніи
площадей и объемовъ. Для выясненія площадей
учитель можетъ поступить такъ. Сперва онъ показы-
ваетъ дѣтямъ двѣ одинаковыхъ прямоугольныхъ бу-
мажныхъ полосы, лучше всего разноцвѣтныя, и спра-
шиваетъ, которая больше; помощью наложенія уча-
щіеся убѣждаются, что полосы равны. Затѣмъ пока-
зываются двѣ полосы, первая изъ которыхъ имѣетъ
большую длину и большую ширину, чѣмъ вторая;
снова помощью наложенія учащіеся убѣждаются,

что первая полоса больше. Наконецъ учитель пока-
зываетъ двѣ полосы» одна изъ которыхъ имѣетъ боль-
шую длину, но меньшую ширину, чѣмъ другая, напр.
одну полосу въ 6 вершк. длины и 2 вершк. ширины,
другую въ 4 вершк. длины и 3 вершк. ширины; по-
пытавшись ихъ наложить другъ на друга, учащіеся
видятъ,'что наложеніемъ нельзя опредѣлить, которая
изъ нихъ больше. Тогда у g те ль беретъ такія же
двѣ полосы, но разграфленный на квадратныя клѣтки
по 1 кв. вершку, и снова предлагаетъ учащимся
сообразить, которая больше. Если они не догадаются
пересчитать, сколько въ каждой помѣщается клѣтокъ,
то учитель самъ задаетъ этотъ вопросъ, причемъ
предлагаетъ провѣрить, одинаковы ли клѣтки; длЪ
этого берется отдѣльный квадратный вершокъ п
накладывается поочередно на клѣтки площади. Послѣ
этого можетъ быть-поведена приблизительно такая
бесѣда: показывая'снова первую пару полосъ, учитель
спрашиваетъ: «Какъ мы узнали, что эти полосы оди-
наковы?—Мы ихъ наложили одну на/другую. А какъ
мы узнали, которая изъ этихъ полосъ больше (пока-
зываетъ вторую пару)?—Тоже наложили.—А про
эти (показываетъ на послѣднюю пару) какъ узнали,
что онѣ одинаковы?—Мы ихъ раздѣлили на одинако-
выя клѣтки, «и сосчитали, сколько клѣтокъ». Далѣе
учитель обращаетъ вниманіе дѣтей на то, что клѣтки,
на которыя раздѣлены послѣднія двѣ полосы, суть
квадраты длиной и шириной въ одинъ вершок,
и сообщаетъ имъ, что такой, квадратъ называется
квадратнымъ вершкомъ. Небезполезно послѣ этого

велѣть учащемся изготовить квадратные вершки (или
раздать имъ для образца готовые, если приходится
дорожить временемъ); затѣмъ учитель предлагаетъ
дѣтямъ изготовить полосу длиной, положимъ, вѣ
5. вершковъ, а шириной въ 1 вершокъ, и разграфить
ее на квадратные вершки (для этого достаточно от-
мѣтить простые вершки по длинѣ вверху и внизу
и соединить соотвѣтствующія точки дѣленія). Уча-
щіеся убѣждаются на этомъ и другихъ подобныхъ
примѣрахъ, что квадратныхъ вершковъ въ полосѣ
будетъ столько, сколько обыкновенныхъ вершковъ
въ длинѣ ея. Затѣмъ берется нѣсколько такихъ
разграфленныхъ полосъ, имѣющихъ ширину въ 1 вер-
шокъ, и одинаковую длину—положимъ, 4 полосы,
имѣющія по 5 вершк. въ длину. Онѣ прикрѣпляются
къ классной доскѣ (кнопками) одна подъ'другой,
и образуется прямоугольникъ длиной въ 5 вершк.
и шириной въ 4 вершк. Теперь нетрудно уже довести
учащихся до пониманія сути дѣла съ помощью такой
напр. бесѣды: «Сколько квадратныхъ вершковъ во
всемъ прямоугольникѣ?—20.—Какъ это мы нашли?—
Въ каждой полосѣ 5 кв. вершк., a всѣхъ полосъ 4;
5 разъ 4—20.—Что выражаетъ здѣсь число 5?—
Сколько квадратныхъ вершковъ въ каждой полосѣ,
или сколько вершковъ въ длинѣ всего прямоуголь-
ника—Что обозначаетъ число 4?—Сколько полосъ,
или сколько вершковъ въ ширинѣ прямоугольника.—
Значитъ, какъ же мы вы числили, сколько будетъ
квадратныхъ вершковъ во всемъ прямоугольникѣ?—
Перемножили число, показывающее длину, на число.

показывающее ширину. Послѣ нѣсколькихъ подоб-
ныхъ примѣровъ учащіеся уясняютъ общій пріемъ
и правило вычисленія площади прямоугольника.
Кстати сказать, отнюдь не слѣдуетъ спѣшить сооб-
щать имъ сокращенную форму этого правила: «по-
множить длину на ширину»г такъ какъ это можетъ
повести къ путаницѣ въ наименованіяхъ; при вычи-
сленій площади по правилу.мы множимъ отвлеченныя
числа, и лишь затѣмъ приписываемъ результату
наименованіе въ квадратныхъ мѣрахъ; если же припи-
сывать наименованіе и къ даннымъ числамъ, то при-
дется писать такъ: 5 кв. верш. × 4=20 кв. вершк.,
а не 5 вершк. ×4 вершк.=20 кв. вершк. Правда,
съ чисто научной точки зрѣнія мы имѣемъ право
говорить и о произведеніи именованныхъ чиселъ, и
запись 5 вершк. ×4 вершк.=20 кв. вершк. будетъ
имѣть вполнѣ опредѣленный смыслъ, если мы усло-
вимся подъ умноженіемъ именованнаго числа на име-
нованное разумѣть составленіе числа новаго, напередъ
опредѣленнаго наименованія, заключающаго столько
единицъ, сколько получится отъ умноженія соотвѣт-
ствующихъ отвлеченныхъ чиселъ. Но при этомъ,
конечно, самое слово «умноженіе» получаетъ совер-
шенно не тотъ смыслъ, какой мы ему приписываемъ
въ ариѳметикѣ, и если подобное условіе имѣетъ свое
значеніе и формальную цѣлесообразность въ матема-
тической наукѣ, то было, бы совершенно несвоевре-
менно говорить о немъ въ начальной школѣ при изученіи
квадратныхъ мѣръ.
Слѣдуеть тутъ же ознакомить учащихся и съ вычи-

сленіемъ площади квадрата; они такимъ образомъ
лишній разъ убѣдятся, что квадратъ можно разсма-
тривать какъ прямоугольникъ съ одинаковой длиной
и шириной. Затѣмъ можно перейти :а изученію даль-
нѣйшихъ квадратныхъ мѣръ: кв. аршина, кв. саже-
ни и т. д. Квадратный аршинъ и другія небольшія
мѣры (кв. футъ, дюймъ) можно сдѣлать изъ бумаги
съ разграфленіемъ на меньшія мѣры, квадратную са-
жень можно,вычертить на полу или на дворѣ, деся-
тину и даже квадратную версту—показать на окружаю-
щей школу мѣстности.
Заучивать, сколько въ квадратномъ аршинѣ квад-
ратныхъ вершковъ—нѣтъ надобности; но знать спо-
собъ вычисленія этихъ единичныхъ отношеній необ-
ходимо, тѣмъ болѣе, что всѣ эти случаи представ-
ляютъ примѣры на вычисленіе площади квадрата.
Методъ, примѣненный при изученіи квадратныхъ
мѣръ, можетъ быть проведенъ при изученіи куби-
ческихъ мѣръ, именно слѣдуетъ начать съ вмѣсти-
мости подходящимъ образомъ подобранныхъ коро-
бокъ или ящиковъ. Сперва учитель можетъ дать
для сравненія двѣ коробки, изъ которыхъ одна за-
мѣтно менѣе другой, такъ что можетъ въ ней по-
мѣстится; дѣти безъ труда найдутъ, которая
больше. Послѣ этого слѣдуетъ 'дать коробки,
которыхъ нельзя сравнить непосредственно, напр.
такія: длина, ширина и вышина одной пусть
будутъ соотвѣтственно 5, 3 и 2 вершка, а
другой—6, 4 и 1 вершокъ. Ихъ нельзя вложить одну
въ другую цѣликомъ: но если заполнить каждую kv

биками, имѣющими въ длину, ширину и вышину по
вершку, то въ первую войдетъ такихъ кубиковъ 30,
а во вторую только 24, и тѣмъ самымъ ясно обнаружит-
ся, что вторая меньше. Вмѣстѣ съ тѣмъ выясняется,
что для сравненія объемовъ приходится узнавать,
сколько разъ въ каждомъ изъ нихъ помѣщается опре-
дѣленный кубикъ, именно кубическій вершокъ. Послѣ
этого учащіеся знакомятся съ кубическимъ вершкомъ,
a затѣмъ учитель предлагаетъ имъ изготовить изъ бу-
маги открытыя коробки, длиной напр. въ 5 вершк., а
шириной и вышиной по 1 вершку, затѣмъ раздѣлить
ихъ бумажными перегородками на кубическіе вершки;
разсматривая Такія коробки, учащіеся убѣдятся,
что въ нихъ помѣстится по столько кубическихъ верш-
ковъ, сколько линейныхъ вершковъ въ ихъ длинѣ.
Если затѣмъ учащіеся возьмутъ нѣсколько такихъ
коробокъ, напр. 4, и поставятъ ихъ рядомъ (для
удобства можно склеить ихъ или сшить), то получится
новая коробка длиной въ 5 вершк., шириной въ 4
вершк. и вышиной въ 1 вершокъ; будетъ ясно, что
вмѣстимость такой коробки равна 20 кубич. вершкамъ.
Наконецъ, взявъ нѣсколько подобныхъ коробокъ,
напр. 2, и поставивъ ихъ другъ на друга, учащіеся
получатъ прямоугольный ящикъ длиной въ, 5 вершк.,
шириной въ 4 вершк. и вышиной въ 2 вершк. Ясно,
что объемъ такого ящика равенъ 40 кубич. вершкамъ,
послѣ чего нетрудно установить и правило вычисленія
объема.
Въ четвертый годъ обученія пріобрѣтенныя свѣ-
дѣнія объ измѣреніи площадей и объемовъ должны

быть возможно болѣе расширены. Вопросъ о площади
треугольника можно разобрать такъ. Предварительно
надо ознакомить учащихся съ понятіемъ объ основа-
ніи и высотѣ треугольника rf научить ихъ проводить
высоту въ треугольнике при помощи наугольника,
или просто перегибаніемъ, если треугольникъ вырѣ-
занъ изъ бумаги; при этомъ надо, чтобы дѣти уяснили
себѣ при помощи ряда подходящихъ упражненій,
какъ располагаются высоты въ треугольникахъ раз-
личнаго вида (остроугольномъ, прямоугольномъ, тупо-
Черт. 3.
угольномъ). Затѣмъ можно дать имъ убѣдиться, что
прямоугольный треугольникъ, составляетъ половину
прямоугольника съ тѣмъ же основаніемъ и высотой;
для этого достаточно, чтобы учащіеся, вырѣзавъ изъ
бумаги два одинаковыхъ прямоугольныхъ треуголь-
ника, сложили ихъ потомъ большими сторонами
вмѣстѣ (см. черт. 3). Затѣмъ молено обнаружить то
же самое относительно любого треугольника; пусть
учащіеся вырѣжутъ треугольникъ изъ бумаги и еще
другой, равный ему; затѣмъ во второмъ треугольникѣ
проводится высота (перегибаніемъ выкройки) и онъ
разрѣзывается по высотѣ, а части его прикладываются

къ первому треугольнику, какъ показано на черт-
4; ясно, что изъ двухъ нашихъ треугольниковъ скла-
дывается прямоугольникъ съ тѣмъ же основаніемъ
и высотой, значить каждый треугольникъ составляетъ
половину .прямоугольника.
Черт. 4.
Можно превратить треугольникъ въ равновели-
кій ему прямоугольникъ й непосредственно. Для
этого вырѣжемъ треугольникъ, проведемъ въ немъ
(перегибаніемъ) высоту, а также найдемъ при помощи
сгибанія середины боковыхъ сторонъ (черт.5); потомъ
согнемъ весь треугольникъ по линіи, соединяющей
середины этихъ сторонъ (она называется средней
линіей), отрѣжемъ верхнюю части треугольника
разрѣжемъ ее по высотѣ и приложимъ полученныя
части къ боковымъ сторо-
намъ оставшейся фигуры,
какъ показано на чертежѣ
пунктиромъ; ясно, что изъ
нашего треугольника полу-
пился прямоугольникъ съ
тѣмъ же основаніемъ, но съ
высотой вдвое меньшей, чѣмъ у треугольника.
Черт. 5.
Далѣе можно ознакомиться съ параллелограм-

момъ р съ измѣреніемъ его площади. При этомъ лучше
называть данную фигуру не параллелограммомъ, а
косоугольникомъ, потому что это названіе проще и
легче усваивается дѣтьми. Нужно, чтобы дѣти уясни-
ли себѣ, что косоугольникь—это четыреугольникъ,
стороны котораго попарно параллельны; при этомъ
они должны убѣдиться наложеніемъ, что въ косоуголь-
никѣ противоположныя стороны равны и противо-
положные углы также равны, и должны научиться
проводить въ немъ высоту наугольникомъ или съ по-
мощью перегибанія. Послѣ этого можно ознакомите
Черт. 6.
и съ измѣреніемъ площади косоугольника; пусть они
вырѣжутъ косоугольникь изъ бумаги» проведутъ въ
немъ высоту (черт. 6) и отрѣжутъ образовавшійся
треугольникъ, a затемъ переложатъ его по другую
сторону оставшейся фигуры, какъ. обозначено на
чертежѣ пунктиромъ; будетъ ясно, что изъ косоуголь-
ника получился прямоугольникъ съ такимъ же осно-
ваніемъ и такой же высотой.
Зная, какъ мѣряется площадь косоугольника,
учащіеся могутъ еще другимъ способомъ провѣрить
правило выделенія площади треугольник; именно

вырѣзатъ изъ бумаги два одинаковыхъ треугольника и
сложивъ ихъ, какъ показано на черт. 7, они убѣдятся,
что изъ этихъ двухъ треугольниковъ образовался
косоугольникъ; значитъ .треугольникъ составляетъ
половину косоугольника (а следовательно и прямо-
угольника) съ тѣмъ же основаніемъ и высотой.
Черт. 7.
Площадь трапеціи
можно опрёдѣлить, раз-
бивая его діагональю на
два треугольника, Или
же такъ: вырѣзавъ изъ
бумаги трапецію (черт. 8),
находимъ у нея сгиба-
ніемъ середины боковыхъ
сторонъ й перегибаемъ всю фигуру по линіи, соеди-
няющей эти середины {эта прямая называется сред-
ней линіей трапеціи), потомъ проводимъ изъ
концовъ этой линіи перпендикуляры на нижнее ос-
нованіе (опять же переливаніемъ), отрѣзываемъ
образовавшіеся край-
ніе треугольники и
перекладываемъ ихъ
наверхъ; какъ отмѣ-
чено на чертежѣ пун-
ктиромъ; получается
№>ъ трапеціи прямо-
угольникъ, основаніе
котораго равно средней линіи трапеціи, а высота
одинакова съ высотой трапеціи.
Черт. 8.
Площадь всякаго многоугольника дѣти смогут*

опредѣлить, разбивая его на треугольники діагона-
лями.
Само собою разумѣется, что всѣ эти свѣдѣнія о
фигурахъ должны сопровождаться упражненіями въ
соотвѣтствующихъ измѣреніяхъ, выполненіи черте-
жей и рѣшеніи задачъ практическаго характера.
Въ вопросѣ-объ измѣреніи длины окружности са-
мое важное, конечно, установить, что всякая окруж-
ности длиннѣе своего діаметра въ одно и то же число
разъ, именно въ 3 1/7 раза (приблизительно); это уча-
щіеся могутъ найти, измѣряя окружности и діаметры
разныхъ круглыхъ предметовъ и сравнивая Полу-
ченныя числа дѣленіемъ. Напр. измѣреніе окружно-
сти'и діаметра мѣднаго пятака даетъ возможность
найти указанное отношеніе съ точностью до 0,01, т. е.
получить число 3, 14; длину окружности можно вы-
мѣрять ниткой, а чтобы опредѣлить діаметръ, кладутъ
пятакъ на бумагу, обводятъ его очень тонко очинен-
нымъ карандашомъ, вырѣзываюТъ изъ бумаги полу-
ченный кружокъ и перегибаютъ его пополамъ; линія
перегиба и есть діаметръ.
Чтобы опредѣлить площадь круга, можно посту-
пить такъ: разрѣзать кругъ на узкіе секторы (напр.
на 24 или 32 сектора, которые предварительно намѣ-
чаются сгибаніемъ круга) и сложить ихъ такъ, чтобы
они, какъ зубцы, пришлись другъ между другомъ;
образуется фигура, очень похожая на параллело-
граммъ; безъ большой ошибки можно принять ее за
параллелограммъ, основаніе которого будетъ такимъ

образомъ равно половинѣ. длины окружности, (т.-е.
3 1/7 радіуса), a высота—радіусу; отсюда выходитъ,
что площадь круга въ 3 1/7 раза больше площади квад-
рата, каждая сторона котораго равна радіусу круга.
Этотъ выводъ полезно провѣрить взвѣшиваніемъ:
если взять напр. круглую мѣдную пластинку и дру-
гую квадратную такой же толщины и такого же ма-
теріала, причемъ сторона квадратной пластинки рав-
нялась бы радіусу круглой,—то круглая будетъ вѣ-
сить приблизительно въ 3 1/7 раза больше квадратной.
Для сравненія объемовъ тѣлъ различной формы
пригодны либо деревянныя модели, разбирающіяся
по частямъ, либо пустыя внутри и съ одной стороны
открытыя жестяныя модели, которыя можно напол-
нять водою или пескомъ, либо даже открытыя картон-
ныя модели, въ которыя можно насыпать песокъ,
(ихъ легче всего сдѣлать самимъ учащимся). Помощью
такихъ моделей учащіеся могутъ удостовѣриться,
что напр. прямыя призмы, имѣющія одинаковыя вы-
соты и одинаковыя по площади основанія, будутъ
имѣть равные объемы независимо отъ формы основа-
нія; что объемъ цилиндра приблизительно въ 3 1/7 раза
больше объема прямоугольной призмы, имѣющей ту же
высоту, a въ основаніи—квадратъ со стороной, рав-
ной радіусу цилиндра; что объемъ конуса въ три раза
меньше объема цилиндра съ тѣмъ же основаніемъ й
высотой, a объемъ шара БЪ полтора раза меньше объема
цилиндра, радіусъ котораго равенъ радіусу шара,
а высота—діаметру шара, и т. д.

Боковая поверхность цилиндра измѣряется легко,
такъ какъ ее можно развернуть на плоскости, и мы
получимъ прямоугольникъ, высота котораго равна
высотѣ цилиндра, a основаніе—длинѣ окружности
цилиндра. Точно также и боковая поверхность ко-
нуса развертывается на плоскости, и получается
круговой секторъ, радіусъ котораго равенъ образую-
щей Конуса; можно разрѣзать и этотъ круговой сек-
торъ на узкіе секторы и превратить его такимъ обра-
зомъ въ фигуру, похожую на параллелограммъ, какъ
это дѣлали при нахожденіи площади круга; основаніе
этого параллелограмма приблизительно равно длинѣ
полуокружности основанія конуса, а высота—обра-
зующей конуса.
Что же касается поверхности шара, то ее на
плоскости развернуть нельзя, и для приблизитель-
наго измѣренія ея употребляется довольно слож-
ный пріемъ: обматываютъ поверхность деревяннаго
полушара бичевкой, закрѣпляя ее постепенно булав-
ками; затѣмъ обматываютъ той же бичевкой боковую
поверхность цилиндра, радіусъ котораго равенъ ра-
діусу шара, и высота тоже равна радіусу; оказывается,,
что въ обоихъ случаяхъ на обматываніе поверхности
идетъ поровну бичевки, слѣд. поверхность полушара
равна боковой поверхности указаннаго цилиндра.
Наконецъ, можно научить дѣтей измѣрять объемы
небольшихъ тѣлъ неправильной формы, вкладывая
эти тѣла въ измѣрительный стаканъ съ водой и за-
мѣчая, насколько поднимается уровень воды; точно
также приблизительно измѣряется и небольшія пло-

щади неправильной формы, если наложить на нихъ
прозрачную миллиметровую сѣтку и сосчитать число
квадратныхъ миллиметровъ, занятое данной фигурой,

Приложеніе
УКАЗАТЕЛЬ
Литературы по обучению матема-
тике въ начальной школе.