Лай В. А. Руководство к первоначальному обучению арифметике... — 1916

В. А. ЛАЙ (Dr. W. A. Lay).

Руководство къ первоначальному
обученію ариѳметикѣ,

основанное на результатахъ дидактическихъ
опытовъ.

Переводъ съ послѣдняго нѣмецкаго изданія
подъ редакціей Д. Л. Волковскаго.

ИЗДАНІЕ 5-^Е,

ЗНАЧИТЕЛЬНО ПЕРЕРАБОТАННОЕ АВТОРОМЪ

Гл. Упр. военно-учебныхъ заведеній РЕКОМЕНДОВАНО для фундаментальныхъ библіотекъ кадетскихъ корпусовъ, какъ пособіе для преподавателей начальнаго курса ариѳметики.

ИЗДАНІЕ

Т-ва „В. В. ДУМНОВЪ, наслѣдн. Бр. САЛАЕВЫХЪ“.

МОСКВА, Мясницкая улица, домъ № 5.
ПЕТРОГРАДЪ, Больш. Конюшенная, № 1.

1916.

ОТЪ РЕДАКТОРА РУССКАГО ПЕРЕВОДА.

Настоящая книга является полнымъ переводомъ третьяго, послѣдняго изданія нѣмецкаго оригинала, вышедшаго въ свѣтъ въ 1914 г.

Это изданіе, сравнительно съ предыдущимъ, является весьма значительно исправленнымъ, измѣненнымъ и дополненнымъ и притомъ къ лучшему, ибо Лай воспользовался всѣми новѣйшими данными экспериментальной психологіи и своими новыми опытами и наблюденіями.

Особенности этого изданія указаны самимъ авторомъ въ предисловіи. Мы же здѣсь повторимъ съ нѣкоторыми измѣненіями то, что было сказано нами въ предисловіи къ первому и второму русскому изданію.

Въ этой книгѣ В. А. Лай примѣнилъ тѣ философскія и физіо-психологическія положенія, которыя высказаны имъ въ извѣстномъ капитальномъ трудѣ его: «Experimentelle Didaktik. Ihre Grundlegung mit besonderer Rücksicht auf Muskelsinn, Wille und Tat» («Экспериментальная дидактика съ подробнымъ изложеніемъ ученія о мускульномъ чувствѣ и колѣ»), переведенномъ почти на всѣ европейскіе языки и въ томъ числѣ на русскій подъ редакціей профессора А. П. Нечаева.

Неудовлетворительность чисто догматическаго умозрительнаго и діалектическаго способа рѣшенія методическихъ вопросовъ, а также очень распространенный грубый эмпиризмъ и путаница во взглядахъ во всѣхъ областяхъ преподаванія составляютъ, по мнѣнію В. А. Лая, характерное явленіе въ современной дидактикѣ и методикѣ.

Въ частности, по словамъ В. А. Лая, въ плачевномъ положеніи находится и современное преподаваніе ариѳметики, особенно первоначальной, въ нѣмецкой школѣ, ибо это преподаваніе «лишено еще прочнаго фундамента» и въ немъ «одно мнѣніе противорѣчитъ другому». Объ этомъ же, кромѣ Лая, свидѣтельствуетъ такой авторитетный нѣмецкій методистъ по ариѳметикѣ, какъ Штернеръ, который въ своей книгѣ «Исторія ариѳметическаго искусства» («Geschichte der Rechenkunst») доказываетъ господство полной безпринципности въ области первоначальнаго обученія ариѳметикѣ, а также психологъ Цигенъ, утверждающій, что только въ послѣднее время начинаются попытки положительнаго рѣшенія вопроса о природѣ и возникновеніи числовыхъ представленій.

Такое печальное состояніе дидактики и методики заставило В. А. Лая, по его словамъ, приступить къ составленію сложныхъ и

трудныхъ работъ по всѣмъ предметамъ обученія, въ томъ числѣ и по первоначальной ариѳметикѣ.

Правда, «Руководство къ первоначальному обученію ариѳметикѣ» В. А. Лая, какъ первый опытъ, по отзывамъ нѣкоторыхъ нѣмецкихъ критиковъ, не чуждо увлеченій и недостатковъ; несомнѣнно также, что В. А. Лаемъ сдѣлано далеко еще не все, чтобы вполнѣ прочно и строго научно обосновать методику ариѳметики. Тѣмъ не менѣе, этой и другими подобными работами авторъ показалъ и доказалъ, что возможно и необходимо рѣшать дидактическіе и методическіе вопросы экспериментальнымъ способомъ изслѣдованія, и тѣмъ самымъ положилъ начало новаго направленія въ области дидактики и методики, поставивъ основною цѣлью при этомъ желаніе сдѣлать процессъ обученія сообразнымъ природѣ дѣтской души. Такимъ образомъ, В. А. Лаемъ указанъ надлежащій путь, по которому должно итти съ увѣренностью, хотя еще и осторожно, въ обширной и богатой сомнѣніями области дидактики и методики.

Всѣ эти труды В. А. Лая заслуживаютъ серьезнаго вниманія и глубокаго изученія со стороны всѣхъ лицъ, научно интересующихся вопросами обученія и воспитанія дѣтей. Въ подтвержденіе этой мысли достаточно указать на то, что работы В. А. Лая признаны такими выдающимися философами, психологами и педагогами, какъ Риль, Зальвюркъ, Вундтъ, Мюнстербергъ, Селли, Форель, Ціэнъ, Стенли Холлъ, Наторпъ и др.

И дѣйствительно, точная, ясная и опредѣленная постановка вопросовъ, тонкій анализъ, смѣлыя, но убѣдительныя сопоставленія и отличное выполненіе опытовъ придаютъ сочиненіямъ В. А. Лая выдающійся научный интересъ и дѣлаютъ ихъ полезными не только для педагоговъ по профессіи, но и для всякаго образованнаго человѣка, желающаго разумно поставить дѣло обученія дѣтей.

Правда, сочиненія В. А. Лая, въ томъ числѣ и «Руководство къ первоначальному обученію ариѳметикѣ», не легко читаются, ибо, во-первыхъ, въ нихъ не мало философскаго и психологическаго элемента со спеціальной терминологіей, а, во-вторыхъ, написаны они серьезнымъ научнымъ языкомъ, требующимъ отъ читателя сосредоточеннаго вниманія и вдумчиваго отношенія; но зато они богаты внутреннимъ содержаніемъ, изобилуя цѣнными психологическими и особенно дидактическими и методическими положеніями, съ которыми иногда можно и не соглашаться, но которыя, несомнѣнно, будятъ мысль, освѣжая ее и вызывая на размышленіе.

Будучи цѣннымъ для любой европейской литературы, «Руководство къ первоначальному обученію ариѳметикѣ» В. А. Лая, по

нашему мнѣнію, является весьма важнымъ и для русской методической литературы.

Все вышеизложенное побудило насъ смѣло и въ то же время съ сознаніемъ важности и серьезности предпринимаемаго дѣла взять на себя иниціативу перевода и отвѣтственный трудъ редакторства его.

Переводъ выполненъ А. С. Мусатовой и А. Н. Долговымъ. Переводчики одинаково остерегались и «Сциллы неумѣстнаго сочинительства», или такъ называемаго вольнаго перевода, и «Харибды мертваго буквализма», ибо какъ то, такъ и другое въ равной мѣрѣ несовмѣстимо съ вѣрностью перевода.

В. А. Лай въ письмѣ ко мнѣ предложилъ выпустить въ исторической части изложеніе методики ариѳметики въ Германіи до послѣднихъ 25 лѣтъ, но я, въ виду крайней бѣдности въ русской литературѣ исторіи методики ариѳметики, счелъ небезполезнымъ для русскихъ читателей знакомство и съ этимъ періодомъ нѣмецкой методики ариѳметики, тѣмъ болѣе, что русская методика ариѳметики находилась и доселѣ находится подъ сильнымъ вліяніемъ нѣмецкой.

Выпуская въ свѣтъ русскій переводъ «Führer’а», мы раздѣляемъ надежду автора, высказанную намъ въ письмѣ, что «удостовѣренные результаты о первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ сдѣлаются доступными широкимъ кругамъ русской народной школы», и вмѣстѣ съ тѣмъ выражаемъ увѣренность, что книга вызоветъ благосклонное вниманіе любознательныхъ читателей и присяжныхъ критиковъ, хотя бы и несогласныхъ по нѣкоторымъ какъ принципіальнымъ, такъ и частнымъ вопросамъ съ авторомъ «Руководства», но дорожащихъ новымъ направленіемъ, оригинальнымъ методомъ и оригинальными положеніями (лишь бы все это, по мѣрѣ силъ и возможности, было обосновано), что, несомнѣнно присуще этой книгѣ.

«Руководство» Лая встрѣтило сочувствіе какъ среди педагоговъ-практиковъ, такъ и среди почти всѣхъ спеціально-педагогическихъ и спеціально-математическихъ журналовъ, а также среди нѣкоторыхъ серьезныхъ газетъ1).

Несмотря на обиліе отзывовъ, никто изъ критиковъ не указалъ самаго существеннаго въ «Руководствѣ» Лая, что, по нашему мнѣнію, подлежитъ дополненію. Вслѣдствіе чего считаемъ нужнымъ кратко сказать здѣсь объ этомъ.

Это касается взгляда Лая на экспериментальную дидактику. По мнѣнію Лая, экспериментальная дидактика есть только учиты-

ваемая съ помощью чиселъ преподавательская практика. Но разъ такъ, то дидактическій экспериментъ былъ бы классный экспериментъ и массовый опытъ. Но массовый опытъ, какъ совершенно справедливо заявляетъ проф. Э. Мейманъ 1): «1) всегда неизбѣжно менѣе точенъ, чѣмъ производимый въ психологической лабораторіи единичный опытъ; 2) онъ можетъ непосредственно дѣлать возможными только такіе эксперименты, съ помощью которыхъ опредѣляются внѣшніе результаты того или иного метода, при чемъ, однако, всегда долженъ оставаться совершенно ненадежнымъ обстоятельный анализъ того, какимъ образомъ отдѣльныя лица достигаютъ этихъ результатовъ. Поэтому 3) съ помощью одного лишь класснаго эксперимента мы никогда не можемъ окончательно разрѣшить вопроса о цѣнности дидактическихъ методовъ, такъ какъ результаты класснаго эксперимента нуждаются еще въ истолкованіи, опирающемся на анализъ условій опыта, а истолкованіе это всегда остается недостовѣрнымъ, потому что анализъ условій не можетъ быть выполненъ достаточно точно».

Вслѣдствіе этого, признавая классный экспериментъ полезнымъ и должнымъ, не слѣдуетъ считать его достаточнымъ, а необходимо дополнять его аналитически-дидактическимъ экспериментомъ надъ отдѣльнымъ ребенкомъ.

Считаемъ нужнымъ оговориться, что для удобства русскихъ читателей германскія названія монетъ (марки и пфенниги) замѣнены русскими названіями — рублями и копейками, безъ измѣненія чиселъ, приводимыхъ Лаемъ.

Что касается той особенности въ книгѣ Лая, что въ ней при умноженіи множитель иногда поставленъ раньше множимаго, т.-е. наоборотъ, чѣмъ у насъ, то мы оставили эту особенность безъ измѣненія, ибо она, съ одной стороны, общепринята не только въ нѣмецкой, но и французской, англійской и американской литературахъ, а съ другой стороны — не представляетъ затрудненія и для русскихъ читателей.

Д. Волковскій.

Москва. 1915 г., 10-го іюля.

ПРЕДИСЛОВІЕ АВТОРА КЪ 3-МУ ИЗДАНІЮ.

Въ моей книжкѣ «Führer durch den Rechtschreibunterricht» я впервые попытался основать систему преподаванія на результатахъ дидактическихъ опытовъ надъ классами; настоящее же сочиненіе «является дальнѣйшимъ практическимъ доказательствомъ того, что новѣйшая психологія и дидактико-психологическіе опыты имѣютъ громадное значеніе въ методикѣ преподаванія отдѣльныхъ предметовъ, въ научномъ обоснованіи и естественномъ построеніи ея, а также въ достиженіи наилучшихъ результатовъ преподаванія». (Предисловіе къ 1-му изданію, декабрь 1897 г.)

Съ теченіемъ времени этотъ взглядъ все болѣе и болѣе прививается, даже среди математиковъ и спеціалистовъ въ области обученія счисленію и математикѣ. Подробности читатели найдутъ въ настоящей работѣ; здѣсь же достаточно будетъ привести слѣдующія убѣдительныя данныя. Проф. Гэфлеръ (Höfler) въ своей «Didaktik der Mathematik» высказываетъ сожалѣніе, что учителя, получившіе математическое образованіе, недостаточно освѣдомлены въ вопросѣ о логическихъ и психологическихъ основаніяхъ своей науки; то же можно сказать и о многихъ учителяхъ народной школы. Далѣе: въ настоящее время образовалась «международная комиссія по математическому образованію», нѣмецкая группа которой, руководимая проф. Клейномъ (Klein), развила оживленную и плодотворную дѣятельность и издала довольно большое число работъ по дидактикѣ, между прочимъ работу Вернике — «Philosophische Propädeutik und mathematischer Unterricht» (Wernicke) и работу Каца — «Psychologie und mathematischer Unterricht» (Katz), въ которыхъ указывается, что настоящая книга является первымъ экспериментальнымъ изслѣдованіемъ въ данной области. При первомъ появленіи этой работы основные выводы ея кое-кѣмъ отбрасывались; зато теперь ее признали «первой экспериментальной работой, прокладывающей новые пути» и перевели на норвежскій языкъ. Все болѣе крѣпнетъ убѣжденіе, что для успѣшной борьбы съ предвзятыми сужденіями о происхожденіи чиселъ, счетѣ, числовыхъ рядахъ, объ устномъ и письменномъ счисленіи и т. д., а также для освѣщенія нѣкоторыхъ проблемъ, имѣющихъ огромное значеніе на практикѣ, необходимо обратиться къ психологіи и теоріи познанія, подобно тому, какъ это сдѣлано въ настоящемъ новомъ изданіи нашей работы.

Послѣдняя является существенно переработанной и содержитъ новыя изслѣдованія и данныя, которыя добавляются къ прежнимъ, подкрѣпляя, углубляя и расширяя ихъ; это вообще одно изъ ти-

пичныхъ достоинствъ новыхъ изданій работъ по экспериментальной педагогикѣ. Въ частности здѣсь имѣются новыя данныя: о развитіи числовыхъ представленій и счетѣ у ребенка, съ начала его жизни до поступленія его въ школу, сравнительное изслѣдованіе по счисленію у нормальныхъ и малоуспѣвающихъ учениковъ, о типахъ воспріятія при обученіи счисленію, у педагоговъ и математиковъ (типы математиковъ), о сущности письменнаго и устнаго счисленія, о «функціональномъ мышленіи» въ первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ, о психологическихъ процессахъ при выполненіи основныхъ ариѳметическихъ дѣйствій. Наша книга показываетъ, какимъ путемъ математическая абстракція идетъ отъ счисленія надъ тѣлами къ счисленію на приборахъ, къ счисленію по положенію и на цифрахъ, а дальнейшая абстракція въ алгебрѣ и анализѣ, выполненная Дедекиндомъ, Кронекеромъ и другими математиками, приводитъ къ тому, что натуральное число, за возникновеніемъ и сущностью котораго мы слѣдимъ, становится основаніемъ всей математики. Она показываетъ также, какимъ образомъ геометрія положенія на полѣ абака можетъ быть использована при первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ.

Книга хочетъ быть частью «жизненной школы»: она пытается замѣнить методъ «даванія» методомъ отыскиванія и стремится «воспитать въ ученикахъ, путемъ распространеннаго предметнаго счисленія, самостоятельность и самодѣятельность въ численномъ воспріятіи, переработкѣ и изображеніи своего опыта и наблюденій въ области природы и жизни людей».

Трудности элементарнаго обученія ариѳметикѣ, которое логически такъ просто и понятно, обыкновенно не замѣчаются и не дооцѣниваются тѣми, у кого отсутствуютъ необходимыя свѣдѣнія по психологіи дѣтей и первобытныхъ народовъ, а также по теоріи познанія. Настоящая книга стремится не только вскрыть всѣ эти трудности, но и помочь преодолѣть ихъ, давая общіе учебные планы, а частью даже и подробно разработанные планы уроковъ, которыхъ нерѣдко нехватаетъ начинающему. Письма педагоговъ-практиковъ, получаемыя мною какъ отъ моихъ соотечественниковъ, такъ и изъ заграницы, показываютъ, что настоящая книга даетъ учителямъ возможность не только сберегать время и силы, но и углублять преподаваніе, а также достигать лучшихъ результатовъ, особенно при занятіяхъ со слабыми учениками.

Пожелаемъ же, чтобы этимъ воспользовалось, на благо подрастающаго поколѣнія, возможно большее число учителей!

В. А. Лай.

Карлсруэ, февраль 1914 г.

ВВЕДЕНІЕ.

Какъ, еще новая книга о методѣ преподаванія ариѳметики?! — Но вѣдь сами методисты утверждаютъ, что методъ преподаванія ариѳметики въ народной школѣ окончательно выработанъ и что онъ «является основнымъ и наиболѣе блестящимъ отдѣломъ всей педагогики»1). Всѣ дороги ведутъ въ Римъ; я самъ создаю свой методъ.

«Мой милый другъ, теорія сѣда,

А жизни дерево вѣкъ зелено златое»...

(Гёте, Фаустъ, ч. I).

Подобнаго рода сужденія часто приходится слышать даже въ настоящее время.

Съ другой стороны, нѣкоторые выдающіеся методисты утверждаютъ, что въ «выборѣ, расположеніи и преподаваніи матеріала, т.-е. во всей методикѣ обученія, царитъ полный хаосъ: одинъ взглядъ не согласуется съ другимъ, и даже самые простые вопросы не свободны отъ противорѣчій»2). Далѣе: «Отысканіе принциповъ преподаванія ариѳметики представляетъ собою весьма благодарную задачу; найденные принципы позволили бы проч-

И мы считаемъ себя въ правѣ вновь предложить нашимъ самоувѣреннымъ коллегамъ цѣлый рядъ вопросовъ, касающихся первоначальнаго обученія счету. Увѣрены ли они въ томъ, что изъ всѣхъ дорогъ, ведущихъ въ Римъ, — одна и только одна является кратчайшей и лучшей! Не думаютъ ли они, что по избранной ими дорогѣ ходили и до нихъ, что путь этотъ уже давно признанъ окольнымъ? Потрудились ли они отдать себѣ отчетъ въ возникновеніи и сущности числовыхъ представленій и основныхъ ариѳметическихъ дѣйствій? Знаютъ ли они, что вопросъ о «числѣ» является одной изъ наиболѣе трудныхъ проблемъ, надъ разрѣшеніемъ которыхъ работали великіе мыслители всѣхъ временъ? Познакомились ли они съ тѣми взглядами на возникновеніе и сущность числа, которые были высказаны философами и были положены педагогами въ основу методики? Не позабыли ли они основать «свой собственный методъ» на возникновеніи и сущности числа? Не лишенъ ли этотъ методъ надежнаго фундамента? Признаютъ ли они, что построеніе наглядныхъ пособій и выработка системы преподаванія зависятъ отъ степени пониманія процесса возникновенія числа? Сознаютъ ли они, что многіе основные вопросы педагогики до сихъ поръ не только не разрѣшены, но и не поставлены нѣкоторыми методистами? Знаютъ ли они, что цѣнность ихъ системы преподаванія

Каковы бы ни были отдѣльные отвѣты на поставленные вопросы, все же несомнѣнно, что знакомство съ различными взглядами на обученіе ариѳметикѣ и на возникновеніе и сущность числа — крайне полезно. Методика ариѳметики, встрѣчающаяся, правда, во множествѣ отдѣльныхъ видовъ, все же есть нѣчто существующее. А если мы хотимъ правильно понять что-либо существующее, то мы должны ознакомиться съ исторіей его возникновенія. Исторія первоначальнаго преподаванія ариѳметики раскроетъ намъ слабыя стороны современной системы обученія, предохранитъ насъ отъ многихъ ошибокъ, укажетъ намъ, на что должны мы обратить вниманіе при улучшеніи преподаванія, и совершенно ясно покажетъ намъ, что мы устанавливаемъ пока только принципы методики, а потому совершенно еще не въ силахъ окончательно выработать ее. И въ то же время она поддержитъ насъ въ нашей попыткѣ закончить настоящую основную работу, имѣющую цѣлью облегчить тяжелый трудъ дѣтей, обучающихся ариѳметикѣ.

Кромѣ того, она покажетъ намъ, гдѣ и какъ должны мы примѣнять дидактическіе опыты, это новое орудіе педагогическаго изслѣдованія.

Поэтому мы изложимъ прежде всего, какъ создаются числовыя представленія у первобытныхъ народовъ и дѣтей, а затѣмъ обратимся къ исторіи основныхъ методовъ обученія счету. Воззрѣнія, усвоенныя педагогами, теоріи возникновенія и сущности числовыхъ представленій и основныхъ ариѳметическихъ дѣйствій, созданныя философами и педагогами, частью использовавшими данныя народной и дѣтской психологіи, — все это дастъ намъ матеріалъ, достаточный для созданія гипотезъ; это и будетъ первой ступенью экспериментально-дидактическаго изслѣ-

I. Ступень экспериментально-дидакти-
ческаго изслѣдованія.
Матеріалъ для созданія гипотезъ относительно
понятія числа и основныхъ ариѳметическихъ
дѣйствій. Созданіе гипотезъ.
А) Матеріалъ для созданія гипотезъ.
1. Возникновеніе чиселъ и счисленія у различныхъ
народовъ.
а) Соотношеніе между предметнымъ обученіемъ и
обученіемъ ариѳметикѣ.
Съ неумолимой послѣдовательностью царствуютъ въ
природѣ причина и дѣйствіе: всѣ предметы подвер-
гаются измѣненіямъ, всѣ испытываютъ уменьшеніе и увели-
ченіе, или принимаютъ новую группировку. Предста-
вимъ себѣ теперь первобытный народъ, борющійся за
свое существованіе. Многія измѣненія въ окружающей
его обстановкѣ,—вспомнимъ хотя бы о поискахъ нищи
и борьбѣ съ врагами,—оказываютъ могущественное влія-
ніе на благосостояніе и нужды человѣка, а нѣкоторы

являются даже необходимымъ условіемъ его существова-
нія. Поэтому человѣкъ, еще въ очень раннемъ періодѣ,
былъ вынужденъ воспринимать одушевленные и неодуше-
вленные предметы, силы и явленія природы и человѣческой
жизни по ихъ количеству и величинѣ: отъ этого въ значи-
тельной мѣрѣ зависѣли приносимыя ими благо или зло.
Онъ былъ вынужденъ воспринимать и представлять себѣ
вещи не только качественно, но и количественно,—численно;
онъ долженъ былъ образовывать изъ пріобрѣтенныхъ число-
выхъ представленій новыя, путемъ увеличенія или умень-
шенія первыхъ,—онъ вынужденъ былъ считать. Здѣсь мы
сталкиваемся съ запутанными и еще мало разработанными
вопросами преподаванія ариѳметики и математики вообще.
Духовную жизнь ребенка, съ одной стороны, и со-
вокупность учебнаго матеріала—съ другой, можно срав-
нить съ отдѣльнымъ живымъ организмомъ: его органы
и функціи соотвѣтствуютъ объектамъ преподаванія. При
нормальныхъ условіяхъ процессы развитія отдѣльныхъ
органовъ, т.-е. предметовъ преподаванія, находятся въ
постоянномъ взаимодѣйствіи. Какую же роль играетъ обу-
ченіе счету въ воспитаніи при естественномъ и культурно-
руководимомъ развитіи дѣтской души? Въ какомъ взаимо-
дѣйствіи находится оно съ другими органами и функціями
организма?
Эти вопросы приводятъ къ основному дидактическому
принципу, выведенному въ другомъ мѣстѣ. Здѣсь же можно
только указать на него: анатомія, физіологія, біологія.
психологія, теорія познанія, педагогическія наблюденія.—
все показываетъ намъ, что каждое ощущеніе, каждая мысль
и чувство стремятся или перейти въ движеніе или остано-
вить его, стремятся вызвать соотвѣтствующую даннымъ
условіямъ духовную или физическую дѣятельность, стре-
мятся произвести «выразительное движеніе». Каждое впеча-
тлѣніе стремится къ проявленію, пытается привести въ

движеніе извѣстные мускулы и органы. Каждое движеніе
возбуждаетъ съ помощью особыхъ осязательныхъ клѣтокъ
(Т—на прилагаемой гипотетической схемѣ, фиг. 1) въ
мускулахъ и суставахъ органовъ (М) осязательные нервы
(kb), которые можно
было бы назвать «ки-
неэстетическими» нер-
вами, вслѣдствіе чего
возникаютъ кинеэсте-
тическія ощущенія.
или ощущенія дви-
женія, въ моторныхъ
центрахъ мозга (m,
m, m). Улучшенный
выраженія вызыва-
ютъ и лучшія ощуще-
нія и двигательный
представленія; мотор-
ные же процессы дѣй-
ствуютъ, въ свою
очередь, посредствомъ
выраженія на сенсор-
ные процессы и сен-
сорныя, т.-е. не мо-
торныя, представле-
нія (двигательный
представленія), и, об-
ратно, послѣднія дѣй-
ствуютъ на первыя.
Такимъ образомъ со-
здается круговое взаи-
модѣйствіе между сенсорными и моторными процессами и
представленіями. Сенсорные процессы соотвѣтствуютъ вос-
пріятію, пассивности, матеріи, созерцанію; моторные—опре-
Organ
Фиг. 1.

дѣленію, активности, формѣ, фигурѣ и построенію, воспро-
изведенію. Между тѣми и другими происходитъ сознательная
переработка (ассимиляція въ s, s и т. д., т тит. д.) съ
логической, эстетической и религіозной точекъ зрѣнія.
Мы приходимъ, такимъ образомъ, къ основному ди-
дактическому принципу: за созерцаніемъ (и ассимиляціей)
должно принципіально слѣдовать воспроизведеніе: на-
блюдете и представленіе должны взаимно совершенство-
ваться путемъ кругового взаиМодѣйствія. Созерцаніе и
наблюденіе природы и человѣческой жизни доставляетъ
матеріалъ для духовной жизни и преподаванія. Согласно
основному дидактическому принципу, преподаваніе есте-
ственной исторіи, природовѣдѣнія, географіи, исторіи,
статистики городского и народнаго хозяйства, религіи
составляетъ болѣе воспринимаемую, пассивную, сенсор-
ную, созерцательную, наблюдательную сторону преподава-
нія,—наглядное или предметное преподаваніе. Извлеченный
изъ созерцательнаго предметнаго преподаванія и сознательно
обработанный матеріалъ или впечатлѣніе стремится къ
проявленію, къ воспроизведенію. Послѣднее можетъ быть:
1) физическимъ (ручной трудъ, въ видѣ производства опы-
товъ, изготовленія формъ, ухода за животными, растеніями);
2) драматическимъ или разговорнымъ; 3) музыкальнымъ;
4) пластическимъ и художественнымъ (рисованіе и живо-
пись); 6) математическимъ; 6) гимнастическимъ и, наконецъ.
7) личнымъ руководствомъ въ классныхъ общинахъ или
школьныхъ товариществахъ. Обученіе ручному труду,
преподаваніе языковъ, нѣнія, копированія и рисованія,
преподаваніе ариѳметики и геометріи, обученіе играмъ и
фехтованію образуютъ болѣе опредѣляющую, активную,
моторную, созидающую и творческую, формующую сторо-
ну преподаванія — изобразительное или формальное пре-
подаваніе. Согласно основному дидактическому принципу,
для взаимнаго усовершенствованія созерцательнаго, пред-

метнаго, и изобразительнаго, формальнаго преподаванія,
слѣдовательно, и преподаванія ариѳметики, необходимо
привести ихъ въ круговое взаимодѣйствіе.—Такъ возни-
каетъ новая школа—«школа дѣйствія»1).
Изъ этихъ разсужденій вытекаетъ слѣдующее (въ согласіи
съ только что приведенными и нижеизложенными фактами,
взятыми изъ области исторіи культуры и этнографіи):
1) Обученіе счету должно самымъ тѣснымъ образомъ
примыкать къ натуральному и соціальному предметному
обученію имѣя цѣлью воспріятіе и изображеніе предме-
товъ и явленій природы и человѣческой жизни съ количе-
ственной численной стороны; мы называемъ его распростра-
неннымъ предметнымъ, жизненнымъ счисленіемъ.
2) Оно должно пониматься и разрабатываться, подобно
математическому преподаванію вообще, какъ изобразитель-
ное преподаваніе. Оно является опредѣленной формой
выраженія для впечатлѣній и ихъ переработки 2).
3) По самому существу своему оно должно быть ак-
тивными созидающимъ, формующимъ, творческимъ.
Благодаря основному дидактическому принципу, во-
просъ о концентраціи вообще и «методѣ предметнаго пре-
подаванія ариѳметики» въ особенности, долженъ, какъ мы
это еще покажемъ въ дальнѣйшемъ, выступить въ новомъ
освѣщеніи, которое во многихъ направленіяхъ послужитъ
лучшимъ руководствомъ и яснѣе обнаружитъ нѣкоторые
недочеты. Не концентрація, а корреляція (взаимодѣйствіе).
должна лежать въ основѣ методики.
Мы нашли, что борьба за существованіе принудила
первобытныхъ людей воспринимать, выражать и изобра-
1) Lay, Die Tatschule, eine Natur—und kulturgemasse Schulre-
form. 1911.
2) Подобныхъ же взглядовъ придерживается Пуанкарэ въ своей
недавно вышедшей книгѣ «Цѣнность науки».

жать численно предметы и силы природы, съ которыми
имъ приходилось встрѣчаться въ жизни; даже народы
первобытнѣйшей культуры умѣли считать и вычислять,
хотя ивъ узкихъ предѣлахъ. Такъ какъ психологія перво-
бытныхъ народовъ подобна психологіи дѣтей, то послу-
шаемъ, что сообщаютъ психолога и этнографы относительно
числовыхъ представленій, счета, числительныхъ и системъ
счисленія народовъ, стоящихъ на низкой ступени куль-
туры. Тогда обнаружится, что школьные учителя-мето-
дисты даютъ обыкновенно неправильное опредѣленіе счета,
высказываютъ неправильные взгляды на возникновеніе
представленій объ основныхъ числахъ системъ счисленія
и примѣняютъ ихъ на практикѣ ко вреду для учениковъ.
Они ошибочно утверждаютъ, что представленія основныхъ
чиселъ окончательно слагаются только благодаря счету
и понимаютъ подъ словомъ «счетъ» такую дѣятельность,
посредствомъ которой каждой вещи изъ нѣкоторой сово-
купности вещей сообщается наименованіе по установлен-
ному ряду числительныхъ.
Чтобы заранѣе предохранить себя отъ недоразумѣній
и ошибокъ, необходимо предварительно, до всесторонняго
и основательнаго освѣщенія вопроса, установить слѣ-
дующее:
1) Что мы не раздѣляемъ этого взгляда на сущность
счета, но слово «счетъ» будемъ употреблять въ дальнѣй-
шемъ именно въ этомъ обще-употребительномъ смыслѣ, т.-е.
въ смыслѣ подбора числительныхъ въ опредѣленный непре-
рывный рядъ. Съ нашей же точки зрѣнія. счетъ есть, но
самому существу своему, сознательное постулированіе, т.-е.
признаніе бытія, существованія вещей, которое можетъ сло-
житься и безъ наличности числительныхъ (кусокъ золота,
душа, молнія, слонъ суть : : постуляціи=4 вещи).
2) Что подъ «яснымъ и отчетливымъ» или «нагляд-
нымъ» числовымъ представленіемъ, въ противополож-

ность числовымъ представленіямъ, возникновеніе кото-
рыхъ связано съ системой десятичной, т.-е. вообще въ
противоположность числамъ выше десяти, мы будемъ по-
нимать такія представленія основныхъ чиселъ, въ кото-
рыхъ мы одновременно съ совокупностью единицъ (т.-е.
отдѣльныхъ постуляцій) познаемъ и каждую отдѣльную
единицу, такъ что въ представленіи мы можемъ разложить
эту совокупность на отдѣльныя единицы или группы ихъ,
или, обратно, построить ее изъ тѣхъ же группъ и отдѣль-
ныхъ единицъ. (Напр., 4=: : ).
3) Одновременными же (въ соотвѣтствіи съ нашими
опытами) мы будемъ называть такія воспріятія и пред-
ставленія основного числа (напр., 4), которыя создаются
менѣе, чѣмъ въ одну секунду.
Основной задачей этого труда является надежное до-
казательство того, что взгляды на счетъ, возникновеніе
и сущность основныхъ числовыхъ представленій, кото-
рыхъ придерживаются методисты, часто бываютъ ошибоч-
ными и потому вредно вліяющими на преподаваніе ариѳ-
метики. Матеріалъ для построенія нашихъ гипотезъ по-
является въ настоящее время все въ возрастающемъ коли-
чествѣ въ видѣ докладовъ этнографовъ о числительныхъ,
счетѣ и системахъ счисленія у народовъ первобытной куль-
туры, которыми авторъ при постановкѣ своихъ опытовъ
(1897 г.) большею частью еще не могъ воспользоваться.
Эти данныя и до сихъ поръ еще не оцѣнены по достоинству
современными методистами.
b) Числительныя и числовыя представленія мало-
культурныхъ народовъ.
Происхожденіе основныхъ числительныхъ позволяетъ
намъ судить о возникновеніи числовыхъ представленій.
На основаніи богатыхъ источниковъ, разработанныхъ д-ромъ
Конэнтъ, можно дать слѣдующій обзоръ первоначальнаго

значенія основныхъ числительныхъ у различныхъ наро-
довъ 1).
1 означаетъ: я (по-санскритски) одинъ{чикитосы въ Боли-
віи) луна штука начало, существованіе.
2 » природныя пары: глаза (индусы) крылья.
руки, ноги; другой, повтореніе.
3 » нога страуса (индѣйцы-абипоны въ Южной
Америкѣ);два—одинъ; средніе пальцы вмѣстѣ
(индѣйцы-чейпэи) нѣкоторые.
4 » нога птицы (3 пальца спереди. 1 палецъ
сзади) 2 двойки.
6 » кисть, кулакъ. 5 вытянутыхъ пальцевъ.
группа, отдѣлъ.
fi » пять—одинъ, вторая единица, 2 тройки.
7 > пять—два, вторая пара, 10 безъ 3.
8 » пять—три. вторая тройка. 2 четверки, 10
безъ 2.
Я » пять—четыре, 3 тройки, 10 безъ 1.
10 » 1 (группа), 2 пятерки, 2 руки, человѣкъ,
полчеловѣка (считая и пальцы на ногахъ);
связка (у маори).
Обзоръ показываетъ:
1) Что основныя числовыя представленія и ихъ словес-
ныя обозначенія пріобрѣтены путемъ наблюденія наглядно-
группированныхъ предметовъ, т.-е. преимущественно при
помощи группъ или «числовыхъ фигуръ».
2) Что сущность единицы состоитъ въ сознательномъ
постулированіи предположеніи или признаніи бытія фи-
г) Dr. Conant, The Number Concept, New-York, 1896, сопоста-
вляетъ данныя изъ отчетовъ приблизительно 100 изслѣдователей;
сущности счета и счисленія онъ, однако, глубоко не затрогиваетъ,
обученія же счету не касается вовсе.—Если бы д-ръ Вилькъ (Wilk)
былъ знакомъ съ этой работой, то въ своей статьѣ «О происхожде-
ніи чиселъ», онъ, навѣрное, пришелъ бы къ инымъ выводамъ.

зической или психической вещи, явленія или состоянія,
въ признаніи существованія чего-то. См. въ данномъ обзорѣ:
1=существованіе; 1=я («я»=обособленіе, возвышеніе или
постулированіе собственной личности, «я»=самосознаніе;
вспомните принципъ Декартовой философіи: я мыслю, слѣ-
довательно, я существую: cogito ergo sum), 1— одинъ; луна,
свѣтлая на темномъ фонѣ. Обособленное положеніе облег-
чаетъ это признаніе, вызываетъ его.
3) Многіе языки имѣютъ различныя числительныя для
обозначенія одинаковаго числа предметовъ различныхъ клас-
совъ. Такъ. напр.. въ тянь-шаньскомъ нарѣчіи существуютъ
различныя числительныя для плоскихъ, круглыхъ, длин-
ныхъ предметовъ, для людей, для челновъ и для мѣръ;по-
добно этому, въ простонародномъ нѣмецкомъ языкѣ числи-
тельное «Zwo» употребляется для обозначенія 2 предме-
товъ, выражаемыхъ словами женскаго и «Zwee»—мужескаго
рода. Воспринимаемыя чувствами вещи и явленія образуютъ
такимъ образомъ (съ чѣмъ все еще несогласны нѣкоторые
методисты) ту почву, на которой развиваются представленія
основныхъ чиселъ, а. стало быть, и числовыя представленія
вообще.
Поэтому совершенно ошибочно утвержденіе, будто чи-
словыя представленія возникаютъ только благодаря счету
и рядамъ.
Количество основныхъ числительныхъ также характе-
ризуетъ возникновеніе числовыхъ представленій. По мнѣ-
нію д-ра Кӧнэнтъ, существуютъ такія мало-культурныя пле-
мена, которыя не имѣютъ иныхъ числительныхъ, кромѣ 1,
которыя такимъ образомъ, совершенно не употребляютъ чи-
слительныхъ при опредѣленіи количества и, тѣмъ не менѣе,
обладаютъ числовыми представленіями (чикитосы, команчи,
майрасы (Новая Гвинея), кафры). Пурисы и ботокуды
имѣютъ только два числительныхъ—1 и много, мбокобы
(гуайякурусы) и энкабеллады (Ріо-Напо)—основныя числи-

тельныя 1 и 2. Многія австралійскія племена считаютъ
только до 2 или 3. Бушмены имѣютъ числительныя для 1 или
2; 3 обозначаетъ много. Кампасскіе индѣйцы (въ Перу)
имѣютъ простыя числительныя 1, 2, 3 и составныя 1+3,
1+1+3 (для пяти). Количества, превышающія 10, обозна-
чаются словомъ «много». Орехонесы (на Амазонкѣ) имѣютъ
числительныя—1, 2, 3 и 4. Отсюда видно:
1) Что образованіе группъ начинается уже при 2 и 3; 2 п 3
вещи могутъ быть ясно и отчетливо восприняты и предста-
влены одновременно. Группы и числовыя фигуры, восприни-
маемый одновременно, гораздо ближе первобытному (и
дѣтскому) сознанію, чѣмъ счетъ и послѣдовательно воспри-
нимаемые ряды.
2) Числовыя представленія могутъ возникать безъ чи-
слительныхъ и безъ счета.
3) Числовыя воспріятія мало-культурныхъ народовъ
(такъ же, какъ и дѣтей) очень ограничены.
4) У культурныхъ народовъ всѣ основныя числитель-
ныя (за исключеніемъ ста, тысячи, милліона и билліона)
являются, повидимому, простыми; у первобытныхъ же на-
родовъ, начиная съ 3, они часто являются составными (4-три
и одинъ), что указываетъ на воспріятіе группами.
Ошибки въ счетѣ также даютъ психологическія указа-
нія. По сообщенію А. фонъ-Гумбольдта, одинъ chayma могь
утверждать въ одно и то же время, что ему 18 и 60 лѣтъ; из-
слѣдователь-путешественникъ Парри (Parry) нашелъ, что
эскимосы дѣлаютъ ошибки въ счетѣ, не переступая число-
вого предѣла 7. Пріобрѣтеніе числовыхъ представленій и
счетъ въ предѣлахъ до 10 представляютъ уже нѣкоторыя
трудности для примитивнаго мышленія. Наглядное посо-
біе—вытянутые пальцы руки, какъ и вообще всякій рядъ,—
является недостаточнымъ для созданія яснаго и отчетли-
ваго числового представленія въ нашемъ смыслѣ слова;
пальцы руки перестаютъ, собственно, служить нагляднымъ

пособіемъ, если число ихъ превышаетъ 2 или 3. Д-ръ Вилькъ,
поэтому, ошибается, думая, что числовыя представленія
«всѣхъ народовъ», всего человѣчества, развились изъ на-
блюденія пальцевъ, этого универсальнаго «нагляднаго по-
собія». Противъ этого говорятъ не только многіе изъ при-
веденныхъ выше фактовъ, но и существованіе двоичной,
троичной и четверичной системъ счисленія.
с) Системы счисленія.
Племена западныхъ Торресовыхъ острововъ владѣютъ
только 2 простыми числительными: urapun = 1 и okosa=2;
остальныя числительныя составляются такъ: 3 = okosa—
—urapun или 2—1; 4=2—2; 5=2—2—1; 6=2—2—2. Всѣ
числа, превышающія 6, обозначаются словомъ ras=жребій.
У другихъ племенъ 7 равно 3.2+1; 8=4.2; 9=4.2 + 1. Здѣсь
мы видимъ систематическое построеніе чиселъ при помощи
2, какъ основанія; это двоичная система не выходящая за
предѣлъ 10 и распространенная у австралійскихъ и южно-
американскихъ народовъ. Кӧнэнтъ приводитъ не менѣе 42
двоичныхъ системъ. Троичная система, пользующаяся для
образованія группъ числомъ 3, соединяется обыкновенно
съ пятиричной системой. Она возникла, во всякомъ слу-
чаѣ, путемъ счета на пальцахъ и привела къ шестиричной
системѣ, которую мы находимъ у племенъ москитосовъ (въ
Центральной Америкѣ): 7=6+1; 8=6+2; 9=6+3. На
языкѣ бетойцевъ (Южная Америка) 2=другой; 3=сверхъ
того; 4=3—1 (три—одинъ); 5=рука; затѣмъ слѣдуетъ пяти-
ричная система (см. ниже); у камилароевъ (Австраліи) 5=
=3—2; 6=3—3. Въ основаніи четверичной системы лежитъ
группа 4. Kulis (въ Парагваѣ) имѣютъ, напр.. слѣдующія
числительныя: 1, 2, 3, 4; 5=4 съ 1; 6=4 съ 2; 7=4 съ 3;
8=4 съ 4; 9=4 съ 4+1; 10 обозначаетъ всѣ пальцы рукъ.
Четверичныя системы образовались частью изъ двоичной
системы, частью же возникли благодаря тому, что большой

палецъ руки не принимался во вниманіе, какъ это наблю-
дается и сейчасъ у нѣкоторыхъ индѣйскихъ племенъ въ
Британской Колумбіи. Эта система часто соединялась съ
десятичной и отразилась въ древнихъ языкахъ Централь-
ной Азіи. Изъ нея произошли основанія 16 и 64. Но сама
группа 4 четверичной системъ! возникаетъ не изъ единовре-
меннаго воспріятія ея. Такъ, напр., у макобовъ (въ Па-
ранѣ) 3 обозначаетъ=больше 2; 4=2 сверхъ 2; 5=4—1 или
также 2 сверхъ 3; 6=4—2; 7=сверхъ 4—3; 8=4—4. Пяти-
ричная система произошла вслѣдствіе счета на пальцахъ,
потому что 5 многократно обозначаетъ руку, кулакъ; 10—
двѣ руки, конецъ второй руки; всѣ пальцы, пальцы обѣихъ
рукъ, одного человѣка; 15=три руки; 20=4 руки и т. д.
У бетойцевъ 5=рука; 6=рука 1; 7=рука 2; 8=рука 3;
9=рука 4; 10=2 руки; 15=3 руки; 16=3 руки 1; 20=4 руки.
Само же 5 возникало многократно и, вѣроятно, вполнѣ пра-
вильно благодаря сопоставленію наглядныхъ и одновре-
менно воспринимаемыхъ группъ (2. 3, 1). (См. четверичную
систему). Пятиричная система распространена въ настоя-
щее время во всѣхъ частяхъ свѣта, кромѣ Европы;возможно,
что и доисторическія племена Европы владѣли и пользо-
вались ею. Эта система закономѣрно переходитъ въ двад-
цати-или десятичную и образуетъ съ той или другой.или съ
обѣими вмѣстѣ смѣшанную систему. Двадцатиричная си-
стема возникла, вѣроятно, благодаря тому, что для обо-
значенія количествъ употреблялись сначала только пальцы
рукъ, а затѣмъ послѣдовательно и пальцы обѣихъ ногъ; на
это указываютъ значенія числительныхъ: 11=1 на ногѣ;
17=2 на другой ногѣ; 20=руки—ноги. Эта система встрѣ-
чается въ Европѣ, Африкѣ, Азіи и особенно въ Америкѣ.
Кельты пользовались ею, и кельтскія нарѣчія сохраняютъ
ее еще до сихъ поръ (бретонское, ирландское, валлисское,
мэнское, гэльское нарѣчія). (По-ирландски 20=fice; 30=
=3—10; 40=2—20; 50=5—10; 60=3—20; 70=7—10; 80=

=8—10; 90=9—10; 1000=cead). Пережитки ея проникли
въ датскій и французскій языки (70, soixante-dix=
= 60 — 10; 80. quatre-vingt = 4—20; 90, quatrе-vingt-
dix = 4—20—10).
Иногда пробуждалось желаніе вытѣснить естественную
десятичную систему—искусственной двѣнадцатиричной. За
нее высказывались Карлъ XII шведскій и Александръ фонъ-
Гумбольдтъ. Эта система пользуется выраженіями «дюжина»
и «гроссъ» (144) и имѣетъ то практическое преимущество,
что основаніе ея 12 содержитъ рядъ основныхъ чиселъ
(2, 3, 4. 6). Апосы (въ Бэнуэ) обладаютъ простыми числи-
тельными до 12; такъ, по ихъ счету 13=12—1; 14=12—2
т. Д. 1).
Десятичная система имѣетъ широкое распространеніе
у малокультурныхъ народовъ, такъ какъ опредѣленіе чи-
селъ при помощи пальцевъ легко ведетъ къ развитію этой
системы. 10 обозначаетъ часто 2 руки или человѣка; 20=2—
—10 (дцать); 30=3—10; 40=4—10 и т. д.
Изученіе системъ счисленія показываетъ, что:
1) Примитивное мышленіе образовало малыя одновремен-
но воспринимаемыя группы 2 и 3; соединило ихъ далѣе въ
группы 4, б, 6, 7, 8, 9, 10 и положило эти числа (кромѣ 7 и 9)
въ основаніе системъ счисленія, изъ которыхъ двоичная и
троичная достигаютъ только 10.
2) Чѣмъ выше развивалась вообще культура и способ-
ность къ отвлеченному мышленію, тѣмъ на большую область
чиселъ распространялись системы счисленія.
3) Всѣ системы счисленія основаны на образованіи
группъ, что должны принять во вниманіе послѣдователи
метода счета и рядовъ.
х) Neumayers Anleitung zu wissensch. Beobachtungen auf Reisen.
Ганноверъ, 1905 г., т. II, стр. 290.

d) Цифры и цифровыя системы.
Извѣстно, что и первобытные народы стремятся зафи-
ксировать какимъ-либо удобнымъ способомъ для себя и для
окружающихъ разъ опредѣленное количество или число ве-
щей. Первоначально для этой цѣли пользовались камеш-
ками, зернами, раковинами, взятыми въ соотвѣтствующемъ
количествѣ. Позднѣе стали примѣнять рисунки или над-
писи, т.-е. замѣнили предметы письменными знаками, чи-
словыми знаками или цифрами. Совокупность числовыхъ
знаковъ даннаго народа является его цифровой системой.
Цифры, подобно буквамъ, суть символы; однако, между тѣми
и другими есть нѣкоторая существенная разница. Въ напеча-
танномъ предложеніи: «Семь и шесть суть тринадцать» мы
имѣемъ письменные знаки или символы для звуковъ и словъ,
тогда какъ въ формулѣ: «7+6=13» мы встрѣчаемся съ пись-
менными символами для понятій. Первые понятны только
знающимъ русскій языкъ, тогда какъ вторые знакомы всѣмъ
культурнымъ народамъ. При обученіи ариѳметикѣ ученики
должны освоиться и съ цифровой системой, связывая
предметное, существенное представленіе числа не только
со звуковымъ и слуховымъ представленіемъ, но и съ пись-
меннымъ представленіемъ цифры, символа. Если, поэтому,
мы хотимъ изучить генезисъ числовыхъ представленій, то
намъ необходимо ознакомиться и съ послѣдовательными
ступенями развитія цифровыхъ знаковъ и цифровыхъ си-
стемъ1).
Отдѣльныя цифры обязаны своимъ происхожденіемъ:
I. Натуральнымъ числовымъ знакамъ. Древніе египтяне,
греки и римляне, въ первоначальной стадіи своего куль-
1) Сравн. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik,
1 Bd, Leipzig, 1907; Branford, Betrachtungen über math. Erziehung
von Kindergarten bis zur Universität, Leipzig, 1913; Löffler, Ziffern
und Ziffernsysteme der Kulturvölker, Leipzig, 1912.

турнаго развитія, обозначали числа отъ 1 до 10 штрихами
(и надрѣзами на палочкахъ); ацтеки пользовались для той
же цѣли колечками. Но такъ какъ длинные ряды не наглядны,
то знаки соединяли въ группы, штрихи же перечеркивали.
Такъ: 1=1, 11=2, 111=3, Х=10, Ц=20, =30 (пер-
воначальныя римскія цифры). У китайцевъ:—=1,==2,
==3; числа, превышающій три, обозначались иными
знаками. Вообще говоря, болѣе, чѣмъ три штриха при-
мѣнялись рѣдко; такіе ряды недостаточно наглядны.
И. Рисункамъ или знакамъ, происхожденіе которыхъ
изъ буквъ въ настоящее время не представляется возмож-
нымъ установить, а) Цифры образуютъ полную систему, т.-е.
такую, въ которой всѣ единицы, десятки, сотни и тысячи
имѣютъ особые знаки; тогда общее число ихъ равно 28. Таковы
цифры у египтянъ, которыя такъ же относятся къ древнимъ
гіероглифическимъ (2500 лѣтъ до Р. Х.), какъ нашъ про-
писной шрифтъ къ печатному, b) Цифровая система яв-
ляется неполной или сокращенной: 1. гіероглифическія
цифры 1=1, 10=11, 100=неразвернувшійся пальмовый
листъ, 1000=цвѣтокъ лотоса (эмблема Нила и плодородія),
10 000=указательный палецъ, 100 000=рыба (несмѣтныя ко-
личества оставались послѣ разливовъ Нила), 1 000 000=
человѣкъ съ поднятыми руками. Далѣе, клинообразный
цифры, финикійскія, сирійскія, древне еврейскія, китайско-
японскія цифры, наши современныя европейскія цифры.
III. Начальнымъ буквамъ числительныхъ; сокращен-
ная система; съ древнѣйшихъ временъ до періода древнихъ
грековъ. Примѣръ: δεκα=δ=Δ=10, (h) εκατον=h=Н=100.
IV. Знакамъ слоговъ или буквамъ въ произвольномъ
или алфавитномъ порядкѣ; полныя системы, т. е. имѣющія
по 28 знаковъ. Таковы семитическія цифры болѣе позд-
няго времени—у сирійцевъ, евреевъ, арабовъ, нѣкоторыя
индусскія цифры (Брама), греческія цифры: α=1,β=2,
γ = 3, ρ = 100, κ = 20, ρκγ = 123; итальянскія и римскія

цифры: Х= 10, У=половинаХ=б, /)(=20, JWt=30, ffU =40,
>fc=100=)l(=c (связь съ «Centum»—сто), | =50=половина
^:=± = L=50. Знакъ х возникъ благодаря перечеркиванію
штриха. Истолкованіе V, какъ знака руки, и X, какъ знака
двухъ рукъ, оказалось ошибочнымъ. Благодаря двойному
перечеркиванію и связи со словомъ «Mille», возникъ знакъ
М=1000 и т. д.
Въ развитіи символовъ для составныхъ чиселъ можно
прослѣдить слѣдующіе методы и ступени. Мы пояснимъ всѣ
ихъ на одномъ и томъ же числѣ 3407.
I. Методъ прибавленія: MMMCCCCVII = 3407, въ кли-
нообразныхъ, иероглифическихъ, египетскихъ болѣе позд-
ней эпохи, семитическихъ, индусскихъ, итальянскихъ
(римскихъ), греческихъ цифровыхъ системахъ. Ср. выше II.
II. Методъ умноженія: ЗМ4С7=3407. Послѣдовательно
проводится у китайцевъ, японцевъ. Или: М3С4/7=3407; по-
слѣдовательно проводится въ китайско-японской торговой
системѣ. Въ первомъ случаѣ выдѣляются единицы, во вто-
ромъ разряды.
III. Методъ точекъ и другихъ значковъ: ІІІ IV VII=
=3407. Такъ выдѣляются сотни,
тысячи, десятки тысячъ и т.д. у евре-
евъ, сирійцевъ, арабовъ; у грековъ
такъ лее выдѣляются тысячи.
IV. Методъ абака (фиг. 2). Фор-
ма а), примѣнявшаяся у грековъ и
римлянъ и въ началѣ среднихъ вѣ-
ковъ, преимущественно для счисле-
нія. Верхнія марки (шары на стерж-
няхъ), переставленныя внизъ, обоз-
начаютъ 5, оставленныя наверху—не
присчитываются вовсе. Нижнія мар-
ки, оставленныя на мѣстѣ, также не
присчитываются. Форма b)—счетная
доска, болѣе удобная, бывшая въ

употребленіи, вѣроятно, и у индусовъ, примѣняемая на
Западѣ съ X столѣтія. Обѣ формы счисленія приводятъ
къ методу положенія, порядковъ.
V. Методъ положенія, а) Шестидесятиричная система
у вавилонянъ и ассиріянъ: 5.600+6.60+4.10+7; Ъ) деся-
тичная система у индусовъ, арабовъ, европейцевъ: 3407.
Для перехода отъ абака (во второй его формѣ) къ системѣ
положенія, въ которой нѣтъ графъ и надписей, необходимо
было изобрѣтеніе нуля, какъ это показываетъ число 3407.
Пустое мѣсто надо было чѣмъ-либо заполнить. Точка
(34.7) оказалась непрактичной, особенно въ торговыхъ сно-
шеніяхъ. Итальянскіе купцы, перенявшіе точку вмѣстѣ
съ индусской цифровой системой отъ арабовъ, замѣнили
ее треугольникомъ или, вообще, многоугольникомъ (34Л7;
34 въ 12-мъ столѣтіи); при скорописи многоугольникъ
измѣнился въ нуль, вошедшій во всеобщее употребленіе
лишь въ 14-мъ столѣтіи1).
Нѣкоторыя системы положенія сходны по записямъ чи-
селъ съ десятичной системой; числа, написанныя по этой
послѣдней системѣ, заключены въ скобки.
Двоичная Пятиричная
Двѣнадцатиричная
Двадцатиричная
система.
система.
система.
система.
і О)
1 (1)
1 (1)
1 О)
10 (2)
10 (5)
10 (12)
10 (20)
11 (3)
П (6)
11 (13)
15 (25)
100 (4)
13 (8)
30 (36)
60 (120)
101 (Б)
20 (10)
100 (144)
100 (400)
1000 (8)
32 (17)
1000 (1728)
410 (1620)
100 (25)
1000 (8000)
1000 (125)
х) Еще не зная этихъ историческихъ фактовъ, авторъ заставлялъ
учениковъ отыскивать нуль, какъ знакъ, заполняющей пустое мѣ-
сто, при переходѣ отъ записыванія цифръ въ графы съ надписями
порядковъ, къ записыванію ихъ по системѣ положенія.

Германцы и индусы съ древнихъ временъ владѣли деся-
тичной системой. Послѣдняя достигла особенно высокой
степени развитія у индусовъ, глубокое мышленіе которыхъ
создало искусство счисленія, перешедшее затѣмъ къ со-
сѣднимъ арабамъ; отсюда индо-арабское искусство счисленія
было перенесено и въ сѣверныя страны. Когда Толедо стало
въ средніе вѣка разсадникомъ науки, для изученія мате-
матики отправлялись преимущественно въ Испанію; такъ
поступилъ, напр., Роджеръ Бэконъ.
Изслѣдуя десятичную систему, легко убѣдиться, что
основныхъ числительныхъ (къ которымъ присоединяютъ
обыкновенно еще простыя числительныя: сто, тысячу, мил-
ліонъ, затѣмъ билліонъ, трилліонъ, квадрилліонъ, квинтил-
ліонъ и т. д., производимыя отъ милліона), вполнѣ доста-
точно для образованія произвольно большаго количества
числительныхъ. Образованіе группъ въ системѣ счисленія
приводитъ, такимъ образомъ, не только къ извѣстной на-
глядности и возможности представить себѣ все большія и
большія числа, но и оказываетъ большую услугу человѣ-
ческой памяти: послѣдняя освобождается отъ необходимо-
сти запечатлѣвать тысячи и тысячи совершенно новыхъ чис-
лительныхъ.
Мы можемъ утверждать, что наша система счисленія
является наиболѣе совершенной и въ высшей степени облег-
чающей счисленіе. Лапласъ (Laplace) справедливо говоритъ
о ней: «мысль выразить всѣ количества посредствомъ 9 зна-
ковъ, придавая одновременно значеніе какъ самимъ зна-
камъ, такъ и мѣсту ихъ,—мысль эта такъ проста, что именно
поэтому недостаточно признано, какого удивленія она за-
служиваетъ». Вмѣстѣ съ индо-арабскимъ искусствомъ счис-
ленія въ сѣверныя страны перешли и «арабскія цифры»;
возможно, однако, что подобные же знаки были извѣстны
гораздо раньше Пиѳагорейской школѣ въ Александріи и
въ Италіи. Только въ срединѣ XVI столѣтія арабскія цифры

получили всеобщее распространеніе въ Германіи. Чтобы
составить себѣ представленіе о преимуществахъ араб-
скихъ цифръ, попробуйте рѣшить въ римскихъ цифрахъ
простую задачу умноженія 849 на 36, т.-е. DCCCXLIX
на XXXVI.
При ближайшемъ разсмотрѣніи десятичной системы мы
увидимъ, что, если бы числа возникали только посредствомъ
счета, какъ то неосновательно утверждаютъ нѣкоторые ме-
тодисты, то нумерація и счисленіе не могли бы выйти за
предѣлы весьма небольшой области чиселъ. Въ самомъ дѣлѣ,
какая значительная потеря времени и затрата силъ требу-
ются хотя бы только для того, чтобы продолжить числовой
рядъ до тысячи? А большихъ чиселъ нельзя достигнуть и
долголѣтнимъ счисленіемъ. Пониманіе большихъ чиселъ
предполагаетъ, дѣйствительно, не счетъ, а воспріятіе группъ
числовой системы и основныя числовыя представленія, кото-
рыя, какъ мы это покажемъ въ дальнѣйшемъ, также мо-
гутъ возникать безъ счета.
Изложенныя данныя позволяютъ сдѣлать слѣдующіе вы-
воды, полезные для практики преподаванія ариѳметики:
1. Область чиселъ 1—10 является основаніемъ всего обу-
ченія ариѳметикѣ.
2. Отъ ясности, надежности и подвижности предста-
вленій основныхъ чиселъ зависитъ ясность, надежность и
подвижность всего счисленія.
3. Необходимо, поэтому, обратить самое серьезное
вниманіе на улучшеніе первоначальнаго обученія счи-
сленію.
4. Необходимо позаботиться о томъ, чтобы уже въ пер-
вый и второй годъ обученія ученики усвоили сущность де-
сятичной системы и значеніе нуля въ этой системѣ. Ихъ
слѣдуетъ познакомить со счетной доской и методомъ абака,
чтобы отсюда перейти къ методу положенія.

е) «Счетъ» у мало-культурныхъ народовъ.
Если числительное 1 обозначаетъ первоначально «я» или
луну, 2—глаза, 3—ногу страуса, то это значитъ, что коли-
чество предметовъ опредѣлялось раньше, чѣмъ возникли
эти числительныя, слѣдовательно, и раньше, чѣмъ возникъ
счетъ. По утвержденію д-ра Кӧнэнтъ въ языкѣ чикитосовъ
и другихъ туземцевъ Боливіи нѣтъ собственныхъ числитель-
ныхъ. Всѣ эти племена не должны бы были имѣть никакихъ
числовыхъ представленій, если бы признать, что числа
возникаютъ только благодаря счету. О майрасахъ (Новая
Гвинея) сообщаютъ, что они, не зная числительныхъ, имѣ-
ютъ, тѣмъ не менѣе, числовыя представленія, такъ какъ
могутъ показывать на пальцахъ требуемое количество, го-
воря при этомъ awari (вотъ столько). Команчи (индѣйцы)
«считаютъ», опредѣляя количество пантомимою пальцевъ;
это породило мнѣніе, что они вообще не знаютъ числитель-
ныхъ. То же самое имѣетъ мѣсто у кафрскихъ племенъ, ко-
торыя также считаютъ, не употребляя числительныхъ и
пользуясь однимъ поднятіемъ пальцевъ. Мимика, примѣ-
няемая мало-культурными народами, «считающими» без7>
числительныхъ, весьма различна. Нѣкоторыя дикія племена
имѣютъ одинаковыя числительныя для различныхъ чиселъ,
слѣдующихъ другъ за другомъ, напр., для 1 и 6 (соотвѣт-
ственно первымъ пальцамъ лѣвой руки и правой руки),
2 и 7,... б и 10 (острова Баладъ и Увеа, въ Тихомъ океанѣ),
9 и 10 (Парана), 8 и 9 (Cobeu), для 4, 5 и 9 (Barre). Эти раз-
личныя, но одноименныя числа различаются по жестамъ,
сопровождающимъ счетъ. Нѣкоторые изъ этихъ жестовъ
можно узнать по значенію числительныхъ. У индѣйцевъ-
каматовъ 4 обозначаетъ—руку вверхъ! б—руку прочь!..
Большой палецъ при счетѣ здѣсь не употребляется, можетъ-
быть, потому, что его просто не замѣчаютъ (какъ это часто
бываетъ и съ дѣтьми). У зулусовъ 6=возьми большой па-

лецъ! и 7=указательный палецъ. Туземцы Андаманскихъ
острововъ считаютъ до 3 числительными, а затѣмъ продол-
жаютъ счетъ при помощи пальцевъ, прикасаясь ими къ
носу и говоря anka (и это). Муралуги (Исландія) употреб-
ляютъ въ качествѣ пособія для счета послѣдовательно:
пальцы лѣвой руки, сочлененіе кисти, локоть, плечо, лѣ-
вую сторону груди, грудную кость, затѣмъ тѣ же части
тѣла съ правой стороны и пальцы правой руки. Названія
частей являются числительными, такъ что 6 и 14 оказы-
ваются одноименными. Но при произнесеніи этихъ словъ,
они прикасаются къ различнымъ частямъ тѣла и, такимъ
образомъ, устанавливаютъ различіе между числами 6 и 14.
Повидимому, «искусство счета вообще не могло развиться
безъ жестовъ». Въ пользу этого взгляда Гейгера (Lazarus
Geiger) говоритъ и тотъ фактъ, что мускульныя и двигатель-
ныя ощущенія (при вытягиваніи и сгибаніи пальцевъ, под-
нятіи и опусканіи руки, при прикосновеніи, указываніи
и т. д.) сильно облегчаютъ счетъ, понимаемый въ смыслѣ
постулированія (см. стр.10). Въ качествѣ пособія для счета
употребляются, кромѣ пальцевъ, кремни, раковины, зерна
растеній, напр., маиса, узлы веревки, зарубки (на деревѣ),
черточки. Чѣмъ выше культура и чѣмъ больше способность
къ отвлеченному мышленію, тѣмъ ограниченнѣе примѣненіе
тѣлъ (ихъ осязательныхъ и двигательныхъ ощущеній) въ
качествѣ пособій для счета и тѣмъ шире примѣненіе, въ ка-
чествѣ такого пособія, языка (звуковыхъ образовъ числи-
тельныхъ и соотвѣтствующихъ двигательныхъ ощущеній).
Однако, и цивилизованные народы примѣняютъ иногда
счетъ при помощи тѣлъ или черточекъ въ своей практиче-
ской жизни; мелкій пивной торговецъ, напр., употребляетъ
для обозначенія количества своихъ полуштофовъ различ-
ныя зерна, пивныя тарелки, спички, карандашныя черточки.
Изъ нашихъ разсужденій вытекаетъ, что:
1) методисты ариѳметики, принимающіе размѣщеніе чи-

слительныхъ въ послѣдовательный рядъ за счетъ или суще-
ственную составную часть послѣдняго и строящіе на осно-
ваніи этого методику начальной ариѳметики,—впадаютъ
въ заблужденіе; существуютъ первобытные народы, кото-
рые обладаютъ числовыми представленіями, пріобрѣтен-
ными безъ счета и безъ особыхъ числительныхъ;
2) когда количество предметовъ (большее 2 или 3) не
можетъ быть воспринято одновременно, то число ихъ опре-
дѣляется посредствомъ счета, при чемъ послѣдній можетъ
производиться какъ при помощи послѣдовательнаго ряда
числительныхъ, такъ и безъ него; результаты сложенія п
умноженія, вычитанія и дѣленія получаются точно такъ
же посредствомъ счета (присчитыванія или отсчитыванія);
слѣдовательно, счисленіе первобытныхъ народовъ естъ про-
стой счетъ. То же можно сказать о счисленіи въ первый годъ
школьнаго обученія, которое остается простымъ счетомъ и
тяжелымъ, болѣе или менѣе механическимъ, заучиваніемъ
наизусть правилъ дѣйствій, звучащихъ часто весьма сходно,
а потому легко смѣшиваемыхъ, если только счисленіе это
не основано на особыхъ, искусственно созданныхъ число-
выхъ фигурахъ.
2. Развитіе числовыхъ представленій у ребенка до
поступленія его въ школу.
Въ литературѣ опубликовано мало удовлетворитель-
ныхъ наблюденій надъ возникновеніемъ числовыхъ пред-
ставленій у дѣтей. Прейеръ (Preyer) въ своей книгѣ о «Душѣ
ребенка» проводитъ лишь поверхностныя наблюденія, ко-
торыя къ тому же частью неточны, а потому и не примѣ-
нимы для цѣлей дидактики. Мы слѣдили за душевнымъ раз-
витіемъ мальчика Вернера, который родился 1 февраля
1906 года, до поступленія его въ школу, при чемъ обращали
вниманіе и на развитіе числовыхъ представленій. Изъ

наблюденій, занесенныхъ въ хронологическомъ поряд-
кѣ, мы выбрали позже, когда онъ уже поступилъ въ
школу, данныя относительно развитія числовыхъ пред-
ставленій и публикуемъ ихъ здѣсь. Какъ читатели уви-
дятъ, при наблюденіи мы стремились уловить и закрѣ-
пить ту общую обстановку, въ которой протекало данное
явленіе.
1907: 1 февраля 1907 г. В. исполнился 1 годъ.
30 авг. Чтобы В., которому было г., держалъ руки
наготовѣ и помогалъ матери продѣвать ихъ въ рукава кур-
точки, мать считала при этомъ: 1! 2! Пять дней спустя В.
самъ сказалъ «Ais» (eins, 1), когда мать надѣвала на него
курточку, чтобы посадить его на диванъ.
26 ноябр. Чтобы В. скорѣе засыпалъ, мать давала ему
соску. Случайно ихъ оказалось 2. Мать даетъ ему ихъ обѣ,
и онъ сейчасъ же говоритъ «Dei» (вѣроятно, 3, drei, по на-
слышкѣ отъ поднимающихся съ нимъ по ступенькамъ лѣст-
ницы и считающихъ при этомъ 1! 2! 3!). Какъ кажется,
«dei» является выраженіемъ неопредѣленнаго числового
представленія, которое больше относится къ дѣйствіямъ,
чѣмъ къ предметамъ.
23 дек. В. получаетъ одинъ пряникъ въ одну и одинъ—
въ другую руку. Онъ держитъ оба и говоритъ: «Dei».
1908: 1 февр. 1908 г. В. исполнилось 2 года.
1 янв. В. видитъ бутылочку съ молокомъ въ буфетѣ,
беретъ ее, видитъ другую бутылку на столѣ, подходитъ къ
пей и говоритъ: «Вотъ еще».
23 янв. Горничная накрываетъ на столъ и разставляетъ
тарелки. В. сидитъ у стола, показываетъ на четыре пу-
стыхъ мѣста и говоритъ: «Папа, мама, Куртъ, Вальтеръ».
Такимъ образомъ, В. можетъ назвать всѣхъ 4 лицъ, хотя
ихъ и нѣтъ передъ нимъ, пользуясь наблюденіемъ мѣстъ,
гдѣ они должны были бы быть (память мѣстъ).

8 февр. В. проситъ «meh» (mehr—еще) хлѣба, мяса и т. д.
(Кстати: къ этому времени намѣчается различіе между хо-
рошимъ и плохимъ и первыя проявленія совѣсти).
9 февр. Ему хочется еще булки. Его братъ держитъ передъ
нимъ два куска различной величины (приблизительно 3 и 5
см. въ діаметрѣ, въ разстояніи 3 см. другъ отъ друга) и
спрашиваетъ: «Какой кусокъ Вернера, какой—Вальтера?»
В., глядя сперва на оба куска, говоритъ: «Gei» (вмѣсто
прежняго «dei». Потомъ онъ беретъ большій кусокъ. Это
онъ продѣлывалъ нѣсколько разъ.
21 февр. Мать гладитъ его по головкѣ. Онъ говоритъ: «Во-
лосы». Она продолжаетъ гладить и говоритъ: «Хорошіе во-
лосы». В. же произноситъ: «Grei». «Grei» означаетъ наи-
большее число и въ то же время «много». Вальтеръ указы-
валъ ему на 2, 3, 4, 6 деревьевъ и спрашивалъ всякій разъ:
«сколько?» В. постоянно отвѣчалъ: «Grei». Онъ понималъ
вопросы о числѣ и, слѣдовательно, имѣлъ представленіе
о числѣ вообще.
24 февр. На картинкѣ изображено нѣсколько женщинъ.
Онъ показываетъ послѣдовательно на фигуры и говоритъ
при этомъ: «Мама, еще мама, еще мама» и т. д. Наконецъ
говоритъ: «Grei (много) мама».
22 март. В. видитъ ручей и говоритъ: «Ручей». Мы пе-
реходимъ по мосту. В. видитъ ручей съ другой стороны и
говоритъ: «Еще ручей; grei ручей». Здѣсь«grei» означаетъ 2.
23 март. Онъ разсказываетъ,что ему нравится у мамы,
видитъ два кольца на пальцѣ и говоритъ: «Dwei» (zwei—
два). Когда раньше вмѣсто «zwci» онъ говорилъ для обозна-
ченія 2 «grei», то его поправляли и съ тѣхъ поръ онъ сталъ
говоритъ «dwei». Несомнѣнно, онъ уже обладаетъ число-
вымъ представленіемъ двухъ.
3 апр. Когда няня поднимается съ нимъ шагъ за шагомъ
по ступенькамъ лѣстницы, то она считаетъ 1! 2! 3!.. 10!
Изъ всѣхъ этихъ словъ онъ запомнилъ только 1, 2, 3,

4, 8. Фигуры на картинкѣ онъ «считаетъ» теперь такъ:
«1, 3, 4, 8>>.
13 апр. В. часто считаетъ: «3, 4, 8». Три горшка съ цвѣ-
тами стоятъ рядомъ. Онъ считаетъ: «3, 4». Числительныя
берутся имъ безъ соотвѣтствія съ ихъ значеніемъ, просто,
какъ знаки для постулированія вещей въ ихъ послѣдова-
тельности.
15 апр. У В. 2 соски, которыя онъ всовываетъ въ разныя
мѣста веревочной сѣтки своей кроватки. Я спрашиваю
его: Сколько у тебя сосокъ?» Обѣ онѣ стоятъ рядомъ. Онъ
говоритъ: «Zei» (zwei, два). Ср. 23 март. 1908 г.
1 сент. Онъ считаетъ вещи: «7, 8» и говоритъ: «Л, В, D.
F», пропуская С и Е. Этотъ рядъ буквъ онъ услыхалъ отъ
дѣтей во время каникулъ (въ августѣ).
4 сент. «Мало воды мыться», говоритъ онъ про свой кув-
шинъ и бѣжитъ въ кухню за водой. Количественное поня-
тіе «мало».
26 ноября. В. приноситъ двухъ своихъ игрушечныхъ ло-
шадокъ изъ дѣтской и говоритъ: «Вотъ обѣ, онѣ отдохнули,
онѣ выспались». Обѣ=двѣ. Въ этотъ періодъ онъ много
игралъ въ кубики.
12 дек. Я лежу на боку. Онъ не видитъ лѣвой руки и
спрашиваетъ: «А гдѣ другая рука?» Такой же вопросъ онъ
предлагаетъ и относительно «другого уха». Другой=второй.
14 дек. Онъ разжимаетъ всѣ пальцы моей руки и спра-
шиваетъ: «сколько это?» Я отвѣчаю: «5». Онъ возражаетъ:
«Нѣтъ, grei». «Grei» означаетъ для него «много».
18 дек. Онъ получаетъ стѣнной календарь, про который
говоритъ: «Онъ стоитъ четыре марки». Первое, примитивное
выраженіе интереса къ экономикѣ, сохраняющаяся и
въ дальнѣйшемъ.
25 дек. Рождественскіе подарки. Кукла «стоитъ больше,
дороже», чѣмъ куры. Далѣе: «Насколько дороже?» Часто
спрашиваетъ: «Сколько это стоитъ?»

1909 г. 1 февр. 1909 г. В. исполнилось 3 года.
3 янв. В. говоритъ: «Тамъ много (viel) возовъ». До сихъ
поръ вмѣсто «viel» онъ говорилъ «grei», пользуясь одно-
временно съ этимъ словомъ «grei» и вмѣсто «drei» (три).
31 янв. На картинкѣ въ сказкѣ «Красная шапочка» изоб-
раженъ упавшій стулъ, у котораго видны только 3 ножки.
В. говоритъ: «Стулъ сломанъ». Мать отвѣчаетъ: «Почему,
вѣдь, онъ же цѣлый?»В.: «Нѣтъ, одной ножки нѣтъ». Въ
первый разъ обнаруживается числовое представленіе еди-
ницы. Онъ обладаетъ также представленіемъ четырехъ (но-
жекъ). Въ послѣднее время онъ часто опрокидывалъ стулья
и ясно видѣлъ 4 ножки.
8 февр. Я говорю В.: «У Софіи нѣтъ ни одного хлѣбца,
а ты уже одинъ съѣлъ». В. отвѣчаетъ: «Софія купитъ себѣ
одинъ».
7 март. В. нашелъ марки союза потребителей, положилъ
ихъ въ кошелекъ и сказалъ: «Купить на 6 марокъ», потомъ
надѣлъ пальто въ одинъ рукавъ и отворилъ дверь. Я его
спросилъ: «Что ты хочешь сдѣлать?» Онъ отвѣтилъ: «Ку-
пить новую шапку, эта плоха». Первое проявленіе пони-
манія значенія денегъ.
Затѣмъ слѣдуетъ большой случайный перерывъ въ раз-
витіи числовыхъ представленій. Повидимому, здѣсь глав-
ную роль сыграла дѣятельность фантазіи, поддерживаемая
сказками.
19 деп. В. занимается лѣпкой, говоритъ про птицу. Я
лѣплю ему птичью голову, дѣлаю на ней углубленіе и сверхъ
него дугу. В. тотчасъ же говоритъ: «А еще (глазъ) на дру-
гой сторонѣ». Я говорю, чтобы онъ показалъ мнѣ мѣсто;
онъ указываетъ его правильно и добавляетъ: «У нея (птицы)
два глаза».
1910 г. 1 февр. 1910 г. В. исполнилось 4 года.
3 янв. Я говорю ему: «поставь сюда (указывая мѣсто)
два кубика». Онъ исполняетъ. Я продолжаю: «Поставь

сразу З!» Онъ ставитъ еще одинъ кубикъ рядомъ. Я спра-
шиваю: «Здѣсь ихъ три?» В.: «Да». Я: «А не четыре?» В.:
«Нѣтъ, три».
11 янв. У В. четыре деревянныхъ кубика; онъ приноситъ
3 и говоритъ: «Посмотрю, всѣ ли они тутъ»; разставляетъ
ихъ на столѣ такъ, что они образуютъ треугольникъ, сей-
часъ же отыскиваетъ недостающій кубикъ, ставитъ его такъ,
что образуется четыреугольникь, и успокаивается.
Часъ спустя я кладу передъ нимъ всѣ 4 кубика такъ,
что они образуютъ квадратъ, и спрашиваю: «Сколько здѣсь
ихъ?» Онъ отвѣчаетъ наугадъ: «Пять». Я показываю ему
5 на точкахъ. При этомъ оказывается, что онъ обладаетъ
представленіемъ 4; но ему не хватаетъ числительнаго. Я
считаю передъ нимъ кубики: «1, 2, 3, 4!» Нѣсколько позже
я спрашиваю его о 3 кубикахъ, расположенныхъ треуголь-
никомъ. Онъ говоритъ: «6,... 7!» Я выкладываю передъ нимъ
2 кубика и спрашиваю: «Сколько кубиковъ?» В. тотчасъ
же отвѣчаетъ: «Два, а теперь я сочту и тѣ (т.-е. 3 кубика).
Онъ пытается повторить то, что я передъ нимъ продѣлы-
валъ, и «считаетъ»: «1, 2, 6».
Такимъ образомъ, В. можетъ правильно считать только
до 2, но обладаетъ числовыми представленіями до 4 вклю-
чительно. Числительныя, превышающія 3, имѣютъ въ его
глазахъ неясное значеніе произвольныхъ чиселъ, превы-
шающихъ 3.
20 янв. В. фантазируетъ за кофе: «Вальтеръ съѣлъ 10
булокъ, а я съѣлъ 5 булокъ». Мать спрашиваетъ его: «Если
ты съѣшь еще одну булку, то сколько всего булокъ ты
съѣшь?» Онъ отвѣчаетъ: «Три». По наслышкѣ онъ знаетъ
много числительныхъ, большихъ 4, но смысла ихъ онъ еще
не уловилъ *).
г) Сынъ Песталоцци, которому было 372 года, умѣлъ, какъ и
многія другія дѣти, называть числительныя, не зная ихъ смысла.
Песталоцци обучалъ его и жаловался, что, какъ всякій могъ бы

26 янв. Вернеръ говоритъ: «Нарисуй опять точки, какъ
рисовалъ раньше!» (См. 10 янв. 1910 г.) Я рисую ихъ въ видѣ
ряда и спрашиваю: «Сколько?»—«Двѣ». :. «Сколько?» —
«Двѣ—одна» (при этомъ онъ указываетъ на точки).:: «Сколь-
ко?»— «Двѣ—двѣ!» ::• «Сколько?»—«Двѣ—двѣ — одна».
Другой мальчикъ, который также не могъ считать до 5,
выполнялъ подобное же разложеніе. Я показалъ ему 5 яицъ,
лежавшихъ на тарелкѣ, и спросилъ: «Сколько здѣсь яицъ?»
Онъ отвѣтилъ: «Три и два*. Такимъ образомъ, и этотъ маль-
чикъ пріобрѣлъ числовое представленіе пяти путемъ обра-
зованія группъ, а не путемъ счета. В. пользовался число-
вой системой съ основаніемъ 2, т.-е. двоичной системой,
которой и до сихъ поръ еще пользуются нѣкоторыя индій-
скія племена и жители Торресовыхъ острововъ (стр. 16).
Очевидно, что и они пріобрѣтаютъ числовыя представленія
путемъ разложенія на группы, какъ и указанныя дѣти, а
не путемъ счета. В. распространяетъ свой способъ воспрія-
тія и на ряды: = «два»; ...= два—одинъ»; ....=«два—два».
При онъ дѣлаетъ ошибку: онъ считаетъ 2! 2! 2! Длинный
рядъ изъ 5 точекъ онъ уже не можетъ правильно разложить,
повторяя предпослѣднюю точку дважды, прикладывая ее
лишній разъ къ послѣдней. Въ то лее время онъ быстро и
правильно считаетъ ::• 2! 2! 1!
Однажды онъ самостоятельно и безъ всякаго размышле-
нія сталъ считать: «7, 8, 9, 10». Это были отдѣльныя части
числового ряда, который онъ уже слыхалъ. Черезъ нѣ-
сколько минутъ я ему сказалъ: «Считай 1, 2 и т. д.» Резуль-
татъ получился довольно плачевный: 3 онъ не зналъ, и въ
видѣть, «...знаніе словъ, съ которыми не связывается правильнаго
понятія о вещахъ, является громаднымъ препятствіемъ къ позна-
нію истины... Какъ было бы естественно не позволять ему произ-
носить «три», покуда онъ не распозналъ бы этотъ знакъ во всей
совокупности даваемаго матеріала (предметахъ наблюденія)».

правильной послѣдовательности были расположены только
1, 2, и 7, 8.
29 янв. Я спросилъ В., который случайно положилъ
передо мною 3 спички: «Сколько здѣсь спичекъ?» Онъ отвѣ-
тилъ: «Двѣ и одна».Воспріятіе ихъ сразу, какъ одной группы,
повидимому, представляло для него затрудненія; впрочемъ,
можетъ быть, онъ просто не умѣлъ еще правильно пользо-
ваться числительнымъ три (на что указали позднѣйшія
наблюденія). Я часто считалъ въ его присутствіи, поль-
зуясь рядами и квадратными числовыми фигурами, 1, 2,
3, 4, б, часто же только 1, 2, 3. Однако, онъ до сихъ
норъ еще не освоился вполнѣ съ обычнымъ способомъ счета
и не считалъ вслухъ со мной, какъ сдѣлали бы многія дѣти.
Въ развитіи числовыхъ представленій опять обнару-
жилось нѣкоторое замедленіе.
5 іюня. Гуляя въ лѣсу, В. сорвалъ три пучка травы,
длиною каждый около 30 сант., и подвѣсилъ ихъ, въ разстоя-
ніи около 15 сант. одинъ отъ другого, на сучокъ. Я спро-
силъ его: «Сколько здѣсь пучковъ?» В., не считая, отвѣтилъ:
«Два и еще одинъ».
18 іюня. Въ лѣсу. В. слѣдилъ за улитками. Я сказалъ
ему: «Сколько ты видѣлъ улитокъ?» Онъ отвѣтилъ:«Двѣ крас-
ныхъ и еще одну». Я: «Сколько же ихъ всего?» В. быстро,
не думая: «Шесть». Я: «Нѣтъ, ихъ двѣ красныхъ и одна
черная; сколько же всего?» Онъ: «Всего»... Послѣ маленькой
паузы: «3.» Послѣ этого опять наступилъ длинный перерывъ,
въ теченіе котораго его интересъ къ числу не проявлялся.
8 опт. На площади стоитъ большой канделябръ съ че-
тырьмя большими электрическими лампами. В. замѣчаетъ,
что одна изъ нихъ стоитъ выше другихъ и какъ разъ въ сере-
динѣ. Я: «Сколько здѣсь лампъ?» В.: «Я не знаю...» Пауза.
Затѣмъ: «Одна вверху, двѣ спереди и одна сзади». И здѣсь
имѣло мѣсто разложеніе на группы и счетъ по группамъ,
а не обычный счетъ единицами.

4 дек. В. съѣлъ 3 пряника. Я говорю: «Ты съѣлъ вотъ
столько», и вытягиваю 3 среднихъ пальца. Потомъ говорю:
«Покажи мнѣ на своей рукѣ 3 пальца». Это ему удается. Я
вытягиваю 4 пальца и спрашиваю: «А это сколько?» В. не мо-
жетъ подыскать числительнаго. «Что это больше или меньше
3?» В.: «Больше!» Я: «Согни столько пальцевъ, чтобы ихъ
осталось З!» Онъ сгибаетъ одинъ палецъ. Мать показываетъ
ему большой палецъ, указательный и средній пальцы. Онъ
тотчасъ же говоритъ, что ихъ 3, не прибѣгая къ счету.
То же повторяетъ онъ и относительно любыхъ 3 пальцевъ
лѣвой руки. Потомъ ему показываютъ 2 пальца. Онъ сейчасъ
же говоритъ: «Два». Потомъ онъ смотритъ на стѣнные часы
и на люстру и говоритъ непосредственно и живо: «Часы и
лампа—два». Это самостоятельное заявленіе ребенка, ко-
торому исполнилось только 41/г года, является въ высшей
степени интереснымъ съ точки зрѣнія теоріи познанія;
оно показываетъ, что числовая абстракція возможна у нор-
мальныхъ дѣтей и по отношенію къ неоднороднымъ пред-
метамъ. Пользуясь своимъ счетнымъ приборомъ и нарисо-
ванными числовыми фигурами, В., повидимому, сообразилъ,
что мѣсто шаровъ или точекъ могутъ занять какія-угодно
другія вещи. Онъ ни разу еще не счелъ самостоятельно 1,
2,3, хотя съ нимъ часто считали, когда хотѣли опредѣ-
лить число предметовъ, и къ тому же—указывая на эти пред-
меты. Поэтому утвержденіе, будто «дѣти (всѣ дѣти) рано
начинаютъ считать и дѣлаютъ это охотно»—совершенно не-
вѣрно. Мать попросила его вытянуть 3 пальца на лѣвой
рукѣ:сперва3среднихъ,затѣмъ 3-й, 2-й и 1-й и, наконецъ,
5-й,4-й и 3-й. В.сказалъ при этомъ:«Ну, это трудно, пальцы
не слушаются». Счисленіе на пальцахъ является по ука-
занной причинѣ въ дѣйствительности вовсе не такимъ
легкимъ, какъ это многіе думаютъ и утверждаютъ. По-
томъ В. сказалъ: «Но этотъ палецъ (большой) меньше».
Я спросилъ его тономъ сомнѣнія: «Что же, тутъ все-таки

3 пальца, хотя одинъ и меньше?» Онъ сейчасъ же отвѣ-
тилъ: «Да».
20 дек. В. услыхалъ отъ дѣвочки-сверстницы, что «она уже
умѣетъ считать». Мать розыскала ему счетный приборъ для
учениковъ и размѣстила 10 бѣлыхъ и 10 красныхъ шаровъ
такъ, что они образовали квадратныя числовыя фигуры.
Вечеромъ онъ, радостный, показалъ мнѣ этотъ приборъ, кото-
рый онъ считалъ игрушкой. Я показалъ ему 1,2,3,4 шара,
образующихъ квадратныя числовыя фигуры, спрашивая
его каждый разъ о числѣ. Онъ все еще смѣшивалъ числи-
тельныя три и четыре (какъ и раньше). Слово «три» часто
не приходитъ ему на память и произношеніе его затруд-
няетъ В. Черезъ часъ я строю на числовомъ приборѣ фигуры
2, 3, и, наконецъ, 4 слѣдующимъ образомъ:
(Методическое обученіе ариѳметикѣ такъ начинать не слѣ-
дуетъ; здѣсь идетъ рѣчь только объ опытѣ, облеченномъ
въ форму игры). Выполняя построеніе, я ставлю вопросы:
«Сколько будетъ 4 безъ 2?» и т. д. Или: «Сколько будетъ 3
и 1?» Значеніе слова «и», какъ символа прибавленія (сложе-
нія), и «безъ», какъ символа отнятія (вычитанія), я
пояснилъ ему, выполняя эти операціи на приборѣ; это
не представило для него ни малѣйшихъ затрудненій.
Выполненіе упражненій на указанномъ приборѣ и словесное
выраженіе ихъ даются дѣтямъ очень легко, какъ это обна-
ружилось при опытахъ и надъ другими дѣтьми, а ташке
цѣлыми классами.
Потомъ я закрылъ В. глаза и сказалъ: «Представь себѣ
теперь 4 шарика; ты видишь ихъ?» Онъ сейчасъ же отвѣ-
тилъ: «Да» и засмѣялся. То же онъ продѣлалъ и въ отноше-
ніи 2, 1, 3. Съ дѣтьми слѣдуетъ планомѣрно заниматься не
3+1=4
2+2=4
1 + 3 = 4
4—1=3
4—2=2
4—3 = 1

только наблюденіемъ, но и представленіемъ предметовъ.
Всѣ наши занятія окончились въ 10 минутъ. В. относился
къ исчисленію», какъ къ игрѣ.
21 дек. В. въ теченіе 5 минутъ выполнялъ упражненія
надъ числомъ 4 («считалъ») на своемъ приборѣ. Слово «три»
попрежнему часто затрудняетъ его.
22 дек. В. началъ заниматься счисленіемъ съ утра, лежа
въ постели. Въ теченіе 5 минутъ онъ продѣлалъ всѣ выше
приведенныя задачи на сложеніе и вычитаніе надъ числомъ
4, не прибѣгая къ помощи прибора и довольствуясь лишь
представленіемъ. Задачи 4—1и4—3 его нѣсколько затруд-
няютъ, однако, онъ справляется и съ ними. Всѣ примѣры
рѣшены, хотя до сихъ поръ онъ ни разу не считалъ отъ 1 до
4; кромѣ того и числовой рядъ 1, 2, 3 онъ еще не заучивалъ
и не повторялъ.
23 дек. В. съ утра занимался 7 минутъ счисленіемъ надъ
числомъ 3. Вмѣсто 3 онъ часто говоритъ 4, хотя подразу-
мѣваетъ именно 3.
24 и 25 дек. Съ утра, въ постели, счисленіе надъ 3 на
приборѣ и надъ 4 при наблюденіи 4 «угловъ» рамы у картины.
То же по отношенію къ конфектамъ, которыя онъ въ своемъ
представленіи получаетъ, отдаетъ, ѣстъ. Всѣ упражненія
занимаютъ 15 минутъ.
26 дек. Упражненія въ теченіе 7 минутъ надъ числами
3 и 4 на приборѣ.
27, 28, 29 дек. Счисленіе надъ 3 и 4. В. все еще иногда
смѣшиваетъ 3 и 4, запинается, когда надо выговорить
«три».
1911 г. 1-го февр. 1911 г. В. исполнилось 5 лѣтъ.
5—8 лив. Счисленіе надъ б. Все еще случается смѣшеніе
числительныхъ 3 и 4. Теперь числительное «четыре» за-
трудняетъ его при произношеніи. Ср. 20 дек., 29 янв. Въ
первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ очень большую роль
играетъ запоминаніе значенія числительныхъ, т. е. не только

названій чиселъ, какъ таковыхъ, а и содержанія словъ въ
связи съ ними самими; вовсе недостаточно, если числовыя
представленія и имена числительныя будутъ содержаться
въ памяти независимо другъ отъ друга. 8-го янв. я показалъ
В., какъ продѣлываются на ручномъ приборѣ упражненія
въ сложеніи и вычитанія надъ числомъ б, и заставилъ его
самого продѣлать ихъ. «Построеніе чиселъ» доставило ему
удовольствіе.
Я заставилъ его также отыскивать и опредѣлять число
4, пользуясь находящимися передъ нимъ предметами: кни-
гами, оконными рамами, шкафомъ, полочкой, ящикомъ съ
кубиками. Одинъ разъ онъ въ теченіе 7 сек. не могъ вспом-
нить числительнаго 4; однако, когда онъ взглянулъ на четы-
реугольный ящикъ съ кубиками, оно сейчасъ же пришло
ему на память.
В. самъ продѣлывалъ на ручномъ приборѣ упражненія
въ прибавленіи и отнятіи кнопокъ и такимъ образомъ не
только пріобрѣлъ наглядныя представленія чиселъ 1—5,
но и научился сложенію и вычитанія) въ этихъ предѣлахъ.
Все обученіе потребовало при этомъ только около 372 часовъ.
4 февр. В. подарили дѣтскіе карманные часы (безъ ме-
ханизма). Онъ спрашиваетъ меня, что значатъ цифры. Я
объясняю ему значеніе цифръ I—XII. Впослѣдствіи онъ
говоритъ горничной наугадъ: «Сейчасъ 5 часовъ, 2 часа»
и т. д. Я заставилъ его 7 разъ подрядъ (съ нѣкоторыми про-
межутками) указать и назвать цифры VI—XII на циферблатѣ
стѣнныхъ часовъ. По временамъ это ему удавалось; однако,
онъ часто сбивался и смѣшивалъ «одиннадцать» и «двѣнад-
цать».
5 февр. В. заинтересовался числами и числовымъ вос-
пріятіемъ (апперцепціей). Такъ, опъ принесъ 5 хлѣбцевъ,
взялъ себѣ два и спросилъ: ^Сколько ихъ осталось?» Далѣе
онъ научился опредѣлять время по часамъ, руководствуясь
исключительно отвѣтами на случайные вопросы. Такъ, 11-го

марта онъ совершенно правильно говорилъ: «Сейчасъ 9
12, 5 часовъ, около 6%, 7 и т. д.
20 марш. Когда В. не можетъ сразу вспомнить числи-
тельныя 6—12, то онъ смотритъ на цифры часового цифер-
блата. Послѣднія онъ запомнилъ послѣ упражненія 4-го
февр. 1911 г. и съ тѣхъ поръ часто присматривался къ нимъ,
опредѣляя по часамъ время.
Въ занятіяхъ «счисленіемъ» опять наблюдается нѣко-
торый перерывъ.
2 апр. а) Я показываю В. на приборѣ ряды изъ 2, 3...
9, 10 кнопокъ, прибавляя каждый разъ по одной кнопкѣ.
В. правильно и безъ запинки называетъ всѣ числительныя.
Потомъ я показываю ему въ разбивку числа перваго десятка,
всего 15 разъ; онъ всѣ ихъ называетъ правильно и только
нѣсколько затрудняется, называя 4, 7 и 9.
Съ 8-го янв. В. лишь изрѣдка и только на очень короткое
время занимался со счетнымъ приборомъ. Такимъ образомъ,
за З7г часа обученія счисленію, ведшагося какъ игра, онъ
усвоилъ много больше, чѣмъ я тогда предполагалъ и чѣмъ
онъ самъ въ то время проявилъ.
b) Я нарисовалъ ему точками числовыя фигуры
Онъ сейчасъ же призналъ ихъ за 3,6,8, отно-
сительно же послѣдней фигуры сказалъ: «Два раза четыре
и два», а затѣмъ, вопросительнымъ тономъ: «9»; очевидно,
онъ сомнѣвался, правильно ли подобрано числительное.
Я отвѣтилъ: «Нѣтъ». Послѣ этого В. правильно сказалъ:
«Десять». Затѣмъ я изобразилъ 10 слѣдующимъ образомъ:
: : : : : Четыре послѣднихъ точки онъ воспринялъ первыми,
а затѣмъ и остальныя, и сказалъ: «Два раза четыре и два».
Затѣмъ я расположилъ 10 точекъ такъ, чтобы онѣ образо-
вали Борновскую числовую фигуру : : : : : и спросилъ:
«Гдѣ легче разложить четверки?» Онъ безъ колебаній
отвѣтилъ, что въ первомъ случаѣ, т. е. при пользованіи
квадратными, а не Борновскими числовыми фигурами.

c) Я провелъ двѣ тонкихъ параллельныхъ, горизон-
тальныхъ черты и сказалъ В.: «Поставь 3 точки! Четыре
точки! Шесть точекъ!» В. изобразилъ всѣ эти числа въ видѣ
квадратныхъ числовыхъ фигуръ. Черезъ четверть часа я
спросилъ его: «Сколько будетъ два раза три?» Чтобы вспо-
мнить числительное, онъ опять посмотрѣлъ на часы и ска-
залъ: «6».
d) Братъ В. показалъ ему, что 2.2 = 4 (попутно съ
2+2=4) и что 1.2=2. При счисленіи надъ 3 В. вдругъ
заявилъ: «Три—это три», правда, вѣдь, три—это три?» Этотъ
фактъ очень интересенъ съ точки зрѣнія теоріи познанія
(утвержденіе идентичности). Братъ В. отвѣтилъ ему на это:
«Конечно, и чашка—это чашка, а Вернеръ—это Вернеръ».
Въ развитіи числовыхъ представленій и счисленія снова
наблюдается продолжительный перерывъ.
11 іюня. Мы сидимъ за кофе. В. говоритъ вполнѣ обду-
манно, съ разстановкой: «Мама, ты и я=3... Вы двое безъ
меня—2... Вы двое и кофейникъ—3». В., такимъ образомъ,
въ состояніи численно воспринять 3 весьма различныхъ
вещи; онъ въ состояніи признать существованіе 3 вещей, по-
стулировать ихъ въ отдѣльности, а затѣмъ соединить от-
дѣльныя постуляціи въ одну общую. Я былъ пораженъ
тѣмъ глубокимъ пониманіемъ, которое ребенокъ обнару-
жилъ по отношенію къ сущности числа. Сторонники при-
бора Тиллиха ошибаются, поэтому, когда говорятъ, что
вещи, подлежащія счету, должны быть совершенно одина-
ковыми, чтобы ученики могли воспринять ихъ совокупность.
10 іюля. Онъ замѣчаетъ, что во время концерта въ город-
скомъ саду на эстрадѣ выставляютъ какія-то числа и спра-
шиваетъ меня, что это значитъ. Я показываю ему аналогич-
ныя числа (цифры) на программѣ. Онъ обращаетъ особое
вниманіе на нѣкоторыя изъ нихъ и такимъ образомъ
заинтересовывается арабскими цифрами. Позже онъ про-
ситъ мать написать ему числа 1—12. Однажды онъ видитъ

на чулкѣ мѣтку 5 и говоритъ: «Это какъ разъ столько,
сколько мнѣ лѣтъ». Ср. 4 дек. 1910 г.
7 окт. У В. есть маленькій кошелекъ, который онъ всегда
носитъ съ собой. Въ теченіе сентября мать нѣсколько разъ
давала ему но праздникамъ по нѣскольку пфенниговъ, на
которые онъ хотѣлъ себѣ что-нибудь купить. Когда послѣд-
нихъ набиралось значительное количество, то деньги опу-
скались въ его копилку. Уходя утромъ въ церковь, онъ
получилъ отъ матери 20 пфенниговъ. Онъ очень обрадо-
вался и гордо заявилъ, что онъ купитъ себѣ кое-что, онъ
самъ, и самъ заплатитъ.
19 окт. Утромъ въ постели онъ смотритъ на свои пальцы
и спрашиваетъ меня: «Правда, вѣдь, 2 и 2=4, а... 5 и 5=10?»
Я отвѣчаю: «А 10 и 10=20». Онъ говоритъ: «Да». Въ этомъ
онъ уже раньше убѣдился, пользуясь бѣлыми и красными
десятками своего счетнаго прибора.
19 ноябр. Теперь онъ можетъ безошибочно считать до 20.
Въ этотъ день онъ считаетъ свои кубики, числомъ 18. Онъ не
вполнѣ увѣренъ въ счетѣ и проситъ меня считать вмѣстѣ съ
нимъ. Онъ считаетъ правильно, чѣмъ остается очень доволенъ.
17 дек. В. говоритъ мнѣ: «Скажи, вѣдь, 1 и 1—2? Эльза
(подруга В., обучающаяся 1-ый годъ въ школѣ) говоритъ,
что 1 и 1—11. Я не понимаю, почему 1 и 1—11... Если
1 и 1 стоятъ рядомъ, то это будетъ 11». Я пишу, громко
произнося, числа 1, 2, 10, 11. Онъ удовлетворенъ моимъ
разъясненіемъ.
21 дек. В. видитъ почтовую разносную книгу и считаетъ
почтовые штемпеля на одной страницѣ: 1,2,3,4,5,6. Онъ
перевертываетъ б страницъ и на каждой насчитываетъ по
6 штемпелей.Послѣ того, какъ онъ усвоилъ значеніе числа,
онъ сталъ выказывать интересъ и къ счету.
1912 г. 1-го февр. В. исполняется 6 лѣтъ.
17 февр. В. разсматриваетъ катушки со швейными нит-
ками, на которыхъ напечатано 500 (ярдовъ) и №№ 20 и 40,

и спрашиваетъ: «Почему на всѣхъ катушкахъ стоитъ вотъ
это (600)?» «Это показываетъ длину». «А вотъ это?» (20 или
40). Послѣ того, какъ я далъ ему поясненія, онъ сейчасъ
же сравниваетъ толщину нитокъ съ двухъ различныхъ ка-
тушекъ и находитъ, что она различна.
Затѣмъ опять наступаетъ нѣкоторый перерывъ въ раз-
витіи счисленія.
Въ апрѣлѣ В. поступилъ въ школу. Съ первой трети
и до послѣдняго времени (окт. 1913 г.) онъ оказалъ въ
счисленіи очень хорошіе успѣхи.
Эти наблюденія позволяютъ сдѣлать слѣдующіе вы-
воды:
1. Любознательность и непосредственное обращеніе съ
вещами являются для ребенка источникомъ первоначаль-
ныхъ числовыхъ представленій. Поэтому и обученіе счисле-
нію должно быть расширеннымъ предметнымъ счисленіемъ,
исходящимъ изъ вещей и снова къ нимъ возвращаю-
щимся.
2. Представленіе чиселъ, какъ и всякое представленіе
и пониманіе, исходитъ изъ общаго представленія и приво-
дитъ, путемъ расчлененіи, къ меньшимъ частичнымъ пред-
ставленіямъ, напримѣръ, много, мало, два, одинъ, частью
по контрасту съ представленіемъ другихъ чиселъ и поня-
тіемъ «ничего».
3. Представленіе «единицы» отнюдь не является пер-
вымъ и наиболѣе легкимъ числовымъ представленіемъ.
4. На первой ступени развитія «счетъ» является произ-
воднымъ отъ «числа», а не наоборотъ.
5. Механически заученный «счетъ» препятствуетъ пра-
вильному развитію числовыхъ представленій.
6. Дѣти, даже не достигшій 6-лѣтняго возраста, въ
состояніи примѣнять понятіе числа къ весьма различнымъ
предметамъ.

3. Понятіе числа у философовъ и математиковъ.
Въ дальнѣйшемъ мы покажемъ достаточно убѣдительно,
что методика преподаванія ариѳметики вообще и методика
начальнаго обученія въ особенности зависятъ отъ тѣхъ взгля-
довъ на возникновеніе и сущность числа, которые созна-
тельно или безсознательно положены педагогомъ въ основа-
ніе своихъ разсужденій. Лица, пытавшіяся обосновать ме-
тодику первоначальнаго преподаванія ариѳметики, не исклю-
чая Песталоцци и Дистервега, примыкали обыкновенно къ
тѣмъ воззрѣніямъ на природу числа, которыя были вы-
сказаны философами и психологами. Какіе же изъ этихъ
взглядовъ особенно типичны или пользуются всеоб-
щимъ признаніемъ и примѣненіемъ въ методикѣ ариѳме-
тики?
Познакомимся сперва со взглядами математиковъ.
Эйлеръ (1796) говоритъ: число есть отношеніе нѣкото-
рой величины къ другой величинѣ, принятой за единицу.
Бреннеръ (Brenner): число есть множество, измѣренное еди-
ницей. Камбли (Kambly): число есть представленіе чи-
стаго множества, т.-е. того, какъ это послѣднее происходитъ,
посредствомъ повторенія, изъ единицы и т. д.
Но единство, множество — сами являются числовыми по-
нятіями. Какова ихъ сущность — здѣсь не указывается. Въ
понятіяхъ математиковъ о числѣ и «счетѣ» большую роль
играетъ часто единица или единство; но столь же часто они,
подобно философамъ, избѣгаютъ указать, въ чемъ заклю-
чается сущность этой единицы.
Многіе методисты довольствуются дѣтскимъ повторе-
ніемъ словъ Эвклида (300 лѣтъ до Р. Х.), что «число есть
совокупность единицъ». Да, но какъ же возникаетъ пред-
ставленіе о единицѣ и совокупности? Какова ихъ сущность?
Эти вопросы образуютъ какъ разъ тотъ орѣхъ, въ которомъ

скрыто искомое ядро. Нѣкоторые философы и методисты
смѣшиваютъ число со временемъ; по ихъ мнѣнію, число
представляетъ собою послѣдовательность во времени. Такъ,
Аристотель говоритъ: «Время есть число движеній въ пре-
дыдущемъ или послѣдующемъ». Гоббсъ (Hobbes) думаетъ,
что «число есть 1 и 1, или 1, 1 и 1 и т. д.»; это равносильно
тому, какъ если бы мы сказали: «число—это единицы». Но
какова же сущность единицы? Кантъ говоритъ: «Число об-
нимаетъ послѣдовательное прибавленіе единицы къ еди-
ницѣ; слѣдовательно, число есть не что иное, какъ един-
ство синтеза разнородностей одного однороднаго наблюде-
нія, обусловливаемое особенно тѣмъ, что и самое время я
создаю путемъ воспріятія наблюдаемаго». Гамильтонъ (Ha-
milton) прямо называетъ счисленіе, покоящееся на отвле-
ченныхъ понятіяхъ чиселъ, «наукой чистаго времени». Гер-
бартъ (Herbart) говоритъ, напротивъ, что «число требуетъ
скорѣе полной одновременности и абсолютно исключаетъ
послѣдовательное пересчитываніе, посредствомъ котораго
нѣкоторые думаютъ его достигнуть. Число имѣетъ не болѣе
общаго со временемъ, чѣмъ сотни иныхъ видовъ предста-
вленій, возникающихъ также одновременно».
Ланге (Lange) утверждаетъ, что число имѣетъ про-
странственное происхожденіе, что оно обозначаетъ послѣ-
довательность въ пространствѣ, сосуществованіе: «Каждое
число воспринимается нами первоначально въ видѣ чув-
ственно-опредѣленнаго образа нѣкоторой группы предме-
товъ, будь то пальцы, или пуговицы, или шарики счетной
машины» *).
Стенли Дживенсъ (Stanley Jevens) пишетъ: «Число пред-
ставляетъ собою только другое названіе разнородности. Аб-
солютная однородность есть единица, разнородности же по-
рождаютъ множество... Множество возникаетъ только тогда,
1) Lange, Geschichte des Materialismus, II, S. 26.

когда мы воспринимаемъ разнородности» 1). По мнѣнію Д. С.
Милля, число есть физическій фактъ, зрительное и ощущае-
мое явленіе.
Риль (Riehl) высказывается въ противоположномъ смы-
слѣ: «Число возникаетъ путемъ послѣдовательнаго посту-
лированія одного и того же различія» 2). Оно есть или опре-
дѣленное сосуществованіе, или опредѣленная послѣдова-
тельность.
Въ этихъ взглядахъ отдѣльныя предпосылки возникно-
венію числа принимаются за самую сущность числа. Но изъ
того факта, что возникновеніе числа предполагаетъ или по-
слѣдовательность во времени, или пространственную смеж-
ность, или разнородность, еще нельзя дѣлать заключенія,
что число есть эта самая последовательность (рядъ),или одно-
временность (сосуществованіе), или разнородность. Наши
опыты и наблюденія приведутъ къ рѣшенію этого вопроса.
Гельмгольтцъ, въ статьѣ «Über Zahlen und Messen» 3),
говоритъ: «На числа мы должны смотрѣть, какъ на рядъ
произвольно выбранныхъ знаковъ, для которыхъ мы удержи-
ваемъ одинъ опредѣленный видъ послѣдовательности, въ
качествѣ закономѣрнаго или, по обычному способу выраже-
нія, «натуральнаго ряда». Совершенно то же говоритъ Кро-
некеръ (Kronecker) въ статьѣ «Über den Zahlbegriffr 4).
Гуссерль (Husserl) занимаетъ въ своей «Philosophie der
Arithmetik» (Галле, 1891) совершенно противоположную
позицію. Онъ говоритъ: «Источникъ той замѣчательной ошиб-
ки, въ которую впали оба знаменитыхъ изслѣдователя
(какъ ранѣе Берклей, Berkley), лежитъ въ ложномъ истол-
кованіи символическаго процесса счета, который мы примѣ
*) Jevens, The principles of science, London, 1883.
2) Riehl, Der philos. Kriticismus und seine Bedeutung für die
positive Wissenschaft, 1879, II, S. 74.
3) Philos. Aufsätze, Leipzig, 1887.
*) Тамъ же.

няемъ въ силу слѣпой привычки. Мы поступаемъ при этомъ
такъ: мы механически даемъ числовыя наименованія ка-
ждому члену того количества, которое намъ надо счесть, и
принимаемъ послѣднее изъ этихъ наименованій за наиме-
нованіе искомаго числа. Наименованія являются вначалѣ
только постояннымъ рядомъ безсодержательныхъ знаковъ,
запечатлѣвшихся въ нашей памяти: дѣйствительно, вну-
треннее содержаніе ихъ совершенно не привходитъ въ наше
сознаніе въ теченіе всего процесса счета. Понятіе числа 1)
(собственное или символическое) выступаетъ въ сознаніи,
какъ нѣкоторое значеніе результирующаго числового наи-
менованія, только по окончаніи этого процесса и притомъ
въ зависимости отъ цѣли этого послѣдняго. Указанные ма-
тематики остановились на внѣшнемъ и слѣпомъ процессѣ,
не распознали его символической функціи и, такимъ обра-
зомъ, смѣшали знаки и предметы. Несомнѣнно, что они,
подобно всѣмъ другимъ, соединяли съ числовыми наиме-
нованіями и самыя понятія; дѣйствительно, у Гельмгольтца
можно найти достаточное количество выраженій, кото-
рыя могутъ стать вполнѣ ясными только въ томъ случаѣ,
если мы отнесемъ ихъ къ истиннымъ понятіямъ числа.
Только сильныя научныя выгоды могли привести къ та-
кому замѣчательному смѣшенію понятій, и у Гельмгольтца,
по крайней мѣрѣ, онѣ достаточно очевидны: мысль,
что всѣ затрудненія, которыя встрѣчаются въ ариѳметикѣ
могутъ быть устранены только путемъ изложенія ариѳме-
тики, какъ нѣкоторой послѣдовательной систематики зна-
ковъ,—эта мысль необходимо должна была создать тенденцію
придавать номиналистическій смыслъ тѣмъ количествен-
*) См. «Экспериментальную дидактику» того же автора: 1) О
содержательномъ представленіи слова. 2) О словесномъ или формаль-
номъ представленіи его. Содержательное представленіе числитель-
наго Гуссерль называетъ собственно числовымъ представленіемъ,
словесное же представленіе—символическимъ понятіемъ числа.

нымъ понятіямъ, которыя считаются основными корнями
этой науки (стр. 1.97). Но цифра или число 7 не есть понятіе
числа 7, точно такъ же, какъ слово «рука» не есть предста-
вленіе послѣдней».
Гуссерль защищаетъ тотъ взглядъ, что большая частъ
числовыхъ понятій дана намъ не въ самостоятельномъ, а
въ символическомъ видѣ. Такъ, символами 11, 12, 13 слу-
жатъ соотвѣтственно 10+1; 10+2; 10+3 и т. д. Такъ какъ
способность представленія человѣка очень ограничена, то
онъ можетъ имѣть только незначительное количество «на-
глядныхъ» числовыхъ представленій и необходимо долженъ
прибѣгать къ символическимъ числовымъ понятіямъ.
Составныя числительныя представляютъ собой обозна-
ченія суммъ; такъ, 14=4+10; 27=7+20. Досчитавъ въ
подобныхъ случаяхъ до 10 (20), начинали пересчитывать
сначала рядъ числительныхъ и, дойдя до 4 (7), соединяли
оба числительныхъ вмѣстѣ. Одновременно съ развитіемъ
числовыхъ понятій, покоящихся на немногихъ основныхъ
понятіяхъ, развивалась и система числовыхъ обозначеній,
покоящаяся на немногихъ основныхъ числительныхъ. Гус-
серль говоритъ: «Систематика имѣетъ двѣ стороны: она
даетъ, во-первыхъ, систематическій способъ образованія лю-
бого числа изъ извѣстныхъ данныхъ элементарныхъ чиселъ
1, 2, 3... X (въ видѣ символической замѣны отсутствующихъ
самостоятельныхъ понятій числа), и, во-вторыхъ, система-
тическій способъ образованія числительныхъ, соотвѣтствую-
щихъ каждому изъ этихъ чиселъ, изъ числительныхъ 1,2,
3... X. Между методомъ продолженія ряда числовыхъ по-
нятій и методомъ продолженія ряда числовыхъ знаковъ ца-
ритъ строгій параллелизмъ, распространяющейся не только
на главныя, но и на всѣ частныя стороны ихъ. Систематика
знаковъ не менѣе послѣдовательно замкнута въ себѣ, чѣмъ
систематика понятій чиселъ» (стр. 268). Относительно опре-
дѣленія числа Гуссерль говоритъ слѣдующее: «Какъ только

мы приходимъ къ послѣднимъ элементарнымъ понятіямъ,
всякое опредѣленіе оканчивается. Никто не можетъ опре-
дѣлить понятія: качество, интенсивность, мѣсто, время и
т. п. То же самое справедливо и относительно элементар-
ныхъ отношеній и основанныхъ на нихъ понятій. Равенство,
подобіе, повышеніе, цѣлое и часть, множество и единство
и т. д. суть понятія, которыя не могутъ быть опредѣлены
формально-логически. Единственно, что возможно сдѣлать
въ подобныхъ случаяхъ, это указать на тѣ конкретныя явле-
нія, изъ которыхъ или на основаніи которыхъ выведены
эти понятія, и объяснить самый процессъ абстрагированія;..
поэтому мы не можемъ осуждать попытки нѣкоторыхъ ма-
тематиковъ поставить во главѣ своей системы не логическое
опредѣленіе понятія числа, а описаніе того пути, который
ведетъ къ этимъ понятіямъ; необходимо только, чтобы эти
описанія, также выполняются свое назначеніе, были пра-
вильны». Къ сожалѣнію, эти опредѣленія и описанія ни въ
какой мѣрѣ не удовлетворяютъ интересовъ методистовъ, въ
чемъ мы уже имѣли случай убѣдиться.
Пересмотрѣвъ еще разъ взгляды на число, какъ древ-
нихъ, такъ и современныхъ мыслителей, мы не найдемъ въ
нихъ единомыслія. Напротивъ, мы вынуждены будемъ кон-
статировать рѣзкія противорѣчія, борьбу мнѣній и недо-
статочныя опредѣленія понятія числа даже у математиковъ.
4. Исторія первоначальнаго обученія ариѳметикѣ.
1. Счисленіе по правиламъ. Адамъ Ризе.
Въ эпоху реформаціи, когда сокровища науки стали поя-
вляться и на нѣмецкомъ языкѣ; когда стало извѣстно индо-
арабское искусство счисленія, и арабскія цифры замѣнили
собою неудобныя латинскія; когда увеличилось число школъ,
тогда многіе учителя обратились именно къ искусству счи-

сленія, присвоивъ себѣ названіе «учителей счисленія» (Re-
chenmeister). Важнѣйшимъ писателемъ этого времени явля-
ется, несомнѣнно, Адамъ Ризе или Рисъ (Adam Ryse, Ries)
изъ Франконіи, бывшій въ 1622 году «учителемъ счисленія
въ Эрфуртѣ». Въ своихъ книгахъ онъ училъ «das Rechnen
auf der Linihen und Federn», т.-е. счисленію при помощи
счетныхъ кружковъ на счетной доскѣ, какъ это показано
на фиг. 1, табл. 1 х), и счисленію на цифрахъ. Методъ препо-
даванія, примѣнявшійся въ эту эпоху, сохранился до вре-
мени Рохова и Песталоцци. Какъ же вели эти методисты
первоначальное преподаваніе ариѳметики?
Преподаваніе ариѳметики, по общему правилу, начи-
налось съ «нумераціи». «Производить нумерацію—значитъ
считать, учиться записыванію и произношенію любого
числа». Затѣмъ непосредственно слѣдовали основныя ариѳ-
метическія дѣйствія и заучиваніе наизусть «таблицы умно-
женія». Въ этомъ «искусствѣ» старались дойти, главнымъ
образомъ, до того, чтобы получать, какъ результатъ ариѳ-
метическихъ дѣйствій, 30 и 40-значныя числа. Изученіе
основныхъ ариѳметическихъ дѣйствій начиналось съ опре-
дѣленій; затѣмъ слѣдовали чисто-механическія правила
расположенія и выполненія дѣйствій, часто переложенныя
въ стихи; послѣ этого давалось нѣсколько примѣровъ на
«пробу». За основными ариѳметическими дѣйствіями слѣ-
довали дѣйствія съ дробями. Іеремія Готхельфъ (Jeremias
Gotthelf) въ своихъ «Leiden und Freuden eines Schulmeisters»
(1856) изобразилъ этотъ методъ, не вымершій еще и въ про-
шломъ столѣтіи, съ такой живостью и такимъ юморомъ, что
описаніе его можно частью привести и здѣсь:
г) Счетная доска называется на нѣмецкомъ языкѣ «Rechenbank»,
(отсюда произошло названіе «банкъ», «банкирскій домъ»—Bank,
Bankhaus, Rechenbank. При послѣдующемъ изложеніи (до § 6 вклю-
чительно) я, между прочимъ, пользовался работой Іенике: Gesch.
d. Meth. d. Rechenunterrichts. Gotha, 1888.

«Со счетомъ дѣло шло еще лучше, и школьный учитель
говаривалъ часто: «Да, ты, молодецъ, скоро будешь знать
столько же, сколько и я». Обучающимся счету онъ давалъ
обыкновенно упражненіе въ сложеніи, которое и продѣлы-
валъ вмѣстѣ съ ними. Если число единицъ превышало 10,
онъ говорилъ: «здѣсь запомнимъ единицу»; если число до-
стигало 20, онъ говорилъ: «здѣсь нужно запомнить 2» и т. д.
Дальше этого онъ не шелъ; только, когда дѣйствіе подходило
къ концу, онъ замѣчалъ, что теперь запоминать уже нечего,
а надо записывать все. Такъ продолжалось до тѣхъ поръ,
пока ученики не выучивались сложенію. Дальше проходи-
лось вычитаніе; при этомъ сообщалось только, что въ слу-
чаѣ невозможности прямо отнять нѣкоторое число единицъ,
молено занять десять единицъ у слѣдующаго разряда. На
умноженія дѣло пріостанавливалось, уже по одному тому,
что ученики не знали таблицы умноженія, знаніе которой
предполагалось, хотя на самомъ дѣлѣ его не было ни у кого;
понятно, что умноженіе едва усваивалось послѣ стократ-
наго упражненія, такъ что правильное вычисленіе являлось
рѣдкостью. Еще хуже обстояло дѣло съ дѣленіемъ. Хотя всѣ
хорошо знали, что здѣсь нужно начинать съ первыхъ цифръ,
при умноженія же—съ послѣднихъ, но рѣдко кто могъ
сказать даже при окончаніи школы, что четыре въ двухъ
не содержится, въ двадцати же четырехъ содержится шесть
разъ. Обученіе требовало такой громадной затраты труда и
времени потому только, что никто не давалъ ни малѣйшаго
обоснованія даже для самыхъ незначительныхъ правилъ,
потому что никто никогда не объяснялъ, зачѣмъ нужно
дѣлать такъ, а не иначе. И именно поэтому все сейчасъ же
забывалось. Каждую зиму нужно было начинать все сна-
чала, затрачивая совершенно такой же трудъ; по выходѣ
изъ школы никто ничего не зналъ. Даже больше—за
однимъ дѣйствіемъ забывали другое, такъ что, проходя ум-
ноженіе, уже не могли произвести вычитанія. Когда однажды

пасторъ на школьномъ экзаменѣ хотѣлъ дать намъ примѣръ
на сложеніе, учитель сказалъ ему: «Простите, ваше препо-
добіе, мы давно не продѣлывали подобныхъ примѣровъ,
врядъ ли они смогутъ рѣшить его сейчасъ, мы проходимъ
теперь дѣленіе». И ни одинъ начальникъ не удивлялся
этому—это считалось вполнѣ естественнымъ, ибо и самъ
намѣстникъ говорилъ: «То же самое было и со мной, и когда
это долго не попадается мнѣ подъ руки, то я и теперь еще
все забываю».
Признаки этого метода, слѣдовательно, таковы: извѣст-
ная сумма правилъ, пустой формализмъ, искусственные
пріемы, заучиваніе наизусть, дрессировка. Вотъ что пи-
шетъ объ этомъ Гарнишъ (1814), многое испытавшій на себѣ:
«Ученикъ долженъ все принимать на вѣру и поступать со-
образно съ этимъ; что же касается умственнаго счета, то о
немъ совершенно не думали, потому что о немъ не думалъ
и самъ учитель, который былъ просто ломовой лошадью,
стремившейся воспитать въ такомъ же направленіи и своихъ
учениковъ». Посмотримъ, не примѣняется ли этотъ методъ
обученія счету кое-гдѣ еще и теперь.
2. Попытки реформъ. Базедовъ и Роховъ.
Коменскій касается счета только въ одномъ мѣстѣ своей
«Материнской школы» и не вноситъ ничего новаго въ этомъ
направленіи. Онъ говоритъ: «Обученіе ариѳметикѣ начи-
нается съ 3 или 4 лѣтъ, когда дѣти выучиваются считать
или, по крайней мѣрѣ, ясно произносить числительныя,
сначала до б, а затѣмъ до 10, хотя бы и не понимая вначалѣ,
что, собственно, значатъ эти слова (сравн. стр. 31). Потомъ
они уже сами узнаютъ, какую пользу приноситъ счетъ. На
5 или 6 году они выучиваются отчетливо считать до 20 и
быстро соображать, что 7 больше 5, 15 больше 13, что равно
или неравно. Вести ихъ дальше въ этомъ направленіи было

бы безполезнымъ и даже вреднымъ, ибо ничто почти не
дается такъ трудно человѣку, какъ счетъ... Нужно обучать
учениковъ считать и на цифрахъ и при помощи камешковъ,
смотря по надобности». Принципъ наглядности, слабо и не-
ясно выраженный въ этихъ словахъ Коменскаго, впослѣд-
ствіи былъ оставленъ совершенно безъ вниманія.
Механическій счетъ по правиламъ безпрепятственно раз-
вивается далѣе вплоть до XVIII столѣтія, когда появля-
ются первыя попытки усовершенствовать его и выставля-
ются требованія сообщать ученикамъ «истинныя основанія
правилъ». Въ томъ же смыслѣ высказались и нѣкоторые
ученые, видѣвшіе въ ариѳметикѣ не только «искусство», но
какъ бы «шлифовальный и точильный камень, посредствомъ
котораго достигается острота ума», напр., знаменитый про-
фессоръ Христіанъ Вольфъ (Christian Wolf, 1728) въ Галлѣ
и Базедовъ (Basedow, 1763), написавшій книгу «Ueberzeu-
gende Methode der auf das bürgerliche Leben angewendeten
Arithmetik zum Vergnügen der Nachdenkenden und zur Befor-
derung des guten Unterrichts in den Schulen» (буквально:
«Убѣдительный методъ ариѳметики. примѣнимой въ гра-
жданской жизни для удовольствія всѣхъ мыслящихъ и для
потребностей лучшаго преподаванія въ школахъ»). При
этомъ иногда впадали въ противоположную крайность и пре-
небрегали навыкомъ въ счисленіи ради умственнаго развитія.
Совершенно новые для того времени пути проклады-
ваетъ профессоръ Philan tropin'а въ Дессау 1) Траппъ
(Trapp, 1780), который требуетъ наглядности и указываетъ
на наглядныя пособія: «Сложеніе и вычитаніе можно пока-
зывать на орѣхахъ и проч. совсѣмъ маленькимъ дѣтямъ,
которыя еще не умѣютъ считать; до извѣстной степени
г) Названіе Philantropin'a (греч. Philantropinum) носилъ основан-
ный Базедовымъ въ 1774 г. воспитательный институтъ въ Дессау,
просуществовавшій лишь до 1793 года. Примѣч. переводч.

возможно покапать даже умноженіе и дѣленіе. Чтобы дать
дѣтямъ вѣрное представленіе объ единицахъ и десяткахъ,
можно изготовить особые ящики, помѣщая въ отдѣленіе
единицъ самые маленькіе квадраты, отмѣченные одной точ-
кой, и притомъ такъ, чтобы ихъ въ этомъ отдѣленіи было
не больше 9; въ отдѣленіе десятковъ надо помѣстить боль-
шіе квадраты, отмѣченные 10 точками» и т. д.
Его послѣдователь; профессоръ Буссе (Busse, 1797),
утверждаетъ, что когда отсутствуютъ «предметныя позна-
нія», то и при совершенномъ искусствѣ въ счисленіи будутъ
получаться неправильные отвѣты. Онъ ратуетъ противъ
пренебреженія искусствомъ счисленія ради развитія ума
и дѣлаетъ числа наглядными посредствомъ точекъ, груп-
пируя ихъ въ числовыя фигуры (см. фиг. 2, табл. I)х). Мы
увидимъ, что числовыя фигуры, построенныя по этому прин-
ципу, примѣнены вновь Борномъ, а въ 1897 году, т.-е. ровно
черезъ 100 лѣтъ, Вендлингомъ въ его счетномъ аппаратѣ.
Это вполнѣ объясняется тѣмъ, что эти фигуры, какъ мы уви-
димъ въ дальнѣйшемъ. имѣютъ преимущество передъ дру-
гими числовыми фигурами и особенно рядами.
Значительное вліяніе на преподаваніе ариѳметики и всю
методику народной школы оказалъ настоятель Гальбер-
штадскаго собора фонъ-Роховъ (von Rochow) (1783). Его
сельскія школы въ Reckan, Gettin и Krane считались об-
разцовыми и посѣщались многими педагогами. Здѣсь дѣти,
до знакомства съ числовыми знаками, упражнялись въ
счетѣ видимыхъ предметовъ (отъ 1—100); при этомъ онъ
пользовался: пальцами на одной рукѣ, на двухъ рукахъ,
пальцами учениковъ, сидѣвшихъ на одной скамьѣ, пуго-
вицами на платьѣ, оконными стеклами, черточками на класс-
1) Поэтому совершенно неправильно утвержденіе проф. Мей-
мана (см. его «Лекціи», 1907 г., т. II), будто: «Песталоцци (ок.
1800 г.) является провозвѣстникомъ современнаго метода числовыхъ
фигуръ». Сравн. и по отношенію къ Рохову, Овербергу.

пой доскѣ; послѣднія были вновь примѣнены Песталоцци
и его учениками. Онѣ часто употребляются еще теперь; въ
1898 году старшій учитель Бильгарцъ вновь примѣнилъ
ихъ къ своимъ стѣннымъ счетнымъ таблицамъ для перво-
начальнаго преподаванія ариѳметики, такъ какъ многіе
еще не знаютъ, что числовыя фигуры превосходятъ ряды.
Навыкъ въ счисленіи, особенно умственномъ, которымъ до
тѣхъ поръ совершенно не занимались, возбудилъ большое
удивленіе.
Педагогъ Вильомъ (Villaume, 1790), поддерживавшій
связь съ педагогами Philantropin' а, указываетъ на воз-
можность дѣлать числа наглядными при помощи счетныхъ
кружковъ, бобовъ, палочекъ (ряды), на приложеніе счи-
сленія къ практической жизни и на умственное счисленіе;
онъ ратуетъ противъ игры въ невѣроятно большія числа,
которыя дѣтямъ «ничего не даютъ и ничего не показываютъ».
«Во всякомъ случаѣ, задачи должны быть приспособлены
къ дѣтскому кругозору (величина полей, длина какой-ни-
будь дороги, количество корма для скота и т. д.)».
Подобныя требованія предъявляютъ татке Нимейеръ
(Nimeyer, 1802) и Овербергъ (Overberg, 1793), руководитель
Епископальной семинаріи въ Мюнстерѣ. Овербергъ пред-
лагаетъ не задерживать дѣтей на опредѣленіяхъ и распре-
дѣленіяхъ,—пусть они размышляютъ сами и учатся само-
помощи. Въ качествѣ наглядныхъ пособій нужно употреб-
лять ряды и палочки, связанныя въ пачки различной ве-
личины, для обозначенія десятковъ, сотенъ, тысячъ и де-
сятковъ тысячъ.
Счетныя палочки и счетные кружки неоднократно поя-
вляются въ теченіе всего послѣдующаго періода. Такъ, лѣтъ
20 тому назадъ они снова были выпущены, въ качествѣ на-
гляднаго пособія, баденскимъ ректоромъ Шереромъ,который
приспособилъ ихъ для объясненія письменнаго сложенія,
вычитанія, умноженія и дѣленія многозначныхъ чиселъ.

3. Формальный принципъ.
Реформаторскимъ попыткамъ въ области преподаванія
ариѳметики, съ которыми мы только что познакомились,
не удалось, однако, достигнуть длительнаго и прочнаго
успѣха. Этотъ успѣхъ выпалъ на долю Песталоцци, кото-
рый достигъ его только потому, что онъ основалъ свои по-
ложенія на «логической природѣ человѣческаго духа», при-
нялъ теоретико-познавательную и педагогическую исход-
ную точку, охватилъ всего человѣка, захотѣлъ образовы-
вать умъ и чувство его, готовя ихъ къ жизни, однимъ сло-
вомъ потому, что онъ хотѣлъ воспитывать посредствомъ
преподаванія, тогда какъ до него принимали во вниманіе
только искусство въ счисленіи, только его «пользу». Однако,
Песталоцци стремился не только къ укрѣпленію душев-
ныхъ силъ посредствомъ преподаванія ариѳметики, но и къ
удовлетворенію потребностей практической жизни; къ по-
слѣднему, впрочемъ, только теоретически. Такъ, въ книгѣ:
«Лингардъ и Гертруда» (1781), онъ пишетъ... «Начальникъ,
купецъ, слуга фогта, помѣщикъ—всѣ его обсчитываютъ;
сначала это угнетаетъ народъ; потомъ онъ начинаетъ по-
дозрѣвать обманъ и становится недовѣрчивымъ и озлоблен-
нымъ; въ концѣ-концовъ, онъ самъ начинаетъ обманывать
и воруетъ въ отместку, гдѣ и какъ только можетъ».
Въ педагогикѣ Песталоцци имѣются глубокія теоретико-
познавательныя положенія. Однако, они не могутъ быть
приняты безъ оговорокъ; многія разсужденія и выраженія
(природа человѣческаго духа, теченіе природы, основныя
составныя части наблюденія, созерцаніе) могутъ совер-
шенно ошибочно показаться болѣе психологическими, чѣмъ
теоретико-познавательными и логическими. Вслѣдствіе этого
многія изъ его философскихъ концепцій не находили часто
должнаго признанія, да и не найдутъ его, а его основные
взгляды излагались и оцѣнивались неправильно.

Песталоцци съ самаго начала признавалъ, что наблю-
деніе, какъ простое орудіе чувствъ, является темнымъ,
неудобнымъ; оно должно постепенно обращаться въ «ору-
діе разсудка» и благодаря этому пріобрѣтать ясность, отчет-
ливость, опредѣленность. Какъ этого достигнуть при препо-
даваніи—долгое время оставалось ему неяснымъ и составило
основную задачу его изслѣдованія. Мало-по-малу онъ при-
шелъ къ слѣдующему взгляду: «И сложнѣйшее наблюденіе
состоитъ изъ простыхъ составныхъ частей. Если по отноше-
нію къ послѣднимъ ты достигъ извѣстной ясности, то и са-
мое сложное станетъ для тебя простымъ».
Человѣческое сознаніе по Песталоцци (въ противопо-
ложность взглядамъ Гербарта (Herbart) и многихъ учите-
лей, а также здравому смыслу) имѣетъ постоянное стремле-
ніе къ «синтетическому единству» (Кантъ), въ силу ко-
тораго, по свойственнымъ ему законамъ, изъ «основныхъ
составныхъ частей» синтетически вырабатывается п твор-
чески создается сложное содержаніе образованія,— объ-
екты науки, нравственности, искусства. «Другъ! Все, что
я есмь, все, что я хочу и что я долженъ,—все это исходитъ
отъ меня самого. Не должно ли и мое познаніе исходить
также отъ меня?» Такъ пишетъ онъ въ своей работѣ: «Какъ
Гертруда учитъ своихъ дѣтей», 1801, гдѣ онъ излагаетъ
теоретическія основанія своего метода обученія счисленію.
«Почему не самъ я долженъ образовывать и строить позна-
ніе?» Согласно Канту, человѣкъ—«законодатель природы».
Внѣ насъ только «явленія», только «запутанныя наблюде-
нія», неопредѣленныя впечатлѣнія, которыя сообщены намъ
чувствами и которыя должны быть оформлены ,«опредѣлены»,
доведены до ясности и отчетливости посредствомъ основныхъ
понятій опыта, посредствомъ опредѣленной дѣятельности
нашего сознанія, и возвышены, наконецъ, до познанія, въ
томъ случаѣ, если они дѣйствительно поняты. Природа
даетъ только матеріалъ, только «набросокъ», только за-

дачу. Эти закономѣрные процессы или понятія не могутъ
быть просто восприняты чувствами, хотя бы въ такомъ по-
рядкѣ: созерцаніе, представленіе, понятіе. Познаніе воз-
никаетъ не пассивно (какъ снимокъ на фотографической
пластинкѣ), а активно, посредствомъ созидающаго, твор-
ческаго стремленія сознанія къ единству (противополож-
ность теоретико-познавательнаго реализма и идеализма).
Предшествующій закономѣрный синтезъ дѣлаетъ запутан-
ное наблюденіе опредѣленнымъ, и послѣдующій анализъ
развиваетъ это понятіе до яснаго сознанія. Кантъ говоритъ:
«Разумъ не можетъ ничего распутать тамъ, гдѣ онъ раньше
ничего не связалъ». Песталоцци и здѣсь соглашается съ
Кантомъ, со взглядами котораго онъ познакомился, впро-
чемъ, только позднѣе въ устномъ изложеніи Фихте (въ
1794 году). Песталоцци самъ пишетъ объ этомъ Фелленбергу
(Fellenberg) (16, I, 1794) и выражаетъ радость по поводу
того, что «опытъ» привелъ его «въ существенномъ къ резуль-
татамъ Кантовской философіи».
Взглядамъ Песталоцци на возникновеніе числа мы можемъ
придать теперь болѣе понятную форму; по мнѣнію автора,
они заключаются въ что число обязано своимъ происхожденіемъ «опредѣленной,
а не только чувственной силѣ представленія»; опредѣленіе
же совершается посредствомъ понятія, такъ что происхо-
жденіе числа слѣдуетъ искать въ понятіи. Поэтому ребе-
нокъ долженъ усвоить общее понятіе числа «по возможно-
сти заранѣе» (до опредѣленнаго счета). Каждое понятіе
обусловливаетъ нѣкоторый закономѣрный процессъ. Зако-
номѣрный процессъ образованія числовыхъ фигуръ, или
понятіе числа, имѣетъ видъ 1 и 1 и 1 и 1 и 1 и т. д. Пер-
вое время ребенокъ не отдаетъ себѣ отчета ни въ этомъ
процессѣ, ни въ понятіи; но онъ долженъ, какъ можно ско-
рѣе, составить себѣ ясное представленіе о томъ и другомъ
и выработать въ себѣ чистое понятіе числа. Въ дальнѣй-

шемъ онъ требуетъ, чтобы при обученіи говорили не 2+
+1=3, а 2 раза по 1 и 1 разъ одинъ составляютъ 3. Такимъ
образомъ, онъ постоянно выдвигаетъ единицу, какъ поло-
женіе (постуляцію), и стремится отодвинуть на задній
планъ числительныя и цифры, которыя слишкомъ часто
выступаютъ вмѣсто предметовъ, какъ простыя формы. Но
понятіе числа и является способомъ сокращенія указанной
«первоначальной формы всякаго счета». И это сокращеніе
удается лучше всего при пользованіи «изобразительными
точками» (числовыми фигурами). Въ «Книгѣ матерей» («Buch
der Mütter») онъ требуетъ, чтобы послѣднія давали дѣтямъ
1, 2, 3 горошины, 1, 2, 3 камешка, 1, 2, 3 палочки и т. д.
Вслѣдствіе этой неизмѣняемости одного и постояннаго из-
мѣненія другого, въ умѣ ребенка обособляется абстракт-
ное понятіе числа 2), т.-е. опредѣленное сознаніе соотноше-
нія между большимъ и меньшимъ, независимое отъ того или
иного количества предметовъ, находящихся передъ гла-
зами ребенка». Изъ этихъ послѣднихъ словъ вытекаетъ,
что число есть понятіе соотношенія, а не родовое понятіе,
не признакъ вещей, а чистое созданіе разсудка.Песталоц-
ци называетъ также число «способомъ сокращенія» счета,
который совершается легче всего, если пользоваться «искус-
ственными средствами», закономѣрно расположенными точ-
ками. Вмѣсто предметовъ, къ которымъ онъ причисляетъ
и таблички буквъ, примѣнявшіяся при обученіи чтенію,
онъ впослѣдствіи употреблялъ точки, которыя онъ назы-
валъ «изобразительными точками»; бывшій ученикъ его,
Рамзауеръ (Ramsauer), сообщаетъ (въ «Skizze meines pädag.
Lebens», стр. 6), что каждые два ученика имѣли маленькую
*) Согласно съ этимъ, число являлось бы родовымъ понятіемъ,
получаемымъ путемъ абстракціи и наблюденія однородныхъ пред-
метовъ. Это очень распространенное, но, какъ мы увидимъ въ даль-
нѣйшемъ, совершенно ошибочное мнѣніе. Совѣтуемъ читателямъ
обратить вниманіе на дальнѣйшія указанія Песталоцци.

таблицу, «въ четыреугольныхъ графахъ которой были изоб-
ражены точки». По мнѣнію д-ра Вальземана, это были
числовыя фигуры въ видѣ двойного ряда точекъ. Единич-
ная таблица въ «Anschauungslehre der Zahlverhältnisse», из-
данномъ имъ позднѣе (1803) вмѣстѣ съ Крюзи (Krüsi), со-
держитъ уже не точки, а ряды черточекъ; этимъ ухудше-
ніемъ мы обязаны, правда, настоянію его сотрудниковъ,
которые часто только мѣшали ему. Таблица содержитъ 100
квадратовъ, по 10 въ каждомъ горизонта льномъ и верти-
тикальномъ ряду. Каждый квадратъ перваго горизонталь-
наго ряда содержитъ по 1 штриху, каждый квадратъ вто-
рого горизонтальнаго ряда—по 2 штриха и т. д. Подроб-
ности пользованія этой таблицей врядъ ли можно теперь
точно установить. Учитель указываетъ соотвѣтствующее
число, спрашиваетъ и произноситъ его, ученики смотрятъ
и повторяютъ хоромъ въ тактъ. Такимъ строго система-
тическимъ способомъ, соотвѣтствующимъ взгляду Песта-
лоцци на необходимость послѣдовательныхъ постулирова-
ній и на числительное, какъ «средство сокращенія» ихъ,
рѣшаются обширныя группы задачъ (въ Мюнхенѣ, напри-
мѣръ, этимъ задачамъ отводилось по 2 часа въ день). Слѣ-
дуетъ замѣтить, также, что Песталоцци смотрѣлъ на счи-
сленіе главнымъ образомъ, какъ на «упражненіе ума». При-
вожу примѣры изъ 1, 4 и 8 группы. I. 1 разъ 1 составляетъ
1 разъ третью часть 3; 3 раза 1 составляютъ 1 разъ 3 и т. д.,
и т. д. IV. Сколько разъ нужно взять по 1, чтобы получить
9 разъ 7-ую часть 49? Сколько разъ нужно взять по 1, чтобы
получить вмѣстѣ 9 разъ 7-ую часть 49 и 9 разъ 7-ую часть
28? и т. д. VIII. 4 относится къ 9, какъ 28 относится къ
какому числу? и т. д. Мы видимъ уже теперь, что у Песта-
лоцци теорія и практика преподаванія ариѳметики, а равно
и другихъ предметовъ, не согласуются между собой.
Позднѣе Песталоцци самъ замѣтилъ допущенныя имъ
ошибки; наиболѣе существенныя изъ нихъ заключаются

въ слѣдующемъ: 1) Повтореніе упражненій приводитъ къ
утомленія*. 2) Благодаря установленной послѣдовательно-
сти обученіе становится механическимъ. 3) На наглядность
не обращено должнаго вниманія, такъ какъ пользованіе
таблицами стоитъ по Песталоцци на второмъ, а не на пер-
вомъ планѣ. 4) Чтобы изученіе велось систематически, безъ
пробѣловъ, необходимы цѣлыя тысячи задачъ. 5) Допущена
односторонность, такъ какъ на ряду съ геометрическимъ
объясненіемъ числа не дается ни одного упражненія. 6)
Преобладаетъ формальная цѣль: вычисленія надъ цифрами
и прикладныя задачи отсутствуютъ.
Дальнѣйшая ошибка: цифры и вычисленія надъ ними
вводятся только послѣ окончанія этихъ многочисленныхъ
упражненій и то въ качествѣ побочнаго занятія и безъ на-
гляднаго обоснованія. Ученикамъ не сообщаютъ понима-
нія числовой системы, имъ просто говорятъ: число 1 обо-
значаетъ само по себѣ только 1; если же оно стоитъ во вто-
ромъ ряду, справа налѣво, то оно обозначаетъ 10 и т. д.
Мнѣніе нѣкоторыхъ, напр., д-ра Гартмана, что Крюзи и
Бусъ (Buss) усовершенствовали методъ Песталоцци—я счи-
таю несправедливымъ, и мнѣ кажется, скорѣе, что они не
приняли во вниманіе и не усвоили взглядовъ послѣдняго.
Карлъ фонъ-Раумеръ (Karl von Raumer), извѣстный
исторіографъ педагогики, принялъ на себя преподаваніе
ариѳметики въ одномъ изъ отдѣленій школы во время своего
пребыванія у Песталоцци (1809—1810). Онъ пришелъ къ
убѣжденію, что «гладкихъ безтѣлесныхъ черточекъ» таблицы
недостаточно для основательнаго воспріятія числа, что въ
интересахъ вычисленій надъ цифрами нужно обратить боль-
шее вниманіе на десятичную систему, и ввелъ названныя
его именемъ «Раумеровскія счетныя марки», т.-е. кружки
изъ бумаги или металла, меньшаго размѣра для единицъ,
большаго для десятковъ и еще большаго для сотенъ и т. д.
Сравнительно со связками палочекъ (см. стр. 53) и счетными

кружками, онѣ, какъ и монеты (марки, десять и одинъ пфен-
нигъ), имѣютъ тотъ недостатокъ, что десятокъ нельзя раздро-
бить въ единицы непосредственно на глазахъ у учениковъ,
что отъ занятой сотни нельзя отнять прямо 6 десятковъ и т. д.
Эрнстъ Тиллихъ (Ernst Tillich), профессоръ воспита-
тельнаго института въ Дессау (1806), какъ и Песталоцци,
выдвигаетъ умственный счетъ при преподаваніи ариѳме-
тики на первый планъ; онъ хочетъ учить «вычислять, ду-
мая, и думать, вычисляя». Подобно Песталоцци, онъ
требуетъ чувственнаго воспріятія и безпрерывнаго разви-
тія; но о Песталоцци онъ говоритъ такъ: тамъ рѣчь идетъ
всегда о величинѣ чиселъ, а не о порядкѣ чиселъ; здѣсь же
все построено на порядкѣ (системы счисленія). Кромѣ того,
онъ высказываетъ два новыхъ основныхъ положенія вели-
чайшей важности: 1) Числа отъ 1 до 10 являются нормами
для порядка; когда мы произносимъ, напримѣръ, 85, то
мы вспоминаемъ не каждую единицу въ отдѣльности, а
скорѣе число десятковъ (десять, дцать) и единицъ. «Здѣсь
наблюдается просто переходъ отъ наблюденія къ интуиціи».
Отсюда вытекаетъ: 2) Методическое обученіе не должно
основываться на четырехъ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ,
какъ это происходило до сихъ поръ; оно, скорѣе, должно
сообразоваться съ натуральнымъ порядкомъ чиселъ и не
оставлять единицъ до тѣхъ поръ, пока онѣ не будутъ по-
няты во всѣхъ отношеніяхъ. Уже эти два правила характе-
ризуютъ его, какъ весьма проницательнаго методиста. Чтобы
сдѣлать первоначальное преподаваніе ариѳметики нагляд-
нымъ, Тиллихъ построилъ такъ называемый «Тиллиховскій
счетный аппаратъ». Онъ состоитъ изъ кубиковъ и колонокъ
въ 1—10 дюймовъ длины и 1 дюймъ ширины. Надрѣзы и
кольца облегчаютъ распознаваніе частей. (Опытъ показалъ,
что групповыя фигуры далеко превосходятъ этотъ аппаратъ
въ качествѣ нагляднаго пособія при первоначальномъ пре-
подаваніи ариѳметики).

Шмидъ (Schmid) въ Вюртембергѣ, фонъ-Тюркъ (von
Türk) въ Потсдамѣ и Гарнишъ (Harnisch) въ Бреславлѣ при-
няли плодотворныя правила, выставленныя Тиллихомъ;
въ наше же время приверженцы Стоя, Циллера и Рейна
(Stoy, Ziller, Rein) вновь возвратились къ Тиллиху; имъ
удалось доставить такое распространеніе счетному ящику
Тиллиха, какого онъ вовсе и не заслуживаетъ. Во время
освободительныхъ войнъ русскіе солдаты занесли въ Гер-
манію и другой въ настоящее время очень распространенный
счетный аппаратъ—русскіе счеты, заимствованный русскими
у китайцевъ и употребляющійся народомъ съ незапамят-
ныхъ временъ при куплѣ, продажѣ и иныхъ сдѣлкахъ.
Съ того времени русскіе счеты подвергались многимъ измѣ-
неніямъ. Между прочимъ, они были преобразованы по об-
разцу Тиллиховскаго счетнаго ящика въ особый «кубико-
счетный» аппаратъ.
Шмидъ и другой вліятельный методистъ—Ребсъ (Rebs)
въ большой мѣрѣ еще раздѣляютъ ошибки Песталоцци.
Шмидъ (1810), обучавшій дѣтей подъ руководствомъ Пе-
сталоцци, дѣлаетъ числа (не исключая дробныхъ) нагляд-
ными посредствомъ черточекъ, которыя сами ученики рису-
ютъ на доскѣ. Ребсъ присоединяетъ къ своему «обученію счи-
сленію по методу Песталоцци» сборникъ задачъ, въ которомъ
послѣ задачъ на отвлеченныя числа даетъ задачи и изъ обла-
сти практической жизни.
Фонъ-Тюркъ въ Потсдамѣ (1816) и учитель семинаріи
Каверау (Kawerau) въ Бунцлау (1818), оба работавшіе у
Песталоцци, располагаютъ свои задачи по содержанію, по
«предметамъ». Тюркъ дѣлитъ ихъ на слѣдующія группы:
скорость, силы, вѣсъ, смѣшеніе, разстояніе, площади и
объемы, проценты. Эта идея, содержащая въ себѣ здоро-
вое зерно, пробудилась снова въ «предметномъ счисленіи».
Въ періодъ отъ Тиллиха до Каверау (1806—1818) въ
области начальнаго преподаванія ариѳметики царила ожи-

вленная дѣятельность, возбужденная лучшими методистами
того времени. Въ концѣ-концовъ, это привело къ образова-
нію двухъ партій: одна составилась изъ послѣдователей и
строгихъ приверженцевъ Песталоцци, другая—изъ против-
никовъ его метода.
4. Формально-матеріальный принципъ.
Въ то время, какъ Песталоцци и его приверженцы ви-
дѣли главную цѣль преподаванія въ томъ, чтобы «сообщить
навыкъ въ дѣйствіяхъ надъ отвлеченными числами», про-
тивники считали необходимымъ давать «образованіе для
жизни на конкретныхъ примѣрахъ». Другими спорными
пунктами были отдѣленіе отвлеченныхъ задачъ отъ при-
кладныхъ, наглядность, постепенность числовыхъ предѣ-
ловъ (1—10, 1—20, 1—100), введеніе цифръ, соотношеніе
между умственнымъ и табличнымъ счисленіемъ. Слѣдствіемъ
живого обмѣна мыслей было то, что методъ преподава-
нія ариѳметики вступилъ на путь оздоровленія и очище-
нія. Педагоги: Церренеръ (Zerrener), Нимейеръ, Граверъ,
Денцель и особенно Гарнишъ съ успѣхомъ опровергли одно-
сторонній формальный принципъ—«ученіе о числахъ» Пе-
сталоцци и его приверженцевъ.
Противоположности пришли постепенно къ примире-
нію: смѣтливость и искусство, устное счисленіе и счисле-
ніе на цифрахъ, отвлеченное и прикладное счисленіе пріоб-
рѣтали все болѣе и болѣе равное значеніе.
Денцель (Denzel), работавшій въ Вюртембергѣ и Нассау,
примѣнилъ свой особый методъ («Denzelsche Leiten), чтобы
сдѣлать наглядными вое-и нисхожденіе въ числовомъ рядѣ.
Гразеръ (Graser) въ Баваріи, построившій весь свой
учебный матеріалъ на «жизненныхъ единицахъ», избралъ
основаніемъ первоначальнаго преподаванія жилое помѣ-
щеніе. На модели послѣдняго, и именно на окнахъ, дѣти

должны были пріобрѣтать и числовыя представленія. Гра-
зеровскія окна состояли изъ двухъ большихъ нижнихъ и
двухъ меньшихъ верхнихъ половинокъ: въ каждой изъ верх-
нихъ было по два. въ каждой изъ нижнихъ—по три стекла
Такимъ образомъ, обѣ верхнія половинки содержали вмѣ-
стѣ -4, двѣ нижнія—6, одна верхняя и одна нижняя—5,
обѣ верхнія и одна нижняя—7 стеколъ и т. д. Отсюда видно,
что всѣ числа могутъ быть сдѣланы наглядными посредствомъ
группировокъ. «Гразеровскія окна» по идеѣ близки къ чи-
словымъ фигурамъ.
Директоръ семинаріи Гарнишъ (Harnisch) принадле-
жалъ къ «свободной Прусско-Песталоццевской школѣ», ко-
торая, по его собственнымъ словамъ, «избѣгала крайностей,
какъ въ увлеченіи выспренними идеями, при которомъ истица
порождаетъ одно заблужденіе за другимъ, такъ и въ стре-
мленіи дать одностороннее, несоразмѣрное развитіе силъ,
которое ведетъ къ внушительному уродству». Будучи при-
званъ въ бреславльскую семинарію, онъ съ юношескимъ
воодушевленіемъ принялся за методическую обработку
всѣхъ предметовъ преподаванія народной школы. Въ своемъ
«Leitfaden bei dem Rechenunterricht», 1814, написанномъ
подъ вліяніемъ Тиллиха, онъ дѣлаетъ значительный шагъ
впередъ. Мы усматриваемъ это изъ тѣхъ требованій, кото-
рыя онъ выдвинулъ въ борьбѣ со строгими приверженцами
методовъ Песталоцци и которыя онъ пытался удовлетворить.
Требованія эти таковы: 1) цѣлью является гармоническое
развитіе всѣхъ душевныхъ силъ и ловкость въ практической
жизни; 2) необходимо развить смѣтливость и сознатель-
ность и въ то же время навыкъ, быстроту и увѣренность;
3) табличное и умственное счисленія должны быть связаны
между собой и должны итти рука с бъ руку; 4) не слѣдуетъ
отдѣлять отвлеченнаго счисленія отъ прикладного; 5) ма-
теріалъ слѣдуетъ располагать въ десятичномъ порядкѣ; 6)
дроби надо вводить возможно раньше; 7) умственныя силы,

которыя надо принимать въ разсчетъ при счисленіи,—это
созерцаніе и память. Нужно созерцать и сохранять видѣн-
ное въ памяти; 8) не слѣдуетъ слишкомъ долго задерживать
учениковъ на чувственныхъ образахъ; 9) ученики должны
отвѣчать цѣлыми предложеніями; 10) учениковъ слѣдуетъ
побуждать къ самостоятельному составленію задачъ; 11)
задачи надо выбирать изъ области практической жизни.
Учитель семинаріи Кранке (Krancke) изъ Ганновера,
который былъ прекраснымъ методистомъ, является въ нѣ-
которыхъ отношеніяхъ предшественникомъ Грубе. Въ своей
«Rechenfibel» (1829) онъ располагаетъ матеріалъ такъ, что
каждое число, начиная отъ единицы и кончая 20, образуетъ
самостоятельную ступень упражненій, которыя имѣютъ
цѣлью: 1) выработать постепенно представленіе о числѣ
(при помощи точекъ); 2) сравнить его съ ближайшими
предшествующими и послѣдующимъ числами (присчитыва-
ніе и отсчитываніе); 3) укрѣпить въ памяти послѣдователь-
ность чиселъ.
Въ задачахъ его «Азбуки» числа обозначаются не циф-
рами, а (какъ у Буссе и Траппа) символически—точками,
кружками и т. д. Напр.: у одного бѣднаго ребенка было
• пфеннига; онъ потерялъ изъ нихъ #• ; сколько у
него осталось?
Могущественное вліяніе на практику преподаванія ариѳ-
метики оказалъ директоръ семинаріи Дистервегъ (Dister-
weg), издавшій въ сотрудничествѣ съ Хейзеромъ (Heuser)
въ 1829 г. «Methodisches Handbuch für den Gesamtunterricht
im Rechnen» и задачникъ для учениковъ, сохранившійся
до нашего времени.
Въ своемъ «Путеводителѣ» («Wegweiser», 1838) Дистер-
вегъ высказался и о сущности представленія чиселъ, кото-
рое онъ разсматривалъ въ тѣсной связи съ представленіемъ
времени.
«Такъ какъ числовое представленіе есть представленіе

нѣкотораго количества однородныхъ или принимаемыхъ за
однородные предметовъ, которое возникаетъ вслѣдствіе по-
вторенія единицы, то каждое числовое представленіе пред-
полагаетъ наличность представленія единицы и должно воз-
никнуть во времени, хотя само оно и не есть представленіе
времени. Оно возникаетъ благодаря послѣдовательному по-
стулированію одной и той же единицы, но не есть та отвле-
ченная послѣдовательность, которая составляетъ время».
О счетѣ онъ говоритъ слѣдующее: «Если мы замѣтимъ отли-
чительныя черты какого-нибудь предмета и станемъ наблю-
дать, не встрѣчаются ли тѣ же признаки у другихъ предме-
товъ и у сколькихъ именно, то этимъ мы составимъ себѣ
представленіе о числѣ этихъ предметовъ. Эта дѣятельность
нашего духа называется счетомъ». Число по Дистервегу,
какъ и по Песталоцци, обязано своимъ возникновеніемъ
абстракціи. «Такъ какъ они (числа) восприняты путемъ
чувственнаго, внѣшняго или внутренняго созерцанія, то
они и называются конкретными числами, напр.: 2 цвѣтка,
монеты, вещи и т. д., или именованными и прикладными
числами. Если же мы отнимемъ наименованія и отнесемъ
числа къ отвлеченной единицѣ, то мы получимъ абстракт-
ный числовыя величины, называемыя также отвлеченными
числами». Абстрактная единица возникаетъ слѣдующимъ об-
разомъ: «единицы представляютъ собою конкретные призна-
ки , и эти признаки даютъ наименованіе числамъ; такъ, напр.,
10 деревьевъ—10 разъ по 1 дереву; 10 систематизирован-
ныхъ предметовъ—10 разъ по 1 систематизированному пред-
мету и т. д. Если же мы отвлечемся и отъ этихъ наименова-
ній, то останется абстрактное представленіе единицы». (Мы
увидимъ въ дальнѣйшемъ, что этотъ взглядъ на возникно-
веніе числового представленія, который еще и сейчасъ поль-
зуется почти всеобщимъ признаніемъ, невѣренъ; одновре-
менно можетъ быть воспринято (постулировано) и нѣсколько
единицъ).

Изъ основныхъ положеній Дистервега мы выдѣлимъ та-
кія, которыя имѣли въ свое время значеніе въ дѣлѣ улуч-
шенія преподаванія ариѳметики и являлись несомнѣннымъ
шагомъ впередъ. 1) Счисленіе есть нѣкоторый духовный
актъ, а именно—созданіе новыхъ числовыхъ представленій
изъ данныхъ. 2) Существуетъ только одинъ видъ счисленія,
а не два различныхъ (умственное и письменное) счисленія.
Счисленіе покоится на разсудочномъ сужденіи обо всѣхъ
подметныхъ и числовыхъ отношеніяхъ, содержащихся въ
задачѣ. 3) Такъ какъ существуетъ только одинъ видъ счи-
сленія, то и методъ счисленія долженъ бытъ только одинъ
и притомъ такой, который соотвѣтствовалъ бы одновременно
какъ природѣ подлежащаго развитію духа, т.-е. дарова-
ніямъ и практическимъ способностямъ, нуждающимся въ
развитіи посредствомъ вычислительнаго матеріала, такъ и
сущности матеріала. 4) Послѣдовательность въ развитіи
предмета и ясное пониманіе его, пріобрѣтенное путемъ
внѣшняго и внутренняго наблюденія, должны всегда стоять
на первомъ мѣстѣ; второе мѣсто должно быть отведено
упражненію и третье—приложенію, б) Не только первыя чи-
словыя представленія, но и знакомство со всѣми дѣйствіями
должно быть пріобрѣтено путемъ непосредственнаго наблю-
денія. Цѣлью преподаванія ариѳметики онъ считаетъ какъ
духовное развитіе, такъ и приложеніе знаній въ практи-
ческой жизни. Въ то время, какъ Песталоцци считаетъ
нераздѣльнымъ все числовое пространство отъ 1 до 100,
Дистервегъ примыкаетъ къ его предшественникамъ и раз-
личаетъ слѣдующія ступени: 1) числа въ предѣлахъ 1—10.
2) 10 —100. 3) Неограниченное числовое пространство.
4) Умноженіе. б) Дѣленіе. 6) Рѣшеніе и приведеніе. 7) и
8) Четыре основныхъ ариѳметическихъ дѣйствія съ состав-
ными именованными числами. 9) Дѣйствія съ дробями.
Директоръ семинаріи Штернъ (Stern) въ Баденѣ, быв-
шій въ 1815—1817 гг. у Песталоцци и написавшій «Lehr-

gang des Rechenunterrichts» (1832), обратилъ особое вни-
маніе на развивающее дѣйствіе ариѳметики. Онъ замѣчаетъ
слабыя стороны руководствъ по ариѳметикѣ своего времени
и пытается устранить ихъ: всѣ четыре ариѳметическихъ
дѣйствія онъ группируетъ около каждаго изъ чиселъ пер-
ваго десятка, являясь въ этомъ отношеніи предшественни-
комъ Грубе, разлагаетъ числа отъ 1—100 на основныхъ
множителей, уясняетъ ученику дѣленіе съ многозначнымъ
дѣлителемъ и устанавливаетъ связь между измѣреніемъ и
дѣленіемъ, выводя ихъ одно изъ другого. Далѣе онъ
требуетъ чтобы устные и письменные пріемы, насколько
возможно согласовались между собой, изгоняетъ изъ трой-
ного правила правило пропорціи, вводитъ вмѣсто него
«двойное» правило (понимая подъ нимъ приведеніе къ
единицѣ) и строитъ на немъ свои дальнѣйшія заключенія.
Штернъ первый обратилъ вниманіе и на нравственное
вліяніе ариѳметики. Во вступленіи къ своему вышеуказан-
ному сочиненію онъ пишетъ: «Сознаніе чувства истины и
способность дѣлать заключенія могутъ оказывать могуще-
ственное вліяніе на нравственное поведеніе человѣка, хотя
сами по себѣ они и не могутъ предохранить его отъ ошибокъ
и паденіи; дѣйствительно, пробужденіе увѣренности въ
своихъ духовныхъ силахъ способствуетъ пріобрѣтенію че-
ловѣкомъ нравственнаго облика, дѣлая его болѣе осторож-
нымъ и предусмотрительнымъ въ своихъ рѣшеніяхъ и по-
могая ему избѣгать многихъ ошибокъ. Свободное пользо-
ваніе умственными силами способствуетъ развитію свобод-
ной воли». Превосходныя мысли Штерна о нравственномъ
вліяніи ариѳметики перепечатаны позднѣе Дистервегомъ
въ его «Wegweiser».
Штернъ и швейцарецъ Гееръ (Heer, 1836) предложили
снабдить ученическія аспидныя доски сѣтью изъ 10X10
квадратовъ, для того, чтобы дѣти могли лучше изображать
на нихъ наглядные ряды и группы. Между 5 квадратами

справа и слѣва, снизу и сверху было проведено по двѣ черты
для того, чтобы легче было опредѣлять число б. Это пред-
ложеніе получило недавно должную оцѣнку на практикѣ,
благодаря Гармсу (Harms), Гӧбельбекеру (Göbelbecker) и
др. Гееръ построилъ также «Гееровскій кубъ». Послѣдній
состоитъ изъ 10 маленькихъ кубиковъ для 10 единицъ, 9
соотвѣтственныхъ колонокъ для десятковъ и 9 дощечекъ,
раздѣленныхъ линіями на квадраты, для сотенъ; все это
вмѣстѣ даетъ одинъ кубъ, изображающій тысячу. (Гееров-
скій кубъ вызываетъ до нашихъ дней многочисленныя под-
ражанія; однако, какъ счетный аппаратъ, онъ малоцѣненъ).
Сотрудникъ Штерна по семинаріи въ Карльсруэ, музы-
кантъ и преподаватель семинаріи Герсбахъ (Gersbach), «ко-
торый также побывалъ у Песталоцци» и который сумѣлъ
соединить «сухіе законы числа съ свободной гармоніей зву-
ковъ», превратилъ въ таблицу для вычисленія нотную та-
блицу. Онъ просверлилъ въ ней, на небольшихъ разстоя-
ніяхъ другъ отъ друга, отверстія, въ которыя можно было
вставлять деревянные штифты съ головками, служившіе
для изображенія чиселъ и производства упражненій надъ
ними. Эта Герсбаховская доска съ отверстіями служитъ до
послѣдняго времени предметомъ подражанія, таковы: «Бер-
линскій счетный аппаратъ», Нюрнбергская счетная доска,
доски Лотса.Мартенса (Loots, Martens, 1877) и т. д. (Опыты
наши показали, что аппараты эти имѣютъ многое за себя,
поскольку они изображаютъ группы, а не ряды; но для
изображенія чиселъ отъ 10—100 и дѣйствій надъ ними они
требуютъ большой потери времени).
Одновременно съ Гарнишемъ, который былъ въ то время
директоромъ, и подъ его руководствомъ работали еще два
методиста ариѳметики—Штубба (Stubba), учитель семина-
ріи въ Бунцлау, и Генчель (Hentschel), учитель семи-
наріи въ Вейсенфельдѣ («Lehrbuch des Rechenunterrichts»,
1842). Оба издали рядъ сочиненій по методикѣ ариѳ-

метики, нашедшихъ широкое распространеніе. Побуждае-
мые работами профессора Унгера (Unger), они оба вклю-
чили въ ариѳметику народныхъ школъ и «начала алгебры»,
которыя способствуютъ развитію ума и «вносятъ разно-
образіе въ вѣчные прибыли и убытки, купли и продажи»;
оба умерли въ 1875 году. Работы Штубба отличаются умѣ-
лымъ выборомъ матеріала, соотвѣтствующаго потребно-
стямъ народной школы, целесообразной умѣренностью и
хорошимъ расположеніемъ излагаемаго. Генчель примы-
каетъ къ Дистервегу, Кранке, Штерну и другимъ, наста-
ивая на необходимости какъ «разсудочнаго счисленія», такъ
и счисленія, приспособленнаго къ жизни. Онъ первый при-
далъ вполнѣ систематическую форму идеямъ тѣхъ методи-
стовъ, которые намѣчали устраненіе изъ школъ цѣпного пра-
вила, правила пропорціи и вообще рѣшеній по формуламъ и
правиламъ, стремясь обосновать счисленіе на безыскусствен-
ныхъ заключеніяхъ. Его называютъ, поэтому, «отцомъ новой
ариѳметики народныхъ школъ». При первоначальномъ пре-
подаваніи онъ примѣнялъ числовыя фигуры (см. таблицу 1),
но, какъ это ни странно, дѣти не должны были пользо-
ваться ими при счисленіи: по Генчелю, фигуры эти замѣ-
няли собою цифры при письменныхъ упражненіяхъ.
5. Монографическій способъ изученія чиселъ. — Число-
выя фигуры.
Грубе (A. W. Grube), педагогическая дѣятельность ко-
тораго протекала въ Мерзебургѣ, издалъ въ 1842 г. руко-
водство къ преподаванію ариѳметики въ низшей школѣ,
основанное на эвристическомъ методѣ. Въ своемъ опытѣ
рѣшенія вопроса: какое дѣйствіе оказываетъ преподава-
ніе на нравственное воспитаніе, Грубе принимаетъ за основ-
ное положеніе, открывая этимъ новый путь преподаванію
ариѳметики, слѣдующую мысль, которая, какъ мы видѣли,

была уже высказана ранѣе Тиллихомъ, Ребсомъ, Кранке
и Штерномъ: преподаваніе не должно переходить отъ дѣй-
ствія къ дѣйствію надъ всѣми числами, заключенными въ
извѣстныхъ предѣлахъ; оно должно, правда, въ предѣлахъ
первой сотни (1—100), переходить отъ числа къ числу и
притомъ такъ. чтобы надъ каждымъ числомъ производились
одно за другимъ всѣ дѣйствія, не исключая умноженія, дѣ-
ленія и дѣйствій съ дробями. (Такъ, напр., х/з отъ 6=2,
3 есть 1/2 отъ бит. д.). Не отдѣльное дѣйствіе, а отдѣль-
ное число должно стоять на первомъ планѣ и обусловливать
распредѣленіе матеріала; этимъ достигалось точное по-
знаніе отдѣльнаго числа, создавалась какъ бы монографія
числа. Всѣ дѣйствія должны вытекать сами собой изъ от-
четливаго наблюденія каждаго отдѣльнаго числа. Подъ от-
четливымъ же наблюденіемъ онъ понимаетъ ясное созна-
ніе составныхъ частей и самаго построенія числа. Онъ го-
воритъ: «Основывать элементарную ариѳметику на дѣй-
ствіяхъ—это то же самое, что при наглядномъ обученіи
показывать ребенку предметы уже распредѣленными на
рубрики по величинѣ, формѣ, цвѣту и т. д. или начинать
ботанику прямо съ системы Линнея». Относительно нагляд-
ныхъ пособій Грубе говоритъ: «Стереотипными наглядными
пособіями служатъ пальцы и черточки; отысканіе въ обста-
новкѣ, окружающей ребенка, другихъ предметовъ, которые
могли бы служить вспомогательными пособіями, предо-
ставляется усмотрѣнію учителя». (Ряды [черточки, пальцы
ит. д.] не даютъ, однако, ясныхъ и отчетливыхъ числовыхъ
представленій).
Съ Грубе случилось то же, что и съ Тиллихомъ. Его пред-
ложенія начали обсуждаться и примѣняться только по
прошествіи десяти лѣтъ, при выходѣ въ свѣтъ второго из-
данія его «Leitfaden». Дистервегъ, не отказавшійся признать
сочиненія Генчеля, съ радостью привѣтствовалъ и трудъ
Грубе.

Вскорѣ образовались двѣ партіи—сторонниковъ п про-
тивниковъ Грубе. Приверженцы Грубе указывали, что:
1) Преподаваніе по Грубе подвигается впередъ непрерывно.
2) Онъ постоянно принимаетъ во вниманіе сообразитель-
ность. 3) Онъ устраняетъ всякую механичность и безсмыс-
ленное образованіе рядовъ. 4) Ученикъ основательно
знакомится съ числами и получаетъ прочныя исходныя
точки для скораго и искуснаго комбинированія вычисле-
ній. 5) Пробѣлы въ знаніяхъ учениковъ, возникающіе
вслѣдствіе неаккуратнаго посѣщенія школы, могутъ быть до
нѣкоторой степени пополнены. Противники же выставляли
слѣдующія возраженія: 1) Ученики сбиваются, когда
обозначеніе дѣйствій вводится съ самаго начала, а сами
дѣйствія какъ бы предполагаются извѣстными. 2) Про-
странныя и трудныя вычисленія съ дробями мало пригодны
для начала. 3) Присчитываніе и отсчитываніе основныхъ
чиселъ можетъ быть затронуто только поверхностно, такъ
какъ каждымъ ариѳметическимъ дѣйствіемъ необходимо
заниматься непрерывно, въ теченіе нѣкотораго времени.
4) Учителю приходится слишкомъ много заниматься съ
младшимъ отдѣленіемъ. 5) Едва ли возможно вводить пись-
менное счисленіе съ самаго начала. 6) Переходъ отъ числа
къ числу приводитъ къ механичности, убивающей интересъ.
Методъ Грубе вскорѣ получилъ всеобщее признаніе
и былъ примѣненъ на практикѣ: Бӧме (Böhme, 1877),
Казелицомъ (Kaselitz, 1868), Лӧзеромъ (Löser), Шереромъ
(Scherer), Бютнеромъ (Büttner, 1886) и др. Однако, моно-
графическое изученіе чиселъ ведется обыкновенно въ пре-
дѣлахъ отъ 1—5, 1—10 или 1—20. Дѣйствія надъ дробями
опускаются, умноженіе и дѣленіе вводятся неодновре-
менно со сложеніемъ и вычитаніемъ, и противоположныя
дѣйствія—сложеніе и вычитаніе, умноженіе и дѣленіе—
соединяются вмѣстѣ. На принципѣ упражненія настаи-
ваетъ особенно Казелицъ: «Собственно, работа на урокахъ

ариѳметики заключается въ упражненій: развитіе и обуче-
ніе я не называю работой; въ этомъ смыслѣ уроки ариѳ-
метики доставляютъ только радость и наслажденіе». Для
большей продуктивности упражненій, онъ предоставляетъ
въ распоряженіе учениковъ, подобно Шереру и др., много-
численныя цифровыя таблицы.
Генчель (1842), Соболевскій (Sobolewsky, 1852), Борнъ
(Born, 1867), Казелицъ (1868), Бӧме, Бютнеръ, Лӧзеръ
и др. примѣняли при первоначальномъ преподаваніи
ариѳметики числовыя фигуры, какъ это дѣлалъ еще за
100 лѣтъ до нихъ Буссе. (См. эти числовыя фигуры на
1-ой таблицѣ). Почти всѣ они пользовались точками; только
Генчель примѣняетъ кольца. (Упомянутые педагоги при-
даютъ числовымъ фигурамъ только второстепенное значеніе,
тогда какъ имъ должно быть отведено главное мѣсто; это
доказано экспериментальнымъ путемъ). Бӧме, Генчель
и Казелицъ, много способствовавшіе распространенію чи-
словыхъ фигуръ, считали ихъ переходной ступенью къ
цифрамъ и смотрѣли на нихъ, какъ на способъ изображенія,
стоящій между нагляднымъ пособіемъ въ собственномъ
смыслѣ слова и цифрами. Такъ, Казелицъ пишетъ въ своемъ
«Wegweiser für den Rechenunterricht»: «Группировка точекъ
должна быть настолько характерной, чтобы уже по самой
группировкѣ можно было узнать, какое число изображаетъ
эта фигура, не прибѣгая къ предварительному подсчету
точекъ». Бютнеръ примѣняетъ числовыя фигуры для за-
крѣпленія въ памяти уже пріобрѣтенныхъ числовыхъ
представленій. Бӧме, Генчель примѣняли въ качествѣ
наглядныхъ пособій шары, палочки, бобы и т. д. Числовыя
фигуры наносились обыкновенно точками на картонѣ.
Генчель примѣнялъ черныя и красныя точки. (Рѣзкое разли-
чіе въ краскахъ нарушаетъ, однако, цѣльность воспріятія).
Борнъ (1867) примѣнилъ свои числовыя фигуры къ дѣй-
ствительному счисленію, въ основу котораго онъ положилъ

«свой новый счетный аппаратъ», дѣлающій ариѳметическія
дѣйствія наглядными, путемъ примѣненія числовыхъ фи-
гуръ разныхъ цвѣтовъ (бѣлыхъ, красныхъ, черныхъ).
Борновскія числовыя фигуры точно воспроизведены въ
счетномъ аппаратѣ Вендлинга (1897). Сѣрые картонные
кружки, снабженные въ серединѣ маленькими отверстіями,
подвѣшены на двухъ параллельныхъ деревянныхъ палоч-
кахъ, наподобіе Борновскихъ фигуръ.
Многіе методисты, напр., Танкъ, Книллингъ, считаютъ
числовыя фигуры безполезнымъ, Гартманъ, Зейфертъ при-
держиваются того же мнѣнія. Во второй части нашего
труда мы обстоятельно изслѣдуемъ этотъ вопросъ.
"У Бютнера и Линднера (Lindner) въ его «Rechnen in
Bildern» (1875) счисленіе на числовыхъ фигурахъ превра-
тилось въ счисленіе на простыхъ фигурахъ—картинкахъ.
Помимо штриховъ и точекъ, оба они примѣняютъ всевоз-
можныя картины. Гобельбекеръ, въ своемъ произведеніи
«Der kleine Naturfreund» (1897), и въ самое послѣднее время
Герляхъ (A. Gerlach), являются подражателями Линднера.
Бютнеръ оперируетъ прямо надъ крышами, досками, ок-
нами, изображенными простыми контурами и соединен-
ными знаками +,—,= . Линднеръ же составилъ для числа
2 таблицу, на которой изображены: 2 мѣры вмѣстимости,
2 яблока, 2 монеты, 2 вишни, 2 глаза, 2 гири, 2 ноги, 2 точки
и, кромѣ того, ариѳметическія дѣйствія надъ 2, изображен-
ныя точками.
Къ подобнаго рода попыткамъ вполнѣ примѣнимо слѣ-
дующее замѣчаніе Іенике (Janicke, Geschichte der Methodik
des Rechenunterrichts, Gotha, 1888): «Хорошимъ можно
также злоупотреблять, и настойчиво провозглашаемая на-
глядность отличнымъ образомъ можетъ стать чрезмѣрной,
не двигающей истинное ученіе впередъ и только тормозя-
щей его». Наши психологическія изслѣдованія во второй
части этого труда вполнѣ подтвердитъ это замѣчаніе.

6. «Предметное счисленіе» и «Жизненное предметное
счисленіе».
Растянутому, абстрактному «ученію о числахъ» Пе-
сталоцци и его учениковъ противопоставлялось счисленіе
для потребностей практической жизни, и, такимъ образомъ,
въ борьбѣ съ формальнымъ принципомъ Песталоцци пришли
къ «методу предметнаго счисленія», группировавшему за-
дачи по роду предметовъ, т.-е. по сходству матеріала;
первыя начала этого метода мы уже видѣли у Гразера
(см. стр. 62); впослѣдствіи къ нему примкнули съ пол-
нымъ правомъ Людвигъ (Ludwig), «Vollständige praktische
Bearbeitung der sechs Lebensverhältnisse nach Graser»,
1840, и Эрцингеръ (Erzinger), «Übungsbeispiele aus dem
Leben fürs Leben», 1854. Послѣдній требуетъ задачъ изъ
«жизни всей природы и соціальной жизни человѣка». Это
требованіе до сихъ поръ еще не осуществлено въ полной мѣрѣ.
Директоръ семинаріи Гольчъ (Goltzch) написалъ со-
вмѣстно съ Теелемъ (Thecl) книгу: «Der Rechenunterricht
in der Volksschule» (Berlin, 1858), вторая часть которой
называется «соединенное счетно-предметно-измѣрительное
обученіе для старшаго класса народной школы». Гольчъ
стремится поставить преподаваніе ариѳметики въ «необ-
ходимую связь со всѣми другими учебными предметами»
и сдѣлать его полезнымъ при «нравственно-жизненномъ
воспитаніи». Онъ утверждаетъ, что въ народной школѣ
только преподаваніе ариѳметики способно сообщить дѣ-
тямъ «подготовительныя свѣдѣнія о тѣхъ предметахъ
и соотношеніяхъ между ними, на которыхъ строятся въ
жизни какъ самыя числа, такъ и существующія между ними
отношенія». Въ его книгѣ мы встрѣчаемъ слѣдующую
группировку ариѳметическаго матеріала: 1) Мѣры времени.
2) Прочія мѣры. 3) Деньги. 4) Пріобрѣтеніе и пользованіе

собственностью, б) Обмѣнъ собственностью или купля
и продажа. 6) Обязанности по отношенію къ государству.
7) Пользованіе чужой собственностью (проценты за съемъ,
аренду, капиталъ). 8) Товарищескія предпріятія, напра-
вленныя къ пріобрѣтенію. 9) Налоги общинные и комму-
нальные. 10) Смѣшеніе матеріаловъ и т. д.
Отдѣльнымъ предметамъ онъ впервые предпосылалъ
соотвѣтствующія наставленія. (Такъ, напр., въ 4 пунктѣ
онъ излагаетъ понятіе о собственности и даетъ свѣдѣнія
относительно пріобрѣтенія правъ собственности путемъ
наслѣдованія и работы, о наймѣ рабочей силы, о заработ-
ной платѣ, о долгѣ и облегченіи пріобрѣтенія собственности
(книги сберегательныхъ кассъ!), о нарушеніи правъ соб-
ственности и наказаніи послѣдняго, о правильномъ и лож-
номъ пользованіи собственностью).
Послѣдователемъ Гольча и Тееля является Зальбергъ
(Salberg), написавшій книгу: «Sachrechenmethode oder Real-
methode» (München, 1874). Но онъ, какъ и его предше-
ственники, не встрѣтилъ большого сочувствія.
Къ тѣмъ же выводамъ пришли и послѣдователи Гербарта,
исходившіе, однако, изъ совершенно иныхъ точекъ зрѣнія.
Это произошло такъ. Песталоцци занимался почти исключи-
тельно пріемами обученія и мало обращалъ вниманія на
учебный матеріалъ, на концентрацію предмета преподава-
нія. Этимъ вопросомъ занялись впервые Гербартъ и Шлейер-
махеръ (Schleiermacher). Слѣдствіемъ ихъ работъ явились,
однако, если согласиться съ Дёрпфельдомъ (Dörpfeld),
только нѣкоторыя частичныя исправленія, только незначи-
тельные «выпуски и добавленія въ томъ или иномъ мѣстѣ».
Смѣлымъ защитникомъ идеи концентраціи является
Дёрпфельдъ. Въ своей «Theorie des Lehrplans» (Гютерсло,
1873) онъ пишетъ: «Даже и самостоятельныя способности,
какъ-то: счетъ, пѣніе, рисованіе, должны сохранять связь
съ основаніемъ всего преподаванія, съ научными пред-

метами (исторіей, землевѣдѣніемъ, природовѣдѣніемъ)».
Далѣе онъ говоритъ: «Эта постоянная связь между ариѳ-
метикой и другими областями знанія плодотворна для
обѣихъ сторонъ. Дѣйствительно, благодаря примѣненію
чиселъ становятся болѣе ясными и наглядными различныя
соотношенія, съ которыми приходится имѣть дѣло въ каждой
наукѣ, преподаваніе же ариѳметики становится болѣе
разностороннимъ, живымъ, интереснымъ».
Циллеръ въ своемъ «Grundlegung zur Lehre vom erziehen-
den Unterricht» (Лейпцигъ, 1884) говоритъ: «Математика
является формальной стороной естественныхъ наукъ». Воспи-
танникъ долженъ научиться воспринимать какъ временныя
и пространственныя соотношенія, съ которыми приходится
встрѣчаться въ жизни, исторіи и природѣ, такъ и зависи-
мость отдѣльныхъ лицъ отъ сношенія, общества и государ-
ства, которая приводитъ къ количественнымъ расчетамъ.
Іенике также раздѣляетъ этотъ основной взглядъ, но въ
своей «Geschichte des Rechenunterrichts» совѣтуетъ «ни-
когда не приносить его, т.-е. преподаваніе ариѳметики,
въ жертву обыкновенному принципу полезности и не при-
давать ему того матеріалистическаго направленія, которое
выбрасываетъ за бортъ, какъ лишній балластъ, все, что
не можетъ быть обращено въ звонкую монету или не можетъ
служить дойной коровой».
Въ защиту предметнаго счета выступаютъ также Заксе
(Sachse), Тейпсеръ (Teupser), д-ръ Гартманъ (Dr. Hart-
mann, «Rechenunterricht in der deutschen Volksschule»,
1888) и особенно приверженцы школы Гербартъ-Циллера.
Мы же утверждаемъ: счисленіе должно быть распро-
странено на всѣ явленія природы и человѣческой жизни,
но такъ, чтобы былъ соблюденъ основной педагогическій
принципъ реакціи, обращенія съ предметами, дѣйствія.
Согласно этому принципу,всѣ жизненные процессы являются
простыми реакціями или комплексами ихъ, состоящими

изъ впечатлѣнія, переработки и выраженія. Такимъ обра-
зомъ, обученіе счисленію должно вестись, какъ одна изъ
формъ выраженія, проникновенія, запоминай ія и обработки
наблюденій надъ явленіями природы и человѣческой жизни.
Ср. стр. 8 и далѣе.
7. Новыя стремленія. Ряды или числовыя фигуры?
Какъ мы уже видѣли, великіе мыслители-педагоги,
Песталоцци и Дистервегъ, тщательно изслѣдовали во-
просъ о сущности числа и составили себѣ опредѣленныя
теоріи числовыхъ представленій; эти теоріи переходили
къ ихъ ученикамъ, которые принимали ихъ, сознательно
или безсознательно, вмѣстѣ съ дидактическими принци-
пами. Въ послѣднее время, однако, въ этомъ отношеніи
наблюдается нѣкоторый поворотъ: вопросъ о природѣ
числа становится центральнымъ пунктомъ въ области пре-
подаванія ариѳметики. Случилось это такъ: какъ мы уже
видѣли, лучшіе методисты примѣняли числовыя фигуры
при преподаваніи ариѳметики; конечно, послѣднія играли
только второстепенную роль и притомъ различную у раз-
личныхъ методистовъ; но несомнѣнно, что онѣ нашли
широкое распространеніе на практикѣ вмѣстѣ съ сочи-
неніями по ариѳметикѣ этихъ методистовъ и даже вошли
въ моду. Теперь начали основательно размышлять надъ
числовыми фигурами и совершенно естественнымъ путемъ
пришли къ психологическому и теоретико-познавательному
вопросу о возникновеніи и сущности числа вообще. При
этомъ обнаружилось, что рѣшеніе этого вопроса имѣетъ
не только теоретическій, но и практическій интересъ.
Если до этого все вниманіе посвящалось только внѣшнему
построенію первоначальнаго преподаванія, то теперь оно
обратилось и на внутреннее построеніе и исторію развитія
послѣдняго. Такъ, въ 1884 году вышли два сочиненія, по-

священныя этому вопросу: Танкъ (Tanck), «Das Rechnen
auf der untern Stufe nebst Beitrag zur Frage nach der Ent-
stehung des Zahlbegriffs», и Книллингъ (Knilling), «Zur
Reform des Rechenunterrichts in der Volksschule». Затѣмъ
въ 1888 послѣдовали: Кнохе (Knoche), «Über das Wesenund
die Entstehung der Zahlen, Zahlvorstellungen und Zahl-
begriffe», и въ 1889—Бетцъ (Beetz), «Das Typenrechnen anf
psychologischer Grundlage». Эти методисты, за исключе-
ніемъ Бетца, утверждаютъ, что для возникновенія число-
выхъ представленій необходимъ счетъ (въ смыслѣ, указан-
номъ на стр. 10), и въ большинствѣ придерживаются мнѣ-
нія, что наиболѣе продуктивно основывать первоначаль-
ное преподаваніе ариѳметики на рядахъ (пальцы, тиллихов-
скія палочки, ряды шариковъ и т. д.). (Данныя дѣтской
и народной психологіи, а также экспериментальный изслѣдо-
ванія доказываютъ, однако, ошибочность этихъ взглядовъ).
Такъ, Книллингъ пишетъ (стр. 35 его Ref. d. R., I):
«Число не принадлежитъ къ тѣмъ свойствамъ вещей, ко-
торыя можно обособлять и разсматривать самостоятельно,
какъ цвѣтъ, форму и т. п. Я не могу представить себѣ шести,
не думая въ то же время о какихъ-нибудь опредѣленныхъ
предметахъ, или хотя бы точкахъ». И далѣе: «Ни одно число
не можетъ быть познано путемъ простого воспріятія; ни
одинъ результатъ вычисленія не можетъ быть полученъ
посредствомъ него. Что 7+5=12 меня не побудитъ сказать
даже самое тщательное созерцаніе количествъ 7 и 5. Это
можно опредѣлить только посредствомъ счета. Но, если
такимъ образомъ, большія и малыя измѣненія обнаружи-
ваются только посредствомъ счета, то истиннымъ ос-
нованіемъ счисленія долженъ быть именно счетъ, а не
созерцаніе чиселъ». Далѣе: «Число доступно намъ только
благодаря счету... Если вы отнимете у человѣка способ-
ность считать, то вы отнимете этимъ у него и способность
вычислять» (стр. 11). Во второй части этого труда мы уви-

димъ, что онъ высказалъ недавно взгляды на счетъ, близкіе
къ тѣмъ, которые защищаетъ авторъ этого сочиненія.
Танкъ, подобно Книллингу, смотритъ «на счетъ, какъ
на начало преподаванія ариѳметики», и говоритъ далѣе
слѣдующее (стр. 16): «Число (или, правильнѣе, понятіе
числа) не есть естественный результатъ психологическихъ
процессовъ; оно является въ гораздо большей степени
результатомъ познаванія, познаванія счета». Далѣе: «По-
нятіе о числахъ, пріобрѣтенное человѣкомъ посредствомъ
однихъ только чувствъ, вѣроятно, не многимъ бы отлича-
лось отъ подобныхъ же понятій у животныхъ. Когда же
онъ началъ считать, то онъ вступилъ на такой путь, ко-
торый уводитъ его буквально въ безконечность» (стр. 14).
Далѣе: «Но въ этомъ случаѣ (именно при числовыхъ фигу-
рахъ) существуетъ представленіе не отдѣльныхъ предме-
товъ, а всей фигуры, соединенное съ сознаніемъ того,
сколько единицъ въ ней содержится». (Опыты показали
ошибочность и этого мнѣнія).
Кнохе говоритъ въ своей «Азбукѣ ариѳметики» (стр. IV):
«Принципъ наглядности не можетъ и не долженъ лежать
въ основѣ первоначальнаго преподаванія ариѳметики, потому
что числа не могутъ быть созерцаемы». Далѣе: «Тамъ (у Пе-
сталоцци и Грубе) главное мѣсто удѣлено созерцанію, здѣсь
же—счету, соединенному съ умозрительными заключенія-
ми». Замѣчательно, что Кнохе еще въ 1901 году выпустилъ
сочиненіе, озаглавленное: «Der Zählkursus vor Beginn des ei-
gentlichen Rechnens, Notwendigkeit und Methode desselben».
Д-ръ Гартманъ въ своемъ «Rechenunterricht» пишетъ
(1888): «Что такое число, кратко и сильно говоритъ Кантъ,
принимающій его за «синтезъ многаго». Послѣднее зна-
читъ: число пріобрѣтается посредствомъ сопоставленія и
соединенія многаго, т.-е. посредствомъ чисто-духовнаго
акта, а не путемъ только чувственнаго воспріятія или созер-
цанія. Для того, чтобы стало возможнымъ возникновеніе

числа, необходимъ извѣстный духовный актъ. Послѣдній же
есть не что иное, какъ счетъ. Такимъ образомъ, мы достига-
емъ числа посредствомъ счета. Но счетъ самъ по себѣ есть
измѣреніе; измѣрить же можно только то, что является въ
формѣ ряда, т.-е. послѣдовательности одного за другимъ
или одного рядомъ съ другимъ» (стр. 100). Въ новомъ изда-
ніи его «Rechenunterricht» (1904) содержится много возра-
женій противъ «метода наглядности». (Въ дальнѣйшемъ мы
покажемъ неосновательность какъ этихъ возраженій, такъ
и собственныхъ взглядовъ его на возникновеніе и сущность
числа, и докажемъ невѣрность практическихъ выводовъ,
къ которымъ онъ пришелъ).
Рэтеръ (Räther), въ своей «Theorie und Praxis des Rechen-
unterrichts» (1891), стр. 26, говоритъ: «По самому существу
своему, числа располагаются въ рядъ. Каждое послѣдую-
щее число образуется изъ предыдущаго прибавленіемъ еди-
ницы; въ этомъ заключается законъ образованія ряда. Ка-
ждое отдѣльное число имѣетъ свое опредѣленное математи-
ческое мѣсто въ ряду, такъ что, желая представить себѣ
нѣкоторое опредѣленное число, мы должны пробѣжать въ
умѣ весъ рядъ отъ единицы до математическаго мѣста
этого числа». Въ то время, какъ Калласъ (Kallas) предпо-
читаетъ горизонтальные ряды, Рэтеръ требуетъ, чтобы уче-
ники пользовались вертикальнымъ рядомъ. (Наши опыты
показываютъ, однако, что горизонтальное расположеніе
цѣлесообразнѣе вертикальнаго).
Важно отмѣтить еще одинъ основной взглядъ сторон-
никовъ метода счета. Въ то время, какъ Грубе идетъ въ си-
стематикѣ слишкомъ далеко и старается представить каждое
число во всевозможныхъ соотношеніяхъ, эти послѣдніе при-
знаютъ только одно числовое отношеніе, именно отношеніе
числа къ единицѣ. Такъ, д-ръ Голленбахъ (Hollenbach)
говоритъ (въ Päd. Studien, 1887, стр. 197): «Такъ какъ по-
нятія чиселъ суть понятія отношеній (ибо каждое число

есть нѣсколько разъ взятая единица), то и пріобрѣсти ихъ
можно только во вполнѣ опредѣленной послѣдовательности,
которая и называется поэтому натуральной».
Фалькъ (Falk) въ своей статьѣ «Zählen und Rechnen»
(Zeitschrift f. Philosophie und Pädagogik, Langensalza, 1895)
высказываетъ мысль, что счетъ заключается въ сравненіи
двухъ рядовъ: рядъ, который надо сосчитать, сравнивается
съ рядомъ, который служитъ какъ бы масштабомъ, т.-е.
рядомъ именъ числительныхъ. «Какъ члены числового
ряда—звуковые комплексы (числительныхъ) являются са-
мостоятельными объектами, а ни въ какомъ случаѣ не сим-
волами или словами». (Мы вернемся еще позднѣе къ этому
взгляду). Счисленіе должно преслѣдовать 3 главныхъ цѣли:
1) Ребенокъ долженъ научиться считать. 2) При помощи
счета онъ долженъ вывести всѣ правила счисленія. 3) Онъ
долженъ запомнить эти правила.
Эти методисты и многочисленные приверженцы ихъ (къ
послѣднимъ можно причислить всю школу Гербартъ-Цил-
лера) признаютъ, слѣдовательно, основаніемъ счисленія
счетъ и ряды, что для практики преподаванія имѣетъ важ-
ное значеніе. Взгляды ихъ на счетъ, числовые ряды и поня-
тіе числа у взрослыхъ совершенно ошибочно распростра-
няются ими и на развитіе числовыхъ представленій у дѣ-
тей (по этому поводу ср. стр. 42). Оставаясь послѣдова-
тельными, они отказываются отъ наглядныхъ пособій или
считаютъ ихъ только вспомогательнымъ средствомъ для
того, чтобы сдѣлать нагляднымъ счетъ, а не самое число.
Они являются также противниками числовыхъ фигуръ,
которыя, по ихъ мнѣнію, не могутъ служить основаніемъ
первоначальнаго преподаванія ариѳметики и являются
безполезнымъ (Ср. стр. 35).
Обоснованіе первоначальнаго преподаванія ариѳметики
на числовыхъ фигурахъ нашло до настоящаго времени
только одного, но зато очень проницательнаго защитника.

О. Бетцъ въ своей книгѣ «Das Typenrechnen auf psycho-
physischer Grundlage» (Галле, 1889) впервые съ успѣхомъ
обосновываетъ и защищаетъ преподаваніе ариѳметики, опи-
рающееся на числовыя фигуры. Онъ говоритъ: «Если мы
признаемъ теперь, что количественныя отношенія, т.-е. са-
мое содержаніе абстракціи, такъ же хорошо воспринимаются
чувствами, какъ цвѣтъ, звукъ и т. д., то мы должны будемъ
утверждать вмѣстѣ съ Джономъ Стюартомъ Миллемъ, что
число есть «физическій фактъ», «видимое и ощущаемое явле-
ніе» (стр. 17). Относительно понятія о числѣ онъ при-
держивается того мнѣнія, что «послѣднее развивается
изъ психическаго стремленія къ различенію и сравне-
нію, причемъ вниманіе концентрируется на количе-
ственныхъ отношеніяхъ, и что оно является, такимъ обра-
зомъ, результатомъ изслѣдованія, а отнюдь не первоначаль-
нымъ (апріорнымъ) явленіемъ» (стр. 13). Какъ эти воззрѣ-
нія на возникновеніе и сущность числа, такъ и выводы изъ
нихъ, т.-е. основные взгляды на первоначальное препода-
ваніе ариѳметики, стоятъ въ совершенномъ противорѣчіи
со взглядами сторонниковъ метода счета. Бетцъ требуетъ,
«чтобы созерцаніе основныхъ чиселъ было первымъ и усвое-
ніе порядка чиселъ—вторымъ результатомъ элементарнаго
счисленія» (стр. 21), чтобы не «ряды», а группы, числовыя
фигуры, служили основаніемъ первоначальнаго препода-
ванія. Бетцъ такъ удачно защищаетъ свой взглядъ на чи-
словыя фигуры, что наиболѣе значительные противники
послѣднихъ, Зейфертъ (Seyfert), Гартманъ, Книллингъ и
Танкъ, не могли противостоять ему. Ниже приведены вкрат-
цѣ доводы Книллинга *), Танка и др. противъ числовыхъ
фигуръ, а также доводы Бетца въ защиту ихъ.
1) Въ своей работѣ: «Die naturgemässe Methode des Rechenun-
terrichts, вышедшей въ 1906 г., Книллингъ призналъ, что его воз-
раженія не выдерживаютъ критики, и что числовыя фигуры могутъ
примѣняться съ пользой.

1) «Числовая фигура представляетъ собою нѣчто искус-
ственное, дѣланное, встрѣчающееся въ жизни только при
счетѣ огромныхъ денежныхъ суммъ, разлагаемыхъ на извѣст-
ныя группы, да при игрѣ въ карты или кости и нигдѣ
больше».—Если бы сторонники метода счета были правы,
то географическія или математическія наглядныя пособія,
схематическіе рисунки и т. п. также надо было бы считать
за нѣчто искусственное, дѣланное. Но они не правы, потому
что повсюду, гдѣ человѣкъ встрѣчается съ количествомъ
(солдаты, товары въ торговыхъ домахъ, три царства при-
роды и систематика въ наукѣ вообще), онъ прибѣгаетъ къ
образованію группъ. (Ср. стр. 11—26).
2) «Числовая фигура есть нѣчто искусственное, потому
что она искажаетъ понятіе числа»; распредѣленіе единицъ
для послѣдняго совершенно безразлично.—Въ этомъ скры-
вается противорѣчіе: числовая фигура не можетъ искажать
понятія числа именно потому, что распредѣленіе единицъ
безразлично. Фактически же при употребленіи числовыхъ
фигуръ рѣчь идетъ не о готовомъ понятіи числа, а только
о возникновеніи послѣдняго.
3) «Искусственность и несоотвѣтственность числовыхъ
фигуръ явствуютъ уже изъ того, что ни одинъ взрослый
не представляетъ себѣ различныя количества въ формѣ по-
слѣднихъ».—Взрослый, владѣющій уже числовыми поня-
тіями, не нуждается въ нихъ въ своей обыденной жизни;
если же онъ захочетъ наглядно представить себѣ какое
либо количество, то онъ долженъ представить себѣ его рас-
предѣленнымъ на группы.
4) «Числовая фигура охватываетъ только небольшую
область, а потому можетъ укрѣплять представленіе лишь
въ незначительной мѣрѣ. Количествамъ, превышающимъ
10—20, нельзя придать такой группировки (геометрической
формы), благодаря которой ихъ можно было бы воспринять
съ перваго взгляда».—Это положеніе содержитъ признаніе

того, что числовыя фигуры могутъ укрѣплять представле-
ніе; слѣдовательно, онѣ не могутъ быть негодными. Но та
небольшая область, въ которой онѣ могутъ найти примѣ-
неніе, служитъ образцомъ и основаніемъ всего преподава-
нія ариѳметики; числовыя фигуры, слѣдовательно, должны
имѣть весьма большое значеніе.
б) «Числовыя фигуры, какъ наглядное пособіе, почти
исключаютъ участіе самихъ дѣтей».—Этотъ упрекъ отно-
сится не къ числовымъ фигурамъ, а къ преподавателю. Чис-
ловыя фигуры отличнымъ образомъ соединяются съ са-
модѣятельностью учениковъ.
6) «Числовая фигура дѣлаетъ нашихъ учениковъ не-
практичными, а потому приноситъ вредъ. Разъ привыкнувъ
къ точкамъ и кружкамъ числовыхъ фигуръ, ученикъ уже
не можетъ обойтись безъ нихъ. Забывъ какое-нибудь слѣд-
ствіе и не имѣя подъ руками числовой фигуры, онъ стано-
вится совершенно безпомощнымъ».—Числовая фигура не
должна находиться подъ руками ученика: путемъ повтор-
наго воспріятія, она должна запечатлѣться въ головѣ ре-
бенка. (Наши опыты показали, что это вполнѣ достижимо).
7) «Одно дѣло—стараться сдѣлать нагляднымъ число,
пользуясь нѣкоторыми процессами счисленія, и другое—
объявить послѣднія предметами наблюденія и примѣнять
ихъ, какъ таковые».—То, что дѣлается нагляднымъ, есть
въ то лее время предметъ наблюденія, и то, что хотятъ сдѣ-
лать нагляднымъ, нужно сдѣлать и предметомъ наблюденія.
Бетцъ пропустилъ одно очень важное возраженіе. Про-
тивники утверждаютъ, что числовыя фигуры приводятъ къ
представленію формы, & не числа. Наши экспериментальный
изслѣдованія доказываютъ неправильность этого мнѣнія.
Онъ справедливо замѣчаетъ, что существующія число-
выя фигуры отчасти не удовлетворяютъ требованіямъ ло-
гики и психологіи, а также практики, и что онѣ не полу-
чили еще должной оцѣнки. Далѣе онъ предлагаетъ свои

«типы счисленія» («Rechentypen») и думаетъ, что эти число-
выя фигуры отвѣчаютъ всѣмъ предъявленіемъ требова-
ніямъ (таблица 1).
Д-ръ Зейфертъ пишетъ въ своей «Schulpraxis» (изд.
«Sammlung Göschen»): «Все счисленіе покоится на процессѣ
счета. Перейдя извѣстный предѣлъ, пять или шесть, мы
уже не можемъ представить себѣ сосчитанный единицы;
представленіе числа замѣняется представленіемъ цифры.
Числовым фигуры являются только окольнымъ путемъ, счи-
сленіе можетъ быть сдѣлано нагляднымъ только посред-
ствомъ ряда, и притомъ наилучшимъ образомъ въ соедине-
ніи съ цифрами». (Экспериментальныя изслѣдованія и на-
блюденія надъ дѣтьми совершенно опровергаютъ эти ут-
вержденія, ср. стр. 31).
Трёлльчъ (Troelltsch), въ «Beitrag zur Methodik des
grundlegenden Rechenunterrichts» (Нюрнбергъ, 1901), примѣ-
няетъ Борновскія числовыя фигуры въ видѣ «Нюрнбергской
счетной доски» (шарики или кружки (красные и черные),
лежащіе въ углубленіяхъ доски (зеленой); числовыя фи-
гуры и сочетаніе красокъ, какъ мы это увидимъ, подобраны
не вполнѣ удачно). Онъ начинаетъ съ предварительнаго
курса счета (!) и одновременнаго воспріятія числовыхъ
фигуръ.
Грасъ (Grass) въ своемъ «Veranschaulichung beim grund-
legenden Rechenunterricht» (Мюнхенъ, 1901) отстаиваетъ
примѣненіе «группы четырехъ» на своей «Мюнхенской счетной
машинѣ», допускающей счисленіе въ предѣлахъ отъ 1 до 20,
но придерживается тѣхъ же основныхъ взглядовъ, ошибоч-
ность которыхъ неоднократно доказывалась опытами. Такъ,
онъ пишетъ: «Совокупность предметовъ никогда не можетъ
быть отчетливо воспринята съ одного взгляда, какъ это часто
ошибочно думаютъ: она воспринимается только тогда, когда
вниманіе послѣдовательно переносится съ одного предмета
на другой, т.-е. путемъ воспріятія единицъ. Если при этомъ

намъ нужно опредѣлить и количество воспринимаемыхъ
единицъ, то мы послѣдовательно обозначаемъ ихъ, каждую
отдѣльно или группами, соотвѣтствующими числительными
натуральнаго ряда чиселъ, т.-е. считаемъ» (стр. 7). Грасъ
ошибочно повторяетъ-.«счетъ (въ обыденномъ смыслѣ, указан-
номъ на стр. 10) есть основаніе всякаго счисленія» (стр. 8).
Шнейдеръ (Schneider) въ своемъ «Die Zahl im grund-
legenden Rechenunterricht» (Берлинъ, 1900) примыкаетъ къ
тѣмъ взглядамъ, которые изложены въ настоящемъ сочи-
неніи. Онъ отвергаетъ мнѣніе, что число образуется только
посредствомъ счета, и говоритъ: «При обученіи счетъ только
мѣшаетъ воспріятію первыхъ чиселъ, побуждая дѣтей смѣ-
шивать основныя и порядковыя числа. Такимъ образомъ,
чтобы счетъ достигалъ своей цѣли, надо производить его,
основываясь на пріобрѣтенныхъ уже числовыхъ предста-
вленіяхъ» (стр. 62). Опыты Шнейдера согласуются съ опы-
тами, описанными въ этомъ сочиненіи, и доказываютъ пре-
восходство числовыхъ фигуръ надъ рядами и аппаратами,
въ которыхъ примѣнены ряды. Его изслѣдованіе вопроса:
какимъ числовымъ фигурамъ отдать предпочтеніе, Борнов-
скимъ или квадратнымъ, полно ошибокъ, какъ мы это еще
покажемъ въ дальнѣйшемъ; послѣднія превосходятъ пер-
выя; между тѣмъ въ своихъ счетныхъ аппаратахъ онъ при-
мѣняетъ Борновскія числовыя фигуры. Нельзя согласиться
и съ его взглядами на сущность числа, обнаруживающи-
мися въ выраженіяхъ: «числовой объектъ», «числовое впе-
чатлѣніе», «численный характеръ ощущенія». Единичное
представленіе предмета еще не есть представленіе единицы:
возникновеніе числа можетъ быть сдѣлано нагляднымъ,
но само число не можетъ быть наблюдаемо.
Д-ръ Вальземанъ (Walsemann) въ своемъ «Pestalozzis
Rechenmethode» (Гамбургъ, 1901) выступаетъ въ защиту
Песталоцци и разбиваетъ многія возраженія противъ основ-
ныхъ взглядовъ послѣдняго на искусство счисленія. Такъ,

напр., проф. Uphues (въ Reins Enzykl. d. Pädagogik) оши-
бочно думаетъ, что Песталоцци смѣшиваетъ представленіе
предмета съ представленіемъ единицы. Однако, и самъ Валь-
земанъ неправильно понимаетъ идеализмъ Песталоцци, какъ
на это указываетъ Наторпъ1). Опыты его также доказываютъ,
что Борновскія числовыя фигуры значительно превосхо-
дятъ ряды. Далѣе онъ показываетъ, что «Единичная таблица»
Песталоцци, въ которой черточки были бы замѣнены двой-
ными рядами точекъ, и его же «дробныя таблицы», прини-
мающія за основаніе квадратъ, являются хорошимъ на-
гляднымъ пособіемъ.
Фэрманъ (Färmann) въ своемъ «Die Veranschaulichung
im Rechnen nach der rhythmischen Zählmethode» (Плауенъ,
1902) принимаетъ за основаніе преподаванія ариѳметики,
главнымъ образомъ, движенія, особенно же словесно-мо-
торныя ощущенія именъ числительныхъ, какъ «моторныя
числовыя представленія». Каждому импульсу къ произно-
шенію числительнаго соотвѣтствуетъ единица. (При счетѣ
въ движеніе приводятся не только органы рѣчи,но и голова,
туловище и т. д. Ср. стр. 24). «Прежде всего всѣ ученики
должны пріобрѣсти увѣренность въ счетѣ и запомнить по-
рядокъ единицъ» (стр. 15). Числительныя перекладываются
(по чувству слуха и осязанія) въ ритмическія группы (чи-
словыя фигуры) ямбовъ и анапестовъ. Онъ объявляетъ себя
горячимъ противникомъ приверженцевъ «числовыхъ фи-
гуръ» и не замѣчаетъ, что самъ принадлежитъ къ ихъ числу.
Его группы разсчитаны, конечно, не на зрительное чув-
1) Ср. Natorp, Über den Idealismus als Grundlage der Methode
Pestalozzis, а также статью, написанную по поводу работы Вальзе-
мана «Pestalozzis Rechenmethode» и помѣщенную въ журналѣ
«Deutsche Schule,» VI, стр. 280 и далѣе. Наторпъ пишетъ въ ней:
«Изображеніе Вальземаномъ Песталоцци, какъ философа, и от-
зывы его о немъ не только полны ошибокъ, но и неправильны съ
начала до конца».

ство, но на чувство слуха и осязанія (особенно на ощуще-
ніе движенія). Своеобразный методъ его становится понят-
нымъ только въ томъ случаѣ, если мы предположимъ, что
Фэрманъ является сторонникомъ моторно-акустическаго
нагляднаго метода; однако, экспериментальныя изслѣдо-
ванія автора, уже подтвержденныя другими, показали не-
возможность примѣненія этого метода на практикѣ, такъ
какъ ученики съ гораздо большей легкостью составляютъ
себѣ представленія путемъ зрѣнія, а не слуха. Привожу
буквальное рѣшеніе задачи по ритмическому счетному ме-
тоду: «У Эриха было 14 марокъ, у Ивана—9. Насколько
больше марокъ у Эриха?» Ученики: «zehn, elf, zwölf | drei-
zehn, vierzehn; ученики просчитали ритмъ—пять; поэтому,
у Эриха было на 5 марокъ больше».
Гагге (Hagge), раздѣляющій отчасти мои взгляды, поль-
зуется въ своей «Rechenfibel» (Флэнсбургъ, 1903 г.) менѣе
удобными вертикальными квадратными числовыми фигу-
рами, что позволяетъ ему изображать цифры прямо точ-
ками числовыхъ фигуръ. Однако, такое чисто-внѣшнее со-
единеніе числовыхъ фигуръ съ цифрами покупается слиш-
комъ дорогой цѣной. Далѣе онъ считаетъ, что счисленіе
уже предполагаетъ «счетъ», тогда какъ самое пользованіе
квадратными числовыми фигурами можетъ показать оши-
бочность этого мнѣнія. Неправильнымъ является и его
способъ «двойного счета», заключающійся въ томъ, что при
рѣшеніи задачи 5+4, напр., счетъ производятъ двоякимъ
путемъ: 6 (1), 7 (2), 8 (3), 9 (4); дѣлается это для того, чтобы
не просчитать дальше 9, т.-е. чтобы не прибавить больше
4 единицъ.
Ритталеръ (Ritthaler) въ своемъ сочиненіи «Zur Theorie
und Praxis des grundlegenden Rechenunterrichts» (Мюнхенъ,
1904), ссылающійся на Лая и Вальземана, не пользуется,
однако, въ достаточной мѣрѣ тѣми фактами, которые до-

быты и провѣрены экспериментальнымъ путемъ. Такъ, онъ
говоритъ о «логическомъ выводѣ заключеній въ области
счисленія», какъ о «мышленіи» посредствомъ «наименова-
ній счетнаго ряда» (стр. 7). «Счисленіе должно основываться
на счетѣ», счетъ же есть дѣятельность, «посредствомъ кото-
рой каждый объектъ въ явной или скрытой формѣ обозна-
чается, какъ единица». Послѣ многихъ и длинныхъ діалек-
тическихъ разсужденій, въ которыхъ иногда проскаль-
зываютъ здравыя мысли, онъ приходитъ въ практической
части—къ счисленію на пальцахъ. По его.мнѣнію, «типи-
ческими числовыми фигурами» являются, во-первыхъ,
пальцы, во-вторыхъ, ряды шаровъ.
Атманспахеръ (Atmanspacher, «Der Rechenunterricht im
ersten Schuljahr», Лейпцигъ, 1906 г.) утверждаетъ, вопреки
всѣмъ даннымъ народной психологіи (см. стр. 11) и резуль-
татамъ экспериментальныхъ изслѣдованій, что «образова-
ніе постояннаго ряда (!) изъ неравныхъ (!), легко различае-
мыхъ единицъ наилучшимъ образомъ (!) отвѣчаетъ всѣмъ
(!) требованіямъ и прекрасно (!) выполняетъ свои функціи».
Изъ этой гипотезы онъ выводитъ далѣе свой методъ весьма
труднымъ діалектическимъ путемъ (стр. 62). При счетѣ онъ
пользуется сначала своимъ «постояннымъ», «произвольнымъ
(!) нормальнымъ рядомъ»: часы, ключъ, мячъ, наперстокъ,
пуговица, перо, карандашъ, линейка, ножикъ, вилка,
ложка, чашка, мутовка, ножницы, молотокъ, щипцы».
Этотъ «нормальный рядъ» представляетъ собою только
окольный путь и въ смыслѣ содержанія, распредѣленія,
ритма и т. д. недостаточно соотвѣтствуетъ своей цѣли. По-
томъ онъ пользуется нерасчлененнымъ «видимымъ» «ци-
фровымъ рядомъ». Онъ постоянно требуетъ отъ дѣтей «трез-
вой вычислительной работы одновременнаго (!) прохо-
жденія двухъ рядовъ представленій» и пониманія выра-
женій, подобныхъ слѣдующему: «Ножикъ+карандашъ=
= щипцы» и т. п.

Д-ръ Вилькъ1) опубликовалъ работу, которая написана
очень интересно. Къ сожалѣнію, онъ мало использовалъ
имѣющіяся въ литературѣ данныя по психологіи дѣтей и
первобытныхъ народовъ; кромѣ того онъ слишкомъ скоро
переходитъ къ построеніямъ и обобщеніямъ и черезчуръ
поспѣшно распространяетъ ихъ на область практическаго
счисленія, хотя они и лишены прочнаго фундамента. Мы
попытаемся вкратцѣ отмѣтить и освѣтить наиболѣе суще-
ственныя изъ тѣхъ невѣрныхъ или ненадежныхъ слѣдствій
и построеній, которыя онъ старается обосновать для цѣ-
лей практики:
1) На основаніи неполныхъ наблюденій, Вилькъ утвер-
ждаетъ, что понятія «много» и «большой», «мало» и «ма-
ленькій» первоначально совпадаютъ у дѣтей. Но развѣ
нѣсколько кегель, нѣсколько пуговицъ на платьѣ, нѣ-
сколько ударовъ часовъ, нѣсколько звѣздъ и т. д. дѣй-
ствительно кажутся ребенку чѣмъ-то большимъ? Дѣти и
первобытные народы рано научаются отличать «много» отъ
«большой» и «мало» отъ «маленькій» (см. стр. 26 и далѣе).
2) Вилькъ придерживается взгляда, что число есть ро-
довое понятіе, которое возникаетъ, благодаря «выдѣленію
сходныхъ признаковъ» и устраненію «противоположныхъ».—
Въ дальнѣйшемъ мы убѣдимся, что этотъ взглядъ глубоко
ошибоченъ.
3) Вилькъ полагаетъ, что дѣти и первобытные народы
располагаютъ случайно наблюденныя числовыя фигуры 1,
2, 3 и 4 въ рядъ, именно—въ натуральный рядъ, и такимъ
образомъ выучиваются считать отъ 1 до 4. Это построеніе
Вилька противорѣчитъ фактамъ изъ области дѣтской и
первобытной психологіи; чтобы убѣдиться въ этомъ, до-
статочно сравнить эту голую схему съ тѣми многочислен-
1) Wilk, Das Wesen der Zahlen und des Rechnens im Menschen
und in der Menschheit auf Grund von Psychologie und Geschichte.
Dresden, 1905.

ными и разносторонними данными, которыя характери-
зуютъ развитіе числовыхъ представленій у первобытныхъ
народовъ и у дѣтей, вплоть до ихъ поступленія въ школу.
Ср. стр. 26 и далѣе.
4) Совершенно неправильно и утвержденіе Вилька,
будто между числами 1—4, съ одной стороны, и 4—10, съ
другой, существуетъ «значительная противоположность»,
такъ какъ послѣднія составляются изъ первыхъ, и только
относительно первыхъ можно сказать, что «всѣ ихъ еди-
ницы могутъ быть одновременно видимы духовнымъ окомъ».
На это приходится возразить, опираясь на согласующіяся
между собой данныя народной и дѣтской психологіи и ре-
зультаты опытовъ надъ классами, что: а) первобытные на-
роды и дѣти, поступающій въ школу, могутъ одновременно
«видѣть духовнымъ окомъ» по большей части только 2 или
3 единицы. Ь) Не только числа, превышающій 4, но и числа
3 и 4 составляются изъ меньшихъ группъ единицъ, с) Хотя
числовыя фигуры, встрѣчающіяся въ природѣ, стано-
вятся неудобными, начиная съ 3 или 4, все же дѣти мо-
гутъ одновременно, т. е. въ дробную долю секунды, воспри-
нимать и представлять себѣ числа 4—10, если примѣнить
искусственныя числовыя фигуры, напримѣръ, квадратныя.
d) Способность «одновременно видѣть духовнымъ окомъ
всѣ единицы» даннаго числа зависитъ, прежде всего, отъ
типа воспріятія даннаго лица, о чемъ, къ сожалѣнію, Вилькъ
вовсе не упоминаетъ въ своей работѣ, а затѣмъ отъ качества
числовыхъ фигуръ и отъ большей или меньшей продолжи-
тельности упражненій въ воспріятіи и представленіи, ко-
торыя могутъ значительно улучшаться при упражненій.
Мы видимъ, такимъ образомъ, что нѣтъ причинъ изу-
чать числа б—10 существенно иначе, чѣмъ числа 1—4, для
которыхъ Вилькъ только и допускаетъ числовыя фигуры.
б) Вилькъ дѣлаетъ слѣдующее неосновательное заклю-
ченіе: всякій индѣецъ показываетъ на. пальцахъ число,

которое онъ произноситъ, а... «наши дѣти подобны первобыт-
нымъ народамъ».—Въ дѣйствительности многія первобыт-
ный племена и многія дѣти поступаютъ не такъ, какъ индѣй-
цы. Да и къ тому же, почему ученики должны брать примѣръ
непремѣнно съ индѣйцевъ? Требованіе Вилька, чтобы «при
обученіи ариѳметикѣ пальцы являлись самымъ главнымъ
нагляднымъ приборомъ», конечно, будетъ отвергнуто всѣми,
кто ближе ознакомится съ данными, касающимися счета
на пальцахъ.
6) Вилькъ высказываетъ пожеланіе, чтобы числа пи-
сались сначала римскими цифрами и лишь послѣ того, какъ
создастся понятіе даннаго числа,—арабскими. Если, однако,
и слѣдуетъ примѣнять примитивные письменные знаки, дѣ-
лающіе наглядными число (съ чѣмъ и мы согласны), то
въ качествѣ такихъ знаковъ надо примѣнять фигуры, ко-
торыя дали бы при опытахъ и наблюденіяхъ наилучшіе ре-
зультаты; для этой цѣли можно особенно рекомендовать
квадратный числовыя фигуры, составленныя изъ колечекъ
или кружковъ, которые примѣнялись, въ качествѣ число-
выхъ знаковъ, еще ацтеками. Тотъ, кто внимательно про-
чтетъ описаніе нашихъ опытовъ надъ дѣтьми, какъ только
что поступившими въ школу, такъ и обучающимися въ ней
въ теченіе нѣсколькихъ лѣтъ, а также приводимыя ниже
изслѣдованія другихъ педагоговъ, конечно, не будетъ утвер-
ждать, какъ это дѣлаетъ Вилькъ, что при наблюденіи чис-
ловыхъ фигуръ ученики воспринимаютъ только ихъ видъ,
форму, а не число. Ср. стр. 31 и далѣе.
На широкое распространеніе неправильной теоріи,
будто понятіе числа есть родовое понятіе, возникающее
путемъ абстракціи при наблюденіи многаго, указываетъ
еще одна работа, именно д-ра Шмидта *). Онъ отстаиваетъ
1) Schmidt, Zur Psychologie des elementaren Rechenunterrichts.
Dresden, 1906.

счетъ, ряды, Тиллиховскій счетный приборъ, возвращается
ко взглядамъ Песталоцци, справедливо настаиваетъ на не-
обходимости глубокаго анализа всѣхъ процессовъ, затра-
гиваемыхъ при счисленіи, пытается выполнитъ этотъ ана-
лизъ и приходитъ къ указанной выше неправильной теоріи.
Полемизируя со мной, онъ утверждаетъ, что я являюсь
сенсуалистомъ, что съ Песталоцци въ моихъ глазахъ «все
покончено», что я не анализирую явленій. Предоставляю
самимъ читателямъ оцѣнить по достоинству эти утвержде-
нія. Д-ръ Шмидтъ, такъ же какъ и Вилькъ, пытается разо-
браться съ психологической точки зрѣнія въ «возникнове-
ніи понятія числа въ душѣ ребенка» (Шмидтъ), выполнить
анализъ. Однако, оба эти автора забываютъ подвергнуть
всестороннему и основательному анализу имѣющіяся лите-
ратурныя данныя по психологіи дѣтей и первобытныхъ
народовъ, а также прослѣдить съ самаго начала развитіе
числовыхъ представленій у ребенка. А между тѣмъ «осно-
вательный анализъ» вообще немыслимъ безъ разносторон-
нихъ статистическихъ и экспериментальныхъ изслѣдованій.
Малое количество фактовъ и, въ то же время, большая пред-
взятость и склонность къ логическимъ построеніямъ, къ
сожалѣнію, до сихъ поръ еще являются отличительными
признаками многихъ сочиненій по методикѣ.
Въ послѣднее время проблема возникновенія числовыхъ
представленій привлекла къ себѣ вниманіе и спеціали-
стовъ-психологовъ, выступившихъ въ роли экспериментато-
ровъ—преподавателей ариѳметики. Таковы Мейманъ, Катцъ,
Дейхлеръ1). Это, несомнѣнно, очень отрадное явленіе.
1) Meumann, Vorlesungen zur Einführung in die exp. Pädagogik,
2 Bd., 1907.
Katz, Psychologie u. math. Unterricht, Leipzig, 1913.
Deuchler, Psycholog. Vorfragen des ersten Rechenunterrichts.
Zeitschr. f. pädag. Psychologie, 1911, стр. 36 и далѣе.

Проф. Мейманъ указываетъ,что наряду съ «простран-
ствомъ» въ созданіи числовыхъ представленій участвуетъ
и «время». Въ этомъ, конечно, нѣтъ ничего новаго. Уже
въ первомъ изданіи настоящей работы было обращено
вниманіе на послѣдовательность во времени—на слухо-
выя и двигательныя ощущенія; тогда же было выстав-
лено требованіе, чтобы ихъ численное воспріятіе, пред-
ставленіе и изображеніе было основательно и системати-
чески разработано для методики; при этомъ я опирался на
личныя наблюденія и даже практическіе опыты. Однако,
утвержденіе Меймана, что способы, базирующіеся на «про-
странствѣ» и «времени», даютъ (одинаково?) «хорошіе ре-
зультаты», нѣсколько странно звучитъ въ устахъ защит-
ника точной и опирающейся на цифры педагогики, не имѣю-
щаго, къ тому же, самостоятельнаго практическаго опыта;
это особенно замѣтно педагогамъ, близко стоящимъ къ прак-
тикѣ и прошедшимъ хорошую психологическую школу.
Надо указать, что Мейманъ считается съ «типами воспрі-
ятія», большое значеніе которыхъ въ дѣлѣ обученія счи-
сленію было подчеркнуто мною въ «Экспериментальной ди-
дактикѣ». Въ настоящей книгѣ читатель также найдетъ
указаніе, что лица, предрасположенный къ воспріятію
слуховыхъ ощущеній, инстинктивно склоняются въ пользу
рядовъ и послѣдовательности какъ во времени, такъ и въ
пространствѣ. Мейманъ самъ является примѣромъ такого
лица. На стр. 354 своихъ «Лекцій» онъ указываетъ, что онъ
«предрасположенъ къ воспріятію акустико-моторныхъ ощу-
щеній»; въ дальнѣйшемъ же онъ безъ достаточныхъ поло-
жительныхъ данныхъ всюду выдѣляетъ время и послѣдо-
вательность. Отъ его вниманія не ускользнуло, что раз-
витіе числовыхъ представленій у дѣтей совершается срав-
нительно долго, хотя игры даютъ богатѣйшій матеріалъ,
который могъ бы способствовать этому развитію. Указан-
ный фактъ Мейманъ объясняетъ тѣмъ, что «время» играетъ

большую роль въ развитіи числовыхъ представленій, по-
нятіе же времени само по себѣ развивается медленно. Одна ко,
то же явленіе наблюдается и у дѣтей, предрасположенныхъ
къ зрительному воспріятію, которыя основываютъ свои
представленія не на послѣдовательности, а на сосущество-
ваніи въ пространствѣ, и всякій внимательный учитель
знаетъ, что при пользованіи рядами, въ видѣ ли русской
«счетной машины» или палочекъ Тиллиха, главныя за-
трудненія при обученіи счисленію начинаются съ того мо-
мента, какъ шарики, или вообще тѣла, перестаютъ быть
различимы одновременно, т.-е. съ 4 или 5. Въ этомъ и ле-
житъ разгадка задачи. «Натуральныя» числовыя фигуры,
попадающія въ кругъ зрѣнія ребенка, рѣдко допускаютъ
одновременное воспріятіе единицъ, даже если число ихъ
равно всего 2, не говоря уже о 3 или 4. Если же ребенку
до-школьнаго возраста дать хорошія искусственныя чис-
ловыя фигуры, напримѣръ, квадратныя, чтобы онъ считалъ
на нихъ, играя, какъ сдѣлали это мы, то развитіе предста-
вленій чиселъ, даже превышающихъ 5, идетъ весьма бы-
стро. Такимъ образомъ, главная причина длительности раз-
витія числовыхъ представленій, трудности первоначальнаго
обученія ариѳметикѣ, основаннаго на рядахъ, и недоста-
точности числовыхъ представленій у первобытныхъ наро-
довъ, ограничивающейся у нѣкоторыхъ изъ нихъ 5—10,
лежитъ въ отсутствіи числовыхъ фигуръ, допускающихъ
легкое одновременное воспріятіе объектовъ, а вовсе не въ
томъ, что числовыя представленія базируются на «времени».
Касаясь настоящей моей работы, Мейманъ говоритъ:
«Абстрактное существованіе вовсе еще не есть опредѣлен-
ное число» (стр. 333). На это приходится возразить, что
въ нашихъ изслѣдованіяхъ рѣчь идетъ вовсе не о «суще-
ствованіи» или постулированіи, какъ таковыхъ, а о созна-
ніи актовъ постулированія и ихъ совокупнаго воспріятія.
Постулированіе и сознаніе постуляцій и ихъ совокупнаго

воспріятія, апперцепція и представленіе актовъ апперцепціи
далеко не одно и то же.
Мейманъ приводитъ лишь незначительное количество ли-
тературныхъ данныхъ изъ области дѣтской психологіи,
своими наблюденіями въ этой области онъ вовсе не распо-
лагаетъ, а данныхъ психологіи первобытныхъ народовъ со-
вершенно не затрагиваетъ. Поэтому всѣ его выводы носятъ
характеръ отвлеченно-схематическихъ.
Очень отрадное впечатлѣніе производитъ упомянутая
выше работа д-ра Дейхлера, работающаго въ Тюбинген-
скомъ университетѣ, бывшаго ученика автора. Въ ней Дейх-
леръ излагаетъ результаты своихъ изслѣдованій, веду-
щихся по хорошо обдуманному плану, о возникновеніи чис-
ловыхъ представленій у дѣтей. Свои психологическія пред-
посылки и «основанія понятія числа» онъ выводитъ, поль-
зуясь «числовымъ рядомъ». Къ сожалѣнію, онъ, повидимому,
вовсе не остановился на вопросѣ, идущемъ еще далѣе вглубь,
а именно: «Какимъ образомъ создаются у ребенка первыя
числовыя представленія—наблюденіемъ рядовъ или же
группъ?» По нашимъ наблюденіямъ, ребенокъ переходитъ
отъ большихъ количествъ (много) къ меньшимъ группамъ
(мало) и, наконецъ, къ двумъ и одному. Во всякомъ слу-
чаѣ, дѣти пріобрѣтаютъ числовыя представленія 2, 3, 4 и 5
безъ рядовъ и безъ счета 1, 2, 3.... Взгляды д-ра Дейхлера
во многомъ совпадаютъ со взглядами психологовъ и педаго-
говъ—экспериментаторовъ, а также моими; такъ, онъ при-
знаетъ, что понятіе числа вовсе не является родовымъ по-
нятіемъ, что одновременное зрительное воспріятіе хорошо
расчлененныхъ группъ (числовыхъ фигуръ) простирается
дальше, чѣмъ воспріятіе рядовъ, что численное воспріятіе
возможно безъ счета. Такимъ образомъ, съ теченіемъ времени
наши взгляды на основные вопросы получили существенное
подтвержденіе. Съ дальнѣйшими фактами подтверждающими
наши воззрѣнія, мы познакомимъ читателя нѣсколько ниже.

8. Путаница во взглядахъ педагоговъ.
Мы уже познакомились со взглядами Песталоцци, Ди-
стервега, Грубе, Танка, Книллинга, Кнохе, Бетца, Гартмана
и др. на возникновеніе и сущность числа, а также и съ основ-
ными положеніями, которыя вытекаютъ изъ этихъ взгля-
довъ и которыя служатъ фундаментомъ различныхъ мето-
довъ начальнаго преподаванія ариѳметики. При этомъ ока-
зывается, что и у методистовъ ариѳметики мы должны кон-
статировать полное несогласіе во взглядахъ на начальное
преподаваніе ариѳметики. Послѣднее доказывается слѣдую-
щими фактами.
1. По мнѣнію большинства педагоговъ, числовое пред-
ставленіе возникаетъ только «посредствомъ счета», въ обык-
новенномъ смыслѣ этого слова, и лишь немногіе убѣждены
въ томъ, что оно легко можетъ образоваться и безъ счета.
2. Обыкновенно подъ словомъ «счетъ» понимается та-
кая дѣятельность, посредствомъ которой каждому изъ тѣхъ
предметовъ, которые надо сосчитать, сообщается наимено-
ваніе въ послѣдовательности числового ряда и такимъ обра-
зомъ опредѣляется количество этихъ предметовъ. Другіе
утверждаютъ, напротивъ, что опредѣленіе количества су-
ществуетъ независимо отъ счета, и что сущность счета за-
ключается въ «постулированіи», а не въ подборѣ числи-
тельныхъ.
3. Многіе педагоги принимаютъ количество, найденное
при помощи счета, за представленіе числа; другіе требуютъ
одновременныхъ, ясныхъ и отчетливыхъ числовыхъ пред-
ставленій, въ нашемъ смыслѣ этого слова (ср. стр. 10).
4. Большинство педагоговъ думаетъ, что число можно
постигнуть только путемъ послѣдовательнаго счета, и
отдаетъ, поэтому, предпочтеніе рядамъ; другіе говорятъ,
напротивъ, что возможно и одновременное воспріятіе
числа посредствомъ группъ, которое облегчаетъ и счетъ.

б. По мнѣнію Зейферта и др. методистовъ ариѳме-
тики, одновременное воспріятіе числа, въ случаѣ рядовъ,
должно распространяться не менѣе, какъ на 5 или 6 тѣлъ;
по мнѣнію другихъ наблюдателей и по даннымъ психоло-
гіи дѣтей и первобытныхъ народовъ, оно можетъ охваты-
вать только 2 или 3 тѣла (ср. стр. 11).
6. По мнѣнію Шнейдера и др., представленіе числа
дается вмѣстѣ съ наблюденіемъ предметовъ; Кнохе и др.
вовсе отрицаютъ принципъ наблюденія. По мнѣнію однихъ,
число имѣетъ чисто-вещественное, по мнѣнію другихъ—
чисто-отвлеченное происхожденіе. По мнѣнію большинства
педагоговъ, число возникаетъ въ такой послѣдовательно-
сти: наблюденіе, представленіе, понятіе; у Песталоцци
и идеалистовъ—понятіе предшествуетъ наблюденію, «опре-
дѣляетъ» его и находитъ въ немъ свое окончательное
развитіе (ср. стр. 56). Такимъ образомъ, возможно найти
понятіе въ «опредѣленномъ» наблюденіи, въ которое оно
было вложено.
7. Нѣкоторые педагоги основываютъ пріобрѣтеніе чис-
ловыхъ представленій и первыя правила дѣйствій на
видимыхъ предметахъ и цифрахъ (зрительныхъ ощуще-
ніяхъ), другіе—на слуховыхъ и осязаемыхъ предметахъ
и явленіяхъ (слуховыхъ ощущеніяхъ, особенно звуковыхъ
фигурахъ, и осязательныхъ и двигательныхъ ощущеніяхъ,
особенно ощущеніяхъ движенія при произношеніи числи-
тельныхъ). Слѣпой основываетъ число на осязательныхъ и
слуховыхъ ощущеніяхъ; глухой—на зрительныхъ; глухой
и слѣпой—только на осязательныхъ и двигательныхъ ощу-
щеніяхъ.
8. Что касается первой области чиселъ, то одни огра-
ничиваютъ ее 10 (Грубе, Брейтигамъ, Гэпфертъ, Цил-
леръ, Рейнъ), другіе (Генчель, Кэръ, Штейеръ)—20,
Казелицъ, наконецъ, доводитъ ее до 100.
9. Книллингъ различаетъ 6, а Зальбергъ 8 ариѳмети-

ческихъ дѣйствій: сравненіе, различеніе, вычитаніе, сло-
женіе, измѣреніе, умноженіе, дѣленіе и соединеніе.
10. Сторонники наглядна го метода устанавливаютъ: раз-
ложеніе, группированіе, сравненіе; сторонники метода
счета отвергаютъ это, какъ нѣчто безполезное и только
отнимающее время. Первые изображаютъ числа посред-
ствомъ точекъ, черточекъ и т. д., медлятъ съ введеніемъ
цифръ и избѣгаютъ заучиванія наизусть ариѳметическихъ
правилъ; послѣдніе дѣйствуютъ какъ разъ наоборотъ.
И. Первые пользуются большимъ числомъ наглядныхъ
пособій. Гартманъ, Книллингъ, Іенская семинарія—до-
вольствуются только однимъ нагляднымъ пособіемъ; сто-
ронники метода счета не любятъ вообще говорить о на-
глядныхъ пособіяхъ и замѣняютъ ихъ счетными пособіями.
12. Одни изыскиваютъ лучшія наглядныя пособія, дру-
гіе—лучшія счетныя пособія. Форма и построеніе какъ
тѣхъ, такъ и другихъ служатъ предметомъ ожесточенныхъ
споровъ. Указанныя ниже пособія находятъ у однихъ
весьма высокую оцѣнку, въ то время какъ другіе относятся
къ нимъ безусловно отрицательно, третьи же просто оста-
вляютъ ихъ безъ вниманія.
a) Пальцы, свободныя палочки, свободные кружки,
монеты, камешки и т. п. въ видѣ рядовъ и числовыхъ
фигуръ.
b) Ряды и аппараты съ числовыми фигурами изъ ша-
ровъ, кубиковъ, кружковъ, палочекъ, которые можно
воткнуть, положить или надѣть на прутъ.
c) Таблицы съ изображенными на нихъ черточками
или кружками, которые расположены рядами или груп-
пами (числовыя фигуры), или непосредственныя изобра-
женія предметовъ (ср. стр. 72).
13. Вопросъ о преимуществахъ горизонтальнаго или
вертикального расположенія числовыхъ фигуръ также
остается открытымъ.

14. На величину предметовъ, которые надо сосчитать,
на ихъ взаимныя разстоянія, на цвѣтъ и отчетливое вы-
дѣленіе ихъ на общемъ фонѣ— теорія мало еще обращала
вниманія, на практикѣ же въ этомъ важномъ дѣлѣ царитъ
вредное для дѣтей безразличіе, отсутствіе критики и пол-
ное противорѣчіе мнѣній.
15. Книллингъ думаетъ, что ариѳметика не можетъ
служить формальнымъ средствомъ воспитанія. Кёрнеръ
(Körner), въ своей «Geschichte der Pädagogik», говоритъ:
«Дѣятельность разсудка при счисленіи непродуктивна,
лишена внутренняго содержанія; потому я считаю без-
смысленной болтовней утвержденіе Грубе, что счисленіе
способно оказывать этическое дѣйствіе» и т. д. Гартманъ
и многіе другіе утверждаютъ противоположное.
16. За числовыя фигуры энергично ратуютъ Бетцъ,
Лай, Шнейдеръ, Вальземанъ, Пфейферъ; противъ нихъ
выступаютъ Танкъ, Книллингъ, Кнохе, Зейфертъ, Фэр-
манъ, Гартманъ и особенно приверженцы Гербартъ-Цил-
леровской педагогики.
17. Относительно наиболѣе употребительныхъ счетныхъ
аппаратовъ также господствуютъ самые противорѣчивые
взгляды. Многіе (Дистервегъ, Пальмеръ, Диттсъ, Шульце
и др.) примѣняютъ русскіе счеты; другіе (Штернъ, Линднеръ,
Кэръ и др.) совершенно отвергаютъ ихъ. Въ защиту Тил-
лиховскаго счетнаго ящика выступаютъ: Стой, Кэръ, Гарт-
манъ, Зейфертъ и др.; рѣшительными противниками его
являются Диттсъ, Бетцъ.
Нѣмецкіе педагоги создали болѣе 300 счетныхъ аппа-
ратовъ для числового пространства отъ 1—100. Уже одинъ
этотъ фактъ достаточно характеризуетъ существующую
путаницу во взглядахъ на методику первоначальнаго
преподаванія ариѳметики. Штернеръ (Sterner) въ своей
«Geschichte der Rechenkunst» справедливо замѣчаетъ: «При
разсмотрѣніи новыхъ аппаратовъ часто можно замѣтить,

что сначала былъ построенъ аппаратъ, а затѣмъ уже были
выставлены тѣ требованія, которымъ онъ долженъ удовле-
творять, и которымъ онъ, дѣйствительно, удовлетворяетъ;
это, пожалуй, наилучшая иллюстрація той безпринцип-
ности, которая царитъ еще въ этой области».
Перебравъ еще разъ въ умѣ всѣ эти воззрѣнія спеціа-
листовъ по методикѣ, мы необходимо придемъ къ заклю-
ченію, что начальное преподаваніе ариѳметики лишено еще,
ко вреду для учениковъ, прочнаго фундамента и что одно
мнѣніе противорѣчитъ другому.
Поэтому мы спросимъ прежде всего: чѣмъ объясняются
существующія несогласія и даже противоположности во
взглядахъ на природу числа и на принципы первоначаль-
наго преподаванія ариѳметики?
По нашимъ наблюденіямъ это обусловливается слѣ-
дующими обстоятельствами. Вопросъ о числѣ является
философской, теоретико-познавательной проблемой: поэтому
въ немъ непремѣнно отражаются основныя философскія
воззрѣнія мыслителя, его «философская система». Фило-
софскія же системы весьма различны; поэтому и отвѣтъ
на вопросъ о природѣ числа получается различный; дру-
гими словами: выводъ отвѣта путемъ перехода отъ высшаго
къ низшему, т.-е. дедукція, исходящая всегда изъ общихъ
принциповъ, необходимо приводитъ къ различнымъ ре-
зультатамъ. Гораздо надежнѣе обратный путь—отъ низ-
шаго къ высшему,—индукція, въ обыденномъ смыслѣ
этого слова, исходящая изъ отдѣльныхъ, конкретныхъ
фактовъ. Путемъ абстрагированія и обобщенія этихъ от-
дѣльныхъ фактовъ и можно прійти къ правильнымъ взгля-
дамъ на возникновеніе и сущность числа. Мы вступаемъ,
однако, на этотъ путь не съ тѣмъ, чтобы признать добытые
взгляды законченной теоріей и выводить изъ нихъ непо-
средственныя основанія для практики преподаванія, какъ
это дѣлаютъ до сихъ поръ многіе методисты. Мы смотримъ

на добытыя сужденія только, какъ на гипотезы, которыя
даютъ намъ возможность ставить и выполнять опыты,
позволяютъ, такимъ образомъ, создавать теорію путемъ
самостоятельной научной индукціи и облегчаютъ устано-
вленіе вѣрныхъ принциповъ преподаванія.
В. Созданіе гипотезы и постановка задачи о числѣ
и счетныхъ приборахъ.
Въ силу основного психологическаго процесса, каждое
ощущеніе, каждая мысль и чувство стремятся или вызвать
движеніе, или прекратить его. Каждое сенсорное дѣйствіе
стремится къ обратному моторному дѣйствію, цѣлью ко-
тораго является нѣкоторое выраженіе, наиболѣе соотвѣт-
ствующее обстоятельствамъ даннаго момента внѣ органовъ
и внутри сознанія (ср. стр. 7). Какъ приспособленіе къ усло-
віямъ даннаго момента, надо разсматривать и мышленіе (въ
широкомъ и узкомъ смыслѣ слова), которое лежитъ между
впечатлѣніемъ и проявленіемъ, возникаетъ благодаря впе-
чатлѣнію, перерабатываешь его и регулируетъ его проявле-
ніе. Но основнымъ свойствомъ сознанія является актив-
ность, самопроизвольность, созидающая, творческая, «син-
тетическая сила», стремящаяся къ единству. Сопоставляя
теперь воспріятіе, т.-е. неясное и еще неопредѣленное
мышленіемъ наблюденіе, съ наблюденіемъ, опредѣленнымъ
и доведеннымъ до ясности, мы придемъ къ основному ди-
дактическому требованію, къ основному дидактическому
принципу: наблюденіе (мышленіе) и изображеніе (дѣй-
ствіе) должны быть приведены въ круговое взаимодѣйствіе,
такъ чтобы наблюденіе улучшало мышленіе и воспроизве-
деніе, а воспроизведеніе улучшало наблюденіе и мышле-
ніе. Такимъ образомъ, во всякомъ правильно протекаю-
щемъ педагогическомъ процессѣ, слѣдовательно, и въ

полномъ развитіи представленія числа, можно различать
3 части: впечатлѣніе, мышленіе и проявленіе.
I. Впечатлѣніе. Народная и дѣтская психологія сви-
дѣтельствуетъ, что многія вещи, какъ-то: предметы и
явленія окружающей природы и человѣческой жизни
(ср. стр. 11), а также физическія и психическія явленія
нашего тѣла и души (ощущенія, представленія, чувство-
ванія, волевые акты), могутъ быть восприняты численно.
Необходимо замѣтить, что вещи внѣшняго міра и нашего
собственнаго тѣла входятъ въ нашъ внутренній міръ только
въ качествѣ комплексовъ ощущеній и познаются нами,
какъ наблюденія. Слѣдовательно, побужденіемъ къ созда-
нію числовыхъ представленій являются первоначально
зрительныя и слуховыя, осязательныя и двигательныя,
обонятельныя и вкусовыя ощущенія. Наблюденія и народ-
ная психологія показываютъ, что неопредѣленныя обо-
нятельныя и вкусовыя ощущенія имѣютъ весьма малое
значеніе. Поэтому мы и приходимъ къ слѣдующей задачѣ:
1) Изслѣдовать экспериментальнымъ путемъ численное
воспріятіе вещей, вызываемое слуховыми, зрительными
и осязательными впечатлѣніями.
Но всѣ предметы существуютъ или въ пространствѣ
или во времени; зрѣніе и осязаніе позволяютъ различать
пространственную смежность; слухъ и зрѣніе опредѣ-
ляютъ последовательность во времени. Поэтому мы должны
задаться вопросомъ:
2) Что болѣе способствуетъ пріобрѣтенію числовыхъ
представленій при классномъ преподаваніи: смежность
въ пространствѣ или же послѣдовательность во времени?
II. Мышленіе. Стремленіе сознанія къ единству ак-
тивно овладѣваетъ пассивнымъ впечатлѣніемъ; родствен-
ныя представленія ассимилируютъ его,а основныя понятія
познанія оформливаютъ его и отводятъ ему логическимъ
путемъ извѣстное мѣсто среди другихъ обстоятельствъ.

«Неясное наблюденіе» возвышается, такимъ образомъ, до
степени логически опредѣленнаго наблюденія или позна-
нія, такъ что наблюденіе не только порождаетъ соотвѣт-
ствующія основныя понятія, напр., понятіе числа, но и
способствуетъ все большему выясненію ихъ. Какія же
предположенія должны мы сдѣлать теперь относительно
логической природы понятія числа?
а) О двухъ душахъ, содержаніе которыхъ охваты-
ваетъ весь міръ, можно говорить такъ же хорошо, какъ
о 2 свѣтящихся точкахъ. Міръ, терпѣніе, чудовище, искра,
рай, локомотивъ,—составляютъ вмѣстѣ 6 вещей. Такимъ
образомъ, численно можно воспринимать самыя разнород-
ныя вещи. Каковы же существенные признаки понятія
числа? Только что указанный фактъ свидѣтельствуетъ,
что признакомъ числа должно служить нѣкоторое обшир-
ное, всеобъемлющее понятіе. Вся вселенная постулируется
численно, какъ единица, признается за нѣчто существу-
ющее. Африка, искра, слонъ, терпѣніе, разсматриваемые
какъ 4 вещи, имѣютъ между собой общимъ то, что каждая
изъ нихъ есть нѣчто, что каждая изъ нихъ существуетъ;
то же можно сказать о 4 совершенно одинаковыхъ свѣтя-
щихся точкахъ и т. д. и т. д. Постуляція, существованіе,
короче, всеобъемлющее понятіе постуляціи, какъ созна-
тельнаго акта, и есть существенный признакъ числа.
Сущность «единицы», которую многіе кладутъ безъ
дальнѣйшихъ объясненій въ основу опредѣленія числа,
заключается также въ постуляціи нѣкоторой вещи. Точно
такъ же и счетъ въ нашемъ смыслѣ слова есть постулиро-
ваніе, которое можетъ происходить и безъ употребленія
числительныхъ и которое имѣетъ цѣлью опредѣлить ко-
личество, при чемъ послѣднее можетъ быть выражено или
изображено не только числительными, но и жестами,
пальцами, раковинами, камешками и т. п. Числовыя
представленія «одинъ» и «много» существуютъ у самыхъ

первобытныхъ племенъ и у нормальныхъ дѣтей, только
еще поступающихъ въ школу. Такимъ образомъ, они уже
пользуются общимъ понятіемъ числа, какъ нѣкоторымъ
пріемомъ одновременнаго или послѣдовательнаго выпол-
ненія и воспріятія постуляцій. Этотъ процессъ постули-
рованія можетъ происходить при наблюденіи или въ воспо-
минаніи, а это и ведетъ къ возникновенію наблюденія числа,
представленія его, опредѣленнаго понятія числа, опредѣ-
леннаго числа. Представленіе числа мы называемъ нагляд-
нымъ, яснымъ и отчетливымъ, если отдѣльныя постуляцій
или группы ихъ могутъ быть распознаны въ системѣ по-
стуляцій одновременно (въ дробную часть секунды),
какъ, напр., въ числовой фигурѣ J J * . Если же
этого нѣтъ, какъ, напр., въ случаѣ или 379,
то числовое представленіе мы называемъ ненагляднымъ
или символическимъ. Понятіе числа шесть имѣется на-
лицо, если мы владѣемъ всѣми ариѳметическими прави-
лами построенія и разложенія нагляднаго числового пред-
ставленія (5+1 = 6; 4+2=6 и т. д.; 2.3=6; 6—1=5; 6—2=4
и т. д.). Отсюда видно, что понятіе числа образуется непо-
средственно (путемъ «чтенія») изъ наблюденія числа, или
же нагляднаго представленія числа, и что ненаглядный
числовыя представленія ведутъ къ отысканію ариѳметиче-
скихъ правилъ не путемъ непосредственнаго «чтенія»,
а путемъ утомительнаго счета и болѣе или менѣе механи-
ческаго заучиванія, не опирающагося на наблюденіе. Но это
требуетъ почти въ 10 разъ большаго напряженія силъ, какъ
показали нѣкоторыя изслѣдованія. Количество можно
непосредственно воспринять при ясномъ наблюденіи чи-
селъ (числовыхъ фигуръ), но отнюдь не при неясномъ на-
блюденіи (рядовъ). Вслѣдствіе этихъ и нѣкоторыхъ дру-
гихъ причинъ, которыя будутъ изложены въ дальнѣйшемъ,
мы должны стремиться къ пріобрѣтенію наглядныхъ чис-
ловыхъ представленій (въ нашемъ смыслѣ этого слова).

Сторонники счета утверждаютъ, однако, что наглядный
числовыя представленія невозможны: числовыя фигуры спо-
собствуютъ пріобрѣтенію представленій не чиселъ, а
только геометрической формы. Вслѣдствіе «ограниченности
сознанія», нѣсколько вещей не могутъ быть восприняты
и мысленно воспроизведены одновременно; «мгновенно» мо-
жетъ быть численно воспринятъ только одинъ предметъ.
Поэтому числовое воспріятіе можетъ быть только послѣ-
довательнымъ; стало-быть, не числовыя фигуры, а ряды
(пальцы, Тиллиховскія палочки, шары) являются наи-
болѣе естественнымъ и пригоднымъ нагляднымъ пособіемъ.
Съ другой стороны, многіе педагоги соглашаются съ Зей-
фертомъ, что и при употребленіи ряда возможно одновре-
менное воспріятіе чиселъ въ предѣлахъ отъ 1 до 5 или 6.
Необходимо, слѣдовательно, разрѣшить эксперименталь-
нымъ путемъ слѣдующіе основные вопросы:
3) Возможны ли для учениковъ одновременныя вос-
пріятія чиселъ? До какого предѣла простираются эти
воспріятія въ случаѣ пространственнаго ряда и въ слу-
чаѣ различныхъ числовыхъ фигуръ.
Ъ) Наблюденія и опыты, изложенные въ настоящемъ
сочиненіи, показываютъ, что исходнымъ пунктомъ чис-
ловыхъ представленій являются самыя вещи. Но такъ
какъ всѣ безъ исключенія пространственный и временныя
явленія могутъ быть восприняты численно; такъ какъ,
далѣе, всѣ явленія существуютъ въ нашемъ сознаніи,
какъ представленія; такъ какъ, затѣмъ, необходимой
предпосылкой представленій являются первоначальныя ощу-
щенія, и такъ какъ, наконецъ, самыя ощущенія могутъ
быть выражены численно,—то существеннымъ элементомъ
числового представленія является нѣкоторый моментъ
процесса воспріятія и апперцепціи. Эта точка зрѣнія
имѣетъ большое значеніе для начальнаго преподаванія
ариѳметики.

с) Всѣмъ извѣстно, что громкое тиканье часовъ, шумъ
мельницы, журчанье ручья и т. д. съ теченіемъ времени
перестаютъ быть слышными. Если холодъ, жаръ, сила
электрическаго тока возрастаютъ постепенно, то это повы-
шеніе, это повое впечатлѣніе не ощущаются. Если ощу-
щеніе длится безпрерывно или если разница въ возбу-
жденіи органа чувствъ слишкомъ незначительна,—ника-
кого опредѣленнаго ощущенія не возникаетъ. Послѣднее
обусловливается только разницей между нимъ и какимъ
либо другимъ ощущеніемъ, хотя бы ощущеніемъ собствен-
наго возбужденія органа чувствъ, которое послѣдній все
время испытываетъ. Такимъ образомъ, всякое ощущеніе или
комплексъ ощущеній, всякое наблюденіе, слѣдовательно,
и числовое наблюденіе и числовое представленіе, предпо-
лагаютъ возможность различенія; эта точка зрѣнія также
имѣетъ большое значеніе для первоначальнаго преподава-
нія ариѳметики. Различимость же, какъ показали наблю-
денія, обусловливается нѣкоторыми опредѣленными свой-
ствами наглядныхъ и счетныхъ пособій: такъ, здѣсь надо
принять во вниманіе форму, величину, цвѣтъ, яркость,
разстояніе, группировку и направленіе.
Первоначальное возбужденіе, которое необходимо долж-
но существовать, чтобы было воспринято второе возбу-
жденіе, соотвѣтствуетъ ассимилирующему представленію,
посредствомъ и послѣ котораго слагается сужденіе о вто-
ромъ представленіи. Въ самомъ процессѣ ощущенія содер-
жится уже нѣкоторый актъ сужденія, нѣкоторое утвер-
жденіе. Въ сознаніи же ощущенія заключается нѣчто боль-
шее, нежели простое обладаніе ощущеніемъ; здѣсь имѣется
признаніе ощущенія, сознаніе того, что вещь имѣется налицо,
что она существуетъ. На ощущеніи покоится первоначаль-
ное, основное сужденіе, образующее главную составную
часть всякаго сужденія, именно экспериментальное сужде-
ніе: это дѣйствительно, это есть, это существуетъ. Наблю-

денія и опыты показываютъ, что ощущеніе не даетъ еще
прямо представленія числа; для возникновенія послѣдняго
необходимо особое сознательное воспріятіе и представле-
ніе—нѣкоторое «числовое воспріятіе и представленіе». Но
воспріятіе наиболѣе простыхъ и однородныхъ ощущеній
(напр., въ случаѣ 4 свѣтлыхъ точекъ) и воспріятіе самыхъ
разнородныхъ комплексовъ ощущеній (напр., въ случаѣ 4
такихъ вещей, какъ локомотивъ, терпѣніе, чудовище,
искра), а равно и представленіе ихъ, содержатъ одинъ об-
щій элементъ—сознательное признаніе бытія, существова-
нія,—сознательную постуляцію. Сознательно утверждаютъ,
что имѣются 4 вещи, сознательно признаютъ ихъ существо-
ваніе; 4 вещи сознательно постулируются въ воспріятіи и
представленіи. Такимъ образомъ, искомымъ существеннымъ
элементомъ понятія числа является постуляція, признаніе
бытія, т.-е. нѣкоторый логическій, а не просто чувственный
процессъ. Поэтому, утвержденіе нѣкоторыхъ педагоговъ,
что «наблюденіе числа есть простое наблюденіе», невѣрно;
но точно такъ же невѣрно и обратное заключеніе, что «прин-
ципъ наглядности не можетъ и не долженъ лежатъ въ основѣ
первоначальнаго преподаванія ариѳметики».
Мы видимъ, такимъ образомъ, что «ясное и отчетливое»
числовое представленіе заключается въ одновременной,
ясной и отчетливой постуляціи совокупности. Единство
числа достигается тогда, когда отдѣльныя постуляціи вос-
принимаются всѣ вмѣстѣ, и когда одновременно съ посту-
ляціей совокупности ясно распознаются и всѣ отдѣльныя
постуляціи (см. стр. 104). Постулируемыя вещи могутъ вы-
ражать или смежность въ пространствѣ или послѣдова-
тельность во времени; сообразно съ этимъ и самыя постуля-
ціи образуютъ нѣчто существующее или послѣдователь-
ное. Опредѣленное число естъ, такимъ образомъ, предста-
вленіе опредѣленнаго сосуществованія или опредѣленной по-
слѣдовательности. Необходимо, однако, замѣтить, что су-

ществованіе или послѣдовательность сами по себѣ не явля-
ются еще представленіемъ сосуществованія или послѣдова-
тельности.
Мы должны признать, что возможность общаго воспрія-
тія отдѣльныхъ единицъ числа или какого-нибудь нагляд-
наго пособія зависитъ отъ тѣхъ же свойствъ, которыя обу-
словливаютъ и ихъ различимость (смотр, выше).
Такимъ образомъ, намъ надо разрѣшить эксперименталь-
нымъ путемъ слѣдующіе вопросы:
4) Какую форму, величину, цвѣтъ, яркость, разстояніе
(группировку) и расположеніе должны имѣть счетные при-
боры, чтобы наилучшимъ образомъ удовлетворять условію
различимости и возможности общаго воспріятія, т.-е. да-
вать наилучшіе результаты въ смыслѣ числового воспріятія?
Мы можетъ утверждать вмѣстѣ съ Песталоцци, что число
есть нѣкоторый (логическій) «элементъ наблюденія». То,
что Песталоцци называетъ «центромъ, въ которомъ схо-
дятся всѣ твои представленія», или «основнымъ свойствомъ
нашего духа, посредствомъ котораго нашъ разумъ соеди-
няетъ въ своемъ представленіи всѣ впечатлѣнія, испыты-
ваемыя органами чувствъ со стороны природы, вырабаты-
ваешь, такимъ образомъ, понятіе и доводитъ его постепенно
до все большей степени ясности» *),—все это мы выражаемъ
въ настоящемъ сочиненіи словами «единство сознанія?.
Авторъ раздѣляетъ также взглядъ Песталоцци на «подле-
жащій наблюденію матеріалъ, который становится «числен-
нымъ» только тогда, когда разумъ прибавляетъ къ наблю-
денію понятіе числа» 2). Но мы желали бы избѣжать здѣсь
употребленія такихъ неопредѣленныхъ и туманныхъ выра-
женій, какъ «разумъ», «понятіе числа», «прибавленіе»; мы
задаемся вопросомъ о самой природѣ этихъ вещей и раз
1) Seyffarth, VIII, стр. 429.
2) Тамъ же, стр. 73.

сматриваемъ «разумъ», какъ нѣкоторую силу сужде-
нія, «понятіе числа»—какъ постуляцію частей и цѣлаго
(признаніе бытія, существованія), «прибавленіе»—какъ од-
новременность этого признанія. Ниже мы приводимъ тео-
рію понятія числа, которая до сихъ поръ отсутствовала
въ методикѣ преподаванія ариѳметики и которая имѣетъ
весьма большое значеніе на практикѣ.
d) Необходимыми предпосылками возникновенія чис-
лового представленія, т.-е. частной и общей постуляціи,
являются, какъ мы уже указывали: 1) способность разли-
чать вещи по ихъ цвѣту, формѣ, величинѣ и т. д., т.-е.
анализъ; 2) способность соединять признаки въ одну или
нѣсколько постуляціи какихъ-либо вещей, т.-е. синтезъ;
3) способность отвлекаться отъ признаковъ, напр., цвѣта,
величины и т. д. разнородныхъ тѣлъ, т.-е. абстракція,
позволяющая выполнять анализъ и синтезъ; 4) способность
вниманія, или силы воли, выдѣлять нѣкоторыя свойства,
фиксировать ихъ, доводя въ то же время другія свойства
до все большей степени ясности, способность осуществлять
абстракціи), анализъ и синтезъ. Мы видимъ, такимъ обра-
зомъ, что представленіе числа возникаетъ въ сознаніи не
пассивно, какъ хотя бы снимокъ на фотографической пла-
стинкѣ. Числовое представленіе есть не состояніе, а дѣ-
ятельность, нѣкоторый образъ дѣйствія', по самой природѣ
своей оно является моторнымъ процессомъ, душевнымъ по-
стулированіемъ, душевнымъ конструированіемъ, построе-
ніемъ сложной единицы; въ этомъ смыслѣ оно является твор-
ческимъ актомъ, нѣкоторой реакціей, вызванной впечатлѣ-
ніемъ, часто нѣкоторымъ выраженіемъ (жестомъ, словами).
Процессъ апперцепціи заключаетъ въ себѣ не только
сужденіе или утвержденіе—«это есть»; одновременно съ при-
знаніемъ бытія оно содержитъ въ себѣ и чувство увѣрен-
ности, убѣжденія. Признаніе бытія и чувство увѣренности,
которыя можетъ дать намъ ощущеніе, сохраняются и при

всякомъ сочетаніи ощущенія и представленія его со вся-
кими другими представленіями. «Можно утверждать, что
даже при наиболѣе абстрактныхъ сужденіяхъ—убѣжденіе
слѣдуетъ за ощущеніемъ. Если этого нѣтъ, то сужденія
являются только пустыми утвержденіями» 1). То же спра-
ведливо, конечно, и по отношенію къ числовымъ предста-
вленіямъ; слѣдовательно, мы должны стремиться къ прі-
обрѣтенію ясныхъ и отчетливыхъ представленій основныхъ
чиселъ. Такимъ образомъ, необходимо, чтобы всякое су-
жденіе могло быть разложено на представленіе взаимнаго
отношенія понятій и уверенности, что это отношеніе не
только просто постижимо, но и основано на ощущеніяхъ.
Познаніе какъ бы вращается около двухъ полюсовъ до-
стовѣрности: матеріальной достовѣрности ощущенія и фор-
мальной достовѣрности законовъ мышленія, которая да-
ется логически вѣрнымъ мышленіемъ. Мышленіе само по
себѣ даетъ только формальную достовѣрность: ощущеніе,
которое было первоначально связано съ актомъ мышленія,
даетъ вмѣстѣ съ тѣмъ и матеріальную достовѣрность; къ
послѣдней же мы и должны стремиться въ педагогикѣ.
Зигвартъ (Sigwart) и Ланге (Lange), работающіе въ обла-
сти теоріи познанія, справедливо замѣчаютъ, что выраже-
ніе «такъ должно быть» не всегда обозначаетъ высшую сте-
пень убѣжденія. «Весьма часто оно выражаетъ только вы-
полненное прохожденіе черезъ цѣлый рядъ формально не-
оспоримыхъ доказательствъ и знаменуетъ отупѣніе созна-
нія, которое не можетъ избавиться отъ доказательствъ, но
не замѣчаетъ и очевидности фактовъ-, только ощущеніе спо-
собно дѣйствительно убѣдить». Справедливость этого пред-
ложенія можетъ подтвердить каждый наблюдательный пре-
подаватель математики, гордо отбросившій наглядный ме-
тодъ, какъ «ненаучный»; предложеніе это справедливо и по
1) Riehl, Der philosoph. Kritizismus, II, стр. 45.

отношенію къ первоначальному преподаванію ариѳметики,
которое опирается на счетъ и ряды и потому неспособно по-
родить наглядныя, ясныя и отчетливыя числовыя предста-
вленія. При такомъ способѣ преподаванія, опирающемся
на логическіе выводы, дѣти испытываютъ подавленность,
отупѣніе: очевидность даннаго факта, ясное и отчетливое
наблюденіе, увѣренность отсутствуютъ. Такимъ образомъ,
Кнохе превосходно характеризуетъ сторонниковъ метода
счета, когда онъ говоритъ, сравнивая ихъ съ привержен-
цами нагляднаго метода: «Коротко, тамъ на первомъ планѣ
стоитъ наблюденіе, здѣсь (т.-е. у него)—счетъ, связанный
съ разсудочными заключеніями».
Зададимся теперь вопросомъ: какимъ образомъ можно
достигнуть при начальномъ преподаваніи ариѳметики не
только полной формальной, но и матеріальной увѣренно-
сти? Въ дѣлѣ преподаванія этотъ вопросъ имѣетъ весьма
большое значеніе. Мы уже знаемъ, вообще говоря, что для
этого необходимы ясныя и отчетливыя представленія основ-
ныхъ чиселъ. Обширные дидактическіе опыты, произведен-
ные авторомъ, доказываютъ, что этой цѣли лучше всего
удовлетворяютъ числовыя фигуры, въ особенности квад-
ратныя. Но при этомъ всегда надо помнить, что главнымъ
элементомъ числовыхъ представленій является существо-
ваніе, бытіе, постуляція, сужденіе—«это такъ». Отчетли-
вая и длительная увѣренность въ существованіи чего-либо
пріобрѣтается быстрѣе всего посредствомъ чувства осяза-
нія и движенія, т.-е. посредствомъ двигательныхъ и осяза-
тельныхъ ощущеній. Здѣсь приходится обратить вниманіе
на слѣдующее обстоятельство, упущенное изъ вида мно-
гими авторами; при начальномъ преподаваніи ариѳметики
имѣютъ значеніе не только двигательныя и осязательныя
ощущенія руки и пальцевъ, но и ощущенія глаза и голо-
сового аппарата. При движеніяхъ, склонность къ которымъ
является прирожденной, ребенокъ встрѣчается съ сопро-

тивленіемъ; ощущеніе сопротивленія (а равно и ощущеніе
стѣсненія и прерывистости, порождаемое промежутками и
паузами) учитъ его, что существуетъ нѣкоторое препят-
ствіе, нѣчто, лежащее внѣ его, нѣчто чуждое. Такимъ
образомъ, осязаніе предметовъ рукою ведетъ къ признанію
ихъ существованія. Отсюда слѣдуетъ, что счетныя пособія
и приборы, соотвѣтственнымъ образомъ видоизмѣненные,
должны находиться въ рукахъ учениковъ. Необходимо,
слѣдовательно, разрѣшить экспериментальнымъ путемъ та-
кую задачу:
б) Какая форма, величина, разстояніе, группировка и
направленіе считаемыхъ тѣлъ ведутъ къ наилучшему чи-
сленному воспріятію ихъ посредствомъ одного лишь ося-
занія и осязанія и зрѣнія вмѣстѣ?
III. Проявленіе. Обученіе счету является изобразитель-
нымъ формальнымъ обученіемъ (см. стр. 9), которое дѣй-
ствуетъ обратно на созерцательное, предметное обученіе и
такимъ образомъ выясняетъ его: оно освѣщаетъ важныя
количественныя отношенія, существующія между вещами.
Непосредственное впечатлѣніе, преобразованное частной и
общей постуляціей, или признаніемъ существованія, въ
числовое представленіе, стремится къ проявленію—къ чи-
словому изображенію. Психологія народовъ, методика ариѳ-
метики и современные методы счисленія доказываютъ, что
средства изображенія числа примѣняются, какъ репрезен-
тативныя числовыя представленія. Численная опредѣлен-
ность самыхъ разнообразныхъ вещей физическаго и пси-
хическаго міра выражается, замѣняется числовыми фигу-
рами (глаза=2, нога страуса=3), числительными, счетными
предметами, цифрами. Мы уже видѣли, что по мѣрѣ куль-
турнаго развитія человѣчество примѣняло для изображе-
нія числовыхъ представленій сперва тѣла, пальцы, ра-
ковины, камешки и т. д.; затѣмъ жесты и языкъ (числи-
тельныя), въ связи со счетными предметами или безъ нихъ,

II, наконецъ, письменные знаки, также въ соединеніи со
счетными предметами.
Непосредственное числовое представленіе можетъ быть
пріобрѣтено наблюденіемъ только такихъ вещей, которыя
образуютъ естественныя пары (глаза, крылья), тройки (тре-
угольникъ, листъ клевера), четверки (четыреугольникъ) и
т. д. То же можно сказать и относительно явленій, проте-
кающихъ во времени (ритмическихъ). Числовое предста-
вленіе всѣхъ другихъ вещей есть по преимуществу репре-
зентативное числовое представленіе; воспринятые количе-
ственно предметы и явленія отступаютъ на задній планъ;
остается лишь представленіе объ ихъ содержаніи или поня-
тіи. Репрезентативныя числовыя представленія могутъ быть
наглядными или ненаглядными. Наглядныя числовыя пред-
ставленія, частныя и общія постуляціи которыхъ мо-
гутъ быть выполнены въ долю секунды (см. стр. 11),
простираются, какъ мы это увидимъ въ дальнѣйшемъ, до 12
въ случаѣ числовыхъ фигуръ и только до 2 или 3 въ слу-
чаѣ рядовъ.
Согласно съ основнымъ дидактическимъ принципомъ,
изображеніе числа дѣйствуетъ обратно на наблюденіе, пред-
ставленіе и понятіе числа, совершенствуя ихъ. Необходимо,
поэтому, требовать, чтобы за наблюденіемъ числа слѣдо-
вало его изображеніе, чтобы послѣднее способствовало все
большему выясненію перваго г). Мы приходимъ, такимъ
образомъ, къ вопросу:
6) Какой способъ изображенія чиселъ является наилуч-
шимъ при первоначальномъ преподаваніи ариѳметики?
l) Ziehen нашелъ, что слабоумнымъ дѣтямъ «оптико-моторный
счетъ», т.-е. такой, который опирается на чувственное изображеніе,
дается гораздо легче, чѣмъ «чисто-оптическій счетъ». (Ziehen, Die
Geistreskrankheiten der Kinder. Берлинъ, 1902, стр. 28). То же спра-
ведливо относительно нормальныхъ дѣтей и первобытныхъ наро-
довъ. Ср. стр. 35.

Мы уже видѣли, что первобытные народы примѣняли
въ качествѣ пособія при изображеніи чиселъ—тѣла, такъ
какъ послѣднія отчетливѣе всего воспринимаются чувствами
и, допуская одновременное воспріятіе ихъ зрѣніемъ и ося-
заніемъ, ведутъ къ образованію нагляднаго представленія
въ нашемъ смыслѣ этого слова. Въ принципѣ мы должны
принять, что наилучшія наглядныя пособія являются и
наилучшими пособіями для изображенія чиселъ.
Если мы рѣшимъ поставленныя выше задачи 1—5, то
тѣмъ самымъ мы опредѣлимъ существенныя качества наи-
лучшаго нагляднаго пособія. Если мы затѣмъ построимъ
его, то, вообще говоря, мы получимъ въ немъ и наилучшее
пособіе для изображенія. Далѣе надо будетъ видоизмѣнить
счетный приборъ, предназначенный для употребленія въ
классѣ такимъ образомъ, чтобы имъ могъ пользоваться
каждый отдѣльный ученикъ; такимъ образомъ мы будемъ
имѣть дѣло не съ однимъ только счетнымъ приборомъ для
класса, но и съ приборомъ, имѣющимся у каждаго ученика
и предназначеннымъ для изображенія; это особенно важно
при обученіи слѣпыхъ. Необходимо, слѣдовательно, обра-
тить вниманіе на:
7) различную способность руки учениковъ восприни-
мать осязательныя ощущенія. (Разстояніе концовъ осяза-
тельныхъ нервовъ).
Постараемся разрѣшить теперь поставленныя выше за-
дачи.

II. Ступень экспериментально-дидак-
тическаго изслѣдованія.
Опыты и оцѣнка результатовъ ихъ.
А) Опыты, касающіеся чиселъ первого десятка и
счетныхъ приборовъ.
1. Типы воспріятія при школьномъ обученіи.
Теперь мы должны разсмотрѣть изображеніе числовыхъ
представленій посредствомъ звуковъ (числительныхъ) и вы-
яснить соотношеніе, существующее между этой словесной
(формальной) и содержательной (предметной) составною
частью одного общаго представленія числа. Предположимъ,
что представленіе числа 7 пріобрѣтено путемъ созерцанія и
осязанія квадратныхъ числовыхъ фигуръ нашего ручного
счетнаго прибора. Круглая форма тѣлъ, ихъ бѣлый цвѣтъ,
черный цвѣтъ доски, на которой они лежатъ, ихъ вели-
чина, ихъ взаимныя разстоянія (группировка),—все это
вызываетъ свѣтовыя и двигательный ощущенія глаза и
ощущенія давленія и движенія руки, которыя дѣйствуютъ
на сознаніе; послѣднее производитъ обратное дѣйствіе,
какъ признаніе чего-то другого, чего-то существующаго,
нѣкотораго «не-я», какъ отдѣльная и какъ общая постуля-
ція. Форма, величина, цвѣтъ, группировка облегчаютъ,
съ одной стороны, различимость вещей, постуляцію частей,

съ другой стороны—возможность совокупнаго воспріятія
ихъ, наглядную постуляцію цѣлаго,—создаютъ содержаніе
числового представленія, предметную или существенную
составную часть одного общаго представленія числа семь.
Это представленіе числа 7, пріобрѣтенное на числовой
фигурѣ, можетъ замѣнять теперь любую семерку. Посту-
ляція 7 яблокъ, 7 марокъ, 7 человѣкъ можетъ быть выра-
жена символически постуляціей 7 шаровъ числовой фигуры
или «сокращенно» (Песталоцци) и отвлеченно—числитель-
нымъ семь. Но само представленіе слова семь распадается
на представленіе извѣстнаго сочетанія звуковъ и предста-
вленіе движеній органовъ рѣчи,на представленіе извѣстной
письменной фигуры и представленіе движеній при письмѣ.
Такимъ образомъ, во всякомъ общемъ представленіи числа
можно различать слѣдующія составныя части: а) предмет-
ныя: 1) представленіе содержанія или понятія; Ь) фор-
мальныя (словесныя) представленія: 2) звукового сочетанія,
3) движеній органовъ рѣчи, 4) письменной фигуры, 5)дви-
женій при письмѣ. Слѣдуетъ отмѣтить еще, что нѣкоторые
основываютъ свои представленія преимущественно на зри-
тельныхъ ощущеніяхъ, другіе на слуховыхъ, третьи—на
осязательныхъ и двигательныхъ ощущеніяхъ и четвертые—
равномѣрно на всѣхъ этихъ ощущеніяхъ. Экспериментально-
дидактическія изслѣдованія, производившіяся нами надъ
цѣлыми классами, показали, что число первыхъ превы-
шаетъ число вторыхъ (Лай, Экспериментальная дидактика,
гл. «Типы воспріятія»). Эти результаты подтвердились при
производствѣ опытовъ въ народныхъ школахъ Вюрцбурга
(Dr. Pfeiffer)и Ліона. Въ послѣднихъ 57% учениковъ пред-
расположены къ воспріятію зрительныхъ ощущеній, 27%—
слуховыхъ и 16%—и тѣхъ и другихъ безразлично *). Но
*) Bulletin de la Société libre pour l'Etude psych. de l'Enfant
№ 10, стр. 307, Paris, 1913.

указанныя различія въ воспріятіи имѣютъ большое зна-
ченіе въ дѣлѣ первоначальнаго преподаванія ариѳметики
и особенно при обученіи умственному счету; результаты
опытовъ должны быть, поэтому, приняты во вниманіе; они
сильно облегчаютъ преподаваніе и позволяютъ вести его
болѣе естественнымъ путемъ. Указанія по вопросу о распо-
знаваніи типовъ воспріятія можно найти въ указанной выше
главѣ моей «Экспериментальной дидактики». Слѣдуетъ
также замѣтить (въ дальнѣйшемъ мы это докажемъ до-
статочно убѣдительно), что разница во взглядахъ методи-
стовъ весьма часто обусловливается тѣмъ, что они при-
надлежатъ къ разнымъ типамъ воспріятія. Такъ, лица
особенно предрасположенныя къ воспріятію звуковыхъ
ощущеній, охотнѣе всего базируются на послѣдователь-
ности и рядахъ.
2. О числовомъ воспріятіи и представленіи объек-
товъ, смежныхъ во времени, посредствомъ слуха
и зрѣнія.
Всякій знаетъ, что числовыя представленія возникаютъ
путемъ воспріятія объектовъ, какъ смежныхъ въ простран-
ствѣ, такъ и смежныхъ во времени. Отсюда непосредственно
вытекаетъ вопросъ, который до сихъ поръ еще не воз-
буждался въ методикѣ ариѳметики, но который имѣетъ не-
маловажное значеніе, именно:
Какія наглядныя и счетныя пособія являются наиболѣе
удобными при первоначальномъ преподаваніи ариѳметики—
тѣ ли, которыя допускаютъ воспріятіе пространственной
смежности, или тѣ, при которыхъ воспринимается послѣ-
довательность во времени? Тотъ фактъ, что до сихъ поръ
еще никто не возбуждалъ подобнаго вопроса, уже говоритъ
въ пользу наглядныхъ пособій, составленныхъ изъ объек-
товъ, смежныхъ въ пространствѣ. Числовое воспріятіе объ-

ектовъ, смежныхъ во времени, можетъ быть получено при
помощи или слуха, или зрѣнія.
Чтобы ознакомиться съ первой категоріей числовыхъ
воспріятіи объектовъ, смежныхъ во времени, я подвергъ
опытамъ четырехъ, пяти и шестилѣтнихъ дѣтей, обучав-
шихся въ дѣтскомъ саду. Я производилъ 2, 3 или 4 удара
въ секунду по столу или доскѣ и притомъ такъ, чтобы дѣти
могли только слышать стукъ—стучащаго же предмета они
не видѣли. То, что они слышали, они должны были точно
воспроизвести на своемъ столѣ. Относительно этого опыта
и всѣхъ другихъ слѣдуетъ замѣтить, что воспріятіе и пред-
ставленіе можно испытывать изображеніемъ; последнее
характеризуетъ не только воспріятіе, но и представленіе
числа.
Опытамъ предшествовало нѣсколько предварительныхъ
пробъ. При этомъ оказалось, что ошибки наблюдаются уже
при 2, еще же болѣе при 3 и 4 ударахъ, и что количество
ихъ гораздо больше, чѣмъ количество ошибокъ, которыя
дѣти дѣлаютъ при воспріятіи 2, 3 или 4 предметовъ, распо-
ложенныхъ въ рядъ и созерцаемыхъ глазомъ въ теченіе
короткаго времени.
Слѣдуетъ замѣтить еще, что воспріятіе звуковъ значи-
тельно облегчается, если расчленять рядъ ритмически,
образуя группы, своебразныя «числовыя фигуры». Здѣсь
умѣстно будетъ замѣтить, что въ поэзіи примѣняются стопы
только въ 2 и 3 слога, а въ музыкѣ строгій ритмъ допускаетъ
дѣленіе такта только на 2, 3 и 4 части.
Практика первоначальнаго преподаванія, наблюденія и
психологія дѣтей также показываютъ, что воспріятіе
послѣдовательности во времени является для ребенка
довольно затруднительнымъ. Эта причина, въ связи съ при-
веденными выше данными психологіи дѣтей и первобыт-
ныхъ народовъ (стр. 26), заставляетъ насъ принять, что раз
витіе числовыхъ представленій начинается, вообще говоря

со зрительнаго воспріятія объектовъ, смежныхъ въ про-
странствѣ, а не со слухового воспріятія объектовъ, смеж-
ныхъ во времени; первоначальное преподаваніе ариѳметики
должно, поэтому, основываться на чувствѣ зрѣнія и осяза-
нія, а не на чувствѣ слуха.
Этимъ я не хочу, однако, сказать, что числовое воспрі-
ятіе объектовъ, смежныхъ во времени, и слуховыя ощуще-
нія должны быть оставлены безъ вниманія. Какъ мы уви-
димъ въ дальнѣйшемъ, при методическомъ преподаваніи и
этимъ явленіямъ должно бытъ отведено соответствующее
мѣсто въ интересахъ учениковъ, предрасположенных!, къ
воспріятію слуховыхъ ощущеній.
Теперь мы обратимся къ изученію числового воспрі-
ятія глазомъ и осязаніемъ объектовъ, смежныхъ въ про-
странствѣ.
3. Дидактическіе опыты опредѣленія границы воспрі-
ятія предметовъ, расположенныхъ въ рядъ.
Сколько предметовъ, смежныхъ въ пространствѣ или во
времени и расположенныхъ въ рядъ, напр., сколько косто-
чекъ русскихъ счетовъ могутъ одновременно (т.-е. за время
одного качанія маятника метронома, дѣлающаго 60—120
ударовъ въ минуту) воспринять глазомъ и представить себѣ
дѣти, обучающіяся въ школѣ первый годъ? Отвѣты на
этотъ вопросъ, основывающіеся или на разрозненныхъ на-
блюденіяхъ надъ взрослыми, или на данныхъ психологіи на-
родовъ, получались весьма разнообразные; различные уче-
ные, въ зависимости отъ общихъ своихъ воззрѣній, счи-
тали, что предѣлами служатъ числа 2, 3, 4, 5 или 6. Но-
вѣйшія этнографическія данныя, еще не использованныя
въ методикѣ, показываютъ, что числовое воспріятіе у мало-
культурныхъ народовъ не идетъ дальше 2 или 3 (см. стр. 11
и далѣе).

Наблюденія, которыя нѣкоторые ученые производили
надъ самими собой, даютъ, конечно, весьма разнообразные
результаты. Для цѣлей выработки методики преподаванія
они не имѣютъ никакого значенія, такъ какъ здѣсь мы
имѣемъ дѣло съ дѣтьми и классами. Вопросъ же этотъ
болѣе важенъ для методики первоначальнаго преподава-
нія ариѳметики, чѣмъ обыкновенно думаютъ, такъ какъ онъ
освѣщаетъ возникновеніе числовыхъ представленій. Я счи-
таю большой ошибкой, что мои критики не обратили долж-
наго вниманія на опыты, относящіеся къ этому вопросу
и изложенные въ настоящемъ сочиненіи, а также и на общіе
выводы изъ опытовъ, произведенныхъ надъ дѣтьми, обу-
чавшимися въ школѣ первый годъ.
Мы должны заранѣе ожидать, что наши опыты не дадутъ
намъ рѣзко-опредѣленнаго отвѣта: способность къ воспрі-
ятію, какъ и всякая другая способность, весьма различна у
различныхъ дѣтей. Намъ придется, поэтому, довольство-
ваться слѣдующими результатами.
Въ качествѣ объектовъ воспринимаемаго ряда употреб-
лялись косточки русскихъ счетовъ, изъ которыхъ каждая
имѣла 4,5 см. въ діаметрѣ; всѣ онѣ были окрашены въ
желтый цвѣтъ; послѣ 5-й косточки оставлялся нѣкоторый
промежуток. Числа 5 и 6 шли вперемежку съ меньшими
числами 2, 3 и 4, чтобы избѣжать закономѣрной послѣдо-
вательности.
1 годъ обученія. 46 учениковъ.
I. 48 ударовъ метронома; числа: 2 3 4 6 4
ошибки: 0 0 4 33 41
II. 120 ударовъ метронома; а) числа: 5 5 4 6 5 3 5 4 2 4 3
b) » 5 4 6 5 3 5 4 2 4 3 2

Результаты опытовъ II а) и b), приведенные въ систему:
Ч.: 2 3 4 б G
' 3 6 9 5 6
3 4 9 11 2Гі
5 0 16 26
0,ІІ-:| 5 8 6 15
9 19
15 25
Среднее число ошибокъ: 4 6 9 17 25 г).
3 ученика имѣли О ошибокъ, 8 по 1 ошибкѣ. Нѣкоторая
небольшая доля этихъ ошибокъ обусловливается недоста-
точной внимательностью учениковъ. При постановкѣ опы-
товъ мы старались, по возможности, ослабить этотъ источ-
никъ ошибокъ; однако, избавиться совершенно отъ коле-
баній напряженности вниманія отдѣльныхъ учащихся и
всего класса не представляется возможнымъ; въ самомъ
дѣлѣ, вниманіе зависитъ отъ состоянія тѣла и разсудка
въ данный моментъ; а это состояніе подвержено болѣе или
г) Если произвести вычисленіе среднихъ чиселъ ошибокъ по дан-
нымъ, приведеннымъ въ таблицѣ, то вмѣсто 17 мы получимъ 15, а
вмѣсто 25 всего 19. Получившееся противорѣчіе можно, кажется,
объяснить слѣдующимъ образомъ. Такъ какъ число 6 повторяется
въ опытахъ а) и b) всего дважды, то первое число ошибокъ, при-
веденное для 6 (т.-е. 6), слѣдуетъ вычеркнуть изъ таблицы. Мы
получимъ тогда, что среднее число ошибокъ для шести равно
25+26 со
—-— = 25, какъ это и напечатано жирнымъ шрифтомъ. Что же
касается числа 5, то оно повторяется въ тѣхъ же опытахъ 7 разъ;
поэтому въ таблицѣ ему должно бы было соотвѣтствовать 7, а не
шесть чиселъ ошибокъ. Этимъ седьмымъ числомъ можетъ быть 26;
тогда среднее число ошибокъ будетъ, дѣйствительно, равно 17.—
Подобнаго рода ошибка могла весьма легко произойти отъ недо-
смотра при корректированіи оригинала.
Примѣч. переводчика.

менѣе быстрымъ измѣненіямъ, вызываемымъ внѣшними или
внутренними причинами, которыя невозможно ни обнару-
жить, ни проконтролировать. При воспріятіи и изображе-
ніи числа 2 было сдѣлано въ среднемъ 3 ошибки тремя уче-
никами изъ 46. Мы должны принять, что эти ошибки явля-
ются только что указанными «перемѣнными ошибками». Въ
самомъ дѣлѣ, опыты производились послѣ того, какъ счеты
примѣнялись болѣе г/2 года въ качествѣ нагляднаго посо-
бія; кромѣ того, и ошибка въ воспріятіи 2 шаровъ совер-
шалась не всегда одними и тѣми же 3 учениками. Допустивъ,
такимъ образомъ, что въ каждомъ изъ опытовъ II а) и b)
мы имѣемъ дѣло съ 3 случайными ошибками, мы получимъ,
что способность воспріятія 3, 4, 5 и 6 шаровъ ряда отсутство-
вала соотвѣтственно у 3, 6,14, 22 учениковъ. Если, поэтому,
3 ученика изъ 46, проучившіеся болѣе полгода, не могутъ
воспринять и сейчасъ же изобразить точками болѣе 3 ша-
ровъ ряда, а 6 учениковъ не могутъ воспринять 4 шаровъ,
то съ точки зрѣнія школьной практики и въ согласіи съ
многочисленными данными психологіи первобытныхъ на-
родовъ мы можемъ сказать, что воспріятіе 3 шаровъ, располо-
женныхъ въ рядъ, является еще возможнымъ для этого класса.
Опыты показали, далѣе, что ученики очень часто при-
нимали 4 шара за 5, а б—за 6 шаровъ, и наоборотъ; отсюда
слѣдуетъ, что многіе вѣрные отвѣты въ случаѣ болѣе, чѣмъ
3 шаровъ, получены путемъ «оцѣнки», и что во многихъ
случаяхъ въ основѣ отвѣта не лежало ни отчетливаго на-
блюденія, ни отчетливаго представленія; наличность же
такого представленія при дѣйствительно наглядномъ обу-
ченіи является необходимымъ условіемъ возможности опе-
рированія съ представленіями, т.-е. разложенія, присчи-
тыванія, отсчитыванія и т. д.
Предѣлъ числового воспріятія звуковъ (стуковъ), слѣ-
дующихъ равномѣрно одинъ за другимъ, лежитъ еще ниже
(см. стр. 118). Опыты надъ воспріятіемъ ряда объектовъ,

смежныхъ во времени, еще не провѣрены. Что же касается
предѣла воспріятія ряда объектовъ, смежныхъ въ простран-
ствѣ, то въ этомъ направленіи рядъ опытовъ произведенъ
д-ромъ Вальземаномъ. Само собой понятно, что установлен-
ный нами предѣлъ можетъ быть повышенъ, если увеличить
время созерцанія предметовъ или подвергнуть опытамъ дѣ-
тей, обучающихся въ школѣ второй или третій годъ, какъ
это сдѣлалъ д-ръ Вальземанъ. Нѣкоторые ученики, состо-
ящіе въ школѣ первый годъ и особенно расположенные къ
воспріятію зрительныхъ ощущеній, также могутъ воспри-
нимать 4 и болѣе шаровъ, послѣ созерцанія ихъ въ тече-
ніе хотя бы 1 секунды, примѣняя разложеніе шаровъ на
группы, напр., въ случаѣ 4 шаровъ разложеніе на двѣ
группы по 2 шара, въ случаѣ 5 шаровъ на двѣ группы въ 2
и 3 шара, въ случаѣ 6—на 2 группы по 3 шара и т. д. Однако,
такое разложеніе ведетъ скорѣе къ угадыванію, чѣмъ къ
дѣйствительному воспріятію. Въ моихъ опытахъ воспріятіе
чиселъ б и 6 облегчалось существованіемъ промежутка,
позволявшаго сразу распознавать ихъ. Д-ръ Вальземанъ
находитъ, что предѣломъ воспріятія является число 4;
однако, онъ производилъ свои опыты не въ тѣхъ условіяхъ
въ которыхъ производилъ ихъ я, такъ что доводы его не
могутъ опровергнуть моихъ выводовъ. Отдѣльныя наблю-
денія надъ взрослыми и дѣтьми даютъ весьма различныя
результаты, обусловленные различіемъ въ индивидуаль-
ной способности воспріятія. Поэтому я считаю умѣстнымъ
напомнить еще разъ, что я основываю свои выводы на сред-
нихъ результатахъ дидактическихъ опытовъ, производи-
вшихся надъ цѣлыми классами въ первый годъ обученія;
они и должны быть положены въ основу общественнаго
обученія, которое является именно массовымъ, класснымъ
обученіемъ. Доказательствомъ того, что и у взрослыхъ
одновременное воспріятіе не превышаетъ, вообще говоря,
трехъ, служитъ уже тотъ фактъ, что мы считаемъ еще иногда

при помощи рядовъ 2, 4, 6, 8 и т. д. и 3, 6, 9, 12 и т. д.,
но почти никогда не примѣняемъ ряда 4, 8, 12, 16
и т. д.
Опыты доказываютъ, такимъ образомъ, справедливость
утвержденія Бетца, Книллинга и другихъ методистовъ, что
у дѣтей, состоящихъ въ школѣ первый годъ, «натураль-
ная различимость чиселъ», въ вышеприведенномъ смыслѣ
этого слова, не идетъ дальше 3; но тѣ же опыты доказываютъ
и невозможность для дѣтей пріобрѣсти ясныя и отчетли-
выя представленія чиселъ, большихъ трехъ, путемъ ряда
и счета, какъ этого хотятъ добиться сторонники счета. Это
справедливо не только по отношенію къ объектамъ, смеж-
нымъ въ пространствѣ, но въ еще большей степени и по отно-
шенію къ объектамъ, смежнымъ во времени, напримѣръ,
звуковымъ впечатлѣніямъ, порождаемымъ стукомъ или
произношеніемъ натуральнаго ряда числительныхъ. По-
пытки же нѣкоторыхъ педагоговъ, напр., Фэрмана х), обос-
новать преподаваніе на моторно-акустическихъ ощуще-
ніяхъ, слѣдуетъ признать безусловно неудачными, такъ какъ
большая часть учениковъ съ гораздо большей легкостью
составляетъ себѣ представленія путемъ зрѣнія, а не слуха.
Это вполнѣ опредѣленно доказано экспериментальными из-
слѣдованіями 2).
Такъ какъ предѣломъ числового воспріятія объектовъ,
расположенныхъ въ рядъ, является число 3, то, при упо-
требленіи русскихъ счетовъ и Тиллиховскаго прибора,
дѣти не могутъ основывать хотя бы слѣдующихъ предло-
женій: 5—3=2; 4+3=7; 4+4=8; 8—5=3; 8=2.4 (4.2) на
ясныхъ и отчетливыхъ наблюденіяхъ; они лишены ясныхъ
*) Fährmann, Das rhythmische Zählen, der Konzentrationspunkt
des elementaren Rechnens, Plauen, 1896. Die rhythmische Zählmethode,
Eb., 1902.
2) Лай, «Экспер. дидакт.», глава «Типы воспріятія».

и отчетливыхъ числовыхъ представленій, лишены и необхо-
димой матеріальной и формальной увѣренности; между тѣмъ
все это можетъ быть пріобрѣтено при примѣненіи квад-
ратныхъ числовыхъ фигуръ. Многіе педагоги, примѣняю-
щіе счетные приборы, все же утверждаютъ, что число, по
самой природѣ своей, есть нѣчто исключительно отвлечен-
ное, и что числовыя представленія не могутъ быть пріобрѣ-
тены путемъ наблюденія. На это имъ можно возразить, что
ихъ счетные приборы суть не что иное, какъ наглядным
пособія, но только болѣе или менѣе несовершенный. Если
нѣтъ вещей, то постулировать уже нечего; а безъ постуля-
цій невозможны и числовыя представленія. Большая часть
сторонниковъ счета примѣняетъ приборы, построенные по
принципу рядовъ. Такъ, Кнохе примѣняетъ палочки, на-
рисованные кружки, удары въ ладоши, стуки; Фэрманъ
пользуется Тиллиховскими палочками и числительными,
Факкъ (Fack) замѣняетъ рядъ тѣлъ «счетнымъ рядомъ» чи-
слительныхъ. Но и числительныя одинъ, два, три и т. д.
суть нѣчто чувственное и наглядное; дѣйствительно, они
представляютъ собой компексъ слуховыхъ и двигательныхъ
или осязательныхъ ощущеній. Такимъ образомъ, числи-
тельныя надо разсматривать не какъ простые символы или
«только слова», но какъ самостоятельные объекты, какъ
воспринимаемые чувствами члены «счетнаго ряда». Звуко-
вые образы и двигательный ощущенія, возникающіе при
произношеніи числительныхъ, являются наглядными по-
собіями особенно для тѣхъ учениковъ, которые предраспо-
ложены въ воспріятію слуховыхъ или двигательныхъ ощу-
щеній. Кромѣ того, надо замѣтить, что дѣти, поступа-
ющій въ школу, вообще говоря, уже обладаютъ болѣе или
менѣе ясными и отчетливыми числовыми представленіями
1, 2, «много», «мало», пріобрѣтенными путемъ наблюденія
тѣлъ. Мы видимъ, такимъ образомъ, что даже наиболѣе
крайніе сторонники счета, основывающіе первоначальное

преподаваніе на знаніи наизусть ряда числительныхъ и
утверждающіе, что числа «не ощущаемы и не наглядны»,
въ конечномъ счетѣ все же опираются на чувства и наблю-
денія. Даже больше: они вынуждены примѣнять принципъ
наглядности весьма широко. Въ самомъ дѣлѣ, если они
раздѣляютъ шары промежутками, надрѣзываютъ Тиллихов-
скія палочки, окрашиваютъ кубики и шары въ разный
цвѣтъ, то этимъ они облегчаютъ не только счетъ, но и по-
стулированіе, воспріятіе, наглядность постуляцій отдѣль-
ныхъ объектовъ, группъ ихъ и всей совокупности. То же
справедливо и по отношенію къ Фэрману, который разгра-
ничиваетъ отдѣльныя числительныя рѣзкимъ повышеніемъ
и пониженіемъ голоса, дѣлаетъ паузы между числитель-
ными ряда числительныхъ, соединяетъ ихъ въ группы по
два и по три и произноситъ ихъ ритмически. Такъ, по
Фэрману:
2= eins zwei; 3= eins zwei drei
разъ два разъ два три
4= eins zwei (пауза) drei vier
разъ два три четыре
5=—^—(пауза) w—. Такимъ образомъ, даже про-
тивники числовыхъ фигуръ прибѣгаютъ къ образованію
группъ и числовыхъ фигуръ, насколько это позволяютъ
имъ ихъ ряды объектовъ, смежныхъ въ пространствѣ или
во времени. Если же нѣкоторые отдѣльные методисты
вовсе не примѣняютъ подобныхъ пособій, то объясняется
это исключительно приверженностью къ догмату, будто
числовыя представленія пріобрѣтаются путемъ счета, а не
наблюденія, и притомъ быстрѣе всего при употребленіи
рядовъ. При попыткахъ сторонниковъ счета сдѣлать чис-
ловой рядъ нагляднымъ, числительныя выше трехъ все же
пріобрѣтаютъ нѣкоторое, хотя и расплывчатое, содержаніе,

въ основу же числовыхъ представленій кладется нѣкоторое
наблюденіе, хотя и недостаточно ясное и отчетливое. Дѣло
въ томъ, что при прямомъ и обратномъ счетѣ объектовъ,
какъ смежныхъ во времени, такъ и смежныхъ въ простран-
ствѣ, каждое число пріобрѣтаетъ нѣкоторое опредѣленное
мѣсто, которое при одновременномъ воспріятіи этихъ объ-
ектовъ можетъ быть болѣе или менѣе правильно оцѣнено или
угадано; достигается это образованіемъ группъ, которое
обусловливается измѣненіемъ въ ощущеніяхъ цвѣта, формы,
движенія и звука. При помощи этого элемента наглядности,
сопутствующаго опредѣленію мѣста, ученики могутъ, пу-
темъ наблюденія, угадывать, о сколькихъ предметахъ ряда—
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 идетъ рѣчь; опыты, которые будутъ опи-
саны въ дальнѣйшемъ, убѣдили насъ, однако, что дѣти
оказываются при этомъ лишенными увѣренности. Совер-
шенно иное наблюдается, если въ основу первоначальнаго
преподаванія положены хорошія числовыя фигуры; такъ,
напр., при употребленіи квадратныхъ числовыхъ фигуръ
путемъ одновременнаго воспріятія можно достигнуть яс-
ныхъ и отчетливыхъ наблюденій и представленій чиселъ
1—12; такимъ образомъ, дѣйствія надъ числами въ этихъ
предѣлахъ возможны и безъ счета, какъ это показали произ-
веденные мною опыты, описаніе которыхъ будетъ приведено
въ дальнѣйшемъ.
Все вышеизложенное показываетъ намъ, какое важное
значеніе при выработкѣ понятія числа имѣетъ тотъ уста-
новленный нами опытнымъ путемъ фактъ, что дѣти, состоя-
щія въ школѣ первый годъ, могутъ воспринимать и пред-
ставлять себѣ одновременно только 3 объекта, расположен-
ные въ рядъ.
Разсмотримъ этотъ вопросъ поближе.
Если мы условимся подразумѣвать подъ понятіемъ основ-
ного числа знаніе всѣхъ отношеній, существующихъ между
этимъ числомъ и тѣми числами, которыя въ немъ содер-

жатся, то понятіе числа 6, напримѣръ, должно будетъ охва-
тывать слѣдующія предложенія: 1+5=6; 2+4=6 и т. д.;
6—1=5, 6—2=4 и т. д.; 3.2=6 и т.д.; 6 : 3=2 и т. д. Если
преподаваніе основывается на квадратныхъ фигурахъ,то всѣ
эти предложенія, а вмѣстѣ съ ними и понятіе числа, вы-
текаютъ непосредственно и безъ счета изъ яснаго и отчет-
ливаго наблюденія числа и воспоминанія объ этомъ наблю-
деніи, т.-е. изъ яснаго и отчетливаго представленія числа;
матеріальная и формальная увѣренность также имѣютъ
здѣсь мѣсто. Если же преподаваніе основывается на ря-
дахъ, то всѣ эти предложенія должны быть заучены наизусть
послѣ того, какъ правильность ихъ логически доказана путемъ
счета. Посмотримъ, какимъ образомъ отыскивается при по-
мощи рядовъ хотя бы слѣдующее предложеніе: 9 — 5=4.
Въ случаѣ примѣненія квадратныхъ числовыхъ фигуръ это
предложеніе получается путемъ непосредственнаго наблю-
денія или представленія числовой фигуры 9; въ случаѣ
рядовъ приходится продѣлывать слѣдующее. Такъ какъ
яснаго и отчетливаго представленія чиселъ ряда 9, 5 и 4
въ данномъ случаѣ не имѣется, то сперва отыскивается
при помощи счета имя числительное 9, затѣмъ имя числи-
тельное 5 и, наконецъ, имя числительное 4. Часто случа-
ется, что, опредѣляя одно изъ этихъ числительныхъ, ре-
бенокъ забываетъ одно или оба ранѣе- найденныя числи-
тельныя, а такъ какъ путемъ наблюденія трудно отличить
9 предметовъ отъ 8 и 10, 5 отъ 4 и 6 и 4 отъ 5 и 3, то счетъ
долженъ начинаться сызнова. Только по минованіи всѣхъ
этихъ препятствій ребенокъ приходитъ къ заключенію, что
9—5=4. При употребленіи рядовъ ни наблюденіе, ни пред-
ставленіе не даютъ ребенку возможности ясно и отчетливо
воспринять всю совокупность объектовъ ряда; ребенокъ
утомленъ, ошеломленъ; увѣренность почти отсутствуетъ.
Предложеніе, въ родѣ вышеуказаннаго, должно сохра-
няться въ памяти. Но такъ какъ оно основано на рядѣ су-

жденій и заключеній, а не на ясномъ и отчетливомъ на-
блюденіи, сопровождаемомъ полной увѣренностью, то оно
весьма скоро забывается. Повтореніе счета и слабыя по-
пытки примѣнить наглядный пособія, разумѣется, мало
помогаютъ дѣлу и требуютъ слишкомъ много времени. По-
этому остается лишь одинъ исходъ—механическое заучи-
ваніе наизусть. Но здѣсь возможно почти безконечное смѣ-
шеніе правилъ. Въ самомъ дѣлѣ, въ предѣлахъ отъ 1 до
10 надо заучить около 200 подобныхъ предложеній, въ ко-
торыя входитъ только 10 различныхъ числительныхъ. Легко
представить себѣ, сколько ошибокъ здѣсь можетъ быть
сдѣлано!
По даннымъ Эббинггауза (Ebbinghaus) заучиваніе на-
изусть словъ, лишенныхъ смысла, требуетъ въ 10 разъ
больше времени, чѣмъ запоминаніе словъ, содержащихъ
нѣкоторый смыслъ; опыты, описанные въ настоящей книгѣ,
показываютъ, что воспріятіе квадратныхъ числовыхъ фи-
гуръ легче воспріятія рядовъ почти въ 15 разъ. Эти два
факта даютъ какъ бы масштабъ для опредѣленія той работы,
которую долженъ совершить слабый мозгъ ребенка, со-
стоящаго въ школѣ первый годъ, если при обученіи его, въ
качествѣ счетнаго и нагляднаго пособія, примѣняются ряды.
Многіе учителя., запуганные предписаніями и требованіями
инспекторовъ, начинаютъ прибѣгать къ угрозамъ и нака-
заніямъ. Къ сильному напряженію мозга ребенка присоеди-
няется тогда и вѣчный страхъ, отравляющій его душу и
тѣло. Что же удивительнаго въ томъ, что состояніе здоровья
дѣтей, состоящихъ въ школѣ первый годъ, ухудшается
при этомъ почти вдвое!
Теперь мы должны ближе ознакомиться со «счетомъ»,
играющимъ такую большую роль у нѣкоторыхъ методи-
стовъ, и изслѣдовать его опытнымъ путемъ.

4. Дидактическіе опыты надъ счетомъ и методомъ
счета.
а) Дѣйствительно ли представленіе числа создается
только путемъ счета? Опыты надъ дѣтьми.
Обратимся теперь къ доказательству ошибочности утвер-
жденія нѣкоторыхъ методистовъ, «что число возникаетъ
только благодаря счету». Противъ этого ученія можно вы-
ставить слѣдующіе факты:
Ланге (F. A. Lange, «Logische Studien») совершенно
справедливо утверждаетъ, что «имена числительныя, имѣю-
щія наиболѣе древнее происхожденіе, обозначали ранѣе,
насколько мы можемъ понять ихъ смыслъ, пространствен-
ные предметы, обладающіе опредѣленными качествами, ко-
торыя соотвѣтствуютъ числу, подобно тому какъ «четыре-
угольное», напр., соотвѣтствуетъ числу четыре1). Отсюда
видно, что каждое изъ чиселъ, положенныхъ позднѣе въ
основу системы, образовалось первоначально путемъ осо-
баго акта—синтеза наблюденія, а не систематическимъ при-
бавленіемъ единицы къ единицѣ и т. д.; соотношенія чи-
селъ, возможность сложенія и пр. были познаны только
впослѣдствіи». Наблюденія надъ первобытными народами
и дѣтьми вполнѣ подтверждаютъ этотъ взглядъ.
Чтобы изслѣдовать, какъ происходитъ воспріятіе квад-
ратныхъ числовыхъ фигуръ у дѣтей, еще не обучающихся
въ школѣ, я подвергъ опытамъ нѣсколько воспитанниковъ
дѣтскаго сада. Не только внѣшнія, но и внутреннія при-
чины убѣдили меня, что въ данномъ случаѣ удобнѣе произ-
водить опыты надъ отдѣльными дѣтьми, а не надъ цѣлымъ
классомъ. При опытахъ я пользовался небольшими ли-
стами бумаги, которые можно было закрывать рукой; на
х) На языкѣ нѣкоторыхъ первобытныхъ народовъ 1 выражается
словомъ «я»; 2—«глаза»; 3—«нога страуса»; 5—«рука». См. стр.12.

нихъ были нарисованы чернилами квадратный числовыя
фигуры; кружки имѣли по 1/2 см. въ діаметрѣ; разстояніе
между ними равнялось діаметру, а промежутокъ между
двумя смежными квадратами—11/2 діаметрамъ; я закрывалъ
числовыя фигуры рукой, затѣмъ открывалъ ихъ на 1/2-1 сек.,
потомъ снова закрывалъ. Дѣтей я предупредилъ, что они
должны будутъ изображать видѣнное на грифельной доскѣ
и что имъ придется отвѣтить на вопросъ «сколько». При
опытахъ дѣти воспринимали и представляли себѣ, дѣй-
ствительно, числа, а не фигуры. Въ самомъ дѣлѣ, они отвѣ-
чали на вопросъ о количествѣ, неоднократно пересчиты-
вали кружки, руководствуясь только представленіями,
иногда изображали 2, 3 и т. д. въ видѣ рядовъ, а не число-
выхъ фигуръ. Къ тому же я училъ ихъ счисленію надъ чи-
слами 1—5, не прибѣгая къ счету.
1. Дѣвочка 6 лѣтъ, пробывшая въ дѣтскомъ саду 3 года,
безошибочно изображала на память числовыя фигуры 3, 4,
5, 7, 6 и 10, показанныя ей по одному разу. Передъ тѣмъ,
какъ она начала изображать числовую фигуру 7, я спро-
силъ ее о числѣ точекъ; отвѣтить на этотъ вопросъ она не
могла, между тѣмъ числовую фигуру она изобразила совер-
шенно правильно; такимъ образомъ, она обладала отчетли-
вымъ представленіемъ числа, но не знала его названія.
Нарисовать числовую фигуру 12 ей не удалось даже послѣ
пятикратнаго созерцанія 1); она ставила 8 или 10 точекъ
или же рисовала большее число точекъ, произвольно рас-
положенныхъ.
2. Мальчикъ 6 лѣтъ запомнилъ числовую фигуру 7 послѣ
двукратнаго созерцанія; названія ея онъ не зналъ, однако,
нашелъ его путемъ счета точекъ, руководствуясь лишь пред-
х) Слѣдуетъ замѣтить, что при этихъ опытахъ числовыя фигуры
показывались дѣтямъ въ извѣстномъ планомѣрномъ порядкѣ, иногда
по нѣскольку разъ и въ теченіе болѣе продолжительнаго времени,
чѣмъ 1 сек.

оглавленіемъ, и затѣмъ изобразилъ числовую фигуру совер-
шенно правильно. Сосчитать точки числовой фигуры 10,
руководствуясь только представленіемъ, ему уже не уда-
лось; даже послѣ того, какъ онъ совершенно вѣрно изоб-
разилъ ее, онъ все лее не зналъ, сколько точекъ нарисо-
вано; тогда онъ принялся считать точки вслухъ, не глядя
на фигуру и руководствуясь только представленіемъ, и
дѣйствительно нашелъ искомое число. Числовую фигуру
12 онъ зарисовалъ послѣ трехкратнаго созерцанія; назва-
нія ея онъ не зналъ и послѣ того, какъ онъ совершенно
правильно изобразилъ ее. Этотъ мальчикъ также пріобрѣлъ
отчетливыя числовыя представленія безъ счета и безъ
числительныхъ. Изобразить числовую фигуру 13 ему не
удалось даже послѣ семикратнаго созерцанія; онъ или
рисовалъ 12 точекъ, или же ставилъ большое число точекъ
въ безпорядкѣ.
3. Дѣвочка 5—6 лѣтъ, пробывшая въ дѣтскомъ саду
всего три недѣли, правильно зарисовала числовыя фигуры
3, 5, 8, 7 и 9; сосчитать число точекъ, руководствуясь только
представленіемъ, ей удалось въ случаѣ числовой фигуры 5;
въ случаѣ числовыхъ фигуръ 8 и 7 сдѣлать этого она уже
не могла; 9 она изобразила вѣрно лишь послѣ двукратнаго
созерцанія; числительное же 9 она нашла при помощи
счета, не глядя на фигуру.
4. Мальчикъ 5—6 лѣтъ, малоспособный, по словамъ учи-
тельницы, и имѣвшій мутные глаза, открытый ротъ и т. д.,
умѣлъ считать только до 4. Числовыя фигуры 3 и 4 онъ
не могъ изобразить даже послѣ 5-кратнаго созерцанія;
2 онъ изобразилъ правильно, послѣ этого 3 и 4, при чемъ
послѣднее число онъ опредѣлилъ при помощи счета, не
глядя на фигуру. Затѣмъ онъ вѣрно зарисовалъ и 5.
5. Мальчикъ 3—4 лѣтъ, пробывшій въ дѣтскомъ саду
около года, умѣлъ считать до 10. Числовую фигуру 3 онъ
изобразилъ въ первый разъ одной точкой, во второй разъ

3 точками, но расположенными въ рядъ; названія числа
онъ не зналъ. 4 и 5 онъ изобразилъ вѣрно; 6 было зарисо-
вано правильно послѣ пятикратнаго созерцанія (1—2 сек.);
названія числа онъ опять-таки не зналъ.
6. Дѣвочка 4 лѣтъ, пробывшая въ дѣтскомъ саду всего
3 недѣли, правильно изобразила числовыя фигуры 2 и 3
послѣ четырехкратнаго и 4 послѣ двухкратнаго созерцанія.
Числовую фигуру 5 она зарисовала вѣрно также послѣ
4-кратнаго созерцанія; на вопросъ о числѣ точекъ она
отвѣтила6;я показалъ ей числовую фигуру еще разъ; тогда
она отвѣтила 4; показавъ ей фигуру еще разъ, я полу-
чилъ, наконецъ, вѣрный отвѣтъ, найденный на память
при помощи счета.
7. Мальчикъ, которому было почти 6 лѣтъ и который
пробылъ въ дѣтскомъ саду долѣе года, вѣрно изобразилъ
всѣ числовыя фигуры отъ 2 до 12, при чемъ нѣкоторыя чи-
словыя фигуры я показывалъ ему дважды; названія чиселъ
онъ находилъ при помощи счета, послѣ того, какъ фигуры
были зарисованы,- но не глядя на нихъ. Этотъ мальчикъ
воспринялъ послѣ троекратнаго созерцанія числовую фигуру
13 и правильно изобразилъ ее на память.
8. Мальчикъ, обучавшійся въ школѣ первый годъ, ко-
тораго я уже подвергалъ ранѣе вписаннымъ опытамъ, вос-
принималъ и вѣрно изображалъ числовыя фигуры 11, 12 и
13, посмотрѣвъ на нихъ 1—2 раза, хотя до этого онъ никогда
не видѣлъ числовыхъ фигуръ, въ школѣ же имѣлъ дѣло
только съ числами перваго десятка.
Всѣ эти опыты надъ дѣтьми, еще не обучающимися въ
школѣ, крайне интересный поучительны. Они доказываютъ:
1) что при употребленіи квадратныхъ числовыхъ фи-
гуръ дѣти, еще не обучающіяся въ школѣ, могутъ почій
безъ всякаго предварительнаго упражненія воспринимать
и запоминать числа, представлять ихъ себѣ и изображать
на память;

2) что числовыя представленія охватываютъ не только
весь первый десятокъ чиселъ, составляющихъ основаніе
элементарнаго обученія, но и большія числа, въ то время
какъ представленіе объектовъ, расположенныхъ въ рядъ,
простирается только до 3;
3) что отчетливыя числовыя представленія могутъ воз-
никать и существовать безъ счета, въ обыденномъ смыслѣ
этого слова, и что при изображеніи ихъ счетъ также не
играетъ никакой роли. Это особенно ясно обнаружилось
въ одномъ случаѣ, когда мальчикъ умѣлъ считать только
до 4, но въ то же время отчетливо воспринималъ, предста-
влялъ себѣ и изображалъ на память 6 единицъ, какъ
2+2+2;
4) что не число базируется на счетѣ, а скорѣе счетъ
базируется на числе.
Критики, которые не дали себѣ труда прочесть мои до-
казательства, возражаютъ, что дѣти пріобрѣтали при вос-
пріятіи и изображеніи на память числовыхъ фигуръ не чи-
словыя представленія, а пространственный представленія
фигуръ. Такого мнѣнія придерживается, напр., д-ръ Гарт-
манъ. На это можно возразить слѣдующее:
1) Д-ръ Вальземанъ, производивши опыты надъ дѣтьми,
уже умѣвшими писать цифры, часто заставлялъ ихъ изоб-
ражать результаты цифрами, а не числовыми фигурами.
При этомъ старшіе ученики при нѣкоторыхъ опытахъ са-
мопроизвольно рисовали результаты цифрами; это ясно по-
казываетъ, что они воспринимали не фигуры, а числа. Я
же въ большей части опытовъ умышленно примѣнялъ изоб-
раженіе числа точками ряда или числовой фигуры, а не
цифрой; это давало мнѣ полную увѣренность въ томъ, что
число дѣйствительно воспринято, а не оцѣнено наугадъ;
при употребленіи цифръ этой увѣренности быть не можетъ.
Кромѣ того это позволяло мнѣ прослѣдить источники сдѣ-
ланныхъ ошибокъ.

2) Всякій согласится съ тѣмъ, что тотъ, кто умѣетъ
правильно вычислять, обладаетъ и числовыми представле-
ніями и числовыми понятіями. Но рядъ опытовъ, описан-
ныхъ въ первомъ изданіи настоящаго сочиненія на стр. 74
и далѣе, показалъ, что при употребленіи числовыхъ фигуръ
ученики могутъ выполнять ариѳметическія дѣйствія, не
прибѣгая къ счету, и притомъ гораздо лучше, чѣмъ въ слу-
чаѣ употребленія рядовъ; такимъ образомъ, числовыя фи-
гуры даютъ возможность пріобрѣтать числовыя представле-
нія безъ счета. Опыты были провѣрены и подтверждены
учителями: Шнейдеромъ, Грюневальдомъ (Grünewald), Юнке-
ромъ (Junker), д-ромъ ф.-Шееле (Dr. v. Scheele), профессо-
ромъ педагогики университета въ Упсалѣ, и д-ромъ Валь-
земаномъ.
3) То же доказываетъ другой рядъ опытовъ, описанный
на стр. 79-й 1-го изданія настоящей книги, на который по-
верхностные критики совершенно не обратили вниманія.
Я занимался б часовъ съ 8 дѣтьми дѣтскаго сада, еще не
начинавшими учиться, обучая ихъ сложенію и вычитанію
въ предѣлахъ 1—5; результатъ получился прекрасный:
«Сдѣланныя ошибки дѣти исправляли сами, не прибѣгая
къ счету и пользуясь только представленіемъ или созер-
цаніемъ соотвѣтствующей числовой фигуры» (1-е изданіе
этой книги).
Внѣшнія причины заставили меня прекратить на числѣ
б этотъ опытъ. Съ однимъ изъ дѣтей, мальчикомъ К., мнѣ
удалось заняться въ общей сложности еще б часовъ, при чемъ
перерывъ между первымъ и вторымъ опытами продолжался
двѣ недѣли. За 10 часовъ занятій онъ научился выполнять
сложеніе и вычитаніе въ предѣлахъ 1—10. Надо замѣтить
при этомъ, что по своимъ способностямъ онъ нисколько
не выдавался среди другихъ дѣтей. Въ качествѣ нагляд-
наго пособія я примѣнялъ въ дѣтскомъ саду только стѣн-
ную доску и мѣлъ. При занятіяхъ же съ малчикомъ К. въ

предѣлахъ отъ 1 до 10 я пользовался счетнымъ приборомъ,
который былъ устроенъ слѣдующимъ образомъ: въ оторван-
ной крышкѣ переплета я продѣлалъ съ нижней бѣлой сто-
роны нѣсколько круглыхъ отверстій, образующихъ вмѣстѣ
числовую фигуру 12; въ эти отверстія по мѣрѣ надобности
я вставлялъ черныя пуговицы (отъ башмаковъ). Построе-
ніе и видоизмѣненіе фигуры, т.-е. счисленіе, достав-
ляло ребенку большое удовольствіе. Аппаратъ служилъ
ему игрушкой, а самое счисленіе забавой. Въ дальнѣй-
шемъ мы еще укажемъ, какіе опыты можно производить
надъ дѣтьми, примѣняя только этотъ несложный счетный
приборъ.
Тотъ же опытъ я продѣлалъ вновь въ іюлѣ 1904 года
надъ мальчикомъ б лѣтъ, еще не поступившимъ въ школу
и умѣвшимъ считать только до 4; за 6 часовъ занятій онъ
научился выполнять всѣ дѣйствія надъ числами въ предѣ-
лахъ отъ 1 до 8, свободно рѣшая задачи, въ родѣ слѣдую-
щей: «На нашей улицѣ стояло 8 деревьевъ; 3 изъ нихъ сру-
били. Сколько деревьевъ осталось?» Между тѣмъ произ-
нести послѣдовательный рядъ числительныхъ отъ 1 до 8
онъ могъ лишь очень медленно. Такая легкость въ рѣшеніи
задачъ тѣмъ болѣе замѣчательна, что мальчикъ имѣлъ подъ
руками только счетный аппаратъ (выпущенный издатель-
ствомъ «Квелле и Мейеръ»), въ которомъ косточки можно
располагать по принципу квадратныхъ числовыхъ фигуръ.
Къ числамъ, противно обычаю, я съ самаго начала не при-
соединялъ никакого названія (пуговицы) *). Мальчикъ без-
х) Вотъ примѣръ упражненій надъ числомъ 4.
I. Упражненія съ рядами *).
а) 0+4=4 а) и b) подраздѣляются на слѣдующія ступени:
1+3 = 4 1) Ребенокъ дѣйствительно прибавляетъ и отни-
2+2 = 4 маетъ объекты.
3+1 = 4 2) Объекты закрываются и открываются.
*) Постуляція «1» была введена сравненіемъ 0 и «много».

сознательно нашелъ самъ, что 3 пуговицы всегда остаются
3 пуговицами, независимо отъ того, расположены ли онѣ
въ рядъ, или треугольникомъ, или лежатъ одна надъ дру-
гой, и что мѣсто пуговицъ могутъ занять любыя другія
тѣла. Квадратный числовыя фигуры оказываются, такимъ
образомъ, прекраснымъ средствомъ изображенія числовыхъ
понятій и притомъ такимъ, къ которому дѣти могутъ обра-
титься въ любое время. Далѣе видно, что понятіе числа 3,
напр., возникаетъ путемъ отвлеченія отъ цвѣта, формы,
величины и другихъ свойствъ однородныхъ тѣлъ одного
и того же нагляднаго пособія, а не путемъ отвлеченія отъ
самыхъ предметовъ, напр., пальцевъ, штриховъ, бобовъ,
шаровъ и т. д. при наблюденіи 3 пальцевъ, 3 штриховъ,
3 бобовъ, 3 шаровъ и т. д., какъ этого еще до сихъ поръ тре-
буютъ многіе педагоги; необходимо только установить су-
ществованіе объектовъ, сознать акты апперцепціи и вос-
принять ихъ совокупность. Наконецъ, наблюденія пока-
зали, что абстрактное представленіе числа 3 пріобрѣтается
легче, если мы имѣемъ дѣло съ 3 бѣлыми пуговицами на
черномъ фонѣ, чѣмъ если мы оперируемъ съ 3 совершенно
разнородными предметами, напр., гусемъ, локомотивомъ,
камнемъ (что случается, если обученіе счету ставятъ въ
связь со сказками).
Ь) 4—1 = 3 3) Объекты отдѣляются другъ отъ друга грифе
4—2 = 2 лемъ или чѣмъ-нибудь въ томъ же родѣ.
4—3 = 1 4) Сложеніе, вычитаніе и т. д. производится,
4—4 = 0 только глядя на объекты.
5) Сложеніе, вычитаніе и т.д. производится безъ
наблюденія при помощи одного представленія.
II. Упражненія безъ рядовъ (при помощи представленія); для
облегченія: 1) числовая фигура какъ бы изображалась въ воздухѣ
(постулировалась посредствомъ представленія); 2) если оказывалось
необходимымъ, числовая фигура созерцалась еще разъ (постулиро-
валась при наблюденіи).

Описанные опыты подтверждаютъ правильность нашей
теоріи числовыхъ представленій и доказываютъ, что по-
слѣднія могутъ возникать естественнымъ путемъ и безъ счета,
если только примѣнить числовыя фигуры. Такимъ образомъ,
ученіе нѣкоторыхъ методистовъ, проводимое на практикѣ,
повидимому, большинствомъ учителей, будто «число воз-
никаетъ только благодаря счету»—совершенно ошибочно.
И ошибка эта влечетъ за собой весьма тяжелыя послѣдствія.
b) Лабораторные опыты надъ взрослыми.
Но почему же начальное преподаваніе ариѳметики до
сихъ поръ еще зиждется на счетѣ, почему многіе учебные
планы и инспекторы училищъ все еще требуютъ примѣне-
нія метода счета? Объясняется это исключительно тради-
ціей, преклоненіемъ передъ авторитетомъ и привычкой.
Тамъ, гдѣ по принятому обычаю ненаучная психологія все
еще замѣняетъ научную психологію, считаютъ совершенно
естественнымъ и согласнымъ съ «психологіей» примѣнять
при обученіи счетъ, руководствуясь данными относительно
«естественнаго состоянія народовъ» (сравн. стр. 25) и мето-
дикой средневѣковья. А такъ какъ ясныя и отчетливыя
представленія чиселъ, превышающихъ 3, могутъ быть пріоб-
рѣтены только при употребленіи искусственныхъ нагляд-
ныхъ пособій, то правила дѣйствій и предложенія вби-
ваются дѣтямъ въ голову механическимъ заучиваніемъ на-
изусть. Дѣйствуетъ здѣсь и авторитетъ нѣкоторыхъ мате-
матиковъ, которые положили въ основаніе дедукціи число-
вой рядъ: 1 + 1 + 1 + 1 и т. д.; но мы уже указывали, что ихъ
опредѣленіе числа не выдерживаетъ строгой критики со
стороны психологіи и теоріи познанія. То же можно ска-
зать и о дѣйствіи нѣкоторыхъ воззрѣній авторитетной «Гер-
барто-Циллеровской» педагогики, которая учитъ, что «пред-
ставленіе числа обусловливается: во-первыхъ, наличностью

ряда и т. д.» [«Психологія» Фолькмана (Volkmann)]. Къ
этому присоединяется еще ученіе объ узости сознанія, съ
той крайней формѣ его, которую мы нашли, между прочимъ,
у д-ра Гартмана (см. выше, стр. 79). Въ каждый данный
моментъ сознаніе можетъ ясно воспринять только одну
единицу; поэтому единицы числа должны слѣдовать одна
за другой, должны образовывать рядъ объектовъ, смеж-
ныхъ во времени. Но рядъ звуковыхъ впечатлѣній и рядъ
числительныхъ можетъ удовлетворить только тѣхъ, кто
предрасположенъ къ воспріятію звуковыхъ ощущеній; а
такъ какъ большинство учениковъ гораздо легче воспри-
нимаетъ зрительныя, а не слуховыя ощущенія, то прихо-
дится прибѣгать къ видимымъ объектамъ. Поэтому вмѣсто
ряда объектовъ, смежныхъ во времени, многіе учителя при-
мѣняютъ рядъ объектовъ, смежныхъ въ пространствѣ, или
аппараты, построенные по принципу рядовъ. Если выше-
упомянутое ученіе объ узости сознанія справедливо, то
одновременное воспріятіе числа невозможно, и числовыя
представленія должны, дѣйствительно, создаваться послѣ-
довательно, путемъ счета. Наши наблюденія и дидакти-
ческіе опыты доказываютъ, однако, что это ученіе ошибочно,
что одновременное воспріятіе числа дѣтьми, еще не начи-
навшими обучаться въ школѣ, возможно и безъ счета и что
ученики 1-го класса, предрасположенные къ воспріятію зри-
тельныхъ ощущеній и составляющіе большинство въ клас-
сахъ, могутъ воспринимать и представлять себѣ до 12 ша-
риковъ, расположенныхъ въ формѣ квадратныхъ числовыхъ
фигуръ, послѣ созерцанія ихъ въ теченіе дробной доли секун-
ды . То же доказываютъ и лабораторные опыты надъ взрослыми.
1) Гольдшейдеръ (Goldscheider) и Мюллеръ (Müller) на-
шли *), что: а) 4 короткихъ штриха, 4 малыхъ, равныхъ
х) Zur Physiologie und Pathologie des Lesens. Zeitchrift. f. klin.
Medizin. 1893. 20 Bd.

между собой, линейныхъ квадрата, образующіе группу про-
извольной формы, могутъ быть совершенно правильно вос-
приняты и воспроизведены послѣ созерцанія ихъ въ тече-
ніе 0,01 сек., при чемъ запоминается не только число, по
и расположеніе и направленіе ихъ. Но 1/100 сек. смѣло можно
признать «мгновеніемъ», въ дидактико-практическомъ смы-
слѣ—«одновременностью»; b) буквы и цифры восприни-
маются безошибочно послѣ созерцанія ихъ въ теченіе
0,01 сек., если число ихъ не превышаетъ 4; с) шести-
значный числа воспринимаются легче, если 3 и 4 цифры
раздѣлены точкой (образованіе группъ!).
2) Къ тѣмъ же результатамъ пришли позже Эрдманъ
(Erdmann) и Додге (Dodge) г). Взрослымъ удается численно
воспринимать 4 вещи послѣ созерцанія въ теченіе 0,01 сек.;
разложеніе 6 элементовъ на 2 группы по 3 облегчаетъ
воспріятіе.
3) Кюльпе (Külpe, Versuche über Abstraction. Bericht
des 1. Kongr. f. exp. Psychologie. Barth. Leipzig, 1904) на-
шелъ, что воспріятіе цвѣта и формы, числа и элементовъ
(составныхъ частей) зависятъ другъ отъ друга: если спра-
шиваютъ о числѣ, то показаніе относительно составныхъ
частей (но не наоборотъ) получается болѣе правильное;
точно такъ же вопросъ о цвѣтѣ облегчаетъ показаніе отно-
сительно формы. Воспріятіе числа происходитъ лучше всего,
если спрашиваютъ прямо о числѣ, а не о формѣ, цвѣтѣ,
составныхъ частяхъ или просто о всемъ видѣнномъ
(ср. стр. 132). Неправильная группировка затрудняетъ
опредѣленіе числа.
4) Катель (Catell, Philos. Studien. Bd. III. S. 94 ff.),
производивши опыты надъ воспріятіемъ линій, нашелъ,
что взрослые правильно «оцѣниваютъ» число линій только
въ томъ случаѣ, если ихъ имѣется не болѣе 4—5; большее
1) Psychol. Untersuchungen über das Lesen. Halle, 1898.

число невѣрныхъ отвѣтовъ переоцѣниваетъ истинное число;
время воспріятія при опытахъ равнялось 0,01 сек. Ср.
пальцы и ряды штриховъ.
5) Дитце (Dietze, Phil. Stud. Bd. II. S. 362 ff.) нашелъ,
что всѣ наблюдатели имѣли «непреодолимое стремленіе»
группировать послѣдовательные удары; опытами же Шу-
мана (Schumann) и Нану (Nanu) установлено, что ритми-
ческое расчлененіе существенно облегчаетъ числовое воспріятіе
звуковыхъ ощущеній.
6) Уорренъ (Warren, Princeton Contributions to Psycho-
logy. Bd. II. Nr. 3) нашелъ, что взрослые могутъ безоши-
бочно воспринимать 3 одновременныхъ и 5 послѣдователь-
ныхъ свѣтовыхъ раздраженіи (время экспозиціи 0,131 сек.)
«безъ счета».
7) Мессенджеръ (Messenger, The Psychol. Review. Mo-
nogr. Suppl. Bd. V, 1903, стр. 16 и далѣе) установилъ, что
переоцѣнка нѣкотораго числа точекъ возрастаетъ по мѣрѣ
увеличенія размера точекъ и ихъ взаимнаго разстоянія.
8) Въ диссертаціи Нану (Nanu, Zur Psychologie der
Zahlauffassung, Wurzburg, 1904) особаго вниманія заслужи-
ваютъ слѣдующіе результаты опытовъ: а) сужденіе о числѣ
получалось: 1) какъ самостоятельное знаніе, т.-е. незави-
симо отъ представленій, запечатлѣвшихся въ памяти и за-
ключенныхъ между воспріятіемъ раздраженія и составле-
ніемъ сужденія, или 2) какъ несамостоятельное знаніе,
т.-е. въ зависимости отъ указанныхъ представленій; Ь) если
послѣ малаго числа точекъ показывалось сразу большое
число ихъ, то послѣднее переоцѣнивалось; с) наибольшее
число зрительныхъ раздраженіи (рядъ свѣтящихся круж-
ковъ), вѣрно оцѣненное во всѣхъ случаяхъ всѣми лицами,
подвергнутыми опытамъ (въ томъ числѣ и завѣдующимъ ла-
бораторіей проф. Кюльпе), «не превышало 5» (при времени
воспріятія—0,033 сек.); d) при закономѣрномъ расположе-
ніи объектовъ, демонстрируемыхъ одновременно, 2 лица,

подвергнутый опытамъ (въ томъ числѣ проф. Кюльпе), «вѣрно
опредѣляли число объектовъ, хотя оно равнялось 30, 60 и
даже 100»; е) утвержденіе, что съ «совокупнымъ воспрі-
ятіемъ» большого числа впечатлѣній не связано «сознаніе
числа», невѣрно. При всѣхъ указанныхъ опытахъ счетъ не
производился, да и не могъ производиться, благодаря весьма
короткому времени созерцанія—0,033 сек.; и все же здѣсь
имѣло мѣсто воспріятіе числа, а не фигуры; Л воспріятіе
числа происходитъ легче, если объекты образуютъ нѣкото-
рую фигуру, а не линію; это вполнѣ подтверждаетъ выводы
Мессенджера (1903).
Результаты описанныхъ опытовъ надъ взрослыми на-
ходятся въ полномъ согласіи съ результатами дидактиче-
скихъ опытовъ, которые я производилъ надъ отдѣльными
дѣтьми и цѣлыми классами, и которые доказали, что дѣти,
обучающіяся въ школѣ первый годъ, могутъ воспринимать
одновременно послѣ созерцанія въ теченіе 1 сек. не болѣе
3 объектовъ ряда, тогда какъ при употребленіи квадрат-
ныхъ числовыхъ фигуръ возможно одновременное воспрі-
ятіе 12 объектовъ; какъ въ томъ, такъ и въ другомъ случаѣ
воспріятіе происходитъ безъ счета.
Изложенныя экспериментальный изслѣдованія ясно до-
казываютъ ошибочность утвержденій, что «узость сознанія
не допускаетъ одновременнаго воспріятія числа», что «чи-
словыя фигуры ведутъ къ пріобрѣтенію пространственныхъ
представленій формы, а не числа», что числовыя предста-
вленія возникаютъ только благодаря счету и т. д.; все это
крупныя ошибки, влекущія за собой тяжелыя послѣдствія,
съ которыми приходится бороться въ интересахъ здороваго,
естественнаго преподаванія.
Основныя положенія ученія методистовъ, привержен-
цевъ счета,—невѣрны; поэтому мы не можемъ рекомендо-
вать ни ихъ пріемовъ обученія, ни ихъ счетныхъ аппа-
ратовъ.

с) Какъ возникаютъ представленія и понятія основ-
ныхъ чиселъ при различныхъ методахъ обученія.
Послѣ этихъ замѣчаній мы можемъ дать общій обзоръ
тѣхъ пріемовъ обученія, при помощи которыхъ пріобрѣ-
таются представленія основныхъ чиселъ; этотъ обзоръ
позволитъ намъ до нѣкоторой степени сравнить между
собой отдѣльные методы и дать имъ хотя бы приблизи-
тельную оцѣнку, такъ какъ точная оцѣнка можетъ быть
сдѣлана только на основаніи дидактическихъ опытовъ.
I. Представленія и понятія основныхъ чиселъ пріобрѣ-
таются посредствомъ счета объектовъ, пребывающихъ въ
пространствѣ или во времени1). Счетъ сопровождается
прохожденіемъ ряда числительныхъ и сообщеніемъ каж-
дому объекту, вплоть до послѣдняго, соотвѣтствующаго
наименованія по установленному ряду числительныхъ; здѣсь
возможны слѣдующія подраздѣленія:
a) Къ пріобрѣтенію нагляднаго2) представленія совокуп-
ности не стремятся.
1) Объекты располагаются въ пространствѣ и во времени
неравномерно, напр., вещи просто разбрасываются или на-
громождаются одна на другую.
2) Объекты располагаются въ пространствѣ или во вре-
мени рядами.
3) Счету придаютъ видъ 1+1=2, +1=3, +1 = 4 и т. д.
Расположеніе объектовъ произвольно.
Общимъ результатомъ этихъ трехъ пріемовъ обученія
является то, что ясное и отчетливое содержаніе количе-
ственныхъ числительныхъ отсутствуетъ.
b) Стремятся достигнуть нагляднаго представленія со-
вокупности.
*) Основныя числа 1—3 я здѣсь опускаю.
2) Что́ мы понимаемъ подъ словомъ «наглядный»,—точно уста-
новлено нами выше на стр. 105.

4) Объекты располагаются въ пространствѣ или во вре-
мени рядами, но не расчлененными. Воспріятіе совокуп-
ности происходитъ посредствомъ образованія группъ, ко-
торыя могутъ быть восприняты ясно и отчетливо лишь
отчасти.
Представленія совокупности по большей части неясны
и неотчетливы.
5) Объекты располагаются расчлененными рядами. Вос-
пріятіе совокупности происходитъ благодаря образованію
группъ, которыя могутъ быть восприняты здѣсь легче,
яснѣе и отчетливѣе, чѣмъ при нерасчлененныхъ рядахъ.
Представленія совокупности все еще недостаточно ясны и
отчетливы.
6) Объекты располагаются въ видѣ числовыхъ фигуръ.
Воспріятіе совокупности происходитъ или а) непосред-
ственно, тогда оно ясно и отчетливо, или Ь) посредствомъ
образованія группъ, которыя могутъ быть восприняты ясно
и отчетливо или сполна, или отчасти. Всѣ или только
нѣкоторыя представленія совокупности ясны и отчетливы.
II. Представленія и понятія основныхъ чиселъ пріобрѣ-
таются безъ счета путемъ постулированія и совокупнаго
воспріятія отдѣльныхъ постуляціи на однородныхъ и удо-
бопримѣнимыхъ числовыхъ фигурахъ. Представленіе сово-
купности, пріобрѣтенное непосредственно или посредствомъ
образованія группъ, ясно и отчетливо.
Относительно результатовъ, къ которымъ приводитъ при-
мѣненіе методовъ, приведенныхъ въ пунктѣ I, 1—5, можно
сказать вообще, что представленія чиселъ выше 3 являются
при этомъ только именами числительными, лишенными
яснаго и отчетливаго содержанія; уразумѣніе справедли-
вости элементарныхъ предложеній и понятіе числа дости-
гаются путемъ абстрактныхъ логическихъ заключеній, да-
ющихъ только формальную,а не матеріальную увѣренность и
требующихъ утомительнаго и продолжительнаго заучиванія

наизусть тѣхъ равенствъ, которыя существуютъ между без-
содержательными, неясными и неотчетливыми числовыми
представленіями.
Пріобрѣтеніе числовыхъ представленій на числовыхъ
фигурахъ (случай II) приводитъ къ слѣдующимъ резуль-
татамъ: всѣ представленія основныхъ чиселъ имѣютъ ясное
и отчетливое содержаніе; уразумѣніе справедливости эле-
ментарныхъ предложеній и понятіе числа достигаются пу-
темъ наглядно-конкретныхъ и логическихъ выводовъ. Они
даютъ не только формальную, но и матеріальную увѣрен-
ность и легко запоминаются, какъ равенства между ясными,
отчетливыми и содержательными числовыми представле-
ніями.
Пріемы I, 5 и I, 6, по своей педагогической цѣнности,
занимаютъ промежуточное мѣсто между I, 1—5 и II.
Я долженъ обратить теперь вниманіе читателя на слѣ-
дующее обстоятельство: нѣкоторые ученики, состоявшіе въ
школѣ первый годъ, воспринимали безошибочно не только
3, но 4 и 5 шаровъ нерасчлененнаго ряда послѣ созерцанія
ихъ въ теченіе нѣкоторой доли секунды; при этомъ они раз-
лагали, руководясь движеніями глаза,—4 на 2 и 2, б на 3
и 2 или 2 и 3 ит. д., т.-е. самостоятельно вводили принципъ
числовыхъ фигуръ. Подобнымъ же образомъ могутъ быть
восприняты при помощи счета, напр., 5 шаровъ или куби-
ковъ, расположенныхъ въ рядъ: послѣ одновременнаго вос-
пріятія первыхъ двухъ объектовъ можно считать дальше—3,
4, 5. Опыты, описанные въ «Экспериментальной дидактикѣ»
и касающіеся участія движенія глаза въ воспріятіи формы,
въ связи съ опытами, описанными въ настоящемъ сочиненіи
и касающимися числового воспріятія объектовъ въ зави-
симости отъ ихъ величины, разстоянія и направленія, при-
вели меня къ слѣдующему заключенію: если движенія глаза
задерживаются промежутками между объектами, подлежа-
щими счету, или иной окраской ихъ, то числовое воспрі-

ятіе объектовъ получается болѣе быстрое и надежное. Дру-
гіе опыты показываютъ, какъ этого и слѣдовало ожидаті,
что при примѣненіи числовыхъ фигуръ и самый счетъ ста-
новится менѣе утомительнымъ, чѣмъ при употребленіи ря-
довъ. Уже по одной этой причинѣ сторонники счета должны
бы были примѣнять при начальномъ преподаваніи не ряды,
а числовыя фигуры.
Что касается, далѣе, вопроса объ одновременности вос-
пріятія, то надо замѣтить, что многіе согласны съ д-ромъ
Гартманомъ, утверждающимъ, будто 3 и даже 2 объекта
могутъ быть восприняты только послѣдовательно путемъ
счета, а отнюдь не одновременно. Если бы мы даже приняли
этотъ взглядъ (ошибочность его доказана путемъ опытовъ),
то все же мы можемъ считать несомнѣннымъ, что примѣненіе
числовыхъ фигуръ влечетъ за собою болѣе быстрое, надеж-
ное, ясное и отчетливое послѣдовательное числовое воспрія-
тіе, чѣмъ примѣненіе рядовъ. Кромѣ того, сторонникамъ
«теоріи послѣдовательности» можно указать, что чистой
«послѣдовательности» вообще не существуетъ, что предста-
вленіе послѣдовательности невозможно безъ представленія
одновременности; въ самомъ дѣлѣ, если я желаю познать
послѣдовательность 1, 2, то одновременно съ представле-
ніемъ 2 я долженъ имѣть въ сознаніи и представленіе 1э
Наконецъ, не слѣдуетъ забывать, что сама послѣдователь-
ность (или сосуществованіе) не есть еще представленіе по-
слѣдовательности (или сосуществованія).
На основаніи обширныхъ дидактическихъ изслѣдованій
я пришелъ къ слѣдующему выводу: «Общепринятое ученіе
многихъ методистовъ, что число возникаетъ только благо-
даря счету, невѣрно». Само собой понятно, что сторонники
счета не пожелали сознаться въ томъ, что они дѣлаютъ та-
кую важную ошибку; однако, всѣ предпринятыя ими по-
пытки самозащиты оказываются неудачными, а нападенія—
необоснованными, такъ какъ они слишкомъ мало знакомы

съ методомъ экспериментально-дидактическаго изслѣдова-
нія, да къ тому же и не дали себѣ труда прочесть внима-
тельно хотя бы одинъ разъ настоящее сочиненіе. Только
два выдающихся методиста: школьный совѣтникъ докторъ
Гартманъ и старшій учитель Книллингъ отнеслись къ
моей книжкѣ съ большимъ вниманіемъ. Послѣдній изъ
нихъ оказался единственнымъ методистомъ—сторонникомъ
счета, попытавшимся разрѣшить поставленную задачу эк-
спериментальнымъ путемъ 1). Къ сожалѣнію, какъ самая
постановка, такъ и выполненіе его опытовъ весьма несовер-
шенны; мы покажемъ сейчасъ, что полученные имъ резуль-
таты 3 опытовъ никоимъ образомъ не могутъ опровергнуть
нашихъ выводовъ.
«I опытъ». Взрослое лицо должно было послѣдовательно
ставить 1, 2, 3 и 4 точки, образуются 4 горизонтальныхъ
строки, такъ, чтобы въ общемъ получилась треугольная
фигура. Какъ результатъ этого опыта, Книллингъ сооб-
щаетъ слѣдующее: «Быстрый вопросъ объ общемъ числѣ
точекъ привелъ указанное лицо въ смущеніе». Но это вполнѣ
понятно: 1) указанная группа точекъ совершенно не при-
способлена для числового воспріятія, такъ что ее никакъ
нельзя считать дидактически-примѣнимой «числовой фигу-
рой»; 2) группа точекъ была дана последовательно по ча-
стямъ, а не какъ нѣчто цѣлое; 3) указанное лицо не знало,
что ему придется опредѣлить и воспроизвести данную группу
точекъ, какъ нѣкоторую общую фигуру; такимъ образомъ,
чувства и сознаніе не были подготовлены къ абстракціи,
анализу и синтезу, которые необходимы для воспріятія
числа (стр. 102). Отсюда видно, что этотъ опытъ не можетъ
опровергнуть моихъ выводовъ, опирающихся на такіе опыты,
*) Knilling, Kritik zu W. A. Lays experimentellen Forschungs-
ergebnissen. Päd.-psych. Studien. III. 11, 12. Мои возраженія смотри
тамъ же IV. 6. 7.

въ которыхъ указанныя обстоятельства были приняты во
вниманіе, и которые производились надъ вполнѣ пригод-
ными числовыми фигурами.
«II опытъ». 6 мальчиковъ, обучавшихся въ школѣ 3-й
годъ, должны были послѣдовательно ставить (какъ и въ
первомъ опытѣ) сперва 1 точку, потомъ 2, 3, опять 2 и, на-
конецъ, 1 точку; затѣмъ они должны были изобразить эту
группу изъ 9 точекъ «совершенно тѣмъ же способомъ», «на
память»; продѣлать это они смогли. Затѣмъ ихъ спросили
объ общемъ числѣ точекъ. Результатомъ явилось то, что
Книллингу пришлось «выслушать нѣсколько невѣрныхъ
отвѣтовъ»; наиболѣе же способные ученики признались
кромѣ того, «что число точекъ они должны были счесть въ
умѣ». По вышеуказаннымъ причинамъ и этотъ опытъ ока-
зывается совершенно неудачнымъ. Ученики сказали сами,
что они не восприняли совокупности постуляціи; тотъ же
фактъ, что они могли найти искомое число, пользуясь
только представленіемъ, говоритъ за числовыя фигуры, а
не противъ нихъ.
«III опытъ», «произведенный надъ ребенкомъ, которому
только что исполнилось 3 года». Сперва ребенокъ долженъ
былъ раскладывать 2 (3) и т. д. горошины, говоря при этомъ:
вотъ одна и одна (вотъ одна, и одна, и одна) и т. д. При этомъ
предварительномъ упражненій общее воспріятіе* отдѣльныхъ
постуляціи также отсутствовало! Затѣмъ ему показали нѣ-
сколько числовыхъ фигуръ, которыя онъ сталъ изображать
«съ видимымъ удовольствіемъ». Наконецъ, ребенокъ долженъ
былъ положить на одномъ концѣ стола: «Одну горошину,
еще одну горошину, еще одну горошину и еще одну горо-
шину» такъ, чтобы онѣ образовали квадратъ, а затѣмъ на
другомъ концѣ стола такое же число торопитъ; но послѣд-
нюю горошину надо было при этомъ положить «много выше
и какъ разъ посрединѣ». Теперь ребенку былъ заданъ
«рѣшительный вопросъ». «Скажи мнѣ, на какомъ концѣ

стола лежитъ больше торопитъ? На томъ или на другомъ?»
Ребенокъ указалъ сперва на первую (квадратную), а за-
тѣмъ—на вторую группу, хотя обѣ онѣ содержали поровну
(по 4 горошины). Отсюда Книллингъ дѣлаетъ такое заклю-
ченіе: «Эта неувѣренность при опредѣленіи количества явля-
ется, по моему мнѣнію, неоспоримымъ доказательствомъ
того, что данный ребенокъ, вообще вполнѣ нормальный и
далее развитой, воспринимаетъ только внѣшнюю форму чис-
ловой фигуры, а не ея содержаніе (т.-е. число 4)». Но и
этотъ опытъ Книллинга не опровергаетъ выводовъ, приве-
денныхъ въ настоящемъ сочиненіи; дѣйствительно: 1) при
изображеніи группы не обращалось вниманія на то, что
совокупность единицъ должна образовать одно число; 2) во-
просъ, предложенный ребенку, крайне неудаченъ, такъ какъ
онъ содержитъ въ себѣ утвержденіе; а это необходимо
должно было породить у ребенка мысль, что одна изъ чис-
ловыхъ фигуръ дѣйствительно содержитъ въ себѣ больше
единицъ, чѣмъ другая; 3) весьма сомнительно, чтобы ре-
бенокъ, которому только что исполнилось 3 года, обладалъ
тѣми душевными способностями, которыя необходимы для
пріобрѣтенія представленія числа; 4) противъ всѣхъ вы-
водовъ Книллинга можно возразить, кромѣ того, что число
лицъ, подвергнутыхъ опытамъ, слишкомъ незначительно
(опытовъ надъ классами онъ не предпринималъ); различія
въ особенности воспріятія разнородныхъ ощущеній у от-
дѣльныхъ лицъ также не приняты имъ во вниманіе.
Мы видимъ, такимъ образомъ, что опыты Книллинга
не удались, и что выводы его не могутъ поколебать моихъ
взглядовъ, основанныхъ на тщательно провѣренныхъ и мно-
гократно повторявшихся опытахъ. Кромѣ того, я и не
утверждалъ, что воспріятіе и удержаніе въ памяти формы
числовой фигуры является воспріятіемъ числа; на страни-
цахъ этой книги я неоднократно указывалъ, что для обра-
зованія числовыхъ представленій необходимо постулиро-

ваніе и совокупное воспріятіе постуляцій; въ дальнѣйшемъ
будетъ доказана возможность производить дѣйствія безъ
счета, пользуясь только числовыми представленіями, пріоб-
рѣтенными путемъ наблюденія квадратныхъ числовыхъ фи-
гуръ; а это свидѣтельствуетъ о томъ, что мы имѣемъ дѣло,
дѣйствительно, съ представленіемъ чиселъ, а не только
формы. Основное возраженіе сторонниковъ счета, что при
употребленіи числовыхъ фигуръ пріобрѣтаются только про-
странственным представленія, мнѣ было хорошо извѣстно
и раньше, какъ это можно видѣть изъ моего изложенія
взглядовъ Танка, напечатанныхъ крупнымъ шрифтомъ на
стр. 61-й 1-го изданія этой книжки.
Мнѣ кажется, однако, что опыты Книллинга въ большой
мѣрѣ способствовали выясненію собственныхъ его взгля-
довъ. Такъ, въ указанной работѣ его мы встрѣчаемся со
слѣдующими положеніями: 1) «Числа, превышающій 3, мо-
гутъ быть восприняты только при помощи счета»; 2) «чтобы
достигнуть концепціи числа 4, мы должны считать»; 3) онъ
утверждаетъ, что «сознаніе нельзя заключать въ такія узкія
границы, какъ это дѣлаютъ Гербартъ и его послѣдователи»;
4) «помимо длительнаго счета, переходящаго отъ единицы
къ единицѣ, существуетъ мгновенный, созерцательный счетъ,
охватывающій сразу цѣлыя группы»', 5) говоря объ «единицѣ»,
онъ придаетъ ей то же значеніе, какое мы придаемъ сло-
вамъ «нѣчто существующее».—Послѣ этого врядъ ли можно
причислить Книллинга къ сторонникамъ счета. Въ самомъ
дѣлѣ, въ предложеніяхъ 1 и 2 онъ признаетъ, что предста-
вленія чиселъ отъ 1 до 3 включительно возникаютъ безъ
счета; далѣе онъ утверждаетъ, что существуетъ нѣкоторый
мгновенный счетъ, при помощи котораго могутъ быть пріоб-
рѣтены представленія чиселъ выше 3. Но «мгновенный со-
зерцательный счетъ» Книллинга есть не что иное, какъ по-
стулированіе въ моемъ смыслѣ слова; если этотъ «созер-
цательный счетъ» ясенъ и отчетливъ, то онъ необходимо

влечетъ за собою и одновременное ясное и отчетливое вос-
пріятіе совокупности постуляцій (существующихъ объек-
товъ). Такимъ образомъ, взгляды Книллинга весьма при-
близились къ моимъ собственнымъ. Д-ръ Гартманъ также,
кажется, измѣнилъ свои взгляды на счетъ. Ранѣе онъ утвер-
ждалъ, что «счетъ есть измѣреніе, измѣрить же можно
только то, что является въ формѣ ряда одного за другимъ
или одного рядомъ съ другимъ». Теперь же онъ пишетъ:
«Если бы Лай призналъ, что у лицъ, которыхъ я подвергалъ
опытамъ, числовое воспріятіе числовыхъ фигуръ являлось
только простымъ геометрическимъ воспріятіемъ, то онъ дол-
женъ былъ бы согласиться и съ тѣмъ, что при первоначаль-
номъ преподаваніи ариѳметики подобающее мѣсто должно
быть отведено и счету; но «счету» не какъ таковому, ибо
это повело бы только къ заучиванію наизусть числитель-
ныхъ, а «счету», дополняющему «наблюденіе» и преобразую-
щему созерцаніе и представленіе объектовъ въ созерцаніе
и представленіе чиселъ». Если д-ръ Гартманъ понимаетъ
подъ этимъ своеобразнымъ счетомъ не измѣреніе, а посту-
лированіе, независимое отъ рядовъ и числительныхъ, но
связанное съ яснымъ и отчетливымъ совокупнымъ воспрія-
тіемъ постуляцій, то въ принципѣ мы съ нимъ совершенно
согласны. Остается только пожелать, чтобы Книллингъ и
Гартманъ окончательно остановились на этихъ принципіаль-
ныхъ взглядахъ на счетъ и вывели бы изъ нихъ всѣ необхо-
димыя для практики слѣдствія. Въ самомъ дѣлѣ, мгновен-
ный созерцательный счетъ Книллинга, «охватывающій сразу
цѣлыя группы», не допускаетъ, во-первыхъ, прохожденія
ряда числительныхъ 1, 2, 3 и т. д., которое только и харак-
терно для счета (что мышленіе и представленіе дѣйстви-
тельно возможны безъ словъ, а представленіе чиселъ—безъ
числительныхъ, доказано опытами надъ больными, стра-
дающими недостатками голосовыхъ органовъ); во-вторыхъ,
этотъ «счетъ», продолженный за 3, требуетъ воспріятія

группъ объектовъ ряда, или, лучше, группъ объектовъ чис-
ловой фигуры. Но такое числовое воспріятіе объектовъ
мы не имѣемъ права называть счетомъ, такъ какъ подобное
смѣшеніе понятій лишь усиливаетъ путаницу во взглядахъ
педагоговъ и затрудняетъ выясненіе вопроса для широкаго
круга читателей. Поэтому я считаю болѣе удобнымъ гово-
рить не о «мгновенномъ счетѣ», а объ «одновременномъ вос-
пріятіи числа», получаемомъ путемъ яснаго и отчетливаго
совокупнаго воспріятія отдѣльныхъ постуляціи. Во вся-
комъ «счетѣ» главную роль играетъ постулированіе; если
пріобрѣтаются ясныя и отчетливыя числовыя представле-
нія, то съ этимъ постулированіемъ необходимо должно быть
связано ясное и отчетливое совокупное воспріятіе посту-
ляцій, которое возможно лишь при группировкѣ объектовъ
во времени или въ пространствѣ (если счетъ продолженъ
за 3), и которое можетъ быть выполнено совершенно незави-
симо отъ рядовъ числительныхъ и самыхъ числительныхъ.
5. Сравненіе рядовъ и борновскихъ числовыхъ фигуръ.
Объекты, подлежащіе воспріятію, могутъ быть располо-
жены рядами или группами. Само собой разумѣется, что
для методическаго созданія числовыхъ представленій при
первоначальномъ преподаваніи ариѳметики въ качествѣ на-
глядныхъ пособій можно примѣнять только прямолинейные
ряды и нѣкоторыя закономѣрно образованныя группы.
Здѣсь мы встрѣчаемся съ однимъ изъ самыхъ важныхъ во-
просовъ начальнаго обученія счету, а именно: есть ли какое
нибудь различіе между примѣненіемъ ряда и примѣненіемъ
группы при методическомъ созданіи числовыхъ предста-
вленій? Около этого вопроса въ прежнее время вращался
жаркій споръ, оставшійся неразрѣшеннымъ и до сей поры,
такъ какъ ни одна изъ борющихся сторонъ не обладала
достаточнымъ количествомъ матеріала, который могъ бы

убѣдить въ преимуществахъ того или иного пріема обу-
ченія.
Если мы можемъ изобразить на память нѣкоторое
число объектовъ, напр., точекъ, которые намъ были
показаны,—мы говоримъ пока только о числахъ перваго
десятка,—то это значитъ, что мы обладаемъ числовымъ
представленіемъ, которое пріобрѣтено или одновременнымъ
воспріятіемъ объектовъ путемъ наблюденія или послѣдова-
тельнымъ воспріятіемъ путемъ счета и числительныхъ. Если
объекты не могутъ быть восприняты «съ перваго взгляда»,
т.-е. одновременно, то необходимо послѣдовательное вос-
пріятіе ихъ, т.-е. счетъ. Если же одновременное воспрія-
тіе объектовъ путемъ наблюденія, которое не сопрово-
ждается или не можетъ сопровождаться счетомъ, приводитъ
къ отчетливому представленію ряда или группы, то воз-
можно и правильное изображеніе числа объектовъ, которое
также не сопровождается счетомъ или не можетъ сопро-
вождаться счетомъ, какъ это было при моихъ опытахъ надъ
4—5-лѣтними дѣтьми; такимъ образомъ, въ общей посту-
ляціи оказывается возможнымъ различать отдѣльныя по-
стуляціи, и, наоборотъ, соединять эти отдѣльныя посту-
ляціи въ одну общую постуляцію. Поэтому мы можемъ ска-
зать, что въ данномъ случаѣ имѣется наглядное, отчетли-
вое и содержательное числовое представленіе, т.-е. такое
числовое представленіе, при которомъ всѣ дѣйствія могутъ
быть выведены непосредственнымъ оперированіемъ надъ фи-
гурой, запечатлѣвшейся въ памяти. При послѣдователь-
номъ воспріятіи, т.-е. счетѣ объектовъ, такое отчетливое
представленіе уже не можетъ создаться, такъ какъ сово-
купность объектовъ не можетъ быть распознана одновре-
менно съ отдѣльными объектами, и число объектовъ можетъ
быть найдено только при помощи числительныхъ; такимъ
образомъ, создается формальное или символическое число-
вое представленіе, т.-е. безсодержательное представленіе

слова, которое равносильно лишь звуковому образу со-
отвѣтствующаго числительнаго; непосредственно опериро-
вать надъ нимъ уже нельзя; оно можетъ служить только
исходной точкой для механическаго присчитыванія и
отсчитыванія, которое ведетъ къ отысканію новаго числи-
тельнаго.
Указанное обстоятельство заставляетъ насъ стремиться
къ созданію отчетливыхъ числовыхъ представленій, пріоб-
рѣтаемыхъ путемъ наблюденія и одновременнаго воспрія-
тія объектовъ, т.-е. безъ счета. Чтобы сдѣлать послѣдній
невозможнымъ при воспріятіи объектовъ, мы сокращаемъ
время созерцанія ряда или группы объектовъ до долей се-
кунды и называемъ въ этомъ случаѣ воспріятіе объектовъ—
одновременнымъ. Измѣреніе такихъ малыхъ промежутковъ
времени производится при помощи метронома. Чтобы имѣть
возможность численно установить и сравнить, въ какой мѣрѣ
можетъ быть: 1) воспринято, 2) удержано въ памяти и
3) изображено различное количество объектовъ, я застав-
лялъ изображать воспринятые ряды или группы «на память»,
т.-е. при помощи пріобрѣтенныхъ представленій; подробно-
сти будутъ указаны при изложеніи самыхъ опытовъ.
Теперь мы займемся вопросомъ, что можно лучше и
легче воспринять, запомнить и воспроизвести—рядъ или
группу объектовъ? Какой способъ воспроизведенія и изобра-
женія, т.-е. при помощи ли содержательныхъ представле-
ній, или же при помощи числительныхъ и счета, примѣ-
няется при этомъ,—для насъ пока значенія не имѣетъ.
Сначала мы сравнимъ ряды, примѣняемые Бильгарцемъ
и другими, съ Борцовскими числовыми фигурами, примѣ-
няемыми Вендлингомъ. Борновскія числовыя фигуры, пред-
ставляющія собой двойную строку, изображены на фиг.
3, табл. I; при изображеніи чиселъ 6, 7, 8, 9 и 10-ью объек-
тами ряда, между 5 и 6 объектомъ оставлялся промежутокъ,
какъ это обыкновенно дѣлается и на практикѣ. Всѣ опыты

производились въ одинаковыхъ условіяхъ; даже расположе-
ніе предметовъ оставалось тѣмъ же. Для каждаго числа были
изготовлены на отдѣльныхъ листахъ числовая фигура въ
видѣ ряда и Борцовская фигура; всѣ фигуры были изобра-
жены на одной и той же рисовальной бумагѣ; созерцаемые
предметы имѣли видъ круговъ, нарисованныхъ черной
тушью. Площадь каждаго круга равнялась площади любого
изъ прямоугольныхъ штриховъ, изображенныхъ на стѣн-
ной таблицѣ Бильгарца. Тѣ же самыя фигуры служили мнѣ
позже для опытовъ, выясняющихъ сравнительный достоин-
ства круговъ и штриховъ, площади которыхъ равновелики.
Діаметръ каждаго круга равнялся 46 мм., разстояніе между
ними равнялось половинѣ діаметра, большій же промежу-
токъ между б и 6 кругомъ ряда равнялся цѣлому діаметру.
Опытъ производился слѣдующимъ образомъ: къ клас-
сной доскѣ прикрѣплялась кнопками подлежащая испы-
танію числовая фигура (горизонтальный рядъ или Борнов-
ская строка), закрытая ширмами, затѣмъ пускался въ ходъ
метрономъ, и учащіеся предупреждались возгласомъ: «Вни-
маніе!» Въ тактъ съ ударами метронома я произносилъ
дважды: «Разъ! Два!», затѣмъ, одновременно со слѣдую-
щимъ возгласомъ «разъ», опускалъ ширму, скрывавшую фи-
гуру, такъ что учащіеся могли видѣть ее, а вмѣстѣ со слѣ-
дующимъ возгласомъ «два» снова поднималъ ее, такъ, чтобы
она опять закрыла фигуру. Послѣ этого ученики изображали
на бумагѣ то, что они восприняли. Пока они писали, под-
готовлялся слѣдующій опытъ съ новой числовой фигурой.
Передъ началомъ новой серіи дѣлался большій перерывъ.
Общая продолжительность опытовъ не превышала 1 часа
въ день. Каждый ученикъ заносилъ результаты опыта на
отдѣльный листъ. Опытамъ предшествовало нѣсколько пред-
варительныхъ упражненій, благодаря которымъ тиканье
метронома, вначалѣ мѣшавшее занятіямъ, вовсе перестало
быть замѣтнымъ.

Для сравненія рядовъ съ Борновскими числовыми фи-
гурами были поставлены описанные ниже опыты, относи-
тельно которыхъ надо замѣтить слѣдующее. Ученики уже
обучались счету въ теченіе полгода, при чемъ преподава-
ніе основывалось, главнымъ образомъ, на русскихъ сче-
тахъ и пальцахъ; для чиселъ 1—6 были показаны лишь
вскользь числовыя фигуры Бӧме, изъ которыхъ только 2 (для
чиселъ 4 и 6) совпадаютъ съ фигурами Борна. Такимъ обра-
зомъ, воспріятіе рядовъ являлось для учениковъ болѣе при-
вычнымъ, чѣмъ воспріятіе Борновскихъ числовыхъ фигуръ.
Результаты опытовъ приведены въ нижеслѣдующей та-
блицѣ, при чемъ Борновскія фигуры обозначены римскими
цифрами, а ряды—большими арабскими. Малыя цифры, сто-
ящія подъ большими, обозначаютъ число ошибокъ, а вмѣстѣ
съ тѣмъ и число учениковъ, которые не смогли вѣрно изоб-
разить число объектовъ. Послѣдовательность римскихъ и
большихъ арабскихъ цифръ указываетъ на тотъ порядокъ,
въ которомъ показывались числовыя фигуры. Опыты, ко-
торые были произведены въ одинъ часъ, образуютъ на та-
блицѣ и одну группу. Число качаній маятника, указанное
въ каждомъ опытѣ, выражаетъ число ударовъ метронома
въ ] минуту. По числу качаній маятника легко найти и
время воспріятія: при 60 ударахъ метронома оно равно
1 секундѣ, при 120—% сек. и т. д.
1 годъ обученія. 44 ученика. 60 ударовъ метронома.
3 IV III 4 V 5 VI 6
4 5 4 18 7 19 9 28
рядыІ 69, Борн. ч. ф. 25 ошибокъ.
1 курсъ семинаріи l) 30 учен. 132 удара метронома.
IV 5 V 4 7 VI 6 VII VIII 8 IX 9
2 1 1 5 10 0 15 2 1 13 в 14
ряды 58, Б. 12 ош.
*) Здѣсь, какъ и при многихъ экспериментахъ, касавшихся пра-
вописанія, выяснилось, что опыты надъ семинаристами и учениками

2 курсъ семинаріи. 21 учен. 140 ударовъ метронома.
1X10X98 VIIVIII 7 V 6 VI 5 IV 3 4 III)
8 5 2 11 7 4 1 71401003 0
ряд. 38, В. 16 ОШ.
G VIII VI 8 IX 10 9 X
7 3 0 9 5 5 7 1
ряды 28, Б. 9 ош.
1 годъ обученія. 33 ученика. 60 ударовъ метронома.
VII VI 6 VIII 9 7 IX 8
11 7 22 7 23 23 20 22
ряды 90, Б. 45 ош.
V 9 III VI 6 IX б IV VIII 4 7 VII 8 3
12 26 0 5 18 19 17 1 10 8 21 15 27 О
Числа: 3 4 5 6 7 8 9
0 8 17 18 21 27 26
О 1 12 5 15 10 19
ряды 107 1). Б- 63 ош.
2 курсъ семинаріи. 24 ученика. 132 удара метронома.
6 VII 7 VI
7 7 11 0
ряды 18, Б. 7 ош.
Суммированіе отдѣльныхъ данныхъ приводитъ къ сле-
дующему общему результату:
ряды 408 2) ошибокъ,
Борновскія фигуры 176 ошибокъ.
народныхъ училищъ даютъ одинаковые результаты и что опыты
надъ болѣе взрослыми учениками приводятъ къ рѣзче выраженнымъ
результатамъ, такъ какъ взрослые менѣе подвержены колебанію
вниманія.
*) Суммированіе приведенныхъ чиселъ ошибокъ даетъ 117, а
не 107, какъ приведено въ оригиналѣ. Возможно, впрочемъ, что
какое-либо изъ слагаемыхъ слѣдуетъ уменьшить на 10.
Примѣч. перев.
2) Приведенное число соотвѣтственно измѣняется въ 418 (см.
предыдущее примѣчаніе).
Примѣч. перев.

Результатъ этихъ опытовъ, соотвѣтствующихъ прибли-
зительно 200 совершенно сходнымъ наблюденіямъ надъ от-
дельными лицами, неоспоримо доказываетъ, что Борновскія
числовыя фигуры являются гораздо лучшимъ нагляднымъ и
счетнымъ пособіемъ, нежели ряды, разделенные промежут-
ками между 5 и 6 объектами. Ниже будутъ описаны другіе
опыты, которые преслѣдовали иныя цѣли, но которые всѣ
безъ исключенія подтверждаютъ, прямо или косвенно, сдѣ-
ланный нами выводъ.
Установивъ такимъ образомъ превосходство Борновскихъ
числовыхъ фигуръ надъ рядами, мы должны далѣе сравнить
Борновскія фигуры съ другими существующими число-
выми фигурами.
6. Сравненіе Борновскихъ фигуръ съ другими употре-
бительными числовыми фигурами.
При выполненіи только что описанныхъ опытовъ я умыш-
ленно примѣнялъ Борновскія числовыя фигуры, а не ка-
кія-либо иныя, потому что онѣ значительно лучше всѣхъ
другихъ числовыхъ фигуръ.
Дѣйствительно: 3) всѣ онѣ безъ исключенія построены
по одному общему правилу: вторая точка ставится отвѣсно
подъ первой, третья—въ верхнемъ ряду справа отъ первой,
четвертая—отвѣсно подъ третьей, пятая—въ верхнемъ ряду
справа отъ третьей и т. д. 2) Числовыя фигуры меньшихъ
чиселъ входятъ въ числовыя фигуры большихъ чиселъ, какъ
составныя части послѣднихъ, не измѣняя своей формы.
3) Ходъ воспріятія всѣхъ числовыхъ фигуръ совершенно оди-
наковъ и достаточно простъ; поэтому воспріятіе и воспроиз-
веденіе представленій, т.-е. изображеніе всѣхъ числовыхъ
фигуръ знаками или тѣлами,—одинаково просто и сравни-
тельно легко. 4) Всѣ дѣйствія надъ числами различныхъ
числовыхъ фигуръ становятся наглядными въ одинаковой

мѣрѣ, и результаты этихъ дѣйствій могутъ быть непосред-
ственно воспроизведены, какъ запечатлѣвшіяся въ памяти
числовыя фигуры *). Читатель долженъ самъ убѣдиться въ
справедливости этихъ положеній, внимательно разсмотрѣвъ
Борновскія фигуры, изображенныя на таблицѣ I, а затѣмъ
сравнивъ ихъ съ числовыми фигурами Бӧме, Генчеля, Собе-
левскаго, Казелица и Бетца; при этомъ надо обратить вни-
маніе на удобство разложенія, присчитыванія, отсчиты-
ванія, умноженія и дѣленія. Необходимо, повторяю, чтобы
читатель продѣлалъ это самъ.
Нѣкоторыя наблюденія показали, что воспріятіе Вор-
овскихъ числовыхъ фигуръ 7, 8, 9, 10 связано съ нѣкото-
рыми затрудненіями и что послѣднія становятся особенно
значительными для чиселъ, превышающихъ 10; можно было,
однако, предполагать, что эти затрудненія удастся устра-
нить. Какъ это было сдѣлано—читатели увидятъ изъ даль-
нѣйшаго.
7. Сравненіе Борновскихъ числовыхъ фигуръ съ ква-
дратными.
Результаты моихъ опытовъ надъ границей воспріятія
ряда шаровъ, вполнѣ согласующіеся съ данными Бетца,
навели меня на слѣдующія размышленія:
Борновскія числовыя фигуры представляютъ собою двой-
ную строку, т.-е. все же рядъ; а такъ какъ воспріятіе ряда
шаровъ не идетъ дальше 3, то Борновскія фигуры, содер-
жащія больше 3 паръ круговъ, т.-с. числовыя фигуры 7, 8,
*) На этотъ пунктъ слѣдуетъ обратить особое вниманіе: для
облегченія запоминанія и сбереженія времени и силы—малыя число-
выя фигуры должны входить въ большія фигуры, не измѣняя своей
формы; это доказано опытами психолого въ Эббинггауза, Мюллера
и Шумана.

9 и 10, не могутъ быть отчетливо восприняты, представлены
и изображены 1). Расчлененіе двойного ряда на группы по
3 пары едва ли можетъ быть пригоднымъ, такъ какъ нѣ-
которые ученики не воспринимают числа 3 даже послѣ
шестимѣсячнаго обученія.
Гораздо проще раздѣлить двойной рядъ на группы по
двѣ пары, такъ чтобы получились квадратныя числовыя
фигуры (табл. II). Три шара, круга, квадрата и т. д. могутъ
быть восприняты классомъ; если представить себѣ теперь,
что вершины угловъ 3 смежныхъ квадратовъ изображены
точками, то можно предположить, что ученики воспримутъ
при этомъ 3.4, т-е. 12 единицъ.
Эти числовыя фигуры, которыя мы будемъ называть въ
дальнѣйшемъ квадратными, носятъ по сравненію съ Бор-
цовскими совсѣмъ иной характеръ.
Теперь возникаетъ вопросъ, насколько справедливы
наши теоретическія заключенія. Отвѣтъ на этотъ вопросъ
можетъ быть данъ только новыми опытами.
Наглядными пособіями, положенными въ основу этихъ
опытовъ, явились Борновскія и квадратныя числовыя фи-
гуры, изображенныя на бѣлой рисовальной бумагѣ чер-
ными кругами въ 22 мм. діаметромъ; разстояніе между кру-
гами равнялось радіусу, разстояніе же между двумя смеж-
ными квадратами я сдѣлалъ равнымъ 2 радіусамъ. Слѣ-
дуетъ замѣтить, что психологическія условія, лежавшія въ
основѣ воспріятія этихъ двухъ классовъ числовыхъ фигуръ,
были совершенно различны; на сторонѣ Борновскихъ фи-
гуръ было большое преимущество: ученики неоднократно
имѣли съ ними дѣло при прежнихъ опытахъ; кромѣ того,
Борновскія фигуры имѣютъ ясно выраженный характеръ
1) Это не исключаетъ возможности предположенія, что 5 двой-
ныхъ группъ Борновской числовой фигуры воспринимаются все же
легче, чѣмъ 5 единицъ простого ряда.

ряда, а ученики имѣли уже основательный навыкъ въ вос-
пріятіи именно рядовъ. Что же касается квадратныхъ чи-
словыхъ фигуръ выше 4, то онѣ явились для учениковъ со-
вершенной новинкой. И при такихъ-то условіяхъ намъ при-
ходится производить сравнительные опыты! Ясно, что даже
малый перевѣсъ результата опытовъ въ сторону квадрат-
ныхъ числовыхъ фигуръ мы должны будемъ принять за
свидѣтельство значительнаго преимущества ихъ. Въ ниже-
слѣдующей таблицѣ квадратный числовыя фигуры обозна-
чены римскими цифрами и буквою К., Борновскія же фигу-
ры—буквою Б.
1 годъ обученія. 60 ударовъ метронома.
a) 29 учениковъ. 8 V IX 10 5 VII 6 X 7 VI9 VIII
Б. 59,
6 6 17 14 6 7 2 14 12 4 19 3
К. 51 ош.
b) 27 учениковъ. IX 9 10 X
17 21 16 13
Б. 37, К. 30 ош.
c) 24 ученика. VIII 8 IX 10 V 9 X 5
5 16 15 17 6 15 11 9
Б. 57,К. 37 ош.
2 курсъ семинаріи. 16 учениковъ, а) 132, Ъ) 160 ударовъ
метронома.
8 VI VIII 6 7 10 VII X 9 5 IX V
Б. 11, К. 8 ош.
01 0 104 2 43031
1 0 111 1 0 1 0 2 1
Б. 5, К. 4 ОШ.
3 курсъ семинаріи. 38 учениковъ.
a) 144 удара. 5 IX V 9 X VII 10 7 6 VIII VI 8
Б. 30,
2 4 0 10 9 10 13 5 0 1 3 0
К. 27 ОШ.
b) 144 удара. VIII VI 8 6 7 10 VII X 9 5 IX V
Б. 23,
1 1 1 0 3 12 5 9 7 0 5 0
К. 21 ОШ.
c) 160 ударовъ. 7 X VII 10 IX 8 9 VIII
5 4 1 1 3 2 4 0
Б. 12, К. 8 ош.

1 курсъ семинаріи. 31 ученикъ. 11—12 час. 132 удара
метронома.
8 V 10 IX б 10 VII 6 X 7 VI 9 VIII
4 1 0 4 0 4 2 1 0 0 0 4 1
Б. 13, К. 8 ош.
Суммированіе отдѣльныхъ данныхъ приводитъ къ слѣ-
дующему общему результату:
Борновскія числовыя фигуры: 247 ош.
Квадратный » » 194 »
Эти результаты вполнѣ подтверждены, какъ мы увидимъ
дальше, контрольными опытами Людвига Пфейфера (Ludw.
Pfeiffer).
Принимая во вниманіе те преимущества, которыя были
на стороне Борновскихъ числовыхъ фигуръ, мы необходимо
придемъ къ заключенію, что квадратныя числовыя фигуры
на самомъ деле значительно превосходятъ по своимъ каче-
ствамъ Борновскія фигуры.
8. Сравненіе квадратныхъ числовыхъ фигуръ съ
фигурами Бетца.
Излагая исторію первоначальнаго преподаванія ариѳ-
метики, я указалъ, что существующія числовыя фигуры
не удовлетворяли Бетца и что онъ построилъ новыя число-
выя фигуры, которыя, по его мнѣнію, удовлетворяли всѣмъ
предъявленнымъ требованіямъ. Я же думаю, что простое
сравненіе Борновскихъ фигуръ съ другими числовыми фи-
гурами, въ томъ числѣ и фигурами Бетца, убѣждаетъ въ
превосходствѣ ихъ надъ всѣми прочими числовыми фигу-
рами. Но такъ какъ Бетцъ твердо увѣренъ, что его число-
выя фигуры являются наиболѣе удобопримѣнимыми, то необ-
ходимо сравнить воспріятіе Бетцовскихъ фигуръ съ вос-
пріятіемъ моихъ квадратныхъ числовыхъ фигуръ. Сдѣлать
же это можно лишь путемъ новой серіи опытовъ.

Таблицы Бетца были изготовлены совершенно такъ же
какъ только что описанныя квадратный числовыя фигуры
разница заключалась лишь въ томъ, что Бетцовскія фи-
гуры я сдѣлалъ двухъ размѣровъ: большія имѣли по 33 см.,
малыя—по 19 см. въ сторонѣ квадрата. Опыты дали слѣ-
дующіе результаты:
1 курсъ семинаріи. 30 учениковъ. 132 удара метронома.
Бетцовскія числовыя фигуры большаго размѣра.
а) VII 6 7 VI V 5 VIII 9 X 8 IX 10
1 11110 1 10 455 3
Ь) 10 IX 5 8 X 9 VIII
1 4 1 3 3 6 О
7 V VI 6 VII
4 0 1 0 4
Бет. 20, К. 13 ош.
Бет. 15, К. 12 ош.
2 курсъ семинаріи. 28 учениковъ. 132 удара метронома.
Бетцовскія числовыя фигуры малаго размѣра.
a) VII 9 VIII 6 IX 7 X 5 VI 10 V 8
5 27 0 1 8 9 9 2 2 13 0 5
БеТ* 57> К' 24 0Ш'
Слѣдуетъ замѣтить, что 19 учениковъ изобразили Бет-
цовскія фигуры неправильно, что, однако, я не счелъ за
ошибку.
Чтобы подготовить учениковъ къ слѣдующему опыту,
я показалъ имъ Бетцовскія фигуры по одному разу, под-
нимая ихъ послѣдовательно одну за другой.
b) VII 9 VIII 6 IX 7 X 5 VI 10 V 8
6 15 2 013501 103
Бет. 22, К. 15 ош.
1 курсъ семинаріи. 31 ученикъ. 132 удара метронома.
Бетцовскія числовыя фигуры большаго размѣра.
a) VII 6 V 9 VIII 5 IX 10 VI 8 X 7
100 13 8 0 2 4 1312
b) VII 9 VIII 6 IX 7 X 5 VI 10 V 8
26 1040002302
Бет. 22, К. 13 ош.
Бет. 11, К. 9 ош.

1 годъ обученія. Бетцовскія числовыя фигуры малаго раз-
мѣра.
a) 34 ученика. 8 V 10 VI 5 X 7 IX 6 VIII 9 VII
Бет. 134,
27 10 29 9 17 20 26 22 8 10 27 17
К. 88 ош.
b) 24 ученика. 22 6 21 3 12 16 16 19 4 10 19 11
Бет. 94'
К. 65 ош.
Суммированіе отдѣльныхъ данныхъ приводитъ къ сле-
дующему общему результату:
Бетцовскія числовыя фигуры 375 ош.
Квадратныя » » 239 »
Такимъ образомъ, квадратныя числовыя фигуры зна-
чительно превосходятъ по своимъ качествамъ числовыя фи-
гуры Бетца\ это превосходство въ действительности даже
больше, чѣмъ это показываютъ вышеприведенныя числа.
Второй и третій опытъ (a, b) ясно показываютъ, что
число ошибокъ значительно уменьшилось, когда ученики
распознали способъ построенія числовыхъ фигуръ Бетца;
по ихъ собственному признанію, они воспринимали теперь
не всю фигуру, а только среднія точки, характерныя для
каждой фигуры; при изображеніи же они присоединяли
къ нимъ и боковыя группы точекъ. При употребленіи квад-
ратныхъ числовыхъ фигуръ я ни разу не встрѣтился съ
подобнымъ частичнымъ воспріятіемъ, и даже при самыхъ
первыхъ опытахъ онѣ никогда не давали такого большого
числа ошибокъ, какое получилось при примѣненіи фигуръ
Бетца.
На этомъ мы могли бы закончить наше изслѣдованіе и
перейти къ формулированію методики первоначальнаго пре-
подаванія ариѳметики. Но намъ хочется добыть еще нѣко-
торые факты, которые помогли бы намъ построить это пре-
подаваніе совершенно естественнымъ образомъ. Цѣнные ре-
зультаты въ этомъ смыслѣ намъ можетъ дать сравненіе квад-
ратныхъ числовыхъ фигуръ съ общеупотребительными на-

глядными пособіями., какъ-то: русскими счетами, аппара-
томъ Тиллиха, пальцами, штрихами и т. д.
9. Сравненіе квадратныхъ числовыхъ фигуръ съ
Борновскими фигурами и русскими счетами.
На проволоки счетовъ нанизывались сперва желтые,
потомъ черные шары; діаметръ каждаго изъ нихъ равнялся
4,5 см.; между б и 6 шаромъ я оставлялъ небольшой проме-
жутокъ; позади счетовъ никакого экрана я не помѣщалъ.
Мнѣ хотѣлось изслѣдовать также счетный аппаратъ Венд-
линга, въ которомъ примѣнены Борновскія числовыя фи-
гуры. Сѣрые картонные кружки имѣли по 14 см. въ діаметрѣ,
разстояніе между ними по горизонтали равнялось 10 см.,
по вертикали—16 см. Такъ какъ мы знаемъ, что квадрат-
ныя числовыя фигуры лучше Борновскихъ, то сравненіе
аппарата Вендлинга съ русскими счетами является въ то
же время и косвеннымъ сравненіемъ квадратныхъ число-
выхъ фигуръ со счетами.
2 курсъ семинаріи. 22 ученика. 160 ударовъ метронома.
Счеты и кв. ч. ф.
a) 7 X 4 VI 8 V б IX 9 VIII 6 IV 10 VII
13 3 0 1 17 1 0 1 11 1 3 0 11 5
Сч. 55, К. 12 ош.
6 8 4 7 6
b) съ желтыми шарами 2 10 0 7 1
1 9 0 10 6
Сч. 23, К.3 ош.
съ черными шарами V VIII VI IV VII
0 0 10 2
1 годъ обученія. 63 ученика. 60 ударовъ метронома.
Аппаратъ Вендлинга (В.) и счеты.
a) 7 X 4 VI 8 V 5 IX 9 VIII 6 IV 10 VII
24 25 3 5 21 3 14 18 19 13 15 8 17 11
b) 5 IX 9 V
Сч. 144,
В. 111 ош..
12 19 19 9

1 курсъ семинаріи. 30 учениковъ. Счеты и квадратный чис-
ловыя фигуры. Послѣднія изображались на тѣхъ же счетахъ.
6 VI 7 VII 8 IX VIII 9
Сч. 38, К. 8 ош.
909474 0 13
3 курсъ семинаріи. 38 учениковъ. В. и счеты.
a) 144 уд. мет. б IX V 9 X VII 10 7 6 VIII VI 8
Сч. 30,
2 4 0 10 9 11 13 5 0 1 3 0
В. 28 ОШ.
b) 144 уд. мет. VIII VI 8 6 7 10 VII X 9 V IX V
Сч. 23,
1 1 1 0 3 12 5 9 7 0 5 0
В. 21 ош.
c) 160 уд. мет. 7 X VII 10 IX 8 9 VIII
5 4 1 1 3 2 4 0
Сч. 12, В. 8 ош.
1 курсъ семинаріи. 31 ученикъ. 132 удара метронома.
В. и счеты.
a) 7 X 4 VI 8 IX б V 9 VIII 6 IV 10 V VII
Сч. 15,
30003 2105 0 10 20 0
В. 2 ОШ.
b) V VIII VII VI IV
0 0 000
6 8 7 6 4
17 5 10
Въ работѣ Шнейдера (на стр. 50) содержатся слѣдую-
щія данныя, подтверждающія мои изслѣдованія; онъ на-
шелъ слѣдующія числа ошибокъ:
Русскіе счеты: 460 ошибокъ.
Борновскія ч. ф.: 71 ошибка.
Общіе результаты нашихъ опытовъ (счеты—189, аппа-
ратъ Вендлинга—141 ош.; счеты—116, квадратныя ч. ф.—
23 ош.) доказываютъ, что квадратныя числовыя фигуры пре-
восходятъ какъ Борновскія фигуры, такъ и счеты, послѣдніе
притомъ въ гораздо большей степени г).
Сч. 14, В. О ош.
г) При суммированіи чиселъ ошибокъ для Сч. и В. д-ромъ Лаемъ
почему-то опущены результаты опытовъ b) и с) надъ учащимися
III курса семинаріи и опытъ b) надъ учащимися 1 курса. Полное

Кромѣ того, они еще разъ численно подтверждаютъ
нашъ выводъ, что воспріятіе объектовъ, расположенныхъ
въ рядъ, болѣе затруднительно, нежели воспріятіе объек-
товъ, расположенныхъ группами.
10. Сравненіе квадратныхъ и Борновскихъ числовыхъ
фигуръ со штрихами, пальцами и счетнымъ аппара-
томъ Тиллиха.
Числа 4—10 были изображены черной тушью на семи
листахъ бѣлой рисовальной бумаги въ видѣ прямоуголь-
ныхъ штриховъ. Величина штриховъ и разстояніе между
ними были взяты такими же, какія имъ приданы на стѣн-
ныхъ таблицахъ Бильгарца, въ Карлсруэ; сдѣлалъ я это
исключительно для того, чтобы получить численную оцѣнку
этого учебнаго пособія, примѣняемаго какъ въ Карлсруэ,
число ошибокъ для Сч. и В., вычисленное на основаніи данныхъ
всѣхъ опытовъ, равняется 238 для Сч. и 170 для В. Считаемъ не-
лишнимъ замѣтить читателю, что было бы неправильно сравнивать
между собою результаты опытовъ надъ Сч. и К., съ одной стороны,
и Сч. и В., съ другой стороны, такъ какъ число наблюденій въ томъ
и въ другомъ случаѣ совершенно различно. Мѣрой числа наблюденій
служитъ, очевидно, произведеніе числа лицъ, подвергнутыхъ опы-
тамъ, на число показанныхъ имъ фигуръ. Для Сч. и К. въ отдѣль-
ности число наблюденій равно 154 +110 + 120 = 384; для Сч. и В. въ
отдѣльности оно равно 922 (если взять только тѣ опыты, которые
выбраны д-ромъ Лаемъ) и 1457, если принять во вниманіе всѣ
опыты. Уменьшивъ числа ошибокъ Сч.—189, В.—141, въ отношеніи
384 : 922 и числа Сч—283, В.—170, въ отношеніи 384 :1457, полу-
чимъ, что числа ошибокъ для Сч. и В., которыя можно было бы
сравнивать съ числами ошибокъ для Сч. и К., равны соотвѣтственно:
Сч.—79 ош., В.—59 ош.; Сч.—63 ош., В.—45 ош.
Дальнѣйшее изслѣдованіе полученныхъ результатовъ (напри-
мѣръ, выясненіе вопроса о различіи чиселъ ошибокъ, полученныхъ
для Сч. въ различныхъ группахъ опытовъ)—невозможно, такъ какъ
намъ извѣстна лишь схема опытовъ. Все же и полученныя нами
цифры вполнѣ поясняютъ приведенный выводъ д-ра Лая.
Примѣч. переводи.

такъ и въ нѣкоторыхъ другихъ мѣстахъ. Штрихи имѣли
7% см. длины и 2 см. ширины; разстояніе между штрихами
равнялось половинѣ ширины каждаго штриха, разстояніе
же между 5 и 6 штрихомъ равнялось полной ширинѣ штриха.
Квадратныя числовыя фигуры были изготовлены въ соот-
вѣтствіи съ этимъ; круги и штрихи имѣли равныя площади;
разстояніе же между объектами тѣхъ и другихъ фигуръ
было соотвѣтственно одинаковымъ. Опытъ съ изображеніемъ
числа на пальцахъ производился такъ: избранный ученикъ
закрывалъ глаза рукою или тетрадью, въ то время какъ
сосѣдъ его клалъ указанное число пальцевъ передъ нимъ
на скамью; затѣмъ я произносилъ дважды въ тактъ метро-
нома: l! 2! При слѣдующемъ возгласѣ «разъ» ученикъ со-
зерцалъ число, а при возгласѣ «два» сосѣдъ его убиралъ
свои пальцы. Опытамъ предшествовали необходимыя пред-
варительныя упражненія.
1 курсъ семинаріи. 31 ученикъ. 160 ударовъ метронома.
Бил. ч. ф. и К.
a) 6 VIII V 7 VI 5 IV 8 VII 4
4 0 1 7 2 0 0 10 1 0
Бил. 21, K. 4 ош.
b) 4 VII 8 IV 5 VI 7 V 6 VIII
0 1 9 0 3 1 10 02 0
БИЛ- 2*> K- 2 °Ш
3 курсъ семинаріи. 27 учениковъ. 192 удара метронома.
8 7 5 6 )
a)
0 0 1 0
0 0 0 0
Бил. 62, К. 1 ош.
b) 20 16 10 16
3 курсъ семинаріи. 38 и соотвѣтств. 19 учениковъ. 160 уда-
ровъ метронома. Пальцы и Борновскія числовыя фигуры
(П. и Б.).
583 10 9764
a) пальцы: 1 2 2 5 2 і з 6
п. 22, Б. 36/2 = 8 ош.
b) Бор.ч. ф.:
2 1 0 5 2 3 3 0

1 курсъ семинаріи. 30 и соотвѣтств. 15 учениковъ. 132 удара
метронома.
583 10 49574
a) пальцы: 0 3 0 2 3 3 1 2 3
с) Борн. ч. ф.: 0 0 0 3 0 3 0 0 0
П. 29> Б.=6 ош.
b) пальцы: 2 1 1 3 11210
Общій результатъ: Бил. 107, К. 7 ош.
Пальцы: 51, Б. 14 ош.
Д-ръ Вальземанъ, заставлявшей учениковъ изображать
видѣнное не фигурами, а цифрами, пришелъ къ слѣдую-
щимъ результатамъ:
Ряды штриховъ (съ промежутками послѣ 5) 451 ош.
(59,7%).
Борновскія числовыя фигуры 28 ош. (3,7%).
Шнейдеръ приводитъ слѣдующія данныя, касающіяся
какъ легкости воспріятія, такъ и выполненія дѣйствій:
Аппаратъ Тиллиха: 259,9 ош.
Борновскія чис. ф.: 34,5 ош.
Приведенные выше результаты опытовъ доказываютъ,
что квадратныя числовыя фигуры превосходятъ какъ ряды
штриховъ и пальцевъ, такъ и аппаратъ Тиллиха.
Эти данныя подтверждаютъ еще разъ, что воспріятіе, запо-
минаніе и изображеніе объектовъ, расположенныхъ въ рядъ,
представляетъ несравненно больше затрудненій, чѣмъ вос-
пріятіе тѣхъ же объектовъ, но расположенныхъ группами.
Многочисленные опыты, касавшіеся расположенія объ-
ектовъ въ пространствѣ, заставили насъ предположить, что
численное воспріятіе объектовъ зависитъ и отъ нѣкоторыхъ
другихъ причинъ, напр., отъ взаимнаго разстоянія объ-
ектовъ, ихъ величины, направленія и т. д. Это предполо-
женіе подтверждается и нѣкоторыми фактами изъ области

физіологіи; извѣстно, напр., что поле зрѣнія глаза огра-
ничено и что ощущенія движенія глаза играютъ большую
роль при воспріятіи величины и формы.
11. Численное воспріятіе и представленіе объектовъ
въ зависимости отъ ихъ взаимныхъ разстояній и сдѣ-
ланныхъ на нихъ отмѣтокъ.
При изложеніи изслѣдованія этой зависимости я имѣю
въ виду, главнымъ образомъ, практическія цѣли; мнѣ хо-
чется прежде всего установить какое расположеніе ква-
дратныхъ числовыхъ фигуръ является наиболѣе удобнымъ
для воспріятія ихъ; теоретическій интересъ изслѣдованія
отходитъ при этомъ на задній планъ, такъ какъ и къ самому
вопросу меня подвели практическія, а не чисто теорети-
ческія соображенія.
Чтобы изучить вліяніе взаимныхъ разстояніи между объ-
ектами ряда или группы, я воспользовался прежде всего
русскими счетами, снабженными желтыми косточками. Уча-
щіеся должны были воспринимать 5—8 шаровъ, то непо-
средственно примыкавшихъ другъ къ другу, то раздѣлен-
ныхъ разстояніемъ въ г/2 см.
1 курсъ семинаріи. 31 ученикъ. 160 удар, метронома.
a) безъ промежутка: 8 6 7 5
19 6 11 2
69 ош.
18 4 9 О
b) съ промежуткомъ: 6 5 7 8
2 0 7 17
60 ош.
5 2 11 16
Другой рядъ опытовъ, имѣвшій цѣлью выяснить уто-
мленіе, привелъ къ сходнымъ результатамъ. Ученики счи-
тали 10 желтыхъ шаровъ счетовъ въ теченіе 24 четвертей
минуты, которыя отсчитывались вслухъ однимъ изъ учени-

ковъ. Если кто-либо изъ нихъ начиналъ чувствовать уто-
мленіе, которое выражалось въ томъ, что объекты начинали
«расплываться», «сливаться» и т. д., то онъ переставалъ
считать и отмѣчалъ то число четвертей минуты, которое
было передъ этимъ произнесено. Счеты, не имѣвшіе сзади
экрана, помещались на разстояніи 2г/2 метровъ отъ стѣны,
окрашенной въ голубоватый цвѣтъ. При опытѣ а) шары
примыкали другъ къ другу, при Ъ) разстояніе между ними
равнялось 1 см. и при с) позади счетовъ была поставлена
черная классная доска, разстояніе же между шарами оста-
валось равнымъ 1 см. Изъ 31 учащагося 2-го курса семина-
ріи 16 не почувствовали усталости; остальные же 15 обна-
ружили ее въ общей сложности:
при опытѣ а) черезъ 165 четвертей минуты
» » Ь) » 206 » »
» » с) » 218 » »
Тотъ же опытъ былъ продѣланъ нѣсколько иначе: 17
учениковъ 2-го курса семинаріи считали въ теченіе 28 чет-
вертей минуты 6 шаровъ, раздѣленныхъ промежутками:
а) въ 1 1/2 см. и b) въ 3 см. Ученики почувствовали усталость
въ общей сложности черезъ 114 четвертей минуты при
опытѣ а) и черезъ 130 четвертей минуты при опытѣ b). (Въ
расчетъ приняты только тѣ изъ учениковъ, которые почув-
ствовали утомленіе до истеченія 28 четвертей минуты.)
Особенно интересно было мнѣ прослѣдить. какъ вліяетъ
на воспріятіе то или иное разстояніе между кругами ква-
дратныхъ числовыхъ фигуръ. Опыты были произведены надъ
тремя серіями этихъ фигуръ; въ первой серіи круги отстояли
другъ отъ друга на разстояніе, равное радіусу круга; раз-
стояніе же между квадратами равнялось діаметру его; во
второй серіи первое разстояніе равнялось діаметру, а вто-
рое—1г/2 діаметрамъ; въ третьей серіи, наконецъ, первое
разстояніе равнялось 1г/2 діаметрамъ, а второе—2 діамет-

рамъ. Круги были вырѣзаны изъ бѣлой непрозрачной рисо-
вальной бумаги и наклеены на черный картонъ; діаметръ
каждаго изъ нихъ равнялся 8 см. Всего было произведено
6 опытовъ: 2 надъ дѣтьми, обучавшимися въ школѣ пер-
вый годъ, 2 надъ учащимися перваго курса и 2 надъ уча-
щимися второго курса семинаріи. По отношенію къ первымъ
двумъ серіямъ числовыхъ фигуръ, опыты не дали опредѣ-
ленныхъ результатовъ, такъ какъ разница въ воспріятіи
ихъ оказалась весьма незначительной; что же касается тре-
тьей серіи, то она значительно уступаетъ первымъ двумъ.
Далѣе я произвелъ опытъ надъ первой и второй серіей чи-
словыхъ фигуръ по отношенію къ утомленія), вызываемому
ихъ созерцаніемъ: 30 учениковъ 2-го курса семинаріи счи-
тали отдѣльные круги числовой фигуры 9 въ теченіе 24
четвертей минуты. Ученики почувствовали утомленіе въ об-
щей сложности черезъ 285 четвертей минуты при примѣ-
неніи числовой фигуры первой серіи и черезъ 298 четвертей
минуты при примѣненіи числовыхъ фигуръ второй серіи.
Но при изображеніи дѣйствій надъ числами крайне жела-
тельно имѣть возможность разлагать числовую фигуру на
части при помощи палочки или штриха. Этому условію чи-
словыя фигуры первой серіи удовлетворяютъ не вполнѣ,
такъ что преимущество должно быть отдано числовымъ фи-
гурамъ второй категоріи.
Квадратный числовыя фигуры:
Разстояніе между отдѣльными Разстояніе между 2 Число
кругами квадратовъ. смежными квадратами, ошибокъ.
1) 1 радіусъ 1 діаметръ 93
2) 1 діаметръ 1 1/2 діаметра 95
3) 1 1/2 діаметра 2 » 101
Отсюда слѣдуетъ, что
разстояніе между квадратами не должно бытъ чрезмерно
велико по сравненію съ разстояніемъ между кругами одного

и того же квадрата. Если разстоянія эти слишкомъ велики,
то глазъ уже не воспринимаетъ той части фигуры, которая
лежитъ вправо отъ послѣдняго квадрата.
Шнейдеръ и Вальземанъ, производившіе опыты надъ
квадратными числовыми фигурами, не обратили, къ сожа-
лѣнію, достаточнаго вниманія на это важное обстоятель-
ство. Поэтому данныя ихъ нисколько не уменьшаютъ до-
стоинствъ нормальныхъ квадратныхъ числовыхъ фигуръ, ко-
торыя примѣняю я. Если же кто-либо пожелаетъ называть
(вмѣстѣ съ докторомъ Гартманомъ) квадратный числовыя
фигуры «числовыми фигурами Лая», то я очень желалъ бы,
чтобы подъ этимъ названіемъ понимались только такіе двой-
ные ряды, раздѣленные на квадраты, въ которыхъ отноше-
ніе разстоянія между квадратами къ разстоянію между кру-
гами одного и того же квадрата не превышаетъ 1%. Прини-
мая же во вниманіе возможность раздѣленія числовыхъ фи-
гуръ на части при помощи штриховъ, палочекъ и т. д., мы
должны отдать предпочтеніе второй изъ вышеуказанныхъ
серій числовыхъ фигуръ, въ которой разстоянія равны соот-
вѣтственно 1 и 1^2 діаметрамъ круговъ.
Опыты Шнейдера надъ аппаратомъ Тиллиха доказываютъ
преимущество расчлененіи:
палочки Тиллиха, не раздѣленныя на единицы,—464 ош.
» » раздѣленныя черточками,—367 ош.
12. Численное воспріятіе и представленіе объектовъ
въ зависимости отъ ихъ величины и направленія.
Къ изслѣдованію этого вопроса меня также привели
практическія соображенія: мнѣ хотѣлось выяснить, какое
вліяніе на воспріятіе квадратныхъ числовыхъ фигуръ ока-
зываетъ измѣненіе величины круговъ въ тѣхъ предѣлахъ,
какіе вообще возможны при примѣненіи ихъ въ классѣ.
Чтобы отвѣтить на этотъ вопросъ, я изготовилъ квадрат-

ныя числе выя фигуры, круги которыхъ имѣли по 5 см. въ
діаметрѣ, и сравнилъ воспріятіе ихъ съ воспріятіемъ ранѣе
описанныхъ фигуръ, круги которыхъ имѣли по 8 см. въ діа-
метрѣ. Въ остальномъ фигуры были совершенно одинаковы.
1 курсъ семинаріи. 27 учениковъ. 170 ударовъ метронома.
Большія фигуры помѣчены знакомъ К1, меньшія—К.
81 7 б1 9 б1 8 71 6 91 5
і о о і о о о о і о
К1 2, К. 1 ош.
51 9 б1 7 81 5 91 6 71 8
03010 1 11 32
К1 4, К. 8 ош.
2 курсъ семинаріи. 34 ученика.
a) 138 ударовъ метронома: 91 6 71 8 51 9 б1 7 81 б
32100 0 0 0 0 0
1 1J?
b) 160 » » 5 81 7 б1 9 51 8 71 6 91
К. 5 ош.
00 0 121 02 1 3 J
3 курсъ семинаріи. 37 учениковъ. 192 удара метронома.
8 7 6 6 9
большія:
малыя:
о 0 1 0 1 \
о о о о о
К1 2, К. 2 ош.
Общій результатъ: 26 ошибокъ при К1 и 23 ошибки при
К.; число ошибокъ въ каждомъ изъ опытовъ очень неве-
лико; опредѣленнаго результата въ смыслѣ выясненія пре-
имуществъ тѣхъ или другихъ фигуръ опыты эти не даютъ.
Отсюда можно извлечь слѣдующій выводъ:
діаметръ круговъ или шаровъ квадратныхъ числовыхъ фи-
гуръ можетъ измѣняться въ предѣлахъ отъ 5 до 8 см., не
оказывая замѣтнаго вліянія на воспріятіе. Этотъ результатъ
имѣетъ нѣкоторое значеніе для цѣлей практики, какъ мы
увидимъ это изъ дальнѣйшаго.
Такъ какъ нѣкоторые педагоги примѣняютъ вертикаль-
ное расположеніе объектовъ числовыхъ фигуръ и счетныхъ

приборовъ (напр., аппаратъ Тиллиха и русскіе счеты съ
вертикальными проволоками), то возникаетъ небезынтерес-
ный вопросъ: имѣетъ ли значеніе то или иное направленіе
ряда, и если да, то какому направленію—вертикальному
или горизонтальному—надо отдать предпочтеніе? Чтобы по-
лучить отвѣтъ на этотъ вопросъ при помощи опыта, я вос-
пользовался ранѣе описанными рядами круговъ, которые я
прикрѣплялъ то горизонтально, то вертикально.
1 курсъ семинаріи. 31 ученикъ. 160 ударовъ метронома.
4 8 5 7 6
5 17 12 9 7
5 і4 э 8 7
Вертикальные ряды въ среднемъ 46 ош.
0 4 0 2 0
Горизонтальные ряды 6 »
2 курсъ семинаріи. 39 учениковъ. 138 ударовъ метронома.
6 41 51 4 5 б1
Вертикальные ряды 27 ош.
10 6 8 о 2 із
Горизонтальные ряды 12 ош.
Результаты опытовъ ясно показываютъ, что горизонталь-
ное расположеніе объектовъ наглядныхъ пособій, применяю-
щихся при преподаваніи ариѳметики, имѣетъ несомнѣнныя
преимущества передъ вертикальнымъ расположеніемъ ихъ *).
Такимъ образомъ, опытъ говоритъ противъ двойного вер-
тикальнаго ряда Динстбаха, противъ вертикальныхъ «чи-
словыхъ цифръ» Майера, противъ всѣхъ или нѣкоторыхъ
числовыхъ фигуръ Буссе, Бӧме, Генчеля, Собелевскаго, Ка-
зелица, Бетца.
*j Въ своей большой работѣ по поводу памяти (III часть, 1913 г.)
Мюллеръ пишетъ: «Въ психологіи (въ противоположность геометри-
ческимъ построеніямъ, въ которыхъ разстоянія, направленія и
проч. опредѣляютъ форму) твердо установленъ тотъ фактъ, что
воспріятіе формы предмета и воспріятіе его мѣста и его положенія
суть два различныхъ процесса,... могущіе впослѣдствіи дѣйство-
вать въ памяти совершенно различно».

13. Численное воспріятіе объектовъ въ зависимости
отъ ихъ формы и окраски.
Очевидно, что палочки могутъ примѣняться при препо-
даваніи ариѳметики только въ видѣ рядовъ. Но мы нашли
уже раньше, что воспріятіе группы несравненно легче, не-
жели воспріятіе ряда; поэтому съ перваго взгляда кажется
совершенно безполезнымъ сравнивать воспріятіе круговъ,
шаровъ, штриховъ и палочекъ, т.-е. изучать вліяніе формы
отдѣльныхъ объектовъ на численное воспріятіе ихъ. Однако,
при ближайшемъ разсмотрѣніи оказывается, что и это из-
слѣдованіе имѣетъ практическую цѣнность, и что мы встрѣ-
чаемся здѣсь съ такими фактами, которые освѣщаютъ нашъ
вопросъ съ новой стороны. Нѣкоторыя наблюденія (выра-
женія лица и т. д.) заставили насъ предположить, что при
воспріятіи ряда штриховъ близорукіе ученики должны бо-
лѣе напрягать свое зрѣніе, а, слѣдовательно, и быстрѣе
уставать, чѣмъ при воспріятіи группъ круговъ. Попутно
я наблюдалъ и вліяніе красной (суриковой) окраски штри-
ховъ таблицы Бильгарца. Чтобы изслѣдовать, далѣе, влія-
ніе формы круга или прямоугольника, а вмѣстѣ съ тѣмъ
и вліяніе бѣлой и черной окраски, я произвелъ слѣдующіе
опыты: я нарисовалъ 10 черныхъ штриховъ на бѣлой бу-
магѣ, затѣмъ 10 бѣлыхъ штриховъ на черной бумагѣ и,
наконецъ, 10 черныхъ круговъ на бѣлой бумагѣ. Штрихи,
какъ и въ прежнихъ опытахъ, имѣли 7% см. длины и 2 см.
ширины; площадь каждаго круга равнялась площади
штриха; разстояніе между всѣми штрихами равнялось по-
ловинѣ ширины штриха, разстояніе же между кругами было
равно радіусу. Ученики считали 10 объектовъ ряда до тѣхъ
поръ, пока они не начинали чувствовать утомленія, выра-
жавшагося у отдѣльныхъ учениковъ удлиненіемъ, расплы-
ваніемъ, измѣненіемъ окраски штриховъ и т. д.

1 курсъ семинаріи. 17 учениковъ. 32 четверти минуты:
a) черные штрихи на бѣломъ полѣ 238 четвертей мин.
b) бѣлые » » черномъ » 340 » »
c) черные круги на бѣломъ » 419 » »
Слѣдуетъ замѣтить еще, что при опытѣ с) 5 учениковъ
вовсе не почувствовали утомленія, и что опытъ этотъ про-
изводился послѣднимъ, послѣ того какъ ученики были за-
няты уже 16 минутъ. Ученики сообщили мнѣ, что, благо-
даря малому разстоянію между штрихами (ср. описаніе опы-
товъ на стр. 170,174), было очень нелегко наблюдать одинъ
опредѣленный штрихъ, не смѣшивая его съ сосѣднимъ, и что
въ случаѣ созерцанія ряда круговъ такого напряженія не
замѣчалось. Мы видимъ, такимъ образомъ, что счетъ и вос-
пріятіе штриховъ стѣнной таблицы Бильгарца въ высшей
степени утомляютъ учениковъ и что воспріятіе ряда круговъ
требуетъ сравнительно меньшей затраты напряженія.Правда,
разстояніе между штрихами можно увеличить; но тогда
возникаетъ новое неудобство, съ которымъ мы еще по-
знакомимся въ дальнѣйшемъ.
Мы нашли, что у дѣтей, обучающихся въ школѣ пер-
вый годъ, одновременное воспріятіе объектовъ ряда не идетъ
въ лучшемъ случаѣ дальше 3. Интересно выяснить теперь,
измѣнится ли граница воспріятія объектовъ ряда, если под-
вергнуть опытамъ болѣе взрослыхъ дѣтей, а также прослѣ-
дить, какимъ образомъ воспринимаютъ эти послѣднія 5—10
объектовъ ряда. Чтобы изслѣдовать этотъ вопросъ, я про-
извелъ нѣсколько опытовъ надъ семинаристами всѣхъ
3 курсовъ. Время созерцанія было выбрано очень ко-
роткое—около Уз секунды (160 или 192 удара метронома
въ минуту).
Римскія цифры относятся къ рядамъ круговъ, арабскія—
къ рядамъ штриховъ.

1 курсъ. 30 учениковъ.
а) 160 ударовъ
V 6 VII 5 VI 7 VIII 8
Шт. 21 ош.
метронома
2 4 5 1 1 5 8 11
Кр. 16 »
V 6 VII 5 VI 7 VIII 6 8 VI IV 8 VII 7 VIII 4
Шт. 26 ош.
248 001 6 582062 1 6 1
J£p gg »
V VI IV VIII VI
17 17 5
5 7 4 8 б
0 7 3 6 2
Шт. 18, кр. 21 ош.
Ь) 192 удара метронома. V VII IV VIII VI
Шт. 11 ош.
Кр. 10 »
4 V 6 VII 5 VI 7 VIII 6 IV 8 VI \
332 1 003 6 1310 (
2 курсъ семинаріи. 38 учениковъ
V VII IV VIII VI IV V IV )
3
18
0
20
10
1
4
3
5
7
4
8
6
4
5
4
в
и
l
15
8
l
2
l
Шт. 10, кр. 13 ош.
. 192 удара метронома.
Шт. 45, кр. 59 ош.
3 курсъ семинаріи. 37 учениковъ.
V VI IV VIII VII
12 18 2 32 23
192 удара метронома.
5
10
6
16
8
20
7
16
Шт. 64, кр. 87 ош.
Кажется, какъ будто результаты опытовъ надъ учащи-
мися 2-го и 3-го курсовъ не согласуются съ опытомъ b) надъ
учащимися 1-го курса, несмотря на то, что время созерца-
нія было во всѣхъ случаяхъ одинаковымъ. Объясняется
это слѣдующимъ образомъ. На 1 курсѣ этимъ опытамъ пред-
шествовали другіе, при которыхъ ученики обратили вни-

маніе на промежутокъ между 5 и 6 объектами. Счетъ единицъ
былъ невозможенъ: поэтому въ случаѣ числа объектовъ, пре-
вышавшаго 5, ученики стремились воспринять только пра-
вую часть ряда, отдѣленную промежуткомъ и заключавшую
1—3 объекта, а затѣмъ уже восполняли фигуру при изобра-
женіи. Такимъ образомъ, наблюденія, воспоминанія или
представленія всей совокупности здѣсь не было; изображе-
ніе же числа вовсе не являлось выраженіемъ представленія
совокупности единицъ. Сравнительно малое число ошибокъ
въ опытѣ b) надъ учащимися 1-го курса объясняется, та-
кимъ образомъ, воспріятіемъ единицъ группами.
Что же касается учащихся 2-го и 3-го курса, то многіе
изъ нихъ совершенно не замѣтили промежутка между 5 и 6
объектами ряда, а такъ какъ счетъ былъ невозможенъ, то
они просто «оцѣнивали» число штриховъ или круговъ, го-
воря ихъ собственными словами. При воспріятіи штриховъ
они сдѣлали меньше ошибокъ, чѣмъ при воспріятіи круговъ:
«оцѣнка» числа штриховъ удавалась имъ лучше, нежели
«оцѣнка» числа круговъ. И дѣйствительно: рядъ штриховъ
образуетъ довольно большую площадь, ограниченную пря-
мыми линіями, такъ что промежутки между штрихами за-
трудняютъ эту «оцѣнку» гораздо меньше, чѣмъ промежутки
между кругами ряда. Слѣдуетъ замѣтить еще, что учащіеся
имѣли раньше дѣло съ изображеніемъ чиселъ штрихами,
а не кругами и точками. Одинъ ученикъ 3-го курса сооб-
щилъ мнѣ, что онъ разлагалъ ряды на группы, промежутка
же между 5 и 6 объектами, который повторялся на каждой
картинѣ, онъ не замѣтилъ. Этотъ ученикъ сдѣлалъ больше
ошибокъ при воспріятіи штриховъ, такъ какъ въ этомъ
случаѣ группированіе было произвести труднѣе, чѣмъ въ
случаѣ круговъ. Другой ученикъ сказалъ, что онъ каждый
разъ пытался воспринять весь рядъ, а затѣмъ воспроизвести
его въ представленіи, но что это ему ни разу не удалось;
ученикъ этотъ занималъ первое мѣсто въ классѣ. Мы ви-

димъ, такимъ образомъ, что ряды штриховъ или круговъ,
при числѣ объектовъ выше 3, или только «оцѣниваются»,
или же воспринимаются группами. Это также слѣдовало
бы замѣтить сторонникамъ рядовъ и счета (сравн. стр. 79).
Штрихи, раздѣленные равными промежутками, и палочки,
раздѣленныя черточками на небольшіе кубики (какъ въ
аппаратѣ Тиллиха), болѣе приспособлены для «оцѣнки»,чѣмъ
ряды круговъ и шаровъ; въ смыслѣ же различія, воспріятія
и счета единицъ первые сильно уступаютъ послѣднимъ.
Но «оцѣнка» рядовъ есть только особый видъ угадыва-
нія, который, какъ и счетъ объектовъ длиннаго ряда, не
влечетъ за собою отчетливаго наблюденія и представленія,
а, стало-быть, и безошибочнаго воспроизведенія и изобра-
женія. При употребленіи же квадратныхъ числовыхъ фи-
гуръ послѣднее можетъ быть достигнуто; такъ, при созер-
цаніи квадратныхъ фигуръ чиселъ 5—9 учащіеся не сдѣлали
ни одной ошибки; непосредственно послѣ этого они наблю-
дали ряды, содержавшіе 4—8 объектовъ, и при томъ же
времени наблюденія сдѣлали 64 ошибки въ случаѣ штри-
ховъ и 87 ошибокъ въ случаѣ круговъ (ср. стр. 179).
Рядъ уже описанныхъ на стр. опытовъ показываетъ,
слѣдовательно, что
шары и круги имѣютъ преимущество передъ палочками
(Тиллиха и др.) и штрихами.
Незначительность разстояніи между штрихами таблицъ
Бильгарца, съ одной стороны, и красный цвѣтъ штриховъ—
съ другой стороны, заставили меня предположить, что та-
блицы эти требуютъ большого напряженія зрѣнія, которое
въ теченіе короткаго времени притупляетъ вниманіе и дѣ-
лаетъ невозможнымъ счетъ (объ одновременномъ воспрія-
тіи болѣе, чѣмъ 3 объектовъ ряда, здѣсь, конечно, не мо-
жетъ быть рѣчи). Тогда я заставилъ учениковъ считать
отъ начала до конца сперва красные, а затѣмъ черные
штрихи, которые изображены на таблицѣ VI а Бильгарца

въ равномъ числѣ, и притомъ чередующимися; дойдя до
конца, ученикъ начиналъ счетъ снова, пока у него не
появлялось признаковъ утомленія, различныхъ у каждаго
отдѣльнаго лица; при этомъ оказалось, что счетъ черныхъ
штриховъ, при которомъ опускались красные штрихи, до-
пускалъ большее число повтореній, чѣмъ счетъ красныхъ
штриховъ. При слѣдующемъ опытѣ 31 ученикъ 1-го курса
семинаріи считалъ дважды (т.-е. каждый разъ до 20) сперва
10 красныхъ штриховъ, нарисованныхъ на зеленомъ полѣ,
а затѣмъ 10 черныхъ штриховъ, изображенныхъ на бѣломъ
полѣ. Число повтореній записывалось каждымъ ученикомъ;
по окончаніи опыта, который я прекратилъ, когда большая
часть учениковъ обнаружила утомленіе, оказалось, что крас-
ные штрихи допустили только 272 повторенія, черные же—
428; особеннаго вниманія заслуживаетъ также тотъ фактъ,
что 2 ученика смогли сосчитать красные штрихи только по
3 раза, а 4 ученика только по 4 раза.
Такимъ образомъ, для психологически правильнаго вы-
полненія наглядныхъ пособій, примѣняемыхъ при перво-
начальномъ обученіи счету, мы должны изслѣдовать во-
просъ, какое сочетаніе цвѣтовъ объектовъ и того фона, на
которомъ они изображены, является наиболѣе удобнымъ
для воспріятія? Сперва мы сравнимъ между собою воспрія-
тія: чернаго на бѣломъ фонѣ, бѣлаго на черномъ, краснаго
на зеленомъ, желтаго на синемъ, голубого на оранжевомъ
фонѣ, а затѣмъ—воспріятіе краснаго, желтаго, зеленаго и
голубого на черномъ фонѣ. При этихъ опытахъ я пользо-
вался всегда 10 штрихами, имѣющими тѣ же размѣры и
разстоянія, какъ раньше. По данному знаку ученикъ, отчи-
тывающій вслухъ минуты, произносилъ: «Нуль», и прочіе
ученики принимались за упражненіе. Въ концѣ каждой
полуминуты ученикъ произносилъ число полуминутъ, про-
текшихъ отъ начала опыта; это число и записывалось тѣми
изъ учениковъ, которые въ этотъ моментъ прекращали счетъ.

Опытъ далъ слѣдующіе результаты:
2 курсъ семинаріи. 39 учениковъ. 12 по л у минутъ.
1) Черный на бѣломъ фонѣ: .... 146 по л у минутъ.
2) Бѣлый на черномъ » .... 161 полуминута.
3) Черный на бѣломъ » .... 147 полуминутъ.
1 курсъ семинаріи. 17 учениковъ. 32 четверти минуты.
1) Черный на бѣломъ фонѣ: . . 238 четвертей минуты.
2) Бѣлый на черномъ » . . 340 » »
1 курсъ семинаріи. 30 учениковъ. 20 четвертей минуты
Послѣ каждаго опыта 1—2 минуты отдыха.
1) Красный на зеленомъ фонѣ 338 четвертей минуты;
6 учениковъ при этомъ не почувствовали утомленія.
2) Желтый на синемъ фонѣ 406 четвертей минуты; 8 уче-
никовъ при этомъ не почувствовали утомленія.
3) Голубой на оранжевомъ фонѣ 298 четвертей минуты;
6 учениковъ при этомъ не почувствовали утомленія.
4) Бѣлый на черномъ фонѣ 411 четвертей минуты; 12 уче-
никовъ при этомъ не почувствовали утомленія.
2 курсъ семинаріи. 39 учениковъ. 36 шестыхъ долей минуты.
1) Красный на черномъ фонѣ 626.
2) Желтый » » » 660.
3) Зеленый1) » » » 528.
4) Красный » » » 672.
5) Желтый » » » 666.
2 курсъ семинаріи. 39 учениковъ. 36 шестыхъ долей минуты.
1) Желтый на черномъ фонѣ 727.
2) Голубой » » » 735.
3) Зеленый » » » 750.
4) Желтый » » » 703.
г) Общій тонъ зеленыхъ штриховъ былъ нѣсколько болѣе тем
нимъ, нежели тонъ желтыхъ и красныхъ штриховъ.

1 курсъ семинаріи. 31 ученикъ. 30 шестыхъ долей минуты.
1) Красный на черномъ фонѣ 609.
2) Зеленый » »
» 627.
3) Желтый » »
» 578.
4) Голубой » »
» 598.
5) Красный » »
» 581.
Отсюда слѣдуетъ, что:
1) красный, желтый, зеленый и голубой цвѣта на чер-
номъ фонѣ приводятъ къ мало разнящимся между собою
результатамъ; свѣтло-зеленый цвѣтъ какъ будто имѣетъ нѣ-
которыя преимущества.
2) Чѣмъ свѣтлѣе штрихи и чѣмъ темнѣе фонъ, тѣмъ
легче различеніе и воспріятіе ихъ и тѣмъ меньше напря-
женіе и утомленіе.
3) Облегченію различенія и воспріятія и уменьшенію
напряженія и утомленія способствуетъ не родъ окраски
или контрастъ цвѣтовъ, а различіе въ яркости цвѣта объ-
ектовъ и цвѣта фона.
4) Къ наилучшимъ результатамъ приводятъ бѣлые объ-
екты на черномъ фонѣ.
Эти обстоятельства также обыкновенно не учитываются
при изготовленіи многихъ счетныхъ приборовъ и нагляд-
ныхъ пособій г).
Воспріятіе пространственныхъ образовъ сопровождается
движеніями глазъ. При этомъ глазъ устаетъ тѣмъ больше,
а воспріятіе происходитъ тѣмъ хуже, чѣмъ большее коли
*) Со времени опубликованія этой работы автору ея каждый
годъ доставляется по нѣскольку новыхъ приборовъ и пособій съ
просьбой дать объ нихъ отзывъ. При изслѣдованіи ихъ оказывается,
что многіе изобрѣтатели ихъ совершенно не знакомы съ изслѣдо-
ваніями, касающимися обученія счисленію, или же не желаютъ
принимать ихъ во вниманіе, предпочитая изобрѣтать «новые ме-
тоды» и «новыя пособія».

чество хотя бы малыхъ движеній дѣлаетъ глазъ. Физіологъ
д-ръ Шаквицъ недавно показалъ, пользуясь особымъ аппара-
томъ, регистрирующимъ движенія глаза, что при чтеніи
даннаго текста, напечатаннаго латинскимъ шрифтомъ, глазъ
совершаетъ приблизительно на 25% больше движеній, чѣмъ
при чтеніи того же текста, напечатаннаго характернымъ
нѣмецкимъ готическимъ шрифтомъ. Такимъ образомъ, и фи-
зіологическія данныя подтверждаютъ тотъ фактъ, что одно-
родные палочки, кубики, шарики и штрихи счетныхъ при-
боровъ, основанныхъ на рядахъ, воспринимаются при счи-
сленіи хуже, чѣмъ характерныя числовыя фигуры. Ука-
занныя движенія глаза, конечно, облегчаются при соотвѣт-
ствующемъ выборѣ величины, разстоянія, направленія счет-
ныхъ объектовъ, а также контраста между ихъ окраской
и окраской задняго фона х).
14. Численное воспріятіе и представленіе простран-
ственныхъ объектовъ при помощи чувства осязанія.
Извѣстно, что простая форма квадратныхъ числовыхъ
фигуръ нравится дѣтямъ уже сама по себѣ; квадратныя фи-
гуры не такъ однообразны и длинны, какъ ряды; онѣ спо-
собны видоизмѣняться и въ то же время достаточно про-
сты, отчетливо расчленены и, слѣдовательно, легко воспри-
нимаемы. Я часто замѣчалъ радость на лицахъ дѣтей, когда
имъ удавалось воспринять и изобразить числовую фигуру;
при многократной же неудачѣ воспріятія ряда дѣти ста-
новились недовольными, раздражительными, озабоченными;
въ концѣ концовъ, у нихъ пропадалъ и всякій интересъ къ
занятіямъ. Но наглядное воспріятіе рядовъ и дѣйствій въ
1) Schackwitz, Apparat zum Aufzeichnen der Augenbewegun-
gen beim zusammenhängenden Lesen. Zeitschr. f. Physiologie, 1913,
Bd. 63, стр. 442 и далѣе.

случаѣ болѣе 3 или 4 объектовъ невозможно; это мы дока-
зали уже достаточно убѣдительно. Такимъ образомъ, при
употребленіи рядовъ, въ качествѣ нагляднаго пособія, отъ
дѣтей требуютъ больше того, что они въ дѣйствительности
могутъ осилить. Если мы предположимъ теперь, что спо-
собность къ запоминанію звукового образа числительнаго
и представленія движеній органовъ рѣчи, при произноше-
ніи послѣдняго, не настолько сильны, чтобы чисто внѣш-
нимъ образомъ удержать въ памяти результаты (а это мо-
жетъ быть и у тѣхъ дѣтей, которыя въ остальномъ совер-
шенно нормальны и даже обладаютъ хорошими способно-
стями), то у дѣтей неминуемо проявляется отсутствіе инте-
реса, даже отвращеніе къ занятіямъ, а вмѣстѣ съ ними и
скрытность, упрямство и неповиновеніе, которыя замѣня-
ются при употребленіи квадратныхъ числовыхъ фигуръ ин-
тересомъ, радостью и любовью къ занятіямъ.
Мнѣ приходилось замѣчать, что дѣти находили удоволь-
ствіе въ простомъ перемѣщеніи косточекъ. Даже болѣе, бла-
годаря простотѣ построенія квадратныхъ числовыхъ фи-
гуръ, дѣти самостоятельно переходили къ слѣдующему чи-
слу и отыскивали новыя численныя соотношенія, подобно
тому, какъ при употребленіи хорошо составленной азбуки,
ребенокъ, заинтересовавшійся чтеніемъ, самостоятельно чи-
таетъ дальше.
Превращенію небольшого счетнаго прибора въ любимую
игрушку ребенка способствуетъ также, и притомъ въ очень
большой степени, чувство осязанія. Извѣстно, что персид-
скій шахъ выразилъ однажды сожалѣніе, что мы, европейцы,
не пользуемся при ѣдѣ пальцами; благодаря этому мы ли-
шаемся того наслажденія, которое могло бы намъ доста-
вить осязаніе мягкости, нѣжности и другихъ качествъ раз-
личныхъ кушаній. Въ этомъ есть нѣкоторая доля правды;
въ самомъ дѣлѣ, извѣстно, что нѣкоторыя ощущенія, прі-
обрѣтаемыя путемъ осязанія, напр., ощущеніе мягкости бар-

хата, лепестка розы, пушистаго мѣха или пера, дѣйствуютъ
эстетически и доставляютъ намъ извѣстное удовольствіе. Ре-
бенокъ пользуется всѣми чувствами; возбужденіе, примѣ-
неніе ихъ, служитъ для него источникомъ радости, удоволь-
ствія; достаточно вспомнить хотя бы о томъ, какое удоволь-
ствіе доставляютъ дѣтямъ движенія! Но ощущенія движе-
нія суть осязательныя ощущенія, при помощи которыхъ
распознаются также и такія качества вещей, какъ шеро-
ховатость и гладкость, угловатость и округлость, непре-
рывность и прерывистость, острота и притупленность, дав-
леніе, вѣсъ, теплота.
Осязательныя и двигательный ощущенія оказываютъ
сильное вліяніе на развитіе зрительныхъ представленій у
дѣтей и слѣпорожденныхъ, которымъ возвращено зрѣніе.
Послѣдніе думаютъ первое время, что всѣ предметы при-
касаются къ ихъ глазамъ; если они хотятъ дотронуться до
дверной ручки, то они останавливаются передъ ней въ двухъ
шагахъ. Кубъ они принимаютъ за квадратъ, а шаръ—за
кругъ, пока не прикоснутся къ нимъ концами пальцевъ.
Наиболѣе отчетливыя представленія мы имѣемъ о такихъ
пространственныхъ вещахъ, которыя мы ощупали своими
собственными руками. Осязательныя ощущенія являются
наиболѣе убѣдительными и въ практическомъ отношеніи наи-
болѣе важными; поэтому содержаніе зрительныхъ и слу-
ховыхъ ощущеній мы часто переводимъ на языкъ осязатель-
ныхъ ощущеній; такъ, мы говоримъ: холодныя, теплыя,
мягкія, нѣжныя краски; мягкіе, жесткіе, острые, грубые,
нѣжные звуки. Теорія познанія установила, что чувство
осязанія играетъ большую роль при воспріятіи простран-
ства; что третье измѣреніе пространства познается путемъ
осязательныхъ ощущеній; что зрительныя ощущенія по-
рождаюсь представленіе только поверхности, въ то время
какъ осязательныя ощущенія обусловливаютъ представле-
ніе тѣлъ. А такъ какъ опыты наши совершенно ясно дока-

зали, что возникновеніе числовыхъ представленій связано
съ пространственными соотношеніями, то можно съ увѣрен-
ностью сказать, что чувство осязанія играетъ при этомъ
возникновеніи нѣкоторую роль.
Это предположеніе подтверждается и иными фактами.
Необходимой предпосылкой возникновенія числовыхъ пред-
ставленій является существованіе объектовъ. При движе-
ніяхъ, склонность къ которымъ является прирожденной,
ребенокъ встрѣчается съ сопротивленіемъ, и ощущеніе со-
противленія учитъ его, что существуетъ нѣчто чуждое, нѣ-
что, лежащее внѣ его. Такимъ образомъ, сопротивленіе дви-
женію (появляющееся и при ощупываніи) побуждаетъ ре-
бенка признать существованіе окружающихъ предметовъ.
Представленіе же числа можетъ возникнуть только тогда,
когда ребенокъ научится отличать себя отъ окружающихъ
вещей.
Въ заключеніе слѣдуетъ замѣтить, что первоначальное
обученіе счету слѣпыхъ дѣтей, которыя могутъ пользо-
ваться только чувствомъ осязанія, представляетъ не боль-
шія затрудненія, чѣмъ обученіе вполнѣ нормальныхъ дѣ-
тей. Чтобы изслѣдовать этотъ вопросъ поближе, я подвергъ
опытамъ мальчика К., посѣщавшаго дѣтскій садъ, и маль-
чика W., обучавшагося въ школѣ % года. Завязавъ имъ
глаза, я далъ имъ въ руки счетный аппаратъ, косточки ко-
тораго были расположены въ видѣ числовой фигуры. Ока-
залось, что они сравнительно быстро и вѣрно опредѣляли
даже большія числа, пользуясь только одновременными ося-
зательными ощущеніями и не прибѣгая къ счету.
Затѣмъ я расположилъ косточки рядами; въ первомъ
случаѣ онѣ были отдѣлены другъ отъ друга маленькими
промежутками; во второмъ случаѣ этихъ промежутковъ не
было. Опытъ далъ тѣ же результаты, какъ и опытъ надъ
воспріятіемъ чиселъ при помощи зрѣнія: непосредственное
одновременное воспріятіе не шло дальше 3; ряды, содержа-

щіе большее число объектовъ, не могли быть восприняты
отчетливо. Число этихъ объектовъ находилось при помощи
счета, а не непосредственнаго наблюденія. Воспріятіе объ-
ектовъ короткаго ряда и счетъ ихъ въ длинномъ рядѣ про-
исходили быстрѣе, если косточки были раздѣлены неболь-
шими промежутками.
Для правильнаго выполненія нагляднаго пособія, при
которомъ было бы принято во вниманіе и чувство осязанія,
послѣднее обстоятельство надо было изслѣдовать болѣе точно,
подвергнувъ опытамъ дѣтей приблизительно 6-лѣтняго воз-
раста. Опыты должны были дать отвѣтъ на слѣдующій об-
щій вопросъ: «при какомъ разстояніи два осязательныхъ
ощущенія все еще воспринимаются какъ два ощущенія, а
не какъ одно?» Опыты я производилъ надъ двумя мальчи-
ками 5 и 6 лѣтъ, прикасаясь къ кожѣ различныхъ частей
ихъ тѣла то одной, то двумя острыми ножками циркуля (но
такъ, что инструмента они не видѣли) и заставляя ихъ опре-
дѣлять число уколовъ. При прикосновеніи къ концамъ паль-
цевъ и разстояніи между ножками циркуля около 1 1/2 мм.,
при прикосновеніи къ среднему суставу пальцевъ и разстоя-
ніи въ 2 мм. и при прикосновеніи къ щекѣ и разстояніи въ
20 мм.—отвѣты получались все еще неправильные. При раз-
стояніи въ 7 мм. и прикосновеніи только въ нижней сто-
ронѣ пальцевъ, а также при разстояніи въ 12 мм. и прикос-
новеніи къ обѣимъ сторонамъ всей кисти руки не получи-
лось уже ни одной ошибки.
Всѣ вышеприведенные факты и опыты убѣждаютъ насъ
въ томъ, что чувство осязанія имѣетъ весьма большое зна-
ченіе при выработкѣ числовыхъ представленій, особенно у
лицъ, предрасположенныхъ къ воспріятію осязательныхъ
ощущеній; то же скажетъ каждый, занимающійся обуче-
ніемъ слѣпыхъ, которые выучиваются считать въ общемъ
не хуже зрячихъ. Если, такимъ образомъ, зрѣніе отсут-
ствуетъ, то одного чувства осязанія оказывается достаточ-

нымъ, чтобы пріобрѣсти при помощи квадратныхъ число-
выхъ фигуръ отчетливыя представленія первыхъ 12 чиселъ.
Но мы знаемъ, что представленіе запоминается тѣмъ лучше,
чѣмъ тѣснѣе оно связано съ другими представленіями.
Такимъ образомъ, существованіе связи между зритель-
ными и осязательными впечатлѣніями и представленіями
при выработкѣ понятія числа должно приводить къ наи-
лучшимъ и наиболѣе надежнымъ результатамъ препода-
ванія. Эти результаты могутъ быть достигнуты при
помощи учебнаго пособія, устроеннаго въ существенныхъ чер-
тахъ такъ же, какъ нашъ счетный приборъ для учениковъ.
Выставленное положеніе является совершенной но-
востью въ дѣлѣ начальнаго преподаванія ариѳметики. Но
я уже раньше (см. «Methodik des nat. Unterrichts» 1-ое
изд. 1892 г. того же автора) указывалъ на большое значе-
ніе чувства осязанія: при помощи послѣдняго образуются
пластическія, тѣлесныя представленія, малое развитіе ко-
торыхъ вызываетъ столь частыя жалобы, и которыя играютъ
такую важную роль въ наукѣ, искусствѣ, техникѣ и прак-
тической жизни. Поэтому и здѣсь было умѣстно указать
на пренебреженіе чувствомъ осязанія при школьномъ пре-
подаваніи *). Въ основу нагляднаго обученія и обученія
счету должны быть положены прежде всего пространствен-
ные предметы, при которыхъ возможно широкое примѣне-
ніе и чувства осязанія; штрихи, точки и даже фигуры, за-
служивающія предпочтенія передъ двумя первыми катего-
ріями объектовъ, должны примѣняться въ качествѣ нагляд-
наго пособія все же въ очень ограниченной мѣрѣ. Зато уче-
ники должны умѣть изготовлять какъ несложные рисунки.
*) Эти указанія, какъ показываютъ психологическія основанія
такъ называемой «рабочей школы», не остались безполезными.
Подробности см. Lay, Die Tatschule, eine natur-und kulturgemässe
Schulreform. 1911.

такъ и слѣпки со всѣхъ пространственныхъ предметовъ,
которые имъ показываются, и притомъ не только созер-
цая ихъ, но и на память.
15. Опыты надъ выполненіемъ дѣйствій въ случаѣ
рядовъ и квадратныхъ числовыхъ фигуръ.
Прежде всего я приведу два неудавшихся опыта Шней-
дера и доктора Вальземана.
Шнейдеръ сравнивалъ свой «простой двойной рядъ», т.-с.
Борновскія числовыя фигуры, съ квадратными фигурами.
a) Сначала испытывались отдѣльныя числовыя фигуры,
при чемъ былъ произведенъ только одинъ опытъ надъ 30
учениками. Условія опыта были такъ благопріятны, что
всѣ Борновскія и всѣ квадратный числовыя фигуры были
восприняты вѣрно. Шнейдеръ дѣлаетъ отсюда ложный вы-
водъ, что Борновскія и квадратный числовыя фигуры «вос-
принимаются приблизительно (!) одинаково». Онъ совер-
шенно не замѣчаетъ, что при достаточно продолжительномъ
созерцаніи и худшія числовыя фигуры могутъ быть воспри-
няты правильно.
b) Числовыя фигуры испытывались, какъ вправо лежа-
щія составныя части большихъ числовыхъ фигуръ. Къ со-
жалѣнію, вся обстановка его опытовъ описана недостаточно
точно и мало понятно. Шнейдеръ говоритъ о предваритель-
номъ упражненій (?), котораго потребовали группы по че-
тыре объекта, о промежуткахъ между группами, которые
были выдѣлены (?) штрихами и т. д. Рисунокъ Шнейдера,
изображающій квадратныя числовыя фигуры, показываетъ,
что послѣднимъ была придана во всѣхъ опытахъ неудачная
форма. Къ тому же квадратныя числовыя фигуры подверг-
лись испытанію послѣ того, какъ «всѣ задачи были про-
дѣланы» на Борновскихъ фигурахъ. Рѣшеніе весьма зна-

чительнаго числа задачъ, при которомъ напрягалось вни-
маніе и всѣ душевныя и тѣлесныя силы ребенка, создало
навыкъ въ обращеніи съ Борновскими числовыми фигу-
рами и особое пристрастіе къ нимъ, которое, несомнѣнно,
оказывало неблагопріятное вліяніе на непосредственно слѣ-
довавшее затѣмъ воспріятіе квадратныхъ числовыхъ фи-
гуръ; поэтому вполнѣ можно понять утвержденіе дѣтей,
что промежутокъ, раздѣляющій квадраты, служитъ помѣ-
хой; это только доказываетъ, что ранѣе указанное рас-
положеніе было налицо и продолжало дѣйствовать. Слѣ-
дуетъ замѣтить еще, что дѣти нѣсколько устали и какъ
бы пресытились воспріятіемъ сходныхъ числовыхъ фи-
гуръ. Всѣ эти причины и повели къ тому, что Шнейдеръ
пришелъ къ выводамъ противорѣчащимъ результатамъ
нашихъ опытовъ пункта 4; такъ, онъ говоритъ, что
«простой двойной рядъ предпочтительнѣе группировки по
четыре объекта».
Докторъ Вальземанъ также сравнивалъ Борновскія чи-
словыя фигуры, которыя онъ называетъ «нормальными», съ
квадратными числовыми фигурами. Послѣднимъ онъ также
придалъ неправильную форму, сдѣлавъ разстояніе между
отдѣльными кругами равнымъ 1 діаметру, а разстояніе
между квадратами—2 діаметрамъ. Какъ результатъ опыта
онъ сообщаетъ, что Борновскія числовыя фигуры привели
къ 6,8% невѣрныхъ опредѣленій, а квадратный числовыя
фигуры—къ 9,4%.
Докторъ Вальземанъ производилъ опыты не надъ «чи-
словыми фигурами Лая»; поэтому опыты его ничего еще
не говорятъ противъ этихъ числовыхъ фигуръ.
При выполненіи ариѳметическихъ дѣйствій требуется,
вообще говоря, изъ данныхъ чиселъ вывести нѣкоторыя но-
выя числа. Въ примѣненіи къ наглядному счисленію (а мы
пока имѣемъ въ виду только наглядный счетъ) это значитъ,
что изъ данныхъ рядовъ или группъ нужно вывести нѣко-

торые новые ряды или группы. Происходитъ это путемъ
сложенія или разложенія данныхъ числовыхъ фигуръ (ря-
довъ или группъ). Можно предполагать заранѣе, что всѣ
дѣйствія будутъ выполнены тѣмъ скорѣе, легче и правиль-
нѣе, чѣмъ скорѣе, легче и правильнѣе могутъ быть вос-
приняты, удержаны въ памяти и изображены отдѣльныя
числовыя фигуры и части ихъ. А такъ какъ мы уже дока-
зали, что квадратный числовыя фигуры во много разъ пре-
восходятъ въ этомъ отношеніи ряды, то можно съ увѣрен-
ностью сказать, что наглядное счисленіе будетъ произво-
диться гораздо быстрѣе и правильнѣе, если будутъ примѣ-
нены квадратныя числовыя фигуры, а не ряды. Хотя въ
справедливости нашихъ заключеній едва ли можно сомнѣ-
ваться, все же небезынтересно посмотрѣть, въ какой мѣрѣ
опыты подтверждаютъ наши выводы.
При постановкѣ этихъ опытовъ я воспользовался уже
извѣстными намъ квадратными числовыми фигурами и ря-
дами, черные круги которыхъ были нарисованы на бѣлой
рисовальной бумагѣ. Числовая фигура раздѣлялась на 2
части черной указкой. Задача заключалась въ томъ, чтобы
воспринять, запомнить и изобразить на память всю число-
вую фигуру и 2 части ея, или, наоборотъ, 2 части и всю
числовую фигуру.
1 курсъ семинаріи. 31 ученикъ. 160 ударовъ метронома.
Число ошибокъ при употребленіи:
Задачи:
группъ
рядовъ
6+3
4+5
2+7
5+3
3
1
2
1
13
11
9
10
7
43

2 курсъ семинаріи. 39 учениковъ. 160 ударовъ метронома.
Число ошибокъ при употребленіи:
Задачи:
группъ
рядовъ
4+3
1
21
6+1
9
27
2+7
8
12
6+3
5
19
4+5
5
7
28
86
Въ поясненіе результатовъ этихъ опытовъ надо добавить,
что со сложеніемъ и разложеніемъ объектовъ ряда всѣ уче-
ники были хорошо знакомы со времени первыхъ лѣтъ обу-
ченія, тогда какъ съ отдѣленіемъ малыхъ числовыхъ фи-
гуръ отъ большихъ и воспріятіемъ ихъ, какъ составныхъ
частей послѣднихъ, они встрѣтились въ первый разъ; нѣко-
торые же ученики, рѣдко принимавшіе участіе въ опытахъ,
вообще очень мало видѣли групповыя числовыя фигуры.
Несомненно, следовательно, что при употребленіи ква-
дратныхъ числовыхъ фигуръ выполненіе действій и нахожде-
ніе результата совершаются гораздо скорее, легче и вернее,
чемъ при примененіи рядовъ.
Въ разрѣшеніи вопроса; Борновскія или квадратныя чи-
словыя фигуры? принялъ видное участіе д-ръ Людвигъ Пфей-
феръ (Exp. Pädagogik, 2-Bd, 1905). Ученики его обучались
въ теченіе V2 года по Борновскимъ числовымъ фигурамъ
въ формѣ Нюрнбергской счетной доски Трельча; несмотря
на это, опыты его дали слѣдующіе результаты (ученики изо-
бражали созерцаемыя фигуры цифрами):
1) при воспріятіи:
Борновскихъ числовыхъ фигуръ 108 ошибокъ.
Квадратныхъ » » 136 »

2) при присчитываніи и отсчитываніи:
Борновскихъ числовыхъ фигуръ 254 ошибки.
Квадратныхъ » » 211 ошибокъ.
3) при разложеніи на множителей:
Борновскихъ числовыхъ фигуръ 81 ошибка.
Квадратныхъ » » 70 ошибокъ.
Результаты, добытые Пфейферомъ, находятся въ пол-
номъ согласіи съ данными, приведенными въ этой книжкѣ,
и опровергаютъ взгляды Шнейдера, Вальземана, Трельча
и другихъ сторонниковъ Борновскихъ числовыхъ фигуръ.
Пфейферъ справедливо говоритъ: «Дидактически*, экспери-
менты согласно доказываютъ, что квадратныя группы по че-
тыре объекта являются болѣе удобнымъ нагляднымъ пособіемъ
какъ при воспріятіи отдѣльныхъ чиселъ, такъ и при изобра-
женіи дѣйствій, чѣмъ всѣ другія числовыя фигуры, въ томъ
числѣ и простой двойной рядъ (Борновскія числовыя фигуры)».
Всѣ наши опыты надъ семинаристами и дѣтьми, обу-
чающимися въ школѣ первый годъ, показываютъ, что ква-
дратный числовыя фигуры, дѣйствительно, лучше всѣхъ
извѣстныхъ числовыхъ фигуръ, въ особенности же рядовъ.
16. О возникновеніи представленій основныхъ чиселъ.
Психологія дѣтей и первобытныхъ народовъ и наши
опыты надъ классами доставили намъ такое большое коли-
чество неопровержимыхъ фактовъ, что мы можемъ составить
себѣ теперь вполнѣ обоснованный взглядъ на возникновеніе
и сущность числа и доказать ошибочность цѣлаго ряда тео-
рій, нашедшихъ себѣ мѣсто въ методикѣ преподаванія ариѳ-
метики и сильно вредящихъ ей.
Прежде всего мы попытаемся свести къ основнымъ прин-
ципамъ самыя условія возникновенія числовыхъ предста-
вленій, т.-е. расположеніе рядами или группами, разстоя-

ніе или размѣтку, направленіе, цвѣтъ; яркость, форму и ве-
личину объектовъ, смежныхъ въ пространствѣ и познавае-
мыхъ при помощи зрѣнія и осязанія, а также и расположе-
ніе рядами или группами (ритмически) объектовъ, послѣдо-
вательныхъ во времени и познаваемыхъ при помощи слуха
или движеній.
Предположимъ теперь, что ребенокъ сбросилъ со стола
на полъ или всѣхъ своихъ оловянныхъ солдатиковъ, или
же всѣхъ, кромѣ одного. Онъ замѣчаетъ, что у него остался
еще одинъ предметъ, или же не осталось ничего. Окружаю-
щіе говорятъ ему: «У тебя есть еще одинъ», или «у тебя
ничего больше нѣтъ». Ребенокъ смотритъ на игрушки, ле-
жащія на полу; ему говорятъ, что на полу лежатъ нѣсколько,
мало или же много предметовъ. Путемъ подобныхъ контра-
стовъ ребенокъ пріобрѣтаетъ числовыя представленія: много,
одинъ, ничего, нѣсколько, мало и т. д. и одновременно съ
этимъ начинаетъ примѣнять ихъ къ самымъ разнороднымъ
предметамъ. То же происходитъ и съ представленіемъ и
наименованіемъ чиселъ 2 и 3. Во многихъ случаяхъ, когда
на дѣтей обращаютъ меньше вниманія, они долгое время
владѣютъ представленіями этихъ чиселъ, не зная еще соот-
вѣтствующихъ именъ числительныхъ. Понятія могутъ су-
ществовать безъ словъ; мышленіе возможно безъ языка—
это положеніе каждый можетъ провѣрить на себѣ самомъ;
то же доказываютъ наблюденія надъ больными, страдаю-
щими недостатками органовъ рѣчи, и наши опыты надъ
дѣтьми дѣтскаго сада. Наблюденіе учитъ, кромѣ того, что
послѣ пріобрѣтенія представленія числа 3 дальнѣйшее раз-
витіе числовыхъ представленій на время пріостанавливается.
Легко обнаружить и причину этого явленія. Дѣло въ томъ,
что три пространственныхъ предмета могутъ образовывать
или треугольную группу, воспринимаемую весьма легко,
или же рядъ, который также еще можетъ быть воспринятъ.
При большемъ числѣ объектовъ, обстоятельства склады-

ваются уже не столь благопріятно; число объектовъ ряда,
большее трехъ, не можетъ быть воспринято отчетливо, съ
наглядными же группами ребенку приходится встрѣчаться
слишкомъ рѣдко. Поэтому дальнѣйшее развитіе числовыхъ
представленій происходитъ уже въ школѣ подъ болѣе или
менѣе методическимъ руководствомъ преподавателя; харак-
теръ развитія, содержаніе и сущность числовыхъ представле-
ній могутъ быть при этомъ весьма различными, въ зависи-
мости отъ тѣхъ или иныхъ пріемовъ обученія и примѣняе-
мыхъ наглядныхъ пособій (ср. стр. 144). Если въ основу
преподаванія положены квадратный числовыя фигуры, то
каждый ученикъ можетъ располагать по меньшей мѣрѣ 10
отчетливыми числовыми представленіями; если же при пре-
подаваніи примѣняются ряды, то отчетливыя числовыя пред-
ставленія отсутствуютъ, такъ какъ расплывчатая предста-
вленія неопредѣленныхъ количествъ «мало» и «много»—
нельзя считать отчетливыми числовыми представленіями;
опыты же наши неопровержимо доказали, что одновременное
воспріятіе ряда у дѣтей не идетъ дальше 3. Безсодержатель-
ныя словесныя формы: звуковые образы, представленія дви-
женія органовъ рѣчи, письменныя фигуры (цифры) могутъ
быть удержаны въ памяти лишь при условіи неимовѣрно
большой затраты труда и времени, безконечнаго повторенія
и весьма утомительнаго механическаго заучиванія; мерт-
выя формы должны въ этомъ случаѣ замѣнять (насколько
это вообще возможно) живое содержаніе, отчетливыя наблю-
денія и представленія. Но по утвержденію проф. Эббингга-
уза такая работа требуетъ въ десять разъ большаго напря-
женія, нежели запоминаніе словъ, имѣющихъ ясный смыслъ.
Въ то время какъ при употребленіи квадратныхъ числовыхъ
фигуръ счисленіе является оперированіемъ надъ содержа-
тельными представленіями и отысканіемъ новыхъ число-
выхъ представленій по даннымъ представленіямъ, совершенно
отчетливо сохраняющимся въ памяти, счисленіе при по-

мощи рядовъ сводится къ заучиванію наизусть предложеній,
въ основѣ которыхъ не лежитъ отчетливаго представленія.Чи-
слительныя и результаты отыскиваются и въ данномъ слу-
чаѣ, но исключительно при помощи счета, а не отчетливыхъ
числовыхъ представленій. Счетъ помогаетъ только отыски-
вать наименованіе числа; вызвать же отчетливое представле-
ніе ряда, въ которомъ одновременно съ совокупностью можно
было бы различить и каждую отдѣльную единицу,—счетъ
совершенно не можетъ. Правда, по мѣрѣ пріобрѣтенія на-
выка въ счисленіи, наглядный представленія чиселъ все
больше и больше отодвигаются на задній планъ, уступая
мѣсто формальнымъ представленіямъ цифръ, движеній ор-
гановъ рѣчи и звуковыхъ образовъ; такимъ образомъ, раз-
ница между 2 учениками, изъ которыхъ одинъ обучается
по наглядному методу, а другой—по методу счета, съ тече-
ніемъ времени сглаживается. Но все же между ними остается
слѣдующее существенное различіе: формальныя число-
выя представленія или понятія чиселъ перваго ученика
имѣютъ живое содержаніе, которое можно припомнить въ
любой моментъ, тогда какъ представленія второго ученика
лишены всякаго прочнаго фундамента. Въ первомъ случаѣ
мы имѣемъ натуральный плодъ,—здоровое зерно, покрытое
скорлупой, во второмъ же—только пустой орѣхъ.
Основываясь на данныхъ психологіи дѣтей и первобыт-
ныхъ народовъ и нашихъ опытахъ, мы прежде всего при-
ходимъ къ слѣдующему взгляду на возникновеніе числа:
Числовыя представленія развиваются самостоятельно при
созерцаніи предметовъ, смежныхъ въ пространствѣ или по-
слѣдовательныхъ во времени
Смежность предметовъ въ пространстве болѣе способ-
г) Это обстоятельство можетъ повести къ поспѣшному заключе-
нію, будто «число появляется первоначально, какъ нѣкоторое коли-
чество или множество вещей» (Книллингъ). Число и вещь вовсе не
одно и то же.

ствуетъ этому развитію, чѣмъ послѣдовательность во вре-
мени.
Пространственныя группы шаровъ дѣлаютъ возможными
отчетливыя представленія чиселъ, по крайней мѣрѣ, до 10,
тогда какъ пространственные ряды, заключающіе болѣе 3
объектовъ, облегчаютъ лишь отысканіе именъ числительныхъ.
Первыя ведутъ къ нагляднымъ представленіямъ, имѣю-
щимъ живое содержаніе, вторые—къ чисто формальнымъ,
безсодержательнымъ, словеснымъ представленіямъ.
Мы нашли, что воспріятіе объектовъ, расположенныхъ
рядами или группами, зависитъ: 1) отъ формы ихъ, 2) отъ
разстоянія и отмѣтокъ, 3) отъ величины и 4) отъ цвѣта и
яркости. Всѣ эти категоріи зависимости можно свести къ
одной; можно сказать просто, что воспріятіе происходитъ
тѣмъ легче, быстрѣе и вѣрнѣе, чѣмъ рѣзче указанныя свой-
ства выдѣляютъ данный объектъ на томъ или иномъ фонѣ
или среди другихъ объектовъ.
Мы видимъ, такимъ образомъ, что при воспріятіи нѣко-
тораго количества предметовъ имѣютъ мѣсто прежде всего
различеніе отдѣльныхъ предметовъ, отдѣленіе, анализъ ряда,
или группы, расчлененіе представленія совокупности на
представленія частей. Наблюденію и представленію числа,
какъ и всякому наблюденію и представленію, необходимо
долженъ предшествовать анализъ, предпосылкой же ана-
лиза является различимость. Въ основѣ этого обстоятель-
ства лежитъ одно общее свойство сознанія. Физіологическая
психологія учитъ, что каждый органъ чувства находится
въ непрестанномъ возбужденіи, и что всякое другое возбу-
жденіе доходитъ до сознанія только въ томъ случаѣ, если
оно сильнѣе собственнаго возбужденія. Всѣмъ извѣстно,
что тиканье часовъ, журчанье ручья, даже шумъ мельницы
съ теченіемъ времени перестаютъ быть слышными, что по-
степенныя измѣненія холода, жара, силы электрическаго
тока совершенно не замѣчаются. Впечатлѣнія, слѣдующія

одно за другимъ, не доходятъ уже до сознанія, — въ первомъ
случаѣ потому, что возбужденіе длится безпрерывно, а во
второмъ — потому, что малая разница между отдѣльными
возбужденіями не даетъ возможности отдѣлить ихъ одно
отъ другого. Поэтому всѣ счетные аппараты, представляю-
щіе собою видоизмѣненіе ящика Тиллиха, въ которомъ от-
дѣльные объекты не раздѣлены достаточными промежут-
ками, приносятъ безусловный вредъ. Недостатки ихъ не
могутъ быть устранены хотя бы различной окраской пало-
чекъ, кубиковъ, круговъ, непрерывно слѣдующихъ другъ
за другомъ; здѣсь необходима остановка, перерывъ или из-
мѣненіе направленія движенія мускуловъ глаза. Измѣненіе
окраски можетъ облегчить только счетъ; что же касается
разложенія, которое лежитъ въ основѣ всѣхъ ариѳмети-
ческихъ дѣйствій, то рѣзкое измѣненіе цвѣта часто только
мѣшаетъ ему, такъ какъ разложеніе лишь въ рѣдкихъ слу-
чаяхъ согласуется съ приданной окраской. Важная роль
различимости при возникновеніи числовыхъ представленій
привела Стэнли Дживенса къ слѣдующему одностороннему
опредѣленію числа: «Число есть не что иное, какъ другое
названіе многоразличія». Отсюда слѣдуетъ, что «полное од-
нообразіе есть единство», и что «количество происходитъ изъ
многоразличія». «Количество возникаетъ тогда и только
тогда, когда мы воспринимаемъ многоразличіе». Послѣднее
предложеніе, отмѣчающее весьма важный моментъ въ воз-
никновеніи числовыхъ представленій, несомнѣнно, спра-
ведливо. Что же касается перваго предложенія, то оно мо-
жетъ повести къ совершенно ложнымъ представленіямъ.
Дѣйствительно, изъ него можно было бы вывести, что чѣмъ
больше разнятся между собою тѣла, тѣмъ легче создаются
числовыя представленія. Яблоко, стулъ, дождевой червь,
вишня, звукъ — суть весьма различныя вещи; однако, это
менѣе всего способствуетъ численному воспріятію ихъ. Три
яблока, три дождевыхъ червя, три звука гораздо легче могутъ

быть восприняты численно, чѣмъ одно яблоко, одинъ дож-
девой червь и одинъ звукъ. Наблюденія, школьная прак-
тика и наши опыты показываютъ, что воспріятіе числа
происходитъ тѣмъ легче, чѣмъ сходнѣе объекты ряда или
группы и чѣмъ однороднѣе ихъ форма, окраска и вели-
чина; при этомъ надо, однако, принять во вниманіе, что
созерцаемые объекты должны рѣзко выдѣляться среди окру-
жающей обстановки. Приходится признать, что большая
разница въ признакахъ настолько сильно привлекаетъ къ
себѣ наше вниманіе, что воспріятіе числа оказывается уже
затруднительнымъ.
Такимъ образомъ, мы приходимъ ко второму общему
выводу:
возникновенію числовыхъ представленій способствуетъ не
наличность большой разницы между объектами, а возмож-
ность легкаго различенія и сравненія ихъ.
Если читатель припомнитъ описанные опыты, то онъ
увидитъ, что примѣненіе однородныхъ легко различимыхъ
объектовъ, имѣющихъ форму круга, можетъ привести
къ созданію отчетливыхъ представленій чиселъ 3—10 только
въ томъ случаѣ, если объекты образуютъ квадратныя чи-
словыя фигуры, а не ряды; кромѣ того, мы видѣли, что вос-
пріятіе послѣдовательнаго ряда звуковыхъ впечатлѣній
сильно облегчается, если рядъ этотъ расчлененъ ритмически.
Но легкое и быстрое воспріятіе отдѣльныхъ объектовъ, ихъ
различимость и однородность сами по себѣ еще недоста-
точны для созданія отчетливыхъ числовыхъ представленій;
для этого необходимо, чтобы отдѣльные объекты были вос-
приняты, какъ нѣкоторая совокупность, какъ единый рядъ
или единая группа; надо, чтобы представленія единицъ со-
единились въ представленіе соотвѣтствующаго числа. Наши
опыты заставляютъ насъ принять, что расчлененіе или груп-
пировка объектовъ въ пространствѣ или во времени суще-
ственно облегчаетъ образованіе числовыхъ представленій.

Такимъ образомъ, мы приходимъ къ третьему общему
выводу:
воспріятіе объектовъ, образующихъ группы въ простран-
стве или во времени, значительно облегчаетъ развитіе чи-
словыхъ представленій.
Необходимыми предпосылками возникновенія числовыхъ
представленій являются, слѣдовательно, анализъ и синтезъ;
ученикъ долженъ умѣть различать въ совокупности вещей,
воспринимаемой сперва недостаточно опредѣленно,ц каждую
отдѣльную вещь: представленіе числа должно быть отчет-
ливымъ; но онъ долженъ также умѣть воспринимать от-
дѣльныя вещи, какъ нѣчто цѣлое, какъ нѣкоторую опре-
дѣленную совокупность: представленіе числа должно быть
яснымъ. Образованіе же отчетливыхъ и ясныхъ числовыхъ
представленій происходитъ легче всего въ томъ случаѣ, когда
воспринимаемые объекты однородны, легко различимы и рас-
положены группами. Отсюда мы должны заключить, что чи-
словыя представленія образуются естественнымъ путемъ изъ
созерцанія однородныхъ, легко различимыхъ и расположен-
ныхъ группами объектовъ. Въ образованіи и развитіи ихъ
участвуютъ не только чувство зрѣнія, но и чувства осяза-
нія и слуха, послѣднее, правда, въ нѣсколько меньшей
степени (ср. стр. 118 и 185).
Въ исторіи первоначальнаго преподаванія ариѳметики
мы часто встрѣчались съ терминами: наблюденіе числа, пред-
ставленіе и понятіе числа, абстракція и т. д. Очень часто
съ этими выраженіями связываютъ совершенно невѣрныя
представленія, которыя только вредятъ первоначальному
преподаванію и направляютъ его на совершенно ложный
путь. Въ самомъ дѣлѣ, всякій учитель, махнувшій рукой
на «теорію», все же пользуется на практикѣ какими-ни-
будь теоретическими положеніями, хотя и не замѣчая этого
и не думая, что его собственная «теорія» можетъ быть совер-

шенно неправильной. Обратимся прежде всего къ термину:
числовое представленіе.
Объекты, служащіе нагляднымъ пособіемъ, возбужда-
ютъ какъ оконечности нервовъ созерцающаго глаза и ощу-
пывающей руки,такъ почти одновременно съ этимъ и нерв-
ныя клѣтки области зрѣнія и осязанія коры большого го-
ловного мозга. Возбужденіе нервовъ большого головного
мозга, которое надо разсматривать, какъ перемѣщеніе мо-
лекулъ, можно назвать съ точки зрѣнія физіологіи ощуще-
ніемъ. Съ точки же зрѣнія психологіи—ощущеніе есть из-
мѣненіе, происходящее въ сознаніи и сопровождающее ука-
занныя молекулярныя перемѣщенія мозговыхъ клѣтокъ. Но
органы чувствъ—глазъ, рука, приспособляясь къ раздра-
женію, производятъ движенія, а эти движенія порождаютъ,
въ свою очередь, двигательный ощущенія, возникающія въ
опредѣленныхъ мѣстахъ большого головного мозга. Дви-
гательныя ощущенія глаза, пальцы и руки связываются по
средствомъ нитей нервовъ со зрительными и осязательными
ощущеніями. Такимъ образомъ, каждый комплексъ ощуще-
ній, который соотвѣтствуетъ всѣмъ или нѣкоторымъ свой-
ствамъ данной вещи и который называется воспріятіемъ или
наблюденіемъ, заключаетъ въ себѣ и двигательный ощуще-
нія. Измѣненіе, остающееся послѣ состоянія ощущенія, на-
зывается представленіемъ, воспоминаніемъ. Такимъ обра-
зомъ, всякое представленіе содержитъ въ себѣ, какъ соста-
вную частъ, и двигательныя представленія. Такъ какъ дви-
женія глазъ и пальцевъ при воспріятіи квадратныхъ число-
выхъ фигуръ весьма характерны и такъ какъ присутствіе
двигательныхъ представленій въ комплексѣ ощущеній и
представленій сильно укрѣпляетъ память, то двигательныя
представленія принимаютъ видное участіе въ образованіи
числовыхъ представленій. Ср. стр. 109, 111, 114, 127.
Тотъ же фактъ, что движенія могутъ быть заучены и
войти въ привычку, доказываетъ, что двигательныя ощу-

щенія и представленія сопровождаются параллельными
физіологическими процессами,—физіологически оставляютъ
въ мозгу молекулярныя измѣненія, какъ бы слѣды.
Психологи старой школы, многіе педагоги и большая
часть методистовъ, съ ученіями которыхъ мы познакоми-
лись, считаютъ, что между представленіемъ и чувственнымъ
впечатлѣніемъ, т.-е. комплексомъ ощущеній, существуетъ
большая разница. Если воспріятіе можно уподобить ори-
гиналу, то представленіе, по ихъ мнѣнію, можно сравнить
только съ безжизненной фотографіей. Что же касается при-
знанія существованія двигательныхъ представленій и выдаю-
щейся роли послѣднихъ въ дидактикѣ, то до появленія
нашихъ руководствъ къ преподаванію ариѳметики и право-
писанія оно совершенно отсутствовало въ сочиненіяхъ по
педагогикѣ и методикѣ.
Итакъ: въ ясномъ и отчетливомъ представленіи числа
воспроизводятся тѣ сенсорные и моторные процессы, кото-
рые входили въ составъ воспріятія, лежали въ основѣ его.
Еще болѣе неудовлетворительными, чѣмъ взгляды на
сущность числовыхъ представленій, являются взгляды ста-
рыхъ и многихъ новыхъ методистовъ на сущность абстракціи.
Согласно со старой теоріей абстракціи, понятіе собаки
образуется благодаря тому, что мы подмѣчаемъ признаки,
присущіе всѣмъ отдѣльнымъ существамъ, носящимъ названіе
собаки, отвлекаемся отъ всѣхъ измѣняющихся признаковъ—
цвѣта, величины и т. д. и соединяемъ подмѣченные признаки
въ новое представленіе или понятіе собаки. Процессъ этотъ мо-
жетъ происходить только при наличности особой силы—
«способности къ абстракціи», существованіе которой и надо
было признать. Теорія эта, однако, ошибочна; въ этомъ
насъ можетъ убѣдить слѣдующее простое размышленіе. Го-
воря о собакѣ, мы представляемъ себѣ не собаку вообще,
а только собаку опредѣленной формы, величины и т. д.;
точно такъ же, говоря о плодахъ, мы представляемъ себѣ

не плоды вообще, а только яблоки, груши и т. д., совер-
шенно подобно тому, какъ и въ пищу мы употребляемъ
не плоды вообще, а только яблоки, груши и пр. Процессъ
абстракціи, какъ это недавно показалъ Гэфдингъ (Hoffding),
надо понимать совершенно иначе. Мы обладаемъ способ-
ностью выдѣлять въ совокупномъ представленіи даннаго
объекта, примѣняемаго въ качествѣ примѣра или предста-
вителя, нѣкоторыя опредѣленныя частичныя представленія
или признаки, выдвигая ихъ путемъ вниманія на свѣтлый
передній планъ поля зрѣнія и отодвигая другіе признаки,
не нужные почему-либо для данной цѣли,—на темный
задній планъ. Абстракціи, такимъ образомъ, вовсе не есть
какая-то особая сила; она заключается въ существенныхъ
чертахъ въ томъ, что вниманіе обращается на опредѣлен-
ныя качества или соотношенія, понятіе же пріобрѣтается
на одномъ (типическомъ объектѣ), а отнюдь не созидается,
какъ нѣчто совершенно новое, изъ отдѣльныхъ представле-
ній, обусловленныхъ многими объектами. Единицы, выдѣ-
ленныя изъ общаго представленія типа (напр., квадратной
числовой фигуры, содержащей 6 бѣлыхъ круглыхъ шаровъ),
могутъ быть соединены, связаны въ одно общее предста-
вленіе или понятіе посредствомъ слова, т.-е. представленія
движенія органовъ рѣчи для звукового образа, письмен-
наго образа (цифры) 6. Благодаря словесному обозначенію,
понятіе пріобрѣтаетъ нѣкоторую самостоятельность, нѣко-
торую опору, препятствующую сложившемуся представле-
нію (шести существующихъ объектовъ) снова раствориться
въ общемъ представленіи шаровъ, обладающихъ опредѣлен-
ными свойствами. Благодаря слову содержаніе, понятіе ста-
новится яснымъ, отчетливымъ и неизмѣняющимся, несмотря
на различіе въ тѣхъ комбинаціяхъ, въ которыя оно входитъ.
Многіе методисты и учителя, въ особенности же слѣпые
эмпирики, презрительно отзывающееся о теоріи, примѣ-
няютъ на дѣлѣ устарѣлую теорію абстракціи. Такъ, число

4 они стремятся сдѣлать нагляднымъ, демонстрируя одно-
временно 4 пальца, 4 шара, 4 штриха, 4 точки, 4 пальца на
ногѣ птицы, 4 крыла бабочки, 4 птенца, 4-лопастный листъ
и т. д., и т. д.; они думаютъ при этомъ, что если отрицательно
«отвлечься» отъ пальцевъ, шаровъ, крыльевъ, птенцовъ и
т. д., то останется только «чистое понятіе числа» (ср. стр. 73).
Это неправильно, такъ какъ понятіе числа является не
родовымъ понятіемъ, а понятіемъ соотношенія, функціей,
дѣятельностью, постулированіемъ и соединеніемъ отдѣль-
ныхъ постуляцій; къ этому вопросу мы еще вернемся въ
дальнѣйшемъ.
Мы уже доказали, что однородныя тѣла, обладающій
возможно малымъ количествомъ признаковъ, наиболѣе при-
способлены къ созданію числовыхъ представленій, а слѣ-
довательно, и числовыхъ понятій, и что для этого созданія
вполнѣ достаточно примѣнять только одинъ типъ,—лучше
всего квадратныя числовыя фигуры. Разнородныя нагляд-
ным пособія совершенно безполезны и даже вредны. Дѣй-
ствительно, если отъ словеснаго или символическаго число-
вого представленія надо снова перейти къ отчетливому и
содержательному числовому представленію, то между раз-
нородными представленіями завязывается борьба за пре-
имущество, ведущая къ путаницѣ и проволочкѣ. Если двух-
лѣтній ребенокъ умѣетъ распространять слово «папа», съ
которымъ онъ связываетъ общее понятіе, на каждаго взро-
слаго мужчину, то шестилѣтній ученикъ отлично сознаетъ,
что мѣсто шаровъ или косточекъ его счетнаго прибора мо-
гутъ занять яблоки, орѣхи, пальцы, кубики и т. д. Шести-
лѣтній ребенокъ обладаетъ представленіемъ 1, ничего,
много; онъ уже имѣетъ нѣкоторое, хотя и мало опредѣлен-
ное понятіе числа и можетъ примѣнять на дѣлѣ функцію
его, т.-е. постулированіе. Такимъ образомъ, предпосылкой
возникновенія понятія числа являются апперцепція и внима-
ніе, потому что они дѣлаютъ возможнымъ одновременное

постулированы- совокупности и отдѣльныхъ единицъ, т.-с.
разложеніе сложной единицы на простѣйшія единицы, а
также совокупное воспріятіе этихъ послѣднихъ, какъ одной
первой.
17. О сущности понятія числа.
а) Наглядныя числовыя представленія.
Познакомившись съ условіями возникновенія числовыхъ
представленій и понятія числа, а также съ внѣшней сторо-
ной этого процесса возникновенія, мы можемъ перейти къ
изученію вопроса о «сущности» или «природѣ» числовыхъ
представленій и понятія числа, на который были даны
весьма разнорѣчивые отвѣты. Вопросъ о возникновеніи чис-
ловыхъ представленій имѣетъ, какъ мы уже видѣли, гро-
мадное значеніе для каждаго учителя; но почти такое же
значеніе имѣетъ и вопросъ о сущности числовыхъ предста-
вленій, такъ какъ тотъ или иной отвѣтъ на этотъ вопросъ
оказываетъ существенное вліяніе на направленіе первона-
чальнаго преподаванія ариѳметики.
На основаніи вышеизложеннаго мы можемъ сдѣлать слѣ-
дующее заключеніе: такъ какъ числовыя представленія раз-
виваются при воспріятіи вещей, находящихся въ простран-
ствѣ или во времени, такъ какъ всѣ вещи безъ исключенія
могутъ быть восприняты численно; такъ какъ, далѣе, всѣ
вещи существуютъ въ нашемъ сознаніи какъ представленія,
а всѣ представленія суть не что иное, какъ раздраженія
органовъ чувствъ и вообще нервной системы; такъ какъ,
затѣмъ, предпосылкой представленій являются ощущенія и
такъ какъ, наконецъ, эти ощущенія могутъ быть восприняты
численно, то существеннымъ элементомъ числовыхъ предста-
вленій является актъ апперцепціи ощущенія и представленія.
Ранѣе мы доказали (стр. 199), что ощущеніе возникаетъ
только въ томъ случаѣ, если уже имѣется нѣкоторое дру-

гое ощущеніе, хотя бы ощущеніе собственнаго возбужденія
органа чувствъ. Возбужденіе, которое должно существо-
вать, чтобы получилось ощущеніе второго возбужденія,
соотвѣтствуетъ апперципирующему представленію, посред-
ствомъ котораго и послѣ котораго составляется сужденіе
о второмъ представленіи. Сознаніе ощущенія заключаетъ
въ себѣ нѣчто большее, чѣмъ простое обладаніе ощущеніемъ
или пріобрѣтеніе его: оно заключаетъ въ себѣ признаніе
вещи, увѣренность въ томъ, что вещь существуетъ. Про-
цессъ ощущенія есть актъ апперцепціи и, какъ таковой,
содержитъ въ себѣ первоначальное, основное сужденіе, явля-
ющееся главной составной частью всякаго сужденія, т.-е.
утвержденіе: это есть, это справедливо, это существуетъ г).
Въ созданіи числовыхъ представленій могутъ принимать
участіе и совершенно не реальныя вещи; послѣднія также
могутъ признаваться сознаніемъ существующими, противо-
положными нашему «я». Такимъ образомъ, понятіе числа
могло бы возникнуть и при полномъ отсутствіи вещей во
внѣшнемъ мірѣ.
Общей составной частью какъ однородныхъ, такъ и со-
вершенно разнородныхъ комплексовъ ощущеній (напр., 4
одинаковыхъ свѣтлыхъ точекъ или 4 вещей: локомотивъ,
терпѣніе, чудовище, искра), является сознаніе: 1) постуля-
ціи, бытія, существованія отдѣльныхъ вещей и 2) совокуп-
наго воспріятія отдѣльныхъ постуляціи. Элементъ созна-
тельной постуляціи долженъ, такимъ образомъ, составлять
существенную часть представленія единицы или, вообще,
понятія числа.
Поэтому смыслъ и сущность даннаго определенного числа
заключается въ представленіи (по единицамъ) определенного
сосуществованія или определенной последовательности.
l) Ср. Riehl, Der philos. Kriticismus. 1879. II. S. 43.

Этимъ объясняется, какимъ образомъ ребенокъ 4,г/2 лѣтъ
могъ совершенно самостоятельно притти къ заключенію,
что «часы и лампа—это два» (ср. стр. 39).
Многіе методисты и учителя продолжаютъ, однако, счи-
тать понятіе числа родовымъ понятіемъ. Объяснить это можно
только полнымъ незнакомствомъ съ теоріей познанія или
пренебреженіемъ совершенно очевидными фактами. Въ са-
момъ дѣлѣ, родовое понятіе характеризуется тѣмъ, что при
созданіи его отвлекаются отъ всѣхъ отдѣльныхъ вещей,
входящихъ въ кругъ этого понятія, тогда какъ при созда-
ніи понятія числа какъ разъ эти отдѣльныя вещи, эти еди-
ницы, совершенно точно передаются понятіемъ. Пониманіе
сущности величины, правильности пріемовъ сложенія и
умноженія, пониманіе того, что представляетъ собою тре-
угольникъ или эллипсъ, наконецъ, пониманіе правильно-
сти геометрической теоремы, вовсе не обусловливается тѣмъ,
что для созданія понятія числа 3 было показано большое
количество различныхъ предметовъ (3 шара, 3 боба, 3 ка-
мешка и т. д.), а для созданія понятія треугольника воз-
можно большое число треугольниковъ; точно такъ же поня-
тіе сложенія и умноженія и сознаніе правильности той
или иной геометрической теоремы пріобрѣтены вовсе не
путемъ «индукціи» и абстракціи на многихъ примѣрахъ.
Математическое сознаніе и увѣренность апріорны, т.-е. не
зависятъ отъ наблюденія и опыта и существованія вещей
внѣ насъ; наблюденіе и опытъ даютъ только побужденіе
къ пріобрѣтенію числовыхъ и геометрическихъ понятій;
послѣднія являются построеніями нашего разума. Всякій
разъ, когда мы ясно и отчетливо представляемъ себѣ по-
нятіе числа, мы создаемъ его, конструируемъ, изображаемъ
его въ памяти. Понятіе числа—это законъ построенія, нѣ-
который процессъ, который долженъ протекать всегда
строго одинаково. Понятіе четырехъ, напримѣръ, есть всегда
постуляція четырехъ, которая должна быть легко пріобрѣ-

таема на квадратной числовой фигурѣ :: или изъ ритмиче-
скаго звукового рода .. .. ; въ первомъ случаѣ—одновре-
меннымъ постулированіемъ группы (безъ счета въ обыч-
номъ смыслѣ. этого слова), а во второмъ—послѣдователь-
нымъ постулированіемъ единицъ (сопровождаемымъ сче-
томъ). Поэтому утвержденіе нѣкоторыхъ методистовъ и пе-
дагоговъ, что первоначальныя числовыя понятія пріобрѣ-
таются дѣтьми путемъ послѣдовательнаго счета объектовъ
ряда, является, съ точки зрѣнія психологіи, предразсуд-
комъ, одностороннимъ, схематическимъ догматизмомъ, про-
тиворѣчащимъ фактамъ и вредно вліяющимъ на практику
преподаванія. Этому не противорѣчитъ и то обстоятель-
ство, что поводомъ къ приведенному утвержденію является
логически вѣрное построеніе математиковъ, о которомъ мы
много говорили выше.
Такимъ образомъ, Вилькъ, Шмитъ, Герляхъ и другіе
современные методисты совершаютъ тяжелую, по своимъ
послѣдствіямъ, методическую ошибку, когда понятіе числа
они представляютъ себѣ и трактуютъ, какъ родовое поня-
тіе. Если бы понятіе «три» выводилось путемъ «абстракціи»
изъ 3 яблокъ, 3 шаровъ, 3 камешковъ, то, но справедли-
вому ироническому замѣчанію проф. Фогта (Vogt), и по-
нятіе «Иванъ» могло бы быть выведено хотя бы изъ слѣдую-
щихъ вещей: Иванъ—чай, диванъ, Ливанъ. Число вовсе
не является свойствомъ, присущимъ вещамъ какъ хотя бы
цвѣтъ, форма, твердость и тому подобное; оно совершенно
не можетъ быть получено изъ нихъ «путемъ абстракціи».
Если бы понятіе числа, напримѣръ, 8, было родовымъ по-
нятіемъ, то въ немъ нельзя бы было имѣть всего его объема,
всей совокупности 8 отдѣльныхъ единицъ. Сущность и пре-
имущества родового понятія заключаются именно въ томъ,
что, оперируя съ нимъ, можно совершенно отрѣшиться отъ
представленія всего его содержанія; такъ, оперируя съ
понятіемъ «собака», можно вовсе не думать о совокупности

индивидуумовъ этого рода. И наоборотъ, сущностью яснаго
и отчетливаго представленія числа 8, напримѣръ, является
необходимость думать о всѣхъ 8 единицахъ, а если возможно,
то и представлять ихъ себѣ. Такимъ образомъ, понятіе числа
является не родовымъ понятіемъ, а какъ подобіе,различіе,
причинность, сродство—понятіемъ соотношенія. Но что
представляютъ собой соотношенія? Конечно, это не каче-
ства, свойства или признаки сравниваемыхъ вещей. Если
бы они были ими, то мы должны бы были воспринимать ихъ,
какъ и числа, вмѣстѣ съ воспріятіемъ вещей и представлять
ихъ себѣ вмѣстѣ съ представленіемъ вещей. Этого, однако,
нѣтъ: я могу воспринять и представить себѣ созвѣздіе или
группу деревьевъ, не сознавая числа звѣздъ или деревьевъ.
Для понятія соотношенія весьма существенно то,что мы пре-
красно различаемъ воспріятіе и представленіе, съ одной
стороны, и самый предметъ, вещь, съ другой А). Предметъ
есть не воспріятіе, а нѣчто, продуманное при воспріятіи;
не представленіе, а нѣчто представленное: воспринятый фи-
зическій треугольникъ, начерченный мѣломъ на доскѣ, не
предметъ, не математическій треугольникъ, къ которому
приложимы математическія доказательства, точно такъ же,
какъ неясное представленіе даннаго лица вовсе не есть то,
что я думаю о немъ, т.-е. то, что я въ свое время воспринялъ.
Но при воспріятіи и апперцепціи предметы могутъ находить-
ся по отношенію ко мнѣ въ раз личныхъ, соотношеніяхъ; рав-
нымъ образомъ, моя апперцепція можетъ поставить эти
предметы въ тѣ или иныя соотношенія. Соотношенія, та-
кимъ образомъ, порождаются апперцепціей. Но апперцеп-
ція состоитъ въ томъ, что предметъ обращаетъ на себя вни-
маніе, выдѣляется изъ другихъ явленій моего мгновеннаго
состоянія. При этомъ онъ выступаетъ въ моемъ сознаніи,
какъ нѣчто чуждое; онъ имѣетъ собственное значеніе, ко-
1) Сравн. Lipps, Einheiten und Relationen, Leipzig, 1902.

торое не зависитъ отъ моего случайнаго взгляда на него; онъ
требуетъ вниманія, признанія, постулированія его. Ребенокъ
видитъ нѣсколько крашеныхъ пасхальныхъ яицъ на та-
релкѣ. Онъ воспринимаетъ хотя бы 3 красныхъ яичка, какъ
одно цѣлое, какъ единицу. Однако, на ряду съ этимъ, онъ
можетъ воспринять (апперципировать) и каждое изъ нихъ
въ отдѣльности, какъ единицу, такъ что у него создается
представленіе сложной единицы (трехъ), состоящей изъ трехъ
простыхъ (единицъ). Такъ возникаетъ представленіе числа.
Психологическій смыслъ простой и сложной единицы за-
ключается въ сознаніи простого или сложнаго акта аппер-
цепціи. Въ случаѣ простой единицы (числа «одинъ») воспри-
нимается только отношеніе предмета лично ко мнѣ, въ слу-
чаѣ же сложной единицы (напр., чиселъ 2, 3, 4 и т. д.)—отно-
шеніе предметовъ (единицъ) между собой и отношеніе цѣ-
лаго (количества) ко мнѣ. Поводомъ къ этимъ актамъ аппер-
цепціи является нѣчто, независящее отъ мгновеннаго со-
стоянія моего сознанія, нѣчто чуждое, постулированное,
требующее отъ меня признанія своего существованія и,
дѣйствительно, постулируемое мною, признаваемое при чи-
сленномъ воспріятіи. Понятіе числа заключается, такимъ
образомъ, въ сознаніи отдѣльныхъ постуляціи и совокуп-
ности ихъ, въ сознаніи отдѣльныхъ актовъ апперцепціи и
ихъ совокупности. Необходимой же предпосылкой этихъ
актовъ является наличность различія между вещами и воз-
можность ихъ отличить одну отъ другой.
Если понятіе числа 4, напримѣръ, пріобрѣтено учащимся
подъ методическимъ руководствомъ преподавателя путемъ
наблюденія, представленія и изображенія (для чего онъ
могъ прибѣгать хотя бы къ построенію квадратной число-
вой фигуры изъ 4 произвольно расположенныхъ кнопокъ),
то, какъ показываютъ наблюденія надъ дѣтьми и школь-
ные опыты, этотъ учащійся можетъ примѣнить понятіе числа
4 къ любымъ предметамъ, хотя оно было пріобрѣтено только

на одномъ наглядномъ пособіи; кромѣ того, если понятія
2 и 3 предварительно восприняты имъ достаточно отчетливо,
то онъ можетъ сейчасъ же вывести изъ понятія числа 4 та-
кія заключенія, какъ 3+1=4, 2+2=4, 4—3=1 и т. д. Онъ
легко понимаетъ, что эти послѣднія распространяются на
яблоки, пальцы, лошадей, дома и т. д., словомъ, на всѣ
предметы, если только ему съ самаго начала было указано,
что мѣсто шаровъ или кнопокъ счетнаго аппарата могутъ
занять любые другіе предметы. Первобытные народы также
пользуются счетными пособіями въ видѣ камешковъ, ра-
ковинъ и проч., замѣняя ими овецъ и быковъ. Такъ какъ
въ природѣ не встрѣчается естественныхъ наглядныхъ по-
собій, которыя могли бы облегчить созданіе ясныхъ, отчет-
ливыхъ и единообразныхъ числовыхъ представленій, то при-
ходится прибѣгать къ созданію «искусственнаго пособія»
(Песталоцци), удовлетворяющаго тѣмъ требованіямъ, ко-
торыя можно предъявить къ нему на основаніи дидактиче-
скихъ опытовъ, практическихъ наблюденій и изслѣдованій
въ области дѣтской психологіи.
Такова, въ общихъ чертахъ, наша теорія сущности числа,
основанная на рядѣ нашихъ опытовъ. Чтобы испытать
справедливость ея, мы попробуемъ теперь объяснить при
помощи ея цѣлый рядъ явленій, съ которыми намъ при-
шлось встрѣтиться. И мы увидимъ на нѣсколькихъ при-
мѣрахъ, важныхъ для методики, что наша теорія, дѣйстви-
тельно, способна освѣтить многіе спорные вопросы.
Сущность числа лежитъ въ актѣ апперцепціи, который
постулируетъ предметы, признаетъ ихъ существованіе. Уве-
ренность въ существованіи дается наблюденіемъ предметовъ,
расположенныхъ въ видѣ ряда или группы. Отсюда слѣ-
дуетъ: то, что способствуетъ апперцепціи отдельно су-
ществующихъ вещей или совокупности ихъ, способствуетъ и
возникновенію числовыхъ представленій] чемъ отчетливее,
яснее и живее наблюденіе вещей, тѣмъ отчетливее, яснее

и живѣе и опирающіяся на пего числовыя представле-
нія. Само собою разумѣется, что этимъ мы не хотимъ ска-
зать, будто числовое представленіе есть ощущеніе, воспрія-
тіе. Оно является въ гораздо большей степени продуктомъ
умственной дѣятельности, возникающимъ благодаря ана-
лизу, синтезу и сужденію. Однако, воспріятія могутъ быть
такими, что умственный процессъ образованія числа бу-
дет7> протекать интенсивнѣе и со значительно меньшими
затрудненіями.
Опыты показали намъ, что естественное расположеніе
вещей и психологически правильныя окраска, величина и
взаимное разстояніе ихъ существенно облегчаютъ воспрія-
тіе объектовъ; поэтому примѣненіе квадратныхъ числовыхъ
фигуръ необходимо должно способствовать и дѣйствительно
способствуетъ, какъ это доказали наши опыты, быстрому
и легкому пріобрѣтенію отчетливыхъ и надежныхъ число-
выхъ представленій.
Достиженіе яснаго и отчетливаго представленія пред-
полагаетъ, однако, извѣстную душевную зрѣлость; ребе-
нокъ долженъ умѣть различать и запоминать особенности
цѣлаго, а кромѣ того, онъ долженъ обладать способностью
отвлекаться отъ нѣкоторыхъ опредѣленныхъ особенностей
и выдѣлять по произволу другія особенности. Поэтому и
возникновеніе числовыхъ представленій возможно только
тогда, когда ребенокъ уже обладаетъ этими способностями;
обыкновенно онѣ начинаютъ проявляться у дѣтей на
третьемъ году жизни.
Въ природѣ не встрѣчается такихъ вещей, которыя удо-
влетворяли бы одновременно всѣмъ требованіямъ относи-
тельно расположенія, разстоянія, окраски и т. д.; между
тѣмъ удовлетвореніе этихъ требованій имѣетъ громадное
значеніе для облегченія воспріятія вещей, а стало-быть, и
образованія числовыхъ представленій. Поэтому искусство,
должно прійти на помощь природѣ, создавъ такіе приборы,

которые удовлетворяли бы одновременно всѣмъ предъявлен-
нымъ требованіямъ и основывались на извѣстныхъ психо-
логическихъ данныхъ, добытыхъ путемъ опытовъ.
Мы нашли, что аппараты, построенные по принципу ря-
довъ, приводятъ къ отчетливымъ представленіямъ чиселъ
1, 2 и 3, тогда какъ при примѣненіи квадратныхъ число-
выхъ фигуръ возможно пріобрѣтеніе отчетливыхъ число-
выхъ представленій не только всѣхъ чиселъ перваго де-
сятка, лежащихъ въ основѣ ариѳметики, но и большихъ чи-
селъ. Отсутствіе отчетливыхъ и наглядныхъ представленій
чиселъ перваго десятка и слѣдованіе невѣрной теоріи аб-
стракціи привели многихъ методистовъ къ неправильнымъ
взглядамъ на сущность числовыхъ представленій, къ не-
правильнымъ пріемамъ обученія, къ употребленію негод-
ныхъ учебныхъ пособій, а также и къ ложнымъ воззрѣніямъ
на увѣренность въ справедливости всѣхъ дѣйствій надъ
числами перваго десятка, которая необходимо должна при-
сутствовать у учениковъ, такъ какъ эти элементарныя дѣй-
ствія служатъ фундаментомъ всей ариѳметики.
Апперцепція заключаетъ въ себѣ сужденіе, утвержде-
ніе: «это есть», или «это справедливо», и одновременно съ
этимъ чувство уверенности, убѣжденія. Признаніе суще-
ствованія и чувство увѣренности, которыя возникаютъ вмѣ-
стѣ съ ощущеніемъ, сохраняются и при всѣхъ соединеніяхъ
ощущенія и представленія его со всѣми другими предста-
вленіями. «Можно утверждать, что даже при наиболѣе аб-
страктныхъ сужденіяхъ убѣжденіе слѣдуетъ за ощуще-
ніемъ. Если этого нетъ, то сужденія являются только
пустыми утвержденіями» *). Такимъ образомъ, необходимо,
чтобы всякое сужденіе могло быть разложено на предста-
вленіе взаимнаго отношенія понятій и увѣренности, что
Riehl, Der philosophische Kriticismus und seine Bedeutung
für die positive Wissenschaft, II, стр. 45.

это отношеніе не только просто постижимо, но и основано
на ощущеніяхъ. Познаніе какъ бы вращается около двухъ
полюсовъ достовѣрности—достовѣрности ощущенія и до-
стовѣрности законовъ мышленія, которая дается логиче-
скимъ вѣрнымъ мышленіемъ. Мышленіе само по себѣ даетъ
только формальную увѣренность; ощущеніе, которое было
первоначально связано съ актомъ мышленія, даетъ вмѣстѣ
съ тѣмъ и матеріальную увѣренность; послѣдняя же всегда
должна быть налицо.
Если первоначальное преподаваніе ариѳметики осно-
вывается на примѣненіи рядовъ, то ясныя, отчетливыя пред-
ставленія чиселъ выше трехъ уже не могутъ сложиться;
числа, надъ которыми выполняются дѣйствія, и резуль-
таты дѣйствій также не могутъ быть получены путемъ непо-
средственнаго созерцанія. Числовыя представленія явля-
ются въ этомъ случаѣ исключительно представленіями чис-
лительныхъ и выражающихъ ихъ знаковъ, т.-е. цифръ.
Названія чиселъ, являющихся результатомъ дѣйствій, на-
ходятся, въ этомъ случаѣ, путемъ счета; счетъ же совер-
шенно не можетъ породить отчетливаго наблюденія и пред-
ставленія числа. При такомъ методѣ преподаванія, опи-
рающемся на логическіе выводы, дѣти чувствуютъ подавлен-
ность. Очевидность даннаго факта, увѣренность въ ощуще-
ніи, т.-е. истинная увѣренность, отсутствуютъ вовсе.
Если же при преподаваніи примѣняются квадратныя
числовыя фигуры, то ученики пріобрѣтаютъ совершенно
отчетливыя представленія числовыхъ фигуръ, а эти нагляд-
ный содержательныя числовыя представленія порождаютъ
увѣренность въ ощущеніи, чувственное убѣжденіе. Чувство
же убѣжденія, увѣренность въ ощущеніи поднимаютъ духъ
учениковъ, пробуждаютъ въ нихъ стараніе, удовольствіе и
склонность къ занятіямъ. Поэтому не только преподаваніе
ариѳметики, а и вообще всякое преподаваніе должно
быть жизненнымъ, должно опираться на ощущенія. Слѣ-

дуетъ, однако, помнить, что не всякая попытка сдѣлать
предметъ нагляднымъ влечетъ за собой и дѣйствительно
отчетливыя знанія.
Мы нашли, что квадратныя числовыя фигуры являются
лучшимъ пособіемъ для созданія отчетливыхъ числовыхъ
представленій и числовыхъ понятій. Въ то время какъ при-
мѣненіе рядовъ приводитъ къ расплывчатомъ, неопредѣ-
леннымъ и безсодержательнымъ числовымъ представленіямъ
и дѣйствіямъ надъ числами, примѣненіе квадратныхъ чис-
ловыхъ фигуръ влечетъ за собою пріобрѣтеніе ясныхъ,
отчетливыхъ и содержательныхъ числовыхъ представле-
ній и дѣйствій надъ числами, сопровождаемыхъ полной
логической и матеріальной увѣренностью.
b) Отвлеченныя числовыя представленія.
До сихъ поръ мы говорили только о представленіи чи-
селъ перваго десятка. Теперь мы перейдемъ къ вопросу,
какимъ образомъ слагаются представленія такихъ чиселъ,
которыя не могутъ быть отчетливо восприняты, т.-е. пред-
ставленія чиселъ, превышающихъ, вообще говоря, 10 и 100.
Мы полагаемъ, что они образуются благодаря ясному пони-
манію нашей цифровой и числовой системы, путемъ мы-
шленія, опирающагося на ясныя и отчетливыя представле-
нія основныхъ чиселъ.
Если числовыя представленія пріобрѣтены только пу-
темъ счета, т.-е. присчитыванія и отсчитыванія по устано-
вленному числовому ряду, при которомъ совершенно не
было обращено вниманія на группированіе по десятичной
системѣ, то въ основѣ этихъ числовыхъ представленій мо-
жетъ лежать только расплывчатое представленіе неопре-
дѣленнаго количества или (если при обученіи примѣнялись
ряды объектовъ и ряды числительныхъ) представленіе при-
близительная мѣстонахожденія объекта въ пространствѣ и

представленіе того мѣста ряда числительныхъ, до котораго
простирается частичный рядъ. Въ послѣднемъ случаѣ мы
имѣемъ, слѣдовательно, дѣло съ совершенно такимъ же по-
ложеніемъ вещей, какое встрѣтилось намъ при изученіи
символическихъ представленій чиселъ перваго десятка,
пріобрѣтенныхъ путемъ счета и рядовъ. Неясное предста-
вленіе неопредѣленнаго количества или приблизительная
мѣста въ рядѣ служитъ опорой словеснаго представленія
числа, т.-е. представленія имени числительнаго. Счисленіе
же въ дѣйствительномъ смыслѣ этого слова оказывается
невозможнымъ, такъ какъ числительныя, выражающія ре-
зультатъ, находятся совершенно механически посредствомъ
счета, подобно тому, какъ это и сейчасъ еще происходитъ
у многихъ малокультурныхъ племенъ (см. стр. 24 и далѣе).
Если же преподаваніе счисленія опирается на группи-
рованіе по десятичной системѣ, то представленіе числа, какъ
представленіе совокупности, содержитъ въ себѣ два или
болѣе частичныхъ представленія, напримѣръ, 37=5 де-
сяткамъ+7 единицъ, 849 =8 сотнямъ+4 десятка+9 еди-
ницъ. Эти частичныя представленія содержатъ, какъ глав-
ныя составныя части: 1) представленія основныхъ чиселъ
(3, 7, 8, 4, 9) и 2) представленіе разряда числа, порядка
числовой системы. Этимъ достигается громадная выгода:
только теперь становится возможнымъ счисленіе, которое
къ тому же сразу сводится къ оперированію надъ числами
перваго десятка, такъ какъ единицы, десятки, сотни и т. д.
можно разсматривать, какъ сорта. Надъ 8 сотнями, 4 де-
сятками и 9 единицами можно оперировать совершенно
такъ же, какъ надъ 8 шарами, 4 яблоками и 9 орѣхами. Та-
кимъ образомъ, всѣ представленія чиселъ, превышающихъ
10, содержатъ въ себѣ представленія чиселъ перваго де-
сятка, являющіяся поэтому фундаментомъ всей ариѳметики.
Поэтому, если представленія основныхъ чиселъ отчетливы,
ясны, живы и сопровождаются чувствомъ матеріальной увѣ-

ренности, то тѣми же свойствами обладаютъ представле-
нія и всѣхъ большихъ чиселъ; если же представленія чиселъ
перваго десятка являются только расплывчатыми и неопре-
дѣленными, не сопровождающимися живымъ чувствомъ ма-
теріальной увѣренности, то и представленія всѣхъ чиселъ,
превышающихъ 10, страдаютъ тѣми же недостатками.
Такимъ образомъ, мы снова убѣждаемся въ томъ, что
построеніе нагляднаго пособія, основаннаго на данныхъ
многочисленныхъ психологическихъ экспериментовъ и удо-
влетворяющаго всѣмъ психологическимъ условіямъ возни-
кновенія ясныхъ и отчетливыхъ представленій чиселъ пер-
ваго десятка,—оказываетъ, дѣйствительно, существенную
услугу дѣлу преподаванія ариѳметики.
Естественныя и методическія упражненія въ предста-
вленіи чиселъ, а также въ сложеніи, вычитаніи, умноженіи
и дѣленіи (таблица умноженія), въ предѣлахъ первой
сотни—способствуютъ все большему выясненію и запоми-
нанію этихъ основныхъ числовыхъ представленій и дѣй-
ствій надъ числами. А такъ какъ упражненіе производится
и устное и письменное, то представленія содержанія или
понятія тѣсно соединяются съ формальными словесными
представленіями, которыя и усваиваются вмѣстѣ съ пер-
выми. Числовыя представленія въ широкомъ смыслѣ этого
слова, пріобрѣтенныя при естественномъ преподаваніи, пред-
ставляютъ собой, такимъ образомъ, комплексъ слѣдующихъ
частичныхъ представленій:
1. Предс7павленіс содержанія или понятія, которое мы
до сихъ поръ называли просто числовымъ представленіемъ.
Въ основѣ его лежитъ типическое, ясное и отчетливое пред-
ставленіе группы тѣлъ, которыя легко различаются, воспри-
нимаются и запоминаются какъ при помощи зрѣнія, такъ
и при помощи осязанія, благодаря удобному расположенію
тѣлъ, ихъ величинѣ, разстоянію, окраскѣ, однородности
и т. д. Мы видимъ, такимъ образомъ, что съ ощущеніемъ

существованія воспринимаемых!, вещей, составляющихъ
ядро числового представленія, тѣсно связана цѣлая сѣть
представленій, въ которую входятъ: представленія свѣта
и окраски, представленія движеній глаза (вызываемыя
группировкой, разстояніемъ, величиной и формой тѣлъ),
представленія формы, давленія, вѣса, теплоты, двигатель-
ный представленія руки и пальцевъ, развитый особенно у
слѣпыхъ, слѣпо-нѣмыхъ, слабоумныхъ. Въ преподаваніи
до сихъ поръ еще не обращено никакого вниманія на разли-
чія въ способности учениковъ легче воспринимать тѣ или
иныя ощущенія, какъ это было уже указано на стр. 116.
Созданіе наглядныхъ числовыхъ представленій, т.-е. та-
кихъ, въ которыхъ одновременно съ совокупностью можно
было бы съ «одного взгляда» (въ дробную часть секунды)
ясно и отчетливо различить всѣ отдѣльныя вещи въ случаѣ
чиселъ второго десятка уже невозможно. Поэтому прихо-
дится ограничиваться либо прямо двумя десятками, либо
группами, которыя важны для счисленія. Теперь начинается
абстрактное счисленіе, которое предполагаетъ пониманіе
десятичной системы и наличность понятій «единица» и «де-
сятокъ». Чтобы убѣдиться въ этомъ, достаточно представить
себѣ хотя бы такіе примѣры: 8+7, 16—9 и т. д. Такія вы-
численія должны постепенно перейти въ чисто автоматиче-
скіе акты, должны быть механизированы въ хорошемъ смы-
слѣ этого слова, путемъ упражненія, покоящагося на по-
ниманіи десятичной системы и разложеніи чиселъ.
2. Формальныя, словесныя представленія, именно: зву-
ковой образъ числительнаго, представленіе движенія ор-
гановъ рѣчи при произношеніи его, письменный образъ
(цифра) и представленія движенія при начертаній его.
Эти словесныя представленія тѣсно связаны какъ между
собой, такъ и съ представленіями понятія и оказываютъ
существенную помощь памяти. Наблюденія надъ больными,
страдающими недостатками органовъ рѣчи, наши опыты

надъ дѣтьми дѣтскаго сада и многіе другіе факты доказы-
ваютъ, что числовыя представленія, какъ и всякія другія
содержательныя представленія, могутъ существовать и
безъ словесныхъ представленій Если ряды и счетъ иг-
раютъ главную роль въ преподаваніи, то содержаніе чис-
ловыхъ представленій,—если еще о немъ можно говорить,—
совершенно расплывчато и неопредѣленно; отчетливое
различеніе содержательныхъ числовыхъ представленій
является въ этомъ случаѣ невозможнымъ. А между тѣмъ,
рѣзкое разграниченіе ихъ крайне важно, такъ какъ здѣсь
болѣе чѣмъ гдѣ-либо сказываются непріятныя послѣд-
ствія смѣшенія понятій; поэтому приходится прибѣгать
къ формальнымъ словеснымъ представленіямъ. Въ этомъ
случаѣ различіе должно обусловливаться числительными
и цифрами, которыя служатъ, такимъ образомъ, характер-
ными признаками числа. Поэтому можно сказать, что пред-
ставленіе числительнаго и цифры обращается здѣсь въ
сущность числового представленія; а это ведетъ къ без-
конечному заучиванію наизусть, къ почти непреодолимой
неувѣренности, къ постоянному смѣшенію, къ непомѣрно
высокимъ требованіямъ, предъявляемымъ къ памяти ре-
бенка, къ невѣроятно медленному движенію впередъ, къ
частымъ остановкамъ, къ недовольству многихъ учениковъ.
Заучиваніе безсодержательныхъ словъ требуетъ, какъ мы
уже не разъ указывали, почти въ 10 разъ большаго напря-
женія памяти, чѣмъ запоминаніе словъ, имѣющихъ опре-
дѣленный смыслъ.
Словесныя представленія играютъ, однако, большую
роль и у тѣхъ учениковъ, которые обладаютъ отчетли-
выми и содержательными числовыми представленіями,
если ученики эти имѣютъ уже навыкъ въ счисленіи, т.-е.
х) Поэтому утвержденіе Книллинга и др., что вмѣстѣ со счетомъ
прекращается и счисленіе, невѣрно.

когда они пользуются числовыми представленіями и пред-
ложеніями автоматически, безъ размышленія. При сло-
женіи, вычитаніи и т. д. мы часто приводимъ въ движеніе
органы рѣчи, такъ какъ мы по собственному опыту знаемъ,
что это облегчаетъ дѣйствіе и помогаетъ избѣгнуть оши-
бокъ: представленія движеній органовъ рѣчи стоятъ здѣсь,
слѣдовательно, на первомъ планѣ. Чтобы замѣтить произ-
несенное число, многіе ученики инстинктивно изображаютъ
его пальцами на партѣ, они прибѣгаютъ къ помощи дви-
гательныхъ представленій начертанія.
Если рѣчь идетъ о быстротѣ и объ экономіи времени,
то можно довольствоваться словесными представленіями
числительныхъ и цифръ, затрагивая центръ понятій лишь
въ незначительной степени, чтобы сберечь этимъ время,
которое было бы потребно для возбужденія указаннаго
центра и путей, соединяющихъ его со словесными центрами,
а это и служитъ отличительной чертой автоматичности счи-
сленія или навыка въ счисленіи. Процессъ представленія
и выполненія дѣйствій можетъ протекать автоматически.
Однако, если преподаваніе ариѳметики было нагляднымъ,
въ нашемъ смыслѣ этого слова, то символъ въ каждый дан-
ный моментъ можетъ быть замѣщенъ понятіемъ, созер-
цаніемъ, наблюденіемъ, что даетъ возможность непосред-
ственно провѣрить всѣ дѣйствія и результаты ихъ.
18. Обзоръ основныхъ результатовъ изслѣдованія.
Теперь мы ознакомились съ возникновеніемъ число-
выхъ представленій, выяснили (насколько намъ это поз-
волили результаты нашихъ опытовъ) сущность числа и,
наконецъ, изучили строеніе числовыхъ представленій при
наличности навыка въ счисленіи. Намъ остается только
выдѣлить и сопоставить наиболѣе важные изъ сдѣланныхъ
нами выводовъ.

1) По мѣрѣ развитія способности пріобрѣтать ясныя
и отчетливыя представленія предметовъ, у ребенка ра-
стетъ и способность къ воспріятію числа.
2) То, что облегчаетъ воспріятіе предметовъ: извѣстная
однородность, расположеніе, разстояніе,величина, окраска,
направленіе частей—облегчаетъ и воспріятіе числа.
3) Такъ какъ въ природѣ не встрѣчается предметовъ,
обладающихъ сразу всѣми указанными свойствами, то
человѣку приходится самому создавать наглядный посо-
бія для первоначальнаго преподаванія ариѳметики, ко-
торыя удовлетворяли бы поставленнымъ условіямъ.
4) Наглядное пособіе должно давать возможность од-
новременно воспринимать предметы не только при помощи
зрѣнія, но и при помощи осязанія.
5) Сущность числового представленія состоитъ въ вос-
пріятіи совокупности и всѣхъ содержащихся въ ней еди-
ницъ.
6) При апперцепціи, имѣющей цѣлью выработку по-
нятія числа, вниманіе обращается на существованіе ве-
щей; этому способствуетъ извѣстная однородность воспри-
нимаемыхъ предметовъ, опредѣленная величина ихъ, форма,
разстояніе и окраска, которыя могутъ быть найдены путемъ
опытовъ. Сущность же числа не зависитъ отъ расположенія
объектовъ во времени или въ пространствѣ; поэтому форма
ряда, весьма удобная для логической дедукціи при ариѳ-
метическихъ доказательствахъ, все же нисколько не вліяетъ
на сущность числа.
7) Воспріятіе предметовъ посредствомъ осязанія, а
не только зрѣнія, ведетъ къ болѣе живому и ясному со-
знанію существованія предметовъ, а, слѣдовательно, и
къ болѣе яснымъ числовымъ представленіямъ; встрѣчаемое
сопротивленіе заставляетъ насъ признать существованіе
чего-то посторонняго, различающаяся отъ насъ самихъ,
къ признанію окружающихъ насъ предметовъ; сопроти-

вленіе, встрѣчаемое раздраженіемъ въ органахъ чувствъ,
слишкомъ незначительно; сопротивленіе же движенію (при
ощупываніи) достаточно сильно, чтобы убѣдить насъ въ
существованіи предметовъ. То, что побывало въ рукахъ,
становится понятнымъ даже тѣмъ, кто обладаетъ плохими
способностями.
8) Представленіе числа, какъ и всякое другое предста-
вленіе, можно назвать яснымъ и отчетливымъ лишь въ томъ
случаѣ, если вмѣстѣ съ цѣлымъ,какъ таковымъ,воспринятъ
и каждый отдѣльный признакъ этого цѣлаго; необходимо
познать и признать существованіе не только всей совокуп-
ности вещей, но и существованіе каждой отдѣльной вещи.
9) Этому требованію лучше всего удовлетворяютъ квад-
ратный числовыя фигуры, изображаемым посредствомъ
тѣлъ; наглядный пособія, построенныя по принципу ря-
довъ, этому требованію удовлетворить не могутъ, такъ какъ
при начальномъ преподаваніи ариѳметики главное значе-
ніе имѣетъ наблюденіе и содержательное, отчетливое пред-
ставленіе числа, обусловливаемое комплексомъ ощущеній,
а не счетъ и безсодержательныя названія чиселъ, находимый
путемъ счета.
10) Такъ какъ связь между представленіями способ-
ствуетъ лучшему запоминанію ихъ, то слѣдуетъ стремиться
къ установленію зависимости между воспріятіемъ числа
посредствомъ зрѣнія и воспріятіемъ его посредствомъ
осязанія.
11) Логическая увѣренность, создаваемая разсудкомъ,
всегда слабѣе матеріальной увѣренности, порождаемой ощу-
щеніемъ. Матеріальная увѣренность въ существованіи от-
дѣльныхъ объектовъ можетъ проявляться непосредственно,
одновременно и сильно въ томъ только случаѣ, если объекты
образуютъ квадратную числовую фигуру.
12) Чувство увѣренности, порождаемое ощущеніемъ,
усиливается, если въ созданіи числовыхъ представленій

пространственныхъ объектовъ участвуетъ не только зрѣ-
ніе, но и осязаніе.
13) Чѣмъ сильнѣе чувство увѣренности, тѣмъ сильнѣе
и интересъ, подъемъ духа, радость и любовь къ занятіямъ
ариѳметикой,—тѣмъ лучше и результаты преподаванія.
Чѣмъ оно слабѣе, тѣмъ сильнѣе отсутствіе интереса, упа-
докъ духа, подавленность, отвращеніе къ занятіямъ,—тѣмъ
хуже и результаты преподаванія.
14) Содержательное числовое представленіе тѣсно свя-
зано съ «символическимъ числовымъ представленіемъ», т.-е.
большимъ числомъ словесныхъ представленій,—съ звуко-
вымъ образомъ, съ представленіемъ движеній органовъ рѣчи,
съ письменнымъ образомъ (цифрой), съ двигательнымъ пред-
ставленіемъ при начертаній числительнаго и многими дру-
гими содержательными представленіями, соотвѣтствующими
различнымъ свойствамъ воспринимаемыхъ численно объ-
ектовъ. Общее представленіе числа содержитъ въ себѣ,
слѣдовательно, какъ словесныя, формальныя пли симво-
лическія, такъ и содержательныя частныя представленія.
15) Словесныя частныя представленія общаго предста-
вленія числа способствуютъ удержанію въ памяти послѣд-
няго и замѣняютъ содержательное числовое представленіе
при навыкѣ и бѣглости въ счисленіи.
16) Свойства числовыхъ представленій обусловливаются
родомъ примѣняемыхъ наглядныхъ пособій и способомъ
преподаванія. Обстоятельства эти, имѣющія большое значе-
ніе при возникновеніи числа, не оказываютъ все же никакого
вліянія на сущность числа; взгляды же на сущность числа
до нѣкоторой степени зависятъ отъ указанныхъ фактовъ.
17) Числовыя представленія основныхъ чиселъ должны
пріобрѣтаться путемъ непосредственнаго наблюденія; пред-
ставленія всѣхъ чиселъ, превышающихъ 10, должны сла-
гаться изъ представленія основныхъ чиселъ въ связи съ
представленіемъ группъ или разрядовъ десятичной системы.

18) Происхожденіе числа и сущность числа слѣдуетъ
строго разграничивать. Вопросомъ о природѣ электриче-
ства или природѣ числа должны заниматься преимуще-
ственно физики-теоретики или психологи-теоретики. Ме-
тодика же преподаванія ариѳметики и электротехника мо-
гутъ существовать независимо отъ того, какъ будетъ рѣ-
шенъ вопросъ о сущности числа или сущности электриче-
ства. Подобно тому, какъ электротехникъ долженъ отда-
вать себѣ отчетъ только въ условіяхъ возникновенія элек-
трическаго тока,—и методистъ ариѳметики долженъ знать
только условія возникновенія числа и всѣ слѣдствія,
отсюда вытекающія.
До сихъ поръ методисты ариѳметики исходили при
первоначальномъ преподаваніи или изъ различныхъ те-
орій понятія числа, или изъ небольшого количества
сомнительныхъ наблюденій, или же изъ общихъ данныхъ
психологіи.
Но мы уже доказали ошибочность многихъ изъ этихъ те-
орій, а слѣдовательно, и основанныхъ на нихъ учебныхъ
системъ. Руководствуясь данными большого числа опытовъ,
мы составили свою собственную теорію сущности числа.
Но мы опасаемся строить на ней методику преподаванія
ариѳметики; на это обстоятельство я долженъ обратить осо-
бое вниманіе читателя, чтобы избѣгнуть въ дальнѣйшемъ
недоразумѣній. Первоначальное обученіе счету, какъ и обу-
ченіе письму, должно опираться не на теорію, а на резуль-
таты опытовъ надъ классами; другими словами, первоначаль-
ное преподаваніе должно основываться на практическихъ ре-
зультатахъ такого преподаванія, при которомъ всѣ мето-
дическіе пріемы и результаты, получаемые при примѣненіи
ихъ, могутъ быть точно контролируемы и сравниваемы чи-
сленно, какъ это имѣло мѣсто при нашихъ опытахъ.—То
же относится, конечно, и къ обученію основнымъ ариѳме-
тическимъ дѣйствіямъ.

В. Опыты, касающіеся основныхъ ариѳметическихъ
дѣйствій.
1. О математическихъ способностяхъ, склонности и
интересѣ къ счисленію.
Этотъ вопросъ могутъ освѣтить намъ только экспери-
ментально-педагогическія изслѣдованія. Послѣднія были
произведены проф. Раншбургомъ въ Будапештѣ А); здѣсь мы
изложимъ наиболѣе существенные результаты ихъ. Проф.
Раншбургъ производилъ отдѣльные опыты надъ 15 нормаль-
ными учениками 1-го класса, пробывшими въ школѣ 7—8
мѣсяцевъ, и надъ столькими же учениками, закончившими
1-й годъ обученія въ такъ называемомъ «вспомогатель-
номъ» классѣ. При этомъ ученики рѣшили по 50 примѣровъ
на сложеніе и вычитаніе въ предѣлѣ перваго десятка. Для
практики преподаванія наиболѣе интересны слѣдующіе ре-
зультаты опытовъ.
1. Нормальные ученики могутъ правильно рѣшить оди-
наковое количество задачъ; но количество времени, затра-
чиваемое отдѣльными учениками на рѣшеніе задачи, чрез-
вычайно различно: наибольшій промежутокъ времени, у
нормальныхъ дѣтей, втрое превышаетъ наиболѣе короткій
срокъ рѣшенія (1,1—3,6 сек.). Математическія способно-
сти, равно какъ и всѣ способности вообще, слѣдуетъ оцѣ-
нивать не только по числу правильныхъ рѣшеній, но и по
средней продолжительности рѣшеній.
2. Ученики вспомогательнаго класса, несмотря на то,
что были значительно старше, затрачивали въ среднемъ
приблизительно двойное количество времени (2,25 — 5,32
1) Ranschburg, Vergleichende Untersuchungen von normalen
und schwachbegabten Schulkindern. Zeitschr. f. Kinderforschung.
Oktoberheft, 1905.

сек.), и изъ 750 задачъ, рѣшенныхъ нормальными уче-
никами, рѣшили только 441 (16—98%).
3. Ученики вспомогательнаго класса обнаруживали
часто полное отсутствіе, ослабленіе и колебаніе вни-
манія, что никогда или очень рѣдко наблюдается среди
нормальныхъ дѣтей, такъ что бывали случаи, когда наи-
болѣе хорошіе ученики не могли уже рѣшать самыхъ
легкихъ задачъ.
4. Наиболѣе легкими задачами являются задачи,требу-
ющія прибавленія или вычитанія 1, 2 и 3, при чемъ величина
перваго числа не играетъ никакой роли; такъ, задачи 4+2,
5+2, 6+2, 7+2, 8+2, рѣшаются почти въ равные проме-
жутки времени.
5. Если второе число больше перваго, то трудность
рѣшенія возрастаетъ: сложеніе 5+2 требуетъ 1,66 сек.,
тогда какъ сложеніе 2+5 требуетъ 3,26 сек.
6. Задачи, связанныя съ переходомъ черезъ 5 (пальцевъ,
шаровъ счетной машины) и дающія въ результатѣ числа,
приближающіяся къ десятку, какъ, напримѣръ, 5+4, 6+3,
6+4, требуютъ затраты наибольшаго количества времени.
Всѣ эти наблюденія показываютъ, что учениковъ обу-
чали счисленію, примѣняя ряды и послѣдовательное при-
бавленіе по 1. При правильной оцѣнкѣ и примѣненіи квад-
ратныхъ числовыхъ фигуръ, не приходится имѣть дѣла съ
трудностями, приведенными подъ рубриками 5 и 6.
Методисты, приверженцы рядовъ и счета, пользуясь
теоріей рядовъ и счета, логически разработанной матема-
тиками, мало думавшими до сихъ поръ о психологическомъ
обоснованіи этихъ предметовъ, пришли къ заключенію, что
элементарныя ариѳметическія дѣйствія являются по су-
ществу счетными операціями. Однако, Лобзіенъ (Lobsien)
въ одномъ изъ своихъ изслѣдованій пишетъ: «психологи-
чески недопустимо считать 4 элементарныхъ ариѳметиче-
скихъ дѣйствія, т.-е. 4 основныхъ вида счисленія, по су-

ществу счетными операціями или разсматривать ихъ, въ
первую очередь, какъ функціи памяти» 1).
Поэтому мы настаиваемъ на томъ, что элементарныя
ариѳметическія дѣйствія, включая таблицу умноженія,
должны также преподаваться и изучаться не путемъ меха-
ническихъ пріемовъ или указыванія, какъ нужно дѣлать,
но путемъ уясненія самаго происхожденія и сущности дѣй-
ствій 2).
Не рѣдко приходится встрѣчать мнѣніе, что для изуче-
нія счисленія, и вообще школьной ариѳметики, необходи-
мы особыя способности; людей, лишенныхъ этихъ спо-
собностей, сравниваютъ съ немузыкальными людьми, не
улавливающими мелодій, или съ дальтонистами, не разли-
чающими красокъ. Однако, математика основана главнымъ
образомъ не на дѣятельности чувствъ (какъ это имѣетъ мѣ-
сто при воспріятіи звуковъ или цвѣтовъ), а на дѣятель-
ности сознанія, и этимъ она связана съ высшими и болѣе
разнообразными сторонами человѣческаго духа. Большая
часть учениковъ вспомогательнаго класса можетъ еще удо-
влетворительно изучить счисленіе, и успѣхи дѣтей будутъ
еще значительнѣе, когда будетъ усовершенствованъ методъ
преподаванія. Бываютъ дѣти и взрослые, которые, при
невысокомъ общемъ развитіи, являются искусными вычи-
слителями. Они могутъ принадлежать и къ слуховому
типу, подобно Иноди (Inaudi) и къ зрительному типу,
подобно Діаманди (Diamandi). Всѣ изумительные вычисли-
тели, на которыхъ указываетъ Мэбіусъ (Möbius), отно-
сятся къ зрительному типу; по ихъ словамъ, всѣ они при
счисленіи представляютъ себѣ цифры. На конгрессѣ
психологовъ въ Гисенѣ мы имѣли возможность позна-
1) Lobsien, Korrelationen zwischen dem Zahlengedächtnis und
den elementaren Rechenfunktionen. Gent, 1910.
2) Lay, Lehrbuch der Pädagogik, II. Th. Das Lehrverfahren.

комиться съ математикомъ д-ромъ Г. Рюкле (G. Rückle),
какъ съ искуснымъ вычислителемъ, превосходящимъ
всѣхъ своихъ предшественниковъ по памяти на числа
и по тѣмъ способностямъ, которыя онъ проявлялъ, при-
мѣняя свои познанія по теоріи чиселъ. Онъ могъ послѣ 9
секундъ созерцанія 6.5 цифръ, расположенныхъ въ формѣ
квадрата, прочесть ихъ наизусть въ прямомъ и обратномъ
порядкѣ, по нисходящимъ и восходящимъ вертикальнымъ
рядамъ, по спирали и по наклоннымъ сѣкущимъ. Прибли-
зительно въ теченіе 12 секундъ онъ возводилъ въ кубъ трех-
значное число и, сообщивъ намъ результатъ возвышенія въ
степень, сейчасъ же правильно перечислялъ еще рядъ одно-
значныхъ чиселъ, которыя мы произносили въ то время,
какъ онъ рѣшалъ задачу. Въ теченіе 3—4 минутъ онъ зау-
чивалъ рядъ изъ 102 цифръ. Отвѣчая на мой вопросъ, онъ
сообщилъ, что можетъ легко воспринять «однимъ взгля-
домъ» и представить себѣ рядъ изъ 10 монетъ. Съ дидакти-
ческой точки зрѣнія чрезвычайно важно знать, на чемъ
основаны такія необычайныя способности. Путемъ изслѣ-
дованія, Мюллеръ и др. установили *): 1. д-ръ Рюкле при-
надлежитъ къ зрительному типу и представляетъ себѣ
цифры въ умѣ, какъ если бы онѣ были изображены сѣрой
краской. Въ трудныхъ случаяхъ онъ прибѣгаетъ также
къ помощи акустико-двигательной памяти; я самъ наблю-
далъ у него при рѣшеніи задачъ ясныя и часто беззвучныя
движенія органовъ рѣчи. Числа, прочтенныя ему, онъ пред-
ставляетъ себѣ воспринятыми зрѣніемъ. 2. Онъ можетъ
свободно, правильно и интенсивно сосредоточить свое вни-
маніе на задачѣ и чрезвычайно быстро воспринимаетъ ее.
3. Онъ знаетъ и пользуется многими соотношеніями между
1) G. Müller, Bericht über die Untersuchungen an einem unge-
wöhnlichen Gedächtnis. Bericht über den 1. Kongr. f. exp. Psycho-
logie, Leipzig, 1904.

числами, одни изъ которыхъ онъ отличаетъ, какъ первона-
чальныя, другія—какъ квадратичныя и т. д. Однако, онъ
не знаетъ и не примѣняетъ мнемоники. 4. Сочетанія пред-
ставленій, возникающія у него, чрезвычайно продолжи-
тельны; онъ обладаетъ хорошей памятью вообще и обнару-
живаетъ очень незначительную утомляемость. 5. При за-
учиваніи цифровыхъ рядовъ онъ образуетъ группы, часто
по шести цифръ, которыя при произнесеніи распадаются
по ритму на группы по 3 цифры.
Какъ всегда, интересъ соотвѣтствуетъ здѣсь дарованію.
Къ чему человѣкъ имѣетъ прирожденныя способности, къ
тому обычно онъ чувствуетъ и интересъ. Нерѣдко случается,
впрочемъ, что подъ дѣйствіемъ внѣшнихъ вліяній—при
хорошихъ способностяхъ человѣкъ обнаруживаетъ мало
интереса и, обратно, при незначительныхъ или посредствен-
ныхъ способностяхъ обнаруживаетъ большой интересъ.
Гёте, напримѣръ, питалъ огромный интересъ къ оптикѣ,
несмотря на то, что онъ былъ лишенъ способности къ на-
учной обработкѣ оптическихъ проблемъ, соотвѣтствующей
этому интересу.
Наиболѣе сильный интересъ имѣетъ свои корни въ (при-
рожденныхъ) способностяхъ. Различныя способности про-
являются въ различные періоды жизни; нѣкоторыя изъ нихъ
исчезаютъ со временемъ, другія сохраняются въ теченіе
всей жизни, и отдѣльныя способности въ общемъ комплексѣ
ихъ различны даже у учениковъ одного возраста. Все это
должно быть принято во вниманіе при предметномъ и фор-
мальномъ преподаваніи, а вмѣстѣ съ тѣмъ и при препода-
ваніи ариѳметики, какъ это и слѣдуетъ изъ основного прин-
ципа дѣйствительно жизненной школы. Такимъ образомъ,
мы можемъ у всѣхъ учениковъ возбудить интересъ къ счи-
сленію, если будемъ всегда исходить изъ того, къ чему они
имѣютъ склонность, изъ ихъ проявленій въ играхъ и за-
нятіяхъ, и если по выработкѣ теоретическихъ познаній и

навыкѣ будемъ вновь возвращаться къ этимъ склонностямъ,
иными словами, если мы превратимъ простое счисленіе въ
жизненное предметное счисленіе.
2. Различныя формы числовыхъ представленій у уче-
никовъ, учителей и математиковъ.
Изслѣдованіе различныхъ типовъ воспріятія среди уче-
никовъ показало намъ, что основнымъ условіемъ успѣш-
ности преподаванія словесности и ариѳметики является учетъ
того обстоятельства, что въ области словесныхъ и число-
выхъ представленій при воспріятіи и обработкѣ словесныхъ
и числовыхъ понятій существуютъ зрительные, слуховые,
двигательные (моторные) и смѣшанные типы, что методы
преподаванія должны устанавливаться въ соотвѣтствіи съ
этимъ и что результаты преподаванія въ значительной мѣрѣ
зависятъ именно отъ этого обстоятельства. Это было уста-
новлено дидактикой, путемъ всестороннихъ изслѣдованій,
уже въ 1903 г.; на то же указываютъ философы, математики,
филологи и педагоги-практики. Такъ, «Экспериментальная
дидактика» констатируетъ, что пониманіе нѣкоторыхъ
теоретико-познавательныхъ, психологическихъ и педагоги-
ческихъ точекъ зрѣнія, какъ ранѣе установленныхъ, такъ
и современныхъ, требуетъ изученія типа воспріятія ихъ
творцовъ и критиковъ, а философъ Dyroff, въ полномъ соот-
вѣтствіи съ этимъ, кратко указываетъ на значеніе типовъ
воспріятія для философской системы и говоритъ: «Такимъ
образомъ, изслѣдованіе дарованій и духовныхъ способностей
должно получать если не полное, то во всякомъ случаѣ зна-
чительное освѣщеніе со стороны психологіи воспріятія» х).
Методистъ и учитель, принадлежащій къ типу мысли-
телей- логиковъ или къ слуховому типу, будетъ неспра-
1) Dyroff, Einführung in die Psychologie, Leipzig, 1912, s. 52.

ведливъ по отношенію къ ученикамъ, принадлежащимъ къ
типу мыслящихъ образами или оптиковъ и наоборотъ. Его
методы преподаванія не будутъ соотвѣтствовать способ-
ностямъ учениковъ; послѣдніе не обнаружатъ склонности,
соотвѣтствующей ихъ дарованіямъ, и будутъ, поэтому, не-
правильно оцѣнены. Можно было бы избѣжать большой
потери времени и силъ, а также неудовольствія, досады и
раздраженія со стороны учителя и учениковъ, если бы учи-
тель зналъ, что существуютъ различные типы воспріятія,
и если бы ему было извѣстно, къ какому именно типу при-
надлежатъ какъ онъ самъ, такъ и отдѣльные ученики его.
Уже въ самой позиціи, которую занимаютъ математики
и методисты ариѳметики относительно наблюденія, обна-
руживается ихъ собственный способъ воспріятія, ихъ соб-
ственный типъ воспріятія. Существуютъ математики, ко-
торые мыслятъ наглядно, какъ Риманъ, Бертранъ, Ли,
Феликсъ Клейнъ, но существуютъ и другіе, которые на-
глядно не мыслятъ, какъ Вейерштрассъ, Эрмитъ, Кова-
левскій. Первые принадлежатъ къ «интуитивистамъ», «гео-
метрамъ» и сохраняютъ свой типъ воспріятія даже въ об-
ласти ариѳметики и анализа, послѣдніе же являются ана-
литиками, «логиками», какъ Гауссъ, Грассманъ, Фоссъ,
Дедекиндъ, Гильбертъ, и остаются таковыми и въ области
геометріи. Одни математики устраняютъ наглядность, пы-
таются ограничить ее по возможности, стремятся въ основу
всей математики поставить понятіе числа и разсматриваютъ
всю математику, какъ особый видъ логики, такъ что гео-
метрія становится уже не чистой, а прикладной математикой.
Другіе, какъ Ф. Клейнъ, Вельштейнъ, Гэфлеръ, Пуан-
каре, стараются сохранить права наглядности и за мате-
матикой, считаютъ наглядность основой логическихъ по-
строеній, хотя она можетъ слѣдовать за ними лишь въ огра-
ниченной степени.
Мы должны признать, что одни изъ нихъ принадлежатъ,

въ большей или меньшей степени, къ типу формально мы-
слящихъ словами, другіе—къ типу наглядно мыслящихъ
образами, и что одни одарены лучшими акустическими,
другіе—оптическими способностями. Пуанкаре, который,
повидимому, незнакомъ съ различными типами воспріятія,
такъ характеризуетъ методы работы нѣкоторыхъ знамени-
тыхъ математиковъ, что всякій, занимавшійся на практикѣ
опредѣленіемъ типовъ воспріятія, сумѣетъ правильно от-
нести каждаго ученаго къ тому или другому типу воспрія-
тія. Два ученыхъ, «гордость французской науки», Бертранъ
и Эрмитъ, несмотря на то, что они одновременно посѣщали
одну и ту же школу, получили одинаковое воспитаніе, под-
чинялись однимъ и тѣмъ же вліяніямъ, совершенно раз-
личны по манерѣ писать и говорить, несходны даже по
внѣшности. «Бертранъ во время рѣчи находится въ не-
прерывномъ движеніи: то онъ имѣетъ видъ нападающаго
на внѣшняго врага; то движеніемъ руки начинаетъ чертить
предметы, о которыхъ говоритъ. Очевидно, онъ видитъ
что-то и могъ бы это зарисовать, а потому и прибѣгаетъ къ
изобразительнымъ движеніямъ. Совершенно иное предста-
вляетъ собою Эрмитъ; его глаза, повидимому, избѣгаютъ
соприкосновенія съ внѣшнимъ міромъ; не во внѣ,—внутри
себя онъ ищетъ познанія истины» 1).
О Вейерштрассѣ и Риманѣ, творцахъ общей теоріи фун-
кцій, онъ пишетъ слѣдующее: «Вейерштрассъ сводитъ все
къ разсмотрѣнію рядовъ и къ ихъ аналитическому преоб-
разованію, иными словами въ основу анализа онъ кладетъ
нѣкотораго рода обобщенную ариѳметику. Вы можете
просмотрѣть всѣ его труды, и вы не найдете въ нихъ
ни одного чертежа. Риманъ, наоборотъ, сразу прибѣ-
гаетъ къ помощи геометріи; каждое его представленіе—
картина которую вы никогда не позабудете, разъ уловивъ
г) Пуанкаре, Цѣнность науки.

ея смыслъ». Въ лицѣ Римана и Бертрана мы должны
предполагать оптико-моторный типъ, «мыслящихъ обра-
зами», въ лицѣ Вейерштрасса и Эрмита—акустическій типъ,
мыслящихъ словами, при чемъ подъ выраженіемъ «мысля-
щій образами» мы разумѣемъ типъ наблюдающаго мысли-
теля, а подъ словомъ «мыслящій словами»—не наблюдаю-
щаго мыслителя.
Мы убѣждены, однако, что созерцаніе и мышленіе на-
ходятся во взаимодѣйствіи во всей области математики и
взаимно дополняютъ другъ друга, и что если «логики» и
«акустики», мыслящіе ненаглядно и болѣе склонные къ аб-
страктнымъ построеніямъ, придерживаются взгляда, будто
наглядность можетъ и даже должна быть устранена изъ
математики, то они упускаютъ изъ вида, что даже и у нихъ
въ ихъ аксіомы, опредѣленія и заключенія, въ извѣстныхъ
размѣрахъ, незамѣтно и безсознательно вкрадываются эле-
менты наглядности, принимающіе участіе и въ ихъ вы-
водахъ. Необходимо имѣть въ виду, что логическое ана-
литическое мышленіе переходитъ къ дробнымъ, отрицатель-
нымъ и комплекснымъ числамъ отъ натуральныхъ чиселъ;
значитъ, логическое мышленіе образуется изъ естественнаго
мышленія, путемъ абстракціи, опредѣленія, выработки поня-
тій; иными словами, понятія создаются логически-однознач-
ными и однородными, такъ что при пользованіи понятіями
и примѣненіи дѣйствій не возникаетъ никакихъ противорѣ-
чій. Данныя народной и дѣтской психологіи, а также экс-
периментальный изслѣдованія неоднократно указывали
намъ въ этой книгѣ, что числовыя представленія имѣютъ свое
начало въ практическихъ потребностяхъ и наблюденіяхъ и
что они связаны съ наглядными элементами.
Пуанкаре также пишетъ съ тонкимъ педагогическимъ
тактомъ, примыкая къ молодой психологической школѣ:
«Я имѣлъ уже случай утверждать, что интуиція (наблюде-
ніе, наглядность) должна отвоевать себѣ должное мѣсто

въ преподаваніи математическихъ наукъ. Безъ нея юные
ученики не могутъ проникнуть въ смыслъ математики, не
научатся любить ее и будутъ видѣть въ ней лишь пустую
игру словъ; а главное, безъ нея они не смогутъ примѣнять
математику Если она (наглядность) нужна ученикамъ,
то въ еще большей степени необходима она созидателямъ—
ученымъ» *).
Существуютъ также методисты и учителя, которые,
подъ вліяніемъ отвлеченно мыслящихъ математиковъ, на-
примѣръ, Дедекинда 2), или слѣдуя собственному типу
воспріятія, проводятъ какъ въ теоріи, такъ и на практикѣ
слѣдующее правило Кнохе:
«Въ основу первоначальнаго преподаванія ариѳметики
вовсе не слѣдуетъ класть наблюденія». (Ср. стр. 79). Ихъ
методъ нельзя одобрить по слѣдующимъ причинамъ: 1.
Число отвлеченно мыслящихъ математиковъ, отвергаю-
щихъ наглядность, составляетъ, какъ это указалъ Пуан-
каре, меньшинство; точно такъ же и въ классѣ число
учениковъ, думающихъ словами и предрасположенныхъ къ
воспріятію слуховыхъ ощущеній, меньше числа учениковъ,
предрасположенныхъ къ воспріятію зрительныхъ ощуще-
ній. 2. Даже и у учениковъ, думающихъ словами, числовыя
представленія и ариѳметическія дѣйствія развиваются на
почвѣ наблюденія, при чемъ счисленіе съ помощью пред-
метовъ переходитъ въ своемъ развитіи къ счисленію съ
вещественными символами, затѣмъ съ числовыми фигу-
рами, потомъ на цифрахъ и, наконецъ, къ устному счи-
сленію, при которомъ главной основой могутъ служить
зрительныя, слуховыя или моторныя числовыя предста-
вленія. Отказъ отъ наглядности или пренебреженіе ею
1) Пуанкаре, Цѣнность науки.
2) Dedekind, Wassind und was sollen die Zahlen? Braunschweig,
1893.

затрудняютъ преподаваніе; указанныя затрудненія могутъ
быть устранены при рутинныхъ методахъ преподаванія
только на словахъ. 3. Лица, пытающійся изгнать нагляд-
ность, пользуются обычно числительными, какъ звуковыми
и словесными образами чиселъ или печатными и пись-
менными цифрами, и такимъ образомъ парализуютъ у
всѣхъ учениковъ, главнымъ же образомъ учениковъ, при-
надлежащихъ къ типу оптиковъ и мыслящихъ конкретно,
всякую успѣшность занятій устнымъ счисленіемъ, такъ какъ
числа обычно задаются исключительно устно. 4.Лица, отка-
зывающіяся отъ яснаго и отчетливаго наблюденія чиселъ
перваго десятка, т.-е. отъ числовыхъ фигуръ, основываютъ
преподаваніе на рядахъ, особенно же на рядахъ числи-
тельныхъ и числовыхъ рядахъ, и потому являются методиста-
ми—сторонниками рядовъ и счета; имъ кажется, что нѣтъ
ничего легче и проще, какъ образовать числовой рядъ отъ
1 до 10, отдѣльныя числа перваго десятка получать хотя
бы такъ: 4=1 + 1+1+1 или 3+1, и т. д., а сложеніе и
вычитаніе разсматривать, какъ перемѣщеніе впередъ и
назадъ при счетѣ по одному.
Этой обманчивой схемы придерживаются еще очень мно-
гіе учителя, и даже психологи и математики. Они не отдаютъ
себѣ отчета въ томъ, что то, что представляется имъ логи-
чески простымъ и яснымъ,—является крайне сложнымъ
и труднымъ съ точки зрѣнія психологіи и исторіи возникно-
венія числовыхъ представленій. Они у пускаютъ это изъ
вида, потому что недостаточно или даже совершенно не-
знакомы съ психологіей развитія числовыхъ представле-
ній, числовыхъ системъ и ариѳметическихъ дѣйствій у
дѣтей и первобытныхъ народовъ; насколько намъ извѣстно,
эта книга впервые дала связную исторію возникновенія чис-
ловыхъ представленій и счисленія ребенка до поступле-
нія его въ школу. Числовой рядъ отъ 1 до 10 представляетъ
собой конечный абстрактный результатъ обобщенія инди-

видуально-отличныхъ другъ отъ друга конкретныхъ ду-
шевныхъ актовъ естественнаго мышленія, и «единица», ко-
торая со временъ Аристотеля и до нашихъ дней разсматри-
валась многими философами и математиками не какъ число
въ собственномъ смыслѣ слова, а какъ «корень» чиселъ,
по выраженію Аристотеля, отнюдь не является первымъ чи-
словымъ представленіемъ. Представленіе единицы, какъ мы
указывали выше (стр. 41) и какъ это вновь подтвердилъ
своими наблюденіями Decroly, возникаетъ даже значительно
позже числового представленія два г). При поступленіи въ
школу нормальный ребенокъ обладаетъ обычно: 1. общимъ
понятіемъ числа, обнимающимъ сознательное постулирова-
ніе и признаніе постуляцій; 2. понятіемъ неопредѣленныхъ
чиселъ: много, мало, ничего; 3. понятіемъ опредѣленныхъ
чиселъ: два и одинъ. Задача школьнаго преподаванія за-
ключается въ томъ, чтобы заставить учениковъ пріобрѣ-
сти, путемъ построенія и разложенія различныхъ группъ
хорошихъ числовыхъ фигуръ, ясныя и отчетливыя пред-
ставленія чиселъ перваго десятка, и одновременно съ этимъ
научить ихъ составлять натуральный рядъ чиселъ и счи-
тать, присчитывая по единицѣ.
Послѣднее время методистовъ счисленія стали дѣлить на
сторонниковъ наглядности и «сторонниковъ счета». Однако,
едва ли найдутся методисты, которые думали бы, что чис-
ловыя представленія можно пріобрѣсти просто путемъ чув-
ственнаго воспріятія, подобно представленію красокъ
или шероховатости, и только нѣкоторые поверхностные
критики могли приписать подобный взглядъ автору настоя-
щей книги, не понявъ, что здѣсь «числовое представленіе»
и «наглядное числовое представленіе» обозначаетъ не что
1) Decroly и Degand, Archives de Psychologie, XII. 1912. Стр. 81.
Цитировано по Katz, Psychologie und math. Unterricht. Leip-
zig, 1913.

иное, какъ «понятіе числа», возникшее путемъ абстраги-
рованія изъ ясныхъ и отчетливыхъ наблюденій. Болѣе под-
ходящимъ и болѣе основательнымъ является подраздѣленіе
методистовъ на сторонниковъ числовыхъ фигуръ и сторон-
никовъ числовыхъ рядовъ. Первые на основаніи данныхъ
психологіи дѣтей и первобытныхъ народовъ, а также экспе-
риментальныхъ изслѣдованій, доказываютъ, что хорошія
числовыя фигуры значительно превосходятъ ряды и потому
должны замѣнить ихъ, какъ основа первоначальнаго обу-
ченія ариѳметики въ области чиселъ перваго десятка. Рѣз-
кой границы между двумя группами методистовъ, однако,
не существуетъ: методисты сторонники рядовъ расчленяютъ
ряды, образуютъ группы (а вмѣстѣ съ тѣмъ и плохія «чи-
словыя фигуры»), прибѣгая къ различной окраскѣ счет-
ныхъ объектовъ ряда или дѣлая ихъ различной величины,
а также произнося числительныя въ тактъ; такимъ обра-
зомъ, они не отказываются отъ наглядности, отъ чувствен-
наго основанія воспріятіи, даже и въ томъ случаѣ, когда
они только произносятъ послѣдовательный рядъ числитель-
ныхъ въ прямомъ и обратномъ порядкѣ; въ самомъ дѣлѣ,
и числительныя представляютъ собою чувственное основа-
ніе, когда они воспринимаются какъ звуковыя ощущенія
или моторныя ощущенія органовъ рѣчи. И когда мы ука-
зываемъ на значеніе числовыхъ фигуръ, то мы отлично со-
знаемъ, что простое созерцаніе, постулированіе, апперцеп-
ція и сознательное, оценивающее созерцаніе, постулирова-
ніе, апперцепція, которыя мы называемъ счисленіемъ, пред-
ставляютъ собою различныя вещи. Мы также прибѣгаемъ
къ простому счету, къ счету по группамъ и по одному, но
мы объясняемъ также, что мы понимаемъ подъ сущностью
счета и числа на основаніи новыхъ, болѣе глубокихъ из-
слѣдованій. Мы заставляемъ нашихъ учениковъ въ те-
ченіе перваго и послѣдующихъ лѣтъ обученія усвоить,
что образованіе группъ по принципу числовыхъ фигуръ

въ формѣ единицъ, десятковъ, сотенъ, тысячъ и т. д. имѣетъ
огромное значеніе для образованія всеобъемлющаго понятія
числа и для основательнаго пониманія дѣйствій: сложенія,
вычитанія, умноженія и дѣленія, выполняемыхъ какъ
письменно, такъ и устно.
Дальнѣйшая разработка нашихъ изслѣдованій отно-
сительно различныхъ типовъ воспріятія въ области пре-
подаванія ариѳметики содержится въ трудѣ Lobsien
Онъ давалъ ученикамъ народной школы для устнаго рѣ-
шенія задачи такого типа: 167+85 и 29.14. На рѣшеніе
каждой задачи давалось 1 1/2 минуты времени. Группа изъ
10 задачъ, написанныхъ бѣлымъ на черныхъ доскахъ, со-
зерцалась учениками въ теченіе 30 секундъ; «при чтеніи
и рѣшеніи кончикъ языка былъ зажатъ между зубами»,
чѣмъ была устранена помощь двигательныхъ воспріятіи ор-
гановъ рѣчи 2). Другая группа изъ 10 задачъ такой же
трудности была предложена ученикамъ акустически: учи-
тель громко и ясно прочиталъ ихъ. Движенія органовъ
рѣчи при этомъ не возбранялись, такъ что рѣшеніе про-
текало при болѣе легкихъ условіяхъ. Ученики раздѣля-
лись, по способностямъ къ ариѳметикѣ, обнаруженнымъ
до сихъ поръ, на хорошихъ, среднихъ и плохихъ; къ тому
же ихъ типъ воспріятія былъ опредѣленъ. Опыты дали слѣ-
дующіе результаты:
1. Чѣмъ сильнѣе числовая память ученика, тѣмъ лучше
считаетъ онъ устно, какъ при акустическомъ, такъ и при
оптическомъ воспріятіи задачъ.
2. Способности оптиковъ понижаются часто болѣе, чѣмъ
на половину, если заставлять ихъ воспринимать числа слу-
хомъ и удерживать числа въ памяти, пользуясь только слу-
1) Lobsien, Über Zahlengedächtnis und Rechenfertigkeit. Zeit-
schr. f. päd. Psychologie, 1907. Томъ 3.
2) Основанія этого пріема не видны.

ховыми ощущеніями, какъ этого требуютъ Дистервегъ,
Штейеръ и др. методисты, принадлежащіе, вѣроятно, къ
типу акустиковъ и ошибочно думающіе, что устное счи-
сленіе перестаетъ быть таковымъ, если числа восприни-
маются не слухомъ, т.-е. не акустически, а какъ-либо
иначе (т.-е. оптически или письменно-моторно, напримѣръ,
съ помощью движеній при письмѣ пальцемъ по скамьѣ).
Способности акустиковъ также понижаются, если ихъ
заставляютъ воспринимать числа оптически. Смѣшанный
типъ нѣсколько превосходитъ по способностямъ акусти-
ческій, если задача дается оптически, и оптическій, если
задача дается акустически, однако, оказывается по спо-
собностямъ хуже каждаго изъ нихъ, если задача дается
способомъ, соотвѣтствующимъ данному типу.
Въ экспериментальной дидактикѣ указывается на от-
дѣльныхъ примѣрахъ, что ученики, являвшіеся при за-
нятіяхъ словесностью и предметномъ обученіи ясно выра-
женными оптиками, во всякомъ случаѣ прирожденными
оптиками, были превращены въ области числовыхъ
представленій въ акустиковъ, потому что при устномъ
численіи, которое въ широкихъ слояхъ общества счи-
тается «наиболѣе цѣнной формой счисленія въ народной
школѣ» (д-ръ Гартманъ), числа задавались имъ исключи-
тельно акустически. Сколько неудачъ, отчаянія, затраты
лишняго труда, неправильныхъ оцѣнокъ своихъ способ-
ностей и несправедливаго отношенія должны были испы-
тать подобные ученики?! И все это только потому, что учи-
тель, даже изъ тѣхъ, которые опираются на свою искус-
ственную интуицію, не знаетъ и не уважаетъ склонностей
своего ученика. Въ подобныхъ случаяхъ обыкновенно ссы-
лаются на то, что классы слишкомъ велики; однако, на
это можно возразить, что безъ экспериментально-педагоги-
ческихъ знаній и навыковъ и самый способный вообще учи-
тель не сумѣетъ открыть этихъ частныхъ способностей и

въ самомъ маленькомъ классѣ, и даже въ отдѣльномъ уче-
никѣ, какъ это показываетъ практика преподаванія въ те-
ченіе цѣлыхъ столѣтій и до нашихъ дней.
Чтобы быть справедливымъ къ предметнымъ и словес-
нымъ типамъ воспріятія, мы переходимъ при преподава-
ніи общаго курса ариѳметики отъ вещественнаго воспрія-
тія и изображенія къ письменному, а затѣмъ къ исключи-
тельно словесному, при которомъ принимаются во вни-
маніе и акустическое словесно-моторное и оптическое
письменно-моторное изображенія.
3. Опыты надъ психическими процессами при счисленіи.
Какъ мы уже видѣли выше (стр. 62), со временъ Пе-
сталоцци ведется споръ о сущности, значеніи и методахъ
преподаванія «письменнаго» и «устнаго» счисленія, счи-
сленія «на доскѣ» и «въ умѣ». До сихъ поръ нельзя было
прійти къ основательному и ясному рѣшенію, потому что
не были извѣстны типы воспріятія и не имѣлось достаточ-
ныхъ свѣдѣній о психическихъ процессахъ при счисленіи.
Послѣднее время Schanoff изслѣдовалъ психическіе про-
цессы, сопровождающіе устное сложеніе, вычитаніе, умно-
женіе и дѣленіе. Хотя онъ производилъ свои опыты надъ
взрослыми людьми, привыкшими къ самоанализу, мы мо-
жемъ все же учесть ихъ и съ дидактической точки зрѣнія,
потому что они совпадаютъ съ тѣми наблюденіями, кото-
рыя мы дѣлали надъ младшими и старшими учениками, а
также потому что условія его опытовъ мало отличаются
отъ обычныхъ пріемовъ преподаванія *).
Въ опытѣ слѣдуетъ различать: 1. Подготовительный пе-
ріодъ отъ возгласа «начнемъ» до сообщенія задачи. 2. Глав-
1) Schanoff, Die Vorgänge des Rechnens, Leipzig, 1911.

ный періодъ отъ этого момента и до сообщенія результата.
3. Заключительный періодъ.
Подготовительный періодъ, который въ той или иной
мѣрѣ всегда существуетъ и въ практикѣ преподаванія,
оказывается недостаточнымъ, если длится у2 сек., и слиш-
комъ большимъ, если онъ продолжается 2 сек., потому
что постороннія мысли и боязнь могутъ слишкомъ развиться
и помѣшать рѣшенію. Подготовительный періодъ является
ожиданіемъ, напряженіемъ вниманія, сопровождаемымъ
мускульными ощущеніями, подготовкой къ воспріятію, ожи-
даніемъ съ пріятнымъ чувствомъ чего-то новаго; одно изъ
лицъ, подвергнутыхъ испытанію, закрывало глаза. Часто
подготовлялись готовыя числа; предрасположеніе наблю-
далось, какъ по отношенію къ дѣйствіямъ, такъ и по отно-
шенію къ числамъ. Предрасположеніе, которое возникало
благодаря указанію со стороны руководителя, вызывало
стремленіе къ счисленію; оно способствуетъ воспріятію и
рѣшенію задачи, если только оно не слишкомъ узко. Это
предрасположеніе соотвѣтствуетъ психологически тѣмъ
«предрасположенію», «цѣли работы», «задачѣ», которыя
мы предпосылаемъ тремъ дидактическимъ ступенямъ наблю-
денія, переработки и изображенія даннаго изучаемаго
предмета, урока, лекціи.
Въ теченіе главнаго періода господствуетъ стремленіе
къ счисленію, вызванное путемъ указаній въ продолженіе
подготовительнаго періода; оно пріобрѣтаетъ теперь, бла-
годаря сообщенію задачи, болѣе опредѣленную форму и не
требуетъ новыхъ волевыхъ импульсовъ. Задача въ концѣ кон-
цовъ болѣе не сознается, но, тѣмъ не менѣе, продолжаетъ
дѣйствовать.
I. Акустическіе опыты.
Воспріятіе, т.-е. усвоеніе и пониманіе произнесенной
задачи, напр., 54+3, 14 . 5, происходитъ трояко: 1) части

задачи воспринимаются отдѣльно, послѣдовательно; одно
изъ лицъ воспринимало даже въ отдѣльности слово, обо-
значающее дѣйствіе,единицы и десятки; 2) части задачи
воспринимаются по группамъ, а слово, обозначающее дѣй-
ствіе, воспринимается съ первымъ или вторымъ числомъ;
3) вся задача воспринимается сразу, несмотря на то, что
условія ея читаются послѣдовательно.
Для цѣлей практики важно отмѣтить слѣдующее: если
задача читается слишкомъ долго, то это затрудняетъ одно-
временное воспріятіе. Путемъ упражненія первую и вто-
рую форму воспріятія можно, въ большей или меньшей
степени, перевести въ третью. Вначалѣ задачу можно
повторять еще разъ.
При составленіи представленія задачи, пониманіи ея
у большинства лицъ главную роль играютъ зрительныя
представленія: 1) представленіе цифръ и 2) представленіе
вертикальныхъ, наклонныхъ, ломаныхъ и смѣшанныхъ
ломаныхъ линій (такъ называемыхъ сѣтокъ или діаграммъ),
на которыхъ располагаются цифры; это ведетъ свое начало
ію преимуществу съ первоначальнаго обученія дома и въ
школѣ. Нѣкоторыя лица, подвергнутый опытамъ, сообщили,
что они могли вычислять только въ томъ случаѣ, если имъ
удавалось вызвать, путемъ вниманія, зрительныя предста-
вленія. У нѣкоторыхъ представленія цифръ были вполнѣ
ясны и отчетливы, какъ если бы цифры были напи-
саны на доскѣ; у другихъ они были только неотчетливымъ
знаніемъ: они не могли сказать—видятъ они цифры напе-
чатанными или написанными. Schanoff не принимаетъ во
вниманіе типовъ воспріятія. Повидимому, акустики и здѣсь
были въ меньшинствѣ. Одно изъ лицъ (А) неоднократно
говорило, что «оно только выслушало сказанное и сейчасъ
же его поняло; это пониманіе вызывалось только звуко-
выми ощущеніями» (стр. 35). Такимъ образомъ, пониманіе
задачи можетъ вызываться и исключительно акустическими

представленіями словъ. Четверо (изъ 11) лицъ, подвергну-
тыхъ опытамъ, заявили, что «прослушанную задачу они
должны были сперва сказать про себя, чтобы понять ее» г).
Эти лица, безъ сомнѣнія, принадлежатъ къ словесно-мо-
торному типу.
Въ процессѣ пониманія задачи выступали слѣдующія
содержательныя представленія: задача легка, трудна; то
или другое число велико, мало, всегда по сравненію съ
другимъ даннымъ числомъ; то или иное дѣйствіе должно
быть выполнено.
При вычисленій наибольшую роль играютъ содержа-
тельныя числовыя представленія. Г., принадлежащій къ
типу оптиковъ, мысленно созерцалъ цифры въ теченіе всего
времени рѣшенія задачи, при чемъ расположены онѣ были
произвольно. «Результатомъ» дѣйствій являются новыя
цифры, которыя сохраняются въ представленіи, пока въ
нихъ есть надобность. Конечный результатъ считывается.
А., принадлежащій къ типу акустиковъ, пользуется опре-
дѣленнымъ образомъ звуковыми представленіями числи-
тельныхъ, вызванными руководителемъ опытовъ. Новые
результаты являются звуковыми представленіями, вызван-
ными собственнымъ голосомъ; часто они сопровождаются дви-
женіями органовъ рѣчи. Другіе произносили числа про себя.
Одно изъ лицъ, также принадлежащее къ моторному типу,
пользовалось только моторными элементами представленій,
а не слуховыми или зрительными. Г. нашелъ, что резуль-
таты вычисленія, выражавшіеся малыми числами, онъ иногда
безсознательно показывалъ на пальцахъ, а также что при
вычисленій онъ двигалъ рукой, какъ если бы писалъ цифры.
1) Лица, принадлежащія къ словесно-моторному типу, пони-
маютъ прочитанное имъ вслухъ при изученіи иностранныхъ язы-
ковъ только послѣ того, какъ они повторятъ про себя то, что
они выслушали.

Содержательныя представленія проявляются также,
какъ сознаніе опредѣленнаго правила или, чаще, какъ соз-
наніе способа рѣшенія. Часто наблюдается и совершенно не-
наглядное, чисто мысленное знаніе, которое не проявляется
ни въ зрительныхъ, ни въ слуховыхъ представленіяхъ,
напримѣръ, когда лицо непосредственно знаетъ, что 18+9=
=27. Ненаглядное или чисто мысленное знаніе особенно
часто встрѣчается у формально или словесно мыслящихъ, у
«логиковъ» или «аналитистовъ» среди математиковъ. Однако,
оно можетъ имѣться и у наглядно мыслящихъ, если вы-
полненіе того или иного дѣйствія стало автоматичнымъ,
благодаря упражненію. Представленіе величины предше-
ствуетъ представленію частичныхъ результатовъ и конеч-
наго результата, контролируешь рѣшеніе и побуждаетъ къ
правильному выполненію его; чувство увѣренности или
неувѣренности сопровождаетъ всѣ вычисленія.
II. Оптическіе опыты.
При этихъ опытахъ лица, имъ подвергаемый, знали, что
числа, написанныя передъ ними, не исчезнутъ и что, по-
этому, они не могутъ ихъ забыть. Благодаря этому ожи-
даніе рѣдко переходило въ специфическое «предрасполо-
женіе». Предварительныя указанія руководителя и здѣсь
вызывали общее стремленіе къ счисленію, которое стано-
вилось болѣе опредѣленнымъ послѣ воспріятія знака дѣй-
ствія и чиселъ. Созерцаніе чиселъ при счисленіи всѣ счи-
тали сперва затрудняющимъ рѣшеніе. Однако, послѣ из-
вѣстнаго приспособленія къ этому обстоятельству, оно стало
сильно облегчающимъ рѣшеніе. При воспріятіи наблюда-
лись слѣдующія явленія: 1) нѣкоторыя лица читаютъ числа,
произнося ихъ про себя; 2) другія переводятъ глаза съ
одного числа на другое; 3) третьи, пристрастныя къ діаграм-
мамъ, располагаютъ числа по своей схемѣ,такъ что имѣетъ

мѣсто и созерцаніе длины. Знакъ дѣйствія въ большинствѣ
случаевъ воспринимается прежде всего. Поэтому необхо-
димо, чтобы опъ былъ яснымъ и отчетливымъ. Словесно-
моторныя представленія числительныхъ часто наблюда-
лись у всѣхъ лицъ, за исключеніемъ Д. При вычисленій
содержательныя представленія выступаютъ рѣзче: 1) цѣ-
лое воспринимается, какъ нѣкоторое ариѳметическое дѣй-
ствіе; 2) отдѣльныя числа воспринимаются, какъ (относи-
тельно) большія, малыя, среднія; цифры воспринимаются
какъ единицы и десятки; 3) выясняется значеніе отдѣль-
ныхъ цифръ при выполненіи дѣйствія, напр., надо ли при
вычитаніи «занять», получится ли при дѣленіи остатокъ
и т. д.; 4) сознаніе правила, закономѣрности: 55 : 11=6,
44 : 11=4, 33 : 11=3, правило—11а : а=11; 5) сознаніе
соотношенія, которое опредѣляетъ послѣ воспріятія знака
дѣйствія, какимъ образомъ числа будутъ сравниваемы ме-
жду собой; 6) представленіе величины промежуточныхъ ре-
зультатовъ и конечнаго результата.
При зрительномъ воспріятіи задачъ время рѣшенія ихъ
было меньшимъ, чѣмъ при слуховомъ. Такъ какъ при рѣше-
ніи задачъ исходныя цифры можно было видѣть, то въ
этихъ послѣднихъ опытахъ мы усматриваемъ переходъ къ
письменному счисленію.
Если при устномъ счисленіи дѣйствіе называется пре-
жде, чѣмъ читаются числа, напримѣръ: «сложи 58, 28»,
то задачи рѣшаются скорѣе и увѣреннѣе. Это объясняется
тѣмъ, что здѣсь является особая воспріимчивость къ чис-
ламъ, чѣмъ исключается неправильная подготовка и не-
правильное предрасположеніе. Опыты показали, что соот-
вѣтствіе съ этимъ предрасположеніемъ вызываетъ «удоволь-
ствіе», «радость», «удовлетвореніе»; и, обратно, несоотвѣт-
ствіе съ нимъ обусловливаетъ «пустоту», «затрудненіе», «не-
удовольствіе», «сопротивленіе», «внутренній протестъ» (стр.
63—70). Тѣ же самыя явленія, вызываемыя тѣми же са-

мыми причинами, наблюдаются и въ практикѣ препода-
ванія, въ случаѣ постановки вопросовъ правильно или не-
правильно съ точки зрѣнія самаго предмета, словесности,
логики и психологіи дѣтей, какъ мы это доказали нашими
наблюденіями и опытами. Въ широкихъ кругахъ учащихъ
въ низшей и средней школѣ важное значеніе правильной
постановки вопросовъ до сихъ поръ, къ сожалѣнію, не
получило еще признанія х).
Числа легко запоминаются: 1) если они содержатъ ха-
рактерную цифру (0, 5, 1, или 9), напримѣръ: 10, 65, 31,
89; 2) если они содержатъ характерный звуковой комплексъ
(для акустиковъ) или характерную группу знаковъ (для
оптиковъ), напримѣръ: 11, 55; 3) если они вызываютъ осо-
бое вниманіе своей величиной (очень велики, очень малы
и т. д.); 4) если они представляютъ собою части или кратное
какого-либо другого числа, напримѣръ: 36=6.6, 20=2.10.
III. Способы рѣшенія.
Мы приведемъ здѣсь характерные пріемы выполненія
вычисленія въ случаѣ сложенія, вычитанія, умноженія
и дѣленія; это, быть можетъ, позволитъ намъ составить
себѣ нѣкоторое представленіе о методахъ и результатахъ
того обученія, которому подвергались лица, участвовавшія
въ опытахъ.
Какъ мы видимъ, лица эти при устномъ счисленіи въ
большей или меньшей мѣрѣ пользовались пріемами пись-
меннаго счисленія, мало пригодными въ этомъ случаѣ.
Задача: 50+32, прочитанная вслухъ. А. считаетъ: «2 и
(5+3) 80=82». Г., англичанинъ, принадлежащій къ типу
оптиковъ, замѣняетъ слышанное зрительными представле-
ніями и, слѣдуя установленному въ англійскомъ языкѣ
1) Ср. Lay, Lehrbuch der Pädagogik. 2. Th.

порядку числительныхъ, считаетъ, начиная съ десятковъ:
5+3 даютъ 8 десятковъ и 2 даютъ 82.
Задача: 17+21, написанная на доскѣ. Д. складываетъ
7 и 1, затѣмъ 1 и 2, получаетъ 30 и 8=38.
Задача: 44+11, также написанная. Д. соображаетъ: къ
каждой цифрѣ прибавляется по 1, слѣдовательно, имѣемъ 55.
Задача: 51+39, прочитанная вслухъ. Э. вычисляетъ:
51+30=81 +9=90. Этотъ общій и удобный способъ былъ
примѣненъ только однимъ лицомъ, именно Э.—Schanoff оши-
бочно думаетъ, что это «худшій изъ методовъ» (стр. 98).
Задача: 76+36, прочитанная вслухъ. А. вычисляетъ:
30 и 70 составляютъ 100; 6+6=12, получается 112. Проще,
однако, считать такъ: 76+36=106+6=112.
Задача: 55+37, написанная на доскѣ. Г. вычисляетъ:
7,потомъ прочитанное число 5, получается число 12, кото-
рое представляется написаннымъ; затѣмъ 5, 3=8;+1=9,
90;+2=92. Насколько проще и короче считать такъ:
55+37=85+7=92!
Задача: 55+37, прочитанная вслухъ. Ф. вычисляетъ:
55+7=62,+30=92. Подобный способъ вычисленія, при ко-
торомъ сложеніе начинается съ единицъ, встрѣчается наи-
болѣе часто.
Э. пользовался и «особыми» пріемами вычисленія, на-
примѣръ: 15+16= 2.15+1=31.
Хотя примѣры на дѣленіе давались только въ предѣлахъ
первой сотни, дѣйствіе это отмѣчалось, какъ наиболѣе
трудное. Въ большинствѣ случаевъ оно вызывало замѣша-
тельство и приближалось скорѣе къ угадыванію и пробѣ,
чѣмъ къ планомѣрному счисленію. Одно изъ лицъ, подвер-
гнутыхъ опытамъ, рѣшая примѣръ 88 : 29, разсуждало
слѣдующимъ образомъ: 8 на 9 не дѣлится, пробую 3;
3.20, 60; 3.9, 27; 87, нѣкоторое раздумье; 1 въ остаткѣ.
Частичные результаты при вычисленіяхъ проявляются,
частью какъ зрительный, частью какъ слуховыя и двига-

тельныя представленія органовъ рѣчи, частью какъ мотор-
ныя представленія; иногда эти представленія бываютъ со-
вершенно ненаглядными, являясь простой увѣренность въ
наличности числа, извѣстнымъ побужденіемъ сознанія. Та-
кимъ образомъ, можно различать слѣдующія три группы
чиселъ: 1) исключительно наглядныхъ чиселъ; 2) нагляд-
ныхъ и только сознаваемыхъ чиселъ; 3) исключительно
сознаваемыхъ чиселъ. Послѣднее наблюдается у формально-
мыслящихъ лицъ и при счисленіи, совершающемся авто-
матически. Чѣмъ труднѣе вычисленіе, тѣмъ чаще прихо-
дится прибѣгать къ счету «про себя»; на это обстоятельство
мною было обращено вниманіе еще въ 1903 г. (см. «Экспе-
риментальную дидактику»).
Вычитаніе «часто» выполнялось слѣдующимъ обра-
зомъ: 86—32=56, — 2=54.
Умноженія два лица, Б. и Г.,выполняли всегда такимъ
образомъ: 27.3, 3.20=60; 3. 7=21; 60+21=81.
Между тѣмъ, нашъ способъ, легко усваеваемый послѣ
упражненій, гораздо проще и короче: 27.3=60+21=81.
Одно изъ лицъ, подвергнутыхъ опытамъ, затратило
9,4 сек. на рѣшеніе примѣра: 64+39; восьмилѣтній ребе-
нокъ, котораго обучали въ соотвѣтствіи съ изложеннымъ
въ настоящемъ руководствѣ, рѣшилъ тотъ же примѣръ
черезъ 3 сек. Рѣшеніе подобнаго рода легкихъ задачъ надъ
числами первой сотни постоянно встрѣчается въ обыденной
жизни; поэтому нельзя сказать, чтобы лица, подвергнутая
опытамъ, недостаточно упражнялись въ рѣшеніи ихъ. Если,
поэтому, способы рѣшенія задачъ при опытахъ оказались,
вообще говоря, слишкомъ сложными и неудобными, а
время рѣшенія слишкомъ продолжительнымъ, то не зна-
читъ ли это, что методы обученія устному счисленію, ко-
торые когда-то примѣнялись по отношенію къ студентамъ,
принимавшимъ участіе въ опытахъ, малоцѣнны съ точки
зрѣнія методики?

Убѣдившись въ томъ, что способы выполненія пись-
меннаго счисленія мало пригодны при устномъ счисленіи,
необходимо болѣе детально выяснить сущность «устнаго» и
«письменнаго» счисленія, а также разницу между ними; для
достиженія же этой цѣли нужно прежде всего выяснить,
какой матеріалъ лежитъ въ основѣ обученія счисленію.
4. Устное и письменное счисленіе, какъ жизненное
предметное счисленіе.
Преподаваніе ариѳметики имѣетъ цѣлію научить дѣ-
тей вполнѣ сознательному выполненію основныхъ ариѳме-
тическихъ дѣйствій; при этомъ путемъ упражненій надо
добиться того, чтобы выполненіе этихъ дѣйствій произво-
дилось совершенно автоматически. Это мы называемъ тех-
никой счисленія. До достиженія этой цѣли дѣти должны
пріобрѣсти такой же навыкъ въ прибавленіи и вычитаніи
чиселъ перваго десятка, въ умноженія ихъ и дѣленіи на
нихъ, т.-е. усвоить таблицу умноженія. Однако, при обу-
ченіи ариѳметикѣ приходится позаботиться и о томъ, чтобы
ученики самостоятельно ставили себѣ задачи, соотвѣт-
ствующія степени ихъ развитія, изъ жизни природы и
окружающей ихъ жизни и рѣшали бы эти задачи, поль-
зуясь извѣстными имъ основными ариѳметическими дѣй-
ствіями, такъ, чтобы школьное счисленіе стало жизненнымъ
предметнымъ счисленіемъ, а сама школа—жизненной шко-
лой. Всякій частичный и конечный результатъ жизненнаго
счисленія являются результатомъ какого-либо изъ основ-
ныхъ ариѳметическихъ дѣйствій. Необходимость каж-
даго вновь вводимаго дѣйствія должна быть ясно моти-
вирована ученикамъ, съ теоретической и практической
точекъ зрѣнія. При этомъ всегда надо исходить изъ задачъ
жизненнаго предметнаго счисленія и, послѣ усвоенія но-
ваго дѣйствія, вновь возвращаться къ предметному счис-

ленію, чтобы дѣти могли оцѣнить практическое значеніе
этого дѣйствія, расширить свои значенія въ области чи-
сленнаго изображенія явленій и приложенія техническаго
счисленія къ жизни, а также убѣдиться въ его удобствахъ
въ смыслѣ сокращенія работы.
Существуютъ два основныхъ способа счисленія: 1) пись-
менное счисленіе, при которомъ пользуются «цифрами»,
записями на «доскѣ» и т. д. 2) «устное» счисленіе, при ко-
торомъ никакія записи не производятся. Провести рѣзкую
грань между этими двумя способами счисленія значительно
труднѣе, чѣмъ думали раньше; дѣйствительно, письменное
счисленіе является въ то же время и счисленіемъ «въ умѣ»,
а иногда и «устнымъ» счисленіемъ, такъ какъ сопрово-
ждается громкимъ или тихимъ произнесеніемъ чиселъ;
припомнимъ только лицъ, принадлежащихъ къ словесно-
моторному типу; съ другой стороны, и устное счисленіе
очень часто становится письменнымъ счисленіемъ, такъ
какъ всѣ оптики вычисляютъ, представляя себѣ цифры,
а лица, базирующіяся на письменно-моторныхъ ощуще-
ніяхъ, представляютъ себѣ цифры въ процессѣ написанія
ихъ и часто даже незамѣтно для окружающихъ выводятъ
ихъ пальцемъ. Лица, наблюдавшія преподаваніе ариѳме-
тики ученикамъ, принадлежащимъ къ различнымъ типамъ
воспріятія, признаютъ неправильными тѣ взгляды на уст-
ное счисленіе, которыхъ придерживаются современные
методисты ариѳметики, ссылающееся на Дистервега, кото-
рый, проявляетъ себя, какъ акустикъ. Д-ръ Гартманъ,
напримѣръ, отстаиваетъ свой взглядъ на примѣненіе цифръ
при устномъ счисленіи словами Дистервега: «Поэтому
устное счисленіе нравится всѣмъ духовно одареннымъ учи-
телямъ и ученикамъ. Хромые же и калѣки (тѣлесные и ду-
ховные) всюду пользуются костылями» *). И далѣе: «При
1) Dr. Hartmann, Der Rechenunterricht. Leipzig, 1904. S. 380.

устномъ счисленіи думаютъ вовсе не о знакахъ (?!), а о
числахъ; при письменномъ же счисленіи думаютъ также о
числахъ, но представляютъ ихъ себѣ съ помощью знаковъ.
Совершенно безразлично, записываютъ ли ученики при
этомъ цифры или не записываютъ, но представляютъ ихъ
себѣ. Послѣдній способъ отнюдь не является устнымъ счи-
сленіемъ; наоборотъ, это—только додѣлка, извращеніе,
неправильное употребленіе (!) устнаго счисленія, наложе-
ніе на себя оковъ (!). Люди, обучавшіеся сначала исклю-
чительно счисленію на цифрахъ, всегда двигаются въ этихъ
оковахъ. Поэтому при настоящемъ устномъ счисленіи
умножая, напримѣръ, шестьсотъ сорокъ два на восемь,
никто не думаетъ ни о цифрахъ, которыми изображаются
эти числа, ни объ ихъ разрядѣ (?!)» (Стр. 381). Талантливый
методистъ ариѳметики Штейеръ, который, подобно д-ру
Гартману и др., повидимому, не знакомъ съ типами воспрія-
тія, также выдвигаетъ на первый планъ «живое слово учи-
теля», т.-е. звуковой образъ числительныхъ, и пишетъ:
«Прежде всего дѣти не должны читать ихъ (задачи на устное
счисленіе), ибо въ противномъ случаѣ это уже не будетъ
устнымъ счисленіемъ». х).
Всѣ учителя, принадлежащіе къ типу акустиковъ и
формально-мыслящихъ, будутъ придерживаться такихъ
одностороннихъ и неправильныхъ взглядовъ на устное
счисленіе и примѣнять ихъ на практикѣ ко вреду боль-
шинства учениковъ, если не будутъ обращать вниманія
на типы воспріятія.
Сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе, выполняе-
мый устно и письменно, представляютъ собою по существу
одно и то же и отличаются другъ отъ друга только по
формѣ. Умножая, напримѣръ, 312 на 4 письменно, мы обра-
зуемъ частичныя произведенія 2.4=8; 1.4=4; 3.4=12 и за-
1) Steuer, Methodik des Rechenunterrichts. Bielefeld, 1908. S. 96.

писываемъ ихъ, сообразуясь съ разрядами цифръ. При
устномъ же счисленіи, т.-е. при счисленіи безъ записи, мы
вычисляемъ такъ: 312.4=1200+40(1240)+8=1248. Такимъ
образомъ, при письменномъ счисленіи мы имѣемъ дѣло
только со значеніемъ цифръ 2, 1,3, при устномъ же счисле-
ніи—съ полнымъ значеніемъ 2, 10, 300. При письменномъ
счисленіи цифры размѣщаются въ строго опредѣленной
послѣдовательности и на вполнѣ опредѣленныхъ мѣстахъ;
поэтому ариѳметическія дѣйствія могутъ заучиваться чисто
механически, безъ пониманія; выполняться они могутъ так-
же механически, подобно составленію опредѣленной фи-
гуры изъ кубиковъ. Воспріятіе разрядовъ и запоминаніе
ихъ, двигательныя воспріятія и воспоминанія о движе-
ніяхъ глаза и руки при созерцаніи и размѣщеніи цифръ
въ правильной послѣдовательности и на опредѣленныхъ
мѣстахъ,—все это облегчаетъ дальнѣйшее механизированіе,
которое, кромѣ того, направляется и поддерживается за-
учиваемыми наизусть правилами «чтенія дѣйствій». Ученикъ
долженъ еще, какъ этого требуютъ многія методическія ру-
ководства, дополнительно объяснять или доказывать то
одну, то другую часть вычисленія. Въ жизненной школѣ,
наоборотъ, ученики сами находятъ способъ вычисленія и
примѣняютъ его,поэтому,съ полнымъ сознаніемъ.Возникаю-
щая при этомъ автоматичность счисленія сохраняетъ спо-
собность измѣняться и приспособляться, въ то время какъ
автоматичность, созданная путемъ механическаго заучи-
ванія, является слѣпой, совершенно не способной при-
способляться къ особымъ случаямъ и потому часто несо-
стоятельной. Между тѣмъ автоматичность необходимо со-
здавать для экономіи времени и силъ и для достиженія
вѣрности и быстроты вычисленія.
Устное счисленіе имѣетъ то преимущество, что оно ни-
когда не можетъ превратиться въ механическое счисленіе
въ такой мѣрѣ, какъ это иногда наблюдается съ письмен-

нымъ счисленіемъ. Оно всегда остается «умственнымъ» счи-
сленіемъ, потому что при устномъ счисленіи ученикъ всегда
долженъ знать значеніе разряда цифры, долженъ всегда
имѣть дѣло съ дѣйствительнымъ значеніемъ частичныхъ
результатовъ. Онъ долженъ удерживать «въ головѣ» не
только самую задачу, но и всѣ частичные и конечные
результаты, а всѣ дѣйствія долженъ производить въ
представленіи безъ внѣшнихъ вспомогательныхъ средствъ.
Въ то время, какъ при письменномъ счисленіи числовая
область неограничена, при устномъ счисленіи она ограни-
чивается обыкновенно областью первой тысячи. Письменное
счисленіе имѣетъ, далѣе, то огромное преимущество, что
его рѣшенія видимы и могутъ передаваться лицамъ, удален-
нымъ другъ отъ друга во времени и въ пространствѣ. Если
бы жизненная школа превратила письменное счисленіе,
во всѣхъ его частяхъ, въ «умственное» счисленіе, то стало
бы еще вопросомъ, нужно ли изучать отдѣльно устное счис-
леніе, какъ таковое. Во всякомъ случаѣ совершенно оши-
бочно считать устное счисленіе, основанное исключительно
на слуховомъ воспріятіи задачи, «ядромъ преподаванія
ариѳметики» (Штейеръ) или «совершеннѣйшей формой пре-
подаванія ариѳметики народу» (Гартманъ); требовать же
отъ учениковъ, чтобы они не представляли себѣ никакихъ
цифръ и знаковъ,—значитъ требовать психологически не-
возможнаго. Лица, не допускающія при преподаваніи уст-
наго счисленія, на ряду со слуховымъ воспріятіемъ, также
и зрительнаго воспріятія задачи, упускаютъ изъ вида,
что въ практической жизни числа очень часто задаются оп-
тически, что въ такомъ случаѣ вычисленіе идетъ вѣрнѣе
и быстрѣе, и что ученики, принадлежащіе къ типу опти-
ковъ, много теряютъ, если мѣриломъ ихъ умственныхъ
способностей считаютъ устное счисленіе, основанное на
слуховомъ воспріятіи. (Ср. стр. 242).
Жизненная школа также требуетъ тщательнаго изученія

устнаго счисленія. Во-первыхъ, съ общественно-педагоги-
ческой точки зрѣнія: при современныхъ культурныхъ
условіяхъ каждый человѣкъ принужденъ вычислять въ
умѣ въ своей повседневной жизни (по хозяйству, въ мага-
зинахъ, на почтѣ, на желѣзной дорогѣ и т. д.); къ тому же,
устное счисленіе имѣетъ, какъ мы видимъ, свои особыя
формы, которыя требуютъ находчивости и упражненія.
Во-вторыхъ, съ индивидуально-педагогической точки зрѣнія:
опредѣленныя наклонности должны быть развиты и вырав-
нены. Устное счисленіе требуетъ быстраго и вѣрнаго воспрія-
тія, запоминанія и обработки воспріятіи; оно побѣждаетъ
сонливость, разсѣянность, вялость, особенно, если его вести
въ формѣ соревнованія и время отъ времени давать задачи
на быстрое счисленіе. Устное счисленіе требуетъ, чтобы
вычисленіе производилось надъ небольшими и удобными
числами и чтобы при этомъ примѣнялись такъ называемые
«особые способы вычисленія», а это, въ свою очередь, прі-
учаетъ къ острому мышленію. Наконецъ, школа съ самаго
начала должна пріучать учениковъ дѣлать предваритель-
ную оцѣнку результатовъ и, пользуясь ею, провѣрять и
испытывать послѣдніе.
Часто утверждаютъ, что письменное счисленіе вытекаетъ
изъ устнаго и что, поэтому, въ преподаваніи устное счи-
сленіе должно всегда предшествовать письменному, выво-
диться изъ него. Такое утвержденіе совершенно неправиль-
но. Въ дѣйствительности, письменное счисленіе развивается
изъ счисленія надъ предметами, а уже изъ письменнаго счи-
сленія развивается затѣмъ устное. Только въ эпоху просвѣ-
щенія устное счисленіе стало достояніемъ народа и проникло
въ школу. (Ср. стр. 54). Сознательное письменное и устное
счисленіе требуетъ пониманія значенія разрядовъ и построе-
нія десятичной системы, а это пріобрѣтается наиболѣе
легко и естественно, съ точки зрѣнія психологіи дѣтей и
первобытныхъ народовъ, если счисленіе вести въ формѣ

абака, примѣняя тѣла или знаки. Болѣе подробныя ука-
занія даютъ планы соотвѣтствующихъ уроковъ въ спе-
ціально-методической части книги.
Техническое счисленіе не является самоцѣлью; оно
должно быть не слѣпо-механическимъ, а сознательнымъ,
надежнымъ и удобнымъ пособіемъ при жизненномъ счисле-
ніи, которое обнимаетъ собою всю теоретическую и практи-
ческую дѣятельность ученика въ жизни общества и природы;
эта дѣятельность, въ свою очередь, даетъ матеріалъ для
предметнаго счисленія, преобразованнаго такъ, какъ этого
требуетъ жизненная школа.
Какъ показываютъ нижеслѣдующіе примѣры, каждая
жизненная задача требуетъ, при рѣшеніи, примѣненія ка-
кого-либо одного, а чаще двухъ или болѣе основныхъ
ариѳметическихъ дѣйствій.
Отецъ зарабатываетъ ежегодно 4000 руб., изъ которыхъ
онъ долженъ уплачивать 127 руб. въ видѣ налоговъ. Сколько
денегъ ему остается? Заключеніе: 4.000 руб.—127 руб.
Такимъ образомъ, на одно заключеніе приходится одно ариѳ-
метическое дѣйствіе, именно вычитаніе.
Артель потребляетъ ежедневно по 5 фунтовъ мяса, цѣ-
ною 19 коп. за фунтъ. Сколько израсходуешь она на мясо
въ годъ? 1-ое заключеніе: 19 коп.х5; 2-ое заключеніе:
95 коп. х 365. Такимъ образомъ, на 2 заключенія приходятся
2 ариѳметическихъ дѣйствія, въ данномъ случаѣ два раза
повторенное умноженіе.
Каждое заключеніе требуетъ одного изъ 4 ариѳметиче-
скихъ дѣйствій, т.-е. сложенія, вычитанія, умноженія или
дѣленія. Такимъ образомъ, если принимать во вниманіе
видъ ариѳметическихъ дѣйствій, то каждая изъ задачъ,
требующихъ одного заключенія, будетъ обнимать собою
4 вида примѣровъ, т.-е. 41 примѣровъ, задачи, требующія
2 заключеній—42=16 примѣровъ, а задачи, требующія
3 заключеній,—43=64 вида примѣровъ.

Теперь умѣстно будетъ сказать нѣсколько словъ о труд-
ности задачъ жизненнаго счисленія и дать въ то же время
болѣе подробныя свѣдѣнія относительно выбора матеріала
и распредѣленія его по степени трудности.
Трудность жизненнаго счисленія зависитъ: 1) отъ сте-
пени пониманія ученикомъ вещественныхъ соотношеніи,
лежащихъ въ основѣ задачи, т.-е. отъ его опыта и отъ пред-
метнаго преподаванія; 2) отъ способности ученика опре-
дѣлять количество и выполнять заключеніе отъ единицъ
ко множеству, отъ множества къ единицѣ, отъ цѣлаго къ
части, отъ части къ цѣлому и т. д. Научиться опредѣлять
количество и выполнять заключенія можно, только про-
изводя такія опредѣленія и заключенія; поэтому плано-
мѣрное изученіе этихъ опредѣленій и заключеній соста-
вляетъ ядро преподаванія ариѳметики; на этомъ основаніи
не слѣдуетъ совершенно исключать изъ ариѳметики ал-
гебраическія задачи, рѣшаемыя путемъ простыхъ заклю-
ченій; 3) отъ степени овладѣнія техническимъ счисленіемъ,
т.-е. ариѳметическими дѣйствіями, необходимыми для вы-
численія, о чемъ мы говорили уже достаточно подробно.
Выборъ и распредѣленіе учебнаго матеріала для жиз-
неннаго счисленія, выполняемые въ соотвѣтствіи съ тре-
бованіями психологіи и педагогики, остаются по существу
тѣми же, что и при предметномъ обученіи; нѣкоторое огра-
ниченіе вноситъ только то обстоятельство, что намъ при-
ходится давать лишь такія задачи, которыя рѣшаются съ
помощью уже вполнѣ усвоенныхъ ариѳметическихъ дѣй-
ствій. Такимъ образомъ, ходъ всего преподаванія ариѳме-
тики въ теченіе первыхъ 4 лѣтъ обученія существеннымъ
образомъ обусловливается ходомъ изученія техническаго
счисленія. Соотвѣтствующій планъ занятій дается въ мето-
дической части этой книги. Изъ нея мы узнаемъ, что на
этой ступени обученія можно вполнѣ обходиться безъ
задачниковъ для учениковъ; такіе же задачники, въ кото-

рыхъ примѣрамъ предпосылаются, въ видѣ заголовка,
необходимыя для рѣшенія ихъ ариѳметическія дѣйствія,
должны быть вовсе упразднены.
5. Объ обученіи счисленію, ариѳметикѣ и высшей
математикѣ. Единая школа.
Если примѣнять надлежащій методъ преподаванія,
свойственный жизненной школѣ, то ученики пріобрѣ-
таютъ уже на первыхъ ступеняхъ обученія большій или
меньшій интересъ къ отвлеченнымъ, чистымъ числамъ
и ихъ соотношеніямъ; особенно справедливо это по отно-
шенію къ формально мыслящимъ ученикамъ.
Когда дѣти сознательно усвоятъ и пріобрѣтутъ на-
выкъ въ выполненіи ариѳметическихъ дѣйствій, напри-
мѣръ, сложенія и вычитанія, то у нихъ не только пробу-
дится интересъ къ счисленію, но, согласно дидактиче-
скому принципу корреляціи, появится, въ значительной
степени и способность выполнять количественныя опре-
дѣленія и заключенія; для этого необходимо только за-
ставлять ихъ рѣшать такъ называемыя алгебраическія
задачи, подобныя приведеннымъ ниже, безъ х и у, безъ
правилъ и формулъ, путемъ простыхъ заключеній, исклю-
чительно на основаніи здраваго человѣческаго смысла.
Примѣры: 1. Я задумалъ число. Если его увеличить на
75, то получится 130. Какое число я задумалъ? 2. Какое
число надо помножить на 5, чтобы получить 60? 3. Одно
число, взятое 9 разъ, составляетъ 24+12. Каково это
число? Далѣе: жизненная школа представляетъ собою
единую школу, которая распадается на низшую, среднюю,
школу повышеннаго типа и высшую Единство, связь
должны сохраняться въ единообразной школѣ по отно-
1) Подробнѣе см. Lay, Die Tatschule. Стр. 118.

шенію и къ матеріалу, и къ методамъ; и это вполнѣ воз-
можно, потому что научнымъ можетъ быть въ принципѣ
всякое преподаваніе, даже преподаваніе въ народной
школѣ, если только оно даетъ возможность познать истину
но основному научному методу: наблюденіе, переработка,
изображеніе; учителя народныхъ школъ и школъ повы-
шеннаго типа должны были бы твердо усвоить себѣ это,
хотя бы на примѣрѣ приведенныхъ выше алгебраиче-
скій задачъ.
Алгебра (счисленіе на буквахъ), заключающая въ себѣ
и ученіе объ уравненіяхъ, оказывается часто такой трудной
для учениковъ нашихъ школъ повышеннаго типа (а иногда и
влекущей настоящія крушенія) только потому, что изу-
ченію алгебры не предшествовало рѣшеніе «алгебраиче-
скихъ задачъ», выполняемое путемъ простыхъ заключе-
ній съ извѣстными числами1). «Функциональное мышленіе»,
давно уже стоящее въ программѣ педагогической комиссіи
съѣздовъ нѣмецкихъ естествоиспытателей и врачей и пре-
дусматриваемое, наконецъ, новыми планами преподаванія,
также начинаетъ раньше проникать въ юношеское мышле-
ніе и требуетъ вниманія со стороны учителя уже при пре-
подаваніи счисленія, а не только ариѳметики, конечно,
не въ строго «ученой», но все же научной формѣ, соотвѣт-
ствующей юношеской психологіи. «Функція» представляетъ
собою вспомогательное понятіе корреляціи, которая
является основнымъ принципомъ преподаванія въ жиз-
ненной п;колѣ. Послѣдняя сообщаетъ своимъ ученикамъ,
что часть есть функція дѣятельности, дѣйствія, дѣлителя;
произведеніе—функція множителей; остатокъ—функція
уменьшаемаго и т. д., конечно, не употребляя при этомъ
1) Можно указать сборники задачъ: 1. Zeissig, Algebraische
Aufgaben für die Volksschule. Leipzig. 2. Aufl. 2. Brenner, 300 algebra-
ische Aufgaben für Lehrerbildungsanstalten. 10 Aufl. Freiburg, 1908.

научнаго выраженія «функція». Слѣдуетъ имѣть въ виду,
что уже обученіе счисленію, если вести его основательно,
требуетъ такого «функціональнаго мышленія». Дѣйствія
съ дробями необходимо вводить, дѣлая ихъ наглядными;
однако, мы дадимъ наилучшее основаніе этому отдѣлу
счисленія, если представимъ нашимъ ученикамъ дробь,
какъ невыполненное дѣленіе, въ которомъ частное (зна-
ченіе дроби) зависитъ какъ отъ величины дѣлимаго
(числителя), такъ и отъ величины дѣлителя (знамена-
теля). Наконецъ, не слѣдуетъ упускать изъ вида, что,
при современномъ состояніи теоретико познавательнаго
математическаго изслѣдованія, натуральный рядъ чиселъ
является основаніемъ высшаго искусства счисленія—ана-
лиза. Даже такіе видные математики, какъ Кронекеръ,
раздѣляютъ взглядъ Дедекинда, что «каждое предложеніе
алгебры и высшей математики, какъ бы глубоко оно ни
было, всегда можетъ быть выражено, какъ предложеніе
о натуральныхъ числахъ» г).
Не ясно ли послѣ всѣхъ этихъ разсужденій, что учи-
теля математики въ школахъ повышеннаго типа должны
заниматься психологіей числа и счисленія, а также и
методикой преподаванія счисленія?
1) Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig,
1893.

III. Ступень экспериментально-дидак-
тическаго изслѣдованія.
Примѣненіе результатовъ опытовъ: методика
начальнаго обученія счету.
А) Общій обзоръ системы преподаванія.
1. Мѣсто, занимаемое обученіемъ счету.
На первыхъ страницахъ настоящей книжки мы уже
разсмотрѣли вопросъ о томъ, какое мѣсто занимаетъ обу-
ченіе счету, какъ отдѣльный органъ, въ общей системѣ
обученія, пли цѣломъ организмѣ, и пришли къ заклю-
ченію, что, согласно основному дидактическому принципу,
обученіе счету есть изобразительное формальное обученіе,
имѣющее цѣлью уясненіе и опредѣленіе посредствомъ
числа наблюдательнаго, предметнаго обученія. Обученіе
счисленію должно исходить изъ игръ и занятій учениковъ,
изъ всего предметнаго обученія и постоянно снова къ нимъ
возвращаться. Обученіе счисленію должно быть изобра-
женіемъ, выраженіемъ, дѣйствіемъ, въ томъ смыслѣ, какъ
это требуется новой распространенно-предметной школой.
Число есть результатъ нѣкотораго опредѣленнаго вос-
пріятія объектовъ, пребывающихъ въ пространствѣ или

во времени, т.-е. окружающихъ насъ предметовъ и явле-
ній. Оно вноситъ въ познаніе вещей, процессовъ и явле-
ній ту несравненную точность, ясность, отчетливость
и достовѣрность, которыя присущи численному воспрія-
тію и которыя дѣлаютъ его равно необходимымъ какъ
для науки, такъ и для обыденной жизни. Отсюда слѣдуетъ,
однако, что, ограничиваясь простымъ заучиваніемъ число-
выхъ представленій и правилъ дѣйствій (какъ это по боль-
шей части и происходитъ сейчасъ), мы останавливаемся на
полдорогѣ; чтобы дѣйствительно достигнуть выставленной
нами цѣли преподаванія ариѳметики, необходимо при-
мѣнить счисленіе ко всѣмъ отраслямъ разносторонняго
предметнаго преподаванія и ко всѣмъ предметамъ, съ
которыми ребенокъ сталкивается въ повседневной жизни.
Совѣтую просмотрѣть еще разъ стр. 8 и далѣе.
Сейчасъ мы укажемъ тѣ предметы и явленія, къ кото-
рымъ, въ согласіи съ поставленнымъ учебнымъ планомъ,
могутъ быть примѣнены: 1) представленіе основныхъ
чиселъ, 2) счетъ, 3) сложеніе и вычитаніе, 4) умноженіе
и измѣреніе не только, какъ предметный счетъ въ формѣ
«замаскированныхъ и прикладныхъ задачъ», но какъ дѣй-
ствительный счетъ, проникающій всю совокупность пред-
ставленій. Необходимыя предварительныя свѣдѣнія по
этикѣ и природовѣдѣнію должны быть сообщены при
наглядномъ преподаваніи; при первоначальномъ препода-
ваніи ариѳметики могутъ быть приняты во вниманіе слѣ-
дующіе предметы и явленія:
1. Игры и игрушки, распространенный среди дѣтей
и въ школѣ J). Такова, напримѣръ, игра «въ магазинъ»,
требующая наличности хозяйственныхъ познаній и навыка
въ счисленіи.
1) Подробности см.: Lay-Enderlein, Führer durch das erste
Schuljahr als Grundlage der Tatschule.

2. Жизнь въ классѣ: число учениковъ, части классной
комнаты, скамьи и другіе предметы, находящіеся въ классѣ.
Ихъ части и свойства (треугольникъ, четыреугольникъ,
краски на картинахъ и т. д.). Дѣятельность учениковъ:
стуки, произнесенныя и написанныя слова, звуки, движе-
нія, дѣятельность во время занятій (воспріятіе объектовъ
во времени).
3. Семья и домъ: родители, братья, сестры; счетъ,
группированіе; комната, предметы, находящіеся въ ней;
пища и пищевые продукты; заработокъ и расходы; купля
и продажа предметовъ класснаго и домашняго обихода.
4. Дворъ и садъ: домашнія животныя и орудія. Расте-
нія и животныя: части тѣла, окраска, дѣятельность.
5. Дѣятельность во время жатвы; мука и хлѣбъ; при-
готовленіе муки и хлѣба, предметы, работы выполняемый
при этомъ.
6. Солнце, звѣзды, луна, фазы луны; недѣли, мѣсяцы,
годъ, особенно для чиселъ 4 (недѣли), 7 (дней), 12 (мѣ-
сяцы); возрастъ братьевъ и сестеръ.
7. Часы: части, опредѣленіе времени по часамъ, опре-
дѣленіе продолжительности, начала и конца явленія по
часамъ.
8. Тѣло человѣка: части, одежда, движенія.
При составленіи учащимися задачъ на умноженіе и дѣ-
леніе, не выходящихъ изъ области ихъ кругозора, слѣ-
дуетъ обратить особенное вниманіе на скамьи съ 2, 3, 4 и т. д.
сидѣніями, ряды пуговицъ, окна, деревья и т. д.; монеты:
въ 1, 2, 5 копеекъ (пятачекъ), 10 коп. (гривенникъ) и 20 коп.
(двугривенный); пальцы и руки; ноги и пальцы на ногахъ
человѣка и животныхъ; дни и недѣли, недѣли и мѣсяцы,
мѣсяцы и годы. Далѣе слѣдуетъ отмѣтить—пару и дюжину,
также покупку грифелей, тетрадей и другихъ общеизвѣ-
стныхъ предметовъ на различныя монеты.
Многіе приверженцы школы Циллера-Рейна прини-

маютъ за исходный пунктъ начальнаго обученія счету
сказочныхъ героевъ, гномовъ и проч.; другіе же выби-
раютъ одно и то же число самыхъ разнообразныхъ пред-
метовъ. Но не слѣдуетъ забывать, что созданіе числовыхъ
представленій путемъ нагляднаго обученія, которое мы
отрицаемъ, и примѣненіе числовыхъ представленій при
наглядномъ обученіи, къ которому мы стремимся, вовсе
не одно и то же.
Чѣмъ внимательнѣе выбранъ и обработанъ матеріалъ
для нагляднаго обученія и чѣмъ онъ разнообразнѣе, тѣмъ
лучшіе результаты даетъ и обученіе счету. Постановка
нагляднаго обученія оказываетъ вліяніе не только на
преподаваніе языка и обученіе письму, но и на обученіе
счету. Въ другомъ мѣстѣ г) мы показали, что первона-
чальное школьное обученіе только тогда способствуетъ
дальнѣйшему развитію и соединенію содержательныхъ
и словесныхъ представленій и вызываетъ душевное разви-
тіе ребенка, когда дѣти, руководимыя учителемъ, сами
разсматриваютъ, ощупываютъ со всѣхъ сторонъ доступ-
ные имъ предметы и явленія, т.-е. если они въ букваль-
номъ смыслѣ слова имѣютъ эти предметы «подъ рукой».
Современные же учебные планы почти всегда отводитъ
чтенію и счету большее число часовъ, чѣмъ наглядному обуче-
ніи), придавая послѣднему лишь второстепенное значеніе2).
Такимъ образомъ, существующіе учебные планы и совре-
менная практика преподаванія болѣе или менѣе преры-
ваютъ, нарушаютъ и задерживаютъ естественное развитіе
ребенка, обучающагося въ школѣ первый годъ.Если мы взгля-
1) См. предыдущую сноску.
2) Въ нѣкоторыхъ же городахъ Германіи учителя очень часто,
а иногда и всегда, бываютъ вынуждены прекратить основное,
наглядное обученіе. Хотя это и кажется почти невѣроятнымъ, тѣмъ
не менѣе, это такъ.

немъ еще разъ на соотношеніе между предметнымъ обуче-
ніемъ и обученіемъ счету, то мы увидимъ, что разносто-
роннее углубленіе послѣдняго, какъ изобразительная,
формальнаго обученія, въ сильной степени зависитъ отъ
разносторонности и глубины перваго; поэтому правильная
постановка нагляднаго обученія вліяетъ не только на пре-
подаваніе языка и обученіе письму, но и на обученіе счету.
2. Выборъ учебнаго матеріала.
Исторія первоначальнаго преподаванія ариѳметики по-
казываетъ, что почти всѣ методисты находили болѣе удоб-
нымъ распредѣлять учебный матеріалъ не по дѣйствіямъ,
а по «областямъ чиселъ», къ чему ихъ побуждали серьез-
ныя причины. Что же касается перваго года обученія
въ школѣ, то почти всѣ педагоги, за рѣдкими исключе-
ніями, считаютъ возможнымъ изучить за этотъ промежу-
токъ времени область чиселъ отъ 1 до 20. Мы вполнѣ при-
соединяемся къ этому мнѣнію, получившему на практикѣ
должную оцѣнку. Правда, мы увѣрены, что, при нашемъ
способѣ обученія и примѣненіи новыхъ наглядныхъ посо-
бій, мы скорѣе и легче придемъ къ тѣмъ результатамъ,
которые требуются учебными планами, но не надо забы-
вать, что мы требуемъ и примѣненія счисленія ко всѣмъ
пространственнымъ и временнымъ предметамъ и явленіямъ,
затрагиваемымъ при наглядномъ обученіи; поэтому и у
насъ не останется времени, чтобы перейти указанный
предѣлъ—20. Какъ мы уже указывали, между формаль-
нымъ и матеріальнымъ, между техническимъ и жизнен-
нымъ обученіемъ счисленію существуетъ большая разница:
первое имѣетъ цѣлью развить въ учащихся числовыя
представленія и сообщить имъ навыкъ въ счисленіи; вто-
рое же должно научить ихъ численно воспринимать и
сравнивать различные предметы, явленія, происшествія,

причины, дѣйствія и проч. Между обоими предметами
существуетъ тѣсная связь, такъ какъ предметное счисле-
ніе можетъ имѣть мѣсто лишь въ той области, на которую
уже распространено формальное счисленіе.
При первоначальномъ обученіи мы считаемъ возмож-
нымъ примѣнять только слѣдующія ариѲметическія дѣй-
ствія: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и опредѣленіе
содержанія (измѣреніе). Дѣленіе и дѣйствія надъ дробями
мы исключаемъ, соглашаясь въ этомъ случаѣ съ д-ромъ
Гартманомъ, исключаемъ и всякіе фокусные примѣры,
въ родѣ слѣдующаго: ?=3 . 6+2—7. Утвержденіе нѣ-
которыхъ методистовъ, будто «дѣленіе» легче «измѣренія»,
или опредѣленія содержанія, совершенно неправильно.
При опредѣленіи содержанія и примѣненіи нашего счет-
наго аппарата весь процессъ протекаетъ передъ глазами
ребенка и, слѣдовательно, запоминается совершенно от-
четливо. При дѣленіи же ребенку всегда приходится имѣть
дѣло съ отвлеченнымъ числомъ—дѣлителемъ. Намъ могутъ
указать, что дѣленіе 6 яблокъ между 3 дѣтьми также со-
вершается наглядно; на это мы возразимъ, что здѣсь-то
именно мы не «раздѣлили» («geteilt»), а «подѣлили» («ver-
teilt») количество. Наглядность же «дѣлежа» обусловли-
вается тѣмъ, что дѣти непосредственно убѣждаются въ
возможности отнять 3 раза по 2 яблока; такимъ образомъ,
наглядность предполагаетъ именно наличность опредѣленія
содержанія, измѣренія.
Дѣйствія надъ дробями основываются на совершенно
иныхъ принципахъ и требуютъ новыхъ наглядныхъ мето-
довъ; къ тому же они часто затрудняютъ не только дѣтей,
но и взрослыхъ; поэтому мы предпочитаемъ сообщить дѣтямъ
сначала отчетливыя представленія только цѣлыхъ чиселъ
и основательно познакомить ихъ съ десятичной системой.
Наглядное обученіе, какъ обученіе предметное, по са-
мому своему психологическому значенію должно быть про-

тивопоставлено формальному обученію—чтенію и письму
и должно лежать въ основѣ всего преподаванія. Не только
психологъ, но и каждый, внимательно наблюдавшій дѣ-
тей, знаетъ, что ребенокъ интересуется и отчасти пони-
маетъ природу, жизнь людей, явленія, происходящій
на землѣ и на небѣ; ему не чужды даже религіозные и эти-
ческіе вопросы о Богѣ й о человѣкѣ. Наблюденія, разсу-
жденія и заключенія нѣкоторыхъ учениковъ, касающіяся
явленій природы и человѣческой жизни, а также и ре-
лигіозныхъ вопросовъ, часто бываютъ необычайно острыми,
глубокими и послѣдовательными; если же они и бываютъ
часто ошибочными, то это обусловливается неточностью
и неполнотой тѣхъ воззрѣній и представленій, которыя
лежатъ въ основѣ ихъ и пріобрѣтены почти всегда слу-
чайно. Шестилѣтній ребенокъ обладаетъ уже въ суще-
ственныхъ чертахъ разностороннимъ интересомъ и пони-
маніемъ. Онъ стремится и, дѣйствительно, способенъ вос-
принять и понять всякую вещь, всякое явленіе природы
и человѣческой жизни, если онъ знакомится съ ними непо-
средственно, а не только изъ словесныхъ объясненій или
картинъ. Онъ способенъ понять многое, но онъ долженъ
воспринимать вещи непосредственно, прикасаясь къ нимъ,
познавая ихъ собственнымъ чувствомъ, переживая ихъ.
Отсюда слѣдуетъ, что прочный фундаментъ каждаго
изъ зданій науки долженъ быть заложенъ уже въ первый
годъ школьнаго обученія; для постройки же его долженъ
быть выбранъ и обработанъ подъ руководствомъ учителя
тотъ матеріалъ, который находится поблизости. Къ этому
разностороннему, строго объективному и достаточно по-
нятному предметному обученію тѣсно примыкаетъ чтеніе
избранныхъ отрывковъ, которые описываютъ изучаемый
явленія въ легкой поэтической формѣ и дѣйствуютъ больше
на чувство, чѣмъ на разсудокъ,; они являются, такимъ
образомъ, дополненіемъ предметнаго обученія, которое

воспринимается весьма легко. Мною было указано х),
какимъ образомъ можно связать обученіе родному языку
и письму съ той совокупностью знаній, которую ученики
уже пріобрѣли при наглядномъ обученіи: руководясь
типическими примѣрами, дѣти пріобрѣтаютъ основныя по-
нятія въ области родного языка, запоминаютъ эти при-
мѣры, а затѣмъ примѣняютъ это знаніе ко всему тому,
что они уже вынесли изъ предметнаго нагляднаго обученія,
тѣмъ самымъ расширяя и углубляя свои познанія. То же
должно имѣть мѣсто и при обученіи счисленію. Прежде
всего дѣти должны пріобрѣсти числовыя понятія на типи-
ческихъ примѣрахъ (счетномъ аппаратѣ), затѣмъ пріоб-
рѣсти навыкъ въ простѣйшемъ счисленіи и, наконецъ,
примѣнить свои знанія не только къ «куплѣ-продажѣ»,
но и ко всему запасу свѣдѣній, полученному при нагляд-
номъ обученіи, тѣмъ самымъ расширяя и углубляя его.
Знаніе чиселъ, численныхъ соотношеніи и простѣйшихъ
предложеній является лишь ступенью къ дѣйствитель-
ному счисленію. Такимъ образомъ, действительное счисле-
ніе предполагаетъ наличность не только отвлеченнаго знанія,
но и умѣніе численно воспринимать и сравнивать естъ вещи
и явленія: окружающіе предметы, величины, количества,
причины, дѣйствія и проч. Въ правильности такого взгляда
на счисленіе (съ точки зрѣнія педагогики) насъ могутъ
убѣдить слѣдующія соображенія: 1) Человѣкъ одаренъ
способностью численно воспринимать и сравнивать вещи
и явленія, и способность эта нуждается въ разносторон-
немъ развитіи. 2) Число освѣщаетъ нѣкоторыя явленія
и вноситъ въ нихъ большую ясность и опредѣленность;
поэтому всѣ предметы и соотношенія, съ которыми при-
ходится встрѣчаться при преподаваніи, должны быть
1) Lay, Schülerhefte für den Sach-, Sprach-und Rechtschreibun-
terricht. Heft.

восприняты и изучены съ количественной стороны. 3) Всѣ
истины, касающіяся чиселъ и числовыхъ соотношеніи,
которыя ребенокъ позналъ на счетномъ приборѣ, только
тогда пріобрѣтутъ надлежащую глубину, широту и подо-
бающее имъ значеніе, когда ребенокъ примѣнитъ ихъ ко
всѣмъ извѣстнымъ ему явленіямъ и предметамъ, какъ
пространственнымъ, такъ и временнымъ. 4) Практическая
жизнь, требованія которой мы должны принимать во
вниманіе на ряду съ требованіями гармоническаго воспи-
танія,—признаетъ только прикладное счисленіе; прило-
женіе счисленія къ предметамъ, соотношеніямъ и явле-
ніямъ должно быть заучено и стать привычнымъ. 5) Знаніе
чиселъ и числовыхъ соотношеніи должно быть примѣнено
къ простѣйшимъ предметамъ и явленіямъ, извѣстнымъ
ребенку изъ личнаго опыта и нагляднаго преподаванія,
также и для того, чтобы создать ассимилирующія пред-
ставленія и дать ребенку надлежащую подготовку для
занятій въ послѣдующіе годы.
Такимъ образомъ, мы приходимъ къ слѣдующимъ поло-
женіямъ, касающимся прикладного счисленія:
1) Знаніе чиселъ и дѣйствій надъ ними, пріобрѣтенное
при помощи наглядныхъ пособій, должно быть немедленно
примѣнено ко всѣмъ пространственнымъ и временнымъ
предметамъ и явленіямъ, которые извѣстны ученикамъ
изъ разносторонняго нагляднаго, предметнаго преподава-
нія. Благодаря этому знаніе счисленія расширяется,
углубляется, укрѣпляется и становится знаніемъ дѣй-
ствительнаго, предметнаго счисленія; послѣднее же имѣетъ
весьма большое значеніе, какъ въ дѣлѣ развитія умствен-
ныхъ способностей, такъ и въ практической жизни.
2) Прикладное счисленіе, въ нашемъ смыслѣ этого
слова, предполагаетъ не только наличность знанія чи-
селъ и навыкъ въ счисленіи, по и точное знаніе предметовъ
и явленій; послѣднее же можетъ быть пріобрѣтено только

при разностороннемъ наглядномъ или предметномъ пре-
подаваніи. Безъ точнаго знанія вещей невозможно и опе-
рировать надъ ними, невозможно практически считать,
совершенно такъ же, какъ безъ точнаго знанія вещей
невозможно и точно описать ихъ (устно или письменно).
Развивая же форму за счетъ внутренняго содержанія,
мы совершаемъ грубую ошибку, такъ какъ развитіе со-
держанія, подобно развитію зерна орѣха, необходимо
влечетъ за собой и развитіе скорлупы, формы. Обученіе
счету, какъ и обученіе родной рѣчи и письму, какъ всякое
формальное обученіе вообще, должно быть тѣсно связано
съ предметнымъ обученіемъ. Само собой разумѣется,
что при наглядномъ обученіи слѣдуетъ обращать вниманіе
не только на знаніе родного языка, но и на знаніе счета,
поскольку это можетъ облегчать преподаваніе.
3) Съ точки зрѣнія педагогики, счисленіе слѣдуетъ
разсматривать, какъ численное воспріятіе и сравненіе
всѣхъ пространственныхъ и временныхъ предметовъ и
явленій, извѣстныхъ ученикамъ изъ личнаго опыта и
разносторонняго предметнаго преподаванія.
3. О наглядныхъ пособіяхъ вообще.
Наши опыты и изслѣдованія въ области психологіи
показали, что принципъ наглядности и наглядный пособія
имѣютъ весьма большое значеніе въ дѣлѣ первоначаль-
наго обученія счету. Вышеизложенная исторія методики
ариѳметики показала намъ, что на практикѣ примѣняется
не менѣе 200 различныхъ наглядныхъ пособій, о досто-
инствахъ и недостаткахъ которыхъ педагоги и ме-
тодисты судятъ совершенно различно (см. стр. 76), что
ежегодно появляются новыя наглядныя пособія, вытѣсняю-
щія нѣкоторыя изъ существующихъ, что многія старыя
пособія, давно уже погребенный, снова извлекаются на

свѣтъ Божій и что отсутствіе критицизма позволяетъ изоб-
рѣтателямъ выдавать свои пособія за наилучшій и встрѣ-
чать полное довѣріе. Эта путаница во взглядахъ на нагляд-
ныя пособія, примѣняемыя при начальномъ обученіи, убѣ-
дительнѣйшимъ образомъ доказываетъ, что послѣднее до
сихъ поръ еще лишено надежнаго фундамента. Существуютъ
же методисты, оспаривающіе самую возможность основы-
вать числовыя представленія на наблюденіи! И они оказа-
лись въ послѣднее время столь сильными, что педагоги,
придерживавшіеся ранѣе противоположныхъ взглядовъ,
стали колебаться въ своихъ убѣжденіяхъ. До сихъ поръ
еще никому не удалось такъ обосновать свои воззрѣнія,
чтобы взять надъ ними верхъ. Для этого не хватало под-
ходящаго матеріала, который освѣтилъ бы вопросъ объ
условіяхъ возникновенія числовыхъ представленій. Подобный
матеріалъ могутъ дать лишь опыты, т.-е. практическіе ре-
зультаты такого преподаванія, при которомъ отдѣльныя
стороны духовной дѣятельности численно оцѣниваются
и сравниваются между собой. Въ моей книжкѣ «Führer
durch den Rechtschreibunterricht» я впервые указалъ, ру-
ководясь численными данными психологическихъ и
методическихъ опытовъ, что единственнымъ нормальнымъ
нагляднымъ пособіемъ являются прописи; въ настоящемъ
же трудѣ я выставилъ тѣ требованія, которымъ должны
удовлетворять наглядный пособія, примѣняемыя въ первый
годъ обученія счету, при чемъ требованія эти выведены
изъ подобныхъ же опытовъ, дающихъ единственно пригод-
ный и вполнѣ надежный матеріалъ. Какъ мы уже знаемъ,
числовыя представленія и понятіе числа возникаютъ благо-
даря тому, что вниманіе устремляется на нѣкоторое коли-
чество отдѣльныхъ предметовъ, отвлекается отъ свойствъ
этихъ вещей и выдвигаетъ въ сознаніи на первый планъ
постуляцію, знаніе актовъ апперцепціи (см. стр. 108); мы
видѣли также, что это постулированіе можетъ совершаться

только при наличности вполнѣ опредѣленныхъ предметовъ
или конкретныхъ представленій отдѣльныхъ вещей; отсюда
слѣдуетъ, что при созданіи числовыхъ представленій не-
обходимо и достаточно какое-либо одно наглядное пособіе.
Этимъ достигаются слѣдующія преимущества: ясность,
отчетливость, надежность, быстрота; но наглядное пособіе
должно при этомъ обладать такими свойствами, которыя по-
зволили бы легко, надежно и быстро воспринимать, запоми-
нать и представлять себѣ его отдѣльныя части. Чтобы
избѣжать недоразумѣній, я долженъ замѣтить, что этимъ
я вовсе не хочу сказать, будто надо ограничиваться только
воспріятіемъ объектовъ нагляднаго пособія; наоборотъ,
я иду въ этомъ направленіи дальше, чѣмъ вообще принято
заходить: я требую, какъ мы уже видѣли, чтобы пріобре-
тенныя учениками числовыя представленія, счетъ и счисленіе
применялись ко всемъ пространственнымъ и временнымъ
вещамъ, не выходящимъ изъ кругозора ребенка. Но, какъ и при
всякихъ абстрактныхъ представленіяхъ, здѣсь имѣется
нужда въ одномъ конкретномъ представленіи, образцѣ, при-
мѣрѣ, т.-е. наглядномъ пособіи въ видѣ числовой фигуры.
Образецъ этотъ долженъ быть отчетливымъ, яснымъ и соот-
вѣтствующимъ своему назначенію; поэтому я считаю боль-
шой ошибкой одновременное примѣненіе въ качествѣ на-
глядныхъ пособій такихъ разнородныхъ предметовъ, какъ
шары, штрихи, пальцы, всевозможныя числовыя фигуры,
всевозможные плоды, животныя и т. д., и т. д. Очевидно,
далѣе, что далеко не всѣ наглядныя пособія могутъ быть
признаны подходящими образцами или примѣрами. Но
чѣмъ лучше какое-либо изъ существующихъ наглядныхъ по-
собій удовлетворяетъ выставленнымъ требованіямъ, тѣмъ
лучше выполнитъ оно и свое назначеніе, тѣмъ лучшіе
результаты дастъ и начальное обученіе счету, тѣмъ
сильнѣе будетъ и вліяніе его на преподаваніе ариѳметики
вообще. Перейдемъ теперь къ детальному изслѣдованію

наглядныхъ пособій, сперва тѣхъ, которыя построены по
принципу рядовъ, а затѣмъ и тѣхъ, въ которыхъ примѣнено
группированіе.
4. Наглядныя пособія въ которыхъ примѣнены ряды.
Мы уже видѣли, что если число объектовъ ряда, напри-
мѣръ, шаровъ, пальцевъ, штриховъ и т. д. превышаетъ 3, то
при одновременномъ воспріятіи дѣти лишь угадываютъ
число, оцѣнивая его на глазомѣръ или запоминая мѣсто
опредѣленнаго объекта въ рядѣ. Эта оцѣнка сильно облег-
чается промежуткомъ, оставленнымъ между б и 6 объектами,
а также различной окраской первой и второй группы объек-
товъ; въ этихъ случаяхъ достаточно воспринять и сосчитать
только тѣ объекты, которые лежатъ за промежуткомъ или
окрашены въ иной цвѣтъ. При употребленіи счетнаго ящика
Тиллиха счетъ сводится къ оцѣнкѣ длины; однако, правиль-
ное опредѣленіе ея требуетъ продолжительнаго упражненія,
особенно если разница въ длинѣ незначительна 1); но
и при наличности навыка приходится встрѣчаться съ
большимъ количествомъ ошибокъ даже при непосредствен-
номъ созерцаніи. Во сколько же разъ увеличится число ихъ,
если руководствоваться только памятью и представленіемъ
длинъ, т.-е. считать, прибегая лишь къ представленію
объектовъ, какъ это мы дѣлаемъ, примѣняя квадратныя
числовыя фигуры.
Такимъ образомъ, ряды могутъ примѣняться только въ
качествѣ счетнаго, а не нагляднаго пособія; но и въ этомъ
отношеніи они весьма несовершенны, такъ какъ единицы
ряда выдѣляются недостаточно отчетливо. Слѣдующимъ
крупнымъ недостаткомъ наглядныхъ пособій этого рода
г) Ср. счетный ящикъ Познеръ-Лангера, который предназна-
чается для учениковъ и устроенъ по принципу ящика Тиллиха.

является то обстоятельство, что второй десятокъ нельзя
непосредственно присоединить къ первому, а это затруд-
няетъ и безъ того нелегкій переходъ отъ одного десятка къ
другому. Далѣе необходимо отмѣтить, что всѣ эти пособія
совершенно непригодны для одновременнаго воспріятія
объектовъ при помощи осязанія.
Результаты, достигаемые при примѣненіи указанныхъ
пособій, оказываются весьма плачевными по сравненію съ
тѣми результатами, которые получаются при употребленіи
квадратныхъ числовыхъ фигуръ. Это обусловливается тѣмъ,
что при примѣненіи квадратныхъ числовыхъ фигуръ уже
шестилѣтнія дѣти могутъ одновременно (т.-е. въ дробную
частъ секунды) воспринимать и представлять себѣ 12 объ-
ектовъ; дѣйствія надъ числами, не превышающими 12,
также могутъ быть ясно и отчетливо представлены уче-
никами, предрасположенными къ воспріятію зрительныхъ
ощущеній, и результаты дѣйствій (напр., 4+3; 7—4 ит. д.)
найдены при помощи одного лишь представленія. Слѣдуетъ
отмѣтить также, что всѣ дѣти могутъ пріобрѣсти широкій
навыкъ въ зрительномъ воспріятіи и представленіи группъ.
Что же касается рядовъ, то при примѣненіи ихъ одновре-
менное воспріятіе и представленіе не идетъ, вообще говоря,
дальше 3; результаты дѣйствій (....4+3=7; 7—4=3) могутъ
быть найдены только путемъ ненадежной оцѣнки или же пу-
темъ счета; но послѣднее ведетъ къ нахожденію числитель-
наго, а не къ созданію отчетливаго представленія. Такимъ
образомъ, всѣ аппараты съ рядами: русскіе счеты и всѣ ихъ
видоизмѣненія, аппаратъ Тиллиха и другіе приборы, осно-
ванные на томъ же принципѣ, а также штрихи и пальцы,
слѣдуетъ признать, по сравненію съ квадратными числовыми
фигурами, весьма несовершенными и малоцѣнными пособія-
ми. Они не могутъ облегчить созданія отчетливыхъ предста-
вленій чиселъ, превышающихъ 3; поэтому мы считаемъ себя
вынужденными отказать имъ въ названіи «наглядныхъ» по-

собій и разсматривалъ ихъ исключительно, какъ пособія при
счетѣ.
Ряды создаютъ только линейныя ассоціаціи и обусловли-
ваютъ связь только въ прямомъ и обратномъ направленіи,
тогда какъ числовыя фигуры, построенныя по правилу,
чтобы меньшія изъ нихъ входили въ большія, не измѣняя
своей формы, создаютъ пространственный ассоціаціи и связь
во многихъ направленіяхъ. Поэтому объекты ряда можно
уподобить жемчужинамъ, нанизаннымъ на одну тонкую и
непрочную нить, а числовыя фигуры—тѣмъ- же жемчужи-
намъ, но прочно прикрѣпленнымъ къ цѣлой сѣти нитей.
Результаты нашихъ опытовъ дали намъ въ руки наилуч-
шій изъ всѣхъ существующихъ масштабовъ, при помощи
которыхъ можно опредѣлить пригодность наглядныхъ по-
собій, примѣняемыхъ при первоначальномъ обученіи счету.
Руководствуясь имъ, мы можемъ изложить теперь рядъ
критическихъ замѣчаній, покоящихся на твердо установлен-
ныхъ фактахъ, и привести численную оцѣнку различныхъ
счетныхъ приборовъ.
Русскіе счеты приводятъ къ результатамъ, которые въ
5 разъ хуже результатовъ, получаемыхъ при употребленіи
квадратныхъ числовыхъ фигуръ, изображенныхъ черными
кругами на бѣлой бумагѣ. Примѣняя счеты, учитель и уче-
ники затрачиваютъ въ 5 разъ больше силъ и времени, чѣмъ
они затратили бы, примѣняя указанныя числовыя фигуры.
Недостатками счетовъ являются: расположеніе объектовъ въ
видѣ ряда, отсутствіе промежутковъ между ними, невоз-
можность непосредственно присоединить къ первому де-
сятку второй. Достоинствомъ счетовъ служитъ то, что
считаемые объекты суть тѣла, а не знаки (какъ, напримѣръ,
штрихи); кромѣ того, криволинейное очертаніе объектовъ
не даетъ имъ возможности тѣсно прилегать другъ къ другу
(какъ въ случаѣ кубиковъ и палочекъ); наконецъ, объекты
можно по произволу раздѣлять и соединять.

Штрихи въ видѣ стѣнныхъ таблицъ Бильгарца приводятъ
къ результатамъ, въ 7—8 разъ худшимъ, чѣмъ квадратныя
числовыя фигуры, изображенныя на бумагѣ. Недостатки ихъ:
расположеніе въ рядъ, примѣненіе знаковъ (а не тѣлъ),
неподвижность штриховъ. Противъ примѣненія, въ качествѣ
наглядныхъ пособій, штриховъ, расположенныхъ въ одну
линію или по кругу, какъ на часовомъ циферблатѣ, гово-
рятъ и данныя психологіи народовъ. Ассирійцы, египтяне,
китайцы, японцы, римляне, изображали штрихами, какъ
правило, только три числа: 1, 2, 3. Если имъ надо было при-
мѣнить большее число штриховъ, то они группировали ихъ
по 3 или 4.
Пальцы почти вдвое уступаютъ Борновскимъ числовымъ
фигурамъ, изображеннымъ на бумагѣ; послѣднія же, въ
свою очередь, почти въ 2 раза хуже квадратныхъ фигуръ;
поэтому квадратныя фигуры лучше пальцевъ въ 4 раза.
Недостатки: расположеніе въ рядъ, болѣе низкое поло-
женіе большого пальца по сравненію съ другими пальцами,
вслѣдствіе чего его легко проглядѣть, что замѣчено уже
нѣкоторыми индѣйскими племенами (стр. 15), малый кон-
трастъ между цвѣтомъ пальцевъ и руки, трудность двигать
однимъ пальцемъ независимо отъ другихъ и раздѣлять ихъ,
а также возможность всегда пользоваться пальцами, какъ
пособіемъ при счетѣ. Д-ръ Гартманъ, превосходный мето-
дистъ и тонкій знатокъ дѣтской души, удостовѣряетъ «на ос-
нованіи тщательныхъ наблюденій, произведенныхъ при
классныхъ испытаніяхъ, что тѣ дѣти, которымъ примѣненіе
пальцевъ во второмъ классѣ не возбранялось, стояли по
по своимъ способностямъ замѣтно ниже тѣхъ дѣтей, ко-
торымъ примѣненіе пальцевъ при счетѣ было воспрещено».
По опытамъ проф. Мюнстерберга1), различить отдѣльные
1) Münsterberg, Beiträge zur experimentellen Psychologie. 4. Heft,
стр. 50.

пальцы, руководствуясь только осязаніемъ, довольно трудно
особенно справедливо это въ отношеніи 3-го и 4-го пальцевъ
Бѣлыя кнопки на черномъ полѣ, напримѣръ, гораздо легче
различимы, чѣмъ пальцы; то же относится и къ представле-
нію ихъ. Кнопки, камешки и т. д., какъ объекты посторон-
ніе, легче воспринимаются и различаются, посредствомъ ося-
зательныхъ и двигательныхъ ощущеній, чѣмъ пальцы. Къ
тому же, прежде, чѣмъ дѣти научатся правильно обращаться
со своими пальцами, они должны затратить много силъ и
времени. Утвержденіе, будто пальцы являются наилуч-
шимъ нагляднымъ пособіемъ, при помощи котораго всѣ на-
роды пріобрѣли числовыя представленія, свидѣтельствуетъ
только о полномъ незнакомствѣ или недостаточно близ-
комъ знакомствѣ съ данными народной и дѣтской психо-
логіи (см. стр. 15 и 34).
Счетный ящикъ Тиллиха имѣетъ слѣдующія достоинства:
считаемые объекты суть тѣла: кубики можно по произволу
складывать и разнимать. Недостатки его: расположеніе
объектовъ въ рядъ, почти полное отсутствіе промежутковъ
между кубиками, вслѣдствіе чего ихъ почти невозможно
воспринимать въ отдѣльности (опыты наши показали, что
воспріятіе и счетъ шаровъ, соприкасающихся между собой,
и штриховъ, раздѣленныхъ лишь незначительными про-
межутками, представляютъ значительныя затрудненія),
вертикальное расположеніе тѣлъ. Борновскія числовыя
фигуры, уступающія во многомъ квадратнымъ фигурамъ,
все же превосходятъ аппаратъ Тиллиха въ 7—8 разъ.
5. Наглядныя пособія, въ которыхъ примѣнены число-
выя фигуры.
Всякое наглядное пособіе, примѣняемое при первоначаль-
номъ обученіи счету, должно одновременно удовлетворять
слѣдующимъ двумъ требованіямъ: во-первыхъ, оно должно

способствовать пріобрѣтенію отчетливыхъ представленій
чиселъ отъ 1 до 10 и больше и, во-вторыхъ, дать возмож-
ность выполнять дѣйствія, руководствуясь только пред-
ставленіемъ, т.-е. допускать естественное и легкое запоми-
наніе дѣйствій надъ числами данной области. Последнее
возможно, однако, лишь въ томъ случаѣ, если меньшія чис-
ловыя фигуры входятъ въ большія, не измѣняя своей формы;
это условіе соблюдается только въ Борновскихъ и квадрат-
ныхъ числовыхъ фигурахъ г). Но запоминаніе числовыхъ
фигуръ и оперированіе надъ представленіями ихъ, т.-с.
распознаваніе меньшихъ числовыхъ фигуръ въ большихъ,
требуетъ извѣстнаго напряженія даже отъ взрослыхъ.
(Прошу читателей имѣть это въ виду при разсмотрѣніи квад-
ратныхъ числовыхъ фигуръ, изображенныхъ на таблицѣ II).
Поэтому необходимо, чтобы наглядное пособіе возможно
лучше удовлетворяло выдавленнымъ требованіямъ; только
при соблюденіи этого условія мы сможемъ признать его
заслуживающимъ вниманія и примѣненія на дѣлѣ. Какъ
мы уже видѣли, выборъ въ данномъ случаѣ возможенъ
только между числовыми фигурами Борна, Бетца и квадрат-
ными числовыми фигурами. Но уже простое размышленіе
и примитивный психологическія наблюденія заставляютъ
практика-педагога отдать предпочтеніе Борновскимъ число-
х) Желательно также, чтобы и при разложеніи любой числовой
фигуры на части, послѣднія получались бы одинаковыми съ ранѣе
изученными фигурами тѣхъ чиселъ, которыя онѣ собою выра-
жаютъ.—Это непосредственно вытекаетъ изъ только-что изложеннаго
предложенія д-ра Лая. Этому условію лучше всего удовлетворяютъ
также Борновскія и квадратныя числовыя фигуры. Ясно, однако,
что выполненіе этого требованія возможно только до нѣкоторой
степени. Такъ, числовую фигуру пяти (см. таблицу II) можно разло-
жить на числовыя фигуры двухъ и трехъ, но не на числовыя фигуры
трехъ и двухъ и т. д.
Примѣч* переводи»

вымъ фигурамъ и квадратнымъ, которыя выведены изъ
Борновскихъ фигуръ. Однако, вполнѣ надежное рѣшеніе
вопроса о томъ, какимъ фигурамъ надо отдать предпочте-
ніе, можетъ быть получено только путемъ точныхъ дидакти-
ко-психологическихъ опытовъ, а не теоретическихъ разсу-
жденій. Наши опыты показали, что квадратныя числовыя
фигуры значительно превосходятъ по своимъ качествамъ не
только Бетцовскія, но и Борновскія числовыя фигуры.
Повѣрочные опыты, предпринятые нѣкоторыми педагогами,
привели къ тѣмъ же результатамъ. При опытахъ мы поль-
зовались только числовыми фигурами 1—10; но простое
сравненіе Борновскихъ, Бетцовскихъ и квадратныхъ фи-
гуръ для чиселъ отъ 10 до 20 показываетъ, что послѣднія
и въ этомъ случаѣ лучше остальныхъ.
Установивъ, такимъ образомъ, наилучшій способъ рас-
положенія объектовъ въ пространствѣ, мы должны за-
няться теперь построеніемъ нагляднаго пособія, которое
находилось бы у учителя и служило бы для демонстри-
рованія числовыхъ фигуръ цѣлому классу, а затѣмъ и
пособія для изображенія чиселъ, которое имѣлось бы подъ
руками у каждаго ученика, какъ того требуетъ основной
дидактическій принципъ (стр. 8). Оба указанные прибора
должны удовлетворять цѣлому ряду новыхъ требованій.
6. Приборъ для первоначальнаго обученія счету,
построенный по принципу числовыхъ фигуръ.
Въ каждомъ классѣ долженъ находиться счетный при-
боръ, при помощи котораго учитель могъ бы показывать
ученикамъ числовыя фигуры и выполнять надъ ними раз-
личныя дѣйствія. Роль учителя въ данномъ случаѣ—
активная, роль учениковъ—пассивная, такъ какъ первый
изображаетъ, вторые же только созерцаютъ. За созерца-
ніемъ слѣдуетъ и изображеніе видѣннаго на ручномъ при-

борѣ, имѣющее цѣлью улучшить наблюденіе. Оба ука-
занные прибора, т.-е. наглядное пособіе, находящееся у учи-
теля, и приборъ для изображенія, имѣющійся у каждаго
ученика,, нѣсколько разнятся одинъ отъ другого, въ зави-
симости отъ тѣхъ цѣлей, которымъ они служатъ; во всемъ же,
что касается формы, цвѣта, расположенія, разстоянія и
направленія, они совершенно одинаковы. Требованія, ко-
торымъ долженъ удовлетворять первый изъ этихъ при-
боровъ, можно формулировать такъ:
1. Приборъ долженъ ставиться вертикально.
2. Отъ воспріятія объектовъ прибора при помощи чув-
ства осязанія слѣдуетъ отказаться.
3. Уже по одной этой причинѣ, въ качествѣ счетнаго
прибора не слѣдуетъ примѣнять доски съ отверстіями и
вставными штифтами (напримѣръ, Нюрнбергской доски);
но подобнаго рода приборы обладаютъ еще слѣдующимъ
недостаткомъ: послѣдовательное прибавленіе и отнятіе от-
дѣльныхъ штифтовъ влечетъ за собою значительную по-
терю времени и обусловливаетъ сбивчивость представленій
у учениковъ, которая часто такъ и остается нераскрытой;
б, 3, 7, 4, 8 или иное число тѣлъ, подлежащихъ счету, должно
прибавляться и отниматься не послѣдовательно, а сразу.
4. Тѣламъ, подлежащимъ счету, слѣдуетъ придавать
форму шара, а не круга или куба, такъ какъ только въ
этомъ случаѣ видимая форма и величина ихъ не измѣняются.
б. Большой счетный приборъ (модель R1) имѣетъ 100,
малый (модель В2)—20 шаровъ; послѣдній приборъ при-
мѣняется въ первый годъ обученія счету.
6. Каждый шаръ имѣетъ 3 см. въ діаметрѣ; разстоянія
между шарами могутъ быть сдѣланы равными или нерав-
ными при помощи трубочекъ, легко перемѣщающихся по
проволокѣ; а такъ какъ и разстоянія между проволоками
могутъ мѣняться по произволу (см. приложенный рису-
нокъ, слѣва), то на указанномъ приборѣ можно весьма

просто, легко и точно изображать не только ряды, но и
всѣ числовыя фигуры (см. табл. I).
7. Доска и трубочки выкрашены въ черный цвѣтъ;
шары, лежащіе влѣво (первый, третій и т. д. десятки),—
въ бѣлый цвѣтъ и шары, лежащіе вправо (второй, четвер-
тый и т. д. десятки),—въ красный цвѣтъ1) Благодаря ука-
г) Указанная окраска шаровъ стоитъ до нѣкоторой степени въ
противорѣчіи съ положеніемъ, высказаннымъ д-ромъ Лаемъ на
стр. 200 настоящей книги («... что же касается разложенія,... то рѣз-
кое измѣненіе цвѣта часто только мѣшаетъ ему, такъ какъ раз-
ложеніе лишь въ рѣдкихъ случаяхъ согласуется съ приданной
окраской»). Различная окраска шаровъ, дѣйствительно, нѣсколько
мѣшаетъ разложенію двузначныхъ чиселъ на произвольныя части,
но зато она такъ облегчаетъ упражненія въ написаніи двузначныхъ
чиселъ и разложеніи ихъ на десятки и единицы, что съ указаннымъ
неудобствомъ приходится примириться.
Примѣч. переводи.

занному устройству прибора, числа отъ 11 до 100, напри-
мѣръ:
15=1 д. 5 ед.
29-2 д. 9 ед.
можно составить такимъ образомъ, чтобы единицы обра-
зовали ту же числовую фигуру, какая примѣнялась при
изученіи чиселъ перваго десятка. Это особенно рекомен-
дуется при разложеніи и упражненій въ написаніи чиселъ,
превышающихъ 10. (См. также таблицу III).
8. Чтобы дать учителю возможность закрыть тѣ шары,
которые въ данный моментъ не нужны, къ прибору при-
крѣплена справа дощечка, могущая вращаться на шар-
нирахъ наподобіе двери.
9. Аппаратъ не тяжелъ, удобенъ для употребленія; онъ
можетъ быть подвѣшенъ или установленъ (на рисункѣ,
къ сожалѣнію, подставка не видна; равнымъ образомъ,
не показана на немъ и дверка).
Описанный новый счетный приборъ таковъ, что учитель
можетъ продѣлать на немъ всѣ тѣ операціи, которыя уче-
ники исполняютъ на своемъ ручномъ счетномъ приборѣ.
Послѣдній необходимъ для того, чтобы ученики могли
сами изображать видѣнное, совершенствуя этимъ наблю-
деніе и пользуясь при этомъ чувствомъ осязанія (ощуще-
ніе теплоты, вѣса, давленія, состоянія поверхности), что
не можетъ быть достигнуто при употребленіи одного лишь
класснаго прибора. Такимъ образомъ, ручнымъ счетнымъ
аппаратомъ необходимо пользоваться при упражненіяхъ.
10. Укажемъ въ заключеніе, что описанный приборъ
существенно облегчаетъ и позволяетъ дѣлать нагляднымъ
разложеніе (при переходѣ отъ однихъ десятковъ къ дру-
гимъ), начертаніе двузначныхъ и многозначныхъ чиселъ,
заучиваніе таблицы умноженія, а также письменное сло-
женіе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе. Послѣднее пред-

ставляетъ для дѣтей большое затрудненіе, тѣмъ болѣе,
что вообще, кажется, не существуетъ такого прибора,
который могъ бы прямо ввести ихъ въ область идей и спо-
собовъ начертанія различныхъ ариѳметическихъ дѣйствій1).
7. Ручной счетный приборъ для учениковъ.
Ребенокъ не довольствуется простымъ воспріятіемъ впе-
чатлѣній: пассивная роль его не удовлетворяетъ; онъ стре-
мится быть самодѣятельнымъ, трогая окружающіе его пред-
меты, раздѣляя и складывая ихъ. Это показываетъ, что
чувство осязанія имѣетъ большое значеніе при познава-
ніе наши же опыты и наблюденія, произведенные надъ слѣ-
пыми, неопровержимо доказали, что чувство осязанія мо-
жетъ быть съ большимъ успѣхомъ примѣнено при созданіи
числовыхъ представленій, такъ какъ оно легче всего убѣ-
ждаетъ ребенка въ существованіи вещей, лежащемъ въ
основѣ понятія числа. Слѣдуетъ замѣтить, кромѣ того,
что связанныя зрительный и осязательныя представленія
лучше удерживаются въ памяти, чѣмъ разъединенныя.
Но если не считать примѣненія пальцевъ и палочекъ, то ока-
жется, что при созданіи числовыхъ представленій дѣтей
заставляютъ прибѣгать исключительно къ зрѣнію, и ужъ,
конечно, никто изъ методистовъ не выставлялъ принципіаль-
наго требованія примѣненія чувства осязанія и не пы-
тался методически разработать этотъ вопросъ.
*) Замѣтимъ, что описанный приборъ можно весьма легко по-
строить, если взять обыкновенные классные счеты, увеличить раз-
стояніе между проволоками, вставить между шарами трубочки из-
вѣстной длины, а затѣмъ, перекрасивъ шары, прикрѣпить къ рамкѣ
позади проволокъ черную бумагу или матерію. Само собою разу-
мѣется, однако, что такой приборъ уже ничего не будетъ имѣть
общаго со счетами.
Примѣч. переводч.

Такимъ образомъ, мы видимъ, что каждый ученикъ
долженъ имѣть подъ рукою наглядное пособіе, которое
удовлетворило бы его стремленію къ самодѣятельности,
и отдѣльные объекты котораго онъ могъ бы воспринимать
одновременно и зрѣніемъ, и осязаніемъ.
Въ интересахъ самодѣятельности учениковъ жела-
тельно, далѣе, чтобы: 1) отдѣльныя считаемыя тѣла можно
было по произволу прибавлять и отнимать и 2) чтобы эти двѣ
операціи можно было выполнять легко, не нарушая рас-
положенія объектовъ. 3) Поэтому объектамъ слѣдуетъ
придавать форму полушаріи, снабдивъ доску прибора
отверстіями, въ которыя ихъ можно было бы вставлять.
Чтобы достигнуть наилучшаго воспріятія объектовъ
при помощи зрѣнія, слѣдуетъ соблюсти еще слѣдующія
условія, непосредственно вытекающія изъ результатовъ
нашихъ опытовъ: 1) Объекты должны располагаться по
принципу квадратныхъ числовыхъ фигуръ. 2) Они должны
имѣть какую-либо простую форму (круга или шара). 3) По
величинѣ и прочимъ свойствамъ они должны быть совер-
шенно одинаковыми. 4) Разстояніе между шарами дол-
жно равняться 11/2, а разстояніе между квадратами—2
діаметрамъ шара. 5) Шары должны быть окрашены въ
бѣлый цвѣтъ, доска же—въ черный цвѣтъ. 6) Большее
измѣреніе числовой фигуры должно быть горизонтальнымъ,
а не вертикальнымъ.
По отношенію къ наилучшему воспріятію объектовъ
при помощи осязанія мы можемъ выставить еще слѣдую-
щее требованіе, которое также основано на результатахъ
нашихъ опытовъ: разстоянія между тѣлами должны быть
настолько большими, чтобы ощущенія можно было вос-
принимать и различать каждое въ отдѣльности; мы дѣ-
лаемъ ихъ равными 12 мм. при діаметрѣ шаровъ въ 8 мм.
Методико-практическія причины побуждаютъ приба-
вить къ указаннымъ требованіямъ еще слѣдующія: 1)

Наглядное пособіе должно давать возможность изобра-
жать въ видѣ числовыхъ фигуръ всѣ представленія чиселъ
отъ 1 до 20 и всѣ дѣйствія надъ числами, которыя про-
ходятся въ первый годъ обученія. 2) Второй десятокъ
долженъ непосредственно примыкать къ первому, какъ
того требуетъ принципъ образованія числовыхъ фигуръ.
Такимъ образомъ, наглядное пособіе должно содержать
2 десятка шаровъ: 1 десятокъ можетъ быть одновременно
(въ дробную часть секунды) воспринятъ и представленъ
всѣми учениками; числа же отъ 11 до 20 быстро воспри-
нимаются, какъ 1 десятокъ+1 ... 10. 3) Вслѣдствіе нѣ-
которыхъ причинъ (напримѣръ, для удобства разложенія
чиселъ, превышающихъ 10) слѣдуетъ окрашивать шары
второго десятка въ какой-либо иной цвѣтъ.
Прилагаемый рисунокъ изображаетъ описанный счет-
ный приборъ, который мы исполнили въ двухъ разныхъ

видахъ: 1) въ видѣ счетной линейки L, снабженной про-
волоками, на которыя нанизаны шары, и 2) въ видѣ пе-
нала, въ крышку котораго вставляются особыя кнопки.
Фиг. К изображаетъ раскрытый пеналъ, D—нижнюю
сторону крышки пенала, окрашенную въ черный цвѣтъ,
kn—кнопку, L—черную линейку, на которой лежатъ бѣлые
и красные (2-ой десятокъ) шары, раздѣленные трубочками.
8. О способѣ употребленія счетной линейки и счетнаго
ящика.
Покажемъ теперь, какъ надо разлагать числовыя фи-
гуры при различныхъ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ, и ка-
кимъ образомъ можно выполнить это разложеніе на клас-
сномъ счетномъ приборѣ и ручномъ счетномъ ящикѣ. Число-
выя фигуры, изображенныя на таблицѣ II, раздѣлены на
части штрихами; послѣднія обозначаютъ указку, каран-
дашъ, грифель ит. д., которыми можно пользоваться для
разложенія числовыхъ фигуръ, изображенныхъ на клас-
сномъ приборѣ, а также и для перемѣщенія шаровъ. Къ
непосредственному прибавленію и отнятію шаровъ или
кнопокъ счетныхъ приборовъ необходимо прибѣгать только
вначалѣ, когда дѣти еще смѣшиваютъ слова «больше» и
«меньше». Впослѣдствіи же достаточно только дѣлить
числовую фигуру при помощи указки (на классномъ счет-
номъ приборѣ) или закрывать ту или иную часть число-
вой фигуры ладонью (при употребленіи ручного прибора).
При этомъ правую часть фигуры надо закрывать правой
рукой, а лѣвую часть—лѣвой рукой (если рѣчь идетъ,
напримѣръ, о сложеніи 4+3=7, то закрывается правая
часть фигуры, если же складываются 3+4=7, то закры-
вается лѣвая часть фигуры, см. таблицу На : 7). Чтобы
сдѣлать это закрываніе понятнымъ, учитель долженъ самъ
взять ручной аппаратъ и продѣлать на немъ передъ клас-
сомъ нѣсколько примѣровъ.

Основныя упражненія были уже описаны на стр. 35 и 138.
При составленіи упражненій, напечатанныхъ подъ ка-
ждой числовой фигурой, я не обращалъ вниманія на мето-
дическую послѣдовательность; я хотѣлъ только показать,
какъ надо разлагать числовую фигуру при рѣшеніи при-
веденныхъ примѣровъ; провѣрочные вопросы можно, од-
нако, предлагать и въ указанной послѣдовательности.
Учителя, примѣняющіе въ теченіе ряда лѣтъ описан-
ные приборы съ яснымъ пониманіемъ этого дѣла, утвер-
ждаютъ, что эти пособія въ сильной степени оберегаютъ
силы и время, какъ этого можно было ожидать и на осно-
ваніи результатовъ опытовъ.
9. Различные способы изображенія при помощи ми-
мики, языка рисунковъ, тѣлъ. Изображеніе чиселъ
и дѣйствій надъ ними при помощи цифръ и тѣлъ.
Какъ мы не разъ уже указывали, ребенокъ не доволь-
ствуется пассивнымъ воспріятіемъ ощущеній, онъ непре-
мѣнно стремится къ самодѣятельности, къ непосредствен-
ному обращенію съ предметами, къ изображенію ихъ.
Процессъ игры есть не что иное, какъ экспериментиро-
вание, построеніе моделей, группированіе, короче—са-
мостоятельное оперирование надъ окружающими пред-
метами. Кромѣ того, ребенокъ часто изображаетъ пред-
меты, обратившіе на себя его вниманіе, на бумагѣ, т.-е.
срисовываетъ ихъ. Это изображеніе предметовъ при по-
мощи тѣлъ или на бумагѣ сопровождается обыкновенно
и рѣчью. Ребенокъ описываетъ предметы, сообщаетъ, что
онъ дѣлаетъ, какъ онъ дѣлаетъ и почему онъ это дѣлаетъ;
онъ въ еще большей мѣрѣ, нежели взрослые, представляетъ
собой не только пассивное, воспринимающее, а и дѣй-
ствующее, активное существо. Дѣти и дикари, которые еще
не обладаютъ способностью управлять своими словами

движеніями и дѣйствіями, всегда стремятся къ выраженію
полученныхъ впечатлѣній и ощущеній, и это выраженіе
проявляется въ формѣ рефлекторныхъ движеній внутрен-
нихъ и внѣшнихъ органовъ (стр. 7 ). Ребенокъ стремится
изображать предметы, не только описывая ихъ на словахъ,
но и непосредственно—при помощи тѣлъ и рисунковъ.
Между тѣмъ вся наша система преподаванія страдаетъ
большой односторонностью: непосредственное обращеніе съ
предметами, изображеніе ихъ находятся еще въ полномъ
пренебреженіи. И въ то же время мы знаемъ, что только
благодаря этой дѣятельности (т.-е. изображенію при по-
мощи тѣлъ или на бумагѣ) наблюденія и представленія
достигаютъ надлежащей ясности, отчетливости, глубины и
жизненности: наблюденіе пріобрѣтаетъ законченную форму
только при изображеніи. Правда, дѣти и теперь занимаются
рисованіемъ при первоначальномъ обученіи счету (на мой
взглядъ, даже слишкомъ разнообразно, а потому и слишкомъ
много), но рисованіе не стоитъ въ связи съ изображеніемъ
при помощи тѣлъ, т. е. такихъ вещей, съ которыми дѣти
могли бы обращаться непосредственно. Въ качествѣ изобра-
жаемыхъ предметовъ обычно примѣняются рисунки, кольца,
штрихи, кресты, круги, плоскія фигуры, т.-е. безтѣлес-
ные значки, которые и замѣняютъ физическія тѣла, до-
пускающія непосредственное обращеніе. Но не значитъ ли
это давать дѣтямъ камень вмѣсто хлѣба?!1).
Въ нашей системѣ обученія счету—изображеніе при
помощи тѣлъ и фактическое построеніе числовыхъ фигуръ
играютъ весьма важную роль; это построеніе или а) со-
путствуетъ наблюденію или же Ь) производится только
г) Сравни: Лай, «Methodik des naturgesch. Unterrichts. 3 Aufl».—
тѣ мѣста, въ которыхъ говорится о рисованіи, наблюденіяхъ и
производствѣ опытовъ самими учениками. На рисованіе слѣдуетъ
смотрѣть не только какъ на предметъ преподаванія, но и какъ на
средство изображенія, а слѣдовательно, и обученія.

на основаніи представленія и сопровождается поясни-
тельными жестами. Изображеніе при помощи тѣлъ тѣсно
связано со словеснымъ изображеніемъ, а также съ изобра-
женіемъ на бумагѣ. Къ послѣднему же примыкаетъ и
изображеніе чиселъ цифрами.
При численномъ воспріятіи объектовъ и явленій по-
мощью слуха слѣдуетъ пользоваться ритмическими уда-
рами, счетомъ, пояснительными жестами и другими ми-
мическими выразительными движеніями.
Словесныя выраженія, примѣняемыя въ ариѳметикѣ, ко-
ротки, выразительны, формальны. Изображаемыя соот-
ношенія также строго разграничены и вполнѣ опредѣленны;
они не могутъ быть непрочными, колеблющимися или
измѣняющимися въ зависимости отъ разницы въ воспріятіи
и состояніи духа, такъ какъ при установленіи ихъ вни-
маніе обращается на самый фактъ бытія, существованія,
а не на тѣ свойства ихъ, которыя могутъ быть различно
восприняты различными людьми. Но пониманіе формаль-
ныхъ выраженій представляетъ для дѣтей значительныя
затрудненія; поэтому выраженія: «и», «безъ», «разъ», «на»
слѣдуетъ вводить не спѣша, непремѣнно продѣлывая всѣ
дѣйствія на классномъ и ручномъ аппаратахъ; при этомъ
процессъ счисленія описывается на словахъ въ такой формѣ,
которая понятна дѣтямъ, и только послѣ этого могутъ
примѣняться техническія выраженія, получаемыя изъ обыч-
ныхъ путемъ сокращенія ихъ (см. стр. 299, В, пункты 1—
*) Для нѣмецкихъ педагоговъ имѣетъ также большое значеніе
вопросъ объ употребленіи «ist» или «sind», т.-е. единственнаго или
множественнаго числа въ словесномъ выраженіи дѣйствій. Исходя
изъ той мысли, что дѣти выучиваются считать на нѣсколькихъ объ-
ектахъ, которые они должны умѣть представлять себѣ и которые
лежатъ въ основѣ всякаго понятія числа, д-ръ Лай приходитъ къ
заключенію, что употребленіе слова «sind» правильнѣе, чѣмъ упо-
требленіе слова «ist».
Примѣч. переводч.

При первоначальномъ обученіи счету необходимо до-
стигнуть того, чтобы дѣти могли совершенно автомати-
чески и, слѣдовательно, надежно и быстро рѣшать при-
мѣры, въ родѣ слѣдующихъ: 7+8=15; 3. 9=27 и т. д.,
т.-е. возбуждая только словесные и формальные, а не
содержательные центры представленій.
Опыты проф. Эббинггауза показали, что отношеніе
напряженія памяти при заучиваніи ряда слоговъ не просто
пропорціонально числу ихъ, такъ что при заучиваніи,
напр., ряда въ 6, 9 и 12 слоговъ, отношеніе напряженія
равно не 9/в и 12/6, а много большимъ числамъ. Такимъ обра-
зомъ, заставляя дѣтей присоединять къ числительнымъ
названія считаемыхъ вещей, часто имѣющія къ тому же
сложныя флексіи, мы въ высокой степени затрудняемъ
запоминаніе дѣйствій; вниманіе въ этомъ случаѣ отвле-
кается отъ содержанія числовыхъ представленій и обра-
щается на словесныя формы; а это во всякомъ случаѣ не-
желательно. Чтобы сберечь время и силы и тѣмъ облегчить
созданіе числовыхъ представленій, необходимо отбросить
названія считаемыхъ объектовъ класснаго и ручного при-
боровъ, тѣмъ болѣе, что впослѣдствіи все равно придется
обходиться безъ нихъ.
Какъ только ученики, изучивъ область чиселъ 3—10,
научатся писать цифры, они должны изображать цифрами же
всѣ числовыя представленія и дѣйствія, помѣщая ихъ
рядомъ съ соотвѣтствующими рисунками числовыхъ фи-
гуръ или подъ ними.
Если числовыя представленія сами по себѣ достаточно
ясны и живы, то отъ изображенія ихъ при помощи тѣлъ,
чертежей и мимики можно отказаться, сохранивъ только
словесное и цифровое изображеніе ихъ.
Если ребенокъ можетъ представить себѣ 5 вишенъ,
6 копеекъ, 7 дней въ видѣ числовыхъ фигуръ, или можетъ
«примѣнить» свѣдѣнія, пріобрѣтенныя на числовыхъ фи-

гурахъ, къ различнымъ предметамъ, то это значитъ, что
онъ умѣетъ постулировать вещи, изображать ихъ, ру-
ководясь своей творческой фантазіей (болѣе или менѣе
сознательной) и согласуясь съ типическими числовыми
представленіями, пріобрѣтенными на числовыхъ фигу-
рахъ, и основанными на нихъ дѣйствіями. Прикладное
или предметное счисленіе есть, такимъ образомъ, не что
иное, какъ особый видъ изображенія.
Подробности о различныхъ видахъ изображенія см.
въ слѣдующемъ отдѣлѣ.
В) Методическія указанія къ обученію счисленію.
I. Первый десятокъ.
1. Распредѣленіе учебнаго матеріала.
Представленія чиселъ второго десятка предполагаютъ
наличность представленій чиселъ перваго десятка.
При распредѣленіи матеріала необходимо также обра-
тить вниманіе на слѣдующіе психологическіе факты и
практическія данныя. Психологическія изслѣдованія и
опыты показали, что:
1) Сопоставленіе предложеній, отличающихся только по-
рядкомъ элементовъ, напр., 5+1=6 и 1+5=6, значительно
облегчаетъ воспріятіе и запоминаніе ихъ. Кромѣ того, оно
ведетъ къ сбереженію времени, такъ какъ оба предложе-
нія выводятся изъ наблюденія одной и той же числовой
фигуры; наконецъ, благодаря непосредственному сопо-
ставленію обоихъ предложеній, пріобрѣтается твердая
увѣренность въ томъ, что результатъ сложенія не зависитъ
отъ порядка слагаемыхъ.
2) Контрастъ, существующій между противоположными
представленіями и процессами, какъ-то: сложеніемъ и

вычитаніемъ, выраженіями «и», «безъ», «умноженіемъ» и
«измѣреніемъ» (опредѣленіемъ содержанія) и выраженіями
«разъ» и «на», лишь способствуетъ выясненію представленій.
3) Если предложенія, въ родѣ 1+5=6, 2+4=6, 3+3=6,
воспринимаются и заучиваются непосредственно одно за
другимъ, такъ, чтобы сохранялся натуральный порядокъ
числительныхъ, то воспріятіе и заучиваніе послѣдующихъ
предложеній значительно ускориваются и облегчаются; по-
добный способъ изученія даетъ возможность повторять
одно и то ясе дѣйствіе и одну и ту же словесную форму
въ неизмѣнной послѣдовательности, облегчая этимъ общій
путь воспріятія.
При соблюденіи указанныхъ положеній мы должны
пройти четыре раза сперва область чиселъ отъ 1 до 10,
а затѣмъ и область чиселъ отъ 10 до 20, продѣлывая ка-
ждый разъ и надъ каждымъ числомъ по два ряда непосред-
ственно примыкающихъ другъ къ другу упражненій на
сложеніе и вычитаніе, а затѣмъ—умноженіе и «измѣреніе».
Приведенный ниже примѣръ показываетъ, какъ надо рас-
полагать упражненія надъ числами какъ той, такъ и дру-
гой области.
2. Методическія указанія относительно изученія
чиселъ перваго десятка.
а) Общій обзоръ хода занятій.
А. Пріобрѣтеніе опредѣленныхъ числовыхъ представленій.
I. Наблюденіе, а) Указаніе на соотвѣтствующіе предметы,
знакомые ребенку изъ опыта и предметнаго обученія.
Ь) Построеніе новой числовой фигуры и счетъ. Къ пред-
шествующей числовой фигурѣ каждый разъ прибавляется
справа еще одно новое тѣло и притомъ въ верхнемъ ряду,
если рѣчь идетъ о нечетныхъ числахъ, и въ нижнемъ, если

имѣется въ виду изображеніе четныхъ чиселъ. Построеніе
числовой фигуры сопровождается счетомъ,
с) Изученіе новой числовой фигуры:
1) при помощи зрѣнія;
2) при помощи осязанія (ощущенія давленія, вѣса,
теплоты, состоянія поверхности).
3) соединеніе комплексовъ ощущеній, получаемыхъ при
помощи зрѣнія и осязанія.
II. Представленіе новой числовой фигуры (закрыть глаза
и описать ее).
III. Изображеніе новой числовой фигуры.
1) При помощи тѣлъ: а) на ручномъ приборѣ, созерцая
классный аппаратъ; b) на память (съ закрытыми глазами).
2) На бумагѣ (въ видѣ рисунка, позднѣе и цифрами).
3) Примѣненіе представленій ко всей области знаній,
пріобрѣтенныхъ при наглядномъ преподаваніи, т.-е. ко
всѣмъ извѣстнымъ предметамъ и явленіямъ, которые и надо
послѣдовательно перебрать.
В. Изученіе дѣйствій надъ даннымъ числомъ (въ 4 пріема).
I. Наблюденіе, а) Наглядное отысканіе ряда предложе-
ній (см. стр. 298) на числовой фигурѣ, совершаемое
подъ руководствомъ учителя.
II. Представленіе. Найденныя предложенія повторяются
на память, руководствуясь представленіемъ (закрыть
глаза и описывать на словахъ, указывая пальцемъ
различныя части и цѣлое).
III. Изображеніе.
1) При помощи тѣлъ: а) на ручномъ аппаратѣ, сопро-
вождаемое заучиваніемъ ряда (см. стр. 300) до тѣхъ поръ,
пока не будетъ достигнута бѣглость произношенія; b)—на
память (объясненіе предложеній съ закрытыми глазами).
2) На бумагѣ—въ видѣ рисунковъ, а затѣмъ и цифрами
(см. стр. 300).

3) Примененіе ко всей области знаній представленій,
пріобрѣтенныхъ при наглядномъ преподаваніи, т.-е. ко
всѣмъ предметамъ и явленіямъ, познаваемымъ при помощи
чувства 1) зрѣнія и осязанія или 2) только слуха, а также
3) ко всему матеріалу, изъ котораго можно составлять
прикладныя задачи. См. стр. 300.
При пріобрѣтеніи числовыхъ представленій и запоми-
наніи различныхъ предложеній надо удѣлять особое вни-
маніе наблюденію и изображенію, прибѣгая къ возможно
болѣе частому повторенію. Послѣднее можно производить,
то спрашивая весь классъ и получая отвѣты, произно-
симые хоромъ, то спрашивая отдѣльныхъ учениковъ; пра-
вильные отвѣты въ обоихъ случаяхъ немедленно изобра-
жаются всѣми учениками. Для выясненія же того, кому
изъ учениковъ и въ чемъ надо еще помочь, служатъ про-
верочные вопросы, на которые ученики должны отвѣчать,
руководствуясь только представленіемъ.
Общій обзоръ упражненій, показанный на числе 6.
I. Первая серія упражненій.
1. Упражненіе, а) Построеніе числа при помощи сло-
женія въ нижеуказанной послѣдовательности
5+1=6^
1+5=6
Вопросы: сколько будетъ 5+1? Отвѣтъ:
4+2=6
5+1=6
съ удареніемъ).
2+4=6
Сколько будетъ 1 + 5? и т. д.
3+3=6
b) Прохожденіе натуральнаго ряда.
1 + 5=6
2+4=6
3+3 = 6
4+2=6
5+1=6
1) См. таблицу II, число 6.

2. Упражненіе, а) Разложеніе числа при помощи вычи-
танія въ нижеуказанной послѣдовательности х).
6—1=5
6—5=1
6—2=4
6—4=2
6—3=3
Вопросы: сколько будетъ 6—1? Отвѣтъ:
6—1=5 (съ удареніемъ).
Сколько будетъ 6—5? и т. д.
b) Прохожденіе натуральнаго ряда.
II. Вторая серія упражненій.
(6—1=6
6—2=4
6—3=3
6—4=2
6—5=1
5+?=6|
1+?=6
4+?=б|>
2+?=6
3+?=6
1. Упражненіе, а) Отысканіе слагаемаго въ нижеуказанной
послѣдовательности.
Вопросы: 5 и сколько равны 6? Отвѣтъ:
5+1 (съ удареніемъ)=6.
1 и сколько равны 6 ? и т. д.
Ь) Прохожденіе натуральнаго ряда.
2. Упражненіе, а) Отысканіе вычитаемаго въ нижеука-
занной послѣдовательности.
6—?=5^
6—?=1
Вопросы: 6 безъ сколькихъ равно 5? От-
вѣтъ: 6—1 (съ удареніемъ)=5.
6—?=4
6—?=2
6 безъ сколькихъ равно 1? и т. д.
6—?=3
1) См. таблицу II, число 6.

b) Прохожденіе натуральнаго ряда.
III. Третья серія упражненій 1).
1. Упражненіе: построеніе числа (изъ равныхъ слагае-
мыхъ) при помощи умноженія въ нижеуказанной по-
слѣдовательности :
Вопросъ: Сколько разъ надо взять 2,
6=6x1
чтобы получить 6?
6=3x2
Отвѣтъ: Чтобы получить 6, надо взять
6=2X3
2—три раза.
6=1X4 (+2)
Вопросъ: Сколько разъ надо взять 3,
6=1x5 (+1)
чтобы получить 6?
Отвѣтъ: Чтобы получить 6, надо взять
3—два раза.
2. Упражненіе: разложеніе числа (на равныхъ множи-
телей) при помощи «опредѣленія содержанія» или «измѣ-
ренія» въ нижеуказанной послѣдовательности.
6 : 1=6
6 : 2=3
Вопр.: Сколько разъ содержится 2 въ 6?
6 : 3=2
» » » 1 » 6?
6 : 4=1 (+2)
Отвѣты: 2 въ 6 содержится 3 раза.
6:5=l(+l)j
1 » 6 » 6 разъ.
IV. Четвертая серія упражненій *).
1. Упражненіе: отысканіе множителя въ нижеуказанной
послѣдовательности.
6=?х1
Вопросы: Сколько разъ надо взять 3, чтобы
6=?х2
получить 6?
6=? х 3
Сколько разъ надо взять 1, чтобы получить 6?
6=? х 4
Отвѣты: Чтобы получить 6, надо 3 взять два раза.
6=? х 5
Чтобы получить 6, надо 1 взять шесть разъ.
1) Если нѣтъ спеціальнаго указанія въ учебномъ планѣ, то
третью и четвертую серію упражненій лучше пока пропустить.

2. Упражненіе: отысканіе дѣлителя въ нижеуказанной
6 : ?=6
6 : ?=3
6 : ?=2
6 : ?-1 (+2)
в:?=1 (+1)
послѣдовательности
Вопр.: Сколько разъ 1 содержится въ 6?
» » 2 » » 6?
Отв.: 1 содержится въ 6—шесть разъ.
2 » » 6—три раза.
b). Планъ урока: число 6.
Игра въ лавку. Одинъ изъ учениковъ (смѣняемый послѣ
каждаго часа занятій) по назначенію учителя или по выбору
товарищей «открываетъ лавку». Его снабжаютъ товаромъ
и кассой съ нѣсколькими мелкими «монетами» для размѣна.
Монеты вырѣзываются учениками изъ бумаги. Для этого
учитель даетъ дѣтямъ монеты въ 1, 2 и б коп., ученики кла-
дутъ ихъ на бумагу, обводятъ по краю карандашемъ, а за-
тѣмъ вырѣзываютъ начерченные круги, которые и играютъ
роль денегъ.
Петя хочетъ купить себѣ карандашъ и 2 пера; карандашъ
стоитъ 4 коп., а перья по 1 коп. штука. Сколько же дол-
женъ онъ за все заплатить?
Ученики встрѣчаются съ затрудненіемъ, такъ какъ число
6 является для нихъ новостью. Учитель говоритъ: «Вы види-
те, что надо знать новое число шесть и умѣть обращаться
съ нимъ. Сейчасъ мы имъ и займемся. Прежде всего надо по-
строить числовую фигуру 6 и научиться представлять ее
себѣ!
А. Ознакомленіе съ числомъ 6.
Учитель откладываетъ на счетномъ приборѣ 6 шаровъ и
спрашиваетъ: «Сколько здѣсь шаровъ?» (6).
Прибавимъ 1 ш. къ имѣющимся б ш. Сколько будетъ
всего шаровъ? (6). Шары убираются.

I. Наблюденіе 6. Возьмите карандаши и считайте 6
шаровъ (указывая на нихъ)! Считаютъ отдѣльные ученики,
затѣмъ всѣ. Прямой счетъ. Обратный счетъ.
II. Представленіе 6. Закройте глаза! Подумайте о 6 ша-
рахъ. Представьте ихъ себѣ! Считайте шары, указывая на
нихъ (съ закрытыми глазами)! Уберите всѣ 6 шаровъ!
III. Изображеніе числа 6. а) При помощи тѣлъ. При-
готовьте линейку и 6 кнопокъ г). Постройте числовую
фигуру 6.—Правильная послѣдовательность, правильныя
разстоянія. Кто сдѣлаетъ это правильно первымъ?
b) При помощи рисунковъ. Дѣти рисуютъ колечки (какъ
нѣкоторые первобытные народы):
1) на классной доскѣ,
2) на своихъ грифельныхъ доскахъ, одна сторона
которыхъ разграфлена на клѣтки.
c) При помощи звуковъ и движеній. Ученики ударяютъ
по 6 разъ въ ладоши, въ 3 и 2 такта, и при этомъ считаютъ
(громко, тихо). Упражненіе производится отдѣльными
учениками и всѣмъ классомъ.
В) Сложеніе (построеніе).
I. Наблюденіе.
1. Сколько здѣсь шаровъ? (5).
А здѣсь сколько шаровъ? (1).
Сколько же здѣсь всего шаровъ? (6).
Сколько же будетъ 5 шаровъ и 1 шаръ? (6).
Подобнымъ же образомъ: 4 ш.+2 ш. = 6 ш.
О ш.+6 ш.=6 ш.
Мѣсто шаровъ могли бы занимать орѣхи, яблоки. Шары
г) Если въ школѣ не имѣется ни нашихъ счетныхъ пеналовъ,
ни нашихъ счетныхъ линеекъ, то можно сдѣлать ручной счетный
аппаратъ, воспользовавшись черной клеенчатой обложкой тетрадки
и запасшись нѣсколькими бѣлыми пуговицами.

могутъ также обозначать рубли или булки. А еще какія
вещи? Поэтому мы опускаемъ слово шары.
2) Сокращенный способъ. Учитель указываетъ на отдѣль-
ныя числовыя фигуры, а вызванные ученики говорятъ:
5+1=6, 4+2=6 ... 0+6=6.
3. Еще болѣе краткій способъ. Учитель, а затѣмъ и вы-
званные имъ ученики, разлагаютъ числовую фигуру указкой
на части, другіе же ученики отвѣчаютъ: 5+1=6, 4+2=6....
0+6=6.
4. Въ заключеніе учитель заставляетъ учениковъ счи-
тать: 5+1=6, 4+2=6,... 0+6=6, глядя на нераздѣленную
числовую фигуру 6.
II. Представленіе. Отдѣльные ученики и весь классъ
произносятъ указанныя выше предложенія на память,
руководствуясь представленіемъ.
III. Изображеніе. Приготовьте линейку и кнопки!
a) Теперь вы должны изобразить при помощи кно-
покъ показанные вамъ примѣры на сложеніе. По-
ставьте по 5 кнопокъ; прибавьте по 1 кнопкѣ. Точно
такъ же 4+2 и т. д.
b) Ученики дѣлятъ числовую фигуру грифелемъ на
двѣ части и говорятъ: 5+1=6 и т. д. до 0+6=6.
c) Разложеніе числовой фигуры 6 грифелемъ и од-
новременное отысканіе частей: 6=5+1, 6=1+5,
6=4+2, 6=2+4 и т. д.
Задачи изъ области игры «въ лавку», предметнаго обу-
ченія и жизни. Купи себѣ 3 пера, по копейкѣ штука, и
сайку за 3 коп. Ученики отсчитываютъ деньги—3 монеты
по 2 коп., пятачокъ и копеечную монету и т. д.
С) Вычитаніе.
I. Наблюденіе.
1. Сколько здѣсь шаровъ? (6).
А здѣсь сколько шаровъ? (1).

Сколько шаровъ останется, если отъ 6 ш. отнять
1 ш.?
Сколько же будетъ 6 ш.—1 ш.? (5 ш.).
Путемъ подобныхъ же вопросовъ выясняется, что
6—2=4 и т. д. до 6—6=0.
Дальнѣйшій ходъ упражненій подобенъ приведен-
ному выше подъ рубрикой В. I, 2—4. Отвѣчаютъ
отдѣльные ученики и весь классъ.
2. Шары постепенно убираются, и дѣти, не дожи-
даясь вопросовъ, говорятъ: 6—1=6, 6—2=4 и т. д.
3. Числовая фигура дѣлится указкой на двѣ части,
и дѣти, не дожидаясь вопросовъ, говорятъ: 6—1=5
и т. д. до 6—6=0.
4. Отдѣльные ученики, а затѣмъ и весь классъ,
считаютъ, глядя на нераздѣленную числовую фигуру:
6—1=5 и т. д. до 6—6=0.
II. Представленіе. Отдѣльные ученики и весь классъ
произносятъ указанныя выше предложенія, руковод-
ствуясь только представленіемъ.
III. Изображеніе. Приготовьте линейку и кнопки!
Вы должны изобразить показанные вамъ примѣры на
вычитаніе. См. В. III, а—с.
a) Поставьте по 6 кнопокъ. Снимите по одной кнопкѣ!
(Ученики поднимаютъ ихъ вверхъ). По скольку
кнопокъ у васъ осталось? (5). Сколько же будетъ
6—1? (5). Точно такъ же 6—2=4 и т. д. до 6—6=0.
b) . Ученики дѣлятъ числовую фигуру грифелемъ
на части и говорятъ: 6—1=5, 5—2=3 и т. д.
c) Примѣненіе. Возьми 3 монеты по 2 коп. и купи
пятачковую марку! Дѣти считаютъ деньги, уплачи-
ваютъ, получаютъ сдачу и т. д.
Дѣти, подъ руководствомъ учителя, придумываютъ
задачи, которыя предлагаютъ другъ другу для рѣшенія.
Покупка, продажа и т. д.

С) Методическія указанія относительно изученія отдѣль-
ныхъ чиселъ перваго десятка.
Число 1 по сравненію съ понятіями много и ничего.
Наблюденіе, а) Указаніе на отдѣльные предметы, зна-
комые ребенку изъ личнаго опыта и предметнаго обученія;
ребенокъ отыскиваетъ вещи, которыя онъ 1) видѣлъ и
2) слышалъ нѣсколько разъ, одинъ разъ, ни разу, b) На
счетномъ приборѣ показываютъ нѣсколько разъ «много»
шаровъ, «ни одного» шара, а затѣмъ «одинъ» шаръ.
Сколько здѣсь шаровъ?—Много. А здѣсь?—Ни одного.
Сколько шаровъ здѣсь?—Одинъ. Возьмите ваши ручные
приборы! Подымите вверхъ одну косточку! Подымите
вверхъ нѣсколько косточекъ!
Учитель помѣщаетъ первый шаръ въ лѣвомъ верхнемъ
углу класснаго прибора. Сколько вы видите шаровъ?
Вложите теперь одну косточку въ первое верхнее отвер-
стіе вашего счетнаго аппарата (показать всему классу).
Выньте косточку! Вложите косточку! Сколько косточекъ
вы видите? Ощупайте косточку пальцами; прижмите ее!
Сколько косточекъ у тебя подъ пальцами?
II. Представленіе. Закройте глаза! Вспомните по-
казанную вамъ косточку; представьте ее себѣ! Обведите
ее по краю въ воздухѣ!
III. Изображеніе: а) при помощи тѣлъ: положить
1 косточку, 1 грифель, 1 книгу, 1 тетрадь и т. д.; Ь) мими-
ческое: ударъ въ ладоши, стукъ, жестъ, поклонъ, про-
изнесеніе 1 слога, 1 слова; с) начертательное: учитель
показываетъ классу верхнюю сторону косточки. Обве-
дите ее пальцемъ по краю! Каковъ край косточки?—Круг-
лый. NN, нарисуй край косточки на доскѣ! Учитель испра-
вляетъ кругъ. Обведите пальцемъ кругъ въ воздухѣ!
Затѣмъ учитель чертитъ на доскѣ сѣть квадратовъ и ри-

суетъ въ одномъ изъ квадратовъ кругъ, касающійся че-
тырехъ сторонъ его. Нарисуйте каждый по кругу въ пер-
вомъ верхнемъ квадратѣ вашей сѣтки (нанесенной на
доску или бумагу). Пропустимъ 2 квадрата и нарисуемъ
здѣсь еще кругъ; учитель чертитъ кругъ на доскѣ, уче-
ники чертятъ круги у себя въ тетради, пока не выучиваются
изображать ихъ болѣе или менѣе правильно. Закройте
глаза! Представьте себѣ одну косточку! Обведите ее по
краю въ воздухѣ! Начертите одну косточку на доскѣ (въ
тетрадкѣ)! d) Примѣненіе—предметное счисленіе, которое
должно проникать и освѣщать весь опытъ и знаніе дѣтей
въ области природы и общественной жизни. Его слѣдуетъ
связывать съ играми и рисованіемъ. Дѣтей слѣдуетъ также
побуждать къ самостоятельному сочиненію примѣровъ
и задачъ. Области примѣненія:
a) пространственные предметы (тѣла).
1. Классная комната и предметы, въ ней находящіеся.
Назовите предметы, которые находятся въ классѣ въ
единственномъ числѣ. Дѣти отвѣчаютъ: одинъ шкафъ
(каѳедра, печь и т. д.).
2. Человѣческое тѣло. Назови части тѣла, которыя
имѣются въ единственномъ числѣ (носъ, ротъ, голова).
3. Домъ и дворъ. Назови предметы, которые нахо-
дятся въ домѣ, во дворѣ, въ саду, въ конюшнѣ только
въ единственномъ числѣ.
4. Зданія (церковь, школа).
б. Лѣсъ и поле (сторожка, придорожный крестъ, рѣка).
6. Небо (солнце, луна).
b) явленія, протекающія во времени и познаваемыя
при помощи слуха (дѣйствія, процессы).
Объяснять сейчасъ дѣтямъ, сколько будетъ 1 разъ
1, я считаю неумѣстнымъ, такъ какъ это психологически
преждевременно: дѣти не обладаютъ еще ни аналогіями,
ни контрастами, ни сравненіями; формальныя выраженія

имъ также пока еще чужды; поэтому объясненіе даетъ
ничтожные и сбивчивые результаты, и потому должно быть
отброшено. Только приверженность къ шаблону можетъ
заставлять методистовъ добиваться сейчасъ указанной
полноты. Умноженіе и измѣреніе слѣдуетъ начинать съ
числа 6, идя затѣмъ обратно къ числамъ 5 и 4, и, по-
жалуй, даже къ 3, 2 и 1.
Число 2.
А. Представленіе числа.
I. Наблюденіе, а) Введеніе. См. число 1, стр. 302. Глаза,
уши, руки, йоги, башмаки, чулки, (пара!).
b) Построеніе новой числовой фигуры двухъ и счетъ.
Помѣщаютъ первый шаръ на верхнюю проволоку; сколько
здѣсь шаровъ? Затѣмъ прибавляютъ второй шаръ, помѣ-
щая его подъ первымъ на нижней проволокѣ. Сколько
шаровъ вы теперь видите? (Вопросъ этотъ умѣстенъ, такъ
какъ всегда найдутся дѣти, которыя сумѣютъ отвѣтить на
него). Сосчитайте и покажите 1! 2! (Въ послѣ днемъ случаѣ
надо обвести оба шара, чтобы одновременно воспринять
оба объекта, см. стр. 108). Затѣмъ шары снимаются. По-
кажи оба шара, которые ты только что видѣлъ, и сосчи-
тай ихъ! (Шары и косточки должны прибавляться и отни-
маться всегда въ одной и той же послѣдовательности).
c) Изученіе новой числовой фигуры:
при помощи зрѣнія. Вложите двѣ косточки въ отвер-
стія вашего счетнаго прибора такъ, какъ это было сдѣлано
на классномъ аппаратѣ! Сколько косточекъ вы видите?
при помощи осязанія. Учитель говоритъ и одновре-
менно съ этимъ выполняетъ то же, что и ученики: по-
ставьте концы пальцевъ лѣвой руки на обѣ косточки,
надавите на нихъ, обведите ихъ пальцемъ! [Зажмите

нижнюю косточку между пальцами и двигайте слегка
рукой вверхъ и внизъ! Что вы замѣчаете? (тяжесть, вѣсъ).
Сколько косточекъ давятъ на руку? Возьмите вторую
косточку и сравните вѣсъ! Сколько косточекъ давятъ
теперь на руку? (2)] 1).
Соединеніе зрительныхъ и осязательныхъ ощущеній.
Возьмите пальцами 2 косточки, [взвѣсьте ихъ (слегка
двигая рукою)] г), вставьте ихъ на прежнее мѣсто, по-
смотрите на нихъ и ощупайте ихъ. Повторите это.
II. Представленіе. Закройте глаза! Подумайте о 2
косточкахъ, представьте ихъ себѣ! Укажите пальцемъ
косточки, которыя вы видите съ закрытыми глазами!
Посмотрите на счетный приборъ, ощупайте косточки и
представьте ихъ себѣ, закрывъ глаза. Повторите это нѣ-
сколько разъ.
III. Изображеніе: а) при помощи тѣлъ: 2 косточки,
2 шара (счетныхъ приборовъ); b) начертательное: учи-
тель наноситъ сѣть квадратовъ на классную доску и го-
воритъ: NN, нарисуй 2 косточки, сохраняя ихъ располо-
женіе! Учитель исправляетъ рисунокъ, а затѣмъ самъ
чертитъ кружки раза 3, оставляя между каждой парой
кружковъ промежутокъ въ 2 квадрата. Нарисуйте 2 ко-
сточки нѣсколько разъ на доскѣ (въ тетрадкѣ), оставляя
каждый разъ промежутокъ въ 2 квадрата; с) примѣненіе
пріобрѣтеннаго числового представленія ко всѣмъ пред-
метамъ, извѣстнымъ ребенку изъ личнаго опыта и пред-
метнаго обученія: а) видимые и осязаемые предметы:
поставить два стула, положить 2 тетради, 2 камешка,
вытянуть 2 руки, 2 пальца; 2 раза ударить въ ладоши,
постучать, закричать, поклониться; Ь) вещи, познаваемый
только слухомъ: 2 звука, 2 тона.
х) Указанія, заключенныя въ скобки, относятся къ занятіямъ
со слѣпыми дѣтьми.

В. Дѣйствія надъ числомъ 2.
1-е упражненіе: сложеніе.
I. Наблюденіе. Учитель помѣщаетъ на верхней про-
волокѣ одинъ шаръ. Сколько здѣсь шаровъ? (одинъ).
Затѣмъ онъ устанавливаетъ еще шаръ на нижней прово-
локѣ, помѣщая его какъ разъ подъ первымъ шаромъ.
А здѣсь сколько шаровъ? (одинъ). Учитель указываетъ
на оба шара: сколько же всего шаровъ? Два.
Учитель говоритъ и дѣйствуетъ одновременно; уче-
ники же поднимаютъ правую руку и движутъ ею въ воз-
духѣ, слѣдуя за мыслью.
a) Сколько будетъ 1 шаръ (показать) и еще 1 шаръ
(одновременно съ этимъ подвинуть его на приборѣ).
b) Сколько будетъ вмѣстѣ 1 шаръ и еще 1 шаръ (чтобы вы-
звать одновременное представленіе двухъ шаровъ); короче:
c) Сколько будетъ 1 шаръ и 1 шаръ?
Эти 3 предложенія вмѣстѣ съ сопровождающими ихъ
движеніями надо повторить нѣсколько разъ, чтобы дѣти
хорошенько запомнили значеніе слова «И», какъ символа
опредѣленнаго дѣйствія. Особенно часто должно повто-
ряться третье предложеніе.
II. Представленіе. Предложенія и движенія повто-
ряются нѣсколько разъ на память.
III. Изображеніе, а) При помощи тѣлъ: возьмите
приборъ и 2 косточки. Вставьте первую косточку въ пер-
вое отверстіе! Учитель беретъ въ руки приборъ, пока-
зываетъ его классу и говоритъ: 1 и 1=2. Дѣти помѣщаютъ
вторую косточку подъ первой и говорятъ хоромъ: 1+1=2.
То же продѣлываютъ и говорятъ отдѣльные ученики.
Затѣмъ указанное дѣйствіе изображается и опи-
сывается нѣсколько разъ всѣмъ классомъ одновременно.
Закройте глаза! Представьте себѣ одну косточку! Пред-

ставьте себѣ другую косточку, расположенную подъ
первой. Изобразите (въ воздухѣ) и скажите (учитель
самъ это продѣлываетъ): 1+1=2; повторить это нѣ-
сколько разъ.
b) Письменное изображеніе (рисованіе). Учитель чер-
титъ на доскѣ кругъ и произноситъ: «Одинъ»; при сло-
вахъ «и одинъ» онъ чертитъ второй кругъ, а при словахъ
«будетъ два» обводитъ рукой оба круга. Остальные спо-
собы изображенія, примѣненіе и матеріалъ для «при-
кладныхъ» задачъ можно найти на стр. 263 и 303.
2-е упражненіе: вычитаніе.
Второе упражненіе производится совершенно такъ лее,
какъ первое, и дѣлится на три ступени: 1) наблюденіе,
2) представленіе и 3) изображеніе.
Слѣдуетъ помнить, что при вычитаніи всегда отни-
мается первой та косточка, которая была положена по-
слѣ дней.
Такъ какъ сложеніе и вычитаніе въ случаѣ числа 2
приводятся, каждое, только къ одному предложенію и
примѣру, и такъ какъ прибавленная косточка легко мо-
жетъ быть снова отнята, то рекомендуется производить
сложеніе и вычитаніе непосредственно одно послѣ другого
(при прохожденіи ступеней а и Ь).
Пріобрѣтенныя свѣдѣнія опять-таки должны быть
«примѣнены» ко всѣмъ предметамъ, уже извѣстнымъ ре-
бенку; перечень ихъ находится на стр. 263.
До сихъ поръ мы говорили только о первой серіи упраж-
неній надъ числомъ 2; вышеприведенныя указанія позво-
ляютъ, однако, выполнить и вторую серію ихъ.
3 и 4 серія упражненій (умноженіе и опредѣленіе
содержанія) лучше всего ввести при изученіи числа 6,
распространивъ ихъ затѣмъ и на ранѣе изученныя числа.

Число 3.
1. Для введенія служатъ: 3 зубца вилки, листъ клевера,
лапка гуся или утки (начертить схематически и исправить).
2. Построеніе числовой фигуры на классномъ приборѣ.
3. Ходъ и система занятій при изученіи чиселъ 3—10
приведены на стр. 293 и далѣе.
4. При предметномъ счисленіи: булки, яблоки, земля-
ника, вишни, перья, тетради, монеты, оконныя стекла,
скамьи съ тремя сидѣніями, братья и сестры, чашки, та-
релки, вилки, ножи, ложки, чулки, носовые платки и
т. д.; предметы, изображенные на стѣнныхъ картинахъ,
покупка вещей для класснаго и домашняго обихода: 3 фа-
миліи учениковъ, 3 слога, звука, ритмическихъ стука;
предметы и явленія, извѣстные изъ нагляднаго препо-
даванія.
Примѣненіе дѣтскаго стишка1):
Eins, zwei, drei
bicke-backe-bei
bicke-backe-Besenstiel и т. д.2).
*) Приводимые стишки заимствованы мною у Бетца: «Anleitung
für den einheitl. Rechenunterricht». Osterwieck. 1900.
2) Въ виду того, что подобные стишки только тогда имѣютъ
смыслъ, когда дѣти знакомятся съ ними до поступленія въ школу,
т.-е. не заучивая ихъ въ видѣ урока, а просто запоминая ихъ во
время игры, и такъ какъ у насъ за исключеніемъ развѣ общеиз-
вѣстнаго:
«1, 2, 3, 4, 5
Вышелъ зайчикъ погулять» и т. д.
подобные стишки распространеніемъ среди дѣтей не пользуются,
мы не стали подыскивать и изобрѣтать поговорокъ, соотвѣтствую-
щихъ приведеннымъ нѣмецкимъ текстамъ. Что же касается бук-
вальнаго перевода, то онъ, конечно, не имѣетъ никакого смысла,
ибо въ приведенныхъ стишкахъ содержаніе, строго говоря, вовсе
отсутствуетъ, Примѣч. переводи.

Число 4.
Для введенія могутъ служить: 4 книги, тетради, кар-
тины, доски; углы и стѣны комнаты.
Для предметнаго счисленія: одно- и двухкопеечныя
монеты, пальцы, плоды, оконныя стекла, перья, грифели,
страницы книги, тетради, скамьи, братья и сестры, ноги
у животныхъ.
Въ остальномъ см. указанія, приведенныя подъ руб-
рикой «число 3».
Стишокъ:
1, 2, 3, 4!
Knecht hol Bier,
Herr trink aus,
Du bist raus.
Число 5.
Для введенія служатъ: листъ лапчатки, цвѣтокъ лю-
тика, рука.
Для предметнаго счисленія: монеты въ 1, 2, 3, 5 ко-
пеекъ, пальцы, плоды, оконныя стекла; предметы, при-
веденные подъ рубрикой «число 3».
Стишокъ:
1, 2, 3, 4, 5!
Mach Dich auf die Strümpf,
Mach Dich auf die Schuh,
Sonst bist Du.
Число 6.
См. стр. 298, гдѣ приведенъ полный планъ занятій
при изученіи числа 6.

Для введенія служатъ: ножки майскаго жука (по-
казать картинку).
Для предметнаго счисленія: монеты, пальцы, плоды,
сидѣнія на скамьяхъ, учебные дни недѣли; въ осталь-
номъ см. указанія, приведенныя подъ рубрикой «число 3».
Стишокъ:
2, 4, 6!
Eine alte Hex
Läuft draussen um,
Du gehst rum.
Теперь умѣстно будетъ ввести умноженіе и дѣленіе,
а также и цифровое изображеніе чиселъ и дѣйствій надъ
ними. Этотъ вопросъ будетъ въ дальнѣйшемъ изложенъ
болѣе подробно.
Число 7.
Для введенія служитъ листъ конскаго каштана (надо
показать его въ натурѣ и на картинкѣ; затѣмъ дѣти за-
рисовываютъ его).
Для предметнаго счисленія служатъ 7 однокопеечныхъ
монетъ, дни недѣли, 1-, 2-, 5-копеечныя монеты, пальцы,
плоды, сидѣнья на скамьяхъ, листы и страницы тетради
и проч. Общія указанія см. подъ рубрикой «число 3».
Стишокъ:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7!
Wo ist mein Schatz geblieben?
in Berlin, in Stettin
Kaiserstrasse Nr. 7.
Число 8.
Для введенія служатъ ножки паука (показать въ на-
турѣ и на картинкѣ; зарисовать показанное).

Для предметнаго счисленія служатъ: монеты 1-, 2-
(3), 5-копеечнаго достоинства, пальцы, оконныя рамы,
сидѣнья, плоды, листы и страницы тетрадей и книгъ.
См. «число 3».
Стишокъ:
2, 4, 6, 8!
Auf der hohen Wacht
Steht ein Soldat;
Das ist schad.
Число 9.
Для введенія служитъ игра въ кегли (показать, нари-
совать планъ).
Для предметнаго счисленія служатъ тѣ же монеты,
пальцы, листы и страницы тетради или книги, плоды,
скамьи съ 2, 3 и 4 сидѣньями. См. «число 3».
Стишокъ:
3, 6, 9!
Im Hof steht die Scheun,
In der Scheun steht ein Mann,
Schau, was er kann.
Число 10.
Для введенія служатъ 2 листа лапчатки, 2 руки.
Для предметнаго счисленія: монеты 1-, 2-, 5- и 10-ко-
пеечнаго достоинства, почтовыя марки, открытыя письма,
книжки сберегательныхъ кассъ, плоды и т. д. См. «число 3».
D) Счетныя таблицы и ихъ примѣненіе.
Послѣ того, какъ ученики основательно ознакоми-
лись съ отдѣльнымъ дѣйствіемъ и выполнили всѣ систе-
матическія упражненія, необходимо сообщить имъ и

навыкъ въ быстромъ выполненіи этого дѣйствія. Это до-
стигается проще всего при помощи счетныхъ таблицъ,
которыя оберегаютъ время и силы какъ учителя, такъ и
учениковъ, и къ тому же развиваютъ въ дѣтяхъ чувство
соревнованія, ибо каждый ученикъ хочетъ научиться
считать быстро.
Счетная таблица I.
3
5
4
6
7
1
0
2
9
8
5
7
6
8
9
3
1
4
2
0
7
9
8
0
2
5
3
6
4
1
9
2
0
1
4
7
5
8
6
3
2
4
1
3
6
9
7
0
8
5
1
3
2
4
5
6
8
9
7
6
0
1
9
2
3
8
6
7
5
4
8
0
7
9
1
6
4
5
3
2
6
8
5
7
0
4
2
3
1
9
4
6
3
5
8
2
9
1
0
7
Упражненія производятся слѣдующимъ образомъ.
Указывая на таблицу, изображенную на доскѣ или на
бумагѣ, учитель говоритъ ученикамъ: «Каждое изъ чи-

селъ этой таблицы надо увеличить на 4 (3, 7, 5 и т. д.)»
уменьшить на 4 (3, 7, 5 и т. д.), умножить или раздѣлить.
Начнемъ съ числа, стоящаго въ лѣвомъ верхнемъ углу
(или правомъ верхнемъ, лѣвомъ нижнемъ, правомъ ниж-
немъ углу), а затѣмъ перейдемъ къ числамъ, стоящимъ
въ томъ же горизонтальномъ (или вертикальномъ) ряду».
Учитель самъ производитъ дѣйствіе надъ нѣсколькими
числами. X, продолжай! Названный ученикъ продол-
жаетъ упражненіе. Можно также заставлять рѣшать
задачи всѣхъ учениковъ подъ рядъ, не вызывая ихъ. Такъ же
производятся упражненія съ таблицами II и III.
Указанную счетную таблицу ученики переписываютъ
на внутреннюю сторону переплета книжки или куда-либо
еще. См. также стр. 232 (типы воспріятія). Счетныя таблицы
даютъ также учителю возможность быстро и удобно по-
дыскивать задачи, чтобы задавать ихъ на домъ или въ
классѣ для самостоятельнаго рѣшенія. Работами, зада-
ваемыми на домъ, вообще говоря, не слѣдуетъ пренебре-
гать при томъ условіи, что объемъ ихъ допустимъ съ точки
зрѣнія гигіены, а сама работа педагогически правильна.
Время отъ времени учителю приходится продѣлывать съ
классомъ всѣ задачи, задаваемый на домъ, чтобы опредѣлить
время, затрачиваемое на ихъ рѣшеніе. См. также «Экспери-
ментальную дидактику», 1910, стр. 204 нѣмецкаго изданія.
Е) Введеніе цифръ и знаковъ дѣйствій для сложенія
и вычитанія.
Общія замѣчанія.
Данныя психологіи первобытныхъ народовъ показы-
ваютъ, что счисленіе производилось сперва при помощи
тѣлъ, затѣмъ рисунковъ и, наконецъ, цифръ. Этотъ поря-
докъ можетъ быть рекомендованъ и съ точки зрѣнія ди-

дактики и психологіи дѣтей. Цифровое изображеніе дѣй-
ствій слѣдуетъ, поэтому, вводить лишь послѣ того, какъ
дѣти изучатъ сложеніе и вычитаніе въ предѣлѣ 1—10.
До этого времени рекомендуется ограничиваться изобра-
женіемъ дѣйствій тѣлами (ручной счетный приборъ) и
кружками или точками (числовыя фигуры), какъ это до
сихъ поръ еще практикуется нѣкоторыми первобытными
народами. Начинать слѣдуетъ съ числа 2 и доходить въ
восходящемъ порядкѣ до 10.
Примѣрный планъ занятій. До сихъ поръ 3 яблока,
3 груши и т. д. мы изображали числовой фигурой 3, и для
всѣхъ чиселъ рисовали свои числовыя фигуры. Теперь
мы будемъ учиться изображать числа особыми знаками—
цифрами, какъ это дѣлаютъ всѣ взрослые.
Чтобы обозначить 6 копеекъ, 6 орѣховъ, 6 грифелей,
6 марокъ, 6 дѣвочекъ, 6 мальчиковъ и т. д., мы до сихъ
поръ рисовали 6 кружечковъ или точекъ.
Кто хочетъ нарисовать на доскѣ числовую фигуру 6?
Взрослые обозначаютъ, однако, число шесть другимъ
знакомъ. Вотъ какъ онъ пишется: 6.
Цифра 6 ставится подъ числовой фигурой:
• • •
• • •
6
Этотъ значекъ называется цифрой шесть. (Запишите!)
Вотъ числовая фигура 6, вотъ цифра 6. Покажи числовую
фигуру 6, покажи цифру б!
Теперь вамъ легко понять, почему взрослые изобра-
жаютъ числа не числовыми фигурами, а цифрами. Какъ
вы думаете, почему они обозначаютъ числа цифрами?
(Это проще, быстрѣе, короче).
Вамъ надо теперь выучиться писать цифру 6.
Возьмите грифель въ руку и вытяните ее. Обведите гри-
фелемъ въ воздухѣ цифру 6. (Повторить нѣсколько разъ).

Закройте глаза; представьте себѣ цифру; нарисуйте ее
въ воздухѣ! Наблюденіе и представленіе повторяются
нѣсколько разъ.
Кто можетъ написать цифру 6 на доскѣ?
Напишите ее на своихъ грифельныхъ доскахъ!
(Такимъ же образомъ ранѣе были изучены цифры
1, 2, 3, 4, 5).
Теперь надо записать цифрами всѣ примѣры, которые
мы знаемъ относительно числа 6.
Скажите мнѣ всѣ примѣры на сложеніе для числа 6!
5+1 = 6
4+2=6
и т. д.
Первый примѣръ: пять и одинъ составляютъ шесть
(равны шести, просто—шесть). Напишите его цифрами!
пять и одинъ равны шести
5+1 = 6
Примѣръ записывается словами подъ числовой фи-
гурой. Слова можно замѣнить значками. Вмѣсто слова
«пять» ставится цифра 5; вмѣсто слова «и» ставится особый
значекъ—маленькій крестикъ: +. Поставь его! Вмѣсто слова
«одинъ» ставится цифра 1; вмѣсто слова «равны» или «со-
ставляютъ» ставится также особый знакъ = , называемый
знакомъ равенства. Слово «шесть» замѣняется цифрой 6.
Прочти примѣръ, написанный цифрами! Читайте всѣ!
Подобнымъ же образомъ находятся и записываются на
доскѣ тремя разными способами всѣ примѣры дѣйствій
надъ числомъ 6.
Затѣмъ дѣти описываютъ ихъ.
Послѣ этого примѣры записываются одинъ подъ дру-
гимъ только цифрами.

Подобнымъ же образомъ проходятся всѣ примѣры на
вычитаніе.
Далѣе слѣдуетъ: образованіе рядовъ безъ разложенія,
путемъ а) присчитыванія и b) отсчитыванія единицъ, счетъ
по группамъ, примѣненіе счетной таблицы I и предметное
счисленіе.
Групповой счетъ можетъ вестись такимъ образомъ:
2, 4, 6, 8 и т. д. или 4, 8, 12 и т. д. Интересно отмѣтить,
что многіе методисты совершенно забываютъ объ этомъ
групповомъ счетѣ и не приводятъ соотвѣтствующихъ
упражненій, хотя онъ имѣетъ большое примѣненіе на
практикѣ; обыкновенный же счетъ въ порядкѣ натураль-
наго ряда чиселъ скорѣе убиваетъ, чѣмъ развиваетъ груп-
повой счетъ. Важность и даже необходимость груп-
пового счета становится ясной всякій разъ, когда мы встрѣ-
чаемся на практикѣ съ рядами или группами такихъ пред-
метовъ, какъ скирды хлѣба, стоги сѣна, кучи камней или
песка и т. д., а также когда дѣло идетъ о возможно быстромъ
опредѣленіи числа деревьевъ, животныхъ, людей, монетъ,
штукъ товара, плодовъ, строчекъ, цифръ и т. д. Наши
опыты и наблюденія показываютъ, что счетъ ведется осо-
бенно быстро при пользованіи группами по 2, 3 и 4 пред-
мета. Если же брать большія группы, то счетъ замедляется
и иногда переходитъ въ простую оцѣнку количества пред-
метовъ. Дѣйствительная предметная школа является жиз-
ненной школой, а потому она должна развить и эту форму
счисленія.
II. Второй десятокъ.
1. Ознакомленіе учащихся съ десятичной системой.
Нѣкоторые методисты находятъ, что ознакомленіе уча-
щихся съ десятичной системой является «излишнимъ обре-
мененіемъ» ихъ. Даже такой образцовый педагогъ, какъ

Штейеръ, находитъ, что при изученіи области чиселъ
1—100 отъ десятичной системы слѣдуетъ «отказаться»1).
Однако, съ другой стороны, наглядное счисленіе на абакѣ
и счисленіе «на линіяхъ», которое удерживалось въ на-
родѣ до 1700 гг., покоятся на знаніи десятичной системы,
а знаменитый методистъ Адамъ Ризе (1522), обладавшій
большимъ психологическимъ и педагогическимъ тактомъ,
прямо утверждаетъ, что счисленіе на цифрахъ усваивается
легче, если ученикъ «считалъ сперва на линіяхъ», т. е.
если онъ пріобрѣлъ наглядное представленіе десятичной
системы. Къ сожалѣнію, указанія Ризе до сихъ поръ оста-
вались забытыми. Между тѣмъ, пониманіе смысла числи-
тельныхъ и способы начертанія чиселъ отъ 10 до 100 уже
требуютъ немедленнаго представленія первыхъ двухъ раз-
рядовъ (десятковъ и единицъ), а также счисленія на абакѣ
при помощи тѣлъ и знаковъ. На стр. 40 было указано,
что ребенокъ спросилъ однажды, дѣйствительно ли 11
обозначаетъ одиннадцать, а не 1+1, т. е. два. Задолго до
того, какъ мнѣ стало извѣстнымъ, что у первобытныхъ
народовъ выполненіе сложенія, вычитанія, умноженія и
дѣленія при помощи тѣлъ предшествовало выполненію
ихъ въ письменной формѣ, что счисленіе на абакѣ покоится
на пониманіи десятичной системы, которое оно дѣлаетъ
нагляднымъ, и что счисленіе на абакѣ ведетъ къ свободному
счисленію на цифрахъ, я старался сдѣлать представленія
разрядовъ десятичной системы наглядными при помощи
тѣхъ же почти способовъ, какъ на абакѣ, распространяя
эти пріемы и на основныя дѣйствія надъ числами, чтобы
связать наглядный представленія съ обычнымъ письмен-
нымъ счисленіемъ на цифрахъ. Изучая этотъ вопросъ съ
точки зрѣнія психологіи, я нашелъ, что не всякій способъ
счисленія при помощи тѣлъ, съ которымъ мы знакомимся
1) См. стр. 69 его вышеуказанной работы.

въ исторіи культуры, пригоденъ для цѣлей дидактики.
Способъ «счисленія на линіяхъ», примѣняемый Адамомъ
Ризе, также лишенъ той простоты и удобопонятности,
которыя требуются дидактикой. Слѣдуетъ признать, что
основныя дѣйствія, продѣлываемыя въ письменной формѣ,
особенно же умноженіе и дѣленіе, усваиваются и теперь
еще путемъ болѣе или менѣе механическаго рѣшенія при-
мѣровъ только потому, что не существуетъ еще нагляд-
наго метода изученія этихъ дѣйствій, который постепенно
знакомилъ бы дѣтей съ десятичной системой и базировался
на ней. Многіе методисты будутъ, конечно, оспаривать, что
тѣ или иные способы рѣшенія примѣровъ дѣти-часто выясня-
ютъ себѣ постепенно, шагъ за шагомъ, лишь послѣ того,
какъ они ознакомились съ десятичной системой; однако, это
несомнѣнный результатъ нѣкоторыхъ системъ преподаванія.
Ознакомленіе съ десятичной системой производится
постепенно, по мѣрѣ того, какъ дѣти приступаютъ къ изу-
ченію все большихъ и большихъ областей чиселъ. Впервые
дѣти встрѣчаются съ нею при переходѣ отъ 9 къ области
чиселъ 10—20.
2. Расширеніе области чиселъ отъ 10 до 20.
(Числительныя, способы начертанія чиселъ, десятичная система).
А. Основная цѣль.
До сихъ поръ мы учились считать и вычислять въ пре-
дѣлахъ 1—10; теперь намъ надо научиться дѣйствіямъ
надъ большими числами—до 20. Сегодня мы съ вами узнаемъ,
какъ называются числа отъ 10 до 20 и какъ они пишутся.
В. Достиженіе поставленной цѣли.
I и II. Наблюденіе и подготовка. Учитель откладываетъ
на счетномъ приборѣ 10 шаровъ и спрашиваетъ, обводя ихъ:

Какого цвѣта эти 10 шаровъ?—Бѣлаго.
Эти десять шаровъ называются вмѣстѣ 1 десяткомъ.
Какъ называются эти 10 шаровъ? (1 десяткомъ).
Каждый отдѣльный шаръ этого десятка называется
единицей.
Сколько единицъ въ 1 десяткѣ? (10 единицъ).
д.
Ед.
Числительныя:
Цифры
1
одинъ
1
2
Два
2
3
три
3
4
четыре
4
5
пять
5
6
шесть
6
7
семь
7
8
восемь
8
9
девять
9
1
десять (дцать)
10
1
1
одиннадцать
И
1
2
двѣнадцать
12
1
3
тринадцать
13
1
4
четырнадцать
14
1
5
пятнадцать
15
1
6
шестнадцать
16
1
7
семнадцать
17
1
8
восемнадцать
18
1
9
девятнадцать
19
2
двадцать
20
Начертимъ на доскѣ три линіи. Первая графа пред-
назначается для десятковъ (д.), вторая—для единицъ (ед.).
Напишемъ здѣсь «Д.», а здѣсь «Ед.»(сравн. описаніе абака,
стр. 20).
Вы знаете, какъ пишутся цифрами числа 1, 2, 3...9.
Кто можетъ правильно написать эти числа одно подъ

другимъ въ соотвѣтствующей графѣ? (Наводящій вопросъ:
къ какому разряду принадлежатъ числа 1, 2, 3,... 9?).
Кто можетъ правильно написать здѣсь же десять?
[Наводящій вопросъ: сколько десятковъ составляютъ 10
единицъ? (1 д.)].
Остаются ли единицы, которыя надо приписать къ
этому десятку? (Нѣтъ). Мѣсто единицъ остается пустымъ.
(См. сноску на стр. 321).
NN, подойди и прибавь къ этому десятку 2 единицы!
Это 10 и 2, или, какъ мы обыкновенно говоримъ, две-
надцать. (Запишите!).
Закройте глаза! Представьте себѣ двѣнадцать: слѣва
десятокъ, справа единицы!
Прибавьте къ 10 шарамъ 3 шара! Это 10 и 3 (обвести!),
или тринадцать. (Запишите!).
Кто можетъ правильно написать эти числа въ таб-
личкѣ? (Сколько десятковъ? Сколько единицъ?).
Подобнымъ же образомъ дѣти знакомятся: 1) съ по-
строеніемъ, наблюденіемъ и представленіемъ, 2) съ названія-
ми и цифровымъ обозначеніемъ остальныхъ чиселъ до 19.
При наблюденіи и представленіи оба десятка могутъ,
несомнѣнно, удерживаться въ сознаніи; однако, вполнѣ
ясными и отчетливыми могутъ быть только тѣ части фи-
гуры, на которыхъ вниманіе особенно задерживается;
это имѣетъ существенное значеніе для счисленія.—На
счетномъ приборѣ стоитъ одинъ десятокъ.
Какого цвѣта этотъ десятокъ? (Бѣлый).
На приборѣ стоитъ второй десятокъ. Какого онъ цвѣта?
(Красный).
Пододвинь красный десятокъ къ бѣлому! Сколько у
насъ тутъ десятковъ? (2 десятка). Это 2 десятка или
двадцать. (Обвести шары. Запишите!).
Сколько будетъ 19 и 1? (Двадцать).
Кто можетъ правильно записать это число въ табличку?

[Наводящіе вопросы: сколько десятковъ? (2) Сколько
единицъ? (Ни одной)]. Мѣсто единицъ остается пустымъ1).
III. Изображеніе. 1. Вы узнали сегодня названія
чиселъ отъ 10 до 20. Вотъ они. Читай новыя названія чи-
селъ (числительныя)!
Кто можетъ сказать ихъ на память?
2. Чтобы сберечь время, взрослые пишутъ числа безъ
этихъ графъ и названій. Это и вы можете сдѣлать. Кто
можетъ написать здѣсь числа просто цифрами?
Читай числа, написанныя цифрами! Читайте ихъ всѣ
вмѣстѣ.
3. Спишите себѣ все, что тутъ написано, тихонько
читая вслухъ!
4. Повтореніе всего пройденнаго, съ примѣненіемъ
ручного счетнаго прибора.
Для изготовленія послѣдняго надо запастись: 1) нѣ-
сколькими плоскими пуговицами и 2) какой-нибудь жест-
кой подкладкой (тетрадью, грифельной доской и т. д.),
на которой проведены три линіи.
При цифровомъ изображеніи чиселъ десять и два-
дцать дѣти встрѣчаются съ затрудненіемъ: 1, стоящая от-
дѣльно, обозначаетъ 1 единицу, а не десять единицъ.
Какъ бы можно было обозначить, что 1 обозначаетъ
десять, т.-е. 10 единицъ?—Можно было бы приписать
букву «д.»—Это сложно и неудобно.
Когда мы писали 11, 12, 13, мы всегда за десяткомъ
писали единицы. Благодаря этому число 1 стояло всегда
на второмъ мѣстѣ (во 2-й графѣ).
Для обозначенія «ничего», «ни одного», существуетъ
также особый знакъ, называемый нулемъ1). Онъ пишется
г) Для заполненія пустого мѣста въ графѣ единицъ (для обо-
значенія «ничего») можно также пользоваться какимъ-либо дру-

такъ: 0. Кто можетъ теперь написать коротко 10 (20)? (Указа-
ніе : надо сдѣлать такъ, чтобы 1 (2) стояли на второмъ мѣстѣ).
5. Считай отъ 10 до 20! Считай обратно отъ 20!
6. Диктантъ. Пишите слѣдующія числа: 13, 17, 11,
15, 12, 10 и т. д.
3. Переходъ черезъ десятокъ, сопровождаемый разло-
женіемъ чиселъ.
1. Сложеніе.
A. Основная задача, встрѣчающаяся при игрѣ «въ лавку».
Мать послала тебя купить на 7 коп. муки и на б коп. крупы.
Сколько денегъ ты долженъ взять съ собой? Другая подоб-
ная же задача. (Вопросъ затрудните ленъ). Вы знаете,
сколько получится, если къ 7 прибавить 1, 2, 3, но не
знаете, сколько получится, если число выходитъ больше 10,
превышаетъ 10. Вы, конечно, хотите знать, какъ рѣшаются
такія задачи. Кто можетъ взяться за это?—Это не трудно,
и всякій можетъ такую задачу рѣшить.
B. Руководство рѣшеніемъ. I и II. Наблюденіе и рѣ-
шеніе. Будемъ рѣшать примѣръ 7+5=?, пользуясь счет-
нымъ приборомъ. Вотъ 7 шаровъ; къ нимъ нужно прибавить
эти 5 шаровъ (указанные 5 шаровъ подвигаются немного
влѣво). Всѣ вы умѣете считать до десяти. Поэтому сколько
вы прежде всего прибавите къ 7? (Указаніе: надо прежде
всего получить цѣлый десятокъ, дополнить 7 до 10)—(3).
Сколько намъ остается еще прибавить? (2). Сколько бу-
детъ 10+2? (12). (Повторите въ болѣе краткой формѣ).
Почему вы не прибавили сразу 5? (Трудно). Зачѣмъ вы
разложили 5 на двѣ части? (Легче рѣшается задача). На
гимъ знакомъ, напримѣръ 1.=1Д = 10. Ср. стр.21. Пока не былъ най-
денъ нуль, для обозначенія разрядовъ единицъ приходилось пользо-
ваться линіями и графами.

какія двѣ части вы разложили 5? (3+2). Почему именно
на 3+2? (Наводящій вопросъ: почему не 4+1? Три допол-
няетъ данное число до 10).
III. Изображеніе. Сложеніе съ переходомъ черезъ
десятокъ мы запишемъ теперь цифрами. Напиши при-
мѣръ на доскѣ! (7+5). Какими двумя числами мы замѣ-
няемъ 5? (3 и 2). Какъ теперь мы напишемъ примѣръ?
(7+3+2). Напиши второе выраженіе рядомъ съ первымъ
и поставь между ними знакъ равенства!
7+5= 7+3+2
10+2
12
Сколько будетъ 7+3? (Учитель чертитъ дугу; 10 ста-
вится подъ нею).
Сколько надо еще прибавить къ 10? (2). Соедини 10 и 2
дугой! Сколько будетъ 10+2? (12). Подпиши 12 подъ дугой!
Прочти, что мы написали! 7+5=[7+3+2]=10+2=12.
Читайте хоромъ! Такъ мы всегда будемъ выполнять разло-
женіе, но не будемъ столько писать и говорить. Какое
выраженіе можно здѣсь пропустить? [7+3+2]. Что же
у насъ остается? (7+5=10+2=12).
Прочти, что здѣсь написано и объясни. Хоромъ!
Теперь продѣлаемъ другой такой же примѣръ: 6+9=?
Кто можетъ его рѣшить?
Примѣры записываются учениками на грифельныхъ
доскахъ.
2. Вычитаніе.
Подобнымъ же образомъ ставится и рѣшается вопросъ
въ случаѣ вычитанія, сопровождаемаго переходомъ черезъ
десятокъ.
Примѣры на вычитаніе, въ родѣ 14—6=?, слѣдуетъ
заставлять дѣтей рѣшать возможно самостоятельно.

4. Образованіе рядовъ.
Присчитываніе и отсчитываніе въ предѣлахъ 0—20.
Основанія для этихъ упражненій уже заложены: уче-
ники знаютъ числа до 20, могутъ представить себѣ первый
десятокъ, а, слѣдовательно, и второй, который совершенно
подобенъ первому, имѣютъ ясное и отчетливое представле-
ніе отдѣльныхъ частей числовой фигуры и знаютъ, какъ
переходить черезъ десятокъ при сложеніи и вычитаніи.
Теперь необходимо систематически пройти эти два
дѣйствія, прибѣгнувъ къ образованію рядовъ. Послѣд-
ніе записываются на доскѣ въ такой формѣ:
Число 2.
а)
b)
с)
d)
0+2= 2
20—2 =
18
1 + 2=
3
21-
-2=20—1 = 19
2+2= 4
18—2=
16
3+2=
б
19-
-2=17
4+2= 6
16—2=
14
5+2=
7
17-
-2=15
6+2= 8
14—2=
12
7+2=
9
15-
-2=13
8+2=10
12—2=
10
9+2=
11
13-
-2=11
10+2=12
10—2=
8
11+2=
13
11-
-2=10—1=9
12+2=14
8—2=
6
13 + 2=
15
9-
-2= 7
14+2=16
6—2=
4
15+2 =
17
7-
-2= 5
16+2=18
4—2=
2
17+2=
19
5-
-2= 3
18+2=20
2—2=
0
19+2 =
21
3
2= 1
а) 0+3= 3
3+3= 6
6+3= 9
9+3=10+2=12
12+3=15
15+3=18
18+3=20+1 = 21
Число 3.
Ъ) 21—3=20—2=18
18—3 = 15
15—3 = 12
12—3 = 10—1= 9
9—3= 6
6—3= 3
3—3= о

с) 1+3= 4
4+3= 7
7+3 = 10
10+3=13
13+3=10
16+3 = 19
19+3=20+1 = 21
d) 22—3 = 20—3=19
19—3=16
16—3=13
13—3-10
10—3= 7
7—3= 4
4—3= 1
е) 2+3= 5
5+3= 8
8+3 = 10+1 = 11
11+3 = 14
14 + 3 = 17
17 + 3 = 20
f) 20—3 = 17
17—3=14
14—3 = 11
11—3=10—2=8
8—3= 5
5—3= 2
Подобнымъ же образомъ составляютъ:
4 ряда для числа 4
5 ряд. » » 5
6 » » » 6
7 » » » 7
8 » » » 8
9 » » » 9
Во всякой группѣ рядовъ упражненія на сложеніе и
вычитаніе чередуются.
Послѣ того, какъ рядъ выведенъ, ученики должны
«быстро и красиво» списать его, затѣмъ написать, руко-
водствуясь представленіемъ, и сказать наизусть, руко-
водствуясь тѣмъ же представленіемъ. Послѣ этого учитель
и ученики задаютъ вопросы вразбивку.
При этихъ упражненіяхъ, пока не будетъ пріобрѣтено
навыка въ рѣшеніи соотвѣтствующихъ примѣровъ, можно
съ успѣхомъ примѣнять счетныя таблицы 1 и II.

Рѣшеніе отвлеченныхъ примѣровъ чередуется съ рѣ-
шеніемъ задачъ, заимствуемыхъ изъ области предметнаго
счисленія. См. стр. 263 и 303.
Ученики должны также самостоятельно отыскивать
и ставить задачи. Игра «въ лавку» даетъ для этого
много поводовъ и является, вообще говоря, значительно
болѣе поучительной и практически полезной, чѣмъ это
обыкновенно думаютъ вначалѣ.
III. Первая сотня.
1. Общія указанія относительно изученія области
чиселъ 1—100.
1. Ученики тѣмъ легче понимаютъ устный и письмен-
ный способъ выполненія 4-хъ ариѳметическихъ дѣйствій
и пріобрѣтаютъ навыкъ въ выполненіи ихъ, чѣмъ основа-
тельнѣе ихъ пониманіе строенія числовой системы и значе-
нія разрядовъ. Поэтому ученики должны сами раздвигать
предѣлы данной числовой области и самостоятельно нахо-
дить законъ дальнѣйшаго образованія чиселъ. Мы уже
встрѣтились съ этимъ вопросомъ, когда переходили
отъ перваго десятка ко второму. То же повторится и
здѣсь при расширеніи области чиселъ до 100.
2. При построеніи и разложеніи каждаго изъ чиселъ
этой области надо послѣдовательно примѣнять: I. Систе-
матическое образованіе рядовъ, II. Счетныя таблицы,
III. Свободное предметное счисленіе.
3. Необходимо помнить, что способность воспріятія
ощущеній различна у отдѣльныхъ учениковъ (см. стр. 98),
что ученики, воспринимающіе наиболѣе легко зрительныя
ощущенія, всегда составляютъ большинство класса, и что
представленія движеній органовъ рѣчи, представленія
движеній при начертаній и представленіе написанной

фигуры принимаютъ участіе въ запоминаніи и удержаніи
въ памяти изучаемаго. Поэтому ученики должны писать
новые знаки и примѣры, считывать и списывать ихъ съ
доски, а также писать и читать ихъ на память.
4. Предварительное знакомство съ письменнымъ изобра-
женіемъ чиселъ существенно облегчаетъ устное счисленіе;
это особенно справедливо по отношенію къ тѣмъ учени-
камъ, которые легче всего воспринимаютъ зрительный
ощущенія; однако, оптико-пространственныя представле-
нія оказываютъ существенную помощь и тѣмъ дѣтямъ,
которыя принадлежатъ къ другимъ типамъ. Ученикамъ,
основывающимъ свои представленія на зрительныхъ и
двигательныхъ ощущеніяхъ, устный счетъ дается вообще
хуже, чѣмъ дѣтямъ, предрасположеннымъ къ воспріятію зву-
ковыхъ ощущеній. Поэтому, читая условія задачи, не слѣ-
дуетъ запрещать ученикамъ писать числа пальцемъ на партѣ.
2. Построеніе чиселъ первой сотни, числительныя и
ихъ начертаніе.
Основная цѣлъ. При рѣшеніи той или иной задачи (при
игрѣ «въ лавку») дѣти сталкиваются съ необходимостью
умѣть считать и вычислять въ предѣлахъ 20—100. См.
стр. 298.
а) Полные десятки.
I п П. Наблюденіе и подготовка. Вопросы и замѣчанія,
направляющіе рѣшеніе задачи, аналогичны приведеннымъ
на стр. 319. Поэтому здѣсь мы приведемъ только общій
планъ урока.
Покажи на счетномъ приборѣ 1 д.! 2 д.! 3 д.! 10 д.!
По скольку единицъ мы всякій разъ прибавляемъ?
Какъ называется число, содержащее 10 ед.? (Десят-
комъ).

Сколько всего десятковъ на счетномъ приборѣ? (10).
Затѣмъ снова повторяется рядъ полныхъ десятковъ:
1, 2, 3 10 десятковъ.
Одновременно съ этимъ говорится и записывается на
доскѣ слѣдующая табличка:
с.
д.
ед.
1
или: 1 д.
0
ед.
или: десять
или: 10
2
2 »
0
»
двадцать
»
20
3
3 »
0
»
тридцать
»
30
4
4 »
0
»
сорокъ
»
40
5
5 »
0
»
пятьдесятъ
»
50
6
6 »
0
»
шестьдесятъ
»
60
7
7 »
0
»
семьдесятъ
»
70
8
8 »
0
»
восемьдесятъ
»
80
9
9 »
0
»
девяносто
»
90
1
0
10 »
0
»
сто
»
100
1
1с. 0 »
0
»
сто
»
100
Въ какой графѣ справа стоятъ десятки?
Что надо сдѣлать, чтобы эта цифра 3 (записываемая
одновременно на доскѣ) обозначала 3 д., стояла бы на
второмъ мѣстѣ справа? (Надо приписать сзади нуль).
То же съ числами 40, 50, 60 и т. д.
10 единицъ даютъ число новаго разряда—десятокъ.
Подобнымъ же образомъ 10 д. образуютъ число новаго раз-
ряда—сто. Что надо сдѣлать, чтобы эта цифра 1 (записывае-
мая одновременно на доскѣ) обозначала не единицу, а сотню,
т.-е. 100 единицъ? (Приписать справа два нуля. Наводящее
указаніе: на какомъ мѣстѣ стоятъ сотни?—На третьемъ).
III. Изображеніе. Изображеніе на описанномъ выше
ручномъ приборѣ (стр. 299, сноска). Повтореніе выше-
приведенной таблицы. Прочти все, что написано въ этой
таблицѣ! Читайте ее хоромъ! Перепишите ее!

Напишите эту таблицу на память, тихонько читая ее
вслухъ!
Превратите написанныя числа полныхъ десятковъ
въ десятки и единицы!
10=1 д. О ед.
20 = 2 д. О ед.
30=3 д. О ед.
100=10 д. О ед.
Прочтите написанное! Спишите съ доски!
То же упражненіе въ обратномъ порядкѣ отъ 1Q0 до 10.
Пишите числа полныхъ десятковъ, которыя я буду
диктовать:
30, 80, 20, 70, 90, 100, 50 и т. д.
Ь) Произвольныя двузначныя числа.
Между 20 и 30, между 40 и 50 и т. д. существуетъ еще
рядъ чиселъ. Сейчасъ вы узнаете, какъ они называются и
какъ они пишутся.
I и II. Наблюденіе и подготовка. Считай отъ 1 до 100
шары счетнаго прибора, прибавляя каждый разъ по 1 шару!
Одновременно съ произнесеніемъ числительнаго, соотвѣт-
ствующее число записывается цифрами на доскѣ:
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

III. Изображеніе.
Читайте написанныя числа! Спишите ихъ!
Изобрази на счетномъ приборѣ число 25=2 д. 5 ед.
(См. примѣръ на табл. III въ приложеніи, число 25).
Изобрази такимъ же образомъ 46!
Запишите эти числа!
Изобрази числа 35, 48 и т. д., разбивъ ихъ на д. и ед.!
Запишите эти числа!
Спишите эти числа (показать ихъ) со стѣнной таблицы(II)!
Пишите числа, которыя я буду диктовать: 13, 23, 33,
43 и т. д., 14, 24, 34 И т. д., 15, 25, 35, 45 И т. д. 39, 45, 97,
23, 56 и т. д.
Напишите подъ рядъ числа отъ 100 до 0, тихонько читая
ихъ вслухъ!
Прибавь къ этому десятку шаровъ счетнаго прибора
единицу (одинъ красный шаръ)! Это 1 и 10 (обвести). Это
число одиннадцать. Запишите!
Сколько единицъ и полныхъ десятковъ въ одиннадцати?
Закройте глаза! Представьте себѣ одиннадцать; покажите
единицы, десятокъ! То же упражненіе надъ 21, 31,41 и т. д.
Кто можетъ правильно записывать числа въ графы?
(Сколько десятковъ надо записать? Сколько единицъ?).
3. Образованіе рядовъ путемъ послѣдовательнаго при-
бавленія и вычитанія чиселъ перваго десятка.
а) Общія замѣчанія.
Образованіе рядовъ даетъ дѣтямъ возможность прак-
тически усвоить закономѣрность построенія чиселъ и
именъ числительныхъ, способы начертанія чиселъ и вообще
сущность десятичной системы. Поэтому эти упражненія
слѣдуетъ выполнять систематически, чередуя ихъ съ пред-
метнымъ и табличнымъ счисленіемъ. Упражненіе ведется

такимъ образомъ, что одно и то же число присчитывается
до тѣхъ поръ, пока не получится 100, а затѣмъ отчиты-
вается, начиная отъ 100, пока не получится 0. Число два
позволяетъ образовать 2 ряда (0+2=2, 2+2=4, 4+2=6
и т. д. и 1+2=3, 3+2=5, 5+2=7 и т. д.), число три—3
ряда (0+3=3 и т. д., 1+3=4 и т. д., 2+3 = 5 и т. Д.), число
девять—9 рядовъ.
b) Примѣръ: присчитываніе и отсчитываніе числа 4.
Цѣль упражненій. Примѣръ, заимствованный изъ «игры
въ лавку», показываетъ необходимость умѣть быстро
присчитывать и отсчитывать числа въ предѣлахъ 0—100.
Переходъ черезъ десятокъ сопровождается сперва раз-
ложеніемъ. Поэтому надо припомнить разложеніе числа 4.
4=3+1
4=2+2
4=1 + 3 И т. д.
На счетномъ приборѣ откладываютъ по 4 шара; при
этомъ считаютъ и пишутъ:
а) Сложеніе.
0+4=4
4+4=8
8+4=10+2=12
12+4=16
28+4=30+2=32
32+4=36
96+4=100.

Прочтите!
Спишите!
Напишите на память!
Табличное счисленіе (выполняемое при помощи раз-
ложенія и безъ него).
Предметное счисленіе (безъ разложенія),
b) Вычитаніе. Аналогично сложенію.
100—4=96
96—4=92
92—4=90—2 = 88
12—4=10—2=8
4—4=0
Прочтите!
Спишите!
Напишите на память!
Табличное счисленіе, таблица II, стр. 335.
Предметное счисленіе. Отрывной календарь: мѣсяцы,
дни. Часы: минуты, часы. Градусникъ: опредѣленіе тем-
пературы, подъемъ и пониженіе ея.
Подобнымъ же образомъ производится сложеніе и вы-
читаніе въ случаѣ рядовъ 1+4; 2+4, 3+4.
Аналогично производятся упражненія въ сложеніи и
вычитаніи и надъ другими однозначными числами въ пре-
дѣлахъ 0—100. Образованіе рядовъ должно сопровождаться
табличнымъ и предметнымъ счисленіемъ.
4. Сложеніе и вычитаніе.
1. Присчитываніе и отсчитываніе однозначныхъ чиселъ.
При упражненіяхъ въ образованіи рядовъ дѣти научи-
лись присчитыванію и отсчитыванію однозначныхъ чиселъ

къ двузначнымъ числамъ въ предѣлахъ 0—100. Теперь тѣ
же дѣйствія проходятся въ разбивку. При этомъ задачи
1) диктуются учителемъ, какъ напримѣръ:
a) 25+8; 79+7; 89—6; 63—5 и т. д.
b) 25+8+4; 68—9—6—3 и т. д.
2) указываются въ счетной таблицѣ, причемъ
a) числа берутся изъ горизонтальныхъ рядовъ.
b) » » » вертикальныхъ »
Тотъ и другой способъ предложенія задачъ слѣдуетъ
чередовать; оба они примѣняются въ жизни; къ тому же,
ученики, предрасположенные къ воспріятію зрительныхъ
ощущеній, нуждаются въ развитіи слуховыхъ ощущеній,
а ученики, предрасположенные къ воспріятію слуховыхъ
ощущеній,—въ развитіи зрительныхъ ощущеній.
3. Предметное счисленіе. Примѣръ: принеси изъ лавки
десятокъ яблокъ за 26 коп., 3 груши за 9 коп. и лимонъ
за 6 коп. Сколько съ тебя возьмутъ за все? Сколько дадутъ
тебѣ сдачи, если ты дашь въ уплату полтинникъ?
2. Устное сложеніе и вычитаніе двузначныхъ чиселъ.
Слѣдуетъ различать такія группы задачъ:
1) Только полные десятки: 60+30; 50+40; 100—30;
50—20 и т. д.
2) Одно изъ данныхъ чиселъ произвольное двузначное
число: 40+35; 75+20; 80—16; 48—20 и т. д.
3) Оба данныхъ числа произвольныя двузначныя числа:
67+29; 35+56; 38—19; 87—48 И т. д.
Ходъ разсужденія при устномъ сложеніи и вычитаніи
усваивается учениками значительно легче, быстрѣе и на-
дежнѣе, если они предварительно сами продѣлаютъ и за-
пишутъ на классной доскѣ нѣсколько примѣровъ. Упражне-
ніе слѣдуетъ вести такимъ образомъ:
Основная задача. Принеси на 15 коп. сахару (1 фунтъ) и
на 66 коп. крупы (6 фунтовъ)!

Сколько надо дать тебѣ денегъ? Затрудненіе. Вы должны
теперь научиться быстро складывать устно двузначный
числа.
I и II. Наблюденіе и подготовка. Напиши задачу на
доскѣ: 66+15; вы не можете сразу прибавить 15 къ 66.
Какъ же тутъ быть? (Указаніе: вы умѣете прибавлять
10 и 5, разложите 10+5, прибавьте сперва 10, потомъ 5).
Вмѣсто 15 мы пишемъ, такимъ образомъ, 10+5. Какова же
будетъ теперь задача? (Написать: 66+15=66+10+5).
Сколько будетъ 66+10? (провести дугу)—76 (подпи-
сать подъ дугой).
Сколько остается еще прибавить къ 76? (5). Сколько
будетъ 76+5?—81 (подписать подъ дугой)
66+15=66+10+5
= ^7(Г +5
= 81
III. Изображеніе. 1. Прочти, что написано на доскѣ!
При устномъ счетѣ надо говорить возможно меньше, чтобы
не забывать чиселъ. Покажи числа, которыя можно опу-
стить. Прочти рѣшеніе задачи, опустивъ это выраженіе
(66+10+5).
Напишите подробное и сокращенное рѣшеніе задачи!
Рѣши устно задачу 66+15, читая все подробно!
Рѣши ту же задачу, читая сокращенно!
2. Подобнымъ же образомъ рѣшается сперва письменно,
а затѣмъ и устно, подробно и сокращенно, другая задача,
напримѣръ, 59+47.
3. Рѣшеніе задачъ а) диктуемыхъ и Ь) указываемыхъ
на счетной таблицѣ. Чередованіе ихъ.
4. Предметное счисленіе. Молочница и покупатели.
Длина матеріи въ метрахъ. Возрастъ въ годахъ. Сутки,
часы. Желѣзная дорога: поѣздки, продолжительность ихъ,
стоимость, опозданіе. Почта: почтовыя марки. Домъ:

лѣстницы, ступени, окна, стекла, комнаты, число обитателей;
фруктовый и овощный торгъ. Булочникъ, мясникъ и т. д.
Подобнымъ же образомъ проходится и устное вычитаніе.
3. Образованіе рядовъ.
a) 10+10=20 10+11=21 10+12=22 10+36=46
20+10=30 20+11 = 31 20+12=32 20+36=56
и т. д. и т. д. и т. д. и т. д.
b) 100—10=90 100—11 = 89 100—12=88 100—36=64
90—10=80 90—11 = 79 90—12=78 90—36=54
ит.д. ит.д. ит.д. ит.д.
4. Табличное счисленіе; счетная таблица II.
3
5
4
6
7
1
0
2
9
8
15
17
16
18
19
13
II
14
12
10
27
29
28
20
22
25
23
26
24
21
39
32
30
31
34
37
35
38
36
33
42
44
41
43
46
49
47
40
48
45
51
53
52
54
55
50
58
59
57
56
60
61
69
62
63
68
66
67
65
64
78
70
77
79
71
76
74
75
73
72
86
88
85
87
80
84
82
83
81
89
94
96
93
95
98
92
99
91
90
97

Рѣшая примѣры, думаютъ, говорятъ и пишутъ сле-
дующее:
a) 15+17=(15+10+7)
= 25+7
= 32
b) 39+42=(39+40+2)
= 79+2
=81
c) 94—15=(94—10—5)
= 84—5
= 79.
5. Общій характеръ жизненнаго предметнаго
счисленія.
Жизненное счисленіе не вполнѣ совпадаетъ съ приклад-
нымъ или предметнымъ счисленіемъ, которое старо, какъ
само счисленіе, и которое въ послѣднее время стало слиш-
комъ искусственнымъ и запутаннымъ. Жизненное счисле-
ніе представляетъ собою счисленіе, соотвѣтствующее дѣт-
ской психикѣ и растущимъ духовнымъ потребностямъ
учениковъ, пробуждающимся въ нихъ въ связи съ ихъ
личными переживаніями, какъ членовъ общины. Оно
также имѣетъ характеръ прикладного, практическаго и
народно-хозяйственнаго счисленія; однако, при счисленіи
надо пользоваться лишь наиболѣе простыми и примитив-
ными практическими и хозяйственными данными въ соот-
вѣтствіи съ познаніями учениковъ на различныхъ сту-
пеняхъ ихъ развитія и ихъ личнымъ жизненнымъ опытомъ.
Жизненное счисленіе не должно также примѣняться къ
пустымъ фантазіямъ; наоборотъ, оно должно основываться
на дѣйствительныхъ, настоящихъ фактахъ. Поэтому классъ
долженъ быть организованъ въ видѣ трудового товарище-
ства, и различныя игры и занятія учениковъ должны

давать матеріалъ для преподаванія счисленія. Ученики
сами дѣлаютъ различныя предложенія, ставятъ вопросы
и составляютъ задачи. Наконецъ, ариѳметическія дѣйствія
не должны задаваться ученикамъ заранѣе; наоборотъ,
ученики должны сами находить ихъ подъ руководствомъ
учителя, должны вновь изобрѣтать ихъ. Методъ препо-
даванія, основанный на самодѣятельности учениковъ,
не легко проводится въ жизнь. Онъ требуетъ отъ учителя
тонкаго пониманія дѣла и сильно развитаго чувства мѣры
для постановки логически и словесно правильныхъ и
соотвѣтствующихъ дѣтской психологіи вопросовъ, а также
для примѣненія психологически правильныхъ, наглядныхъ
пособій; эти качества могутъ быть пріобрѣтены только
путемъ руководительства, упражненія и сообщенія при-
мѣровъ, а также теоретическихъ занятій. Мы постараемся
прійти на помощь «недостаточно подготовленнымъ» въ
этомъ смыслѣ учителямъ, остановившись подробнѣе, чѣмъ
это обычно дѣлаютъ методисты счисленія, на методической
разработкѣ отдѣльныхъ темъ.
Ученикамъ слѣдуетъ предложить усвоить «извѣстныя
данныя», необходимыя для жизненнаго счисленія, какъ-то:
цѣны на хлѣбъ, мясо, соль, уксусъ, масло; тетради, перья,
бумагу; платье, ткани, посуду, на плату за стирку бѣлья
и проч. Поводомъ для этого изученія является игра «въ
лавку», дающая богатый матеріалъ для плодотворнаго
жизненнаго счисленія; при этихъ занятіяхъ учитель,
какъ руководитель игры, можетъ предоставить учени-
камъ широкое поле для самодѣятельности. Ученики дѣ-
лаютъ себѣ теперь и «50-ти копеечныя и рублевыя мо-
неты». Ср. стр. 298. Требуемые «товары» обычно охотно
приносятъ сами ученики. Разстоянія, высоты, продолжи-
тельность того или другого занятія, поденная и часовая
плата ремесленникамъ, жалованіе и т. д., все это сооб-
щается при предметомъ обученіи самими учениками,

которые узнаютъ объ этомъ дома, и сами составляютъ
себѣ соотвѣтствующія задачи. Составить же для обученія
жизненному счисленію такіе «задачники», которые могли
бы освѣтить съ помощью чиселъ индивидуальный опытъ
учениковъ, живущихъ въ различныхъ городахъ и селахъ
страны, и тѣмъ способствовать выработкѣ количественнаго
воспріятія предметовъ, встрѣчаемыхъ дѣтьми въ природѣ
и человѣческой жизни,—совершенно невозможно.
Копейка, гривенникъ, сто копеекъ или рубль, десять
рублей, 25 рублей и т. д., см., м., км., гр., кгр., л., гл.
и т. д. должны быть показаны ученикамъ, небольшія раз-
стоянія и высоты должны быть фактически измѣрены ими,
напримѣръ, при составленіи плана школьной комнаты
или школьнаго зданія.
6. Умноженіе и дѣленіе, какъ «таблица умноженія».
а) Общія замѣчанія.
Однозначное -число 7 можно послѣдовательно умно-
житъ на всѣ однозначныя числа (1 . 7; 2 . 7; 3 . 7 и т. д.);
каждое изъ полученныхъ такимъ образомъ произведеній
и вообще каждое изъ чиселъ, не превышающихъ 100, можно
опять раздѣлитъ на 7; напримѣръ, 56 : 7=8; 59 : 7=8,
въ остаткѣ 3. Такое умноженіе и дѣленіе, въ предѣлахъ
]—100, которое можно выполнить съ помощью однознач-
ныхъ чиселъ, мы будемъ называть «таблицей умноженія».
При преподаваніи «таблицей умноженія» часто поль-
зуются только для умноженія и совершенно забываютъ о
примѣненіи ея при дѣленіи, которое также можно изучить
и усвоить. Легко видѣть, что ариѳметическія предложенія
«таблицы умноженія», въ нашемъ смыслѣ этого слова,
являются фундаментомъ всего счисленія, всей ариѳме-
тики и высшей математики, что быстрота и ловкость счис-
ленія въ теоріи и практикѣ зависятъ именно отъ нихъ.

Методистъ счисленія Адамъ Ризе требовалъ, чтобы для
бѣглаго счисленія таблица умноженія заучивалась наи-
зусть. Буссе и Роховъ пытались смягчить механическое
заучиваніе наизусть; но напечатанныя для заучиванія
наизусть таблицы умноженія сохранились еще до нашихъ
дней въ библейскихъ исторіяхъ, въ книгахъ для чтенія
и т. п. Несмотря на это, таблица умноженія прежде часто
никакъ не могла засѣсть въ головѣ, и для практическаго
счисленія приходилось пользоваться печатными табли-
цами. Предложенія таблицы умноженія могутъ и должны
быть найдены учениками, путемъ наблюденія и размыш-
ленія, а затѣмъ усвоены, путемъ разумныхъ упражненій,
до полной автоматичности и механичности пользованія
ими, въ хорошемъ смыслѣ этихъ словъ.
Ученики уже ранѣе усвоили понятіе умноженія и
дѣленія, а также измѣренія, которыя встрѣчаются при
изученіи таблицы умноженія, стр. 297. Намъ часто при-
дется возвращаться къ найденному уже предложенію, что
умноженіе есть сокращенное сложеніе равныхъ чиселъ,
а дѣленіе есть сокращенное вычитаніе равныхъ чиселъ
(см. стр. 341 и 343), а также къ предложеніямъ: 1) легче
всего усвоить таблицу умноженія съ помощью счетнаго
прибора (съ квадратными числовыми фигурами), потому
что при этомъ легко наблюдать числовыя фигуры; 2) шары
счетной машины замѣняютъ собою всевозможные пред-
меты и явленія. Мы покажемъ на примѣрѣ, какъ слѣдуетъ
поступать при изученіи «таблицы умноженія».
b) Примѣръ: умноженіе и дѣленіе на 7.
1. Умноженіе.
Цѣль работы. На какомъ-либо примѣрѣ мы показы-
ваемъ ученикамъ, что они должны научиться умноженію
на 7 въ предѣлахъ 1—100.

I и II. Наблюденіе и переработка. 1) Здѣсь нѣтъ ни
одного шара, т.-е. здѣсь нуль шаровъ. Выдвинь на одномъ
прутѣ счетной машины 7 шаровъ! Сколько же будетъ
шаровъ 0 ш.+7 гл.? Запиши это на доскѣ! Прибавь теперь
еще 7 шаровъ (на слѣдующемъ прутѣ)! Сколько теперь
имѣется у пасъ шаровъ? Сколько же шаровъ составляютъ
7 шаровъ (обвести ихъ) и 7 шаровъ (обвести ихъ) вмѣстѣ
(обвести обѣ группы)? Подпишемъ это подъ первымъ
предложеніемъ. Къ этимъ 14 шарамъ (обвести ихъ) прибавь
еще 7 шаровъ! Сколько теперь будетъ шаровъ (обвести)?
Сколько же шаровъ составляютъ вмѣстѣ 14 ш. и 7 ш.?
Запишите это! И т. д. до 70. Повторяемъ это же, но въ
сокращенной формѣ.
0+7= 7
7+7=14
ДО
63+7=70
Здѣсь нѣтъ шаровъ. Поставь 7 ш. и еще 7 ш. (каждый
разъ на отдѣльномъ прутѣ), называя каждый разъ то
число, которое мы получаемъ! Начни сначала! 7; 14; ... 63;
70. Эти числа называются кратными семи.
Начни теперь съ 70 п отнимай послѣдовательно по
7 гл., называя каждый разъ число, которое при этомъ полу-
чается! (70; 63... 14; 7; 0). Покажи и назови всѣ эти числа,
обводя ихъ указкой, начавъ съ 70! (70; 63; ...14; 7; 0).
Прочти написанныя здѣсь числа! Всѣ!
Прочти числа, начиная съ 70, въ обратномъ порядкѣ!
Всѣ! Покажи для повторенія, что умноженіе есть сокра-
щенное сложеніе!(См. табл. на стр. 341). 2) Отложи 7 шаровъ!
Сколько здѣсь шаровъ? (7; запиши; отодвинь ихъ обратно).
Отложи 7 ш. одинъ разъ! Сколько же составятъ 7 ша-
ровъ, взятыхъ одинъ разъ? (7 . 1 или 1 . 7=7. Записы-
ваемъ).

Прибавь къ этимъ 7 шарамъ еще 7 шаровъ! Запиши
это цифрами на доскѣ! (7+7). Сколько разъ взяли мы
по 7? (Считай! Одинъ разъ 7; два раза 7).
Какъ можно иначе записать 7+7, если вмѣсто знака
сложенія воспользоваться знакомъ умноженія? (7.2).
Сколько же будетъ 7+7 или 7 . 2 (считаемъ на счетномъ
приборѣ, на доскѣ)? Записываемъ въ одну строчку
7+7=7 . 2=14.
Точно такъ же выводимъ и остальныя предложенія и
получаемъ слѣдующую табличку:
0+7=7 . 1=7
7+7=7 . 2=14
7+7+7=7 . 3=21
7+7+7+7=7 . 4=28
7+7+7+7+7=7 . 5=35
7+7+7+7+7+7=7 . 6=42
7+7+7+7+7+7+7=7 . 7=49
7+7+7+7+7+7+7+7=7 . 8=56
7+7+7+7+7+7+7+7+7=7 . 9=63
7+7+7+7+7+7+7+7+7+7=7 . 10=70
Какія изъ этихъ предложеній легче запомнить? (Какія
изъ нихъ вы можете сказать теперь же наизусть?) (7.1;
7.5; 7 . 10).
Какъ можно легко найти, сколько будетъ 7 . 2 (два
раза семь), зная, сколько составляетъ 7.1? То же въ
случаѣ 7 . 3?
Какъ можно легко найти, сколько будетъ 7 . 4 (че-
тыре раза семь), 7.6, 7.7, зная чему равно 7 . б?
Какъ можно вывести, сколько составитъ 7.9 (и 7 . 8),
зная, чему равно 7 . 10?
III. Изображеніе. Изученіе предложеній таблицы умно-
женія.

1. Перепиши ихъ!
Скажи ихъ на память!
Напиши ихъ на память!
Прочти все написанное, начиная съ 70, въ обратномъ
порядкѣ! Перепиши ихъ, начиная съ 7 . 10.
Скажи ихъ на память въ той же последовательности!
2. Вопросы въ разбивку: 7.5; 7.6; 7.4; 7 . 10; 7.9;
7 . 8? и т. д.
3. Счисленіе по таблицѣ. Всѣ числа таблицы II умно-
жаются на числа, стоящія въ первомъ горизонта льномъ
ряду этой таблицы.
4. Жизненное счисленіе. Матеріалъ см. стр. 337.
Подобнымъ же образомъ изучается вся таблица умно-
женія.
2. Измѣреніе (опредѣленіе содержанія) и дѣленіе.
Цѣль работы. Задача ставится совершенно такъ же,
какъ въ рубрикѣ 1. «Умноженіе».
I и II. Наблюденіе и переработка. 1. Образованіе ря-
довъ на счетномъ приборѣ; обращеніе къ ученикамъ и
наводящіе вопросы—тѣ же, что и въ 1. Умноженіе.
7—7= О
14—7= 7
21—7=14
ДО
70—7=63
То же, но въ сокращенной формѣ.
Вотъ 70 шаровъ. Отними 7 шаровъ, потомъ еще 7 ша-
ровъ, потомъ еще 7 шаровъ и т. д. и каждый разъ называй,
сколько шаровъ у тебя еще остается! (70; 63; 56; ...7; 0).
2. Для повторенія покажи, что измѣреніе и дѣленіе
суть сокращенное вычитаніе.

Вотъ 7 шаровъ. Отнимите 7 шаровъ! Сколько разъ ты
отнялъ по 7 шаровъ? (Одинъ разъ). Запиши 7—7! Сколько
шаровъ у тебя осталось? (Ни одного, нуль). Сколько же
разъ можно отнять 7 отъ 7? (1 разъ). Сколько разъ 7 со-
держится въ 7? Или: сколько будетъ, если 7 измѣрить 7?
(Записываемъ 7 : 7=1). Итакъ, когда мы измѣряемъ, то
мы отнимаетъ (дѣйствительно, или мысленно).
Положи на проволокахъ 14 шаровъ! Отнимай теперь
по 7 шаровъ столько разъ, сколько сможешь. Сколько
разъ отъ 14 можно отнять 7? Сколько же разъ 7 содер-
жится въ 14? Или: сколько даетъ 14, измѣренное 7? (2).
Итакъ, что можно написать вмѣсто 14—7—7? (14 : 7 = 2).
Продѣлай это!
14—7—7 или 14 : 7=2 и т. д.
7 отнимается 2 раза.
Получаемъ такую табличку:
7—7 или 7 : 7 = 1
7 отнимается 1 разъ
14—7—7 или 14 : 7=2
7 отнимается 2 раза.
21—7—7—7 или 21 : 7=3
7 отнимается 3 раза.
ДО
70—7—7—7—7—7—7—7—7—7—7 или 70 : 7=10
7 отнимается 10 разъ.
Какъ и раньше, мы показываемъ ученикамъ, что, когда
мы дѣлимъ 14 (21) шаровъ между 7 учениками (т.-е. когда

мы дѣлимъ 14 (21) на 7), то мы прежде всего измѣряемъ
данное число 7-ю, т.-е. опредѣляемъ, сколько разъ 7
содержится въ 14 (21). Слѣдовательно, выраженія 7, изме-
ренное 7, 14, измѣренное 7. и т.д., мы можемъ замѣнить
при чтеніи и рѣшеніи выраженіями: 7, дѣленное на 7, 14,
дѣ ленное на 7.
Какіе изъ написанныхъ примѣровъ самые легкіе?
(Можете ли вы ихъ уже сказать на память?)
Заставляемъ дѣтей находить болѣе трудныя предло-
женія, пользуясь легкими. См. стр. 341. Умноженіе.
III. Изображеніе.
a) Упражненіе:
1. Прочти написанныя предложенія таблицы дѣленія,
а) какъ измѣреніе, b) какъ опредѣленіе содержанія, с) какъ
дѣленіе.
2. Перепиши ихъ!
3. Скажи ихъ на память!
3. Запиши ихъ на память!
4. Прочти всѣ эти предложенія въ обратномъ порядкѣ,
начиная съ 70 : 7!
5. Перепиши ихъ, начиная съ 70 : 7!
6. Скажи ихъ на память въ томъ же порядкѣ!
7. Вопросы въ разбивку: 70 : 7; 63 : 7; 56 : 7; 35 : 7;
28 : 7? Примѣры на дѣленіе съ остаткомъ.
8. Счисленіе по таблицѣ. Таблица II.
b) Примѣненіе: жизненное счисленіе. Матеріалъ см.
стр. 336.
Подобнымъ лее образомъ изучается вся таблица умно-
женія, какъ примѣненіе измѣренія и дѣленія.
3. Образованіе рядовъ. Дальнѣйшіе примѣры.
Вычисли, по приведенному способу, письменно и
устно:

а)
1. 11 = 11
1. 12=12
13 .1=13
19 .1=19
2 . 11=22
2 . 12=24
13 .2=26
19 .2=38
3. 11=33
3. 12=36
13 .3=39
19 .3=57
9 . 11 = 99
b)
11 : 11= 1
22 : 11= 2
8 . 12=96
12 : 12= 1
24 : 12= 2
13 . 7=91
13 : 13= 1
26 : 13= 2
19 . 5=95
19 : 19= 1
38 : 19= 2
99:11 =9
96: 12= 8
а) 20. 1 =
20
21. 1=2Г
20. 2=
40
21. 2=42
20. 3=
60
21. 3=63
20. 4=
80
21. 4=84
20. 5=
100
b) 20: 1 =
20
21: 1=21
40: 2=
20
42: 2=21
60: 3=
20
63: 3=21
80: 4=
20
84: 4=21
100: 5=
20
91 : 13= 7
95 : 19= 5
Тѣ же упражненія надъ
числами 22, 23,-50!
Послѣ образованія каждаго отдѣльнаго ряда слѣ-
дуетъ: 1) счисленіе по таблицѣ II и 2) предметное счисленіе:
матеріалъ см. стр. 263 и 336. Позднѣе примѣняются 10-ти,
20-ти, 50-ти копеечныя монеты, 3-хъ, 5-ти, 10-ти, 25-ти
рублевыя деньги, число учениковъ и мѣстъ на скамьѣ,
годъ, мѣсяцъ, недѣли, дни, часы, минуты, секунды; ку-
сокъ, дюжина, м., см., л., гл.; недѣльная заработная плата,
поденная плата, часовая плата, аренда, наемъ и т. д.

4. Заключеніе отъ единицы къ цѣлому числу и отъ цѣ-
лаго числа къ единицѣ.
Основнымъ педагогическимъ принципомъ слѣдуетъ счи-
тать дѣйствіе. Поэтому все счисленіе должно исходить изъ
жизненнаго счисленія и должно вновь возвращаться къ
нему. Для жизненнаго же счисленія совершенно необхо-
димо умѣть выполнять заключеніе отъ единицы къ дан-
ному числу и отъ этого числа къ единицѣ. Это заключеніе
достаточно подготовляется и существенно облегчается
предложеннымъ нами нагляднымъ введеніемъ въ умноже-
ніе, измѣреніе и дѣленіе.
Для быстроты выполненія заключеній чрезвычайно
важно, кромѣ того, заставлять учениковъ вновь и вновь
составлять, продумывать, произносить и записывать ряды,
подобные приведеннымъ ниже, чтобы такимъ образомъ
сообщить имъ быстроту и увѣренность въ вычисленій.
1. 1 тетрадь стоитъ 10 коп. или 10 коп.х 1
2 тетради стоятъ 10 коп.х 2
3 » » 10 коп.х 3
4 » » 10 коп.х 4
б тетрадей » 10 коп.х б
20 » » 10 коп.х20
99 » » 10 коп.х99
2.1 тетрадь стоитъ 10 коп.хі
2 тетради стоятъ 10 коп.х2
1 тетрадь стоитъ 10 коп.хі
3 тетради стоятъ 10 коп.хЗ
1 тетрадь стоитъ 10 коп.х1
4 тетради стоятъ 10 коп.х4
1 тетрадь стоитъ 10 коп.х1
5 тетрадей стоятъ 10 коп.х б

3.2 тетради стоятъ 10 коп.х 2
1 тетрадь стоитъ 10 коп.х 1
3 тетради стоятъ 10 коп.х 3
1 тетрадь стоитъ 10 коп.х 1
10 тетрадей стоятъ 10 коп. х 10
1 тетрадь стоитъ 10 коп.х 1
4. 2 тетради стоятъ 20 коп.
1 тетрадь стоитъ 20 коп. : 2
3 тетради стоятъ 30 коп.
1 тетрадь стоитъ 30 коп. : 3
7 тетрадей стоятъ 70 коп.
1 тетрадь стоитъ 70 коп. : 7
10 тетрадей стоятъ 100 коп.
и т. д.
7. Устное умноженіе на однозначныя числа.
Прежде всего мы проходимъ умноженіе на однозначныя
числа двухзначныхъ чиселъ, оканчивающихся нулями,
а затѣмъ и произвольныхъ двухзначныхъ чиселъ.
Ходъ мысли въ первомъ случаѣ таковъ:
а) 20 . 3
b) 20 . 4
20=20 ед.=2 дес.
20 . 4=2 д. . 4
2 д. . 3=6 д.=60 ед. =8 д.=80 ед.
Сокращенный способъ:
20 . 3=60
20 . 4=80
Во второмъ случаѣ разсуждаютъ такъ:
Примѣръ.
Цѣль работы: ты долженъ купить 3 л. сливокъ. Литръ
сливокъ стоитъ 24 коп. Сколько денегъ тебѣ нужно? Такія

задачи приходится рѣшать очень часто, и намъ необходимо
найти способъ быстро рѣшать ихъ въ умѣ.
I и II. Наблюденіе и переработка: 1 литръ стоитъ 24 к.
или 24 коп.XI. Сколько разъ по 24 коп. стоятъ 3 литра?
(24 . 3). Вотъ это-то и есть наша устная задача. Разложи
24 по разрядамъ! (2 д., 4 ед.). Напиши 3 раза 24, разло-
женное по разрядамъ!
д.
ед.
2
4
2
4
2
4
Сколько разъ мы должны взять по 2 десятка? (3). По
скольку же разъ должны мы взять число единицъ каждаго
разряда, если мы множимъ на 3? (Беремъ Зраза) *). Замѣ-
тимъ это себѣ.
24=2 дес. 4 ед. Что же можно, поэтому, написать,
вмѣсто 24 . 3?
24 . 3=2 д.. 3+4 ед.. 3 или
24 . 3=20 . 3+4 . 3
Сколько будетъ 20 . 3? (60; запишемъ это!) Сколько
будетъ 4.3 (12; запишемъ!) Сколько будетъ 60+12? (72;
запишемъ!)
24 . 3=20 . 3+4 . 3
= 60+12
= 72
г) Здѣсь дается наглядное представленіе правила, сообщаемаго
позже въ ариѲметикѣ: «чтобы умножить сумму, нужно умножить
отдѣльно каждое слагаемое».

III. Изображеніе. 1. Прочти все сначала! (Произнося
20 и 4, сдѣлай удареніе!) Еще разъ повторить все дѣй-
ствіе!
Переписать все! Повторить все на память!
При устномъ счисленіи мы стараемся говорить какъ
можно меньше; почему? (Чтобы не забывать). Какую часть
можно выпустить? (20 . 3+4 . 3). Повтори сокращенный
ходъ рѣшенія задачи:
24 . 3=60+12
= 72
Перепишите все! Повторите на память (руководствуясь
только представленіемъ).
2. Кто можетъ рѣшить подробно на доскѣ другой при-
мѣръ: 36 . 2?
Кто можетъ написать рядомъ сокращенный способъ
разсужденія и вычисленія при рѣшеніи этой задачи?
3. Упражненія: задачи поперемѣнно читаются (пред-
лагаются акустически) и показываются на счетныхъ
таблицахъ (предлагаются оптически). Примѣры:
Задача: 17 . 2 или 2 . 17
17 . 2 [=10 . 2 + 7 . 2]
= 20^+14
= 34
Задача: 23 . 4 или 4 . 23
23 . 4 [=20 . 4+3 . 4]
= "І0+ 12
= 92
Табличное счисленіе ведется по таблицѣ II.
4. Жизненное предметное счисленіе.

8. Устное дѣленіе на однозначныя числа.
Здѣсь также сначала изучается дѣленіе на 2, 3, 4 и
т. д., двухзначныхъ чиселъ, оканчивающихся нулемъ, а
затѣмъ и произвольныхъ двухзначныхъ чиселъ.
Ходъ разсужденія въ первомъ случаѣ:
а) 40 : 2 b) 60 : 2
40 : 2=4 д. : 2 60 : 2=6 д. : 2
Сокращенный способъ разсужденія и вычисленія:
Дѣленіе произвольныхъ двухзначныхъ чиселъ на одно-
значныя числа:
Цѣль работы: вы купили 2 литра уксуса. Торговецъ
получилъ съ васъ за это 46 коп. Сколько стоитъ 1 литръ?
Эту и другія подобныя же задачи мы будемъ рѣшать
устно.
I и II. Наблюденіе и переработка. 2 литра стоятъ 46 коп.
Какую часть 46 коп. стоитъ 1 литръ? Въ чемъ же состоитъ
задача, которую намъ надо рѣшить устно? (46 : 2; запи-
шемъ это!)
Запиши 46, отдѣляя разряды!
=2 д.
=20 (ед.)
=3 д.
=30 (ед.)
40 : 2=20
60 : 2=30
Примѣръ.
На какое число надо раздѣлить 4 дес, если мы хотимъ
раздѣлить число 46 на 2? (2).

На какое число надо раздѣлить б ед., если мы хотимъ
раздѣлить число 46 на 2?
На какое же число нужно раздѣлить числа каждаго
разряда, если намъ нужно все число раздѣлить на 2?1).
Кто можетъ записать задачу 46 : 2 другимъ способомъ?
(Помогаемъ: разложить 46 по разрядамъ.)
46 : 2=4 д. : 2+6 ед. : 2 или
46 : 2=40 : 2+6 : 2
Сколько будетъ 40 : 2? (Записываемъ).
Сколько будетъ 6 : 2? (Записываемъ).
Сколько будетъ 20+3? (Записываемъ).
III. Изображеніе. Здѣсь записанъ подробный способъ
разсужденія и вычисленія при рѣшеніи задачи. Прочти
его!
46 : 2=40 : 2+6 : 2
= *2(f+"Т"
= 23
Сокращенный нормальный способъ рѣшенія будетъ:
46 : 2=20+3
= "іГ
Въ остальномъ ходъ задачи вполнѣ соотвѣтствуетъ
приведенному въ примѣрѣ на «устное умноженіе» (III. Изоб-
раженіе, стр. 349).
г) Отвѣтъ заключаетъ въ себѣ первое наглядное представленіе
объ ариѳметическомъ правилѣ: чтобы раздѣлить сумму, нужно
раздѣлить отдѣльно каждое слагаемое.

Дальнѣйшіе примѣры:
Задача 34 : 2
34 : 2 [=20 : 2+14 : 2]
= 10 + 7
= 17
Задача 95 : 4
95 : 4 [=80 : 4+15 : 4]
= 20 + 3, въ остаткѣ 3
= 23, въ остаткѣ 3.
Табличное счисленіе, таблица П.
Жизненное предметное счисленіе, матеріалъ см. стр. 263
и 336.
IV. Первая тысяча.
1. Общія замѣчанія объ изученіи области чиселъ
отъ 1 до 1000.
О наглядныхъ, ясныхъ и отчетливыхъ представленіяхъ
чиселъ, превышающихъ 10, не можетъ быть рѣчи даже
при примѣненіи квадратныхъ числовыхъ фигуръ. Однако,
нашъ «классный счетный приборъ» (большая модель)
позволяетъ отчасти сдѣлать наглядными и числа первой
тысячи, хотя, конечно, не съ такою легкостью, какъ числа
первой сотни. То же можно сказать и объ отношеніяхъ
чиселъ и дѣйствіяхъ надъ ними.
Дѣлая нагляднымъ образованіе числа тысяча, мы
тѣмъ самымъ расширяемъ и углубляемъ представленія
учениковъ о десятичной системѣ. Значеніе мѣста цифръ,
порядокъ ихъ, начертаніе чиселъ, взаимоотношенія между
единицами, десятками, сотнями и тысячами,—все это
должно быть воспринято непосредственно.

2. Образованіе числа тысяча. Способъ образованія,
наименованія и записи чиселъ.
1) Ученики, руководимые учителемъ, считаютъ на
счетномъ приборѣ десятки: 10, 20, 30 ... 100.
Первая сотня «замѣняется» теперь рисункомъ счет-
наго прибора, т.-е. квадратомъ, изображеннымъ на классной
доскѣ или на картонѣ и заключающимъ въ себѣ 100 то-
чекъ, расположенныхъ по принципу квадратныхъ число-
выхъ фигуръ.
Ученики считаютъ далѣе—110, 120, 130 ... 200, поль-
зуясь счетной машиной. Вторая сотня также замѣняется
квадратомъ, который помѣщается подъ первымъ квад-
ратомъ, и счетъ продолжается дальше въ томъ же порядкѣ.
Такимъ образомъ доходятъ до 10 сотенъ или тысячи, ко-
торая изображается слѣдующимъ рисункомъ:
Досчитавъ до цѣлой сотни, записываютъ числа на доскѣ
и заставляютъ учениковъ читать вслухъ написанные ряды:
1-ая сотня: 10 20 30 40 . . . 90 100= 1 сотня
2 » » 110 120 130 140 . 190 200= 2 сотни
3 » 210 220 230 240 .. . 290 300= 3 »
4 » 310 320 330 340 .. . 390 400= 4 »
10 » 910 920 930 940 .. . 990 1000 = 10 сотенъ или
1 тысяча.
Теперь мы узнали новый разрядъ чиселъ; какъ же онъ
называется? (Тысячи).

III. Изображеніе.
2) Ученики:
a) читаютъ написанныя числа подъ рядъ и въ раз-
бивку, въ восходящемъ и нисходящемъ порядкѣ;
b) описываютъ ихъ, тихонько произнося ихъ;
c) пишутъ ихъ подъ диктовку.
3) Прочесть вслухъ, заставить повторить и записать:
a) 10 ед. = 1 д. 1 д. = 10 ед.
10 д. = 1 с. 1 с. = 10 д. = 100 ед.
10 с. = 1 т. 1 т. = 10 с. = 100 д. = 1000 ед.
b) 1000 ед. = 1 т. 0 с. 0 д. 0 ед.
1000 ед. = 10 с. 0 д. 0 ед.
1000 ед. = 100 д. 0 ед.
4) Произвести слѣдующія упражненія надъ числами
счетной таблицы III:
1) Разложить трехзначныя числа на с., д. и ед., напр.,
357 = 3 / 5 / 7 = 3 с. 5 д. 7 ед.
2) Раздробить сотни, входящія въ трехзначныя числа
таблицы:
a) въ десятки;
b) въ единицы (7 с. = 70 д.; 7 с. = 700 ед.).
3) Раздробить въ единицы десятки, входящіе въ дву-
значныя числа.
5) Продиктовать нѣсколько трехзначныхъ чиселъ.
1. Сколько единицъ составляютъ 1 д.? Сколько де-
сятковъ составляютъ 1 с? Сколько сотенъ — 1 т.? На нашемъ
чертежѣ съ графами для различныхъ разрядовъ чиселъ
надо построить еще одну новую графу, графу тысячъ. Кто
хочетъ это сдѣлать?

1, сама по себѣ, обозначаетъ одну единицу. Кто мо-
жетъ сдѣлать такъ, чтобы 1 (одна, написанная на доскѣ)
превратилась въ тысячу? (Помогаемъ: чтобы 1 пришлась
на 4-мъ мѣстѣ).
Здѣсь удобно также примѣнить размѣнъ монетъ выс-
шаго достоинства (10 руб. и 1 руб.) на монеты низшаго
достоинства (1 коп.) и обратно, а также вообще раздробле-
ніе именованныхъ чиселъ (километръ, метръ, сантиметръ,
килограммъ, литръ, гектолитръ).
3. Устныя и письменныя упражненія въ образованіи
рядовъ.
а) 0+200= 200 100+200=300
200+200= 400 300+200=500
400+200= 600
: :
800+200=1000 700+200=900
1000—200= 800 900—200 = 700
800—200= 600
400—200= 200 300—200= 100
b) 0+300= 300 100+300= 400 200+300=500
300+300= 600 400+300= 700 500+300=800
600 +300 = 900 700 +300=1000
90С—300 = 600 1000—300 = 700 800—300 = 500
: 700—300 = 400 500—300 = 200
300—300= 0 400—300= 100
с) Тѣ же упражненія надъ остальными сотнями.
4. Устное сложеніе и вычитаніе.
Обдумать, произнести и написать:
1) 350+80(=35С+50 +30) 430—80(=430—30—50)
=400+30 =400—50
=430 =350

2) 480 + 79(=480 + 70 + 9)
=550+ 9
=559
3) 268+597(=768+90 + 7)
= 858+ 7
=865
559—79(=559--70—9)
=489— 9
=480
865—597(=36б—90—7)
=275— 7
=268
Ученики описываютъ эти примѣры, тихонько читая
ихъ. Потомъ вычисляютъ устно.
Для упражненія мы предлагаемъ имъ устно и пись-
менно задачи, рѣшаемыя сокращеннымъ способомъ. Упраж-
ненія надъ числами счетной таблицы III.
Счетная таблица III.
31
54
42
63
79
17
105
21
96
85
153
172
164
181
196
138
119
147
123
106
275
298
286
207
225
253
236
268
249
211
397
326
308
315
342
374
355
283
367
339
429
442
411
430
468
493
472
404
486
457
511
530
525
546
554
502
589
591
573
568
603
656
694
625
639
681
667
678
652
641
785
704
771
793
718
766
744
756
739
722
867
880
858
879
801
842
825
833
815
898
946
968
935
957
980
929
991
912
904
973

5. Счисленіе надъ именованными числами.
1) 5 руб.+8 руб.=
2) 7 руб.—90 коп
і500+800=1300 коп.=13 руб.
113 руб.
(700—90=610
\=6 руб. 10 коп.
3) 2 руб. 36 коп.+5 руб. 95 коп.=
( 736+90+5=826+5=831 коп.=8 руб. 31 коп.
~~ \ 7 р. 36 к.+90 к.+5 к.=8 р. 26 к.+5 к.=8 р. 31 к
4) 3 руб. 20 коп.+5 руб. 60 коп.=
Вмѣсто рублей и копеекъ здѣсь можно примѣнить
также метры, сантиметры, гектолитры и литры. Подоб-
нымъ же образомъ можно составлять задачи, куда вхо-
дили бы километры и метры (географическія свѣдѣнія),
килограммы и граммы.
6. Письменное сложеніе двухзначныхъ чиселъ.
Цѣль работы: Сколько вамъ потребуется денегъ, если
вамъ надо купить 3 лимона за 18 коп., 1 литръ сливокъ
за 24 коп. и пачку свѣчей за 35 коп.? Трудность устнаго
счисленія заключается въ томъ, что числа забываются.
Съ чего начинаютъ взрослые люди? (Они записываютъ
числа). Они вычисляютъ «письменно». Сегодня вы должны
узнать, какъ выполняется письменное сложеніе. Чтобы
вы легче усвоили это, мы воспользуемся квадратной счет-
ной машиной.
I и II. Наблюденіе и переработка. Задача заключается
въ сложеніи 24 и 18.
( 820+60=880 коп.=8 руб. 80 коп.
~~\ 8 руб. 20 коп.+ 60 коп. = 8 руб. 80 коп.
5) 7 руб. 30 коп.—4 руб. 80 коп.=
_ ( 330—80=250 коп.=2 руб. 50 коп.
~ \ 3 руб. 30 коп.—80 коп. =2 руб. 50 коп.

Положи 24 шара!
Сколько здѣсь десятковъ? (2).
Сколько здѣсь единицъ? (4).
Для десятковъ (д.) я нарисую на доскѣ одну графу
и рядомъ съ нею другую графу для единицъ (ед.)
Запиши десятки въ графѣ десятковъ и единицы—въ
графѣ единицъ!1)
Сколько шаровъ нужно теперь прибавить къ 24? (18).
Придвинь ихъ!
Сколько десятковъ и единицъ содержится въ 18?
Запиши десятки и единицы въ соотвѣтствующихъ
графахъ! Теперь начнемъ складывать эти 24+18 шаровъ!
Числа какого разряда мы будемъ складывать сначала?
(Единицы). Сложи же единицы! (12).
Сколько десятковъ заключается въ 12? (1 д. 2 ед.).
Вмѣсто этихъ 10 (красныхъ) единицъ мы положимъ здѣсь
1 шаръ (бѣлый), изображающій десятки. Складывай те-
перь десятки!
(1+1+2=4). Теперь мы сложили и единицы и де-
сятки. Прочти результатъ по разрядамъ! Сколько это
составитъ единицъ?
Итакъ, сколько же будетъ 24+18? (42).
Кто хочетъ продѣлать эту задачу на доскѣ, на цифрахъ?
Проводимъ подъ цифрами черту.
г) Ср. рисунокъ абака, стр. 20.

Какой разрядъ мы будемъ складывать сначала? (Еди-
ницы).
Сдѣлай это! (8+4=12).
Преврати 12 единицъ въ десятки и единицы!
Запиши число единицъ въ графѣ единицъ!
Сколько десятковъ ты припишешь еще въ графу де-
сятковъ? Сосчитай теперь десятки! (1+1 + 2=4). Запиши
число десятковъ въ графу десятковъ!
Сколько десятковъ и единицъ составятъ 24 и 18?
Сколько это будетъ единицъ?
Сколько же будетъ 24+18? (42).
Рѣшимъ теперь ту же задачу, не прибѣгая къ графамъ
и надписямъ!
Кто хочетъ это сдѣлать?
III. Изображеніе. 1. Словесное разсужденіе: 8 ед. и
4 ед. составляютъ 12 ед. или 1 д. 2 ед. Записываю 2 ед.;
1 д.+1 д. составляютъ 2 д. и еще 2 д. составляютъ 4 д.
Еще разъ повторите это разсужденіе, но опустивъ наиме-
нованія (десятки и единицы)!
2. Повторить общій ходъ рѣшенія задачи.
3. Заставить учениковъ примѣнить указанный способъ
рѣшенія къ той же задачѣ по возможности самостоятельно,
безъ наводящихъ вопросовъ.
4. Термины. Числа, которыя мы складываемъ (въ
данномъ случаѣ—24 и 18), называются слагаемыми, а то,
что получается послѣ сложенія (въ данномъ случаѣ—42),
называется суммой. Покажи слагаемыя! Покажи сумму!

Почему подъ послѣднимъ слагаемымъ проводится горизон-
тальная черта?
б. Упражненіе съ 2 и болѣе слагаемыми. Показать
наглядно: чѣмъ больше слагаемыя, тѣмъ больше сумма
(функціональное мышленіе, см. стр. 260).
6. Счисленіе надъ числами счетной таблицы, III. Стр. 356.
7. Предметное счисленіе. Соотвѣтствующій матеріалъ
см. стр. 336 и 345. Примѣръ: Купи 2 десяти-копеечныхъ,
5 пяти- и 10 трехкопеечныхъ марокъ. Сколько тебѣ по-
требуется денегъ? Какими монетами ты можешь заплатить
за марки? Сколько получишь ты сдачи, если дашь въ
уплату 1 рубль?
Дальнѣйшіе примѣры:
2 3 23 2 4 24
+1 5 или 15 +1 8 или 18
3 I 8 38 4Х| 2 ~42
С. Д. Ед.
2 6 3 2 0 6
+5 4 9 2 7
sJTt I 2 3 4 0
13 7
2 6 3 6
5 4 9
8 12
7 I 1 I 6
Ученики замѣчаютъ, что при письменномъ счисленіи всегда
единицы пишутся подъ единицами
десятки „ ^ десятками
сотни „ ^ сотнями
тысячи ъ ъ тысячами.

7. Письменное вычитаніе двухзначныхъ чиселъ.
Общая постановка задачи и общій ходъ ея рѣшенія
тѣ же, что при письменномъ сложеніи двухзначныхъ чиселъ.
Сначала разсматриваются случаи, не требующіе раз-
дробленія единицъ слѣдующаго разряда.
Затѣмъ случаи, требующіе такого раздробленія,
«размѣна».
Размѣнъ денегъ: «крупныя» деньги мѣняемъ на «мел-
кія». Слѣдуетъ избѣгать при этомъ выраженія «занять».
Примѣръ: 43—15. I я II. Наблюденіе и переработка:
представить 43 на счетной машинѣ, какъ 4 д. 3 ед. Запи-
сать это число на доскѣ въ графахъ, подъ нимъ подписать
вычитаемое 15.
Отъ 3 ед. нельзя отнять 5 ед. Что же надо сдѣлать въ
этомъ случаѣ?
Д. Ед.
41 3
1 5
2 I 8~~
(Можно сдѣлать такъ: въ этой графѣ помѣщаются
десятки; одинъ десятокъ можно оттуда взять и раздробить
въ единицы.) Сколько же получится, если отъ 13 ед. от-
нять 5 ед.? (8 ед.)
Сколько десятковъ имѣется у насъ еще въ графѣ де-
сятковъ? (Только 3).
Сколько будетъ, если отъ 3 д. отнять 1 десятокъ? (2 д.).
Легко позабыть, что здѣсь имѣется уже не 4 д., а только
3 д., что одинъ десятокъ мы уже взяли. Какъ можно от-
мѣтить, что здѣсь на 1 десятокъ стало меньше? (Поставить
штрихъ—единицу.) Отдѣльныя дѣйствія слѣдуетъ выпол-

нить вновь, сначала на счетной машинѣ, потомъ только на
числахъ.
III. Изображеніе. Словесный и письменный способы:
отъ 3 ед. нельзя сразу отнять б ед. Мы присоединяемъ
1 д. Отъ 13 ед. отнять б ед. будетъ 8 ед.; 3 д. безъ 1 д. со-
ставляютъ 2 д.
Упражненія, задачи, предметное счисленіе. Соотвѣт-
ствующій матеріалъ см. стр. 336 и 345.
Термины: 43 Уменьшаемое
15 Вычитаемое
28 Остатокъ, разность.
Показать на соотвѣтствующихъ задачахъ, которыя
все время не стираются съ доски, что
1. Чѣмъ больше уменьшаемое, тѣмъ больше и остатокъ;
чѣмъ больше вычитаемое, тѣмъ меньше остатокъ (функ-
циональное мышленіе, ср. стр. 260).
2. Остатокъ+вычитаемое=уменьшаемое («провѣрка»).
Дальнѣйшіе примѣры:
1) 36—12= 36—10—2 или 2) 43—15= 43—10—5 или
=3 д. б ед—1 д.—2 ед. или =4 д. 3 ед.—1 д.—б ед. или
Д. Ед. Д. Ед.
3 5 41 3
—1 2 или —1 б или
2 3 2 8
3 5 35 410 3 43
1 2 или 12 15 или 15
2 3 23 2 8 28
Упражненія надъ числами счетной таблицы.
Предметное счисленіе.
Счисленіе надъ именованными числами ср. стр. 220 и 285.

Способы изображенія:
27 руб. 95 коп.
9 » 70 »
85 » 8 »
122 руб. 73 коп.
1 1)
100»)
_72У гктл. 15 л.
_ 312 » 63 »
416 гктл. 52 л.
235 клм. 308 м.
80 » 67»
106 » 625»
422 клм. 000 м.
1
1000
359 клгр. 56 гр.
79 » 285 »
279 клгр. 771 гр.
8. Устное умноженіе.
Общія замѣчанія.
Ученики, подъ руководствомъ учителя, находятъ спо-
собы умноженія:
I. на однозначныя числа,
II. на 10 и 100,
III. на произвольныя двухзначныя числа.
I. Умноженіе на однозначныя числа.
а) 260 . 3=200 . 3+60 . 3
= 600 + 180
= 780
173 коп. составляютъ 1 руб. 73 коп.; коп. надо подписать
подъ коп., а 1 руб. приписать къ рублямъ.
2) 63 лит. нельзя прямо отнять отъ 15 л.; поэтому надо занять
1 гектолитръ, т.-е. 100 л.; 100 л.+15 л.=115 л.; теперь 63 л. отни-
маются отъ 115 л.

Сокращенный нормальный способъ:
260 . 3=600+180
780
b) 237 . 4 [=200 . 4+30 . 4+7 . 4]
= 800 + 120
920 + 28
= 948
Сокращенный нормальный способъ:
237 . 4=800+120
= 920+ 28
948
II. Умноженіе на двухзначныя числа, оканчивающіяся
нулемъ.
а) Умноженіе на 10 и 100.
Задача: 27 . 10.
Главные вопросы задачи. Сколько будетъ 7 . 10? (70=
7 д.). Въ какой разрядъ обращаются единицы, когда ихъ
умножаютъ на 10? (въ д.; записать). Сколько будетъ 2 д. . 10?
(20 д.=2 с.) Въ какой разрядъ обращаются д., когда ихъ
умножаютъ на 10? (въ с; записать.) На сколько мѣстъ
влѣво перемѣщаются эти единицы? На сколько мѣстъ
влѣво перемѣщаются эти десятки? На сколько же мѣстъ
нужно передвинуть влѣво всѣ цифры, чтобы умножить
число на 10?

С. Д. Ед.
2
7
2
7
Но обычно числа не пишутся въ графахъ. Какую же
цифру нужно приписать къ отдѣльно записанному здѣсь
числу 27 (написать это число), чтобы его цифры передви-
нулись на 1 мѣсто влѣво? (Нужно приписать нуль.) Во
сколько разъ увеличится цифра даннаго разряда, если
мы перемѣстимъ ее на 1 мѣсто влѣво? (Въ 10 разъ.) Почему
число будетъ умножено на 10, если мы припишемъ къ нему
нуль? (Каждый разрядъ увеличится въ 10 разъ.)
Правило: чтобы умножить число на 10, нужно ед. об-
ратить въ д. (всѣ разряды увеличить въ 10 разъ), т.-е.
приписать къ нему справа 1 нуль.
Точно такимъ же разсужденіемъ мы найдемъ правило:
чтобы умножить число на 100, надо ед. обратить въ с.
(всѣ разряды увеличить въ 100 разъ), т.-е. приписать къ
нему справа 2 нуля.
b) Умноженіе на двухзначныя числа, оканчивающіяся 0.
Задача: 7 . 20
Подобно тому, какъ
7 . 6=7 .(2.3)
= 14 . 3
= 42,
можно вычислять и
7 . 20 = 7 . (2 . 10) или 7 . 20 = 7 . (10 . 2)
=14 . 10 или =70 . 2
= 140 или = 140

Примѣры для упражненія въ этомъ случаѣ:
2 . 20; 3 . 20; 4 . 20; ... 10 . 20
2 . 30; 3 . 30; 4 . 30; ... 10 . 30
ДО
2 . 90; 3 . 90; 4 . 90; ... 10 . 90
2 . 100; 3 . 100; 4 . 100; ... 10 . 100
Задача. 17 . 20.
17 . 20=17 . (2 . 10)
=34 . 10
= 340
Примѣры для упражненія въ этомъ случаѣ:
29 . 20; 35 . 20; 50 . 20 и т. д.
Упражненія надъ числами счетной таблицы. Пред-
метное счисленіе; соотвѣтствующій матеріалъ, см. стр. 336.
III. Умноженіе на произвольныя двухзначныя числа.
а) Множитель разлагается на слагаемыя:
38 . 24=38 . 20+38 . 4 Сокращенно: 38 . 24=760+120
= 760 + 120 = 880+32
880 +32 = 912
= 912
Ь) Множитель разлагается на множителей:
38 . 24=38 .(3.8)
= 114 . 8
= 800+112

Дальнѣйшіе примѣры на умноженіе:
1. На нѣсколько десятковъ.
a) 7 . 6 [=7 . 3 . 2] 7 . 20=7 . 10 . 2
=21 . 2 =70 . 2
=42 =140
Умножить 2 (3, 4, 5 ) на 30 (40 , 50 90).
b) 17 . 6= 17 . 3 . 2 17 . 20= [17 . 10 . 2]
= 51 . 2 = 170 . 2
=102 = 340
Умножить 29 (35, 47 ... 99) на 30 (40, 50 ... 90).
2. На произвольныя двузначныя числа:
38 . 24=38 . 20+38 .4 38 . 24=38 .6.4
= 760+152 =228 . 4
=912 =880+32=912
495 : 15=450 : 15+45 : 15 720 : 24=(720 : 6) : 4
= 30 + 3 = 120 : 4
= 33 =30
3. Примѣненіе счетной таблицы. Жизненное счисленіе;
соотвѣтствующій матеріалъ стр. 336.
4. Устное счисленіе надъ именованными числами.
а) 1 р. 50 к.Х7(=1 p. X 7+50 к.Х7)
= 7 р.+З р. 50 к.
=10 р. 50 к.
1 р. 50 к.Х7 =150 к.Х7= 700+350
=1050 к.
=10 р. 50 к.
1 р. 35 к.Х6 (=1 р.Х6+35 К.Х6)
=6 р.+180 к.+30 к.
=6 р.+210 к.
=8 р. 10 к.

b) 1 p. 35 K.X6=135 K.X6=[600+30 . 6+5 . 6]
=600+180
= 780+ 30
=810
=810 K.=8 p. 10 к.
Списать эти примѣры, тихонько читая ихъ. Жизненное
счисленіе см. стр. 336.
9. Письменное умноженіе.
Общія замѣчанія.
Ученики, подъ руководствомъ учителя, находятъ пись-
менные способы умноженія:
I. на однозначныя числа,
II. на двухзначный числа.
Примѣръ, положенный въ основу изученія умноженія,
долженъ сначала рѣшаться учениками устно, а затѣмъ
уже письменно, чтобы такимъ образомъ рѣзко выступало
тождество сущности задачи и различіе въ ея формѣ.
Способы выполненія письменнаго умноженія весьма
различны. Петценштейнеръ (Petzensteiner), который въ
1483 г. впервые сталъ разсматривать десятичную систему,
какъ систему, основывающуюся на значеніи разрядовъ,
рѣшаетъ задачу на умноженіе, напримѣръ, 523 .601, распо-
ложивъ числа на сѣтчатомъ полѣ, слѣдующимъ образомъ:
523
523/ 1
000 / о
3138 /6
314323

Иные способы расположенія чиселъ въ случаѣ, напри-
мѣръ, умноженія 36 . 24 таковы:
1) 36 2) 36 . 24 3) 36 . 24 4) 36 . 24 5) 36 . 24
24
144
72
144
144
144
72
144
72
72
72
864
864
864
864
864
Опытный вычислитель можетъ примѣнять любой изъ
этихъ способовъ записи; но обыкновенно онъ предпочитаетъ
какой-либо одинъ изъ нихъ, именно тотъ, въ которомъ
онъ больше всего упражнялся,—главнымъ образомъ при
обученіи. Тѣ, кому приходилось изучать этотъ вопросъ
съ точки зрѣнія психологіи, признаютъ, что выборъ того
или другого способа записи дѣйствія вовсе не безразличенъ
(какъ это думаютъ нѣкоторые) и при начальномъ обученіи,
и при выполненіи дѣйствія опытнымъ вычислителемъ, въ
смыслѣ гарантіи отъ ошибокъ. Правда, у насъ нѣтъ еще
соотвѣтственныхъ экспериментальныхъ изслѣдованій, од-
нако, несомнѣнно, что способъ записи, облегчающій и
направляющій движенія глаза и уменьшающей количество
числовыхъ образовъ въ полѣ зрѣнія, облегчаетъ обученіе
и предохраняетъ отъ ошибокъ.
Повидимому, первый изъ приведенныхъ выше спосо-
бовъ заслуживаетъ предпочтенія; ту опасность, что при
вычисленій слѣва окажется недостаточно свободнаго
мѣста, можно вполнѣ избѣжать при нѣкоторой предусмо-
трительности и навыкѣ. Второй способъ предпочтительнѣе
третьяго, непосредственно примыкающаго къ устному
счисленію, потому что переходъ отъ 4 къ 2 совершается
здѣсь въ той же послѣдовательности, какъ и переходъ отъ
6 къ 3, тогда какъ при третьемъ способѣ приходится пере-
мѣщаться то справа налѣво (6, 3), то слѣва направо (2, 4),
что затрудняетъ изученіе и можетъ повлечь за собою ошибки.

При четвертомъ способѣ вычисленіе занимаетъ слишкомъ
много мѣста; пятый способъ требуетъ наибольшаго умѣнья.
I. Умноженіе на однозначныя числа.
Цѣль работы. Отецъ зарабатываетъ въ недѣлю 48 руб.
Сколько заработаетъ онъ въ теченіе го да, т.-е. въ 52 недѣли?—
Вы не можете вычислить этого устно. Даже и взрослые
не рѣшаютъ обыкновенно такихъ трудныхъ задачъ въ
умѣ.—Какъ облегчаютъ они себѣ эту работу? (Они пишутъ.)
Теперь вы должны научиться, какъ умножать пись-
менно, т.-с. какъ нужно поступать при умноженіи, когда
числа записываются карандашомъ, перомъ или мѣломъ.
Рѣшимъ такую задачу:
Купи въ лавкѣ 3 фунта вишенъ. Сколько онѣ будутъ
стоить, если 1 фунтъ стоитъ 14 коп.?
I и II. Наблюденіе и переработка. Представь на доскѣ,
что думаютъ и говорятъ, когда умножаютъ 14 . 3 устно.
14 . 3= 10 . 3+4 . 3
= 30+12
= 42
Запиши 14 три раза слагаемымъ. Раздѣли эти сла-
гаемыя чертой на д. и ед.
Д. Ед.
1 4
1 4
1 4
При устномъ счисленіи мы умножали на 3 сначала
десятки, или 10, а потомъ уже единицы, 4. Посмотрите на
эти слагаемыя; въ какомъ другомъ порядкѣ можно было бы
выполнять умноженіе? (Ед., д.)
Замѣтьте, при письменномъ умноженіи сначала мно-
жатъ единицы, а потомъ уже десятки.

Запиши здѣсь рядомъ все то, что мы думаемъ и гово-
римъ при устномъ умноженіи, но придерживаясь только
что указаннаго порядка.
14 . 3=4 . 3+10 . 3
= 12 + 30
= 42
Такой способъ записи, однако, слишкомъ длиненъ и
требуетъ много времени. Для письменнаго счисленія надо
найти совсѣмъ краткій способъ.
Запишемъ же нашъ примѣръ и проведемъ подъ нимъ черту:
Д. Ед.
1 I 4 . 3
4 J 2
Кто можетъ выполнить умноженіе по разрядамъ такъ,
чтобы при этомъ пришлось какъ можно меньше писать?
Все, что будетъ записано, должно стоять подъ чертой1).
Наводящіе вопросы: сколько будетъ три раза 4 ед.?
Сколько ед. и д. заключается въ 12 ед.? Какой разрядъ
нужно записать? Какой разрядъ нужно пока запомнить?
Почему? (Тоже и при сложеніи.)
Сколько будетъ три раза 1 д.? (3 д.) Сколько десятковъ
надо еще прибавить? (1). Сколько д. надо теперь записать? (4).
Каковъ же результатъ нашего вычисленія?
III. Изображеніе. 1) Кто хочетъ еще разъ вывести
здѣсь на доскѣ, что думаютъ, говорятъ и пишутъ при
письменномъ умноженіи?
*) При отысканіи какой-либо истины приходится останавли-
ваться на всѣхъ предложеніяхъ въ этомъ направленіи, которыя
дѣлаются учениками. Ошибки и затрудненія при этомъ подробно
вскрываются, чтобы они не могли безсознательно сохраняться въ
представленіи учащихся.

2) Всякій результатъ, получаемый при умноженіи,
называется произведеніемъ. Запишите! Оба числа, которыя
перемножаются, называются сомножителями. Покажите
произведеніе, сомножителей! Тотъ изъ сомножителей, кото-
рый умножается, называется множимымъ, а тотъ, на кото-
рый умножается другое число, называется множителемъ.
Какое множимое написано здѣсь на доскѣ? Какой множитель?
3) Ходъ разсужденія и записи: 4 ед. . 3=12 ед.=1 д.
2 ед. Записываемъ 2 ед., а 1 д. удерживаемъ въ памяти.
1 д. . 3=3 д.; 3 д.+І д.=4 д. Записываемъ 4 д.
4) . Умножаемъ письменно на однозначный числа дру-
гія двух- и трехзначный числа.
На соотвѣтствующихъ примѣрахъ, которые все время
не стираются съ доски, мы показываемъ ученикамъ, что
чѣмъ больше каждый изъ сомножителей, тѣмъ больше и
произведеніе.
(Функціональное мышленіе, ср. стр. 260.)
Счетная таблица III даетъ матеріалъ для классныхъ и
домашнихъ задачъ.
5) Предметное счисленіе, стр. 336, 345.
II. Примѣры на умноженіе двухзначныхъ чиселъ.
Задача: 26 . 10.
26 . 10
00 п Ж . 10
26(0) Сокращенно ——
260
Задача: 16 . 15.
Устно: 16 . 15=16 . 10+16 . 5 или 16 . 5+16 . 10
= 160 + 80 80 + 160
2-10
240

или 16.15
16. 5= 8(Г
16.10= 16(°)
240
Задача: 26 . 39.
26 или
26 . 39 или
26 . 39
39
234
78(°)
234
78(°)
234
78(°)
1014
1014
1014
10. Устное дѣленіе.
Мы различаемъ слѣдующія ступени:
Т. Дѣленіе на однозначныя числа;
II. Дѣленіе на полные десятки;
III. Дѣленіе на произвольныя двухзначный числа.
I. Дѣленіе на однозначныя числа.
1. Повтореніе, стр. 350 и далѣе.
2. Образованіе рядовъ: а) 18:2= 9
180 : 2=90
186 : 2=90+3 = 93
187 : 2=90+3, въ остаткѣ 1 =
= 93, въ остаткѣ 1.
Ь) 72 : 9= 8
720 : 9=80
729 : 9=80+1=81
735 : 9=80+1, въ остаткѣ 6 =
= 81, въ остаткѣ 6 и т. д.
Письменно: | 1 6
1 5
1 16 о
2 I 4 0

II. Дѣленіе на 10 (100) и на нѣсколько десятковъ.
1. Задача: 270 : 10.
с.
д.
Ед.
о
7
2
7
Мы должны раздѣлить на 10 каждый разрядъ. Сколько
будетъ, если 7 д. раздѣлить на 10? (7 ед.) Записать въ
соотвѣтствующую графу!
На сколько мѣстъ вправо нужно передвинуть сотни,
чтобы раздѣлить ихъ на 10? Сколько будетъ, если 2 с.
раздѣлить на 10? (2 д.; записать).
На сколько же мѣстъ нужно передвинуть вправо д. и
с, чтобы раздѣлить ихъ на 10? Сколько же будетъ, если
270 раздѣлить на 10? (2 д., 7 ед. или 27). Запишемъ теперь
число 270 безъ графъ. Какую цифру надо отдѣлить въ
этомъ числѣ 270, если его требуется раздѣлить на 10?
(Послѣднюю: 27/0).
Точно такъ же 276 : 10=27/6=27, въ остаткѣ 6.
Правило: Чтобы раздѣлить число на 10, надо десятки
сдѣлать единицами (уменьшить значеніе каждой цифры въ
10 разъ), т.-е. надо отдѣлить послѣднюю цифру справа,
разсматривая ее, какъ остатокъ.
2. Въ соотвѣтствіи съ этимъ находится и способъ дѣ-
ленія на 100.
200 : 10=20 276 : 100=2/76.
Правило: Чтобы раздѣлить число на 100, надо сотни
сдѣлать единицами (уменьшить значеніе каждой цифры
въ 100 разъ), т.-е. надо отдѣлить двѣ послѣднихъ цифры
справа.

Задача: 140 : 20=7
Задача: 340 : 20=(340 : 10) : 2
= 34 : 2
= 17
Задача: 495 : 15.
495 : 15=450 : 15+45 : 15
= 30 +45 : 15
= 30 + 3
= 33
Задача: 720 : 24.
720 : 24=(720 : 6) : 4
= 120 : 4
= 30
Устные примѣры для упражненія по образцу приве-
денныхъ подъ рубриками 1—4. Письменные примѣры,
заимствованные изъ счетной таблицы III. Предметное
счисленіе. Соотвѣтствующій матеріалъ см. стр. 345 и 397.
11. Письменное дѣленіе.
Мы различаемъ слѣдующія ступени:
I. Дѣленіе на однозначныя числа,
II. Дѣленіе на двухзначный числа, оканчивающіяся
нулемъ,
III. Дѣленіе на произвольныя двухзначныя числа.
Въ противоположность сложенію и вычитанію, умно-
женіе и дѣленіе, въ своемъ историческомъ развитіи, имѣли
различные способы записи. Дѣленіе со временъ Адама
Ризе и до половины 18-го столѣтія было «дѣленіемъ съ
записью вверху», за которымъ послѣдовало примѣняемое

и нынѣ «дѣленіе съ записью внизу». Въ первомъ случаѣ
частичные результаты дѣленія записывались надъ дѣли-
мымъ и «всѣ цифры затѣмъ стирались, кромѣ тѣхъ, которыя
получались отъ дѣленія». Дѣлитель ставился подъ дѣли-
мымъ, а иногда повторялся нѣсколько разъ: см. примѣры
1 и 3.
1. Запись вверху.
2. Запись внизу.
677
64312 (6789)
8888
54312 : 8=6789
48
=63
56
= 71
64
= 72
3. Переходный способъ (у Базедова).
12124848 (і"+2'+3°)=123
98576
9857600
2267248
98576
1971520
295728
98576
295728
0~~
По «австрійскому методу», который мы, однако, не
рекомендуемъ для начинающихъ, вычитаніе выполняется
посредствомъ дополненія.

Пишутъ:
Говорятъ:
24495 : 94=260
9 содержится въ 24 два
569
раза; 2 раза 4 будетъ 8,
55
и 6 будетъ 14, остается 1;
2 раза 9 будетъ18 и 1 будетъ
19 и 5 будетъ 24; сносимъ
9 и т. д.
II. Дѣленіе на однозначныя числа.
1. Задача: 25 : 2.
a) Словесное рѣшеніе (повтореніе):
25 : 2=20 : 2 + 5 : 2
\/ \/
10 +2 , въ остаткѣ 1
\/
12, въ остаткѣ 1
b) Письменное рѣшеніе:
I и II. Наблюденіе и переработка. Положи на счетномъ
приборѣ 25 шаровъ. Эти 25 шаровъ надо раздѣлить между
2 учениками, Иваномъ и Михаиломъ. Сколько надо раздѣ-
лить десятковъ? (2). Сколько надо раздѣлить единицъ? (5).
Сколько десятковъ получитъ каждый изъ нихъ? Сколько
будетъ, если 2 д. раздѣлить на 2? Сколько единицъ полу-
читъ каждый? Сколько же будетъ, если 5 ед. раздѣлить
на 2? (2, въ остаткѣ 1). Сколько же получитъ каждый
ученикъ? 1 д. 2 ед.=12; 1 остается недѣленымъ (полу-
чается остатокъ).
Попробуемъ теперь изобразить это дѣленіе цифрами.
Нарисуй 2 графы, для десятковъ и единицъ. Запиши число
25 по разрядамъ.

Путемъ наводящихъ вопросовъ, мы проводимъ дѣленіе
такъ, что получается слѣдующая запись:
Д. Ед. Д. Ед. Запись безъ графъ:
2 6:2=1 2 25:2 = 12
2 2
» 5 »5
4 4
1 въ остаткѣ 1
III. Изображеніе: 1. Думаютъ, говорятъ и пишутъ:
2 д., раздѣленные на 2, составляютъ 1 д.; 2 раза 1 д.=2 д.;
2 д. безъ 2 д. даютъ 0 д.; 5 ед., дѣленныя на 2, составляютъ
2 ед.; 2 раза 2 ед. составляютъ 4 ед.; 5 ед. безъ 4 ед. даютъ
1 ед.; 1 ед. остается недѣленой, какъ «остатокъ».
2. Число, которое мы дѣлимъ, называется дѣлимымъ.
Число, на которое мы дѣлимъ, называется дѣлителемъ.
Число, получаемое отъ дѣленія, называется частнымъ.
Гдѣ у насъ здѣсь дѣлимое? дѣлитель? частное?
3. Задача: 398 : 3. Наглядное изображеніе съ помощью
монетъ: 3 рубля, 9 гривенниковъ и 8 копеекъ дѣлимъ между
3 учениками.
То же дѣленіе выполняемъ письменно съ помощью
цифръ:
с. д. ед. Запись безъ графъ:
с.
Д. ед
3
9
8
3
»
9
9
8
6
3=1 3 2
398 : 3=132
3
9
~»8
6

4. Задача: 436 : 3
с.д.ед. с.д.ед.
4 3 6:3 = 1 4 5 436 : 3=145
3 3
13 13
12 12
»16 »16
15 15
»1
5. Примѣры для упражненія: примѣненіе счетной та-
блицы III для классныхъ и домашнихъ работъ.
6. Жизненное предметное счисленіе. Матеріалъ см.
стр. 336 и 345.
II. Дѣленіе на двухзначныя числа, оканчивающіяся
нулемъ.
1. Дѣленіе на 10. Повтори стр. 364.
2. Задача: 385 : 40.
с. д. ед. с. д. ед.
3 8 5 : 40=0 0 9 385:40=9
3 6 0 360
» 2 5 »25
3. Задача: 978 : 20.
с. д. ед. с. д. ед.
9 7 8: 20=0 4 8 978 : 20=48
8 0 80
17 8 178
16 0 160
» 1 8 »18

III. Дѣленіе на произвольныя двухзначныя числа.
1. Задача: 378 : 42. Дѣлитель 42 ближе къ меньшему
изъ чиселъ цѣлыхъ десятковъ, т.-е. ближе къ 40; поэтому
«пробуемъ» дѣлить на 40.
(40)
378 : 42=9
378
» » »
2. Задача: 378 : 49. Дѣлитель ближе къ большему
изъ чиселъ цѣлыхъ десятковъ, т.-е. ближе къ 50; поэтому
«пробуемъ» дѣлить на 50.
(50)
378 : 49=7
343
35
3. На каждый примѣръ 2—5 надо давать многочислен-
ныя задачи для упражненія.
На соотвѣтствующихъ задачахъ, которыя все время
не стираются съ доски, надо показать ученикамъ, что
1) чѣмъ больше дѣлимое, тѣмъ больше частное; чѣмъ
больше дѣлитель, тѣмъ меньше частное (функціональное
мышленіе, ср. стр. 260);
2) частное X дѣлителя = дѣлимому («повѣрка»).
3) произведеніе : одного изъ сомножителей = другому
сомножителю («повѣрка »);
Для классныхъ и домашнихъ задачъ можно восполь-
зоваться счетной таблицей III.
4. Жизненное предметное счисленіе. Соотвѣтствующій
матеріалъ см. стр. 33 6, 345, 397.

12. Метрическая система мѣрь.
а) Мелкія мѣры длины.
Цѣль работы. Твоему отцу требуется 100 гвоздей,
длиною по 5 см., чтобы устроить стойло. Купи въ лавкѣ
такихъ гвоздей и измѣрь, дѣйствительно ли они имѣютъ
по 5 см. длины.—Твоя мать говоритъ: на платье для куклы
потребуется 80 см. тесьмы; ее надо купить и измѣрить.
Вы видите, дѣти, что нужно умѣть измѣрять!
Кто изъ васъ видѣлъ раньше, какъ мать (портниха,
портной) мѣрятъ такой метрической лентой?
Кто изъ васъ видѣлъ, какъ отецъ, стекольщикъ, сто-
ляръ мѣрятъ такой метрической линейкой?
Кому изъ васъ приходилось уже самому мѣрить съ
помощью такой метрической ленты или линейки?
Теперь всѣ вы должны научиться измѣрять всевоз-
можные большіе и маленькіе предметы.
I и II. Наблюденіе и переработка: Прежде различныя
матеріи и тому подобныя вещи измѣрялись «локтями»;
такъ называлось разстояніе отъ кисти руки до локтя. Такъ!
(Показать; измѣрить нитку; записать количество локтей.)
Ту же самую нитку дать измѣрить одному изъ учени-
ковъ (его «локтемъ»). Записать. Сравнить полученныя
числа. Почему оші различны?
[«Локти» (единицы мѣры) имѣютъ различную длину.]
Почему мѣры, величина которыхъ можетъ измѣняться,
считаются плохими мѣрами? Показать то же на «футѣ».
(Футъ=длинѣ ступни.) Лежащій здѣсь метръ не имѣетъ
этого недостатка. У всѣхъ народовъ всего міра онъ имѣетъ
одну и ту же длину.
Какъ нашли люди такую единицу длины? Земля есть
большой шаръ; вотъ его окружность (нарисовать). Эту
окружность раздѣлили на 4 равныя части (показать на
доскѣ), а эту четвертую часть раздѣлили на 10 милліоновъ

равныхъ частей (записать). Каждая такая часть назы-
вается метромъ. Какую же часть окружности (меридіана)
земли составляетъ 1 метръ? [Записать: метръ (значитъ
мѣра) =м.].
Почему метръ у всѣхъ народовъ имѣетъ одну и ту же
длину?
Почему метръ имѣлъ бы у всѣхъ одну и ту же длину,
даже и въ томъ случаѣ, если бы земной меридіанъ нѣ-
сколько измѣнился?
Измѣрь метрической линейкой длину оконнаго стекла!
(Метрическая линейка слишкомъ велика). Какъ можно
получить болѣе мелкую, но постоянную же единицу длины?
(За единицу мѣры нужно принять нѣкоторую часть метра).
Поэтому берутъ 10-ую часть м., метра (записать), ко-
торой дается иностранное названіе «дециметръ» и которая
кратко обозначается такъ: «дм.».
Измѣрь дм. толщину этого мѣлка! (Дм. слишкомъ
великъ для этого).
Еще болѣе мелкая единица, 10-ая часть дм. и 100-ая
часть метра, называется «сантиметромъ» и обозначается
такъ: см. Записать!
Измѣрь см. высоту этой печатной буквы! (См. слиш-
комъ великъ для этого).
10-ая часть см., и 1000-ая часть метра, называется
«миллиметромъ» и обозначается: мм. Записать!
Метръ дециметръ сантиметръ миллиметръ
м. дм. см. мм.
III. Изображеніе: 1. Прочти названія мѣръ, которыя
вы теперь узнали. Что такое дециметръ, миллиметръ,
сантиметръ, метръ? Каковы ихъ сокращенныя обозначе-
нія? Перепишите ихъ себѣ!
2. а) Измѣрь длину комнаты! (Записать). Ширину ея!
Высоту стола! Ширину двери!

Высоту ученика N! Ученики сами предлагаютъ раз-
личныя измѣренія.
Записанное прочитывается и изображается.
Ь) Опредѣли на глазъ длину скамьи, высоту стула,
комнаты и т. д.
3. То же, что и въ задачахъ 2 а) и b), но въ см.
4. То же въ мм.
5. Раздробленіи. 1 м.=100 см.=1000 мм.
Примѣненіе счетной таблицы, стр. 356: числа этого
ряда обозначаютъ м. Прочти (напиши), сколько здѣсь
будетъ дм.! Прочти (запиши), сколько здѣсь будетъ м.
(дм., см.)!
6. Жизненное предметное счисленіе. Задачи, въ кото-
рыя входятъ мелкія единицы мѣръ. Ср. стр. 345 и 397.
Куб. дм., л., кг.
Въ связи съ изученіемъ дм., мы заставляемъ учениковъ
убѣдиться практически (путемъ измѣренія и взвѣшиванія
воды), что
1. 1 полый кубическій дециметръ=1 литру.
1 кубическій дециметръ (1 л.) воды (при 4° С)
вѣситъ 1 килограммъ.
2. Л. и кг. представляютъ собою также неизмѣнныя
единицы мѣры, потому что неизмѣненъ дм. (м.).
b) Болѣе крупныя мѣры длины и общій обзоръ мѣръ.
Цѣлъ работы: Вы только что научились измѣрять
небольшія длины. Какъ бы вы приступили къ работѣ, если
бы вамъ пришлось измѣрять длину пути отъ Москвы
до Коломны? (Необходимы болѣе крупныя мѣры).
Кому уже приходилось видѣть какъ измѣряются раз-
стоянія на улицахъ, площадяхъ или поляхъ рабочими,
которые ходятъ съ рейками, окрашенными черной и бѣлой
или красной и бѣлой красками (землемѣры, межевые

инженеры; даемъ высказаться ученикамъ). Теперь вы
должны узнать, какъ производится измѣреніе длины са-
довъ, домовъ, полей, улицъ и т. п.
1. Наблюденіе: Во время школьныхъ занятій ученики
измѣряютъ Юм., 100 м., съ помощью рейки, съ нанесен-
ными на нее метрами или бечевкой, ниткой и т. д., и отмѣ-
чаютъ разстоянія колышками.
2. Ученики проходятъ подъ рядъ 1000 м. или 1 км.
(въ городѣ нетрудно выбрать такое разстояніе между
перекрестками улицъ или переулковъ).
3. Сколько минутъ затратили мы, чтобы пройти 1 км.?
4. Столбы съ указаніемъ километровъ на шоссе.
II. Переработка: Какъ бы мы назвали единицу длины,
содержащую въ себѣ 10 м.? («Десяткой» метровъ). Ее при-
нято называть иностраннымъ словомъ «декаметръ». Запи-
сать: дкм. То же съ гм., км.
III. Изображеніе: 1. Прочти названія мѣръ длины,
которыми можно измѣрять длину домовъ, садовъ и т. д.!
Десять метровъ,...
Присоедини къ нимъ болѣе мелкія единицы длины.
тысяча м.
сто м.
десять м.
метръ
десятая м.
сотая м.
тысячная м.
км.
гм.
дкм.
м.
дм.
см.
мм.
Прочти всѣ названія мѣръ длины справа налѣво! Въ
обратномъ порядкѣ! Перепиши всѣ эти названія! Повтори
ихъ на память!
2. Измѣреніе при вычерчиваніи плана школьнаго зда-
нія или другихъ построекъ. Измѣреніе: а) посредствомъ
заранѣе измѣренной бечевки, шнура и т. д., b) шагами.
3. Опредѣленіе на глазъ высотъ и длинъ подъ откры-
тымъ небомъ. Задачи для добровольнаго рѣшенія, (Пред-
ложенія учениковъ).

4. Превращеніе и раздробленіе, ем. «мелкія мѣры
длины», стр. 383.
5. Жизненное предметное счисленіе. Задачи изъ об-
ласти отечествовѣдѣнія, въ которыя входятъ и болѣе
крупныя единицы мѣръ.
Разстояніе, дѣлаемое въ 1 минуту пѣшкомъ, на вело-
сипедѣ, на автомобилѣ и т. д. При составленіи задачъ
пользоваться мнѣніями и предложеніями учениковъ.
13. Объ измѣреніи площадей.
Жизненная школа требуетъ, чтобы обученіе счисленію
дополнялось, пояснялось и углублялось формальнымъ
обученіемъ, базирующимся на данныхъ ариѳметики и гео-
метріи, поскольку это допускается и требуется развитіемъ
способностей учениковъ. На 4-омъ году обученія дѣтямъ
приходится часто имѣть дѣло съ мѣрами поверхностей,
напр., кв. км.; поэтому, здѣсь необходимо коснуться из-
мѣренія поверхностей.
а) Мѣры поверхностей: квадратный метръ.
Цѣлъ работы: К. недавно сказалъ, что его отецъ ку-
пилъ садъ. Этотъ садъ имѣетъ 9 м. длины и 7 м. ширины,
и кв. м. этого сада стоитъ 2 руб. К. не знаетъ, что такое
кв. м. Сегодня вы должны узнать, что такое кв. м., и какъ
имъ измѣряютъ.
Чѣмъ измѣряется длина? (м., км., слѣдовательно,
единицей длины). Чѣмъ измѣряютъ вѣсъ мяса, муки и
т. д.? (кг., гр., т.-е. единицей вѣса же). Чѣмъ же можно
измѣрять поверхности? Напримѣръ, поверхность этой
доски, крышки стола и т. д.? Поверхность пашни? (Поверх-
ностью же). Мѣрой длины служитъ вполнѣ опредѣленная
длина, м.; мѣрой вѣса служитъ вполнѣ опредѣленный
вѣсъ, кг. Мѣрой поверхности служитъ также вполнѣ опре-

дѣленная поверхность, квадратный метръ. Сдѣлаемъ себѣ
теперь, съ помощью метрической линейки, квадратный
метръ (изъ картона) и попробуемъ измѣрять имъ.
1. и II. Наблюденіе и переработка. Кто можетъ нари-
совать на доскѣ квадратъ? (Четыреугольникъ съ равными
сторонами и четырьмя прямыми углами). Какую длину
должна имѣть каждая изъ сторонъ этого квадрата, если
мы хотимъ нарисовать квадратный метръ? Учитель и
ученики рисуютъ квадратъ, совѣтуясь другъ съ другомъ и
помогая другъ другу въ работѣ. Затѣмъ подобнымъ же
образомъ вырѣзываются изъ бумага кв. дм., кв. см.
III. Изображеніе. 1. Понятіе. Какой четыреугольникъ
называется квадратомъ? (Четыреугольникъ съ равными
сторонами и четырьмя прямыми углами). Какой квад-
ратъ называется квадратнымъ метромъ? (Записать это
названіе полностью и сокращенно).
2. Измѣрить путемъ наложенія: доску, дверь и т. д.
Ъ) Мѣры поверхностей: квадратный километръ.
Цѣль работы: Повторить главу а).
Для измѣренія поверхности цѣлаго уѣзда или цѣлой
страны квадратный м. слишкомъ малъ; здѣсь требуются
болѣе крупныя мѣры.
I и II. Наблюденіе и переработка. Какую длину можно
придать сторонѣ квадрата, которымъ измѣряется пло-
щадь уѣзда или страны? (Км.). Попытаться показать уче-
никамъ съ какого-либо холма или возвышенности площадь
въ 1 кв. км.; обойти эту площадь.
III. Изображеніе. 1. Понятіе: какой квадратъ назы-
вается кв. км.?
2. Чтеніе картъ. Опредѣлить на планахъ мѣстности
разстоянія въ 1 км. и площади въ 1 кв. км. Сколько кв. км.
занимаетъ городъ, мѣстечко?

3. Плотность населенія 40 обозначаетъ, что на 1 кв. км.
приходится 40 человѣкъ жителей. (Такова плотность на-
селенія, напримѣръ, въ Шварцвальдѣ, гдѣ земля непло-
дородна, покрыта лѣсомъ); плотность населенія 300 обозна-
чаетъ, что на 1 кв. км. приходится 300 человѣкъ жителей.
(Въ долинахъ Рейна, гдѣ земля плодородна).
с. Вычисленіе площади прямоугольника и квадрата.
Цѣль работы: Отецъ К. купилъ садъ, имѣющій видъ
четыреугольника съ прямыми углами, длиною въ 9 м. и ши-
риною въ 7 м. К. хочетъ знать, сколько кв. м. въ этомъ саду.
Наблюденіе и переработка: Садъ имѣетъ видъ прямоу-
гольнаго четыреугольника, имѣющаго 9 м. длины и 7 м.
ширины. Кто хочетъ нарисовать его на доскѣ? (Доска
слишкомъ мала для этого; придется нарисовать его въ
уменьшенномъ видѣ). Вмѣсто 1 м. мы возьмемъ только
1 дм. Покажи 1 дм.; отмѣть его на нашей прямой, изобра-
жающей длину сада. Нарисуй на этомъ дециметрѣ, какъ
на основаніи, квадратъ (1 кв. дм.). Сколько такихъ кв. дм.
можно построить на всей линіи? Сдѣлай это. Сколько
кв. дм. содержитъ эта полоса? (9). На сколько такихъ
полосъ можно разбить нашъ четыреугольникъ? (7). Сколько
же кв. дм. содержитъ весь нашъ прямоугольникъ? (9. 7 =63).
Сосчитай квадраты: 9, 18, 27... 63. Такой четыреугольникъ
съ прямыми углами называется прямоугольникомъ. Какіе
углы образуютъ между собою его стороны? Какъ располо-
жены его стороны по отношенію другъ къ другу? (Перпен-
дикулярно). Сравни длины сторонъ. (Онѣ попарно равны).
III. Изображеніе. 1. Понятіе: какой четыреугольникъ
называется прямоугольникомъ? Какъ можно опредѣлить
площадь прямоугольника, если извѣстны длина и ширина
его? (Надо длину умножить на ширину или ширину умно-
жить на длину).

2. Какъ великъ садъ, длина котораго равна 9 м., а
ширина—7 м.? (63 кв. м.).
Сколько стоитъ этотъ садъ, если 1 кв. м. земли стоитъ
2 рубля?
3. Нарисуйте въ вашихъ тетрадкахъ (по клѣткамъ)
гряду, имѣющую видъ прямоугольника, длиною въ 4 м. и
шириною въ 3 м. Разстояніе между двумя смежными линіями
въ вашихъ тетрадкахъ примите за 1 м. Найдите площадь
прямоугольника счетомъ квадратовъ и вычисленіемъ.
4. Точно такъ же опредѣлить площадь квадрата.
б. Жизненное предметное счисленіе. Матеріаломъ слу-
жатъ: обойныя и драпировочный работы, окрашиваніе
половъ, дверей и т. п. Замощеніе, вычисленіе площадей
на картахъ въ кв. км.
V. Неограниченная область чиселъ.
Если ученики надлежащимъ образомъ изучатъ область
чиселъ отъ единицы до милліона, то построеніе большихъ
чиселъ и дѣйствія надъ ними не представятъ для нихъ
ничего существенно новаго, т.-е. они безъ труда смогутъ
оперировать надъ числами неограниченной области. Ниже
мы приводимъ соотвѣтствующія методическія указанія,
касающіяся области чиселъ до «милліона».
1. Десять тысячъ (построеніе).
I и II. Наблюденіе и переработка:
a) Повторить соотвѣтствующіе пункты отдѣла IV «пер-
вая тысяча» (стр. 352) и изобразить 10 тысячъ въ видѣ
квадратныхъ числовыхъ фигуръ счетнаго прибора, при-
нимая каждый шаръ за 1 сотню.
b) 1 метръ=1 000 мм.; 10 м.=10 000 мм.
c) Ученики считаютъ цѣлыми сотнями, начавъ счетъ
съ 1 000; учитель пишетъ на доскѣ:

100 200 ... . 900 1 000 = 1 тысячѣ
1 000 1 100 1 200 . . . .1 900 2 000=2 тысячамъ
2 000 2 100 2 200 . . . .2 900 3 000=3 «
9 000 9 100 9 200 . . . .9 900 10 000 = 10 «
1 десятокъ тысячъ.
2. Мы ознакомились теперь со слѣдующими разрядами:
дт.
т.
с.
д.
ед.
1
= 10 000
3. 1 дес. тыс. = 10 тыс.=100 сот.=1 000 д.=
=10 000 ед.
4. На какомъ мѣстѣ стоятъ десятки тысячъ? Сколькими
цифрами изображается число, содержащее десятки ты-
сячъ?
III. Изображеніе: 1. Списать приведенныя упражне-
нія! Между сотнями и тысячами слѣдуетъ оставлять неболь-
шой промежутокъ: это сильно облегчаетъ чтеніе чиселъ.
2. Учитель пишетъ на доскѣ четырехзначныя чи-
сла, ученики читаютъ ихъ; затѣмъ учитель диктуетъ
четырехзначныя числа.
3. Групповой счетъ, начиная отъ 999! отъ 1490! 5099!
и т. д. Сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе въ обла-
сти четырехзначныхъ чиселъ. Счетная таблица III, стр. 356.
4. Жизненное счисленіе. Соотвѣтствующій матеріалъ
см. стр. 397.
2. Сто тысячъ (построеніе).
I и II. Наблюденіе и переработка.
1. а) Повторить соотвѣтствующіе пункты отдѣла IV «пер-
вая тысяча» (стр. 352) и изобразить 100 тысячъ при по-

мощи 100 шаровъ счетнаго прибора, принимая каждый
шаръ за 1 тысячу.
b) 1 метръ=1 000 мм., 100 метр.=100 000 мм.
c) Ученики считаютъ цѣлыми тысячами, начавъ счетъ
съ 10 000, учитель же пишетъ на доскѣ:
10 000 11 000 12 000 .. . 19 000 20 000= 2 д. тысячъ
20 000 21 000 22 000 .. . 29 000 30 000= 3 д. »
90 000 91 000 92 000 . . . 99 000 100 000 = 10 десятковъ
тысячъ
или сто тысячъ.
2. Мы знаемъ теперь слѣдующіе разряды:
с. т.
д. т.
т.
с.
д.
ед.
1
=100 000.
При перечисленіи ихъ слѣдуетъ обратить вниманіе
на трехтактный ритмъ.
3. 1 с. т.=10 д. т.=100 т.=1 000 с.=10 000 д.=
=100 000 ед.
4. На какомъ мѣстѣ стоятъ сотни тысячъ? Сколькими
цифрами изображается число, содержащее сотни тысячъ?
III. Изображеніе: 1. Списать приведенныя упражненія,
тихонько читая ихъ вслухъ.
2. Учитель пишетъ пятизначныя числа на доскѣ,
ученики читаютъ ихъ; затѣмъ учитель переходитъ и
къ диктованію чиселъ.
3. Групповой счетъ, начиная съ 9 999! съ 50 000! съ
80 099 и т. д.; 4 дѣйствія надъ 5-ти значными числами.
4. Предметное счисленіе. Соотвѣтствующій матеріалъ
см. стр. 397.

3. Милліонъ (построеніе).
I и II. Наблюденіе и переработка.
1. а) Припомнить способъ нагляднаго изображенія чи-
сла 100 000! Представить себѣ 10 сотенъ тысячъ въ видѣ
числовой фигуры десяти!—Это и будетъ одинъ милліонъ.
b) 1 м.=1 000 мм.; 1 клм. (разстояніе отъ ... до...)=
=1 000 000 мм.
c) Ученикъ началъ счетъ отъ 0 и присчитываетъ ка-
ждый день къ тому числу, на которомъ онъ наканунѣ
остановился,—по 100; черезъ 1 годъ онъ не досчитаетъ
еще до четырехсотъ тысячъ, милліона же онъ не достигнетъ
и черезъ 2 года.
b) Ученики считаютъ десятками тысячъ, начавъ счетъ
со 100 000, учитель же пишетъ на доскѣ:
10 000 20 000 . . . 90 000 100 000= 1 с. т.
100 000 110 000 120 000 . . . 190 000 200 000= 2 С. т.
200 000 210 000 220 000 . . . 290 000 300 000= 3 С. т.
900 000 910 000 920 000 ... 990 000 1 000 000=10 С. т. =
=1 милліонъ г).
2. 1 милл.=10 с. т.=100 д. т.=1 000 т.=10 000 с.=
=100 000 д.=1 000 000 ед.
3. Мы знаемъ теперь слѣдующіе разряды:
мил.
с. т.
д. т.
т.
с.
д.
ед.
1
=1 000 000.
г) Слово «милліонъ» вошло во всеобщее употребленіе лѣтъ
300 тому назадъ и обозначаетъ «большая тысяча» (отъ итальянскаго
слова mille, подобно тому, какъ слово salone обозначаетъ большой
залъ отъ слова sala=залъ). Милліардъ=тысяча милліоновъ; это
слово вошло въ употребленіе всего нѣсколько десятилѣтій тому
назадъ.

III. Изображеніе. При перечисленіи названій разря-
довъ и запоминаніи ихъ слѣдуетъ обратить вниманіе на
ритмъ.
1. На какомъ мѣстѣ стоятъ милліоны? Сколькими
цифрами изображается число, содержащее милліоны?
2. Списать приведенныя упражненія, тихонько чи-
тая ихъ вслухъ.
3. Учитель пишетъ на доскѣ шестизначный числа,
ученики читаютъ ихъ, затѣмъ учитель диктуетъ шести-
значный числа.
4. Групповой счетъ, начиная съ 100 099! Съ 500 298!
Съ 799 999! и т. д.
5. Сколько часовъ потребуется на то, чтобы досчитать
по 1 до 1 милліона, если на произнесеніе каждаго числа
затрачивать по 1 секундѣ? (277 часовъ).
Примѣры для упражненій.
Необходимо обратить особое вниманіе на слѣдующіе
характерные примѣры дѣйствій надъ числами въ области
милліона:
G-7'4-0-3-1-8 8-0-0-0-3-2
— 4 5 15 2 9 —4 70941
0288789 329091
2. Умноженіе и дѣленіе на цѣлое число тысячъ.
с. т.
д. т.
т.
с.
д.
ед.
3
о
7
3
2
7
= 327
= 327000
а) 327.1000
327 000

b) 32700: 1000 = 32; сокращенно: 32700: 1000 = 32 700
3000 =32, въ остаткѣ 700
2700
2000
« 700
« « «
Правило: чтобы умножить число на 1000, надо единицы
обратить въ тысячи (всѣ разряды увеличить въ 1000 разъ),
т.-е. надо приписать къ числу справа три нуля.
Чтобы раздѣлить число на 1000, надо тысячи обратить
въ единицы (всѣ разряды уменьшить въ 1000 разъ), т.-е.
надо отдѣлить три послѣднихъ цифры и разсматривать
ихъ, какъ остатокъ.
3. Задача: 267 . 500
Устно:
267 . 500=(267 . 5) . 100
= 1335 . 100
= 133500
4. Задача: 854 . 6000 854 . 6000
5. Задача: 928 . 204.
928
204
3712=928 . 4
1856 =928 . 200
189312
5124000
928 . 204
3712
18560
189312
Письменно:
267 267 . 500
Х5 00
133 500
133500
928 . 204
1856. .=928 . 200
3712 = 928 . 4
189312
6. а) Единицы отдѣльныхъ разрядовъ, напр., 7 ты-
сячъ (72 сотни, 725 десятковъ), дѣлятъ послѣдовательно
на одно и то же число, напримѣръ, 326.

т. с. д. ед. т. с. д. ед.
7 2 5 8: 326=0 0 2 2
6 5 2
~~ 7 3 8~
6 5 2
= 8 б"
Ь) Въ дѣлимомъ отдѣляютъ слѣва такое число, чтобы
въ немъ заключался дѣлитель:
3 3
7258 : 326=22
652
738
652
= 86
6 6
6.6.5.4 3.2 1 : 597804=11
5 9 7 804
6.7.6.2 8.1
5 9 7 804
7 8 4 7 7
Ученики должны рѣшить большое количество задачъ,
соотвѣтствующихъ этимъ 6 примѣрамъ. Счетная таблица
содержитъ задачи для самостоятельныхъ занятій въ классѣ
и дома.
4. О большихъ числахъ.
Милліонъ=1 000 000; семизначное число. Тысяча мил-
ліоновъ (милліардъ)=1 000 000 000; десятизначное число.
Сто тысячъ милліоновъ=100 000 000 000; двѣнадцати-
значное число.

Билліонъ = 1 000 0002 = 1 000 000 000 000; 13 - значное
число.
Трилліонъ=1 000 0003; 19-значное число.
Квадрилліонъ=1 000 0004; 25-значное число и т. д.
Сколько времени потребуется на то, чтобы по 1 досчитать
до 1 билліона, если на произнесеніе каждаго числа затра-
чивается 1 секунда?
5. О повтореніи.
Цѣлью первоначальнаго обученія счету является сооб-
щеніе дѣтямъ навыка въ производствѣ вычисленій надъ
числами 1—20, т.-с. умѣнія не только оперировать надъ
числовыми представленіями, считать и производить дѣй-
ствія—сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе, но и
примѣнять пріобрѣтенныя свѣдѣнія ко всѣмъ явленіямъ,
доступнымъ пониманію ребенка, производя это примѣненіе
быстро и правильно. Но навыкъ въ примѣненіи представле-
ній можетъ быть пріобрѣтенъ только путемъ частаго повто-
ренія и упражненія. Въ повтореніи нуждаются даже от-
дѣльныя числовыя представленія, пріобрѣтенныя при
катихизическомъ способѣ обученія, элементарнѣйшія ариѳ-
метическія предложенія и дѣйствія; въ еще большей сте-
пени необходимо оно при заучиваніи упражненій, заклю-
чающихся въ словесномъ, тѣлесномъ или цифровомъ
изображеніи чиселъ и дѣйствій (см. стр. 294). Наиболѣе
важное значеніе имѣетъ повтореніе такихъ ариѳметиче-
скихъ предложеній, которыя одновременно наблюдаются,
произносятся вслухъ и изображаются дѣтьми при помощи
косточекъ счетнаго прибора. Весь рядъ предложеній слѣ-
дуетъ повторять до тѣхъ поръ, пока дѣти не пріучатся
выполнять ихъ совершенно механически; при этомъ на
вопросы учителя должны отвѣчать то отдѣльные ученики,
то весь классъ. Переходя отъ одного числа къ другому,

слѣдуетъ сохранять порядокъ предложеній, такъ какъ
аналогія способствуетъ воспріятію и запоминанію от-
дѣльныхъ предложеній. Я замѣтилъ, дѣйствительно, что
дѣти иногда самостоятельно переходили отъ изученнаго
числа къ слѣдующему, пользуясь аналогіей между заучен-
нымъ рядомъ предложеній и новымъ рядомъ ихъ. Но это
возможно лишь въ томъ случаѣ, если всѣ числовыя фи-
гуры построены строго однообразно. Само собой разу-
мѣется, что повтореніе надо прерывать провѣрочными
вопросами, имѣющими цѣлью выяснить познанія каждаго
отдѣльнаго ученика, что необходимо для рѣшенія вопроса
о дальнѣйшемъ прохожденіи курса.
Повтореніе слѣдуетъ, однако, производить не только
въ интересахъ упражненія, но и для того, чтобы ученики
могли подвигаться впередъ непрерывно. Обученіе счету
допускаетъ возможность столь плавнаго построенія и
развитія предмета, какое едва ли возможно въ другихъ
отрасляхъ преподаванія. Это происходитъ вслѣдствіе того,
что и самая числовая система обладаетъ свойствами не-
прерывности; такимъ образомъ, мы и здѣсь встрѣчаемся
съ тѣмъ фактомъ, что методика преподаванія даннаго
предмета зависитъ не только отъ тѣхъ или иныхъ психоло-
гическихъ причинъ, но и отъ степени познанія самаго
предмета, на которое, въ свою очередь, сильно вліяетъ и
знакомство съ успѣхами науки. Непрерывное и послѣдо-
вательное построеніе числовой системы дѣлаетъ частое
повтореніе необходимымъ, но оно же дѣлаетъ его и крайне
легкимъ. Заученный предложенія можно болѣе или менѣе
подробно повторять на каждомъ урокѣ. При этомъ надо
обратить особое вниманіе на сравнительное повтореніе
(напримѣръ, при изученіи числовой фигуры слѣдуетъ
сравнивать ее съ уже извѣстными числовыми фигурами
нечетныхъ чиселъ, отличительнымъ признакомъ которыхъ
всегда служитъ отдѣльный верхній шаръ).

Сложеніе и вычитаніе чиселъ 2-го десятка слѣдуетъ
сопоставлять съ тѣми же дѣйствіями надъ однозначными
числами; напримѣръ, 3+4=7, 13+4=17; 9—7=2,
19—7=12 и т. д. 30+40 = 70; 53+4=57; 69—7=62.
При первоначальномъ обученіи счету слѣдуетъ, да-
лѣе, обратить особое вниманіе на то, чтобы при повто-
реніи предложеній безъ нагляднаго пособія, т.-е. на па-
мять, а также при произношеніи и начертаній предложеній
дѣти пользовались не только звуковыми образами, пред-
ставленіями движеній органовъ рѣчи, письменными об-
разами и представленіями начертанія, т.-е. не только
формальными и символическими, но и содержательными,
ясными и отчетливыми числовыми представленіями, кото-
рыя покоились бы на ясныхъ и отчетливыхъ представле-
ніяхъ однозначныхъ чиселъ. Методисты—сторонники счета
и рядовъ—этого не могутъ достигнуть. Полное пониманіе
числовой системы пріобрѣтается послѣ прохожденія трехъ
ступеней: счисленія надъ предметами, письменнаго счисле-
нія и устнаго счисленія или счисленія надъ представленіями
чиселъ. Въ основѣ жизненнаго счисленія должно лежать
точное пониманіе вещей и явленій, которыя еще раньше
стали извѣстны дѣтямъ изъ ихъ личнаго, жизненнаго
опыта и изъ предметнаго обученія. Этого вполнѣ удается
достигнуть, если примѣнять наглядный пособія, построен-
ныя на основаніи результатовъ точныхъ опытовъ, и соблю-
дать основныя положенія, покоящіяся на твердо установлен-
ныхъ данныхъ психологіи.
Все сказанное о повтореніи предложеній въ области
чиселъ отъ 1 до 20 легко можетъ быть распространено
и на большія области.
6. О жизненномъ счисленіи.
Обученіе счисленію, какъ обученіе формальное, должно
на всѣхъ ступеняхъ находиться въ тѣсной связи съ жизнью,

дѣятельностью и разнообразнымъ опытомъ ребенка, а
также съ предметнымъ обученіемъ, которое въ свою
очередь должно быть тѣсно связано съ жизнью ребенка.
Предметное обученіе должно объяснять ребенку явленія
природы и общественной жизни. Поэтому при изученіи
области чиселъ до милліона слѣдуетъ обратить вниманіе,
помимо ранѣе указанныхъ обстоятельствъ, еще на слѣ-
дующія особыя мѣстныя условія:
Общинная жизнь: I. Первоначальныя свѣдѣнія изъ
области сельскаго и городского хозяйства. Бюджетъ
семьи: доходы и расходы, квартира, пища, одежда, освѣ-
щеніе, отопленіе и т. д. Бюджетъ общины: расходы—
водопроводъ, газъ, благотворительныя учрежденія, школы,
устройство и содержаніе въ порядкѣ зданій и мостовыхъ,
мостовъ, желѣзныхъ дорогъ и т. д.; доходы: обложеніе
лѣсовъ, полей и т. д.
Размѣры полей, луговъ и т. д.; количество сельско-
хозяйственныхъ продуктовъ ит. д.
Цѣны на сырые продукты, заработная плата булоч-
ника, мясника, сапожника, портного и т. д. Обстановка
школьной комнаты, гимнастическаго зала, рисовальнаго
класса, кухни, погребовъ, квартиръ.
2. Данныя природовѣдѣнія, имѣющія отношеніе къ
общинной жизни. Рекомендуется рѣшать въ классѣ задачи
въ родѣ нижеслѣдующихъ:
Самка капустницы кладетъ въ лѣто 3 раза по 70 яичекъ,
изъ которыхъ впослѣдствіи выходятъ бабочки (половина
самокъ и половина самцовъ); 6 гусеницъ вѣсятъ одинъ
граммъ; каждая гусеница до окукливанія съѣдаетъ коли-
чество капусты, вѣсящее въ 60 разъ больше, нежели сама
гусеница; 1 клгр. капусты стоитъ 12 пфенниговъ. Найти
убытокъ, причиненный за лѣто всѣми гусеницами*).
г) См. указанную книжку Бетца. Подходящій матеріалъ содер-
жится также въ учебникахъ естественной исторіи, составленныхъ
авторомъ.

Дождевой червь перерабатываешь въ день у2 грамма
земли; на 1 кв. м. ихъ приходится въ среднемъ 10 штукъ.
Сколько земли перерабатываюсь за день дождевые черви,
если площадь сада равна 125 кв. м. (Лай, зоологія).
Синица съѣдаетъ ежедневно 300 яичекъ и гусеницъ
капустницы. Сколько капустницъ уничтожитъ а) въ одинъ
день и Ь) въ одинъ мѣсяцъ семья синицъ, состоящая изъ
самки, самца и 4 птенцовъ, если принять, что птенецъ
съѣдаетъ половину того, что съѣдаетъ взрослая синица.
Подобныя же задачи, въ которыя входитъ питаніе,
размноженіе, ростъ растеній и животныхъ, рѣчные раз-
мывы и наносы, климатическія явленія и т. п.
Подобнымъ же образомъ должны быть численно обра-
ботаны и другія данныя естествознанія, географіи и исто-
ріи.
При предметномъ счисленіи необходимо соблюдать
слѣдующія положенія: 1) матеріалъ, лежащій въ основѣ
задачи, долженъ быть, какъ слѣдуетъ, воспринятъ и про-
думанъ учениками; 2) соотношенія между предметами и
явленіями должны быть сперва правильно установлены;
тѣ же соотношенія должны быть затѣмъ выражены при
помощи чиселъ и дѣйствій надъ ними; 3) дѣйствія надъ
числами должны быть выполнены правильно, быстро и
красиво.
Обученіе счету должно освѣтить при помощи числа
всѣ данныя предметнаго обученія и пріучить учениковъ
численно оцѣнивать различныя явленія природы и чело-
вѣческой жизни. А эта привычка имѣетъ громадное зна-
ченіе какъ для дальнѣйшаго душевнаго развитія ребенка,
такъ и для практической жизни.

Таблица I.
Ф. l.
66 t 971 * 378 + 9679 - И09'і
Ф. 2. Буссе.
Ф. 3. Борнъ.
Ф. 4. Боме.
Ф. 6. Собелевскій.
Ф. в. Бетцъ.
Ф. 5. Генчель.
ф. 7. Казелицъ.

Таблица II a.

Таблица III.
Переходъ черезъ десятокъ (разложеніе)
Изображеніе двузн. чиселъ.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Предисловіе редактора русскаго перевода III

Предисловіе автора къ 3-му изданію VII

Введеніе 1

I. Ступень экспериментально-дидактическаго изслѣдованія. Матеріалъ для созданія гипотезъ и самыя гипотезы.

А) Матеріалъ для созданія гипотезъ.

1. Возникновеніе чиселъ и счисленія у различныхъ народовъ.

a) Соотношеніе между предметнымъ обученіемъ и обученіемъ ариѳметикѣ 5

b) Числительныя и числовыя представленія малокультурныхъ народовъ 11

c) Системы счисленія 15

d) Цифры и цифровыя системы 18

e) «Счетъ» у малокультурныхъ народовъ 24

2. Развитіе числовыхъ представленій у ребенка до поступленія его въ школу 26

3. Понятіе числа у философовъ и математиковъ 42

4. Исторія первоначальнаго обученія ариѳметикѣ 47

1. Счисленіе по правиламъ. Адамъ Ризе 47

2. Попытка реформъ. Базедовъ и Роховъ 50

3. Формальный принципъ 54

4. Формально-матеріальный принципъ 62

5. Монографическій способъ изученія чиселъ. Числовыя фигуры 69

6. Предметное счисленіе и «жизненное предметное счисленіе» 74

7. Новыя стремленія. Ряды или числовыя фигуры? 77

8. Путаница во взглядахъ педагоговъ 97

В) Созданіе гипотезы и постановка задачи 102

II. Ступень экспериментально-дидактическаго изслѣдованія. Опыты и оцѣнка результатовъ ихъ.

А) Опыты, касающіеся чиселъ перваго десятка и счетныхъ приборовъ.

1. Типы воспріятія при школьномъ обученіи 116

2. О числовомъ воспріятіи и представленіи объектовъ, смежныхъ во времени, посредствомъ слуха и зрѣнія 118

3. Дидактическіе опыты опредѣленія границы воспріятія объектовъ, расположенныхъ въ рядъ 120

4. Дидактическіе опыты надъ счетомъ и методомъ счета 131

a) Дѣйствительно ли представленіе числа создается только путемъ счета? Опыты надъ дѣтьми 131

b) Лабораторные опыты надъ взрослыми 139

c) Какъ возникаютъ представленія и понятія основныхъ чиселъ при различныхъ методахъ обученія 144

5. Сравненіе рядовъ и Борновскихъ числовыхъ фигуръ 153

6. Сравненіе Борновскихъ фигуръ съ другими употребительными числовыми фигурами 159

7. Сравненіе Борновскихъ числовыхъ фигуръ съ квадратными 160

8. Сравненіе квадратныхъ числовыхъ фигуръ съ фигурами Бетца 163

9. Сравненіе квадратныхъ числовыхъ фигуръ съ Борновскими фигурами и русскими счетами 166

10. Сравненіе квадратныхъ и Борновскихъ числовыхъ фигуръ со штрихами, пальцами и счетнымъ аппаратомъ Тиллиха. 168

11. Численное воспріятіе и представленіе объектовъ въ зависимости отъ ихъ взаимныхъ разстояній и сдѣланныхъ на нихъ отмѣтокъ 171

12. Численное воспріятіе и представленіе объектовъ въ зависимости отъ ихъ величины и направленія 174

13. Численное воспріятіе объектовъ въ зависимости отъ ихъ формы и окраски 177

14. Численное воспріятіе и представленіе пространственныхъ объектовъ при помощи чувства осязанія 185

15. Опыты надъ выполненіемъ дѣйствій въ случаѣ рядовъ и квадратныхъ числовыхъ фигуръ 191

16. О возникновеніи представленій основныхъ чиселъ 195

17. О сущности понятія числа:

a) Наглядныя числовыя представленія 207

b) Отвлеченныя числовыя представленія 217

18. Обзоръ основныхъ результатовъ изслѣдованія 222

В) Опыты, касающіеся основныхъ ариѳметическихъ дѣйствій.

1. О математическихъ способностяхъ, склонности и интересѣ къ счисленію 227

2. Различныя формы числовыхъ представленій у учениковъ, учителей и математиковъ 232

3. Опыты надъ психическими процессами при счисленіи 242

I. Акустическіе опыты 243

II. Оптическіе опыты 246

III. Способы рѣшенія 248

4. Устное и письменное счисленіе, какъ жизненное предметное счисленіе 251

5. Объ обученіи счисленію, ариѳметикѣ и высшей математикѣ. Единая школа 259

III. Ступень экспериментально-дидактическаго изслѣдованія. Примѣненіе результатовъ опытовъ: методика начальнаго обученія счету.

А) Общій обзоръ системы преподаванія.

1. Мѣсто, занимаемое обученіемъ счету 262

2. Выборъ учебнаго матеріала 266

3. О наглядныхъ пособіяхъ вообще 271

4. Наглядныя пособія, въ которыхъ примѣнены ряды 274

5. Наглядныя пособія, въ которыхъ примѣнены числовыя фигуры 278

6. Приборъ для первоначальнаго обученія счету, построенный по принципу числовыхъ фигуръ 280

7. Ручной счетный приборъ для учениковъ 284

8. О способѣ употребленія счетной линейки и счетнаго ящика 287

9. Различные способы изображенія — при помощи мимики, языка, рисунковъ, тѣлъ. Изображеніе чиселъ и дѣйствій надъ ними при помощи цифръ и тѣлъ 288

В) Методическія указанія къ обученію счисленію.

I. Первый десятокъ.

1. Распредѣленіе учебнаго матеріала 292

2. Методическія указанія относительно изученія чиселъ перваго десятка:

a) Общій обзоръ хода занятій 293

b) Планъ урока: число 6 298

c) Методическія указанія относительно изученія отдѣльныхъ чиселъ перваго десятка 302

d) Счетныя таблицы и ихъ примѣненіе 311

e) Введеніе цифръ и знаковъ дѣйствій для сложенія и вычитанія 313

II. Второй десятокъ.

1. Ознакомленіе учащихся съ десятичной системой 316

2. Расширеніе области чиселъ отъ 10 до 20 318

3. Переходъ черезъ десятокъ, сопровождаемый разложеніемъ чиселъ 322

4. Образованіе рядовъ 324

III. Первая сотня.

1. Общія указанія относительно теченія области чиселъ 1 — 100 326

2. Построеніе чиселъ первой сотни, числительныя и ихъ начертаніе 327

3. Образованіе рядовъ путемъ послѣдовательнаго прибавленія и вычитанія чиселъ перваго десятка 330

4. Сложеніе и вычитаніе 332

5. Общій характеръ жизненнаго предметнаго счисленія 336

6. Умноженіе и дѣленіе, какъ «таблица умноженія» 338

7. Устное умноженіе на однозначныя числа 347

8. Устное дѣленіе на однозначныя числа 350

IV. Первая тысяча.

1. Общія замѣчанія объ изученіи области чиселъ отъ 1 до 1000 352

2. Образованіе числа тысяча. Способъ образованія, наименованія и записи чиселъ 353

3. Устныя и письменныя упражненія въ образованіи рядовъ 355

4. Устное сложеніе и вычитаніе —

5. Счисленіе надъ именованными числами 357

6. Письменное сложеніе двухзначныхъ чиселъ —

7. Письменное вычитаніе двухзначныхъ чиселъ 361

8. Устное умноженіе 363

9. Письменное умноженіе 368

10. Устное дѣленіе 373

11. Письменное дѣленіе 375

12. Метрическая система мѣръ 381

13. Объ измѣреніи площадей 385

V. Неограниченная область чиселъ.

1. Десять тысячъ (построеніе) 388

2. Сто тысячъ (построеніе) 389

3. Милліонъ (построеніе) 391

4. О большихъ числахъ 394

5. О повтореніи 395

6. О жизненномъ счисленіи 397

Таблицы I—III 400

Оглавленіе 404

ОТЗЫВЫ ПЕЧАТИ.
«Переводомъ книги Лая вносится весьма цѣнный вкладъ въ нашу пе-
дагогическую литературу. Авторъ книги пріобрѣлъ широкую извѣстность
въ Европѣ, какъ творецъ экспериментальной дидактики. Книга Лая отно-
сится къ числу основныхъ сочиненій по методикѣ. Переводъ сдѣланъ пре-
краснымъ литературнымъ языкомъ. Книга издана изящно, а цѣна умѣрен-
ная, если принять во вниманіе ея объемъ—19 печатныхъ листовъ» («Рус-
скія Вѣдомости», 1909 г., № 71).
«Книга Лая представляетъ собою выдающееся явленіе, достойное серьез-
наго вниманія русскаго читателя. Съ выводами Лая можно иногда не со-
глашаться, можно ихъ оспаривать, но нельзя обойти молчаніемъ его трудъ
и нельзя не признать, что это одна изъ тѣхъ работъ, которыя проклады-
вают новые пути въ наукѣ; нельзя отрицать, что методъ изслѣдованія,
предлагаемый авторомъ, есть вѣрный и надежный способъ рѣшенія спор-
ныхъ вопросовъ методики и дидактики...
«Переводъ выполненъ точно и вмѣстѣ съ тѣмъ литературно и даетъ чита-
телю правильное и вполнѣ отчетливое представленіе о книгѣ Лая» («Вѣстникъ
Опытной Физики и Элементарной Математики», № 502, XLII семестра, № 10).
«Книга Лая представляетъ собою очень цѣнный вкладъ въ педагоги-
ческую литературу» («Педагогическій Листокъ», 1909 г., книжка 6-я).
«Отсутствіе строго-научной постановки вопросовъ методики является
главной причиной царящаго въ ней хаоса. Заслуга В. А. Лая заключается
въ попыткѣ точной формулировки различныхъ педагоги ко-психическихъ гипо-
тезъ и постановкѣ ряда элементарныхъ опытовъ, не допускающихъ различныхъ
толкованій, результаты которыхъ должны рѣшить, на чьей сторонѣ правда...
«Предложенный В. А. Лаемъ для рѣшенія дидактическихъ вопросовъ
точный экспериментальный методъ даетъ возможность совершенно объек-
тивно подтвердить или опровергнуть каждое высказываемое въ области
методики утвержденіе, и въ этомъ, независимо отъ всего остального, не-
отъемлемая заслуга автора...
«Въ цѣляхъ правильной постановки первоначальнаго обученія и эко-
номіи дѣтскихъ силъ было бы желательно, чтобы идеи автора получили
широкое распространеніе» («Педагогическій Сборникъ», 1910 г., № 1).
«Книга эта представляетъ весьма цѣнный вкладъ въ литературу по мето-
дикѣ обученія ариѳметикѣ» («Народное Образованіе», 1909 г., сентябрь).
«Книга г. Лая представляетъ изъ себя незаурядное явленіе въ области
методики ариѳметики, и знакомство съ нею для русскаго учителя является
настоятельной необходимостью» («Народный Учитель», 1909 г., № 13—14).
«Благодаря прекрасному переводу «Руководства» Лая на русскій языкъ,
наша педагогическая литература получила этотъ цѣнный вкладъ въ свою
сокровищницу» («Начальное Обученіе», 1909 г., № 9).
«Не было никакой возможности въ коротенькой статьѣ исчерпать все
богатство содержанія книги Лая. Укажу лишь, въ видѣ заключенія, на
общее впечатлѣніе, оставляемое книгой: это—серьезное, добросовѣстное
изслѣдованіе; многія темныя, запутанныя психологическія положенія,
послѣ опытовъ автора, становятся ясными, понятными. Авторъ—талантли-
вый и изобрѣтательный педагогъ: онъ пускаетъ въ обращеніе много новыхъ
пріемовъ обученія, иногда весьма удачныхъ и остроумныхъ. Въ читателѣ,
основательно проштудировавшемъ эту книгу, происходитъ какая-то за-
мѣтная для самонаблюденіи перемѣна въ педагогическомъ міросозерцаніи:
такъ плачевно убогой кажется наша школьная практика и такъ свѣтлы
новые горизонты, открываемые авторомъ экспериментальной дидактики»
(«Вопросы и Нужды Учительства», 1909 г., кн. III, статья: «Дидактиче-
ское творчество и принципы обученія ариѳметикѣ»).
«Книга д-ра В. А. Лая полна захватывающаго интереса и въ ней масса
полезныхъ указаній» («Русская Школа», 1910 г., № 1).
Кромѣ того, о книгѣ Лая дали лестные отзывы: «Саратовскій Вѣстникъ»
(1909 г., jvft 172), «Саратовскій Листокъ» (1909 г., № 182), и др.