Лай В. А. Первый год обучения арифметике. — 1923

Первый год обучения арифметике.
Первоначальное обучение арифметике имеет своей зада-
чей осветить круг представлений ребенка с точки зрения
числовых соотношений; оно должно научить численно вос-
принимать и изображать количества, качества и соотноше-
ния. А так как даже восприятие вещей, как мы сейчас уви-
дим, естъ постулирование и изображение, то в основе своей
оно является изобразительным формальным преподаванием и
поэтому должно самым 'тесным образом примыкать к наблю-
дательному предметному обучению. Но абстрактная работа
численного восприятия для многих детей; чрезвычайно за-
труднительна. Она требует известного развития самостоятель-
ной, наблюдательности, способности к различению, сравне-
нию, абстракции, а равно к анализу и синтезу. Поэтому
«счисление» является той областью, в которой ребенок до-
школьного возраста делает наименьшие успехи, если он пре-
доставлен исключительно самому себе. Его» числовые предста-
вления при поступлении в школу, как правило, не превы-
шают 3. Ведь и многие первобытные народы пользуются
для обозначения более чем 3 предметов неопределенным
числительным «много», и системы счисления их построены,
как на основании, на 2 или 3
Правда, многие дети способны бегло произнести ряд чис-
лительных до 20 и более; однако здесь мы имеем дело ис-
ключительно с механическим воспроизведением чего-то за-
ученного, в основе которого не лежат числовые продета-
!) Большое количество соответствующих примеров содержится в книге
Лая „Руководство к первоначальному обучению арифметике*. Д. В.

вленил. Указанную способность ребенка нельзя даже назвать
счетомf так как счег предполагают, что предметы, свойства,
явления и т. д. отдельно восприняты один за другим, т.-е.
постулированы сознанием, как действительно существующие,
и систематически соединены в одну общую постуляцию.
Многие же дети, которые умеют так бегло считать, ока-
зываются не в состоянии следить за последовательностью
предметов при счете. Как учит наблюдение, они; вначале
очень легко опускают гот или иной предмет из ряда их,
который они должны сосчитать. Но если даже преодолено это
первое затруднение постулирования и ребенок может сна-
бдить каждый из шести, например, предметов ряда соответ-
ствующим числительным, то это вовсе еще не означает, чго
по окончании счета он сознает наличность в данном случае
шеста предметов. Для этого необходимо, чтобы ребенок был
способен систематически соединить в одно целое шесть от-
дельных постуляций (не предметов) н мог обозначить числи-
тельным «шесть», как результатом счета, приобретенное та-
ким образом представление числа.
Само собой разумеется, что для процесса постулирования
вовсе не требуется, чтобы данный предмет или процесс был
воспринят, как объект, во всех его подробностях и со всеми
его свойствами; совершенно достаточно, чтобы он был вос-
принят, как нечто существующее, как объект. С точки зре-
ния психологии, действие постулирования соответствует бо-
лее процессу сознания, чем содержанию или состоянию его;
оно является представлением деятельности, а не предста-
влением объекта, который должен быть численно воспри-
нят, хотя простое представление объекта и входит в пред-
ставление процесса численного восприятия.
Поэтому, та или иная числовая форма, как результат син-
тетического совокупного восприятия отдельных постуляций,
является не совокупным представлением отдельных предме-
тов в форме понятия предмета, а синтезом психического эф-
фекта отдельных действий постулирования, которые, бу-
дучи приобретены после наблюдения точек, штрихов и т. д.
и изображения или свободной абстракции от предметов, долж-
ны рассматриваться, как представление или понятие числа.
При первоначальном обучении арифметике мы и должны
иметь дело лищь с числовыми представлениями.

Само собой разумеется, что процесс постулирования при
счете, как и постулирование совокупности, дается начина-
ющему обучаться арифметике тем легче, чем однороднее пред-
меты и чем лучше они могут быть им восприняты вследствие
известных соотношений их величины, расстояния друг от
друга, расположения в пространстве, окраски и т. д. Слиш-
ком удаленные друг от друга, чрезмерно большие или ма-
лые, слишком разнообразные предметы, так же как и пред-
меты слишком сближенные и расположенные вместе или
в ряд, воспринимаются с трудом и представляют больше за-
труднений для соединения в синтезе числовой формы, чем
предметы, обладающие известной простотой, расположением,
величиной, формой и окраской. Первоначальное обучение
арифметике дает поэтому наилучшие результаты, если ре-
бенок будет при нем приобретать числовые представления
не только на разнообразных по своему устройству и распо-
ложению предметах, его окружающих, но, исходя из этих
последних, и на легко доступных, методически расположен-
ных предметах — так называемых наглядных пособиях. При-
менение целесообразно устроенных наглядных пособий чрез-
вычайно облегчает ребенку трудный процесс постулирования
и синтетического соединения постуляций в единое числовое
представление и позволяет ему приобретать числовые пред-
ставления и на разнородных объектах.
Относительно характера и устройства этих наглядных
пособий до сих пор существует большое разнообразие мне-
ний, и по вопросу о первоначальном обучении арифметике,
так же как и по вопросу о первоначальном обучении пись-
му, создалась большая экспериментально-педагогическая ли-
тература, стремящаяся внести в этот вопрос необходимую
ясность. Начало ей было положено в 1898 году изданием
«Руководства к первоначальному обучению арифметике»
В. А. Лая.
Исследования, изложенные в этом «Руководстве», имели
целью установить условия возникновения основных числовых
представлений у детей, проверить опытным путем ценность
различных наглядных и счетных пособий и получить дан-
ные о сущности числовых представлений и понятии числа.
Здесь, так же как и при обучении правописанию, опыт
проектов и взгляды теоретиков, полученные из прошлого,

были использованы для создания гипотез и ооответствующей
постановки опытов.
При этом были поставлены и исследованы опытным пу-
тем над детьми детского сада, учениками на первом году
обучения и семинаристами следующие вопросы:
1. Вещи (а равно и процессы) внешнего1 мира и соб-
ственного организма, которые все могуП быть численно вос-
приняты, и побуждают к созданию числовых представлений,
вступают в наш внутренний мир только как комплексы ощу-
щений и сознаются, как восприятия, наблюдения, предста-
вления и понятия. Так как от восприятия объектов путем
вкуса и обоняния, как исходных точек при первоначальном
обучении счету, мы отвлекаемся, то возникает задача:
исследовать опытным путем численное восприятие предметов
и явлений на основании слуховых, зрительных и осязатель-
ных ощущений. (Исследования, примыкающие к изложен-
ным в «Руководство), обычно принимали во внимание лишь
зрительные ощущения.)
2. Осязание и зрение создают представление простршотва,
слух и зрение—представление времени. Поэтому возникает во-
прос, что более способствует приобретению числовых предста-
влений при классіном преподавании: іюследовательносііъ во
времени или же смежіность в пространстве? Дети в возраю-'Ае
от чегырех до шести лет должны были воспроизвести ofr
двух до четырех ударов в ладоши, которые в течение одно'й
секунды производил руководитель опытов и притом так,
что дети слышали звук ударов, но самых ударов не видели.
Несмотря на то, что опытам предшествовали предварительные
[пробы, дети делали ошибки даже при двух ударах, й во-
обще число ошибок было при этом большим, чем при вос-
приятии пространственного, ряда. Ритм облегчает восприя-
тие. Дитце, Шуман и Кану, производившие лабораторные
опыты над взрослыми, нашли, что ритмическое расчлене-
ние зіначительно способствует правильному численному вос-
приятию звуковых ощущений и что при этом наблюдается
«непреодолимое стремление» (Дитце) к группированию.
3. Терпение, Африка, паровоз составляют вмесіе три
вещи, совершенно так же, как три совершенно одинако-
вых светящихся точки. Общим у них является то, что они
имеются налицо, что они существуют. Существование, на-

личность, постуляция являются поэтому существенным
признаком числового представления. Сущность «единицы» за-
ключается таким образом в постулировании предмета, в
ощущении и признании его существования, в более или
менее сознательном суждении: он существует. Сущностью
счета является таким образом не расположение числитель-
ных, как это обычно принимает большинство методистов,
а, постулирование, которое может происходить и без числи-
тельных. Однако здесь, во избежание недоразумений, мы
употребляем слово «счет» в его обычном значении, предпо-
лагая необходимость полъзоваия числительными. Предста-
вление основного числа (напр., 6) мы называем наглядным,
если в совокупности постуляций ребенок можеті различить
все отдельные постуляций «с одного взгляда», одновремен-
но, мгновенно (в дробную часть секунды), как, напр., J J J
ію не •••••• Однако многие методисты утверждают.
что мгновенно можйо воспринять только одну вещь; другие
же говорят, что ребенок можіет мгновенно числению воспри-
нять пятъ и более предметов, расположенных в ряд. По-
этому возникает новый вопрос, имеющий весьма большое
значение в практике прело давания: возможны ли для детей
на первом году школьного обучения одновременные и на-
глядные числовые восприятия? Как далеко простираются они
в случае применения пространственного рода, а также чис-
ловых фигур, построенных не на принципе рядов? (Ср. при-
водимые ниже таблицы I и II.).
Опыты над 46 учениками показали, между прочим, что
после шестимесячного обучения арифметике, которое было
основало на применении русских счетов, трц ученика не
могли воспринять более трех шаров и шесть учеников—
«более четырех шаров, и что граница восприятия и нагляд-
ного представления ряда шаров, вообще говоря, не прости-
рается далее трех объектов ряда. Приборы, построенные по
принципу рядов, штрихи, палочки, ряды точек и пальцы
при числе их, превышающем три, не могут быть рассматри-
ваемы, как наглядные пособия в истинном смысле этого
слова, так &ак 6-летние дети не могут воспринимать и
наглядно представлять более трех предметов, расположен-
ных в ряд.

Числовые фигуры»
Таблица I.
Ф. 1
Ф. 2 Буссе
ф. 3 Борк
Ф. 4 Боме
ф. £ Геячель
Ф. 6 Соболевский
Ф. 7 Казелнк
ф 8 Бетц

Таблица II.

Гольдшейдер и Мюллер, Кателль и Иоррен, производив-
шие опыты над взрослыми, нашли, что последние могут
воспринять мгновенно (в 0,01 сек.) самое большее три, че-
тыре или пять штрихов и светящихся точек, расположен-
ных в ряд. (Ср. «Руководство» Лая.) В то же время дети
могут численно воспринять до двенадцати шаров, если они
расположены в виде трех квадратных числовых фигур (табл.
II); у взрослых одновременное численное восприятие сгруп-
пированных предметов, происходящее без счета, идет много
дальше.
4. Большинство методистов учит, что «число возникает
только при счете», и понимают под «счетом» такую деятель-
ность, при которой к предметам последовательно прилага-
ются числительные. Спрашивается: верно ли, что числа воз-
никают только благодаря счету?
Опыты над детьми детского сада, в возрасте от трех до
шести лет, показали, что при применении квадратных чис-
ловых фигур дети могут воспринимать и правильно изоб-
ражать точками, руководствуясь лишь представлением, до
двенадцати точек без помощи счета и в некоторых случаях
без возможности произвести счет. Что в данном случае дети
воспринимали не только форму фигуры, как можно было
бы думать а действительно числа, доказывают следующие
факты: 1) автор имел возможность обучать впоследствии де-
тей счислению в пределах от 1 до 5, при чем дети к счету
не прибегали и прибегать не могли, 2) при опытах д-ра
Вальземана ученики записывали числа, руководствуясь
лишь представлением, не точками, а цифрами; исследова-
ния Иоррена и Нану (1904) показали, что восприятие чисел
происходит без счета, оба автора указывают на неправиль-
ность утверждения, будто с мгновенным совокупным вос-
приятием большого числа объектов числовой фигуры не свя-
зывается «сознания числа».
5. Восприятие чисел так, как оно описано в п. 3-м,
требует различения и совокупного восприятия предметов.
Но и то, и другое, как учит опыт, обусловливается распо-
ложением, величиной, формой, взаимным расстоянием, окрас-
кой и яркостью предметов, подлежащих счету. Поэтому при-
ходится задаться вопросом: что же следует предпочесть —
ряды или числовые фигуры?

Обширные опыты, при которых время восприятия опре-
делялось метрономом, а воспринятое изображалось пись-
менно, дали следующие результаты (ср. Лай, «Руководство»
к первоначальному обучению арифметике»):
a) Борновские числовые фигуры (двойной ряд), являю-
щиеся распространенным наглядным пособием, значительно
лучше рядов. Числовые фигуры и ряды были изображены
черными кругами на белой бумаге (176 и, соответствешшг
408 ошибок);
b) в еще большей степени Борновские числовые фигуры
превосходят русские счеты (71 и, соответственно, 460 оши-
бок);
c) сравнение: 1) Борновіских числовых фигур, 2) паль-
цев, 3) ряда штрихов таблиц Бильгарца (черных и краеных,
с промежутком после пятого штриха), дало следующие ре-
зультата: 1) 14, 2) 51, 3) 107 ОШИбОК.
Впоследствии д-р Вальземан получил прц рядах штри-
хов 451 и при Борновских числовых фигурах всего 28 оши-
бок, а Шнейдер при приборе Тиллиха 259,9 и при Борнов-
ских числовых фигурах только 34,5 ошибки.
Все эти опыты доказывают, что числовые фигуры зна-
чительно превосходят ряды, а приборы, построенные по прин-
ципу числовых фигур, значительно лучше приборов, постро-
енных по принципу рядов, хотя последние все еще пре-
имущественно применяются. Любопытные опыты над взрос-
лыми, выполненные Гольдшейдером и Мюллером, Эрдманом
И Додге, Кюльпе, Еателлем, Дитце Уорреном, Мсссенд-
жером, Пану (1904), Арнеттом (1905), согласно доказы-
ваюг, так же как и опыты автора, что при применении групп
восприятие чисел происходит значительно легче и быстрее,
чем при применении рядов;
d) сравнение числовых фигур Бетца и квадратных дали
такие результаты: 375 и 239 ошибок;
e) сравнение «квадратных числовых фигур», построен-
ных по указаниям автора, и Борновских групп показало,
что первые следует предпочесть вторым (194 и 247 ошибок).
Результаты опытов, произведенных над «числовыми фигура-
ми Лая», которым были приданы несоответствующие размеры,
нак, например, в опытах Вальземана, конечно, ничего не-
говорят прошив квадратных числовых фигур.

Ариетт показал, что «счет», а также сложение проис-
ходят быстрее и точнее всего в том случае, если они осно-
ваны на группах по два и четыре предмета; этому условию
квадратные числовые фигуры удовлетворяют.
Людвиг Пфейфер, изучивший наши числовые фигуры
при опытах над учениками, уже обучавшимися в течение
Уг года по Борновским числовым фигурам в форме Нюрн-
бергской счетной доски Трельга, нашел, что квадратные
группы по четыре объекта являются более удобным нагляд-
ным пособием как при восприятии отдельных чисел, так
и при изображении действий, чем все другие числовые фи-
гуры, в том числе и простой двойной ряд. Результаты его
опытов находятся таким образом в полном соответствии с
данными автора.
6. По отношению к каждой: числовой фигуре необхо-
димо выяснить, какое влияние оказывают на восприятие рас-
стояние и группировка, величина, форма и направление счи-
таемых предметов, их окраска и яркость по отношению к
фону.
Оказывается, а) что ряд шаров воспринимается легче,
аслл шары не соприкасаются, а разделены небольшими про-
межутками; Ь) что наилучшей формой квадратных число-
вых фигур является такая, при которой отношение расстоя-
ния между смежными квадратами к расстоянию между кру-
гами одного и того же квадрата, равному диаметру кругов,
не превышает 1і/2; в) изменение диаметра шаров или кругов
квадратной числовой фигуры от 5 до 8 см. не оказывает
существенного влияния на ее восприятие; d) горизонталь-
ное расположение объектов предпочтительное вертикального,
часто применяемого в наглядных пособиях; е) шары и круги
предпочтительнее далочек и штрихов; f) на восприятие
объектов оказывает существенное влияние не та или иная
окраски предметов и комбинация цветов, а разіндца в ярко-
сти считаемых объектов и фона; наилучшие результаты
получаются при применении белых предметов на черном
фоне.
7. Наконец, является вопрос о числовом восприятии объ-
ектов посредством осязания.
Исследования, произведенные в этом направлении, по-
казали, что группы, особенно же квадратные числовые фи-

гурк, и в этом: случае значительно превосходят ряды, и
что приборы, которые можно дать в руки ученикам для
изображения и которые рассчитаны на использование и зри-
тельных, и осязательных ощущений, являются весьма це-
лесообразными; эти приборы могут иметь вид «счетной ли-
нейки» или доски с кнопками, как это имеет место в счет-
ном пенале Лая. Эти «ручікые пособия» могут быть заменены
пуговицами или вообще предметами, резко выделяющими-
ся на основании (напр., белые пуговицы на черном столе).
Подобно «раскладыванию палочек», и «раскладывание пуго-
виц» является активным действием—элементарнейшей фор-
мой; счисления. Ощущение деятельности постулирования мо-
жет быть чрезвычайно усилено применением этого способа
изображения, а синтез (соединение) отдельных постуля-
ций; в постуляцию совокупности, в числовое представление,—
значительно облегчено.
На основании исследований необходимо принять следую-
щие положения относительно возникновения и сущности чио-
ловых представлений: числовое представление есть творче-
ский акт, конструирование, построение отдельных постуля-
ций и постуляций совокупности, основанное на следующих
способностях ребенка: 1) различении (анализе) вещей но их
цвету, форме, величине и т. д.; 2) совокупном восприятии
(синтезе) признаков и постуляций; 3) отвлечении от при-
знаков (абстракции)—постулировании единиц, и 4) внима-
нии, т.-е. силе воли. Все эти обстоятельства;, а равно и мно-
гие другие, должны быть приняты во внимание в методике
первоначального обучения арифметике, как на это ц указы-
вается в нащем «Руководстве».
Всем известно, что на первом году обучения арифме-
тике многие дети терпят «кораблекрушение»; исследования
наиболее часто применяемых методов и приборов дают это-
му надлежащее объяснение. Особенно тяжело положение от-
сталых детей; по свидетельству д-раКасселя(Берлин), 72,8о/о
их остаются позади соответствующей ступени, а н)е менее
чем у 22,5о/о способности к арифметике вовсе отсутствуют.
На основании ряда дидактических опытов и практических
наблюдений мы построили счетный прибор для применения
в классе и ручной счетный прибор для учеников.

Счетный ящик-пенал.
Рис. № 1.
Этот прибор изображен на рис. 1, где К—обозначает
ящик, Д—крышку с нижней стороны (черную) и Кн—кноп-
ку (белую). Ребенок обращается с телами, изображает числа
предметами. Числовые представления основываются в этом
случае не только ра зрительных, но и на осязательных-
ощущениях, которые одни достаточны для создания отчет-
ливых числовых представлений у слепых при обучении их
арифметике. Счисление становится «ощутимым» физически,
а) потому и умственно постижимым даже для неспособных
детей.—Так как счетный ящик служит одновременно и пе-
налом, то родители не несут лишних расходов. Ящик изго-
товляется из целого куска дерева, а не склеивается. При-
менение его ясно из фигур таблицы II.
Счетная линейка.
М
Рис. № 2.
Счетная линейка изображена на рис. 2. Здесь Кн—одіш
на шаров, М—черная линейка с двумя проволоками, на ко-
торые нанизаны шары и черные трубочки между ними, ров-
ной длины (на рисунке эти 'трубочки обозначены штрихов-
кой, а не черной краской, тай как тогда их не было бы вид-
но). Первый десяток щаров (левый) окрашен в белую краску,
а второй (правый)—в красную красоку (на рисунке и этот
десяток обозначен белой краской). Прибор имеет то преиму-

щесіво. что отдельные части его не теряются. Применение
его таклое ясно видно из фигуры таблицы П.
Счетный прибор с 20 шаоаии
Рис. № 3,
Прибор сходен со счетной линейкой. Железные прово-
локи достаточно толсты, не гибки и удобно вынимаются (см.
рис. 3 слева). Задняя стенка и трубочки выкрашены в чер-
ный цвет (на рисунке они показаны штриховкой, чтобы их
можно было различить). Левая половина шаров окрашена
белой, а правая—красной краской. Шары (по 3 см.) и тру-
бочки (также по 3 см.) вынимаются поодиночке.—Приме-
нение прибора характеризуіется фигурами табл. II. (См.
«тр. 11.)
Счетный прибор со 100 шарами.
Рис. № 4.
Прибор устроен так же, как аппарат с 20 шарами (рис.
4). Проволоки могут [переставляться, как это показано слева

на рисунке. Справа у прибора имеется дверка на петлях,
которой можно прикрывать шары. Известно, что ход мышле-
ния и действий при разложении, начертании чисел и осо-
бенно при письменном сложении, вычитании, умножении
и делении представляют для всех детей большие затрудне-
ния. При помощи описанного прибора эти затруднения ста-
новятся легко преодолимыми.
Соответствующее построение первоначального обучения
счислению, с учебными планами и опытами, содержится в
книге Лая «Руководство к первоначальному обучению ариф-
метике, основанное на результатах дидактических опытов».
Наиболее существенные достоинства счетных приборов
Лая суть следующие:
1. Они превосходят по результатам обучения все до сих
пор применявшиеся пособия в несколько раз—до 15; это
значит, что работа учеников и учителей облегчается во
столько же раз.
2. Давая возможность применять квадраяные числовые
фигуры, они обусловливают отчетливые представления
основных чисел и арифметических действий; это значит,
что ребенок может представлять отдельные части целого и
соединять в представлении отдельные части в одно целое,
так что решение задач он считывает, руководствуясь лишь
представлением. См. ниже примеры: 7—4=3; 7—3=4;
4+3=7; 3+4=7 и т. д.
3. Эти счетные приборы являются таким образам дей-
ствительными наглядными пособиями; русские счеты, прибор
Тиллиха и его видоизменения, короче—все аппараты, по-
строенные по принципу рядов, палочки, штрихи и т. д.
являются лишь пособиями при счете, так как при помощи
них можно находить результаты лишь путем счета, и послед-
ние являются не отчетливыми представлениями, а лишь пу-
стыми словами, наименованием чисел, числительными.
Попробуйте представить себе 7 шаров, кубиков, пальцев,
штрихов и т. д. и решить приведеннш в пункте 2 при-
меры, руководствуясь лишь представлением! Это не удаст-
ся. Так как дети не могут представитъ себе результатов дей-
ствий, то соответствующие примеры на счисление они должны
заучивать наизусть. А так как эти примеры, при произне-
сении их, звучат довольно сходно, то их приходится заучи-

ватъ, прибегал к механической, бездушной «зубрежке», к
бесконечному и скучному повторению, к мучительной затра-
те труда со стороны детей; и учителей; для отсталых же де-
тей даже эта затрата усилий оказывается недостаточной.
4. Эти счетные приборы обладают рядом свойств, бла-
годаря которым возникают не только отчетливые, но и жи-
вые, твердо и надежно удерживающиеся в памяти числовые
представления. Эти свойства касаются величины, формы,
окраски, веса, состояния поверхности предметов и проч.
5. Благодаря применению этих счетных приборов удает-
ся придать представлениям так называемых основных чи-
сел, а за ними и всех прочих, такую надежность и проч-
ность, какие недостижимы ни при каких других наглядных
пособиях.
6. Так как в данном случае возможно действительное
восприятие чисел и упражнения основаны на содержа-
тельных, отчетливых представлениях, то образовательное
значение первоначального обучения арифметике крайне уси-
ливается. При применении же других пособий дети опериру-
ют в большей или меньшей степени лишь с пустыми сло-
вами, расплывчатыми представлениями и механическим за-
учиванием.
7. В то время как при применении старых пособий у
детей часто наблюдалось отсутствие интереса и даже отвра-
щение и преподавание давало плохие результаты, приме-
нение этих счетных приборов вызывает в детях живой инте-
рес, чувство уверенности и убежденности, а потому и ра-
дость, веселье и любовь к арифметике.
Методические указания. При изучении отдельных чисел
следует исходить из опыта ребенка и данных предметного
обучения, возвращаясь к освещению численной стороны пред-
метов и явлений, как только ребенок научится бегло выпол-
нять действия над данным числом, руководствуясь пред-
ставлением, приобретенным благодаря числовой фигуре. Ко-
гда дети ознакомятся с построением квадратной числовой
фигуры при помощи кнопок, камешков и т. д., то самый от-
сталый из них будет знать, что место кнопок (шаров и т. д.)
могут занять любые другие предметы, как угодно располо-
женные. Одного, действительно наглядного, пособия совер-
шенно достаточно, и лучше применять его, чем несколько

наглядных пособий, лишь ставящих себе эту цель, ню ее
не достигающих.
Само собой разумеется, что первоначальное обучение ариф-
метике должно примыкать и к дошкольному опыту ребен-
ка. Оно должно строиться на тех числовых наблюдениях, ко-
торые дети приобрели до поступления в школу; а таких чис-
ловых наблюдений у детей, при ближайшем рассмотрении,
оказывается весьма много. Эти наблюдения должны быть вы-
явлены при предметном обучении, применительно к играм я
первым занятиям, а затем укреплены, исправлены и допол-
нены на уроках арифметики.
Дети знают, например, что у них 2 уха, 2 глаза, 2
руки, 2 ноги, 2 башмака, 2 чулка и т. д. Они знают, что
каждый день они должны 2 раза ходить в школу, что ка-
ждое утро они кушают по 2 хлебца, по 2 чашки кофе, что
надо подниматься во 2 этаж, что у них есть 2 крестных, 2
родителей, 2 или 3 братьев и сестер и т. д. Они могут уда-
рить 2 или 3 раза в ладоши, поймать 2 или 3 раза свой
мячик, прыгнуть 2 или 3 раза через веревочку, сделать 2
или 3 шага, выкрасить на Пасхе 2 или 3 яйца, сделать 2
или 3 пирожка и т. д. Большинство из них знает также,
что конфеты, пирожки и т. д. стоят 1, 2, 3 пфенига, чю
если один леденец стоит 1 пфениг, то два леденца стоят 2
пфенига, а 3 леденца—3 пфенига и т, д. Они обладают пред-
ставлениями: больше и меньше, много и мало, большой и
маленький, целое и половина, тяжелый и легкий и т. д.
Таким образом и до поступления в школу они приобретают
знание большого количества простых числовых соотноше-
ний, познавая их в своем обиходе, при играх и при общении,
со взрослыми и сверстниками; благодаря этому получается
естественный переход к первоначальному обучению арифме-
тике. Указанные конкретные числовые наблюдения еще бо-
лее расширяются благодаря обучению и вообще пребыва-
нию в школе, и задача подготовительной ступени школьно-
го обучения—изыскать новые числовые соотношения в окру-
жающей обстановке. Правда, эти числовые наблюдения не-
достаточно прочно и определенно связаны с предметами и
явлениями; они еще не обратились в действительные чис-
ловые представления и не могут без дальнейшего перено-
ситься на другие предметы и явления. Ребенок, например,

может прекрасно знать, что у лошади 4 ноги, и не быть в
состоянии распознать число четыре, имея дело с другими
предметами (например, 4 яблоками, 4 шагами). Этому он
научается лишь при обучении счислению, когда деятель-
ность постулирования, основанная на применении нагляд-
ного пособия, заставляет его различать представление вещей
от абстрактных числовых представлений. Тем не менее эти
первоначальные и чрезвычайно разнообразные числовые соот-
ношения являются наглядным и широким основанием, на
котором строится первоначальное обучение арифметике. Это
последнее не должно, однако, только исходить из этого ре-
ального фундамента; оно должно и постоянно возвращаться
к нему. Численное восприятие и изображение вещей и явле-
ний, обыденных соотношений окружающей обстановки, а так-
же собственной деятельности ребенка, и является истинной
задачей первоначального обучения арифметике. Если это об-
стоятельство не учитывается при первоначальном обучении
счислению и бесконечное количество отвлеченных упражне-
ний сопровождается лишь немногими прикладными задачами,
то основная цель его не достигается. Связь первоначального
обучения арифметике с жизнью и обстановкой, окружаю-
щей ребенка, должна быть самой тесной при всех обстоятель-
ствах; численное изучение этой жизни должно итти во всех
направлениях. Из жизни и обстановки должны браться за-
дачи; из этих последних должны исходить упражнения, ко-
торые, как бы ни были порой по необходимости длительными,
все же должны служить лишь основанием для вооружения
ребенка средствами к численному восприятию и изображе-
нию предметов и явлений окружающей его обстановки.
При упражнениях в численном восприятии обстановки,
окружающей ребенка, и его деятельности может привнести
весьма большую пользу наша «Азбука». Окружающая обста-
новка дает все же ограниченный круг предметов и явлений.
Этот круг значительно расширяется картинками азбуки, ко-
торые благодаря разнообразию изображенных на них пред-
метов и явлений дают богатый материал для численного
восприятия.
Вместе с тем приходится неустанно повторять, что ре-
зультаты первоначального обучения арифметике зависят не
столько от простого восприятия, сколько от изображения. Ос-

новной педагогический принцип и здесь сохраняет свою си-
лу. Мы признали, что числовое представление является ре-
зультатом соединения в одно целое отдельных постуляцни,
или, говоря на языке психологии, синтезом отдельных ощу-
щений деятельности. Этот синтез происходит, естественно,
тем легче, чем интенсивнее выступают в сознании отдель-
ные ощущения деятельности при постулировании, чем отчет-
ливее эти ощущения; легче всего этот синтез совершается
при действительном, фактическом обращении с простран-
ственными предметами—кнопками, горошинами, монетами и
т. д., а также явлениями во времени — ударами в ладоши,
стуками, шагами и т. д. Так называемые «наглядные посо-
бия/) тем лучше удовлетворяют своему назначению, чем лег-
че для ученика изображение при помощи них и чем болыпо
они содействуют усилению сознания деятельности постули-
рования.
Синтез существенно облегчается и письменным изображе-
нием, особенно если оно таково, что отдельные постуляции,
как деятельность, выступают резко разграниченными одна от
другой. Это имеет, например, место при изображении чисел
точками или колечками и притом в большей степени, чем
при изображении их штрихами. Поэтому письменному изоб-
ражению, чисел точками при первоначальном обучении ариф-
метике должно быть отведено достаточно места.
Обратно, от изображения чисел цифрами следует воз-
держиваться возможно дольше. Слишком раннее введение
цифр чрезвычайно затрудняет первоначальное обучение ариф-
метике. Это объясняется тем, что цифра весьма легко заме-
няет в сознании ребенка числовой образ, вытесняет его, бла-
годаря чему становится невозможным решение даже самых
простых задач. Пока ребенок не знаком с цифрами, он можег
представлять себе, например, 4 + 3 совершенно правильно,
как J J J #> и без ТРУД8, находить результат, как соединение
обоих представлений. Когда же он познакомится с цифрами,
не исключена возможность, что он будет представлять себе
не 2 ф ф а ДИФРЫ 4+3; но так как обе эт цифры не со-
единяются в общее представление 7, то он не будет в состоя-
нии найти правильного решения. Если поэтому мы не хо-
тим повредить результатам первоначального обучения ариф-

метике и потратитъ больше времени и сил, чем это абсолют-
но необходимо, то мы должіны познакомить детей с цифрами
только после того, как. они настолько овладеют числовыми
формами и простейшими действиями, что возможность боль-
ших недоразумений будет исключена. Само собой разумеет-
ся, что сказанное относится и к знакам действий: -}-, —,
=, X и т. д., которые, являясь как бы посторонними телами,
создают такие же затруднения в сознании учеников при ум-
ственном соединении отдельных числовых форм в предста-
вление совокупности.
Обозначение знаков действий следует избегать вначале
даже при устном счислении, так как обычные формулы, по-
лучаемые при обозначении действий, например, 5—|—2=7 или
9—3=6, и особенно слово «без» долгое время кажутся детям
чуждыми, непонятными и затруднительными, благодаря че-
му их внимание отклоняется от представления числовых
форм. Вместо того, чтобы соединять оба препятствия, их
следует отделить одно от другого и преодолевать врозь. По-
этому на первое время мы вовсе отвлекаемся от словесной
формулировки и довольствуемся простым сообщением ре-
зультата. Таким образом первое время мы придаем нашим
задачам не обычную форму вопросов: «сколько будет 5-}-3»,
«сколько будет 10—4» и т. д., а формулируем их следую-
щим образом: «возьмите 5, приложите к ним 3», или: «пока-
жите (представьте себе) 10, отнимите (представьте гебо отня-
тыми) 4» и т. д., на что дети просто отвечают: «это будет
8», или: «это дает 6» и т. д. Благодаря этому словесному упро-
щению вопросов и ответов внимание не отвлекается от сущ-
ности, именно от представления числовой формы; долгий
опыт убедил нас, что этим путем, исключающим всякую пу-
таницу, дети по крайней мере вчетверо скореіе науча-
ются счислению в пределах от 1 до 20. Этот путь позво-
ляет изучить указанную область чисел в немногие недели
и дает возможность правильно и уверенно производитъ все
действия: сложение, вычитание, умножение и деление, не
прибегая к традиционной формуле 3X5, 10:2 и т. д. и
даже не имея возможности получитъ на такой вопрос пра-
вильного ответа.—Когда эта цель достигнута, обычные сло-
весные формулы прививаются сами собою без всякого труда.
Да по существу они и не важны, так как они Н: взяты из

жизни, а изобретены специально для обучения арифметике и
целей проверки знаний.
Первоначальное обучение арифметике получает для ре-
бенка особенно притягательную силу, если для этой цели
используются и итры, при которых закономерным образом
применяются счет, восприятие и изображение, построение
и разложение числовых форм. Здесь прежде всего надо на-
звать игру на пальцах, затем игру в мяч, кегли, кости,
домино, лото и т. д., при которых число играет большую
роль. Игра в мяч способствует усвоению счета, игра в кегли
и домино развивает одновременное восприятие чисел, игра
в кости учит сложению, игра в лото приучает к счислению
на цифрах. Поэтому игры но должны быть забыты при пер-
воначальном обучении арифметике. А так как они к тому
же могут служить для практического применения ранее
приобретенных познаний, то ребенка МОЖІІДО с самого же на-
чала убедить в том, что упражнение является весьма целе-
сообразной деятельностью .
Переход к систематическому обучению арифметике. Выше
мы указали, что дети, поступающие в школу, обла-
дают некоторыми числовыми представлениями, хотя и не^
достаточно определенными и полными. На странице 54 мы
выяснили, что дети обычно умеют считать, а также какими
недостатками отличается их счет. Первоначальное обучение
арифметике в школе должно быть связано с имеющимся зна-
нием и умением детей в области чисел. Как обстоит в этом
отношении дело с каждым отдельным ребенком, необходимо
отметить и установить. Конечно, установление должно де-
латься отнюдь не путем какого-либо испытания, а просто
наблюдением ребенка во время игры и уроков; случаев для
этого представится совершенно достаточно, и учитель дол-
жен их только использовать. Ужіе с первого дня обучения
счислению, которое ведется по принципу деятельности, учи-
тель и ученики поставлены в необходимость применять наи-
более распространенные и необходимые числовые предста-
вления и имена числительные. «Многие», «все», «немногие»
дети играют там и здесь, или отсутствуют, или нужны для
игры; «больше», «меньше», «два», «три» ребенка должны прит-
ти, уйти и т. д. Все, много, мало, больше предметов нам тре-
буются, нам не нужно никаких предметов и т. д.

Необходимо, чтобы учитель при случае резко выделял
числительные. Это достигается, во-первых, произнесением чис-
лительных с ударением (двое детей должны притти); во-
вторых, повторением вопроса «сколько» всякий раз, когда
при играх или на уроках речь идет о детях, окружающих
предметах, действиях и явлениях; в-третьих, частым при-
менением сопоставлений (контрастов): не много, а мало; пе
все, а лишь некоторые; не один, а ни одного, и т. д.
Первой задачей является пробуждение интереса к сче-
ту и счислению,—интереса непосредственного, побудительно-
го. Побуждение должно переходить в действие, так же как
жажда знания, склонность к приобретению и собира-
нию, проявляющаяся при получении и потере, увели-
чении и уменьшении и т. д. И здесь мы снова долж-
ны напомнить, что счет и счисление, как и вое другие
отрасли знаний изобразительного и формирующего обучения,
возникают из непосредственного оперирования, обращения с
предметами и людьми. На этом основан первоначальный есте-
ственный интерес к счету и счислению. Только при прак-
тическом обращении, практическое столкновении с окружаю-
щим его миром предметов и явлений и жизнью людей ре-
бенок приобретает интерес к счету и счислению. Только этим
путем, путем непосредственного обращения, а не путем по-
казывания картинок, можно получить действительно «пре-
красные» часы занятий счислением. Поэтому в интересах
самого преподавания внести в школу, в школьный класс,
на школьный двор частицу действительной жизни природа
и людей; это позволит избавиться от пут книжек, слов и
засорения памяти, которые сказываются даже на самой на-
чальной ступени обучения счислению благодаря всякого ро-
ла иллюстрированным азбукам, арифметики и т. п. Облег-
чение преподавания и наилучшие результат его достига-
ются не дальнейшим возведением в высокую степень раз-
ных искусственных методов, а применением естественных,
жизненных вещей.
В школе действия (Tatschule) ребенок быстро приходит
к твердому убеждению, что счет и счисление необходимы,
что он должен их знать. Учитель должен при случае ука-
зывать, что Ганс или Лиза не могут работать вместе с дру-
гими, не понимают дела, плохо его выполняют и сами жа-

леют, что они но умеют считать, не могут вычислять. Выше
мы указали, что с первого же дня обучения приходится
практически пользоваться наиболее общими числовыми по-
нятиями: много, мало и т. д. То же можно сказать про счет
и числовые представления 1, 2, 3. Дети должны вставать
по-двое, попарно выходить из класса, попарно маршировать.
Они должны брать «обеими руками», вставать на «обе ноги»
и т. д. При играх они должны 1—2 раза крикнуть, 1—2 раза
ударить в ладоши, 1—2 раза пройти или уйти, повернуться,
пробежать по кругу и т. д. При предметном обучении дети
должны, например, сосчитать горизонтальные и вертикаль-
ные ребра шкапа, нарисовать 2 горизонтальных или 2 вер-
тикальных штриха и т. д. Они должны выяснить, сосчитать
и т. д. з, 4 предмета и проч.
Для детей, мыслящих словами, не представляет ника-
ких затруднений запомнитъ и произнести числительные в
пределах от 1 до 10, 20 или 100; детям, мыслящим образа-
ми, это удается лишь с| трудом. Зато нередко случается, что
первые, умея «считать», не в состоянии сосчитать данного
количества предметов, тх?. связать имена числительные с
предметами. Дети, мыслящие образами, очень часто с боль-
шим трудом запоминают числительные и часто их смеши-
вают (например, 3 и 4), хотя число 3 или 4, которым они
должны определить количество вещей, они распознают и
могут себе представитъ. На это обстоятельство, насколько
нам известно, никогда еще не указывалось. Многие учителя
и методисты ничего еще не знают о значении типов юс-
приятия, и начинающий учитель, которому чтение ряда чис-
лительных от 1 до 10 в прямом и обратном порядке при-
вычно, как нечто другое, легко может проглядеть, особен-
но если сам он принадлежит к типу мыслящих словами,
как тяжело дается детям, мыслящим образами, запомина-
ние числительных, тем более, что последние часто даются
сразу все до 10 и должны быть механически заучены. Но
механическая память 6-легних детей в общем много слабее,
чем это принято думать; поэтому при заучивании числитель-
ных и счете рекомендуется пользоваться Еесьма ценным сред-
ством облегчения памяти ритмом и рифмами.
Прекрасным подсобным средством, которым до сих пор
в школе не сумели еще воспользоваться, являются стишки.

содержащие числительные (примеры их см. нижіе). Если имів
пользоваться при играх, поясняя значение счета, то по-
следний приобретает характер действительного, наглядного
постулирования единиц. Поэтому присчитывание и отсчи-
тывание при играх является прекрасным средством для обу-
чения собственно счету и одновременного сознательного за-
поминания ряда числительных. Таким образом при играх
следует регулярно пользоваться соответствующими стишка-
ми и стремиться достигнуть действительного' счета в смыс-
ле постулирования.
При прибавлении одной вещи к другой вещи, двум или
трем вещам вопросы вначале следует ставить подробно,
напр.: «Сколько будет шаров, если к одному шару при-
дать (прибавитъ) еще один шар? Сколько составят вместе
1 камешек и 2 камешка?» и т. д. Лишь постепенно можно
переходитъ к сокращенной форме вопроса: «сколько будеі
1 шар и 1 шар», где слово «и» является уже «знаком дей-
ствия». Совершенно так же, как со словом «и», надо будет
проделать и со словом «без»; ««знаки действия», как со-
кращенные способы устного (и письменного) изображения,
должны вводиться постепенно. При упражнениях всегда сле-
дует действительно отнимать и прибавлять предметы.
Если вести занятия так, как здесь вкратце намечено, то
все дети до приступа к систематическому обучению сло-
жшию, чтению и письму научатся бегло считать от 1 до
5 и обратно и сознательно вычислять до 2,—научатся неза-
метно, на глазах, благодаря целесообразному и психологи-
чески правильному руководству учителя. Таким образом и
игры в школе окажутся не потерей времени и источником
для шалостей, а существенным и важным делом в жизни
детей.
Систематическое обучение арифметике. Систематическое
обучение арифметике следует начинать с возбуждения в
детях практического интереса к счислению над большими
числами. Например, можно побудить их «открыть лавочку»
для продажи и покупки разных вещей; деньгами могут слу-
жить пуговицы. Лина хочет купить карандаш за 6 пф. и 2 по-
ра по 3 пф.; сколько всего пфенигов она должна заплатить?
У Курта было 9 пф.; он купил хлебец за 3 пф.; сколько пфени-
гов у него осталось?—Вы не знаете, как тут быть, приходит

в смущение. Курт, ты заплатил слишком много. Мария, ты
принесешь домой слишком мало денег. Вы — плохие помощ-
ники матери.
Более легкие задачи, с меньшими числами, вы, однако,
можете решать: у Отто 5 пф.; он покупает хлебец за 3 пф.;
сколько пфенигов у него остается? Он пересчитывает свои
5 пф., считает потом 3 пф., отнимает их, «отсчитывает»,
а, затем считает остающиеся деньги, остаток. Ему надо было
вычесть из одного числа другое; чтобы сообразить, сколько
останется после вычитания, ему пришлось три раза прибе-
гать к счету.
Роза купила грифель за 2 пф. и карандаш за 3 пф. Сколь-
ко пфенигов она должна заплатить? Она считает 2 пф., по-
том 3 пф., наконец, оба числа вместе: 2, 3, 4, 5 пф. Роза сло-
жила числа 2 и 3.
Вы складывали и вычитали числа; когда вы склады-
ваете и вычитаете, то вы вычисляете. Если вычислять так,
как вы только что делали, то вычисление не отличается
от счета. Но вычисление при помощи счета слишком длинно,
растянуто и легко ведет к ошибкам1). Большие не считают
при решении таких задачек; они знают наизусть, что 2 пф.
и 3 пф. составляют 5 пф., что если отнять от 5 пф. 2 пф.,
то останется 3 пф. и т. д. Вы, конечно, хотите уметъ вычис-
лять так же, как это делают большие; и хотите знать
наизусть, сколько составляют 5 яблок и 4 яблока, 7 и 8 пф.,
9 м. без 5 м. и т. д. Вот этому-то мы сейчас и будем учиться.
Учение пойдет легче и быстрее всего, если мы будем
вычислять, пользуясь шарами этого счетного прибора (чис-
ловыми фигурами) и кнопками ваших ручных приборов.
Посмотрите, эти шары выглядят, как скат крыши дома; они
составляют треугольник; эти же шары выглядят, как окош-
ко: они составляют четыреугольник. На счетном приборе
вы видите фигуры, картинки, фигуры для чисел (число-
вые фигуры) По этим-то числовым фигурам мы и будем
учиться.
1) Для психологии и методики весьма существенным является тот факт,
что многие первобытные народы умеют вычислять только при помощи
счета и притом в весьма ограниченной области чисел, совершенно не
знают десятичной системы счисления и пользуются двойной и тройной
системами, стремление к чему часто наблюдается и у детей. Так, 5 они пред-
ставляют себе, напр., как 2+2+1. Дальнейшее см. в нашем „Руководстве“.

Число 2.
А. Представление числа.
Введение. Вы знаете вещи, которых у каждого из вас
по две. Что это за вещи? — Глаза, уши, руки, ноги, баш-
маки и т. д. Какие вещи сгоят на рынке (в лавке) по 2 пф.
(2 м.)?Вы видите, что о двумя надо научиться хорошенько
вычислять.
I. Наблюдение. Вот один шар (первый слева шар на
верхней горизонтальной проволоке), а вог еще один шар
(первый слева шар на второй горизонтальной проволоке).
Сколько же всего шаров? Сочтите шары и объясните! Один,
два,. Говоря «два», обведите оба шара вместе—проделайте
это. (Отдельные постуляции соединяются в постуляцию со-
вокупности, сравн. это...) Повторите это три раза!
II. Представление. Закройте глаза! Подумайте о двух
шарах! Кто их видит с закрытыми глазами?Вы видите шары
с закрытыми глазами, вы можете представишь их себе. Пред-
ставление шаров повторяется. Сочтите шары и объяснит;*
счет шаров, которые вы себе представляете! Наблюдение и
представление повторяются, чередуясь раза три
III. Изображение.
а) При помощи тел. Теперь я посмотрю, кто из вас мо-
жет положить на своем счетном приборе две кнопки так же
красиво одну под другой, как на счетном приборе располч>-
жены шары, которые вы видите. Кладите сперва верхнюю,
потом нижнюю кнопку 2).
*) Для большинства детей, предрасположенных вообще к восприятию
зрительных ощущений, эти упражнения не представляют никаких затруд-
нений; дети же, предрасположенные к восприятию слуховых ощущений,
нуждаются в побуждении к зрительному представлению. Из-за стремле-
ния к голому наблюдению и наглядности при современном преподавании
счисления часто пренебрегают представлением и способностью
к представлению, которые также нуждаются в развитии и упражнении,
как и наблюдение и восприятие.
*) Тот факт, что ребенку необходим собственный ручной прибор
щростейшего типа, следует прямо из основного педагогического принципа
непосредственного обращения с вещами. Более подробно это отмечено
выше. Вместо прибора, описанного на стр. 16, можно пользоваться ка-
мешками, пуговицами, горошинами и т. д. Удобнее всего пользоваться
белыми пуговицами, раскладываемыми на черной доске парты или
на черной клеенчатой обложке тетради. Для изготовления приборов с
квадратными числовыми фигурами учителю можно посоветовать сделать
себе шаблон в виде доски с набитыми в нее гвоздями. Если прижать

b) При помощи рисунка. Учитель наносит сеть квадратов
на классной доске и говорит: «NN, нарисуй 2 косточки, сохра-
няя их расположение!» Затем учитель исправляет рисунок
и сам чертит по 2 кружка для образца раза три, оставляя
между каждой парой кружков промежуток в 2 квадрата.
Нарисуйте косточки несколько раз на доске (в тетрадке),
оставляя всякий раз промежуток в два квадрата!
c) Перенесение изображения или применение ко всем
предметам, известным ребенку из личного опыта и обуче-
ния: а) видимые и осязаемые предметы: поставитъ 2 стула,
положить 2 тетради, 2 камешка, вытянуть 2 пальца, 2 руки;
2 раза ударить в ладощи, постукать, крикнуть, поклонить-
ся; Ь) вещи, познаваемые только слухом'. 2 звука, 2 тона.
В. Арифметические действия.
а) Сложение.
I. Наблюдение. Учитель помещает на верхней проволоке
>дин шар. Сколько здесь шаров? Один. Затем он устанавли-
вает еще шар на нижней проволоке, помещая его как раз
под первым шаром. А здесь сколько шаров? Один. 5^читель
указывает на оба шара: сколько же всего шаров? Два.
Учитель говорит и действует одновременно; ученик же
поднимает правую руку и двигает ею в воздухе, следуя
за мыслью.
a) Сколько будет 1 шар (показанъ) и еще 1 шар (одно-
временно с этим подвинуть его на приборе).
b) Сколько будет вместе 1 щар и еще 1 шар (чтобы
вызвать одновременное представление двух шаров); короче:
c) Сколько будет 1 шар и 1 шар?
Эти 3 предложения, вместе с сопровождающими их дви-
жениями, надо повторить несколько раз, чтобы дети хоро-
этот шаблон к черной клеенчатой обложке тетради, то получатся следы
которые облегчают ребенку раскладывание пуговиц, а, стало быть, и
постулирование.
Следует помнить, что подобные упражнения попутно развивают гла-
зомер и ловкость рук: они помогают бороться с рассеянностью и невни-
мательностью учеников, которые проявл*ются при пользовании синим
лишь классным счетным прибором; в последнем случае совершенно нельзя
уследить, все ли дети заняты счислением; подобная самодеятельность
вызывает у детей радость и удовольствие в гораздо большей степени,
чем счисление на пальцах.

іненько запомнили значение слова «и», как символа опре-
деленного действия. Особенно часто должно повторяться
третье предложение.
II. Представление. Предложения и движения повторяются
несколько раз на память.
III. Изображение.
a) При помощи тел: возьмите прибор и 2 корточки.
Вставьте первую косточку в первое отверстие! Учительоерет
в руки прибор, показывает его классу и говорит: і и
1 = 2. Дети помещают вторую косточку под первой и говорят
хором: 1 —|-1 = 2. То же проделывают и говорят отдельные
ученики.
Затем указанное действие изображается и описывается
несколько раз всем классом одновременно. Закройте глаза!
Представьте себе одну косточку! Представьте себе другую
косточку, расположенную под первой. Изобразите (в воздухе)
и скажите (учитель сам это проделывает): 1 -}-1 = 2; по-
вторитъ это несколько раз.
b) Письменное изображение (рисование). Учитель чер-
тит на доске круг и произносит: «Один»; при словах «и
один» он чертит второй круг, а при словах «будет два» обво-
дит рукой оба круга. Остальные способы изображения, при-
менение и материал для «прикладных» задач можно найги
выше.
Ь) Вычитание.
Упражнения в вычитании производятся совершенно так.
же, как в сложении, и делятся на три ступени: 1) наблю-
дение, 2) представление и 3) изображение.
Следует помнить, что при вычитаний всегда отнимается
первой та косточка, которая была положена последніе!*.
Так как сложение и вычитание в случае числа 2 при-
водятся каждое только к одному предложению и примеру
и так как прибавленная косточка легко может быть снова
отнята, то рекомендуется производить сложение и вычитание
непосредственно одно после другого (при прохождении сту-
пеней а и в).
Приобретенные сведения опять-таки должны быть «при-
менены» ко всем предметам, уже известным ребенку; об
этом см. выше, стр. 20.

Поело этого надо повторить сложение и при этом за-
давать вопросы относительно слагаемых: 1+1=2; 0-)-?=21).
Наконец, следует повторить вычитание и при этом спра-
шивать отчищаемом: 2—?=1; 2—?=0.
К изучению числа 3.
Применение детского стишка:
1, 2, з.
bicke-backe-bei
bicke-backe-Besenstiel и т. д.2).
1. Для введения в изучение числа 3 служат: 3 зубца
вилки, лист клевера, лапка гуся илиз утки (начертить схема-
тически и исправить).
2. Построение числовой фигуры на классном приборе.
3. Ход и система занятий при изучении чисел 3—1(>
таковы же, как приведенные выше.
4. При предметном счислении: земляника, вишни, перья,
тетради, монеты, оконные стекла, скамьи, с тремя сиденьями,
братья и сесігры.
Для всех чисел от 1—10: предметы, изображенные в аз-
буке на стенных картинах, покупка вещей для классного
и домашнего обихода; 3 фамилии учеников, 3 слога, звука,
ритмических стука, особенно же предметы и явления, из-
вестные из наглядного преподавания.
К изучению числа 4.
Стишок:
1, 2, 3, 4.
Knecht hol Bier,
Herr trink aus,
Du bist raus.
*) Упражнение с нулем на данной ступени мы считаем преждевре-
менным. Д. В.
2) В виду того, что подобные стишки только тогда имеют смысл,
когда дети знакомятся с ними до поступления в школу, т.-е. не заучивая
их в виде урока, а просто запоминая их во время игры, и так как у нас,,
за исключением разве общеизвестного:
1, 2, 3, 4, 5
Вышел зайчик погулять" и т. д.
•одобные стишки распространением среди детей не пользуются, мы не
стали подыскивать и изобретать поговорок, соответствующих приведен-
ным немецким текстам. Что же касается буквального перевода, то он
конечно, не имеет никакого смысла, ибо в приведенных стишках содер-
жание, строго говоря, вовсе отсутствует. А. Д.

Для введения могут служить: 4 книги, тетради, кар-
тины, доски, углы и отеныз комнаты.
Для предметного счисления: 1 и 2 копеечные монеты,
пальцы, плоды, оконные стекла, перья, грифели, тетради,
книги, листы и страницы книги, скамьи, братья и сестры,
ноги у животных.
В остальном см. указания, приведенные под рубрикой
«число 3».
К изучению числа 5.
Стишок:
1, 2, 3, 4, 5.
Mach Dich auf die Strumpf,
Mach Dich auf die Schuh,
Sonst bist du.
Для введения служат: лист лапчатки, цветок лютика,
рука.
Для предметного счисления: монеты в 1, 2, 3, 5 ко-
пеек, бумажные деньги в 1, 3, 5 рублей, пальцы, плоды,
оконные стекла; предметы, приведенные под рубрикой «чис-
ло 3».
К изучению числа 6.
Стишок:
2, 4, 6.
Eine alte Hex
Läuft draussen um,
Du gehst rum.
Сравнить ход занятий, приведенный для числа 2.
Для введения служат: ножки майского жука (показать
картинку).
Для предметного счисления: монеты в 1, 2, 3, 5 ко-
пеек, бумажные деньги в 1, 3, 5 рублей, пальцы, плоды,
сиденья на скамьях, учебные дни недели; в остальном см.
указания, приведенные под рубрикой «число 3».

К изучению числа 7
Стишок:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Wo ist mein Schatz geblieben?
In Berlin, in Stettin
Kaiserstrasse Nr. 7.
Для введения служит лист конского каштана (надо по-
казать его в натуре и на картине, зачем дети зарисо-
вывают его).
Для предметного счисления служат 1, 2, 3, 5-копееч-
ные монеты, бумажные деньги в 1, 3, 5 рублей, пальцы,
плоды, сиденья па скамьях, листы и страницы тетради и
проч. Общие указания см. под рубрикой «число 3».
К изучению числа 8.
Стишок:
1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8.
Auf der hohen Wacht
Steht ein Soldat;
Das ist schad.
Для введения служат ножки паука (показать в натуре
и на практике; зарисовать показанное).
Для предметного счисления служат: монеты 1, 2, 3,
5-копеечного достоинства, бумажные деньги в 1, 3, 5 рублеій,
пальцы, оконные рамы, сиденья, плоды, листья и страницы
тетрадей и книг. См. «число 3».
К изучению числа 9.
Стишок:
3, 6, 9.
Im Hof steht die Scheun,
In der Scheun steht ein Mann,
Schau, was er kann.
Для введения служит игра в кегли (показать, нарисо-
вать план).

Для предметного счисления служат те же монеты, паль-
ид. листы и страницы тетради или книги, плоды, скамьи
с 2, 3 и 4 сиденьями. См. «число 3».
Для введения служат 2 листа лапчатки, 2 руки.
Для предметного счисления: монеты 1, 2, 3, 5 и 10-
копеечного достоинства, бумажные деньги в 1, 3, 5 и 10
рублей, почтовые марки, открытые письма, книжки сбере-
гательных касс, плоды и т. д. См. «число 3».
Теперь уместно будет ввести цифровое изображение чи-
сел и действий над ними, а также умножение и деление.
Этот вопрос необходимо изложить несколько подробнее.
Введение цифр и изображение чисел при помощи последних.
Три копейки, 3 ореха, 3 грифеля мы всегда обозна-
чали тремя точками, числовой фигурой 3 (начертите ее!);
6 ног, 6 вишен, 6 звуков, короче—число б мы можем также
обозначить числовой фигурой 6 (начертите се!). Однако
взрослые обозначают 6 особым маленьким знаком, цифрой
6 (учитель пишет ее под числовой фигурой б). Вот это—
числовая фигура 6, а это—цифра 6 (показывает рукой на
рисунок). Покажи мне числовую фигуру б! Покажи мне
цифру б!
Подобным же образом вводятся и цифры 1, 2, 3, 4 и
5, подписываемые на доске под соответствующими число-
выми фигурами. Затем цифры вводятся и в упражнения,
проделанные над числовыми фигурами; это не занимает
много времени, так как дети уже обладают навыком в ри-
совании, письме и начертании составных частей; цифр.
Заученные предложения изображаются теперь при по-
вторении и цифрами, и знаками, напр.:
Ради краткости слова «и», «без», «равно» заменяют зна-
ками -(-, —5 =• В дальнейшем оставляют в стороне и чис-
ловые фигуры.
К изучению числа 10.
5 — 3 = 2 (пять без трех равно двум).
4 —(— 2 = 6 (четыре и два равно шести).

О счетных таблицах. После того как ученики нагляд-
но ознакомились с отдельным действием, ноняли, из-
образили его и выполнили все систематические упражнения,
необходимо сообщить им и навык в быстром выполнении
действий. Эго достигается прюще и быстрее всего при помо-
щи счетных таблиц, которые сберегают время и силы как
учителя, так и учеников и к тому же развивают в детях
Счетная таблица.
3
5
4
6
7
1
0
2
9
8
5
7
6
8
9
3
1
4
2
0
7
9
8
0
2
5
3
6
4
1
9
2
9
1
4
7
5
8
6
3
2
4
1
3
6
9
7
0
8
5
1
3
2
4
5
6
8
9
7
6
0
1
9
2
3
8
6
7
5
4
8
0
7
9
1
6
4
5
3
2
6
8
5
7
0
4
2
3
1
9
4
6
3
5
8
2
9
1
0
7
чувство соревнования, ибо каждый ученик хочет научиться
считать быстро.
Упражнения производятся следующим образом. Указы-
вая на таблицу, изображенную на доске или на бумаге,
учитель говорит ученикам: «каждое из чисел этой таблицы
надо увеличить на 4 (3, 7, 5 и т. д.), уменьшитъ на 4 (3,
7, 5 и т. д.), умножить или разделить. Начнем с числа,
стоящего в левом верхнем углу (или правом верхнем, левом

нижнем, правом нижнем углу), а затем перейдем к числам,
стоящим в том же горизонтальном (или вертикальном) ряду».
Учитель сам производит действие над несколькими числами.
«X, продолжай!» Названный ученик продолжает упражнение.
Можно также заставить решать задачи всех учеников под-
ряд, не вызывая их. Указанную счетную таблицу ученики
переписывают на внутреннюю сторону переплета книжки
или куда-либо еще.
Указания к изучению области чисел от 1 до 20
1. Образование чисел 11—20.
10 шаров (показанные на классном счетном приборе) на-
зываются все вместе 1 десятком; каждый шар в отдель-
ности называется единицей. Сколько единиц содержится
в десятке? Ученики изображают десяток на своем ручном
приборе, затем пишут и читают: 1 д. 0 ед. = 10 ед.
Прибавь к этому десятку (10 белым шарам классного
счетного прибора) одну единицу (один красный шар)! Те-
перь мы имеем 10+1, или одиннадцать; цифрами это число
пишется так: 11. Изображение числа на ручном счетном
приборе. Запись: 1 д. 1 ед. = 11 ед. Закройте глаза! Пред-
ставьте себе 11! Слева десяток, справа единица.
Прибавь к этому десятку 2 единицы! Это составит всего
10+2, или двенадцать. Изображение числа учениками на
ручных счетных приборах. Запись цифрами — 12; запись при-
мера: 1 д. 2 ед. = 12 ед. Закройте глаза! Представьте себе
двенадцать! Слева десяток, справа двойка.
Прибавьте к этим 10 шарам 3 шара (4, 5... 10 шаров)!
Мы получим теперь 10+3, или тринадцагь = 13 (10+4 или
четырнадцать = 14 и т. д. до 10 ед. + 10 ед., или двух десят-
ков = двадцати = 20). Изображение на разных счетных при-
борах. Запись: 2 д. 0 ед. = 20 ед. Представление числа: сле-
ва белый, справа красный десяток.
a) Спишите с доски полученный ряд:
1 д. 0 ед. = 10 ед.
1 д. 1 ед. = 11 ед.
1 д. 2 ед. = 12 ед.
1 д. 3 ед. = 13 ед. и т. д.
b) Напишите этот ряд на память!

с) Напишите примеры в обратном порядке, т.-е. так:
10 ед.=1 д. 0 од.
И ед.=1 д. 1 ед. и т. д.
(1) Напишите числа: 13 (1 д. 3 ед.), 17, 19, 13, 11,
12 и т. д.
2. Образование рядов.
Допишите начатые ряды, читая вслух примеры:
а) 10 + 1 =
11
ь; ю + 2 =
12
11+2 =
13
11+1 =
12 + 2 =
13 + 2 =
и т. д.
и т. д.
и т. д.
20 — 1 =
19
20 — 2 =
18
19 — 2 =
17
19-1 =
18 — 2 =
17 — 2 =
и т. д.
и т. д.
и т. д,
с) 10 + 3 =
13
11+3 =
14
12 + 3 =
15
13 + 3 =
14 + 3 =
15 — 3 =
и т. д.
и т. д.
и т. д.
20 — 3 =
17
19 — 3 =
16
18 — 3 =
15
17 — 3 =
16 — 3 =
15 — 3 =
и т. д.
и т. д.
и т. д.
Образуйте подобные же ряда (упражй. с), прикладывая
или отнимая числа 4... 9. Упражнение производится устно
и письменно.
3. Переход по второму десятку путем разложения чисел.
Приложи к 9 шарам 'Счетного прибора еще 2 (3... 10)
шара! Белый шар дополняет десяток, а красный прибавляет-
ся к десятку.
Изобразить на ручіном счетном приборе, обдумать, про-
изнести и написагь:
9+2=9+1+1=10+1
9+3=9+1+2=10+1
Приложи к этим 8 шарам еще 3 (4... 10) шара! Два
белых шара дополняют десяток; красные шары (2... 9) при-
бавляются к десягку.

Изобразитъ на счетом приборе, обдумать, произнести и
записать:
8+3=8+2+1=10+1=1.1
8+4=8+2+2=10+2=12
8+5=8+2+3=1 Q_J_3==1 3
И т. д.
a) Спишите примеры!
b) Напишите их на память!
Проделайте то же с 7, 6, 5, 4, 3, 2 шарами и 1 шаром!
Так же ведется упражнение и при вычитании:
11—2 12—3 13—4 14—5
11—3 12—4 13—5 14—6
и т. д. и т. д. и т. д. и т. д.
При этом говорят и записывают следующее:
15—9=15—5—4
=10—4
=6
Изобразите примеры на ручном приборе!
Спишите примеры! Изобразите их на память, запишите!

ИЗДАТЕЛЬСТВО „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ"
Москва, Леонтьевский, 4. Тел. 1-27-25.
Математика в трудовой школе.
Очерки по методике математики для преподавателей тру-
довой школы I ступени и для педагогических уч. заведений.
СОДЕРЖАНИЕ.
Гл. I. Методика, математики и ее задачи.
я II. Цели изучения математики в трудовой школе.
„ III. Основные принципы построения курса математики.
„ IV. Метод преподавания математики.
п V. Задачи в курсе математики.
„ VI. Математика под открытым небом.
. VII. Устный счет
я VIII. Первый год обучения.
„ IX. Второй год обучения.
„ X. Третий год обучения.
„ XI. Четвертый год обучения.
„ XII. Библиотека учителя по вопросам преподавания мате-
матики.
„ XIII. Страничка из истории математики.
Л. сВ. Ланков.
УСТНЫЙ СЧЕТ.
= Очерки по теории и практике устных вычислений. =
СОДЕРЖАНИЕ.
Предисловие:
1) Педагогические предпосылки устных вычислений.
2) Практика устных вычислений.
3) Образцы проработки неосновных приемов устных вычи-
слений.