Известия АПН РСФСР. Вып. 6: Вопросы методики математики. — 1946

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
ВЫПУСК 6 · 1946
ПРИНЦИПЫ ОТБОРА И СОСТАВЛЕНИЯ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Проф. И. В. АРНОЛЬД
I. Постановка вопроса
Арифметические задачи, если исключить имеющие характер про-
стых упражнений в производстве арифметических действий, пресле-
дуют довольно разнообразные и притом не слишком определённые
цели. Имеется в виду и закрепление теоретического материала
курса арифметики, и ознакомление с простейшими зависимостями
между величинами, и тренировка сообразительности учащихся, раз-
витие у них умения ориентироваться во всё более и более сложных
-„арифметических ситуациях". Однако более точно эти цели никогда
не фиксировались, подбор и расположение задач определяются до
сих пор в значительной мере исторической традицией: нет никаких
твёрдо установленных принципов, которые позволили бы судить
о том, что именно должно быть достигнуто, в каком порядке, какой
степени сложности задачи должны решаться, каковы должны быть
тематика и оформление задач, в какой связи эти задачи должны
быть с другими частями курса математики, какие требования сле-
дует предъявлять к подбору числовых данных и т. д.
По всем этим вопросам в методической литературе можно найти
довольно разноречивые указания весьма расплывчатого характера,
в практике же преподавания встречается самое разнообразное разре-
шение этих вопросов как в программах, так и в содержании соответ-
ствующих учебных пособий.
Уже в дореволюционное время в среде наиболее активных и про-
грессивных деятелей русской начальной и средней школы росли
и крепли течения, стремившиеся отразить в практике преподавания
те тенденции к обновлению материала и методов преподавания,
которые с необходимостью вытекали из чрезвычайно быстрого коли-
чественного роста математических дисциплин и резкого увеличения
удельного веса математических методов в современном естество-
знании и технике. С особенной остротой эти задачи возникают перед
советской школой, призванной, в невиданных доселе масштабах,
осуществить необходимую для овладения современной наукой и
техникой подготовку работников первого в мире социалистического
государства. Для советской школы, поэтому, совершенно нетерпимо
такое положение, при котором как содержание, так и методы пре-
подавания математики и, в частности, основы основ — арифметики,
сохраняют ещё следы застывших и устаревших схем и традиций и
не приведены в достаточно полное и точное соответствие с потреб-
ностями современности. Положение осложняется ещё тем, что кон-

кретные условия обучения, его массовость и унификация требуют
особенно осторожного подхода при внесении не только значитель-
ных, но даже и сравнительно небольших изменений. Но именно
массовость и унификация преподавания обязывают произвести тща-
тельный пересмотр материала с тем, чтобы, освободившись от всего
того, что в настоящее время является излишним балластом, заполнить
остающееся время и место действительно насущно необходимым
материалом, без которого преподавание арифметики будет лишь
в очень неполной мере разрешать стоящие перед ним задачи.
Мы позволим себе сослаться для сравнения на разработанность
методики преподавания таких предметов, в которых наличие или
отсутствие нужных навыков констатируется не по косвенным при-
знакам (недостаточная подготовленность к дальнейшему обучению,
беспомощность в решении практических вопросов), а непосредст-
венно очевидно. Сюда относятся, например, обучение музыкальной
технике или иностранному языку. Здесь с чрезвычайной тщатель-
ностью подобраны и составлены упражнения самого различного типа,
известно, для чего они нужны, как их нужно дозировать, что должно
быть достигнуто в результате. Изучены часто встречающиеся ошибки
и дефекты исполнения (или — в случае обучения языку — дефекты
произношения, словоупотребления и т. д.) и придуманы специальные
упражнения для устранения этих дефектов. Достаточно сравнить
любые два пособия, любые два методических руководства для того,
чтобы убедиться, что в этом отношении арифметика плетётся в хво-
сте, хотя здесь-то и надо бы потребовать наиболее тщательной
и продуманной методической детализации.
Итак, мы считаем, что для того чтобы в сложившихся у нас
условиях правильно подойти к разрешению частного вопроса о содер-
жании, форме и расположении арифметических задач, необходимо
(учитывая весь имеющийся в распоряжении опытный материал
и общие задачи математической подготовки учащихся советской
средней школы в современных условиях) установить с достаточной
полнотой и определённостью, какие именно частные цели должны
быть достигнуты в результате соответствующей работы уча-
щихся над решением арифметических задач.
Несмотря на то, что такой тезис может показаться трюизмом, на
деле, в конкретном применении к арифметическому материалу, он
оказывается далеко не тривиальным, так как подобного рода работа,
насколько нам известно, у нас ещё не была проделана с необходи-
мой тщательностью. Отдельные, „не претендующие на исчерпываю-
щую полноту" экскурсии в эту область почти бесполезны— здесь
нужна именно „претендующая на полноту" работа. Автор настоящей
статьи не претендует на производство этой работы во всём её объё-
ме (да и вряд ли силами одного человека может быть достигнута
нужная степень объективности). Имеется в виду лишь более скром-
ная цель — наметить те основные положения, из которых, по мнению
автора, следует исходить при отборе и составлении задач по курсу
арифметики, в особенности на позднейших стадиях обучения.
2. О требованиях, которые следует предъявить при отборе
и составлении арифметических задач
Попытаемся прежде всего конкретизировать характер тех требо-
ваний, которые мы считаем необходимым предъявлять к содержанию
арифметических задач, входящих в обязательный минимум. Подчерк-

нём, что общее число задач, которые каждый учащийся должен
решить в процессе обучения, не так-то уж велико. Поэтому уместна
потребовать, чтобы каждая задача (ведь, с ней могут встретиться
несколько миллионов учащихся детей!) была настолько полноценной
во всех отношениях, что можно было бы обосновать и защищать её
право на миллионный тираж. Нам кажется, что эти требования
вполне естественны в отношении каждой задачи, включённой в сбор-
ник упражнений для начальной и средней школы. Авторы задач
должны были бы, в идеале, быть в состоянии ответить на вопросы,
скажем, такого типа:
— Какую цель преследует данная задача? Какие именно элементы
арифметического обучения, воспитания и тренировки мысли имеются
в виду? Необходимо ли помещение именно этой задачи в сборник
для этих целей? Почему именно такие, а не другие конкретные вели-
чины, именно такая, а не другая „фабула" задачи выбраны? Почему
такие, а не другие числовые данные? Отвечают ли они реальной
обстановке, в которой могло бы понадобиться решать такую задачу?
Интересна ли фабула задачи для учащихся, увлекательна ли, естест-
венна ли постановка вопроса, вызывает ли она у учащихся интерес
к ответу или к способу решения, чем именно? Нельзя ли этот инте-
рес повысить? Когда именно учащийся сможет самостоятельно
решить данную задачу, что он для этого должен помнить, знать,
уметь, представлять себе? А если он не сможет этого сделать, о чём
это свидетельствует? Чем и в какой мере ему должен помочь учи-
тель и чего он должен добиваться от учащегося? Как эта задача
связана с предшествующей и последующей работой учащегося,
почему она помещена именно в этом месте сборника, а не в дру-
гом? и т. п.
Может показаться, на первый взгляд, что эти требования к соста-
вителям задач чрезмерны. Есть, скажут, сборники задач: научите
детей решать эти задачи, — и всё будет ладно, а в деталях учитель
разберётся. Но мы хотим подчеркнуть, что одна из основных целей
настоящей статьи — показать, во-первых, насколько такая традицион-
ная терпимость к бросающимся в глаза дефектам преподавания
недопустима, к каким последствиям она ведёт, и, во-вторых, наме-
тить пути к устранению этих дефектов.
3. Фабула задачи и выбор числовых данных
Начнём с вопроса, в разрешении которого рутинность прояв-
ляется на практике с особенной рельефностью и в отношении кото-
рого сравнительно легко указать, что здесь необходимо предпринять.
Мы имеем в виду фабулу или оформление задачи, естественность
постановки вопроса и подбора числовых данных. Принято считать,
что всё это имеет второстепенное значение, что суть дела в ариф-
метическом содержании задачи, в тех усилиях воображения, в том
процессе логического рассуждения, в тех числовых выкладках, кото-
рые предлагаются учащемуся, а вовсе не в степени реальности
содержания задачи. Даже если в принципе с этим тезисом и можно
было бы согласиться, всё же только что высказанные утверждения
не являются достаточным основанием для того, чтобы отбрасывать
всякую заботу о фабуле задачи.
Отсутствие заботы о фабуле приводит, в итоге, к нагроможде-
нию задач с искусственными, подчас прямо смехотворными, усло-
виями, лишь по чисто внешним признакам, имеющим реальную обо-

лочку. Хуже всего то, что обилие задач, заставляющих учащегося
на протяжении нескольких лет обучения пережёвывать один и тот
же традиционный материал, неминуемо навевает скуку, переходящую
в отвращение к арифметике, в особенности, если обучение и по
существу сводится к навязыванию учащимся рецептов и неукосни-
тельных бюрократических правил арифметической бухгалтерии — за-
писи хода решения и т. д.
Необходимо здесь подчеркнуть, что мы вовсе не собираемся
совершенно отказываться от общеизвестных типов арифметических
задач (задачи с путешественниками и поездами, встречающими
и догоняющими друг друга, задачи на „бассейны", на „смешение"
и т. п.). Эти классические задачи представляют собой достаточно
наглядные и удобные схемы тех арифметических ситуаций, в кото-
рых должен уметь ориентироваться учащийся. Но нельзя ограничи-
ваться этими задачами-схемами и вращаться в кругу одной и той
же, очень скоро приедающейся, тематики. Иначе не избежать искус-
ственных постановок вопроса и нудного повторения одних и тех же
мотивов. С другой стороны, внося разнообразие в оформление
и тематику задач и стремясь к возможно большему приближению
к действительности используемых соотношений между данными
и искомыми задачи и к соответственному выбору числовых данных,
нельзя, конечно, перегибать палку и загромождать текст задачи
такими техническими и статистическими данными, которые порож-
дают для учащихся дополнительные трудности. Но эта последняя
опасность сейчас меньше первой, — линия „наименьшего сопротивле-
ния" проходит именно там, а не здесь.
Если бы нельзя было нужное арифметическое содержание задачи
облечь в более живую форму, подобрать интересное, конкретное
и вместе с тем доступное для учащихся оформление, достигающее—
в отношении умственной тренировки и воспитания арифметических
навыков — нужных целей, тогда, конечно, пришлось бы мириться
и с этим. Но всё дело в том, что почти всегда такое оформление
найти можно, и если это не делается, то только потому, что легче
переписать из составленных раньше сборников условия задач, слегка
их осовременив, нежели подумать о том, как оформить задачу
с соблюдением указанных требований. Я уже не говорю о том, что
и над вопросом о нужном арифметическом содержании часто соста-
вители сборников не слишком-то задумываются.
Для иллюстрации приведём несколько примеров, взятых из при-
меняющихся у нас сборников задач.
„У хозяйки было на руках 78/8 руб."
„Продано 3 17/19 кг сахара, по 2 1/7 руб. за килограмм".
„Заяц в 1,35 часа пробегает 14,13855 км".
Совершенно смехотворный выбор числовых данных здесь не
нуждается в комментариях. И такие задачи — не редкость. Составители
сборников иногда ссылаются на то, что „иначе трудно составить
задачи, требующие действий с обыкновенными и десятичными дро-
бями". Даже если это и верно, то такой аргумент был бы приемлем
лишь в устах тех, кто не составляет сборников задач.
Рассмотрим задачи, которые не содержат таких бросающихся
в глаза нелепостей и представляются нам в достаточной степени
типичными.
„В 3 рощах 4160 берёз. Сколько берёз в каждой роще, если
в первой в 3 раза больше, чем во второй, а в третьей столько,
сколько в первых двух вместе?"

Как будто бы возразить нечего. Но всё же, — что это за стран-
ные рощи, с таким точным соотношением числа берёз? И разве не
ясно всякому, что число берёз в каждой роще должно было бы
быть заранее сосчитано, так как иным путём сравнить число берёз
в них нельзя. В итоге — совершенно нереальная, если вдуматься —
просто комическая, постановка вопроса, которая не может вызвать
никакого интереса к ответу.
„Два бидона вмещают 101/2 л. Если бы вместимость первого была
в два раза больше, а вместимость второго на 8 л больше, чем
в действительности, то общая ёмкость удвоилась бы. Какова ёмкость
каждого?"
Мы намеренно приводим безобидные, на первый взгляд, задачи.
Все так привыкли к нелепому и скучному тексту, что не склонны
видеть в задачах подобного рода ничего предосудительного. Но
присмотритесь внимательней. Чем мотивировано условие задачи?
Почему это всё так? Почему точно в два раза больше? Почему
удвоится? В какой реальной обстановке могла бы встретиться необ-
ходимость решать такую задачу?
"1365 книг составляют 35% всех книг школьной библиотеки. Все
библиотечные книги размещены в трёх шкапах, причём количества
их относятся, как 3 1/2: 1,25 :1 3/4. Сколько книг в каждом шкапу?"
Интересно и реально, не правда ли?
„Школьник издержал сначала 3/14 своих денег на покупку писче-
бумажных принадлежностей, потом 5/11 остатка на покупку учебни-
ков и у него осталось четырьмя рублями меньше того, что он издер-
жал в оба раза. Сколько денег было у школьника?"
Одна формулировка чего стоит!
„Из колхоза в город, до которого 48 км, отправились одновре-
менно колхозник на лошади со скоростью 7 км в час и письмоносец
на велосипеде со скоростью 13 км в час. Через сколько часов оста-
ток пути до города для письмоносца будет в 3 раза меньше, чем
остаток пути до города для колхозника?"
Трудно себе представить, чем мог бы быть обусловлен интерес
к получению ответа на вопрос задачи. Тематика лишь внешне свя-
зана с современностью. С тем же основанием можно было бы отпра-
вить рыцаря на лошади и гонца бегом, — оформление, может быть,
стало бы для ребят забавнее, но постановка вопроса от этого не
стала бы лучше.
И вот подобного рода задач — сотни, и детей держат на таком
„арифметическом рационе" на протяжении нескольких лет.
Должно признаться, что в прошлом авторы задачников проявляли
больше заботы о реальности условий и осмысленности постановки
вопроса в задачах. Фигурирующие в классических задачах вопросы
о купцах, смешивающих вина для получения прибыли, курьерах
и путешественниках, землекопах и рабочих, мостящих равномерно
улицу, от которых сейчас веет даже известной романтичностью —
действительно, в своё время отражали реальность.
Насколько реально представляли себе условия задач прежние
авторы, свидетельствуют следующие два примера, извлечённые из
руководств по алгебре начала XIX в.:
„Шлюпка идёт по Неве и переходит в 48 мин. от Кадетского
корпуса до Литейного двора, а оттуда возвращается в 32 мин., при-
чём гребцы в оба конца гребли с одинаковой силой; спрашивается,
скольким саженям равняется течение Невы в 1 мин. и сколько сажен
шлюпка перейдёт в то же время в стоячей воде?"

Автор даже не считает нужным указать расстояние от Кадетского
корпуса до Литейного двора, только в решении используется, как
известный факт, что это расстояние „есть 1536 сажен". Такое „упу-
щение" в современных задачниках едва ли было бы возможным.
„На вопрос о возрасте одна дама ответила: мой возраст таков,,
что если его возвысить в квадрат или умножить на 53 и из резуль-
тата вычесть 696, то получается одно и то же".
Условие, конечно, не слишком реально, но как к нему относится
автор? Решая квадратное уравнение, он замечает: „так как вопрос
касается возраста дамы, то из вежливости нужно перед радикалом
взять нижний знак".
Вот несколько задач из сборника 1868 г.:
„В аптеке заказан зубной порошок по следующему рецепту: на?
2 драхмы растёртого в порошок красного сандального дерева взять
1 скрупул 10 гранов растолчённых квасцов, 4 драхмы растёртой
в порошок лихорадочной корки, одну каплю лимонного и одну
каплю гвоздичного масла. По ошибке аптекарский ученик взял
2 капли лимонного масла и 2 скрупула 8 гранов квасцов. Сколько
к полученной смеси должно прибавить каждого из означенных
веществ, чтобы между ними сохранилось предписанное отношение?"
И здесь постановка вопроса вполне реальна. Правда, с „драх-
мами" нам, пожалуй, уже нечего делать, но то, что учащихся не зна-
комят ни с какими мерами, кроме метрических, это просто нелепо.
Между тем в газетах можно встретить ярды, мили и другие названия,,
и учащимся очень полезно приобрести умение переводить эти меры
в метрические, да, «кстати, и на практике ощутить преимущества
метрической системы мер по сравнению с теми, которые до сих пор-
применяются в Англии.
Когда автор задач имеет в виду реальность, он не боится де-
талей:
„Купец в Берлине купил 10 000 заячьих мехов, весом в 77 1/2 пудов,,
за 115 рублей каждую тысячу; сверх того, он заплатил таможенных
пошлин по 2 руб. 60 коп. с пуда, за укладку и доставку — 6 рублей
с 1000 рублей, браковщику — 4 руб. с 1000 рублей, за доставку
в Кронштадт — 8 рублей, за пересылку писем — 7 руб. 15 коп., за
мелкие расходы — 1%, комиссионеру — 2%, за вексель и гербовую
бумагу — 5/8%- Сколько талеров стоят купцу меха в Берлине, когда
107 1/2 талеров равны 100 рублям?"
Вот ещё задача из того же сборника:
„Часы с будильником, которые за 12 час. 35 мин. отстают на
15 мин., должно ставить в 10 час. 40 мин. вечера по выверенным
часам так, чтобы будильник действовал в 4 часа 30 мин. утра сле-
дующего/ дня. На сколько минут после цифры X циферблата должно
поставить минутную стрелку, если указатель будильника поставлен
на 4 часа 30 мин.?"
В других задачах использованы сведения о материалах, необхо-
димых для огрунтовки стены ("5 1/2 фунтов мелу плавленого, 1/б фунта
клею и 2/5 штофа молока"), о выходе „железняку, красного и алого
кирпича" из „сырца", о материалах, применяемых при закладке фун-
дамента („3540 кирпичей на кубическую сажень с прибавкой 1/20 на
излом") и т. д.
Не меньше заботы о реальности тематики проявлено и в „Собра-
нии арифметических задач" Воронова (1876 г.):
„Определить вес сажени однополенных годовалых сосновых дров,
зная, что вес свежего соснового дерева составляет 90% веса воды

того же объёма; вес годовалой сосны 9/11 веса свежей сосны; куби-
ческая сажень воды весит 593 пуда; сажень однополенных дров
кубической сажени, а древесная масса (по причине промежутков
между поленьями) занимает в среднем 14/27 пространства занятого
дровами".
„В одной деревне Нижегородского уезда большая часть жителей
занимается выделкой топоров. Определить среднюю прибыль, выру-
чаемую там с одного топора, полагая, что на него идёт 1/20 пуда
железа, что на выковку пуда железа расходуется четверть угля и
1/5 пуда стали, что пуд железа покупается по 1 руб. 50 коп., пуд стали—
по 3 руб. 20 коп., четвертной куль угля — по 1 руб. 25 коп., а сред-
няя цена топора при оптовой продаже — 40 коп.41.
„В Кадниковском уезде Вологодской губернии для добывания
•смолы крестьяне устраивают заводы об одной или нескольких пе-
чах. Вычислить средний ежегодный доход с завода о двух печах,
полагая, что в печи 4 куба, из которых каждый даёт в сутки
3/4 пуда смолы из 1/16 куб. сажен осмола (сосновых пней), причём на
выкурку бочки смолы в 30 пуд. расходуют 2 воза дров, а по мест-
ным ценам пуд смолы стоит 1 руб., куб. сажень осмола — 6 руб.,
«оз дров — 12 1/2 коп.".
Конечно, и сейчас возможно всю необходимую арифметическую
тренировку учащихся производить на задачах, в достаточной сте-
пени реальных, с интересным условием и числовыми данными,
н с такой постановкой вопроса, при которой само получение ответа
«е было бы для учащихся эмоционально безразличным. Нас окру-
жают разнообразнейшие и интереснейшие явления действительности.
Любопытнейшие взаимоотношения вещей и явлений находят своё
яркое отражение в числах. Неужели же нельзя из этого богатей-
него материала извлечь числовые данные, доступные детям и инте-
ресные им, построить преподавание так, чтобы постепенно откры-
вать перед ними всё новые и новые страницы „мира в числах",
разумно используя числовые данные в предлагаемых им задачах?
Первым шагом в этом направлении должно быть составление
соответствующего справочника. Здесь необходимо, прежде всего,
просмотреть техническую справочную литературу, относящуюся ко
всем видам транспорта (со всеми числовыми характеристиками: ско-
рости, грузоподъёмности, размеров, норм потребления горючего,
мощности машин, рекордных достижений и т. д.), собрать материал
вплоть до фотографий соответствующих объектов, с точным указа-
нием названий, места и времени характерных событий и т. д. К этой
работе надо привлечь специалистов, которым не так уж трудно
поделиться тем, что может оказаться полезным, интересным и, вме-
сте с тем, доступным школьнику. Не менее богатый материал можно
почерпнуть из физической географии, физики, химии, астрономии,
из экономической географии (не увлекаться „сухой" цифровой стати-
стикой и тривиальными сопоставлениями, а выбирать интересные,
расширяющие числовой кругозор и действующие на воображение
данные!), из современной технологии (состав различных часто встре-
чающихся веществ, способы их получения, различные виды топлива,
сорта стали и τ д.). Актуален обильный материал, характеризующий
в самых разнообразных отношениях войны далёкого и недавно
прошлого (состав и численность войск, техническая оснащённость,
'быстрота передвижения, количество затраченных материалов и т. д.).
Практический интерес могут представить расчётные задачи сметного
характера с данными, отвечающими действительности (подсчёт нуж-

ного количества горючего для тракторного парка, для снабжения
грузовых машин, количества и стоимости материала и его доставки
с оплатой рабочей силы и т. п.). Задачи этого последнего рода
должны по возможности точнее отражать реальную обстановку —
числовые данные и детали могут в них меняться время от времени
и от места к месту.
Таким образом, требования, которые надлежит предъявлять
к арифметическим задачам в отношении их фабулы, осмысленности
постановки вопроса и подбора числовых данных представляются
достаточно определёнными. Путь, следуя которому обычные дефекты
можно устранить также достаточно ясен, хотя и предполагает довольно
кропотливую и трудоёмкую работу.
Несравненно более сложным, по самой природе своей, представ-
ляется вопрос об арифметическом содержании задач, к которому мы
сейчас и перейдём.
4. Арифметическое содержание задач
В практике преподавания дело обстоит так. За основу прини-
мается один или несколько сборников задач, из которых преподава-
тель выбирает те или иные по своему усмотрению. Традиция обеспе-
чивает в известной мере то, что некоторые определённые типы
„арифметического рассуждения" будут как-то представлены, но что
это за типы, достаточны ли они или, наоборот, в обычном материале
есть лишний балласт, чего именно надо добиваться от учеников,—
на всё это не даётся сколько-нибудь определённого ответа. Более
или менее „установлено", что учащихся надо научить решать задачи
на „смешение", на „пропорциональное деление", на „совместную
работу", на „движение", на „проценты", на „тройное правило". Если
спросить о методах решения, то ответ ограничивается обычно три-
виальными соображениями об аналитическом и синтетическом методе,
о разложении сложной задачи на ряд простых, о способе приведения
к единице, о способе пропорций, о задачах на „предположение"
(„предположим, что каждого сорта куплено одинаковое количество").
Учеников — в том или ином порядке — знакомят с соответствующими
„типами" задач, причём обучение решению задач сплошь и рядом
сводится к рецептуре и „натаскиванию,", к пассивному запоминанию
учениками небольшого числа стандартных приёмов решения и узна-
ванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить
в том или ином случае. Количество задач, которые ученики решают
действительно самостоятельно, с тем напряжением мысли, которое
и должно являться источником полезности процесса решения задачи,
ничтожно.
В итоге —полная беспомощность и неспособность ориентироваться
в самых простейших арифметических ситуациях, при решении чисто
практических задач, в дальнейшем, в алгебре — неумение соста-
влять и исследовать уравнения и, вообще, неумение выйти за
пределы узких формальных схем, — словом, то, что потом харак-
теризуется, как „отсутствие математического развития".
Наряду с этим встречаются и перегибы в другую сторону: в ариф-
метику вводятся задачи с искусственным содержанием, которые, по
существу, надо решать алгебраическим путём — после чего можно,
хотя иногда и не без труда, „состряпать" и „арифметическое реше-
ние". Если подобного рода задачи не лишены элементов некоторой

полезности, то их надо предлагать в порядке соревнования более
сильным учащимся в математической стенгазете, в кружке.
Для устранения этих дефектов необходимо прежде всего отдать
себе отчёт в том, какие же именно элементы (логического рассуж-
дения, активной деятельности воображения, памяти, закреплённых
большим количеством упражнений почти механических навыков
и т. д.) должны составлять содержание „арифметического" воспита-
ния и тренировки учащихся, в каких комбинациях, в какой последо-
вательности эти элементы должны входить в задачи, какой степени
трудности и сложности задачи должны войти в общеобязательный
минимум. Ответ на вопрос должен учитывать как непосредственные
потребности практики, так и основную задачу общего и математи-
ческого развития учащихся, а также и подготовку к дальнейшему
обучению в средней и высшей школе.
Существующие попытки классифицировать арифметические задачи
по их тематике или по их алгебраической структуре — (отметим
сравнительно удачные схемы Александрова (1887), Воронова (1939)
и Поляка (1944) далеко не достаточны для этой цели. Здесь необ-
ходимо поставить вопрос в полном объёме, не ограничиваясь одной
лишь алгебраической структурой задачи, т. е. характеристикой тех
действий, которые надо выполнить для её решения. Одни и те же
действия могут отвечать совершенно различным конкретным ситуа-
циям, и учащийся может придти к заключению, что надо выполнить
данное действие по совершенно различным основаниям.
Приведём в качестве примера несколько задач, решающихся дей-
ствием
3 — 1 = 2.
1. Мне дали три яблока, я съел одно из них. Сколько осталось?
2. Трёхметровым шестом нащупали дно, причём над уровнем воды
остался 1 м. Какова глубина?-
3. Таня сказала: у меня на 3 брата больше, чем сестёр. На сколько
в Таниной семье братьев больше, чем сестёр?
4. Час назад поезд должен был прибыть на станцию. Но он
опаздывает на 3 часа. Когда он прибудет?
5. Сколько распилов надо сделать, чтобы распилить бревно на
3 части?
6. Я прошёл от первого столба до третьего. Расстояние между
соседними столбами — 1 км. Сколько километров я прошёл?
7. Кирпич вместе с лопатой весит столько же, сколько 3 кир-
пича. Кирпич весит 1 кг. Сколько весит лопата?
8. Средняя арифметическая двух чисел равна 3, а их полураз-
ность равна 1. Какова величина большего числа?
9. От нас до станции 3 км, а до Минухиных по той же дороге —
1 км. Сколько от станции до Минухиных?
10. Через сто лет мы будем праздновать трёхсотлетний юбилей
нашего университета. Сколько сотен лет назад он был основан?
II. За 3 часа я проплываю 3 км в стоячей воде, а бревно вниз по
течению — 1 км. Сколько километров я сделаю против течения за
то же время?
12. Второго декабря было воскресенье. Сколько рабочих дней
декабря предшествовало первому вторнику этого месяца?
13. Я иду со скоростью 3 км в час; мой приятель впереди меня
ведёт свой мотоцикл со скоростью 1 км в час. Насколько сокра-
щается расстояние между нами за один час?

14. Три одинаковых артели землекопов вырыли за неделю канаву
длиной в 3 км. Сколько надо таких артелей, чтобы вырыть за то
же время канаву, которая на 1 км короче?
15. Москва и Горький находятся в смежных часовых зонах. Кото-
рый час в Москве, когда в Горьком — три часа пополудни?
16. При стрельбе по самолёту из неподвижного орудия надо было
бы вынести прицел вперёд на 3 корпуса. Но орудие перемещается
в направлении движения самолёта с втрое меньшей скоростью. На
сколько корпусов надо вынести прицел вперёд?
17. Мой брат втрое старше меня. Во сколько раз ему было
больше лет, чем мне сейчас, в тот год, когда я родился?
18. Если к числу прибавить единицу, то оно разделится на 3.
Каков о таток от деления этого числа на 3?
19. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо
столба за 1 мин., а через туннель при той же скорости — за 3 мин.
Какова длина туннеля?
20. По двухколейному трамвайному маршруту курсируют с интер-
валами в 3 км три вагона. Один из них сейчас находится на рас-
стоянии 1 км от другого. Каково расстояние третьего вагона от
ближайшего к нему?
Эти примеры наглядно показывают, что обучение арифметике
включает в качестве одного из основных элементов воспитание
умения ориентироваться в различных по своей конкретной при-
роде взаимоотношениях между величинами. Самый метод „арифме-
тического решения задачи" отличается от алгебраических приёмов
в первую очередь тем, что на всех стадиях рассуждения все сопо-
ставления и производимые действия допускают совершенно нагляд-
ное и конкретное, осмысленное в области тех величин, о которых
идёт речь, истолкование.
Этим в известной мере определяется и отличие задач, для кото-
рых естественно потребовать арифметического решения, от таких,
по существу алгебраических задач, для которых это требование
носит искусственный характер. Арифметическое решение задач
последнего типа может быть рассматриваемо лишь как более высо-
кая ступень тренировки, выходящая за рамки общеобязательного
минимума. Во многих задачах зависимости между искомыми и дан-
ными таковы, что обычный безыскусственный ход рассуждения,
естественно, приводит к соответствующим алгебраическим уравне-
ниям. Между тем арифметический путь решения потребовал бы
производства трудно удерживаемых в памяти, алгебраических по
своей природе, операций над неизвестными величинами.
Это имеет, например, место при решении такой задачи: „Если
продать 20 коров, то заготовленного сена хватит на 10 дней дольше,
если же прикупить 30, то запас сена исчерпается 10 днями раньше*
Сколько было коров и на сколько дней заготовлено сено?"
Отчётливых представлений о соотношениях между фигурирующими
здесь величинами достаточно для того, чтобы без особого труда
облечь условия задачи в форму уравнений. Но требовать, чтобы
учащийся пришёл независимо от этого к формуле
(200+ 300): 10
для определения числа дней, значит—"стремиться достигнуть такой
•изощрённости в оперировании неизвестными величинами, которая
практически не нужна, а в массовом масштабе недостижима.

Несколько более приемлема задача:
„Куплено на одинаковую сумму два сорта товара, первого сорта
вдвое меньше, чем второго. Их смешали и продали половину смеси
по цене высшего, остальное—по цене низшего сорта. Сколько про-
центов прибыли или убытка получено при продаже?"
Это, по существу, типичная задача, решающаяся введением произ-
вольных единиц меры. Однако и при этом условии необходимое для
решения оперирование неизвестными величинами носит здесь отчёт-
ливо выраженный алгебраический характер.
Наряду -с этим часто встречаются задачи, в которых, наоборот,
арифметический путь решения значительно проще алгебраического.
Это может зависить от двух причин. В одних случаях переход
от известного к неизвестному' настолько прост, что составление
уравнений (переход от неизвестного к известному) внесло бы
ненужную громоздкость, замедляющую процесс решения. Такова,
например., задача, тематика которой, — несмотря на общеизвестное
значение изучения игр (в том числе и азартных) в истории матема-
тики, — может оказаться препятствием к её использованию в прак-
тике преподавания:
„A, B, С и D сыграли четыре партии, причём проигрывавший
обязан был удваивать суммы, принадлежавшие остальным в начале
партии. Проиграли последовательно A, В, С и D и в результате
у всех четырёх оказалось по 48 руб. Сколько было у каждого из
лих в начале?"
Вторая — классическая задача, интересная парадоксальностью
формулировки условия. Этапы „синтетического" решения развёрты-
ваются в ней, как и в предыдущей задача, в порядке, противопо-
ложном ходу описанных событий.
„Торговка яйцами продала первому покупателю половину всего
числа имевшихся в её корзине яиц и ещё пол-яйца; второму поку-
пателю— половину остатка и ещё пол-яйца, третьему — половину
остатка и ещё пол-яйца, после чего у неё ничего не осталось.
Сколько яиц было в корзине в начале?"
В других случаях составление уравнения требует проведения
такого рассуждения, которое само по себе достаточно для достиже-
ния цели. Это — арифметические задачи в полном смысле этого
слова: алгебраическое их решение не легче, а труднее и обычно
сопряжено с введением лишних неизвестных, которые потом прихо-
дится исключать и т. п. К их числу принадлежат большинство из
задач, решающихся действием 3 — 1=2, приведённых выше. Так,
если, например, в задаче № 3 обозначить число братьев через х
число сестёр через у, то уравнение будет χ — (у — 1) = 3, но если
мы уже догадались, что надо написать у — 1 (сестра сама себя не
-считала), то и так ясно, что братьев не на 3, а только на 2 больше,
чем сестёр. Приведём ещё несколько примеров.
„Я грёб вверх по течению и, проезжая под мостом, потерял
шляпу. Через 10 мин. я это заметил и, повернув и гребя с той
же силой, нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова скорость тече-
ния реки?"
„К моему приезду на станцию за мной обычно высылали машину.
Приехав однажды на час раньше, я пошёл пешком и, встретив пос-
ланную за мной машину, прибыл с ней на место на 20 мин. раньше
обычного срока. Во сколько раз машина идёт быстрее, чем я пешком?"
Это — очень хорошие арифметические задачи, но, конечно, на
вхождение в „обязательный минимум" они претендовать не могут.

Но, как было отмечено выше, большое количество сравнительно
простых задач принадлежит к той же категории специфически ариф-
метических задач: позволительно думать, что такой характер задач
в большинстве случаев свидетельствует об их высокой методической
ценности — их специфичность, ведь, как раз и основана на том, что
они требуют ясного представления о соответствующей конкретной
ситуации, а не действий по заученным формальным образцам.
Вот ещё пример арифметической задачи, для решения которой
не надо производить никаких „действий":
„Из стакана с красным вином перелили в стакан, содержащий
такое же количество белого, одну ложку. Перемешав, ложку смеси
перелили обратно в первый стакан и повторили те же действия
снова. Спрашивается, больше ли в итоге концентрация белого вина
в красном в первом стакане или красного в белом — во втором?"
Для решения задачи достаточно задать себе вопрос: куда дева-
лось то красное вино, которое вытеснено белым из первого стакана?
Подчеркнём попутно, что часто встречающийся при решении
арифметических задач приём „предположения" (в классической форму-
лировке: „предположим, что и того и другого было куплено одина-
ковое количество" или „предположим, что все вагоны-трёхосные,
или „предположим, что в первый раз было куплено вдвое, а во вто-
рой раз втрое больше") мы причисляем к числу закономерных приё-
мов арифметического решения задач, хотя в последней, например,
из упомянутых формулировок, речь идёт —с точки зрения алгебраи-
ческой— о решении системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными.
Действительно, если разобраться в логической сущности этого
приёма и в психологических предпосылках его применения в кон-
кретных случаях, то мы увидим, что здесь речь идёт, по существу,
об одном из наиболее часто применяемых законов Бэконовской индук-
тивной логики в его элементарном количественном аспекте, притом
тесно связанном с представлениями о причинной обусловленности
замеченных особенностей числовых данных задач. В простейших
случаях приводящий к указанным „предположениям" процесс анализа,
условий задачи как раз и начинается с вопроса „почему?". Почему
такое расхождение в числовых данных, почему это вот больше
и именно на столько? После того, как в определённых конкретных
случаях учащийся научился в итоге извлекать нужный количествен-
ный результат, совершенно естественным является стремление
в более сложной ситуации, в случае совместного влияния нескольких
факторов, изолировать действие одного из них; сравнить положение
при наличии и при отсутствии этого фактора, компенсировать, исклю-
чить временно влияние остальных и, таким образом, вернувшись
к знакомой уже, более простой ситуации, получить нужный Число-
вой результат.
Это не алгебра, не приведение подобных членов и не „перене-
сение из одной части в другую с обратным знаком". Это как раз та
логика, связанная с воображаемыми, но имеющими в области изу-
чаемых величин вполне реальное значение операциями, развитие
и совершенствование которой входит в прямые задачи арифметики.
Приведённое выше разграничение между арифметическими и алге-
браическими по своему характеру задачами, как нам кажется, и в тео-
ретическом и в практическом отношении отвечает сущности дела,—
вряд ли здесь можно в общем случае сделать больше: границы
между задачами обоих типов по природе своей как бы несколько

размытые, так как они зависят от количественных признаков,
в оценке которых можно расходиться, подобно тому, как нельзя
провести грань между „несколькими зёрнами" и „кучей зёрен".
Аналогичное замечание относится и к характеристике арифмети-
ческих задач по степени их сложности. Под этим мы будем пони-
мать не трудность сопоставления данных, о которой шла речь выше,
а наличие сравнительно громоздкого условия, требующего от решаю-
щего систематичности и внимательности в расчленении задачи на
более простые и в соединении элементов рассуждения, каждый из
которых учащемуся уже знаком, в единое целое. Не подлежит со-
мнению, что такие задачи (конечно, с естественным условием, а не
в форме пресловутых «составных" задач, основанных на чисто внеш-
нем и потому комическом соединении разнородных элементов) нужны
именно, как таковые, ибо развитие соответствующих навыков ориен-
тировки в сложной ситуации составляет один из существенных
элементов воспитания, имеющий немаловажное практическое значе-
ние. Кроме того, такие задачи могут служить контролем того,
насколько твёрдо усвоены учащимися элементы хода рассуждения,
так как здесь эти элементы играют роль инструментов, которые
учащийся без колебания должен выбрать и применить в нужном
случае.
Это умение должно в результате успешного преподавания распро-
страняться и на такие случаи, в которых ситуация не принадлежит
к числу подробно рассмотренных раньше и закреплённых серией
однородных упражнений. Поэтому необходимо тактично, и вместе
с тем повседневно (я не имею в виду моментов контроля), предлагать
учащимся и такие задачи, которые требуют ориентировки в новой,
необычной для них ситуации, самостоятельного напряжения мысли.
Для развития этого умения надо вообще избегать догматизма и рецеп-
туры при решении задач, а стараться так тренировать мышление
и воображение учащихся, чтобы ход решения всегда возникал у. них
естественным путём. Задачи, предлагаемые для самостоятельной
ориентировки (а не для закрепления разученного приёма) должны,
поэтому, быть по силам среднему учащемуся, т. е. основываться
на таких элементах логики и конкретных представлений, наличие
которых можно предполагать у учащихся на данной стадии их
развития.
Мы остановились на этих тривиальных методических соображе-
ниях потому, что здесь речь идёт об одном из наиболее существен-
ных дефектов практики преподавания. Задачу — научить учеников
владеть математическим инструментарием как в смысле умения
производить элементарные операции, так и в смысле умения выбирать
нужный инструмент в нужном случае, часто подменяют более легко
достижимой целью, — научить учащихся применять эти инструменты
в определённой, регламентированной, иногда довольно сложной
последовательности, по определённым установленным правилам. Если
бы так готовить к будущей деятельности, скажем, слесаря, то\му
нельзя было бы доверить даже простейшего ремонта, простейшей
починки, ибо всякая вещь портится по своему и никаких правил
порядка действий здесь установить нельзя.
Точно так же нельзя выучиться плавать, постоянно хватаясь за
стенки бассейна или пользуясь плавательным поясом,— надо уметь
самостоятельно держаться на воде, и в этом вся суть дела.
Приведём несколько задач, которые нам представляются полез-
ными с этой точки зрения.

„В трёх палатках у продавщиц было поровну мандаринов. Когда
каждая продала по 600 мандаринов, то у всех вместе осталось их
столько, сколько было первоначально у каждой. Сколько же это?"
„Мне теперь втрое больше лет, чем было тогда, когда мой брат
был в моём возрасте. Когда мне будет столько лет, сколько теперь
моему брату, то нам вместе будет 96 лет. Сколько сейчас каждому?".
Арифметическое решение этой задачи требует отчётливых пред-
ставлений о процессе совместного роста двух величин, о которых
идёт речь, и об „этапах" этого роста. Вспомогательным средством
может служить графическое линейное отображение условий задачи.
„Проезжая мимо станции, я заметил стоящий на станции товарный
поезд из 31 вагона и услышал разговор смазчика со сцепщиком.
Первый сказал: „105 осей всего пришлось проверить". Второй заме-
тил, что в составе много четырехосных вагонов — втрое больше, чем
двухосных, остальные трехосные. На следующем перегоне я захотел,
от нечего делать, подсчитать, сколько каких вагонов было в этом
составе. Как это сделать?"
Арифметическое решение — проще алгебраического и требует
отчётливого представления о том, что двухосные и четырехосные
входят в состав (в количественном отношении) определенными
группами (по 4 вагона). Воображаемая „замена" всех вагонов трех-
осными— обычный и хорошо знакомый учащимся приём. Задача
допускает и теоретико-числовое (не однозначное) решение в случае,
если число вагонов неизвестно.
„В двух библиотеках 50000 томов. За год количество книг пер-
вой увеличилось на 5%, а второй—на 6%, так что общее количество
книг увеличилось на 2800. Сколько книг было в каждой библиотеке
первоначально?"
Полезная задача, наводящая на представление о „весе", с которым
надо учитывать процентные приращения, сливаемые в одно целое.
„Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению на лодке
требуется времени втрое меньше, чем против течения. Во сколько
раз скорость движения лодки больше скорости течения?"
Надо догадаться перейти от времени к расстояниям.
Аналогичная задача:
„Пароход идёт вниз по течению 2 часа, вверх — 3 часа. Сколько
времени между теми же двумя пунктами вниз по течению проплы-
вёт бревно?"
Ответы бывают самые фантастические — явный признак примене-
ния не подходящей „рецептуры".
„Поезд проходит 15 сек. мимо телеграфного столба и 45 сек.
проходит туннель длиной в 450 м. При встрече с поездом, длина
которого 300 м, оба поезда идут один мимо другого в течение 21 сек.
Найти скорость второго поезда".
Задача Л. Н. Толстого:
„Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить боль-
шой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась
на первом и к вечеру его докосила, а другая — перешла косить на
второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов,
если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть
работы выполнил один косец?"
Это —одна из наиболее характерных задач рассматриваемой'кате-
гории. Успех в решении зависит от того, насколько у решающего
развито воображение и умение сопоставлять количественные отно-
шения.

В заключение сделаем ещё одно замечание, касающееся использо-
вания материала задач на уроках арифметики (а также и алгебры).
Конечно, при начальном ознакомлении с каким-либо приёмом
рассуждения или с какой-нибудь новой для учащихся областью
соотношений можно рассматривать каждую задачу с определённой
постановкой вопроса, как законченный пример, и стремиться —
в понятных целях — к возможному качественному многообразию
примеров при одном и том же арифметическом скелете рассуждения:
на соответствующие элементы арифметического обобщения и абстрак-
ции следует даже, в надлежащее время, обратить внимание учащихся.
Но когда ученики владеют уже всеми основными приёмами рассужде-
ния, достаточными для решения задач с данной тематикой, полезно
использовать материал задач иначе, прибегая иногда к методу, кото-
рый можно было бы назвать монографическим. Мы имеем в виду
вариирование постановки вопроса при изучении одной и той же
зависимости между величинами. Такое вариирование помогает
учащимся объединить все относящиеся к данному объекту представ-
ления в одно целое, а преподавателю даёт возможность, во-первых,
активизировать работу класса и, во-вторых, проверить и уточнить
всю совокупность относящихся к данному вопросу элементарных
арифметических навыков; очень полезно и попутное сопоставление
различных приёмов решения одного и того же вопроса.
Пусть, например, предложено решить задачу.
„Смесь двух одинаковых объёмов воды и спирта занимает мень-
ший объём, чем сумма объёмов обоих смешиваемых веществ. Литр
такой смеси весит 936 г, между тем как литр чистого спирта весит
729 г, а литр воды — 1 кг. Сколько нужно взять воды и спирта,
чтобы получить литр смеси?"
Здесь уместно рассмотреть предварительно или в связи с реше-
нием задачи, скажем, такие вопросы. Пусть при сокращении объёма
какого-либо вещества единица объёма вместо 1 кг содержит 1,25 кг.
Каково в процентах и в простых дробях увеличение веса единицы
объёма? Уменьшение объёма в процентах к первоначальному? Как эти
два показателя связаны между собой? Что надо знать, какие экспе-
рименты произвести, какие числовые данные получитъ, чтобы их
найти? Какие получатся процентные показатели, если говорить об
обратном переходе (увеличении объёма и уменьшении массы)?
Как узнать, сколько нужно взять (по объёму, по массе) вещества
в исходном состоянии, чтобы получить данное его количество (по
объёму, по массе) в новом состоянии?
Рассмотреть эти задачи для случая перехода воды в леди обратно,
подобрать другие конкретные данные аналогичного типа (измене-
ние объёма легкоплавких тел, расширение твёрдых тел при нагре-
вании и т. п.). Если это отвечает моменту, то параллельно сле-
дует рассмотреть и соответствующие пропорции, заставив уча-
щихся отчётливо формулировать, о какой пропорциональности здесь
может идти речь. С этим, если обстоятельства позволяют, можно
связать и вопрос о взаимоотношении процентов "со-ста", „на-сто"
и „во-сто". Можно предложить дополнительно такие задачи: „Молоко
вздорожало на 20%, а через неделю подешевело на 20%: дешевле
или дороже оно стало? В другом городе, при той же начальной
цене молоко сначала упало в цене на 20%, а потом вздорожало на
20%. Каков результат по сравнению с ценой в первом городе?" Здесь
можно проверить умение учащихся ассоциировать проценты с про-
стыми дробями, возрастание какой-либо величины на p %, с умноже-

нием на 1+p/100 и т. д., т. е. наличие у них чрезвычайно суще-
ственных и часто встречающихся в практических приложениях пред-
ставлений. Для пояснения можно использовать здесь схематические
диаграммы.
Полезно предложить учащимся составить небольшие справочные
таблицы (для различных количеств льда, воды и т. п.), иллюстриро-
вать их графически и т. п.
5. Проблема методологической систематизации материала задач
Приведённые в предыдущем разделе примеры различных задач
показывают, что сравнительно нетрудно выделить в каждой задаче
те элементы, которые определяют её дидактическую ценность. При
этом, как особенно ясно показывает серия задач, решающихся дей-
ствием 3 — 2 = 1, основное внимание должно быть направлено не
столько на „алгебраическую структуру" задачи, сколько на её кон-
кретную оболочку, на то, в области каких величин и каким образом
осуществлена данная „арифметическая ситуация". Именно от этого,
существенно зависит характер и степень отчётливости представле-
ний учащихся, определяющие ход рассуждения при решении задачи.
Возвращаясь к формулированной в начале раздела 4 (стр. 14)
основной проблеме выделения указанных элементов, мы можем
в качестве необходимой предварительной работы указать на соот-
ветственное исследование материала уже составленных и испытан-
ных сборников арифметических задач, примерно, в том же направ-
лении, в каком мы вели изложение в разделе 4. Но такое опытнее
изучение фактического положения вещей, хотя и может служить
отправной точкой для дальнейших построений, само по себе недо-
статочно,— уже по одному тому, что на этом пути нельзя выйти
за рамки традиционного круга вопросов и согласовать материал
задач с возросшими запросами действительности. Необходимо, следо-
вательно, предпринять встречный анализ на основе общих методоло-
гических соображений. Этот анализ следует вести так, чтобы a priori
предусмотреть различные возможные и необходимые элементы ариф-
метических задач, хотя бы только с точки зрения того, что можно
назвать арифметической схемой рассуждения.
Этот анализ придётся затем дополнить на основе того перечня
часто встречающихся конкретных величин, о котором шла речь
в разделе 3 и рассмотреть все соответствующие варианты подходя-
щих „арифметических схем".
При таком подходе к вопросу область искомых построений фик-
сируется тем определением содержания и объёма учебного материала
и той характеристикой основных целей преподавания арифметики,
которое будет положено в основу. Для этого мы считаем достаточ-
ным следующие положения.
1. Основными целями преподавания арифметики в средней школе
являются:
а) создание у учащихся отчётливых представлений и одновре-
менно закрепление твёрдых технических навыков, относящихся
к области рациональных операций над рациональными числами-,
б) ознакомление учащихся с соответствующими элементарными
функциональными зависимостями между величинами и основанными
на указанных в п. „а" представлениях и навыках методами решения
относящихся сюда вопросов. Последнее должно быть осуществлено
в качественном и количественном отношении так, чтобы дать доста-

точную подготовку для будущей специализации в процессе практи-
ческой деятельности или дальнейшего обучения.
Присоединяя сюда ещё и характеристику изучаемых в арифме-
тике функциональных зависимостей между величинами как таких,
которые охватываются общим понятием линейной зависимости и про-
стейшими свойствами обратной пропорциональной зависимости между
величинами, и учитывая то, что было сказано о характерных осо-
бенностях арифметического метода решения задач, мы сможем
сказать, что:
2. Основными целями решения „текстовых" арифметических задач
в процессе обучения арифметики являются (наряду с общими зада-
чами в 1, „а" и „б"):
а) создание и закрепление отчётливых представлений, отно-
сящихся к конкретным случаям охарактеризованных только что
зависимостей между величинами (из числа наиболее доступных
.пониманию учащихся и практически важных);
б) воспитание умения ориентироваться в разнообразных возмож-
ных соотношениях между данными и искомыми величинами на
основе естественного хода логического рассуждения, опирающегося
на диктуемые здравый смыслом соображения о взаимной обуслов-
ленности соответствующих числовых данных;
в) создание и закрепление навыков сопоставления и оперирова-
ниям величинами,упомянутыми в п. „а", основанных на воображаемых,
но в принципе возможных в данной конкретной ситуации дейст-
виях над ними.
Возникает вопрос о порядке проведения основанного на этих прин-
ципах методологического построения, о котором идёт речь, — состав-
ления перечня и систематизации возможных арифметических схем
и их конкретных осуществлений, т. е. элементов, из которых состоят
все арифметические конструкции, отвечающие указанным выше
целям. Мы полагаем, что для достижения возможно большей пол-
ноты и общности эту работу надо вести не в порядке обычного
расположения учебного материала, а в порядке, естественном с точки
зрения более абстрактной классификации изучаемых в арифметике
взаимоотношений, с одновременным учётом психологических моментов,
определяющих связь абстрактного с конкретным и характер представ-
лений учащихся.
Решение вопросов, касающихся трактовки выделенных указанным
путём элементов, расположения материала, производства подготови-
тельной работы по ознакомлению учащихся с новыми для них приё-
мами рассуждения и т. д., должно будет явиться уже последней
частью такого рода работы, непосредственно предшествующей
^фактическому составлению соответственного собрания задач.
Насколько нам известно, такая работа ни в одном из указанных
направлений никогда не была проделана; между тем, намеченный
здесь порядок её проведения, несомненно, обеспечивает реальную
её осуществимость. Более того, вряд ли можно отрицать необходи-
мость положить в основу составления сборников задач по арифме-
тике, да и не только по арифметике, именно такого рода предва-
рительное исследование. Конечно, провести его можно по-разному,
и результаты его не смогут однозначно предопределить ни объём
материала, ни детали его оформления, оставляя во всех отношениях
ещё достаточный простор для творческой методической работы.
Останутся неизбежно и спорные вопросы. Но основа для суждения
о роли тех или иных элементов, об их положении в курсе арифме-

тики этим заложена, и можно будет подвергать обсуждению и выно-
сить решения по определённым и отчётливо поставленным вопросам,
на основе соответственной мотивировки. До сих пор неопределён-
ность, хаотичность, несистематизированная пестрота материала
делали практически невозможным ведение сколько-нибудь плодотвор-
ного обсуждения важнейших методических проблем в этой области.
6. Таблица простейших элементов, входящих в состав арифмети-
ческих задач
Изложение окончательных результатов только что охарактеризо-
ванного и по самой сути дела довольно кропотливого методологи-
ческого анализа не входит в задачи настоящей статьи. Мы попы-
таемся всё же несколько конкретизировать сказанное в разделе 5
для того, чтобы дать здесь более ясное представление о том, какого
характера анализ и систематизация имеются в виду.
Так как систематизация материала в основном зависит от двух
факторов — арифметической „схемы" и её осуществления в области
конкретных взаимоотношений между величинами, то расположение
результатов должно в общих чертах отвечать „таблице с двойным
входом". Систематизация элементов, скажем, по вертикали, по при-
знаку изменяющегося (вообще говоря усложняющегося) арифметиче-
ского содержания должна снабжаться — по горизонтали — перечисле-
нием и разбором различных конкретных интерпретаций и соответ-
ствующим анализом психологических моментов. Помимо этого, необ-
ходимо дать и монографическое сопоставление различных задач по
вертикали, т. е. сводку тех основных постановок вопроса и приёмов
рассуждения, которые относятся к данному конкретному материалу.
Систематизация по вертикали представляется нам в следующем
виде (мы не ставим требования, чтобы отдельные пункты не пере-
крывались друг с другом):
I. Соотношения, связанные с одной скалярной величиной:
1) отношения равенства и неравенства;
2) аддитивные величины; разностное сравнение двух значений
величины;
3) увеличение и уменьшение значения величины с помощью дей-
ствий первой ступени (сложение и вычитание);
4) кратное изменение значения величины: операция умножения;,
5) деление на равные части;
6) соотношение между целым и частями целого;
7) кратное сравнение двух значений величины; деление по содер-
жанию;
8) переход от одного значения величины к другому путём деле-
ния на равные части и объединения таких частей; общая мера;
9) измерение величин. Единицы меры. Переход от одной системы
измерения к другой;
10) понятие отношения двух значений величины. Выражение
отношения простой и десятичной дробью и в процентах. Определение
отношения по данным значениям величины и одного из значений
при данном отношении (части целого и целого по части);
11) сопоставление разностного и кратного сравнения значений
величины и совместное их применение. Приращение, выраженное
в долях исходного количества и в процентах; его связь с отноше-
нием исходного и окончательного значения величины;
12) характеристика частей целого с помощью их отношений

к целому и взаимных отношений, процентные отношения. Круговые
диаграммы. Средняя арифметическая.
II. Соотношения, связанные с совместным рассмотрением несколь-
ких величин:
1) прямая пропорциональность. Параллелизм аддитивных и крат-
ных изменений. „Приведение к единице";
2) прямая пропорциональность. Равенство кратных отношений
значений двух пропорциональных величин. Пропорции;
3) прямая пропорциональность. Постоянство отношения соответ-
ственных значений величин. Коэфициент пропорциональности. Харак-
теристика интенсивности равномерного изменения величины. Удель-
ные характеристики однородных величин. Пропорциональные отрезки;
4) сопоставление аддитивных изменений и кратного сравнения
для случаев пропорциональных величин, соответственные свойства
пропорций;
5) линейная зависимость. Начальное значение и коэфициент про-
порциональности, как скорость изменения или удельная характери-
стика. Исчерпание значения величины путём равномерного изменения;
6) направленные величины с двусторонним изменением. Начальная
точка отсчёта. Аддитивные изменения разных знаков;
7) совместное рассмотрение нескольких величин, пропорциональ-
ных третьей. Взаимоотношения целого и частей при одном и том же
их составе. Сопоставление скоростей изменения и удельных характе-
ристик. Отношение подобия. Выбор произвольной единицы измерения;
сопоставление разностных и кратных отношений;
8) совместное рассмотрение нескольких линейных зависимостей.
Сравнение интенсивностей роста. Разностное сравнение двух линей-
ных функций. Типовые задачи, решаемые на основе анализа причин-
ной обусловленности расхождения числовых данных;
9) обратно пропорциональная зависимость между величинами.
Измерение в долях целого и с помощью произвольной единицы
меры. Прямое и обратное отношения. Применение пропорций. Слож-
ные (составные) единицы. Аддитивные изменения и учёт разностных
данных в различных конкретных случаях;
10) сочетание прямой и обратной пропорциональной зависимости
нескольких величин;
11) более сложные зависимости. Измерение площадей и объёмов.
Нелинейные изменения величин. Таблицы. Графики. Линейная интер-
поляция. Возрастание и убывание функций. Неограниченное возра-
стание и убывание;
12) элемент „сложности" в структуре задач. Задачи комплексного
типа, их общая классификация и характеристика;
13) элемент „новизны" в структуре задач. Задачи с отличной от
обычной постановкой вопроса или методом решения;
14) методологические элементы в решении задач. Характерные
образцы синтетического метода рассуждения. Задачи с недостаточ-
ным и избыточным количеством данных. Задачи алгебраического
содержания; сопоставление алгебраического и арифметического мето-
дов решения.
Не приходится и говорить, что этот перечень не является исчер-
пывающим. Каждый пункт отвечает целому ряду известных типов
арифметических задач и подлежит соответственному дальнейшему
расчленению как по вертикали, так и по горизонтали.
Так, например, в пункте I, 1 (отношения равенства и неравен-
ства), должны найти место вопросы, относящиеся к конкретной интер-

претации равенства и неравенства двух дробей (задачи сравнения
дробей, расположения их в порядке возрастания), связанные с этим
вопросы о равенстве простой и десятичной дробей (например, разъ-
яснение таких соотношений, как 0,999... = 1 и т. п.), приёмы записи
различных (малых и больших) чисел с помощью выделения степеней
10, имеющие целью облегчить сопоставление различных числовых
данных друг с другом, применение для той же цели процентов
и диаграмм, далее изменение (увеличение и уменьшение) дроби при
различных изменениях (в том числе и аддитивных) её числителя
и знаменателя, упражнения, закрепляющие в сознании учащихся
равенства а:а = 1 и а — а = 0 и т. п.
Аналогично, пункт I, 11 обнимает, как это сразу ясно, значитель-
ное число арифметических задач. Это связано с психологическими
моментами. Как показывает практика, как раз одновременный учёт
данных разностного и кратного сравнения (больше или меньше Г/на"
и при этом составляет такую-то часть „от" и т. п.) требует большого
количества упражнений и усваивается учащимся далеко не сразу.
Задачи на „пропорциональное деление" могут в простейших
случаях встретиться уже в п. 1,6 и I, 12, но также и в п. II, 7, 9 и 10.
Различие здесь связано в известной мере и с моментом прохож-
дения— один и тот же вопрос освещается по-разному и имеющиеся
в виду навыки различны. Типовые задачи на движение (путеше-
ственники, курьеры) отвечают n. II, 5 и 6 (но и многим другим),
задачи на смешение — главным образом п. II, 8, задачи на бассейны
и совместную работу п. II, 9, 10.
Во всех случаях имеется в виду—и в этом суть дела —доста-
точно точная и подробная характеристика того, что должно быть
достигнуто в отношении развития представлений и умственных
навыков учащихся в связи с данным пунктом и в применении к ка-
кому конкретному материалу.
Так, например, по второй части п. I, 11 можно было бы форму-
лировать требование, чтобы учащийся мог свободно ориентироваться
в вопросах, указанных в связи с разбором задачи на смешение воды
и спирта в конце раздела 4, где приведены и требования, отвечаю-
щие п. II, 9.
Перечислить (по горизонтали) те конкретные величины, которые
надлежит принять во внимание при наличии справочника, о котором
шла речь в разделе 3 — не составит труда.
Отметим попутно, что мы стоим за то, чтобы включить в мате-
риал арифметических задач простейшие приложения отрицательных
чисел и геометрические факты, относящиеся к пропорциональности
отрезков и приводящие к табулированным коэфициентам пропор-
циональности. Точно так же, не отпугивая учащихся тяжеловесным
техническим аппаратом традиционного изложения начальных глав
элементарной алгебры, следует, на наш взгляд, покончить с ни на
чём не основанной боязнью вводить буквенные обозначения при
решении арифметических задач и, соответственно с этим, уже на
уроках арифметики знакомить учащихся с простейшими уравнениями,
решая их „по соображению" на основе известных учащимся арифме-
тических положений. Это кажется нам наиболее простым и целесо-
образным решением дилеммы, связанной с последним вопросом
п. II, 14, затронутым нами уже в разделе 4. Мы придаём также
большое значение учёту потребностей смежных дисциплин, физики
и химии в первую очередь"(пп. I, 9, 10, 11, 12; II, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
И). Недостаточная разработка соответственного материала арифме-

тических упражнений является на наш взгляд, не только крупней-
шим дефектом с точки зрения подготовки учащихся средней школы
к практической деятельности, но и влечёт за собой тяжёлые послед-
ствия в отношении прохождения математических дисциплин как
в средней, так и в высшей школе.
По нашему мнению, изложенное достаточно ясно характеризует
то, что мы имеем в виду, говоря о выделении и систематизации
простейших элементов, определяющих содержание арифметических
задач и подлежащих в настоящее время включению в „арифметиче-
ский минимум".
Резюмируем вкратце выдвигаемые нами основные принципы
отбора, составления и расположения арифметических задач.
Арифметическое содержание задач должно фиксироваться на
основе детального и исчерпывающего анализа тех элементов мышле-
ния и воображения учащихся, развитие которых составляет цель
обучения арифметике. Эти элементы определяются, с одной стороны,
функциональным характером и конкретной природой изучаемых
зависимостей между величинами и, с другой стороны, требованием
естественности хода логического рассуждения и конкретной интер-
претируемости соответствующих сопоставлений и действий.
Постановка вопросов в задачах должна быть, как правило,
реальной, получение ответа интересным для учащихся, конкретное
оформление (фабула) и подбор числовых данных должны иметь либо
познавательную ценность, либо эмоциональную окраску и расши-
рять числовой кругозор учащихся. Решение задач должно воспиты-
вать в учащихся отчётливые представления в области изучаемых
соотношений, умение применять нужные математические средства
в нужных случаях и ориентироваться как в часто встречающихся
простых, так и в более сложных и новых для решающего, но доступ-
ных ему, арифметических ситуациях.
PRINCIPLES OF SELECTING AND COMPOSING ARITHMETICAL
PROBLEMS
BY PROF. I. V. ARNOLD
Summary
The structure and subject-matter of arithmetical problems in the
books of exercises used at school seems to a great extent casual and not
meeting natural requirements.
Questions of principle in this connection are not being treated with
sufficient penetration in methodical literature.
In order to eliminate these drawbacks we consider it necessary in
the first line to fix distinctly the aims of teaching arithmetics. This will
require the making up of a sufficiently detailed and complete list of the
elements of arithmetical reasoning and imagination of the school children
that are to be developed, in order to base the selection and composing
of arithmetical problems on these elements. These elements, as well as
the corresponding combinations in arithmetical problems, are characterized
not only by the abstract feature of their „algebraic structure", but are
essentially defined by their specific qualitative character in various inter-
pretations, upon which to a great extent depends the process that takes
place in the minds of school-children while solving a problem.

The aggregate of these elements is defined, on the one hand, by
the peculiarities of functional relations studied in arithmetics (direct and
inverse proportion, linear relation between variables) and on the other,
by the requirement that the process of reasoning should follow natural
ways of thinking, and the corresponding comparisons and manipulations
should be capable of concrete interpretation* This is the chief limiting
factor in making a distinction between the arithmetical problems and
those requiring the application of algebraic methods.
It is by the methodical task of teaching pupils to master these
elements in their various combinations that the arithmetical content of
the ploblems, their disposition, the degree of complexity and so on
should be determined.
As to the subject-matter of problems and the selection of numerical
facts it is absolutely indispensable to give up the unhealthy tradition of
regarding these as of minor importance, this attitude leading to harmful
consequences: the topics become monotonous and the putting of question
in the problems artificial. It is essential that the putting of questions in
the problems, as a rule, should be concrete, the solution interesting for
the pupils, the subject-matter of the problem and the numerical data
either of educational value, or possess an emotional colouring and
broaden the numerical scope of the pupils.
The preliminary stage of work on composing problems on these lines
should be the making up of a sufficiently detailed and complete refe-
rence book of numerical facts and of concrete knowledge, which might
be made use of in composing problems and which would contain mate-
rial practically useful and interesting for pupils.

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
ВЫПУСК 6 · 1946
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ И ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ
ПРОПЕДЕВТИКА В СРЕДНИХ КЛАССАХ ШКОЛЫ
Проф. В. Л. ГОНЧАРОВ
член-корреспондент АПН РСФСР
1. Описание одного эксперимента
В апреле 1945 г. в VIII классе одной из женских школ Москвы
без всякой предварительной подготовки мною была предложена
/письменная работа (один урок) следующего содержания:
Вычислить значение величины
при x =... В результате достаточно указать три знака после
запятой.
Числовые значения х, написанные на билетиках, были розданы
учащимся. Они были все различные, в виде десятичных дробей с тремя
знаками после запятой, и были разбросаны более или менее равно-
мерно в промежутке, определяемом неравенством
0,5 < x < 1,5.
Помимо написанных на доске текста и числового значения x
на билетике, никаких указаний дано не было. Да и спрашивать было
не о чем.
Класс погрузился в вычисления.
Тем временем я проделал следующее.
Рассчитав заранее, что при значениях x, взятых из названного
выше промежутка, значения у приходятся на весьма маленький про-
межуток 1,180 вырезку из координатной сетки, соответствующую указанным про-
межуткам: при этом, желая использовать всю доску (размерами, при-
мерно, 4 м x 1 м), взял масштабы 1) по горизонтали (направление x)
0,05 —около 20 см, 2) по вертикали (направление у) 0,005 —около
10 см; таким образом, мне пришлось провести всего десятка два
вертикальных прямых и десяток горизонтальных, с расстановкой,
разумеется, соответствующих значений χ и у по нижнему и левому
краям доски. Линии были проведены от руки, следовательно, не
безупречно, но со всей тщательностью, которую допускал глазомер.
Через несколько минут была сдана первая работа. Воздерживаясь
от каких-либо объяснений, я разыскал на доске точку с координа-
тами, равными числовому значению x на сданном билетике и число-
вому значению у в сданной работе, и отметил её на доске ясно вид-

ным небольшим кружочком (девочка, подавшая работу, и весь класс
за мной следили). То же я сделал и после подачи следующей работы.
Третья девочка уже сама пожелала отметить свою точку; я охотно
уступал инициативе всех следующих, помогая разыскать точку, если
это было нужно. Несомненно, первые полдесятка работ были выпол-
нены наиболее надёжными ученицами: их точки с достоинством
заняли свои места на доске. Но наступил и более печальный случай,
когда на доске для точки не нашлось места; я не воспротивился
желанию автора работы сделать проверку. Случилось далее и так, что
поставленная точка вышла из ряда других, как будто не подчиняясь об-
щему для всех правилу поддержания порядка и дисциплины: и девочка,
уходя от доски, с сомнением смотрела на результат своей работы.
Час прошёл незаметно. Я вышел, оставляя за собой некоторое
оживление у доски (несколько точек остались не отмеченными)
и унося пачку листиков, представляющую собою ценный документ.
Учащийся, окончивший семь классов — неполную среднюю школу,
должен быть в какой-то степени вооружён математически и ради
дальнейшего образования и ради простейших жизненных или техни-
ческих применений. Уметь прочесть формулу, сделать числовую под-
становку, пользоваться десятичными дробями (как бы полученными
в результате некоторого измерения или наблюдения), уверенно выпол-
нять над ними основные действия, включая и извлечение корня —
вот то, чего, по меньшей мере, мы вправе ожидать от наших восьми-
классников и восьмиклассниц.
Привожу итоговую статистику, вытекающую из анализа пред-
ставленных и просмотренных мною 25 работ (это число в точности
совпало с числом учениц, присутствовавших на уроке). Всего
оказалось:
Правильных ответов 13
Ответов с погрешностью в последнем знаке . 3
Ответов грубо-ошибочных, включая и случай
отсутствия ответа . 9
25
Останавливаясь сначала на ответах, грубо-ошибочных в смысле
числового результата, отметим, что:
1) в одном случае, который, повидимому, можно отнести и к раз-
ряду так называемых „затмений", оказалось невыполненным деление
при чрезвычайно странной записи
3,243 1 2,164
2 1,000
1243
2) в одном случае оказалось невыполненным извлечение корня,
очевидно, ещё не усвоенное;
3) в четырёх случаях налицо описки при сложении, умножении
и делении, — явления рассеянности, свидетельствующие не о неумении
выполнять действия, а о недостаточной тренировке в таковых;_
4) в одном случае действие выполнено по схеме √a/b=√a/√b 1,
и из результата ещё раз извлечён корень;
1 К сожалению, эта схема применена в целом ряде работ. В одной работе
имеется приём „избавления от иррациональности в знаменателе":

5) в одном случае природа ошибки не выяснена, так как приве-
дены лишь числовые результаты;
6) в одном случае наблюдается общая растерянность — хаос цифр.
Что касается ответов с погрешностями в последнем знаке, то сле-
дует констатировать, что такие неточности возникали под совокуп-
ным воздействием двух обстоятельств:
1) формулировку „в результате достаточно указать три знака
после запятой" некоторые ученицы нашли возможным истолковать
в том смысле, что после каждого действия разрешается округлять
число в трёх знаках после запятой 1.
2) допускались округления „с недостатком" вместо округлений
„до ближайшей тысячной", например,
0,291961 — 0,291
В качестве типического образчика работы с правильным ответом
привожу текстуально работу ученицы, у которой числовое значе-
ние χ было 0,686.
Прилагаемый чертёж —тот же, что был на доске — даёт общую
картину итогов эксперимента. Правильные ответы показаны здесь
кружочками; ответы с погрешностями в третьем знаке — крестиками;
грубо-ошибочные ответы указываются пунктирами, сами же точки
нужно представлять себе находящимися за пределами чертежа.
1 Значительное большинство писавших воздержалось от такого толкования —
или по инерции или вследствие смутного предчувствия возможного возникновения»
текущей погрешности, выходящей за пределы третьего знака.

2. Арифметика в старших классах школы
Как самостоятельный учебный предмет, арифметика, согласно
ныне действующей программе заканчивается в V классе школы 1.
Далее учащиеся приступают к изучению новых предметов — алгебры,
геометрии, тригонометрии. Внимание учащих и учащихся устремляется
к буквенным преобразованиям, к составлению уравнений, к доказа-
тельству теорем, к выводу формул. Есть крупица истины в том мне-
нии, что при решении алгебраической или геометрической задачи
наиболее существенной и ответственной частью работы является
нахождение решения „в общем виде"; применить же полученный
общий результат к частному случаю, выполнить числовую подста-
новку— дело второстепенное, оно „не стоит труда". С таким взгля-
дом можно мириться, покуда теорией и практикой преподавания оно
не возводится в принцип и не приводит к тяжёлым последствиям
более или менее массового характера.
Указания на неблагополучие с арифметикой у окончивших среднюю
школу слышатся уже давно; не прекращаются и в последние годы.
Нет ничего удивительного в том, что эти указания исходят особенно
часто из вузовских кругов; но характерно, что на эту тему чаще
говорят представители смежных дисциплин (физика, сопротивление
материалов) и специальных технических предметов, чем математики.
Нужно думать, что о том же заявила бы и сама жизнь, если бы
могла установить более тщательный контроль за всякого рода счето-
водческими, статистическими и тому подобными вычислениями.
Весьма существенно проанализировать, что именно в области
арифметической подготовки вызывает справедливые нарекания. Но это
и не очень просто. Из года в год положение вещей несколько
меняется. К тому же понятие „арифметика" несколько неопределённо
и не всегда употребляется в одном и том же смысле.
Конечно, бывали случаи, когда экзаменующийся в вуз, а иной
раз и питомец такового — обнаруживал нетвёрдость в знании основ-
ных законов (или „правил") арифметики. Например, изредка встре-
чаются на школьных скамьях молодые люди или девушки, высказы-
вающие уверенность в справедливости дистрибутивного закона
деления
и это длится обыкновенно до тех пор, пока их собеседнику не при-
дёт в голову, скажем, указать на очевидную несообразность равенства
Были в своё время обоснованными жалобы на неумение части
учащихся выполнять арифметические операции, в особенности деле-
ние многозначных чисел и дробей, не говоря уже об извлечении
квадратного корня. Это время прошло: теперь действия умеют делать
неплохо — в согласии с правилами учебника. Тому свидетельство,—
хотя бы результаты описанного выше эксперимента в VIII классе.
Посмотрим, что же остаётся неблагополучным в области арифме-
тики. Можно признать, что оставляет желать лучшего усвоение
теории делимости с её применениями; слишком примитивны приёмы
1 В связи с тем, что в школу принимаются теперь дети семи лет, курс арифме-
тики, повидимому, будет продлён до VI класса.

(приведения к общему знаменателю; не всегда сокращаются дроби.
Иной раз нас приведёт в ужас результат действия с участием нуля
(или единицы (в подобных случаях память нередко старается взять
там, где не работает разум, и нет сознания непрерывности).
Но нет сомнения, что в настоящее время упрёки, относящиеся
к арифметике^ имеют в виду не столько плохое знание теории,
сколько, во-первых, безразличное отношение к числовому резуль-
тату и, во-вторых, недостаточно высокий уровень вычислительной
техники.
Перед нами явления арифметической, или числовой, беспомощ-
ности. О них стоит говорить обстоятельно, так как они не являются
исключительными, напротив, — они слишком распространены. Борьба
с этими явлениями ещё не развернулась.
Рассмотрим внимательнее обе стороны дела.
„Формализм в обучении" — отрыв формы от содержания —- изобли-
чён, но не изжит. Решая математическую задачу элементарного
содержания, взятую из задачника или из практической жизни, мы
неизменно ищем удовлетворяющее тем или иным требованиям число-
вое значение некоторой величины, измеряемой в заранее определён-
ных единицах. Обычно схема решения такова. Первая стадия есть
„составление уравнения", „арифметизация" рассматриваемой проблемы,
замена задачи конкретного (геометрического, физического, экономи-
ческого) содержания соответствующей отвлечённо-математической
задачей. Вторая стадия— „решение уравнения^', совершаемое по опре-
делённым правилам арифметики и алгебры. Третья стадия — „про-
верка решения", возврат к конкретной ситуации, констатация нали-
чия или отсутствие соответствия между полученным результатом
«и требованиями задачи. На первой стадии отрыв математической
формы от конкретного содержания по существу невозможен, и в этом
обстоятельстве, кстати сказать, кроются трудности, связанные с „со-
ставлением уравнений": учащемуся не так просто направлять внима-
ние сразу и в сторону действительности и в сторону математи-
ческого символизма. Вторая стадия — неизбежно формальная: мы
оперируем с формулами и числами по правилам математики (кото-
рым доверяем), отвлекаясь от конкретного условия задачи и тем
значительно облегчая себе работу. О третьей, критической, стадии
нужно сказать, что она необходима в разных смыслах-, и матема-
тически, поскольку неизвестно заранее, эквивалентна ли отвлечённо-
математическая задача предложенной конкретной, и практически,
так как решение могло и не быть безошибочным, и психологически —
ради того чувства удовлетворения, которое возникает, когда убе-
ждаешься, что поставленный вопрос получил правильное разрешение.
Явление формализма в обучении математике обнаруживается
.не в наличии второй стадии решения задачи, а в отсутствии
третьей. Иногда третья стадия не игнорируется вполне, но недо-
оценивается, или неправильно истолковывается.
Рассмотрим задачу: „Дан круг радиуса /? = 5 см. Определить сто-
рону квадрата, равновеликого этому кругу**.
Первая стадия решения приводит к уравнению я2 = 25 π. Нечего
возразить, если во второй стадии решения учащийся напишет
x = ±√5π
и дальше, извлекая корень приближённо, сделает заключение, что
x = ±8,86.

Но это ещё не всё. На третьей стадии разумный ученик поспешит
отметить, что отрицательное решение уравнения не соответствует
условию задачи и должно быть отброшено; затем, он сформулирует
решение самой задачи (не уравнения) следующим образом: „искомый-
квадрат имеет сторону, приближённо равную 8,86 сантиметров"; мала
того, он на клетчатой или миллиметровой бумаге начертит, или
вообразит, и данный круг и квадрат с вычисленной стороной; сравнит
их площади, подсчитывая квадратики, или хотя бы на-глаз, посред-
ством „прикидки", констатирует отсутствие видимого противоречия.
Роль преподавателя в данном случае достаточно ответственная.
Если ученик по собственной инициативе расположен выполнить всё,,
что относится к „третьей стадии", решения задачи, то, в зависи-
мости от обстоятельств, преподаватель или предоставит ему действо-
вать, или может быть в иных случаях и остановит его („ведь, вы,
сумеете это сделать?"), но если ученик просто не видит необходи-
мости этой третьей стадии, то дело учителя — на то указать и потре-
бовать выполнения задачи до конца.
Но нередко бывает ещё и худшее: получив итоговую формулу,,
учащийся убеждён, что, раз им найден таким образом „ход" решения,
то работа закончена („остаётся одна арифметика"). Например, в выше
приведённой задаче чрезвычайно соблазнительно остановиться на
формуле
При таких условиях формула отрывается не только от конкретного
„текстового" содержания задачи, но и от какого бы то ни было число-
вого содержания.
Писание формул без понимания их числового смысла есть одно
из самых вредных проявлений формализма в обучении математике.
Выяснить, имеется ли налицо понимание числового смысла фор-
мулы,— для опытного преподавателя не представит затруднений».
Следующая задача — „найти сторону x квадрата с площадью 2 см2
и сторону у куба с объёмом 3 см3 — имеет формальное решение
х==√2,у — 3√3. Достаточно, однако, добавить вопрос: „Что больше:
χ или _у?", чтобы числовое содержание задачи было выдвинуто на пер-
вый план.
Нельзя отрицать серьёзные трудности, возникающие в практике
преподавания в связи с затронутым вопросом о выявлении число-
вого содержания формулы, о доведении задач до „окончательного
числового решения". На путь формализма фатально толкают учаще-
гося и учащего постановка вопросов и ответы в задачнике; иногда*
будто бы нехватает учебного времени; наконец, закончить числовое
вычисление часто кажется „мало интересным". Выдвинуть категори-
ческое требование — доводить каждую решаемую задачу до число-
вого результата — представляется слишком педантическим. Главное же
к тому препятствие — известное усилие, которое приходится преодо-
левать при частой смене двух совершенно различных видов матема-
тической деятельности: упражнения изобретательности в нахождении
„хода решения" и чисто вычислительной тренировки. Если не на
самой низшей, то, во всяком случае, на дальнейших ступенях заня-
тий математикой необходимо возникает психологически-оправданная
тенденция избежать многократного раздражающего переключения
внимания с одного рода умственной деятельности на другой —
и отделить числовые выкладки от логического рассуждения.

Но отделить и упразднить вовсе — вещи разные.
Одна из распространённых форм „упразднения" арифметики заклю-
чается в таком подборе числовых данных задачи, при котором все
деления совершаются без остатка, все корни „извлекаются", полу-
чающиеся уравнения имеют целые коэфициенты и целые корни и т. д.
Имеют ли такие задачи что-либо общее с жизненной и технической
практикой? И не странно ли, если учащийся имеет возможность
заключить о том, правильно ли им решена задача, по второстепенным
обстоятельствам теоретико-числового порядка?
Изложенное выше приводит нас к следующему выводу:
Преодоление формализма в обучении математике немыслимо
без привлечения особого внимания учащихся и учащих к числовому
содержанию буквенной формулы, без поднятия престижа арифме-
тической выкладки, без осмысливания выполняемой вычислительной
работы.
Очень существенно использовать возникающие возможности для
доведения решаемых задач "до числового результата". Но вместе
с тем следует найти способы и к тому, чтобы внимание напра-
влялось к арифметике не только „попутно" и „между прочим",
но также и к тому, чтобы от времени до времени само арифме-
тическое вычисление выдвигалось перед учащимися как видимая
цель работы — с таким расчётом, чтобы получаемые ими правиль-
ные числовые результаты могли быть ими оценены и доставили
удовлетворение.
Перейдём к другой стороне вопроса, повидимому, уже не имею-
щей близкого отношения к формализму в обучении, но весьма важ-
ной с практической точки зрения.
Мы уже отметили, что задачник нередко преследует ложную цель
уберечь учащегося средних и старших классов от арифметических
неприятностей; да и учителю как-то неловко предложить на месте
придуманную задачу или уравнение, если решения не являются целыми
положительными числами.
Но жизненные и в особенности технические задачи, подразуме-
вающие приближённые вычисления более или менее высокой точ-
ности, строятся совсем иначе: данными в них, по большей части,
являются результаты наблюдений или измерений, выражающиеся
округлёнными десятичными дробями; такими же должны быть
и ответы задачи.
В школе учащиеся иногда узнают кое-что о способах оценки
погрешностей; но их редко знакомят на практике с тем, как следует
производить приближённые вычисления. Программа очень скромна
и сдержанна в этом пункте.
Посмотрим, однако, как обстоит дело в вузах и втузах. Можно
допустить, что преподаватель-математик (руководитель практических
занятий или профессор-экзаминатор), следуя традиции или молчали-
вому соглашению, мало тревожит своих студентов вычислительными
задачами с приближёнными данными. Но преподаватели физики,
химии, а также многих специальных предметов — не участники
в заговоре и обнаруживают известную беззастенчивость. Конечно,
в результате упражнений всякое несложное умение рано или поздно
приходит. Но взгляните на студенческие черновые тетради с расчё-
тами по прикладным предметам — и вы увидите, как дорого обхо-
дится нашей молодёжи то обстоятельство, что средняя школа не

вооружает её навыками экономно выполняемых, разумно располо-
женных и легко проверяемых вычислений.
Старая, дореволюционная школа выдвигала требование выполнять
числовые операции не только „сознательно", но также „быстро
и изящно". Мы думаем, что это не плохое требование. Умение
хорошо считать устно и письменно (нас же здесь интересует пре-
имущественно письменный счёт) должно быть и в наши дни рас-
сматриваемо как один из важнейших признаков того, как усваивается
курс математики. Человек, умеющий ценить точность и умеющий
сам получать точные числовые результаты, на голову выше чело-
века, который этими свойствами не обладает.
Мы описали в начале этой статьи эксперимент, произведённый
в VIII классе одной школы: он заключался в том, что учащимся,
закончившим курс арифметики, было предложено как раз вычисление
технического характера — составление таблицы числовых значений
не особенно сложного буквенного выражения, причём работа была
разделена между всем классом. Если судить по числу сделанных
ошибок, то результаты эксперимента нужно считать более или менее
удовлетворительными: констатированные погрешности не принци-
пиальны и не слишком многочисленны. Но мы не можем быть
удовлетворены приёмами вычисления и расположением действия.
Например, в приведённой выше работе основное вычисление содер-
жит 191 цифру, тогда как, пользуясь сокращёнными приёмами записи
действий, достаточно было бы написать всего 74 цифры. Кроме того,
неумело (хотя и правильно) извлечён корень из десятичной дроби,
и действия занумерованы так, как это делается при решении текстовых
задач в начальной школе, тогда как лучше было пользоваться
буквенными обозначениями, вынося арифметические выкладки .на
сторону. Нам бы хотелось видеть ту же работу выполненной при-
мерно, в следующем виде, более удовлетворяющем, как мы полагаем,
требованию „изящества":
Что касается идеала „быстроты", то, как утверждают специалисты,
оптимальная скорость писания числовых выкладок соответствует,
приблизительно одному типографскому знаку в две секунды; при
такой скорости, в данном случае, для всей работы понадобилось бы
около пяти минут. В нашем же эксперименте работа отняла, как мы
видели, от 15 до 35 минут. Мы не сомневаемся, что после неболь-
шой тренировки, и без всякого форсирования, тот же класс дал бы
значительно лучшие показатели „быстроты".
Относительно того, что такое „сознательность" при вычислениях
возможны различные, в том числе и превратные, толкования. В про-
цессе усвоения четырёх основных арифметических действий, уча-
щийся вникает в смысл совершаемых операций, хотя более солидное,
формально-логическое их обоснование возможно (и крайне жела-

тельно) дать лишь в VII или VIII классах, например, при общем
повторении арифметики, с использованием алгебраических обозна-
чений. Алгорифм извлечения корня приходится объяснять не иначе
как с привлечением алгебры. Но то, что усвоено сознательно
(т. е. с участием разума, а не на чисто подражательной основе),
только тогда становится прочным приобретением, когда в итоге
достаточно продолжительной тренировки переводится из сферы
сознания в сферу подсознания.
Совершенно обязательно добиваться высокого уровня прочности,
свободы, беглости при выполнении повседневных математических
операций1. Усваивать эти повседневные операции может быть нужно
сознательно, но уметь выполнять непременно без малейшего напря-
жения мысли, я бы даже рискнул сказать — автоматически. Так,
вероятно, можно научиться плавать по самоучителю, не входя в воду,
но только о том мы скажем, что он „умеет плавать", кто, будучи
в воде, не вынужден вспоминать „правила плавания". Когда нужно
действовать — не место логическому анализу. Свободно, без усилий
сознания, человек делает физические упражнения, ходит, танцует,
умывается, одевается; так же свободно он говорит на родном языке.
Отсутствие свободы в выполнении арифметических операций на
известном этапе (начиная с такого-то класса) нельзя оправдать
необходимостью „упражнять мышление".
Значит ли всё это, что должно считать автоматически, наподо-
бие машины? В известном смысле арифметическая машина есть,
действительно, идеальный счётчик; но считающий человек в ином
смысле стоит много выше. Он совмещает одновременно машину
и того, кто ею управляет. Выключая сознание в его низших функ-
циях, он направляет его к высшей функции: он планирует вычисле-
ние и контролирует его. Точно так же тот, кто говорит на родном
языке, не „упражняет мышление", стараясь вспоминать правила
склонений и спряжений, а сосредоточивается на содержании высказы-
ваемых мыслей.
Итак, под „сознательностью" в вычислениях мы склонны пони-
мать наличие двух разных вещей: 1) способности в нужных случаях
(при возникновении сомнений) дать логическое обоснование употреб-
ляемому приёму, 2) способности планировать и контролировать
вычисления.
Мы приходим таким образом ко второму выводу.
В рамках учебного процесса в средней школе должны быть изы-
сканы способы к тому, чтобы раз „объяснённые" и „логически обо-
снованные* повседневные арифметические операции в дальнейшем
усваивались учащимися настолько прочно, чтобы выполнение их
было вполне свободным и беглым. Необходима длительная трени-
ровка на более высоких возрастных ступенях. При этом следует
направлять внимание учащихся к планированию их вычислитель-
ных работ и упражнять их в контролировании получаемых резуль-
татов.
3. О функциональной пропедевтике
Учащемуся, закончившему школу и поступающему в вуз реальной
специальности, предстоит изучение—в том или ином объёме —
основ анализа бесконечно-малых и аналитической геометрии. На
1 Сюда прежде всего относится умение перемножать однозначные числа: мы
не уверены в том, нужно ли таблицу умножения „учить на память", но не сомне-
ваемся, что её необходимо „знать на память" и применять с абсолютной беглостью.

этих более высоких ступенях математики основным предметом изу-
чения становится функциональная зависимость, заданная в виде
уравнения и ради наглядности изображаемая в виде кривой, или
кривая, заданная геометрическим условием и ради краткости описы-
ваемая уравнением. Между тем и другим разница — лишь в точке
зрения.
Учащийся из средней школы, идущий в вуз гуманитарной специ-
альности или выходящий в практическую жизнь, может избегнуть
встречи с высшей математикой как учебным предметом. Но пережи-
ваемая нами эпоха такова, что и в практической жизни он не смо-
жет не столкнуться с самыми разнообразными примерами функцио-
нальных зависимостей, изображённых в виде графиков и диаграмм,
„чтение" которых (а тем более „составление") подразумевает опре-
делённым образом направленное, так называемое „функциональное"
мышление.
Студент технического вуза, не понимающий „языка формул", т. е.
не обладающий способностью наглядного их представления, обречён
на „формальное" заучивание математических предложений, иначе
говоря, на бесплодную зубрёжку: цена его знаниям минимальна. Врач,
или отец больного ребёнка, не умеющие записать график темпера-
туры, пусть спросят себя: зачем учили их в школе математике?
Речь идёт не о приобретении обширных знаний или усвоении
каких-либо теорий, а всего лишь об идее функциональной зависи-
мости, как такого (говоря словами учебника) соотношения между
двумя величинами, что „каждому значению одной величины соответ-
ствует некоторое значение другой", и о графическом представлении
функции, о графике уравнения, как о „совокупности точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют уравнению".
Если оставить в стороне функциональную терминологию и симво-
лику, то сказанным буквально исчерпывается всё, что учащийся
средней школы обязан знать о функции как таковой. Десяти часов,
предусмотренных программой VIII класса, вполне достаточно для
того чтобы сообщить в развёрнутой форме приведённые формули-
ровки, показать несколько примеров и разъяснить терминологию
и символику. Во всей „теме" о функциях и их графиках не содер-
жится ни одного положительного утверждения, ни одной „теоремы".
На это обстоятельство, как и на „расплывчатость" самого понятия
функции, указывают, между прочим, люди, оспаривающие педагоги-
ческую ценность функционального начала и оказывающие явное или
неявное сопротивление его проникновению в школьное преподавание.
Но это „расплывчатое" в своей общности понятие должно быть
подлинно освоено на конкретных примерах, а это дело — не малое.
Представьте себе студента, который „выучил" не только общие
словесные определения, но и почерпнул в учебнике сведение о том,
что „уравнение у2 = 2рх представляет параболу", однако обнаружи-
вает неспособность без наводящих вопросов правильно изобразить
на координатной сетке кривую у2 = 4х. Мы позволим себе высказать
суждение, что пребывание этого студента в стенах вуза совершенно
бесполезно, покуда в результате продолжительных и надлежащим
образом подобранных упражнений, в его сознании не укрепится идея
функции и понимание принципа, на котором основывается её графи-
ческое представление. Возможно, что в условиях вуза, при извест-
ном усердии со стороны обучаемого, цели можно достигнуть за срок
порядка месяца. Но нормально — в условиях средней школы, в об-
становке классного преподавания, без спешки, с учётом возрастных

особенностей, — для прочного усвоения идеи функции нужны годы
незаметной, умело проводимой педагогической подготовительной
работы.
В самом деле, с точки зрения содержания курса элементарной
математики, — содержания, определяемого установившейся практикой
преподавания, — задача внедрения в умы учащихся общей идеи функ-
ции далеко не проста. В VII—VIII классах в курсе алгебры учащийся
имеет дело с зависимостями первой и второй степени, в курсе гео-
метрии встречается только с прямой и окружностью. И вдруг —
общая идея функции, идея „произвольной" кривой, проведённой
остриём карандаша на бумаге или острым концом мела на доске!
Любой учащийся — и иной преподаватель — готов сказать: „да это
уже не математика, и к математике никакого отношения не имеет!"
Функциональная пропедевтика в средней школе призвана предва-
рительно, независимо от того, будет ли учащийся или не будет
изучать анализ, ознакомить учащегося с разнообразными типами
функциональных зависимостей — с установкой на возможно более
широкое раскрытие функциональных представлений. Сомнений нет
в том, как следует проводить это ознакомление: конкретно, посред-
ством сосредоточивания внимания на частных примерах, теснейшим
образом связанных с применениями. Разве не так же точно осуще-
ствляется—отчасти в дошкольный период времени—и биологическая
пропедевтика: путём посещения зверинца или зоосада, экскурсии
в лес и в поле, с осмотром каждого животного и каждого растения
в отдельности? Разве не таков наилучший способ вызвать у ребёнка
сознание необычайного разнообразия форм в окружающей его
природе?
Более дискуссионным является вопрос об объёме функциональ-
ной идеи, о степени „произвольности" функции и кривых, подлежа-
щих рассмотрению в средней школе, а также — о порядке рассмо-
трения отдельных примеров.
Нам кажется педагогически оправданным считать, что в каждый
данный момент прохождения школьной программы общность пропе-
девтически вводимой идеи функции должна быть ограничена теми
аналитическими средствами, которые к тому, времени введены
в обиход. Так, покуда в распоряжении учащегося имеются лишь
четыре арифметических действия, его вниманию могут предлагаться
только примеры рациональных функций; после введения извлечения
корня уместно ознакомиться с функциями, явно выражающимися
через радикалы и т. д. Функции, заданные неявно или эмпирически,
также неизбежны в средней школе, но они приходят позднее, когда
уже возникли представления о действительном числе и о непрерыв-
ности, притом в связи с введением определения функции (конец про-
педевтики). Пытаться в средней школе исчерпать общее понятие
функции останется, вероятно, навсегда неосуществлённым замыслом.
Но подготовлять учащихся к восприятию общей идеи непрерывной
функции и „произвольной" кривой, именно базируясь на эмпириче-
ских зависимостях, было бы весьма полезно и не безнадёжно. Правда,
появление в курсе элементарной математики „произвольных" непре-
рывных функций и кривых может быть полностью оправдано только
теоремой Вейерштрасса о приближении непрерывной функции после-
довательностью полиномов. Не в способности ли отчётливо понять
содержание этой теоремы следует видеть тот „порог анализа беско-
нечно-малых", к которому, по слову Меранской программы, должна
.подвести учащегося общеобразовательная школа?

С другой стороны, желательно, чтобы при соблюдении указан-
ного выше ограничения — идея функции предлагалась учащимся не
в искусственно обеднённой форме. Суть „ознакомления" учащегося!
с данной функцией заключается в том, чтобы учащийся самостоя-
тельно построил для неё „по точкам" таблицу и график» Если из
того, что, согласно программе, целый год изучаются линейные урав-
нения, преподаватель сделает вывод, что целый год нужно застав-
лять строить по точкам прямые линии, то учащийся с полным осно-
ванием придёт к заключению, что построение графиков — дело
пустяковое и никчемное; от идеи пропорциональной зависимости он
не сдвинется вперёд ни на шаг. Прибавление графика трехчлена
второй степени у = х2 -\-px-\-qy само по себе, также ещё не озна-
чает серьёзного прогресса, так как учащийся мало приобретёт, если
при слове „функция" ему будет рисоваться парабола с поднятыми
кверху „концами".
Примеры функций должны быть и более многочисленными и более
разнообразными.
Возвращаясь снова к сравнению, выскажем убеждённость в том,
что показать ребёнку картинку с изображением домашних животных—
скажем, коровы, лошади и овцы — не значит вызвать в нём пред-
ставление о животном царстве в целом. Тигр, бабочка, змея, обезьяна,
страус — вот более яркие и живописные представители этого царства.
Требование многочисленности и разнообразия рассматриваемых
примеров функций в значительной степени осложняет проблему
функциональной пропедевтики в средней школе.
От студента первого курса специального института или физико-
математического факультета допустимо потребовать представления
к определённому сроку такого-то количества графиков (30—40).
Подобного рода работа — по плечу уже взрослому молодому чело-
веку, обладающему способностью заниматься с известной настойчи-
востью, имеющему, как правило, достаточное расположение к мате-
матике, умеющему бегло считать, понимающему назначение изучае-
мого предмета и выполняемых упражнений.
К учащемуся средней школы такой подход едва ли возможен.
Построение графика само по себе, несомненно, способно заинтере-
совать подростка 13—15 лет. Но после того, как принцип будет
схвачен, и любопытство удовлетворено, работа ему прискучит и будет
брошена, именно потому, что связанный с её выполнением арифме-
тический труд не будет оправдан. В старших классах школы (возраст
16—18 лет) интерес во многих случаях может быть подогрет тем,
что в качестве видимой цели будет выдвинуто не построение
графика, а исследование конкретной задачи геометрического или
физического содержания, в особенности нахождение максимума или
минимума. Но для функциональной пропедевтики в средних классах
следует найти какой-то иной движущий рычаг.
Резюмируем:
Одной из важнейших задач преподавания математики в сред-
ней школе является вызвать в сознании учащихся общую идею
функциональной зависимости {непрерывной кривой) и обогатить его
математический опыт рассмотрением значительного числа разно-
образных примеров графиков функций. Соответствующая пропедев-
тика должна проводиться уже в средних классах (V/— VIII) и, не
ограничиваясь многочленами первой и второй степеней, использовать
Солее богатые имеющиеся в распоряжении учащихся средства.

Затруднение заключается в определении в каждом случае таких
видимых целей, которые были бы достаточно убедительными в гла-
зах учащихся, чтобы оправдать производимые ими табличные вычи-
сления.
4. Рационализаторское предложение
Мы предлагаем: известную часть учебного времени в VI—VIII
классах отвести для упражнений особого типа, заключающихся
в выполнении ряда заранее указанных числовых подстановок в одном
и том же заданном буквенном выражении. Видимой целью такого
рода упражнений служило бы усовершенствование навыков выпол-
нения арифметических операций. Одновременно эти упражнения
служили бы целям функциональной пропедевтики. При выполнении
упражнений особое внимание надлежало бы уделять планировке
операций и записи их в удобно обозримом расположении, а также
контролю получаемых числовых результатов. Некоторая часть
упражнений могла бы возникать из буквенных формул, решающих
текстовые задачи геометрического или физического содержания.
Работа, описанная в начале этой статьи, может служить примером
упражнений, о которых здесь идет речь.
Мы усматриваем особую целесообразность и особую выгоду
в том, чтобы две капитальной важности и высокой трудоёмкости
проблемы — сообщение учащимся прочных навыков арифметических
вычислений и пропедевтическое ознакомление с идеей функции —
могли быть разрешаемы совместно.
О том, в каком аспекте преподносить учащемуся проектируемые-
упражнения: как тренировку в счёте или как функциональную про-
педевтику—не может быть двух мнений. Видимая, явно указываемая
учащемуся цель работы на первых порах должна быть ближе
к арифметике. Каждый школьник сам прекрасно сознаёт, что искус-
ство счёта у него не на высоте; он понимает, что считать трудно,
что требуется напрягать внимание и делать усилия, чтобы не оши-
биться; он должен стараться не быть рассеянным и небрежным; он
много выиграет, если добьётся хороших навыков в счёте и т. д.;
вообще идеал сознательного, быстрого и даже „изящного" счёта
для него вовсе не непостижим. Если кто-нибудь сам этого не понимает,
можно разъяснить, что тот, кто считает грязно, медленно, с ошиб-
ками, не должен этим гордиться. С другой стороны, из арифметиче-
ских упражнений не так трудно, и совсем не опасно, сделать нечто
в роде игры или спортивного состязания: погоня за малым числом
арифметических ошибок ни в каком смысле не предосудительна.
Таков фокус видимых целей. Что же касается идеи функциональ-
ной зависимости, то... насильно её не притащишь: со временем,
рано или поздно, она явится сама. Задача преподавателя — создать
предпосылки для её возникновения. Нет средств ускорить появление
так называемых „зубов мудрости". Неоправданное разъяснение от-
влечённостей едва ли принесёт пользу, а скорее вызовет ощущение
досады и скуки. Напротив, при составлении таблиц непременно то
один то другой учащийся станет подмечать в рядах цифр „законо-
мерности" и делиться вслух своими наблюдениями. В каждом дан-
ном случае учитель разберётся — поддержать ли высказанную мысль
или угасить её. Мы остановимся несколько позднее (см. стр. 47) на той
особенно значительной роли, которую играет график функции в на-
шей системе арифметических табличных упражнений. Позднее будут
указаны и более точно конкретизированные, близкие арифметике

видимые цели. О главной же — и скрытой — цели, функциональной,
пусть знает учитель; ученики увидят её потом.
Мы указали только один образчик упражнений, но уже ощущаем
вызванное им смятение и беспокойство, уже слышим недоуменные
вопросы и направляемые нам возражения. Поспешим ответить хотя
бы на некоторые.
Возражение первое. Легко сказать — „отвести известную
часть учебного времени". Учебные программы достаточно перегру-
жены и теперь. А часы занятий математикой не предполагается уве-
личивать. Откуда взять эту „известную часть" времени? За счёт чего?
Отвечаем:
1. Пора направить внимание нашей методической мысли не
к ближайшим, а к конечным целям обучения математики. К таким
конечным целям нельзя не отнести, во-первых, умение считать,
во-вторых, овладение идеей функциональной зависимости. Можно
спорить о том, верные ли средства найдены для достижения конеч-
ной цели. Но если средства такие есть, то надо их поставить на
первый план, и им подчинить ближайшие цели преподавания.
2. От неудач не застрахован никто. Но позволительно рассчиты-
вать, что, взявшись за дело правильно и на первых порах затра-
тивши некоторое излишнее, казалось бы, время, можно при дальней-
шем движении вперёд приобрести такое ускорение и такой размах,
которые с избытком компенсируют первоначальное отставание.
В самом деле, если мы употребим, например, время в VI классе на
то, чтобы математическая формула не отрывалась формалистически
от принимаемых ею различных числовых значений, то не предохра-
нит ли это позднее от целого ряда печальных последствий?
3. Система предлагаемых нами упражнений может быть разрабо-
тана и детализирована таким образом, чтобы органически влиться
в проходимый в данный момент раздел программы. Следовательно, наши
упражнения способны стать частью текущего задачного материала, тем
самым поднимая его на большую принципиальную высоту. Предусмо-
тренные программой периоды повторения для того особенно удобны.
4. Говоря об „известной части учебного времени41, мы умышленно
воздерживаемся от суждения о том, какова эта часть в процентном
отношении. В зависимости от локальных обстоятельств этот процент
способен довольно значительно меняться: он выше, если класс от-
стаёт по арифметике и если „формализм в обучении" уже успел
принести свои плоды; он ниже, если учитель по собственной инициа-
тиве продвинул вперёд вычислительные навыки и воспитал в уча-
щихся живое восприятие числа и формулы, В нормальных условиях
одной классной или одной домашней работы в 3—4 недели в среднем
было бы, вероятно, достаточно.
Возражение второе. Оказывается, что предлагаемый вами
рецепт сводится к „выполнению числовых подстановок в буквенных
выражениях". Признаёмся: и не ново и не увлекательно! Мы ожи-
дали чего-то более оригинального. Примеры на числовые подста-
новки в стабильном задачнике имеются (Шапошников и Вальцов, ч. I,
изд. 10, 1941, гл. 1, 9). Для хороших учеников выполнение большого
числа таких примеров неинтересно, для плохих слишком трудно,
и в обоих случаях это — потеря времени.
Отвечаем:
1. Тяжеловесные примеры стабильного задачника метят в сторону—
„порядка действия" и раскрытия „смысла скобок". В каждом буквен-

ном выражении стабильный задачник разрешает выполнить только
одну числовую подстановку. Функциональный смысл формулы при
этом никак не обнаруживается. Я же совершенно определённо ука-
зываю на необходимость ряда подстановок в одной и той же, зато
сравнительно простой формуле. Так, в исходном эксперименте выпол-
нено 25 подстановок: работа — коллективная и была поделена между
25 девочками, но это не нарушает её целостности, а функциональ-
ное содержание иллюстрируется графиком, сделанным мною на
доске. В том, чтобы выполнить одну подстановку, едва ли можно
усмотреть большую поучительность: мы озабочены прочным усвоением
навыка, достигаемого путём многократного повторения операции, и со-
поставлением результатов, получающихся при различных операциях.
2. Нужно различать два смысла термина „трудный": 1) трудный —
требующий большого напряжения мысли и 2) трудный — отнимающий
много времени. О чрезмерной трудности в первом смысле едва ли
можно говорить, так как имеются в виду пройденные уже действия
и нужно только „набить в них руку"; трудность во втором смысле
есть то, что должно быть, между прочим, устранено в результате
упражнений. Кроме упражнений, нет другого пути к достижению
беглости, или, как говорили раньше, „сноровки".
3. Только что сказанное относится к более слабым ученикам,
которые, безусловно, должны подтягиваться к среднему уровню:
успех зависит исключительно от прилежания. Иной разговор о „хо-
роших" учениках, для которых арифметические упражнения „не
интересны". Тут нужно тщательно выяснять что это за „неинтерес-
ность" и выводить на чистую воду иных поверхностных верхоглядов,
которые ищут предлога для того, чтобы уклониться от работы,
требующей сосредоточения внимания. Поверхностное отношение
к работе („понял—и с плеч долой") — очень опасное явление, кото-
рое, впрочем, не грозит укорениться, если своевременно встретит
отпор со стороны преподавателя. С другой стороны, можно допу-
стить, что данный ученик, действительно, сумел приобрести доста-
точные навыки беглости и аккуратности в счёте, заметно опережая
в этом большинство своих товарищей; тогда процесс счёта ему не
препятствие, а его внимание можно переключить на функциональный
момент („сделай такие-то задачи, представь графики — и займись
своим делом"). Как бы то ни было, нельзя допускать, чтобы в смысле
навыков счёта способный ученик, не привыкший работать, уступал
менее способному, но прилежному.
4. Считая, что от числовых подстановок и точечных построений
не может быть освобождён ни один ученик — ни плохой, ни хоро-
ший,— мы согласны признать, что развиваемая нами мысль — тракто-
вать точечные построения как тренировку в вычислениях, особенно
плодотворна по отношению к среднему ученику, представляющему
в классе устойчивое большинство. Мы не скроем и того, что сама
мысль возникла на основе продолжительных наблюдений над от-
стающими студентами в течение первого семестра: при внимательном
отношении руководителя практических занятий к выполнению студен-
тами графических работ неизменно оказывалось, что разного рода
дефекты в их подготовке по „арифметике" сами собой, автоматически,
и довольно быстро изживались.
5. Содержание предлагаемых упражнений
Ответить на вопрос школьника „Чем мы сегодня будем зани-
маться?" — „Мы будем заниматься подготовительными упражнениями,

которые подведут к понятию функции", — значит, дать ответ, пра-
вильный по существу, но совершенно не убедительный для самого»
школьника, который о функциях ничего не слыхал и не так скоро»
услышит. Напротив, сказать, что целью упражнений является трени-
ровка в арифметических вычислениях, — звучит более веско и более
доходчиво. Учащийся понимает смысл физических, орфографических,,
каллиграфических упражнений, ему нет надобности разъяснять смысл*
диктовки и т. д.
Однако весьма существенно, чтобы каждое отдельное упражнение
преследовало определённую, конкретную, видимую цель, которая;
в глазах учащихся содержала бы некоторый элемент новизны и вос-
принималась бы ими как практически-полезная. Нужно дать почув-
ствовать учащемуся, что он сегодня научился чему-то стоящему,
что-то приобрёл.
В дальнейшем намечены некоторые типы упражнений, имеющих:
узкое целевое содержание; это содержание по большей части ариф-
метическое, но иногда увязывается с текущим программным материа-
лом, не теряя, впрочем, своего арифметического характера. Мы при-
ветствуем текстовое интересное и поучительное условие, если она
оживляет преподавание и* не отвлекает внимания учащегося в сто-
рону; но изобретение текстов — особая статья, о которой речь здесь
не идёт, и потому примеры текстов в дальнейшем приводятся лишь
в тех случаях, когда эти тексты играют существенную роль.
Мы никогда не упускаем из виду принцип разделения трудностей..
1. В самом начале VI класса учащийся знакомится с алгебраиче-
ской формулой и усвоение формулы, как таковой, вполне уместно
связать с несложными вычислениями. Попутно усваивается обозна-
чение действий в алгебре, роль скобок и т. п. Результаты обяза-
тельно записываются в табличной форме. Ради усвоения того, что
значит „подставить в формулу такие-то значения", на первой ста-
дии необходимо при каждой подстановке тщательно переписывать
всю формулу, заменяя лишь всякий раз букву подставляемым значе-
нием. Полезно установить некоторый стандарт: учащемуся предла-
гается табличка с заполненными исходными горизонталью и верти-
калью, — ему остаётся только заполнить свободные места. Пока вни-
мание сосредоточено на формуле, и на усвоении табличного распо-
ложения, вычисления, естественно, должны быть настолько просты,,
чтобы их можно было выполнить в уме. Приводим примеры.
Задание Выполнение

Задание Выполнение
X
2x+5
2 (х + 5)
1
x + 5
x ^ 5|
2x + 5
2(* + 5)
1
*+5
1+1
х 5
3
3
23 -f 5 = 11
2(3+5) = 16
1 1
3 + 5-8
1 , 1 _ 8
3 5 15
Задание
Выполнение
а
с
а(* + с)
аб + с
а
Ь
с
ab + с
2
3
5
2
3
5
2-( 3 + 5) = 16
2-3 + 5= 11
4
7
12
4
7
12
4·( 7 + 12) = 76
4. 7 + 12= 40
15
24
32
15
24
32
15.(24 + 32) = 840
15-24 + 32 = 392
2. Когда стандарт расположения в форме простых таблиц можно
считать прочно усвоенным, своевременно показать и расположение
в двойной таблице (таблице „с двойным входоми). Предположим, что
•формула содержит две буквы (два переменных параметра) и надле-
жит выполнить подстановки, возникающие при всевозможных комби-
нациях, составляемых из двух независимых рядов значений для каж-
дой буквы. Такое расположение обеспечивает большое число дей-
ствий при сравнительно малом числе данных и имеет и другие
выгодные стороны.
Пример: вычислить значения z = x~^_y при χ = 9, 11, 16;
у = 2, 5, 7, 8.
Задание
Выполнение
Применение таблиц с двойным входом служит пропедевтикой
-функций двух переменных. Учащиеся с удовольствием убедятся, что
хорошо знакомая им таблица умножения Пифагора построена именно
по этой схеме (функция z = xy).
3. Раз схемы усвоены, можно направить внимание учащихся
в другую сторону. Один из житейских полезных приёмов, с которым,
к сожалению, не принято знакомить в младших классах наших школ,
это — приём контролирования девяткой арифметических действий,
совершаемых над целыми числами (или десятичными дробями). Метод
девятки очень своевременно ввести в употребление в VI классе,
не упуская в дальнейшем удобных случаев пользоваться им и доби-
ваться автоматизма в его применении.

Вычеты по модулю 9 удобно писать правее основных чисел,
за вертикальной чертой. Теории объяснять не нужно: к ней лучше
будет обратиться несколько позднее, когда техника будет усвоена,
и учащиеся потребуют объяснений. Термин „вычет" не доходчив:
я предложил бы „укорачивать" числа, выписывая результат за чер-
той. „Укорачивание" производится посредством суммирования цифр,,
с попутным выбрасыванием девяток. С „укорачивания" удобнее всего
начать. Приводим примеры „укорачивания":
4025791 1
16243817 5
60675 6
и примеры основных действий:
37268
8
73015
7
385
7
48736
1
~~ 68746
4
X 47
2
86004
~0
4269
3
2695
1540
18095
2015
172
295
258
37
[43
46
2015 =43X 46 + 37
8 =7X1+1
Целесообразно предлагать контролировать методом девятки
арифметические действия, в особенности умножение, выполненные
по заданиям, в форме двойной таблицы: таблица выписывается на
основном листе, сами действия с контролем — на вспомогательном*
4. Другой способ контроля — табличный. Он основан на суммиро-
вании чисел, стоящих на одной вертикали. Замечательный эффект
этого контроля заключается в том, что учащиеся поневоле побу-
ждаются (и привыкают) писать многозначные числа и десятичные
дроби согласно правилу „разряд под разрядом".
Пример:
Умножение
Сложение
2,3
6,83
1,73
3,979
1,73
8,56
2,15
4,945
2,15
8,98
4,47
10,281
4,47
11,30
8,35
19,205
8,35
28,84
Контроль:
8,35
Х2,3
2505
1670
19,205
Контроль:
V 6>83
х 3
+
20,49
8,35
28,84
5. Чтобы научить округлять числа с наперёд заданным числом
знаков после запятой, выгоднее всего воспользоваться формулой
деления z= x/y, прибегая к таблице с двойным входом.
Округление с двумя зна-
ками после запятой
Округление с тремя зна-
ками после запятой
Vy
х \
7
17
ЧУ
χ >
7
17
10
1,43
0,59
10
1,429
0,588
12
1,71
0,71
12
1,714
0,706
15
2,14
0,88
15
22,143
0,882

6. Мы склонны усиленно агитировать в пользу широкого употре-
бления приёма сокращённого умножения десятичных дробей и много-
значных чисел. Мы имеем в виду не так называемое „правило Фер-
роля" (иначе .индийское правило"), предписывающее избегать выпи-
сывания частных произведений и тем позволяющее, по слову покой-
ного акад. А. Н. Крылова, „экономить мел, расходуя мозг", а совсем
иное „правило Утрехта", рекомендующее не писать лишних цифр,
если требуется лишь ограниченная точность. Образчик этого умно-
жения уже был приведён на стр. 36 настоящей работы. Усвоение
правила Утрехта требует от учащегося некоторых усилий, притом
довольно продолжительных, направленных, главным образом, на пре-
одоление привычки умножать обычным приёмом. Но раз усвоенное,,
это правило постоянно оказывает неоценимые услуги и притом вовсе
не требует особого напряжения внимания.
Обучать приёму Утрехта удобно в три приёма: сначала не пере-
ставляя в обратном порядке цифр множителя и не принимая во вни-
мание первого отбрасываемого разряда; затем переставляя цифры
множителя и не принимая во внимание первого отбрасываемого раз-
ряда; наконец, переставив цифры множителя и принимая во внима-
ние первый отбрасываемый разряд. Это демонстрируется на примере
умножения 2,753X6,294:
ι 2,753
Х 6,294
2) 2,753
Х 4926
3) 2,753
Х 4926
16518
16518
16518
550
550
551
243
243
247
8
8
11
17,319
17,319
17,327
Аналогичный приём при выполнении сокращённого деления заклю-
чается в следующем: вместо того чтобы умножать делимое на 10
посредством сноса цифры следующего разряда, увеличивают дели-
тель в 10 раз, отбрасывая его последнюю цифру.
Мы настойчиво рекомендуем упражнения в сокращённом умно-
жении и делении, с расположением действия в схеме простой ил»
двойной таблицы и с применением табличного контроля (возможны
небольшие неувязки, вызываемые текущей погрешностью). В даль-
нейшем, после первоначального усвоения приёма, им следует поль-
зоваться при всяком удобном случае.
7. Очень важный момент в предлагаемых нами упражнениях —
появление графика функции от одной переменной: график, по нашему
замыслу, служит средством контроля вычисления, проделанного
в схеме простой таблицы. Нам казалось бы правильным, предлагая!
числовые значения для подстановки в формулу, выбирать их или по
принципу „беспорядочности" или руководствуясь соображениями ариф-
метического порядка. Но при переходе к графическому контролю
естественно вызвать к жизни идею непрерывности, которая до того
момента игнорировалась: предлагать для подстановок значения^
расположенные в арифметической прогрессии, т. е. равноотстоящие,,
с маленькими промежутками, предоставляя учащемуся следить за
маленькими изменениями числовых результатов подстановок.

Пусть, например, предложено подставить в формулу
v = 0,24x2
числовые значения
;с = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; и т. д. до χ = 4,0.
Построение графика на обыкновенной клетчатой бумаге придётся
не столько объяснить (дать словесное описание этому процессу),
сколько показать — почти молча. Учащиеся, несомненно, будут рады
и новому занятию и той правильности в расположении точек, кото-
рая сразу им бросится в глаза и которую наиболее развитые назовут
„закономерностью". Пытаться дать логическое определение понятию
непрерывности — безнадёжно; уместнее пользоваться приблизитель-
ными синонимическими оборотами речи: „значения меняются посте-
пенно", „график получается плавный" и т. п. В надлежащих случаях
придётся сделать замечания в таком роде: „Что это у тебя точка
•стоит не на месте? Покажи-ка вычисления, посмотрим, в чём ты
напутал".
И масштаб и подставляемые значения переменной преподаватель
на протяжении долгого времени должен назначать сам, относясь
к этой стороне дела с большим вниманием.
Арифметические табличные вычисления, заключающиеся в ряде
числовых подстановок с последующим графическим контролем,—
основной тип предлагаемых нами упражнений.
8. Если рассматриваемая формула с одной переменной буквой не
особенно уж проста и если предлагается выполнить подстановку
ряда значений, полезно рекомендовать выполнять все подстановки
одновременно, вставляя в простую таблицу несколько вспомогатель-
ных, или промежуточных, вертикалей и переходя, таким образом,
к многоколонной схеме. Например, в случае формулы:
« заполнять её следовало бы не по горизонталям (что было бы равно-
сильно выполнению каждой подстановки в отдельности), а по верти-
калям, совершая подряд одну за другой все одноимённые операции.
При таком порядке записи внимание не рассеивается, и сделанные
ошибки обнаруживаются легче.
Применение подобного рода многоколонных схем значительно
облегчает, например, построение по точкам эллипса и гиперболы,
заданных в канонической форме.
удобна была бы следующая схема-
X
1 -J- χ -\- х*
+ χ + х*
х + х2
V ι + χ*

Приведём еще образец сложной табличной схемы, на этот раз
с двойным входом:
z=x2+y2
У
5
6
7
8
X
N. у*
25
36
49
64
1
1
26
37
50
65
2
4
29
40
53
68
3
9
34
45
58
73
9. В случае таблиц с двойным входом графический контроль
должен был бы, собственно говоря, осуществляться в пространстве
«о, оставаясь в пределах плоскости, можно применять обычную
«форму контроля для каждой вертикали (или для каждой горизонтали)
в отдельности. При этом на одном и том же чертеже возникает
целый ряд графиков.
Весьма поучительно составить двойную таблицу для
v = xn
при числовых значениях
л = 1, 2, 3, . . · ; л: = 0,5; 0,6; . . . 1,4; 1,5;
это — удобный случай тренироваться в сокращённом умножении
и разобраться в том, что происходит с числом, близким к единице,
при возведении его в последовательно возрастающие степени. Резуль-
таты можно проконтролировать по таблицам степеней, а графики
построить на одном большом чертеже, коллективно, разноцветными
карандашами.
10. Дальнейшим этапом,^ вносящим новый элемент разнообразия
и приближающим к цели раскрытия идеи функции, являются тексто-
вые задачи геометрического содержания, органически увязанные
с предшествовавшими отвлечённо-арифметическими задачами. Вот
образчик. „В полукруг, радиус которого равен единице, вписан прямо-
угольник, основание которого, равное 2 и, лежит на диаметре полу-
круга. Вычислить площадь 5 прямоугольника".
Решение S = 2u \/1 — ы2
этой задачи даёт повод вычислить искомую площадь S не для одного
какого-нибудь значения иу а для целого ряда значений и, Можно

взять эти значения равноотстоящими (например, и=^0,1; 0,2 и т. д.
до # = 0,9, не исключая и предельных случаев и = 0, и и = \) и соста-
вить табличку; затем применить „графический контроль". График
функции S (и) готов.
Не нужно навязывать вопросов вроде следующих: „Как изме-
няется площадь 5 при возрастании и от 0 до l?tt „При каком значе-
нии и площадь S примет такое-то значение?" „При каком значении и
площадь S примет наибольшее возможное значение?" Нужно эти
вопросы всячески вызывать, стимулировать, помогая мысли и слову*
оформиться и пробить себе дорогу.
Не беда, если не сразу удастся найти ответы на все поставленные
подобного рода вопросы. В иных случаях, если ответ не сумеет дать
сам класс, учитель, может быть, пожелает указать искусственный
приём решения: это только поднимет его престиж в глазах учеников1.
Или предупредит, что данный вопрос удастся разрешить более совер-
шенными методами, с которыми учащиеся познакомятся в старшем,
классе.
Очень важно, чтобы, помимо графика (и, пожалуй, раньше гра-
фика) был составлен чертёж, на котором можно воочию увидеть
круг и те прямоугольники, которые соответствуют отмеченным точ-
кам графика.
Не стоит жалеть времени, потраченного на обстоятельное рас-
смотрение каждой отдельной задачи подобного рода.
11. К аналогичным задачам приводит также тригонометрическая
пропедевтика в VIII классе. Она, кстати сказать, в школьной прак-
тике часто смазывается, а наши предложения предоставляют возмож-
ность сообщить ей должную устойчивость. Тип задач здесь—строго
определённый: „По двум элементам прямоугольного треугольника
(по одной стороне и одному острому углу или по двум сторонам)
определить третий". В каждой такой задаче следует, по нашей мысли,,
давать углу по несколько (3— 6) значений, рисовать соответствующие
треугольники согласно масштабу и составлять табличку значений:
ещё один повод упражняться в сокращённом умножении и делении.
При небольшом числе значений переменного угла пользоваться
графическим контролем, конечно, мало смысла; но потом, один раз,,
в заключение — стоит, приняв данный линейный элемент за единицу
и давая углу, скажем, 18 различных значений (через 5 градусов),
прибегнуть к „графическому контролю" и как следует построить по
точкам графики основных тригонометрических функций в пределах:
первой четверти.
12. Текстовые задачи уже не геометрического, а физическогоу
экономического, жизненного содержания последуют за геометри-
1 Например, следующее простое рассуждение исчерпывающим образом пока-
зывает, что площадь S принимает наибольшее значение 1 при u= 1/√2. .
Очевидно, S принимает наибольшее значение как раз тогда же, ксгда и S2.
Но S2 = 4 и2 (1 — u2). Положим u2 = U и получим S2 = 4 U(1 — U). Из, тождества
4U(1-U) = 1-(2U-1)2
видно, что S2 никогда не превышает единицы, и может равняться единице только-
при U = —, т. е. при и— ~—.
* 2 * V 2

ческими. При графическом контроле решений, т. е. при построении
графика рассматриваемой зависимости, координаты здесь могут обо-
значать не обязательно линейные величины, но и величины любой
природы, любой размерности *. В этом для учащихся заключается
особая трудность, к преодолению которой, как мы полагаем, необхо-
димо подходить с большой осторожностью. Не без усилия в созна-
нии учащегося создаётся представление о том, что физики называют
„фазовой плоскостью": но путь к созданию этого представления
лежит опять-таки через „графический контроль".
„Со скоростью ν0 путь пройден за t0 часов; за какое число часов t
тот же путь будет пройден со скоростью ν (даётся ряд числовых
значений £)?". „В резервуаре объёма ν0 газ находится под давлением^;
каково будет давление р, если объём резервуара станет равным ν
(даётся ряд значений ν)}" В этих задачах координаты-отрезки обо-
значают разные величины: и скорость, и время, и объём, и
давление...
13. При графическом контроле табличных арифметических упраж-
нений мы пользовались исключительно прямоугольной Декартовой
сеткой. Преждевременно вводить не-Декартовы координатные системы
педагогически рискованно: однако, если система Декарта усвоена
прочно, то почему бы, объяснив предварительно, что мы по своему
усмотрению решительно меняем принцип геометрического пред-
ставления, не перейти и к использованию полярной сетки} До по-
явления тригонометрических функций подходящий материал, правда,
довольно беден, все же кое-какие спиралевидные графики могут
быть построены и восприняты с полным успехом — в сочетании
с обобщением понятия угла за пределы 360°. „Точка M движется
с постоянной скоростью по лучу, который с постоянной угловой
скоростью вращается около своей вершины. Нарисовать траекторию,
описываемую точкой M". „Тот же вопрос при условии, что луч заме-
нён отрезком, вращающимся около одного из концов, причём рас-
стояние точки M от другого конца обратно-пропорционально вре-
мени вращения". Вот примеры относящихся сюда поучительных
и вполне доступных текстовых задач.
После появления тригонометрических функций (хотя бы в преде-
лах первой четверти) возникает богатый выбор „арифметико-тригоно-
метрических" задач с графическим контролем на полярной сетке.
14. Набрасывая общую схему, мы не уделили внимания отдельным
частным пунктам программы курса алгебры, изучение которых может
быть значительно улучшено в смысле качества усвоения, если будет со-
провождаться надлежащим образом подобранными „арифметическими
упражнениями" указанного нами типа. Назовём некоторые примеры.
1) Табличные вычисления с графическим контролем помогут усвое-
нию отрицательных чисел, заменяя догматически предписанное или
логически-обоснованное заучивание правил действий живыми и нагляд-
ными геометрическими представлениями (графическая форма прин-
ципа перманентности формальных законов).
2) Тренировка в извлечении квадратного корня, требующая вы-
полнения большого числа примеров, становится более осмысленной,
если поставить её в связь с графическим контролем, т. е. с построе-
нием графика функции.
1 Уже в геометрических задачах, подобных приведённой выше, отрезками
изображаются площади или объёмы.

3) То же можно было бы сказать о логарифмировании, потенци-
ровании и т. д., что, впрочем, вывело бы нас за пределы намеченной
статьи.
6. Принципиальное замечание
Предлагаемая нами программа функциональной пропедевтики
характеризуется схемой:
Формула—>таблица—>график—> функция . . . (А).
Мы полагаем, что учащийся не встретит трудности в табличных
вычислениях (числовых подстановках), если понимает смысл формулы
и устремляет внимание к арифметике; не встретит трудности в соста-
влении графика, если будет способен вычислить таблицу и пожелает
подвергнуть её графическому контролю; наконец, не встретит труд-
ности в усвоении обобщённого и отвлечённого понятия функции,
если его апперцепция будет подготовлена рассмотрением достаточ-
ного числа разнообразных графиков.
От нашего внимания не ускользает иная, обратная, схема:
Функция —> график —> таблица —> формула . . . (В),
которая имеет свои преимущества и находит защитников, аргументи-
рующих в её пользу и от имени науки и от имени педагогической
практики.
Схема (А) в известной степени находится в соответствии с более
старой и более примитивной концепцией функциональной зависи-
мости,— той концепцией, характерным выразителем которой в истории
математики является Эйлер; другая схема (В) отвечает современной
концепции функции, идущей от Дирихле и Римана.
Мы не видим возражений против того, чтобы в каких-то местах
элементарного курса математики, скажем, в последних разделах
программы VIII класса, в связи с введением понятия функции и демон-
страцией примеров эмпирического содержания, частично была исполь-
зована схема (В). Образчик соответствующего хода мыслей: темпе-
ратура (показание термометра) есть функция времени; ученик ведёт
наблюдения; делает графическую запись; по записи составляет таб-
лицу; наконец, ему, может быть, придёт идея и подобрать формулу,
что он вряд ли сумеет сделать. Исчерпывающих указаний по поводу
формулы не даст и учитель: нужны большая эрудиция, математи-
ческий кругозор и педагогический такт, чтобы дать в этом случае
правильные с научной и методической точки зрения разъяснения.
Вопрос же о „подыскании формулы" крайне интересен для учащегося.
Попытка строить функциональную пропедевтику по схеме (В)
сделана в современной американской школе, хотя, наряду со слож-
ными эмпирическими зависимостями, эта школа с самого же начала
предлагает вниманию учащегося также и наиболее простые формулы.
Отражая новейшие веяния математической науки, передовая амери-
канская школа идёт и дальше, выдвигая взамен Клейновского прин-
ципа „функционального мышления" более общий принцип „относи-
тельного мышления" (relational thinking). Мы признаём чрезвычайно
интересным и заслуживающим самого внимательного изучения аме-
риканский опыт; но полагаем, что схема (В) (притом в урезанной
форме, так как последний шаг — переход от графика или таблицы
к формуле — в средней школе сильно затруднён) мало пригодна для
того, чтобы на ней систематически строитъ функциональную про-
педевтику. Появление эмпирических примеров как раз придает курсу
математики ту „расплывчатость", которая неприятна многим уча-

щимся и учащим. С другой стороны, недостаточно солидная анали-
тическая база не обеспечивает возможности безболезненного пере-
хода к изучению основ анализа бесконечно-малых.
Вот почему мы высказываемся в пользу построения функциональной
пропедевтики не по схеме (В), а по схеме (Л), под которую, кроме
того, хотим подвести фундамент арифметической (вычислительной)
тренировки.
Что касается схемы (В), то, предусматривая использование её
в отдельных случаях, и уже не в пропедевтическом плане, мы склонны
сосредоточивать внимание именно на последнем шаге перехода
к формуле: простейшие приёмы приближённого аналитического пред-
ставления функций — линейная и квадратическая интерполяция — не
за пределами понимания школьников трёх старших классов.
Следует считать нормальным, чтобы,начиная, примерно, с VIII класса,
уже созревшее в сознании учащихся понятие функции было оформ-
лено (словесно, терминологически) с тем, чтобы в дальнейшем стать
служебным инструментом при рассмотрении самых разнообразных
математических или прикладных задач. Но и тогда чисто арифмети-
ческая основа, отходя, может быть, на второй план, не должна быть
окончательно утеряна.
7. Несколько методических замечаний практического порядка
В заключение обратимся к организационно-методической стороне
дела.
Предлагаемая система упражнений обладает в разных смыслах
высокой степенью гибкости. Мы уже отметили возможность легко
адаптировать её к тому или иному изучаемому в данный момент
разделу курса, к тому или иному уровню класса, наконец, к индиви-
дуальным свойствам и способностям отдельных учеников. Суще-
ственно установить, далее, что наши упражнения в одинаковой сте-
пени могут служить материалом: 1) для классной работы у доски,
2) для домашних заданий и 3) для классных контрольных письменных
работ. Мы представляем себе, что на протяжении курса первое,
второе и третье протекает параллельно, причём первоначальный
показ, демонстрация приёма проводится у доски (коллективная работа
класса); основная тренировка, протекающая в рамках домашних
заданий, индивидуализирована или иногда поручается отдельным груп-
пам учащихся, без запрета взаимной консультации; наконец, классные
поверочные работы подводят итог достигнутым успехам в форме,
исключающей возможность консультаций.
Разберём подробнее каждый из этих трёх пунктов.
1. Табличная запись не должна быть навязана учащимся; она
вытекает естественно из принципа: «стирай всё, что не нужно, сохра-
няй то, что ещё понадобится". То, что ещё понадобится, ради эко-
номии площади на доске, придётся записывать в отдельном месте,
в определённом порядке: это — таблица, в тетради она попадает на
„основной лист". Само же вычисление, расположенное в тетради
алгорифмически („столбиком"), занимает „вспомогательный лист" и
составляется из записей целого ряда операций, конечные результаты
которых переносятся в таблицу; при работе на доске, из-за недо-
статка места, большей частью их сохранить невозможно, и тогда
запись предыдущей операции стирается, а на её месте появляется
новая. При коллективной работе в классе учитель делит доску на

две части; в левой пишет таблицу с исходными данными, приглашая
затем учащихся одного за другим к доске для выполнения каждой
отдельной операции в правой части доски и занесения результата
в таблицу; тем временем все остальные проделывают то же в тетрадях,
иногда (если операция уже усвоена) опережая стоящего у доски, сверяя
его результаты со своими и делая заявления в случае расхождений.
Преподаватель показывает 2 — 3 первых операции, а затем следит
за работой ученика у доски, внося поправки (указывая на неувязки)
и неукоснительно следит за безукоризненным расположением вычи-
слений: терпимое отношение к одному несовершенству на доске
рождает десятки несовершенств в тетрадях.
2. Контрольная классная работа отличается лишь двумя осо-
бенностями: 1) каждый ученик получает, лучше всего, на карточке
или на билете, индивидуализированные данные или индивидуализиро-
ванную таблицу с исходными данными; 2) к доске никто не вызы-
вается, на ней записывает сам преподаватель то, что считает необхо-
димым сообщить в порядке предварительных разъяснений. Необхо-
димый текст и все формулы должны быть записаны на доске, на
карточках же только числовые значения букв.
3. Распределяя домашние задания, преподаватель диктует или
пишет на доске общее для всех условие, формулы, табличные схемы,
а затем на карточках, или иначе, распределяет между учащимися
исходные числовые данные. Распределение числовых данных в до-
машней работе — дело очень ответственное: необходимо, с одной
стороны, обеспечить правильную количественную дозировку, а с дру-
гой, предусмотреть или желательную степень взаимных консульта-
ций или абсолютную самостоятельность в работе. Абсолютная само-
стоятельность достигается (статистически), если все числовые данные
будут различными, в сочетании с требованием представления вспо-
могательного листа. В иных же случаях преподаватель найдёт нуж-
ным оставить возможность взаимного контроля, и тогда намеренно
дублирует распределение исходных данных. В случаях, требующих
большей инициативы со стороны учащихся, можно образовывать
целые группы учащихся с одинаковыми или сходными заданиями.
Работа у доски, домашняя работа, классная письменная работа —
три взаимно дополняющих друг друга звена в нашей системе упраж-
нений. Их следует хорошо пригонять одно к другому: какой-нибудь
изъян в одном из трёх звеньев может сильно повредить целому.
Первое звено легко переводится во второе или третье: например,
начав работу на доске в форме двойной таблицы, после того, как
у доски же сделано несколько примеров, я посажу на место стоя-
щего у доски, впишу в клеточки, оставшиеся незаполненными, фами-
лии присутствующих учеников и скажу: „Каждый из вас до звонка
сделает свой пример на отдельном листе" или „Вот пример, который
задаётся каждому из вас на дом".
Оценивать отметками следует, по моему мнению, только пове-
рочные классные работы; что касается домашних, то достаточно
неукоснительно добиваться их самостоятельного и правильного
выполнения.
Проверка всех письменных классных и домашних работ, сданных
учителю, обязательна: иначе система упражнений теряет свою
эффективность.

Мы предчувствуем ещё одно важное возражение. Постараемся
отчётливо его формулировать.
Возражение третье. Как может учитель, ведущий работу
в нескольких классах, справиться с колоссальным трудом: 1) подго-
товить различные материалы к „арифметическим упражнениям"
(условия, текстовые задания, подбор числовых данных, изготовление
карточек, расчет масштабов и т. д.), 2) самое главное, — как сможет
он проверить громадное число, арифметических операций в индиви-
дуализированных заданиях?
Подобного же рода сомнения, вероятно, рождались в сознании
не одного кустаря-одиночки в эпоху возникновения фабричного про-
изводства. Мы не оспариваем, что в наших предложениях, рассчи-
танных на массовую школу, содержится некоторый элемент „фабрич-
ности".
Мы отвечаем:
1) Конечно, в помощь учителю полезно дать небольшое методи-
ческое руководство, содержащее образчики тщательно продуманных
вычислительных упражнений. Число их не должно быть особенно
велико: примерно два-три десятка на три класса (VI—VIII). В сбор-
нике упражнений могут содержаться также и исходные числовые
данные, и возможные варианты их распределения между учащимися
класса; там должны быть предусмотрены и разъяснены всякого рода
приёмы, которые позволят сэкономить учебное время и труд учителя.
Инициатива учителя поможет в дальнейшем улучшить выбор
арифметических упражнений и методику их проведения и, может
быть, доведёт их до некоторой мыслимой степени (пусть — „фабрич-
ного") совершенства.
2) В том же руководстве, или сборнике, можно будет дать и
ответы, как полагается во всяком задачнике. Но стоит ли это делать?
Материал рассчитан так, чтобы учащийся сам учился обнаруживать
свои ошибки. Если не все ошибки выловлены, то более опытный
глаз учителя должен увидеть то, что ускользнуло от внимания
ученика. Да, опытность придёт не сразу: но каждое упражнение
продвинет на шаг вперед не только ученика, но и учителя. Графи-
ческий метод, функциональное мышление, идея непрерывности посте-
пенно перестанут быть пустыми словами.
Позволительно высказать мнение, что наши предложения в зна-
чительной степени могут способствовать решению проблемы само-
стоятельной работы учащихся и в некоторой степени также —
решению проблемы повышения методической квалификации учителя,
который в новых формах учебной деятельности найдет богатый
источник для собственных размышлений и исследований.
Я начал эту статью описанием эксперимента, проведённого в форме
классной письменной работы в VIII классе одной из московских
школ. Нет надобности разъяснять, что проверка этой работы све-
лась к просмотру тех немногих операций, которые дали результаты,
не удовлетворившие или плохо удовлетворившие графическому
контролю.
Закончу описанием того, как я проверил домашнюю работу
на действия с обыкновенными дробями, проведённую в VII классе

той же школы. В этой работе двойная таблица была использована
для распределения числовых значений параметров между ученицам».
Содержание упражнения было таково:
„В формулу у —-£- + .-|-f где
а=..., Ь = ...9
подставить числовые значения
х = 19 2, 3, . . . 10;
по формуле вычислить числовые значения у, представляя их в виде
десятичной дроби с округлением в двух знаках после запятой, и.
отметить соответствующие точки на чертеже" г.
Числовые значения а и b я раздал, вписав фамилии учениц в не-
заштрихованных квадратах таблички (в классе было 30 учении).
Собрав 30 работ, я разложил их дома на большом столе, как раз
в том же порядке, который соответствовал расположению клеток
в двойной таблице. Передо мной было 30 дуг гипербол; не каждая
из них была безукоризненной формы: несколько фантастического
вида зигзагов сразу выявили с полдесятка грубых ошибок. Затем,
пробежав взглядом по каждому из горизонтальных рядов (для
большей надежности контроля также и по вертикалям), я обнаружил
3—4 случая неудачно (в разрез с указаниями) взятых масштабов
и один случай, когда две девочки почему-то поменялись заданиями.
Так как мне было известно, что правила округления дробей пред-
варительно не были достаточно разъяснены, то я ещё посмотрел,
как обращали обыкновенные дроби в десятичные и обнаружил
2—3 записи вроде:
§==1.51 (вместо 85,/56,~1,52)
и отметил их для себя, решив разъяснить классу, в чем тут дело,,
и просить, чтобы такие вещи в дальнейшем не повторялись.
1 С графическим контролем класс был ознакомлен раньше.

ARITHMETICAL EXERCISES AND FUNCTIONAL PROPAEDEUTICS
IN THE MIDDLE GRADES OF SCHOOL
BY PROF. V. L. GONTCHAROV
Summary
1. The problem of overcoming ^formalism in teaching mathematics"*
cannot be solved without both, teacher and pupil, paying special atten-
tion to the numerical meaning of the formula expressed in letters, without
raising the prestige of the arithmetical computation, without a clear
understanding of the calculation work to be done.
It is extremely important to make use of every possibility arising to
work out the problems to a „numerical result". At the same time ways
should be found to enable the teacher to direct the attention of the pupils
to arithmetics not only as a side issue, but in such a manner that the
arithmetical calculation should become the immediate goal of their work,
and the correct numerical result would be appreciated by them and
give them a feeling of satisfaction.
2. Within the limits of the teaching process at the secondary school,
ways should be sought to make the pupils acquire durable skills in cal-
culating: the every day arithmetical operations once „explained" and
^logically proved" schould become so familiar to the pupils that they
should be able to apply them freely and naturally in the course of their
work.
Prolonged training is necessary in senior groups. Besides, the stu-
dents attention should be drawn to planning their calculating work and
they should be^trained to check the results they are obtaining.
3. One of the most important tasks in teaching mathematics in the
secondary school is to assist the pupils to grasp the general idea of
functional dependence (as of a continuous curve) and enrich their
mathematical experience by analysing a large number of various exam-
ples of functions graphically expressed.
Similar preliminary instruction should be given as early as in the
6 th, 7 th and 8 th grades, and not confined to polynomials of the first
and second powers only: other more advanced means that are at the
disposal of the pupils should be made use of as well. Some dfficulty
arises in defining the objective points in each case convincing enough
in the eyes of the pupils to justify the columns of figures he has to
work out.
4. The author of the article suggests devoting part of the lessons in
the 6 th, 7 th and 8 th grades to exercises of a special type, which
consist in performing a number of prescribed numerical substitutions in
one given formula. The explicitly indicated aim of such exercises would
be to increase the skill in working out arithmetical operations. At the
same time these exercises would serve the aims of functional propae-
deutics. When the pupils are doing these exercises special attention

should be paid to the question of the system to be adopted in wirking
out and writing down exercises so as to facilitate the checking of the
obtained numerical results. Part of these exercises might be taken from
formulas used for solving problems in geometry or physics.
5. The author gives a short description of the type of exercises indica-
ted and a number of examples which have partly been tested in experi-
mental work.
6. The author holds that exercises of the type suggested will greatly
assist pupils of mathematics to work independently, and to a certain
extents help to raise the level of the teachers qualification. In these new
forms of teaching activity the latter will find a wide scope for his ideas
and experiments.

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
ВЫПУСК 6 1946
ГЕОМЕТРИЯ В СЕМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ
Проф. Я. С. ДУБНОВ
Математика в семилетней школе ещё не имеет собственного
лица. В принципе все признают, что преподавание этого предмета,
как и любого другого, должно носить законченный характер, так
как неполная школа для значительной массы учащихся будет послед-
ним этапом их общего образования. На деле же математика, в осо-
бенности геометрия, остаётся, пожалуй, единственным предметом,
который в неполной средней школе изучается как механически-
отсечённая часть курса десятилетней школы.
Такое положение отражает и учебная литература: не существует
учебников математики, предназначенных для семилетней школы: их
функцию выполняют написанные в совершенно другой перспективе
учебники, из которых используется несколько первых глав. Можно ли
представить себе аналогичное явление в преподавании другого учеб-
ного предмета, скажем — физики (ближайшего к математике соседа)?
Допустимо ли, чтобы оканчивающий семилетнюю школу, изучая
в намеченном для средней школы объёме механику, ничего не знал
об электричестве? А ведь, именно, такого рода несообразностью
страдает существующая программа геометрии: оканчивающий семи-
летнюю школу обязан знать пять признаков взаимного расположения
окружностей и в качестве апофеоза — четыре „замечательные" точки
треугольника, но никогда не слышал о подобных треугольниках,
о площади трапеции, о длине окружности, а вся стереометрия оста-
нется для него „высшей математикой". Правда, в недавнее время
<была сделана попытка исправить это положение, введя в план V—VI
классов пропедевтический курс „наглядной геометрии" (46 час. по
проекту 1943 г. см. [11]*). Но даже этот скромный паллиатив не полу-
чил осуществления.
Однако не только со стороны содержания, но и со стороны
метода можно возражать против существующей системы препода-
вания.
Страх перед жупелом „концентризма" заставляет начинать с 12-лет-
ними детьми изучение „формально-логического" построения геомет-
рии, выдержанного в едином стиле от VI класса до X. Можно рас-
ходиться во мнениях относительно образовательной ценности такого
построения (об этом ниже), но со времён Гербарта и по мере демо-
кратизации школы педагогическая мысль укреплялась в убеждении,
что насилием над психикой 12—13-летнего школьника является навя-
1 Цифры в прямых скобках относятся к указателю литературы, помещенному
в конце статьи.

зывание ему эвклидовой системы, как бы она ни модернизировалась
в учебнике А. Киселёва или, чтобы взять лучший образец, Н. А. Гла-
голева. Прискорбные результаты такого обучения не раз отмечались
в литературе (см. Т. М. Шидловская „О преподавании геометрии,
в VI классе" [1]).
Критиковать существующую систему преподавания и намечать пут»
реформы можно, разумеется, лишь после того, как точно сформули-
рованы задачи этого преподавания. Ниже перечислены те задачи
преподавания геометрии, которые представляются нам основными
и бесспорными:
1. Развить правильные геометрические (в том числе, трехмерные)-
представления.
2. Ознакомить со способами прямого и косвенного измерения длив
углов, площадей, объёмов.
3. Сообщить знания и навыки, необходимые в повседневно*
жизни и при изучении других предметов школьного курса (физика,,
география).
4. Дисциплинировать мышление, устную и письменную речь.
5. В процессе решения задач воспитывать активное мышление.
6. Заложить основу для дальнейшего обучения — в школе ил»
путём самообразования (в частности, подготовить к усвоению идеи
функциональной зависимости).
7. Дать представление о путях развития геометрии, о её роли
в естествознании и технике.
Если эти принципы являются руководящими в вопросе о содер-
жании курса, то при выборе методов преподавания решающую
роль играют соображения, относящиеся к возрасту учащихся
(11—14 лет).
Для характеристики возможных методов будем исходить из-
рациональной классификации, которой пользовалась Международная
комиссия по преподаванию математики на Миланской конференции
1911 г. ([2], стр. 462)1.
Направление А — выдержанное формально-логическое; полный
отказ от интуиции; основные понятия (точка, прямая и т. д.) опре-
деляются только аксиомами (Peano, Hilbert, Halsted).
Направление В — основные понятия и связи заимствованы из.
опыта, дальнейшее построение должно быть дедуктивным. Различают
три градации:
ВА) перечисляются все необходимые аксиомы (Sannia, D'Ovi-
dio, Veronese, Enriques-Amaldi);
Вв) только часть аксиом указана в явном виде (Эвклид 2, Tieme,.
Киселёв [3], [4], Глаголев [5]);
Вс) формулируются только те аксиомы, содержание которых не
представляется очевидным (Kambly, Muller).
1 Характеристики направлений приведены в сокращении; ссылки на иностран-
ную литературу воспроизведены из [2] и дополнены фамилиями русских авторов.
2 Очевидно, имеются в виду так называемые .школьные" издания (Англия),.
Следует согласиться с Veronese, который, выступая на конференции [2, стр. 464]^
считал Эвклида идейно более близким к направлению ВА, чем к Вв.

Направление C—интуиция переплетается с дедукцией, без
попыток отделить одну от другой (Borel [6], Behrendsen-Göt-
ting, Выгодский [7]).
Направление D — интуитивно-экспериментальное; геометриче-
ские факты устанавливаются путём эксперимента; логические связи
отсутствуют (Perry, Астряб [8] 1).
Миланская конференция констатировала ([2] стр. 463 и след.) пол-
ный неуспех двух крайних направлений A и D, по крайней мере,
в странах Запада (добавим—и в России того времени; D оказывало
некоторое влияние на советскую школу в первый период её суще-
ствования). Причины этого явления понять нетрудно. Действительно,
в школьном преподавании направление A (как, впрочем, и близкое
к нему ВА) могло выродиться только в мелочный педантизм, оттал-
кивающим образом действующий на ученика. Если же говорить об
идее „определения через аксиомы", составляющей действительно
драгоценное ядро направления A, то она доступна только высоко-
развитому интеллекту: ни Эвклид, ни его последователи на протяже-
нии 2000 лет не могли подняться до осознания этой идеи. По
сравнению с A, направление B A несколько ослабляет дидактические
трудности, но достигает этого ценой утраты того идейного ядра,
которое так импонирует нам в первом. В начале нашего века на-
правление B A имело сторонников в Италии, а также в Англии, если
причислить к этому направлению и преподавание по школьным изда-
ниям Эвклида. Больше шансов на успех имело направление D, здо-
ровое зерно которого заключалось в том, что оно было реакцией
против эвклидовой схоластики (поэтому не случаен тот факт, что
„движение Перри" зародилось в Англии). Для того чтобы уяснить
себе, в чём именно это направление оказалось неприемлемым для
общеобразовательной школы, присмотримся ближе к судьбам его
в нашей стране. Наиболее серьёзный у нас представитель экспери-
ментального направления, А. Астряб, ставит эпиграфом к своему
учебнику [8] цитату из „Положительной философии" О. Конта: „Для
того чтобы определить отношение площади циклоиды к площади
производящего круга, Галилей взвесил две пластинки: одну, имею-
щую форму круга, а другую — описанной им циклоиды, и нашёл, что
последняя в три раза тяжелее первой. Отсюда Галилей заключил,
что площадь циклоиды равна тройной площади производящего круга".
Трудно было придумать пример, более компрометирующий ту систе-
му, которую автор хочет защитить. Если не говорить о геометрии
египетского периода, то не требуется глубоких познаний в истории
науки для того, чтобы уяснить себе, насколько пример Астряба не
типичен для путей действительного развития геометрии. Начиная
с греческого периода, геометрия не была экспериментальной наукой,
и в этом именно её принципиальное отличие от физики, с которой
в остальном она имеет много общего: пользование абстракциями
(твёрдое тело, светящаяся точка), дедукцией (теоремы статики),
алгебраическим аппаратом (формулы геометрической оптики). По-
пытка придать геометрии характер опытной науки извращает исто-
рическую перспективу и препятствует выполнению одной из задач,
поставленных выше перед преподаванием геометрии: „дать представ-
ление о путях развития и т. д.". Другая отрицательная сторона
1 В цитированном издании приводятся и доказательства ряда теорем, но каждый
раз после того, как утверждение теоремы проверено опытом.

этого направления (здесь мы говорим уже не об учебнике Астряба,
см. сноску на стр. 61) заключается в том, что, отказываясь даже
от доступных ученику образцов дедукции, оно не подготовляет его
к продолжению образования. Таким образом, отказ школы от „движе-
ния Перри" в его чистом виде следует считать вполне обоснованным-
Итак, перед первой мировой войной в преподавании господство-
вали направления Вв> Вс и С. Но в то время как на Западе все
более склонялись к последним двум, по крайней мере, в начальной
стадии обучения, в России решительно преобладало направление Вв .
Так как это направление в нашей школе ныне снова господствует,
то становится необходимым более детальное критическое рассмотре-
ние пригодности направления Вв для первого концентра геометрии.
Одну из отрицательных сторон существующей системы обучения
мы уже отмечали: несоответствие её умственному развитию уча-
щихся. Происходящий отсюда низкий коэфициент полезного действия
приводит к тому, что даже формальный успех может быть достиг-
нут только за счёт крайнего замедления темпов обучения, в резуль-
тате чего семилетняя школа должна ограничиться небольшой и бед-
ной содержанием частью планиметрии. Ведь мыслительные ресурсы
12—13-летнего ученика должны быть мобилизованы на то, чтобы
усвоить текст ([3], стр. 4, первый урок!): „Геометрическое тело,
поверхность, линия и точка не существуют раздельно. Однако при
помощи отвлечения (подчёркнуто нами) мы можем рассматри-
вать поверхность, независимо от геометрического тела и т. д.". Позже
([3], стр. 21): „Хотя симметричные фигуры... могут быть приведены
в совмещение, однако они не тождественны в своём рас-
положении на плоскости". Какой способностью к абстракции
должен обладать тот же малолетний школьник для того, чтобы по-
нять, что ([3], стр. 33) „Геометрическим местом точек, обладаю-
щих некоторым свойством, называется..."? В другом учеб-
нике, написанном, надо признать, более доступным языком, ученику
VII класса предлагается выучить следующую формулировку теоремы
([5], § 140; то же повторяется в §§ 141—143): „Угол, образованный
хордой и касательной, равен половине центрального угла, опираю-
щегося на дугу, заключённую между хордой и касательной". Одним
и тем же языком говорят, обращаясь к ученикам VI и X класса
Очевидно, вслед за составителем программы, авторы цитированных
учебников заботились только о нуждах десятилетнего обучения,
игнорируя нашу нынешнюю школьную систему. Но и эту заботу
надо признать плохо осуществлённой. Действительно, спросим себя,
насколько обоснован даже в едином курсе геометрии этот возврат
на 50 лет назад1. Здесь мы подходим к наиболее принципиальному
пункту нашей критики, относящейся уже не только к семилетней,
а ко всей общеобразовательной школе. Именно полвека назад, когда
нео-эвклидовское направление (Вв) утверждалось в русской школе,
в то же самое время в самой науке завершался процесс радикаль-
ного пересмотра наших взглядов на природу геометрии. На истори-
ческом этапе, отделяющем Гильберта (Hubert) от Лобачевского,
эвклидово здание, как научная система, рассыпалось под ударами
критики. Эвклидов список аксиом оказался только грубым прибли-
1 Обращаем внимание на то, что в нашей школе математика является един-
ственным предметом, по которому обучение опирается на учебники полувековой,
давности (Киселёв, Шапошников, Рыбкин).

жением к тому, на чём действительно может быть построена
формально-логическая система геометрии. Из-за отсутствия у Эвклида
аксиом порядка, недостаточности аксиом конгруэнтности и непре-
рывности, почти все его доказательства, перешедшие в наши учеб-
ники, оказываются неполноценными. Впрочем, давно уже было заме-
чено, что в обычных эвклидовых доказательствах существенную
роль играют чертежи, на которых расположение частей ничем не
обосновано (и не может быть обосновано — при отсутствии аксиом
порядка), вследствие чего не гарантированы ни допустимость пред-
положенного чертежа, ни исчерпание всех вОЗМОЖНЫХ случаев. На
этом основаны общеизвестные геометрические софизмы, к которым
многие склонны относиться как к „математическим развлечениям";
особняком стоит Ф. Клейн (F. Klein) ([9] стр. 333—335), оценивший
эти софизмы, как орудие серьёзной критики. Быть может, значи-
тельность этой критики ускользает от внимания большинства потому,
что обычные софизмы основаны на так называемых „неправильных
чертежах", т. е. предполагают такое расположение частей фигуры,
которое при углублённом анализе оказывается противоречащим усло-
вию теоремы. Поэтому небесполезно привести пример софизма, осно-
ванного на чертеже, хотя и возможном, но не единственно-воз-
можном.
Излагая ниже доказательство заведомо-ошибочного утверждения,
мы для удобства сравнения будем пользоваться той же формой
изложения, какая принята в наших учебниках.
Теорема. Два треугольника равны, если две стороны и лежащий
против одной из них угол одного треугольника равны соответствую-
щим элементам другого треугольника.
Даны треугольники АБС и AlBlCl причём АВ — АВи АС=АхСъ
и Z.B = /_ВХ. Требуется доказать, что Δ ABC = Δ ΑχΒχΟχ.
„Доказательство". Приложим треугольник АхВСх к треугольнику
ABC так, чтобы их равные стороны (как раз те, которые лежат про-
тив равных по условию углов) АС и ΑχΟχ совместились, причём
точка Ах совпала бы с точкой А, точка Сх — с точкой С. Треуголь-
ник AlBlCl займёт положение АВ2С, причём АВ = АВ2 и /£= /
Соединив точки В и В2у получим равнобедренный треугольник АВВ2 в
котором углы при основании равны между собой, т. е. /_ АВВ2 = /_ АВ2В
Отнимая эти углы соответственно от равных углов В и В2 получим рав-
ные остатки: / В— / АВВ2 = / В2— / АВ2В или £В2ВС= /_ВВ2С.
Отсюда заключаем, что треугольник ВСВ2 равнобедренный, именно
ВС^ВСС9 следовательно Δ АВС= &АВ2С по трём сторонам. Но
Δ АВкСОтличается от Δ ΑχΒχΟχ только положением, значит теорема
доказана.

Ошибка здесь заключается в том, что рассмотрено только одно
из возможных расположений треугольников ABC и АВ2С и упущены
другие, среди них—тот случай, когда точки В, С, В2 оказываются
лежащими на одной прямой и когда доказательство нельзя ни повто-
рить, ни видоизменить. Входя в большие детали, можно заметить,
что фигура АВСВ2 кажется единственно возможной только в резуль-
тате того, что мы заранее изобразили треугольники ABC и AIB1CL
равными, но ведь это то самое, что обычно делается при подобных
доказательствах, в частности, при выводе всех признаков равенства
треугольников. Бросается в глаза сходство только что приведённого
доказательства с выводом „третьего признака" равенства треуголь-
ников ([3], стр. 24—25; [5], стр. 57). Теперь позволительно спросить,
не преувеличена ли воспитательная ценность рассуждения, которое
приводит один раз к верному, другой раз к ошибочному выводу1?
В борьбе за реформу преподавания геометрии уже не в первый
раз традиционной системе делался справедливый упрёк в отставании
от современной науки. Обычно под этим понимают игнорирование
более молодых отраслей науки, какими, например, являются анали-
тическая и проективная геометрии. Однако эти пробелы имеют
место на старшей ступени обучения, здесь же, в применении к пер-
вому концентру, главным злом является другая форма „отставания".
Это — неоправдываемый нынешним состоянием науки пиэтет к эвкли-
довой системе, нашедший выражение в следующей цитате из наших
учебников ([4], стр. 8 или [5], стереометрия, стр. 28): „...он (Эвклид)
дал полное логически строгое построение геометрии, по форме
в высшей степени совершенное и с точки зрения современной
науки" 2. Эвклидов гипноз или, чтоб употребить более мягкое выра-
жение, „власть средневековой эвклидовой традиции" (Ф. Клейн),
{[9], стр. 352) — вот что стоит на пути рациональной реформы препо-
давания геометрии. В свете современной науки, школьная геометрия
должна отказаться от претензии служить привилегированной „шко-
лой дедукции", дедуктивное мышление можно и следует воспиты-
вать также в преподавании арифметики, алгебры, реже — физики.
*
После этих критических замечаний, перейдём к положительной
программе. Констатируя вслед за М. Симоном (М. Simon) ([10],
стр. 158), что „геометрия (школьная) есть химическое соединение
интуиции и логики", мы менее всего склонны занять позицию „всё
или ничего44. Другими словами, мы не видим себя поставленными
1 Небезынтересно отметить, что в ранних изданиях учебника Киселёва "тео-
рема о равенстве треугольников по трём сторонам была изложена с большей пол-
нотой (рассматривались три случая) и потому с воспитательной точки зрения пред-
ставляла большую ценность (конечно, при обучении школьника старшего возраста,
чем в наших V и VI классах). В цитируемом издании эта полнота принесена в жерт-
ву' краткости, с оговоркой (см. [3] сноску на стр. 25), которая, однако, не спасает
положения, так как содержит ссылку на недоказываемую теорему более сложного
содержания, чем подлежащая доказательству. В учебнике Глаголева ([5], § 68)
нет и этой оговорки; неполнота доказательства просто утаивается от ученика.
2 Чрезмерная категоричность этой фразы смягчается тем, что несколькими стро-
ками ниже автор признает эвклидовы определения понятий „точка', .прямая" и т.д.
„несовершенными с точки зрения современной науки" (можно было сказать резче-
лишёнными всякой научной ценности). Сопоставление этих двух трудно согласуемых
цитат оставляет всё же у читателя неправильное представление, будто определения
являются единственным слабым местом у Эвклида.

перед альтернативой „направление А или Du (если следовать милан-
ской классификации). Не дедукция гильбертовского типа, а именно
упомянутое „химическое соединение" может быть усвоено млад-
шим школьником. Но, ведь, таким соединением „стихийно" является
преподаваемая у нас ныне геометрия — скажет иной читатель»
Нет, эта геометрия не достигает педагогической цели, потому
что она: 1) вводит интуицию, маскируя её, как неполноправный
составной элемент и выдаёт за чистую дедукцию то, что таковой
не является, 2) игнорирует возрастные особенности ученика и
одновременно лишает его той духовной пищи, которую он может
с пользой усвоить. Вместо этого, мы предлагаем в качестве первого
концентра геометрии — законченный курс, построенный на равнопра-
вии интуиции и дедукции, с постепенным повышением удельного
веса последней. В дальнейшем будет изложен проект учебной про-
граммы, осуществляющей это задание. Предпошлём тексту этой про-
граммы несколько тезисов, которые помогут уяснить её структуру
и содержание. Другие пояснительные замечания, более узкого мето-
дического характера и требующие ссылок на отдельные пункты про-
граммы, будут помещены вслед за её текстом 1.
1. Курс рассчитан на V—VII классы школы при 180—200 учебных
часах. Предполагаются усвоенными лишь те сведения по арифметике
и отчасти геометрии, которые даёт современная начальная школа.
По своему содержанию и порядку изложения курс должен быть
согласован с одновременно преподаваемыми курсами арифметики
и алгебры.
2. В методическом отношении курс геометрии может быть оха-
рактеризован как наглядно-дедуктивный. Без доказательства
принимается ряд геометрических фактов, в справедливости которых
можно убедить (не всегда сразу!) учащегося, опираясь на его геомет-
рическую интуицию. Таковы, например: 1) возрастание стороны тре-
угольника при возрастании противолежащего угла, с сохранением
длин двух других сторон; 2) существование подобных фигур; 3) прин-
цип Кавальери. Дедукция вступает в свои права постепенно, по мере
того, как в ней возникает надобность и для её применения создаётся
возможность. Этим не исключаются отдельные случаи применения
дедукции (в целях воспитания дедуктивного мышления) к доказатель-
ству и таких предложений, справедливость которых представляется
ученику очевидной (пример: прямолинейный отрезок короче ломаной,
соединяющей его концы).
3. В целях согласованности преподавания с историческим ходом
развития науки и общим принципом перехода от простого к слож-
ному, сохраняется последовательность „планиметрия — стереометрия".
При этом, однако, следует избегать догматизма: трехмерные образо-
вания могут привлекаться всюду, где они помогают изучению пло-
ских фигур (пример: в главе о площади — задача: по данным трём
измерениям прямоугольного параллелепипеда определить его полную
поверхность).
4. Везде, где к этому представляется повод, должна быть выдви-
гаема идея функциональной зависимости (может быть, без упомина-
ния термина „функция"): изменение длины отрезка, отсекаемого
сторонами угла на параллельно-перемещающейся секущей; изменение
1 При редактировании тезисов и программы я был во многом обязан советам
товарищей по работе в кабинете математики Института методов обучения АПН
РСФСР.

площади сечения тела параллельно перемещающейся плоскостью
(необходимо для применения принципа Кавальери) и т. п.
5. Задача воспитания геометрических представлений обычно воз-
лагается на два школьных предмета: геометрию и черчение. Струк-
тура предлагаемой программы такова, что позволяет сосредоточить
решение этой задачи в рамках одной геометрии. Вычерчивание уче-
никами комбинированных фигур (орнаментов, паркетов) может здесь
опереться не только на интуицию, но и на теоретическую базу
(симметрия осевая и центральная). Упражнения подобного рода обо-
гащают курс геометрии, придают ему более живое содержание
и большую увлекательность.
6. Программа связывает преподавателя лишь в смысле объёма
знаний, сообщаемых ученикам, и принципиальных установок, но
в остальном допускает изменение порядка отдельных вопросов или
иную их трактовку. Например, можно отказаться от применения
принципа Кавальери, если удастся заменить это изложение другим,
равноценным в научно-педагогическом отношении и укладывающимся
в те же рамки времени.
7. Учебник геометрии, особый для семилетней школы, не должен
быть сухим конспектом, состоящим из определений и теорем 1 (как
например, книги Киселёва [3, 4]) столь невыгодно контрасти-
рующим с принятыми в нашей школе учебниками по другим пред-
метам. Новый учебник должен приблизиться к живой повествова-
тельной форме изложения (хотя бы ценой значительного увеличения
объёма); пусть наряду с чертежами появятся рисунки, вызывающие
в ученике ассоциации геометрических схем с представлениями,
получаемыми из внешнего мира. Приближения к этому типу учеб-
ной книги мы уже имеем: (Борель [6], Астряб [8], Выгод-
ский [7], Bourlet [13]). В тексте учебника автор должен обращаться
всегда к ученику, а не к преподавателю. Для последнего пусть
будет написана тем же автором другая книга (комментарий к учеб-
нику), содержащая все указания, способные облегчить труд препо-
давателя, начиная от общих методических принципов и кончая до-
полнительными задачами и упражнениями. Это —лучшая форма ме-
тодики предмета.
Проект программы
1. Сведения по ранней истории геометрии. — 2 час.
2. Геометрическое тело и его поверхность. Плоская поверхность.
Изображение тела посредством: 1) модели, 2) плоского чертежа.
Линии и точки. Прямолинейный отрезок, ломаная, кривая.— 2 час.
3. Чертёжная линейка. Продолжение прямолинейного отрезка.
Луч, прямая. Перенос отрезка. Сравнение отрезков наложением.
Сложение и вычитание отрезков. — 3 час.
4. Измерительная линейка и её применение к действиям над
отрезками (включая деление отрезка на равные части).— 2 час.
5. Чертёжный циркуль. Окружность, радиус, диаметр, хорды.
Перенос дуги вдоль окружности. Сложение и вычитание дуг на
одной и той же окружности. Дуговой градус. Измерение дуг в гра-
дусах.— 5 час.
1 Нетрудно понять, как эта форма изложения исторически сложилась под влия-
нием необоснованных претензий геометрии, как предмета преподавания, служить
образцовой школой дедукции.

6. Пучок лучей. Угол. Отображение лучей пучка на точки окруж-
ности; соответствие между центральными углами и дугами. Угловой
градус. Транспортир. Перенос угла. Сравнение наложением. Сложе-
ние и вычитание углов. — 4 час.
7. Углы с общей вершиной: смежные, вертикальные. Углы: пря-
мой, развёрнутый, полный. Сумма смежных углов; обратное предло-
жение. Равенство вертикальных углов. Деление угла пополам; бис-
сектриса. Перпендикуляр. Чертежный треугольник. Эккер. — 6 час.
8. Параллельные отрезки, лучи, прямые. Признаки параллельности
двух прямых, пересечённых третьей: 1) по перпендикулярности
к секущей; 2) по равенству соответственных углов. Построение
параллели к данной прямой с помощью: а) рейсшины, б) линейки
и угольника. Углы с соответственно параллельными сторонами.—
-5 час.
9. Треугольник, многоугольник. Сумма углов треугольника и мно-
гоугольника. Внешние углы. — 4 час.
10. Осевая симметрия. Оси симметрии: 1) прямолинейного отрезка;
2) прямой линии; 3) угла; 4) пары параллельных прямых; 5) равно-
бедренного треугольника, 6) круга и окружности; 7) круговой
дуги. — 4 час.
11. Сравнение расстояний. В треугольнике против большей сто-
роны лежит больший угол и обратно. Сравнительная длина перпен-
дикуляра и наклонных; расстояние точки от прямой. Сторона тре-
угольника меньше суммы двух других и больше их разности. Прямо-
линейный отрезок короче ломаной, соединяющей его концы. Если
треугольник изменяется так, что две его стороны остаются без
«изменения, а угол между ними увеличивается от 0° до 18(Г, то
третья сторона увеличивается (от разности до суммы двух других
сторон). — 6 час.
12. Три признака равенства треугольников. Признаки равенства
прямоугольных треугольников. — 5 час.
13. Построения циркулем и линейкой: разделить отрезок пополам
«(построить ось симметрии отрезка); восставить перпендикуляр к дан-
ной прямой из данной точки; опустить перпендикуляр из данной
точки на данную прямую; через данную точку провести прямую,
параллельную данной прямой; разделить данный угол пополам;
построить: 1) окружность, проходящую через две, три данных
точки, 2) центр начерченной окружности, 3) середину круговой
дуги. — 8 час.
14. Касательная к окружности. Перпендикулярность касательной
к радиусу, проведённому в точку касания; обратное предложение.
Вписанный и описанный углы. Вписанный угол измеряется половиной
дуги, на которую он опирается. Частный случай: угол, опирающейся
на полуокружность. Измерение с помощью дуг: 1) угла между каса-
тельной и хордой; 2) между двумя касательными. — 5 час.
15. Параллелограм, свойства углов и диагоналей. Отличительные
признаки параллелограма. Прямоугольник, ромб, квадрат; их отличи-
тельные свойства; оси симметрии. Трапеция. Равнобедренная трапе-
ция; существование оси симметрии и вытекающие отсюда свой-
ства. — 6 час.
16. Деление отрезка на несколько равных частей. Средние линии
треугольника и трапеции. — 2 час.
17. Центральная симметрия. Центр симметрии отрезка: круга,
параллелограма. Правильные многоугольники. Деление окружности
«а несколько равных частей. — 6 час.

18. Измерение одного отрезка другим. Общая мера и отношение
двух отрезков. Пропорциональность отрезков двух пар. Теорема:
если прямая, пересекающая стороны угла, перемещается, сохраняя,
постоянное направление, то 1) длина отрезка, отсекаемого прямой
от одной из сторон угла, 2) длина отрезка этой прямой, заключён-
ного внутри угла, изменяются пропорционально расстоянию секущей
от вершины. Поперечный масштаб.— 5 час.
19. Подобие фигур: отношение подобия. Увеличение-уменьше-
ние фигуры в данном отношении: 1) с помощью квадратных сеток
(приближённо), 2) посредством лучистого растяжения-сокращения
(гомотетия). Гомотетия отрезка, треугольника, угла. План- Панто-
граф.—8 час.
20. Площадь прямоугольника. Измерение (приближённое) площади
любой фигуры с помощью палетки. Площадь параллелограма, тре-
угольника, трапеции. Правило Кавальери для плоских фигур. Изме-
нение формы фигуры с сохранением площади (превращение много-
угольника в треугольник; превращение в прямоугольник). Измерение
площади многоугольника посредством разбивки на: 1) треугольники,
2) трапеции. — 7 час.
21. Теорема Пифагора, противоположная ей и обратная. — 6 час
22. Отношение площадей подобных фигур. Отношение площадей
двух кругов. Число π и его приближённая оценка. Длина окруж-
ности и площадь круга. — 5 час.
23. Задача „решения треугольника": 1) построением, 2) вычисле-
нием. Синус, косинус и тангенс острого угла; примеры их вычисле-
ния (углы в 45°, 30°, 60°). Формулы sin2x + cos2x =1, tgx = i^-
Натуральные таблицы: применение к решению прямоугольных
треугольников. — 8 час.
24. Разделение прямоугольного треугольника на два высотой,
опущенной на гипотенузу. Соотношение между катетами, гипотену-
зой, высотой и проекциями катетов на гипотенузу. Второе доказа-
тельство теоремы Пифагора. — 4 час.
25. Теорема синусов и косинусов для остроугольного треуголь-
ника. Сличай тупого угла. Обобщение понятий sin и cos на случай
прямого и тупого угла. Площадь треугольника и параллелограма па
двум сторонам и углу между ними.— 6 час.
26. Плоские и кривые поверхности. Прямые и плоскости в про-
странстве. Перпендикулярность и параллельность. Двугранные и мно-
гогранные углы. Угол между двумя прямыми (скрещивающимися)^
между прямой и плоскостью. —10 час.
27. Призма и цилиндр (прямые и наклонные). Сечения этих тел
плоскостями, параллельными основаниям. Перпендикулярное сечение-
Объём прямоугольного параллепипеда. Правило Кавальери для
сравнения объёмов. Объём любой призмы и цилиндра. Развёртки
прямой призмы и цилиндра вращения; площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность наклонной призмы.—8 час.
28. Пирамида и конус. Сечения этих тел плоскостями, параллель-
ными основанию; закон изменения площади сечения. Объём пирамиды
и конуса. Развёртка правильной пирамиды и конуса вращения.—
8 час.
29. Шар. Сечение плоскостью. Закон изменения площади сечения
при параллельном смещении секущей плоскости. Равновеликость
полушара с телом, образуемым вращением прямоугольного треуголь-
ника. Объём шара.— 6 час.

30. Поверхность шара. —- 2 час.
31. Объём тела произвольной формы. Подобные тела; отношение
«х объёмов и поверхностей. — 4 час.
Разъяснения и методические указания 1
1. Возникновение приёмов косвенных измерений.
2. Вместо псевдо-определений Эвклидова стиля — примеры упо-
требления терминов „точка", „прямая" и т. д. в повседневной жизни.
Условное изображение линий и точек в геометрии.
3. Проверка линейки (переворачиванием). Различные способы
проведения и продолжения прямолинейных отрезков: натянутая нить
^верёвка); провешивание; сгибание листа бумаги и т. п. Перенос
отрезка с помощью: 1) бумажной полоски, 2) мерительного циркуля.
4. Приближённый характер измерения и результатов действий,
осуществляемых посредством измерений. Глазомерная оценка длин
отрезков, в дальнейшем повторяемая.
5. Скольжение дуги вдоль окружности. Отсюда — равенство хорд,
стягивающих равные дуги. Обратное утверждение (для дуг, не пре-
вышающих полуокружности) постулируется и служит основанием
для переноса дуги с помощью циркуля. Функциональная формули-
ровка: если один конец дуги закреплён, а другой удаляется от него,
двигаясь по окружности, то стягивающая дугу хорда возрастает,
пока не сделается диаметром (модель). Следует подчеркнуть, что
градусная мера дуги не есть мера её длины (принципиальное отли-
чие от измерения отрезков).
6. Перенос угла с помощью: 1) прозрачной бумаги: 2) малки;
3) циркуля и линейки. Измерение угла на чертеже и на местности.
Астролябия. Глазомерная оценка градусной меры угла, в дальнейшем
повторяемая.
7. Равенство вертикальных углов получается в результате реше-
ния задачи: по одному из четырёх углов, образуемых пересечением
двух прямых, найти остальные. Деление угла пополам перегибанием
листа бумаги (приближённо — измерением с помощью транспортира).
Деление пополам развёрнутого угла. Бумажная модель прямого
угла — складыванием листа бумаги вчетверо. Проверка угольника.
Решение с помощью угольника (и если понадобится —линейки)
задач: 1) к данной прямой из данной на ней точки восставить перпен-
дикуляр, 2) на данную прямую из данной вне её точки опустить
перпендикуляр. Кроме обычных вычислительных задач, относящихся
к углам с общей вершиной, задачи типа: найти угол между биссек-
трисами двух смежных углов, двух вертикальных углов.
8. В связи с определением параллельности, уместно сказать
о скрещивающихся прямых в пространстве. Признаки параллельности
могут быть доказаны от противного или же приняты без доказа-
тельства. Единственность параллели постулируется (говорить здесь
об аксиоме не обязательно). При доказательстве теоремы об углах
с соответственно параллельными сторонами точно формулируется
понятие об одинаковой или противоположной направленности двух
лучей (в первом случае лучи лежат на одну сторону от прямой
соединяющей их начала, во втором — по разные стороны). Эти опре-
деления используются при доказательстве.
1 Нумерация пунктов та же, что в программе.

9. Доказательству теоремы о сумме углов треугольника может
предшествовать (или за ним следовать) эксперимент: измерение углов
треугольника транспортиром, опыты с бумажным треугольником. Из
многоугольников достаточно рассмотреть выпуклые, пояснив на при-
мерах справедливость формулы 2d(n — 2) для более широкого
класса многоугольников.
10. Определение симметрии — с помощью перегибания плоскости.
Желательно рассмотреть примеры наличия или отсутствия осевой
симметрии у известных ученику фигур (например, букв печатного
алфавита; круга с хордой; с двумя параллельными хордами и т. п.)-
Особо выделить случаи бесконечного множества осей симметрии
(прямая, пара параллельных прямых, круг). После того, как из сооб-
ражений симметрии установлено равенство углов при основании
равнобедренного треугольника (и обратная теорема), решаются задачи
на определение углов этого треугольника, когда дан один из внут-
ренних или внешних его углов. Частный случай — равносторонний
треугольник. В дальнейшем к осевой симметрии плоских фигур воз-
вращаются всякий раз, как к тому представится случай.
11. Сравнение стороны треугольника с суммой и разностью двух
других сторон, в обоих случаях — геометрически. Для сравнения*
длины отрезка с длиной ломаной— упрощённое доказательство (типа
АВ<АСВ <^ACDB<^ACDEB)t или же вовсе опустить эту теорему.
Теорему о треугольнике с изменяющимся углом можно дать без*
доказательства, но обязательно с демонстрацией модели (две линейки,,
соединённые шарниром, с нитью, натянутой между их концами)*
Связать эту тему с предыдущей (осевая симметрия), решая заинте-
ресовывающие школьников задачи о „кратчайших путях" (типа „крат-
чайший путь из А в В, с заходом на данную прямую")-
12. Доказательствам предшествуют построения треугольников —
каждый раз по тем элементам, которые предполагаются одинаковым»
у сравниваемых треугольников. Равенство по трем сторонам может
быть сведено к равенству по двум сторонам и углу между ними на»
основании последней теоремы предыдущего раздела* Однозначна»
определённость треугольника с тремя заданными элементами демон-
стрируется на моделях (например, для равенства по трём сторонам—
шарнирный треугольник; противопоставление жёстких систем нежё-
стким, с примерами из жизни и техники). Приложения к измерениям)
на местности.
13. Кроме перечисленных задач, предлагается для самостоятель-
ного решения ряд доступных задач на построение, которые с этого
момента входят в постоянный обиход. Разъясняются требования,,
предъявляемые к решению таких задач: описание построения; дока-
зательство его правильности; выяснение (в доступных случаях) усло-
вий разрешимости и числа решений.
14. Симметрия фигуры, состоящей из круга и двух касательных^
Центроискатель. Построение касательных: 1) в точке, лежащей на
окружности, 2) из внешней точки. Построение перпендикуляра
к отрезку в его конце, прямоугольного треугольника — по гипотенузе
и катету. При недостатке времени, измерение нецентральных углов
с помощью дуг может быть опущено.
15. При изучении параллелограма широко пользоваться шар-
нирными моделями („параллельные линейки", весы Роберваля).
16. Практические способы деления отрезка (деление доски на
полосы одинаковой ширины: параллельные линейки, соединённые
нитями).

17. Выяснение наличия или отсутствия центра симметрии у знако-
мых ученику фигур. Деление окружности на 4, 6, 3, 8 равных час-
тей. Вычерчивание орнаментов и паркетов.
18. Независимость отношения от выбора общей меры не доказы-
вается. Отмечается возможность несоизмеримости (для сильного
состава класса — пример: если бы диагональ квадрата была соизме-
рима с его стороной, то нашлось бы целое число, квадрат которого
равен удвоенному квадрату другого целого числа). Материально-
заданные отрезки практически соизмеримы. В дальнейшем случай
несоизмеримости игнорируется.
19. Подобие двух фигур произвольной формы характеризуется
пропорциональностью всех сходственных отрезков и равенством всех
сходственных углов. Вычерчивание фигуры, подобной данной, с по-
мощью обоих приёмов, указанных в программе. Съёмка плана; астро-
лябия, мензула. Основанное на интуиции перенесение гомотетии
в пространство (проекционный фонарь).
20. К тому, что учащийся уже знает о площади прямоугольника
(когда длины сторон выражаются целыми числами), добавляется слу-
чай измерений, выраженных дробями. Правило Кавальери поможет
уяснить ряд случаев эквивалентного преобразования фигур и слу-
жит пропедевтикой к аналогичному правилу для сравнения объёмов.
21. Первая формулировка и доказательство — с помощью площа-
дей (но не по Эвклиду). Разнообразные применения к вычислитель-
ным задачам: прямоугольный треугольник; равнобедренный; равно-
бедренная трапеция и т. д. Знакомство с противоположной и обрат-
ной теоремами: 1) позволяет определить вид каждого угла (острый,
прямой или тупой) треугольника, когда известны три его стороны,
2) устраняет опасность неправильных ссылок (на прямую теорему,
вместо обратной).'
22. Теорема об отношении площадей не доказывается, а иллю-
стрируется наложением на обе фигуры квадратных сеток, имеющих
то же отношение подобия, что и рассматриваемые фигуры.
23. Многочисленные приложения к задачам геометрическим и прак-
тическим.
24 Соотношения появляются в результате сравнения формул,
получаемых для синуса и тангенса острого угла, одного и того же
для трёх прямоугольных треугольников. Теорема Пифагора в виду
её важности заслуживает второго доказательства.
25. Обобщение представляет, кроме практической ценности, также
методологическую, являясь хорошим образцом „принципа перма-
нентности". Решаются вычислительные задачи, в том числе опреде-
ление периметров и площадей правильных многоугольников (сравне-
ние с окружностью и площадью вписанного или описанного круга).
При недостатке времени пункты 24, 25 могут быть перенесены
в курс VIII класса.
26. Эта часть курса носит преимущественно описательный харак-
тер, опираясь на знакомство ученика с несколькими телами (прямо-
угольный параллелепипед, пирамида, конус, цилиндр, шар), определе-
ния которых уточняются. Широко используются модели. Решаются
стереометрические задачи, включая и требующие применения триго-
нометрии.
27. Призма и цилиндр объединяются законом постоянства сечения,
параллельного основаниям. Правило Кавальери позволяет свести
задачу измерения объёмов этих тел к такой же задаче для прямо-
угольного параллелепипеда. Сюда же можно присоединить изучение

трехгранной призмы, у которой за основание принята четырехуголь-
ная грань (с такой именно терминологией ученик встретится в оп-
тике); объём равен половине произведения площади основания на
высоту.
28. При выводе формулы объёма можно воспользоваться „расши-
ренным правилом Кавальери" (площади сечения обоих тел одной
и той же плоскостью находятся в постоянном отношении).
29. В качестве задач могут быть выведены формулы для вычисле-
ния объёма частей шара (шаровой сегмент и шаровой слой).
30. Порядок тем 29—30 установлен в предположении, что фор-
мула для поверхности шара будет выведена из формулы для объёма.
31. Аналогия с определением плоской фигуры (вместо квадратной
сетки, кубическая решётка). Отсюда — отношение объёмов подобных
тел (ср. п. 22). При недостатке времени этот пункт может быть
опущен.
Теперь мы можем, на базе определённого проекта программы,
вернуться к спору о двух системах преподавания и рассмотреть те
возражения, которые делаются в защиту существующей и против
новой системы.
Возражение 1-е. Образовательное значение модернизирован-
ной эвклидовой системы состоит в том, что она является незамени-
мой школой дедуктивного мышления. Поэтому изучение даже фраг-
мента из эвклидова наследия даёт свой воспитательный эффект.
Образующийся при этом пробел в запасе геометрических фактов
может быть восполнен кратким курсом „наглядной геометрии", по-
строенным на экспериментально-догматической базе 1.
Мы оспариваем оба тезиса этого возражения. Из того, что было
сказано выше о научной ценности эвклидовой системы, следует, что
стремление сохранить её ценою стольких жертв ничем не оправдано.
По поводу пропедевтического курса геометрии надо прежде
всего задуматься над причинами неуспеха попыток осуществить
такой курс в нашей дореволюционной, а затем и в советской школе.
Если, как это делалось и снова предлагается проектом 1943 г. [11],
пропедевтике геометрии уделяется небольшое число часов в V—VI
классах, причём в основу преподавания положены эксперимент
и догматически-сообщаемые правила, то курс оказывается бледным
и слабо закрепляется в сознании учащихся. Если же значительно
увеличить продолжительность курса и шире применять дедукцию,
то получится нечто близкое к предлагаемой нами программе и не
соответствующее обычному пониманию пропедевтики. Такой курс
во всяком случае поглотил бы всё время, отводимое геометрии
в семилетней школе.
Возражение 2-е. Предлагаемый курс настолько насыщен содер-
жанием, что осуществление его в рамках отведенного времени
нереально.
Это возражение не находит себе опоры в опыте нашей и осо-
бенно зарубежной школы. Можно привести несколько примеров
преподавания, которое близко к нашему проекту по объёму, по
продолжительности и по возрасту учащихся.
1 Мы уже отмечали, что сторонники существующего преподавания геометрии,
декларируя эту поправку, легко мирятся с тем, что на деле она не осуществляется.

а) В дореволюционных городских и высших начальных училищах
преподавался „сокращённый" курс геометрии, который, страдая
многими недостатками, был, однако, законченным, достаточно насы-
щенным и при этом не встречал препятствий в виде недостаточной
продолжительности или недоступности для учащихся.
б) В настоящее время для наших ремесленных и железнодорож-
ных училищ принят учебник геометрии Выгодского [7]. Книга
предназначена для учеников той же подготовки и того же возраста,
что и в семилетней школе. Остальные условия преподавания в семи-
летней школе, пожалуй, более благоприятны, чем в ремесленной,
где общеобразовательные предметы поглощают гораздо меньшую
долю времени и внимания учащихся. Между тем объём сведений,
содержащихся в учебнике Выгодского, равно как и уровень
изложения, очень близки к тем, которые предложены нами. Если
в нашей программе иногда больше подчёркиваются общеобразова-
тельные элементы, то у Выгодского зато немало внимании уделено
техническим приложениям, которые для семилетней школы не обя-
зательны. Не разделяя взглядов автора на трактовку отдельных
вопросов, я считаю книгу очень удачной реализацией направления С
Хотя ещё рано говорить об итогах преподавания по этому учебнику,
однако, „педагогическая интуиция" подсказывает осуществимость
такого преподавания *, быть может, в семилетней школе с большей
уверенностью, чем в ремесленной.
в) В австрийской Untergymnasium начала века (более поздними
сведениями мы не располагаем; см. [12], стр. 61-88) первый концентр
геометрии преподаётся на протяжении 3*/2 лет при 1гІ2 учебных
часах в неделю. Судя по программе и инструкциям к ней, объём
преподавания в некоторых отношениях выше предлагаемого нами
(в курс входят: прямоугольные координаты, более сложные задачи
на построение; элементы сферической геометрии; правильные много-
гранники), в других — ниже (отсутствуют элементы тригонометрии);
в целом, отклонения компенсируются.
г) Для первого концентра геометрии во французской школе начала
нашего века характерны учебники Бор ел я [6], и, в особенности,
Бурле [13]. Второй из этих учебников, написанный по программам
1909 г., рассчитан на 4 года обучения в мужских школах и (с неболь-
шими сокращениями) на 3 года в женских. Большей продолжитель-
ности обучения соответствует заметно большее содержание. Напри-
мер, у Бурле находим: теоремы о биссектрисах внутреннего и
внешнего углов треугольника; степень точки относительно окруж-
ности; теоремы о трехгранных и многогранных углах; тригонометрию,
включая теоремы синусов и косинусов2 (напомним, что у нас
последние теоремы отнесены к факультативным). Степень трудности
задач во многих случаях предполагает более высокую подготовку,
чем та, на которую мы можем рассчитывать в семилетней школе.
Возражение 3-е. Если бы удалось выполнить предлагаемую
программу, то оказалось бы обескровленным преподавание геомет-
рии в VIII—X классах. Повторение тех же фактов, хотя бы с более
глубоким обоснованием, не заинтересует учащихся. Накладывать
заплаты в виде дополнений к тем или другим главам — потеря цель-
1 Повидимому, таково же впечатление тех компетентных органов и специали-
стов, которые аппробировали издание книги большим тиражом, в качестве един-
ственного учебника, отвечающего своему назначению.
2 В программе упоминается также синусоида.

ности. Отказаться от этих дополнений—ущерб для подготовки
к вы шей школе.
Боязнь того, что во втором концентре ослабеет интерес уча-
щихся к предмету, ни на чём не основана. Почему не проявляют
этой боязни физики, которые в своём втором концентре преподают
те же разделы, что в первом: механику, теплоту, электричества
и т. д.? Более того, некоторые из окончивших среднюю школу
будут изучать в вузе третий концентр физики, с той же номенкла-
турой разделов, и никогда мы не слышим об упадке интереса, выз-
ванном этой концентрической системой. Обратимся, наконец, к опыту,
который накоплен за рубежом в деле преподавания самой геометрии.
В австрийской школе, после того, как Untergymnasium даёт З1 2-лет-
ний насыщенный содержанием курс геометрии (см. выше), начинают
снова с параллельных прямых и равенства треугольников в Obergym-
nasium (4 года). Борель в предисловии к немецкому изданию своего
учебника рекомендует ([6], стр. XVIII) в качестве следующего кон-
центра классический курс Адам ара, излагающий всю элементарную
геометрию ab ovo1. По поводу беспокойства за подготовку к высшей
школе надо, наконец, ясно сказать, что 10-летняя общеобразовательная
школа не может ставить задачей полностью вооружить учащихся для
конкурсных экзаменов в те вузы, которые предъявляют повышенные
требования к математической тренировке2 (и это обстоятельство
надо учесть уже при построении программы семилетней школы).
Составитель программы должен иметь перед собой не только облик
будущего математика или инженера, но и юриста, историка, врача.
Задачу специально математической тренировки и расширения объема
знаний может взять на себя бифурцированный XI класс, а пока его
нет—1 курс высшей школы (вспомним, что на этот путь стали доре-
волюционные высшие женские курсы, а позже — наши педагогические
институты).
Возражение 4-е. Радикальная ломка преподавания опасна.
Школа допускает только медленную эволюцию, в процессе которой
создаются новые учебники, методическая литература, переучиваются
педагогические кадры.
Здесь содержится, собственно, не отрицание реформы, а только
призыв к осторожности в её проведении. К этой осторожности (не
переходящей, однако, в робость) мы присоединяемся. Массовой
реформа может стать, конечно, после создания новых учебников,
1 Здесь не место обсуждать проблему второго концентра геометрии во всей
её полноте, что вывело бы нас далеко за рамки этой статьи. Тем не менее, разре-
шим себе сказать, что упомянутая в тексте система не кажется нам наилучшей.
Можно было бы, не возвращаясь к планиметрии (подобно тому, как не возвра-
щаются к арифметике, не смущаясь тем, что в младших классах её теоретический
уровень, по необходимости, намного ниже, чем в последующем преподавании),
посвятить один год |VIII класс) углубленному изучению той части стереометрии,
которая, по общему признанию, составляет наиболее слабое место в современном
преподавании: прямые и плоскости в пространстве, многогранники, параллельная
проекция —с направленностью в сторону: а) развития пространственных предста-
влений, б) выяснения роли аксиом (которые именно здесь не тривиальны), в) укреп-
ления связи с тригонометрией. После этого IX класс посвятить введению н анали-
тическую геометрию, которая должна изучаться в первую очередь как новый
метод и только во вторую очередь как источник новых геометрических образов
(конические сечения). В X классе — единый курс математики, куда геометрия вой-
дёт в качестве составного элемента (например, вычислчние объёмов с помощью
интегрирования).
2 Иная точка зрения привела бы к тому, что представители гуманитарных дис-
циплин могли бы с основанием потребовать возрождения классического образова-
ния (латинский и греческий языки).

но к экспериментальной проверке новой программы в немногих
школах следует приступить немедленно. Против характеристики
наших предложений как радикальных спорить не будем. Этот ради-
кализм имеет корни в действительно исключительной ситуации:
полувековой застой в преподавании геометрии может быть преодо-
лен только исключительными средствами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Материалы совещания преподавателей математики средней школы. Учпедгиз,
1935.
2. Compte Rendu du Congras de Milan, 18—21, IX, 1911; напеч. в журн. L'Enseigne-
ment Mathematique, XIII, 1911, стр. 437—511.
3. Киселёв, Геометрия. Ч. I. Учпедгиз, 1938.
4. .4. II, 1940.
5. Глаголев, Элементарная геометрия. Планиметрия, 1944. Стереометрия, 1945.
6. Борель, Элементарная математика. Ч. II. Геометрия. Изд. Матезис, 1912.
7. Выгодский, Геометрия. Гостехиздат, 1944.
8. Астряб, Курс опытной геометрии. ГИЗ, 1925.
9. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. II, ГТТИ, 1934.
10. Симон, Дидактика и методика математики в средней школе. Изд. „Физика",
СПБ, 1912.
11. Программы средней школы. Математика (проект на правах рукописи). Нарком-
прос РСФСР, 1943.
12. Сборник программ и инструкций по преподаванию математики в Западной
Европе. М., 1914.
13. С. Bourlet, Elements de geometric Paris, Hachette, 1910.

GEOMETRY AT A SEVEN-YEAR SCHOOL
BY PROF. J. S. DUBNOV.
Summary
The initial point of this paper is that the course of geometry taught
at the seven-year school should form a subject though this is not the
case at the present time. The author enumerates the tasks of teaching
geometry and analyzes the methods which have been applied to solving
hem. He considers that the chief obstacle in introducing a reform,
the necessity of which has become acute, is an exaggerated devotion
to Euclid, which finds no support in contemporary science. The author
puts forward the principle that at the first stage of teaching intuition
and deduction have an equal bases in truth; he gives a detailed plan
for a three year programme (grades V, *VI and VII), each point of
which is supplied with methodical explanations. The article concludes
with an analysis of the objections brought forward against the new
system and in favour of the existing ones.

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
ВЫПУСК 6 · 194 6
ВОПРОСЫ МЕТОДОЛОГИИ И МЕТОДИКИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ПОСТРОЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
Проф. Н. Ф. ЧЕТВЕРУХИН
член»корреспондент АПН РСФСР
1. Развитие пространственных представлений учащихся и задачи
на построение
Как неоднократно отмечалось, одним из наиболее существенных
дефектов математического образования учащихся в средней школе
является отсутствие у них хорошо развитых пространственных пред-
ставлений.
„Как показывают приемные испытания во втузах, — пишет в пре-
дисловии к своей книга Б. В. Романовский1, — учащиеся, за очень
редким исключением, поражают почти полным отсутствием простран-
ственного воображения**.
Этот недостаток в сильнейшей степени затрудняет их учебную
работу во втузе или техникуме, вынуждая иногда переходить в дру-
гие учебные заведения, где нет таких предметов как черчение,
начертательная геометрия, детали машин и т. п., которые им не
удаётся одолеть, главным образом, вследствие недостаточного разви-
тия пространственных представлений.
Тот же порок обнаруживается у тех учащихся, которые после
окончания средней школы избирают технические профессии, идут
работать на предприятия. Всё это особенно нетерпимо в нашей
стране, где развертывается огромное строительство, наблюдается
невиданный рост техники и изобретательства.
Итак, приходится признать, что средняя школа не даёт ещё необ-
ходимой подготовки учащимся в области пространственных предста-
влений и умения применять последние в практической жизни, в ча-
стности— умения свободно оперировать с пространственными фор-
мами на проекционном чертеже.
Можно указать две главные причины этого явления. Первая —
это плохая постановка, а иногда и полное отсутствие черчения
(а также и рисования) в школе. Не раз и в печати, и в устных
выступлениях писалось и говорилось о заброшенности этого участка
работы школы. Однако и до сих пор почти ничего не сделано для
исправления положения.
Вторая причина —неудовлетворительная методика преподавания
курса геометрии (и в особенности — стереометрии) в школе. В ча-
1 Романовский Б. В. Задачи на построение в стереометрии. Учпедгиз
М., 1936, стр. 3.

стности,—почти полное отсутствие задач с геометрическим содержа-
нием, недостаточное внимание к геометрическим построениям.
Президент Московского математического общества- проф.
П. С. Александров в своей речи на совещании преподавателей мате-
матики средней школы в 1935 г. говорил:
„Между прочим, преподавая в университете, я постоянно должен
считаться с тем фактом, что у нас студенты совершенно недоста-
точно знают элементы стереометрии. Преподавание стереометрии
в средней школе сплошь и рядом ограничивается одним бесконечным
вычислением поверхностей и объёмов, готовым применением формул.
Учащийся приобретает известную быстроту, вернее, натаскивается
на применении этих формул, но даже самое простейшее соотноше-
ние фигур в пространстве для него остаётся совершенно недоступ-
ным и совершенно непонятным. Мне приходилось на первом курсе
математического факультета слышать вопрос такого рода: не будет
ли прямая, параллельная данной плоскости, параллельна всякой пря-
мой, лежащей в этой плоскости? Над устранением этого недопусти-
мого положения вещей педагогам необходимо работать. Учащиеся
должны приобрести знания элементарных пространственных фигур
и навык в применении этих знаний. Задача воспитания пространствен-
ных представлений должна в гораздо большей степени интересовать
преподавателя, чем это имеет место сейчас. Первая, наиболее эле-
ментарная, часть стереометрии должна быть выведена из того состоя-
ния загона, в которое она совершенно незаслуженно сейчас по-
пала4* К
Не надо забывать, что за редкими исключениями, школьные учи-
теля придерживаются стабильного учебника и стабильного задачника.
Поэтому в большинстве школ решаются только такие задачи и разби-
раются такие примеры, которые имеются в стабильных пособиях.
Особенно плохо обстоит дело с задачами на построение в про-
странстве. В стабильном учебнике Киселева („Геометрия", ч. И)2
о задачах на построение говорится лишь в первой главе; вторая
глава посвящена вопросам начертательной геометрии (эпюры Монжа).
В последующих главах, особенно интересных с точки зрения задач
на построение, последние совершенно отсутствуют.
В стабильном задачнике Рыбкина („Стереометрия", ч. Ιί) собраны
преимущественно задачи на вычисление8; задачи на построение почти
не встречаются, да и в тех случаях, когда их можно „усмотреть"
в содержании задачи, преподавателю самому приходится выдвинуть
дополнительные требования о построении той или другой фигуры
на чертеже.
Таким образом можно констатировать, что стереометрические
задачи на построение, особенно ценные для развития пространствен-
ных представлений, не нашли ещё должного места в средней школе,
что отразилось на знаниях и навыках учащихся.
Такое положение дела не могло, конечно, ускользнуть от внима-
ния преподавателей математики и вызвало отдельные попытки с их
стороны исправить указанные недостатки в преподавании геометрии.
Особенно следует отметить уже цитированную выше работу Б. В. Ро-
1 .Материалы совещания преподавателей математики средней школы" (март—
апрель, 1935 г.). Учпедгиз, 1935, стр. 5.
2 Киселёв А. П., Геометрия, ч. II, под ред. проф. Н. А. Глаголева (учеб-
ник для средней школы). Учпедгиз, 1940.
3 Напомним, что до переработки В. А. Ефремовым задачник Рыбкина носил
название .Сборник геометрических задач на вычисление".

мановского, о которой ещё будет идти речь впереди, а также его
^Дополнительный сборник задач по стереометрии4*1.
Однако по причинам, которые отчасти уже были рассмотрены
выше и будут ещё выясняться в ходе дальнейшего изучения вопроса,
заметного улучшения достигнуть не удалось, и проблема насыщения
школьного курса геометрии задачами геометрического содержания
л, в частности, задачами на построение остаётся весьма актуальной.
2. Обоснование геометрических построений на плоскости
В первой части стабильного учебника Киселева (планиметрия)
уделено довольно значительное место геометрическим построениям
с помощью линейки и циркуля.
Другие инструменты, в частности, угольник, фактически не
применяются, о чём приходится пожалеть, так как на практике
угольник является обычным чертёжным инструментом наряду с ли-
нейкой и циркулем и в ряде случаев позволяет значительно упрощать
построенияа.
„Заметим, — говорится на стр. 33 стабильного учебника, — что
в элементарной геометрии рассматриваются только такие построе-
ния, которые могут быть выполнены с помощью линейки и циркуля.
Употребление чертёжного треугольника и некоторых других приборов,
хотя и допускается ради сокращения времени, но не является
необходимым11.
Однако как можно видеть из разобранных в учебнике задач на
построение, угольник фактически почти не используется. Лишь при
построении перпендикуляра, а также в задаче на построение парал-
лельной прямой, рекомендуется применять угольник8.
Следует признать, что приведённая выше мотивировка стабиль-
ного учебника совершенно не убедительна и ссылается лишь на
возможность обходиться без применения угольника при решении
задач на построение второй степени4.
Но, во-первых, как было показано в классической работе Маске-
рони5, для решения тех же задач можно обойтись и без линейки,
действуя лишь одним циркулем, а, во-вторых, придавая угольник
к циркулю, оказывается возможным решить каждую задачу на
построение 3-й и 4-й степени6.
Таким образом, конечно, никаких „теоретических" возражений
против применения угольника не имеется. Тем более не может быть
каких-либо „практических" доводов против пользования угольником.
1 Романовский Б. В., Дополнительный сборник задач по стереометрии.
Учпедгиз, 1940.
2 О построениях при помощи угольника, двухсторонней линейки и некоторых
других инструментов см.:
Адлер Α., Теория геометрических построений.
Четверухин Н., Методы геометрических построений, 1938.
Заметим, что непременным инструментом построений является также пишу-
щее острие (карандаш), но его обыкновенно рассматривают как часть любого дру-
гого инструмента. Однако некоторые авторы упоминают о нём отдельно (Алек-
сандров, Геометрические задачи на построение и методы их решения. Μ , 19.>4,
стр. 5).
3 Киселёв, Геометрия, ч. I (Планиметрия). М., 1939, § 25, стр. 15; §74,
стр. 40. О „транспортире" говорится только в § 20, стр. 13.
4 Так называются задачи, которые в аналитической форме приводятся к реше-
нию уравнений 2-й степени.
5 Mascheroni, „La Geometria del compasso" (1797).
6 См. об этом статью Иглиша, перевод которой был помещён в журнале
" Математика и физика в школе* (1935 г., № 5).

Наоборот, всё говорит за целесообразность включения угольника
наравне с линейкой и циркулем в число инструментов построения.
Вероятнее всего, что этому мешает лишь устаревшая традиция1.
В недавно вышедшем учебнике геометрии Н. А. Глаголева8
с самого начала применяется угольник, как инструмент, весьма
удобный для построения перпендикулярных прямых, а затем и для
других построений. Эта точка зрения сохраняется лишь до главы
IV („Геометрические задачи на построение"). В самом начале этой
главы8 автор говорит следующее: „До сих пор для выполнения
различных построений (§ 21, 26, 27) мы пользовались тремя инстру-
ментами: линейкой, циркулем и чертёжным угольником. Доказанные
теоремы о равенстве треугольников позволяют выполнить те же
построения с помощью лишь двух инструментов — циркуля и линейки;
циркуль — для вычерчивания окружности и её дуги, линейка — для
вычерчивания прямой линии.
Греки времён Эвклида считали прямую линию и окружность
основными линиями в геометрии и потому требовали, чтобы всякое
геометрическое построение выполнялось при помощи лишь тех двух
инструментов, которые вычерчивают эти линии. Умение полностью
использовать эти два основных инструмента — линейку и циркуль
и в настоящее время представляется весьма важным. В дальнейшем
все построения будут выполняться лишь при помощи циркуля
и линейки*.
Если следовать соображениям о необходимости полного изу-
чения линейки и циркуля, то надо было бы также преподавать
построения, выполняемые: а) одной линейкой, б) одним циркулем,
в) линейкой при однократном употреблении циркуля и т. д.
Однако вряд ли эта сторона геометрических построений является
наиболее важной в общеобразовательной школе. Иметь такие построе-
ния, которые хорошо отражали бы жизненный опыт и были бы,
поэтому, практически применимы я полезны — это гораздо важнее,,
тем более, что „теоретическое" обоснование средств построения
совершенно аналогично при том или другом выборе чертёжных
инструментов.
Мы привели цитату из учебника Н. А. Глаголева полностью,
чтобы показать, что мотивы, по которым автор воздерживается от
более широкого применения угольника для геометрических построе-
ний, мало чем отличаются от приведенных в стабильном учебнике.
Таким образом, отмечал как положительную сторону обоих учеб-
ников применение угольника в простейших построениях, мы не видим
серьёзных причин для запрещения его применения и в других слу-
чаях.
Напротив, включение угольника в число основных инструментов,
построения наравне с линейкой и циркулем было бы целесообразно*
по следующим основаниям:
а) геометрические построения отображали бы опыт практической:
жизни и были бы полезны в этом смысле учащимся;
б) самые построения были бы проще в отношении техники их
выполнения;
в) область возможных построений была бы расширена.
1 Более подробно см. об этом Четверухин Н., Методы геометрические
построений. Учпедгиз, Москва. 1936 г., стр. 13—24.
2 Глаголев Н. А., Элементарная геометрия, планиметрия. Учпедгиз-.
М., 1944.
3 Ни т. выше, стр. 61.

„Итак, резюмируя, можно сказать, — пишет Феликс Клейн в своей
„Элементарной математике с точки зрения высшей", — что нет каких-
либо основательных причин ограничиваться при построениях линей-
кой и циркулем, исключая, следовательно, подвижной прямой угол.
Практика черчения тоже не даёт для этого никаких оснований, так
как она требует как раз возможно большей свободы в употребле-
нии инструментов* Ч
Исследуя вопрос о геометрических построениях на плоскости,
необходимо констатировать его зависимость от средств построения.
Так, задача деления отрезка пополам, неразрешимая при. построе-
ниях только линейкой, оказывается разрешимой при построениях
только циркулем или только угольником2.
Поэтому каждая постановка задачи на построение должна сопро-
вождаться указанием на тот инструментарий (средства построения),
которым разрешено пользоваться для решения задачи. Отсюда,
между прочим, следует, что главной целью построения является
действительное (фактическое) выполнение его на плоскости чертежа,
при помощи избранных инструментов.
Основная практическая ценность геометрических построений
заключается именно в том, что при их помощи осуществляется
материальная реализация абстрактных геометрических образов.
Рассмотрим в качестве примера задачу № 1 на построение из
-стабильного учебника3: „Построить треугольник по трём его сторо-
жам а, Ь и с*.
В учебнике показано решение задачи при помощи линейки и цир-
куля, после чего указывается необходимое условие решения задачи
^сумма каждых двух отрезков должна быть больше третьего), кото-
рое было доказано ранее (§ 50, стр. 28). О достаточности этого
условия для возможности построения не говорится, конечно, потому,
что она сводится к вопросу о пересечении двух окружностей, а этот
«опрос исследуется позднее4. Таким образом, существование реше-
ния остаётся недоказанным. В данном случае целью построения было
показать способ фактического осуществления треугольника с дан-
ными сторонами, причём вопрос о существовании такого тре-
угольника решался опытным путём, т. е. в процессе самого по-
строения.
Если обратимся к задаче на построение № 5 стабильного учеб-
ника: „Из данной точки А опустить перпендикуляр на данную пря-
мую ВС"5, то получим еще более характерный пример. Доказатель-
ство существования искомого перпендикуляра было дано значительно
ранее6, поэтому перед построением в данном случае этой цели,
очевидно, не ставилось. Точно также и единственность перпендику-
ляра была доказана ранее (там же). Следовательно, за построением
-оставалось единственное значение: иметь способ фактического осуще-
ствления перпендикуляра при помощи линейки и циркуля.
1 Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей. ГТТИ, 1934,
«тр. 407.
3 См. наст, статью, стр. 79.
3 Киселёв, Геометрия, ч. I, стр. 34.
4 Гл. VI — Взаимное расположение двух окружностей, стр. 63. Заметим, что
ж книге Ада мара .Элементарная геометрия", (ч. I, стр, 78—79) указываются необ-
ходимые и достаточные условия решения этой задачи, так как всё требующееся
для этого рассматривается ранее.
5 § 66, стр. 35.
6 § 24, стр. 15.
Мы оставляем здесь в стороне вопрос о строгости этого доказательства.

Итак, если речь идет об „основных" геометрических построениях,
то их главное назначение — дать способ достаточно точной, выполняе-
мой инструментами, реализации (в виде чертежа) абстрактных гео-
метрических образов, выступает вполне отчётливо. В некоторых слу-
чаях они используются также для „опытного41 доказательства суще-
ствования искомых фигур. Это назначение возникает само собой,,
если в должном месте не удаётся дать геометрического доказа-
тельства. Однако такое доказательство, если это возможно, даётся
обыкновенно ранее и независимо от задачи на построение. С послед-
него снимается, таким образом, совершенно и эта косвенная цель.
В „основных" задачах на построение, например, когда речь идёт
о существовании перпендикуляра к прямой или возможности построе-
ния угла, равного данному, вопрос, очевидно, не может быть постав-
лен в зависимость от средств построения, и поэтому желательно
дать независящее от этих инструментов доказательство существова-
ния. Однако как мы видели (построение треугольника по трём сто-
ронам— в стабильном учебнике Киселёва), это не всегда удаётся:
и прибегают к эмпирическому способу в процессе построения. В слу-
чаях более сложных задач на построение доказательство существо-
вания имеет значение лишь для самой задачи на построение и рас-
сматривается как его составная часть. Вследствие этого задачи на
построение рассматривают обыкновенно как некоторый комплекс
различных по своим целям, но дополняющих друг друга моментов,
а именно:
1) анализ, когда задача предполагается решенной и изучаются
связи искомых элементов с данными с целью составить синтетиче-
ский план решения;
2) построение, когда намеченный план реализуется при помощи
выбранных средств построения;
3) синтез, когда доказывается, на основании аксиом и теорем,
что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи;
4) исследование, когда рассматривается вопрос о существовании
и числе решений и выводятся условия возможности или невозмож-
ности решения. Иными словами, в этой части исследуются необхо-
димые и достаточные условия задачи на построение.
Часто отмечается большое значение для решения задачи на
построение отдельных звеньев этого решения, например, анализа.
Справедливо указывают, что анализ даёт ключ к решению задачи.
Точно также замечают, что без должного исследования задачи,
построение может оказаться невозможным. Эти замечания, конечно,
справедливы. Однако всё же не следует упускать из виду, что глав-
ной целью решения задачи (ядром) является фактическое построение
искомой фигуры инструментами. Все остальные части решения имеют
лишь вспомогательное значение. Если же какая-либо из них имеет
самостоятельное принципиальное значение, то её стремятся отде-
лить от задачи на построение и дать в виде самостоятельной тео-
ремы.
Так, на стр. 11 мы уже приводили пример, когда доказательства
существования и единственности решения были даны в стабильном
учебнике ранее соответствующей задачи на построение („Из данной
точки опустить перпендикуляр на данную прямую41) в виде отдельной
теоремы.
В этом случае, следовательно, оказалась отделённой теорема,
которая должна была составить стадию „исследования1* в задаче на
построения.

Теорема, помещённая в § 104, стр. 57 стабильного учебника1,
гласит:
„Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести
окружность и притом только одну".
β ходе доказательства этой теоремы, которое построено анали-
тически, обнаруживается, что центр искомой окружности должен
лежать на каждом из трёх перпендикуляров, восстановленных в сере-
динах сторон.
Таким образом, доказательство этой теоремы воспроизводит „ана-
лиз", а выводы ее—„исследование" следующей задачи на построе-
ние: „Найти точку, равноотстоящую от трех вершин треугольника",
помещенной гораздо ранее2.
Значение же всех упомянутых моментов процесса решения для
самой задачи на построение должно быть оценено с той точки зрения,
что целью является не безразлично какая-либо реализация искомой
фигуры 3, а построение её (достаточно точное) при помощи инстру-
ментов, обоснованное и проверенное теоретически.
„В геометрической задаче на построение, — читаем в известной
работе Адлера4, — требуется начертить фигуру, удовлетворяющую
определенным условиям".
Существенное участие инструментов в решении задач на построе-
ние делает менее очевидным возможность вполне абстрактного истолко-
вания геометрических построений, отображающих практический опыт.
Иногда приходится слышать такой вопрос: „Что же такое геометри-
ческие построения, геометрия или черчение, математика или искус-
ство?".
Ответом на него служит возможность дать вполне абстрактное
истолкование геометрических построений. Такое формально-логиче-
ское представление геометрических построений на плоскости является
весьма необходимым с методологической точки зрения: оно позволит
внести полную ясность в вопрос о взаимоотношении геометрических
построений, как части геометрии, и практических операций чертеж-
ными инструментами. С другой стороны, абстрактное истолкование
геометрических построений на плоскости и в пространстве позволит
сравнить те и другие, дать методологическое обоснование геоме-
трическим построениям в пространстве. Почти все авторы учебников
по геометрии или задачников по геометрическим построениям считают
необходимым отметить, что геометрические построения сводятся
„к применению некоторых основных построений, возможность которых
заранее признаётся в геометрии'*. (Приведённая цитата взята из изве-
стного сборника геометрических задач на построение И. Александрова.)
Далее обыкновенно перечисляются эти „основные построения". Такое
перечисление имеется и в упомянутой книге И. Александрова5.
Заметим, что из 8 основных построений, помещенных в этой книге
от а) до з), два, поставленные под знаками б) и з), совершенно
излишни.
Однако в приведенной схеме еще нет той ясности, которая жела-
тельна при разрешении поставленных выше вопросов.
Наиболее глубокое исследование этих вопросов было дано
1 Киселёв, Геометрия, ч. I, стр. 57.
2 Там же, стр. 36.
3 Например, чертёж от руки.
4 Август Адлер, Теория геометрических построений, стр. 6.
5 Александров И., Геометрические задачи на построение и методы их
решения. М., 1934, стр. 5.

С. О. Шатуновским в его введении к русскому переводу книги
Адлера К
С. О. Шатуновский указал путь формализации инструментов
построения, позволяющий представить каждую задачу на построение
как абстрактно-геометрическую операцию. Некоторую неясность
вносили только введенные им новые „постулаты" (или „логические
средства решения"), так как оставалось, быть может, под сомне-
нием— являются ли точки и прямые, удовлетворяющие этим „посту-
латам" (кроме обычных аксиом эвклидовой геометрии), точками и пря-
мыми обыкновенной эвклидовой геометрии? Нам кажется, однако,
что и эта неясность может быть устранена, так как все точки, рас-
сматриваемые в данной задаче на построение, могут быть выделены
путем „определений". В этом духе вопрос изложен в книге автора
„Методы геометрических построений" 2.
Приведём ряд положений из этой работы в более сжатой и уточ-
ненной форме. Прежде всего следует подчеркнуть, что элементами
геометрических образов нам будут служить точки, прямые и окруж-
ности именно обыкновенной эвклидовой геометрии на
плоскости. Однако в каждой задаче на построение выделяется из всех
элементов класс конструктивных элементов.
Содержание класса конструктивных элементов, или признаки,
позволяющие установить, какие элементы должны быть отнесены
к этому классу, выражаются следующими определениями.
Конструктивными являются (называются) следующие эле-
менты:
1°. Все данные в задаче на построение элементы к которым
могут быть также присоединены какие-либо произвольные (случай-
ные)8 точки плоскости.
2°. Прямая, если она определена двумя конструктивными точками.
3°. Окружность, если она определена конструктивными центром
и радиусом (пара конструктивных точек).
4°. Точка пересечения двух конструктивных линий.
Эти определения соответствуют геометрическим построениям при
помощи линейки и циркуля.
Первое из них устанавливает существование конструктивных эле-
ментов. Это — данные и произвольно присоединённые к ним элементы4.
Без такой начальной совокупности конструктивных элементов нельзя
было бы выполнять геометрические построения и получить класс
конструктивных элементов. Этот класс оказался бы пустым.
Второе определение есть абстрактно-логическая замена линейки.
В самом деле, при помощи линейки, мы получаем конструктивную
прямую по двум конструктивным точкам.
Третье определение есть такая же замена циркуля, ибо в усло-
виях третьего определения при помощи циркуля получаем конструк-
тивную окружность.
Наконец, четвёртое определение устанавливает возможность
1 Август Адлер, Теория геометрических построений. Одесса, 1910, стр. IX.
2 Четверухин Н. Ф., Методы геометрических построений. М., 1938 г., гл. I.
3 Мы будем называть точку „произвольной", если результат построения, соот-
ветствующего данной задаче, не зависит от выбора этой точки.
4 Заметим, что в ряде случаев задача на построение содержит в числе данных
элементов лишь одну точку или даже ни одной точки (напр., в следующей
задаче: „Из данной точки опустить перпендикуляр на данную прямую" или: .Найти
центр данной окружности"), тогда как применение определений 2 и 3 (инструментов
построения) требует не .менее двух конструктивных точек. В этих случаях к данным
присоединяют произвольные точки.

образования новых конструктивных элементов при помощи уже суще-
ствующих.
Таким образом, четыре приведённые выше определения выражают
в абстрактной форме весь процесс геометрических построений, отобра-
жая практическое выполнение решения задачи на построение
с помощью инструментов (линейки и циркуля).
Добавим к этому, что применение угольника1 могло бы быть
заменено следующим определением:
„Прямая, проходящая через конструктивную точку и перпендику-
лярная к конструктивной прямой, является конструктивной".
Из сказанного видно, что процесс решения каждой задачи на
построение может быть представлен в абстрактно-геометрической
форме, отображающей реальные операции с инструментами (линейка,
циркуль, угольник).
Поэтому справедливо считать геометрические построения одной из
глав математики (геометрии). Что же касается чертёжных операций
с инструментами, то они являются тем жизненным источником, из
которого берут своё начало геометрические построения и отобра-
жают их.
На практике, а также и в преподавании, конечной целью являются
реальные построения с помощью инструментов, для достижения кото-
рой и разрабатываются как теория, так и методы решения геометри-
ческих задач на построение. С другой стороны, самый процесс обу-
чения геометрическим построениям, умение применять методы
решения задач на построение к конкретным случаям представляются
весьма ценными и полезными в педагогическом отношении.
В известной работе Ю. Петерсена2 читаем: „...именно в школе
должно быть их настоящее место, ибо ни одни задачи не содействуют
так развитию в учениках наблюдательности и правильности мышле-
ния, представляя в то же время для них и наибольшую привлека-
тельность, как геометрические (задачи) на построение".
„Задачи на построение развивают изобретательность, инициативу,
конструктивные способности, столь необходимые будущим строителям
нашей великой родины"3.
Весь комплекс, состоящий из четырёх стадий решения задач на
построение (анализ, построение, синтез, исследование), является
прекрасной школой исследования и решения проблем в области
точных наук. Вот почему геометрическим построениям, не говоря
уже об их роли в развитии пространственных представлений, должно
быть уделено необходимое внимание в школьном курсе геометрии.
§ 3. Обоснование и принципы методики преподавания геометри-
ческих построений в пространстве
Если при решении задач на построение на плоскости удачно со-
единяются формально-логическая схема построений с их действитель-
ным выполнением при помощи чертёжных инструментов, то этого мы
не имеем, по понятным причинам, в пространственных задачах.
В самом деле, чертёжные операции в пространстве невозможны. Как
1 Если угольником пользоваться лишь для проведения прямых линий и построе-
ния прямых углов.
2 Метерсен Ю.. Методы и теории для решения геометрических задач на
построение. Перевод Ф. П. Крутикова. М., 1892 г. Предисловие, стр. VI
3 Четверухин Н. Ф, Методы геометрических построений. М., 1938, стр. 3.

показывает практика, пространственные задачи обычно переносятся
на проекционный чертёж и решаются на нём.
Следовательно, возможны два методологических направления
в решении вопроса о геометрических построениях в пространстве:
либо 1) по аналогии с построениями на плоскости развить формально-
логический метод построений в пространстве с отказом от реальных
построений при помощи инструментов, либо 2) рассматривать и выпол-
нять пространственные построения на проекционном чертеже, т. е.
на отображении пространства, полученном по способу проектиро-
вания.
Методологические и методические трудности, встречающиеся при
попытках обоснования и развития геометрических построений в про-
странстве, явились причиной того факта, что в этой области мы почти
не имеем литературы1, а в той, какая всё же существует, нет устано-
вившихся принципов и обоснованной точки зрения.
Рассмотрим, прежде всего, как обстоит дело с задачами на построе-
ние в пространстве в нашей учебной литературе?
В стабильном учебнике2 о задачах на построение речь идет лишь
в первой главе. Вторая глава посвящена ортогональным проекциям
и построению чертежей по методу Монжа. В следующих главах задач
на построение вовсе не даётся.
Изложение вопроса методологически примыкает к первому из
указанных выше направлений. Делается предупреждение, что выпол-
нение построений с инструментами в пространстве невозможно и
предлагается некоторая формально-логическая концепция, аналогич-
ная геометрическим построениям на плоскости. Она заключается
в следующем 3:
„Во всех построениях в пространстве мы будем предполагать:
1) что плоскость может быть построена, если найдены элементы,
определяющие её положение в пространстве (§ 3 и 4), т. е. что мы
умеем построить плоскость, проходящую через три данные точки,
через прямую и точку вне её, через две пересекающиеся или две
параллельные прямые;
2) что, если даны две пересекающиеся плоскости, то дана и линия
их пересечения, т. е. что мы умеем найти линию пересечения двух
плоскостей;
3) что, если в пространстве дана плоскость, то мы можем выпол-
нять в ней все построения, которые выполнялись в планиметрии".
Далее читаем:
„Выполнить какое-либо построение в пространстве — это значит
свести его к конечному числу только что указанных основных
построений".
Нетрудно усмотреть, что 3 перечисленных положения, если не
считаться с их формулировкой, составленной в духе школьного
учебника, должны в абстрактно-геометрической форме определить
конструктивные элементы в пространстве. В этом смысле они
соответствуют тем определениям конструктивных элементов, которые
были нами даны в предыдущем разделе для построений на плоскости
(см. стр. 84).
1 В то время как по геометрическим построениям на плоскости имеется обшир-
ная литература.
2 Киселёв, Геометрия, ч. II („Стереометрия"). Следует отметить, что простран-
ственные задачи на построение введены в учебник Киселёва его редактором
проф. Н. А. Глаголевым.
3 Там же, стр. 4, § 6.

Так, первое из этих положений выражает свойство того (правда,
лишь воображаемого) инструмента, который по аналогии с линейкой
можно было бы назвать „пластинкой". Второе устанавливает, что опе-
рации с „пластинкой" могут давать новые конструктивные линии.
Наконец, третье узаконивает операции линейкой и циркулем на кон-
структивной плоскости. Для полноты этой концепции недостаёт
положения, которое объявило бы все данные (и присоединённые)1
элементы задачи „конструктивными".
Итак, хотя об этом в стабильном учебнике нет никаких упомина-
ний2, мы здесь, очевидно, имеем ту же методологическую концепцию,
выраженную тремя приведёнными выше положениями и прямо завися-
щую от применяемых инструментов (линейка, циркуль, .пластинка").
Правда, последний инструмент является лишь плодом воображения,
да и действительное выполнение в пространстве таких построений
невозможно. Но в абстрактной форме обе схемы (построений на
плоскости и построений в пространстве) оказываются вполне анало-
гичными. Однако при формальном сходстве этих методологических
схем их различие по существу чрезвычайно велико.
Пространственные построения (как они ставятся в стабильном
учебнике и в большей части других руководств по теории) лишены
своих важнейших свойств: они не выполняются в действительности,
не дают, следовательно, реализаций геометрических фигур и не
отражают жизненного опыта.
выполнение же построений в абстрактной форме, как воображае-
мых операций, если и полезно, то лишь для тренировки простран-
ственного мышления, причём эта тренировка носит искусственный
характер.
Таким образом, могут сохранять своё значение лишь те сопрово-
ждающие самое построение моменты, которые заключаются в анализе,
синтезе или в исследовании задачи на построение. Эти моменты
сводятся, как мы уже не раз видели в основных планиметрических
задачах на построение, к доказательствам существования и един-
ственности решения, а также к исследованию необходимых и доста-
точных условий существования решения.
Однако этой стороне дела в стабильном учебнике уделено весьма
недостаточное внимание8.
В решениях задач на построение, разобранных в учебнике, даётся
подробное изложение именно самого построения. Это приводит
к недоразумениям. Читатель чувствует, что в таком „воображаемом*
построении главный смысл надо искать в доказательстве существо-
вания или в исследовании условий решения. Поэтому он остается
неудовлетворённым и ропщет на якобы „нестрогое" решение задачи
на построение в учебнике4.
Действительно, в форме задач на построение теоремы о существо-
вании и о единственности оказались заслонёнными самими построе-
1 См. настоящую статью, стр. 84.
2 Нет также упоминания об этом и в других учебниках и задачниках, пользую-
щихся той же схемой, например, в курсе элементарной геометрии Адамара и др.
Об операциях с воображаемыми инструментами упоминается в статье Д. И. Каргина
„О методах решения стереометрических задач на построение" („Математика в
школе-, 6. 1937).
3 Между прочим в исследовании задачи (§ 22, стр. 9) имеется ошибка: если
Μ11 6, то с I I Ь, а не с \ \ а; аналогично в случае: N\\a, с\\а, а не с\\Ь, как ска-
зано в учебнике.
4 Такие письма были получены математическом секцией Учебно-методического
Совета Министерства просвещения РСФСР.

ниями, и каждый читатель должен выводить их самостоятельно,
пользуясь лишь намёками, содержащимися в решениях.
Такое положение возникло в результате того, что задачи на
построение в пространстве отсутствовали в прежних изданиях учеб-
ника Киселёва, а взамен их в учебнике имелись соответствующие
теоремы. Редактор нового издания учебника, взамен этих теорем^
ввел задачи на построение. „Теоремы, утверждающие возможность
выполнить то или иное построение, изложены в форме задач на по-
строение (решенных в тексте)", — говорится в предисловии к первому
(переработанному) изданию стабильного учебника1.
Поэтому вполне понятно, что получившиеся задачи на построение
имели своей основной целью установить существование и един-
ственность решения. Таковы задачи: 1) „Найти точку пересечения
данной прямой с данной плоскостью Ри (§ 7, стр. 5); 2) „Через дан-
ную точку (А) провести плоскость, параллельную данной пло-
скости (Р), не проходящей через точку Аи (§ 20, стр. 81); 3) „Через
данную точку О пространства провести прямую, перпендикулярную
к данной плоскости Я" (§ 36, стр. 14) и др.
Основные задачи на построения в пространстве, помещённые
в стабильном учебнике, носят, однако, тот же характер, как подобные
задачи и в большинстве других учебников и задачников, поэтому
рассмотренную постановку задач на построение можно считать пре-
обладающим методологическим направлением.
Слабые стороны этого методологического направления настолько
очевидны, что в нём нельзя видеть удовлетворительного решения
вопроса. В самом деле, как мы уже видели, самые построения не
играют здесь своей основной роли, так как они фактически не выпол-
нимы в пространстве, не дают реализации геометрических образов,
и не отображают опыта практической жизни. Теоремы, сопрово-
ждающие построение, как, например, доказательство существования
и единственности, не выигрывают от того, что они оказались
в составе задач на построение и не всегда ясно, связаны ли они с самим
построением или нет. Кроме того, в этой форме доказательство
упомянутых теорем зависит от средств построения (линейка,
циркуль и „пластинка"), что является, конечно, фактором искусствен-
ным и чуждым цели доказательства. Казалось бы рассматриваемые
теоремы должны быть доказаны вне зависимости от „средств построе-
ния".
Таким образом, за геометрическими построениями этого рода
можно признать лишь тренировочное действие, своего рода „гимна-
стику" в воображаемых пространственных операциях.
Однако тренировочные упражнения эти остаются совершенно
искусственными, так как они связаны с выбором тех основных опре-
делений, которые выражают свойства инструментов построения.
При этом для облегчения трудности воображаемых пространствен-
ных операций обыкновенно применяется иллюстративный чертёж,
позволяющий наглядно изображать ход этих операций. Так именно
и сделано в стабильном учебнике. Следует поэтому иметь в виду,
что решение задачи на построение выполняется всё же на чертежеР
но элементы этого чертежа, включая и самое решение (искомый
элемент), остаются произвольными. Чертеж лишь иллюстрирует ход
пространственных операций.
Несомненно, что пространственная гимнастика без чертежа пред-
1 Киселев, Геометрия. Ч. II, 1939.

ставляет более сильное, но в то же время и более трудное средство
развития пространственного воображения.
Однако эти упражнения не следует связывать с инструментами,
тем более несуществующими, как это имеет место в рассматриваемых
задачах на построение.
Таковы неутешительные итоги анализа тех геометрических построе-
ний в пространстве, которые культивируются в нашей школьной
литературе.
Слабость этой позиции сознавалась такими выдающимися матема-
тиками, как Адамар, который, приводя обычную концепцию геометри-
ческих построений в пространстве (т. е. три положения, аналогичные
приведённым на стр. 21—22), затем замечает1:
„Это предположение носит чисто условный характер, так как мы
не имеем никакой возможности осуществить практически эти опера-
ции. Однако в начертательной геометрии мы имеем такой способ
изображения пространственных фигур на плоскости, при котором
только что перечисленные построения могут быть выполнены с по-
мощью циркуля и линейки.
Те построения, которые должны быть выполнены, не пользуясь
указанным выше предположением, мы называем эффективными".
Из этой цитаты видно, что Адамар считает рассматриваемые про-
странственные построения вообще неэффективными. Он признаёт
эффективными лишь те из них, которые действительно могут быть
выполнены чертёжными инструментами (т. е. на плоскости). Так,
например, по данному ребру куба можно эффективным образом
построить его диагональ (для чего достаточно построить два прямо-
угольных треугольника).
Вместе с тем Адамар указывает путь, который приводит к действи-
тельно эффективному решению пространственных задач на построение.
Это путь решения таких задач на проекционном чертеже но методам
начертательной геометрии.
Та же мысль неоднократно отмечалась Клейном в его дополнении
(„О преподавании геометрии") к „Элементарной математике с высшей
точки зрения". Так, на стр. 348 второго тома этой книги читаем:
„Проектирование и черчение пространственных- фигур, имеющие,
несомненно, чрезвычайно важное значение, в современном преподава-
нии геометрии не занимают надлежащего места. Правда, внешне
они включены в учебный курс, но внутренне не переплетены
с ним"2.
В нашей отечественной литературе особенно энергичная попытка
внедрения начертательной геометрии в школьный курс геометрии
была предпринята Н. М. Душиным в его учебнике, вышедшим в Харь-
кове еще в 1923 г 3.
„Одной из основных задач предполагаемого курса", — говорится
в предисловии автора,—является развитие у слушателей способности
геометрического воображения и пространственных восприятий*.
Для решения этой задачи используются следующие три принципа:
1. Идея движения и геометрических преобразований.
2. Слияние планиметрии со стереометрией.
3. Введение начертательной геометрии.
1 Адамар, Элементарная геометрия. Ч. II (Стереометрия). Примечание
к книге V, стр. 83.
2 Клейн Ф., т. II (Геометрия). Заключительная глава, стр. 348.
3 Душин Н., Курс элементарной геометрии. Харьков, Изд. .Путь просве-
щения", 1923.

Полезное влияние этой книги сильно снижалось, как это можно
думать, двумя обстоятельствами:
а) Применялись специфические приёмы начертательной геометрии
(ортогональные эпюры Монжа, косоугольная фронтальная проекция),
отличающиеся от обычных дли курса стереометрии способов изобра-
жения пространственных фигур.
б) Не были в достаточной мере разработаны геометрические
задачи на построение.
Дальнейший шаг в этом отношении был сделан Б. В. Романовским
в его уже цитированной выше книге „Задачи на построение в стерео-
метрии" (Пособие для учителей средней школы. М., 1936).
Книга начинается главой: „Об изображении пространственных
фигур на плоскости", в которой косоугольная фронтальная диметрия
(.кабинетная* проекция) называется „основным способом изображения
на плоскости пространственных фигур, принятым в стереометрии".
Книга снабжена хорошими чертежами и содержит не мало полез-
ных позиционных и метрических задач. Самое важное достоинство
книги заключается в том, что в ней систематически разбираются
конструктивные примеры и задачи на проекционных чертежах. Её
главным недостатком является смешение обеих концепций, т. е. реше-
ние конструктивных задач на проекционном чертеже по методам
начертательной геометрии с воображаемыми построениями с нереаль-
ным инструментарием. Здесь, повидимому, сказалась традиционная
манера изложения геометрических построений в пространстве, от
которой автор не счёл возможным отказаться. Он не заметил, что
для решения задач на построение методами начертательной геометрии
традиционная схема с её условностями становится совершенно
ненужной.
Наоборот, Б. В. Романовский в отдельном абзаце под заглавием:
„Геометрические постулаты решения задач на построение в про-
странстве. Основные методы решения задач на построение11 — даёт
список элементарных построений, которые заранее допускаются как
возможные в пространстве. Вот этот список:
„1. Провести плоскость через три данные точки или через прямую
и точку вне её или через две пересекающиеся прямые или через две
параллельные прямые.
2. Определить пересечение двух плоскостей, а также прямой
с плоскостью.
3. Взять произвольную точку, лежащую на данной плоскости или
вне её.
4. Провести прямую, находящуюся на данной плоскости.
5. Из данного центра описать шаровую поверхность данного
радиуса.
6. Взять произвольную точку, находящуюся на данной шаровой
поверхности или вне её.
7. Определить пересечение данной плоскости с данной шаровой
поверхностью, а также данной прямой с данной шаровой поверх-
ностью.
8. В плоскости, заданной каким-либо образом в пространстве,
выполнить ряд построений, относящихся к геометрии на плоскости" *.
Несовершенство этой системы „постулатов" бросается в глаза.
Так, например, постулат четвёртый вполне покрывается постулатом
восьмым. Какое содержание вкладывается в этот последний постулат,
1 Романовский Б. В., цит. место, см. стр. 15.

вообще неясно. Кстати сказать, если в нём утверждается возможность
производить построения линейкой и циркулем, то, как нетрудно
видеть, цитированная система позволяет совершенно исключить эти
инструменты. Так, операции линейкой могут быть выполнены при
помощи постулатов 1, 2 и З; операции циркулем — при помощи посту-
латов 5 и 7 (причём постулат 7 надо несколько расширить). Таким
образом, рассматриваемая система постулатов неявно предполагает
применение лишь двух пространственных инструментов: „пластинки"
'(постулат 1) и „сферографа" (постулат 5), как мы позволили себе
назвать соответствующий инструмент.
Оба эти инструмента не существуют в действительности и пред-
ставляют абстрактные понятия, а построения с ними являются
воображаемыми. Поэтому та часть задач из книги Романовского,
которая связана с этой схемой, не отличается от рассмотренных
выше аналогичных концепций и даже сложнее их.
Ценную часть книги представляют задачи на построение, поста-
вленные и разрешаемые на проекционных чертежах методами начер-
тательной геометрии.
К сожалению, автор рассматривает вопрос с узкой точки зрения:
все чертежи он предполагает выполненными в „кабинетной" проекции.
От этого особенно пострадала та часть задач, которая относится
к первым главам стереометрии. Эти задачи изложены в духе первой
концепции, т. е. воображаемых построений. Однако глава о трех-
гранных углах позволяет автору оперировать с прямоугольной систе-
мой декартовых координат и применять „кабинетную" аксонометрию,
т.-е. решать задачи на построение в духе второй концепции мето-
дами начертательной геометрии.
Преимущества такой концепции очевидны. Она дает возможность
фактического выполнения решения на чертеже (при помощи обычных
инструментов для построений на плоскости). Она учит учащихся
методам решения задач на построение в пространстве, причём все
рассуждения требуют пространственной интуиции, которая таким
образом упражняется и развивается.
Наконец, такие построения весьма ценны в практическом отноше-
нии, так как они отображают жизненный опыт, практику решения
задач на технических чертежах. Эти построения наиболее отвечают
тем важным целям, которые были формулированы в начале этой
статьи.
При всём том мы полагаем, что главным недостатком попыток
ввести такую концепцию в курс стереометрии явилась специфич-
ность методов проектирования, применявшихся для этой цели Эти
методы, по большей части, переносились из начертательной геомет-
рии и были предназначены для технических чертежей (эпюры Монжа,
проекции с отметками, некоторые виды аксонометрии).
Благодаря этому курс стереометрии перегружался посторонними
методами1, которые нам представляется более уместным отнести
к курсу черчения, где они хорошо согласуются с практическими
работами.
Таким образом, практическая часть проблемы постановки и препо-
давания геометрических построений в пространстве сводится к раз-
работке проекционных изображений, соответствующих курсу
стереометрии и вполне сливающихся с ним.
1 В стабильном учебнике Киселёва, в гл. II, дано изложение принципов построе-
ния эпюр Монжа, которые затем нигде не применяются.

В двух статьях, посвященных этим вопросам 1, мы наметили пути
возможного решения поставленной проблемы. Однако предстоит
дальнейшая работа над составлением хорошо продуманного списка
задач и над преодолением ряда возникающих при этом методических
трудностей.
Такая работа, а также и её экспериментальная проверка в школе,
ведутся в настоящее время в Институте методов обучения Академии
педагогических наук РСФСР. В ней принимают участие заслуженная
учительница РСФСР Л. В. Федорович, учителя М. Х. Кекчеева
и П. Я. Дорф, успешно применяющие методы решения задач на
проекционном чертеже в IX и X классах некоторых московских школ.
Всё изложенное приводит автора к следующим выводам:
1. Геометрические построения на плоскости представляют спе-
циальный раздел элементарной геометрии, который, как и все другие
её разделы, допускает абстрактно-формальное изложение.
2. Эта формализация геометрических построений на плоскости
достигается для каждой задачи выделением „класса конструктивных
элементов", причём задача оказывается разрешимой, если искомый
элемент содержится в классе конструктивных элементов.
3. Класс конструктивных элементов устанавливается с помощью
определений, отображающих в абстрактной форме свойства тех
инструментов, которыми разрешается пользоваться для построения
искомого элемента.
4. Таким образом, геометрические построения на плоскости нахо-
дятся в зависимости от выбираемого инструментария. Они отражают
жизненный опыт и практику построения чертежей. Это усиливает их
практическое значение и педагогическую ценность. В преподавании
абстрактное рассуждение должно сопровождаться фактическим
построением при помощи инструментов.
5. Попытки обоснования геометрических построений в простран-
стве встречают большие методологические трудности, чем, повиди-
мому, и объясняется почти полное отсутствие литературы по этим
вопросам.
6. В большей части работ, содержащих задачи на построение
в пространстве, авторы предпосылают этим задачам краткие указа-
ния на допущение некоторых „основных построений" („постулаты"),
являющихся по существу (в неотчётливой форме) теми определениями,
которые должны установить класс конструктивных элементов в про-
странстве.
7. Таким образом, эта (наиболее распространённая) концепция
является стремлением обосновать геометрические построения в про-
странстве с помощью той же методологической схемы, которая
лежит в основе геометрических построений на плоскости.
8. Она связывает построения с выбором инструментария. Однако
„инструменты" построения, выражаемые абстрактными определе-
ниями, оказываются несуществующими в действительности („пла-
стинка", „сферограф"). Самые построения также являются вообра-
жаемыми и не могут быть осуществлены физически.
9. Это лишает упомянутые построения их практической ценности,
аналогичной построениям на плоскости.
10. Поэтому понятно, что ценность таких воображаемых построе-
1 Журн. „Математика в школе" за 1946 г., № 2 и 3.

ний должна заключаться в другом, как, например: в доказательстве
существования, исследовании возможности решения, в логическом
синтезе и т. п. Однако все эти вопросы не должны быть ни в какой
степени связаны с выбором инструментов построения, тем более
фиктивных и искусственных.
11. Отсюда следует, что рассмотренная концепция „воображаемых
построений" в пространстве должна быть освобождена от включае-
мой в нее абстрактно-инструментальной схемы, определяющей класс
конструктивных элементов. Эта схема является искусственной, не-
нужной и переносимой в пространственные построения лишь по тра-
диции, основанной на копировании геометрических построений на
плоскости.
12. „Воображаемые" построения в пространстве должны быть
основаны на обычных аксиомах пространственной геометрии. Наи-
более простые и важные из них возможно излагать в курсе элемен-
тарной геометрии в виде теорем (которые можно видеть в некоторых
учебниках).
13. Наряду с рассмотренной концепцией геометрических построе-
ний в пространстве можно указать другую концепцию, построенную
на совершенно иных методологических основаниях. Эта вторая кон-
цепция базируется на жизненном опыте, практике решения констру-
ктивных задач на проекционном чертеже.
14. Итак, в этой концепции конструктивная задача переносится
при помощи проекционного изображения на плоский чертёж. На этом
чертеже она решается приёмами начертательной геометрии.
15. Отсюда следует, что для обоснования соответствующих построе-
ний достаточно того, что было установлено для геометрических
построений на плоскости. Это, конечно, не означает, что при реше-
нии пространственных задач на построение этим способом значение
пространственной интуиции умаляется. Напротив, решение задач на
проекционных чертежах (которые, конечно, должны быть нагляд-
ными и хорошо увязанными с курсом стереометрии) весьма разви-
вает пространственное воображение и приучает оперировать с фигу-
рами и элементами пространства.
16. Применяя эту концепцию решения задач на построение в про-
странстве, необходимо подбирать как методы изображения фигур на
чертеже, так и самое содержание задач в соответствии с курсом
стереометрии, относя специфические вопросы и методы начертатель-
ной геометрии к курсу черчения.
Одно из возможных решений этой проблемы изложено автором
в двух его цитированных выше работах.
17. Важным преимуществом второй концепции (решение задач на
проекционных чертежах) является возможность фактического вы-
полнения построения и приобретения учащимися полезных практи-
ческих навыков.
18. Сравнивая обе концепции в смысле применения проекцион-
ных чертежей, следует отметить, что: а) в первой концепции чертёж
применяется лишь для иллюстрации решения задачи и облегчения
„воображаемых построений44 („чертежи-картины", неполные изобра-
жения), б) во второй концепции решение задачи фактически про-
изводится на чертеже („чертежи-модели", полные изображения)1.
19. В пункте 17 было указано основное преимущество второй
концепции перед первой. Обратное преимущество может иметь место
1 См. статьи автора, упомянутые в сноске на стр. 93.

в задачах более сложного характера. Проекционный чертеж, при-
годный для решения на нём такой задачи на построение, может ока-
заться слишком громоздким и трудно выполнимым. В этих случаях
предпочтительнее ограничиться воображаемым построением.
20. Однако позиционные задачи и более элементарные метри-
ческие могут быть вполне успешно поставлены и разрешены на
проекционном чертеже.
21. Такая методика в наилучшей степени соответствует тем
задачам, которые были поставлены в начале настоящей статьи:
1) развить пространственные представления учащихся, 2) научить их
свободно оперировать с элементами пространства на проекционном
чертеже, 3) дать им жизненно-полезные знания и навыки.
PRINCIPLES AND METHODS OF TEACHING GEOMETRICAL
CONSTRUCTIONS IN THE SECONDARY SCHOOLS
BY PROF. N. F. TCHETVERUKHIN
Summary
The first part of the paper deals with plane geometrical constructions.
The author shows the dependence of these problems on drawing:
instruments. However, as evident from section 2 of the Article, the prob-
lems on construction can be given quite an abstract form, where the
instruments are replaced by corresponding definitions. In that way, the
nature of plane geometrical constructions is made clear: they belong to
the domain of pure mathematics, but reflect practical operations car-
ried out by instruments.
When analysing geometrical constructions in the three-dimensional
space, most authors show the tendency to develop a scheme analogous
to that of plane constructions. This scheme is of the same abstract character
and represents constructions by means of some imaginary" instruments.
By analogy with the ruler and compass the latter might be called
„platett and nspherograph% but these instruments as well as the opera-
tions produced with them, are fictitious or imaginary. Therefore the
instrumental" scheme for space constructions does not correspond to
experience of everyday-life and loses its meaning. Thus these imaginary"
constructions play their role only in the development of constructive
abilities and space imagination.
Of greater value for the school course is the second conception of
geometrical constructions in space: solving space problems on projecting
drafts. This conception corresponds to experience acquired from life and
enables one to instill valuable practical knowledge and sUlls into pupils.
It is only important to find such methods of representation, which would
correspond to usual drawings of solid geometry and would not require
wavs specific to descriptive geometry.
The author's suggestions and his ideas upon the subject are exposed
in two articles, published in the magazine ^Mathematics at School*
(№ 2 and 3, 1946).

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
ВЫПУСК 6 · 1946
УЧЕНИЕ О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ В КУРСЕ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
А. И. ФЕТИСОВ
Ст. научный сотрудник
1. Введение
Тригонометрия, как и все отрасли человеческого знания, была
вызвана к жизни практическими потребностями людей. Сначала она
понадобилась для разрешения задач сферической астрономии, позд-
нее— для нужд геодезии и мореплавания. Эти цели имели в виду
Гиппарх и Птоломей (II в. до н. э. и II в. после н. э.), вычислившие
первые таблицы тригонометрических функций, к этому же стремился
и Региомонтанус (Johann Miiller) из Кенигсберга, 1436 —1476 гг.),.
написавший первый курс тригонометрии.
Бурное развитие математического анализа в последующих столе-
тиях показало, что тригонометрические функции являются мощными
орудиями анализа и что они могут разрешать задачи, далеко выхо-
дящие за рамки узко-практических целей, послуживших стимулом
к введению тригонометрических функций. Это стало особенно оче-
видным после того, как Фурье (Jean-Baptiste Fourier, 1768—1830 гг.),
показал, что огромный класс разнообразнейших функций может быть
изображен при помощи тригонометрических рядов. Еще ранее Эйлер
(Leonard Euler, 1707 —1783 гг.) при помощи мнимых чисел установил
связь между тригонометрическими функциями и показательной
функцией.
Наряду с этим было установлено, что интегралы от весьма простых
дробных и иррациональных функций выражаются обратными триго-
нометрическими функциями.
Все эти факты указывают, что учение о тригонометрических
функциях, по существу дела, является одной из глав общего учения
о функциях, именно — главой, посвященной простейшим трансцен-
дентным функциям.
Однако в практике школьного преподавания тригонометрия про-
должает ещё рассматриваться как своеобразная надстройка метри-
ческой геометрии, — надстройка, назначение которой заключается
в том, чтобы установить зависимость между сторонами и углами
треугольника, а потом при помощи этих формул решать различные
вычислительные задачи.
В результате последовательного проведения такой точки зрения,,
у учащегося создается прочное убеждение, что тригонометрия —
это наука о решении треугольников. И только попав в высшую
школу, он с изумлением узнаёт, что тригонометрические функции
играют огромную роль во всем анализе, в механике, электродина-
мике и т. д.

Но этого мало. К сожалению, даже те, довольно скромные практи-
ческие задачи, которые ставило перед собой школьное преподавание,
достигались далеко не полностью. Постепенно в практике препода-
вания тригонометрии устанавливались прочные традиции, сильно
понизившие как теоретическую, так и практическую часть курса
тригонометрии.
Приведём несколько примеров. Начнём с первой, теоретической
части, излагаемой в курсе IX класса (это — так называемая „гонио-
метрия"). Как известно, основные формулы в этой части, именно,
формулы приведения функций к наименьшему аргументу, а также
формулы для синуса и косинуса от суммы и разности углов выво-
дятся только для случая острых углов, и все построения производятся
в первом квадранте. В стабильном учебнике Рыбкина мелким шриф-
том помещено обобщение этих формул для углов любой величины,
однако, это дополнение, как правило, всеми преподавателями про-
пускается, его не требуют от учащихся при доказательстве этих
теорем, и в результате это доказательство самых основных формул
тригонометрии остается логически неполноценным.
Далее, из программы исключены формулы *ί!>ο~~~~ — 1 и х—sin;c<
< -j-, при помощи которых давалось понятие о построении таблиц
тригонометрических функций, благодаря чему учащиеся остаются
в полном неведении о возможности построения этих таблиц. Это же
обстоятельство лишает преподавателя возможности объяснить уча-
щимся конструкцию таблиц Далямбра.
Наконец, весьма важная и для всего анализа и для приложений —
теория обратных тригонометрических функций проходится весьма
поверхностно и не всегда строго. Формулы взаимной связи различ-
ных аркфункций, формулы суммы и разности их обычно не выво-
дятся. Это тем более досадно, что многие курсы анализа, делая
общий обзор элементарных функций, часто ограничиваются фразой:
„мы предполагаем, что основные свойства прямых и обратных триго-
нометрических функций известны читателю из курса средней школы".
Если перейти к области практических приложений тригонометрии,
то и здесь дело обстоит не лучше. В школах отсутствует элемен-
тарная геодезическая практика, инструментов для ее проведения
школа или совсем не имеет, или, если имеет, то не использует. Это
лишает учащихся возможности познакомиться с решением простей-
ших задач практической тригонометрии: определением недоступных
высот и расстояний, триангуляцией, решением задачи Potenot'a и т. д.
В лучших случаях эти задачи разбираются на доске, а часто о них
и совсем забывают.
На что же тратится время, посвященное изучению тригонометрии
в средней школе? Из 127 часов, отводимых на тригонометрию (из
них 55 часов в IX и 72 часов в X классах), оказывается, наибольшее
число часов отводится теме „тригонометрические уравнения*
(24 часа!). Теоретическое и практическое значение этой темы весьма
невелико, так как класс трансцендентных уравнений, изучаемых здесь,
весьма ограничен и состоит исключительно из уравнений, легко при-
водящихся к алгебраическим элементарными подстановками (напри-
мер, tg = ί). Можно весьма сильно сомневаться в том, что учащийся
встретится с уравнениями этого типа где-нибудь, помимо школы,
а например, уравнение вида: \gx = х, встречающееся в математической
теории упругости, наш учащийся решить не сможет.

Далее, из этих же 127 часов 16 часов отводится на решение
задач из планиметрии и стереометрии с приложением тригонометрии.
Вместо этих официальных 16 часов дальновидный преподаватель
берёт себе гораздо больше, так как он имеет в виду письменные
испытания и, в порядке подготовки к ним, начинает решать эти
задачи ещё с первого полугодия X класса. Характер этих задач
общеизвестен: в них обычно требуется определить поверхность
или объем какого-нибудь тела по некоторым данным его элементам,
причём эти данные подбираются так, чтобы процесс этого опреде-
ления протекал, но меткому выражению Клейна, „наиболее неудоб-
ным образом". Автор задачи старается, чтобы в результате получи-
лось громоздкое тригонометрическое выражение, требующее боль-
шого труда для приведения его к виду, удобному для логарифми-
рования. Практическое значение этих задач совершенно ничтожно,
так как ни один здравомыслящий человек для определения объема
.конуса не станет вписывать в него пятиугольную пирамиду, прово-
дить в ней диагональные сечения и т. д. Остаётся предположить,
что роль этих задач сводится к своеобразной гимнастике ума. Но
и здесь необходимо отметить, что для решения огромного боль-
шинства этих задач достаточно из тригонометрии знать основные
.взаимоотношения в прямоугольных треугольниках (конечно, ещё фор-
мулы приведения к логарифмическому виду), а из геометрии—тео-
рему Пифагора и теоремы о перпендикулярности из стереометрии.
В результате приходится только пожалеть, что наш школьник
тратит так много труда и времени на приобретение знаний и навы-
ков весьма посредственной ценности.
Благодаря этому, представители высшей школы в своих выступ-
лениях постоянно жалуются на то, что учащиеся средней школы
приходят к ним с очень недостаточными познаниями именно β области
теоретической части тригонометрии.
Что же необходимо сделать для устранения этих существенных
недостатков в преподавании тригонометрии? — Прежде всего, для
этого нужно совершенно четко определить те цели, которые ставит
перед собой изучение тригонометрии в средней школе.
Как и^ всякий другой предмет, изучаемый в средней школе, триго-
нометрия должна разрешать как теоретические, так и практические
задачи. В области теоретической учащиеся должны получить,
во-первых, все необходимые сведения для прохождения курса выс-
шей школы, а, во-вторых, всё то, что нужно для понимания других
предметов и для построения правильного, научного мировоззрения.
В области же практических приложений науки он должен получить
те сведения, которые могут ему быть полезны при разрешении задач,
с которыми он может встретиться в жизни.
Исходя из этих положений, можно утверждать, что в препода-
вании тригонометрии нашими целями должно быть:
1) В теоретической тригонометрии: возможно строгое
и полное изучение тригонометрических функций в их взаимной связи
со смежными разделами математики, при условии чёткого усвоения
учащимися всех основных формул и операций.
2) В области практической: научить учащихся применять
свойства тригонометрических функций к разрешению задач геометрии
-(решение треугольников), геодезии, механики, физики (колебательные
движения), астрономии и τ д.
В связи с только что высказанными положениями возникает новый
весьма существенный вопрос стоит ли рассматривать тригонометрию,

как самостоятельную дисциплину в общем плане школьного препо-
давания?— Не давая на этот вопрос категорическаго ответа,, можно
считать всё же возможным такое построение курса, когда всё уче-
ние о тригонометрических функциях будет рассматриваться как одна
из глав элементарного учения о функциональной зависимости, кото-
рая должна быть помещена в алгебраико-аналитической части курса.
Что же касается практических приложений тригонометрии, то5
например, решение треугольников можно свободно включить в соот-
ветствующий раздел метрической геометрии и свойства тригонометри-
ческих функций прилагать к решению треугольников так же, как
применяется для этих же целей, например, теория квадратного
уравнения.
Ниже мы помещаем конспективный курс тригонометрии в том
виде, в каком он излагался автором этой работы в течение ряда лет
в средней школе.
Конечно, предлагаемый курс ни в какой мере не претендует на
единственно правильное решение поставленной проблемы и надо
определенно думать, что возможны другие, более совершенные
варианты. Но, во всяком случае, по сравнению с обычным изложе-
нием, он обладает следующими неоспоримыми преимуществами:
1. С первых же шагов устанавливается непосредственная связь,
тригонометрических функций с комплексными числами..
2. Все формулы получаются сразу для углов любой величины;,
так что никаких дальнейших обобщений,, связанных с изменением
величины угла, не требуется.
3. Изучение таких понятий, как „вектор", „оператор", поможет
учащемуся в дальнейшем легче войти в круг идей современной мате-
матики, так как эти понятия играют большую роль в различны*
разделах алгебры и анализа.
4. Большая общность идей позволяет в сильной степени облег-
чить доказательство многих формул (формулы функций от суммы,
функций от кратного и дробного аргумента и rCtд.), что освобождает
время для изучения других важных свойств тригонометрических-
функций, обычно не излагаемых в школе.
Нижеследующие строки посвящены сжатому изложению элемен-
тарных свойств векторов, теории операторов и комплексных чисел
и важнейшим свойствам тригонометрических функций. На практи-
ческих приложениях, в частности, на решении треугольников, мы
останавливаемся лишь постольку, поскольку в них можно внести:/
существенные изменения по сравнению с обычным курсом.
II. Конспект изложения теории комплексных, чисел и тригоно-
метрических функций
§ 1. Предварительные замечания
1. Прежде, чем перейти к систематическому изложению, в целях
возможно большего сокращения записей, введём следующие услов-
ные обозначения:
D (definitio — определение).
Τ (theorema — теорема).
L (lemma— лемма—вспомогательная теорема).
С (corollarium — следствие).
Перед изложением доказательства какого-нибудь предложения ш
будем ставить знак [:.

Точно также мы будем иногда пользоваться знаком вывода
. ·, („а потому").
Для удобства при ссылках на ту или иную часть изложения, мы
разбиваем его на параграфы, а параграфы — на пункты, нумерация
которых идет непрерывно от начала и до конца. Порядковый же
номер определений, теорем и следствий изменяется от параграфа
к параграфу.
§ 2. Операции с векторами
2. Д. Отрезок, на котором установлено определённое направле-
ние, мы будем называть вектором. В соответствии с выбранным
направлением, один конец этого отрезка мы будем называть началом,
а другой — концом вектора. На чертеже вектор мы будем изобра-
жать отрезком со стрелкой, показывающей направление. В записи
мы будем вектор обозначать или малой латинской буквой со стре-
лочкой сверху или двумя большими латинскими буквами, обозна-
чающими точки начала и конца вектора. Так, на черт. 1 мы имеем
вектор т и вектор АВ.
Черт. 1.
Черт. 2.
D2. Два вектора мы будем считать равными тогда и только тогда,
когда соответствующие отрезки равны, параллельны и одинаково
направлены („сонаправлены").
Параллельные между собой векторы мы будем также называть
коллинеарными.
Из этого определения следует, что вектор можно переносить, не
изменяя его длины и направления, в любую точку пространства.
Однако иногда приходится рассматривать вектор, начало которого
находится в некоторой постоянной точке. Такой „связанный" вектор
мы будем называть радиусом-вектором.
В дальнейшем мы ограничимся изучением свойств векторов, при-
надлежащих одной и той же плоскости.
3. Из элементарной геометрии мы знаем, что для получения суммы
двух отрезков нужно конец первого отрезка совместить с началом
второго так, чтобы второй отрезок поместился на продолжении пер-
вого. Тогда суммой этих отрезков будет отрезок между началом
первого и концом второго. Непосредственным обобщением этого
является определение суммы векторов.
Dz. Чтобы получить сумму двух векторов, конец первого вектора
совмещают с началом второго и берут вектор, идущий от начала
первого до конца второго вектора (черт. 2).
Сумма векторов подчиняется переместительному и сочетатель-
ному законам.
|: 1) Возьмем (черт.З) векторы α и b и составим их сумму, согласно
определению. Если теперь от этой же начальной точки сначала отло-

жить вектор b и присоединить к нему вектор а , то в силу равенства
и параллельности векторов, мы получим параллелограмм, диагональ
которого будет суммой векторов и в том и в другом случае.
Итак
α -[ /7 -4- α .
В том случае, когда слагаемые вектора коллинеарны, сложение
векторов приводится к сложению и вычитанию отрезков. Доказа-
тельство наличия переместительного и сочетательного законов мы
предполагаем известными из курса геометрии.
2) Для доказательства сочетательного закона прибавим сначала
к сумме α-| Ь векторе (черт. 3')> а потом к вектору а прибавим
Черт. 3.
сумму ЬА-с . В том и в другом случае мы получим один и тот же-
вектор:
. •. (а + Ь) +7 =. бГ-f (7Г+ г).
С,. Непосредственно из определения векторной суммы следует
при любом расположении точек А, В и С имеет место равенство:
АВ + ВС = АС.
4. D4. Если у данного вектора а изменить направление на обрат-
ное, то получим вектор, который мы будем называть противо-
положным данному и будем обозначать его: „— а". Сумма двух
взаимно противоположных векторов дает нуль-вектор — точку.
Если данной вектор у нас обозначался АВ, то противоположный ему
вектор будем: В А)
АВ+ВА=0.
С;*. Непосредственно из самого определения нуль-вектора следует,
что при сложении любого вектора с нуль-вектором данный вектор
не изменяется a -f-0•= Д.
С.;. При любом расположении трех точек имеет место равенство: -
АВ+ВС+ СА=0.

Db. Чтобы из вектора а вычесть вектор Ьу прибавляем к а век-
тор, противоположный Ь
а —Ь — а -{-(— Ь) (черт. 4).
С4. Основная определяющая формула вычитания, а вместе с ней
и все вытекающие из нее формулы действий первой ступени остаются
справедливыми для действий первой ступени с векторами.
: По определению, а — Ь + b = а -т{—\Ь)-{-Ь =^4-0 ==~а
Итак, а — b -\- b = а, а это и есть определяющая формула вычитания
-> ->•
С5. Если данные векторы а и b привести к общему началу и по-
строить на них параллелограмм, то вектор сумма будет диагональю,
идущей между векторами, а вектор разность — диагональю, соеди-
няющей концы векторов, причем направление разности будет от
вычитаемого к уменьшаемому (черт. 5).
Черт. 4. Черт. 5.
§ 3. Отношение к о л л и н е а ρ н ы χ векторов
5. Д. Если векторы коллинеарны, то под отношением их мы
будем подразумевать действительное число, равное отношению соот-
ветствующих отрезков, причём число это мы будем считать поло-
жительным, если векторы сонаправлены, и отрицательным если
векторы противонаправлены. Символически будем записывать так
ь
Условимся далее эту же запись писать в другом виде:
а = kb,
и в этом случае рассматривать вектор α как результат умножения
вектора/? на действительный оператор ку при этом α
и Ь коллинеарны и сонаправлены при &>0 и противонаправлены при
Л<0. При k — О произведение 0 - b1 = 0; при A = l, \b—b .
Смысл этой записи заключается в том, что ю данному вектору b
и действительному числу к мы получаем вектор а. отношение кото-

рого к вектору Ь равно к. Так как в результате этой операции про-
исходит определённое изменение вектора Ь, то число к в этом слу-
чае называется оператором растяжения,, а сама операция: a = kb
называется умножением вектора b на оператор растяжения к !.
D2. Модулем или абсолютной величиной вектора назы-
вается действительное и притом неотрицательное число, равное от-
ношению длины соответствующего отрезка к длине отрезка, принятого
за единицу. Если длина вектора равна единице, то такой вектор
называется единичным вектором или ортом (ort от orienta-
tion— определение направления). Модуль вектора обычно обозна-
чается той же буквой, только без векторного знака, или же данный
вектор заключают в скобки Вейерштрасса (И):
а = J α ι.
С. Каждый вектор равен произведению своего модуля на единич-
ный вектор: если а—данный вектор, е — сонаправленный с ним еди-
ничный вектор, то будем иметь:
6. Г,. При умножении векторов на действительный оператор имеет
место распределительный закон как для суммы векторов, так и для
суммы операторов:
: к (α-j- b) — kaArkb и 2) (т + п) а = та -|- па .
-> —*- —>
|: Пусть АВ-ГВС = АС (черт. 6). Произведем гомотетию с цен-
тром в Л и с коэфициентом к, при этом точка А перейдет в А 1,
ВвВ',СъС, причем будем иметь:
AB' — kAB, В"С = к ВС, АС' = к АС;
в то же время:
АВ + ВЪ=АС\
т. е.
к АВ -f- к ВС к АС = к (АВ -f ВС),
что и доказывает первый распределительный закон.
2) Для доказательства второго распределительного закона, возь-
мём вектор а и умножим его на т и на п. Векторы та и па, по
определению, коллинеарны и, если числа та и па одинаковых зна-
ков, то их сложение приводится к сложению отрезков. Если при-
нять \а за единицу, то т и η будут длины этих отрезков, но тогда
длина их суммы будет равна т-\-п,
1 Примечание. Понятие „оператор" в современной математике опреде-
ляет тот случай функциональной зависимости (главным образом между нечи-
словыми объектами), для которой выполняются условия:
1) и(а + b)-=u(a)-{- и(Ь)у
2) и (та) — т и (а),
где
и —- символ оператора, а и Ь — данные объекты, т — действительное число.
Этими условиями оправдывается название „умножение'4 для операции приме-
нения оператора к какому-нибудь объекту.

откуда:
та -\- па = (т-\-п)а.
Если же числа тип были бы разных знаков, то мы это же рас-
суждение применили бы к разности отрезков и получили бы тот же
результат.
7. T2 Необходимым и достаточным условием коллинеарности
векторов а и b является существование равенства:
та + nb = О
,при т и пу не равных нулю.
I : Условие необходимо, так как если а и b коллинеарны, то будем
«меть:
°^=k или а = kby или а — kb =0.
Черт. 6.
Черт.
Положив m = t, п
•к, получим нужное равенство:
—> —»
та 4-я6 = 0.
Условие достаточно, так как, если оно выполнено, то будем иметь:
та — — л6, или а = — — ft, откуда и следует, что а коллинеарно со,
8. 73. Каждый вектор можно единственным образом разложить по
двум заданным, не коллинеарным между собой векторам.
I: Пусть г данный вектор, а и b — не коллинеарные между собой
векторы (черт. 7). Приведем все три вектора к общему началу и про-
ведем через конец вектора г прямые, параллельные а и Ь. Эти пря-
мые вместе с прямыми, на которых лежат а и Ь% образуют паралле-
лограмм, диагональю которого служит г. По определению суммы»
получим:
г = та -f-
так как стороны параллелограмма коллинеарны соответственно α и 6.

Докажем единственность разложения. Для этого допустим, что
существует второе аналогичное равенство:
г = т' а -f- τϊ Ь.
Но отсюда получим:
—> —> - > ->
та -\-nb- т'а -\~п'Ь,.
или:
(т — т')а -f (п — n'jb = 0.
Согласно предыдущей теореме, это обозначало бы, что а и b колли-
неарны, что противоречит условию теоремы. Поэтому полученное
равенство возможно только при условии т — т' = 0 и η — п' = 0.,
или:
т — т' и η = п'у
т. е. разложение единственно.
С2. Если векторы а и b не коллинеарны, то из равенства:
та A-nb= m'bf -f n'b
следует:
т = т и п= η .
§ 4. Операторы поворота и растяжения
9. Д. Возьмем два произвольных вектора: а и Ь. Для того, чтобы?
охарактеризовать их отношение, недостаточно указать только на отно-
шение их длин, а необходимо еще установить разницу их направле-
ний, которая определяется тем углом, на который нужно повернуть
вектор b в положительном направлении (т. е. против направления
движения стрелки часов), чтобы оба вектора стали сонаправлены.
Таким образом отношение двух произвольных векторов выразится
символически равенством:
Символ [r,u>J, в котором г обозначает действительное и неотрица-
тельное число, определяющее отношение длин данных векторов, а <*>
обозначает величину угла поворота от b к а \ мы и будем называть
отношением вектора а к вектору Ь.
Ту же самую зависимость между векторами мы будем записывать,
и в другой форме:
а = \r\ u>] Ь,
и здесь мы будем рассматривать символ [г, ω], как оператор пово-
рота и растяжения вектора. Это значит, что умножение вектора
на этот оператор поворачивает его на угол ω и изменяет его длину
г г раз.
- Например, на черт. 8:
α = [2; 60е] b
1 Величина ω может быть выражена как в градусной, так и в радии иной мере
причем вопрос о мере угла мы относим к курсу геометрии.

или:
"a=|2;Jp.
Иногда, для сокращения, мы будем оператор поворота и растяже-
ния обозначать одной буквой ζ и называть его просто 2-оператором:
ζ = [г; ·].
Величина г в этом символе называется модулем или абсолютной
величинай z-оператора и обозначается: ζ
Угол ω называется аргументом оператора и обозначается:
& = argz.
Условимся отношение нуль-вектора к любому, отличному от нуля
вектору называть нулевым оператором и обозначать: [0; ω] при
любом аргументе. Примем также, что произведение всякого вектора
на нулевой оператор дает нуль-вектор:
[0; ω] а = 0.
Заметим, наконец, что порядок, в котором
производятся операции поворота и растяжения
вектора, очевидно, безразличен, т. е. сначала
можно произвести изменение длины вектора,
а потом поворот, или обратно, сначала поворот,
а потом — изменение длины.
Один и тот же оператор, будучи применен
к различным векторам, преобразует их в векторы
образующие вместе с первоначальными векторами
Черт. 8.
подобные и одинаково ориентированные треуголь-
ники: если ОА^[г; ω] OB и ОА'~[г; ω] О'Я',
то дОЛВ—ΔΟ'Α'Β' при одинаковой ориентировке и обратно,
если соответствующие векторные конфигурации будут подобны, то
операторы будут равны.
10. Сх. Непосредственно из определения оператора поворота
и растяжения следует, что два оператора равны тогда и только
тогда, когда их модули равны, а аргументы или равны или отли-
чаются на целое число полных оборотов, т. е. на 2 кг. или на к 360'.
Действительно, из равенства а—\г\ ω] Ь видим, что при умно-
жении b на различные операторы длины полученных векторов
совпадут только при одинаковых г, а направления совпадут или при
одинаковых <*> или при аргументах, отличающихся друг от друга на
целое число полных поворотов.
Итак, если [г; ω]^^; ω'], тог = г' и ш — α>'=2Λ~ (при к целом) J.
11. С2. Всякий действительный оператор2 можно рассматривать
как частный случай ζ- оператора 2.
I : Рассмотрим оператор: [г; пъ] при η целом. Если η четное, то
при умножении вектора на этот оператор, направление вектора сохра-
няется (полное число оборотов), а длина изменяется в г раз. Это
равносильно умножению вектора на положительное число г: т. е.
1 Аргументы, удовлетворяющие равенству: и>. — ο>·2 ζ= 2 к π, мы Сбудем называть
эквивалентными.
2 Имеется в виду определение действительного оператора, данное в п. 5.

действие ^-оператора на вектор равносильно действию действитель-
ного оператора, что мы запишем так:
[г; 2 ш] = г.
Если же η — нечётное, т.е. n = 2kJrl1 то умножение вектора на
оператор повернет вектор на k полных оборота и один полуоборот,
т. е. изменит его направление на противоположное, причём длина его
изменится в г раз, но это равносильно умножению вектора на отри-
цательное число — г.
Итак, имеем:
[г; (2к + 1)*]=-г.
Гь При умножении суммы векторов на 0-оператор имеет место
закон распределительный:
z(a-\-b) = ζ a ~rzb .
: Положим ζ — [г; ω], и дана сумма: АВ-\-ВС —
— АС. Принимая А за центр вращения, повернем
всю фигуру на угол & и потом произведём гомоте-
тию с центром А и коэфициентом г. Тогда получим,
что все векторы в новой фигуре (предполагая, что
А преобразовалось в А', В —в В' и С—в С) будут
повёрнуты на угол ω, и длина их изменится в г раз
по отношению к первоначальной длине; следова-
тельно, мы получим:
ΑΒ' = ζ А В; АС = ζ АС
и
В7С — ζ ВС,
. ·. АС = АВ? -'-/ГС,
ζ (АВ + ВС) = ζΑΒ + ζ ВС.
или
12. D2. Умножим вектор а на оператор zlt потом этот же вектор а
умножим на оператор zt и сложим полученные векторы. Тогда отно-
шение суммы к первоначальному вектору а мы будем называть суммой
операторов и обозначать zx-\-z* (черт. 9).
Итак:
Z] a -f Zo а „
а
или иначе:
ζ, α + ζ2α = (ζ, ~rz*)a .
Полученная сумма ζλ-\-ζ2 определяется только операторами ζ{ и ζ·_>
и не зависит от выбора вектора а, так как произведя эту же опера-
цию над любым другим вектором ft, мы получим, как легко убе-
диться, фигуру, подобную фигуре (черт. 9), в которой отношение век-
тора (Zi~\-z2) b к вектору ft, поэтому, дает тот же самый оператор Zj-j-Zo.
Легко видеть, что, когда z% и z2 являются действительными опе-
раторами, то полученное равенство есть распределительный закон
умножения.

С3. Если аргументы операторов эквивалентны, то модуль суммы
равен сумме модулей слагаемых. Если аргументы отличаются на
полуоборот, т. е. на π, то модуль суммы равен разности модулей
слагаемых.
I: Действительно, в первом случае векторы ζχ а и ζ2α будут
сонаправлены, и длина полученного вектора будет равна сумме
длин составляющих,
In "Ж*7; •Жг+г'; т].
Во втором случае векторы zt а и z2 а противонаправлены, и длина
суммы равна разности длин составляющих,
[г; ш] -f- [г'; о>π] = [г — г'; ω] (при условии: г> г').
13. Г. Сумма операторов подчиняется переместительному и соче-
тательному законам.
I : Переместительный и сочетательный законы доказаны для вектор-
ной суммы; . ·. Zi a-f-£2 л =Ζι&-\-Ζχ д. Беря отношение обеих частей
равенства к вектору а, получим:
Z\ —I— Z2 === 2?2 ~~f~ ·
Аналогично доказывается и сочетатель-
ный закон:
Ζχ + (ζ2 + ζ,) = (ζ, + ζ2) + ζ3.
14. Ζ)8. Операторы, модули которых
одинаковы, а аргументы отличаются на
половину поворота, т. е. на π, называются
взаимно - противоположными. Если один
из них обозначен ζ, то другой мы будем
обозначать — ζ.
С4. Сумма двух взаимно-противополож-
ных операторов дает нулевой оператор. Черт. 10.
: Пусть ζ = [г; ω],
тогда — ζ = [г; о) -4- π].
Согласно Сл, будем иметь:
ζ -(- (-ζ) = fr; ω] + [г; ω -f π] = [г-г; ω] = [0; ω] = 0 (черт. 10).
15. Ζ)4· Чтобы получить разность операторов zt и z2, прибавим
к первому оператору оператор противоположный второму:
zi — z2 = zl + (—z2).
С5. Основная определяющая формула вычитания, а значит и все
опирающиеся на нее формулы действий первой ступени, остаются
в силе для операторов.
: Ζι — ζ*-4-ζ» = Z\ -f (— z2)-f z2 = zi-\-0 = zlt
так как
Итак:

5. Действия второй ступени с ^-операторами
16. Возьмём вектор а и умножим его на оператор zu после
этого полученный вектор zt а еще раз умножим на оператор z2. Тогда
отношение последнего вектора к первоначальному вектору а мы
будем называть произведением операторов ζγ и ζ2
ζ.>ζγα
Полученное произведение ztz2 определяется только операторами
Ζχ и z2 и не зависит от выбора вектора а, так как, если это же по-
строение произвести с другим вектором Ь, то получим фигуру^
подобную фигуре (черт. 11), и отношение вектора ΖγΖφ к вектору Ь
дает тот же оператор ζχζ2.
Т1т При умножении ζ-операто-
ров модуль произведения равен
Черт. 11.
Черт. 12.
произведению модулей множителей, аргумент произведения равен
сумме аргументов множителей:
ZXZ2 — [г,; ω J . [г2; ω2] = [r,r2; α>! ω2],
или
: При умножении вектора на оператор 2 длина этого вектора
изменяется в г раз,. *. Длина нового вектора еще раз изменяется при
умножении на z2 в г2 раз, длина окончательного вектора изменится
в ггг2 раз. Итак, модуль произведения равен произведению модулей
множителей.
Если при умножении на zx вектор повернулся на о>ь а потом при
умножении на z2 новый вектор повернулся еще на ω2, то конечный
угол поворота будет a^-f-a^ (см. черт. 11): аргумент произведения
равен сумме аргументов множителей.
17. Г2. При умножении операторов имеет место закон перемести-
тельный и сочетательный.
I: Это объясняется тем, что произведение операторов опреде-
ляется произвела, ем и суммой действительных чисел, для которых
эти законы действительны.
z}z2 ·= z2~u так как r)r2 = r2r1 и ш} -j-«>j = и>г-|~а>1а

И точно так же;
.г, (ζ2ζζ)=(ζΧΖ2)ζ99 так как г, (П,Г,,)=Р(ГХГ2) Г, и »i+(tts+tt3)=(»i-fs-
Сь Произведение операторов обращается в нуль тогда и только
тогда, когда один из множителей равен нулю.
ι: Оператор равен нулю, если его модуль равен нулю. А так как
модуль произведения равен произведению модулей множителей,
то ясно, что он обратится в нуль только в том случае, если один
из множителей равен нулю.
С2. При умножении оператора на единицу данный оператор не
изменяется:
ζ - 1 = [г; о] [1; 2 т. к] = [г . 1; »-f 2*Л] = [г; ·]=*.
18. 73. При умножении суммы операторов на оператор имеет
место закон распределительный:
: Возьмем вектор α (черт. 12) и построим вектор (zx -j-z2)a9 опре-
деляющий сумму. Если теперь полученные векторы zxa\ z2 а и
{zx-\-z2)a умножить на оператор ζ = [г; ω], то длина всех векторов
сначала изменится в г раз, отчего первоначальный параллелограмм
преобразуется в гомотетичный ему параллелограмм, а потом все полу-
ченные векторы, т. е. весь параллелограмм должен повернуться на
угол о). Так как при этом фигура параллелограмма сохранится, то
будем иметь:
ζ(ζχ -]- ζ2)а — ζZ'.a Arzzlay
... ζ(ζι + ζ2) = ζζι + ζζ2.
19. D>. Два оператора, модули которых равны, а аргументы
в сумме дают 2kr,(k — 0y 1, 2...), называются взаимно-сопряженными,
например,
Z — [г; со] и ζ' — \г\ 2 к к— со].
Сл. Произведение двух взаимно-сопряженных операторов равно
квадрату их общего модуля.
: Действительно, если
z=[r\ со], z' = [r; 2к~ — со],
•то
ζζ'=\ή; 2 k *]=!*.
20. Ол. Если ζ = [г; ω], то обратным ему оператором называют
и обозначают - оператор с модулем, обратным по величине дан-
ному модулю и с аргументом, который в сумме с данным аргумен-
том даёт 2 к т.:
1/z-[[,2».-.].
С4. Произведение двух взаимно-обратных операторов равно еди-
нице: ζ · — = 1.
: Если z= [г; ω],

тогда
z - l = [r- \\ 2Ar] = [l;2£7cJ=l.
21. D4. Чтобы разделить оператор zu на оператор z2, умножаем
zx на оператор обратный:
*ι: ζ2 = ζχ . 1 .
22
Г4. Модуль частного равен частному модулей делимого и дели-
теля; аргумент частного эквивалентен разности аргументов делимого
и делителя.
!: Пусть
~1 — [П ω,];
ζ2 = [г2; с°2І«
Тогда
»*—ι
-ι : ζ* = *ι · = [ Г\ · ^ ; ωι —102 -f 2 * πj =
= [™-; ωι — φ2 -г 2 * π J = ^ ; », — ω2 J .
С5. Основная определяющая формула деления справедлива ДЛИ
деления операторов:
_ ^ 1 . 1
: : * ^2 — Z\Z · · - · ζ% — ζ \ : 1 — ~,
. *. Zj :ζ2 · 2^2 — £χ.
Отсюда также следует, что все формулы действий II ступени
остаются правильными для операторов.
С6. Чтобы оператор ζχ разделить на оператор z2f достаточно z%
помножить на оператор, сопряжённый с z2, и разделить на квадрат
модуля z2.
1. Для доказательства, в частном ~ умножим и делимое и де-
литель на ζ2\ сопряжённое с г2, тогда получим:
*1 =Z\X% _ *vhl
Zo Z&2 Г\
22. Д>. Числовым полем называется совокупность чисел, обладаю-
щая тем свойством, что всякое действие первой или второй ступени*
произведенное над любой парой чисел этой совокупности (исклю-
чая деление на нуль) вновь даёт число той же совокупности.
С7. В предыдущем мы сочли удобным рассматривать действитель-
ное число как оператор. Выводы предыдущего и этого параграфа
дают нам основание операторы поворота и растяжения рассматри-
вать как своеобразные числа, расширяющие понятие о числе и вклю-
чающие в себе действительные числа, как частный случай. Из пре-
дыдущего определения, принимая во внимание выводы, полученные
в этом и в предыдущем параграфе, можем сказать: совокупность
операторов поворота и растяжения образует числовое поле.

§6. Действия третьей ступени с операторами
23. Тг. Степень оператора при любом рациональном показателе1
равна оператору, модуль которого равен /ι-ой степени модуля дан-
ного оператора, а аргумент равен произведению η на аргумент
данного оператора: Ζ11 = [Γ; &]п==.[гп; я со].
Пусть сначала я будет целое положительное число. Тогда, по
определению степени:
Ζη = [г; ω] [г; ω]\ . . [г; ш] = [г"; Я со},
я раз
имея ввиду, что при умножении модули перемножаются, а аргу-
менты складываются.
Положим теперь, что я — целое отрицательное число: я =— /я?_
где m положительно. Тогда, по определению степени с отрицатель-
ным показателем:
Заменяя — m на я, попрежнему получим:
Zn = [rn; я ω].
Положим теперь:
Ρ Ρ
Ζ 4 = [г; ω] Q = [ρ; ψ],
7
где ρ и q целые числа, причем выражение ζ мы определяем как:
оператор, который при возведении в степень q дает zp. Возведя
теперь в степень q полученное равенство, найдём:
[г; Ш]Р = [о; ?]*, или [ГР; ρ ω] = [G«; q φ];
следовательно:
откуда
Далее:
следовательно,
В частности, при £ = 0, полагая ^- = получим [г; ш]*=[г"; яа>]„
т. е. формула возведения в степень сохраняется и при дробном пока-
зателе.
Теорема доказана вполне.
24. Г2. Корень я-ой степени из оператора (при я целом) имеет гг
различных значений.
1 Теорему можно обобщить и на иррациональное л, но ввиду того, что ирра-
циональная степень нам для дальнейшего не потребуется, мы этого обобщения не
приводим.

Пусть теперь к принимает различные целые значения от 0 до я—1.
Покажем, что все эти значения полученных корней будут между
собой различны. Возьмём два произвольных корня:
Г 1 I 1
zh — τ ; A и Zv — г ; A— — .
Ввиду равенства модулей, для равенства операторов необходима
эквивалентность аргументов. Рассмотрим разность:
ω , 2£π ω 2£'π 2{k—k')~
п * η η л η
При к и k', различных и меньших я, эта разность не может быть
кратным 2~, так как дробь правильная.
С другой стороны, всякое целое число а при делении на η дает
один и^ остатков: 0, 1, 2,.., η—1. ·.
a = qn-\-s ($Тогда при k = а получим корень:
η. ω , 2(qn + s)n 1 [ν. ω ι_2^π_ι_ο _ гл. ω ι .
;Γ » ,ζ Η /2—]—Γ · π + "η +2?* - r > лт— ·
но так как s—одно из чисел: 0, 1, 2,.., η — 1, то это один из η перво-
начально рассмотренных корней. Итак, число различных корней
будет η и только п.
Си В частности, корень л-ой степени из единицы имеет также η
.различных значений:
:|Л =[1;2*«]1[;;^-](* = 0ДД . . ..л-1).
..Эти значения будут:
А -11;О] = 1; В, = [l; U] = ft -[»£-] Ε.-. = [ΐ;'*" " " " | ·
§ 7. Комплексная форма ζ-оператора
25. Dx. Оператор вида |V; называется мнимым числом.
^(точнее: чисто-мнимым числом).
Cj. Квадрат всякого мнимого числа есть число отрицательное.
: Действительно: |г; η π +у] 2 = [r2\ 2η π-f" π] =s — г2 .
С2. Обратно, при извлечении корня квадратного из отрицательного
числа получаются два взаимно-противоположных мнимых числа.
:yJ-r* = {r*; (2η-+-1)τ.)Ί = [η кг.-- J-] .
По теореме 2 §6, корень имеет два значения—при к = О и
при & = 1,
[г; I] • [г, J + «: ·
Значения эти взаимно-противоположны.
26. Ц>. Рассмотрим, в частности, оператор:
11; 2_ 1 и будем называть его мнимой единицей и обозначать одной
«буквой / (от французского imaginaire—мнимый), По определению,

мнимая единица является оператором поворота на прямой
угол.
С3. Последовательные степени мнимой единицы даются таблицей;
= — 1
13 = — 1
1*=1
1* = 1
16 = —1
г9 = /
Правильность этой таблицы легко проверяется непосредственным
вычислением степеней оператора: /=
Действительно:
«] =-1;
(i;f]'-[i;;- + -]=-^
[l;jj4=Il;2«] =1
« т. д.
В дальнейшем необходимо заметить,
что 1* дает полный поворот и экви-
валентно единице.
Поэтому можно писать вообще:
1**+г=19 *4п + 2 = -1;
£п+г — _19 /4пт4 = 1
Например:
. 23 =.20 + 3=_.
Черт. 13.
TV Каждое мнимое число можно рассматривать как произведение
действительного числа на мнимую единицу.
:[г; n*-f J] = [r; mc] [l; %]=ri.
D^. Действительное число, на которое умножается /, называется
коэффициентом мнимого числа. При η четном (см. предыдущую тео-
рему) этот коэффициент положителен; при η нечётном этот" коэфи-
циент отрицателен.
С^. При умножении вектора на мнимое число а этот вектор надо
повернуть на прямой угол и изменить длину в а раз. При а отрица-
тельном получается поворот на — (или, что все равно, на .
27. Т2. Каждый ζ-оператор можно единственным образом пред-
ставить как сумму действительного и мнимого числа.
I : Возьмем вектор а (черт. 13) и умножим его на оператор ζ — [г; о>].
Полученный вектор ζ а можно единственным образом разложить по
двум направлениям: по направлению вектора α и по перпендикуляр-

ному. В первом случае мы получим некоторый вектор та, во вто-
ром — вектор па.
Итак: _^ _^ _>
za = ma-\-nia
. ·. ζ =*= т -j- п.
Единственность разложения оператора есть следствие единствен-
ности разложения вектора. Числа т и п не зависят также от вы-
бора вектора а, так как, произведя это же построение с любым
другим вектором в} мы получим фигуру, подобную фигуре (черт. 13),
и слагающие вектора zb будут равны mb и nib, в силу пропор-
циональности соответствующих отрезков.
D4. Оператор вида т-\-п, где тип произвольные действитель-
ные числа, называется комплексным числом. Если η = 0, комплексное
число будет действительным числом; если т = 0, то — чисто-мнимым.
При этом т называется его действительной, η — мнимой частью.
28. Т2. (обратная). Каждое комплексное число единственным обра-
зом можно представить как ^-оператор.
|: Умножим вектор а на число т и на число п и полученные
векторы та и па сложим. Назовем ζα их сумму. Искомый оператор
получим из отношения: ζ = —~. Однозначность полученного pe-
зультата основана на однозначности умножения вектора на число
и однозначности сложения векторов.
С5. Если комплексные числа равны, то равны в отдельности дей-
ствительная часть действительной и мнимая — мнимой: если
т -\- п = т' -\- η'ί, то т = т' и п = п'.
|: Пусть ζ — т-\- п'2, ζ' = т' + n'i; и ζ = ζ'. Тогда ввиду одно-
значности разложения оператора ζ,
т = т' и п=п'.
С6. Если z = m-\-ni, то при т = 0 получаем мнимое число, а при
п = 0—действительное число. Наконец, при т = 0 и п = 0 будем
иметь ζ = 0.
29. Действия с комплексными числами
Ввиду того, что всякое комплексное число является суммой опе-
раторов, которая подчиняется всем вышеустановленным законам
действий, то мы получаем следующие правила операций с комплекс-
ными числами:
1) Сложение и вычитание комплексных чисел производятся
путем почленного сложения и вычитания действительной части с дей-
ствительной и мнимой с мнимой:
(а + Ы) + (с + di) = (a + c)+(b+id)i
(a + bi) — (c + di) = (a — c)-\-(b — d)i.
2) Умножение комплексных чисел производится по правилу
умножения многочленов, причем только принимается во внимание»
что i2 = — 1:
(а + Ы) (с + di) = (ас — bd) + (ad, -f be) i.

Тг. Сопряженным операторам соответствуют сопряжён-
ные комплексные числа, которые отличаются только знаками
при мнимой части: если z = [r\^]=m-{-ni, то z'=[r\2kr.— ] = m—п,
I: Умножим вектор а (черт. 14) на операторы ζ и ζ'. Тогда век-
торы ζα и ζ'α расположатся симметрично по отношению к вектору а
и компоненты их по вектору а будут тождественны, а в перпенди-
кулярном направлении — противоположны.
С7. Квадрат модуля оператора равен сумме квадратов коэффициен-
тов действительной и мнимой части:
если ζ = [г; ш]=т-{- п,
то г2 = т2 + л2.
|: Если ζ = [г; ы] = т-\-п9
то ζ' = [г; — ω] = т — п; ζζ' = г2;
(т + п) (т — п) = т2 -\- п2.
3) Деление комплексных чисел
производится согласно правилу С6 п. 21·
*2 г./
Черт. 14.
а+Ь _ (а + £/) (с — di) _ (ас + -f- (be — ad) i
с -\- di (с -f di) (с — di) с2 -f ^2 ·
4) Извлечение корня квадратного^из комплексного числа
производится следующим образом: положим
у/т-\-п =х-\- у.
Возведем обе части равенства в квадрат:
/я + /и = х2 —_у2 -f- 2 /лу/.
Отсюда, на основании С5:
т = х2 —у\ п = 2ху.
Возведя еще раз в квадрат, получим
х*-2х2у2+у* = т2\ Сложим.
Ах2 у2 = п2 ρ^Λ0}ΚΗΜ·
х*-\-2х2у2-\-у* = т2 + п2 = г2
(г β j т + л I)
или:
(л*+у)2 = /* т. е. ;с2+у> = г
(мы берем только положительное значение, так как сумма квадратов
действительных чисел всегда положительна).
Итак:
л ГгА-т
X2+y2 = r й . 2x2 = r + m;\x = ±V —γ~
х*-у2=т\* ' 2y* = r — m;\y=: + y7—m--