Известия АПН РСФСР. Вып. 21: Вопросы формирования и развития пространственных представлений... — 1949

ОПЫТ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
И ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ УЧАЩИХСЯ1
Н. Ф. ЧЕТВЕРУХИН
член-корреспондент АПН РСФСР
§ 1. ВВЕДЕНИЕ (ВАЖНОСТЬ ЗАДАЧИ РАЗВИТИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ)
Нетрудно понять, что определенный уровень развития простран-
ственных представлений и способности пространственного вообра-
жения совершенно необходимы для лиц самых разнообразных про-
фессий и специальностей. Вернее было бы сказать, что он необходим
всем. Если приходится все же особенно подчеркнуть необходимость
очень хорошего пространственного воображения для деятелей, посвя-
тивших себя инженерно-техническим специальностям (что является
совершенно очевидным), то при более внимательном отношении
к этому вопросу—и для художников, скульпторов, педагогов, ме-
диков (в частности хирургов) и других специалистов, простран-
ственное воображение оказывается также весьма необходимым.
Понятно, что инженеру, который работает над изобретением
какой-либо новой машины, еще не существующей в действительности,
необходимо мысленно вообразить ее во всех деталях. Только после
этого он может сделать ее чертежи, по которым затем будет осу-
ществлена идея изобретателя. Интересно отметить, что, по отзывам
бюро изобретений, одной из главных помех в работе изобретате-
лей является отсутствие у них достаточно развитого пространствен-
ного воображения. Можно сказать также, что отсутствие достаточно
развитой способности воображать пространственные фигуры служит
большим тормозом на пути обучения тех учащихся, которые посту-
пили в технические учебные заведения. Им трудно даются такие
предметы, как начертательная геометрия, графика и'другие инженер-
ные дисциплины. Иногда это вынуждает их бросить избранную спе-
циальность и переходить в учебные заведения по гуманитарным
наукам. Однако, как мы уже упоминали, пространственное вообра-
жение в той или иной степени совершенно необходимо работникам
любой профессии. Как много полезных применений может найти
в своей классной работе педагог, умеющий изображать мелом на
доске то, о чем он рассказывает во время преподавания своего
предмета. Как выигрывают, например, уроки географии или исто-
1 В экспериментальной работе принимали участие кандидаты педагогических
наук: Е. В. Зеленин» Г. А. Владимирский, П Я. Дорф; учителя школ: Л. В. Федо-
рович, М. X. Кекчеева, А. Д. Земляная и др.; научные работники: К. П. Васькова,
Л. И. Марченко, Е. В. Амиянц, А. М. Тевлин; ст. лаборанты: Т. П. Вовк и
Р. Н. Никитенко.

рии, когда педагог сопровождает их умело сделанными иллюст-
рациями на доске. Что же касается таких предметов, как матема-
тика, астрономия, физика и другие, то преподавание их без сопровож-
дения наглядными и схематическими изображениями, показывающими
ход изучаемого вопроса, было бы просто невозможным. Еще более
необходимо хорошее развитие пространственных представлений ху-
дожнику или скульптору, но оно также необходимо анатому или
хирургу. В самом деле, с какой исключительной точностью должен
представлять последний всю систему кровеносных сосудов, нервов,
мышц и т. п., когда он делает какую-либо тонкую операцию.
Но можно ли все-таки сказать, что вопрос о пространственном
воображении должен рассматриваться как одна из важных задач
общеобразовательной школы? Ответ на этот вопрос должен быть
без сомнения утвердительным. Мы часто не замечаем, что в нашей
повседневной жизни нам очень нужна способность пространственного
воображения. Она нужна нам, когда мы рассматриваем план комна-
ты или дома и тем более, если мы хотим сделать набросок такого
плана по собственному замыслу. Она нужна также и тогда, когда
мы пытаемся представить себе какой-либо участок города по его
фотоснимку или рассматриваем карту местности. Она нужна нам и
тогда, когда хотим понять устройство какого-либо прибора по
его чертежам или схему его действия по скупа составленному на-
броску. Не нужно забывать также об умен* и что-либо нарисовать
или хотя бы понять изображенное на картине художником. Та же
способность потребуется и тому, кто делает выкройку платья и
обуви или чертеж мебели и т. д.
Итак, мы видим, как важно в нашей обыденной жизни обладать
достаточно развитыми пространственными представлениями и спо-
собностью воображения. Если же мы примем во внимание высокую
техническую и научную культуру нашей страны и ее быстрое дви-
жение по пути дальнейшего прогресса, то станет ясно, что стоящая
перед общеобразовательной массовой школой задача формирования
и развития пространственных представлений и пространственного
воображения должна быть признана весьма ^актуальной, и, следова-
тельно, она должна быть успешно разрешена.
§ 2. ВОПРОС О РАЗВИТИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ
КАК ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА
Пространственные представления и свойства геометрических фигур
являются предметом преподавания геометрии в школе. Однако в мето-
дике геометрии можно видеть еще с давних времен борьбу двух
направлений: „формально-логического“ и „наглядно-прикладного*.
Сторонники первого направления базировались на классической
работе „Начала*, или „Элементы-, Евклида, которая в течение мно-
гих веков оказывала влияние на постановку и методы преподавания
геометрии в школе. Последователи формально-логического направ-
ления считают основной задачей преподавания геометрии в школе
построение логического аппарата и упражнение дедуктивного мышле-
ния учащихся. Совершенство построенного Евклидом курса геометрии
производило столь неотразимое впечатление, что, несмотря на его
явную неприспособленность для школьного употребления, авторы
учебников геометрии копировали Евклида и подражали ему. Даже*!
в наше время можно видеть такое подражание во многих, особенно

иностранных учебниках. Естественно, что при этом упускалась из
виду геометрическая сущность школьного курса геометрии, который
приобретал сухой и формальный характер изложения. В свою оче-
редь, такие тенденции преподавания курса геометрии вызывали
справедливые возражения педагогической общественности, которая
понимала неприемлемость евклидовой концепции в школьном курсе
геометрии. В результате появилось методическое направление, осно-
вывавшееся на совершенно противоположных принципах наглядного,
конкретного преподавания геометрии и частого обращения к при-
кладным вопросам (черчение, измерение на местности и т. п.). В те-
чение долгих лет развитие методики геометрии происходило в непре-
рывной борьбе этих двух направлений. Насколько острой была эта
борьба, можно судить по тому отношению, которое высказывали
представители обоих течений к „Началам* Евклида. Так, Боссю пи-
сал в 1802 г.: „Никогда ни одно научное сочинение не имело успеха,
сравнимого с «Началами* Евклида. Исключительно по ним в тече-
ние веков учили геометрии во всех математических школах; они
переведены на все языки и на всех языках комментировались,—дока-
зательство их исключительного превосходства-.
А вот высказывание Роджера Бекона, еще в XIII в. резко воз-
ражавшего против преподавания геометрии по Евклиду: „Только роз-
гами,—пишет Бекон,—можно вогнать ученикам четыре первых тео-
ремы евклидовых „Элементов“, а пятая уже называется „Elefuga“ —
бегство несчастного!“.
Живая струя, внесенная в преподавание геометрии последовате-
лями наглядно-прикладного направления, имела благотворное влия-
ние на постановку этого предмета в школе. Заметим, в частности, что
наш знаменитый геометр Н. И. Лобачевский выдвинул много ценных
предложений в своем учебнике „Геометрия“, в свое время не нашед-
ших признания у чиновников царской России. Однако в обширной
литературе, посвященной наглядным методам преподавания гео-
метрии, вскоре обнаружились крайние тенденции. Авторы курсов гео-
метрии, среди которых особенно выделялся английский инженер
Пэрри, скатились к чисто эмпирическим методам изложения курса
геометрии, пренебрегая его внутренним содержанием как дедуктив-
ной дисциплины. Доказательства геометрических теорем были заме-
нены лабораторными методами нахождения законов этой науки.
Наглядность из средства становилось самоцелью. С течением времени
ошибки и крайности обоих методических направлений становятся все
очевиднее. Они приводят как к неверному пониманию целей препо-
давания геометрии в массовой школе, так и к извращению методов
преподавания.
Геометрия как наука является частью чистой математики, кото-
рая еще, по классическому определению Энгельса, „имеет своим
предметом пространственные формы и количественные отношения
действительного мира, т. е. весьма реальное содержание“. Таким
«образом, геометрия занимается изучением тех геометрических об-
разов и их взаимосвязей, которые представляют собой абстрактные
модели реального мира. Именно из этого реального мира геометрия
и черпает свои основные понятия. Поэтому важно, чтобы школьное
обучение геометрии было основано на пространственном представ-
лении всех геометрических образов и форм, свойства которых изу-
чаются в курсе геометрии. Важно, чтобы учащиеся видели эти гео-
метрические образы в окружающей действительности и могли бы

применять свою геометрию в практической жизни. Только такое
изучение геометрического материала является полезным, которое
сопровождается конкретным представлением свойств геометрических
фигур в пространстве.
Из этого следует сделать необходимые выводы как в отношении
целей преподавания геометрии, так и методов преподавания.
Педагоги-практики, сознавая всю важность выработки у учащихся
достаточного запаса геометрических понятий и представлений, прибе-
гали и прибегают в своей работе к различным средствам нагляд-
ного обучения. Среди них наиболее употребительным является
моделирование, т. е. работа учащихся с моделями геометриче-
ских тел. Имеется обширная литература, посвященная вопросам при-
менения моделей в преподавании геометрии. (См. статьи Дорф и
Земляной в настоящем выпуске. „Известий“.)
Существует большое количество предложенных различными ав-
торами „стереометрических ящиков“ и других пособий по препода-
ванию геометрии. Следует все же отметить, что в методической
литературе нет единодушия по вопросам о роли моделей в препо-
давании геометрии. Одни авторы склонны почти все преподавание
геометрии сводить^ моделированию. Другие, наоборот, считают поль-
зование моделями нецелесообразными даже вредным. Как нам кажется,
некоторой недооценкой роли геометрических моделей в выработке
пространственных представлений у учащихся страдают и высказыва-
ния Н. М. Бескина в его недавно вышедшей в свет „Методике гео-
метрии“.
Тем не менее, можно считать общепризнанным, что в нашей со-
ветской школе применение наглядных пособий прочно вошло в пре-
подавание геометрии и соответствующее указание имеется в офи-
циальной программе средней школы по математике Министерства
просвещен* я РСФСР 1948 г. На стр. 12 этой „Программы“ мы чи-
таем: „Прохождение курса геометрии должно естественным образом;
согласоваться с возрастными особенностями учащихся, с развитием:
их геометрических представлений, способностью воображать про-
странственные фигуры и делать логические умозаключения. В этой
связи методы преподавания геометрии в семилетней школе (VI и<
VII классы) должны в большей степени опираться на интуицию уча-
щихся, следует широко применять наглядность в процессе изучения
материала, возможно чаще делать чертежи изучаемых геометриче-
ских образов, а также обращаться к моделированию фигур. Учащиеся
должны узнавать геометрические фигуры в окружающем мире. Все
это имеет целью образование и накопление пространственных пред-
ставлений учащихся, развитие их пространственного воображения“»
К этим пожеланиям мы хотели бы только добавить, что и по от-
ношению к старшим классам средней школы (VIII-X) требование
пространственной представимости геометрических фактов должно
быть сохранено в полной мере, хотя это и достигалось бы другими
методами. Мало того, в старших классах средней школы проходится
курс стереометрии, в котором с особенной полнотой должна быть раз-
решена задача развития пространственного воображения учащихся.
Обычно считают, что наиболее полезным средством для этого является
решение задач на построение. Однако если подходить к за-
дачам на построение с точки зрения развития пространственного*
воображения учащихся, то следует поставить соответствующие проб-
лемы и разработать методику задач на построение в пространстве.

В этом направлении сделано еще очень мало. Те задачи на построе-
ние, которые помещены в стабильном учебнике и вошли даже в про-
грамму, по сути дела, преследуют другие цели. В них рассматрива-
ются вопросы о существовании и единственности искомых элементов.
Что же касается фактического построения, то оно связывается с не-
которыми условностями, не имеющими никакого реального значения1.
По этим причинам учащиеся не выполняют фактического построе-
ния в пространстве, как это делается в конструктивных задачах на,
плоскости. Таким образом, ценнейшее свойство задач на построение
отсутствует, и весь вопрос о постановке и методах решения таких
задач требует коренного пересмотра. В напечатанных в 1947/48 г.
двух небольших книжках под заглавием „Стереометрические задачи
на проекционном чертеже“, принадлежащих автору настоящей статьи,
были предложены методы решения задач на построение на проек-
ционных чертежах. Наиболее существенным отличием задач такого
рода является возможность фактического выполнения построения
искомого пространственного элемента на чертеже. Это дает возмож-
ность учащимся оперировать над пространственными фигурами, фи-
ксируя производимые построения в пространстве соответствующими
действиями на проекционном чертеже.
Опыт работы с такими задачами на построение в пространстве
дал хорошие результаты и показал полную возможность проведения
их в школах. (См. об этом статью Кекчеевой и Федорович в настоя-
щем выпуске „Известий“.)
§3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ,
ТОЛЬКО ЧТО ПОСТУПИВШИХ В ПЕРВЫЙ КЛАСС ШКОЛЫ
Для полноты картины развития пространственных представлений
школьников по мере обучения их в школе, было интересно иссле-
довать их пространственные представления при поступлении в пер-
вый класс школы. С этой целью в 113-й средней женской школе
Советского района Москвы, в классе учительницы Н. В. Архангель-
ской, была проведена экспериментальная работа, о которой мы и хо-
тим рассказать.
Эта работа заключалась в следующем.
Учительница обратилась к детям с объяснением, что они долж-
ны будут сделать в течение этого урока., •, Она раздала детям за-
ранее заготовленные листочки, имевшее вид прямоугольной поло-
сы, разделенной на шесть частей. Зятем учительница спросила, все
ли получили листочки. Оказалось, что листочки были у всех. Тог-
да учительница сказала: „Вы видите, что на каждом из ваших ли-
сточков имеется 6 клеток. Эти клетки сделаны для того, чтобы вы на-
рисовали в каждой из них тот предмет, который я вам назову.
Слушайте меня внимательно. В первой клетке вы должны нари-
совать линейку. Вы все, конечно, видели линейку и знаете, как
она выглядит. Постарайтесь нарисовать линейку так, как вы ее себе
представляете. Теперь приступайте к работе“.
Дети начали рисовать. Учительница обходит парты и следит за
выполнением работы. После того, как все закончили рисовать ли-
1 Н. Ф. Четверухин, Вопросы методологии и методики геометрических по-
строений в школьном курсе геометрии (.Известия Академии педагогических наук
РСФСР*, 1946, в. 6).

нейку, учительница снова обращается ко всему классу. „Теперь мы
переходим ко второй клетке наших листочков, ь этой клетке вы
должны нарисовать стол. Постарайтесь прежде всего представить
себе какой-нибудь стол и затем начинайте рисовать“. После того,
как был окончен рисунок стола всеми учащимися, учительница пред-
ложила детям нарисовать в третьей клетке шар. Одна из уче-
ниц спросила: „Можно мне нарисовать не шар, а мяч“. Учительница
ответила: „Если мяч ты считаешь шаром, то можешь нарисовать“.
После окончания этого рисунка в следующей, четвертой, клетке
учительница предложила нарисовать шар на полу. Потом пере-
шли к пятой клетке, в которой дети должны были нарисовать куб.
Наконец, в шестой клетке им было предложено нарисовать кир-
пич. Каждый раз при этом напоминалось, что нужно сперва пред-
ставить предмет, а потом уже его нарисовать.
После выполнения всей работы учительница собрала у детей ли-
сточки, надписав на каждом из них фамилию ученицы. Работа за-
няла почти целый урок.
Рис. 1
Чтобы дать представление о том, как были выполнены эти за-
дания, мы приведем снимки некоторых работ. Вот, например, три
рисунка, обозначенные $ нас № 1,2, 3. Их можно считать типичными
для среднего уровня всех собранных рисунков. Однако индивиду-
альные замыслы маленьких авторов довольно хорошо отражены в
их работах. На рисунке 1 линейка снабжена цифрами, вероятна, обо-
значающими деления. На рисунке 3 изображена линейка с отвер-
стием, а на рисунке 2 таких отверстий целых три. Или вот сравни-
те рисунки столов, помещенные во второй графе. Во всех трех вы
сочувствуете, что дети не плохо представляют себе стол, но им
трудно сделать ею рисунок. Они не знают, как нарисовать ножки
стола, хотя и в этом отношении проявляют некоторую изобрета-

Рис. 2
Рис. 3

тельность. Авторы рисунков 1 и 2 накрыли свои столы скатер-
тями. На одном из столов стоит горшочек с цветами. В третьей
графе шар изображен в конкретном детском представлении. На ри-
сунках 1 и 3 это детский воздушный шар, который легко узнать по
веревочке. Иначе представляют себе дети шар на полу. Он больше
напоминает мяч. Особенного искусства достигла девочка, выполнив-
шая рисунок 3. Половицы изображены на нем в перспективе.
Изображение куба и кирпича почти совершенно одинаково во
всех трех работах. В них видно неумение детей передать объемную
форму.
Интересно отметить, что две ученицы неожиданно обнаружили
в своих изображениях в двух последних графах попытку показать
куб и кирпич в перспективе (рис. 4 и 5). Так как дети, поступаю-
щие в школу, большей частью не обучались рисованию, то эти пер-
спективные рисунки казались необъяснимыми. Однако специально на-
веденные, по отношению к двум упомянутым девочкам, справки по-
казали, что одна из них является дочерью конструктора. Мать у нее
чертежница. Девочка много рисовала, и родители исправляли ее ри-
сунки.
Рис. 4
Рис. 5
Вторая девочка много рисовала до поступления в школу и очень
любит это занятие. Однако никто не руководил ею, и ей приходи-
лось срисовывать с картинок в книгах.
Приведенные нами примеры подтверждают, с одной стороны,
наличие у детей этого возраста пространственных и именно объем-
ных представлений, которые они пытаются выразить теми или дру-
гими средствами. Посмотрите, например, на три рисунка стола в
работах № 1, 2 и 3. В каждом из них видна попытка изобразить трех-
мерное расположение стола, либо изображая его плоскость в фор-
ме параллелограмма (рис. 2), либо показывая ножки стола удли-
ненными спереди и укороченными сзади (рис. Ъ). С другой
стороны, по этим же рисункам видно и неумение детей справиться
с перспективным изображением (см., например, ножки стола на рис. 2,
где они показаны оканчивающимися на одном уровне, и поэтому
задние вышли длиннее передних).
Особенно же заметно отсутствие умения передать перспектив-
ное изображение предмета в двух последних графах тех же трех
работ. В них куб и кирпич изображены в виде квадрата и прямо-
угольника, т. е. своими плоскими гранями. Все это вполне подтвер-
ждает то положение, что у детей этою возраста уже имеется вос-
приятие трехмерности и стремление ею выразить доступными им
средствами. Вместе с тем рисунки, в которых куб и кирпич пред-
ставлены в перспективном изображении, показывают, что даже в
этом возрасте можно обучать детей перспективному изображению.
Интересно также отметить еще две работы. В одной из них мы
имеем во второй графе изображение стола с находящимися на нем
предметами (рис. 6). Характерно, что все предметы изображены в ле-

жачем положении, в то время как ножки стола показаны сбоку в
укороченном виде. Словом это напоминает тот прием, который у
чертежников встречался в старые времена и заключался в совме-
щении ^фасада с планом.
Совершенно своеобразное изображение куба в виде развертки,
состоящей из пяти его граней, дано только в одной работе из всего
класса (рис. 7). Оно объясняется тем, что девочка хотела, повиди-
мому, изобразить знакомую ей игрушку: раскладной картонный куб.
Рис. 6
Рис, 7
Работы детей, начинающих свое обучение в школе, дали ясную
картину состояния их пространственных представлений, примитив-
ности их изобразительных средств. В то же время они обнаружива-
ют несомненное наличие пространственных трехмерных представ-
лений предметов окружающей действительности и стремление вы-
разить эти представления какими-либо изобразительными приемами.
Понятие о перспективном изображении проявилось только в исклю-
чительных^случаях (рис. 4 и 5), объяснение которым дано выше.
§ 4. О ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ УЧАЩИХСЯ СРЕДНИХ
КЛАССОВ ШКОЛЫ (IV, V, VI классы)
Учащиеся средних классов начинали в свое время школу с тем
запасом пространственных представлений, о котором мы говорили
в предыдущем параграфе. Они постепенно росли, обучались и вос-
питывались. Их пространственные представления обращались новым
опытом, развивались и усложнялись. В различных предметах их школь-
ной учебы преподаватели пользовались рисунками. Что же касается
рисования как самостоятельною предмета, то обыкновенно в течение
начальною обучения, т. е. первых четырех классов, он преподается
общим учителем и не занимает больше часа в неделю, да и то не
во всех школах. В пятом и в шестом классах рисование большей
частью поручается специальному преподавателю. Однако положение
с преподаванием рисования (а также и черчения) до сих пор в шко-
ле настолько неустойчиво, что трудно сказать определенно о каж-
дой школе в отдельности, в каком состоянии находятся эти предметы,
не наведя соответствующих справок. Эту оговорку необходимо было
сделать, описывая те опыты над пространственными представлениями
учащихся, которые мы произвели в разных школах Москвы.
Экспериментальная работа, которая была проведена с учащими-
ся четвертых, пятых и шестых классов различных московских школ,
имела одно и то же содержание. Тематика ее, конечно, отличалась
от той/ которая предлагалась учащимся, поступившим в первый
класс. Иной была и методика проведения работы.

На этот раз учащимся было предложено на заранее заготовлен-
ных и розданных им листках бумаги, разграфленных на шесть час-
тей, нарисовать по памяти следующие предметы:
1) Кирпич (или спичечная коробка).
2) Стакан с водой (неполный).
3) Стол.
4) Арбуз на тарелке.
5) Чайник.
6) Самолет (или велосипед).
Запись о том, какие предметы надо нарисовать в упомянутых
шести дольках листа, производилась учителем на доске. Далее уча-
щимся было сказано, что они должны делать рисунки без черно-
виков и не пользуясь резинкой. Учащиеся задавали вопросы. На-
пример, такие: нужно ли спичечную коробку нарисовать открытой?
или: какой изобразить стакан — круглый или граненый? Нужно ли
класть тени на предметы? и т. д. Получив разъяснения преподава-
теля, учащиеся принимались за работу. Время, отведенное на рабо-
ту,—один урок. Однако многие учащиеся кончали ее раньше, осо-
бенно в VI классе. Остановимся теперь подробнее на результатах
этого эксперимента в отдельных школах.
В IV классе „Бв 472-й женской школы Москвы работа была вы-
полнена под руководством аспиранта К. П. Васьковой и состояла
из указанных выше шести заданий. Все девочки рисовали кирпич
Рис. 8
и самолет, и только одна из них нарисовала в последней графе ве-
лосипед. Мы даем полностью два из рисунков учениц этого класса.
Один из них (рис. 8) можно было бы назвать средним по своему
исполнению. Второй же (рис. 9) принадлежит к числу лучших. Ко-
нечно, уже и средний рисунок позволяет судить о значительном
развитии пространственных представлений и пространственного вооб-
ражения учащихся по сравнению с тем, что мы видели в работах у

учащихся, поступающих в школу. Так, например, в этих рисунках
уже можно видеть умение изображать фигуры в перспективе. Та-
кую попытку можно заметить и на рисунке 8 хотя бы в изображе-
нии стакана1 и стола. Но вполне выраженное изображение в парал-
лельной перспективе отчетливо заметно почти во всех гранках
рисунка 9.
Рис. 9
Ученица Таня Б., выполнившая этот рисунок, обладает хорошие
пространственным воображением. Она не только правильно изо-
бражает предметы в параллельной перспективе, но и делает их по-
хожими на конкретные объекты, виденные и запомнившиеся ей.
Рис. 10
Посмотрите, как хорошо изображены столь трудные объекты, как
письменный стол с ящиками, арбуз, который Таня Б. снабдила вы-
резом, чайник, украшенный рисунком, и даже самолет с пятиконеч-
ными звездами на крыльях и руле. Итак, уже в IV классе мы за-
1 При этом дно стакана и поверхность воды изображены в виде прямой линии..
Эта ошибка является характерной для ряда рисунков.

мечаем значительный прогресс в развитии пространственных пред-
ставлений и воображения учащихся, их стремление выразить
объемные формы с помощью правильного рисунка, а в отдельных
случаях — умение изображать предметы в параллельной перспективе.
V класс „В“. Экспериментальная работа в V классе была повто-
рена без каких-либо изменений по сравнению с IV классом. Здесь
можно было отметить дальнейшее улучшение в рисунках учащихся.
Это особенно сказалось в массовости рисунков, более удовлетво-
рительно передающих изображения предметов в параллельной пер-
спективе. Так, рисунки 10, 11, 12 и \6 можно признать типичными
Рис. 11
Рис. 12
для всех полученных работ. Обращает на себя внимание стремле-
ние по-разному решить проблему изображения арбуза на тарелке.
При этом в трех из приведенных рисунков (рис. 10, 11, 12) учени-
цы сделали разрез; тарелки, чтобы показать круглую форму арбуза.

Правильное изображение дано на рисунке 13. На том же рисунке
удачно изображены и другие предметы. При этом ученица Вера М.
прибегает к параллельной перспективе.
Интересно сравнить работы учащихся V класса 472-й школы
с работами учащихся других школ того же класса. Вот, например,
работы учениц V класса „Аа 113-й школы Советского района. Уче-
ницы этой школы нарисовали в последней графе велосипед вместо
самолета. Мы приводим здесь две работы, из которых одну можно
примерно расценивать как среднюю (рис. 14), а вторую — как выше
средней (рис. 15). Следует признать,
что ученицы 113-й школы достигли
больших успехов в рисовании. Средний
уровень их рисунков выше, фантазия
разнообразнее, а исполнение более тща-
тельно. Однако значительной разницы
в этих работах все же нет.
Рис. 13
Рис. 14
Посмотрим еще работы, выполненные в Центральной музыкаль-
ной школе учащимися пятых классов. В эту школу принимаются,
как известно, музыкально одаренные дети, которые в процессе
обучения значительное время уделяют своему музыкальному обра-
зованию. Что же касается графических предметов, то они не пре-
подавались в школе. Экспериментальная работа была проведена на
уроках математики преподавателем математики в этой школе Лидией
Игнатьевной Громан. Работы, собранные по трем классам (два класса
девочек и один — мальчиков), показывают общий высокий уровень
рисунков детей и богатство их фантазии. Большинство из них уве-
ренно пользуется изображением предметов в параллельной пер-
спективе. Слабые рисунки, по сравнению с общим уровнем, встре-
чаются редко. Это указывает на одаренность детей музыкальной
школы и в изобразительном искусстве.
Приводим две работы, соответствующие среднему уровню уче-
ниц V класса этой школы, одна из которых (рис. 16) интересна
правильностью построения изображения предметов с точки зрения
параллельной перспективы, а вторая (рис. 17) показывает стрем-
ление маленькой художницы к изящному искусству, желание укра-
сить изображаемые предметы прихотливыми узорами. Однако эта
работа гораздо слабее с точки зрения правильности перспективного
изображения, что особенно чувствуется в гранке 2-й (стакан), где
неправильно показан уровень воды, в гранке 4-й (арбуз на тарелке)
и в гранке 6-й (самолет, очень мало похожий на оригинал).

Рис. 15
Рис. 16
Рис. 17

Приводим еще работу ученицы Галины Г., которая отличается
от всех других работ некоторым умением рисовать. Все предметы,
изображенные девочкой, сопровождаются штриховкой, показом те-
ней. Они выполнены в свободной живописной манере. Повидимому,
девочка училась рисованию (рис. 18).
Рисунки мальчиков в общем стоят на том же уровне, что и ри-
сунки девочек. Заметно лишь больше фантазии в изображении
летящего самолета, который иногда снабжен реактивным двигате-
лем.
Рис. 18
Следующую ступень в развитии пространственного представле-
ния и пространственного воображения учащихся мы можем наблю-
дать в шестых классах советской средней школы. Эксперимен-
тальные работы, проведенные нами в центральной музыкальной
школе при Московской консерватории, а также в 113-й женской
школе, в 360-й и 126-й мужских школах, показали не только зна-
чительное развитие пространственных представлений учащихся и их
умение изображать предметы на бумаге, но и большое разнообра-
зие их творческой фантазии. Среди собранных нами во всех этих
школах работах процент слабых сравнительно невелик. Работы,
изобличающие слабость пространственных представлений, беспомощ-
ность учеников, встречаются как исключение. Наоборот, из боль-
шого количества хороших рисунков, иногда остроумно разрешающих
задачу изображения того или иного предмета, было затрудни-
тельно сделать выбор. Мы показываем здесь ряд рисунков, выпол-
ненных учащимися разных школ. Некоторые из них можно при-
знать средними и типичными для данного класса, другие же — луч-
шими.
Перед нами работы учениц VI класса „Вм 113-й женской школы.
Работа ученицы Лидии Б. (рис. 19) была выполнена в течение 35 мин.
Однако все шесть заданий сделаны достаточно аккуратно и
правильно с точки зрения параллельной перспективы. Эту работу
можно признать несколько выше среднего уровня класса. Другая
работа ученицы Н. П. того же класса является одной из лучших.
Она выполнена в течение 28 минут. Обращает на себя внимание
не только хорошее пользование правилами параллельной перспек-
тивы, но и умение изобразить такой сложный объект, как самолет.
Девочка обнаруживает при этом наблюдательность и интерес к яв-
лениям окружающей действительности (рис. 20).

В 126-й школе опыты были проведены на уроке черчения. Маль-
чики VI класса „А“ этой школы с большим увлечением занимались
выполнением задания. Мы даем здесь две из их работ, которые
можно было бы отнести к среднему уровню всех работ этого клас-
Рис. 19
Рис. 20
са или несколько более высокому (рис. 21 и 22). Эти работы сами
говорят за себя. Каждый предмет изображен несколькими твердыми
штрихами, причем наглядность изображения усиливается тушовкой
и штриховкой1. Чувствуется много изобретательности и фантазии,
о чем свидетельствует изображение письменного стола в обеих ра-
ботах или чайника. Особенно же обращают на себя внимание изоб-
ражения велосипеда и самолета, дающие хорошее наглядное пред-
ставление.
1 Следует отметить, что в этом классе рисование преподавал опытный педагог-
специалист.

Рис. 21
Рис. 22
Рис. 23

Примерно/теми же особенностями можно охарактеризовать работы
в шестых классах других московских школ, в которых были произ-
ведены эти эксперименты. Вот, например, одна из лучших работ
ученика VI класса „А“ 360-й школы (рис. 23). На ней не только уже
с настоящим умением изображены все предметы, но самолет в по-
следней гранке ученик А. М. сумел изобразить в быстром движении.
Он обнаружил также при этом и познание в авиационной технике.
Из большого числа работ, выполненных в IV классе в централы
ной музыкальной школе при Московской консерватории, мы приво-
дим здесь одну, которая показалась нам интересной как простотой
рисунка, так и богатством выдумки, что особенно сказалось в по-
следней гранке, посвященной изображениям самолетов. Здесь уче-
ник Артур Ш. показал свое знакомство с авиацией (рис. 24).
Рис. 24
Нельзя не отметить, что весь собранный нами материал убеди-
тельно показывает, какие богатые возможности открываются перед
педагогами советской школы, имеющими дело со столь талантли-
выми учениками. Наши дети, живущие полной содержательной
жизнью, интересуются наукой, техникой, замечательными преобразо-
ваниями природы, которые они видят у себя на Родине. Поэтому
так быстро развиваются все их способности, их ум и фантазия. Их
рисунки поражают изобретательностью и свежестью. Замечательно
также то, что девочки в наших школах не отстают от мальчиков. Они
также участвуют во всей многогранной жизни своей страны, интересу-
ются техникой, и для них не была недоступной задача изобразить
самолет или велосипед. Но в то же время можно видеть в рисунках
девочек стремление показать изображаемые предметы красивыми,
снабдив их узорами и цветами.
\,г Совершенно очевидно, каких больших результатов можно было
бы достигать в нашей советской школе при хорошей организации
преподавания графических предметов и геометрии в смысле разви-
тия пространственного воображения учащихся, которое, как мы уже
говорили ранее, так настоятельно необходимо людям всевозможных
профессий в нашей стране.

Некоторые выводы
Все сказанное в предшествующем параграфе убедительно пока-
зывает наличие пространственных представлений у учащихся средних
классов Школы. Как видно из работ учеников и учениц V и VI клас-
сов, они имеют отчетливое представление об основных геометри-
ческих фигурах, таких, как параллелепипед (кирпич, спичечный коро-
бок), цилиндр (стакан), шар (мяч, арбуз на тарелке), тела вращения
и др. Мало того, они пытаются (и не без успеха!) дать на-
глядное изображение этих предметов, а также других предметов
окружающего мира, даже и более сложных (самолет, велосипед).
При этом надо отметить, что дети учились рисовать при очень малом
руководстве со стороны педагогов школы или даже вовсе без него,
как это, например, имело место в центральной музыкальной школе,
где изобразительные дисциплины совершенно не преподаются. В по-
следнем случае, впрочем, надо учитывать, что в школу принима-
ются одаренные дети, хотя бы и в музыкальном отношении.
Изучение пространственных представлений и пространственного
воображения школьников IV, V и VI классов показывает всю несо-
стоятельность предположения о их недостаточной подготовленности
для понимания таких предметов, как геометрия (включая и стерео-
метрические понятия) и проекционное черчение. Впрочем, этот оши-
бочный тезис некоторых методистов опровергается самой жизнью.
Так учащиеся, поступающие после семилетки в техникумы, сразу
имеют дело с этими предметами и успешно справляются с ними,
хотя и испытывают гораздо больше трудностей из-за отсутствия
соответствующей подготовки в семилетней школе.
В связи с этим естественно сделать следующие выводы:
1) Учащиеся VI и VII классов имеют достаточный запас простран-
ственных представлений и пространственного воображения, на базе
которых можно построить курс геометрии, содержащий необходимые
стереометрические понятия. Такой курс вполне посилен учащимся
и в большей степени отвечает тем требованиям, которые предъяв-
ляет жизнь к оканчивающим семилетнюю школу.
2) При более правильной и устойчивой организации преподава-
ния рисования и черчения в семилетней школе могут быть дости-
гнуты очень хорошие результаты. Безусловно можно потребовать,
чтобы все учащиеся, оканчивающие семилетнюю школу, могли сде-
лать грамотное изображение (рисунок и чертеж) предметов, имеющих
простую геометрическую форму. Такое достижение было бы весьма
.полезным для выпускников семилетней школы.
§ 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ И ПРОСТРАНСТВЕННОГО
ВООБРАЖЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
И ПЕРВЫХ КУРСОВ ВУЗОВ
Для исследования пространственных представлений и простран-
ственного воображения учащихся, уже проходивших курс стерео-
метрии частично (IX и X классы) или полностью (студенты I курса
вуза), были проведены следующие экспериментальные работы.

Экспериментальная работа № 1
Работа эта заключалась в следующем. Учащимся, рассаженным
в классе или в аудитории, диктовался следующий текст (без чертежа).
„Вообразим себе куб, верхнее основание которого обозначено
буквами aBCD, а нижнее основание обозначено соответственно бук-
вами A^Bfi-JD^ Причем, вершина Аг находится под вершиной А и
т. д. В этом кубе построена пирамида, вершиной которой является
точка В9 а основанием служит треугольник А^С^ Кроме указан-
ной пирамиды, вообразите вторую пирамиду. Она получается сле-
дующим образом при помощи того же самого куба ABCD (A'xBfixD^
Вершина второй пирамиды находится в точке В верхнего основания
куба, а основанием пирамиды служит нижнее основание куба. На-
конец, вообразите еще третью пирамиду. Вершина третьей пирамиды
находится в середине 5 ребра АВ верхнего основания куба, а осно-
ванием служит нижнее основание куба Л^С^ (рис. 24а). Итак,
Рис. 24а
вы имеете теперь три пирамиды: первая — B(AlBlCl)y вторая —
B{A1BlCxDl) и третья — S(A1BlC1D1). Требуется ответить на следую-
щие вопросы, относящиеся к каждой из трех вышеуказанных пира-
мид:
1) Сколько граней имеет пирамида?
2) Назовите равные грани данной пирамиды.
3) Назовите- равные двугранные углы пирамиды.
4) Назовите равные стороны и равные углы в каждой грани
пирамиды.
5) Назовите прямые (плоские и двугранные) углы пирамиды.
Примечание 1. Запрещается пользоваться каким бы то ни было
чертежом; все ответы должны быть изложены в письменной форме.
Примечание 2. Плоские углы в гранях обозначаются как обычна
при помощи трех букв. Двугранные углы пирамиды обозначаются
при помощи ребра этого двугранного угла. Например, ВВХ— дву-
гранный угол, образованный гранями АВгВ и СВХВ куба.
Организация работы должна быть такой, чтобы учащиеся были
рассажены достаточно свободно и делали работу самостоятельно.
После зачтения текста упражнения и записи его учащимися препо-
даватель задает вопрос: поняли ли учащиеся, что они должны вы-
полнить в предлагаемой работе и как они должны выполнить ее.
Особенно отчетливо должен быть поставлен вопрос о том, что все
упоминаемые в работе фигуры, а именно куб и три пирамиды долж-
ны быть представлены только мысленно без какого-либо пользо-
вания чертежом. Точно так же и ответы должны быть даны лишь
на основании тех представлений об упомянутых фигурах, которые
соответствовали бы прочитанному тексту упражнения.

Целесообразно при диктовке текста работы сделать следующую
запись на доске:
ABCD — верхнее основание,
AIB1C1D1 — нижнее основание.
Первая пирамида: В (А^С^.
Вторая пирамида: В (A^^DJ.
Третья пирамида: S (A^^DJ.
Следует заметить, что упражнение не предполагает каких-либо«
объяснений к ответам, даваемым учащимися. Однако можно допу-
стить в некоторых случаях короткое объяснение, содержащее моти-
вировку того, почему учащийся дает такой ответ. Например, грань
j^fiQ первой пирамиды является равносторонним треугольником,
так как все три ее стороны служат диагоналями граней куба.
Анализ работы № 1
Заметим, что срок продолжительности выполнения упражнения
учащимися зависит от категории учащихся и распорядка школы.
Экспериментальная работа № 1 обычно проводилась нами в течение
одного учебного часа.
После окончания срока работы преподаватель собирает листочки,,
на которых она выполнялась. Желательно, чтобы на работах, выпол-
ненных досрочно, преподаватель делал пометку о сроке подачи та-
кой работы.
Предполагается, что учащиеся запишут имя и фамилию, номер
класса и школы. Они сделают это без колебаний, так как перед выпол-
нением эксперимента будут предупреждены преподавателем о том, что
проводимая работа не будет принята во внимание при оценке их успе-
ваемости. Приступая к обработке полученного материала, преподава-
тель заготовит таблицу с двойным входом, в которой в первом столбце
будут помещены фамилии учеников, а в верхнем заголовке разме-
стятся вопросы, заданные учащимся. Таким образом против • фамилии
каждого учащегося будут выставлены оценки его ответов на каждый
из заданных вопросов. Такая таблица должна быть составлена для
каждой из трех пирамид. При обсуждении способа оценки в коллек-
тиве участников экспериментальной работы была принята следующая
система оценок:
2 — полный правильный ответ,
1 — неполный ответ,
0 — отсутствие ответа или неясный ответ,
(—1)—неверный ответ.
В тех случаях, когда неполный ответ неизбежно является неверным,,
принималась более простая система оценок, а именно:
1 — полный ответ,
О —отсутствие ответа,
(—1) — неверный ответ.
После того как оценки были проставлены в таблицах, подсчиты-
вались некоторые итоговые результаты по каждому вопросу. Эти
результаты можно выразить в виде средней арифметической всех
полученных оценок по этому вопросу.
Благодаря этому можно было установить, какие вопросы оказа-
лись более трудными для учащихся, и затем проанализировать при-

чины этих трудностей. Это позволило выяснить характер всех про-
странственных комбинаций, которые трудно поддавались воображению
учащихся, и таким путем установить границы (пороги) их простран-
ственного воображения.
Желательно, чтобы анализ работы сопровождался описанием хода
ее выполнения, поведения учащихся во время работы, вопросов, кото-
рые были ими заданы, а также характеристикой тех учащихся, кото-
рые дали работы, особенно выделяющиеся в ту или другую сторону.
Экспериментальная работа № 2
Эта работа состояла в следующем. Преподаватель делал на доске
чертеж куба в произвольной параллельной проекции (рис. 25). Затем
юн сообщал учащимся, что в куб, только что изображенный им на
доске, вписан шар, который он не будет изображать. Далее предла-
галось провести четыре сечения этой фигуры (куба с вписанным
в него шаром). Эти сечения следующие:
1) Через середину бокового ребра параллельно основанию.
2) На высоте четверти бокового ребра, параллельно основанию.
3) Диагональное сечение.
4) Через середину ребра верхнего основания, параллельно диаго-
нальному сечению.
Рис. 25
На доске сечения были показаны соответствующими линиями
(рис. 25).
Учащиеся должны были построить четыре проведенных сечения в их
натуральном виде, причем считается данным (и вычерчивается на
доске) отрезок, равный натуральной длине ребра куба.
Примечание. Учащимся предлагается записать текст задачи,
а также перечертить изображение, сделанное преподавателем на
доске, в свои тетради, не дополняя его изображением шара или
какими-нибудь другими данными. Работа, которую они должны
были выполнить, заключалась в построении (обычными классными
инструментами) каждого из четырех сечений (куба и вписанного
в него шара). При этом данный отрезок принимался за натураль-
ную величину ребра куба. Таким образом размеры всех остальных
сечений определялись графически, построением (а не вычис-
лением), исходя из заданной величины ребра куба. Работа уча-
щихся должна была, поэтому, состоять из четырех отдельных
чертежей и некоторых дополнительных построений к ним, с по-

мощью которых находились размеры фигуры сечения. Объясне-
ние к построениям не являлись обязательными.
Работа № 2 значительно отличается по своему характеру от ра-
боты j\o 1. В то время кал последняя была основана лишь на вооб-
ражаемых фигурах, которые должны были описать учащиеся в своих
ответах, в работе jvfe 2 они должны были выполнить чертежи и по
этим чертежам можно было судить о верности их пространственных
представлений.
Тем не менее, в основе второй работы, как и в первой, лежит
пространственное воображение учащихся, позволяющее им дать точ-
ный и верный ответ на заданные вопросы. Недостатки простран-
ственного воображения немедленно сказывались на ответах.
Анализ экспериментальной работы № 2
Оценка результатов работы производилась следующим образом.
Каждое сечение рассматривалось в отдельности и оценивалось баллом
1 — в случае верного ответа, 0—в случае отсутствия ответа или не-
ясного ответа и—1—в случае неверного ответа.
Примечание. Как показал опыт проведения работы №2
в ряде учебных заведений, наиболее трудными для учащихся яви-
лись сечения второе и четвертое. В силу этого было решено оце-
нивать верный ответ по этим двум сечениям баллом 2.
Обработка материала производилась аналогично сказанному о ра-
боте № 1.
Рис. 26
Учащиеся средней школы, привыкшие больше к вычислительным
методам решения задач, чем к графическим, стремились определять
размеры фигур при помощи формул и не опирались на возможность
конструктивного отыскания размеров сечения по заданному ребру
куба. Между тем, желательно было получить чисто графическое
решение, которое весьма удобно находилось из первого сечения,
определяемого заданным размером ребра (рис. 26).

Экспериментальная работа № 3
Чтобы исключить некоторое количество неправильных ответов
учащихся, получаемых вследствие незнания ими тех или других тео-
рем геометрии и свойств фигур (как это могло иметь место в работе
№ 1), или неумения учащихся делать построения или вычисления,
требующиеся для определения элементов сечений (как это могло
быть в работе № 2), была проведена третья экспериментальная ра-
бота. Эта работа зависела только от пространственных представлений
учащихся и развитости их пространственного воображения. Она за-
ключалась в следующем.
Учащимся давалось определение фигуры, которая называется
кольцом или тором. Задачей преподавателя было дать возможно
более полное и точное описание этой фигуры. Поэтому, применя-
лись различные методы ее определения. Кольцо определялось, на-
пример, как фигура, получающаяся в результате вращения круга
вокруг оси, лежащей в его плоскости, но не пересекающей его.
С другой стороны, указывались предметы, имеющие форму кольца
(спасательный круг, автомобильная шина и т. п.). Но лучше всего
было продемонстрировать готовую модель кольца, как это и было
сделано в некоторых школах. Для простоты и определенности кольцо
было выбрано таким образом, что диаметр образующего круга был
равен расстоянию его до оси вращения, или иначе: диаметр внут-
ренней окружности очертания кольца был в два раза меньше диа-
метра наружного очертания кольца (рис 27).
После того как все учащиеся хорошо поняли, что такое пред-
ставляет собой кольцо, преподаватель делал чертеж кольца мелом
на доске, как это показано на рисунке 27 и объяснял учащимся, что
кольцо рассечено плоскостью, проходящей че-
рез ось вращения1. Это сечение обозначено на
рисунке 27 цифрой I. Далее учащимся объяс-
няется, что секущая плоскость постепенно
передвигается параллельно самой себе сверху
вниз и образует еще три сечения: сечение II,
отстоящее от центра кольца на четверть радиуса
его, сечение III, отстоящее от центра на поло-
вину радиуса, и сечение IV, отстоящее от цен-
тра на три четверти радиуса кольца.
Учащиеся должны были изобразить каждое из этих четырех се-
чений в отдельности в его натуральную величину, исходя из чертежа
кольца, который каждый учению должен был сделать в начале своей
работы.
Примечание 1. Следует отметить, что в этой работе нас
мало интересовала точность размеров, получаемых сечений. Само
собой разумеется, что какие-либо подсчеты или построения для
определения вида сечения были для учащихся также совершенно
невозможны. Поэтому весь упор в данном испытании был сделан
на форму фигуры сечения, как ее представляли себе учащиеся.
На рисунке 28 (а, б, в, г) даны точные изображения всех четы-
рех сечений,с которыми можно было бы сравнивать ответы учащихся.
Примечание 2. По самому характеру предложенного упраж-
нения ответы, которые давали учащиеся, не нуждались в объяс-
нениях. Поэтому работа могла быть сделана очень быстро, тем
Рис. 27
1 На рисунке 27 ось вращения спроектировалась в точку.

более, что не требовалось тщательного выполнения изображения
при помощи инструментов.
Как уже было сказано выше, экспериментальная работа № 3
имела своей целью выяснение вопроса о развитии пространственных
представлений у учащихся старших классов средней школы и у по-
ступивших в вузы. Успешные ответы учащихся зависели только от
того, насколько ясно они представляли себе форму кольца. Таким
образом их работы прямо свидетельствовали об этом.
Анализ работы № 3
Оценка работы, как и в предшествующем случае, производилась
для каждого из четырех сечений в отдельности. Трудность опре-
деления оценки заключалась в том, что в этой работе нельзя было
точно установить понятие верного или неверного ответа. Принимая
тщательно сделанные одним из преподавателей чертежи всех четы-
рех сечений (рис. 28а, б, в, г) за эталоны оценки, мы условились считать
ответы верными, если форма сечения была выражена достаточно
правильно в ответе учащегося, хотя бы технически и несовершен-
Рис. 28а
Рис. 28б
Рис. 28в
Рис. 28г
но. В тех случаях, когда эти технические недостатки выполнения не
позволяли судить о форме сечения, ответ оценивался баллом 0, т. е.
одинаково с отсутствием ответа. Ответы/ верно передающие форму
сечений, оценивались баллом 1, а неверные—баллом—1. Было так-
же принято, что неверный ответ по первому сечению, как чрезвы-
чайно простому, оценивался баллом—2.
Результаты проведения трех указанных экспериментальных работ
в средних школах и некоторых высших учебных заведениях будут
изложены в следующих параграфах.
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ (VIII, IX, X классы)
В ряде московских школ были проведены экспериментальные
работы № 1, 2, 3, о которых было рассказано в предшествующем
параграфе. Мы изложим здесь в краткой форме результаты этих
экспериментов.

Экспериментальная работа № 1
Как было указано в § 5, работа эта должна была показать спо-
собности учащихся к пространственному представлению фигур, ко-
торыми в данном случае являлись три воображаемые пирамиды.
В IX классе 113-й женской школы преподавательницей Л. В. Фе-
дорович была проведена эта экспериментальная работа с небольшими
отклонениями от того описания, которое было дано в § 5. Учащимся
было предложено мысленно вообразить куб ABCD (A1B1C1D1), бук-
венное обозначение которого было записано на доске. Чертеж куба
не давался и учащимся было запрещено делать его в своих тетра-
дях. Далее внимание учащихся было направлено к мысленному пред-
ставлению тех трех пирамид, о которых было сказано при описании
экспериментальной работы № 1. Учащиеся должны были для каж-
дой из этих пирамид ответить на следующие вопросы, не прибегая*
к чертежу:
1) Сколько граней имеет пирамида?
2) Назвать равные грани данной пирамиды.
3) Назвать равные стороны в каждой грани,
4) Указать равные углы в каждой грани.
5) Указать прямые углы в гранях.
Таким образом в этом опыте не были затронуты двугранные углы\.
Все вопросы были записаны на классной доске. Учащиеся были опро-
шены, все ли им ясно в предлагаемой работе. Некоторые учениц»
задали вопросы. Например, для чего был дан куб? Нужно ли опи-
сать также и куб? Являются ли равные стороны в гранях ребрами
куба?
После того, как учащиеся получили исчерпывающие ответы на
свои вопросы, они приступили к работе.
На выполнение задания, относящегося к первой из трех пирамид,,
потребовалось следующее время: 3 ученицам—12 мин., 6 ученицам—
15 мин., 7 ученицам—18 мин. и 10 ученицам—20 мин.
Работа проходила напряженно. Лица учащихся были сосредото-
ченными. Некоторые из учащихся в процессе решения закрывали
глаза, другие старались при помощи пальцев построить воображае-
мые фигуры.
Оценка работы производилась в точном соответствии с теми прин-
ципами, которые были описаны в § 5. Результаты могут быть пред-
ставлены следующей таблицей:
Вопросы
Число
граней
Равные
грани
Равные
стороны в
каждой
грани
Равные
углы в
каждой
грани
Прямые
углы в
каждой
грани
Оценки:
1 0 -1 2 1 0 -1 2 1 0 -1 2 1 0 -1 2 1 0 —Г
Число уча-
щихся
13 1 12 18 6 1 1 18 4 2 2 10 7 3 6 9 8 3 6
Как видно из этой таблицы, наибольшее число неверных ответов
было получено на первый вопрос (12 ответов). Однако, как выяс-
нилось из беседы с учащимися, это явилось в.некоторой степени
недоразумением. Учащиеся считали, что основание пирамиды не

следует включать в число ее граней. Таким образом первая графа
должна расцениваться с учетом этой поправки.
Из других вопросов таблицы можно сделать определенный вывод,
что учащимся было легче ответить на первые два вопроса, т. е. на
вопросы о равенстве граней или сторон в гранях. Значительно труд-
нее для них было ответить на два последних вопроса о равенстве
углов в каждой грани или назвать прямые углы. Так средняя оценка
на одного учащегося по этим четырем вопросам выразилась следую-
щими числами:
Равные
грани
Равные
Равные
Прямые
Вопросы
стороны в
грани
углы в
грани
углы в
грани
Средние
оценки
1,6 1,5 0,8 0,7
Эта таблица вполне отчетливо показывает насколько труднее для
учащихся вопросы, относящиеся к углам, чем вопросы о равенстве
сторон и граней. Интересно также отметить, что наибольшее затруд-
нение для девятиклассниц составило указать прямые углы в том
случае, если они не лежали в основных гранях куба.
В IX классах 427-й женской и 525-й мужской средних школ
Москвы экспериментальная работа № 1 была проведена аспирантом
К. П. Васьковой на уроках черчения. Преподаватели черчения помо-
гали в проведении работы, наблюдая за ее организацией и самосто-
ятельной работой учащихся.
К. П. Васькова объяснила учащимся какая цель ставится при
проведении эксперимента, а также, что они должны выполнять за-
дание самостоятельно, как умеют, тем более, что эта работа совер-
шенно не будет приниматься во внимание при оценке их успевае-
мости. Было сделано указание о запрещении пользоваться какими
бы то ни было чертежами, рисунками или черновиками. После этого
на доске были записаны условия задания, сформулированные лишь
для первой пирамиды, которая по нашей схеме (см. стр. 24) счита-
лась второй. При этом в отличие от практики других школ К. П.
Васькова предложила учащимся, сидящим слева, рассмотреть пира-
миду с вершиной А, учащимся, сидящим справа, — пирамиду с вер-
шиной D. Это было сделано с целью обеспечить самостоятельность
их работы.
Вопросы были сформулированы следующим образом:
1) Как следует назвать данную пирамиду?
2) Указать число граней, включая основание.
3) Какую фигуру представляет собою каждая грань?
4) Имеются ли равные углы? (Назвать их.)
5) Имеются ли равные стороны? (Назвать их.)
6) Назвать прямые углы.
После разъяснений преподавателя на вопросы учащихся послед-
ние приступили к работе. В течение всего времени работы можно
было наблюдать напряжение пространственного мышления учащихся,
которое выражалось у них различным образом. Некоторые ученицы
закрывали глаза и прикладывали руку ко лбу. Другие водили по
воздуху пальцами и т. п.
Результаты работы показали, что учащиеся затрудняются пред-
ставить себе прямые углы, если они не лежат в гранях куба. Неко-
торые сочли их тупыми. На вопрос о прямых углах было получено

лишь три верных ответа. Остальные из 23 учащихся либо не отве-
тили на этот вопрос, либо дали неверный ответ. На втором месте
по трудности оказалось определение равных сторон в гранях пира-
миды. Из 23 человек 10 дали верные ответы, 12 не ответили и 1
ответ был неверным. Остальные вопросы оказались сравнительно
легкими, вполне доступными для учащихся и большинство ответов
были правильными. Так, на вопрос о числе граней только две уче-
ницы дали неверные ответы (8 граней!?)1.
После выполнения первого задания были написаны условия вто-
рого задания — по нашей схеме третья пирамида (см. стр. 24).
Постановка и условия проведения работы были те же, что и в пре-
дыдущем задании. Результаты показали примерно те же самые
трудности, что и в предыдущем случае. Однако следует отметить,
что при выполнении второго задания было больше верных отве-
тов, чем при выполнении первого.
Та же экспериментальная работа была повторена К. П. Васько-
вой в IX классе мужской школы. Итоги работы показали, что наи-
больший процент неверных ответов, как и в других школах, падает
на определение прямых углов, не лежащих в гранях куба, и опре-
деление равных сторон треугольников, плоскости которых не сов-
падают с гранями куба. Что же касается до числа граней и других
вопросов, то большею частью они были разрешены правильно. Пол-
ностью верные решения (на все вопросы) по первому заданию из
16 учеников дали 5.
В отличие от учащихся 427-й женской школы ученики 525-й шко-
лы много внимания уделяли тому, чтобы обосновать каждый ответ
своей работы, чего не было в работах учениц 427-й школы.
Переходим к описанию проведения той же экспериментальной
работы № 1 в X классе „Ац 29-й школы Фрунзенского района под
руководством преподавательницы М. X. Кекчеевой. Работа была
организована совершенно таким же образом, как и в школе № 113,
причем от учащихся было потребовано дать ответы на такие же
пять вопросов, какие были перечислены на стр. 30.
Учащиеся дали ответы на эти вопросы для каждой из трех пи-
рамид. А именно, пирамиды B{AXBVCX)9 A{AlBlClDl) и S(A}BlClD^t
Результаты работы были оценены по той же системе, о кото-
рой было уже неоднократно рассказано. Следует отметить прежде
всего общий высокий уровень выполнения учащимися предложенной
им экспериментальной работы. Так, 27 учениц этого класса набрали
по первой и второй пирамидам одинаковую итоговую цифру — 202
очка (из 270 возможных) и по третьей пирамиде 180 очков (из 270
возможных). Это прежде всего указывает на то, что третья пира-
мида, в которой вершина находится на середине ребра, а не сов-
падает с вершиной куба, как у других двух пирамид, была труднее
для представления учащихся, и в их ответах оказалось больше
ошибок. В частности, учащиеся ошибались в определении равных
граней такой пирамиды. Для характеристики результатов экспери-
ментальной работы в X классе „к* 29-й школы полезно еще приве-
сти цифры, показывающие число совершенно безупречных ответов,
а также число совершенно неудовлетворительных.
По первому заданию получили полную оценку (10 очков из 10
возможных) 8 человек.
1 Наиболее вероятным является следующее объяснение этого ответа: ученицы
принимали ребра пирамиды (их у пирамиды 8) за грани.

По второму заданию — 7 человек.
По третьему заданию —12 человек.
Неудовлетворительные оценки (не выше 2 очков) получили:
по первому заданию — 1 ученица,
по второму заданию — 1 ученица,
по третьему заданию — 6 учениц.
Отметим также, что в отдельных случаях, являющихся исклю-
чением, были работы, обнаруживающие совершенно недостаточные
пространственные представления. Так, например, ученица Г. набра-
ла по всем трем заданиям лишь 6 очков (из 30 возможных).
Из отдельных затруднений следует еще раз отметить, как это
обнаружилось и в 113-й школе, трудность представления углов, не
лежащих в гранях основного куба, а также сравнение сторон тре-
угольников, несимметрично расположенных по отношению к основ-
ному кубу.
Экспериментальная работа № 2
Описание экспериментальной работы № 2, равно как и необхо-
димые чертежи, были даны в предшествующем параграфе. Теперь
мы расскажем, как эта работа проходила в 125-й женской средней
школе и 135-й мужской средней школе Советского района Москвы.
В обеих школах учащимся был сообщен текст задачи и сделан
чертеж мелом на доске, изображенный на рисунке 25. Читатель
уже знает, что работа заключалась в изображении (в натуральном
виде) четырех сечений куба и вписанного в него шара. При этом
предлагалось, приняв за ребро куба произвольно выбранный отре-
зок, построить в натуральную величину каждое из четырех сече-
ний. Учащимся были даны следующие указания:
1) Сделать чертеж куба с показанными на нем четырьмя сече-
ниями, копируя его с того чертежа, который был сделан учителем
на доске.
2) Шар, вписанный в куб, следует вообразить лишь мысленно,
но не изображать.
3) Размеры и формы сечений определяются графически без ка-
ких бы то ни было вычислений и формул.
4) Вся работа должна быть закончена в течение одного урока.
Руководившая проведением работы заслуженная учительница
РСФСР Л. В. Федорович применила следующие нормативы оценок:
за верное решение давалась оценка 1 (для первого и третьего се-
чения) и 2 (для второго и четвертого сечения). За отсутствие ре-
шения или неясное решение —0 (во всех случаях). За неверное ре-
шение давалась оценка—1 (во всех случаях).
Результаты работы представлены следующей таблицей (см. стр. 34).
Приведенная таблица показывает, что первое сечение было вы-
полнено учащимися обеих школ вполне успешно, причем только
3 человека из 41 допустили ошибки. Наибольшее число ошибок бы-
ло допущено при построении второго сечения (рис. 26). Учащиеся
почти всегда ошибочно полагали, что радиус круга в этом сечении
равен половине радиуса шара. Значительное число неверных отве-
тов падает также на третье и четвертое сечение. Здесь ошибки
касались как формы сечения прямоугольника, так и радиуса круга
сечения.

Средняя оценка по всем вопросам, приходящаяся на каждую уче-
ницу 125-й школы, равна 2,16. Аналогичная оценка, приходящаяся на
каждого ученика 135-й мужской школы, равна 3,9. Таким образом уча-
щиеся мужской школы показали лучшие успехи.
Оценки
Школы
Кол.
уча-
щихся
1-е сече-
ние
2-е сече-
ние
3-е сече-
ние
4-е сече-
ние
1 0 -1 2 0 -1 1 • 1- 2 0 -1
125 женск. сред, шко-
ла
17 16 1 6 11 10 7 10 2 5
135 муж. сред, шко-
ла
24 22 — 2 15 2 7 17 — 7 15 4 5
Итого . . . 41 38 — 3 21 2 18 27 — 14 25 6 10
В связи с проведением экспериментальной работы на сечения в.
средних школах можно сделать некоторые выводы:
1) Следует отметить, что самый метод выполнения задания чисто
графическим путем, без вывода формул и вычислений, вызвал за-
труднения у учащихся и казался для них необычным. Дело в том,
что при обычном преподавании стереометрии в наших школах пре-
обладают задачи вычислительного характера, в которых в готовые
формулы подставляются данные значения. Неумение учащихся
пользоваться пространственным представлением фигур и весьма
простыми графическими приемами решения задач было причиной,
многих ошибок учащихся в экспериментальной работе № 2.
2) Решение задач вызвало большой интерес среди учащихся
старших классов, и они по окончании работы в классе и в кори-
доре обсуждали предложенные вопросы и спорили о правильности
тех или других решений.
Экспериментальная работа № 3
Эта работа, как помнит читатель, состояла в изображении сече-
ний кольца (§ 5, стр. 28). Ее назначение заключалось в испытании
пространственных представлений учащихся и определении порога
их пространственного воображения. Поэтому сечения кольца были
задуманы таким образом, чтобы потребовать от исполнителя все
увеличивающейся трудности пространственного воображения.
Работы были проведены в 113-й женской школе и 126-й мужской
школе.
Хотя работы были проведены для учащихся разных возрастных
групп (в VIII, IX и X классах), тем не менее, задание было формулиро-
вано во всех классах одинаковым образом. Было интересно судить
о развитии пространственных представлений в соответствии с повы-
шением возраста и года обучения учащихся. Напомним, что требо-
валось построить четыре сечения кольца, из которых первое про-
ходило через ось его; второе — через середину внутреннего радиуса
кольца; третье — через конец внутреннего радиуса; и четвертое —
на таком же расстоянии от конца большого радиуса (рисунок 28»
на стр. 29).

В VIII классе „Ам 113-й женской школы результаты работы по-
казали, что значительное количество учащихся смогло дать удов-
летворительные изображения первого, второго и четвертого сече-
ний. Около половины всех учащихся дали неверное изображение
третьего сечения. Наиболее характерным из таких ответов был
помещаемый здесь снимок с работы ученицы П. этого класса (рис.29).
Наиболее удовлетворительные ответы были даны ученицей К.
(рис* 30).
Рис. 29
Рис. 30
Рис. 31
Таким образом, довольно отчетливо выяснилось, что большин-
ство учениц VIII класса оказалось в состоянии довольно верно вооб-
разить форму первого, второго и четвертого сечений. Форму третьего
сечения большая часть учащихся не могла себе представить.
Кроме того, многие работы показали, что учащиеся неправиль-
но поняли преподавателя и пытались вместо требуемых сечений
кольца в их натуральном виде, нарисовать само кольцо с указанием
линий сечений.
Отметим, что, помимо объяснения учителя и чертежа (мелом на
доске) кольца (тора), в классе демонстрировалась модель кольца,
изготовленная преподавателем из ваты.
В X классе „Att 113-й женской школы эта работа дала уже зна-
чительно лучшие результаты. Было несколько работ, которые можно
было признать вполне удовлетворительными и оценить полной
оценкой (4 очка согласно принятой системе оценок). Такой,
например, работой является изображенная на рисунке 31 работа
ученицы А. Она показала ту часть кольца, которую отсекает от
него каждая из проведенных плоскостей сечений. Однако все же
таких работ было лишь две. Интересна работа ученицы Ф., кото-
рая не вполне правильно поняла задание и дала вместо сечений
наглядные изображения отсеченной части кольца (рис. 32). При этом
форма последнего сечения изображена не совсем правильно. Тем
не менее, нельзя отказать этой ученице в том, что она неплохо
владеет пространственным воображением и в общем довольно вер-
но представила себе форму сечений. Наиболее распространенной

ошибкой во всех работах было неправильное изображение третьего
сечения. Таким образом можно было установить, что почти для
всех учениц X класса „А“ 113-й школы отчетливое представление
этого сечения было недоступно.
Типичную ошибку в изображении сечения № 3 можно видеть
. в работе ученицы В. (рис. 33).
В 126-й мужской школе были
проведены аналогичные экспери-
менты в десятых классах „Аа и „Ба.
Результаты работ, проведенных в
классах мальчиков, не дали зна-
чительного отличия от того, что
мы имели в женской школе. В X
классе „А“ можно было указать
лишь несколько вполне удовлетво-
рительных работ, получивших пол-
ную оценку, 4 очка. Одна из них
представлена на рисунке 34.
В то же время и в этом классе
большая часть учеников не смогла
дать верного изображения третьего
сечения кольца. Отсутствие пра-
вильного представления этого се-
чения отчетливо видно в работе
ученика Щ. (рис 35).
Работа этого ученика показы-
вает, что он вполне правильно по-
нял задание и верно показал по-
строение каждого сечения кольца.
Таким образом его пространствен-
ное представление не ниже сред-
него уровня. Однако здесь обнаружился порог его возможности
ясно представить форму каждого сечения. Таким порогом является
упомянутое сечение № 3.
Аналогичные выводы можно сделать из результатов работы уча-
щихся X класса „Бв. Следует отметить, что кольцо является одним
из простейших тел вращения, имеющим большое распространение
в практической жизни. Однако пространственные представления
учащихся, даже и в X классе, где учащиеся уже заканчивают курс
стереометрии и должны иметь значительный опыт в черчении, не
были доведены до такого состояния, когда они могли бы верно
вообразить форму сечений кольца.
Итоги и выводы
В связи с выполнением экспериментальной работы № 3 в VIII,
IX и X классах средней школы полезно отметить следующее.
1. В VIII классах учащиеся еще не проходили стереометрии, они
не имеют, следовательно, понятия о телах вращения. Но они уже
знакомы с методами изображения пространственных фигур в курсе
черчения. Таким образом в этом классе их подготовка весьма неве-
лика. Примерно то же самое.можно сказать и о IX классе, так как
работа проводилась у них еще до начала курса стереометрии. В X
Рис. 32

классах учащиеся уже изучают стереометрию, однако, в это время
понятие о телах вращения, а^ тем более о кольце, им не дается.
2. Для выполнения работы № 3 учащиеся могли бы не обладать
знаниями курса геометрии, так как в этой работе они не могли бы
применить этих знаний для построения искомых сечений кольца.
Вопрос решался лишь в зависимости от развития пространственных
представлений у учащихся.
Рис. 33
3. Проведенные работы показали, что большинство учащихся,
даже в VIII классе, правильно понимали, в чем заключалось требуе-
мое от них при выполнении задания № 3. Большая часть учащихся
старших классов смогла представить себе форму кольца и дать
верное изображение простейших сечений. Однако более трудное
сечение № 3 было неясно даже для большинства учащихся X клас-
са, и это определило примерный порог в развитии их пространст-
венных представлений.
Рис. 34
Рис. 35
Большее разнообразие в выборе геометрических фигур и упраж-
нений с пространственными фигурами могло бы содействовать даль-
нейшему развитию пространственного воображения учащихся.

§7. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ПРОСТРАН-
СТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У СТУДЕНТОВ НЕКОТОРЫХ ВУЗОВ
Все три опыта (описанные выше в § 5) были проведены также
в некоторых московских вузах, в полном соответствии с перечис-
ленными ранее условиями.
Опыты были проведены на первом курсе Авиационного инсти-
тута —МАИ (исполнители: проф. Н. Ф. Четверухин, асп. Тевлин, ст. ла-
борант Никитенко), Пищевого института—МГИПП (исполнитель пре-
подаватель Е. В. Амиянц) и на первых двух курсах художественно-гра-
фического факультета Московского городского педагогического
института —МГПИ (исполнители: доц. Зеленин Е. В., доц. Влади-
мирский Г. А. и преп. Марченко)1.
Сравнение работ показано, что студенты МАИ обладают луч-
шими пространственными представлениями по сравнению со студен-
тами остальных двух институтов. Это, повидимому, объясняется
большой требовательностью со стороны приемной комиссии к по-
ступающим в институт, а так же и тем, что в МГПИ при приеме
на художественно-графический факультет нет испытаний по геомет-
рии. С другой стороны, в МАИ подавали заявления лица по большей
части хорошо успевающие по математике, а, следовательно, и по
стереометрии.
Рассмотрение работ показывает, что огромное большинство сту-
дентов обладает некоторым комплексом вполне определенных
пространственных представлений2. Лишь в отдельных случаях
мы наблюдаем, полное их отсутствие и неумение ответить подчас
на почти простой вопрос. Все же и в этих случаях на некоторые
самые элементарные вопросы даются вполне правильные ответы.
Большинство студентов может сделать сравнительно несложные
заключения о свойствах граней пирамиды, ее двухгранных углов
и т. п., не прибегая к модели или чертежу.
Следует отметить, что обучение геометрии в средней школе
прививает учащимся некоторые трафаретные представления. К этим
представлениям за время обучения они настолько привыкают, что
это ограничивает их способность анализа пространственных форм.
К этому вопросу мы вернемся при детальном рассмотрении каждого
опыта в отдельности. Кроме того, интересно определить те пороги
пространственных представлений и пространственного воображения,
которые имеются у различных групп учащихся.
Анализ опытов позволяет разбить все свойства, которые должны
быть описаны, на несколько групп. Некоторые свойства легко об-
наруживаются большинством, а другие — проходят почти незаметно
для всех. Во втором и третьем опытах, помимо этих заключений, очень
интересен анализ ошибок. В первом опыте ошибочных заключений
не так уже много. Главными недочетами большинства работ явля-
ются пропущенные свойства. Во втором и третьем опытах количество
вопросов очень невелико. Сами вопросы очень точно сформулиро-
ваны. Поэтому, как правило, большинство дает ответы на все во-
просы. И вот тогда и следует выяснить, какие именно ошибки яв-
ляются наиболее распространенными, какие ошибки вообще возможны.
Интересно выяснить, почему была сделана та или иная ошибка.
1 Материал обработан доцентом Е. В. Зелениным.
9 Полученных ими еще в средней школе, так как экспериментальная работа прово-
дилась4 на I курсе в начале учебного года и лишь в одном случае на
втором курсе (художественно-графический фак-т МГПИ им. Потемкина).

В МАИ все три опыта выполнялись в течение двух академиче-
ских часов. Студенты обратили особое внимание на второй и тре-
тий опыты и очень невнимательно отнеслись к первому.
Рис. 36
В МГИПП первый опыт выполнялся в течение одного академи-
ческого часа. Но и этого материала оказалось слишком много для
одного часа.
Опыт 1
Учащиеся должны были ответить на 7 вопросов, относящихся по-
следовательно к следующим трем пирамидам (рис. 36): 1 — В(АХВХСХ)9
И -B(AXBXCXDX) и III - SO^fijQD,), где S — середина ребра АВ.
А именно:
1. Сколько граней имеет пирамида?
2. Назовите равные грани данной пирамиды.
3. Укажите, какие двугранные углы равны между, собой.
4. Перечислите прямые двугранные углы.
5. Назовите равные стороны в каждой грани пирамиды.
6. Назовите равные углы в каждой грани пирамиды.
7. Перечислите плоские прямые углы в гранях пирамиды.
Целесообразно сначала выписать эти вопросы, после чего разъяс-
нить все недоумения, которые могут возникнуть у учащихся. Обычно
возникают вопросы, касающиеся способа записи ответов на постав-
ленные вопросы. Наибольшее число пояснений требует обозначение
двугранных углов. Не всегда учащимся ясно, следует ли основание
считать гранью. После того как уточнены характер задаваемых
вопросов и форма записи ответов, выписываются буквенные обо-
значения трех пирамид.
Условия опыта, состоящие из 7 вопросов, являются результатом
неоднократного обсуждения,, дополнения, уточнения формулировок
способов записи и т. д. Поэтому, часть опытов, которые были вы-
полнены различными участками семинара, не всегда охватывают
полностью все 7 вопросов. Так, например, вопрос о двугранных
углах долгое время не ставился и поэтому большинство опытов не
охватило третьего и четвертого вопросов.
В некоторых случаях неточность формулировки привела к тому,
'Что учащиеся не описывали свойств оснований. Если большинство
учащихся, по вине производящего опыт, пропускало тот или иной
.вопрос, то он отбрасывался, и его случайные результаты не анали-
зировались.
После того как условия записаны, следует отметить время. При
получении законченной работы от учащихся на каждой работе так-
же следует обметить время ее выполнения. Если учащиеся обратят

внимание на этот факт регистрации времени, надо попросить их не
спешить, и быть возможно внимательнее и добросовестнее.
Примерный подсчет времени, необходимого на весь первый опыт,
показывает, что для детального описания всех свойств трех пирамид
одного академического часа недостаточно. Поэтому в тех группах,
где опыт был проведен полностью (МГИПП), описание третьей
пирамиды многими учащимися было не закончено.
Оценка ответов в баллах дает возможность сравнивать степень
развития пространственных представлений различных групп студен-
тов, а также выяснить степень трудности отдельных вопросов в це-
лом. Не трудно видеть, что огромное большинство студентов обладает
некоторыми вполне определенными пространственными представле-
ниями. Хотелось бы узнать, какие случаи являются особо трудными
для представления их в уме. Чтобы постараться ответить на этот
вопрос, можно обратиться к нижеследующим таблицам1.
Эти таблицы составлены следующим образом:
В соответствии с семью вопросами, каждая таблица разбита на
7 столбцов различной ширины.
Первый вопрос о количестве граней допускает лишь один
числовой ответ (верный или неверный). Поэтому, этому вопросу
отведен только один столбец.
Вверху^ этого столбца написан искомый верный ответ.
Второй вопрос о равных гранях для пирамиды В(АХВХСХ)
должен содержать перечисление трех граней: АгВгВ, ВВХСХ и АХВХСХ~
Соответственно этим трем граням выделено три столбца, а вверху
каждого помещено наименование соответствующей грани.
Третий вопрос о равных двугранных углах представляет
особый интерес для анализа. В пирамиде В(АХВХСХ) имеются две
тройки равных двугранных углов:
1) АгВи В1С1 и ВВХ\
2) АгВ, ВСХ и АХСХ.
При этом углы первой тройки являются также прямыми.
Для каждой тройки равных углов выделено три столбца. Вверху
каждого столбца записывается наименование соответствующего дву-
гранного угла.
Особый интерес представляют равные двугранные углы в пирамиде
B(AXBXCXDX). В этой пирамиде пять прямых двугранных углов: АХВХ>
ВхСи ВВХ, АХВ и ВСХ и еще два равных угла Ахих и DXCX.
Поэтому для этих 7 двугранных углов отведено 7 столбцов.
В пирамиде S(A1B1CXDX) имеются три прямых двугранных угла:
АХВХ, SA1, и SB1
и еще две пары равных углов
AXDX и BXCU SDX и SCX.
Для первой тройки отведено три столбца, а для каждой из ос-
тальных пар только по одному столбцу.
Вообще, в тех случаях, когда возможен только один правильный
ответ и отсутствует возможность дать неполный ответ, достаточно
одного столбца.
Четвертый вопрос о прямых двугранных углах повторяет
столбцы из третьего вопроса, в которых помещались прямые углы.
Это повторение совершенно необходимо, так как учащийся может
1 Таблицы составлены Е. В. Зелениным.

заметить или не заметить, что равные углы являются также пря-
мыми.
Нам кажется, что на этом можно прекратить дальнейшее опи-
сание способа составления таблицы, так как оно выполняется анало-
гично.
Составление таблицы. Мы заполнили таблицы, поместив
в них сводные результаты по всем группам студентов. В каждом
столбце помещается количество правильных ответов, вычисленное
в процентах по отношению ко всему числу ответов. Если какой-либо
вопрос не предлагался студентам данной группы, то в соответст-
вующем столбце осталось пустое место.
Анализ
Все ответы можно разбить на две основных группы:
Л. Вопросы, относящиеся к свойствам граней, и
Б. Равенство и прямоугольность двугранных углов.
А. Анализ описания свойств граней
1. Самым легким вопросом является первый — о числе граней.
Неправильные ответы в этом случае свидетельствуют или о полном
отсутствии пространственных представлений или о непонимании ус-
ловий, так как некоторые учащиеся исключали основание пирамиды
при подсчете числа граней.
Конечно, совершенно очевидными являются свойства квадрата
A1BlC1D1 у второй и третьей пирамиды.
2. Немного более трудным вопросом является определение плоских
прямых углов, расположенных на поверхности какой-либо бо-
ковой грани куба. Это будут углы
ВВ1С1} в пирамиде
и углы
Л В В)
BB^Cjj 3 пирамиде B(A1B1C1D1).
Эти углы замечают все учащиеся.
3. Следующая группа вопросов — это определение равных гра-
ней (вопрос №2) и определение равных сторон в гранях (во-
прос № 5). Верных ответов около 60%.
В ответах на вопрос № 5 большие затруднения доставляли рав-
носторонний треугольник AxBCi в пирамиде В (AiBxCi). Только 40%
студентов нашли его. Этот равносторонний треугольник по трудности
надо отнести к следующей группе.
4. В последнюю группу попадают прямые углы, стороны кото-
рых принадлежат различным граням куба
ВС D )
BAID]] в пирамиде B(A1B1C1D1) и
SB1C1) в пирамиде S(A1B1C1D1)
Б. Анализ описания двугранных углов
1. Быстрее всего узнаются двугранные углы
АгВг и В&

ТАБЛИЦЫ, СОДЕРЖАЩИЕ
I. Пирамида
Группы и вузы
Число
граней
Равные грани
(какие именно)
Равные двугранные углы
(какие именно)
At В,
4 АХВХВ *ВВ^г
C1
А1В1 Bid В Вх АХВ В сх Aid
МГПИ — 1 гр. — 69 69 — 75 75 50 56 56 6
„ веч. гр. — 42 42
2 гр.
3 гр. 100 47 47 41
МАИ - 1 гр. 68 86 57 18 54 50 36 54 54 18
2 гр. 50 66 56 9 31 31 13 19 19 9
МГИПП 1 гр. 100 92 100 69 92 92 61 76 84 38
. 2 гр. 92 84 84 54 84 84 38 69 69 23
II. Пирамида
Число
граней
Равные грани
(какие именно)
Равные двугранные углы
Вузы и группы
5 AxBxB\dDxB
А,Вг Bid ВВ1 = В А^ ВСХ
AxDt
Dfii
МГПИ — 1 гр. — 69 56 63 63 31 — 44 44. 69
веч. гр. — 42 42 — — — — — — —
2 гр.
3 гр. 100 82 71
МАИ — 1 гр. 68 89 75 39 36 21 — 50 50 39
2 гр. 69 84 78 34 38 6 — 34 38 38
МГИПП 1 гр. 100 69 69 69 69 46 8 61 61 54
2 гр. 84 46 46 38 54 31
38 46 31
III. Пирамида
Вузы и группы
Число
граней
Равные
грани
Равные двугранные углы
Прямые
двугранные углы
5
SA^Di
SBxd
ЛгВг SAt SBX
AXDX
B1C1
SDi
SCX
SAX SBX
МГПИ - 1 гр. —
63 0 25 25 31 31 38 6 6
, веч. гр. — 50
2 гр. —
3 гр. 100ч 71
МАИ - 1 гр. 57 75 4 50 46 43 61 11 25 14
2 гр. 25 38 3 16 13 16 19 3 6 6
МГИПП 1 гр. 61 54 23 46 46 46 38 46 31 23
2 гр. 61 31 15 23 15 38 15 23 0 о

ПРОЦЕНТЫ ВЕРНЫХ ОТВЕТОВ
В(A1B1C1))
Прямые
двугран. углы
Равные стороны
в гранях
Равные углы в гранях
Прямые углы
в гранях
B(A1B1C1D1)
Прямые двугранные углы
Равные сторо-
ны в гранях
Равные углы
в гранях
Прямые углы
в гранях
SfA&CiDf), где 5 — середина ребра АВ
Равные стороны
в гранях
Равные углы
в гранях
Прямые углы в гранях

в первых двух пирамидах. Большинство учащихся замечают не
только их равенство, но и прямоугольность.
Примерно таким же количеством учащихся узнается равенства
углов AXDX и DXCX в пирамиде B(AXBXCXDX).
2. Значительно меньше учащихся замечают, что в пирамидах
В(АХВХСХ) и B(AXBXCXDX) угол ВВХ равен первым двум.
Можно отметить, что углы АХВХ и В1С1 в первых двух пирами-
дах занимают сходное положение. Поэтому учащиеся легко узнаю
их равенство и прямоугольность. Кроме того, они совпадают с дву-
гранными углами куба. Это тоже облегчает их рассмотрение.
Хотя угол ВВХ тоже совпадает с двугранным углом куба, но
его положение в пирамиде иное, по сравнению с углами АХВХ и В1С1.
Изучение таблиц показывает, что ряд учащихся пропускает в своих
ответах угол ВВХ.
3. Остановим некоторое внимание rta тройке углов
АХВ, ВСХ и АХСХ
в пирамиде В(АХВХСХ). Равенство углов АХВ и ВСХ обнаружило
больше половины учащихся и гораздо меньше лиц заметили, что
угол АХСХ также равен им.
Углы АХВ и ВСХ занимают в пирамиде одинаковое положение,
но иное по сравнению с углом АХСХ.
Учащиеся в огромном большинстве не признают пирамиду
В(АХВХСХ) за правильную. Им трудно взглянуть на нее с основания
АХВСХ. Отсюда вытекает и неполный анализ свойств этой пира-
миды. Если бы учащиеся в уме поставили эту пирамиду на ос-
нование АХВСХ, то, признав ее за правильную, не упустили бы ни
одного свойства.
В этом вопросе мы сталкиваемся с теми трафаретными привыч-
ными представлениями, которые учащиеся получают в средней шко-
ле. Они привыкают всегда ставить пирамиду в такое положение,
которое подчеркивает ее особенности. И поэтому стоит положить
на бок правильную пирамиду, как почти никто из них уже не ви-
дит в ней правильную пирамиду со всеми вытекающими отсюда
ошибками и недочетами.
4. Довольно большой процент учащихся заметил равенство и пря-
моугольность углов
АХВХ, В1С1 и ВВХ
в пирамиде B(AXBXCXDX). Часть из них отметила равенство углов
АХВ и ВСХ. Но даже самые лучшие студенты не заметили, что и по-
следняя пара углов тоже прямые.
Первая тройка углов совпадает с углами куба. Это облегчает их
обозрение. Обнаружить равенство углов АХВ и ВСХ не очень труд-
но, ввиду сходного их расположения. Но узнать их прямоугольность
уже труднее. Непосредственно из воображаемой формы это не видно.
Надо сообразить, что одна из граней этих углов содержит перпен-
дикуляр к другой. Это уже не пространственное представление, а
воображение, которое у большинства учащихся оказалось недоста-
точным.
5. Обращаясь к третьей пирамиде S(AXBXCXDX), мы видим, что
большинство не считает угол АХВХ равным углам AXS и BXS.
Это особенно ясно становится при рассмотрении столбца, относя-
щегося к прямым углам. Те из учащихся, которые признают угод
АХВХ прямым (их большинство), не считают остальные два угла за
прямые.

Только незначительное количество учащихся видит равенство
углов AXS и BxSy в то же время замечая, что они прямые. Напротив
того, многие хорошие студенты указывают:
AlS = B1S и АгВА=Ш.
Таким образом мы видим, что прямые углы, совпадающие с уг-
лами куба, легко узнаются учащимися (случай тривиальный). А бо-
лее произвольное положение угла вызывает почти непреодолимые
трудности.
Опыт 21
Первое сечение, как вполне очевидное, всеми учащимися
изображается правильно. Число правильных ответов на второй
вопрос достигает 70%. Большинство всех неправильных изобра-
жений имеет следующий вид (рис. 37).
Третье сечение большинством учащихся показывается пра-
вильно. Ошибки единичны. Почти в каждой группе обязательно
хоть один студент дает сечение в виде эллипса (рис. 38). Это тем
более странно, что всем из школьного курса геометрии должно
быть известно, что любое сечение шара плоскостью — окружность.
Следует также отметить, что, повидимому, большинство студен-
тов мысленно представляет себе не реальный куб, а его кабинет-
ную проекцию (что подтверждается беседой со студентами), ко-
торую они в лучшем случае наделяют некоторой объемностью
представления.
Отсутствие привычки к вдумчивому наблюдению окружающего
мира приводит к тому, что у учащихся создаются трафаретные пред-
ставления о геометрических телах: о кубе, пирамиде, паралеллепи-
педе, шаре и др. В этом отношении традиционное преподавание гео-
метрии не расширяет возможности пространственного воображения,
т. е. работы с геометрическими телами в уме, без чертежа, а, на-
оборот, изображая все предметы в кабинетной проекции, создает
ограниченные представления у учащихся.
Рис. 37
Рис. 38
Рис. 39
Аналогичными соображениями можно попытаться объяснить появ-
ление эллипса в третьем и четвертом сечениях. Если мы посмотрим
на куб, изображенный на рисунке 39, то четвертое сечение предста-
вится нам эллипсом. Вот эта привычка видеть куб в кабинетной
проекции привела, повидимому, к этой, правда, мало распространен-
ной, ошибке.
1 См. стр. 26.

С другой стороны, окружность представляется- нам окружностью
только при некотором вполне определенном положении. В обычных
же случаях окружность представляется нам эллипсом. Посмотрите
на края стакана, стоящего на столе; часы, которые лежат перед,
вами, и т. д.
Рис. 40
Эта привычка видеть окружность как эллипс может так же от-
части объяснить появление эллипса при изображении сечений шара
плоскостью.
Четвертое сечение процентов на 70 изображается правиль-
но. В этом случае нет какой-либо характерной ошибки, подобно
той, которую мы наблюдаем во втором сечении (рис. 37). В этом
случае каждый ошибается по-своему. Опять встречается эллипс (почти
в каждой группе).
Наиболее слабые студенты дают иногда
совершенно невероятные ответы. Мы приве-
дем некоторые из них. В первом случае
(рис. 40а) сечение шара представляет собой
части большого круга. Каким образом во
втором случае (рис. 406) получился отрезок,
неясно и самому автору, с которым потом
беседовали. „Показалось, что так44, вот и все
объяснение. Точка, т. е. касание шара, это
уже лучше, чем первые два (рис. 40в).
Но все эти три примера иллюстрируют
редкие случаи почти полного отсутствия про-
странственных представлений.
Опыт 31
В этом опыте было допущено небольшое
отклонение от описания, данного в § 5.
Условия были сформулированы примерно так:
Пустое кольцо помещено в некоторый
ящик. Нарисуйте четыре сечения этого ящика
и покажите, как в нем расположатся сече-
ния кольца. Рисунок 41 был воспроизведен на доске. Сечения ящика
предложено изображать тонкими линиями, а сечения кольца потолще.
Только отдельные студенты дали исчерпывающие ответы, показав
на чертеже правильно не только форму, но ширину и высоту каждого
сечения.
Первое сечение настолько очевидно, что подавляющим боль-
шинством оно показано верно. Из 5 групп студентов только три
Рис. 41
* См. стр. 28.

человека сделали его неправильно. Эти ошибки характеризуют крайне
плохое развитие пространственных представлений.
Студентка Н. (МГИПП) дала следующее его изображение (рис. 42)/
Вместо двух окружностей приведены овалы, у которых ширина равна
диаметру искомой окружности, а ее высота в два раза меньше. Два
студента МГПИ заменили круги квадратами (рис. 43).
Второе сечение выполнено правильно только у 11 человек.
Из них МАИ—9 человек, МГИПП—1 человек, МГПИ — 1 человек.
Большинство остальных студентов,
изображая второе сечение, или дают два
сблизившихся круга (МАИ — около 6%,
МГИПП—около 50%, МГПИ-около 68%),
или два овала (МАИ—около 75 %, МГИПП—
около 50%, МГПИ-около 14%).
Рис. 42
Две студентки-МГПИ, превратившие первое сечение в два квад-
рата, сохраняют свой стиль и в этом случае (рис. 43).
Рис. 43
Рис. 44
Интересно отметить, что у некоторых студентов, по мере удав-
ления секущей плоскости от центра кольца, высота сечения умень-
шается.
На рисунке 44 студенткой Л. (МГИПП) приведены три сечения,
четвертое сечение в ее работе отсутствует. Из рассмотрения ее
работы видно также, что студентка неправильно поняла основные
пропорции кольца и в два раза уменьшила внутренний диаметр.
Студентка П. (МГИПП) делала каждое следующее сечение, из.
первых трех, больше предыдущего и притом состоящее только из
кругов (рис. 45). Эта работа явно указывает на отсутствие самых,
элементарных пространственных представлений.
Третье сечение представляет наибольший интерес. Лишь не-
которые студенты показывают не только форму, но ширину и высоту
восьмерки.

Общее количество восьмерок (независимо от их качества) зани-
мает среди всех работ следующее место:МАИ—около 48%, МГИПП—
около 35%, МГПИ-около 14%.
Кроме восьмерок к сравнительно правильным ответам можно отне-
сти два сблизившихся овала (МАИ-30%; МГИПП—2%; МГПИ-22%)
или два сблизившихся круга (МАИ—1 студент, МГИПП—2 студента).
Итак, довольно удовлетворительные ответы на третий вопрос
распределяются следующим образом:
МАИ-около 80%, МГИПП-около 42%, МГПИ-около 36%.
Остальные изображения, за исключением двух, сходных со вторым
сечением (МГИПП и МГПИ), представляют собой овалы той или
иной формы.
В некоторых случаях ширина овала была равна ширине восьмерки.
В отдельных случаях высота овала была значительно меньше высоты
восьмерки.
Несколько странное впечатление производят овалы (а в одном
случае и восьмерка—МГИПП) с прямолинейными горизонтальными
Рис. 45
Рис. 46
отрезками, входящими в состав контура (рис. 46). Овалы с прямоли-
нейными частями встречаются у студентов: МАИ—10%, МГИПП—
12%, МГПИ-17%.
Кроме того, 4 студента МГПИ изобразили третье сечение в виде
прямоугольника (рис. 43).
Четвертое сечение не представляет особого интереса.
Большинство учащихся изобразило овал. В отдельных случаях (око-
ло 15%) этот овал содержал в себе прямолинейные отрезки (рис. 46).
Четыре студента МГПИ и один студент МАИ вместо овала изобра-
зили прямоугольник.
Если бы во всех случаях студенты давали также сечение ящика,
содержащего кольцо, то было бы интересно проанализировать не-
верно указанную ширину и высоту этого овала. Очень многие сту-
денты, повидимому, считают высоту овала меньшей, чем она является

на самом деле. Но большая неточность, а во многих случаях и неб-
режность работ делают затруднительным исчерпывающий ответ на
этот вопрос.
Стоит привести еще одну работу в качестве примера очень пло-
хих пространственных представлений (рис. 47). Если первые два
сечения удовлетворительны, то последние два выдают автора (МГПИ)
с головой. Всем становится ясно, что он очень плохо представляет
себе кольцо в натуре.
Также особняком стоит работа студента Н. (МАИ). Самые сече-
ния (рис. 48) в общем правильны. Но что изображает маленький
круг, помещенный внутри контура, неизвестно. Может быть, студент
представлял себе кольцо полым. Тогда непонятно, почему это во
всех случаях только круг.
Рис. 47
Рис. 48
Некоторые выводы в преподавании геометрии
Проведенные нами экспериментальные работы в ряде средних
школ и на первых курсах некоторых вузов позволяют сделать сле-
дующие выводы по интересующему нас вопросу.
1. Учащиеся старших классов школы имеют достаточно отчетли-
вые пространственные представления основных геометрических эле-
ментов и фигур (простейшие многогранники, цилиндры и конусы
вращения, шар и его части).
В отдельных случаях пространственное воображение учащихся
очень ограничено, что затрудняет для них прохождение таких пред-
метов, как стереометрия и черчение, и требует особого внимания и
дополнительной работы с ними преподавателя.
2. На первом курсе вузов студенты обнаруживают, примерно, та-
кое же развитие пространственных представлений. Однако конкурс-

ные испытания при наборе студентов во втузы производят отбор»
тех из поступающих, которые обладают более высоким уровнем про-
странственных представлений и пространственного воображения (см.
результаты экспериментальной работы на первом курсе Московского»
авиационного института тотчас после начала учебного года).
3. Недостатком в развитии пространственных представлений
учащихся средней школы является их привычка к шаблонам
(изучаются шаблонные наборы геометрических образов и фигур;
почти всегда фигуры расположены привычным шаблонным образом
в пространстве). Отсутствует разнообразие выбираемых положений,
фигур, не рассматривается более разнообразный набор поверхностей
и тел, например, некоторые тела вращения (кольцо и др.). Такое
(традиционное) преподавание школьного курса геометрии мало со-
действует развитию и обогащению пространственного воображения'
учащихся. Экспериментальные работы с достаточной ясностью пока-
зали границы (пороги) последнего.
4. Обнаруживается привычка учащихся мыслить планиметриче-
ские фигуры лишь в плоскости чертежа, а не в произвольных поло-
жениях в пространстве. Вследствие этого учащиеся не умеют приме-
нять теоремы планиметрии к плоским фигурам в пространстве,
особенно, если они не занимают шаблонного положения (например,
в гранях куба).
5. Преподавание геометрии часто не устанавливает живой связи
между зрительным восприятием формы предметов и их натуральными
формами. Этим объясняется тот факт, что учащиеся иногда пред-
ставляют себе фигуры такими, какими они их видят. Например,
прямые углы —как не прямые, равносторонний треугольник—как разно-
сторонний, сечение шара—как эллипс и т. д.
Отсутствует геометрическая работа на проекционных чертежах,
в которой учащиеся изучали бы свойства геометрических фигур,
пользуясь их изображениями, и решали бы пространственные задачи.
6. Изображение пространственных фигур применяется в препода-
вании лишь для иллюстрации и по большей части ограничивается
применением кабинетной“ проекции. Это не является лучшим мето-
дом использования чертежей пространственных фигур.
7. Учащиеся почти не применяют графических (конструктивных)
методов решения задач, основанных на пространственном воображе-
нии. Они стремятся (и приучены к этому) заменять эти методы вы-
числениями и выводом формул, даже в тех случаях, когда графиче-
ские приемы значительно упрощают решение (см. построение сечений
в экспериментальной работе № 2).
8. В школьном курсе не разработана методика решения задач на
построение в пространстве [в частности, а) решение стереометриче-
ских задач на проекционном чертеже и б) решение стереометрических
задач в воображении].
9. Преподавание геометрии в старших классах средней школы
особенно нуждается в прочной опоре на пространственном представ-
лении геометрических фигур и всех геометрических соотношений.
К этому должна быть направлена методика преподавания геометрии.
Она должна дать естественный , плодотворный выход отвлеченному
изучению предмета к многочисленным конкретным применениям. На-
конец, она должна быть хорошо согласована с преподаванием кур-
са черчения.

РОЛЬ НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ В РАЗВИТИИ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ
П. Я. ДОРФ
ВВЕДЕНИЕ
В конце XIX и начале XX в. выработались определенные взгляды
на содержание принципа наглядности и на его роль в преподавании
геометрии. Это не замедлило сказаться на развитии конструирова-
ния геометрических моделей и разработке дидактических вопросов
по применению наглядных пособий.
В сборнике Русского технического общества „Устройство и обо-
рудование школ*4 (1914 г.) справедливо отмечается/ что понадоби-
лось много сил и времени, пока осознанные принципы наглядности
стали проводиться в жизнь. Например, сильно задержалось поло-
жительное разрешение вопроса о самодельных пособиях и оборудо-
вании школ наглядными пособиями по геометрии.
В конце прошлого столетия мы находим в высшей школе (на-
пример, Московский университет) учебный кабинет с богатым обору-
дованием по геометрии; встречаются кабинеты (правда, как редкое
явление) в гимназиях и реальных училищах.
К семидесятым годам XIX в. относят организацию первой в Рос-
сии мастерской пособий, где изготовлялись модели геометрических
тел.
Однако эти начинания носили' характер робких и неуверенных
шагов: не было твердых установок руководящих органов народного
образования, а творческой инициативе отдельных педагогов или даже
коллективов не уделялось должного внимания; слишком уже давил
престиж „заграницы*. Закупка там пособий тормозила развитие соб-
ственной инициативы.
Наконец, в девяностых годах, под давлением передовых учителей
и общественных групп, интересовавшихся вопросами формирова-
ния пространственных представлений, Вятское и Курское земства
открывают мастерские пособий, в которых разрабатываются ориги-
нальные образцы, главным образом, для начальной школы. В частно-
сти, по геометрии это были чертежные принадлежности (для классной
доски) и геометрические (простейшие) тела.
В 1893 г. Русское техническое общество организует Петербург-
ский подвижной музей с довольно богатыми наборами иллюстраций
и моделей.
Почин Общества нашел широкий отклик в других городах, где
при „городских44 и „подвижных44 музеях^ шло коллекционирование
и разработка Новых образцов. Деятельность музеев сопровождалась

просмотром пособий, обсуждением их назначения и составлением
описаний.
Параллельно подымались споры за и против использования мо-
делей. Одни видели в результате работы с ними более прочное и
ясное формирование пространственных представлений, указывали
на повышение интереса и внимания учащихся к предмету изучения;
другие — в применении пособий видели акт „овеществления*, из-за
которого тормозится развитие отвлеченного мышления ученика.
Особо следует выделить роль военного ведомства в деле обо-
рудования своих учебных заведений наглядными пособиями.
Еще в 1866 г. оно организует Музей школьного оборудования,
в дальнейшем развивает это дело, а в 1912 г. на Всероссийском
съезде преподавателей математики Музей представляет блестящую
выставку моделей по геометрии для всех классов средней школы.
Наглядному обучению был посвящен специальный доклад Вы-
ставка вызвала многочисленные диспуты среди практиков-учителей,
методистов, ученых. В центре внимания—значение наглядных посо-
бий при формировании пространственного воображения.
Некоторые положения о наглядных пособиях
Обучение математике —чрезвычайно сложная проблема методики.
Приходится учитывать особенности предмета (арифметики, алгебры,
геометрии, тригонометрии, элементов высшей математики), отдельной
темы,.вопроса, психологии учащеюся, требований дидактики. Совре-
менная педагогика устанавливает наиболее совершенные методы
обучения и воспитания. Среди них достойное место отводится прин-
ципу наглядности.
Данная работа посвящена только исследованию роли наглядных
пособий при изучении геометрии, выработке наиболее совершенных
методов их применения. Главным образом, имеется в виду, на фоне
общих целей школьного обучения, осветить лишь один специаль-
ный вопрос: роль наглядных пособий в развитии пространственною
воображения.
Предлагаемые выводы сделаны на основании специальных экспе-
риментов и многолетних наблюдений школьной работы.
В среднюю школу ученик приходит с некоторым запасом пред-
ставлений, полученных из опыта и математического образования.
Задачей школы ставится углубление сформировавшихся пред-
ставлений относительно простейших образов и ознакомление с более
сложными формами. Иными словами, наглядно иллюстрировать при-
дется только новое/ трудное, сложное. Все то в геометрии, что
связывается в сознании ученика многими ассоциациями, изучается
отвлеченно и оформляется лишь эскизом или чертежом. Например,
такие понятия, как угол прямой с плоскостью, угол между скрещи-
вающимися прямыми, сложное построение общего перпендикуляра
между ними, нуждаются в иллюстрациях пособиями.
В начальных классах с помощью моделей знакомят учащихся
с геометрическими формами и их характерными особенностями; в
старшем возрасте ученик не только знаком с образами куба, пира-
миды, шара и другими фигурами по виду построек, различных пред-
метов, технических деталей и т. п., но он уже свыкся с ними, и
модели этих тел для знакомства ему не нужны. К такому выводу
приводят многократные наблюдения за работой девятых классов

московских школ №№ 204 и 110 (1933 — 40 — 44 годы). Наличие
предметов даже отвлекало мышление ученика.
В 1940 Г; (школа № 204 Октябрьского района) те же модели
были привлечены для практических работ: определения размеров
тела, изготовления в некотором масштабе эскизов и вычисления
объема тела. Комплекс работ, связанных со свойствами данного
геометрического тела, создавал более точные и углубленные пред-
ставления.
При повторении этих работ в 1944 г. в IX классе школы № 110,
были внесены дополнительные приемы изучения сложных форм как
по моделям, так и с натуры.
Всем учащимся было предложено рассмотреть формы Кремлев-
ских башен, различных колонн станций метро (на них имеются ко-
лонны, начиная с четырехугольного сечения и кончая двенадцати-
угольным) и изобразить их на бумаге частью по наброскам, а частью
по памяти, по воображению. Эта работа протекала чрезвычайно
живо, остро и эффективно.
Приведенные наблюдения убеждают в том, что применение на-
глядных пособий требует пристального учета возрастных особенно-
стей школьника: на некоторые модели можно во время урока про-
сто сослаться, другие использовать ограниченно с отдельными груп-
пами учащихся; наконец, есть пособия и конкретные предметы,
которые подробно рассматриваются при решении относительно слож-
ных вопросов, задач.
Пусть, например, приведено условие: „Дана пирамида14. Невольно
как-то видишь треугольную или четырехугольную пирамиду, обыч-
но правильную. Она чаще встречается в учебной и жизненной
практике, к ней привыкают. Однако из условия отнюдь не следует
такого рода пирамида; необходимо вызвать представление -пирами-
ды произвольной формы.
Подлинное геометрическое развитие состоит, в частности, ц соз-
дании абстрактного понятия фигуры, например, пирамиды: понятия
общего, понятия произвольной пирамиды, вне конкретных условий,
модели, чертежа.
Школьный опыт показывает, что наблюдение различных пирамид
(трех четырех пятиугольных и др., правильных и неправильных) обо-
гащает представления ученика и формирует его воображение в этом
направлении.
Естественным и наиболее рациональным путем к установлению
такого понятия следует признать рассмотрение шарнирной модели
пирамиды с последующими зарисовками ее с натуры.
Так как в преподавании геометрии, в качестве конечной цели,
стоит задача развить у учащихся абстрактные представления и по-
нятия, отображающие предметы окружающего мира, то на этих путях—
модель, картина, таблица — необходимые звенья методики обучения.
Вывод этот основан на том, что психические силы ученика ра-
стут с возрастом, что у него увеличивается запас представлений,
знаний, наблюдений из опыта и предшествующего обучения, а со
всем этим растет и крепнет способность отвлеченного мышления.
Специальные исследования в школах показали, что математическая
модель, отображающая геометрический образ, должна быть сделана
точной и простой, ибо это соответствует ее назначению: в таком
виДё модель не противоречит представлениям ученика о математи-
ческих образах.

Глава I
ПЛАНИМЕТРИЯ
Изучение плоских фигур представляет ряд трудностей в силу
того, что в окружающей действительности ученик имеет дело с те-
лами, с пространственными формами; плоскую фигуру ему прихо-
дится выделять как составную часть тела.
В то же время планиметрия играет особую роль в развитии про-
странственных представлений, ибо ее образы проще себе представить,
их легче вообразить как совокупность уже существующих представ-
лений.
Эта определенность и простота конструкции планиметрического
образа позволяют вести почти все изучение, опираясь на интуицию,
на имеющееся развитие и логическую систему рассуждений. Веще-
ственное оформление большинства фигур производится только чер-
тежом. Упражнения состоят, главным образом, в решении задач (на
построение, доказательство и вычисление) и в выполнении спе-
циально подобранных чертежей.
Однако в отдельных случаях целесообразно, в качестве вспомо-
гательного средства, использовать наглядные пособия. Далее мы
рассмотрим эти случаи.
При изучении геометрии многим учащимся трудно даются пред-
ставления, связанные с преобразованием фигур^ и построением от-
носительно сложных образов.
В то же время работа с моделями не только обогащает
сознание ученика представлениями формы, но и развивает необхо-
димые умения представлять фигуру в своем воображении, преобра-
зовывать ее. После моделей учащиеся «свободно конструируют и
строят на плоскости и в пространстве, обходясь только чертежом.
Интересно, что при изучении стереометрии учащиеся охотно поль-
зуются образами планиметрии, которые они узнают в гранях и се-
чениях тел.
Наглядные пособия значительно помогают укреплять подобные
навыки.
Рассмотрим этот вопрос на отдельных темах курса геометрии.
§1. Изучение углов
При знакомстве с углом существенным является правильно пред-
ставить себе, что этауфигура характеризует степень отклонения
одного луча от другого. В частности, такого отклонения не может
быть вовсе, тогда лучи совпадают и тогда угол равен нулю.
Однажды мы наблюдали безрезультатную попытку учителя дать
несколько своеобразное определение угла: „Угол есть совокупность
двух лучей, выходящих из одной точки44.
Так же трудно ученику VI класса представить себе без опыта
процесс непрерывного изменения угла
Оказывается, с помощью раздвижной шарнирной модели, перечи-
сленные затруднения исчезают, и содержание вопроса становится
ясным, образуются четкие представления, которые затем восстанав-
ливаются учеником даже без чертежа.
Кроме углов на моделях многогранников, на окружающих пред-
метах, полезной иллюстрацией являются углы направлений,-например,
на географических картах, планах. Если показать или начертить не-

обходимые лучи, характеризующие направление на Север и направ-
ление заданного движения или магнитного склонения, то у учащих-
ся от рассмотрения подобных примеров сложатся более четкие пред-
ставления об угле.
Действительно, сперва учитель показывает на модели (фиг. I)
некоторый угол, медленно уменьшает его до нуля, затем увеличи-
вает до 2d.
Фиг. 1
Учащиеся во время демонстрации делают несколько зарисовок и
правильно выясняют новое понятие — угол: они представляют мно-
жество углов, среди которых каждый является частным случаем.
Окончательное закрепление сложится в процессе дальнейшего
изучения. планиметрии, но первая установка, требующая сосредото-
ченного внимания и обобщения новых представлений, благодаря наг-
лядным пособиям, произойдет в наиболее интересной и доступной
«форме.
§2. Изучение треугольников
Фигура треугольника настолько проста для представления и на-
столько знакома учащимся из окружающей обстановки, что не нуж-
дается ни в каком другом изображении, кроме чертежа. Речь Mo&efc
итти об иллюстрации преобразования треугольника из одного вида
в другой.
В этом отношении несколько чертежей на доске указывают лишь
небольшое количество образов; один вид переходит в другой разрыв-
но, скачкообразно. На шарнирной модели форма треугольника из-
меняется непрерывно: перед глазами зрителей-учащихся проходит
неограниченное множество видов треугольников.
Такого рода упражнения приучат школьников производить опи-
санные преобразования только в своем воображении, без модели и
без чертежа.
Фиг. 2а
Фиг. 2б
Кроме того, шестикласснику трудно установить одно из харак-
терных различий треугольника от многоугольника, например, четырех-
угольника: первая фигура жесткая, лежащая всегда в одной плос-
кости; со второй возможны отступления от плоского многоугольника
Это свойство наглядно демонстрируется на моделях (фиг. 2а и б).

Вместе с углами и сторонами в треугольнике приходится изучать
такие элементы, как медиана, высота и биссектриса. Было бы недо-
статочно выучить их определения и построить эти линии в одном-
двух треугольниках; необходимо выяснить на подвижной модели, как
расположится каждая из них в равнобедренном, правильном, прямо-
угольном, тупоугольном треугольнике и как будут располагаться
они друг относительно друга (фит. 3).
Наблюдения „замечательных“ точек в треугольнике. Выводы
существования точек пересечения медиан, пересечения биссектрис
и пересечения перпендикуляров из середин
сторон проводятся по отношению к неко-
торому треугольнику; далее из того, что
треугольник берется произвольным, сле-
дует, что полученные свойства присущи
треугольникам всех видов. Такого рода
обобщение учащиеся иногда принимают
на веру, не будучи до конца в этом убеж-
дены. Оказывается, если после логиче-
ского доказательства подтвердить вывод
демонстрацией модели, представления по-
лучаются более осмысленными и прочными
(фиг 4 и 5). На этих моделях форма тре-
угольника изменяется, и каждый раз имеем
центр описанного круга (точка пересече-
ния перпендикуляров из середин сторон,
фиг. 4) и центр вписанного круга (точка пересечения биссектрис,,
фиг. 5),
Равенство и равновеликость треугольников. Названные понятия
затрудняют учащихся относительно тонким различием между ними.
Для полного и отчетливого усвоения необходимо задержать внима-
ние ученика на примерах, последовательно иллюстрирующих эти
Фиг. 3
Фиг. 4
Фиг. 5
понятия. Так, в проводимом нами опыте (школа № 110) треугольники
рассматривались в такой последовательности (VI; VIII; IX классы):
1) треугольники, имеющие по одной соответственно равной сто-
роне;
1 2) треугольники, имеющие “по две соответственно равных сторон
и неравному углу между ними,
и другие варианты.

Таким путем нетрудно было подготовить необходимые и достаточ-
ные признаки равенства треугольников, т. е. треугольников, кото-
рые представляют в сущности один и тот же треугольник Выясне-
ние существенных ч моментов этого вопроса проходит лучше всего,
если сопровождать беседу демонстрацией картонных моделей с
соответственно равными и неравными элементами.
Таким образом, в данном случае речь идет не о запасе геомет-
рических образов, а о силе геометрических иллюстраций в процессе
сопоставления .фигур при установлении относительно сложных по-
нятий.
Позднее изучались равновеликие треугольники.
В качестве примера берутся
равнобедренные треугольники,
разделяются по оси симметрии
и складываются различным обра-
зом. Получаются фигуры, явно
неравные, но равносоставленные,
равновеликие.
Равновеликость треугольни-
ков можно иллюстрировать и на
другом пособии (фиг. 6). На
планшете показан треугольник.
Основание его начерчено тушью
параллельно верхнему краю щита, по которому скользит ползун В~
Модели боковых сторон показаны резиновым шнуром, а металли-
ческий стержень (или отвес) изображает высоту треугольника.
Описанная конструкция позволяет построить бесчисленное мно-
жество равновеликих треугольников различного вида (фиг. 7 и 8).
Попутно модель иллюстрирует различные положения высоты в
треугольнике, в частности, для случаев прямоугольного и тупо-
угольного треугольников. Ни на каком чертеже нельзя показать
Фиг. 6
Фиг. 7
Фиг. 8
непрерывного перехода высоты из одного положения в другое (вы-
сота внутри треугольника, высота—-катет, высота вне треугольника),
между тем как подобная демонстрация раз навсегда освободит
учащихся от затруднений и от ошибок в этом вопросе.
Треугольник на* модели изменяется так, что основание и высота
его остаются неизменными. Далее приходится делать заключение:

так как площадь 5=-~^# основание а и высота А не меняются, то
и площадь S остается также постоянной.
Геометрически эта равновеликость — равенство площадей — под-
тверждается равносоставленностью треугольников и прямоугольника
с основаньем, равным основанию треугольника, и высотой, вдвое
меньшей, чем у треугольника (фиг. 7).
Эта же модель может быть использована в IX классе при выяс-
нении понятий о переменных и постоянных величинах: учащиеся
наблюдают изменяющиеся элементы фигур, а также 'элементы, ос-
тающиеся неизменными. Благодаря этому выясняется суть каждого
понятия.
§3. Симметрия относительно точки, относительно оси
Из области учения о симметрии в средней школе даются лишь
отдельные положения. С целью достичь наибольшей четкости в
этих представлениях полезна использовать наглядные пособия.
Обычно учащиеся довольно легко усваивают построение симмет-
ричной точки проведением луча, соединяющего точку с центром
симметрии и продолжением его на такое же расстояние.
Труднее дается учащимся кинематическое образование симметрич-
ной точки — поворотом луча на угол в 180°. То же можно сказать
я относительно симметричного отрезка прямой. Из опыта работы
можно установить следующий порядок: чертежом, при помощи цвет-
ных мелков на доске (цветными карандашами в тетради) необходимо
добиться исчерпывающей ясности в построении элементарных об-
разов.
После этого образование симметричной фигуры, например, треуголь-
ника, следует продемонстрировать на подвижной модели (фиг. 9 и 10)
и снова завершить работу построениями в тетрадях.
Фиг. 9
Фиг. 10
§ 4. Изучение круга
Превращение секущей в касательную. На простой модели можно
наглядно показать важный геометрический факт возможности не-
прерывного сближения точек пересечения прямой и кривой и, в
заключение, совпадение этих точек. Соответственно секущая при-
обретает новое качество—становится касательной.

На фиг. 11 показано, как поворотом целлулоидовой линейки, на
которой цветной тушью проведен отрезок прямой, секущая превра-
щается в касательную.
На картонном или деревянном щите нанесена произвольная (для
общности) кривая, в одной из точек которой прикреплена подвижная
линейка.
Никаким объяснением учителя, никаким искусным чертежом не
создать такого четкого представления процесса перехода секущей
в касательную, как при наблюдении описанной модели. Медленное
движение линейки и постепенное сближение (до слияния) общих
точек привлекает внимание учащихся, вызывает у них интерес и
глубокое впечатление. Окончившие школу через несколько лет
вспоминают об этой демонстрации и о том, как позднее многие
новые понятия они невольно связывали и усваивали, опираясь на
впечатление от превращения секущей в касательную.
Удвоение числа сторон вписанного многоугольника. Вывод формул
длины окружности и площади круга опирается на характеристику
величины числом, выбранным иным путем, чем это было принято
в практике непосредственного
измерения. Установив для пери-
метров вписанных и описанных
многоугольников существование
единственного предела, прини-
мают последний за длину кривой.
Вопрос о длине окружности
изучается в IX классе и связан с
рядом обобщений и определений.
К этому времени развитие уча-
щихся служит основанием к
тому, чтобы вести все рассуж-
дения, пользуясь лишь черте-
жом. Но есть одна вещь, кото-
рая нуждается в зрительной
иллюстрации,—это процесс уд-
воения числа сторон многоуголь-
ника. При выводе формулы длины
окружности учащемуся необхо-
димо свободно представлять себе, как, например, шестиугольник
переходит в двенадцатиугольник, двадцатичетырехугольник, сорока-
восьмиугольник в девяностошестиугольник, как, вообще, /t-угольник
преобразуется в 2 //-угольник. Разумеется, никакая конкретизация
здесь невозможна по техническим соображениям, но она будет и не
нужна, если у учащегося перед глазами будет хоть один пример
удвоения числа сторон многоугольника/Обратимся к практике.
Обычно учитель чертит окружность, в ней 2—3 звена ломаной
я показывает на них процесс удвоения.
Далеко не все учащиеся четко представляют себе по такому
чертежу существо дела. Многие готовы просто согласиться с учи-
телем и затем повторить за ним не вполне осознанные суждения.
Опытные учителя иногда терпеливо чертят полностью шести-
угольник и двенадцатиугольник, но медлительность такой работы
тормозит течение урока, ослабляет внимание учащихся.
Нам представляется, что, сохраняя весь стиль N логического по-
строения вывода;, полезно простой динамической моделью помочь
Фиг. 11

учащимся в создании зрительного образа многоугольника с двойными
числом сторон. В этом нас убеждают многократные наблюдения над.
учащимися девятых классов опытной школы им. Горького (v 204)
и школы № 110, а также суждения многочисленных посетителей
выставки пособий Методического ин-
ститута школ (Наркомпроса) и Инсти-
тута методов АПН. Особенно тща-
тельно обсуждался предлагаемый при-
бор при посещении чешских педагогов,
и в комиссии наглядных пособий при
Министерстве просвещение под пред-
седательством проф. Н. А. Глаголева.
Прибор состоит из фанерного щита
на подставке (фиг. 12). На щите на-
черчен круг; правильный шестиуголь-
ник показан резиновыми шнурами. К
серединам хорд привязаны белые ни-
ти (на белом фоне), концы которых
объединены в общую тягу под фа-
нерным щитом и выведены в виде
небольшой державки (12). По той же
схеме сконструировано приспособле-
ние для преобразования двенадцати-
угольника в двадцатичетурехуголь-
ник. Державка с пометкой (24) вы-
ведена с другой стороны щита.
Медленным натяжением держав-
ки (12) следует преобразовать ше-
стиугольник в двенадцатиугольник. При опускании державки уп-
ругостью резины шестиугольник восстанавливается. Далее то же
проделывается со второй державкой (24). Процесс раза два повто-
ряется, и после этого можно быть уверенным, что зрительное впе-
чатление от него поможет учащемуся иметь полное представление
о безграничном удвоении числа сторон многоугольника. Учащихся
чрезвычайно увлекает сила их воображения, например; „тысяче-
угольник преобразовался в многоугольник с числом сторон в две
тысячи44, и так бесконечно. Им это представляется простым и ясным
потому, что сам процесс удвоения стал наглядным.
Прибор больше не нужен, и все дальнейшие рассуждения ведут-
ся абстрактно.
Глава II
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Изучение стереометрии приходится на вторую половину девятого
и десятый классы. Несмотря на то, что это период наибольшего
развития учащихся, применение пособий в стереометрии частое яв-
ление. Объясняется это сложностью вопросов пространственной
геометрии и трудностями условного изображения трехмерных фигур
на плоскости.
Это отнюдь не обозначает, что применение наглядных пособий
единственная или дажа основная форма педагогического воздей-
ствия. Исходные и конечные цели изучения стереометрии, весь слож-
Фиг. 12

ный комплекс приемов этого изучения сохраняют силу и при ис-
пользований наглядных пособий. Их роль вспомогательная. При
помощи моделей, таблиц, подвижных приборов, кинофильмов по-
ставленные цели достигаются легче, быстрее; представления полу-
чаются более глубокие и устойчивые; знания освобождаются от
целого ряда проявлений формализма, оторванности от живых образов.
В дальнейшем изложении как раз указываются те случаи, где
полезно применить наглядные пособия, выясняется методика обра-
щения с ними. Техническое описание приборов приводится из тех
соображений, что без него становится неясной роль наглядного по-
собия в деле формирования и развития пространственных представ-
лений и воображения, а сами суждения об их использовании—слиш-
ком общими и беспредметными.
В частности, необходимо учесть, что большинство конструкций
математических пособий настолько просты, что их можно изготовить
силами школы. Сам процесс изготовления имеет значительную
педагогическую ценность: учащийся углубленно представляет себе
существо дела, длительно воспринимает геометрический образ, зна-
комится на практике с его свойствами. Прежде чем делать пособие,
приходится составить эскиз проекта, исправить его, защитить перед
учителем и товарищами, а это возможно только при наличии четких
представлений и при работе пространственного воображения. Автор
конструкции пользуется имеющимися в его распоряжении представ-
лениями, преобразовывает их, выдумывает новые комбинации, нано-
сит их на бумагу, исправляет, строит, совершенствует.
По отзывам учителей и из наблюдений в работах опытной школы
им. Горького и школы № ПО выясняется, что рассматривание мо-
дели тела, конструкции фигуры дает учащемуся четкое простран-
ственное представление образа и позволяет делать зарисовки с на-
туры, т. е. развивает навыки в сопоставлении подлинной формы
с условным ее изображением.
Наибольшую ценность имеют модели тел, их элементов (высота,
диагональное сечение и т. п.) и аппараты, на которых можно соби-
рать перед учащимися геометрические конструкции. Чрезвычайно
полезны модели и установки, на которых демонстрируется движение.
Этот процесс при отсутствии привычки „видеть“ движение фи-
гуры, вообразить фигуру, полученную, например, при вращении, —
очень затрудняет учащихся. Часто они повторяют суждение о телах
вращения, о построении симметричной фигуры без всякого пред-
ставления существа явлений. В то же время просмотр в течение
20 мин. фильма „Образование поверхности вращения“ (автор проф.
Н. Ф. Четверухин) вызывает определенный круг представлений и
стремлений самим воображать, выдумывать, даже фантазировать.
Мы уже не говорим о том, насколько велик бывает интерес у зри-
телей, как приковано их внимание к динамике явлений, к красоте
правильной геометрической формы.
Речь идет не о замене работы по развитию абстрактного мате-
матического мышления и пространственных представлений, а об
усовершенствовании педагогического процесса этого развития через
использование наглядных пособий. С их помощью можно легче до-
стигнуть поставленной цели.
Как общее правило, необходимость обращения к модели умень-
шается по мере развития у учащихся пространственных представ-
лений. Сперва, действительно, учащиеся набрасывают эскизы с на-

туры, затем чертят, опираясь лишь на свое воображение. В даль-
нейшем только в сложных случаях встречается нужда снова обра-
титься к модели. Поэтому пользование пособиями требует от учителя
индивидуального подхода к классу и к ученику.
Иногда учащийся так хорошо видит взаимное расположение
элементов фигур, так ярко изображает их на плоскости, что никакого
облегчения при помощи моделирования ему не нужно. В его чер-
теже удачно показано расположение частей конструкции, оттенены
видимые и невидимые части, словом, налицо полная ясность в пред-
ставлении исследуемого образа. По такому изображению нетрудно*
установить и обосновать необходимую закономерность и обобщить
ее на все множество однородных фигур. Иными словами, глядя на
полученную фигуру, при желании можно видеть только ее и пред-
ставлять ее свойства во всем многообразии форм того же семейства.
Позднее такому ученику удается свободно размышлять по поводу
геометрического образа, возникающего с достаточной полнотой в.
его воображении.
Однако описанная схема восприятия встречается лишь у отдель-
ных учащихся. Основная масса оперирует образами, показанными
на чертеже учителя или учебника. Это крайне сужает развитие
ученика, делает его беспомощным при решении задач и в будущей
практической работе.
Таковы выводы многолетних наблюдений преподавания матема-
тики.
В тех случаях, когда относительно сложный образ собирается на
глазах учащихся или анализируется по готовой модели, он воспри-
нимается более осмысленно и глубоко.
Кроме того, сам процесс конструирования вызывает у учащих-
ся интерес, привлекает их пристальное внимание. Зарисовки с на-
туры гораздо полезнее, чем срисовывание с доски: от них развивает-
ся глазомер, умение наносить пространственные фигуры на бумагу.
Оказалось, что упражнение в такого рода рассматривании про-
странственных фигур и их эскизов развивает воображение зрителя
и приучает его в дальнейшем пользоваться только чертежом или
представлять себе фигуру даже без него, как говорят школьники,,
„в уме“.
Словом, применение наглядных пособий по стереометрии при-
ближает среднего ученика к приемам мышления его сильного това-
рища, а слабому—делает труд посильным и интересным.
Характерно, что развитые и одаренные учащиеся также с инте-
ресом рассматривают объемные конструкции, находя в них веще-
ственное подтверждение своим помыслам и догадкам.
Недаром передовые учителя посвящают конструированию на
приборах специальные уроки, или части Ах.
В первых главах стереометрии разбираются взаимные положения*
плоскостей, прямых и плоскостей и прямых между собой. Модели-
рование при изучении этих вопросов крайне необходимо, ибо здесь
для ученика много нового, непривычного, много такого, что ему
известий из жизненного опыта, но не оформлено, не осознано; на-
конец, полезно еще и потому, что пространственные фигуры трудна
изображать на плоскости.
В частности, важно уметь отыскивать и указывать различные положе-
ния прямых и плоскостей на моделях тел: параллелепипедах (кубах)у
призмах, пирамидах и цилиндрах, усеченных пирамидах, конусах,»

частях сферы и др. Такое практическое упражнение приучает вы-
бирать нужные сведения, видеть знакомые сочетания элементов в
другой обстановке и готовит ученика к будущей работе с много-
гранниками и телами вращения.
§1. Модели геометрических тел
В каждом отдельном случае приходится отбирать для демонстра-
ции такое пособие, которое делает решение поставленной задачи
наглядным, соответствует содержанию изучаемого вопроса, возрасту
и развитию ученика. Так, оказалось, что сплошные модели тел, не-
прозрачные (деревянные, картонные) (фиг. 13) на первых порах дают
Фиг. 13
более четкие представления, чем, скажем, каркасные модели. В то
же время эти последние являются наилучшими для последующего
построения в них линейных элементов. Модели из стекла или пле-
ксиглаза хорошо иллюстрируют плоскости граней и очень удобны для,
наблюдений внутреннего пространства тел (фиг. 14 и 15).
Фиг. 14
Среди наборов геометрических тел полезно указать набор, ха-
рактерный тем, что в нем, помимо изолированных моделей, имеются
комбинации фигур, например, подобные призмы (фиг. 16).
Следует отметить, что подобие плоских фигур весьма основа-
тельно изучается в школьном курсе геометрии, подобным жё про-
странственным фигурам не уделяется^ должного внимания. Поэтому
.оказалось полезным показать эти модели. Кроме того, учащимся
поручалось проверить пропорциональные соотношения линейных
размеров моделей. Эта работа задерживала внимание учеников на»
представлении подобных тел и тем углубляла его.
В средних школах до революции чаще всего встречались каркас-
ные модели, т. е. проволочные „скелеты“ фигур. Модели эти не
имели большого значения в педагогическом деле, ибо зрители с тру-
дом составляли себе представление о форме тела: модели делались

большого размера, и видны были, главным образом, просветы между
ребрами.
В советской школе была изменена методика использования кар-
касных моделей. Наблюдения и изучение сопыта школ (Институт
школ Наркомпроса) показали, что к таким моделям следует обра-
щаться в момент изучения элементов внутри тела, сечений в нем
Фиг. 15
Фиг. 16
и т. п. Для этой цели сотрудник института Р. Н. Богданов разработал
к моделям набор резиновых шнуров, плоскостей-вкладышей и с их
помощью иллюстрировал конструкции внутри тела (фиг. 17, 18 и 19).
Фиг. 17
Фиг. 18
Фиг. 19
В этих предложениях правильно учтен характер работы с пособия-
ми; для первого знакомства с формой каркасные модели непригод-
ны; для анализа элементов и построений в пространственных фигу-
рах—они незаменимы.
Институт школ разработал также более полный комплект кар-
касных моделей, чем обычно встречается в школах, а именно: кроме
правильных и прямых фигур, сконструированы 18 типов моделей,
главным образом, наклонных многогранных, т. е. таких, которые ре-
же встречаются на практике. Для общего развития это крайне не-
обходимо. Каркарс делался небольшим, чтобы целая фигура была
легко обозрима. Проволока окрашивалась в белый цвет, и модель
укреплялась на подставке. В таком виде, на фоне черной классной
доски модель давала четкий образ фигуры.

В этом наборе, разумеется, возможны все построения, которые
были предложены Р. Н. Богдановым (фиг. 20).
При изучении высшей математики часто пользуются моделями
нитяных поверхностей. Не меньшую ценность они представляют и
для средней школы. На „станке* легко собрать различные фигуры,
в частности, подобные. Этим же целям служат коллекции готовых
нитяных моделей, например, модель Ожаровского (фиг. 21).
Наибольший зрительный эффект производят очень простые, в кон-
структивном отношении, модели проф. Кулишера (фиг. 22).
Мы готовы всячески поддержать положительные отзывы учите-
лей, о которых нам рассказывал автор и которые мы не раз слы-
шали сами.
Фиг. 20
Фиг. 21
Поверхности образуются натянутыми цветными нитями. В прибо-
ре имеются шестиугольная призма,, шестиугольная пирамида, четы-
рехугольная пирамида, цилиндр, конус. На моделях призмы и ци-
линдра небольшим выдвижением крышки можно показать образова-
ние наклонных фигур.
Описанные модели, ввиду их демонстрационных достоинств и про-
стоты сборки, следует рекомендовать каждой школе. Пользоваться
ими можно при первом знакомстве с геометрическими образами (ни-
тяные модели создают полную иллюзию тела) и при выяснении
понятия поверхности как геометрического места прямых.
При зарисовках с таких моделей учащемуся легче выяснить,
какие линии давать жирными, какие тонкими или пунктиром Элемен-
тарная техника изображения пространственных фигур на плоскости
чрезвычайно помогает формированию геометрических представлений.
§2. Модели образования поверхности движением прямой1
Изображенная на фигуре 23 модель, конструктивно несложная,
позволяет выявить ряд интересных геометрических свойств, связан-
ных с процессом движения.
На модели деревянный штабик АВ перемещается параллельно
самому себе, увлекая за собой поверхность плотной ткани. Вид
поверхности будет зависеть от направляющей движения: на участке
1 Авторы П. Я. Дорф, В. П. Кардашев.

прямой направляющей образуется плоскость, на окружности — кру-
говой цилиндр, на эллипсе — эллиптический и т. п. Для большей
наглядности на поверхности ткани наклеены штабики, параллель-
ные первому (АВ), чтобы иллюстрировать его различные положе-
ния.
Модель демонстрируется в момент рассказа об образовании по-
верхности движением прямой. Значение пособия в его динамично-
сти и в разнообразии получаемых форм. И то и другое только по
эскизу на доске представить себе трудно.
Фиг. 22
Фиг. 23
Определенная последовательность в демонстрации пособия по-
может выделить значение элементов — образующей и направляющей.
После анализа процесса образования поверхности движением уча-
щиеся набрасывают небольшие эскизы с натуры.
Приходится пожалеть, что конструктивные затруднения не поз-
воляют до сих пор построить подобную модель для ломаной на-
правляющей. Наличие такой модели дало бы возможность обобщить
такие тела, как цилиндр и призму, ибо они отличаются в своем
образовании лишь характером направляющей.
Фиг. 24
Фиг. 25
§3. Модели для образования поверхностей вращения
Образование поверхности геометрического тела полезно проил-
люстрировать круговым движением плоской фигуры (фиг. 24 и 25).
Металлические контуры закрепляются в центробежной машине
и могут быть приведены в быстрое вращение. У зрителя должно
получиться полное впечатление поверхности вращения.
Описанная установка общеизвестна, но не имеет распростране-
ния по школам. Объясняется это тем, что при демонстрации не
всегда получается должный эффект. Если контур плохо центриро-

ван, т. е. ось вращения не совпадает с осью симметрии, то полу-
чается впечатление размытой поверхности, ибо сама ось, при своем
движении, описывает коническую поверхность.
Институтом школ были проведены следующие усовершенствова-
ния этой полезной модели1:
1) контуры делать деревянными, придав штабикам несколько
большее сечение;
2) удвоить число штабиков для образующих;
3) окрасить их в яркожелтый цвет и демонстрировать на тем-
ном фоне;
4) осветить вращающий контур электролампочкой, помещенной
в параболический рефлектор.
Фиг. 26
Фиг. 26а
Здесь уместно указать приспособление, предложенное лаборан-
том Московского городского педагогического ин-та Е. И. Красич-
ковой. Вращающаяся модель освещается пучком света проекцион-
ного фонаря, куда вставляется поворачивающаяся щель цветного
экрана. Это создает яркое впечатление и самой поверхности враще-
ния и теневых сечений внутри ее.
Фиг1. 27
Фиг. 28
Большим недостатком школьного обучения является отсутствие
у учащихся перспективы в вопросах, изучение которых выходит
за рамки программы. Так, например, в области пространственных
фигур поверхность сферы служит пределом горизонта. В связи с
этим следует отметить у учащихся большой интерес и живую ра-
1 Авторы П. Я. Дорф, В. П. Кардашев.

боту воображения, когда им показываешь (с краткими пояснениями)
поверхности второго порядка. Для этого могут быть использованы
модели, состоящие из картонных плоскостей (типа .гармоник*4)
(фиг. 26, 27 и 28). На них хорошо видно, как из кругов получаются
модели эллипсоида, параболоида и гиперболоида, а из прямолиней-
ных образующих--модель гиперболического параболоида.
Более яркое впечатление оставляет кинофильм под заголовком:
„Образование поверхностей4* (автор проф. Н. Ф. Четверухин).
В картине детально показано движение точки, прямой и весь
процесс образования цилиндрической, конической и сферической
поверхностей. Хорошо выяснена роль образующей и направля-
ющей. Геометрические фигуры, благодаря художественному оформ-
лению тенями и яркими светлыми полосами, не только полно и верно
дают представление о форме, но и удовлетворяют эстетические
запросы зрителей.
Просмотр фильма, его обсуждение в классе и зарисовки в тет-
радях вполне подготовляют воображение учащихся к решению
задач на тела вращения, где основная трудность состоит, обычно,
в построении фигуры вращения.
Мы много раз демонстрировали этот фильм на уроке и иногда
на математических вечерах, после докладов. Интересно, что про-
цессом образования фигуры были заняты и старшие учащиеся
(X класс), которые изучали эти вопросы в курсе геометрии, и уче-
ники VIII—IX классов, которые были захвачены процессом движе-
ния, появления тела и красотой формы. Словом, всем учащимся
фильм нравится, у всех вызывает интерес.
К сожалению, немногие школы используют это ценное нагляд-
ное пособие; мало того, не все учителя знают о нем, хотя в каж-
дой районной фильмотеке пособие имеется.
§4. Стереометрические ящики
В Институте школ и в Институте методов обучения Академии
педагогических наук проводились многочисленные исследования
роли непосредственного конструирования при обучении стереомет-
рии. Выяснилось, что высокая методическая ценность пособий типа
стереометрических ящиков объясняется богатством иллюстраций,
которые могут быть сконструированы на прибора, большинство мо-
делей к теоремам и задачам из раздела „взаимное положение пря-
мых и плоскостей в пространстве“ собирается на глазах учащихся.
Характерной чертой стереометрического ящика является также
большая возможность варьировать построения на нем в зависимости
от сложности вопроса и степени развития учащихся.
На фигуре 29 показано, как на приборе петербургского педагога
Блюммеля легко можно конструировать различные сочетания точек,
прямых и плоскостей. Моделями точек служат изящные пробковые
шарики, которые производят такое же впечатление, как „точки44
на чертежах некоторых лекторов. От такой „выпуклости44 и самый
чертеж выглядит трехмерным. Стальные стержни—модели отрезков
прямых, фанерные и металлические пластины с иглами для креп-
ления—модели плоскостей. Основание — пробковый мат — для креп-
ления стальных стержней различной длины, плоскостей. Подвижной
кронштейн (F) позволяет изображать точку(вершину пирамиды и др.)

на различной высоте. Ящик демонстративен по размерам, очень
удобен благодаря пробковому основанию. Зарисовки с такой натуру
западают в сознание полно и надолго. Мало того, так проработан-
ные представления служат отправными пунктами при самостоятельной
работе воображения.
Фиг. 29
Фиг. 30
Стереометрические ящики Теннера1, Гурвица и Гангнуса* (фиг. 30,
31 и 32) отличаются техничностью своей конструкции; в них
имеется три сетчатые плоскости для образования сечений тел, все
крепления сделаны солидно, детали никелированы, штабиков много,
окрашены они в различные цвета. В этих условиях возможны раз-
личные построения.
Фиг. 31
Фиг. 32
Немало возражений приходится слышать от учителей и мето-
дистов против этих „сложных“ приборов. Основное возражение —-
громоздкость модели отвлекает внимание от непосредственной
сущности вопроса: привходящие, дополнительные факторы домини-
1 Петербургский педагог, докладчик на Всероссийском съезде препод. математи-
ки, 1912 г.
2 Московские, педагоги, методисты.

руют над основным геометрическим образом. Высказанные сообра-
жения необходимо учесть. К техническому прибору стоит обращать-
ся для иллюстрации сложного образа, процесса. К стереометри-
ческому ящику учащиеся должны привыкнуть, тогда внешнее не
будет отвлекать их внимания. Для этою они должны не только
видеть его, но и конструировать на нем, должны овладеть техникой
аппарата. Организационных возможностей к тому немало. Демонст-
рации к уроку готовят и показывают „лаборанты44 из учащихся
(лаборанты сменяются); кроме тою, сроком на неделю, скажем, за-
дается практическая работа на приборе: собрать то-то, исследовать
решение, занести конструкцию в тетрадь.
Такими приемами мы добивались полного внимания только к
вопросам геометрии.
Техничным и сложным приборам следует противопоставить
чрезвычайно простой ив то же время богатый деталями ящик та-
лантливого русского преподавателя-конструктора С. П. Острейко
(фиг. 33).
С другой стороны, простые вещи, которые ученик представит
себе без модели, ни в коем случае не следует иллюстрировать на
приборе: это тормозит, мешает восприятию, противоречив задачам
геометрического развития, порождает у зрителя отрицательное от-
ношение к наглядным пособиям и к демонстрации их.
Фиг. 33
Фиг. 34
Индивидуальный стереометрический ящик. Стремление дать воз-
можность каждому ученику обратиться к конструкции нашло инте-
ресное воплощение у преподавателя московской школы А. А. Стра-
жевского (фиг. 34).
Перед каждым учеником (или один прибор на парту) ставится
небольшой ящичек с пробковым основанием и небольшим комплек-
том спиц. Крышка ящика закрепляется под острым, прямым или
тупым углом; в ней большое количество отверстий для крепления
спиц (или она тоже пробковая). В особом отделении ящика нахо-
дится комплект металлических стержней (спиц) разной длины.
На таком приборе учащийся монтирует необходимую модель,
конструкцию, например, к задаче о прямой, перпендикулярной к
двум скрещивающимся прямым. Учитель ставит задачу. Учащиеся,
решая ее, собирают модель. При этом: разнообразие положений у
товарищей; медленность процесса, задерживающая внимание; на-

глядность—все это черты, воспитывающие пространственное вообра-
жение.
Уместно вспомнить суждение В. И. Ленина („Философские тет-
ради44, т. XIII, стр. 41).
„Ощущения есть действительно непосредственная связь созна-
ния с внешним миром, есть превращение энергии внешнего раздра-
жения в факты сознания44.
Иногда учитель наносит на доску с помощью цветных мелков
эскиз к теореме. Учащиеся разбирают построения. Большинство ясно
представляет себе вспомогательные треугольники прямо по черте-
жу. Некоторые учащиеся обращаются «к прибору.
На вопрос к ним: „Зачем они это делают?44, ответы были такие:
1) яснее; 2) интересно. Значит, строить интересно, это позволяет
представлять, воображать.
Важно только, чтобы все эти виды развития давались в нормаль-
ных гармоничных дозах; тогда наш ученик будет силен и в обла-
сти абстрактных представлений и в условиях реальной действитель-
ности.
Описанное пособие доступно всякой школе.
§5. Наборы пособий по геометрии
При изучении опыта работы школы среди комплектов пособий
встречались наборы, включающие конструкции как по планиметрии,
так и по стереометрии. В авторских объяснительных записках
такие коллекции именуются „универсальными44. Мы опускаем этот
эпитет как тенденциозный, но считаем необходимым выделить та-
кой вид пособий в особую группу.
Конструированием наборов по геометрии занимаются многие
учителя, методисты, инженеры. Приходится поражаться разнообра-
зию и находчивости авторов.
Опишем один из таких наборов1.
В основе конструкции # содержания „Набора44 лежит ряд прин-
ципиальных положений, изложенных во введении. Целесообразно,
однако, здесь привести некоторые дополнительные соображения.
1. В коллекцию набора следует включать детали, материалы,
инструменты, с помощью которых учитель может собрать собствен-
ную модель, а не только предусмотренную конструкторами.
2. Показ моделей необходимо производить в условиях, дающих
наибольшее зрительное воздействие на ученика. В этих целях ящик
для хранения деталей набора полезно сконструировать так, чтобы
крышка его служила демонстрационной площадкой.
3. Многочисленность объектов набора и небольшие размеры
ящика требуют строгой рационализации в размещении и хранении со-
держания набору. Для этого весь комплект рассортирован по осо-
бым отделениям, футлярам, гнездам.
4. Включение всех деталей и материалов в один ящик позволяет
переносить набор из одного класса в другой.
5. Набор рассчитан для демонстрации некоторых образов плани-
метрии и взаимных положений точек, прямых и плоскостей, а так-
же отдельных пространственных фигур.
* Авторы П. Я. Дорф и В. П. Кардашев. Набор утвержден кабинетом матема-
тики Ин-та средних шкод*

Вся коллекция набора помещена в деревянный ящик (размером
70x40x30 см), который одновременно служит местом для хранения
деталей и площадкой для монтирования моделей.
На снимке дан общий вид и содержание^основного набора де-
талей ящика (фиг. 35).
Фиг. 35
Предлагаемый набор не ставит себе задачи—дать тот или иной
комплект пособий; его назначение — предоставить возможность пе-
дагогу или учащемуся сконструировать всякую нужную модель
для иллюстрации геометрического образа. Из этих соображений в.
наборе имеется большое количество деталей, из которых можно
монтировать пособия, постоянно варьируя комбинации и соотноше-
ния этих деталей.
§6. Изучение параллельности в пространстве
Прежде всего на уроках выясняется, что речь идет о параллель-
ности прямой и плоскости, прямых между собой и параллельности
плоскостей1. Затем устанавливаются определения и признаки парал-
лельности; там, где это возможно, анализируемые факты сопостав-
ляются с предложениями планиметрии; все это или иллюстрирует-
ся деталями стереометрического ящика или показывается на готовых
моделях. Приведем несколько конкретных примеров.
1 В последний год автор пользовался учебником: Н. А. Глаголев, Элементар-
ная геометрия, части I и II для VI—VIII и IX—X классов средней школы, Учпед-
гиз, 1945.

Пример 1. Задача. Точка вне плоскости; провести через
нее прямую, параллельную заданной плоскости.
После некоторых размышлений и зарисовки пробных эскизов,
вопрос выясняется в общей беседе класса. Направление дается ли-
бо сообщением ученика, либо объяснением учителя. В общих слу-
чаях используются наглядные пособия: упругий (вязкий) мат изоб-
ражает основную плоскость; в ней укрепляется стержень с шариком
на конце; в отверстия шарика продеваются два стержня, которые
располагаются как раз параллельно заданной плоскости (так про-
сверлены отверстия). Здесь становится ясным, что искомых прямых
бесчисленное множество, и все они лежат в плоскости, параллель-
ной данной. Последний факт иллюстрируется пластиной, которая
надевается на шарик и располагается на стержнях. Предложение,
что всякая прямая, вне этой плоскости, не параллельна основной
плоскости, доказывается применением чертежа. В заключение ре-
дактируются все необходимые выводы и обобщения. На чертежах
и без них разбираются различные случаи решенной задачи.
Пример 2. Если две пересекающиеся прямые, лежащие на од-
ной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежа-
щим на другой плоскости, то данные плоскости параллельны
(фиг. 36).
На двух параллельных плоскостях стереометрического ящика
нетрудно разнообразить условия теоремы, а именно: взять две пе-
ресекающиеся прямые; два непараллельных отрезка, но не имею-
щих точки пересечения; отрезки под разными углами (острый, прямой,
тупой); наконец, отрезки как раз те, которые изображают плоскость
в виде параллелограмма и т. п. Такое
многообразие страхует учащихся от
шаблона представлять себе теорему в
изображении учебника или чертежа
учителя. По этому же поводу крайне
удачны были построения на гранях ку-
ба, призмы и т. п.
Далее оказывается, что условие тео-
ремы: „пересекающиеся прямые на од-
ной плоскости соответственно парал-
лельны...44 запоминается и произносится
учащимися часто недостаточно осмыс-
ленно, они не понимают смысл ограни-
чения в условии „пересекающиеся4* и
не видят, что параллельные прямые на
плоскости могут быть соответственно
параллельны прямым на другой пло-
скости, а сами плоскости в это время пе-
ресекаются. Для выработки общих пред-
ставлений зрительные образы моделей, подкрепленные чертежом,,
оказывают незаменимую услугу. Опыт показывает, что иллюстра-
ции только рисунками слишком однообразны и для стереометрии
недостаточны.
Пример 3. Две параллельные плоскости пересекаются третьей^
по параллельным прямым.
Это предложение хорошо иллюстрируется тремя моделями пло-
скостей, из которых одна имеет два параллельных прореза. В них
вставляются другие плоскости. Линии сечения хорошо видимы.
Фиг. 36

Здесь можно воспользоваться и двумя подвешенными стеклянными
моделями,(фиг. 37), на которые с помощью прорезов надвигается
секущая Носкость. Число иллюстраций зависит от развития и под-
готовки учащихся: оно может быть умножено и сокращено. В
частности, в сильном классе при пов-
торении или опросе мы иногда тре-
бовали от ученика не чертежа, а
построения на модели. Конструиро-
вание по поводу теоремы или задачи
вызывало оживление, выдумку и на-
ходчивость.
Пример 4. Наиболее эффектив-
ными оказываются построения мо-
делей при решении задач, представ-
ляющих значительные конструктив-
ные трудности. Например, пусть на-
до провести параллельные плоскости
через две скрещивающиеся прямые.
На приборе последовательным креп-
лением стержней производится все
построение. Заключительный шаг—
на модели прямых кладутся две плас-
тины, их~параллельность зрительно вполне очевидна (фиг. 38 и 39).
Этим* можно ограничиться в использовании наглядных пособий
при изучении вопроса о параллельных. Действительно, параллель-
ность прямых в пространстве легко выяснилась непосредственными
рассуждениями, опираясь лишь на воображение и на чертеж. Уча-
щиеся самостоятельно сводили вопрос к планиметрии и обобщали
его на пространство. В заключение редактировалась аксиома парал-
лельности.
Фиг. 38
Фиг. 39
При изучении параллельности плоскостей также все проходится
быстро, схватывается с первого взгляда, по некоторым намекам.
Наблюдения над учащимися убедили нас, что у них, благодаря ра-
боте с наглядными пособиями, накопились опыт, навыки видеть,
схватывать, рисовать. Поэтому все построения ведутся сразу на
чертеже.
Фиг. 37

§7. Изучение перпендикулярности в пространстве
Прежде всего необходимо пояснить самое понятие перпендику-
лярности в пространстве, ибо определение планиметрии может быть
использовано лишь косвенно, после некоторых дополнительных усло-
вий. Для этого на стереометрическом ящике укреплялся стержень;
перпендикулярный ко всем лучам, которые постепенно располага-
лись веером на плоскости; так иллюстрировалось понятие перпенди-
куляра к плоскости. Далее делается чертеж. Ограничение: „ко вся-
кой прямой, проходящей через след...“ позднее, когда появятся
углы между скрещивающимися прямыми, будет снято. Затем так
«естественно было установить признак перпендикулярности прямой
к плоскости, сведя требование „ко всякой прямой...“ к требованию
.„к двум прямым14. Применение модели при доказательстве данной
теоремы варьировалось в самых разнообразных формах.
В 1940 г. директор Львовского института усовершенствования
учителей т. Вайнштейн присутствовал на уроке IX класса школы №204,
где разбиралась теорема о двух перпендикулярах. После урока в
интересной беседе выяснилось, что сперва гость решительно возра-
жал против отклонения от распространенного приема собирать мо-
дель во время доказательства теоремы, но позднее согласился, что
учащиеся настолько свободно .представили себе все построение
только по чертежу, что совершенно достаточно было продемонст-
рировать изящную готовую модель только после доказательств. Ее
роль свелась к подкреплению образов, созданных на уроке.
Еще меньше оснований пользоваться объемными пособиями при
доказательстве теоремы о трех перпендикулярах — обоснование свя-
зи между прямой на плоскости, перпендикулярной к ней наклонной
« ее проекцией. Для этого совершенно достаточно хорошего чер-
тежа цветными мелками. В отдельном случае модель можно соб-
рать из деталей стереометрического ящика.
Также легко школьники усваивают соотношение между наклон-
ными и их проекциями, поэтому все рассуждения здесь можно ве-
сти, опираясь только на чертеж. Теорема о них известна из
планиметрии; в пространстве появляются наклонные в различных
плоскостях, поэтому бывает иногда полезно на подвижной модели
(фиг. 40) свести их в одну плоскость, после чего вывод становится
очевидным.
При изучении первых предложений сте-
реометрии учащиеся отмечают, что теоремы
и свойства несложны каждая в отдельности
и трудны все вместе: они недостаточно ха-
рактеризуются какими-либо различиями. По-
этому так настоятельны и многообразны
стремления учителей, методистов, авторов
руководств, статей — выработать наиболее
удобную для усвоения систему.
Из опыта своей работы и наблюдения
уроков вообще мы пришли к выводу, что
здесь дело зависит во многом от задержки
внимания ученика на построении, на внеш-
нем виде конструкции, на варьировании по-
ложений, на изображении фигуры на плоскости. Эти моменты и
дают возможность, пользуясь пособиями и чертежами, выяснить
«более глубоко черты сходства и различия. Зритель (слушатель)
Фиг. 40

невольно обобщает, сопоставляет их, запоминает и усваивает.
Например, как убедительна демонстрация вращающейся пло-
скости, заключающей в себе перпендикуляр к другой заданной
плоскости. Недаром после этого не бывает сомнений в том, что
плоскостей, проходящих через перпендикуляр к основной плоскости,,
бесчисленное множество, и все они образуют прямые углы с нею.
Особенно сложной кажется обратная теорема о том, что перпенди-
куляр к плоскости весь лежит в плоскости, перпендикулярной за-
данной, если-у него с второй плоскостью имеется общая точка.
Этих затруднений не бывает, если элементы чертежа одновременно
собирать на модели и чертить на доске. Кроме того, бесспорно, что
научить видеть, пространственно воображать, обобщать представле-
ния можно не только упражнениями в рисовании, но и в лепке, в
моделировании. В этих целях мы иногда целый урок посвящали кон-
струированию. Опишем один из них.
В класс приносится из математического кабинета 30 малых сте-
реометрических ящиков; каждый из учащихся получает отдельный:
прибор (индивидуальный стереометрический ящик, фиг. 43).
Предлагается из точки вне плоскости опустить на нее перпенди-
куляр. Одни строят фигуру по образцу учебника, другие предла-
гают иной прием, который особенно эффектен на приборе. Берутся
модели плоскости и точки вне ее (фиг. 41).
На плоскости проводится про-
извольная прямая а; через a vl S
проводился плоскость Q, в кото-
рой опускается перпендикуляр SK
из точки S на прямую а; перпен-
дикуляр SK и его проекция в пло-
скости Р определяют новую пло-
скость /?, в которой уже не сложно
провести искомый перпендикуляр.
Один ученик строит модель на демонстрационном стереометри-
ческом ящике, остальные на своих малых.
После критического анализа отобранные конструкции зарисовы-
ваются каждым учеником в том виде, как это ему представляется.
В заключение учащимся предлагается представить себе весь ход
построения без модели, без чертежа, закрыв глаза.
К такого рода упражнениям было отнесено решение задач:
в точке на прямой построить плоскость, перпендикулярную к
прямой; через точку провести плоскость, образующую линейный
угол данного двугранного угла (рассмотреть различие положения
точек) и др.
В планиметрии из точки вне прямой можно опустить на нее един-
ственный перпендикуляр, а в пространстве? Довольно быстро и еди-
нодушно „устанавливается*4, что в пространстве такой перпендику-
ляр тоже один. Тем интереснее убедиться, что после введения скре-
щивающихся прямых, таких перпендикуляров сколько угодно. Это
подтверждается на модели.
Последние два года, по инициативе проф. Н. Ф. Четверухина в
средних школах были поставлены задачи на построение в стереомет-
рии, отличные от указанных выше и от принятых в школе. Если
прежде выяснялись возможность построения, существование
решения, то новые задачи ставили себе целью, кроме того, произ-
вести самое построение. Названы они были задачами на
Фиг. 41

лроекционном чертеже. Для их решения потребовалось вве-
дение некоторых условий: основная плоскость, направление проек-
тирования и задание всякой точки А (Ах) вместе с ее проекцией на
основную плоскость (см. статью Л. В. Федорович и М. X. Кек-
чеевой).
* В 1945/46 уч. г. опыт решения этих задач проводился (в частно-
сти) в IX классе школы № ПО. Оказалось, что учащихся затруд-
няют:
1) особенности метода построения, его отличия;
2) анализ условий;
3) само построение на проекционном чертеже.
Работа значительно облегчилась, прояснилась при использовании
стереометрического ящика, состоящего из моделей
плоскости (торфяной мат),
прямых (металлические стержни),
точек (бузиновые шарики).
Благодаря пособию, на котором построение производилось в на-
туре, получились вполне осознанные представления1.
При дальнейшем решении такого рода задач мы старались видеть
построение без чертежа, затем наносить его на плоскость; в более
трудных случаях решение искалось на самом чертеже или предва-
рительно собиралась модель и с нее делались зарисовки.
§8. Симметрия пространственных фигур
Иногда приходится слышать, что доказательство теорем методом
симметрии приводит ученика к результату слишком просто, отчасти
.формально: „фигуры симметричны, следовательно они...44. Таким
образом, все дело сводится к установлению симметрии фигур. Слов нет,
что для получения необходимых выводов этот метод чрезвычайно
силен, но при нем выпадает из учебного процесса целый ряд ценных
размышлений. Возьмем простой пример о равенстве дуг, заключен-
ных между параллельными хордами. Действительно, соответствую-
щие точки дуг симметричны относительно диаметра перпендикуляр-
ною к хордам, следовательно дуги равны. Однако наряду с этим
можно показать равенство дуг вращением соответствующего сектора
и совпадением его с другим сектором. Приемы движения частей
фигуры, совмещение их чрезвычайно полезны в педагогическом
отношении.
Поэтому мы рассматривали метод симметрии как один из методов
построения математических доказательств. В частности, если на
уроке применялся один метод, то на дом поручалось придти к вы-
воду, самостоятельно, использовав другой метод, и знать оба
варианта рассуждений. При этом необходимо, однако, помнить, что
в средней школе следует дать достаточно глубокое знакомство
учащихся с видами симметрии.
В нашей практике это связывалось с группой представлений, жи-
вых образов из наблюдений пространства, с использованием подхо-
дящих конструкций и моделей.
На фигуре 42 приведен образец стеклянной модели плоскости,
и симметричных относительно нее прямых и точек. Конструкция
Проф. Н. Ф. Четверухин провел урок в школе № 110. Для выяснения сущест-
ва метода построения удачно был использован прибор.

собирается на глазах учащихся. Здесь также полезны установки,,
позволяющие иллюстрировать совпадение Симметричных фигур при
помощи вращения.
Показывалось обычно то, на чем развивались необходимые на-
выки, что было трудно без модели; а остальное выводилось/при
помощи чертежа, а иногда и без него. Например, предлагалась зада-
ча: „Даны две точки и прямая вне их. Найти на прямой точку, сумма
расстояний от которой до двух заданных точек наименьшая4* (предпо-
лагается, что в исследовании решения будут разобраны различные
положения точек). Необходима было решить задачу * только по»
чертежу (частный случай, когда точки лежат по разные стороны
от прямой, рассматривался в уме). Поводы для демонстрации и
количество их зависели'от развития и степени подготовки уча-
щихся.
Вопросы симметрии, которые мы моделировали, можно записать,
так:
Симметрия точки Относительно
плоскости
Относительно
оси
Относительно
центра
Симметрия прямой
"
•
»
Симметрия пло-
скости
»
•
т
Симметрия фи-
гуры
»
»
т •
Фиг. 42
Фиг. 43
Симметричные элементы полезно было определить в каркасных
моделях тел (фиг. 43). Эта работа служит прекрасным упражнением,
которое помогает усвоить понятие симметрии.

§9. Скрещивающиеся прямые
Образ скрещивающихся прямых и самый термин настолько
непривычны учащимся, что они их плохо понимают и смешивают
скрещивающиеся прямые с пересекающимися прямыми.
Без конструкции на стереометрическом ящике (или подобном,
приспособлении) трудно установить понятие угла между скрещи-
вающимися прямыми и способы его построения. Так же для боль-
шинства учащихся полезно собрать на модели решение задач о
параллельных плоскостях, проходящих через скрещивающиеся пря-
мые, и об общем перпендикуляре между ними. Обычный небрежный
показ карандаша и ручки (плохие модели отрезков) или единст-
венная ссылка на ребра параллелепипеда комнаты, разумеется, не-
достаточны для создания полного впечатления. Здесь, кроме этого,
уместно просмотреть и зарисовать различные положения стерж-
ней, штабиков на приборе.
§10. Изучение углов в пространстве
Описание угла в планиметрии как фигуры, образованной двумя
лучами, не может быть перенесено на понятие угла прямой
с плоскостью.
С другой стороны, это 'понятие чрезвычайно важно и нужно,
ибо прямая действительно может быть по-разному наклонена к
плоскости. Прямых на плоскости бесчисленное множество, и все
они образуют различные углы с заданной прямой. Поэтому есте-
ственно введение условия, которое определит угол прямой с пло-
скостью. Все эти соображения недостаточно просто рассказать
или показать на чертеже. Зато мы не знаем ни одного случая за-
труднений у учащихся по этому поводу, если, понятие было выяс-
нено на изящном и конструктивно простом пособии.
§11. Модель „Угол прямой с плоскостью“
На полированном планшете укреплен наклонный металлический
никелированный стержень. Второй такой же стержень вращается
в плоскости планшета (фиг. 44). Предлагаемая конструкция позво-
ляет получить угол данной наклонной с любой прямой на
плоскости,
Демонстрация этой подвижной модели приводит к необходи-
мости введения понятия угла прямой с плоскостью как угла прямой
с ее проекцией на плоскости. Двусторонний транспортир, прикреп-
ленный к стержню на плоскости, наглядно показывает перемен-
ность угла наклонной с прямыми на плоскости и позволяет под-
метить, что угол наклонной с ее проекцией — будет наименьшим
углом.
§12. Модель двугранного угла с линейным углом1
Единственный вопрос об изучении двугранных углов, нуждаю-
щийся в иллюстрации,—эта установление связи между двугранными
углами и их линейными. Для этого мы обычно пользовались стек-
1 Автор Д. Майергоз, конструктор О. Василенко». Киев,

лянной моделью двугранного угла с подвижным линейным (фиг. 45)
Основная часть модели — двугранный угол, образованный стек-
лянными пластинами. Угол закреплен на подставке. В некоторой
точке ребра шарнирно прикреплены два металлических никелиро-
ванных стержня, которые составляют линейный угол. Стороны
этого угла связаны раздвижным целлулоидовым транспортиром.
Для фиксации стержней (перпендикулярно или наклонно к ребру
двугранного угла) на стеклянных гранях имеются небольшие за-
понки (крючки).
Фиг. 44
Фиг. 45
Описанная конструкция позволяет наглядно выяснить и устано-
вить ряд основных положений, которые без модели затрудняют
учащихся. Обычно учащиеся считают линейный угол, образован-
ный перпендикулярами к ребру, наименьшим среди других углов
между лучами, а также неосознанно принимают и заучивают опре-
деление линейного угла как угла между перпендикулярами к ребру
Для устранения указанных недоумений вырабатывается следующая
методика демонстрации модели:
1) гСтроится линейный угол, наблюдателем производится отсчет
и записывается на доске результат.
2) Сохраняя положение одного стержня, другой поднимается;
при этом легко увидеть, что транспортир раздвигается, т. е. угол
растет. Подтверждается это и записью отсчета.
3) Если теперь поднимать первый стержень, то угол, уменьшаясь,
может стать равным первоначальному.
4) Перемещая оба стержня, получаем уменьшение угла до 0°,
когда стержни совпадают с ребром.
Такими передвижениями стержней демонстрируется изменение
величины угла, образованного прямыми в гранях двугранного угла
с вершиной на ребре его. Назначение^ линейного угла — служить
мерой двугранного — обязывает выбрать за таковую постоянную
величину, а именно: линейный угол в плоскости, перпендикулярной
к ребру. Его величина считается величиной двугранного угла.

§13. Многогранные углы
Представление о трехгранном угле вырабатывается у учащихся
не сразу и в неполном виде. Это чаще всею трехгранный угол, со-
стоящий из плоских прямых углов. Конкретизация вопроса сводится
обычно к показу трехгранного угла в комнате (пол и стены), вслед-
ствие чего учащиеся не узнают трехгранных углов общею вида,
ибо они не похожи на показанные в классе. Предлагается при
объяснении и зарисовках на доске (в тетрадях) иметь перед глаза-
ми трехгранные углы, которые будут играть роль натуры.
Следует показать металлический трехгранный угол, который на-
девается на угол каркасной модели призмы. Такая демонстрация
знакомит с образом'угла и связывает ею с конструкцией фигуры,
призмы.
В этом же направлении проходило обычно и знакомство с фор-
мой многогранных углов.
Приведем еще пример того, как упрощается постановка вопроса, как
легко выясняется существо дела, как ускоряется усвоение поня-
тия трехгранною угла при демонстрации простой модели — набора
склеенных плоских углов, образующих многогранный угол.
Вот первая модель: многогранный угол с разрезом по одному
ребру. Простая развертка угла показывает, что сумма плоских углов
обязательно меньше Ы. После этого логическое доказательство
теоремы, обобщающее наблюдение, занимает свое нужное место.
Далее берутся развертки, где сумма плоских углов или равна
Ad или больше Ы\ оказывается, что при этом сложить выпуклый
многогранный угол невозможно. Далее выясняется, что условие
£ал < 4d необходимо, но недостаточно. Если взять один плоский
угол большим, а несколько остальных малыми настолько, что их
сумма меньше первого, то многогранный угол построить невоз-
можно.
Действительно, пусть дан четырехгранный угол с плоскими
углами: а, р, у, 8, тогда а + р>£ (угол сечения)
Или после замены получим a+[J + f>8.
На опыте школы № 103 нам довелось наблюдать, как живо,
интересно, эффективно прошел этот урок в классе, где применялись
пособия, и насколько формальны знания, полученные в параллель-
ном классе, где моделей не было.
§14. Изучение многогранников и тел вращения
Первый урок стереометрии в X классе посвящается многогран-
никам и телам вращения. Этот день бывает (и должен быть) собы-
тием, ибо наступает момент, когда будет изучаться форма, поло-
жение, размеры, построение пространственных фигур, с которыми
ученик встречается в учебной практике и в жизни.
Кроме того, работа с многогранниками является для школьни-
ков экзаменом знаний всего предыдущего материала по планимет-
рии и началам стереометрии.
Частой ошибкой преподавания бывает прием последовательного
и детального анализа отдельной фигуры, например, призмы, без
предварительного ознакомления с разнообразием форм и их клас-
сификацией. Перед учащимися на нескольких столах расставлены

призмы и цилиндры, шар и более сложные формы, эллипсоид и дрв>
пирамиды и конусы, правильные многогранники, усеченные теЛа,
производственные детали, предметы быта (спичечная коробка) и др..
Само здание, мебель, оборудование класса на этот день стано-
вятся наглядными пособиями.
В живой беседе учитель, опираясь не опыт и знания учащихся,
распределяет тела на группы, в зависимости от их формы и свойств..
Выводы и н< обходимые эскизы заносятся в тетради.
Далее рассматриваются различные положения тела. В простран-
стве Для этого берутся (в качестве примера) два одинаковых шара;
один находится на горизонтальном столе, а другой положен на нак-
лонную плоскость. Разница в поведении шаров зависит от положе-
ния плоскостей в пространстве.
Затем из сравнения двух шаров с разными диаметрами выясняется
роль размеров тела при подсчетах поверхности или объема.
Такого рода примерами можно подготовить учащихся к установ-
лению основных целей геометрии: представлению формы тела, оп-
ределению положения и размеров его, умению изображать его
(строить, чертить), представлять геометрический образ без нагляд-
ных изображений.
Благодаря применению наглядных пособий для учащихся все
становится яснее, все ими лучше усваивается, внимание длительно
задержано на особенностях фигуры. На уроке привлечены элементы
самодеятельности учащихся: в зарисовках, догадке, обобщениях,
формулировках; урок проходит интересно, а овладение прочными
знаниями дается легко и быстро.
Далее идет подробное изучение призм. В новом учебнике сте-
реометрии Н. А. Глаголева первые параграфы посвящены наблю-
дению и установлению связи между числом вершин, ребер и
граней, а в заключение выводится теорема Эйлера. Опытные учи-
теля строили свой курс именно так, перенося некоторые из этих
вопросов на занятия в кружках. В классе на этих уроках много
разнообразных моделей из дерева и картона (стеклянные, оказы-
вается, отвлекают внимание учащихся своей прозрачностью).
В частности, мы рекомендуем одно построение сделать из дета-
лей стереометрического ящика. На плоскость кладется металличе-
ская (картонная) модель многоугольника с необходимым числом
сторон. В отверстиях его вершин укрепляются стержни — модели
ребер; сверху на них надевается верхнее основание призмы. Посте-
пенное конструирование фигуры из ее частей вызывает у учащихся
четкие представления. Кроме того, можно сделать призму наклон-
ной и показать дополнительными стержнями высоту, перпендику-
лярное сечение и др. Полезны здесь шарнирные модели параллеле-
пипеда и куба.
§15. Изучение пирамиды
Дать определение пирамиды, начертить один образец ее (чаще
всего правильной пирамиды), показать одну модель и затем перейти
к доказательству теорем,—это такое начало изучения вопроса, при
котором нарождается много неясностей, шаблонных и неглубоких,
представлений и несерьезных суждений.
На деле сначала следует сосредоточить пристальное внимание
на ознакомлении с формой пирамиды, ее элементами и видоиз-
менениями.

Для этого наилучшим приемом является работа с шарнирной1
моделью пирамиды.
Наблюдения за изменяющейся фигурой и зарисовки делают слож-
ный образ знакомым и привычным. Многократный опыт в различ-
ных школах безусловно подтверждает, что такого рода преобразо-
вания фигуры подготовляют сознание ученика к тому, что он при
слове „пирамида*1 (при желании) может воображать бесчисленное
множество пирамид, что он, глядя на чертеж одной пирамиды, раз-
мышляет обо всех фигурах этого семейства.
Ученик подготовлен к тому, чтобы выделить из общего семей-
ства их отдельные виды в соответствии с условиями задачи или
теоремы.
§16. Модели при решении задач
Трудную задачу, например, случай сложного сечения тела, сред-
ний ученик сам может не решить; ему нужно объяснить, как сле-
дует подходить к такого рода задачам, как решать их. При объяс-
нении основная трудность заключается в построении искомой фи-
гуры; часто бывает, что по чертежу не получается полной ясности.
Тогда необходимо обратиться к модели, которую последовательно
строят перед учащимися или показывают ее в собранном виде;
иногда модель представляет искомую фигуру с иным расположе-
нием деталей. Из обмена мнений по этому поводу у учащихся скла-
дываются четкие представления. После таких объяснений на модели
и зарисовок с нее, учащиеся овладевают методом решения задач
настолько, что в дальнейшем ограничиваются только чертежом в
подобных задачах и задачах другого рода.
Не раз мы давали условие не в виде текста задачника, а в виде
модели, предлагая выбрать и снять необходимые размеры с натуры
или обозначить их буквенными символами. Ученику, например, за-
дается вопрос — что нужно знать для определения показанного на
модели сечения? Это бывает неожиданным после задач, где все
нужное дано и так удобно расставлено, что даже вырабатывается
„метод“ решения — включать все заданные элементы, ибо в задач-
нике условия не могут быть переопределенными или неопределен-
ными. Отсюда та беспомощность учащихся в вузе или на практиче-
ской работе, где задачи и числа не подобраны под „круглый ответ“.
§17. Стеклянные модели к задачам по стереометрии
При изучении стереометрии наибольшие затруднения вызывают
построения сечений, образование поверхности движением линии и
анализ положений одной фигуры относительно другой. Происходит
это потому, что в запасе знаний и представлений учащегося нет
подобных образов; мало дает для этого и небольшой опыт его
практической жизни.
Отсюда возникает острая нужда в моделировании сюжетов сте-
реометрии, встречающихся, главным образом, в задачах.
Лучшим материалом для моделей такого рода следует признать
стекло, которому легко придать правильную форму, оно прозрачно.
Среди опытов по изготовлению стеклянных моделей назовем работы
Украинского, научно-исследовательского института педагогики,
который дал интересный по содержанию и прекрасный по оформле-
нию набор.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В нашей стране наглядность признана одним из основных
принципов современной педагогики. С исчерпывающей полнотой и
ясностью это выражено в постановлении ЦК ВКП(б) о школе (1931 —
1932 гг.), где указаны направляющие идеи для непосредственной
работы в школе.
К 1941 г. Советский Союз обладал рядом педагогических музеев,
где достаточно полно были представлены все разделы математики
(Москва, Ленинград, Курск, Воронеж и др.). Большинство педаго-
гических институтов заботилось о накоплении наглядных пособий
и изучало методику их использования.
В русской методической литературе появился целый ряд печат-
ных и рукописных работ, посвященных вопросу наглядных пособий.
На различных конференциях методика применения наглядных
пособий не сходит с повестки. В 1939 г. с большим успехом проис-
ходило республиканское совещание работников, интересующихся
конструированием и методикой наглядных пособий.
К сожалению, война нанесла тяжелый удар делу: разрушены
многие коллекции, еще мало производится пособий, нет новых ли-
тературных работ и т. д.
Но интерес и инициатива к наглядным пособиям живы. Так,
проф. Н. А. Глаголев в 1945 г. предложил две новых модели о
равновеликости, проф. Д. И. Перепелкин разработал уникальный
набор полуправильных многогранников (Московский ин-т усо-
вершенствования учителей); зав. кабинетом Московского городского
педагогического ин-та Е. И. Красичкова приготовила интересные
теневые модели на поверхности вращения; учителя Михайлов (Вык-
са), Безматерный (Чита), Капралов (Горький), Голищук (Таганрог),
Лобанов (Ростов), Кожеуров (Москва) и многие другие выдвигают
проекты новых пособий, изготовленных ими и проверенных в
школе.
Восстанавливаются школьные математические кабинеты (школа
№ 422 Москвы и др).
Таким образом можно констатировать, что в области конструи-
рования и изготовления наглядных пособий у нас:
1) есть оригинальные идеи и конструкции, отражающие их;
2) есть инициатива у практических работников и у представи-
телей науки;
д) есть государственные указания к осуществлению этих идей;
4) наконец, есть организации (и средства), которым поручается
проведение этого дела в жизнь.
Словом, налицо все условия, при которых будут развиваться
теория и практика замечательного и большого дела дальнейшего
усовершенствования наглядного обучения.

ОПЫТ РАЗВИТИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ
УЧАЩИХСЯ НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ
А. Д. ЗЕМЛЯНАЯ
Программа по черчению указывает, что одной из целей препода-
вания черчения:является развитие пространственного воображения
учащихся. Хорошо развитое пространственное воображение необхо-
димо для освоения многих профессий; поэтому перед учителем чер-
чения средней школы стоит важная задача — развивать у учащихся
в процессе обучения черчению пространственное мышление, умение
оперировать воображаемыми пространственными образами.
Ученик, пришедший в среднюю школу, имеет уже некоторый
запас пространственных представлений. Задачей средней школы яв-
ляется дальнейшее обогащение и развитие этого запаса. Ученик,
начинающий в VII классе изучать черчение, должен прежде всего
научиться представлять в пространстве простейшие геометрические
формы: параллелепипед, куб, призму, конус, цилиндр, шар. Мы начи-
наем с этих простых форм потому, что сложные по форме предметы
обычно можно рассматривать как сочетание указанных простых гео-
метрических фигур.
Для того чтобы хорошо изучить форму простейших геометриче-
ских фигур, ученику очень полезно самому делать их модели.
Изготовление учащимися моделей не только обогащает запас их
пространственных представлений, но и развивает их воображение.
К сожалению эффективность этого метода (моделирования) не-
дооценивается многими педагогами. К тому же и методика примене-
ния моделирования в процессе обучения черчению в должной степени
еще не разработана и многим педагогам неясно, как и в каких случаях
применять моделирование.
Я опишу свой опыт применения моделирования при прохождении
некоторых наиболее трудных разделов курса черчения средней шко-
лы. В результате нескольких лет работы в школе я убедилась, что
учениками VII классов особенно трудно воспринимается проекционное
черчение, так как учащиеся, не имея еще должных сведений по стерео-
метрии, впервые знакомятся с пространственными геометрическими
соотношениями. Например, построение третьей проекции и кабинет-
ной проекции по двум заданным ортогональным проекциям фигуры
особенно затрудняло учащихся VII классов школы № 47 Фрунзен-
ского района Москвы.
После предварительного объяснения, как получается в натуре и
строится на чертеже третья проекция фигуры по двум заданным ее
проекциям, учащимся было дано задание (черт. 1).

Правильный ответ изображен на чертеже 2.
Однако многие учащиеся чертили, допуская грубые ошибки (черт. 3).
Эти ошибки говорят не столько о незнании правил построения
третьей проекции и наглядного изображения в кабинетной проекции,
сколько о неумении представить в пространстве тот предмет, который
задан двумя проекциями на чертеже 1.
Я решила в виде опыта провести в VII классах 47-й школы не-
сколько упражнений, направленных к тому, чтобы дать учащимся
навыки в осмысленном сопоставлении
заданного проекционного чертежа с той
пространственной фигурой, изображе-
нием которой он служит. В намечен-
ных мною упражнениях требовалось по
заданной кабинетной проекции неко-
торого предмета выполнить чертеж
предмета в ортогональных проекциях
на три плоскости, построить по этому
чертежу развертку поверхности пред-
мета, вырезать из плотной бумаги эту
развертку, склеить модель заданного на
чертеже предмета и сопоставить отдель-
ные части предмета с соответствую-
щими частями проекционного чертежа. Составляя такого рода уп-
ражнения, я опиралась на предположение, что навыки, приобретенные
в результате указанной мной последовательной работы по выполне-
нию задания, облегчат учащимся „чтение чертежа“, т. е. отчетли-
вое, детальное представление пространственной фигуры, изображенной
на^чертеже.
Перехожу к описанию подготовки и проведения самого опыта.
Черт. 1
Черт. 2
Прежде всего я подобрала достаточное число различных несложных
по форме тел так, чтобы все они содержали в себе сочетания формы
куба, параллелепипеда, призмы и цилиндра. Пирамиду и конус, как
более сложные геометрические формы, я решила не вводить. Ниже
(черт. 4) привожу примеры приготовленных для опыта карточек с
изображением на них кабинетных проекций выбранных мною тел.
Эти тела были вычерчены мною на карточках из плотной бумаги,
размером 70 мм х 100 ми. На чертежах я проставила все необхо-
димые размеры и раскрасила каждую карточку так, что вид данной
фигуры спереди, вид сбоку и вид сверху имели разные оттенки од-
ного и того же цвета.
Эту раскраску я сделала по тем соображениям, что оттененное

указанным образом^изображение воспринимается легче, чем однотон-
ное, так как учащимся легче отличать переднюю часть фигуры от
верхней и боковой. Позже, когда учащиеся научатся читать чертежи,
необходимость в такой раскраске отпадет.
Черт. 3
При изготовлении этих карточек я учла один важный для начи-
нающих изучать проекционное черчение момент, изобразив фигуры
в кабинетной проекции так, чтобы они казались видимыми с левой
стороны. Такой методический прием облегчает построение третьей
проекции и предупреждает часто встречающиеся ошибки.
Черт. 4
Наконец, еще одно условие, на которое я считала необходимым
обратить внимание, — это качество оформления карточек: как раз-
даточный материал они должны быть выполнены чисто, аккуратно,

красиво. Это есть одно из обязательных требований, предъявляемых
к любому методическому пособию.
После такой предварительной работы я приступила к проведению
самого опыта. В школе было два седьмых класса. Из них я выделила
один класс в качестве опытного и другой как контрольный (классы
приблизительно равны по развитию). В опытном классе я раздала
18 карточек (присутствовало 36 учениц). Все чертили на форматках:
а-4 (203 X 288), имея весь необходимый чертежный инструмент.
Давая задание, я предупредила учащихся, что они должны вычертить
на своих форматках заданную деталь в ортогональных проекциях и
в кабинетной в течение двух уроков. После первого урока все чер-
тежи были мною собраны, а на следующий урок вновь розданы для
продолжения работы. После второго урока, проверив и исправив:
ошибки, я вернула учащимся их работы и объяснила им их ошибки.
Затем подробно рассказала на примере двух чертежей, как нужно
строить полную развертку поверхности тела. Например, чтобы по-
строить развертку фигуры № 6 (черт. 4), мы должны мысленно пред-
ставить себе изображенный предмет пустотелым и разрезать его па
ребрам АВ, ВС, BD, DE, EFY FK и KL и далее с задней стороны
по ребрам, параллельным всем перечисленным. Развернув разрезан-
ную поверхность предмета в одну плоскость, получим его полную»
развертку (черт. 5).
Черт. 5
Черт. 6
После таких разъяснений мы построили развертку фигуры № 6Г
вырезали ее и, сложив по штриховым линиям перегиба, склеили и
получили модель заданной фигуры. При этом я указала, что для
того, чтобы иметь возможность склеить развертку, необходимо на
чертеже развертки вычертить еще припуски в виде трапеций. Как
« где вычерчивать эти припуски, полезно предоставить подумать и
попробовать самим учащимся.
Учащиеся вычерчивали развертки на форматках а-З в масштабе
2:1, т. е. в два раза увеличивали все размеры по сравнению с
размерами чертежа. Это делалось по тем соображениям, что, во-
первых, более крупные модели клеить удобнее, а во-вторых, я по-
ставила целью использовать впоследствии все сделанные модели как
наглядные пособия. В классе учащиеся только вычертили развертки,
а вырезали и склеили модели дома. На следующий урок модели
были принесены в школу (черт. 6).
В контрольном классе задание было несколько иное. Здесь уча-
щиеся получили те же карточки (черт. 4) и по ним чертили орто-
гональные и кабинетную проекции, как и в опытном классе. Но
развертку они не строили и модели не клеили. Поэтому они не
имели возможности осязать и видеть в натуре то, что чертили.
Следовательно, согласно моему предположению, им попрежнему долж-
но было быть трудно представить себе в пространстве то, что они

чертили, попрежнему было трудно читать чертеж. Для проверки
этого предположения, я дала учащимся опытного и контрольного
классов второе задание: „По двум видам некоторой фигуры по-
строить третий вид ее и кабинетную проекцию“. Задание в обоих
классах было одинаковое при равных остальных условиях. Этот
чертеж учащиеся выполняли на двух уроках только в классе (зада-
ние на черт. 7).
Правильный ответ изображен на чертеже 8.
Черт. 7
Черт. 8
Результаты проверки работ учащихся того и другого классов
были следующие.
В контрольном классе, в результате работы только с чертежом,
сдвига в развитии пространственного мышления почти не произошло.
Из 34 работ только 17 были выполнены без серьезных ошибок (если
не считать ошибок в простановке размеров, шрифте, в типах линий).
До этой же опытной работы правильных чертежей было немного
меньше: 12—14. Остальные учащиеся допускали такие серьезные
ошибки (черт. 9), которые ясно* говорили о том, что учащиеся плохо
представляют фигуру в пространстве. Они еще не умеют простран-
ственно мыслить.
А вот результаты опытного класса. В рабо-
те приняли участие 36 человек учащихся. До про-
веденного опыта с изготовлением моделей пра-
вильных чертежей было 15—18; после опыта таких
работ оказалось 31. Целый ряд учащихся, по их
собственному признанию, ясно почувствовал, что
после изготовления моделей им стало легче чер-
тить и разбираться в чертежах.
Итак, я описала опыт, который провела в VII
классах с целью развития пространственного во-
ображения учащихся. Из вышесказанного можно сделать вывод, что
изготовление моделей самими учащимися дает положительный ре-
зультат; это дает право утверждать, что для развитая пространствен-
ного воображения учащихся на первом этапе обучения черчению
недостаточны только теория и чертеж, а необходимы нaглядные
пособия в виде моделей, причем модели должны быть сделаны са-
мими учащимися.
После первой описанной работы я продолжала дальше развивать
пространственное воображение учащихся на решении ряда задач,
все более и более усложняя их. Ученикам, которые хорошо читают
чертежи, полезно давать условия задачи в словесной форме, чтобы
они по условию составляли чертежи.
Примером может служить такая задача: „Дан куб с ребром, рав-
ным 50 мм. В верхнем ближнем к нам правом углу куба сделан
вырез в форме куба, ребро которого равно 1/4 ребра заданного
Черт. 9

куба. Требуется построить ортогональные проекции и кабинетную
проекцию полученного геометрического тела“.
По этому условию учащимся, изготовлявшим модели, не трудно
представить себе искомое тело в пространстве и выполнить чертеж.
Правильный ответ на эту задачу изображен на чертеже 10.
В VIII классах основное внимание уделяется геометрическому
черчению, теоретическая сторона которого хорошо знакома учащимся
из курса планиметрии. Вместе с тем этот раздел черчения не связан
непосредственным образом с задачей развития пространственного
воображения. Но в IX классе начинается изучение новою и до-
вольно сложного материала — элементов начертательной геометрии.
Прорабатывая этот материал с учащимися, я видела, что наиболее
трудным для них является усвоение начальных сведений, т. е. ос-
воение самого метода получения эпюра, в частности метода изоб-
ражения на эпюре точки и прямолинейного отрезка, заданных
в пространстве. Большая часть учащихся механически выполняет
задания такою рода, когда же дело касается более сложного — ре-
шения задач с плоскостями, — то здесь выясняется, что все затруд-
нения зависят от неусвоенного начального материала. Ясно, что
для успешного изучения указанного раздела курса черчения необ-
ходимо достаточное развитие пространственного воображения уча-
щихся, а следовательно, необходимы соответствующие упражнения
<: моделями. Это мое предположение я проверила на следующем
опыте.
Черт. 10
ЧерТ. ц
Было предложено каждому учащемуся опытного класса к перво-
му уроку темы об эпюре точки принести трехгранный угол небольших
размеров, сделанный из картона, который можно было бы, развора-
чивая, совмещать в одну плоскость, и маленький шарик, обозначающий
точку. Учащиеся контрольного класса не должны были пользоваться
указанным пособием. Когда я рассказывала о различных положениях
точки в пространстве, сопровождая свое объяснение только черте-
жом и рисунком на доске, контрольный класс имел возможность
только слушать и зачерчивать в тетради все, что дано было на доске,
в то время, как опытный класс сопровождал все мои объяснения и
чертежи соответствующей постановкой и рассмотрением своих моде-
лей (черт. 11).
Для выяснения вопроса о том, какова разница в усвоении мате-
риала учащимися того и другого класса, я объяснила следующий
раздел: „Отрезок в пространстве и его изображение на эпюре44—при
одинаковых условиях в том и другом классе, т. е. без моделей. Ког-
да приступили к решению задач у доски, то выяснилось, что учащие-
ся опытного класса заметно лучше ориентировались в вопросах и да-
вали более четкие ответы, чем учащиеся контрольного класса. Они

могли правильно по эпюру сделать рисунок, показать в пространстве
положение отрезка и, обратно, по рисунку построить эпюр или по
заданному мною отрезку в пространстве вычертить эпюр и сделать
рисунок. Учащимся же контрольно! о класса все это давалось труднее;
особенно трудно было им устанавливать связь между эпюром и по-
ложением отрезка в пространстве. Связь рисунка с эпюром осуще-
ствлялась легче.
Таким образом, мы видим, что именно слабое пространственное
представление является тормозам при решении этих задач и что
развивать пространственные представления можно упражнениями с
моделями, о которых только что говорилось. Эти модели очень
просты, и изготовление их доступно каждому ученику. Первые, ос-
новные темы начертательной геометрии—точка, прямая и плоскость—
являются той основой элементов начертательной геометрии,без кото-
рой мы не сможем в дальнейшем, в IX и X классах, решать задачи
на пересечение геометрических тел. Поэтому я считаю, что указан-
ные первые темы начертательной геометрии нужно разрабатывать с
учащимися, сопровождая изучение основных случаев моделями.
Только после такой подготовки, в результате которой учащиеся
приобретают надлежащие навыки пространственного воображения
фигур, изображенных на чертеже, они могут более или менее сво-
бодно и правильно решать сложные задачи X класса, а в дальней-
шем переходить к чтению чертежей технических деталей, состоящих
по существу из сочетания фигур простых геометрических форм.
В IX классе мы изучаем тему: „Пересечение геометрических тел
наклонной плоскостью, перпендикулярной к одной*из плоскостей
проекций, и нахождение натурального вида сечения“.
В этом классе учащимся уже не трудно построить как проекции
того или иного геометрического тела, так и проекции сечения это-
го геометрического тела плоскостью. Так как плоскость сечения
не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то нужно уметь
найти и построить натуральную величину сечения. И вот тут я об-
наружила, что многие учащиеся не могут по чертежу представить
в пространстве весь процесс нахождения натуральной величины се-
чения и выполняют чертеж механически по заученным правилам.
Допустить такое механическое выполнение чертежа я считала не-
возможным и поэтому предложила отдельным учащимся сделать
модель: „Пересечение шестиугольной пирамиды наклонной верти-
кально-проектирующей плоскостью Р и нахождение натуральной
величины сечения“. Как сделать эту модель мы обсудили вместе с
учащимися. Решили сделать ее так, чтобы на модели можно было
проследить в натуре процесс нахождения натуральной величины
сечения методом совмещения секущей плоскости с одной из пло-
скостей проекций. Кроме того, при изготовлении этой модели уча-
щиеся должны были учесть размеры модели: она должна была слу-
жить нам демонстрационным наглядным пособием.
На чертеже 12 мы видим, что эта модель, сделанная ученицей
Кузиной, представляет собой шестиугольную пирамиду, помещенную
в трехгранный угол и пересеченную проектирующей плоскостью Р.
Вся модель сделана из плотной бумаги и картона. Пирамида
состоит из двух частей: срезанной верхней части и усечённой
нижней. Секущая плоскость Р вращается около своего горизон-
тального следа Ph до совмещения с плоскостью //. На всех трех
плоскостях проекций (Я, V и W) изображены проекции пира-

миды с сечением, соответственно ее пространственному положению.
Но ни на одной из этих проекций мы не имеем натуральной величины
сечения, так как плоскость сечения не параллельна ни одной из пло-
скостей проекций. Для демонстрации при помощи модели способа
определения натуральной величины сечения, с нижней стороны пло-
скости Р наклеен шестиугольник (цвета самой пирамиды), соответ-
Черт. 12
ствующий по форме и положению многоугольнику сечения. Сняв верх-
нюю срезанную часть пирамиды и вращая плоскость Р вокруг ее
горизонтального следа справа налево до совмещенное плоскостью Н
(черт. 13), мы увидим совмещенное изображение натуральной вели-
чины сечения. При этом можно наглядно проследить путь, описы-
ваемый в пространстве каждой из вершин сечения и проекции пути
каждой вершины на плоскости Я и V. Такое наблюдение наглядно
разъясняет учащимся способ построения натуральной^ величины се-
чения поверхности_тела плоскостью.
Черт. 13
В дальнейшем все задачи, аналогичные рассмотренной, графи-
чески решались учащимися самостоятельно и вполне осмысленно.
Таким образом и в этом случае цель была достигнута: работа над
моделью привела к надлежащему развитию пространственного во-
ображения учащихся.

Нам приходится наблюдать затруднения учащихся десятых клас-
сов при снятии эскизов, при выполнении рабочих чертежей и при
изображении технических деталей в изометрической проекции.
При этом они оперируют уже более сложными формами соче-
тания геометрических тел. Ученики уже умеют строить проекции
каждого из составных взаимно пересекающихся геометрических
тел заданной технической детали. Но их затрудняет построение
линии пересечения поверхностей этого тела, так как они не пред-
ставляют ее себе в пространстве. Развивать пространственное во-
ображение для решения таких задач более высокой степени труд-
ности полезно на особого рода наглядных пособиях, представля-
ющих соединение модели с чертежом. Я применяла такие модели-
чертежи в X классе 126-й школы при прохождении темы: „Взаимное
пересечение геометрических тел". Нескольким ученикам я предло-
жила выполнить работу следующим образом. На форматке а-4 или
Черт. 14
а-Ъ учащийся должен был вычертить в ортогональной проекции и
в изометрии взаимное пересечение прямой треугольной призмы с
наклонной треугольной пирамидой (привожу пример работы ученика
X класса „Б* 126-й школы, Квашина Юры). На этой же форматке
должна быть вычерчена полная развертка поверхности призмы с

линиями пересечения ее с поверхностью пирамиды. Затем развертка?
вырезывается по всему контуру, кроме линии MN, по которой
и отгибается. Также вырезываем на развертке призмы и два тре-
угольника, которые представляют собою линии пересечения (черт. 14).
Теперь мы можем, свернув развертку по линиям сгиба, получить
модель призмы. Пирамиду учащийся должен склеить отдельно, по-
строив предварительно по чертежу ее развертку. Эта пирамида
помещается на форматке рядом с призмой в приклеенном кармашке
„Ки. Для соединения чертежа с моделью мы складываем призму
и вставляем в нее пирамиду. Очень полезно окрасить призму и пира-
миду в различные цвета.
После изготовления таких моделей-чертежей ученики лучше
представляют в пространстве смысл и значение графических опера-
ций, выполняемых при построении чертежа, и для них значительно
облегчается задача чтения более сложных чертежей технических
деталей.
Наша школа должна обратить серьезное внимание на развитие у
советских юношей и девушек пространственного воображения на
уроках черчения и геометрии, где ощущается наибольшая необхо-
димость в этом и где мы имеем наибольшую возможность его совер-
шенствовать. Чем внимательнее педагог будет изучать процесс освое-
ния учениками учебного материала, видеть трудности и выяснять,
в чем они заключаются, тем легче будет находить пути к устранению
этих трудностей, тем продуктивнее будет протекать работа в инте-
ресующем нас направлении.
В этой статье я поделилась своим опытом работы. Многие учителя
черчения за HI маются этими же вопросами. Хотелось бы, чтобы и
они рассказали о своей работе, о своих методах преподавания. Это
поможет правильно подойти к решению вопроса о методах развития,
пространственного воображения учащихся.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ
И МЕТОДИКИ УПРАЖНЕНИЙ В РАЗВИТИИ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ
Г. А. ВЛАДИМИРСКИЙ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Содержанием настоящей статьи служит материал, полученный^
в результате работы автора над вопросом о методах использования
чертежа в процессе преподавания геометрии в целях развития про-
странственного воображения и формирования геометрических понятий
учащихся. Эта работа проводилась автором в Научно-исследователь-
ском институте школ НКП и затем в Научно-исследовательском
институте методов обучения АПН, где результаты и выводы работы
ставились на обсуждение семинара по вопросам „формирования и раз-
вития пространственных представлений“ (под руководством проф.
Н. Ф. Четверухина) и были одобрены Сектором методики матема-
тики.
Экспериментальная часть работы проводилась автором совместно
с Е. Н. Меллер—старшим научным сотрудником Лаборатории педаго-
гической психологии Московского городского педагогического инсти-
тута им. В. П. Потемкина. Задача исследования Е. Н. Меллер заклю-
чалась в выяснении психологической стороны вопроса о роли чертежа
в усвоении геометрического материала. При разработке принципов,
положенных в основу описанных в настоящей статье упражнений,,
автор опирался на психологический анализ и выводы из наблюдений^
полученные Е. Н. Меллер в результате ее участия в указанном экспе-
риментальном исследовании.
Вместе с тем автор использовал материал своего предшествую-
щего педагогического опыта, опубликованный частично в журнале
„Математика в школе“ (№ 3, 1941 г. и № 4, 1946 г.), а также послу-
живший содержанием составленных автором „Таблиц по геометрии*
(Главучтехпром, 1944 г.).
Указанная экспериментальная работа проводилась в течение
1943/1946 уч. гг. в 122-й, 125-й и 135-й школах Москвы. В дальней-
шем автор имел возможность проверить ряд упражнений, состав-
ленных на основе разработанных принципов, в 29-й, 90-й и 113-й
школах Москвы при содействии учителей этих школ М. X. Кекчее-
вой, П. И. Игумновой,, Д. И. Даниленко и Л. В. Федорович.
Москва, 1948
Г. Владимирский

ВВЕДЕНИЕ
Основной задачей преподавания геометрии является развитие
геометрическою мышления учащихся и той его существенной сто-
роны, которая выражается в умении применять теоретические зна-
ния к решению задач. В соответствии с этим одна из задач пре-
подавания состоит в развитии пространственных представлений, как
опоры геометрической мысли1.
В современной методической литературе имеются многочислен-
ные указания на то, что практика преподавания геометрии в школе
достигает поставленной цели в недостаточной степени. Авторы от-
мечают ряд недостатков в знаниях и в развитии учащихся. Наибо-
лее существенными из них являются следующие.
Запас геометрических представлений учащихся весьма ограничен;
возникающие в воображении учащихся геометрические образы обла-
дают инертностью и неподатливостью к каким-либо конструктивным
видоизменениям в.
Изучаемый геометрический материал не обобщается и не при-
водится в умах учащихся в ясно осознанную систему понятий8. Не-
редко можно обнаружить у учащихся неправильные геометрические
представления. Часто при анализе геометрических соотношений и
распознавании геометрических образов ученики обнаруживают неуме-
ние отличать существенные признаки от второстепенных, не пони-
мают значения необходимых признаков и признаков достаточных4.
Учащиеся не научаются применять приобретенные знания на но-
вом материале. Они с трудом решают геометрические задачи5 и,
умея правильно доказывать теорему при привычном расположении
чертежа, не могут повторить доказательства при другом ею рас-
положении6.
Перечисленные недостатки в знаниях учащихся по геометрии
представляют проявление одною общею недостатка в школьной
педагогической работе> именуемою формализмом в знаниях уча-
щихся.
В методической литературе многие авторы отмечают, что одна
из причин формализма лежит в недостатках методики преподавания
предмета; это та причина, борьбу с которой можно вести в самой
практике школьной работы.
Недостатки методики преподавания геометрии прежде всего об-
наруживаются в характере изложения предмета в школьном учебнике.
Изложение курса отличается абстрактностью и в значительной своей
части не соответствует возрасту и общему развитию учащихся. При
отсутствии в учебном плане наглядною пропедевтическою курса гео-
метрии, в учебнике недостает иллюстративною материала, способ-
ствующего расширению запаса геометрических представлений уча-
1 Программы средней школы. Математика, Учпедгиз, 1948.
2 Т. Песков, Пространственные представления учащихся средней школы.
«Математика в школе", 1940, № 1.
* К. Шевченко, Вопросы элементарной математики, способствующие раз-
витию математически обобщающего мышления. „Математика в школе“, 1937, № 1.
4 К. Краевский, Трудности при прохождении курса стереометрии.» Матема-
тика в школе“, 1937, № 4.
5 М. Астряб, Почему трудно решать геометрические задачи на вычисление.
„Математика и физика в средней школе“, 1935, № 5.
6 А. Хинчин, О формализме в школьном преподавании математики. „Совет-
ская педагогика“, 1944, № Ц_12.

щихся. В силу этого изучение предмета сводится на практике лишь
к заучиванию и воспроизведению доказательства теорем, в то время
как общие положения, устанавливаемые в теоремах, не осознаются
в надлежащей мере. Обобщению свойств геометрических фигур и
формированию понятий в учебнике не уделяется должного внима-
ния. Теорема усваивается как частный случай, применительно к дан-
ному в учебнике чертежу.
Указанные недостатки учебника не выправляются и дополнитель-
ными пособиями в виде сборников задач, упражнений, наглядных
пособий и пр. В задачах, преимущественно вычислительных, не всегда
в достаточной мере представлен конструктивный элемент, вследствие
чего роль задач в развитии пространственного мышления оказывается
весьма незначительной. Наглядные пособия в виде чертежей и моде-
лей, применяемые в практике преподавания, предназначены главным
образом для того, чтобы облегчить учащимся получение представле-
ния изучаемой фигуры. Ознакомление учащихся с такого рода .на-
глядными пособиями часто носит характер пассивного созерцания и
не побуждает их к активному пространственному мышлению.
1. ВОПРОС О РОЛИ ЧЕРТЕЖА В РАЗВИТИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО
ВООБРАЖЕНИЯ
Чертеж как наглядное пособие в преподавании геометрии
Перечисленные в введении недостатки методики преподавания
геометрии требуют своего исправления. Одной из мер такого исправ-
ления может служить улучшение методов применения наглядного
материала в преподавании геометрии. В практике Школьного препо-
давания имеется весьма большое число различных видов наглядных
пособий по геометрии. Каждый из этих видов имеет свое учебное
назначение, многие обладают весьма ценными педагогическими ка-
чествами и заслуживают должного внимания. Можно, однако, заме-
тить, что наиболее доступным по простоте изготовления и наиболее
распространенным и употребительным в школьной практике видом
наглядных пособий по геометрии является графический наглядный
материал, т. е. чертеж.
Обзор графического материала наиболее распространенных учеб-
ных пособий (учебников, задачников, стенных таблиц), вышедших
в свет на протяжении нескольких последних десятилетий, показывает,
что внимание составителей JK чертежу, как вспомогательному учеб-
ному средству, неуклонно возрастает. На это указывает увеличение
числа чертежей, иллюстрирующих курс геометрии в учебниках, вве-
дение иллюстративного материала в условия геометрических задач,
выпуск отдельных таблиц, дополняющих учебники разнообразными
иллюстрациями фигур, изучаемых в курсе геометрии, повышение
внешних качеств—четкости, наглядности, выразительности чертежа
и т. п. Общей методической чертой указанных мероприятий по ис-
пользованию чертежа является стремление облегчить понимание
учебного материала и, обогатить запас геометрических представле-
ний учащихся.
Вместе с тем в методический литературе последних лет была
весьма успешно разработана идея использования закономерностей

проекционного чертежа с целью его применения в процессе препо-
давания как вспомогательного инструмента для „эффективного*
решения стереометрических задач на построение1.
Отсутствие разработанной системы приемов применения
чертежа в преподавании геометрии
Однако изучение опыта школьной работы обнаруживает, что
графический материал не используется в процессе преподавания
в полной мере. Не определено с надлежащей отчетливостью значе-
ние чертежа как методического средства; не освещена с полной
ясностью роль чертежа в достижении основных задач преподавания
геометрии, т. е. в развитии геометрического мышления и простран-
ственных представлений; отсутствует планомерно разработанная си-
стема приемов применения чертежа в курсе геометрии в связи с изу-
чением теоретического материала, а также в связи с применением
других наглядных пособий.
Для выяснения указанных вопросов нами была проведена экспе-
риментальная работа, основными совместными целями которой были,
во-первых, выяснение психологической стороны вопроса о роли чер-
тежа в усвоении геометрического материала и, во-вторых, на основе
полученных результатов, разработка методики использования чертежа
в процессе преподавания геометрии.
2. ОРГАНИЗАЦИЯ И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ
Постановка вопроса исследования
Вся работа была разделена на две серии экспериментов в соот-
ветствии с содержанием вопросов, поставленных для исследования.
Первая серия экспериментов в психологической своей части имела
целью выяснить роль чертежа в развитии геометрических представ-
лений и пространственного воображения; в методической части цель
эксперимента состояла в том, чтобы на основе полученных выводов
разработать методы применения соответствующих упражнений в
практике преподавания.
Вторая серия экспериментов ставила своей психологической зада-
чей выявление роли чертежа в формировании правильных геометри-
ческих понятий и в развитии навыков применения приобретенных
знаний к решению задач. Равным образом педагогической целью экс-
перимента была разработка и проверка упражнений, направленных
на развитие соответствующих интеллектуальных качеств учащихся.
Этапы экспериментальной работы
Обе серии экспериментов состояли из трех частей.
В первой части проводились контрольные опыты, которые имели
целью выявить, как оперируют учащиеся чертежом в процессе ус-
воения геометрии. Выводы, полученные после психологического
1 Эта работа с исчерпывающей полнотой завершена проф. Четверухиным
в книге „Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии*, Учпедгиз, 1946*

анализа результатов первой части экспериментов, послужили основой
для разработки специальных упражнений, соответствующих методи-
ческим задачам, поставленным в каждой серии экспериментов.
Вторая часть каждой серии исследований заключалась в экспери-
ментальной проверке (на основе психологических наблюдений) и в
окончательной разработке указанных упражнений, проводимых с те-
ми же испытуемыми.
Третья часть исследования состояла в заключительное контроль-
ном опыте с целью анализа качественных сдвигов в развитии испы-
туемых в интересующем нас направлении.
Выбор учебного материала и подбор учащихся
В качестве экспериментального учебного материала по курсу
планиметрии были взяты чертежи к теоремам о равенстве треуголь-
ников (третий случай), о внешнем угле треугольника и о треуголь-
никах с двумя соответственно равными сторонами; по курсу стерео-
метрии был выбран материал, связанный с теоремами о параллель-
ности и перпендикулярности прямых и плоскостей.
Работа проводилась в форме индивидуального эксперимента,
для которого были привлечены учащиеся VI и IX классов 122-й,
125-й и 135-й средних школ Москвы. Выбор указанных классов
мотивировался тем, что в этих классах учащиеся знакомятся с ос-
новными геометрическими образами и понятиями, надлежащее ос-
воение которых обусловливает успешность дальнейшего изучения
планиметрии (VI класс) и стереометрии (IX класс).
Через первый, контрольный эксперимент обеих серий прошли
все указанные учащиеся. После контрольного эксперимента в груп-
пе каждого класса среди испытуемых, которые неудовлетворитель-
но выполнили контрольные задания, были выделены по две под-
группы. С одной из этих подгрупп каждого класса были проведены
эксперименты на упражнение, после чего в заключительном конт-
рольном эксперименте участвовали испытуемые, прошедшие через
упражнение, и испытуемые второй подгруппы каждого класса, уча-
ствовавшие только в предварительном контрольном испытании, но не
принимавшие участия в упражнении. Таким образом вторая под-
группа каждого класса являлась контрольной с целью выявления
результатов упражнения.
Подготовительные мероприятия
Чтобы исключить влияние на результаты исследования простого
забывания пройденного материала, всем испытуемым, приступающим
к эксперименту, предлагалось вспомнить по учебнику (под пассив-
ным наблюдением экспериментатора) тот учебный материал, кото-
рый составлял содержание дальнейших экспериментальных заданий.
Для учащихся шестых классов этот учебный материал содержался
в § 42, 43, 44 и 52, I части учебника Киселева; для учащихся
IX классов-§ 9, 10, 11, 14, 15, 16, 23, 24 и 28, II части учебника Ки-
селева.
Кроме того, учащиеся IX класса перед тем, как приступить к
выполнению контрольных заданий были ознакомлены в наглядной

форме с элементарными правилами условного изображения про-
странственных геометрических фигур.
Основанием для такой меры послужили следующие соображе-
ния.
Изучая курс планиметрии, учащиеся привыкают оперировать с
чертежом геометрической фигуры, как с самой фигурой, непосред-
ственно заключающей в себе присущие ей геометрические свойства.
Правильный чертеж плоской фигуры позволяет непосредственно
выполнять на нем необходимые исследования и получать выводы,
графически соответствующие действительным свойствам фигуры.
В стереометрии для целей исследования свойств фигуры невоз-
можно такое отождествление чертежа с изображенной на нем фи-
гурой. Всякое плоское изображение трехмерной фигуры содержит
в себе ряд графических условностей. Правильное представление
изображенной фигуры или, как говорят, чтение чертежа возможно
лишь при освоении некоторых основных правил условного изобра-
жения пространственных фигур на плоскости. Лишь при выполне-
нии этого требования стереометрический чертеж может служить
полноценным учебным пособием и позволяет при решении задач
получать на самом себе графические ответы в условной, но вполне
определенной форме, соответствующие действительности.
В школьном учебнике1 об условностях стереометрического чер-
тежа сказано лишь, что „пространственные фигуры изображаются
на чертеже при помощи рисунков, которые производят на-глаз
приблизительно такое же впечатление, как сама фигура. Эти ри-
сунки выполняются по определенным правилам...“ „Многие предметы
имеют форму прямоугольника...“, „...при этом, если смотреть на эти
предметы под углом с большого расстояния, то они представляются
нам имеющими форму параллелограма. Поэтому принято изображать
плоскость на чертеже в виде параллелограма“ (черт. 1).
В дальнейшем изложении курса в учебнике, а также в общепри-
нятом задачнике не дается никаких указаний по поводу правильного
построения наглядных изображений трехмерных фигур. Учащиеся
воспроизводят изучаемые геомет-
рические фигуры путем подража-
ния иллюстрациям учебника и об-
разцам учителя на классной доске
и испытывают большие трудности
при необходимости изобразить
какую-нибудь фигуру в новых ус-
ловиях, отличных от имеющихся
у них образцов. Школьный опыт показывает, что многие учащиеся
не только с трудом изображают, но нередко и плохо понимают
чертежи пространственных фигур. Таким образом в школьной прак-
тике часто стереометрический чертеж превращается из наглядного
пособия в дополнительное затруднение при изучении геометриче-
ского материала.
Чтобы устранить влияние на результаты нашей эксперименталь-
ной работы указанных затруднений в построении и в чтении черте-
жей пространственных фигур, мы провели с учащимися IX класса
до контрольного эксперимента следующие упражнения.
Черт. 1
1 Киселев, ч. II, стр. 3, черт. 1.

Предварительные упражнения
Упражнение 1. Чертеж изображает куб (черт. 2).
В таком виде в геометрии изображают куб, если он поставлен
на горизонтальную плоскость слева перед глазами, ниже уровня
глаз. Передняя грань куба занимает фронтальное положение.
Видимые очертания передней грани не искажаются, т. е. сохра-
няют форму квадрата. Направление и размеры ребер этой грани не
изменяются по сравнению с действительными (например, АВ, АА1).
Видимые очертания двух других граней, не совпадающих с фрон-
тальной плоскостью, искажаются и принимают форму параллело-
грамов. Направление и размеры ребер, непараллельных фронтальной
плоскости, изменяются пр сравнению с действительными (например,
ВС. AtDt).
1. Поставьте модель куба на столе так, чтобы фигура куба по
своему виду представлялась похожей на данное изображение. Ско-
пируйте данное изображение куба.
2. Представьте мысленно куб, поставленный справа перед гла-
зами ниже уровня глаз, и начертите его изображение. Поставьте
на столе модель куба в соответствующее положение.
3. Начертите отдельно только одну горизонтальную грань куба
в двух положениях: слева от глаз и справа от глаз.
Упражнение 2. Чертеж изображает куб (черт. 3.)
Черт. 2
Черт. 3
В таком виде изображают куб, поставленный на горизонтальную
плоскость прямо перед глазами ниже уровня глаз. Ни одна из
граней куба не совпадает с фронтальной плоскостью; поэтому ви-
димые очертания всех граней куба, поставленного в такое положе-
ние, искажаются.
1. Поставьте на столе прямо перед глазами модель куба так,
чтобы фигура куба представлялась похожей на данное изображение.
2. Скопируйте данное изображение куба.
Упражнение 3. На плоской сетке прямоугольника Р, распо-
ложенной фронтально, изображены три фигуры: 1) равнобедренный
треугольник, 2) прямоугольник и 3) правильный шестиугольник
(черт. 4).
Чертеж показывает, что очертания изображений этих фигур из-
менятся, если плоскость Р наклонить под произвольным углом
к фронтальному положению.
Из чертежа видно, что при повороте 'плоскости на изображении
ме изменяются длины отрезков, оставшихся параллельными фрон-
тальной плоскости (например, основание треугольника) и сохраня-
ются следующие соотношения между элементами фигур: парал-

лельность прямых (например, параллельность сторон шестиугольника)
и отношение отрезков, лежащих на одной прямой (например, отно-
шение отрезков медиан треугольника).
Укажите на чертеже 4 все от-
резки, которые при повороте пло-
скости Р вокруг оси XX: 1) не из-
менят на чертеже свою длину, 2) ос-
танутся на чертеже взаимно парал-
лельными, 3) сохранят на чертеже
отношение длин.
Упражнение 4. Части фигуры,
расположенные за непрозрачной по-
верхностью, принято изображать
штриховыми линиями.
На чертеже изображен парал-
лелепипед. Три задних ребра парал-
лелепипеда закрыты от глаз гранями
параллелепипеда, поэтому они изображены на чертеже штриховыми
линиями (черт. 5).
Начертите фигуру параллелепипеда, помещенного справа ниже
уровня глаз при фронтальном положении передней грани; примените
штриховые линии для изображения закрытых от глаз ребер.
Упражнение 5. Фигура 1, изображенная на чертеже, пред-
ставляет геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоско-
стями (треугольная призма), (черт. 6).
Черт. 4
Черт. 5
Черт. 6
1. В чем состоит различие в изображении второй и третьей
фигур сравнительно с первой? Какое различие в действитель-
ном строении трех фигур указывается штриховыми линиями?
2. Какую форму имеют плоские фигуры, ограничивающие прост-
ранство, занимаемое фигурой 1?
3. Какую форму имеют плоские фигуры, из которых составлена
пространственная фигура 2?
Упражнение 6. На чертеже изображена одна и та же фигура
в двух различных положениях (черт. 7).
1. Покажите на модели, как надо поместить перед глазами фи-
гуру, представленную на чертеже, чтобы она была видна соответ-
ственно изображению 1; соответственно изображению 2.
2. Какие признаки на чертеже должны указывать правильный
ответ на заданный вопрос?
Упражнение 7. Изображенная на чертеже плоскость Af, рас-
положена в пространстве горизонтально (черт. §).

1. Укажите на чертеже все прямые, расположенные в простран-
стве горизонтально и наклонно.
2. Укажите прямолинейный отрезок, пересекающий плоскость М.
Дайте обоснование ваших ответов. Скопируйте данную фигуру.
Упражнение 8. На чертеже показано перемещение прямо-
угольника из положения Р1, в положение Р2 посредством поступа-
тельного движения (черт. 9).
Черт. 7
Черт. 8
Движение фигуры называется поступательным, если при
перемещении всякая прямая, принадлежащая фигуре, остается
параллельной сама себе.
Видимые очертания фигуры на чертеже при поступательном
перемещении не изменяются.
Скопируйте чертеж и изобразите на нем данный прямоуголь-
ник в каких-нибудь новых положениях, которые он займет при даль-
нейшем поступательном движении в том же направлении.
Упражнение 9. На чертеже показано перемещение прямо-
угольника из положения Р1 в положение Р2 посредством вращатель-
ного движения вокруг оси MN (черт. 10).
Черт. 9
Черт. 10
Движение фигуры называется вращательным вокруг оси,
если все точки фигуры описывают окружности. Центры этих окруж-
ностей лежат на одной прямой — оси вращения. При вращательном
движении положение оси вращения в пространстве не изменяется.

На изображении все прямолинейные отрезки, параллельные оси
вращения, сохраняют свою параллельность и размеры и в новом
положении фигуры.
Скопируйте чертеж и изобразите на нем данный прямоугольник
в каком-нибудь новом положении, которое он займет при вращении
вокруг оси MN.
Описанные упражнения проводились под руководством экспери-
ментатора при непосредственном его содействии в устранении труд-
ностей и ошибок учащихся.
Методические обоснования предварительных упражнений
При разработке содержания и методики этих упражнений мы счи-
тали наиболее целесообразным начинать упражнения в понимании
стереометрического чертежа с рассмотрения геометрических фигур
в целом и лишь после усвоения условностей чертежа на таких
изображениях переходить к изображениям изолированных элементов,
пространственных фигур. С простейшими геометрическими телами,
с кубом, прямоугольным параллелепипедом учащиеся знакомы из.
повседневного обихода и из курса начальной школы. Первые изо-
бражения этих тел мы сопровождаем показом объемных моделей.
Показывая в первом упражнении (черт. 2) изображение куба и
одновременно его модель, мы обращали внимание учащихся на то,
что очертания изображения соответствуют {приближенно) видимым
очертаниям модели только при положении этой модели перед гла-
зами в некоторой определенной зоне пространства (например, на
нашем чертеже слева перед глазами ниже уровня глаз). Глядя на
изображение модели, учащиеся находили ее положение в прост-
ранстве в приближенном соответствии с данным изображением.
Одновременно, пользуясь гранями модели куба, мы знакомили
учащихся с так называемым фронтальным положением плоскости*
как положением, связанным с направлением взора наблюдателя,
смотрящего „прямо" перед собой (понятие взаимной перпендику-
лярности прямой и плоскости еще не было известно учащимся).
Затем учащиеся анализировали на изображении форму очертаний
отдельных граней фигуры; эта форма сопоставлялась с действи-
тельной формой этих граней и их расположением относительно
фронтальной плоскости.
Наконец, учащимся предлагалось изобразить куб, сохранив фрон-
тальное положение передней грани, но расположив его в новом по-
ложении перед глазами, именно справа ниже уровня глаз. Мы стре-
мились к тому, чтобы учащиеся не только умели узнавать форму
фигуры по ее изображению, но и научились по определенным услов-
ностям изображения мысленно ориентировать фигуру перед своими
глазами.
Такого рода сопоставление видимого очертания модели с ее
изображением, равносильное приближенному отождествлению глаза
наблюдателя с проектирующим аппаратом, мы считаем единственна
возможным (на данном этапе обучения) приемом объективного обо-
снования условностей стереометрического чертежа. Мы полагаем,
что наглядность чертежа в значительной степени облегчает геомет-
рическое исследование изображенной фигуры. Поэтому в методиче-
ском отношении весьма полезно развивать умение надлежащим об-

разом ориентировать фигуру перед глазами для получения наиболее
наглядного изображения. Вместе с тем мы полагаем, что навыки
в мысленном отнесении фигуры в пространстве (перед глазами)
в соответствии с ее изображением так же, как и умение выполнять
обратную задачу, свидетельствуют о положительных сдвигах в раз-
витии пространственного воображения учащихся.
Проделай указанный анализ изображения фигуры в целом, уча-
щиеся заканчивают первое упражнение построением изображений
изолированных частей фигуры, например, отдельно верхней или бо-
ковой грани,при заданном положения куба в пространстве.
В упражнении 2 (черт. 3) учащиеся знакомились с изображением
куба, расположенного так, что он не имел ни одной грани в фрон-
тальной плоскости. Это упражнение являлось дополнением к пре-
дыдущему в развитии той же методической задачи, которая была
поставлена в первом упражнении.
Упражнение. 3 (черт. 4) имело своей целью познакомить учащихся
в наглядной форме с основными свойствами параллельных проек-
ций В этом упражнении приводились в систему те наглядные све-
дения о правилах изображения пространственных фигур, которые
учащиеся получили в первых двух упражнениях.
Заметим, что геометрическое обоснование свойств параллельных
проекций на первых уроках стереометрии в IX классе невозможно
из-за недостатка необходимых знание у учащихся.
Упражнения 4, 5, 6 и 7 (черт. 5, 6, 7 и 8) знакомили учащихся
с некоторыми условностями внешнего, чисто графического харак-
тера, придающими чертежу большую удобочитаемость и выразитель-
ность. К таким условностям мы относим, во-первых, различную тол-
щину линий для выделения на чертеже заданных и искомых по
условию задачи частей фигуры (линиями наибольшей толщины)
и вспомогательных * построений (тонкими линиями) и, во-вторых,,
штриховые линии (прерывистые) для обозначения частей фигуры,,
закрытых какой-либо поверхностью, входящей в состав фигуры.
Специфической условностью стереометрического чертежа являются
штриховые линии в указанном их значении.
Анализируя под руководством экспериментатора чертежи 5, 6, 7
и 8, учащиеся получили представление о том, как условные линии
чертежа помогают выявить различие в структуре геометрических
фигур и в пространственном их положении без дополнительных
словесных пояснений. Так, например, на чертеже 6 при указанном
понимании штриховых линий первая фигура может быть принята за
геометрическое тело (призма) в то время, как вторая фигура может
изображать только призматическую поверхность (призму, „откры-
тую“ сверху); на том же основании третью фигуру нужно понимать,,
как составленную из девяти прямолинейных отрезков и не ограни-
ченную плоскостями. Равным образом из анализа чертежа 8 можно
усмотреть, что отрезки OB, ОС, OD и СВ лежат в плоскости М>
в то время, как отрезок АА1 проницает плоскость М в точке О и
т. д.
В упражнениях 8 и 9 /учащимся было показано на чертежах 9
и 10, как изображаются заданные фигуры в результате простейшего
перемещения их в пространстве путем поступательного движения
(черт. 9) или вращения вокруг оси (черт. 10).

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
Первая серия контрольных экспериментов
Как было указано, цель контрольных экспериментов первой се-
рии состояла в том, чтобы выяснить, какую роль играет чертеж при
выполнении учащимися мысленных конструктивных операций над
-фигурой, изображенной на чертеже.
Испытуемым VI класса были предложены следующие два зада-
ния.
Задание 1. На чертеже даны два треугольника с соответствен-
но равными сторонами (черт. 11).
Докажите равенство этих треугольников, приложив для этого
треугольник ABC к треугольнику DEF так, чтобы совпали равные
стороны ВС и DF.
Задание 2. На чертеже даны два треугольника, имеющие по
две соответственно равные стороны, углы между которыми не рав-
ны (черт. 12).
Черт. 11
Черт. 12
Для доказательства известной вам теоремы о таких треуголь-
никах, наложите треугольник ABC на треугольник DEF так, чтобы
совпали стороны АС и DF.
В соответствии с целью нашего эксперимента мы ограничивали
наблюдения тем моментом, когда в ходе доказательства испытуе-
мый, правильно приложив треугольники друг к другу (или наложив
друг на друга), получал на чертеже фигуру, необходимую для даль-
нейших рассуждений, или, если после некоторых тщетных попыток
испытуемый отказывался выполнить указанную операцию.
Учащиеся IX класса были привлечены к первой серии экспери-
ментов до знакомства с теоретическим материалом курса стерео-
метрии. Поэтому требования к выполнению заданий первой серии
базируются на навыках, полученных учащимися в результате про-
веденных предварительных упражнений, на наглядности материала
и на анализе геометрических соотношений в пределах курса плани-
метрии.
Испытуемым IX класса были предложены следующие два зада-
ния.
Задание 1. Фигура ABCD изображает квадрат, произвольно
расположенный в пространстве. Фигура EFG лежит в плоскости
квадрата (черт. 13).
Расположите мысленно квадрат ABCD в фронтальной плоскости
и начертите его вместе с изображенной фигурой EFG.

Задание 2. Две прямоугольные пластинки Р и Q приставле-
ны друг к другу своими сторонами и пересечены прямой линией MN
(черт. 14).
Изобразите данную фигуру, поставив ее мысленно так, чтобы
угол между пластинками был виден с внутренней стороны.
Черт. 13
Черт. 14.
Анализ наблюдений по первой серии контрольных
экспериментов
Из наблюдений выяснилось, что для успевающих учеников
VI класса мысленный процесс перемещения фигуры для надлежа-
щего расположения ее в другом месте плоскости не представлял
затруднений.
Точно так же и успевающих учащихся IX класса не затрудняло
мысленное перемещение заданных фигур и представление их в но-
вом положении в пространстве, равно как и обоснование правильности
начерченного ими нового изображения фигуры.
Психологический анализ1 выполнения заданий показал, что путь
решения заданий успевающими испытуемыми характеризуется тесной
взаимной связью процесса восприятия с анализом условия задачи,
сопровождающего чертеж. Прочитывая условие, испытуемые сразу
осознавали те геометрические соотношения в чертеже, которые необ-
ходимы для решения задания. В случае отсутствия соответствующих
указаний в условии (например, указания о параллельности EG и GF
сторонам квадрата на чертеже 13), они обращались с вопросом к экспе-
риментатору.
Наблюдения над выполнением заданий слабыми учащимися (и ча-
стью средними) как в VI, так и в IX классе обнаружили, что в процессе
мысленного перемещения фигур у этих испытуемых возникали раз-
личные трудности.
Они не могли мысленно вывести фигуру из того положения,
в котором видели ее на чертеже, и вместе с тем не усматривали
в чертеже тех геометрических соотношений, на которые надлежит
опираться для правильного выполнения нового чертежа.
В некоторых случаях малоуспевающие испытуемые VI класса пыта-
лись'выполнить задание механически, не представляя в уме необхо-
димых по условию перемещений треугольника, но стараясь по памяти
1 При ссылках на психологический анализ наблюдений во всем дальнейшем из-
ложении мы пользовались выводами Е. Н. Меллер, полученными ею в результате
участия в описываемой экспериментальной работе и изложенными в ее статье .Роль
чертежа в усвоении геометрического материала“. (Указанная статья Е. Н. Меллер
подготовлена к опубликованию в ученых записках Лаборатории педагогической
психологии.)

построить фигуру, похожую на соответствующие чертежи учебника
(черт. 15 и 16)1.
Однако такое формальное, лишенное осмысленной цели выпол-
нение заданий или явно приводило к неверным решениям (например,
черт. 17 и 18) или обнаруживалось из более детального опроса
экспериментатором.
Черт. 15
Черт. 16
Малоуспевающие испытуемые IX класса при попытках дать реше-
ние задачи ./нередко опирались на общее впечатление, фактически
получаемое от данного чертежа как плоской фигуры.
Так, например, испытуемая 3. непосредственно восприняла фигуру
EFG (черт. 13), как равнобедренный треугольник и начертила его
равнобедренным после мысленного поворота квадрата в фронталь-
ную плоскость. Чтобы сторона EF не совпадала с диагональю АС,
она удлинила стороны AD и ВС, придав фигуре ABCD форму прямо-
угольника (черт. 19).
Черт. 17
Черт. 18
Испытуемые Э„ 3., А. и другие в задании 2 мысленно повернули
двугранный угол и правильно зарисовали его, но наклон прямой, пере-
секающей грани Р и Q, они оставили таким же, каким он фактически
задан на плоскости чертежа (черт. 20). Вследствие этого изображе-
ние точек встречи прямой с гранями Р и Q отличалось на чертежах
испытуемых грубым искажением по сравнению с действительным их
наложением относительно контуров граней (черт. 21).
Психологический анализ выполнения заданий неуспевающими уча-
щимися VI и IX классов показал, что характерной чертой в процессе
выполнения испытуемыми заданий на мысленное перемещение фигур
являлась связанность воображения чертежом, предложенным в задаче.
Трудности мысленного перемещения фигур малоуспевающие харак-
теризовали словами: .треугольник не двигается1*, „его трудно повер-
нуть44, „фигура не поворачивается*, „не удается увидеть ее_поверну-
1 Киселев, ч. I, § 42, черт. 47 и § 52, черт. 57.

той41, „она исчезает при попытках перенесения* и т. п. Таким образом
испытуемые, будучи не в состоянии преодолеть инертность зритель-
ного образа, отказывались от выполнения* задания или давали не-
правильные ответы.
Черт. 19
Черт. 20
Вторая серия контрольных экспериментов
Цель контрольных экспериментов второй серии состояла в том,
чтобы выявить роль чертежа в формировании геометрических поня-
тий и в процессе применения усвоенных геометрических положений
в новых условиях.ч
Испытуемые VI класса должны были решить в контрольном экспе-
рименте Следующие два задания:
Задание 1. Отметьте (дугой) внешние углы треугольника ABC,
изображенные на данном чертеже (черт. 22). Постройте недостаю-
щие внешние углы треугольника ABC.
Черт. 21
Черт. 22
Задание 2. В треугольнике ABC проведена произвольная пря-
мая AD (черт. 23).
На основании какой теоремы можно утверждать, что
^BDA>^BCA?
При выполнении первого задания испытуемые должны были
применить к заданной фигуре признак внешнего угла треугольника
и найти на чертеже все углы, удовлетворяющие этому признаку.
Ошибки в решении задания обнаруживали неправильно сложившееся
понятие внешнего угла треугольника,—наличие в этом понятии не-
верных признаков данного геометрического соотношения.

Выполнение второго задания должно было показать умение исполь-
зовать усвоенное геометрическое положение (о внешнем угле тре-
угольника) в применении к геометрической фигуре, отличающейся
от привычного чертежа учебника и содержащей геометрические
соотношения, маскирующие признак внешнего угла.
Испытуемым IX класса были предложены следующие задания:
Черт. 23
Черт. 24
Задание 1. На чертеже изображен параллелепипед (черт. 24)..
Все грани этого параллелепипеда—прямоугольники.
1. Представьте мысленно плоскость, проходящую через прямую
СС1 и через точку Е. В каком направлении пройдет линия пересе-
чения этой плоскости с плоскостью передней грани?
На основании какой теоремы можно определить положение этой!
линии на указанной грани?
2. Скопируйте чертеж и постройте на поверхности параллеле-
пипеда линии сечения заданной плоскостью.
Задание 2. Прямые, начерченные на плоскостях 1, 2 и 3„
соответственно параллельны между собой (черт. 25).
Черт. 25
Черт. 26
1. Имеется ли в заданном условии достаточно данных, чтобы
установить параллельность плоскостей 1 и 2; параллельность плоско-
стей 2 и 3; параллельность плоскостей 1 и 3?
Задание 3. На чертеже изображен куб (черт. 26). Все грани
куба — квадраты.
Соедините мысленно вершину С с точками А и В и в треуголь-
нике ABC определите величину угла при вершине В, не делая для
этого дополнительных построений.
Дайте геометрическое обоснование вашего ответа.

При выполнении этих заданий испытуемые должны были по усло-
вию задачи (выраженному в словесной и графической форме), пред-
ставить в пространстве заданную фигуру, выделить в фигуре опре-
деленные соотношения и подыскать геометрические положения (тео-
ремы), на основании которых можно ответить на вопрос задания.
Геометрические, положения, лежащие в основе решения предложенных
заданий, выражены в теоремах о прямой, параллельной плоскости,
(задание 1), о двух параллельных плоскостях (задание 2), о перпен-
дикуляре к плоскости и перпендикуляре к прямой, лежащей в пло-
скости (задание З)1. Геометрические соотношения, составляющие
содержание указанных теорем, по своему оформлению отличаются от
соответствующих чертежей учебника, во-первых, своего рода зама-
скированностью элементов, составляющих соотношение и, во-вторых,,
взаимным пространственным расположением этих элементов. В то
время как чертеж учебника представляет некоторое явное изолиро-
ванное изображение только тех элементов и соотношений, о которых
трактует теорема, в предложенных нами заданиях (задания 1 и 3) эти
же элементы являются составными частями некоторой сложной фи-
гуры, содержащей, кроме рассматриваемых в задании соотношений,
ряд других, не имеющих отношения к поставленному в задании во-
просу. Поэтому решение предложенных заданий заключает* в себе
некоторую трудность, состоящую в необходимости выделить в дан-
ной фигуре именно те соотношения, которые при сопоставлении
с искомыми составят основные компоненты (условие и заключение)-
одной из знакомых учащимся теорем. Указанная трудность усугуб-
ляется (во всех трех заданиях) необходимостью „узнать** надлежащее
геометрическое соотношение при таком взаимном пространственном,
расположении элементов, которое не сходное расположением на знако-
мом* чертеже учебника.
Отметим, что в условия заданий 1 и 3 нами введены геометри-
ческие тела, изучение которых не входит в учебную программу
IX класса. Мы считаем, однако, что отсутствие у учащихся IX класса
систематических сведений о строении и свойствах параллелепипеда,
не служит препятствием для вполне обоснованного решения предло-
женных заданий. Решение должно опираться на данное в тексте
указание о форме граней,, на наглядное изображение параллелепи-
педа и на то общее представление формы этого тела, которое уча-
щиеся имеют из окружающего опыта.
Решение задания 1 распадается на следующие этапы. Прежде
всего испытуемые должны определить положение ребра СС1 отно-
сительно грани АА1В1В (черт. 24). Для этого нужно „усмотреть*
в ребре ВВ1 прямую, лежащую в плоскости грани АА1В1B, а в реб-
ре СС1—прямую, параллельную прямой ВВ1 располо-
женной в этой плоскости. В усмотренных соотношениях
испытуемые должны „узнать*4 первую часть (условие) знакомой тео-
ремы2 и сформулировать надлежащий вывод (заключение) о парал-
лельности ребра CCj грани АА1В1В. Далее требуется сопоставить
с искомой линией пересечения секущую плоскость, кото-
1 Киселев, ч. И, § 10, 11, 15, 23, 28.
2 Теорема. Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, расположенной,
в плоскости, то она параллельна самой плоскости (Киселев, ч. II, § 10).

рая проходит через прямую СС1, параллельную дру-
гой плоскости, и пересекает эту плоскость, и усмотреть
в этом геометрическом соотношении содержание другой знакомой
теоремы1. Такое сопоставление должно привести к формулировке
соответствующего вывода.
В качестве наглядного ориентира к указанной цепи узнаваний и
сопоставлений учащимся служит чертеж учебника (черт. 27).
В задании 2 испытуемые должны,
сопоставляя вопрос задания с теми дан-
ными, которые имеются в условии 'этого
задания, вспомнить формулировку тео-
ремы, устанавливающей признаки парал-
лельности двух плоскостей2, и усмот-
реть в заданных на чертеже соотноше-
ниях наличие необходимых признаков
для обоснованного ответа на поставлен-
ный вопрос. Чертеж учебника (черт. 28),
на который учащиеся могут опираться (по памяти) при решении за-
дания 2, отличается от чертежа задания следующими особенностями.
В то время как на чертеже учебника каждая пара отрезков, ле-
жащих-в одной плоскости, выходит из одной точки и образует
равные углы, на чертеже задания эти отрезки образуют неравные углы
(плоскости 2 и 3) или совсем не составляют угла (плоскость 1).
При выполнении задания 3 испытуемые должны прежде всего по
указанию—„все грани куба—квадраты“—заключить, что АЕ JL FD и
что СЕ±ил. AFED. После этого для решения основного вопроса
задания нужно усмотреть в соотношении прямых АЕ, СВ и BF ком-
поненты условия, так называемой^ „теоремы о трех перпендикуля-
рах44, т. е. прямую {АЕ), проведенную в плоскости (AFED)
через основание наклонной (СВ) перпендикулярно
к ее проекции3 (BF), и сделать отсюда соответствующий вывод
о перпендикулярности прямых СВ и АВ. В качестве опорного на-
глядного образа для указанных сопоставлений и узнаваний уча-
щимся служит (по памяти) чертеж учебника (черт. 29).
Черт. 27
Черт. 28
Черт. 29
1 Теорема, Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой пло-
скости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна первой
прямой (Киселев, ч. II, § 11).
Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны (Ки-
селев, ч. II, § 15).
Теорема. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к ее проекции, перпендикулярна и к самой наклонной (Киселев,
ч. II, § 28).

Отличие заданного чертежа (черт. 26) от чертежа учебника
(черт. 29) состоит, во-первых, во взаимном расположении прямых,
составляющих предмет исследования, и, во-вторых, в замаскирован-
ности этих прямых в заданной фигуре куба в то время, как в фи-
гуре учебника они представлены в явном, изолированном виде.
Анализ наблюдений по второй серии контрольных
экспериментов
Наблюдения над успевающими учащимися выявили, что эти ис-
пытуемые выполняли задания без существенных затруднений.
Психологический анализ выполнения заданий показал, что успе-
вающие учащиеся при усвоении геометрических положений (тео-
рем) по учебнику правильно осознавали в наглядном образе книж-
ного чертежа объективно существенные признаки рассматриваемого
соотношения. Эти признаки были четко отделены в сознании испы-
туемых от вторичных, случайных признаков, связанных с частными
особенностями в форме и положении фигуры, изображенной на
чертеже задания. При решении заданий учащиеся проявляли уме-
ние анализировать чертеж, используя УСЛОВИЯ задания, и сознательно
применяли существенные признаки рассматриваемых соотношений
для решения поставленного в задании вопроса.
Путь решения более сложных заданий (предложенных испытуе-
мым IX класса) характеризовался следующими чертами. Используя
условия задания, успевающие испытуемые правильно выбирали необ-
ходимые для решения теоремы и выделяли в заданной фигуре
именно те элементы, которые соответствовали выбранной теореме.
Признаки, по которым испытуемые выделяли необходимые элементы,
являлись существенными признаками рассматриваемого геометри-
ческого соотношения. Наглядный образ книжного чертежа являлся
для успевающих учащихся носителем правильно обобщенных
положений, и при его применении испытуемые использовали
в нем смысловые соотношения. Они осознавали в чертеже
учебника не только существенные признаки соотношения, устанавли-
ваемого теоремой, не и принцип, по которому могут изменяться фор-
ма и положение геометрических элементов, составляющих это соот-
ношение.
Учащиеся VI класса, решая задание 1, искали в заданной фигуре
только углы, смежные с внутренними углами треугольника. Это со-
отношение было совершенно отчетливо осознано ими, как сущест-
венный признак внешнего угла, и их внимание при решении зада-
ния не отвлекали другие свойства рассматриваемых углов: величина,
расположение вершины и т. п.
Ученик VI класса Г. при решении задания 2 сразу выделил тре-
угольник ADC (черт. 23), рассмотрел угол ADC, как смежный
с внутренним углом треугольника, и применил теорему о внешнем
угле треугольника.
Испытуемая IX класса М. при решении задания 1 (черт. 24) на
предложение экспериментатора изобразить на отдельном чертеже,
как она себе представляет условие параллельности прямой и пло-
скости, нарисовала чертеж 27 и пояснила: „Прямую на плоскости
можно расположить по-разному, и прямую, которая над плоскостью,
я могла бы поместить под плоскостью или сбоку—важно, чтобы она
была вне этой плоскости и параллельна первой прямой44.

Та же испытуемая, при решении задания 2 (черт. 25), в ответ на
вопрос экспериментатора о том, как она использовала для решения
чертеж учебника (черт. 28), объясняет: „В задаче прямые располо-
жены не как в книге; там они образуют два равных угла (испытуе-
мая делает набросок книжного чертежа), а здесь углы неравные и
расположены иначе, и необязательно прямые должны пересекаться
на чертеже,—они могут пересекаться при мысленном продолжении**^
Как видно из объяснений испытуемой, она не только ясно созна-
вала существенный признак каждою из рассматриваемых соотноше-
ний, но и отчетливо понимала принцип возможных вариаций элемен-
тов, соответствующих каждому из признаков.
Процесс выполнения заданий слабыми учащимися существенным
образом отличался от решения заданий сильными учащимися. Наб-
людения показали, что слабые учащиеся решали задания с значи-
тельными затруднениями. Психологический анализ наблюдений вы-
явил следующие характерные особенности в процессе решения зада-
ний неуспевающими учащимися.
Свои суждения о фигуре они основывали на непосредственном
впечатлении, полученном от чертежа задания, не используя надле-
жащим образом условия задания. При анализе заданного чертежа
для выделения признаков,- определяющих наличие искомого геомет-
рическою соотношения, они проявляли неумение правильно пере-
носить на заданную фигуру существенные соотношения элементов,
из соответствующего чертежа учебника. В наглядном образе книж-
ного чертежа, наряду с существенными элементами рассматривае-
мого соотношения они придавали решающее значение различным
частным моментам (форме, расположению частей фигуры и т. п.),
внося тем самым незакономерные изменения в понятие рассматри-
ваемою соотношения. Испытуемые обнаруживали таким образом свя-
занность суждений или заданным чертежом или чертежом учебника^
Покажем примеры неправильных решений заданий;
В VI классе ученик П. при решении задания 2 обнаружил в своих
суждениях связанность заданным чертежом. Наличие в фигуре двух
треугольников ADC и BCD отвлекло его внимание к теореме о тре-
угольниках с неравными углами, заключенными между соответ-
ственно равными сторонами. Усмотрев в чертеже по непосредствен-
ному впечатлению, что стороны AD и ВС равны между собой,
а сторона АС больше стороны DB, и не приняв во внимание отсут-
ствия этих данных в условии задания, испытуемый П. пытался дока-
зать, что угол ADC больше угла DCB, „так как он лежит против
большей стороны**. Как видно уз хода решения, этот испытуемый
проявил помимо связанности суждений заданным чертежом также
и неумение руководствоваться условием задания.
Ученица VI класса В. в задании 1 (черт. 22) не считала угол ACD
внешним, указывая на то, что он „острый, а по чертежу учебника1
(черт. 30) внешние углы все тупые“.
Ученица 3. также принимала величину угла („тупой**) за сущест-
венный признак внешнего угла треугольника, и на предложение
построить на чертеже 22 внешний угол при вершине С она провела
произвольную прямую CL, образующую тупой угол со сторонами
треугольника (черт. 31). В своем стремлении сохранить необходимый
по ее мнению признак—тупой угол, она потеряла в построенной
* Киселев, ч. I, черт. 48.

ею фигуре объективно существенный признак внешнего угла. Эта
же ученица, как выяснилось из вопросов экспериментатора, не счи-
тала возможным построить внешний угол при „верхней14 вершине
треугольника, ссылаясь на то, что на уроках, при объяснениях на
доске, угол всегда строился у „правой41 вершины.
Черт. 30
Черт. 31
Многие испытуемые VI класса, решая задание 2, не усматривали
в угле ADC (черт. 23) внешнего угла треугольника BCD, так как
они считали, что „внешний*4 угол треугольника должен быть'„откры-
тым44 углом, как на чертеже учебника. Если, после отказа испытуе-
мого решить задание, экспериментатор закрывал полоской бумаги
сторону АС, задание тотчас легко выполнялось испытуемым.
В рассмотренных случаях характерной причиной ошибок и затруд-
нений испытуемых является „связанность44 суждений чертежом учеб-
ника. Учащиеся, пытаясь перенести на предложенные им в заданиях
чертежи те случайные соотношения в чертеже учебника, которые они
приняли за Существенные, неверно решали задания.
В некоторых случаях, например, испытуемые Б., К., Е. обнару-
жили незакономерно расширенное понятие внешнего угла, называя
внешним угол EAF, угол GHB (черт. 22), т. е. углы, расположенные
вне треугольника. В этом примере существенный признак рассматри-
ваемого соотношения оказался совсем не осознанным; он заменен
произвольным другим признаком, связанным с обиходным значением
слова „внешний44.
В IX классе связанность заданным чертежом можно иллюстри-
ровать следующими примерами.
При решении задания 1 (черт. 24) многих испытуемых затрудняло
требование мысленно7 представить по заданному чертежу положение
секущей плоскости в изображенной фигуре. Чтобы представить себе,
как пойдет искомое сечение, они делали попытки непосредственно,
по общему впечатлению, фактически нарисовать на заданном чер-
теже линию сечения.
В задании 3 (черт. 26) испытуемая Ш., рассматривая чертеж,
сразу по общему впечатлению „представила44 себе, что „СВ перпен-
дикулярна к боковой грани44, и на этом обосновала свой ответ на
основной вопрос задания. Из опроса экспериментатора ..выяснилось,
что испытуемая „не обратила внимания44 на то, что ребро CF пер-
пендикулярно к той же грани, хотя.это свойство куба, равно как
и невозможность провести из точки С двух различных прямых, пер-
пендикулярных к плоскости AEFD, испытуемая хорошо знала»
Свое неумение сознательно использовать условия задания эта же
испытуемая проявила также и в том, что „не заметила44, что диа-
гонали , правой грани взаимно перпендикулярны, тогда как это со-

отношение значительно помогло бы ей встать на правильный путь
решения.
В приведенных примерах так же, как в вышерассмотренных опы-
тах с учащимися VI класса, связанность суждений заданным черте-
жом соединяется с неумением использовать условие задания для
правильного анализа чертежа и для усмотрения в фигуре тех соот-
ношений, которые даны в условии или вытекают из него.
Связанность чертежом учебника сказалась в следующих случаях.
При решении задания 2 испытуемые IX класса делали для себя
набросок чертежа учебника (черт. 28)^сопоставляя его с заданным
чертежом (черт. 25) и пытаясь найти в последнем сходство в рас-
положении частей фигуры с элементами книжною чертежа. Эти
попытки оказывались неудачными, так как учащиеся искали сход-
ства не в смысловых соотношениях, а во внешнем пространствен-
ном расположении элементов.
Многие испытуемые при решении задания 2 отрицали параллель-
ность заданных плоскостей на том основании, что прямые, располо-
женные на плоскостях, хотя и параллельны по условию, но не об-
разуют равных, „одинаковых41 углов и даже совсем не пересекаются.
Эти испытуемые придали в чертеже учебника (черт. 28) решающее
значение частному моменту в расположении параллельных прямых
на плоскостях, и при решении задания считали, что для суждения
о параллельности плоскостей наличие этого частною признака (ра-
венства углов) так же необходимо, как и наличие объективно
существенного признака, т. е. параллельности прямых, взятых
попарно.
Некоторые из испытуемых, не сумевшие решить задание 3, легко
решали его, если экспериментатор поворачивал заданный чертеж
(черт. 26) на 90° так, чтобы сделать правую грань куба нижней
гранью. При таком положении фигуры испытуемые находили в ней
сходство с чертежом учебника (черт. 29): „Это похоже, как в кни-
ге44,—-заявила испытуемая Ц.
Необходимо отметить, что во всех случаях проявления связан-
ности чертежом учебника учащиеся давали правильную формули-
ровку теорем, на которых было основано решение заданий. Их
неумение решить задание обусловливалось тем, что за этой
правильной формулировкой скрывалось неправильное понимание
существенных признаков, характеризующих геометрическое поло-
жение, устанавливаемое теоремой.
Большинство испытуемых, не решивших задания, обнаружило
слабое развитие пространственных представлений и затруднялось
мысленно представить те дополнительные построения, которые тре-
бовались по заданию.
4. ПРИНЦИПЫ, ПОЛОЖЕННЫЕ В ОСНОВУ УПРАЖНЕНИЙ НА
ГРАФИЧЕСКОМ МАТЕРИАЛЕ В ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ
Выводы из контрольных экспериментов
Результаты контрольного эксперимента могут быть выражены
в следующих выводах:
1. В практике школьного преподавания чертеж, сопровождаю-
щий изложение какого-нибудь геометрического положения (выра-
женного в условии теоремы, задачи), не всегда является помощью

в ходе рассуждений. В некоторых случаях чертеж может оказывать
связывающее влияние на мысль учащихся.
При усвоении учебного материала это связывающее влияние про-
является в том, что учащиеся принимают частные особенности чер-
тежа учебника за существенные признаки изучаемого геометриче-
ского соотношения и не научаются отделять существенные признаки
от вторичных и случайных.
При решении задач связывающее влияние чертежа, сопровож-
дающею задачу, выражается в трудности мысленной реконструкции
фигуры или изменения ее положения по заданному изображению.
2. Указанное отрицательное влияние чертежа приводит к тому,
что в геометрические понятия вносятся незакономерные моменты,
а нарядные образы, соответствующие изучаемым соотношениям,
приобретают инертность, неподатливость к преобразованиям.
3. Не располагая закономерной и ясно осознанной системой при-
знаков какою-либо понятия, учащиеся не могут узнавать в новых
условиях, на измененных и усложненных чертежах, изученные гео-
метрические соотношения, и вследствие этого не научаются приме-
нять усвоенные знания при решении задач.
4. Вместе с тем контрольные эксперименты определили путь
для разработки методов эффективного применения чертежа в про-
цессе усвоения геометрии.
Основной мерой, освобождающей геометрическое мышление от
связанности восприятием заданного чертежа, является метод вариа-
ции формы и положения изучаемой по чертежу фигуры совместно
с анализом и обобщением содержащихся в фигуре геометрических
соотношений.
В преподавании стереометрии необходимой предпосылкой для
применения этого метода является ознакомление учащихся с эле-
ментарными правилами условного изображения пространственных
фигур.
Принципы, положенные в основу упражнений
Выводы, полученные нами в результате проведения предвари-
тельных контрольных экспериментов, послужили базой для разра-
ботки положений, которыми мы руководились при составлении за-
даний для дальнейших экспериментов и на основе которых, после
экспериментальной психологической и методической проверки этих
положений, нами разработан сборник упражнений к курсу геометрии.
Принципы, положенные в основу наших упражнений, можно
выразить следующим образом:
1. Система упражнений на графическом материале в преподава-
нии геометрии имеет две цели: она должна развивать пространствен-
ные представления и способствовать образованию геометрических
понятий.
2. Система упражнений построена так, что выполнение задания
связано с логическим анализом заданного графического материала.
Этот анализ помогает правильно понять заданное изображение фи-
гуры через условие задачи, правильно изобразить необходимые по
заданию дополнительные части фигуры и в результате приводит,
к правильному представлению изучаемой фигуры.
3. Система упражнений направляет на активную выработку пред-
ставлений и понятий. Графический материал упражнений является

не только иллюстративным средством, но должен заключать в себе
конструктивный элемент. В то время как чисто, иллюстративный
материал освобождает учащихся от трудностей в создании
новых представлений, конструктивный элемент в наших упражнениях
побуждает к преодолению этих трудностей.
4. Степень сложности упражнений возрастает по мере конструк-
тивного усложнения фигуры, содержащей изучаемые геометрические
соотношения, и по мере того, как в геометрических фигурах, не-
сущих указанные соотношения, уменьшается сходство с теми изобра-
жениями, которые учащиеся привыкли видеть в учебнике.
Все упражнения содержат в себе в различном сочетании три
типа заданий, которые заключаются: 1) в узнавании фигур и их ос-
новных частей; 2) в разложении и составлении фигур с внесением
элемента движения и 3) в узнавании и объяснении изученных гео-
метрических соотношений на новом геометрическом материале в но-
вых конкретных формах.
Значительное внимание в упражнениях уделяется такой форме
задания условия, при которой предлагаемый для исследования гео-
метрический объект задается (частично или полностью) только в виде
словесного описания без сопровождающих иллюстраций. Необходи-
мые умозаключения должны производиться на основании мысленного
исследования объекта и мысленных дополнительных построений
в цем, после чего должные выводи оформляются графически.
Все упражнения требуют от учащихся словесного обобщения
материала.
Мы считаем, что упражнения, удовлетворяющие изложенным тре-
бованиям, должны обогащать запас геометрических представлений1,
формировать правильные геометрические понятия и способствовать
накоплению определенного геометрического опыта как базы для
развития навыков в практическом приложении геометрических зна-
ний. Этот геометрический опыт, по мере накопления, дает возмож-
ность непосредственно схватывать все более сложные геометриче-
ские соотношения и обусловливает ускорение процессов геометри-
ческого мышления.
5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА СИСТЕМЫ УПРАЖНЕНИЙ
На основе изложенных положений были составлены задания, ко-
торые мы применили во второй части каждой из двух серий наших
экспериментов, т. е. в экспериментах на упражнение.
При проведении этих экспериментов экспериментатор, ведя наб-
людения за выполнением заданий испытуемыми, вместе с тем при
помощи вопросов или указаний направлял учащихся на правильный
путь решения с целью выяснить возникающие затруднения и найти
способы к устранению их. Только последнее задание, служившее
в качестве заключительного контрольного, выполнялось испытуемыми
совершенно самостоятельно.
Первая серия экспериментов на упражнение
В первой серии экспериментов на упражнение, как уже было ука-
зано выше, преследовались две цели.
Первая цель состояла в том, чтобы выяснить возможность разви-
тия пространственного воображения в применении к решению задает

на мысленное перемещение и реконструкцию геометрических фигур,
заданных на чертеже. Вторая цель состояла в разработке, на основе
полученных экспериментальных выводов, наиболее целесообразных
методов развития навыков в решении указанных задач.
Учебный материал экспериментальных заданий соответствовал
тем же темам учебной программы, которые были использованы для
предварительных контрольных заданий.
Упражнения для учащихся VI класса
Испытуемым VI класса были предложены следующие задания.
Задание 1. На чертеже изображены начальное и конечное
положения треугольника, перемещенного поступательным дви-
жением (черт. 32).
При поступательном движении всякая прямая, принадлежащая
фигуре, перемещается параллельно самой себе. Все точки фигуры
можно переместить из начального положения в конечное по прямо-
линейным, параллельным и равным между собой путям.
Фигура перемещается из положения АХВХСХ в положение A2B2C2,
не выходя из плоскости чертежа.
1. Положите на лист бумаги линейку и чертежный угольник, при-
ставленный к линейке одной из своих сторон. Передвиньте угольник
вдоль линейки в новое положение.
2. Посредством какого способа перемещения вы передвинули
угольник на плоскости бумаги?
Задание 2. На чертеже изображены начальное и конечное по-
ложения треугольника, перемещенного вращательным движе-
нием (черт. 33).
Черт. 32
Черт. 33
Все точки фигуры движутся вокруг общего центра О по дугам,
которым соответствуют равные центральные углы. Фигура переме-
щается из положения АХВХСХ в положение А2В2С29 не выходя из пло-
скости чертежа.
1. Начертите на листе бумаги произвольный треугольник, прико-
лите булавкой бумагу в какой-нибудь точке к столу и поверните
чертеж вокруг булавки на некоторый угол.
2. Посредством какого способа перемещения вы передвинули
треугольник на плоскости стола?
Задание 3. На чертеже изображены начальное и конечное по-
ложения треугольника, перемещенного посредством поворота
вокруг прямой (черт. 34).

Такое перемещение можно получить, если согнуть чертеж по
линии MN и повернуть вокруг линии сгиба правую часть листа бу-
маги так, чтобы она совпала с левой частью листа. Тогда треуголь-
ник АХВХСА займет на бумаге положение AtBtC^.
При повороте вокруг оси MN все точки фигуры движутся па
дугам окружностей, центры которых расположены на оси враще-
ния NN. Фигура i^SjCj перемещается вне плоскости чертежа и рас-
полагается в положении А2В2Сг обратной стороной своей плоскости^
Расположение фигур А1В1С1 и А ВгСг является симметричным от-
носительно оси MN.
1. Начертите карандашом на листе бумаги прямую MN и тре-
угольник АхВлСи расположенный по одну сторону от MN.
2. Перегните чертеж по прямой МЫ и сделайте оттиск треуголь-
ника по другую сторону прямой MN; обведите полученную фигу-
ру А,В2С2.
3. Посредством какого способа перемещения вы перенесли тре-
угольник в новое положение?
Задание 4. На чертеже изображены начальное и конечное по-
ложения треугольника, перемещающегося из положения АХВХСХ в
положение А4В4С4 при помощи последовательного применения спо-
собов: 1) поворота (A2B2C2), 2) поступательного движения (A3B3C3)
и 3) вращения (А4В4С4) (черт. 35).
Черт. 34
Черт. 35
Задание 5. На изображенных треугольниках отмечены черточ-
ками соответственно равные стороны (черт. 36).
1. Переместите мысленно треугольник ABC в плоскости черте-
жа и приложите его к другому треугольнику так, чтобы совпали
равные стороны АВ н DE и вершины А и D. Начертите получен-
ную фигуру (от руки на-глаз).
2. Вырежьте из бумаги модели данных треугольников и, при-
кладывая один к другому указанными сторонами и вершинами, про-
верьте правильность начерченной вами фигуры.
При помощи каких простейших способов перемещения можно
перенести треугольник ABC в указанное положение?
3. Приложите мысленно треугольник ABC к треугольнику DEF,
совместив те же стороны так, чтобы совпали вершины А и Е. На-
чертите полученную фигуру.
4. Проверьте чертеж при помощи треугольников-моделей.
Какими простейшими способами можно перенести треугольник
ABC в этом случае?

5. Проведите в каждом из полученных четырехугольников диа-
гональ, соединяющую две несовпавшие вершины треугольников.
Рассмотрите тот из четырехугольников, который диагональ разде-
лила на два равнобедренных треугольника.
Как нужно, прикладывая треугольники друг к другу, располо-
жить равные стороны и вершины равных углов, чтобы получился
четырехугольник, состоящий из двух равнобедренных треугольни-
ков?
Черт. 36
Черт. 37
6. Составьте мысленно и начертите такие же четырехугольники,,
прикладывая треугольники ABC и DEF другими попарно равными
сторонами.
Проверьте правильность ваших чертежей при помощи бумажных
моделей.
Задание 6. Треугольники ABC и АхВХСХ прямоугольные с соот-
ветственно равными сторонами (черт. 37).
1. Приложите мысленно треугольники друг к другу сторонами
АС и АХСХ так, чтобы попарно совпали вершины А и С1, С и А1.
Можно ли разделить полученный четырехугольник на два рав-
нобедренных треугольника?
2. Приложите мысленно треугольники друг к другу сторонами
АС и АХСХ так, чтобы совпали вершины А и А1, С и С1.
Начертите полученную фигуру и объясните, почему ее нельзя
считать четырехугольником. Докажите, что составленная фигура -
равнобедренный треугольник.
3. Как нужно приложить друг к другу треугольники ABC к
АгВгС19 чтобы доказать, что -^А = --г. Аг?
Задание 7. В треугольниках ABC и DEF равные стороны от-
мечены черточками (черт. 38).
1. Приложите мысленно треугольники друг к другу равными
сторонами АВ и EF так, чтобы при помощи вспомогательной пря-
мой получить на фигуре два равнобедренных треугольника.
Начертите полученную фигуру.
2. Сделайте то же самое, прикладывая треугольники друг к
другу сторонами ВС и DF; АС и ED.
3. Проверьте ваши ответы при помощи бумажных моделей.
Задание 8. На чертеже даны две пары треугольников, имею-
щие по две соответственно равные стороны, углы между которы-
ми неравны (черт. 39).
1. Наложите мысленно треугольник ABC на треугольник АхВхСг
так, чтобы попарно совместились вершины А с Ах и В с Вг. На-

вертите (от руки на-глаз) фигуру, образовавшуюся после указан-
ного наложения.
Указание. Чтобы сделать правильный чертеж на-глаз, нужно
обратить внимание на величины углов при вершинах А и Av
2. Начертите фигуру, которая получится, если наложить тре-
угольник ABC на треугольник А1В1Си совместив вершины Л с Л,
й С с С,.
Черт. 38
Черт. 39
Какими простейшими способами можно переместить треуголь-
ник А .С в указанное положение?
3. Начертите такие же фигуры, накладывая треугольник KLM
на треугольник DEF.
Какими простейшими способами можно переместить треугольник
KLM в новое положение?
4. Проверьте правильность ваших чертежей и ответов при по-
мощи бумажных моделей.
Заключительное контрольное задание
Для заключительного контрольного эксперимента в VI классе.
послужило следующее задание.
Задание 1. Треугольники ABC и DEF имеют по две соответ-
ственно равные стороны, углы между которыми неравны (черт. 40).
1. Приложите мысленно тре-
угольник DEF к треугольнику
АВС так, чтобы совпали сторо-
ны EF и АВ и вершины F и А.
Начертите полученную фигуру.
Объясните, какими простейшими
способами можно переместить
треугольник DEF в указанное
положение.
2. Наложите мысленно тре-
угольник ABC на треугольник
DEF так, чтобы совпали сторо-
ны DF и АС и вершины F и А. Начертите полученную фигуру.
Объясните, какими способами можно переместить треугольник DEF
3 указанное положение.
Черт. 40

Методические обоснования упражнений
В первых четырех заданиях на упражнение учащиеся получали
в наглядной форме по чертежам и на моделях представление о
простейших способах упорядоченного перемещения плоской фигуры
из одного положения на занимаемой ею плоскости *в другое. Та-
кими способами перемещения являются: 1) поступательное движение,
2) вращательное движение вокруг точки, лежащей в плоскости фи-
гуры и 3) поворот вокруг прямой, лежащей в той же плоскости.
Упражнения 1, 2 и 3 представляют иллюстрации перечисленных спо-
собов перемещения в применении к треугольнику. Упражнение 4
дает пример комбинированного перемещения. После наглядного
ознакомления по чертежу и сопроводительному тексту с каждым
из описанных видов перемещения, учащимся предлагалось практи-
чески осуществить такое перемещение на моделях. При задании
этих упражнений мы не могли требовать от учащихся графического
воспроизведения заданных чертежей при помощи чертежных инстру-
ментов, так как ко времени изучения теорем о равенстве треуголь-
ников учащиеся еще не знакомы с приемами геометрических по-
строений.
Задания 5, 6 и 7 являются упражнениями в целенаправленном
мысленном перенесении треугольников. Вместе с тем методическое
назначение этих упражнений состоит в подготовке учащихся к ос-
мысленному выполнению операции приложения треугольников друг
к другу при доказательстве теоремы о равенстве по третьему при-
знаку. При отмеченном нами в контрольном эксперименте формаль-
ном выполнении построения для доказательства от внимания уча-
щихся ускользает, что для целей доказательства применим лишь
один способ приложения треугольников из двух возможных. Пред-
лагаемые упражнения не допускают выпадения из цепи рассужде-
ний, на которых основано доказательство теоремы, этого весьма
существенного звена, и тем самым в понимании учащихся полнее
раскрывается геометрическая сущность метода доказательства.
Кроме того, задание 6 и 7 имели целью освободить учащихся от
связанности формой треугольников. В процессе выполнения заданий
учащиеся убеждались, что доказательство теоремы осуществимо
при совмещении любых равных сторон- треугольников, независимо
от формы последних.
Задание 8 является упражнением в мысленном перенесении тре-
угольников для наложения их друг на друга. Вместе с тем это за-
дание направлено на подготовку учащихся к выполнению наложе-
ния треугольников при доказательстве^ теоремы о треугольниках,
имеющих неравные углы между соответственно равными сторонами.
В заключительном контрольном задании мы имели в виду соот-
ветствующим выбором формы треугольников устранить облегчающее
влияние симметрии, которое мы наблюдали {как это будет указано
ниже) в экспериментах на упражнение в случаях приложения друг
к другу равных между собой треугольников.
Упражнения для учащихся IX класса
Испытуемым IX класса были предложены следующие задания.
Задание 1. В плоскости прямоугольника KLMN начерчены
«четыре пары смежных углов (черт. 41).

1. Представьте мысленно прямоугольник KLMbT расположенным
в фронтальной плоскости и определите, какие из данных на нем
углов изображают острые, прямые и тупые углы.
2. Дайте обоснование вашим ответам.
Задание 2. Фигура ABCD изображает квадрат, произвольно
расположенный в пространстве. Фигура STV расположена в пло-
скости квадрата (черт. 42).
Черт. 41
1. Представьте мысленно
квадрат ABCD расположенным
в фронтальной плоскости и оп-
ределите, какой вид имеет фи-
гура STV в действительности.
Укажите на ней равные элементы
(стороны, углы), а также углы
прямые, острые, тупые .(если
они есть).
2. Дайте обоснование вашим ответам.
3. Скопируйте чертеж и затем начертите действительный вид
фигуры, расположив квадрат ABCD в фронтальной плоскости и счи-
тая, что сторона АВ изображена на чертеже в натуральную величину.
Задание 3. Пересекающиеся плоскости Q и R поставлены на
плоскость Р (черт. 43).
1. Представьте мысленно и изобразите фигуру, которую составят
данные плоскости, если поднять плоскость Р поступательным дви-
жением до середины линии пересечения плоскостей Q и /?, оставляя
эти плоскости в прежнем положении.
Черт. 42
Черт. 43
Указание. Чертеж удобно выполнить, изобразив в последова-
тельном порядке:
1) линию пересечения плоскостей Q и /?,
2) плоскости Q и R,
3) линии пересечения плоскости Р с плоскостями Q и R,
4) плоскость Р.
2. Дайте обоснование вашим ответам.
Задание 4. На чертеже изображена фигура, составленная из
двух пересекающихся плоскостей (черт. 44).
1. Изобразите эту фигуру, повернув ее мысленно по направле-
нию стрелки вокруг линии пересечения плоскостей так, чтобы пло-
скость Р заняла положение плоскости Q.
2. Дайте обоснования сделанным построениям.

Задание 5. 1. Опишите фигуру, изображенную на чертеже 45.
2. Мысленно поверните фигуру так, чтобы задняя стенка была
видна снаружи; поставьте перед собой фигуру так, чтобы буква М
на левой стенке была видна в новом положении. Изобразите фигу-
ру после указанного поворота.
3. Дайте обоснования вашим ответам.
Черт. 44
Черт. 45
Заключительное контрольное задание
Для заключительного контрольного эксперимента в IX классе бы-
ли предложены следующие задания.
Задание 1. Фигура ABCD изображает квадрат, произвольно
расположенный в пространстве. Диагонали крадрата разделены на
равные части. Фигура KLMN расположена в плоскости квадрата
(черт. 46).
1. Какой вид имеет в действительности фигура KLMNf
2. Начертите на-глаз в фронтальной плоскости квадрат ABCD с
изображенной на нем фигурой, считая, что сторона AD изображена
в натуральную величину.
3. Дайте обоснования вашим ответам.
Черт. 46
Черт. 47
Задание 2. Плоскости М и N пересечены плоскостью Я(черт. 47).
1. Поверните мысленно фигуру так, чтобы линия пересечения
плоскостей М и N расположилась с правой стороны фигуры.
2. Начертите фигуру в новом положении.
Методические обоснования упражнений
В первых двух заданиях на упражнение (черт. 41 и 42) учащие-
ся IX класса имели дело с чертежами плоских фигур, контуры ко-
торых были искажены на чертеже вследствие несовпадения пло-
скости фигуры с фронтальной плоскостью. На основании данных о
форме фигуры, имеющихся в сопроводительном тексте, и принимая

во внимание основные свойства параллельных проекций (предвари-
тельное упражнение 3, черт. 4), учащиеся должны были сделать
геометрический анализ чертежа и на основе этого анализа пред-
ставить и начертить действительную форму каждой фигуры.
В заданиях 3, 4 и 5 учащиеся имели дело с чертежами трех-
мерных фигур. Выполнение каждого задания заключалось в том,
чтобы представить строение заданной пространственной фигуры,
мысленно выполнить указанную реконструкцию или перемещение
фигуры и после произведенных над ней операций воспроизвести ее
изображение на чертеже. Правильное решение задачи обусловли-
валось правильным пониманием условия задачи (в словесной и гра-
фической его части), знанием основных свойств параллельных про-
екций (предварительное упражнение 3, черт. 4) и теми сведениями
об условностях изображения пространственных фигур, которые бы-
ли получены учащимися в предварительных упражнениях 4, 5, 6,
7, 8 и 9 (черт. 5—10). Кроме того, в задании 5 нужно было про-
явить некоторую наблюдательность по отношению к взаимному рас-
положению прямой и граней, проницаемых ею.
Заключительные контрольные задания для IX класса представ-
ляли варианты заданий эксперимента на упражнение.
Анализ наблюдений по первой серии экспериментов
на упражнение
Наблюдения над выполнением заданий испытуемыми VI класса
(малоуспевающими, не решившими предварительных контрольных
заданий) показали, что осознанное решение заданий 5, 6, 7 и 8 до-
стигалось лишь после того, как испытуемые фактически проделывали
приложение или наложение треугольников на моделях. После таких
предварительных упражнений испытуемые могли выполнять мыслен-
ное перенесение фигур, не прибегая к помощи моделей, на по-
вторных вариантах тех же заданий, в которых мы изменяли взаим-
ное расположение задаваемых треугольников. Из наблюдений вы-
яснилось, что в зависимости от характера перемещений наиболее
легкими заданиями оказались такие, в которых перемещение фи-
гуры осуществлялось при помощи поступательного движения или
мало отличающегося от поступательного, т. е. соединенного с вра-
щением фигуры в плоскости чертежа на небольшой угол. Выпол-
нение задания затруднялось по мере того, как увеличивался угол,
на который нужно было повернуть фигуру для надлежащего ее
перенесения в новое положение. Наибольшие трудности предста-
вило перемещение, связанное с поворотом треугольника обратной
стороной его плоскости. Вторым затрудняющим фактором в вы-
полнении заданий являлось несходство фигуры, полученной после
составления заданных треугольников (приложения или наложения),
с соответствующей фигурой учебника (черт. 15 и 16). При этом вы-
яснилось, что испытуемых меньше затрудняли те случаи, в которых
окончательная фигура отличалась от книжного чертежа лишь па
своему расположению относительно рамки чертежа; отличия от чер-
тежа учебника в форме фигуры вносили значительно большие за-
труднения в решение. В этом смысле труднее других оказались
задание 7 и второй вариант задания 8. Наконец, наблюдения по-
зволили отметить, что из двух операций—приложения и наложения
Треугольников, последняя оказалась для испытуемых более труд-
ной. Мы объясняем это большей простотой строения фигуры, по-

лучившейся в наших заданиях в результате приложения,—она всегда
была симметрична или относительно оси, или относительно центра,,
в то время как в структуре фигур, получавшихся при наложении^
отсутствовали легко схватываемые закономерности.
Психологический анализ наблюдений показал, что только у троих
испытуемых VI класса трудности мысленного перемещения не были
полностью сняты упражнением. Недоступными оказались для этих
испытуемых мысленные перемещения фигур с поворотом вне пло-
скости чертежа. Ученица 3. объяснила: „Я не могу повернуть тре-
угольник и переместить его, он исчезает44. Ученица В. говорила: „На
бумажных треугольниках я вижу, как повернуть, а без них не могу„
не представляю себе44.
Остальные испытуемые в процессе упражнения справились со
всеми трудностями предложенных заданий и без особых затруднений
выполнили заключительное контрольное задание.
Следует отметить, что связанность исходным положением фигур,,
заданных на чертеже, разбивалась каждый раз при содействии моде-
лей, на которых учащиеся фактически видели перемещения тре-
угольников и осознавали приемы этих перемещений, необходимые
для заданной в условии цели. Таким образом в процессы простран-
ственного представления включался интеллектуальный момент осо-
знавания целесообразных приемов перемещения фигур.
Описанные результаты экспериментов на упражнение и заключи-
тельный контрольный эксперимент с испытуемыми VI класса показали,
что графический материал, сопутствующий изучению курса плани-
метрии, может быть эффективно использован для развития простран-
ственного воображения учащихся. Необходимой составной частью
упражнений указанного характера должно быть осознавание простей-
ших приемов целенаправленного перемещения фигур с применением
для этого в некоторых случаях, в виде подсобной меры, моделей..
Частичный неуспех упражнений с тремя испытуемыми следует
отнести к кратковременности этих упражнений. Можно полагать,,
что у некоторых учащихся пространственное воображение сравни-
тельно трудно поддается упражнению и требует длительного срока
для своего развития.
В IX классе устранение трудностей мысленного представлений!
перемещений и реконструкции фигур проводилось в методическом
отношении другими путями, чем в VI классе.
Прежде всего, в упражнения не могли быть внесены в качестве
вспомогательного средства модели. Помимо чисто технических за-
труднений с изготовлением моделей, наличие их в упражнениях
снимало бы одно из основных требований каждого задания — мыс-
ленно представить действительную форму изображенной фигуры.
Вместе с тем, как показал психологический анализ, в процессе
решения заданий приобретала основное, решающее значение помо-
гающая роль интеллектуальных моментов. Не обладая достаточно
развитым пространственным воображением, учащиеся стремились
восполнить этот недостаток, прибегая к анализу и используя в каче-
стве ориентиров знакомые им условности стереометрического чер-
тежа. В силу этого методическая задача упражнений приводилась,
к тому, чтобы привить учащимся навыки в сознательном применении
следующих этапов выполнения задания: 1) через анализ условия
задания (выраженного как в словесной, так и в графической форме)

я через осознание условностей стереометрического чертежа понять
заданное изображение фигуры и мысленно представить фигуру
в пространстве; 2) через взаимное помогающее влияние простран-
ственных представлений и осознанных условностей изображения вы-
полнить мысленно необходимые по заданию реконструкции и изоб-
разить на чертеже вновь полученную фигуру.
В соответствии с этим ход рассуждений, сопровождающих, на-
пример, решение задания 2 (черт. 42) приобретал (при содействии
экспериментатора) такую примерную форму:
„На чертеже квадрат ABCD изображен в виде параллелограма;
следовательно, плоскость квадрата не совпадает с фронтальной пло-
скостью. Поэтому форма треугольника STV искажена по сравнению
с действительной*.
„Из чертежа видно, что ось симметрии MN делит основание SV
треугольника пополам. Вместе с тем по свойству квадрата MN±PQ;
отсюда следует, что медиана треугольника служит вместе с тем его
высотой, т. е. треугольник STV-равнобедренный\
„Сопоставляя расположение сторон ST и VT с расположением
диагоналей АС и BD, мы видим, что ST \\ АС и VT \\ BD. Так как
диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то, следовательно,
ST± VT, т. е. мы можем утверждать, что равнобедренный треуголь-
ник STV— прямоугольный при вершине Т“.
„Чтобы яснее представить действительную форму этого треуголь-
ника и его расположение в квадрате, начертим его в фронтальной
плоскости. Для этого построим квадрат со стороной, равной АВ (со-
гласно условию), и, заметив, что отрезок МТ составляет 1/4 отрезка
МО, отметим точку Т и проведем TS и TV параллельно СА и BD
до пересечения PQ (черт. 48)*.
Наблюдения показали, что испытуемые IX клас-
са (неуспевающие, не справившиеся с пред-
варительными контрольными заданиями) в про-
цессе упражнений проявили значительные ка-
чественные сдвиги в решении предложенных за-
даний. Ответы по первому впечатлению, которые
мы наблюдали у этих испытуемых на предва-
рительном контрольном эксперименте, замени-
лись решениями, в которых основную роль играл
анализ чертежа, основанный на данных сопро-
вождающего его словесного условия. Испытуе-
мые научились правильно понимать простран-
ственную форму фигуры по ее чертежу, сопоставляя его с словесным
условием задания, и в значительной степени освободились от связы-
вающего влияния заданного чертежа при выполнении построений.
Однако задание 3 (черт. 43) и задание 4 (черт. 44) представили для
некоторых испытуемых серьезные затруднения в той части, где тре-
бовалось выполнить реконструкцию фигуры и начертить новое ее
изображение.
С заключительными контрольным заданиями большинство испытуе-
мых справилось.
Полученные результаты позволяют сделать выводы, что чертежи
пространственных фигур могут служить вспомогательным средством
для развития пространственного воображения учащихся при указан-
ной методике их использования.
Черт. 48

Однако сравнительно невысокие качественные результаты упраж-
нений и вместе с тем непродолжительность периода, в течение кото-
рого испытуемые подвергались упражнениям, приводят к заключению,
что для развития пространственного воображения требуются система-
тические упражнения в течение длительного срока.
Вторая серия экспериментов на упражнение
Вторая серия экспериментов, как сказано выше, была проведена
для выяснения вопроса о роли чертежа в формировании геометриче-
ских понятий и в развитии навыков применения теоретических знаний
к решению задач. Назначение экспериментов на упражнение в этой
второй серии состояло, во-первых, в
том, чтобы выявить возможность ис-
пользования чертежа как методиче-
ского средства для указанных выше
целей и, во-вторых, чтобы проверить
и уточнить на опыте те принципы
использования графического мате-
риала, на основе которых мы состав-
ляли задания упражнений.
Принимая во внимание результаты
контрольных экспериментов, мы стро-
или наши упражнения так, чтобы
привести учащихся, во-первых, к вос-
приятию чертежа через правильное
понимание условия задачи и, во-вторых, к выделению в изучаемом
соотношении существенных признаков через осознавание возможных
изменений частных признаков.
Упражнение для учащихся VI класса
Испытуемым VI класса были предложены следующие задания.
Задание 1. Дан треугольник АВС и точки D и Е. Точка D
лежит на одной прямой с отрезком АС. Точка Е взята произвольно
(черт. 49).
1. Соедините точки С и D прямой линией.
Почему можно утверждать, что углы АСВ и DCB — смежные углы?
Какая пара углов называется смежными углами? Можно ли утверждать,
что угол DCB есть внешний угол треугольника ABC? Дайте опреде-
ление внешнего угла треугольника.
Какие общие элементы (стороны, вершина) имеет внешний угол
треугольника с самим треугольником?
Как расположена сторона внешнего угла, не принадлежащая тре-
угольнику?
2. Соедините прямой линией точки А и Е.
Имеет ли угол ВАЕ общие элементы с треугольником АВС? Можно
ли угол ВАЕ назвать внешним углом треугольника АВС? Можно ли
назвать углы ВАЕ и ВАС смежными?
3. Постройте при вершине Л внешний угол треугольника АВС
так, чтобы он имел с треугольником общую сторону AB.
Постройте при вершине А другой внешний угол треугольника АВС.
Какую общую сторону с треугольником АВС имеет этот второй
угол?
Черт. 49

В чем: состоит построение указанных двух внешних углов, если
вы пользовались для этого линейкой?
Задание 2. Три пересекающиеся прямые образовали треуголь-
ник (черт. 50).
1. Скопируйте чертеж и отметьте все внутренние углы треуголь-
ника.
2. Укажите, какие из девяти неотмеченных вами углов являются
внешними углами треугольника.
Определите словами, какой угол называется внешним углом
треугольника. Сколько внешних углов можно получить при каждой
вершине треугольника?
3. Почему углы 3, 7 и 11 нельзя назвать внешними углами тре-
угольника? Как называется каждый из углов 3, 7 и 11 по отноше-
нию к внутреннему углу треугольника, имеющему общую с ним
вершину?
4. Проведите три пересекающиеся прямые так, чтобы треуголь-
ник имел острые внешние углы; прямые внешние углы. Сколько
острых, прямых, тупых внешних углов может иметь треугольник?
Задание 3. 1. Ответьте (дугой) внешние углы треугольника
ABC, изображенные на данном чертеже (черт. 51).
Черт. 50
Черт. 51
Почему угол BHG, лежащий вне треугольника, нельзя назвать
внешним углом треугольника ABC? Можно ли считать угол ВСК
внешним углом треугольника ABC?
Определите словами, какой угол называется внешним углом тре-
угольника.
2. Скопируйте данную фигуру, постройте и отметьте недостаю-
щие внешние углы треугольника ABC. На полученном чертеже
отметьте углы, смежные с внутренним углом при вершине А; при
вершине В; при вершине С.
Можно ли утверждать: 1) что все углы, смежные с внутренними
углами данного треугольника, являются его внешними углами; 2) что*
внешние углы всякого треугольника являются попарно вертикальными?
Задание 4. 1. Укажите все треугольники, которые можно ви-
деть на данной фигуре (черт. 52). Сколько их?
2. Укажите внутренний угол треугольника, который является
внешним для нескольких других треугольников, входящих в изоб-
раженную фигуру. Найдите все такие углы на чертеже. Дайте обос-
нование вашим ответам.
3. Проведите в данной фигуре прямую, при помощи которой
образовался бы угол, являющийся внешним для четырех треуголь-
ников фигуры. Сколько таких прямых можно провести?

Задание 5. 1. В изображенной фигуре укажите треугольники,
для которых можно найти больше одного внешнего угла (черт. 53)»
2. Продолжите одну из прямых данной фигуры, чтобы получить
третий внешний угол для двух треугольников данной фигуры.
Дайте обоснование вашим ответам.
Черт. 52
Черт. 53
Черт. 54
Задание 6. В треугольной пластинке ABC сделан вырез ВСЕ
(черт. 54).
Как доказать, что угол ВСЕ меньше угла ADCf
Заключительное контрольное задание
Для заключительного контрольного эксперимента в VI классе по-
служило следующее задание.
Задание 1. В треугольнике ABC проведена произвольная пря-
мая BD (черт, 5£).
На основании какой теоремы можно утверждать, что
^BDA>^BCA?
Методические обоснования упражнений
При составлении заданий на упражнение были приняты во вни-
мание те неправильности в понимании существенного признака внеш-
него угла треугольника, которые были выявлены в предваритель-
ном контрольном эксперименте. Упражнения направлены к тому,
чтобы помочь учащимся выделить существенный признак внешнего
угла треугольника из ряда свойств, обусловленных частными, слу-
чайными соотношениями внешнего угла с другими геометрическими
элементами заданной на чертеже фигуры.
В задании 1 внешний угол треугольника сопоставляется с внут-
ренним углом как пара смежных углов, и выявляются конструктив-
ные условия, при которых осуществляется указанное соотношение.
Поставленные в задании вопросы направлены к тому, чтобы показать
учащимся определенные структурные закономерности в расположе-
нии внешнего угла по отношению к треугольнику (общая вершина,
общая сторона, две другие—на одной прямой) и вместе с тем привести

учащихся к пониманию, что признак внешнего угла треугольника
как смежного с одним из внутренних углов является условием не
только необходимым, но и достаточным для существования этого
соотношения.
Решая задания 2 и 3 (черт. 50 и 51), учащиеся должны были найти
и сами построить все шесть внешних углов треугольника. При этом
наглядный образ внешнего угла возникает в конструктивной связи
с фигурой треугольника как некото-
рая производная часть последнего.
В процессе решения устранялись
ошибочные представления о нерав-
ноправности вершин треугольника,
около которых может быть полу-
чен внешний угол, об ограничении
размеров внешнего угла и уточ-
нялось понимание самого слова
„внешний'в данном его применении.
В заданиях 4 и 5 (черт. 52 и 53) на новых по форме фигурах,
отличных от чертежа учебника, учащиеся имели дело с углом, ко-
торый одновременно содержал в себе свойства внутреннею угла
одного из треугольников и внешнего угла нескольких других тре-
угольников. Анализ заданных фигур устраняет возможность приписы-
вать слову „внешний“ значение „открытого* угла в применении к
внешнему углу треугольника. Вместе с тем в упражнениях 4 и 5
учащиеся знакомились на наглядном примере со случаем, когда компо-
ненты определенного геометрического соотношения (треугольник и
его внешний угол) не являлись взаимно однозначными: один и тот
же угол служил внешним углом нескольких треугольников.
Задание 6 (черт. 54) представляет упражнение в применении ус-
военных знаний о внешнем угле треугольника к фигуре, в которую
внешний угол входит в „замаскированной* форме (заданный чертеж
несходен с чертежом учебника). При решении этого задания учащие-
ся должны были освоить с помощью экспериментатора правильный
ход умозаключений, приводящих к верному ответу на поставленный
вопрос, т. е. выбрать в качестве опорного положения надлежащую
теорему (теорему о внешнем угле треугольника) и найти в заданной
фигуре необходимые посылки для применения этой теоремы (мысленно
восстановить разрыв стороны АВ и „усмотреть44 несмежные между
собой внутренний и внешний углы треугольника).
Заключительное контрольное задание (черт. 55) представляет
вариант задания 6 (черт. 54) и предварительного контрольного за-
дания 2 (черт. 23). При выполнении этого задания испытуемые долж-
ны в вопросе, поставленном в задаче, „узнать44 одну из посылок
теоремы о внешнем угле треугольника, а в заданном чертеже „усмо-
треть44 надлежащее соотношение между углами.
Упражнения для учащихся IX класса
Испытуемые IX класса в виде упражнения решали следующие
задания.
Задание 1. На чертеже прямая QD, лежит в плоскости Рх.
прямая АхВг — вне плоскости Р, и параллельна CXDV Прямая CaD2
лежит в плоскости Р,; прямая А%В2 — вне плоскости Pt и параллельна
C,D2 (черт. 56).
Черт. 55

Почему можно утверждать, что А1В1 и АйВ% параллельны соответ-
ственно плоскостям Рг и Р2?
Задание 2. Прямые АВ и CD лежат в плоскости Р; прямые EF и
ОН расположены вне плоскости Р и соответственно параллельны
прямым АВ и CD (черт. 57).
Черт. 56
Черт. 57
1. Пересекутся ли с плоскостью Р прямая EF и GH при своем
продолжении?
2 Можно ли из чертежа и из условия вывести, что: 1) прямые
АВ и CD пересекутся между собой при своем продолжении; 2) пря-
мые EF и GH пересекутся между собой?
3. Какие обоснования нужно привести для ответов?
Задание 3. На плоскость М поставлены прямоугольник ABCD
и пластинки Я, стинки проходят через сторону СВ (черт. 58).
1. Покажите на изображенной фигуре прямую, параллельную
одной плоскости, и прямую, параллельную нескольким плоско-
стям.
2. Покажите плоскость, параллельную одной прямой, и плоскость,
параллельную нескольким прямым.
Черт. 58
Черт. 59
Задание 4. Плоскость М проходит через прямую АВ; прямая
АВ параллельна плоскости Р (черт. 59).
1. Почему можно утверждать, что АгВг параллельна АВ?
2. Прямая CD лежит в плоскости N; плоскость N проходит через
прямую CtDv
Какого указания недостает в этом условии, чтобы утверждать,
ссылаясь на теорему, что CXDX параллельна CD?

3. Плоскость R проходит через прямую EF; прямая EF пересекает
(при продолжении) плоскость Р.
Почему EXFX не может быть параллельна EF? Как доказать, что
EF и E}FX пересекаются?
4. Проверите в плоскости Р прямую, параллельную плоскости /?.
Задание 5. Треугольная пластинка врезана в куб. Линия про-
реза АВ параллельна ребру EF (черт. 60.
Как доказать, что линия пореза CD параллельна линии АВ}
Задание 6. Плоскость М проходит через прямые АВ и АС.
Прямая АВ параллельна Плоскости Р; прямая АС встречает плоскость
Р в точке С (черт. 61).
1. Скопируйте чертеж и продолжите плоскость М до пересечения с
плоскостью Р.
2. Приведите геометрические обоснования, по которым вы постро-
или линию пересечения плоскостей М и Р.
Черт. 60
Черт. 61
Задание 7. Пластинки М и N опираются на плоскость Р. Пря-
мая CD, проведенная на плоскости N, параллельна прямой АВ, ле-
жащей в плоскости М (черт. 62).
1. Скопируйте чертеж и постройте линию, по которой пересека-
ются плоскости фигур М и N.
2. Какими теоремами необходимо воспользоваться, чтобы обос-
новать построение искомой линии?
Задание 8. Дана пирамида, поставленная на плоскость Р (черт. 63).
1. Проведите через точки В и С в гранях ASB и CSD две парал-
лельные между собой прямые.
2. Какие теоремы вы применили для выполнения заданного по-
строения?
Черт. 62
Черт. 63
Задание 9. Прямые, начерченные на плоскостях 1, 2 и 3,
соответственно параллельны между собой (черт. 64).

1. Имеются ли в заданном чертеже достаточные данные, чтобы
установить параллельность плоскостей 1 и 2; параллельность пло-
скостей 2 и 3; плоскостей 1 и 3?
2. Сформулируйте признаки параллельности двух плоскостей.
Задание 10 Можно ли на основании параллельности линий
АВ и CD, по которым плоскости R и S пересекаются с плоскостью
Т, утверждать, что плоскости R и 5 параллельны между собой?
(Черт. 65).
Черт. 64
Черт. 65
1. Является ли параллельность прямых А В и CD необходимым
условием параллельности плоскостей ^ и 5? Почему параллельность
прямых АВ и CD не является достаточным условием параллель-
ности плоскостей R и S?
2. Как направлена линия пересечения плоскостей R и S, если эти
плоскости считать пересекающимися?
3. Сформулируйте условия, при которых плоскость Р пересекает
плоскости М и N по параллельным прямым и по пересекающимся
прямым.
4. Сформулируйте теоремы, подтверждающие правильность ваших
ответов.
Задание 11. Прямые АВ и CD проведены на поверхности
куба (черт. 66).
Черт. 66
Черт. 67
1. Разрежьте куб плоскостью, проходящей через прямую АВ и па-
раллельной прямой CD.
2. Определите форму фигуры, полученной в сечении всех граней
куба плоскостью.
3. Сформулируйте теоремы, обосновывающие ваши ответы и по-
строения.

Задание 12. Дана пирамида, поставленная на плоскость. Пря-
мая АВ пересекает грани М и N в точках С и D (черт. 67).
1. Определите с помощью дополнительных построений, параллель-
на ли данная прямая АВ плоскости Р?
2. Какие теоремы вы должны использовать для решения заданного
вопроса?
Задание 13. Треугольная призма лежит на плоскости Р (черт. 68).
1. Представьте мысленно прямую АВ, параллельную плоскости Р
и проходящую так, что она пересекает плоскость М в точке С и
плоскость N в какой-нибудь точке D.
2. Определите с помощью дополнительных построений одно из
возможных положений точки D на плоскости N и проведите види-
мые части прямой AB.
3. Проведите через точку С другую прямую, параллельную пло-
скости Р и пересекающую плоскость N и изобразите ее видимые части.
4. Какие теоремы о параллельности прямых и плоскостей нужно
применить для построения искомых линий?
Черт. 68
Черт. 69
Задание 14. 1. Содержит ли чертеж (черт. 69) достаточные
указания, чтобы считать прямую Е1К1 перпендикуляром к плоскости
многоугольника A1B1C1D1El и прямую Е2К2 перпендикуляром к плоско-
сти многоугольника A2B2C2D2?
2. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Задание 15. Прямые FH, KL и MN — перпендикулярны к пло-
скости ABC (черт. 70).
1. Проведите из точки М перпендикуляры к прямым FH и KL.
2. Дайте обоснование вашим построениям.
Черт. 70
Черт. 71
Задание 16. Прямые АВ и CD лежат в плоскости Р; KD —
перпендикуляр к плоскости Р (черт. 71).
1. Содержатся ли в данном условии и в чертеже достаточные
признаки, чтобы считать прямые КС и АВ перпендикулярными друг
к другу?

2. Сформулируйте условия перпендикулярности двух прямых, ш
которых первая лежит в заданной плоскости, а вторая пересекает эту
плоскость в точке, лежащей на первой прямой.
Задание 17. Точки В, С и D лежат на плоскости прямоуголь-
ника Р. Точка А — на перпендикуляре к плоскости Р (черт. 72).
Представьте мысленно изображенную фигуру в пространстве и
покажите все острые, прямые и тупые углы между линиями, соеди-
няющими точки Л, В, С и D.
Задание 18. Дан квадрат ABCD, плоскость которого горизон-
тальна. Точка Е лежит в плоскости этого квадрата (черт. 73).
1. Представьте в уме отрезок EF произвольной длины, перпенди-
кулярный к плоскости ABCD. Проведите мысленно из конца F пря-
мую, перпендикулярную к ВС; не изображая на чертеже эту прямую,
найдите точку К ее пересечения с ВС.
2. Таким же образом найдите точку L пересечения прямой DB с
перпендикуляром к ней из точки F.
3. Дайте геометрическое обоснование вашим ответам.
Черт. 72
Черт. 73
Задание 19. На чертеже изображен куб (черт. 74).
1. Соедините мысленно вершину С с точками А и В и определите
форму треугольника ABC.
2. Дайте геометрическое обоснование вашему ответу.
3. Пользуясь циркулем и линейкой, постройте в натуральную ве-
личину (в фронтальной плоскости) треугольник ABC.
Черт. 74
Черт. 75
Задание 20. Три грани куба неограниченно продолжены (пл.
пл. R и пл. S). Плоскость Р наложена на ребро AXDX (черт. 75),
1. На основании какой теоремы можно утверждать, что лини»
EF и СН параллельны A1D1?
2. Покажите все грани куба, параллельные прямой EF. Дайте
геометрическое обоснование вашим ответам.

3. Покажите все прямые, перпендикулярные к прямой AXDX; все
плоскости, перпендикулярные к прямой AJJX. Подтвердите справед-
ливость ваших ответов геометрическими обоснованиями.
4. Докажите, что угол UXEF — прямой.
5. Начертите такую фигуру, какая изображена на чертеже, пере-
ложив плоскость Р на ребро АХВХ.
Задание 21. На гранях каждою куба начерчены две пересе-
кающиеся прямые (черт. 76;.
1. Проведите мысленно через каждую пару прямых плоскости и
определите вид фигуры, которая образуется в сечении поверхности
куба плоскостью.
2. Пользуясь циркулем и линейкой, постройте в натуральную ве-
личину f в фронтальной плоскости) фигуры, полученные в сечении.
3 Начертит^ куб и постройте на ею поверхности сечение, имею-
щее в действительности: 1) форму параллелограма; 2) форму ромба;
3) форму квадрата с двумя сторонами, непараллельными ребрам ку-
ба; 4) форму трапеции с тремя равными сторонами.
Заключительное контрольное задание
В заключительном контрольном эксперименте были предложены
следующие задания.
Задание 1. Представьте, что параллепипед разрезан плоскостью,
проходящей через KL и пересекающее четыре его грани (черт. 77).
1. Докажите, что при любом направлении разреза через линию
KL четырехугольник сечения будет иметь две параллельные стороны.
2. При каком направлении плоскости сечения (через KL) четырех-
угольник сечения будет иметь две пары параллельных сторон?
3. Скопируйте чертеж и постройте на гранях параллелепипеда
линии разреза для рассмотренных случаев. Укажите равные стороны
в полученных четырехугольниках сечения и объясните, почему они
равны.
Черт. 76
Черт. 77
Задание 2. Даны в пространстве: 1) три пересекающиеся меж-
ду собой прямые KL, MN и PQ и 2) три параллельные друг другу
плоскости Н, S и Т (черт. 78\ Фигуры треугольников и параллело-
грама расположены в этих плоскостях так, что их стороны АХСХ,
Л2с2 и Л,Св параллельны KL стороны В1С1 и В2С2 параллельны ММ;
стороны АХВХ и DE параллельны PQ.
1. Найдите признаки, подтверждающие параллельность плоскостей
R, S и T.

2. Дайте обоснование вашим ответам.
Черт. 78
Черт. 79
Задание 3. Плоскость Р — прямоугольник с проведенными в
нем осями симметрии. АВ — перпендикуляр к плоскости Р (черт. 79).
1. Укажите, какой из углов треугольника ADC наибольший в
действительности. Является ли этот угол острым, прямым или ту-
пым ц действительности? Изменится ли величина этого угла, если
перенести точку А на перпендикуляре АВ ближе к точке В или
дальше от точки В?
Изменится ли величина двух других углов треугольника ADC
при указанном переносе точки Л?
2Л Дайте обоснование вашим ответам.
Методические обоснования упражнений
Задания 1—8 направлены на формирование правильного понятия
параллельности прямой и плоскости. В первых пяти заданиях дают-
ся на наглядном материале различные варианты расположения
прямой относительно той ограниченной части плоскости, при помо-
щи которой принято изображать плоскость в учебниках геометрии.
Текстовое содержание условия, требующее от учащихся анализа
фигур, изображенных на чертежах и геометрического обоснования
ответов, имеет целью помочь учащимся осознать существенный
принцип параллельности прямой и плоскости и устранит те наиболее
типичные ошибки в понимании этого соотношения, которые обуслов-
ливаются связывающим влиянием чертежа учебника (черт. 27) и не-
достаточно полным освещением этого вопроса в тексте учебника1.
Учащиеся приступают к изучению темы о параллельности прямых
и плоскостей при наличии у них понятия параллельности прямых,
прочно сложившегося при изучении планиметрии. Это понятие уста-
навливается аксиомой параллельных прямых, выраженной в
учебнике словами: „Через одну и ту же точку нельзя про-
вести двух различных прямых, параллельных одной и той же пря-
мой*2, ь учебнике стереометрии отсутствуют какие-либо указа-
ния, устраняющие возможности переноса усвоенного положения на
случай параллельности прямой и плоскости. Как показывает опыт,
учащиеся нередко делают такое неправильное обобщение; к тому
же чертеж учебника (черт. 27) к теореме, устанавливающей признак
1 Киселев, ч. II, § 1,0- 13.
4 Киселев. ч. I, § 75.

параллельности прямой и плоскости1, способствует такому ошибоч-
ному обобщению, создавая представление, что направление прямой,
параллельной плоскости, определяется направлением „краев* этой
плоскости (вернее направлением краев четырехугольной пластинки,,
изображающей часть рассматриваемой плоскости).
Из предложенных испытуемым вариантов наглядного образа па-
раллельных между собой прямой и плоскости, они должны усмотреть,
что прямая может быть параллельна плоскости, будучи расположена
„за плоскостью“ или „сбоку от плоскости*, при этом необязательно,,
чтобы она была параллельна „краю плоскости* (черт. 56 и 57). Одно^
и той же плоскости могут быть параллельны несколько прямых,
расположенных в разных направлениях относительно друг друга,
причем число прямых, проходящих через данную точку простран-
ства и параллельных данной плоскости, неограничено; равным образом
неограничено число плоскостей, параллельных одной и той же пря-
мой и пересекающихся между собой (черт. 57 и 58).
В задании 4 (черт. 59) предлагается материал, на котором уча-
щиеся имеют возможность получить навыки правильного анализа
фигуры по ее чертежу и по сопроводительному тексту. Решая по-
ставленные в задании вопросы, учащиеся должны притти к выводу,
что геометрические суждения нельзя основывать только на восприя-
тии чертежа, не опираясь на данные, выраженные в тексте условия.
В силу этих соображений левую фигуру чертежа нужно рассматри-
вать как пример задачи с неполным числом данных для ее решения;
при графическом сходстве соотношений между элементами средней
и левой фигуры текст задания, относящегося к этой последней
фигуре, не содержит в себе достаточных данных для положитель-
ного ответа на вопрос, который для средней фигуры решается без-
оговорочно. На третьей фигуре изображен случай взаимного пере-
сечения прямой и плоскости. Этот случай противопоставляется соот-
ношению параллельности прямой и плоскости для более отчетливого
выделения существенных признаков этого последнего соотношения.
Задание 5 (черт. 60) представляет упражнение в применении ус-
военных учащимися теорем о параллельности прямой и плоскости в
таких условиях, когда это соотношение представлено в непривычном
для учащихся сочетании с другими соотношениями частей некоторой
пространственной фигуры. Ход решения этого задания анологичен
ходу решения предварительного контрольного задания 1 (черт. 24),
которое подробно нами описано.
Задания 6, 7 и 8 (черт. 61, 62 и 63) представляют задачи на по-
строение „на незаконченном чертеже*. Требования, предъявляемые
к решающему, заключаются, во-первых, в том, чтобы по данному
словесному и графическому условию понять заданную пространст-
венную фигуру; во-вторых, в том, чтобы по заданным в условии
соотношениям между элементами фигуры подыскать необходимую
для решения задачи теорему и, в-третьих, выполнить на заданном
чертеже надлежащие дополнительные построения, т. е. оформить
ответ задачи графически. Предложенные задания постепенно услож-
няются путем перехода от изолированного соотношения между па-
раллельными прямыми и плоскостями к „целой* фигуре, в которую
элементы, составляющие рассматриваемое соотношение, входят как
некоторая часть этой фигуры.
1 Киселев, ч. II, § 10, черт. 5 (изд. 1938 г. и ранее).

Вторая группа заданий 9—13 (черт. 64 — 68) имеет целью содей-
ствовать правильному формированию представлений и понятий, свя-
занных с вопросом о параллельности двух плоскостей. Первое из
этих заданий (черт. 64) уже предлагалось испытуемым в предвари-
тельном контрольном эксперименте. В эксперименте на упражнение
это задание предложено вновь для подробного его разбора с по-
мощью экспериментатора ввиду того, что испытуемые, проходившие
через упражнение, не обнаружили ясного понимания поставленных
в задании вопросов в контрольном эксперименте.
Задание 10* (черт. 65) в наглядной форме подводит учащихся
к пониманию различия между признаками, необходимыми и достаточ-
ными для существования определенного геометрического соотноше-
ния. Выполняя задание, учащиеся убеждаются, что параллельность
линий пересечения двух плоскостей третьей плоскостью не может
служить достаточным условием для суждения о параллельности са-
мих плоскостей, т. е. что теорема, обратная изученной, несправед-
лива.
Задания 11, 12 и 13 (черт. 66, 67 и 68) содержат в себе конст-
руктивный элемент. Выполнение построений связано с применением
усвоенных теорем. Назначение этих заданий, как упражнений, ана-
логично назначению заданий 6, 7 и 8.
Третья группа заданий 14 — 21 (черт. 69 — 76) заключает в себе
упражнения, помогающие правильному усвоению теорем о перпен-
дикуляре к плоскости и теоремы „о трех перпендикулярах*.
Задание 14 (черт. 6(-*) имеет целью уточнить признак понятия
перпендикуляра прямой к плоскости. В задании 15 (черт. 70) теорема
о перпендикуляре к плоскости используется для выполнения пред-
лагаемых построений. В заданиях 16, 17, 18 и 19 (черт. 71, 72, 73 и 74)
представлены различные варианты наглядного образа, сопровождаю-
щего теорему о трех перпендикулярах. Цель этих упражнений со-
стоит в том, чтобы разбить связывающее влияние чертежа учебника
и помочь учащимся путем сопоставления и анализа предложенных
чертежей выделить существенный признак рассматриваемого соотно-
шения. В заданиях 17, 18 и 19 введен некоторый усложняющий ре-
шение момент, состоящий в ограничении необходимых для решения
построений только мысленным их выполнением. Задания 20 и 21 для
своего выполнения требуют привлечения всех теорем, взятых нами
в качестве основного учебного материала для эспериментального ис-
следования.
Анализ наблюдений по второй серии экспериментов
на упражнение
Наблюдения над испытуемыми VI класса показали, что в резуль-
тате упражнения были достигнуты несомненные положительные ре-
зультаты. В процессе выполнения заданий (под руководством экспе-
риментатора) испытуемые осознали ошибочность своих представлений
о внешнем угле треугольника, поняли, в чем заключается сущест-
венный признак внешнего угла и научились правильно выделять
внешние углы на предлагаемом им графическом материале.
Так, например, ученицы В. и 3., которые при решении предвари-
тельных контрольных экспериментов включали в число существенных
признаков внешнего угла треугольника его величину („тупой угол“),

после упражнений освободились от этого неправильного представле-
ния. Сравнивая между собой внешние углы в предложенных черте-
жах, ученица 3. пришла к правильному обобщению: „внешний угол
может быть разной величины — тупым, прямым, острым — это зави-
сит от того, какой внутренний смежный угол44. Эта же ученица вы-
правила и другой недостаток в своем понимании внешнего угла:
„внешний угол может быть у каждого угла треугольника; ...около
каждого внутреннего угла по два внешних — на продолжении сторон
треугольника*4.
Ученик Б., принимавший в контрольном эксперименте за внешний,
угол треугольника всякий угол, лежащий „вне44 треугольника, про-
делав упражнения по заданиям 2 и 3, сказал: „теперь я понял чер-
теж в книжке; раньше я думал, что может быть девять внешних
углов треугольника, теперь я знаю, что их шесть — смежных*.
Анализ высказываний испытуемых в процессе эксперимента пока-
зывает, как изменилась после упражнений роль книжного чертежа,
оказывавшего до упражнений связывающее влияние на мышление
учащихся.
Ученица 3. говорит: „Раньше я думала, что внешний угол, как
в книжке, всегда тупой, а теперь я знаю, что может быть и по дру-
гому...*. Испытуемая В. на вопрос экспериментатора, что она счи-
тает самым важным“ в книжном чертеже внешнего угла, ответила:
„Раньше самым важным был тупой угол, который расположен справа,
теперь — продолжение стороны треугольника, так как внешний угол —
смежный с внутренним*. Приведенные выше слова ученика Б. ука-
зывают на такое же освобождение от связанности книжным черте-
жом и перестройку понятия внешнего угла.
Во всех описанных случаях в результате упражнения на предло-
женном графическом материале книжный чертеж сделался носителем
правильных обобщенных представлений. В нем осознаны существен-
ные соотношения и понят принцип возможного изменения соотноше-
ний, несущественных для внешнего угла.
Решение заключительного контрольного задания для всех испы-
туемых VI класса, прошедших через упражнение, не представила
каких-либо затруднений.
Существенным образом в процессе упражнений переобразовывались
понятия и изменилось понимание книжного чертежа у испытуемых
IX класса.
После выполнения заданий 1—8 (черт. 56—63), цель которых
состояла в правильном раскрытии понятия параллельности прямой
и плоскости, испытуемая Л. сказала: „Прямая, параллельная плоскости,
может быть расположена по-разному: над плоскостью, сзади нее,
ниже, но главное, чтобы она была параллельна линии, проведенной на
плоскости44. На вопрос о том, что является наиболее важным в чер-
теже учебника (черт. 27), иллюстрирующем параллельность прямой
и плоскости, Л. ответила: „Я раньше считала, что прямая должна
быть параллельна краю плоскости,—теперь я знаю, что в книжке
она так нарисована, но может быть расположена по-разному; ...в книж-
ном чертеже теперь стало важным, только то, чтобы две линии
были параллельными*.
Испытуемая К. на тот же вопрос о параллельном понимании чер-
тежа учебника ответила: „Прямая, параллельная плоскости необяза-
тельно должна быть такой, как в книге; секущую плоскость можно и
не рисовать, она нужна только для доказательства теоремы4*.

Таким образом для испытуемых Л. и К. чертеж учебника приоб-
рел значение обобщенного наглядного образа рассматриваемого
соотношения.
Выполнив первые четыре задания, испытуемая Л., решая задание 5
(черт. 60), рассуждает так: „Линия CD - на правой грани; она ле-
жит вне плоскости верхней грани;... если CD параллельна ребру
верхней грани, то она параллельна самой верхней грани и т. д.\
В этом рассуждении испытуемая проявила уменье правильно
выделить в заданной фигуре необходимые для решения задачи
элементы, усмотреть между ними надлежащие геометрические
соотношения и использовать эти соотношения для применения
известной ей теоремы. Таким образом теорема о параллельности
прямой и плоскости приобрела для испытуемой более общий смысл;
геометрическое положение, устанавливаемое теоремой, испытуемая
сумела распространить на фигуру, изображенную на чертеже, не-
имеющем сходства с книжным.
Выполнение заданий 9 — 13 (черт. 64 — 68) с целью усвоения по-
нятия параллельности двух плоскостей привело к аналогичным ре-
зультатам.
Как было указано, контрольный эксперимент обнаружил у испы-
туемых неправильное понимание условия параллельности двух пло-
скостей. Формулировку условия теоремы — ^если две пересекаю-
щиеся прямые...44 учащиеся истолковывали, как дословное требо-
вание фактического9 пересечения прямых на чертеже; в связи с этим
частному взаимному расположению пересекающихся отрезков на
чертеже учебника (черт. 28) учащиеся приписывали существенное
значение и равенство углов между отрезками, лежащими в одной
плоскости, считали обязательным для установления параллельности
плоскостей. В процессе упражнения незакономерность этих дополни-
тельных условий была осознана учащимися. Испытуемая Л. сделала
следующее обобщение: „Теперь я знаю, я неверно думала, что эти две
линии должны быть в виде одинаковых углов; углы могут быть не-
равны между собой; главное, чтобы стороны углов были попарно
параллельны...*4. На вопрос экспериментатора о возможных измене-
ниях в расположении отрезков, определяющих параллельность пло-
скостей, испытуемая Л. ответила: „Прямые должны быть обязатель-
но параллельны; каждая пара прямых может пересекаться на чертеже
или при мысленном продолжении их; они могут образовать неравные
углы...44.
Испытуемая К. на вопрос экспериментатора о том, как измени-
лось у нее понимание чертежа учебника, ответила: „Я думала, что
главное в нем два равных угла,... теперь главным стало, что прямые
параллельны и каждая пара пересекается, а расположены могут
быть они по-разному...44.
Таким образом предложенные упражнения достигли своей цели и
содействовали обобщенному пониманию чертежа учебника и фор-
мированию правильного понятия параллельности двух плоскостей.
Третья группа заданий (задание 14 — 21, черт. 69 — 76) имела
своей целью привести учащиеся к правильному пониманию геомет-
рического соотношения, устанавливаемого теоремой „о трех перпен-
дикулярах44.
Выполнив (с помощью экспериментатора) задания 14— 18 (черт.
69 — 73), испытуемые без особых затруднений решили задание 19

{черт. 74), бывшее непосильным для них в контрольном экспери-
менте, и в значительной мере самостоятельно справились со следу-
ющими заданиями. Как и предшествующие упражнения, третья группа
упражнений привела к определенным положительным результатам
в понимании существенного признака рассматриваемого соотно-
шения.
Ученица М., давая на первом контрольном эксперименте поясне-
ния к чертежу учебника (черт. 29), иллюстрирующему теорему
„о трех перпендикулярах**, считала, что необходимым условием су-
ществования рассматриваемого соотношения является положение
точки С на середине отрезка DE. Под влиянием книжного чертежа
она была склонна при решении задания 18 (черт. 73) поставить ис-
комую точку К в середине отрезка ВС. После упражнений она об-
наружила уже иное понимание чертежа учебника: „Раньше равен-
ство DC и СЕ я считала обязательным, а это нужно только для
доказательства. Раньше я думала, что наклонная должна быть рас-
положена так, как в книжке. Теперь самое важное здесь—это рас-
положение трех линий: АВ перпендикулярна к плоскости Р и, сле-
довательно, перпендикулярна к ВС; ВС перпендикулярна к DE;
следовательно АС также перпендикулярна к DE;. . все они идут
изломанной цепочкой, а расположены они могут быть по-разному*1.
Другие испытуемые в своих ответах также выявили измененное
отношение к „важным** и „неважны 44 элементам книжного чертежа.
Все испытуемые IX класса, прошедшие через описанные упраж-
нения, правильно решили заключительные контрольные задания
(черт. 77, 78, 79), в то время как слабые учащиеся контрольной
группы, не выполнившие заданий первого контрольного экспери-
мента и не проходившие через упражнение, не справились с заклю-
чительным контрольным заданием и обнаружили прежние харак-
терные недостатки в понимании рассматриваемых геометрических
положений и в применении их к решению задач.
6. ВЫВОДЫ
Мы описали результаты экспериментального исследования, цель
которого в методической его части состояла в том, чтобы разрабо-
тать и проверить методы применения графического материала в
преподавании геометрии.
Побудительной причиной к проведению этой работы послужил
критический анализ состояния знаний учащихся и тех методов, при
помощи которых эти знания сообщаются учащимся.
В поисках способов усовершенствования методов преподавания
геометрии мы пришли к заключению, что можно получить эффек-
тивные результаты при разработке метода применения графического
материала. Мы остановились на таком заключении, с одной стороны,
вследствие непосредственной органической близости графического
материала к самому предмету геометрии и доступности его в прак-
тическом отношении и, с другой стороны, вследствие, малой раз-
работанности вопроса о способах использования графического мате-
риала в школьной практике
Принципы, положенные в основу нашего метода, исходят из вы-
водов психологического эксперимента, сопутствовавшего нашей
работе. Задания, составленные нами для психологического экспери-
мента, в процессе этого эксперимента подвергались проверке с ме-

тодической стороны и послужили основой для нашей системы
упражнений.
Основной целью предлагаемой нами системы методических меро-
приятий является устранение недостатков в применяемых методах
преподавания геометрии, приводящих к формализму в знаниях уча-
щихся. В отличие от некоторых других методических средств, пре-
следующих ту же цель, но носящих вспомогательный, эпизодиче-
ский характер (например, работы по измерению на земле), наша
система мероприятий может быть включена в педагогический про-
цесс как часть органического целого при изучении любого раздела
курса геометрии.
Как показали -экспериментальные данные, применение разрабо-
танной нами системы упражнений достигает определенных положи-
тельных результатов в развитии пространственных представлений
учащихся и в формировании понятий в области изучаемого геомет-
рического материала В этом отношении она дополняет существую-
щие методы преподавания геометрии, в частности учебник геомет-
рии, направленные преимущественно на то, чтобы облегчить наиболее
полное усвоение фактического материала, и не уделяющие долж-
ного внимания формированию понятий, накоплению многостороннего
геометрического опыта и умению применять полученные знания в
новых измененных условиях.
Общая характеристика системы упражнений
Основные характерные методические черты нашей системы уп-
ражнений выражаются в следующих положениях.
1. В дополнение к материалу учебника, изучение которого сво-
дится на практике к заучиванию доказательств теорем, материал
упражнении помогает приводить в логическую связь полученные
учащимися знания и формировать понятия, вытекающие из рассмот-
ренных теорем.
2. В дополнение к иллюстрированному материалу, с которым
учащиеся знакомятся по чертежам учебника, упражнения дают ряд
вариаций изучаемых фигур, расширяющих геометрический кругозор
учащихся и способствующих накоплению представлений в области
изучаемых геометрических соотношений.
д. Система упражнений дает материал для приложения получен-
ных знаний в новых конкретно заданных условиях и для развития
навыков в самостоятельном решении геометрических вопросов.
4. Со стороны последовательности подбора материала упражне-
ния построены так, чтобы каждое вновь изучаемое геометрическое
соотношение было рассмотрено сначала изолированно и затем в по-
следовательно усложняющемся сочетании с -другими, связанными с
ним соотношениями.
5. Со стороны содержания графический материал упражнений имеет
своей целью дать достаточное число наглядных вариантов изучаемого
пространственного соотношения, чтобы разбить связывающее влияние
книжного чертежа при образовании правильного представления.
6. Постепенное усложнение графического и словесного содержа-
ния упражнений проводится по следующей схеме.
а) К первой группе упражнений по степени трудности мы отно-
сим такие, в которых изучаемая теорема применяется к решению
поставленного в упражнении вопроса непосредственно, без каких-

либо вспомогательных предпосылок; геометрические соотношения
задаются на чертеже в явном иЛи легко обнаруживаемом виде.
В простейших из таких упражнений графическое задание геометри-
ческих соотношений весьма сходно с чертежом учебника. В каче-
стве примеров можно привести задание 1 (черт. 56), задание 4
(черт. 59 в отношении средней фигуры) и заданье 18. (черт. 73 в
первой своей части). Некоторым усложнением упражнений этой
группы является внесение в чертеж различия, по сравнению с учеб-
ником, в расположении геометрических элементов; самый вопрос о
заданных соотношениях так же, как и в предыдущем случае, рас-
сматривается изолированно и иллюстрируется фигурами, имеющими
лишь необходимые по содержанию задачи геометрические элементы.
К таким упражнениям можно отнести задание 4 (черт. 59 в отноше-
нии плоскости N и прямой CD)9 задание 7 (черт. 62) и задание 18
(черт. 73 во второй своей части). Дальнейшей ступенью усложнения
является несходство графического задания с книжным чертежом не
только в расположении рассматриваемых геометрических элементов,
но и в самом способе задания этих элементов. Задаваемые и искомые
геометрические соотношения изображаются на чертеже в сочетании
с другими соотношениями, как части некоторой целой фигуры или
нескольких фигур. Для решения вопроса, поставленного в упраж-
нении, нужно прежде всего узнать и выделить из фигуры те ее
части, которые являются элементами, подлежащими рассмотрению.
Примером может служить задание 19 (черт. 74).
б) Ко второй группе по степени трудности мы относим такие
упражнения, в которых изучаемая теорема применяется к решению
вопроса через посредство других теорем. С логической стороны
процесс решения распадается на две части: нужно подыскать тео-
рему, на основании которой может быть решен поставленный во-
прос, и доказать, что на чертеже имеются геометрические посылка
для применения этой теоремы. Очевидно, что в таких упражнениях
чертеж должен изображать более или менее сложную фигуру, в
которую рассматриваемые геометрические соотношения входят как
составные части. Примеры упражнений второй группы мы имеем в
задании 5 (черт. 60) и в задании 20 (черт. 75).
7. Каждое упражнение в логической своей части представляет
задачу на „узнавание14 теоремы, устанавливающей какое-либо общее
положение. По постановке вопроса задачи можно различать упраж-
нения в „узнавании44 заключения теоремы по заданному ее условию
и упражнения в „узнавании44 условия по заданному заключению
теоремы1. В первом случае на графическом материале конкретна
задается определенная зависимость между геометрическими элемен-
тами и требуется выразить в общей формулировке признаки, уста-
навливающие наличие некоторого геометрического соотношения,
частным выражением которого является заданная на чертеже гео-
метрическая зависимость; во втором случае геометрическое соотно-
шение задается в общей формулировке и требуется конкретизиро-
вать на чертеже определенные геометрические признаки, характе-
ризующие данное соотношение. К первому типу относится, напри-
мер, задание 7 (черт. 62), ко второму типу задание 14 (черт. 69) и
задание 16 (черт. 71).
* В школьном преподавании эта задача для большей части учебного материала
не является неопределенной, так как обратные теоремы включены в программу в
весьма незначительном числе.

О применении упражнений в школьной работе
Описанный метод использования графического материала ни в ка-
кой мере не исключает и не заменяет другие методические приемы,
используемые в процессе преподавания. В частности, применение
наглядных пособий в виде моделей и иллюстрированных таблиц
имеет цели, совершенно отличные от целей, поставленных перед на-
шими упражнениями; различие этих целей указано выше в нашем
изложении.
Принципы, положенные в основу разработанной нами системы, мо-
гут быть применены для составления задач и упражнений по всему
курсу геометрии.
В задачу нашей работы не входил вопрос об организации и ме-
тодике применения описанных упражнений в школьной практике.
Введение этих упражнений в обиход школьного преподавания мо-
жет встретить затруднения в связи с ограниченностью рабочего вре-
мени/ отведенного учебным планом на проработку курса геометрии.
Однако положительные результаты нашего эксперимента позволяют
предполагать, что введение описанных упражнений может дать по-
вышение продуктивности работы, вследствие чего затраченное на
упражнения время будет компенсировано. С этой точки зрения пред-
ставляется весьма желательным подвергнуть поставленный вопрос
дальнейшей проверке в школьных условиях.
Мы считаем, что введение предлагаемых упражнений осуществи-
мо при учете следующих соображений: необходимо пересмотреть
список геометрических задач на вычисление и построение, задавае-
мых учащимся в течение года, с тем, чтобы заменить в этом списке
некоторое число, задач, мало полезных по своему методическому
значению.
Среди задач на вычисление следует признать подлежащими иск-
лючению такие, в которых геометрическое содержание, представлен-
ное в словесной форме, лишь в слабой степени содержит в себе
конструктивный элемент, и решение задач сводится почти непосред-
ственно к применению некоторых теорем или к арифметическим вы-
числениям по определенным формулам. В задачнике Рыбкина во всех
разделах число таких задач довольно значительно.
Стереометрические задачи на построение предлагаются обычно
в такой форме, что решение их, выполняемое “путем отвлеченных
рассуждений, не может быть эффективно иллюстрировано чертежом.
Такие задачи могут .быть доступны ученикам лишь после предвари-
тельных упражнений на более конкретном материале. Упражнения,
составленные по разработанной нами системе, могут отвечать требо-
ваниям такой предварительной подготовки.
Некоторая часть наглядного графического материала упражнений,
составленных по описанной системе, может быть использована для
доказательства теорем на измененном чертеже. Такие упражнения со-
действуют освобождению учащихся от связанности чертежом учебни-
ка, развивают навыки самостоятельного мышления и служат спосо-
бом проверки усвоения теорем не по формальным признакам памяти и
прилежания ученика, но по пониманию сущности изучаемого вопро-
са. Эта форма применения графического материала легко может быть
введена в обиход урока без дополнительной затраты времени, если
преподаватель заранее будет давать образцы чертежей, на которых
будет спрашивать доказательство теорем.

Многие из наших упражнений могут быть задаваемы в виде «ле-
тучих вопросов* при опросе у доски или с места взамен часто прак-
тикуемого на уроке опроса „правил“, определений, формулировок
и т. п. Такие вопросы, сопровождаемые соответствующими черте-
жами, заготовленными на стенных таблицах, мобилизуют внимание
учащихся на существе темы и содействуют развитию сообразитель-
ности, самостоятельности мышления и активности в работе.
В зависимости от своего содержания, упражнения могут занимать
различное место в плане отдельных уроков геометрии. С этой точки
зрения можно различать, во-первых^ упражнения, подготавливающие
учащихся к усвоению новых геометрических понятий, способствую-
щие предварительному накоплению некоторого запаса геометрических
представлений, которые будут использованы при доказательстве тео-
рем, и, во-вторых, упражнения, последующие за доказанной теоре-
мой, помогающие формированию новых понятий, вытекающих из этой
теоремы и дающие материал для приложения теоремы в новых, кон-
кретных условиях.
При оформлении упражнений для задания их учащимся надлежит
иметь в виду следующие соображения.
Если по условию упражнения чертеж должен быть дополнен но-
выми построениями, то задание упражнения (текст и чертеж) должно
быть оформлено в виде небольших карточек, раздаваемых учащимся
на руки для самостоятельного решения. Такие карточки с точно вы-
полненным чертежом особенно необходимы в том случае, когда же-
лательные результаты графических преобразований зависят от спе-
циально подобранного соотношения между элементами заданной фи-
гуры. В других случаях, при работе со всем классом, при опросе
учеников у доски целесообразно изготовлять таблицы крупного
масштаба с чертежами, легко видимыми всему классу; текст таких
упражнений преподаватель должен читать во всеуслышание. Ь обоих
случаях чертежи упражнений вместе с текстом должны быть пере-
несены учениками в тетради, предназначенные для выполнения уп-
ражнений.
Мы считаем возможным полагать, что наши упражнения, давшие
положительные результаты в обстановке индивидуального экспери-
мента, оправдают свое назначение и в практике классного препода-
вания. В виде опыта серия упражнений, составленных по изложенной
системе, была применена в трех московских школах: в 90-й школе — в
VI классе (преподавательница П. И. Игумнова) и в IX классе (препо-
даватель Д. И. Даниленко), в 29-й школе —в IX классе (преподава-
тельница М. X. Кекчеева) и в 113-й школе — в VIII классе (препода-
вательница Л. В. Федорович).
П. И. Игумнова пользовалась в VI классе стенными таблицами1.
Эти таблицы с задачами, подобранными на текущую тему, препода-
вательница вывешивала в классе в течение нескольких уроков, на
которых изучалась данная тема. В ходе урока преподавательница
предлагала отдельные задачи из таблиц при опросе урока у доски
или задавала вопросы всему классу для ответа с места. Вместе с тем
каждый из учащихся должен был познакомиться со всеми задачами,
содержащимися в вывешенной таблице во внеурочное время, пере-
нести чертежи и условие задач в тетрадь и выполнить в этой тетра-
ди решение.
1 Г. А. Владимирский, Таблицы по геометрии, наглядное пособие для VI
класса, Главучтехпром, 1944.

Д. И. Даниленко пользовался в IX классе на ряду со стенными
таблицами также карточками небольшого формата (оба вида пособий
изготовлены силами школы). На таблицах содержались задачи, неслож-
ные по выполнению, требующие главным образом устных ответов.
Карточки содержали задачи конструктивного характера или с большим
числом вопросов в сопроводительном тексте.
Таблицы использовались при опросе у доски или при коллектив-
ном решении задачи в классе. Карточки предлагались учащимся для
решения задач дома. Каждая задача была заранее .размножена на
карточках в количестве достаточном, чтобы обеспечить выполнение
задач по изучаемому материалу всеми учениками. Решение задач
оформлялось в тетрадях, где учащиеся выполняли графическую
часть решения и давали ответы на вопросы.
М. X. Кекчеева применяла в IX классе для большей части задач
карточки. Задачи на карточках давались для внеклассного решения.
Для решения задач в классе (и для разбора решенных задач)
М. Х< Кекчеева пользовалась рисунками на доске, подготовленными
ею перед уроком.
Л. В. Федорович пользовалась в своей работе в VIII классе толь-
ко карточками, давая их учащимся для решения задач в классе и
дома, и разбирая выполненные решения в классе у доски.
При выборе задач преподаватели IX класса придавали большое
значение упражнениям, помогающим освоить принципы правильного
изображения пространственных фигур. Равным образом в широкой
мере были использованы упражнения к первым главам стереометрии.
Все преподаватели отмечали интерес, проявленный учащимися к
решению предложенных задач и несомненную пользу от упражнения
в их решении.

ИЗ ОПЫТА ПРОВЕДЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА ПРОЕКЦИОННОМ ЧЕРТЕЖЕ
Л. В. ФЕДОРОВИЧ и М. X. КЕКЧЕЕВА
Из объяснительной записки к программе по математике видно,
что работа над развитием пространственного воображения является
одной из важнейших работ в преподавании геометрии в средней
школе.
В объяснительной записке к программе 1948 г. сказано: „Препо-
давание геометрии имеет целью развить у учащихся пространствен-
ное воображение...“.
Какими средствами осуществляется эта цель?
Средства могут быть самые разнообразные. Одним из этих средств,
считает записка, является: „решение задач вычислительного и кон-
структивного характера“.
Если мы обратимся к практике школьной работы, то следует ска-
зать, что она не осуществляет полностью программных указаний по-
тому, что в школах преобладает работа над вычислительными зада-
чами, и задачи конструктивные почти не ставятся, особенно в сте-
реометрии.
Причин этому много.
Прежде всего учитель опасается того, что конструктивные задачи
отнимают много времени, особенно на первых шагах работы с этими
задачами. На вычислительные задачи не остается столько времени,
чтобы решить весь тот комплект, который учитель привык давать
ученикам и который определяется хотя бы стабильным задачником.
Учитель часто не имеет под руками стереометрических задач на по-
строение. Их почти нет в стабильном задачнике Рыбкина. Учителю
полезно познакомиться с таким опытом, который показал бы пример-
ную систему в подборе таких задач.
Начинать следует с решения конструктивных задач на проекцион-
ном чертеже. При этом весь процесс решения становится конкретным,
так как операциям в пространстве соответствуют эффективные по-
строения на чертеже.
Те учителя, которые пробовали проводить работу над конструк-
тивными задачами с помощью проекционного чертежа, одобрительно
отзываются об ее результатах.
Они говорят, что проекционный чертеж дает возможность решать
пространственные задачи путем фактическою построения.
В этом отношении проекционный чертеж имеет решающее пре-
имущество перед моделями, на которых невозможно выполнять гео-

метрические построения. Если сравнить построение на проекционном
чертеже с построением в воображении, то следует сказать, что проек-
ционный чертеж, благодаря фиксации на бумаге всех производимых
операций, вносит в решение конкретность и наглядность. Поэтому
задачи на построение в пространстве становятся доступными для
большинства учащихся. Решение конструктивных задач по вообра-
жению доступно далеко не всем учащимся и требует предваритель-
ной подготовки к их решению. Задачи на проекционном чертеже
являются одним из таких средств в развитии пространственного во-
ображения учащихся, которое подготавливает учащихся к решению
задач по воображению.
К сожалению, не все учителя знают об этом методе. Хотя в по-
следнее время по этому вопросу появилась некоторая литература
(см. в приложении), однако, решение пространственных задач на про-
екционном чертеже является еще для школы делом новым, и поэто-
му мы хотели бы поделиться опытом своей работы.
Работа эта проводилась нами в течение четырех лёт в 29-й и
113-й школах под руководством проф. Н. Ф. Четверухина.
Пособием для учителя были две статьи Н. Ф. Четверухина в
журнале „Математика в школе“ за 1916 год №№ 2 и 3 и книга то-
го же-автора/. „Стереометрические задачи на проекционном чертеже*
1 и 2 части. Эти книги вполне доступны учащимся, изучающим
стереометрию. Первая часть, по ее выходе, была дана учащимся
этих школ в качестве пособия.
В этой первой части учитель совершенно свободно может произ-
водить для себя отбор позиционных задач в зависимости от подго-
товленности класса, расположения учебного материала в плане ра-
боты учителя и других методических соображений.
С другой стороны, учитель легко может придумывать варианты за-
дач и этим придавать всей работе значительное разнообразие. Осо-
бенно же ценным является вовлечение самих учащихся в составле-
ние задач.
В каком отношении находится решение^ задач на построение с
помощью проекционного чертежа к учебному плану по геометрии в^
курсе IX класса?
Следует сказать, что учебный план по геометрии нами начинал-
ся с темы: „Параллельные прямые и плоскости41, т. е. так, как это
дано в программе и в учебнике „Геометрия44 Киселева, часть вторая.
Перед вторым параграфом: „Параллельные прямые и плоскости“ мы
дали учащимся понятие о свойствах чертежа при параллельном про-
ектировании:
1. Проекция точки на плоскость есть точка.
2. Проекция прямой линии есть прямая.
3. Точка, принадлежащая прямой, проектируется точкой, принад-
лежащей проекции прямой.
4. Параллельные прямые проектируются параллельными прямыми.
Материал об этих свойствах есть в учебнике „Геометрия4* Кисе-
лева, глава вторая: „Ортогональная проекция точки, отрезка и фигу-
ры“.
Материал этот не представил для учащихся никакой трудности*
так как они были знакомы с ним по черчению.
Посмотрим, как проводилась эта работа в указанных школах.

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ В 113-й ЖЕНСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
СОВЕТСКОГО РАЙОНА МОСКВЫ
(преподаватель Л. В. Федорович)
В течение четырехлетней работы над задачами на построение с
помощью проекционного чертежа школа имела возможность неод-
нократно проверить свою методику и в результате выработать для
себя принципы отбора и расположения задач.
На первых шагах работа ставилась в примерной последователь-
ности расположения материала первой части книги — „Стереометри-
ческие задачи на проекционном чертеже44—проф. Н. Ф. Четверухина.
Задачи №№ 1 — 14. Кроме того, придуманы были аналогичные задачи
учителем и учащимися.
Прежде, чем приступить к непосред-
ственному решению задач с помощью
проекционного чертежа учитель прово-
дил с учащимися беседу, которая вво-
дила учащихся в курс основных понятий
и условных обозначений в построениях
на проекционном чертеже. Все это да-
валось на конкретных примерах из ок-
ружающей обстановки и фиксировалось
в изображениях на доске. Учащиеся уз-
нали, что для определения положения
точки на чертеже задают ее проекцию
на плоскость. Например, положение точки пространства определяется
изображением этой точки А на чертеже с ее проекцией Ах на плос-
кость Р (черт. 1).
Это задание точки записывается так: Л (A 1). Плоскость Р называется
основной, а отрезок AAV от изображения точки на чертеже до ее
проекции, называется проектирующим отрезком. Учащимся
подчеркивается, что направление проектирующих отрезков выби-
рается произвольно, но для всех заданных точек в условиях данной
задачи берется одним и тем же. Для простоты условились это на-
правление брать вертикальным.
Основная плоскость изображается ограниченной обрезами или
обрывами.
Начиная с первого урока, дается понятие о полноте изображения.
Понятие о полноте изображения для учащихся вполне доступно, на
раскрывается оно постепенно по мере продвижения от урока к уроку.
На первом уроке учащиеся узнают о полноте изображения точки, т. е.
что для изображения точки на проекционном чертеже достаточно иметь
изображение самой точки и ее проекции на какую-нибудь плоскость,
обычно на основную плоскость. Для того чтобы с первого урока
учащиеся увидели все преимущества построения с помощью проек-
ционного чертежа, решается задача № 1. Найти точку пересечения
прямой A (AJ В (Вл) с основной плоскостью.
Прежде всего разбирается вопрос об изображении на чертеже ус-
ловия задачи. Это изображение дается на чертеже 2. На чертеже 3
учащиеся выполняют решение этой задачи.
Если для хороших учеников с первых уроков можно решение за-
дачи выполнять на том же чертеже, где изображено условие задачи,,
то для слабых учеников первое время легче понимать процесс реше-
ния задачи, если показано, какое изменение происходит в чертеже-
Черт. 1

Они видят, что в условии задачи заданы две точки, через которые
проходит прямая, следовательно, на чертеже дано изображение этих
точек с их проекциями и, по свойству параллельного проектирования,
на основной плоскости дана проекция отрезка АВ, изображенная от-
резком АХ ВХ.
Черт. 2
Черт. 3
Первая стадия решения задачи начинается проведением проекти-
рующей плоскости через проектирующие прямые АА1 и ВВ1.
Проектирующая плоскость пересекает основную плоскость по пря-
мой АХВХ.
Вторая стадия решения заключается в определении точки пересе-
чения прямой АВ с прямой Ахвх. Получается точка пересечения пря-
мой АВ с основной плоскостью, т. е точка X.
Из такого подробного разбора задачи учащиеся видят, что отрезок
прямой фактически продолжается в плоскости.
В дальнейшем это разложение чертежа на стадии отпадает само
собой.
Решение задачи заканчивается разбором полноты чертежа, причем
разбирается ряд вопросов, связанных с полнотой чертежа:
1) Проекции скольких точек нужно иметь для полноты чертежа
плоскости?
Ответ. Чтобы чертеж плоскости обладал полнотой, следует иметь
три точки с их проекциями.
2) Что является проекцией точки X, лежащей на основной плос-
кости?
Ответ. Точка Л' и ее проекция в данном случае совпадают.
Кроме того, разбираются ошибки, допущенные некоторыми уча-
щимися. Несмотря на то, что учитель говорил учащимся о выполни-
мости решения задачи на листе, некоторые учащиеся точку пересе-
чения прямой с плоскостью получили за листом. Невозможность фак-
тического размещения решения данной задачи на листе привела к рас-
смотрению условия решения вопроса: „Выполнимость чертежа
в условиях построения*4.
В том же плане, в задаче нахождения линии пересечения пло-
скости, заданной тремя точками, с основной плоскостью, разбирается
вопрос о полноте чертежа плоскости, т. е. для любой точки плоскости
может быть построена ее проекция на основную плоскость, если на
чертеже указаны три точки и их проекции.
Решение каких задач из книги проф. Н. Ф Четверухина „Стерео-
метрические задачи на проекционном чертеже44 затрудняло учащихся?
Решение первых задач никакого затруднения у учащихся не вы-
зывало. Обратимся к задаче № 8—Плоскость' задана следом ВС и
точкой A (A1). Найти линию пересечения ее (линию уровня) с плос-
костью уровня, проходящей через точку D(Dy) (черт. 4)Г

Для решения этой задачи надо было повторить решение двух
предшествующих задач: №6 и № 7. Задача №6--Найти линию
пересечения плоскости уровня, проходящей через заданную точку,
с проектирующей плоскостью.
В результате повторения решения этой задачи делается сопостав-
ление задач № 6 и № 8. Устанавливается, в чем разница этих задач
в задаче № 6 требовалось найти линию пересечения плоскости уровня
с проектирующей плоскостью, в задаче № 8 - требуется найти линию
пересечения плоскости уровня с наклонной плоскостью. Выясняется,
что имеется общего в этих задачах: и в той и в другой задаче одна
из плоскостей есть плоскость уровня.
Черт. 4
Далее повторяется решение задачи № 7 о пересечении проекти-
рующей плоскости с наклонной плоскостью.
После такого повторения решение задачи № 8 проходит свободно.
Учитель делает для себя вывод: задача № 8 может решаться с
учащимися в классе. Затрудняет учащихся вспомогательное построе-
ние проектирующей плоскости. В качестве упражнения для самостоя-
тельного решения дома эта задача может вызвать затруднения.
То же самое можно сказать и о задачах № 9, 10, 11. После разбора
их в классе на дом дается аналогичная задача.
Задачу № 12 можно рекомендовать учащимся для решения в ма-
тематическом кружке. Для решения со всем классом к ней можно
вернуться в конце года, когда у учащихся накапливается навык ре-
шения задач на построение с помощью проекционного чертежа.
Трудность этой задачи опять заключается в проведении вспомога-
тельного построения. Это обычная трудность для учащихся, которая
встречается и в задачах на вычисление, и в задачах на доказательство,
и в задачах на построение.
Задача № 12. — Построить прямую, проходящую через данную
точку М и пересекающую данные прямые В А и DC.
При решении этой задачи учащиеся в самом начале встречаются
с проведением вспомогательного построения, и это их затрудняет.
Поэтому преподавателю приходится наводить учащихся на мысль:
заключить точку М и какую-нибудь из данных прямых в одну пло-
скость. Это сделать всегда можно, так как прямая и точка определяют
единственную плоскость. Возникает у учащихся вопрос: какую из
прямых взять? Ответ:— Ту, которая в условиях расположения
чертежа удобнее может осуществить решение задачи (виднее на
чертеже процесс решения и пр.). Берем прямую ВА (черт. 5).
Теперь решение задачи сводится к нахождению пересечения пря-
мой DC с проведенной плоскостью и т. д. Построением, таким же.

что и при решении задачи № 11, находится точка Е, точка пересе-
чения прямой DC с плоскостью MB А. Очевидно, ME есть та прямая,
которая пересечет прямую АВ, лежащую с ней в одной плоскости, в
точке Т.
Черт. 5
Учащимся предлагается при данном расположении условий начать
ренете, включив точку М и прямую DC в одну плоскость и т. д.
Первые два года работы над решением задач на построение с по-
мощью проекционною чертежа с учащимися IX классов дали возмож-
ность сделать следующие выводы.
В конце IX класса, т. е. после пяти месяцев работы, учащиеся
справляются самостоятельно с решением следующих задач.
Задача № 1. Найти пересечение плоскости, проходящей через
три точки, не лежащие на одной прямой, с гранями трехгранного угла,
если точки А и В лежат на грани YOZ и точка С на грани \OY трех-
гранного угла OXYZ.
Задачу решала ученица К. Обычная оценка ее работы по геомет-
рии—три. Иногда бывают двойки. При решении задачи ученица дала
такое объяснение: назовем плоскость, которую проводим, буквой а
(черт. 6). Плоскость а проходит через точки А и В, значит пересе-
кает OY в точке N и OZ—в точке К. Через N и С проведем прямую
NC. Получим в пересечении с ОХ точку L. Соединим ее с К. Полу-
чится плоскость KLN.
Черт. 6
Черт. 7
Ученице К. была предложена задача № 2: Через точку М про-
вести прямую, параллельную CD, и найти точку пересечения этой
прямой с гранью Q двугранного угла, если точки М и С лежат на
плоскости Р и точка D на плоскости Q двугранного угла PABQ.

Ученица К. учится на три, иногда имеет четверки. Она дала та-
кое объяснение при решении задачи (черт. 7). Проведем плоскость
через три точки, не лежащие на одной прямой. На основании соот-
ветствующей аксиомы плоскость будет единственная. Она пересечет
ребро АВ и точке О и плоскость Q по прямой OD.
Теперь через М проведем прямую, параллельную CD. В точке К
будет пересечение с гранью Q.
Ученице М. была предложена задача № 3: Через три точки А,
В и С провести плоскость и найти ее след на гранях трехгранного
угла OXYZ, если точка А лежит на грани YOZ, точка В на грани XOZ
и точка С—на грани XOY. Точки А, В и С не лежат на одной прямой.
Ученица М. учится на четыре. При решении задачи она сделала
следующее объяснение (черт. 8). Точки Л и В принадлежат искомой
плоскости, следовательно, прямая АВ принадлежит искомой плоско-
сти. Если найдем точку /^пересечения этой прямой с плоскостью XOY,
тогда на этой плоскости будут две точки. Через них проходит прямая
пересечения плоскостей. Эта прямая пересечет ребро ОХ в точке N.
Теперь точку N соединяем с точкой В и продолжаем до ребра OZ.
Получим точку М. Точку М соединяем с точкой А, получаем третью
линию пересечения ML.
Вопрос учителя: Назови линию пересечения искомой пло-
скости с гранями угла.
Ответ: Линия MNL.
Ученице С. была предложена задача № 4: Найти точку пере-
сечения прямой АВ с плоскостью уровня, проходящей через точку
С, если точка А принадлежит грани XOZ9 точка В — грани XOY и
точка С—грани YOZ трехгранного угла OXYZ.
Ученица С. учится на пять. Ученица С. дала следующее объясне-
ние (черт. 9). Плоскость уровня параллельна грани XOY, если эта
грань принимается за основную плоскость.
Черт. 8
Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью,
то линии пересечения параллельны. Следовательно, проводим
СМ || OY и МК\\ ОХ.
Теперь задача сводится к пересечению прямой с плоскостью
уровня. Проводим проектирующую плоскость через A (AJ и В. Она
пересечет плоскость уровня по прямой KN. Точка пересечения прямой

KN с прямой АВ есть точка пересечения прямой АВ с плоскостью»
уровня.
Задачи были эти предложены ученицам IX класса 113-й школы
проф. Н. Ф. Четверухиным. Он проводил урок по решению задач с по-
мощью проекционного чертежа и предложил задачи, с которыми
ранее ученицы не были знакомы.
Ученицы вызывались к доске для решения задачи. Весь класс так же
решал соответствующие задачи. По журналу Н. Ф. Четверухин ото-
брал фамилии четырех учениц, которые по последней (2-й) четверти
имели отметки 3, 4, 4 и 5. Ученицы с задачами справились. Реше-
ние задач выполнялось сознатель-
но, чертеж строился грамотно. В
итоге двух лет учитель, проводив-
ший работу с учащимися, сделал
следующий методический вывод
для дальнейшей работы над зада-
чами на построение в стереометрии:
1. На первых шагах изучения,
стереометрии не следует задер-
живать учащихся на трудных для
них задачах, поэтому, взяв задачи
из книжки проф. Н. Ф. Четверу-
хина, I часть, за основу, учителю
следует самому составить промежуточные задачи. Конечно, труд-
ность предлагаемых задач определяется степенью подготовленно-
сти класса.
2. При решении задач на построение с помощью проекционного
чертежа следует связать те>!у о взаимном положении прямых и пло-
скостей в пространстве с темой о многогранниках. Мотивировать,
этот вывод можно следующими соображениями:
а) В стандартном задачнике Рыбкина, II часть, уже в первых па-
раграфах задачи на многогранники преобладают.
б) Изложение начала стандартною учебника стереометрии Кисе-
лева страдает чрезмерной абстрактностью, что затрудняет усвоение
его многими учащимися.
Работа над решением задач на построение строилась в после-
дующие годы, исходя из сделанных выводов.
Подбор задач производился так, что сначала давались простей-
шие задачи из темы: „Взаимное положение прямых и плоскостей
в пространстве*, а затем приложение их к.задачам в многогранни-
ках, как, например:
Пересечение прямой, заданной двумя точками в пространстве,
с основной плоскостью.
Пересечение прямой, проходящей через две точки на боковых
ребрах призмы, с основной плоскостью.
Пересечение прямой, заданной двумя точками на боковых гранях
призмы, с основной плоскостью.
Далее брались всевозможные комбинации точек: на плоскости
верхнего основания и на боковом ребре/на плоскости верхнего ос-
нования и на боковой грани и пр.
Затем давалось понятие о центральной проекции, выполнялось,
решение задач на пересечение прямой, 'проходящей через две точки
на боковых ребрах пирамиды, с основной плоскостью, и далее по-
вторялось то, что давалось для призмы. Это разнообразие предла-
Черт. 9

гаемых задач способствует созданию навыка в решении элементар-
ной задачи на пересечение прямой с плоскостью. Натаскивания
учащихся не было, так как задачи решались на разнообразных фи-
гурах.
Как вводилось понятие центрального проектирования?
Вопрос о центральном проектировании излагался по книге
проф. Н. Ф. Четверухина — „Стереометрические задачи на проекци-
онном чертеже“.
Для закрепления понятия центрального проектирования учащимся
предлагался ряд упражнений, примерно, следующего вида.
I. Найти центр проекций двух точек, изображенных на чертеже с их
основаниями на, основной плоскости (черт. 10) Нахождение центра
проекции сводилось к нахождению точки пересечения двух проекти-
рующих прямых: АА1 и ВВ1.
И. В задачах на сечения учащимся
было предложено два способа решения
на проекционном чертеже:
1) Решение задач с помощью пост-
роения следа искомой плоскости на ос-
новной плоскости.
2) Решение задач с помощью внут-
реннего проектирования.
Сначала был отработан первый спо-
соб — построение следа. Далее изучили
решение задач способом внутреннего
проектирования.
В заключение учащиеся должны были делать выбор в пользова-
нии тем или иным способом, обосновывая применение этого способа.
III. В подборе задач для решения тем и другие способом руко-
водствовались преемственностью в решении.
Черт. 10
1. Решение задач способом построения следа
Мы начали решение задач с помощью построения следа искомой
плоскости на основной, но это совершенно не обязательно. В книге
проф. Н. Ф. Четверухина, 1 часть, проведена лишь одна позиционная
задача на решение этим способом.
Следует отметить, что не всегда по заданному условию можно
производить построение этим способом.
Это была одна из причин, остановившая наше внимание прежде
всего на этом способе. Перед учащимися на первых шагах был по-
ставлен вопрос: можно ли в условиях чертежа решать задачу этим
способом, или изменить взаимное положение точек так, чтобы иско-
мое сечение не было параллельно основной плоскости и соблюдалось
вообще условие выполнимости решения на данном чертеже? Это
учащимися было усвоено легко.
Второй причиной, и самой главной, было то, что чертеж при
решении получается проще, так как все построения идут вне много-
гранников, когда решаются задачи на сечение многогранников.
(Если учащиеся не подготовлены к оценке расположения чертежа,
то начинать целесообразнее со способа внутреннего проектирования,,
во избежание невыполнимости решения в условиях данного поло-
жения точек).

Для это приема решения задач на построение руководящей была
задача № 1 о пересечении прямой с плоскостью. Решение этой за-
дачи хорошо было закреплено решением целой серии задач на
пересечение прямой, пересекающей многогранник, с основной пло-
скостью.
Задача № 2. Провести плоскость через три точки A(AX), £(#,)
и С(Сг), не лежащие на одной прямой, и найти линию ее пересечения
с основной плоскостью (черт. 11).
Решение этой задачи сводится к двукратному применению ре-
шения предшествующей задачи на нахождение точки пересечения
прямой с плоскостью. D и Е — точки пересечения прямых АВ и АС
с основной плоскостью, Dz — след искомой плоскости на основной.
Такая непосредственная связь одной задачи с другой поможет уча-
щимся лучше осваивать решение и учиться выполнять ею самосто-
ятельно.
В качестве практического приложения задачи № 2 предложены
были задачи на проведение сечений в призмах и пирамидах. Остано-
вимся на некоторых подробностях решения задач.
Задача № 3. Провести линию сечения четырехугольной призмы
плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на боковых ре-
брах.
Задача эта решалась ученицей у доски. Предварительно со всем
классом производился разбор этой задачи, который заключался в сле-
дующем.
Учитель ставил вопрос: „Всегда ли искомое сечение пересечет
основную плоскость?“
Ответ: „Если плоскость сечения будет параллельна плоскости
основания (учащиеся к этому времени прошли параллельные пло-
скости), то пересечения плоскостей не будет1*.
Учитель предложил взять точки на ребрах так, чтобы искомое
сеченье прошло через нижнее основание призмы. В этом случае ре-
шение задачи сводится к нахождению линии пересечения (следа) пло-
скости, проходящей через три точки, с основной плоскостью, т. е. к
решению предшествующей задачи (черт. 12).
Черт. U
Черт. 12
Сечение ACNMB построено с помощью следа, пересекающего
основание призмы. Для самостоятельного решения этой задачи, даже
слабыми учениками, достаточно было напомнить им решение пред-
шествующей задачи. Сильные же ученики в этом напоминании не ну-

ждались. По мере освоения решения задач всем классом становилось
ненужным обращать внимание учеников на связь между задачами.
После решения этой задачи учитель предложил рассмотреть тот
-случай, когда сечения пересекают основную плоскость вне призмы.
Решение этой задачи проходит так же, как и предыдущей (черт. 1,3).
Для нахождения точки сечения на четвертом ребре учащиеся
ищут точку пересечения плоскости боковой грани L{DX) С со следом
MN. Эта точка обозначена на чертеже буквой /С. Линия КС пересе-
кает ребро DDX в точке D2 — точке пересечения искомого сечения
с боковым ребром DDX.
Черт. 13
Сечение ABD2C построено с помощью следа, не пересекающего
основания призмы.
Этот второй Случай рассматривается с учащимися, чтобы ответить
на вопрос, поставленный отдельными учащимися: „А может ли след
искомой плоскости не пересекать основание призмы?44
Ошибки, встретившиеся у учащихся при решении задач с помощью
нахождения следа, в большинстве случаев заключались в невыполни-
мости решения на листе бумаги. Это происходит из-за отсутствия на-
выка делать прикидку искомого чертежа.
Учащиеся постепенно подходят к решению более сложных задач
на сечения в пятиугольной и шестиугольной призме, закрепляя ре-
шение способом нахождения следа.
Далее, последовало решение задач на построение сечений с по-
мощью следа в пирамидах. Перед решением задачи на сечение в пи-
рамиде повторяется центральное проектирование. Учащиеся знают
из предшествующего, что вершина пирамиды принимается за центр
проекций. Проекциями точек, взятых на боковых ребрах, являются
основания этих ребер. Так же, как и на сечения в призмах, решаются
задачи с помощью следа. Рассматриваются 'задачи, в которых след
либо пересекает основание пирамид, либо не пересекает его.
Приведем пример решения таких задач учащимися.
Задача. Через три точки Л, В и С на боковых ребрах пятиуголь-
ной пирамиды провести плоскость и найти линию сечения на гранях.
Учитель располагает заданные точки на боковых гранях так, чтобы
для начала задача давала простейшее решение (черт. 14).
Итак, в задачах на сечение многогранников, решаемых способом
получения следа искомой плоскости на основной, руководящей яв-
ляется простейшая задача из темы о взаимном положении прямых
и плоскостей в пространстве: „Найти точку пересечения прямой с ос-
новной плоскостью**.

2. Решение задач способом внутреннего проектирования
При решении задач способом внутреннего проектирования мы ру-
ководствовались такой же преемственностью в подборе задач, что
и в предшествующем способе. В решении выделялась также руково-
дящая задача. Руководящей задачей являлась задача о пересечении
проектирующих плоскостей: „Найти линию пересечения двух проек-
тирующих плоскостей А{АХ)В и C(CX)D*.
Черт. 14
Черт. 15
Плоскость, проходящая через проектирующую прямую, называется
проектирующей.
Даны две проектирующих плоскости А(АХ)В и C(C})D (черт. 15).
Сучащимися повторяется во-
прос о пересечении плоскостей.
Одна из учениц сказала, что для
нахождения общей точки, при-
надлежащей плоскостям, надо
продолжить плоскость Р так,
чтобы она пересеклась с пло-
скостью Q.
При этом найдем точку пере-
сечения следов плоскостей:
с АХВХ, т. е. точку ХХ. Учащиеся
все время привлекаются к обсуж-
дению построения.
Первый шаг в решении задачи (черт. 16). Найдена точка Хх пере-
сечения следов плоскостей.
Далее стали разбирать вопрос о том, как пойдет линия пересе-
чения плоскостей.
Второй шаг в решении за-
дачи (черт. 17). Найдена ли-
ния пересечения плоскостей.
С классом разбираются сле-
дующие три предположения:
1) Что означало бы в усло-
вии задачи направление Ххт?
Ххт — принадлежит только
плоскости Р и лежит за пло-
скостью Q.
2) Что означало бы в усло-
вии задачи направление Ххп?
Черт. 16

Черт. 17
Ххп — принадлежит только плоскости Р и лежит перед плоско-
стью Q.
3) Что означает в условии задачи направление ХгХ? (ХгХ\\СгС).
ХХХ — принадлежит плоскостям Р и Q и, следовательно, является
линией их пересечения.
Далее был сделан вывод:
для нахождения пересечения
проектирующих плоскостей
следует найти точку пересече-
ния следов плоскостей и про-
вести через эту точку прямую,
параллельную проектирую-
щим прямым.
Задача № 8. Найти ли-
нию пересечения боковых гра-
ней пятиугольной призмы,
расположенных через одну
(черт. 18).
На грани А(АХ)В и C(CX)D можно смотреть, как на две проекти-
рующие плоскости; тогда решение задачи сводится к нахождению
линии пересечения двух проектирующих плоскостей.
Следует сказать, что эта
задача предлагалась на устных
выпускных испытаниях на ат-
тестат зрелости. Лучшие уче-
ники затруднялись в ее реше-
нии. В тех классах, где ранее
систематически проводилась
работа над задачами построе-
ния на проекционном чертеже,
учащиеся настолько осваивали
метод решения их, что на уст-
ных выпускных испытаниях на
аттестат зрелости свободно ре-
шали такие задачи.
Рассмотренные задачи по-
служили вступлением к реше-
нию задач способом внутрен-
него проектирования.
Простейшей руководящей задачей на внутреннее проектирование .
была следующая задача.
Задача № 9. Через три точки Л, В и С, лежащие на трех парал-
лельных прямых, провести плоскость и найти ее пересечение с чет-
вертой прямой, параллельной заданным, если никакие три прямые
не лежат в одной плоскости (черт. 19).
Как свести решение этой задачи к решению предшествующих задач?
Через противоположные пары параллельных прямых проводятся
проектирующие плоскости и находится линия пересечения их. Реше-
ние вопроса о пересечении проектирующих плоскостей проводилось
в предшествующих задачах.
Разбираются следующие вопросы:
1) Почему прямая АС принадлежит искомой плоскости?
Потому что две ее точки А и С принадлежат искомой плоскости.
Черт. 18

2) Почему ОО1 пересекается с АС?
Потому что ОО1 параллельна АА1 и АА1 пересекает АС.
3) Почему ОВ пересечет четвертую прямую?
Потому, что DDX параллельна ВВХ и ВО пересекает ВВХ.
После этого решение задачи закончилось следующей записью-
Черт. 19
Построение
Доказательство
АС С пл. АВС~
_0 с пл. АВС9
ВО с пл. ABC,
X = D£>2 X пл. ABC.
Учащиеся быстро привыкают к символической записи и пользу-
ются ею не механически. Например, первую строчку записи читают
так:
„Точка ОХ является точкой пересечения отрезка АХСХ с отрезком
BXDX\
Первую строчку доказатель-
ства читают так:
„Отрезок АС принадлежит пло-
скости ABC“.
Вторую строчку читают так:
„Следовательно, точка О при-
надлежит плоскости ABC“.
В целях экономии времени, ре-
шения классных задач записывались
изредка. В классе запись замени-
лась устным объяснением. В домаш-
ней работе ученики в большин-
стве случаев пользовались записью.
Далее решались задачи на сечение призм и пирамид с помощью
внутреннего проектирования.
Рассмотрим несколько таких задач.
Задача № 10. Найти сечение четырехугольной призмы пло-
Черт. 20

скостью, проходящей через три точки А, В я С, лежащие на боко-
вых ребрах (эта задача решалась указанным выше способом построе-
ния следа искомой плоскости на основной).
Решение (черт. 20). Разбирается с учащимися вопрос: поче-
му решение этой задачи можно свести к решению руководящей
задачи о внутреннем проектировании [задача № 9 о пересечении
четвертой параллельной прямой D Dx) плоскостью, проходящей
через три точки А, В и С, лежащие на трех прямых, А(АХ), B(Bt)
и С(СХ), параллельных четвертой, D(DX)].
Черт. 21
Потому что боковые ребра призмы параллельны между собой
и по условию задачи три точки лежат на трех боковых ребрах.
Решение выполняется учащимися самостоятельно^ если суть ре-
шения предшествующей руководящей задачи была воспроизведена.
Задача № 11. Найти линию сечения пятиугольной призмы
плоскостью, проходящей через три заданные на боковых ребрах
точки Л, В и С.
При решении задачи на сечение пятиугольной призмы предоста-
вляется возможным провести предварительный анализ решения, так
как возможны различные планы решения. Дадим такой анализ на
примере (черт. 21).
Проведем проектирующую плоскость А(АХ)С. Так как способ
решения задачи заключается в нахождении линий пересечений проек-
тирующих плоскостей, содержащих заданные точки и точки, полу-
чаемые на ребрах, то рассмотрим, какие из этих плоскостей пере-
секаются внутри призмы.
Пл. А(Аг)В не пересекается внутри призмы с плоскостью А(АХ)С,
а пл. В(ВУ)Е пересекается с нею. Следовательно, ищем линию пере-
сечения пл. А(АХ)С и пл. В{В1)Е. Находим точку Е на ребре ЕХЕ.
Такая задача уже решалась (см. руководящую задачу).
Далее выясняется: 1) Почему точка О принадлежит искомому се-
чению. /2) Почему точка 02 принадлежит искомому сечению.
Для решения задачи остается найти на ребре4 DDX точку, при-
надлежащую сечению. Такую точку можно найти двумя путями:
1) С помощью пересечения проектирующих плоскостей D(DX)C
и В(В1)Е.
2) С помощью пересечения проектирующих плоскостей А(АХ)С
и D(DX)E.

В условиях данного чертежа и тот и другой путь равнозначны
и приводят к единственной точке D на ребре DDX.
Подобные рассуждения приучают учащихся сознательно выби-
рать ход решения задачи, а следовательно, развивают их логиче-
ское мышление. Аналогично находим точку Е.
Точки пересечения искомого сечения со всеми боковыми реб-
рами найдены. В сечении получился многоугольник ABD2CE.
Это же самое условие задачи может быть отнесено и к пирами-
дам.
Задача № 12. Найти сечение пятиугольной пирамиды плоско-
стью, проходящей через три точки А, В, С, лежащие на боковых
ребрах (черт. 22).
Черт. 22
Так же, как и при решении задачи на сечение призмы способом
внутреннего проектирования, проводится анализ задачи, который
начинается с рассмотрения тех ребер, которые не содержат задан-
ных точек.
Такими будут ребра SEX и SDt. Одна из проектирующих пло-
скостей пройдет через пару ребер, содержащих заданные точки.
В условиях данной задачи — это ребра SAX и SC,.
Итак, для нахождения линии пересечения проектирующих пло-
скостей, лежащей внутри пирамиды, следует взять третье ребро
с заданной точкой В и одно из двух не содержащих заданной точки.
Для решения вопроса, какое ребро взять из этих двух, следует
обратиться к чертежу. Из чертежа ясно, что таким ребром являет-
ся только SE1, как не лежащее с ребром SB в плоскости одной
грани пирамиды.
Линия пересечения этих проектирующих плоскостей A(Ai)C1 и
BiBJEt есть SXX. Пересечение линий SXX и АС дает точку ^при-
надлежащую сечению. С учащимися подробно выясняется, почему
эта точка принадлежит искомому сечению. В результате, на ребре
получается точка Е, т. е. Е = SExxBX. Далее разбирается вопрос:
какое ребро следует взять в паре с ребром SDX для проведения
проектирующей плоскости? Хорошие ученики быстро отвечают на
этот вопрос. Со слабыми учениками к ответу на этот вопрос можно
подойти методом/ исключения: может ли ребро SCt или SBX быть
в искомой проектирующей плоскости с ребром SDX? Нет. Почему?
Потому что каждое из них лежит с ребром SDX в плоскости одной
грани. Может ли ребро SEX или SAX быть в искомой проектирующей
плоскости с ребром SDX? Да. Почему? Потому что проектирующая
плоскость S(Et)S(Dt) дает внутреннее пересечение с проектирующей

плоскостью А{АЛ)С и проектирующая плоскость S(Ax)S(Dy) дает
внутреннее пересечение с проектирующей плоскостью S(EX)S(BX).
Следовательно, может быть сделан выбор любой из этих пар. Вы-
бор в данном случае будет определяться характером чертежа. В дан-
ном чертеже выбор пал на плоскость SE}DX. Дальнейший разбор
задачи с учащимися идет в том же плане, что и в предшествующих
задачах. В результате решения получилось сечение ABDCE.
Наряду с задачами, в которых заданные точки располагались
на ребрах, решались и такие задачи, в которых точки задавались
на гранях. Рассмотрим такие задачи. Решение их основано тоже на
нахождении линии пересечения проектирующих плоскостей.
Задача № 13. Найти сечение треугольной призмы плоскостью,
проходящей через три точки А, В и С, лежащие на боковых гранях
призмы.
Если задача решается на классной доске, то большинство уча-
щихся на первых шагах располагают в своих тетрадях заданные
точки так, как они изображаются на классной доске. Это удобнее
и для учителя, так как ему в это время приходится давать много
разъяснений и поэтому легче оперировать с одинаковыми чертежами
(на доске и в тетрадях учащихся). Далее, по мере развития навыка
в решении таких задач, отдельные учащиеся определяют самосто-
ятельно выбор положения заданных точек по условию задачи. Это
создает самостоятельность в работе, а следовательно, вызывает ин-
терес учащихся к выполнению работы.
Преподаватель обращает внимание учащихся на то, что проекции
заданных точек-определяют, на какой грани лежат эти точки (черт. 23).
Так, точка А лежит на грани M(MX)N, точка В лежит на грани
Решение задачи начинается с нахождения линии пересечения
проектирующей плоскости С(СХ)В с плоскостью А(АХ)К. При разборе
этой задачи повторяется решение руководящей задачи (2).
В результате этого решения
получается на ребре КК1 точ-
ка К» принадлежащая сечению.
Точка К2 дает возможность по-
строить линию сечения призмы
плоскостью, проходящей через
точки А, В и С.
Если учащиеся поймут са-
мый принцип нахождения чет-
вертой точки по трем данным,
то смогут правильно разбирать-
ся в проведении сечения любой
многогранной призмы или пи-
рамиды.
Черт. 23
Чтобы создать навыки в решении подобных задач, следует раз-
нообразить их условия.
Вот пример одной из таких задач.
Задача № 14. Найти сечение пятиугольной призмы плоскостью,
проходящей через сторону нижнего основания AXBU и точку М на
боковой грани, не содержащей заданную сторону основания
(черт. 24).
Из условия задачи следует, что точка М может быть на любой
из четырех граней, не содержащих стороны АХВХ.

Задача решалась по следующему плану:
1) Нахождение линии пересечения плоскости A1CC1 и ВХММХ+
(ХХ1 есть линия пересечения этих плоскостей.)
2) Нахождение линии пересечения плоскостей ВХЕЕХ и АХСС1.
(YYX есть линия пересечения этих плоскостей.)
Полученные точки Я и С на ребрах ЕЕ} и СС1 дали возмож-
ность провести линию пересечения искомой плоскости с гранями
призмы. Решение задачи дало сечение AXEDCBX.
Черт. 24
Для того чтобы создать навык свободной ориентировки уча-
щихся в построениях, следует длительнее остановиться на простран-
ственных задачах на построение с помощью проекционного чер-
тежа. Учащиеся приобретают при этом навык придумывать такие
же задачи.
Одна ученица X класса 113-й школы так рассказывает в мате-
матической газете о том, как она училась решать задачи на построе-
ние с помощью проекционного чертежа:
„Когда мы были еще в IX классе и нам сказали о том, что мы
будем решать задачи на построение в стереометрии с помощью
проекционного чертежа, что проекционный чертеж поможет нам
решать эти задачи так же, как задачи на построение в планимет-
рии, мы решили, что это очень трудно.
Первые задачи мы решали с помощью учительницы и, вопреки
ожиданию, они решались очень легко. Но когда нам дали в классе
решить новую задачу самостоятельно, то ее решили не все. На
этом же уроке нам опять разъяснили ее решение. У меня задача
эта вышла, но я над ней потрудилась.
Потом стали чаще и чаще давать самостоятельно решать зада-
чи и решать стало легче. Мне хотелось научиться самостоятельно
решать всякую задачу. Я стала придумывать задачи: брала несколь-
ко многогранников и строила сечения по одинаковому условию.
Иногда брала одну и ту же призму и рисовала ее в разных поло-
жениях. Условие брала одно и то же. Это мне очень помогло хо-
рошо видеть линии пересечений.
Вот однажды мне предложили с решением задач выступить на
школьном математическом кружке. Я решила в^ять три задачи
и предварительно потренироваться в их решении. Задачи выходили,
ну, думаю, разберусь в решении. Вот наступило мое выступление.
Руки дрожали и видно было, что я волнуюсь. Вот я заканчиваю
решение последней задачи, сечения все сошлись. Неужели не по-
няли сидящие? Нет, поняли, потому что никто не задал мне во-

проса. Только я хотела садиться на место, как встал один ученик
и говорит: „Может быть Вы решите мою задачу?“ Я испугалась,
подумав, что он может дать такую задачу, которую мы не умеем
решать. Я согласилась решить. Помню мне дали такую задачу:
.„провести сечение в семиугольной пирамиде через точку на одном
боковом ребре, точку на противолежащей грани и точку вне пира-
миды“. Задачу я решила без затруднения. После этого выступления
я почувствовала уверенность в своих силах и мне хотелось находить
более хороший путь в решении, поэтому одну и ту же задачу я
стала решать по-разному. Чтобы добиться хорошего решения за-
дач, мало стараться решать задачи самостоятельно, а если они не
выходят, то спросить, как решается, но обязательно после этого
еще раз или два решить эту же задачу самостоятельно. После этих
задач, задачи на вычисление кажутся легкими“.
Аккуратное выполнение решений дает возможность добиться дей-
ственных результатов в задачах с пространственными образами.
Когда приемы решения задач с помощью внутреннего проектиро-
вания и прием решения задач на построение с помощью следа се-
кущей плоскости на основной хорошо освоены, тогда учащиеся мо-
гут делать выбор того или другого приема в зависимости от усло-
вий задачи. Целесообразный выбор проектирующих плоскостей об-
легчает построение, поэтому важно на первых шагах проводить
рассуждение: какие пары плоскостей можно взять и какие из воз-
можных - лучше.
В сложных чертежах удобно пользоваться цветным мелом. Это
облегчает чтение чертежа.
Теперь остановимся на практических задачах по определению
теней от предметов. Эти задачи легко решаются с помощью проек-
ционного чертежа, и приступили мы к их решению после того, 'как по
теории были проработаны теоремы о перпендикуляре и наклонных
к плоскости.
Начали с решения простейшей задачи на нахождение тени от
вертикально поставленного шеста. Шест изображался на чертеже
вертикальным отрезком А(АХ).
Поверхность земли принима-
лась за основную плоскость и
изображалась так же, как в
предшествующих задачах. Для
решения задач на тени в ус-
ловии должно быть задано
направление луча света и его
проекции на основную пло-
скость. При этом имеется в
виду солнечное освещение,
при котором тело освещает-
ся пучком параллельных лучей (черт. 25). L — есть один из та-
ких лучей. Lx — его проекция на основную плоскость (подробно
вопрос о тенях изложен в книге проф. Н. Ф. Четверухина, Стерео-
метрические задачи на проекционном чертеже, часть 1, § 8).
При решении этой задачи преподаватель разбирает с учащимися
зависимость положения точки В на основной плоскости от направ-
ления луча света L. Преподаватель напоминает учащимся о том,
что условия задачи обеспечивают выполняемость ее на чертеже.
Черт. 25

Если кто-нибудь из учащихся получил точку В — пересечение луча
света с его проекцией, проходящей через точку АИ — за листом тет-
ради, то следует изменить направление луча света.
Далее перешли к решению более сложной задачи: найти тень
от прямоугольной стенки при заданном направлении луча света.
Учащихся не затруднило изобразить вертикальную прямоуголь-
ную стенку в виде проектирующей плоскости. Один из учащихся
даже предложил на проектирующую плоскость смотреть, как на след,
полученный от движения проектирующей прямой A(AX) параллельно
самой себе. При движении проектирующей прямой происходит дви-
жение тени.
Учащиеся быстро сообразили, что для решения этой задачи сле-
дует найти тени от проектирующих прямых А(А}) и В(Вг), и
тени от точек А и В на основной плоскости соединить (черт. 26)-
Черт. 26
В результате решения задачи получилась тень AlUCB1 (ее видимая
часть заштрихована).
После первого знакомства с элементарными задачами на тени
и закрепления их решения на задачах, составленных самими учени-
ками, дано было понятие о собственной тени предмета и о пада-
ющей тени. Понятие это давалось при решении такой задачи, где
направление луча света дало на предмете собственную тень.
Была дана задача: Построить тень от вертикальной стенки при
заданном направлении луча света (черт. 27). Тень, полученная от
Черт. 27
проектирующей плоскости АВ(ВгАг) на основной плоскости, —- A^fiD
есть падающая тень. Тень на самой проектирующей плоскости — есть
собственная тень.
В решениях дальнейших задач на тени требовалось построение
той и другой тени.
Задачи на тени решались учащимися с большим интересом, и мно-
го задач было составлено самими учащимися.

Вот какие задачи придумывали учащиеся:
1. Построить тень от шеста, опирающегося одним концом в верти-
кальную стенку, другим в землю.
2. Построить тень от треугольной пластины, опирающейся основа-
нием на землю, а противоположной вершиной на вертикальный шест.
3. Построить тень от прямоугольного щита, опирающегося про-
тивоположными сторонами на землю и вертикальную стенку.
4. Построить тень от щита, имеющего вид трапеции. Щит опи-
рается нижним основанием на землю и подпирается шестом.
5. Найти тень от беседки, имеющей вид пятиугольной прямой
призмы.
6. Найти тень от палатки, представляющей собою треугольную
пирамиду.
Во всех этих задачах задано направление луча света.
При проверке домашних задач на тени ошибок встречалось не-
много, большинство из имеющихся ошибок заключалось в отсутствии
обозначения пунктиром линий, закрытых плоскостью. Все же у от-
дельных учащихся были ошибки в построении.
Например, в задаче: построить собственную и падающую тени
пирамиды SABC при заданном освещении L(L1) (эта задача взята из
книги проф. Н. Ф. Четверухина, 1 ч.) (черт. 28).
Черт. 28
Ученица А. решала ее так: нашла тень от ребра SC пирамиды.
Это отрезок CD. Далее она соединила точку А с точкой D, считая,
что если D есть тень вершины S, то тень от ребра SA будет отрезок AD.
Черт. 29
Другая ученица У. так решала эту задачу: она нашла тень от ре-
бра SA и тень от точки S, т. е. точку D соединила с точками В и С
(черт. 29).
Ошибки той и другой ученицы заключались в том, что они не
взяли на чертеже проекции вершины пирамиды (проекции точки S)
на основную плоскость. Поэтому изображение не было полным.

Верное решение этой задачи изображено на чертеже 30.
Черт. 30
Учащиеся, интересующиеся математикой, с большим интересом
решали в математическом кружке более сложные задачи, например,
такие (черт. 31).
Черт. 31
Собственная тень пирамиды SBC.
Падающая тень пирамиды BPXPERRXC.
Задачи на тени без затруднения решаются массой учащихся. Хо-
рошее выполнение построения теней вызывает эстетическое насла-
ждение учащихся.
Учащиеся придумывают разнообразное положение тел и направ-
ление луча света. У одного всегда не так, как у другого. Это об-
стоятельство обеспечивает самостоятельность в работе каждого
и поднимает интерес к изучению геометрии.
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ В 29-й ЖЕНСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ ФРУНЗЕНСКОГО
РАЙОНА МОСКВЫ
(преподаватель М. X. Кекчеева)
Прежде чем приступить с учащимися 29-й школы к решению
задач на построение при помощи проекционного чертежа, я провела
большую подготовительную работу. Я ознакомилась с серией про-
странственных построений и задач, с приемами построения проекци-
онных чертежей, предложенных нам проф. Н. Ф. Четверухиным,
под руководством которого проводилась описанная мною работа,
перерешала большое количество задач, выполнила все необходимые
чертежи, подготовила объяснение к каждой задаче с подробной за-

писью построения и доказательства, составила календарный план
работы, подобрала задачи в соответствии с темами программы шко-
лы по стереометрии, составила методическую записку к применению
чертеж ей-моделей в курсе стереометрии.
Я придерживалась того порядка прохождения материала, кото-
рый соответствует программе и учебнику.
С первых уроков стереометрии я ознакомила учащихся со спосо-
бом изображения точек пространства. Учащиеся познакомились
с терминами „основная плоскость*1, „проектирующие прямые**, „прое-
ктирующая плоскость**. Они узнали, какая точка считается заданной,
и что, пользуясь заданными точками, можно задавать прямые и пло-
скости.
В связи с этим учащимся давался ряд самостоятельных упражне-
ний, из которых учащиеся узнали, что любая точка заданной пря-
мой или заданной плоскости является заданной. Учащиеся, таким
образом, стали строить фигуры, имея заданные точки, прямые и пло-
скости. Порядок решения задач указан в моей статье „Из опыта
решения стереометрических задач на проекционном чертеже** в
журнале „Математика в школе*4, № 5, 1948 г. Новый материал давал-
ся мною с подробным объяснением, записью и тщательным выпол-
нением чертежа. Приведу решение одной из первых задач.
Задача. Даны две проектирующие плоскости Р и Q. Найти ли-
нию их пересечения (черт. 32).
Черт. 32
Построение
1) Проектирующая плоскость Р определяется проектирующими
прямыми АА1 и ВВИ а проектирующая плоскость Q — проектирующими
прямыми СС1 и DDX.
2) Находим точку ХХ пересечения следов АХВХ и CXDX данных
плоскостей Р и Q.
3) Проводим через точку ХХ проектирующую прямую ХХ1.
Доказательство
1) ХХХ С пл Р, так как ХХХ \\ АА1.
2) ХХХ С пл. Q, так как ХХХ \\ СС1.
3) ХХХ = пл. Р X пл. Q.
Задачи предлагались учащимся для самостоятельного решения
под моим руководством и для домашней* работы.

Учащиеся получали представление о „полноте“ чертежа и прове-
ряли это свойство полноты на каждом чертеже.
Применяя проекции точек на основную плоскость, учащиеся ре-
шали задачи на построение сечений в призме и пирамиде, продол-
жая эту работу в X классе.
Учащимся были показаны два пути решения: 1) при помощи на-
хождения следа искомой плоскости на основной плоскости и 2) при
помощи нахождения линии пересечения проектирующих плоскостей
при внутреннем проектировании.
Учащиеся уяснили, что общий принцип построения сечений призмы
на проекционных чертежах заключается в том, что сечение призмы*
плоскостью для полного изображения можно задавать тремя точ-
ками и искать на какой-либо проектирующей четвертую точку, при-
чем эти три точки могут быть заданы на ребрах призмы, на ее гра-
нях, одна из точек может быть задана на плоскости основания внут-
ри или вне призмы и различные комбинации из указанных случаев.
Приведем решение задачи нахождением следа искомой плоскости
на основной.
Задача. Построить сечение четырехугольной призмы плоско-
стью, проходящей через ее вершины В и DX и точку Е, взятую на
ребре АА1 (черт. 33).
Черт. 33
Построение
Для построения всего сечения найдем на проектирующей пря-
мой ССг четвертую точку Kv
1) Соединяем точку Е с точкой В.
2) Находим точку X пересечения прямой BE с основной пло-
скостью.
3) Через точки X и DX проводим прямую и находим точку Y
пересечения ее с продолжением стороны Bfi^
4) Соединив точку В с точкой Y, находим четвертую точку
K=BYXCXC.
Приводим решение этой же задачи способом внутреннего прое-
ктирования (черт. 34).

Построение
Выберем основание призмы в качестве основной плоскости, а
ребра призмы в качестве проектирующих.
Для изображения всего сечения следует построить его точку
на ребре СС1, т. е. найти точку К пересечения плоскости BEDX
с проектирующей СС1. Для этого находим:
OL = A1C1XB1DU
проводим ООГ || АА1 и строим точку О:
0=BD1X OO1,
и, наконец, находим точку К:
К=ЕО Х ССХ.
После решения задач на сечения призмы учащимся была дана
контрольная работа для выяснения степени понимания ими постав-
ленной задачи.
Привожу варианты этих задач.
Черт. 34
I
Дана четырехугольная призма и три точки на трех ее ребрах.
Найти след сечения на плоскости основания.
II
Дана четырехугольная призма. Построить сечение через сторону
основания и точку на боковом ребре.
III
На гранях четырехугольной призмы даны точки К, L и М.
Требуется построить сечение призмы плоскостью, проходящей че-
рез точки К, L и М.
IV
Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, для ко-
торой даны: след ее на плоскости основания и точка на ребре.

После решения задач на сечения призмы, учащиеся перешли к
решению задач на сечения пирамиды.
Учащиеся уяснили, что пирамида является фигурой, обладаю-
щей свойством „полноты4*. Параллельное проектирование на основ-
ную плоскость заменяется центральным проектированием.
Далее следует целый ряд задач на сечение пирамиды.
В результате этой работы учащимся была дана контрольная ра-
бота.
Приводим ее текст (четыре варианта).
I
Дана четырехугольная пирамида, в которой заданы три точки
на трех ее гранях. Построить сечение пирамиды плоскостью, про-
ходящей через эти точки.
II
Дана треугольная пирамида. Требуется построить сечение этой
пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, точку, лежа-
щую в плоскости основания, и точку, лежащую по боковой грани.
III
В четырехугольной пирамиде провести сечение плоскостью, про-
ходящей через три точки, из которых две лежат на гранях и одна
на ребре пирамиды, не принадлежащем этим граням.
IV
Дана треугольная пирамида и три точки: одна на основании пира-
миды, другая на ее ребре и третья на боковой грани. Построить
сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три данные точки-
Привожу чертеж решения задачи III варианта (черт. 35).
Черт. 35
Учащимся также предлагалось построить след сечения на ^пло-
скости основания.

Варианты задач на сечения призмы и пирамиды очень разнооб-
разны. Много задач было придумано самими учащимися. Приведем,,
например, задачи, придуманные учащимися.
Ученицей Климентовой:
„Дана шестиугольная призма и три точки: одна на нижнем осно-
вании, а две другие на боковых ребрах призмы. Провести сечение
плоскостью, проходящей через эти три точки“.
Ученицей Ворониной:
„В правильной четырехугольной пирамиде построить сечение
плоскостью, проходящей через середины смежных ребер основания
и середину высоты*4.
Кроме задач на сечение, учащиеся также решали другие позици-
онные задачи, как, например:
„Дано изображение пирамиды SABC и прямой DE, пересекаю-
щей пирамиду в точках D и Е. Построить точку пересечения прямой
DE с плоскостью основания44.
Учащимся предлагается такая же задача в приложении к призме.
Более “сложные задачи решались на кружковых занятиях, так,,
например:
„На изображении имеем треугольную пирамиду SABC и проек-
тирующую плоскость, определяемую точками (f\Px) и Q(QX). По-
строить линию пересечения плоскости PQQxPi с пирамидой*.
Так учащиеся фактически производили построения и находили
искомые элементы на чертеже и постепенно усваивали метод ре-
шения задач на построение с помощью проекционного чертежа и раз-
вивали свое пространственное представление и конструктивные навыки..
В заключение следует сказать, что приведенный опыт работы
двух школ охватывает лишь позиционные задачи.
Что касается метрических задач, то следует отметить, что они
стоят в плане работы этих школ, и опыт этой работы будет освещен
в дальнейшем.
Время, отведенное на решение задач на проекционном чертеже,
расходовалось за счет сокращения числа мало полезных задач на
непосредственное вычисление поверхностей, объемов и т. п. Это
время вполне окупается той большой пользой, которую приносит
учащимся решение задач на проекционном чертеже. Решение таких
задач действительно развивает пространственные представления;
и воображение учащихся и, в силу фактического выполнения, со-
здает более твердые навыки при изучении стереометрии.
Систематическое обращение к проекционному чертежу особенна
помогает слабым ученикам разбираться в пространственных фигурах
и мысленно оперировать в пространстве.

ЛИТЕРАТУРА
1. Проф. Четверухин Н. Ф., Чертежи пространственных фигур в курсе
геометрии, Учпедгиз, 1946.
2. Его же, Стереометрические задачи на проекционном чертеже, изд. АПН,
М.-Л., 1947.
3. Его же, Стереометрические задачи на проекционном чертеже, ч. П. Метри-
ческие задачи, изд. АПН, М.—Л., 1948.
4. Его же, Стереометрические задачи на проекционном чертеже, журн. „Ма-
тематика в школе“, № 2 за 1946 г.
5. Его же, Позиционные задачи в курсе стереометрии, журн. «Математика в
школе“, № 3 за 1946 г.
6. Кекчеева М. X., Из опыта решения стереометрических задач, журн.
«Математика в школе“, № 5 за 1948 г.
ОПЕЧАТКИ
Стра-
ница
Строка
Напечатано
Следует читать
38
25-26
сверху
полное их отсутствие
и неумение ответить
подчас на почти
простой вопрос
почти полное их отсут-
ствие и неумение
ответить подчас
на простой вопрос
49
14
снизу
Некоторые выводы в
преподавании геометрии
некоторые выводы о
преподавании геометрии.