Галанин Д. Д. Введение в методику арифметики. — 1911

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Предисловіе V.

Глава I. Краткій историческій очеркъ методическихъ идей въ Германіи.

§ 1. Общія обоснованія методики.—Янъ Амосъ Коменскій 1

§ 2. Общія обоснованія методики.—Песталоцци 4

§ 3. Методика ариѳметики 7

§ 4. Наглядныя пособія въ преподаваніи ариѳметики 9

§ 5. Разборъ предыдущихъ методъ. Новое построеніе наглядныхъ пособій 14

§ 6. Числовыя фигуры 18

§ 7. Дистервегъ и Грубе 22

Глава II. Русскіе методисты.

§ 1. Общее замѣчаніе 27

§ 2. Старые учебники и старое преподаваніе 29

§ 3. Русскіе методисты.—П. С. Гурьевъ 35

§ 4. Методическія идеи Грубе 40

§ 5. Послѣдователи Грубе въ Россіи 44

§ 6. Критика системы Грубе 49

§ 7. Современные русскіе методисты 54

§ 8. Сочиненія, въ которыхъ произведено обозрѣніе методическихъ вопросовъ 62

Глава III. О познаваніи.

§ 1 65

§ 2. Первичные психическіе элементы: ощущеніе и воспріятіе 66

§ 3. Воспріятіе 70

§ 4. Представленія и ихъ типы 74

§ 5. Теченіе представленій—Ассоціація и апперцепція 78

§ 6. Психологическое возникновеніе понятій 82

§ 7. Логическая обработка понятій 86

§ 8. Окончательное логическое установленіе понятія 89

§ 9. Приложеніе законовъ познаванія къ мысли ребенка 90

§ 10. Психологическія основы обученія математикѣ 93

Глава IV. Основные вопросы методики: число, количество, величина.

§ 1. Необходимость разсмотрѣнія вопроса 97

§ 2. Понятія: количественность, множественность, единичность 98

§ 3. Понятіе о величинѣ 101

§ 4. Число 103

§ 5. Иныя обоснованія и опредѣленія понятія о числѣ 109

§ 6. Счетъ и система счисленія 113

§ 7. Новые числовые ряды 118

§ 8. Комплексы 119

§ 9. Отношеніе 123

§ 10. Первоначальное обученіе ариѳметикѣ 124

Глава V. Основные методическіе вопросы. Дѣйствія надъ количествами.

§ 1. Понятіе о дѣйствіи 128

§ 2. Сложеніе количествъ 132

§ 3. Понятіе о дроби и ея свойствъ 136

§ 4. Сложеніе дробей 138

§ 5. Сложеніе пропорціональныхъ количествъ —

§ 6. Сложеніе не числовое 139

§ 7. Общія замѣчанія 140

§ 8. Числа какъ результатъ дѣйствій 141

§ 9. Вычитаніе счетныхъ чиселъ. Числа отрицательныя 143

§ 10. Умноженіе 146

§11. Производство умноженія 151

§12. Методическія указанія и вопросы 154

§13. Дѣленіе.—Обзоръ литературы 156

§ 14. Понятіе о дѣленіи 158

Предисловіе.

При преподаваніи методики ариѳметики въ женскихъ гимназіяхъ и учительскихъ семинаріяхъ преподаватель обыкновенно встрѣчается съ вопросомъ о томъ, что именно онъ долженъ преподавать? Этотъ вопросъ рѣшается каждымъ преподавателемъ индивидуально, но большинство склоняется къ мысли, что методика ариѳметики такъ мало отличается отъ теоретической ариѳметики, что усвоеніе теоріи будетъ въ то же время и рѣшеніемъ методическихъ вопросовъ. Такое рѣшеніе тѣмъ болѣе естественно, что существующія методическія руководства въ большинствѣ случаевъ могутъ быть разсматриваемы какъ теоретическіе учебники съ болѣе полнымъ изложеніемъ правилъ дѣйствій, приспособленныхъ къ пониманію дѣтей. Это приспособленіе состоитъ въ томъ, что въ нихъ детально излагается методъ передачи того или иного дѣйствія на малыхъ числахъ. Кромѣ того, чтеніе каждой методики, вообще говоря, довольно скучно и ее болѣе перелистываешь, чѣмъ читаешь.

Однако такое рѣшеніе вопроса неправильно, и я думаю, что въ область преподаванія методики необходимо вставить слѣдующіе основные методическіе вопросы: 1) развитіе общихъ методическихъ идей въ Германіи; 2) русскіе методисты, 3) приложеніе теоріи познаванія къ математикѣ. Кромѣ того полезно разсмотрѣть нѣсколько вопросовъ въ ихъ теоретическомъ обоснованіи: 1) вопросъ о сущности числа и 2) вопросъ о дѣйствіяхъ.

Это составитъ первую часть „Введенія въ методику". Но, кромѣ того, слѣдуетъ вообще разсмотрѣть вопросъ о количествахъ, установить основныя аксіомы количествъ и показать, что ученіе объ измѣреніи количествъ позволяетъ приложить къ нимъ числовой методъ и такимъ образомъ распространить дѣйствія надъ числами на количества. Въ этомъ смыслѣ необходимо разсмотрѣть ученіе объ отношеніи по Эвклиду, ученіе о равенствѣ и понятіе ноль. Все это составитъ предметъ из-

ложенія второй части „Введенія въ методику", куда войдетъ и вопросъ о задачахъ.

Здѣсь у читателя можетъ возникнуть сомнѣніе, почему именно эти вопросы, столь далекіе отъ учительской практики, вопросы, почти не затронутые русской методической литературой, я считаю основными. Вѣдь это болѣе вопросы теоріи даже не ариѳметики, а всей математики? Чтобы отвѣтить на столь важное замѣчаніе, я долженъ сказать нѣсколько словъ о томъ, что по моему мнѣнію необходимо знать методисту. Мы въ настоящее время имѣемъ не одну прекрасную методику ариѳметики, но если выберемъ одну изъ нихъ и введемъ ее какъ учебникъ въ классѣ, то скоро почувствуемъ, что это не то. Методика хороша для учителя практика, для того, кто желаетъ знать, какъ ему поступить въ томъ или иномъ конкретномъ случаѣ, но она ничего не даетъ для лицъ, изучающихъ методику въ классѣ гимназіи. Причину этого прекрасно выяснилъ г. Латышевъ, говоря: „во всѣхъ русскихъ методикахъ я нахожу важный недостатокъ, мѣшающій правильному пониманію дѣла и потому дающій поводъ къ огульному обвиненію въ негодности всѣхъ руководствъ къ преподаванію ариѳметики (методикъ). Этотъ недостатокъ—непрактичность составителей, именно составителей, а не ихъ совѣтовъ. Дѣло въ томъ, что авторы руководствъ обыкновенно подробно описываютъ пріемы работы, но очень мало выясняютъ характеръ всего курса и значеніе каждаго отдѣльнаго упражненія въ ряду другихъ. Отсюда является очень часто непониманіе со стороны читателей, особенно неопытныхъ въ дѣлѣ преподаванія, значенія каждаго изъ отдѣльныхъ упражненій, является слишкомъ большая привязанность къ формѣ, а не сущности дѣла, такъ какъ послѣдняя остается непонятой, или, наоборотъ (по той же причинѣ), является слишкомъ легкое отношеніе къ предлагаемому методу, отрицаніе его полезности—и все это изъ-за непригодности нѣкоторыхъ второстепенныхъ упражненій... Чтеніе руководствъ для такихъ лицъ является почти невозможнымъ: у нихъ ничего не остается въ памяти, именно потому, что смыслъ упражненій и связь между ними не видны, а заучиваніе — невозможно и не имѣетъ никакого смысла. Приходится читателю оставить книгу и обратиться къ ней только тогда, когда придется начать дѣло, когда придется обдумывать уроки".

Приведя эти разсужденія г-на Латышева, съ которыми я вполнѣ согласенъ, я только подкрѣпляю свое личное мнѣніе авторитетомъ почтеннаго педагога.

Вотъ мнѣ и кажется, что если на урокахъ методики будутъ разобраны указанные мною вопросы, то они уже дадутъ

ту обобщающую идею, которая впослѣдствіи окажетъ свою пользу при чтеніи той или иной методики.

Я далекъ отъ мысли о томъ, что излагаемые вопросы освѣщены правильно и примѣнительно къ уровню познаній учащихся, но мнѣ хотѣлось сдѣлать попытку ихъ изложенія, указать тотъ матеріалъ, который долженъ быть затронутъ на урокахъ методики. Такова цѣль предлагаемаго сочиненія.

Кромѣ того, есть одинъ вопросъ, о которомъ мнѣ хочется сказать здѣсь нѣсколько словъ. Это, именно, вопросъ о русскихъ методистахъ. Признавая себя вполнѣ русскимъ человѣкомъ, я, конечно, былъ мало знакомъ съ русской литературой по методикѣ; мнѣ казалось, что эта литература въ своихъ основныхъ идеяхъ была заимствована, а тѣ мелкія подробности, о которыхъ говорятъ русскіе методисты, имѣютъ настолько второстепенный характеръ, что о нихъ можно сказать лишь кое-что, и то на почвѣ идей германскихъ педагоговъ.

Однако, вчитываясь въ сочиненія русскихъ методистовъ, я долженъ былъ отказаться отъ своей точки зрѣнія и признать за русскими сочиненіями крупныя достоинства. Эти достоинства я пытался выдвинуть въ главѣ о русскихъ методистахъ, но не имѣя въ рукахъ книги г. Гурьева, сдѣлалъ это слишкомъ робко, упрекая русскихъ ученыхъ въ отсутствіи самостоятельныхъ творческихъ методическихъ идей.

Здѣсь мнѣ хочется снять съ нихъ этотъ упрекъ и сказать, что русскіе методисты не только шли въ ногу съ ихъ германскими собратьями, но иногда и опережали ихъ. Не ихъ вина, что общество, хорошо зная нѣмецкій языкъ, читало больше германскихъ педагоговъ, а у себя мы только что начинаемъ составлять библіографію русской науки. Не ихъ вина въ томъ, что на книжномъ рынкѣ трудно найти книгу того или иного методиста потому, что ее никто не спрашиваетъ.

Мнѣ особенно жаль въ этомъ случаѣ нашего перваго методиста Петра Семеновича Гурьева, которымъ бы гордилась всякая страна, но имя котораго мы едва знаемъ по отзывамъ критики, не всегда правильно оцѣнивающей заслуги ученаго. Повторяю, что не имѣя подъ руками книги г. Гурьева, я долженъ былъ довольствоваться выдержками, которыя сдѣланы въ сочиненіяхъ гг. Мукалова, Евтушевскаго и Латышева. Теперь у меня есть 3-е изданіе „Практической ариѳметики" и о немъ я хочу сказать нѣсколько словъ. Это можно сдѣлать въ предисловіи и потому еще, что сочиненіе Петра Семеновича Гурьева затрогиваетъ общіе методическіе вопросы, о которыхъ можно сказать особо. Кромѣ того, здѣсь есть очень интересные факты, о которыхъ слѣдуетъ вспомнить. Такъ на стр. XIII второй

части г. Гурьевъ разсказываетъ: „Отъ нашего Μ. Η. Пр. было послано въ 20-хъ годахъ пятеро молодыхъ людей, окончившихъ курсъ въ гимназіи: А. Г. Ободовскій, Ѳ. И. Буссе, М. М. Тимаевъ, Богословскій и Свенске въ школу Песталоцци. Первые трое избрали себѣ педагогическую карьеру. Богословскій былъ докторомъ. А. Г. Ободовскій много внесъ новаго въ нашу тогдашнюю скудную педагогическую жизнь. Но удивительно, что Министерство только одного изъ нихъ (Ѳ. И. Буссе) навсегда закрѣпило за собой. Онъ издалъ нѣсколько математическихъ учебниковъ, но до того очуренныхъ министерской неизмѣнной системой, что лишенъ былъ всякой возможности провести методу Песталоцци въ томъ видѣ, сколько бы желалъ и сколько самъ понималъ, изучивъ ее еще въ Швейцаріи. Ему приказано было, чтобы руководство написано было по извѣстной системѣ, а извѣстныхъ правилахъ, и если бы онъ воспротивился, то книги никогда не были бы приняты для употребленія въ уѣздныхъ училищахъ и гимназіяхъ, Ѳ. И. самъ говорилъ мнѣ, что онъ долженъ былъ нѣсколько разъ совершенно передѣлывать свою рукопись, чтобы она удостоилась наконецъ одобренія министерства. Такой участи и подверглись книги самого г. Гурьева, который имѣлъ смѣлость проводить свои взгляды и писать учебникъ не по программѣ, одобренной министерствомъ. Въ 1871 году второе изданіе „Практической ариѳметики" не было одобрено, и книга не была допущена для тѣхъ, кто наиболѣе въ ней нуждался.

Я особенно подчеркиваю этотъ фактъ, чтобы читатель могъ критически посмотрѣть на сообщенія воспоминаній г. Стрѣльцова и бар. Корфа.

Чтобы хоть нѣсколько обѣлить себя передъ русскими методистами, я въ концѣ главы привелъ списокъ русскихъ методикъ. Не претендуя на его исчерпывающее значеніе, я думаю, что онъ полнѣе существующихъ. При этомъ сознаюсь, что въ настоящее время необходимъ библіографическій обзоръ предмета и только тогда приведенный списокъ будетъ имѣть цѣну. Библіографическихъ обзоровъ на сколько мнѣ извѣстно есть два: „Систематическій обзоръ руской народно-учебной литературы 1878 г." и „Учебно-воспитательная библіотека 1876". Оба они устарѣли и очень неполны; но по этому типу хорошо было бы издать новый обзоръ. Это тѣмъ болѣе необходимо, что въ настоящее время методическая литература по начальному обученію сильно разрослась.

Кромѣ того, еще одно замѣчаніе опять по поводу г. Гурьева. Его систему преподаваній смѣшиваютъ съ системой Генчеля (Евтушевскій), но онъ справедливо указываетъ, что его

педагогическія идеи появились раньше сочиненія Генчеля, и уже поэтому не имѣютъ съ нимъ ничего общаго.

Что касается до „Практической ариѳметики", то быть можетъ читатель не будетъ очень недоволенъ, если я позволю себѣ привести въ цѣломъ видѣ первое отдѣленіе того конспекта, который былъ написанъ въ 1857 году и содержитъ настолько много цѣнныхъ соображеній, что было бы жаль изъ нихъ что либо исключить. Но предварительно я сдѣлаю еще одну выписку, также въ высшей степени любопытную и важную.

„Если-бъ Песталоцци поболѣе вдумывался въ свою методу, говоритъ г. Гурьевъ, ему слѣдовало начать ее не съ сочиненныхъ имъ таблицъ, но прямо съ изученія геометрическихъ тѣлъ, съ разсматриванія и исчисленія признаковъ, въ нихъ замѣчаемыхъ, какъ-то: точекъ, линій, угловъ, плоскостей и проч., и проч.; тогда бы его „Ученія о содержимости чиселъ" было совершенно основано на „наглядности", а дѣти оказывали бы успѣхи легко, скоро и непринужденно. Притомъ, при разсматриваніи этихъ признаковъ, при исчисленіи ихъ и измѣреніи, если онъ употреблялъ бы и черченіе, то, конечно, такое изученіе оказалось бы для нихъ впослѣдствіи еще плодотворнѣе. Нѣкоторую часть этой общей задачи разрѣшилъ потомъ Дистервегъ въ своемъ „Ученіи о пространствѣ (Raumlehre etc.)" и рѣшилъ удовлетворительно. Только жаль, что и онъ увлекся послѣдовательными рядами, какъ подготовкою учениковъ для алгебры и, занявшись ими, впалъ въ абстракціи. Остановись онъ болѣе на конкретныхъ знаніяхъ, примѣни къ нимъ исчисленіе, и тогда его руководство надолго осталось бы образцовымъ. Современникъ Дистервега, Тюрке имѣлъ тотъ же взглядъ на преподаваніе элементарной математики. Но ни тому, ни другому, по причинѣ преждевременнаго удаленія ихъ отъ практики дѣла, не удалось осуществить, развить и обобщить добытые ими опыты и наблюденія. Нѣтъ сомнѣнія, труды ихъ не умрутъ; но теперь написать элементарный курсъ, на основаніи выработанныхъ ими опытовъ, особенно у насъ, гдѣ схоластическія программы и разные регулятивы еще такъ крѣпко держатся въ учебныхъ заведеніяхъ, было бы преждевременно. Просто такую книгу не приняло бы въ руководство ни одно учебное заведеніе".

Это для меня особенно важно, ибо я тоже думаю, что Песталоцци, примыкая въ общемъ къ основнымъ методическимъ идеямъ Коменскаго, увлекся изученіемъ числа, и его методика, а вслѣдъ за ней и работы его учениковъ уклонялись отъ тѣхъ основныхъ методическихъ положеній, которыя исповѣдуетъ самъ Песталоцци. Но я думаю болѣе, по моему необходимо въ основу

обученія положить не только геометрію, но и физику, т.-е. изучить съ самыхъ первыхъ лѣтъ фактическое измѣреніе количествъ. Въ этомъ направленіи и построена моя „Методика ариѳметики".

ОТДѢЛЕНІЕ I.

О духѣ и методѣ преподаванія первоначальной математики.

Въ началѣ нашего разсужденія, въ видѣ эпиграфа, мы должны напомнить о слѣдующемъ непреложномъ положеніи Педагогики: „метода всякаго преподаваемаго предмета столько же объусловливается возрастомъ учащихся и естественнымъ ходомъ развитія умственныхъ способностей, сколько сущностію самаго изучаемаго предмета и той практической пользой, какая отъ него ожидается.

У насъ дѣти начинаютъ учиться математикѣ, въ особенности ариѳметикѣ и первоначальной геометріи, слишкомъ рано, еще въ томъ періодѣ развитія, когда они живутъ болѣе жизнію внѣшнею и неспособны углубляться въ самосозерцаніе, тѣмъ менѣе способны постоянно пребывать въ области отвлеченія. Хотя неоспоримо, что первоначальныя понятія о числѣ и измѣреніи какъ бы прирожденны каждому, такъ что самое малое дитя, далеко еще до школьнаго ученія, прибѣгаетъ уже къ счету и мѣрѣ вслѣдствіе внутренней потребности своего духа, однакожъ тѣмъ не менѣе должно признать за несомнѣнную истину, что умъ только помощію внѣшнихъ предметовъ можетъ ясно сознать эти дремлющія въ немъ представленія; потому-то и наука о числахъ и наука объ измѣреніи должны собственно начинаться съ видимыхъ предметовъ, и только посредствомъ взаимнаго ихъ сравненія и соединенія, чрезъ длинный рядъ комбинацій, восходить постепенно до области отвлеченнаго. Трудно предположить, чтобы былъ удовлетворительный успѣхъ, когда съ отрокомъ, который едва можетъ справиться съ самымъ простымъ счетомъ, начать ариѳметику общими опредѣленіями предметовъ, о которыхъ она трактуетъ, классификацію этой науки, или общими правилами на разныя дѣйствія; еще менѣе можно ожидать успѣха, когда преподать ему геометрію по методѣ Эвклида; ибо Эвклидъ для своего ученія предполагалъ достаточно развитый умъ. Наблюденія доказываютъ, что понятія дѣтей о первыхъ простыхъ истинахъ математики суть чисто конкретныя; въ нихъ нѣтъ, да и не можетъ быть, настоящей математической строгости. Такъ дитя съ по-

нятіемъ о прямой линіи непремѣнно соединяетъ туго натянутый шнуръ или веревку, съ понятіемъ о плоскости — тонкій листъ бумаги, съ понятіемъ о числѣ—извѣстное собраніе однородныхъ предметовъ, чаще всего тѣхъ, которые ближе къ нему, и проч., и проч. Переходъ отъ конкретнаго къ отвлеченному, который обыкновенно забывается человѣкомъ, когда онъ достигаетъ полнаго развитія, совершается при всякомъ знаніи медленно и всегда бываетъ пропорціоналенъ возрасту, степени умственнаго развитія и количеству пріобрѣтенныхъ познаній. Строго обдуманная педагогическая метода преподаванія можетъ ускорить этотъ переходъ, но непозволительныхъ скачковъ дѣлать все-таки не можетъ, изъ опасенія итти наперекоръ естественному ходу развитія духа человѣческаго.

То, что примѣчается въ каждомъ человѣкѣ по мѣрѣ его возрастанія, происходило нѣкогда и съ цѣлымъ человѣчествомъ, когда оно пребывало въ своемъ дѣтствѣ. Исторія математики свидѣтельствуетъ, что основныя понятія о числѣ и измѣреніи протяженностей были извѣстны людямъ въ самой глубокой древности, еще можно сказать въ младенческомъ состояніи обществъ; но эти понятія были опять чисто конкретныя. Твореніе Эвклида доказываетъ уже извѣстную степень возмужалости человѣчества, и прежде, чѣмъ этотъ замѣчательный мужъ подвелъ геометрію подъ извѣстныя начала, истины ея, разсѣянныя повсюду и прямо выведенныя изъ наблюденій и опытовъ, уже давно были примѣняемы человѣкомъ къ разнымъ потребностямъ его быта. Такъ, напримѣръ, раздѣленіе земель и возобновленіе прежнихъ межъ послѣ разлитія Нила, когда эта рѣка снова входила въ берега свои, привели Египтянъ, за долго еще до Эвклида, къ открытію многихъ геометрическихъ теоремъ. Наконецъ, и самый Эвклидъ сдѣлалъ только то, что могъ сдѣлать вообще древній человѣкъ, соотвѣтственно степени своего знакомства съ природою и жизнію вообще. Твореніе Эвклида, разсматриваемое какъ общее выраженіе понятій древнихъ объ ученіи о пространствѣ, все-таки есть частность сравнительно съ открытіемъ Декарта, который далъ математикѣ такіе огромные размѣры. Только съ Декарта эта отрасль знаній получаетъ характеръ общій (аналитическій); но до него, и это неоспоримо, она имѣла характеръ частный, спеціальный, и заключалась вся въ конкретномъ, разсматривая здѣсь это слово въ самомъ обширномъ его значеніи.

Такимъ образомъ, если и непосредственныя наблюденія надъ развитіемъ ума и самая исторія науки говорятъ намъ одно и тоже, то раціональной методѣ преподаванія математики остается только подмѣтить законы такого общаго развитія и со-

бразно съ ними начертать самую программу. Она тогда, во-первыхъ, будетъ слѣдовать естественному порядку вещей, не станетъ насиловать дѣтской природы, а только возбуждать ее къ дальнѣйшему самобытному развитію; во-вторыхъ, водворить надлежащее единство и согласіе въ преподаваніи первоначальной математики съ прочими предметами обученія, что становится въ новѣйшее время дѣломъ крайней важности, по множеству предметовъ, которымъ нынѣ обучаютъ одновременно и дѣтство и юношество. На основаніи вышеизлошеннаго можно предпослать слѣдующія условія, которымъ изложеніе необходимо должно удовлетворить.

I. Наука при своемъ источникѣ — а потому въ передать ея дѣтскому уму, который, въ отдѣльности разсматриваемый, усвоиваетъ ее себѣ точно также, какъ усвоило и младенчествующее человечество,—находится въ тѣсной связи съ жизнію.

Она отдѣляется отъ жизни и входитъ въ область отвлеченія не вдругъ, а съ возможною постепенностію. Сперва обозначаются въ ней болѣе выпуклыя, рѣзкія черты, имѣющія наибольшее приложеніе къ жизни, а потомъ уже ея частности и подробности, способныя занимать только развитый разумъ. Отсюда необходимо, чтобы теорія развивалась подобно тѣмъ концентрическимъ кругамъ, которые примѣчаемъ на спокойной поверхности воды въ то время, когда косвенно прорѣзываетъ ее брошенный издали камешекъ. Такимъ образомъ, отвлеченнымъ опредѣленіямъ и общимъ правиламъ должно предшествовать практическое умѣнье производить самое дѣло, изъ котораго потомъ, посредствомъ многократнаго разложенія и обобщенія, эти опредѣленія и эти правила и могутъ возникнуть въ дѣтскомъ умѣ въ надлежащей полнотѣ и ясности. Въ ариѳметикѣ, напримѣръ, дитя лишь только тогда основательно пойметъ значеніе этой науки, содержаніе и объемъ ея, со всѣми категорическими опредѣленіями числа, единицы, дроби и пр., когда оно легко и свободно будетъ производить самыя выкладки надъ разнаго рода числами. Слѣдовательно, правильнѣе и согласнѣе съ ходомъ развитія, чтобъ опредѣленіями оканчивать, а не съ нихъ начинать науку о числахъ. Тоже самое должно сказать и о первоначальной геометріи, которая еще болѣе, чѣмъ ариѳметика, подлежитъ внѣшней наглядности.

II. Наука подчиняется двумъ требованіямъ: она должна представить собою, во-первыхъ, отдѣльную совокупность знаній, полезныхъ въ общежитіи, во-вторыхъ, непрерывный рядъ истинъ, ведущій къ полному сознанію опрѣделенной, общей, міровой идеи, которую она себе отмежевываетъ и надъ разработкою которой

разумъ не только развивается, но и достигаетъ высшаго своего проявленія.

Эта двойственность цѣли исключаетъ въ преподаваніи всякое одностороннее воззрѣніе на предметъ науки, опредѣляетъ точное значеніе практики, въ смыслѣ полезнаго, и надлежащее достоинство теоріи, въ смыслѣ разумнаго; вмѣстѣ съ тѣмъ указываетъ на тѣсную и неразрывную связь между теоріею и практикою, изъ которыхъ одна безъ другой существовать не можетъ.

III. Чѣмъ болѣе какая-либо наука, въ началѣ своего проявленія, находится въ связи съ жизнію, тѣмъ болѣе она нуждается въ помощи другихъ знаній, съ нею однородныхъ или къ ней близкихъ.

Такимъ образомъ въ начальномъ преподаваніи, наука объ измѣреніи протяженностей должна быть въ связи съ наукою о числахъ, такъ чтобъ онѣ взаимно другъ друга подкрѣпляли. Вотъ почему и ариѳметика и геометрія, съ самыхъ первыхъ приступовъ въ преподаваніи, должны быть сообщаемы дѣтямъ вмѣстѣ, въ однѣхъ степеняхъ концентрическаго развитія. Линіи и углы, равно и фигуры, складываются, вычитаются одна изъ другой, дѣлятся, однимъ словомъ, приводятся между собою въ разныя отношенія, и эти отношенія тотчасъ же должны быть выражены числами; наоборотъ, числа, напр., вычитаются одно изъ другого, причемъ остатокъ сравнивается съ вычитаемымъ и уменьшаемымъ, и этого рода сравненія должны быть пояснены на линіяхъ; опредѣляется ли какая-либо дробь, или сравнивается одна часть цѣлаго съ другою, опять линіи, углы или извѣстныя фигуры (какъ, напримѣръ, квадраты) пособятъ учащемуся понять относительную величину этихъ частей, и проч. и проч. Мало этого, въ начальномъ преподаваніи достоинство науки нисколько не постраждетъ, если для уразумѣнія ученика въ какой-либо изъ ея истинъ, прибѣгнуть сначала къ чисто-нагляднымъ средствамъ; напр. для опредѣленія прямой линіи—къ туго натянутому шнуру; для доказательства, что всѣ три угла въ треугольникѣ равны двумъ прямымъ угламъ — къ вырѣзанію изъ бумаги треугольника и къ согнутію всѣхъ трехъ вершинъ его при одной точкѣ, взятой на основаніи, или для доказательства пиѳагоровой теоремы—опять къ вырѣзанію изъ бумаги квадрата и къ перерѣзанію его на нѣсколько частей такъ, чтобъ изъ нихъ можно было сложить два отдѣльные квадрата; равнымъ образомъ, для доказательства того, что параллелепипеды, прямой и наклонной, имѣющіе одинакія основанія и высоты, равны своими объемами, прибѣгнуть къ колодѣ картъ и проч. Такихъ наглядныхъ

средствъ можно пріискать сотни для очевидности доказательствъ многихъ геометрическихъ истинъ. Эти первоначальныя наглядныя средства совершенно согласны съ общимъ ходомъ духовнаго развитія, начинающаго съ чувственнаго, конкретнаго, и оканчивающагося чисто-умственнымъ, отвлеченнымъ. Особенно важно слѣдовать этому правилу въ геометріи, которая прежде всего руководствуетъ насъ въ самомъ точномъ соображеніи формъ тѣлъ, т.-е. ведетъ къ познанію внѣшнихъ, до пространства касающихся признаковъ вещей.

IV. Но если справедливо, что наука, въ преподаваніи ея дѣтямъ, должна начинаться съ наглядныхъ познаній, то тѣмъ болѣе еще справедливо, что на этихъ познаніяхъ она остановиться не можетъ, не потерявъ своего достоинства, такъ какъ настоящее значеніе ея—служитъ для изслѣдованій разума и высшихъ его проявленій.

Первоначальныя упражненія въ наглядности доставятъ ученику ту существенную выгоду, что онъ будетъ въ состояніи быстро схватывать внѣшнія, до пространства относящіяся явленія; но ими ограничиваться нельзя, такъ какъ отъ науки требуется гораздо болѣе. Въ ней вездѣ, гдѣ только возможно, съ наглядными познаніями соединяются понятія, потому что всякій отдѣльный предметъ долженъ быть подвергаемъ двоякому разсмотрѣнію: и способности наглядности и ума. Отъ ученика требуется, чтобъ онъ не только созерцалъ, но чтобъ созерцаемое изображалъ, понималъ умомъ и размышлялъ надъ нимъ, для выведенія изъ него новыхъ слѣдствій. Вотъ почему не должно останавливаться на частныхъ случаяхъ, а всегда имѣть въ виду общій законъ, подъ который подходятъ эти частные случаи.

Такимъ образомъ, если сначала мы придаемъ столько значенія нагляднымъ представленіямъ, то потому, что по естественному ходу развитія ума съ нихъ начинается всякое познаніе; но въ геометріи собственно размышленію всегда должно дать преимущество. Во всѣхъ предметахъ, касающихся до области мышленія, первенство всегда остается за логическимъ началомъ. Вся трудность, какъ видно, состоитъ въ томъ, чтобы не тотчасъ вводить учениковъ въ чистую область отвлеченія, а приближать къ ней постепенно посредствомъ сравнительнаго преподаванія.

V. Наука должна быть постоянно представляема учащемуся въ томъ видѣ, чтобы сдѣлать его способнымъ самому находить и открывать новыя для него истины, какъ необходимыя слѣдствія прежде сознанныхъ уже истинъ.

Не количество одновременно передаваемыхъ истинъ важно,

но правильная разсортировка ихъ, различіе между истинами главными и второстепенными и точное подчиненіе однѣхъ другимъ. Пукъ истинъ, составляющихъ необходимую сущность науки, вообще бываетъ не великъ, но зато отличительный признакъ науки есть тотъ, что она обыкновенно богата своею плодовитостію, своими слѣдствіями. Надежно утвердить въ учащемся главныя, существенныя свойства ея, приводя для того въ дѣйствіе не только память, какъ часто случается видѣть, но въ равной степени и воображеніе и разумъ, значитъ снабдить его такими орудіями, помощію которыхъ онъ будетъ потомъ въ состояніи самъ собою доходитъ до свойствъ второстепенныхъ.

Всякая теорема выражаетъ собою непремѣнно какое-либо существенное свойство числа или одной изъ трехъ родовъ протяженностей. Свойство это, не будучи само по себѣ очевидно, требуетъ для сознанія его извѣстнаго ряда истинъ, силлогистически связанныхъ между собою, который называютъ доказательствомъ. Для очевидности доказательства употребляютъ построенія. Но послѣднія чаще всего нужны не столько для убѣжденія въ какомъ-либо существенномъ геометрическомъ свойствѣ, которое нерѣдко обходится даже безъ всякаго построенія (какъ, наприм., свойство: изъ точки, взятой на линіи, можно возставить на эту самую линію только одинъ перпендикуляръ, или: всякую прямую линію можно раздѣлить на сколько угодно равныхъ частей), сколько для того, чтобы сознанное уже свойство исполнить на самомъ дѣлѣ (напр., какъ именно возставить на данную линію, изъ данной на ней точки, перпендикуляръ, или, какъ раздѣлить линію на 2, 3, 4 и пр. разныхъ частей, и т. д.),—что и составляетъ предметъ задачи, требующей, какъ извѣстно, рѣшенія. Для возбужденія самодѣятельности въ учащихся, чрезвычайно важно, чтобъ они привыкли съ раннихъ поръ различать теоремы отъ задачъ, изъ которыхъ первыя должны быть имъ сообщены, а до рѣшенія вторыхъ они должны непремѣнно доходить сами. Эта раздѣльность часто, къ сожалѣнію, упускается изъ вида въ преподаваніи, отчего и происходитъ то, что ученикъ привыкаетъ смотрѣть на всякое новое предложеніе, какъ на истину, для него недоступную безъ помощи учителя, а эта привычка окончательно парализируетъ въ немъ всякую самодѣятельность. Если уже нужно пособлять ученику, то пусть эти пособія ограничатся со стороны учителя только вопросами, служащими къ напоминанію тѣхъ теоремъ, которыя прилагаются къ рѣшенію данной задачи; но объяснять ему, отъ начала до конца, всю задачу значитъ убивать въ немъ всякую самодѣятельность.

Этихъ условій достаточно, по нашему мнѣнію, для прогрессивнаго начертанія плана преподаванія Первоначальной Математики, чѣмъ мы теперь и займемся.

Далѣе идетъ изложеніе преподаванія ариѳметики, что отмѣчено въ текстѣ".

Если мы припомнимъ теперь, что методика Евтушевскаго была издана въ 1872 году, а математика Паульсена въ 1865, тогда какъ изложенное было опубликовано въ 1857 году, то намъ понятна будетъ скорбь автора, что его идеи пропали въ водоворотѣ германскаго нашествія, о чемъ онъ неоднократно упоминаетъ въ предисловіи. Въ то же время мы видимъ свѣтлую личность русскаго педагога, у котораго есть кое-чему научиться и намъ, людямъ XX-го вѣка.

Дм. Галанинъ

ГЛАВА I.
Краткій историческій очеркъ методическихъ идей
въ Германіи.
§ 1. Общія обоснованія методики.—Янъ Амосъ Коменскій.
(1592—1670).
Полузабытый въ теченіе столѣтій, славянинъ по происхо-
жденію, Янъ Амосъ Коменскій справедливо считается отцомъ
педагогики, такъ какъ онъ въ своихъ сочиненіяхъ далъ пол-
ное обоснованіе для методики всѣхъ предметовъ. Поэтому об-
щія обоснованія методики всего удобнѣе изложить по Амосу
Коменскому. Основнымъ его положеніемъ является: „Omnia
sponte fluant, absit violentia rebus (пусть все вольно течетъ,
пусть не будетъ принужденія). Учитель— не господинъ, а слуга
природы. Его дѣятельность должна быть умѣлой поддержкой,
руководствомъ, мягкимъ толчкомъ того величія, которое скрыто
въ природѣ человѣка; только при этомъ условіи возможенъ
органическій ростъ, соотвѣтствующій всей природѣ человѣка.
Все это возможно только тогда, когда обученіе вызываетъ
активную самодѣятельность въ ученикѣ, когда главной задачей
учителя является пробужденіе и укрѣпленіе этой самодѣятель-
ности. Если это не удается, если ученикъ не получаетъ любви
къ наукѣ, то виноватъ въ этомъ учитель, не съумѣвшій вы-
звать къ жизни самодѣятельность ученика. Эта педагогическая
основа обученія къ сожалѣнію еще до сихъ поръ не проникла
въ жизнь не только практически, но и теоретически еще до
сихъ поръ многіе педагоги стоятъ на безусловной необходи-
мости принужденія и насилія. Она, эта основа интереса въ
преподаваніи, еще большее значеніе получаетъ по отношенію
къ математикѣ, гдѣ почти нѣтъ изысканій въ области вопроса
о томъ, какъ бы это знаніе сдѣлать интереснымъ для учени-
ковъ, какъ бы въ душѣ ученика вызвать самодѣятельность и

при томъ активную, которая состояла бы не въ томъ, что уче-
никъ запомнитъ то или иное доказательство, рѣшеніе той или
иной задачи, но получаетъ стремленіе къ разрѣшенію матема-
тическихъ вопросовъ. Амосъ Коменскій энергично возстаетъ
противъ такого заучиванія, которое практикуется въ настоя-
щее время при обученіи математикѣ на всемъ протяженіи низ-
шей и средней школы и формулируетъ свой протестъ такъ:
Основой образованія должны быть реальныя дисциплины, ко-
торыя должны изучаться не такъ, чтобы запоминать мнѣнія и
воззрѣнія другихъ, а такъ, чтобы самыя вещи предлагались
чувствамъ, чтобы ихъ можно было видѣть. И человѣкъ можетъ
знать все, ибо онъ микрокосмъ и отъ природы имѣетъ нѣко-
торое родство со всѣми вещами въ мірѣ; поэтому остается
лишь извлекать изъ него то, что отъ природы уже лежитъ въ
немъ. Его духъ, какъ образъ Божій, въ состояніи все пости-
гать, а чувства—способны все воспринимать, а потому цѣлью
обученія является универсальное знаніе, а единственный путь
къ нему—чувства, и всѣ вещи должны непосредственно пред-
лагаться чувствамъ и даже всѣмъ чувствамъ; прежде всего,
конечно, зрѣнію. Въ случаѣ отсутствія самихъ вещей можно
пользоваться картинами. Итакъ, первымъ и основнымъ требо-
ваніемъ методики является наглядность и непосредственный
опытъ ученика. Какъ же этого можно достигнуть по отноше-
нію къ математикѣ? Самъ Коменскій почти не разсматриваетъ
этого вопроса, потому что въ его время школьное математи-
ческое знаніе стояло на очень низкой ступени развитія. Онъ
отводитъ этому предмету только самое начало обученія, мате-
ринскую школу, и говоритъ, что „обученіе счету начинается съ
3-хъ или 4-хъ лѣтъ, когда дѣти выучиваются считать, или, по
крайней мѣрѣ, ясно произносить числительныя, хотя бы и не
понимая вполнѣ, что собственно значатъ эти слова, сначала
до 5, а потомъ до 10. Потомъ они уже сами узнаютъ, какую
пользу приноситъ счисленіе. На пятомъ или шестомъ году они
выучиваются отчетливо считать до 20 и быстро сообразятъ,
что 7 больше 5, а 15 больше 13, что разно или не равно. Вести
ихъ дальше въ этомъ направленіи было бы безполезнымъ и
даже вреднымъ, но ничто не дается такъ трудно человѣку
какъ счетъ... Нужно обучать учениковъ считать и на цифрахъ
и при помощи камешковъ, смотря по надобности".
Это мнѣніе отца педагогики очень любопытно и важно: оно
показываетъ, какъ низко тогда стояло преподаваніе этого
предмета, хотя уже въ 1522 году Адамъ Резе придумалъ счет-
ную доску, о которой я скажу ниже. Тѣмъ не менѣе по отно-
шенію къ ариѳметикѣ Коменскій какъ бы поступается своимъ

принципомъ наглядности, если не считать его камешкомъ и
просто отбрасываетъ самый предметъ, представляя его соб-
ственнымъ силамъ учащагося. Однако мы, люди XX-го вѣка,
признавая всю справедливость основныхъ положеній обученія
Коменскаго, можемъ иначе взглянуть на этотъ вопросъ и по-
пытаться приложить принципъ наглядности и къ ариѳметикѣ.
Для этого мы должны глубже посмотрѣть на образованіе
числовыхъ представленій и идеи количества; мы можемъ пред-
ложить ребенку самому взвѣшивать, измѣрять длины, опредѣ-
лять объемы, считать монеты, карандаши, листы бумаги, т.-е.
давать ему чувственныя воспріятія, и тѣмъ возбуждать въ немъ
активную самодѣятельность, предоставляя уже ему самому
своимъ личнымъ внутреннимъ процессомъ познаванія дости-
гнуть идеи числа и количества *).
При такомъ способѣ обученія мы удовлетворимъ и требо-
ванію другого знаменитаго германскаго методиста Песталоцци,
который настойчиво проводитъ ту же идею Коменскаго, что
познаніе должно получаться не извнѣ, путемъ запоминанія,
а внутри путемъ творческаго акта самой личности. „Другъ",
говоритъ онъ, „Все что я есть, все, что я хочу и что я дол-
женъ—все это исходитъ отъ меня самого. Не должно ли и мое
познаніе исходить также отъ меня. Почему самъ я долженъ
строить его? Потому что, внѣ насъ только „явленія", только
запутанныя наблюденія, неопредѣленныя впечатлѣнія, которыя
сообщены намъ чувствами, и которые должны быть оформлены
„опредѣленны", доведены до ясности и отчетливости посредствомъ
основныхъ понятій опыта, посредствомъ опредѣленной дѣятель-
ности нашего сознанія и возвышены, наконецъ, до познанія, въ
томъ случаѣ, если они дѣйствительно поняты. Познаніе возни-
каетъ не пассивно (какъ снимокъ на фотографической пла-
стинкѣ), а активно, посредствомъ созидающаго, творческаго
стремленія сознанія къ единству. Природа даетъ только мате-
ріалъ, только набросокъ, ставитъ только задачу. Этотъ мате-
ріалъ не можетъ быть прямо воспринятъ чувствами, хотя бы
въ такомъ порядкѣ: созерцаніе, представленіе, понятіе; но под-
вергается закономѣрному анализу, который запутанное наблю-
деніе дѣлаетъ опредѣленнымъ, а послѣдующій анализъ разви-
ваетъ это понятіе до ясныхъ сознаніи, разумъ не можетъ ни-
чего распутать тамъ, гдѣ онъ раньше ничего не связалъ!
Соотвѣтственно этому, мы, давая ребенку конкретныя вос-
пріятія количественности, показываемъ вмѣстѣ съ тѣмъ ему
тѣ явленія, которыя онъ непремѣнно и обязательно долженъ
*) Дм. Галанинъ „Методика ариѳметики. Первый годъ обученія".

подвергнуть синтезу и анализу, въ предѣлахъ доступныхъ
возрасту, вслѣдствіе естественнаго мышленія и своимъ твор-
ческимъ созидательнымъ сознаніемъ сведемъ ихъ къ единству,
къ идеѣ числа. Онъ самъ выберетъ изъ своихъ наблюденій эту
идею и самъ и повѣритъ и подкрѣпитъ ее размышленіемъ и
опытомъ.
Однако въ этомъ внутреннемъ созидающемъ процессѣ должно
быть и руководство учителя и его помощь, потому что, какъ
говоритъ Амосъ Коменскій, въ непосредственной связи съ опы-
томъ и наглядностью стоитъ другой принципъ. Такъ какъ
вѣрное и полное познаніе существа вещей можетъ возникнуть
въ человѣческомъ духѣ только тогда, когда за чувственнымъ
созерцаніемъ вещей слѣдуетъ поясняющее слово учителя, то
ясно, что отсюда возникаетъ методическій принципъ паралле-
лизма вещей и словъ. Познаніе словъ безъ познанія вещей,
добавляетъ онъ, рѣшительно ничего не стоитъ, даже прямо
вредно, такъ какъ всѣ нестроенія міра и грѣхи происходятъ
отъ незнанія вещей.
Отсюда вытекаетъ третій методическій принципъ: не пред-
лагать дѣтямъ ничего не понятнаго для заучиванія на память.
Этотъ принципъ нельзя понимать въ томъ смыслѣ, какъ это часто
дѣлается въ настоящее время при заучиваніи грамматическихъ
правилъ и таблицы умноженія. Когда правило разъясняется и
повторяется до тѣхъ поръ, пока дѣти его не запомнятъ. Нѣтъ,
это значитъ, что все заполненное должно быть создано вну-
тренней психологической работой, какъ бы открыто самимъ
ученикомъ, составило въ его внутреннемъ самосознаніи одно
цѣлое, гармонически связанное съ самимъ самосознаніемъ. Онъ
какъ бы самъ пришелъ къ необходимости составить таблицу
умноженія, догадался какъ это нужно сдѣлать и запомнитъ
необходимыя для него произведенія, вслѣдствіе ихъ частаго
повторенія. Онъ можетъ самъ, своимъ языкомъ, дать опредѣ-
леніе дѣйствія, исходя изъ разсмотрѣнныхъ вполнѣ ясныхъ для
него опытныхъ соотношеніи при различныхъ измѣреніяхъ. Тогда
и только тогда онъ будетъ запоминать вполнѣ понятныя ему
вещи.
§ 2. Общія обоснованія методики.—Песталоци (1746—1827).
Амосъ Коменскій, какъ мы видѣли, не зналъ ариѳметики
и хотя требовалъ, чтобы все обученіе было энциклопедиче-
скимъ, разширяясь концентрическими кругами по мѣрѣ воз-
раста учащагося, но его энциклопедія не включала въ число
предметовъ обученія математику. Она требовала знанія исто-

ріи, географіи, естествознанія, латинскаго языка, но не мате-
матики.
Идеи Амоса Коменскаго не были еще извѣстны въ раз-
сматриваемъ^ періодъ, т.-е. онѣ были совершенно забыты въ
это время и были открыты гораздо позднѣе. Такимъ образомъ
между Коменскимъ и Песталоцци не было преемственной идей-
ной связи; а потому педагогическія воззрѣнія Песталоцци слѣ-
дуетъ разсматривать какъ самостоятельныя, имѣющія соотно-
шенія не съ прошлымъ, а съ современнымъ ему философскимъ
міровоззрѣніемъ. Эта связь педагогики и философіи красной
нитью проходитъ черезъ германскую педагогическую школу и
является очень важной, и можно сказать, что по своему су-
ществу педагогика и философія—родныя сестры. Педагогъ дол-
женъ быть въ то же время мыслителемъ, при томъ не послѣ-
дователемъ той или иной школы, а творцомъ собственнаго
міровоззрѣнія на сущность жизни. Такимъ философомъ былъ и
Песталоцци, и его философское міровоззрѣніе совпало съ міро-
воззрѣніемъ Канта, съ которымъ онъ познакомился лишь въ
1794 году въ устномъ изложеніи Фихте, и былъ очень радъ,
что его міровоззрѣніе такъ близко совпало съ идеями знаме-
нитаго философа.
Въ то время, какъ Амосъ Коменскій признавалъ, что че-
ловѣкъ есть носитель Духа Божія и потому онъ не только мо-
жетъ, но и долженъ знать все: его обученіе должно носить
энциклопедическій характеръ, Песталоцци основалъ свои по-
ложенія на „логической природѣ человѣческаго духа". Чело-
вѣческое сознаніе, по его мнѣнію, имѣетъ постоянное стремле-
ніе къ „синтетическому единству", въ силу котораго, по свой-
ственнымъ ему законамъ изъ „основныхъ составныхъ частей*
синтетически вырабатывается и творчески создается сложное
содержаніе идей нравственности, искусства и науки. Такъ,
если человѣкъ наблюдаетъ, положимъ, сложный конгломеротъ
житейскихъ отношеній, то въ своемъ самосознаніи онъ ищетъ
въ этомъ конгломеротѣ идеи нравственныхъ нормъ, стремится
свести ихъ къ нѣкоторому единству.
Къ этому синтетическому единству человѣкъ стремится и
въ своей научной дѣятельности, извлекая изъ наблюденій и
опыта тѣ обобщающіе элементы, которые позволяютъ ему по-
строить научную теорію или гипотезу. Въ силу этого основой
воспитанія должна быть природа, т.-е. естественное развитіе
познавательныхъ способностей человѣка. Въ психической его
жизни можно подмѣтить пять физико-механическихъ законовъ:
1) Законъ постепенности и послѣдовательности; 2) законъ

связности; 3) законъ совмѣстныхъ ощущеній; 4) законъ причин-
ности и 5) законъ психической самобытности.
Это законы психической жизни каждаго человѣка, слѣдо-
вательно они относятся и къ умственной жизни ребенка, а по-
тому воспитаніе и обученіе должны быть такъ построены,
чтобы матеріалъ, даваемый имъ и вся система способствовали
развитію, а этимъ можетъ быть только наглядность.
Итакъ, наглядность есть единственный методъ, способный
дать здоровое питаніе для психической жизни ребенка, такъ
какъ понятія развиваются изъ ощущеній и представленій. Если
понятія не имѣютъ реальной подкладки непосредственнаго
опыта и наблюденія, то они пусты и безполезны. Отсюда ясно,
что всякое запоминаніе словъ безъ реальной конкретной основы
является не только безполезнымъ, но и вреднымъ, какъ учитъ
Амосъ Коменскій. Два педагога мыслителя, идя независимо другъ
отъ друга, различными путями, пришли къ одному и тому же.
Наглядность достигается, говоритъ далѣе Песталоцци, уча-
стіемъ всѣхъ внѣшнихъ чувствъ въ пріобрѣтеніи и усвоеніи
знаній, при чемъ въ человѣкѣ обнаруживается троякаго рода
способность: 1) получить образъ, соотвѣтствующій ощущенію;
2) выдѣлить его изъ цѣлой массы образовъ и 3) дать ему опре-
дѣленный знакъ.
Приложимъ эту схему къ полученію идеи числа. Ребе-
нокъ наблюдаетъ конкретно вѣсъ различныхъ тѣлъ, протяжи-
мость различныхъ длинъ, измѣненіе объема жидкихъ тѣлъ и
зависимость этого объема отъ вѣса и высоты жидкости, на-
блюдаетъ измѣненіе стоимости въ зависимости отъ количества
товара и т. п. Это суть конкретные образы, сопровождаемые
соотвѣтственными чувственными воспріятіями; изъ этой массы
образовъ въ силу прирожденной способности къ синтетиче-
скому единству, на основаніи законовъ психической жизни,
онъ выдѣляетъ ихъ количественность и числовое содержаніе,
т.-е. выдѣляетъ опредѣленный образъ или идею; эта идея по-
лучаетъ опредѣленный значекъ — число 5, число 3 и пр. Въ
этой психической работѣ можно наблюдать постепенность и
послѣдовательность накопляемыхъ образовъ, которая соста-
вляетъ элементарную задачу обученія. Ребенокъ знакомится
съ измѣненіемъ объема, потомъ къ этому присоединяется из-
мѣненіе вѣса; связывая два эти измѣненія, наблюдая и ощу-
щая ихъ совмѣстно, онъ устанавливаетъ причинность или вну-
треннюю зависимость, которую позднѣе характеризуетъ сло-
вомъ пропорціональность. У каждаго ученика эти процессы
протекутъ не одинаково, но индивидуально, въ чемъ будетъ
выражаться психическая самобытность каждаго ученика.

Песталоцци, разсматривая общее психическое самосознаніе,
думалъ, что всю совокупность знанія человѣка можно при-
вести къ тремъ категоріямъ: форма, число и слово. Зна-
ніе онъ считалъ только тогда прочно усвоеннымъ, когда оно
отлилось въ форму, т.-е. ясно различается отъ другихъ
знаній и получилось названіе, а такъ какъ это требуетъ по
каждому отдѣлу болѣе или менѣе детальной разработки, то
начальное обученіе не можетъ быть энциклопедическимъ, а
должно содержать ограниченный кругъ предметовъ. Предме-
томъ начальнаго обученія онъ считаетъ: родной языкъ, чисто-
писаніе, рисованіе въ связи съ геометрическими формами и
ариѳметику. При этомъ онъ первый указалъ, что ариѳметика
въ начальномъ обученіи должна удовлетворять не только пра-
ктической необходимости счета, но и имѣть развивающее зна-
ченіе, служащее къ укрѣпленію душевныхъ силъ человѣка.
§ 3. Методика ариѳметики.
Устанавливая совершенно правильные методическіе прин-
ципы общаго обученія, Песталоцци сдѣлалъ попытку прило-
жить ихъ къ преподаванію ариѳметики. Онъ первый обратилъ
вниманіе на возникновеніе понятія о числѣ и думалъ, что число
обязано своимъ происхожденіемъ „опредѣляющей, а не чувствен-
ной силѣ представленій", а опредѣленіе происходитъ посред-
ствомъ понятія, такъ что происхожденіе числа слѣдуетъ искать
въ понятіи. Ребенокъ долженъ усвоить чистое понятіе числа
до счета предметовъ. Чтобы понять, какъ это возможно, и что
именно хотѣлъ сказать Пестолоцци, слѣдуетъ разсмотрѣть тѣ
уроки, о которыхъ онъ говоритъ въ „Книгѣ матерей". Здѣсь
онъ требуетъ, чтобы матери давали дѣтямъ 1, 2, 3 горошины;
1, 2, 3 камешка; 1, 2, 3 палочки и т. д. Ребенокъ видитъ наро-
станіе количественности и у него безсознательно является опре-
дѣленіе большаго и меньшаго; но если ему при этомъ гово-
рить: одинъ, два, три, то неизмѣнность этихъ наименованій въ
связи съ измѣняемостью самыхъ предметовъ счета, по Песто-
лоцци, въ умѣ ребенка обособится въ абстрактное понятіе
числа, т.-е. въ опредѣленное сознаніе соотношенія между боль-
шимъ и меньшимъ, независимо отъ тѣхъ или иныхъ предме-
товъ, лежащихъ передъ его глазами. Тогда предметы можно
замѣнить черточками или точками. Согласно этому, Песталоцци
придумалъ особое наглядное пособіе, о которомъ рѣчь будетъ
далѣе.
Итакъ, считая предметы, т. - е. знакомясь съ наименова-

ніемъ чиселъ, ребенокъ запоминаетъ ихъ порядокъ и въ то же
время усваиваетъ чистое понятіе числа, которое между про-
чимъ выражается въ отвлеченномъ счетѣ: одинъ, два, три и
т. д., и этотъ отвлеченный счетъ уже прилагается къ счету
предметовъ. Другими словами Песталоцци думаетъ, что у
каждаго ребенка еще въ дошкольный возрастъ образуется
идея числа изъ отвлеченій или выдѣленія общаго признака ко-
личественности изъ разнородныхъ предметовъ, къ которымъ
онъ приложенъ. Эту идею школа должна укрѣпить и развить.
Это развитіе будетъ состоять въ томъ, что школьное обученіе
будетъ настойчиво выдвигать понятіе о цѣлой единицѣ и ста-
вить его на первое мѣсто при обученіи. Такъ онъ говоритъ,
что неправильно считать 2 + 1 = 3, а слѣдуетъ говорить: два
раза по одному да одинъ будетъ три. Такимъ образомъ онъ
представлялъ себѣ числа какъ бы состоящія изъ разсыпаю-
щихся единицъ и думалъ, что въ этомъ разсыпаніи и содер-
жится основной элементъ понятія о числѣ, при чемъ числи-
тельныя и цифры онъ отодвигалъ на задній планъ, ставя на
первое мѣсто умственный счетъ съ помощью придуманной имъ
таблицы. Этимъ онъ положилъ начало изысканію наглядныхъ
пособій, которымъ будетъ посвященъ слѣдующій параграфъ,
а теперь мы выдѣлимъ главныя заслуги Песталоцци и подня-
тые имъ вопросы:
1) Установленіе общей методической теоріи для начальнаго
обученія.
2) Указаніе на то, что обученіе ариѳметикѣ имѣетъ не
только практическую цѣнность, но и служитъ элементомъ
умственнаго развитія. Этому вопросу удѣляли очень много
вниманія тѣ методисты, которые признавали гипотезу, что
школьное обученіе улучшаетъ человѣка, создаетъ какъ бы но-
вую породу людей. Въ томъ же смыслѣ высказывались и нѣ-
которые ученые, видѣвшіе въ ариѳметикѣ не только искусство,
но какъ бы „шлифовальный и точильный камень, посредствомъ
котораго достигается острота ума". Эта идея впослѣдствіи
была развита Штерномъ, который въ вступленіи къ сочиненію
Lehrgang des Rechnenunterrichts пишетъ: „Сознаніе чувства
истины и способность дѣлать заключенія могутъ оказывать мо-
гущественное вліяніе на нравственное поведеніе человѣка, хотя
сами по себѣ они и не могутъ предохранить его отъ ошибокъ
и паденіи; дѣйствительно, пробужденіе увѣренности въ своихъ
духовныхъ силахъ способствуетъ пріобрѣтенію человѣкомъ
нравственнаго облика, дѣлая его болѣе осторожнымъ и преду-
смотрительнымъ въ своихъ рѣшеніяхъ и помогая ему избѣгать

многихъ ошибокъ. Свободное пользованіе умственными силами
способствуетъ развитію свободной воли".
3) Онъ первый указалъ на выработку понятія о числѣ,
какъ на основу въ преподаваніи ариѳметики. Этотъ вопросъ
получилъ очень большое значеніе у современныхъ германскихъ
методистовъ и вызвалъ оживленный обмѣнъ мнѣній. Этотъ во-
просъ будетъ разсмотренъ подробно въ особой главѣ.
§ 4. Наглядныя пособія въ преподаваніи ариѳметики.
Со времени Песталоцци преподаваніе ариѳметики въ на-
чальной школѣ сдѣлалось обязательнымъ, и практика дала со-
вершенно новые вопросы, поставила новыя идеи. Среди этихъ
задачъ слѣдуетъ отмѣтить вопросъ, еще окончательно не рѣ-
шенный и въ настоящее время; это вопросъ о значеніи устнаго
счета. Если ариѳметика является мощнымъ орудіемъ для раз-
витія мышленія, то этимъ орудіемъ несомнѣнно являются за-
дачи и теорія дѣйствій, но не вычисленія. Между тѣмъ рѣше-
ніе задачъ и производство дѣйствій требуетъ болѣе или менѣе
быстраго умственнаго счета, какъ пріобрѣсти этотъ навыкъ
въ сложеніи, вычитаніи, умноженіи и дѣленіи чиселъ. Правда,
что этотъ навыкъ можно ограничить предѣломъ первой сотни;
но и въ этихъ предѣлахъ онъ является очень труднымъ. Чтобы
облегчить этотъ счетъ съ давняго времени въ Германіи были
придуманы различныя пособія, которыя можно раздѣлить на
таблицы, счетные ящики и счетные приборы и картины. По-
слѣдніе появились только въ самое послѣднее время, но пови-
димому имѣютъ будущность.
Первыя счетныя таблицы были предложены въ XVI сто-
лѣтіи Адамомъ Резе, учителемъ счисленія въ Эрфуртѣ. Его
приборъ состоялъ изъ доски, на которой были начерчены го-
ризонтальныя линіи и сбоку были написаны числа 1, 5, 10, 50,
100 и т. д. до 10000; но ихъ очевидно можно написать до ка-
кого угодно предѣла:
Къ этой доскѣ прикалывались кружки, причемъ кружокъ,
приколотый къ нижней линіи, гдѣ написана цифра 1—обозна-
чалъ единицу; три такихъ кружка выражали число три, а
число пять обозначалось кружкомъ, прикрѣпленнымъ въ про-
межуткѣ между 1—10. Здѣсь могъ быть только одинъ кружокъ
въ каждомъ числѣ, потому что всѣ числа 6, 7, 8 и 9 выража-
ются какъ 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3 и 5 + 4, какъ это показано на
таблицѣ. Точно также на строкѣ, гдѣ поставлено число 10 мо-
жетъ быть и одинъ, и два, и три, и четыре кружка; но на

строчкѣ, гдѣ написано 50 можетъ быть только одинъ кружокъ
и т. д. Изобразивъ при помощи этой таблицы число 66, про-
ведемъ вертикальную черту; потомъ изобразимъ число 971, по-
томъ 378 и 9679; сложимъ эти числа. Для этого проведемъ двѣ
черты и будемъ складывать кружки нижней строки, получимъ
9, число 9 состоитъ изъ 5 + 4; число 4 изобразимъ въ видѣ
четырехъ кружковъ по нижней строкѣ, а 5 приложимъ къ
кружкамъ слѣдующей строки; мы получимъ здѣсь всего 4 пя-
терки или два десятка, поэтому ничего не ставимъ въ суммѣ
на этой строкѣ, а считаемъ число десятковъ: десятковъ полу-
чаемъ 9, поэтому ставимъ четыре кружка на линіи десятковъ
и прибавляемъ одинъ къ числу 5 десятковъ; здѣсь мы полу-
чаемъ всего 5 пятидесятковъ; изъ нихъ 4 составляютъ 2 сотни,
а одинъ остается и мы ставимъ на чертѣ между 10 и 100. Про-
должимъ такъ такъ дальше, находимъ сумму 11094, изображен-
ную какъ показано кружками.
Однако эта счетная доска, облегчая сложеніе, не имѣла
широкаго распространенія и въ концѣ XVII вѣка въ учре-
жденномъ Базедовымъ воспитательномъ институтѣ (Philantro-
pinum) профессоръ Трапъ предложилъ для образованія вѣр-
наго представленія у дѣтей объ единицахъ и десяткахъ изго-
товить особые счетные ящики. Въ этихъ ящикахъ въ отдѣле-
ніи единицъ помѣщаются маленькіе квадраты, отмѣченные одной
точкой: число квадратовъ должно быть 9; въ отдѣленіи десят-
ковъ помѣщаются большіе квадраты, отмѣченные 10-ю точками.
Этотъ аппаратъ черезъ 100 лѣтъ былъ преобразованъ Венд-
лингомъ въ особый счетный аппаратъ.
Однако все это имѣетъ лишь историческую цѣнность; на
преподаваніе ариѳметики особенно сильно повліяли идеи Пе-

сталоцци, а потому необходимо познакомиться съ его нагляд-
нымъ пособіемъ, изданнымъ имъ вмѣстѣ съ Крюзи. Это посо-
біе имѣетъ видъ таблицы, состоящей изъ 100 квадратовъ, рас-
положенныхъ 10-ю горизонтальными рядами такъ, что въ
каждомъ горизонтальномъ и вертикальномъ ряду ихъ нахо-
дится по 10. Такихъ таблицъ было 3: одинъ для цѣлыхъ чи-
селъ и два для дробей. Таблица для цѣлыхъ чиселъ имѣла
слѣдующій видъ:
Въ верхнемъ горизонтальномъ ряду стоитъ по одной чер-
точкѣ; во второмъ ряду но двѣ; въ третьемъ—по три черточки
и т. д.; въ послѣднемъ ряду по 10 черточекъ. Въ таблицахъ
для вычисленія съ дробями клѣтки 1-го горизонтальнаго ряда
не раздѣлены на части; клѣтки же второго ряда раздѣлены
пополамъ, третьяго —на 3 части и т. д., а нижняго на 10 частей.
По этой таблицѣ изучались дроби со знаменателемъ отъ 2—10.
Вторая таблица была такая же, но въ ней только одна пер-
вая клѣтка не была раздѣлена, всѣ же остальныя были раздѣ-
лены вертикальными и горизонтальными линіями, такъ что по-
слѣдняя состояла изъ 100 частей. На этой таблицѣ изучались
дроби со знаменателемъ до 100.

При помощи указанныхъ таблицъ велись упражненія, из-
ложенныя въ 3-хъ тетрадяхъ, содержащихъ до 1000 фразъ или
задачъ.
Сначала учитель проходилъ числа, указывая тѣ клѣтки,
въ которыхъ они записаны. Ученики запоминали и число и
мѣсто его нахожденія, при чемъ на первое мѣсто выдвигалась
единица, такъ напр. число 5 указывалось какъ 5 разъ по
одному.
Разсмотримъ рѣшеніе некоторыхъ задачъ.
1) Сколько разъ нужно взять по одному, чтобы получить
9 разъ седьмую часть 28? Здѣсь число 28 представляетъ собою
7 рядъ, который состоитъ изъ 4-хъ группъ по 7 въ каждой,
слѣдовательно 7-я часть 28 будетъ 4. Чтобы узнать, сколько
будетъ 9 разъ по 4 мы возьмемъ 9-ю строку и, сосчитавъ чер-
точки, получимъ 36.
2) Сколько разъ нужно взять по одному, чтобы получить
вмѣстѣ 9 разъ седьмую часть 49 и 9 разъ седьмую часть 28?
Мы уже знаемъ, сколько будетъ 9 разъ седьмая часть 28;
сосчитаемъ теперь, сколько будетъ 9 разъ седьмая часть 49?
Для того, чтобы получить число 49 мы выдѣлимъ въ каждомъ
столбцѣ ряды въ первомъ 3 по 7, а въ остальныхъ по два, та-
кихъ рядовъ будетъ 7, слѣдовательно седьмая часть 49 будетъ
7; намъ нужно сосчитать, сколько разъ нужно взять по одному,
чтобы получить 9 разъ 7; но 9 разъ 7 будетъ, если мы возь-
мемъ колонну по 7 въ первомъ столбцѣ, такую же во 2-мъ—
одинъ рядъ въ 3-мъ. Сосчитавъ черточки, получимъ 63.
Неудобство и сложность таблицы, построенной Песталоцци,
заставили искать новыхъ счетныхъ приборовъ, изъ нихъ слѣ-
дуетъ указать на попытку Карла фонъ Раумера, извѣстнаго
исторіографа педагогики, который одно время велъ препода-
ваніе ариѳметики въ одномъ изъ отдѣленій школы у Песта-
лоцци. Находя, что гладкихъ безтѣлесныхъ черточекъ таблицы
совершенно недостаточно для основательнаго воспріятія числа
и что въ интересахъ вычисленія надъ цифрами, нужно обратить
больше вниманія на десятичную систему, онъ ввелъ такъ на-
зываемыя раумеровскіе счетныя марки, которыя представляли
собою кружки изъ бумаги или металла: маленькаго размѣра—
для единицъ, большого для десятковъ и еще большаго для
сотенъ.
Этотъ аппаратъ любопытенъ тѣмъ, что представляя собой
подобіе денежной системы, онъ часто приходитъ въ голову
преподавателямъ, и они, совершенно не зная о построеніи Ра-
умера, пользуются имъ на своихъ урокахъ.
Наибольшее распространеніе, даже въ настоящее время,

имѣетъ построенный Эрнстромъ Тиллихомъ счетный аппаратъ,
который сохранилъ имя своего изобрѣтателя и называется
„Тиллиховскій счетный аппаратъ". Онъ состоитъ изъ куби-
ковъ и колоннъ въ 1—10 дюймовъ длины и 1 дюймъ ширины.
Кубики изображаютъ единицы, двухдюймовыя колонны—двойки,
трехдюймовия - тройки и т. д. Колонна въ 10 дюймовъ изобра-
жаетъ десятокъ, а площадь 100 кв. дюймовъ — сотню. Над-
рѣзки и кольца облегчаютъ распозна-
ваніе частей. Ящикъ этотъ былъ по-
строенъ на основаніи критики и раз-
бора идей Песталоцци. Соглашаясь съ
нимъ, что умственный счетъ долженъ
стоять на первомъ планѣ въ системѣ
начальнаго обученія, Тиллихъ выразилъ
это любопытнымъ афоризмомъ. Препо-
даваніе должно достигнуть того, гово-
ритъ онъ, чтобы ученики думая вы-
числяли и вычисляя думали. Онъ согласенъ съ Песталоцци и
въ томъ, что число должно быть воспринято чувственно, при
помощи наглядныхъ пособій; но въ то время какъ Песталоцци
выдвигалъ количественность, Тиллихъ считаетъ, что все вы-
численіе основано на порядкѣ, т.-е.
по системѣ счисленія. Числа отъ 1 до
10 могутъ быть нормами для поряд-
ка, но ихъ нельзя употреблять для
внѣшняго изображенія количества,
которое возникаетъ въ насъ только
вслѣдствіе порядка и основывается
только на немъ. Когда мы напримѣръ
произносимъ число 85, то мы вспо-
минаемъ не каждую единицу въ от-
дѣльности, а скорѣе число десятковъ
и число единицъ. А, если это такъ,
то методическое обученіе не должно
останавливаться на основныхъ ариѳ-
метическихъ дѣйствіяхъ, а перехо-
дить къ натуральному числовому по-
рядку и не оставлять единицъ до
тѣхъ поръ, пока онѣ не будутъ поняты во всѣхъ отношеніяхъ
Во время освободительныхъ войнъ русскіе солдаты занесли
въ Германію счеты, этотъ приборъ не получилъ здѣсь распро-
страненія, но на него обратилъ вниманіе школьный учитель и
воспользовался имъ какъ нагляднымъ пособіемъ. Въ этомъ
смыслѣ русскіе счеты употребляются въ германскихъ школахъ,

какъ въ своемъ натуральномъ видѣ, какъ это видно изъ
рисунка, такъ и въ преобразованномъ видѣ: проволоки по-
ставлены вертикально и на нихъ можно надѣвать шарики,
изображая какое угодно число.
Здѣсь еще нужно отмѣтить интересную попытку Гразера
въ Баваріи, который построилъ весь свой учебный матеріалъ
на „жизненныхъ единицахъ". Въ его школѣ были особо устро-
енныя окна, которыя состояли изъ двухъ большихъ нижнихъ
и двухъ маленькихъ верхнихъ половинъ: въ каждой изъ верх-
нихъ было по два, а въ каждой изъ нижнихъ—по три стекла.
Такимъ образомъ, обѣ верхнія половины содержали четыре
стекла, а обѣ нижнія—6; одна верхняя, одна нижняя —5, обѣ
верхнія и одна нижняя — 7. Заставляя учениковъ считать
стекла Гразеръ дѣлалъ наглядными числовыя представленія.
Теперь мнѣ слѣдовало бы перейти къ числовымъ фигурамъ,
которыя какъ бы вытекаютъ изъ метода Гразера, но я имъ
посвящу отдѣльный параграфъ, а сейчасъ надо покончить съ
наглядными пособіями.
Въ послѣднее время вошли въ моду рисунки. Рисуется
5 мальчиковъ, 3 зайца, 8 вишень и при помощи рисунка про
изводится сложеніе и вычитаніе. Такъ учитель рисуетъ на
доскѣ 3-хъ зайцевъ и спрашиваетъ, сколько зайцевъ нарисо-
вано? Потомъ добавляетъ къ нимъ еще 2 зайца, сколько зай-
цевъ я добавилъ? Сколько всего?
Есть задачники, построенные по этому методу, гдѣ число
выражено числомъ фигуръ.
Такой методъ является преобразованіемъ метода Кранке,
который въ своей „Азбукѣ ариѳметикѣ" пишетъ задачи такъ:
„У одного ребенка было ••• пфенига, а у другого о ••,
сколько было у обоихъ?"
§ 5. Разборъ предыдущихъ методъ. Новое построеніе нагляд-
ныхъ пособій.
Всѣ разсмотрѣнные нами наглядныя пособія страдаютъ
однимъ и тѣмъ же серьезнымъ недостаткомъ: всѣ они предста-
вляютъ число, состоящимъ изъ цѣлыхъ (не дѣлимыхъ) разсы-
пающихся единицъ, между тѣмъ какъ въ задачахъ приходится
оперировать съ понятіями количественности. Ребенку ни одинъ
счетный приборъ не дастъ идеи 4 фунтовъ, 5 аршинъ, 8 стака-
новъ. Онъ видитъ черточки, кубики, косточки; считаетъ каран-
даши, пуговицы, палочки; но все это разсыпается, а не сли-
вается; все это не можетъ дробиться, въ с. д. какъ себѣ пред-

ставить на счетахъ 5/6 косточки, какъ представить 3/7 каранда-
ша; а между тѣмъ количественныя представленія требуютъ
именно этихъ представленій, представленій непрерывности из-
мѣненія. Но мало того, привыкнувъ считать число недѣлимыхъ
единицъ, ребенокъ невольно ассоціируетъ ихъ съ нѣкоторой
группой предметовъ, отдѣльно взятыхъ. Эти предметы рѣзко
и грубо дѣлятся на единицы; здѣсь нѣтъ ни идеи пропорціональ-
ности, ни идеи зависимости. Въ то время какъ 4 стакана имѣ-
ютъ опредѣленный объемъ, опредѣленный вѣсъ, опредѣленную
высоту 4 кубика ничего этого не имѣютъ: это есть 4 вещи безъ
всякаго содержанія. Возьмемъ 4 отдѣльныхъ стакана, наполнимъ
каждый изъ нихъ водой это будетъ все равно, что 4 кубика,
сольемъ воду въ одинъ сосудъ, получимъ 4 стакана воды въ
одномъ сосудѣ; этого мы совершенно не можемъ сдѣлать съ
кубиками. Но, мало того, мы можемъ вывѣсить воду въ ста-
канѣ и воду въ сосудѣ, и найдемъ, что вѣсъ измѣняется также
какъ и объемъ, съ увеличеніемъ объема и вѣсъ увеличивается
во столько же разъ. Въ задачахъ ребенокъ встрѣчаетъ эти
соотношенія, и, переходя отъ счета кубиковъ къ рѣшенію за-
дачъ, онъ встрѣчаетъ затрудненія именно въ этихъ соотноше-
ніяхъ, а эти затрудненія путаютъ воспринятый имъ счетъ,
переносятъ его отъ однихъ ассоціацій къ другимъ, совершенно
не разработаннымъ и создаютъ ту трудность, которая съ одной
стороны заставляла педагоговъ изобрѣтать все новые и новые
счетные аппараты, и съ другой дѣлала математику трудной и
малопонятной.
Однако ариѳметика съ теченіемъ времени стала считаться
все болѣе и болѣе необходимымъ и обязательнымъ предметомъ
начальнаго школьнаго обученія, а преподаватели практики все
чаще и чаще наталкивались на индивидуумовъ, вообще го-
воря, очень способныхъ, но не могущихъ усвоить этого пред-
мета, и вотъ педагогическая мысль стала работать въ двухъ
направленіяхъ: въ изученіи числа и въ усовершенствованіи
методовъ преподаванія, а это послѣднее настойчиво требовало
улучшенія наглядныхъ пособій. Изъ этихъ попытокъ особенно
важной является попытка Гразера, о которой я говорилъ выше,
и которая получила развитіе въ теоріи Гольтца, который въ
1858 году совмѣстно съ Тиллемъ написалъ книгу „Der Rechen-
unterricht in der Volkschule". Вторая часть этой книги назы-
вается „Соединенное счетно-предметно-измѣрительное обученіе
для старшаго класса народной школы". Гольтцъ ставитъ пре-
подаваніе ариѳметики въ необходимую и обязательную связь
со всѣми другими предметами и стремится сдѣлать его полез-
нымъ при нравственно - жизненномъ воспитаніи. Онъ утвер-

ждаетъ, что въ народной школѣ только преподаваніе ариѳме-
тики способно сообщить дѣтямъ подготовительныя свѣдѣнія о
тѣхъ предметахъ и соотношеніяхъ между ними, на которыхъ
въ жизни строятся какъ самыя числа, такъ и существующія
между ними отношенія. Мы видимъ отсюда, что Гольтцъ очень
близко примыкаетъ къ Штерну, стремясь посредствомъ обу-
ченія создать болѣе умныхъ и болѣе нравственныхъ людей.
Отсюда и его методическая идея не столько идея обученія, т.-е.
идея психическаго развитія, сколько идея совершенствованія
человѣка. Въ этомъ ея слабость и педагогическая ошибка.
Кромѣ того, онъ пріурочиваетъ ее къ старшему классу школы,
очевидно думая, что въ болѣе раннемъ возрастѣ его методъ
или, лучше сказать, его идея будетъ трудна и непосильна.
Ариѳметическій матеріалъ онъ расположилъ слѣдующимъ об-
разомъ: 1) мѣры времени; 2) прочія мѣры; 3) деньги; 4) пріоб-
рѣтеніе и пользованіе собственностью; 5) обмѣнъ собственности
или купли и продажи; 6) обязанности по отношенію къ госу-
дарству; 7) пользованіе чужой собственностью; проценты, арен-
да, капиталъ; 8) товарищескія предпріятія; 9) налоги общин-
ные и коммунальные; 10) смѣшеніе матеріаловъ.
Эта программа ясно показываетъ, что Гольтцъ стоялъ на
совершенно правильной точкѣ зрѣнія, приписывая ариѳмети-
ческому обученію то практическое значеніе, которое необхо-
димо въ жизни; но его ошибка заключалась въ томъ, что уче-
ники не были подготовлены къ воспріятію этого матеріала, а
самъ матеріалъ носитъ чисто школьный принудительный ха-
рактеръ внѣшняго усвоенія. Въ самомъ дѣлѣ, въ умѣ учени-
ковъ даже старшаго отдѣленія начальной школы не можетъ
быть вопросовъ о товарищескихъ предпріятіяхъ, о капиталѣ,
процентахъ, о налогахъ и т. п. Они могутъ это знать, т.-е.
выучить, но не понимать, а между тѣмъ весь предшествующій
курсъ обычнаго счетнаго обученія, изученіе всѣхъ этихъ мѣръ,
безъ ихъ практическаго воплощенія совершенно не подгото-
вляем къ воспріятію идей соотношенія и функціональной за-
висимости. Кромѣ того, задачи построенныя для изученія про-
центовъ, правила товарищества, правила смѣшенія являются
совершенно искусственными, чисто школьными, но не житейски
необходимыми. Если бы въ эту программу включено было бы
хотя самостоятельное приготовленіе фейерверка, гдѣ прихо-
дится отвѣшивать каждое вещество и соединять ихъ въ опре-
дѣленной пропорціи, то это оживило бы правило смѣшенія, а за
нимъ, быть можетъ, и все остальное стало пріобрѣтать живую
окраску. Но главное, въ самомъ началѣ курса необходимы кон-
кретныя количественныя, а не счетныя воспріятія. Ребенокъ дол-

женъ самъ взвѣшивать, отмѣрять объемы, длины, опредѣлять цѣн-
ность, хотя бы условно; опытнымъ путемъ найти соотношеніе
между этими величинами, — тогда только его внутренняя
психическая мысль будетъ воспитываться въ томъ направленіи,
о которомъ мечтаетъ Гольтцъ. При этомъ, мы не создадимъ
новой породы людей, а лишь предоставимъ каждому пользо-
ваться тѣми дарованіями, которыя дала ему природа. Мы со-
здадимъ интересъ къ знанію или активную самодѣятельность.
Отсюда ясно, что наглядными пособіями при прохожденіи ариѳ-
метики должны быть длины: аршинъ, футъ, метръ; площади
этихъ мѣръ и ихъ объемы; должны быть кружки разной вели-
чины опредѣленнаго объема каждая, при помощи которыхъ
можно было бы переливать воду, пересыпать песокъ, зерно
и т. п.; должны быть вѣсы и разновѣсъ, чтобы производить
взвѣшиваніе имѣющихся подъ руками предметовъ; часы для
измѣренія времени; модели монетъ или самыя монеты для опре-
дѣленія цѣнности. Тогда это будутъ жизненно необходимыя
знанія, которыя дадутъ истинно математическія идеи коли-
чествъ и ихъ взаимныхъ соотношеніи.
При такой загрунтовкѣ возможно дальнѣйшее развитіе
курса ариѳметики; но я расширилъ идеи Гольтца: обученіе
должно охватывать не только соціальныя отношенія, теорію при-
были, значеніе капитала и совмѣстныхъ торговыхъ операцій,
но и изученіе природы въ количественномъ или измѣряемомъ
отношеніи. Здѣсь возможно опредѣленіе удѣльнаго вѣса, ко-
личества теплоты, изученіе движенія, быть можетъ, и другія
измѣренія, а также значеніе смѣсей въ смыслѣ образованія
сплавовъ, растворовъ и т. п.
Но все это изученіе должно сопровождаться введеніемъ
новаго предмета въ начальное обученіе, а именно геометріи съ
самаго ранняго возраста, какъ я думаю, со 2-го года обученія.
Мнѣ могутъ замѣтить, что я слишкомъ осложняю началь-
ное обученіе введеніемъ физики и геометріи, но я возражу
на это, что я не осложняю, а объединяю весь курсъ около
одной идеи, которая и должна по моему встать во главу всего
начальнаго обученія. Эта идея состоитъ въ томъ, что все на-
чальное обученіе должно сосредоточиться около непосредствен-
наго опыта учащихся, и въ этомъ опытѣ, раціонально поста-
вленномъ и концентрически разширяющимся, нужно искать
тѣхъ обобщеній и тѣхъ отвлеченій, которыя въ настоящее
время слишкомъ рано преподносятъ ребенку. Я совершенно
не вижу непреодолимой трудности въ опредѣленіи удѣльнаго
вѣса твердыхъ и жидкихъ тѣлъ, если только показать, какъ
это дѣлается, и во всякомъ случаѣ эта трудность будетъ го-

раздо меньше той, которую испытываетъ ребенокъ въ насто-
ящее время, заучивая опредѣленіе дѣйствій и объясненіе пра-
вилъ ихъ производства.
Изъ этой идеи объединенія всего обученія около непосред-
ственнаго опыта, производимаго самимъ ребенкомъ и будутъ
вытекать тѣ необходимыя наглядныя пособія, въ которыхъ такъ
нуждается дѣтство.
§ 6. Числовыя фигуры.
Числовой фигурой называется число, изображенное при
помощи точекъ такъ, чтобы эти точки изображали какую-ни-
будь фигуру. Разные авторы предлагали разные фигуры для
изображенія чиселъ обыкновенно перваго десятка, такъ напр.
число 5 изображаютъ и
находились и такіе, ко-
торые хотѣли въ фигуръ з изобразить человѣка съ его пятью
оконечностями: голова, двѣ руки и двѣ ноги, и предлагали
изобразить 5 въ видѣ
В. А. Лай, который является большимъ сторонникомъ
числовыхъ фигуръ, въ своемъ сочиненіи „Руководство къ пер-
воначальному обученію ариѳметикѣ, основанное на результа-
тахъ дидактическихъ опытовъ" развиваетъ этотъ методъ и
даетъ подробныя указанія, какъ имъ можно и нужно пользо-
ваться. Объ идеяхъ Лайя и способѣ ихъ приложенія можно
найти въ сочиненіи К. Лебединцевъ „Новое направленіе въ
области методики ариѳметики и его практическіе результаты",
Кіевъ, 1906 г. и В. А. Лай. „Руководство къ первоначаль-
ному обученію ариѳметикѣ, основаны на результатъ дидакти-
ческихъ опытовъ**, изд. подъ редакц. Волковскаго. Онъ ста-
витъ слѣдующій вопросъ: „Какія наглядныя и счетныя пособія
являются наиболѣе удобными при первоначальномъ преподаваніи
ариѳметики — тѣ ли, которыя допускаютъ воспріятіе простран-
ственной сложности, или тѣ, при которыхъ воспринимается по-
слѣдовательность во времени.
Отвѣчая на этотъ вопросъ на основаніи данныхъ, полу-
ченныхъ имъ изъ непосредственнаго опыта, Лай говоритъ:
„Практика первоначальнаго преподаванія, наблюденія и пси-
хологія дѣтей также показываютъ, что воспріятіе послѣдова-
тельности во времени является для ребенка болѣе затрудни-
тельнымъ. Эта причина въ связи съ тѣмъ, что можно вывести
изъ обозрѣнія числовыхъ представленій малокультурныхъ пле-
менъ, заставляетъ насъ принять, что развитіе числовыхъ пред-

ставленій начинается, вообще говоря, со зрительнаго воспрія-
тія объектовъ, смежныхъ въ пространствѣ, а не со слухового
воспріятія объектовъ, смежныхъ во времени: первоначальное
преподаваніе ариѳметики должно, поэтому, основываться на
чувствѣ зрѣнія и осязанія, а не на чувствѣ слуха.
Чтобы вполнѣ выяснить здѣсь очень важную мысль автора,
слѣдуетъ указать на нѣкоторую неточность въ выраженіи „слу-
ховое воспріятіе объектовъ", это значитъ счетъ по слуху, напр.
ударовъ метронома или хлопанье въ ладоши, стукъ каранда-
шемъ по доскѣ стола и т. п. Такое замѣчаніе необходимо сдѣлать
потому, что порядокъ счета: одинъ, два, три и т. д., тоже
можетъ быть слуховымъ и представлять собою точно также
„слуховое воспріятіе объектовъ".
Кромѣ того слѣдуетъ отмѣтить и то, что Лай не катего-
рически отрицаетъ полезность слуховыхъ воспріятіи при перво-
начальномъ обученіи ариѳметикѣ, но только возстаетъ противъ
ихъ доминирующего значенія; онъ говоритъ далѣе: „этимъ я
не хочу сказать, что числовое воспріятіе объектовъ, смежныхъ
во времени и слуховыя ощущенія должны быть оставлены безъ
вниманія: при методическомъ изслѣдованіи и этимъ явленіямъ
должно быть отведено соотвѣтствующее мѣсто".
Въ чемъ же дѣло? противъ чего возстаетъ авторъ? Онъ
возстаетъ противъ счета, или, лучше сказать, противъ системы
обученія, основанной на счетѣ. Онъ говоритъ: „школьные учи-
теля методисты даютъ обыкновенно неправильно опредѣленіе
счисленія, высказываютъ неправильные взгляды на возникно-
веніе представленій объ основныхъ числахъ системъ счисленія
и примѣняютъ ихъ на практикѣ къ вреду для учениковъ. Они
утверждаютъ совершенно ложно, что числовыя представленія
окончательно слагаются только благодаря счету и понимаютъ
подъ словомъ „счетъ" такую дѣятельность, посредствомъ кото-
рой каждой вещи изъ нѣкоторой совокупности вещей со-
общается наименованіе по установленному ряду числитель-
ныхъ... Съ нашей точки зрѣнія счетъ есть постулираваніе,
т.-е. признаніе бытія, существованія вещей, которое можетъ
сложиться и безъ наличности числительныхъ... Въ поясненіе
этого онъ приводитъ такой примѣръ: дано: кусокъ золота,
душа, молнія, слонъ; сложить все это мы не можемъ, но по-
стулируя и называя каждый предметъ вещью, мы можемъ ска-
зать, что дано 4 вещи.
Это положеніе требуетъ нѣкотораго поясненія, и если я
правильно понимаю мысль автора, то онъ говоритъ этимъ, что
напримѣръ считая учениковъ, мы имѣемъ Иванова, Петрова,
Сидорова и т. п., но всѣ эти индивидуальности постулируетъ

въ словѣ ученикъ и говоритъ, что въ классѣ 30 учениковъ.
Точно также считаемъ 5 карандашей, 8 яблокъ и пр. Другими
словами: 5 карандашей, 5 яблокъ, 5 учениковъ связаны между
собою общимъ количественнымъ содержаніемъ, и это количест-
венное содержаніе есть число 5, составляющее общій признакъ
каждой группы. Замѣчу здѣсь что этому количественному пред-
ставленію совершенно не подчиняются числа именованныя 5
аршинъ и 5 ведеръ совершенно не связаны другъ съ другомъ
числомъ 5, о чемъ подробнѣе будетъ сказано въ главѣ о
числахъ.
Далѣе, авторъ говоритъ, что подъ „яснымъ и отчетли-
вымъ" или нагляднымъ числовымъ представленіемъ онъ пони-
маетъ такое представленіе основного числа, въ которомъ мы
одновременно съ совокупностью единицъ познаемъ и каждую
отдѣльную единицу, такъ что въ представленіи мы можемъ
разложить эту совокупность на отдѣльныя единицы или группы
ихъ, или, обратно, построить ее изъ тѣхъ же группъ и отдѣль-
ныхъ единицъ, напр. 4= . . . .
Но такъ какъ мы ясно и отчетливо можемъ представить
себѣ только число 3, что слѣдуетъ изъ ряда разнообразныхъ
и многочисленныхъ опытовъ, произведенныхъ разными наблю-
дателями, то для чиселъ большихъ 3 должны воспользоваться
искусственнымъ построеніемъ. Такимъ искусственнымъ построе-
ніемъ числа будетъ числовая фигура. Онъ говоритъ: „если мы
условимся подразумѣвать подъ понятіемъ основного числа зна-
ніе всѣхъ отношеній, существующихъ между этимъ числомъ и
тѣми числами, которыя въ немъ содержатся, то напр. понятіе
числа 6 будетъ охватывать слѣдующія предложенія 1 × 5 = 6;
2 + 4 = 6 и т. д. 6 — 1=5; 6—2 = 4 и т. д. 3 × 2 = 6 и т. д.
6:3 = 2 и т. д. Если преподаваніе основывается на квадрат-
ныхъ фигурахъ, то всѣ эти предложенія, а вмѣстѣ съ ними и
понятіе числа вытекаютъ непосредственно и безъ счета изъ
яснаго и отчетливаго наблюденія числа и воспоминанія объ
этомъ наблюденіи, т.-е. изъ яснаго и отчетливаго представленія
числа. Въ самомъ дѣлѣ возьмемъ число 6 въ видѣ . . . . . . за-
кроемъ одну точку, получимъ . . . . ., т.-е. 6 — 1=5·, закроемъ двѣ
точки, получимъ . . . . т.-е. 6 — 4 = 2. Раздѣлимъ число . . . . . .
полосками на 3 вертикальныя группы, получимъ . . | . . | . ., откуда
ясно, что 2×3 = 6 и 6:3 = 2.
Такія фигуры Лай показывалъ дѣтямъ, въ дѣтскомъ саду,
такъ дѣвочка 6 лѣтъ безошибочно изображала на память фи-
гуры 3, 4, 5, 7, 6 и 10, но когда онъ спросилъ ее сколько то-
чекъ въ фигурѣ 7, то она не могла сказать; значитъ, гово-

ритъ онъ: она обладала отчетливымъ представленіемъ числа,
не зная его наименованія. Это отчетливое представленіе помо-
гаетъ впослѣдствіи счету, потому
что число ассоціируется съ число-
вой фигурой и всегда можетъ быть
сосчитано.
Лай указываетъ, какъ можно
построить особый счетный при-
боръ для этихъ числовыхъ фигуръ,
при чемъ одинъ приборъ можетъ
быть класнымъ, а другой на ру-
кахъ учениковъ Класный приборъ
имѣетъ слѣдующій видъ.
Онъ ведетъ свой методъ не
только для однозначныхъ, но и для
двузначныхъ чиселъ, показывая, какъ можно выполнять дѣйст-
вія надъ числами въ подобномъ изображеніи. Вотъ напр.
За дальнѣйшими подробностями и обоснованіями этого ме-
тода обученія я отсылаю къ книгѣ Лая, гдѣ читатель найдетъ
для себя очень много интереснаго. Что касается до сущности
этого пріема, то несомнѣнно онъ является шагомъ впередъ по
отношенію къ существующему методу; но быть можетъ школь-

ная практика могла бы выработать иныя фигуры для чиселъ,
при которыхъ само воспріятіе было бы легче; но можетъ быть
здѣсь болѣе чѣмъ гдѣ либо умѣстна индивидуальность работы
и то, что хорошо для одного, не должно быть примѣнено при
обученіи другого.
Недостатокъ метода состоитъ въ томъ, въ чемъ страдаетъ
все современное школьное обученіе; этотъ методъ по существу
остается счетнымъ, и при обученіи не даетъ идей функціональ-
ныхъ соотношеніи между величинами. Онъ примѣнимъ только
къ отвлеченнымъ единицамъ и не примѣнимъ къ именованнымъ.
Если мы вмѣсто точекъ возьмемъ листъ, раздѣленный на кв.
дюймы, будемъ отрывать квадраты по одному и наклеивать
ихъ на цвѣтную бумагу, то получимъ большее разнообразіе
соотношеніи при томъ же психологическомъ процессѣ воспрія-
тія; но въ это же время мы получимъ еще нѣчто, а именно
идею непрерывности въ увеличеніи площади, идею зависимости
этой площади отъ измѣненія ея длины и ея ширины. Если же
къ этому присоединить взвѣшиваніе получаемыхъ площадей
изъ картона, что получимъ идею зависимости величины пло-
щади и ея вѣса.
Разработка этихъ функціональныхъ соотношеніи необхо-
димо и обязательно должна быть дана съ самыхъ первыхъ ша-
говъ начальнаго обученія, когда въ умственномъ представленіи
ребенка закладывается идея числа въ ея количественномъ со-
держаніи и въ ея зависимости отъ измѣренія.
§ 7. Дистервегъ и Груббе.
Идеи, брошенныя Песталоцци, вызвали въ Германіи оживлен-
ный обмѣнъ мнѣній и оживленную дѣятельность въ области пре-
подаванія ариѳметики. Въ концѣ концовъ это привело къ обра-
зованію двухъ партій: одна составилась изъ послѣдователей и
строгихъ приверженцевъ Песталоцци; другая—изъ противни-
ковъ его метода. Въ то время какъ приверженцы видѣли цѣль
преподаванія въ томъ, чтобы сообщить навыкъ въ дѣйствіяхъ
съ отвлеченными числами, противники считали необходимымъ
давать образованіе для жизни на конкретныхъ примѣрахъ. Слѣд-
ствіемъ этого спора было улучшеніе метода преподаванія. Про-
тивоположности пришли постепенно къ примиренію, и въ то
же время были отчетливо выдвинуты тѣ основныя методическія
требованія, которыя не утратили своего значенія и по настоя-
щее время. Эти требованія были формулированы директоромъ
семинаріи Гарнишемъ въ слѣдующихъ положеніяхъ:

1) Цѣлью обученія въ народной школѣ является гармони-
ческое развитіе всѣхъ душевныхъ силъ и ловкость въ практи-
ческой жизни.
2) Необходимо развить смѣтливость и сознательность и въ
то же время навыкъ, быстроту и увѣренность.
3) Табличное и умственное счисленіе должны быть связаны
между собой и должны идти рука объ руку.
4) Не слѣдуетъ отдѣлять отвлеченнаго счисленія отъ при-
кладного;
5) Матеріалъ слѣдуетъ располагать въ десятичномъ по-
рядкѣ.
6) Дроби надо вводить возможно раньше.
7) При обученіи счисленію нужно принимать въ разсчетъ
двѣ умственныя силы: сознаніе и память.
8) Не слѣдуетъ слишкомъ долго задерживать учениковъ
на чувственныхъ образахъ.
9) Ученики должны отвѣчать цѣльными предложеніями.
10) Учениковъ слѣдуетъ побуждать къ самостоятельному
составленію задачъ.
11) Задачи надо выбирать изъ области практической жизни.
Всѣ эти очень цѣнныя методическія правила были взяты
непосредственно изъ жизни, изъ непосредственнаго соприкосно-
венія съ ученикомъ, и представляютъ собою рецептъ опытнаго
учителя для новичка. Недостатокъ ихъ состоитъ въ томъ, что
они носятъ рецептурный характеръ, и не имѣютъ обоснованія
ни въ логическомъ, ни въ психологическомъ построеніи системы
обученія, а потому практическое примѣненіе ихъ становится
неяснымъ.
Болѣе цѣльнымъ и философски болѣе обоснованнымъ являет-
ся педагогическое указаніе Дистервега (1790—1866), которое
оказало мощное вліяніе на всю систему обученія не только въ
самой Германіи, но и внѣ ея, особенно у насъ въ Россіи, а
потому на немъ необходимо остановиться болѣе подробно.
Дистервегъ думаетъ, что сущность представленія числа на-
ходится въ тѣсной связи съ представленіемъ времени. „Такъ
какъ числовое представленіе, говоритъ онъ, есть представленіе
нѣкотораго количества однородныхъ, или принимаемыхъ за
однородныя, предметовъ, которое происходитъ отъ повторенія
единицы, то каждое числовое представленіе предполагаетъ ти-
пичность представленія единицы и должно возникнуть во вре-
мени, хотя само оно и не есть представленіе времени. Оно
возникаетъ благодаря послѣдовательному постулированію одной
и той же единицы, но не есть та отвлеченная послѣдователь-
ность, которая составляетъ время"... „Если мы замѣтимъ отли-

чительныя черты какого-нибудь предмета и станемъ наблюдать,
не встрѣчаются ли тѣ же признаки у другихъ предметовъ и у
сколькихъ именно, то этимъ мы составимъ себѣ представленіе
о числѣ этихъ предметовъ. Эта дѣятельность нашего духа на-
зывается счетомъ"... „Такъ какъ числа восприняты путемъ
чувственнаго, внѣшняго или внутренняго созерцанія, то они
и называются конкретными числами: напр. 2 цвѣта, монеты,
вещи и т. д. или именованными и прикладными числами. Если
же мы отнимемъ наименованія и отнесемъ числа къ отвлечен-
ной единицѣ, то мы получимъ абстрактныя чистовыя величины^
называемыя иначе отвлеченными числами". Абстрактная еди-
ница возникаетъ слѣдующимъ образомъ: „Единицы представля-
ютъ собой конкретныя признаки и эти признаки даютъ наиме-
нованіе числамъ, такъ напр. 10 деревьевъ —10 разъ по 1 де-
реву. Если же мы отвлечемся отъ этихъ наименованій, то оста-
нется абстрактное представленіе единицы".
Это опредѣленіе числа является въ высшей степени важнымъ,
такъ какъ въ настоящее время согласно этому опредѣленію
строится не только методическій курсъ обученія но и систе-
матическій курсъ ариѳметики.
Поэтому я попрошу его особенно отмѣтить и запомнить;
впослѣдствіи, говоря о числѣ, я позволю себѣ привести нѣко-
торыя возраженія противъ этого установившагося взгляда.
Согласно своему общему педагогическому міровоззрѣнію,
Дистервегъ устанавливаетъ слѣдующія положенія:
1) Счисленіе есть нѣкоторый духовный актъ, а именно—
созданіе новыхъ числовыхъ представленій изъ данныхъ.
2) Существуетъ только одинъ видъ счисленія, а не два
различныхъ (умственное и письменное). Счисленіе покоится на
разсудочномъ разсужденіи обо всѣхъ предметахъ и число-
выхъ отношеніяхъ, содержащихся въ задачѣ.
3) Такъ какъ существуетъ только одинъ видъ счисленія
то и методъ счисленія долженъ быть только одинъ и при томъ
такой, который соотвѣтствовалъ бы одновременно какъ при-
родѣ подлежащаго развитію духа, т.-е. дарованіямъ и практи-
ческимъ способностямъ, нуждающимся въ развитіи посред-
ствомъ вычислительная матеріала, такъ и сущности матеріала.
4) Послѣдовательность въ развитіи предмета и ясное по-
ниманіе его, пріобрѣтенное путемъ внѣшняго и внутренняго
наблюденія, должно всегда стоять на первомъ мѣстѣ; второе
мѣсто должно быть отведено упражненій) и третье—приложенію.
5) Не только первыя числовыя представленія, но и зна-
комство со всѣми дѣйствіями должно быть пріобрѣтено путемъ
непосредственнаго наблюденія.

6) Цѣлью преподаванія ариѳметики должно быть какъ ду-
ховное развитіе, такъ и приложеніе знаній въ практической
жизни.
7) Числовое пространство имѣетъ слѣдующія ступени: а) числа
въ предѣлахъ отъ 1—10; b) 10 — 100; с) неограниченное число-
вое преимущество; d) умноженіе; е) дѣленіе; f) рѣшеніе и при-
веденіе; g и h) четыре основныхъ ариѳметическихъ дѣйствія
съ составными именованными числами; к) Дѣйствія съ дробями.
Это и есть та программа, къ которой въ настоящее время
располагаются всѣ методики.
Къ этой программѣ еще слѣдуетъ присоединить одинъ
пунктъ, непосредственно въ нее не входящій, но, какъ уви-
димъ впослѣдствіи, занявшій довольно видное мѣсто въ рус-
скихъ методикахъ, а именно въ нравственномъ и умствен-
номъ вліяніи обученія ариѳметикѣ. Этотъ пунктъ высказалъ
впервые Штернъ, мнѣнія котораго перепечаталъ впослѣдствіи
Дистервегъ *).
Сотрудникъ Штерна Герсбахъ предложилъ для обученія
новое наглядное пособіе, соединивъ „сухіе законы числа съ
свободной гармоніей звуковъ". Онъ просверлилъ въ нашей
таблицѣ на небольшомъ разстояніи другъ отъ друга дырочки,
куда можно было вставлять деревянные штифты съ головками,
служившіе для изобррженія чиселъ и производства упражненій
надъ ними. Эта герсбаховская доска съ отверстіями до послѣд-
няго времени служитъ предметомъ подражанія, таковы: Бер-
линскій счетный аппаратъ", Нюрнбургскія счетныя доски, доски
Люкса, Мартенса и др.
У насъ, въ Россіи, общіе методическіе указанія Дистервега
тѣсно сплелись съ спеціально ариѳметической методикой Грубе.
Августъ-Вильгельмъ Грубе (1816—1884) извѣстенъ въ Гер-
маніи какъ авторъ популярныхъ общеобразовательныхъ книгъ
для юношества; у насъ въ Россіи въ 60-хъ годахъ большой
популярностью пользовались его „Очерки изъ ист. и нар. ска-
заній", „Географическіе очерки" и „Ариѳметика". Основныя
положенія обученію ариѳметикѣ, изложенные Евтушевскимъ въ
его методахъ, еще и до настоящаго времени не потеряли своего
значенія
Въ 1842 году Грубе издалъ руководство къ преподаванію
ариѳметики въ низшей школѣ, основанное на эвристичискомъ
методѣ. Въ этомъ руководствѣ онъ настойчиво проводилъ мысль,
что преподаваніе не должно переходить отъ дѣйствія къ дѣй-
ствію надъ всѣми числами, заключенными въ предѣлахъ первой
*) Слова Штернъ приведены выше § 3.

сотни, а оно должно переходить отъ числа къ числу такъ,
чтобы надъ каждымъ числомъ производились всѣ дѣйствія, не
исключая умноженія, дѣленія и дѣйствій съ дробями. Не от-
дѣльное дѣйствіе, а отдѣльное число должно стоять на первомъ
планѣ и обусловливать распредѣленіе матеріала; этимъ дости-
галось точное познаваніе отдѣльнаго числа, создавалась какъ
бы монографія числа. Онъ говоритъ: „основывать элементар-
ную ариѳметику на дѣйствіяхъ—это то же самое, что при на-
глядномъ обученіи показывать ребенку предметы уже раздѣ-
ленныя на рубрики по величинѣ, формѣ, цвѣту или начитать
ботанику съ системы Линнея". Всѣ дѣйствія должны вытекать
сами собой изъ отчетливаго наблюденія каждаго отдѣльнаго
числа, а подъ отчетливымъ наблюденіемъ онъ понимаетъ ясное
сознаніе составныхъ частей и самого построенія числа.
Этимъ я закончу здѣсь разсмотрѣніе развитія методиче-
скихъ идей въ Германіи; сущность дальнѣйшаго ихъ развитія
тѣсно соприкасается съ обоснованіемъ воспріятія числа, а по-
тому нѣкоторое продолженіе этой главы будетъ дано въ главѣ
5 „Понятіе о числѣ". Вопросъ о томъ, что такое число и какъ
оно психологически воспринимается сильно интересовалъ и
интересуетъ германскихъ методистовъ: въ его разрѣшеніи они
видятъ ключъ къ разрѣшенію всѣхъ методическихъ вопросовъ.

ГЛАВА II.
Русскіе методисты.
§ 1. Общее замѣчаніе.
Переходя къ обозрѣнію русской литературы по методикѣ
ариѳметики, слѣдуетъ отмѣтить тотъ фактъ, что она возникла
какъ необходимая потребность начальнаго обученія, въ пе-
ріодъ разцвѣта общественной дѣятельности въ народномъ обра-
зованіи. Въ то время, когда начальная школа находилась на
перепутьи частной иниціативы, церковно-приходской и прави-
тельственной школы, собственно не было лицъ, заинтересован-
ныхъ педагогическими, а тѣмъ болѣе методическими вопросами.
Наиболѣе видные дѣятели по народному образованію интересо-
вались болѣе вопросомъ о самомъ фактѣ существованія сель-
ской и городской начальной школы, чѣмъ о способахъ обуче-
нія въ ней. И только, когда дѣло начальнаго обученія было
отдано въ руки земствъ, когда возникли съѣзды учителей, во-
скресныя школы, тогда вмѣстѣ съ общимъ подъемомъ жизни,
возникли и педагогическіе вопросы, среди которыхъ вопросъ
о методикѣ по аргиѳметикѣ занялъ очень видное мѣсто. Это
время совпало съ преклоненіемъ и увлеченіемъ германской фи-
лософіей, а потому естественно, что и педагогическая литера-
тура у насъ выросла на почвѣ германскихъ педагогическихъ
идей. Наши методики явились какъ нѣкоторая разновидность
нѣмецкихъ педагогическихъ идеаловъ, которые были признаны
не только безспорнымъ, но и вѣрными по своему существу.
Русскимъ методистамъ не приходило въ голову пересмотрѣть
идеи Песталоцци, Дистервега, Генчеля и др.; они твердо вѣ-
рили въ ихъ справедливость и взяли на себя трудъ обработать
и воплотить эти идеи съ возможной полнотой и обстоятельно-
стью въ русской школѣ. Вотъ почему мы здѣсь не встрѣчаемъ

ни споровъ о понятіи о числѣ, ни своеобразныхъ наглядныхъ
пособій, ни новыхъ педагогическихъ принциповъ. Однако эту
особенность русскихъ методикъ нельзя считать ихъ дефектомъ,
какъ потому, что идеи Песталоцци и Дистервега имѣютъ высо-
кую педагогическую цѣнность, такъ и потому, что направле-
ніе разработки самаго метода давало цѣнный матеріалъ наблю-
деній, вырабатывало педагогическое настроеніе, способствовало
изученію дѣтской души, давало именно то, что необходимо
всякому учителю. Главное же достоинство русской методиче-
ской литературы, состоитъ въ томъ, что она добросовѣстно и
вдумчиво разработала методическія указанія знаменитыхъ гер-
манскихъ методистовъ, и въ этой разработкѣ практическаго
приспособленія теоретическихъ идей указала какъ ихъ цѣнныя
стороны, такъ и ихъ недостатки. Но, въ то же время эта же
особонность русской методической литературы составляетъ и
ея недостатокъ, а именно вслѣдствіе этого у насъ до сихъ поръ
не создалось преемственности педагогическихъ идей, перехода
ихъ отъ творцовъ къ ученикамъ, ихъ развитія и ихъ обра-
ботки. Почти каждый новый авторъ критикуетъ своего сосѣда
и своего предшественника, устанавливаетъ ихъ ошибки, выдви-
гая собственный методъ, а этотъ методъ основанъ или на но-
вомъ теченіи иностранной педагогики, или на какомъ-либо
индивидуальномъ педагогическомъ теченіи въ Германіи. Какъ
курьезъ въ этой погонѣ за иностранными авторами можно ука-
зать на слѣдующее: Во всѣхъ германскихъ методикахъ и ката-
логахъ одно изъ наглядныхъ пособій называется „русскими сче-
тами". Но этихъ счетъ вы не найдете въ Россіи, гдѣ есть
„шведскіе счеты", „нѣмецкіе счеты", но нѣтъ русскихъ. Однако,
оставляя въ сторонѣ эту не серьезную сторону педагогичес-
каго теченія, нужно сказать, что обстоятельная критика все-
возможныхъ системъ сослужила большую пользу самому дѣлу.
Передъ русскимъ педагогомъ сами составители ярко обрисо-
вали всѣ достоинства и всѣ недостатки каждаго метода и тѣмъ
поставили его въ необходимость не подражать, а думать и вы-
бирать то лучшее, что ему больше всего подходитъ. Въ этомъ
разборѣ, были затронуты и основныя положенія, и теперь
являются попытки установить историческую перспективу, ра-
зобрать эти основныя положенія методики на почвѣ новыхъ
педагогическихъ и психологическихъ теченій.

§ 2. Старые учебники и старое преподаваніе.
Въ своихъ воспоминаніяхъ о школѣ 1849—64 г. Е. Стрѣль-
цовъ *) очень образно и живо передаетъ урокъ ариѳметики
„Сначала я учу, говоритъ онъ, считать до 100. Посажу всѣхъ
учениковъ и говорю: разъ, два, три и т. д., а дѣти повторя-
ютъ хоромъ. Такъ они и научаются считать до 100, а потомъ
уже то же самое пойдетъ далѣе: сто одинъ, сто два, и т. д.—
„И дѣти всѣ научаются такимъ образомъ считать?" —„Ну, есть
всякіе, иному ни за что не выучиться считать дальше 10: какъ
дошелъ до 11-ти, такъ и стой, сбивается. Потомъ пишутъ до
ста.; я прописываю на доскѣ; а когда научатся писать въ раз-
бивку до 100, тогда я изучаю съ ними нумерацію. Поставлю
учениковъ въ кружокъ къ доскѣ, напишу имъ число съ мил-
ліонами и, показывая на первую цифру, говорю: единицы, де-
сятки (на нихъ показываю), сотни, тысячи и т. д. Такъ пока-
зываю и твержу, а дѣти повторяютъ за мною хоромъ до тѣхъ
поръ, пока будутъ знать и подъ рядъ и въ разбивку. Потомъ
заставляю ихъ выговаривать числа съ милліонами (больше мил-
ліоновъ рѣдко употребляю) и потомъ учу писать такія же
числа подъ диктовку".—„И понимаютъ?"—„Сначала, конечно,
трудно, особенно нулей ставить долго не научаются, но послѣ
поймутъ хорошо. Потомъ—сложеніе. Сначала разскажу, какъ
подписывать числа: единицы подъ единицами, десятки подъ
десятками и т. д. Потомъ покажу, съ чего начинать сложеніе,
что писать, что въ умѣ, и все тутъ. Конечно, есть другіе, что
или сложить не умѣютъ, сколько 7 да 9, 8 да 6, или въ умѣ
оставляютъ, но такихъ не много, потому что я даю учить на-
изусть таблицу сложенія необходимыхъ чиселъ. Потомъ вычи-
таніе — тоже самое; только тутъ занимать учу, когда нельзя
вычесть. Вычитаніе понимаютъ скоро. Умноженіе труднѣе; тутъ
таблицы иному и въ зиму не выучить. А кто выучитъ таблицу,
тотъ скоро начнетъ дѣлать, да и просто: умножать по таблицѣ
да подписывать, какъ въ сложеніи. Только тутъ многіе все
сбиваются: помножаетъ на вторую цифру, а пишетъ подъ пер-
вою; помножаетъ на третью, а писать не знаетъ куда, но и
то скоро привыкаютъ писать лѣсенкой. А тамъ—дѣленіе. Дѣ-
леніе сперва на одну цифру, потомъ на двѣ. Дѣленіе — всего
*) Е. Стрѣльцовъ. Изъ 25-ти лѣтней практики сельскаго учителя Вос-
поминанія, очерки и замѣтки, ч. I. Сельская школа 1849—1864 г. Взято изъ
соч. Мукалова „Записки по педагогикѣ", стр. 4.

труднѣе. Задаваться рѣдко кто можетъ сразу вѣрно" —Здѣсь
я прерву выписку и продолжу ее потомъ. Передъ нами про-
шелъ курсъ ариѳметики цѣлыхъ чиселъ. Учитель добросо-
вѣстно указываетъ, что было трудно его ученикамъ, что они
хорошо понимали. Мы склонны считать такое преподаваніе не-
правильнымъ и особенно подчеркнуть именно то, что затруд-
няло учениковъ, чего они не понимали; но мы забываемъ при
этомъ, что и наши дѣти тоже не понимаютъ и тоже затруд-
няются какъ разъ въ томъ же самомъ. Вотъ почему нельзя
такъ строго судить педагоговъ стараго времени, тѣмъ болѣе,
что они учили тому, что было общепризнаннымъ и такъ, какъ
это указывалось знающими людьми. Въ этомъ отношеніи очень
любопытные учебники этого времени, о которыхъ слѣдуетъ
сказать нѣсколько словъ. При первомъ взглядѣ на учебники
васъ поражаетъ ихъ тонина: учебникъ содержитъ не болѣе 70
страницъ, на которыхъ объяснены всѣ правила производства
дѣйствій надъ цѣлыми числами, какъ отвлеченными, такъ и име-
нованными. Среди этихъ учебниковъ на первое мѣсто слѣдуетъ
поставить „Руководство ариѳметикѣ, напечатанное съ изданія
департамента народнаго просвѣщенія для употребленія въ уѣзд-
ныхъ училищахъ". Имѣющійся у меня экземпляръ помѣченъ
1872 годомъ и указано изданіе 18-е. По авторитетности соста-
вителя и по количеству изданій можно судить не только о
распространенности учебника, но и о томъ, что онъ является
нѣкоторымъ образцомъ и оффиціальнымъ руководствомъ въ
преподаваніи. Въ силу этого я позволю себѣ подробно остано-
виться на его содержаніи. Учебникъ содержитъ: Введеніе, въ
которомъ говорится о величинѣ, единицѣ мѣры (единица есть
извѣстная величина, съ которой сравниваются другія величины
того же рода). Дается опредѣленіе чиселъ именованныхъ, от-
влеченныхъ и дробныхъ. Все это помѣщается на одной непол-
ной страницѣ и оканчивается слѣдующимъ:
„4. Итакъ изъ вышесказаннаго слѣдуетъ, что числа быва-
ютъ двоякаго рода: отвлеченныя и именованныя и что какъ
первыя, такъ и вторыя могутъ быть цѣлыми и дробными. Раз-
сматриваніе свойствъ чиселъ и различныя дѣйствія надъ ними
составляютъ предметъ Ариѳметики".
Далѣе идетъ отдѣленіе 1-е—о цѣлыхъ отвлеченныхъ числахъ,
которое распадается на 9 главъ: 1—о происхожденіи чиселъ,
изображеніи ихъ и выговариваніи; 2—сложеніе цѣлыхъ отвле-
ченныхъ чиселъ; 3 - вычитаніе; 4—объ измѣненіи суммы и раз-
ности; δ — о повѣркахъ сложенія и вычитанія; 6 — умноженіе
цѣлыхъ отвлеченныхъ чиселъ; 7—дѣленіе; 8—о повѣркахъ умно-
женія и дѣленія; 9—объ измѣненіи произведенія и частнаго.

Отдѣленіе II — о цѣлыхъ именованныхъ числахъ, которое
состоитъ изъ: „Предварительнаго объясненія; таблицы мѣръ
длины, вѣса и проч.; глава I—раздробленіе и превращеніе име-
нованныхъ чиселъ и глава II — четыре дѣйствія надъ цѣлыми
именованными числами. Изъ этого перечня матеріала видно,
что Е. Стрѣльцовъ описываетъ урокъ по этому учебнику, т.-е.
какъ въ практической школѣ воплощались теоретическія тре-
бованія учебника.
Совершенно по тому же плану составленъ и другой учеб-
никъ „ Упрощенная ариѳметика для ротныхъ и сельск ихъ школъ",
которая въ 1874 г. имѣла 7 изданій. Къ этому учебнику при-
ложены задачи съ условіями и все это вмѣстѣ занимаетъ 58 стра-
ницъ. Оба эти руководства, какъ выдержавшія нѣсколько из-
даній въ своихъ первыхъ изданіяхъ относятся къ болѣе ран-
нему времени и представляютъ собою типъ учебниковъ, кото-
рые пользовались популярностью въ старой школѣ. Перелисты-
вая эти учебники, мы не найдемъ въ нихъ ни одного методи-
ческаго указанія —это сухое теоретическое изложеніе предмета,
гдѣ изложены правила дѣйствій даже безъ пояснительныхъ
примѣровъ.
Можно было бы подумать, что методическіе вопросы были
чужды уму учителя, который въ своемъ проподаваніи разсчи-
тывалъ исключительно на память и прирожденную талантли-
вость учениковъ.
Однако такое заключеніе было бы совершенно невѣрно.
Оно относится только къ оффиціальной педагогикѣ, тогда какъ
педагогическая литература сохранила и другія черты уроковъ
того времени. Такъ въ числѣ очень раннихъ руководствъ есть
„Руководство къ умственнымъ вычисленіямъ и теорія задачъ,
которыя должны быть разрѣшены въ умѣ безъ помощи пера"
Ж. Б. Леруа, передѣланнаго съ французскаго Алекс. Тубяко-
вымъ въ 1843 году. Это руководство любопытно потому, что
оно представляетъ собою полную противоположность предыду-
щихъ; это есть сборникъ задачъ съ рѣшеніями. Авторъ въ
введеніи говоритъ: „Составляя это руководство, я старался
сдѣлать его простымъ, яснымъ и понятнымъ для самаго нѣж-
наго возраста: такимъ образомъ единственною цѣлію моею
было отнять у труда счисленія, самого по себѣ довольно су-
хого, все, что въ немъ есть запутаннаго и даже облечь его
нѣкоторою занимательностію. Для этого я предпочелъ разсу-
жденію на бумагѣ, быстрое и свободное соображеніе разсудка".
Не входя въ детальный разборъ этого руководства, я замѣчу,
что въ немъ по существу не умственныя вычисленія противо-
полагаются вычисленіямъ на бумагѣ, а практическій разборъ

задачъ теоретическому разсужденію вывода правилъ дѣйствій.
Учебникъ Леруа, какъ руководство для дѣтей первыхъ фами-
лій Франціи, вѣроятно предназначался въ переводѣ для дѣтей
первыхъ фамилій Россіи, по крайней мѣрѣ его идея не дошла
до народной начальной школы, гдѣ дѣти почти совсѣмъ не
умѣли рѣшать задачъ. Такъ въ воспоминаніяхъ Е. Стрѣльцова
мы читаемъ дальше: „Видя, какъ въ школѣ этого учителя дѣти
рѣшаютъ задачи, можно было убѣдиться, что ученики бук-
вально дѣлаютъ задачи, не понимая того, что они дѣлаютъ,
какъ и для чего все это дѣлается. Задачи ихъ состояли изъ
чисто отвлеченныхъ чиселъ, обрабатываемыхъ по заранѣе опре-
дѣленному плану. 33125 раздѣлить на 71—командуетъ старшій
ученикъ, и отдѣленіе его дружно скрипитъ грифелями... Про-
бовали дать имъ нѣсколько устныхъ задачъ изъ крестьянскаго
быта, и нѣкоторые ребята считали вѣрно, но по своему. Про-
далъ мужикъ возъ сѣна—25 пудовъ по 27 коп. за пудъ; сколько-
ему приходится получить денегъ?—„По гривеннику — два съ
полтиной; по другому опять два съ полтиной, да по четвертаку
1 р. 25 к., а всего 6 р. 25 к., да по копейкѣ 25 коп.; по другой —
еще 25 коп.". Позабылъ сосчитанное и запутался. „Почему по
гривеннику, такъ будетъ два съ полтиной?"—„Такъ ужъ при-
ходится".—„Да почему приходится? Можетъ и не такъ?"—
„Нѣтъ ужъ такъ: по гривеннику—всегда такъ". —„Кот же тебѣ
сказалъ?" —„Отецъ всегда такъ на счетахъ считаетъ".
Всѣ эти вопросы представляютъ собственно придирку экза-
менатора. Почему по гривеннику будетъ 2 р. 50 к.? На это не
отвѣтитъ и г. Леруа. Онъ говоритъ умножить 44 на 10 нужно
„приложить" 0, и будетъ 440, а почему? На этотъ вопросъ
онъ не даетъ отвѣта, да и самый вопросъ считаетъ лишнимъ,
Здѣсь собственно важно то, что ученикъ произвелъ въ умѣ
такое сложное вычисленіе и произвелъ его вѣрно, хотя по
способу, усвоенному отъ отца, а не отъ учителя. Учитель
диктуетъ правила, ученики ихъ записываютъ и запоминаютъ,
чтобы знать, какъ дѣлать то или другое дѣйствіе и только.
Когда баронъ Корфъ объѣзжалъ начальныя школы, то эта
именно сторона, — неумѣніе дѣтей приложить свои знанія къ
рѣшенію задачъ, его наиболѣе поразила. Онъ приводитъ слѣ-
дующій примѣръ. Была задана задача: „Въ понедѣльникъ ку-
пилъ я на базарѣ 5 куръ, во вторникъ 1, а въ среду подарилъ
изъ нихъ 3 курицы, сколько у меня куръ?" На это замѣтилъ
мнѣ учитель, что такой вопросъ въ пору предлагать въ гим-
назіи. Такъ выразился одинъ учитель, говоритъ бар. Корфъ,
а думали такъ вѣроятно многіе, видя, что я обращаюсь, испы-
тывая изъ ариѳметики, къ соображенію, а не къ памяти уче-

ника. Бар. Корфъ пытается выяснить причину такого явленія
и находитъ ее въ томъ, что все обученіе счету было основано
на упражненій памяти, на заучиваніи, а не на упражненій мы-
слительныхъ способностей, силы и быстроты соображенія. Вслѣд-
ствіе такихъ методовъ обученія говоритъ онъ, ариѳметика
могла быть доступна только тѣмъ изъ учениковъ школы, ко-
торые обладали настолько счастливой памятью, что имъ было
по силамъ 8 различныхъ совершенно безцѣльныхъ работъ надъ
числами: 4 дѣйствія и средство повѣрять каждое изъ нихъ".
Я не смѣю не довѣрять бар. Корфу, но не могу не отмѣ-
тить противорѣчія его примѣра съ тѣмъ, о которомъ говоритъ
г. Стрѣльцовъ. Тамъ ученикъ высчитываетъ сложную задачу,
правда, по методу, усвоенному отъ отца; здѣсь онъ не можетъ
сосчитать простого примѣра. Мнѣ кажется, что это заявленіе
бар. Корфа имѣетъ болѣе полемическій, чѣмъ жизненный ха-
рактеръ. Это примѣръ, а не жизненный фактъ.
По существу дѣла многіе составители учебниковъ уже обра-
тили вниманіе на постановку преподаванія, и внутри педагоги-
ческой среды уже возникали робкія попытки приблизить теоре-
тическое построеніе курса къ познаванію дѣтей. Такъ въ 1865
году вышли 8-мъ изданіемъ „Руководство къ изученію русской
грамоты и счисленія" Ив. Главинскаго, гдѣ авторъ въ коротень-
комъ предисловіи между прочимъ говоритъ:" Главное, что учи-
тель долженъ имѣть въ виду при употребленіи изложеннаго
въ руководствѣ пріема къ изученію счисленія на счетахъ за-
ключается въ томъ, чтобы усвоить ученикамъ первые четыре
ариѳметическія дѣйствія наглядно, прежде нежели даже рѣчь
зайдетъ о цифрахъ, потомъ, примѣняясь къ изложенію 1-го и
2-го уроковъ, учитель долженъ ограничиться, на первыхъ по-
рахъ, числомъ 10; въ предѣлахъ этого счета пріучить учени-
ковъ къ сложенію, вычитанію, умноженію и дѣленію и только
тогда перейти къ счисленію десятками, сотнями и т. д. когда
ученики усвоятъ вполнѣ ариѳметическія дѣйствія надъ первыми
десятью числами". Въ подтвержденіе правильности своего мнѣ-
нія авторъ ссылается на Песталоцци, Стефани и Гурьева, идеями
которыхъ онъ пользовался при составленіи своего учебника.
Заканчивая введеніе, онъ говоритъ: „для педагоговъ-практи-
ковъ не покажется страннымъ повтореніе въ ариѳметикѣ одного
и того же предмета въ разныхъ видахъ или, точнѣе сказать,
обращеніе къ одному и тому же предмету съ разныхъ сторонъ.
Они по опыту знаютъ, что нѣтъ ничего не сообразнѣе съ на-
чалами здравой педагогики, какъ излишняя систематичность,
и что между ученой классификаціей и живымъ преподаваніемъ,

въ особенности ариѳметики для перваго возраста, существу-
етъ цѣлая бездна".
Не могу здѣсь не отмѣтить, что если бы дѣло начальнаго
обученія было организовано правильно; если бы были учитель-
скіе съѣзды, возможность обсужденія педагогическихъ и мето-
дическихъ вопросовъ, а главное, если бы въ русскомъ обществѣ
было больше довѣрія къ своимъ силамъ и своимъ дѣятелямъ,
то имя г. Главинскаго не погибло бы въ архивахъ книжныхъ
складовъ, а заняло бы почетное мѣсто въ педагогической ли-
тературѣ; да и самъ онъ не ограничился бы 38-ю строками
короткаго введенія, а написалъ бы болѣе или менѣе обстоятель-
ное сочиненіе въ защиту наглядности преподаваніе и русскихъ
счетъ.
Кромѣ г. Главинскаго почти тѣ же идеи выдвигаетъ г. Бо-
лотниковъ, который въ 1868 году издалъ небольшой учебникъ
„Начальная ариѳметика", гдѣ въ предисловіи говоритъ: „боль-
шинство нашихъ учебниковъ отличаются тѣмъ, что они пре-
вышаютъ силы учащихся, несмотря на то, что каждый изъ
нихъ стремился быть яснымъ учебникомъ, соразмѣрнымъ съ
силами учащихся. Эта неудовлетворительность особенно за-
мѣтна въ начальныхъ ариѳметическихъ учебникахъ. Чтобы из-
бѣгнуть этой неудовлетворительности нужно непремѣнно хо-
рошо знать дѣтскій умъ и потомъ уже стараться удовлетво-
рить ему". На изученіи этой стороны дѣла, г. Болотниковъ
строитъ свой курсъ, въ которомъ стремится провести слѣдую-
щее методическое правило: „восходить отъ простого къ слож-
ному, отъ примѣровъ къ правиламъ—методъ самый разумный
и полезный въ преподаваніи". Къ сожалѣнію языкъ г. Болот-
никова крайне неточенъ, всему его курсу недостаетъ практи-
ческой выработки и, можно сказать, что цѣль, поставленная
авторомъ, не достигнута; но это не умаляетъ его идеи, не
ослабляетъ важности поднятыхъ имъ вопросовъ, а главное ясно
показываетъ, что методическія идеи не были чужды русскимъ
учителямъ, и они ихъ посильно разрабатовали.
Кромѣ указанныхъ руководствъ, укажу еще на переводный
учебникъ Георга Ритта съ французскаго „Первоначальныя по-
нятія объ ариѳметикѣ и умственномъ счисленіи^. Это соб-
ственно есть краткая методика въ совершенномъ смыслѣ этого
слова, но методика, затерявшаяся среди своихъ знаменитыхъ
собратій; она была издана въ 1872 году редакціей кіевскаго
народнаго календаря. Я укажу въ ней только одно мѣсто изъ
предисловія, хотя сама книжка стоитъ того, чтобы на ней
остановиться подробнѣе. Въ предисловіи авторъ говоритъ:
„Понятіе о числѣ можетъ быть усвоено только при воззрѣніи

на предметы и сравненіи ихъ. Поэтому наставникъ обязанъ
имѣть въ своемъ распоряженіи маленькіе предметы, каковы
напр.: кремни, зерна, палочки и пр. Показавъ ученикамъ
сперва одинъ предметъ, потомъ нѣсколько предметовъ, настав-
никъ спрашиваетъ: сколько предметовъ? Отвѣты покажутъ,
насколько понята ими основная мысль числа—единицы или
множества. Потомъ наставникъ знакомитъ дѣтей со сходствомъ
и различіемъ предметовъ, посредствомъ простого показыванія
предметовъ. Для этой цѣли онъ складываетъ однородные пред-
меты въ разныя кучи и учитъ дѣтей считать, считая самъ
предъ ними. Заставляетъ дѣтей считать разные предметы, на-
ходящіеся въ классѣ или внѣ его, ограничиваясь сперва не-
большими числами".
По отношенію къ разобраннымъ руководствамъ я долженъ
замѣтить, что они представляютъ случайность попавшуюся
мнѣ въ руки, но не систематическую обработку вопроса. Но
уже изъ этого случайнаго матеріала мы видимъ, что русская
мысль какъ бы нащупывала ту почву, на которой впослѣдствіи
выросли наши знаменитые педагоги и методисты. Нельзя не
отмѣтить, что эта мысль не разширилась до большого педаго-
гическаго трактата, она скромно попыталась внести свою лепту
въ практику школь- наго дѣла, а потому ея голосъ былъ слабъ,
и мы забыли этихъ дѣятелей, поглощенные иностраннымъ на-
шествіемъ, въ которомъ тѣ же идеи были высказаны съ твер-
дой увѣренностію и съ авторитетомъ. Разсмотримъ теперь
методики.
§ 3. Русскіе методисты.—П. С. Гурьевъ.
Если бы мы, русскіе, не были такъ скромны по отношенію
къ роднымъ талантамъ, то имя Петра Семеновича Гурьева за-
няло бы почетное мѣсто среди передовыхъ именъ выдающихся
лицъ родной земли. Сынъ математика конца XVIII и начала
XIX вѣка, Петръ Семеновичъ посвятилъ свою жизнь школь-
ному дѣлу. Въ 1833 и 34 годахъ онъ, вмѣстѣ съ Ободовскимъ
и Гучелемъ, издаетъ „Педагогическій журналъ", въ которомъ
знакомитъ публику какъ съ новѣйшими въ то время методами
нкмецкихъ педагоговъ, такъ и съ собственнымъ примѣненіемъ
этихъ методовъ. Въ 1839 году онъ написалъ „Руководство къ
преподаванію ариѳметики малолѣтнимъ дѣтямъ", гдѣ предло-
жилъ вполнѣ обработанную методику въ предѣлѣ первой сотни.
Въ 1851 году онъ издаетъ „Подробный конспектъ первоначаль-
ной математики", въ которомъ излагаетъ собственный методъ,

а въ 1860 году вышла „Практическая ариѳметика". Указывая
на эту книгу, г. Муколовъ говоритъ, что она заключаетъ въ
себѣ методику ариѳметики по способу изученія дѣйствій и
представляетъ настолько цѣнное сочиненіе, что и въ настоящее
время можетъ быть съ пользой примѣнима". Какъ бы подтвер-
ждая это мнѣніе, мы видимъ, что къ идеямъ П. С. вновь вер-
нулся одинъ изъ современныхъ методистовъ г. Латышевъ^
который, разбирая сочиненіе П. С, находитъ въ немъ недо-
статки, но въ то же время говоритъ: „вообще-же говоря основ-
ная мысль книги, какъ высказывается ея авторъ въ преди-
словіи, довольно близки къ основнымъ положеніямъ метода
преподаванія ариѳметики, высказаннымъ въ первой главѣ на-
шей книги". *) При такомъ заявленіи странно, что авторъ на-
ходитъ, что книга имѣетъ мало значенія для учителей въ на-
стоящее время, ибо они въ ней не найдутъ многаго нужнаго
имъ и не мало найдутъ совсѣмъ ненужнаго. Г. Латышевъ ви-
дитъ въ „Практической ариѳметикѣ" Гурьева только истори-
ческую цѣнность и считаетъ, что въ 1839 году она была почти
единственнымъ руководствомъ къ преподаванію ариѳметики и
для своего времени—хорошимъ руководствомъ, исполненіе со-
вѣтовъ котораго могло улучшить распространенные въ то
время методы преподаванія".
Оставляя на отвѣтственности автора столь строгій отзывъ
о первомъ русскомъ методическомъ руководствѣ, мы можемъ
съ несомнѣнностью констатировать фактъ, что русская педа-
гогическая мысль въ лицѣ г. Латышева вновь вернулась къ
тѣмъ методическимъ идеямъ, которыя были высказаны Петромъ
Семеновичемъ въ 1839 году.
Передовые современники, оцѣнивая сочиненіе П. С, отда-
вали должное его достоинству, и въ то же время жаловались
на то, что рутина и инертность русскаго учителя мѣшаютъ
широкому распространенію его методическихъ идей. Отсут-
ствіемъ интереса къ методикѣ они объясняли большое коли-
чество учениковъ, якобы неспособныхъ изучать математику.
Такъ г. Паульсенъ говоритъ, что въ то время, какъ въ Гер-
маніи съ 1798 года непрерывно идетъ разработка методики
ариѳметики, у насъ господствуютъ еще старые учебники, безъ
всякаго намека на какой либо методическій вопросъ. „Чему
приписать, спрашиваетъ онъ, такой застой, такую неподвиж-
ность въ дѣлѣ преподаванія?" — „Разумѣется, не иному чему^
какъ господству закоренѣлой рутины, выглядывающей изъ
каждаго шва учительскаго вицмундира, изъ каждой трещины
*) Латышевъ, „Руководство къ преподаванію ариѳметики". стр 82.

классной каѳедры. Наши почтенные преподаватели до того
привыкли прогуливаться по старой дорогѣ, проложенной ихъ
дѣдами и отцами, что ни за что въ мірѣ не рѣшаются итти
по другой, хотя бы кому нибудь въ добрый часъ случилось
открыть кратчайшій и вѣрнѣйшій путь къ достиженію цѣли".
„Тотъ, кто бывалъ на учительскихъ конференціяхъ, продолжаетъ
онъ, и слышалъ восклицанія: „я уже 20 лѣтъ преподаю по
собственной методѣ и увѣренъ, что иначе съ успѣхомъ препо-
давать нельзя",—тотъ пойметъ, почему предложенный г. Гурь-
евымъ способъ, какъ бы хорошъ онъ ни былъ, не вошелъ въ
употребленіе. Противъ рутины, перешедшей въ плоть и кровь»
человѣческое слово и убѣжденіе немощны; совладать съ нею
могутъ только время и могила". Это замѣчаніе выдающагося
русскаго педагога остается въ силѣ и по сіе время, но я до-
бавилъ бы къ нему, что намъ нужно обратить большее вни-
маніе на разработку педагогическихъ идей въ Россіи, чѣмъ
въ Германіи. Это не значитъ отказаться отъ освѣдомленности
о томъ, что дѣлается у нашей сосѣдки, а значитъ то, что слѣ-
дуетъ признать заслуги русскихъ методистовъ и на ихъ рабо-
тахъ основывать дальнѣйшее движеніе и разработку методики.
Мы склонны признавать научность за подражаніе, и тамъ, гдѣ"
русскій методистъ на основаніи своей ерудиціи даетъ новый
методъ, мы смѣшиваемъ его работу съ работой тѣхъ, на кого
онъ ссылается. Такъ было съ г. Евтушевскимъ, котораго мно-
гіе смѣшивали съ Грубе, такъ и самъ Евтушевскій смѣшиваетъ
П. С. Гурьева съ нѣмецкимъ методистомъ Генчелемъ. Несо-
мнѣнно П. С. былъ хорошо знакомъ съ нѣмецкой литературой,
но онъ не заимствовалъ оттуда, а самъ пришелъ къ общимъ
обоснованіямъ своей методики.
Основныя положенія П. С. можно формулировать такъ:
при обученіи дѣтей ариѳметикѣ не тольконужно дать имъ не-
обходимыя навыки въ вычисленіяхъ, но и вести дѣло обученія
такъ, чтобы возбудить и умственную ихъ дѣятельность. Пра-
вила ученики должны умѣть находить, не только что понимать
ихъ; число и цифра должны быть надлежащимъ образомъ раз-
личены, и чисто изустное счисленіе, умственная наглядность
чиселъ, ихъ отношенія и изустныя дѣйствія надъ числами во-
обще, всегда должны предшествовать письменному счисленію.
Это собственно та программа, по которой составляются всѣ
современнныя методики; здѣсь не хватаетъ только вопроса о
дробяхъ, на который П. С. смотрѣлъ опять таки согласно съ
современными методистами. Онъ не только вводилъ дроби въ
начальное обученіе, но и не забываетъ о нихъ впослѣдствіи,
какъ это часто дѣлаютъ другіе, а постепенно вводилъ новыя

упражненія, такъ что ко времени перехода къ курсу дробей
ученики будутъ значительно подготовлены къ нему.
Объ этой программѣ необходимо сказать нѣсколько словъ.
При разборѣ методическихъ идей Амоса Коменскаго мы ви-
дѣли, что онъ не нашелъ мѣста разработкѣ числовыхъ пред-
ставленій въ начальномъ обученіи, и показали, что это можетъ
быть сдѣлано, если вмѣсто чиселъ взять количества и вмѣсто
счета ввести измѣренія. Песталоцци рѣшился ввести счисленія
въ начальный курсъ, упражняя учениковъ въ сосчитываніи,
ибо согласно съ его философскимъ обоснованіемъ числа, оно
получится какъ внутренняя переработка счета. Въ главѣ о
числахъ я подробнѣе остановлюсь на взглядахъ Песталоцци и
Канта на природу числа, а въ настоящее время я только ука-
зываю на фактъ, что счисленіе и вся' ариѳметика вошли въ
курсъ начальной школы, какъ искусство счисленія. Такова же
программа и Пет. Сем., хотя онъ, какъ впослѣдствіи г. Ла-
тышевъ, выдвигаетъ на первое мѣсто не число, а дѣйствіе.
Это обстоятельство однако мало измѣняетъ сущность обученія,
ибо для совершенія дѣйствій необходимо знать числа и потому
„изустное вычисленіе", „умственная наглядность числа", дол-
жны занимать видное мѣсто въ той и другой системѣ. Все это
удаляетъ методику начальнаго обученія отъ основныхъ идей
Амоса Коменскаго; и передъ нами здѣсь вопросъ: или признать
эти основныя методическія идеи неполными, недостаточными и
сдѣлать въ нихъ соотвѣтственныя пополненія; или признать,
что выбранный методъ обученія неправиленъ, и его необхо-
димо измѣнить въ духѣ Коменскаго. Этотъ вопросъ необхо-
димо разсмотрѣть здѣсь, ибо онъ, мнѣ кажется, не былъ чуждъ
П. С, но только въ другой формулировкѣ, а, кромѣ того, это
есть коренной методическій вопросъ, хотя и не затронутый
русской литературой, но который необходимо такъ или иначе
рѣшить, чтобы судить о достоинствахъ и недостаткахъ мето-
дическихъ пріемовъ.
Все дѣло въ томъ, что на этотъ именно вопросъ постоянно
наталкиваетъ насъ педагогическая практика и его имѣютъ въ
виду тѣ германскіе методисты, которые спорятъ о природѣ
числа, и русскіе методисты, говоря о значеніи изученія дѣй-
ствій, а не чиселъ. Вопросъ можно формулировать такъ: гдѣ
содержится математическая идея въ представленіи числа
или количества? Умѣнье счета, т.-е. быстраго сосчитыванія
произведеній, частныхъ, суммъ и разностей, сопровождается
ли умѣньемъ рѣшать задачи, т.-е. находить функціональныя
соотношенія данныхъ въ задачѣ величинъ? Есть ли эти двѣ
психическія способности однородны или одновременно сущест-

вуютъ, то ученіе счету есть въ то же время и ученіе матема-
тикѣ; но если они разнородны, то, уча одному, мы требуемъ
отъ дѣтей другого. Быть можетъ можно не доказывать, что
это двѣ разныхъ способности, и мы, заставляя дѣтей считать,
совершенно не развиваемъ способности разсуждать, наблюдать,
находить функціональныя соотношенія различныхъ величинъ.
Въ силу этого, будемъ ли мы ставить на первое мѣсто дѣй-
ствіе, или число, въ обоихъ случаяхъ остается въ сторонѣ,
безъ развитія и обработки опытъ и наглядность. Ученикъ, счи-
тая карандаши, перья, яблоки и т. п., не можетъ представить
себѣ соотношеніи между цѣнностью и количествомъ, между
объемомъ и вѣсомъ, между длиною пройденнаго пути и вре-
менемъ. Отсутствіе этихъ именно представленій и составляетъ
основной недостатокъ современнаго курса съ точки зрѣнія
методическихъ идей Коменскаго, и въ то же время съ точки
зрѣнія психическаго обоснованія искусства счисленія.
Чувствуя этотъ недостатокъ, г. Гурьевъ подробно оста-
навливается на всѣхъ выраженіяхъ, приводящихъ къ тому или
иному дѣйствію. Такъ напр., говоря о вычитаніи, онъ разби-
раетъ всевозможные случаи его словесной формулировки: „10
безъ 2—въ остаткѣ 8; вычтя 3 изъ 10 получимъ 7; число 7
двумя меньше 5; между 7 и 8 разность 1; 8 меньше 9 на 1 и
т. п. Г. Латышевъ считаетъ этотъ пріемъ недостаткомъ ме-
тода; онъ говоритъ, что авторъ, приводя и разбирая всѣ эти
примѣры подъ рядъ, не облекая ихъ въ форму задачъ, лишаетъ
дѣтей возможности самимъ натолкнуться на всѣ эти случаи и
усвоить ихъ путемъ наблюденія. Я же, съ своей стороны, ду-
маю, что въ той или иной формѣ эти выраженія не только
должны быть разсмотрѣны, но и изучены, потому что они
являются слѣдствіемъ функціональныхъ отношеній количествъ;
объ нихъ не только нужно сказать, но и дать примѣры, гдѣ
смыслъ этихъ выраженій даетъ способъ къ рѣшенію задачи.
„Практическая ариѳметика" Гурьева представляетъ собою
обширное руководство (болѣе 300 стр.), въ которомъ авторъ
старался предусмотрѣть всѣ, даже мелкіе случаи, старался пре-
дугадать всѣ затрудненія учащихся. Въ своей первой части онъ
даетъ очень много цѣнныхъ совѣтовъ учителю. Что касается
до общаго плана книги, то г. Гурьевъ думаетъ, что вся ариѳ-
метика заключается въ четырехъ дѣйствіяхъ: сложеніи, выче-
таніи, умноженіи и дѣленіе. Имъ предшествуетъ счисленіе или
нумерація.
Эти дѣйствія производятся надъ числами, которыя бываютъ
цѣлыя и дробныя. Какъ тѣ, такъ и другія раздѣляются еще на
отвлеченныя, или простыя, и конкретныя, или именованныя;

наконецъ послѣднія—на числа одного наименованій или числа
разнаго наименованія, или составныя. И здѣсь предѣлъ ариѳ-
метики: все прочее, что обыкновенно относятъ къ ней, не со-
ставляетъ особой теоріи, но есть приложеніе тѣхъ же самыхъ
правилъ и законовъ къ разнымъ потребностямъ жизни. Такъ
называемыя тройныя правила не требуютъ ни другихъ началъ,
ни другихъ операцій. Задачи этого рода не только рѣшаются,
но и должны рѣшаться помощью тѣхъ же основныхъ дѣйствій,
черезъ приведеніе данныхъ отношеній къ единицѣ, а не посред-
ствомъ пропорціи, которыя вовсѣ неумѣстны въ ариѳметикѣ.
На этомъ основаніи нужно начинать обученіе ариѳметикѣ
съ счисленія, но на перыхъ порахъ не изучать всего счисленія,
а ограничиться лишь счетомъ до 10 и изученіемъ обозначенія
чиселъ этого предѣла посредствомъ цифръ; потомъ перейти къ
сложенію и вычитанію съ числами этого предѣла, къ дѣленію
ихъ на части и сообщить понятіе о дробяхъ. Когда учащіеся
ознакомятся такимъ образомъ съ сущностью ариѳметики, тогда
такимъ же образомъ изучается ариѳметика до 100 и, наконецъ,
чиселъ любой величины, такъ что дальнѣйшія вычисленія отли-
чаются отъ предшествовавшихъ только своей сложностью.
Исходя изъ этого, г. Гурьевъ раздѣляетъ свой курсъ на 3 сте-
пени: 1) дѣйствія надъ числами отъ 1 —10; 2) отъ 1—100 и третья
надъ числами любой величины *).
§ 4. Методическія идеи Грубе.
Въ 1842 году вышла въ свѣтъ книга A. W. Grube: „Руко-
водство къ преподаванію ариѳметики въ низшей школѣ", осно-
ванное на эвристическомъ методѣ. Методическія идеи Груббе
получили популярность въ Германіи спустя 10 лѣтъ послѣ пер-
ваго изданія его книги, а въ 1860 году въ Россіи была издана
г. Паульсеномъ „Ариѳметика по способу Грубе", которая и
положила начало русской методической литературѣ по ариѳ-
метикѣ.
Такимъ образомъ, какъ я уже говорилъ выше, изложеніе
русской методики по ариѳметикѣ приходится начинать съ изло-
женія методическихъ идей Груббе; но чтобы вполнѣ выяснить
сущность этихъ идей, необходимо остановиться на двухъ во-
просахъ.
Первый изъ этихъ вопросовъ былъ поднятъ Штерномъ,
директоромъ семинаріи въ г. Баденѣ, который занимался у
*) Ч. II, стр. XLV заимствована изъ соч. Мукалова стр. 17.

Песталоцци отъ 1815 до 1817 года. Штернъ формулировалъ
его такъ:
„Сознаніе чувства истины и способность дѣлать заключенія
могутъ оказывать могущественное вліяніе на нравственное пове-
деніе человѣка. хотя сами по себѣ они не могутъ предохранять
его отъ ошибокъ и паденіи; дѣйствительно, пробужденіе увѣ-
ренности въ своихъ душевныхъ силахъ способствуетъ пріобрѣ-
тенію человѣкомъ нравственнаго облика, дѣлая его болѣе осто-
рожнымъ и предусмотрительнымъ въ своихъ рѣшеніяхъ и по-
могая ему избѣгать многихъ ошибокъ. Свободное пользованіе
умственными силами способствуетъ развитію свободной воли".
Эти мысли позднѣе были перепечатаны Дистервегомъ въ его
„Wegweiser", и съ тѣхъ поръ явились важнымъ методическимъ
элементомъ, на который стали указывать почти всѣ русскіе ме-
тодисты. Этотъ же элементъ важности ариѳметическаго знанія
для общаго нравственнаго развитія личности былъ поставленъ
и Груббе въ основу его методики.
Съ тѣхъ поръ этотъ отвлеченный нравственный принципъ
мы можемъ встрѣтить почти во всѣхъ русскихъ методикахъ,
такъ г. Белюстинъ говоритъ: „Всякій учебный предметъ, а слѣ-
довательно и ариѳметика, преслѣдуетъ 2 новыхъ цѣли. Первая
изъ нихъ—образовательная, она состоитъ въ развитіи способ-
ностей человѣка; вторая—практическая, имѣющая въ виду
знаніе и умѣніе, непосредственно приложенныя къ практиче-
ской жизни. Г. Гольденбергъ развиваетъ эту мысль такъ:
„Сознательное усвоеніе пріемовъ вычисленія, обдуманное при-
мѣненіе ариѳметическихъ дѣйствій къ рѣшенію задачъ, увѣ-
ренность въ средствахъ, которыя всегда безошибочно приво-
дятъ къ цѣли, должная оцѣнка этихъ средствъ и, наконецъ,
неизмѣнное къ нимъ довѣріе—все это, по нашему крайнему
разумѣнію, представляетъ драгоцѣнныя стороны обученія этой
счетной мудрости.—Къ тому же, нельзя не признать, что ум-
ственныя навыки, которые обученіе счисленію способно воспи-
тать въ дѣтяхъ, имѣютъ значеніе не только въ примѣненіи къ
тому простому матеріалу, который послужитъ почвой для раз-
витія этихъ навыковъ, сохраняютъ свою цѣнность и далеко за
чертой, замыкающей умѣніе производить ариѳметическія дѣй-
ствія и способность прилагать ихъ*.
Итакъ, обученіе ариѳметикѣ должно имѣть двойную задачу
и согласно этой двойной задачѣ оно должно быть расположено
такъ, чтобы ученики, обучаясь счету, пріобрѣтали нѣкоторые
навыки, необходимыя для нихъ въ нравственной и умственной
жизни. Какъ же достигнуть этого? Не касаясь вопроса о пси-
хологическомъ воспріятіи числа и дѣйствій надъ ними, посмо-

тримъ, который изъ этихъ элементовъ будетъ имѣть большее
образовательное значеніе, который будетъ лучше воплощать
обѣ цѣли обученія? Этотъ именно вопросъ былъ рѣшенъ Грубе
въ пользу чиселъ и впослѣдствіи послужитъ элементомъ для
критики системы и ея улучшенія. Грубе рѣшаетъ его такъ:
Преподаваніе не должно переходить отъ дѣйствія къ дѣйствію
надъ всѣми числами (какъ это дѣлается въ учебникахъ ариѳ-
метики), но въ предѣлахъ первой сотни, переходить отъ числа
къ числу и притомъ такъ, чтобы надъ каждымъ числомъ про-
изводились одни за другимъ всѣ дѣйствія, не исключая умноже-
нія, дѣленія и дѣйствій съ дробями. Не отдѣльное дѣйствіе, а
отдѣльное число, говоритъ онъ,должно стоятъ на первомъ планѣ
и обусловливать распредѣленіе матеріала; этимъ достигается
точное познаніе отдѣльнаго числа,создается какъ бы моногра-
фія числа. Всѣ дѣйствія должны вытекать сами собой изъ отчет-
ливаго наблюденія каждаго отдѣльнаго числа. Подъ отчетли-
вымъ же наблюденіямъ слѣдуетъ понимать ясное сознаніе со-
ставныхъ частей и самого построенія числа.
Сопоставляя въ своемъ „Введеніи" изученіе чиселъ съ изу-
ченіемъ растеній, Груббе говоритъ, что было бы настолько же
неосновательно изучать числа съ точки зрѣнія отдѣльныхъ
дѣйствій, которыя могутъ быть надъ ними совершаемы, насколь-
ко неправильно знакомить дѣтей сперва только съ корнемъ
растенія, затѣмъ со стеблемъ, листьями и т. д.
Изученіе предметовъ, продолжаетъ онъ, должно быть рас-
положено не соотвѣтственно отдѣльнымъ признакамъ, которые
являются общими для цѣлой группы предметовъ, а соотвѣтствен-
но совокупности всѣхъ признаковъ, которые присущи каждому
отдѣльному предмету. Въ примѣненіи къ обученію счисленію,
это должно значить, что ознакомленіе съ числами въ ихъ есте-
ственной послѣдовательности должно предшествовать изученію
дѣйствій надъ ними:
Чтобы яснѣе понять основную идею Грубе и его послѣдо-
вателей, необходимо разсмотрѣть, какъ они воплощали ее въ
преподаваніи. Вотъ страничка изъ „Методики" Евтушевскаго,
рисующая эту сторону дѣла.
„Познаніе числа тогда только будетъ происходить въ цѣль-
ности, когда оно познается разомъ съ обѣихъ сторонъ, то-есть
со стороны его отвлеченнаго отношенія къ другимъ числамъ и
со стороны его приложенія къ практическимъ вопросамъ жизни.
Кто будетъ упражняться только въ первомъ, тотъ будетъ хо-
рошо совокуплять числа во всѣхъ указанныхъ ему дѣйствіяхъ,
но не будетъ умѣть вычислять. Напримѣръ, когда ученикъ
познаетъ число 6 въ его отвлеченныхъ комбинаціяхъ, каковы

6X1 или 3X2 и т. п., то немедленно нужно ввести это число
съ тѣми же комбинаціями и въ практическое приложеніе,
имѣя въ виду, безъ сомнѣнія, чтобы содержаніе практическихъ
вопросовъ не выходило изъ умственнаго кругозора ученика;
напр., если одна булка стоитъ 2 коп., то сколько стоютъ 3
такихъ булки? и т. п. При этомъ слѣдуетъ замѣтить, что
всякое прикладное элементарное вычисленіе естъ вычисленіе съ
такъ называемыми именованными числами, потому что число
всегда разсматривается въ связи съ извѣстными предметами, бу-
дутъ ли то черточки, палочки, или лоты и футы. И чтобы
дитя могло составить абстрактное понятіе о числѣ отвлечен-
номъ, должно мѣнять почаще наименованіе чиселъ; входящихъ
въ упражненія. Если же давать ученику только примѣры, въ
которыхъ обыкновенно употребляются выраженія: прибавитъ,
отнять, взять столько-то разъ, уменьшить во столько-то разъ
ит. п., то тутъ нѣтъ еще практическаго приложенія, такъ-
какъ дѣйствіе, которое нужно произвести надъ числами, прямо
указывается. Важно, чтобы ученикъ самъ открылъ прямую связь
между содержаніемъ практическаго вопроса и извѣстнымъ ему
соотношеніемъ чиселъ, а потому прикладное вычисленіе должно
совершаться на рѣшеніи практическихъ задачъ. Такимъ обра-
зомъ въ чисто практическомъ вопросѣ: „если одна булка сто-
итъ 2 коп., то сколько стоютъ 3 такихъ булки?" ученикъ самъ
собою долженъ дойти до обобщенія: ^если я булокъ возьму втрое
болѣе, то долженъ и плату за нихъ увеличить втрое", тогда въ
умѣ его и выступаетъ связь 2 коп. X 3 какъ средство рѣшенія
задачи, а зная, что 2X3 = 6, онъ рѣшаетъ задачу. Если же
ученикъ касательно 6 дошелъ до того, что узнаетъ его отвле-
ченное отношеніе въ приложеніи на практикѣ и пользуется
имъ для частныхъ вопросовъ, то онъ это 6 изучилъ всесто-
ронне и основательно. Такимъ образомъ, ученикъ самъ собою
выводитъ понятіе объ изучаемомъ числѣ изъ комбинаціи его
отвлеченныхъ отношеній къ другимъ числамъ и практическихъ
его приложеній. Не слѣдуетъ думать, что если при изученіи,
напримѣръ, числа 6 входятъ задачи на такъ называемое умно-
женіе и дѣленіе, то что это трудно для маленькихъ дѣтей.
Непосредственная связь отвлеченнаго и прикладнаго вычисле-
нія облегчаетъ ребенку самый процессъ вычисленія. Если на-
ходящіяся передъ ученикомъ 6 палочекъ разложить на 3 кучки,
по 2 палочки въ каждой, то ученикъ легко можетъ въ этихъ
палочкахъ подразумѣвать копейки, которыя покупатель долженъ
заплатить за булки. А видя наглядно, какъ изъ двоекъ со-
ставляется шесть, онъ легко найдетъ сродство этого отношенія
чиселъ съ цѣною всѣхъ купленныхъ булокъ и узнаетъ пріемъ

вычисленія этой цѣны безъ всякаго правила умноженія. Грубе
прибавляетъ, что тѣ, которые отдѣляютъ задачи практическія,
по ихъ особенному характеру, отъ упражненій съ числомъ въ
отвлеченномъ видѣ, не знаютъ сущности прикладнаго вычисле-
нія. Число въ задачѣ всегда остается при своемъ существен-
номъ значеніи".
Эту яркую картину метода Грубе я разберу позднѣе, когда
будетъ рѣчь о критикѣ этой системы.
§ 5. Послѣдователи Грубе въ Россіи.
Первымъ проводникомъ методическихъ идей Грубе въ Рос-
сіи явился г. Паульсенъ, который въ 1860 году издалъ „Ариѳ-
метику по способу Грубе". Во введеніи къ 4-му изданію своего
руководства г. Паульсенъ даетъ общій очеркъ развитія мето-
дическихъ идей въ Германіи, гдѣ характеризуетъ между про-
чимъ два метода: методъ до Песталоцци былъ односторонне-
объективный; методъ Песталоцци—односторонне-субъективный;
тогда какъ методъ Грубе объединяетъ оба эти метода и является,
по мнѣнію г. Паульсена, истиннымъ методомъ, въ которомъ
„преподаваніе строго сообразуется какъ съ сущностью сообщаемой
науки, такъ и съ дѣтской природой, и потому необходимо разви-
вать научныя знанія также последовательно, какъ развиваются
умственныя способности ребенка". Для этого необходимо, чтобы
числа изучались каждое въ отдѣльности. но съ отношеніями чи-
селъ и результатами дѣйствій надъ ними ученики знакомятся по-
средствомъ практическихъ вычисленій, облеченныхъ въ форму
задачъ. Дѣйствіе, которое надо сдѣлать для рѣшенія задачи, ука-
зывается самой постановкой вопроса, а потому ученики ясно ви-
дятъ смыслъ дѣйствія и пріучаются ихъ различать. Другими сло-
вами г. Паульсенъ въ основу своей методики положилъ двойной
принципъ: изученіе чиселъ и изученіе соотношеніи между вели-
чинами, связавъ оба эти принципа въ одно цѣлое. Эта живая
постановка вопроса дала толчекъ къ развитію методическаго
мышленія и довольно быстро образовала обширную литературу
по этому вопросу и вызвала много обстоятельныхъ сочиненій,
среди которыхъ первое мѣсто принадлежитъ г. Евтушевскому.
Хотя г. Паульсенъ и озаглавливалъ свою методику „Ариѳме-
тика по способу нѣмецкаго педагога Грубе", однако это не
есть подражаніе или переводъ руководства; это самостоятельно
обработанный курсъ, только прикрытый именемъ нѣмецкаго
педагога. Уже въ первомъ изданіи г. Паульсенъ ввелъ су-
щественно новое: онъ ввелъ мѣры—сажень и аршинъ при изу-

ченіи числа 6, сравниваетъ новыя изучаемыя числа со всѣми
предшествующими и группируетъ упражненія по отдѣльнымъ
дѣйствіямъ, ввелъ изученіе долей, а главное: въ то время какъ
Грубе обращаетъ большее вниманіе на числа отвлеченныя,
Паульсенъ настойчиво проводитъ ихъ конкретность. Въ 12-мъ
изданіи своего руководства онъ вводитъ фигурныя числа почти
такъ же, какъ это рекомендуетъ г. Лай. Такимъ образомъ въ
самосознаніе общества проникла идея Грубе о монографиче-
скомъ изученіи чиселъ, которая и получила дальнѣйшее разви-
тіе и обработку. Изъ лицъ, предпринявшихъ эту обработку, наи-
болѣе популярнымъ явился г. Евтушевскій, но кромѣ его слѣ-
дуетъ упомянуть еще о г. Нагорскомъ, который предложилъ
для первыхъ 100 чиселъ рядъ тожественно однообразныхъ и
утомительныхъ упражненій по одной и той же формѣ. Онъ
начинаетъ изученіе числа съ практическихъ вычисленій, но
потомъ быстро переходитъ къ составленію таблицъ результа-
товъ дѣйствій надъ даннымъ числомъ, при чемъ кромѣ цѣлыхъ
соотношеніи, вводитъ и дробныя.
Однако ни книга г. Паульсена, несмотря на ея распро-
страненность, ни методика г. Нагорскаго не удовлетворили
педагогическихъ запросовъ учителей. Новую идею методики
суждено было осуществить въ Россіи г. Евтушевскому, кото-
раго по справедливости можно считать отцомъ методики ариѳме-
тики въ Россіи.
Вотъ что говоритъ г. Гольденбергъ въ своей рецензіи на
книгу г. Евтушевскаго: *) „Быстрое распространеніе книги,
назначенной исключительно для преподавателей и для старшихъ
классовъ спеціальныхъ и очень немногочисленныхъ учебныхъ
заведеній, свидѣтельствуетъ, что книга эта удовлетворила на-
сущной потребности, а стало быть имѣла и имѣетъ большое
вліяніе на преподаваніе... Нѣкоторое время, все высказанное
г. Евтушевскимъ считалось безусловно истиннымъ, и многія
мѣста въ его книгѣ приводились въ числѣ аргументовъ точно
также, какъ приводятъ изрѣченія Амоса Коменскаго, Дистер-
вега и другихъ педагоговъ".
Такое выдающееся значеніе сочиненія заставляетъ насъ
подробнѣе остановиться на самомъ сочиненіи.
Василій Адріановичъ Евтушевскій (1836 — 88) окончилъ
курсъ въ С.-П.-Б. университетъ*, долго былъ руководителемъ
по математикѣ на педагогическихъ курсахъ при главномъ
управленіи военно - учебныхъ заведеній. Устроилъ педагоги-
ческій музей въ Соляномъ городкѣ, былъ однимъ изъ главныхъ
*) Учебно-воспитательная библіотека Москва, 1876 г. т. I, ч. 2.

дѣятелей на Аларчинскихъ женскихъ курсахъ, послужившихъ
первымъ шагомъ къ устройству высшихъ женскихъ курсовъ;
участвовалъ также въ организаціи андреевскихъ курсовъ для
приготовленія народныхъ учителей; руководилъ съѣздами учи-
телей и учительницъ, а также пропагандировалъ „семейныя
школы", въ которыхъ соединялись дѣти нѣсколькихъ семей.
Съ 1877 г. онъ былъ инспекторомъ по учебной части во всѣхъ
пріютахъ вѣдомства совѣта дѣтскихъ пріютовъ, гдѣ обобщилъ
пріемы преподаванія и обезпечилъ ихъ комплектомъ хорошо
подготовленныхъ учительницъ.
Въ 1872 году онъ издалъ „Методику ариѳметики. Пособіе
для родителей, учителей учительскихъ семинарій" и въ то же
время „Руководство для учителей и учительницъ къ препо-
даванію начальной ариѳметики въ народныхъ школахъ". Въ
послѣднемъ онъ нѣсколько сократилъ тотъ матеріалъ, который
съ большей полнотой и обстоятельностію изложенъ въ первомъ.
Сочиненіе распадается на слѣдующіе отдѣлы: введеніе; элемен-
тарный курсъ цѣлыхъ чиселъ; элементарный курсъ простыхъ
дробей, и систематическій курсъ ариѳметики. Все вмѣстѣ со-
ставляетъ около 330 стр.
Несмотря на всѣ недочеты, указанные г. Гольденбергомъ
въ вышеприведенной рецензіи, сочиненіе Евтушевскаго можно
назвать выдающимся по полнотѣ обсужденія методическихъ
вопросовъ. Здѣсь на первую очередь слѣдуетъ поставить „Вве-
деніе", которое дало учителямъ возможность разобраться въ
методическихъ вопросахъ и составить о многомъ свое личное
мнѣніе. Введеніе содержитъ въ себѣ слѣдующее: I) Задача ме-
тодики учебнаго предмета. Образованіе представленія. Нагляд-
ность при обученіи дѣтей. Вниманіе активное и пассивное.
Развитіе самостоятельности ученика. Эвристическій методъ
обученія. Ассоціаціи представленій. Образованіе понятій. Раз-
витіе памяти. Систематичность обученія. Память активная и
пассивная. Катихитическій пріемъ преподаванія. Значеніе и
способъ повтореній при обученіи дѣтей. Развитіе припоминанія.
Припоминаніе сознательное и механическое. Способъ развитія
способности припоминанія.
Изъ этого перечня матеріала мы видимъ, что здѣсь затро-
нуты наиболѣе важные методическіе вопросы. Пусть многіе
изложены недостаточно или даже ошибочно, но важно то, что
они вошли въ самосознаніе сельскаго и городского народнаго
учителя, возбудили къ себѣ интересъ и дали возможность къ
ихъ обсужденію. Одно включеніе этихъ вопросовъ въ методику
составляетъ крупную заслугу автора.
II. Значеніе ариѳметики какъ учебнаго предмета. Доступ-

ность ариѳметики понятію дѣтей. Математическія истины. Зна-
ченіе и пріемъ обобщеній при обученіи ариѳметики. Механизмъ
математическій. Элементарный и систематическій курсъ ариѳ-
метики. Пріемы вывода и доказательства математическихъ
истинъ. Вообще объ обученіи дѣтей.
III. Очеркъ развитія методики ариѳметики. Три періода
этого развитія. Періодъ односторонне объективный. Періодъ
односторонне субъективный. Методическія положенія Песта-
лоцци и его послѣдователей. Кранке. Недостатки методики въ
этомъ періодѣ. Третій періодъ—раціональное развитіе мето-
дики. Шольцъ. Методическія положенія и планъ курса Дистер-
вега. Недостатки его методики. Подробное изложеніе курса
Генчеля. Достоинства и недостатки его сочиненія. Практиче-
ская ариѳметика Гурьева. Подробное изложеніе содержанія
сочиненія Грубе и сравненіе съ нимъ книги Паульсена „Ариѳ-
метика по способу нѣмецкаго педагога Грубе". Достоинства и
недостатки методики Грубе.
Въ главѣ VT и послѣдней авторъ даетъ главнѣйшіе выво-
ды изъ разсмотрѣннаго матеріала и дополняетъ ихъ необходи-
мыми практическими поясненіями. Эти выводы слѣдующіе:
1) Курсъ ариѳметики въ общеобразовательномъ учебномъ
заведеніи слѣдуетъ подраздѣлить на два курса: элементарный
или приготовительный и систематическій.
2) Расположеніе учебнаго матеріала должно быть концен-
трическое.
3) Обученіе дѣтей ариѳметикѣ должно начинаться съ по-
дробнаго изученія ими чиселъ первой сотни.
4) Въ началѣ элементарнаго курса ариѳметики слѣдуетъ
давать предпочтеніе вычисленію устному, а въ концѣ пись-
менному.
5) Первоначальное обученіе должно основываться на на-
глядности.
6) Способъ преподаванія долженъ быть катихитическій.
7) Курсъ ариѳметики долженъ приходиться при значитель-
номъ участіи практическихъ задачъ.
8) При прохожденіи элементарнаго курса у дѣтей долженъ
образоваться навыкъ въ быстромъ вычисленій.
Кромѣ того во введеніи указаны необходимыя наглядныя
пособія. Нѣкоторыя изъ основныхъ положеній автора я раз-
беру впослѣдствіи, а пока основной методъ можно себѣ пред-
ставить такъ.
Г. Евтушевскій даетъ ученикамъ наглядную таблицу разло-
женія числа на слагаемыя (составъ числа изъ единицъ, двоекъ,
троекъ и т. д.).

При этомъ, пользуясь наглядными пособіями, онъ каждое
слагаемое выражаетъ группой предметовъ, помѣщенныхъ на
нѣкоторомъ разстояніи другъ отъ друга. Такъ какъ эти пред-
меты въ счетной системѣ совершенно безразличны, то ими мо-
гутъ быть и группы учениковъ и группы счетныхъ косточекъ
и группы карандашей, перьевъ и т. п. Такимъ образомъ со-
ставъ числа выражается не цифрами, а предметами, и это даетъ
возможность съ одной стороны ассоціировать число съ нѣкото-
рой группой конкретныхъ предметовъ, а съ другой ввести счетъ
ранѣе знакомства съ изображеніемъ числа цифрой.
По этой табличкѣ ученики должны опредѣлить, сколько
разъ каждое изъ меньшихъ чиселъ содержится въ данномъ,
сколько останется отъ даннаго, если отнять отъ него меньшее
число одинъ, два, три и т. д. раза. При такомъ изученіи дѣти
должны видѣть результатъ каждаго изъ дѣйствій, производи-
мыхъ надъ даннымъ числомъ. Эту таблицу они должны настоль-
ко усвоить, чтобы давать требуемые отвѣты, не видя предъ
собой наглядныхъ пособій. Послѣ того какъ они научатся про-
изводить дѣйствія надъ числами, они приступаютъ къ рѣшенію
задачъ, въ которыхъ усвоенныя отношенія чиселъ прилагаются
къ функціональной зависимости величинъ и количеству вводи-
мыхъ въ задачу.
Итакъ, г. Евтушевскій думалъ, что ребенокъ считая отдѣль-
ные, конкретные предметы, располагая ихъ на группы слага-
емыхъ, считая эти группы, мало-по-малу самъ доходитъ до идеи
отвлеченнаго числа, которое и укладывается въ его самосозна-
ніи какъ состоящее изъ соотвѣтственныхъ группъ. Пріобрѣтая
эту идею, онъ уже легко приложитъ ее къ рѣшенію практи-
ческихъ задачъ, гдѣ самый вопросъ задачи укажетъ, какимъ
числовымъ представленіямъ слѣдуетъ воспользоваться для ея
рѣшенія. Такъ напр. положимъ, что ученику будетъ предло-
жена такая задача: „Куплено 3 яблока по 3 копейки за ка-
ждое. Сколько слѣдуетъ дать сдачи съ гривенника?" Для рѣ-
шенія этой задачи ученикъ представитъ себѣ группу въ 10
предметовъ, разбитую на слѣдующія слагаемыя
'Ф Φ Φ Φ Φ Φ СО Φ Φ (Φ
Каждую группу трехъ косточекъ онъ представитъ какъ ябло-
ки: куплено 3 яблока и у насъ есть 3 группы; каждое ябло-
ко стоитъ 3 копейки — въ каждой группѣ 3 косточки, зна-
читъ каждая косточка есть одна копейка; но у насъ 10 ко-
пеекъ; изъ нихъ мы должны заплатить за яблоки все то, что
содержится въ 3-хъ группахъ, значитъ сдача будетъ остатокъ
отъ этихъ группъ, т. - е. одна копейка. Это - то разсужденіе

именно и оказалось неправильнымъ въ школьной практикѣ и
послужило источникомъ критики для самой системы. Критика
ея въ высшей степени важна, и я ее разсмотрю, но предвари-
тельно нужно указать заслугу г. Евтушевскаго, которая и
ставитъ его очень высоко среди русскихъ методистовъ. За-
слуга его состоитъ въ томъ, что онъ не только написалъ мето-
дику, но и детально ее обработалъ, составилъ сборникъ задачъ,
указавъ, какъ именно онъ считаетъ нужнымъ проводить на-
чальное обученіе. Въ силу этого каждый учитель получилъ
возможность какъ бы изучить дѣтскую природу по методу
г. Евтушевскаго и ясно отмѣтить для себя, въ чемъ эта при-
рода совпадаетъ съ системой и въ чемъ система противорѣ-
читъ природѣ. Изъ опытовъ оказалось, что наилучшимъ спо-
собомъ обученія является дѣйствительно изученіе чиселъ по-
слѣдовательно одного за другимъ; какъ далеко должно итти
это изученіе,—этотъ вопросъ остался открытымъ, да онъ и не
такъ важенъ. Послѣдующіе методисты внесли въ него очень
важныя нововведенія и улучшенія; но этимъ они лишь улуч-
шили систему Евтушевскаго, а не измѣнили ее. Кромѣ того,
оказалось, что задачи съ маленькими числами, дающія возмо-
жность знакомить дѣтей со всѣми дѣйствіями, являются очень
подходящимъ матеріаломъ для упражненій и имѣютъ очень
цѣнное значеніе сами по себѣ, безъ отношенія къ способу изу-
ченія чиселъ. Типъ этихъ задачъ, ихъ основная идея и былъ
данъ г, Евтушевскимъ, и они остались и по сіе время почти
въ такомъ же видѣ. Наконецъ, самый способъ изученія чи-
селъ въ своей основѣ сохранился и у другихъ методистовъ, и
споръ больше шелъ о подробностяхъ, чѣмъ о сущности осно-
вного пріема. Правда, что все это было заимствовано, но за-
имствована только идея, а ея практическое воплощеніе, ея по-
пуляризація принадлежитъ всецѣло г. Евтушевскому.
§ 6. Критика системы Груббе.
Надо замѣтить, что по свойству русской натуры, мы мало
цѣнимъ отечественныхъ дѣятелей, которые не получили из-
вѣстности за-границей, а потому и нѣкоторые критики системы
напали на г. Евтушевскаго и на г. Грубе. Такъ г. Гольд-
шберъ во введеніи къ своей методикѣ пишетъ:
„Грубе и его послѣдователи утверждаютъ, что всѣ числа
первой сотни подлежатъ непосредственному созерцанію и до-
ступны ясному представленію. Если подъ словомъ число разу-
мѣть отвлеченное число, то понятіе, обозначаемое этимъ сло-

вомъ не подлежитъ, какъ и всякое понятіе, ни созерцанію, ни
представленію. Грубе выражается въ этомъ случаѣ не вполнѣ
точно, желая, вѣроятно, сказать, что группа предметовъ, число
которыхъ не превосходитъ 100, отчетливо представляется на-
шему уму относительно своей численности. Но дѣло въ томъ,
что такое утвержденіе совершенно произвольно и стоитъ въ
полномъ противорѣчіи съ выводами современной психологіи.
Дѣйствительно, если мы можемъ ясно представить себѣ группу,
составленную изъ предметовъ въ небольшомъ числѣ, то не мо-
жемъ сдѣлать этого въ тѣхъ случаяхъ, когда число предме-
товъ нѣсколько значительно. Такъ, напримѣръ, мы очень хо-
рошо понимаемъ, что слѣдуетъ разумѣть подъ рядомъ, соста-
вленномъ изъ 36 кубиковъ, но не въ состояніи представить
себѣ этого ряда по отношенію къ его численности. Если мы
разобьемъ группу въ 36 кубиковъ на двѣ равныя группы, то
ясно представимъ себѣ обѣ эти группы, но не будемъ въ со-
стояніи представить себѣ ряда кубиковъ, составляющихъ ка-
ждую изъ этихъ группъ; если же мы разложимъ всѣ кубики
попарно, то ясно представимъ себѣ каждую изъ отдѣльныхъ
группъ, но не будемъ въ состояніи ясно представить себѣ ряда
этихъ группъ. Если бы подобный рядъ находился передъ на-
шими глазами, то и тогда мы могли бы опредѣлить численный
составъ его только путемъ счета,, а не путемъ созерцанія. Три-
дцать шесть означаетъ качество общее всѣмъ группамъ изъ
36 недѣлимыхъ, качество, которое будучи передъ нашими гла-
зами, не возбуждаетъ въ насъ опредѣленнаго стремленія и ко-
торое могъ бы чувствовать умъ, способный держать передъ
собою одновременно 36 отдѣльныхъ предметовъ.
Никакое изученіе чиселъ не можетъ увеличить емкости
нашего ума и развить въ немъ способность непосредственно
воспринимать и отчетливо представлять нѣсколько значитель-
ную сумму предметовъ относительно ея численнаго состава,
т.-е. способность представлять себѣ численный составъ группъ
на столько же опредѣленно, на сколько мы въ состоянія сдѣ-
лать это относительно, напримѣръ, видѣннаго нами зданія, зна-
комой мѣстности и т. д. Грубе и его сторонники требуютъ
слѣдовательно невозможнаго11. *)
Это разсужденіе почтеннаго методиста имѣетъ очень много
цѣннаго, но окончательное заключеніе его не совсѣмъ спра-
ведливо, ибо если мы не въ состояніи представить себѣ чи-
сленный составъ группы въ 36, то это не значитъ, что мы не
сможемъ этого сдѣлать относительно группы въ 5, 6 или 7
*) Гольденбергъ. Методика начальной ариѳметики, стр. V.

предметовъ. А потому быть можетъ, что сторонники Груббе
взяли только очень большой масштабъ—число 100, имъ слѣдо-
вало бы уменьшить этотъ предѣлъ, положимъ до 20. Здѣсь воз-
раженіе не по существу, а только относительно нѣкоторой
подробности. Кромѣ того г. Гольдшбергъ заходитъ въ область
понятій о числѣ, относительно которыхъ онъ самъ говоритъ
дальше, что это понятіе просто и вполнѣ доступно дѣтскому
уму. До какихъ же числовыхъ нормъ доходитъ эта простота?
Что она значитъ, если умъ человѣка не въ состояніи предста-
вить себѣ число? — На эти вопросы авторъ не даетъ отвѣта,
но установляетъ общія основанія рекомендуемой имъ системы
обученія счету, о которыхъ я скажу нѣсколько ниже. Г. Ла-
тышевъ нападаетъ на самого Евтушевскаго, и разбирая его
методикуг, говоритъ: „Цѣль занятій перваго времени обученія—
ознакомить со всѣмъ предметомъ практически, заставить уча-
щагося обратить вниманіе на то, что они дѣлаютъ съ числами
безсознательно и высказать сознанное; если ученикъ будетъ
отчетливо понимать каждое упражненіе въ отдѣльности. то
можетъ потомъ сознательно обобщить пройденное, пойметъ тео-
рію предмета и, работая такимъ образомъ, будетъ пріучаться
правильно дѣлать выводы, т.-е. будетъ привыкать къ правиль-
ной умственной работѣ. Но, чтобы для ученика въ каждомъ
отдѣльномъ случаѣ было ясно, какое вычисленіе дѣлается и
какая его цѣль, весьма важно, чтобы въ даваемыхъ примѣрахъ
дѣйствія производились надъ именованными числами, или надъ
числами, относящимися къ какимъ нибудь предметамъ, но не
отвлеченными: только тогда можно разсчитывать, что смыслъ
дѣлаемаго вычисленія будетъ понятенъ ученику и вычисленіе
будетъ его интересовать. Надо помнить, что дѣти никогда не
думаютъ отвлеченно, потому что почти не упражнялись въ этомъ;
а такъ какъ они еще не привыкли къ отвлеченнымъ соображе-
ніямъ, то мало интересуются ими, тѣмъ болѣе, что подобныя
упражненія требуютъ отъ нихъ большей сосредоточенности, а
они не привыкли къ ней и все окружающее легко ихъ развле-
каетъ. Ребенокъ начинаетъ интересоваться отвлеченными ариѳ-
метическими вычисленіями тогда, когда въ состояніи производить
ихъ довольно легко и чувствуетъ, что можетъ дѣлать новую ра-
боту, т.-е. сознаетъ свои умственные успѣхи; это-то сознаніе
и побуждаетъ его къ дальнѣйшей работѣ и составляетъ причину
охоты къ занятіямъ".*) На этомъ основаніи г. Латышевъ счи-
таетъ необходимымъ знакомить учащихся съ отношеніями чиселъ
на примѣрахъ съ именованными или съ конкретными числами;
·) Латышевъ. „Руководство къ преподаванію ариѳметики, стр. 71.

отвлеченныя же вычисленія должны даваться какъ выводы изъ
предыдущихъ вычисленій, т.-е. умѣніе отвлеченно вычислять
должно быть результатомъ предшествующихъ упражненій съ
конкретными числами. Кромѣ того, по мнѣнію г. Латышева
система чиселъ г. Евтушевскаго страдаетъ и другими недостат-
ками. За „основное начало изученія каждаго числа" онъ прини-
маетъ разложеніе числа на слагаемыя, такъ какъ думаетъ, что
всѣ ариѳметическія дѣйствія могутъ быть замѣнены однимъ дѣй-
ствіемъ—сложеніемъ. Этотъ взглядъ г. Латышевъ считаетъ оши-
бочнымъ теоретически, но и педагогически по его мнѣнію онъ
приводитъ къ ошибкѣ. Требуя отъ учениковъ заучиванія таб-
лицы разложенія числа на слагаемыя и требуя, чтобы дѣти по
этой таблицѣ находили результаты всѣхъ 4 дѣйствій надъ взя-
тымъ числомъ въ надеждѣ, что всѣ дѣйствія явятся въ глазахъ
учениковъ „какъ упрощеніе одного основного дѣйствія", этимъ
самымъ г. Евтушевскій заставляетъ учениковъ останавливаться
на обобщеній, прежде чѣмъ они усвоятъ чистые случаи, т.-е.
каждое дѣйствіе въ отдѣльности, другими словами, способ-
ствуетъ смѣшенію всѣхъ представленій о дѣйствіяхъ; этимъ
самымъ, вмѣсто того, чтобы обратить вниманіе учениковъ на
то, что они знали прежде и довести до сознательнаго отно-
шенія къ извѣстному (по мнѣнію г. Латышева ученики уже
изъ предыдущей жизни имѣютъ понятія о дѣйствіяхъ) г. Евту-
шевскій заставляетъ дѣтей учить искусственно придуманныя
таблички, о которыхъ прежде ученикъ, разумѣется, не имѣлъ
никакого понятія. Если въ школѣ прежде всего обратить вни-
маніе на окружающее и на то, что имъ уже извѣстно, и за-
ставить сознательно отнестись ко всему этому, то мысль уча-
щихся сильно возбуждается: они открываютъ новый смыслъ
въ томъ, къ чему уже стали относиться невнимательно, что
считали извѣстнымъ; это возбуждаетъ интересъ учащихся и
сразу ставитъ ихъ въ правильныя отношенія къ обученію.
Если же занятія въ школѣ начинаются съ искусственно при-
думанныхъ упражненій, совершенно чуждыхъ прежде дѣтямъ,
то учащимся всегда невольно кажется, что въ школѣ учатъ
чему то особенному, существующему только въ школѣ и по-
тому уже малопонятному. При такомъ отношеніи ученики сразу
становятся въ неправильныя отношенія къ учебнымъ предме-
тамъ и гораздо больше затрудняются, чѣмъ затруднялись бы
при другихъ условіяхъ. Чѣмъ искусственнѣе употребляемыя
пріемы, тѣмъ сильнѣе можетъ обнаружиться такая неправиль-
ность.
Чтобы пояснить мысль г. Латышева, я возьму слѣдующее
положеніе г. Евтушевскаго: „Изучить число, говоритъ онъ,

значитъ настолько овладѣть имъ, чтобы во всякомъ данномъ
случаѣ, при всякомъ вычисленіи, можно было пользоваться
этимъ числомъ свободно и сознательно". Если мы возьмемъ
теперь вышеприведенный примѣръ: сколько стоятъ 3 булки,
если каждая стоитъ 2 коп.?, то по мнѣнію Евтушевскаго уче-
никъ, свободно овладѣвшій числомъ, сразу скажетъ, что для
рѣшенія задачи надо 2×3. Но, ясно, что это его заключеніе
совершенно не вытекаетъ ни изъ состава числа 6, ни изъ спо-
соба его полученія, какъ счетъ 6 кубиковъ, черточекъ, паль-
цевъ и т. п. То обстоятельство, что 6 разбивается на 3 группы
по 2, также ничего не дастъ для уясненія рѣшенія задачи.
Ученикъ это рѣшеніе долженъ добыть со стороны, изъ жизни,
и принести въ школу. Онъ долженъ гдѣ-то узнать, что стои-
мость товара пропорціонально его количеству, и это свое зна-
ніе долженъ здѣсь приложить. Въ этомъ состоитъ главный не-
достатокъ всѣхъ счетныхъ системъ, ибо ни одна изъ нихъ не
разбираетъ функціональной зависимости данныхъ въ задачѣ
величинъ, а между тѣмъ эта зависимость и составляетъ именно
то, что дѣлаетъ задачу трудной. Трудно не сосчитать, а опре-
дѣлить, какія дѣйствія мы должны произвести надъ данными
числами.
Работа, предлагаемая г. Евтушевскимъ при изученіи числа,
благодаря употребляемымъ имъ табличкамъ разложенія и изу-
ченію состава числа на отвлеченныхъ примѣрахъ, очень отвле-
чена, а потому утомительна и суха.—Когда ученики пройдутъ
нѣсколько чиселъ (напр., дойдутъ до 20), то у нихъ должны со-
храниться представленія табличнаго разложенія на слагаемыя
каждаго изъ 20 чиселъ; а такъ какъ всѣ дѣйствія выводятся
изъ сложенія, г. Евтушевскій не даетъ ученикамъ никакихъ
пріемовъ вычисленій, то, въ случаѣ забвенія таблички, ребе-
нокъ не имѣетъ возможности найти результатъ требуемаго
дѣйствія, если только самъ не изобрѣлъ какихъ нибудь пріе-
мовъ вычисленій. На практикѣ, конечно, оказывается, что не
только отчетливо представлять, но даже и запомнить таблички
разложенія на слагаемыя даже и 20 чиселъ нѣтъ возможно-
сти. — Но самъ г. Евтушевскій, оканчивая описаніе упра-
жненій съ первыми 20 числами, говоритъ, что результатомъ
занятій должно быть знакомство „съ главнѣйшими основными
пріемами вычисленій", хотя при описаніи самихъ упражненій
не дѣлаетъ никакихъ указаній на то, какъ указать эти пріемы
ученикамъ, и несмотря на то, что ознакомленіе съ пріемами
вычисленій совершенно противорѣчило бы значенію таблицъ
разложенія чиселъ на слагаемыя.—Но, употребляя таблички
разложенія чиселъ на слагаемыя, Евтушевскій легко могъ до-

стигнуть установленія простоты и ясности системы упражне-
ній, одинаково продѣлываемыхъ надъ каждымъ числомъ, а по-
тому его система легко можетъ быть усвоена каждымъ начи-
нающимъ преподавателемъ, что и было одной изъ причинъ бы-
страго распространенія книги г. Евтушевскаго въ начальныхъ
школахъ; книги тѣмъ болѣе удачной для употребленія, что всѣ
упражненія надъ каждымъ числомъ въ отдѣльности описываются
въ ней довольно подробно. Нѣтъ сомнѣнія, что отчетливость
каждаго урока и строгость системы упражненій играютъ очень
важную роль въ преподаваніи; необходимо даже, чтобы самъ
ученикъ всегда сознавалъ, что сдѣлалъ на урокѣ, также и за
все время занятій, такъ какъ только при этомъ условіи мысль
его будетъ всегда ясна и сознаніе своей работы будетъ удов-
летворять его стремленіе къ дѣятельности,его потребности въ
сравненіи своей силы; но всякая система, какъ бы она ни была
ясна, можетъ быть хороша только тогда, если она естественна,
соотвѣтствуетъ содержанію дальнѣйшихъ занятій и цѣлямъ
школьной работы—обученію правильной умственной работѣ.
Система упражненій съ первыми 20-ю числами, предлагаемая
г. Евтушевскимъ, мало подготовляетъ къ дальнѣйшимъ заня-
тіямъ ариѳметикой, потому что не помогаетъ различенію дѣй-
ствій (которое достигается только при помощи задачъ, сопро-
вождающихъ изученіе отдѣльныхъ чиселъ) и не знакомитъ съ
пріемами производства дѣйствій надъ числами, состоящими изъ
единицъ различныхъ разрядовъ, тогда какъ и то и другое
необходимо при выполненіи дѣйствій надъ большими числами:
замѣна дѣйствій надъ ними сложеніемъ практически невозможна
и каждое дѣйствіе надъ многозначными числами производится
по разрядамъ. Однимъ словомъ система изученія чиселъ г. Евту-
шевскаго болѣе легка и удобна для учителя, чѣмъ для ученика".
Этотъ недостатокъ методики былъ исправленъ г. Гольденбер-
гомъ, который не только въ предисловіи подвергъ обстоятель-
ной критикѣ и разбору идеи г. Евтушевскаго, но далъ въ то
же время улучшенный курсъ „счетнаго искусства", какъ онъ
характеризуетъ объемъ начальнаго преподаванія. Его методика
построена на тѣхъ же началахъ, какъ и г. Евтушевскаго, но
съ болѣе психологически обработаннымъ матеріаломъ
§ 7. Современные русскіе методисты.
Всѣ русскіе методисты не внесли чего либо новаго и яркаго
въ область методики ариѳметики. Отказавшись отъ основныхъ
методическихъ вопросовъ, они все свое вниманіе удѣлили глав-
нымъ образомъ практической разработкѣ методовъ преподава-

нія, уясняя подробности, углубляясь въ детали, показывая на
цѣлыхъ страницахъ, какъ учитель долженъ вести урокъ, что-
бы ученики хорошо усвоили напр., ту мысль, что умноженіе
есть сложеніе равныхъ слагаемыхъ.
Такое направленіе дѣятельности нельзя поставить упрекомъ,
но оно дало многимъ мысль, что всѣ методики ариѳметики
являются безполезными.
„Во всѣхъ русскихъ методикахъ, говоритъ г. Латышевъ,
я нахожу важный недостатокъ, мѣшающій правильному пони-
манію дѣла и потому дающій поводъ къ огульному обвиненію
въ негодности всѣхъ руководствъ къ преподаванію ариѳметики.
Этотъ недостатокъ—непрактичность составителей, именно со-
ставителей, а не ихъ совѣтовъ. Дѣло въ томъ, что авторы
руководствъ обыкновенно подробно описываютъ предлагаемые
пріемы работы, но очень мало выясняютъ характеръ всего кур-
са и значеніе каждаго отдѣльнаго упражненія въ ряду другихъ.
Отсюда является очень часто непониманіе со стороны читате-
лей, особенно неопытныхъ въ дѣлѣ преподаванія, значенія ка-
ждаго изъ отдѣльныхъ упражненій, является слишкомъ боль-
шая привязанность къ формѣ, а не сущности дѣла, такъ какъ
послѣдняя остается непонятой, или, на оборотъ, (по той же
причинѣ) является слишкомъ легкое отношеніе къ предлагаемому
методу, отрицаніе его полезности; и все это изъ за непригод-
ности нѣкоторыхъ второстепенныхъ упражненій". Такое обвине-
ніе читателей-учителей не справедливо. Противъ него говоритъ
то, что „Методика начальной ариѳметики" Гольденберга идетъ
20-мъ изданіемъ, а другія методики выходятъ 5-мъ, 9-мъ издані-
емъ; слѣдовательно интересъ есть и чувствуется необходимость
и полезность книги. Но дѣло не въ методикѣ; опытный и не-
опытный учитель одинаково нуждаются въ задачникѣ, въ ко-
торомъ методика практически проводится въ жизнь.
Однако, критика русскихъ методикъ, данная г. Латышевымъ
имѣетъ цѣнность теоретическую, именно онъ указываетъ на
бѣдность методическихъ идей въ русской литературѣ, отсут-
ствіе споровъ, мелочность тѣхъ подробностей, о которыхъ идетъ
рѣчь, какъ напр. вопросъ о томъ, когда лучше знакомить дѣ-
тей съ арабскими цифрами: слѣдуетъ ли изучать цифры подроб-
но до 10 или до 20 и т. п. Новыхъ методическихъ идей пока
еще нѣтъ ни въ русской, ни въ иностранной литературѣ. Тѣмъ
не менѣе есть крупные вопросы, поднятые русскими методистами,
но поднятые мимоходомъ безъ обстоятельнаго изслѣдованія и
борьбы. На этихъ вопросахъ необходимо остановиться. Первый
и наиболѣе важный изъ нихъ есть вопросъ о томъ, что дол-

жно быть положено въ основу обученія: изученіе чиселъ или
изученіе дѣйствій.
Въ періодъ увлеченія методикой Евтушевскаго этотъ во-
просъ былъ снятъ съ обсужденія, но не рѣшенъ, когда, въ
1839 году, вышла „Практическая ариѳметика" Гурьева.
Методика г. Гурьева, какъ я уже говорилъ, любопытна въ
томъ отношеніи, что въ ней методически проводятся тѣ идеи,
которыя въ послѣдствіи были высказаны г. Латышевымъ въ
его „Руководствѣ для преподаванія ариѳметики". Г. Латышевъ
говоритъ, что въ основѣ психологическаго мышленія и логиче-
скаго развитія ума ребенка лежитъ не идея числа, а идея дѣйствія
надъ нимъ, а потому начальное обученіе должно быть обосно-
вано, какъ и все послѣдующее обученіе математикѣ, на теоріи
ариѳметики. Онъ говоритъ: „Правильное пониманіе дѣйствій
есть правильное пониманіе теоріи ариѳметики, тогда какъ
умѣніе производить вычисленія нужно для практической цѣли —
нахожденія числа и для того, чтобы умѣя произвести дѣйствіе,
ученикъ могъ обратить вниманіе и на смыслъ дѣйствія.—Прак-
тическаго навыка во всякомъ случаѣ недостаточно; для пра-
вильнаго пониманія дѣла необходима теорія, — поэтому при
обученіи дѣтей необходимо познакомить ихъ съ тѣмъ, какъ
вырабатывается теорія и какое важное значеніе она имѣетъ.—
Но нѣтъ такого предмета, теорія котораго была бы проще,
яснѣе и лучше выработана, чѣмъ теорія ариѳметики. — Это
приводитъ къ мысли, что при обученіи ариѳметикѣ необхо-
димо придать ей то учебное значеніе, которое она имѣетъ
по своему содержанію. Определенность содержанія позволяетъ
ученикамъ легче замѣтить и понять сущность ариѳметики, го-
раздо легче, чѣмъ сущность другихъ предметовъ. Если же
большая опредѣленность содержанія учебнаго предмета, т. е.
большая ясность теоріи его, облегчаетъ усвоеніе предмета, то
значитъ теорія дѣйствительно необходима для пониманія дѣла α.
Ставя въ основу обученія теорію, авторъ не требуетъ ея
усвоенія со словъ учителя, а думаетъ, что ученики могутъ са-
ми выработать не только смыслъ дѣйствій, но и ихъ опредѣ-
ленія на рядѣ примѣровъ и задачъ. „Рѣшивъ значительное ко-
личество примѣровъ, говоритъ онъ, и каждый разъ высказывая
своими словами, что они дѣлали съ данными числами, ученики
могутъ сами замѣтить, что всѣ встрѣчавшіяся имъ вычисленія
приводятся къ небольшому числу различныхъ случаевъ. Су-
ществованіе всего 4 различныхъ дѣйствій выразится и внѣш-
нимъ образомъ, если будутъ записываться дѣлаемыя вычисле-
нія: каждое дѣйствіе обозначится особымъ знакомъ. Дѣти обык-
новенно безъ труда пріучаются къ правильному употребленію

знаковъ дѣйствій. Когда же ученики поняли, что дѣлается съ
числами въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ и замѣтили, что су-
ществующихъ дѣйствій немного, тогда они сами смогутъ выра-
зить то, въ чемъ состоитъ каждое дѣйствіе т. е. смогутъ со-
ставить опредѣленіе дѣйствій.
Роль учителя состоитъ въ томъ, чтобы понять, когда надо
будетъ обратить вниманіе дѣтей на смыслъ дѣйствій, дать хо-
рошо подобранныя упражненія, помогающія дѣтямъ уловить
сущность дѣла, потребовать отъ нихъ составленія опредѣленія,
дать названіе каждому дѣйствію и, наконецъ, провѣрить пра-
вильно ли понимаетъ данное опредѣленіе каждый ученикъ
класса.
Изъ этихъ мыслей автора становится очевиднымъ, что пред-
лагаемый имъ методъ является совершенно особымъ, рѣзко
отличный отъ метода Евтушевскаго; но къ сожалѣнію авторъ
только изложилъ его, но не разработалъ практически ни въ
особой методикѣ ни въ задачникахъ, и его взгляды остались
только оригинальнымъ міровозрѣніемъ, а не практическимъ
курсомъ.
Второй очень важный методическій вопросъ, есть во-
просъ о роли задачъ въ начальномъ обученіи. Мы уже видѣли,
что г. Латышевъ на болѣе или менѣе удачномъ подборѣ за-
дачъ предлагаетъ познакомить дѣтей съ выводомъ правилъ
ариѳметическихъ дѣйствій, но онъ не даетъ этого подбора и
потому для читателя не вполнѣ ясно, какъ это сдѣлать. Не-
которые методисты, оставляя за задачами ихъ важное значеніе,
обратили вниманіе на другую сторону вопроса, — на методъ
мысли, на анализъ условій задачи и способъ ея рѣшенія. Во-
просъ этотъ съ большой полнотой разобранъ г. Егоровымъ въ
его „Методикѣ ариѳметики" и г. Шпитальскимъ въ отдѣльной
брошюрѣ, приложенной къ циркулярамъ Московскаго Учебна-
го Округа. Сюда же относится недавно вышедшая книжка
г. Бондарева „Какъ строятся и рѣшаются задачи". Но во
всѣхъ этихъ сочиненіяхъ задача разсматривается какъ вспо-
могательное средство при прохожденіи теоріи. Говоря иначе,
ученики изучаютъ счисленіе или проходятъ ариѳметику и при-
лагаютъ свои знанія къ рѣшенію задачъ. Значитъ мы имѣемъ
два рода занятій: теоретическій—умѣнье вычислять и практи-
ческій—умѣніе рѣшать задачи.
Совершенно особымъ образомъ построенъ курсъ г. Шохоръ-
Троцкимъ. Въ своемъ предисловіи къ 7-ому изданію „Методи-
ки ариѳметики^ онъ говоритъ: Большинство позднѣйшихъ рус-
скихъ авторовъ по предмету методики ариѳметики и состави-
телей задачниковъ противополагаютъ „методѣ изученія чи-

селъ", нынѣ почти утратившій сторонниковъ, методу, называе-
мую ими „методою изученія дѣйствій". Изученіе чиселъ было въ
теченіе многихъ лѣтъ, дѣйствительною методою обученія, хотя
въ послѣднее время метода эта и утратила свое прежнее зна-
ченіе даже на своей родинѣ въ Германіи. Изученіе же четы-
рехъ ариѳметическихъ дѣйствій всегда было, и можетъ быть,
конечно, только одною изъ цѣлей, но никакъ не методою обу-
ченія дѣтей ариѳметикѣ. Считать, поэтому, изученіе ариѳме-
тическихъ дѣйствій методою обученія столь же недозволительно,
какъ считать самое „изученіе" грамоты — методою обученія
грамотѣ. Это—очень грустное смѣшеніе и даже отожествленіе
двухъ совершенно разнородныхъ понятій.
О методѣ изученія дѣйствій можно говорить только для
краткости, только для того, чтобы охарактеризовать методу въ
томъ смыслѣ, что въ основу ея не положено изученіе чиселъ.
Въ этомъ смыслѣ, и только въ этомъ смыслѣ, можно также
мною обнародованныя по предмету ариѳметики книги и учеб-
ныя пособія считать составленными по такъ наз. „методѣ изу-
ченія дѣйствій". Но съ точекъ зрѣнія логической и дидакти-
ческой, вѣрнѣе, однако же, сохранить за методою, положенной
въ основу книгъ, мною обнародованныхъ имя „методы цѣле-
сообразныхъ задачъ".
Итакъ г. Шохоръ-Троцкій думаетъ, что изученіе ариѳме-
тическихъ дѣйствій есть не средство, а цѣль обученія ариѳме-
тикѣ; но вѣдь въ ариѳметикѣ и свойства чиселъ занимаютъ
видное мѣсто, почему же онъ допускаетъ наименованіе „ме-
тода изученія чиселъ" и считаетъ, что это есть дѣйствительно
методъ, а не цѣль обученія. Но не будемъ спорить о словахъ,
изъ приведеннаго ясна мысль автора и то новое, что онъ вно-
ситъ въ методику. Онъ такъ характеризуетъ свое основное по-
ложеніе: „для развитія у учащихся правильныхъ представленій,
а впослѣдствіи — и понятій о четырехъ дѣйствіяхъ, соотвѣт-
ствующія части курса начальной ариѳметики должно построить
на задачахъ и при томъ на задачахъ простыхъ (т.-е. для рѣ-
шенія которыхъ необходимо произвести только одно дѣйствіе).
Это соприкасается съ вопросомъ о томъ, какъ назвать ту
методу, которая разрабатывается въ настоящемъ сочиненіи.
Ариѳметическія задачи вообще должны при результатѣ обуче-
нія, быть не цѣлью, а только средствомъ обученія ариѳметикѣ;
съ ихъ помощью должно вырабатывать и развивать вѣрныя и
ясныя представленія и понятія: о четырехъ дѣйствіяхъ, объ
ихъ смыслѣ и цѣли и т. п. Поэтому изъ десяти случаяхъ въ
девяти задача должна быть исходной точкой въ преподаваніи
ариѳметики. Вотъ что говоритъ извѣстный французскій педа-

гогъ Жанъ Мосе объ этомъ предметѣ: „Развитіе человѣчества
повторяется въ каждомъ малолѣтнемъ... Первый, кому при-
шлось сдѣлать вычисленіе, началъ не съ отвлеченныхъ пра-
вилъ, излагаемыхъ въ учебникахъ. Онъ, очевидно, долженъ
былъ не потеряться при рѣшеніи практическихъ вопросовъ и
задачъ, надъ которыми онъ могъ одержать побѣду, только
пустивъ въ дѣло всѣ средства своего ума, и онъ занимался
этимъ искусствомъ вовсе не ради самого искусства. Заста-
влять ребенка начинать съ отвлеченнаго правила и затѣмъ
предлагать ему задачи — это значитъ итти на перекоръ ходу
развитія человѣческаго ума... Истинная метода состоитъ въ
томъ, чтобы ставить ребенка въ условія, при которыхъ умъ
человѣческій началъ изобрѣтать ариѳметику, и сдѣлать его,
такъ сказать, свидѣтелемъ этого изобрѣтенія". Такова метода
цѣлесообразныхъ задачъ, точки зрѣнія которой учитель прежде
всего долженъ себѣ усвоить, прибѣгая къ задачамъ чаще для
выработки ариѳметическихъ представленій и понятій, чѣмъ
для ихъ примѣненія къ тѣмъ случаямъ, когда именно эти
представленія почти непримѣнимы, какъ напр. при рѣшеніи
запутанныхъ задачъ алгебраическаго характера. Метода эта
названа „методою задачъ"—потому, что задачи, въ обширномъ
смыслѣ этого слова, являются исходной точкой во всякій мо-
ментъ обученія. Метода эта названа „методою цѣлесообраз-
ныхъ задачъ"—потому, что для каждой ступени, для каждаго
ученія, для преодолѣнія каждой трудности надо предлагать
ученикамъ не какія попало задачи даннаго отдѣла и не за-
дачи ради самаго разрѣшенія ихъ, а задачи, сообразован-
ныя съ исключительною цѣлью предстоящаго урока ариѳмети-
ки". Нужно отмѣтить, что авторъ обработалъ свой методъ
вполнѣ до самаго конца, выпустивъ два задачника: задачникъ
для учениковъ, гдѣ собраны въ систематическомъ подборѣ не-
обходимыя задачи, и задачникъ для учителей, гдѣ даны от-
вѣты и указанія, какъ пользоваться первымъ задачникомъ.
Методика г. Шохоръ-Троцкаго несомнѣнно является цѣн-
нымъ вкладомъ въ методическую литературу, ставя вопросъ
преподаванія на новую методическую основу, тѣмъ болѣе, что
въ изложеніи своего метода авторъ удѣлилъ значительное мѣ-
сто обзору наглядныхъ пособій и подробному разбору разныхъ
методическихъ пріемовъ преподаванія. Однако, я бы сказалъ,
что отсутствіе изученія свойствъ чиселъ является нѣкоторымъ
дефектомъ его системы. Ученіе о числѣ, выработка понятія
„число" не можетъ быть отпущено въ курсѣ начальнаго обу-
ченія.
Въ этомъ отношеніи слѣдуетъ упомянуть переводную ме-

тодику германскаго ученаго Лай. „Руководство къ первона-
чальному обученію ариѳметикѣ, основанное на результатахъ
дидактическихъ опытовъ", въ которомъ авторъ выдвигаетъ на
первое мѣсто фигурныя числа. Объ этихъ числахъ я скажу
подробнѣе дальше, въ главѣ объ основныхъ методическихъ во-
просахъ*, но въ сочиненіи есть очень цѣнное разсмотрѣніе ра-
ботъ германскихъ методистовъ.
Кромѣ методики Лая, я позволю себѣ указать и на свою
методику, въ которой выработкѣ понятія „число" отведено
довольно значительное мѣсто. Первый годъ обученія съ моей
точки зрѣнія долженъ быть посвященъ выработкѣ понятія
„число".
Примыкая къ основнымъ идеямъ Амоса Коменскаго о томъ,
что обученіе должно быть построено на развитіи того, что за-
ложено въ человѣкѣ самой природой, я думаю, что въ основѣ
математической мысли лежатъ не числовыя, а количественныя
представленія, и развитіе этихъ количественныхъ представле-
ній и есть то естественное развитіе математическихъ идей, о
которомъ говоритъ Коменскій. А если это такъ, то въ основу
обученія долженъ быть положенъ личный опытъ ученика и его
самодѣятельность. Этотъ опытъ долженъ проявляться въ изу-
ченіи количествъ, гдѣ наряду съ числовымъ образомъ, связы-
ваясь съ нимъ, необходимо и обязательно должна лежать идея
функціональныхъ соотношеніи величинъ. Обѣ идеи: идея ко-
личественности и идея функціональныхъ соотношеніи должны
развиваться параллельно другъ другу и совмѣстно. Число явится
тогда необходимымъ связующимъ звѣномъ, въ силу чего оно
само пріобрѣтетъ внутренній смыслъ и опредѣленное психоло-
гическое значеніе.
Это, если хотите, напоминаетъ идею г. Латышева, а еще
ближе къ идеѣ г. Шохоръ-Троцкаго объ изученіи дѣйствій, но
я думаю, что матеріалъ для этого изученія долженъ быть данъ
не въ словесныхъ задачахъ, а въ непосредственномъ опытѣ
самого ученика. Этотъ опытъ долженъ состоять въ непосред-
ственномъ измѣреніи вѣса, объема, длины, цѣнности и т. п.
При этихъ измѣреніяхъ ученики послѣдовательно знакомятся
съ числами: они изучаютъ числа, но изучаютъ не самыя числа,
а выражаютъ измѣренныя количества нѣкоторымъ символомъ—
числомъ.
При такомъ изученіи чиселъ у нихъ получается конкрет-
ное воспріятіе, чувственный образъ числа, связанный по са-
мому процессу полученія съ идеей отношенія и съ идеей дѣй-
ствія. Приливаніе жидкости увеличиваетъ ея объемъ и ея вѣсъ,
измѣреніе этого приливанія даетъ одновременно и идею числа

и идею отношенія; въ то же время здѣсь возможны вопросы:
на сколько больше? и во сколько разъ больше? Дѣйствія надъ
числами конкретно связываются съ измѣненіями количествъ и
получаютъ поэтому конкретный смыслъ.
Когда такимъ образомъ ученики познакомятся съ первымъ
десяткомъ и изучатъ при этомъ способы измѣренія, они на-
учатся производить и всѣ дѣйствія подъ числами перваго де-
сятка; тогда можно перейти къ числамъ 2-го десятка, при чемъ
въ обученіе входитъ новый элементъ отвлеченія: задачи уже
будутъ даваться не только въ конкретномъ видѣ, но и въ видѣ
словесныхъ указаній на произведенные когда-то способы измѣ-
ренія. Одновременно съ этимъ возможно будетъ и пріученіе
дѣтей къ десятичной системѣ счисленія, исходя изъ которой
можно будетъ объяснить правила производства дѣйствій. Даль-
нѣйшее обученіе и будетъ состоять въ изученіи этихъ правилъ
и выводѣ ихъ, пользуясь примѣрами именованныхъ чиселъ и
переходя отъ русскихъ именованныхъ чиселъ къ метрической
системѣ. Метрическая система приводитъ къ нумераціи, а она
даетъ возможность показать, что всѣ дѣйствія одинаково при-
ложимъ! ко всѣмъ вопросамъ счисленія, т.-е. даетъ возможность
построить систему теоретической ариѳметики.
Изученіе количествъ приводитъ къ особому опредѣленію
умноженія, какъ самостоятельнаго дѣйствія, и я думаю, что
умноженіе именованнаго числа на именованное должно занять
видное мѣсто въ курсѣ начальной школы, какъ дѣйствіе даю-
щее новый комплексъ.
Въ силу этого я отвожу большое мѣсто изученію геомет-
ріи по отношенію къ изученію площадей, счатая, что отсут-
ствіе этого вопроса въ начальномъ обученіи составляетъ его
крупный дефектъ.
Вообще изученіе геометріи, если мы примкнемъ къ идеямъ
Амоса Коменскаго, должно быть введено въ начальный курсъ
обученія, какъ основное конкретное представленіе количествъ.
Въ русской математической литературѣ 60-хъ годовъ по-
явилось нѣсколько руководствъ по геометріи, которыя давали
какъ бы пропедевтическій курсъ этого знанія. Къ числу ихъ
принадлежитъ переводная Лаше-Флери „Краткая геометрія для
дѣтей, изложенная по вопросамъ и отвѣтамъ въ 22 урока";
М. Косинскій „Наглядная геометрія"; Гельманъ „Приготови-
тельный курсъ геометріи"; Фанъ-деръ-Флитъ „Курсъ элемен-
тарной геометріи" и др.
Однако эти идеи не привились и замерли. Причиной этого
было съ одной стороны самостоятельность геометрическаго
курса, который обремѣнялъ бы школьную программу, съ дру-

гой—увлеченіе числовымъ методомъ, который ставилъ началь-
ное обученіе въ опредѣленныя рамки и давалъ ему опредѣлен-
ное содержаніе. Моя мысль состоитъ въ томъ, чтобы основы
геометріи ввести внутрь курса ариѳметики, предложивъ его
для поясненія количественныхъ соотношеніи и метода вычи-
сленія. Это есть ничто иное, какъ перемѣщеніе вопроса объ
измѣреніи площадей и объемовъ, пополненное изученіемъ
свойствъ нѣкоторыхъ фигуръ и угловъ, тѣсно примыкающее
къ тѣмъ нагляднымъ пособіямъ, которыя я ставлю въ основу
изученія количествъ.
§ 8. Сочиненія, въ которыхъ произведено обозрѣніе методиче-
скихъ вопросовъ.
Обиліе и разнообразіе методикъ поставило на очередь во-
просъ объ ихъ обозрѣніи, вопросъ тѣмъ болѣе важный, что
во всѣхъ учебныхъ заведеніяхъ, гдѣ введено преподаваніе ме-
тодики ариѳметики, чувствуется потребность въ такомъ сочи-
неніи. Потребность эта была и раньше, но выражалась въ
краткихъ замѣчаніяхъ, помѣщаемыхъ въ предисловіяхъ къ соб-
ственной методикѣ. Если я не ошибаюсь, то первымъ, кто по-
святилъ цѣлую главу русскимъ методистамъ, былъ г. Латы-
шевъ. Затѣмъ очень подробный очеркъ разныхъ методическихъ
идей въ Германіи данъ г Евтушевскимъ, Паульсономъ и Лай-
емъ. Кромѣ ихъ г. Мукаловъ въ своихъ „Запискахъ по мето-
дикѣ ариѳметикѣ" даетъ главу „Исторія методики ариѳметики",
въ которой разсматриваетъ преемственное развитіе идей рус-
скихъ методистовъ и ихъ германскихъ предшественниковъ. На-
конецъ В. Мрочекъ и Φ. Филипповичъ составили книжку „Пе-
дагогика математики. Историческіе и методическіе этюды", въ
которой наряду съ историческимъ обзоромъ роста математиче-
скихъ идей, они указываютъ новѣйшія психологическія воззрѣ-
нія на познаваніе и даютъ общій очеркъ методики преподава-
нія математики Въ этомъ сочиненіи указана довольно обшир-
ная литература нѣмецкая и русская, и оно заслуживаетъ вни-
манія, хотя въ изложеніи есть много увлеченій и неточностей.
Авторы являются большими сторонниками метода Лайя, и обра-
щаютъ вниманіе на пополненіе начальнаго курса геометріей.

Указатель методикъ русскихъ методистовъ.
1) Аржниковъ. Методика начальной ариѳметики, ц. 1 р. 40 к.
2) Александровъ. Методы рѣшенія ариѳметическихъ задач ь.
3) Беллюстинъ „Какъ постепенно люди дошли до настоящей ариѳметики"
Педагогическій Листокъ за 1906 и 1907 гг.
4) В. Беллюстинъ. Методика ариѳметики. Москва 1908.
Часть I. Курсъ младшаго отдѣленія начальной школы, ц. 20 к.
„ II. Курсъ средняго отдѣленія начальной школы, ц. 20 к.
„ III. Курсъ третьяго отдѣленія начальной школы, ц. 20 к.
„ VI. Курсъ 4-го года обученія въ начальныхъ и двуклассныхъ
училищахъ, ц. 20 к.
5) Бондаревъ. „Какъ строятся и рѣшаются задачи" (методическое руковод.).
6) Виноградовъ, И. И. Элементарный курсъ вычисленій на коммерческихъ
счетахъ съ указаніемъ необходимыхъ пріемовъ при этихъ вы-
численіяхъ и съ примѣненіемъ счетовъ къ изученію метриче-
ской системы
7) Вишневскій. Записки по методикѣ элементарной ариѳметики. СПБ. 1906.
8) Воленсъ. Методъ элементарнаго преподаванія ариѳметики. СПБ. 1880 г.
9) Волковскій. Бесѣды Гольденберга. (Педаг. Лист. 1906 г.).
10) Воскресенскій. Пріемы сокращенныхъ вычисленій.
11) Д. Галанинъ. Методика ариѳметики. Первый годъ обученія, ц. 50 к.
„ Второй годъ обученія, ц. 50 к.
12) Геде. Методика и Дидактика ариѳметики. Ч. I. и ч. II, СПБ», 1909.
13) А. И. Гольденбергъ. Методика начальной ариѳметики. СПБ., 1907,
ц. 75 к.
14) Гурьевъ. Практическая ариѳметика.
15) Долгушинъ. Вычисленія по приближеніи).
16) Евтушевскій. Методика ариѳметики.
17) Ѳ. И. Егоровъ. Методика ариѳметики. Для учителей. Москва, 1906,
ц. 1 р.
18) Каржавинъ. „Приктическіе уроки элементарной армѳметики". Μ , 1875.
19) Корытинъ. Обзоръ учебной литературной ариѳметики и геометріи.
20) Котляревскій. „Научныя основы первоначальнаго обученія ариѳметики".
21) Куперштейнъ. Записки по методикѣ ариѳметики съ приложеніемъ за-
дачъ для учителей. 1909.
22) Латышевъ. Руководство къ преподаванію ариѳметики. Μ., 1897, ц. 50 к.
23) Лапшинъ. О преподаваніи ариѳметики въ воскресныхъ школахъ.
24) Литвинскій. Изученіе чиселъ и мѣръ малыми дѣтьми.
25) Лубенецъ. Методика ариѳметики. Изд. 3-е, 1911.
(Руководство къ сборнику задачъ).
26) В. Мрочекъ и Ф. Филипповичъ. Педагогика математики.
27) Мукаловъ. Записки по методики ариѳметики.
28) Нагорскій. Наглядная ариѳметика. СПБ., 1875.
29) Н. Павловъ. Методика начальной ариѳметики. Изд. 3-е, СПБ., 1909.
30) Павловъ. А. П. Методика нагляднаго обученія счисленію простыхъ
дробей.
31) Паульсенъ. Ариѳметика но способу Грубе.
32) Рабцевичъ, В. 3. Методика ариѳметики. Ж- Μ. Н. Пр. за 1907 г.
33) Соколовъ. Методика ариѳметики. СПБ., 1898.

34) Л. Толстой. Азбука.
35) Шохоръ-Троицкій. Наглядность и наглядный пособія при обученіи
ариѲметики.
„ Ариѳметическій задачникъ для учителей.
„ „ для учебныхъ заведеній съ полнымъ курсомъ ариѳметики.
„ Методика ариѳметики ч. I для учителей одноклассныхъ началь-
ныхъ школъ.
„ „ ч. II для учениковъ 1-го класса съ пол-
нымъ курсомъ ариѳметики.
„ „ Для учителей приготовительныхъ классовъ, задачъ и
вычисленій.
Опытъ методики ариѳ. для учит. мит. въ средн. учеб. заведен.
Кромѣ того слѣдуетъ указать на слѣдующія статьи.
Житомирскій. Ариѳметическая казуистика. (Педаг. сб. 1867 г. III).
Извольскій. О сознательныхъ выполненіи ариѳмет. дѣйствій. (Пед, сб.
1906 г. III).
Успенскій. Мысли при чтеніи статьи Извольскаго. (Пед. Спб. 1906 г. III).
Острейко. Замѣтки о рѣшеніи задачъ на вычисленіе времени. (В. оп.
сриз. и элем. мот. № 119).
Радцигъ. Къ вопросу о программѣ ариѳметики. (Рус. Шк. 1905 № 2).
Н. Соколовъ. Одинъ изъ остатковъ схоластики въ соврем, уч. ариѳмет.
(Пед. сб. 1895 г. II).
„ Остатки схоластики въ совр. уч. ариѳ. (Вѣст. моп. сриз.
и Э. М. №№ 219 и 220).
Слетовъ. Общія опредѣленія ариѳм. дѣйств. (Пед. сб. 1898).
Стрекаловъ. Опытъ методич. прогр. нормальнаго курса ариѳ. младш.
кл. ср. шк. Пед. сб. 1898).
Шохоръ-Троицкій. По поводу учебник, ариѳм. (В. оп. сриз. и Э. М. № 19).

ГЛАВА III.
О познаваніи.
§ 1.
Прежде чѣмъ переходить къ разбору методическихъ вопро-
совъ ариѳметики, необходимо разсмотрѣть вопросъ о познава-
ніи, не для того, чтобы дать что либо новое по этому вопросу,
а для того, чтобы условиться въ терминахъ и установить лич-
ное отношеніе къ этому вопросу. Вопросъ о познаваніи имѣ-
етъ двѣ стороны, лучше сказать, разсматривается въ двухъ
наукахъ: психологіи и логикѣ. Почему одинъ и тотъ же во-
просъ разсматриваютъ двѣ науки? На этотъ вопросъ тѣмъ
болѣе необходимо отвѣтить, что въ педагогическомъ отношеніи
еще до сихъ поръ не установилось твердое убѣжденіе о томъ,
какія задачи можетъ себѣ поставить преподаваніе, а именно,
необходима ми логическая обработка понятій, или достаточно
одной психической ясности воспринимаемыхъ образовъ, а ихъ
логическая формулировка явится впослѣдствіи уже сама собой.
Итакъ, почему же двѣ науки разсматриваютъ одинъ и тотъ же
вопросъ?—Потому, что въ вопросѣ познаванія двѣ независимыя
другъ отъ друга стороны: одна - психологическая, которая раз-
сматриваетъ пріобрѣтеніе понятій, а другая логическая, кото-
рая разсматриваетъ обработку понятія, т. е. тотъ умственный
процессъ, въ силу котораго понятіе получаетъ словесное опре-
дѣленіе и на основаніи этого опредѣленія человѣкъ строитъ
свои сужденія, или дѣлаетъ умозаключенія. При этомъ, слѣду-
етъ отмѣтить, что логическую сторону мышленія я разсматри-
ваю не съ той стороны, что она учитъ мышленію, а съ той,—
какъ человѣкъ мыслитъ. Обыкновенно думаютъ, что логика
есть наука о томъ, какъ человѣкъ долженъ думать, какъ будто
этому нужно особо научиться; по моему мнѣнію—логика есть
наука о томъ, какъ человѣкъ мыслитъ естественно, безъ вся-
каго обученія, безъ всякаго знакомства съ логикой. Такимъ

образомъ я думаю, что въ своемъ естественномъ теченіи въ
самосознаніи человѣка, съ самаго ранняго дѣтства, одновре-
менно переплетаются два процесса: психологическій и логи-
ческій. Хотя для удобства разсмотрѣнія вопроса приходится
оба эти процесса раздѣлить, но нужно имѣть въ виду, что это
искусственное раздѣленіе необходимо только для изученія хода
самыхъ процессовъ, а въ нашемъ сознаніи они существуютъ
всегда одновременно и слитно.
Кромѣ того, изучая оба эти процесса, мы по необхо-
димости должны ихъ раздѣлить на основные и простѣйшіе
элементы. При такомъ раздѣленіи мы говоримъ о первичныхъ
воспріятіяхъ и первичной логической дѣятельности, какъ будто
въ сознаніи во время этихъ процессовъ ничего нѣтъ. На са-
момъ же дѣлѣ во всякій моментъ жизни у человѣка есть нѣ-
которая нагруженность сознанія, есть его извѣстное содержаніе.
Эта нагруженность сознанія различна у разныхъ людей, она раз-
лична и въ разные періоды роста. Чтобы разсмотрѣть вопросъ
правильно, мы должны, послѣ разсмотрѣнія психическихъ за-
коновъ воспріятія и логической ихъ обработки, произвести
какъ бы сѣченіе сознанія для разныхъ періодовъ роста и по-
смотрѣть, какъ въ этихъ сѣченіяхъ отображаются оба процесса.
Только при такомъ условіи мы можемъ поставить педаго-
гическіе вопросы, а слѣдовательно разсмотрѣть и вопросы ме-
тодики. Однако и такая постановка еще не будетъ полной,
ибо въ вопросахъ методики есть двѣ личности* учитель и уче-
никъ. Производя сѣченія сознанія ученика, мы будемъ изучать
его внутренній міръ такъ, какъ онъ течетъ по законамъ инди-
видуальнаго роста; но наша задача —отыскать законы внут-
ренняго соотношенія между самосознаніемъ учителя и самосо-
знаніемъ ученика.
§ 2. Первичные психическіе элементы: ощущеніе и воспріятіе.
Слѣдуетъ отмѣтить съ самаго начала, что я не имѣю въ
виду разсматривать вопросъ о познаваніи во всей его полнотѣ
и ограничусь только той его стороной, которая относится къ
познаванію математики. Общія обоснованія этого процесса мнѣ
будутъ необходимы только настолько, чтобы сдѣлать ясной
номенклатуру и ходъ спеціальнаго математическаго процесса
мысли.
Когда нѣчто изъ внѣшняго міра дѣйствуетъ на наши ор-
ганы чувствъ, то воспріятіе этого дѣйствія мы называемъ опу-
щеніемъ. Хотя ощущеніе представляетъ собою простѣйшій пси-

хическій актъ, но и этотъ актъ оказывается весьма сложнымъ.
Для наличности этого акта необходимы два процесса: внѣшнее
раздраженіе и внутреннее сознаніе этого раздраженія. Первый
процессъ, вообще говоря, находится въ условіяхъ среды и не
зависитъ отъ нашей воли; а второй процессъ находится внутри
насъ и является именно тѣмъ, что мы называемъ ощущеніемъ.
Это есть то своеобразное движеніе, которое физіологически
вызывается въ томъ или иномъ органѣ чувства и состоитъ въ
воспріятіи нѣкоторыхъ внутреннихъ движеній. Пусть напр.
произведетъ звукъ; звуковыя волны доходятъ до органа слуха
и вызываютъ сначала колебанія барабанной перепонки, потомъ
слуховыхъ косточекъ, колебаніе косточекъ приводитъ въ дви-
женіе жидкость лабиринта, а это послѣднее раздражаетъ слу-
ховой нервъ. Весь этотъ процессъ отъ начала до конца есть
физическое слѣдствіе появленія звука, какъ паденіе тѣла есть
слѣдствіе того, что мы лишили его точки опоры. Если мы пе-
рерѣжемъ нить, на которой виситъ тѣло, то оно будетъ па-
дать необходимо и обязательно; такъ будетъ необходимо и
обязательно раздражаться слуховой нервъ, когда произведенъ
звукъ; однако ощущеніе звука не является безусловнымъ слѣд-
ствіемъ этого раздраженія. Весь процессъ раздраженія су-
ществуетъ, а ощущенія мы не испытываемъ. Обратно, при
галлюцинаціи мы испытываемъ ощущеніе безъ внѣшняго сти-
мула, безъ этого физическаго процесса. Очевидно по этому,
что для наличности ощущенія, кромѣ внѣшняго стимула—раз-
драженія нужно еще нѣчто. Это нѣчто составляетъ психиче-
скую сторону ощущенія или то, что собственно мы и назы-
ваемъ ощущеніемъ. Итакъ подъ ощущеніемъ мы будемъ пони-
мать тотъ психическій актъ, который соотвѣтствуетъ перемѣнѣ
сознанія.
Мы восприняли тотъ звукъ, который былъ произведенъ въ
окружающей насъ средѣ, и это воспріятіе измѣнило состояніе
нашего сознанія; пусть это измѣненіе было очень мало, пусть
мы на него даже не обратили вниманія, но оно было, а если
оно было, то значитъ мы испытали ощущеніе. Вотъ сидитъ
человѣкъ задумавшись, мы его окликнемъ, но онъ не слышитъ.
Весь физическій процессъ ощущенія произошелъ, но самого
ощущенія не было. Но, когда задумавшійся человѣкъ услы-
халъ, что его зовутъ, его сознаніе измѣнилось, и это измѣне-
ніе онъ воспринялъ какъ ощущеніе.
Исходя изъ этого, мы должны констатировать тотъ фактъ,
что одно и то же внѣшнее явленіе даетъ различныя ощущенія
у разныхъ лицъ, т.-е. ощущеніе субъективно. Это педагоги-

чески очень важное положеніе, которое необходимо имѣть въ
виду при оцѣнкѣ методовъ нагляднаго обученія.
Далѣе, мы ощущенія разложимъ на нѣсколько категорій.
Во 1) отмѣтимъ первичныя ощущенія; это суть тѣ ощущенія,
которыя испыталъ бы человѣкъ, имѣющій совершенно ненагру-
женное сознаніе, когда произошло измѣненіе подъ вліяніемъ
дѣйствія одного органа чувствъ. Въ обыденной жизни мы не
имѣемъ первичныхъ ощущеній, потому что у насъ нѣтъ нена-
груженнаго сознанія. Его можетъ быть испытываютъ дѣти въ
первые періоды жизни, но и то едва ли, потому что, вообще
говоря, они испытываютъ сразу ощущенія отъ нѣсколькихъ
органовъ чувствъ.
Отъ первичныхъ ощущеній слѣдуетъ отличить простыя ощу-
щенія.
Подъ именемъ простыхъ ощущеній я буду понимать тѣ,
которыя получены однимъ органомъ, напр. зрѣніемъ. Такъ,
наблюдая небесныя явленія мы испытываемъ только зритель-
ныя ощущенія, но они падаютъ на нагруженное сознаніе и
здѣсь переплетаются и ассоціируются съ ранѣе полученными
ощущеніями въ сложный комокъ сознанія. Къ простымъ ощу-
щеніямъ слѣдуетъ отнести также слуховыя ощущенія, которыя
мы испытываемъ, слыша то, что дѣлается въ сосѣдней комнатѣ
и потому, что мы слышимъ, воспроизводится картина того, что
тамъ происходитъ.
Всѣ прочія ощущенія являются сложными, ибо въ нихъ
участвуютъ совмѣстно нѣсколько органовъ чувствъ. Эти слож-
ныя ощущенія слѣдуетъ подраздѣлить на ощущенія предметовъ
и ощущенія явленій.
Въ видѣ самостоятельныхъ законченныхъ переживаній про-
стыя ощущенія никогда не встрѣчаются, говоритъ г. Іерузалемъ.
Мы находимъ ихъ всегда въ видѣ совпадающихъ элементовъ
въ различныхъ комплексахъ, и только психологическій анализъ
призналъ ихъ неподдающимися дальнѣйшему разложенію пси-
хологическими процессами. Развитому сознанію извѣстны только
группы ощущеній, которыя относятся къ внѣшнимъ или вну-
треннимъ раздраженіямъ и представляются намъ въ видѣ дан-
ныхъ вещей или процессовъ. Такіе комплексы ощущеній мы
называемъ воспріятіями.
Простое или чистое ощущеніе есть, слѣдовательно, эле-
ментарный психическій процессъ, до котораго мы доходимъ,
путемъ анализа. То, чѣмъ одно ощущеніе отличается отъ дру-
гого и въ чемъ сказывается отношеніе зависимости, существую-
щее между раздраженіемъ и ощущеніемъ, мы называемъ со-
держаніемъ или качествомъ ощущенія. Качественно сходныя

ощущенія отличаются по силѣ или интенсивности. Наконецъ,
въ ощущеніи сохраняется обыкновенно нѣкоторый остатокъ
того чувства удовольствія или неудовольствія, изъ котораго
ощущеніе дифферинцировалось. Этотъ придатокъ называется
чувственнымъ тономъ ощущенія.
Должно ли ощущеніе всегда имѣть чувственный тонъ?
Этотъ вопросъ важенъ не самъ по себѣ, а потому, что онъ
даетъ признакъ, по которому мы можемъ выдѣлить ощущеніе
изъ ряда другихъ процессовъ. Если мы скажемъ, что ощущеніе
есть измѣненіе состоянія нашего сознанія, то тѣмъ самымъ мы
дѣлаемъ лишнимъ этотъ добавочный признакъ, и мнѣ кажется,
что второе опредѣленіе шире и лучше перваго. Въ самомъ
дѣлѣ мы всегда имѣемъ множество безразличныхъ ощущеній
изъ окружающей насъ жизни, но эти ощущенія мы не воспри-
нимаемъ какъ таковыя, потому что они не производятъ измѣ-
неній въ самосознаніи. Мы видимъ напр. падающія тѣла, слы-
шимъ звуки, получаемъ зрительныя впечатлѣнія, и пока мы
не остановимся на какомъ-либо изъ этихъ явленій, ощущенія
не производится. Но, когда я дѣлаю опытъ паденія тѣла, то я
воспринимаю ощущеніе, ибо въ этомъ опытѣ есть измѣненіе
сознанія. Короче говоря подъ ощущеніемъ въ психическомъ
смыслѣ мы должны назвать то, что измѣняетъ наше самосо-
знаніе.
Для меня это обстоятельство очень важно. Обыкновенно
говорятъ, что дѣти, наблюдая въ жизни измѣненіе длины, взвѣ-
шиваніе и т. п., уже знакомятся съ этими явленіями. Они по-
лучаютъ ощущенія, которыя впослѣдствіи переработываются
лишь сами собой въ понятія. Такъ иногда и бываетъ; но бы-
ваетъ и иначе. Ребенокъ наблюдаетъ взвѣшиваніе, но не обра-
щаетъ на него вниманія; оно проходитъ мимо него, какъ без-
различный жизненный фактъ, и этотъ безразличный фактъ
никогда не можетъ перейти въ понятіе, имѣть дальнѣйшее
движеніе именно потому, что онъ не произвелъ измѣненій со-
знанія, онъ не вошелъ въ сознаніи, какъ новый элементъ. Но,
когда мы остановимъ вниманіе на этомъ фактѣ, заставимъ ре-
бенка самого что-нибудь взвѣсить, то онъ уже начинаетъ по-
лучать ощущенія, т.-е. его сознаніе получаетъ измѣненіе и
новый фактъ внѣдряется со всѣми психическими процессами,
которыя на немъ основываются.

§ 3. Воспріятіе.
Чтобы яснѣе представить себѣ воспріятіе, замѣтимъ, что
испытанныя ощущенія вслѣдствіе физіологическихъ нервныхъ
процессовъ не уничтожаются, а сохраняются въ сознаніи. Спо-
собность ихъ сохранять называется памятью, и мы можемъ
вновь воспроизвести эти ощущенія или волевымъ актомъ вос-
поминанія, или невольнымъ актомъ по встрѣтившейся ассоці-
аціи. Эти воспоминанія не совпадаютъ по своему качеству,
силѣ и чувственному акту съ испытанными ощущеніями, но
однако замѣняютъ ощущенія въ нашемъ сознаніи. Можно ска-
зать, что въ каждый данный моментъ нашей жизни сознаніе
нагружено воспоминаніемъ бывшихъ ощущеній, и всякое новое
ощущеніе должно ассоціироваться съ наличностью бывшихъ,
войти съ ними въ опредѣленныя отношенія и дать воспріятіе,
въ составъ котораго войдутъ слѣдующіе элементы: воспомина-
ніе бывшаго, наличность затронутыхъ органовъ чувствъ и нѣ-
которая психическая дѣятельность, состоящая въ уясненіи со-
знательности испытываемаго впечатлѣнія, т.-е. всего комплекса
этихъ элементовъ.
Чтобы вполнѣ уяснить себѣ этотъ въ высшей степени ва-
жный психическій процессъ, возьмемъ нѣсколько примѣровъ,
при чемъ замѣтимъ, что воспріятія, какъ и ощущенія будутъ
психически различными, смотря по тому будемъ ли мы раз-
сматривать предметы, процессы или явленія, или когда воспрія-
тіе передается только словомъ. Причемъ это слово можетъ ха-
рактеризовать предметъ или явленіе или характеризовать нѣчто
не имѣющее конкретнаго содержанія, т.-е. то, что мы назы-
ваемъ отвлеченнымъ понятіемъ.
Пусть напримѣръ учитель показываетъ ученикамъ элек-
трическую машину. Для ясности пониманія процесса я возьму
одного ученика, имѣющаго возможность разсмотрѣть машину
во всѣхъ подробностяхъ. Онъ видитъ стеклянный кругъ, под-
ставку и мѣдныя части. Онъ не только видитъ, но и трогаетъ
части машины, перемѣщаетъ ихъ, отвинчиваетъ и приверты-
ваетъ винты. Эти зрительныя и осязательныя ощущенія соеди-
няются у него въ одинъ сложный коплексъ, который въ свою
очередь налагается на воспоминанія бывшихъ ощущеній отъ
стекла и металла. Въ силу этихъ наложеніи ученикъ ассоціи-
руетъ новое воспріятіе съ бывшими воспріятіями и безошибочна
узнаетъ тотъ матеріалъ изъ котораго сдѣлана машина.
Въ его новомъ воспріятіи есть старая подкладка, есть

укрѣпленныя ассоціаціи, съ которыми связываются новыя ощу-
щенія. Но въ этихъ ощущеніяхъ есть и совершенно новое —
это новое состоитъ въ конструкціи машины, въ томъ своеоб-
разномъ сочетаніи, въ которое вошелъ этотъ хорошо извѣстный
матеріалъ. Кромѣ матеріала ученикъ отмѣчаетъ знакомыя ему
формы: кругъ, шары, цилиндрическія поверхности, плоскости,
столбики, ручку и т. п. Здѣсь получается новый рядъ ассо-
ціацій, взятый изъ иной области психической жизни, изъ иныхъ
воспоминаній бывшихъ ощущеній. Все это соединяется вмѣстѣ,
почти безсознательно, почти мгновенно и даетъ воспріятіе но-
ваго прибора—электрической машины.
Таково воспріятіе предмета; это воспріятіе я могу дать
ученику, не показывая самого предмета, но рисуя его или объ-
ясняя словами. Въ такомъ видѣ ученикъ не испытываетъ ощу-
щеній, но можетъ воспринять новый образъ такъ, какъ будто
бы онъ ему былъ показанъ. Однако, очевидно, что этотъ сим-
волическій психическій процессъ будетъ рѣзко и существенно
отличаться отъ перваго процесса совершенно особаго рода
психической дѣятельностью; этотъ процессъ воспріятія будетъ
основанъ на воображеніи и не содержитъ реальныхъ ощуще-
ній. Въ немъ происходитъ, однако, все то, что происходитъ и
въ первомъ процессѣ съ тою разницею, что всѣ эти ощущенія
имѣютъ только воображаемое, но не реальное содержаніе.
Этотъ второй процессъ можно назвать отображеніемъ пер-
ваго:, въ немъ могутъ быть психическія ошибки, которыя по-
лезно отмѣтить.
Главная и основная ошибка можетъ быть въ томъ, что
слова учителя въ умѣ ученика не вызовутъ надлежащихъ пред-
ставленій, не будутъ имѣть надлежащаго содержанія, въ силу
разнородности ассоціацій у учителя и у ученика. Хотя бы на-
примѣръ въ томъ, что ученикъ никогда не видалъ толстаго
стекла и подъ словомъ стекло представляевъ себѣ хрупкую
тонкую вещь, изъ которой совершенно нельзя сдѣлать круга,
это его представленіе будетъ мѣшать ему въ дальнѣйшемъ
воспріятіи, потому что ему все будетъ казаться, что тонкій
стеклянный кругъ долженъ сейчасъ же лопнуть, Рисунокъ по-
могаетъ однородности представленій, но и здѣсь, какъ бы ни
былъ онъ хорошо сдѣланъ, могутъ быть иные пути воспоми-
наній тѣхъ ощущеній, которыя въ прошломъ испытывали эти
лица. Особенно это важно, когда одинъ, учитель, представля-
етъ себѣ реальный приборъ, а ученикъ только рисунокъ этого
прибора Это особенно сказывается въ воспоминаніи: учитель
забываетъ рисунокъ и мыслитъ приборъ, а ученикъ мыслитъ
рисунокъ и все то, что ассоціировалось съ этимъ рисункомъ:

форматъ картинки, подписи, цвѣтъ бумаги, поставленныя
буквы и пр. Здѣсь слѣдуетъ добавить, что все содержаніе вос-
пріятія совершенно измѣняется, когда ученикъ самъ сдѣлалъ
машину и получилъ отъ нея искру. При этомъ вводится со-
вершенно новый психическій актъ—ожиданіе. По существу этотъ
новый процессъ есть процессъ творчества, которое можетъ
происходить одновременно съ воспріятіемъ.
Перейдемъ теперь къ воспріятію процесса или явленія. Учи-
тель, повертывая ручку машины, электризуетъ кондукторъ и
извлекаетъ изъ него искры. Ученикъ воспринимаетъ движеніе
круга, яркость искры, ощущаетъ особый запахъ озона. Если
онъ самъ вертитъ ручку, то къ этому присоединяются его му-
скульныя движенія; когда онъ извлекаетъ искры, онъ чув-
ствуетъ покалываніе. Эти воспріятія ассоціируются съ воспо-
минаніями кругового движенія, цвѣтъ искры ассоціируется съ
цвѣтомъ пламени, молніи и т. п.; мускульныя движенія нахо-
дятъ себѣ откликъ въ другихъ мускульныхъ движеніяхъ, по-
калываніе сравнивается съ другими покалываніями, а слуховое
ощущеніе треска искры соединяется съ воспоминаніями дру-
гихъ слуховыхъ подобныхъ ощущеній. Все это совершенно не-
возможно передать ни картиной, ни словомъ, и воспріятіе са-
мого процесса можетъ быть передано только непосредственно
самимъ процессомъ.
Таково непосредственное взвѣшиваніе, непосредственное
измѣреніе длины, таковы всѣ воспріятія физическихъ и хими-
ческихъ явленій; они основаны непосредственно на фактически
испытанныхъ ощущеніяхъ и не могутъ быть ничѣмъ замѣнены.
Воспріятіе отвлеченныхъ понятій представляетъ собою вос-
пріятіе словъ. Воспріятіе словъ педагогически есть въ высшей
степени важный актъ психической жизни, такъ какъ все со-
временное обученіе, особенно математикѣ, основано на этомъ
воспріятіи.
Очевидно, что вопріятіе словъ можетъ происходить только
въ уже нагруженномъ сознаніи и здѣсь оно встрѣчаетъ раз-
личнаго рода элементы сознанія. Здѣсь на первое мѣсто слѣ-
дуетъ поставить тѣ слова, которыя выражаютъ воспринятая
ощущенія; они вызываютъ въ сознаніи образы, соотвѣтству-
ющія этимъ ощущеніямъ. Вообще говоря, здѣсь говорящій и
слушающій представляютъ себѣ одно и то же, даже, если они
различаются по возрасту и уровню своего развитія. Однако,
здѣсь слѣдуетъ различить одновременно воспринятыя ощуще-
нія, разновременно воспринятыя и ощущенія общей жизни.
Если два лица производятъ одинъ и тотъ же опытъ, то они
говорятъ о томъ, что въ общемъ одинаково чувствовали; если

одинъ изъ нихъ производилъ опытъ раньше, а потомъ тотъ
же опытъ производилъ другой, то оба опыта различаются по
обстановкѣ, по наличности постороннихъ ассоціацій, и слова
собесѣдниковъ различны, но все-таки настолько близки, что
они вполнѣ понимаютъ другъ друга. Иначе говоря оба собе-
сѣдника вкладываютъ въ слова одно и то же содержаніе. Со-
вершенно иное нужно сказать о томъ, когда слова выражаютъ
воспріятія изъ общаго опыта жизни; здѣсь всегда можно пред-
положить, что у слушателя нѣтъ того, о чемъ говоритъ гово-
рящій. Во всякомъ случаѣ здѣсь именно наличность очень боль-
шой педагогической ошибки, особенно въ преподаваніи матема-
тики. Учитель съ сильно нагруженнымъ сознаніемъ передаетъ
части своего опыта, пользуясь ясными, точными, конкретными
воспріятіями, полученными имъ самимъ въ гораздо болѣе поз-
днемъ возрастѣ, чѣмъ ученикъ, который съ малонагруженнымъ
сознаніемъ часто слышитъ слово, но совершенно не можетъ себѣ
представить, что оно значитъ. Онъ слышитъ фунтъ и думаетъ,
что фунтъ больше пуда или меньше? слышитъ сажень и пред-
ставляетъ себѣ ленту, въ которой обыкновенно 10 сажень, и
думаетъ, какая сажень длинная! Еще хуже, когда учитель,
пользуясь своей логической мощностью, старается точно опре-
дѣлить то или иное понятіе; здѣсь ученикъ совершенно безпо-
мощенъ, потому что его понятія еще не пріобрѣли логиче-
скаго оттѣнка, и онъ, слушая учителя, въ лучшемъ случаѣ
запоминаетъ порядокъ словъ, безъ всякаго смысла.
Однако, эта обширная категорія словъ представляетъ со-
бою въ многихъ случаяхъ тотъ единственный матеріалъ для
обмѣна мыслей, который, вообще говоря, мы можемъ считать
идентичнымъ для слушающаго и говорящаго.
То же самое можно сказать о переживаніяхъ, т. е. о сло-
весной передачѣ явленій, впечатлѣній, ощущеній, происходя-
щихъ въ мірѣ опыта. Здѣсь, точно также, слушатель воспри-
нимаетъ то, что онъ лично испытывалъ и переживалъ; но это
переживаніе одного и того же можетъ считаться идентичнымъ,
хотя оно болѣе субъективно и индивидуально. На этой иден-
тичности основанъ методъ нагляднаго обученія, наиболѣе пе-
дагогически цѣлесообразный и практичный.
Отъ всего этого психическаго процесса рѣзко отличается
воспріятіе отвлеченныхъ понятій; это воспріятіе основывается
на совершенно иной психологической подкладкѣ, которую мы
будемъ называть логической способностію мышленія. Эта спо-
собность развивается у человѣка довольно поздно, почти въ
зрѣломъ возрастѣ и остается дольше всѣхъ другихъ способно-
стей. Она не только индивидуально различна, но у одного и

того же субъекта различна въ разные эпохи его жизни Ре-
бенокъ въ 8 — 10 лѣтъ часто совершенно не понимаетъ грамма-
тическаго разбора, тогда какъ въ 10 — 12 лѣтъ свободно его
усваиваетъ. Математическая символика бываетъ совершенно
чужда душѣ ребенка и обаятельна для ума взрослаго человѣка.
Все это показываетъ намъ, что воспріятіе отвлеченныхъ поня-
тій есть жизненный процессъ, который появляется въ сравни-
тельно позднее время и обученіе можетъ быть плодотворно
только наличности этого процесса.
Чтобы выяснить этотъ процессъ воспріятія, необходимо по-
знакомиться съ образованіемъ понятій и со способностью от-
влеченія. Въ силу этого я буду говорить о немъ позднѣе.
§ 4. Представленіе и ихъ типы.
Когда какой нибудь предметъ или явленіе даетъ комплексъ
ощущеній, то эти ощущенія вслѣдстіе органической структуры
мозга переработываются въ воспріятія; эти воспріятія запоми-
наются и могутъ быть воспроизведены вновь въ сознаніи. Вос-
произведенія бывшихъ воспріятіи называется представленіемъ.
Весь этотъ процессъ имѣетъ біологическій характеръ, такъ
какъ онъ свойствененъ не только человѣку, но и высшимъ
животнымъ и даже насѣкомымъ, напр. муравьямъ.
Однако, имѣя органическій харктеръ, онъ является внут-
реннимъ процессомъ, процессомъ сознанія, психологическимъ.
Представленіе есть то, въ чемъ выражается внѣшній міръ внутри
личности, какъ бы тотъ нумеръ, надъ которымъ предметъ или
явленіе зарегистровывается во внутреннемъ мірѣ, въ сознаніи
личности. Процессъ этотъ вслѣдствіе его біологическаго харак-
тера начинается съ первыхъ моментовъ жизни человѣка. когда
новорожденный соприкасается съ внѣшнимъ міромъ.
Эти представленія запоминаются, но не всѣ; организмъ
выбираетъ только нужныя ему представленія въ болѣе или менѣе
ограниченномъ числѣ, остальныя отбрасываетъ, какъ лишній
балластъ. Какова бы ни была физіологическая теорія памяти,
можно сказать съ увѣренностью, что запоминается вс^ то, что
наиболѣе часто повторяется, къ чему образуется привычка.
Человѣкъ не помнитъ первыхъ дней своей жизни, онъ за-
бываетъ цѣлые года, но это не значитъ, чтобы въ эти года и
въ эти дни его сознаніе не усвоивало новыхъ представленій,
даже болѣе—новыхъ понятій.
Количество имѣющихся представленій въ данный моментъ
жизни можно назвать нагрузкой сознанія.

Разсмотримъ сначала образованіе и свойства представленійу
а потомъ попробуемъ опредѣлить нагрузку сознанія ребенка.
Процессъ представленія есть болѣе высокая ступень раз-
витія той же основной функціи сознанія, которая проявляется
и въ воспріятіи.
I. Іерузалемъ въ своемъ „учебникѣ психологіи" такъ ха-
рактеризуетъ воспріятіе и представленіе: „Характерное разли-
чіе состоитъ въ томъ, что самодѣятельность души, входящая
особымъ элементомъ уже въ составъ воспріятія, развивается
въ жизни представленія съ гораздо большей силой и потому
сознается нами гораздо болѣе отчетливо.
Мои воспріятія привносятся извнѣ и, какъ бы, навязываются
мнѣ. Мои образы, воспоминанія и представленія воображенія
независимы въ большей части отъ внѣшнихъ раздраженіи: я
могу вызывать ихъ по собственному усмотрѣнію, они соста-
вляютъ мое достояніе, находящееся всегда въ моемъ распоря-
женіи, онѣ принадлежатъ мнѣ". Собственно послѣдняя форму-
лировка подлежитъ нѣкоторому ограниченію, которое значи-
тельнѣе, чѣмъ это сдѣлалъ авторъ, поставивъ „въ большей
части". Быть можетъ, правильнѣе сказать, что имѣющіяся въ
сознаніи представленія вызываются условіями даннаго момента
жизни личности, но могутъ быть вызваны и волевымъ актомъ,
точно также вызванныя представленія могутъ быть подавлены.
Во всякомъ случаѣ личность не является полнымъ господиномъ
своихъ представленій, и это необходимо учесть.
Такъ напримѣръ: ребенка побили или вообще наказали:
онъ находится во власти тѣхъ печальныхъ представленій, ко-
торыя вызваны этимъ актомъ среды. Теченіе этихъ печальныхъ
представленій можно прервать, приласкавъ ребенка, сказавъ
ему слово утѣшенія. Въ обоихъ случаяхъ есть внѣшній актъ,
который направляетъ струю представленій въ ту или иную
сторону. Далѣе, г. Іерузалемъ говоритъ: „Воспріятія имѣютъ пе-
риферическое, представленія—центральное происхожденіе. Вос-
пріятіе относится къ первичной, представленіе—къ вторичной
ступени, и въ этомъ состоитъ характерная черта обоихъ
переживаній. Воспріятіе дѣйствуетъ непосредственно съ полной
внутренней живостью, съ неотвратимой принудительностію, но
оно приходитъ извнѣ и остается отдѣльнымъ, бѣднымъ, если
оно не вызываетъ представленій, которыя связываютъ его со
всѣмъ моимъ я. Представленіе въ нормальномъ состояніи, при
самомъ живомъ воображеніи, никогда не достигаетъ непосред-
ственности и неотвратимости воспріятія, однако оно всегда
отличается большимъ богатствомъ, всегда бываетъ включено
въ болѣе богатыя связи.

Поэтому воспріятіе нуждается въ обработкѣ, въ формировкѣ
и въ разчлененіи черезъ жизнь представленія, между тѣмъ какъ
эта послѣдняя, въ свою очередь зависитъ отъ постояннаго при-
тока, постояннаго обогащенія со стороны ощущеній".
Итакъ, согласно только что изложенному, мы должны пред-
ставить себѣ, что внѣшній міръ со всѣми его подробностями
болѣе или менѣе точно отображается во внутреннемъ самосозна-
ніи личности въ видѣ представленій.
Перейдемъ теперь въ область этого внутренняго міра и
попробуемъ нѣсколько въ немъ разобраться. Первое, что мы
можемъ сказать о представленіяхъ, это то, что ихъ можно раз-
бить на типы:
1) образъ воспоминанія или прямо образъ есть такое пред-
ставленіе, въ которомъ прежнія переживанія и прежніе опыты
воспроизводятся съ наименьшимъ измѣненіемъ. Сюда относят-
ся какіе-нибудь единичныя факты жизни, напр. воспоминаніе
о путешествіи, о какомъ-нибудь приключеніи и т. п. Сюда же
относятся и отвѣты ученика на заданный урокъ, такъ напри-
мѣръ, ученикъ описываетъ видѣнную имъ машину по образу
воспоминанія.
Психическая способность удерживать образы воспоминанія
называется памятью. Итакъ, можно сказать, что память есть
складъ представленій перваго типа.
2) представленіями воображенія мы называемъ тѣ предста-
вленія, которыя представляютъ собою новыя образованія изъ
пережитыхъ воспріятіи. Способность образовать такія пред-
ставленія называется силой воображенія или фантазіей. Силу
воображенія слѣдуетъ отличать отъ силы представленія. Такъ
въ чертежѣ геометрической фигуры представить эту фигуру
въ дѣйствительности, еще не значитъ имѣть силу воображенія,
а только силу представленія. Сила воображенія есть сила, спо-
собная къ творческой дѣятельности, къ новой комбинаціи
представленій; это сила, создающая геометрическія построенія,
физическія гипотезы, художественные образы. Она предста-
вляетъ собою новый шагъ въ развитіи представленій. Собствен-
но образъ воспоминанія, вообще говоря, никогда не дастъ фо-
тографическаго портрета воспріятія, но всегда содержитъ нѣ-
которую долю воображенія. Другими словами, сила воображенія
присуща всякому человѣку и содержится во всякомъ предста-
вленіи, и если мы раздѣляемъ представленія на типы, то это
только по большинству тѣхъ или иныхъ признаковъ.
3) типическія представленія, которыя нѣкоторые психологи
называютъ общими представленіями и приравниваютъ къ по-
нятіямъ (Челпановъ); ихъ также можно назвать идеями. Ти-

пическимъ представленіемъ называется также умственное по-
строеніе, которое относится къ группѣ или классу сходныхъ
предметовъ.
„Ежедневно и ежечасно мы оперируемъ такими предста-
вленіями, говоритъ г. Іерузалемъ, не всегда сознавая это вполнѣ
ясно. Типическія представленія производятъ иногда впечатлѣніе
индивидуально опредѣленныхъ и индивидуально окрашенныхъ
единичныхъ представленій". Они представляютъ собою высшую
точку, до которой достигаетъ психическій процессъ въ отдѣлѣ
представленій и находятся на границѣ понятій. Понятія лише-
ны наглядности, они нуждаются въ опредѣленіи; образы вос-
поминанія единичны, наглядны и индивидуально опредѣленны;
Типичныя представленія совмѣщаютъ наглядность и общность.
Вслѣдствіе этого мы инстинктивно, вслѣдствіе самосохраненія,
стараемся намѣренно порождать и утилизировать ихъ для бо-
лѣе высокихъ цѣлей.
Чтобы понять значеніе типическихъ представленій и въ то
же время отдѣлить ихъ отъ понятій, возьмемъ геометрическій
рисунокъ. Нарисованъ треугольникъ, обычно остроугольный-
вначалѣ это есть образъ воспоминанія, и въ немъ сознаніе не
видитъ ничего иного, кромѣ рисунка и фигуры; но, когда мы
болѣе детально познакомимся со свойствами этой фигуры, то
она теряетъ свои индивидуальныя черты и становится типи-
ческимъ представленіемъ. Мы легко можемъ измѣнять длины
сторонъ, преобразуя данный треугольникъ въ равнобедренный
и равносторонній; мы измѣняемъ величины угловъ, представляя
себѣ данный остроугольный треугольникъ въ видѣ прямоуголь-
наго или тупоугольнаго. Эта независимость представленія
свойствъ отъ вида фигуры и даетъ намъ типическое представле-
ніе, но не понятіе о треугольникѣ, которое требуетъ опредѣле-
нія, т. е. перечисленіе основныхъ элементовъ. Мы видимъ тре-
угольникъ, и это съ насъ достаточно, не умѣя сказать даже,
что именно называется треугольникомъ.
Высшей точки своего развитія типическія представленія
достигаютъ въ искусствѣ; но представляютъ собою продукты
очень ранней ступени развитія. Можно сказать даже, что ти-
пическія представленія есть первый этапъ абстракціи, т.-е.
того, что мы называемъ логическимъ понятіемъ. Ими пользу-
ются ученики почти все время, когда проходятъ курсъ средней
школы, и только мало по малу они впослѣдствіи переходятъ
въ чистыя понятія и то по отдѣлу выбранной спеціальности.

§ 5. Теченіе представленій—Ассоціація и апперцепція.
Во время процесса своей жизни личность попадаетъ въ
разныя условія психическаго состоянія окружающей среды.
Первое изъ этихъ условій есть ростъ самой личности, и, со-
отвѣтственно ему, измѣненіе отношеній къ окружающимъ, а
второе—перемѣна самой среды, напримѣръ, когда ребенокъ
поступаетъ въ школу, когда онъ оканчиваетъ школу и всту-
паетъ въ жизнь.
Каждое такое измѣненіе, съ одной стороны, вноситъ въ со-
знаніе новыя преставленія, а съ другой—требуетъ изъ имѣ-
ющихся тѣ, которыя необходимы въ данное время и при дан-
ныхъ условіяхъ. Въ этомъ процессѣ представленія подчиняются
закону жизни, состоящему въ томъ, что всякій элементъ, не
находящій себѣ питанія въ окружающей средѣ, умираетъ и
отпадаетъ; выживаютъ и крѣпнутъ только тѣ элементы, для
которыхъ имѣются въ окружающей средѣ подходящія условія.
Такъ, по окончаніи школы быстро забывается вся школьная
наука, если только личность не продолжаетъ обученія; такъ
забываются годы дѣтства, забывается все то, что перестаетъ
быть нужнымъ. Однако, посреди этого забвенія, иногда сохра-
няются нѣкоторыя группы представленій почему либо прочно
запомнившіеся; но эти группы имѣютъ одинокій характеръ вос-
поминаній, неимѣющихъ продолженія. Такъ запоминаются скло-
ненія и спряженія иностраннаго языка, а особенно нѣкоторыя
исключенія. Я не буду останавливаться на этихъ аномаліяхъ
воспоминаній, не умѣя ихъ объяснить, но обращу вниманіе на
то, что среди этого забвенія есть нѣчто не забывающееся орга-
нически; это нѣчто составляетъ ту сущность внутренняго міро-
созерцанія, которую я называю самосознаніемъ. Въ этомъ са-
мосознаніи есть ядро, около котораго группируются предста-
вленія и могутъ быть вызваны всегда, когда является необхо-
димость коснуться этого ядра. Кромѣ ядра есть еще времен-
ныя представленія, которыя запоминаются на время и затѣмъ
забываются. Итакъ, всѣ представленія, находящіеся въ само-
сознаніи личности я раздѣляю на три категоріи: 1) основныя,
2) временныя и 3) случайныя. Во всѣхъ этихъ категоріяхъ пред-
ставленій существуютъ всѣ три типа, которыя зависятъ отъ
характера воспріятія, его продолжительности и его повторя-
емости.
Не касаясь вообще вопроса о томъ, какъ человѣкъ мы-
слитъ и какъ онъ выражаетъ свои представленія словами, мы

прослѣдимъ процессъ теченія представленій въ двухъ напра-
вленіяхъ: въ направленіи разсказа и направленіи мысли. Поло-
жимъ, что кто-либо передаетъ намъ событіе своей жизни или
какой либо фактъ, которому онъ былъ свидѣтелемъ. Въ этой
передачѣ онъ вызываетъ въ своемъ самосознаніи тѣ предста-
вленія, которыя соотвѣтствуютъ событію. Первымъ психиче-
скимъ актомъ является желаніе передать событіе; это желаніе
возникаетъ въ силу настроенія, а само настроеніе возникло
подъ вліяніемъ момента жизни и окружающей среды. Человѣкъ
находится въ обществѣ, гдѣ зашелъ разговоръ о разныхъ со-
бытіяхъ въ жизни, и вотъ у него возникло желаніе разсказать
то, что онъ пережилъ; это желаніе, вообще говоря, такъ силь-
но, что его неудовлетвореніе доставляетъ страданіе. Подъ
вліяніемъ этого желанія, въ самосознаніи человѣка вспыхнуло
въ общихъ чертахъ воспоминаніе, вспыхнуло оно безо всякихъ
подробностей, въ самыхъ общихъ чертахъ, какъ фактъ, какъ
представленіе. Когда человѣкъ началъ разсказывать, то всѣ
частныя представленія начинаютъ возникать съ большей и
большей подробностью. Это возникновеніе частныхъ предста-
вленій подчиняется законамъ ассоціацій. Въ умѣ возникаетъ
представленіе воспріятіи, а эти воспріятія разлагаются по
органнымъ чувствъ. Разсказчикъ какъ бы вновь переживаетъ
испытанное въ томъ видѣ, какъ онъ его воспринялъ: онъ ви-
дитъ передъ собою то, что онъ видѣлъ; слышитъ то, что онъ
слышалъ; осязаетъ то, что онъ осязалъ и думаетъ то, что онъ
думалъ. Въ своемъ разсказѣ онъ можетъ остановиться на ка-
ждой изъ этихъ подробностей, и каждая изъ нихъ вызываетъ
въ умѣ все новыя и новыя представленія. Такъ какъ въ со-
бытіи многое шло одновременно, а въ разсказѣ все пережитое
приходится передавать послѣдовательно, то часто бываетъ, что
разборъ подробностей закрываетъ цѣлое. Анализируя разсказъ
мы, конечно, можемъ судить лишь о томъ, какъ говорящій вос-
принялъ событіе, а не о томъ, какъ оно на самомъ дѣлѣ про-
исходило. Въ этомъ анализѣ мы видимъ, что представленія со-
единились другъ съ другомъ; разберемъ это соединеніе. Здѣсь
устанавливается два закона: законъ смежности состоитъ въ
томъ, что воспріятія, которыя переживались одновременно или
въ непосредственной преемственности, вступили въ такую
связь другъ съ другомъ, что при появленіи одного предста-
вленія воспроизводятся и другія представленія.
Согласно этому закону, когда въ окружающей средѣ что
либо напомнитъ пережитое событіе, то оно воспроизводится въ
сознаніи во всемъ его объемѣ. Такъ ученикъ ассоціируетъ
предметъ обученія съ личностью учителя, съ изучаемымъ учеб-

никомъ, съ представленіемъ класса и своихъ товарищей. Каждая
изъ этихъ подробностей всегда можетъ занять доминирующее
мѣсто, и тогда другія подробности становятся какъ бы въ
тѣни, менѣе замѣтны. Выборъ этой подробности называется
апперцепціей и представляетъ собою то, на чемъ сосредоточи-
вается наше вниманіе. Такъ напримѣръ, слушая объясненіе
учителемъ урока по геометріи, ученикъ воспринимаетъ и лич-
ность учителя и манеру его говорить, его жесты и мимику;
воспринимаетъ классную обстановку, положеніе доски, това-
рищей, ихъ настроеніе чертежъ на доскѣ и ходъ доказательствъ.
Все это представляетъ собою комплексъ представленій, кото-
рыя ассоціируются другъ съ другомъ по закону смежности.
Ученикъ можетъ обратить вниманіе на каждую изъ этихъ
подробностей, и эта подробность будетъ занимать въ его сознаніи
доминирующее мѣсто. Онъ можетъ внимательно слѣдить за ма-
нерой и жестами учителя, тогда доказательство теоремы бу-
детъ какъ бы въ тѣни; онъ можетъ наблюдать состояніе уче-
никовъ, ихъ отношеніе къ объясненію, тогда въ тѣни будутъ
и манеры учителя и его объясненія; онъ можетъ слѣдить за
объясненіемъ, тогда все прочее отступаетъ на второй планъ.
Выборъ того, на чемъ ученикъ сосредоточиваетъ свое внима-
ніе называется апперцепціей. Это не значитъ, что всѣ пред-
ставленія сложной ассоціаціи пропали для сознанія. Въ буду-
щемъ, когда возникаетъ представленіе урока, всегда возможно,
что второстепенная ассоціація занимаетъ первое мѣсто. Такъ
при отвѣтѣ урока, ученикъ волевымъ импульсомъ вызываетъ
воспоминаніе объясненія учителя и затѣняетъ то, что было на
первомъ мѣстѣ въ его воспріятіи. Α въ шутливой бесѣдѣ съ
товарищами онъ воздвигаетъ на первое мѣсто манеру учителя,
хотя во время объясненія онъ совершенно за ней не слѣдилъ.
Въ этой способности выдвигать на первое мѣсто нужныя пред-
ставленія изъ сложной ассоціаціи состоитъ наиболѣе важный
законъ теченія представленій.
Отъ закона ассоціацій по смежности слѣдуетъ отличить
механическое запоминаніе ряда событій и словъ. Въ этомъ про-
цессѣ механическаго запоминанія нѣтъ выбора, нѣтъ аппер-
цепціи, а есть только одна послѣдовательность. Такъ, уче-
никъ, отвѣчая выученный урокъ, передаетъ часто запомненное,
но не воспринятое, и ходъ его разсказа не подчиняется закону
ассоціаціи, а только законамъ запоминанія.
Второй законъ теченія представленій есть законъ ассоціа-
цій по сходству, который состоитъ въ томъ, что если одно
представленіе сходно съ другимъ, то оба они могутъ быть вы-

званы одновременно, т.-е. при наличности одного изъ нихъ
вызывается и другое.
Разсматривая этотъ законъ *), г. Іерузалемъ говоритъ:
Дѣятельность этого закона проявляется совершенно иначе,
чѣмъ дѣятельность закона смежности. Когда мы разсматри-
ваемъ фотографическую карточку нашего знакомаго, мы узна-
емъ его потому, что зрительное впечатлѣніе, вызываемое фо-
тографіей, сходно съ тѣмъ, которое оставляли въ насъ черты
его лица. Самый актъ узнаванія есть сужденіе, поводомъ къ
которому служитъ для насъ лежащая въ его основѣ ассоціація
по сходству.
Итакъ, въ то время какъ ассоціаціи по смежности текутъ
сами собою, вызывая другъ друга помимо нашего волевого
акта, иногда помимо даже нашего желанія, ассоціаціи по сход-
ству составляютъ элементъ или основу болѣе высокаго психи-
ческаго акта - сужденія. Это не значитъ, чтобы ассоціаціи по
смежности не могли быть элементами сужденій; но они могутъ
быть, могутъ и не быть; тогда какъ ассоціаціи по сходству
всегда являются основой нѣкотораго сужденія, т.-е., для ихъ
появленія необходимъ волевой актъ, который можетъ быть
автоматиченъ, но который нужно воспроизвести и которому
нужно научиться. Такимъ образомъ намъ необходимо разгра-
ничить актъ сужденія отъ акта теченія представленій. Это
разграниченіе не всегда легко сдѣлать въ дѣйствительности,
но теоретически можно указать тѣ признаки, когда мы должны
психическій процессъ отнести къ теченію представленій по
ассоціаціи сходства.
Чтобы разобраться въ этомъ трудномъ вопросѣ, мы отмѣ-
тимъ предварительно, что есть два рода сужденій: логическое,
когда мы строимъ силлогизмъ, напримѣръ говоря о подобіи
треугольниковъ мы строимъ такой силлогизмъ:
1) Подобными треугольниками называются такіе, у кото-
рыхъ углы равны.
2) Данные треугольники имѣютъ равные углы.
3) Слѣд. они подобны.
Отъ логическихъ сужденій слѣдуетъ отличать психическія
сужденія, гдѣ силлогизма не строится, но происходитъ психо-
логическое сравненіе даннаго представленія съ имѣющимся или
двухъ данныхъ представленій. Напримѣръ, мы говоримъ, что
эти портреты очень похожи на то лицо, съ котораго они сня-
ты. Здѣсь нѣтъ силлогизма, но есть процессъ сравненія, а этотъ
психологическій процессъ сравненія и будетъ психическимъ
*) Законъ формулированъ иначе въ учебникѣ г. Іерузалема.

сужденіемъ, которое г. Іерузалемъ называетъ отожествленіемъ.
Отожествленіе не есть ассоціація сходства, а представляетъ
собою особый психическій процессъ, на основаніи котораго мы
судимъ о сходствѣ. Но, если въ нашемъ самосознаніи не
является процесса сужденія, а есть только воспріятіе, которое
вызываетъ нѣкоторое представленіе бывшаго, то это новое вос-
пріятіе и бывшее представленіе ассоціировались по сходству.
Такъ мотивъ, напѣваемый въ нашемъ присутствіи, вызываетъ
въ насъ представленіе оперы или концерта, и не знакомая
личность вызываетъ образъ знакомаго человѣка своими общими
чертами. Но это есть воспроизведеніе по сходству, отъ кото-
раго уже не трудно перейти къ ассоціаціи по сходству. Такъ
напр. извѣстная Пиѳагорова теорема носитъ въ общежитіи на-
званіе Пиѳагоровы штаны, ибо рисунокъ ея доказательства
напоминаетъ эту часть костюма. Между тѣмъ и другимъ уста-
новилась ассоціональная связь по сходству. Такъ, особый воен-
ный строй римскаго войска назывался свиньей и т. п. Здѣсь,
если въ умѣ возникаетъ одно представленіе, то сразу возни-
каетъ и другое, хотя между ними нѣтъ никакой смежности.
Опять повторю, что ассоціаціи по сходству легко смѣшать
съ сужденіями, и моему мнѣнію раздѣленіе этихъ ассоціацій на
отожествленіе чувственныхъ воспріятіи и отожествленіе отно-
шеній, данное г. Іерузалемъ есть психическія сужденія, кото-
рыя, строго говоря, не могутъ входить въ область теченія
представленій.
§ 6. Психологическое возникновеніе понятій.
То, что является въ нашемъ сознаніи, когда возобновляется
или воспроизводится какое либо ощущеніе, называется пред-
ставленіемъ. Ощущенія возникаютъ вслѣдствіе непосредствен-
наго возбужденія органовъ чувствъ, представленіе возникаетъ
только благодаря центральному возбужденію. Такъ напр. если
мы будемъ пробовать поднимать различные предметы, то мы
будемъ испытывать различныя ощущенія тяжести этихъ пред-
метовъ. Такія ощущенія являются непосредственно, исходятъ
изъ внѣшняго міра и дѣйствуютъ на наше мускульное чувство.
Эти ощущенія сохраняются, и мы можемъ вспомнить каждое
изъ нихъ; это воспоминанія, или умственное, внутреннее вос-
произведеніе каждаго изъ этихъ ощущеній называется пред-
ставленіемъ.
Представленія могутъ быть единичные и множественные.
Когда ученикамъ въ первый разъ показали электрическую ма-

шину, которую они до сихъ норъ никогда не видали, то у
нихъ будетъ единичное представленіе объ этой машинѣ. Оно
можетъ быть рѣзко и отчетливо, но не имѣетъ элементовъ
сравненія. Подъ именемъ электрической машины они будутъ
представлять себѣ только ту машину, которую они видѣли.
Таково представленіе человѣка о горахъ, о морѣ, если онъ
только одинъ разъ ихъ видѣлъ, испыталъ только одно ощу-
щеніе. Но, когда такихъ ощущеній накапливается довольно
много, то возникаетъ особый умственный процессъ, посред-
ствомъ котораго создается понятіе. Подъ терминомъ понятіе
мы будемъ понимать такое умственное построеніе, которое отно-
сится къ группѣ сходныхъ предметовъ или къ классу сходныхъ
явленій.
Намъ необходимо нѣсколько проникнуть въ этотъ умствен-
ный процессъ и понять, какъ именно изъ представленій воз-
никаютъ понятія. Чтобы объяснить это, возьмемъ какой-ни-
будь конкретный примѣръ. Положимъ, что тѣ же ученики,
или одинъ изъ нихъ, послѣ того какъ познакомился въ классѣ
съ электрической машиной, пошелъ въ магазинъ, гдѣ ему по-
казали нѣсколько машинъ различныхъ типовъ, а придя домой,
онъ открылъ учебникъ исторической физики, въ которомъ
прочиталъ описаніе прежнихъ приборовъ этого рода. Его пред-
ставленія, такимъ образомъ, разбились на двѣ категоріи: не-
посредственнаго опыта и непосредственныхъ ощущеній и впе-
чатлѣній, полученныхъ изъ чтенія книги и разсматриванія ри-
сунковъ. Назовемъ черезъ St, S2, S3 и т. д. непосредственныя
впечатлѣнія отъ видѣнныхъ машинъ, и черезъ S/, S2', S3' отъ
прочитанныхъ и обозначимъ отдѣльные элементы каждаго вос-
пріятія буквами a, b, с... съ соотвѣтственными значками.
Тогда
Sj состоитъ изъ а1, bt, с,
52 η ч a2, b2, Cg....
53 „ „ a3, b3, c3...
S/ состоитъ изъ а/, b,', с/ ...
S2 „ „ а2 , b.j , Cg . . . .
Теперь у ученика уже нѣтъ ощущеній, у него есть только
представленія, которыя онъ накладываетъ другъ на друга и
сравниваетъ другъ съ другомъ. Въ этомъ процессѣ наложенія
и сравненія участвуетъ не одна психическая дѣятельность
ума, но и логическая дѣятельность, т.-е. происходитъ умствен-
ная работа, въ результатѣ которой всѣ эти элементы а, b.c..

съ различными значками раздѣляются на двѣ категоріи: эле-
ментовъ общихъ для всѣхъ электрическихъ машинъ и элемен-
товъ индивидуальныхъ, присущихъ какой либо одной изъ нихъ.
Индивидуальные элементы отбрасываются, часто забываются,
а общіе связываются въ одно цѣлое. Эти общіе элементы не
будутъ уже мыслится, какъ элементы того или иного предста-
вленія, они не будутъ имѣть конкретной формы, а нѣкоторую
особую форму, которую мы обозначимъ буквами α, β, γ... Сово-
купность этихъ обобщенныхъ элементовъ образуетъ цѣлое Σ,
которое и называется понятіемъ.
Здѣсь могутъ быть разныя возможности. Можетъ быть,
что внѣшній видъ аппарата и его подробности совершенно
одинаковы, какъ напр. у телефона. Тогда понятіе совпадаетъ
съ представленіемъ или, лучше сказать, у человѣка не возни-
каетъ понятія, а только представленіе. Для составленія понятія
онъ долженъ разобрать приборъ, уяснить себѣ дѣйствіе отдѣль-
ныхъ его частей, т.-е. произвести не элементарную психиче-
скую работу, а болѣе сложную, которая пока не входитъ въ
область нашего обсужденія. Вторая возможность будетъ со-
стоять въ томъ, что элементы представленій слишкомъ разно-
образны, т.-е. конструкція и внѣшній видъ приборовъ такъ
разнообразенъ, что трудно выдѣлить общіе элементы, уловить
сущность конструкціи. Въ этомъ случаѣ также не возникаетъ
понятія, а только рядъ представленій, или уложенныхъ въ си-
стему, или не уложенныхъ въ систему. Въ томъ и другомъ
случаѣ полученіе понятія потребуетъ сложной умственной
работы.
Такія понятія, которыя получены нами непосредственно
изъ ощущеній, т.-е. изъ представленій, полученныхъ отъ ощу-
щеній, мы будемъ называть конкретными, а путь, при помощи
котораго они получаются абстракціей или отвлеченіемъ. Изъ
изложеннаго ясно, что среди этихъ конкретныхъ понятій су-
ществуютъ различныя степени, соотвѣтствующія большей или
меньшей сложности той умственной работы, которую мы должны
произвести для ихъ полученія. Такія понятія какъ домъ, де-
рево, животное и т. п. мы получаемъ непосредственно, есте-
ственнымъ процессомъ мышленія, соединеннымъ съ физіологи-
ческой жизнью; а такія понятія, какъ телефонъ, электрическая
машина и т. п. мы можемъ получить путемъ научнаго изслѣ-
дованія и изученія. Однако, всѣ эти понятія будутъ принадле-
жать къ отдѣлу конкретныхъ или эмпирическихъ понятій,
если они получены на основаніи личныхъ ощущеній. Всѣ эти
понятія имѣютъ нѣчто общее, позволяющее выдѣлить ихъ въ
особую группу. Это общее можно формулировать такъ: всѣ

конкретныя (эмпирическія) понятія содержатъ группы чув-
ственныхъ ассоціацій тѣхъ воспріятіи, которыя получены или
одновременно или являются какъ группы однородныхъ пред-
ставленій.
Въ силу этого всѣ такія понятія могутъ быть описаны, но
не опредѣлены. Мы описываемъ физическія приборы, города,
природу, условія жизни разныхъ мѣстностей, но не можемъ
опредѣлить, что такое домъ, что такое дерево, что такое теле-
фонъ и т. п.
Если бы мы сказали, что домъ есть сооруженіе, необходи-
мое для жизни человѣка, а телефонъ—аппаратъ, при помощи
котораго можно разговаривать на далекихъ разстояніяхъ, то,
ясно, что это не суть опредѣленія понятій, а цѣли назначенія
приборовъ, т.-е это есть не опредѣленіе понятія, а опредѣле-
ніе цѣли, въ самомъ понятіи не содержащейся.
Отъ этихъ конкретныхъ или эмпирическихъ понятій слѣ-
дуетъ отличить понятія символическія, въ которыхъ связыва-
ются ощущенія съ представленіями, напримѣръ зрительный
образъ буквы даетъ представленіе звука, а зрительный образъ
ряда буквъ, представленіе слова. Сюда относятся знаки дѣй-
ствій, цифры, ноты и т. п. Всѣ эти понятія имѣютъ ту осо-
бенность, что они ассоціируются не съ родственными элемен-
тами, непосредственно въ нихъ содержащимися, а искусственно
съ элемнтами иного порядка. Въ цифровомъ знакѣ нѣтъ
числа, а въ числѣ нѣтъ цифрового знака, однако въ сознаніи
цифровой знакъ тѣсно ассиціируется съ числомъ и не можетъ
быть отъ него отдѣленъ. Искусственная ассоціація этихъ по-
нятій требуетъ особаго усвоенія, которое называется обуче-
ніемъ. Слѣдуетъ отмѣтить, что представленія имѣютъ стаціо-
нарный характеръ, тогда какъ понятія непрерывно трансформи-
руются въ теченіи жизни человѣка. Они нарождаются еще въ
дѣтствѣ и тогда же начинаетъ происходить процессъ ихъ обра-
ботки и трансформаціи. Эта послѣдняя обусловливается тѣмъ
психическимъ процессомъ, въ силу котораго понятіе не можетъ
стоять одиноко въ самосознаніи личности: оно вступаетъ въ
сочетанія съ другими понятіями, образуя сужденіе. Этотъ про-
цессъ образованія сужденій также начинается въ раннемъ
дѣтствѣ и не прерывается до послѣднихъ дней жизни. Но,
нельзя думать, что это процессъ только чисто логическій; по
существу можно сказать, что онъ еще очень мало изслѣдо-
ванъ, но здѣсь содержится и художественное творчество и
сужденія обыденной жизни и научныя изслѣдованія.
Въ заключеніе не могу не отмѣтить здѣсь еще и того
факта, что въ области обученія новыя понятія вводятся путемъ

ихъ опредѣленія: „Подлежащимъ называется и т. д." „Умно-
женіе есть дѣйствіе, посредствомъ котораго и т. д." Такой
способъ ознакомленія съ психологической точки зрѣнія пред-
ставляетъ собою сплошной абсурдъ. Педагогически мы дости-
гаемъ извѣстныхъ результатовъ, благодаря тому, что ученики
заучиваютъ всѣ эти опредѣленія и впослѣдствіи, когда у нихъ
образуются понятія, то они пользуются формулировкой, если
она сохранилась въ памяти. По большей части все это быстро
забывается, понятій не образуется, и ученикъ спѣшитъ осво-
бодить свое самосознаніе отъ совершенно лишняго балласта.
Въ этомъ отношеніи очень интересно отмѣтить, что ученики,
выучившіе гламматику во второмъ классѣ, совершенно забы-
ваютъ ее въ теченіи лѣта; математическая теорія дробей и
объясненіе правилъ производства дѣйствій изчезаютъ изъ па-
мяти на столько, тто часто кажется, что ничего этого ни-
когда я не учили.
§ 7. Логическая обработка понятій.
Вопросъ о понятіяхъ разсматривается въ двухъ наукахъ:
въ психологіи и логикѣ. Интересно опредѣлить, говорится ли
въ той и другой наукѣ объ одномъ и томъ же, или же—„по-
нятіе" въ психологіи есть нѣчто иное, чѣмъ „понятіе въ ло-
гикѣ. Если это одно и то же, то почему говорить о немъ два
раза, если это различно, то въ чемъ заключается разница? На
мой взглядъ это есть одно и то же, т.-е. у человѣка находится
въ самосознаніи нѣчто, что мы называемъ понятіемъ; но отно-
сится человѣкъ къ этому нѣчто, къ своему понятію, различно.
Въ психологіи разсматривается вопросъ о томъ, какъ чело-
вѣкъ пріобрѣтаетъ понятія; въ логикѣ,—какъ онъ пользуется
пріобрѣтеннымъ при передачѣ своей мысли другимъ людямъ.
Человѣкъ, пріобрѣтши какое либо понятіе, имѣетъ его въ скры-
той, потенціальной формѣ и невольно, органически стремится
проявить пріобрѣтенное въ открытой кинетической формѣ. Для
этой цѣли, онъ обрабатываетъ пріобрѣтенное понятіе особымъ
процессомъ мышленія, который называется логическимъ. Когда
понятіе завершитъ свой полный кругъ, т.-е. будетъ обработано
психологически и логически, то тогда оно становится полнымъ
достояніемъ чсловѣка, и онъ имъ пользуется для построенія
своихъ разсужденій, выводовъ и доказательствъ. Это новое
построеніе будетъ называться силлогизмомъ.
Я остановлюсь только на первомъ умственномъ процессѣ—
на логической обработкѣ понятій.

Согласно моей гипотезѣ, эта логическая обработка поня-
тій нужна человѣку для того, чтобы передать свой строй мысли
другимъ людямъ; но такъ какъ эта передача или, лучше ска-
зать, самая возможность этой передачи, составляетъ конечный
пунктъ мышленія, то сама мысль оканчивается тогда, когда
она уложится въ соотвѣтственную логическую форму. Такимъ
образомъ у лица воспринимающаго новыя понятія, непосред-
ственно вслѣдъ за психической дѣятельностью возникаетъ ло-
гическая, и когда само понятіе оформится въ словесный образъ,
то вся дѣятельность можетъ считаться оконченной. Понятіе
можетъ оформиться и не въ словесную форму, оно можетъ вы-
литься и въ художественномъ образѣ, чертежѣ, звукахъ; но
мы не будемъ касаться этого направленія творческой мысли,
а разсмотримъ только тотъ фактъ, когда оно оформливается
въ логическую словесную форму.
Первый шагъ этой формы состоитъ въ отнесеніи получен-
наго понятія къ той или иной категоріи. Основнымъ процес-
сомъ логическаго мышленія слѣдуетъ считать установленіе
сходства и различія, въ результатѣ этого установленія является
раздѣленіе воспринятаго психически на классы по сходству и
различію; это раздѣленіе на классы переводитъ психическій
актъ въ логическій, и воспринятое становится мыслимымъ.
Въ настоящее время философы въ качествѣ наиболѣе об-
щихъ классовъ мыслимаго различаютъ вещь, свойство и от-
ношеніе.
Вещь, это есть субстанція или матерія, то, что мы мыслимъ
какъ физическое тѣло или какъ понятіе его замѣняющее. Такъ
вещью будетъ не только физическій приборъ или вещество,
какъ вода и газъ, но и сила, дѣйствующая въ данномъ явленіи,
и само явленіе, и мысль объ этомъ явленіи; вообще все су-
ществующее, какъ объектъ мышленія.
Вещи мы представляемъ себѣ имѣющими опредѣленныя
свойства или качества, атрибуты. Напримѣръ то, что кусокъ
желѣза имѣетъ тяжесть, опредѣленный цвѣтъ, способность
плавиться. Все это будутъ свойствами куска желѣза, его атри-
бутами, т.-е. тѣми элементами изъ которыхъ состоитъ понятіе
„кусокъ желѣза". Итакъ, вѣсъ, стоимость, объемъ, плотность,
цвѣтъ и т. п. будутъ свойствами или качествами вещей.
Эти качества или свойства вещей могутъ находиться въ
зависимости другъ отъ друга; вещи могутъ находиться въ от-
ношеніи другъ къ другу.
Мы можемъ сравнивать вѣса, или объемы, или плотности
тѣлъ, при этомъ находить, что вѣсъ, объемъ и плотность на-
ходятся во взаимной зависимости; эта зависимость и весь про-

цессъ сравненія вещей по ихъ свойствамъ называется отно-
шеніемъ.
Итакъ, каждое вновь полученное понятіе мы должны пер-
вымъ долгомъ отнести къ той или иной категоріи. Этотъ про-
цессъ отнесенія понятія къ категоріи является неизбѣжнымъ
и естественнымъ процессомъ мышленія, т.-е. онъ существуетъ
у всѣхъ людей въ болѣе или менѣе совершенной формѣ и пред-
ставляетъ собою органическій процессъ мышленія. Это значитъ,
что всякій человѣкъ сознательно или безсознательно получен-
ныя имъ понятія обязательно и непремѣнно отнесетъ или къ
вещи, или къ свойству или къ отношенію.
Чтобы произвести это логическое расчлененіе, человѣкъ
долженъ выдѣлить составныя части понятія, его элементы, эти
психологическія α, β, γ. Составные элементы понятія мы будемъ
называть его признаками. Итакъ, признаки есть то, чѣмъ одно
понятіе отличается отъ другого; они раздѣляются на существен-
ные или основные и второстепенные. Основные это такіе при-
знаки, безъ которыхъ мы не можемъ мыслить понятіе; напр.
въ ромбѣ основными признаками будутъ: параллельность про-
тивоположныхъ сторонъ и равенство сторонъ; а величина
угловъ и длина сторонъ будутъ признаками второстепенными.
При изученіи предмета мы все болѣе и болѣе разграничиваемъ
и разчленяемъ понятія, которыя съ перваго взгляда намъ ка-
жутся одинаковыми. Такъ какъ каждое понятіе, вообще го-
воря, имѣетъ множество признаковъ, и перечислять ихъ было
бы затруднительно, то признаки дѣлятся на δ классовъ.
1) Родовой признакъ или родъ есть понятіе класса, въ кото-
рый мы вводимъ разсматриваемое понятіе. Параллелограммъ
есть фигура; фигура—это есть классъ, къ которому мы от-
носимъ данное понятіе параллелограммъ, τ -е. его родовой
признакъ.
2) Видовой признакъ будетъ тотъ, который служитъ для
того, чтобы выдѣлить понятіе изъ ряда ему подобныхъ понятій;
параллелограммъ есть фигура, ограниченная четырьмя прямыми
пересѣкающимися. Слова „ограниченныя 4 мя пересѣкающимися
прямыми" будутъ выдѣлять фигуру отъ другихъ фигуръ и слу-
жить видовымъ признакамъ.
3) Видъ. Если къ родовому признаку придать видовое раз-
личіе, то получимъ видъ. Фигура, ограниченная 4-мя па-
раллельными прямыми называется параллелограммъ.
4) Собственный признакъ, который присущъ всѣмъ вещамъ
даннаго класса; но онъ можетъ не содержаться въ числѣ су-
щественныхъ признаковъ, а быть изъ нихъ выведеннымъ. Такъ:
четыреугольникъ есть плоская фигура, ограниченная 4-мя пе-

ресѣкающимися прямыми. „Ограниченная 4-мя пересѣкающимися
прямыми" есть существенный признакъ и собственный; но
признакъ, что сумма угловъ равна 4 d будетъ собственный,
но не существенный, а полученный путемъ вывода изъ основ-
ныхъ или существенныхъ признаковъ.
5) Несобственный признакъ—это такой признакъ, который
не входитъ въ содержаніе понятія и не можетъ быть выведенъ
изъ основныхъ признаковъ, хотя и принадлежитъ всѣмъ видамъ
даннаго класса.
Кромѣ признаковъ мы въ каждомъ понятіи должны разли-
чать его объемъ и его содержаніе.
Объемомъ понятія называютъ ту совокупность предметовъ,
къ которымъ это понятіе приложимо. Такъ напр. понятіе фи-
гура обнимаетъ собою и треугольники, и четыреугольники, и
всякаго рода и вида многоугольники, и кругъ, и эллипсъ и вся-
каго рода фигуры, ограниченные кривыми линіями. То, что
обнимаетъ данное понятіе, называется его объемомъ.
Содержаніемъ понятія называютъ тѣ признаки, которые въ
немъ содержатся.
Очевидно, что чѣмъ больше объемъ понятія, тѣмъ меньше
его содержаніе, ибо совокупность признаковъ въ правильныхъ
многоугольникахъ больше чѣмъ вообще въ многоугольникахъ,
и въ многоугольникахъ признаковъ больше, чѣмъ въ фигурахъ.
Отсюда слѣдуетъ, что восходя отъ видовъ къ роду, мы должны
отбрасывать признаки, принадлежащіе тому или другому виду.
Такъ мы отбросимъ всѣ свойства правильныхъ многоугольни-
ковъ, которыя не принадлежатъ фигурамъ, ограниченнымъ
кривыми линіями; но точно также должны отбросить и свойства
кривыхъ линій, которыя не принадлежатъ многоугольникамъ,
чтобы получить понятіе „фигура^. Этотъ процессъ мышленія
называется обобщеніемъ. Обратный путь отъ рода къ виду
имѣетъ характеръ нарощенія признаковъ и называется огра-
ниченіемъ.
§ 8. Окончательное логическое установленіе понятія.
Когда понятіе психологически воспринято, какимъ бы про-
цессомъ не произошло это воспріятіе, во всякомъ случаѣ по-
нятіе ассоціируется съ бывшими понятіями и понятіями, его
окружающими. Установленіе этихъ ассоціацій можетъ быть во-
левымъ, когда мы искусственно связываетъ какое-нибудь слово
съ другимъ, похожимъ на него, но не имѣющимъ съ нимъ ни-
чего общаго по смыслу; связываемъ только для того, чтобы

лучше запомнить новое слово; такъ и новое понятіе мы иногда
связываемъ съ хорошо намъ знакомымъ, но совершенно посто-
роннимъ понятіемъ, напр. кругъ электрической машины съ ко-
лесомъ экипажа. Такъ вотъ понятіе можетъ имѣть чисто искус-
ственную волевую ассоціацію; съ другой стороны оно имѣетъ
естественныя, органическія ассоціаціи съ той обстановкой, въ
которой оно получено.
Весь этотъ психологическій процессъ подвергается логи-
ческой обработкѣ, существенная часть которой состоитъ въ
установленіи признаковъ даннаго понятія; это установленіе
признаковъ завершается опредѣленіемъ понятія. Въ опредѣле-
ніи содержится все понятіе, и чѣмъ оно яснѣе, чѣмъ рѣзче въ
сознаніи выступаютъ его признаки, тѣмъ само понятіе яснѣе
и его опредѣленіе точнѣе. Логика указываетъ на правила, ко-
торымъ должно подчиниться опредѣленіе, но самъ процессъ
установленія опредѣленія не зависитъ отъ правилъ логики,
а совершается какъ бы органически по своимъ внутреннимъ
законамъ. Я хочу сказать, что въ этомъ случаѣ не логика
устанавливаетъ правила мышленія, а она только выясняетъ
тотъ естественный процессъ, въ силу котораго создается
опредѣленіе.
Въ опредѣленіи должны быть перечислены всѣ признаки
понятія, а это не всегда возможно, а потому не всѣ понятія
могутъ быть опредѣлены. Въ перечисленіи признаковъ мы ука-
зываемъ родовое понятіе, опредѣленіе котораго должно быть
дано заранѣе, τ -е. логически данное понятіе относимъ къ
роду, а потомъ указываемъ видъ и его существенные признаки.
§ 9. Приложеніе законовъ познаванія къ мысли ребенка.
Въ своемъ прекрасномъ сочиненіи „Лекціи по эксперимен-
тальной педагогикѣ" проф. Эрнстъ Мейманъ посвящаетъ нѣ-
сколько главъ выясненію развитія душевныхъ способностей у
ребенка. Онъ говоритъ между прочимъ, что духовное развитіе
ребенка совершается періодами, т.-е. подвержено колебаніямъ.
Эти колебанія, повидимому, совпадаютъ въ общемъ съ коле-
баніями физическаго развитія. Особенно неблагопріятными для
духовнаго развитія слѣдуетъ считать по его мнѣнію, 11-й годъ
жизни, а затѣмъ, смотря по странамъ и расамъ возрастъ 12-ти,
13-ти, 14-ти лѣтъ для дѣвочекъ и нѣсколько старше для маль-
чиковъ. Однако болѣе важный вопросъ состоитъ въ томъ, въ
чемъ собственно состоитъ душевное развитіе ребенка? Отли-
чается ли душевный міръ ребенка отъ міра взрослаго человѣка,.

и если отличается то въ чемъ? Быть можетъ у ребенка нѣтъ
еще тѣхъ способностей, которыя мы наблюдаемъ среди взрос-
лыхъ, или нѣкоторые духовные процессы по своимъ свойствамъ
представляютъ типическія различія; однимъ словомъ можетъ
быть къ ребенку не приложимы тѣ законы познаванія, кото-
рыя мы устанавливаемъ изъ наблюденій надъ жизнью и мышле-
ніемъ взрослаго человѣка. Но, можетъ быть и такъ, что раз-
личіе между духовными процессами у ребенка и у взрослаго
только количественное, что это — различіе по интенсивности,
и переживаніямъ ребенка только слабѣе, но качественно мало
отличаются отъ переживаній взрослаго.
Разбирая эти вопросы, г. Мейманъ говоритъ: мы должны
признать, что ребенокъ, достигнувъ семилѣтняго возраста об-
ладаетъ всѣми способностями, какія есть у взрослаго, хотя
многіе изъ нихъ гораздо слабѣе и менѣе совершенно развиты.
Онъ взялъ возрастъ 7 лѣтъ потому, что его эксперименталь-
ныя изслѣдованія начинаются съ этого возраста. Но легко
можно допустить, что и ранѣе этого возраста ребенокъ по сво-
имъ душевнымъ качествамъ представляетъ маленькаго взрос-
лаго. Однако изъ этого не слѣдуетъ, чтобы ребенокъ й взрос-
лый были тожественны; это значитъ только, что законы мышле-
нія одинаково приложимы и къ дѣтскому уму, но именно за-
коны психологическаго мышленія или законы образованія по-
нятій. На это нужно особенно обратить вниманіе, когда мы
разсматриваемъ преподаваніе математики, въ которой укоре-
нился неправильный педагогически взглядъ учебника, что ло-
гическое опредѣленія понятія даетъ въ то же время его пси-
хическое усвоеніе. Чтобы понять ошибочность такой гипотезы,
слѣдуетъ обратить особое вниманіе на то, въ чемъ душевный
міръ ребенка отличается отъ взрослаго.
Г. Мейманъ говоритъ, что воспріятія ребенка гораздо бо-
лѣе субъективны, чѣмъ воспріятія взрослаго. Ребенокъ какъ
бы подмѣниваетъ воспринимаемое своими представленіями, вос-
поминаніями и ожиданіями, и всѣмъ этимъ даетъ воспріятію
субъективную окраску
Почти всѣ дѣти питаютъ склонность, встрѣчаясь съ незна-
комыми предметами или незнакомыми свойствами предметовъ,
выходить изъ затрудненія при помощи какихъ-либо подстав-
ныхъ представленій, подставныхъ названій или суррогатовъ.
Такъ, они любятъ давать незнакомымъ вещамъ названія по
аналогіи съ другими вещами, которыя имъ извѣстны и анало-
гіи эти бываютъ очень неожиданны. Иногда названіе дается
на основаніи лишь кажущагося сходства; въ другихъ случаяхъ
ребенокъ самъ сочиняетъ новое слово или описываетъ съ по-

мощью комбинацій словъ. Иногда незнакомыя вещи получаютъ
названія по какой либо своей части, особенно бросающейся въ
глаза, рѣже—по матеріалу, изъ котораго они сдѣланы. Въ об-
щемъ оказывается, что дѣтскій умъ болѣе склоненъ останавли-
ваться на знакомыхъ ему вещахъ, чѣмъ различать то, что для
него ново и разбираться въ своеобразности этого новаго. Это—
важный въ педагогическомъ отношеніи фактъ, въ которомъ я
вижу и преимущество и недостатокъ ума, говоритъ г. Мей-
манъ: преимущество заключается въ томъ, что воспитатель
легко можетъ исходить отъ чего-нибудь знакомаго, когда ему
нужно привести ребенка къ образованію новыхъ понятій и къ
усвоенію новаго значенія словъ; недостатокъ же состоитъ въ
томъ, что все новое въ слишкомъ большой мѣрѣ истолковы-
вается по аналогіи съ знакомымъ и недостаточно вниманія удѣ-
ляется его отличительнымъ чертамъ. Ребенокъ не испытываетъ
затрудненій, встрѣчаясь съ чѣмъ нибудь новымъ; онъ умѣетъ
слишкомъ легко найти себѣ выходъ при помощи извѣстнаго и
потому не усваиваетъ новаго достаточно хорошо. Въ этомъ за-
ключается соблазнъ къ поверхностности, къ бѣглому и неточ-
ному воспріятію вещей, а главное—къ перенесенію того, что
знакомо, на новое и неизвѣстное.
Говоря такимъ образомъ, не слѣдуетъ забывать, что ска-
занное относится къ очень маленькому возрасту 6 — 7 лѣтъ,
однако въ общихъ чертахъ оно справедливо и далѣе, когда
начинается школьный возрастъ. Тогда ребенокъ научается уже
читать, однако фантазія и воображеніе держитъ его еще въ
своихъ мощныхъ объятіяхъ. Здѣсь особенно важно то, что вос-
пріятія, получаемыя ребенкомъ, не точны, въ нихъ нѣтъ мно-
гихъ и очень важныхъ подробностей, а напротивъ есть то,
чего нѣтъ на самомъ дѣлѣ, что создалъ ребенокъ самъ и это
созданное включилъ какъ существенную часть воспріятія. Если
мы теперь отъ воспріятіи перейдемъ къ представленіямъ, то
въ этой области найдемъ два очень замѣтныхъ различія между
ребенкомъ и взрослымъ. Взрослый думаетъ по преимуществ}'
словами, его мышленіе почти всегда неслышная рѣчь... Ребе-
нокъ же гораздо больше — наглядными представленіями о ве-
щахъ, имѣющими индивидуальный характеръ. Ребенокъ мо-
жетъ мыслить и словами, какъ взрослый — наглядными пред-
ставленіями, но взаимное отношеніе обоихъ видовъ предста-
вленій различно у ребенка и у взрослаго. Слѣдствіемъ этого
является другое различіе въ области представленій: именно по-
тому, что взрослый мыслитъ словами, онъ мыслитъ болѣе от-
влеченно, чѣмъ ребенокъ, такъ какъ слова собственно и слу-
жатъ носителями нашихъ отвлеченныхъ представленій. Наше

отвлеченное мышленіе есть преимущественно мышленіе словами^
при которомъ наглядныя представленія только еще слегка
скользитъ въ сознаніи. Напротивъ у ребенка мышленіе должно
состоять, главнымъ образомъ, изъ конкретныхъ представленій,
отвлеченное же мышленіе должно занимать второстепенное мѣ-
сто. Но ребенокъ въ возрастѣ отъ 6—14 лѣтъ совсѣмъ не спосо-
бенъ къ образованію отвлеченныхъ понятій) если онъ часто не
понимаетъ значенія словъ, выражающихъ такія понятія, то
это—только естественное слѣдствіе того факта, что ему недо-
ступны знанія и кругъ опыта, изъ которыхъ добыты отвлечен-
ныя понятія. Къ этому надо добавить еще и то, что у дѣтей
до 12 -ти лѣтъ почти отсутствуетъ способность объединять,
синтезировать отдѣльныя воспріятія въ типическія представле-
нія. Вниманіе ребенка приковывается къ частностямъ, эти
частности уводятъ его въ ряды ассоціацій, такъ что объеди-
неніе въ одну общую картину не поспѣваетъ у него за вос-
пріятіемъ отдѣльныхъ подробностей, которыя встаютъ передъ
его умственнымъ взоромъ.
§ 10. Психологическія основы обученія математикѣ.
Въ обычномъ курсѣ обученія математикѣ на первое мѣсто
выдвигается логическое понятіе, какъ опредѣленіе и исходная
точка того, чему нужно научить. Такъ опредѣляютъ каждое
дѣйствіе въ алгебрѣ и ариѳметикѣ, такъ расположенъ и курсъ
геометріи. Порядокъ изложенія въ начальномъ обученіи нѣ-
сколько иной, но и тамъ отвлеченное понятіе числа вырабаты-
вается при помощи наглядныхъ пособій сосчитыванія разныхъ
предметовъ. Такой путь обученія я считаю психологически
неправильнымъ, и думаю что тотъ упрекъ, который ставили
когда-то старымъ методистамъ, что при ихъ методѣ обученія
было обиліе неспособныхъ къ математикѣ учениковъ, всецѣло
приложимъ къ современной школѣ. Чтобы выяснить свою точку
зрѣнія, я разберу слѣдующее: можетъ ли понятіе быть усвоено
по его логическому опредѣленію? Если мы представимъ себѣ
нѣсколько необычнаго человѣка съ вполнѣ развитымъ интел-
лектомъ, но безъ всякаго опыта, а дадимъ ему логическое
опредѣленіе напр. умноженія, то, что этотъ человѣкъ, усвоитъ
это дѣйствіе или нѣтъ? Если мы для рѣшенія этого вопроса,
обратимся къ ученикамъ, то увидимъ, что его рѣшеніе далеко
не такъ просто и категорично, какъ это кажется съ перваго
взгляда, ибо здѣсь мы можемъ съ одинаковой убѣдительностію
указать примѣры и того и другого рода, и весь вопросъ при-

метъ характеръ опредѣленія того, насколько разсматриваемый
ученикъ имѣетъ развитой интеллектъ. Обиліе учениковъ, не-
способныхъ къ математикѣ, также не даетъ рѣшенія этого
вопроса, потому что въ этомъ обиліи существуетъ множество
очень сложныхъ причинъ и условій; среди этихъ причинъ и
условій я укажу два: первая—личность учителя и его методъ
передачи; вторая—участіе памяти въ усвоеніи. Относительно
второй причины, слѣдуетъ добавить, что психологическій про-
цессъ усвоенія всегда можетъ имѣть и на самомъ дѣлѣ имѣетъ
прямое и обратное теченіе. Въ прямомъ теченіи личность вы-
рабатываетъ понятіе, въ обратномъ—понятіе, усвоенное па-
мятью въ его логическомъ опредѣленіи, комментируется въ но-
выхъ житейскихъ опытахъ.
Личность усваиваетъ, т.-е. запоминаетъ опредѣленіе и при-
лагаетъ его къ ряду встрѣчающихся фактовъ и явленій. Когда
ученики въ старшихъ классахъ получаютъ способность къ ло-
гическому мышленію и въ качествѣ репетиторовъ начинаютъ
вновь пересматривать пройденное, то они идутъ этимъ обрат-
нымъ процессомъ, когда имъ кажется, что развитой интеллектъ
не нуждается въ какой-либо опытной выработкѣ понятій, а
наоборотъ—развитіе интеллекта именно въ томъ и состоитъ,
что онъ, пользуясь логическимъ опредѣленіемъ, подводитъ подъ
него житейскіе факты.
Вотъ почему съ одной стороны трудно оспаривать бе-
зусловную необходимость наглядности въ обученіи, и съ дру-
гой—память и обратный процессъ выработки понятія мѣша-
ютъ точному установленію и безусловной обязательной необхо-
димости этой наглядности, самостоятельной выработкѣ понятій.
Здѣсь мы находимся въ области гипотезъ и индивидуальныхъ
свойствъ личности. Но, когда мы перейдемъ къ ученикамъ не-
способнымъ, то здѣсь съ большой выпуклостью ставится не-
обходимость именно въ процессѣ наглядности, или самостоя-
тельной выработкѣ понятій. Эта необходимость становится уже
безусловной, когда мы вступаемъ въ тѣ области дѣтства, когда
логическое мышленіе еще совершенно неразвито, когда весь
умственный интеллектъ сосредоточенъ въ области конкретныхъ
представленій и фантазіи. Тогда „сладкіе уроки", какъ ихъ
характеризуетъ одинъ рецензентъ, являются единственными-)
если мы не хотимъ мучить ребятъ, заставляя ихъ заучивать
тарабарскую грамоту и не можемъ отказаться отъ необходи-
мости обученія. *) Разсмотримъ урокъ по этому плану.
*) Ж-М. Н. Пр. апрѣль 1911. Рецензія на книгу Бондарева „Какъ стро-
ются и рѣшаются задачи".

Въ рукахъ ученика находятся 4 стакана, онъ наполняетъ
ихъ водой, чувствуетъ, какъ эта вода переливается, наполняетъ
каждый стаканъ, какъ стаканъ становится тяжелѣе; онъ чув-
ствуетъ стекло, видитъ его прозрачность и наблюдаетъ, что
вода мало-по-малу поднимается въ стаканѣ все выше и выше,
пока его не заполнитъ. Это чувственныя ощущенія, которыя
хотя и не всѣ перейдутъ въ представленія, но необходимо и
обязательно ассоціируются другъ съ другомъ по смежности.
Въ самомъ представленіи наполненія стакана съ водой каждая
подробность будетъ вызывать всѣ прочія подробности. Теперь
мы сосчитаемъ эти стаканы и перельемъ ихъ въ одинъ сосудъ.
Въ сосудѣ налито 4 стакана воды, это 4 есть опредѣленное
количество, слитое въ одну общую массу. Эта масса, получен-
ная непосредственнымъ опытомъ, даетъ общее представленіе
количества воды въ объемѣ 4-хъ стакановъ. Ее можно вновь
разлить по стаканамъ, вновь слить въ одно цѣлое. Таково
первое впечатлѣніе.
Ребенокъ уравновѣшиваетъ пустой стаканъ на вѣсахъ,
наполняетъ его водой и взвѣшиваетъ воду; онъ чувствуетъ
качаніе вѣсовъ, видитъ, что для равновѣсія нужно взять опре-
дѣленную гирю, что тяжесть другихъ гирь будетъ или больше
или меньше нужной. Сливаетъ воду въ два стакана и видитъ,
что гирю нужно взять вдвое тяжелѣе. Если онъ уравновѣситъ
большой сосудъ и выльетъ въ него одинъ стаканъ, взвѣситъ
его, потомъ выльетъ другой, увидитъ, что вѣсъ двухъ сталъ
вдвое больше, потомъ третій, потомъ четвертый, ребенокъ чув-
ствуетъ, что съ увеличеніемъ количества воды, увеличивается
вѣсъ ее, и это возрастаніе идетъ непрерывно и обязательно.
Это одновременное увеличеніе вѣса и объема дастъ ему пред-
ставленіе зависимости одного отъ другого, а 4 гири, положимъ
фунтовыхъ, дастъ ему представленіе количества вѣса въ 4
фунта. Эти гири онъ можетъ замѣнить одной гирей въ 4 φ.
и эта одна гиря дастъ ему представленіе вѣса 4 фунтовъ.
Эти новые опыты ассоціируются со своими подробностями въ
одну общую картину, изъ которой по закону апперзепціи вы-
дѣляется число 4, которое въ своемъ представленіи ассоціи-
руется съ опредѣленнымъ вѣсомъ и опредѣленнымъ объемомъ.
Нарощеніе новыхъ опытовъ съ измѣреніемъ длины, пло-
щади, цѣнности, углубляетъ это представленіе, переводя его
въ понятіе, которое ведетъ къ логической его обработкѣ, да-
вая возможность изъ побочныхъ ассоціацій добыть понятія о
пропорціональности, о равенствѣ, объ однородности, объ удѣль-
номъ вѣсѣ. Всѣ эти понятія заложены въ тѣхъ ассоціаціяхъ,
которыя сопровождаютъ полученіе этого понятія. Каждая изъ

нихъ является очень важной, ибо она закладываетъ идею со-
отношеніи, а эта послѣдняя и есть то, что необходимо для
рѣшенія задачъ.
Уподобляя неизвѣстное извѣстному, ребенокъ будетъ исхо-
дить изъ этихъ опытовъ, и его фантазія будетъ взвѣшивать
ртуть, спиртъ, масло, камни, металлы и давать возможности
сначала фантастическихъ, а потомъ логическихъ новыхъ по-
строеній.
Въ этой постановкѣ обученіе близко примыкаетъ къ игрѣг
или лучше, къ занятіямъ, ибо оно открываетъ возможность
творческихъ построеній, гдѣ дается пища фантазіи. Мы ста-
вимъ вопросъ, какъ можно изобразить 4 стакана; мы можемъ
нарисовать ихъ въ видѣ стакановъ, можемъ изобразить ихъ
въ видѣ кружковъ, въ видѣ черточекъ, можемъ поставить
цифру 4. Здѣсь мы переходимъ въ новую психическую область
съ ея новыми ассоціаціями и съ процессомъ отвлеченія, обобще-
нія, т.-е. приходимъ къ элементамъ логическаго мышленія. Мы
можемъ перейти къ геометрическимъ фигурамъ, изучить свой-
ства діагоналей квадрата, разрѣзать квадратъ на треуголь-
ники, изучить какъ изъ этихъ треугольниковъ образуются
новыя фигуры и какими свойствами они обладаютъ.
Такъ въ общихъ чертахъ мнѣ рисуется урокъ первоначаль-
наго обученія, если къ нему приложить указанные психологи-
ческіе законы, тогда понятіе будетъ создаваться и вырабаты-
ваться, а его логическое опредѣленіе закончить процессъ этой
выработки. Когда понятіе создалось и получило логическое
опредѣленіе процессъ обученія оконченъ. Дальнѣйшее—созда-
ніе сужденій, есть уже дѣло самой личности.

ГЛАВА IV
Основные вопросы методики: число, количество, ве-
личина.
§ 1. Необходимость разсмотрѣнія вопроса.
Какъ мы видѣли, русскіе методисты считаютъ вопросъ о
числѣ простымъ и яснымъ на столько, что не удѣляютъ ему
даже особаго мѣста въ своихъ методикахъ. Они думаютъ, что
вопросъ о сущности числового представленія и понятія есть
вопросъ философіи, психологіи и чистой математики, но не
вопросъ элементарнаго преподаванія или начальнаго обученія
счету. Совершенно иначе думаютъ ихъ германскіе товарищи
и Лай, въ своей книгѣ, разсмотрѣвши различныя мнѣнія о
числѣ разныхъ педагоговъ, совершенно правильно говоритъ:
„Мы видѣли достаточно хорошо, что методика преподава-
нія ариѳметики вообще и методика начальнаго обученія въ
особенности зависитъ отъ тѣхъ взглядовъ на возникновеніе и
сущность числа, которые сознательно или безсознательно по-
ложены педагогомъ въ основаніе своихъ разсужденій. Лица,
пытавшіеся обосновать методику первоначальнаго преподава-
нія ариѳметики, не исключая Песталоцци и Дистервега, при-
мыкали обыкновенно къ тѣмъ воззрѣніямъ на природу числа,
которыя были высказаны философами и психологами".
Но такъ какъ ни среди математиковъ, ни среди филосо-
фовъ и психологовъ еще не установился твердый опредѣлен-
ный взглядъ на число, а это уже показываетъ, что вопросъ
остался открытымъ; съ другой стороны каждый педагогъ дол-
женъ хотя бы для себя лично установить твердое и опредѣ-
ленное понятіе числа, то является необходимымъ разсмотрѣть
вопросъ по существу, хотя бы для того, чтобы на этомъ раз-
смотрѣніи обосновать свое личное мнѣніе.
Съ своей стороны я думаю, что есть три понятія: вели-
чина, количество и число, которыя необходимо отграничить

другъ отъ друга, тогда и само понятіе числа сдѣлается яснѣе.
Поэтому прежде чѣмъ говорить о числѣ, я разсмотрю количе-
ство и величину.
§ 2. Понятія: количественность, множественность, единичность.
Какъ мы видѣли въ главѣ о познаваніе, каждое понятіе
составляется изъ представленій, и эти послѣднія суть ничто
иное какъ воспоминаніе воспріятіи. Посмотримъ же изъ ка-
кихъ воспріятіи образуется понятіе количественности.
Пробуя поднимать различныя тяжести, мы ощущаемъ раз-
личное мускульное напряженіе, это различіе формулируется сло-
вомъ тяжелѣе и легче. При этомъ же замѣчаемъ, что объемъ
тѣла играетъ роль въ этомъ мускульномъ ощущеніи, и по объ-
ему часто судимъ о вѣсѣ, какъ въ тѣхъ случаяхъ, когда имѣ-
емъ дѣло съ однороднымъ веществом?,, такъ и тогда когда ве-
щества не особенно рѣзко отличаются другъ отъ друга, какъ
напр. жидкости, конечно, кромѣ ртути.
Точно также мы ощущаемъ усталость, когда пройдемъ нѣ-
которое разстояніе, и по величинѣ усталости судимъ о прой-
денномъ разстояніи; наблюдаемъ полетъ брошеннаго камня,
полетъ стрѣлы на глазомѣръ судимъ о дальности разстоянія.
Мы замѣчаемъ различную цѣнность предметовъ въ зависи-
мости отъ обихода нашей жизни, т.-е. сравнительно съ воз-
можностію истратить требуемую сумму на ихъ покупку. Уве-
личеніе стоимости происходитъ съ увеличеніемъ цѣности и съ
увеличеніемъ количества покупаемаго товара.
Всѣ эти житейскія воспріятія порождаютъ въ насъ пред-
ставленія количественности, которыя всякій ребенокъ воспри-
нимаетъ изолированно и конкретно, т.-е. измѣненіе каждаго
воспріятія онъ представляетъ себѣ отдѣльно; но потомъ эти
отдѣльныя представленія сливаются въ типичное представле-
ніе, а затѣмъ уже составляется понятіе количественности.
Это понятіе количественности получается еще и другимъ
путемъ, психически не зависимымъ отъ перваго и стоящимъ
вначалѣ совершенно изолированно, и только потомъ, сравни-
тельно поздно, оба пути сливаются вмѣстѣ. Этотъ иной путь
идетъ изъ различенія понятій единичности и множественности.
Понятіе единичности имѣетъ очень интересное біологиче-
ское происхожденіе, которое можно наблюдать, сравнивая зна-
ченіе единицы у различныхъ народовъ. Такъ на основаніи по-
казаній около 100 излѣдователей, ученый Conant говоритъ, что
одинъ по санскритски значитъ я; у другихъ народовъ это

слово значитъ луна, штука, начало, существованіе. Вдумываясь
въ эти значенія, или лучше сказать, представленія числа одинъ,
Лай говоритъ: „сущность единицы состоитъ въ предположеніи
или признаніи бытія физической или психической вещи, въ
признаніи существованія чего-то: 1 = существованіе; 1 = я
(я = обособленіе, возвышеніе или постулированіе собственной
личности, я = самосознаніе; вспомните примѣръ Декартовой
философіи: я мыслю, слѣдовательно я существую: cogito ergo
sum) 1 = луна, свѣтлая на темномъ фонѣ [обособленное поло-
женіе облегчаетъ это признаніе, вызываетъ его] *). Здѣсь оче-
видно, что человѣчество въ своемъ развитіи переходило черезъ
сложный рядъ логическихъ процессовъ мысли, вырабатывая
понятіе единичности. Даже въ настоящее время это понятіе
по своему объему охватываетъ множество понятій изъ самыхъ
разнородныхъ областей. Единичность есть единственность, обо-
собленность, цѣлостность, высота, въ математикѣ за единицу
принимается все цѣлое, которое можетъ дробиться или имѣть
кратность. Но въ то же время не случайно въ иностранныхъ
языкахъ наименованіе числа одинъ совпало съ неопредѣлен-
нымъ числомъ (un, ein). Это совпаденіе является существен-
нымъ измѣненіемъ содержанія самого понятія, гдѣ одинъ зна-
читъ кто-то, равный многимъ, одинаковый. Здѣсь можно на-
блюдать, что счетъ придалъ понятію совершенно новое зна-
ченіе.
Можно думать, что ребенокъ проходитъ въ своемъ разви-
тіи ту же стадію, которое прошло человѣчество, и у него
одинъ, это я, сущность, цѣлостность, единственность. Изъ
этихъ представленій возникаетъ понятіе единичности, къ ко-
торому присоединяется все единичное: солнце, луна, земля,
свой домъ, своя семья и проч.
Все то, что не одинъ, то много. Такъ возникаетъ новое
понятіе множественности. По мнѣнію Conant существуютъ та-
кія племена, которыя не имѣютъ иныхъ числительныхъ кромѣ
единицы (чикитосы, команчи, кафры, майрасы). Для нихъ то,
что не одинъ, то много.
Эти представленія единичности и множественности даютъ
также понятіе количественности; это понятіе количественно-
сти имѣютъ и указанныя племена, не знающія счета, т.-е. не
имѣющія понятія о численности.
Я даже думаю, что понятіе о численности не получается
и тогда, когда ребенокъ получитъ представленіе о двухъ. Два
это особая единичность, это пара, а не 1 +1. На это наводитъ
*) Лай. Руководство къ первой, обуч. ариѳм., стр. 9.

значеніе наименованія числа 2, которое представляетъ собою
какую нибудь естественную пару: глаза, крылья, руки, ноги;
къ этому же приводитъ и существованіе двойственнаго числа
въ нѣкоторыхъ языкахъ, которое выдѣляетъ два изъ области
счета въ особую группу, гдѣ нѣтъ численности, а только осо-
бая количественность. Онако, когда два получаетъ значеніе
другой, повтореніе, то здѣсь уже начало счета, τ -е. предста-
вленіе численности.
Не смотря на то, что понятіе количественности, единич-
ности, множественности являются основными въ мышленіи
взрослаго человѣка, и ихъ можно считать, какъ бы прирожден-
ными, дѣтство не имѣетъ этихъ понятій, потому что ребенокъ,
какъ мы видѣли въ главѣ „о познаваніи" § 9 по свидѣтель-
ству проф. Меймана, не имѣетъ не только логическихъ поня-
тій, но и типическихъ представленій. Однако изъ того факта,
что ребенокъ не имѣетъ понятій о количественности, совер-
шенно не слѣдуетъ того, что этого понятія у него совсѣмъ
нѣтъ и можно думать, что оно заложено въ душѣ ребенка въ
потенціальной формѣ. Ребенокъ, воспринимая различныя тя-
жести, различныя длины, вноситъ въ эти свои воспріятія изо-
лированность и пополняетъ ихъ нѣкоторыми фантастическими
элементами, вслѣдствіе недостатка своего опыта и вслѣдствіе
отсутствія обобщающихъ элементовъ мышленія. Такъ напр.,
онъ долго думаетъ, что нѣтъ такой тяжести, которой онъ не
могъ бы поднять и нѣтъ такого пути, котораго онъ не могъ бы
пройти. Кромѣ того количественность тяжести и количествен-
ность разстоянія, количественность объема въ его самосозна-
ніи стоятъ изолированно, не связываясь не только съ число-
выми измѣреніями, но и не выдѣляя общаго понятія количе-
ственности. Все это, т.-е. пріобрѣтеніе понятій количествен-
ности, единичности, множественности получается, какъ есте-
ственное развитіе опыта и роста ребенка. Другими словами
взрослый умъ человѣка, вслѣдствіе своего естественнаго раз-
витія, на основаніи полученныхъ житейскихъ опытовъ, самъ
собою перерабатываетъ эти воспріятія сначала въ типическія
представленія, а потомъ въ логическія понятія. Однако обуче-
ніе не можетъ быть чуждо этой естественной работѣ ума. Его
задача упростить и ускорить эту работу, давъ ребенку доста-
точное количество опытныхъ воспріятіи и связать эти воспрія-
тія въ одинъ сложный комплексъ, въ которомъ умъ ребенка
получилъ бы всѣ необходимыя ассоціаціи, для выработки ти-
пическихъ представленій этихъ понятій. Если даже эти типи-
ческія представленія не будутъ формулированы словами, то
они все же будутъ содержать всѣ необходимыя ассоціаціи,

по смежности и тѣ аналогіи, при помощи которыхъ наимено-
ваніе понятія представляетъ собою только нѣкоторую подроб-
ность до которой можетъ дойти ребенокъ самостоятельно или
съ небольшой помощью со стороны взрослыхъ.
§ 3. Понятіе о величинѣ.
Разсматривая различные предметы и различныя явленія,
мы замѣчаемъ въ нихъ нѣкоторыя свойства или качества, ко-
торыя какъ бы дѣлятъ ихъ на нѣкоторыя категоріи, по кото-
рымъ мы и изслѣдуемъ сущность тѣхъ и другихъ. Такъ мы
говоримъ, что всѣ тѣла природы матеріальны, состоятъ изъ
вещества; эту матеріальность мы опредѣляемъ или судимъ о
ней по ея свойствамъ: матерія занимаетъ пространство, не
проницаема, дѣлима и скважиста. И вотъ то, что обладаетъ
этими свойствами, называется матеріей. Такимъ образомъ, ма-
терія есть понятіе, установляемое нами для обобщенія указан-
ныхъ свойствъ. Итакъ все то, что занимаетъ мѣсто, непрони-
цаемо, т.-е. мѣсто, занятое одной матеріей не можетъ быть
занято въ то же время другой, что дѣлимо и скважимо—все
это состоитъ изъ вещества, оно матеріально. Но, если есть
матеріальность, обладающая извѣстными свойствами, то можетъ
быть или должна быть не матеріальность, которая мѣсто не
занимаетъ, проницаема, не дѣлима—это называется духовностью.
Итакъ, матеріальность и духовность суть понятія, уста-
навливаемыя нами для различности предметовъ.
Точно также, разсматривая поступки людей, мы устанавли-
ваемъ понятіе нравственности и противоположное ему поня-
тіе—безнравственность. Разсматривая явленія, мы устанавли-
ваемъ понятія силы и энергіи. Такія понятія, которыя мы уста-
навливаемъ не изъ непосредственнаго опыта, не изъ чувствен-
ныхъ воспріятіи, мы будемъ называть отвлеченными, ибо они
получены нами внутреннимъ психологическимъ процессомъ и
являются категоріями мышленія, но не наименованіемъ факта.
Къ этимъ понятіямъ относятся понятія величины и числа.
Величину обыкновенно опредѣляютъ такъ: „величиной на-
зывается все то, что можетъ увеличиваться и уменьшаться".
Однако такое опредѣленіе не даетъ сущности понятія, потому
что подъ словомъ величина мы мыслимъ нѣкоторое качество,
находящееся въ предметѣ, присущее ему, и отъ него неотдѣли-
мое; тогда какъ „все-то" не содержитъ именно этой качествен-
ности и этой зависимости отъ предмета, напримѣръ: камень
есть предметъ, а не величина; но этотъ камень занимаетъ опре-

дѣленный объемъ, имѣетъ опредѣленный вѣсъ, можетъ имѣть
ту или иную стоимость; объемъ, вѣсъ и стоимость будутъ ве-
личины. Но въ данномъ камнѣ они мѣняться не могутъ, они
мѣняются вообще по отношенію къ другимъ камнямъ и дру-
гимъ предметамъ; слѣдовательно можно сказать, что величиной
называется то, по отношенію къ чему мы можемъ сравнивать
предметы другъ съ другомъ. Кромѣ того въ понятіе величины
входитъ, какъ ея существенная часть, внутренняя зависимость
величинъ другъ отъ друга. Мы можемъ сравнивать одни и тѣ
же предметы какъ по ихъ объему, такъ и по ихъ вѣсу, и по
ихъ стоимости; слѣдовательно объемъ, вѣсъ и стоимость бу-
дутъ находиться другъ съ другомъ въ функциональной зависи-
мости. Такимъ образомъ величина имѣетъ два признака: измѣ-
няемость по отношенію къ сравненію предметовъ и функціо-
нальную зависимость по отношенію одной величины къ другой.
Но кромѣ этого величину мы мыслимъ всегда какъ единичность,
способную стать множественностью. Напримѣръ вѣсъ камня,
объемъ воды, площадь земли, стоимость товара и т. п.; здѣсь
вѣсъ, объемъ, площадь, стоимость суть единичности; но эти
единичности по отношенію къ другимъ такимъ же единичнос-
тямъ способны стать множественностью. Другими словами въ
понятіе величины входятъ понятіе количественности, и каждая
конкретная величина мыслится какъ количественность. Вѣсъ
камня есть одно понятіе—единичность, и вѣсъ камня, лучше
сказать масса камня есть другое понятіе—количественность;
въ этомъ привлеченіи новаго понятія и содержится стремленіе
единичности стать множественностью. Посмотримъ теперь, какъ
изъ конкретныхъ понятій: зависимости, количественности, еди-
ничности и множественности получается отвлеченное понятіе
величина. Передъ нами два факта разсмотрѣнія, предметъ и
движеніе. Вся совокупность сложныхъ явленій природы и со-
ціальной жизни укладывается въ эти два факта, которые пра-
вильно отмѣчены грамматикой, какъ предметъ и дѣйствіе. Раз-
сматривая предметы, мы находимъ въ нихъ свойство, подлежа-
щее сравненію; среди различнаго рода сравненій находится
сравненіе по вопросу больше, меньше и равно, т.-е. по вопросу
количественности.
Этотъ вопросъ количественности не можетъ быть прило-
женъ къ самому предмету, какъ таковому, т.-е. какъ къ тѣлу
природы, а къ тѣмъ чувственнымъ впечатлѣніямъ, которыя
этотъ предметъ въ насъ вызываетъ, а въ этихъ чувственныхъ
впечатлѣніяхъ мы между прочимъ устанавливаемъ категоріи: про-
тяженности, вѣса и цѣнности и др. Первыя двѣ устанавливаются
зрѣніемъ и осязаніемъ, а послѣдняя является обязательнымъ

слѣдствіемъ взаимоотношенія людей къ предметамъ. Совершенно
также, разсматривая движеніе, мы устанавливаемъ новыя ка-
тегоріи количественное™: разстояніе, время, скорость и сила.
Это, конечно, элементарныя категоріи, изъ которыхъ впослѣд-
ствіи развились болѣе сложныя: ускореніе, работа, живая сила,
количество движенія и энергія. Обобщая всѣ эти категоріи,
отвлекаясь отъ каждой изъ нихъ, мы получаемъ понятіе ве-
личины.
Итакъ, понятіе о величинѣ получается какъ логическое
обобщеніе понятій количественности; отсюда и опредѣленіе ве-
личины—„все то, что можетъ увеличиваться и уменьшаться",—
является установленіемъ того, откуда это понятіе получилось.
Одно время даже нѣкоторые дѣлили величины на математиче-
скія—измѣримыя и не математическія, какъ умъ, память, вкусъ
и т. п. Очевидно, что такое дѣленіе основано на недоразумѣ-
ніи; но оно даетъ нѣкоторый новый оттѣнокъ въ изученіи са-
мого понятія —величина.
Отмѣтимъ, что свойство измѣримости требуетъ всегда осо-
баго прибора измѣренія и особаго изученія самой величины.
Человѣчество нашло метръ—для измѣренія длины, вѣсы—для
измѣренія массы, часы—для измѣренія времени и т. п.; но оно
пока еще не умѣетъ измѣрять вниманіе, память, вкусъ и т. п.,
хотя вопросъ объ ихъ измѣреніи уже поставленъ и сдѣлано
много попытокъ выразить эти величины числомъ. То обстоя-
тельство, что каждая величина требуетъ особаго изученія и
особаго измѣрительнаго прибора, заставляетъ насъ признать
полную разнородность разныхъ величинъ, такъ сказать ихъ
обособленность. Отвлекаясь отъ этой разнородности, т.-е. на-
ходя нѣчто общее въ идеѣ, присущей каждой изъ нихъ, мы
это общее называемъ величиной. Обычное опредѣленіе указы-
ваетъ одно свойство этого общаго: способность быть больше
и меньше, но не указываетъ другого свойства: качества, при-
сущаго предметамъ. Соединяя оба эти свойства, мы получимъ
слѣдующее опредѣленіе величины.
Величиною называется такое качество предметовъ и дѣй-
ствій, по которому мы можемъ сравнивать ихъ другъ съ дру-
гомъ, такъ какъ въ разныхъ предметахъ и разныхъ дѣйстві-
яхъ оно можетъ находиться въ разной количественности.
§ 4. Число.
По отношенію къ понятіямъ величины и количества мы
почти не имѣемъ литературной разработки, совершенно иное
нужно сказать о числѣ. Понятіе о числѣ подвергалось раз-

работкѣ не только со стороны педагоговъ, но и математиковъ
и философовъ. Впервые число было опредѣлено Эвклидомъ
такъ: „число есть совокупность единицъ". Это опредѣленіе
Эвклида удержалось и по сіе время, но внутрь его вставлено
слово „однородныхъ", и современные учебники ариѳметики
опредѣляютъ число такъ: „число есть совокупность однород-
ныхъ единицъ"1. Здѣсь слово „совокупность* является совер-
шенно неяснымъ, ибо не даетъ метода полученія этой сово-
купности. Какъ будто напримѣръ число 20 образовалось и
осталось, а между тѣмъ оно получилось, когда мы послѣдова-
тельно сосчитали: одинъ, два, три и т. д.—двадцать. Эта по-
слѣдовательность счета требуетъ времени, внутри котораго
располагается самый порядокъ послѣдовательности. На эту
именно сторону обратилъ вниманіе другой древній мыслитель
Аристотель и опредѣлилъ не число, а время слѣдующимъ обра-
зомъ: „время есть число движеній въ предыдущемъ или въ по-
слѣдующемъ". Здѣсь впервые понятіе числа было связано съ
понятіемъ времени, и эта связь отразилась на опредѣленіи
Канта, который говоритъ: „число обнимаетъ послѣдовательное
прибавленіе единицы къ единицѣ, слѣдовательно число есть
ничто иное, какъ единство синтеза разнородностей одного
однороднаго наблюденія, обусловливаемое особенно тѣмъ, что
и самое время я создаю путемъ воспріятія наблюдаемаго". Га-
мильтонъ прямо называетъ счисленіе, покоющееся на отвлечен-
ныхъ понятіяхъ „наукой чистаго времени".
Итакъ, указанные мыслители связываютъ въ одно цѣлое
два понятія: число и время. Эта связь отразилась и на педа-
гогическомъ воззрѣніи на число въ работахъ Дистервега, ко-
торый разсматриваетъ число въ тѣсной связи съ представле-
ніемъ времени и развиваетъ болѣе подробно и обстоятельно
опредѣленіе Канта: „Такъ какъ числовое представленіе, гово-
ритъ онъ, есть представленіе нѣкотораго количества однород-
ныхъ или принимаемыхъ за однородные предметовъ, которое
происходитъ отъ повторенія единицы, то каждое числовое
представленіе предполагаетъ наличность представленія единицы
и должно возникнуть во времени, хотя само оно и не есть
представленіе времени. Оно возникаетъ благодаря последова-
тельному постулированію одной и той же единицы, но не есть
та отвлеченная послѣдовательность, которая составляетъ время".
„Если мы замѣтимъ отличительныя черты какого-нибудь
предмета и станемъ наблюдать, не встрѣчаются ли тѣ же при-
знаки у другихъ предметовъ и у сколькихъ именно, то этимъ
мы составляемъ себѣ представленіе о числѣ этихъ предметовъ.
Эта дѣятельность нашего духа называется счетомъ".

Итакъ, если мы пока отбросимъ связь числа со временемъ
и обратимъ вниманіе только на все остальное, то увидимъ,
что всѣ указанные мыслители хотѣли точнѣе опредѣлить слово
совокупность въ опредѣленіи, данномъ Эвклидомъ. Согласно
ихъ опредѣленію, слово совокупность показываетъ не одновре-
менное существованіе той или иной группы предметовъ, а по-
слѣдовательное прибавленіе каждаго новаго предмета къ числу
ранѣе бывшихъ, т.-е. то, что мы называемъ словомъ счетъ.
Это же самое несомнѣнно имѣлъ въ виду и Кантъ, говоря:
„число обнимаетъ послѣдовательное прибавленіе единицы къ
единицѣ". Это же самое говоритъ и Дистервегъ, говоря, что
числовое представленіе происходитъ отъ повторенія единицы,
т.-е. число есть результатъ счета однородныхъ предметовъ.
Теперь, какъ же при счетѣ возникаетъ число, что такое счетъ?
Что значитъ въ опредѣленіи Канта: „единство синтеза разно-
родностей однороднаго наблюденія"? На эти вопросы отвѣчаетъ
Дистервегъ слѣдующимъ разсужденіемъ: „Такъ какъ числа
восприняты путемъ чувственнаго внѣшняго или внутренняго
созерцанія, то они и называются конкретными числами: на-
примѣръ 2 цвѣтка, монеты, вещи и т. д или именованными и
прикладными числами. Если же мы отнимемъ наименованія и
отнесемъ числа къ отвлеченной единицѣ, то мы получимъ аб-
страктныя числовыя величины, называемыя отвлеченными чи-
слами". „Единицы представляютъ собой конкретные признаки:
цвѣтокъ, монета, вещь,—и эти признаки даютъ наименованіе
числамъ: 2 цвѣтка, 3 монеты и т. п.; другими словаим: 2 цвѣт-
ка есть 2 раза по 1 цвѣтку; 3 монеты—три раза по одной мо-
нетѣ. Если же мы отвлечемся отъ этихъ наименованій, то
останется абстрактное представленіе единицы". Въ этомъ по-
лученіи абстрактнаго числового представленія мы и произвели
синтезъ разнородностей одного однороднаго наблюденія, или,
согласно Эвклиду, произвели совокупность единицъ, т.-е. полу-
чили число. Такимъ образомъ, нужно согласиться съ Песта-
лоцци, что число обязано своимъ происхожденіемъ опредѣляю-
щей, а не чувственной силѣ представленія; но тогда является
и вопросъ, поставленный Пестолоцци, что опредѣленіе совер-
шается посредствомъ понятія, а когда же пріобрѣтается поня-
тіе? Когда ребенокъ будетъ считать 10 деревьевъ, 8 камушковъ,
то откуда онъ будетъ брать эти одинъ, два, три и т. д. Что
такое эти одинъ, два, три? Но кромѣ того, какъ въ нашемъ
представленіи 10 деревьевъ составляетъ ли 10 разъ по одному
дереву? Эти вопросы не прошли незамѣченными у разбираемыхъ
мыслителей, и они для отвѣта на нихъ ввели время, которое
по Аристотелю есть число движеній въ предыдущемъ или по-

слѣдующемъ. Это значитъ, что, имѣя прирожденное сужденіе
о времени, (Кантъ) мы составляемъ чистое понятіе о числѣ,
какъ о результатѣ повтореній, а эти повторенія мы наблюдаемъ
при самыхъ разнообразныхъ условіяхъ, напримѣръ при ходьбѣ,
когда одинъ шагъ за другимъ воспринимаясь послѣдовательно
во времени даютъ чистую идею числа, а эта идея въ дальнѣй-
шемъ даетъ возможность сдѣлать опредѣленіе, а это послѣднее
приводитъ къ счету. Слѣдовательно наученіе счету, коренясь
въ прирожденномъ воспріятіи времени, образуетъ тотъ логи-
ческій процессъ мысли, который даетъ число. Счисленіе, гово-
ритъ Дистервегъ, есть нѣкоторый духовный актъ, а именно—
созданіе новыхъ числовыхъ представленій изъ данныхъ". Итакъ,
разсматриваемая школа выдвинула два положенія, связь числа
со временемъ и полученіе понятія о числѣ путемъ счета. По-
слѣдующіе мыслители отказались отъ перваго изъ этихъ поло-
женій, такъ Гербартъ говоритъ: „число требуетъ скорѣе пол-
ной одновременности и абсолютно исключаетъ послѣдователь-
ное пересчитываніе, посредствомъ котораго нѣкоторые думаютъ
его достигнуть. Число имѣетъ не болѣе общаго со временемъ,
чѣмъ сотни иныхъ видовъ представленій, возникающихъ также
одновременно".
Хотя философія Гербарта оказала свое вліяніе на педаго-
гическую мысль, и въ Германіи у него явился рядъ послѣдо-
вателей, однако его взглядъ на число не получилъ педагоги-
ческаго распространенія, и педагоги настойчиво проводили
мысль о познаваніи числа путемъ счета. Ихъ соображенія
частію относятся къ сущности числа, а потому необходимо
разсмотрѣть нѣкокорыя изъ нихъ.
Книллингъ пишетъ: число не принадлежитъ къ тѣмъ
свойствамъ вещей, которыя можно обособлять и разсматривать
самостоятельно, какъ цвѣтъ, форму и т. п. Я не могу предста-
вить себѣ шести, не думая въ то же время о какихъ нибудь
опредѣленныхъ предметахъ, или хотя бы точкахъ. Ни одно
число не можетъ быть познано путемъ простого воспріятія;
ни одинъ результатъ вычисленія не можетъ быть полученъ
посредствомъ него. Что 7 + 5 = 12 меня не побудитъ сказать
даже самое тщательное созерцаніе количествъ 7 и 5. Это
можно только опредѣлить посредствомъ счета. Но, если такимъ
образомъ, большія и малыя измѣиенія обнаруживаются только
посредствомъ счета, то истиннымъ основаніемъ вычисленія
долженъ быть именно счетъ, а не созерцаніе чиселъ. Число
доступно намъ только благодаря счету: если вы отнимете у
человѣка способность считать, то отнимете у него способность
и вычислять.

Д-ръ Гартманъ пишетъ: „Что такое число, кратко и сильно
говоритъ Кантъ, принимающій его за „синтезъ многаго". По-
слѣднее значитъ что число пріобрѣтается посредствомъ сопо-
ставленія и соединенія многаго, т.-е. посредствомъ чисто ду-
ховнаго акта, а не путемъ только чувственнаго воспріятія или
созерцанія. Для того, чтобы стало возможнымъ возникновеніе
числа, необходимъ извѣстный духовный актъ. Послѣдній же
есть ни что иное, какъ счетъ. Такимъ образомъ мы достига-
емъ познаванія числа посредствомъ счета. Но счетъ самъ по
себѣ есть измѣреніе: измѣрить же можно только то, что является
въ формѣ ряда, т.-е. послѣдовательность одного за другимъ".
Здѣсь авторъ очевидно путаетъ измѣреніе и сосчитываніе, ве-
личину и число. Возражать ему я не буду, потому что въ дан-
номъ случаѣ для меня важно его мнѣненіе о счетномъ получе-
ніи понятія о числѣ.
Рэтеръ говоритъ: „По самому существу своему числа рас-
полагаются въ рядъ. Каждое послѣдующее число образуется
изъ предыдущаго прибавленіемъ единицы; въ этомъ заклю-
чается законъ образованія ряда. Каждое отдѣльное число имѣ-
етъ свое опредѣленное математическое мѣсто въ ряду, такъ
что, желая представить себѣ нѣкоторое опредѣленное число,
мы должны пробѣжать въ умѣ весь рядъ отъ единицы до ма-
тематическаго мѣста этого числа".
На этомъ опредѣленіи мы должны нѣсколько остановиться,
такъ какъ оно вводитъ новый признакъ сравнительно съ опре-
дѣленіемъ Канта и Дистервега; но сначала приведу мнѣніе
Фалька, который говоритъ; что счетъ заключается въ сравне-
ніи двухъ рядовъ: рядъ, который надо сосчитать, сравни-
вается съ рядомъ, который служитъ какъ бы масштабомъ,
т.-е. съ рядомъ именъ числительныхъ. Такимъ образомъ члены
числового ряда —звуковые комплексы, являются самостоятель-
ными объектами, а ни въ какомъ случаѣ не символами или
словами.
Итакъ мы видимъ, что опредѣленіе Канта, разработанное
Дистервегомъ легло въ основу педагогическаго метода. Соста-
вляетъ ли это преемственную зависимость, или по самой сущ-
ности различные мыслители, исходя изъ разнообразныхъ точекъ
зрѣнія, приходятъ къ одному и тому же? Вѣроятнѣе послѣд-
нее, ибо въ развитіи этого міровоззрѣнія на число нѣтъ ссы-
локъ и нѣтъ тожественности, но это далеко не значитъ, чтобы
идеи Канта, а особенно Дистервега, косвенно не повліяли на
мнѣніе педагоговъ. Самъ педагогъ могъ и не читать Канта
или Дистервега; но въ педагогическомъ мірѣ преимущественно
сохраняются идеи этихъ мыслителей. По нимъ написаны учеб-

ники, по которымъ учились педагоги сами, и тѣ, по которымъ
они учатъ. Эти идеи сообщали имъ учителя, они циркулируютъ
въ педагогической средѣ. Все это составляетъ атмосферу, влія-
ющую на міросозерцаніе и ставящую мысль каждаго отдѣль-
наго преподавателя въ нѣкоторыя рамки, внутри которыхъ онъ
и разрабатываетъ вопросъ. Такъ что, не предполагая непо-
средственнаго заимствованія, мы все таки должны сказать, что
всѣ указанныя мнѣнія имѣютъ общій источникъ — опредѣленіе
числа, данное Кантомъ, изъ котораго исключенъ признакъ
времени, такъ что можно сказать, что въ основѣ всѣхъ этихъ
педагогическихъ теорій лежитъ опредѣленіе Эвклида, ибо безъ
признака времени число остается совокупностью единицъ, но
эта совокупность получается посредствомъ счета или сосчиты-
ванія. Теперь въ этой области счета наблюдается два теченія:
Дистервегъ говоритъ, что 6 есть шесть разъ по одному, а Рэ-
теръ и Фалькъ думаютъ, что 6 есть шестое мѣсто числового
ряда. Въ этомъ какъ бы небольшомъ разногласіи содержится
серьезное возраженіе противъ самаго опредѣленія. Дѣло въ
томъ, что философы и педагоги, говоря о числѣ, разсматри-
ваютъ его съ разныхъ точекъ зрѣнія. Философъ даетъ опре-
дѣленіе понятія, а педагогъ методъ его полученія, но этотъ
методъ приводитъ насъ къ нѣкоторому члену числового ряда,
тогда какъ самъ числовой рядъ остается неизвѣстно какъ полу-
ченнымъ, т.-е. то, что мы получаемъ предполагаетъ уже извѣст-
нымъ само полученіе; мы попадаемъ въ кругъ и приходимъ
къ тому, что намъ уже дано: числовой рядъ намъ данъ, а мы
его ищемъ. Но тогда, быть можетъ, слѣдуетъ только признать
правильнымъ взглядъ Дистервега и считать число 6 какъ шесть
разъ взятую единицу; но шесть разъ взятая единица не бу-
детъ давать шестого мѣста, и тогда невозможно полученія чи-
слового ряда, а онъ есть.
Чувствуя эту логическую неловкость, Риль даетъ такое
опредѣленіе числа: „Число возникаетъ путемъ послѣдователь-
наго постулированія одного и того же различія. Оно есть или
опредѣленное сосуществованіе или опредѣленная последова-
тельность".
Приведу еще опредѣленіе Гельмгольца, который говоритъ,
что на числа мы должны смотрѣть какъ на рядъ произвольно
выбранныхъ знаковъ для которыхъ мы удерживаемъ одинъ
опредѣленный видъ послѣдовательности въ качествѣ законо-
мѣрнаго, или по обычному способу выраженія, натуральнаго
ряда.
Въ основѣ всѣхъ этихъ опредѣленій лежитъ мысль, выра-
женная Тайкомъ, который говоритъ, что понятіе о числѣ не

есть естественный результатъ психическихъ процессовъ; но
является въ гораздо большей степени результатомъ познаванія
счета. Понятіе о числахъ, пріобрѣтенное человѣкомъ посред-
ствомъ однихъ только чувствъ, вѣроятно не многимъ бы отли-
чалось отъ подобныхъ же понятій у животныхъ. Когда же че-
ловѣкъ началъ считать, то онъ вступилъ на такой путь, ко-
торый уводитъ его буквально въ безконечность".
Вдумываясь и разбирая всѣ вышеизложенныя мнѣнія гер-
манскихъ мыслителей и педагоговъ, мы можемъ сдѣлать слѣ-
дующее общее заключеніе. Всѣ они считали число понятіемъ
отвлеченнымъ, и это понятіе составлялось и разрабатывалось
по ихъ мнѣнію исключительно счетомъ, отвлекаясь отъ кото-
раго, человѣкъ получаетъ идею числа. Это то-же, что гово-
рилъ когда-то Песталоцци, требуя, чтобы дѣти пріобрѣли сна-
чала чистое понятіе числа, а потомъ научились считать. По
существу этотъ взглядъ сосчитыванія, идея цѣлой единицы
укоренился въ современной теоріи ариѳметики, гдѣ всѣ ариѳ-
метическія дѣйствія есть видоизмѣненіе и облегченія счета.
Эта мысль очень рельефно выражена русскимъ методистомъ
г. Гольденбергомъ, который говоритъ: „Техника вычисленій
надъ цѣлыми числами основана, съ одной стороны, на элемен-
тарнѣйшихъ основахъ чиселъ и съ другой, на пользованіи
искусственной группировкой изъ единицъ, согласно общепри-
нятому десятичному счисленію. Основная аксіома ариѳметики
состоитъ въ томъ, что результатъ счета не зависитъ отъ по-
рядка, въ которомъ онъ выполненъ. Производство простѣй-
шаго изъ ариѳметическихъ дѣйствій, т.-е. сложенія, основано
на свойствѣ чиселъ, которое можетъ быть выражено такъ: ре-
зультатъ сложенія двухъ чиселъ не измѣнится, если мы одно
изъ нихъ разложимъ на произвольныя части и послѣдовательно
приложимъ ихъ въ произвольномъ порядкѣ къ другому числу".
§ 5. Иныя обоснованія и опредѣленія понятія о числѣ.
Изъ оргинальныхъ, къ сожалѣнію мало разработанныхъ,
опредѣленій числа заслуживаетъ вниманіе опредѣленіе Дж. Ст.
Милля, который говоритъ, что число есть физическій фактъ,
зрительное и ощущаемое явленіе.
Что же это значитъ—физическій фактъ, зрительное и ощу-
щательное явленіе? На этотъ вопросъ отвѣчаетъ германскій
педагогъ О. Беетцъ, который говоритъ: „Если мы признаемъ,
что количественныя отношенія3 т.-е. самое содержаніе абстрак-
ціи, такъ же хорошо воспринимается чувствами, какъ цвѣтъ,

звукъ и т. д., то мы должны будемъ утверждать вмѣстѣ съ
Дж. Ст. Миллемъ, что число есть „физическій фактъ", „види-
мое и ощущаемое явленіе". Пояснимъ это еще нѣсколько. Какъ
объяснить съ точки зрѣнія счетной гипотезы понятіе „дюжины
карандашей", „стопы бумаги", „коробки перьевъ". Въ этихъ
понятіяхъ несомнѣнно фигурируетъ число, но не счетное, а
количественное, и вотъ полное отсутствіе понятія количества
и составляетъ крупный недостатокъ опредѣленій, разсмотрѣн-
ныхъ въ предыдущемъ параграфѣ,этотъ недостатокъ восполняетъ
Милль, педагогическій послѣдователь котораго О. Беетцъ го-
воритъ, что понятіе о числѣ развивается изъ психическаго
стремленія къ различенію и сравненію, при чемъ вниманіе кон-
центрируется на количественныхъ отношеніяхъ, и является та-
кимъ образомъ результатомъ изслѣдованія, а отнюдь не пер-
воначальнымъ (апріорнымъ) явленіемъ".
Если мы теперь нѣсколько разовьемъ мысль Беетца, то по-
лучимъ, что число есть отвлеченное понятіе, но это отвлеченіе
получается не путемъ счета, а путемъ логическаго мышленія.
Группа предметовъ есть множественность или количественность,
число ее выражающее есть тоже множественность, но данная
въ символическомъ видѣ, въ видѣ числа. Коробка содержитъ
144 пера; коробка — это реальное понятіе, единичность, а
144 пера —множественность, выражающая то же самое поня-
тіе. Между этой единичностью и числомъ 144 вставлено поня-
тіе количественности, которое ясно обнаруживается, когда мы
представимъ себѣ коробку съ перьями, не зная ихъ числа. Съ
точки зрѣнія количественности Беетцъ требуетъ, чтобы созер-
цаніе основныхъ чиселъ было первымъ и усвоеніе порядка чи-
селъ—вторымъ результатомъ элементарнаго счисленія, а груп-
пы, числовыя фигуры служили основаніемъ первоначальнаго
преподававанія. Когда въ опытахъ Лайя ребенокъ съумѣлъ
нарисовать числовую фигуру 7, не зная числа 7, не умѣя со-
считать число точекъ, то онъ именно воспринялъ зрительный
образъ количества, не зная счета. Совершенно также, какъ
игрокъ знаетъ карту семерка, не считая на ней число очковъ,
или какъ мы говоримъ о коробкѣ перьевъ, не зная числа
перьевъ, или о катушкѣ нитокъ, не зная ихъ длины.
Все это находитъ для себя философское обоснованіе во
взглядахъ Гуссерля, который говоритъ: „Какъ только мы при-
ходимъ къ послѣднимъ элементарнымъ понятіямъ, всякое опре-
дѣленіе оканчивается. Никто не можетъ опредѣлить понятій:
качества, интенсивности, мѣсто, время и т. п. То-же самое
справедливо относительно элементарныхъ отношеній и осно-
ванныхъ на нихъ понятій. Равенство, подобіе, цѣлое и часть,

- Ill —
множество и единство и т. д. суть понятія, которыя не могутъ
быть опредѣлены формально-логически. Единственно, что воз-
можно сдѣлать въ подобныхъ случаяхъ, это указать на тѣ
конкретныя явленія изъ которыхъ или на основаніи которыхъ
выведены эти понятія и объяснить самый процессъ абстракти-
рованія, поэтому мы не можемъ осуждать попытки нѣкото-
рыхъ математиковъ поставить во главѣ своей системы не логи-
ческое опредѣленіе понятія числа, а описаніе того пути, кото-
рый ведетъ къ этимъ понятіямъ; необходимо только, чтобы эти
описанія также выполняющія свое назначеніе были правильны".
Этотъ взглядъ Гуссерля, въ такой формулировкѣ, не вполнѣ
совпадаетъ съ тѣмъ, что я пытался развить изъ опредѣленія
Милля и Беетца, но дѣло въ томъ, что Гуссерль очевидно го-
воритъ о количествѣ, а не о числѣ, количественность какъ
разъ именно то понятіе, которое вполнѣ обосновывается выше-
приведеннымъ мнѣніемъ. По моему ясно, что все недоразумѣ-
ніе всецѣло коренится въ томъ, что мыслители и педагоги,
концентрируя свое вниманіе на понятіи числа оставляли безъ
разсмотрѣнія понятія величины и количества. Если мы вве-
демъ эти понятія, то и понятія числа получитъ свое надлежа-
щее мѣсто. Но предварительно это понятіе числа должно быть
выдѣлено отъ родственныхъ, или, лучше сказать, отъ смѣшан-
ныхъ съ нимъ понятій счета и системы счисленія. Опустивъ
эти понятія, мы получимъ чистое понятіе о числѣ, которое не
будетъ тожественнымъ съ понятіемъ о 20, 7, 4 и т. п., а бу-
детъ общимъ понятіемъ, въ которомъ эти 20, 7, 4 и т. п. укла-
дываются какъ частные случаи. Эта мысль нуждается въ по-
ясненій, ибо въ дальнѣйшемъ оно ляжетъ въ основу всего раз-
сужденія и самого опредѣленія.
Возьмемъ понятіе справедливости: мы можемъ наблюдать
его и во время игры и судебнаго процесса и въ житейскихъ
отношеніяхъ Нельзя же сказать, что игра даетъ понятіе спра-
ведливости, нельзя сказать этого, разсматривая судебные про-
цессы; но это можно сказать если мы объединимъ нѣчто, назы-
ваемое справедливостью по тѣмъ признакамъ, которыя мы на-
блюдаемъ и въ игрѣ, и въ судебныхъ процессахъ, и въ жизни.
Совершенно также число 20 не есть число вообще, и есть
только число 20; но это число 20 объединяло нѣкоторые 20
предметовъ въ одну группу, и это объединеніе производитъ
всякое число. Следовательно существенный признакъ всякаго
числа есть объединеніе, подобно тому, какъ семь очковъ карты
стало семеркой, а пять очковъ — пятеркой. Выдвигая этотъ
признакъ объединяемости, мы можемъ сказать, что число есть
отвлеченное понятіе, которое множественность дѣлаетъ еди-

ничностью. Другими словами понятіе числа противоположно
понятію величинъ: величина стремится сдѣлать единичность
множественностью, число дѣлаетъ множественность единич-
ностью.
Чтобы еще болѣе пояснить свою мысль, я возьму такой
примѣръ. Нужно раздать ученикамъ пряники, каждому по 5 пря-
никовъ. Чтобы разложить эти пряники, я отсчитываю: одинъ,
два, три, четыре, пять. Дѣлая каждый разъ такой отсчетъ, я
увѣренъ, что каждый ученикъ получитъ поровну. Эта моя
увѣренность коренится въ томъ, что числовое равенство даетъ
въ то же время и количественное равенство. Но, если я вмѣсто
того, чтобы каждый разъ отсчитывать, отсчитаю только одинъ
разъ и сложу 5 отсчитанныхъ пряниковъ въ столбикъ, далѣе
я буду складывать столбики такой же величины, не считая уже
пряниковъ. Въ этомъ процессѣ установленія равенства у меня
счетъ не играетъ роли, и мое сужденіе основано на совершенно
иномъ началѣ: здѣсь 5 пряниковъ приняты за единицу объема
и равенство объемовъ устанавливаетъ равенство количествъ.
Путешественникъ Гальтонъ, находясь среди племени Дам-
маровъ, произвелъ слѣдующій опытъ. Въ этомъ племени, когда
совершается продажа овецъ, то за каждую овцу полагается
по двѣ пачки табаку,—Гальтонъ взялъ двѣ овцы и отдалъ за
нихъ 4 пачки табаку. Тогда продавецъ отложилъ особо двѣ
пачки и глядѣлъ черезъ нихъ на одну изъ овецъ. Убѣдившись,
что за эту было заплочено, и найдя, что въ рукахъ у него оста-
лось именно двѣ пачки въ уплату за другую овцу, онъ началъ
мучиться сомнѣніями; для полной правильности дѣлу, ему ка-
залось, чло должно было произойти два пріема, и вотъ онъ
снова обращается къ первой парѣ пачекъ; затѣмъ въ головѣ,
его стало туманно, и онъ отказывается отъ сдѣлки. Тогда ему
были вложены въ руку двѣ пачки и одна овца уведена; потомъ
еще двѣ пачки и уведена другая овца, и онъ остался до-
воленъ. Этотъ эпизодъ въ высшей степени любопытенъ имен-
но потому, что счетъ еще не даетъ идеи равенства количествъ.
Овца равноцѣнна двумъ пачкамъ табаку; но отсюда еще не
слѣдуетъ, что двѣ овцы равноцѣнны 4-мъ пачкамъ, потому что
это есть заключеніе нѣкотораго совершенно новаго сужденія:
если мы къ равнымъ количествамъ прибавимъ по ровну, то
вновь полученныя количества будутъ равны. Даммара не имѣлъ
этого сужденія а потому ему казалось сомнительнымъ, будутъ
ли 4 пачки табаку равноцѣнны двумъ овцамъ. Отсюда же
видно и другое: въ основѣ счета лежитъ сужденіе о количе-
ственности.
Гуссерль различаетъ два рода чиселъ; числа кардиналъ-

ныя, когда мы обращаемъ вниманіе на количество, и числа
ординарныя,—когда обращается вниманіе на порядокъ или по-
ложеніе даннаго предмета. Кардинальныя числа относятся къ
ансамблямъ, а числа ординарныя—къ рядамъ. Ряды суть упо-
рядоченные ансамбли, поэтому кардинальное число необходимо
предшествуетъ ординарному. Считая, мы такъ поступаемъ по
его мнѣнію: механически даемъ наименованіе каждому числу
того количества, которое надо счесть, и принимаемъ послѣднее
изъ этихъ наименованій за наименованіе искомаго числа. На-
именованія являются вполнѣ только постояннымъ рядомъ безсо-
держательныхъ знаковъ, запечатлѣвшихся въ нашей памяти;
внутреннее же содержаніе ихъ совершенно не привходитъ въ
наше сознаніе втеченіе всего процесса счета. Понятіе числа
(собственное или символическое) выступаетъ въ сознаніи, какъ
нѣкоторое значеніе результирующего числового наименованія,
только по окончаніи этого процесса и при томъ въ зависимо-
сти отъ цѣли послѣдняго. Это съ особой ясностью можно ви-
дѣть, если взять числовые фигуры Лайя, или, еще лучше, кар-
ты. Мы рѣзко различаемъ семерку отъ девятки, совершенно
также какъ валета отъ короля, потому что въ этомъ разли-
чена участвуетъ не счетъ очковъ, а фигура ихъ соединяющая,
однако эта фигура существенно отличается отъ фигуры коро-
ля или валета, и это отличіе сосредоточивается въ числовомъ
или количественномъ представленіи. Эта сторона фигуры вскры-
вается, когда карта получаетъ счетный характеръ, но еще бо-
лѣе, когда отъ картъ мы перейдемъ къ ассигнаціямъ. Здѣсь
также фигура, опредѣленный видъ бумажки, но эта фигура
имѣетъ уже чисто числовой, количественный характеръ, не
содержащій совершенно счетнаго элемента.
§ 6. Счетъ и систем. счисленія.
Мы уже видѣли въ предыдущемъ, что многіе педагоги и
философы приписываютъ счету свойство образовать въ само-
сознаніи понятіе о числѣ; это я считаю ошибочнымъ и думаю,
что счетъ есть одинъ изъ способовъ полученія не понятія о
числѣ, а самаго числа.
Какъ я уже неоднократно говорилъ число можетъ быть
получено различными процессами: оно можетъ быть резуль-
татомъ счета, измѣренія, можетъ быть получено какъ резуль-
татъ дѣйствія, какъ предѣлъ сходящаго ряда и пр. Наипро-
стѣйшій процессъ полученія числа есть счетъ. Этотъ процессъ
образовался однимъ изъ первыхъ въ самосознаніи человѣчества,

онъ же образуется однимъ изъ первыхъ въ самосознаніи ре-
бенка. Разсмотримъ возможно подробнѣе, какъ это можетъ
произойти, но при этомъ будемъ помнить, что мы разсматри-
ваемъ не выработку понятія о числѣ, а одинъ изъ способовъ
полученія самаго числа.
Психологическая основа счета состоитъ въ обощеніи и
уподобленій. Замѣчая количественную разность группъ одина-
ковыхъ предметовъ, самосознаніе человѣка ищетъ способовъ
для установленій сужденій: больше, меньше и равно. Для того,
чтобы установитъ эти сужденія, оно нашло необходимымъ обо-
значить отдѣльныя группы особыми словами. Эти слова симво-
лически обозначаютъ группу и одинаковость символа устано-
вляетъ равенство группъ. Если мы обратимъ вниманіе на этно-
графическія изысканія о счетѣ и системахъ счисленія у раз-
личныхъ дикихъ народовъ, то ясно увидимъ оба эти процесса:
уподобленіе и установленіе равенства. Такъ число 2 предста-
вляетъ собою природныя пары: глаза, крылья, руки и пр.;
число 3 - нога страуса (индѣйцы абипоны въ южной Америкѣ)
средніе пальцы, взятые вмѣстѣ (индѣйцы чейпэи) число 4—но-
ги птицы; число 5—кисти, кулакъ и т. д. Латыши называютъ
три бросокъ (methens), потому что привыкли бросать по три
краба сразу.
Всматриваясь въ эти значенія, мы видимъ, что всѣ они
уравниваютъ нѣкоторые ансамбли, т. е. нѣкоторую единичность.
Дикарь не считаетъ одинъ, да одинъ, да одинъ будетъ три;
онъ говоритъ сразу: это столько, сколько пальцевъ на ногѣ
страуса, это равно броску; совершенно также, какъ мы, смо-
тря на карту, говоримъ—это семерка. Несомнѣнно таково и
дѣтское представленіе числа только безъ конкретнаго образа
равной численности а съ отвлеченнымъ наименованіемъ. Когда
мы учимъ ребенка считать: одинъ, два, три...., то легко ему
внушаемъ чуждую его естественной мысли идею счета, и онъ
ее заучиваетъ, не понимая. Подобно тому, какъ прежде учили
читать, знакомя съ буквами, потомъ со слогами, потомъ чте-
ніе словъ, такъ и мы учимъ сначала называть числительныя,
потомъ считать, и этотъ счетъ долго остается чисто механи-
ческимъ, пока опытъ жизни не дастъ уму ясную идею коли-
чества, которая мало по малу ассоціируется со счетомъ. Все
дѣло въ томъ, что при счетѣ есть скрытое сложеніе, т. е. дѣй-
ствіе, а идея дѣйствія не содержится въ числѣ, и вѣроятно
возникаетъ позднѣе. Когда Даммара бралъ за одну овцу двѣ
пачки табаку, то это было установленное и ясное для него ра-
венство количествъ; но когда ему нужно было за двѣ овцы
взять 4 пачки, то здѣсь не было простого равевства количествъ,

а равенство суммъ, а это онъ еще не понималъ. Точно также
ребенокъ рано хорошо знаетъ карты, но не можетъ сосчитать
число 7 или 9, только потому, что идея сложенія еще не уста-
новилась въ его умѣ.
Продолжая далѣе развитіе счета, мы видимъ, что въ своемъ
эволюціонномъ развитіи каждая числовая группа получаетъ
опредѣленное наименованіе: одинъ, два, три, четыре...., въ ко-
торомъ уже утратился его количественный образъ, и само на-
именованіе осталось какъ отвлеченный символъ, выражающій
опредѣленное числовое положеніе—ансамбль, нѣкоторую коли-
чественную единичность. Такихъ понятій мы усваиваемъ нѣ-
сколько болѣе 10, такъ какъ сюда относятся и сто, и тысячи,
и милліонъ, не считая оригинальнаго сорокъ. Такое ограниче-
ніе основныхъ числовыхъ наименованій есть историческая слу-
чайность. Есть народы, у которыхъ первоначальныхъ наиме-
нованій 12 (ölf, Zwölf); есть такіе у которыхъ такихъ наимено-
ваній 20 и т. п.
Въ тоже время, чувствуя недостаточность этихъ наимено-
ваній, человѣкъ создаетъ систему счисленія, присоединяя къ
конечной группѣ новыя предметы, и при чемъ называетъ группу
и число вновь прибавленныхъ предметовъ; вмѣстѣ съ тѣмъ онъ
начинаетъ считать и число группъ, Этотъ новый процессъ
счета получилъ названіе системы счисленія. Система счисленія
образуется новымъ психологическимъ процессомъ, который по
существу есть развитіе того же первональнаго процесса счета
и имѣетъ одинаковые съ нимъ психологическіе процессы об-
основанія, а именно: уподобленіе группъ и установленіе равен-
ства; по крайней мѣрѣ установленіе системы счета мы замѣ-
чаемъ на очень низкихъ ступеняхъ развитія. Очевидно, что
первоначально человѣкъ считалъ только: одинъ и много, не
умѣя разобраться въ этомъ много, но сознавая количествен-
ность и отличая ее отъ единичности; потомъ онъ сталъ счи-
тать два и много, три и много и τ д. Это много получило рядъ
особыхъ наименованій: безчисленность, тьма и пр.; потомъ,
влядѣя напр. числомъ 2, человѣкъ считалъ группы 2+1 и 2—|—2;
владѣя числомъ три, онъ получалъ возможность считать 3+1;
3+2; 3+3, т. е. начинаетъ создавать систему счисленія. Это
можно ясно видѣть изъ способа счета западныхъ племенъ.
Торресовыхъ острововъ, которыя имѣютъ только два числитель-
ныхъ; одинъ—urapun и два—okosa, остальныя числительныя со-
ставляются такъ: TpH=okosa urapun; четыре-=okosa okosa пять=
okosa okosa urapun и uiecTb=okosa okosa okosa. Всѣ числа
превышающія шесть обозначаются словомъ ras, что значитъ
жребій, аналогично безконечности, множеству.

Въ настоящее время въ полномъ видѣ или въ видѣ слѣ-
довъ и остатковъ прежняго употребленія 5-ричная система счи-
сленія употребляется у 26 племенъ Африки, 8—Полонезіи, 13—
Азіи и 30 — Америки; всего у 77 племенъ. 20-ричная у 4 пле-
менъ Африки,, 3—Полонезіи, 18—Азіи, 8—Америки и 6—Европы.
У культурныхъ народовъ принята 10-ричная система, хотя про-
тивъ нее иногда раздавались протесты. Такъ Карлъ XII швед-
скій и Александръ фонъ-Гумбольдтъ высказывались за 12-рич-
ную систему, которая имѣетъ въ основаніи гораздо больше
дѣлителей.
Изъ этого краткаго обзора видно, какъ создается счетъ,
и вмѣстѣ съ нимъ, но уже послѣ него — система счисленія.
Можно думать, что подобный процессъ протекаетъ и у дѣтей.
Такъ изъ работъ французскихъ и американскихъ психологи-
ческихъ школъ можно установить, что полутора годовый ре-
бенокъ различаетъ одинъ отъ двухъ и два отъ множества. Въ
три года онъ раличаетъ 1, 2 и 4, но не знаетъ 3; здѣсь какъ
бы наблюдается нарожденіе системы счисленія: 4 есть 2 + 2.
Любопытно, что въ возрастѣ до 5-ти лѣтъ какъ бы устанавли-
вается эта система: ребенокъ хорошо знаетъ 1, 2, 2 + 1 =3;
2+2 = 4, далѣе четырехъ ему итти еще трудно, а потому эти
школы рекомендуютъ учить дѣтей до 5-ти лѣтняго возраста
счету только до 4. Въ 6 — 7 лѣтъ ребенокъ можетъ дойти до
10, и только въ 10 лѣтъ доходитъ до сотни. Гг. Мрочекъ и
Филипиовичъ, изъ книги которыхъ я заимствую это свѣдѣніе,
говорятъ далѣе: „конечно, выучить ребенка говорить: одинъ,
два, три... можно гораздо раньше. Но не въ этомъ состоитъ
знаніе чиселъ, а въ выдѣленіи опредѣленныхъ группъ, вотъ
это три, а это семь и т. п. Тотъ счетъ, которому учатъ те-
перь въ Россіи (?), вполнѣ заслуживаетъ термина „попугай-
скій" *).
Однако у дѣтей мы не можемъ обычно наблюдать созданіе
системы счисленія, такъ какъ въ силу ихъ общенія со взрос-
лыми они быстро усваиваютъ путемъ обученія общепринятую
систему счета, такъ что психологическій процессъ ея появле-
нія здѣсь совершенно утрачивается и происходитъ новый про-
цессъ усвоенія, обратный только что описанному. Ребенокъ
запоминаетъ символы: одинъ, два, три и т. д. до возможнаго
для него предѣла, потомъ эти символы начинаетъ приклады-
вать къ группамъ и уже не группу отожествляетъ съ симво-
ломъ, а символъ съ группой. Въ этомъ процессѣ запоминанія
психологическая дѣятельность идетъ дальше 10, и новыя груп-
*) Педагогика математики, стр. 447.

пы 11, 12, 13 и проч. являются самостоятельными группами,
какъ это наблюдается у дикихъ народовъ, которыя имѣютъ
напримѣръ 20-ричную систему счисленія. Другими словами,
ребенокъ не создаетъ систему счета и самый счетъ, а запоми-
наешь его и, уже запомнивши, начинаетъ разбираться въ са-
мой системѣ. Онъ знаетъ символъ пять и знаетъ символъ пят-
надцать; первоначально въ его самосознаніи оба эти символа
ничего не обозначаютъ, и для него все равно, что пять, что
пятнадцать; но мало-по-малу, прилагая эти символы къ соот-
вѣтственнымъ группамъ онъ научается различать ихъ коли-
чественность и путемъ памяти устанавливаетъ, что пять меньше
пятнадцати. Впослѣдствіи, опять таки по указанію взрослыхъ,
онъ выдѣляетъ въ символѣ пятнадцать особую группу десять,
къ которой научается присоединять одинъ, два, три и проч.
Это и есть тотъ психологическій процессъ наученія счету, о
которомъ такъ много говорили германскіе педагоги и оши-
бочно считали, что этотъ же процессъ даетъ и понятіе числа.
Но ясно, что это есть обратный процессъ творческаго созда-
нія счета и системы счета человѣчествомъ, усвояемый путемъ
наученія и по существу однородный съ нимъ. Здѣсь нужно
особо отмѣтить и подчеркнуть ту особенность того и другого
процесса, что каждый символъ является представленіемъ груп-
пы или числовой количественности. Число пять не можетъ мы-
слиться ни процессомъ 1 -f-1 -f-1 + 1 -f 1, ни процессомъ 5 разъ
по 1, ни процессомъ 5 относится къ 1, ни какимъ либо дру-
гимъ процессомъ; оно есть представленіе группы въ 5 пред-
метовъ, или, лучше сказать: оно символъ, выражающій эту
группу, какъ опредѣленную числовую количественность.
Съ этой точки зрѣнія совершенно ясно, что отвлекаясь
отъ наименованій предметовъ, оставаясь въ области однихъ
символовъ, человѣчество создало натуральный рядъ отвлечен-
ныхъ чиселъ, который вводится подъ двумя условіями:
1) Это есть рядъ числовыхъ группъ, въ которомъ каждый
послѣдующій членъ на 1 больше предыдущаго.
2) Интервалы этого ряда могутъ быть только единица или
группа цѣлыхъ единицъ. Рядъ не только не содержитъ дробей,
но не даетъ и понятій о нихъ, т.-е. не содержитъ элементовъ
сужденій для ихъ образованія. Мы не можемъ мыслить j чело-
вѣка, J- карандаша, у яблока, и если говорить по j арбуза,
a j апельсина, то вносимъ въ область счета чуждыя ему по-
нятія изъ области совершенно иного психологическаго про-
цесса—-измѣренія.
„Что касается чиселъ натуральнаго ряда, говоритъ Веберъ

и Вельштейнъ въ своей „Энциклопедіи элементарной матема-
тики", то ими мы пользуемся при счетѣ. Раціональныя дроби
и числа ирраціональныя находятъ себѣ примѣненіе въ томъ
процессѣ, который называется измѣреніемъ" *).
§ 7. Новые числовые ряды.
Числовой рядъ устанавливаетъ одинаковость группъ, но
въ немъ совершенно нѣтъ элементовъ для сужденія объ одина-
ковости единицъ этихъ группъ. Это сужденіе объ одинаковости
единицъ разсматриваемыхъ группъ требуетъ новыхъ психоло-
гическихъ обоснованій. Эти новыя процессы и обоснованія при-
водятъ насъ къ новымъ понятіямъ величины и способа измѣ-
ренія. Выше я уже говорилъ о томъ, что такое величина, но
теперь еще разъ попробую выяснить разницу между психоло-
гическимъ обоснованіемъ счета и понятіемъ о величинѣ, чтобы
было удобнѣе разсмотрѣть вопросъ объ измѣреніи величинъ.
Положимъ, что намъ нужно купить 5 карандашей въ
странѣ, языка которой мы не знаемъ. Мы приходимъ въ лавку,
показываемъ на карандашъ и на пальцахъ число 5; лавочникъ
понимаетъ насъ, потому что группа пальцевъ и группа каран-
дашей объединены однимъ и тѣмъ же числовымъ признакомъ —
пять; но если бы мы пожелали сравнить стоимость карандаша
у насъ и въ Германіи, то числовой признакъ безсиленъ дать
это сравненіе,—для этого мы должны сдѣлать нѣчто особое, а
именно выразить стоимость покупки въ однихъ и тѣхъ же еди-
ницахъ, т.-е. сдѣлать переводъ германскихъ денегъ на русскія
или обратно. Возьмемъ еще. Литръ молока въ Финляндіи сто-
итъ 15 пен ; бутылка молока въ Москвѣ 15 коп. Гдѣ молоко
дороже? Здѣсь мы имѣемъ также одинъ и тотъ же числовой
признакъ 15, но этотъ числовой признакъ не даетъ возможно-
сти произвести сравненіе, ибо это сравненіе основано не на
равенствѣ числовой группы, а на равенствѣ величинъ. Чтобы
произвести сравненіе, мы должны измѣрить объемы литра и
бутылки одной и той же мѣрой, выразить стоимость въ одной
и той же единицѣ, и только тогда числовыя величины даютъ
возможность сужденія о томъ гдѣ молоко стоитъ дороже.
Возьмемъ еще примѣръ: мы имѣемъ 3 рубля настоящихъ
серебряныхъ и 3 рубля фальшивыхъ. Числовое равенство группъ
не устанавливаетъ одинаковой цѣнности монетъ и не даетъ
*) Веберъ и Вельштейнъ. Энциклопедія элементарн. математики, т. I,
стр. 97.

возможности произвести сравненіе. Это сравненіе мы можемъ
произвести только по вѣсу при одинаковомъ объемѣ.
Изъ этихъ примѣровъ ясно, что числовое равенство группъ
не исчерпываетъ сравнимости предметовъ и не устанавливаетъ
равенства единицъ. Сравненіе единицъ можетъ быть произве-
дено иными психологическими процессами, которые приводятъ
насъ къ понятію о величинѣ и способности сужденія о количествѣ
этой величины. Мы сравниваемъ предметы по вѣсу, по объему,
по цѣнности, и результаты этихъ сравненій выражаемъ числомъ.
Это новое число, которое мы получаемъ, существенно отли-
чается отъ счетнаго числа по своему внутреннему содержанію,
а именно оно находится въ непосредственной зависимости отъ
рода величины, и безъ наименованія величины теряетъ смыслъ.
Въ то время какъ число 5 представляетъ собою группу, со-
стоящую изъ 5 какихъ угодно предметовъ и занимающее 5-е
мѣсто въ счетномъ ряду, 5 фунтовъ, 5 аршинъ и т. п. пред-
ставляютъ опредѣленный вѣсъ, опредѣленную длину, въ кото-
рыхъ число 5 является несущественной подробностью, и мѣрой
количественности будетъ не 5, а пять аршинъ или 5 фунтовъ.
Эту количественность мы можемъ выразить и другими числами,
напримѣръ въ футахъ, въ дюймахъ и т. п. Количественность
отъ этого не измѣняется, но числовое ея выраженіе будетъ
другимъ. Итакъ, именованное число мы должны разсматривать
какъ сложное понятіе, состоящее изъ числового символа и
наименованія единицъ мѣры. Въ то же время, новое число до-
пускаетъ дробимость, и даетъ числовой рядъ, интервалы между
числами котораго могутъ быть настолько малыми, какъ велика
чувствительность измѣрительнаго прибора.
§ 8. Комплексы.
Условимся для удобства математическаго обобщенія назы-
вать комплексомъ все то, что мы можемъ объединить въ еди-
ничность. Каждый объектъ комплекса мы будемъ называть его
элементомъ. Такъ напр. классъ есть комплексъ, состоящій изъ
учениковъ, а каждый ученикъ класса есть элементъ этого
комплекса. Признакомъ того, что совокупность данныхъ эле-
ментовъ составляетъ комплексъ, или, что данный элементъ
относится къ данному комплексу, будетъ служить то внутрен-
нее содержаніе или то качество, по которому происходитъ это
объединеніе. Такъ, признакомъ объединенія учениковъ въ
комплексѣ классъ является принадлежность ученика къ этому
классу. Но мы можемъ объединить и классы въ особый ком-

плексъ—школа, элементами котораго будутъ классы, а слѣдо-
вательно и ученики. Въ нашемъ случаѣ, когда мы говоримъ о
числахъ, то очевидно, что мы имѣемъ числовой комплексъ, со-
стоящій изъ числовыхъ группъ; въ этомъ комплексѣ каждая
группа или каждый элементъ въ свою очередь является ком-
плексомъ тѣхъ конкретныхъ группъ, изъ которыхъ онъ полу-
ченъ. Кромѣ этого числового комплекса, всѣ элементы кото-
раго суть цѣлыя числа, мы имѣемъ еще рядъ комплексовъ,
относящихся къ различнымъ величинамъ: комплексъ длины,
вѣса, стоимости, работы, силы, теплоты и пр. Каждый изъ
этихъ комплексовъ имѣетъ совершенно особые, ему только
принадлежащіе свойства. Такъ комплексъ времени имѣетъ услов-
ный нуль, отъ котораго можно отмѣривать время какъ въ по-
ложительномъ, такъ и въ отрицательномъ направленіи. Точно
то же мы устанавливаемъ для высоты надъ уровнемъ моря,
считая этотъ уровень за нуль. Но температуру мы можемъ
отмѣривать отъ абсолютнаго нуля, за которымъ нѣтъ никакой
температуры. Уже это одно показываетъ, что мы имѣемъ дѣло
каждый разъ съ особымъ комплексомъ, обладающимъ особыми
индивидуальными свойствами.
Изученіе свойствъ различныхъ комплексовъ представляетъ
собою особый родъ знанія, въ которомъ мы устанавливаемъ
отношеніе членовъ комплекса другъ къ другу и отношеніе
этихъ членовъ къ членамъ другихъ комплексовъ. Это изученіе
производится при помощи внутренняго логическаго анализа и
при помощи особаго измѣрительнаго прибора. Каждая вели-
чина имѣетъ свой измѣрительный приборъ, который позволяетъ
сравнивать элементы комплекса другъ съ другомъ. Въ своемъ
чистомъ видѣ элементы комплекса намъ представляютъ собою на-
примѣръ, куски наростающихъ массъ, какъ элементы комплекса
памяти представляютъ собою постепенно увеличивающуюся па-
мять. Но, имѣя вѣсы, мы можемъ сравнить эти наростающія
массы и выразить каждую изъ нихъ числомъ, тогда какъ, не
имѣя прибора, измѣряющаго память, мы этого сдѣлать не мо-
жемъ. Отсутствіе этой возможности точнаго сравненія мѣшаетъ
изученію свойствъ элементовъ комплекса, ибо наиболѣе удобный
способъ этого изученія есть выраженіе каждаго элемента чис-
ломъ. При помощи числа, мы судимъ о величинѣ элемента, а
зная эти величины, мы можемъ глубже проникнуть и въ свой-
ства самихъ элементовъ. Но не надо забывать, что выраженіе
элемента комплекса числомъ есть только путь изученія, одинъ
изъ способовъ этого изученія, а не отожествленіе: 5 аршинъ
есть нѣкоторая длина, измѣренная аршиномъ, а не число 5.
Въ такомъ представленіи различныхъ комплексовъ есть

способы ихъ объединенія, то-есть установленіе общаго метода
для изученія ихъ свойствъ. Поэтому для всѣхъ безъ исключенія
комплексовъ мы можемъ установить слѣдующія два положенія:
1) Всѣ члены каждаго комплекса выражаются тѣми же
числами, какъ и члены числового натуральнаго ряда; но
2) Между каждыми двумя сосѣдними членами мы можемъ
вставить рядъ болѣе или менѣе мелкихъ членовъ. Эти члены
называются дробями.
Если мы имѣемъ ряды различныхъ величинъ, напр. вѣса,
объема, массы, длины и пр., то эти величины могутъ быть со-
вершенно независимы другъ отъ друга; они могутъ находиться
въ естественной зависимости, какъ напр. вѣсъ и объемъ одного
и того же вещества; между ними можно установить условную
зависимость, которая будетъ находиться въ нашемъ распоря-
женіи, какъ напр въ извѣстной задачѣ съ вопросомъ, кто
на комъ женатъ. Зависимость, устанавливаемая между объ-
ектами разсмотрѣнія, мы будемъ называть сопряженіемъ. Подъ
понятіе сопряженіе подходитъ каждое сужденіе, каждое предло-
женіе, которое не сводится къ простому наименованію какого
либо объекта. Такъ, напримѣръ, вѣсъ и масса находятся въ
естественномъ сопряженія которое мы выражаемъ словами:
вѣса пропорціональны массамъ; цѣнность продукта имѣетъ
искусственное сопряженіе съ самимъ продуктомъ, если мы да-
емъ задачу, и естественное, когда мы беремъ рыночную цѣнность.
Положимъ теперь, что мы имѣемъ два комплекса, которые
мы обозначимъ буквами А и В; пусть элементы перваго будутъ
α, Ъ, с, d; элементы второго х, у, я, и, о. Если а сопряжено съ
χ, Ь сопряжено съ с—съ у и d—съ и, то будемъ говорить,
что мы отобразили комплексъ Α въ комплексъ Б. Элементы
комплекса Α будемъ называть оригиналами, а элементы ком-
плекса Б ихъ изображеніями. Пусть напр. мы имѣемъ комплексъ
фактическихъ разстояніи между городами Россійской Имперіи
и комплексъ счетныхъ чиселъ. Если мы улсовились, что
каждое разстояніе соотвѣтствуетъ нѣкоторому числу, то этимъ
мы установимъ сопряженіе элементовъ, и комплексъ чиселъ
будетъ изображеніемъ разстояніи. То же самое мы можемъ
сдѣлать въ нѣкоторыхъ условныхъ длинахъ, тогда комплексъ
длинъ будетъ изображеніемъ комплекса разстояніи, какъ на-
примѣръ кривая болѣзни есть изображеніе комплекса темпера-
туры больного.
Теперь перенесемъ эти разсужденія и опредѣленія въ раз-
сматриваемый нами вопросъ. Мы имѣемъ слѣдующіе комплексы:
1) Комплексъ натуральнаго ряда цѣлыхъ чиселъ.
2) Комплексъ чиселъ, полученныхъ при измѣреніи длины.

3)
Комплексъ
чиселъ,
полученныхъ
ОТЪ
измѣренія
ι площади.
4)
η
Τ)
η
объемовъ.
5)
η
Я
я
Я
»
вѣсовъ.
6)
η
η
4
Г)
времени.
и т. д.
Разсматривая всѣ эти комплексы, мы можемъ сказать, что
комплексы 2, 3, 4, δ и т. д всѣхъ величинъ суть оригиналы
комплекса 1, элементы котораго суть изображенія. Однако это
утвержденіе совершенно не значитъ, что всѣ указанные ком-
плексы представляютъ одно и то же, т.-е. что они тожественны.
Каждый изъ нихъ представляетъ собою индивидуальный ком-
плексъ, состоящій изъ особыхъ элементовъ, служащихъ ориги-
налами элементовъ комплекса I, при чемъ элементы каждаго
комплекса сопряжены съ элементами комплекса I обязательно,
что же касается до сопряженія ихъ другъ съ другомъ, то это
сопряженіе можетъ быть естественнымъ, условнымъ и его вовсе
можетъ и не быть.
Въ этомъ и состоитъ то главное отличіе между господ-
ствующей теоріей числового ряда и тѣмъ, что я пытаюсь про-
вести. Съ моей точки зрѣнія комплексъ напр. объема есть
особый своеобразный комплексъ количествъ, который только
сопряженъ съ натуральнымъ числовымъ рядомъ, но не тоже-
ственъ съ нимъ.
Въ своемъ эволюціонномъ развитіи человѣчество знакоми-
лось мало-по-малу съ различными величинами, оно научалось
измѣрять эти величины и тѣмъ самымъ отображать комплексъ
величины въ комплексѣ числа. Нельзя думать, чтобы такое
отображеніе явилось естественнымъ и неизбѣжнымъ слѣдствіемъ
измѣренія, наоборотъ, можно сказать, что это отображеніе
предварительно прошло длинный путь разныхъ иныхъ попы-
токъ Такъ напр. разстояніе измѣрялось временемъ, длина—
размѣрами человѣческаго тѣла и т. п. Эти попытки пред-
ставляютъ собою сопряженія элементовъ комплексовъ разно-
родныхъ величинъ. Когда говорятъ, что разстояніе равно днев-
ному переходу, то производятъ совершенно то же сужденіе,
которое производилъ Даммара, устанавливая цѣнность овцы
въ двѣ пачки табаку, т.-е. сопрягая цѣнность овцы, (дневной
переходъ) съ цѣнностью двухъ пачекъ табаку, (съ разстояніемъ
между городами.) Такія сопряженія могли быть и необходимо
были раньше развитія счета; но когда развился счетъ, то въ
это сопряженіе стало входить число, и тогда элементъ комплекса
величины сталъ сопрягаться съ числомъ счетнаго ряда, а сами
элементы отобразились въ числахъ.
Теперь, если мы посмотримъ на комплексъ счетнаго ряда

и на комплексъ какой нибудь величины, то мы увидимъ въ
нихъ существенное различіе: мощность комплекса числового
ряда меньше мощности комплекса величины, т.-е. между двумя
смежными элементами счетнаго ряда мы можемъ вставить
множество количествъ величины. Каждая величина измѣняется
непрерывно, тогда какъ комплексъ чиселъ измѣняется скачками.
Этотъ недостатокъ можно исправить, вводя все болѣе и болѣе
мелкія единицы измѣренія; но въ то же время это приводитъ
и къ новому числовому ряду, въ которомъ между членами
выставлены дроби или части единицы измѣренія.
Новый числовой рядъ, взявъ наименованія чиселъ отъ
счетнаго ряда, однако положилъ въ свою основу совершенно
иной психическій процессъ, который характеризуется матема-
тическимъ терминомъ отношенія
§ 9. Отношеніе.
Слово „отношеніе представляетъ собою то элементарное
логическое понятіе, которое опредѣлено быть не можетъ. Въ
этомъ смыслѣ оно употребляется въ житейскомъ обиходѣ* но
въ математикѣ, или, лучше сказать, въ тѣхъ сужденіяхъ, ко-
торыя затрогиваютъ измѣрительные процессы, это элементар-
ное понятіе получаетъ нѣкоторый опредѣленный, ограничиваю-
щій его оттѣнокъ.
Въ силу этого математическій терминъ „отношеніе" и жи-
тейское понятіе - „имѣть отношеніе", „относиться" нѣсколько
разошлись между собою, и въ математической литературѣ
имѣется нѣсколько опредѣленій этого термина. Я позволю себѣ
привести нѣсколько опредѣленій. Такъ Эвклидъ въ книгѣ V
своихъ началъ такъ опредѣляетъ отношеніе. „Отношеніе есть
нѣкоторая взаимная зависимость между двумя однородными
величинами, когда они сравниваются по ихъ количествен-
ности". *) Онъ говоритъ далѣе, что двѣ величины имѣютъ
отношеніе между собой, если меньшую изъ нихъ можно повто-
рить столько разъ, чтобы результатъ былъ равенъ или больше
большей". Это опредѣленіе Эвклида возбуждало много сомнѣ-
ній, и многіе склонны думать, что оно является позднѣйшей
вставкой.
Эйлеръ въ своей „Всеобщей ариѳметикѣ" **) называетъ
*) Λόγος εστί δυο μεγεθών ομογενών ή κατά πηλικότητα προς
άλληα ποια σχέσισ.
**) „Универсальная ариѳметика" Г. Леонарда Ейлера 1768 г.

отношеніе содержаніемъ и различаетъ два вида содержаній: со-
держаніе ариѳметическое и содержаніе геометрическое. Послѣд-
нее онъ опредѣляетъ такъ: „Геометрическое содержаніе двухъ
чиселъ бываетъ при вопросѣ, во сколько разъ одно число
больше другого; и ежели одно изъ сихъ двухъ чиселъ раздѣ-
лится на другое, то частное оттуда происшедшее называется
знаменатель сего содержанія".
Очень интересно опредѣленіе Бореля, данное имъ его Ариѳ-
метикѣ" „Отношеніемъ двухъ величинъ одного и того же рода,
говоритъ онъ, называютъ число, которое измѣряетъ первую,
когда вторая принята за единицу".
Почти то же даетъ г. Веберъ въ „Энциклопедіи матема-
тики" для количествъ соизмѣримыхъ, для несоизмѣримыхъ же
онъ даетъ опредѣленіе эвклида.
Какое бы изъ этихъ опредѣленій мы не взяли, какое бы
ни придумали сами, несомнѣнно одно, что если мы возьмемъ
отношеніе всѣхъ элементовъ даннаго комплекса къ одному изъ
нихъ, то получимъ нѣкоторый рядъ. Въ этомъ числовомъ ряду
количество элементовъ будетъ всегда соотвѣтствовать коли-
честву элементовъ даннаго комплекса, т.-е. мощность этого
ряда будетъ всегда равна мощности ряда всякаго комплекса *).
§ 10. Первоначальное обученіе ариѳметикѣ.
Я подробно изложилъ все то, что такъ или иначе сопри-
касается съ первоначальнымъ обученіемъ ариѳметикѣ. При
этомъ думаю, что неправильно думаютъ тѣ, кто говоритъ, что
всѣ эти вопросы излишни: число можно разсматривать какъ
фактъ, какъ понятіе апріорное, не требующее ни опредѣленій,
ни поясненій. Ребенокъ прекрасно понимаетъ, когда ему гово-
рятъ слово число, а затрогивать этотъ вопросъ значитъ ясное
дѣлать неяснымъ. Согласенъ съ тѣмъ, что говорить ребенку
что-либо изъ того, что здѣсь написано,—верхъ нелѣпости, но
педагогу, мнѣ кажется, обязательно необходимо съ этимъ по-
знакомиться. Пусть онъ даже въ концѣ концовъ придетъ къ
убѣжденію, что не стоитъ и думать о томъ, что такое число,
пусть онъ разсматриваетъ его какъ фактъ, и если это его
убѣжденіе явилось слѣдствіемъ изученія вопроса, то оно ска-
жется и въ преподаваніи, и въ наблюденіи встрѣчающихся
психическихъ особенностей; но, если это убѣжденіе явилось
*) Эта идея съ большой обстоятельностью изложена въ сочиненіи ака-
демика Гурьева „Науки исчисленія" Кн. I „Основанія ариѳметики". Введеніе.

безъ изученія вопроса, то самый вопросъ будетъ неясенъ для
педагога, и онъ въ лучшемъ случаѣ будетъ слѣдовать случайно
выбранной методикѣ. Съ своей стороны я думаю, что у ре-
бенка въ подсознательной области бродятъ тѣ же идеи, кото-
рыя высказываютъ философы изъ наблюденій надъ внутреннимъ
содержаніемъ личной мысли. А потому часто бываетъ, что ре-
бенокъ становится въ тупикъ, не понимая того, что ему гово-
ритъ учитель. Слова учителя находятся въ рѣзкомъ противо-
рѣчіи съ содержаніемъ его мышленія, и онъ никакъ не можетъ
встать на новую точку зрѣнія.
Что касается до преподаванія ариѳметики, то я глубоко
убѣжденъ, что современное наученіе счету въ порядкѣ числи-
тельныхъ является неправильнымъ и философски и педагоги-
чески. Ребенокъ мыслитъ количественно, и эту количествен-
ность надо проводить въ область наученія счету. Мысль Лайя,
его фигурныя числа, уже есть шагъ на этомъ пути, но я иду
дальше и думаю, что необходимо обучать не только счету, но
и измѣренію.
Попробую болѣе подробно обосновать свою точку зрѣнія.
Академикъ Гурьевъ говоритъ, что вся математика имѣетъ
единственнымъ предметомъ сравненіе величинъ и происходящее
оттуда взаимное однѣхъ изъ нихъ къ другимъ определеніе".
Но, если такова область математики, то и обученіе ей должно
ставить себѣ тѣ же цѣли, т.-е. знакомство съ величинами и
отысканіе тѣхъ соотношеніи, которыя содержатся въ величи-
нахъ. Исходя изъ этого не счетъ долженъ быть поставленъ въ
основу обученія, а измѣреніе.
Съ другой стороны, по изслѣдованію Меймана, ребенокъ
не способенъ мыслить логически, ему трудно даже вырабаты-
вать общія понятія; его мысль конкретна, и онъ находится во
власти представленій и фантазіи. Да и само мышленіе сбито съ
своей царственной позиціи.,, Установлено, говорятъ гг. Мрочекъ
и Филиповичъ, что психическая жизнь состоитъ изъ процес-
совъ чувственной (сенсорной) умственной и волевой дѣятель-
ности. Эти три процесса проявляются въ воспріятіи, сознаніи
и дѣйствіи. Но сейчасъ уже немыслимо говорить о независи-
мости каждаго процесса, напротивъ—между чувствами, разу-
момъ и волей существуетъ тѣснѣйшее взаимодѣйствіе, и каждый
изъ трехъ перечисленныхъ процессовъ является функціей двухъ
остальныхъ".
„Біологически ученикъ—это сенсорно-моторный аппаратъ,
съ нервной системой во главѣ. Сенсорная часть управляетъ вос-
пріятіями; спинной и головной мозгъ переработкой ихъ; мо-
торные центры—воспроизведеніемъ и обобщеніемъ. Принимая

во вниманіе, что моторные центры занимаютъ цѣлую треть
мозговой массы; что такъ называемое мышечное чувство есть
то, къ чему сейчасъ сводятся наши представленія и понятія;
что по мѣрѣ роста мышцъ отъ упражненій растутъ и клѣтки
соотвѣтствующаго нервнаго центра и т. д. приходится сдѣлать
важный и совершенно неожиданный выводъ, что мышленіе—
это овладѣваніе мускульными усиліями".
Все стремится перейти въ движеніе—это послѣднее слово
біологіи и психо-физіологіи, подтвержденное статистическими
изслѣдованіями многихъ выдающихся экспериментагоровъ и фор-
мулированное въ 1905 году однимъ изъ нихъ Штерномъ: „Въ
основаніи психическаго процесса лежатъ не воспріятія, впе-
чатлѣнія и понятія съ внутренней ихъ обработкой, а замѣна
впечатлѣній моторными движеніями".
Соединяя это съ тѣми задачами, которыя ставятъ себѣ ма-
тематика, мы должны построить курсъ начальнаго обученія на
непосредственномъ опытѣ учащихся. Пусть они измѣряютъ
длины, взвѣшиваютъ, отмѣриваютъ объемы, изучаютъ площади
и линейныя протяженія. Это будутъ тѣ сенсорно-моторные про-
цессы, которые заложатъ въ ихъ самосознаніи идеи коли-
чества, дадутъ имъ понятія о величинахъ и ихъ измѣреніи.
Измѣреніе само приведетъ ихъ сознаніе къ идеѣ отношенія
и числа. Число получается не въ абстрактномъ наименованій,
но связанное съ чувственными воспріятіями вѣса, объема,
длины, площади, и эти чувственныя воспріятія покажутъ измѣ-
неніе числа и дадутъ идею дѣйствій надъ нимъ. Быть можетъ
тогда натуральный счетъ собственно окажется лишнимъ, и его
придется изучать потомъ, какъ въ настоящее время ученики
учатъ азбучный алфавитъ. Геометрія въ этой системѣ должна
занять почетное мѣсто. Пусть ученики съ первыхъ шаговъ
обученія привыкнутъ, что количество можно изображать и
числомъ и линіей.
Въ этомъ направленіи я думаю педагогика должна сдѣлать
свой новый шагъ.

ГЛАВА V.
Основные методическіе вопросы. Дѣйствія надъ
количествами.
§ 1. Понятіе о дѣйствіи.
Въ предыдущей главѣ мы разобрали тѣ элементы, надъ ко-
торыми оперируетъ математическое мышленіе; мы нашли, что
основнымъ элементомъ, прирожденнымъ человѣку, является
количество. Изучая это количество, человѣкъ мало-по-малу
приходитъ къ двумъ новымъ понятіямъ: число и величина. Эти
новыя понятія являются продуктомъ его сознательной психи-
ческой дѣятельности, а потому понятія о числѣ и величинѣ по-
лучаются путемъ отвлеченія и обобщенія тѣхъ фактическихъ
данныхъ, изъ которыхъ они выходятъ, поэтому оба эти поня-
тія я назвалъ отвлеченными. Понятіе объ отвлеченномъ числѣ
получается путемъ отвлеченія отъ наименованій предметовъ
сосчитыванія, и чистое понятіе числа есть число счетное; по-
нятіе о величинѣ получается путемъ отвлеченія отъ измѣряе-
мыхъ свойствъ или качествъ предметовъ и тѣсно связано съ
вопросомъ о способѣ и возможности измѣреній этихъ качествъ.
Вопросъ объ измѣреніи приводитъ насъ къ двоякому строю
мысли: изученіи величины и построенію измѣрительнаго при-
бора, и къ математическому новому понятію объ отношеніи.
Имѣя измѣрительный приборъ, мы можемъ къ изучаемой вели-
чинѣ приложить математическое понятіе объ отношеніи и тогда
получаемъ новый числовый рядъ, построенный по законамъ
счетнаго ряда; этотъ рядъ мы назовемъ измѣрительнымъ ря-
домъ. Для каждой изъ изучаемыхъ величинъ строится особый,
ей свойственный измѣрительный числовой рядъ, къ которому,
однако, при извѣстныхъ ограничительныхъ условіяхъ, прило-
жимы всѣ свойства счетнаго числового ряда; этимъ обобща-
ются всѣ измѣрительные числовые ряды, и мы получаемъ тотъ
типичный числовой рядъ, который можетъ быть представленъ
геометрически въ видѣ прямой линіи. Такимъ образомъ мы
получаемъ два символическихъ изображенія количественности

величины: ариѳметическое — число и геометрическое — прямую
линію.
Однако во всемъ этомъ изученіи мы получаемъ комплексы,
но не получаемъ дѣйствій, мы слѣдимъ за измѣненіемъ той или
иной величины, но не производимъ надъ ней никакихъ дѣй-
ствій. Что же такое дѣйствіе? Въ настоящее время еще очень
многими раздѣляется тотъ взглядъ, что мы имѣемъ право про-
изводить дѣйствія только надъ отвлеченными числами. Въ этомъ
мнѣніи понятіе о дѣйствіи такъ тѣсно сливается съ понятіемъ
числа, что эти понятія кажутся не раздѣлимыми. Я думаю, что
это не вѣрно, потому что тогда совершенно невозможно объ-
яснить сложеніе силъ, построеніе линій и т. п. Однако этотъ
взглядъ настолько серьезенъ по своимъ внутреннимъ обосно-
ваніямъ, что о нихъ необходимо поговорить подробнѣе.
Въ основѣ этого мнѣнія лежитъ слѣдующее: изъ изученія
чиселъ мы выводимъ возможность производить надъ ними дѣй-
ствія, для этихъ дѣйствій выводимъ правила; но и сами дѣй-
ствія и выведенныя правила для ихъ производства всецѣло опи-
раются на свойства чиселъ, такъ сказать вполнѣ и всецѣло
слиты съ идеей числа.и съ его свойствами. Теперь, если мы,
рѣшая какую-нибудь задачу, или изучая какой-нибудь вопросъ^
приходимъ на основаніи функціональныхъ соотношеніи раз-
сматриваемыхъ количествъ, къ производству надъ ними дѣй-
ствій, то мы какъ бы передаемъ весь вопросъ въ область чи-
селъ; эта передача позволяетъ намъ уже не слѣдить за логи-
ческимъ развитіемъ вопроса, мы вполнѣ увѣрены, что въ этой
области логически все совершенно правильно, и, получивъ ре-
зультатъ, мы судимъ или о правильности рѣшенія задачи, или
о свойствахъ разсматриваемыхъ величинъ. Чтобы вполнѣ выяс-
нить эту точку зрѣнія я возьму нѣсколько примѣровъ.
1) Изъ 10 фунтовъ муки вышло 13 фунтовъ печенаго хлѣ-
ба. Сколько фунтовъ хлѣба выйдетъ изъ 4х/2 фунтовъ муки?
Рѣшая такую задачу, мы говоримъ: количество муки и ко-
личество печенаго хлѣба суть величины прямопропорціональ-
ныя, т.-е. ихъ функціональная зависимость есть прямая про-
порціональности Это мы устанавливаемъ не изъ свойствъ чиселъ,
а изъ свойствъ величинъ, т.-е. это сужденіе не содержится и
не разсматривается въ ариѳметикѣ, мы должны его знать во-
обще, ихъ изученія свойствъ, обнаруженныхъ при печеніи хлѣ-
ба—изъ опыта. Но разъ мы это свойство знаемъ, то беремъ
числа 10, 13, 4*/2 и х, гдѣ χ есть искомое количество печенаго
хлѣба. Изъ этихъ числъ составляемъ пропорцію 10 : 41/2=13 : χ;
рѣшая эту пропорцію, получаемъ χ = 5^.
Всѣ эти операціи мы производили надъ отвлеченными чис-

лами, подчиняя ихъ законамъ дѣйствій. Полученный резуль-
татъ есть также отвлеченное число, и чтобы узнать, что оно
выражаетъ, мы вновь обращаемся къ задачѣ и говоримъ: оно
выражаетъ число фунтовъ печенаго хлѣба; слѣдовательно изъ
41/2 фунтовъ муки получается 5^ фунта хлѣба.
Но, если бы въ задачѣ было дано не 4г/2 фунта, а 4*/2 пуда
муки, тогда наше заключеніе было бы не вѣрно, и я совершенно
не знаю, какъ съ разсматриваемой точки зрѣнія можно вы-
вести необходимость обращенія 472 пудовъ въ фунты.
2) Опредѣлить площадь пола, длина котораго равна 5 саж.,
а ширина 3 саженямъ?
Рѣшая эту задачу, говоримъ такъ: чтобы опредѣлить пло-
щадь пола, мы должны помножить число, выражающее его дли-
ну на число выражающее, его ширину. Это утвержденіе есть
геометрическій выводъ, или знаніе, добытое изъ изученія измѣ-
ренія площадей. Помножимъ 5 на 3, но это умноженіе есть
умноженіе отвлеченныхъ чиселъ, и мы получаемъ отвлеченное
число 15; но такъ какъ площади измѣряются въ квадратныхъ
единицахъ, то этому числу 15 мы должны приписать наимено-
ваніе 15 квадр. саженъ, ибо въ задачѣ длина и ширина измѣ-
рены въ саженяхъ. Но, если бы мы взяли длину въ саженяхъ,
а ширину въ аршинахъ, то можно ли бы было написать, что
площадь = 15 (сажень X арш.); Если можно, то почему? Какъ
мы объяснимъ съ точки зрѣнія отвлеченныхъ чиселъ необхо-
димость обращенія длины и ширины въ одинаковыя мѣры?
Я взялъ наиболѣе простые примѣры, которыхъ можно по-
добрать сколько угодно. Изъ разсмотрѣнія рѣшенія этихъ за-
дачъ съ одной стороны, и съ другой (а это главное) изъ того,
что самое понятіе о дѣйствіи совершенно не содержится въ
понятіяхъ о числѣ, количествѣ и величинѣ, мы должны ска-
зать, что понятіе о дѣйствіи есть особое понятіе, добытое нами
особымъ логическимъ путемъ, и это понятіе мы прилагаемъ къ
числамъ, но не выводимъ изъ нихъ.
Придя, такимъ образомъ, къ необходимости оторвать по-
нятіе о дѣйствіи отъ понятія о числѣ и придавая ему совер-
шенно самостоятельное значеніе, мы должны опредѣлить, что
такое математическое дѣйствіе?Я позволю себѣ дать слѣдующее
опредѣленіе: Математическимъ дѣйствіемъ называется логическое
слѣдствіе функциональной зависимости величинъ и тѣхъ условіи,
которыя даны въ задачѣ. Такимъ образомъ, при разсмотрѣніи
математическихъ дѣйствій на первое мѣсто становятся не числа,
а величины, ихъ свойства и ихъ взаимная зависимость. При
этомъ, конечно, слѣдуетъ разграничить понятіе о дѣйствіи отъ
способа его производства.

Разсмотримъ съ этой точки зрѣнія первую изъ предло-
женныхъ задачъ. Здѣсь входятъ двѣ величины: количество муки
и количество хлѣба.
Рѣшить задачу мы можемъ двумя разсужденіями:
Здѣсь намъ даны два количества: мука и хлѣбъ, изъ нея
излеченный, хоть эти количества измѣрены одной и той же
вѣсовой единицей, однако они различны по существу. Вслѣдствіи
того что они различны мы не можемъ примѣнить къ нимъ ни
сложенія, ни вычитанія, но можемъ примѣнить или умноженіе,
или дѣленіе. Чтобы опредѣлить, какое изъ этихъ дѣйствій
должно быть произведено, намъ надо или изучить, или знать,
какъ печется хлѣбъ. Изучая это явленіе мы замѣчаемъ, что
при леченіи вѣсъ хлѣба больше вѣса взятой муки и это уве-
личеніе вѣса можно принять за прямо пропорціонально^ т. е.
допустить, что припекъ на каждый фунтъ хлѣба одинъ и тотъ
же. Тогда, если изъ 10 φ. выпекаютъ 13 φ., то:
1- е. Изъ 10 фунтовъ муки выпекаютъ 13 фунтовъ хлѣба,
а изъ одного фунта выпекутъ въ 10 разъ меньше. Это заклю-
ченіе, что изъ одного фунта выпекаютъ меньше и именно въ
10 разъ, является логической необходимостью, вытекающей изъ
явленія леченія хлѣба; при изученіи этого явленія мы замѣча-
емъ, что хлѣбъ имѣетъ припекъ, что этотъ припекъ можно
считать одинаковымъ на каждый фунтъ, и чѣмъ больше фун-
товъ, тѣмъ больше и припека. Изъ этого изученія явленія мы
твердо устанавливаемъ необходимость дѣйствія, которое назы-
вается дѣленіемъ и примѣняемъ это дѣйствіе къ данному во-
просу, символически обозначая его чертой. Говоримъ изъ од-
ного фунта муки мы получимъ ^ фунта печенаго хлѣба. Раз-
сматривая величины, а не числа, мы не можемъ здѣсь опустить
наименованія потому что эти наименованія входятъ въ сущ-
ность дѣйствія. Итакъ изъ одного фунта муки мы получа-
емъ ^ фунта печенаго хлѣба, а изъ 4*/а фунтовъ муки мы
получимъ въ 4 1/2 раза больше, выражая это больше символи-
чески знакомъ X и называя это дѣйствіе умноженіемъ, полу-
чимъ ^Х41/2 фунтовъ хлѣба. Мы можемъ не знать, какъ про-
извести дѣленіе, какъ умножить на 4V2, но мы знаемъ, что
логическій процессъ разсмотрѣнія условій задачи приводитъ
насъ именно къ этимъ дѣйствіямъ. Мы не можемъ сдѣлать
никакихъ другихъ дѣйствій надъ этими числами, потому что
функціональныя соотношенія между ними подчиняются только
этммъ дѣйствіямъ, которыя являются необходимымъ и обяза-
тельнымъ слѣдствіемъ условій даннаго вопроса.
2- е. Разсматривая задачу, мы видимъ, что во второй разъ
взято муки меньше чѣмъ въ первый, и естественнымъ логиче-

скимъ процессомъ заключаемъ, что и хлѣба будетъ получено
меньше. Это наше заключеніе можетъ быть основано или на
изученіи явленія, или на основаніи общихъ жизненныхъ про-
цессовъ, въ основѣ которыхъ лежитъ наблюденіе, что умень-
шеніе количества обрабатываемая продукта даетъ всегда умень-
шеніе обработаннаго продукта. Какъ бы то ни было, но для
всякаго ясно, что съ уменьшеніемъ количества муки, будетъ
уменьшеніе и количества хлѣба. Но какъ произойдетъ это
уменьшеніе? Мы можемъ спросить себя, на сколько фунтовъ
второй разъ взято муки меньше, чѣмъ въ первый? Этотъ во-
просъ приводитъ къ вычитанію, и мы находимъ, что второй
разъ взято муки на 51/2 фунтовъ меньше, и можемъ заключить,
что и хлѣба будетъ тоже на 5гІ2 фунтовъ меньше, т. е. мы вы-
печемъ только 71,2 фунтовъ. Въ такомъ разсужденіи есть
ошибка, но эту ошибку мы не можемъ открыть, разсматривая
числа, данныя въ задачѣ, ибо они содержатся въ неправиль-
номъ разсмотрѣніи самого явленія, т. е. того процесса, кото-
рымъ получается припекъ. Здѣсь мы забываемъ, что эти 572
фунтовъ то же даютъ припекъ, а этотъ припекъ мы не раз-
сматриваемъ. Думая надъ тѣмъ, какъ разсчитать количество
хлѣба, если каждый фунтъ муки даетъ свой припекъ, мы при-
ходимъ къ необходимости иныхъ дѣйствій, т. е. иного раз-
смотрѣнія вопроса „меньше". Мы спрашиваемъ, нельзя ли узнать,
во сколько разъ 472 меньше 10, и говоримъ, что это узнается
дѣленіемъ. 4^у-.
Въ такой постановкѣ вопроса мы говоримъ, что количе-
ство полученнаго хлѣба будетъ во столько разъ меньше 13, во
сколько разъ 41/* меньше 10, именно потому, что въ этомъ ма-
тематическомъ процессѣ учитывается каждый фунтъ. Но эту
фразу мы можемъ записать или въ видѣ пропорціи или вычи-
слить ее отдѣльно, установляя, что выраженіе „меньше въ нѣ-
сколько разъ" находится дѣйствіемъ дѣленія.
Въ обоихъ случаяхъ мы приходимъ къ одной и той же
формулѣ окончательнаго рѣшенія задачи, и эта формула рѣ-
шенія указываетъ намъ, что данныя количества подчиняются
только опредѣленной функціональной зависимости, которая
выражается въ дѣйствіяхъ умноженія и дѣленія, и эти дѣйствія
не содержатся въ данныхъ числахъ, а содержатся въ свойствѣ
явленія и проистекающей отсюда функціональной зависимости
данныхъ величинъ. Если бы величины были таковые, что при-
пекъ на каждый фунтъ былъ неодинаковъ, или, если бы этотъ
припекъ наросталъ не только на сырую муку, но и на выпе-
ченный хлѣбъ, какъ наблюдаемая напримѣръ въ сложныхъ

процентахъ, то и полученныя формулы выразили бы иную
функціональную зависимость.
Но, если назначеніе дѣйствія не содержится въ данныхъ
числахъ, а въ изучаемомъ явленіи и свойствахъ разсматривае-
мыхъ величинъ, то ясно, что и наученіе этому назначенію не
можетъ совпадать съ изученіемъ чиселъ, а должно быть про-
изведено самостоятельно.
Вотъ почему русскіе методисты посвятили такъ много вни-
манія вопросу о дѣйствіяхъ, и методъ г. Шохирь-Троицкаго,
который онъ озаглавилъ „методою цѣлесообразныхъ задачъ",
имѣетъ очень много цѣннаго. Въ самомъ дѣлѣ, изучая задачи,
ученикъ въ то же время изучаетъ тѣ соотношенія, которыя
содержатся въ этихъ задачахъ; но я думаю, что такое изуче-
ніе еще недостаточно, къ нему необходимо присоединить на-
глядность, т. е. изученіе самихъ явленій. Для выясненія во-
проса о дѣйствіяхъ начальное обученіе должно содержать эле-
менты геометріи и физики въ ихъ практическихъ приложеніяхъ.
Ученикъ долженъ не только самъ измѣрять количества, но и
производить опыты, т. е. изучать самыя явленія. Однаго всѣхъ
явленія изучить нельзя, а потому быть можетъ можно раздѣ-
лить оба эти процесса: изученіе функціональной зависимости
(рѣшеніе задачъ) и изученіе явленій? Такое раздѣленіе, конеч-
но, необкодимо, и я говорю не объ этомъ, я говорю о томъ,
что для познаванія сложныхъ жизненныхъ и физическихъ со-
отношеніи, необходимы конкретныя представленія, а эти кон-
кретныя представленія даетъ опытъ. Ученикъ, непосредственно
наблюдающій, что съ увеличеніемъ объема одного и того же
вещества вѣсъ его увеличивается во столько же разъ, легче
пойметъ, что съ увеличиніемъ количества взятой муки, коли-
чество хлѣба увеличится во столько же разъ. Здѣсь руковод-
ство учителя даетъ ему руководящую нить, а онъ самъ уже
находитъ законы дѣйствія физическихъ числъ и соотношенія
между получаемыми количествами.
§ 2. Сложеніе количествъ.
Понятіе „сложеніе", „приложеніе" есть понятіе присоеди-
ненія и представляетъ собою то элементарное понятіе, которое
опредѣлено быть не можетъ. Оно обозначается знакомъ +, и
въ общемъ видѣ можетъ быть представлено въ видѣ А + В,
гдѣ А и В суть самыя разнообразныя количества. Если А и В
таковы, что мы можемъ В присоединить къ А фактически, то
мы выводимъ правило этого присоединенія, которое называемъ
правиломъ сложенія данныхъ количествъ; если А и В суть ко-

личества разнородныя, то мы, оставляя за выраженіемъ А + В
названіе суммы, разсматриваемъ его какъ соединеніе двухъ эле-
ментовъ, не могущихъ дать общаго результата. Таковы напр.
соединенія 2 + ~|/3; a-fbi и т. д. Такія соединенія обладаютъ
исключительнымъ, только имъ принадлежащимъ свойствамъ,
что равенство ихъ распадается на два равенства: равенство
суммъ даетъ равенство элементовъ: если а + bi = ах + bti; то
а = ах и b = Ъг. Отъ этихъ чисто математическихъ типовъ рѣзко
отличается типъ химическихъ формулъ, гдѣ знакъ -f- есть также
знакъ соединенія, но соединенія въ особомъ химическомъ смыслѣ.
Напримѣръ H2SO4 -f- Zn = ZnSO4 + 2H, оно имѣетъ особый услов-
ный химическій смыслъ, содержащійся въ химическихъ свой-
ствахъ взятыхъ элементовъ и показываетъ результатъ химичес-
кой реакціи. Можно было бы сказать, что во всѣхъ этихъ слу-
чаяхъ, мы не имѣемъ дѣйствія сложенія, а имѣемъ символическое
обозначеніе идеи присоединенія. Но я думаю, что ограничивать
идею дѣйствія только случаями ея фактическаго выполненія,
было бы ошибочно. Гораздо правильнѣе думать, что идея дѣй-
ствія сложенія охватываетъ всю область присоединенія и тогда
оправдается возможность разсматривать химическія формулы,
какъ математическія количества съ особымъ индивидуальнымъ
смысломъ, и въ общей формулѣ сложенія А + В будетъ содер-
жаться и случай химическихъ соединеній, какъ формула а + bi
охватываетъ всю область чиселъ. Химическая формула даетъ
много аналогіи съ комплекснымъ числомъ, но съ особымъ хи-
мическимъ смысломъ. Такъ и въ химическомъ равенствѣ мы
можемъ химически установить соотвѣтствіе H2SO4 и ZnSO4; а
также Zn и 2H, такъ что можемъ написать H^SOj = ZnSO4 и
Zn = 2H по ихъ химическимъ свойствамъ.
Однако, установляя такое широкое значеніе самого дѣй-
ствія, я не буду разсматривать его въ этомъ отношеніи и огра-
ничусь лишь разсмотрѣніемъ его простѣйшихъ формъ факти-
ческаго выполненія въ области элементарныхъ количествъ.
Самымъ элементарнымъ комплексомъ будетъ счетный рядъ
натуральныхъ чиселъ, свойство котораго и положено въ осно-
ваніе правила производства дѣйствія.
Эти свойства были разсмотрѣны въ гл. 5, § 11, а теперь
къ нимъ можно присоединить новое свойство, основанное на
соединеніи понятій: свойства количествъ и дѣйствія надъ ними.
Это свойство есть аксіома сложенія и можетъ быть формули-
ровано такъ:
Сумма единицъ каждаго члена нормальнаго счетнаго ряда
всегда равна суммѣ произвольнаго числа группъ, составленныхъ изъ
этихъ единицъ.

Положимъ теперь, что намъ нужно сложить два числа 4 + 8,
т.-е. найти новое число, которое содержало бы въ себѣ столько
единицъ, сколько ихъ содержится въ томъ и другомъ числѣ.
Это сложеніе мы можемъ произвести двояко:
1) Взять одно изъ данныхъ чиселъ, т.-е. членъ ряда ему
соотвѣтствующій, и присчитать къ нему столько единицъ,
сколько содержится ихъ въ другомъ числѣ', переходя послѣдо-
вательно по порядку отъ одного члена ряда къ другому, мы
получимъ, что 12 есть искомая сумма.
2) Замѣтивъ, что 8 составляетъ двѣ группы по 4 элемента,
мы считаемъ группами и говоримъ: искомая сумма содержитъ
3 группы по 4 элемента. Если бы намъ было дано сложить не
4 + 8, а 4 + 7, то мы сказали бы, что 7 можетъ быть предста-
влено въ видѣ группы въ 4 элемента и еще 3 элемента, и иско-
мая сумма выразилась бы тогда: 2 группы по 4 элемента и еще
3 элемента.
Оба эти принципа входятъ въ производство дѣйствія сло-
женія, при чемъ сложеніе единицъ мы производимъ по первому
принципу, а сложеніе десятковъ, сотенъ и пр. — по второму.
Кромѣ того изъ нихъ же вытекаютъ два важныхъ слѣдствія:
1) сумма всегда больше каждаго изъ своихъ слагаемыхъ и
2) сумма не зависитъ отъ порядка, въ которомъ производится
сложеніе слагаемыхъ.
Переходя отъ сложенія чиселъ къ сложенію количествъ,
мы здѣсь встрѣчаемъ двѣ возможности: 1) количество дано не-
посредственно и 2) количество выражено числомъ. Если коли-
чество дано непосредственно, то сумма находится въ зависи-
мости отъ свойствъ этого количества. Такъ напр. мы непо-
средственнымъ наложеніемъ находимъ сумму двухъ отрѣзковъ
прямой линіи; при помощи особаго построенія опредѣляемъ
сумму площадей данныхъ фигуръ и т. п. При этомъ наиболѣе
важнымъ свойствомъ нѣкоторыхъ количествъ является при-
знакъ, не содержащійся въ числахъ—направленія количества.
Чтобы вполнѣ выяснить существенную разницу между чис-
ломъ и количествомъ, слѣдуетъ вспомнить, что всякое количе-
ство можно выразить двояко: числомъ и векторомъ. Произведя
сложеніе векторовъ (напр. силъ) мы должны принять во вни-
маніе и направленіе, а тогда аксіомы сложенія будутъ непри-
мѣнимы, напр. сумма можетъ быть меньше слагаемаго; но если
количество выражено числомъ и не имѣетъ направленія, то
сложеніе такихъ количествъ производится по правилу сложе-
нія чиселъ; но при этомъ устанавливается слѣдующій постулатъ:
Сложеніе количествъ производится по правилу сложенія чи~

селъ только тогда, когда каждое изъ нихъ измерено одной и той
же единицей.
Въ этомъ случаѣ мы представляемъ себѣ, что каждое ко-
личество, разбито на отдѣльныя части, изъ которыхъ каждая
равна выбранной единицѣ. Совокупность этихъ кусковъ есть
мѣра количества, а число, выражающее эту совокупность, пред-
ставляетъ собою числовую величину количества. При такомъ
представленіи числовая величина количества ни чѣмъ не отли-
чается отъ представленія нормальнаго числового ряда, и къ
числамъ, выражающимъ эти количества можно примѣнить не
только аксіомы числового ряда, но и правила производства
сложенія.
Здѣсь очевидно мы входимъ въ новую область мысли, пра-
вильность которой повѣряется непосредственнымъ опытомъ. Мы
говоримъ, что сумма двухъ количествъ 5 фун. и 3 фунта бу-
детъ содержать въ себѣ столько фунтовъ, сколько содержится
единицъ въ суммѣ чиселъ 5 + 3. Правильность этого заключе-
нія съ одной стороны повѣряется непосредственнымъ взвѣши-
ваніемъ, а съ другой справедливостью нашего постулата, что
два количества, измѣренные одной и той же единицей вполнѣ
подчиняются правилу образованія нормальнаго счетнаго ряда.
Однако новое положеніе,—приложеніе счетнаго ряда къ из-
мѣренію количествъ, разширяетъ область разсмотрѣнія и вно-
ситъ въ идею сложенія нѣчто новое. Это новое обусловли-
вается свойствомъ количествъ быть выраженнымъ какимъ угодно
числомъ, а потому и сумма фактическихъ количествъ: длинъ,
массъ, скоростей и проч. не зависитъ отъ того, какимъ чи-
сломъ она будетъ выражена. Это свойство обусловливается
свойствомъ дѣлимости количествъ, а потому, чтобы его выра-
зить, можно установить слѣдующее. „Если данное количество
кратно другому, то оно будетъ кратнымъ и всякой части дру-
гого" . Данное количество 5 фунтовъ кратно 1 фунту; но если
мы фунтъ раздѣлимъ на 32 равныя части, то 5 фунтовъ бу-
детъ кратно и 1 лоту, т.-е. ^ части фунта.
Это свойство съ одной стороны требуетъ, чтобы каждое
слагаемое было выражено въ одной и той же единицѣ, а съ
другой вводитъ и новое свойство суммы, въ которомъ знакъ +
является знакомъ соединенія, а сама сумма не подчиняется зако-
намъ сложенія чиселъ. Такъ, если мы возьмемъ 2 саж. -f~ 5 вер.
То это будетъ только соединеніе двухъ длинъ, и чтобы это со-
деиненіе подчинить свойству сложенія, мы должны 2 саж. вы-
разить вершками.
Здѣсь* правило производства дѣйствія расходится на 2 вѣт-
ви: Съ одной стороны можно разсматривать сажень какъ чис-

ловую группу и распространить на сложеніе сложныхъ имено-
ванныхъ чиселъ принципъ сложенія группъ, т.-е. считать, что
двѣ суммы: 3 саж. 5 верш. + 8 саж. 2 верш, и 25 + 37 склады-
вается на основаніи принципа сложенія одинаковыхъ группъ
и на именованныя числа переносятся правила сложенія про-
стыхъ чиселъ. Съ другой стороны мы приходимъ къ дробямъ.
§ 3. Понятіе о дроби и ея свойства.
Когда мы разсматриваемъ данное количество само по себѣ,
то можемъ измѣрить его произвольной единицей, при чемъ эту
единицу можемъ заранѣе назначить. Для этого мы всегда мо-
жемъ отыскать общую мѣру даннаго количества и единицы.
Затрудненіе будетъ представлять только случай несоизмѣри-
мости, къ которому будетъ примѣнимо правило измѣренія съ
точностью. Но, если мы имѣемъ два количества и заданную
единицу, то примѣнивъ предыдущій пріемъ къ каждому изъ
нихъ, мы получимъ два числа, сумму которыхъ можемъ вы-
разить, но къ которымъ не можемъ примѣнить правилъ сло-
женія чиселъ, ибо единицы измѣренія будутъ разными. Въ силу
этого условились измѣрять количества заранѣе установленными
долями также заранѣе установленныхъ единицъ. При этомъ
случаи несоизмѣримости даютъ опредѣленную точность. Дру-
гими словами, въ настоящемъ мы разсматриваемъ только соизмѣ-
римыя количества. Итакъ, если въ длинѣ стола не будетъ
сажени, а только 2 аршина, то эти два аршина условились
выражать въ саженяхъ и писать 2 третьихъ части сажени или
въ видѣ символа 2/з сажени. Этотъ символъ называется дробью,
при чемъ число 3 называется знаменателемъ дроби и показы-
ваетъ на сколько частей раздѣлена единица, а числитель показы-
ваетъ, сколько такихъ частей взято.
Въ этомъ видѣ дробь есть условная запись и не предста-
вляетъ собою ни частнаго отъ дѣленія, ни отношенія. На это
особенно нужно обратить вниманіе, потому что только тогда
къ этому новому понятію мы имѣемъ право приложить свой-
ства счетнаго ряда, при чемъ числитель и знаменатель ея бу-
дутъ числами только цѣлыми. Дробь выражаетъ количество,
измѣренное нѣкоторой единицей, а само это количество про-
должаетъ оставаться независимымъ отъ своей числовой вели-
чины. На основаніи этого мы можемъ установить, что число-
вая величина дроби не измѣнится, если мы числителя и зна-
менателя ея умножимъ или раздѣлимъ на одно и тоже число.
Это основное свойство дроби мы въ настоящемъ случаѣ
должны формулировать иначе, такъ какъ пока еще не знаемъ, что

значитъ умножить. Мы въ настоящее время можемъ сказать
такъ: всякая дробь можетъ быть замѣнена другой дробью, у ко-
торой числитель и знаменатель будутъ равнократныя числи-
теля и знаменателя данной. Въ самомъ дѣлѣ пусть намъ дана
дробь 3/4 аршина. Если мы каждую У4 аршина раздѣлимъ на 5
равныхъ частей, то можемъ сосчитать, что въ аршинѣ будетъ
20 такихъ частей, а въ З четвертяхъ аршина будетъ 15 такихъ
частей, слѣдовательно г,\ аршина =~0 аршина.
Очевидно, что то же разсужденіе будетъ относиться и ко
всякому дробному количеству, ибо свойство дѣлимости и свой-
ство кратности принадлежитъ каждому изъ нихъ, такъ что
вообще ba = ™.
Обратно: если числитель и знаменатель дроби суть крат-
ныя нѣкотораго одного и того же количества, то данную дробь
мы можемъ замѣнить другой съ меньшими числами. Въ самомъ
дѣлѣ пусть намъ дана дробь ^ аршина. Замѣчая, что 28 рав-
ныхъ частей мы можемъ сосчитать по группамъ въ 4 части,
и что такихъ группъ будетъ 7; въ тоже время и 16 мы можемъ
сосчитать группами по 4 части и такихъ группъ будетъ 4,
слѣдовательно, измѣряя эту длину по 28 частями аршина и
группами по 4 части, мы найдемъ, что та же длина можетъ
быть выражена дробью */, аршина. Итакъ ~ аршина = 4/і ар-
шина.
Всѣ эти разсужденія тѣсно связаны съ представленіемъ
дроби какъ части какого-либо количества и пока только при
такомъ условіи мы имѣемъ право измѣнять члены дроби, выра-
жая одно и то же количество различными числами.
Легко доказать, что тѣмъ же свойствомъ будетъ обладать
дробь какъ отношеніе, но объ этомъ будетъ дальше. Пока
дробь есть количество, выраженное не въ цѣлыхъ единицахъ,
а въ произвольныхъ частяхъ единицы.
Теперь, если намъ дано сложное именованное число, на-
примѣръ 2 арш. 7 вершк.,то мы можемъ выразить его двояко:
или какъ 39 вершковъ, или какъ 2^ аршинъ. Отсюда получа-
ется полная аналогія между дробнымъ выраженіемъ количества
и выраженіемъ его въ видѣ сложнаго наименованія, т. е. ^
аршина все равно, что 7 вершковъ. Отсюда ясно, что выра-
жая количество въ видѣ все болѣе и болѣе мелкихъ долей, мы
приходимъ къ идеѣ непрерывности, скрытой въ самомъ суще-
ствѣ количествъ и получаемъ для каждой величины свой не-
прерывный числовой рядъ, между числами котораго вставлены
произвольной величины дроби.

§ 4. Сложеніе дробей.
Сложеніе дробей есть соединеніе двухъ количествъ, т. е.
выраженіе суммы, которую мы можемъ найти только тогда,
когда каждое количество будетъ измѣрено одной и той же
частью единицы. 1\ фунта + V8 фунта есть только выраженіе
суммы, но не самая сумма, подобно тому какъ 2 фунта 4 лота
есть соединеніе двухъ разнородныхъ измѣреній. Въ обоихъ
случаяхъ, чтобы произвести дѣйствіе, мы должны оба данныя
количества привести предварительно къ одной и той же еди-
ницѣ, чтобы имѣть возможность приложить правило сложенія
чиселъ счетнаго ряда.
Въ случаѣ 2 фунт.+ 4 лота мы обращаемъ все въ лоты и
пишемъ 64 лота + 4 лота = 68 лотовъ; а въ случаѣ \4 φ. + \/8 φ.
мы обращаемъ все въ 8-я доли, пользуясь свойствомъ количе-
ства выражаться въ разныхъ числахъ и пишемъ 2/8 Φ· + 7β Φ·=
= 3/s Φ· Очевидно что здѣсь знаменатель есть наименованіе
долей и какъ таковое онъ не можетъ измѣняться.
Итакъ, чтобы сложить дроби съ одинаковыми знаменате-
лями, мы должны сложить ихъ числителей, а чтобы сложить
дроби съ разными знаменателями, мы должны предварительно
привести ихъ къ одному знаменателю.
§ 5. Сложеніе ирраціональныхъ количествъ.
Если данное количество не соизмѣримо со взятой едини-
цей, то оно не выражается опредѣленнымъ числомъ, оно не
можетъ также быть выражено и какой-либо частью единицы.
Само по себѣ количество остается тоже опредѣленнымъ, только
числовой рядъ не содержитъ соотвѣтственныхъ членовъ. При-
мѣромъ этого будетъ діагональ квадрата, окружность круга,
стороны вписаннаго многоугольника (кромѣ шестиугольника).
Подобныя же случаи могутъ имѣть мѣсто при опредѣленіи
массъ, силъ и пр. Въ этомъ случаѣ мы можемъ дѣлать вы-
численіе съ точностью, но самыя выраженія, какъ напримѣръ
Ϋ 2-f- ]/ 3 и т. п. остаются суммами, которыя не могутъ быть
сосчитаны; здѣсь знакъ + выражаетъ знакъ соединенія, само
сложеніе есть указаніе на соединеніе разнородныхъ величинъ.
Любопытно то, что геометрически мы можемъ найти эти суммы,
но вычислить ихъ не можемъ. Такъ, совершенно не зная сторонъ
прямоугольнаго треугольника, мы всегда можемъ найти пло-
щадь квадрата, равную суммѣ площадей квадратовъ, постро-
енныхъ на его катетахъ; можемъ вполнѣ точно найти сторону
правильнаго треугольника, вписаннаго въ данный кругъ и т. п.

§ 6. Сложеніе не числовое.
Въ настоящее время входитъ въ большое употребленіе спо-
собъ изображать количества линіями, гдѣ въ данномъ масштабѣ
длина линіи соотвѣтствуетъ данному количеству. Такъ изобра-
жаются напр. силы. Правда, что этотъ способъ требуетъ для
своего выполненія двухъ измѣреній: измѣренія даннаго коли-
чества и измѣреній прямой линіи, совпаденіе числовыхъ вели-
чинъ измѣренія даетъ совпаденіе величинъ количествъ; но въ
то же время онъ даетъ возможность принимать въ разсчетъ
направленіе величины, а потому по своей сущности обладаетъ
большей мощностью, объединяя въ своемъ производствѣ больше
возможностей.
До сихъ поръ этотъ способъ сложенія считался привиле-
гіей высшей математики, гдѣ количество съ одинаковымъ пра-
вомъ мыслилось и какъ число, и какъ отрѣзокъ прямой линіи
съ опредѣленнымъ направленіемъ; но въ послѣднее время боль-
шое значеніе пріобрѣтаютъ изображенія измѣненій нѣкоторой
величины въ видѣ кривыхъ. Эти кривыя представляютъ собою
геометрическія суммы и по простотѣ своего построенія съ од-
ной стороны, а съ другой—по своей важности должны занять
видное мѣсто среди элементарнаго обученія, а потому и во-
просъ о геометрическомъ сложеніи долженъ сойти съ матема-
тической высоты въ область элементарнаго обученія.
Но, помимо того, благодаря произвольности масштаба и
болѣе полной аналогіи линіи и количества (напр. вѣса, скорости,
силы и пр.), мы имѣемъ здѣсь совершенно новое, независимое
отъ числа, представленіе количества, а потому и дѣйствія надъ
этимъ новымъ символомъ не совпадаютъ съ дѣйствіями надъ
числовыми символами, и самымъ главнымъ отличительнымъ
элементомъ является направленіе количества, чего совершенно
не даетъ его числовое представленіе.
Еще нужно отмѣтить, что геометрическія представленія
количествъ даютъ возможность точнаго представленія степе-
ней. Въ задачахъ часто приходится имѣть степени денегъ,
температуры, времени и т. п.; эти степени съ точки зрѣнія
числа не имѣютъ смысла, потому что число имѣетъ линейный
характеръ измѣняемости; но съ точки зрѣнія геометрическаго
представленія они даютъ площади и объемы, и этимъ углубля-
ютъ и выясняютъ сущность своего построенія.

§ 7. Общія замѣчанія.
При производствѣ дѣйствій надъ количествами на первое
мѣсто выступаетъ въ высшей степени важный вопросъ объ
изученіи индивидуальныхъ свойствъ каждаго количества. Эти
индивидуальныя свойства можно подвести подъ два закона:
1) законъ измѣняемости самого количества и 2) законъ его
функціональной зависимости.
По отношенію къ первому закону можно высказать аксіо-
му, что всякое количество находится въ отношеніи къ себѣ
самому, а по отношенію ко второму закону: нѣкоторыя коли-
чества находятся въ отношеніи другъ къ другу. Наиболѣе
простой видъ этого отношенія есть пропорціональности Оба
эти закона не достаточны, чтобы мы имѣли право прилагать
дѣйствія къ количествамъ, а потому всегда возможны такія
количества, къ которымъ непримѣнимо сложеніе. Къ такимъ
количествамъ относится плотность, какъ абсолютная, такъ и
относительная. Сумма плотностей ртути и золота намъ не да-
етъ ничего, какъ не даетъ ничего сумма вѣса и времени. При-
чина этого заключается въ томъ, что дѣйствіе сложеніе пред-
полагаетъ соединеніе, а соединять мы можемъ только или одно-
родные элементы или такіе, которые имѣютъ однородные при-
знаки. Напримѣръ мы можемъ слить въ одно цѣлое двѣ скалы
однородной жидкости, сплавить въ одинъ кусокъ два куска
одного и того же металла; но если мы сольемъ въ одинъ со-
судъ двѣ разнородныхъ жидкости, то они или не смѣшаются
или дадутъ растворъ, и то и другое не будетъ сложеніемъ;
точно также какъ два твердыхъ элемента или не могутъ быть
сплавлены или дадутъ сплавъ. Все это должно быть отмѣчено
въ характерѣ дѣйствія, какъ такового. Точно также сумма
вѣсовъ двухъ твердыхъ кусковъ можетъ быть найдена только
по отношенію къ ихъ признаку—вѣсъ, но не можетъ быть най-
денъ кусокъ, равный этимъ кускамъ. Напр. мы можемъ опре-
дѣлить вѣсъ, равный суммѣ вѣсовъ куска камня и куска свин-
ца, но не можемъ найти предметъ, въ которомъ бы эти. куски
составили одно цѣлое.
Эти законы соединеній, вообще говоря, мало изучены, но
они необходимо должны быть разсмотрѣны въ каждомъ част-
номъ случаѣ, чтобы мы имѣли право прилагать дѣйствіе къ
даннымъ количествамъ и установить смыслъ этого дѣйствія въ
этомъ частномъ случаѣ. Иногда можно сдѣлать по этому по-
воду и дѣлается особое соглашеніе, но это соглашеніе должно
быть оговорено и указано.

§ 8. Числа, какъ результатъ дѣйствій.
Моя основная точка зрѣнія состоитъ въ томъ, что числа и
количества суть два существенно разныя понятія, полученныя
разными психологическими процессами. Количества раздѣля-
ются на двѣ категоріи: тѣ, которыя мы можемъ выразить чис-
ломъ, потому что имѣемъ измѣрительный приборъ, позволяю-
щій ихъ сравнивать, и тѣ, которыя мы не можемъ сравнивать
за отсутствіемъ измѣрительнаго прибора Для изученія первыхъ
мы пользуемся свойствами чиселъ. Однако идея дѣйствія не
содержится въ числахъ, а содержится въ свойствахъ величинъ.
Изучая величины и ихъ соотношенія, мы приходимъ къ дѣй-
ствію. Когда Даммара за 2 овцы получилъ 4 пачки табаку, то
онъ не могъ сообразить вѣрности счета потому что не умѣлъ
производить дѣйствія. Ему было неясно, что если одна овца
равняется двумъ пачкамъ табаку, то 2 овцы, т. е. 1 —j— 1 рав-
ноценны 2 + 2 пачкамъ пачкамъ табаку. Положимъ, изъ даль-
нѣйшаго опыта онъ убѣдился въ справедливости этого сужде-
нія, тогда онъ необходимо и обязательно распространяетъ его
на всѣ другія случаи, т. е. приходитъ къ идеи дѣйствія; но
эта идея дѣйствія содержится не въ числовыхъ символахъ и
ихъ соотношеніи, а въ свойствѣ количествъ: число овецъ и
стоимость ихъ. Изъ этого свойства вытекаетъ равноцѣнность,
т. е. справедливость равенства полученныхъ суммъ. При этомъ
необходимо, чтобы были разработаны обѣ идеи: и идея равен-
ства, и идея суммы, т. е. идея дѣйствія. Другими словами, мы
имѣемъ двѣ совершенно независимыя области: область чиселъ и
область количествъ. Производя тѣ или иныя дѣйствія, пользу-
ясь тѣми или иными свойствами чиселъ, мы каждый разъ долж-
ны доказать, что въ примѣненіи этихъ дѣйствій и этихъ свойствъ
къ количествамъ, мы тѣмъ самымъ не входимъ въ противорѣ-
чіе со свойствами количествъ.
Теперь, исходя изъ этого, въ области чиселъ можетъ быть
поставленъ вопросъ, нельзя ли каждое число разсматривать,
какъ результатъ дѣйствія.
Мы сложили два числа нормальнаго счетнаго ряда, полу-
чили сумму; теперь намъ дано число, нельзя ли это число
разсматривать, какъ сумму двухъ или нѣсколькихъ слагае-
мыхъ. Въ области счетнаго ряда такое разсмотрѣніе является
естественнымъ слѣдствіемъ свойствъ этого ряда и представля-
етъ собою аксіому. Но мало того, изъ свойствъ ряда можно
установить, что сумма всегда больше каждаго изъ слагаемыхъ,
и что слагаемое есть часть суммы.

Можно ли это распространить на количества? Изъ преды-
дущаго ясно, что указанное свойство не можетъ быть распро-
странено на тѣ количества, которыя не могутъ быть склады-
ваемы; мы не можемъ представить себѣ, что плотность ртути
есть нѣкоторая сумма плотностей желѣза и мѣди или что-либо
подобное. Кромѣ того, тѣ количества, которыя имѣютъ на-
правленіе и подчинены закону сложенія, не обладаютъ свой-
ствами числовой суммы: ихъ сумма всегда можетъ быть меньше
одного или каждаго слагаемаго.
Такъ, мы всегда можемъ найти равнодѣйствующую мень-
шую суммы составляющихъ, если дадимъ достаточно большой
уголъ между ними. Однако, тамъ, гдѣ количества наростаютъ
только въ линейномъ направленіи и въ нѣкоторыхъ другихъ
случаяхъ: площадей, объемовъ, мы можемъ свойство числовой
суммы распространить и на сумму количествъ Тогда можно
сказать, что данное количество есть сумма двухъ или нѣсколь-
кихъ меньшихъ количествъ. Для всѣхъ такихъ количествъ уста-
навливается аксіома чиселъ; каждое количество равно суммѣ
своихъ частей. Эта аксіома позволяетъ распространить пра-
вило сложенія на дроби и даетъ возможность признать дроби
однородной частью счетнаго числового ряда.
Такимъ образомъ, если намъ дана сумма a + b = S, то мы
не только можемъ съ увѣренностью сказать въ предѣлахъ вы-
шеуказанныхъ ограниченій, что S>a и S>b, но что каждое
изъ количествъ а и b есть въ свою очередь нѣкоторая сумма
цѣлыхъ или дробныхъ слагаемыхъ. Продолжая это разсужденіе
дальше, мы приходимъ къ идеѣ, къ безконечному разнообра-
зію сходящихся безконечныхъ рядовъ, и получаемъ число какъ
предѣлъ сходящагося безконечнаго ряда. Эта идея рядовъ сбли-
жаетъ числовыя представленія съ количественными и вопло-
щаетъ въ числовыхъ образахъ свойство непрерывности всякаго
количества и возможность его дробности на все мельчайшія и
мельчайшія части. Въ этомъ представленіи идеи числа и коли-
чества сближаются до полнаго совпаденія, но только при усло-
віи отсутствія направленія и возможности имѣть свойство сла-
гаемое™.
Разсматривая число, какъ результатъ дѣйствія, т.-е. вводя
въ идею чиселъ идею дѣйствія, мы существенно мѣняемъ всю
логическую обоснованность нашихъ бывшихъ представленій о
числахъ. Теперь уже у насъ нѣтъ чиселъ расположенныхъ въ
стройный рядъ возрастающихъ членовъ счетнаго комплекса,
нѣтъ чиселъ, полученныхъ отъ измѣренія количествъ, а есть
безпорядочная группа, каждый членъ которой получится отъ
нѣкотораго дѣйствія, въ данномъ случаѣ представляетъ со-

бою сумму. Подобно тому, какъ изъ груды камней мы взяли
одинъ изъ нихъ и нашли, что этотъ камень имѣетъ опредѣ-
ленный вѣсъ, опредѣленную плотность, опредѣленную струк-
туру. Точно также и взятое число не представляетъ уже со-
бою члена какого-нибудь ряда, въ зависимости отъ способа
полученія этого ряда, а есть индивидуальное цѣлое, получен-
ное отъ сложенія какихъ-то чиселъ. Отсюда естественно явля-
ется вопросъ объ отысканіи этихъ чиселъ, т.-е. дѣйствіи об-
ратномъ. Мы имѣемъ, что нѣкоторое число S = a-f-b въ про-
стѣйшемъ случаѣ. Не зная ни а, ни b, мы имѣемъ неопредѣ-
ленный вопросъ, но зная одно изъ нихъ, мы можемъ отыскать
другое, совершивъ съ S процессъ обратный тому, которымъ
оно было получено.
Очевидно, что новое разсмотрѣніе чиселъ ставитъ передъ
нами совершенно новыя задачи. Тамъ мы имѣли числа и раз-
сматривали ихъ свойства въ зависимости отъ метода ихъ по-
лученія; здѣсь мы имѣемъ дѣйствія, и числа разсматриваемъ
въ зависимости отъ правилъ производства этихъ дѣйствій. Эти
двѣ точки зрѣнія должны быть строго разграничены. Если мы
при производствѣ прямыхъ дѣйствій пользуемся свойствами чи-
селъ и свойствами количествъ, то при производствѣ обратныхъ
дѣйствій мы пользуемся только свойствомъ прямого дѣйствія.
Но такъ какъ всякое дѣйствіе есть актъ нашей воли и не со-
держится въ свойствахъ чиселъ и количествъ, то очевидно,
что всякое обратное дѣйствіе будетъ имѣть двойной смыслъ—
самостоятельнаго дѣйствія и подчиненнаго правилу дѣйствія
прямого. Въ первомъ случаѣ оно будетъ основываться на свой-
ствахъ количествъ, а во второмъ на правилѣ производства пря-
мого дѣйствія. Въ слѣдствіе этого мы, производя дѣйствіе об-
ратное, спѣшимъ убѣдиться, что прямое дѣйствіе даетъ тотъ
же результатъ. Такъ производя разложеніе силъ, мы убѣжда-
емся только въ томъ, что сумма полученныхъ слагаемыхъ есть
данная сила. Или, eamS = a+b то D = S — а только потому,
что а + (S — а) даетъ S. Это убѣжденіе оказывается достаточ-
нымъ, чтобы признать справедливость производства обратнаго
дѣйствія.
§ 9. Вычитаніе счетныхъ чиселъ. Числа отрицательныя.
Если сложеніе количествъ есть элементарный актъ соеди-
ненія, то обратный элементарный актъ — разъединенія будетъ
дѣйствіемъ обратнымъ; это обратное дѣйствіе называется вы-
читаніемъ. Итакъ, вычитаніе есть дѣйствіе обратное сложенію.
Подъ такимъ опредѣленіемъ дѣйствіе вычитанія разсматри-

вается въ математическомъ курсѣ, и справедливость его про-
изводства повѣряется тѣмъ, что сумма вычитаемаго и остатка
всегда будетъ равна уменьшаемому.
Однако, въ такомъ представленіи дѣйствія оно обуживается
именно тѣмъ, что въ его основу не включаются свойства ко-
личествъ съ одной стороны, а съ другой стѣсняется и актъ
нашей воли—производить дѣйствіе подъ условіемъ только об-
ратное™ самого процесса. Этотъ недостатокъ сразу уже чув-
ствуется, когда мы обратимъ вниманіе на двойное наименова-
ніе результата вычитанія: остатокъ и разность. Если оста-
токъ безъ большой натяжки и можно считать за другое сла-
гаемое, то разность уже не подходитъ подъ это представленіе,
и мы должны измѣнить само опредѣленіе взять другія основы,
чтобы объяснить смыслъ этого наименованія. Кромѣ того
смыслъ самого слова — вычитаніе, т.-е. отнятіе, уменьшеніе,
уводитъ насъ въ область свойствъ количествъ, независимо
отъ идеи дѣйствія сложенія.
Въ силу этихъ соображеній мы разсмотримъ вычитаніе съ
двухъ точекъ зрѣнія: какъ дѣйствіе обратное сложенію и какъ
самостоятельное дѣйствіе.
Вычитаніе какъ дѣйствіе обратное сложенію формулируется
такъ: это есть дѣйствіе, въ которомъ по данной суммѣ двухъ
слагаемыхъ и одному изъ нихъ отыскиваютъ другое. Если мы
отнесемъ это опредѣленіе къ области нормальнаго счетнаго
ряда чиселъ, то очевидно, что это другое слагаемое будетъ
имѣть настолько меньше единицъ, сколько не хватаетъ у а,
чтобы составить S, причемъ S будетъ болѣе удаленный членъ
отъ начала, а а—болѣе близкій членъ къ началу.
Но, если мы не будемъ себѣ представлять этого счетнаго
ряда, а возьмемъ изъ кучи чиселъ два какихъ -нибудь, и ска-
жемъ, что одно изъ нихъ сумма S, а другое—слагаемое а, то
при вычитаніи S — а мыслимы невозможности, именно когда
Sвію разсматривать каждое число, какъ сумму, и мы должны
или ограничить условіе, или допустить возможность вычитанія
2 — 7; 5—20 и т. д. Измѣненіе или ограниченіе условія ведетъ
къ необходимости ограниченій всей цѣпи умозаключеній, а по-
тому гораздо выгоднѣе условиться въ выполнимости этихъ вы-
численій и выразить разность черезъ —5; —15, т.-е. ввести
отрицательныя числа.
Итакъ, вопросъ о представленіи чиселъ, какъ результатъ
дѣйствій приводитъ насъ къ новому числовому ряду, который
отличается отъ нормальнаго счетнаго ряда во 1) введеніемъ
нуля, какъ результатъ вычитанія равныхъ чиселъ, а во 2) къ

отрицательнымъ числамъ. Такое нововведеніе требуетъ уста-
новленія сравнительной величины членовъ ряда. Сужденіе о
величинѣ членовъ новаго числоваго ряда было заимствовано
изъ счетнаго ряда, а именно большій членъ ряда будетъ тотъ,
который дальше отстоитъ отъ 1 и потому имѣетъ большее чи-
сло единицъ, назовемъ его а, возьмемъ болѣе близкій къ на-
чалу членъ ряда, съ меньшимъ числомъ единицъ Ь, тогда а — b
будетъ число единицъ въ промежуткѣ между а и b. Обозна-
чимъ это число единицъ черезъ d; тогда a —b = d и а = b + d.
Если теперь мы будемъ брать члены все болѣе и болѣе близ-
кіе къ а, т. - е. увеличивать число Ь, то разность d будетъ
уменьшаться, когда b будетъ равно а, то разность изчезнетъ.
Эту исчезнувшую разность обозначимъ 0, и если а=Ь, а — Ь=0;
члены а и b сравнялись. При введеніи этого условія мы вышеука-
занную разность чиселъ можемъ записать а — Ь>0 или d > 0.
Если же мы числа ряда будемъ разсматривать не какъ
сумму, а какъ разности, то можемъ сказать, что всякое по-
ложительное число больше 0, или что 0 есть начало счет-
наго ряда.
Увеличивая теперь число b дальше мы очевидно получимъ
рядъ уменьшающихся чиселъ, при чемъ согласно условію ка-
ждое изъ нихъ будетъ сопровождаться знакомъ — и будетъ
меньше 0. Отсюда всякое отрицательное число меньше 0, и оно
очевидно будетъ тѣмъ меньше, чѣмъ больше его абсолютная
величина — 20 << — 5.
Теперь мы можемъ расположить нашъ числовый рядъ по
возрастающимъ количествамъ его членовъ. Онъ будетъ начи-
наться съ — го, доходить до 0 и продолжаться дальше до + со.
Но это не будетъ ни счетный комплексъ, ни измѣритель-
ный; это будетъ комплексъ чиселъ, разсматриваемыхъ какъ
результатъ произведенныхъ дѣйствій. Каждый членъ этого ряда
есть или нѣкоторая сумма или нѣкоторая разность. Здѣсь пока
еще нѣтъ дробей.
Однако въ новомъ комплексѣ нѣтъ новыхъ чиселъ, кромѣ
нуля и чиселъ отрицательныхъ, онъ не получился какъ само-
стоятельный комплексъ, а только измѣнился взглядъ на счет-
ное число. Прежде это было собраніе счетныхъ единицъ а те-
перь то же самое число разсматривается какъ результатъ сло-
женія или вычитанія. Поэтому оказалось возможнымъ соеди-
нить обѣ эти идеи, т.-е. приписать новому числовому ряду всѣ
свойства нормальнаго счетнаго ряда, тогда члены его слѣва
на право будутъ увеличиваться на единицу, т. - е. напримѣръ
— 20 -f- 1 = — 19; — 19 + 1 =—18 и т. д., а члены справа на лѣ-
во—уменьшаться на единицу, т.-е. 20 — 1 =19; 19 — 1 = 19 и т. д.

§ 10. Умноженіе.
При разсмотрѣніи дѣйствія умноженія слѣдуетъ отличать
понятіе о дѣйствіи отъ способа его производства. Умноженіе
есть дѣйствіе, которое необходимо вытекаетъ изъ условій во-
проса и свойствъ разсматриваемыхъ величинъ; его мы можемъ
обозначить, какъ символъ, замѣняющій нѣкоторыя логическія
посылки, но выполнить можемъ не съумѣть.
Въ такомъ разграниченіи умноженіе чиселъ есть только
одинъ изъ способовъ вычисленія, а не выполненіе самого дѣй-
ствія.
Чтобы выяснить эту точку зрѣнія, я возьму опредѣленіе,
данное г. Веберомъ въ „Энциклопедіи элементарной матема-
тики". „Произведеніе именованныхъ чиселъ, говоритъ онъ, пред-
ставляетъ собою именованное число нѣкотораго новаго ком-
плекса, единица котораго опредѣляется какъ произведеніе еди-
ницъ умножаемыхъ величинъ. Такъ напр. произведеніе двухъ
мѣръ длины есть мѣра поверхности, произведеніе трехъ мѣръ
длины есть мѣра объема".
Согласно моей терминологіи, здѣсь именованное число надо
читать количество, тогда произведеніе двухъ количествъ есть
новое количество, которое можетъ быть получено независимо
отъ счетнаго производства дѣйствія, какъ площадь получается
геометрически, независимо отъ чиселъ длины и ширины. Мы
весьма точно можемъ построить площадь квадрата, равнове-
ликаго площади даннаго прямоугольника, но только приблизи-
тельно можемъ вычислить его сторону.
Но не только геометрія даетъ намъ новыя произведенія,
разсмотрѣніе алгебраическихъ задачъ также приводитъ къ не-
обходимости выразить произведеніе какъ новое количество.
Возьмемъ, напримѣръ, такую задачу. „Куплено овса для а
лошадей на b мѣсяцевъ. На сколько времени хватитъ овса,
если лошадей будетъ at?" Обозначимъ искомое число мѣсяцевъ
черезъ χ, и будемъ разсуждать такъ: количество купленнаго
овса = ab; количество овса при новыхъ условіяхъ будетъ аАх;
такъ какъ это количество одно и то же, то ab = atx. Здѣсь
ab—количество овса есть новое количество, новый комплексъ,
который получится отъ умноженія а лошадей на b мѣсяцевъ;
это новое количество имѣетъ особую единицу мѣры (лошадь χ
мѣсяцъ), и въ этой новой мѣрѣ мы можемъ выразить это ко-
личество. Мы не можемъ опустить наименованіе а—лошадей и
b—мѣсяцевъ, потому что тогда само новое количество теряетъ
свой смыслъ. Точно также, измѣряя площадь прямоугольника,

у котораго основаніе равно 2 аршинамъ, а высота 3 футамъ,
я могу написать, что она равняется или 56X36 кв. дюймовъ,
или 2X3 (аршинъ χ футъ). Это (аршинъ X футъ) есть новое
измѣреніе площади, въ которомъ за единицу мѣры принята
площадь прямоугольника,, длина котораго равна аршину, а ши-
рина футу.
Совершенно также работа выразится произведеніемъ силы
f на разстояніе s, и это fs необходимо должно сопровождаться
наименованіемъ единицъ измѣренія силы и единицъ измѣренія
длины.
Количество теплоты выражается въ калоріяхъ: калорія есть
единица мѣры новаго комплекса, въ которомъ установилась
единица массы—граммъ и единица температуры—градусъ Цель-
сія. Я мѣняю единицы, беру вмѣсто градуса Цельсія, градусъ
Реомюра и вмѣстѣ съ этимъ измѣняется и единица теплоты.
Все это ясно показываетъ, что умноженіе есть особое дѣй-
ствіе, которое даетъ новое количество; оно необходимо и обя-
зательно должно быть произведено надъ данными количествами,
чтобы образовать эту новую величину. Мы не можемъ замѣ-
нить его никакимъ другимъ дѣйствіемъ, а слѣдовательно оно
имѣетъ самостоятельное значеніе, а не есть сокращаемое сло-
женіе равныхъ величинъ. При всемъ этомъ, мы производимъ
дѣйствіе надъ количествами, совершенно не интересуясь воз-
можностью или невозможностью выразить данныя количества
числами. Но, если эта возможность у насъ есть, то мы вычи-
сляемъ произведеніе совершенно также, какъ строятъ его въ
геометріи. Построеніе и вычисленіе суть двѣ возможности вы-
полненія одного и того же акта мысли—полученіе произведенія
или новаго количества.
Замѣчу еще, что новое количество — произведеніе, полу-
чается не только внѣ зависимости отъ числовыхъ данныхъ, но
и внѣ зависимости отъ тѣхъ обычныхъ разсужденій, которыми
мы пользуемся при рѣшеніи задачъ; оно представляетъ собою
совершенно особый строй мысли, зависящій отъ свойствъ ко-
личествъ, а не способовъ ихъ изображенія.
Въ чемъ же состоитъ этотъ новый строй мысли? Это всето
лучше видно изъ состава рѣшенія нѣкоторыхъ задачъ. Напр.
въ вышеприведенной задачѣ относительнаго количества овса,
совершенно ясно, что это количество можетъ быть измѣрено
новой единицей (лошадь X мѣсяцъ). Обрззованіе этой новой
единицы и составляетъ сущность логическаго и психологиче-
скаго умозаключенія, что для рѣшенія задачи слѣдуетъ произ-
вести умноженіе. Возьмемъ еще задачу: „а рабочихъ строятъ
домъ въ t дней; во сколько дней выстроятъ домъ а, рабочихъ?"

При обычномъ способѣ рѣшенія этой задачи приходится ста-
вить нелѣпый вопросъ: „во сколько дней выстроитъ домъ одинъ
рабочій?" Этотъ вопросъ нелѣпъ потому, что одинъ рабочій
не можетъ выстроить домъ, т. е. будетъ строить его въ безко-
нечное числа дней. Но, если мы приложимъ сюда новый спо-
собъ рѣшенія, то ясно, что работа можетъ быть выражены
какъ прозведеніе at (рабочій χ день). Это произведеніе мы на-
ходимъ совершенно тѣмъ же процессомъ мысли, какъ говоримъ,
что 5 карандашей и 7 карандашей вмѣстѣ составляютъ 12 ка-
рандашей. Установивъ это, перейдемъ къ разбору обычнаго
способа рѣшенія задачъ.
Обычный способъ разсужденія рѣшеніи задачъ на умноже-
ніе состоитъ въ слѣдующемъ: возьмемъ обычную задачу: „Ка-
рандашъ стоитъ 5 коп., сколько стоитъ 7 карандашей?" При
рѣшеніи этой задачи обычно требуется два типа разсужденій:
1) Если одинъ карандашъ стоитъ 5 коп., то чтобы узнать,
сколько стоитъ 7 карандашей, надо 5 коп. повторить слага-
емымъ 7 разъ, или что все равно 5 коп. X 7, и мы получимъ
35 коп. Въ этомъ разсужденіи наименованіе карандаша теря-
ется и замѣняется ΰповторить слагаемымъ 7 разъ". Значитъ,
чтобы то ни было, купленое по 5 коп. за штуку, будетъ
въ количествѣ 7 штукъ, стоить 35 коп. Но, если вмѣсто ка-
рандашей и стоимости ихъ мы возьмемъ напримѣръ такую за-
дачу: „Сколько будетъ вѣсить 5 куб. сантим, ртути, если ка-
ждый вѣситъ 13,6 грамма''. Рѣшая эту задачу по тому же типу,
мы приходимъ къ умноженію 13,6 грамма на 5, и получаемъ
68 граммовъ. Но здѣсь нельзя замѣнить 5 куб. сантим, чѣмъ-
либо инымъ, и нельзя сказать, что всякія какихъ бы то ни
было объемовъ вѣситъ 68 граммовъ; потому что это есть коли-
чество, независящее отъ числа 5; это 5 мы можемъ выразить
какимъ угодно другимъ числомъ, но произведеніе остается то
же самое, т. е. 68 граммовъ. Изъ этого видно, что способъ
рѣшенія первой задачи ограничивается и не можетъ быть рас-
пространенъ на другія задачи безъ особыхъ соглашеній.
2-й типъ разсужденія представляется въ такомъ видѣ: если
одинъ карандашъ стоитъ 5 коп., то 7 карандашей будетъ стоить
въ 7 разъ болѣе, т. е. 5 коп. χ 7 = 35 коп. Здѣсь слово „въ
7 разъ" представляетъ собою совершенно иной строй мысли.
Если мы согласимся, что выраженіе „въ 7 разъ" есть знаме-
натель отношенія, то рѣшеніе задачи строится по совершенно
иному плану: стоимость 7 карандашей будетъ больше стоимо-
сти одного карандаша во столько разъ, во сколько 7 каран-
дашей больше 1 карандаша, т.-е.
χ : 5 = 7 : 1.

Въ этомъ разсужденіи наименованіе карандаша не пропа-
даетъ, но скрывается въ выраженіи 7 карандашей : 1 каран-
дашу = 7. Прилагая этотъ методъ къ рѣшенію второй задачи,
мы получимъ, что вѣсъ 5 куб. сант. больше вѣса 13,6 граммъ
во столько разъ, во сколько 5 куб. сант. больше 1 куб сант.
Проанализируемъ подробнѣе оба типа рѣшенія. Въ пер-
вомъ случаѣ мы исходимъ изъ опредѣленія умноженія какъ
сложенія равныхъ слагаемыхъ; но такъ какъ складывать мы
можемъ только однородныя единицы, то, говоря иначе, мы
перемѣщаемся въ предѣлахъ одного и того же комплекса, т.-е.
находимъ кратное данной величины. Если мы будемъ изобра-
жать стоимость въ видѣ прямой линіи, то, разсуждая такъ, мы
будемъ двигаться по этой прямой, не выходя изъ нея. На этой
прямой мы найдемъ только отрѣзки, кратные данному. Здѣсь
мы не образуемъ новаго комплекса и не можемъ его образо-
вать, потому что на этой прямой есть только однѣ стоимости.
Уже не говоря о томъ, что по этой прямой мы не найдемъ ни
площадей, ни работъ, ни количествъ теплоты, самый способъ
разсужденія ограничиваетъ насъ цѣлымъ множителемъ, такъ
какъ совершенно немыслимо что - либо взять 7/8 раза слага-
емыми Поэтому, если такой способъ разсужденія и примѣнить,
то онъ долженъ быть ограниченъ совершенно опредѣленными
рамками отысканіемъ кратныхъ.
Чувствуя столь серьезный недостатокъ этого разсужденія
и желая обобщить само опредѣленіе для всѣхъ случаевъ. Коши
предложилъ такое опредѣленіе: „Умножить значитъ составить
изъ множимаго новое число такъ, какъ множитель составленъ
изъ единицы". Если признать справедливость перваго способа
рѣшенія указанной задачи, то мы должны это опредѣленіе сбли-
зить съ первымъ опредѣленіемъ и выраженіе „какъ множитель
составленъ изъ единицы" понимать, что единица взята слага-
емымъ; но тогда какъ составить произведеніе 5χ32? Какъ мно-
житель З2 составленъ изъ единицы? Взята единица слагаемымъ
3 раза 1+1+1 и возведена въ квадратъ т.-е. (1 +1 + 1)2;
возьмемъ 5 слагаемымъ 3 раза, получимъ 15 и возведемъ въ
квадратъ, получимъ 225, а истинное произведеніе только 45.
Очевидно, что выраженіе „какъ множитель составленъ изъ
единицы44 нельзя понимать въ смыслѣ сложенія, а слѣдуетъ по-
нимать въ смыслѣ отношенія къ единицѣ; но тогда и само опре-
дѣленіе слѣдуетъ формулировать иначе. Академикъ Гурьевъ
въ своемъ сочиненіи „Наука исчисленія" *) даетъ такое опре-
*) Гурьевъ. „Науки исчисленія". І\н. I. Основаніе ариѳметики, 1805 г.,
стр. 12—13.

дѣленіе умноженія „Умноженіе есть способъ находить вели-
чину, которая бы къ одной изъ данныхъ, называемой множи-
мою, такъ относилась, какъ другая, именуемая множащею, къ
единицѣ Множимая и множащая величины вообще множителями
называются, а найденная черезъ умноженіе оныхъ произведе-
ніемъ именуется". Въ примѣчаніи онъ подробнѣе развиваетъ
свою мысль и говоритъ слѣдующее: „Слово умноженіе соб-
ственно принадлежитъ только къ умноженію на цѣлыя числа,
когда сыскивается величина во столько кратъ больше множи-
мой, во сколько множащее число больше единицы; но за не-
достаткомъ приличнѣйшаго слова смыслъ онаго распространя-
ется и вообще къ найденію величины, которая бы такъ отно-
силась къ множимой, какъ множащая къ единицѣ: и симъ
образомъ, какъ то замѣчаетъ великій Ньютонъ въ своей „Уни-
версальной Ариѳметикѣ", умноженіе можетъ быть произведено
отвлеченными числами, но такъ же и самыми непрерывными
величинами, какъ-то линіями, поверхностями, движеніями, тя-
жестями и пр.".
Такимъ образомъ опредѣленіе, данное г. Веберомъ, тѣсно
примыкаетъ къ опредѣленію г. Гурьева и представляетъ собою
то опредѣленіе дѣйствія, исходя изъ котораго получаетъ осмы-
сленность всякое его приложеніе. Но, если мы будемъ раз-
суждать не о числахъ, а о количествахъ, то опускать на-
именованіе быть можетъ неправильно. Въ задачѣ о стоимо-
сти карандашей полный текстъ рѣшенія я считалъ бы такой
χ копеекъ 7 карандашей ос , „ ч
5-копейк. =Ί карандашу ' откуда х = 35 (копейка χ карандашъ).
Здѣсь (копейки X карандашъ) есть новый комплексъ, единица
котораго и указывается этимъ наименованіемъ. Если же усло-
вимся называть стоимость карандаша его цѣнностью, а сто-
имость 7 карандашей имуществомъ, то ясно, что изъ комплек-
совъ цѣнности и количества происходитъ новый комплексъ
имущество.
Этотъ новый комплектъ геометрически можно изобразить
въ видѣ площади, въ которой одно измѣреніе есть число
карандашей, а другое цѣнность карандашей, при чемъ самъ
комплексъ изображаетъ стоимость или имущество.
Итакъ, въ обычномъ способѣ разсужденія при рѣшеніи по-
добныхъ задачъ, мы ограничиваемъ себя однимъ измѣреніемъ
и ищемъ кратность одной изъ данныхъ величинъ. Это особенно
ясно видно, когда мы данную задачу замѣнимъ слѣдующей:
„На одну копейку даютъ 7 карандашей. Сколько карандашей
дадутъ на 5 копеекъ?" Сравнивая обѣ эти задачи, легко ви
дѣть, что въ первой ищется кратность 5 копеекъ, а во второй

7 карандашей. Обычный способъ рѣшенія вполнѣ отчетливо и
ясно различаетъ обѣ эти кратности, и мы, получая по этому
разсужденію число 35 вполнѣ отчетливо приписываемъ ему со-
отвѣтственное наименованіе. Но этотъ способъ не можетъ соз-
дать новаго комплекса, ввести новое понятіе имущества. Вто-
рой способъ, очевидно даетъ прощадь, но здѣсь трудно разгра-
ничиваются наименованія. Почему, въ первомъ случаѣ мы имѣ-
емъ копейки, а во второмъ карандаши, хоть въ обоихъ слу-
чаяхъ имѣется понятіе имущества, т. е. площадь остается одной
и той же, хотя ея денежна стоимость будетъ разной. Очевидно,
что въ этомъ случаѣ анализъ задачи будетъ проще и понят-
нѣе въ обычномъ типѣ разсужденій, или, лучше сказать, за-
дача имѣетъ два рѣшенія: отысканіе кратности и опредѣленіе
стоимости (имущества).
Итакъ, умноженіе есть дѣйствіе посредствомъ котораго
опредѣляется новое количество, если это дѣйствіе прилагается
къ величинамъ. Въ этомъ случаѣ новое количество можно раз-
сматривать символически какъ площадь или какъ новое име-
нованное число. Въ то же время умноженіе есть способъ на-
хожденія кратнаго числа той же величины, которое не даетъ
новаго количества. Линія AB, повторяемая 5 разъ, даетъ
5 AB — тоже линію; но линія AB, умножается по 5 дюймовъ,
даетъ площадь 5.AB (дюймъ χ AB), т.-е. новый комплексъ.
Кратность линіи не можетъ дать площади, и изъ линіи мы не
можемъ получить площади; площадь можетъ получиться только
движеніемъ самой линіи, т.-е. новымъ процессомъ, который мы
математически опредѣляемъ словомъ „умноженіе".
Говоря иначе, дѣйствіе умноженіе получается какъ слѣдствіе
двухъ совершенно разнородныхъ процесовъ мысли: образова-
ніе новаго комплекса и отысканіе кратнаго. Первый процессъ
не иожетъ быть сведенъ къ отысканію суммы равныхъ слагае-
мыхъ и есть процессъ умноженія въ собственномъ смыслѣ
(умноженіе есть самостоятельное дѣйствіе); второй по самой
сущности сокращенное сложеніе.
§ 11. Производство умноженія.
Производить умноженіе мы умѣемъ только двояко: геоме-
трически—построеніемъ и ариѳметически—вычисленіемъ. Такъ
какъ предъ нами вопросъ объ ариѳметикѣ, то мы и разсмотримъ
только послѣдній способъ, т. е. тотъ случай, когда данныя
количества выражены числами. Возьмемъ самый простой при-
мѣръ: надо опредѣлить площадь прямоугольника, имѣющаго
50 саженъ длины и 6 футовъ ширины. Чтобы опредѣлить эту

площадь, мы должны умножить 50 саженъ на 6 футовъ, и это
выраженіе 50 саж. × 6 фут. является полнымъ и окончатель-
нымъ рѣшеніемъ вопроса. Другой вопросъ, какъ вычислить это
выраженіе? Вычисленіе можно сдѣлать только если за единицу
мѣры площади мы возьмемъ прямоугольникъ (1 саж. × 1 футъ),
то искомая площадь будетъ 50.6 (саж. × футъ). Слѣдовательно
мы должны найти произведеніе чиселъ 50.6, что даетъ 300 и
площадь будетъ равна 300 (саж. × футъ). Если мы за единицу
возьмемъ квадратный футъ, то предварительно должны 50 са-
женъ раздробить въ футы, получимъ 350 футовъ, и наша пло-
щадь будетъ выражена числомъ 350.7 (футъ 2), или 2450 (футъ 2).
Наконецъ, за единицу мы можемъ взять квадратную сажень,
тогда мы должны 6 футовъ превратить въ сажени, что будетъ
6/7 сажени, и наша площадь выразится числомъ 50.6/7 (са-
жень 2), то 300/7 (саж. 2).
При всѣхъ способахъ этого вычисленія встрѣчается одинъ
и тотъ же пріемъ, а именно умноженіе чиселъ. Это умноженіе
чиселъ и разсматриваютъ обыкновенно какъ умноженіе отвле-
ченныхъ чиселъ, независимое отъ наименованія. Такъ что рѣ-
шеніе вопроса распадается на два акта мысли: выраженіе про-
изведенія, т. - е. умноженіе количествъ и умноженіе чиселъ,
какихъ? — очевидно отвлеченныхъ. Другими словами, мы при-
ходимъ къ вопросу объ умноженіи чиселъ, независимо отъ ихъ
наименованія, но чиселъ выражающихъ количества, т.-е. чи-
селъ того ряда, который мы назвали рядомъ отношенія.
Ариѳметика даетъ намъ способъ этого сосчитыванія, дока-
зывая, что результатъ умноженія будетъ совершенно одина-
ковъ, какъ бы мы ни разсматривали число. Эта одинаковость
результатовъ въ свою очередь вселяетъ въ насъ увѣренность
въ правильности самого дѣйствія. Однако на этомъ пути встрѣ-
чается много вопросовъ въ высшей степени важныхъ. На пер-
вое мѣсто я поставлю слѣдующій: Въ числѣ 50 саженъ, слово
„сажень" не можетъ быть отдѣлено отъ числа 50, ибо только
совмѣстно они выражаютъ количество. Между тѣмъ мы отдѣля-
емъ ихъ въ производствѣ дѣйствія и какъ бы разсматриваемъ
50 саж. какъ произведеніе 50 × (саж.). Но, мало того, что мы
отдѣляемъ слово сажень отъ числа 50, мы еще переставляемъ
мѣста множителей: у насъ было 50 × (саж ) × 6 × (футъ), а мы
пишемъ 50.6 (саж. фут.). Какое мы имѣемъ право на все это?
Очевидно, что въ основѣ лежитъ допущеніе, которое можно
формулировать такъ: Число, выражающее площадь даннаго
прямоугольника въ квадратныхъ мѣрахъ всегда будетъ равно
произведенію числа, выражающаго длину, и числа, выражаю-
щаго ширину — въ линейныхъ мѣрахъ, при чемъ квадратная

мѣра есть произведеніе единицъ длины и ширины. Это поло-
женіе доказывается въ геометріи, но мы пользуемся имъ уже
безъ всякаго доказательства при опредѣленіи работы, количе-
ства теплоты и прочее. Говоря иначе, для всѣхъ количествъ
мы устанавливаемъ такой постулатъ. Число, выражающее про-
изведеніе количествъ есть произведеніе чиселъ, выражающихъ
каждое изъ этихъ количествъ, при чемъ единица мѣры новаго
количества есть произведеніе единицъ мѣры данныхъ.
При наличности такого постулата мы имѣемъ право свести
вычисленіе произведенія количествъ къ вычисленію произведе-
нія чиселъ; но при этомъ должны доказать въ ариѳметикѣ,
что правила, выведенныя для счетнаго ряда чиселъ, будутъ
справедливы въ томъ случаѣ, если мы будемъ разсматривать
числа какъ отношенія.
Такъ какъ въ курсахъ ариѳметики обыкновенно правило
производства умноженія выводится только для счетнаго ряда
чиселъ, то я приведу здѣсь доказательство основной теоремы
умноженія для чиселъ какъ отношеній.
Основной теоремой умноженія я считаю слѣдующую: чтобы
умножить сумму на какое-нибудь число, надо каждое слагае-
мое умножить на это число и обратную теорему, чтобы какое-
нибудь число умножить на сумму, надо умножить его на ка-
ждое слагаемое.
При этомъ сумма можетъ быть не только дана какъ
результатъ сложенія, но и какъ результатъ соединенія. Обо-
значая эту сумму черезъ а + b + с, я не имѣю въ виду, чтобы
a, b и с были числа, это могутъ быть и количества. Пусть
эту сумму надо умножить на число d, гдѣ d можетъ быть также
какимъ угодно числомъ. Намъ надо доказать, что (а + b + с) d =
= ad + bd + cd и обратно d (а -f-b-j-c) = da + db + de. Для
доказательства воспользуемся опредѣленіемъ г. Гурьева: умно-
жить, значитъ найти число, которое относилось бы къ множи-
мому такъ, какъ множитель относится къ единицѣ. Такъ какъ
мы имѣемъ здѣсь два равныхъ отношенія, то можно къ нимъ
примѣнить свойства равныхъ отношеній: если мы имѣемъ рядъ
равныхъ отношеній, то сумма предыдущихъ относится къ суммѣ
послѣдующихъ, какъ каждый предыдущій къ своему послѣ-
дующему. Теперь будемъ разсуждать такъ: что такое ad? Это
есть по опредѣленіи ad/a = d/1; точно также bd/b = d/1 и cd/c = d/1. Изъ
этого слѣдуетъ, что ad/a = bd/b = cd/c = d/1; примѣняя теорему рав-
ныхъ отношеніи, получаемъ ad + bd + cd/a + b+ c = d/1, откуда по свойству
пропорціи ad + bd + cd = (а + b + с) d.

Чтобы доказать обратную теорему, возьмемъ da/a = a/1; db/d =
= b/1 и dc/c = c/1, гдѣ переставивъ мѣста среднихъ членовъ, по-
лучимъ da/a = d/1; db/b = d/1; dc/c = d/1. Подобно предыдущему отсюда
находимъ da+db+dc+/a+b+c = d/1 или da+db+dc/d = a+b+c/1. Беря произведеніе
крайнихъ и среднихъ, находимъ da+db+dc = d(a+b+c).
Это доказательство не зависитъ отъ свойствъ равенства, но
если бы мы воспользовались этимъ свойствомъ, то преобразо-
ваніе было бы проще, и мы, сложивъ равенства da/d = a/1; db/d = b/1 и
dc/d = c/1, прямо находимъ da+db+dc/d = a+b+c/1.
Такъ какъ, согласно изложенію Эвклида, отношеніе не за-
виситъ отъ его числовой величины, и можетъ быть найдено
непосредственно для количествъ, и тѣ свойства равныхъ отно-
шеній, на которыя опирается доказательство, выведены Эвкли-
домъ также независимо отъ числовой величины отношенія, то
доказанная теорема является общей какъ для чиселъ, такъ и
для количествъ. Пользуясь ею уже нетрудно вывести правила
умноженія чиселъ, разсматриваемыхъ какъ отношенія.
Добавлю къ этому, что самостоятельное доказательство
прямой и обратной теоремы необходимо потому, что законъ
перемѣстительности не всегда имѣетъ мѣсто. Онъ справедливъ
только, когда перемножаются отвлеченныя числа и именован-
ное на именованное; когда же мы ищемъ кратное какого-либо
количества, то очевидно, что перестановка множителей теря-
етъ смыслъ.
§ 12. Методическія указанія и вопросы.
Излагаемая здѣсь теорія умноженія можетъ показаться не-
посильной не только для дѣтскаго пониманія, но и для элемен-
тарнаго курса. Между тѣмъ какъ именно ее я имѣю въ виду
предложить съ самаго начала обученія. Согласно моему плану
ребенокъ съ самаго начала обученія начинаетъ знакомиться не
съ отвлеченными числами, даже не со счетнымъ рядомъ, а съ
количествами. Измѣряя доступныя ему величины длины, вѣса,
объема и пр., онъ изучаетъ эти величины и узнаетъ ихъ функціо-
нальныя соотношенія. При этомъ ему приходится прибѣгать
сначала къ сосчитыванію, потомъ къ вычисленію. Если мы от-
бросимъ установившійся взглядъ на невозможность умноженія
на число именованное, и согласимся во 1) съ тѣмъ, что коли-
чество выражается неразрывно двумя символами — числомъ и
наименованіемъ единицы мѣры, и что оба эти символа нераз-

дѣлимы, и во 2) съ тѣмъ, что умноженіе есть самостоятельное
дѣйствіе, дающее новыя количества, то ясно, что при сосчи-
тывали и вычисленіяхъ ребенка мы будемъ требовать отъ него
обозначеній не только дѣйствій и чиселъ, но и наименованій.
При такомъ способѣ наученія въ сознаніи ребенка мало-uo
малу проникаетъ идея количества, и число займетъ мѣсто, какъ
одно изъ возможностей изученія и познаванія величины. Ря-
домъ съ нимъ геометрическое представленіе количества, какъ
линіи и произведенія - какъ площади даетъ идею независимости
дѣйствій отъ чиселъ. Тогда само дѣйствіе явится внѣ связи съ
числомъ, какъ функціональное соотношеніе величинъ, и это
выдѣляетъ его какъ идею или способъ опредѣленія этихъ соот-
ношеніи. Здѣсь задача получаетъ не счетный характеръ, а ха-
рактеръ опредѣленія функціональныхъ соотношеніи, а слѣдова-
тельно и мысль ребенка сосредоточится на этихъ соотноше-
ніяхъ. Это отодвигаетъ нѣсколько вопросъ объ изученіи свойствъ
чиселъ до болѣе поздняго возраста, но это отодвиганіе по мо-
ем}7 необходимо, потому что ребенокъ еще не можетъ отвле-
каться, логически мыслить*, но онъ здѣсь усвоиваетъ всѣ не-
обходимые элементы, изъ которыхъ впослѣдствіи онъ самъ мо-
жетъ разобраться во многихъ свойствахъ.
Изученіе сложенія и вычитанія почти не требуетъ методи-
ческихъ указаній, въ вопросѣ объ умноженіи они необходимы.
Здѣсь, во-первыхъ. необходимо отмѣтить слѣдующее: все
изученіе вначалѣ должно быть построено на непосредственномъ
опытѣ ученика и на задачахъ; впослѣдствіи усвоенное изъ
опыта и задачъ превращается въ теоретическое построеніе.
Въ задачахъ на умноженіе необходимо особо выдѣлить за-
дачи на отысканіе кратнаго, и эти задачи такъ и характери-
зовать, присоединяя ихъ къ задачамъ на сложеніе. Слово крат-
ное и понятіе кратности должно быть введено въ курсъ, какъ
неизбѣжное понятіе изученія величины.
Отъ этихъ задачъ на отысканіе кратнаго, слѣдуетъ рѣзко
различить задачи на опредѣленіе комплекса новыхъ количествъ,
причемъ типичными задачами для этого отдѣла будутъ задачи
на вычисленіе площадей, которыя въ курсѣ должны занять
центральное мѣсто. Къ этимъ задачамъ можно присоединить
задачи на стоимость, работу, количества теплоты, причемъ
послѣднее должно сопровождаться непосредственнымъ опытомъ
учащихся.
Детальныя указанія метода обученія будутъ изложены въ
методикѣ.

§ 13. Дѣленіе. Обзоръ литературы.
Въ то время какъ умноженіе почти во всѣхъ руководствахъ
и методикахъ излагается совершенно одинаково, дѣленіе да-
леко не представляетъ собою такого однообразія. Такъ г. Гла-
голевъ въ курсѣ „Теоретическая ариѳметика" разсматриваетъ
дѣленіе какъ сокращенное вычитаніе; онъ говоритъ: „Если изъ
большого числа вычитать послѣдовательно меньшее столько
разъ, сколько возможно, то такое послѣдовательное вычитаніе
называется дѣленіемъ. То число, изъ котораго вычитаютъ, на-
зывается дѣлимымъ; то, которое вычитаютъ,—дѣлителемъ, чи-
сло возможныхъ вычитаній — частнымъ, а остатокъ отъ вычи-
танія—остатокъ отъ дѣленія". Г. Шапошниковъ въ „Учебникѣ
ариѳметики" опредѣляетъ дѣленіе такъ: „Раздѣлить одно число
на другое значитъ разбить первое данное число на столько
равныхъ частей, сколько во второмъ содержится единицъ".
Очевидно, что въ томъ и другомъ опредѣленіи содержится одна
и та же мысль; я бы сказалъ даже, что это одно и то же опре-
дѣленіе, но выраженное разными словами. Однако, опредѣле-
ніе не можетъ имѣть разныхъ словъ, тогда это будетъ не опре-
дѣленіе, а характеристика. Тотъ фактъ, что опредѣленіе дѣй-
ствія дается въ разныхъ выраженіяхъ уже показываетъ, что
само опредѣленіе не установилось, его еще пока нѣтъ, и раз-
ные авторы пытаются только его установить.
Но, кромѣ того, далеко не всѣ согласны съ ограниченіемъ
понятія о дѣйствіи дѣленія только вычитаніемъ. Такъ г. Арже-
никовъ въ своей „Методикѣ начальной ариѳметики", повторяя
дословно опредѣленіе г. Шапошникова, добавляетъ къ нему
фразу: „Это — дѣленіе на части", а далѣе приводитъ другое
опредѣленіе: „Раздѣлить одно число на другое—значитъ узнать,
сколько разъ одно изъ нихъ содержится въ другомъ числѣ.
Это — дѣленіе по содержанію". Однако онъ очевидно не счи-
таетъ ни то, ни другое опредѣленіе изчерпывающимъ, хотя и
не говоритъ этого, но продолжаетъ дальше: „Такъ какъ во-
просы, рѣшаемые дѣленіемъ, являются обратными вопросу, ко-
торый рѣшается умноженіемъ, то дѣленіе есть дѣйствіе обрат-
ное умноженію, и можетъ быть опредѣлено еще слѣдующимъ
образомъ: „Дѣленіемъ называется такое ариѳметическое дѣй-
ствіе, посредствомъ котораго по данному произведенію и одному
изъ производителей отыскивается другой производитель". „Легко
понять, продолжаетъ онъ далѣе, что отысканіе множимаго есть
дѣленіе на части, отысканіе множителя — дѣленіе по содержа-

нію. Оба эти дѣйствія, обратныя умноженію, благодаря свой-
ству перемѣстительности произведенія, могутъ быть выполнены,
какъ мы видѣли, совершено одинаково и потому составляютъ
одно дѣйствіе-дѣленіе".
Сознаюсь, что я не понимаю, не понимаю того, какъ въ
умноженіи будетъ доказано свойство перемѣстительности, даю-
щее два совершенно различныхъ по своему смыслу дѣйствія.
Если 5 фунтовъ надо взять слагаемымъ 7 разъ, то какъ мы
можемъ 7 разъ взять слагаемымъ 5 фунтовъ разъ? А если мы
этого сдѣлать не можемъ, то какъ изъ этой невозможности
возникнетъ два опредѣленія, совершенно различныхъ по смыслу.
Собственно, что же такое дѣленіе?
Все это прекрасно понималъ г. Гольденбергъ, который въ
своей „Методикѣ начальной ариѳметики" говоритъ: „дѣленіе
по справедливости считаютъ самымъ труднымъ изъ четырехъ
ариѳметическихъ дѣйствій, а уясненіе механизма этого дѣй-
ствія дѣломъ не легкимъ въ методическомъ отношеніи. Излагая
механизмъ дѣленія цѣлыхъ чиселъ одни исходятъ изъ частнаго
опредѣленія этого дѣйствія: дѣленіе есть дѣйствіе, посредствомъ
котораго находятъ сколько разъ одно данное число содержитъ
въ себѣ другое данное число. Другіе замѣняютъ это опредѣ-
леніе слѣдующимъ: дѣленіе имѣетъ цѣлью раздѣлить одно дан-
ное число на столько равныхъ частей, сколько находится еди-
ницъ въ другомъ данномъ числѣ. Третьи, наконецъ, разсма-
триваютъ дѣленіе, какъ дѣйствіе, обратное умноженію и даютъ
такое общее опредѣленіе: раздѣлить данное число на другое
данное число значитъ найти то число, на которое надлежитъ
помножить второе изъ данныхъ чиселъ, чтобы получить пер-
вое. Соответственно этимъ различнымъ точкамъ зрѣнія, и разъ-
ясненіе механизма дѣленія можетъ быть ведено различно, такъ
какъ при этомъ разъясненій можно имѣть въ виду или опре-
дѣленіе содержанія, или раздѣленіе на равныя части, или оты-
сканіе неизвѣстнаго производителя".
При такомъ разъясненій очевидно не можетъ быть вопроса
о какомъ-либо единствѣ дѣйствія: это три разныя точки зрѣ-
нія, неимѣющія ничего общаго.
Во французскомъ учебникѣ Бореля дѣленіе опредѣлено,
какъ дѣйствіе обратное умноженію
Къ оригинальнымъ опредѣленіямъ этого дѣйствія относится
опредѣленіе г. Гурьева, который даетъ такое опредѣленіе: „дѣ-
леніе есть способъ находить величину, которая бы къ одной
изъ данныхъ, называемой дѣлимою, такъ относилась, какъ еди-
ница къ другой, именуемой дѣлящею. Сія найденная величина
называется частнымъ дѣленія". Въ примѣчаніи онъ говоритъ:

„Здѣсь подобное замѣчаніе мѣсто имѣетъ, каковое мы при
умноженіи приложили.
Это опредѣленіе г. Гурьева очень близко примыкаетъ къ
тому, что говорилъ г. Веберъ въ вышеприведенномъ опредѣ-
леніи умноженія. Это мѣсто я приведу здѣсь все сполна: „Про-
изведеніе именованныхъ чиселъ представляетъ собою имено-
ванное число нѣкотораго новаго комплекса, единица котораго
опредѣляется, какъ произведеніе единицъ умножаемыхъ вели-
чинъ; то же самое относится къ частному. Такъ напримѣръ,
произведеніе двухъ мѣръ длины есть мѣра поверхности, частное
отъ дѣленія мѣры длины на мѣру времени естъ опредѣленная
скорость. Частное же двухъ мѣръ, относящихся къ одному и
тому же комплексу, представляетъ собою отношеніе ихъ, а,
стало быть, оно есть отвлеченое число.
Очевидно, что оба послѣдніе автора говорятъ одно и то же.
Они считаютъ дѣленіе дѣйствіемъ самостоятельнымъ, опредѣ-
ляющимъ, лучше сказать, дающимъ новые комплексы при по-
мощи данныхъ. Говоря иначе, здѣсь дѣленіе теряетъ свой чи-
словой характеръ и разсматривается по существу, независимо
отъ способа его выполненія.
§ 14. Понятіе о дѣленіи.
При выясненіи понятія о дѣленіи слѣдуетъ отмѣтить во-
первыхъ, что слово „раздѣлить" и понятіе „часть" совершенно
не предполагаютъ дѣленія на равныя части. Мы дѣлимъ линію
на части пропорціональныя, въ крайнемъ и среднемъ отноше-
ніи, и всегда можемъ раздѣлить ее на произвольное число про-
извольной величины частей. Однако, понятіе часть тѣсно,
можно сказать, неразрывно слито съ понятіемъ о дѣленіи и не
получается никакимъ другимъ процессомъ. Вслѣдствіе этого
можно условиться въ терминологіи и подъ словомъ часть по-
нимать результатъ дѣленія, при чемъ установить аксіому:
часть всегда меньше цѣлаго. Здѣсь только нужно внимательно
вдуматься въ слѣдующее: часть всегда получается отъ дѣленія,
но дѣленіе не всегда даетъ часть, а и многое другое, что въ
понятіи части не содержится. Мы устанавливаемъ, слѣдова-
тельно, только понятіе часть, какъ результатъ дѣленія; но не
понятіе дѣленія, какъ дѣйствія, посредствомъ котораго всегда
ищется часть.
Во 2 - хъ дѣйствіе дѣленія есть дѣйствіе независимое отъ
какихъ-либо другихъ дѣйствій, и понятіе о немъ должно быть
установлено самостоятельно. Въ самомъ дѣлѣ въ задачѣ: раз-

дѣлить данный отрѣзокъ на 3 равныя части, мы проводимъ
прямую подъ произвольнымъ угломъ, откладываемъ на ней три
равныхъ отрѣзка, проводимъ параллельныя линіи и доказы-
ваемъ, что эти параллельныя раздѣлятъ данный отрѣзокъ на
3 равныя части. Изъ способа этого дѣленія мы можемъ ска-
зать, что данный отрѣзокъ прямой мы можемъ раздѣлить на
сколько угодно равныхъ частей. Однако въ этомъ процессѣ
дѣленія нѣтъ ни какой зависимости отъ какого-либо дѣйствія,
и актъ дѣленія мы совершаемъ, не зная ни вычитанія, ни умно-
женія. Совершенно также дѣленіе окружности на равныя ча-
сти приводитъ насъ къ задачѣ о вписанныхъ многоугольни-
кахъ и оказывается не всегда возможнымъ, но оно также не
зависитъ отъ какого-либо другого дѣйствія. Дѣленіе площади
прямоугольника, объема параллелепида совершается процес-
сомъ, независимымъ отъ другихъ дѣйствій. Все это показы-
ваетъ, что дѣленіе есть дѣйствіе самостоятельное. Соединяя
въ одно оба эти замѣчанія, мы должны установить, что дѣле-
ніе есть самостоятельное дѣйствіе въ которомъ должно быть
указано, какъ мы хотимъ раздѣлить цѣлое,—на равныя или не-
равныя части. Отсюда же получается и первый оттѣнокъ дѣ-
ленія, какъ дѣйствія, посредствомъ котораго находится часть
цѣлаго. Вторымъ оттѣнкомъ дѣленія будетъ его обратность
умноженію. Здѣсь мы имѣемъ найденное произведеніе и же-
лаемъ знать, изъ какихъ множителей оно получено. То дѣй-
ствіе, которымъ мы по данному произведенію и одному изъ
множителей отыскиваемъ другой, также называется дѣленіемъ.
Въ этомъ случаѣ дѣленіе распадается на три, независимыхъ
другъ отъ друга дѣйствія: 1) дѣленіе отвлеченныхъ чиселъ,
разсматриваемыхъ какъ элементы счетнаго ряда и распростра-
неное на числа какъ отношенія; 2) по данному кратному ка-
кой-либо величины, найти или кратность или какая величина
была взята кратной. Въ этомъ случаѣ мы имѣемъ именно то
дѣленіе на части и дѣленіе по содержанію, о которомъ гово-
ритъ г. Аржениковъ. Наконецъ, 3) умноженіемъ мы получили
новый комплексъ, какъ найти его составныя части. Напри-
мѣръ, мы имѣемъ площадь прямоугольника и знаемъ его дли-
ну, то ширина прямоугольника найдется дѣленіемъ площади на
длину. Мы знаемъ работу и величину силы—дѣленіемъ находимъ
величину перемѣщенія и т. п. Однако отъ этихъ задачъ мы
должны отличать тѣ задачи, гдѣ новый комплексъ полученъ
не умноженіемъ, а дѣленіемъ; въ этомъ случаѣ умноженіе есть
дѣйствіе обратное дѣленію. Напримѣръ, плотность мы опредѣ-
ляемъ какъ частное отъ дѣленія массы тѣла на его объемъ.
Тогда произведеніе vd есть слѣдствіе дѣленія, а не обратно.

Третій оттѣнокъ дѣленія есть нахожденіе величинъ новыхъ
комплексовъ. Лучше сказать, нахожденіе величинъ отношеній,
какъ однородныхъ элементовъ одного и того же комплекса,
такъ и разнородныхъ элементовъ различныхъ комплексовъ.
Здѣсь есть два термина: отношеніе и дѣленіе, которые необхо-
димо разграничить, чтобы выяснить новый оттѣнокъ дѣленія.
Я представляю себѣ дѣло такъ: отношеніе есть выраженіе зави-
симости нѣкоторыхъ элементовъ однородныхъ или разнород-
ныхъ, а дѣленіе есть способъ нахожденія этого отношенія. Такъ
напримѣръ, скорость есть отношеніе пройденнаго пространства
по времени, это есть только выраженіе зависимости, которое
мы можемъ выразить какимъ угодно символомъ; но когда мы
хотимъ опредѣлить скорость даннаго движенія, то мы должны
раздѣлить пространство на время, и тогда получимъ элементъ
новаго комплекса, у котораго единицей измѣренія будетъ
ед. разстоянія
Этотъ новый комплексъ есть комплексъ скоростей.
ед. времени.
Съ этой точки зрѣнія, мы опредѣляемъ дѣленіемъ число-
вую величину отношенія элементовъ одного и того же ком-
плекса; эту числовую величину принято считать числомъ от-
влеченнымъ. Однако это отвлеченное число получено нѣкото-
рымъ самостоятельнымъ дѣйствіемъ—дѣленіемъ, независящимъ
отъ другихъ дѣйствій, а потому эти отвлеченныя числа не
вполнѣ совпадаютъ по своимъ свойствамъ съ числами счетнаго
ряда, и ихъ нельзя подвергать дѣйствіямъ, какъ эти послѣд-
нія. Пусть напримѣръ, намъ даны два отношенія /) са^ = 5 и
І-аРш- _ 7# Если бы числа 5 и 7 были числами счетнаго ряда
и отвлеченными, то мы имѣли бы право производить надъ ними
всѣ дѣйствія; но числа 5 и 7 нельзя сложить, ибо отношенія
5 саж. 7 арш.
1 саж и 1арш. не могутъ быть сложены, такъ какъ ихъ послѣ-
дующіе члены разные. Вопросъ становится еще болѣе слож-
нымъ, если мы возьмемъ отношеніе площадей и отношеніе
длинъ.