Галанин Д. Д. Начальная алгебра в связи с пропедевтическим курсом геометрии. — 1912

ПРЕДИСЛОВІЕ.

Предлагаемый курсъ алгебры составляетъ одно цѣлое съ моимъ курсомъ ариѳметики, изложенное въ методическомъ видѣ. Въ нормальной школьной системѣ средняя школа должна составлять продолженіе низшей, хотя каждая имѣетъ законченный характеръ. Въ низшей школѣ долженъ быть законченъ пропедевтическій курсъ ариѳметики, а въ средней также пропедевтическій курсъ алгебры. И тотъ, и другой курсъ не должны быть разбиты на спеціальныя ячейки, какъ это существуетъ въ настоящее время, а должны объединяться около общей математической идеи. Для не спеціалиста ученаго, а для обыденнаго человѣка нѣтъ отдѣльныхъ предметовъ: ариѳметика, алгебра, геометрія, тригонометрія, а есть, и должна быть, только математика. Предметъ обученія математики долженъ обнимать собою всю совокупность идей числа, дѣйствія и функціональной зависимости. Здѣсь долженъ быть міръ въ числахъ, т.-е. развитіе тѣхъ логическихъ процессовъ, которые охватываются сознаніемъ, какъ измѣряемыя величины, и изученіе свойствъ величинъ составляетъ сущность, внутреннее содержаніе, какъ начальнаго, такъ и средняго обученія. Съ этой точки зрѣнія математика не можетъ и не должна быть оторвана отъ жизни, а должна войти въ жизнь, какъ ея необходимая составная часть. Говоря иначе, я думаю, что глубоко правъ былъ Амосъ Каменскій, представляя себѣ человѣка, какъ микрокосмъ, могущій все знать и все постичь. Несмотря на то, что развитіе науки дробитъ ее на все болѣе и болѣе мелкія спеціальности, несмотря на то, что ученые не въ состояніи освѣтить въ настоящее время даже всего отдѣла, а должны по необходимости разрабатывать только частности, мелкія подробности общаго ученія, несмотря на это, первые шаги человѣка должны охватывать все знаніе во всемъ цѣломъ. Въ это цѣлое входитъ ученіе о величинахъ, т.-е. геометрія, измѣрительная часть физики, механики и астроно-

міи. Такъ рисуется программа обученія, если исходить изъ общихъ педагогическихъ возрѣній Коменскаго; но такъ же рисуется она, если за исходную точку построенія курса взять современныя психологическія теоріи познаванія. Среди этихъ теорій наибольшаго вниманія со стороны педагогики заслуживаетъ теорія ассоціацій. Согласно этой теоріи всякій новый элементъ познаванія долженъ связываться съ существующими элементами самосознанія и сопровождаться такимъ ансамблемъ впечатлѣній и чувственныхъ образовъ, которыя бы въ самихъ себѣ содержали возможности дальнѣйшаго углубленія. Въ видѣ примѣра я разсмотрю счетъ. Когда ребенокъ считаетъ ряды разнообразныхъ предметовъ, то въ этихъ предметахъ у него нѣтъ чувственныхъ воспріятій количества, а есть только свойства, принадлежащія сосчитываемымъ предметамъ. Если онъ измѣряетъ длины, вѣса, объемы и проч., то въ самомъ процессѣ измѣренія уже недержатся ассоціаціи, изъ которыхъ вытекаетъ идея дѣйствія и идея функціональной зависимости. Когда ко 2-мъ кубикамъ счетнаго ящика прикладываютъ еще 3, то этотъ актъ приложенія не содержится въ свойствѣ кубиковъ и не вытекаетъ изъ этихъ свойствъ, а всецѣло обусловливается волей учителя и вытекаетъ изъ его желанія увеличить число кубиковъ. Но когда вмѣстѣ съ объемомъ взятой воды, увеличивается и вѣсъ, то это увеличеніе вѣса есть свойство воды и не находится ни въ какой зависимости учителя. Когда ребенокъ измѣряетъ длину ленты, то результатъ измѣренія коренится въ свойствахъ протяжимости ленты и это свойство тѣсно и прочно ассоціируется съ числомъ. Отсюда ясно, что число, полученное изъ счета кубиковъ, будетъ имѣть совершенно иное психологическое содержаніе, чѣмъ число, полученное отъ измѣренія ленты, отъ измѣренія объемовъ, вѣсовъ и т. п. Первыя числа не содержатъ психическихъ воспріятій величинъ, вторыя являются слѣдствіемъ изученія свойствъ величинъ, а эти свойства приводятъ мысль человѣка къ идеѣ дѣйствія и зависимости.

Я взялъ только примѣръ изъ котораго ясно, что новое изученіе даетъ иныя, болѣе важныя психологическія ассоціаціи, чѣмъ современное. Но, чтобы еще болѣе выяснить

свою точку зрѣнія, я возьму еще примѣръ. Приступая къ изученію алгебры, ученикъ знакомится съ одночленомъ. Что такое одночленъ? Это есть искусственно построенное алгебраическое выраженіе, оторванное совершенно какъ отъ жизни, такъ и отъ предыдущаго ариѳметическаго курса. Выраженіе, необходимо-нужное для школы и совершенно лишнее дома. Одночленъ состоитъ изъ буквъ, передъ которыми стоитъ цифра, а вверху у буквъ также стоятъ цифры. Первая цифра называется коэффиціетномъ, и вторыя — показателемъ степени. Говорятъ, что каждая изъ этихъ цифръ имѣетъ свое особое значеніе, которое надо запомнить и кромѣ того, надо запомнить рядъ дѣйствій съ этимъ страннымъ алгебраическимъ выраженіемъ, которое даже не встрѣчается въ задачахъ. Отвлекитесь на минуту отъ своего математическаго образованія и представьте себѣ одночленъ такъ, какъ онъ долженъ рисоваться ребенку, и вы почувствуете полную пустоту тѣхъ ассоціацій, изъ которыхъ могло бы быть добыто это понятіе. Оно можетъ ассоціироваться съ классной доской, личностію учителя, съ учебникомъ, но его нѣтъ ни въ предыдущемъ опытѣ жизни, ни въ чемъ либо, сопровождающимъ его введеніе въ курсъ.

Если вы это себѣ представите ясно, то вамъ будетъ понятно и то, что дѣти плохо понимаютъ правило приведенія подобныхъ одночленовъ; они запоминаютъ его и забываютъ, и когда вы доходите до дѣленія, то въ головѣ получается каша, изъ которой трудно выдѣлить подходящее знаніе; ученіе алгебры, анализъ, мысль — все пропало; остались трудныя формулы, непонятныя дѣйствія, какіе-то ребусы и загадки. Но тотъ же одночленъ получается въ физикѣ, какъ слѣдствіе функціональной зависимости величинъ, напримѣръ законъ Ньютона выражается формулой m.m./d²; здѣсь каждая буква полна скрытаго значенія, имѣетъ свою характеристику и чувственныя воспріятія. Разберемъ доступную и для дѣтей формулу m = v. d., гдѣ m есть масса, количество вещества: (здѣсь рисуется стаканъ воды, коробочка съ пескомъ, кирпичъ или что-либо подобное), v естьобъемъ,чувственно воспринимаемый и хорошо представляемый; но вотъ

d — плотность; это понятіе производное, его надо добыть и выяснить. Однако это выясненіе не такъ страшно; но разъ вы его достигли, разъ ребенокъ хорошо почувствовалъ, что количество вещества въ тѣлѣ вполнѣ соотвѣтствуетъ произведенію его объема на то, сколько вещества въ единицѣ объема, то передъ нимъ живой одночленъ съ его индивидуальной характеристикой и свойствами. Достичь этого живого представленія алгебраической формулы и составляетъ задачу обученія. Это возможно сдѣлать только изучая свойства величинъ, т.-е. производя опыты, изслѣдуя эти свойства, измѣряя ихъ.

Простѣйшимъ и наиболѣе доступнымъ предметомъ измѣренія, я считаю плоскую фигуру, изъ которой уже по моему мнѣнію создается пространственное представленіе геометрическаго тѣла.

Въ силу этого, въ начальный курсъ обученія ариѳметикѣ я ввожу геометрію, какъ изученіе плоскихъ фигуръ и свойствъ этихъ фигуръ, обосновывая все это на непосредственномъ сравненіи вырѣзанныхъ изъ бумаги фигуръ и ихъ перегибаніи. Въ основу изученія я ставлю измѣреніе площадей и длинъ. Простѣйшей фигурой считаю квадратъ, потомъ прямоугольникъ, изъ которыхъ уже получается треугольники. Затѣмъ идетъ окружность, вписанные многоугольники, измѣреніе угловъ и площадей. Время отъ времени изъ плоскихъ фигуръ получаются пространственныя формы: призмы, пирамиды, цилиндръ, конусъ. Такимъ образомъ, по моему проекту, ученикъ въ начальномъ обученіи уже знакомъ съ равенствомъ треугольниковъ, геометрической номенклатурой: высота, основаніе радіусъ, діаметръ, хорда, уголъ и проч. и проч. Онъ опытнымъ путемъ знаетъ свойства многихъ фигуръ, умѣетъ обращаться съ циркулемъ и рѣшать простѣйшія задачи на построенія. Однако къ изученію протяженій онъ приступаетъ не непосредственно, а проходя черезъ особый измѣрительный курсъ, въ которомъ онъ измѣряетъ объемы, взвѣшиваетъ, измѣряетъ длины аршиномъ и футомъ, знакомится съ сантиметромъ и литромъ. Все это я изложилъ въ напечатанномъ курсѣ методики, которая охватываетъ пока первые два года

обученія, а въ ближайшемъ будущемъ собираюсь напечатать еще 3 года обученія, которыя свяжутъ начальный курсъ со среднимъ. Первымъ годомъ средняго обученія и будетъ предлагаемая книга.

Въ основу курса я положилъ всестороннее изученіе функціональной зависимости величинъ и способы ея математическаго изученія. Среди выраженій этой зависимости простѣйшее будетъ пропорціональность; и вотъ я думаю, что пропедевтическій курсъ средней школы долженъ быть объединенъ около этой идеи. Въ то время, какъ въ начальномъ курсѣ основной идеей должно быть равенство, въ этой части курса — пропорціональность. Изученіе понятія пропорціональности требуетъ введенія новаго математическаго термина — отношеніе. Мнѣ кажется, что изученіе свойствъ отношеній должно занять наиболѣе видное мѣсто въ начальномъ курсѣ и должно быть пополнено геометрическими примѣрами.

Не затрудняя вниманія читателя изложеніемъ многихъ особенностей въ изложеніи предмета, я скажу только слѣдующее. Новое построеніе курса въ высшей степени трудно, и если я рѣшился на такой смѣлый шагъ, то только для того, чтобы вызвать критику и разсмотрѣніе вопроса. Мнѣ кажется несомнѣннымъ, что курсъ средней школы долженъ быть переработанъ существенно, будетъ ли эта переработка направлена такъ, какъ я думаю, или совершенно иначе, сказать въ настоящее время ничего нельзя. Но, если не давать примѣровъ построенія курса, то нельзя обсуждать его въ видѣ общихъ положеній; только на фактическомъ курсѣ можно видѣть достоинства и недостатки предлагаемой системы обученія.

Однако это не все; читатель, согласившись со мною въ основной идеѣ, можетъ совершенно быть несогласнымъ въ способѣ ея проведенія.

Объ этомъ я хочу сказать нѣсколько словъ.

Отчасти потому, что у меня еще не напечатанъ полный курсъ начальнаго обученія, отчасти потому, что новое изложеніе потребовало дополнительныхъ подробностей вслѣдствіе новизны построенія курса, все это увеличило размѣръ кни-

ги, который въ будущемъ самъ собою сократится. Мнѣ необходима была глава о числахъ и ихъ двоякомъ представленіи: числовомъ и геометрическомъ. Въ этой главѣ я разсматриваю отрицательное число, какъ число противоложное положительному. Мнѣ казалось, что начиная алгебру полезно обобщить въ одно цѣлое добытое ученіе о числахъ, а главное выдѣлить ихъ отъ количествъ, т.-е. отъ измѣренія величинъ. По моему мнѣнію существуетъ принципіальная разница между понятіемъ о дѣйствіи и способомъ его производства. Умноженіе какъ дѣйствіе создаетъ новое число или новое количество, а вычисляется какъ сложеніе равныхъ слагаемыхъ. Вотъ почему послѣ главы о числахъ идетъ глава о количествахъ, дѣйствія надъ которыми уже носятъ совершенно особый характеръ. Я далекъ отъ мысли, что мнѣ удалось прочно обосновать новое ученіе, т.-е. правильно установить тѣ принципіальныя отличія, которыя раздѣляютъ тѣ и другія, и я лишь твердо убѣжденъ въ томъ, что рѣчь объ этомъ должна быть поднята съ первыхъ шаговъ новаго курса. Главный вопросъ въ этомъ состоитъ въ нашемъ правѣ вводить именованнаго множителя. Лично я считаю этотъ вопросъ рѣшеннымъ въ положительномъ смыслѣ, и во всемъ дальнѣйшемъ на основаніи этого рѣшенія вывожу формулы и объясняю ихъ внутреннее содержаніе.

Ставя такимъ образомъ въ основу курса изученіе свойствъ величинъ, я рѣзко подчеркиваю то обстоятельство, что величина измѣняется соотвѣтственно ея свойствамъ; число есть одна изъ возможностей для изученія ея свойствъ, а самыя свойства могутъ быть тогда выражены въ видѣ алгебраической формулы, Чтобы эта возможноснь была яснѣе, я начинаю ея изученіе съ установленія понятія о функціи. Это понятіе всего проще устанавливается на геометрическихъ примѣрахъ, которые я и разсматриваю въ первую очередь. Здѣсь, собственно, можно было бы совершенно опустить вопросъ о построеніи правильныхъ многоугольниковъ, который по моему плану входитъ въ начальный курсъ обученія, но пока этого начальнаго курса еще нѣтъ, то я не нашелъ возможнымъ его изъятіе. По существу я не вижу

никакой трудности отъ введенія геометрическихъ поясненій, собственно не понятій, а геометрическихъ образовъ. Образъ центральнаго угла многоугольника ясенъ, ясность его позволяетъ уяснить его числовую величину и его функціональную зависимость отъ числа сторонъ многоугольника. Взаимная зависимость полученныхъ ассоціацій здѣсь важна именно въ томъ отношеніи, что вызывая въ понятіи одна другую, обѣ они уясняютъ сущность основной идеи. Другіе примѣры функціональной зависимости величинъ приведены для того, чтобы съ одной сторооы подкрѣпить уже существующее представленіе, а съ другой расширить его при помощи иныхъ элементовъ. Геометрическое изображеніе функціональной зависимости угловъ многоугольника приводитъ мысль къ представленію предѣла. Это представленіе я оставляю въ сторонѣ, но оно, конечно, очень важно, и о немъ ученики могутъ заговорить.

Выяснять его во всей полнотѣ нѣтъ необходимости, а выясненіе частнаго случая возможно во всей полнотѣ.

Разсматривая количества, какъ нѣчто особое, совершенно отличное отъ чиселъ, я долженъ былъ выдѣлить это различіе въ ученіи о равенствахъ. Здѣсь я привожу аксіомы равенствъ, излагая ихъ по по Эвклиду, но замѣняя слово „величина“ словомъ „количество“. Педагогически усвоеніе этихъ аксіомъ не является простымъ актомъ познаванія, и современный ученикъ быть можетъ задумается надъ надъ нѣкоторыми изъ нихъ. Въ этомъ отношеніи я долженъ остановиться на одномъ терминѣ, который я взялъ у Эвклида, но который въ настоящее время можетъ показаться неяснымъ. Я разумѣю понятіе о кратности. Дѣло въ томъ, что если признать за умноженіемъ самостоятельное значеніе дѣйствія, при помощи котораго получается новое количество, то отъ этого дѣйствія умноженія надо выдѣлить тотъ случай, когда данное количество повторяется слагаемымъ. Въ первомъ случаѣ геометрическое произведеніе мы должны представить какъ площадь, а во второмъ случаѣ мы находимся на той же линіи, которая изображаетъ данное количество. Въ первомъ случаѣ мы имѣемъ алгебраическій одночленъ, а во второмъ число есть коэффиціентъ

. Понятіе о коэффиціентѣ въ этомъ смыслѣ, мнѣ кажется лучше и правильнѣе, чѣмъ обычное представленіе числа, стоящаго передъ буквеннымъ выраженіемъ. Коэффиціентъ можетъ быть и буквенный, но двѣ формулы п а, изъ которыхъ въ одной п даетъ кратность а, тогда п коэффиціентъ; и п особое количество, тогда n a будетъ новое количество, въ которомъ n не будетъ коэффиціентъ. Напримѣръ, въ механической формулѣ 16t²/2, число ¹⁶/₂=8 будетъ коэффиціентъ, если даетъ кратность времени, и не будетъ коэффиціентомъ, а количествомъ, если оно есть ускореніе. Въ поясненіе этого возьмемъ двѣ формулы S=at²/2 и t₁=at²/2. Въ первой формулѣ мы имѣемъ новое количество — пространство, которое равно произведенію двухъ количествъ a/2 — ускоренія и t² — времени; во второй формулѣ мы имѣемъ время, которое равное нѣкоторой кратности a/2 также времени. Слѣдовательно, одно и то же выраженіе a/2 можетъ быть и количествомъ и числомъ; въ первомъ случаѣ оно будетъ множителемъ, а во второмъ указателемъ кратности, т.-е. коэффиціентомъ.

Исходя изъ этого опредѣленія коэффиціента, мнѣ кажется становится понятнымъ и терминъ коэффиціентъ пропорціональности, о которомъ я и говорю при его полученіи.

Отдѣливши такимъ образомъ изученіе свойствъ чиселъ отъ изученія свойствъ количествъ, я долженъ былъ показать, что отношеніе и пропорція принадлежатъ количествамъ; а если это такъ, то количества могутъ быть пропорціональными независимо отъ того, сумѣемъ или не сумѣемъ мы ихъ выразить въ числахъ. Чтобы это показать я воспользовался методомъ Эвклида и при его помощи доказалъ основную теорему дѣленія сторонъ угла на пропорціональныя части. Мнѣ кажется, что способъ Эвклида объ опредѣленіи пропорціональности только потому не входитъ въ школьный курсъ, что у него не дано доказательства этой теоремы, которая въ современномъ строѣ легла въ основу подобія треугольниковъ. Сознаюсь, что доказательство можетъ показаться труднымъ и непосильнымъ для учениковъ

, тогда его можно пропустить. Болѣе существеннымъ является отсутствіе полноты доказательствъ геометрическихъ теоремъ, гдѣ встрѣчаются ссылки на недоказанныя предварительно свойства фигуръ. Мое личное мнѣніе таково, что эта неполнота не будетъ замѣчена учениками, но я допускаю, что наиболѣе даровитые могутъ предложить вопросы. Если бы ученики прошли проектируемый мною курсъ геометріи въ связи съ ариѳметикою, то эти пробѣлы были бы восполнены въ существенныхъ частяхъ; при отсутствіи такого курса, они являются дефектомъ системы. Насколько существенно важенъ такой дефектъ я не знаю, думаю, что его можетъ всегда исправить преподаватель, согласный со мною въ основной идеѣ. Кромѣ этого дефекта, быть можетъ, наберется и много другихъ незамѣченныхъ мною дефектовъ построенія.

Я буду счастливъ, если предложенная книга вызоветъ обмѣнъ мнѣній среди педагоговъ и критику; еще цѣннѣе будетъ для меня, когда найдутся лица, которые попробуютъ дать ученикамъ въ руки новый учебникъ и подѣлятся со мной своими наблюденіями.

Мнѣ остается сказать еще о процентахъ. Въ первоначальномъ проектѣ я думалъ ввести еще одну главу „Проценты“; но потомъ оказалось, что она сильно увеличиваетъ объемъ книги, которая и безъ того вышла довольно толстой. Такъ какъ эта глава не содержитъ существенно важнаго для идеи и всегда можетъ быть пополнена самимъ преподавателемъ, то я и рѣшилъ ее опустить, разсчитывая вставить въ курсъ, если придется готовить второе изданіе.

Дм. Галанинъ.

ГЛАВА I.
О числахъ и дѣйствіяхъ надъ ними.
§ 1. Число.
Когда намъ нужно сосчитать нѣкоторую совокупность
предметовъ, то мы считаемъ ихъ, прикладывая по одному;
напримѣръ, у насъ есть кучка карандашей, и мы счи-
таемъ: одинъ, два, три и т. д. Точно также мы сосчи-
тываемъ число учениковъ въ классѣ, число столовъ и все
прочее. Если намъ приходится сосчитать очень большое
число предметовъ, то мы сначала отсчитываемъ десятокъ,
потомъ еще десятокъ и т. д.; затѣмъ считаемъ число де-
сятковъ. Если этихъ десятковъ будетъ также очень много,
то мы собираемъ ихъ въ сотни и считаемъ число сотенъ.
Изъ сотенъ составляются тысячи, изъ тысячъ—десятки
тысячъ и т. д. Предѣлъ счета неограниченъ. Результатъ
сосчитыванія называется числомъ, которое греческій мате-
матикъ Эвклидъ опредѣлилъ такъ: число есть совокуп-
ность единицъ.
Подъ наименованіемъ «число», мы и будемъ въ даль-
нѣйшемъ представлять себѣ совокупность единицъ и на-
зовемъ его счетнымъ числомъ; оно по самому способу
своего полученія есть число цѣлое. Количество единицъ
въ данной группѣ мы будемъ называть числовой мощ-
ностью этой группы. Напримѣръ, если въ классѣ 40 уче-
никовъ, то число 40 будетъ числовая мощность класса.
§ 2. Нормальный числовой рядъ.
Если мы расположимъ числа въ порядкѣ ихъ полу-
ченія, то получимъ рядъ 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. до безко-
нечности, потому что предѣла счета нѣтъ, и чиселъ без-

конечное множество. Такой рядъ называется нормальнымъ
чистовымъ рядомъ, а каждое число—членомъ ряда. Члены
нормальнаго числоваго ряда обладаютъ слѣдующими
свойствами.
1) Рядъ не содержитъ одинаковыхъ членовъ; 2) послѣ-
довательные члены ряда отличаются другъ отъ друга на
единицу; 3) каждое число опредѣляется своимъ положе-
ніемъ, т.-е. мѣстомъ, которое оно въ ряду занимаетъ:
число 3 занимаетъ третье мѣсто, 7—седьмое и т. д.; это
свойство можно формулировать еще такъ: числовая мощ-
ность каждаго члена равна его положенію.
Всѣ эти свойства являются слѣдствіемъ самого способа
полученія ряда. Къ нимъ молено добавить еще слѣдующія
свойства. Если мы остановимся на какомъ-нибудь числѣ,
то всѣ дальнѣйшіе члены будемъ называть высшими, а
всѣ члены, стоящіе до взятаго числа—низшими. Такъ
какъ всѣ члены различны, то изъ двухъ взятыхъ чиселъ
всегда одно будетъ высшимъ членомъ, а другое низшимъ.
Основное свойство членовъ ряда состоитъ въ томъ, что
всякій высшій членъ молено рассматривать какъ сумму
двухъ или болѣе низшихъ членовъ. Это свойство является
слѣдствіемъ способа полученія ряда, но оно вводитъ въ
этотъ способъ новое понятіе—дѣйствіе сложенія; но если
мы введемъ въ способъ полученіе членовъ ряда понятіе
о дѣйствіи, то вмѣстѣ со сложеніемъ намъ необходимо
ввести и обратное ему дѣйствіе—вычитаніе. Тогда можно
сказать, что всякій членъ нормальнаго числового ряда
молено разсматривать какъ разность нѣкотораго высшаго
числа и нѣкотораго низшаго; напримѣръ, 7 есть раз-
ность 15 — 8.
Эти свойства называются основными свойствами нор-
мальнаго числового ряда.
§ 3. Буквенное обозначеніе. Отрицательныя числа.
Въ математикѣ условились употреблять буквы латин-
скаго алфавита для обозначенія выраженія: «какое-нибудь
число». Когда нужно сказать: «возьмемъ какое-нибудь

число», то вмѣсто этого говоримъ: ((возьмемъ число а».
Число можно обозначить какой угодно буквой, и обратно
буква можетъ быть какимъ угодно числомъ. Такой спо-
собъ обозначенія упрощаетъ рѣчь и позволяетъ выразить
короче какое-либо свойство чиселъ, если это свойство
принадлежитъ всѣмъ числамъ Такъ, напримѣръ, вмѣсто
того, чтобы сказать, что отъ перестановки мѣстъ сла-
гаемыхъ сумма не измѣняется, мы можемъ написать
а-\-b = b-\га, и это алгебраическое выраженіе вполнѣ
точно замѣняетъ словесное выраженіе свойства суммы.
Точно также, всякое четное число мы можемъ записать
въ видѣ 2 т, а нечетное 2 т—1. Такая запись опять
вполнѣ точно замѣняетъ слова: «четное число», ((нечет-
ное число».
Возьмемъ теперь два какихъ-либо члена ряда и обозна-
чимъ ихъ буквами а и 5; если бы это были числа, то мы
сейчасъ же могли бы сказать, какое изъ нихъ будетъ выс-
шимъ, и какое низшимъ членомъ ряда; но въ буквенномъ
обозначеніи мы лишены этой возможности, а потому за-
мѣнимъ ее слѣдующимъ разсужденіемъ. Если изъ а можно
вычесть 5, то а будетъ высшій, а Ь—низшій членъ ряда.
Такая замѣна позволяетъ расширить самое понятіе о чле-
нахъ ряда и ввести въ него новые члены. Положимъ,
что а =15, 5 = 8; тогда изъ 15 можно вычесть 8 и й
будетъ высшимъ членомъ, а Ь—низшимъ. Но если а =8
и 5=8; тогда разность а—5 условились обозначать
цифрой 0 и помѣщать ее въ самомъ началѣ ряда, такъ
что при этомъ условіи нормальный числовый рядъ бу-
детъ начинаться не съ единицы, а съ нуля; онъ будетъ
О, 1, 2, 3 и т. д. Но, возможно, что я = 5, и 5 = 7;
тогда мы должны сказать, что 5—высшій членъ ряда, и
а—низшій, но наша разность есть а — 5, и мы хотимъ,
чтобы а осталось высшимъ членомъ, то нельзя ли пока-
зать, что въ этой разности члены а и 5 занимаютъ
обратный мѣста? Для этого условились обозначать 5—7
также цифрой 2, только со знакомъ минусъ, пишутъ
такъ 5 — 7 = — 2. Сдѣлано такое условіе: если изъ мень-
шаго числа надо вычесть большее число, то вычитаютъ

изъ большаго, меньшее и ставятъ у разности знакъ минусъ.
Такія числа называются отрицательными, ихъ также вво-
дятъ въ числовый рядъ, и пишутъ передъ нулемъ налѣво,
начиная съ —1, такъ что новый числовой рядъ будетъ
безконечность... —10, —8,—7,—6,—5,—4,— 3,—2,-1, о,
1, 2, 3... безконечность.
При этомъ весь рядъ идетъ въ порядкѣ наростанія
слѣва направо, потому что въ основу его положено свой-
ство разности: чѣмъ больше вычитаемое, тѣмъ меньше
остатокъ, такъ что—20 меньше чѣмъ—5. Числовую мощ-
ность называютъ абсолютно величиной числа, тогда свой-
ство отрицательныхъ чиселъ можно формулировать такъ:
отрицательное число тѣмъ меньше, чѣмъ больше его чи-
словая мощность; или такъ, отрицательное число тѣмъ
меньше, чѣмъ больше его абсолютная величина.
§ 4. Геометрическое представленіе чиселъ.
Очень многіе вопросы математики становятся гораздо
яснѣе, когда число будетъ изображено не цифрами, а въ
видѣ отрѣзка прямой линіи. Для этого условились посту-
пать слѣдующимъ образомъ: берутъ неограниченную пря-
мую (черт. 1) и отмѣчаютъ на ней гдѣ-нибудь точку О]
Черт. 1.
вправо отъ этой точки откладываютъ равные отрѣзки
OA, АВ, ВС, СВ и т. д.; отрѣзокъ OA можно взять
какимъ угодно (на чертежѣ онъ равенъ сантиметру); но всѣ
остальные отрѣзки должны быть равны OA. Тогда, если
мы примемъ OA за единицу, то О В будетъ ровно 2;

ОС=b\ OD = 4 и т. д. Такимъ образомъ всякое положи-
тельное число будетъ выражаться отрѣзкомъ опредѣленной
длины при данномъ масштабѣ. Начало счета будетъ точка
О. Налѣво отъ этой точки также откладываются отрѣзки,
равные OA : OAt, Ах Д, Д Сх и т. д.; эти отрѣзки усло-
вились считать отрицательными числами, такъ что ОА1 =
— 1; ОВх= — 2; ОСх= — 3 и т. д. Такимъ образомъ
отрѣзокъ прямой налѣво отъ точки О даетъ отрицательное
число любой величины. Итакъ, на нашей прямой мы мо-
жемъ имѣть все безконечное множество какъ положитель-
ныхъ, такъ и отрицательныхъ чиселъ.
При этомъ, если мы скажемъ: возьмемъ отрѣзокъ OA,
равный числу а, не указывая ни масштаба, ни величины
самого числа, то геометрическое представленіе отрѣзка
OA и ариѳметическое представленіе числа а будутъ имѣть
одно и то же содержаніе. Мы взяли отрѣзокъ вправо, (черт. 1)
это значитъ, что число а положительное; если мы возь-
мемъ другой отрѣзокъ ОВх = — то число b будетъ от-
рицательное. Здѣсь есть нѣкоторая разница въ геометри-
ческомъ и алгебраическомъ представленіи. Подъ буквой
а или b мы можемъ разумѣть какое угодно число, какъ
положительное, такъ и отрицательное, тогда какъ напра-
вленіе отрѣзка уже опредѣляетъ знакъ числа. Чтобы уни-
чтожить эту разницу представленій, мы подъ знакомъ
числа будемъ подразумѣвать не мѣсто, гдѣ геометрически
число отложено, а направленіе, въ которомъ оно отложено.
Если намъ дано число я, то въ случаѣ а положительнаго,
что обозначается (+ а), мы откладываемъ его вправо; если
а отрицательное, т.-е. (—а), то влѣво, при чемъ это от-
ложеніе можетъ происходить не отъ самой точки О, а отъ
каждой другой точки на данной прямой.
Нѣкоторая неясность въ этомъ представленіи уничто-
жится въ дальнѣйшемъ.
§ 5. Понятіе о дѣйствіи. Сложеніе.
Въ разсмотрѣніе свойствъ чиселъ нормальнаго ряда
(§ 2) мы ввели свойства дѣйствій сложенія и вычитанія.

хотя понятіе о дѣйствіи не содержится въ понятіи о чи-
слѣ и представляетъ собою совершенно самостоятельное
понятіе.
Дѣйствіемъ мы будетъ называть такую операцію надъ
числами, при помощи которой получается новое число.
Такъ какъ новыя числа получаются и въ процессѣ счета,
то можно сказать, что процессъ счета, или сосчитываніе,
есть простѣйшее дѣйствіе, это дѣйствіе называется сло-
женіемъ. Отсюда дается и самое опредѣленіе сложенія:
сложеніемъ называется такое математическое дѣй-
ствіе, когда мы къ единицамъ одного числа прибавляемъ
единицы другого.
Черт. 2.
Въ процессѣ счета это прибавленіе дѣлается по одному,
но въ самомъ дѣйствіи мы можетъ прибавлять группу.
Напримѣръ, къ 8 прибавить 5; въ процессѣ счета мы къ
8 прибавляемъ 1, потомъ еще 1 и т. д., пока не приба-
вимъ 5; говоря иначе, мы переходимъ въ нормальномъ
числовомъ рядѣ послѣдовательно отъ 8-го члена къ 13-му.
Но мы можетъ взять 8-й членъ, отсчитать отъ него 5
членовъ и тогда къ группѣ 8 прибавимъ группу 5, полу-
чимъ группу 13.
Въ такомъ представленіи мы сближаемъ ариѳметиче-
ское дѣйствіе съ геометрическимъ. Мы имѣемъ два от-
рѣзка OA = 8; OB= 5; чтобы получить отрѣзокъ, равный
ихъ суммѣ, возьмемъ произвольную прямую, по ней точку
О, отложимъ отъ этой точки ОВ = OA и отъ точки В от-

рѣзокъ DC= OB, тогда 00= OD+ВС или 0(7=8+5.
(черт. 2).
Здѣсь мы къ группѣ 8 единицъ, приложили группу
5 единицъ и получили группу 13 единицъ, геометрически
выражаемую отрѣзкомъ ОС
Сближая оба производства дѣйствія сложенія: ариѳ-
метическое и геометрическое, мы должны дополнить само
опредѣленіе дѣйствія словами: «въ томъ же направленіи».
Это значитъ, что когда мы отъ точки В откладываемъ
отрѣзокъ ВС= ОВ, то это отложеніе мы должны сдѣлать
въ томъ же направленіи, въ которомъ было сдѣлано от-
ложеніе OD= OA. Безъ этого условія геометрическое сло-
женіе не будетъ яснымъ.
Такимъ образомъ ариѳметическое дѣйствіе сложенія
чиселъ вполнѣ соотвѣтствуетъ геометрическому дѣйствію
сложенія отрѣзковъ, только съ дополненіемъ: «въ томъ же
направленіи». Это происходитъ потому,что въ ариѳметикѣ
числа не имѣютъ направленія, лучше сказать: въ ариѳ-
метикѣ направленіе счета не разсматривалось. Но мы
ввели числа отрицательныя и сказали, что отрицальное
число измѣняетъ направленіе счета. Тогда мы можемъ еще
болѣе сблизить оба дѣйствія, если условимся ввести два
счета — прямой: 1, 2, 3 и т. д. и противоположный *)
10, 9, 8, 7 и т. д.; въ первомъ мы идемъ вправо въ
нормальномъ ряду чиселъ, а во второмъ влѣво. Возьмемъ
число 20, тогда прямой счетъ будетъ 21, 22, 23 и т. д.;
противоположный: 19, 18, 17 и т. д. Если мы примемъ
такое разграниченіе, то и въ ариѳметическомъ опредѣ-
леніи должны сказать о направленіи счета, какъ въ гео-
метрическомъ—о направленіи отложенія.
Положимъ, что намъ нужно найти сумму + 5 и — 2,
т.-е. сосчитать, сколько будетъ (+ 5) + (— 2) геометрически
это значитъ, что отъ точки О (черт. 1) мы должны пе-
редвинуться вправо на 5 дѣленій, получимъ точку Е, отъ
*) Я ввожу терминъ „противоположный“, а не „обратный“ вотъ почему:
два числа называются противоположными, если въ суммѣ даютъ нуль, и
обратными, если въ произведеніи даютъ единицу. Разграниченіе этихъ
терминовъ считаю необходимымъ.

точки А7 передвинуться влѣво на 2 дѣленія, получимъ точку
6У, тогда отрѣзокъ ОС будетъ искомая сумма. Ариѳмети-
чески мы можемъ сказать, что число—2 есть резуль-
татъ обратнаго счета, поэтому передвинемся въ нормаль-
номъ числовомъ рядѣ на пятое мѣсто, потомъ передвинемся
назадъ на два мѣста (т. е. произведемъ обратный счетъ)
получимъ число 3. Итакъ (+ 5) + (— 2) = + 3.
Разсмотримъ еще сумму (—5) + (—3) эта сумма со-
стоитъ изъ двухъ слагаемыхъ одного направленія влѣво.
Геометрически мы должны передвинуться отъ точки О
влѣво сначала на 5 дѣленій, а потомъ на 3, получимъ от-
рѣзокъ, равный 8 дѣленіямъ влѣво отъ точки 0\ точно
такъ же въ дополненномъ нормальномъ числовомъ рядѣ отъ
нуля надо передвинуться влѣво и получимъ число—8.
Итакъ (— 5) + (— 3)=— 8.
Наконецъ, разсмотримъ послѣдній случай (—5)+(+ 2);
здѣсь мы сначала перемѣщаемся влѣво какъ по прямой,
такъ и въ дополненномъ нормальномъ числовомъ ряду,
а потомъ вправо (черт. 1) и окончательно получимъ
точку C1; результатъ сложенія выразился отрѣзкомъ
OCt = —3, а въ нормальномъ числовомъ ряду получимъ
само число—3.
Соединимъ теперь всѣ разсмотрѣнные случаи: мы на-
шли, что
1) 8 + 3 или (+8) + (+3) = + 11
2) (+ 5) + (-2)= + 3
3) (-5) + (-3) = -8
4) (-5)+(+2) = -3.
Изъ этихъ равенствъ мы можемъ вывести два пра-
вила: одно по отношенію къ отрицательнымъ числамъ, ко-
торое можно формулировать такъ: чтобы прибавить от-
рицательное число надо вычесть его числовую мощность.
Согласно этому правилу приведенныя равенства пишутъ
такъ: (+5) + (—2) = + 5-2= + 3; (_5) + (-3) =
—5 — 3 = —8 и (-5) + (+2) = — 5 + 2= — 3.
Равенства, написанныя въ такомъ видѣ, показываютъ,
что можно знаки дѣйствія замѣнить знакомъ числа, при

чемъ при сложеніи знакъ числа остается и замѣняетъ
знаки дѣйствія. Изъ полученныхъ равенствъ +5 — 2 =
+ 3;— 5 — 3 = — 8;— 5 + 2= — 3 и + 8 + 3 = + 11 слѣ-
дуетъ второе правило: если два числа имѣютъ одинъ и
тотъ же знакъ +<9+3;—5—3, то числовыя мощности
ихъ складываются и ставится тотъ же знакъ. Если
два числа имѣютъ разные знаки: + 5—2; — 5-\-2, то
числовыя мощности ихъ вычитаются и ставится знакъ
большей.
§ 6. Вычитаніе.
Дѣйствіе, противоположное сложенію, называется
вычитаніемъ. Произвести вычитаніе, значитъ отнять отъ
одного числа другое; геометрически это значитъ отло-
жить данный отрѣзокъ въ обратномъ направленіи. Пусть
мы имѣемъ два отрѣзка OA = 8 и ОВ=Ь, и намъ надо
Черт. 3.
изъ OA вычесть OB, т.-е. найти разность OA—OB. Для
этого, на произвольной прямой отъ точки О откладываемъ
отрѣзокъ OB, равный OA вправо, отъ точки В отклады-
ваемъ отрѣзокъ ВС=ОВ влѣво, получимъ точку С; от-
рѣзокъ 00 и будетъ искомая разность (черт. 3).
Чтобы сблизить геометрическій пріемъ вычитанія от-
рѣзковъ съ ариѳметическимъ пріемомъ вычитанія чиселъ,
условимся въ томъ, что дѣйствіе вычитанія измѣняетъ
направленіе счета. Когда намъ нужно изъ 8 вычесть 5,
то въ нормальномъ числовомъ рядѣ нужно сначала пере-
мѣститься вправо на 8-ой членъ, потомъ отсюда влѣво на

5 членовъ; говоря иначе: сначала нужно произвести пря-
мой счетъ 8-ми единицъ, потомъ обратный 5 единицъ, и
мы получимъ число 3. Итакъ (+8) — (+5) = + 3.
Такъ какъ 8 = 5 + 3, а 8 — 5 = 3, то говоримъ, что
вычитаніе есть дѣйствіе противоположное сложенію, въ
которомъ по данной суммѣ двухъ слагаемыхъ и одному
изъ нихъ находятъ другое.
Перейдемъ теперь къ отрицательнымъ числамъ. Пусть
намъ дано (—8) — (+5). Здѣсь намъ нужно отъ точки
О перемѣститься влѣво на 8 дѣленій и потомъ въ напра-
вленіи обратномъ положительному, т.-е. въ направленіи
обратномъ правому, т.-е. опять влѣво, перемѣститься на 5
дѣленій, всего мы перемѣстимся влѣво на 13 дѣленій, т.-е.
(— 8) — (+ 5) = —13. Точно то же получимъ, перемѣщаясь
въ нормальномъ числовомъ рядѣ, при чемъ знакъ дѣйствія
минусъ заставляетъ насъ принять направленіе обратное
знаку числа.
Возьмемъ теперь (+8) — (—5). Здѣсь первоначальное
перемѣщеніе идетъ вправо на 8 дѣленій, а потомъ надо
перемѣститься въ направленіи, обратномъ лѣвому, т.-е.
опять вправо на 5 дѣленій, всего мы перемѣстимся вправо
на 13 дѣленій, т.-е. (+8) —(—5) = + 13.
Совершенно также получимъ (— 8) — ( —5) = — 3.
Если теперь мы соберемъ вмѣстѣ всѣ случаи, то по-
лучимъ:
1) (+8) —(+5) = 8 —5 = 3.
2) (—8) — (+5) = — 8 — 5=—13.
3) (+8) — (— 5) = 8 + 5 = 13.
4) (—8) — (— 5) = — 8 + 5 = — 3.
Разсматривая ихъ, мы видимъ, что здѣсь знакъ дѣй-
ствія мѣняетъ знакъ числа, т.-е. само дѣйствіе состоитъ
въ томъ, чтобы измѣнить направленіе числа. Это правило
формулируется еще и такъ; вычесть отрицательное число
значитъ его прибавить. Отсюда же можно вывести и
другое правило: чтобы раскрыть скобки, передъ кото-
рыми стоитъ знакъ минусъ, мы должны перемѣнить
знакъ у количества, стоящаго въ скобкахъ.

Въ силу того, что вычитаніе отличается отъ сложенія
только направленіемъ дѣйствія, и можетъ быть замѣнено
измѣненіемъ знака у вычитаемаго числа, въ математикѣ
принято называть разность алгебраической суммой и вы-
ражать въ общемъ видѣ a+b, потому что подъ a и b
мы можемъ подразумѣвать всѣ числа какъ положитель-
ныя, такъ и отрицательныя; и если намъ дана разность
a—b, то мы всегда ее можемъ представить въ видѣ суммы
a+(—b); обратно сумму a+b можно представить въ
видѣ разности a—(—b).
Такимъ образомъ мы видимъ, что геометрическое пред-
ставленіе чиселъ въ видѣ прямой линіи не только вполнѣ
соотвѣтствуетъ ариѳметическому нормальному числовому
ряду, но даетъ возможность подробнѣе выяснить смыслъ
и значеніе основныхъ дѣйствій: сложенія и вычитанія.
Кромѣ того, оно разширяетъ самое понятіе о числѣ, вводя
въ него новый признакъ — направленіе числа. Другими сло-
вами, геометрическое представленіе вводитъ въ эвклидов-
ское опредѣленіе числа: собраніе единицъ, понятіе о дѣй-
ствіи. Мы можемъ сказать теперь, что каждый членъ нор-
мальнаго числового ряда можетъ разсматриваться какъ
результатъ дѣйствія. Онъ можетъ быть суммой ниже стоя-
щихъ членовъ: 5 = 3 + 2; если мы перейдемъ въ область
чиселъ отрицательныхъ, которые имѣютъ обратное напра-
вленіе, то должны слово сумма замѣнить разностью:
5 = 3 — (—2); —5 = —3 — (—8) и т. п.
Точно также, каждый членъ ряда можетъ разсматри-
ваться какъ разность выше стоящаго и ниже стоящаго; въ
области отрицательныхъ чиселъ эта разность будетъ сум-
мою 5 = 8 — 3 или 5 = 8 + (—3).
Изъ этого разсмотрѣнія вытекаетъ свойство чиселъ
противоположныхъ. Противоположными называются такія
числа, которыя въ суммѣ даютъ нуль; напр.
+3 + (—3) = 0.
Ихъ можно опредѣлить иначе: противоположные числа
имѣютъ одинаковую числовую мощность, но противопо-
ложное направленіе.

§ 7. Прибавленіе и вычитаніе суммъ.
Правило: Чтобы къ какому-нибудь числу прибавить
алгебраическую сумму данныхъ чиселъ, надо прибавить
послѣдовательно каждое слагаемое.
Пусть дана сумма а — Ъ + с, которую надо прибавить
къ числу т: это мы можемъ записать въ видѣ т + {а —
Ь-\-с); здѣсь сумма стоитъ въ скобкахъ, которыя показы-
ваютъ, что мы должны раньше сосчитать сумму чиселъ
а — Ъ + с и результатъ прибавить къ числу т\ но этотъ
способъ мы можемъ замѣнить другимъ, который называется
правиломъ раскрытіи скобокъ. Если мы воспользуемся пра-
виломъ прибавленія суммъ, то получимъ: ш + ( + +
-f-(—+ или по правилу сложенія чиселъ можемъ
написать m+a-b+с. Отсюда: чтобы раскрыть скобка,
передъ которыми стоитъ знакъ +, мы должны перепи-
сать числа , стоящія въ скобкахъ, сохраняя ихъ знаки.
Правило вычитанія суммъ. Чтобы изъ какого-нибудь
числа вычесть сумму данныхъ чиселъ, мы должны вы-
честь послѣдовательно каждое слагаемое.
Пусть намъ дана сумма а — 6 + с, которую надо вы-
честь изъ числа т\ это мы можемъ записать въ видѣ
т — (а — Ъ + с).
По правилу вычитанія, мы можемъ написать
т — (+а) — (-Ъ)-(+с)
или, по правилу вычитанія чиселъ,
т — a-j-Ъ — с.
Отсюда, чтобы раскрыть скобки, передъ которыми
стоитъ знакъ минусъ, мы должны переписать члены,
стоящіе въ скобкахъ, перемѣняя знакъ у каждаго изъ
нихъ на обратный.
Основное свойство суммы. Сумма не измѣняется отъ
перестановки мѣстъ слагаемыхъ.
Основное свойство разности. Разность двухъ чиселъ
не измѣнится, если къ уменьшаемому и вычитаемому при-
дать одно и то же число.

Въ этомъ легко убѣдиться на числовыхъ примѣрахъ,
но доказать справедливость этого свойства можно только
на буквахъ. Возьмемъ два числа а и разность ихъ
будетъ а — Ъ, обозначимъ ее буквой rf, и напишемъ
а — b = d. Прибавимъ теперь къ а и Ъ по числу т, тогда
получимъ два новые числа а-\-т и # + т, разность ихъ
будетъ (# + m)— (# + ж); надо доказать, что эта новая
разность будетъ также d. Для этого, раскроемъ скобки, и
получимъ а-\-m — Ъ — т\ мы получили сумму, величина
которой не зависитъ отъ порядка слагаемыхъ, и мы ее
можетъ написать такъ: а — Ъ-\-т— т\ но + т и —т
суть противоположные числа, которыхъ сумма равна нулю,
значитъ (а + ж)— (Ъ-\-т) = а — й.
Въ этомъ доказательствѣ мы ничѣмъ не обусловли-
вали взятыхъ чиселъ а и b, значитъ свойство разности
будетъ примѣнимо ко всякимъ числамъ какъ положитель-
нымъ, такъ и отрицательнымъ.
§ 8. Задачи.
Вычислить суммы
1) (+23) + (- 15) — (— 8) + (+6) отв. +22.
2) (+110) —(+45) —(—42) + (—16) отв. +91.
3) (— 100) + (— 50) — (+40) — (—96) отв. —94.
4) [(-6) + (-8)-(-9)]-[(+2)-(-3)+(-11)]
отв. +6.
5) [(+102)-(+108)+(-104)]+[(-102)+(-108)-
— (— 16)] — [(— 102) — (— 108) + (— 16)] отв. —299.
§ 9. Умноженіе чиселъ.
Такъ какъ мы пока еще среди разсматриваемыхъ чи-
селъ не имѣемъ дробей, то дѣйствіе умноженія будетъ
относиться только къ числамъ цѣлымъ, но эти числа мо-
гутъ быть и положительными и отрицательными.
По отношенію къ цѣлымъ числамъ умноженіемъ на-
зывается сокращенное сложеніе равныхъ слагаемыхъ. Если

намъ нужно сложить 15 + 15 + 15, то мы эту сумму за-
писываемъ такъ 15 X 3 и называемъ эту новую запись
произведеніемъ. Высчитываемъ произведеніе по особой та-
блицѣ, которая называется таблицей умноженія, а самое
высчитываніе называемъ умноженіемъ. Отсюда: умноженіе
есть сложеніе равныхъ слагаемыхъ.
Число 15, которое берется слагаемымъ называется
множимое, а число 3, которое показываетъ, сколько разъ
взято 15 слагаемымъ, называется множителемъ. Итакъ,
множимое и множитель суть совершенно разныя числа.
Множимое дано, написано; множитель мы должны полу-
чить сами, сосчитавъ число слагаемыхъ. Очевидно, что мно-
жимое мы легко и удобно можемъ замѣнить буквой, на-
примѣръ, взявъ число а слагаемымъ 5 разъ, получимъ
л + я + а + я + а, что въ сокращенной записи даетъ а X 5.
Но, когда мы множимое замѣняемъ буквой, то условились
во-первыхъ не писать знака умноженія, а само произве-
деніе аУ\Ь записывать просто аЪ\ а во-вторыхъ, всегда
ставить число передъ буквой и писать 5а.
Можно, конечно, и множитель представить себѣ въ бук-
венномъ видѣ, тогда произведеніе будетъ имѣть видъ an,
или па, т.-е. число а, взято слагаемымъ п разъ. Число 5
и число п называются коэффиціентомъ. Итакъ: коэффи-
ціентъ показываетъ, сколько разъ данное буквенное число
взято слагаемымъ.
Черт. 4.
Вмѣсто числа мы можемъ взять отрѣзокъ прямой ли-
ніи OA (черт. 4) и взять его слагаемымъ 4 раза, полу-
чимъ отрѣзокъ ОС, который будетъ равенъ ОАХ4 или
4 OA. Отрѣзокъ ОС мы будемъ называть кратнымъ от-

рѣзка OA, а число 4 величиной кратности. Точно так-
же и произведеніе 15X3 = 45 будетъ кратнымъ числа 15,
а 3 величина кратности; число 5а будетъ кратнымъ
числа а, величина его кратности будетъ 5; вообще па
есть число кратное а, величина кратности п.
Для чиселъ можно доказать весьма важное свойство:
число единицъ въ произведеніи двухъ чиселъ останется
то же, если мы перемѣнимъ мѣста множимого и множителя.
Другими словами это значитъ, что четырехкратное 3 равно
трехкратному 4. На нашемъ отрѣзкѣ ОС (черт. 4) я от-
мѣтилъ знакомъ отрѣзки, равные АО, ихъ будетъ 4, но въ
то же время на этой прямой укладывается 3 отрѣзка, рав-
ныхъ 4.
Это свойство произведенія формулируется такъ: отъ
перестановки мѣстъ множителей произведете не из-
мѣняется.
Доказать это свойство можно такъ: напишемъ 3 въ
видѣ трехъ единицъ 1+1 + 1 и возьмемъ эту сумму сла-
гаемымъ 4 раза, получимъ:
1+1+1=3
1+1+1=3
1+1+1=3
1+1+1=3
Складывая по вертикальнымъ столбцамъ
4 + 4 + 4 = 3 + 3 + 3 + 3 или 4X3 = 3X4.
Итакъ, если намъ дано произведеніе двухъ положи-
тельныхъ чиселъ а и п, то намъ безразлично, какое изъ
нихъ множимое, какое множитель, и мы съ полнымъ
правомъ можемъ написать а 5 = 5 а. Но что будетъ, если
одно изъ данныхъ чиселъ или оба они будутъ отрица-
тельными? Если отрицательнымъ будетъ множимое, то
въ нашемъ разсужденіи ничто не измѣняется, и мы
легко догадаемся, что (—4) X 3 = — 12, потому что это
есть сумма трехъ отрицательныхъ чиселъ.
Но, молено ли здѣсь переставить мѣсто множителей
и написать (— 4) X 3 = (+ 3) X (— 4). Если мы допустимъ

такое равенство, то является вопросъ, что значитъ умно-
жить на—4? Этого вопроса можно было бы избѣжать, усло-
вившись, множитель считать всегда положительнымъ; но
оказывается гораздо выгоднѣе и лучше расширить самое
понятіе объ умноженіи и распространить его на отрица-
тельнаго множителя. Можно сказать такъ: умножить
на—4, это значитъ найти четырехкратное число въ противо-
положномъ направленіи. Тогда само умноженіе (+3) на
(—4) мы можемъ разсматривать такъ: это будетъ такъ
же число 12 въ противоположномъ направленіи, т.-е.
(+3)Х(—4)= — 12. Отсюда будетъ слѣдовать, что ос-
новное свойство произведенія распространяется и на
произведеніе отрицательныхъ чиселъ.
Принявъ распространенное толкованіе дѣйствія умно-
женія, мы можемъ найти и такое произведеніе (— 5) X (— 4);
это значитъ найти четырехкратное число отъ—5, кото-
рое будетъ—20 и перемѣнить его направленіе, получимъ
+ 20. Итакъ произведеніе (—5) на (—4) даетъ положи-
тельное число+ 20.
Теперь мы получаемъ правило знаковъ при умноже-
ніи, если соединимъ всѣ разсмотрѣнные случаи въ одну
группу, мы получили:
(+3)Х(+4) = + 12
(_3)Х(+4) = -12
(+3)Х(-4) = —12
(_3)Х(-4) = + 12
Разсматривая эти произведенія, мы видимъ, что оди-
наковые знаки даютъ плюсъ, а разные минусъ. Это зна-
читъ, что произведеніе положительныхъ чиселъ и произ-
веденіе отрицательныхъ чиселъ будутъ положительными,
а произведенія чиселъ положительнаго на отрицательное
и отрицательнаго на положительное будутъ отрицатель-
ными.
И такъ, мы можемъ говорить объ умноженіи чиселъ,
не ограничивая разматриваемыя числа какими-либо усло-
віями. Любопытно то, что отрѣзки прямыхъ подтверж-
даютъ это свойство чиселъ. Такъ} на (черт. 4) прямая 00

есть четырехкратная прямой OA = 3; но въ тоже время
она будетъ трехкратной нѣкоторой прямой ОБ равной 4;
значитъ отрѣзокъ АС мы можетъ разсматривать или
какъ 4 OA, т.-е. 4X3; или какъ 3 О В, т.-е. 3X4.
Если мы теперь обратимся къ членамъ нормальнаго
числового ряда, то по отношенію къ нѣкоторымъ членамъ
можемъ отмѣтить ихъ особое свойство. Мы видѣли (§ 6),
что каждый членъ ряда есть сумма или разность другихъ
членовъ ряда; теперь мы можемъ сказать, что въ этомъ
рядѣ чиселъ есть такія, которыя будутъ произведеніемъ
низшихъ членовъ ряда. При чемъ въ этихъ числахъ
надо отмѣтить нѣкоторыя особыя свойства.
1) Всякое число можетъ быть представлено какъ
произведеніе себя самого на единицу. Это свойство проис-
ходитъ отъ того, что всякое число есть сумма единицъ,
т.-е. равныхъ слагаемыхъ, такъ напр., 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
или 1X5. Поэтому говорятъ, что число 5, въ пять разъ
больше единицы.
2) Если данное число есть кратное другого числа (не
единицы), то оно можетъ быть составлено изъ этого числа
такъ какъ множитель составленъ изъ единицы. Напри-
мѣръ, 15 есть кратное 5, а именно 15 = 5X3, то оно
можетъ быть составлено изъ 5 такъ, какъ 3 составлено
изъ единицы: 3 = 1+1 + 1, а 15 = 5 + 5 + 5. Въ этомъ
случаѣ мы можемъ сказать, что 15 содержитъ столько
же пятерокъ, сколько множитель 3 содержитъ единицъ.
3) Числа, кратныя другихъ чиселъ (не единицы) на-
зываются составными, а числа кратныя только единицы
называются простыми.
4) Всякое число, кратное другого числа, можетъ быть
представлено, какъ произведеніе этого числа на нѣкото-
рый множитель. Числа, кратныя 2 будутъ 2 т, кратныя
3 будутъ 3 т и т. д.; эти выраженія 2 т, 3 т назы-
ваются общимъ видомъ чиселъ, кратныхъ 2 и 3. Общій
видъ чиселъ кратныхъ 5 будетъ 5 т.
5) Всякое число, кратное другого числа, будетъ крат-
нымъ и величинѣ его кратности. Напримѣръ число 15
будетъ кратно и 3 и 5.

§ 10. Задачи.
Вычислить слѣдующія суммы
1) (+3)Х(-5) + (-5)Х(-4)-(-3)Х(+5)
отв. + 20.
2) (—100) Х(— 25) — (+40) Х(— 8) + (+50) + (—15)
отв.+ 2070.
3) 75-[( + 15)Х(-3)-(-16)Х(-40) + ( + 36) +
+ (+10)] отв.+ 400.
4) 100 -[(- 3) X (- 2) + (- 5)Х(- 4) - (- 6) X (+3)1
отв. + 54.
5) (а + £ + с)— {а-\-Ь — с) + (я + с — Ъ) отв. а + Зс— Ь
§ 11. Правило раскрытія скобокъ при умноженіи.
Если нужно какую-нибудь сумму умножить на число
или число умножить на сумму, то принято сумму заклю-
чать въ скобки. Напримѣръ, намъ нужно сумму а + і + с
умножить на 5, то это умноженіе мы выражаемъ такъ:
{а-\-Ъ — с) 5; обратно, если число 7 надо умножить на
сумму т+яг, то это пишутъ такъ: 7 (m+n).
Изъ свойства произведенія, что оно не зависитъ отъ
перестановки мѣстъ множителей, вытекаетъ, что оба слу-
чая умноженія будутъ однимъ и тѣмъ же, потому что
все равно, что (# + # + с) помножить на 5, или 5 пом-
ножить на а + Ъ — с; это можно выразить такой записью
{а + Ь — с)Ъ = Ъ(а + b —с).
Правило. Чтобы умножить сумму на какое-нибудь
число, надо каждое слагаемое помножить на это число.
Справедливость этого правила вытекаетъ изъ самого
опредѣленія дѣйствія умноженія: умножить а + й + с на
5 значитъ взять слагаемымъ пять разъ, т.-е. a-\-b — с +
+ # + й — с + я + й — с + а + 6 — с-\-а-\-Ъ — с; но сумма
не зависитъ отъ порядка слагаемыхъ, а потому ее можно
написать такъ: a + a + a+# + # + # + S + J + 5 + J —
— с — с — с — с — с, что (§ 9) будетъ 5а-\-5b — 5с.
Легко видѣть, что это будетъ справедливо, какъ для

чиселъ положительныхъ, такъ и отрицательныхъ, ибо,
напримѣръ: (а+Ъ) X (— 7) — — [(а+Ъ) X 7)] = —(7а + lb)
или — la— lb.
Если мы это свойство суммы представимъ въ чисто
буквенномъ видѣ, то можемъ написать, что
(а-\-Ъ— с) т = ат~\-Ьт — ст.
Число т называется общимъ множителемъ; если этотъ
множитель стоитъ при каждомъ слагаемомъ, то мы можемъ
написать обратно am -\-brn — cm = т{а -\-Ъ — с); въ этомъ
случаѣ говорятъ, что общій множитель данныхъ чиселъ
взятъ за скобку.
Правило. Чтобы взять за скобку общаго множителя
у данныхъ слагаемыхъ, нужно каждое изъ нихъ раздѣ-
лить на этого множителя и полученныя частныя заклю-
чить въ скобки, написавъ при нихъ общаго множителя.
Изъ того же правила раскрытія скобокъ при умно-
женіи слѣдуетъ очень важное свойство произведенія: произ-
веденіе всякаго числа на нуль равно нулю. Въ самомъ
дѣлѣ, пусть намъ дано а о; число о есть сумма противо-
положныхъ чиселъ, напримѣръ 5 — 5, тогда а Хо =а{Ъ — 5)
или 5а—5а; но числа 5а и —5а будутъ противополож-
ными^ а слѣдовательно сумма ихъ равна о. Итакъ аХ о = о.
Разсмотримъ теперь правило умноженія суммы на
сумму.
Правило. Чтобы умножить сумму на сумму, нужно
каждое слагаемое первой суммы помножить на каждое сла-
гаемое второй.
Пусть намъ дано (а + Ъ — с). (т + /г); сосчитаемъ
мысленно, чему равно m + n и обозначимъ это число бук-
вой s, тогда мы получимъ случай умноженія суммы а +6—с
на число s и можемъ написать (а+Ъ — c)s = as + bs — cs;
замѣнимъ теперь s его выраженіемъ т-\-щ тогда as-\-bs—
—cs = + + + — с(т~\-п); но эти скобки мы
также можемъ раскрыть и получимъ ат-\-an-\-bm-\bn—
— cm — cn. Или, переставляя мѣста слагаемыхъ будемъ
имѣть окончательно:
{а + b — с) (т + п) = am + bm — cm+an + bn + cn.

§ 12. Задачи.
1) (a+b + c) 5 — (a — b + c) 7 отв. — 2a+12b — 12с.
2) 7 (т + п) + 8 (т — п) — 12 (т + а) отв. 3#г — п — 12а.
3) (а+Ь + с) (pJrq) — (a — b + c) (p — q) отв. 2bp + 2aq+
-\-2cq или 2 (bp-\-aq-\-cq).
4) (ж + /г) (а + 6) + (#г — /г) (а —А) отв. 2*ш + 2#?г или
2(amJrbn).
5) (га + ?г —а) [(+5)(—8) —( —4)(+3)]отв.—28m —
— 28n + 28а.
6) [(+3)Х(-5) + (+4)Х(-2) + (-8)Х(-6)](5 +
— с —а) отв. 19b+19c—19а.
§ 13. Дѣленіе чиселъ.
Дѣленіе есть дѣйствіе обращенное по отношенію къ умно-
женію; въ немъ по данному произведенію и одному изъ
множителей отыскивается другой.
Въ умноженіи мы имѣемъ слѣдующее:
Произведеніе = множимому X множителя.
Множимое и множитель были даны, и мы отыскивали
произведеніе, которое назвали кратнымъ по отношенію
къ множимому, нашли, что множитель показываетъ вели-
чину кратности.
Теперь, намъ дано произведеніе, т.-е. дано нѣкоторое
кратное число, и дано еще или величина его кратности
(множитель) или дано множимое и ищется величина крат-
ности. Такое обращенное дѣйствіе, называется дѣленіемъ.
Изъ этого опредѣленія слѣдуетъ:
1) Всякое число, кратное другого числа, дѣлится какъ
на это число, такъ и на величину его кратности.
2) Если мы имѣемъ сумму равнократныхъ чиселъ, то она
будетъ равнократна суммѣ самихъ чиселъ. Такъ, напримѣръ,
намъ даны числа a, b и с, мы возьмемъ отъ нихъ равно-
кратныя и величину кратности обозначимъ буквой щ по-
лучимъ новыя числа па, пЪ и nc; то
an-\-bn-\-cn = п (а+6 + с).
Обратно: если мы имѣемъ разныя кратности одного и
того же числа, то сумма ихъ равна суммѣ кратностей

числа, помноженной на само число. Возьмемъ число 15 и
разныя кратныя отъ него 15m, 15n, 15р, то 15m +15n+
+ 15^ = 15 (ж + /г+^>).
Такимъ свойствомъ дѣлимости обладаютъ только числа
кратныя или составныя, какъ положительные, такъ и
отрицательные; но числа первоначальныя этимъ свой-
ствомъ не обладаютъ; 17 не можетъ быть произведеніемъ
какихъ либо чиселъ, кромѣ единицы на само число.
3) Изъ опредѣленія дѣленія слѣдуетъ правило зна-
ковъ при дѣленіи, которое формулируется такъ же, какъ
и при умноженіи, а именно: одинаковые знаки даютъ
плюсъ, а разные—минусъ. Въ самомъ дѣлѣ, положимъ,
что намъ надо раздѣлить (+15) на (+3); это значитъ,
нужно найти такое число, которое будучи умножено на
+ 3 даетъ +15; это число не можетъ быть отрицатель-
нымъ, ибо произведеніе положительнаго числа на отрица-
тельное было бы отрицательнымъ, а потому это число
должно быть +5. Если намъ нужно +15 раздѣлить на
— 3, то частное должно быть отрицательное, ибо только
тогда въ произведеніи мы получимъ число положитель-
ное. Совершенно также разсуждая, мы убѣдимся въ спра-
ведливости слѣдующихъ равенствъ (— 15): (— 5) = + 3;
(—15):(+5) — 3.
§ 14. Геометрическое дѣленіе отрѣзковъ прямое.
Соотвѣтственно съ ариѳметическимъ дѣленіемъ чиселъ,
возможно и геометрическое дѣленіе отрѣзка прямой линіи.
При этомъ также возможны два вопроса: 1) Даны два от-
Черт. 5.
рѣзка АВ и CD, при чемъ сказано, что отрѣзокъ CD
кратный отрѣзка АВ] требуется опредѣлить величину его
кратности. (Черт. 5). Для этого достаточно сосчитать.

сколько разъ отрѣзокъ АВ укладывается въ отрѣзкѣ CD;
если онъ уложится 4 раза, то 4 и будетъ величиной крат-
ности.
2) Данный отрѣзокъ АВ требуется раздѣлить на 5 рав-
ныхъ частей, т.-е. найти такой отрѣзокъ, для котораго
АВ былъ бы пятикратнымъ. Для этого поступаютъ слѣ-
дующимъ образомъ: проводятъ линію АС подъ угломъ и
откладываютъ на ней равные отрѣзки AD, DE, EE, EG
и GC; берутъ деревянный треугольникъ и кладутъ его
такъ, чтобы одна изъ сторонъ проходила черезъ точки Си В
(черт. 6) и проводятъ линію ВС; потомъ берутъ линейку
Черт. 6.
и прикладываютъ ее къ треугольнику, какъ это показано
на чертежѣ. Передвигая треугольникъ по линейкѣ, мы
увидимъ, что его сторона будетъ проходить черезъ точки
G, Е, Е и т. д., проводя каждый разъ линіи, мы раз-
дѣлимъ отрѣзокъ АВ на 5 равныхъ частей.
Если мы теперь сравнимъ ариѳметическое дѣленіе чи-
селъ и геометрическое дѣленіе отрѣзковъ, то увидимъ, что
они представляютъ собою два разныхъ пріема, имѣющихъ
одно и то же основаніе: въ ариѳметическомъ дѣленіи мы

послѣдовательно отнимаемъ дѣлителя, а въ геометриче-
скомъ также послѣдовательно отнимаемъ данный отрѣ-
зокъ. Проведя линіи GM, мы отняли отрѣзокъ ВМ,
потомъ линіей FN отняли еще отрѣзокъ MN т. д., пока
не использовали всю линію АВ.
Оба метода будутъ совершенно совпадать для чиселъ
кратныхъ; но изъ геометрическаго дѣленія очевидно, что
любой отрѣзокъ мы можемъ раздѣлить на любое число
равныхъ частей, тогда какъ ариѳметическое число мы мо-
жемъ раздѣлитъ только въ случаѣ его кратности. Чтобы
сблизить оба пріема, вводятъ дроби.
§ 15. Понятіе о дробяхъ.
Мы видѣли (§ 3), что невозможность вычитанія при-
вела насъ къ необходимости ввести въ составъ нормаль-
наго числового рода новыя числа—отрицательныя. Геоме-
трическое представленіе числа въ видѣ отрѣзка прямой
(§ 4) разширило самое понятіе о числѣ, введя въ него но-
вый признакъ—направленіе счета. Теперь мы находимся
при новомъ затрудненіи: дѣйствіе дѣленія приложимо
только къ особымъ членамъ нормальнаго числового ряда,
которыя будутъ кратными или дѣлимаго или дѣлителя.
Попробуемъ и здѣсь расширить область чиселъ, сдѣлавъ
условіе возможности невозможнаго дѣленія, для чего вве-
демъ новыя числа, которыя называются дробями.
Невозможность выполненія дѣленія встречается въ двухъ
случаяхъ: 1) когда одно число не дѣлится на другое по-
тому, что оно не есть кратное этого второго числа, и въ
2) когда дѣлимое меньше дѣлителя. Разсмотримъ сначала
второй случай.
Пусть намъ дано 3 раздѣлить на 7, т.-е. надо найти
число, которое, будучи умножено на 7, дастъ 3. Это тре-
бованіе принято изображать двояко: или въ видѣ 3:7, или
въ видѣ ~, при чемъ черта замѣняетъ знакъ дѣленія (:).
Какъ найти частное?
При рѣшеніи этого вопроса могутъ быть двѣ точки
зрѣнія.

1) Мы можемъ разсуждать такъ: 3 мы не можемъ
раздѣлить на 7, обозначимъ это невыполненное дѣленіе
въ видѣ ^ и назовемъ его дробью. Итакъ, дробь есть не-
выполненное дѣленіе. Число 3 и число 7 называются
членами дроби: число, стоящее надъ чертой—числителемъ,
а подъ чертой—знаменателемъ дроби. Очевидно, что числи-
тель дроби есть дѣлимое, а знаменатель дроби есть дѣли-
тель, черта по условію—знакъ дѣленія.
Въ такомъ видѣ само дѣйствіе геометрически мы
можемъ произвести въ такомъ видѣ: возьмемъ отрѣ-
зокъ OA, который равенъ 3 единицамъ и раздѣлимъ
его на 7 равныхъ частей, получимъ отрѣзокъ ОВ, кото-
рый условимся записать въ видѣ і (черт. 7). Это одна
Чер. 7.
точка зрѣнія на дробь, какъ на выраженіе невыполнен-
наго дѣленія.
2) Вторая точка зрѣнія состоитъ въ слѣдующемъ: мы
имѣемъ числовой рядъ, члены котораго отличаются другъ
отъ друга на единицу; въ этомъ числовомъ рядѣ нѣтъ и
не можемъ быть дробей, и потому мы не можемъ найти
числа, которое выражало бы частное отъ дѣленія 3 на 7.
Геометрически нашъ прямой рядъ даетъ отрѣзки: OA,
АВ, 00... (черт. 1), при чемъ точки А и В отстоятъ другъ
отъ друга на длину выбраннаго масштаба. Но мы можемъ
каждый отрѣзокъ OA, АВ, ВС... раздѣлить на сколько
угодно равныхъ частей. Раздѣлимъ OA сначала на 2 части,
потомъ на 3, потомъ на 4 и т. д. Полученныя длины усло-

вимся изображать въ видѣ 1, -А... Такое изображеніе,
при условіи что черта есть знакъ дѣленія, будетъ соотвѣт-
ствовать дѣленію отрѣзка. Мы получимъ новыя числа, ко-
торыя назовемъ числами обращенными, потому что они
построены по закону нормальнаго числового ряда, но обла-
даютъ обратными свойствами. Въ нормальномъ число-
вомъ рядѣ каждый членъ съ большой числовой мощностью
будетъ больше каждаго изъ всѣхъ предшествующихъ чле-
новъ; въ новомъ числовомъ ряду членъ будетъ тѣмъ меньше,
чѣмъ больше числовая мощность знаменателя. Въ нормаль-
номъ числовомъ рядѣ съ увеличеніемъ числовой мощности
членъ отодвигается отъ начала; въ новомъ числовомъ рядѣ
членъ съ увеличеніемъ числовой мощности знаменателя
приближается къ началу. Эти обращенныя числа мы на-
зовемъ дробями.
Введя такія числа между каждыми двумя сосѣдними
членами ряда, мы пополнимъ нашъ числовой рядъ без-
численнымъ множествомъ новыхъ членовъ и еще болѣе
сблизимъ геометрическое и ариѳметическое представленіе
числа. Теперь мы съ полнымъ правомъ можемъ сказать,
что всякое число можно разсматривать, какъ отрѣзокъ
прямой; обратное утвержденіе: всякій отрѣзокъ прямой
можно разсматривать какъ число, какъ мы увидимъ впо-
слѣдствіи, не вполнѣ справедливо,—оказывается, что не
всѣ точки прямой могутъ покрыться обращенными чи-
слами.
Изъ сопоставленія ариѳметическаго и геометрическаго
представленія обращенныхъ чиселъ можно вывести очень
важныя свойства этихъ чиселъ.
1) Всякое обращенное число представляетъ собою часть
единицы. Въ этомъ представленіи обыкновенно дѣлается
обобщеніе понятія объ единицѣ. Подъ единицей понимаютъ
нѣчто цѣльное, т.-е. всякое число можетъ быть принято
за единицу, тогда единица получитъ названіе цѣлаго; об-
ратно: всякое цѣлое можетъ быть принято за единицу.
Это обобщеніе понятія единицы является непосредствен-
нымъ слѣдствіемъ геометрическаго представленія чиселъ,
въ которомъ цѣлыя единицы могутъ откладываться про-

извольной величины отрѣзкомъ. При такомъ представле-
ніи единицы можно сказать, что дробь ~ есть седьмая
числа 3; дробь есть двѣнадцатая часть числа 5 и т. п.
Это новое представленіе дроби, какъ части цѣлаго сбли-
жаетъ вторую точку зрѣнія съ первой: дробь есть невы-
полненное дѣленіе.
2) Если мы назовемъ обращенныя числа ~,
дробными единицами, то можемъ сказать, что числовая
мощность дробной единицы опредѣляется величиною ея
знаменателя, и можетъ быть принята за счетную единицу.
Это положеніе можно формулировать еще такъ: произве-
деніе какого-либо числа на число обращенное всегда
равно единицѣ: 7Х| = 1.
Теперь мы можемъ разсмотрѣть, чему равно частное
отъ дѣленія 3 на 7; оно равно тремъ дробнымъ едини-
цамъ въ т.-е. это есть трехкратное число дробной еди-
ницы въ А.
Геометрически мы можемъ (черт. 7) раздѣлить отрѣ-
зокъ OD, равный единицѣ, на 7 равныхъ частей и взять
3 такихъ части, получимъ ту же величину О В] это зна-
читъ, что седьмая часть числа 3 есть въ то же время
3 седьмыхъ единицы.
Въ силу всего этого дробь -* мы можемъ представить
только въ одномъ изъ слѣдующихъ видовъ: 1) Частное отъ
дѣленія числа 3 на число 7; 2) какъ сумму дробныхъ
единицъ V -f- A + |; з) какъ произведеніе 3 X -і.
Всякое иное представленіе дроби, хотя бы видѣ 1+1+114f11^11+1+i
будетъ неправильнымъ, т.-е. несогласнымъ со сдѣланными
условіями, и знаменатель дроби не есть совокупность
единицъ, а числовая группа, соотвѣтственный членъ нор-
мальнаго числоваго ряда.
§ 16. Знакъ дроби и ея свойства.
Въ § 6 мы условились понимать умноженіе на отри-
цательное число, какъ перемѣну направленія произведенія.
Отсюда непосредственно слѣдуетъ, что умножить на—1,

это значитъ взять то же число въ противоположномъ на-
правленіи. Такъ какъ дѣленіе есть дѣйствіе, обращенное
по отношенію къ умноженію, то раздѣлить на—1, зна-
читъ то же, что умножить на—1, т.-е. взять то же число
въ противоположномъ направленіи. Отсюда слѣдуетъ, что
всякое отрицательное число мы можемъ разсматривать или
какъ произведеніе положительнаго числа на (—1), напри-
мѣръ — 7 = 7 X (— 1) или какъ частное отъ дѣленія по-
ложительнаго числа на (—1), напримѣръ —7 = -+, по-
добно тому, какъ всякое положительное число можно пред-
ставить какъ произведеніе числа на +1, или какъ част-
ное числа на +1.
Теперь, если мы возьмемъ дробь въ буквенномъ видѣ
гдѣ а и Ъ могутъ быть какія угодно числа, положи-
тельныя или отрицательныя, то знакъ дроби не измѣнится,
если мы одновременно перемѣнимъ знакъ въ числителѣ и
знаменателѣ, потому что это будетъ соотвѣтствовать двумъ
перемѣщеніямъ въ обратномъ направленіи; отсюда £ =
При этомъ свойствѣ дроби, мы всегда можемъ усло-
виться считать знаменатель всегда положительнымъ, по-
тому что, если бы онъ оказался отрицательнымъ, то мы
можемъ перемѣнить знаки того и другого члена дроби и
сдѣлать знаменателя положительнымъ.
Итакъ, знакъ дроби всегда будетъ одинаковъ со зна-
комъ ел числителя, и мы можемъ написать -=^- = — \\
тогда на дробныя числа распространяется правило знаковъ
цѣлыхъ чиселъ.
Кромѣ этого свойства, дробныя числа обладаютъ еще
слѣдующими.
1) Всякая единица цѣлаго числа будетъ кратной дроб-
ной единицѣ, величина кратности равна знаменателю дроби.
Вслѣдствіе этого, каждую единицу числа можно предста-
вить въ видѣ частнаго отъ дѣленія двухъ одинаковыхъ
чиселъ, напримѣръ
2) Всякое цѣлое число можно представить въ видѣ
дроби, числитель которой будетъ произведеніемъ числа на
знаменателя дроби: напримѣръ 3 = 2і.

3) Всякая дробная единица можетъ быть принята за
цѣлое и относительно ея можно сказать то же, что отно-
сительно цѣлой единицы, т.-е. что она можетъ быть раз-
дѣлена на произвольное число частей. Возьмемъ і и раз-
дѣлимъ ее на п равныхъ частей, тогда въ цѣлой единицѣ
будетъ 4/г такихъ частей, и каждая часть будетъ равна А
a і будетъ равна ~. Мы можемъ сказать, что всякая дроб-
ная единица будетъ кратной новой меньшей дробной еди-
ницѣ и величина ея кратности равна знаменателю новой
дроби.
4) Основное свойство дроби. Числовая величина дроби
не измѣнится, если мы числителя и знаменателя ея умно-
жимъ на одно и то же число. Возьмемъ дробь і: мы ви-
дѣли, что ее можно представить въ видѣ 1-|-А-|-А; но
каждое слагаемое по предыдущему можно представить въ
видѣ “ тогда f-i_-“4_^ = ^ или ± = р.
5) Если знаменатель дроби есть число кратное числи-
телю, то данная дробь можетъ быть замѣнена болѣе круп-
ной дробной единицей. Пусть намъ дана дробь ^, здѣсь
знаменатель есть число четырехкратное 5, значитъ эта дробь
получилась изъ другой дроби, числитель и знаменатель
которой были умножены на 5, эта дробь будетъ ±.
6) Числовая величина дроби не измѣнится, если мы
ея числителя и знаменателя раздѣлимъ на одно и то же
число.
§. 17. Неточное дѣленіе.
Разсмотримъ теперь первый случай § 15,когда намъ даны
два числа, не дѣлящіяся другъ на друга. Возьмемъ 17 и 7.
Намъ нужно найти число, которое бы при умноженіи на 7
давало 17. Такого числа нѣтъ, но его можно опредѣлить
приблизительно: можно взять 2, произведеніе 2 къ 7 даетъ
14 меньше 17; но если мы возьмемъ 3, то получимъ число
больше 17, поэтому мы можемъ написать, что
3>17>2.

Если мы примемъ за частное Ц число 2 или число 3,
то говоримъ, что мы нашли его съ точностью до 1, т.-е.
сдѣлали ошибку, меньшую единицы. Поищемъ, не будетъ
ли точнаго числа въ десятыхъ до ляхъ единицы; для этого
обратимъ 17 въ десятыя доли, ихъ будетъ 170; 170:7 = 23
или 24, мы можемъ написать 2,4>^°>2,3. Взявъ за
частное числа 2,3 или 2,4 мы сдѣлаемъ ошибку, мень-
шую десятой доли единицы, поэтому говоримъ, что част-
ное 2,3 взято съ точностью до 0,1.
Если мы будемъ продолжать такъ далѣе, опредѣляя
сотыя, тысячныя доли, то направо и налѣво будемъ по-
лучать сближающіяся числа, которыя будутъ увеличивать
точность нашихъ вычисленій, но не дадутъ полнаго совпа-
денія потому что частное Ц нельзя выразить въ видѣ
десятичной дроби.
Точное частное условились писать въ видѣ суммы 2 3/7,
т.-е. оно имѣть 2 цѣлыхъ единицы и еще 3 седьмыхъ
доли. Такое выраженіе называютъ смѣшаннымъ числомъ,
а выраженіе Ц — неправильной дробью.
Въ ариѳметикѣ доказывается, что дробныя числа под-
чиняются всѣмъ дѣйствіямъ надъ цѣлыми числами; при
чемъ, такъ какъ дробь есть число обращенное, то умно-
женіе на дробь соотвѣтствуетъ дѣленію, т.-е. нахожденію
части цѣлаго, а дѣленіе на дробь соотвѣтствуетъ умно-
женію чиселъ, т.-е. нахожденію цѣлаго по части, и раз-
дѣлить на дробь значитъ умножить на обращеннаго дѣли-
теля.
Кромѣ того, нетрудно доказать, что правила раскрытіи
скобокъ при сложеніи, вычитаніи, умноженіи и дѣленіи
остаются справедливыми и тогда, когда въ составъ членовъ
входятъ дроби.
§ 18. Возвышеніе въ степень и извлеченіе корня.
Кромѣ вышеразсмотрѣнныхъ дѣйствій въ математикѣ
входятъ еще два: возвышеніе въ степень и извлеченіе
корня; эти дѣйствія называютъ обратными, потому что

совершая ихъ надъ однимъ и тѣмъ же числомъ, мы по-
лучимъ само число.
Возвышеніе въ степень есть сокращенная запись про-
изведенія равныхъ производителей; напримѣръ, вмѣсто того,
чтобы писать 5X5X5, пишутъ 53. Число 5 называютъ
основаніемъ, число 3 — показателемъ степени, а все выра-
женіе 53 — степенью или степеннымъ количествомъ.
Обратное дѣйствіе,когда намъ дано степенное количество,
степень, въ которую было возвышено основаніе, и требуется
узнать основаніе, это дѣйствіе называютъ — извлеченіемъ
корня. Здѣсь намъ дано, что нѣкоторое количество, будучи
возвышено въ третью степень, дало 125, какое было взято
количество. Этотъ вопросъ принято записывать такъ V125
и говорить: извлечь корень третьей степени.
Прямое дѣйствіе—возвышеніе въ степень всегда воз-
можно; оно даетъ члены разсмотрѣнаго числового ряда; об-
ратное не всегда возможно.
Если нельзя найти такое число, которое, будучи воз-
вышено въ степень показателя корня, даетъ число под-
коренное, то такія новыя числа называются ирраціональ-
ными, т.-е. несоизмѣримыми съ единицей.
Оба эти дѣйствія не входятъ въ предлагаемый курсъ,
а потому будутъ разсмотрѣны позднѣе.
ГЛАВА II.
Количества и дѣйствія надъ ними.
§ 1. Величины.
Величинами называются такія свойства или качества
предметовъ, по которымъ мы сравниваемъ предметы другъ
съ другомъ. Такими свойствами будутъ: вѣсъ, время, дли-
на, объемъ, скорость, работа и многія другія. Такъ, на-
примѣръ, если мы возьмемъ два разнородныхъ предмета:
карандашъ и яблоко, то можемъ сравнить ихъ по вѣсу,
по цѣнности; если мы возьмемъ карандашъ и листъ

бумаги, то можемъ сравнить длину листа бумаги съ дли-
ною карандаша. Отсюда ясно, что свойства предметовъ
имѣть вѣсъ, имѣть длину, есть такое свойство, по кото-
рому мы можемъ ихъ сравнивать.
Кромѣ предметовъ наблюдаются еще явленія; всякое
явленіе есть движеніе, а потому качествами явленій бу-
дутъ также величины, въ составъ которыхъ какъ про-
стѣйшія входятъ время, скорость и прочія.
Каждая изъ величинъ представляетъ собою особыя свой-
ства предметовъ или явленій, принадлежащія только этой
величинѣ, а потому мы не можемъ сравнивать величины
другъ съ другомъ, а исключительно куски или количества
одной и той же величины. Но сами предметы могутъ со-
держать разныя величины, напримѣръ карандашъ имѣетъ
определенный вѣсъ, опредѣленный объемъ, определенную
стоимость, а потому величины должны находиться въ за-
висимости другъ отъ друга, вступать другъ съ другомъ
въ опредѣленныя отношенія.
Разныя науки занимаются изученіемъ величинъ, ихъ
свойствъ и взаимныхъ соотношеніи. Для изученія измѣ-
неній какой либо величины строится особый измѣритель-
ный приборъ, при помощи котораго мы можемъ опредѣ-
лить количество величины и сравнить его съ количествомъ
той же величины, находящейся въ другомъ предметѣ. Такъ,
напримѣръ, для изученія вѣса употребляютъ особый из-
мѣрительный приборъ—вѣсы. Если мы на одну чашку
вѣсовъ положимъ карандашъ, а на другую листъ бумаги,
то карандашъ будетъ легче листа бумаги, и чашка поды-
мется; если положимъ на одну чашку карандашъ, а на
другую монету въ пять копѣекъ, то монета будетъ тяже-
лѣе карандаша. Мы можемъ поставить такой опытъ; сколько
надо взять карандашей, чтобы ихъ вѣсъ былъ равенъ вѣсу
монеты, тогда вѣсъ монеты выразится числомъ каранда-
шей.
Нужно замѣтить, что далеко не для всѣхъ величинъ
удалось придумать измѣрительные приборы, такъ, въ об-
ласти психической жизни мы не имѣемъ возможности сра-
внивать величины, напримѣръ, память, вниманіе, умъ и

прочее. Мы хорошо знаемъ, что память у разныхъ людей
разная, но не можемъ сказать, ни на сколько одна па-
мять больше другой, ни восколько разъ одна память
больше другой, т.-е. не можемъ выразить память числомъ.
Итакъ, главное свойство величинъ состоитъ въ томъ,
что измѣримыя величины мы можемъ выразить числомъ;
второе свойство, столь же важное, состоитъ въ изученіи
зависимости одной величины отъ другой, съ ней разноряд-
ной.
Если мы знаемъ эту зависимость двухъ величинъ, то
умѣя измѣрить одну, можемъ судить обо измѣненіи дру-
гой, тогда каждая изъ нихъ будетъ выражаться числомъ.
Такъ, напримѣръ, изъ физики извѣстно, что количество
вещества въ двухъ однородныхъ тѣлахъ точно соотвѣт-
ствуетъ величинѣ давленія каждаго изъ нихъ на чашку
вѣсовъ; а потому, зная вѣсъ тѣла, мы можемъ судить о
его массѣ. Въ свою очередь массы однородныхъ тѣлъ на-
ходятся въ зависимости отъ объема тѣла; слѣдовательно
масса, объемъ и вѣсъ находятся въ взаимной зависимости;
съ измѣненіемъ объема, напримѣръ воды, измѣняется его
масса, т.-е. количество вещества, измѣняется и вѣсъ этой
массы, или то давленіе, которое оно производитъ на чашку
вѣсовъ.
§ 2. Понятіе о количествѣ. Единицы мѣры.
Подъ словомъ «количество» мы будемъ понимать опре-
дѣленный кусокъ какой-либо величины, напримѣръ, вѣсъ
яблока, длина стола и т. п.
Для тѣхъ величинъ, для которыхъ существуютъ из-
мѣрительные приборы, мы можемъ сравнивать ихъ коли-
чество другъ съ другомъ, въ результатѣ такого сравненія
мы получаемъ число. Такое число называется именован-
нымъ, потому что оно непремѣнно и обязательно должно
имѣть при себѣ указаніе на единицу мѣры.
За единицу мѣры какой-либо величины, для которой
удалось построить измѣрительный приборъ, принятъ опре-
дѣленный ея кусокъ.
Если эта величина была извѣстна уже давно, то та-

кой кусокъ этой величины, т.-е. ея единица мѣры, имѣ-
етъ прочно установленное, опредѣленное значеніе; таковы:
аршинъ, сажень, верста, какъ единицы длины; золотникъ,
фунтъ, пудъ—единицы вѣса; секунда, минута, часъ, сутки,
мѣсяцъ, годъ—единицы времени. Если величина получила
свой измѣрительный приборъ сравнительно недавно, то ея
единицы мѣры имѣютъ согласительный, условный харак-
теръ; таковы, напримѣръ, единицы мѣры электрической
силы: вольтъ, омъ, амперъ; такова единица теплоты ка-
лорія и многія другія физическія единицы.
Въ различныхъ странахъ въ обиходѣ жизни находятся
различныя единицы измѣренія, тогда какъ измѣримое ко-
личество одно и то лее, вслѣдствіе этого одно и то же
количество выражается различными числами, что за-
трудняетъ сужденіе о его величинѣ при международныхъ
сношеніяхъ. Чтобы избѣжать этого недостатка въ па-
стоящее время почти во всѣхъ государствахъ принята
метрическая система. Въ основаніи этой системы нахо-
дится метръ, составляющій 1/40000000 часть парижскаго ме-
ридіана; метръ подраздѣляется на дециметры, сантиметры
и миллиметры. Объемъ кубическаго дециметра принятъ
за единицу объемовъ и называется литръ; масса дисти-
лированной воды въ объемѣ ~ъ литра при температурѣ
4° Ц. принята за единицу массъ и называется масса-
граммъ, а вѣсъ этой массы — за единицу вѣса PI назы-
вается граммъ.
Такъ какъ величины находятся во взаимной зависи-
мости другъ отъ друга, то въ наукѣ въ настоящее время
установилась особая система измѣренія, которая называется
абсолютной системой единицъ. Въ этой системѣ три
единицы измѣренія называются основными: сантиметръ,
граммъ и секунда
Единицы измѣренія всѣхъ прочихъ величинъ выра-
жаются въ этихъ основныхъ единицахъ и называются
производными. Такъ, напр., площадь измѣряется въ квад-
ратныхъ сантиметрахъ, и ея единица измѣренія выра-
жается (1 сант. X 1 сант.) или (1 сант.)2. Объемы измѣ-

ряются въ кубическихъ сантиметрахъ, которыя выража-
ются (1 сант.2)Х(1 сайт.) или (1 сайт.)3. Если мы обо-
значимъ единицу длины въ одинъ сантиметръ буквой z,
единицу площади въ одинъ квадратный сантиметръ бук-
вой s, а единицу объема въ одинъ кубическій сантиметръ
буквой v, то можемъ написать s = z2 и v = zs; эти ра-
венства называются формулами измѣреній.
Въ настоящее время можно считать доказаннымъ, что
основныхъ единицъ только три: единица длины, единица
вѣса и единица времени; единицы измѣренія всѣхъ дру-
гихъ величинъ могутъ быть сведены къ этимъ простымъ
единицамъ и являются производными.
§ 3. Именованныя числа.
Количество всякой измѣряемой величины мы можемъ
выразить числомъ, такое число называется именованнымъ.
Такимъ образомъ всякое именованное число есть ко-
личество. При этомъ слѣдуетъ обратить особенное вни-
маніе на слѣдующее: 1) всякая величина измѣняется по
тѣмъ особымъ свойствамъ, которыя ей присущи; 2) число
есть только одинъ изъ способовъ выраженія величины,
но не сама величина, вслѣдствіе чего возникаетъ основ-
ной вопросъ: можетъ ли быть всякое количество какой-
либо величины выражено числомъ? Для отвѣта на этотъ
вопросъ, надо вспомнить, что числа получены нами, какъ
результатъ счета; эти счетныя числа мы пополнили искус-
ственно, заполнивъ интервалы между ними дробями и по-
лучили безконечно близкія точки прямой линіи. Каждая
величина обладаетъ свойствомъ непрерывности, а потому
числовый рядъ, пополненный дробями, казалось, имѣлъ бы
возможность точно отобразить количество величины. Однако,
оказывается, что это не вполнѣ вѣрно. Мы можемъ при
помощи числового ряда отобразить количество величины
только приблизительно, съ нѣкоторою степенью точности.
Есть количества однородныхъ величинъ, которыя не мо-
гутъ быть вполнѣ точно быть выражены числомъ; къ та-
кимъ количествамъ относятся между прочимъ аршинъ и

метръ; аршинъ не можетъ быть измѣренъ метромъ и метръ
аршиномъ. Такія количества называются несоизмѣримыми.
Для этихъ количествъ на числовой прямой нѣтъ точекъ,
полученныхъ отъ счетнаго ряда съ дробными вставками.
Изученіе несоизмѣримыхъ количествъ составитъ предметъ
дальнѣйшаго курса, а въ настоящее время мы остано-
вимся только на соизмѣримыхъ количествахъ.
Для соизмѣримыхъ количествъ примемъ за очевидное
такое положеніе: всякое соизмѣримое количество можетъ
быть выражено числомъ. При этомъ условимся въ слѣ-
дующемъ. Положимъ, намъ дана нѣкоторая длина и еди-
ница мѣры—аршинъ; мы будемъ говорить, что равна
числу, откуда длина = числу X аршинъ.
Такимъ образомъ, если намъ дано 8 саженъ, то это
есть произведеніе числа 8 на единицу мѣры — сажень.
Выраженіе —™5 , , ^ и т. п.
г единица длины ' единица вѣса 7 единица времени
называются отношеніями, а потому говорятъ, что по отно-
шенію къ величинамъ число есть отношеніе количества
величины къ единицѣ мѣры. Отсюда слѣдуетъ, что само
число не выражаетъ количества величины, или обратно:
количество величины не можетъ быть выражено числомъ;
оно выражается произведеніемъ числа на единицу мѣры.
Вслѣдствіе этого мы не имѣемъ права въ именованныхъ
числахъ опускать наименованія и производить дѣйствія
только надъ числами; другими словами дѣйствія, которыя
мы производимъ надъ числами, не распространяются на
количества, или дѣйствія надъ количествами имѣютъ
особый смыслъ. Итакъ: 1) именованное число, выражающее
количество величины, есть произведеніе числа на единицу
мѣры; 2) дѣйствія надъ именованными числами не со-
отвѣтствуютъ дѣйствіямъ надъ числами отвлеченными и
имѣютъ особый смыслъ.
§ 4. Дѣйствія надъ количествами.
Пользуясь правилами производства дѣйствій надъ чи-
слами, мы можемъ совершать надъ количествами дѣйствія
и преобразованія. Подъ словомъ дѣйствіе мы будемъ по-

нимать такую операцію, при которой получается новое
количество или однородное съ данными или разнородное
съ ними; подъ преобразованіемъ мы будемъ понимать та-
кую операцію, когда одно и то же количество выражается
разными числами.
Преобразованіе количества можетъ быть произведено
въ двухъ направленіяхъ: 1) когда мы данное количество
выражаемъ въ меньшихъ единицахъ измѣренія, 2) когда
мы то же количество выражаемъ въ большихъ единицахъ
измѣренія. Напримѣръ, 5 фунтовъ можетъ быть выражено
какъ 160 лотовъ или 480 золотниковъ; такое преобразо-
ваніе называется раздробленіемъ. Но 5 фунтовъ есть
^ пуда; такое преобразованіе называется превращеніемъ.
Въ обоихъ случаяхъ само количество остается безъ из-
мѣненія.
Дѣйствія надъ количествами. Надъ количествами
мы можемъ совершать дѣйствія, которыя называются
такъ же, какъ и дѣйствія надъ числами; но каждое
дѣйствіе надъ количествами даетъ новое количество и
имѣетъ свое собственное значеніе. Здѣсь надо различать
дѣйствіе надъ количествами и вычисленіе, т.-е. способъ
ихъ производства.
Сложеніе количествъ есть соединеніе ихъ при помощи
знака +; такое соединеніе называется суммой. Вычисленіе
суммы основывается на слѣдующихъ основныхъ положеніяхъ.
I. Основное положеніе. Сумма количествъ можетъ быть
выражена однимъ числомъ только тогда, когда данныя
количества однородны и измѣрены одной и той же еди-
ницей.
Слѣдуетъ замѣтить, что въ ариѳметикѣ во многихъ слу-
чаяхъ опускается знакъ соединенія и сумма количествъ
пишется, какъ совокупность слагаемыхъ, напримѣръ, 2 пуда
8 фунт, есть скрытая сумма 2 пуда+8 фунт.; эту сумму мы
можемъ выразить однимъ числомъ, преобразуя или пуды
въ фунты, или фунты въ пуды: въ первомъ случаѣ мы
получимъ 2 пуда + 8 фунт. = 80 фунт.+ 8 фунт.= 88 фунт.;
во второмъ случаѣ: 2 пуда+8 фунт.=2 пуда+g пуда=2 1/5 пуда;

при чемъ оба числа 88 и 21 въ свою очередь имѣютъ видъ
скрытыхъ суммъ, 88 есть 8 десят. + 8 един., 2^ есть 2 + і.
Послѣднія суммы есть условный способъ написанія чиселъ,
а первыя суммы есть свойства суммъ количествъ. Однако,
алгебраически мы не имѣемъ права воспользоваться ни
тѣмъ ни другимъ условіемъ. Если бы намъ было дано
т пудовъ + п фунтовъ, то мы должны были бы написать
40m фунт. -\-п фунтовъ; эту сумму, на основаніи число-
выхъ свойствъ суммы (§ 11), мы можемъ представить
въ видѣ (40m + м) фунтовъ, гдѣ 40m + n есть число,
подчиненное закону сложенія чиселъ. Точно также число
88 въ общемъ видѣ мы должны представить какъ 8 де-
сятковъ+8 единицъ или 8X10 + 8, что даетъ общій
видъ двузначнаго числа а-10 + й. Это обстоятельство
показываетъ, что ариѳметическія условныя суммы, алге-
браически должны быть раскрыты. Но, если мы подъ
числомъ 88 будемъ разумѣть только опредѣленный чи-
словой символъ, то намъ ясно будетъ основное положеніе
сложенія т пуд.-Иг фунт. = 40m фунт. -\-n фунт., что мы
можемъ обозначить однимъ числомъ р фунтовъ.
II. Основное положеніе. Всякая сумма однородныхъ
и измѣренныхъ одной и той же единицей количествъ
вполнѣ подчиняется закону суммы чиселъ, а именно:
результатъ сложенія двухъ чиселъ не измѣнится, если
мы одно изъ нихъ разложимъ на произвольныя части и
послѣдовательно приложимъ ихъ въ произвольномъ по-
рядкѣ къ другому числу.
Слѣдствія: 1) Сумма, имѣющая свойство быть сосчи-
танной, всегда больше каждаго изъ своихъ слагаемыхъ.
2) Равенство сосчитанныхъ суммъ не влечетъ за со-
бою равенства слагаемыхъ.
III. Основное положеніе. Суммы, въ которыхъ знакъ +
есть знакъ соединенія, не подчиняются законамъ сложенія
чиселъ, но подчиняются свойству перемѣстительности, т.-е.
величина суммы не зависитъ отъ порядка сложенія сла-
гаемыхъ. Въ этихъ суммахъ равенство ихъ можетъ влечь
за собою и равенство слагаемыхъ.

Вычитаніе есть дѣйствіе противоположное сложенію, а
потому оно подчиняется всѣмъ основнымъ положеніямъ
сложенія; но кромѣ того какъ дѣйствіе надъ количествами,
оно имѣетъ самостоятельное значеніе. Это самостоятель-
ное значеніе состоитъ въ томъ, что мы можемъ при по-
мощи вычитанія сравнивать количества одной и той же
величины по вопросу: насколько одно изъ нихъ больше
другого. Такое сравненіе носитъ особое названіе—ариѳме-
тическое отношеніе.
При разсмотрѣніи вычитанія количествъ является во-
просъ объ отрицательномъ количествѣ, соотвѣтствующемъ
отрицательному числу. Въ этомъ отношеніи надо отмѣтить
то, что вопросъ объ отрицательномъ количествѣ зависитъ
отъ свойствъ разсматриваемой величины. Нѣкоторыя вели-
чины по существу не могутъ быть отрицательными, а
другія по условіямъ вопроса. Если начало измѣреній ус-
ловно, то количество можетъ быть какъ положительнымъ,
такъ и отрицательнымъ. Мы считаемъ начало лѣтосчис-
ленія отъ Р. Хр.; всѣ года, которые текли до P. Хр.
будутъ отрицательными. Начало температуры мы счи-
таемъ отъ температуры замерзанія воды, тогда градусы
мороза отрицательны. Соотвѣтственно этому мы можемъ
считать убытокъ, какъ отрицательную прибыль; долгъ, какъ
отрицательный капиталъ и т. п. Всѣ эти отрицательныя
значенія количествъ подчиняются законамъ отрицатель-
ныхъ чиселъ: капиталъ будетъ тѣмъ меньше, чѣмъ больше
долгъ; температура тѣмъ ниже, чѣмъ больше число гра-
дусовъ. Прибавить отрицательное количество значитъ вы-
честь его числовое значеніе; вычесть отрицательное коли-
чество значитъ прибавить его числовое значеніе.
Но есть величины, которыя не имѣютъ направленія,
такъ, напримѣръ, если мы будемъ отсчитывать темпера-
туру отъ абсолютнаго нуля (—273°), то такая темпера-
тура отрицательной быть не можетъ. Точно также не мо-
жетъ быть отрицательнымъ разстояніе между городами;
но если мы будемъ разсматривать движеніе человѣка ме-
жду городами, то направленіе движенія въ одну сторону
будетъ положительнымъ, а въ другую отрицательнымъ.

§ 5. Среднее ариѳметическое число.
Когда мы производимъ какія либо измѣренія величинъ,
то вслѣдствіе отчасти несовершенства измѣрительныхъ при-
боровъ,отчасти вслѣдствіе несовершенства нашихъ чувствъ,
мы никогда не можемъ получить безусловное точное чи-
сло. Поэтому при научныхъ изслѣдованіяхъ принято про-
изводить измѣренія нѣсколько разъ и изъ этихъ измѣреній
вычислять среднее число. Чтобы вычислить это число,
поступаютъ такъ: складываютъ полученныя числа и сумму
дѣлятъ на число ихъ.
Но, кромѣ неточности измѣреній, само явленіе можетъ
измѣняться, и мы можемъ судить о немъ только тогда,
когда изъ ряда наблюденій выведемъ среднее число. Такъ,
напримѣръ, почти всегда мѣняется вѣсъ человѣка, кото-
рый тщательно измѣряется и записывается, если кто либо
лѣчится. Положимъ больной взвѣшиваясь каждую недѣлю,
имѣлъ слѣдующій вѣсъ: 5П 16ф; 5П 14ф; 5П 15ф; 5П 13ф;
5П 14ф; 5П 12ф. Изъ этой строки мы видимъ, что вѣсъ
его то повышается, то падаетъ, и можемъ сказать, что за
это время средній вѣсъ больного былъ равенъ
5п16ф + 5п14ф + 5п15ф + 5п13ф+5п14ф + 5п12ф или 5П14Ф
б
На этомъ принципѣ основанъ выводъ средняго балла,
при чемъ если получается дробь, то она отбрасывается.
Пусть ученикъ получитъ слѣдующіе баллы 3, 5, 4, 2; его
средній баллъ будетъ 3+5+4+2 = 3 *; но половина отбра-
сывается и ставится отмѣтка 3.
Въ жизни мы почти не имѣемъ абсолютно точныхъ
измѣреній и всегда судимъ и производимъ разсчетъ по
среднимъ числамъ. Возьмемъ два примѣра: 2 десятка
сливъ вѣсятъ 1-і фунта; мы можемъ сказать, что каждая
слива этого сорта будетъ вѣсить 2~ лота среднимъ чис-
ломъ, и это среднее число вполнѣ достаточно для нашего
сужденія о достоинствѣ этого сорта сливъ. По нему мы мо-
жемъ разцѣнить сливы не по штучно, а по вѣсу; если деся-
токъ этихъ сливъ стоитъ 15 копѣекъ, то мы можемъ прода-
вать ихъ по фунтамъ, разсчитавъ такъ: 10 сливъ будутъ

вѣсить 24 лота или фунта и і ф. стоитъ 15 ко-
пѣекъ, слѣдовательно фунтъ будетъ стоить 15 : |- = 20 коп.
Возьмемъ еще примѣръ. Пиленый сахаръ имѣетъ при-
близительно куски одной и той же величины. Если мы
сосчитаемъ число кусковъ въ фунтѣ сахара, то найдемъ
60 кусковъ, слѣдовательно каждый кусокъ среднимъ чи-
сломъ вѣситъ 1 фунта или 1^ золотника; а по этому раз-
счету можно продавать сахаръ по кускамъ.
Такимъ образомъ среднее число въ жизни играетъ
очень важную роль, позволяя измѣнить способъ измѣре-
нія; но оно играетъ еще болѣе важную роль при из-
ученіи нѣкоторыхъ явленій. Какъ примѣръ, можно взять
изученіе температуры воздуха. Температуру воздуха на-
блюдаютъ въ теченіе дня и составляютъ среднюю темпе-
ратуру дня. Положимъ, что утромъ было 13° тепла, въ
полдень 21° тепла и вечеромъ 16° тепла, тогда средняя
температура дня будетъ 13 + 21 + 16 = 16°. Градусы тепла при-
нято считать положительными, а градусы холода отрица-
тельными, и это отмѣчаютъ знаками + и —. Если бы
температура дня была частію положительная частію отри-
цательная, то къ отрицательнымъ количествамъ примѣ-
няютъ правила отрицательныхъ чиселъ. Пусть въ тече-
ніи сутокъ мы наблюдали такую температуру: —5, — 2,
0, 4, 6; тогда средняя температура сутокъ будетъ
-Б-2+ 4 + 6^ что составитъ +у°.
Изъ среднихъ суточныхъ температуръ составляютъ сре-
днія мѣсячныя, а изъ среднихъ мѣсячныхъ — среднія го-
довыя.
§ 6. Графическій способъ изученія явленій.
Мы брали среднюю температуру дня; измѣнимъ теперь
нашъ способъ наблюденія: будемъ записывать ежечасныя
измѣненія температуры воздуха въ январѣ мѣсяцѣ въ тече-
ніи ряда лѣтъ и выведемъ среднія числа для этихъ тем-
пературъ, получимъ таблицу. Возьмемъ такую таблицу для
города Тифлиса за январь мѣсяцъ.

Часы
темпер.
Часы
темпер.
Часы
темпер.
Часы
темпер.
1
—2°,3
7
— 3,0
1
1,9
7
-0,7
2
-2,5
8
-2,8
2
2,2
8
-1,1
3
-2,6
9
-1,8
3
2,2
9
-1,4
4
-2,8
10
-0,7
4
1,7
10
-1,8
5
-2,9
11
0,4
5
0,6
11
—1,9
6
—3,0
12
1,2
6
-0,2
12
-2,2
Изъ этихъ наблюденій вытекаетъ средняя суточная
температура —1,°0. Но кромѣ средней суточной темпера-
туры, намъ интересно прослѣдить самое измѣненіе ея въ
теченіе дня; таблица не даетъ представленія объ этомъ
измѣненіи, а потому принято представлять его графически.
Возьмемъ листъ бумаги, раздѣленный на милиметро-
выя клѣточки, проведемъ на немъ черту ОХ, на кото-
рой назначимъ часы, полагая на каждый часъ 5 мили-
метровъ; примемъ за градусъ сантиметръ, тогда 0,1° будетъ
милиметръ, и условимся отрицательную температуру откла-
дывать подъ чертой ОХ, а положительную надъ чертой.
Отложивъ указанныя температуры и соединивъ между
собою точки отложенія, получимъ кривую линію, которая
выражаетъ графически измѣненія суточной температуры.
(Черт. 8).
Черт. 8.

§ 7. Упражненія.
1) Вычертить кривую годичнаго измѣненія темпера-
туры въ гор. Одессѣ и вычислить среднюю годовую темпе-
ратуру.
Январь —1°,9
Май 15°,0
Сентябрь 16,8
Февраль—0,3
Іюнь 19,6
Октябрь 12,0
Мартъ 2,1
Іюль 22,3
Ноябрь 4,0
Апрѣль 8,1
Августъ 22,1
Декабрь —0^5.
§ 8. Дѣйствія надъ количествами.
Умноженіе количествъ отличается отъ умноженія чи-
селъ тѣмъ, что въ количествахъ мы имѣемъ сложный сим-
волъ, состоящій изъ числа и наименованія единицы мѣры.
Эти два символа нераздѣлимы, и мы не имѣемъ права
отбрасывать наименованіе. Поэтому мы не можемъ разсма-
тривать умноженіе, какъ сложеніе равныхъ слагаемыхъ,
а должны придать ему особый смыслъ. Умноженіе коли-
чествъ мы раздѣлимъ на два совершенно обособленные
случая: 1) умноженіе именованнаго числа на отвлеченное,
2) умноженіе именованнаго числа на именованное.
Умноженіе именованнаго числа на отвлеченное мо-
жетъ разсматриваться, какъ сложеніе равныхъ слагаемыхъ,
но не подчиняется закону перемѣстительности; здѣсь мно-
жимое и множитель совершенно обособлены и не могутъ
быть замѣнены одинъ другимъ. Оно представляетъ собою
нахожденіе кратнаго данному количеству и подчинено основ-
нымъ положеніямъ сложенія именованныхъ чиселъ. Его
ариѳметическое и геометрическое производство одно и тоже.
Положимъ намъ нужно умножить 5 дюймовъ на 3; это
значитъ, найти длину больше данной въ 3 раза или та-
кую, которая была бы тройной кратной данной длины.
Ариѳметически мы поступаемъ такъ:
5 дюйм. X 3 = 5 дюйм. + 5 дюйм. + 5 дюйм. = (5 + 5 + 5)
дюйм, или 5X3 дюйм., т.-е. 15 дюйм.

Геометрически поступаемъ такъ: пусть отрѣзокъ АВ,
(черт. 9) есть длина въ 5 дюймовъ произвольнаго масштаба:
на неопредѣленной прямой отъ точки О откладываемъ этотъ
отрѣзокъ 3 раза, получимъ длину ОЕ, равную 15 дюймамъ.
Очевидно, что въ томъ и другомъ случаѣ мы производимъ
сложеніе равныхъ слагаемыхъ.
Черт. 9.
Совершенно также находимъ кратное 4 фунтовъ, 17 се-
кундъ и т. п.
Разсмотримъ еще геометрическій примѣръ кратности
угловъ. Углы измѣряются градусами слѣдующимъ образомъ:
вся окружность дѣлится и 360 равныхъ частей и ^ часть
ея называется градусомъ; градусъ дѣлится на 60 минутъ,
а минута на 60 секундъ. Градусъ обозначается нуль вверху.
Минуты обозначаются одной черточкой вверху, а секунды—
двумя. Такъ что, если намъ дано 36 градусовъ 15 ми-
нутъ 10 секундъ, то мы это запишемъ такъ 36° 15'10".
Приборъ, которымъ измѣряются углы называется тран-
спортиромъ.
Положимъ намъ данъ какой нибудь уголъ, если мы
примемъ вершину его за центръ и проведемъ дугу, то
эта дуга будетъ служить мѣрой угла въ томъ размѣрѣ
транспортира, который соотвѣтствуетъ радіусу этой дуги.
Пусть намъ данъ уголъ А, примемъ его вершину за
центръ и опишемъ дугу ВС (черт. 10). Тогда дуга ВС
будетъ измѣрять величину угла А; пусть намъ требуется
найти другой уголъ, больше даннаго въ 5 разъ. Для этого
мы проведемъ прямую линію OB, примемъ точку О за
центръ и опишемъ дугу тѣмъ лее радіусомъ, какимъ мы
проводили дугу ВС; на этой дугѣ отложимъ дугу ВС

пять разъ, получимъ точку JE, которую соединимъ съ О.
Получимъ уголъ ВОЕ въ пять разъ больше даннаго.
Черт. 10.
Умноженіе именованнаго числа на именованное пред-
ставляетъ собою возможность отысканія новаго количества,
которое образуется какъ произведеніе данныхъ. Образо-
ваніе новаго количества не является слѣдствіемъ нашей
воли или нашего произвола, а вытекаетъ изъ свойствъ
перемножаемыхъ количествъ. Мы не можемъ сказать, что
произведеніе какихъ угодно двухъ количествъ даетъ но-
вое количество; но есть такія количества, которыя полу-
чаются какъ произведеніе данныхъ.
Такъ, напримѣръ, величина работы зависитъ отъ ко-
личества рабочихъ и времени, поэтому мы можемъ раз-
сматривать работу какъ произведеніе числа рабочихъ на
время работы. Точно также площадь есть произведеніе линій;
объемъ есть произведеніе площади на длину.
Разсмотримъ, какъ можно вычислить такое произве-
деніе: умножить 5 футовъ на 3 сантиметра. Мы уже
условились, что 5 футовъ есть произведеніе 5 (1 футъ)
и 3 сант. есть 3 (1 сант.). Поэтому 5 фут. X 3 сант.=
5 (1 футъ) X 3 (1 сант.) или 5X3 (фут. X сант.).
Здѣсь футъ X сант. есть единица мѣры новаго ко-
личества, и наше произведеніе показываетъ намъ, что въ
площади 5 фут. X 3 сант. содержится 15 единицъ пло-
щадей фут. X сант.

Итакъ, чтобы умножить именованное число на имено-
ванное, мы должны перемножить числа и единицы наиме-
нованій; произведеніе чиселъ даетъ намъ числовую вели-
чину новаго количества, а произведеніе единицъ—новую
единицу.
Чтобы это умноженіе выполнить геометрически, мы дол-
жны построить прямоугольникъ, у котораго основаніе равно
5 футамъ, а высота 3 сант.
Обыкновенно за единицу мѣры площадей принимаютъ
квадратъ, у котораго длина и ширины одинаковы, такая
единица мѣры называется квадратной. Площадь прямо-
угольника, имѣющаго 8 футовъ длины и 5 футовъ ши-
рины будетъ содержать 40 квадр. футовъ, что мы можемъ
обозначить такъ 40 (фут.)2.
Если бы намъ было дано, что заготовлено сѣно для
8 лошадей на 30 дней, то количество сѣна мы могли бы
выразить такъ: 240 (лошадь X день), гдѣ произведеніе
лошадь X день служитъ единицей мѣры.
Произведеніе именованныхъ чиселъ подчиняется закону
перемѣстительности. Этотъ законъ очевиденъ для площадей,
ибо площадь прямоугольника не измѣнится, если мы его
длину примемъ за ширину, а ширину за длину; точно
также количество сѣна будетъ одно и тоже, какъ для
8 лошадей на 30 дней, такъ и для 30 лошадей на 8 дней.
Однако съ измѣненіемъ порядка множителей здѣсь вно-
сится и новая черта—измѣняется условіе вопроса, чего
нѣтъ и не можетъ быть, если мы разсматриваемъ только
числа. Кромѣ того, и это очень важно, умноженіе коли-
чествъ есть самостоятельное дѣйствіе, дающее новыя
количества, и оно не можетъ быть разсматриваемо, какъ
сумма равныхъ слагаемыхъ.
Дѣленіе есть дѣйствіе обращенное умноженію, вслѣд-
ствіе чего оно можетъ имѣть слѣдующія возможности.
1) Дѣленіе именованнаго числа на отвлеченное; въ этомъ
случаѣ мы ищемъ часть цѣлаго, которую всегда можемъ
выразить или цѣлымъ числомъ или дробью или числомъ
смѣшаннымъ. Наименованіе частнаго будетъ всегда одина-
ково съ наименованіемъ дѣлимаго.

2) Дѣленіе именованнаго числа на число того же на-
именованія. Въ этомъ случаѣ мы ищемъ величину крат-
ности, на которую распространяемъ понятіе дробности.
Частное будетъ число отвлеченное.
3) Дѣленіе именованнаго числа на именованное дру-
гого наименованія. Этотъ случай дѣленія въ свою очередь
распадается на два случая: на тотъ, гдѣ дѣлимое есть
количество, полученное отъ умноженія именованныхъ чи-
селъ, тогда частное даетъ наименованіе другого множителя.
Пусть намъ нужно работу раздѣлить на число рабочихъ,
мы получимъ число дней; если мы площадь раздѣлимъ на
длину, то получимъ ширину. Въ этомъ случаѣ вычисленіе
производится такъ: числа дѣлятся другъ на друга, и
единицы мѣры другъ на друга. Пусть мы имѣемъ
240 (раб. X день) и эту работу надо раздѣлить на 15 рабочихъ,
получимъ ™ р^^-ь; даетъ 16, а частное раб,р*день даетъ
дни, и мы говоримъ, что искомое частное будетъ 16 дней.
Здѣсь мы условливаемся распространять правило обращен-
ности дѣленія на единицы мѣры.
Второй случай дѣленія разнородныхъ именованныхъ
чиселъ будетъ тотъ, когда дѣлимое не есть произведеніе.
Въ этомъ случаѣ дѣленіе не будетъ дѣйствіемъ обращен-
нымъ умноженію, а обратно: умноженіе есть дѣйствіе об-
ращенное дѣленію. Дѣленіе есть дѣйствіе самостоятель-
ное и даетъ новыя количества. Пусть, напримѣръ, какое
нибудь тѣло въ 5 часовъ проходитъ 20 верстъ, двигаясь
равномѣрно. Чтобы узнать скорость этого движенія, мы
должны 20 верстъ раздѣлить на 5 часовъ, получить 2°-~^.
Это выраженіе условились вычислять такъ Ц даетъ 4;
слѣдовательно скорость движенія равно 4 Выраже-
ніе есть единица скорости, а сама скорость есть но-
вое количество, полученное какъ результатъ дѣленія дан-
ныхъ разнородныхъ именованныхъ чиселъ. Если намъ
нужно найти, какое разстояніе тѣло пройдетъ въ 8 часовъ,
то мы пишемъ 4 верста/час X 8 часовъ =4X8 ^^p^ X часъ.
часъ часъ
Произведеніе чиселъ даетъ 32, а произведеніе единицъ
мѣры въ силу того, что умноженіе въ этомъ случаѣ есть

дѣйствіе обращенное дѣленію, даетъ версты, слѣдова-
тельно тѣло пройдетъ 32 версты.
Мы остановимся на этихъ 4 дѣйствіяхъ; возвышеніе
въ степень и извлеченіе корня будутъ разсмотрѣны въ
своемъ мѣстѣ.
ГЛАВА III.
Равенства и ихъ свойства.
§ 1. Различные типы равенства.
Понятіе о равенствѣ принадлежитъ къ числу основ-
ныхъ логическихъ понятій и опредѣлено быть не можетъ;
но въ математикѣ установились различные термины, съ
которыми необходимо познакомиться. Къ такимъ терми-
намъ принадлежитъ понятіе о равновеликости. Въ геомет-
ріи различаютъ двоякого рода фигуры: равныя и равно-
великія. Равными называютъ такія фигуры, которыя при
наложеніи совпадаютъ, а равновеликими тѣ, которыя имѣютъ
одинаковую площадь или объемъ.
Эта разница понятій равенства и равновеликости не
есть принадлежность одной только геометріи, она отно-
сится и къ другимъ количествамъ, такъ, напримѣръ, вѣсо-
выя гири мы должны считать равными, потому что без-
различно какія именно мы будемъ брать для взвѣшиванія,
тогда какъ равные вѣса двухъ веществъ (масла и хлѣба)
будутъ равновелики. Точно также монеты будутъ имѣть
равную цѣнность, тогда какъ какой либо товаръ будетъ
имѣть равновеликую цѣнность.
Всѣ эти различія пропадаютъ, когда мы данное ко-
личество выразимъ числомъ, а потому въ алгебрѣ не раз-
личаютъ равенства и равновеликости, и считаютъ равно-
великія количества равными.
Однако и въ алгебрѣ явилась необходимость различить
равенства другъ отъ друга по ихъ внутреннему содержа-
нію: одни равенства называютъ тождественными или то-
ждествами, а другія—условными, или уравненіями. Въ ос-

новѣ этого различія положенъ тотъ же признакъ, кото-
рый въ скрытой формѣ содержится въ понятіяхъ равен-
ства и равновеликости. Равныя количества можно харак-
теризовать такъ: это суть такія количества, которыя мы
всегда можемъ замѣнить одно другимъ. Такъ мы можемъ
брать разновѣсъ какой угодно, вмѣсто одного треугольника
взять равный ему и т. д. Точно также тождествомъ будетъ
такое равенство, въ которомъ его правая и лѣвая часть
будутъ совершенно одинаковы.
Равновеликими будутъ такія количества, которыя дѣ-
лаются равными при нѣкоторыхъ условіяхъ, такъ и въ урав-
неніяхъ равенство получается только при извѣстномъ
условіи.
Если данныя числа или количества тождественно равны,
то намъ не нужно искать тѣхъ признаковъ, по которымъ
мы можемъ судить о ихъ равенствѣ; если же они равны
условно, то мы должны выяснить, при какихъ обстоя-
тельствахъ мы можемъ ихъ уравнять. Эти условія соста-
вляютъ элементы нашего сужденія о равенствѣ, при чемъ
мы будемъ различать равенство чиселъ и равенство ко-
личествъ.
§ 2. Равенство чиселъ.
Такъ какъ въ нормальномъ числовомъ рядѣ, хотя и по-
полненномъ дробными числами, каждое число занимаетъ
свое опредѣленное мѣсто и не имѣетъ себѣ равныхъ, то
мы можемъ сказать, что два числа равны между собой,
если они соотвѣтствуютъ одному и тому члену ряда. Это
есть аксіома, которую молено формулировать такъ: вся-
кое число всегда тождественно равно самому себѣ. Изъ
этого слѣдуется:
1) Всякое число молено разсматривать, какъ резуль-
татъ произведеннаго дѣйствія. Въ самомъ дѣлѣ мы всегда
можемъ число 3 разсматривать, какъ 2 + 1 или какъ 5 — 2,
или 27:9 и т. п., потому что каждое изъ этихъ дѣйствій
приводитъ насъ къ одному и тому же члену числового
ряда.

2) Если двѣ числовыя формулы, будучи вычислены,
даютъ одно и то же число, то они равны между собой;
напримѣръ 5 — 2 = 27:9.
3) Умноженіе или дѣленіе на единицу не мѣняетъ
величины числа: 5 = 5X1 или і.
4) Всѣ числовыя равенства будутъ тождествами, по-
тому что совершенно безразлично, какъ мы выразимъ число
въ видѣ ли одной цифры или въ видѣ болѣе или менѣе
сложнаго ряда дѣйствій.
§ 3. Равенство количествъ.
По отношенію къ количествамъ мы должны устано-
вить особую аксіому: равными могутъ быть только коли-
чества одной и той лее величины. Согласно этой аксіомѣ
мы не можемъ уравнивать количества различныхъ вели-
чинъ: время вѣсу или длинѣ; но должны всегда имѣть
въ правой и лѣвой части равенства одно и то же на-
именованіе.
Это будетъ основная аксіома равенства количествъ,
но кромѣ нея мы должны еще установить слѣдующее: два
количества будутъ равными, если они выражены однимъ
и тѣмъ же числомъ и одной и той же единицей измѣ-
ренія. Равенство чиселъ не влечетъ за собой равенство
количествъ, такъ 5 саж. не равно 5 арш. и 8 пудовъ
не равно 8 фунт. Можно сказать даже, что равенство
чиселъ какъ бы необязательно: количества могутъ быть
равны, хотя числа ихъ выражающія будутъ разными;
такъ, напримѣръ, 400 фунтовъ равно 10 пудамъ. Здѣсь
мы имѣемъ разныя числа, но равныя количества. Это по-
казываетъ, что нами установленъ необходимый но недо-
статочный признакъ равенства; его надо пополнить еще
чѣмъ-нибудь, чтобы безошибочно судить о равенствѣ ко-
личествъ. Полная его формулировка будетъ слѣдующая:
два количества будутъ равными, если выражающія ихъ
числа будутъ относиться между собою такъ же, какъ
единицы измѣренія. Пудъ больше фунта въ 40 разъ, и
400 больше 10 также въ 40 разъ.

Кромѣ того, здѣсь слѣдуетъ отмѣтить два обстоятель-
ства:
1) О равенствѣ количествъ мы можемъ судить, не
выражая ихъ числами. Такъ равенство вѣсовъ двухъ
тѣлъ требуетъ равновѣсія прибора; равенство длинъ тре-
буетъ ихъ совмѣщенія.
2) Числовое выраженіе величины подчиняется закону
преобразованія чиселъ, поэтому мы всегда можемъ вмѣсто
числа поставить какое угодно изъ его числовыхъ выра-
женій 6 фунт. = (3×2) фунт. и т. п.
§ 4. Части равенства.
Каждое равенство содержитъ знакъ равенства (=).
Все то, что находится по лѣвую сторону знака, назы-
вается первою или лѣвой частью равенства; все то, что
находится по правую сторону знака, называется второю
или правой частью равенства. Итакъ, всякое равенство
имѣетъ только двѣ части: лѣвую — первую и правую —
вторую. Такъ, напримѣръ, равенство 15 — 3 = 60 : 5 имѣетъ
двѣ части 15 — 3 — первая часть и 60 : 5 — вторая часть.
Иногда пишутъ рядъ равенствъ, напримѣръ, 45 : 9 =
= 3 + 2 = 60 : 12; въ такой строкѣ содержится столько
равенствъ, сколько есть знаковъ равенства: въ данномъ
случаѣ два равенства. По существу въ написанной строкѣ
мы имѣемъ три комбинаціи: 45 : 9 = 3 + 2; 45 : 9 = 60 : 12
и 3 + 2 = 60 : 12; но двѣ изъ этихъ комбинацій само-
стоятельныя, а третья есть ихъ слѣдствіе, поэтому она
и не считается особымъ равенствомъ. Такая строка пред-
ставляетъ собою сокращенную запись нѣсколькихъ ра-
венствъ и для разсужденія о каждомъ изъ нихъ мы не-
премѣнно и обязательно должны его выдѣлить такъ,
чтобы равенство имѣло только двѣ части.
§ 5. Члены равенства.
Каждая часть равенства состоитъ изъ членовъ. Чле-
номъ равенства считается выраженіе, имѣющее передъ
собой знакъ + или —. Такъ въ равенствѣ 45 : 9 = 3 + 2,

въ первой части только одинъ членъ, а въ правой два;
также въ равенствѣ (5 + 3)Х4 = 64:2 въ каждой части
равенства будетъ только по одному члену; но если мы
раскроемъ скобки, и напишемъ 5X4 + 3X4 = 64:2, то
произведенія 5X4 и 3X4 будутъ отдѣльными членами
и тогда лѣвая часть равенства будетъ содержать уже два
члена.
§ 6. Основныя свойства равенствъ.
Основными свойствами равенствъ называются такія
ихъ свойства, когда мы можемъ измѣнить числовую ве-
личину каждой части равенства, не нарушая самого ра-
венства. Эти свойства были даны греческимъ математи-
комъ Эвклидомъ (315—255 г. до Р. Хр.) и изложены имъ
въ сочиненіи «Начала», по отношенію къ геометрическимъ
количествамъ; они названы Эвклидомъ аксіомы, т.-е.
истины, не требующія доказательства. Справедливыя для
геометрическихъ протяженіи, они будутъ справедливы и
по отношенію ко всякимъ количествамъ и числамъ. Всего
у Эвклида аксіомъ 12; но послѣднія двѣ имѣютъ спе-
ціально геометрическій характеръ; 10 остальныхъ я на-
зываю основными свойствами равенствъ. Они будутъ
слѣдующія *).
1) Два количества, равныя одному и тому же ко-
личеству, равны между собой.
Эта аксіома является основной при нашихъ сужде-
ніяхъ о равенствѣ и представляетъ собою логическую
необходимость. Однако о приложеніи ея слѣдуетъ сказать
нѣсколько словъ. Во-первыхъ, она не только очевидна,
но и безусловно приложима къ числамъ; на основаніи ея
мы можемъ быть твердо увѣрены, что двѣ числовыя фор-
мулы равны, если онѣ, будучи вычислены, даютъ одно
и то же число (§ 2). Во-вторыхъ, она также очевидна
и безусловно приложима къ количествамъ одной и той же
величины; на основаніи этой аксіомы мы считаемъ вѣса
двухъ тѣлъ равными, если каждое изъ нихъ уравновѣши-
*) Аксіомы изложены согласно принятой мною терминологіи.

вается одними и тѣми лее разновѣсками. Но она приложима и
къ такимъ величинамъ, которыя измѣряются не одно-
родной съ ними единицей. Такъ, два угла равны, если
измѣряются одной и той же дугой; двѣ массы равны,
если имѣютъ одинъ и тотъ же вѣсъ и т. п. Это расши-
реніе основной аксіомы имѣетъ очень важное значеніе
для установленія нѣкоторыхъ равенствъ.
2) Если къ равнымъ количествамъ придать равныя,
то получимъ равныя суммы.
Эта аксіома также вполнѣ очевидна и безусловно при-
ложима къ числовымъ равенствамъ и къ равенствамъ ко-
личествъ одной и той же величины; но обратное заклю-
ченіе въ этомъ случаѣ не будетъ справедливо: равенство
суммъ не влечетъ за собою равенство слагаемыхъ. Но аксіома
приложима и въ томъ случаѣ, когда мы къ равнымъ ко-
личествамъ одной величины присоединимъ равныя коли-
чества другой величины, тогда также получимъ равныя
суммы. Въ этомъ случаѣ справедливо и обратное заклю-
ченіе: равенство суммъ влечетъ за собою и равенство
слагаемыхъ. Напримѣръ, если два числа равны, то равны
и числа ихъ разрядовъ.
3) Если отъ равныхъ количествъ отнимемъ равныя
количества, то получимъ равные остатки.
Такъ какъ вычитаніе есть дѣйствіе, противополож-
ное сложенію, то по существу аксіома 3 одинакова съ 2
и къ ней приложимо все то, что относится ко 2.
4) Если къ неравнымъ количествамъ придадимъ рав-
ныя, то получимъ неравныя суммы.
5) Если отъ неравныхъ количествъ отнимемъ равныя
количества, то получимъ неравныя остатки.
6) Равнократныя одного и того же количества или
равныхъ количествъ равны между собой *).
Эта аксіома можетъ разсматриваться какъ слѣдствіе
*) 6-ая аксіома Эвклида говоритъ о двойномъ количествѣ, но я ее за-
мѣнилъ аксіомой 1-ой въ книгѣ V, такъ какъ въ такомъ видѣ она имѣетъ
болѣе общее содержаніе. Но тогда къ ней нужно присоединить еще слѣ-
дующія: количества, для которыхъ одно и то же количество есть равно-
кратное, равны между собой. Въ текстѣ я это опускаю, такъ какъ оно не
имѣетъ существеннаго значенія.

аксіомы второй, потому что равнократныя количества со-
отвѣтствуютъ сложенію количествъ, равныхъ даннымъ.
Здѣсь сложеніе замѣняется умноженіемъ, но умноженіе
разсматривается какъ сложеніе равныхъ слагаемыхъ. Мы
можемъ обобщить аксіому, формулируя ее такъ: если рав-
ныя количества умножимъ на одно и то же число, то по-
лучимъ количества равныя.
Въ такой формулировкѣ слово умножить можно рас-
ширить и сказать такъ: если равныя количества умно-
жимъ на одно и то же количество, то вновь полученныя
количества будутъ равными.
Такая общая формулировка будетъ справедлива съ
двумя ограниченіями, которыя не содержатся въ форму-
лировкѣ Эвклида, а именно: мы не имѣемъ права мно-
жить на ноль и на безконечно большое число, потому что
въ обоихъ случаяхъ можемъ уравнять и неравныя коли-
чества.
7) Одинаковыя части одного и того же количества
или количествъ равныхъ равны между собой *).
Эта аксіома можетъ быть также формулирована иначе:
если мы одно и то же количество или равныя количе-
ства раздѣлимъ на одно и то же число, то получимъ ко-
личества равныя. Такая формулировка вновь позволяетъ
расширить понятіе о дѣленіи; но и даетъ ограниченія:
мы не имѣемъ права дѣлить на ноль и на число безко-
нечно большое, потому что въ этомъ случаѣ можемъ
уравнять неравныя количества.
8) Цѣлое больше своей части.
Къ этимъ общимъ аксіомамъ Эвклидъ присоединяетъ
еще слѣдующія геометрическія.
Величины, которыя при положеніи совмѣщаются, равны
между собой.
Всѣ прямые углы равны между собой.
Двѣ прямыя не могутъ заключать пространства.
Передъ послѣдней аксіомой, которая по счету прихо-
*) Формулировка измѣнена: Эвклидъ говоритъ: половины одной и той же
величины равны между собой.

дится 12-ой, находится знаменитая 11-ая аксіома Эвклида,
которая относится къ теоріи параллельныхъ линій *).
§ 7. Преобразованіе равенствъ.
Преобразованіе равенства можетъ быть двоякое: пре-
образованіе членовъ равенства или его частей и преобра-
зованіе самого равенства.
Первое преобразованіе состоитъ въ томъ, что мы имѣемъ
право данное выраженіе преобразовать въ другое, не из-
мѣняя его числовой величины. Такое преобразованіе мо-
жетъ состоять въ сокращеніи дробей, въ приведеніи ихъ
къ одному знаменателю, въ раскрытіи скобокъ и сосчи-
тывали отдѣльныхъ членовъ равенствъ. Всѣ эти пре-
образованія совершенно не затрогиваютъ самого равен-
ства, такъ какъ не измѣняютъ числовой величины каждой
его части.
Пусть, напримѣръ, намъ дано числовое равенство
(4 + т)Х16 = 91-(ЗХ 7 + 6X8)
Мы можемъ здѣсь раскрыть скобки, получимъ 12 + 10 =
= 81 —(3 X 7 + 6X8), можемъ перемножить произведенія
и сосчитать полученную сумму, найдемъ 12+10=91—69.
Можемъ поступить иначе: приведемъ дроби къ одному
знаменателю, получимъ —Q- X 16 = 91 —(3X7 + 6X8).
Произведемъ умноженіе въ лѣвой части и сократимъ
дробь на 8, тогда (6 + 5) X 2 = 91 — (3 X 7 + 6 X 8). Всѣ
эти преобразованія не измѣнили числовой величины той
и другой части, а потому и равенство осталось безъ
перемѣны.
Второй видъ преобразованій гораздо важнѣе. На осно-
ваніи аксіомъ, указанныхъ въ предыдущемъ §, мы можемъ
изъ даннаго равенства получить другое, въ которомъ
каждая часть измѣнитъ свою числовую величину, но
*) Она формулирована такъ, если двѣ прямыя встрѣчаются третей такъ,
что сумма внутреннихъ угловъ, лежащихъ по одну сторону третей, меньше
двухъ прямыхъ угловъ, то двѣ первыя прямыя, по достаточномъ продол-
женіи, встрѣчаются по ту сторону третей прямой, по которой сумма вну-
треннихъ угловъ меньше двухъ прямыхъ.

новыя числовыя величины будутъ также равны. Эти пре-
образованія состоятъ въ слѣдующемъ.
1) Каждый членъ равенства мы можемъ переносить
изъ одной части въ другую, перемѣняя у него знакъ на
обратный.
Возьмемъ разсмотрѣнное равенство (4 + 4)X16 = 91—
— (3X7 + 6X8) и разберемъ, какія у него будутъ члены.
Въ лѣвой части равенства только одинъ членъ, если мы
не будемъ раскрывать скобки; въ правой — два: 91 и
сумма (3X7 + 6X8). Если же мы раскроемъ всѣ скобки
и напишемъ равенство въ видѣ 12+10=91—3X7—6X8,
то въ лѣвой части будетъ два члена: 12 и 10, а въ пра-
вой—три: 91, 3X7 и 6X8. Каждый изъ этихъ членовъ
мы можемъ перенести изъ одной части равенства въ
другую, перемѣняя у него знакъ. Положимъ, что мы хо-
тимъ перенести членъ 6X8. Для этого напишемъ наше
равенство и прибавимъ къ обѣимъ частямъ его по произ-
веденію 6X8; на основаніи аксіомы 2 отъ этого равен-
ство не нарушится, и мы получимъ
12 + 10 + 6X8 = 91 —3X7 —6X8 + 6X8.
Направо два одинаковыхъ произведенія съ разными зна-
ками даютъ ноль; слѣдовательно 12+10+6X8=91—3X7.
Вычистивъ ту или другую часть равенства, найдемъ 70=70;
мы получили новыя числа: было 22 = 22, стало 70 = 70;
но эти новыя числа остались равными.
Совершенно также мы можемъ 10 перенести въ пра-
вую часть равенства, вычтя по 10 изъ обѣихъ частей,
найдемъ
12+ 10 + 6X8 — 10 = 91— 3X7 — 10,
или 12 + 6X8 = 91 — 3X7 — 10; 60 = 60.
Мы можемъ перенести цѣлое выраженіе 3X7 + 6X8,
если не будемъ раскрывать скобокъ, и написать
(т + 4)Х 16 + (3 X 7 + 6 Х8) = 91.

Наконецъ, мы можемъ всѣ члены перенести въ одну
часть равенства, тогда въ другой будетъ ноль, и напи-
сать такъ
(т + І)Х+(3 X 7 + 6 X 8)-91 = 0.
Каждое изъ этихъ преобразованій даетъ новыя числа,
но эти числа останутся равными.
2) Если мы обѣ части равенства умножимъ или раз-
дѣлимъ на одно и то же число, то равенство не нару-
шится (аксіомы 6 и 7).
На основаніи этого мы можемъ во всякомъ равенствѣ
освободиться отъ дробей, приведя ихъ къ одному знаме-
нателю и умноживъ обѣ части на общаго знаменателя.
Разсмотримъ два случая: 1) когда дроби находятся только
въ одной части равенства. Пусть дано равенство
(4-4) х то = 6.
Приведемъ дроби къ одному знаменателю, получимъ
^^Х70 = 6; умножимъ обѣ части равенства на 35, по-
лучимъ (28 — 25)Х70 = 6Х35. Мы получимъ равенство,
въ которомъ дроби уничтожились.
Второй случай, когда обѣ части равенства содержатъ
дроби; тогда можно каждую изъ нихъ привести къ одному
знаменателю и умножить обѣ части равенства на наи-
меньшее кратное знаменателей; или привести все равен-
ство къ одному знаменателю и потомъ знаменителя опустить,
что и будетъ соотвѣтствовать умноженію обѣихъ частей на
общаго знаменателя. Возьмемъ такое равенство
7 т~і~і2= 5у ~~|~ 1“б •
Общій знаменатель первой части будетъ 12, а второй—6,
и мы можемъ написать
84-9 + 5 33 + 7
12 ~ ~6~
Умноживъ обѣ части равенства на 12, получимъ
84 —9 + 5 = (33 + 7)Х2.
Мы можемъ поступить иначе: обратимъ смѣшанныя числа
въ неправильныя дроби, получимъ 7—г+^ = у4“1. За-

мѣтимъ, что общій знаменатель всего равенства будетъ 12,
напишемъ дополнительные множители, тогда 7X12 —
— 3X3 + 5 = 11 Х6 + 7Х2. Мы получимъ равенство,
не содержащее дробей.
Если обѣ части равенства содержатъ одинаковаго мно-
жителя, то мы имѣемъ право раздѣлить на этого множи-
теля, отчего равенство не нарушится. Возьмемъ такое
равенство
(l + T)X6 = 48-f
Если мы въ правой части равенства возьмемъ за скобки 6,
то получимъ
(l + i)X6 = 6X(8-f)
Теперь обѣ части можемъ раздѣлить по 6 и упростить
вычисленіе.
Итакъ, преобразованіе равенствъ приводитъ насъ къ
слѣдующимъ правиламъ.
1) Мы имѣемъ право переносить членъ равенства изъ
одной части въ другую, мѣняя его знакъ.
2) Мы имѣемъ право уничтожить дробные члены, при-
ведя всѣ части равенства въ обѣихъ частяхъ къ одному
знаменателю и опустить этотъ знаменатель.
§ 8. Задачи.
Преобразовать равенства
2) а + 1)х2 + (|-А)Х4 = 7*-3;
3} —2
3 в
§ 9. Приложеніе свойствъ равенствъ.
Ученіе о равенствахъ даетъ возможность легко и про-
сто доказать нѣкоторыя свойства чиселъ, полученныхъ какъ
результатъ произведенныхъ дѣйствій. Разсмотримъ нѣко-
торыя изъ этихъ свойствъ:

1) Если одно число при дѣленіи на другое даетъ оста-
токъ, то разность между дѣлимымъ и остаткомъ будетъ
кратной другого числа.
Возьмемъ два числа а и Ъ и пусть при дѣленіи а на Ъ
мы получимъ частное д и остатокъ г, тогда a — bg-\-r; пере-
несемъ г въ лѣвую часть равенства, получимъ а — г = bg,
что и доказываетъ нашу теорему.
2) Если уменьшаемое и вычитаемое умножимъ на ка-
кое нибудь число, то и остатокъ умножится на это число.
Возьмемъ два числа а и Ъ и обозначимъ остатокъ черезъ
d, тогда а— b — d; умножимъ обѣ части равенства на
число т, получимъ (а — Ь)т = dm или am — bm = dm, что
и требовалось доказать.
3) Если дѣлимое и дѣлителя умножимъ на какое ни-
будь число, то и остатокъ отъ дѣленія умножится на это число.
Возьмемъ число а и 5; пусть при дѣленіи а на Ъ полу-
чимъ частное д и остатокъ г, тогда а = bg-\-г\ перене-
семъ bg въ лѣвую часть равенства, тогда а — bg — r и
теперь по предыдущей теоремѣ заключаемъ, что если а и bg
умножимъ на число ту то и остатокъ г умножится на
это число.
4) Если мы къ числителю и знаменателю дроби при-
бавимъ одно и то же число, то правильная дробь отъ этого
увеличится, а неправильная уменьшится.
Возьмемъ дробь ~5 о которой мы пока ничего не мо-
жемъ сказать, правильная она или неправильная; но все
таки мы знаемъ, что если а>Ъ, то дробь неправильная;
если аПрибавимъ къ числителю и знаменателю ея число т,
получимъ новую дробь Чтобы сравнить новую дробь
съ данной, приведемъ ихъ къ одному знаменателю, для
этого умножимъ числителя и знаменателя первой дроби
на b+m, а числителя и знаменателя второй на b по-
лучимъ:
а _а(Ь + т)_ah + am а-\-т_(а + т)b_ab+bm
b b(b^\- т) ~ b (b-\-m) Ъ -\- т ~~~ (b -\-m)b (b-j- m)V

Мы получили двѣ дроби и jjf—jl съ одинако-
выми знаменателями, и знаемъ что та изъ нихъ больше,
у которой числитель больше. Чтобы узнать, который изъ
числителей больше, вычтемъ изъ перваго второй, полу-
чимъ (ab + am) — (ah -f bm) или ab + am — аЪ — bm.
Здѣсь ab сокращается, и мы находимъ, что искомая раз-
ность равна am — bm или, взявъ т за скобки, получимъ
[а — Ъ) т. Теперь разсуждаемъ такъ: если a*>b, то раз-
ность положительная и вторая дробь меньше первой, т.-е.
если данная дробь £ неправильная, то она уменьшится
отъ прибавленія къ ея числителю и знаменателю числа т.
Если а<.Ь, то разность отрицательная, значитъ первая
дробь меньше второй, т.-е. если данная дробь ~ правиль-
ная, то она увеличится, когда мы къ ея числителю и зна-
менателю прибавимъ число т.
§ 10. Ариѳметическое отношеніе и его свойства.
Ариѳметическимъ отношеніемъ называется сравненіе
двухъ количествъ по вопросу, на сколько одно изъ нихъ
больше другого. Если количества выражены числами, то
ариѳметическое отношеніе количествъ равно ариѳметиче-
скому отношенію чиселъ, а потому намъ важно разсмо-
трѣть только это послѣднее и все то, что можно сказать
объ ариѳметическомъ отношеніи чиселъ будетъ приложимо
къ ариѳметическому отношенію количествъ. Точно такъ же
все то, что будетъ вытекать изъ отношенія чиселъ будетъ
въ то же время служить выясненіемъ свойствъ коли-
чествъ.
Такъ какъ свойства ариѳметическаго отношенія не мо-
гутъ зависѣть отъ числовой величины его членовъ, та
ихъ можно обозначить буквами. Возьмемъ два числа а и Ь,
ариѳметическое отношеніе ихъ будетъ а — і, обозначимъ
величину разности буквой d, тогда а —b = d.
Числа a, b, d называются членами отношенія: число а
предыдущимъ членомъ, b — послѣдующимъ, a d — раз-
ностью отношенія.

Итакъ, ариѳметическое отношеніе состоитъ изъ трехъ
членовъ: предыдущаго, послѣдующаго и разности. Чтобы
опредѣлить разность, нужно изъ предыдущаго члена вы-
честь послѣдующій, такъ, напр., разность отношенія 12 — 5
равна 7; разность отношенія 35 — 4 равна 31 и т. д.
Изъ свойствъ равенствъ легко вывести свойства чле-
новъ ариѳметическаго отношенія; они будутъ слѣдующія:
1. Предыдущій членъ равенъ последующему, сложен-
ному съ разностью отношены. Чтобы убѣдиться въ спра-
ведливости этого свойства, намъ достаточно въ отношеніи
а — Ъ = d перенести членъ Ь въ другую часть равенства,
тогда a = b-\-d, что и выражаетъ высказанное свойство.
2. Послѣдующій членъ равенъ предыдущему безъ раз-
ности отношенія. Чтобы убѣдиться въ этомъ, перене-
семъ Ь въ правую часть равенства, a d — въ лѣвую, тогда
а — d—Ъ или Ь = а — d.
На основаніи этихъ свойствъ мы можемъ опредѣлить
тотъ членъ отношенія, который намъ неизвѣстенъ. Не-
извѣстный членъ обозначаемъ обыкновенно одной изъ по-
слѣднихъ буквъ латинскаго алфавита, обозначимъ его бук-
вой х и напишемъ такое отношеніе. 15 — х=7ш
Въ этомъ отношеніи неизвѣстенъ послѣдующій, кото-
рый равенъ предыдущему безъ разности, слѣдовательно
.г =15 — 7 или # = 8. Это же самое мы могли бы полу-
чить, пользуясь свойствами равенства.
§ 11. Ариѳметическая пропорція.
Ариѳметической пропорціей называется равенство двухъ
ариѳметическихъ отношеній, а два ариѳметическихъ отноше-
нія равны, если равны ихъ разности. Въ числахъ не предста-
вляется никакихъ затрудненій, въ е. д. возьмемъ число-
вое отношеніе 15 — 2 = 13 и другое отношеніе 27 — 14 = 13,
оба отношенія очевидно равны, и мы можемъ написать:
15 — 2 = 27 —14. Вообще говоря, если мы нашли, что
а — Ь = d и т — п = d, то можемъ написать а — Ъ = т — щ
такое равенство есть ариѳметическая пропорція.
Что касается до количествъ, то здѣсь пропорція не всегда

возможна, она обусловливается требованіями ариѳметиче-
скаго отношенія количествъ и требованіями равенства ко-
личествъ. Ариѳметическое отношеніе мы можемъ отыски-
вать только для количествъ одной и той лее величины,
и равенство мы то лее можемъ установить только для
однородныхъ количествъ. Въ силу этого, оба требованія
приводятъ насъ къ одному условію: ариѳметическая про-
порція возможна только для количествъ одной и той же
величины. Мы не можемъ уравнивать вѣса и длины, объемы
и время и т. п. хотя бы ариѳметическія отношенія ихъ
и были равны.
Количества въ предѣлахъ одной и той же величины
подчиняются всѣмъ свойствамъ чиселъ, слѣдовательно свой-
ства ариѳметической пропорціи будутъ одними и тѣми лее
какъ для чиселъ, такъ и для количествъ, а потому до-
статочно разсмотрѣть свойства числовыхъ пропорціи. Возь-
мемъ пропорцію въ общемъ видѣ:
а — Ъ = т — п.
Числа а, й, т и п называются членами пропорціи;
мы видимъ, что всякая ариѳметическая пропорція состоитъ
изъ 4 членовъ. Два изъ нихъ а и п называются край-
ними, а два Ъ и т — средними членами пропорціи. Если бы
случилось, что средніе члены одинаковы, напр., а —
— Ь = b — к, то членъ Ъ называется среднимъ ариѳмети-
ческимъ. Такое наименованіе не отличаетъ его отъ сред-
няго ариѳметическаго данныхъ чиселъ, и въ этомъ нѣтъ
ничего опаснаго, потому свойства средняго ариѳметическаго
пропорціи совершенно тѣ лее, что и свойства средняго
ариѳметическаго данныхъ чиселъ.
§ 12. Свойство членовъ пропорціи.
Основное свойство членовъ ариѳметической пропорціи
будетъ: сумма крайнихъ членовъ равна суммѣ среднихъ.
Это свойство мы можемъ вывести изъ свойствъ равен-
ства. Возьмемъ пропорціи а — Ь = ш — п и перенесемъ
члены Ь и п въ другія части, тогда а-\-п = Ъ-\-т.

На основаніи этого свойства можно опредѣлить неиз-
вѣстный членъ пропорціи. Возьмемъ числовой примѣръ
15—#=17—4.
Неизвѣстное # мы можемъ вычислить двояко: 1) Опре-
дѣлить величину ариѳметическаго отношенія 17 — 4 = 13,
такъ и 15—#=13. Изъ свойствъ отношенія мы знаемъ,
что если 15—#=13, то # = 15 — 13 или # = 2.
2) Воспользуемся свойствомъ пропорціи: сумма крайнихъ
членовъ равна суммѣ среднихъ, тогда 15 + 4 = 17+#
или #+17 = 19, откуда по свойству равенства # = 19 —
— 17; # = 2.
Въ числовыхъ пропорціяхъ оба способа рѣшенія оди-
наково удобны и всегда могутъ быть примѣнимы. Но ука-
занное основное свойство пропорціи весьма важно для вы-
вода слѣдствія: мы можемъ переставить члены пропорціи,
такъ, чтобы основное свойство ея не нарушалось. Очевидно
оно не нарушится, если мы переставимъ мѣсто крайнихъ
или среднихъ или тѣхъ и другихъ: напр., пропорція а —
— Ь = т — п, можемъ написать въ видѣ п — Ъ = т — а,
или а — т = Ь — и, или Ъ — а = п — т. Во всѣхъ этихъ
пропорціяхъ основное равенство а+п = Ъ + т остается
справедливымъ.
ГЛАВА IV.
Понятіе о функціи.
§ 1. Построеніе правильныхъ вписанныхъ многоугольниковъ.
Шестиугольникъ. Возьмемъ циркуль и начертимъ
окружность, на этой окружности отложимъ хорды, рав-
ныя радіусу, получимъ правильный вписанный шести-
угольникъ ABCDEF (черт. 11). Разсматривая этотъ
шестиугольникъ, мы находимъ въ немъ 6 угловъ: JL, В,
(7, В... эти углы называются внутренними. Если мы
вершины угловъ соединимъ съ центромъ, то при центрѣ
получимъ также 6 угловъ: АО В, В О С, СОВ и т. д.;
эти углы называются центральными. Очевидно, что они

круга, то получимъ три равныхъ центральныхъ угла:
АО В, ВОС и АО С. Сумма этихъ угловъ равна 360°.
Двѣнадцатиугольникъ. Начертимъ окружность и отло-
жимъ радіусъ, получимъ 6 точекъ: А, В, О, В я 1\
Примемъ точку А за центръ и произвольнымъ радіусомъ
опишемъ двѣ дуги внѣ окружности съ одной стороны
точки А и съ другой. Точно также примемъ точку В за
центръ и также опишемъ двѣ дуги. Сдѣлаемъ это со
всѣми точками С, Е и F. Всѣ эти дуги пересѣкутся
въ точкахъ М, Р, Q, В и Sf. Эти точки пересѣченія
соединимъ съ центромъ 0; прямая МО раздѣлитъ дугу AF
пополамъ, прямая NO раздѣлитъ пополамъ дугу АВ и т. д.
На окружности мы получимъ 12 точекъ, соединивъ кото-
рыя, получимъ правильный двѣнадцатиугольникъ, который
имѣетъ 12 внутреннихъ угловъ; а если мы вершины этихъ

угловъ соединимъ съ центромъ О, то получимъ 12 цен-
тральныхъ угловъ, сумма которыхъ равна 360°. (Черт. 13).
Квадратъ. Начертимъ окружность и проведемъ въ ней
діаметръ АВ. Изъ точекъ А и В произвольнымъ радіу-
сомъ (напримѣръ, равнымъ діаметру АВ) проведемъ дуги
по ту и по другую сторону окружности. Получимъ точки
С ж В. Соединивъ ихъ, получимъ прямую CD, которая
пересѣчетъ окружность въ точкахъ Е и F. Соединивъ
точки А, Е, В, Еу получимъ вписанный квадратъ, кото-
рый имѣетъ 4 внутреннихъ угла и 4 центральныхъ утла:
АОЕ, ЕОВ, В OF и FOA; сумма центральныхъ угловъ
равна 360°. (Черт. 14).
Черт. 14.
Восьмиугольникъ. Впишемъ въ окружность квадратъ
ABCD, причемъ каждую изъ его вершинъ примемъ за

центръ и опишемъ произвольнымъ радіусомъ дуги, которыя
пересѣкутся внѣ окружности. Соединимъ полученныя точки
съ центромъ; эти линіи пересѣкутъ окружность въ точ-
кахъ Д Ъ, G и Н. Если мы теперь послѣдовательно
соединимъ точки на окружности, то получимъ правильный
восьмиугольникъ. Этотъ восьмиугольникъ имѣетъ 8 вну-
треннихъ угловъ и 8 центральныхъ; сумма всѣхъ цен-
тральныхъ угловъ равна 360°. (Черт. 15).
Черт. 15.
Очевидно, что такимъ пріемомъ мы изъ 8-угольника мо-
жемъ получить 16-угольникъ, потомъ 32-угольникъ и т. д.
Точно также изъ 12-угольника можемъ получить 24-уголь-
никъ, потомъ 48-угольникъ и т. д.
Если мы попробуемъ вычертить такіе многоугольники,
то увидимъ, что стороны ихъ будутъ уменьшатся, а самый

многоугольникъ будетъ походить на окружность, такъ что
намъ даже будетъ трудно отличить его отъ окружности.
Пятиуголъникъ. Разсмотримъ еще, какъ можно найти
сторону правильнаго пятиугольника. Начертимъ двѣ оди-
наковыхъ окружности: 1 и 2. Въ окружности 1 прове-
демъ два взаимноперпендикулярныхъ діаметра: АВ и CD
такъ, какъ это мы дѣлали при построеніи стороны квад-
рата. Радіусъ OB раздѣлимъ пополамъ въ точкѣ Ж, эту
точку соединимъ съ точкой С и отложимъ на линіи AM
отъ точки М длину MN, равную МС, получимъ точку Ж;
соединимъ Ж съ С, линія NC и будетъ искомой стороной
правильнаго 5-угольника. Чтобы убѣдиться въ этомъ отло-
жимъ по окружности 2 полученную длину, увидимъ, что
она отложится ровно 5 разъ. Соединивъ полученныя точки,
увидимъ, что фигура ABODE представляетъ собою пра-
вильный пятіугольникъ. Въ этомъ 5-угольникѣ будетъ
5 центральныхъ угловъ, сумма которыхъ равна 360°.
(Черт. 16)
Черт. 16.
Если мы будемъ удваивать число сторонъ этого много-
угольника, то будемъ получать послѣдовательно правиль-
ные: 10-угольникъ, 20-угольникъ, 40-угольникъ и т. д.

§ 2. Опредѣленіе функціи и ея геометрическое изображеніе.
Мы знаемъ, что въ кругъ можно вписывать правиль-
ные многоугольники; мы уже видѣли, что можно вписать
правильный треугольникъ, квадратъ, шестиугольникъ и пр.
Представимъ себѣ теперь, что въ крутъ вписанъ какой-
нибудь многоугольникъ, слово «какой-нибудь» мы обозна-
чимъ такъ: «многоугольникъ, имѣющій п сторонъ». Буква
въ данномъ вопросѣ очень удобна потому, что не обязы-
ваетъ насъ мыслить опредѣленный многоугольникъ, она
совершенно точно передаетъ слово «какой-нибудь». Если
мы всѣ вершины этого многоугольника соединимъ съ цен-
тромъ, то отъ каждой стороны многоугольника пойдутъ
двѣ линіи, которыя образуютъ между собою уголъ; такой
уголъ называется центральнымъ. Очевидно, что при центрѣ
будетъ столько угловъ, сколько въ многоугольникѣ сто-
ронъ, т.-е. п; а такъ какъ многоугольникъ правильный,
т.-е. всѣ его стороны равны, то и центральные углы бу-
дутъ также равны. Опредѣлимъ величину каждаго угла
въ градусахъ. Мы знаемъ, что во всей окружности 360°,
угловъ п, слѣдовательно въ каждомъ углѣ будетъ ^5 гра-
дусовъ. Назовемъ это число черезъ z, тогда можемъ на-
писать равенство
J, 360
Мы получили то, что называется формулой, т.-е. такое
выраженіе, изъ котораго можемъ опредѣлить число граду-
совъ центральнаго угла въ каждомъ многоугольникѣ; для
этого мы должны только придать для п соотвѣтственное
числовое значеніе. Сдѣлаемъ это
ѣ = Ъ \
4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
10
111
12
ж=120°
90°|
72
60
|51 3/7|
45
40
36
30
Разсматривая эти числовыя значенія, мы видимъ, что
число градусовъ въ центральномъ углѣ уменьшается, когда
число сторонъ многоугольника увеличивается. Очевидно,
что это уменьшеніе будетъ все больше и больше, если мы

будемъ все больше и больше увеличивать число сторонъ.
Число градусовъ въ центральномъ углѣ находится въ за-
висимости отъ числа сторонъ многоугольника. Такое свой-
ство количествъ — находиться въ зависимости другъ отъ
друга, называется функціей. Говорятъ, что число граду-
совъ центральнаго угла вписаннаго многоугольника есть
функція числа его сторонъ. Слово «функція» можно опре-
дѣлить болѣе точно. Функціей называется такая зависи-
мость между количествами, при которой для каждаго чи-
слового значенія одного, другое получаетъ опредѣленное
числовое значеніе.
Эту зависимость въ данномъ случаѣ мы можемъ вы-
разить геометрически слѣдующимъ образомъ. Возьмемъ
листъ бумаги, раздѣленный на клѣточки по одному милли-
метру каждая, поставимъ внизу, въ началѣ листа, букву о
и отъ этой точки будемъ откладывать числовыя значе-
нія п. Такъ какъ п не можетъ имѣть отрицательныхъ
значеній, не можетъ быть 0, 1, 2, то первое числовое
значеніе мы должны отложить w=3, непремѣнно вправо,
при чемъ за единицу примемъ для удобства длину въ
5 миллиметровъ. По вертикальной линіи отъ точки о бу-
демъ откладывать число градусовъ, т.-е. х, принимая каждый
миллиметръ за градусъ. Когда мы это выполнимъ и со-
единимъ полученныя точки, то получимъ кривую линію,
которая геометрически изображаетъ нашу функцію. Такое
изображеніе очень удобно, потому что оно наглядно по-
казываетъ, какъ измѣняется функція. (Черт. 17),
При построеніи этой функціи для числа п мы брали
5 милл., а для числа х одинъ милл. Имѣли ли мы на это
право? Для рѣшенія этого вопроса, замѣтимъ, что если бы
х и п были однородныя количества, измѣряемыя одной
и той же единицей, то такое построеніе было бы оши-
бочно; но такъ какъ х есть число градусовъ, измѣряемое
единицей градусъ (= -~ часть окружности), а п есть число
сторонъ вписаннаго многоугольника, зависящее отъ нашей
воли, то очевидно, что для каждой изъ этихъ величинъ
мы можемъ выбрать какой угодно масштабъ.

въ зависимости отъ того, какое числовое значеніе мы при-
дали числу п, а потому оно называется зависимою пере-
мѣнною, его также называютъ функціею.
§ 4. Явныя и неявныя функціи.
Возьмемъ на прямой АВ точку О и проведемъ пря-
мую ОС, тогда мы получимъ два угла: А ОС и ВОС;
такіе углы называются смежными. (Черт. 18).
Черт. 18.
Если мы примемъ точку О за центръ и опишемъ полу-
окружность, то, очевидно, что сумма этихъ угловъ будетъ
равна 180°. Пусть въ одномъ изъ этихъ угловъ—ВО С—
будетъ х°, а въ другомъ — АО С—у°, тогда мы можемъ
написать равенство #+y=180. Будемъ теперь передви-
гать прямую ОС такъ, чтобы конецъ ея всегда находился
въ точкѣ О, а точка С перемѣщалась бы по окружности
въ направленіи, указанномъ стрѣлкою; тогда уголъ BOG
будетъ увеличиваться, а уголъ АОС уменьшаться. Оче-
видно, что числовая величина одного угла у будетъ за-
висѣть отъ числовой величины другого угла х, т.-е. у
есть функція х. Функція, написанная въ видѣ #+?/ = 180o,
называется пеленой; чтобы узнать ея измѣненія, мы должны
х перенести въ другую часть равенства и написать ее въ
видѣ у = 180—х, тогда она сдѣлается явной, и мы мо-
жемъ изслѣдовать, какъ измѣняется числовое значеніе у
въ зависимости отъ измѣненій числового значенія х. Здѣсь

х не можетъ имѣть отрицательныхъ значеній, такъ какъ
мы предполагаемъ перемѣщеніе линіи ОС только въ одномъ
направленіи — противоположно движенію часовой стрѣлки;
но онъ можетъ имѣть значеніе 0; это значитъ, что линія
ОС совпадаетъ съ линіей ОВ. Если х=0, то у =180°.
Положимъ, теперь х начинаетъ увеличиваться, это уве-
личеніе будетъ инымъ, чѣмъ въ предыдущемъ примѣрѣ:
тамъ п могло увеличиваться только на 1; оно не могло
быть числомъ дробнымъ, потому что многоугольникъ не
могъ имѣть, напр., 5| стороны. Здѣсь же у можетъ уве-
личиваться какъ угодно, а именно: онъ можетъ прини-
мать значенія 0, 1; 0, 01 и т. д., но для простоты мы
положимъ, что онъ будетъ возрастать по 1°; тогда мы
получимъ слѣдующую таблицу:
х = 0
1 1
! 2
3
1 4
5
# = 180|
|179|
178 1
177
1176І
175
и т. д.
Если мы эти измѣненія отложимъ на миллиметровой
бумагѣ, то мы должны брать по одной и той же мѣрѣ,
какъ для у, такъ и для х. Возьмемъ двѣ перпендикуляр-
ный линіи и поставимъ точку о въ точкѣ ихъ пересѣче-
нія (черт. 19) и будемъ по горизонтальной линіи откла-
дывать числовыя значенія х, а по вертикальной — число-
выя значенія у.
Когда х = 0, то у =180, отсчитаемъ 180 клѣтокъ и
поставимъ крестикъ; х=1, перейдемъ на одну клѣтку по
горизонтальной линіи, у = 17 9, — отсчитаемъ 179 клѣтокъ
и поставимъ другую точку и т. д.
Соединивъ всѣ точки получимъ прямую линію, кото-
рая очевидно пересѣчетъ линію ох, когда х будетъ равенъ
180°, а у = 0.
Итакъ, законъ измѣненія функціи у = 180 —х. Геомет-
рически выражается прямою линіею.
§ 5. Геометрическій примѣръ функціональной зависимости.
Возьмемъ окружность и впишемъ въ нее правильный
б-угольникъ. Для этого, какъ мы знаемъ надо отложить

на окружности радіусъ, который отложится ровно 6 разъ.
(черт. 20). При каждой вершинѣ шестиугольника обра-
Черт. 20.
зуется уголъ, напр. уголъ ABC, который называется вну-
треннимъ угломъ. Такихъ угловъ будетъ 6, и число угловъ
во всякомъ многоугольникѣ, всегда равно числу сторонъ.
Если мы всѣ эти углы сложимъ, то число градусовъ въ
суммѣ всѣхъ внутреннихъ угловъ будетъ равно 180°,
умноженному на число сторонъ безъ двухъ. Алгебраиче-
ски это выражается такой формулой 180 (п — 2). Такъ
какъ всѣ эти углы равны въ правильномъ многоуголь-
никѣ, то каждый изъ нихъ будетъ содержать 180(я~2) гра-
дусовъ. Обозначимъ это число градусовъ черезъ у, тогда
получимъ формулу
у — 180 (п -2)
о п
Изъ этой формулы мы видимъ, что величина внутрен-
няго угла вписаннаго многоугольника есть функція числа
его сторонъ. Чтобы опредѣлить законъ измѣненія этой
функціи, мы ее преобразуемъ: раскроемъ скобки въ числи-
телѣ, тогда у = -80/г~360; теперь раздѣлимъ правую часть
почленно на п, т.-е. представимъ въ видѣ разности двухъ

дробей съ однимъ и тѣмъ же знаменателемъ, тогда
У = 180n — зад. въ первой дроби число п можно сократить
и окончательно будемъ имѣть
# = 180—360/n
Выраженіе ?~ мы знаемъ, это есть величина централь-
наго угла вписаннаго правильнаго многоугольника, кото-
рую мы обозначили черезъ х (§ 2). Замѣнивъ это выра-
женіе буквой ху найдемъ
у = 180—х.
Но это какъ разъ то выраженіе, которое мы только
что изслѣдовали. Значитъ ли это, что наши углы: внут-
ренній уголъ многоугольника и центральный уголъ, бу-
дутъ смежные?.
Нѣтъ, смежные углы должны обязательно лежать по
одну сторону прямой, а наши углы находятся въ разныхъ
мѣстахъ. Но, что же это значитъ? Это значитъ, что по-
лученные нами углы равны смежнымъ. Чтобы понять это,
продолжимъ сторону многоугольника. АВ до точки М9
тогда получимъ уголъ МВС, который называется внѣш-
нимъ угломъ многоугольника.
Этотъ внѣшній уголъ МВС будетъ смежнымъ съ
угломъ ABC, а слѣдовательно въ суммѣ съ нимъ будетъ
равенъ 180°. Но, если центральный уголъ многоуголь-
ника и внѣшній уголъ его въ суммѣ съ внутреннимъ
угломъ даютъ 180°, то мы можемъ заключить, что цен-
тральный уголъ во всякомъ правильномъ вписанномъ много-
угольникѣ равенъ внѣшнему углу, т.-е. всегда уголъ
AOB=углу МВС
§ 6. Вопросы и задачи.
1. Доказать, что сумма всѣхъ внѣшнихъ угловъ во вся-
комъ правильномъ многоугольникѣ равна 360.
2. Вычислить величину внутренняго угла многоуголь-
никовъ; 6-угольника, 12-угольника, 24-угольника и т. д.
и составить таблицу.

3. Составить такую же таблицу для величинъ внут-
ренняго угла квадрата, 8-угольника, 16-угольника и т. д.
§ 7. Изслѣдованіе функціи y = 180—
Мы указали, что эта функція очень похожа по своей
формѣ на сумму смежныхъ угловъ; благодаря этому сход-
ству, мы доказали, что во всякомъ вписанномъ правиль-
номъ многоугольникѣ внѣшній уголъ равенъ централь-
ному углу. Однако это не значитъ, что сама функція
тожественна съ суммой смежныхъ угловъ; она даетъ со-
отношеніе совершенно особыхъ количествъ, а потому и
измѣненіе ея должно слѣдовать совершенно новому закону.
Чтобы подмѣтить законъ ея измѣненія, вычислимъ
побольше ея числовыхъ значеній. Это вычисленіе удобно
сдѣлать изъ прежней формулы этой функціи у = ш{п~2\
Дадимъ здѣсь п рядъ числовыхъ значеній, начиная съ 3,
тогда получимъ слѣдующія значенія для у
п= 3 41 51 6 7 8 9 10 11 121 13 14
у/ = 60 90 108 120 128 4/7- 135 140 144 147 3/11 150 152 4/13 154{
п= 15| 16 171 18
у/ = 156;157{ 158^ 160
Разсматривая эти значенія, мы видимъ, что ариѳмети-
ческое отношеніе двухъ смежныхъ значеній начинаетъ
убывать; въ началѣ оно 90 — 60 =30, а въ концѣ 160 —
— 158|* = 1 Если мы построимъ на миллиметровой бу-
магѣ эти числовыя зноченія то получимъ кривую линію,
которая загибаетъ кверху (черт. 21).
Сравнимъ теперь полученную нами кривую съ той,
которую мы получили отъ построенія функціи х — —. Эта
кривая, начинается вверху, опускается внизъ, приближаясь
къ нижней горизонтальной линіи. Наша кривая, начи-
наясь съ 60, подымается вверхъ, но загибается вправо.
Если мы подумаемъ теперь, что дробь — по мѣрѣ увели-
ченія п все болѣе и болѣе уменьшается, то намъ станетъ

ясно, что первая кривая будетъ все ближе и ближе при-
ближаться къ горизонтальной линіи; но если дробь —
дѣлается все меньше и меньше, то значитъ, что мы все
меньше и меньше вычитаемъ изъ 180, слѣдовательно, раз-
ность все меньше и меньше отличается отъ 180, т.-е. наша
вторая кривая должна приближаться къ нѣкоторой прямой,
которая удалилась отъ горизонтальной оси на 180 милли-
метровъ.
§ 8. Примѣры функціональной зависимости не геометрическіе.
Разсмотримъ нѣсколько задачъ:
1) Сколько копеекъ нужно заплатить за 7 лимоновъ,
если каждый изъ нихъ стоитъ 6 копеекъ?
2) Сколько рублей слѣдуетъ заплатить за 18 десятинъ
земли, если каждая десятина стоитъ 120 рублей?
3) Сколько рублей слѣдуетъ заплатить за 12 аршинъ
сукна, аршинъ котораго стоитъ 5 рублей?
Всѣ эти задачи легко рѣшаются, и легко видѣть, что
пріемъ рѣшенія ихъ не зависитъ отъ чиселъ, которыя даны
въ задачѣ, если намъ будетъ дано не 7, а 12 лимоновъ,
при чемъ каждый будетъ стоить не б, а 4 копейки, то
пріемъ рѣшенія отъ этой перемѣны нисколько не измѣ-
нится. Вслѣдствіе этого каждую изъ данныхъ задачъ можно
задать въ общемъ видѣ, пользуясь буквами, вмѣсто чи-
селъ, тогда задачи будутъ записаны такъ:
1) Сколько копеекъ нужно заплатить за а лимоновъ,
если каждый изъ нихъ стоитъ b копеекъ?
2) Сколько рублей слѣдуетъ заплатить за т десятинъ
земли, если каждая десятина стоитъ п рублей?
3) Сколько слѣдуетъ заплатить рублей за р аршинъ
сукна, каждый аршинъ котораго стоитъ к рублей?
Мы въ каждой задачѣ поставили разныя буквы, чтобы
можно было выдѣлить рѣшенія: всѣ лимоны стоятъ ab
копеекъ; за землю придется заплатить mn рублей; сукно
стоитъ pk рублей. Но мы могли бы поставить въ каждой
задачѣ одинаковыя буквы, напримѣръ а и Ь, тогда всѣ
отвѣты выразились бы въ одной и той же формулѣ ab,

при чемъ для первой задачи это аЪ имѣло бы наимено-
ваніе копейки, а для двухъ другихъ — рублей. Почему же
эти задачи рѣшаются по одной формулѣ? Чтобы отвѣтить
на этотъ вопросъ разберемъ содержаніе каждой задачи.
Мы видимъ, что въ каждой изъ нихъ требуется узнать,
сколько денегъ нужно заплатить за весь товаръ. Назовемъ
эту сумму денегъ стоимостью товара; слѣдовательно во
всѣхъ предложенныхъ задачахъ ищется стоимость товара.
А для того, чтобы найти эту стоимость, намъ дано сколько
стоитъ единица мѣры: одинъ лимонъ, одна десятина, одинъ
аршинъ. Стоимость единицы мѣры мы будемъ называть
цѣнностью товара; слѣдовательно, намъ даны цѣнность
товара и его количество. Такимъ образомъ во всѣхъ пред-
ложенныхъ задачахъ мы имѣемъ одно и то же содержаніе:
даны цѣнность товара и его количество, ищется стоимость
его. Изъ общей формулы рѣшенія мы можемъ написать:
Стоимость товара=цѣнности товарах количество товара.
Стоимость, цѣнность и количества товара суть вели-
чины, находящіяся въ зависимости другъ отъ друга: если
будетъ мѣняться цѣнность товара, то вмѣстѣ съ ней бу-
детъ измѣняться и стоимость, но въ то же время стои-
мость будетъ зависѣть и отъ количества товара. Другими
словами, стоимость, цѣнность и количество товара нахо-
дятся въ функціональной зависимости, которая выражается
формулой:
Стоимость = цѣнности X количество.
Каждую изъ этихъ величинъ мы также можемъ обо-
значить буквой; назовемъ стоимость буквой р, цѣнность
буквой к, а количество буквой ?гу тогда наша формула
будетъ
р = п. к.
Задачи.
1) Начертить, какъ будетъ измѣняться стоимость при
увеличеніи цѣнности, если количество останется одина-
ковымъ.
2) Какъ будетъ измѣняться стоимость съ увеличеніемъ
количества при одной и той же цѣнности.

§ 9. Продолженіе.
Величины, встрѣчающіяся въ наукѣ и жизни могутъ
имѣть очень различную функциональную зависимость. Раз-
смотримъ еще такую задачу: «Сколько нужно нанять зем-
лекоповъ, чтобы вынуть 500 кубовъ земли въ 25 дней
если въ день каждый вынимаетъ по одному кубу?»
Если мы обобщимъ эту задачу и дадимъ ее въ буквахъ,
то она будетъ: Сколько нужно нанять землекоповъ, чтобы
вынуть а кубовъ въ п дней если каждый въ день вы-
нимаетъ по одному кубу? Вдумываясь въ ея содержа-
ніе, легко обобщить и само содержаніе задачи. Очевидно,
что дана работа, время ея выполненія и ищется число
рабочихъ. Рѣшеніе задачи ясно: число рабочихъ равно -
или, если мы подъ а будемъ подразумѣвать не число ку-
бовъ земли, которое надо вынуть, а самую величину —
работу, а подъ п не число дней, а время, тогда можно
написать
Число рабочихъ =
с время.
Это и будетъ формулой функціональной зависимости
величинъ, число рабочихъ, величина работы и время ея
окончанія. Въ алгебраическомъ видѣ формула функціональ-
ной зависимости выразится
п '
гдѣ к есть число рабочихъ. Это число рабочихъ имѣетъ
необходимое ограниченіе,—оно не можетъ быть дробнымъ;
чтобы избѣжать этого ограниченія очень часто считаютъ
не фактическаго работника, а рабочую силу, которая мо-
жетъ быть и дробной. Болѣе значительное ограниченіе со-
держится въ самомъ способѣ рѣшенія задачи: при рѣшеніи
мы необходимо допускаемъ, что каждый рабочій выни-
маетъ по одному кубу т.-е. работоспособность каждаго ра-
бочаго одна и та же.
Если мы измѣнимъ это условіе, то измѣнится и фор-
мула рѣшенія; отсюда видно, что число рабочихъ нахо-
дится въ функціональной зависимости отъ ихъ работо-
способности.

§ 10. Функциональная зависимость величинъ и чиселъ.
Въ наукѣ п жизни встрѣчаются величины, которыя
находятся въ обязательной функціональной зависимости
по самой своей природѣ; такъ, напримѣръ, площадь прямо-
угольника находится въ обязательной функціональной за-
висимости отъ его длины и ширины; длина стороны пра-
вильнаго вписаннаго многоугольника—отъ длины радіуса;
стоимость товара—отъ его цѣнности; время работы—отъ чис-
ла рабочихъ. Такая зависимость можетъ быть не единичной,
данная величина можетъ зависѣть и отъ другихъ вели-
чинъ, напримѣръ, стоимость товара зависитъ не только
отъ цѣнности, но и отъ количества товара; но указанная
зависимость стоимости отъ цѣнности существуетъ и не
можетъ не существовать. Такую зависимость мы будемъ
называть обязательной. Эта обязательная зависимость вы-
ражается опредѣленной алгебраической функціей.
Точно также могутъ быть величины, которыя не на-
ходятся ни въ какой зависимости другъ отъ друга, на-
примѣръ, число сторонъ вписаннаго многоугольника со-
вершенно не зависитъ отъ длины радіуса круга; стоимость
товара совершенно не зависитъ отъ времени; время окон-
чанія работы не зависитъ отъ вѣса каждаго работника.
Однако, величины, не зависимый другъ отъ друга, мо-
гутъ быть условно зависимыми, напримѣръ, стоимость то-
вара не зависитъ отъ разстоянія; но если товаръ прихо-
дится перевозить, то стоимость его будетъ зависѣть не
только отъ разстоянія, но и отъ стоимости упаковки, отъ
стоимости нагрузки и т. п. Такую зависимость мы бу-
демъ называть условной; она не только должна быть ого-
ворена въ задачѣ, но должна быть указана и самая функ-
ціональная зависимость, если она естественно не выте-
каетъ изъ свойствъ величинъ. Итакъ, функціональная за-
висимость величинъ можетъ быть обязательной и услов-
ной; можно сказать, что всякія двѣ величины могутъ на-
ходиться или въ обязательной или въ условной зависи-
мости. Такъ, напримѣръ, можно предложить такую задачу:
найти радіусъ круга такъ. чтобы сторона вписаннаго въ

него треугольника была равна 4 сант. Здѣсь длина ра-
діуса круга будетъ зависѣть отъ числа сторонъ вписаннаго
многоугольника. Какова бы не была функциональная за-
висимость величинъ, она всегда выразится въ видѣ алге-
браической формулы, гдѣ надъ количествами этихъ вели-
чинъ будутъ совершаться математическія дѣйствія. Такъ
какъ количества величинъ весьма удобно выражать чис-
лами, то эти дѣйствія будутъ совершаться надъ числами,
а потому алгебраическая формула функціональной зависи-
мости величинъ должна подчиняться законамъ измѣненія
чиселъ и ихъ свойствамъ.
Такимъ образомъ, мы приходимъ къ необходимости раз-
смотрѣть вопросъ о функціональной зависимости съ двухъ
точекъ зрѣнія: съ точки зрѣнія функціональной зависи-
мости величинъ, гдѣ сама природа величинъ, ихъ свойства
опредѣляютъ ходъ нашихъ умозаключеніе во-вторыхъ—
съ точки зрѣнія свойствъ чиселъ и дѣйствіи, входящихъ
въ нашу формулу. Если формула взята независимо отъ
какихъ либо величинъ, то мы будемъ называть ее число-
вой формулой, а зависимость входящихъ въ нее чиселъ—
функціональной зависимостью чиселъ.
Разсмотримъ подробнѣе этотъ родъ функціональной
зависимости.
§ 11. Примѣры функціональной зависимости чиселъ.
Числовая величина результата всякаго дѣйствія надъ
числами находится въ функціональной зависимости отъ
величинъ данныхъ чиселъ. Эта функціональная зависи-
мость можетъ быть выражена въ видѣ теоремъ.
1) Если къ одному изъ слагаемыхъ прибавитъ нѣ-
сколько единицъ, то сумма увеличится на столько же
единицъ.
Означимъ слагаемыя буквами а и Ъ, сумму— буквой
тогда S=a-\-b. Прибавимъ къ а еще к единицъ и пусть
новая сумма будетъ s\, такъ что Sx^={aJ\-k)Jrb. Най-
демъ ариѳметическое отношеніе новой и прежней суммы
Sx—S\ оно будетъ равно а-\-к-^-Ь—а— Ъ или к.

Итакъ St— S=k, т.-е. новая сумма больше прежней
на к единицъ. Очевидно, что это разсужденіе будетъ
справедливо и въ томъ случаѣ, когда слагаемыя а и й,
равно какъ и число к будутъ дробными.
2) Если одно изъ слагаемыхъ а мы умножимъ на
число т, то сумма увеличится на столько единицъ,
сколько ихъ содержится въ произведеніи а на (т — 1),
т.-е. па а (т — 1).
Пусть слагаемыя будутъ а и 5, сумма ихъ 8; новыя
слагаемыя будутъ am и 6, сумма ихъ Sx. Мы можемъ
написать S=aJrb и St= am-\-b. Найдемъ ариѳметиче-
ское отношеніе 8t и S, получимъ St — S= am + b — a— b,
или St — S—am-—a\ взявъ а за скобку, получимъ St —
— S=a(m — 1).
Въ такомъ видѣ теорема справедлива и для цѣлыхъ
и для дробныхъ чиселъ; но для цѣлыхъ это свойство можно
доказать иначе. Умножить на т значитъ взять слагае-
мымъ т разъ, т.-е. прибавить къ а еще т—1 одно а,
тогда сумма по теоремѣ 1 увеличится на а(т — 1).
3) Если каждое слагаемое умножимъ на какое-ни-
будь число, то и сумма ихъ будетъ умножена па это
число.
Пусть слагаемыя будутъ а + й, ихъ сумма S, такъ что
S = a-\-b. Новыя слагаемыя будутъ maumb, ихъ сумма
St, такъ что Ях=та-\-тЬ. Взявъ здѣсь т за скобки,
получимъ 8х=т(а-\гЪ) или 8х=т. S.
Слѣдствія. 1. Если каждое слагаемое дѣлится на
какое нибудь число, то и сумма будетъ дѣлиться на то
же число.
2) Если одно слагаемое дѣлится на какое нибудь число,
а другое не дѣлится, то и сумма не будетъ дѣлиться на
это число.
3) Если сумма и одно изъ двухъ слагаемыхъ дѣлится
на какое нибудь число, то и другое должно дѣлиться на
это число.
4. Если уменьшаемое и вычитаемое мы умножимъ
на какое нибудь число, то и остатокъ будетъ умно-
женъ на это число.

Такъ какъ вычитаніе есть дѣйствіе, обратное сложе-
нію, въ которомъ уменьшаемое есть сумма вычитаемаго и
остатка, то теорема является слѣдствіемъ предыдущей
теоремы. Однако ее можно доказать непосредственно. Обо-
значимъ уменьшаемое буквой а, вычитаемое буквой 5, а
остатокъ d, тогда а — b = d. Новое уменьшаемое будетъ
та, новое вычитаемое mb, обозначимъ новый остатокъ
черезъ dx, тогда та — mb = dt или т(а — b) = dx, т.-е.
md=d1.
5. Если дѣлимое и дѣлителя умножимъ на какое
нибудь число, то и остатокъ отъ дѣленія будетъ умно-
женъ на то же число.
Обозначимъ дѣлимое буквой а, дѣлитель буквой Ь,
частное буквой q и остатокъ—г. Тогда a = bqJrr или
а — bq = r. Новое дѣлимое будетъ та, новый дѣлитель mb,
частное останется то лее q, а остатокъ назовемъ rt; тогда
та = mbq + rt или та — mbq =гх. По предыдущей теоремѣ
мы имѣемъ r1=mr. Эту теорему можно доказать иначе.
Возьмемъ равенство а — bq = r и умножимъ обѣ части
его на т, тогда т (а—bq) = mr или am — mbq = mr; от-
куда слѣдуетъ, что новый остатокъ долженъ быть въ т
разъ больше прежняго.
6. Если въ числовой формулѣ одинъ изъ членовъ ея
обозначимъ буквой, то числовая величина формулы будетъ
функціей значенія этой буквы.
Возьмемъ какую нибудь числовую формулу, въ кото-
рой одинъ изъ членовъ обозначенъ буквой х, напримѣръ
7+х/3 и обозначимъ числовое значеніе формулы черезъ у,
такъ что у = 1±£. Будемъ теперь давать х рядъ число-
выхъ значеній, начиная съ о и для каждаго числоваго
значенія х вычислять соотвѣтственное значеніе у, тогда
получимъ слѣдующую таблицу.
X
= 0 I
1 1
2|
|з 1
4|
5
У
-2*1
\ч\
3
\Ч\
з|І
4
Изъ этой таблицы мы видимъ, что когда числовыя
значенія х возрастаютъ на единицу, числовыя значенія у

возрастаютъ на і. Если мы для х будемъ давать дроб-
ныя значенія, увеличивая ихъ на 0,1, то получимъ
X —
У =
Отсюда видимъ, что когда х увеличивается на 0,1,
то у увеличивается на ~. Сравнивая оба результата, можно
предугадать, что если х будетъ увеличиваться на 0,01,
то у будетъ увеличиваться на ^ и т. д. Чѣмъ все болѣе
и болѣе мелкія значенія будетъ давать для х, тѣмъ все
мельче и мельче будетъ увеличиваться у.
Если мы будемъ приписывать для х отрицательныя
числовыя значенія—1, — 2, — 3, и т. д., то получимъ:
х = —1|
— 2|
— 3
| — 4
| —5)
— 6)
| — 7 | — 8
| — 9
у- 2|
1|І
Ч\
1
2 I
1
3
0
і
2
Здѣсь мы видимъ, что числовыя значенія у постепенно
убываютъ, достигаютъ О и дѣлаются отрицательными, но
законъ убыванія тотъ же, что и законъ возрастанія: ка-
ждое новое числовое значенія у уменьшается на 1-.
§ 12. Задачи.
Составить таблицы числовыхъ измѣненій и опредѣлить
законъ измѣненія для слѣдующихъ числовыхъ функцій:
1) !/ = 8-^; 2) у = ь^ 3) 4) y-t;
9) У = ^-г- + х; 10)

ГЛАВА V.
Рѣшенія уравненій первой степени съ одной
неизвѣстной.
§ 1. Понятіе о числовыхъ функціяхъ.
Если мы имѣемъ числовую формулу, въ которую вхо-
дитъ перемѣнное число, напримѣръ то такую фор-
мулу будемъ называть числовой функціей перемѣннаго х.
Ея числовое значеніе мы можемъ обозначить буквой ?/,
тогда у = 7*~5 и у называется также функціей х, по-
тому что оно выражаетъ числовую величину формулы,
если мы въ ней х замѣнимъ какимъ нибудь числомъ.
Пусть, напримѣръ, х = 2, тогда у = ^^ или у = \. Оче-
видно, что, придавая для х различныя числовыя значенія,
мы будемъ получать соотвѣтственныя числовыя значенія у.
Законъ измѣненія такой числовой функціи мы можемъ вы-
разить геометрически. Такъ какъ такое выраженіе будетъ
для насъ очень важно, то разсмотримъ его болѣе подробно.
Возьмемъ сначала болѣе простую числовую функцію
у = 2х — 1 и построимъ законъ ея измѣненія. Возьмемъ
миллиметровую бумагу, проведемъ двѣ взаимно перпенди-

кулярныхъ линіи Ох и 0у, точка ихъ пересѣченія бу-
детъ 0. Эти линіи носятъ особое названіе координатъ.
На линіи Ох будемъ откладывать числовыя значенія х,
(черт. 22) начиная съ о, потомъ 1, потомъ 2 и т. д.,
принимая за единицу 1 сант.; тогда первая точка будетъ
точка 0\ она соотвѣтствуетъ х = о, потомъ мы получимъ
точку А, которая будетъ соотвѣтствовать х=1, точка В
будетъ соотвѣтствовать х = 2 и т. д.
Отъ каждой точки будемъ отсчитывать по сантиметру
вверхъ или внизъ и откладывать числовыя значенія у;
вверхъ будутъ итти положительныя значенія, а внизъ от-
рицательныя. При х = о, у = —1, отложимъ это значеніе
на линіи Оу отъ точки О внизъ, получимъ точку At.
Потомъ при х = 1, у = 1, отложимъ 1 сант. вверхъ отъ
точки А, получимъ точку Д; далѣе при х = 2, у = 3;
отложимъ отъ точки В вверхъ 3 сант., получимъ точку Сх.
Продолжая поступать такъ далѣе, мы найдемъ рядъ то-
чекъ, которыя и соединимъ. Соединивъ ихъ, увидимъ,
что геометрически измѣненіе функціи выражается пря-
мой линіей.
Построимъ теперь законъ измѣненія нашей функцій
^ = Цр>, (черт. 23) принявъ за единицу также 1 сант.

При x = Q, у =— |; это будетъ точка Ах\ при#=1,
у — \, это будетъ точка _Z?1? находящаяся отъ А вверхъ
на 2і- миллим. При ж = 2,у = |; это будетъ точка С19 на-
ходящаяся отъ JB вверхъ на десять съ лишнимъ сант.
и т. д. Соединивъ эти точки, получимъ прямую линію.
Наше построеніе не можетъ быть вполнѣ точно, по-
тому что мы не можемъ на милиметровой бумагѣ точно
отложить восьмыя доли, но это и не особенно важно, такъ
какъ геометрическое измѣненіе остается яснымъ.
Такія числовыя функціи, которыя содержатъ перемѣн-
ное число х въ первой степени, называются функціями
первой степени; если ясе, при этомъ, х не входитъ въ
составъ знаменателя, то функціи называются цѣлыми.
Въ математикѣ доказывается, что всякая цѣлая функ-
ція первой степени можетъ быть геометрически предста-
влена въ видѣ прямой линіи. Слѣдовательно и всякая цѣ-
лая числовая функція первой степени геометрически изо-
бражается прямой линіей.
Легко видѣть, что это свойство цѣлой числовой функ-
ціи первой степени будетъ сохраняться не только для по-
ложительныхъ числовыхъ значеній числа х, но и для от-
рицательныхъ, которыя мы будемъ откладывать по линіи
Ох влѣво отъ точки 0. Это свойство будетъ справедливо
и для всякихъ дробныхъ значеній х, какъ бы малы онѣ
ни были.
Вообще, каждая точка прямой выражаетъ собою число-
вое значеніе у, изображенное соотвѣтственной точкой на
прямой.
§ 2. Задачи.
Построимъ законъ измѣненія функцій:
1) у = 5х; 2) y = 3x+Q; 3) y-±*tl; 4) у = *^>;
5) у = 2х— Ц±*,
принимая за единицу 1 мм.

§ 3. Равенство числовыхъ функцій.
Возьмемъ теперь двѣ числовыхъ функціи у=(7x—5)/8 и
z=(x+1)/2; вычислимъ для каждой изъ нихъ рядъ число-
выхъ значеній, полагая въ той и другой x послѣдова-
тельно равнымъ 0, 1, 2, 3 и т. д. Эти числовыя значе-
нія можно расположить въ видѣ слѣдующей таблицы:
y =
5/8
2/8
9/8
2
23/8
30/8
37/8
x =
0
1
2
3
4
5
6
z =
1/2
1
3/2
2
5/2
3
7/2
и т. д.
Разсматривая эти числовыя значенія, мы видимъ, что
при x = 3 обѣ функціи имѣютъ одно и то же числовое
значеніе у = 2 и z = 2; но, если двѣ числовыя формулы
имѣютъ одно и то же числовое значеніе, мы можемъ сказать,
что онѣ равны между собою (Гл. 3, § 2 слѣд. 2), и мо-
жемъ написать
(7x—5)/8=(x+1)/2.
Это равенство, вообще говоря, несправедливо, оно мо-
жетъ быть установлено только для одного числового зна-
ченія х = 3, а потому говорятъ, что х = 3 уравниваетъ
данныя числовыя формулы, и само равенство называютъ
уравненіемъ.
Отсюда слѣдуетъ, что уравненіемъ называется такое
равенство, которое справедливо только для одного число-
вого значенія перемѣннаго, въ него входящаго.
То числовое значеніе, которое уравниваетъ данныя
числовыя функціи, называется корнемъ уравненія, а спо-
собъ его нахожденія — рѣшеніемъ уравненія.
§ 4. Задачи.
Провѣрить изложенное на слѣдующемъ рядѣ при-
мѣровъ.
1) y = (2x+1)/2; z = (7x+5)/8
2) y = x — 1; z = (2x+1)/3

3) ,y = ^-2; z = ^f*
4) у = х + ^; z = *±^
5) г/ = ?^±-б_36; 2 = # — £zJ.
§ 5. Рѣшеніе числовыхъ уравненій.
Въ предыдущемъ мы разсмотрѣли, какъ можно урав-
нять двѣ числовыя цѣлыя функціи съ одной независимой
перемѣнной; теперь перейдемъ къ рѣшенію обратнаго во-
проса: уравнены двѣ функціи, найти то числовое значе-
ніе перемѣнной х, которое дѣлаетъ ихъ равными.
Эту задачу принято формулировать такъ: дано урав-
неніе, требуется найти его корень. «Дано уравненіе»—
это значитъ, что двѣ функціи уравнены, а «найти его
корень» значитъ опредѣлить то числовое значеніе пере-
мѣннаго х, которое уравниваетъ обѣ функціи.
Рѣшить эту задачу мы могли бы слѣдующимъ спосо-
бомъ. Положимъ намъ дано уравненіе 5* + 16 = 4:г. Обо-
значимъ первую часть его черезъ у, а вторую черезъ z,
и будемъ, подставляя вмѣсто х рядъ числовыхъ значеній,
вычислять числовыя значенія для у и z9 пока не полу-
чимъ одинаковаго числового значенія. Если мы этотъ
пріемъ приложимъ къ данному уравненіи), то увидимъ,
что онъ очень утомителенъ и ненадеженъ.
Ненадеженъ потому, что легко пропустить дробное
числовое значеніе ху «удовлетворяющее» уравненію. Въ на-
шемъ примѣрѣ это значеніе х равно у. Если мы будемъ
измѣнять х по единицѣ, то мы пропустимъ это значеніе,
если мы будемъ измѣнять по 0,1, то тоже пропустимъ,
и такъ будетъ всегда, пока не догадаемся измѣнять по і,
но и тогда должны сдѣлать очень много вычисленій.
Чтобы найти числовое значеніе х, удовлетворяющее
данному уравненію, мы можемъ построить геометрически
обѣ функціи у и z и измѣрить то числовое значеніе х,
которое соотвѣтствуетъ точкѣ пересѣченія прямыхъ. Этотъ
способъ очень удобенъ, но не даетъ точнаго отвѣта, по-

тому что, какъ мы видѣли въ § 3, седьмыя доли санти-
метра очень трудно опредѣлить.
Въ силу этого намъ необходимо поискать особый путь
для рѣшенія нашего вопроса. Этотъ путь мы можемъ найти,
исходя изъ свойствъ равенствъ.
Мы знаемъ, что равенство не нарушится, если обѣ
части его умножить на одно и то же число; слѣдова-
тельно, если нѣкоторое числовое значеніе x дѣлаетъ рав-
нымъ 5*3+16 и 4 X х, то оно необходимо и обязательно
должно сдѣлать равными 5^+16 и 12х, ибо эти но-
выя числа получаемъ отъ умноженія равныхъ чиселъ на 3.
Но если 5#+16 = 12#, то равенство не нарушится, если
отъ обѣихъ частей его мы отнимемъ по 5х; новыя числа
16 и 12х— 5х останутся равными, т.-е 16 = 7^. Раздѣ-
лимъ теперь обѣ части новаго равенства на 7, получимъ
x = j. Это и будетъ рѣшеніемъ уравненія. Въ самомъ
дѣлѣ: если х = ~, то 7^=16, или 12х—5^ =16, или
12х =16 + 5# или 4# =16 +Ьх. Мы можемъ всѣ эти пре-
образованія повѣрить, подставивъ вмѣсто X ЧИСЛО у въ
данное уравненіе ——J = у.4. Произведемъ вычисле-
нія L_L— или ^11?=^, или ™=“> что по сокра-
щеніи дроби на 3, даетъ равенство у = у, которое
иногда называютъ тожествомъ.
Все это приводитъ насъ къ слѣдующему способу рѣ-
шенія уравненіи.
Рѣшить уравненіе это значитъ найти такое числовое
значеніе неизвѣстнаго, при которомъ числовая величина
правой части была бы равна числовой величинѣ лѣвой
части. Такое числовое значеніе неизвѣстнаго называется
корнемъ уравненія.
При отысканіи корня уравненія мы должны слѣдить
только за тѣмъ, чтобы при нашихъ преобразованіяхъ ра-
венство не нарушалось. Поэтому мы имѣемъ право дѣ-
лать слѣдующія преобразованія:
1) Производишь въ каждой части уравненія всѣ тѣ

преобразованія, при которыхъ не измѣняется число-
вая величина формулы. Къ такимъ преобразованіямъ от-
носится: приведеніе дробей къ одному знаменателю, рас-
крытіе скобокъ, приведеніе подобныхъ членовъ или со-
считываніе. Этимъ не исчерпываются тѣ преобразованія,
которыя не мѣняютъ числовой величины формулы, но
пока намъ достаточно и ихъ. При этихъ преобразованіяхъ
слѣдуетъ помнить, что ихъ мы можемъ производить только
въ одной части уравненія, а не можемъ брать члены изъ
разныхъ частей. Пусть, напримѣръ, намъ дано Ц -{- і = Ц -\- -|.
Мы можемъ формулу 3|-|-т привести къ одному знаме-
нателю и представить въ видѣ точно также фор-
мулу 6y-f-y представить въ видѣ ^±?; но знаменателей
отбрасывать не имѣемъ права, потому что тогда измѣ-
нится числовая величина формулы и правая часть уже
не будетъ равна лѣвой. Итакъ, мы можемъ написать
Зж 4- 2 Ъх 4- 3
Въ этихъ преобразованіяхъ числовыя величины той
и другой части не измѣнились, а равенство между ними
сохранилось.
2) Умножать или дѣлить обѣ части уравненія на
одно и то же число, если только это число не можетъ
обратиться въ 0. Здѣсь, наоборотъ, мы непремѣнно дол-
жны одновременно измѣнять обѣ части уравненія въ ихъ
цѣломъ, а не можемъ производить дѣйствія надъ однимъ
или нѣсколькими членами. Возьмемъ, напримѣръ, преды-
дущее равенство 8|-|-i = ?|-j--* и положимъ, что мы же-
лали бы і и ~ умножить на 12, чтобы уничтожить зна-
менателей; этого мы не можемъ сдѣлать, потому что при
умноженіи эти члены увеличатся, при этомъ измѣненіи
сумма и первая часть перестанетъ быть равной второй.
Мы можемъ умножить на 12 всю первую часть и всю
вторую, т.-е. написать такъ 12 =(^_|-і) 12 тогда
равенство сохранится и, раскрывъ скобки, мы получимъ
І^_|Л2 = L2_^_j_^ или по сокращеніи каждой дроби

Понятно поэтому, почему мы не можемъ умножать
или дѣлить на число равное нулю. Всякое произведеніе
числа на 0 даетъ нуль, а нуль всегда равенъ нулю; на
этомъ основаніи могутъ быть уравнены обѣ части, а мы
сокративъ отбросимъ именно то, что дѣлало ихъ равными.
Напримѣръ, 5 (х — 1) = 2(х — 1), потому что при х = 1,
получаемъ 5.0 = 0 гг 2.0 = 0; но если мы раздѣлимъ обѣ
части на х—1, получимъ невѣрный результатъ 5 = 2.
Итакъ, если нашъ множитель или дѣлитель не можетъ
быть нулемъ, то мы имѣемъ право обѣ части равен-
ства умножить или раздѣлить на него. На осно-
ваніи этого свойства мы имѣемъ право, приведя обѣ
части уравненія къ одному знаменателю, отбросить
этотъ знаменатель, если только знаменатель не содер-
житъ х. Объ этомъ я скалку особо. А теперь возьмемъ
нашъ примѣръ ^_[_1 = б|-|-1. Мы его привели къ виду
—±l = 5f_L?. Если мы обѣ части этого равенства приве-
демъ къ одному знаменателю, то получимъ (Sx + 2)-9 = {Ьх + Э)-8.
Теперь можемъ разсуждать двояко: или—если двѣ дроби
равны и ихъ знаменатели также равны, то равны и чис-
лители, т.-е. (3^ + 2) 9 = (5# + 3)8, или—умножимъ обѣ
части равенства на 72, получимъ (3# + 2 ) 9 = (5х-\- 3) 8.
Въ обоихъ случаяхъ говорятъ короче: «отбросимъ зна-
менателя)).
3) Переносить члены изъ одной части равенства
въ другую; Равенство отъ этого, какъ мы знаемъ, не на-
рушается.
На основаніи этихъ свойствъ, рѣшеніе уравненіи обык-
новенно распадается на слѣдующія преобразованія:
a) Всѣ части равенства въ обѣихъ его частяхъ при-
водятъ къ одному знаменателю, который отбрасываютъ.
b) Переносятъ члены, содержащіе х, въ одну часть
равенства (обыкновенно налѣво), а члены безъ х — въ
другую часть (обыкновенно направо). При чемъ не забу-
демъ, что при переносѣ знакъ члена мѣняется на
обратный.
c) Дѣлаютъ приведеніе подобныхъ членовъ, т,-е. про-
изводятъ сосчитываніе тѣхъ и другихъ.

d) Дѣлятъ обѣ части на коэффиціентъ при х.
Такъ какъ уравненіе безъ дробей проще, то обыкно-
венно начинаютъ рѣшеніе примѣровъ уравненіи съ чи-
слами цѣлыми; но тогда первое преобразованіе стано-
вится лишнимъ и его непроизводятъ.
При сосчитывали принято слѣдующее правило: скла-
дываютъ всѣ члены, имѣющіе передъ собою знакъ + , по-
томъ также складываютъ всѣ члены, имѣющіе передъ
собою знакъ —; изъ большаго числа вычитаютъ меньшее
и ставятъ знакъ большаго.
Напримѣръ, если получимъ 5х — 8х, то результатъ
будетъ—3х; а если 8х—3х, то результатъ будетъ -\-5х;
знакъ -J- обыкновенно опускаютъ и пишутъ просто 5х.
Если при сосчитываніи мы получимъ при х знакъ
минусъ, то принято перемѣнять знакъ въ обѣихъ частяхъ
уравненія, чтобы у х всегда былъ знакъ -(-. Напримѣръ,
если мы получимъ—3^* = 15, то мы пишемъ 3х =—15,
откуда х = —5. Перемѣна знака въ обѣихъ частяхъ
уравненія соотвѣтствуетъ перенесенію члена изъ одной
части въ другую, что мы имѣемъ право дѣлать; слѣдо-
вательно, имѣемъ право и мѣнять знакъ въ обѣихъ ча-
стяхъ уравненія. Такъ, напр., — 3^=15 все равно,
что—15 = 3х, а это можно написать такъ 3^=15.
§ 6. Рѣшить следующіе примѣры.
\)5х — Ъ + 8х = 4.^ + 9 — 3х Отв. х=1
2) 7^ — 2 = 2^+10 Отв. х = Щ
3) Ъх — 8 4.Г + 5 п Л o6
4) — — 4 = 5^-f-G Отв. х = ЪЪ\
5) у — 8 = 1 £ — 2х Отв. х = Ц
6) — 1- 1 = —^— Отв. х = іі

7)(5£-7)І4 + 2==Л; Отв. Х^
\Х~-=\ Отв. х = і
9) 2 - Зг - 7 - - ?-± І2 Отв. х = 13
10) 5ж + 1 _ И72г =2х- I. (•<•-?) Отв. х •-. 4
Слѣдующія задачи рѣшить и повѣрить отвѣтъ под-
становкой
11) 2'Г-І м-'Т8-8*—
12) ^_L=J? = ^+0,5
13) 1+# = Ц^-
-I д\ 0,01 —ж Q 1 S 2 — З.г
/ ~~ 0,02 2 0,01
15) а (х—Щ = Ъ (х—Щ — 2 (а — Ь), гдѣ а и 6
суть данныя числа.
§ 7. Равенство количественныхъ функцій.
Чтобы понять, что мы подразумѣваемъ подъ равен-
ствомъ количественныхъ функцій, разсмотримъ нѣсколько
примѣровъ.
1) За 30 аршинъ сукна двухъ сортовъ заплачено
128 рублей; аршинъ перваго сорта стоитъ 4{- рубля, а
аршинъ второго 4 рубля. Сколько куплено аршинъ того и
другого сорта?
Эта задача рѣшается ариѳметически слѣдующимъ раз-
сужденіемъ. Положимъ, что сукно было куплено только
перваго сорта, тогда за него пришлось бы заплатить
30X4]- рублей или 135 рублей; но на самомъ дѣлѣ было
заплачено только 128 рублей, т.-е. на 135 — 128 = 7 руб-
лей меньше, потому что часть сукна была дешевле. Мы
узнали такимъ образомъ, что всѣ аршины сукна второго
сорта стоятъ дешевле того же числа аршинъ перваго
сорта на 7 рублей, а каждый аршинъ на 4 1/2—4 = \ рубля.

Слѣдовательно число аршинъ второго сорта было 7:^ = 14
аршинъ, а перваго 16 аршинъ.
Другой способъ рѣшенія этой задачи называется алге-
браическимъ и основывается на уравниваніи. Онъ состоитъ
въ слѣдующемъ. Обозначимъ число аршинъ перваго сорта
буквой х, тогда число аршинъ второго сорта будетъ 30 —х.
Каждый аршинъ перваго сорта стоитъ 44- рубля, а всѣ
х аршинъ будутъ стоить 4-1/2 х рублей. Каждый аршинъ
второго сорта стоитъ 4 рубля, а всѣ (30—х) аршинъ
будутъ стоить (30—х) 4 рублей. Такимъ образомъ вся
покупка будетъ стоить 41 # + (30—х) 4 рублей,но эта же
покупка стоитъ 128 рублей, слѣдовательно мы имѣемъ
право уравнять нашу формулу числу 128 и написать
уравненіе.
4-J# + (30 — #)4 = 128.
Здѣсь мы уравниваемъ не числа, а стоимость покупки,
выражая ее одинъ разъ, какъ сумму стоимостей перваго
и второго сорта, и второй разъ, какъ данное число 128.
Если мы раскроемъ скобки въ первой части этого
равенства, получимъ
44^+120 —4^=128.
Перенесемъ 120 въ правую часть равенства и вычтемъ
4 х изъ 4 1/2 х, тогда
-£#=128 — 120
или іх = 8.
Откуда х = 16.
Итакъ перваго сорта было 16 аршинъ, а второго 14 ар-
шинъ.
2) Съ двухъ станцій желѣзной дорогой, находящихся
на разстояніи 77 верстъ, выходятъ одновременно два
поѣзда и идутъ по одному направленію со скоростью
31 і верстъ и 18| верстъ въ часъ, при чемъ первый идетъ
за вторымъ. Когда онъ догонитъ?
Эта задача также рѣшается ариѳметически такимъ
разсужденіемъ.
Если бы поѣзда шли съ одною и тою же скоростью, то
разстояніе между ними было бы всегда одинаково 7 7 верстъ,

но задній поѣздъ идетъ скорѣе на 31 і—181=121
версты, слѣдовательно онъ будетъ приближаться къ пе-
реднему поѣзду каждый часъ на 12| версты и на-
гонитъ его, когда пройдетъ съ этой скоростью все
разстояніе въ 77 верстъ. Раздѣливъ 77 на 12| мы
узнаемъ, черезъ сколько часовъ это случится? 7 : ~ = 6 ча-
совъ.
Алгебраическій способъ рѣшенія будетъ иной. Пусть
А и В (черт. 24) станціи отправленія, а С мѣсто встрѣчи.
Черт. 24.
Первый поѣздъ пройдетъ разстояніе АС, положимъ въ
х часовъ. Такъ какъ каждый часъ онъ проходитъ по
311 версты, то въ х часовъ онъ пройдетъ Ъ\\х верстъ.
Итакъ АС= 31-2-я верстъ. Изъ В другой поѣздъ выходитъ
въ то же время, слѣдовательно разстояніе ВС онъ прой-
детъ также въ х часовъ, но каждый часъ онъ проходитъ
по 18| версты, слѣдовательно ВС =18%х верстъ. Оче-
видно, что АС — ВС=АВ, т.-е. Ъ\\х — 18|я = 77.
Откуда 12|^=77 и х=6 часамъ.
Въ этой задачѣ мы уравниваемъ разстояніе, пройден-
ное каждымъ поѣздомъ въ х часовъ и изъ этого уравненія
опредѣляемъ число х. Мы имѣемъ два количества: раз-
стояніе и время; выражая разстояніе въ функціи времени,
получаемъ количественную функцію, которая выражаетъ
собою разстояніе АС при помощи данной скорости и вре-
мени. Точно также выражаемъ разстояніе ВС; эти раз-
стоянія отличаются другъ отъ друга на длину А В, кото-
рая намъ извѣстна и равна 77 верстамъ.
Сравнивая разстоянія, мы можемъ написать или
АВ^+ВС= АС или АС—ВС=АВ] въ обоихъ случаяхъ
мы въ правой и лѣвой части равенства имѣемъ одно и
то же разстояніе.

3) Возьмемъ еще функцію х=ъ™\ мы видимъ, что
эта функція представляетъ собою формулу, по которой
мы можемъ опредѣлить величину центральнаго угла во
всякомъ вписанномъ многоугольникѣ. Если намъ дано щ
то мы всегда можемъ узнать х. Положимъ теперь, что
мы хотимъ узнать, какой многоугольникъ имѣетъ цент-
ральный уголъ въ 30°.
Въ этой задачѣ мы знаемъ х, онъ равенъ 30°, намъ
нужно узнать, чему равно п. Чтобы узнать это, уравняемъ
нашу формулу -~ этому численному значенію х, и напи-
шемъ такъ 30=^. Равенство, которое мы получили,
называется уравненіемъ, потому что мы уравняли нашу
формулу нѣкоторому данному числовому значенію. По-
пробуемъ опредѣлить п; такъ какъ мы знаемъ, что и
всегда больше 3 и не молитъ быть равно о, то умножимъ
обѣ части нашего равенства на щ получимъ 30^ = 360;
откуда п = 3~ или п=12. Отсюда мы заключаемъ, что
въ правильномъ 12-угольникѣ центральный уголъ ра-
венъ 30°.
Но, если бы мы захотѣли узнать, въ какомъ много-
угольникѣ центральный уголъ равенъ 7°, то, поступая
ташке, получили бы, что п = Ц~ или п~ 51|.
Отвѣтъ получили нелѣпый. Отчего это произошло?
Могло быть оттого, что въ своихъ преобразованіяхъ мы
сдѣлали ошибку? Однако, каждое преобразованіе основано
на свойствахъ равенства, а эти свойства въ свою очередь
основаны на аксіомахъ; мы можемъ быть вполнѣ увѣрены,
что въ этой цѣпи преобразованій: 7=^; 7/г = 360; п = ~
ошибки нѣтъ—равенство не нарушалось, слѣдовательно и
п дѣйствительно должно быть равно 51 3/7. Поэтому намъ
надо искать ошибку въ другомъ мѣстѣ. Подумавъ хоро-
шенько, мы можемъ догадаться, да можетъ-ли быть та-
кой правильный многоугольникъ, чтобы его центральный
уголъ былъ 7°? Посмотрѣвъ на законъ измѣненія нашей
функціи, мы скажемъ, что такого многоугольника быть
не можемъ. Слѣдовательно намъ задана неправильная
задача.

4) Возьмемъ такую задачу «Часы проданы за 63 рубля,
при чемъ получена прибыль равная {- стоимости часовъ.
Сколько стоятъ часы?»
Здѣсь мы знаемъ продажную цѣну часовъ; если мы
эту продажную цѣну сумѣемъ выразить еще какъ нибудь,
то можемъ уравнять эти числа и составить уравненіе.
Для этого положимъ, что стоимость часовъ равна х, а
продажная цѣна состоитъ изъ стоимости и прибыли, но въ
задачѣ сказано, что прибыль равна і стоимости, т.-е. |.
Итакъ, если часы стоятъ х рублей, при продажѣ получено
прибыли I руб., то значитъ, они проданы за (# + £) рубл.,
а намъ сказано, что они проданы за 63 руб.
Уравнявъ эти количества, получимъ уравненіе
./; + * = 63
чтобы опредѣлить х, помножимъ обѣ части равенства
на 8, получимъ
8;г + ^ = 63Х8 или Э./; = 63. 8
Раздѣливъ на 9, находимъ #==^; х=56 руб.
5) Возьмемъ еще задачу: «Рабочіе въ первый день
выкопали і канавы, во второй 1 части, а въ третій осталь-
ныя 40 саженъ. Какъ велика длина канавы?»
Обозначимъ длину канавы черезъ х и выразимъ еже-
дневную работу рабочихъ: въ первый день они выкопали
і канавы, т.-е. £ саж.; во второй день \х или Ц- саж.,
а въ третій 40 саж. Слѣдовательно всего они выкопали
(£ + ~ + 40) саж., или всю канаву, т.-е. х саж. Здѣсь
мы получили одно и то же количество—длину канавы
въ видѣ двухъ функцій и можемъ написать, что
|+*_£ + 40 = tf.
Чтобы опредѣлить х, помножимъ обѣ части равенства
на 15, тогда
^ + !^_j-40.15 = 15# пли 5# + 6х + 40.15=15#
или 11 # + 40.15 = 15х.

Перенесемъ 11х въ правую часть,тогда 15.40= 15х—Их
или 15.40 = 4#. Раздѣлимъ обѣ части на 4, получимъ
х =15;40 или х = 150 саж.
§ 8. Анализъ предложенныхъ задачъ.
Разсмотримъ задачи, приведенныя въ предыдущемъ па-
раграфѣ, съ точки зрѣнія функціональной зависимости.
Такое разсмотрѣніе называется изслѣдованіемъ. Изслѣдо-
ваніе можетъ быть произведено только тогда, когда вели-
чины, входящія въ задачу выражены буквами; оно опре-
дѣляетъ, какъ измѣняется одна перемѣнная въ зависи-
мости отъ измѣненія другой.
Возьмемъ сначала наиболѣе простую задачу № 3.
Въ нее входятъ три количества: величина центральнаго
угла вписаннаго многоугольника,число его сторонъ и 360°.
Очевидно, что послѣднее количество 360° мѣняться не
можетъ, а потому называется величиной постоянной.
Согласно моей терминологіи, я буду его называть постоян-
нымъ количествомъ. Это постоянное количество имѣетъ
опредѣленное числовое значеніе, и это числовое значеніе
также не можетъ мѣняться. Такое постоянное количество,
которое всегда имѣетъ одно и то лее числовое значеніе,
я назову абсолютнымъ постояннымъ. Итакъ, задача
имѣетъ абсолютное постоянное 360° и двѣ перемѣнныя
величины: величину центральнаго угла х и число сто-
ронъ многоугольника п. Эти величины по своей функціо-
нальной зависимости связаны равенствомъ х = —. Если
одной изъ этихъ перемѣнныхъ мы придадимъ числовое
значеніе, то наше равенство переходитъ въ уравненіе,
изъ котораго можно опредѣлить числовое значеніе другой
перемѣнной. То перемѣнное, которому мы будемъ при-
давать числовыя значенія, называется независимымъ, а то,
которое будетъ получать вычисленный числовыя значенія
изъ полученнаго уравненія—зависимымъ перемѣннымъ; его
называютъ также и функціей перваго. Уравненіе х=™
показываетъ, что х есть функція п\ но съ одинаковымъ

правомъ мы можемъ написать и обратно п = ^у гдѣ п
есть функція х. Это наше право вытекаетъ изъ того, что
нѣтъ существеннаго различія между х и щ—каждая изъ
нихъ опредѣляется при помощи другой. Кромѣ того само
равенство х = ~ или н = -~ является слѣдствіемъ осно-
вного равенства .ТУ/= 360. Въ такомъ видѣ х и п совер-
шенно равноправны, а потому само равенство носитъ на-
званіе неявной функціи, т.-е. такой, въ которой мы не
выбрали еще независимое перемѣнное. Возьмемъ функціи)
х = ™ и будемъ ее изслѣдовать. При этомъ изслѣдованіи,
какъ мы уже видѣли (глава 4), уравненіе не всегда воз-
можно; оно возможно тогда, когда п имѣетъ цѣлыя чи-
словыя значенія и при томъ болѣе 3. Если ему придать
дробное значеніе или положить п = 2, то уравненіе те-
ряетъ смыслъ по свойству количествъ; но за исклю-
ченіемъ этого при всякомъ числовомъ значеніи и—коли-
чество х получаетъ опредѣленное числовое значеніе.
Если мы теперь возьмемъ обратную функцію п = ™,
то въ уравненіи числовыя значенія х оказываются еще
болѣе ограниченными: они должны подчиниться свойствамъ
числа п, и уравненіе теряетъ свой смыслъ всякій разъ,
какъ вычисленіе даетъ намъ или дробное п или w<3.
Отсюда мы видимъ, что свойства количествъ ограни-
чиваютъ нашъ произволъ приписывать для х или п чи-
словыя значенія, т.-е. ограничиваютъ возможность рѣше-
ній уравненія. Вслѣдствіи этого мы должны сказать, что
уравненія, вытекающія изъ функціональной зависимости
величинъ могутъ не имѣть рѣшеній. Это будетъ тогда,
когда данная задача составлена съ нарушеніемъ свойствъ
данныхъ количествъ. Напримѣръ, мы не можемъ найти
число сторонъ многоугольника, у котораго центральный
уголъ имѣлъ бы 19°.
Перейдемъ теперь къ анализу послѣдней задачи № 5,
которая дана въ слѣдующемъ видѣ: «Рабочіе вырыли въ
первый день і канавы, во второй | части, а въ третій
остальныя 40 саженъ. Какъ велика длина канавы?

Такія задачи рѣшались уже въ ариѳметикѣ, гдѣ былъ
такой способъ разсужденія:
Примемъ длину канавы за единицу, т.-е. представимъ
себѣ, что длина канавы есть нѣкоторое количество, спо-
собное дробиться на части; сосчитаемъ, какую часть этого
количества рабочіе сдѣлали въ 2 дня. Этотъ подсчетъ мы
можемъ сдѣлать только тогда, когда данныя дроби суть
части одного и того лее количества. Въ данной задачѣ
это условіе соблюдено, и мы имѣемъ право сложить і и |;
сумма і +1 даетъ намъ ~.
Слѣдовательно, благодаря тому, что данное количество—
длина канавы, способно дробиться, мы можемъ дѣлить
его на какія угодно части: оно было раздѣлено на 3 рав-
ныя части, потомъ на 5 равныхъ частей, а теперь мы
дѣлимъ его на 15 равныхъ частей, и говоримъ, что въ
2 дня рабочіе выкопали 11 такихъ пятнадцатыхъ частей.
Очевидно, что имъ осталось копать 4 пятнадцатыхъ части
или 40 саженъ. Значитъ 1 составляютъ 40 саженъ, а
і равна 10 сале, а во всей канавѣ будетъ 150 саж.
Такое ариѳметическое рѣшеніе нисколько не отлича-
ется отъ алгебраическаго рѣшенія, въ которомъ мы обо-
значаемъ длину канавы, не черезъ единицу, а полагаемъ,
что она содержитъ х саженъ. Тогда мы получаемъ право
уравнять число саженъ въ канавѣ, вычисляя это число
по частямъ *_[_2*-[-40 и взявъ его въ цѣломъ — х. По-
лучаемъ уравненіе, рѣшивъ которое, найдемъ тоже число 150.
Сопоставляя ариѳметическое рѣшеніе съ рѣшеніемъ
уравненія, мы и здѣсь находимъ полную аналогію: въ
уравненіи мы съ х дѣлаемъ совершенно тѣ же преобра-
зованія, которыя мы дѣлали съ единицей. Мы также
складываемъ * -J- ~у вычитаемъ эту сумму изъ цѣлаго х и
дѣлимъ 40 на полученный коэффиціентъ А.
Такое совпаденіе способовъ рѣшенія не является слу-
чайностью: оно является слѣдствіемъ того, что въ этой
задачѣ нѣтъ функціональной зависисимости двухъ вели-
чинъ, а есть только измѣненіе одной величины.
Разсмотримъ болѣе подробно содержаніе задачи. Оче-

видно, что мы можемъ придумать совершенно другія числа;
мы можемъ также взять за цѣлое не длину канавы, а
деньги, уплаченныя рабочимъ, постройку дома и тому по-
добное. Такимъ образомъ мы видимъ, что сущность за-
дачи состоитъ въ томъ, что взято нѣкоторое количество
какъ цѣлое, это цѣлое раздроблено на опредѣленныя части;
зная одну изъ этихъ частей, мы можемъ опредѣлить чи-
словую величину всего цѣлаго.
Дробленіе на части подчиняется закону числовыхъ
соотношеніи, главное и основное свойство которыхъ со-
стоитъ въ томъ, что 1) цѣлое всегда равно суммѣ своихъ
частей и 2) часть всегда меньше цѣлаго.
Изъ этихъ условій вытекаетъ и невозможность рѣше-
нія задачи, которая будетъ обусловлена неправильностью
ея заданія. Если мы въ задачѣ возьмемъ такія числа,
которыя будутъ противорѣчить основнымъ свойствамъ чи-
селъ, то рѣшеніе задачи невозможно.
Не трудно видѣть, что эта невозможность обусловли-
вается единственнымъ условіемъ, чтобы сумма данныхъ
дробей была меньше единицы. Если это условіе выполнено,
то задача всегда возможна.
Перейдемъ теперь къ разсмотрѣнію задачи № 4: «Часы
проданы за 63 рубля, при чемъ полученная прибыль
равна і стоимости часовъ. Сколько стоятъ часы?»
Если мы обобщимъ содержаніе этой задачи, уничто-
живъ наименованіе проданнаго товара—часы, и поставивъ
буквы вмѣсто чиселъ, то получимъ такую задачу: про-
данъ товаръ за а рублей, при чемъ полученная прибыль
равна - стоимости товара. Сколько рублей стоитъ товаръ?
Здѣсь мы имѣемъ три величины: покупная стоимость,
продажная стоимость и прибыль. Эти величины находятся
въ функціональной зависимости, которая выражается слѣ-
дующимъ ариѳметическимъ отношеніемъ.
Продажная стоимость—покупная стоимость = прибыли.
Въ данной задачѣ намъ неизвѣстна покупная стои-
мость, обозначимъ ее черезъ х, тогда ариѳметическое от-
ношеніе количествъ можно написать въ видѣ:
а — х = прибыль.

Если то при продажѣ получается прибыль, а
если а<.х, то получается убытокъ, этотъ убытокъ обо-
значается отрицательнымъ числомъ и его можно назвать
отрицательной прибылью. При такомъ пониманіи, мы имѣемъ
общую формулу функціональной зависимости трехъ вели-
чинъ. Изъ этой формулы мы видимъ, что если намъ
даны числовыя величины двухъ количествъ, то мы полу-
чаемъ уравненіе, изъ котораго можемъ вычислить третье
количество.
Отсюда слѣдуетъ, что если три величины имѣютъ
функціональную зависимость, выраженную однимъ равен-
ствомъ, то мы можемъ вычислить каждую изъ нихъ, когда
даны двѣ другія. Это заданіе можетъ быть дано и въ
видѣ новаго условія, такъ, напримѣръ, въ данной задачѣ
прибыль задана не числомъ, а опредѣленной частью по-
купной стоимости, т.-е. х. Это условіе не вытекаетъ изъ
свойствъ разсматриваемыхъ величинъ, оно придумано со-
ставителемъ и является дополнительнымъ условіемъ, ко-
торое позволяетъ одно изъ разсматриваемыхъ количествъ—
прибыль выразить въ функціи покупной стоимости: при-
быль равна і части покупной стоимости, т.-е. тогда
мы получаемъ уравненіе:
а — х = -
въ которомъ только одно неизвѣстное х.
Мы можемъ опредѣлить прибыль, какъ часть продаж-
ной стоимости, тогда она будетъ * и наше уравненіе при-
метъ видъ а — х = \*
Въ обоихъ случаяхъ мы имѣемъ при этомъ условіи
функціональную зависимость только двухъ величинъ, зная
одну, всегда можно вычислить другую.
Примѣчаніе. Рѣшеніе уравненія даетъ:
х = -^л или х = а-^ = а-^^).
Въ обоихъ случаяхъ п не есть количество, а число и
первая изъ этихъ формулъ собственно пишется такъ:
а : - а вторая а. ^=^.

Разсмотримъ еще вкратцѣ самыя количества: продаж-
ная стоимость и покупная стоимость. Если мы ограни-
чимся небольшимъ кругомъ личной жизни, то между этими
количествами нѣтъ никакой внутренней связи. Мы по-
купаемъ вещь въ магазинѣ и платимъ за нее столько,
сколько спрашиваетъ торговецъ, можемъ купить по слу-
чаю ту же вещь за очень дешевую цѣну. Когда намъ
случается продавать ту же вещь, то мы получаемъ столько,
сколько намъ даютъ, и вообще говоря, всегда меньше того,
что мы сами за нее заплатили. Если намъ и нужно бу-
детъ сравнить эти двѣ стоимости, то наше сравненіе бу-
детъ зависѣть отъ нашей воли, отъ нашего желанія; при
сравненіи мы можемъ опредѣлить прибыль или убытокъ.
Но, если мы представимъ себѣ не ограниченный кругъ
личной жизни, а всю совокупность жизненныхъ условій,
то увидимъ, что продажная и покупная стоимость есть
функція очень сложныхъ величинъ. Такъ, напримѣръ, по-
купная стоимость хлѣба зависитъ отъ урожая, стоимость
вещей зависитъ отъ количества ихъ производства и т. д.
Въ этомъ смыслѣ для мірового рынка сравненіе той и
другой стоимости есть опредѣленная функція особыхъ
условій, для которыхъ еще не найдено математическаго
выраженія. Изслѣдованіемъ этихъ условій занимается осо-
бая наука, которая называется политической экономіей.
§ 9. Значеніе коэффиціентовъ при х — въ количественномъ
уравненіи.
Намъ осталось разобрать рѣшенія двухъ задачъ § 7.
Возьмемъ первую изъ нихъ. «За 30 арш. сукна двухъ
сортовъ заплачено 128 руб., аршинъ 1-го сорта стоитъ
4 1/2- руб., а аршинъ 2-го сорта 4 руб. Сколько аршинъ
того и другого сорта было куплено?))
Разсмотримъ сначала, съ какими величинами мы встрѣ-
чаемся при рѣшеніи этой задачи. Здѣсь намъ дано общее
количество товара двухъ сортовъ, затѣмъ дана общая
стоимость этого товара и цѣнность каждаго сорта.
Общее количество товара. Въ задачѣ дано, что ку-

плено 30 аршинъ сукна двухъ сортовъ; оба сорта сукна
измѣряются одной и той же единицей — аршиномъ, по-
этому количество сукна того и другого сорта могутъ быть
сложены и даны ихъ суммы. Но общій типъ рѣшенія и
смыслъ полученныхъ равенствъ не измѣнится, если мы
возьмемъ разный товаръ, измѣренный разными единицами;
но тогда мы не можемъ найти сумму и должны дать от-
дѣльно: количество товара одного сорта и количество то-
вара другого сорта. Возьмемъ, напримѣръ, такую задачу:
«За 4 фунта чаю и 9 пудовъ сахару заплатили 93 рубля;
при этомъ пудъ сахару обошелся втрое дороже фунта чаю.
Сколько рублей платили за фунтъ чаю и пудъ сахару?»
Въ этой задачѣ также дано: количество товара двухъ
сортовъ, но товара разнаго, измѣреннаго разными едини-
цами, дана общая стоимость этого товара, требуется опре-
дѣлить цѣнность того и другого, при чемъ для этого
опредѣленія указана функціональная зависимость цѣн-
ности. Отличіе этой задачи отъ разсматриваемой состоитъ
въ томъ, что здѣсь ищется цѣнность, а тамъ она дана
и ищется количество; но такъ какъ мы вводимъ алгебраи-
чески подъ видомъ перемѣннаго х искомое количество,
то очевидно, что обѣ задачи будутъ имѣть одну и ту же
функціональную зависимость, которая должна быть уста-
новлена между данными величинами.
Среди этихъ величинъ количество товара можетъ
быть дано или въ видѣ суммы или въ видѣ отдѣльныхъ
количествъ, но стоимость должна быть дана общей.
Цѣнность товара, все равно будетъ ли она задана
или будетъ искомой, должна быть выражена или непо-
средственно (аршинъ одного сорта стоитъ 4 1/2 рубля, а
другого 4 руб.), или въ видѣ функціональной зависимости
(пудъ сахару стоитъ втрое дороже фунта чаю). При этомъ
нужно отмѣтить, что стоимость и цѣнность обыкновенно
измѣряются въ одной и той же единицѣ (рублемъ), но
могутъ быть даны равноцѣнныя количества; напримѣръ,
условіе второй задачи можно формулировать такъ: Сколько
стоитъ фунтъ чаю и пудъ сахару, если вмѣсто пуда са-
хару даютъ 3 фунта чаю? Въ такой формулировке дано,

что цѣнность пуда сахару равна цѣнности 3 фунтовъ
чаю, но эта цѣнность дана не въ рубляхъ, а въ равно-
цѣнныхъ количествахъ товара.
Разсмотрѣвъ входящія величины, составимъ уравненіе
для рѣшенія второй задачи. Положимъ, что цѣнность чая
въ фунтахъ равна х, т.-е., что фунтъ чая стоитъ х руб-
лей; тогда цѣнность сахара въ пуд ахъ будетъ 3 х рублей.
Куплено 4 фунта чаю, слѣдовательно стоимость чая
будетъ \х рублей, а стоимость 9 пудовъ сахара 9.3 я*
или 2 7.х рублей. Стоимость всего товара будетъ 4х-{-21 х
или 93 рубля. Итакъ 4^+27^ = 93 или 31х = 93, а
х = 3 рубля.
Теперь обобщимъ нашу задачу: обозначимъ общее ко-
личество купленнаго товара двухъ сортовъ черезъ а, стои-
мость его черезъ b, а цѣнность одного сорта будетъ
С руб., другого d руб., поставимъ вопросъ, сколько куп-
лено того и другого сорта. Обозначивъ черезъ х количе-
ство одного сорта, найдемъ, что количество другого бу-
детъ а—х; стоимость одного будетъ сх рублей, стоимость
другого (а— x)d. Слѣдовательно, оба сорта стоятъ
СХ-\-(а — x)d=b. Раскрывъ скобки въ этомъ уравненіи,
получимъ cx-j-ad — dx = b, или, взявъ х за скобки, мо-
жемъ написать, что (с— d)x-\-ad = b. Итакъ, общая стои-
мость b есть сумма двухъ стоимостей, изъ которыхъ одна
ad есть стоимость всего товара, если бы онъ былъ одного
сорта, а другое слагаемое есть ариѳметическое отношеніе
цѣнностей, умноженное на количество искомаго товара.
Если мы ad перенесемъ въ правую часть равенства, то
получимъ, что (c—d)x = b— ad, т.-е. ариѳметическое от-
ношеніе стоимостей будетъ представлять собою произве-
деніе ариѳметическаго отношенія цѣнности на искомое
количество товара одного сорта. Другими словами, это
есть то равенство, которое позволяетъ рѣшить задачу
ариѳметически.
Тамъ, мы говоримъ: положимъ, что весь товаръ бу-
детъ одного сорта, тогда онъ стоилъ бы ad рублей; но
онъ стоитъ Ъ рублей потому, что другой сортъ дешевле;
общая стоимость понижается на Ъ — ad рублей, т.-е. всѣ

аршины или фунты одного сорта будутъ дешевле на (с — сі)
рублей. Отсюда находимъ число единицъ мѣры.
Если бы мы черезъ х обозначили болѣе дорогой сортъ,
тогда с— d было бы число отрицательное; но и Ъ — ad
было бы также отрицательнымъ. Перемѣнивъ знаки во
всемъ уравненіи, получимъ (d—c)x = ad — b. Рѣшеніе
будетъ правильное.
Обобщимъ теперь рѣшеніе второй задачи. Пусть коли-
чество одного сорта товара будетъ а, другого с, общая
стоимость Ъ рублей. Опредѣлить цѣнность того и другого,
если одна изъ нихъ въ к разъ больше другой.
Обозначимъ цѣнность перваго черезъ х, тогда цѣн-
ность второго kx\ стоимость перваго будетъ ах, стоимость
второго ckx, общая стоимость ах+ckx = Ъ.
Разсмотримъ теперь оба уравненія:
сх + (а — x)d=b(первой задачи)
и ах-\-ckx = Ь (второй задачи).
Мы видимъ, что каждое изъ нихъ имѣетъ одинъ и
тотъ же смыслъ: въ томъ и другомъ стоимости заданія
сх-\-(а — x)d и ах + ckx уравнены данной стоимости b;
но въ первомъ уравненіи за неизвѣстное взято количе-
ство товара, а во второмъ цѣнность товара; въ первомъ
цѣнность дана с и d, а въ въ другомъ дано количество
а и с. Мы оба уравненія можемъ написать такъ:
(количество) X (цѣнность одного) + (количество) X
X (цѣнность другого) = стоимости.
Въ такомъ видѣ мы имѣемъ функціональную зависи-
мость между количествомъ,' цѣнностью и стоимостью въ
томъ случаѣ, когда дано 2 сорта товара.
Отсюда слѣдуетъ, что коэффиціентъ! при х въ урав-
неніи не являются произвольными числами, но количе-
ствами величинъ, имѣющими особый смыслъ, соотвѣт-
ственно условіямъ задачи.
Вслѣдствіе этого каждое преобразованіе количественнаго
уравненія можетъ быть разсматриваемо какъ новое свой-
ство изучаемыхъ количествъ, которое мы можемъ вскрыть,

подставивъ вмѣсто чиселъ разсматриваемыя величины.
Такое вскрытіе полученныхъ формулъ называется изслѣ-
дованіемъ задачи и представляется особенно важнымъ въ
вопросѣ о движеніи, къ которому мы и перейдемъ въ од-
номъ изъ слѣдующихъ параграфовъ.
§ 10. Задачи.
Рѣшить слѣдующія задачи ариѳметически и алгебраи-
чески. Показать изъ какихъ алгебраическихъ преобразо-
ваній получаются ариѳметическія рѣшенія.
1) Помѣщикъ купилъ 13 десятинъ лѣса и 25 деся-
тинъ пахотной земли, заплативъ за покупку 4060 рублей.
Сколько стоитъ десятина лѣса и десятина пахотной земли,
если первая обошлась на 20 рублей дороже?
Отв. 170 р.; 150 р.
2) Кассиръ продалъ 125 билетовъ перваго класса и
300 билетовъ второго класса на сумму 1400 рублей.
Сколько стоитъ билетъ каждаго класса, если билетъ пер-
ваго стоитъ рублемъ дороже билета 2-го класса?
Отв. 4 p.; 3 p.
3) На станціи было продано 75 билетовъ перваго
класса, 120 билетовъ второго и 212 билетовъ третьяго,
всего на сумму 3040 рублей. Найти цѣнность билета
каждаго класса, если билетъ перваго стоитъ 3-мя руб-
лями дороже второго и 7-ю рублями дороже билета 3-го
класса? Отв. 12 р.; 9 р.; 5 р.
4) На сумму 619 рублей продано 100 аршинъ сукна
двухъ сортовъ. Сколько аршинъ продано того и другого
сорта, если аршинъ перваго стоитъ 7 рублей, а аршинъ
второго 4 руб.? Отв. 73 арш.; 27 арш.
5) На постройку дома въ 4 недѣли было истрачено
672 руб., при чемъ были наняты плотники и сто-
ляры. Каждый столяръ получалъ 8 руб. въ недѣлю, а

каждый плотникъ 4 руб. Сколько было тѣхъ и другихъ,
если вмѣстѣ ихъ было 37 человѣкъ?
Отвѣтъ: 15 столяровъ и 12 плотниковъ.
§11. Изслѣдованіе функціональной зависимости въ вопросъ о
равномѣрномъ движеніи. Понятіе о скорости.
Если что нибудь, напримѣръ, поѣздъ желѣзной до-
роги, пароходъ, лошадь или человѣкъ, двигаются съ одной
и той же скоростью, то такое движеніе называется равно-
мѣрнымъ. По существу движеніе каждаго изъ этихъ пред-
метовъ не будетъ равномѣрнымъ, такъ какъ скорость из-
мѣняется во время движенія, но мы при разсчетахъ бе-
ремъ среднюю скорость, и принимаемъ все движеніе за
равномѣрное.
Такъ, напримѣръ, поѣздъ желѣзной дороги идетъ
скорѣе подъ гору, медленнѣе на подъемахъ и стоитъ на
станціяхъ; но разстояніе отъ Москвы до Петербурга, въ
604 версты, онъ проѣзжаетъ въ 10 часовъ, слѣдовательно
поѣздъ двигается со средней скоростью 60,4 версты въ
часъ.
Въ такомъ движеніи, мы имѣемъ слѣдующія вели-
чины: разстояніе, время и скорость.
Первая изъ этихъ величинъ измѣряется верстами, са-
женями, или другими единицами длины; вторая измѣря-
ется часами, минутами, секундами. Что касается до ско-
рости, то мы условимся измѣрять ее сложной единицей,
которую будемъ изображать въ видѣ дроби, въ числителѣ
единица длины, а въ знаменателѣ единица времени. Такъ
въ указанномъ примѣрѣ мы скажемъ, что средняя ско-
рость поѣзда равна 60,4 ^^а.
Измѣненіе какой-нибудь изъ этихъ единицъ мѣняетъ
и числовую величину скорости, такъ, напримѣръ, если мы
будемъ измѣрять разстояніе въ саженяхъ, то должны ско-
рость поѣзда выразить числомъ 30200 ^; если мы из-
мѣнимъ время и будемъ считать его въ минутахъ, то по-
лучимъ скорость 5032

Средняя скорость движенія нѣкоторыхъ предметовъ
точно опредѣлена, и таблица этихъ скоростей находится
въ справочныхъ книгахъ. Вотъ нѣсколько примѣровъ:
Человѣкъ идетъ шагомъ со средней скоростью 125
Быстроходный пароходъ движется со скоростью 8,5
Велосипедистъ 10
Бѣговая лошадь 12,5
Скорый поѣздъ 17
Почтовый голубь 27
Ласточка 67
Звукъ распространяется въ воздухѣ со скоростью 333
„ „ „ водѣ „ „ 1500
Точка экватора при суточномъ вращеніи земли 463
Свѣтъ распространяется со скоростью . . .300000
Скорость есть величина, а потому количества ея мо-
гутъ складываться и вычитаться, подчиняясь закону сло-
женія количествъ, который можно формулировать такъ:
«Чтобы найти число, выражающее сумму данныхъ одно-
родныхъ количествъ, мы должны предварительно выразить
каждое изъ нихъ числомъ одной и той яге единицы мѣры.
Сумма чиселъ и будетъ суммой количествъ».
Такое сложеніе (вычитаніе) намъ приходится дѣлать
тогда, когда мы имѣемъ сложное движеніе. Такъ, напри-
мѣръ, если быстроходный пароходъ будетъ плыть вдоль
экватора съ востока на западъ, то для пассажировъ этого
парохода скорость движенія вокругъ земной оси будетъ
меньше на 8,5 т.-е. она будетъ 454,5 вслѣд-
ствіе чего часъ измѣнится на 0,002 (приблизительно).
Возьмемъ такую задачу: лодка въ спокойной водѣ
движется со скоростью 40 Jjjj?: ^ рѣка течетъ со скоростью
3 вче|^. Какое разстояніе проплыветъ лодка противъ тече-
нія въ 3 часа? Здѣсь надо предварительно узнать, какъ
велика будетъ скорость движенія лодки противъ теченія.
Она будетъ равна разности скоростей 40 — — 3
чтобы вычислить эту разность, мы должны предварительно

выразить каждое количество въ одинаковыхъ единицахъ;
выразимъ скорость теченія въ единицахъ Для этого
обратимъ версты въ сажени, получимъ 1500 саж., потомъ
часы въ минуты, будетъ 60 минутъ; слѣдовательно ско-
рость теченія рѣки будетъ равна -~ ^ или 25 ^ Тогда
разность скоростей будетъ 40е-- — 25саж =15 — Съ этой
скоростью будетъ подвигаться лодка противъ теченія.
Чтобы узнать, какое разстояніе она пройдетъ въ 3 часа,
обратимъ часы въ минуты, получимъ 180 минутъ и умно-
жимъ 15 — на 180 мин., получимъ 2700 саж.
Это умноженіе мы дѣлаемъ на основаніи слѣдую-
щаго соотношенія: мы представляемъ количество скорости,
какъ бы въ видѣ произведенія 15 X ~ и время также
въ видѣ произведенія 180 X мин. Произведеніе коли-
чествъ 15 ^-Х^0 минут., мы представляемъ въ видѣ
15X180 ^Х мин. и, какъ бы сокращая наименованіе
минутъ, получаемъ разстояніе въ видѣ 15.180 саж.
§ 12. Изслѣдованіе функціональной зависимости количествъ
въ вопросъ о равномѣрномъ движеніи (продолженіе).
Перейдемъ теперь къ изслѣдованію функціональной за-
висимости между разстояніемъ, скоростью и временемъ.
Для этого обозначимъ разстояніе буквой s, скоростью—
буквой v и время—буквой
Здѣсь буквы s, v и / могутъ имѣть двоякое значеніе:
они могутъ обозначать самыя величины, т.-е. обозначимъ
величину разстоянія буквой s, величину времени—бук-
вой t и скорости буквой v\ но они могутъ обозначать и
числовыя количества этихъ величинъ, тогда s будетъ
s единицъ разстоянія, t единицъ времени и v единицъ
скорости. Намъ нужно найти функціональную зависимость
величинъ, но чтобы это сдѣлать, необходимо разсмотрѣть
числовыя значенія величинъ. Итакъ, пусть какое-нибудь
тѣло въ t единицъ времени проходитъ s единицъ раз-
стоянія; какое разстояніе оно проходитъ въ единицу вре-
мени? Вопросъ задачи мы можемъ формулировать иначе

какую скорость имѣетъ тѣло? потому что подъ словомъ
скорость мы понимаемъ разстояніе, проходимое тѣломъ въ
единицу времени.
Чтобы опредѣлить это разстояніе, надо s единицъ
длины раздѣлить на t единицъ времени. Такое дѣленіе
возможно только при допущеніи, что оно есть самостоя-
тельное дѣйствіе, посредствомъ котораго находится новая
величина, такой величиной будетъ скорость. Эту новую
величину мы находимъ такъ. Представимъ s единицъ
длины какъ кратное число единицы длины, т.-е. въ видѣ
s X (единицу длины) и время какъ кратное число единицы
времени, т.-е. /X (единицу времени), и тогда частное
ц единица длины_\ можетъ быть представлено какъ крат-
ное число новой величины скорости 4(единица ДЛИНЬІ); здѣсь
j даетъ числовую величину скорости, а выраженіе
единица длины служить единицей измѣренія этой новой вели-
чины, и мы можемъ написать, что *(*зи™чъ ^miu ) = v еди-
ницъ скорости.
Замѣняя числовыя значенія количествъ величины са-
мими величинами, получимъ ихъ функціональное соотно-
шеніе, которое и выразится такой алгебраической фор-
мулой:
°T = v.
Это функціональное соотношеніе связываетъ между со-
бою три количества: разстояніе, время и скорость.
Если эти количества будутъ даны въ числовомъ видѣ,
то по этой формулѣ мы можемъ написать уравненіе, изъ ко-
тораго можемъ опредѣлить скорость, зная разстояніе и
время; можемъ опредѣлить разстояніе, если извѣстны время
и скорость; наконецъ, можемъ опредѣлить время, когда
даны разстояніе и скорость.
Такъ какъ основныя аксіомы равенствъ одинаковы
для чиселъ и для количествъ, то равенство sT = v можно
написать и такъ s = vt.
Это равенство называется въ механикѣ уравненіемъ
равномѣрнаго движенія.

§ 13. Задачи.
1) Встрѣтились два поѣзда, выѣхавшіе изъ раз-
ныхъ городовъ; одинъ изъ нихъ ѣхалъ до встрѣчи 14 ча-
совъ со скоростью 24 а другой 17 часовъ со ско-
ростью 28 в~^. Какъ велико разстояніе между городами?
Отвѣтъ 812 верстъ.
2) Лошадь бѣжала 18 минутъ; въ каждыя 3 минуты
она пробѣгала 166 саженей, а поѣздъ желѣзной дороги
прошелъ это разстояніе въ 3 минуты. Опредѣлить ско-
рость поѣзда?
Отвѣтъ 332^
мин.
3) Путешественнику нужно проѣхать 346 верстъ; онъ
проѣхалъ 196 верстъ; съ какой скоростью онъ долженъ
ѣхать дальше, чтобы остальное разстояніе проѣхать въ
6 дней?
Отвѣтъ 25 5£Е^.
день
4) Поѣздъ, идя съ одною и тою же скоростью, про-
ходитъ растояніе въ 238 верстъ въ 7 часовъ. Черезъ
два часа послѣ выѣзда этого поѣзда со станціи отправле-
нія, вслѣдъ за нимъ отправляется другой. Съ какой ско-
ростью онъ долженъ ѣхать, чтобы догнать первый поѣздъ
на разстояніи 136 верстъ?
Отвѣтъ 68^^.
часъ
5) Два поѣзда выѣхали съ двухъ станцій, разстояніе,
между которыми равно 621 верстѣ, въ разное время
навстрѣчу другъ другу. Первый ѣхалъ со скоростью 30
а второй 27 Когда первый поѣздъ прошелъ разстоя-
ніе въ 270 верстъ, то онъ встрѣтилъ второй. На сколько
часовъ одинъ изъ нихъ выѣхалъ раньше другого?
Отвѣтъ на 4 часа.
6) Путешественникъ, отправившійся изъ Одессы на
лошадяхъ, двигается со скоростью 8 1/4 Спустя 6| часа
послѣ его отъѣзда по той же дорогѣ отправился курьеръ,

который двигается со скоростью 9| Черезъ сколько
часовъ онъ догонитъ перваго?
Отвѣтъ 47 1/4 часовъ.
7) Изъ городовъ А и Д между которыми 301 вер-
ста, отправились два поѣзда въ одно и то же время по
одному и тому же направленію. Изъ А вышелъ пассажир-
скій поѣздъ, который движется со скоростью 311
а изъ В товарный, движущійся со скоростью 18|
На какомъ разстояніи отъ города В они встрѣтятся?
Отвѣтъ 112 верстъ.
8) Вагонъ трамвая шелъ отъ станціи А къ станціи В
со скоростью 30 а обратно отъ A къ В со ско-
ростью 40 Сколько верстъ отъ А до Д если на
весь путь туда и обратно пошло 3 1/2 часа?
Отвѣтъ 60 верстъ.
9) Два тѣла движутся въ одну сторону изъ разныхъ
мѣстъ А и 2?, разстояніе между которыми равно 100 са-
женямъ. Первое, изъ В, движется со скоростью /ce*y^
второе, изъ А, въ 3 раза скорѣе. Гдѣ они встрѣтятся,
если начали двигаться одновременно?
Отвѣтъ 50 саж. отъ В.
10) Два тѣла двигаются въ одномъ и томъ же на-
правленіи по окружности круга, въ которой 100 футовъ,
начавъ свое движеніе съ одного и того же мѣста. Первое
движется со скоростью 5 *-у—, а второе 36 Черезъ
сколько секундъ оба тѣла будутъ вновь на одномъ и
томъ же мѣстѣ?
Отвѣтъ: черезъ 50 секундъ.
11) Пѣшеходъ долженъ былъ пройти нѣкоторое раз-
стояніе такъ, чтобы прибыть на мѣсто не позже извѣст-
наго срока. Пройдя въ 1 часъ 3 версты, онъ разсчиталъ,
что онъ опоздаетъ на 20 минутъ, если будетъ итти съ
той же скоростью, а потому онъ ускорилъ ходъ на \ версты
въ часъ и прибылъ на мѣсто за 40 минутъ до срока.

Какъ велико разстояніе, которое онъ долженъ былъ
пройти?
Отвѣтъ: 24 версты.
12) Три тѣла двигаются по одному и тому ж.е на-
правленію, и начинаютъ свое движеніе съ одной и той же
точки, со скоростью первое 4 второе 5 третье
6 Второе тѣло двинулось черезъ 2 часа послѣ пер-
ваго. Черезъ сколько времени послѣ отправленія второго
должно двинуться третье, чтобы догнать первое одно-
временно со вторымъ?
Отвѣтъ: черезъ 1 часъ 20 минутъ.
13) Собака гонится за лисицей, которая успѣла сдѣлать
60 скачковъ, и это составляетъ первоначальное разстоя-
ніе между ними. Собака дѣлаетъ 6 скачковъ въ то время,
когда лисица дѣлаетъ 9; но 9 лисьихъ скачковъ равны
3 собачьимъ. Сколько скачковъ должна собака сдѣлать,
чтобы догнать лису?
Отвѣтъ: 30 скачковъ.
14) Двое часовъ бьютъ одновременно, и слышно, что
ударили 19 разъ. Удары первыхъ часовъ слѣдуютъ черезъ
3 секунды, вторыхъ черезъ 4 секунды. Который былъ
часъ, если извѣстно, что первые часы опаздываютъ на
2 секунды?
Отвѣтъ: 11 часовъ.
ГЛАВА VI.
Отношенія.
§ 1. Понятіе о мѣрѣ и объ измѣреніи.
Разсмотримъ сначала двѣ линіи: если одна изъ нихъ
укладывается въ другой цѣлое число разъ, то первая на-
зывается мѣрой второй. Такъ наприм., дюймъ есть мѣра
аршина, потому что онъ укладывается въ немъ ровно
28 разъ. Точно также, если мы возьмемъ два сосуда: гра-

финъ и стаканъ; если въ графинъ наливается цѣлое число
стакановъ, то стаканъ есть мѣра графина.
Подобнымъ образомъ мы можемъ судить о мѣрѣ вся-
каго количества; признакомъ того, что данное количество
есть мѣра другого будетъ тотъ признакъ, что данное ко-
личество укладывается въ другомъ цѣлое число разъ.
Мѣра должна обладать двумя свойствами: 1) она
должна быть однородна съ измѣряемымъ количествомъ и
2) должна укладываться и содержаться въ измѣряемомъ
количествѣ цѣлое число разъ.
Слѣдствіе. Отсюда слѣдуетъ, что всякая часть мѣры
будетъ также служить мѣрой даннаго количества. Если
въ графинѣ 8 стакановъ, то въ немъ будетъ 80 десятыхъ
частей стакана.
На практикѣ обыкновенно принято измѣрять всѣ
количества особой заранѣе принятой мѣрой или частью ея.
Такъ мы говоримъ: длина стола 2 аршина; вѣсъ хлѣба
15 лот., при чемъ, если данное количество не измѣряется
въ цѣлыхъ единицахъ, то пользуются дробями, т.-е. ча-
стями единицы. Такое измѣреніе практически настолько
удобно, что не только считается необходимымъ, но и обя-
зательнымъ. Но это будутъ единицы измѣренія, а не мѣра,
подъ словомъ мѣра мы будемъ всегда понимать такое ко-
личество, которое въ другомъ количествѣ содержится не-
премѣнно цѣлое число разъ.
§ 2. Общая мѣра двухъ линій.
Положимъ намъ даны двѣ линіи АВ и CD и (черт. 25)
требуется найти такую линію, которая была бы мѣрой
A f в
с МО

той и другой, т.-е. укладывалась бы въ той и другой
линіи цѣлое число разъ. Если линія CD укладывается
въ АВ цѣлое число разъ, то сама СВ и будетъ общей
мѣрой той и другой линіи. Поэтому отложимъ СВ на АВ]
мы видимъ, что она уложилась 3 раза и еще остался
остатокъ FB\ значитъ СВ не будетъ общей мѣрой этихъ
линій. Теперь, если FB уложится на CD цѣлое число
разъ, то очевидно, что онъ уложится и въ АВ цѣлое
число разъ, поэтому отложимъ IB на CD. Мы видимъ,
что онъ уложился 2 раза и остался остатокъ MD.
Объ этомъ остаткѣ мы мол^емъ сказать то же самое,
что и о FB, а потому отложимъ его на IB; мы видимъ,
что онъ уложился ровно 3 раза. Мы говоримъ, что линія
MD будетъ общей мѣрой данныхъ линій АВ и CD.
Въ самомъ дѣлѣ, обозначимъ для удобства отрѣзокъ MD
буквой к; тогда мы можемъ написать, что ІВ=3k,
но мы видимъ, что CD = 2 FB-\-MD, значитъ CD = 6 A + к
или CD = 7 к.
Линія АВ= 3CD+IB, т.-е. АВ=21 к + Зk; АВ=2±к.
Итакъ, вычисленіе показываетъ, что отрѣзокъ MB уклады-
вается въ CD семь разъ, а въ АВ двадцать четыре раза;
значитъ онъ и есть общая мѣра этихъ линій.
Очевидно, что всякая часть этого отрѣзка будетъ также
мѣрой данныхъ линій, но наибольшая общая мѣра есть
MB или К.
§ 3. Наибольшій дѣлитель двухъ цѣлыхъ чиселъ.
Такъ какъ мы всегда имѣемъ дѣло съ количествами,
выраженными въ числахъ, то наибольшей общей мѣрой
двухъ какихъ угодно количествъ будетъ такое количество,
которое соотвѣтствуетъ наибольшему дѣлителю данныхъ
чиселъ. Посмотримъ, какъ отыскать такого дѣлителя.
Пусть намъ даны два числа 3799 и 1703 и требуется
найти самое большое число, на которое дѣлилось бы и
то и другое.
Будемъ разсуждать точно также: попробуемъ, не бу-

детъ ли меньшее число 1703 наибольшимъ дѣлителемъ и
раздѣлимъ 3799 на 1703
3799
3406
1703
2
393
Мы видимъ, что оно не дѣлится и получается оста-
токъ 393. Мы можемъ написать 3799 = 2.1703 + 393.
Если бы 1703 раздѣлилось на 393, тогда каждое слага-
емое раздѣлится на 393, слѣдовательно и сумма 3799
также раздѣлится. Такъ попробуемъ, не раздѣлится ли
1703 на 393;
1703
1572
393
4
131
Мы видимъ, что 1703 также не дѣлится на 393 и
получается остатокъ 131. Мы можемъ написать
1703 = 393. 4 + 131. Относительно остатка 131 можно
сказать то же самое, что мы говорили о 393. Поэтому
раздѣлимъ 393 на 131, получимъ
393
393
131
3
Оказывается 393 дѣлится на 131, и число 131 бу-
детъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ 3799 и 1703.
Въ самомъ дѣлѣ, обозначимъ для ясности число 131 бук-
вой к, тогда очевидно, 393 = 3 Ж. Число 1703=393.4+131,
т.-е., 1703 = 12 к+ Зk или 1703 = 13 А. Число
3799 = 1703.2+ 393 или 3799=26 Ж+З Ж, т.-е. 3799=29/;.
Итакъ, оба числа 3799 и 1703 имѣютъ общую мѣру
число 131, которая и называется ихъ общимъ наиболь-
шимъ дѣлителемъ. Отысканіе общаго наибольшаго дѣли-
теля обыкновенно располагается такъ
2
4
3
3799
1703
"393
131
3406
1572
393
~:393
131

§ 4. Несоизмѣримыя количества.
Можетъ случиться, что какъ бы мы далеко не от-
кладывали остатка на линіи ни одинъ изъ нихъ въ преды-
дущемъ не уложится точно, такъ напримѣръ сторона ква-
драта и его діоганаль обладаютъ этимъ свойствомъ. Такія
линіи не имѣютъ общей мѣры и называются несоизмѣ-
римыми.
Напримѣръ, аршинъ и метръ несоизмѣримы. Точно
также могутъ быть несоизмѣримы два сосуда, двѣ площади
и т. п.
Время, въ теченіе котораго земля обращается около своей
оси, несоизмѣримо съ временемъ, въ теченіе котораго она
обращается около солнца. Вообще въ явленіяхъ природы
мало соизмѣримыхъ величинъ. Для несоизмѣримыхъ вели-
чинъ мы не можемъ найти какую-либо мѣру, тогда бе-
ремъ самую маленькую мѣру, напр. миллиметръ и измѣ-
ряемъ ихъ приблизительно, пренебрегая неточностью, какъ
мы дѣлали, отбрасывая дроби, при геометрическомъ пред-
ставленіи измѣненій функціи у = 180 (/t~2>.
Съ другой стороны недостатки нашихъ измѣритель-
ныхъ приборовъ заставляютъ насъ всегда измѣрять коли-
чества только приблизительно, и практическая жизнь
легко мирится съ нѣкоторыми неточностями измѣреній.
Вслѣдствіе этого всякое количество мы можемъ выразить
числомъ. Когда количество выражено числомъ, то считается
соизмѣримымъ съ единицею мѣры, такъ что количества въ
числовомъ видѣ всегда соизмѣримы, если они измѣрены
одной и той же единицею или если соизмѣримы единицы
мѣръ. Напримѣръ, если одна длина дана въ аршинахъ, а
другая въ футахъ, то эти длины соизмѣримы, такъ какъ
аршинъ и футъ имѣютъ общую мѣру—дюймъ; если же
одна длина измѣрена въ аршинахъ, а другая въ метрахъ,
то эти длины несоизмѣримы, и мы только приблизительно
можемъ одну изъ нихъ перевести въ другую, полагая, что
метръ равенъ 22 1/2 вершк. Тогда V вершка будетъ ихъ
общей мѣрой.

Итакъ, если два количества измѣрены одной и той же
единицей и выражены числомъ, то единица измѣренія
будетъ ихъ общей мѣрой, однако не всегда наибольшей;
они могутъ имѣть большую общую мѣру. Такъ, напри-
мѣръ, аршинъ и футъ имѣютъ общей мѣрой дюймъ, но и
два дюйма будетъ ихъ общей мѣрой, и четыре дюйма будетъ
также ихъ общей мѣрой, которая въ аршинѣ укладыва-
ется 7 разъ, а въ футѣ 3 раза. Слѣдовательно, наиболь-
шая общая мѣра для аршина и фута будетъ 4 дюйма.
Итакъ, по отношенію къ количествамъ мы устанавли-
ваемъ ихъ соизмѣримость и несоизмѣримость. Разсмотримъ
теперь числа. Если при отысканіи общаго наибольшаго
дѣлителя мы получимъ въ остаткѣ единицу, то это зна-
читъ, что единица будетъ наибольшимъ дѣлителемъ дан-
ныхъ чиселъ, но единица всегда будетъ дѣлителемъ вся-
каго числа, слѣдовательно ее и нельзя принимать за дѣли-
теля. Лучше сказать такъ: всякія два числа имѣютъ об-
щимъ наименьшимъ дѣлителемъ единицу. Если единица
является единственнымъ общимъ дѣлителемъ чиселъ,
то числа называются взаимно простыми. Напримѣръ, числа
15 и 14 имѣютъ единственнымъ общимъ дѣлителемъ еди-
ницу, поэтому они взаимно простыя, хотя каждое изъ
нихъ и имѣетъ своихъ дѣлителей: число 15 дѣлится
на 5 и на 3, а 14 дѣлится на 7 и на 2, но ни одинъ
изъ нихъ не будетъ общимъ для того и другого числа.
Положимъ теперь, что мы имѣемъ два количества, из-
мѣренныя одной и той же мѣрой, такъ что каждое изъ
нихъ дано намъ въ видѣ числа. Если эти числа имѣютъ
общаго наибольшаго дѣлителя, то этотъ общій наиболь-
шій дѣлитель будетъ выражать собою то количество, ко-
торое является въ то же время наибольшей общей мѣрой;
если эти числа будутъ взаимнопростыми, то наибольшей
общей мѣрой количествъ будетъ единица измѣренія. Если
мы имѣемъ два однородныя количества, измѣренныя раз-
ными мѣрами, то эти количества будутъ соизмѣримы, если
единицы измѣренія соизмѣримы, и они будутъ несоизмѣ-
римы, когда несоизмѣримы единицы мѣръ.

§ 5. Сравненіе количествъ.
По естественному стремленію къ познаванію мы всѣ
предметы сравниваемъ между собою, при чемъ это сра-
вненіе производимъ или по ихъ вѣсу, или по объему, ко-
торый они занимаютъ, или но длинѣ и т. п.
То качество, по которому производится сравненіе, назы-
вается величиной. Такъ какъ мы можемъ сравнивать ме-
жду собою только однородные предметы, то понятіе вели-
чины позволяетъ намъ произвести сравненіе не только
однородныхъ, но и разнородныхъ предметовъ; напримѣръ,
мы можемъ сравнить длину стола и длину комнаты, вѣсъ
хлѣба и вѣсъ мяса и т. д. Обыкновенно мы дѣлаемъ сравне-
ніе приблизительно, на глазъ; но иногда намъ бываетъ необхо-
димо болѣе точное сравненіе, при этомъ всегда мы задаемъ
себѣ два вопроса: на сколько одно больше другого и во сколько
разъ одно больше другого. Такъ, напр., мы сразу можемъ
сказать, что длина комнаты больше длины стола, но не
сумѣемъ безъ точнаго измѣренія сказать, во сколько разъ
длина комнаты больше длины стола. Если мы смѣримъ
аршиномъ ту и другую длину, и выразимъ ихъ въ чи-
слахъ, то можемъ отвѣтить на оба вопроса; первый рѣ-
шаемъ вычитаніемъ, а второй дѣленіемъ. Пусть длина
комнаты 15 аршинъ, а длина стола 2 аршина; мы гово-
римъ: комната длиннѣе стола на 13 аршинъ и длина ком-
наты больше длины стола въ 1-\ разъ; эта \ не мѣшаетъ
нашему сужденію, хотя подъ словомъ «разъ» мы всегда
представляемъ себѣ цѣлое, но въ то же время хорошо
понимаемъ возможность быть больше въ 1\ разъ.
Итакъ, чтобы сравнить между собою какіе-либо пред-
меты, мы должны выбрать такой признакъ или качество,
которое принадлежитъ всѣмъ сравниваемымъ предметамъ,
т.-е., найти величину, по которой мы будемъ сравнивать,
и опредѣлить въ числахъ количество этой величины въ
каждомъ предметѣ. Тогда разность чиселъ покажетъ намъ
на сколько одно количество больше другого, а частное
покажетъ, во сколько разъ одно количество больше дру-
гого при чемъ возможно и полученіе дробей.

Условимся, подъ словомъ сравненіе понимать только
второй случай, т.-е. сравнивать количества всегда по во-
просу, во сколько разъ одно изъ нихъ больше другого, и
такое сравненіе назовемъ отношеніемъ.
§ 6. Определеніе понятія отношеніе; его знакъ.
Отношеніемъ называется сравненіе двухъ однородныхъ
количествъ по вопросу, во сколько разъ одно количество
больше другого.
Такъ какъ дѣйствіе, посредствомъ котораго мы узнаемъ
во сколько разъ одно количество больше другого, есть
дѣленіе, то и знакъ отношенія есть знакъ дѣленія. По-
ложимъ, что намъ нужно выразить отношеніе 5 фут. къ
3 фут., мы пишемъ 5 футовъ : 3 фут. или и чи-
таемъ это выраженіе такъ: «5 футовъ относятся къ 3 фу-
тамъ», или такъ: «отношеніе 5 футовъ къ 3 футамъ».
§ 7. Числовая величина отношенія двухъ линій.
Положимъ, что намъ даны двѣ линіи, длину которыхъ
мы не знаемъ и требуется опредѣлить отношеніе этихъ
линій. Мы можемъ измѣрить каждую изъ этихъ линій
въ милиметрахъ и выразить ту и другую числомъ. Тогда
отношеніе чиселъ и будемъ отношеніемъ линій. Но мы
осложнимъ свою задачу требованіемъ, — найти отношеніе
данныхъ линій, не измѣряя ихъ какой либо общепринятой
единицей. Для этого, найдемъ общую мѣру для данныхъ
линій. Если линіи соизмѣримы, то намъ удастся это
сдѣлать, если онѣ несоизмѣримы, то мы не найдемъ общей
мѣры. Положимъ, что линіи соизмѣримы и пусть общая
мѣра въ одной линіи содержится 17 разъ, а въ другой 5
разъ, тогда мы говоримъ, что отношеніе данныхъ линій
равно 17:5, т.-е. одна изъ нихъ больше другой въ
3 2/5 раза.
Разсмотримъ это выраженіе нѣсколько подробнѣе. На-
рисуемъ двѣ линіи АВ и CD, (черт. 26) найдемъ ихъ
общую мѣру и обозначимъ ее буквой к.

Черт. 26.
Продѣлавъ все то, что было указано въ § 2, мы уви-
димъ, что АВ=П к и СВ=5k. Такъ какъ к одно и
то же, то очевидно, что линія АВ больше линіи CD во
столько разъ, во сколько число 17 больше числа 5; но
17 больше 5 въ 3'і раза, слѣдовательно АВ:СВ = Щ
или
Итакъ, чтобы найти числовую величину отношенія
двухъ соизмѣримыхъ линій, нужно найти ихъ общую мѣру
и опредѣлить, сколько разъ эта общая мѣра уклады-
вается въ той и другой линіи: отношеніе полученныхъ
чиселъ и будетъ показывать числовую величину отноше-
нія линій.
Такъ какъ это будетъ наибольшая общая мѣра, то
полученныя числа будутъ всегда взаимно простыми.
§ 8. Числовая величина отношенія двухъ чиселъ.
Чтобы найти числовую величину отношенія двухъ чи-
селъ, достаточно раздѣлить одно число на другое, тогда
частное и даетъ искомую величину. Однако, въ интересѣ
дальнѣйшаго, мы условимся находить эту числовую вели-
чину болѣе сложнымъ путемъ, аналогично тому, какъ мы
дѣлали это при отысканіи отношенія двухъ линій. Поло-
жимъ, что намъ даны два числа 508 и 381 и требуется
найти ихъ отношеніе. Въ геометріи мы отыскивали
общую мѣру двухъ линій, а мы знаемъ, что общей мѣрой
двухъ чиселъ будетъ ихъ общій наибольшій дѣлитель, поэто-
му, найдемъ общаго наибольшаго дѣлителя данныхъ чиселъ.
1
3
508
381
127
381
381
127
0

Мы видимъ, что общій наибольшій дѣлитель будетъ 127,
обозначимъ его буквой к, и раздѣлимъ каждое изъ дан-
ныхъ чиселъ на 127, получимъ:
508 : 127 =4 и 381 : 127 = 3.
Значитъ 508 = 4 к и 381 = 3/>\ Тогда числовая вели-
чина отношенія 508:381=4 или 11.
Если данныя числа будутъ взаимно-простыя, то само
ихъ отношеніе будетъ служить числовой величиной отно-
шенія этихъ чиселъ.
§ 9. Числовая величина отношенія двухъ количествъ.
Такъ какъ данныя намъ количества выражаются всегда
въ видѣ чиселъ, то чтобы опредѣлить отношеніе количе-
ствъ мы находимъ числовую величину отношенія чиселъ, ихъ
замѣняющихъ, и считаемъ отношеніе количествъ равнымъ
отношенію чиселъ.
§ 10. Задачи.
1. Найти отношеніе цѣнности денегъ русскихъ и фран-
цузскихъ, если извѣстно, что на 300 рублей въ банкѣ
даютъ 800 франковъ? Отв. 3:8.
2. Найти отношеніе градусовъ Реомюра и Цельсія,
если извѣстно, что разстояніе отъ точки замерзанія 0°до
точки кипѣнія воды у Реомюра, раздѣлено на 80 частей,
а у Цельзія на 100? Отв. 4:5.
3. Найти отношеніе количествъ березовыхъ и осино-
выхъ дровъ, равной стоимости, если извѣстно, что 100 са-
женъ березовыхъ дровъ стоитъ столько же, сколько стоятъ
125 саж. осиновыхъ? Отв.
§ 11. Опредѣленіе числовой величины отношенія несоизмѣри-
мыхъ линій.
Положимъ теперь, что данныя намъ линіи А В и CD
несоизмѣримы, тогда мы не можемъ точно найти число-
вую величину ихъ отношенія и должны сдѣлать это при-
ближенно. Для этого, раздѣлимъ меньшую линію на сколько
нибудь равныхъ частей, положимъ на 7 и седьмую часть

этой линіи отложимъ на большой, пусть она уложилась
25 разъ и остался остатокъ меньшій чѣмъ седьмая часть
линіи; тогда мы заключаемъ, что отношеніе ^ больше
чѣмъ 25 : 7, т.-е. 34; но меньше чѣмъ отношеніе 26 : 7,
т.-е. З 5/7-. Это можно записать такъ: 3 4/7<^<3 5/7. Обык-
новенно принимаютъ, что искомое отношеніе равно мень-
шему изъ этихъ чиселъ, и говорятъ, что ^ равно 31 съ
точностью до т.
§ 12. Члены отношенія и ихъ зависимость.
Положимъ, что мы имѣемъ два количества; одно изъ
нихъ обозначимъ буквой т, а другое щ отношеніе ихъ
будетъ - и пусть числовая величина этого отношенія
равна к, такъ что ~ = к.
Количество т называется предыдущимъ членомъ от-
ношенія; количество п— послѣдующимъ, а число к зна-
менателемъ отношенія.
Такъ какъ числовая величина отношенія находится
посредствомъ дѣленія, а само отношеніе имѣетъ видъ дроби,
то свойства дѣленія и свойства дроби въ то же время
будутъ служить и свойствами отношенія.
Изъ дѣйствія дѣленія мы выводимъ слѣдующую за-
висимость членовъ отношенія:
1) Предыдущій членъ равенъ послѣдующему, умно-
женному на знаменатель отношенія, т.-е. т = пЛ, потому
что т есть дѣлимое, п— дѣлитель, а к— частное, а
мы знаемъ, что дѣлимое равно дѣлителю, умноженному
на частное.
2) Послѣдующій членъ равенъ предыдущему, раздѣлен-
ному на знаменателя отношенія.
§ 13. Свойства отношенія.
Изъ того, что отношеніе можетъ быть разсматриваемо
какъ дробь, оно обладаетъ и свойствами дроби.
1) Если отношеніе равно единицѣ, то данныя коли-
чества равны между собою.

2) Два отношенія равны, если ихъ знаменатели равны.
3) Если оба члена отношенія мы раздѣлимъ на одно
и то же число, то числовая величина отношенія останется
та же.
4) Если оба члена отношенія умножимъ на одно и
то же число, то числовая величина отношенія останется та же.
5) Если мы имѣемъ рядъ равныхъ отношеній, то сумма
предыдущихъ относится къ суммѣ послѣдующихъ, какъ
каждый предыдущій къ своему послѣдующему.
Это послѣднее свойство не вытекаетъ изъ свойствъ
дробей, и потому въ справедливости его нужно убѣдиться
при помощи особаго доказательства. Пусть намъ дано,
что 1=~ = т и нужно доказать, что ?t!“!“w — % = % = -
b d п J n ' b + d-\-n b d n
Обозначимъ знаменателя каждаго изъ равныхъ отношеній
буквой к, тогда \ = к\ - = к и - = к. По свойству чле-
новъ отношеній мы можемъ написать:
а = b. к
с = d.k
т=п. к
Сложимъ эти равенства другъ съ другомъ почленно,
т.-е., будемъ складывать отдѣльно ихъ лѣвыя части и
отдѣльно—правыя части. Тогда a-\-C-\-ni = bk^rdk-\-nk.
Правая часть полученнаго равенства, содержитъ общаго
множителя к, котораго мы можемъ взять за скобку, по-
тому что мы знаемъ, что умножить сумму на какое-ни-
будь число все равно, что каждое слагаемое умножить
на это число, слѣдовательно bk-\-dk-\-nk можно написать
въ видѣ (b-±-d-\-n)k.
Итакъ, a^c-\-m = (b-\-d-\-n)k. Раздѣлимъ теперь обѣ
части, полученнаго равенства на сумму (b-^d-^n), по-
лучимъ
а + с + т 7
. = /ь»
а -\- a -f w
т.-е., знаменатель новаго отношенія остался такимъ же,
значитъ и отношеніе не измѣнилось и аи + сЛт = т = -5 =-.

ГЛАВА VII.
Правило пропорціональнаго дѣленія.
§ 1. Дѣленіе цѣлаго на равныя части.
Если намъ дано какое нибудь количество, которое вы-
ражено числомъ и требуется раздѣлить его на равныя
части, то для этого достаточно раздѣлить число на дан-
ное число частей. Пусть, напримѣръ, 4000 руб. требуется
раздѣлить на 5 равныхъ частей. Каждая часть будетъ
равна 4000 : 5 = 800 руб.
Количество 800 руб. называется 1/5 частью количе-
ства 4000 руб. Но, если количество не выражено чис-
ломъ, то способъ дѣленія его на равныя части не всегда
возможенъ. Мы можемъ раздѣлить на равныя части от-
рѣзокъ прямой линіи (Гл. 1, § 14), можемъ еще раздѣлить
уголъ, но только на части, число которыхъ есть степень 2,
т.-е. можемъ раздѣлить пополамъ, на 4 части, на 8 ча-
стей и т. д.
Дѣленіе угла пополамъ производится слѣдующимъ по-
строеніемъ (черт. 27).
Черт. 27.
Возьмемъ какой нибудь уголъ ABC, произвольнымъ
радіусомъ проведемъ дугу AC и изъ точекъ A и C тѣмъ
же радіусомъ проведемъ дуги, которыя пересѣкутся въ

точкѣ В] соединимъ В съ Д линія ВВ будетъ дѣлить
уголъ ABC пополамъ. Чтобы убѣдиться въ этомъ, доста-
точно чертежъ перегнуть по линіи ВВУ и мы увидимъ,
что тогда линія ВС совпадетъ съ линіей В А.
Очевидно,что такимъ же пріемомъ мы можемъ уголъ DBC
раздѣлить пополамъ, и уголъ ABB также пополамъ, тогда
уголъ ABC раздѣлится на 4 части.
Дѣлить уголъ на 3 части мы уже не съумѣемъ.
Если намъ дано какое либо жидкое или сыпучее тѣло,
то мы можемъ при помощи вѣсовъ раздѣлить его попо-
ламъ, отсыпавъ на обѣ чашки вѣсовъ части этого тѣла и
уравнивая вѣсъ обѣихъ частей.
Вслѣдствіе сложности такихъ процессовъ дѣленія, при-
нятъ всегда такой способъ: выразить данное количество
числомъ и раздѣливъ число, отмѣрить указанную часть.
Такъ, напримѣръ, если намъ нужно уголъ раздѣлить
на 5 равныхъ частей, то мы измѣримъ его въ градусахъ,
число этихъ градусовъ раздѣлимо по 5, и отложимъ полу-
ченный уголъ. Совершенно также, чтобы найти 5-ую часть
даннаго вѣса, мы измѣримъ вѣсъ тѣла, раздѣлимъ полу-
ченное число на 5 и потомъ отвѣсимъ полученную часть.
§ 2. Дѣленіе на части неравныя.
Когда цѣлое приходится дѣлить на части неравныя,
то мы должны имѣть условіе для опредѣленія величины
этихъ частей. Самое простое изъ этихъ условій будетъ то,
когда каждая часть есть кратная одной изъ нихъ. Возь-
мемъ сначала случай, когда требуется раздѣлить цѣлое
на двѣ части, изъ которыхъ одна есть кратная другой.
Пусть будетъ дана такая задача: «Раздѣлить 2 пуда на
двѣ части, изъ которыхъ одна была бы въ 4 раза больше
другой». Для рѣшенія этой задачи, обозначимъ искомую
меньшую часть черезъ х, тогда большая часть будетъ 4 х\
слѣдовательно 2 пуда будетъ составлять сумму двухъ ча-
стей ^ и т.-е. #-|_4#= 2 пуда; откуда 5x = 2 пуда.
Рѣшивъ это уравненіе, найдемъ, что х = і пуда, или
16 фунтовъ. Такія задачи мы рѣшали въ ариѳметикѣ,

пользуясь слѣдующимъ разсужденіемъ: очевидно, что боль-
шая часть есть кратная меньшей, т.-е. меньшая является
общей наибольшей мѣрой для себя и для большей части.
Принявъ эту часть за единицу, мы найдемъ, что въ боль-
шей содержится 4 такихъ единицы, а во всемъ цѣломъ,
т.-е. въ 2 пудахъ, 5 такихъ единицъ. Раздѣливъ 2 пуда
на 5, найдемъ величину единицы, т.-е. общей наиболь-
шей мѣры данныхъ частей.
Это ариѳметическое разсужденіе легко обобщается алге-
браической формулой. Возьмемъ общую задачу: «Количе-
ство а раздѣлить на 2 части, изъ которыхъ одна въ п
разъ больше другой». Обозначивъ меньшую часть черезъ х,
мы для большой получимъ их, слѣдовательно х+nx = а
или х(n+1) = а, откуда х = ~-.
Если за х мы примемъ не меньшую, а большую часть,
тогда меньшая будетъ наше уравненіе приметъ видъ:
x-\-Z=a,n рѣшеніе его можетъ быть дано въ двухъ видахъ:
1) Умножимъ все уравненіе на ?г, тогда xn+x = an
или х(п-\-1) = аи, откуда х = -™-. 2) Возьмемъ х за
скобки, тогда х(1 -|-і) = а, откуда х— —. Нетрудно
показать, что оба рѣшенія представляютъ собою одну и
ту же формулу.
Задача, рѣшенная въ такомъ видѣ, можетъ быть
формулирована такъ: раздѣлить количество а на двѣ части,
изъ которыхъ одна составляетъ n-ую часть другой.
Сличая обѣ формулировки, мы видимъ, что если одна
часть есть кратная другой, то въ то же время вторая
есть доля первой.
Это новое понятіе доли приводитъ насъ къ вопросу, мо-
жетъ ли быть число п дробнымъ. По существу п не мо-
жетъ быть дробнымъ; но въ наукѣ и въ жизни числу п
приписывается и дробное значеніе. Такъ, иногда говорятъ:
одна часть больше другой въ 2| раза. Такое выраженіе
имѣетъ слѣдующій смыслъ: меньшая часть не является
общей мѣрой, она не укладывается въ большей цѣлое
число разъ; но \ доля этой части монетъ быть общей

мѣрой и уложится въ большей 13 разъ, ибо 2| =Ц. Изъ
формулы очевидно, что рѣшеніе задачи не измѣнится и
меньшая часть х по прежнему будетъ равна а боль-
шая часть только число п будетъ смѣшанное.
Нетрудно видѣть, что п можетъ быть и правильной
дробью, напримѣръ п = \, ибо тогда можно сказать, что
одна часть составляетъ \ другой. При этомъ, мирясь нѣ-
сколько съ несовсѣмъ правильнымъ оборотомъ рѣчи, мы
можемъ сказать, что одна часть въ \ раза больше другой.
Итакъ, если намъ нужно какое-нибудь количество а
раздѣлить на двѣ неравныя части, то здѣсь могутъ быть
слѣдующіе случаи:
1) одна часть кратная другой—больше другой въ и
разъ; 2) одна часть составляетъ долю другой—равна 1- долѣ
другой части, при чемъ обѣ части выражаются въ цѣлыхъ
числахъ; 3) одна часть больше другой въ нѣсколько разъ
съ дробью; 4) одна часть составляетъ дробную долю
другой. Всѣ эти задачи имѣютъ одну и ту же алгебраи-
ческую формулу рѣшенія:
меньшая = —большая = —~,
я+1' п + 1'
гдѣ п можетъ быть какое угодно положительное число.
§ 3. Задачи.
1) На 252 рубля было куплено по куску сукна и по-
лотна равной длины; сукно въ 8 разъ дороже полотна;
сколько отдѣльно стоитъ кусокъ сукна и кусокъ полотна?
Отвѣтъ: 224 руб.; 28 руб.
При рѣшеніи этой задачи надо выяснить, почему длина
кусковъ сукна и полотна должна быть равной?
2) Аршинъ сукна стоитъ 4 рубля, а аршинъ полотна
дешевле въ 10 разъ. Было куплено 360 аршинъ сукна и
полотна. Сколько слѣдуетъ заплатить за всю покупку,
если число аршинъ сукна составляетъ \- долю числа аршинъ
полотна? Отвѣтъ: 360 рублей.
3) Сплавъ, изъ котораго отливается типографскій

шрифтъ, состоитъ изъ свинца и сурьмы, при чемъ коли-
чество сурьмы, по вѣсу, должно составлять ~ количества
свинца. Сколько того и другого металла будетъ въ 43 3/4 пуда
шрифта?
Отвѣтъ: 33 1/3 пуд. свинца; 10^ пуд. сурьмы.
4) Кусокъ сукна стоитъ 187 1/5 рубля. Этотъ кусокъ
купили два лица, при чемъ одинъ взялъ f того, что
взялъ другой. Сколько денегъ придется заплатить каждому?
Отвѣтъ: 145| руб.; 411 руб.
5) У двухъ братьевъ 475 рублей. Сколько денегъ у
каждаго, если деньги перваго равны 1 денегъ второго?
Отвѣтъ: 285 руб. у второго, 190 руб. у перваго.
6) Нѣкто раздѣлилъ землю между своими двумя сы-
новьями, при чемъ старшему далъ У того, что досталось
младшему. Сколько десятинъ содержала земля, если млад-
шій братъ получилъ на 28 десятинъ болѣе старшаго?
Отвѣтъ: 382 дес.
§ 4. Геометрическое дѣленіе на неравныя части.
Мы разсмотримъ геометрическое дѣленіе на неравныя
части прямой и угла. Пусть намъ нужно данный отрѣзокъ
прямой линіи АВ (черт. 28) раздѣлить на двѣ части, изъ
Черт. 28.
которыхъ одна была бы втрое больше другой. Легко видѣть
изъ предыдущаго, что меньшая часть линіи будетъ служить
общей мѣрой для большей части, въ которой она уложится
3 раза, и для всей линіи, въ которой она должна уложиться
4 раза. Слѣдовательно, если мы данный отрѣзокъ прямой раз-

дѣлимъ на 4 равныя части и возьмемъ 3 изъ нихъ за
одну часть, а одну—за другую, то и получимъ то, что
требуется. Поэтому, мы проведемъ линію AQ подъ угломъ,
отложимъ на ней 4 равныя части, соединимъ точку Q
съ точкой В и проведемъ линію МС параллельно BQ,
тогда линія АВ въ точкѣ С раздѣлится на двѣ части,
изъ которыхъ одна будетъ А С, а другая С В въ три раза
больше.
Какъ я уже говорилъ, мы не можемъ геометрически
дѣлить уголъ на равныя части, кромѣ того случая, когда
число этихъ частей есть степень 2. Поэтому обычно по-
ступаютъ такъ: измѣряютъ уголъ въ градусахъ, дѣлятъ
число этихъ градусовъ по правилу дѣленія чиселъ и
строятъ полученные углы, отмѣря по транспортиру иско-
мое число градусовъ.
Особый интересъ представляетъ слѣдующая задача.
Если мы начертимъ прямую линію АВ, возьмемъ на ней
точку О, и проведемъ изъ этой точки новую прямую ОС
(черт. 29), то получимъ два угла АОС и СОВ; эти углы
Черт. 29.
называются смежными; они въ суммѣ всегда равны 180°.
Вспомнивъ это, возьмемъ слѣдующую задачу: начертить
два смежныхъ угла такъ, чтобы одинъ изъ нихъ былъ
въ 4 раза больше другого. Легко вычислить эти углы,
составивъ уравненіе ^ + 4^=180, откуда х = 36°.
Отмѣривъ по транспортиру уголъ въ 36°, мы получимъ
искомые углы. Если бы намъ было дано, чтобы одинъ
уголъ былъ въ два раза больше другого, то изъ уравне-
нія мы нашли бы, что одинъ уголъ будетъ 60°, а дру-

гой 120°. Уголъ въ 60° мы можемъ построить геометри-
чески, отложивъ на дугѣ радіусъ. Поэтому и всю задачу
можемъ построить, не прибѣгая къ транспортиру. Возьмемъ
прямую АВ (черт. 30) и на ней точку 0] изъ точки О про-
Черт. 30.
извольнымъ радіусомъ опишемъ полуокружность и отъ
точки Б отложимъ по дугѣ длину радіуса, получимъ
точку С, которую соединимъ съ точкой 0 и получимъ
искомые углы АО С и СОВ.
§ 5. Дѣленіе количества на части пропорціональныя.
Когда данное количество раздѣлено не на равныя части,
то говорятъ, что оно раздѣлено въ данномъ отношеніи.
Напримѣръ, вмѣсто того, чтобы сказать: «раздѣлить линію
на двѣ части, изъ которыхъ одна больше другой въ 3 раза»,
говорятъ: «раздѣлить линію въ отношеніи 1:3». Эти части
называются пропорциональными, и задача можетъ быть фор-
мулирована еще такъ: «раздѣлить отрѣзокъ прямой на части,
пропорціональныя числамъ 1 и 3»; пли еще: «раздѣлить
линію пропорціонально 1:3». Всѣ эти выраженія имѣютъ
одинъ и тотъ же смыслъ, но, благодаря новому способу
выраженія, этотъ смыслъ можетъ бытъ расширенъ и по-
лучаетъ поэтому новое значеніе. Разсмотримъ это значеніе,
взявъ такую задачу: «раздѣлить количество а на части
въ отношеніи 3:4». Если сказано, что эти части отно-
сятся между собой, какъ 3:4, то это значитъ, что эти
части соизмѣримы, и общая мѣра въ одной изъ нихъ
укладывается 3 раза, а въ другой—4 раза. Обозначимъ об-

щую буквой /*;, тогда одна часть будетъ 3 к, а другая 4 к]
обѣ части вмѣстѣ будутъ содержать 7 к.
Итакъ, 7k = а, откуда к = *. Найдя общую мѣру, мы
можемъ вычислить и каждую часть: одна будетъ ~, а
другая і?.
Если бы намъ было дано отношеніе не въ цѣлыхъ
числахъ, а въ видѣ дробей, напримѣръ, раздѣлить коли-
чество а въ отношеніи -J : f, то отношеніе дробей мы всегда
можемъ замѣнить отношеніемъ цѣлыхъ чиселъ, пользуясь
тѣмъ свойствомъ его, что отношеніе не измѣнится, когда
мы обѣ части его умножимъ на одно и то же число.
Умножимъ обѣ части даннаго отношенія на общаго зна-
менателя данныхъ дробей, т.-е. на 28, получимъ
3.28 . 5.28 21 * 20
Слѣдовательно, искомыя части будутъ также соизмѣ-
римы, и задача рѣшается также, какъ предыдущая.
§ 6. Задачи.
1) Раздѣлить отрѣзокъ прямой въ 6 сант. въ отноше-
ніи 2:3. Отвѣтъ: 2 2/5 сант.; 3| сант.
2) Данъ треугольникъ ABC] раздѣлить его основаніе
АС въ отношеніи 3:4 и полученную точку соединить
съ вершиной В.
3) Прямая АВ по направленію отъ А къ В въ точкѣ
С дѣлится въ отношеніи 5:7, а въ точкѣ В въ отноше-
ніи 5:11; разстояніе между С и В равно 10 дюймовъ.
Опредѣлить длину ВВ. Отвѣтъ: 96 дюйм.
4) Вычислить и начертить два смежныхъ угла, на-
ходящихся въ отношеніи 7:3.
Отвѣтъ: 126°; 54°.
5) Сумма угловъ, прилежащихъ къ основанію паралле-
лограмма, равна 180°; опредѣлить каждый изъ этихъ
угловъ, если они относятся, какъ 5:7.
Отвѣтъ: 75°; 105°.

6) Въ равнобедренномъ треугольникѣ отношеніе угла
при вершинѣ къ суммѣ угловъ при основаніи равно If.
Опредѣлить углы этого треугольника.
Отвѣтъ: 112°30'; 33°54'; 33°45'.
7) Кусокъ матеріи въ 32 аршина разрѣзали на двѣ
части въ отношеніи 22- : Н.
Опредѣлить длину каждой изъ этихъ частей.
Отвѣтъ: 20 арш.; 12 арш.
8) Половина сосуда наполнена ртутью, половина водой.
Опредѣлить вѣсъ ртути и вѣсъ воды, если вѣсъ всего
(сосуда и жидкости) равенъ 37 килогр., вѣсъ сосуда
1,96 килогр., а ртуть тяжелѣе воды въ 13,6 раза.
Отвѣтъ: 2,4 килогр.; 32,64 килогр.
9) Разстояніе между Москвой и Коломной относится
къ разстоянію между Коломной и Рязанью, какъ 22 : 15.
Найти разстояніе между этими городами, если отъ Москвы
до Рязани 185 верстъ.
Отвѣтъ: 110 верстъ; 75 верстъ.
10) Число жителей на Кавказѣ больше, чѣмъ въ Си-
бири, на 3600 тысячъ. Сколько жителей на Кавказѣ и
сколько въ Сибири, если эти числа относятся между собою
какъ 31 : 19?
Отвѣтъ: 9300000 жит.; 5700000 жит.
11) Въ имѣніи площадь пахатной земли относится къ
площади лѣса, какъ 2:7. Лѣса на 221 десятины больше,
чѣмъ пашни. Сколько десятинъ содержитъ имѣніе?
Отвѣтъ: 401 десятинъ.
12) Сумма двухъ дробей, имѣющихъ знаменатель 46
равна 11; числители ихъ относятся, какъ 11 : 12. Найти
эти дроби.
Отвѣтъ: ??.
§ 7. Дѣленіе количества на нѣсколько неравныхъ частей.
Если данное количество требуется раздѣлить на нѣ-
сколько неравныхъ частей, то сложность задачи зависитъ
отъ того, въ какомъ отношеніи находятся эти части. Самый

простой случай будетъ тотъ, когда одна изъ частей слу-
житъ общей мѣрой для всѣхъ другихъ. Напримѣръ: въ
шкапу 800 книгъ, находящихся на 3 полкахъ. Сколько
книгъ на каждой полкѣ, если извѣстно, что на первой
втрое, а на второй вчетверо больше, чѣмъ на третьей?
Здѣсь очевидно, что если мы обозначимъ черезъ х
число книгъ на третьей полкѣ, то это число будетъ слу-
жить общей мѣрой для числа книгъ на второй и на пер-
вой полкѣ. Именно, на первой будетъ находиться 3x, а
на второй 4x, слѣдовательно x +3x+ 4x =800 или
8 х = 800, откуда # = 100. Если мы обобщимъ содержа-
ніе этой задачи, то получимъ ее въ слѣдующемъ видѣ:
«раздѣлить количество а на три части, изъ которыхъ пер-
вая была бы въ т разъ, а вторая въ п разъ больше
третьей». Общее рѣшеніе такой задачи даетъ формулу:
меньшая часть х = 1 + “п' очевидно, что т и п мо-
гутъ быть числами какъ цѣлыми, такъ и дробными.
Чтобы выяснить общее значеніе чиселъ т и п,
слѣдуетъ вспомнить, что общая мѣра данныхъ количествъ
всегда можетъ быть принята за единицу измѣренія, и
самыя количества могутъ быть выражены въ этой еди-
ницѣ. Такъ въ данной задачѣ число книгъ на первой
полкѣ можетъ быть измѣрено при помощи числа книгъ
третьей полки, если мы назовемъ это число «полка», то
число книгъ на первой полкѣ будетъ равно 3 полки, а
число книгъ на второй 4 полки, слѣдовательно во всей
библіотекѣ будетъ 8 полокъ или 800 книгъ, откуда полка
равна 100 книгамъ. Таково ариѳметическое рѣшеніе за-
дачи; но изъ этого рѣшенія вытекаетъ возможность рѣше-
нія такихъ задачъ, когда т и п числа дробныя. Возь-
мемъ, напримѣръ, такую задачу: «Нужно было выкопать
канаву длиною въ 2 версты и 290 саж. Рабочіе работали
3 дня; въ первый день они выкопали f, а во второй \
того, что они выкопали въ третій день. Сколько они ко-
пали въ каждый день?»
При ариѳметическомъ рѣшенія этой задачи, намъ нужно
принять за единицу то число саженъ, которое рабочіе
выкопали въ третій день; но это же число саженъ мы

принимаемъ и за х въ алгебраическомъ рѣшеніи задачи.
Такимъ образомъ то и другое рѣшеніе задачи приводится
къ одной и той нее общей формулѣ. Однако по существу
между ними большая разница. Въ алгебрѣ мы оставляемъ
измѣреніе въ тѣхъ мѣрахъ, которыя даны въ задачѣ: въ са-
женяхъ; въ ариѳметикѣ мы беремъ новую мѣру: число
выкопанныхъ салонъ въ третій день и въ числахъ этой
мѣры измѣряемъ то, что сдѣлано въ первый и второй
день. Эта единица служитъ также общей мѣрой, хотя и
не даетъ кратныхъ. Мы можемъ однако измѣрить всѣ три
части одной общей мѣрой, которая въ каждой изъ нихъ
уложится цѣлое число разъ. Чтобы отыскать такую об-
щую мѣру возьмемъ общую формулу рѣшенія х = t *+ /|
и подставимъ сюда вмѣсто буквъ данныя въ задачѣ числа,
1290 саж.
# = —з о-, Здѣсь знаменатель можетъ быть сложенъ,
такъ какъ всѣ дроби суть числа одной и той же еди-
ницы, которая входитъ въ формулу. Сложивъ эти дроби
получимъ 20 +45 + 8 = но возможность этого сложенія и
самое производство дѣйствія показываетъ намъ, что иско-
мый части могутъ быть измѣрены 20-ой долей третьей
части, и тогда въ первой будетъ такихъ частей 15, а второй 8.
Но, если всѣ части могутъ быть измѣрены одной об-
щей мѣрой, то мы можемъ сказать, что они пропорціо-
нальны числамъ, т.-е. ихъ отношеніе равно отношенію
чиселъ. Въ силу этого общее рѣшеніе задачи распростра-
няется и на тотъ случай, когда она формулирована такъ:
«Нужно было выкопать канаву въ 2 вер. 290 саж. въ
три дня. Сколько саженъ должно быть выкопано еже-
дневно, если работа рабочихъ пропорціональна числамъ
20 : 15 : 8?».
Итакъ, если намъ дана задача, въ которой какое-
либо количество нужно раздѣлить на неравныя части,
при чемъ эти части измѣрены такъ, что одна изъ нихъ
принята за единицу, то говорятъ, что данное количество
раздѣлено пропорціонально числамъ или что части на-
ходятся въ отношеніи.

Обратно, если въ задачѣ сказано, что количество раз-
дѣлено пропорціонально даннымъ числамъ, то это значитъ,
что мы всегда имѣемъ право принять одну часть за еди-
ницу и выразить всѣ другія въ этой единицѣ.
Отсюда получается два способа разсужденія при рѣше-
ніи такихъ задачъ. Возьмемъ напримѣръ задачу:
«Въ трехъ ящикахъ 3 п. 3 ф. чаю. Числа, выражающія
вѣсъ чая въ каждомъ ящикѣ, относятся между собою
какъ|:|:^. Сколько фунтовъ чаю въ каждомъ ящикѣ?»
Замѣнимъ здѣсь отношеніе дробей, отношеніемъ цѣлыхъ
чиселъ, умноживъ каждый членъ отношенія на общаго
знаменателя данныхъ дробей 18, получимъ:
|:|:І=12:15:14.
1- ый способъ. Примемъ за единицу 1-ую часть, тогда
2-ая будетъ ~ или ~, а третья ~ или I. Слѣдовательно
во всемъ ящикѣ будетъ первыхъ частей или
і2±ъ+_и = что составляетъ ЗХ 40+ 3=123 фунта.
Итакъ 123 фунта составляетъ ^ первой части, а сама
первая часть равна 123:** или 36 фунт.; вторая часть
равна I первой, т.-е. 36.^ = 45 ф., а третья составляетъ
I первой и будетъ равна 36.1 = 42 фунта.
2- ой способъ рѣшенія. Обозначимъ общую мѣру всѣхъ
трехъ частей буквой к, первая часть содержитъ 12 к,
вторая 15 А, третья 14/;, всего будетъ 41 что соста-
вляетъ 123 фунта, слѣдовательно
41 Л: = 123, откуда к = 3 фунта.
Первая часть 12 к = 36 фунтовъ, вторая 15 к = 45 фунт,
и третья 14/t = 42 фунта.
При рѣшеніи такихъ задачъ можетъ быть дано не
цѣлое, а часть его, тогда второй способъ даетъ непосред-
ственно методъ рѣшенія, а первый требуетъ нѣкотораго
разсужденія, въ которомъ намъ нужно по части найти цѣлое.

§ 8. Задачи.
1) Раздѣлить 1540 на четыре части, относящіяся ме-
жду собою какъ і : і: і: |.
Отвѣтъ: 600; 400; 300; 240.
2) Числа, выражающія количество яблокъ въ каждомъ
изъ трехъ ящиковъ, относятся между собою какъ 0,75: |: 11.
Сколько яблокъ въ каждомъ ящикѣ, если извѣстно, что
въ первомъ на 20 яблокъ больше, чѣмъ во второмъ?
Отвѣтъ: 180; 160; 256.
3) Числа, выражающія въ географическихъ миляхъ
длины рѣкъ: Дуная, Днѣпра и Дона, относятся между
собою, какъ 6і : 5 : 41. Опредѣлить длину каждой изъ
этихъ рѣкъ, если Дунай на 98 географическихъ миль
длиннѣе Дона.
Отвѣтъ: 350 г. миль; 280 г. миль; 252 г. миль.
4) Опредѣлить стороны треугольника, зная, что онѣ
относятся между собою, какъ 4:5:6-?, а его периметръ
равенъ 914 миллим. Построить этотъ треугольникъ.
Отвѣтъ: 240 миллиметровъ; 300 милл.; и 374 милл.
5) Прямая А В раздѣлена на три части въ отношеніи
2:3:4. Разстояніе между срединами крайныхъ частей
равно 4 ф. 8 д. Опредѣлить длину АВ.
Отвѣтъ: 7 футовъ.
6) Изъ трехъ угловъ, лежащихъ по одну сторону пря-
мой и имѣющихъ общую вершину, крайніе относятся ме-
жду собою какъ 3 : 5, а средній равенъ разности край-
нихъ. Опредѣлить эти углы.
Отвѣтъ: 36°; 54°; 90°.
7) Опредѣлить стороны четыреугольника, зная, что
онѣ относятся между собою, какъ 2 : 5 : 4 : 8, а периметръ
его равенъ 76 метрамъ.
Отвѣтъ: 8 метр.; 20 метр.; 16 метр.; 32 метр.
8) Раздѣлить полуокружность на 3 части въ отноше-
ніи 2 : 3 : 4. Отвѣтъ: 40°; 60°; 80°.

9) Опредѣлить углы треугольника, если они относятся,
какъ 12:9:11.
Отвѣтъ: 61°52'30“; 67°30'; 50°37'30“.
10) Опредѣлить углы четыреугольника, если они от-
носятся, какъ 5:7:6:18.
Отвѣтъ: 50°; 70°; 60°; 180°.
11) Стороны треугольника относятся, какъ 3:4:6;
соединивъ средины всѣхъ сторонъ, получимъ треугольникъ,
периметръ, который будетъ 4 ф. 4 д. Опредѣлить стороны
даннаго треугольника.
Отвѣтъ: 2 фут.; 2 фут. 8 дюйм, и 4 фута.
§ 9. Дѣленіе количества на неравныя части, измеренныя
разными единицами.
По отношенію къ количествамъ, измѣреннымъ разными
единицами, можно установить слѣдующія теоремы.
1) Если какая-либо доля одного количества равна нѣ-
которой долѣ другого, то одно изъ нихъ можетъ быть из-
мѣрено другимъ.
Пусть мы имѣемъ два однородныя количества х и у,
и намъ дано, что - = |; изъ свойствъ равенства находимъ
пх = ту, откуда х = ™у.
Это значитъ, что если мы у примемъ за единицу, то
х будетъ равенъ -п части этой единицы. Очевидно обрат-
ное У = -Х.
2) Если какое-нибудь кратное одного количества равно
кратному другого, иной кратности, то одно изъ нихъ мо-
жетъ быть измѣрено другимъ.
Возьмемъ количества х и у и пусть mx = ny, тогда
X = - у.
Сравнивая доказательства той и другой теоремы, мы
видимъ, что каждое изъ нихъ основано на преобразованіи
равенствъ. Это преобразованіе, не измѣняя равенства чи-
словыхъ величинъ, однако даетъ новыя числовыя вели-
чины, а слѣдовательно содержитъ въ себѣ и новыя свой-
ства разсматриваемыхъ количествъ.

Въ первой теоремѣ намъ дано - = |. Приведя это ра-
венство къ одному знаменателю и отбрасывая его, мы
получимъ nx = ту.
Первое данное уравниваетъ доли количествъ, а вто-
рое уравниваетъ кратныя количества. Это второе равенство
служитъ основаніемъ въ доказательствѣ второй теоремы.
Такъ какъ это преобразованіе не нарушаетъ свойства равен-
ства, то оно позволяетъ объединить обѣ теоремы или лучше
сказать вывести слѣдующее слѣдствіе. Если какая-либо
доля одного количества равна нѣкоторой долѣ другого, то мы
всегда можемъ найти такое кратное перваго, которое бу-
детъ равно кратному второго, иной кратности. Въ самомъ
дѣлѣ: если -т = \, то непремѣнно и обязательно nx = ту,
т.-е. вторая теорема молитъ быть дана въ общей форму-
лировке съ первой, хотя одна и другая существенно
различны.
3) Если два однородныхъ количества выражаются од-
нимъ и тѣмъ лее числомъ, то они или равны между со-
бою, если измѣрены одной и той же единицей, или от-
носятся между собой, какъ единицы измѣренія, если эти
послѣднія различны.
Пусть одно количество будетъ х, другое у.
Назовемъ единицу измѣренія перваго буквой к, вто-
рого кх, и пусть х = mk и у = т\; если к = кх, то оче-
видно и х=у; если к не равно #15 то мы мол;емъ раз-
дѣлить одно равенство на другое, тогда получимъ
— = —т~ или — =
Эти теоремы лежатъ въ основаніи ариѳметическаго
рѣшенія задачъ на дроби, гдѣ вводятся различныя еди-
ницы измѣренія.
Прежде чѣмъ разсмотрѣть рѣшенія тѣхъ задачъ, гдѣ
имѣютъ мѣсто эти теоремы, мы должны для выясненія
вопроса разсмотрѣть предварительно слѣдующую задачу:
«Два брата получили въ наслѣдство неизвѣстное число
десятинъ земли. Послѣ того, какъ первый продалъ і получен-

ной имъ доли, а второй I, у каждаго осталось по 120 деся-
тинъ. Сколько десятинъ было получено каждымъ?»
Въ этой задачѣ мы имѣемъ два количества, измѣренныя
различными единицами: число десятинъ перваго брата —
одна единица, отъ которой взята і; число десятинъ второго
брата—другая единица, отъ которой взята §. Эти доли
мы не моя^емъ сравнивать другъ съ другомъ, потому
что не знаемъ величинъ единицъ; мы не можемъ ихъ ни
складывать, ни вычитать. Если бы мы привели дроби къ
одному знаменателю и сказали бы, что одинъ братъ про-
далъ -5- долей своей земли, а другой А своей земли, то
мы не могли бы сказать, кто продалъ больше.
Все это происходить отъ того, что земля измѣрена
разными единицами. Однако, предложенную задачу легко
рѣшить по частямъ: если первый продалъ і своей земли,
то у него осталось -| земли, а въ задачѣ сказано, что
эти 4 составляютъ 120 десятинъ. Значитъ его земля равна
120:|=180 десятинъ.
Точно также легко узнать число десятинъ второго.
Въ этой задачѣ намъ не приходится пользоваться
указанными теоремами, потому что, хотя и даны разныя
единицы измѣренія, но онѣ не связаны никакимъ усло-
віемъ, и задача легко разбивается на двѣ самостоятель-
ныхъ задачи.
Возьмемъ теперь такую задачу:
«У двухъ мальчиковъ 1 p. 8 коп. денегъ. Сколько
денегъ у каждаго, если і часть денегъ перваго равна
і части денегъ второго?»
Рѣшая эту задачу ариѳметически, мы говоримъ такъ:
если і денегъ перваго равна J. части денегъ второго, то
всѣ деньги перваго будутъ составлять * денегъ второго.
Принимая деньги второго за единицу, мы находимъ,
что деньги перваго составляютъ | этой единицы. Значитъ
оба количества мы измѣряемъ одной и той л;е единицей,
и можемъ сложить 1-j-jj-, что даетъ | денегъ второго.
Итакъ 108 копеекъ составляютъ ~ денегъ второго, а слѣ-
довательно у второго было 108:1 или ^5 = 60 коп. Оче-

видно, что при этомъ рѣшеніи мы пользуемся первой те-
оремой, при помощи, которой измѣряемъ оба количества
одной и той же единицей.
При этомъ особо отмѣтимъ, что данныя дроби [ и і- мы
не можемъ складывать или вычитать, такъ какъ онѣ
разнородны.
Если мы приведемъ ихъ къ одному знаменателю и
возьмемъ, ^ и ~, вмѣсто і и і, то можемъ сказать, что
если 250 одного количества равны ^ другого, то 1 перваго
меньше второго. Кромѣ того, если А одного равны
^ другого, то это значитъ, что двадцатыя доли этихъ ко-
личествъ относятся между собой, какъ 4:5.
Чтобы выяснить это, обозначимъ і перваго буквой
а ^ второго буквой кі; тогда мы будемъ имѣть по усло-
вію 5^ = 4/^.
Изъ этого равенства слѣдуетъ, что т.-е., цѣлое
108 копеекъ, мы должны раздѣлить пропорціонально чи-
сламъ 4 и 5.
Это можно пояснить еще геометрически (черт. 31)
Черт. 31.
Пусть линія MP представитъ собою цѣлое, 108 копеекъ;
части этой линіи будутъ MN и NP. Часть MN равна
деньгамъ перваго, которыя можно изобразить линіей АВ,
а часть NP будетъ равна деньгамъ второго, изображен-
нымъ линіей СВ. Четвертая часть АВ равна пятой

части СВ. Очевидно, что вся линія MP будетъ содер-
жать 9 частей и въ точкѣ Ж раздѣлится въ отноше-
ніи 4: 5.
Наше разсужденіе не измѣнится. если мы вмѣсто 1 и і
взяли бы I и I, или вообще, вмѣсто - и - взяли бы
дроби I и і.
Условіе равенства этихъ долей привело бы насъ къ про-
порціональности частей.
Итакъ, ариѳметическій способъ рѣшенія предложен-
ной задачи требуетъ, чтобы или обѣ части были измѣрены
одной и той же единицей или чтобы цѣлое было раз-
дѣлено на части въ данномъ отношеніи.
Разсмотримъ теперь алгебраическое рѣшеніе той же
задачи. Для этого, обозначимъ число копеекъ у перваго
мальчика буквой х, тогда у второго очевидно будетъ
108—х копеекъ.
Намъ сказано, что четвертая часть денегъ перваго,
т.-е. I должна быть равна пятой части денегъ второго,
т.-е. ^Ь?. Итакъ, мы получаемъ уравненіе х- = ^Ь?. Это
уравненіе мы можемъ рѣшить двояко.
Первое рѣшеніе. Приведемъ обѣ части къ одному зна-
менателю и его отбросимъ, тогда получимъ новыя коли-
чества 5 х = 4 (108 — х)\ эти новыя количества будутъ
уже не части денегъ, а кратныя имъ. Полученное новое равен-
ство мы должны прочитать такъ: упятеренныя деньги
перваго равны учетвереннымъ деньгамъ второго. Если мы
теперь раскроемъ скобки въ правой части равенства, то
этимъ не преобразуемъ самого равенства, а только из-
мѣнимъ видъ правой части, не измѣняя величины:
5# = 432 — Ах.
Перенеся 4# влѣво, мы получимъ новое равенство
5#-|-4х; = 432. Это равенство показываетъ, что сумма
упятеренной части перваго и учетверенной части его же
составитъ 432 копейки, т.-е. учетверенное кратное общей
суммы равно удевятеренной части перваго, т.-е. 9 # = 432,
откуда х = Щ- или # = 48 копеекъ. Всѣ эти свойства не

содержатся въ ариѳметическомъ рѣшеніи, они закры-
ваются тамъ принятой единицей мѣры или условіемъ про-
порціональности; алгебраическое рѣшеніе, вводя обычныя
единицы измѣренія,—копейки,—даетъ возможность указать
эти свойства и этимъ расширить изученіе вопроса.
Второе рѣшеніе. Управленіе | = можетъ быть рѣ-
шено иначе. Разобьемъ правую часть на два слагаемыхъ ~ и |,
т.-е. напишемъ такъ г = ^г — Ь Этимъ преобразованіемъ
мы равенства не измѣняемъ и потому не получаемъ но-
выхъ свойствъ; но перенеся | налѣво, мы получаемъ но-
вое равенство *-|~| = ^-8, которое показываетъ намъ, что
сумма четвертой и пятой части перваго составляетъ пятую
часть общей суммы.
Приведя дроби J и *- къ одному знаменателю и сло-
живъ ихъ, мы получимъ ***** или ~ == ~, откуда х = -°8: |0.
Въ частномъ мы получимъ тотъ же отвѣтъ # = 48; но
путь, которымъ мы пришли къ этому рѣшенію, и свойство
преобразованныхъ количествъ будутъ другими: въ первомъ
преобразованіи мы имѣли дѣло съ кратными данныхъ ко-
личествъ, а во второмъ съ ихъ долями. Второй путь мы
можемъ пояснить слѣдующимъ геометрическимъ построе-
ніемъ (черт. 32).
Черт. 32.
Возьмемъ ту же прямую MP, гдѣ MN деньги пер-

ваго, a NP—деньги второго. Раздѣлимъ MN на 5 рав-
ныхъ частей, получимъ МК пятую часть, прибавимъ къ
ней KZ четвертую часть той же линіи, получимъ MZ,
эта MZ будетъ пятой частью всей линіи MP.
Возьмемъ теперь такую задачу: «Раздѣлить число 62
на три части такъ, чтобы первая относилась ко второй,
какъ 3: 5, а вторая къ третьей, какъ 2:3».
Въ этой задачѣ общій наибольшій дѣлитель первыхъ
двухъ частей содержится въ первой 3 раза, а во второй
5 разъ, а общій наибольшій дѣлитель второй и третьей
части содержится во второй 2 раза, а въ третьей 3 раза.
Такимъ образомъ всѣ три части не имѣютъ общей мѣры.
Рѣшить задачу ариѳметически можно двумя разсужденіями,
но въ томъ и другомъ мы непремѣнно должны отыскать
такую мѣру, которая была бы общей для всѣхъ частей.
1- ый способъ. Примемъ за единицу вторую часть, тогда
первая будетъ | этой единицы, а третья | ея же. Такимъ
образомъ вторая часть есть общая мѣра всѣхъ трехъ ча-
стей и въ числѣ 62 такихъ мѣръ будетъ 1 -(-1 -J-1 или Ц±в
Итакъ, 62 составляетъ ~ доли второй части, и сама вто-
рая часть будетъ 62 : ^ = = 20. Первая составляетъ
I ея, т.-е. ^ = 12, а третья \ ея, т.-е. ^=30.
2- ой способъ. Намъ дано два отношенія
1:11 = 3:5
п 11:111 = 2:3
измѣнимъ оба эти отношенія такъ, чтобы II часть была
выражена однимъ и тѣмъ же числомъ; для этого доста-
точно члены перваго отношенія умножить на 2, а члены
второго на 5, отчего самыя отношенія не измѣнятся,
тогда
1:11 = 6:10
11:111 = 10:15.
Это увеличеніе членовъ отношенія соотвѣтствуетъ из-
мѣнію величины общей мѣры, которая теперь уменьши-
лась и укладывается въ первой части 6 разъ, во второй

10 разъ и въ третьей 15 разъ. Если мы обозначимъ ее
черезъ к, тогда 1=6 к] II = 10 к и III = 15 к, а во всемъ
числѣ 62 будетъ такихъ мѣръ 31 к. Итакъ 31 к =62, от-
куда к =2; слѣдовательно 1=12; 11 = 20 и 111 = 30.
Алгебраическій способъ, рѣшенія этой задачи, тре-
буетъ составленія трехъ уравненіи и не даетъ чего-либо новаго
для рѣшенія.
§ 10. Задачи.
1) Въ 3 мѣшкахъ лежали яблоки, всего 530 штукъ.
Число яблокъ перваго мѣшка было равно f числа яблокъ
второго, а въ третьемъ было въ 1{ раза больше, чѣмъ въ
первомъ. Сколько яблокъ было въ каждомъ мѣшкѣ?
Отвѣтъ: 200; 150; 180.
2) Который теперь часъ, если протекшая часть сутокъ
равна I оставшейся?
Отвѣтъ: 9 часовъ утра.
3) Купецъ, продавъ товаръ за 950 руб., получилъ убы-
токъ, составляющій А первоначальной стоимости. Сколько
стоитъ этотъ товаръ?
Отвѣтъ: 1200 рублей.
4) Сумма двухъ чиселъ равна 51. Найти эти числа,
если § одного равны \ другого.
Отвѣтъ; 27; 24.
5) Разность двухъ чиселъ равна 44. Найти эти
числа, если извѣстно, что \ часть перваго равна | второго.
Отвѣтъ: 60; 16.
6) Кусокъ полотна былъ распроданъ тремъ покупа-
телямъ. Первый взялъ I всего куска, второй § остатка и
третій остальные 32 аршина. Сколько аршинъ полотна
было въ кускѣ? Отвѣтъ: 140 аршинъ.
7) Раздѣлить 2492 на такія двѣ части, чтобы поло-
вина одной была втрое больше другой.
Отвѣтъ: 2136; 356.

8) Разнощикъ продалъ свои яблоки четыремъ покупа-
телямъ. Первый взялъ I всего числа яблокъ и еще 16
штукъ, второй з того, что осталось послѣ перваго и еще
16 штукъ, третій | того, что осталось послѣ первыхъ
двухъ и еще 16 штукъ, четвертый ~ того что осталось
послѣ первыхъ трехъ и послѣдніе 16 яблокъ. Сколько
яблокъ было у разнощика?
Отвѣтъ: 282 яблока.
9) Разстояніе между Москвой и Смоленскомъ 390 верстъ.
На этомъ пути находятся Можайскъ и Вязьма. Разстояніе
отъ Москвы до Можайска относится къ разстоянію отъ
Можайска до Вязьмы, какъ 4:5, а разстояніе отъ Мо-
жайска до Вязьмы относится къ разстоянію отъ Вязьмы
до Смоленска, какъ 8|: 11. Опредѣлить разстояніе между
этими городами.
Отвѣтъ: Моск.-Можайск. 100 верстъ; Можайск.-
Вязьма 125 верстъ; Вязьма-Смоленскъ 165 верстъ.
10) 381 аршинъ сукна было раздѣлено между тремя
лицами. Часть перваго относилась къ части второго?
какъ а часть второго къ части третьяго, какъ
Сколько аршинъ было у каждаго?
Отвѣтъ: 10 арш.; 12,5 арш.; 16 арш.
11) Три части числа относятся, какъ 2: Зу : [. Сумма
первой и третьей на 72 меньше второй. Найти число.
Отвѣтъ: 331|.
§ 11. Объ измѣреніи угловъ.
Въ геометріи разсматриваются слѣдующіе углы: цент-
ральные, вписанные, описанные, вершины которыхъ на-
ходятся внутри круга и вершина которыхъ находится внѣ
круга; послѣдніе могутъ быть образованы или двумя сѣ-
кущими, или сѣкущей и касательной.
Углы центральные. Центральнымъ угломъ называется
такой уголъ, у котораго вершина находится въ центрѣ

круга, напримѣръ, уголъ АОС (черт. 33). Такіе углы из-
мѣряются дугами: уголъ А ОС измѣряется дугой AC.
Черт. 33.
Это значитъ, что уголъ содержитъ въ себѣ столько
угловыхъ градусовъ, сколько дуга содержитъ дуговыхъ
градусовъ. Какъ извѣстно окружность дѣлится на 360
равныхъ частей и ~ часть окружности называется гра-
дусомъ.
Если мы всѣ точки дѣленія соединимъ съ центромъ,
то эти 360 линій раздѣлятъ площадь круга на 360 угловъ.
Такой уголъ называется угловымъ градусомъ. Понятно,
что если дуга АС содержитъ въ себѣ п дѣленій или п ду-
говыхъ градусовъ, то и уголъ будетъ содержать п угловыхъ
градусовъ.
Чтобы измѣрить величину даннаго угла, мы примемъ
его вершину за центръ, опишемъ дугу, и сколько граду-
совъ будетъ имѣть дуга, столько градусовъ будетъ содер-
жать и уголъ.
Выражаясь короче, говорятъ: центральные углы из-
мѣряются дугами.
Такъ какъ величина радіуса не вліяетъ на величину
градуса, то и мѣра угла не зависитъ отъ длины радіуса
дуги; обыкновенно для измѣренія угловъ пользуются тран-
спортиромъ. Такъ какъ всегда можетъ случиться, что сто-
роны угла не совпадутъ съ дѣленіемъ транспортира, то

принято уголъ дѣлить на 60 минутъ, а минуту на 60 се-
кундъ; но эти дѣленія возможно выдѣлить и отсчитать
только на особыхъ угломѣрныхъ приборахъ. Мы будемъ
довольствоваться только цѣлыми градусами.
Углы вписанные. Вписаннымъ угломъ называется та-
кой уголъ, вершина, котораго находится на окружности,
напримѣръ уголъ ABC (черт. 34). При этомъ дуга АС
Черт. 34.
называется «дугой, на которую уголъ опирается», а дуга
ABC называется «дугой, вмѣщающей данный уголъ».
Очевидно, что сумма дугъ, на которую уголъ опирается
и «которая его вмѣщаетъ», всегда равна 360°. По отно-
шенію къ вписаннымъ угламъ разсматривается три случая:
1) когда одна изъ сторонъ угла будетъ діаметромъ, 2) когда
обѣ стороны угла находятся по разныя стороны центра
и 3) когда обѣ стороны угла лежатъ по одну сторону центра.
Во всѣхъ случаяхъ вписанный уголь равенъ половинѣ
центральнаго угла, опирающагося на ту же дугу, т.-е.
онъ содержитъ число градусовъ, равное половинѣ того
числа, которое содержится въ дугѣ, на которую онъ опи-
рается *). Чтобы убѣдиться въ этомъ, проведемъ діаметръ ВВ
*) Я думаю, что эти теоремы можно было бы доказать обычнымъ
пріемомъ, при чемъ то обстоятельство, что ученики не знаютъ подробно-
стей, входящихъ сюда теоремъ о внѣшнемъ углѣ треугольника, объ
углахъ, образованныхъ параллельными и сѣкущей, на мой взглядъ, не
важно. Но, если не стоять на точкѣ зрѣнія логической обоснованности до-
казательствъ, то можно убѣдиться въ этомъ простымъ измѣреніемъ, какъ
это сдѣлано въ текстѣ.

и измѣримъ дугу MN, центръ которой будетъ въ точкѣ А,
а радіусъ равенъ радіусу круга. Измѣривъ число граду-
совъ въ дугѣ АВ и дугѣ МО, мы увидимъ, что АВ со-
держитъ вдвое больше градусовъ, чѣмъ МО', но уголъ
измѣряется дугой МО, слѣдовательно число градусовъ въ
немъ равно половинѣ градусовъ АВ. Точно также въ
дугѣ ВС вдвое больше градусовъ, чѣмъ въ дугѣ ON, а
слѣдовательно и въ дугѣ АС вдвое больше градусовъ,
чѣмъ въ MN, или уголъ ABC содержитъ половину числа
градусовъ дуги AC.
Слѣдствіе. Уголъ, опирающійся на діаметръ, всегда
прямой. (Черт. 35).
Черт. 35.
Углы описанные. Описаннымъ угломъ называется уголъ,
образуемый касательными къ окружности, проведенными
изъ одной внѣшней точки. Такой уголъ измѣряется полу-
разностью дугъ, заключенныхъ между сторонами.
Возьмемъ описанный уголъ ABC; между его сторо-
нами содержатся, дуги ABC и АЕС; число градусовъ
въ этомъ углѣ равно dggjzigg, Чтобы убѣдиться въ этомъ,
отложимъ по дугѣ АЕС дугу ABC, полученную разность,
дугу СЕ, раздѣлимъ пополамъ. Если мы изъ вершины
угла В проведемъ дугу MN радіусомъ, равнымъ радіусу
круга, то увидимъ, что дуга MN= Ш*-£Еіл (Черт. 36).

Черт. 36.
Уголъ, образованный касательной и хордой, измѣ-
ряется половиной дуги, стягиваемой хордой.
Возьмемъ касательную CD и хорду АВ, проведенную
въ точку касанія; мы получимъ два угла ABC и ABD;
уголъ ABC измѣряется половиной дуги ABB, а уголъ
ABB измѣряется половиной дуги AFB. Чтобы убѣдиться
въ этомъ, достаточно изъ точки В, какъ центра, описать
дугу радіусомъ, равнымъ радіусу круга, тогда увидимъ,
что дуга МС равна \ дуги АЕВ, а дуга MD равна по-
ловинѣ дуги AFB (черт. 37).

Уголъ, вершина котораго внутри круга, измѣряется
полусуммою дугъ, заключенныхъ между его сторонами
и ихъ продолженіемъ.
Пусть вершина угла будетъ точка Д его стороны
АВ и СВ, тогда дуга АС будетъ заключаться между
сторонами угла, а дуга BE между ихъ продолженіями.
Уголъ ABC будетъ измѣряться АС ± DE. Чтобы убѣдиться
въ этомъ проведемъ изъ вершины В дугу MN радіусомъ,
равнымъ радіусу круга; къ дугѣ АС приложимъ дугу
CF= BE, раздѣлимъ Дугу А ^пополамъ, тогда MN= \ A CF.
(Черт. 38).
Черт. 38.
Уголъ, образованный двумя сѣкущими, измѣряется
полуразностью дугъ, заключенныхъ между его сторонами.
Возьмемъ уголъ АВС, образованный двумя сѣкущими
АВ и АС. Каждая сѣкущая пересѣкаетъ окружность въ
двухъ точкахъ, вслѣдствіе чего между сторонами угла
образуются двѣ дуги АС я BE. Легко убѣдиться по-
строеніемъ, что уголъ ABC измѣряется АС~DE. (Черт. 39).

§ 12. Задачи.
1) Зная, что около всякаго треугольника можно опи-
сать кругъ, доказать, что во всякомъ треугольникѣ сумма
угловъ равна 180°.
2) На прямой АВ описана полуокружность, которая
въ точкѣ С раздѣлена въ отношеніи 5:7. Точка С со-
единена съ точками А и В\ опредѣлить углы получен-
наго треугольника.
Отвѣтъ: 37°30'; 52°30'.
3) Уголъ между двумя радіусами равенъ 102°; опре-
дѣлить уголъ между касательными, проведенными черезъ
концы этихъ радіусовъ.
Отвѣтъ: 78°.
4) Вычислить уголъ, вписанный въ дугу, составляю-
щую У окружности.
Отвѣтъ: 95°37f30“.
5) Хорда дѣлитъ окружность въ отношеніи 5:11.
Опредѣлить величины вписанныхъ угловъ, опирающихся
на эту хорду.
Отвѣтъ: 56°15'; 123°45'.
6) Черезъ конецъ хорды, дѣлящей окружность въ от-
ношеніи 3:5, проведена касательная. Опредѣлить острый
уголъ между хордой и касательной.
Отвѣтъ: 67°30'.
7) На окружности взяты дуги АВ, ВС, CD и DA,
которыя пропорціональны числамъ 2:3:5:6. Проведены
хорды АС и BD, которыя пересѣкаются въ точкѣ М.
Опредѣлить уголъ АМВ.
Отвѣтъ: 78°45'.
8) Окружность раздѣлена въ точкахъ А, В, С и D
такъ, что полученныя дуги относятся какъ 3:2:13:7.
Хорды AD и ВС, будучи продолжены, пересѣкаются въ
точкѣ М. Опредѣлить уголъ АМВ.
Отвѣтъ: 72°.

9) Изъ внѣшней точки В проведены двѣ сѣкущія;
дуги, заключенныя между сторонами полученнаго угла,
относятся какъ 2 : 7, а сумма ихъ равна 126°. Опредѣлить
величину угла В.
Отвѣтъ: /_В=35\
10) Опредѣлить величину каждаго изъ двухъ угловъ,
составленныхъ касательной и хордой, если хорда дѣлитъ
окружность въ отношеніи \\\.
Отвѣтъ: 67°30'; 112°30'.
11) Дуги, заключенныя между сторонами описаннаго
угла, относятся какъ 3:7. Опредѣлить этотъ уголъ.
Отвѣтъ: 72°.
Окружность раздѣлена на три части въ отношеніи 2:3:4.
Черезъ точки дѣленія проведены касательный. Опредѣлить
величину угловъ полученнаго треугольника.
Отвѣтъ: 100°; 20°; 60°.
§ 13. Дѣленіе количествъ въ отношеніи обратномъ даннымъ
числамъ.
Обратными числами называются такія числа, которыя
въ произведеніи съ данными даютъ единицу. Такъ, на-
примѣръ, 4 и \ суть числа обратный, потому что 4.{ = 1,
Точно также числа f и \ будутъ обратными.
Если одно изъ обратныхъ чиселъ увеличить въ нѣ-
сколько разъ, то другое должно уменьшиться во столько же
разъ и обратно.
Раздѣлить данное количество въ отношеніи обратномъ
даннымъ числамъ, это значитъ раздѣлить его на такія
части, отношеніе которыхъ было бы обратно данному.
Въ этомъ случаѣ часто говорятъ: «раздѣлить обратно про-
порціонально даннымъ числамъ».
Пусть, напримѣръ, требуется раздѣлить число 65 на
3 части обратно пропорціонально 2, 3 и 4. Это значитъ,
что послѣдняя часть должна быть самой маленькой, а
первая самой большой. Такъ какъ эти части должны

быть обратно пропорціональны числамъ 2, 3 и 4, то можно
сказать, что они будутъ прямо пропорціональны обратнымъ
числамъ, т.-е. раздѣлить 65 на части обратно пропорціо-
нальныя 2, 3 и 4, значитъ раздѣлить 65 на части
прямо пропорціональныя числамъ | и \. Чтобы выпол-
нить это дѣленіе, обратимъ отношеніе дробей въ отношеніе
цѣлыхъ чиселъ, умноживъ каждую дробь на ихъ общаго
знаменателя 12, получимъ 6:4:3; значитъ число 65 со-
держитъ 13 к, гдѣ к есть общая мѣра всѣхъ трехъ частей.
Эта мѣра равна 5, слѣдовательно первая часть равна 30,
вторая 20 и третья 15. Эти части будутъ находиться въ
отношеніи обратномъ отношенію чиселъ 2, 3 и 4.
§ 14. Задачи.
1) Раздѣлить число 66 на три части обратно пропор-
ціональныя 5:4:10.
Отвѣтъ: 24; 30; 12.
2) Раздѣлить 4840 руб. между тремя лицами обратно
пропорціонально числамъ |:|:|.
Отвѣтъ: 1800 руб.; 1600 руб.; 1440 руб.
3) Неизвѣстное число раздѣлено на части, обратно про-
порціональныя |:|:Н, при чемъ вторая часть оказалась
на 75 больше третьей. Найти эти числа.
Отвѣтъ: 225; 135; 60.
4) Число 780 раздѣлить обратно пропорціонально
2i:2:H:lf.
Отвѣтъ: 144; 180; 240; 216.
5) Подрядчикъ выдалъ въ награду тремъ рабочимъ
370 рублей съ тѣмъ, чтобы они раздѣлили эти деньги
обратно пропорціонально своему жалованью. Сколько по-
лучилъ каждый, если ихъ жалованье было 18, 15 и 12 руб.
Отвѣтъ: 100 рублей; 120 рублей; 150 рублей.
6) Четыре деревни построили мостъ, который обо-
шелся въ 588 рублей. Эти деньги они разложили между
собою въ отношеніи обратномъ разстоянію каждой деревни

отъ моста. Сколько пришлось заплатить каждой, если пер-
вая находится на разстояніи 4,2 версты, вторая 5 3/5- версты,
третья—2| версты, и четвертая—5,04 версты?
Отвѣтъ: 144 рубля; 108 рублей; 216 рублей; 120 рублей.
ГЛАВА VIII.
Пропорціи.
§ 1. Определеніе пропорціи.
Пропорціей называется равенство двухъ отношеній.
ЕСЛИ два отношенія имѣютъ одинаковаго знаменателя,
то они считаются равными, а числа, ихъ составляющія,
называются пропорціональными. Напримѣръ:
Отношеніе 225:25 = 9; отношеніе 27:3 = 9; слѣдо-
вательно
225:25 = 27:3.
Такое равенство называется пропорціей, а числа 225,
25, 27 и 3 пропорціональными. Это равенство можно на-
писать въ иномъ видѣ:
225 _ 27
~25~~~Т
§ 2. Члены пропорціи.
Числа или количества, входящія въ пропорцію, на-
зываются ея членами.
Всякая пропорція состоитъ всегда изъ четырехъ чле-
новъ; въ общемъ видѣ ее можно написать такъ а\Ъ = c:d или
а _ с
Члены пропорціи сохраняютъ наименованіе членовъ от-
ношенія; а и с называются предыдущими, a J и d—по-
слѣдующими; но кромѣ того они получаютъ особыя на-
званія, какъ члены пропорціи, а именно а и d назы-
ваются крайними членами, Ь и с средними.

§ 3. Свойства членовъ пропорціи.
Такъ какъ пропорція есть равенство двухъ отношеній,
то члены ея сохраняютъ свойства равныхъ отношеній, а
именно:
1) Пропорція не нарушится, если мы оба члена того
или другого отношенія умножимъ или раздѣлимъ на одно
и то же число.
На основаніи этого свойства мы имѣемъ право за-
мѣнить дробные члены пропорціи цѣлыми. Пусть дана
пропорція 21: 8 = 7 J : 24*. Умножимъ оба члена перваго
отношенія на 2, получимъ 5:16; а члены второго отно-
шенія на 20, получимъ 155 :496; и получимъ ту же про-
порціи) въ новомъ видѣ:
5:16:155:496.
2) Во всякой пропорціи сумма предыдущихъ членовъ
обоихъ отношеній относится къ суммѣ послѣдующихъ, какъ
каждый предыдущій къ своему послѣдующему.
Если мы возьмемъ пропорцію въ общемъ видѣ £ =
то въ силу этого свойства можемъ написать новую про-
порцію = |; это свойство можно записать и такъ
a:b = c:d; (а-(-с):(b-j-d) = а: b.
3) Кромѣ свойствъ отношенія, члены пропорціи обла-
даютъ и свойствомъ равенства: равенство не нарушится,
если мы обѣ части его умножимъ на одно и то лее
число.
Умножимъ обѣ части равенства | =с- на произведеніе bd,
получимъ ad = bc. Это вновь полученное равенство на-
зывается главнымъ свойствомъ пропорціи и читается такъ:
произведеніе крайнихъ членовъ всегда равно произведенію
среднихъ членовъ, или просто: произведеніе крайнихъ равно
произведенію среднихъ. Въ самомъ дѣлѣ, въ вышеприведен-
ныхъ пропорціяхъ 225:25 = 27:3, мы имѣемъ 225X3=675
и 25 X 27 = 675, т.-е. 225.3 = 25.27.
Точно также въ пропорціи 5:16 = 155:496, имѣемъ
496.5 = 155.16, изъ которыхъ каждое произведеніе равно
2480.

4) На основаніи этого свойства мы получаемъ право
переставлять члены пропорціи, не измѣняя ее, т.-е. не
нарушая равенства, при чемъ отношенія будутъ мѣняться,
но пропорція сохранится. При этомъ преобразованіи всегда
нужно имѣть въ виду, чтобы произведеніе крайнихъ и
среднихъ членовъ было одно и то же.
Возьмемъ пропорцію въ общемъ видѣ a:b = c:d; мы
можемъ написать ее въ видѣ a:c = b:d, ибо при этомъ
попрежнему ad=bc. Это свойство формулируется такъ:
во всякой пропорціи мы можемъ переставлять мѣста сред-
нихъ членовъ.
Совершенно на томъ же основаніи мы имѣемъ право
переставлять и мѣста крайнихъ членовъ, написавъ
d: b = с: a.
Такихъ измѣненій мы можемъ сдѣлать 8, а именно:
1) a:b = c:d 5) c:d = a:b
2) a:c = b:a 6) c:a = d:b
3) d:b = c:a 7) b:d = a:c
4) d:c = b:a 8) b:a = d:c
При этихъ преобразованіяхъ мы будемъ твердо пом-
нить, что каждое изъ нихъ даетъ намъ новую пропорцію,
которая не тожественна съ данной; между тѣмъ, какъ
предыдущія преобразованія, на основаніи свойствъ рав-
ныхъ отношеній, даютъ ту же самую пропорцію только въ
другомъ видѣ. Послѣднія 8 преобразованій измѣняютъ зна-
менателя отношенія, даютъ новыя отношенія, а первыя
не измѣняютъ знаменателя отношенія, а измѣняютъ только
видъ отношенія, его внѣшнюю форму.
§ 4. Производныя пропорціи.
Въ разсмотрѣнныхъ нами 8 пропорціяхъ предыду-
щаго § сохранялось основное свойство данной пропорціи:
произведеніе крайнихъ и среднихъ членовъ оставалось одно
и то же; теперь мы попробуемъ изъ данной пропорціи
получить новыя пропорціи, въ которыхъ это основное
свойство не будетъ сохранено, т.-е. произведенія край-

нихъ и среднихъ членовъ будутъ уже другими. Эти про-
изведенія, конечно, останутся равными другъ другу, иначе
пропорція не была бы вѣрна, но они не будутъ равны
произведенію крайнихъ и среднихъ членовъ данной про-
порціи.
1) Сумма предыдущаго и послѣдующаго членовъ пер-
ваго отношенія относится къ своему послѣдующему,
какъ сумма предыдущаго и послѣдующаго членовъ вто-
рого отношенія къ своему послѣдующему.
Намъ дана пропорція \ = с2 и нужно доказать, что
о + і с -f d
~~Ъ ~~d~'
Доказать это мы можемъ двояко:
a) переставивъ средніе члены данной пропорціи, по-
лучимъ t =ь- и воспользуемся свойствомъ равныхъ от-
ношеній, тогда ^±| = ^, а переставивъ здѣсь мѣста сред-
нихъ найдемъ -ti = i±*5 что и требуется.
b) Возьмемъ пропорцію | = | и такъ какъ это есть
равенство, то мы имѣемъ право прибавить къ обѣимъ
частямъ его по одному и тому же числу; прибавимъ по
единицѣ, тогда получимъ £ -|-1 = е- -|-1. Приведемъ каждую
часть къ одному знаменателю, найдемъ L+* = L+_13 что и
требуется.
2) Сумма предыдущаго и послѣдующаго членовъ пер-
ваго отношенія относится къ своему предыдущему, какъ
сумма предыдущаго и послѣдующаго членовъ второго от-
ношенія къ своему предыдущему.
Намъ дана пропорція £ =с- и надо доказать, что
±±± = і±1и Доказательство совершенно такое лее, только
въ обоихъ случаяхъ надо выбрать подходящій видъ про-
порціи.
3. Совершенно также можно доказать, что разность
предыдущаго и послѣдующаго членовъ перваго отноше-
нія относится къ своему послѣдующему (или предыду-
щему), какъ разность предыдущаго и послѣдующаго чле-
новъ второго отношенія относится къ своему послѣ-
дующему (или предыдущему).

Изображая эту теорему, алгебраически получимъ
а — Ъ с — d
Ь d '
4. Сумма предыдущаго и послѣду тощаго членовъ пер-
ваго отношенія относится къ ихъ разности, какъ сумма
предыдущаго и послѣдующаго членовъ второго отноше-
нія къ ихъ разности.
Надо доказать, что ^±І = С-±ЛЩ Чтобы доказать это,
возьмемъ данную пропорцію \ = ~ и составимъ изъ нея
первую производную пропорцію —ti = r-^7-; затѣмъ соста-
вимъ третью производную пропорцію ~~~ = с—^. Теперь
раздѣлимъ первую производную на третью производную,
получимъ &±?i| = fe±^|. Сократовъ одинаковыхъ множи-
телей получимъ требуемое ^±| = і±-^.
§ 5. Определеніе неизвѣстнаго члена пропорціи.
Если одинъ изъ членовъ пропорціи неизвѣстенъ, то
его всегда можно вычислить, пользуясь свойствомъ: про-
изведеніе крайнихъ равно произведенію среднихъ. Возьмемъ
пропорцію 15:^=75:25. Изъ этой пропорціи мы можемъ
написать равенство 15.25 = 75х. Если обѣ части этого
равенства раздѣлимъ на 75, то равенство не нарушится,
слѣдовательно х = что посокращеніи даетъ 5. Отыска-
ніе неизвѣстнаго члена пропорціи называется рѣшеніемъ ея.
§ 6. Рѣшить пропорціи.
1) 28:^ = 7218.
Отвѣтъ: ^ = 4.
2) Н:Ъ=х:3.
Отвѣтъ: х = 22~.
3) х:Ь=і:і.
Отвѣтъ: х = 3“.
4) 15:3=$ :х.
Отвѣтъ: х = ~.

§ 7. Приложеніе свойствъ пропорціи къ рѣшенію уравненій.
При помощи производныхъ пропорціи легко рѣшаются
тѣ уравненія, которыя имѣютъ видъ пропорціи. Пусть,
напримѣръ, намъ дано уравненіе
# + 2_3
х — 2~2
Составимъ производную пропорцію.
(х+2) + (х—2) = 3 + 2
(х + 2) — (х—2) 3 — 2
Раскрывъ здѣсь скобки и сдѣлавъ приведеніе подоб-
ныхъ членовъ получимъ
2 х х
—— = 5 или — = 5
Откуда #=10.
§ 8. Задачи.
Рѣшить уравненія
. 5x + 3 7
1) -z о = о* Отв. x — Vi-
Ъх— 1 _2#+3 і
2) 5^3~2#-3 * Отв-
ч хА-ъ з
3) —-гё = тв Отв- # =
ГЛАВА IX.
Понятіе о пропорціональности.
(Простое тройное правило).
Величины зависимыя и независимыя.
Въ томъ родѣ величинъ, съ которыми мы встрѣчаемся
въ жизни, и тѣхъ, съ которыми мы сталкиваемся при
рѣшеніи задачъ, легко выдѣлить величины двоякаго рода:
зависящія и независящія другъ отъ друга. Такъ, напри-

мѣръ, объемъ какого-либо вещества и вѣсъ этого объема
находятся въ зависимости другъ отъ друга. Эта зависи-
мость непремѣнно и обязательно требуетъ, чтобы при из-
мѣненіи объема измѣнялся и вѣсъ. Но, объемъ взятаго
сосуда и вѣсъ налитой въ него жидкости не зависятъ
другъ отъ друга; однако мы можемъ поставить условіе,
которое будетъ связывать эти двѣ независимыя величины.
Такая зависимость величинъ называется функціональ-
ной и мы уже знаемъ, что она можетъ быть естествен-
ной и условной. Пояснимъ еще функціональную зависи-
мость величинъ на слѣдующемъ примѣрѣ. Возьмемъ цент-
ральный уголъ АОВ (черт. 40); мы знаемъ, что онъ бу-
Черт. 40.
детъ измѣряться дугой АВ, т.-е. будетъ имѣть столько
угловыхъ градусовъ, сколько въ дугѣ дуговыхъ градусовъ.
Если мы будемъ уголъ увеличивать, то вмѣстѣ съ нимъ
будетъ увеличиваться и дуга; слѣдовательно величина
дуги и величина угла будетъ находиться въ функціональ-

ной зависимости. Эта функциональная зависимость фор-
мулируется такъ: углы пропорціональны дугамъ. Но если
мы проведемъ рядъ другихъ окружностей, большаго радіуса,
то будемъ получать новыя дуги AiBl, A2B2; число гра-
дусовъ въ каждой изъ этихъ дугъ останется тоже самое, по-
тому что мы каждую новую окружность дѣлимъ на 360
равныхъ частей и при такомъ дѣленіи будетъ увеличи-
ваться величина градуса, а число ихъ въ углѣ АОВ оста-
нется то же самое; слѣдовательно величина угла не за-
виситъ отъ величины радіуса, которымъ проведена дуга.
§ 2. Пропорціональность величинъ.
Простѣйшая функціональная зависимость величинъ на-
зывается пропорциональностью. Если одна величина увели-
чивается въ нѣсколько разъ, а другая то же увеличива-
ется или уменьшается во столько же разъ, то говорятъ,
что эти величины пропорціональны. При этомъ, если съ
увеличеніемъ одной, другая увеличивается, то пропорці-
ональность называется прямой. Углы прямо пропорціо-
нальны дугамъ; вѣса однородныхъ тѣлъ прямо пропор-
ціональны объемамъ. Если я^е съ увеличеніемъ одной, дру-
гая уменьшается, то величины называются обратно-про-
порціональными. Къ числу такихъ величинъ можетъ быть
отнесено число рабочихъ и время работы: чѣмъ больше
будетъ рабочихъ, тѣмъ меньше времени нужно для вы-
полненія работы.
Такимъ образомъ, самымъ главнымъ признакомъ про-
порціональности есть увеличеніе или уменьшеніе въ одно
и то же число разъ. Этотъ признакъ приводитъ насъ къ
равенству отношеній. Возьмемъ два угла Z.AOB и уголъ
Z-BOC (черт. 41), второй уголъ больше перваго, ихъ от-
ношеніе будетъ _-___-; это отношеніе показываетъ, что
что уголъ /.ВОС больше угла /_АОВ во сколько нибудь
разъ, скажемъ: «въ п разъ»; при чемъ число п мы не
знаемъ, а только обозначаемъ имъ величину отношенія.
Дуга ВО также больше дуги АВ и отношеніе ихъ бу-

Черт. 41.
детъ —Зная, что эти величины пропорціональны,
мы должны сказать, что второе отношеніе равно также щ
но если два отношенія равны, то мы можемъ поставить
пропорцію л~т>= лгу ^та пропорція показываетъ,
Z А (/В w -Ах)
что отношеніе угловъ равно отношенію дугъ. Мы напи-
сали ее, основываясь на пропорціональности входящихъ
величинъ, независимо отъ того, измѣримы эти величины
пли нѣтъ, т.-е. выражена ли каждая изъ нихъ числомъ
или нѣтъ. Пропорціональность есть внутреннее свойство
величинъ, независящее отъ того, какъ эти величины вы-
ражены. Въ силу этого, получаемая нами пропорція не
есть числовая, а количественная, а потому свойство про-
порціи:—во всякой пропорціи мы можемъ перемѣнить мѣ-
ста среднихъ членовъ,—молитъ быть приложено къ дан-
ной пропорціи только тогда, когда мы докажемъ, что это
свойство не только чиселъ, но свойство количествъ. Это
было доказано древнимъ математикомъ Эвклидомъ, а по-
тому мы можемъ имъ воспользоваться и написать такъ
АВОО AAOG
^ВС ^АС

Новая пропорція, которую мы получили, имѣетъ со-
вершенно новый смыслъ, она читается такъ: отношеніе
центральнаго угла къ дугѣ, на которую онъ опирается
есть величина постоянная. Это значитъ, что если мы
въ окружности возьмемъ какіе бы то ни было централь-
ные углы, то для каждаго изъ нихъ, отношеніе къ дугѣ,
на которую онъ опирается, будетъ одно и то же. Обо-
значимъ это отношеніе буквой n, тогда BOC/BC = n или
BOC = n.(BC). Въ этомъ видѣ въ математикѣ при-
нято обозначать свойство прямо пропорціональныхъ вели-
чинъ. Если мы обозначимъ уголъ буквой x, дугу буквой y,
получимъ x = ny. Это есть алгебраическая формула, замѣ-
няющая словесную фразу: углы прямо пропорціональны ду-
гамъ. Число n называется коэффиціентомъ пропорціональ-
ности и показываетъ отношеніе угла, принятаго за еди-
ницу, къ соотвѣтствующей ему дугѣ.
Собственно равенство x = ny въ томъ случаѣ, когда
x есть уголъ, а y — дуга, уравниваетъ разнородныя вели-
чины, чего мы не можемъ дѣлать ибо по существу: разно-
родныя величины не могутъ быть уравнены. Чтобы из-
бѣжать этого, иногда говорятъ, что здѣсь уравнены не
количества, а числа ихъ выражающія, но мы уже видѣли,
что пропорціональность не есть свойство чиселъ, а свой-
ство величинъ, независящее отъ ихъ числового выраженія,
слѣдовательно и равенство x = ny есть равенство коли-
чествъ, а не чиселъ. Чтобы оправдать его въ этомъ слу-
чаѣ, подставимъ значеніе коэффиціента n, тогда
x = y един.угла/един. дуги и представимъ въ такомъ видѣ
x = y/ед. дуги ед. угла. Отношеніе y/ед. дуги принято счи-
тать числомъ отвлеченнымъ, тогда и наше равенство урав-
ниваетъ количества однородныхъ величинъ x = k. ед.
угла, гдѣ число k есть отвлеченное число, выражающее
величину отношенія y/ед. дуги.

§ 3. Основная теорема пропорціональности геометрическихъ
количествъ.
Основная теорема пропорціональности геометрическихъ
количествъ читается такъ: если стороны угла разсѣчь
двумя параллельными линніями, то получимъ пропорці-
ональные отрѣзки. Эта теорема лежитъ въ основаніи
всѣхъ доказательствъ пропорціональности различныхъ гео-
метрическихъ количествъ. Обычное доказательство этой
теоремы слѣдующее. Возьмемъ Z DAE и проведемъ двѣ
параллельныя линіи DE и ВС] эти линіи отсѣкутъ на
сторонахъ угла отрѣзки AD и АВ съ одной стороны,
АС и AE—съ другой. Нужно доказать, что ^^=:^^.
Будемъ разсматривать отрѣзки на одной сторонѣ угла,
напримѣръ АС и АЕ (черт. 42).
Черт. 42.
Положимъ, что эти отрѣзки соизмѣримы и общая мѣра
укладывается въ отрѣзкѣ AC—т разъ, а въ отрѣзкѣ АЕ она
уложится п разъ, тогда отношеніе —~ =—. Проведемъ че-
резъ точки отложенія общей мѣры линіи, параллельныя DE
и ВС) мы знаемъ, что тогда другая сторона угла раздѣлится
на равныя части; въ линіи АВ будетъ т равныхъ частей,

а въ линіи AD такихъ частей щ это значитъ, что от-
рѣзки AD и АВ будутъ также соизмѣримы и ихъ общая
мѣра уложится въ отрѣзкѣ AD—п разъ, а въ отрѣзкѣ
АВ—т разъ. Отношеніе этихъ отрѣзковъ будетъ также
= —; но если числовыя величины отношеній равны,
то и самыя отношенія равны, т.-е. -—^ = -г-^; слѣдова-
тельно отрѣзки прямо пропорціональны.
Если отрѣзки А С и АЕ несоизмѣримы, то раздѣлимъ
меньшій изъ нихъ на т равныхъ частей; — даннаго от-
рѣзка уложимъ дальше и пусть въ отрѣзкѣ АЕ такихъ
частей будетъ больше п, но меньше тогда отношеніе
—r-s- можно опредѣлить съ точностью до —; именно, можно
написать, что
Проведя черезъ точки отложенія линіи, параллельныя
ВС и DE, мы увидимъ, что на другой сторонѣ угла от-
рѣзокъ АВ раздѣлится на т равныхъ частей, а въ от-
рѣзкѣ AD такихъ частей будетъ больше п, но меньше
w + Отношеніе будетъ меньше —t_l и больше —,
т.-е. —'—>-г-^>— 5 оно опредѣляется съ той же сте-
пенью точности. Съ какой бы степенью точности мы ни
опредѣляли то и другое отношеніе, оба они очевидно
всегда будутъ находиться въ одномъ и томъ же чи-
словомъ промежуткѣ, слѣдовательно будутъ равны, т.-е.
AD _АЕ
АВ~АС
Это доказательство требуетъ нахожденія общей мѣры
двухъ отрѣзковъ и предполагаетъ необходимость тотъ и
другой отрѣзокъ выразить числомъ. Въ нашемъ доказа-

тельствѣ т и п суть числа, и въ томъ и другомъ слу-
чаѣ мы находимъ числового знаменателя отношенія: въ
первомъ точно, и во второмъ приблизительно. Это обстоя-
тельство понижаетъ достоинство самого доказательство,
ибо пропорціональность не зависитъ отъ числа. Въ силу
этого очень важно доказать теорему независимо отъ число-
выхъ представленій.
§ 4. Доказательство по Эвклиду.
Греческій математикъ Эвклидъ(315—255 г. д. Р. Хр.)
разсматривалъ геометрическія протяженія не какъ число-
выя, а какъ количественныя. Въ своемъ сочиненіи «На-
чала» онъ такъ опредѣляетъ отношеніе: «Отношеніе есть
нѣкоторая взаимная зависимость между двумя однород-
ными величинами, когда онѣ сравниваются по ихъ коли-
чественное™». Давши такое опредѣленіе понятію отноше-
ніе» онъ говоритъ далѣе: «говорятъ, что двѣ величины
имѣютъ отношеніе между собою, если меньшую изъ нихъ
можно повторить столько разъ, чтобы результатъ былъ
равенъ или больше большей».
Здѣсь нужно обратить вниманіе на то, что находиться
въ отношеніи могутъ только однородныя величины, при
томъ находящіяся въ такихъ условіяхъ, что мы можемъ
сравнивать ихъ по количественности. Намъ нельзя срав-
нивать отрѣзки АВ и АЕ, лежащіе по разныя сто-
роны угла, потому что, повторяя меньшій, мы не мо-
жемъ быть увѣрены, что получимъ отрѣзокъ равный или
большій большаго; но мы легко и удобно моя^емъ сравни-
вать отрѣзки по одну сторону угла АВ и АВ] АС я АЕ,
потому что откладывая дальше меньшій, мы непремѣнно
получимъ или равный или большій большаго. Далѣе,
Эвклидъ даетъ такое условіе для сужденія о равенствѣ
отношеній: «говорятъ, что четыре величины находятся въ
томъ же отношеніи: первая ко второй и третья къ чет-
вертой, когда равнократныя величины первой и третьей,
взятыя по произвольной краткости, всегда или больше,
или равны, или меньше, соотвѣтственно, равнократныхъ

величинъ второй и четвертой, взятыхъ также по другой
произвольной кратности». Чтобы понять это положеніе,
назовемъ четыре величины соотвѣтственно буквами A, В,
С и В; тогда если тА > nB, то въ то же время непре-
мѣнно должно быть, чтобы mC>nD; если mAнепремѣнно и mCТогда
Основываясь на этихъ опредѣленіяхъ, докажемъ, что
отрѣзки сторонъ угла, разсѣченнаго двумя параллельными
линіями будутъ пропорциональны. Возьмемъ уголъ А и прове-
демъ двѣ параллельныя линіи ВС и BE; намъ надо дока-
зать, что -— = (черт. 43). Для этого мы отложимъ боль-
Черт. 43.
шой отрѣзокъ АВ нѣсколько разъ, напримѣръ т разъ и
получимъ точку JV, такъ что линія АЖ=тАЕ. Проведя
черезъ точку Ж линію NN1 параллельно BE, получимъ
на другой сторонѣ угла точку N1 и по свойству: если
на одной сторонѣ угла отложимъ равныя части и про-
ведемъ линіи параллельныя, то на другой сторонѣ угла
отложатся также равныя части можемъ сказать, что
АЖХ =mAD.
Теперь будемъ откладывать меньшій отрѣзокъ AC;
здѣсь могутъ быть три случая: или п разъ отложенный

АС будетъ меньше AN* или равенъ, или больше AN.
Положимъ, что nACупадетъ въ точку М, проведемъ черезъ М линію ММХ
параллельно BE, получимъ на другой сторонѣ угла точку
Мх\ которая будетъ соотвѣтствовать отрѣзку АВ, повто-
ренному п разъ. Очевидно, что если тАЕ>пАС, то не-
премѣнно mAD>nAB. Если отложеніе отрѣзка АС со-
впадаетъ съ точкой N, то и отложеніе отрѣзка АВ со-
впадаетъ съ точкой Nx, т.-е. если тАЕ=пАС, то не-
премѣнно и mAD = пАВ. Если отложеніе отрѣзка АС
перейдетъ за точку N и попадаетъ въ точку Р, то про-
ведя линію РРХ параллельно DE1 мы получимъ, что от-
ложеніе отрѣзка АВ перейдетъ за точку N1 и попадетъ
въ точку Р1, т.-е. если тАЕ<.пАС, непремѣнно и
mAD < п АВ.
Итакъ, въ этомъ случаѣ, мы находимъ, что условіе
данное Эвклидомъ, выполнено, слѣдовательно можемъ на-
писать, что Здѣсь нѣтъ чиселъ, а слѣдовательно
нѣтъ и вопроса о соизмѣримости и несоизмѣримости от-
рѣзковъ; они будутъ пропорціональны по самой своей сущ-
ности, независимо отъ того, сумѣемъ или несумѣемъ
ихъ выразить числами.
§ 5. Свойство, линіи дѣлящей уголъ треугольника пополамъ.
Линія, дѣлящая пополамъ уголъ треугольника, дѣлитъ
противоположную сторону на части, пропорціональныя
двумъ другимъ сторонамъ.
Чтобы убѣдиться въ этомъ, возьмемъ треугольникъ
ABC и раздѣлимъ въ немъ уголъ В пополамъ (черт. 44),

получимъ линію ВВ, которая раздѣлитъ противополож-
ную сторону АС на части АВ и JDB; намъ нужно до-
казать, что -=—^ = Чтобы доказать это, проведемъ
черезъ точку А прямую АМ1 параллельно ВВ, мы по-
лучимъ треугольникъ АМВ, въ которомъ сторона МВ=АВ.
Теперь мы получимъ уголъ ACM, разсѣченный двумя
параллельными линіями, а мы знаемъ, что тогда отрѣзки
будтъ пропорціональны, т.-е. ^т==^тp, Составимъ изъ
этой пропорціи производную, взявъ разность предыдущаго
и послѣдующаго членовъ перваго отношенія къ послѣ-
дующему и разность предыдущаго и послѣдующаго чле-
новъ второго отношенія къ своему послѣдующему, полу-
чимъ ~вс = св или вс=Ш но такъ
какъ МВ = АВ, то ^М = уМ-
Равнодѣлящая угла называется биссектриссою.
§ 6. Задачи.
1) Въ треугольникѣ ABC проведена биссектрисса ВВ;
опредѣлить отрѣзки АВ и ВС, если АВ = 10 см.,
ВС=15 см. и АС=20 см.
Отвѣтъ: АВ = 8 см; ВС=12 см.
2) Опредѣлить сторону ВС въ треугольникѣ ABC,
если АВ=1 арш., а биссектрисса ВВ дѣлитъ противо-
положную сторону въ отношеніи 2:7.
Отвѣтъ: 31 арш.
3) Периметръ треугольника ABC равенъ 40 дюймамъ.
Биссектрисса ВВ дѣлитъ противоположную сторону на
части 9 дюйм, и 6 дюйм. Опредѣлить стороны АВ и ВС.
Отвѣтъ: АВ=15 д.; ВС =10 д.

4) Въ треугольникѣ ABC биссектрисса угла В дѣлитъ
противоположную сторону на части АВ и DC; опредѣлить
DC, если извѣстно, что ВС=1 фут., a AB:AD = \ :|.
Отвѣтъ: DC=\ ф.
5) Хорда АВ=\Ъ дюйм., хорда АС= 21 дюйм., хорда
ВС =2 фут.
Точка D середина дуги ВС На какія части дѣлится
хорда ВС прямою АВ?
Отвѣтъ: на отрѣзки 14 дюйм, и 10 дюйм.
§ 7. Подобные треугольники.
Опредѣленіе. Треугольники, у которыхъ углы равны,
называются подобными. Согласно этому опредѣленію мы
можемъ сказать, что если намъ удастся убѣдиться въ
равенствѣ угловъ въ двухъ треугольникахъ, то тѣмъ са-
мымъ мы доказываемъ ихъ подобіе. Стороны, лежащія про-
тивъ равныхъ угловъ, называются сходственными.
Теорема. Въ подобныхъ треугольникахъ сходственный
стороны пропорціональны.
Возьмемъ два треугольника ABC и DEF съ равными
углами ZA = ID; 1В=1Е; /_С= IF; (черт. 45)
Черт. 45.
BE DF ЕЕ
намъ надо доказать, что = -—= = Для этого мы
АВ АС ВС

на сторонахъ угла А отложимъ части 1)31= АВ и DN=
= АС соединимъ точки М и N, получимъ треугольникъ
DMN, равный треугольнику ABC
Вслѣдствіе равенства треугольниковъ Z М = Z В, а
вслѣдствіе равенства угловъ линія MN параллельна EF
и мы имѣемъ уголъ, разсѣченный двумя параллельными
линіями, а слѣдовательно получимъ пропорціональные от-
рѣзки — но ВМ = АВ, a BN=AC\ слѣдова-
тельно -pn=“7Y77- Чтобы доказать равенство отношеніи
третьихъ сторонъ, мы сдѣлаемъ тоже построеніе отъ вер-
шины угла Е, т.-е. отложимъ ЕМХ=АВ и ENX = ВС,
тогда соединивъ точки Mt и Nx, получимъ треугольникъ
EMXNX, равный треугольнику ABC] изъ равенства тре-
угольниковъ слѣдуетъ равенство угловъ /_В= /_МЛ, а
изъ равенства угловъ слѣдуетъ параллельность линій BF
и MXNX \ мы опять получаемъ уголъ Е, разсѣченный двумя
параллельными линіями, которыя отсѣкаютъ пропорці-
ональные отрѣзки, слѣдовательно -ттч-г= или
_ = _^, Мы получили двѣ пропорціи —=— п
—въ которыхъ лѣвыя отношенія равны; такія
пропорціи принято писать вмѣстѣ слѣдующимъ образомъ
АВ~ АС~ ВС
Слѣдствіе. 1) Периметры подобныхъ треугольниковъ
пропорциональны сходственнымъ сторонамъ.
Слѣдствіе. 2) Въ подобныхъ треугольникахъ основа-
нія пропорціональны высотамъ.
§ 8. Задачи.
1) Башня, освѣщаемая солнцемъ, отбрасываетъ тѣнь
длиною 12 фут. Вертикальный шестъ, длиною въ 8 фут.,

отбрасываетъ въ то же время тѣнь длиною 2 фут. Опре-
дѣлить высоту башни. Отвѣтъ: 48 фут.
2) Въ треугольникъ, у котораго всѣ три угла острые,
вписанъ квадратъ такъ, что одна изъ сторонъ его лежитъ
на основаніи треугольника. Опредѣлить сторону квадрата
если основаніе треугольника равно 12 фут., а высота 10 фут.
Отвѣтъ: 5^ фут.
3) Въ двухъ равнобедренныхъ треугольникахъ углы
при вершинѣ равны. Боковая сторона и основаніе одного
соотвѣтственно равны 17 д. и 10 д. Опредѣлить боковую
сторону другого, если его основаніе равно 8 дюйм.
Отвѣтъ: 13 3/5- дюйм.
4) Стороны одного треугольника соотвѣтственно равны
8 см., 16 см. и 20 сант.; периметръ подобнаго ему тре-
угольника равенъ 55 сант. Опредѣлить его стороны.
Отвѣтъ: 10 см.; 20 см. и 25 см.
5) Длины параллельныхъ сторонъ трапеціи 12 см. и
16 см.; длина одной изъ непараллельныхъ сторонъ 7 сант.
На сколько нужно ее продолжить, чтобы она встрѣтилась
съ другой непараллельной стороной?
Отвѣтъ: На 21 сант.
6) ABB данная трепеціи, при чемъ ВС параллельна
АВ; точка О пересѣченіе діагоналей; АО = 8 сант.,
ОС=10 сант. и ВВ=21 сант. Опредѣлить OB и OB.
Отвѣтъ: ОВ=12 сант.; ОВ=15 сант.
7) ABC В данная трапеція, при чемъ ВС параллельна
АВ; точка О пересѣченіе діогоналей; ВО:ОВ = ^:~.
Средняя линія трапеціи равна 29 сант. Опредѣлить оба
основанія. (Стедняя линія трапеціи равна полусуммѣ осно-
ваній).
Отвѣтъ: ВС=18 сант.; АВ=40 сент.
8) Въ трапеціи ABCD уголъ ABC, и уголъ ACD
равны. Опредѣлить величину діогонали АС если верхнее
основаніе ВС равно 12 сант., а ниже нее АВ 27 сант.
Отвѣтъ: АС=18 сант.

§ 9. Пропорціональныя линіи въ кругѣ.
Отрѣзки прямыхъ, ограниченныя окружностью, нахо-
дятся въ опредѣленномъ функціональномъ соотношеніи
другъ къ другу. Среди этихъ прямыхъ существуютъ слѣ-
дующія: діаметръ, хорды, сѣкущія и касательныя. Раз-
смотримъ нѣкоторыя изъ этихъ прямыхъ.
1) Хорды, пересѣкающіяся внутри круга, дѣлятся
на части обратно пропорціональныя.
Возьмемъ окружность и проведемъ двѣ хорды АВ и
СВ, пересѣкающіяся въ точкѣ М (Черт. 46). Хорда АВ
Черт. 46.
дѣлится въ этой точкѣ на два отрѣзка AM и ВМ;
хорда СВ дѣлится на отрѣзки СМ и DM. Раздѣлимъ эти
отрѣзки на лѣвыя и правыя и запишемъ въ видѣ двухъ
строкъ такъ:
AM—BM
CM— DM
Нетрудно видѣть, что если мы одну изъ этихъ хордъ,
наприм. АВ, будемъ вращать около точки М въ напра-
вленіи, указанномъ стрѣлкою, то отрѣзокъ AM будетъ
увеличиваться, а отрѣзокъ MB будетъ уменьшаться, такъ
что, если AM больше CM, то MB будетъ больше MB и
можно доказать, что AM/CM = MD/MB. Чтобы доказать это,
достаточно соединить точки А и D, С и В прямыми,

тогда мы получимъ два треугольника AMD и CMD, ко-
торые будутъ подобны. Въ самомъ дѣлѣ, Z MAB = Z MOB,
потому что они опираются на одну и ту же дугу ВВ, а
слѣдовательно содержатъ одно и то лее число градусовъ;
точно также углы MB О и MB А будутъ равны на томъ
же основаніи. Изъ подобія треугольниковъ вытекаетъ
пропорціональность ихъ сходственныхъ сторонъ. Напишемъ
стороны треугольника АМВ] они будутъ AM, MB, и АВ;
сторона AM лежитъ противъ угла В, равный ему уголъ
въ треугольникѣ С MB будетъ уголъ В, слѣдовательно
сторона ОМ будетъ сходственной. Сторона MB лежитъ
противъ угла А, равный ему уголъ будетъ С, противъ
него лежитъ сторона MB. Итакъ ___==__.
Перестановка членовъ въ этой пропорціи намъ не дастъ
ничего новаго; но если мы возьмемъ произведеніе ея край-
нихъ и среднихъ членовъ, то получимъ AM. МВ=СМ. MB;
это равенство мы можемъ формулировать такъ: произве-
дете отрѣзковъ хордъ, проходящихъ черезъ одну и ту
же точку внутри круга, есть величина постоянная.
Такимъ образомъ алгебраическое преобразованіе равенства
приводитъ насъ къ новому свойству разсматриваемыхъ
величинъ. Такъ какъ указанное преобразованіе пропорціи
не зависитъ отъ числовыхъ его свойствъ, то очевидно,
что это есть не свойство чиселъ, а свойство количествъ;
чтобы выяснить это свойство, нужно замѣтить, что про-
изведеніе линій есть площадь, слѣдовательно новое свой-
ство отрѣзковъ хордъ можно формулировать еще и такъ:
площади прямоугольниковъ, смежныя стороны кото-
рыхъ равны отрѣзкамъ хордъ, проходящихъ черезъ одну
точку внутри круга, всегда равны между собою.
Мы можемъ найти величину всѣхъ этихъ площадей,
не вычисляя ихъ, если проведемъ черезъ точку М діа-
метръ, отрѣзки котораго подчиняются очевидно тому же
условію, и площадь прямоугольника, имѣющаго смежными
сторонами отрѣзки самого діаметра, будетъ равна пло-
щадямъ всѣхъ прочихъ прямоугольниковъ.
Таково свойство количествъ внѣ зависимости отъ ихъ

числовой величины. Но, когда мы эти количества будемъ
выражать числами, то у насъ возникнетъ вопросъ, имѣ-
емъ ли мы право измѣрять отрѣзки той и другой хорды въ
разныхъ единицахъ. Пусть, наприм., отрѣзокъ CM измѣренъ
въ аршинахъ, отрѣзокъ MD—въ дюймахъ и т. д. Для
рѣшенія этого вопроса надо уяснить себѣ взаимную зави-
симость отрѣзковъ. Мы имѣемъ прямую АВ, которая въ
точкѣ М дѣлится на двѣ части, величина каждой изъ
этихъ двухъ частей не зависитъ другъ отъ друга, а опре-
дѣляется величиной радіуса окружности; слѣдовательно
мы можемъ часть этой линіи, напримѣръ AM измѣрить
одной мѣрой—аршинами, часть той лее линіи ВМ измѣрить
другой мѣрой—дюймами. Линія СВ совершенно не зависитъ
отъ АВ, а слѣдовательно ея части мы также можемъ измѣ-
рить въ какихъ угодно мѣрахъ. Но, какъ же тогда опрѣ-
дѣлить числовую величину того или иного отрѣзка, ко-
торая не можетъ быть произвольной? Разсмотримъ для
этого такую задачу: AM = 2 фута; ВМ = 14 дюйм.;
СМ=1 арш., чему равно MB? Чтобы узнать числовую
величину MB, составимъ пропорцію __-==__ ; это есть
соотношеніе количествъ, независимо отъ ихъ измѣреній.
Теперь мы можемъ поступить двояко: 1) Потребовать,
чтобы предварительно подстановкѣ всѣ количества были
выражены въ одной и той лее единицѣ измѣренія, тогда
эти количества дадутъ слѣдующія числа iLM=24 дюйм.,
ВМ=14: дюйм., СМ=28 дюйм, и МВ=х, очевидно дюй-
мовъ. Тогда количественное соотношеніе можетъ быть
переписано въ числовомъ видѣ *-j=^, откуда х=2^~- или
#=12. Мы получили числовую величину отрѣзка MD,
который долженъ принять наименованіе дюймы, потому
что всѣ измѣренія мы производили въ этой мѣрѣ.
2) Подставимъ вмѣсто количествъ данныя числа
тогда 2 фута — х . Здѣсь х оставленъ безъ наимено-
ванія, потому что при наличности разныхъ наименованій
мы не знаемъ какое наименованіе будетъ имѣть х. Не-
извѣстный членъ этой пропорціи мы можемъ вычислить,

исходя изъ соображеній также двоякаго рода: 1) возь-
мемъ произведеніе среднихъ и крайнихъ членовъ, тогда
2 фута X 14 дюйм. = х. 1 арш.; 2 фут. X 14 дюйм,
есть площадь прямоугольника, равная 2. 14 (фут. X дюйм.);
х. 1 арш. есть равная первой площадь другого прямо-
угольника, у котораго одно измѣреніе равно 1 аршину;
при равенствѣ этихъ площадей мы можемъ сказать, что
другое измѣреніе х будетъ равно
__ 2,14 (фут, дюйм.)
1 арш.
или оно будетъ равно 2.14*^^--.
Мы получили сложную единицу мѣры, которую мо-
жемъ упростить, зная единичныя соотношенія входящихъ
сюда единицъ. Для этого мы должны выразить всѣ еди-
ницы въ одной мѣрѣ, напр., въ дюймахъ, получимъ
Фут. дюйм. = 12 дюйм. дюйм. или, по сокращеніи, ? дюйма. Тогда
# = 2.14.? дюйм, или х = 12 дюймовъ.
2-ое разсужденіе можетъ быть слѣдующимъ. Намъ
извѣстенъ предыдущій членъ отношенія x/14 дюйм. кото-
рое равно отношенію Знаменатель этого второго
отношенія равенъ 2 ; но отношеніе соизмѣримо и
равно отношенію чиселъ тогда наше отношеніе z
можетъ быть выражено отвлеченнымъ числомъ 2.| или|;
слѣдовательно и искомое отношеніе -г-л -— равно от-
влеченному числу у; но если 14 дюйм =7* то
ДЮЙМ. #| или #=12 дюймовъ.
Въ первомъ рѣшеніи, выраженіе— есть коэф-
фиціентъ пропорціональности, который преобразуется въ
данномъ случаѣ въ болѣе простое число и это обстоя-

тельство даетъ возможность найти величину отношенія
-л ; если бы этого сдѣлать было нельзя, то необходимо
и обязательно оставить его въ томъ сложномъ видѣ,
какъ онъ получится.
Тогда бы первое рѣшеніе вопроса въ отвлеченныхъ
числахъ было бы невозможно, потому что входящія коли-
чества мы не могли бы выразить въ одной и той же
мѣрѣ, а также невозможно было бы и второе разсужде-
ніе второго рѣшенія, потому что искомое отношеніе мы
не могли бы выразить отвлеченнымъ числомъ. Эти слу-
чаи часто встрѣчаются въ физикѣ, напр., при изученіи
электрическихъ явленій.
2. Сѣкущія, проведенныя изъ одной внѣшней точки
кг данному кругу, обратно пропорціональны своимъ внѣш-
нимъ частямъ.
Проведемъ изъ внѣшней точки С двѣ сѣкущія АС и
CD, онѣ пересѣкутся окружностью еще въ точкахъ В и Е;
(черт. 47) длины сѣкущихъ будутъ АС и ВС] длины
Черт. 47.
ихъ внѣшнихъ отрѣзковъ ВС и ЕС. Намъ надо доказать, что
JJQ= ~Qjg- Соединимъ точки А и Д 1) и Д9 получимъ
два треугольника АСЕ и DBC, которые будутъ подобны,
потому что имѣютъ общій уголъ С, и углы А и В равны,
какъ опирающееся на одну и ту же дугу ВС. Сходствен-

ными сторонами въ этихъ треугольникахъ будутъ: AC
сходственна съ DC; CE сходственна съ ВС; слѣдовательно
АС СЕ
DC~ СВ
Если мы въ этой пропорціи возьмемъ произведеніе
крайнихъ и среднихъ членовъ, то получимъ А С. СВ=В С СЕ;
это равенство можемъ прочитать такъ: произведете сѣку-
щихъ, проведенныхъ изъ одной внѣшней точки къ окруж-
ности, на ихъ внѣшнія части есть величина постоян-
ная. Или такъ: площади прямоугольниковъ, смежныя сто-
роны которыхъ равны длинамъ сѣкущихъ и ихъ внѣш-
нихъ частей, равны между собой.
§ 10. Задачи.
1) Діаметръ круга, длиною въ аршинъ, въ нѣкото-
рой точкѣ раздѣлится въ отношеніи 3:5.
Черезъ эту точку проведена хорда, одинъ отрѣзокъ,
которой равенъ футу. Опредѣлить длину хорды.
Отвѣтъ: 2 7 т| дюйм.
2) Хорда АМВ повернута около точки М такъ, что
одинъ изъ ея отрѣзковъ увеличился въ 1 \ раза. Какъ из-
мѣнится другой отрѣзокъ?
Отвѣтъ: Уменьшится въ \\ раза.
3) Одна изъ двухъ пересѣкающихся хордъ раздѣлена
на части: въ 1 футъ и 18 дюймовъ, а другая въ отно-
шеніи 1:6. Опредѣлить длину второй хорды.
Отвѣтъ: 42 дюйм.
4) Радіусъ окружности равенъ 7 дюйм. Изъ точки,
удаленной отъ центра на 9 дюм. проведена сѣкущая такъ,
что она окружностью дѣлится пополамъ. Определить длину
сѣкущей.
Отвѣтъ: 8 дюйм.
5) Пусть ABB и АЕС двѣ прямыя, пересѣкающія
окружность; первая въ точкахъ В я В, вторая въ точкахъ
En С. Требуется: 1) Опредѣлить АЕ, если АВ= 5 дюйм.,
DB=lb дюйм, и АС=25 дюйм. 2) Опредѣлить ВВ,

если АВ = 45 арш., АС= 1 арш. и ЕС = 10 вершковъ.
3) Опредѣлить АВ и АС, если ихъ сумма 50 фут., а
АВ:АЕ=3:7.
Отвѣтъ: iLEJ=4 д.; ВВ= 20 вершк.; AB=35 ф.;
1(7=15 ф.
§ 11. Пропорціональность количествъ.
(Простое тройное правило).
Какъ мы видѣли, пропорціональность геометрическихъ
количествъ можетъ быть доказана независимо отъ ихъ
числовой величины. Что касается количествъ не геометри-
ческихъ, то эти количества мы имѣемъ исключительно въ
видѣ числовыхъ количествъ, при чемъ эти числовыя ихъ вы-
раженія являются средними ариѳметическими. Кромѣ того,
негеометрическія количества, вообще говоря, имѣютъ слож-
ную функциональную зависимость отъ многихъ количествъ,
и самая ихъ пропорціональность скорѣе допускается, при-
нимается для простоты, чѣмъ устанавливается изъ изу-
ченія ихъ свойствъ. Только физика и вообще естество-
знаніе старается выяснить истинную функціональную за-
висимость количествъ, тогда какъ практическая жизнь
стремится свести всѣ количества къ прямой или обрат-
ной пропорціональной зависимости.
Однако, эта функціональная зависимость продолжаетъ
быть свойствомъ самихъ количествъ, а не ихъ числовыхъ
выраженій.
Разсмотримъ нѣсколько примѣровъ величинъ, наиболѣе
употребительныхъ.
1) Покупка или продажа товара. Въ этомъ вопросѣ
находятъ слѣдующія величины: цѣнность товара, стоимость
товара, количество товара. Цѣнность товара обусловлива-
ется его качествомъ, его рѣдкостью, количествомъ спроса
и другими элементами; цѣнность измѣряется въ рубляхъ;
точно также и стоимость товара измѣряется въ рубляхъ.
Количество товара можетъ измѣряться: въ вѣсовыхъ едини-
цахъ, въ объемныхъ единицахъ; по счету предметовъ (про-
дажа фруктовъ, яицъ и т. п.), по площади (продажа земли),

по длинѣ (продажа матеріи и т. п.). Кромѣ этого при по-
купкѣ и продажѣ товара входятъ особые накладные рас-
ходы: по перевозкѣ, по упаковкѣ, а главное прибылъ, ко-
торую долженъ получить продавецъ.
Мы еще вернемся къ вопросу торговли при разсмотрѣ-
ніи правила процентовъ, а теперь разсмотримъ рѣшеніе
задачъ, повторивъ то, что уже было говорено раньше.
Въ задачахъ на простое тройное правило даются только
двѣ величины, при чемъ каждая величина имѣетъ два из-
мѣренія. Такимъ образомъ мы получимъ четыре числа;
зная три изъ нихъ, можемъ опредѣлить четвертое. Такъ
какъ въ этихъ задачахъ всегда должны быть даны три
числа, то оно и получило названіе тройнаго правила.
Это названіе сохранилось еще отъ того времени, когда
люди не знали алгебры и рѣшали задачи по особому ша-
блону. Такой шаблонъ въ рѣшеніи помогаетъ выяснить
сущность рѣшенія, а потому его необходимо разсмотрѣть.
Возьмемъ такую задачу:
«За 12 фунтовъ масла заплачено 1\ рубля. Сколько
фунтовъ масла можно купить на If рубля?»
Текстъ задачи записывается въ двухъ вертикальныхъ
столицахъ, изъ которыхъ въ одномъ непремѣнно и обяза-
тельно должны стоять числа, измѣряющія одну величину
(количество товара), а въ другомъ числа, измѣряющія дру-
гую величину (стоимость товара). Цѣнность товара въ за-
дачѣ предполагается уравненной. Такъ какъ у насъ даны
только три измѣренія, а намъ нужно ихъ четыре, то не-
достигающее измѣреніе—искомое количество товара, мы
обозначаемъ буквой, обыкновенно х. Итакъ задача запи-
сывается такъ.
12 фунт. — 7| рубл.
х фунт. —1| рубл.
Изъ свойствъ количествъ мы знаемъ, что они прямо
пропорціональны, т.-е. отношеніе количествъ равно отно-
шенію стоимостей, и такъ какъ во второмъ случаѣ стои-
мость меньше, то безъ всякихъ вычисленій мы можемъ
сказать, что количество будетъ меньше. Поэтому мы го-

воримъ: 12 фунт, больше х фунт, во столько разъ, во
сколько 1\ рубля больше If рубля, и эту фразу запи-
сываемъ математически такъ: 12:# = 7|:1|.
Рѣшая полученную пропорціи), находимъ
х = 5,36 откуда х=Ъ фунта.
Здѣсь мы имѣемъ равенство отношеній двухъ разно-
родныхъ величинъ, а потому намъ необходимо разобрать,
полученную формулу. Для этого подставимъ въ нашу про-
порція) наименованія 12 ф.: х ф. = 1\ р.: 1| р. Мы мо-
жемъ брать отношенія только въ такомъ видѣ, потому
что согласно опредѣленію по Эвклиду, находиться въ от-
ношеніи могутъ только количества одной и той же вели-
чины; но въ самой пропорціи мы можемъ переставить
мѣста среднихъ членовъ, тогда
12 ф.: 7| руб. = х ф.: Ц руб.
Такая перестановка членовъ даетъ намъ новую про-
порціи), собственно не пропорцию, а новое равенство. Про-
порціи) мы можемъ составить только на основаніи пра-
вилъ объ отношеніяхъ, всякое другое составленіе пропор-
ціи не имѣетъ теоретическихъ обоснованій; но, такъ какъ
составленная пропорція есть равенство, а равенство мо-
литъ быть преобразовано на основаніи аксіомъ, то изъ
пропорціи мы можемъ получить рядъ новыхъ равенствъ,
изъ которыхъ каждое имѣетъ свой особый смыслъ. Обычно
не различаютъ этого и говорятъ, что получена новая про-
порція. Итакъ 12 ф. : 7| руб. = х ф, : 11 руб. Это равен-
ство показываетъ, что на одинъ рубль при первой покупкѣ
даютъ такое же количество товара, какое даютъ на одинъ
рубль при второй покупкѣ. Этимъ свойствомъ преобразо-
ванная равенства пользуются при рѣшеніи такихъ задачъ,
вводя новое правило: правило приведенія къ единицѣ.
Рѣшая задачу по этому правилу, разсуждаютъ такъ:
На 7\ рубля можно купить 12 фунтовъ товара, а на одинъ
рубль можно купить товара меньше въ 7 * раза, т.-е. (12/7 1/5) фун-

товъ; на If рубля можно купить больше въ If, т.-е.
12 1- 12 1-
- ' 5 Ф-; Итакъ х=-^ фунт. При такомъ способѣ
5 5
рѣшенія мы скрываемъ свойство пропорціональности и за-
мѣняемъ выраженіе 7 1/5 рубля, выраженіемъ 7| раза. Но,
очевидно, что такая замѣна и есть скрытая форма про-
порціональности, потому что она возможна только потому,
что отношеніе 7^ руб. : 1 рубл. = 7| [если на 1\ рубля
даютъ 12 фунтовъ, то на одинъ рубль дадутъ во столько
разъ меньше, во сколько 1 рубль меньше 7| рубля.]
Если мы въ пропорціи 12 ф. : 7| руб. =х ф. : If ф. пе-
реставимъ мѣста крайнихъ и среднихъ членовъ, то полу-
чимъ новое равенство 7 1/5 руб. : 12 ф. = 1 1/5 руб. : х фунт.,
которая показываетъ, что цѣнность первой покупки равна
цѣнности второй.
Такое уравниваніе цѣнностей не даетъ ариѳметиче-
скаго толкованія, а только алгебраическое, потому что
мы можемъ уравнять цѣнности, только при введеніи не-
извѣстнаго х при его помощи составить уравненіе.
Какъ мы видѣли въ главѣ Y (§ 9) разсматриваемый во-
просъ связываетъ три величины:
Стоимость = цѣнности х количество товара, гдѣ цѣн-
ность можетъ разсматриваться какъ коэффиціентъ пропорці-
ональности и даетъ возможность уравниванія различныхъ
величинъ: стоимости и количества. Въ разобранномъ при-
мѣрѣ мы имѣли соотношеніе между стоимостью и коли-
чествомъ, предполагая цѣнность одинаковой; но очевидно
можно предположить одинаковой стоимость, тогда мы будемъ
имѣть соотношеніе между цѣнностью и количествомъ, а
если мы предположимъ одно и то же количество товара,
то получимъ соотношеніе между стоимостью и цѣнностью.
Разсмотримъ оба эти случая, начавъ съ послѣдняго.
Возьмемъ такую задачу: Портниха для отдѣлки платья
купила на If рубля лентъ, цѣною по 9 копеекъ за ар-
шинъ; въ другой разъ, за то лее количество лентъ, она
заплатила \\ рубля. Сколько стоили ленты, купленныя
во второй разъ?

Обозначивъ черезъ х цѣнность лентъ второй покупки
запишемъ задачу такъ:
Ц — 9 к.
1! — х.
Такъ какъ, чѣмъ больше цѣнность, тѣмъ больше бу-
детъ и стоимость, то х будетъ меньше 9, и мы можемъ
написать:
9.8.5
х: 9 = If : If откуда х — 5 Q по сокращеніи найдемъ,
что х =8 коп.
Отмѣтимъ здѣсь, что рубли, измѣряющіе стоимость, и
копейки, измѣряющія цѣнность, суть разныя единицы мѣры,
не только потому, что это рубли и копейки, но потому,
что они измѣряютъ различныя величины, а именно рубли
измѣряютъ стоимость, въ копейки—цѣнность. Если въ про-
порцію подставить наименованія, то получимъ
х коп. : 9 коп. = If руб. : If руб., т.-е. отношеніе цѣн-
ностей равно отношенію стоимостей. Переставимъ здѣсь
мѣста среднихъ, получимъ If руб. : х коп. = If руб. : 9 коп.
Равенство въ такомъ видѣ уравниваетъ число аршинъ
той и другой покупки, что даетъ способъ ея ариѳметиче-
скаго рѣшенія, которое требуетъ нахожденія количества
товара.
Теперь разсмотримъ вопросъ, когда стоимость одна и
та же; возьмемъ такую задачу: Два купца мѣняются то-
варомъ: одинъ даетъ 128 арш. сукна^ цѣною по 5 руб.
за аршинъ, а другой на ту лее сумму даетъ чай, цѣною
по 2\ руб. за фунтъ. Сколько фунтовъ чаю онъ дол-
женъ дать?
Эта задача рѣшается весьма простымъ ариѳметическимъ
разсужденіемъ. 1) Сколько стоитъ товаръ перваго купца?
Отв. 128X5 рублей; слѣдовательно столько я^е дол-
женъ стоить и чай, котораго фунтъ стоитъ 2\ руб.; от-
сюда вытекаетъ второй окончательный вопросъ: сколько
фунтовъ чаю было дано?
128.5.2
Отвѣтъ: —g— = 256 фунтовъ.

Изъ этого разсужденія вытекаетъ независимость на-
именованія товара и способа его измѣренія отъ обмѣна.
Оба товара уравниваются по ихъ стоимости, а въ вопросъ
стоимости не входятъ способъ измѣренія количества товара.
Въ силу этого, если мы попробуемъ рѣшить эту задачу
но нашей схемѣ и напишемъ ее въ видѣ
128 арш. — 5 руб.
х фун. — 2\ руб.
то получимъ невозможное отношеніе 128 арш. къ х фунт.
Невозможность такого отношенія только кажущаяся; она
происходитъ отъ того, что цѣнность товара измѣрена въ
однихъ и тѣхъ нее единицахъ,—рубляхъ, и въ этомъ из-
мѣреніи скрыта разнородность измѣреній количества. Чтобы
выяснить сущность, мы должны цѣнность обозначить слож-
ной единицей въ первомъ случаѣ и v— во вто-
ромъ, тогда:
рубль
128 арш. — 5
х фунт. - 21 фунт-
При составленіи пропорціи отмѣтимъ, что цѣнность и
количество суть величины обратно пропорціональныя, ибо
при одной и той же стоимости чѣмъ больше цѣнность,
тѣмъ меньше количество. Тогда числовая величина аршинъ
меньше числовой величины фунтовъ во столько разъ, во
сколько 2\ v меньше 5 — , т.-е.
128 арш. 2£gr 128 арш. 5 g£
X = 128.5/2 1/2 ((арш. рубль/арш.)/рубль/фунт.). Упрощая единицу, находимъ
рубль
арш. X = рубль.
рубль рубль, фунт.
Рубль : v = = фунт. Слѣдов.

128.5
х = —о і— фунтовъ. Итакъ, въ основѣ рѣшенія всѣхъ
задачъ на покупку и продажу мы имѣемъ формулу: стои-
мость = цѣнности, умноженной на количество. Если мы
каждую изъ этихъ величинъ обозначимъ буквой: стои-
мость—а, цѣнность—т, количество—р, то получимъ ал-
гебраическую формулу.
а = т.р.
Въ этой формулѣ будутъ содержаться всѣ типы за-
дачъ. 1) Положимъ, что мы имѣемъ два товара, стоимость
которыхъ а и ах, цѣнность одна и тоже т, а количество
р и рх. Тогда а = тр и ах = трх. Раздѣливъ одно ра-
венство на другое, получимъ а : сіх=р :рх, количество т
при дѣленіи сокращается. 2) Если мы имѣемъ два то-
вара въ одномъ и томъ же количествѣ р^ цѣнность од-
ного т, другого тх\ стоимость одного а, другого ах\ тогда
а = тр и ах = mtp. Раздѣливъ эти равенства другъ на
друга, получимъ а : ах = т : тх.
3) Пусть оба товара имѣютъ одну и ту же стоимость а,
цѣнность одного т} другого тх\ количество перваго р,
другого рг
Тогда а = тр и а = т{рх; если первыя части равны,
то и вторыя равны
тр = тх рх
или т: тх =р :рх, т.-е.
при одной и той же стоимости цѣнности обратно пропорцио-
нальны количествамъ.
§ 13. Пропорціональныя количества.
(Движеніе).
Въ вопросѣ о движеніи, принимая его равномѣрнымъ,
мы въ главѣ V нашли формулу S=v.t, гдѣ S—проходи-
мое разстояніе, v — средняя скорость, и t — время. Изъ
этой формулы вытекаютъ слѣдующія заключенія: 1) раз-
стоянія, проходимыя движущимся тѣломъ будутъ прямо
пропорціональны времени при одной и той лее скорости.

Положимъ, что одно тѣло прошло разстояніе S, дру-
гое 8t] время движенія перваго тѣла /, другое tt\ ско-
рость одна и та лее V. Тогда 8=vt и 8t = #^; раздѣливъ
одно равенство на другое, находимъ 8: St =t:tl.
Для поясненія возьмемъ такую задачу: Поѣздъ желѣ-
зной дороги въ 2\ часа прошелъ 75 верстъ; сколько верстъ
онъ пройдетъ въ 3 часа, двигаясь съ той же скоростью?
Расположимъ задачу по указанной схемѣ, получимъ:
21 часа — 75 верст.
3 часа — х верст.
Съ увеличеніемъ времени увеличивается разстояніе, слѣ-
довательно х больше 7 5, и мы можемъ написать
15.3.2
х: 75 = 3: 2\. Откуда х = — = 90 вер.
Подстановка наименованій въ этой пропорціи и пре-
образованіе равенства даетъ рядъ вопросовъ, анологич-
ныхъ предыдущему примѣру.
2) Если скорость движенія будетъ измѣняться, но
время останется то же самое, то легко видѣть, что раз-
стояніе будетъ пропорціонально скорости. Положимъ, что
два тѣла двигаются со скоростями v и t? , разстоянія, про-
ходимыя ими въ одно и то же время t, будутъ 8 и 8V
Тогда 8 = vt и 8t = г\ t, раздѣливъ, получимъ
S:S1 = v:v1
«Поѣздъ желѣзной дороги,, двигаясь со скоростью 50
проходитъ въ нѣкоторое время разстояніе въ 500 верстъ.
Съ какой скоростью долженъ двигаться пароходъ, чтобы
въ то же время пройти разстояніе въ 400 верстъ?
Записывая эту задачу по нашей схемѣ получимъ
500 верстъ — 50
400 — х -часъ
Чѣмъ больше разстояніе, тѣмъ большая должна быть
и скорость, чтобы пройти его въ то же время, слѣдова-
тельно 500:400 = 50:^. Отсюда:
„ 400.50
і л верстъ

3) При одномъ и томъ же разстояніи, скорость обратно
пропорціональна времени. Положимъ, что S одно и то же
для двухъ тѣлъ, изъ которыхъ одно, двигаясь со ско-
ростью г\ проходитъ его въ а другое, двигаясь со ско-
ростью vl проходитъ въ tt'. Тогда мы имѣемъ S=i\t и
St = vt tx. Уравнивая обѣ величины находимъ, что
vl = vt tx или v : г\ = tt:t.
Разстояніе отъ Москвы до Петербурга можно проѣхать
на различныхъ поѣздахъ. Пассажирскій поѣздъ, двигаясь
со скоростью 50 ^^^-j проходитъ его въ 12 часовъ, а курьер-
скій проходитъ въ 10 часовъ. Какъ велика скорость
курьерскаго поѣзда?
Расположивъ задачу по схемѣ, имѣемъ:
50 верстъ - 12 часовъ
х — Ю часовъ
Очевидно, что скорость должна быть тѣмъ больше,
чѣмъ меньше времени полагается на прохожденіе одного
и того же разстоянія и мы можемъ написать
50:# = 10:12, откуда #=—=60
Во всѣхъ этихъ случаяхъ подстановка наименованій и
анализъ возможныхъ преобразованій равенства даютъ ис-
черпывающую возможность для изученія вопроса о дви-
женіи, давая при каждомъ преобразованіи новыя свой-
ства и указывая возможность ариѳметическихъ вычисленій.
Напримѣръ произведеніе крайнихъ и среднихъ чле-
новъ послѣдняго равенства даютъ 50 верстъ/часовъ- 12 часовъ =
= х X 10 час. Каждое произведеніе даетъ разстояніе
отъ Москвы до Петербурга; зная это разстояніе мы мо-
жемъ рѣшить задачу ариѳметически.
§ 13. Пропорціональность величинъ.
(Работа).
Въ механикѣ работой называется произведеніе изъ вели-
чины силы на перемѣщеніе по направленію силы. Напри-
мѣръ, если 5 пудовъ подняты на высоту 4 футовъ, то

работа будетъ 20 пудо-футовъ. Пудо-футъ есть единица
работы, которая иногда замѣняется единицей килограммо-
метра Въ житейской практикѣ въ понятіе работы вхо-
дятъ болѣе сложные элементы; содержаніе этихъ элемен-
товъ входитъ въ понятіи о силѣ. Практическая сила есть
или мощность паровой машины, электрическаго двига-
теля или физическая сила человѣка. Въ послѣднемъ слу-
чаѣ эта сила обусловливается количествомъ рабочихъ и
является такимъ образомъ величиною сложной. Кромѣ того
въ механикѣ въ понятіи о работѣ не входитъ время, тогда
какъ практически время является существенной частью
работы. Но, вводя время въ вычисленіе работы, мы должны
различить его на число рабочихъ дней и число рабочихъ
часовъ въ день.
Введеніе этого элемента настолько существенно, что
самую работу мы можемъ измѣрять новой единицей, при-
нявъ за величину работы произведеніе числа рабочихъ на
время работы. Возьмемъ, напримѣръ, такую задачу: 5 ра-
ботниковъ окончили нѣкоторую работу въ 7 дней; во сколько
времени могли бы окончить эту работу 20 работниковъ?
Эту задачу ариѳметически мы можемъ рѣшить такъ: 1) Какъ
велика величина работы?
Отвѣтъ. Она равна 5 рабоч. X 7 дней или 5.7 (рабо-
чій X день).
2) Во сколько дней окончатъ эту работу 20 работни-
ковъ? Отвѣтъ. Такъ какъ работа есть произведеніе числа
дней на число рабочихъ, то чтобы узнать, во сколько
дней окончатъ 20 рабочихъ, мы должны ея величину
5 . 7 (рабоч. X ден.) раздѣлить на 20 рабочихъ, получимъ:
5 . 7 (рабочій X день) 7
20 рабочихъ 4 дня.
Кромѣ величины работы практически имѣетъ большое
значеніе еще и стоимость ея, которая зависитъ отъ вели-
чины работы, цѣнности рабочей силы, времени работы и
количества рабочихъ, при чемъ время работы опять рас-
падается на число рабочихъ часовъ и число рабочихъ
дней.

Чтобы вычислить зависимость всѣхъ этихъ величинъ,
необходимо разобрать ихъ сначала попарно, предполо-
живъ, что всѣ прочія количества равны между собою.
1) Число рабочихъ и количество работы суть ве-
личины прямо пропорціональныя; ибо чѣмъ больше будетъ
рабочихъ, тѣмъ больше они сдѣлаютъ при прочихъ рав-
ныхъ условіяхъ.
25 рабочихъ вырыли каналъ въ 36 саженъ; какой
длины каналъ могутъ вырыть 15 рабочихъ?
Записывая задачу въ указанномъ шаблонѣ мы будемъ имѣть
25 рабоч. = 36 саж,.
15 рабоч. = х саж.
36.15
откуда х = —25~~ саж., что можно представить въ видѣ
#=36 X саж.
2) Количество работы и продолжительность ра-
боты тоже величины прямо пропорціональныя, потому
что чѣмъ больше количество работы, тѣмъ дольше ее при-
дется дѣлать, при прочихъ равныхъ условіяхъ
Рабочіе вырыли каналъ длиною въ 36 саженъ, работая
12 дней, какой длины каналъ они выроютъ въ 10 дней?
Записывая задачу,
12 дней = 36 сале.
10 дней= х саж:., получимъ:
12: 10 = 36 \х\ х = —— саж- или
х= 36 X 10/12 саж.
Соединимъ теперь оба эти условія въ одну задачу.
25 рабочихъ въ 12 дней вырыли каналъ длиною въ
36 саженъ; какой длины каналъ 15 рабочихъ выроютъ
въ 10 дней?
Такая задача называется задачей на сложное тройное
правило и записывается въ слѣдующемъ видѣ.
25 раб. — 12 дней—36 сале.
15 раб. —10 дней- х сале.

Для рѣшенія подобныхъ задачъ существуютъ два спо-
соба: способъ пропорціи и способъ приведенія къ единицѣ. Оба
они основаны на томъ, что приводятъ данную задачу къ задачѣ
на простое тройное правило, уравнивая одно изъ условій.
Положимъ, что время работы въ обоихъ случаяхъ равно
12 днямъ, тогда—сколько саженъ выроютъ 15 рабочихъ
въ эти 12 дней.
Затѣмъ по способу приведенія къ единицѣ разсужда-
ютъ такъ: 25 рабочихъ выказываютъ 36 саженъ, 1 рабо-
чіи выкапываетъ въ 25 разъ меньше, т.-е. ^5 саж-
а 15 рабочихъ выкапываютъ въ 15 разъ больше, т.-е.
36.15
25
Способъ пропорціи.
Обозначимъ длину канавы черезъ х, тогда
25 :15 = 36 : #t откуда
36.15
х1 = 36.15 саж.
Такой длины канаву выкапываютъ 15 рабочихъ въ
12 дней; какой длины канаву они выкапаютъ въ 10 дней?
Запишемъ это въ слѣдующей схемѣ:
/36.15\
хх Г ~25~~ ) саж — 12 дней
х саж. —10 дней.
36.15
Итакъ, въ 12 дней рабочіе выкапываютъ —^— саж.
въ 1 день они выкапаютъ въ 12 разъ меньше,
36.15
т.-е. 25.12 саж.
а въ 10 дней выкапаютъ въ 10 разъ болѣе,
36.15.10
т.—е.25.12 саж.
Второй способъ:
Такъ какъ количество работы прямо пропорціонально
времени, то
хх : х = 12 :10 откуда

10. хА
x=10x/12, подставимъ вмѣсто х1 его
36.15.10
величину, получимъ х = —^5 — саж'
Мы получили одну и ту же окончательную формулу
отвѣта, которую можемъ написать такъ х= 36 X X
если мы эту формулу сравнимъ съ рѣшеніемъ двухъ пред-
варительно разобранныхъ задачъ, то увидимъ, что она
получается отъ умноженія 36 саженъ послѣдовательно
на отношеніе чиселъ рабочихъ и на отношеніе числа дней.
Такая формула очень удобна для ариѳметическаго
способа рѣшенія, но она не даетъ алгебраическаго выра-
женія зависимости, входящихъ въ нее величинъ. Эту
алгебраическую зависимость мы получимъ, если напи-
шемъ ту же формулу въ другомъ видѣ:
36 саж.
х=-^г—-z—77: тт. X 15 раб. X 10 дней.
36 саж.
Количество 25 раб. 12 дней показываетъ, сколько са-
женъ рабочій данной артели, выкапываетъ въ одинъ день;
это количество можно назвать коэффиціентомъ пропор-
ціональности. Оно опредѣляется изъ первой строчки за-
дачи и останется постояннымъ для рабочихъ данной
артели. Это есть средній коэффиціентъ работы. Зная его,
мы можемъ разсчитать величину работы для всякаго
числа рабочихъ и для всякаго числа дней, умножая этотъ
коэффиціентъ на новое число рабочихъ и новое число
дней. Тогда получимъ формулу.
Количество работы = коэффиціенту, умноженному на
число рабочихъ, умноженному и на число дней.
Обозначимъ коэффиціентъ буквой к, число рабочихъ—
время работы t, а количество работы Т7, тогда получимъ
алгебраическую формулу:
T=k.n.t
изъ которой видно, что количество работы прямо пропор-
ціонально числу рабочихъ и времени работы.

Изъ этой формулы мы видимъ:
1) что при к—1 работа можетъ быть выражена, какъ
произведеніе числа рабочихъ на время работы; 2) что при
одномъ и томъ лее количествѣ работы число рабочихъ
обратно пропорціонально времени работы. При помощи
этой формулы мы можемъ рѣшать задачи на сложное
тройное правило, въ которыхъ разсматривается нѣкоторая
работа.
Возьмемъ для примѣра такую задачу;
54 землекопа, работая въ день по 10 часовъ, сдѣлали
въ 33 дня насыпь, длиною въ 124 сажени, шириною въ
51 аршинъ и высотою въ 6| фута. Сколько надо имѣть
землекоповъ, чтобы они, занимаясь ежедневно по 71 ча-
совъ, сдѣлали въ 30 дней насыпь, длиною въ 0,31 версты,
шириною въ 71 аршинъ и вышиною въ 3 6/7 аршина?
Запишемъ эту задачу по нашей схемѣ, получимъ:
54 земл. — 10 часов. — 33 дня — 124 сале. 51 арш. 6| фут.
х земл. — 71 часов. — 30 дней — 0,31 верст. 74 арш. 3?' арш.
Для рѣшенія этой задачи, намъ надо опредѣлить коэф-
фиціентъ пропорціональности изъ первой строчки; онъ бу-
детъ равенъ количеству работы, дѣленному на число ра-
бочихъ и время работы. Количество работы выразится
объемомъ (124 сале. X 51 арш. X 6-- фут.); время работы
надо взять въ рабочихъ часахъ; оно будетъ равно 10x33;
число рабочихъ 54; слѣдовательно коэффиціентъ
(124 сале. X 51 арш. Х 6 3/4 фут.)
~ 54~~раб. X (10X33) час. '
Новое количество работы будетъ (0,31 версты X
X 71 арш. X З 6/7 арш.); новое число рабочихъ х и время
работы 7 1/2x30 рабочихъ часовъ. Итакъ, по формулѣ мы
получимъ:
(0,31 верст. X 71 арш. X Ц арш.) ==
124 сале. X 51 арш. X 6 3/7 фут.
- 54 раб.X(10X33) час.“ xХ7 1/2Х30) час,
откуда
_ (0,31 верст. Х7 1/2 арш. Ц арш.)Х 54 раб. (10 Х 33)час.
Х ~~ ~(124 саж. х 5 1/2 арш. X б| фут.) X (7| X 30) час. “

При вычисленій этой формулы, мы должны объемъ
выразить въ одинаковыхъ мѣрахъ, выберемъ эту мѣру
въ единицахъ (саж. х арш. X фут.), тогда 0,31 версты
27 Х 28
составитъ 155 саж., а 3 6/7 арш. ~ ? ^ 12 ^т'> что послѣ
сокращенія дастъ 9 фут. Сократимъ одинаковыя наиме-
нованія, получимъ окончательно:
155.15.9.54.10. 33.2.7.2
Х = 2.124.11.45.15. 3<Г Раб' = 189 рабоч.
Стоимость работы зависитъ отъ цѣнности рабочаго
часа, количества работы и времени ея. Чтобы выяснить
зависимость между этими величинами, разсмотримъ задачу*
8 работниковъ, занимаясь въ день по 7 часовъ, окон-
чили нѣкоторую работу въ 30 дней и получили за это
201,6 рубля. Сколько получатъ 14 работниковъ, если они
будутъ работать въ теченіи 10 дней по 4 часа въ день,
предполагая, что часовая плата рабочаго одинакова?
Запишемъ условіе этой задачи по схемѣ:
8 работ. — 7 часов.— 30 дней — 201,6 рубля
14 работ. — 4 часа —10 дней — х рублей.
Эту запись мы очевидно можемъ упростить, вычи-
сливъ число рабочихъ часовъ въ томъ и другомъ случаѣ,
тогда:
8 рабоч. — 210 рабоч. час. 201,6 руб.
14 рабоч.— 40 рабоч. час. х руб.
Будемъ рѣшать способомъ пропорціи. Уравняемъ числа
рабочихъ часовъ, т.-е. положимъ, что и вторые рабочіе
работали 210 часовъ, тогда
8 рабоч. получатъ 201,6 руб.
14 рабоч. получатъ хх руб.
8:14 = 201,6: хх откуда
201,6 Х14
Итакъ, при работѣ въ 210 часовъ 14 рабочихъ вто-
рой артели получатъ хх \— g 1 рублей; сколько они
получатъ, работая по 40 часовъ?

210 часовъ xt
40 часовъ х
210:40=^ откуда
201,6X14X40
8Х210 5
а это послѣ упрощенія и сокращенія дастъ 67,2 руб.
Чтобы изъ этой формулы вывести алгебраическую за-
висимость входящихъ величинъ, напишемъ въ слѣдую-
щемъ видѣ:
201,6 руб.
А =о—-z—TTTR X 14 раб. X 40 часовъ.
8 раб. 210 часовъ
Принявъ о -— за коэффиціентъ пропор-
ціональности, который показываетъ цѣнность работы одного
рабочаго въ часъ, мы обозначимъ его буквой к. Если
цѣнность работы одного рабочаго въ часъ будетъ уста-
новлена, то стоимость работы опредѣляется, какъ произ-
веденіе числа рабочихъ на число часовъ. Назовемъ ее
черезъ С, число рабочихъ черезъ щ время работы /, по-
лучимъ
С=к.пЛ
Новая формула имѣетъ такой лее внѣшній видъ, какъ
и прежняя, но совершенно иное значеніе; изъ общаго
вида этихъ двухъ формулъ T=k.n.t и C=k.n.f, мы
заключаемъ, что количество работы и стоимость ея на-
ходятся въ одинаковой функціональной зависимости отъ
числа рабочихъ и времени работы; но коэффиціентъ про-
порціональности будетъ разный. Въ первой формулѣ онъ
даетъ количество работы одного рабочаго въ часъ; а во
второй цѣнность рабочаго часа одного рабочаго.
При помощи этой формулы мы можемъ опредѣлять
стоимость работы при разныхъ условіяхъ. Изъ разсмотрѣ-
нія этихъ формулъ мы можемъ установить очень важное
положеніе: если какая-либо величина прямо пропорціо-
нальна ряду другихъ величинъ, то въ алгебраической
формулѣ мы должны произведеніе этихъ величинъ умно-
жить на коэффиціентъ пропорціональности.

§ 14. Заготовка продовольствія.
Въ задачахъ часто встрѣчается заготовка продоволь-
ствія для прокормленія какихъ-либо живыхъ существъ,
при этомъ предполагается, что каждое живое существо
въ среднемъ требуетъ одинаковаго количества ѣды. Тогда
въ задачи этого рода будутъ входить слѣдующія вели-
чины: 1) число продовольствуемыхъ живыхъ существъ,
2) количество продовольствія; 3) продолжительность про-
довольствія; 4) количество расходуемой ѣды въ единицу
времени (день, недѣлю, мѣсяцъ).
Задача. Для продовольствія нѣкотораго числа солдатъ
было заготовлено хлѣба на 60 дней, предполагая, что ка-
ждому солдату будутъ выдавать по 2| фунта въ день.
На сколько времени хватитъ | этого запаса, если число
солдатъ будетъ уменьшено на | прежняго числа, а еже-
дневная порція увеличена на 1 фунта?
Такія задачи принято рѣшать способомъ приведенія
къ единицѣ. Задачу записываютъ по указанному шаблону,
принявъ число солдатъ въ первомъ условіи за единицу тогда
1 (число солдатъ) — 60 дней 2 \ фунт.
-| (число солдатъ) — х дней 31 фунт,
и разсуждаютъ такъ: Если число солдатъ уменьшится,
то число дней, на которое хватитъ провіанта увеличится
во столько же разъ; такъ какъ новое число солдатъ со-
ставляетъ § первоначальнаго, то провіанта хватитъ не на
60.8
60 дней а больше въ - раза, т.-е. —^ — дней, если каж-
дому солдату выдавать по 2\ фунта, а если выдавать по
1 фунту, то число дней еще увеличится въ 2\ раза и
будетъ 60.|.2| дней.
Но если выдавать не по 1 фунту, а 3| фунта, то чи-
сло дней станетъ меньше въ 3| раза, то-есть
а это послѣ упрощенія и сокращенія дастъ 64 дня.
Такія задачи можно рѣшать иначе, исходя, изъ совер-
шенно иныхъ соображеній. Опредѣлимъ количество про-

віанта; для этого замѣтимъ, что это количество прямо
пропорціонально числу продовольствуемыхъ, количеству
выдачи въ день и числу дней. Мы можемъ написать:
Количество провіанта = (Число продовольствуемыхъ) X
X (Число дней) X (Величину выдачи).
Опредѣлимъ по этой схемѣ. сколько было заготовлено
хлѣба, опять принимая число солдатъ за единицу. Тогда:
Количество хлѣба =60 (дней) X 2.^ (фунта).
Число солдатъ можно не принять за единицу, а обо-
значить какой либо буквой, напримѣръ а, тогда
Количество хлѣба = а (солдатъ) х 60 (дней) X 2|
фунта.
Здѣсь 2| фунта не совсѣмъ точное обозначеніе коли-
чества потому что въ составъ этого количества входитъ
время, которое полезно обозначать явно; окончательно по-
лучимъ слѣдующее равенство.
фунтъ
Количество хлѣба = а (солдатъ) X 60 (дней) X 21
день
Составимъ то я;е условіе по второй строчкѣ обозна-
чивъ число дней черезъ х, а число солдатъ очевидно бу-
детъ і а, тогда
Количество хлѣба = і а (солдатъ) X х (дней) X 3| —-
день
Уравнявъ оба эти произведеніе получимъ уравненіе.
|- а (солдат) X x (дней) X 3 3/4 ( j = а (сол.) X 6 0 (дней)
день
отсюда
_а(содд.)Х60(дней)Х2 1/2
*а(сод)Х«'(5)
Если мы разсмотримъ полученную формулу рѣшенія то
увидимъ, что въ числителѣ у насъ количество провіанта
а въ знаменателѣ количество расхода въ день на всѣхъ
солдатъ при новыхъ условіяхъ. Количество провіанта оп-
редѣляется изъ первой строки задачи, мы можемъ обоз-

начить его буквой к, тогда всякое новое условіе выдачи
провіанта можетъ быть выражено формулой.
к
х = т , гдѣ т есть число потребителей, а п ежеднев-
ная выдача.
Если мы послѣднюю формулу представимъ въ видѣ
mn .х = к, то получимъ слѣдующія задачи: 1) Опредѣлить
число дней X] задача, которую мы рѣшили; 2) Опредѣ-
лить число солдатъ; 3) Опредѣлить ежедневную выдачу.
Обѣ послѣднія задачи рѣшаются по той же формулѣ.
Къ типу тѣхъ же задачъ относятся задачи вродѣ слѣ-
дующей.
На 4 лампы, которыя зажигаютъ ежедневно на 71 ча-
совъ, въ теченіе 30 вечеровъ израсходовано 2\ пуда ке-
росина. Какъ великъ долженъ быть запасъ керосина,
чтобы онъ сгорѣлъ въ 32 вечера, если каждый вечеръ
будетъ зажигаться 5 такихъ же лампъ по 41 часа?
Запишемъ эту задачу по схемѣ.
4 лампы 71 часовъ 30 вечеровъ 21 пуда
5 лампъ 41 часа 32 вечера х пуда
Упростимъ задачу, введя вмѣсто числа вечеровъ и
числа часовъ въ вечеръ только число часовъ горѣнія.
Тогда
4 лампы (71 X 30) часовъ 2\ пуда
5 лампъ (41 X 32) часовъ х пуда
Теперь легко видѣть, что каждая лампа сжигаетъ въ
2 1/4 пудовъ
часъ 4х(7 1/2х30) ламп. час. Обозначимъ это количество
4 X (71 X 30) ламп. час.
буквой К\ тогда очевидно Х = К. 5. (41.32). Подста-
вивъ вмѣсто К его величину, получимъ.
21.5.41.32
A- = ~4:n^0““=1|W-
Если мы обозначимъ число лампъ черезъ число ча-
совъ горѣнія черезъ щ то получимъ формулу x = k.p.n.
Изъ этой формулы, зная х и п можемъ опредѣлить р;
зная хир можемъ опредѣлить п.

§ 15. Задачи.
1) За 3 аршина 8 вершковъ ситцу заплачено 0, 63 ру-
бля. Сколько нужно заплатить за 12 вершковъ того же
ситцу? Отвѣтъ: 0,135 руб.
2) На 5 рублей 80 копеекъ можно купить 2 фунта
40 золотниковъ чаю; сколько фунтовъ этого чаю можно
купить на 7, 2 рубля?
Отвѣтъ: 3 фунта.
ч руб.
3) . Цибикъ чаю, цѣнностью въ 1, 5 стоитъ
120 рублей. Сколько слѣдуетъ заплатить за цибикъ того
руб.
же вѣса, если чаи будетъ имѣть цѣнность 1, 8
Отвѣтъ 144 рубля.
4) . Два купца мѣняются товаромъ: одинъ даетъ 45 фун-
товъ кофе цѣнностью въ 0,8 ^ , а другой предлагаетъ
9 пудовъ сахару. Опредѣлить цѣнность сахара?
руб.
Отвѣтъ: 4
пуд.
5) . Два купца мѣняются товаромъ: одинъ предлагаетъ
коп.
281 аршинъ ситцу, цѣнностю 12| , а другой сукно
цѣнностью по 3 щ ; Сколько аршинъ сукна онъ долженъ
дать?
Отвѣтъ: 1,224 арш.
6) Поѣздъ желѣзной дороги въ 4 часа прошелъ разстоя-
ніе въ 100 верстъ. Во сколько времени онъ пройдетъ раз-
стояніе въ 75 верстъ, двигаясь съ той же скоростью?
Отвѣтъ: Въ 3 часа.
7) Пароходъ въ 2| часа прошелъ 75 верстъ. Сколько
онъ пройдетъ въ 3 часа, двигаясь съ той л;е скоростью?
Отвѣтъ: 90 верстъ.
8) Почтальонъ на велосипедѣ, двигаясь со скоростью

12| часъ , проѣзжаетъ разстояніе между городами въ
6 часовъ. Во сколько времени онъ прошелъ бы это раз-
стояніе пѣшкомъ со скоростью 3 ?
Отвѣтъ: Въ 20 часовъ.
9) Курьерскій поѣздъ проходитъ 204 версты, двигаясь
со скоростью 50 съ какой скоростью будетъ дви-
гаться товарный поѣздъ, чтобы въ то же время пройти
69,36 верстъ?
Отвѣтъ: 17 .
10) Два путешественника выѣхали одновременно на-
встрѣчу другъ-другу изъ двухъ городовъ, находящихся на
разстояніи 300 верстъ. Черезъ сколько времени они встрѣ-
тятся, если скорость перваго 12 , а второго 13
Отв. 12 ч.
11) Съ двухъ станцій желѣзной дороги А и Д на-
ходящихся на разстояніи 77 верстъ, выходятъ одновре-
менно два поѣзда по направленію отъ А къ В и
дальше. Первый, выходящій изъ А, движется со скоростью
31-| , а второй, выходящій изъ 2?, движется со ско-
ростью 18| ——— Черезъ сколько времени они встрѣ-
тятся?
Отв.: 6 час.
12) Въ 9 часовъ утра со станціи выходитъ пассажир-
скій поѣздъ и движется со скоростью 28 Черезъ
часъ съ четвертью съ той же станціи выходитъ
верст.
курьерскій поѣздъ и движется со скоростью 40
час.

Въ которомъ часу курьерскій поѣздъ догонитъ пасса-
жирскій?
Отвѣтъ: Въ первомъ часу.
13) Если предположить, что лошадь бѣжитъ въ че-
тверо медленнѣе поѣзда желѣзной дороги, то она будетъ
отставать отъ него на одну версту въ каждыя 3 минуты.
Опредѣлить скорость поѣзда?
Отв. 26^ вер. час.
14) Локомотивъ шелъ отъ А къ В со скоростью
30 , обратно со скоростью 40 . Навесь путь
туда и обратно онъ употребилъ 3^ часа. Сколько верстъ
отъ А до В?
Отв. 60 верстъ.
15) Два тѣла движутся въ одну сторону по направле-
нію отъ А къ В и далѣе: разстояніе между Аи В равно
100 саж. Первое изъ мѣста А движется со скоростью
3 , а второе изъ В со скоростью въ 3 раза меньше.
Гдѣ первое нагонитъ второе?
Отв. 150 саж. отъ А.
16) Два тѣла движутся въ одномъ и томъ же напра-
вленіи по окружности круга, которая равна 100 футамъ,
начавъ движеніе съ одного и того же мѣста; первое дви-
жется со скоростью 5 , а второе 3 . Черезъ
сколько секундъ они будутъ вновь въ одномъ и томъ же
мѣстѣ?
Отв. черезъ 50 сек.
17) 20 работниковъ оканчиваютъ работу въ If дня;
во сколько времени окончаетъ эту работу 5 работниковъ?
Отвѣтъ; Въ 9| дн.
18) 12 рабочихъ могутъ окончить кирпичную кладку
дома въ 130 дней; сколько надо нанять рабочихъ, чтобы
окончить кладку въ 60 дней?
Отвѣтъ: 26 рабоч.

19) Насосъ можетъ выкачать | бассейна въ 1\ ми-
нутъ; какую часть бассейна онъ выкачаетъ въ 0,15 часа?
Отвѣтъ: I части бассейна.
20) 45 рабочимъ заплачено 216 рублей за 6 дней ра-
боты; сколько слѣдуетъ заплатить 30 рабочимъ за 8 дней?
Отвѣтъ: 192 руб.
21) Бассейнъ, емкостью въ 1800 ведеръ, можетъ бытъ
опорожненъ въ теченіе 3 часовъ, если будутъ работать
5 насосовъ. Сколько ведеръ воды выкачиваютъ 4 насоса
въ 4 часа?
Отвѣтъ: 1920 ведеръ.
22) Каналъ, длиною въ 36 саженъ, могутъ вырыть
25 рабочихъ въ 12 дней. Какой длины каналъ могутъ
вырыть 15 рабочихъ въ 10 дней?
Отвѣтъ: 18 сале.
23) 36 плотниковъ, занимаясь ежедневно по 12 ча-
совъ, могутъ построить деревянный домъ въ 30 дней.
По скольку часовъ ежедневно должны работать 27 плот-
никовъ, чтобы выстроить такой лее домъ въ 50 дней?
Отвѣтъ: 91 час.
24) Бассейнъ наполняется водой при помощи двухъ на-
сосовъ; первый, дѣйствуя одинъ, могъ бы наполнить его
въ 3 часа, а второй безъ перваго можетъ наполнить его
въ 5 часовъ. Во сколько времени наполнится бассейнъ,
если оба насоса будутъ дѣйствовать вмѣстѣ?
Отвѣтъ: Въ lg часа.
25) Два работника оканчиваютъ нѣкоторую работу въ
3 часа 36 минутъ; одинъ первый могъ бы окончить ее
въ 6 часовъ. Во сколько времени окончитъ эту работу
одинъ второй?
Отвѣтъ: Въ 9 часовъ.
26) Изъ трехъ трубъ, проведенныхъ въ бассейнъ, пер-
вая наполняетъ его въ 6 часовъ, вторая въ 18 часовъ, а
черезъ третью трубу вся вода вытекаетъ изъ бассейна
въ 3 часа. Во сколько времени полный бассейнъ опустѣетъ,
если открыть всѣ три трубы?
Отв.: Черезъ 9 часовъ.

27) Бочка, въ которой продѣланы два крана, можетъ
опорожниться въ 20 минутъ, когда будетъ открытъ одинъ
первый кранъ, и въ 30 минутъ, если будетъ открытъ
одинъ второй. Во сколько времени опустѣетъ полная бочка,
если открыть оба крана?
Отв.: 15 мин.
28) Двумъ работникамъ поручено нѣкоторое дѣло. Одинъ
берется его окончить въ 5 часовъ, а другой въ 3. Во сколько
часовъ они вмѣстѣ окончатъ работу?
Отвѣтъ: Въ 1| часа.
29) Въ бассейнъ проведены 3 трубы. Черезъ первую
бассейнъ наполняется въ 6 часовъ, черезъ вторую—въ
8 часовъ, а черезъ третью вся вода изъ полнаго бас-
сейна вытекаетъ въ 12 часовъ. Черезъ сколько времени
наполнится бассейнъ, если открыть всѣ три трубы?
Отв. 4 ч. 48 м.
30) 15 работниковъ и 12 работницъ, занимаясь по
10| часовъ въ день сжали хлѣбъ съ поля въ 12 дней.
Во сколько дней 21 работникъ и 8 работницъ, занимаясь
въ день по 8,4 часа, уберутъ хлѣбъ съ поля, площадь ко-
тораго относится къ площади перваго, какъ 0,153:
при чемъ сила мужчины относится къ силѣ женщины
какъ
Отвѣтъ: 18 дней.
31) Для выкачиванія воды изъ бассейна поставили
3 большихъ и 5 малыхъ насосовъ, которые, дѣйствуя
вмѣстѣ, могли бы вылить всю воду въ 6 часовъ. По про-
шествіи 2\ часовъ ихъ совмѣстнаго дѣйствія два боль-
шихъ насоса испортились и были замѣнены 5 малыми.
Зная, что сила каждаго малаго относится къ силѣ боль-
шого какъ 21: 4|, опредѣлить во сколько времени была
выкачена вода изъ бассейна?
Отвѣтъ: 5 ч. 30 м.
32) Одинъ рабочій, сдѣлавъ въ 5 дней седьмую часть
работы, приглашаетъ на помощь своего товарища, съ

которымъ работалъ 12* дней, вплоть до окончанія ра-
боты. За всю работу имъ было заплачено 25,2 рубля.
Сколько получитъ каждый?
Отв. 12, 6 рубля.
33) Въ 40 дней въ 15 лампахъ сгорѣло 31 ф. 24 золот.
керосину, при чемъ каждая лампа горѣла ежедневно по
5 часовъ. Въ сколькихъ лампахъ сгоритъ 16 фунтовъ
64 золотника керосину въ 20 дней, если каждая лампа
будетъ горѣть но 8 часовъ?
Отвѣтъ: 10 лампъ.
34) Въ 8 лампахъ въ 25 дней сгорѣло керосину 12^ фун-
товъ, при чемъ лампы горѣли по 6 часовъ въ день. По скольку
часовъ въ день горѣли 9 такихъ же лампъ, если извѣстно,
что въ 15 дней они сожгли 8 фунтовъ 6 золотниковъ
керосину?
Отвѣтъ: 5 часовъ 44 минуты
35) Если выдавать каждому человѣку по 2 фунта
12 золотниковъ провіанту въ день, то провіанта хватитъ для
400 человѣкъ на 45 дней. По скольку можно выдавать
каждому, чтобы того я^е запаса хватило на 800 человѣкъ
на 24 дня?
Отвѣтъ: 1 фунт. 95| золотниковъ.
36) Семь трубъ наполняютъ въ 8 часовъ водоемъ въ
5 саженей длины, 1\ аршина ширины и 5 футовъ глу-
бины. Сколько нужно такихъ же трубъ, чтобы въ 15 ча-
совъ наполнить водоемъ въ 25 саженей длины 15 саже-
ней ширины, 3 фута глубины?
Отв. 112 трубъ.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Глава I. О числахъ и дѣйствіяхъ надъ ними:

§ 1. Число 1

§ 2. Нормальный числовой рядъ 1

§ 3. Буквенное обозначеніе. Отрицательное число 2

§ 4. Геометрическое представленіе чиселъ 4

§ 5. Понятіе о дѣйствіи. Сложеніе 5

§ 6. Вычитаніе 9

§ 7. Прибавленіе и вычитаніе суммъ 12

§ 8. Задачи 13

§ 9. Умноженіе чиселъ 13

§ 10. Задачи 18

§ 11. Правило раскрытія скобокъ при умноженіи 18

§ 12. Задачи 20

§ 13. Дѣленіе чиселъ 20

§ 14. Геометрическое дѣленіе отрѣзковъ прямой 21

§ 15. Понятіе о дробяхъ 23

§ 16. Знаки дроби и ея свойства 23

§ 17. Неточное дѣленіе 28

§ 18. Возвышеніе въ степень и извлеченіе корня 29

Глава 2. Количества и дѣйствія надъ ними.

§ 1. Величина 30

§ 2. Понятіе о количествѣ. Единицы мѣры 32

§ 3. Именованныя числа 34

§ 4. Дѣйствія надъ количествами 35

§ 5. Среднее ариѳметическое число 39

§ 6. Графическій способъ изученія явленій 40

§ 7. Упражненія 42

§ 8. Дѣйствія надъ количествами 42

Глава 3. Равенства и ихъ свойства.

§ 1. Различные члены равенства 47

§ 2. Равенство чиселъ 48

§ 3. Равенство количествъ 49

§ 4. Части равенствъ 50

§ 5. Члены равенства 50

§ 6. Основныя свойства равенствъ 51

§ 7. Преобразованіе равенствъ 41

§ 8. Задачи 57

§ 9. Приложеніе свойствъ равенствъ 57

§ 10. Ариѳметическое отношеніе и его свойства 59

§ 11. Ариѳметическая пропорція 60

§ 12. Свойство членовъ пропорціи 61

Глава 4. Понятіе о функціи.

§ 1. Построеніе правильныхъ вписанныхъ многоугольниковъ 62

§ 2. Опредѣленіе функціи и ея геометрическое изображеніе 68

§ 3. Постоянныя и перемѣнныя величины 70

§ 4. Явныя и неявныя функціи 71

§ 5. Геометрическій примѣръ функціональной зависимости 72

§ 6. Вопросы и задачи 75

§ 7. Изслѣдованіе функціи у=180—360/n 76

§ 8. Примѣры функціональной зависимости не геометрическіе 78

§ 9. Продолженіе 80

§ 10. Функціональная зависимость величинъ и чиселъ 81

§ 11. Примѣры функціональной зависимости чиселъ 82

§ 12. Задачи 85

Глава 5. Рѣшеніе уравненій первой степени съ одной неизвестной.

§ 1. Понятіе о числовыхъ функціяхъ 86

§ 2. Задачи 88

§ 3. Равенство числовыхъ функцій 89

§ 4. Задачи 89

§ 5. Рѣшеніе числовыхъ функцій 90

§ 6. Рѣшить слѣдующіе примѣры 94

§ 7. Равенство количественныхъ функцій 95

§ 8. Анализъ предложенныхъ задачъ 100

§ 9. Значеніе коеффиціентовъ при x въ количественномъ уравненіи 105

§ 10. Задачи 109

§ 11. Изслѣдованіе функціональной зависимости въ вопросѣ равномѣрномъ движеніи. Понятіе о скорости 110

§ 12. Изслѣдованіе функціональной зависимости количествъ въ вопросѣ о равномѣрномъ движеніи (продолженіе) 112

§ 13. Задачи 114

Глава 6. Отношеніе.

§ 1. Понятіе о мѣрѣ и ея измѣреніи 116

§ 2. Общая мѣра двухъ линій 117

§ 3. Наибольшій дѣлитель двухъ цѣлыхъ чиселъ 118

§ 4. Несоизмѣримыя количества 120

§ 5. Сравненіе количествъ 122

§ 6. Опредѣленіе понятія отношеніе; его знакъ 123

§ 7. Числовая величина отношенія двухъ линій 123

§ 8. Числовая величина отношенія двухъ чиселъ 124

§ 9. Числовая величина отношенія двухъ количествъ 125

§ 10. Задачи 125

§ 11. Опредѣленіе числовой величины отношенія несоизмѣримыхъ линій 125

§ 12. Члена отношенія и ихъ зависимость 126

§ 13. Свойства отношенія 126

Глава 7. Правило пропорціональнаго дѣленія.

§ 1. Дѣленіе цѣлаго на равные члены 128

§ 2. Дѣленіе на части неравныя 129

§ 3. Задачи 131

§ 4. Геометрическое дѣленіе на неравныя числа 132

§ 5. Дѣленіе количества на части пропорціональныя 134

§ 6. Задачи 135

§ 7. Дѣленіе количества на нѣсколько неравныхъ частей 136

§ 8. Задачи 140

§ 9. Дѣленіе количества на неравныя части, измѣренныя разными единицами 141

§ 10. Задачи 148

§ 11. Объ измѣреніи угловъ 149

§ 12. Задачи 155

§ 13. Дѣленіе количествъ въ отношеніи обратномъ даннымъ числамъ 156

§ 14. Задачи 157

Глава 8. Пропорціи.

§ 1. Опредѣленіе пропорціи 158

§ 2. Члены пропорціи 158

§ 3. Свойства членовъ пропорціи 159

§ 4. Производная пропорціи 160

§ 5. Опредѣленіе неизвѣстнаго члена пропорцій 162

§ 6. Рѣшить пропорціи 162

§ 7. Примѣненіе свойствъ пропорціи къ рѣшенію уравненій 163

Глава 9. Понятіе о пропорціональности.

§ 1. Величины зависимыя и независимыя 163

§ 2. Пропорціональность величинъ 165

§ 3. Основная теорема пропорціональности геометрич. количествъ 168

§ 4. Доказательство по Эвклиду 170

§ 5. Свойство линіи, дѣлящей уголъ треугольника пополамъ 172

§ 6. Задачи 173

§ 7. Подобные треугольники 174

§ 8. Задачи 175

§ 9. Пропорціональныя линіи въ кругѣ 177

§ 10. Задачи 182

§ 11. Пропорціональность количествъ (простое тройное правило) 183

§ 12. Пропорціональныя количества (Движеніе) 189

§ 13. Пропорціональныя величины (Работа) 191

§ 14. Заготовка продовольствія 199

§ 15. Задачи 202