Галанин Д. Д. Методика арифметики. Второй год обучения. — 1911

ГЛАВА I.
Устный и письменный счетъ до 100.
§ 1. Вопросъ объ устномъ и письменномъ счетѣ.
Почти всѣ современные методисты настойчиво проводятъ
мысль о необходимости устныхъ вычисленій не только чиселъ
однозначныхъ, но и двузначныхъ, даже трехзначныхъ; они ви-
дятъ въ быстромъ и вѣрномъ сосчитываніи суммъ, разностей,
произведеній и частныхъ особое развитіе умственныхъ силъ и
знаніе ариѳметики.
Нѣтъ сомнѣнія, что способность сосчитыванія въ умѣ бо-
лѣе или менѣе большихъ чиселъ позволяетъ не только сво-
бодно рѣшать задачи на вычисленіе, но и помогаетъ сообра-
зить, какъ можетъ быть рѣшена та или иная сложная задача
съ условіемъ, и если бы можно было развить и удержать эту
способность быстраго и вѣрнаго сосчитыванія, то она въ жизни
принесла бы очень много пользы. Однако, наблюденіе надъ
учениками старшихъ классовъ и надъ взрослыми людьми по-
казываютъ намъ паденіе этой способности до весьма низкаго
уровня. Бываютъ случаи, когда ученикъ умножаетъ письменно
24 на 3 или складываетъ 15 и 17 письменно, при чемъ долго
думаетъ, сколько будетъ 5 + 7. Это паденіе способности ум-
ственныхъ вычисленій заставляетъ поставить вопросъ о томъ,
насколько необходимъ умственный счетъ въ начальномъ обу-
ченіи.
Попробуемъ проанализировать вопросъ объ устномъ счетѣ,
начиная съ того психологическаго анализа, который доступенъ
взрослому человѣку, слѣдящему за своимъ личнымъ сосчиты-
ваніемъ. Здѣсь, во-первыхъ, устанавливается тотъ фактъ, что
способность сосчитыванія повышается и падаетъ въ зависимо-
сти отъ количества упражненій, отъ утомленія и отъ области
внутренней заинтересованности въ данномъ направленіи. Когда
внутренняя мысль какъ бы напрягаясь, сосредоточивается на

счетѣ, то получается возможность быстро и вѣрно сосчитывать
достаточно большія произведенія и брать суммы большого чи-
сла слагаемыхъ- но когда вы или утомлены или заняты чѣмъ-
либо другимъ, эта способность падаетъ весьма значительно,
при чемъ это паденіе хотя и зависитъ отъ количества упраж-
неній, но не настолько, чтобы всякій не испытывалъ этого въ
очень опредѣлимой и ясной формѣ.
Это обстоятельство, наблюдаемое среди взрослыхъ, слѣ-
дуетъ особенно имѣть въ виду по отношенію къ дѣтямъ, и
можно сказать, что дѣти иногда плохо считаютъ только по-
тому, что ихъ самосознаніе или занято чѣмъ-либо другимъ
или утомлено. Замѣтьте, что ученикъ у доски всегда считаетъ
хуже, чѣмъ сидя на мѣстѣ; и, не умѣя рѣшить задачи, онъ со-
считываем неизмѣримо хуже, чѣмъ тогда, когда рѣшеніе за-
дачи ему вполнѣ ясно.
Вслѣдствіе этого я позволяю себѣ установить слѣдующее
положеніе: „Способность сосчитыванія у каждаго лица подчи-
няется колебаніямъ въ зависимости отъ внутренняго психиче-
скаго состоянія44.
Быть-можетъ также можно безъ спора установить и тотъ
фактъ, что эта способность есть особая способность личности
и она подчиняется индивидуальнымъ различіямъ, какъ по сво-
ему объему, такъ и по своему содержанію. Въ то время какъ
изрѣдка встрѣчаются личности, производящія въ умѣ колос-
сальныя вычисленія, такъ и обратно—встрѣчаются лица, для
которыхъ 13 + 15 является очень сложной задачей. Такъ рѣз-
ко различается объемъ способности вычисленія: но не менѣе
рѣзко индивидуально отличается и способъ, которымъ вычи-
сленіе производится: одинъ складываетъ сначала десятки, по-
томъ единицы, другой сначала единицы, потомъ десятки, тре-
тій разбиваетъ одно слагаемое, чтобы дополнить другое до цѣ-
лыхъ десятковъ; могутъ быть и другіе способы вычисленій. Къ
сожалѣнію, я не знаю и не встрѣчалъ по этому вопросу ка-
кихъ-либо изслѣдованій, а они были бы особенно важны.
Вдумываясь въ эти индивидуальныя различія счетной спо-
собности, я думаю, что есть особая числовая память, которая
удерживаетъ въ сомосознаніи ряды суммъ и произведеній, а
потому способность сосчитыванія подчиняется законамъ запоми-
нанія, т.-е. она повышается съ числомъ повтореній до нѣкото-
раго индивидуальнаго предѣла и падаетъ, когда личности при-
ходится не упражнять этой способности. Въ силу этого, ко-
гда вы будете наблюдать за собой при сосчитываніи, то легко
замѣтите, что многія суммы и произведенія получаются какъ
бы сами-собой въ подсознательной области, а другія—вамъ

нужно сосчитать, т.-е. проявить активность и необходимую
ясность считыванія.
Изъ этого ясно, что по отношенію къ обученію мы долж-
ны, во-первыхъ, произвести психологическое изслѣдованіе ин-
дивидуальныхъ способностей учениковъ, а, во-вторыхъ, опре-
дѣленно установить, что каждый ученикъ имѣетъ органиче-
скій предѣлъ развитія этой способности, за который онъ не
можетъ органически перейти.
Кромѣ этихъ предѣловъ, устанавливающихъ какъ бы ин-
дивидуальный объемъ способности сосчитыванія, слѣдуетъ от-
мѣтить еще и ту психологическую особенность, что нѣкоторыя
суммы оказываются очень трудно запоминаемы; эта трудность
запоминанія отмѣчена и въ школахъ, гдѣ задачи на сложеніи
7 и 5, 8 и 5 и т. п. даютъ больше ошибокъ, чѣмъ иныя суммы.
Здѣсь наблюдается нѣкоторая особенность числовой памяти.
Подобно тому, какъ иногда трудно запоминается то или иное
иностранное слово, такъ трудно запоминается и какая либо
сумма. Ученикъ не можетъ запомнить, что 7 и 4 составитъ 11,
а 7 да 5 = 12, и ему каждый разъ приходится думать, подсчи-
тывать эти суммы, и онъ при этомъ часто ошибается.
Если мы теперь примемъ во вниманіе эти двѣ психологи-
ческія особенности и обратимъ вниманіе на то, что они встрѣ-
чаются и у учениковъ, математически одаренныхъ, т.-е. умѣю-
щихъ разобраться и въ пространственныхъ построеніяхъ и въ
функціональной зависимости величинъ, то намъ станетъ ясно,
что учить учениковъ умственному счету необходимо, но тре-
бовать отъ нихъ быстраго и вѣрнаго счета—не всегда возможно.
Во всякомъ случаѣ такое требованіе не можетъ служить по-
казателемъ умственныхъ математическихъ дарованій, и не удо-
влетвореніе ему не понижаетъ достоинства ученика, если онъ
въ другихъ отношеніяхъ является развитымъ.
Мнѣ кажется далѣе, что важно не упражненіе въ умствен-
номъ сосчитываніи, а упражненіе вообще въ счетѣ, а потому
я не отвожу особаго мѣста и особаго времени для счета въ
умѣ. Я вполнѣ увѣренъ, что при наличности письменныхъ
упражненій, сосчитыванія на счетахъ, на палочкахъ и т. п.
ученики также запомнятъ многія суммы и разности и будутъ
свободно считать въ умѣ нисколько не хуже тѣхъ, кто особо
упражнялся въ умственномъ счетѣ. При случаѣ, конечно, по-
лезно показать, какъ лучше сосчитать ту или иную сумму,
найти то или иное произведеніе, но не надо настойчиво про-
водить свою систему счета, предоставивъ учениковъ ихъ лич-
нымъ силамъ и тому наивыгоднѣйшему для ихъ натуры спо-
собу сосчитыванія.

§ 2. Фантастическая постановка класснаго преподаванія.
Прежде чѣмъ приступить къ изложенію дальнѣйшаго хода
обученія, мнѣ хотѣлось бы предложить особый способъ этого
обученія, въ которомъ необходимость счета является обязатель-
ной. Этотъ способъ близко примыкаетъ къ игрѣ, а потому я и
озаглавилъ его фантастическимъ, т е. такимъ, который едва
ли войдетъ въ жизнь, пока въ школахъ будутъ требовать дис-
циплины, классныхъ скамеекъ и всего прочаго. Я предложилъ
бы организовать въ классѣ игру въ лавочку. Пусть въ отдѣль-
ныхъ мѣстахъ классной комнаты или зала будутъ устроены
палатки съ разнымъ товаромъ: здѣсь будутъ вѣсы, аршины,
кружки разной емкости и различные предметы, продаваемые
по счету. Ученики-продавцы должны весь свой товаръ запи-
сать въ книгу и подсчитать его стоимость; въ особой книгѣ
они должны записать проданное и продажную цѣну, должны
сосчитать кассу и опредѣлить величину прибыли или убытка.
Такая игра должна быть организована, и ученики къ ней
пріучены мало-по-малу. Сначала они сосчитываютъ товаръ, по-
томъ пріучаются опредѣлять его вѣсъ, количество жидкости,
потомъ вести книги и сосчитывать наличность. Наконецъ тор-
говать, т. е. давать сдачу, считать выручку, записывать коли-
чество продажи. Съ развитіемъ счета развивается и торговля,
предметами которой могутъ быть тетради, карандаши, перья,
грифеля, фрукты, пряники; тѣла сыпучія какъ семячки и орѣхи;
тѣла жидкіе, какъ квасъ, молоко и т. п.
Каждая лавочка можетъ торговать только своимъ това-
ромъ, хотя могутъ быть и лавочки смѣшаннаго товара. Про-
давцы и покупатели чередуются такъ, что каждый ученикъ
долженъ будетъ подсчитать свой день, сдѣлать всѣ записи и
подсчитать выручку. Покупатели могутъ потомъ возвратить
купленное учителю, и товаръ будетъ только портится вслѣд-
ствіе неакуратнаго обращенія. Фрукты могутъ быть съѣдены
въ большую перемѣну, а жидкости вылиты. Необходимый рас-
ходъ можетъ быть возложенъ на учениковъ, но и школа мо-
жетъ притти къ нимъ на помощь, особенно въ томъ, чего въ
школѣ всегда много: карандаши, тетради и т. п. Предѣлъ стои-
мости торговли долженъ совпадать съ предѣломъ числовыхъ
соотношеніи.
На соотношеніе между игрой и обученіемъ очень опредѣ-
ленно указалъ Фребель, введя обученіе въ область самаго ран-
няго дѣтства. Однако это соотношеніе имѣетъ мѣсто гораздо

больше и гораздо глубже, чѣмъ обычно принято думать. Ко-
ренное отличіе игры отъ обученія состоитъ въ томъ, что игра
есть забава, отдыхъ, а обученіе есть трудъ; но если мы вник-
немъ въ сущность того и другого нѣсколько глубже, то уви-
димъ, что и въ томъ и другомъ случаѣ въ основѣ находятся
творческія построенія: отнимите отъ игры творчество, она бу-
детъ утомительна и скучна; введите творчество въ обученіе—
оно будетъ интересно и занимательно. Игра въ лавочку, над-
лежащимъ образомъ обставленная, даетъ массу практическихъ
задачъ, рѣшеніе которыхъ есть предметъ обученія. Какъ это
практически организовалось — я не знаю, но думаю, что въ
этомъ предложеніи есть нѣкоторая новая мысль, имѣющая прак-
тическую цѣнность.
§ 3. Число какъ счетный символъ.
Въ противоположность существующимъ курсамъ, которые
съ самаго начала обученія выдвигаютъ на первое мѣсто счетъ
и настойчиво требуютъ отъ учениковъ умѣнія сосчитывать, я
въ началѣ обученія на первое мѣсто выдвигаю изученіе коли-
чественной измѣняемости величинъ и ихъ функціональной за-
висимости. Мнѣ хочется, чтобы по прошествіи перваго года у
учащихся создались механическіе навыки измѣренія длины,
вѣса, емкости и т. п., при чемъ число играетъ служебную роль
и сосчитываніе является необходимымъ пособіемъ для изученія
измѣненій количества. Ученикъ при такомъ обученіи мыслитъ
не число, а количество, онъ слѣдитъ за его измѣненіемъ и
выражаетъ это измѣненіе числомъ, какъ однимъ изъ возмож-
ныхъ способовъ выраженія количества. Его мысль идетъ ко-
личественно, онъ многое угадываетъ, судитъ на глазъ и въ
то же время углубляется въ ту функціональную зависимость
величинъ, которую наблюдаетъ. Но, когда количественная
область заходитъ за предѣлы малыхъ чиселъ, и умъ съ тру-
домъ можетъ обнять ея величину, то приходится прибѣгать
къ числамъ, какъ символамъ, установляющимъ законы коли-
чественныхъ измѣненій. Отъ количествъ мы переходимъ къ
дѣйствіямъ, эти дѣйствія совершаемъ надъ числами, а потому
приходимъ къ необходимости изслѣдовать область чиселъ, не-
зависимо отъ того, какое количество они представляютъ. Вы-
ясненіе правилъ производства дѣйствія составляетъ существен-
ную задачу второго года обученія; но для этого мы должны
нѣсколько иначе познакомиться съ числомъ. Въ то время, какъ
въ первый годъ обученія число не имѣло характера цѣлости и

разсыпчатости его единицъ; здѣсь мы съ особенной настойчи-
востью должны остановиться именно на этомъ свойствѣ чиселъ
счетнаго ряда. Для этого можно взять уже знакомый намъ пу-
чокъ палочекъ и потомъ его сосчитывать. На столѣ находится
коробка съ палочками, сосчитайте, сколько здѣсь палочекъ. Къ
столу вызывается одинъ ученикъ и считаетъ: одинъ, два, три и
т. д. Отсчиталъ десятокъ, теперь другой начинаетъ присчиты-
вать къ этому десятку другой десятокъ, продолжая одиннадцать,
двѣнадцать и т. д. Этотъ досчиталъ до 20; третій считаетъ два-
дцать одинъ, двадцать два и т. д. до 30. Такъ сосчитывается
вся сотня. Затѣмъ можно взять карандаши, напримѣръ 35, вы-
звать ученика и попросить его сосчитать; это число записы-
вается на доскѣ. Затѣмъ каждый считаетъ листы въ тетради,
и записываетъ, сколько у него листовъ. Несомнѣнно, что уче-
ники скоро поймутъ механизмъ счета и свободно могутъ со-
считать предметы; но надо имѣть въ виду, что здѣсь два пси-
хологическихъ элемента: механизмъ сосчитыванія и сознательное
воспріятіе числа. Ученикъ считаетъ 31, 32, 33..., но совершенно
не представляетъ себѣ, что 34 напримѣръ есть 3 десятка 4 еди-
ницы; для него символъ 34 есть какъ бы безразличное звено,
вставленное въ порядокъ 30, 31, 32 и т. д. Это именно безраз-
личіе и важно разрушить, указавъ на составъ каждаго числа.
Всего удобнѣе это сдѣлать на непосредственномъ сосчитываніи
какихъ-либо объектовъ, при чемъ полезно раздѣлить объекты
по десяткамъ, выдѣлить группу десятковъ въ отдѣльную группу
и прибавить къ ней единицы. Такія группы всего удобнѣе вы-
дѣлять при сосчитываніи денегъ, бумаги, карандашей, при
чемъ каждая группа объединяется въ деньгахъ монетой равно-
цѣнной, а въ прочихъ объектахъ связывается лентой. При
этомъ число записывается такъ 50 + 8 = 58; это 50 -)- 8 въ за-
писи также очень важно, потому что наглядно выдѣляетъ чи-
сло десятковъ и даетъ прочно установленный фактъ, что 58
есть скрытая сумма.
Изъ всѣхъ этихъ упражненій у учениковъ должна возник-
нуть прочная идея, что число не зависитъ отъ наименованія
сосчитываемыхъ элементовъ; въ этой идеѣ содержится идея
счетнаго ряда и даетъ идею отвлеченнаго числа, тогда какъ
количество зависитъ отъ наименованія и способно быть выра-
жено какимъ угодно числомъ. Все это важно только для уясне-
нія идеи обученія, всего этого ученикамъ не нужно говорить;
у нихъ самихъ возникнетъ идея отвлеченнаго счетнаго числа
и этого совершенно пока достаточно, чтобы имѣть возможность
перейти къ дѣйствіямъ.

§ 4. Измѣреніе времени.
Вырабатывая правила образованія счетнаго ряда, не слѣ-
дуетъ забывать и вопроса объ измѣреніи, вопроса о развитіи
идеи количества. Въ этомъ смѣшеніи двухъ идей — счетной
и измѣрительной, по существу не будетъ никакого педагоги-
ческаго абсурда именно потому, что та и другая выражаются
числомъ. Этотъ способъ выраженія настолько объединяетъ
ихъ, что ученики не почувствуютъ здѣсь существенной
разницы и просто будутъ думать, что измѣреніе есть счетъ.
Съ другой стороны, идея образованія счетнаго числового ряда
на столько важна, что необходимо дать время ей установиться
въ самосознаніи учащихся, а для этого полезно между упраж-
неніями въ сосчитываніи вставить какое-либо измѣреніе и этой
вставкой нѣсколько задержать курсъ, чтобы ученики имѣли
время подумать и посчитать. А такъ какъ измѣреніе времени
очень трудно, требуетъ долгой подготовки, то всего удобнѣе
здѣсь именно поставить вопросъ о на-
ученіи этому измѣренію. Но полный
вопросъ объ измѣреніи времени доволь-
но сложенъ, и здѣсь надо поставить
только его одну часть: устройство ча-
совъ и знакомство съ тѣмъ, какъ уз-
нать, который часъ?
Несмотря на малый возрастъ дѣ-
тей, я бы показалъ имъ модель часовъ
съ маятникомъ въ самомъ простомъ ви-
дѣ безъ лишнихъ колесъ и безъ пру-
жины: часы съ гирями безъ боя Такія
часы я бы рекомендовалъ сдѣлать осо-
бо со стекляннымъ прозрачнымъ цифер-
блатомъ и большими колесами Самое
ознакомленіе я предложилъ бы вести
такъ.
На ниткѣ виситъ грузъ, эту нитку
привѣшиваютъ къ потолку, выводятъ
грузъ изъ равновѣсія, и онъ начинаетъ качаться. Разсмотримъ
это качаніе: вотъ онъ движется вправо, поднимается на нѣко-
торую высоту, затѣмъ останавливается и начинаетъ двигаться
назадъ, доходитъ до середины, опять поднимается уже влѣво,
опять останавливается и начинаетъ снова двигаться назадъ.
Этотъ приборъ называется маятникомъ. Что дѣлаетъ маятникъ?

(Онъ качается). Какъ онъ качается? (Слѣва направо неправа
налѣво). Какъ устроить маятникъ? Могли ли бы вы сами ус-
троить миятникъ? Что для этого нужно взять? Возьмемъ нѣс-
колько маятниковъ и посмотримъ, какъ они будутъ качаться.
На столѣ учителя укрѣпляется доска съ крючками, къ
которой можно подвѣсить нѣсколько маятниковъ, какъ это
указано на рисункѣ.
Возьмемъ сначала два маятника одинаковой длины и отмѣ-
тимъ, что оба маятника будутъ качаться одинаково. Потомъ
возьмемъ два маятника разной длины, тогда увидимъ, что длин-
ный маятникъ будетъ качаться медленнѣе, чѣмъ короткій.
Какой маятникъ качается скорѣе? Что нужно сдѣлать, чтобы
онъ качался медленнѣе? Какъ сдѣлать, чтобы два маятника
качались одинаково?
Ознакомивъ съ маятникомъ, я да-
лѣе ознакомилъ бы дѣтей съ зубчатыми
колесами на отдѣльной модели. Пока-
залъ бы имъ зубчатое колесо и соеди-
нилъ съ другимъ колесомъ такъ, чтобы
при вращеніи одного, вращалось бы и
другое. Само вращеніе можно произво-
дить при помощи ручки, а весь при-
боръ укрѣпить на доскѣ или на особой
подставкѣ. На рис. 2 изображены два
колеса. Валъ А колеса В сдѣланъ изъ полосокъ, какъ дѣла-
ются колеса въ часахъ, окружность колеса безъ зубцовъ. Ко-
лесо С снабжено зубцами, а его валъ Д имѣетъ ручку въ Е.
Вращая за эту ручку, мы будемъ двигать колесо В. Навьемъ
теперь на валъ Д веревку, привяжемъ къ ней гирю и заста-
вимъ ее падать; гиря будетъ вращать оба колеса.
Показавъ, какъ двигаются колеса отъ гири, слѣдуетъ об-
ратить вниманіе учениковъ на то, что это движеніе дѣлается
все болѣе и болѣе быстрымъ по мѣрѣ паденія гири. Чтобы оста-
новить это увеличеніе быстроты соединяютъ систему зубча-
тыхъ колесъ съ маятникомъ. Для этого нужна также модель
(рис. 3). Къ колесу А привязываютъ гирю, которая его вер-
титъ. Это колесо вращаетъ колесо В, колесо В вращаетъ ко-
лесо С а это послѣднее колесо Д. Въ зубцы колеса Д входитъ
рогулька, соединенная съ маятникомъ и мѣшаетъ ускорять
движеніе. Теперь, если мы къ оси колеса Д прикрѣпимъ стрѣл-
ку, и поставимъ циферблатъ, то эта стрѣлка будетъ двигать-
ся по циферблату и показывать время. Маятникъ такъ подо-
бранъ, что колесо В совершаетъ полный оборотъ по кругу въ
1 часъ, и стрѣлка пройдетъ весь кругъ также въ часъ. Когда

она пройдетъ весь кругъ, то передвигаетъ маленькую стрѣлку
въ одно дѣленіе. Это дѣленіе отмѣчается на циферблатѣ циф-
рой—римской. Устройство циферблата
слѣдуетъ показать на часахъ и позна-
комить съ расположеніемъ часовъ. Ци-
ферблатъ со стрѣлками можно также
взять отдѣльно, и научить дѣтей узна-
вать часы, передвигая стрѣлки.
Всѣмъ этимъ можно ограничиться,
но кромѣ того, полезно познакомить
дѣтей въ это время съ наименованіемъ
мѣсяцевъ, дней недѣли и съ числами
безъ особыхъ объясненій. Для этого по-
лезно въ каждомъ классѣ имѣть от-
рывной календарь и ввести обычай по-
мѣчать въ работахъ время, такъ что
каждая работа начинается съ указанія
года, мѣсяца, числа, дня и времени по
часамъ. Это заставитъ учениковъ при-
смотрѣться къ календарю, позволитъ
имъ запомнить названія мѣсяцевъ и
дней и заставитъ ихъ постепенно от-
мѣчать часы. Такое наблюденіе време-
ни имѣетъ очень важное педагогичес-
кое значеніе вообще, а въ частности
даетъ толчекъ для размышленія и рядъ идей, необходимыхъ для
изученія движенія.
§ 5. Продолженіе изученія счетныхъ чиселъ.
Вспомнимъ превосходныя слова г. Гольденберга „Основная
аксіома ариѳметики состоитъ въ томъ, что результатъ счета
не зависитъ отъ порядка, въ которомъ онъ выполненъ; это по-
ложеніе столь очевидно, что большинство составителей не счи-
таютъ даже нужнымъ указывать на него. Производство про-
стѣйшаго изъ ариѳметическихъ дѣйствій, т.-е. сложенія, осно-
вано на свойствѣ чиселъ, которое можетъ быть выражено такъ:
результатъ сложенія двухъ чиселъ не измѣнится, если мы одно
изъ нихъ разложимъ на произвольныя числа и послѣдователь-
но приложимъ въ произвольномъ порядкѣ къ другому числу“.
Эти два положенія г. Гольденбергъ считаетъ настолько оче-
видными и настолько апріорными, что они не нуждаются въ
разработкѣ; но это совсѣмъ не такъ. Собственно и то и дру-

гое мы допускаемъ на основаніи своего опыта, но когда этого
опыта еще нѣтъ, т.-е. въ дѣтствѣ, то та и другая идея должна
быть усвоена не въ ея словесной формулировкѣ, а получена
внутреннимъ пониманіемъ, какъ результатъ многихъ опытовъ.
Здѣсь не надо забывать, что для ребенка наименованіе числа
не есть количество, а только символъ, подъ которымъ можетъ
быть самое разнообразное содержаніе. Чтобы это содержаніе
было правильнымъ, школа должна его выяснить, а это выяс-
неніе должно быть чувственное или опытное. Выясненіе той
и другой идеи г. Гольденберга будетъ настолько серьезнымъ,
что на немъ необходимо остановиться въ курсѣ и тѣмъ са-
мымъ остановить на немъ и вниманіе учениковъ. Мы прерва-
ли наше сосчитываніе измѣреніемъ времени, дѣти отдохнули
отъ утомительной работы, теперь вновь нужно ее возобновить,
пользуясь тѣмъ, что сложилось въ ихъ индивидуальномъ са-
мосознаніи. Мы считали палочки, листы бумаги, деньги, каран-
даши и т. п. объекты, гдѣ единица дана сама-собой; теперь
перейдемъ къ измѣрительнымъ процессамъ, гдѣ единица услов-
на, а само количество непрерывно.
Начнемъ нашъ счетъ съ минутъ. Сколько минутъ отмѣ-
чено на циферблатѣ часовъ? Каждый ученикъ получаетъ кар-
тонъ съ изображеніемъ циферблата и считаетъ минуты, вка-
лывая булавки въ каждый десятокъ. Спросимъ у нѣсколькихъ,
сколько они насчитали и добьемся вѣрнаго счета, при помо-
щи котораго установимъ, что часъ имѣетъ 60 минутъ. Пока-
жемъ теперь ученикамъ пудъ, заставимъ попробовать нѣко-
торыхъ его поднять. Положимъ этотъ пудъ на чашку вѣсовъ,
а на другую чашку насыпемъ фунты. Сколько въ пудѣ фун-
товъ? Замѣнимъ фунтовыя гири двухфунтовыми, сколько въ
нудѣ двухфунтовыхъ гирь? Сколько 5-ти, 10-ти-фунтовыхъ?
Возьмемъ ведро, уравновѣсимъ его и нальемъ воду, сколько
вѣситъ вода? Этотъ вѣсъ мы опредѣлимъ также въ фунтахъ,
потомъ опять замѣнимъ фунтовыя гири другими и сосчитаемъ
число новыхъ гирь.
Потомъ перейдемъ къ мѣрамъ длины и сосчитаемъ, сколь-
ко дюймовъ въ сажени, сколько вершковъ? При этомъ можно
указать., что счетъ не измѣнится отъ какого бы мѣста мы ни
стали отсчитывать. Всѣмъ этимъ у учениковъ устанавливается
идея, что считая одинаковыя единицы, мы можемъ ихъ соеди-
нять въ группы и считать число группъ.
Теперь можно перейти къ измѣренію какихъ-либо предме-
товъ; можно опредѣлить вѣсъ книги, напр., ариѳметическаго
задачника, или, еще лучше подобрать особые оловянные пла-
стинки, вѣсъ которыхъ выражался бы въ фунтахъ и лотахъ.

Измѣрить длину комнаты въ аршинахъ и вершкахъ и т. п.
Всѣ такія измѣренія слѣдуетъ записать, при чемъ надо пока-
зать, какъ записать сложное именованное число.
§ 6. Сложеніе двузначныхъ чиселъ.
Здѣсь слѣдуетъ отмѣтить, что до сихъ поръ мы не имѣли
нужды въ изученіи правилъ производства дѣйствій; мы про-
изводили непосредственное сосчитываніе, которое легко мож-
но было повѣрить непосредственнымъ опытомъ. Теперь мы при-
ступаемъ къ выводу правила сложенія чиселъ и начинаемъ
этотъ выводъ съ простѣйшаго случая: сложенія чиселъ дву-
значныхъ. Обыкновенно этотъ случай не вызываетъ ни вопро-
совъ, ни сомнѣній, однако, обученіе сложенію не такъ просто,
какъ это обыкновенно кажется. Причина этой сложности за-
ключается въ неправильномъ представленіи числа, какъ цѣ-
лаго, а не какъ суммы; между тѣмъ, какъ правила производ-
ства всѣхъ дѣйствій требуютъ представленія числа, какъ сум-
мы. Чтобы достигнуть ясности и сознательности этого пред-
ставленія, необходимо сопоставить двузначное число съ слож-
нымъ именованнымъ и начать обученіе сложенію съ сложенія
сложныхъ именованныхъ чиселъ.
Обученіе можетъ быть начато съ конкретныхъ задачъ. Для
этого возьмемъ сначала искусственно подобранные объекты,
напр., двѣ плитки олова. Въ одной будетъ вѣсъ 2 ф. 5 лот.,
а въ другой 3 ф. 7 лот. Сколько вѣсу въ обѣихъ? Запишемъ
на доскѣ вѣсъ той и другой плитки одинъ подъ другимъ такъ:
1-я плитка 2 ф. 5 лот.
2-я плитка 3 ф. 7 лот.
и сложимъ эти два числа. Легко видѣть, что сложеніе мы долж-
ны производить съ единицами однородными. Складывая фун-
ты, получаемъ 5 ф. и складывая лоты 12 лот. Результатъ под-
писываемъ.
2 ф. 5 лот.
+ 3 ф. 7 лот.
———————
5 ф. 12 лот.
Что мы должны сложить сначала: фунты или лоты? Мож-
но ли сложитъ фунты съ лотами? Почему этого нельзя дѣлать?
Какой знакъ мы могли бы поставить между числами 2 ф. и 5
лот.? Почему этого знака мы не пишемъ?

Сдѣлаемъ еще задачу: смѣряемъ длину и ширину листа кар-
тона (картонъ особо заготовленъ). Длина его 2 ф. 5 дюйм., а
ширина 1 ф. 4 дюйм. Сосчитайте какой длины нужно взять
тесемку, чтобы обить картонъ кругомъ?
Запишемъ на доскѣ полученныя числа:
длина картона 2 ф. 5 дюйм,
ширина картона 1 ф. 4 дюйм.
Сложимъ эти числа, какъ это мы дѣлали въ предыдущей
задачѣ,
2 ф. 5 д.
+ 1 ф. д.
3 ф. 9 д.
Но очевидно, что мы получили длину только половины листа,
чтобы получить ее всю надо къ полученному числу приба-
вить еще столько же, т. е.
3 ф. 9 д.
+ 3 ф. 9 д.
6 ф. 18 д.
Какъ можно написать иначе 18 дюйм.? Отв. 1 ф. 6 д. Что
можно сдѣлать съ 1 ф.?—Прибавить его къ 6 ф. Какъ же мож-
но записать результатъ?—7 ф. 6 д. или 1 саж. 6 дюйм.
Сосчитаемъ теперь иначе эту задачу. У насъ дано, что
длина картона 2 фута 5 дюйм., а его ширина 1 ф. 4 д. Какъ
можно иначе записать число 2 ф. 5 д.?—Его можно записать
въ видѣ 29 дюйм., а число 1 ф. 4 д. въ видѣ 16 дюйм. Сло-
жимъ полученныя числа дюймовъ по тому же правилу, какъ
мы складывали именованныя числа. Для этого отмѣтимъ сна-
чала, какъ мы представляемъ себѣ 29 дюйм.? Это есть 20 + 9
или 2 дес. и 9 един. Какъ мы представляемъ себѣ 16 дюйм.? —
Это есть 10 + 6 или 1 дес. 6 един. Подпишемъ эти числа одно
подъ другимъ.
29 или 20+ 9 или 2 дес. 9 един.
16 „ 10+ 6 „ 1 „ 6 „
и сложимъ ихъ. 10 + 15 3 дес. 15 един.
Что собой представляютъ 15 един.? Это есть 10 + 5 или
1 дес. и 5 един. Что можно сдѣлать съ однимъ десяткомъ? Его

можно приложить къ десяткамъ. Сколько тогда будетъ 4 дес.
5 един, или 40 + 5 или 45.
Сложеніе дѣлается еще проще: подписываютъ одно число
подъ другимъ такъ:
29
16 подчеркиваютъ и сбоку ставятъ знакъ +. Тогда наша за-
пись будетъ имѣть такой видъ:
+ 29
16. Складываемъ теперь единицы 9 да 6 будетъ 15 единицъ.
Пишемъ подъ чертой 5 единицъ, а десятокъ надписываемъ
надъ десятками и складываемъ десятки. 1 да 2 да 1 будетъ 4;
это 4 подписываемъ подъ десятками. Тогда наше сложеніе бу-
детъ имѣть такой видъ:
29
+ 16
45
Итакъ длина картона + ширина картона будетъ 45 дюйм.;
чтобы узнать, сколько дюймовъ въ длинѣ тесемки, то надо къ
45 прибавить еще 45. Напишемъ это и сдѣлаемъ, какъ указано
45
+ 45
90
Всего мы получили 90 дюймовъ.
Послѣ этого объясненія, нужно предложить дѣтямъ рядъ
задачъ на сложеніе двузначныхъ задачъ, напримѣръ сложить
27 + 32? 25 + 38? 53 + 46?
Каждую изъ этихъ задачъ ученики должны сдѣлать съ
объясненіемъ, т. е. разлагая слагаемыя на десятки и единицы,
а потомъ сдѣлать безъ этого разложенія.
Здѣсь возникаетъ вопросъ о необходимости передачи уче-
никами объясненія правила производства дѣйствія. Эта пе-
редача по моему крайне необходима, ибо только при ее на-
личности формулируется мысль и сознаніе учащагося глубже
входитъ въ самый фактъ, т. е. связываетъ при помощи словъ
наглядное воспріятіе, процессъ дѣйствія, и идею производства.
Однако эта необходимость передачи объясненія обусловливается
его усвояемостью, т. е. отчетливымъ запоминаніемъ послѣдова-
тельности мысли. Здѣсь, въ данномъ случаѣ, мы на границѣ
собственнаго умозаключенія ученика и внѣшней силы—объясне-
нія учителя. При наличности такой границы, слова учителя

помогаютъ ученику точнѣе выразить свою мысль, а потому
такая помощь ему пріятна, такъ какъ облегчаетъ собственную
умственную работу.
Когда ученики ясно воспримутъ процессъ сложенія, имъ
можно дать рядъ примѣровъ для упражненія. Напримѣръ 36+48;
52 + 38; 43 + 52 и т. д. Эти примѣры они дѣлаютъ безъ объ-
ясненій, переходя отъ сложной формы сложенія къ обычному
его производству.
При этомъ возникаетъ новый методическій вопросъ: сколько
упражненій ученики должны сдѣлать на данное правило?—Я
думаю, что число упражненій въ классѣ должно ограничи-
ваться предѣломъ занимательности процесса. Вначалѣ, когда
вопросъ еще новый, ученики съ интересомъ дѣлаютъ примѣры;
но когда вопросъ ясенъ, то новые примѣры сводятся къ меха-
ническому производству дѣйствія и становятся скучными. Тогда
ихъ нужно или замѣнить другими или перейти къ слѣдующему
вопросу. Но здѣсь мы встрѣчаемся съ новымъ методическимъ
вопросомъ: какъ быть, если ученики плохо складываютъ числа:
они затрудняются въ опредѣленіи суммъ 4 + 7; 8 + 7 и т. п.?
Очевидно, что упражненіе въ этихъ именно суммахъ будетъ
очень полезно; для этого можно подобрать особый родъ при-
мѣровъ, гдѣ встрѣчались бы затруднительныя суммы, но не
всѣ сразу, а только одна, много двѣ. Говорятъ, что умствен-
ный счетъ помогаетъ въ этомъ случаѣ, а потому необходимо
учениковъ заранѣе пріучить складывать подобныя суммы, и
тогда здѣсь не будетъ труда и задержки; но это едва ли вѣрно.
Я лично думаю обратное. Пусть ученики плохо складываютъ
нѣкоторыя числа, имъ можно подсказать затрудняющую ихъ
сумму, можно заранѣе написать таблицу суммъ и дѣлать сло-
женіе, пользуясь составленной таблицей. Всѣ недочеты этого
характера пройдутъ съ годами, и если ученикъ хорошо понялъ,
какъ дѣлается сложеніе, то онъ самъ пополнитъ свои недо-
четы.
§ 7. Выясненіе понятій „число“ и „количество“.
Не только въ элементарномъ, но и въ курсѣ средней школы
до сихъ поръ не ставится вопросъ о разграниченіи понятій
„число“ и „количество“. Однако это разграниченіе необходимо
въ виду того, что всѣ дѣйствія, начиная съ сложенія, выво-
дятся изъ понятія о числѣ и распространяются на количества
по молчаливому соглашенію о тожественности этихъ понятій.
А между тѣмъ самыя понятія существенно различны и, строго

говоря, мы должны доказать, что дѣйствія надъ числами мы
имѣемъ право распространить и на количества. Но, мало того,
каждое количество имѣетъ ему принадлежащія свойства; эти
свойства должны быть изучены, на что вообще мало обраща-
ется вниманія, и это дѣлаетъ труднымъ рѣшеніе задачъ. На
сколько рано должно начинать это изученіе, я сказать не могу,
но думаю, что уже въ начальномъ курсѣ вопросъ о раздѣле-
ніи понятій долженъ быть поставленъ, а само обученіе должно
быть построено такъ, чтобы у учениковъ мало-по-малу скла-
дывалась идея возможности на основаніи свойствъ чиселъ су-
дить объ измѣненіи количества. Первой задачей въ этомъ на-
правленіи будетъ выработка понятія объ отвлеченномъ числѣ.
По отношеніи къ этому понятію слѣдуетъ замѣтить, что оно
можетъ быть получено только изъ счетнаго ряда и не прило-
жимо къ количествамъ. Въ самомъ дѣлѣ, считая учениковъ,
яблоки, карандаши, животныя и т. п., мы легко отвлекаемся
отъ наименованія и получаемъ идею числа. Говоря иначе, имѣя
5 карандашей, 5 учениковъ, 5 книгъ и т. п. мы всѣ эти раз-
нородные объекты объединяемъ въ одну и ту же числовую
группу 5, и пять является ихъ числовымъ признакомъ, неза-
висимо отъ ихъ наименованія. Этотъ числовый признакъ и
есть то, что мы называемъ: отвлеченное число.
Совершенно иначе идетъ наша мысль, когда мы разсматри-
ваемъ количества. Возьмемъ длину 6 аршинъ; это есть опре-
дѣленная длина, независимая отъ какого-либо ея числового
выраженія; эту длину мы можемъ выразить и какъ 2 сажени,
и какъ 96 вершковъ, и какъ 168 дюймовъ; мы можемъ выра-
зить и любымъ числомъ, раздѣливъ на нѣсколько частей и
взявъ часть за единицу мѣры. Такимъ образомъ, количество
есть нѣчто самостоятельное, которое мыслится скорѣе какъ
единица и не зависитъ отъ своего числового выраженія. 5 ар-
шинъ есть два символа: число 5 и мѣра аршинъ; эти символы
нераздѣлимы, и мы не можемъ выдѣлить въ особый признакъ
число 5. Если мы возьмемъ рядъ количествъ 5 аршинъ, 5 ча-
совъ, 5 фунтовъ ит. п., то здѣсь число 5 является случай-
ностью измѣренія, а самыя количества совершенно не объеди-
няются этимъ числовымъ признакомъ. 5 аршинъ и 5 часовъ
могутъ находиться въ функціональной зависимости, но въ чис-
ловомъ отношеніи не имѣютъ ничего общаго, и если мы гово-
римъ, что число аршинъ равно числу часовъ, то этимъ мы
нисколько не устанавливаемъ какой-либо общности понятій, а
только случайный фактъ. Но когда мы говоримъ, что длина
пропорціональна времени, мы устанавливаемъ внутреннее со-
отношеніе между количествами, и это соотношеніе опять также

не подчиняется и не зависитъ отъ способа числовыхъ выра-
женій.
Разсказывать все это дѣтямъ на второмъ году обученія,
конечно, не слѣдуетъ; но необходимо распредѣлить курсъ такъ,
чтобы у нихъ позднѣе мало-по-малу выработалась идея функ-
ціональной зависимости и являлась потребность доказать, ка-
кое право мы имѣемъ распространять дѣйствія числовыя на
количества. Въ данномъ мѣстѣ курса необходимо остановиться
на вопросѣ объ отвлеченномъ числѣ, такъ какъ именно этотъ
вопросъ и ляжетъ въ основу выводовъ правилъ производства
дѣйствій.
§ 8. Отвлеченное число. Счеты.
На столѣ лежатъ 8 книгъ, какъ мы можемъ изобразить
это число? Мы можемъ написать цифру 8, можемъ написать
восемь палочекъ, или изобразить 8 римскими цифрами, можемъ
нарисовать 8 книгъ, показать на пальцахъ число 8 или отло-
жить по проволокѣ 8 косточекъ. Число палочекъ, число паль-
цевъ, число косточекъ на счетахъ одинаково показываютъ
число книгъ на столѣ. Прибавимъ къ этимъ книгамъ еще 4
книги, какъ это сдѣлать на нашихъ приборахъ? Очевидно, что
къ числу палочекъ 8 можно приписать еще 4 палочки и со-
считать, сколько палочекъ теперь написано; на пальцахъ это
сдѣлать не такъ удобно, но все-таки можно, если прибавить
два пальца, потомъ сжать руки въ кулакъ и сказать, полу-
чишь 10, затѣмъ поднять два пальца. Точно также не вполнѣ
удобно это сдѣлать на счетахъ, потому что на проволокѣ толь-
ко 10 косточекъ; но здѣсь мы можемъ воспользоваться другой
проволокой, если согласимся считать каждую косточку по ней
за 10 косточекъ первой проволоки. Итакъ, у насъ было отло-
жено 8 косточекъ, прибавимъ къ нимъ 2 и замѣнимъ 10 ко-
сточекъ первой проволоки одной косточкой второй, тогда пер-
вая проволока освободится, и мы можемъ на ней положить еще
двѣ косточки.
Какъ положить на счетахъ число 26? Положите число 38?
Здѣсь всего удобнѣе раздать счеты ученикамъ, чтобы ка-
ждый клалъ у себя то число, которое учитель или ученикъ
кладетъ на классныхъ счетахъ. При этомъ всего удобнѣе брать
обыкновенные торговые счеты, объяснивъ ученикамъ, что при-
нято единицы откладывать на самой нижней проволокѣ, а всѣ
косточки счетъ имѣть на правой сторонѣ. Проволоки съ 4-мя
косточками пока можно оставить безъ объясненія. Когда уче-

ники научаться класть числа, то имъ необходимо выяснить,
что это похоже на запись чиселъ цифрами, и предложить нѣ-
сколько обратныхъ упражненій: на счетахъ положено 3 и 6,
какое положено число? какъ его записать?
Установивши фактъ выраженія счетнаго числа при помо-
щи какихъ-либо счетныхъ элементовъ, мы тѣмъ самымъ уста-
навливаемъ существованіе идеи числа независимо отъ сосчи-
тываемыхъ объектовъ, т.-е. приближаемся къ идеѣ отвлечен-
наго числа. Говорить объ этой идеѣ, какъ бы формулировать
ее, я бы въ настоящій моментъ обученія считалъ преждевре-
меннымъ, но счетное пособіе—торговые счеты, даетъ хорошій
способъ установить наглядно два факта: 1) что величина чис-
ла не зависитъ отъ способа сосчитыванія и того порядка, въ
которомъ это сосчитываніе происходитъ; 2) что сумма пред-
ставляетъ собою совокупность единицъ, содержащихся въ сла-
гаемыхъ и не зависитъ отъ того, на какіе группы мы разо-
бьемъ слагаемыя и какъ эти группы приложимъ.
Въ этомъ отношеніи счеты уясняютъ дѣйствіе, а потому
необходимо сдѣлать на нихъ нѣсколько примѣровъ, начиная
сложеніе съ чиселъ однозначныхъ и записывая дѣйствіе на
доскѣ и въ тетрадяхъ. Пусть, напр., намъ нужно сосчитать
сумму 8 + 5 + 3 + 9. Мы откладываемъ соотвѣтственное число
косточекъ и записываемъ въ тетради окончательный резуль-
татъ; 8 + 5 + 3 + 9 = 25.
Эти упражненія даютъ возможность повторить сложеніе
однозначныхъ чиселъ и въ то же время представить себѣ са-
мый процессъ сложенія единицъ: Послѣ упражненій въ сло-
женіи однозначныхъ чиселъ можно прійти къ сложенію чиселъ
двузначныхъ, начиная съ сложенія двухъ чиселъ, напр., 13+15;
15+12; 23 + 46 и т. п.
Потомъ перейти къ такимъ суммамъ 18 + 13; 25 + 37; 42+39
и т. п.
Эти задачи полезно сдѣлать и письменно и на счетахъ,
чтобы укрѣпить навыкъ въ производствѣ дѣйствія. Здѣсь же
можно показать способъ нахожденія суммъ большого числа
слагаемыхъ; напр., 13 + 28 + 36; 15 + 35 +42 и т. п., дѣлая ихъ
и письменно и на счетахъ.
Упражненіями въ такихъ сложеніяхъ можно смѣло замѣ-
нить умственный счетъ, при чемъ время отъ времени можно
предлагать сосчитать въ умѣ нѣкоторыя суммы, и я увѣренъ,
что большинство справится съ этимъ такъ же легко, какъ это
происходитъ въ настоящее время, когда на умственный счетъ
затрачивается не мало силъ и времени.

Въ концѣ этого курса можно сказать дѣтямъ, что числа
безъ наименованія называются отвлеченными и спросить ихъ,
что показываютъ эти числа?
На этотъ вопросъ они сами уже могутъ дать точный и
ясный отвѣтъ.
§ 9. Сложеніе равныхъ слагаемыхъ.—Таблица Пиѳагора.
Начавши изученіе свойствъ чиселъ счетнаго ряда, есте-
ственно продолжитъ это изученіе, перейдя отъ сложенія къ
тому, что называется въ настоящее время умноженіемъ, т.-е.
къ сложенію равныхъ слагаемыхъ Такимъ образомъ, въ этотъ
періодъ курса мы будемъ находиться въ области счета или
того, что г. Евтушевскій называетъ изученіемъ числа. Но, вво-
дя этотъ отдѣлъ, я совершенно не думаю, чтобы его цѣлью
былъ бѣглый счетъ, отчетливое запоминаніе суммъ и произве-
деній; все это отчасти достигнется впослѣдствіи, отчасти усво-
ится и теперь болѣе способными къ счету учениками. Моя
главная цѣль въ настоящемъ случаѣ дать ученикамъ идею ум-
ноженія чиселъ, связавъ ее съ идеей сложенія: умножение есть
сокращенное сложеніе. Этимъ не дается вся идея умноженія,
т.-е. здѣсь я не разсматриваю умноженія какъ дѣйствіе, а
только возможность болѣе удобнаго вычисленія суммъ равныхъ
слагаемыхъ. На это я обращаю особое вниманіе читателя, по-
тому что вопросъ объ умноженіи, какъ дѣйствіи, является го-
раздо болѣе сложнымъ и будетъ разсмотрѣнъ особо. Въ дан-
номъ случаѣ я разсматриваю число, состоящимъ изъ разсыпа-
ющіеся единицъ и устанавливаю тѣ особыя свойства этихъ
чиселъ, которыя обычно разсматриваютъ какъ дѣйствіе—ум-
ноженіе.
Итакъ, будемъ считать равными группами, сначала по 2.
Ученики считаютъ 2, 4, 6, 8, положимъ до 20. Теперь считай-
те по 3 : 23, 26 положимъ до 44. Дальше будемъ прибавлять по
4. Такое упражненіе нужно сдѣлать довольно много разъ, по-
ка всѣ ученики не поймутъ хорошо механизма счета. При
чемъ его можно варіировать, начиная со счета по 5, потомъ
по 3, потомъ и 2, потомъ по 6 и т. д.
Тѣ же упражненія необходимо продѣлать на счетахъ, за-
писывая полученныя суммы. Когда, такимъ образомъ, дѣти до-
статочно хорошо ознакомятся со способомъ сосчитыванія и
большинство будетъ довольно бѣгло переходить по ряду чи-
селъ, можно ввести слѣдующія упражненія. Напишемъ на

доскѣ 2+2 + 2 + 2, сколько разъ написано 2? Какъ это мож-
но написать иначе?
Все это является повтореніемъ того, что было изучено уже
въ первомъ годѣ обученія, но оно расширится и обниметъ всѣ
числа до 100.
Здѣсь мы получимъ рядъ произведеній, изъ которыхъ осо-
бое вниманіе надо обратить на случаи, гдѣ перестановка множи-
телей не мѣняетъ величины произведенія 3X8 = 8X3: Ка-
ждое изъ этихъ произведеній получено сложеніемъ, а потому
вѣроятно возможно указать ученикамъ, что 8 группъ по 3 еди-
ницы всегда равны 3 группамъ по 8 единицъ. Доказательство
этой въ высшей степени важной теоремы я бы предложилъ
сдѣлать фактически. Возьмемъ полоски картона, раздѣленныя
на квадратныя дюймы, при чемъ въ каждой полоскѣ будетъ
три квадрата. Прикрѣпимъ къ доскѣ 8 такихъ полосокъ кноп-
ками одну надъ другой. Сколько квадратовъ содержится во
всѣхъ полоскахъ? Какъ это можно сосчитать? (надо 3 повто-
рить 8 разъ). Теперь возьмемъ такія же полоски картона,
только въ каждой будетъ по 8 квадратовъ, прикрѣпимъ эти
полоски къ доскѣ кнопками вертикально и будемъ считать
число квадратовъ. Здѣсь придется 8 повторить слагаемымъ 3
раза. Обѣ фигуры поставлены рядомъ другъ съ другомъ, и
зрительное впечатлѣніе даетъ равенство площадей, что влечетъ
за собой убѣжденіе въ равенствѣ чиселъ квадратовъ. Повторите
это разсужденіе, взявъ произведеніе 6X4.
Очевидно, что это не есть свойство произведенія, а свой-
ство чиселъ, состоящихъ изъ разсыпающихся единицъ, а по-
тому особенно слѣдуетъ подчеркнуть здѣсь именно эту разсы-
паемость и то, что число единицъ въ суммѣ остается тѣмъ же
самымъ.
Когда такимъ образомъ ученики вполнѣ ясно усвоятъ себѣ
процессъ полученія суммъ одинаковыхъ слагаемыхъ, имъ можно
показать, что эти суммы полезно запомнить и записать. Для
этого составляется особая таблица. Пишутся всѣ числа отъ 1
до 10; потомъ каждое изъ этихъ чиселъ складывается само съ
собой и получается второй рядъ; далѣе складываются числа
обоихъ рядовъ, получимъ третій рядъ; потомъ складываемъ
третій рядъ съ первымъ, потомъ четвертый съ первымъ и т. д.
По этой таблицѣ можно найти любую сумму, если отыскать
вверху одно число, напримѣръ 6, и слѣва сбоку другое, напри-
мѣръ 5, то въ персѣченіи этихъ столбцовъ найдемъ 6X5 чи-
сло 30.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
6
9
12
15
18
21
24
27
'60
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
12
18
24
30
36
42
43
54
60
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Показавъ дѣтямъ, какъ пишется эта таблица, можно при
всякомъ умноженіи предложить имъ предварительно ее запи-
сать, или съ особой тщательностью написать на отдѣльномъ
листѣ тетради и ей пользоваться, не запоминая чиселъ на па-
мять. Такую таблицу полезно приготовить для класса въ боль-
шомъ видѣ; но это должны сдѣлать сами ученики и повѣсить
на стѣну. Ученики могутъ для класса приготовить и другую
таблицу умноженія въ видѣ столбцовъ, но здѣсь каждый стол-
бецъ долженъ начинаться съ единицы и кончаться 10 въ та-
комъ видѣ:
1X1 =
1
2X1=2
3X1
= 3
1 Х2 =
2
2X2= 4
3X2
= 6
1X3 =
3
2X3= 6
3Х3
= 9
1 Х4 =
4
2X4= 8
3X4
= 12
1 Х5 =
5
2X5X10
3X5
= 15
1 Х6 =
6
2X6 = 12
3X6
= 18 и т. д.
1 Х7 =
7
2X7 = 14
3X7
= 21
1 Х8 =
8
2X8 = 16
3X8
= 24
1 Х9 =
9
2X9=18
3X9
= 27
1Х10=
10
2Х10 = 20
3Х10
= 30

Вообще желательно, чтобы составленіе этихъ таблицъ, ихъ
написаніе на большіе листы, все это составило нѣкоторую
эпоху въ обученіи, оставило бы слѣдъ не только математиче-
скій, а болѣе общій нравственопсихологическій. Вотъ почему
цѣнность покупныхъ таблицъ ничтожна, тогда какъ таблицы,
приготовленные учениками, дадутъ имъ нѣкоторые нравствен-
ные удовлетворенія. Этими таблицами можно пользоваться при
вычисленій строчекъ, вродѣ слѣдующихъ:
3X4 + 2X8 + 4X5 = 60; 7X2 + 8X5 + 4X3 = 64 и т. п.
Этотъ счетный періодъ совершенно отвлеченнаго счета я
бы закончилъ вопросами: что значитъ запись 3X4?—Это зна-
читъ 3, сложенное само съ собой 4 раза. Какъ можно иначе
выразить словами ету запись?—3, умноженное на 4. Итакъ,
что значитъ 3, умноженное на 4? Это значитъ 3, сложенное
само съ собой 4 раза.
§ 10. Идея сложенія.
Послѣ ознакомленія учениковъ съ идеей отвлеченнаго чи-
сла и нахожденія одинаковыхъ суммъ, необходимо вновь вер-
нуться къ сложенію и установить: во 1) какими словами можно
выразить идею сложенія? Это придать, прибавить, присоеди-
нить, измѣнить, привѣсить, приложить и т. п.; во 2) какія эле-
менты подчиняются этой идеѣ? Что можно складывать и при
какихъ условіяхъ?
Для выясненія этого важнаго вопроса слѣдуетъ указать на
то, что знакъ + ставится не только тогда, когда находится или
можетъ быть найдена фактическая сумма, но и тогда, когда
какой-либо элементъ присоединяется къ другому. Такъ напри-
мѣръ въ записи 4 ар. +2 вер. мы не можемъ фактически сло-
жить аршины съ вершками безъ дополнительныхъ вычисленій;
но пишемъ эту сумму, желая показать, что по ходу задачи къ
къ 4 арш. слѣдуетъ присоединить 2 вершка. Обратно въ за-
писи 4 арш. 2 верш, опущенъ знакъ + для сокращенія письма,
подобно тому какъ число 57 есть скрытная сумма 50 + 7.
Итакъ, съ одной стороны, мы имѣемъ явныя или скрытыя
суммы, въ которыхъ идея сложенія только выражена, но фак-
тически это дѣйствіе не можетъ быть выполнено. Съ другой
стороны, условіе возможности сложенія будетъ состоять въ
томъ, чтобы слагаемыя элементы были или существенно одно-
родны или могли бы быть приняты за однородные. Такъ какъ

отвлеченныя единицы могутъ всегда быть сложены, то очевидно,
что это условіе не входитъ въ область отвлеченныхъ чиселъ,
а появляется только тогда, когда мы выведенныя правила бу-
демъ прилагать къ рѣшенію задачъ, т. е. изъ области отвле-
ченныхъ перейдетъ въ область конкретныхъ единицъ. Не смо-
тря на то, что все это разсужденіе какъ бы превышаетъ уро-
вень дѣтскаго развитія, при обученіи необходимо считаться съ
этимъ фактомъ, указывая и разбирая возможности фактиче-
скаго сложенія, и тѣ условія, при которыхъ эта возможность
возникаетъ.
Здѣсь самымъ простымъ является случай сложенія счетныхъ
единицъ, съ котораго и можно начать разработку вопросовъ,
предложивъ рядъ слѣдующихъ задачъ.
1. Мальчикъ три раза ходилъ въ лавку за покупкой бу-
маги. Въ первый разъ онъ купилъ 18 листовъ: во второй разъ
25 листовъ, а въ третій 17 листовъ. Сколько листовъ всего
купилъ онъ?
Первое, на что я бы рекомендовалъ обратить вниманіе при
рѣшеніи задачъ,—это на составленіе формулы рѣшенія, а по-
томъ уже полученную формулу можно вычислить. Составленіе
формулы сопровождается разсужденіемъ, вычисленіе формулы
дѣлается безъ всякихъ разсужденій. При рѣшеніи предложен-
ной задачи первый вопросъ такой: какимъ дѣйствіемъ можно
найти, сколько всего листовъ бумаги купилъ мальчикъ?—Надо
прибавить (присчитать) къ 18 листамъ 25 листовъ, и къ полу-
ченному числу еще 17 листовъ. Какимъ знакомъ выражается
это дѣйствіе? — Знакомъ +. Какъ называется это дѣйствіе?—
Сложеніе. Напишите формулу рѣшенія: 18 + 25+17. Можемъ ли
мы эти числа дѣйствительно сложить? — Можемъ, потому что
они однородныя. Въ чемъ будетъ выражаться это дѣйствіе?—
Мы соберемъ всѣ листы бумаги въ одну кучу и сосчитаемъ,
сколько листовъ получится. Можно ли сдѣлать такъ, сначала
взять 25 листовъ, потомъ 18, потомъ 17? Какъ можно было бы
сказать словами это свойство?—Мы можемъ складывать числа
въ какомъ угодно порядкѣ. Сложимъ ихъ, получимъ 60 листовъ.
2. У мальчика были слѣдующія игрушки: 15 оловянныхъ
солдатиковъ, 12 лошадокъ и 17 картинокъ. Сколько игрушекъ
было у мальчика?
Чѣмъ эта задача отличается отъ предыдущей? Можно ли
здѣсь также присчитать къ числу 15 числа 12 и 17? Почему мы
можемъ и здѣсь сложить числа, чтобы узнать, сколько игрушекъ
у мальчика? Разбирая эту задачу, учитель обращаетъ внима-
ніе учениковъ на то, что хотя въ задачѣ даны предметы раз-
нородные, но ихъ можно сложить, потому что они могутъ быть

приняты за однородныя подъ именемъ игрушекъ. Здѣсь необ-
ходимо, чтобы ученики сами придумали рядъ задачъ, въ кото-
рыя входили бы и однородныя вещи и такія, которыя можно
принять за однородныя.
Все это въ существенныхъ чертахъ было проработано въ
первомъ годѣ обученія и здѣсь является необходимымъ повто-
реніемъ.
Къ этимъ задачамъ можно присоединить задачи, гдѣ одно
количество дано въ условіи „больше на столько-то“. Такой
типъ задачъ, не внося здѣсь ничего нового, нѣсколько ва-
ріируетъ предыдущія задачи. Во всякомъ случаѣ такихъ упра-
жненій не слѣдуетъ давать много. Все разсужденіе очень
просто и самыя задачи представляютъ только упражненіе въ
сосчитываніи. Послѣ этихъ задачъ слѣдуетъ перейти къ сло-
женію равныхъ слагаемыхъ, на которыхъ необходимо остано-
виться и выяснить по существу. Здѣсь задачи можно разбить
на рубрики по темамъ. Напримѣръ: опредѣленіе стоимости
товара.
3) Было куплено 9 аршинъ матеріи, цѣною по 8 коп. за
аршинъ, сколько копеекъ за него было заплачено?
При рѣшеніи этой задачи слѣдуетъ поставить вопросы:
что здѣсь дано? Число аршинъ и стоимость аршина. Что тре-
буется узнать? Стоимость товара. Такіе вопросы очень важ-
ны потому, чтобы дѣти давали себѣ отчетъ въ содержаніи за-
дачи и умѣли бы формулировать смыслъ задачи въ наимено-
ваніяхъ данныхъ количествъ. Можно ли сложить данныя числа
9 аршинъ и 8 копеекъ? Почему этого нельзя сдѣлать? Какъ
же рѣшить эту задачу?—Надо 8 копеекъ сложить 9 разъ. Ка-
кимъ дѣйствіемъ можно замѣнить сложеніе?
Итакъ, если дано число аршинъ и стоимость аршина, то
чтобы найти стоимость товара надо стоимость аршина умно-
жить на число аршинъ. Такая формулировка можетъ быть
трудна, но я думаю, что если ее можно добиться, то запоми-
наніе этой формулы много поясняетъ въ разборѣ сложныхъ
задачъ. Дѣти сами должны придумать рядъ подобныхъ задачъ
и записать ихъ.
Рядомъ съ этими задачами слѣдуетъ помѣстить обратныя:
опредѣленіе количества товара.
4) На каждую копейку даютъ 3 яблока. Сколько яблокъ
дадутъ на 10 копеекъ?
Чѣмъ отличается эта задача отъ предыдущихъ? Что здѣсь
дано? Что требуется опредѣлить? Какъ рѣшить эту задачу?
Придумайте сами рядъ подобныхъ задачъ и запишите ихъ.

Опредѣленіе вѣса по данному объему.
5) Стаканъ, насыпанный дробью, вѣситъ 7 фунтовъ. Сколько
будутъ вѣсить 6 стакановъ съ дробью?
Опредѣленіе количества по данному вѣсу.
6) 4 булки хлѣба вѣсятъ 1 фунтъ. Сколько булокъ будутъ
вѣсить 8 фунтовъ.
Здѣсь можно придумать и еще нѣсколько темъ, но въ дан-
номъ мѣстѣ курса я бы не бралъ ихъ много. Важно не обиліе
темъ, среди которыхъ ученикъ можетъ запутаться, а отчет-
ливое усвоеніе каждой изъ нихъ. Методически полезно умѣ-
ніе характеризовать тему, опредѣлить содержаніе задачи, ука-
зать, что дано и что нужно отыскать, также указать, какимъ
дѣйствіемъ рѣшается задача и почему. Когда будутъ прорабо-
таны и эти задачи, то вновь слѣдуетъ вернуться къ вопросу
о сложеніи, указавъ на сложеніе количествъ. Если намъ данъ
рядъ величинъ, то мы можемъ складывать стоимость ихъ, ихъ
вѣсъ и вообще все то, что принадлежитъ каждой изъ нихъ и
подчинено закону слагаемости. Такъ мы не можемъ склады-
вать блескъ предметовъ, ихъ окраску, тотъ матеріалъ изъ ко-
тораго они сдѣланы; но можемъ складывать длину, которую
занимаетъ каждый изъ нихъ.
Этотъ вопросъ о томъ, что подчиняется закону слагаемости,
и что ему не подчиняется, необходимо выяснить, чтобы уче-
ники легко представляли себѣ, что они могутъ дѣлать и чего
нельзя дѣлать и почему одно можно, а другое нельзя. Въ рядѣ
задачъ полезно разобрать эти вопросы, выдѣливъ основную
идею слагаемости разнородныхъ элементовъ по общему для
нихъ свойству. Напр
7) Куплено 4 карандаша по 8 копеекъ за каждый и 5 ру-
чекъ по 4 копейки за каждую. Сколько заплачено за все?
Послѣ общей характеристики задачи, которая была выше
указана, слѣдуетъ разсмотрѣть способъ ея рѣшенія, выразивъ
его формулой. 1) Что стоятъ 4 карандаша? Отв. 8X4 копеекъ.
2) Что стоятъ 5 ручекъ? Отв. 4Х5 копеекъ. 3) Что стоитъ
вся покупка? Отв. (8X4 + 4X5) копеекъ. Что мы здѣсь скла-
дываемъ? -Стоимость карандашей и стоимость ручекъ. Можно
ли сложить 4 карандаша и 5 ручекъ, объединивъ ихъ въ словѣ
„купленныя вещи“? Почему этого нельзя сдѣлать? Можно ли
сложить 8 копеекъ и 4 копейки, такъ какъ это количества
однородныя? Почему этого нельзя сдѣлать? Въ чемъ состоитъ
разнородность 8 копеекъ и 4 копеекъ?
Итакъ, чтобы рѣшить эту задачу, нужно найти стоимость
карандашей, стоимость ручекъ и эти стоимости сложить.

8) Куплено 6 фунтовъ чаю по 3 руб. за фунтъ и 9 фун-
товъ орѣховъ по 8 копеекъ за фунтъ. Сколько заплачено за
всю покупку.
Эта задача рѣшается какъ и предыдущая, но здѣсь нельзя
сложить полученныя стоимости, почему? Хотя ихъ нельзя сло-
жить, но можно выразить словами: 18 руб. 72 копейки.
Эти задачи также разбиваются по темамъ. Слѣдуетъ взять
небольшое число темъ, заставивъ учениковъ придумать задачи
на каждую изъ нихъ, при чемъ въ окончательномъ результатѣ
могутъ быть три и болѣе слагаемыя, но я бы все таки не давалъ
больше трехъ.
9) Каждый стаканъ песку вѣситъ 2 фунта, а стаканъ дроби
7 фунтовъ. На чашку вѣсовъ было поставлено 4 стакана
песку и 4 стакана дроби. Сколько вѣситъ все вмѣстѣ?
Эта задача рѣшается двумя способами, каждый изъ нихъ
долженъ быть разсмотрѣнъ особо и окончательные формулы
сравнены между собой.
Первый способъ. Сколько вѣситъ 4 стакана песку? Отв.
2X4 фунта Сколько вѣситъ 4 стакана дроби? Отв. 7X4 фунта.
Сколько вѣситъ песокъ и дробь? Отв. (2X4 + 7X4) фунтовъ.
Второй способъ. Сколько вѣситъ стаканъ песку и стаканъ
дроби? Отв. (2-f 7) фунтовъ. Сколько вѣситъ 4 стакана песку
и дроби? Отв. (2 -f 7) X 4 фунтовъ.
Здѣсь слѣдуетъ обосновать, почему мы можемъ сложить
вѣсъ стакана песку и стакана дроби. Ихъ одинаковое коли-
чество дѣлаетъ эти вѣса однородными, тогда какъ въ преды-
дущихъ задачахъ этой однородности не было и складывать мы
не имѣли права. Сравнивъ оба рѣшенія задачи, мы получаемъ
2Х4+7Х4 = (2 + 7)Х4.
Это рѣшеніе можно формулировать словами, если только
возможно употребленіе терминовъ слагаемое и сумма. Чтобы
умножить сумму на какое-нибудь число, нужно каждое сла-
гаемое умножить на это число. И можно доказать ея спра-
ведливость такъ. Что значитъ умножить 2 + 7 на 4? Это зна-
читъ повторить слагаемыя 2 + 7 четыре раза.
Запишемъ это сложеніе:
2+7 И будемъ складывать по столбикамъ,
2 + 7 получимъ 2 + 2-4-2 + 2 = 2X4 и
2 + 7 7 + 7 + 7 + 7 = 7X4, т.-е. все вмѣстѣ
2 + 7 2 X 4 + 7 X 4, что равно (2 + 7) X 4.

§ 11. Вычитаніе двузначныхъ чиселъ.
Согласно нашему плану мы разсматриваемъ вопросъ о
дѣйствіяхъ съ двухъ точекъ зрѣнія: съ точки зрѣнія вывода
правила дѣйствія, гдѣ пользуемся свойствомъ счетного ряда
отвлеченныхъ чиселъ, и съ точки зрѣнія внутренняго смысла
дѣйствія, гдѣ выведенныя правила прилагаются къ вычисленію
количествъ.
Здѣсь нужно отмѣтить существенную разницу между те-
оретическимъ построеніемъ курса и методическимъ. Въ пер-
вомъ исходной точкой нашихъ разсужденій будетъ опредѣленіе
дѣйствія, а во второмъ его внутренній смыслъ. Методически
мы должны подобрать такой матеріалъ, исходя изъ котораго
опредѣленіе какъ бы создавалось. Такъ мы разсматривали
умноженіе, такъ же будемъ разсматривать и вычитаніе. Но,
если въ вопросѣ сложенія, само понятіе „сложеніе“ является
элементарнымъ, если умноженіе мы легко можемъ свести къ
сокращенной записи суммы равныхъ слагаемыхъ, то вычитаніе
имѣетъ нѣсколько иной характеръ: здѣсь есть основное также
элементарное понятіе—отнятіе, но есть и другое, болѣе слож-
ное—сравненіе величинъ; но мало того въ вычитаніи теорети-
чески вносится еще новое понятіе, понятіе дѣйствія обратнаго
сложенію. Эти три понятія представляютъ собою три совер-
шенно различныя исходныя точки, и мы должны выбрать одну
изъ нихъ для вывода правила дѣйствія и показать, что выве-
денное нами правило можетъ быть приложимо и къ осталь-
нымъ случаямъ Но всѣ эти случаи не могутъ быть скрыты
отъ дѣтей, а наоборотъ выяснены имъ на подходящихъ при-
мѣрахъ. И такъ, хотя мы и уклонимся отъ опредѣленія дѣй-
ствія, однако необходимо должны поставить себѣ вопросъ, что
именно мы будемъ понимать подъ дѣйствіемъ ^вычитаніе“ при
выводѣ правила.
Изъ указанныхъ трехъ понятій самое простѣйшее естъ от-
нятіе, убавленіе; съ него мы и начнемъ, представляя числа
какъ совокупность разсыпающихся единицъ. Мы уже знаемъ,
что каждое разсыпающееся двузначное число представляется
въ видѣ суммы двухъ группъ: группы десятковъ и группы
единицъ. Это представленіе мы и положимъ въ основу вывода
правила, взявъ слѣдующія пособія: палочки и счеты. Большого
числа пособій здѣсь не нужно, потому что свойство отнятія
легко распространяется на всѣ другіе объекты.
Возьмемъ задачу: намъ нужно отъ числа 57 отнять число

32. Какъ записать эту задачу? Отв. 57 — 32. Эту запись уче-
ники помнятъ отъ первого года обученія, и въ ней не встрѣ-
чается ничего новаго Что такое число 57? Отв. Это отвлечен-
ное число, которое представляетъ собою 57 какихъ либо пред-
метовъ. Какъ можно изобразить число 57?—Отв. Можно взять
57 палочекъ. Возьмемъ 57 палочекъ и разложимъ ихъ въ пучки:
5 пучковъ по десяти палочекъ и еще 7 палочекъ. Какъ можно
изобразить число 32? Это будетъ 3 пучка по 10 палочекъ и
еще 2 палочки. Какъ теперь отнять отъ 57 палочекъ 32
палочки?
Сдѣлаемъ то же самое на счетахъ. Мы можемъ положить
число 57, какъ отнять число 32?
Запишемъ теперь то, что мы дѣлали на палочкахъ и на
счетахъ на доскѣ цифрами. Число 57 мы запишемъ такъ 5 дес.
7 ед., а число 32 въ видѣ 3 дес. 2 ед. Подпишемъ эти числа
для удобства другъ подъ другомъ, получимъ
5 дес. 7 един.
3 дес. 2 един.
Отнимемъ единицы отъ единицъ и десятки отъ десятковъ,
тогда останется 2 дес. 5 един, или 25 един. Это сокращенно
записывается такъ
57
- 32
25
Разсмотримъ это дѣйствіе болѣе подробно, прежде чѣмъ
переходить къ другимъ случаямъ вычитанія. Здѣсь во 1) оста-
новимся на томъ, что какъ складывать такъ и Отнимать мы
можемъ только однородныя единицы. Это положеніе обычно
иллюстрируется конкретными примѣрами, но сущность его со-
стоитъ въ томъ, что мы не можемъ отнять десятки отъ еди-
ницъ и единицы отъ десятковъ, и на это именно и нужно
обратить вниманіе дѣтей, предложивъ имъ какъ-нибудь выра-
зить словами показанное правило, хотя бы въ такомъ видѣ:
чтобы отнять одно число отъ другого, мы должны единицы
отнять отъ единицъ, а десятки отъ десятковъ. Это нужно
твердо и опредѣленно установить, какъ обязательный законъ
производства дѣйствія. Во 2), здѣсь необходимо разсмотрѣть
вопросъ о томъ, какъ психологически удобнѣе, слѣдовать ли
способу, указанному при сложеніи, т.-е. отъ конкретныхъ при-
мѣровъ переходить къ отвлеченному числу, или обратно, какъ

это указано мною — отъ отвлеченнаго числа переходить къ
конкретнымъ примѣрамъ. Устанавливая этотъ обратный путь,
я думаю, что понятіе объ отвлеченномъ числѣ дѣти уже имѣ-
ютъ, и для нихъ важно, произвести обратную умственную ра-
боту: представить отвлеченное число, и это представленіе при-
ложить къ конкретнымъ примѣрамъ. Здѣсь, при объясненіи
вычитанія, мы беремъ сразу отвлеченныя числа и предлагаемъ
дѣтямъ изобразить эти числа на учебномъ пособіи. Не отъ
палочекъ, фруктовъ, учениковъ, карандашей и т. п. мы пе-
реходимъ къ отвлеченнымъ числамъ, а отъ отвлеченнаго числа
переходимъ къ палочкамъ, карандашамъ, яблокамъ и пр. При
этомъ учебное пособіе: палочки, счеты есть способъ изобра-
женія числа, а не способъ его полученія. На это я обращаю
особое вниманіе, такъ какъ въ обученіи въ высшей степени
важно разграничить два пути: способъ полученія числа и спо-
собъ его изображенія. Въ данномъ случаѣ наши палочки не
есть объекты счета, а есть то же самое, что и цифры, т.-е.
они замѣняютъ собою конкретныя счетныя предметы, какъ
это было объяснено въ сложеніи. Здѣсь объ этомъ слѣдуетъ
также сказать, поставивъ для этого рядъ задачъ. Эти задачи мо-
гутъ быть задачи съ содержаніемъ, гдѣ число учениковъ, число
яблокъ и т. п. будетъ замѣнено числомъ палочекъ, и въ от-
влеченномъ видѣ, когда дано просто вычитаніе чиселъ; но
только такихъ, гдѣ въ уменьшаемомъ число десятковъ и число
единицъ соотвѣтственно больше этихъ чиселъ въ вычитаемомъ.
Возьмемъ дальше такой примѣръ: изъ числа 30 отнять
число 8. Представимъ 30 какъ три пучка палочекъ по десятку,
какъ отъ этого числа отнять 8 палочекъ? Очевидно, что одинъ
пучекъ надо развязать и разсыпать; тогда отъ него можно
взять 8 палочекъ. Остатокъ очевиденъ 2 дес. и 2 палочки,
т.-е. 22 палочки. Это же самое показывается на счетахъ, гдѣ
косточка, изображающая десятки раздробляется въ 10 единицъ
и отъ нихъ откидывается 8 единицъ. Потомъ это показывается
на числахъ, гдѣ уменьшеніе десятковъ мы обозначаемъ точкой
30
- 8
22.
Это дѣйствіе надъ числами быть можетъ полезно показать
подробнѣе: 30 есть 3 десятка, отнять отъ 30 число 8, значитъ
отъ 3 десятковъ отнять 8. Возьмемъ одинъ десятокъ и запи-
шемъ число 30 такъ 2 дес. -f 10 единицъ; отним. отъ 10 еди-
ницъ 8 единицъ; получимъ 2 дес. +2 един, или 22 единицы.

Наконецъ положимъ, что намъ нужно отъ 40 отнять 18.
Этотъ случай отличается существенно отъ предыдущихъ тѣмъ,
что здѣсь въ умственномъ счетѣ возможно разное сосчитыва-
ніе, тогда какъ письменно желательно установленіе обычнаго
правила: отнять единицы, а потомъ десятки. Если мы возь-
мемъ палочки, то собственно безразлично, какъ мы будемъ
отнимать, и это безразличіе слѣдуетъ установить, предложивъ
дѣтямъ самимъ отнять отъ 40 палочекъ 18 палочекъ. Здѣсь
могутъ быть предложены самые разнообразные проэкты, напр.
отнимемъ отъ 40 палочекъ 20 палочекъ и потомъ къ остатку
прибавимъ 2; отнимемъ отъ 4 десятковъ одинъ десятокъ, по-
томъ отъ оставшихся 3 десят. отнимемъ 8 единицъ и п. п.
Каждый изъ этихъ способовъ практическаго вычитанія
долженъ быть разсмотрѣнъ, и даже на каждый изъ нихъ я пред-
ложилъ бы рядъ задачъ. Напримѣръ, мы разобрали, положимъ,
при вычитаніи изъ 40 числа 18 такой способъ: отъ 40 отни-
маемъ 20 и къ результату прикладываемъ 2 единицы. Какъ
такимъ пріемомъ отъ 30 отнять 17? Отъ 50 отнять 26? Потомъ
разберемъ другой пріемъ: отъ 40 отнимаемъ 10, останется 30;
отъ 30 отнимаемъ 8, останется 22. Какъ отъ 50 отнять 13?
Отъ 30 отнять 19? Нельзя ли придумать еще какой-нибудь
способъ? Нельзя ли сдѣлать такъ: разложить 40 на 30+10 и
отнять отъ 30 число 10, а отъ 10 число 8? Потомъ всѣ эти
способы можно еще разъ продѣлать на счетахъ, при этомъ
опять остановиться на каждомъ изъ нихъ и особенно на по-
слѣднемъ, который можно записать такъ:
3 дес. + 10
— 1 дес.+ 8
и показать, что такъ очень удобно дѣлать вычитаніе чиселъ,
при чемъ оно обыкновенно записывается короче:
30
- 18
22.
При всемъ этомъ разсужденіи не надо забывать, что наша
цѣль есть выводъ правила вычитанія, поэтому хотя мы не
стѣсняемъ учениковъ считать въ указанныхъ предѣлахъ какъ
имъ удобнѣе, но направляемъ ихъ лишь на письменное про-
изводство вычитанія. Теперь совершенно также слѣдуетъ ра-
зобрать послѣдній случай, когда напримѣръ изъ 42 нужно от-
нять 27.

Послѣ того какъ ученики будутъ болѣе или менѣе сво-
бодно справляться съ этими примѣрами, полезно предложить
имъ рядъ задачъ со скобками, въ родѣ слѣдующихъ:
(60-28) + (32-15) + (43-36).
Эти задачи ученики должны рѣшить письменно, располагая
вычисленія по указанной формѣ, которую предварительно имъ
слѣдуетъ показать на доскѣ.
§ 12. Вычитаніе количествъ
Вспомнимъ, что мы разбираемъ первое значеніе вычитанія,
когда оно обозначаетъ только отнятіе, при чемъ ученики озна-
комились съ правиломъ вычитанія двузначныхъ чиселъ. Теперь
это правило слѣдуетъ приложить къ задачамъ. Задачи необхо-
димо сначала придумать самому учителю, а потомъ предло-
жить, чтобы сами ученики придумали задачу. Вначалѣ эти
задачи должны быть даны исключительно на счетные элементы;
но потомъ необходимо перейти къ величинамъ, при чемъ само
отнятіе полезно произвести фактически или въ видѣ повѣрки
вычисленія или въ видѣ задачи. Напримѣръ, какъ отъ пуда
отнять 12 фунтовъ? На вѣсахъ уравновѣшенъ пудъ песку пу-
довой гирей, надо отсыпать отъ него 12 фунтовъ, какъ это
сдѣлать? Точно также разобрать задачу: отъ фунта отнять 18
лотовъ. Потомъ перейти къ объемамъ.
Здѣсь хорошо познакомить дѣтей съ литромъ, какъ мѣрой
жидкостей, указавъ имъ просто, что очень удобна особая
французская мѣра — литръ, что этотъ литръ дѣлится на 100
равныхъ частей.
Вотъ мы нальемъ въ него воды до сотаго дѣленія, теперь
отольемъ изъ него воду такъ, чтобы отнять 64 дѣленія, сколько
дѣленій мы отняли? Сотое дѣленіе литра называется кубиче-
скимъ сантиметромъ. Сколько куб. сантиметровъ въ стаканѣ?
Сколько останется воды, если мы отольемъ два стакана? Смѣ-
рить емкость бутылки въ куб. сантиметрахъ.
Кромѣ измѣренія вѣса и объема хорошо еще воспользо-
ваться листомъ съ квадратными дюймами, отдѣливъ отъ него
квадратъ въ 100 кв. дюймовъ и отъ этого листа оторвать по-
лоски, сначала въ 90 кв. д., потомъ отъ 90 оторвать 46 кв. д.;
отъ 46 оторвать 39 кв. д., опредѣляя каждый разъ остатки.
Отъ этихъ практическихъ задачъ можно перейти къ вы-
численію со сложными именованными числами, при чемъ каж-

дую задачу рѣшать двояко: въ видѣ непосредственнаго вычи-
танія сложнаго числа и раздробляя его въ меньшія мѣры. Напр.
отъ 5 ф. 17 лот. отнять 3 ф. 14 лот.; отъ 4 саж. 5 фут. отнять
1 саж. 8 фут. и т. п.
§ 13. Сравненіе количества
Сравненіе количествъ отличается отъ сравненія чиселъ
тѣмъ, что пользуясь непосредственнымъ наложеніемъ и взвѣ-
шиваніемъ мы можемъ не знать числовой величины каждаго
количества, а измѣрить только остатокъ. Сравненіе количествъ
ведется по вопросу: на сколько одно изъ нихъ больше другого.
Съ этого вопроса и слѣдуетъ начать обученіе.
Какое число больше 48 или 32? На сколько единицъ 48
больше 32? Придумайте задачи, гдѣ бы встрѣчался этотъ во-
просъ. Вотъ въ 1-мъ классѣ у насъ 52 ученика, а во 2-мъ 48
учениковъ, на сколько учениковъ въ 1-мъ классѣ больше чѣмъ
во 2-мъ?
Вотъ 2 ленты, какъ узнать, которая изъ нихъ длинѣй и
на сколько? Рѣшая эту задачу ученики могутъ придумать раз-
ные способы рѣшенія: 1) можно задачу свести на числа; смѣ-
рить каждую ленту и вычесть полученныя числа. 2) можно на-
ложить одну ленту на другую и измѣрить остатокъ. При этомъ
могутъ быть такіе случаи, которые надо послѣдовательно по-
добрать: та и другая лента мѣряются цѣлымъ числомъ аршинъ;
одна лента мѣряется въ аршинъ, а другая дастъ еще вершки;
ленты не мѣряются въ аршинахъ, но остатокъ можетъ быть
измѣренъ въ вершкахъ.
Отъ мѣръ длины мы переходимъ къ вѣсу. Вотъ тетрадка
и книга, которая изъ нихъ тяжелѣе? Опять та и другая
должны быть заранѣе подобраны такъ, чтобы или каждая из-
мѣрялась цѣлымъ числомъ лотовъ, или—одна давала цѣлое чис-
ло лотовъ, а другая лоты и золотники; наконецъ разность
имѣла цѣлое число лотовъ.
Объемы измѣряются при помощи литра съ дѣленіями. Вотъ
кружка и стаканъ, въ который изъ нихъ больше нальется
воды?
Здѣсь можетъ быть непосредственное измѣреніе; но можно
налить воду въ меньшій сосудъ, перелить ее въ большой и по
смотрѣть, сколько сантиметровъ надо долить.
Здѣсь же, пользуясь мензуркой, можно показать на опытѣ,
какъ измѣряются объемы твердыхъ тѣлъ, погрузимъ ихъ въ
мензурку и опредѣлимъ, на сколько дѣленій подымется въ ней

вода. Такую задачу я считаю вполнѣ возможной; но предва-
рительно надо познакомить учениковъ съ кубическимъ санти-
метромъ; но такъ какъ здѣсь счетъ заходитъ за 100, то можно
или приготовить особую мензурку въ кубическихъ дюймахъ и
линіяхъ или сказать дѣтямъ, что каждое дѣленіе нашей мен-
зурки равно куб. сантиметру.
Введеніе этого вопроса именно здѣсь очень важно, такъ
какъ дастъ необходимый матеріалъ для сравненія и рядъ очень
важныхъ идей, но я не знаю, насколько удобно вводить непо-
нятное названіе.
Всѣ эти упражненія я считаю существенно важнымъ до-
полненіемъ къ числовой теоріи, главное же въ нихъ то, что
мы, сравнивая количества, можемъ не знать ихъ числовой ве-
личины и измѣрить только остатокъ. Это именно и дастъ идею
сравненія количествъ независимо отъ чиселъ. Выразивъ каждое
количество числомъ, мы не отмѣчаемъ разницы между числа-
ми и количествами; ихъ непосредственное сравненія дѣлаетъ
эту разницу ощутимой, оно вводитъ умъ ребенка въ идею
количества и устанавливаетъ связь между самимъ количествомъ
и его числовымъ выраженіемъ.
Вопросъ о сравненіи количествъ можно закончить зада-
чами на больше и меньше, вродѣ слѣдующихъ:
1) Отрѣзано 3 куска веревки: одинъ длиною въ 2 арш.,
другой на 4 верш, больше, а третій на 7 вершковъ меньше
перваго. Какой длины всѣ три куска?
2) Въ трехъ графинахъ налита вода: въ первомъ ея вѣсъ
5 фунтовъ, во второмъ на 17 лотовъ меньше, а въ третьемъ
на 12 лотовъ меньше, чѣмъ первомъ. Сколько вѣситъ вода во
всѣхъ графинахъ?
3) Купленно 4 куска ситцу. За первый кусокъ заплачено
12 руб., за второй на 5 рублей больше, а за третій на 4 рубля
меньше, чѣмъ за первый, а за послѣдній столько, сколько за
первый и третій. Сколько рублей заплачено за всѣ куски?
§ 14. Геометрическія представленія количествъ.
Числовыя представленія количествъ страдаютъ тѣмъ недо-
статкомъ, что они какъ бы рубятъ количество на нѣкоторыя
куски и даютъ вмѣсто непрерывнаго измѣненія прерывистое.
Представленіе количествъ въ видѣ нѣкоторой прямой не со-
держитъ въ себѣ этого недостатка, но за то оно является очень
труднымъ по своей отвлеченности. Чтобы избѣгнуть этой от-
влеченности, можно связать то и другое представленіе одина-

ковостью числа. Для этого нужно взять опредѣленный мас-
штабъ и по числу единицъ взятаго масштаба опредѣлить число
единицъ количества. Но и такое представленіе тоже трудно,
если ученикъ не знакомъ съ прямой линіей, а между тѣмъ въ
начальномъ обученіи весьма важно дать идею о геометриче-
скомъ представленіи количествъ и дать ее возможно близко къ
началу Въ силу этого я не имѣю въ виду вводить учениковъ
здѣсь въ полное представленіе количествъ въ видѣ линій, а
дать имъ примѣръ сравненія длинъ, т. е. познакомить съ пря-
мой линіей. А чтобы задачи не имѣли отвлеченнаго характера,
учениковъ слѣдуетъ познакомить съ новымъ измѣреніемъ въ
сантиметрахъ, просто указавъ имъ эти дѣленія на линейкѣ, и
что ими пользуются портные, когда снимаютъ мѣрку. При
этомъ можно показать ленту, которая носитъ это названіе и
сравнить дѣленія ленты съ дѣленіемъ линейки. Чтобы позна-
комить ихъ съ проведеніемъ линій и съ измѣреніемъ ихъ въ
сантиметрахъ слѣдуетъ показать, какъ нужно проводить пря-
мыя по линейкѣ, отмѣчая концы ихъ буквами, и предложить
рядъ такихъ задачъ: 1) Начертите линію, длиною въ 4 сам. 2)
Начертите линіи, длиной въ 6 см. Концы этихъ линій слѣдуетъ
отмѣтить русскими буквами и записать, что линія АБ = 4 см.,
а линія ВГ = 6 см. Теперь начертите длинную прямую, возь-
мите на ней точку О, и отъ этой точки отложите линію въ 4
см., а потомъ линію въ 6 см. Поставьте въ концѣ букву М;
какой длины будетъ линія ОМ? Начертите еще двѣ линіи; въ
3 см. и въ 5 см.; теперь начертите линію, которая была бы
равна суммѣ этихъ линій? Начертите двѣ линіи въ 8 см. и 6
см. и опредѣлите ихъ разность?
Всѣ эти задачи рѣшаются по линейкѣ, раздѣленной на сан-
тиметры и рѣшаются непосредственнымъ измѣреніемъ. Здѣсь
важно то, что длина имѣетъ направленіе и когда сумма откла-
дывается въ одну сторону, то разность въ сторону противопо-
ложную. При этомъ слѣдуетъ замѣтить, что при отложеніи
слѣдуетъ принять за правило откладывать всегда отъ послѣд-
ней точки, такъ чтобы отсчетъ происходилъ отъ одной и той
же точки. Напримѣръ дана
линія АБ = 10 см., отъ нее
надо отнять длину въ 7 см.,
тогда эту длину мы отклады-
ваемъ отъ точки Б назадъ-
къ точкѣ А и получаемъ остатокъ АВ = 3 см. Здѣсь эти сан-
тиметры пропадаютъ, линія тянется непрерывно й даетъ удоб-
ную аналогію съ непрерывнымъ измѣненіемъ количествъ.
Когда дѣти хорошо освоятся съ новой мѣрой, можно имъ

сказать, что условимся аршинъ изображать длиной въ санти-
метръ. Какъ изобразить сажень? Какъ начертить 2 ар. 8 верш.?
Какъ начертить 5 арш.? 2 саж. 2 арш.? Мы смѣрили двѣ ленты,
въ одной оказалось 8 аршинъ, а въ другой 5 аршинъ, какъ
изобразить длины этихъ лентъ и узнать, на сколько одна длин-
нѣе другой?
На аллеѣ, длиною въ 20 аршинъ, поставлена скамейка на
разстояніи 5 аршинъ отъ одного конца, а другая скамейка на
разстояніи 7 аршинъ отъ другого конца. Опредѣлить разстоя-
ніе между скамейками?
Можно ли принять за сантиметръ сажень? Между двумя
фонарями находится тумба такъ, что она удалена отъ одного
изъ нихъ на 5 саж., а отъ другого на 7 саж. Какъ велико
разстояніе между фонарями?
Можно ли сантиметръ принять за версту? Между двумя де-
ревнями 12 верстъ. Школа поставлена такъ, что она удалена
отъ одной изъ нихъ на 5 верстъ. Сколько верстъ дѣлаетъ еже-
дневно ученикъ, приходя въ школу изъ другой деревни;
Смеряйте въ сантиметрахъ длину и ширину полулиста бу-
маги. Оторвите отъ полулиста кусокъ, длина котораго была
бы равна 25 см., а ширина осталась бы таже. Сколько санти-
метровъ тесемки нужно отрѣзать, чтобы оклеить этотъ кусокъ
со всѣхъ сторонъ? Оторвите отъ полулиста квадратъ, сколько
нужно тесемки, чтобы оклеить его кругомъ?
Какъ нарисовать верхнюю доску стола, если она имѣетъ
5 аршинъ длины и 2 аршина ширины? Смѣряйте полулистъ
бумаги въ дюймахъ, какъ изобразить этотъ полулистъ въ мень-
шемъ видѣ?
Картина имѣетъ въ длину 1 арш. 4 вершк., а въ ширину
12 вершковъ, ее нужно вставить въ рамку. Сколько надо ку-
пить багету для этого, если на каждый уголъ идетъ лишку по
одному вершку?
Рѣшенія всѣхъ этихъ задачъ должны быть сдѣланы черте
жемъ, при чемъ надо догадаться, какъ это лучше всего сдѣ-
лать. Когда задача начерчена ее легко уже разсчитать.
Я здѣсь не думаю вводить знакомства съ фигурами, потому
не упоминаю объ углахъ и думаю, что дѣти естественно бу-
дутъ считать ихъ прямыми. Мнѣ очень хотѣлось бы познако-
мить ихъ со словомъ периметръ, но я совершенно не знаю, на
сколько это слово уяснитъ имъ основной смыслъ задачи. Но,
если это можно сдѣлать, то можно разширить и смыслъ задачи.
Кромѣ того замѣчу, что если брать за масштабъ не санти-
метръ, а англійскій дюйхмъ то онъ дѣлится на 16 частей, тогда
удобно откладывать аршины и вершки. Этимъ можно восполь-

зоваться или замѣнивъ сантиметръ дюймами или кромѣ санти-
метровъ ввести дюймы.
§ 15. Вычитаніе какъ дѣйствіе обратное сложенію.
До сихъ поръ мы разматривали число какъ совокупность
единицъ, количество, какъ кусокъ величины. Надъ этой сово-
купностью единицъ мы производили дѣйствія, прикладывая или
отнимая одну совокупность единицъ отъ другой; совершенно
также оказалось возможнымъ при извѣстныхъ условіяхъ соеди-
нять куски величинъ въ одно цѣлое или разъединять ихъ, отни-
мая отъ одного куска другой. Условія соединенія являются оди-
наковыми съ условіями разъединенія. Теперь мы ставимъ весь
вопросъ о числахъ и количествахъ на совершенно новую точку
зрѣнія. Мы разсматриваемъ каждое число не какъ совокуп-
ность единицъ, а какъ результатъ дѣйствія. Въ этомъ разсмо-
трѣніи есть недоказанное предположеніе, что всякое число мо-
жетъ быть разсматриваемо какъ результатъ дѣйствія, въ дан-
номъ случаѣ сложенія По отношенію къ числамъ отвлеченнаго
ряда такой вопросъ не возбуждаетъ сомнѣній, потому что ясно,
что произвольная группировка единицъ при сложеніи даетъ
намъ право разсматривать каждое число какъ сумму, т. е. какъ
результатъ дѣйствія; но по отношенію къ количествамъ, вообще
говоря, мы такого права не имѣемъ, и, во всякомъ случаѣ, если
мы его получаемъ, то оно должно быть доказано. Указавъ на
это, я не буду въ настоящемъ подвергать весь вопросъ полному
анализу; но укажу на то, что въ нѣкоторыхъ частныхъ слу-
чаяхъ рѣшеніе задачи требуетъ именно этой постановки во-
проса, т. е. необходимости разсмотрѣнія даннаго количества
какъ результата дѣйствія.
Далекій отъ мысли вскрывать передъ дѣтьми даннаго воз-
раста сущность разбираемаго вопроса, я, однако, безусловно
убѣжденъ въ необходимости выяснить имъ новую точку зрѣ-
нія на число. Это выясненіе должно быть дано такъ, чтобы у
нихъ самихъ зародилась мысль объ этой идеѣ, т. е. неуказы-
вая имъ на новую сложную формулировку вопроса, дать рядъ
задачъ, въ которыхъ данныя числа и количества представля-
ютъ собою ясный характеръ суммы.
Эти задачи разбиваются на двѣ категоріи: на задачи гдѣ
употребляются наименованія: сумма, разность, слагаемое, умень-
шаемое, вычитаемое и 2 —на задачи, гдѣ нѣтъ этихъ наиме-
нованій.
Въ данный періодъ обученія я бы не далъ указанныхъ на-

именованіи, оставивъ ихъ или до конца года или до слѣдую-
щаго года. По существу они ничего не даютъ, а ихъ формаль-
ное теоретическое значеніе и удобство рѣчи относятся къ го-
раздо болѣе старшему возрасту. Такимъ образомъ я здѣсь по-
ставилъ бы исключительно практическія задачи, рѣшеніе ко-
торыхъ было бы основано на разсмотрѣніи вычитанія, какъ дѣй-
ствія обратнаго сложенію. Напримѣръ:
1) Въ магазинѣ было куплено двѣ книги, учебникъ гео-
графіи и учебникъ исторіи; за обѣ книги заплачено 1 рубль.
Сколько стоитъ учебникъ географіи, если учебникъ исторіи
стоитъ 65 копеекъ?
2) Въ одномъ пакетѣ находится мука и крупа; этотъ па-
кетъ вѣситъ 2 пуда. Сколько вѣситъ мука, если крупа вѣситъ
38 фунтовъ?
3) Между Москвой и Можайскомъ 100 верстъ. Сколько
верстъ отъ Можайска до Голицына, если отъ Москвы до Го-
лицына 42 версты?
Такія задачи можно осложнить добавочными вычисленіямъ
напримѣръ: Куплено 7 яблокъ по 5 коп. за штуку. Сколько
сдачи надо дать съ 1 рубля?
Такія осложненія я считаю необходимыми; они не пріуро-
чиваютъ задачу къ однообразной формѣ изученія правилъ, а
заносятъ очень важный элементъ разбора содержанія и прі-
учаютъ мало по-малу къ рѣшенію сложныхъ задачъ. Въ суще-
ствующихъ задачникахъ очень рѣдко встрѣчаются комбиниро-
ванныя задачи на два, на три дѣйствія; всѣ онѣ откладыва-
ются до общаго отдѣла смѣшанныхъ задачъ. Между тѣмъ вве-
деніе задачъ на сложеніе и умноженіе; сложеніе, вычитаніе,
умноженіе и т. п. даютъ возможность подойти къ этому труд-
ному отдѣлу и мало по-малу ознакомить учениковъ съ рѣше-
ніемъ задачи.
§ 16. Умноженіе.
Читатель быть можетъ уже замѣтилъ, что въ первомъ годѣ
обученія я особенно подробно остановился на дѣйствіяхъ сло-
женія и вычитанія, тогда какъ умноженіе и дѣленіе разсмо-
трѣны какъ бы вскользь безъ надлежащей полноты. Это же
самое я имѣю въ виду и для второго года обученія, при чемъ
вопросы объ этихъ дѣйствіяхъ будутъ пополнены, но не ис-
черпаны. Все это я считаю существенно важнымъ именно по-
тому, что сложеніе и вычитаніе по своей сущности являются
дѣйствіями вполнѣ доступными, почти вытекающими изъ опыта

жизни, тогда какъ умноженіе и дѣленіе являются продуктомъ
творческихъ силъ человѣка и требуютъ для своего обоснова-
нія не только большаго возраста, но и большаго развитія, а
потому я считаю ихъ непосильными даже для второго года
обученія. Однако, это не значитъ, чтобы проходить молчаніемъ
самый фактъ существованія этихъ дѣйствій, но это значитъ—
не подвергать ихъ той разработкѣ, въ которой они нуждаются.
По этому поводу слѣдуетъ сказать нѣсколько словъ. Педа-
гогическій методъ обученія ариѳметикѣ существенно долженъ
отличаться отъ ея теоретическаго построенія; онъ долженъ от-
личаться по своей основной идеѣ: въ то время, какъ теорети-
ческая ариѳметика стремится обобщить вопросъ, свести все
изложеніе къ нѣсколькимъ основнымъ положеніямъ, педагоги-
ческая ариѳметика (если мнѣ будетъ позволено такъ ее на-
звать) стремится войти въ подробности вопроса, въ его част-
ности, какъ бы расчленить вопросъ, дать уму тотъ матеріалъ,
на которомъ можно видѣть, какъ вопросъ возникъ и какъ его
можно свести къ нѣкоторымъ общимъ положеніямъ. Если въ
теоретической ариѳметикѣ отвлеченное число входитъ подъ
условіемъ нѣкотораго его опредѣленія, то въ педагогической
ариѳметикѣ нужно показать, какъ можетъ возникнуть то или
иное опредѣленіе. Здѣсь на первое мѣсто становится матеріалъ,
отвлекаясь отъ котораго, изучая который мы и получаемъ опре-
дѣленіе отвлеченнаго числа. Эта мысль будетъ нѣсколько
понятнѣе, если мы возьмемъ дѣйствія. Теоретическая ариѳметика
даетъ опредѣленіе дѣйствія и, руководствуясь этимъ
опредѣленіемъ, старается вывести и обосновать, какъ произ-
водство дѣйствія такъ и его приложенія. Педагогическая ариѳметика
не можетъ итти по этому пути; она должна разсмотрѣть
тѣ вопросы, гдѣ необходимо приложить данное дѣйствіе, изу-
чить его производство и такимъ путемъ подойти къ его опредѣ-
ленію. Можно въ грубыхъ чертахъ сказать, что способы разсуж-
денія теоретической ариѳметики есть дедукція, а педагогической
ариѳметики—индукція. Однако и та и другая должны имѣть об-
щія основныя положенія, которыя содержатся въ философіи ма-
тематики, другими словами: методъ разработки не долженъ
противорѣчить методу вывода, но пополнять его, давать для
него точки опоры въ конкретныхъ представленіяхъ дѣйстви-
тельности.
При изученіи сложенія и вычитанія мы находимся въ той
области, гдѣ вопросы безспорны и если теоретическое построе-
ніе отличается отъ педагогическаго, то болѣе въ языкѣ и фор-
мулировкахъ; совсѣмъ иное дѣло, когда мы переходимъ къ умно-
женію и дѣленію. Здѣсь есть спорные вопросы, на которые на-

ука не установила еще исключительно своей опредѣленной
точки зрѣнія, а потому и педагогическая разработка ихъ ста-
новится очень трудной.
Къ числу такихъ спорныхъ вопросовъ относится и вопросъ
объ умноженіи именованныхъ чиселъ. До сихъ поръ всѣ мате-
матики очень опредѣленно настаивали на томъ, что такого
умноженія быть не можетъ: множитель долженъ быть числомъ
отвлеченнымъ. Противъ такого узкаго пониманія умноженія
говорило слишкомъ многое въ области практическаго прило-
женія математики и мало помалу заставило нѣкоторыхъ при-
знать необходимость новаго опредѣленія умноженія, т. е. та-
кого, гдѣ было бы возможно и умноженіе именованнаго числа
на именованное. Такъ въ „Энциклопедіи математики“, составлен-
ной Веберомъ и Вельштейномъ находится слѣдующее опредѣ-
леніе, данное г. Веберомъ: „произведеніе именованныхъ чиселъ
представляетъ собою именованное число нѣкотораго новаго
комплекса, единица котораго опредѣляется какъ произведеніе
единицъ умножаемыхъ величинъ. Такъ, напримѣръ, произведе-
ніе двухъ мѣръ длины есть мѣра поверхности, произведеніе
трехъ мѣръ длины есть мѣра объема“ *).
Такое нововведеніе представляетъ собою очень важное пе-
дагогическое значеніе, такъ какъ позволяетъ гораздо проще
разсмотрѣть вопросъ объ измѣреніи площадей; но оно захо-
дитъ гораздо глубже въ педагогическую практику, которая въ
настоящее время еще не можетъ видѣть всѣхъ благодѣтель-
ныхъ послѣдствій новой точки зрѣнія. Чтобы выяснить это зна-
ченіе новаго построенія понятія объ умноженіи, слѣдуетъ вспо-
мнить всѣ разсужденія объ однородныхъ и разнородныхъ коли-
чествахъ и представить себѣ для каждаго изъ нихъ свой соб-
ственный рядъ чиселъ. Тогда можно сказать, что умноженіе
можетъ имѣть нѣсколько значеній. Если мы будемъ перехо-
дить внутри одного комплекса, то умноженіе явится сложені-
емъ равныхъ слогаемыхъ; но если мы будемъ соединять числа
различныхъ комплексовъ, то умноженіе будетъ самостоятель-
нымъ дѣйствіемъ, дающимъ числа новаго сложнаго комплекса.
Такъ умноженіе длины на ширину даетъ площадь, скорости
на время—пространство, массы на ускореніе—величину силъ.
Итакъ, теоретически мы можемъ принять, что въ комплексѣ
отвлеченныхъ чиселъ дѣйствіе умноженія будетъ обусловлено
опредѣленіемъ Коши: умноженіе есть дѣйствіе, посредствомъ
*) Н. Weber и J. Wellstein „Энциклопедія элемемтарной математики,
руководство для преподающихъ и изучающихъ элементарную математику“.
Пер. съ нѣмецкаго подъ ред. Кагана т. 1. Выпускъ I, Одесса 1906 стр. 111.

котораго изъ множимаго составляется новое число, какъ мно-
житель составленъ изъ положительной единицы. Въ комплексѣ
отвлеченныхъ чиселъ множитель составленъ изъ единицы только
однимъ манеромъ: единица взята слогаемымъ нѣсколько разъ,
слѣдовательно и множимое мы должны взять слогаемымъ столько
же разъ, т. е. умноженіе есть сложеніе равныхъ слагаемыхъ.
Но такъ какъ въ этомъ комплексѣ единицы множимаго ни чѣмъ
не отличаются отъ единицъ множителя, такъ какъ оба эти
числа суть отвлеченныя, т. е. существенно тожественныя, а по-
тому для нихъ легко доказываются законы перемѣстительности
и сочетательности; эти законы неразрывно связываются съ про-
изведеніемъ и составляютъ его неотъемлемое свойство.
Переходя отъ комплекса отвлеченныхъ чиселъ въ область
комплексовъ чиселъ именованныхъ, мы находимъ, что здѣсь
правило Коши можетъ имѣть двоякій смыслъ: 1) въ области
одного и того же комплекса мы можемъ разсматривать умно-
женіе какъ сложеніе равныхъ слагаемыхъ, но къ полученному
произведенію будетъ не приложимъ законъ перемѣстительно-
сти. Въ с. д., если намъ нужно 5 фунтовъ повторить слагае-
мымъ 3 раза, то это все равно, что 5 фунт. Х3, что дастъ 15
фунтовъ. Произведеніе находится по правилу Копіи, однако съ
перестановкой множителей теряется логическій смыслъ вопроса:
умножить 3 раза на 5 фунтовъ —не имѣетъ смысла. Нѣкото-
рые говорятъ, что и въ этомъ случаѣ законъ перемѣститель-
ности можетъ имѣть мѣсто, если мы измѣнимъ само опредѣ-
леніе такъ: Умножить, это значитъ поставить множителя вмѣ-
сто каждой единицы множимаго. Но, одно изъ двухъ, или мы
должны дать опредѣленіе и распространить его на всѣ случаи
умноженія, т. е. показать, что каждый случай содержится въ
этомъ опредѣленіи и логически изъ него вытекаетъ, или мы
должны отказаться отъ всякаго опредѣленія, если приходится
видоизмѣнять его для каждаго отдѣльнаго случая. Указанное
измѣненіе опредѣленія Копіи все равно не обнимаетъ собою
перваго случая 5 фун. Х3 и по существу представляетъ только
перестановку идеи множимаго на множителя и обратно. А по-
тому я думаю гораздо правильнѣе взять въ основу опредѣле-
нія Копіи и признать, что въ случаѣ именованнаго комплекса
законъ перемѣстительности не примѣнимъ.
Во 2), какъ я уже указалъ при объясненіи умноженія въ
первомъ годѣ обученія, опредѣленіе Копіи можетъ быть рас-
пространено и на именованные комплексы рязличныхъ наиме-
нованій. Въ этомъ случаѣ выраженіе „какъ множитель соста-
вленъ изъ единицы“1 мы должны понимать, что множитель есть
отношеніе именованнаго числа къ единицѣ того же наимено-

ванія, и согласно этому изъ множимаго составить новое число,
которое относилось бы къ множимому, какъ множитель отно-
сится къ единицѣ того же наименованія *). При такомъ пони-
маніи умноженія, я разсматриваю его какъ самостоятельное
дѣйствіе, которое символически выражаетъ мысль „больше въ
нѣсколько разъ“. Положимъ, что намъ нужно узнать, сколько
вѣсятъ 5 стакановъ песку, если каждый вѣситъ 2 фунта? Мы
можемъ разсуждать такъ: одинъ стаканъ песку вѣситъ 2 фунта,
а 5 стакановъ будутъ вѣсить въ 5 разъ больше, т. е. 2 фун.Х
X 5; но это разсужденіе скрываетъ болѣе подробный ходъ мы-
сли., по существу мы говоримъ такъ: 5 стакановъ больше 1
стакана въ 5 разъ, а такъ какъ вѣсъ и объемъ суть величины
прямо пропорціональные, то вѣсъ 5 стакановъ будетъ больше
вѣса 1 стакана тоже въ 5 разъ; другими словами здѣсь 5 есть
знаменатель отношенія и все дѣйствіе есть слѣдствіе свойствъ
пропорціи x/2=5/1 Въ комплексѣ измѣреній объемовъ песку ста-
канами мы находимъ число 5 и беремъ его отношеніе къ еди-
ницѣ; въ комплексѣ вѣсовъ мы должны найти число, которое
относилось бы къ 2 фунтамъ также, какъ 5 ст. : 1 ст. Такое
разсужденіе я считаю содержащимся въ опредѣленіи Копіи, а
потому оно разспространяется и на умноженіи именованныхъ
чиселъ.
Законъ перемѣстительности здѣсь имѣетъ мѣсто; но его
обоснованіе вытекаетъ изъ свойства пропорціи. Оставляя вы-
ясненіе этого вопроса до разсмотрѣнія отношеній, я укажу
лишь на то, что полученную пропорціи) мы можемъ понимать
и въ такомъ виды x фунт. / 5 стак. = 2 фунт. / 1 стак. и прочитать ее такъ. От-
ношеніе вѣса песку къ его объему есть величина постоян-
ная. Взявъ же произведеніе крайнихъ и среднихъ, получимъ
х фунт. X 1 стак. =5 стак. X 2 фунт.; или х. 1 (фунт., стак.) =
= 5X2 (фунт. стак.). Изъ этихъ преобразованій очевидно, что
*) Такое опредѣленіе въ русской литературѣ дано академикомъ Гурье-
вымъ въ его книгѣ „Наука исчисленія. Кн. I, содержащая основанія ариѳ-
метики“ Спб. 1805 г. Приводя это опредѣленіе онъ говоритъ въ примѣч.:
„Слово умноженіе собственно принадлежитъ только къ умноженію на цѣ-
лыя числа, когда сыскивается величина во столько кратъ большая множи-
мой, во сколько множащее число больше единицы; но за недостаткомъ
приличнѣйшаго слова смыслъ онаго распространили и вообще къ нахожде-
нію величины, которая бы такъ относилась къ множимой, какъ множащая
къ единицѣ: и симъ образомъ не только, какъ то замѣчаетъ великій Нью-
тонъ въ своей Универсальной Ариѳметикѣ, умноженіе можетъ быть про-
изводимо отвлеченными числами, но также и самыми непрерывными вели-
чинами, какъ-то линіями, поверхностями, движеніями, тяжестями и проч.
(стр. 13).

законъ перемѣстительности сохраняется. Однако, придавъ но-
вое толкованіе опредѣленію умноженія, мы вошли въ новую
область, которая не содержится ни въ сложеніи ни въ вычи-
таніи, т. е. мы получаемъ новое дѣйствіе, имѣющее совершенно
новый смыслъ. Въ силу этого я думаю, что не посвящая дѣтей
во всѣ эти теоретическія тонкости, просто сказать, что сло-
весное выраженіе идеи „больше въ нѣсколько разъ“ матема-
тически выражется дѣйствіемъ умноженія, но это умноженіе
имѣетъ собственный смыслъ и собственное значеніе; это не есть
сложеніе равныхъ слагаемыхъ, а есть увеличеніе числа въ нѣ-
сколько разъ.
При помощи указанныхъ преобразованій мы могли бы итти
дальше и показать умноженіе именованнаго числа на имено-
ванное въ случаѣ образованія новыхъ единицъ. Такъ, напри-
мѣръ для площади мы можемъ составить пропорцію:
площадь длина ширина
кв. единицъ ед. длин. “ ед. шир.
Однако въ настоящее время этотъ вопросъ заставилъ бы
насъ коснуться болѣе подробно свойствъ отношеній, и я его
пока оставлю, но разсмотрю случай измѣренія площадей какъ
новый случай умноженія, не содержащійся въ опредѣленіи Коши.
Это можно сдѣлать, руководствуясь опредѣленіемъ, дан-
нымъ г. Веберомъ, которое гласитъ: „произведеніе именован-
ныхъ чиселъ представляетъ собою число нѣкотораго новаго
комплекса, единица котораго опредѣляется какъ произведеніе
единицъ умножаемыхъ величинъ“. Приложимъ теперь это опре-
дѣленіе къ вычисленію площадей, которое одно пока намъ и
нужно. Здѣсь мы имѣемъ два комплекса: длина и ширина. Эти
комплексы не зависимы другъ отъ друга и могутъ быть данные
въ разныхъ единицахъ. Такъ какъ площадь мы измѣряемъ въ
квадратахъ, но прежде чѣмъ составить новый комплексъ, мы
должны и тотъ и другой данный намъ комплексъ выразить въ
одной и той же единицѣ; только тогда искомая площадь мо-
жетъ быть выражена въ квадратныхъ единицахъ.
Если намъ дано, что длина прямоугольника 2 аршина, а ши-
рина его 5 вершковъ, то мы предварительно аршины обращаемъ
въ вершки, находимъ 32 вершка, которыя и умножаемъ на 5, по-
лучаемъ 160 кв. вершковъ. Однако такой переходъ необходимъ
только при условіи, чтобы площадь измѣрять квадратными мѣ-
рами; если мы это условіе выбросимъ и будемъ измѣрять пло-
щадь прямоугольниками, то новый комплексъ будетъ соста-
вленъ изъ единицъ (аршины X вершки) и тогда искомая пло-
щадь будетъ равна 10 (аршины X вершки).

Это указаніе мнѣ необходимо для того, чтобы ясно пока-
зать что длина и ширина суть различные комплексы, не зави-
симые другъ отъ друга, хотя и выражаются въ одинаковыхъ
линейныхъ единицахъ.
Итакъ, въ разсматриваемомъ случаѣ мы составляемъ совер-
шенно новый комплексъ, новыхъ величинъ—площадей, за еди-
ницу мѣръ въ которомъ принимаемъ квадратную единицу. Эту
именно мысль я и думаю развить при разсмотрѣніи умноженія
именованныхъ чиселъ, съ котораго и начнемъ новое изученіе
этого дѣйствія.
§ 17. Измѣреніе площадей прямоугольникъ въ квадратныхъ
единицахъ.
Возьмемъ листъ съ квадратными дюймами и условимся на-
зывать линіи, идущія слѣва на право длиною, а линіи, идущія
сверху внизъ шириною. Укажите, гдѣ будетъ на классной до-
скѣ длина и гдѣ ширина? Смѣряйте длину и ширину стола.
Оторвите полоску, имѣющую 3 дюйма ширины и два дюйма
длины, сколько въ ней квадратныхъ дюймовъ. Оторвите по-
лоску въ 3 дюйма длиной и 2 шириной, сколько здѣсь квад-
ратныхъ дюймовъ? Равны ли эти полоски? Какъ это доказать?
Какой выводъ можно сдѣлать изъ ихъ равенства? Повѣримъ
то же самое на полоскѣ въ 4 дюйма длиной и 3 дюйма шири-
ной; въ 5 дюймовъ длиной и 3 дюйма шириной. Вырѣжемъ изъ
цвѣтной бумаги полоски этой величины,-все ли равно, какъ
накладывать шаблонъ, или нѣтъ? Нельзя ли вырѣзать цвѣтную
полоску, не накладывая на нее бѣлый шаблонъ? Какъ это можно
сдѣлать? Сколько квадратныхъ дюймовъ будетъ содержать цвѣт-
ная полоска въ 6 дюймовъ длины и 4 дюйма ширины? Размѣры
этихъ полосокъ называются площадью. Опредѣлите площадь
пола въ кв. саженяхъ? Площадь классной доски въ кв. арши-
нахъ, площадь тетради въ вершкахъ. Сколько квадратныхъ
аршинъ въ квадр. сажени? Сколько въ ней кв. футовъ? Сколько
кв. вершковъ въ кв. четверти? На доскѣ наклеенъ квадратъ,
сколько въ немъ квадратныхъ футовъ? Размѣры квадрата могутъ
мѣняться, такъ чтобы по нимъ можно было сосчитать квадраты
чиселъ 3X3; 4X4; 5X5; 6X6; 7X7; 8X8 и 9X9. Съ за-
поминанія этихъ чиселъ можно начать изученіе таблицы умно-
женія, мѣняя узоръ цвѣтныхъ квадратовъ, можно легко до-
биться не скучнаго повторенія, которое необходимо при этомъ
запоминаніи.
Послѣ того, какъ дѣти достаточно освоятся съ величиной

квадратовъ однозначныхъ чиселъ, можно возобновить въ ихъ
памяти сумму натуральнаго ряда нечетныхъ чиселъ, о которой
была рѣчь въ первомъ годѣ обученія, но разширивъ ее дальше,
а именно возьмемъ рядъ квадратовъ, состоящихъ изъ послѣ-
довательнаго числа клѣтокъ, при чемъ заштрихованныя клѣтки
лучше сдѣлать цвѣтными изъ разныхъ цвѣтовъ, тогда мы по-
лучимъ слѣдующій рядъ суммъ:
1+3 = 4.
14-3 + 5 = 9.
1+3 + 5 + 7 = 16.
1 +3 + 5 + 7 + 9 = 25.
и т. д. до
1+3 + 54-7-f 9 + 11+13+15+17 = 81.
Теперь возьмемъ листъ бумаги въ видѣ квадрата въ 81 кв.
дюймъ, поставимъ справа въ нижнемъ квадратѣ это число 81
и наклеимъ на него новую полоску въ 9 дюймовъ ширины и
8 дюймовъ длины, въ концѣ ея справа на нижнемъ квадратѣ
напишемъ 72; наклеимъ еще полоску въ 8 дюймовъ ширины и
9 длины, тогда въ концѣ ея будетъ стоять то же число 72, но
оно придется подъ 81; потомъ наклеить еще двѣ полоски одну
въ 7 дюймовъ длины и 9 ширины, а другую въ 9 ширины и

7 длины и т. д. Продолжая наклеивать мы получимъ квадратъ,
въ которомъ будутъ записаны произведенія всѣхъ однознач-
ныхъ чиселъ, при чемъ каждое дастъ площадь опредѣленныхъ
размѣровъ.
Все это дастъ намъ ту таблицу, которую мы составили
для отвлеченныхъ чиселъ. Это обстоятельство позволяетъ при-
ложить правило умноженія чиселъ къ умноженію количествъ,
т. е. и то, и другое можетъ быть выполнено одинаково, хотя
внутренній смыслъ будетъ разный.
§ 18. Умноженіе однозначнаго числа на однозначное.
Въ предыдущемъ изложеніи умноженія мы пришли къ вы-
воду, что умноженіе чиселъ и нахожденіе новыхъ комплексовъ
представляется тожественнымъ по формѣ вычисленій; они раз-
личаются только по сущности вопроса. Въ § 9 мы говорили о
сложеніи равныхъ слагаемыхъ, въ § 17 —объ измѣреніи площа-
дей. Въ результатѣ мы видимъ, что измѣреніе площадей мо-
жетъ быть выражено какъ произведеніе чиселъ. Это обстоя-
тельство позволяетъ намъ методически познакомить дѣтей, или,
лучше сказать, сосредоточить ихъ вниманіе на произведеніи
чиселъ и пользоваться методомъ этого вычисленія какъ посо-
біемъ при изученіи произведеній количествъ. Здѣсь мы встрѣ-
чаемся съ уже знакомымъ вопросомъ о перемноженіи однознач-
ныхъ чиселъ, т. е. о запоминаніи таблицы умноженія. Я уже
говорилъ, что я противъ запоминанія этой таблицы и предла-
гаю писать ее или пользоваться стѣнной таблицей при рѣше-
ніи задачъ. Составъ таблицы достаточно выясненъ, а потому
задачи могуть носить тотъ самый характеръ, о которомъ я го-
ворилъ въ § 17. Здѣсь должны быть комбинаціи умноженія со
сложеніемъ, умноженія съ вычитаніемъ, и каждая задача
должна быть записана формулой рѣшенія. Примѣры задачъ я
приводить не буду: они ясны сами по себѣ и ихъ достаточно
можно найти въ предыдущемъ. Главное вниманіе, повторяю,
должно быть сосредоточено на запоминаніи произведеній, а по-
тому и всѣ упражненія должны быть такъ подобраны, чтобы
облегчить это запоминаніе, а для этого полезно давать наибо-
лѣе часто особенно трудно запоминаемыя произведенія.

§ 19. Умноженіе двузначнаго числа на однозначное.
Выяснивъ общій характеръ дѣйствія, мы переходимъ къ
выводу правила умноженія двузначнаго числа на однозначное,
разсматривая это умноженіе., какъ сложеніе равныхъ слагае-
мыхъ. При этомъ я предложилъ бы узаконить запись умноже-
нія въ горизонтальной строкѣ, напр 13X5, затѣмъ само дѣй-
ствіе расположить такъ
13X5
65.
Привычка къ такой записи дастъ сбереженіе мѣста, удоб-
ства всегда сосчитывать умножая большее число на меньшее
и много другихъ практическихъ удобствъ. Само объясненіе
можно вести какъ обычно. Что значитъ 13X5? Отв. это зна-
читъ взять 13 слагаемымъ 5 разъ. Напишите это
13 + 13 + 13+ 13 + 13
Какъ мы будемъ производить это сложеніе? Отв. Надо сна-
чала сложить 3 пять разъ, что можно сдѣлать по таблицѣ
умноженія и будетъ 15, мы говоримъ 5 разъ 3 будетъ 15 и пи-
шемъ 5, а одинъ десятокъ подписываемъ надъ множимымъ,
чтобы потомъ его приложить къ десяткамъ. Затѣмъ говоримъ:
5 разъ одинъ десятокъ будетъ 5 десятковъ, да еще одинъ,
всего будетъ 6 десятковъ, которые и записываемъ.
Здѣсь необходимо сдѣлать слѣдующія замѣчанія; во 1) мы
въ предѣлахъ счета можемъ умножать небольшое число дву-
значныхъ чиселъ на небольшія множители. Наше вычисленіе
не можетъ превосходить 50 для множимаго, когда множитель
будетъ не болѣе 2, т. е. предѣлъ будетъ 33 X 3; съ другой сто-
роны мы при большомъ множителѣ можемъ брать только 12X8.
Это обстоятельство очень важно въ томъ отношеніи, что именно
въ этихъ предѣлахъ и хорошо поупражнять дѣтей въ умноже-
нии, чтобы они легче освоились съ таблицей умноженія и съ
технической стороной производства дѣйствія. При чемъ я на
первое мѣсто выдвинулъ бы задачи со скобками, въ которыхъ
таблица умноженія шла бы въ нормальномъ порядкѣ, напр.
12X2 + 13X2 + 14X2 =
II ХЗ + 22X3+ 13X3=
10X2 + 13X3 + 16X2-

Потомъ на 4, потомъ на 5; далѣе шли бы задачи болѣе
сложныя
17X2 + 14X5 =
и т. д.
Эти задачи со скобками, будучи, вообще говоря, довольно
скучны, могутъ быть сдѣланы интересными, если предложить
дѣтямъ придумать задачу, которая рѣшалась бы по написан-
ной формулѣ. На этомъ слѣдуетъ остановиться нѣсколько по-
дробнѣе. Въ первомъ годѣ обученія я рекомендовалъ не вы-
числять задачу, а указать дѣтямъ, что рѣшеніе всякой задачи
можетъ быть выражено нѣкоторой формулой, а уже эта фор-
мула потомъ вычисляется. Тотъ же пріемъ я совѣтовалъ бы
сохранить и во второй годъ обученія; при этомъ самый пріемъ
гораздо болѣе усвоивается и осмысливается, если будетъ со-
провождаться обратнымъ упражненіемъ: по данной формулѣ
придумать задачу. Чтобы это было удобно сдѣлать, сама фор-
мула не должна быть сложной, т. е. содержать не болѣе трехъ
алгебраичныхъ членовъ. При такомъ способѣ обученія словес-
ное выраженіе задачи и ея символическое выраженіе при по-
мощи цифръ и знаковъ соединяются въ одно цѣлое, и умъ ре-
бенка непосредственно наталкивается на идеи формулъ, обоб-
щающихъ однородный текстъ различныхъ задачъ. Мы подхо-
димъ къ типамъ, но не къ типамъ рѣшенія и запоминанія, а
къ типамъ умственнаго процесса, который составляетъ нѣко-
торое логическое открытіе, подобно тому, какъ ученый обоб-
щаетъ классъ однородныхъ явленій и выдѣляетъ его въ особую
рубрику.
По поводу вычисленія формулъ слѣдуетъ сдѣлать еще одно
замѣчаніе. Есть суммы и есть произведенія, числовая величина
которыхъ удобно запоминаема, и есть такія суммы и такія
произведенія, которыя запоминаются съ трудомъ. Это свойство
ума индивидуально различно, т. е. есть люди, хорошо запоми-
нающіе одно, и есть такіе, которые хорошо запоминаютъ дру-
гое. Вслѣдствіе этого хорошо произвести въ классѣ психоло-
гическое изслѣдованіе и отмѣтить: во 1) тѣ суммы и тѣ про-
изведенія, которыя трудны или для всѣхъ, или для большин-
ства; во 2) тѣ; которыя трудны для нѣкоторыхъ; отмѣтивъ это,
слѣдуетъ такъ расположить матеріалъ для вычисленія, чтобы
трудное вычисленіе попадалось возможно рѣже: одинъ, много
два раза во время урока, а легкія вычисленія просто запоми-
нались бы въ ихъ исключительномъ видѣ. Когда эти вычисле-
нія очень хорошо запомнятся, то можно вводить и болѣе труд-
ныя, тогда ихъ усвоеніе будетъ много легче.

Это первое замѣчаніе, а второе состоитъ въ томъ, что
здѣсь, именно въ этотъ моментъ обученія необходимо позна-
комить дѣтей съ наименованіями: сумма, слагаемыя, множимое,
множитель и произведеніе, не затрагивая вычитанія. Эти упра-
жненія можно вести въ ихъ словесной формулировкѣ, а можно
сказать: „числа, данныя для сложенія, называются слагаемыми,
а число, которое получается при сложеніи, называется суммою“.
Это опредѣленіе дѣти должны запомнить и выяснить на рядѣ
примѣровъ. Когда это будетъ достаточно усвоено, то имъ можно
предложить рядъ задачъ: сумму чиселъ 15, 13, 12 помножить
на 4, какъ это записать? Прочтите выраженіе (7 + 2 + 18) × 3.
Покончивъ съ сложеніемъ, можно дать опредѣленія умноже-
нія. Множимое есть то число, которое умножается, множитель,
на которое умножается, а число которое получается при умно-
женіи, называется произведеніемъ. Множимое всегда пишется
впереди множителя, а произведеніе подъ чертой. Какъ запи-
сать задачу: произведеніе чиселъ 5 и 8 сложить съ 25? Произ-
веденіе чиселъ 7 и 9 сложить съ произведеніемъ 5 на 4. Сумму
числъ 13 и 28 помножить на 3. Сумму чиселъ 5 и 7 помно-
жить на сумму чиселъ 5 и 2. Какъ прочитать выраженіе 3 ×
× 4 + 15 × 3? Какъ прочитать 3 × 9 + 20? Составить задачи къ
этимъ формуламъ?
Здѣсь мнѣ могутъ возразить, что указанныя мною опре-
дѣленія могутъ повести къ неясности мысли, и что лучше было
бы множимое опредѣлять какъ число, которое берется слагае-
мымъ, а множитель число, показывающее, сколько разъ надо
множимое взять слагаемымъ. Однако, я съ этимъ не согласенъ
и думаю, что указанный мною методъ опредѣляетъ мѣсто мно-
жимаго и множителя, а это дастъ возможность въ будущемъ
именно уяснить многіе вопросы. Кромѣ того, съ моей точки
зрѣнія, умноженіе есть дѣйствіе самостоятельное, въ которомъ
множимое и множитель имѣютъ опредѣленный смыслъ. Этотъ
смыслъ опять таки уяснится, если надъ множимымъ мы бу-
демъ разумѣть число умножаемое, а подъ множителемъ — число
множащее.
§ 20. Кратныя количествъ. Раздробленіе.
Обыкновенно принято въ курсахъ ариѳметики проходить
умноженіе сложнаго именованнаго числа на отвлеченное, какъ
особое дѣйствіе. Въ теоретическомъ построеніи курса такое
указаніе, вообще говоря, логически справедливо и дастъ нѣ-
которую индивидуальность въ вычисленіи; но оно употребля-

ется только тогда, когда проходится этотъ отдѣлъ, а когда от-
дѣлъ объ умноженіи заканчивается, то ни учитель, ни ученики
никогда уже больше не пользуются этимъ пріемомъ. Вотъ по-
чему я считалъ бы совершеннно лишнимъ и проходить то, что
органически совершенно не нужно. Итакъ, я предлагаю совер-
шенно исключить отдѣлъ умноженія сложнаго именованнаго
числа на отвлечнныя, а когда это будетъ нужно, то раздро-
бить именованное число въ болѣе мелкія мѣры и произвести
умноженіе.
Впослѣдствіи въ начальномъ курсѣ я введу дроби и по-
кажу, что то же умноженіе можно сдѣлать проще при помощи
дробей. Вопросъ о раздробленіи тѣсно примыкаетъ къ разсма-
триваемому моменту обученія, и хотя предѣлъ вычисленія не
великъ, хотя дѣти изъ предыдущаго хорошо знаютъ, какъ это
сдѣлать, тѣмъ не менѣе полезно здѣсь поставить рядъ задачъ
въ родѣ слѣдующихъ (5 фут. 3 дюйм.)ХЗ; (2 пуд. 6 ф.)Х2 и т. п.
Всѣмъ этимъ мы находимъ только числа кратныя даннымъ,
т. е. разсматриваемъ только одинъ случай умноженія коли-
чествъ; но я уже оговорился, что вопросъ объ умноженіи я
считаю болѣе серьезнымъ чѣмъ то, что доступно дѣтямъ въ
этомъ возрастѣ.
§ 24. Дѣленіе двузначнаго числа на число однозначное.
Дѣленіе двузначнаго числа на однозначное производится
по таблицѣ умноженія слѣдующимъ образомъ. Положимъ, что
намъ нужно 36 :4, мы въ верхнемъ горизонтальномъ ряду
ищемъ дѣлителя 4 и, идя внизъ по этому столбцу, отыскива-
емъ число 36, по этой строкѣ идемъ на лѣво и находимъ 9.
Итогъ 36 : 4 = 9.
Это правило дѣленія всецѣло обусловливается свойствомъ,
что дѣленіе обратно умноженію. Раздѣлить 36 на 4 значитъ
найти число, которое будучи умножено на 4 дастъ 36; такое
число есть 9.
Но изъ этого опредѣленія необходимо слѣдуетъ вопросъ,
будетъ ли дѣленіе обратно всѣмъ 3-мъ случаямъ умноженія
или только одному изъ нихъ? Во всякомъ умноженіи мы имѣ-
емъ множимое, множитель и произведеніе, причемъ множимое
не измѣняетъ своего характера, множитель можетъ показывать
или число слагаемыхъ, или знаменателя отношенія, или нѣко-
торое новое именованное число. Произведеніе дастъ въ пер-
выхъ двухъ случаяхъ число одного наименованія съ множи-
мымъ, а въ третьемъ число новаго комплекса. Очевидно, что

и дѣленіе должно имѣть обратные оттѣнки, но кромѣ того въ
немъ получается еще новое свойство, которое вытекаетъ изъ
того, что за дѣлитель мы можемъ принять какъ множимое,
такъ и множителя. Все это дѣлаетъ теорію дѣленія очень слож-
ной. Въ данномъ мѣстѣ курса я не буду ее разсматривать во
всемъ объемѣ и укажу лишь на слѣдующее. Въ первомъ годѣ
обученія я разобралъ первый случай, а именно, когда дѣлимое
есть произведеніе, полученное отъ сложенія равныхъ слагае-
мыхъ я указалъ, что въ этомъ случаѣ мы получаемъ два во-
проса, которые характеризуются словами: дѣленіе на части
и дѣленіе по содержанію. Съ повторенія этого объясненія я бы
и началъ вопросъ о дѣленіи во 2-й годъ обученія. Здѣсь не-
обходимо условіе, на которое нужно особенно настойчиво ука-
зать ученикамъ, что дѣленіе должно быть произведено по ровну,
при чемъ намъ дано общее количество, и число частей; нужно
узнать, какъ велика каждая часть.
Можно ли 20 разноцвѣтныхъ карандашей раздѣлить по
ровну между 5-ю мальчиками? Почему этого нельзя сдѣлать?
Какому условію должны удовлетворять цвѣта, чтобы это было
возможно? Если бы карандаши были одноцвѣтные, то можно
это сдѣлать? Сколько карандашей получитъ каждый? Какъ обо-
значить это дѣйствіе? (20/5) Почему такъ, а не 20 : 5? (Потому
что здѣсь дѣленіе на части). Какъ можно такъ назвать 4 ка-
рандаша по отношенію къ 20 карандашамъ? (пятая часть).
2) Раздѣлить пудъ на 5 равныхъ частей? Какъ можно назвать
иначе 8 фунтовъ? (пятая часть пуда). Все ли равно сказать:
раздѣлить на 6 равныхъ частей или найти 1/6 часть? Чему
равна 1/7 часть сажени? Сколько дюймовъ будетъ въ 1/4 Фута?
Раздѣлить 4 сажени на 3 равныя части? Въ какихъ мѣрахъ
это возможно сдѣлать?
Такимъ образомъ дѣленіе на части насъ необходимо при-
водить къ дробямъ, а эти дроби должны быть здѣсь указаны
и данъ рядъ задачъ на нахожденіе части цѣлаго.
Слѣдуетъ особо отмѣтить, что при этомъ дѣйствіи возмо-
женъ остатокъ и объяснить, какое значеніе будетъ имѣть этотъ
остатокъ. Это можно сдѣлать на рядѣ задачъ такого рода.
Нужно раздать 27 листовъ бумаги 5 ученикамъ поровну, сколько
получитъ каждый? Рѣшая задачу, мы находимъ, что каждый
получитъ по 4 листа; но 3 листа остается; ихъ тоже можно
раздѣлить, не въ цѣломъ видѣ, а по полулистамъ.
Сюда же относятся задачи и такого содержанія: 7-ми маль-
чикамъ роздали 51 копейку, сколько дали каждому?
Основнымъ признакомъ задачъ этого рода будетъ дѣленіе
на равныя части и этимъ должно исчерпываться ихъ содержа-

ніе, при чемъ въ нихъ возможны осложненія, такъ сюда могутъ
относится и такія задачи.
Въ школѣ было 8 учениковъ, имъ роздали въ первый день
24 тетради, а во второй 40 тетрадей. Сколько тетрадей полу-
чилъ каждый? Рѣшеніе задачи можетъ быть двоякое: 1) сколько
тетрадей получитъ каждый въ первый день? Отв. ~8 тетрадей.
Сколько тетрадей ученикъ получилъ во 2-ой день? Отвѣтъ ™
тетради. Сколько тетрадей онъ получитъ всего? Отв. (^ + ^)
тетради. 2) Сколько тетрадей было роздано ученикамъ въ оба
дня? Отв. 24-(-40 тетради. Сколько получитъ каждый? 24 * 40
тетрадей.
Соединяя оба рѣшенія мы получаемъ преобразованіе фор-
мулы:
24 40 24 + 40
8 + 8 ~~ 8.
На это преобразованіе ученикамъ можно указать, не входя
въ подробности и не углубляясь въ причины возможности та-
кихъ преобразованій.
Дѣленіе по содержанію. Я началъ бы съ рѣшенія задачъ тѣхъ
же самыхъ, но съ измѣненіемъ дѣлителя. Такъ я бы предло-
жилъ первую задачу въ такомъ видѣ: Роздано ученикамъ 20
одноцвѣтныхъ карандашей такъ, что каждый получилъ по 4
карандаша. Сколько было учениковъ? Что намъ дано? Что тре-
буется узнать? Какъ это можно сдѣлать? (Дѣленіемъ и вычи-
таніемъ). Можно ли рѣшать предыдущія задачи вычитаніемъ?
Почему этого нельзя сдѣлать? Почему здѣсь можно?
Какую часть пуда составляютъ 8 фунтовъ? Какимъ дѣй-
ствіемъ это можно узнать? Можно ли узнать вычитаніемъ? По-
чему это можно узнать и дѣленіемъ и вычитаніемъ?
Возможенъ ли въ этихъ задачахъ остатокъ? Что значитъ,
если онъ получается? (Значитъ задача не вѣрно задана).

ГЛАВА II.
Измѣреніе площадей.
§ 1. Измѣреніе площадей прямоугольников!».
Нагляднымъ пособіемъ служитъ листъ, раздѣленный ды-
рочками на квадратные дюймы и листъ также раздѣленный на
квадратные вершки.
Учитель раздаетъ ученикамъ по листу съ квадратными
дюймами и предлагаетъ оторвать полоску въ 6 кв. дюйм. какъ
это сдѣлать? Ученики говорятъ, что нужно отсчитать 6 квад-
ратовъ и оторвать эту полоску. Какъ можно еще сдѣлать то
же самое? Догадливые ученики смогутъ указать, что можно
взять полоску въ два дюйма и оторвать 3 квадрата. Тогда
несомнѣнно другіе укажутъ, что можно взять полоску въ 3
дюйма и оторвать 2 квадрата. Продѣлавъ то же самое съ
вопросомъ о площади въ 12 кв. дюймовъ, въ 8 кв. дюймовъ
и т. п.. учитель объясняетъ ученикамъ понятіе о длинѣ и ши-
ринѣ, при чемъ необходимо указать во 1) на то, что хотя эти
понятія совершенно условныя, но на первыхъ порахъ необхо-
димо условиться въ одномъ и этого строго держаться дальше,
я предлагаю считать длиною горизонтальное направленіе,
т. е. то, которое лежитъ внизу ближе къ намъ, а за ширину
вертикальное направленіе, лежащее перпендикулярно къ намъ;
эти оба направленія можно только указать, не входя ни въ
какія подробности, но такъ, чтобы всѣ безъ исключенія
ученики ихъ усвоили. Во 2) слѣдуетъ на первыхъ же порахъ
путемъ сосчитыванія установить тотъ фактъ, что мы всегда
можемъ длину замѣнить шириной и тогда непремѣнно и обя-
зательно ширина сдѣлается длиной. Этотъ фактъ слѣдуетъ
установить, заставивъ площадь въ 6 квадратовъ одинъ разъ
оторвать три по длинѣ и 2 по ширинѣ, другой разъ 2 по длинѣ
и 3 по ширинѣ. Каждую полоску наклеить на цвѣтную бумагу
и полученныя площади сравнить наложеніемъ. Когда такимъ

образомъ будетъ совершенно выяснено понятіе о длинѣ и гаи-
ринѣ, слѣдуетъ обратить вниманіе учениковъ на то, что по
длинѣ всегда умѣщается столько квадратныхъ единицъ, сколько
линейныхъ единицъ содержится въ длинѣ, а по ширинѣ столько
квадратныхъ единицъ, сколько линейныхъ содержится въ ши-
ринѣ, и площадь всегда равна произведенію длины на ширину.
Это новое понятіе необходимо проработать еще разъ на ква-
дратныхъ вершкахъ и, быть можетъ, было бы полезно на пер-
выхъ же порахъ расширить нѣсколько само понятіе взявъ за
единицу (вершокъ X Дюймъ). Для этого нужно приготовить осо-
бый листъ, въ которомъ длина была бы пробита по 1 дюйму,
а ширина по 1 вершку. Я не знаю насколько это расширеніе
умѣстно именно здѣсь, и потому не буду особенно на немъ
настаивать, но скажу только, что лично я думаю, что для по-
лученія площади мы перемножаемъ именованныя числа, а по-
тому очень полезно дать примѣръ зависимости величинъ этихъ
чиселъ отъ единицы мѣры, когда величина площади не погло-
щается свойствомъ квадратной единицы, а потому наименова-
ніе особенно важно. При этомъ такъ какъ 7 дюймовъ состав-
ляютъ 4 вершка, то площадь въ 16 (вершокъ X дюймъ) равна
площади въ 28 (кв. дюймовъ). Повторяю,, что я не настаиваю
на этомъ нововведеній, но лично считалъ бы его очень полез-
нымъ именно въ томъ отношеніи, что здѣсь совершенно ясно
перемноженіе именованнаго числа на именованное, и что въ
этомъ случаѣ сохраняется законъ перемѣстительности, именно,
мѣняя длину на ширину мы измѣняемъ въ то же время и по-
рядокъ перемноженія.
Итакъ, на листѣ квадратовъ можно выяснить, что площадь
прямоугольника всегда будетъ равна произведенію длины на
ширину, а когда это будетъ выяснено можно предложить рядъ
такихъ задачъ:
1. Опредѣлить площадь полулиста бумаги въ квадратныхъ
дюймахъ и потомъ въ квадратныхъ вершкахъ.
2. Опредѣлить площадь стола учителя, верхней доски парты;
площадь пола классной комнаты.
3. Смѣрить дома площади пола различныхъ комнатъ въ кв.
аршинахъ.
4. Разсчитать сколько надо взять листовъ цвѣтной бумаги
(листъ фактически находится на рукахъ у дѣтей), чтобы окле-
ить данную коробку кругомъ, кромѣ дна. Коробка также фак-
тически находится на рукахъ у дѣтей; эти коробки могутъ
быть заготовлены заранѣе и имѣть такой размѣръ, чтобы всѣ
площади вычислялись въ цѣлыхъ кв. вершкахъ или кв. дюй-
махъ. Фактическая оклейка коробокъ очень полезна, при чемъ

вначалѣ пусть она выйдетъ не очень аккуратно, но потомъ не-
обходимо показать, какъ это можно сдѣлать хорошо. Хотя эти
упражненія заходятъ въ область ручного труда, но я бы по-
святилъ ему и часть уроковъ геометріи, чтобы дать время пси-
хическому усвоенію мѣры площадей прямоугольниковъ. Послѣ
этихъ упражненій можно перейти къ обычнымъ задачамъ на
вычисленіе площадей, гдѣ требуется оклейка стѣнъ обоями и
все прочее, конечно въ зависимости отъ предѣла счета. Слож-
ныхъ вычисленій и большихъ чиселъ можно не давать.
§ 2. Метръ и подраздѣленіе на сантиметры.
Хотя въ предыдущемъ уже не разъ упоминалось слово
сантиметръ, о которомъ, конечно, на урокахъ придется ска-
зать нѣсколько словъ; но понятіе о метрической системѣ не
было дано. Здѣсь я имѣю въ виду познакомить только съ мет-
ромъ, какъ единицей для измѣренія длины; но не съ метриче-
ской системой, о которой думаю подробнѣе сказать въ началѣ
3-го года обученія. Знакомство съ новой мѣрой длины можно
начать съ того, что портные и портнихи измѣряютъ длину
особой мѣрой, которая въ общежитіи называется сантиметромъ.
Ленту сантиметровъ слѣдуетъ раздать по классу и предложить
ученикамъ найти на ней цифру 100. Если теперь эту длину
въ 100 сантиметровъ выпрямить, то получимъ мѣру, которая
называется метръ. Въ рукахъ учителя находится линейка,
длиною въ метръ, и онъ вызываетъ учениковъ, чтобы они по-
вѣрили справедливость его словъ.
Обыкновенно на лентѣ съ другой стороны помѣчаются ар-
шины съ подраздѣленіями на вершки. Учитель спрашиваетъ
сколько вершковъ въ метрѣ и показываетъ, какъ это можно
узнать по лентѣ. Затѣмъ предлагаетъ аршиномъ смѣрить
метръ. Потомъ метромъ мѣряется классная сажень и кстати
опредѣляется сколько въ ней будетъ вершковъ и сколько сан-
тиметровъ. Оба эти числа полезно вычислить заранѣе и по-
томъ повѣрить на опытѣ. При этомъ необходимо сказать, что
точнаго соотношенія между метромъ и аршиномъ не существу-
етъ и вычисленіе дѣлается приблизительно. Можно считать въ
сажени 2 метра или 200 сантиметровъ, хотя болѣе точное из-
мѣреніе даетъ 213 1/3 сант.
Здѣсь мы получаемъ числа болѣе 100, но они необходимы
и не введутъ по существу никакой неясности, а просто ука-
жутъ, что искомое соотношеніе заходитъ за предѣлы изучен-
наго счета. Затѣмъ при помощи ленты измѣряется длина до-

ски, длина парты, длина и ширина тетради, листа бумаги и
прочее въ сантиметрахъ или въ цѣлыхъ метрахъ. Далѣе мо-
гутъ быть предложены задачи: На сколько вершковъ сажень
длиннѣе 2 метровъ? (48 в.— 45 в =3 в). Сколько вершковъ
въ 2 саженяхъ? Сколько вершковъ въ 4 метрахъ? Сколько въ
аршинѣ дюймовъ? Сколько въ футѣ вершковъ?—на этотъ во-
просъ нѣтъ точнаго отвѣта, вершковъ будетъ 6 6/7, но можно
считать приблизительно 7 вершковъ. Сколько сантиметровъ въ
аршинѣ? (приблизительно 71). Сколько сантиметровъ въ 1 футѣ?
(приблизительно 30 1/2). Когда метръ и сантиметръ достаточно
выясняется, то можно указать, что метръ дѣлится на 10 деци-
метровъ, а дециметръ на 10 сантиметровъ и дать рядъ задачъ
на переводъ однѣхъ мѣръ въ другія. Такъ напримѣръ: Сколько
дециметровъ въ 52 сантиметрахъ? Сколько сантиметровъ въ 4
дециметрахъ? Сколько дециметровъ въ 2 метрахъ? Дано 2 ме-
тра 8 дециметровъ, какъ это написать иначе?
Затѣмъ взять квадратный метръ и непосредственнымъ со-
считываніемъ убѣдиться, что въ немъ содержится 100 кв. деци-
метровъ. Точно также въ квадратномъ дециметрѣ 100 кв.
сантиметровъ. Эти задачи позволяютъ дать возможность по-
казать, что числовой рядъ далеко продолжается за 100 и мно-
гіе ученики дѣйствительно его продолжатъ, сосчитавъ сколько
будетъ сантиметровъ въ 1 кв. метрѣ. Здѣсь слѣдуетъ замѣ-
тить, что торопиться съ этимъ изученіемъ совершенно не слѣ-
дуетъ можно даже на первыхъ порахъ указать только двѣ мѣры:
метръ и сантиметръ и всѣ дальнѣйшія измѣренія вести санти-
метромъ, но приблизительная точность должна быть указана
и та мысль, что всякое наше измѣреніе фактически лишь при-
близительно должна быть усвоена дѣтьми. Я думаю, что у бо-
лѣе даровитыхъ уже здѣсь возникнетъ идея несоизмеримости,
а менѣе даровитые просто запомнятъ фактъ, что иногда нельзя
точно смѣрить и что измѣреніе тѣмъ точнѣе, чѣмъ меньшая
мѣра берется за единицу. Кромѣ ленты съ сантиметромъ не
обходимо, чтобы у каждаго ученика была небольшая линейка
съ этими дѣленіями. Такую линейку они могутъ приготовить и
сами изъ бумаги, но лучше, конечно, ее купить, потому что
точность измѣренія весьма важна въ образовательномъ отно-
шеніи и глазъ долженъ всегда имѣть точныя мѣры передъ со-
бой, чтобы получить необходимыя въ дальнѣйшемъ правиль-
ныя пространственныя представленія. Это не только не мѣ-
шаетъ идеѣ несоизмѣримости, но обязательно для ея правиль-
наго психическаго воспріятія.

§ 3. Понятіе объ углахъ прямыхъ, острыхъ и тупыхъ.
Понятіе объ углѣ, какъ я уже говорилъ, можно считать
первоначальнымъ, т. е. не требующимъ опредѣленія. Конечно,
не въ научномъ, а въ психологическомъ отношеніи, а именно:
дѣти прекрасно знаютъ, что такое уголъ и всякое опредѣленіе
ихъ скорѣе собьетъ, чѣмъ дастъ для нихъ что-либо новое»
уясняющее то опредѣленное представленіе, которое они имѣ-
ютъ. Но изъ этого не слѣдуетъ, чтобы они не нуждались въ
указаніи на уголъ, какъ на нѣкоторую часть фигуры. Вслѣд-
ствіе этого я думаю, что знакомство съ углами должно на-
чаться съ указанія на то, что въ квадратѣ есть 4 угла, кото-
рые равны между собою. Это равенство угловъ можно дока-
зать, перегибая квадратъ по діагонали и совмѣщая противо-
положные углы, а перегибая квадратъ пополамъ, по серединѣ
его противоположныхъ сторонъ мы докажемъ равенство при-
легающихъ къ сторонѣ квадрата угловъ. Все это можно обоб-
щить въ видѣ слѣдующаго положенія: „квадратъ имѣетъ 4 рав-
ныхъ между собою угла“. Далѣе можно сказать, что углы ква-
драта называются прямыми.
Вырѣжемъ теперь прямоугольникъ въ 6 кв. дюймовъ и срав-
нимъ его углы съ углами квадрата. Для этого наложимъ ква-
дратъ на прямоугольникъ такъ, чтобы вершины угловъ совпали
и такимъ образомъ убѣдимся, что всѣ углы прямоугольника
также равны и между собою и угламъ квадрата, слѣдова-
тельно: прямоугольникъ имѣетъ также 4 угла и они также
прямые.
Возьмемъ другой прямоугольникъ въ 12 кв. вершковъ и
найдемъ тѣмъ же путемъ что и его углы прямые. Изъ такихъ
опытовъ, число которыхъ будетъ зависѣть отъ того насколько
скоро дѣти поймутъ методъ сравненія величины угловъ, мы
придемъ къ выводу, что всѣ прямые углы равны между собою.
Это можно запомнить какъ фактъ; но обратное заключеніе,
что всѣ равные между собою углы будутъ прямые, несправед-
ливо; на это обстоятельство необходимо указать, имѣя подъ
руками углы въ 60°, 30°, 45° и сравнивая ихъ другъ съ дру-
гомъ, т. е. углы въ 60° съ равными имъ, углы въ 30° съ рав-
ными и т. д.
То обстоятельство, что эти углы будутъ не прямые опять
ясно видно, и дѣти легко догадаются даже назвать ихъ острыми.
Однако, слѣдуетъ выработать опредѣленіе, что острымъ угломъ
называется уголъ, меньшій прямого. При этомъ дѣти должны

съумѣть отвѣтить на вопросъ: „Какой уголъ называется
острымъ?“ Точно также ихъ надо познакомить съ угломъ ту-
пымъ и добиться того, чтобы они съумѣли опредѣлить, какой
уголъ называется тупымъ. Для этого имъ нужно показать углы
въ 120°, 135°, 150° и показать, что эти углы больше прямого.
При этомъ опять повторяю, что здѣсь нѣтъ совершенно
научныхъ опредѣленій, а есть только установленіе ясныхъ и
точныхъ конкретныхъ образовъ, по которымъ дѣти съумѣли бы
отличить три рода угловъ: острые, прямые и тупые. Эти пред-
ставленія слиты, вообще говоря, съ фигурой, и я бы считалъ
психологически труднымъ переводить ихъ на понятіе угла, какъ
элемента пересѣченія линій. Пусть пока это будетъ только
уголъ плоской фигуры, тѣсно слитый въ представленіи съ са-
мой фигурой, но въ способахъ сравненія угловъ уже намѣча-
ется идея, что величина угла не зависитъ отъ длины его сто-
ронъ Эту идею полезно укрѣпить, заставивъ опредѣлить из-
мѣреніемъ углы листа бумаги, углы тетради, углы классной
доски и пр. Затѣмъ заставить квадратъ разорвать по діаго-
нали и спросить, сколько угловъ въ полученной фигурѣ? ка-
кіе они? Сложимъ полученные треугольники равными сторо-
нами, какія фигуры мы получимъ? (мы получимъ три фигуры:
квадратъ, треугольникъ и параллелограммъ). Опредѣлить ихъ
углы?
Такіе опыты слѣдуетъ продѣлать съ квадратами въ 1 кв.
дюймъ, въ 1 кв. вершокъ, въ 1 кв. футъ, а учитель на доскѣ
можетъ показать то же самое съ квадратомъ въ 1 кв. аршинъ.
Затѣмъ можно взять квадраты въ 9 кв. вершковъ, въ 25 кв.
дюймовъ и мы увидимъ, что фигуры получаются однѣ и тѣ же,
слѣдовательно онѣ не зависятъ отъ величины квадрата.
До сихъ поръ мы получали фигуры вырѣзанными изъ бу-
маги, а теперь важно перевести фигуру на бумагу въ видѣ
чертежа. Сначала мы перенесемъ квадратъ небольшихъ размѣ-
ровъ, напримѣръ въ 4 кв. дюйма. Для этого положимъ ква-
дратъ на листъ тетради и намѣтимъ карандашемъ точки въ
его вершинахъ, эти точки соединимъ другъ съ другомъ по ли-
нейкѣ, какъ велика площадь нарисованнаго квадрата? Сколько
у него угловъ? Какіе это углы? Потомъ разрѣжемъ квадратъ
по діагонали и сложимъ его равными сторонами, нарисуемъ
эту фигуру такъ же, какъ нарисовали квадратъ. Мы получимъ
двѣ фигуры: параллелограммъ и треугольникъ, какъ велики
площади этихъ фигуръ? сколько угловъ у каждой изъ нихъ?
Какъ можно назвать ихъ углы?
Теперь возьмемъ прямоугольникъ въ 12 кв. дюймовъ, по-
ложимъ его на бумагу и нарисуемъ въ тетради, какъ велика

площадь нарисованнаго прямоугольника? сколько въ немъ
угловъ? Сколько сторонъ.' Какъ называются его углы?
Разрѣжемъ прямоугольникъ по діагонали, какія фигуры мы
получили? Сколько угловъ у каждой изъ нихъ? Сколько сто-
ронъ? Какіе углы имѣетъ каждый треугольникъ? Какъ узнать,
что острые углы полученныхъ теперь треугольниковъ больше
или меньше угловъ треуголниковъ, полученныхъ изъ квадрата?
Сравнить величины угловъ треуголниковъ другъ съ другомъ.
Нарисуемъ эти треугольники въ тетради и поставимъ бу-
квы въ вершинахъ ихъ угловъ, какъ можно прочитать нари-
сованные треугольники? Вотъ я нарисую на доскѣ треуголь-
никъ (равносторонній), сравните величины его угловъ съ углами
вашего треугольника. Сложимъ треугольники равными сторо-
нами и нарисуемъ полученныя фигуры. Какъ можно ихъ обо-
значить буквами? Какъ прочитать это обозначеніе? Какъ можно
прочитать углы? Сравнить ихъ величину съ величиной угловъ
ранѣе полученныхъ треугольниковъ?
На подобныя упражненія вначалѣ скупиться не слѣдуетъ,
слѣдя только за тѣмъ, чтобы они не надоѣли дѣтямъ, но чтобы
всѣ ученики хорошо усвоили понятіе угла какъ въ отдѣльно
вырѣзанной фигурѣ, такъ и на чертежѣ; чтобы каждый уче-
никъ смогъ обозначить фигуру, конечно, русскими буквами и
прочитать углы. При этомъ чтеніи безразлично, будетъ ли
уголъ названъ одною буквою, стоящей въ вершинѣ или тремя
буквами. Само наименованіе „вершина* придется указать дѣ-
тямъ, а также указать и стороны угла; это надо сдѣлать не
только на чертежѣ, но и на фигурѣ, поупражнявъ ихъ въ спо-
собахъ наложенія и сравненія фигуръ.
При этомъ придется указать и на то, что фигуры, имѣю-
щія одинаковую площадь не всегда будутъ равны, а потому
полезно указать и на то, какія фигуры называются равными
(которыя при наложеніи совпадаютъ) и равновеликими (т. е.
имѣющими одинаковую площадь).
Я бы полагалъ, что въ этомъ мѣстѣ курса можно затро-
нуть очень много вопросовъ, непосредственно вытекающихъ
изъ свойствъ изучаемыхъ фигуръ, но разработать удобнѣе да-
леко не всѣ. По моему плану здѣсь необходимо окончательно
выяснить понятія: уголъ (прямой, острый, тупой) вершина
угла, его стороны, способъ сравненія величинъ угловъ спо-
собъ обозначенія угла. Этими понятіями пока ограничиться, но
они должны быть ясно и прочно усвоены, чтобы потомъ уже
къ нимъ не возвращаться. Все же остальное пусть зародитъ
мысли, поставитъ вопросы, отвѣты на которые дѣти получатъ
при дальнѣйшемъ изученіи геометріи.

§ 4. Понятіе о перпендикулярѣ. Діагональ.
Учебныя пособія: линейка, раздѣленная на сантиметры и
деревянный прямоугольный треугольникъ.
До сихъ поръ мы изучали фактическія фигуры, вырѣзан-
ныя изъ бумаги, теперь попробуемъ сдѣлать для этихъ фигуръ
выкройки, начертивъ ихъ прежде чѣмъ вырѣзать. При этомъ
главной измѣрительной единицей у насъ были дюймъ и вер-
шокъ, теперь мы исключительно будемъ пользоваться санти-
метромъ, какъ наиболѣе удобной мѣрой и чтобы знакомство
съ ней было вполнѣ установившимся.
Но прежде чѣмъ переходить къ этому, мы введемъ новое
слово: перпендикуляръ, постараемся сначала запомнить это
слово, а потомъ освоимся и съ самымъ понятіемъ. Здѣсь я счи-
таю необходимымъ дать опредѣленіе, которое дѣти должны за-
помнить, т. е. тотъ признакъ, по которому можно отличить
перпендикуляръ отъ всякой другой линіи.
Въ геометріи перпендикуляръ опредѣляется, какъ общая
сторона двухъ равныхъ смежныхъ угловъ. Такое опредѣленіе,
конечно, недопустимо въ томъ курсѣ, который мы разсматри-
ваемъ, но сущность его можетъ быть дана. Для этого надо
было бы указать стороны угла, независимо отъ фигуры, и на-
чертить уголъ такъ, какъ онъ чертится въ учебникахъ гео-
метріи. Это возможно, потому что понятіе объ углѣ уже есть
и отвлеченіе отъ фигуры какъ бы навязывается само собой изъ
предыдущаго параграфа. Тогда, не говоря объ углахъ смеж-
ныхъ, можно просто указать на перпендикуляръ, какъ на ли-
нію, образующую два прямыхъ угла. Но мнѣ не хотѣлось бы
здѣсь входить въ разсмотрѣніе и разработку понятія уголъ, въ
зависимости отъ направленія его сторонъ,а сохранить методъ
разсмотрѣнія фигуръ, который по моему проще и психологи-
чески ближе по возрасту. Вслѣдствіи этого я думаю, что воз-
можно перпендикуляръ опредѣлить такъ: Перпендикуляромъ
называется линія, образующая съ другой линіей прямой уголъ.
Это опредѣленіе необходимо пополнить другимъ, что стороны
прямого угла называются взаимноперпендикулярными. Слово
„взаимноперпендикулярныя“, конечно, очень трудно, но эту
трудность необходимо преодолѣть, ибо она содержится не въ
понятіи, а въ самомъ словѣ, а когда учащіеся освоятся со сло-
вомъ, то этимъ они усвоятъ и само понятіе. Для выясненія же
того и другого полезно предложить слѣдующіе вопросы: какой
уголъ образуютъ между собою стороны квадрата? Какъ ихъ

можно назвать по отношенію другъ къ другу? Какая фигура
обладаетъ такимъ же свойствомъ? (прямоугольникъ). Начертите
въ тетради квадратъ въ 5 кв. сант., обозначьте его стороны
буквами и укажите прямые углы. Назовите, какая линія будетъ
перпендикулярна къ другой? (Линія АБ будетъ перпендику-
лярна къ АГ). Къ какой линіи она будетъ еще перпендику-
лярна? (къ БВ). Какъ можно назвать линіи АБ и АГ? Какъ
можно назвать линіи АГ и БВ? (они не перпендикулярны).
Можно ли сказать, что АГ, АБ и БВ взаимно перпендику-
лярны? Почему этого нельзя сказать? Какія
линіи еще въ фигурѣ будутъ взаимно перпен-
дикулярны? Начертите прямоугольникъ въ 12
кв. сант. такъ, чтобы длинная сторона была
4 сант., а короткая 3 сант. Чтобы выполнить
эти чертежи надо имѣть листъ квадратовъ съ
пробитыми дырочками, отдѣляющими квадрат-
ные сантиметры. Положимъ, что длина будетъ 4 сант., а ши-
рина 3 сант. Обозначимъ его стороны буквами, отыщемъ пря-
мые углы и взаимноперпендикулярныя стороны. Возьмемъ еще
прямоугольникъ въ 20 кв. сант. и продѣлаемъ съ нимъ то же
самое. На рядѣ подобныхъ упражненій дѣти должны запомнить
новыя слова, освоиться съ новыми понятіями и запомнить тѣ
признаки, по которымъ можно узнать перпендикуляръ.
Когда будетъ видно, что все это достаточно хорошо усво-
илось, то можно перейти къ прямоугольному треугольнику,
который получается отъ разрѣзыванія квадрата и отъ разрѣ-
занія прямоугольника и отъискать здѣсь перпендикуляры и
стороны взаимноперпендикулярныя. А когда на рядѣ вопросовъ
будетъ изученъ прямоугольный треугольникъ, дѣтямъ необхо-
димо показать деревянную линейку такой формы и показать,
какъ при ея помощи можно проводить перпендикуляры. Здѣсь
придется на время оставить фигуры и просто начертить пря-
мую на доскѣ, приложить къ ней одинъ катетъ деревяннаго
прямоугольнаго треугольника и нарисовать черту по напра-
вленію другого катета. То же самое пусть дѣти продѣлаютъ
на бумагѣ.
Когда дѣти научатся проводить перпендикуляры, то можно
перейти къ параллелограммамъ, составленнымъ изъ треуголь-
никовъ разрѣзаннаго по діагонали квадрата и прямоугольника.
Эти фигуры нарисовать въ тетрадяхъ по точкамъ и обратить
вниманіе на то, что въ каждой изъ нихъ можно провести двѣ
діагонали; одну длинную, другую короткую. Какой уголъ ко-
роткая діагональ образуетъ со стороною параллелограмма?
Какъ это можно повѣрить при помощи деревяннаго треуголь-

ника? Какіе углы образуютъ діагонали квадрата? Какъ можно
назвать эти діагонали? Какимъ свойствомъ обладаютъ діаго-
нали квадрата? Отвѣтъ долженъ быть полный, а именно: „діа-
гонали квадрата равны между собою и взаимноперпендику-
лярны“. Обладаютъ-ли этимъ свойствомъ діагонали прямоуголь-
ника? Отвѣтъ: „онѣ равны, но не перпендикулярны. Повѣрка
этого должна быть произведена непо-
средственнымъ измѣреніемъ длины діа-
гонали и сравненіемъ угловъ съ угломъ
деревяннаго прямоугольнаго треуголь-
ника. Какіе углы образуютъ діагонали
другъ съ другомъ? Отвѣтъ: „два угла:
одинъ острый и одинъ тупой“.
Догадайтесь, какъ провести пер-
пендикуляръ къ длинной сторонѣ параллелограмма изъ проти-
воположной вершины. Сколько можно такихъ перпендикуля-
ровъ провести? Что нужно сдѣлать, чтобы провести перпенди-
куляръ BE? Надо сторону АБ продолжить. Какъ называется
фигура ДВБГ? Эти упражненія слѣдуетъ продѣлать надъ раз-
личными параллелограммами, разрѣзая или квадраты или пря-
моугольники разной величины, (рис. 2).
§ 5. Понятіе объ основаніи и высотѣ. Горизонтальное и верти-
кальное направленія.
ІІослѣ того, какъ будетъ вполнѣ выяснено понятіе о пер-
пендикулярѣ и линіяхъ перпендикулярныхъ, послѣ того, какъ
ученики будутъ ознакомлены со способомъ проведенія перпен-
дикуляра при помощи деревяннаго прямоугольнаго треуголь-
ника, можно вновь вернуться къ вопросу о площадяхъ, рас-
пространивъ его на площади параллелограммовъ. Для этого
необходимо дать опредѣленія основанія и высоты, замѣнивъ
ими понятія о длинѣ и ширинѣ.
Для этого выберемъ слѣдующій методъ. Оторвите отъ ли-
ста кв. сантиметровъ прямоугольникъ, у котораго длина была
бы 6 сант., а ширина 3 сант., какъ будетъ велика его пло-
щадь? Нарисуйте въ тетрадяхъ прямоугольникъ равный этому
прямоугольнику и обозначьте его стороны буквами. Какими
буквами обозначена длина этого прямоугольника? Какими
буквами его ширина? Условимся ту линію, которую мы назы-
вали длиною прямоугольника, называть основаніемъ, а ту ли-
нію, которую мы считаемъ шириною прямоугольника, называть
высотою, причемъ высота будетъ всегда перпендикулярна къ

основанію. Оторвите отъ листа квадр. сантим, прямоугольникъ,
у котораго основаніе равно 8 сант , а высота 5 сантим., чему
равна его площадь? Какъ можно вообще теперь сказать, чему
равна площадь всякаго прямоугольника? Отвѣтъ: „основанію,
умноженному на высоту“. Какимъ свойствомъ обладаютъ осно-
ваніе и высота квадрата? Не догадается ли кто-нибудь какъ
можно сказать, чему равна площадь всякаго квадрата? Отвѣтъ:
„площадь всякаго квадрата равна его сторонѣ, умноженной на
самое себя. Чему равна площадь квадрата, сторона котораго
8 сант.? Чему равна площадь квадрата, котораго сторона 4
сант.? Сторона 3 сант.? Повѣрьте это по таблицѣ Пиѳагора.
Чему равна площадь прямоугольника, у котораго основаніе 3
сант., а высота 2 сант.?
Возьмемъ коробку, сколько въ ней прямоугольниковъ? Гдѣ
у нихъ основанія и гдѣ высоты? Равны ли между собою пло-
щади? Какія изъ нихъ равны и какія нѣтъ? Намъ нужно окле-
ить эту коробку цвѣтной бумагой, какъ вырѣзать изъ листа
необходимыя выкройки? Здѣсь должны быть взяты коробки,
имѣющія точную мѣру въ сантиметрахъ.
Непосредственно такое упражненіе является непосильнымъ,
но къ нему можно подойти такъ. Сначала дается каждому
ученику своя коробка; эти коробки могутъ быть и одинаковаго
и разнаго размѣра, я думаю, что вначалѣ нужно раздать ко-
робки одинаковаго размѣра безъ крышекъ. Учитель показыва-
етъ у коробки длину, ширину и высоту и спрашиваетъ какую
геометрическую фигуру представляетъ собою каждая сторона
коробки? Гдѣ ея основаніе и гдѣ высота? Сколько будетъ рав-
ныхъ площадей? Затѣмъ измѣряется основаніе и высота каж-
дой площади и опредѣляется какія стороны должны быть окле-
ены и что должно остаться неокленнымъ (дно коробки). Потомъ
раздастся цвѣтная бумага и дѣлаются отдѣльныя выкройки для
каждой стороны. Бумага можетъ быть намазана гуммиараби-
комъ, такъ что достаточно смочить ее, чтобы наклеить на ко-
робку. Когда такимъ образомъ будутъ выяснены всѣ детали,
то раздаются уже коробки разнаго размѣра, для которыхъ сами
ученики дѣлаютъ выкройку и оклеиваютъ ихъ цвѣтной бума-
гой, при чемъ можно указать имъ, что можно вырѣзать дан-
ную ленту, равную боковой поверхности коробки и наклеить
ее, обвернувъ кругомъ.
Этими упражненіями можно закончить вопросъ объ измѣ-
реніи площадей прямоугольниковъ, но въ концѣ хорошо по-
знакомить дѣтей съ тѣмъ какъ склеить коробку, у которой
длина 7 дюймовъ, ширина 4 дюйма и высота 3 дюйма?
Для этого нужно на картонѣ начертить прямоугольникъ,

у котораго основаніе было бы въ 7 сант., а высота 4 сант.,
его стороны продолжить и на нихъ отложить длины по 3 сант.,
потомъ полученную фигуру вырѣзать (черт. 3). Вычислите,
сколько надо взять картона для этой коробки? Какъ, принявъ
указанные размѣры за масштабъ, склеить коробку, размѣры
которой будутъ измѣрены дюймами.
Въ заключеніе можно познакомить дѣтей съ вертикальнымъ
и горизонтальнымъ направленіями.
Для этого надо взять
отвѣсъ, т. е. нитку съ при-
вѣшенной къ ней тяжестью
и сказать, что направле-
ніе нити называется верти-
кальнымъ. Для выясненія
этого понятія, можно спро-
сить, какое направленіе
имѣютъ стѣны комнаты,
стѣны домовъ и т. п. Въ
то же время поверхность
воды въ стаканѣ будетъ го-
ризонтальна, что въ клас-
сѣ имѣетъ горизонтальное направленіе? Затѣмъ можно пока-
зать уровень и плотничій ватерпасъ.
Уровень состоитъ изъ трубочки съ немного выпуклой верх-
ней стѣнкой: въ эту трубочку налитъ спиртъ и на ней отмѣ-
чена середина. Трубочка вдѣлана въ деревянный ящикъ. Если
мы поставимъ ящикъ и увидимъ, что пузырекъ стоитъ на се-
рединѣ трубочки, то значитъ уровень стоитъ горизонтально.
Плотничій ватерпасъ состоитъ изъ равнобедреннаго тре-
угольника, середина основанія котораго отмѣчена небольшимъ
возвышеніемъ; къ вершинѣ треугольника привязана нитка съ
грузомъ. На горизонтальной плоскости грузъ стоитъ противъ
середины основанія, если плоскость наклонна, то этого не
будетъ.
Оба прибора нужно имѣть и при помощи ихъ показать го-
ризонтальность пола, стола и частей партъ; на наклонной ча-
сти парты рѣзко отмѣчается негоризонтальность.
§ 6. Площадь прямоугольнаго треугольника.
Съ прямоугольными треугольниками дѣти уже встрѣчались,
а потому можно нѣсколько подробнѣе остановиться на его свой-
ствахъ, оставляя методъ полученія прежній—изъ разрѣзанія по
діагонали прямоугольника; но здѣсь полезно употребить не-

большую хитрость, взявши на первыхъ порахъ такіе прямо-
угольники, у которыхъ діагональ и стороны могутъ быть вы-
ражены въ цѣлыхъ числахъ. Одна изъ формулъ, выражающихъ
катеты и гипотенузы въ раціональныхъ числахъ будетъ слѣ-
дующая. Взявъ египетскій треугольникъ, стороны котораго 3,
4 и 5, взять кратныя отъ этихъ чиселъ 3 к., 4 к. и 5 к., тогда
ипр всякомъ цѣломъ к., мы получимъ рядъ треугольниковъ съ
цѣлыми и раціональными сторонами. Пусть напр. к = 2, тогда
6, 8 и 10 будетъ раціональный треугольникъ; при к = 3 полу-
чимъ 9, 12 и 15 другой раціональный треугольникъ и т. д.
Кромѣ этой формулы можно указать еще и другую. Пусть
одинъ катетъ будетъ m, тогда другой будетъ (m 2-1)/2, а гипо-
тенуза (m 2+1)/2. Эта формула даетъ рядъ новыхъ чиселъ, напр.
при m =5, (m 2-1)/2 = 12 и (m 2+1)/2 = 13.
Итакъ возьмемъ прямоугольникъ, котораго стороны 5 сант.
и 12 сант., опредѣлимъ его площадь. Разрѣжемъ его по діаго-
нали, какія фигуры мы получимъ? равны ли онѣ? Какъ можно
въ этомъ убѣдиться? (Наложеніемъ ихъ другъ на друга). Какъ
велика будетъ площадь каждаго изъ нихъ? Какъ это можно
выразить словами?-Отвѣтъ: „площадь каждаго прямоугольнаго
треугольника равна половинѣ площади прямоугольника. Возь-
мемъ еще прямоугольникъ въ 6 сант., 8 сант., какъ будетъ ве-
лика его площадь? Разрѣжемъ его по діагонали, получимъ два
равныхъ прямоугольныхъ треугольника, чему будетъ равна
площадь каждаго изъ нихъ?
Послѣ того, какъ для дѣтей станетъ ясно, что площадь
прямоугольнаго треугольника равна половинѣ площади пря-
моугольника, мы зарисуемъ одинъ изъ нихъ въ тетради въ
разныхъ положеніяхъ и смѣряемъ по линейкѣ его стороны,
опредѣлимъ большую изъ нихъ, противъ какого угла она ле-
житъ? Какіе углы она образуетъ съ меньшими сторонами?
Какія стороны принимаются за основаніе и высоту треуголь-
ника?
Нарисуемъ въ тетради еще одинъ прямоугольный треуголь-
никъ изъ ранѣе полученныхъ нами, смѣряемъ его стороны и
опредѣлимъ, какія изъ нихъ можно принять за основаніе и за
высоту. Когда такимъ образомъ дѣти достаточно освоятся со
сторонами, то можно предложить имъ вопросъ о свойствѣ сто-
ронъ, а именно указать на то, что сумма двухъ сторонъ больше
третьей. Здѣсь можно было бы указать и на наименованіе сто-
ронъ, а именно: стороны, ограничивающая прямой уголъ на-
зываются катетами, а сторона, лежащая противъ угла — гипо-

тенузой. Если бы это новое знаніе оказалось не особенно труд-
нымъ, то оно въ дальнѣйшемъ было бы очень полезнымъ, какъ
выдѣляющее прямоугольный треугольникъ изъ ряда другихъ,
но если это окажется труднымъ, то это ознакомленіе можно
отложитъ до дальнѣйшаго. При наличности возможности этого
ознакомленія, можно предложить новое опредѣленіе площади
прямоугольнаго треугольника, а именно: площадь прямоуголь-
наго треугольника равна половинѣ произведенія его катетовъ.
Собственно, въ этой формѣ опредѣленіе будетъ трудно и я
предложилъ бы замѣнить его такимъ: „площадь прямоуголь-
наго треугольника равна одному его катету, умноженному на
другой катетъ и дѣленному на 2“.
Отдѣлъ изученія площади прямоугольнаго треугольника
можно закончить пространственной фигурой — треугольной
призмой; это можно сдѣлать слѣдующимъ образомъ. Возьмемъ
прямоугольный треугольникъ, стороны будутъ 5, 12 и 13 сан-
тиметровъ и по его сторонамъ построимъ прямоугольники
АБГД; БВЗЖ и АВИК, у которыхъ высоты будутъ одина-
ковы и равны 10 сант., вырѣжемъ полученную фигуру изъ
бумаги или картона и перегнувъ по линіямъ АБ, БВ и АВ
образуемъ треугольную призму (рис. 4). Слово призма можетъ
быть сообщено дѣтямъ, но можно сказать, что получимъ тре-
угольную коробку. Чему равна ея боковая поверхность? Сколько

надо взять цвѣтной бумаги, чтобы оклеить ее? Какъ это сдѣ-
лать? Гдѣ горизонтальныя и гдѣ вертикальныя линіи?
Какъ и въ предыдущемъ параграфѣ я предполагаю коробку
безъ крышки, хотя въ обоихъ случаяхъ можно легко вычис-
лить и крышку для той и другой, но я бы рекомендовалъ для
крышки взять просто листъ, покрывающій, безъ краевъ.
§ 7. Площадь равнобедренна™ треугольника.
Когда будетъ выяснено чему равна площадь прямоуголь-
наго треугольника, мы возьмемъ прямоугольникъ, разрѣжемъ
его на треугольники и вырѣжемъ изъ цвѣтной бумаги каждый
изъ полученныхъ треугольниковъ, сравнимъ ихъ между собою.
Выберемъ два равныхъ и сложимъ ихъ другъ съ другомъ, при
этомъ получимъ три фигуры: взятый ранѣе прямоугольникъ,
косоугольникъ и треугольникъ. Треугольникъ вновь положимъ
на цвѣтную бумагу и вырѣжемъ эту фигуру. Въ этомъ тре-
угольникѣ двѣ стороны будутъ равны, а потому онъ называ-
ется равнобочнымъ или равнобедреннымъ. Выберемъ еще два
равныхъ треугольника, сложимъ ихъ такъ, чтобы получился
треугольникъ и вырѣжемъ его изъ цвѣтной бумаги. Пригото-
вивъ такимъ образомъ нѣсколько равнобочныхъ треугольни-
ковъ, сравнимъ ихъ между собою и найдемъ, что они будутъ
различны.
Сгибаніемъ мы можемъ провести въ каждомъ изъ нихъ вы-
соту, при этомъ замѣтимъ, что при сгибаніи каждый равно-
бочный треугольникъ дѣлится на два равныхъ прямоугольныхъ
треугольника, что можно было предвидѣть изъ способа ихъ
полученія.
Опредѣлимъ теперь площадь каждаго треугольника, при-
чемъ условимся всегда за основаніе брать неравную сторону.
Изслѣдуя такимъ образомъ свойства равнобедренныхъ тре-
угольниковъ, быть можетъ можно установить теорему, что во
всякомъ равнобедренномъ треугольникѣ высота дѣлитъ осно-
ваніе и уголъ при вершинѣ пополамъ.
Далѣе, можно показать какъ при помощи циркуля можно
начертить равнобедренный треугольникъ, если извѣстно его
основаніе и боковая сторона. На это предложить рядъ прак-
тическихъ задачъ, напримѣръ: начертить равнобедренный тре-
угольникъ, у котораго основаніе равно 4 дюйма, а боковая
сторона равна 2\\ дюйма и смѣрить его высоту. Она будетъ
равняться 11/9 дюйм. Такихъ треугольниковъ мы можемъ вы-
брать сколько угодно, руководствуясь слѣдующимъ числовымъ

соотношеніемъ: если основаніе равно 2n, то боковая сторона
будетъ равна, тогда высота будетъ. Такъ если
n = 3, то основаніе будетъ 6, боковая сторона 5, а высота 4;
если n = 5, то основаніе будетъ 10, боковая сторона 13, а вы-
сота 12 и т. д. Такія упражненія хороши въ томъ отношеніи,
что позволяютъ указать пользу и значеніе вычисленій въ связи
съ величиной высоты, которая обусловливается самымъ построе-
ніемъ, т. е. устанавливаетъ связь между ариѳметикой и гео-
метріей.
Въ дюймахъ они даютъ несоразмѣрно большія числа, но
если ихъ вести въ сантиметрахъ, то получаются величины
очень удобныя для построеній. Пользуясь тѣми же числовыми
соотношеніями, можно поставить и такія задачи: начертить
квадратъ, сторона котораго была бы равна 6 сант., постройте
на каждой сторонѣ равнобедренный треугольникъ, боковая
сторона котораго была бы равна 5 сантим. Опредѣлить пло-
щадь этой фигуры. Вырѣжемъ ее сначала изъ бумаги, а по-
томъ изъ картона, согнемъ по сторонамъ квадрата, тогда по-
лучимъ пирамиду, сколько надо взять цвѣтной бумаги, чтобы
оклеить ея стороны?
Сдѣлать такую же фигуру въ дюймахъ. Такихъ квадра-
товъ можно взять довольно много, руководствуясь указанными
формулами, причемъ сторона квадрата всегда должна быть 2n.
Здѣсь полезно указать и другое построеніе: раздѣлимъ
каждую сторону квадрата пополамъ и возставимъ перпенди-
куляръ при помощи прямоугольнаго треугольника; его вели-
чина должна быть. Соединимъ конецъ со сторонами
квадрата, тогда получимъ тѣ же равнобедренные треугольники.
Въ концѣ я вырѣзалъ бы еще равносторонній треуголь-
никъ, но такъ какъ площадь его содержитъ ирраціональность,
то очевидно, что ее опредѣлить нельзя, о чемъ можно сказать
и ученикамъ. Но въ то же время обратить ихъ вниманіе на
то, что равносторонній треугольникъ и квадратъ обладаютъ
тѣмъ особымъ свойствомъ, что ихъ можно накладывать другъ
на друга какъ угодно и онѣ всегда будутъ совпадать, тогда
какъ прямоугольники совершенно не обладаютъ этимъ свой-
ствомъ, а равнобедренные треугольники могутъ совпадать при
двоякомъ положеніи. Если мы сдѣлаемъ два равныхъ равнобед-
ренныхъ треугольника цвѣтными, то увидимъ, что ихъ можно
накладывать и переворачивая и не переворачивая, причемъ
только основанія должны быть положены другъ на друга.

§ 8. Площади косоугольниковъ или параллелограммовъ.
Слово параллелограммъ по моему можетъ быть уже вве-
дено въ курсъ. Изученіе способа измѣренія площадей можно
начать со способа образованія параллелограммовъ изъ тре-
угольниковъ, полученныхъ отъ разрѣзанія по діагонали ква-
дратовъ и прямоугольниковъ, причемъ въ этомъ случаѣ линія
соединенія и будетъ высотой, такъ что мы всегда будемъ по-
лучать соизмѣримыя площади. Это свойство, легко замѣтное
изъ способа полученія, можно провѣрить обратно, вырѣзавъ
фигуру изъ цвѣтной бумаги и согнувъ ее по меньшей діаго-
нали. При полученіи этой фигуры слѣдуетъ обратить вниманіе
учениковъ, что она получается изъ прямоугольника не пере-
ворачивая треугольника, а только передвигая его на новое МЕ-
СТО, тогда какъ равнобедренный треугольникъ мы могли полу-
чить переворачивая одинъ изъ треугольниковъ на другую сто-
рону. Кромѣ того здѣсь же можно указать, что противополож-
ныя стороны фигуры называются параллельными и основываясь
на этихъ свойствахъ можно начертить параллелограммъ, въ
которомъ провести высоту. При чемъ мож-
но показать, какъ можно убѣдиться, что
площадь всякаго параллелограмма равна
произведенію основанія на высоту. Чтобы
доказать это возьмемъ произвольной ве-
личины параллелограммъ, проведемъ въ
немъ двѣ равныя высоты БГ и BE, отрѣжемъ треугольникъ
АБГ и приставимъ его къ сторонѣ ВД, тогда получимъ пря-
моугольникъ БВГЕ, котораго площадь очевидно равна пло-
щади параллелограмма.
Чему равна площадь параллелограмма, у котораго основа-
ніе равно 8 дюйм., а высота 6 дюймамъ? Какъ можно изъ дан-
наго прямоугольника получить параллелограммъ? Зависитъ ли
площадь параллелограмма отъ угла между его сторонами? Какъ
называются два параллелограмма не равныхъ; но имѣющихъ
одинаковую площадь' (равновеликими).
Здѣсь я лишь въ сжатомъ видѣ коснулся того, какъ можно
было бы ввести геометрію въ курсъ начальнаго обученія. На
практикѣ легко пополнить недостающіе вопросы, однако не
расширяя курса, т. е. не затрачивая новый матеріалъ. Если
этотъ курсъ привьется, то практика скоро покажетъ, въ чемъ
онъ можетъ быть пополненъ.

ГЛАВА III.
Производство ариѳметическихъ дѣйствій надъ числами
въ предѣлахъ до' 1000.
§ 1. Предварительныя замѣчанія.
Разсмотрѣнный матеріалъ обученія въ первыхъ двухъ гла-
вахъ, по моему разсчету займетъ первое полугодіе, второго
года обученія; или третье полугодіе съ начала обученія. Не
могу здѣсь вновь не повторить уже раньше высказанной мною
мысли о томъ, что въ высшей степени благодѣтельной для обу-
ченія была бы реформа, которая позволила бы дѣлать пере-
группировку учениковъ не по годамъ, а по полугодіямъ. Такъ
въ настоящемъ курсѣ тѣ ученики, которые почему-либо плохо
усвоили таблицу умноженія, будутъ отсталыми, а ея повторенія
не будетъ уже въ дальнѣйшемъ въ томъ видѣ, какъ это для
нихъ нужно: имъ необходимо подольше остановиться именно
здѣсь, и тогда все остальное обученіе будетъ интересно и про-
дуктивно.
Что касается до дальнѣйшаго курса, то передъ нами въ
ближайшемъ будущемъ двѣ задачи: расширеніе области счета
и расширеніе изученія зависимыхъ величинъ; этими двумя за-
дачами я и думаю заполнить третье полугодіе обученія. Какъ
ихъ распредѣлить?—Я выбралъ тотъ путь, когда расширеніе
области счета предшествуетъ расширенію знакомства съ зави-
симыми величинами. Причина этого слѣдующая: Изобразивъ
количество числомъ, мы разсматриваемъ его не какъ количе-
ственную, а какъ числовую величину, и распространяемъ на
эту величину свойства чиселъ. Но прежде чѣмъ распростра-
нять эти свойства, мы должны ихъ изучить, т. е. вывести пра-
вила производства дѣйствія и приложить эти правила къ вы-
численій} и выясненію соотношеніи между количествами. Въ
такой постановкѣ вопроса мы сливаемъ количество съ числомъ
и при помощи вычисленій убѣждаемся въ справедливости тѣхъ

количественныхъ соотношеніи, которыя должны быть выведены
непосредственно. Но этотъ непосредственный выводъ еще не
доступенъ ученикамъ по возрасту, вслѣдствіе чего мы и выби-
раемъ доступный имъ путь вычисленій. Такъ напримѣръ, из-
мѣряя углы въ градусахъ и вычисляя величины угловъ, мы мо-
жемъ познакомить учениковъ съ свойствами вписанныхъ угловъ
правильныхъ многоугольниковъ; геометрическія доказательства
этихъ свойствъ непосильны. Точно также мы можемъ затро-
нуть нѣкоторые вопросы физики, какъ, напримѣръ, вопросъ о
количествѣ теплоты, вопросъ о движеніи и т. и.
Такимъ образомъ путь моего изученія отмѣчается слѣдую-
щій. Мы разсматриваемъ число, какъ совокупность разсыпаю-
щихся единицъ и на этомъ представленіи выводимъ правила
дѣйствій. Потомъ разсматриваемъ количества и доказываемъ
или, лучше сказать, выясняемъ на примѣрахъ приложимость
этихъ правилъ къ вычисленію количествъ и тѣ ограниченія,
которыя вытекаютъ изъ новыхъ свойствъ разсматриваемыхъ
величинъ.
§ 2. Полученіе трехзначныхъ чиселъ.
Передъ нами въ будущемъ находится очень сложная за-
дача-изученіе нумераціи, и эта задача имѣетъ въ настоящемъ
еще конкретные опорные пункты, но въ будущемъ она ихъ
потеряетъ, и это будущее будетъ имѣть внутреннюю связь съ
настоящимъ. Въ силу этого будущаго я предложилъ бы 1000
изучить конкретно, хотя это и представляетъ немаловажныя
техническія трудности. Возможность такого изученія мнѣ ри-
суется въ слѣдующемъ видѣ. Предложимъ ученикамъ собрать
спички, или раздадимъ имъ палочки и попросимъ къ слѣдую-
щему уроку связать ихъ по десяти штукъ. Ученики принесутъ
въ классъ десятки палочекъ, уже подсчитанныхъ; эти десятки
мы свяжимъ въ сотни, рѣзко выдѣливъ ихъ особой цвѣтной
завязкой. Все это сдѣлаемъ на урокѣ. Затѣмъ отсчитаемъ 10
сотенъ и свяжемъ ихъ въ особую пачку и скажемъ, что 10 со-
тенъ называется тысяча.
Теперь на столѣ учителя должны лежать: 1 тысяча; 10 со-
тенъ, 100 десятковъ и куча палочекъ не связанныхъ. Онъ бе-
ретъ 5 сотенныхъ пачекъ и спрашиваетъ, сколько здѣсь пало-
чекъ? Сколько палочекъ въ 3 сотняхъ и 5 десяткахъ? Сколько
палочекъ въ 8 сотняхъ? Въ 8 сотняхъ и 7 десяткахъ?
Когда на рядѣ отвѣтовъ на эти вопросы учитель убѣдится,
что дѣти правильно считаютъ сотни, то онъ можетъ перейти

къ счетамъ и показать, какъ на нихъ откладываются сосчи-
танныя числа. На счетахъ дѣти будутъ класть числа и обрат-
но: положенныя числа прочитывать. Эти упражненія позволя-
ютъ конкретный счетъ палочекъ перевести въ систематическій:
косточекъ счетъ.
Потомъ проведемъ на доскѣ три вертикальныя черты и
подпишемъ: сотни, десятки, единицы. Положимъ на счетахъ
852 и запишемъ его цифрами въ соотвѣтственныхъ графахъ.
Напишемъ число 732 при помощи нашихъ вертикальныхъ раз-
граничение на доскѣ и положимъ его на счетахъ; положимъ
число 604 и запишемъ его и т. д Упражняя такимъ образомъ
одновременно въ откладываніи на счетахъ и записи чиселъ,
легко довести дѣтей до сознанія, какъ надо записывать число.
Когда такая запись будетъ вполнѣ усвоена, и ученики на-
учатся писать трехзначныя числа, то можно думать, что они
постигли сущность счета, именно тотъ отвлеченный навыкъ,
при которомъ мы свободно обращаемся съ 1000. Однако я счи-
талъ бы еще вопросъ неоконченнымъ,—надо дать конкретное
представленіе 1000. Въ такомъ конкретномъ представленіи ты-
сяча очень нуждается по двумъ причинамъ, по своей величинѣ
она заходитъ за предѣлы счетныхъ группъ, и было бы странно
требовать ея полученія сосчитываніемъ по единицѣ; какъ куча
палочекъ связанныхъ въ пучки, она не дастъ истиннаго пред-
ставленія численности; это—множественность, но не числен-
ность. Между тѣмъ тысяча есть новая единица счета, которая
дальше должна дать идею милліона, и въ то же время она за-
канчиваетъ первый счетный классъ и начинаетъ второй. Этотъ
первый рубежъ нумераціи и требуетъ конкретнаго представ-
ленія. Я предложилъ бы для этой цѣли воспользоваться ли-
тромъ, познакомивъ учениковъ съ метрической системой.
Покажемъ ученикамъ обычную мензурку въ видѣ цилин-
дрическаго стакана, раздѣленнаго на сантиметры. Потомъ возь-
мемъ кубическій дециметръ въ видѣ стекляннаго куба съ про-
зрачными стѣнками. Нальемъ воды въ мензурку и перельемъ
ее въ куб. дециметръ. Ихъ объемы будутъ равны. Теперь сдѣ-
лаемъ 1000 бумажныхъ куб. сант. и пополнимъ ими куб. де-
циметръ. Итакъ въ мензуркѣ помѣщается 1000 кубич. сантим,
воды.
Далѣе можно дать ученикамъ по стеклянному куб. деци-
метру и коробку съ бумажными куб. сантиметрами и предло-
жить имъ уложить рядами эти кубики. Здѣсь ученики на-
глядно могутъ убѣдиться, какъ изъ десятковъ составляются
сотни, а изъ сотенъ составляется 1000, Недостатокъ этого ме-
тода состоитъ въ томъ, что 1000 единицъ не подраздѣляется

удобно на промежуточныя мѣры; но цѣльность образа застав-
ляетъ все таки воспользоваться этимъ пособіемъ.
Оканчивая изученіе счета, нужно вновь вернуться къ ме-
тр}7, съ которымъ ученики уже знакомы въ общихъ чертахъ;
они знаютъ и подраздѣленія метра на сантиметры. Теперь
имъ нужно показать дециметры и милиметры. Тогда поставить
рядъ слѣдующихъ задачъ: Сколько сантиметровъ въ 6 метрахъ?
Сколько метровъ въ 625 сантиметрахъ? Какъ можно изобра-
зить число 625 сантиметровъ? Отвѣтъ 6 метровъ и 62 санти-
метра. Сколько дециметровъ въ 5 метрахъ? Сколько сантиме-
тровъ въ 7 дециметрахъ? Сколько дециметровъ въ 632 санти-
метрахъ? Какъ можно изобразить это число? Отвѣтъ 63 деци-
метра и 2 сантиметра или 6 метр. 3 децим. 2 сант. Какъ можно
изобразить число 738 сантиметровъ? Сколько въ сантиметрѣ
миллиметровъ? Сколько миллиметровъ въ 20 сантиметрахъ?
Сколько миллиметровъ въ 20 дециметрахъ? Сколько миллиме-
тровъ вт, 15 сантиметрахъ? Какъ можно изобразить иначе число
672 миллиметра?
Когда метръ и его подраздѣленія будутъ изучены, то можно
обобщить ихъ на числахъ, гдѣ поставить вопросы: сколько де-
сятковъ въ числѣ 546? Сколько единицъ? Сколько сотенъ? Какъ
можно иначе записать число 546? Отвѣтъ 5 сот. 4 дес. 6 един.
Сколько единицъ въ числѣ 72 десятка? Есть ли тутъ сотни?
Сколько ихъ? Почему? Изобразите число 356 иначе? Напишите,
сколько будетъ, если дано 4 сот. 7 десят. и 9 единицъ.
Когда ученики такимъ образомъ вполнѣ овладѣютъ соста-
вомъ 1000, то можно перейти къ дѣйствіямъ подъ трехзнач-
ными числами.
§ 3. По вопросу о методахъ преподаванія.
Въ предыдущемъ изложена вся предварительная подготовка,
необходимая для пониманія сущности теоретическихъ построе-
ній. Эти теоретическія, строго научныя построенія могутъ быть
начаты теперь по отношенію къ двумъ простѣйшимъ дѣйстві-
ямъ: сложенія и вычитанія.
Относительно ихъ слѣдуетъ сказать нѣсколько словъ. Со-
временные методисты видятъ особыя преимущества въ катехи-
зическомъ методѣ изученія ариѳметики, при которомъ сами
учащіеся находятъ необходимыя правила дѣйствій. Въ этомъ,
какъ думаютъ методисты, есть новое педагогическое завоева-
ніе и говорятъ, что они порываютъ такимъ образомъ связь со
старыми традиціями, когда ученики заучивали правила со словъ

учителя и производили дѣйствія, мало ихъ понимая. Однако
практика школы довольно ясно показываетъ, что въ этихъ
словахъ много мечты и стремленій къ лучшему, но мало жиз-
ненной правды. Дѣти и современной школы также запоминаютъ
правила дѣйствій и производятъ ихъ безсознательно. Мнѣ ка-
жется, что вопросъ о методахъ, при которыхъ дѣти будутъ
понимать, что они дѣлаютъ, есть вопросъ далекаго будущаго,
а пока мы только можемъ мечтать объ этомъ. Въ силу этого
я бы не осудилъ такъ строго старыхъ педагоговъ и думаю, что
въ ихъ методѣ было много цѣннаго.
По существу здѣсь есть нѣкоторое психологическое непо-
ниманіе. Дѣло въ томъ, что пониманіе сущности идеи незави-
ситъ отъ метода ея воспріятія, а формулировка идеи всегда
есть дѣло памяти. Баронъ Корфъ говоритъ: „напишите на дос-
кѣ нѣсколько слагаемыхъ и заставьте составить ихъ сумму.
Ученикъ, сложивши первый рядъ, скажетъ, положимъ 13, три
пишу, а одинъ замѣчаю. Спросите его: „ты пишешь три чего?
Чего замѣтишь одинъ? и почему прибавляешь его къ слѣдую-
щему ряду слагаемыхъ?“ Ученикъ выпучитъ глаза и крайне
удивится вашему вопросу“. Я склоненъ думать, что въ этомъ
нисколько не заинтересовано пониманіе ученика. Вы его вы-
учили, что 3 единицы подписываются подъ единицами, и одинъ
десятокъ прикладывается десяткамъ, и неужели вы думаете,
что ученикъ, запомнившій эти слова, будетъ производить сло-
женіе сознательнѣе? Онъ просто къ правилу производства дѣй-
ствія присоединитъ въ своей памяти нѣсколько хорошихъ словъ,
которые ему необходимы для строгаго и придирчиваго экзамена-
тора. Но отъ этихъ словъ пониманіе дѣйствія нисколько не выиг-
рано,, а въ общемъ говоря, при прочихъ дѣйствіяхъ—все это бал-
ластъ памяти, отъ котораго онъ спѣшитъ освободиться. Чтобы
ученикъ понялъ сущность сложенія, нужно нѣчто иное, что
именно,—мы пока не знаемъ. Лично я думаю, что мой методъ
ведетъ къ этой цѣли, а можетъ быть я и ошибаюсь. Но, если
это остается балластомъ памяти, то формальное сообщеніе учи-
телемъ опредѣленій дѣйствій, наименованіе и смыслъ данныхъ
чиселъ для производства дѣйствія, запоминаніе правила этого
производства,—все это составляетъ необходимый элементъ обу-
ченія, избѣжать котораго нельзя, и который надо запомнить.
Какъ его запомнить? это вопросъ иной, но запомнить необхо-
димо. Исходя изъ этого, я думаю, что если мой методъ имѣетъ
зерно истины, то у учениковъ къ четвертому полугодію долж-
но накопиться такая сумма внутреннихъ впечатлѣній, что имъ
необходимо ихъ оформить, въ нихъ разобраться. Иначе говоря,

они имѣютъ идеи, для которыхъ нужно подобрать слова. Эти
слова должны быть сказаны учителемъ, а ученики должны вло-
жить въ нихъ истинное содержаніе. Если этого еще нѣтъ, то
собственно методъ никуда не годится, и надо поискать въ немъ
ошибокъ и его измѣнить.
Вотъ почему я думаю, что относительно сложенія и вычи-
танія мы можемъ говорить съ дѣтьми вполнѣ научнымъ язы-
комъ и заставить ихъ запомнить научныя опредѣленія и на-
именованія данныхъ и получаемыхъ чиселъ, а равно и ихъ
свойства.
§ 4. Сложеніе трехзначныхъ чиселъ.
Опредѣленіе. Сложеніе чиселъ есть ариѳметическое дѣйствіе,
посредствомъ котораго мы составляемъ новое число, имѣющее
столько единицъ, сколько ихъ содержится во всѣхъ данныхъ
числахъ.
Относительно этого опредѣленія слѣдуетъ замѣтить, что
здѣсь рѣчь идетъ о сложеніи чиселъ, а не о сложеніи коли-
чествъ; здѣсь опредѣляется не дѣйствіе, какъ таковое, а дѣй-
ствіе, производимое надъ числами, а подъ числомъ мы разу-
мѣемъ группу разсыпающихся единицъ. Это опредѣленіе уче-
ники должны запомнить со словъ учителя и понять, что оно
относится къ сложенію отвлеченныхъ чиселъ. Его можно по-
яснить сложеніемъ палочекъ, косточекъ счетъ, другихъ счет-
ныхъ предметовъ; но нужно рѣзко выдѣлить отъ сложенія ко-
личествъ, напр. длины, вѣсовъ и пр. Когда опредѣленіе будетъ
вполнѣ усвоено на примѣрахъ двузначныхъ чиселъ, то оно ля-
жетъ въ основу вывода правила сложенія чиселъ. Кромѣ этого
опредѣленія, ученики должны запомнить еще, что числа, дан-
ныя для сложенія, называются слагаемыми, а число, которое
получается—суммою.
Въ дальнѣйшемъ я не буду детально описывать урокъ,
какъ это дѣлалъ до сихъ поръ, а просто изложу существен-
ный ходъ теоретическаго построенія.
Пусть намъ дано сложить 256 и 123; это значитъ, что намъ
нужно найти число, имѣющее столько единицъ, сколько ихъ
содержится въ числахъ 256 и 123. Первое изъ этихъ чиселъ
содержитъ 2 сотни 5 десятковъ и 6 единицъ; второе число со-
держитъ 1 сотню 2 десятка и 3 единицы. Чтобы удобнѣе было
сосчитать, сколько единицъ содержитъ сумма этихъ чиселъ,
подпишемъ ихъ одно подъ другимъ, такъ чтобы одноимен-

ные числовыя группы находились другъ подъ другомъ, полу-
чимъ:
2 сотни 5 десятковъ 6 единицъ
• м 2 „ 3 „
Сложимъ каждую группу другъ съ другомъ и подпишемъ
суммы подъ соотвѣтственными слагаемыми, тогда
2 сотни 5 десятковъ 6 единицъ
1 2 3
3 сотни 7 десятковъ 9 единицъ или 379 един.
Обыкновенно это дѣлается проще. Числа подписываются
одно подъ другимъ такъ, чтобы единицы находились подъ еди-
ницами, десятки подъ десятками и сотни подъ сотнями. Ста-
вится знакъ сложенія + сбоку, слагаемыя подчеркиваются и
сумма подписывается подъ чертой, тогда само дѣйствіе будетъ
имѣть видъ
256
r 123
~376~
Пусть теперь дано сложить 456 и 378. Представивъ эти
числа какъ суммы числовыхъ группъ, получимъ
4 сот. 5 дес. 6 ед.
3 сот. 7 дес. 8 ед.
При сложеніи одинаковыхъ группъ мы получаемъ число
единицъ больше соотвѣтствующаго разряда. Такъ 6 ед.+8 ед.
даетъ 14 единицъ или 1 десятокъ и 4 единицы. Точно также
и число десятковъ больше 10. Чтобы объяснить процессъ сло-
женія, мы напишемъ сначала всѣ суммы сполна, тогда
4 сот 5 дес. 6 ед.
+ 3 , 7 . 8^
7 с. 12 д. 14 ед.
и говоримъ, что 14 единицъ даютъ одинъ десятокъ и 4 еди-
ницы; мы оставляемъ 4 единицы подъ единицами, а десятокъ
прикладываемъ къ десяткамъ, получимъ 13 десятковъ или 1
сотню и 3 десятка. Оставляемъ 3 десятка подъ десятками, а

сотню прикладываемъ къ сотнямъ. Тогда наша запись можетъ
быть представлена въ видѣ
I I
4 сотни 5 десят. 6 един.
3 „ 7 „ 8 ,,
8 сот. 3 десят. 4 ед. или 834 единицы.
Это дѣйствіе можно записать проще, именно
456
378
834
Отсюда вытекаетъ правило: чтобы сложить два данныхъ
числа, нужно ихъ подписать одно подъ другимъ такъ, чтобы
единицы находились подъ единицами, десятки подъ десятками
и сотни подъ сотнями. Сложеніе начинаемъ съ единицъ, и если
получаемъ число меньше 10, то его подписываемъ подъ едини-
цами, а если получаемъ число больше 10. то подъ единицами
подписываемъ только единицы найденной суммы, а десятки
прикладываемъ къ десяткамъ, подписывая ихъ сверху. Затѣмъ
складываемъ десятки и поступаемъ также, а затѣмъ перехо-
димъ къ сложенію сотенъ. Это правило можно формулировать
и другими словами. Слѣдуетъ замѣтить, что формулировку
правила сложенія дѣти могутъ сдѣлать сами, нѣкоторая не-
точность выраженій здѣсь совершенно не важна, важно
лишь то, чтобы они запомнили самый процессъ дѣйствія.
Очень важно, чтобы упражненія велись одновременно на
счетахъ и на цифрахъ; это дастъ хорошую идею состава числа
и яснѣе устанавливаетъ процессъ дѣйствія.
Что касается до сложенія большаго числа чиселъ, то я бы
ввелъ обычай складывать по два, а потомъ складывать полу-
ченныя суммы. Этотъ процессъ выясняетъ въ будущемъ важ-
ную тіорему о томъ, что отъ перестановки слагаемыхъ сумма
не измѣняется. Эту тіорему полезно продемонстрировать и
здѣсь, заставляя сосчитывать суммы въ разномъ порядкѣ.
Пусть дано
238 + 452 + 365 + 36.
Сложить сначала такъ (238 + 452) + (365 + 36); потомъ
такъ (238 + 36) + (452 + 365); потомъ такъ (238 + 365) + (452 +
+ 36). Одинаковость результатовъ оправдаетъ установленіе
теоремы.

Но кромѣ того, эта перемѣна порядка слагаемыхъ и за-
ключеніе ихъ скобки, даетъ идею раскрытія скобокъ, передъ
которыми стоитъ знакъ -4- и въ то же время пріучаетъ къ вы-
численія) однородныхъ суммъ: здѣсь одни и тѣ же числа вхо-
дятъ въ различныхъ комбинаціяхъ, и память легче удержива-
етъ тѣ суммы, которыя чаще встрѣчаются.
На вычисленій суммъ слѣдуетъ остановиться подольше, да-
вая примѣры числовыхъ вычисленій. Эти примѣры могутъ быть
двоякаго вида: или со скобками или безъ скобокъ. Въ первомъ
случаѣ надо вычислить, какъ указано въ задачѣ, потомъ пред-
ложить ученикамъ раскрыть скобки и написать слагаемыя въ
иномъ порядкѣ; вновь поставить скобки и вычислить. Подборъ
задачъ долженъ быть таковъ, чтобы по возможности чаще
встрѣчать трудныя суммы 6 + 7; 8 + 5 и т. п. Запоминаніе
этихъ суммъ довольно трудно, а потому упражненія въ нихъ
особенно полезны
Отдѣлъ можетъ закончиться сложеніемъ одного и того же
числа нѣсколько разъ; напр. 276 + 276 + 276 + 276 или
58 + 58 + 58 + 58 + 58 + 58 и т. п.
Если дѣти и догадаются, что это можно короче сдѣлать
умноженіемъ, но мы умноженія не знаемъ, а потому придется
поневолѣ складывать.
§ 5. Сложеніе количествъ.
Отъ сложенія чиселъ можно перейти къ сложенію коли-
чествъ, которыя обычно называются именованными числами.
Здѣсь необходимо выяснить во-первыхъ, что мы имѣемъ право
складывать только однородныя количества, измѣренныя одной
и той же единицей. Это сложеніе можно дать въ видѣ общихъ
задачъ безъ текста, въ родѣ напр. слѣдующихъ:
1) (15 пуд. 23 ф. 4 зол.) + (17 пуд. 14 ф. 16 зол.).
2) (35 вер. 249 саж. 2 ар.) + (49 вер. 315 саж. 1 ар.).
При рѣшеніи мы подписываемъ одно слагаемое подъ дру-
гимъ такъ, чтобы одинаковыя наименованія находились другъ
подъ другомъ, напр.
15 пуд. 23 ф. 4 зол.
+ 17 „ 14 , 15 „
32 пуд. 37 ф. 10 зол.

Если въ какомъ либо наименованій получится число, со-
ставляющее единицу высшаго наименованія, то переписываемъ
полученную сумму вновь, прибавляя къ соотвѣтственному на-
именованіе* число полученныхъ единицъ этого наименованія,
напримѣръ:
35 вер. 249 саж. 2 ар.
+ 49 „ 315 „ 1 „
84 вер. 564 саж. 3 ар. или 85 вер. 65 сж.
Такое упражненіе полезно въ томъ отношеніи, что оно
позволяетъ вновь проработать предыдущую теорію, ясно пока-
зывая, какъ изъ меньшихъ единицъ составляются большія:
такъ изъ единицъ составляются десятки; изъ десятковъ—сотни, а
здѣсь изъ аршинъ составляются сажени, изъ саженей—версты.
Я предлагаю эти задачи ввести въ началѣ безъ текста,
имѣя въ виду уясненіе процесса сложенія разсыпающихся чи-
селъ. Однако здѣсь необходимо разсмотрѣть два вопроса. Пер-
вый изъ нихъ состоитъ въ томъ, необходимо ли осложнять за-
дачу тремя послѣдовательными наименованіями: быть можетъ
достаточно всегда и вездѣ брать только два слѣдующихъ другъ
за другомъ наименованія? На этотъ вопросъ я не могу дать
рѣшительнаго отвѣта и только укажу тѣ соображенія, на осно-
ваніи которыхъ я ввожу не два, а три наименованія и ничего
не имѣю противъ 4-хъ, 5-ти. Сами по себѣ задачи на сложеніе
какихъ угодно сложныхъ именованныхъ чиселъ совершенно не-
трудны и вполнѣ посильны, а потому введеніе ряда наимено-
ваній не можетъ затруднить дѣтей; но мы имѣемъ въ виду не
теорію сложенія количествъ, а практику этого сложенія, да
еще особо приспособленную къ уясненію сложенія чиселъ. Мы
разсматриваемъ сложеніе чиселъ трехзначныхъ, а потому хо-
рошо взять и именованное число изъ трехъ наименованій.
Второй вопросъ является болѣе труднымъ, онъ состоитъ
въ томъ, что каждое количество имѣетъ свойство непрерыв-
ности, тогда какъ мы имъ пользуемся для уясненія сложенія
прерывныхъ, разсыпающихся на единицы чиселъ. Имѣемъ ли
мы на это право, и не вложимъ ли мы особаго вреднаго пред-
ставленія въ умы учениковъ? Лично я думаю, что нѣтъ. Хотя
при производствѣ дѣйствія мы сближаемъ именованное число
со счетнымъ, т. е. представляемъ себѣ, что длина или вѣсъ
какъ бы разрублены на рядъ кусковъ даннаго размѣра, а эти
куски будучи сложены, даютъ, намъ кусокъ слѣдующаго раз-
мѣра (изъ аршинъ получимъ сажени; изъ фунтовъ—пуды); но
это представленіе въ данномъ возрастѣ не вмѣщается еще въ

дѣтскую голову и остается поэтому внѣ сознанія ребенка. Для
него на первомъ мѣстѣ число, а каково это число, что оно со-
бой представляетъ?—онъ объ этомъ еще и не думаетъ, да и не
долженъ думать. Все это идеи высшаго порядка. Ребенокъ
знаетъ, что длина непрерывно тянется, что вѣсъ непрерывно
возрастаетъ; но это его знаніе не связывается съ вопросомъ о
числовомъ представленіи, и число, какъ таковое, имѣетъ осо-
бое мѣсто въ его самосознаніи—sui generis. Въ этомъ нѣтъ ни-
какого недостатка или ущерба; но уподобляя единичныя отно-
шенія именованныхъ чиселъ единичнымъ отношеніямъ десятич-
ныхъ группъ, ученикъ уяснитъ себѣ эти послѣднія и, какъ
мнѣ думается, вполнѣ сознательно дастъ отвѣтъ на вопросъ
бар. Корфа—почему онъ 3 пишетъ подъ единицами, а десять
прикладываетъ къ десяткамъ.
§ 6. Свойства суммы. Задачи.
Основное свойство суммы состоитъ въ томъ, что сумма не
мѣняется отъ перестановки порядка слагаемыхъ, а также и въ
томъ случаѣ, если мы будемъ складывать, комбинируя слагае-
мыя въ какія-либо произвольныя группы. Чтобы выяснить это
свойство, лучше всего взять подсчетъ какихъ-либо расходовъ,
производя его на счетахъ. Нижеслѣдующія задачи можно дѣ-
лать такъ: одинъ ученикъ считаетъ на счетахъ, а другой скла-
дываетъ на доскѣ,— одинаковость результатовъ даетъ возмож-
ность повѣрки. Счеты могутъ быть не только классные, боль-
шіе; но ихъ можно дать ученикамъ на мѣста. Тогда часть уче-
никовъ считаетъ на счетахъ, а часть на бумагѣ. Задачи мо-
гутъ быть такія:
1) Подсчитать расходъ: 17 р. 56 к.
14 р. 81 к.
13 р. 14 к.
15 р. 7 к.
Столбецъ расхода не долженъ быть очень длиннымъ, хотя
здѣсь можетъ быть дана и страница фактической расходной
книжки. При ея подсчетѣ на бумагѣ нужно рекомендовать уче-
никамъ соединять расходы въ группы и потомъ складывать
эти группы.
Здѣсь же можетъ быть показана и повѣрка сложенія—сло-
женіемъ и выясненъ вопросъ, почему одинаковость резуль-
тата служитъ гарантіей правильности дѣйствія.

Послѣ выясненія этого свойства, въ задачахъ, необходимо
еще затронуть вопросъ о „больше на нѣсколько единицъ“. Эти
задачи были уже разсмотрѣны и не представляютъ собою ни-
чего новаго; но здѣсь можно фактически показать, что увели-
ченіе слагаемаго ведетъ за собою и увеличеніе суммы на столь-
ко же единицъ.
Но, кромѣ всѣхъ этихъ обычныхъ типовъ задачъ, здѣсь
хорошо дать упражненія въ нахожденія периметра разныхъ гео-
метрическихъ фигуръ.
Для этого возьмемъ масштабъ, принявъ сантиметръ за ар-
шинъ. Какъ начертить длину въ 5 аршинъ? Какъ начертить
длину въ 8 аршинъ? Надо склеить коробку, длина которой 6
сант., а ширина 4 сант., какой величины картонъ надо вырѣ-
зать для этой коробки? Начертите эту длину въ тетрадяхъ и
разбейте ее на куски нужной длины.
Отъ этихъ конкретныхъ задачъ можно перейти къ зада-
чамъ отвлеченнымъ, гдѣ данная прямая условно принимается
за такую, которой длина извѣстна. напр. на неопредѣленной
прямой отъ точки А отложены длины: АБ равная 15 ф. 8 дм.,
БВ, равная 14 фут. 5 дм. и ВГ, равная 7 фут. 2 дм. Опредѣ-
лить длину АГ.
Начертите въ тетрадяхъ прямую линію и возьмите на ней
точку., поставьте букву А, отложите отъ этой точки длину
АБ и запишите, что АБ = 15 ф. 8 дюйм., потомъ отложите
длину БВ и запишите, что БВ = 14 ф. 5 дюйм.; затѣмъ отло-
жите длину ВГ и запишите, что ВГ = 7 ф. 2 д. Какъ узнать,
чему будетъ равна длина АГ? Можно ли было бы эту задачу
начертить въ тѣхъ мѣрахъ, какъ она дана?
Почему этого нельзя сдѣлать? Какъ ее можно изобразить
чертежемъ? (Въ масштабѣ) удобно ли это? Нельзя ли ее на-
чертить произвольно? Какую выгоду имѣетъ произвольный
чертежъ?
Нарисуйте по линейкѣ въ тетрадяхъ треугольникъ какой-
нибудь. Обозначимъ его углы буквами М, Н и П; положимъ,
что стороны МН = 3 ф. 5 дюйм , сторона МП = 4 ф. 3 дм. и
сторона НП = 5 ф. 8 дм. Опредѣлить периметръ этого тре-
угольника.
Нарисуйте какой-нибудь четыреугольникъ и поставьте въ
его вершинахъ буквы А, Б, В, Г. Пусть сторона АБ = 14 ф.
7 дюйм., сторона БВ = 15 ф. 8 дюйм., сторона ВГ = 27 фут.
5 дюйм, и сторона АГ = 13 ф. 4 д. Опредѣлить периметръ че-
тыреугольника.
Изобразите чертежемъ такую задачу: три города Москва,
Нижній и Кострома занимаютъ на картѣ нѣкоторый треуголь-

никъ. Сколько верстъ проѣдетъ путешественникъ, посѣтивши
всѣ три города, если онъ выѣдетъ изъ Москвы и вновь въ
Москву вернется. Разстояніе отъ Москвы до Нижняго по же-
лѣзной дорогѣ равно 412 верстъ; отъ Нижняго до Костромы
по шоссѣ 230 верстъ и отъ Рыбинска до Москвы опять по же-
лѣзной дорогѣ 340 верстъ.
Посмотрите на карту и найдите эти три города. Что мы
дѣлаемъ, рисуя разстояніе между ними въ видѣ прямой линіи?
Получится ли отъ этого ошибка въ вычисленій? Почему нѣтъ?
На рядѣ подобныхъ задачъ можно выяснить тотъ путь от-
влеченія отъ дѣйствительности, который помогаетъ дѣлать вы-
численія, и эти вычисленія вновь провѣрить на дѣйствитель-
номъ опытѣ.
Здѣсь можно было бы перейти и къ дробямъ; но я думаю,
что въ виду вообще большого количества новыхъ идей съ одной
стороны, а съ другой въ виду того, что дальнѣйшія дѣйствія
необходимо пройти скорѣе, то можно непосредственно перейти
къ вычитанію.
§ 7. Вычитаніе трехзначныхъ чиселъ.
Вычитаніе чиселъ можно опредѣлить какъ дѣйствіе, обрат-
ное сложенію, въ которомъ по данной суммѣ двухъ чиселъ и
одному изъ нихъ находятъ другое.
Здѣсь я позволю себѣ сказать нѣсколько словъ по поводу
опредѣленій дѣйствія. Собственно опредѣленіе есть то условіе,
изъ котораго вытекаетъ объясненіе правила производства дѣй-
ствія; вслѣдствіе этого само по себѣ опредѣленіе не есть нѣ-
что навсегда установленное, —оно, скорѣе представляетъ собою
тотъ ходъ логической мысли, согласно которому правило про-
изводства получаетъ логическое обоснованіе. Относя, разсмо-
трѣніе этого вопроса по существу къ „Введенію въ методику“,
я укажу теперь только на то, что опредѣлить вычитаніе можно
было бы непосредственно, какъ самостоятельное дѣйствіе. Въ
такомъ видѣ мы и разсматривали это дѣйствіе въ предыду-
щемъ; но теперь передъ нами нѣсколько иная задача, — какъ
объяснить правило производства дѣйствія надъ числами. Для
рѣшенія этой задачи, мнѣ кажется всего удобнѣе опредѣлить
вычитаніе какъ обратное дѣйствіе.
Взявши это опредѣленіе, мы тѣмъ самымъ уже совершенно
исключаемъ всѣ другія возможности, и все дальнѣйшее должны
разсматривать подъ условіемъ взятаго опредѣленія.
Это опредѣленіе необходимо пояснить дѣтямъ на примѣрѣ,

въ которомъ легко было бы видѣть слѣдствія, изъ него выте-
кающія. Пусть намъ дано изъ 965 вычесть 252. Число 965 есть
сумма двухъ чиселъ 252 и какого то другого числа, которое
мы пока не знаемъ. Чтобы узнать это число, мы припомнимъ,
какъ мы складывали числа: тамъ мы къ двумъ единицамъ числа
252 прибавляли единицы другого числа и получили 5 единицъ
Значитъ, если мы изъ 5 единицъ отнимемъ 2 единицы, то по-
лучимъ единицы искомаго числа,-ихь будетъ 3.
Точно также при сложеніи къ 5 десяткамъ числа 252 мы
прикладывали десятки другого числа и получили 6 десятковъ,
слѣдовательно, если мы теперь отъ 6 десятковъ отнимемъ 5 де-
сятковъ, то получимъ десятки искомаго числа, ихъ будетъ 1.
Совершенно также разсуждаемъ относительно сотенъ.
Итакъ, мы получаемъ правило вычитанія: чтобы изъ одного
числа вычесть другое, мы должны отъ каждаго разряда пер-
ваго вычесть тотъ же разрядъ второго, т. е. единицы вычесть
изъ единицъ, десятки изъ десятковъ и сотни изъ сотенъ.
Чтобы удобнѣе производить это вычитаніе, числа подпи-
сываются одно подъ другимъ такъ чтобы одинаковые разряды
находились другъ подъ другомъ, потомъ проводится черта,
сбоку ставится знакъ вычитанія и подъ чертой подписывается
полученное число.
_ 965
252
713.
Чтобы повѣрить правильность производства дѣйствія, до-
статочно сложить 252 и 713, получимъ 965.
Число 965, изъ котораго вычитаютъ, называется умень-
шаемое. Какъ опредѣлить, какое число называется умень-
шаемое?
Число, которое вычитаютъ, называется вычитаемое.
Число, которое получается, носитъ двойное названіе: оно
называется или остаткомъ или разностью.
Сдѣлаете такіе примѣры: 796 — 354; 562 — 241 и т. п. и
напишите сбоку наименованія. Напишите въ тетрадяхъ, какое
дѣйствіе называется вычитаніемъ? Какъ называются числа,
данныя для вычитанія? Что они собой представляютъ? Можно
ли произвести вычитаніе на счетахъ? Какъ это сдѣлать?
Положимъ теперь, что намъ нужно отъ числа 371 вычесть
число 236. Подпишемъ эти числа одно подъ другимъ и поста-
вимъ знакъ.
_ 371
236

Какое затрудненіе мы встрѣчаемъ здѣсь при вычитаніи и
отчего оно произошло? Чтобы догадаться, какъ поступить въ
этомъ случаѣ, мы напишемъ оба числа такъ:
3 сот. 7 дес 1 един
2 сот. 3 дес. 6 един.
Возьмемъ изъ 6 десятковъ одинъ и этотъ заемъ обозна-
чимъ точкой, поставленной при цифрѣ 7, а взятый десятокъ
раздробимъ въ единицы, тогда мы можемъ вмѣсто 3 сот. 7 дес.
1 един, написать 3 сот. 6 дес и 11 един. Но мы не будемъ пи-
сать цифры 6, а вмѣсто нее напишемъ 7 и поставимъ точку;
эта точка будетъ показывать, что число десятковъ уменьшено
на одинъ. Тогда мы приходимъ къ первому случаю вычитанія,
а именно:
I
3 сот. 7 дес. 11 един.
2 сот. 3 дес. 6 един.
1 сот. 3 дес. 5 един. = 135 един
Итакъ, если въ какомъ либо разрядѣ цифра уменьшаемаго
меньше цифры вычитаемаго, то мы беремъ единицу высшаго
разряда и раздробляемъ его въ единицы низшаго разряда:
Само дѣйствіе записывается короче въ слѣдующемъ видѣ:
371
236
135
Рѣшите слѣдующіе примѣры 562 — 138; 461 — 252; 721 -
— 168. Эти примѣры полезно одновременно сдѣлать на бумагѣ
и на счетахъ. Перейдемъ дальше къ случаю: 702 -- 365. Если
мы запишемъ каждое изъ этихъ чиселъ въ видѣ суммы, то по-
лучимъ
7 сот. 0 десят. 2 един.
3 сот. 6 десят. 5 един.
Такъ какъ отъ 2 единицъ нельзя вычесть 5 единицъ, то
нужно занять десятокъ, а десятковъ нѣтъ; мы беремъ одну
сотню, раздробляемъ ее въ десятки, получимъ 10 десятковъ,
отъ нихъ беремъ одинъ десятокъ и раздробляемъ въ единицы;
тамъ, гдѣ мы занимали ставимъ точки, тогда наши числа на-
пишутся въ видѣ
I I
7 сот. 10 дес. 12 един.
3 сот. 6 дес. 5 един.

Теперь мы можемъ изъ каждаго наименованія вычесть нуж-
ное число единицъ
7 сот. 10 дес. 12 един.
3 сот. 6 дес. 5 един.
3 сот. 3 дес. 7 един. = 337.
Само дѣйствіе располагается короче въ такомъ видѣ
_ 702
365
337
Если подобные примѣры пояснить еще вычитаніемъ на сче-
тахъ, то можно думать, что процессъ вычитанія будетъ ясенъ.
Кромѣ счетъ хорошимъ нагляднымъ пособіемъ могутъ служить
пучки счетныхъ палочекъ, связанныхъ по десяткамъ и по сот-
нямъ, причемъ каждая сотня должна быть связана изъ десят-
ковъ, т. е. палочки собраны по десяткамъ, всѣ десятки завя-
заны красной тесемкой; въ сотняхъ, 10 такихъ пучковъ свя-
заны синей тесемкой.
Ученики откладываютъ 7 сотенныхъ пучковъ и двѣ па-
лочки; чтобы вычесть 365, они развязываютъ синюю ленту
одного пучка, разсылаютъ его на десятки, потомъ берутъ
одинъ изъ десятковъ, развязываютъ красную ленту и разсы-
паютъ его на единицы. Теперь вычитаютъ 365, отнимая отъ
сотенъ сотни, отъ десятковъ десятки, отъ единицъ единицы и
считаютъ полученный остатокъ.
Это упражненіе можно поставить первымъ, и записать въ
видѣ составного числа; потомъ перейти къ счетамъ и запи-
сать въ видѣ обычнаго числа.
Теперь слѣдуетъ сказать нѣсколько словъ относительно
записи числа въ видѣ скрытой суммы съ наименованіемъ раз-
ряда. Въ началѣ я считаю ее очень полезной, такъ какъ она
вскрываетъ внутреннее содержаніе числа; но долженъ замѣ-
тить, что можетъ случиться, что впослѣдствіи придется уче-
никовъ отучать отъ этой записи. Чтобы этого не было я ре-
комендую дѣлать одновременно обѣ записи напримѣръ такъ
3 сот. 12 дес. 14 един. 324
1 сот. 8 дес. 9 един. 189
1 сот. 3 дес. 5 един. 135

Тогда изъ принципа экономіи времени сами дѣти усвоятъ
вторую запись, какъ только поймутъ механизмъ производства
дѣйствія.
Все это я предлагаю пройти исключительно на числовыхъ
примѣрахъ, и когда вычитаніе чиселъ будетъ достаточно усвое-
но, то перейти къ сложнымъ задачамъ на сложеніе и вычита-
ніе въ такомъ видѣ
(562 — 359) + (401 - 136) + (215 — 183).
Рѣшеніе такихъ задачъ дастъ хорошее упражненіе въ за-
поминаніи суммъ и разностей, что необходимо для бѣглаго
счета. Здѣсь хорошо подобрать такъ задачи, чтобы встрѣчать
сложеніе одинаковыхъ чиселъ, тогда запомнятся нѣкоторыя
суммы трехзначныхъ чиселъ, что облегчитъ вычисленіе въ даль-
нѣйшемъ.
§ 8. Вычитаніе количестъ.
Отъ вычитанія чиселъ полезно перейти къ вычитанію слож-
ныхъ именованныхъ чиселъ, для выясненія сущности заниманія
и раздробленія, какъ это было указано при сложеніи. Упраж-
неніе въ этомъ также можно дѣлать на примѣрахъ, не при-
водя задачъ съ текстомъ. Но, кромѣ числового вычитанія ко-
личествъ, полезно указать на вычитаніе длинъ съ указаніемъ
непосредственнаго отложенія этой длины.
Начертите линію, длиною въ 7 сажень, принимая за са-
жень сантиметръ. Обозначьте концы этой линіи буквами А и
Б. Какъ отъ этой прямой отнять длину въ 3 сажени? При
этомъ необходимо условиться считать точку А за начало и от-
кладывать 3 сант. отъ точки В назадъ.
Взята прямая, АБ длиною 20 футовъ; отъ конца А отло-
жена часть АВ, длиною 5 фут. и отъ конца Б отложена часть
БД, длиною 7 футовъ въ обратномъ направленіи. Опредѣлить
длину ВД.
Эту задачу необходимо начертить, принимая футъ за 1/2
сант., или 2 фута за сантиметръ. Отложить указанныя длины
и вычислить. Соединеніе геометрическаго представленія длины
съ числовымъ ея представленіемъ даетъ возможность впослѣд-
ствіи подойти къ вопросу о движеніи; но при рѣшеніи этихъ
задачъ получается еще нѣкоторая психологическая особенность,
а именно чертежъ наводитъ на методъ рѣшенія, который мо-
жетъ быть не одинъ и тотъ же. Такъ въ данномъ случаѣ, мы

можемъ сложить АВ и ДБ и полученную сумму вычесть изъ
20 футовъ; но можемъ поступить и такъ: отнимемъ отъ АБ
часть АВ, получимъ, что ВБ = 15 футамъ; отнимемъ отъ ВБ
часть ДБ, найдемъ, что ВД = 8 футовъ. Эти 8 футовъ можно
сосчитать по чертежу, измѣривъ часть ВД. Можно ли эту за-
дачу начертить безъ масштаба въ произвольной длинѣ?
Къ этимъ задачамъ можно присоединить такія: отъ Мо-
сквы до Петербурга по желѣзной дорогѣ 604 версты. На этой
дорогѣ находятся двѣ станціи Тверь и Бологое. Тверь удалена отъ
Москвы на 157 верстъ, а Бологое отъ Петербурга на 294 вер-
сты. Сколько верстъ отъ Твери до Бологое?
Такую задачу тоже полезно пояснить чертежемъ, но безъ
масштаба, просто принимая нѣкоторую длину равной раз-
стоянію.
Этого рода упражненія я считалъ бы болѣе важными, чѣмъ
рѣшеніе обычнаго типа задачъ. Здѣсь во 1) развивается гео-
метрическое представленіе, а во-вторыхъ дается идея движенія,
столь необходимая впослѣдствіи. Кромѣ того задачи обычнаго
типа ученики уже умѣютъ рѣшать, и ихъ по-моему въ этомъ
мѣстѣ курса можно совершенно опустить. За то обратить боль-
шее вниманіе на геометрію, разсмотрѣвъ задачи такого типа:
„На неограниченной прямой взяты точки А и Б на разстояніи
50 дюймовъ другъ отъ друга. На той же прямой взяты еще
точки В и Г такъ, что АВ = БГ = 10 дюйм. Чему можетъ
быть равно разстояніе между точками В и Г?“ Начертимъ ли-
нію, поставимъ на ней точку А и отложимъ 50 дюйм. въ мас-
штабѣ, принимая 1 сант. за 10 дюймовъ. Въ какомъ направ-
леніи можно отложить АВ? Его можно отложить и направо
отъ А и налѣво отъ А. Задано ли намъ въ задачѣ это напра-
вленіе? Если оно не задано, то мы должны разсмотрѣть раз-
ныя возможности. Положимъ, что мы отложили его вправо,
гдѣ поставимъ точку В. Что намъ сказано относительно БГ?
Такъ какъ направленіе ВБГ также не опредѣлено, то мы мо-
жемъ его отложить по своему. Отложимъ его также вправо
отъ точки Б, гдѣ поставимъ точку Г. Чему равно въ этомъ
случаѣ разстояніе ВГ? Разсмотримъ теперь вторую возмож-
ность: отложивъ АВ вправо, отложимъ ВГ налѣво отъ точки
Б, чему тогда будетъ равно разстояніе ВГ?
Точно также разсмотримъ случаи, когда и АВ отложено
налѣво отъ точки А.
Потомъ могутъ быть разсмотрѣны такіе задачи: на неогра-
*) Задачи заимствованы изъ прекраснаго сборника Н. Рыбкина. „Сбор-
никъ геометрическнхъ задачъ и вычисленій“ планиметрія.

ничейной прямой взятъ отрѣзокъ АБ; на немъ отложена часть
АВ, равная 9 дюймамъ. Отъ точки В по направленію къ Б
отложенъ отрѣзокъ ВГ, который длиннѣе АБ на 21 дм. Опре-
дѣлить длину БГ.
2. Данъ треугольникъ, одна сторона котораго равна 8 верш-
камъ, другая 5 вершкамъ. Чему равна третья сторона, если
периметръ треугольника равенъ 20 вершкамъ?
3. Периметръ параллелограмма равенъ 49 дюймамъ, одна
изъ его сторонъ равна 14 дюймамъ, чему равна другая сторона?
4. Периметръ равнобочнаго треугольника равенъ 60 дюй-
мамъ. Основаніе его равно 20 дюйм. Чему равны его стороны?
5. На боковой сторонѣ равнобочнаго треугольника по-
строенъ равносторонній треугольникъ, периметръ котораго ра-
венъ 45 дюйм. Чему равно основаніе даннаго равнобочнаго
треугольника, если его периметръ равенъ 40 дюймамъ.
6. Вырѣжемъ изъ бумаги равнобочный треугольникъ и со-
гнемъ его пополамъ, такъ чтобы одна половина совпадала съ
другой. Поставимъ буквы при вершинахъ А, Б, В и Г въ
точкѣ пересѣченія взятые съ основанія. Периметръ АБВ ра-
венъ 50 дюймамъ, а периметръ АБГ равенъ 40 дюйм. Чему
равна линія БГ.
Я не настаиваю въ рѣшеніи именно этихъ задачъ, но ду-
маю, что задачи вродѣ указанныхъ возможно и полезно раз-
смотрѣть въ данномъ мѣстѣ курса.
§ 9. Сравненіе величинъ. Ариѳметическое отношеніе.
Вопросъ о сравненіи величинъ я считаю очень важнымъ
вопросомъ начальнаго курса, и хотя онъ былъ затронутъ въ
первомъ гидѣ обученія, но его необходимо возбудить вновь, под-
вергнувъ болѣе серьезной обработкѣ. Въ настоящее время мы
можемъ говорить только о вопросѣ, насколько одна величина
больше другой; вопросъ же, во сколько разъ одна величина
больше другой, составитъ задачу третьяго года обученія.
Итакъ, спросимъ учениковъ, какія величины они знаютъ?—
Длину, площадь, объемъ (емкость), стоимость, цѣнность, время
и затѣмъ количественность (карандашей, стульевъ, учениковъ
и т. п.). Эти наименованія величинъ сами по себѣ значенія
большого не представляютъ, а потому, если бы учениковъ они
стали затруднять, что можно ограничиться простой характе-
ристикой той или иной величины. Нѣкоторый вопросъ и для
учителя можетъ возникнуть въ томъ, что я понимаю надъ
стоимостью и подъ цѣнностью? Стоимостью я называю покуп-

ную или продажную дѣну, а цѣнностью—достоинство товара.
Такъ напримѣръ въ задачѣ: Куплена земля двухъ сортовъ:
пахотной 40 десятинъ по 63 рубля за десятину, и 10 десятинъ
лѣса по 136 рублей за десятину. Стоимость пахотной земли
равна 2520 рублей, стоимость земли, покрытой лѣсомъ 1360 руб.
причемъ стоимость первой больше стоимости второй; но цѣн-
ность второй земли больше первой. Эти два понятія должны
быть разсчленены и въ самосознаніи дѣтей, тогда только они
будутъ правильно понимать многія задачи, гдѣ цѣнность и
стоимость играютъ очень важную роль.
Итакъ, мы знаемъ рядъ величинъ, и передъ нами возни-
каетъ вопросъ, что эти величины все равно, что комнаты,
стулья, чай, сахаръ и т. п. или они чѣмъ-нибудь рѣзко отли-
чаются отъ этихъ предметовъ?
Здѣсь, мнѣ думается, не трудно выяснить, что эти вели-
чины суть не предметы, а ихъ свойства, которыя мы имъ отъ
себя приписываемъ. Въ природѣ нѣтъ ни длины, ни ширины,
ни вѣса, ни времени, ни цѣнности, а есть вещество, есть раз-
личные предметы. Чтобы познавать эти предметы, мы имъ при-
писываемъ различныя свойства; другими словами, чтобы имѣть
возможность сравнивать предметы другъ съ другомъ, мы при-
даемъ имъ нѣкоторыя свойства и качества.
Въ такомъ философскомъ обобщеній мысль не будетъ ясна
ребенку, но на нее его нужно навести путемъ конкретныхъ
примѣровъ, не дѣлая изъ этихъ примѣровъ общаго вывода, но
лишь указывая на необходимость вышеприведеннаго обосно-
ванія. Предложимъ, напримѣръ, такой вопросъ. Какъ узнать,
сколько партъ можетъ помѣститься въ комнатѣ? Мы ищемъ
квартиру для школы, и вотъ пришли смотрѣть одну изъ нихъ,
она оказывается очень подходитъ, но мы не знаемъ, можно ли
въ ней помѣстить всѣ классы, нельзя ли это разсчитать?—Для
этого нужно сравнить классъ, въ которомъ помѣщаются уче-
ники и величину комнаты, какъ это сдѣлать?— Нужно смѣрить
площадь того и другого, тогда узнаемъ, годна ли комната
для класса.
Намъ нужно узнать, помѣстится ли елка, которую мы вы-
брали, въ этой комнатѣ, какъ это сдѣлать?—Смѣрить вышину
елки и вышину комнаты и посмотрѣть, которая изъ нихъ
больше.
Намъ хочется узнать, что тяжелѣе песокъ или дробь? Для
того, чтобы сравнить ихъ, мы беремъ стаканъ песку и стаканъ
дроби и ставимъ ихъ на чашки вѣсовъ; здѣсь мы можемъ
узнать, насколько дробь тяжелѣе песку. Необходимо ли при
этомъ брать одинаковые стаканы? Почему это необходимо? Какъ

еще можно сравнить песокъ и дробь? — Можно взять одина-
ковые вѣса и посмотрѣть, какое тѣло занимаетъ большій
объемъ. Будутъ ли равны по вѣсу 1 фунтъ чаю и фунтъ са-
хару? А по объему? Можно ли узнать, какой объемъ больше
и на сколько? Отчего зависитъ точность сравненія по объему?
Итакъ значитъ, у насъ есть прирожденное стремленіе
сравнивать предметы между собою, чтобы имѣть возможность
это сдѣлать, мы находимъ у предметовъ одинаковыя свойства
и сравниваемъ предметы по ихъ одинаковымъ свойствамъ, при
чемъ узнаемъ, что у одного предмета этого больше, чѣмъ у
другого. А для того, чтобы производить это сравненіе не
каждый разъ а только одинъ, и для того, чтобы можно было
судить о свойствахъ предметовъ намъ недоступныхъ, услови-
лись дѣлать измѣреніе въ опредѣленныхъ мѣрахъ; эти мѣры
называются единицами измѣренія. Таковые сажень, аршинъ,
метръ, пудъ, фунтъ и прочее. Такъ напримѣръ мы изъ книгъ
узнаемъ, что высота собора Петра и Павла въ Римѣ равна
117 метровъ, а высота колокольни собора въ городѣ Кельнѣ
равна 110 метрамъ, то можемъ сказать, что соборъ св. Петра
и Павла выше колокольни Кельнскаго собора на 17 метровъ.
Всѣ эти высоты мы можемъ представить въ аршинахъ и знать
такимъ образомъ эту разность въ аршинахъ.
Затѣмъ здѣсь съ большими подробностями можно повто-
рить то, на что было указано въ первый годъ обученія, приба-
вивъ сравненія времени и площадей.
§ 10. Свойства суммы и разности.
Вводя этотъ параграфъ, я долженъ замѣтить, что цѣль
его—сдѣлать попытку, на сколько дѣти съумѣютъ формулиро-
вать то, что они наблюдаютъ, и насколько они могутъ обоб-
щить наблюдаемыя явленія.
Поэтому не только не слѣдуетъ добиваться, чтобы каждый
ученикъ съумѣлъ точно формулировать то или иное свойство,
но слѣдуетъ помнить, что, если ученики и забудутъ этотъ
кусокъ курса, то отъ этого нисколько не пострадаетъ ихъ
общее знаніе. Однако предложенные вопросы имѣютъ значеніе:
они во 1) даютъ возможность повторить наименованіе данныхъ
и полученныхъ чиселъ и 2) углубляютъ нѣсколько пониманіе
идеи самого дѣйствія какъ по отношенію къ числамъ, такъ и
количествомъ. Въ силу этого я думаю, что время, потрачен-
ное на выясненіе свойствъ суммы и разности не пропадетъ
даромъ.

Само выясненіе я предложилъ бы вести такъ. Что будетъ
съ суммой, если я къ одному слагаемому прибавлю 10? При-
думай какія-либо два числа и сложи ихъ, сколько получилось?
Прибавь къ одному изъ нихъ 10, какія будутъ новыя числа?
Сложи ихъ. Какъ узнать, насколько новая сумма больше
прежней?
Что сдѣлается съ суммой, если я къ одному слагаемому
прибавлю 10, а къ другому 5? Повѣримъ это на придуманныхъ
примѣрахъ. Какъ можно было бы словами опредѣлить ясно
свойство суммы? Отв. Сумма увеличится на столько единицъ,
сколько мы ихъ прибавили къ слагаемымъ.
Что сдѣлается съ суммой, если я отъ одного изъ слагае-
мыхъ отниму 25 единицъ? Отъ одного слагаемаго я отниму
15 единицъ, а отъ другого 10 единицъ, что сдѣлается съ сум-
мой? Повѣримъ то и другое на числовомъ примѣрѣ. Какъ это
можно было бы словами опредѣлить это свойство?
Что сдѣлается съ суммой, если я къ одному слагаемому
прибавлю 49, а отъ другого отниму 56? Сколько надо отнять,
чтобы сумма осталась та же самая?
Какое дѣйствіе называется вычитаніемъ?Какъ называются
числа, данныя для вычитанія? Что называется уменьшаемымъ?
Что представляетъ собою уменьшаемое? Прибавимъ къ умень-
шаемому 36, что сдѣлается съ остаткомъ? Отнимемъ отъ умень-
шаемая 48, что сдѣлается съ остаткомъ? Придумаемъ какія
либо числа и повѣримъ, вѣрно ли мы думаемъ. Какъ можно
было бы словами опредѣлить это свойство? Отв. Если мы къ
уменьшаемому прибавимъ какое-нибудь число, то остатокъ
увеличится на то же число; если отъ уменьшаемаго отнимемъ
какое нибудь число, то остатокъ уменьшится на то же число.
Что называется вычитаемымъ? Что будетъ съ остаткомъ,
если я къ вычитаемому прибавлю 16? Повѣримъ это на число-
вомъ примѣрѣ? Что нужно имѣть въ виду, когда мы будемъ
придумывать числа для повѣрки? Нельзя ли заранѣе сказать,
когда числа годятся, а когда не годятся для провѣрки? (Оста-
токъ долженъ быть больше 16). Какъ можно это свойство выра-
зить словами? Отв. Если мы къ вычитаемому прибавимъ какое
нибудь число, то остатокъ уменьшится на то же число
Что будетъ, если я къ уменьшаемому прибавлю 40, а къ
вычитаемому 28? Если я отъ уменьшаемаго отниму 10, а къ
вычитаемому прибавлю 10? Что будетъ, если я отъ вычитае-
маго отниму 42? Какъ это свойство можно выразить словами?
Что нужно сдѣлать съ уменьшаемымъ и вычитаемымъ, чтобы
остатокъ остался безъ перемѣны.

Придумайте, нельзя ли всѣ эти свойства изобразить при
помощи прямой линіи, откладывая на ней соотвѣтственныя
числа.
§11. Умноженіе.
Теоретическое обоснованіе дѣйствій умноженія и дѣленія
я отношу къ курсу слѣдующаго года. Здѣсь же необходимо
дать матеріалъ, подготовить учащихся къ разсмотрѣнію теоре-
тическихъ вопросовъ.
Въ настоящемъ я разумѣю только умноженіе чиселъ, а по-
тому умноженіе можно разсматривать какъ сложеніе равныхъ
слагаемыхъ; но и это опредѣленіе я не предполагаю сообщать уче-
никамъ, какъ опредѣленіе дѣйствія, а только я указываю, съ
какой точки зрѣнія будетъ изложено все дальнѣйшее.
Самой важной теоремой умноженія я считаю слѣдующую:
чтобы умножить сумму на какое-нибудь число, нужно каждое
слагаемое умножить на это число и полученныя произведенія
сложить.
Эту теорему можно выяснить на задачахъ, вродѣ слѣ-
дующихъ:
1) Въ библіотекѣ стоятъ 4 шкапа съ книгами: въ каждомъ
шкапу по 5 полокъ. Сколько книгъ содержитъ библіотека, если
на каждой полкѣ перваго шкапа 20 книгъ, второго 18 книгъ,
третьяго 24 книги и четвертаго 15 книгъ?
Эту задачу можно рѣшить двояко: 1-е рѣшеніе. Сколько
книгъ находится на каждой полкѣ во всѣхъ шкапахъ?
Отв. (20 + 18 + 24 + 15) книгъ. Сколько книгъ на всѣхъ пяти
полкахъ? (20+18 + 24+15)Х5 книгъ.
2-е рѣшеніе. Сколько книгъ въ первомъ шкапу? Отв. 20 X 5.
Сколько во второмъ? Отв. 18X5. Сколько въ третьемъ? Отв.
24X5. Сколько въ четвертомъ? Отв. 15X5. Сколько книгъ
во всѣхъ шкапахъ? Отв. 20X5 + 18X5 + 24X5 + 15X5.
Сравнивая оба отвѣта мы получимъ
(20 + 18 + 24 + 15) X 5 = 20 X 5 + 18 X 5 + 24 X 5 + 15 X 5.
2. Крестьянинъ привезъ на рынокъ капусту на 3-хъ во-
захъ. На первомъ возу было 2 сотни кочней, на 2-мъ 4 сотни;
на 3-мъ 3 сотни. Онъ продалъ эту капусту по 75 копеекъ за
сотню кочней. Сколько денегъ онъ выручилъ отъ этой продажи?
Прилагая къ этой задачѣ двойной способъ рѣшенія, полу-
чимъ формулу 75Х(2 + 4 + 3) = 75Х2 + 75Х4 + 75ХЗ.

Изъ анализа такихъ задачъ можно вывести и установить
общую теорему, которая приведена выше.
Когда эта теорема будетъ совершенно ясна, то можно
взять ее въ общемъ видѣ на числахъ, объяснивъ ученикамъ,
что въ этомъ состоитъ правило раскрытія скобокъ при умно-
женіи. Вычислите формулу (7+ 3 + 4) X10, раскрывъ скобки и
не раскрывая скобокъ. Когда сама формула и способъ раскры-
тія скобокъ будутъ достаточно усвоены, можно перейти къ
умноженію сложнаго именованнаго числа по число отвлечен-
ное. Для этого необходимо сначала вспомнить что значитъ
напр. 7 саж. 2 арш.; это значитъ 7 саж. +2 арш. Положимъ,
что намъ надо количество 7 саж. 2 арш., повторить слагае-
мымъ 4 раза, какъ это сдѣлать короче?
(7 саж. -f 2 арш.) X4 = 7 саж. X4+ 2 арш. X4-
7 саж. Х4 = 28 саж , а 2 арш. Х4 = 8 арш., или 2 саж. 2 арш.;
слѣд. всего будетъ 30 саж. 2 арш.
Такихъ примѣровъ можно подобрать нѣсколько, изъ нихъ
можно вывести такое правило: чтобы сложное именованное
число умножить на отвлеченное, нужно число единицъ каждаго
наименованія умножить на отвлеченное число.
Теперь перейдемъ къ умноженію чиселъ. Пусть намъ нужно
49X6. Число 49 можно написать въ видѣ 40 + 9 или 4 дес.+9 един.
Умножить его на 6, это можно изобразить такъ (4 дес +
+ 9 един.) X 6 = 4 дес. Х6 + 9 един. X 6 = 24 дес.+ 54 един.
Но 54 единицы составляютъ 5 десят., и 4 един.; слѣдов. всего
будетъ 29 дес. 4 един, или 294 един.
Самое дѣйствіе обыкновенно располагаютъ такъ: пишутъ
число 49 и 6, ставя между ними знакъ умноженія и ихъ под-
черкиваютъ
49X6.
Умножаютъ 6 на 9 и по таблицѣ умноженія находимъ 54;
4 единицы пишутъ, а 5 надписываютъ надъ 4-мя, чтобы не за-
быть. Потомъ умножаютъ 4 на 6 и находятъ по таблицѣ умно-
женія число 24, къ которому и прибавляютъ надписанныя 5.
Итакъ
49Х6/294.
Подобные примѣры необходимо продѣлать въ такомъ ко-
личествѣ, чтобы ученики вполнѣ освоились со способомъ раз-
сужденія, при чемъ множитель будетъ всегда число однознач-
ное, а производство дѣйствія нужно дѣлать параллельно, чтобы
фиксировать вниманіе не только на результатѣ, но и на раз-

сужденіи Въ заключеніе можно предложить вопросы: какъ
умножить на счетахъ 29 на 7? Какъ объяснить умноженіе
123 на 4?
Какъ умножить какое нибудь число на 10?—Это могутъ
разобрать сами ученики, пользуясь указаннымъ методомъ; но
имъ придется нѣсколько помочь въ новыхъ логическихъ слѣд-
ствіяхъ Возьмемъ число 27 и умножимъ его на 10. Это будетъ
(2 дес.+ 7 един.) X 10 или 20 дес. + 70 един.; но 70 единицъ
есть 7 десят., а 20 десятковъ есть 2 сотни, итакъ 27 X 10 = 270.
Полученный выводъ можно обобщить въ правило: чтобы умно-
жить какое-нибудь число на 10, нужно приписать 0 съ правой
стороны.
Хорошо еще показать, какъ помножить число на 11; По-
ложимъ намъ нужно 36Х11; Для этого надо написать цыфры
3 и 6, а между ними поставить ихъ сумму. 9, получимъ 396.
Выводъ этого правила выходитъ за предѣлы доказаннаго пра-
вила; но его можно указать хотя бы въ такомъ видѣ: умно-
жить на 11 значитъ умножить на 10 и прибавить множимое.
36 X 11 =36 X Ю + 36. При умноженіи на 10 цифра единицъ
становится цифрой десятковъ и къ ней прибавляются десятки
множимаго, а цифра десятковъ становится цифрой сотенъ.
Этими объясненіями можно ограничиться въ этомъ курсѣ.
Для укрѣпленія въ памяти таблицы умноженія и для пріобрѣ-
тенія навыка въ вычисленій полезно продѣлать примѣры со
скобками, вродѣ слѣдующихъ.
1) 46X3 + 58X2 + 69X4.
2) (36 + 72 + 39)X4-(45 + 32-f 28)ХЗ.
3) (46X5-38X4)+(52X6-36X4) + (b3X5-29X4).
Здѣсь я указалъ только типы примѣровъ, но ихъ надо по-
добрать такъ, чтобы въ каждомъ повторилась таблица умно-
женія на 3, на 4, на 5 и т д., послѣдовательно; кромѣ того
желательно, чтобы вначалѣ встрѣтить одинаковыя произведенія,
которыя запомнятся цѣликомъ и облегчатъ впослѣдствіи счетъ.
Что касается до задачъ съ текстомъ на умноженіе, то здѣсь
я бы не вводилъ ихъ, такъ какъ умноженія количествъ не
пройдено, и общая сумма идей умноженія дана раньше и, если
она усвоена, то на нее не стоитъ тратить время; если же
нѣтъ, то ее можно повторить, хотя въ будущемъ придется весь
вопросъ разсмотрѣть вновь. А потому всего лучше отложить
задачи на умноженіе до слѣдующаго года.

§ 12. Дѣленіе.
Дѣленіе, говоритъ г. Гольденбергъ, по справедливости,
считаютъ самымъ труднымъ изъ 4 ариѳметическихъ дѣйствій,
а уясненіе механизма этого дѣйствія полагаютъ дѣломъ не
легкимъ въ методическомъ отношеніи. Излагая механизмъ дѣ-
ленія цѣлыхъ чиселъ, одни исходятъ изъ слѣдующаго частнаго
опредѣленія этого дѣйствія:
Дѣленіе есть дѣйствіе, посредствомъ котораго находятъ,
сколько разъ одно данное число содержитъ въ себѣ другое данное
число.
Другіе замѣняютъ это опредѣленіе слѣдующимъ, также
частнымъ опредѣленіемъ:
Дѣленіе имѣетъ цѣлью раздѣлить одно данное число на
столько равныхъ частей, сколько единицъ находится въ другомъ
данномъ числѣ.
Третьи, наконецъ, разсматриваютъ дѣленіе какъ дѣйствіе
обратное умноженія и даютъ также общее опредѣленіе:
Разделить одно данное число на другое данное число, зна-
читъ найти то число, на которое надлежитъ помножить второе
изъ данныхъ чиселъ, чтобы получить первое.
Соотвѣтственно этимъ различнымъ точкамъ зрѣнія и разъ-
ясненіе механизма дѣленія можетъ быть ведено различно, такъ
какъ при этомъ разъясненія можно имѣть въ виду или опре-
дѣленіе содержанія, или раздѣленіе на равныя части, или
отысканіе неизвѣстнаго производителя*).
Въ дополненіе къ этому глубоко вѣрному замѣчанію г. Голь-
денберга я долженъ прибавить, что въ теоретическомъ обосно-
ваніи вопроса о дѣленіи необходимо разсмотрѣть всѣ его опре-
дѣленія и показать, что каждое изъ нихъ имѣетъ свое особое
значеніе. Такая постановка вопроса въ данномъ мѣстѣ курса
невозможна уже потому, что умноженіе не обосновано теоре-
тически, а потому и дѣленіе, какъ дѣйствіе обратное, не мо-
жетъ бытъ подробно разсмотрѣно. Наша задача будетъ, такимъ
образомъ, дать только матеріалъ для будущаго. Другими сло-
вами, намъ нужно показать, какъ дѣлается дѣйствіе цѣлыхъ
чиселъ, а для этого мы можемъ воспользовать однимъ какимъ
либо опредѣленіемъ и на основаніи его вывести правило дѣ-
ленія. Изъ приведенныхъ трехъ опредѣленій дѣйствія мы мо-
жемъ выбрать такое, которое давало бы наиболѣе простое раз-
сужденіе при выводѣ правила.
*) Гольденбергъ „Методика“ стр. 89, 90.

Во „Введеніи въ методику ариѳметики“ разсмотрѣна лите-
ратура вопроса о дѣленіи, т.-е. какъ различные авторы мето-
дикъ и теоретической ариѳметики выводятъ правило дѣйствія,
а въ 3-мъ годѣ обученія я попытаюсь дать теорію умноженія
и дѣленія.
Въ настоящемъ я укажу лишь на то, что вопросъ о дѣ-
леніи является сложнымъ потому, что въ немъ скрыто отноше-
ніе, а потому всѣ выводы правилъ трудны и неубѣдительны.
Собственно самое важное понятіе въ дѣленіи есть понятіе „со-
держанія“, — „дѣлитель содержится въ дѣлимомъ“, и это „со-
держится“ необходимо выяснить. Но кромѣ понятія „содер-
жится“ есть понятіе о части, также очень важное, и это по-
нятіе не заключается въ понятіи „содержится“ и не можетъ
быть изъ него выведено, т.-е. понятіе о части есть также само-
стоятельное понятіе. Кромѣ этихъ двухъ понятій есть еще но-
вое понятіе: „меньше въ нѣсколько разъ“. Трудно рѣшить,
какое изъ этихъ понятій необходимо усвоить раньше другихъ.
Собственно всѣ они уже были разобраны, но теперь необхо-
димо взять то, при помощи котораго производство дѣйствія
дѣленія всего лучше можно объяснить. Я думаю, что наиболѣе
простымъ будетъ понятіе о части и съ этой точки зрѣнія дать
объясненіе вывода правила.
§ 13. Нахожденіе части даннаго числа.
Здѣсь нужно имѣть въ виду, что вопросъ идетъ о теоре-
тическомъ объясненіи дѣйствія дѣленія, т.-е. о выработкѣ тѣхъ
положеній, на основаніи которыхъ впослѣдствіи будетъ выве-
дено правило дѣленія чиселъ. Другими словами, намъ нужно
опредѣлить, что дѣти должны понимать, чтобы умѣть объяснить
выводъ правила дѣйствія дѣленія, основывать на опредѣленіи:
дѣленіе есть дѣйствіе, посредствомъ котораго одно число дѣ-
лится на столько равныхъ частей, сколько единицъ содержится
въ другомъ данномъ числѣ. Это опредѣленіе мы не сообщаемъ
дѣтямъ, равно какъ не говоримъ имъ о томъ, что при выводѣ
правила мы должны доказать теорему: чтобы раздѣлить сумму
на нѣсколько равныхъ частей, мы должны каждое слагаемое
раздѣлить на это число частей и полученныя частныя сложить.
Однако все это необходимо имѣть въ виду, когда мы будемъ
объяснять, какъ производить дѣленіе трехзначнаго числа на
число однозначное.
Такимъ образомъ поставленный вопросъ требуетъ отъ насъ,
чтобы мы не вводили въ него дѣленія количествъ: длины, вѣса,

цѣнности и пр., а исключительно пользовались бы тѣми по-
собіями, которыя даютъ идею разсыпающихся чиселъ. Это не-
обходимо для выясненія слова часть, которое иначе будетъ
имѣть слишкомъ большой объемъ. Въ предыдущемъ мы гово-
рили о части, не ограничивая этого понятія, такъ что общую
идею части дѣти уже имѣютъ; теперь имъ нужно дать ограни-
ченную идею части только относительно чиселъ. Въ этомъ
ограниченій не будетъ ограниченія понятія, а только приспо-
собленіе этого понятія къ особому случаю выводу правила
дѣленія чиселъ. Само понятіе „часть“ нельзя предполагать
вполнѣ извѣстнымъ какъ изъ общаго опыта жизни, такъ и
изъ предыдущихъ усвоеніи. Его необходимо еще разъ пере-
смотрѣть, но пока съ частной точки зрѣнія — части числа.
Иначе говоря, намъ нужно, чтобы дѣти поняли, какъ находится
5-я, 7-я и т. п., части чиселъ, и что именно нужно представ-
лять себѣ при этомъ нахожденіи.
Для этого всего лучше мнѣ кажется воспользоваться ли-
стомъ съ кв. дюймами или кв. вершками. Нужно роздать дѣ-
тямъ рядъ цвѣтныхъ листовъ напр. такъ: красный-съ 20 ква-
дратами, синій съ 48 квадратами и желтый съ 56 квадратами.
Возьмите красный листъ и сосчитайте, сколько въ немъ ква-
дратовъ. Напишемъ на этомъ листѣ таблицу умноженія.
Для этого перенумеруемъ верхнюю горизонтальный рядъ,
напишемъ подъ нимъ суммы этихъ чиселъ самихъ съ собой,
потомъ сложимъ написанные ряды и продолжимъ дальше, какъ
мы дѣлаемъ, когда составляемъ таблицу умноженія Тогда по-
лучимъ слѣдующія числа.
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
3
6
9
12
15
4
8
12
16
20
Какъ раздѣлить этотъ листъ на 4 равныя части? Сколько
квадратиковъ въ каждой части? Можно ли сложить полоски
такъ, какъ они были? Что для этого нужно сдѣлать? (нужно
обратить вниманіе на крайнія правыя цифры). Если мы просто
сложимъ полоски, какъ придется, то что это важно или не-
важно?— При отвѣтѣ на этотъ вопросъ нужно выяснить, что
лѣвыя цифры 1, 2, 3, 4 указываютъ порядокъ частей и по-

слѣдняя 4 показываетъ, на сколько частей листъ былъ раздѣ-
ленъ; если же мы сложимъ въ безпорядкѣ, то этого указанія
не будетъ, и намъ придется сосчитать, на сколько частей, мы
раздѣлили листъ квадратовъ.
Итакъ, если мы листъ въ 20 квадратовъ раздѣлимъ на 4
равныя части, то въ каждой части будетъ по скольку квадра-
тиковъ? Какъ можно назвать число 5? (оно будетъ четвертой
частію 20).
То же самое можно продѣлать на другомъ красномъ листѣ
съ 20 квадратами, раздѣливъ его на 5 равныхъ частей и вы-
яснивъ, что 5-я часть 20 будетъ 4 и что эти цифры 5 и 4 зани-
маютъ крайнія мѣста на листѣ квадратовъ.
Не переходя пока къ другимъ листамъ, напишемъ на доскѣ
и въ тетрадяхъ 20 крестиковъ и раздѣлимъ ихъ на 4 и на 5
равныхъ частей, сколько крестиковъ въ каждой части? По-
томъ возьмемъ 20 палочекъ и ихъ раздѣлимъ на 4 и на 5 рав-
ныхъ частей. Когда такимъ образомъ на различныхъ разсы-
пающихся счетныхъ пособіяхъ дѣти будутъ ясно представлять
себѣ 4-ую и 5-ую часть числа 20, то можно перейти къ дру-
гимъ листамъ и при ихъ помощи выяснить 6-ую и 7-ую часть
числа 48, а также 8-ую и 9-ую часть числа 56. Число демон-
страцій будетъ зависѣть отъ того, насколько скоро дѣти усвоятъ
сущность сосчитыванія.
Когда такимъ образомъ будетъ выяснено понятіе „часть“,
то можно взять большую классную таблицу Пиѳагора, которую
дѣти приготовили сами, повѣсить ее на доскѣ и показать имъ,
какъ по этой таблицѣ можно дѣлить написанныя тамъ числа
на равныя части, предлагая рядъ такихъ вопросовъ: сколько
будетъ, если число 36 раздѣлить на 6 равныхъ частей? Число
35 раздѣлить на 7 равныхъ частей? и т. п.
Потомъ указать дѣтямъ, что можно дѣлить на равныя части
и такія числа, которыхъ нѣтъ въ таблицѣ, при чемъ будетъ
оставаться часть числа нераздѣленной. Въ такой постановкѣ
вопроса содержится неточность, которая можетъ быть замѣ-
чена и дѣтьми. Собственно число, напр., 35 мы всегда можемъ,
и необходимо должны, раздѣлить на 6 равныхъ частей, а ме-
жду тѣмъ мы говоримъ, что дѣлимъ только число 30, а 5 еди-
ницъ оставляемъ какъ остатокъ. Если это не будетъ отмѣчено
дѣтьми, то объ этой неточности можно умолчать; но если это
дѣти замѣтятъ, то всего лучше ввести это положеніе, какъ
условіе, т.-е. условимся дѣлить на равныя части только тѣ
числа, которыя находятся въ таблицѣ, излишекъ оставлять не
раздѣленнымъ; но само разсужденіе слѣдуетъ вести въ двухъ
предѣлахъ, напр. такъ: возьмемъ число 47, можно ли его раз-

дѣлить на 6 равныхъ частей? (Такъ какъ его нѣтъ въ таблицѣ,
то сдѣлать этого нельзя). Какое ближайшее число можно раз-
дѣлить на 6? (Число 42 и число 48). Сколько будетъ если 42
раздѣлить на 6? Сколько будетъ если 48 раздѣлить на 6? Что
можно сказать о величинѣ числа? (оно будетъ больше 7 и
меньше 8). Условимся брать меньшую часть и считать остав-
шіяся, недѣлимыя единицы за остатокъ. Какъ раздѣлить 43
карандаша на 5 равныхъ частей? Сколько карандашей оста-
нется нераздѣленными? Какъ раздѣлить 53 яблока на 8 равныхъ
частей? Сколько яблокъ останется нераздѣленными?
При этихъ упражненіяхъ нужно сказать дѣтямъ, что данное
число всегда надо брать въ томъ вертикальномъ столбцѣ, ко-
торый находится подъ цифрой, показывающей, на сколько рав-
ныхъ частей число дѣлится. Напр., если надо число 64 раздѣ-
лить на 9 равныхъ частей, то это число мы ищемъ въ столбцѣ,
стоящемъ подъ цифрой 9; тамъ находимъ число 63, которое
даетъ 7 и въ остаткѣ 1.
Возьмемъ теперь число 60 и найдемъ отъ него 3-ю часть.
Въ таблицѣ подъ цифрой 3 такого числа нѣтъ, и чтобы найти
третью часть числа 60 будемъ разсуждать такъ: что такое 60?
Это, иначе говоря, 6 десятковъ; но 6 десятковъ можно раздѣ-
лить на 3 части по таблицѣ, тамъ есть число 6, которое при
дѣленіи на 3 дастъ число 2; значитъ 6 десятковъ, раздѣленные
на 3 даетъ 2 десятка.
Точно также можно разсказать, какъ 800 можно раздѣ-
лить на 4. Потомъ перейдемъ къ такимъ примѣрамъ 69:3;
84:4. Здѣсь мы дѣлимъ отдѣльно десятки и потомъ единицы,
разсуждая такъ: 84 состоитъ изъ 8 десят. и 4 един. 8 десят.
раздѣлимъ на 4, получимъ 2 десятка, а 4 единицы при дѣленіи
на 4 даютъ 1 единицу; слѣдовательно 84:4 = 21. Совершенно
такимъ же разсужденіемъ переходимъ къ дѣленію 963 на 3;
864 на 2.
Когда механизмъ дѣленія будетъ усвоенъ на этихъ про-
стыхъ примѣрахъ съ указаніемъ каждый разъ того разряда,
который мы получаемъ въ частномъ, то переходимъ къ слу-
чаямъ дѣленія 75 : 5; 81 : 3; 695 : 5: 548 : 4 и г. п. Общей характе-
ристикой этихъ случаевъ будетъ то, что высшій разрядъ числа
содержитъ дѣлителя и даетъ остатокъ. Если здѣсь объясненіе
поставлено правильно, и дѣти поймутъ сущность процесса, то
они сами догадаются, какъ выполнить такія дѣленія 808:4;
915:3; 515:5 и т. п.
Когда все это благополучно пройдетъ, то можно перейти
къ послѣднему случаю, взявъ примѣръ: 365:5. Здѣсь сотни не
дѣлятся на 5, т.-е. пятая часть 3 сотенъ не содержитъ ни еди-

ной сотни, слѣдовательно въ пятой части числа 365 сотенъ не
будетъ, и мы раздробляемъ сотни въ десятки; это раздробленіе
объясняемъ такъ: намъ дано число 365, которое мы можемъ
представить въ видѣ 3 сот. 6 десят. 5 единицъ, но такъ какъ
пятая часть 3 сотенъ не содержитъ сотенъ, то мы это число
представляемъ въ видѣ 36 десят. 5 един., и узнаемъ, сколько
десятковъ будетъ содержать пятая часть 36 десятковъ.
Ищемъ въ таблицѣ подъ цифрой 5 число 36; такого числа
тамъ нѣтъ; а есть число 35 и 40. Такъ какъ мы условились
брать меньшее число, то возьмемъ 35, и видимъ, что его пятая
часть равна 7. Итакъ пятая часть 36 десятковъ есть 7 де-
сятыхъ, при чемъ 1 десятокъ остается нераздѣленнымъ. За-
писывая произведенныя вычитанія, отдѣляя дѣлителя отъ дѣ-
лимаго вертикальной чертой и подчеркивая дѣлителя слѣдую-
щимъ образомъ.
36 десят. 5 един. 5
Найденное число 7 десятковъ пишемъ подъ чертой дѣли-
теля. Умножаемъ 7 десятковъ на 5, получимъ 35 десятковъ,
которые и вычитаемъ изъ 36 десятковъ.
36 десят. 5 един.| 5
35 „ | 7 десят.
1 десят.
Остатокъ раздробляемъ въ единицы, прикладываемъ къ
нему 5 единицъ и пишемъ такъ
36 десят. 5 един. | 5
35 „ | 7 десят.
1 десят. = 10 един.
+ 5 „
15 един.
15 единицъ дѣлимъ на 5 получаемъ 3 единицы; слѣдовательно
36 десят. 5 един. 5
35 7 десят. 3 един.
1 десят. = 10 един.
+ 5 „
15 един.
~ 15 „

Такая запись въ началѣ необходима, но рядомъ съ ней
очень хорошо вести и обычную запись дѣленія, чтобы ученики
не привыкали къ записямъ лишнихъ подробностей.
Чтобы окончательно закрѣпить методъ этого разсужденія,
можно сюда присоединить дѣленіе сложнаго именованнаго числа,
гдѣ разсужденіе останется то же самое, но раздробленіе при-
ходится дѣлать согласно съ единичнымъ отношеніемъ еди-
ницъ мѣръ.
§ 14. Задачи и упражненія.
Теперь мы окончили всѣ дѣйствія надъ числами въ пре-
дѣлѣ до 1000., при чемъ умноженіе и дѣленіе здѣсь приходится
ограничить случаями, когда множитель и дѣлитель суть числа
однозчачныя. Это ограниченіе главнымъ образомъ обусловли-
вается предѣломъ счета, но и по существу я рекомендовалъ бы
не давать болѣе сложныхъ примѣровъ. Основная цѣль всего
курса, а особенно его второй части, есть навыкъ въ вычисле-
ній и сообщеніе идеи теоретической ариѳметики, которыя не-
обходимы для вывода правилъ дѣйствій надъ числами. Эти идеи
должны придти въ сознаніе учениковъ подъ видомъ вопросовъ;
они должны углубиться мысленно въ составъ числа и поискать
въ этомъ составѣ такихъ свойствъ, которыя позволяли бы
производить дѣйствія надъ числами. Главнымъ психологиче-
скимъ помощникомъ въ этой работѣ есть умѣніе быстро со-
считать и знаніе наименованій данныхъ и искомыхъ чиселъ
каждаго дѣйствія. Оставляя послѣднее до будущаго въ дѣй-
ствіяхъ умноженія и дѣленія, я думаю, что все вниманіе слѣ-
дуетъ сосредоточить на вычисленій. Я уже говорилъ, что не
придаю большого значенія такъ называемому устному счету,
но на первое и самое важное мѣсто ставлю практику.
Ученикъ считающій быстро запомнитъ все то, что ему об-
легчаетъ счетъ, найдетъ самъ болѣе быстрые способы счета,
и совершенно не важно, будетъ ли онъ учиться этому на бу-
магѣ, или въ умѣ. Гораздо важнѣе подборъ задачъ. Я думаю,
что въ этомъ полугодіи главное вниманіе необходимо обратить
на задачи числовыя, безъ содержанія. Въ этихъ числовыхъ
задачахъ произведенія должны быть такъ подобраны, чтобы
запомнить таблицу умноженія. Вначалѣ я предлагаю написать
эту таблицу и имѣть ее передъ собою при производствѣ дѣй-
ствія, пока она сама собой не запомнится. Но задачи подо-
брать особо. Напр. дать рядъ задачъ на умноженіе на 4, по-
томъ умноженіе на 5, гдѣ часто встрѣчалось бы умноженіе на

4 въ видѣ повторенія. Задачи могутъ быть въ видѣ слѣ-
дующихъ.
(158 X 4 + 236 X 2) — 65 X 4.
Точно также и при дѣленіи пусть ученики имѣютъ передъ
собою таблицу и по ней находятъ частныя; но задачи должны
быть подобраны въ постепенности счета. Собственно этотъ во-
просъ о научении сосчитыванію требуетъ большого и подроб-
наго анализа. Я не могу сдѣлать такого анализа, а скажу
только то, что думаю по этому вопросу. Съ одной стороны не-
сомнѣнно, что ученикъ, запомнившій значительное количество
готовыхъ произведеній и частныхъ, умѣющій быстро и вѣрно
сосчитать, будетъ лучше вооруженъ при рѣшеніи не только
задачъ, но и практическихъ жизненныхъ вопросовъ; съ дру-
гой стороны эта способность сосчитыванія, какъ я уже отмѣ-
тилъ выше, колеблется и иногда рѣшительно падаетъ. Если
мы будемъ на ней настаивать, то паденіе этой способности пси-
хологически расширяется далѣе и вызываетъ идею общей ма-
тематической неспособности ученика, мѣшая ему разобраться
въ совершенно доступныхъ для него вопросахъ. Какъ выбрать
ту необходимую середину, когда наученіе счету не тяготило
бы ученика, не налагало бы на него психическаго гнета? Вотъ
я и думаю, что возможность пользованія таблицами даетъ нѣ-
который коррективъ, при которомъ самъ ученикъ будетъ стре-
миться освободить себя отъ лишней траты времени - каждый
разъ искать въ таблицѣ произведеніе; но это же пользованіе
таблицей даетъ ему увѣренность въ другихъ областяхъ его
вычисленій.
Но, кромѣ того, я думаю, что психологически не вполнѣ
правильно держать ученика на трудныхъ вычисленіяхъ, что
эти трудныя сосчитыванія являются результатомъ увѣренно-
сти счета, и эта увѣренность счета получается при сосчиты-
ваніи легкихъ примѣровъ. Въ силу этого, я думаю, что въ
основѣ задачъ на счетъ должны лежать задачи посильныя, и
только изрѣдка полезно помѣстить задачу съ труднымъ сосчи-
тываніемъ. Другими словами, я думаю, что учениковъ надо
упражнять не въ томъ, что для нихъ трудно, а въ томъ, что
для нихъ легко, тогда они уже сами достигнутъ удачи и въ
трудномъ.
Полагая основу курса второго года обученія въ научении
счету, т -е. обращеніи съ числами, я не думаю, чтобы полезно
было совершенно опустить задачи съ текстомъ. Такія задачи
должны имѣть мѣсто. Относительно этихъ задачъ скажу нѣ-
сколько словъ. Эти задачи содержатъ двѣ темы: функціональ-

ныя соотношенія входящихъ величинъ и вычисленія. Первая
тема и есть самая важная, изученію которой долженъ быть
посвященъ весь курсъ математики, и ее нельзя откладывать
на будущее, но необходимо ввести съ самаго начала этого обу-
ченія. По моему плану ребенокъ уже въ первый годъ обуче-
нія съ самаго начала этого обученія уже начинаетъ впитывать
въ себя и разбираться въ нѣкоторыхъ вопросахъ. Онъ знаетъ
соотношенія между вѣсомъ и объемомъ, вѣсомъ и стоимостью,
знакомъ съ понятіями прибыли и убытка, онъ умѣетъ на-
блюдать время. Однако, это еще не значитъ, что онъ можетъ
разобраться во всякой задачѣ, гдѣ входятъ эти величины. Его
нужно научить рѣшать задачи. Этому вопросу и долженъ быть
посвященъ весь остатокъ времени второго года обученія, лучше
сказать 4-го полугодія. Это полугодіе имѣетъ только выводъ
правилъ дѣйствій въ предѣлѣ до 1000, а потому необходимо
должно остаться время на задачи. Что касается до подбора за-
дачъ, то здѣсь методикой служитъ самъ задачникъ, а въ са-
мой методикѣ необходимо указать только планъ этого подбора.
Этотъ планъ можетъ быть построенъ различно: можно подо-
брать задачи по дѣйствіямъ, по методу рѣшенія, по функціо-
нальной зависимости величинъ и т. п. Мнѣ кажется,, что наи-
болѣе цѣлесообразный подборъ задачъ былъ бы по методамъ
рѣшенія, при чемъ подборъ задачъ, согласно графикѣ г. Ши-
херъ-Троцкаго, представлялъ бы собою задачи чисто ариѳме-
тическія сложенія; всякаго рода задачи алгебраическаго ха-
рактера должны быть опущены, возьму такую задачу изъ сбор-
ника Верещагина: „На 252 рубля куплено 45 саженъ березо-
выхъ дровъ. Сколько слѣдуетъ заплатить за 24 сажени сосно-
выхъ дровъ, если извѣстно, что 7 саженъ этихъ дровъ стоитъ
столько же, сколько и 6 саженъ березовыхъ?“
Къ такой задачѣ учениковъ нужно подготовить, для этого
предварительно слѣдуетъ разсмотрѣть рядъ такихъ задачъ.
1) 15 карандашей стоятъ столько же копеекъ, сколько сто-
ятъ 20 тетрадей. Сколько стоитъ карандашъ, если тетрадь
стоитъ 3 копейки?
Такихъ задачъ нужно дать нѣсколько, чтобы ученики 'осво-
ились съ выраженіемъ „столько же“. Когда они хорошо озна-
комятся съ этимъ выраженіемъ, то имъ слѣдуетъ дать рядъ за-
дачъ вродѣ слѣдующей.
2) На 360 рублей куплено 9 пудовъ чаю. Сколько слѣдуетъ
заплатить за 4 фунта чая, если фунтъ чаю стоитъ столько же,
сколько стоилъ пудъ сахару?
Когда на такихъ примѣрахъ ученики выяснятъ себѣ сущ-
ность заданныхъ соотношеніи, имъ предлагается самая задача.

Рѣшеніе этой задачи полезно повторить на однородной задачѣ
съ другими числами. Когда тема будетъ вполнѣ выяснена, и
видно, что ученики свободно рѣшатъ такую задачу, можно
перейти къ другой темѣ, гдѣ также идетъ вопросъ о куплѣ и
продажѣ, напр., можно взять такую задачу изъ того же сбор-
ника. „Нѣкто купилъ 12 аршинъ полотна и 11 аршинъ шел-
ковой матеріи, заплативъ за все 90 рублей. По скольку руб-
лей платилъ онъ за аршинъ полотна и по скольку за аршинъ
шелковой матеріи, если цѣна аршина послѣдней въ 3 раза бо-
лѣе цѣны аршина полотна“?
Здѣсь опять необходимо на предварительныхъ задачахъ вы-
яснить, что значитъ въ 3 раза болѣе; какъ разсчитать стои-
мость аршина полотна и шелковой матеріи и т. п.
Подборъ темъ долженъ быть ограниченъ, потому что оби-
ліе темъ можетъ только запутать ученика, а не уяснить ему
методъ мысли. Я говорю это, конечно, относительно этого года
обученія, а не вообще.
Однако, необходимо особое мѣсто отвести задачамъ на опре-
дѣленіе площадей; здѣсь кромѣ шаблонныхъ задачъ, встрѣча-
ющихся въ задачникахъ, уже по самому курсу возможно рас-
ширеніе вопроса въ томъ отношеніи, что можно опредѣлять
площади параллелограмовъ и нѣкоторыхъ треугольниковъ. Къ
сожалѣнію, отсутствіе практическихъ указаній въ этомъ отно-
шеніи не даетъ возможности сказать, какія свойства геоме-
трическихъ фигуръ могутъ быть затронуты; но я думаю, что
при попыткѣ практическаго введенія геометріи будетъ ясно,
о чемъ можно и о чемъ нельзя говорить съ учениками.