Галанин Д. Д. Леонтий Филиппович Магницкий и его арифметика. Вып. 2—3. — 1914

Д. Д. Галанинъ.
Леонтій Филипповичъ
МАГНИЦКІЙ
И ЕГО АРИѲМЕТИКА.
Вып. II. Ариѳметика-политика, или гражданская.
Вып. III. Ариѳметика-логистика.
Съ приложеніемъ нагляднаго пособія XVIII вѣка
Ариѳметика-ѳеорика, или зрительная,
сост. Василіемъ Кипріановымъ.
Цѣна 2 руб.
МОСКВА.
Типографія О. Л. Сомовой, Б. Никитская, близъ Кудрина, д. № 60.
1914.

Ариѳметика Магницкаго.
Какъ я уже говорилъ раньше, Магницкій написалъ свою
ариѳметику до 1700 года. Это видно изъ того, что, пользуясь ши-
ротой и долготой полярной звѣзды, онъ вычисляете ее для этого
года и называетъ годъ „преходящимъ лѣтомъ“. Указанная фраза
стоитъ въ концѣ книги, слѣдовательно, сама книга написана имъ
до 1700 года, а именно—въ періодъ отъ 1694—1700 года, послѣ
окончанія курса въ Спасскихъ школахъ. Я думаю далѣе, что для
написанія ариѳметики автору понадобилось довольно продолжи-
тельное время не только потому, что книга весьма объемиста, но
и потому, что для ея написанія пришлось познакомиться съ раз-
ными математическими сочиненіями, а главное—обдумать многія
подробности и найти наилучшую для нихъ формулировку.
Написавши свою ариѳметику, Магницкій черезъ Курбатова
выхлопоталъ у Петра разрѣшеніе напечатать ее въ казенной ти-
пографіи. Печатаніе заняло также довольно долгое время. Можно
думать, что печатаніе началось со 2-го февраля 1701 года и окон-
чилось 1 января 1702 года; за это время авторъ получалъ кор-
мовыя деньги по δ алтынъ въ день, всего 49 p. 31 алтынъ и
4 деньги, въ полученіи чего сохранилась собственноручная записка
Магницкаго въ дѣлахъ главнаго морского архива*). A такъ какъ
книга могла печататься только въ московской типографіи, то не-
обходимо, чтобы она печаталась при содѣйствіи Василія Ки-
пріанова, который состоялъ начальникомъ типографіи гражданскихъ
книгъ. Изданіе помѣчено 1703 годомъ.
Книга печаталась при помощи деревянныхъ досокъ, на ко-
торыхъ былъ вырѣзанъ текстъ, а потому возможно, что впослѣд-
ствіи ее допечатывали тѣми же досками, не упоминая новыхъ
изданій. Собственно такое предположеніе дѣлаетъ г. Бобынинъ, и
*) Бобынинъ. 1888; 2-ая четв., стр. 208. Пекарскій. Наука и литер, въ
Рос. при Петрѣ Вел. II, стр. 270. Веселаго. Очеркъ истор. мор. кад. корпуса,
стр. 17.

я считаю его весьма вѣроятнымъ. Если взять нѣсколько экземпля-
ровъ ариѳметики и сравнить ихъ, то въ нѣкоторыхъ мѣстахъ видно,
какъ отъ времени стерлись буквы, особенно цифры, получилось
слегка окрашенное пятно, а это могло быть только тогда, когда
печать была вырѣзана на доскѣ. Кромѣ того, сохранившіеся экзем-
пляры носятъ характеръ неодинаковой четкости печати, какъ
будто они были печатаемы одни раньше съ болѣе сохранившихся
досокъ, a другіе позднѣе, когда доски уже порядочно износились.
Эти болѣе или менѣе установленныя данныя требуютъ нѣкото-
раго анализа. Изданіе книги помѣчено январемъ 1703 года, и потому
можно думать, что она написана въ промежуткѣ отъ 2-го февраля
1701 г. до 1-го января 1702, а печаталась въ теченіе 1702 года.
Однако, мнѣ кажется невозможнымъ, чтобы при самомъ усидчивомъ
трудѣ можно было написать ариѳметику въ томъ объемѣ, какъ она
есть, въ теченіе года, тѣмъ болѣе, что она писана славянскими бук-
вами, что сильно замедляетъ работу. Кромѣ того, какъ увидимъ, сти-
хотвореніе на гербъ писано, несомнѣнно, въ 1696 г. Поэтому всего
естественнѣе предположить, что весь трудъ уже былъ законченъ къ
1701 му году. Этотъ же годъ и слѣдующій пошелъ на подготовленіе
къ печати, которое также не могло быть выполнено скоро, ибо при-
ходилось текстъ рѣзать на доскахъ, приготовлять рисунки, рѣзать
на мѣди. Вотъ почему я увѣренъ, что указанное время отъ 1701—
1702 года было временемъ не написанія, a печатанія книги.
Все это нельзя не поставить въ связь съ временемъ пріѣзда
Фарварсона, указомъ Петра объ открытіи навигацкой школы и
ариѳметикой Копіевскаго.
Если, какъ мы видѣли выше, Магницкаго нельзя считать важ-
нымъ или вліятельнымъ человѣкомъ, если его знало въ Москвѣ лишь
небольшое количество близкихъ ему людей, также мало вліятель-
ныхъ, то вопросъ о печатаніи его сочиненія былъ совсѣмъ не такъ
простъ, какъ это можетъ казаться. Чтобы добиться права напеча-
танія своего труда въ единственной правительственной типографіи,
ему нужны были или сильные покровители или особое счастье. Вотъ
это то счастье и улыбнулось ему, когда въ Москву пріѣхалъ Фар-
варсонъ, и пошли толки объ учрежденіи новой школы. Москвичи
были, несомнѣнно, обижены какъ приглашеніемъ иноземныхъ учи-
телей, такъ особенно книгой Копіевскаго. Чтобы показать, что и
въ Москвѣ есть знающіе люди, они выдвинули Магницкаго и его
сочиненіе. Я думаю, что всего болѣе объ этомъ старался Курба-
товъ, который убѣдилъ Головина представить Петру не только
важность, но и необходимость имѣть въ новой школѣ учебникъ не
заграничнаго, a московскаго происхожденія. Но если все это такъ,

то трудъ Магницкаго долженъ быть извѣстнымъ хотя бы тому же
Курбатову, такъ что и сама ариѳметика должна была быть къ
этому времени уже написанной. Быть-можетъ, это соображеніе
является наиболѣе важнымъ при сужденіи о времени написанія
ариѳметики. Въ самомъ дѣлѣ, какъ бы хорошо ни зналъ Магниц-
каго хотя тотъ же Курбатовъ, пусть онъ считалъ бы его вполнѣ
способнымъ написать ариѳметику, но если такой ариѳметики нѣтъ,
то нельзя о ней и говорить; нельзя печатать того, что еще не
написано; поэтому совершенно неизвѣстно, какъ все это можетъ
выйти, между тѣмъ какъ вся обстановка 1701 года говоритъ за
какую-то особую спѣшность работы: Магницкій живетъ въ домѣ
Курбатова, какъ бы подъ его особымъ наблюденіемъ, очевидно,
онъ усиленно работаетъ, и получаемое имъ вознагражденіе осо-
бенно ему необходимо. Очевидно, москвичи старались какъ можно
скорѣе воздвигнуть свой московскій учебникъ вмѣсто учебника
Копіевскаго и даже пытались составить на время другой краткій
учебникъ ариѳметики, боясь, что учебникъ Магницкаго не поспѣетъ
во-время. Повторяю, все это только тогда получаетъ смыслъ,
когда сочиненіе Магницкаго въ рукописи уже было извѣстно и
одобрено ближайшими его сотрудниками. Быть-можетъ, оно было
извѣстно и Брюсу, и онъ также поддержалъ ходатайство Головина о
назначеніи Магницкаго въ число преподавателей новой школы.
Самымъ интереснымъ и важнымъ вопросомъ является вопросъ
о томъ, какими источниками пользовался Магницкій при соста-
вленіи своей ариѳметики. По этому вопросу въ литературѣ суще-
ствуетъ мнѣніе г. Бобынина, которое я разсматриваю въ особомъ
примѣчаніи. Самъ я думаю нѣсколько иначе. Въ основѣ моего
мнѣнія лежитъ гипотеза, что математическія знанія въ Россіи
главнымъ образомъ сохранялись и развивались среди торговыхъ
людей.
Въ подтвержденіе этой гипотезы я приведу слѣдующее:
Въ своемъ завѣщаніи сыну Сильвестръ пишетъ, что онъ об-
училъ многихъ принятыхъ имъ къ себѣ въ домъ дѣтей чтенію,
письму, иконному мастерству... и торговлѣ. Что значитъ обучить
торговлѣ? Если бы это было практическое обученіе въ лавочкѣ,
какъ это практиковалось впослѣдствіи, то торговля не была бы по-
ставлена въ одну строку съ чтеніемъ и письмомъ. Да у Сильвестра
и не было такой лавочки, и онъ долженъ былъ бы отдавать своихъ
питомцевъ въ обученіе другимъ людямъ; если бы это было такъ,
то онъ, конечно, отмѣтилъ бы фактъ обученія торговлѣ этой по-
дробностью.
Но такъ какъ этого нѣтъ, то отдѣльно стоящее слово „тор-

говля“ я объясняю именно обученіемъ ариѳметикѣ. Далѣе, въ су-
ществующихъ рукописяхъ XVII вѣка особенно подчеркивается не-
обходимость знанія ариѳметики для торговли, и самъ Магницкій,
говоря о необходимости ариѳметическихъ знаній, особенно подчер-
киваетъ эту необходимость для торговли: „Аріѳметіка обычайная,
въ купецкихъ дѣлѣхъ случайная. Цѣну товаровъ обрѣтати и до-
стойно ю исчисляти“.
Принимая ату гипотезу, я думаю далѣе, что Магницкій былъ
близокъ къ купеческому званію, если и не происходилъ изъ куп-
цовъ, а потому еще до поступленія въ школу онъ хорошо позна-
комился съ ариѳметикой по какой-либо рукописи. Въ этой руко-
писи, какъ это было принято въ то время, могло содержаться я
землемѣріе, т.-е. геометрія. Слушая Лихуловъ, знакомясь со
взглядомъ на міръ различныхъ ученыхъ и философовъ, онъ
прикидывалъ свои новыя знанія къ математическимъ вопросамъ
и отмѣчалъ тѣ подробности, которыя имѣютъ математическій
характеръ.
Такъ, напримѣръ, разсуждая о деньгахъ, онъ говоритъ, что
они были извѣстны еще во время Іакова: „Но во время патріарха
Іакова видится уже, яко начаша человѣцы на рудѣ, или рещи на
веществѣ печатати. Понеже бо въ бытіяхъ во главѣ 33, стихѣ 19
пишется: яко Іаковъ купилъ бяше часть села 100 агнцевъ, якоже
о томъ святый Стефанъ въ дѣяніи во главѣ 7, стихѣ 16, толкуетъ.
Зане пишетъ, яко купилъ есть цѣною сребра: понеже агнецъ, бяше
денга такова напечатана образомъ агнца и вѣсомъ бяше велика.
Такожде и во Іовѣ въ послѣдней главѣ, стихѣ 11, идѣже писано
есть, яко сродницы іовли пришедше и кійждо ихъ даде ему, едину
овцу, нѣціи же сіе толкуютъ, яко сродницы его дали по единой
великой денгѣ, на ней же бяше образъ овцы напечатанъ: сице
евреи толкуютъ. Отнюду же римляне имянуютъ, пекуніа, отъ пеку,
си есть скотъ, имъ же назначены быша вся древнія денги. Зри о
семъ въ Плутархѣ, въ житіи Публикола и иныхъ авторовъ“ (стр.
23 на оборотѣ).
Все это, очевидно, пришло ему въ голову и было отмѣчено имъ
еще въ Академіи, и потомъ вошло уже въ курсъ ариѳметики, какъ
интересная и важная подробность.
Далѣе, я уже выше отмѣтилъ, что согласно установившемуся
въ нѣкоторыхъ кругахъ русскаго образованнаго общества міросо-
зерцанію, Магницкій стремился связать философію и науку съ
текстомъ священнаго писанія и твореніями отцовъ церкви, допу-
ская при этомъ, что языкъ Библіи есть языкъ символическій, и
что наука, раскрывая тайны явленій, раскрываетъ намъ въ то же

время и истинный смыслъ текста. Провести эту идею черезъ ма-
тематическія обоснованія научныхъ знаній—вотъ та задача, кото-
рую поставилъ себѣ авторъ ариѳметики по окончаніи имъ курса
школы. Для этой цѣли по окончаніи курса онъ досталъ возможныя
руководства изъ западныхъ учебниковъ и проштудировалъ ихъ,
вырабатывая прочныя обоснованія для своего основного взгляда
на философію и науку. Онъ говоритъ, что при составленіи своей
книги онъ пользовался греческими, латинскими, нѣмецкими и
итальянскими руководствами; въ другомъ мѣстѣ онъ добавляетъ къ
этому перечню еще „старопреводныя славянскія“ и говоритъ, что
все это ему было нужно для того, чтобы выбрать „чинъ и поря-
докъ“ изложенія, а также отмѣтить всѣ ихъ особенности: „стран-
ства“. Однако, знакомясь со всей этой обширной литературой,
онъ подвергъ ее коренной переработкѣ и изложилъ свой курсъ
по-своему:
„И мню азъ яко то имать быть, что самъ себѣ всякъ
можетъ учить.
Зане разумъ весь собранъ и чинъ природно русскій—
а не нѣмчинъ“.
Этотъ „природно-русскій разумъ“ могъ выразиться какъ въ
томъ, что авторъ всю математику изложилъ по-своему, болѣе яс-
нымъ и понятнымъ языкомъ для русскаго читателя, такъ и въ
томъ, что его изложеніе согласно съ основами вѣроученія и не
является чѣмъ-либо новымъ въ русской жизни, т.-е. оно не вво-
дитъ новыхъ точекъ зрѣнія въ установившееся религіозно-нрав-
ственное міровоззрѣніе читателей.
Здѣсь нужно отмѣтить еще одну подробность. Авторъ назы-
ваетъ славянскія рукописи „старопреводными“, какъ будто считая
ихъ не самостоятельными сочиненіями, а переведенными съ иностран-
ныхъ языковъ на славянскій. Между тѣмъ какъ въ изслѣдованіи
г. Бобынина о томъ, что осталось отъ XVII вѣка, не указано,
и какъ будто даже нѣтъ и слѣдовъ какого-либо перевода. Руко-
писи представляютъ собою изложеніе ариѳметики, въ которомъ
замѣтно знакомство съ иностранной литературой, но нѣтъ пере-
вода ни одного иностраннаго учебника. Почему Магницкій назы-
ваетъ ихъ „старопреводными“? Для отвѣта на этотъ вопросъ надо
обратить вниманіе, что онъ и свою книгу называетъ „преведен-
ной съ разныхъ діалектовъ на славянскій языкъ“. Изъ этого со-
поставленія ясно, что Магницкій русскія математическія рукописи
не считалъ сочиненными русскими людьми, a такъ же, какъ и его
книги, собранными изъ разныхъ иностранныхъ руководствъ. Рус-

скіе авторы не писали чего-либо своего, имъ принадлежащаго, по
его мнѣнію, но перерабатывали лишь то, что содержится въ ино-
странной литературѣ, а такой способъ изложенія онъ не считаетъ
сочиненіемъ, a переводомъ.
Среди этихъ иностранныхъ источниковъ наше вниманіе должно
еще остановиться на греческихъ авторахъ. Какіе это авторы?
Есть ли это авторы старо-греческіе, т.-е. математики Эллады, или
позднѣйшіе? Позднѣйшихъ авторовъ, которые бы писали на грече-
скомъ языкѣ, я не знаю; въ изслѣдованіяхъ встрѣчаются только
римскіе писатели, какъ, напримѣръ, Маркъ Теренцій Варронъ,
Марціанъ Капелла; и ихъ, я думаю, Магницкій считаетъ латинскими
авторами, отличая тѣмъ отъ позднѣйшіхъ итальянскихъ. Тогда
подъ гречискими авторами мы должны разумѣть старо-греческихъ,
а среди нихъ будутъ Архимедъ, Пиѳагоръ, Платонъ; Эвклида
Магницкій совершенно не зналъ.
Обо всемъ этомъ я сейчасъ скажу подробнѣе, но сначала нужно
описать начало книги.
Книга открывается заглавнымъ листомъ, на которомъ напи-
сано: „Аріѳметіка, сирѣчь наука числительная. Съ разныхъ діа-
лектовъ на славянскій языкъ переведенная, и во едино собрана,
и на двѣ книги раздѣлена. Нынѣ же повелѣніемъ благочестивѣй-
шаго великаго Государя нашего Царя и великого Князя Петра
Алексіевича всея великія и малыя, и бѣлыя Россіи самодержца:
При благороднѣйшемъ великомъ Государѣ нашемъ Царевичѣ и
великомъ Князѣ Алексій Петровичѣ, въ богоспасаемомъ царствую-
щемъ градѣ Москвѣ типографскимъ тисненіемъ ради обученія мудро-
любивыхъ россійскихъ отроковъ, и всякого чина и возраста людей
на свѣтъ произведена, первое, въ лѣто отъ сотворенія міра 7211,
отъ рожества же во плоти Бога слова 1703, индикта 11, мѣсяцы
януарія“. Этотъ титулъ занимаетъ всю страницу, которая окру-
жена рамкой; внизу въ этой рамкѣ довольно мелкими буквами на-
печатано: „Сочинися сія книга черезъ труды Леонтія Магницкаго“.
Изъ этого заглавія можно видѣть, что книга писалась и пе-
чаталась въ разное время. Она была сначала написана для какой-
то иной цѣли, a потомъ по приказанію Государя напечатана для
обученія отроковъ и другихъ людей.
На оборотной сторонѣ листа изображенъ цвѣточный кустъ,
окруженный виньеткой со словами: Тако цвѣтетъ человѣкъ, яко
цвѣтъ сельный“

Подъ этимъ рисункомъ находится стихотвореніе.
„Пріими юне премудрости цвѣты разумныхъ наукъ обтицая
верты *).
Ариѳметикѣ любезно учися, въ ней разныхъ правилъ и штукъ
придержися.
Ибо въ гражданствѣ къ дѣламъ есть потребно, лечити твой
умъ аще числитъ вредно.
Та пути въ небѣ, рѣшитъ и на мори, еще на воинѣ полезна
и въ ноли.
Обще всѣмъ людямъ образъ**) даетъ знати, дабы исправно
въ размѣрахъ ступати.
О ней ты цвѣти какъ крінъ благовонный, равно и къ инымъ
наукамъ будь хотный.
На этомъ рисункѣ и стихотвореніи необходимо остановиться,
такъ какъ и то и другое даютъ возможность нѣсколько проникнуть
*) Верты—обороты, извороты чего-либо; извилистыя дорожки сада.
**) Образъ — вещь подлинная, истинная или снимокъ съ нея, точное по-
дражаніе ей, вещь примѣрная, служащая мѣриломъ для оцѣнки ей подобныхъ.
(Словарь Даля).
Такимъ образомъ, здѣсь Магницкій хочетъ сказать, что ариѳметика
даетъ подлинную сущность всѣхъ вещей, зная которую, люди могутъ разсчиты-
вать и соображать свои посыпки.

въ міросозерцаніе автора. Рисунокъ, очевидно, есть символъ; это
цвѣты премудрости, той примудрости, которую предлагаетъ авторъ
своимъ читателямъ. Эта премудрость служитъ основаніемъ всѣхъ
„разумныхъ наукъ, т.-е всего философскаго знанія, позволяя про-
никнутъ въ его тончайшія извивы и подробности". Она, т.-е.
ариѳметика, обнимаетъ всю жизнь человѣка какъ въ его практи-
ческой дѣятельности, такъ и въ тѣхъ прикладныхъ знаніяхъ, ка-
ковы суть астрономія, военное и морское дѣло. Она даетъ знаніе
сущности подлинныхъ вещей, а потому позволяетъ заранѣе опре-
дѣлить необходимый образъ дѣйствія. Зная ее, человѣкъ цвѣтетъ,
какъ „крінъ благовонный“, даже если онъ посвятитъ себя и дру-
гимъ областямъ знанія. Очевидно, что здѣсь, быть можетъ впервые,
была высказана та мысль, которую впослѣдствіи знаменитый рус-
скій педагогъ и методистъ А. И. Гольденбергъ формулировалъ
слѣдующими словами: „Обучаясь пріемамъ вычисленія, дѣти ясно
видятъ передъ собою цѣль, которой въ каждомъ должномъ случаѣ
имъ предстоитъ достигнуть, отдаютъ себѣ полный отчетъ въ тѣхъ
средствахъ, при помощи которыхъ они могутъ самостоятельно до-
стигнуть цѣли, и, пользуясь десятичнымъ счисленіемъ, пріучаются
видѣть въ немъ то тонкое и совершенное орудіе, которое мы не-
достаточно цѣнимъ только потому, что оно такъ просто и намъ
такъ привычно.
„Сознательное усвоеніе пріемовъ вычисленія, обдуманное при-
мѣненіе ариѳметическихъ дѣйствій къ рѣшенію задачъ, увѣренность
въ средствахъ, которыя всегда безошибочно приводятъ къ дѣли,
должная оцѣнка этихъ средствъ и, наконецъ, неизмѣнное къ нимъ
довѣріе—все это, по нашему крайнему разумѣнію, представляетъ
драгоцѣнныя стороны обученія дѣтей счетной мудрости. Къ тому
же нельзя не признать, что умственные навыки, которые обученіе
счисленію способно воспитать въ дѣтяхъ, имѣютъ значеніе не
только въ примѣненіи къ тому простому матеріалу, который послу-
жилъ почвой для развитія этихъ навыковъ, но сохраняютъ свою
цѣнность и далеко за чертой, замыкающей умѣніе производить арт-
истическія дѣйствія и способность прилагать ихъ“ *).
Я думаю, что подъ этими словами подписался бы и Магниц-
кій, и именно это онъ хотѣлъ выразить своимъ букетомъ премуд-
рости; и здѣсь слово „юнеа удивительно сближаетъ оба мнѣнія.
Слѣдующая страница книги занята „гербомъ“.
Далѣе слѣдующія 11 страницъ заняты „стихами на предло-
женный гербъ“. Стихи эти вначалѣ представляютъ акростихъ.
*) Гольденбергъ. Мет. нач. ариѳм. Введен.

„На честный крестъ на государевъ гербъ до лица его царского и
пресвѣтлаго величества царя и самодержца Петра Алексѣевича всея
Россіи“. Акростихъ доведенъ только до 10-ой страницы. Содержа-
ніе стиховъ следующее. Послѣ подробнаго описанія предлежащаго
герба, которое занимаетъ 45 двойныхъ строкъ, слѣдуетъ:
„Оный архимедъ и пиѳагоръ, излиша яко воды отъ горъ.
Первіи быша снискатели, сицевыхъ наукъ писатели.
Равно бо водамъ изліяша многи науки въ міръ издаша.
Елицы же ихъ возпріяша, многу си пользу отъ нихъ взяша.
Сія же польза ко гражданству, требна каждому государству.
Въ древнихъ бо лѣтахъ цари грецки и нынѣшніе вси немѣцки.
Единако ее пріимаютъ, и царство свое управляютъ.
Такожде и людей учатъ выну, въ жительствѣ имѣть все по
чину.
Любить же мудрость и науки, чемъ богатство имъ придетъ
въ руки.
А иже людей обогатитъ, убо и царство распространитъ.
Грады укрѣпитъ и построитъ и всю землю си успокоитъ.
Ону волю мы въ тебѣ зряще и паче всѣхъ тя быти мняще.
Въ той же ревности есмы суще и нѣчто наукъ тѣхъ имуще.
Едину отъ всѣхъ тѣхъ избрахомъ, аріѳметіку написахомъ.
Люботрудно ся въ ней подщавше, изъ многихъ разныхъ
книгъ собравше.
Изъ грецкихъ убо и латіскихъ, немѣцкихъ же и италійскихъ.
Чинъ и порядокъ избирахомъ въ достойныхъ мѣстахъ при-
плетахомъ.
Сличіемъ добрымъ и изряднымъ, еже мнится намъ быть
пріятнымъ.
Далѣе идетъ изложеніе содержанія книги, сначалы ариѳметика
политика, a потомъ:
„И такъ кончися политіка, а другая ихъ логіетіка.
Полагается разнымъ чиномъ по належащихъ намъ причинамъ.
Въ первыхъ должно да умъ словесный будетъ о твари всей
извѣстный.
И тѣмъ бога си познаютъ и имя его величаютъ.
Друга же причина есть съ того, что не инъ кто но богъ съ
тобою (т.-е. съ Петромъ).
Сотвори нынѣ въ наши лѣта, не бывшее отъ зданія свѣта.
Яко гдѣ въ малѣ не самый брегъ, обрѣлъ кораблямъ свобод-
ный бѣгъ.
И сіе зѣло есть пречудно, a врагамъ нашимъ велми грубно.

Но великимъ симъ корованомъ, въ болшій страхъ врагомъ и
поганомъ.
Да дасть богъ ходы зрѣти скоро благополучно и споро*).
Тѣмъ же аще мы умъ и не лѣпъ, и она дѣла зрѣти не слѣпъ.
Но елико въ немъ приплодилось, а паче что гдѣ пригодилось.
Отъ различныхъ книгъ и ученій и отъ наукъ небесныхъ
теченій
Такъ же и изгеометрики къ сей наукѣ аріѳметіки
Хощу приложить достойныхъ штукъ яко угодны отъ тѣхъ
наукъ
И хотяй быти морскій пловецъ наигаторъ ли или гребецъ.
Да зритъ си пользу здѣ отъ части, отъ нихже восхотѣхъ
прикласти
Нынѣ бо и всякъ лучщій воинъ ону науку знать достоинъ
И узрѣвъ яко въ томъ есть плодъ многъ, внесохъ изъ мор-
скихъ книгъ что возмогъ
Яко да будетъ всѣмъ извѣстна, книга сія и у всѣхъ честна
Яже есть со исполненіемъ и довольнымъ объясненіемъ.
Елико мочно показати, просторѣчій же убѣжати.
Ни мудро бъ ни просто учити, но какъ могно толкъ получити.
И мню азъ яко то имать быть, что самъ себе всякъ можетъ
учить.
Зане разумъ весь собранъ и чинъ природнорусскій а не
немчинъ.
Склонность бо въ рѣчахъ зналъ есть твердо и объяснилъ
весь толкъ усердно.
Тѣмже молимъ о самодержче къ чести богу ревный раздѣльче.
Да бы сей трудъ въ честь богу пріялъ, и въ пользу людямъ
въ міръ изліялъ.
О немъ же вѣрный рабъ твой тщился, понуждачи кто тру-
дился.
И имый о семъ дѣлѣ укасъ упокоивалъ на всякій часъ.
И въ нуждахъ всему онъ помогалъ, ради всѣхъ пользы ce
содѣвалъ.
Тѣмже труждшіися убоги подлагаемъ главы подъ ноги.
·) Это мѣсто стихотворенія позволяетъ судить о времени его написанія.
Здѣсь слово „поганомъ“, очевидно, относится къ туркамъ. А слова: ,,Яко гдѣ
въ малѣ не самый брегъ“...—къ построенію флота въ Воронежѣ; тогда фра-
за: ,,Да дастъ богъ ходы зрѣти скоро“... показываетъ, что флотъ еще не былъ
готовъ. Слѣдов., стихотвореніе написано или въ концѣ 1695 или въ началѣ
1696 года.

И желаемъ да будетъ сей трудъ, добрѣ пользовать русскій
весь людъ.
Какъ я уже отмѣтилъ въ примѣчаніи, время написанія стихо-
творенія можно отнести къ 1696 году; изъ конца его видно, что авторъ
думалъ тогда же поднести Петру свое твореніе съ просьбой о
напечатаніи. Очевидно, что поѣздка Петра за границу, a потомъ
суровыя казни стрѣльцовъ отодвинули этотъ проектъ, и онъ могъ
осуществиться лишь въ 1701 году. Печатая книгу въ томъ году,
Магницкій помѣстилъ въ ней второе предисловіе, которое идетъ
послѣ оглавленія и начинается словами: „трудолюбивому и мудро-
любивому читателю о господѣ радоватися“. Что это предисловіе
было написано позднѣе, и именно въ 1701 году, видно изъ слѣдую-
щаго мѣста. Перечисляя заслуги Петра въ области народнаго об-
разованія, авторъ говоритъ: „Положи свое царское повелѣніе, еже
отеческая его училища возновити и изобилишими сокровищи обо-
гатиши, въ нихъ же всякихъ словесныхъ наукъ есть довольно.
И не токмо отроческаго и юношеского сущихъ возраста повелѣ
учити, но и лучши и нужнѣйші паче всего, еже священнаго чина
не зѣло искусныхъ, повелѣ, безъ чего имъ не должно быти, вра-
зумляти, яко да вѣдяще свой чинъ и должность, совершаютъ свое
теченіе; якоже довлѣетъ“. Въ этомъ ясный намекъ на преобразо-
ваніе славяно-греческой академіи въ славяно-латинскую по указу
Петра отъ 7 іюля 1701 года. Магницкій говоритъ: „отеческая его
училища возновити“. Къ этому времени академія пришла въ пол-
ный упадокъ; у нея не было ни учителей, ни средствъ. Новая
жизнь академіи началась хотя и немного раньше, съ Палладія
Роговскаго, но она была упорядочена и узаконена только этимъ
указомъ. Далѣе Магницкій пишетъ: „Повелѣ же и иныхъ ученій
свободныхъ же училища поставити, въ нихъ же высокая ученія
математическая и навигатская, сі есть науки счисленія, размѣре-
нія, мореплаванія, крѣпости градовъ и иныхъ восточныхъ дѣлъ,
повелѣ распространяти, и всякаго чина своего государства добро-
вольно приходящихъ людей учити, довольствуя ихъ и питая своею
государевою казной“.
Очевидно, что это говорится объ указѣ 14 января 1701 года
объ открытіи навигацкой школы. Здѣсь любопытно то, что Магниц-
кій называетъ эту школу—школой высокаго математическаго ученія
и свободной. Слово свободной есть терминъ школьнаго знанія
(artes liberales), который вошелъ въ употребленіе въ русской
жизни съ XVI вѣка. Предметы славяно-латинской академіи соста-
вляли группу, которая, по западно-школьной терминологіи, предста-

вляла собою trivium; слѣдующая группа математическая, куда вхо-
дили: ариѳметика, геометрія, астрономія и музыка. Такой группы
не было въ спасскихъ школахъ, и этотъ пробѣлъ до нѣкоторой сте-
пени восполнялся учрежденіемъ навигацкой школы, а потому тер-
минъ „свободной“, употребленный здѣсь Магницкимъ, показываетъ,
что онъ считалъ курсъ новой школы входящимъ въ тотъ курсъ общаго
образованія, который соотвѣтствуетъ западному понятію образован-
наго человѣка.
Такъ какъ оба эти указа падаютъ на 1701 г.: 14 января
указъ о навигацкой школѣ и 7 іюля о славяно-латинской академіи,
то нужно думать, что предисловіе написано позднѣе; но въ январѣ
слѣдующаго 1702 года была прекращена выдача кормовыхъ де-
негъ Магницкому, слѣдовательно, предисловіе написано имъ было
въ концѣ'1701 г. Эти указы царя, очевидно, вызвали въ обще-
ствѣ самые разнообразные толки; среди московской интеллигенціи
еще находилось много сторонниковъ того стараго уклада, которые
думали, что главное назначеніе жизни человѣка есть спасеніе души,
какъ это было формулировано когда-то Іоанномъ Вишенскимъ.
Православная наука, говоритъ онъ, должна быть „оградой благо-
честія, препятствующей благочестивому помыслу выходить само-
мнѣнной душой изнутри православной мысли на дворъ за ограду,
гдѣ звѣрь ереси живетъ и слабоумныхъ прельщаетъ и похищаетъ“.
Онъ находитъ, что „лживая діалектика“ учитъ претворять бѣлое
въ черное. Въ основѣ обученія, по его мнѣнію, должно лежать
изученіе Евангелія и Апостола съ толкованіемъ простымъ, а не
хитрымъ. „Не высокоумствуйте, братія, говорится въ одномъ па-
мятникѣ, но въ смиреніи пребывайте... Если кто тебѣ скажетъ:
знаешь ли философію,—™ ему отвѣчай: „еллгинскихъ борзостей не
текохъ, ни риторскихъ астрономъ не читахъ, ни съ мудрыми фило-
софы въ бесѣдѣ не бывахъ,—учусь книгамъ благодатного закона,
аще бы можно моя грѣшная душа отъ грѣха очистить“.
Обыкновенно историки, цитируя это мѣсто, указываютъ на
крайнюю отсталость въ культурномъ отношеніи русскаго народа;
но это едва ли вѣрно, особенно если мы припомнимъ, что геній
Россіи—Л. H. Толстой также говоритъ то же самое, хотя и другими
словами. Очевидно, здѣсь не умственная и культурная отсталость, а
особое міровоззрѣніе, опредѣленное философское обоснованіе жизни.
Противъ этого философскаго обоснованія, въ защиту новаго теченія
философской мысли и написалъ Магницкій свое второе предисловіе.
Здѣсь онъ говоритъ, что, конечно, этотъ взглядъ имѣетъ свое зна-
ченіе. Нельзя отрицать, что Промыселъ Божій руководитъ жизнью
человѣка, который является вѣнцомъ творенія; однако, нельзя ду-

мать, что вся гражданская жизнь не входитъ въ этотъ Божествен-
ный планъ: „гражданство узаконено, аще и естественно, но та-
кожде отъ Бога, обаче черезъ достойные а мудрые управляемо
человѣки“. Но если гражданская жизнь узаконена Богомъ, то
слѣдовательно, узаконены и тѣ „художества и науки“, которыя
служатъ для украшенія души человѣка „по внѣшнему“, и „пріе-
млемо съ добрымъ произволеніемъ“, являются помощниками тѣхъ
внутреннихъ силъ, которыя ведутъ къ высшему идеалу, даютъ
„нетлѣнныя* сокровища, скрытыя въ религіозномъ созерцаніи и
религіозной философіи. При этомъ онъ указываетъ и на то еще,
что сами охранители чистоты религіозныхъ стремленій живутъ въ
мірѣ и пользуются всѣми тѣми благами, которыя даетъ имъ науч-
ное знаніе. Практическая польза знанія съ наибольшей ясностью
вытекаетъ изъ знанія науки счисленія. Эта наука „великая и труд-
ная недоумѣнія ясно предлагаетъ“, что могутъ подтвердить всѣ
тѣ, кто встрѣчается съ ней въ жизни, какъ-то: купцы, денежныхъ
дѣлъ начальники, экономы, хранители царскихъ сокровищъ и
врачи. Она нужна землеописателямъ, архитекторамъ, морскимъ и
военнымъ. Что было бы, говоритъ онъ, если бы люди не умѣли
измѣрять время? „Воистину едва не сравнившеся безсловеснымъ
пребывали быхомъ“. Но если такъ необходимо знаніе, то ясно,
насколько почтенна и высока дѣятельность правительства, учре-
ждающая школы. Тотъ же мотивъ руководилъ и авторомъ при
составленіи предлагаемой книги. Хотя люди и знаютъ „число и
мѣру“, но по многимъ соображеніямъ онъ, авторъ, считаетъ по-
лезнымъ собрать всю науку аріѳметику изъ разноязычныхъ книгъ
и изложить ее „добрымъ чиномъ“, раздѣливши на двѣ книги.
„Въ первой яже именуется політіка, вся гражданскія потребы,
купецкій убо и воинскія, и различныхъ чиновъ ради людей, мно-
гіе приклады, и образы положихомъ, пропорціи рудъ, и различ-
ныхъ царствъ, и временъ, разнство денегъ, и вѣсовъ, и мѣръ,
и разливающихся вещей тяготу, и ины многи образи. Яко да
всякъ усердствуя, можетъ извѣстно во всякихъ случаехъ недоумѣ-
ніе въ числахъ разрѣшити, насмотряся приличныхъ заданій, въ
нашемъ собраніи. Въ другой именуемой логіетіка, собрана и по-
ложена суть, яже къ геометріи, сіесть къ землемѣрію, и къ нави-
гаціи, сіесть ко мореплаванію подлежатъ. И ради сея мореплава-
нія науки, объявихомъ отчасти о фигурѣ міра, сіесть земли и не-
бесе, и о раздѣленіи ихъ, и о движеніи солнца, и о рожденіи
луны, и о прочихъ тѣхъ приличныхъ, якоже во оглавленіи явлено
есть или паче въ самомъ чинѣ аріѳметіки. Ихъ же всѣхъ всякого
чина человѣкомъ не потребно есть презирати, зане естественно

украшаютъ внутреннѣ человѣка зѣло, и просвѣщаютъ умъ ко прія-
тію множайшихъ наукъ, и высочайшихъ, и отъ разсужденія види-
мого зданія, является всемощество божіе, и чудесная его неизслѣ-
димая и неопредѣленная премудрость, и отъ твари творецъ позна-
ваетъ и удивляемъ паче бываетъ“.
Итакъ, вотъ конечный выводъ автора ариѳметики: новое на-
правленіе философской мысли, изученіе еллинскихъ борзостей не
только не противорѣчитъ основной задачѣ жизни человѣка, но
помогаетъ ей: „и отъ твари творецъ познаваемъ“. Познаніе творца
есть конечная цѣль книгъ благодатнаго закона, а наука вообще и
ариѳметика въ частности служатъ пособіемъ къ этому познаванію.
Такое примиреніе старой религіозной жизни съ новымъ научнымъ

направленіемъ является основнымъ убѣжденіемъ Леонтія Магниц-
каго и составляетъ естественное развитіе основного русскаго міро-
воззрѣнія съ его богоисканіемъ. Здѣсь западная наука и греческая
философія не являются враждебными русской образованности, а
входятъ въ нее, какъ мозаичные камни, дополняя, украшая самое
эту образованность. Онѣ украшаютъ человѣка, дѣлаютъ его не
просто вѣрующимъ, a убѣжденно вѣрующимъ, когда звѣрь ереси
не можетъ похитить даже и тогда, когда вѣрующій неосторожно
переступивъ за ограду, потому что разумъ, изощренный система-
тически мышленіемъ, не можетъ быть уловленъ въ сѣти „лживой
діалектики
Теперь мы вернемся нѣсколько назадъ и посмотримъ на кар-
тину герба. Къ сожалѣнію, я совершенно не знаю, кѣмъ и какъ
составлена эта картина. Представляетъ ли она продуктъ творче-
ства самого Магницкаго или же заимствована имъ изъ какого-
либо иностраннаго сочиненія. Сочиненіе русскаго герба съ изоб-
раженіемъ двухъ свѣтилъ математической мысли у грековъ, во
всякомъ случаѣ, есть соединеніе московское, а не западное. Сама
картина есть, несомнѣнно, аллегорія. Здѣсь подъ покровительствомъ
креста государственная власть какъ бы вноситъ въ міръ матема-
тическія знанія. A всѣ эти знанія составляютъ развитіе идей,
когда-то данныхъ Пиѳагоромъ и Архимедомъ. Послѣдній является
въ костюмѣ араба, тогда какъ Пиѳагоръ напоминаетъ католиче-
скаго монаха. ' Здѣсь авторъ какъ будто хотѣлъ выразить, что гре-
ческая наука черезъ арабскую ученость вошла въ жизнь католи-
ческихъ монастырей, и мы знаемъ ее въ этой переработкѣ. За-
слуга Пиѳагора есть введеніе чиселъ, у него линейка, циркуль,
перо и чернильница; у Архимеда дѣлительный циркуль, клещи
(законъ рычага) и прямой уголъ, въ рукахъ амилярныя сферы, а
на развернутой хартіи алгебраическое умноженіе. По поводу этого
умноженія надо замѣтить, что R есть изображеніе первой степени^
a q—изображеніе второй степени, такъ что 2R . 3-й = 6R2, что
авторъ изображаетъ 6q; знакъ есть минусъ. У Пиѳагора въ
рукахъ вѣсы, внизу египетскій треугольникъ и какіе-то товары;
около Архимеда земной шаръ съ кораблемъ на сѣверномъ полюсѣ.
Я остановлю вниманіе читателя на томъ фактѣ, что въ изображе-
ніи Архимеда видно глубокое и обстоятельное знакомство съ тѣми
открытіями, которыя сдѣлалъ этотъ ученый грекъ. Представленіе
земли въ видѣ шара, соединенное съ амилярными сферами, какъ бы
указываетъ на то, что Архимедъ принималъ ученіе Аристарха Са-
москаго о геліоцентрическомъ строеніи міра; его законы рычага
нашли себѣ мѣсто въ изображеніи клещей, a ученіе о пропорціо-

нальности—въ пропорціональномъ циркулѣ. Изображая въ „гербѣ“
этихъ двухъ ученыхъ грековъ, Магницкій въ стихотвореніи гово-
ритъ, что они были первыми, кто далъ міру ученіе о числахъ. Въ
этомъ утвержденіи онъ слѣдуетъ за русскими рукописями XVII вѣка,
которыя настойчиво указываютъ на тѣхъ же лицъ. Но у него есть
и важное отличіе отъ рукописей, а именно—дѣленіе ариѳметики
какъ бы на двѣ части: „політіка“ и „логіетіка“. Оба эти слова
Магницкій пишетъ черезъ „іа, считая ихъ, очевидно, не русскими,
а греческими.
Однако, прежде, чѣмъ говорить объ этомъ раздѣленіи, продви-
немся дальше въ. описаніи самого сочиненія. Листъ, слѣдующій
за вторымъ предисловіемъ, содержитъ общее заглавіе обѣихъ ча-
стей ариѳметики, a передъ этимъ заглавіемъ вверху находится
слѣдующая картина.
Это—-храмъ мудрости, на фронтонѣ котораго написано по-еврей-
ски слово Богъ. Эта надпись на еврейскомъ языкѣ какъ бы пока-
зываетъ, что мудрость русская не имѣетъ греческаго происхожде-
нія: ея основаніе—религія, а не философія; библія, а не ученіе
Аристотеля. На престолѣ сидитъ сама мудрость съ ключомъ, кото-
рымъ отпирается истинное познаніе міра и человѣка, познаніе
всѣхъ вещей. На ступеняхъ трона написаны ариѳметическія дѣйствія,
— иного пути для познанія нѣтъ, только число открываетъ истин-
ную сущность вещей, а эта сущность находится на колоннахъ храма:
„аріѳметика что дѣетъ, на столпахъ то все имѣетъ14. Здѣсь съ од-
ной стороны: геометрія, стереометрія, астрономія, оптика—все это

пріобрѣтается „тщатіемъ“; на другой: меркаторія, географія, фор-
тификація, архитектура—это пріобрѣтается ученіемъ.
Подъ этой картиной краснымъ шрифтомъ напечатано: „Ариѳ-
метика практика или дѣятельная“, a потомъ уже черными буквами
поставленъ вопросъ: „что есть аріѳметіка?“
„Аріѳметіка, или числительница, есть художество честное, не-
завистное, и всѣмъ удобопонятное, многополезнѣйшее, и много-
хвальнѣйшее, отъ древнѣйшихъ же и новѣйшихъ, въ разные вре-
мена явлшихся изряднѣйшихъ аріѳметіковъ изобрѣтенное и изло-
женное*.
Такое опредѣленіе ариѳметики является впервые въ русской
литературѣ. Математическія рукописи XVII вѣка опредѣляютъ
ариѳметику какъ мудрость. Такъ, въ рукописи № 681 Румянцев-
скаго музея говорится: „Сія книга, глаголемая по гречески ариѳ-
метика, а но нѣмецки алгоризма, а но русски цифирная счетная
мудрость. Та мудрость едина изъ большихъ изъ семи мудростей.
Начало мудростямъ: Грамматика, Геометрія, Астрономія, Музыка“.
Въ рукописи № 14 Императорской публичной библіотеки го-
ворится: „сія мудрость есть“... „Та мудрость едина изъ боль-
шихъ семи мудростей“.
Но то, что въ рукописяхъ называется „мудростью“, есть оче-
видно то, что на Западѣ именовалось artes liberales, къ числу
которыхъ, какъ мы выше видѣли, Магницкій относитъ и ариѳме
тику. Такимъ образомъ, по сущности своего взгляда на ариѳме
тику Магницкій остается на почвѣ древнихъ рукописей, однако,
онъ не даетъ того же опредѣленія. Онъ говоритъ: ариѳметика
есть художество. Слово „художество“, очевидно, есть переводъ ла-
тинскаго artes, но выражаетъ новую мысль, это не „мудрость“, а
„художество“. Слово художество въ словарѣ Даля пояснено: умѣ-
ніе, искусство на дѣлѣ *).
Это умѣніе онъ характеризуетъ, какъ честное и независтное;
слово „честное“, по толкованію Даля,—такое, въ которомъ есть
честь, достоинство, благородство, доблесть и правда; слово же
„независтное“—такое, которое надѣляетъ всѣ вещи по равну, по-
многу, обильно, таровато**). Отсюда видно, что новое опредѣленіе,
данное Магницкимъ, раскрываетъ передъ нами особый смыслъ, или,
лучше сказать, устанавливаетъ особый взглядъ на ариѳметику.
*) Слово artes significat virtutem vel facultatem quidlibet agendi,
saepe iere agendi rationem = facultas, virtus. Facultas, racio qua quid
facimus.
**) Даль. „Словарь живого великорусск. языка“. Срезневскій. „Словарь
книж. рѣчи“.

Этотъ взглядъ съ особенной подробностью раскрывается имъ во
второмъ предисловіи, гдѣ онъ говоритъ: „Сице и сей потребнѣй-
шій и многополезнѣйшій свободнаго любомудрія плодъ прозябѣ его
же всякъ человѣкъ и всякая вещь лишитися не можетъ, числитель-
ная глаголю, и мѣрительная наука, яже зѣло потребна есть въ че-
ловѣческой жизни“. Соединяя въ одно все здѣсь изложенное, можно
сказать, что, по Магницкому, ариѳметика есть умѣніе правдиво и
подробно разобраться въ томъ, что содержитъ въ себѣ каждая
вещь, какъ.самый существенный признакъ; это—число и мѣра. Въ
такомъ пониманіи предмета ариѳметики Магницкій, очевидно, слѣ-
дуетъ Пиѳагору, или, лучше сказать, тому, что излагаетъ Аристо-
тель подъ именемъ ученія Пиѳагора, такъ какъ трактатъ Геминіуса
еще не былъ изданъ въ это время*).
Канторъ **) говоритъ, что пиѳагорейцы ставили два вопроса:
сколько и какъ велико? При отвѣтѣ на эти вопросы они раздѣля-
лись: одни говорили, что множественность сама по себѣ (сколько)
разсматривается въ ариѳметикѣ, множественность но отношенію къ
другому (какъ велико)—въ музыкѣ. Другіе говорили, что покоя-
щаяся величина есть предметъ геометріи, а движущаяся—сферики.
Самые же вопросы явились слѣдствіемъ того, что, по Геминіусу,
вся математика пиѳагорейцевъ распадалась на двѣ главныя части,
изъ которыхъ одна занималась умственно осязаемымъ, а другая—
чувственно осязаемымъ. Умственно осязаемое относилось къ ариѳ
метикѣ и геометріи, а чувственно осязаемое къ механикѣ, астро-
номіи, оптикѣ, геодезіи, музыкѣ и логистикѣ“.
„Логистика есть тоже ариѳметика, разница между ними будетъ
состоять въ томъ, что ариѳметика разсматриваетъ числовые образы
сами по себѣ, а логистика по отношенію чувственнымъ предме-
тамъ. Ариѳметика есть теоретическая, а логистика практическая
наука. Ариѳметика есть то, что со временъ Гауса называется выс-
шей ариѳметикой, или какъ ее опредѣляетъ Лежандръ—теоріей
чиселъ. Логистика есть искуство счета“. Это же раздѣленіе было
принято и Магницкимъ, но общая идея этого раздѣленія была
нѣсколько иная. Онъ также раздѣляетъ ариѳметику на двѣ части:
ариѳметика политика и ариѳметика логистика. „Аріѳметіка політіка
или гражданская есть численіе сочиненное въ толикомъ удобномъ
образѣ: якой кійждо можетъ исчислити всякое исчисленіе, великое
и малое, въ продажахъ и куплехъ, въ мѣрахъ же и вѣсахъ, и во
*) Трактатъ Геминіуса былъ изданъ только въ 1816 году.
*•) Moritz Cantor „Vorlesungen über Geschichte der Moth. T. I,
стр. 145—146.

всякой цѣнѣ и во всякихъ денгахъ, во вея царства всего міра“.
Изъ этого опредѣленія какъ будто слѣдуетъ, что „політіка“ есть
именно то, что пиѳагорейцы разумѣли подъ логистикой, т.-е. спо-
собъ и правила числовыхъ выкладокъ. Этому соотвѣтствуетъ и то,
какъ онъ раздѣляетъ політіку. Онъ говоритъ, что ариѳметика по-
литика раздѣляется на пять частей: 1) О числахъ цѣлыхъ; 2) О
числахъ ломаныхъ или съ долями; 3) О правилахъ подобныхъ въ
трехъ, пяти и въ семи перечняхъ; 4) О правилахъ фальшивыхъ,
еже есть гадательныхъ; 5) О правилахъ радиксовъ квадратныхъ
и кубическихъ, къ геометріи принадлежащихъ.
„Аріѳметіка логістіка, не ко гражданству токмо, но и къ дви-
женію небесныхъ круговъ принадлежащая“. Такъ онъ говоритъ
въ самомъ началѣ своей книги, но, переходя къ изложенію самого
ученія въ книгѣ второй, поясняетъ его такъ: „Аріѳметика логістіка,
яже свойственнѣе небесныхъ движеній арѳметіка глаголется. Ло-
гістіка бо того ради нарицается, зане не имѣетъ подлежащихъ
вещей наручныхъ, и въ гражданствѣ обносимыхъ, но словомъ токмо
обясняетъ искомая, паче же къ движенію небесъ принадлежащая,
чесо ради гречески и астрономская зовется: въ свойственныхъ бо
небесодвижныхъ числѣхъ и чинѣ употребляется и пребываетъ,
сирѣчь въ градухахъ, минутахъ секундахъ же, и прочихъ дробнѣй-
шихъ, въ няже вси обще древній и нынѣшніи философа всякій
кругъ, якоже небесный тако и земный раздѣленъ пріяша, якоже
мы послѣдующе въ сицевыхъ, правила, яже о тѣхъ двою ради
винъ предложити тшилися: первѣе, да аріѳметіка чинъ свой, и
во всемъ потребный намъ, конецъ и совершеніе пріиметъ, яко
аріѳметіка не токмо во гражданскихъ и наручныхъ намъ вещахъ,
можетъ пребывати и дѣйствовати, но и въ тѣхъ яже токмо уму
нашему подлежатъ якоже выше рѣхомъ. Второе же въ настоящая
нынѣшняя времена есть потребнѣйшая паче въ нашемъ всероссій-
скомъ государствѣ быти, нежели въ предбывшая“.
Изъ этого мы видимъ, что подъ именемъ логистики Магницкій,
очевидно, подразумѣваетъ то, что пиѳагорейцы называютъ сферикой.
Если мы теперь вновь вернемся къ опредѣленію ариѳметики,
данному Магницкимъ, то его можно передать слѣдующими словами:
ариѳметика есть умѣніе правильно и обстоятельно изслѣдовать ве-
щи. При этомъ изслѣдованіи мы встрѣчаемся съ двоякаго рода ве-
щами: однѣ изъ нихъ находятся вблизи насъ, доступны опыту и
непосредственному изслѣдованію, какъ, напримѣръ, вѣсъ, цѣнность,
длина и пр.; другія же не доступны намъ, ибо не имѣютъ „подле-
жащихъ вещей наручныхъ“, а потому самыя вещи могутъ быть
только мыслимы „словомъ токмо обясняетъ искомая“. Первая со-

ставляетъ то, что называется политика, а вторая логистика. Пер-
вую мы могли бы назвать ариѳметикой именованныхъ чиселъ, а
вторую—отвлеченыхъ, или, лучше сказать, приложеніемъ алгебры
къ геометріи и астрономіи. Самъ Магницкій, говоря о раздѣленіи
ариѳметики логистики, называетъ ея первую часть: „первая есть
о чинѣ аріѳметіки алгабраіка реченныи, и аріѳметіки логістіки
черезъ градусы и минуты дѣйствующія“. Чтобы понять, почему
такъ настойчиво Магницкій говоритъ здѣсь о градусахъ и мину-
тахъ, надо указать, что онъ имѣетъ въ виду особую 60-ричную
систему, какъ это будетъ показано при разсмотрѣніи второй
книги.
При такомъ представленіи числа и его значеніи какъ для из-
ученія астрономіи и геометріи, такъ и всего того, что встрѣчается
въ практической жизни, становится понятнымъ смыслъ той алле-
горіи, которую онъ представилъ въ видѣ герба. Очевидно, что
ариѳметика политика есть Пиѳагорово ученіе о числахъ, ариѳмети-
ка логистика есть то, что дано Архимедомъ, какъ дальнѣйшее раз-
витіе тѣхъ же идей; но это Архимедово ученіе вошло въ науку
не непосредственно, a черезъ обработку его арабами. Вотъ почему
онъ думаетъ, что Архимедъ и Пиѳагоръ излили „яко воды отъ
чаръ, были первые снискатели, сицевыхъ наукъ писатели“.
Кромѣ того, представляя число какъ нѣкоторую сущность
вещи, напр., вѣса, длины цѣнности, Магницкій не представлялъ
себѣ отвлеченнаго числа, какъ мы его понимаемъ въ настоящее
время. Его число только число именованное, или предметное. Та-
кое его пониманіе особенно отразилось на дробяхъ. Дробь онъ
называетъ „число ломаное“ и опредѣляетъ такъ: „число ломаное
ничто же ино есть, токмо часть вещи (по нашему величины), чи-
сломъ объявленная, сирѣчь полтина есть, половина рубля, а пишется
сице V? Рубля, или у*» или пятая часть—!/5, или двѣ пятыя части —
2/5, и всякія вещи яковая либо часть, объявлена числомъ: то есть
ломаное число“. Здѣсь, съ одной стороны, самое наименованіе по-
казываетъ, что дробь Магницкій разсматривалъ какъ особый сим-
волъ, отличный отъ цѣлыхъ чиселъ и, какъ увидимъ впослѣдствіи,
требующій для себя особыхъ „предѣленій“; съ другой стороны,
этотъ символъ именованный, ибо онъ мыслимъ только какъ часть
какой либо величины, но не самъ по себѣ. Въ силу этого пред-
ставленія дроби гтѣ задачи, которыя мы въ настоящее время рѣ-
шаемъ въ курсѣ дробей, вводя понятіе объ отвлеченной единицѣ,
Магницкій могъ рѣшать только особымъ искусственнымъ пріемомъ.
Такова, напримѣръ, слѣдующая задача: „Искательно есть число, ему

же аще приложится едина треть, и отъ сложеннаго вычтется едина
шестая часть, останется 100“. Эту задачу мы помѣстили бы въ
курсъ дробей, принимая искомое число за единицу, тогда 1 + 1/3 -
— ^1 + 1/3)· VG Даетъ 100. Магницкій не могъ придумать этого
пріема. А потому для рѣшенія ея предлагаетъ особое, такъ назы-
ваемое „фальшивое правило“. Онъ разсуждаетъ такъ: пусть это
число будетъ 144, тогда треть его будетъ 48, сумма 192 и
шестая часть суммы 32, когда мы вычтемъ изъ 192 число 32, полу-
чимъ 160, а надо 100; слѣдовательно, мы получили излишекъ 60.
Возьмемъ теперь число 108, его третья часть булетъ 36, сумма
144, шестая часть суммы будетъ 24, вычтя, получимъ 120, а надо
100; мы получили излишекъ 20. Далѣе мы поступаемъ такъ: число
144 умножаемъ на вторую разность 20, находимъ 2880; второе
предположеніе: число 108 умножаемъ на первую разность 60, по-
лучимъ 6480; изъ второго произведенія вычитаемъ первое 6480 —
2880—3600; это число 3600 дѣлимъ на разность 60—20—40, полу-
чимъ 90. Такое рѣшеніе имѣетъ теоретическое обоснованіе, какъ
это показано у г. Бобынина, и которое я впослѣдствіи разсмотрю.
Здѣсь же я только указываю, что отсутствіе понятія объ отвлечен-
ной единицѣ требовало особаго пріема для рѣшенія тѣхъ задачъ,
которыя въ настоящее время не представляютъ никакой трудности.
Однако, здѣсь слѣдуетъ отмѣтить, что такое отсутствіе понятія не
было исключительно у Магницкаго, а его не было вообще въ то
время, когда жилъ Магницкій; его не было но крайней мѣрѣ въ
Россіи почти въ теченіе всего XVIII-го вѣка. Къ этому вопросу
объ отвлеченной единицѣ, замѣняющей цѣлое, или неизвѣстное х,
относится и еще одна особенность въ ариѳметикѣ Магницкаго.
Онъ разсматриваетъ рѣшеніе только квадратныхъ уравненіи, со-
вершенно опуская рѣшеніе уравненіи первой степени. Причина
этого, какъ я думаю, слѣдующая. Какъ извѣстно, всѣ задачи на
уравненіе первой степени могутъ быть рѣшены ариѳметически; я
это ихъ ариѳметическое рѣшеніе и дается отчасти какъ чисто
ариѳметическое, отчасти по особымъ правиламъ „тройнымъ“, кото-
рыя остались еще и до сего времени. Такимъ образомъ, рассма-
тривая число какъ результатъ измѣренія величинъ, авторъ не
имѣлъ надобности вводить новый методъ для рѣшенія этихъ за-
дачъ. Но когда въ геометріи онъ встрѣтился съ особыми соотно-
шеніями величинъ, выражающихся въ квадратной зависимости, то
ему пришлось прибѣгнуть къ новому методу рѣшенія. Для этого
метода онъ разсматриваетъ алгебраическія дѣйствія надъ много-

членами и показываетъ, какъ можно вычислить ту числовую зави-
симость, гдѣ искомое входитъ во второй степени. При этомъ само
рѣшеніе квадратнаго уравненія не выводится изъ свойства равен-
ства, а разсматривается какъ особый способъ вычисленія.
Опять и здѣсь я думаю, что такой методъ изложенія не
является индивидуальной особенностью автора ариѳметики, а слѣд-
ствіемъ состоянія математическаго знанія въ его время.
Однако, если съ современной точки зрѣнія и можно поставить
въ упрекъ автору указанные дефекты, то въ то же время слѣдуетъ
отмѣтить, что они же придаютъ особую стройность всему курсу,
объединяя его около опредѣленнаго понятія о числѣ. Въ силу
этого, когда вчитываешься въ содержаніе ариѳметики, это поня-
тіе пріобрѣтаетъ особую выразительность, а весь курсъ предста-
вляется стройной философской системой, въ основѣ которой лежитъ
изученіе величинъ, встрѣчающихся кккъ въ жизни, такъ и въ на-
учныхъ дисциплинахъ, каковы геометрія и астрономія. Вотъ поче-
му я думаю, что не даромъ Ломоносовъ называлъ ариѳметику Маг-
ницкаго „вратами учености“. Основы всѣхъ его физическихъ тео-
рій выходили изъ тѣхъ вопросовъ, которые въ немъ возбудилъ
Магницкій и которые онъ если и не разрѣшилъ, то отмѣтилъ
правильный путь къ ихъ рѣшенію. А потому я считаю Магниц-
каго предшественникомъ Ломоносова, т.-е. тѣмъ, кто далъ ему воз-
можность развернуть во всей полнотѣ основы научнаго естество-
знанія. Я сказалъ бы такъ: безъ Магницкаго мы не имѣли бы
Ломоносова. Міровоззрѣніе послѣдняго создалъ не Вольфъ, а Маг-
ницкій.
Содержаніе и планъ ариѳметики Магницкаго.
При разсмотрѣніи содержанія и плана курса является очень
важный вопросъ о томъ, въ какой связи онъ находился съ кур-
сомъ рукописей XVII вѣка, съ одной стороны, а съ другой — на-
сколько на немъ отразились иностранные учебники. Что касается
до первой связи, то она вполнѣ естественна не только потому, что
авторъ былъ русскимъ по своему происхожденію и постоянно
жилъ въ Москвѣ, но и потому, что свое первоначальное математи-
ческое образованіе, несомнѣнно, получилъ при помощи русскаго
учителя и русскихъ учебниковъ. Въ силу этого можно сказать,
что курсъ ариѳметики Магницкаго, тѣсно слитый по своей вну-
тренней идеѣ съ русскими учебниками, представляетъ собою какъ

бы завершеніе всего того популярнаго математическаго знанія,
которое было въ Россіи XVII вѣка, совершенно такъ же, какъ си-
стема математическаго образованія академика Гурьева предста-
вляетъ собою завершеніе педагогической математической мысли
XYIII вѣка.
Что касается до заимствованій изъ западныхъ учебниковъ, то
здѣсь надо различать „заимствованіе“ и „знакомство“. Я совер-
шенно несогласенъ съ г. Бобынинымъ въ томъ, что Магниц-
кій заимствовалъ что - либо изъ учебника Якова фонъ Шуере,
и думаю, что все, приводимое уважаемымъ изслѣдователемъ, не-
убѣдительно; но въ то же время не могу отрицать значительнаго
вліянія западной литературы не только на разсматриваемый курсъ
ариѳметики Магницкаго, но и на болѣе раннія математическія ру-
кописи XVII вѣка. Скажу даже болѣе, мнѣ кажется, что, подобно
современнымъ математикамъ, и наши предки воспитывались
болѣе на иностранныхъ руководствахъ, чѣмъ были знакомы съ
русскимъ изложеніемъ того или иного предмета. Этого не избѣ-
жалъ и Магницкій, а потому хотя въ его курсѣ и нельзя оты-
скать слѣдовъ того или иного изъ западныхъ учебниковъ, но общее
вліяніе западной литературы несомнѣнно и весьма сильно.
Этого вліянія не отрицаетъ и самъ Магницкій, называя свою
книгу „съ разныхъ діалектовъ на славянскій языкъ преведен-
ной“, при чемъ указываетъ и эти діалекты—-греческіе авторы, ла-
тинскіе, нѣмецкіе и итальянскіе и говоритъ, что онъ собралъ изъ
этихъ книгъ свою ариѳметику, „приплетохъ въ достойныхъ мѣ-
стахъ елико же къ нимъ изобрѣтохъ“, и расположилъ все по чину.
Изъ этого ясно, что весь трудъ автора представляетъ собою само-
стоятельное сочиненіе, написанное по' самымъ разнообразнымъ
источникамъ. Эти источники мы въ общихъ чертахъ можемъ ука-
зать. Ихъ можно раздѣлить на двѣ категоріи: собственно матема-
тическія и нематематическія. Къ собственно математическимъ источ-
никамъ относятся книги нѣмецкія и итальянскія; къ ^математи-
ческимъ—книги греческія и латинскія. Изъ греческихъ книгъ надо
указать сочиненіе Аристотеля, изъ котораго Магницкій заимствовалъ
какъ непосредственно ученіе о вселенной, такъ и ученіе Пиѳагора о
числахъ; можно сказать даже больше,—что весь курсъ ариѳметики
носитъ наиболѣе ясные слѣды философіи этого грека. Къ латин-
скимъ источникамъ относятся сочиненія Плинія, Плутарха, Галена
и др., на которыя онъ ссылается, напримѣръ, въ своей метроло-
гіи. Къ. сочиненіямъ математическимъ могутъ относиться: Адамъ
Ризе „Rechnung nach der Länge auf Linihen und Feder,“ вы-
шедшее въ 1550 году; энциклопедія Гаспара Шотта, напечатанная

въ 1667 году; практическая ариѳметика Андрея Такета и, можетъ-
быть, ариѳметика Якова фонъ-деръ Шуере; Валентинъ Менгзръ ,,Pra-
tique pour brièvement apprendre à ciffrer“, вышедшій въ
1556 году. Можно думать, что онъ былъ знакомъ съ сочиненіями
англійскаго физика Гильберта „De magnète magnetioisque cor-
poribus et de magno magnète tellure Physiologia nova“ (1600 г.)
и ученаго патера Кирхера „Magnes sive de arte magnetica“
(1634 г.) *).
Повторяю, что нельзя отрицать сильнаго вліянія указанныхъ
авторовъ на Магницкаго, но совершенно нельзя установить за-
имствованія. Все изложенное въ ариѳметикѣ было имъ усвоено,
переработано и расположено по его собственному плану.
Что касается до связи съ рукописями, то я позволю себѣ въ
соотвѣтственныхъ мѣстахъ указать эту связь, а теперь считаю не-
обходимымъ остановиться на одномъ вопросѣ.
Надо замѣтить, что всѣ рукописи XVII вѣка пользуются такъ
называемыми арабскими цифрами, въ силу чего, можно думать,
что изображеніе чиселъ славянскими буквами уже въ XVII вѣкѣ
оставалось только въ гражданскомъ мірѣ. Индѣйская или такъ на-
зываемая арабская система письменнаго счисленія, говоритъ г. Бо-
бынинъ, со своимъ замѣчательнымъ принципомъ мѣста и нулемъ,
оказывается, получила полное право гражданства во всѣхъ до-
шедшихъ до насъ математическихъ рукописяхъ XVII столѣтія.
Нуль въ нихъ вслѣдствіе сходства своего начертанія съ буквою о
называется, какъ и эта послѣдняя, ономъ. Слѣды прежняго упо-
требленія древней греко-славянской системы встрѣчаются только
въ древнѣйшихъ изъ нихъ,дай то въ такихъ слабо выраженныхъ
формахъ, какъ поясненіе значенія арабскихъ цифръ соотвѣтствую-
щими славянскими или встрѣчающіяся время отъ времени обозна-
ченія данныхъ чиселъ славянскими цифрами однѣми или же вмѣ-
стѣ съ арабскими. Рукописи второй половины Χ VII столѣтія не
содержатъ въ себѣ даже и этихъ незначительныхъ слѣдовъ*).
Такимъ образомъ, къ концу XVII вѣка обозначеніе чиселъ
славянскими буквами въ математическимъ сочиненіи становилось
настолько устарѣлымъ, что самъ Магницкій едва ли даже зналъ,
какъ большія числа писались по-славянски. А между тѣмъ „сла-
вянское сочиненіе, говоритъ г. Бобынинъ, замѣчательно по выра-
*) Всѣ эти источники указаны г. Бобынинымъ въ разныхъ мѣстахъ его
труда „Очерки разв. физико-мат. знаній въ Россіи".
**) Бобынинъ. „Очеркъ истор., физико-мат. наукъ въ Россіи“, вып. I,
стр. 43.

ботанности и своеобразно системъ названій, употребляемыхъ имъ
для обозначенія единицъ различныхъ разрядовъ. Такихъ системъ
было двѣ. Первая изъ нихъ, называемая иногда малымъ числомъ,
повидимому, не шла далѣе тысячъ милліоновъ. Единицы разрядовъ
обозначались въ ней слѣдующимъ образомъ. Меньшія 10000—
обыкновенными названіями: единица, десятокъ, сотня, тысяча. Для
большихъ 10000 существовали названія тма или тьма, для обо-
значенія 100000 леодръ, легіонъ для 1000000. Далѣе слѣдовали де-
сятки, сотни и тысячи леодровъ“. Такимъ образомъ, мы видимъ,
что въ старославянской нумераціи собственно не было классовъ, а
только разряды, и каждый носилъ особое названіе, при чемъ на-
именованія милліонъ не было. Очевидно, что это была древнѣйшая
система счета; впослѣдствіи эта система расширилась, какъ бы раз-
дѣлившись на классы, при чемъ каждый послѣдующій классъ вклю-
чалъ все предыдущее какъ разряды. Такъ что тьма уже соотвѣт-
ствовала милліону, легіонъ—милліону милліоновъ и имѣлъ слѣдую-
щіе разряды: единицы, десятки, сотни, тысячи, дес. тысячъ, сот.
тысячъ, тьма, десятки темъ, сотни темъ, тысячи темъ, дес. ты-
сячъ темъ, сот. тысячъ темъ легіоновъ. За легіонами шли леодры,
и въ такомъ порядкѣ счисленіе доходило до 49 знаковъ. Въ нѣ-
которыхъ рукописяхъ встрѣчаются дальнѣйшія продолженія, и слѣ-
дующій классъ называется „воронъ“ или „вранъ“, это были еди-
ницы 49-го разряда. Очевидно, что Магницкій не зналъ этого
счета и ввелъ новый по западному образцу, считая въ ка-
ждомъ классѣ по шести разрядовъ, а классы онъ назвалъ: мил-
ліоны, билліоны, трилліоны и т. д. Система нумераціи много упро-
стилась, но жаль, что не удержались старославянскія наименованія
разрядовъ. Но любопытно, что и математическія рукописи не
даютъ слѣдовъ преемственности системъ счисленія. Освободившись
отъ обозначенія чиселъ буквами славянской азбуки, они не счи-
тали нужнымъ указывать, какъ въ прежнее время изображались
буквами большія числа. Къ счастью, этотъ способъ сохранился въ
нематематической рукописи XVII столѣтія, а именно, въ рукопис-
ной грамматикѣ (Румянц. музей № 953 въ собраніи рукописей
В. М. Ундольскаго). Мы знаемъ, что тысячи отличались знакомъ
^, поставленнымъ передъ ними; въ указанной грамматикѣ даны
слѣдующія обозначенія:
Тьмы
Ле-
гіоны
Леодры

Очевидно, что не встрѣчаясь въ практической жизни съ числами
большими тысячъ, математики утратили и ихъ обозначеніе.
Итакъ, не вина Магницкаго, что онъ не сохранилъ старосла-
вянскихъ классовъ. Въ его время, если они и встрѣчались, то,
быть-можетъ, среди не математиковъ, а математики уже перехо-
дили къ новой системѣ нумераціи. Эта новая система нумераціи,
которую вводилъ Магницкій, является какъ бы послѣдней новин-
кой его времени, а потому можно думать, что нашъ авторъ очень
внимательно слѣдилъ за тѣмъ, что происходило на Западѣ въ
области математическихъ ученій. Какъ я уже сказалъ выше, онъ
называетъ высшіе классы: милліонъ, билліонъ, трилліонъ. Эти на-
именованія имѣютъ свою довольно любопытную исторію. „Первымъ
усовершенствованіемъ, внесеннымъ въ древніе и средневѣковые
методы нумераціи, говоритъ Кэджори, было изобрѣтеніе итальян-
цами слова millione въ XIV ст. для обозначенія большой тысячи
или 10002. Это новое слово, повидимому, обозначало первоначально
конкретную мѣру 10 боченковъ золота.
Слова millione, nulla или сего (zero) встрѣчаются первый
разъ въ печати въ сочиненіи Пачіоли. Въ теченіе слѣдующихъ
двухъ столѣтій употребленіе слова millione распространилось и въ
другихъ европейскихъ странахъ; такъ, въ 1522 году Тонсталль го-
воритъ о его распространеніи въ Англіи, но считаетъ самое слово
варварскимъ. Слова билліонъ, трилліонъ и т. д. впервые встрѣ-
чаются въ рукописномъ сочиненіи ліонскаго врача Николая Шюке
для обозначенія второй, третьей и т. д. степеней милліона. Въ
печати они появились въ 1520 году въ сочиненіи Ла-Роша“ *).
Такимъ образомъ, можно было бы думать, что современный прин-
ципъ нумераціи былъ установленъ въ Европѣ еще въ XVI вѣкѣ;
однако, нельзя смѣшивать первое появленіе чего-нибудь и распро-
страненіе, т.-е. всеобщее знакомство съ новымъ открытіемъ. Такъ,
новая нумерація была принята въ Англіи лишь въ 1687 году, а
въ Германіи въ 1681, слѣдовательно, въ Россіи въ 1694, т.-е.
одновременно съ другими народами.
Послѣ этихъ предварительныхъ замѣчаній перейдемъ къ со-
держанію книги. Заглавіе книги я уже приводилъ. Послѣ заглавія
на оборотѣ листа помѣщенъ рисунокъ, изображающій цвѣточный
кустъ и подъ нимъ стихи. Слѣдующая страница занята гербомъ;
эти двѣ страницы не нумерованы. Затѣмъ идетъ 18 и 306 нуме-
рованныхъ страницъ. Первыя изъ нихъ 18 заняты стихами „на
предлежащій гербъ“, оглавленіемъ и обращеніемъ къ читателю.
*) Кэджири. „Исторія элем, мат.“, стр. 151,152. Одесса, 1910.

На остальныхъ 306 изложенъ курсъ математики. Въ текстѣ, на-
чиная съ 185 листа, содержатся 26 рисунковъ къ задачамъ и 74
геометрическихъ фигуры и чертежа. Книга напечатана церковно-
славянскими буквами. Рисунки: гербъ, роза вѣтровъ и небесная
сфера рѣзаны на мѣди Михаиломъ Карновскимъ. Всѣ прочіе ри-
сунки и самый текстъ на деревянныхъ доскахъ. Содержаніе со-
чиненія можно представить въ слѣдующей схемѣ.
Книга первая ариѳметики политики.
Часть 1.
О числахъ
цѣлыхъ.
Предѣленія.
I. Нумераціо или счисленіе (2—4).
II. Аудиціо или сложеніе (4—8).
III. Субстракціо или вычитаніе (8—11).
IV. Мультипликаціо еже есть умноженіе
(11-16).
V. Дивизіо еже есть дѣленіе (17—23).
Описаніе древнихъ вѣсовъ и монетъ и сравненіе ихъ съ
НЫНѢШНИМИ (23) объ ассѣ (24—26). Объ оволѣ (26—27).
О драхмѣ, сиклѣ, минѣ и талантѣ (27—30). О пропорціи
рудъ (30—31). Наблюденіе о вѣсахъ купно же и мѣрахъ
(32—34). О деньгахъ, вѣсахъ и мѣрахъ Московскаго госу-
дарства и окрестныхъ нѣкоихъ (35—38). Сложеніе денегъ,
мѣръ и вѣсовъ (38—40). О дѣленіи (40—41).
Часть 2.
О числахъ
ломанныхъ
или съ до-
лями.
Предѣленія.
I. Нумераціо или счисленіе (42—43).
II. Пермутаціо или премѣненіе (44—46).
III. Аббервіаціо иди сокращеніе (47—48).
IV. Аддиціо или сложеніе въ доляхъ
(49-51).
V. Субстракціо или вычитаніе въ доляхъ
(52-55).
VI. Мультипликаціо или умноженіе въ до-
ляхъ (54—56).
VII. Дивизіо или дѣленіе въ доляхъ (56—59).
Часть 3.
О правилахъ
подобныхъ си-
рѣчь въ трехъ,
въ пяти и сед-
ми перечняхъ
въ цѣлыхъ и
частныхъ чи-
слахъ.
Предѣленія.
I. О правилахъ тройныхъ въ цѣлыхъ
(30-63).
II. О правилахъ тройныхъ въ доляхъ
(64—68).
III. О правилѣ тройномъ сократительномъ
(69-70).
IV. О правилѣ возвратительномъ (70—71).
V. О правилѣ пятерномъ (71 — 75).
VI. О правилѣ седмеричномъ (76).
VII. О правилѣ соединенія (77—80).

Книга первая ариѳметики политики.
Различныя и гражданству потребныя дѣйствія черезъ
прешедшія части.
Статья
I. Тройная торговля (81—87).
П. Тройная торговля о купляхъ и прода-
жахъ (87-91).
III. Тройная торговля въ товарныхъ овощахъ
и съ вывѣскою (91—101).
IT. О прикупѣхъ и о накладахъ или убыт-
кахъ (101—105).
Y. Вопросная въ тройномъ правилѣ (106—
113).
VI. Вопросная же со времены (113—119).
VII. Дѣловая въ тройномъ правилѣ (120—126).
VIII. Торговая мѣновая въ тройномъ правилѣ
(127-128).
IX. Торговая складная дѣлительная (128 —
135).
X. Торговая складная съ прикащики и съ
людьми ихъ (135—157).
XI. Торговая складная со времены (137 —
142).
XII. Заимодавная о срочномъ времени (143—
147).
Часть 4.
О правилахъ
фальшивыхъ
или гадатель-
ныхъ.
Статьи.
I. Фальшивыхъ правилъ.
II. Фальшивыхъ правилъ.
III. Фальшивыхъ правилъ торговая склад-
ная въ притяженіяхъ раздѣльная.
IV. О утѣшныхъ нѣкоихъ дѣйствахъ че-
резъ ариѳметику употребляемыхъ.
Книга вторая ариѳметики.
Часть 5.
О прогрессіи
и радиксѣ ква-
дратныхъ и
кубическихъ.
Предѣленія.
I. О прогрессіяхъ (179 — 175).
II. О радиксѣ квадратномъ (185—189).
О прикладахъ, потребныхъ ко граждан-
ству, яже черезъ извлеченіе квад-
рата творятся (189—204).
III. О радиксѣ кубичномъ (204—208).
Часть I.
Ариѳметики
алгебраики.
Предѣленія.
I. Дѣйствія и тройное правило (225—236).
II. О извлеченіи радиксовъ биквадратнаго,
сурсолида, зензикуба, бисурсолида,
зензизенза отъ зенза.
III. О ариѳметикѣ логистикѣ или астроном-
ской (241—245).

Книга вторая ариѳметики.
Часть 2.
О геометриче-
скихъ черезъ
ариѳметику
дѣйствуемыхъ
Предѣленія.
I. Примѣры геометрическихъ дѣйствъ че-
резъ различный чинъ ариѳметики
(246-251).
II. Различныя дѣйства черезъ различный
чинъ ариѳметики (252—269).
Часть 3.
Обще о зем-
номъ размѣ-
реніи и яже къ
мореплаванію
принадлежатъ.
Предѣленія.
I. О полуденномъ колеси и линіи и воз-
вышеніи поля и величествѣ дня
(271-277).
II. О величествѣ дня различныхъ мѣстъ и
о раздѣленіи всего земноводнаго гло-
буса въ климаты (278—281).
III. Описаніе вѣтровъ о раздѣленіи ихъ во
оризонтѣ и именахъ въ различныхъ
и колесѣхъ (282-299).
Толкованіе проблематъ навигацкихъ черезъ выше положен-
ныя таблицы локсодромическія (300—до конца).
Разсматривая эту схему, мы видимъ, что все сочиненіе по-
строено по очень стройному строго логическому плану. Въ основѣ
его лежитъ дѣленіе на 2 книги: ариѳметики политики и ариѳме
тики логистики. Каждая изъ этихъ книгъ составляетъ часть одного
цѣлаго: изученія міра при помощи числа. Каждая книга въ свою
очередь дѣлится на части, а каждая часть на „предѣленія“. Въ
этомъ состоитъ основной скелетъ всего сочиненія; можно сказать,
что это теоретическая часть ученія υ числахъ во всемъ ихъ
объемѣ. Кромѣ того, въ надлежащихъ мѣстахъ дѣлаются практиче-
скія приложенія усвоенной теоріи. Таковы суть ученіе о мѣрахъ
и вѣсахъ послѣ ученія о числахъ цѣлыхъ и 12 статей на прило-
женіе тройныхъ правилъ. Къ такимъ же приложеніямъ слѣдуетъ
отнести и всю 4-ую часть о правилахъ фальшивыхъ, такъ какъ
въ ней идутъ не „предѣленія“, а также ^статьи*. На это же, оче-
видно, указываетъ и самъ Магницкій, характеризуя въ стихотво-
реніи четвертую часть слѣдующими словами:
„А ради правилъ сихъ косвенныхъ, четвертой части при-
своенныхъ.
Вся фальшивая часть назвася, отъ нихъ же древле та издася.
Это не основныя, a „косвенныя“ правила, которыя выдѣлены
въ особую часть потому, что излагаются во всѣхъ учебникахъ.

Далѣе авторъ говоритъ, что онъ ихъ переработалъ и изло-
жилъ проще.
„Сей же части чинъ инъ изыскахъ, зѣло кратокъ и тутъ же
вписохъ.
Еже отняти трудъ великій, хотящимъ разумъ взять толикій“.
Согласно этимъ приложеніямъ, можно думать, что „ариѳме-
тикаи представляетъ собою практическій курсъ, который мы бы
назвали „коммерческой ариѳметикой“. Но это едва ли бы совпа-
ло съ тѣмъ, какъ смотрѣлъ на свой трудъ самъ Магницкій. Онъ
самъ писалъ общеобразовательный курсъ, какъ я уже говорилъ
выше, а то, что въ этотъ общеобразовательный курсъ входятъ
практическія задачи, зависитъ отъ того, что въ самой практикѣ
скрываются общіе теоретическіе вопросы. Около Пиѳагора лежитъ
товаръ не потому, что Пиѳагоръ купецъ, а потому, что въ това-
рахъ и торговлѣ скрыто познаваніе вещей. Такъ и въ практиче-
ской торговлѣ содержатся тѣ соціальные вопросы, которые можно
изучать и изслѣдовать при помощи чиселъ, каковы, напр., вопросы
о раздѣлѣ прибыли въ товариществѣ, о вознагражденіи служащихъ
и участіи ихъ въ прибыли и т. п.
Въ этомъ отношеніи особенно интересно первое приложеніе
о цѣнности денегъ и вѣсѣ, которыя я и разсмотрю здѣсь.
Собственно метрологія помѣщалась почти во всѣхъ рукописяхъ
и всегда послѣ изложенія дѣйствій надъ цѣлыми числами, при
чемъ въ ней,кромѣ мѣръ русскихъ, всегда удѣлялось большое вни-
маніе мѣрамъ иностраннымъ. Вотъ почему я думаю, что ариѳме-
тическія рукописи пользовались особымъ вниманіемъ среди куп-
цовъ, ибо вести торговлю съ иностранными купцами невозможно
было безъ знанія ихъ вѣсовъ и мѣръ. Здѣсь встрѣчаются мѣры
города Нюренберга, земли французской, нѣмецкой, ливанской, Фло-
ренціи, Венеціи и др. Такъ было въ рукописяхъ; у Магницкаго
эта статья носитъ совершенно иной характеръ; это не есть спра-
вочная таблица разныхъ мѣръ и вѣсовъ, a скорѣе научая статья,
дающая основанія для изученія этихъ мѣръ. Полное заглавіе статьи
читается такъ: „Описаніе древнихъ вѣсовъ и монетъ еврейскихъ,
греческихъ, римскихъ и сравненіе ихъ съ нынѣшними италіански-
ми, испанскими, французскими и голандскими и иныхъ земель:
отъ многихъ авторовъ собрана и предложена здѣ ради пользы чи-
тателю“. Изъ этого заглавія видно, что предлагаемая статья не
есть справочная таблица, a представляетъ собою изысканіе срав-
нительной цѣнности старыхъ и новыхъ денегъ. Она проникнута об-
щей идеей, которая представляетъ собою научное обоснованіе всѣхъ
дальнѣйшихъ заключеній. Вначалѣ онъ говоритъ, что первона-

чально люди не имѣли монетъ съ обозначеніемъ ихъ цѣнности, но
при обмѣнѣ товара на руду опредѣляли количество ея вѣсомъ.
Однако, уже во времена патріарха Іакова стали на рудѣ класть
изображеніе (печати), такъ, въ Библіи сказано, что Іаковъ купилъ
часть села и заплатилъ 100 агнецевъ; эти 100 агнцевъ, согласно
толкованію св. Стефана, есть цѣна сребра, т.-е. это не животныя,
а монеты съ изображеніемъ агнца. Точно такъ же и въ книгѣ Іова,
гдѣ сказано, что родственники дали ему по овцѣ, можно думать,
что это было не животное, а денга съ изображеніемъ овцы. Отсю-
да, говоритъ онъ, римляне называютъ деньги „пекуніа“, отъ пеку,
си есть скотъ, потому что на деньгахъ были изображены разныя
животныя. „Зри о семъ вплутархѣ въ житіи публикола и иныхъ
авторовъ“. Такимъ образомъ, Магницкій думаетъ, что введеніе монеты
въ Римѣ было ранѣе 450 г. до P. X., и что плата была про-
изводима не животными, а монетами съ ихъ изображеніемъ.
Потомъ эти монеты замѣнились новыми, которыя получили наиме-
нованіе „асъ“. Переходя, такимъ образомъ, изъ области доистори-
ческой въ область историческую, онъ отмѣчаетъ этотъ переходъ
новымъ заглавіемъ: „о ассѣ“, при чемъ въ словѣ „асъ“ пишетъ
два „с“ (as, assis) и считаетъ его основной единицей какъ цѣн-
ности, такъ и вѣса. Само наименованіе „асъ“ онъ разсматриваетъ
какъ совершенно новый и крупный поворотъ въ исторіи цѣнности.
Въ то время, какъ прежде все разсчитывалось на цѣнность скота,
и самыя монеты были пріурочены къ этой цѣнности, теперь въ
основѣ торговаго оборота лежитъ ЦЕННОСТЬ металла мѣди. „Первый
вѣсъ, и обычный бѣ ассъ, такъ начинаетъ онъ свою статью объ
асѣ, иже именовася латінскимъ языкомъ, пондо, и пондіумъ, и
той ассъ, вѣсомъ бѣ, яко нынѣ фунтъ мѣдный есть. Тѣмже неп-
щують, яко и имене его оттуду начало пріяти, си есть отъ мѣди:
мѣдь бо латінски глаголется „есъа (aes, aeris). Такимъ образомъ,
Магницкій думаетъ, что нѣкогда въ человѣчествѣ совершился
огромный культурный переворотъ, состоящій въ томъ, что металлъ
занялъ новое весьма важное положеніе, сдѣлавшись единицей об-
мѣна. Однако, первоначально такой обмѣнъ былъ обусловленъ са-
мой цѣнностью металла, а потому при обмѣнѣ его на товаръ уста-
навливалась равноцѣнность товара и мѣди, а потому мѣдь отвѣ-
шивалась, въ силу чего асъ не былъ единицей цѣнности, а только
единицей вѣса. „А потомъ егда начатъ умножатися купечество, и
трудно быти, еже непрестанно вѣсити мѣдь, и забавлятися во
тщетныхъ онѣхъ трудѣхъ. Сего ради домыслишася, въ пользу
себѣ, уже не вѣсомъ купечествовати и тяжкимъ зѣло веществомъ,
но вмѣсто оныхъ вѣсовъ, начаша печатати малую часть нѣкую

мѣди, нѣкими изображеніи и названіе денгами купечествоваху ими
многолегостно паче, нежели вѣшаніемъ мѣди якоже бѣ. Образецъ
же быти оныя денги круглъ, и гладокъ, якоже и еще нѣгдѣ обрѣ-
тается въ старинныхъ денгахъ, и оныя денги, цѣною быша доро-
же равнаго вѣса, якоже выше речено есть, и непрестанно умаля-
шася денга величествомъ, а не цѣною, и не за великость ночи-
ташеся паче, но за изображеніе, еже напечатано бысть на денгѣ“.
Здѣсь мы имѣемъ историческій фактъ: какъ извѣстно, въ Римѣ въ
въ '268 г. вмѣстѣ съ выпускомъ серебряной монеты была умень-
шена въ вѣсѣ мѣдная монета до 1 / 3 прежняго вѣса, но цѣнность
ея была оставлена прежняя; въ 217 г. до P. X. асъ былъ вновь
уменьшенъ въ вѣсѣ до 1 прежней унціи, но сохранилъ свою цѣн-
ность. Какъ извѣстно, московское правительство также производило
подобныя операціи съ мѣдными деньгами. Въ силу ли оправданія
этого, или въ силу историческихъ соображеній, но Магницкій до-
бавляем: „и сей обычай зѣло есть полезный, якоже и донынѣ
мнози содержатъ языци“. „И сего ради, продолжаетъ онъ, ассъ,
или пондо, не бяше къ тому фунтъ мѣди, или 12 унціи, или 1
унціа, но малая денга мѣдная, и таковой цѣнѣ является во ітталіи
унбаіохо, и въ китаехъ, чосы. Такожде. у голандцевъ полстуфера
и полуоволь еврейскій (фола и нынѣ въ константинѣ градѣ упо-
требляется у евреевъ, и у всѣхъ въ меншихъ дѣлахъ и именуется
фола) и бѣ десятая часть динара или іуліа ітталійскаго или ре-
гала ишпанскаго, сотая часть дуката или скута ітталіанскаго“.
Далѣе идетъ перечисленіе различныхъ монетъ и сравненіе ихъ съ
асомъ. При этомъ онъ нѣсколько разъ указываетъ, что нынѣшнія
денги многажды меньше суть прежнихъ, и непрестанно прибавля-
ются или убавляются; такъ, „въ королевствахъ ишпанскихъ цѣна
монеты мѣдныя смущеніемъ времени толико прибавися, елико токмо
триктратно къ сравненію руды была цѣнена, и отъ того учинися
великій убытокъ тому государству“. Вслѣдствіе этого король Фи-
липпъ IV гпреразумнымъ совѣтомъ указалъ“ въ 1628 году, чтобы
оная мѣдная денга имѣла только половинную цѣну (вмѣсто 8
мароведизовъ—4).
Покончивъ такимъ образомъ съ римскимъ вѣсомъ и единицей
цѣнности, онъ переходитъ къ греческой единицѣ „оболъ“ (όβολός),
который пишетъ „оволъ“, очевидно читая „βα какъ, „в“... Онъ
говоритъ, что оболъ употреблялся греками и евреями; еврейскій
оболъ былъ равенъ 2 асамъ, a греческій (аѳинскій) меньше на 76
часть.
Потомъ онъ переходитъ къ разсмотрѣнію денегъ серебряныхъ
и золотыхъ, разсматривая отдѣльно сестерцію, мину, драхму, сиклу

и талантъ. Здѣсь онъ, между прочимъ, вновь повторяетъ, что
аѳинскія денги быша дешевле еврейскихъ, такъ что, напр., за одну
драхму еврейскую даютъ 2 драхмы аѳинскія; но этого нельзя ска-
зать относительно сиклы (сикль евр.—schekel) и унціи, которыя
и по вѣсу и по цѣнѣ всегда были равны у всѣхъ народовъ. Ше-
стая часть унціи называется солидъ, шелленгъ; 72 солида соста-
вляютъ либру, или 12 унціи; такимъ образомъ, солидъ равенъ пол-
унціи. Золото онъ считаетъ въ 12 разъ дороже серебра, „сирѣчь
1 золотникъ золота цѣнитъ 12 сребра“. Соотвѣтственно этому 12
сикловъ сребреныхъ составляютъ одинъ сиклъ золотый.
Установивши такимъ образомъ цѣнность еврейскихъ денегъ,
Магницкій доказываетъ на основаніи обильныхъ ссылокъ изъ Би-
бліи, что цѣнность золота и серебра до Давида была та же, что и
послѣ Давида. Въ заключеніе говоритъ слѣдующее: „Но ради луч-
шого и удобнѣйшаго вышереченныхъ разумѣнія, о денгахъ и ру-
дахъ, хощемъ предложити ниже сего таблицы (табл. 1-я прилаг.),
въ нихъ же по чину, и по цѣнѣ вся выше писанная денги, бу-
дутъ порядкомъ знаменоватися явно, и всякія древнія вѣсы между
собою кое сравненіе имутъ, такожде и нынѣшнему вѣку приискре-
ное приуподобленіе вѣсомъ различныхъ обычаевъ и земель сирѣчь
медическихъ (медицинскихъ) греческихъ, римскихъ и московскихъ.
Общее вси къ единому предѣлу пропорцію имутъ: еже есть къ
зернамъ ячминя, яже да будутъ равны и умѣренны величествомъ
и совершенствомъ“ (табл. 1)*).
Установивъ такимъ образомъ нѣкоторое единство мѣры, Маг-
ницкій говоритъ далѣе, что, несмотря на то, что вѣсъ мѣнялся не
только по разнымъ государствамъ (особенно у грековъ), но и въ
одномъ и томъ же государствѣ съ теченіемъ времени, однако, ме-
дики благодаря этой общей мѣрѣ могли установить нѣкоторый по-
стоянный вѣсъ на слѣдующемъ основаніи.
Если мы сравнимъ мѣры Цельза**) и Скрибонія ***) съ мѣрами
греческими, то увидимъ, что денарій римскій и драхма греческая
*) Въ Англіи въ 51 ст. статута Генриха III (1226) было указано, что
англійское пенни, называемое стерлингомъ, должно вѣсить столько же,
сколько 32 пшеничныхъ зерна, взятыхъ въ срединѣ колоса, а 20 пенни
должны составить унцію, 12 унціи—фунтъ, 8 фунтовъ—галенокъ вина, а
8 галенковъ—лондонскій бушель или 1/8 часть четверти. (Кэджори, стр. 161).
**) Цельзъ (Авлъ Корнелій Celsas) римскій ученый эпохи Тиверія,
скончавшійся въ правленіе Нерона, составилъ обширную энциклопедію
(Artes), изъ которой сохранился только отдѣлъ о медицинѣ въ 8 книгахъ.
***) Скрибоній Ларгъ-—римскій врачъ и писатель. Издалъ собраніе ре-
цептовъ (271). Въ расположеніи ихъ исходитъ изъ порядка частей тѣла, на-
чиная съ головы.

Первая

таблица.

имѣютъ 826/7 зерна; но у грековъ либра содержитъ 96 драхмъ, а
римская либра 84 денарія. Теперь если мы возьмемъ греческій
вѣсъ, то получимъ въ унціи 8 драхмъ, а если римскій, то 7 дина-
ріевъ. Но Цельзій не хотѣлъ воспользоваться греческимъ вѣсомъ
и принялъ за драхму 8-ю часть своей унціи, положивъ въ фунтѣ, какъ
въ ассѣ, 12 унціи; такъ что его секстансъ (76 часть) немного
больше половины скрупула (драхма=3 скрупула) и содержитъ
135/7 зерна. Производя этотъ расчетъ, онъ говоритъ, что гре-
ческіе и мавританскіе аптекари считаютъ въ скрупулѣ по 24 зер-
на: „Многи же иные медицы общему разуму послѣдуютъ, тако
Плинусъ и плутархъ и галенъ егда въ латину принесоша, сліяше
драхму динарю, якоже ничимъ же разнити и вмѣниша за 8-ю
часть унціи“. Все это разсужденіе оканчивается слѣдующимъ сти-
хотвореніемъ:
„О древнѣйшихъ денгахъ и вѣсахъ и нынѣшнихъ купно
написахъ
По елику могохъ избрати и другъ къ другу ихъ приров-
няти
Да негли кто и послѣдуетъ аще въ чесомъ ихъ востре-
буетъ
Или ионе древній знаетъ и новыя къ нимъ прирав-
няешь
Мню бо яко зело удобно приравняти что будетъ сходно
И за то есть се удобіе яко въ зернахъ симъ подобіе“.
На изложенную статью Магницкаго какъ будто не было обра-
щено должнаго вниманія, а между тѣмъ въ ней, помимо общей
правдободобной гипотезы о развитіи монетной и вѣсовой системы,
я не нашелъ крупныхъ противорѣчій съ современными взглядами
на этотъ предметъ, но пусть даже гипотеза Магницкаго останется
ложной, пусть его вычисленія содержатъ крупныя погрѣшности,
но за нимъ все-таки останется крупная научная заслуга привести
въ общую систему цѣнность монетъ и вѣсовыя единицы древнихъ
и современныхъ народовъ.
За статьей о сравненіи вѣсовъ и монетъ идетъ статья „О
пропорціяхъ рудъ“, гдѣ авторъ даетъ двѣ таблицы: въ одной
онъ даетъ размѣръ шаровъ изъ разныхъ веществъ при одномъ и
томъ же ихъ вѣсѣ, a въ другой вѣсъ шаровъ при одномъ и томъ
же объемѣ. Послѣдняя таблица (первая у Магницкаго) позволяетъ
вычислить удѣльный вѣсъ веществъ, если принять за единицу
вѣсъ золота. Я приведу ее въ томъ видѣ, какъ она дана Магниц-

кимъ, поставивъ въ скобкахъ его удѣльный вѣсъ и современный,
оба взятые по отношенію къ водѣ.
Изъ этого видно, что разница въ уд. вѣсахъ очень неве-
лика. Другая таблица слѣдующая:
Въ заключеніе показывается, какъ данному вѣсу золотого
шара найти вѣсъ серебрянаго при одномъ и томъ же объемѣ; об-
ратно, по данному объему золотого шара найти объемъ серебря-
наго того же вѣса. Статья также оканчивается стихотвореніемъ.
Прочее читателю оставивъ снискателю
Да кійждо охотнѣйшій самъ будетъ работнѣйшій
И знаетъ черезъ подобство въ подобныхъ самъ изводство
Взимая готовый трудъ въ прикладѣхъ различныхъ рудъ
И творитъ вещи знати, сколь вѣсомъ могутъ брати.
За этой статьей идетъ „наблюденіе о вѣсахъ купно же и мѣ-
рахъ“, въ которой авторъ даетъ числовую зависимость между вѣ-
сомъ и объемомъ жидкихъ и сыпучихъ тѣлъ, говоря, что при
знаніи этой зависимости легко можно вычислить все разнообразіе
мѣръ различныхъ временъ и различныхъ государствъ.
Далѣе идетъ статья „О вѣсахъ и мѣрахъ московскаго госу-
дарства и окрестныхъ нѣкоихъ“. Мѣры московскаго государства
я приведу въ тѣхъ таблицахъ, которыя даны Магницкимъ.

Мѣры денегъ.
Полушка.
1
Денга.
2
1
Копейка.
4
2
1
Алтынъ.
12
6
3
1
Гривна.
40
20
10
37,
1
Полполтины.
100
50
25
87.
27,
1
Полтина.
200
100
50
167,
5
2
1
Рубль.
400
200
100
337,
10
4
2
Мѣры вѣса.
Золотникъ
1
1
Осмуха.
12
1
Четверть.
24
2
1
Полфунта.
48
4
2
1
Литръ.
72
6
3
1 /2
1 Фунтъ.
96
8
4
2
1'/8
1
1 Ансырь.
128
Ю2/з
5*/з
22/3
I7/.
IV,
1
Четверть пуда.
960
80
40
20
13·/.
10
7%
1
Полпуда.
1920
160
80
40
26»/,
20
15
2
1
Пудъ.
3840
320
160
80
531/,
40
30
4
2
1
Берковецъ.
38400
3200
1600
800
533 1/3,
400
300
40
20
10
1

0 мѣрѣ саженной и аршинной.
О мѣрѣ хлѣбной.
Яко сажень
имать. .
2
полусажени
Лаетъ имѣетъ
12
четвертей
Полусажень
имать. .
IV.
<
аршина
Аршинъ
имать. .
2
<
полуаршина
четверть. . .
/
8
четвериковъ
Полъар-
шинъ имать
2
<
четверти
осмина . . .
/
4
четверика
Четверть
имать. .
4
<
вершка
полосмина. .
/
2
четверика
А во ар-
шинѣ
16
<
вершковъ
О мѣрѣ віяной.
О годѣ, мѣсяцахъ и днехъ.
Бочка
40
<
ведеръ
Годъ имѣетъ . .
12
мѣсяцевъ
Ведро
2
<
полведра
Мѣсяцъ имѣетъ.
4
седмицы
Седмица имѣетъ.
7
дней
Полведра
2
<
четверти
День имѣетъ . .
24
часа
Черверть
2
<
осмухи
Часъ имѣетъ . .
60
минутъ
Осмуха
2
<
кружки
А весь годъ имѣетъ
3651/,
дней
Если мы сравнимъ эти мѣры съ тѣми, которыя помѣщены въ
рукописяхъ XVII вѣка болѣе. древней редакціи, то найдемъ измѣ-
ненія. Такъ:
Мѣры денегъ.
Рубль 10 гривенъ или 2 полтины.
Гривна 10 новгородокъ или 20
денегъ.
Новгород къ 2 денги.
Алтынъ 6 денегъ.
Полтина 5 гривенъ.
Денга 2 полуденги.
Хлѣбныя мѣры.
Окопъ 4 чети.
Четвертокъ 2 чети.
Четъ 2 мѣры или 2 осмины.
Осмина 2 полуосмины.
Мѣра 2 полумѣры.
Полмѣры 2 четверика.
Четверикъ 2 получетверика.
Мѣры вѣса.
Берковецъ или берковескъ 10
пудовъ.
Ансырь старый 2 1/2 малыхъ грив-
ны или 128 золотниковъ.
Ансырь нынѣшній 1 фунтъ или
96 золотниковъ.
Литръ малый 1 1/2 малыхъ гри-
венки или 72 золотника.
Малая гривенка 48 золотниковъ.
Полугривенка 24 золотника.
Четь гривенки 12 золотниковъ.
Фунтъ 1 большая гривенка или
2 малыхъ гривенки.
Лаетъ 12 бочекъ или 72 пуда.
Бочка 6 пудовъ.

Переводъ „вѣсовъ въ денежный
вѣсъ“.
Четверть вощаная 2880 рублей.
Берковескъ 2400 рублей.
Ансырь старый 8 рублей.
Ансырь нынѣшній 6 рублей.
Литра 4 1/2 руб.
Малая гривенка 3 рубля.
Полгривенки малыя 1 1/2 руб.
Четь гривенки малые 25 алтынъ.
Золотникъ 2 алтына съ полу
денгой.
Мѣры длины.
Аршинъ 16 вершковъ.
Сажень 3 аршина.
Локоть 102/з вершка.
2 аршина 3 локтя.
Изъ сравненія очевидно, что ко времени Магницкаго многія
мѣры уже были утрачены, a нѣкоторыя получили иное раздѣленіе.
Здѣсь любопытна связь между вѣсомъ и деньгами, которая даетъ
какой-то намекъ на гипотезу Магницкаго о древности этой связи.
Кромѣ того, интересно и то, что древнія рукописи XVII вѣка
приводятъ иностранныя мѣры „земли брабанскіе города Гандворна,
города Норенборсхе, земли Остерлиньскія, Ѳранскія, Флоренскія,
Нѣмецкія, Венейскія, Ливонскія и Винецѣйскія“. Тогда какъ Маг-
ницкій приводитъ только „королевства польского, города Кракова,
и ученіе галанскихъ и фляжскихъ денегъ мѣры и вѣсу, еже мно-
жае галанцы купецкія люди употребляютъ: яко во Амстердамѣ“.
Можно думать, что въ этомъ сокращеніи числа иностранныхъ
государствъ есть практическая необходимость. Магницкій, предна-
значая свою книгу почти главнымъ образомъ для купцовъ, не могъ
бы лишить ихъ очень важныхъ и цѣнныхъ указаній на метриче-
скія соотношенія, но очевидно, что въ то время, когда онъ пи-
салъ свою ариѳметику, такой необходимости не было, кромѣ тѣхъ
государствъ, черезъ которыя главнымъ образомъ велась торговля.
Послѣ изгнанія англичанъ въ 1644 году главнымъ торговымъ
центромъ стала Голландія и особенно Амстердамъ; метрической
системѣ этого государства авторъ и даетъ мѣсто въ своей книгѣ,
да еще землѣ польской, черезъ которую шла сухопутная торговля.
Но если Россія имѣла съ Голландіей оживленныя торговыя сно-
шенія, если много голландцевъ жило въ странѣ и имѣло отвѣтствен-
ное дѣло, какъ, напр., тульскіе оружейные заводы, то нѣтъ ничего
невозможнаго, что въ рукахъ Магницкаго былъ и учебникъ Якова
фонъ-ПІуере, только странно, что онъ объ этомъ не упоминаетъ
въ перечнѣ тѣхъ народностей, у кого онъ заимствовалъ свои свѣ-
дѣнія.
Разсмотрѣвъ метрическія соотношенія древнія, русскія и

иностранныя, Магницкій переходитъ къ дѣйствіямъ надъ имено-
ванными числами. Подъ сложеніемъ и вычитаніемъ этихъ чиселъ
онъ разумѣетъ то же, что и въ настоящее время, и производитъ
эти дѣйствія надъ сложными именованными числами такъ же, какъ
это дѣлаемъ и мы; но подъ умноженіемъ онъ разумѣетъ только
раздробленіи: „Подобнѣ же и умноженіе не ино что, но въ мелкія
части раздробленіе: и тоежде перечней количество бываетъ“.
„Дѣленіе же денежныхъ важныхъ и мѣрныхъ перечней,
ничто же ино, но токмо преведеніе изъ дробныхъ частей въ ве-
ликія, и цѣлыя. Сирѣчь изъ денегъ въ рубли, въ полтины, въ
гривны и прочая“.
При разсмотрѣніи причинъ такой постановки вопроса слѣ-
дуетъ обратить вниманіе на два обстоятельства: во 1) на то, что
число въ представленіи Магницкаго есть характеристика вещи,
т.-е. величины, ея свойство, то тогда оно можетъ быть только
именованнымъ; во 2) онъ называетъ мелкія мѣры дробными; это
наименованіе, очевидно, не случайно и является слѣдствіемъ того же
представленія числа; но если это такъ, то очевидно, что наше
умноженіе и дѣленіе составныхъ именованныхъ чиселъ будетъ
умноженіемъ и дѣленіемъ дробей и должно быть огнесено къ курсу
дробей, что и дѣлаетъ Магницкій. Въ этомъ опять онъ не расходится
съ рукописями, а потому очевидно, что таково было ученіе о числѣ
въ его время, и умноженіе и дѣленіе сложныхъ именованныхъ
чиселъ не разсматривалось.
Въ заключеніе нужно упомянуть, что само дѣйствіе сложенія
онъ располагаетъ такъ:
Берковцы.
Пуды.
Фунты.
Золотники.
12
9
26
36
37
7
19
24
25
5
15
53
76
2
21
17
Точно такъ же и вычитаніе:
Рубли.
Полтины.
Гривны.
Алтыны.
Копейки.
Денги.
Заемны. . .
356
1
4
2
2
1
Платеж вы .
245
1
3
1
1
1
Остатокъ .
111
0
1
1
1
0
Повѣреніе .
356
1
4
2
2
1

Статья оканчивается слѣдующимъ стихотвореніемъ:
Иныхъ же царствъ денги и мѣры мощно творить
сими примѣры
Ихъ же выше уже написахъ въ нашихъ денгахъ
мѣрахъ и вѣсахъ
Или паки вычитаемо и въ цѣлыя раздѣляемо
Такъ и во всѣхъ странахъ творится ихъ же кому
класти случится.
Очевидно, что указанный способъ производства дѣйствій былъ
общимъ для того времени.

Книга первая ариѳметики.
Часть первая о числахъ цѣлыхъ.
Первая часть книги первой распадается на 5 „предѣленій“.
Названія этихъ опредѣленій даны авторомъ на трехъ языкахъ:
греческомъ, латинскомъ и русскомъ въ слѣдующемъ видѣ:
1
Συναρίθμησις
{
Numeratio.
Счисленіе.
2
Σουμαρισμός
{
Additio.
Сложеніе.
3
Ύφείλμο-*)
{
Substactio.
Вычитаніе.
4
Πόλυπλασιασ-
μός
{
Multiplicatio.
Умноженіе.
5
Διαίρεσις
{
Divisio.
Дѣленіе.
Трудно сказать, почему авторъ привелъ здѣсь, кромѣ латин-
скихъ, еще и греческія наименованія дѣйствій; но то же самое онъ
сохранилъ и въ дробяхъ, очевидно, имѣя какую-либо опредѣленную
цѣль. Латинскія наименованія уже давно вошли въ курсъ русской
ариѳметики и встрѣчаются почти во всѣхъ рукописяхъ XVII вѣка.
Это заимствованіе наименованій при существующихъ русскихъ на-
именованіяхъ ясно свидѣтельствуетъ, что составители ариѳметиче-
скихъ курсовъ не только не чуждались западныхъ учебниковъ, но,
наоборотъ, какъ бы связывали свой курсъ съ ними, стремясь уста-
новить общую номенклатуру дѣйствій. Сами дѣйствія называются
авторомъ „предѣленіями“. Такое названіе показываетъ, что онъ
считалъ каждое дѣйствіе самостоятельнымъ, имѣющимъ свой особый
смыслъ и особое производство. Объ этомъ я скажу подробнѣе при
разсмотрѣніи умноженія, a сейчасъ слѣдуетъ сказать нѣсколько
словъ о самомъ методѣ.
Методъ изложенія, принятый Магницкимъ, сдѣлался господствую-
щимъ въ теченіе всего XVIII вѣка; такъ, уже въ концѣ вѣка, въ
1785 году, г. Аничковъ въ 3-мъ изданіи своей „Практической ариѳ
метики“ говоритъ: § 1. „Математическій способъ ученія есть поря-
*) Собствонно вычитаніе νφαίρεαις.

докъ (по Магницкому „чинъ“), который математики употребляютъ въ
своемъ ученіи. § 2. Сила сего порядка состоитъ въ томъ, чтобы
отъ самыхъ легчайшихъ о вещахъ понятій начинать ученіе, и оттуда
выводить подлежащія истины; a изъ сравненія сихъ истинъ между
собою находить новыя предложенія. § 3. Такимъ образомъ, мате-
матики, чтобы соотвѣтствовать сему порядку, начинаютъ свое уче-
ніе съ опредѣленій (Definitiones), которыя обыкновенно занима-
ютъ первое мѣсто во всякой наукѣ. Послѣ того даютъ знать, что
есть основаніе (Axioma), требованіе (Postulatum), теорема (Theo-
rema), задача (Problema); a къ нѣкоторымъ изъ сихъ предложе-
женій, въ случаѣ надобности, присовокупляютъ прибавленія (Corol-
laria, vel Confestaria) и примѣчанія (Scholia); для увѣренія жъ
и ясности предложеній сообщаютъ доказательства (Demonstratio-
nes). § 4. Итакъ опредѣленіе (Definitio) есть ясное и полное по-
нятіе, черезъ которое вещь отличается отъ другихъ, и изъ кото-
раго выводится все прочее, что можно разумѣть объ оной вещи“*).
Изъ этого ясно, что основа курса — планъ сочиненія былъ
угаданъ Магницкимъ, и вся дальнѣйшая работа позднѣйшихъ рус-
скихъ педагоговъ состояла лишь въ улучшеніи и развитіи этого
основного плана.
Согласно этому плану, Магницкій начинаетъ свое первое „пре-
дѣленіе“ такъ: „Нумераціо есть счисленіе еже совершенно вся
числа рѣчію именовати, яже въ десяти знаменованіяхъ содержатся
и изображаются сице: I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Изъ нихъ
девять назнаменовательны суть: послѣднее же 0 (еже цыфрою или
ничѣмъ именуется) егда убо (оно) едино стоитъ, тогда само по
себѣ ничтоже значитъ. Егда же къ коему оныхъ знаменованій
приложено будетъ, тогда умножаемъ въ десятеро, якоже предло-
жено есть ниже сего“.
Прежде, чѣмъ приступить къ обсужденію этого опредѣленія,
полезно отмѣтить, что Магницкій проводитъ рѣзкую границу между
значащими цифрами, которыя онъ называетъ „знаменованіями“, и
нулемъ, который онъ называетъ „цыфрою“. Эта номенклатура
также удержалась въ теченіе столѣтія, и въ той же ариѳметикѣ
г. Аничкова мы читаемъ: „Чтожъ касается до перваго знака, на-
зываемаго нуль (Zerus vel Ciplira) оный никакого знаменованія
не имѣетъ; будучи приданъ къ какимъ-нибудь знакамъ отъ пра-
вой руки, всегда увеличиваетъ оные вдесятеро“. Здѣсь слово „зна-
менованіе“ замѣнилось въ опредѣленіи словомъ „знакъ“. Но впо-
*) Дмитрій Аничковъ. „Теоретическая и практическая ариѳметика“. Мо-
сква, 1785 г. „Предувѣдомленіе“, стр. 3.

слѣдствіи, очевидно, и это слово не удержалось и было замѣнено
тѣмъ, чѣмъ ранѣе называли только ноль — „цифры“*). Переходя
теперь къ сущности опредѣленія, отмѣтимъ, что подъ понятіемъ
„нумераціи“ Магницкій разумѣетъ умѣнье называть числа „имено-
вать рѣчью“, но не писать, и этимъ ясно показываетъ, что въ его
время особенное значеніе пріобрѣтала не письменная, а устная
нумерація, которую, я думаю, онъ устанавливалъ впервые, да-
вая наименованіе классамъ милліонъ, билліонъ и т. д. и считая
въ каждомъ классѣ по 6-ти разрядовъ. Что касается до письмен-
ной нумераціи, то я думаю, что умѣнье писать числа по-славянски
буквами много облегчало переходъ къ цифровому ихъ изображе-
нію. Здѣсь важно отмѣтить, что начертаніе чиселъ буквами пред-
ставляетъ болѣе удобную систему счисленія, чѣмъ римская, тѣмъ
болѣе, что она сохраняетъ принципъ мѣста: число, напримѣръ,21
пишется по славянски ка, между тѣмъ какъ по-римски это бу-
детъ XXI; число 156 по славянски pjfe. Этотъ принципъ мѣста,
по-моему, задержалъ практическое введеніе цифровой системы, и
для очень многихъ было не вполнѣ ясно удобство новаго обозна-
ченія чиселъ съ нулемъ: они не видѣли разницы въ изображеніи
одними и тѣми же знаками сотенъ, десятковъ и единицъ, и имъ
казалось даже удобнѣе изображать ихъ своимъ особымъ однимъ
знакомъ. Я думаю, что такъ именно думалъ и самъ Магницкій,
который славянское обозначеніе чиселъ озаглавилъ: „паки ино по-
казаніе перетовое, составное и сочиненное, предложено, такожде
ради лучшаго поятія, во исчисленіи“.
Тогда какъ ниже приведенное имъ обозначеніе чиселъ рим-
скими цифрами онъ называетъ: „Обявленіе числа школьного, ко
увѣдѣнію хотящимъ“.
Первое заглавіе показываетъ, что новая система обозначенія
какъ бы согласуется, почти тожественно, съ обычной жизненной
практикой. А второе любопытно въ томъ отношеніи, что слово
„школьное“, несомнѣнно, относится къ славяно-латинской академіи
гдѣ господствовала римская числовая нумерація. Однако, какъ я
уже говорилъ выше, среди математиковъ славянская нумерація
совершенно утратилась, и Магницкій не считаетъ нужнымъ о ней
говорить. Онъ даетъ лишь такую таблицу:
*) Въ сочиненіи Кэджори „Исторія элементарной математики“ говорится
что „Liber abaci“ Фибоначчи начинается: „девять индусскихъ знаковъ суть
слѣдующіе: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1; съ помощью этихъ знаковъ и знака О,
которыя называется по-арабски сифръ, можно написать какое угодно число.
„Арабскій сифръ (сифрь—пустой) перешло въ латинскій Zephirum“ (стр.125).

а —1; ш —12; ркг —123 и т. д., доходя до
числа 1234567890, которое обозначачаетъ по-славянски
^АСЛД милліона ^ ^3$Г*).
Изъ этого обозначенія мы видимъ, что авторъ ариѳметики
совершенно не былъ знакомъ со старославянскимъ обозначеніемъ
чиселъ и наименованіемъ классовъ. Введеніе въ число слово
„милліонъ“ **) показываетъ, что самая идея славянскаго обозначе-
нія большихъ чиселъ уже была совершенно утрачена. Изъ отдѣла
нумераціи отмѣтимъ еще слѣдующее: числа перваго десятка Маг-
ницкій называетъ „персты“ и говоритъ: „сія изображенія отъ
многихъ называются персты, и толико ихъ числомъ, елико и пер-
стовъ есть по разумѣнію нѣкоторыхъ“. Полные десятки и сотни
онъ называетъ „составы“, и говоритъ „сія числа имянуются со-
ставы, зане цифрою 0 всегда вдесятеро составляются“. Наконецъ,
всѣ прочія числа онъ называетъ „сочиненія“ и говоритъ: „сія
числа сочиненія называются, понеже она изъ перстовъ и составовъ
сочиняются“.
Приводя это раздѣленіе чиселъ, г. Бобынинъ говоритъ: „Въ
этомъ отношеніи Ариѳметика Магницкаго стоитъ выше нашихъ
современныхъ учебниковъ, авторы которыхъ не обращаютъ внима-
нія на пользу раздѣленія всѣхъ цѣлыхъ чиселъ на двѣ группы,
соотвѣтствуя двумъ послѣднимъ видамъ Магницкаго. Что касается
до перваго вида, то онъ является совершенно лишнимъ, такъ
какъ составляющія ею числа принадлежатъ собственно ко вто-
рому виду“ ***).
Присоединяясь вполнѣ къ этому мнѣнію уважаемаго изслѣдо-
вателя, я думаю, что въ педагогическомъ отношеніи разграниченіе
Магницкаго имѣло бы очень большое и важное значеніе.
Послѣ того какъ изъ примѣровъ, приводимыхъ авторомъ, для
читателя, по его мнѣнію, становится яснымъ изображеніе и наиме-
нованіе чиселъ, Магницкій въ стихахъ приводитъ очень важное
дополненіе:
*) Г. Бобынинъ думаетъ, что это число взято имъ изъ ариѳметики
Якова фонъ-Шуере, но изъ всей системы ясно видно, что оно явилось
слѣдствіемъ способа ознакомленія учащихся со славянскимъ обозначеніемъ
чиселъ.
**) Кэджори говоритъ (стр. 151), что слово millione введено итальянцами
въ XIY стол, для наименованія 10002, встрѣчается въ первый разъ въ сочи-
неніи Пачіоли. Англійскій авторъ Тонсталь въ 1522 году говоритъ объ этомъ
терминѣ, что онъ очень распространенъ въ Англіи, но называетъ его „вар-
варскимъ“.
***) Бобынинъ. T. VII. 1888; 4-^_ стр. 274.
1 четв. г

Число есть безконечно, умомъ намъ недотечно
Или кто знаетъ конца кромѣ всѣхъ Бога творца
Нѣсть бо намъ опредѣлено, тѣмъ есть и бездѣльно
Множайшихъ чиселъ искати, и болше сей писати
Превосходной таблицы умовъ нашихъ границы
Наще кому треба, счисляти что внутрь неба
Довлѣетъ числа сего, и вещемъ всѣмъ міра сего.
Это высшее число является 25-мъ разрядомъ, который онъ на-
зываетъ „квадраліономъ“. Старыя рукописи, какъ мы видѣли, до-
ходили до вдвое большаго числа разрядовъ: ихъ „вранъ“ былъ 50-мъ
разрядомъ.
Предѣленіе второе. „Аддиціо или сложеніе есть, дву или мно-
гихъ числъ во едино собраніе, или во единъ перечень совокупле-
ніе“. Здѣсь слово „перечень“, согласно словарю Даля, есть итогъ,
сумма, выводъ сложенія. Однако, такое толкованіе не будетъ вполнѣ
совпадать съ тѣмъ, что самъ Магницкій понималъ подъ этимъ сло-
вомъ. Для него „перечень“ есть синонимъ „число“; такъ онъ го-
воритъ дальше: „егда убо случится тебѣ перечень съ перечнемъ
сложити“. Если же мы будемъ понимать подъ словомъ „перечень“
число, то опредѣленіе, данное Магницкимъ, будетъ очень точнымъ.
Оно выдѣляетъ сложеніе какъ дѣйствіе отъ соединенія. Такъ, на-
примѣръ, написавъ 2 п. 5 φ., мы собственно пишемъ сумму, но
не дѣлаемъ сложенія, ибо не можемъ два „перечня“ выразить однимъ
числомъ. А потому сложеніе какъ дѣйствіе именно и состоитъ въ
томъ, что „дву или многихъ чиселъ во единъ перечень совоку-
пленіе“. Послѣдующіе математики XYIH вѣка такъ именно и по-
нимали это дѣйствіе. Въ ариѳметикѣ г. Аничкова глава вторая на-
звана: „о числахъ одного роду“ и начинается двумя опредѣле-
ніями: 1) „числа одного роду называются тѣ, которыя означаютъ
подобныя части одного и тогожъ цѣлого числа“; опредѣленіе 2) „сло-
женіе есть такое дѣйствіе, черезъ которое двумъ или многимъ чис-
ламъ одного роду находится одно равное. Найденное такимъ обра-
зомъ число называется сумма“.
Г. Бобынинъ, разсматривая сложеніе въ ариѳметикѣ Магниц-
каго, говоритъ: сравненіе разсмотрѣнной статьи о сложеніи съ со-
отвѣтствующими статьями ариѳметическихъ рукописей ΧΥΠ сто-
лѣтія обнаруживаетъ существованіе между ними весьма тѣсной
генетической связи. Прибавивъ къ изложенію рукописей опредѣ-
леніе сложенія и задачи и значительно увеличивъ число примѣ-
ровъ на отвлеченныя числа, Магницкій счелъ также нужнымъ
распространить казавшееся ему краткимъ изложеніе рукописей.

Этимъ, однако, онъ ничего не выигралъ, такъ какъ его изложеніе
столько же уступаетъ рукописямъ въ ясности, сколько и въ крат-
кости*). Мнѣ кажется, что главная заслуга Магницкаго и со-
стоитъ въ томъ, что онъ даетъ опредѣленіе, и въ этомъ онъ ста-
витъ свой учебникъ на большую высоту, чѣмъ это дѣлали руко-
писи. Мы видѣли, что методъ Магницкаго сохранился въ теченіе
столѣтія, и учебникъ конца столѣтія вновь приводитъ то же, что
далъ Магницкій, только въ болѣе развитомъ видѣ.
Г. Бобынинъ говоритъ далѣе: „Весьма краткую и удобную
форму таблицы сложенія, употребляемую рукописями, онъ замѣнилъ
собраніемъ таблицъ, составляемыхъ для каждаго изъ первыхъ 9
чиселъ порознь“. Та и другая изъ этихъ таблицъ очень интересны
въ педагогическомъ отношеніи, и я позволю себѣ привести ихъ
здѣсь. Вотъ таблица сложенія въ рукописяхъ.
*) Бобынинъ, стр. 276. Онъ говоритъ далѣе, что въ ар. Якова фонъ-Шуере
существуетъ повѣрка сложенія цифрой 9 такъ же, какъ у Магницкаго, и въ
этомъ находитъ заимствованіе; но дѣло въ томъ, что дальнѣйшія повѣрки,
какъ утверждаетъ самъ г. Бобынинъ, не совпадаютъ. Тогда странно является
и это заимствованіе, почему только повѣрка сложенія? Затѣмъ г. Бобынинъ
указываетъ, что „примѣръ, приведенный у Шуере для объясненія правила
сложенія вообще, взятъ Магницкимъ для той же цѣли въ случаѣ 3-хъ сла-
гаемыхъ. Изъ 8 примѣровъ сложенія отвлеченныхъ чиселъ у Шуере первые
4 находятся и у Магницкаго, при чемъ въ послѣднемъ изъ нихъ послѣднее
слагаемое поставлено на первомъ мѣстѣ. Наконецъ, у Шуере, какъ у Маг-
ницкаго дано 6 задачъ для примѣровъ сложенія именованныхъ чиселъ,
впрочемъ, болѣе сложныхъ“. На это я могу сказать, что подчеркнутое выра-
женіе сильно ослабляетъ послѣднее утвержденіе г. Бобынина. Что касается
до заимствованія числовыхъ примѣровъ, то какъ-то странно для составителя
учебника списывать примѣры, и можетъ ли въ этомъ быть заимствованіе?
Я понимаю, что если бы Магницкій взялъ то же опредѣленіе сложенія, при-
велъ такое же объясненіе дѣйствія, изложеніе его или что-нибудь въ этомъ
родѣ-, но говорить о заимствованіи только на основаніи того, что одно и
то же число примѣровъ, что встрѣчаются одинаковыя числа, мнѣ кажется не-
вѣрнымъ. Во всякомъ случаѣ здѣсь можно только указать на знакомство съ
руководствомъ фонъ-Шуере, но отнюдь не заимствованіе.

Граница изустная счетная къ большому
разуму хотящему разумѣти благая и по-
лезная.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
G
7
8
9
10
11
2
3
4
5
0
7
8
9
10
11
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
8
9
10
11
9
10
11
10
»1
Въ этой таблицѣ я отмѣчу то, что она оканчивается чис-
ломъ 11 и имѣетъ форму, которая въ современныхъ учебникахъ
приводится въ таблицѣ умноженія „Пиѳагора". Таблица умноженія
рукописей обыкновенно имѣетъ ту же форму.

Таблица сложенія въ ариѳметикѣ Магницкаго.
Я попрошу читателя запомнить эту форму, потому что по
ней же составлена у Магницкаго и таблица умноженія. Я согла-
сенъ, что форма таблицы рукописей удобнѣе этой; но въ то же
время для меня очевидно и то, что новая форма у Магницкаго
есть результатъ какихъ-то особыхъ основаній, очень важныхъ съ
его точки зрѣнія, а не есть случайность. Вообще, несомнѣнно одно,
что таблица рукописей и таблица Магницкаго имѣютъ разныя пси-
хологическія обоснованія, при чемъ послѣдняя вошла въ жизнь, и
даже современные учебники приводятъ ее въ нѣсколько измѣнен-
номъ видѣ, тогда какъ таблица рукописей забылась, хотя, повто-
ряю, мнѣ она гораздо больше нравится, чѣмъ таблица Магницкаго.
Предѣленіе третіе. „Субстракціо или вычитаніе есть, имже
малое число изъ большого вычитаемъ, и излишнее обявляемъ“.
Давши опредѣленіе, авторъ переходитъ къ выясненію способа
производства дѣйствія, слѣдуя при этомъ тому педагогическому
принципу, что начинать надо съ болѣе легкихъ примѣровъ. Въ силу
этого онъ сначала разсматриваетъ вычитаніе двузначныхъ чиселъ,
гдѣ цифры уменьшаемаго больше цифръ вычитаемаго, объясненное
правило распространяетъ на многозначныя числа на числовыхъ
примѣрахъ, потомъ переходитъ къ тому случаю, гдѣ нѣкоторые раз-
ряды въ вычитаемомъ больше соотвѣтственныхъ разрядовъ умень-

шаемаго, гдѣ опять даетъ въ поясненіе многозначные примѣры,
вводя въ нихъ случай вычитанія изъ нуля. Потомъ говоритъ: „но
егда будетъ перечень сицевъ тогда изъ 5 относится 1 къ 2,
a гдѣ былъ цифръ, ту стави 9: якоже видиши
Сбоку находится примѣръ
Такъ онъ поясняетъ этотъ случай вычинанія. Далѣе идутъ
9 примѣровъ и 6 задачъ, „ины образцы ко гражданству надлежа-
щія“. Сравнивая это изложеніе съ изложеніемъ рукописей, г. Бобы-
нинъ говоритъ, что оно сходно съ позднѣйшими рукописями и
отличается отъ древнѣйшихъ, гдѣ статья о вычитаніи содержитъ
только одну задачу; но число этихъ задачъ увеличивается въ руко-
писяхъ болѣе поздней редакціи.
Предѣленіе четвертое. „Умноженіе ость, имже что въ числахъ
умножаемъ, или коликимъ вещемъ помножеству иныхъ вещей раз-
даемъ, и количество ихъ числомъ показуемъ“.
Это опредѣленіе г. Бобынинъ называетъ „столь же мало за-
служивающимъ это названіе, какъ и въ случаѣ вычитанія“.
Въ послѣднемъ я съ нимъ совершенно несогласенъ: опредѣ-
леніе вычитанія, по-моему, совершенно ясно; но что касается до
умноженія, то здѣсь надо замѣтить, что это дѣйствіе вызывало въ
прошломъ столь же много недоумѣнія, какъ и въ настоящее время.
Въ 50-хъ годахъ XVIII вѣка Кургановъ, ученикъ Магницкаго,
опредѣлялъ его такъ: „сіе дѣйствіе подаетъ способъ, какъ данное
число вдвое или втрое, или по изволенію увеличить: то-есть такое
число сыскать, которое бы даннаго числа во столько разъ было
больше, сколько потребно“. Далѣе онъ говоритъ, что умноженіе
„не что иное, какъ сокращенное сложеніе“ *). Но въ другомъ мѣстѣ,
разсматривая дѣйствія надъ именованными числами, онъ указы-
ваетъ три возможности: 1) умноженіе именованнаго числа на от-
влеченное, 2) умноженіе отвлеченнаго числа на именованное (при-
мѣры умноженія цѣлаго числа на аликвотныя **) части множителя
въ именованныхъ числахъ) и, наконецъ, 3) умноженіе именованнаго
*) Кургановъ. „Универсальная ариѳметика“ изд. 1757 г., стр. 21.
**) Аликвотная часть числа, говоритъ Кургановъ, есть, которая въ ономъ
на цѣло или безъ остатка содержится; такъ, 8 вер. есть аликвотная часть
аршина, потому что онаго точная 1/2, т.-е. въ ономъ 2-жды содержится, по

числа на именованное (примѣры умноженія, когда оба именован-
ныя числа состоятъ въ разныхъ сортахъ) *)
Въ концѣ вѣка г. Аничковъ даетъ такое опредѣленіе умно-
женію: „Умноженіе (Multiplicatio) есть способъ изъ двухъ дан-
ныхъ чиселъ находить третье число такое, въ которомъ бы одна
изъ данныхъ чиселъ столько разъ содержалось, сколько единицъ
другое въ себѣ имѣетъ“ **), Не есть ли это выраженіе болѣе
позднимъ языкомъ той же мысли Магницкаго: „коликимъ вещемъ
по множеству иныхъ вещей раздаемъ: и количество ихъ числомъ
показуемъ*. Въ 1865 году вышли „Основанія ариѳметики“ акаде-
мика Гурьева, гдѣ онъ даетъ такое опредѣленіе умноженію: „Умно-
женіе есть способъ находить величину, которая бы къ одной изъ
данныхъ, называемой множимою, такъ относилась, какъ другая,
называемая множителемъ, къ единицѣ“. Это опредѣленіе онъ со-
провождаетъ слѣдующимъ примѣчаніемъ: „Слово умноженіе соб-
ственно принадлежитъ токмо къ умноженію на цѣлыя числа, когда
сыскивается величина во столько разъ большая множимой, во
сколько множащее число больше единицы; но за недостаткомъ
приличнѣйшаго слова смыслъ онаго распространили и вообще къ
найденію величины, которая бы такъ относилась къ множимойу
какъ множащая къ единицѣ, и симъ образомъ, какъ то замѣчаетъ
великій Ньютонъ въ своей Универсальной Ариѳметикѣ, умноженію
можетъ быть произведено отвлеченными числами, но также и са-
мыми непрерывными величинами, какъ-то линіями, поверхностями,
движеніями тяжестей и пр.“ ***).
Если мы теперь соберемъ все вышеизложенное, то ясно, что
въ теченіе XVIII-го вѣка не только у насъ, но и на Западѣ су-
ществовало опредѣленное мнѣніе о томъ, что есть два умноженія:
умноженіе чиселъ и умноженіе величинъ. Теперь самъ Магницкій
не признавалъ за числами самостоятельнаго значенія и считалъ,
что числа есть свойство вещей (величинъ) и могутъ быть раз-
сматриваемъ! только съ этой точки зрѣнія, а потому и дѣйствія
надъ ними есть собственно дѣйствія надъ величинами ****). Соот-
вѣтственно этому онъ и говоритъ: „умноженіе есть имже что въ
числахъ умножимъ“, т.-е. произведеніе величинъ мы получаемъ
добно 2, 4, 6 дюйм, аликвотная часть фута. А которая часть въ своемъ цѣ-
ломъ не на цѣло содержится, та аликвантная называется, какъ 5 верш. есть,
аликвантная часть аршина.
*) Ibid., стр. 104, 107,110.
**} Аничковъ, стр. 31.
***) Гурьевъ. Наука исчисл., кн. первая. Основанія ариѳм., введен.
****) Это ученіе съ особенной ясностью разработано въ ариѳметикѣ Гурьева.

какъ произведеніе чиселъ, ихъ измѣряющихъ; сознавая же, что
такое опредѣленіе ничего не даетъ, онъ прибавляетъ: „или коли-
кимъ вещемъ по множеству иныхъ вещей раздаемъ“, напримѣръ,
плата рабочему и плата рабочимъ, путь въ единицу времени и
путь въ данное время и тому подобное; говоря иначе, если каждая
вещь т.-е. рабочій, часъ пути, содержитъ множество иныхъ вещей,
напр., рублей, саженъ и т. п., то въ отысканіи общаго числа: „и
количество ихъ числомъ показуемъ“, есть умноженіе.
Далѣе мы видѣли, что почти каждый послѣдующій авторъ
спѣшитъ въ самомъ опредѣленіи вставить наименованіе чиселъ,
данныхъ для умноженія, и всѣ они очень согласно называли эти
числа: множимое, множитель, произведеніе. Магницкій не спѣіпитъ
съ этими наименованіями; онъ приводитъ таблицу умноженія, по-
казываетъ, какъ дѣлается умноженіе на пальцахъ и на числовомъ
примѣрѣ и только тогда въ отдѣльномъ абзацѣ говоритъ: „подо-
баетъ же знати, яко во умноженія кійждо перечень, свойственнымъ
нарицается именемъ: верхній убо перечень, его же умножаете,
нарицается еличество, a которымъ умножаети, нарицается числи-
шелъ, третій же, отъ нихъ производимый, именуется продуктъ или
произведеніе“.
Здѣсь надо отмѣтить, что ни въ сложеніи, ни въ вычитаніи
онъ не даетъ наименованій даннымъ и получаемому числу. По-
этому нужно думать, что, говоря здѣсь о наименованіяхъ, онъ хо-
тѣлъ рѣзко отдѣлить новое дѣйствіе отъ двухъ предыдущихъ, какъ
бы показывая этимъ, что оно въ своемъ производствѣ имѣетъ со-
вершенно иныя основы, чѣмъ тѣ, какія были въ сложеніи и вычи-
таніи. Въ рукописяхъ ΧΥΙΙ вѣка, по словамъ г. Бобынина, числа,
употребляемыя при умноженіи, не имѣли особыхъ названій и вы-
ражались описательно: множимое называлось „верхней строкой,
которую умножаемъ“ и т. д.
Я говорилъ выше, что введеніе наименованій въ дѣйствіе
умноженія какъ будто особенно подчеркиваетъ то, что оно есть
особое дѣйствіе, не имѣющее ничего общаго со сложеніемъ. Въ
сложеніи Магницкій не указываетъ никакихъ наименованій; въ
вычитаніи онъ отмѣчаетъ: „обѣщанное“, „церковное“, что осталось
„нищимъ роздано“. Эти указанія слѣдуютъ тексту задачи. Въ дру-
гой задачѣ онъ помѣчаетъ: „заемъ“, „платежъ“, „остатки“ и
опять слѣдуетъ тексту задачи.
Всѣми этими помѣтками онъ какъ будто хочетъ сказать, что
сложеніе и вычитаніе суть дѣйствія основныя, непосредственно
вытекающія изъ обыденныхъ житейскихъ условій; но умноженіе
есть построеніе ума человѣка, имѣющее особый смыслъ и особое

значеніе. Таково умноженіе величинъ; что же касается до умно-
женія чиселъ, то можно думать совершенно обратное: можно ска-
зать, что авторъ ариѳметики сливалъ умноженіе со сложеніемъ, и
молчаливо утверждалъ, что умноженіе есть сохраненное сложеніе. Въ
этомъ смыслѣ очень интересны его таблицы умноженія, которыяя
приведу полностью.
Если мы сравнимъ эту таблицу съ вышеприведенной таблицей
сложенія, то ясно бросается въ глаза ихъ общій планъ. Въ руко-
писяхъ XVII вѣка таблица имѣетъ такой видъ, который опять
совпадаетъ съ видомъ таблицы умноженія. Очевидно, что измѣ-
нивъ оба вида,

1
2
2
3
3
9
4
12
16
5
5
10
15
20
25
6
6
12
18
24
30
36
7
7
14
21
28
35
42
49
8
8
16
24
32
40
48
56
64
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Магницкій имѣлъ опредѣленную педагогическую идею, которая
вошла въ жизнь и осталась до настоящаго времени. Современные
учебники забыли таблицы рукописей, но предлагаютъ пользоваться
таблицей Магницкаго *). Къ таблицѣ умноженія у Магницкаго есть
очень интересное дополненіе, которое потомъ забылось. Онъ при-
водитъ: „инъ способъ, къ утвержденію таблицы, по перстомъ руч-
*) Г. Бобынинъ говоритъ, что „эту форму таблицы умноженія до мель-
чайшихъ и даже совершенно внѣшнихъ подробностей, въ родѣ, напр., вида
скобокъ, мы находимъ у Якова ф.-деръ-Шуере“. „Только у послѣдняго, до-
бавляетъ онъ, вмѣсто 10 берутся 12 первыхъ чиселъ“. Это добавленіе уни-
чтожаетъ или ослабляетъ первоначальное утвержденіе г. изслѣдолателя, т.-е.
вопросъ о заимствованіи. Въ с. д. или переписывать сполна, или вводить
новыя идеи. Если Магницкій взялъ только 10 чиселъ, то, значитъ, у него
была своя идея, а не идея Шуере. Почему у Шуере 12 чиселъ? Очевидно,
въ этихъ 12 числахъ была особая идея, которую не взялъ Магницкій, a слѣ-
довательно, не было и заимствованія. Но у Шуере нѣтъ таблицы сложенія
того вида, который приведенъ Магницкимъ, а оба вида таблицъ Магницкаго
имѣютъ очевидную связь. Слѣдовательно, нельзя утверждать заимствованіе,
и надо сказать, что сходство случайное. Или, посмотрѣвъ на таблицу Шуере,
если онъ имѣлъ у себя этотъ учебникъ, Магницкій воспользовался формой,
но обработалъ эту форму, установивъ ее и для таблицы сложенія. Во всемъ
этомъ можно установить знакомство, но ни въ какомъ случаѣ нельзя гово-
рить о заимствованіи. Это тѣмъ болѣе имѣетъ мѣсто, что самъ г. Бобынинъ
говоритъ далѣе : „Вообще нельзя не видѣть, что при составленіи этой статьи
нашъ авторъ пользовался различными иностранными учебниками (?) въ го-
раздо большей степени, чѣмъ прежде. Но къ числу ихъ уже не принадле-
житъ ариѳметика Якова фонъ-деръ-Шуере,

нымъ сице“, и описываетъ его такъ:„ аще хощеши вѣдати колико
будетъ 7-ю 7 и ты причти къ перстомъ лѣвыя руки отъ правыя
2, и станетъ 7: такожды и къ перстомъ правыя руки отъ лѣвыя
чтобы стало 7 же: и сложи причтенные оные персты обоихъ рукъ
по 2 и будутъ значити 40: достольныя же обоихъ рукъ, сирѣчь
отъ правыя 3, и отъ лѣвыя 3: умножи ихъ между собою и будетъ
9, ихъ же приложи къ 40, и будетъ 7-ю 7: 49, тако и о про-
чихъ“. Этотъ способъ на „перстахъ“ оправдываетъ наименованіе
первыхъ 9 чиселъ „персты** и является отзвукомъ когда-то очень
распространеннаго въ Россіи способа счета „пенязи и костьми“.
Въ русскихъ рукописяхъ есть замѣтка о томъ, какъ поступать,
когда „прежписанныя изустныя слова изъ памяти выдутъ, а умно-
женное число доведется вскорѣ вѣдати**. Для этого случая реко-
мендовалось слѣдующее. Положимъ намъ нужно найти 6X7; мы
беремъ ихъ ариѳметическія дополненія 4 и 3 и ихъ перемножаемъ,
получимъ 12, это будутъ единицы; десятки получаются вычита-
ніемъ одного дополненія изъ другого взятаго числа (6—3) или
(7—4), получимъ 3; получимъ 30-{-12=42. Это обыкновенно заклю-
чалось въ видѣ слѣдующей таблицы.
6
4
7
3
4
2
Очевидно, что Магницкій усовершенствовалъ этотъ способъ,
примѣнивъ его къ пальцамъ*).
Переходя теперь къ обзору изложенія и вывода правила умно-
женія цѣлыхъ чиселъ, нужно отмѣтить, что въ этомъ отношеніи
*) Г. Бобынинъ (Очеркъ ист. мат. зн. въ Росс. ΧΥΙΙ столѣтія, вып. Ь
стр. 49) даетъ обоснованіе для этого счета (10 — α)(10 — Ъ) = (10 — α — δ).
10-f α&, гдѣ α и Ъ суть ариѳметич. дополненія данныхъ для умноженія чиселъ.
По нѣкоторымъ даннымъ я думаю, что въ этомъ счетѣ сохранились слѣды
пятеричной системы, тогда лучше дать иное объясненіе. Если мы число боль-
шее 5 представимъ въ видѣ 5 + α, а другое число 5 + 5, то схема рукопи-
сей дастъ; тогда число десятковъ всегда равно а + ибо
(5 -\- а) — (5 — Ъ) — а 4- Ъ, а число единицъ будетъ (5 — а) (5 — Ъ), т.-е. про-
изведеніе представится всегда въ видѣ 10 (α + £) + (5 — а) (5 — Ζ>). Это же
и даютъ пальцы: на одной рукѣ а загнутыхъ и 5 — а незагнутыхъ; на дру-
гой Ъ загнутыхъ, и 5 — Ъ незагнутыхъ. Складывая загнутые, мы получимъ α+δ —
число десятковъ; перомножая незагнутые, находимъ (5 — α)(5 — Ъ) — число
единицъ. Можно разсуждать и такъ: истинное произведеніе чиселъ будетъ
25 -J- 5(α + Ъ) + àb\ произведеніе дополненій 25—5(α + Ъ) + ab. Первое про-
изведеніе отличается отъ второго на 10(α + Ь). Слѣдовательно, если мы къ
произведенію дополненій (5 — а)(Ъ — Ъ) придадимъ (а + Ь) 10, то получимъ
искомое произведеніе.

авторъ ариѳметики обнаружилъ большой педагогическій талантъ.
Онъ начинаетъ изложеніе съ простѣйшаго примѣра 34 X 2, объяс-
няя на немъ, какъ записывается умноженіе, и какъ оно дѣлается:
потомъ переходитъ къ умноженію многозначнаго числа на однознач-
ное и даетъ задачи. Послѣ онъ переходитъ къ способу умноженія на
число двузначное 213 Χ 23 и опять подробно разсматриваетъ про-
изводство дѣйствія, даетъ на него рядъ примѣровъ и задачъ. Счи-
тая, что на этихъ примѣрахъ правило достаточно выяснено, онъ
переходитъ къ тому случаю, когда двузначное число или оканчи-
вается нулями или имѣетъ нули въ серединѣ. Потомъ переходитъ
къ умноженію многозначнаго на многозначное. Разсмотрѣвъ во всей
подробности умноженіе цѣлыхъ чиселъ, онъ говоритъ: „нѣціи же
умножаютъ страннымъ инымъ нѣкоимъ образомъ, си есть: верхняго
перечня отъ правыя руки числа умножаютъ числами нижняго пе-
речня отъ лѣвыя руки, якоже здѣ умножено есть“.
Слѣдуютъ два примѣра. Одинъ изъ нихъ слѣдующій.
481
399
1443
4329
4329
191919
Это указаніе на „инъ образъ“ умноженія для насъ
важно въ томъ отношеніи, что вопреки мнѣнію г. Бо-
бынина о томъ, что авторъ при составленіи статьи
„пользовался различными иностранными учебниками“,
слѣдуетъ признать обратное. Какъ показано у г. Бел-
люстина*), въ иностранныхъ учебникахъ изыскивались
особые способы расположенія частныхъ произведеній: ихъ распо-
лагали и въ видѣ треугольника, и въ видѣ ромба и прочее. Спо-
собъ умноженія, данный Магницкимъ, принадлежитъ, по словамъ
Беллюстина, Адаму Ризе (1492—1559); но это есть способъ и на-
шихъ рукописей, слѣдовательно, взятый не изъ сочиненія Ризе. Во
второмъ способѣ не указанъ у Беллюстина авторъ, но его можно
отнести къ способу Вендлера. Другихъ способовъ Магницкій не при-
водитъ: онъ ихъ или не зналъ или не считалъ настолько инте-
ресными, чтобы дать мѣсто въ ариѳметикѣ.
Въ обоихъ случаяхъ пользованіе, т.-е. подражаніе западнымъ
учебникамъ отпадаетъ, и я думаю, что съ большой вѣроятностью
здѣсь надо видѣть собственную разработку вопроса объ умноженіи
самимъ Магницкимъ на основаніи того матеріала, который ему дали
рукописи, т.-е. его основное изученіе ариѳметики. На это указы-
ваетъ и выдуманный имъ терминъ „еличество“, который пропалъ
вмѣстѣ съ его курсомъ. Если это слово есть „величество“, то въ
старославянскомъ значеніи оно употреблялось какъ „объемъ“,
„величина“. Называя такъ множимое, Магницкій какъ будто хо-
*) Беллюстинъ. „Какъ постепенно дошли люди до настоящей ариѳме-
тики", стр. 71—93.

тѣлъ показать, что множитель не есть величина, т.-е. опять при-
ближался къ идеѣ сложенія равныхъ слагаемыхъ, о чемъ уже ясно
говоритъ его ученикъ Кургановъ.
Итакъ, анализируя изложеніе умноженія, мы видимъ, что въ
немъ какъ бы перебиваются двѣ идеи: нахожденіе новой величины
и сложеніе равныхъ слагаемыхъ. Обѣ эти идеи мы можемъ при-
мирить, что, быть-можетъ, и хотѣлъ показать Магницкій въ своемъ
опредѣленіи, если скажемъ, что въ умноженіи величинъ содержатся
два процесса: умноженіе самихъ величинъ даетъ новую величину:
линія на линію даетъ площадь; площадь на линію даетъ объемъ
и т. п.; но измѣреніе или количество этой новой величины полу-
чается изъ произведенія чиселъ, измѣряющихъ данныя величины,
а это умноженіе есть сложеніе равныхъ слагаемыхъ. „Умноженіе
есть, имже что въ числахъ умножаемъ, или коликимъ вещемъ по
множеству иныхъ вещей раздаемъ: и количество ихъ числомъ по-
казу емъ“.
Предѣленіе пятое. „Дѣленіе есть, имже болшее число, или
перечень, на равныя части меншимъ раздѣляемъ, отъ нихъ же
едину, числомъ же показуемъ“.
Ученикъ Магницкаго Кургановъ такъ опредѣляетъ это дѣй-
ствіе: „дѣленіе учитъ, какъ такое число находить, которое пока-
зываетъ, сколько разъ одно данное число въ другомъ содержится,
то-есть данное число по произволенію на равныя части раздѣлить
и величину каждой части показать“ *). Съ одной стороны это опре-
дѣленіе въ своей второй части настолько тѣсно примыкаетъ къ
опредѣленію Магницкаго, что является его дословнымъ повтореніемъ;
но въ своей первой части оно вводитъ совершенно иной принципъ,
и слово „то-есть“ совершенно неправильно.
Въ дальнѣйшемъ развитіи было дано большее значеніе именно
первой части опредѣленія Курганова, и г. Аничковъ опредѣляетъ
дѣленіе такъ: „дѣленіе есть способъ (не дѣйствіе) изъ данныхъ
двухъ чиселъ находить третіе, въ которомъ бы столько содержа-
лось единицъ, сколько разъ одно изъ данныхъ чиселъ содержится
въ другомъ“.
Кургановъ говоритъ далѣе, что дѣленіе есть сокращенное вы-
читаніе, а г. Аничковъ даетъ теорему: „ежели дѣлитель на частное
число будетъ умноженъ: то происшедшее изъ того произведеніе
будетъ равно дѣленному числу“. Опредѣленіе Аничкова повторяетъ
и Гурьевъ и также говоритъ, что дѣленіе есть способъ. Нельзя
*) Кургановъ, стр. 27.

сказать, чтобы и въ современныхъ курсахъ ариѳметики устано-
вился прочный взглядъ на дѣленіе*).
Итакъ, мы можемъ отмѣтить только, что первый печатный
курсъ разсматривалъ дѣленіе какъ раздѣленіе на равныя части.
Давши опредѣленіе, Магницкій говоритъ: „Въ первыхъ лѣпо есть
знати, яко большій убо перечень, его же хощемъ дѣлити, нари-
цается множество или дѣлимый: а другой имже дѣлимъ, есть дѣ-
литель третій же отъ тѣхъ дву происшедвій за черту, именуется
частный, или квоту съ. Потомъ вѣдай, яко дѣлитель всегда пола-
гается внизу подъ дѣлимымъ, подъ первое число отъ лѣвой
руки,
якоже здѣ зримо есть.
36
дѣлимый
2
дѣлитель.
Но егда дѣлимого будутъ первыя числа менше неже дѣлителя,
и тогда полагается дѣлителя число, отъ лѣвыя руки, подъ другое
дѣлимого, якоже здѣ
36
4“.
Далѣе, онъ излагаетъ тотъ способъ дѣленія, который былъ
принятъ въ русской жизни въ теченіе XYII вѣка; но прежде чѣмъ
перейти къ его разсмотрѣнію, остановимся на двухъ словахъ: „боль-
шее число или перечень“. Я уже говорилъ о значеніи слова пере-
чень, что оно означало: итогъ, сумма; слово число, по толкованію
Даля, означало количество. Можно думать поэтому, что въ своемъ
опредѣленіи Магницкій хотѣлъ разграничить эти почятія, но я ду-
маю2 что это не такъ. Цѣло въ томъ, что числа, данныя для дѣленія,
получили свое наименованіе уже къ рукописяхъ XVII вѣка. Здѣсь
дѣлимое называлось „большой переченъ“. Очевидно, что это именно
наименованіе и имѣлъ въ виду Магницкій, говоря: „большее число
или перечень“; для дѣлителя было наименованіе „дѣловой пере-
ченъ“, а частное называлось „жеребейный переченъ“, остатокъ —
„остаточныя доли“. Сопоставляя эти наименованія съ опредѣле-
ніемъ дѣленія у Магницкаго, мы можемъ видѣть, что авторъ пер-
ваго печатнаго курса ариѳметики слѣдовалъ основной идеѣ пред-
шествующихъ ему курсовъ.
Что касается до правила производства дѣйствія, то Магниц-
кій приводитъ 6 различныхъ способовъ дѣленія; но главный, на
которомъ онъ особенно останавливается, ведетъ все объясненіе и
пользуется имъ при всѣхъ дальнѣйшихъ вычисленіяхъ, есть тотъ,
который содержится и въ рукописяхъ XVII вѣка. Г. Беллюстинъ
указываетъ 16 способовъ дѣленія, употребляемыхъ въ Западной
Европѣ, включая сюда я древніе арабскіе способы'“*), не считая
*) Галанинъ. „Введеніе въ метод. ариѳм.“, стр. 156.
*) Беллюстинъ, 98—116 стр.

способовъ, предложенныхъ въ теченіе XVIII вѣка. Отсюда видно,
что современное правило производства дѣйствія установилось чрез-
вычайно поздно, почти въ XIX столѣтіи.
Наши рукописи XVII вѣка содержатъ описаніе трехъ спосо-
бовъ производства этого дѣйствія, при чемъ наиболѣе употребляе-
мый тотъ, который излагается Магницкимъ. Вотъ что говоритъ
г. Бобынинъ:
„Изъ изложенныхъ Магницкимъ способовъ дѣленія въ на-
шихъ рукописяхъ и въ „Ариѳметикѣ“ Якова фонъ-деръ-Шуере, а
также и вообще на Западѣ до самаго XVIII столѣтія употреблялся
только первый, что не мѣшало, впрочемъ, составителямъ учебни-
ковъ вводить въ свое изложеніе также и другіе“.
Отыскивая этотъ способъ въ западныхъ учебникахъ, мы не
найдемъ тамъ его полнаго прототипа, но встрѣтимъ ту же идею *).
Изложеніе Магницкаго начинается съ самыхъ простыхъ при-
мѣровъ 36:2. Дѣлитель подписывается надъ дѣлимымъ, частное
ставится сбоку и отдѣляется скобкой. Само дѣйствіе онъ объяс-
няетъ такъ: „но и сіе вѣдай, яко не едину часть токмо, или двѣ,
дѣлитель изъ дѣлимого выдѣляетъ, но и многія, якоже здѣ Х&І 18
Творится лее сице: напиши прежде, по наукѣ вышеозначен- 111
36
ной перечни, дѣлимый и дѣлитель аще ^ “ и умствуй, коликожды
взять нижнихъ чиселъ изъ верхнихъ 3-хъ: и придетъ цѣлыхъ 1,
и сіе 1 постави за чертою сице 36 jl
И единожды 2 вычти изъ 3-хъ и 1 остался 1 и сей 1 постави
надъ 3-мя: а 3 оно ι
нижнее 2 похѣрь сице: ^ J 1. Потомъ паки напиши дѣлителя
подъ 6 коликожды можно нижнихъ чиселъ взять. И ум- 36 18.
ствуй, изъ 16 верхнихъ, и придетъ 8 : и сіе 8 напиши ^2 |
за чертою подлѣ 1, и будетъ 18, ежели на единъ жребій равный
въ раздѣленіи пришло“.
Далѣе, онъ также подробно разбираетъ дѣленіе 130:3, по-
томъ 420 : 4, даетъ на это примѣры и переходитъ къ случаю дву-
значнаго дѣлителя. На этотъ случай даетъ 11 задачъ. Потомъ уже
безъ объясненія даетъ примѣръ трехзначнаго дѣлителя и перехо-
*) Говоря такъ, я имѣлъ въ виду то, что указано у г. Беллюстина. Одна-
ко, въ курсѣ математики Христіана Вольфа ^Compendium elementorum ma-
theseos universal'4 изд. 1742 г. показанъ какъ разъ тотъ способъ, которымъ
пользуется Магницкій.

дитъ къ многозначнымъ. Остатки при дѣленіи всегда записываютъ
въ частномъ въ видѣ дроби.
Здѣсь не мѣшаетъ указать на методическій пріемъ автора. Онъ
не многословенъ, но то, что онъ объясняетъ, то объясняетъ по-
дробно и притомъ самое существенное. Такъ, въ дѣленіи онъ
излагаетъ на простыхъ примѣрахъ, какъ надо производить дѣй-
ствіе, и это излагаетъ со всей подробностью: дальше приводитъ
только вычисленія, разсчитывая, что читатель самъ приложитъ къ
нимъ приведенное выше объясненіе. Покончивши съ объясненіемъ
основного способа дѣленія и давши достаточное число примѣровъ
на каждый случай, Магницкій приводитъ иные способы, при чемъ
нѣкоторые безъ всякихъ поясненій. Первый изъ нихъ онъ сопро-
вождаетъ такимъ изложеніемъ: „Мнози убо дѣлятъ перечни сице-
вымъ образомъ: егда дѣлителемъ емлютъ, изъ чиселъ дѣлимаго, и
написавши за чертою, умножаютъ имъ весь дѣлитель, и подписав-
ши вычитаніемъ вычитаютъ изъ дѣлимаго; якоже здѣ“. Слѣдуютъ
два примѣра, изъ которыхъ я дамъ одинъ. Нужно раздѣлить 5175
на 15.
Дѣлителя подписываюсь подъ дѣлимымъ, берутъ част-
ное 3, умножаютъ на 15 и пишутъ внизу произведе-
ніе 45, вычитаютъ его изъ 51 и остатокъ 6 пишутъ
сверху дѣлимого. Теперь вновь подписываютъ дѣлителя подъ со-
отвѣтственными разрядами дѣлимаго такъ:
Дѣлятъ 67 на 15, получаютъ въ частномъ
и произведеніе подписываютъ подъ тѣми же разрядами: 6 и 0 вы-
читаютъ изъ 6 и 7 дѣлимаго, зачеркивая ихъ кромѣ 7 и дѣли-
теля 15. Подъ остаткомъ 75 вновь подписываютъ 15. Дѣлятъ 75
на» 15, ставятъ въ частномъ 5 и подписываютъ произведеніе.
Тогда, окончательно
Показавъ этотъ примѣръ, онъ говоритъ:
„И намъ видится, сицевымъ образомъ есть удобнѣйше, но тѣмъ

иже слабѣйши разумѣніе и тщаніе имуть: зане не толикаго есть
домышленія, и остроты“.
Далѣе идутъ способы, которые я приведу въ томъ видѣ, какъ
они написаны у Магницкаго (3).
„Нѣціи же паки инымъ образомъ дѣятъ, яко же здѣ
дѣлимый.
345
частный.
1555
дѣлитель
η
Иже на кіи-
ждо часть
15-ти изъ 5175
измедъ.
Вотъ и все объясненіе. Здѣсь
только частное подписывается подъ
дѣлимымъ, a въ остальномъ дѣй-
ствіе производится такъ же, какъ и въ основномъ способѣ, изла-
гаемомъ Магницкимъ.
Способъ 4-й „Инъ обра-
зецъ дѣленія“ этотъ пріемъ
очень похожъ на способъ
Барта въ XYIII вѣкѣ, на
который указываетъ г. Бел-
люстинъ*),только у него не
помѣчено почему-то част-
ное. Отмѣчу еще, что хотя
пріемъ данъ безо всякихъ
словесныхъ поясненій, но,
какъ видитъ читатель, ходъ
вычисленія соверш. ясенъ,
благодаря добавочнымъ над-
писямъ: дѣлитель, вычитающій, остаточный.
Дѣлимый
77446392
{
27041
968
2864
дѣлитель
2864
Вычитающій
5728
Остаточный
дѣлитель
20166
2864
20048
11839
дѣлитель
2864
11456
3832
дѣлитель
2864
968.
5) „Паки инъ образецъ дѣ-
ленія“
Этотъ способъ совершенно тоже-
ственъ со способомъ Вендлера пе-
дагога XVII вѣка, приведеннаго
у г. Беллюстина**).
11
{
25515000
2319545
5
35
11
21
105
60
50
60
5
6) „Потомъ инъ изящнѣйшій
образецъ дѣленія, зане на еди-
номъ семъ образцѣ, сугубое дѣй-
ство, сирѣчь здѣленіемъ и повѣреніе: якоже явлено есть.
*) Беллюстинъ, стр. 99.
**) Ibid.

Этотъ примѣръ приведенъ у
г. Беллюстина подъ № 10*), сре-
ди особыхъ примѣровъ производства
дѣленія подъ именемъ Магницкаго.
Такимъ образомъ, если довѣрить
этому показанію, то нужно думать,
что это есть способъ, предложенный
самимъ Магницкимъ.
1736
56092
{ 882
59843
678
5424
5424
1356
Оставшее
вѣрно раз-
дѣлено.
436
59843
Далѣе идутъ задачи „приклады
гражданскіе“ въ количествѣ 7 задачъ. Этимъ оканчивается первая
часть о числахъ цѣлыхъ. Въ концѣ ея приложена уже разсмотрѣн-
ная мною метрологическая система цѣнностей и вѣсовъ.
Мнѣ осталось разсмотрѣть повѣрку дѣйствій; но здѣсь можно
сказать вообще о томъ, какъ Магницкій излагаетъ ученіе о чис-
лахъ цѣлыхъ. Мы видимъ, во-первыхъ, что онъ далеко не чуждался
западныхъ учебниковъ, но изъ нихъ не можемъ указать ни на
одинъ, которому бы онъ рабски слѣдовалъ. А отсюда можно счи-
тать несомнѣннымъ, что онъ тщательно переработалъ весь доступ-
ный ему матеріалъ и изложилъ его по-своему, введя, быть-можетъ,
нѣкоторыя упрощенія въ вычисленіе, давши новыя и притомъ
свои опредѣленія и поставивъ этимъ ариѳметику въ разрядъ точ-
ныхъ строго логическихъ наукъ. Онъ не даетъ доказательствъ, но
эти доказательства съ его точки зрѣнія не были и нужны, такъ
какъ каждое дѣйствіе у него есть способъ, т.-е. самостоятельная опера-
ція, которая содержитъ въ себѣ не изученіе свойствъ чиселъ, а изученіе
свойствъ величинъ. Послѣдующіе математики-педагоги углубили и
расширили основныя точки зрѣнія Магницкаго, но не нарушили
его педагогической системы. Вотъ почему мы должны считать Маг-
ницкаго первымъ русскимъ методистомъ.
Повѣрка дѣйствій.
Разсматривая рукописи XVII вѣка, г. Бобынинъ говоритъ:
„Повѣрка сложенія, умноженія и дѣленія производилась посред-
ствомъ числа 9. При этомъ всегда употребляется крестъ. При сло-
женіи остатокъ, полученный отъ вычитанія 9 изъ цифръ слагае-
мыхъ, помѣщался сверху креста, а такой же остатокъ, получен-
ный отъ суммы, внизу креста. При умноженіи надъ крестомъ
помѣщался остатокъ отъ множимаго, подъ крестомъ — остатокъ отъ
*) Беллюстинъ, стр. 109.

множителя, съ одной стороны креста — остатокъ отъ произведенія
первыхъ двухъ остатковъ, a съ другой стороны—остатокъ отъ по-
вѣреннаго произведенія. При дѣленіи въ рукописяхъ болѣе древней
редакціи крестъ совсѣмъ не употребляется, и находимые остатки за-
писывались въ одну строку, въ рукописяхъ же второй половины XVII
столѣтія остатокъ отъ дѣлимаго помѣщался съ правой стороны
креста, остатокъ отъ дѣлителя — сверху креста, остатокъ отъ част-
наго—снизу и, наконецъ, остатокъ отъ произведенія двухъ послѣд-
нихъ остатковъ, сложеннаго съ остаткомъ отъ дѣленія — съ лѣвой
стороны креста. Что касается до вычитанія, то оно всегда повѣ-
рялось посредствомъ сложенія остатка съ вычитаемымъ. Въ болѣе
древнихъ рукописяхъ, кромѣ упомянутой уже повѣрки дѣленія чис-
ломъ 9, всегда излагался другой способъ, состоящій въ сложеніи
остатка съ произведеніемъ дѣлителя на частное“*).
„Что есть повѣреніе?“—спрашиваетъ Магницкій въ статьѣ о
сложеніи и отвѣчаетъ:
„Повѣреніе ничто что есть, токмо свидѣтельство сложенія, аще
истинно сложилъ безъ погрѣшенія, или въ чемъ погрѣшилъ: а по-
вѣряется сице: изъ всѣхъ верхнихъ перечней порядкомъ вычитай
по 9, оставшее же напиши особо. A потомъ вычти изъ изподняго
перечня по 9 же: и что останется того смотри, толикое же число
осталося, елико и отъ верхнихъ оставшее, и особно написанное.
И потому знай, яко право и безъ погрѣшенія ело- 9873
женъ перечень. Аще же не будетъ согласенъ оста- 9837 з
токъ съ первымъ остаткомъ, убо не добрѣ ело- 17976 ,—3 1
жилъ еси“**). 37786
Что касается до этой повѣрки, которая намъ кажется очень
трудной и во всякомъ случаѣ превышающей по степени трудности
само дѣйствіе, то, я думаю, что оно имѣетъ историческое проис-
хожденіе и осталось у Магницкаго по традиціи. Ее легке произ-
водить на счетахъ, а потому она и была въ большомъ употребле-
ніи (это моя догадка) при дощаномъ счетѣ.
При вычитаніи, какъ мы видѣли со словъ г. Бобынина, упо-
треблялась повѣрка сложеніемъ, Магницкій, очевидно, въ силу си-
*) Бобынинъ. „Очерки изъ истор. физ.-мат. знаній въ Россіи“, вып. 1,
стр. 52—53.
**) Г. Бобынинъ, разбирая эту повѣрку, находитъ, что способъ ея, го-
ризонтальная черта, которой отличается повѣрка Магницкаго отъ повѣрки
рукописей, гдѣ стоитъ крестъ, одинаковъ со способомъ повѣрки у Шуере.
Но эта одинаковость и кончается на сложеніи. При вычитаніи г. Бобынинъ
не упоминаетъ о сходствѣ, а при умноженіи прямо говоритъ, что крестъ
Магницкаго + совершенно не похожъ на крестъ Шуере χ.

стематичности вводитъ ее и въ этомъ случаѣ. Онъ гоноритъ:
„Аще хощеши извѣститися, добрѣ ли вычиталъ, или погрѣшилъ;
и ты сотвори сице: перечень, изъ него же вычитаеши, сирѣчь боль-
шій, вычти по 9, и что во остаткахъ будетъ, то особно напиши,
потомъ вычти нижній перечень вкупѣ, и другій, иже подъ чертою,
по 9-ти же. И аще останется толико же, якоже и въ вышнѣмъ,
убо добрѣ вычиталъ еси якоже сице“.
245
132 2
113 2.
Но сейчасъ же приводитъ: „инъ образецъ повѣре-
нія“, тотъ который приводится и въ рукописяхъ—сло-
женіемъ вычитаемаго и остатка.
Повѣреніе умноженія Магницкій излагаетъ такъ: „Повѣреніе
умноженія сице творится: подобаетъ вышній перечень, иже есть
сличество вычитати по 9: и что останется класти особно: Потомъ
другій перечень, иже есть множитель, вычитати по 9-ти же: и то
еже останется, съ первымъ остаткомъ множити: и что придетъ
отъ того девятины отлагать же. A остатокъ особно записать, иже
есть третій. Такожде и произведеніе вычитати по 9: и остатокъ
сей четвертый; аще съ треть-
емъ остаткомъ единокъ, убо
добрѣ множилъ есиа. При дѣ-
леніи Магницкій говоритъ:
„Повѣреніе дѣленія извѣст-
ное и лучшее есть, тѣхъ же перечневъ умноженіе“. Изъ этого
краткаго замѣчанія ясно видно, что собственно весь вопросъ о
повѣреніи имѣетъ чисто традиціонный характеръ. Самъ Магницкій
въ своихъ примѣрахъ и задачахъ никогда не пользуется имъ, оче-
видно, считая, что вопросъ о повѣреніи имѣетъ не практическій,
а чисто теоретическій смыслъ. Такъ и здѣсь, сказавъ столь важ-
ное положеніе, онъ не даетъ даже примѣра этого повѣренія, но
добавляетъ къ нему: „паки ино повѣреніе сице зри: дѣлимыи вычти
но 9 и остатокъ напиши, потомъ и дѣлителя, и за чертою частного
остатки, аще со остатками болшого си есть дѣлимого перечня
сходны будутъ; убо добрѣ дѣлимъ“.
365
5
сему сог-
ласно убо
добрѣ есть.
24
сіе 3
3
1460
730
6
8760
30
17
14
Частного
5
дѣлимого 4 4 согласно добрѣ дѣлилъ
дѣлитель 6
30
отъ долей 1
Всѣхъ 31 будетъ сирѣчь 4.

Часть вторая ариѳметики о числахъ ломаныхъ
или съ долями.
„Что есть число ломаное?“ — спрашиваетъ Магницкій и отвѣ-
чаетъ такъ: „Число ломаное ничто же ино есть, токмо часть вещи,
числомъ обявленая, сирѣчь полтина есть половина рубля, а пи-
шется сице 1/2 рубля, или 1/4 или пятая часть 1/5 или двѣ пя-
тыя части 2/5и всякій вещи яковая либо часть, обявлена числомъ:
то-есть ломаное число“.
Въ этомъ опредѣленіи съ наибольшей ясностью сказывается
общее представленіе числа у Магницкаго не какъ собраніе еди-
ницъ, не какъ нѣкотораго отвлеченнаго понятія, a какъ конкрет-
наго признака величины. Дробь есть особый символъ, дающій часть
величины; у него нѣтъ 1/2 а есть только 1/2 рубля, 1/2 фунта и
т. п. Въ такомъ представленіи, особенно дробей, онъ слѣдуетъ тради-
ціонному русскому представленію дроби, полученному изъ очень
разнородныхъ источниковъ. Здѣсь съ одной стороны есть слѣды
египетской, a впослѣдствіи греческой „основной дроби“ (Stamm-
bruche), что видно въ томъ, что не только въ рукописяхъ ΧΥΙΙ
вѣка, но и у самого Магницкаго сохранились чети 1/4 седми-
ны, осьмины и т. п. Магницкій пишетъ: „едина шестина“, двѣ
шестины и т. д., едина девятина, двѣ девятины и проч. При этомъ
даетъ такіе примѣры.
1
половинныя части
1
четвертныя части
2
4
2
2
4
8“
3
6
4
3
тречетвертныя части
8
4
5
6
10
8
1
третныя части
3
2
1
“6
δ
3
2
пятичныя.
9
10

Чтобы понять значеніе этой таблицы, слѣдуетъ припомнить,
что въ папирусѣ Ринда описанъ особый пріемъ для дробей, упо-
требляемый у египтянъ. Они называли дробями только тѣ, у кото-
рыхъ числитель былъ единица; всякую другую дробь они предста-
вляли въ видѣ суммы дробей съ числителемъ, равнымъ единицѣ.
Для этого у нихъ были таблицы, по которымъ всякую дробь можно
было представить въ видѣ суммы дробей съ числителями, равными 1.
Въ этихъ таблицахъ находились дроби съ числителемъ 2 и зна-
менателемъ ряда нечетныхъ чиселъ были разложены на подобныя
суммы; такъ, напримѣръ:
и т.д.
Теперь, если мы возьмемъ дробь 5/12 то ее можно предста-
вить въ видѣ Египтяне не писали знака -)-,
а просто ставили слагаемыя дроби рядомъ. Этотъ же способъ
остался и у грековъ, которые писали, напр., сумму въ
видѣ σκς“. Дробь 2/3 у египтянъ не разлагалась, а у грековъ для
нея былъ особый знакъ ω. Тѣ дроби, на которыя разлагалась вся-
кая дробь, Канторъ называетъ „Stammbrüche“, названіе, которое
можно перевести „основныя дроби“. Такъ вотъ слѣды этихъ основ-
ныхъ дробей, мнѣ кажется, и содержатся въ этихъ чети, седмины,
девятины и пр. Эти названія шли только до 1/9 а дальше доли на-
зывались „жеребьи“. Послѣднее наименованіе уже утрачено Маг-
ницкимъ, но зато онъ вводитъ десятины. Все это предположеніе
находится въ связи съ гипотезой о восточномъ вліяніи на русскую
жизнь, откуда къ намъ пришелъ „счетъ пѣнязи и костми“, и „до-
щаный счетъ“, какъ преобразованіе китайскаго „Сванъ-панъ“.
Теперь, съ другой стороны, мы имѣемъ очень своеобразное пред-
ставленіе дробей у римлянъ. Вотъ что говоритъ г. Беллюстинъ:
„Народъ серьезный, практическій, дѣловой, они предпочитали отвле-
ченному мышленію наглядность, и поэтому нѣтъ ничего естествен-
нѣе въ ихъ положеніи, какъ замѣнить отвлеченныя доли подраздѣ-
леніями употребительныхъ мѣръ. Они остановили свое вниманіе на
мѣрѣ вѣса—фунтъ (ассъ, въ настоящее время аптекарскій фунтъ).
Ассъ дѣлится на 12 частей — унціи. Изъ нихъ образуются всѣ
*) Moritz Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Math. I. 1 стр. 25;
см. также Беллюстинъ, стр. 133, 134.

дроби со знаменателемъ 12, т.-е. j^p "у^"' и Τ· Д*5 ПРИ этомъ
каждая изъ такихъ дробей выражается особеннымъ знакомъ и осо-
беннымъ словомъ; любую дробную величину можно было выражать
при помощи унціи; напр., вмѣсто того, чтобы сказать: „я прочи-
талъ книги", говорили: „я прочиталъ 5 унціи книги". Та-
кимъ образомъ, фунтъ являлся и именованной единицей и въ то же
время отвлеченной, такъ какъ его долями выражались всевозмож-
ныя дроби*).
Объ этомъ же говоритъ и Магницкій: „И той ассъ или пондо,
си есть той фунтъ мѣди, римляне разсѣкоша на 12 частей, по чину
дванадесяти мѣсяцевъ лѣта, якоже Канифаній пишетъ, и всякую
изъ тѣхъ частей именоваша унцію, си есть единица, и та унція
была дванадесятая часть фунта, или асса. A единъ секстансъ была
шестая часть. Квадрансъ четвертая. Тріенсъ третія" и т. д. Все
это онъ представляетъ въ видѣ слѣдующей таблицы.
Унція.
1
Секстансъ.
2
Квадрансъ.
3
Тріенс.
4
Квинкунзъ.
5
Семизъ.
6
Септунзъ.
7
Десъ.
8
Додразъ.
9
Декстанзъ.
10
Деунсъ.
11
Ассъ.
12
Теперь, если мы сведемъ все изложенное въ одно, то увидимъ,
что Магницкій, примыкая къ римскому представленію дроби, оста-
вилъ „основныя дроби" русской математики и въ своей статьѣ о
нумераціи говоритъ: счисленіе въ доляхъ, якоже и въ цѣлыхъ, но
со инымъ именованіемъ частнымъ, сирѣчь едина половина-^-» или
двѣ трети или три четверти — и прочая зри въ таблицѣ", а
въ этой таблицѣ указанъ счетъ четвертями, пятинами и пр. до де-
сятинъ, и она оканчивается вышеприведеннымъ указаніемъ. Въ
этомъ указаніи легко видѣть, что всѣ приведенныя дроби сокра-
щаются только на два, кромѣ третей, которыя сокращаются на 3.
Какъ будто здѣсь содержится ясный намекъ на египетскія Stamm-
brüche и на греческую ω. Если мы теперь обратимъ вниманіе на
слова „но со инымъ именованіемъ частнымъ", и слову „частнымъ"
придадимъ смыслъ „исключительнаго", „особеннаго", то получимъ
подтвержденіе высказаннаго предположенія.
*) Беллюстинъ, стр. 136.

Итакъ, я думаю, что составитель ариѳметики, называя дроби
особымъ терминомъ—„числа ломаныя“, имѣлъ въ виду выдѣлить
ихъ въ особый видъ чиселъ, изображаемыхъ тѣми же „знаменова-
ніями“ (цифрами), но съ особымъ, имъ только принадлежащимъ
смысломъ и значеніемъ.
Согласно такому взгляду на дроби, онъ особо говоритъ о дѣй-
ствіяхъ надъ ними: „Число убо цѣлое содержитъ предѣленій пять:
сіе же седмь: ихъ же нарицанія сицевыхъ суть“. Эти наименованія
дѣйствій онъ вновь приводитъ по-гречески, по-латыни и по-славянски.
Я возьму только славянскія счисленіе, премѣненіе, сокращеніе,
сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе. Къ этому онъ добавляетъ:
„Аще нѣкая именованія и таяжде аще въ цѣлыхъ суть, но осо-
быя въ дѣйствѣ различности имѣютъ, о нихъ же ясно узриши
ниже“. Другими словами: эти особыя числа имѣютъ и особый
смыслъ и особыя дѣйствія, хотя наименованія этихъ дѣйствій и оди-
наковы съ наименованіемъ дѣйствій цѣлыхъ чиселъ. Такимъ обра-
зомъ, курсъ дробей совершенно отрывается отъ курса чиселъ цѣ-
лыхъ и имѣетъ въ своей основѣ новыя теоретическія положенія.
Эти положенія состоятъ въ томъ, что ученіе о новыхъ числахъ
имѣетъ не пять, а семь „предѣленій“, и первое изъ нихъ есть „счи-
сленіе“. Въ древнихъ рукописяхъ ученіе о дробяхъ начиналось
„статья численая о всякихъ доляхъ указъ“ и начиналась съ ука-
занія письменнаго изображенія дроби и съ выясненія понятій чис-
лителя и знаменателя*). Въ Западной Европѣ, но словамъ г. Бел-
люстина, римская система дробей держалась вплоть до тѣхъ поръ,
когда принесенная черезъ Испанію арабская—вѣрнѣе сказать, индус-
ская—ариѳметика стала вступать въ свои права и получила силу
и перевѣсъ. Это относится къ XV*—XVI вѣку по P. X. Въ эти
вѣка ученіе о дробяхъ получаетъ настоящій обликъ, знакомый намъ
теперь, и формируется приблизительно въ тѣ же отдѣлы, которые
встрѣчаются въ нашихъ настоящихъ учебникахъ*“). Зная это,
становится понятной та точка зрѣнія, на которую становились
рукописные учебники XVII вѣка. Магницкій сдѣлалъ шагъ впе-
редъ; онъ выдѣлилъ это новое понятіе, далъ ему опредѣленіе и
ввелъ особое дѣйствіе—„счисленіе“, примыкая этимъ къ старому
представленію дроби. Нѣкоторые изслѣдователи упрекали его въ
томъ, что онъ вводитъ дробь при дѣленіи, обозначая остатокъ въ
*) Бобынинъ. „Оч. ист. физ. мат. зн. въ Р.“, стр. 62.
·*) Беллюстинъ, стр. 136, 137. Замѣчаніе автора объ индусскихъ чис-
лахъ, я думаю, можно уже считать отвергнутыми гораздо правильнѣе допу-
стить собственное европейское происхожденіе цифръ.

частномъ въ видѣ дроби. Мнѣ кажется, что они ошибаются: это—
не дробь, а особое условное изображеніе остатка.
Послѣдующіе педагоги смѣшали это представленіе остатка съ
понятіемъ дроби; такъ, Кургановъ пишетъ: „Дробное число ни что
иное, какъ часть единицы“. Здѣсь онъ вводитъ новое понятіе
„отвлеченной единицы“; этимъ введеніемъ онъ собственно расши-
ряетъ основную идею Магницкаго, но далѣе добавляетъ: „или вся-
кій остатокъ по дѣленіи именуется“. Вслѣдствіе этого добавленія
ясное понятіе дроби, данное Магницкимъ, уже спуталось; здѣсь,
очевидно, Кургановъ дѣлаетъ какую-то уступку требованіямъ вре-
мени, вводя въ понятіе дроби новый признакъ—невыполненное дѣ-
леніе. Для него самого этотъ признакъ не существенъ, даже
идетъ вразрѣзъ съ его обычной мыслію, такъ какъ дальше онъ
находитъ „доли отъ доли“. Здѣсь онъ говоритъ: „Понеже отъ раз-
дѣленія единицы или какого-нибудь цѣлого на части происходятъ
доли (значитъ, доли происходятъ не отъ дѣленія числа на число,
a отъ дѣленія единицы или цѣлаго, что конечно не все равно), а
ежели оныя доли еще раздѣлить на части, то такія части назы-
ваютъ доли долей“*). Здѣсь онъ вновь приближается къ Магниц-
кому и развиваетъ его основную идею. Г. Аничковъ послѣ ученія
о числахъ цѣлыхъ помѣщаетъ статьи о пропорціяхъ и прогрессіяхъ
и только тогда переходитъ къ дробяхъ; онъ говоритъ: „Дробь
или ломаное число (membms fractus) есть часть цѣлаго или еди-
ницы, которая какое-нибудь цѣлое, изъ извѣстнаго числа частей
состоящее, представляетъ“. Немного ниже онъ говоритъ: „Про-
исхожденіе дробей иные производятъ отъ дѣленія и называютъ
дробь частнымъ числомъ“ **).
Изъ этого мы видимъ, во-1-хъ, что наименованіе дроби число
ломаное сохранилось въ теченіе вѣка и представляетъ собою пе-
реводъ латинскаго термина fractus; во-2-хъ, что понятіе дроби какъ
особаго числа „ломаное“ въ теченіе вѣка отдѣлилось отъ понятія
„частнаго числа“, и разсматриваемый авторъ уже различаетъ вполнѣ
отчетливо оба эти понятія. Такимъ образомъ основная идея Маг-
ницкаго явилась въ дальнѣйшемъ развитіи методическаго и теоре-
тическаго ученія ариѳметики той основой, исходя изъ которой всѣ
послѣдующіе педагоги разсматривали дробь.
Представляя дробь какъ ОТДЕЛЬНЫЙ символъ, имѣющій свое
„счисленіе“, Магницкій, естественно, долженъ былъ указать, какъ
быть съ этимъ символомъ, когда онъ соединяется съ числомъ
*) Кургановъ, стр. 64.
**) Аничковъ, стр. 121.

цѣлымъ: „Подобнѣ и при цѣлыхъ тѣмъ же именемъ зовутся, яко
два цѣлыхъ и три четверти 2— или три цѣлыхъ и двѣ трети 3~ : и
прочая аще и въ не оконченая". Далѣе онъ опредѣляетъ, что на-
зывается числителемъ и знаменателемъ дроби, и какъ дробь пи-
шется; потомъ говоритъ: „Но при таковыхъ ломаныхъ числахъ,
достойно да и вещь ея же части суть, сирѣчь рубль и фунтъ, или
сажень, абіе означено будетъ, якоже 2~ фунта, или рубля, и про-
чая". Это дополненіе въ высшей степени важно; оно ясно пока-
зываетъ, что Магницкій разсматривалъ только именованныя числа
и не представлялъ себѣ ни числа отдѣльно отъ „вещи", ни отвле-
ченной единицы. Въ силу этого, какъ я уже говорилъ въ одной
изъ предыдущихъ главъ, онъ долженъ былъ придумывать особые
способы для рѣшенія тѣхъ задачъ, которыя въ настоящее время
входятъ въ курсъ дробей. Представляя дробь какъ часть величины,
онъ вновь указываетъ на способъ ея начертанія, и въ концѣ
„предѣленія перваго" говоритъ: „По томъ паки вѣдателно есть,
яко части вещи полагаются надъ чертою, и чтобы числитель
менше былъ знаменателя... Егда же числитель равенъ будетъ зна-
менателю, убо не суть части, но цѣлая вещь и число".
Теперь, прежде чѣмъ переходить къ „предѣленію второму",
я позволю себѣ высказать нѣсколько собственныхъ соображеній
по отношенію ко взгляду Магницкаго на число. Когда пиѳагорейцы
спрашивали, сколько и какъ велико, то они дѣлили числа на двѣ
категоріи, изъ которыхъ одна была тѣ числа, которыя мы назы-
ваемъ именованными. Первыя числа, отвѣчая на вопросъ сколько,
представляли собой числовую мощность той или иной группы:
5 человѣкъ, 8 лошадей и пр.; вторыя числа давали размѣръ той
или иной величины; но тѣ и другія представляли собой непремѣнно
и обязательно свойство вещей и не могли быть только числами
безъ указанія того, къ чему онѣ относились. Такъ думалъ, мнѣ
кажется, Магницкій. Теперь, въ области цѣлыхъ чиселъ, вопросъ
„сколько" былъ возможенъ для тѣхъ и другихъ чиселъ: 5 человѣкъ
и^5 аршинъ какъ бы объединялись въ числѣ 5, и мы одинаково
могли спросить и сколько людей въ комнатѣ, и сколько аршинъ
въ длинѣ комнаты? Но когда мы переходимъ къ дробямъ, то между
обоими группами чиселъ возникаетъ принципіальная разница. Еди-
ницы первыхъ чиселъ не могутъ дробиться, тогда какъ единицы
вторыхъ дробленіе имѣютъ своимъ основнымъ свойствомъ. Здѣсь,
отвѣчая на вопросъ сколько, мы должны дать особое толкованіе
самому вопросу и непремѣнно должны указать, сколько чего. Эти

чего мы помѣщаемъ при отвѣтѣ на этотъ вопросъ въ видѣ
знаменателя дроби и даемъ отвѣтъ съ указаніемъ этого знамена-
теля. Магницкій говоритъ, что при этомъ мы получаемъ особое
число, и особенность этого числа тѣсно связана съ особенностями
тѣхъ вещей, при которыхъ оно получается. Дроби выражаютъ
особыя свойства вещей, а потому для него необходимо не только
указать на эти особыя свойства, но и дать имъ формальныя
опредѣленія. Вотъ почему онъ даетъ какъ особыя опредѣленія
этимъ свойствамъ, собираетъ ихъ въ одно мѣсто и разсматриваетъ
сейчасъ же послѣ счисленія, ибо они составляютъ формальное
условіе для введенія ихъ въ ариѳметику, обоснованіе того права,
при которомъ мы пользуемся этими новыми числами.
„Предѣленіе второе. Пермутаціо или премѣненіе“. „Пре-
мѣненіе есть преложеніе частей въ цѣлая, такожде и цѣлыхъ въ
частныя*) числа, сирѣчь въ ломаная“. Здѣсь очень интересно
слово „преложеніе“. Прелагать, по толкованію Даля, значитъ пере-
лагать, перекладывать, превращать, переводить на другой языкъ.
Принимая это толкованіе, мы видимъ, что авторъ въ своемъ опредѣ-
леніи хотѣлъ указать на то, что разсматриваемыя свойства вещей мо-
гутъ выражаться двумя рядами различныхъ символовъ: они могутъ
быть даны и въ цѣлыхъ числахъ и въ ломаныхъ, и мы имѣемъ
возможность переводить эти свойства съ одного ряда на другой.
Этотъ переводъ можетъ быть совершаемъ на основаніи формаль-
ныхъ положеній (постулатовъ), число которыхъ 10: „видовъ же
въ премѣненіи есть десять“.
1) Преобразованіе неправильной дроби въ смѣшанное число.
2) Представленіе цѣлаго въ видѣ дроби, напримѣръ, 15 фун-
товъ есть пуда.
3) Представленіе смѣшаннаго числа въ видѣ неправильной
дроби.
Я излагаю виды преобразованій своимъ языкомъ, а не язы-
комъ Магницкаго для краткости, и долженъ здѣсь отмѣтить тотъ
особенный ходъ мысли автора, который сказывается въ этой по-
слѣдовательности. Дробь не есть часть отвлеченной единицы, а
часть именованной единицы, а потому если мы можемъ цѣлое
представить какъ часть болѣе крупной единицы измѣренія, то оче-
видно, что, принявъ знаменателя за эту единицу измѣренія, мы
можемъ и всякое смѣшанное число представить въ видѣ дроби.
Тамъ—во 2-мъ преобразованіи онъ даетъ именованный при-
мѣръ; здѣсь—въ 3-мъ—отвлеченный. Очевидно, что между 2 и 3
*) Слово частныя значитъ особыя.

содержится невысказанное предложеніе о возможности каждую еди-
ницу измѣренія дробить на какое угодно число равныхъ частей, и
отвлеченный примѣръ молчаливо говоритъ, что онъ относится
ко всякаго рода величинамъ и къ объему, и къ вѣсу, и къ
стоимости.
4) „Часто случается писати и доли съ долями въ доляхъ“,
напр., фунта въ пудахъ; это будетъ 4 или. Дѣйствіе или,
вѣрнѣе, преобразованіе чисто формальное; оно есть свойство ве-
щей и не можетъ имѣть вывода: такъ обращаются доли съ долями
въ доли; оно одинаково для всѣхъ величинъ.
5, 6) Нахожденіе части цѣлаго. Правила, находящіяся надъ
этими двумя нумерами, трудно раздѣлимы съ современной точки
зрѣнія, но очевидно, что въ прежнее время они были различны.
Въ 5 говорится: „прилучится нѣкогда въ ломаныхъ числахъ, и
сицевыя доли, якоже аще дадеся кому изъ сіе и жела-
тельно есть, коликія части изъ цѣлыя оныя вещи дадутся ему“.
Въ 6 сказано такъ: „паки аще случится, или треба будетъ, коли-
кую убо часть изобрѣсти изъ ломаныхъ чиселъ: едину треть или
двѣ пятины, якоже кому желательно обрѣсти изъ единыя осмыя
части двѣ пятины“. Въ каждомъ нумерѣ указано правило: пере-
множеніе числителей и знаменателей. Въ поясненіе къ этому пра-
вилу въ номерѣ 5 приведено такое разсужденіе: -j- пуда будетъ
30 фунтовъ, a отъ 30 фунтовъ будетъ 12 фунтовъ, что со-
ставляетъ -щ пуда; но jg- мы получаемъ какъ произведеніе
такъ какъ -щ то же, что и 6/20 Въ номерѣ 6 анало-
гичныя поясненія даны на аршинахъ и на золотникахъ.
7) „Аще хощеши вѣдати въ коликихъ либо частехъ, колико
будетъ дробнѣйшихъ въ ня же она цѣлая вещь дѣлится, якоже
въ-£- рубля колико копеекъ будетъ? и ты умножи числителя 2,
черезъ 100, елико рубль въ себѣ имѣетъ, и будетъ 200, сіе же
раздѣли черезъ знаменателя 5. Толико придетъ копеекъ въ г
рубля. Такожде и въ фунтахъ.
8) Приведеніе двухъ дробей къ одному знаменателю, при-

чемъ общимъ знаменателемъ всегда берется произведеніе знамена-
телей данныхъ дробей.
9) Приведеніе нѣсколькихъ дробей къ одному знаменателю,
при чемъ общимъ знаменателемъ будетъ произведеніе знаменате-
лей данныхъ дробей; этотъ знаменатель дѣлится потомъ на зна-
менателя каждой данной дроби, и на полученное частное умножается
числитель.
10) Сравненіе величины долей „Аще ли восхощеши въ до-
ляхъ узнати, кія доли болше; сія ли или сія -V; и ты
приложивъ къ числителемъ по 10 дѣли черезъ знаменатели и
явятся которыя доли коликимъ другихъ привосходятъ“. Далѣе
идетъ вычисленіе -γ- = 4; -=- = 4-=-; слѣдовательно, вторая
доля больше.
Разсматривая теперь всѣ эти „премѣненія“, мы видимъ, что
сюда вошло то, что мы въ настоящее время называемъ преобра-
зованіемъ дробей, и что многіе математики начинаютъ считать
также чисто формальнымъ и условнымъ. Вѣдь въ сущности при-
нять равенство -у все равно, что принять безъ доказатель-
ства правило приведенія дробей къ одному знаменателю. Быть-
можетъ, Магницкій болѣе нравъ, чѣмъ мы, относя къ условію и
правила обращенія въ неправильную дробь, равно какъ и исклю-
ченіе цѣлаго изъ неправильной дроби. Вопросъ о нахожденіи ча-
чти цѣлаго, т.-е. основной пунктъ умноженія на дробь, онъ счи-
таетъ также условнымъ, какъ условно и приводимое имъ правило
для сравненія величины дробей. Во всякомъ случаѣ, будемъ ли
мы согласны или нѣтъ, но Магницкій подъ этими 10-ю условіями
вводитъ дроби въ курсъ ариѳметики.
Предѣленіе третіе. Аббревіацю^ или сокращеніе. Въ „пре-
дѣленіи второмъ“ были изложены тѣ основные постулаты, на
основаніи которыхъ дроби могутъ быть разсматриваемы; сокра-
щеніе дробей Магницкій считаетъ дѣйствіемъ; онъ говоритъ:
„сокращеніе есть, коликихъ перечневъ въ доляхъ уменьшеніе**),
*) ; есть знакъ вопроса.
**) Г. Беллюстинъ (Какъ постепенно люди дошли до настоящей ариѳме
тики, стр. 139) находитъ это выраженіе неправильнымъ. Онъ говоритъ: „Это
выраженіе неправильно потому, что величина дроби при сокращеніи не из-
мѣняется и, слѣдовательно, не уменьшается“... Но я смѣю думать, что г. Бел-
люстинъ неправильно понимаетъ само выраженіе „уменьшеніе въ доляхъ“.
Это значитъ выраженіе той же дроби меньшимъ числомъ долей. Такое поня-
тіе термина ясно слѣдуетъ изъ заключительныхъ словъ Магницкаго; „про-

и тѣмь уменьшеніемъ велика ясность смыслу нашему подается,
зане великія перечни, елико аще возможно малѣйшими творитъ,
якоже -χ—δ—— сокращаетъ, и творитъ тожде подобенство
пропорція же, или подобенство тоежде, между оныхъ перечневъ
неотмѣнно сохраняется“. Если мы это опредѣленіе сравнимъ съ
современнымъ ученіемъ о дробяхъ, то увидимъ здѣсь очень инте-
ресныя точки соприкосновенія. Въ ариѳметикѣ г. Глаголева *)
сказано. „Условіе. Двѣ дроби считаютъ равными, если произведе-
ніе числителя первой на знаменателя 2-ой равно произведенію
числителя 2-ой на знаменателя 1-ой. Такъ дробь -g- = если
ab1=a1bÄ. Очевидномъ обоихъ случаяхъ, т.-е. Магницкій и Гла-
голевъ считаютъ равенство дробей равенствомъ отношеній; но Ма-
гницкій указываетъ на сохраненіе „пропорціи“ или „подобенство“,
т.-е. того, что знаменатель отношенія останется безъ измѣненія,
тогда какъ г. Глаголевъ считаетъ въ основѣ равенство произве-
деній среднихъ и крайнихъ чиселъ пропорціи. Это соприкосно-
веніе идетъ дальше и глубже. Магницкій говоритъ, что дробь есть
часть вещи числомъ объявленная; г. Глаголевъ, что дробь есть сим-
волъ, называемый числомъ. Очевидно, оба автора хотѣли выразить
одну и ту же мысль, но разнымъ языкомъ и исходя изъ разныхъ
основныхъ понятій. Г. Глаголевъ думаетъ, что дробь есть отвле-
ченный символъ, особый видъ отвлеченнаго числа. Магницкій счи-
таетъ дробь числомъ именованнымъ **). Но, считая дробь числомъ
порція же или подобенство тоежде, между оныхъ перечневъ неотмѣнно со-
храняется“. Значитъ, авторъ имѣлъ въ виду сохраненіе величины дроби и
говоритъ только о томъ, что ея величина выражена меньшими числами.
*) Глаголевъ „Курсъ теоретической ариѳметики“, стр. 130. Егоровъ
„Методическая ариѳметика“, стр. 27.
**) Мнѣ кажется, что ученіе о дробяхъ было переработано Магницкимъ
и изложено имъ совершенно оригинально. Къ сожалѣнію, я не могу этого
подтвердить сопоставленіемъ его курса съ курсомъ западныхъ ученыхъ.
Г. Бобынинъ, разсматривая „пред. втор.“, говоритъ: „Подобное соединеніе
разсматриваемыхъ статей въ одну не встрѣчается въ ариѳм, рук. XVII сто-
лѣтія... Что касается западно-европейской ариѳметики XVI и XVII столѣ-
тія, то тамъ это соединеніе и.т совсѣмъ ne встрѣчается или жел если и
встрѣчается, то въ менѣе развитыхъ формахъ. Такъ у Якова φ. дер. Шуере подъ
рубрикой Reductio излагаются приведеніе дробей къ общему знаменателю,
превращеніе и раздробленіе именованныхъ чиселъ, опредѣленіе отношеній
между различными единицами одной и той же мѣры по данной зависимости
между ними; у Андрея Текет'а также подъ рубрикой Reductio fractorum—
сокращеніе дробей, приведеніе ихъ къ общему знаменателю, выраженіе дро-
би въ данныхъ доляхъ единицы, исключеніе цѣлаго числа изъ неправильной
дроби и, наконецъ, выраженіе цѣлаго числа въ данныхъ доляхъ единицы“.

именованнымъ, зависящимъ отъ единицы измѣренія, Магницкій
необходимо долженъ былъ ввести и особое дѣйствіе, позволяющее
измѣнять эту единицу измѣренія и представлять дробь въ болѣе
простомъ видѣ. Эта возможность перемѣны единицы измѣренія раз-
сматривалась имъ какъ свойство отношенія или сохраненія про-
порціональности.
Въ силу этого весь вопросъ о сокращеніи дробей былъ чисто
формальнымъ; это было особое дѣйствіе надъ дробями, а не пре-
образованіе дробей.
Въ силу такого взгляда на дробь онъ не даетъ какихъ-либо
понятій и утверждаетъ чисто формально: „яко егда случится въ до-
ляхъ быти перечнемъ сицевымъ 2304/9216 и ты аш,е хощеши примѣ-
чай яковымъ бы числомъ общимъ оба она перечня на цѣло раз-
дѣлити, и кое число обрящеши, тѣмъ и дѣли оба вкупѣ“.
Далѣе идетъ послѣдовательное сокращеніе взятой дроби на 2,
пока не получится несократимая дробь 1/4
Потомъ идутъ примѣры, въ которыхъ дроби сокращаются на 7;
этотъ примѣръ я приведу цѣликомъ, чтобы показать и располо-
женіе дѣйствія.
„Изъ этого видно, что изложеніе Магницкаго, вопреки г. Бобынину, ближе
подходитъ къ Андрею Текет'у, чѣмъ къ Шуере, но представляетъ собою такія
крупныя и основныя особенности, что нужно считать его совершенно само-
стоятельнымъ. Соединяя въ одно оба приведенныя мѣста, можно думать, что
изъ Шуере Магницкій заимствовалъ идею именованной дроби, a изъ Текет'а
идею распредѣленія свойствъ этой дроби и дѣйствій надъ ней. Г. Бобынинъ
указываетъ, что примѣры, которыми пользовался Магницкій въ изложеніи
случаевъ сокращенія 2304/9216 и 341/418 находятся У Шуере; а также и тѣ
11 примѣровъ для упражневій, которые даны Магницкимъ послѣ изложенія
2-го случая. Но заключеніе статьи о сокращеніи, по словамъ г. Бобынина,
не содержится въ этомъ сочиненіи. Это собственно наиболѣе вѣское указаніе
на то, что Магницкій имѣлъ подъ руками сочиненіе Шуере, если только
тѣ же примѣры не находятся въ другихъ западныхъ учебникахъ“. Не отрицая
возможности нахожденія у Магницкаго учебника Шуере, я все-таки думаю,
что идея именованной дроби принадлежитъ лично Магницкому, какъ непо-
средственное слѣдствіе ученія Пиѳагора, изложеннаго у Аристотеля. А по-
тому думаю, что Магницкій все ученіе о дробяхъ изложилъ по-своему, введя
въ него основнымъ положеніемъ то, что дробь есть особый числовой символъ,
служащій для болѣе полнаго и глубокаго познаванія величинъ.

Изъ этихъ примѣровъ можно видѣть, что свойство дѣлимости
чиселъ не было хорошо извѣстно автору, и онъ почему-то заста-
влялъ читателя упражняться въ дѣленіи на 7, на 3, на 30. Оче-
видно, въ этихъ примѣрахъ содержатся методическія указанія, ибо
странно думать, что авторъ не видалъ возможности сокращенія
дроби 210/420 на 210, тогда какъ g— прямо сократилъ на 30. Опу-
ская совершенно статью о дѣлимости, онъ въ то же время какъ
будто требуетъ отъ читателя, чтобы онъ догадался, на что дѣлятся
числитель и знаменатель дроби. Эту идею онъ выразилъ въ заклю-
чительномъ стихотвореніи.
Доли положи и смыслъ приложи
Числа искати, чѣмъ ихъ сокращати,
Сокративъ поставляй, чиномъ обявляй
Сего всѣмъ зрящимъ знати хотящимъ.
Ту же мысль онъ приводитъ и дальше, говоря: „Якоже когда
не дознаешися, которымъ числомъ можно есть на цѣло дѣлити: яко
ни на 2, ни на 3, ни на 4, и ни на прочая числа дознался еси
дѣлити, якоже и тогда дѣли знаменатель числителемъ“... Да-
лѣе идетъ способъ отысканія общаго наибольшаго дѣлителя при
помощи послѣдовательнаго дѣленія и 11 примѣровъ на сокра-
щеніе.
Заканчивая вопросъ о сокращеніи, Магницкій даетъ слѣдую-
щее любопытное правило: „Егда случатся въ доляхъ одинокая чис-
ла, якоже - тогда сокращаются отъятіемъ всѣхъ, и токмо
оставляеся едино сирѣчь - такожде и цифры, елико ихъ есть,
всѣ отлагаются, а числа въ доляхъ оставляются якоже -j^p а ТУ
токмо есть ~· Тако и о прочихъ“.
Предѣленіе четвертое. „Сложеніе въ доляхъ есть таковое же,
якоже и въ цѣлыхъ, обаче же имѣетъ свойственная своя правила,
ихже подобаетъ знати“.
Здѣсь необходимо вспомнить, что такое сложеніе въ цѣлыхъ?
Оно есть „дву или многихъ числъ во едино собраніе, или во единъ
перечень совокупленіе“. Значитъ, и сложеніе дробей есть многихъ
дробей во едино собраніе; и вотъ это собраніе требуетъ новаго
правила, которое состоитъ въ приведеніи дробей къ одному зна-

менателю. Ясно, что въ силу этого нельзя къ сложенію дробей не-
посредственно примѣнить то, что содержится въ числахъ цѣлыхъ,
а потому необходимо должно быть вставлено между ними особое
условіе или постулатъ. Этотъ постулатъ данъ въ предѣленіи вто-
ромъ, подъ нумеромъ 8 и 9; на это и ссылается Магницкій, раз-
сматривая новое дѣйствіе. Итакъ, здѣсь ясно видна та логическая
схема, на которой построенъ курсъ, и та роль, какую играетъ въ
этомъ курсѣ предѣленіе второе, т.-е. собраніе постулатовъ. Само
дѣйствіе Магницкій располагаетъ въ слѣдующей схемѣ. Даны двѣ
дроби -г- и -д-; ихъ надо сложить:
Будетъ -гг- --г сихъ числители сложи къ знаменателю -6-
сирѣчь 1 —г- толико пришло изъ сложеныхъ и —- ·
Далѣе, онъ указываетъ, что когда даны для сложенія числа
смѣшанныя, то поступаютъ двояко: или складываютъ цѣлыя от-
дельно, а дроби отдѣльно, или же обращаютъ смѣшанное число
въ неправильную дробь и складываютъ какъ дроби. Здѣсь инте-
ресно расположеніе вычисленій.
Надо сложить 6-7- и 7^-·
Надо отмѣтить, что за общій знаменатель всегда беретъ произве-
деніе знаменателей данныхъ дробей. Въ заключеніе своего объ-
ясненія онъ даетъ примѣръ сложенія доли долей и потомъ приво-
дитъ 49 задачъ или примѣровъ.
Предѣленіе пятое. „Субстраціо или вычитаніе въ доляхъ“.
Чтобы выяснить, „како вычитаніе творится въ доляхъ, и что
о немъ подобаетъ хранити“, Магницкій даетъ 6 положеній, изъ
которыхъ первое: „впервыхъ подобаетъ вѣдати якоже въ цѣлыхъ
да будутъ единыя доли, другихъ менши“.
Потомъ послѣдовательно идутъ: вычитаніе дробей съ одинако-
выми знаменателями, вычитаніе смѣшанныхъ чиселъ, вычитаніе

дробей съ разными знаменателями, которое производится на осно-
ваніи 8 правила, случай, когда приходится занимать у цѣлыхъ
единицу, и, наконецъ, вычитаніе доли долей. Въ заключеніе онъ го-
воритъ: „Повѣреніе же вычитанію есть сложеніе“. Статья оканчи-
вается 60-ю числовыми примѣрами.
При разсмотрѣніи этого „предѣленія“ нельзя не обратить вни-
манія на его методологическую стройность: оно начинается съ са-
маго простѣйшаго случая и доходитъ до наиболѣе сложнаго. При
изложеніи сложенія этотъ порядокъ былъ почему-то нарушенъ Маг-
ницкимъ, и онъ только въ 4-мъ положеніи говоритъ о дробяхъ съ
одинаковымъ знаменателемъ; здѣсь же онъ начинаетъ съ этого
случая.
Предѣленіе шестое. „Мультипликаціо и умноженіе въ доляхъ“.
„Что въ семъ предѣленіи достоитъ вѣдати?“ спрашиваеть Магниц-
кій и отвѣчаетъ: „въ первыхъ подобаетъ вѣдати яко во умноженіи
нѣсть потреба да сравнявши доли къ единому знаменателю“. Та-
кое начало отрываетъ правило умноженія отъ предыдущихъ пра-
вилъ и, пожалуй, даетъ основаніе къ тому, почему сложеніе начи-
нается съ того случая, когда данныя дроби приходится приводить
къ одному знаменателю. Какъ будто авторъ хотѣлъ сказать здѣсь,
что умноженіе не слѣдуетъ смѣшивать со сложеніемъ, что это есть
совершенно особое дѣйствіе. Чтобы подтвердить такую точку зрѣ-
нія, онъ послѣ того приводитъ правило умноженія дроби на дробь
и говоритъ: „отсюду можеши познати, яко сіе мультипликаціо
ничто же ино есть, токмо оно о немже второго предѣленія въ пя-
томъ правилѣ напомянухомъ, еже изъ коликія либо части, часть
изобрѣсти и познати оныя цѣлыя вещи коликая часть есть“.
Такая ссылка какъ будто ясно показываетъ, что авторъ опре-
дѣляетъ умноженіе исключительно какъ нахожденіе части цѣлаго.
Въ такомъ пониманіи умноженіе не можетъ имѣть никакихъ то-
чекъ опоры въ предыдущемъ и должно основываться на особомъ
постулатѣ. Этотъ постулатъ авторъ и приводитъ въ предѣленіи
2-мъ, а теперь просто на него ссылается. A такъ какъ здѣсь идетъ
рѣчь исключительно объ умноженіи дроби на дробь, то далѣе онъ
и даетъ новое правило умноженія цѣлаго на дробь. Въ этомъ пра-
вилѣ онъ рекомендуетъ цѣлое представить въ видѣ дроби 10
„и ты твори сице: напиши прежде на строку j ^ и множи 10
съ 3, а 1 съ 4-мя...“ Такой способъ умноженія вполнѣ подойдетъ
къ первому случаю, т.-е. можно опереться на тотъ же постулатъ,

и въ то же время даетъ возможность установить новое правило
умноженія цѣлаго числа на дробь.
Разсмотрѣвъ умноженіе цѣлаго на дробь, онъ переходитъ къ
умноженію смѣшаннаго числа на дробь, a потомъ переходитъ къ
умноженію доли долей на примѣрѣ X __5. Статья оканчивается
слѣдующими словами: „о различеніи сицевыхъ сугубствующихъ до-
лей здѣ нѣсть мѣсто описати, но убо описано въ пятомъ иравилѣ
второго предѣленія. Здѣ хочу приложити многія приклады, пока-
зующія дѣйство ко извѣстнѣйшему настоящія науки вѣдѣнію“. При-
ложено 60 примѣровъ.
Предѣленіе сед мое. „Дѣленіе въ доляхъ, якоже и въ цѣлыхъ,
но свойственная имать правила, якоже здѣ послѣдуютъ. Яко два
токмо перечня въ дѣленіи полагаются, и къ единому знаменателю
не приводятся“. Правило дѣленія дается въ такомъ видѣ „что дѣ-
лимое множится на обращеннаго дѣлителя, но впослѣдствіи указы-
вается и современный способъ производства дѣйствія. Въ концѣ
статьи дано 50 примѣровъ.
Книга третья о правилахъ подобныхъ, сирѣчь въ
трехъ, пяти и въ седми перечняхъ въ цѣлыхъ и
частныхъ числахъ.
Тройное правило занимало нѣкогда въ Европѣ самое почетное
положеніе. „Въ англійскихъ, равно какъ во французскихъ и нѣ-
мецкихъ ариѳметикахъ,“ говоритъ Кеджари, „появившихся въ теченіе
XVI, XVII и XVIII вѣковъ, „тройное правило“ занимаетъ цен-
тральное положеніе; оно является главнымъ, наиболѣе полезнымъ
и наиболѣе превосходнымъ правиломъ во всей ариѳметикѣ, ибо
всѣ другія правила нуждаются въ немъ, оно же обходится безъ
всѣхъ другихъ; по этой причинѣ, какъ говорятъ, и назвали его
философы золотымъ правиломъ *). Русскія рукописи XVII вѣка
зовутъ это правило „тою строкою тройною похвальною и лучшею
строкою изъ всѣхъ иныхъ строкъ“, которую „философы зовутъ зо-
лотою строкою“ **).
*) Ф. Кеджари. „Ист. элем. мат.", стр. 205.
**) Бобынинъ. Очер. по истор. разв. физ.-матем. зн. въ Россіи. Вып. 1,
стр. 67.

Почему же это правило заняло такое высокое положеніе?
Что заставляетъ бережно хранить его въ настоящее время и
вводить въ курсъ школьной ариѳметики?
Если мы будемъ говорить о томъ, что при очень несовершен-
номъ развитіи алгебры въ это время люди не имѣли возможности
выработать общихъ методовъ для рѣшенія практическихъ жизнен-
ныхъ задачъ, то спрашивается, почему мы, знающіе эти методы,
умѣющіе примѣнить ихъ къ самымъ интереснымъ задачамъ, оста-
вили у себя „золотую строку“ и не можемъ съ ней разстаться?
Очевидно, что въ ней есть нѣчто жизненное; это есть методъ
рѣшенія, который въ свое время былъ геніальнымъ открытіемъ,
которое дало возможность приложить числа къ рѣшенію задачъ.
Въ современномъ представленіи того отдѣла, который заканчиваетъ
ариѳметику и носитъ названіе простого и сложнаго тройного пра-
вила, правила процентовъ, смѣшенія и т. д., въ этомъ предста-
вленіи переплелось двѣ идеи: методъ рѣшенія задачъ и свойства
входящихъ сюда количествъ. Среди этихъ количествъ есть векселя,
акціи, облигаціи, правила дѣлежа прибыли въ торговыхъ товари-
ществахъ и т. и. Все это учатъ ребята въ 3 мъ классѣ какъ
общеобразовательный свѣдѣнія, необходимыя не только для прак-
тической жизни, но и для развитія ума. Въ настоящее время
такое направленіе курса звучитъ какъ иронія, да и весь онъ остался
лишь пережитомъ старины, когда всѣ эти вопросы были полны
глубокаго смысла и глубокаго значенія. Но среди всѣхъ этихъ
безусловно лишнихъ и ненужныхъ подробностей есть одна черта
очень жизненная: это—„тройное правило“, или „золотая строка“.
Будемъ ли мы рѣшать задачи „методомъ приведенія къ единицѣ“
или „методомъ пропорціи“, мы все-таки напишемъ золотую строку
и, исходя изъ этой записи, будемъ соображать, что и намъ нужно
дѣлать.
Итакъ, я думаю, что совершенно напрасно позднѣйшіе изслѣ-
дователи умаляютъ заслуги тѣхъ, кто далъ методъ золотой
строки.
Переходя теперь къ Магницкому, мы видимъ, что онъ рѣзко
ограничиваетъ методъ рѣшенія отъ содержанія задачъ. Вначалѣ
онъ излагаетъ методъ, который разбивается на 7 предѣленій: 1)
правило о трехъ перечняхъ въ цѣлыхъ, 2) правило о трехъ въ до-
ляхъ, 3) правило о трехъ сократительное, 4) правило о трехъ воз-
вратительное, 5) правило о пяти въ цѣлыхъ и доляхъ, 6) правило
о седми такожде въ цѣлыхъ и доляхъ, 7) правило соединитель-
ное.
Если мы всмотримся въ эту программу, то увидимъ, что она

почти совпадаетъ съ современнымъ изложеніемъ этихъ правилъ въ
учебникахъ; здѣсь только нѣтъ особой статьи „съ долями“, и, по-
жалуй, это есть дефектъ современной программы, которая относится
къ дробямъ слишкомъ небрежно, считая ихъ какъ обобщенное
число; но если, согласно Магницкому, признать дробь за особое
число, „ломаное“, то, конечно, мы должны особо доказать справед-
ливость правилъ и для этихъ особыхъ чиселъ. Затѣмъ, мы въ за-
дачахъ смѣшиваемъ прямую и обратную пропорциональность, выяс-
няя и ту и другую сразу на отдѣльныхъ примѣрахъ. Кто знаетъ,
быть-можетъ, вся эта смѣсь правилъ, идей, практическихъ прило-
женій вызываетъ въ умѣ ученика тотъ сумбуръ, который какъ-то
считается неизбѣжнымъ при прохожденіи этого курса. Магницкій
здѣсь, очевидно, думалъ иначе: онъ желалъ въ умѣ читателя ка-
ждое изъ этихъ правилъ установить особо и особо выяснить, а по-
тому и далъ ихъ какъ рядъ особыхъ пріемовъ.
Кромѣ того, здѣсь слѣдуетъ указать также и на то, что ка-
ждое изъ этихъ правилъ онъ зоветъ „предѣленіемъ“; тѣмъ же именемъ
онъ называетъ и дѣйствія; слѣдовательно, съ его точки зрѣнія эти
правила суть особыя дѣйствія, а среди этихъ дѣйствій есть дѣй-
ствіе сократительное. Намъ, которые рѣшеніе задачи на тройное
правило представляютъ въ видѣ дробной формулы и прилагаютъ
къ этой формулѣ сократительное свойство дробей, кажется стран-
нымъ такое изложеніе; но оно логически необходимо слѣдовало изъ
той схемы, которая была принята авторомъ. Мы сейчасъ увидимъ,
что онъ былъ чуждъ той дробной формѣ, какую употребляемъ мы,
и я думаю, что въ практическомъ преподаваніи и онъ самъ поль-
зовался сократительнымъ свойствомъ дробей, но теоретически не
могъ его указать на томъ основаніи, что дробь и формула рѣше-
нія задачи на тройное правило съ его точки зрѣнія были совер-
шенно разнородныя вещи.
Изложивъ методы рѣшеній, Магницкій въ особомъ приложеніи
переходитъ къ ихъ приложенію, т.-е. разсматриваетъ свойство
самихъ величинъ. Это приложеніе выведенныхъ правилъ онъ ве-
детъ съ тою же постепенностью, которою отличается весь его курсъ.
Читатель нечувствительно переходитъ все къ болѣе и болѣе слож-
нымъ задачамъ, начиная съ самыхъ простыхъ. Разсмотримъ сна-
чала болѣе подробно эти приложенія.
Статья первая. „Тройная торговля“. Здѣсь находится 28
задачъ, содержаніе которыхъ можно охарактеризовать: количество
товара и стоимость его. Задачи идутъ съ постепенно осложняю-
щимся вычисленіемъ; онѣ начинаются съ такой задачи: „якоже—
бы кто купилъ 1 пудъ, далъ 2 рубля: что дати ему достоитъ за

8 пудъ.“ Здѣсь нужно обратить вниманіе на то, что взята единица
вѣса, а это показываетъ, что идея приведенія къ единицѣ не была
вполнѣ чужда Магницкому. Далѣе идутъ 8 задачъ съ совершенно
такимъ же содержаніемъ, но болѣе сложными вычисленіями. Задача
9 мѣняетъ тему: „На 100 гривенъ и 15 копеекъ взялъ 1 лаетъ
ржи, a въ немъ 12 четвертей: колико достоитъ взяти на 2600
гривенъ и на 10 копеекъ ластовъ.“ Считая эту новую тему какъ
бы болѣе трудной, авторъ вновь переходитъ къ первой темѣ, но
осложняетъ заданіе дробными данными, и, начиная съ задачи 17,
вновь возвращается къ этой темѣ и даетъ вновь двѣ задачи. Под-
ходя къ концу, авторъ молчаливо отмѣчаетъ, что въ заданія можно
опустить наименованіе мѣры и наименованіе стоимости; тогда за-
дача получитъ общій видъ: „за-4- далъ -jj-; что достоитъ дати за
-g-;e (зад. 21) или: „купилъ 4 J-, далъ 6-^-: что достоитъ дати
за-^-изъ δ—;“ (2δ). Но можно и еще болѣе обобщить задачу, если
вмѣсто слово купилъ, поставить слова взялъ, и три послѣднихъ
задачи имѣютъ такое содержаніе: „половина взятъ ~t>-- изъ чего
возметъ -^-своихъ — ;α (27).
Статья вторая. „Тройная торговая о купляхъ и продажахъ.“
Въ этомъ отдѣлѣ находится ß задачъ однороднаго содержанія, но
любопытенъ способъ ихъ рѣшенія, почти не отличающійся отъ со-
временнаго; для примѣра приведу одну изъ задачъ.
3. Купилъ нѣкто 345 плитъ олова, а всякая плита по 21 пудъ
и по 36-^-фунтовъ, цѣна же за пудъ по рублю съ полугривною
и хощетъ вѣдати колико олова пудъ, и колико денегъ достоитъ
платить за то олово; придетъ олова всего 7559 пудъ, и 32-^-
фунтовъ было, a денегъ за пего достоитъ платить 7937 рублевъ и
\д алтынъ, и 9—полуденегъ.
Изобрѣтается же сице: прежде пуды премѣни въ фунты и въ
21 пудъ придетъ фунтовъ 840. и съ 36~фунтами, всего 876^-
фунтовъ будетъ, и черезъ оны фунты тройнымъ правиломъ твори
глаголя: 1 плита даде 876-^-фунта: что даетъ 345 плитъ; придетъ

302392 1/2фунта. Глаголи же потомъ: 40 фунтовъ даде 105 ко-
пеекъ: что даетъ 3023921/2фунта, придетъ 7937801/10копеекъ, пре-
мѣни же фунты въ пуды, а деньги въ рубли и во алтыны и бу-
детъ всего олова 7559 пудъ, и 321/2 фунта, a денегъ всѣхъ за
него платить достоитъ 7937 рублевъ, и 20 алтынъ, и 9 1/4- полу-
денги."
Далѣе идетъ само вычисленіе.
Статья третія. „Тройная торговля въ товарныхъ овощахъ
и съ вывѣскою." Подъ такимъ заглавіемъ находятся 10 задачъ
однороднаго содержанія, въ которыхъ дается вѣсъ товара съ тарой,
вѣсъ тары. Я приведу вторую ивъ нихъ въ видѣ образчика съ
полнымъ расположеніемъ всѣхъ вычисленій.
2. Купилъ сосудъ шафрана, вѣсомъ 380 фунтовъ, вывѣски за
судно 10 фунтовъ, a изъ шафрана вывѣски со 100 фунтовъ, по
20 фунтовъ, a платилъ за чистый, за 100 фунтовъ, по 112
рублевъ, а за нечистый шафранъ платилъ за фунтъ по 10
алтынъ, и по 4 денги, и вѣдати подобаетъ, колико было чистаго
и нечистаго шафрана, и колико денегъ платилъ; придетъ нечистаго
74 фунта, a чистаго 296 фунтовъ, платилъ за чистый 331 ру-
бля, а за нечистый платилъ 23 рубля 22 алтына 4 денги, и изо-
брѣтается сице: прежде вычти изъ 380 за судно 10 фунтовъ, и
останется 370 фунтовъ, потомъ глаголи: отъ 100 фунтовъ 20 фун-
товъ нечистаго шафрана, колико будетъ изъ 370 фунтовъ; при-
детъ 74 фунта нечистаго и тоже вычти изъ 370 фунтовъ, оста-
нется 296 фунтовъ, толико было чистаго шафрана. Потомъ паки
глаголи за 100 фунтовъ 112 рублевъ, что за 296 фунтовъ; придетъ
331 Рубля, толико платилъ за чистый шафранъ. A потомъ
паки глаголи: за единъ фунтъ нечистаго 10 алтынъ 4 денги: ко-
лико дать за 74 фунта; придетъ 473, денегъ." Дальше идутъ вы-
численія.
Статья четвертая. „О прикупѣхъ и о накладахъ или убыт-
кахъ". Въ этомъ отдѣлѣ находится 7 задачъ, изъ которыхъ я при-
веду вторую.
2. Купилъ сукно 463/4аршина далъ 13 рублевъ 10 алтынъ
4 денги. A продалъ аршинъ 12 алтынъ по 1 денга, и хощетъ

вѣдати коли ко принялъ, или наложилъ. Придетъ: принялъ 3 рубля
24 алтына 43/4денги. A обрѣтается сице: премѣнивъ 13 руб.
10 алт. 4 ден, въ денги, и придетъ 2664 денга, и 12 алт. 1 ден.
будетъ 73 денги. И глаголи: 1 аршинъ даде 73 денги, что даетъ
463/4 придетъ 34123/4 денги, вычти изъ сего цѣну всю что далъ
за сукно, и останется 7483/4 деньги. Толико принято у того
сукна“.
Всего статей у Магницкаго 12; но здѣсь я прерву ихъ де-
тальное разсмотрѣніе, чтобы возвратиться къ началу. Приходится
прервать именно здѣсь, потому что далѣе авторъ считаетъ лиш-
нимъ давать какія-либо словесныя поясненія и приводитъ только
вычисленія.
Теперь, если мы всмотримся въ способы рѣшенія приведен-
ныхъ задачъ, то увидимъ въ каждой изъ нихъ золотую строку.
Эта строка позволяетъ по измѣненію одной величины судить объ
измѣненіи другой. Собственно ходъ разсужденія остался такой же,
какъ и въ современномъ обученіи, но мы скрываемъ то мѣсто, гдѣ
у Магницкаго выдвигается золотая строка. Мы говоримъ: если 1
аршинъ стоитъ 73 денги, то 46 3/4 аршина будутъ стоить въ
463/4 разъ болѣе. Эга фраза по существу есть пропорція, и если
ее сказать вполнѣ точно, то слѣдуетъ сказать такъ: 463/4 аршина
болѣе одного аршина въ 463/4 раза, a такъ какъ количество товара
и стоимость сто суть величины прямо пропорціональныя, то иско-
мая стоимость 463/4 аршина будетъ болѣе 73 денегъ во столько же
разъ, во сколько, 463/4аршина болѣе одного аршина, т.-е. въ 463/4
раза. Итакъ, въ основѣ рѣшенія задачи лежитъ функціональная за-
висимость величинъ, на которую мы указываемъ, разсматривая
задачу въ отдѣлѣ тройныхъ правилъ, и которую скрываемъ, помѣ-
щая задачу въ курсѣ цѣлыхъ или дробныхъ чиселъ. Наши предки,
очевидно, не могли относиться столь легко къ этому важному во-
просу и съ особой настойчивостью подчеркнули важность именно
этой функціональной зависимости, а потому и относили всѣ по-
добныя задачи къ тому отдѣлу ариѳметики, который и занимается

разсмотрѣніемъ этой зависимости. Отсюда и возникаетъ тотъ важ-
ный вопросъ современной методики ариѳметики. Если вводить по-
добныя задачи въ курсъ начальныхъ дѣйствій, то надо вводить
въ этотъ курсъ и понятіе о функціональной зависимости; тогда всѣ
задачи на „тройныя правила“ становятся лишними, и весь этотъ
отдѣлъ долженъ быть уничтоженъ. Если же его сохранить, то къ
нему должно пріурочить и всѣ тѣ задачи, которыя помѣщены въ
курсъ основныхъ ариѳметичныхъ дѣйствій. Если мы теперь всмо-
тримся въ текстъ задачъ, приведенныхъ Магницкимъ, то, съ на-
шей точки зрѣнія, онѣ не нуждаются для своего рѣшенія въ осо-
бомъ правилѣ; это—задачи, которыя составители задачниковъ помѣ-
щаютъ въ курсъ начальной школы. Однако, мы не можемъ отри-
цать, что для рѣшенія каждой изъ нихъ необходимо ясное понятіе
о пропорціональности, и мнѣ кажется, что Магницкій былъ болѣе
нравъ съ методической точки зрѣнія, отнеся всѣ эти задачи въ
особый отдѣлъ „тройныхъ правилъ“. Какъ мнѣ кажется, онъ
совершенно ясно (и правильно) различалъ двѣ стороны вопроса: „15
аршинъ сукна стоятъ 30 рублей; что стоитъ одинъ аршинъ?“
Это — вопросъ дѣйствія дѣленія. Съ его точки зрѣнія дѣленіе и
состоитъ именно въ томъ, чтобы по данной стоимости товара опре-
дѣлить его цѣнность. Такія задачи онъ помѣщаетъ въ дѣленіи.
Совершено другой вопросъ: „15 аршинъ сукна стоятъ 30 рублей;
сколько рублей будутъ стоить 7 аршинъ этого сукна?“ Это уже
вопросъ функціональной зависимости, которая и фомулировалась въ
XVII вѣкѣ какъ „тройное правило“. Эту именно мысль авторъ ариѳ
метики развиваетъ въ своемъ предисловіи къ третьей части. Онъ
говоритъ: „И тако въ настоящей сей части, можеши не зазорно,
паче же похвально правила еже о трехъ (или инымъ числомъ) тво-
рити, зане якоже пропорціи дому, или чертежъ, еже есть всего
зданія видъ составляется различными орудій. Тако и въ настоя-
щій сей части подобенство и правила о трехъ и о прочихъ:
составляются и зиждутся сущими въ преждерѣченныхъ частяхъ:
сирѣчь аддиціемъ, субстракціемъ, мультипликаціемъ и дивизіемъ,
якоже въ цѣлыхъ, тако и въ доляхъ, и проиорціа или чертежъ
дому полагается отъ художника прежде, a потомъ зиждется.
Сице и пропорціа настоящихъ правилъ изображается прежде
числами недѣйственно, якоже се 2 къ 4 имѣютъ сугубую пропор-
ціи), и якоже два угла основашася: егда же третій положится, и
тогда якоже четвертый уголъ изыскуется.“ Въ другомъ мѣстѣ онъ
говоритъ: „Правило тройное есть, яко нѣкій уставъ о трехъ пе-
речняхъ, ихже другъ къ другу подобіемъ учить изобрѣтати че-
твертый третьему подобный“.

Разсматривая это мѣсто, мы должны отмѣтить, что оно при-
надлежитъ автору ариѳметики и представляетъ собою не общее
математическое представленіе, а личную мысль Магницкаго, по-
строенную на фонѣ этого представленія. Въ томъ же предисловіи
онъ говоритъ: „мнози многоразлично ихъ употребляютъ, нѣціи убо
пространно и многописьменно сія дѣйствуютъ, a иніи неясныя и
трудныя образы подавше учениковъ въ дѣйствѣ погрѣшати сотво-
ряютъ: мы же тѣмъ не послѣдующе елико возможно краткими и
ясными, а паче и удобными къ поятію образы обявити потщимся“.
Изъ этихъ словъ ясно видно, что авторъ остался недоволенъ су-
ществующими курсами и заново переработалъ всю схему изложенія,
а для того, чтобы выполнить эту работу, ему необходимо было
пересмотрѣть основу; этотъ же пересмотръ основъ и далъ именно
то, что я хочу здѣсь разобрать.
При чтеніи текста приведенныхъ отрывковъ, надо замѣтить,
что во время Магницкаго едва устанавливалась математическая
терминологія, а потому подчеркнутыя мною слова „пропорціо“ и „по-
добенство“ нужно разсматривать не какъ математическіе термины, а
какъ слова житейскаго обихода, уясняющія математическую мысль.
Согласно толкованію Даля, слово пропорція имѣетъ этотъ практи-
ческій смыслъ и значитъ „соразмѣрность“, а если его написать
.,припорція“ и произвести отъ глагола „припорить“, то оно будетъ
значить „надлежащая мѣраа. Мнѣ кажется, что оба эти значенія
и были именно тѣми, въ смыслѣ которыхъ Магницкій употреблялъ
это слово „пропорція“; но подъ словомъ отношеніе мы привыкли
понимать отношеніе однородныхъ величинъ, тогда какъ Магницкій,
мнѣ кажется, разумѣлъ подъ словомъ „подобіе“ отношеніе разно-
родныхъ величинъ, и тогда его терминъ ближе подходитъ къ со-
временному „пропорціональность“. Давая такое толкованіе этимъ
словамъ, конечно, надо принять во вниманіе и все то, что слѣдуетъ
изъ этихъ понятій, тогда легко выясняется самый способъ мысли
автора.
Въ поясненіе того, что такой именно смыслъ этихъ словъ, я
приведу слѣдующее мѣсто ариѳметики:
„О пропорціяхъ рудъ. При сихъ прилично есть показати
пропорціи) рудъ, юже между себе имуть въ тягости и величествѣ,
якоже предаша учительнѣйшіе мужіе, a къ злату вся иныя руды припо-
добны черезъ ню же пропорціи) й другъ къ другу во всякомъ величествѣ
всѣхъ рудъ пропорціи есть знатна (извѣстна) якоже есть пропор-
ціа ядра златого, діаметръ тойжде единъ есть, яковъ и иныя руды,
но тягости величества есть якоже 100 злата къ 65 свинца есть
подобенство“.

Перейдемъ теперь къ тройнымъ правиламъ. При такомъ тол-
кованіи словъ мнѣ кажется, что мысль Магницкаго можно пере-
дать такъ: подобно тому, какъ архитекторъ прежде чѣмъ строить
зданіе, составляетъ планъ его, такъ и при рѣшеніи задачи надо
составить планъ этого рѣшенія; составленіе этого плана основано
какъ на нѣкоторомъ уставѣ, состоящемъ въ томъ, что въ силу за-
висимости данныхъ задачи: „якоже се 2(ое) къ 4(ому) имѣютъ су-
губую пропорціи), (т. е. ихъ надлежащая мѣра будетъ соотвѣт-
ствовать мѣрѣ 1(ого) и З(яго) чиселъ) мы можемъ но подобію пер-
вого и второго отыскать четвертый подобный третьему*) и это
подобіе совершенно аналогично, якоже 100 злата къ 65 свинца
есть подобенство“.
Теперь, чтобы найти этотъ четвертый членъ, нужно составить
схему.
Количество
Цѣна
Изобрѣтатель
1
20
3
фунтъ
алтынъ
фунты
,,Подобаетъ вѣдати, говоритъ Магницкій, яко сіе тройное пра-
вило заключаетъ въ себѣ три перечня, первый убо иже отъ лѣвыя
руки нарицается количество, зане различныя вещи, такожде и раз-
личнымъ числомъ полагается. А вторый именуется цѣна, зане пер-
вое количество вещей подобится сему второму, или цѣною, или
мѣною, или какою иною должностію. Третіе же называется изобрѣ-
татель, зане ново изобрѣтенъ, или по случаю, или но изволенію и
положенъ. Или паки того ради изобрѣтатель, яко изобрѣтаетъ иный
перечень подобный себѣ, таковымъ же подобіемъ, яковымъ и вто-
рой первому подобенъ есть“.
Если мы теперь вспомнимъ основной мотивъ герба, гдѣ около
Пиѳагора лежали товары и деньги, то намъ станетъ ясно, что вся
эта золотая строка есть способъ для рѣшенія практическихъ за-
дачъ торговли. Вотъ почему и числа въ строкѣ получили такія
названія, какъ количество и цѣна.
*) Какъ хочется сказать здѣсь, что относится ко 2-му какъ 3-ій
къ 4-ому. Думалъ ли такъ Магницкій? Быть-можетъ, онъ при словесномъ
изложеніи, особенно въ концѣ своей учительской деятельности, и гово-
рилъ что-нибудь въ этомъ родѣ-, но въ ариѳметикѣ этой идеи положительно
нѣтъ. Кургановъ, ученикъ Магницкаго, въ срединѣ вѣка (1757 г.) вводитъ
здѣсь понятіе о пропорціи, говоритъ, что здѣсь именно есть то, „что геометры
называютъ пропорціи“; но въ то нее время добавляетъ: „два первые числа
пристойнѣе по пропорціи полагать за количество одного сорту“. Это добавле-
ніе совершенно уничтожаетъ основную идею Магницкаго, а потому можно
думать, что Магницкій былъ послѣднимъ, кто считалъ тройное правило за
„золотую строку“.

Но въ этихъ названіяхъ въ объясненіи Магницкаго чув-
ствуется символизмъ: количество—это все то, чѣмъ измѣряется то-
варъ: вѣсъ, длина, объемъ или, какъ онъ говоритъ, „различныя
вещи“; цѣна это не одна стоимость, но и „мѣна“, т. е. равноцѣн-
ность другого товара, или „какая иная должность“. Изъ этого
видно, что свою золотую строку авторъ разсматриваетъ какъ схему,
выражающую функциональную зависимость величинъ, входящихъ въ
задачу. Онъ далѣе даетъ ясныя указанія, какъ составить эту схему:
„знаменай, яко всегда начальный перечень съ третьимъ единого
качества вещей полагается, количество же по случаю, якоже
либо фунты, или аршины, или иныя какія мѣры: на обоихъ едины
полагаются“. Не могу не замѣтить, что по существу мы остались
вполнѣ на точкѣ зрѣнія Магницкаго, и если подписываемъ числа
въ два столбца такъ, чтобы первый имѣлъ одно и тоже наимено-
ваніе, то это совершенно не измѣняетъ сути дѣла. Для рѣшенія
задачи мы пользуемся пропорціей, но Магницкій ею не пользовался
и совершенно не вводилъ этого геометрическаго метода въ ариѳме
тику*), а потому ему необходимо было разсматривать золотую строку
какъ самостоятельную схему. Онъ указываетъ далѣе, что эта схема
имѣетъ опредѣленныя свойства:
Основное свойство. Мы получимъ искомый четвертый, если
произведеніе второго на третій раздѣлимъ на первый. Это общій
методъ рѣшенія задачъ. Онъ поясняетъ это основное свойство та-
кимъ примѣромъ: 1—20 — 3; произведеніе 20Х3 даетъ 60;раздѣленное
на 1 даетъ 60; слѣдовательно, искомый четвертый есть 60; „и проис-
шедъ подобный къ 3-мъ, якоже бо 20 къ 1 тако 60 къ 3-мъ, сирѣчь:
за единъ бо дано 20 алтынъ, за 3 же по той же цѣнѣ придетъ 60
алтынъ, и прочихъ“. Установивъ это основное свойство, онъ даетъ
слѣдствія:
1) Если первое количество равно единицѣ, то искомое нахо-
дится какъ произведеніе второго на третіе.
2) Если второе равно 1, то искомое есть частное третьяго на
первое.
3) Если третье равно 1, то искомое есть частное второго на
первое.
4) Если въ какомъ-либо членѣ строки будетъ дано сложное
именованное, то оно раздробляется въ меньшія мѣры, при чемъ
наименованія перваго и третьяго всегда должны быть одинаковы.
*) См. пред. примѣчаніе. Кургановъ говоритъ: „что геометры называютъ
пропорцией“; значитъ, ариѳметики не считали возможнымъ пользоваться этимъ
геометрическимъ методомъ.

Золотая строка обладаетъ еще другими очень важными свой-
ствами, о которыхъ я сейчасъ скажу, но предварительно отмѣчу
слѣдующее. Если тройное правило есть „яко нѣкій уставъ“, то
очевидно, что оно теоретически не имѣетъ никакой связи съ пре-
дыдущими отдѣлами. Эти отдѣлы суть орудія для построенія зданія,
а само построеніе должно быть основано на новыхъ началахъ. Мы
видѣли, что въ изложеніи дѣйствій надъ числами цѣлыми Магницкій
даетъ рядъ опредѣленій; вновь даетъ ихъ для дробей, а потому онъ
необходимо долженъ дать ихъ и для тройныхъ правилъ. Такихъ
предѣленій въ золотой строкѣ онъ считаетъ 7: 1) Правило о трехъ
перечняхъ въ цѣлыхъ; 2) Правило о трехъ въ доляхъ; 3) Правило
о трехъ сократительное; 4) Правило о трехъ возвратительное; 5)
Правило о пяти въ цѣлыхъ и доляхъ, 6) Правило о седми такожде
въ цѣлыхъ и доляхъ; 7) Правило соединительное.
Изъ этихъ предѣленій мы не различаемъ первыхъ 4, но это
происходитъ оттого, что мы не считаемъ дробь какъ особое число
и молчаливо распространяемъ на дробныя числа всѣ тѣ свойства,
какія имѣютъ числа цѣлыя; кромѣ того, предпославъ ученію о трой-
номъ правилѣ понятіе о прямой и обратной пропорціональности,
мы тѣмъ самымъ соединяемъ предѣленія 1-ое и 4-ое въ одно, а
свойства пропорціи позволяютъ намъ не расматривать отдѣльно
предѣленія 3-го. Всѣхъ этихъ мотивовъ не имѣлъ Магницкій, а по-
тому, естественно, въ его логической схемѣ каждый случай занялъ
особое мѣсто. Предѣленія 5 и 6 имѣютъ, какъ увидимъ, у него
болѣе серьезныя основанія, чѣмъ современное сложное тройное пра-
вило, а правило смѣшенія осталось и по сіе время какъ отдѣль-
ный способъ для рѣшенія задачъ.
Предѣленіе второе. О правилѣ тройномъ въ доляхъ. Это пре-
дѣленіе Магницкій начинаетъ съ вопроса о томъ, будетъ ли схема
рѣшенія въ доляхъ отличаться отъ схемы въ числахъ цѣлыхъ? На
этотъ вопросъ онъ отвѣчаетъ согласно своему взгляду на дробное
число: „не тако творится дондеже цѣлыя съ долями стоятъ въ пе-
речняхъ, а не разрѣшены въ нижайшія доли, при нихъ же суть въ
своей цѣлости“. При этомъ любопытно замѣчаніе, что когда задачи
даются въ цѣлыхъ, то перечень можетъ быть данъ въ видѣ слож-
наго именованнаго числа: 9 пудовъ 25 фунтовъ, тогда какъ въ
дробяхъ онъ всегда будетъ содержать только одно число 9 — пуда.
Это замѣчаніе еще разъ подтверждаетъ, что дробь есть особое число;
по отношенію ко которому устанавливаются и особыя дѣйствія;
такъ, въ первомъ случаѣ въ тройномъ правилѣ мы должны обра-
тить пуды въ фунты, во второмъ мы рѣшаемъ задачу согласно

предѣленію второму. А для этого рѣшенія устанавливаются особыя
правила, которыхъ у Магницкаго приведено 13; но я позволю себѣ
ихъ формулировать короче. Всѣ они основаны на свойствѣ золотой
строки: значеніе четвертаго члена не измѣнится, если мы 1-ый и
2- ой или 1-ый и 3-ій увеличимъ въ одно и то же число разъ. Въ
силу этого, если 2-ой или 3-ій члены будутъ дробными, то, умно-
жая первый членъ на знаменателя, приводимъ строку къ числамъ
цѣлымъ. Пусть, напримѣръ, дано 1- 2/5 -20; мы эту строку замѣ-
няемъ 5—2—20. Точно такъ же обратно: строка3/5 - 1—4 можетъ
быть замѣнена строкой 3—5—4. Это свойство онъ повѣряетъ вы-
числевіемъ примѣровъ, гдѣ дробь-2/5 , напр. пуда можетъ быть замѣ-
нена 16 фунтами. Если случится, что первый членъ и второй бу-
дутъ дробными, то упрощеніе производится такъ: 3/4 - 5/6 - 1;
3 — 5/6 — 4; 18—5—4. Но если будутъ доли на 2-омъ и 3-мъ,
тогда первый умножается на произведеніе знаменателей, напр., 2—
3/8 - 5/6 будетъ 96—3—5. Наконецъ, если будутъ дроби во всѣхъ
числахъ, тогда .,несть достойно прилагать знаменатели, но токмо
единъ первый перечень преложи, яко да будетъ числитель внизу, а
знаменатель на верху.... и умножай верхнія съ верхними всѣ въ разъ,
такожде и нижнія съ нижними въ рядъ. Напр. 5/3 - 6/7 - 3/4;
5/3 6/7 3/4 получимъ 90/84 , что по сокращеніи даетъ 1 1/14
Изъ этого свойства золотой строки непосредственно слѣдуетъ
возможность сокращенія вычисленій, если соотвѣтственныя числа
дѣлятся на одно и то же число. Это и отмѣчаетъ Магницкій въ
„предѣленіи третьемъ“, которое онъ озаглавливаетъ: „о правилѣ
тройномъ сократительномъ черезъ него же аще кто восхощетъ
вскорѣ дѣйствовати“.
Я думаю, что въ школьной практикѣ оба эти предѣленія сво-
дились къ какому-нибудь болѣе простому способу вычисленій. Въ
ариѳметикѣ Курганова еще осталось „тройное правило въ доляхъ“,
но изложеніе уже потеряло всю сложность изложенія Магницкаго
и привелось къ тому, что дано въ числахъ цѣлыхъ. Любопытно
то, что Кургановъ вводитъ пропорцію, но для долей еще оста-
вляетъ общее правило Магницкаго: „Тройное правило въ доляхъ,—

говоритъ онъ,—дѣлается подобно какъ въ цѣлыхъ числахъ, сперва
надлежитъ -у умножить черезъ —, a произведеніе раздѣлить
на -£« *).
Предѣленіе четвертое. О правилѣ возвратительномъ. Здѣсь
разсматривается задача о числѣ рабочихъ и времени работы, для
рѣшенія которой необходимо третій перечень поставить на первое
мѣсто и рѣшать обычнымъ пріемомъ.
Я не буду отдѣльно разсматривать пятаго и шестого „предѣ-
леній“, такъ какъ въ нихъ нѣтъ ничего особеннаго. Но укажу на
слѣдующее. Въ послѣднихъ статьяхъ, часть которыхъ мною выше
приведена, содержится всего KU задачи (кромѣ задачъ на смѣше-
ніе статьи 13), оказывается заимствовано изъ рукописей XVII вѣка
всего 69 задачъ. Въ этомъ фактѣ двѣ стороны: первая та, что
большая половина задачъ заимствована; другая та, что она взята
изъ русскихъ рукописей, а не изъ иностранныхъ сочиненій. Всма-
триваясь въ это явленіе, мы должны сказать, что русская матема-
тическая литература въ разсматриваемое время имѣла сборникъ
опредѣленныхъ темъ, которыя переходили отъ одного поколѣнія
къ другому; эти темы дошли до нашихъ дней, и современные за-
дачники можно смѣло обвинить въ заимствованіи не только съ су-
ществующихъ задачниковъ, но и съ того же Магницкаго. Чтобы
убѣдиться въ этомъ, стоитъ только просмотрѣть текстъ задачъ.
Я приведу примѣры на каждую статью.
Статья о. Вопросная въ тройномъ правилѣ. „Восхотѣ нѣкто
купити на завѣсъ матерію широтою 3-^-, а долготою 8 аршинъ,
потомъ на другую завѣсу восхотѣлъ купити ину матерію ея же
широта токмо \ аршина, и хотя вѣдати долготу еяа. (2).
„Пятеро человѣкъ купили обще 1~ нуда гвоздики, дали
15 рублевъ, a денегъ платили сицевымъ образомъ: первый далъ
виолы при другомъ, a третій далъ виолы при первомъ, четвертый
далъ виолы при другомъ, пятый далъ виолы при четвертомъ, и
вѣдательно есть колико которому по денгамъ взяти гвоздики?“ (12).
Статья 6. Вопросная же со времени: „Единъ человѣкъ вы-
*) Такъ дается рѣшеніе задачи: „— лота серебра стоитъ ~4~ рубля,
сколько подлежитъ дать за лота тогожъ серебра“.

пьетъ кадь пітія въ 14 дней, а со женою выпьетъ тое же кадь
въ 10 дней, и вѣдательно есть въ колико дней жена его особно
выпьетъ тое же кадь“; (1).
6) „Единъ корабль пловяше моремъ отъ града въ иной градъ,
на всякій часъ по 9 миль, и егда онъ отплы 45 миль, тогда дру-
гій корабль отъ того же мѣста поплы тѣмъ же путемъ, а на ка-
ждый часъ пловяше но 12 миль. Но хощу знати въ колико ча-
совъ постигнетъ сей корабль оного, и въ коликихъ миляхъ“;
Статьи 7. Дѣловая въ тройномъ правимъ. „Два человѣка
хотятъ 12 рублевъ дѣлить, чтобъ единому ихъ взять а другому
3/4 и вѣдательно есть, колико которому изъ тѣхъ 12 рублевъ до-
станется;
Эта задача, очевидно, требуетъ раздѣлить 12 рублей въ отно-
шеніи .у : она рѣшается Магницкимъ такъ:
Здѣсь я привелъ полное рѣшеніе,
изъ котораго видно, что тройная
строка здѣсь получаетъ особое зна-
ченіе, переходя почти въ область
отвлеченныхъ чиселъ: 17 частей,
изъ нихъ взято 9. Такое отвлеченіе
вообще было свойственно Магниц-
кому, и онъ, вѣроятно, при устномъ
изложеніи такъ и показываетъ
рѣшеніе этой задачи.
Въ этой статьѣ задачи, очевидно, должны итти въ порядкѣ на-
растающей трудности; всего задачъ 14, изъ нихъ 9-я такая:
„Раздѣлиши на три статьи 300 рублевъ, первой статьи —
безъ 20 рублевъ, второй-^- съ 10 рублями, третій безъ 15 ру-
блевъ, и вѣдательно есть, колико которой статьи достанетъ взять“;
Задача 13. „Раздѣлиши 4-мъ человѣкомъ почастно 3600 зо-

лотыхъ, первому взять2/9 другому 1/6? третьему3/8, четвертому
всѣ достальныя, и вѣдательно есть, по колику ихъ всякому доста-
нетъ взяти“;
Отсюда видно, что задачи на дроби представляли наибольшую
трудность.
Статья 8. Торговая мѣновая въ тройномъ правилѣ. „Два
человѣка мѣняются товары, одинъ даде 12 пудъ имбиря, цѣною
по 21/2пуда по 380 копеекъ, a другій за весь имбирь даетъ са-
харомъ по 9 денегъ фунтъ, и вѣдательно есть, колико за имбирь
сахару достоитъ дать“;
Статья 9. Торговая складная и дѣлительная. „Три человѣка
положили въ складъ денегъ 112 рублевъ, первый положилъ при
другомъ въ семеро, а второй положилъ при третьемъ въ четверо,
и приторговали 70 рублевъ, и вѣдательно есть, по колику который
въ складъ денегъ положилъ и колико которому прибытка досталось“.
Разсматривая задачи послѣднихъ отдѣловъ, мы видимъ, что
онѣ приближаются къ тому правилу, которое въ современныхъ
ариѳметикахъ называется „правиломъ товарищества“. Типъ задачъ
сохранился тотъ же и до настоящаго времени, да и современный
способъ рѣшенія мало отличается отъ того, какъ эти задачи рѣ-
шалъ Магницкій. По условіямъ времени, очевидно, что это былъ
наиболѣе важный отдѣдъ задачъ въ практической ариѳметикѣ, а
потому становится понятнымъ, почему Магницкій подходитъ къ
нимъ такъ осторожно, выясняя предварительно, какъ мы бы на-
звали „пропорціональное дѣленіе“. Вотъ почему слѣдующія двѣ
статьи имѣютъ очень важный бытовой характеръ.
Статья 10. „Торговая складная съ прикащики и съ люд ми
ихъ“. Здѣсь находится всего три задачи слѣдующаго содержанія:
1. Три человѣка положили денегъ въ купечество, изъ нихъ же
первый положилъ 600 рублевъ, другій 700 рублевъ, третій 800 ру-
блевъ, и пріимше прикащика съ 360 рублями, обѣщали ему на
свои его денги купно и за работу дати изъ прибытка еже аще
притяжетъ. Но прибытка притяжалъ онъ 720 рублевъ, и вѣдательно
есть, колико которому прибытка на свои его денги досталось, и колико
прикащику за работу по обѣщанію ихъ дати.
3. Осмеро гостей, и пятеро ихъ прикащиковъ и трое ихъ работ-
никовъ, сложили денегъ въ купечество 760 рублевъ 5 алтынъ,
гости клали по единаку между собой., прикащики же между собою
по равну, а работники между собою по равну же, и притяжали

они тѣми денгами 352 рубли и 7 гривенъ, который прибытокъ дѣ-
лили сице: яко прикащики при гостяхъ взяли въ полы, а работ-
ники взяли при прикащикахъ въ треть, и вѣдательно есть, по ко-
лику они прибытка взяли, и кто колико денегъ въ складъ поло-
жилъ?“
Я пропустилъ 2-ю задачу, такъ какъ содержаніе ея тожде-
ственно съ первой; но остальныя двѣ имѣютъ любопытную быто-
вую сторону, и такъ какъ всѣ онѣ заимствованы изъ старыхъ ру-
кописей, то, очевидно, что имѣютъ практическій жизненный ха-
рактеръ, на который, можетъ-быть, было бы интересно обратить
вниманіе историковъ.
Статья 11-я. „Торговая складная и со времени*. Въ этой статьѣ
находятся 11 задачъ, изъ которыхъ первыя 5 заимствованы изъ
рукописей, a послѣднія 6 или составлены Магницкимъ или взяты
имъ откуда-нибудь. Первыя любопытны тѣмъ, что свое содержаніе
сохранили до настоящаго времени.
1. „Два человѣка сложили въ купечество денегъ, единъ поло-
жилъ 10 рублевъ на семь мѣсяцевъ, а вторый 12 рублевъ на G мѣ-
сяцевъ. А приторговали они 8 рублевъ, и вѣдательно есть колико
которому прибытки достались?“
Это задача современнаго учебника съ совершенно тѣмъ же
методомъ рѣшенія:
Остальныя 4 задачи имѣютъ тотъ же характеръ, лишь съ тою
разницею, что въ нихъ неизвѣстенъ вкладъ какого-либо лица и
его требуется опредѣлить по прибыли, доставшейся на его долю.
Задачи, предложенный Магницкимъ, представляютъ не только
собою дальнѣйшее развитіе основной идеи, но и новое содержаніе.
Такъ, задача 6-я слѣдующая:
„Два человѣка сложили въ купечество 2000 рублей: первый по-
ложилъ на 4 мѣсяца нѣкое число денегъ, другой положилъ на

б мѣсяцевъ неизвѣстное же число денегъ, и вѣдателно есть, ко-
лико который положилъ?“
Такія задачи не встрѣчаются въ задачникахъ; но вотъ задача,
сохранившаяся до нашего времени: „Нѣкій человѣкъ нанялъ ра-
ботника на годъ, обѣщавъ ему дати 12 рублевъ и кафтанъ; но
той по случаю работалъ 7 мѣсяцевъ восхоте отъити, и прошаше
достойныя платы съ кафтаномъ, онъ же даде ему по достоинству
5 рублевъ и кафтанъ, и вѣдательно есть: коликія цѣны оный каф-
танъ бяше?“ *)
Статья 12. „Заимодавцам и о срочномъ времени“. Изъ
8-ми задачъ этой статьи 3 взяты Магницкимъ изъ рукописей, а
остальныя, какъ я уже говорилъ, или составлены имъ самимъ или
взяты изъ какихъ-либо книгъ. Изъ примѣровъ предыдущей статьи
и нѣкоторыхъ другихъ соображеній можно думать, что новыя темы
задачъ появляются въ жизни человѣчества вообще довольно рѣдко,
и то, что намъ кажется новымъ, есть въ большинствѣ случаевъ
только забытое прошлое; въ силу этого я увѣренъ, что и среди
задачъ, собранныхъ Магницкимъ, нѣтъ новыхъ, а только задачи,
собранныя изъ разныхъ источниковъ; но и въ современныхъ
задачникахъ нѣтъ новыхъ задачъ, а только тѣ, которыя можно
найти у Магницкаго. Въ этомъ отношеніи задачи разсматриваемой
статьи интересны въ двухъ отношеніяхъ: во-1-хъ, онѣ предста-
вляютъ собою задачи, которыя мы бы озаглавили „на уравненіе
сроковъ платежей“. Такова, напр., задача 2-я: „Человѣкъ нѣкій
долженъ заимодавцу нѣкоему 4700 рублями, платиши ему той долгъ
по три сроки, на первый срокъ въ 7 мѣсяцевъ 1200 рублевъ, на
второй срокъ въ 9 мѣсяцевъ 1500 рублевъ, а на третій срокъ въ
11 мѣсяцъ 2000 рублевъ, и онъ хощетъ заплатити весь въ единъ
срокъ, и вѣдательно есть, въ коликое время всѣхъ сихъ общій
единъ срокъ учинити?“ A вотъ задача 5-я, того же отдѣла: „На
100 рублевъ притяжалъ въ 12 мѣсяцевъ 5 рублевъ, вѣдательно
есть, колико на 360 рублевъ въ 8 мѣсяцевъ притяжалъ?“ A вотъ
задача 8-я: „Далъ въ ростъ 600 гривенъ на 4 лѣта2 и по тому же
договору далъ ему еще 150 гривенъ, а взяши на всякій годъ
росту по 6 JL гривны, и вѣдательно есть, колико достоитъ на тѣ
денги росту взять?“
Мы бы сказали, что двѣ послѣднія задачи „на правило про-
центовъ“; отчего этого правила нѣтъ у Магницкаго? Вотъ второй
*) Алгебраич. задачн. Шапошникова и Вальцева, стр. 130, задача № 287.
Здѣсь плата за годъ 144 руб., а за 7 мѣс. 5 t руб., все остальное то же.

вопросъ, возникающій въ связи съ разсмотрѣніемъ статьи 12-й.
Мнѣ кажется, что этотъ вопросъ тѣсно связанъ съ вопросомъ о
векселяхъ. Теперь принято думать, что вексель въ Россіи явился
не вслѣдствіе условій денежнаго обращенія и потребностей тор-
говли, а по волѣ законодателя. Древняя Россія стояла внѣ того
торговаго движенія, которое породило вексель. Хотя Новгородъ и
Псковъ имѣли оживленныя торговыя сношенія съ Ганзой, но тор-
говля велась исключительно на наличныя; нѣмецкіе памятники (скры)
прямо запрещаютъ торговать съ русскими въ кредитъ и вступать
съ ними въ компанію. Впослѣдствіи, когда иностранные купцы
водворились въ Москвѣ, въ Архангельскѣ и другихъ городахъ, то
они могли для перевода денегъ прибѣгать къ векселямъ. Отъ нихъ
вексель могъ быть заимствованъ Петромъ I, который въ виду не-
устройства почты и небезопасности дорогъ началъ переводить казен-
ныя деньги изъ одного города въ другой посредствомъ векселей, при
участіи купцовъ. Только при Петрѣ II правительство рѣшило рас-
пространять дѣйствіе вексельныхъ операцій на все купечество, и
16 мая 1729 г. былъ опубликованъ на русскомъ и нѣмецкомъ язы-
кахъ вексельный уставъ, сочиненный „ради того, что въ европей-
скихъ областяхъ вымышлено, вмѣсто перевозу денегъ изъ города въ
городъ, а особо изъ одного владѣнія въ другое, деньги переводить
черезъ письма, названныя векселями, которыя отъ одного къ дру-
гому даются или посылаются, и такъ дѣйствительны есть, что
почитаются наипаче заемнаго письма, и пріемлются такъ, какъ на-
личныя деньги“. Такимъ образомъ, можно считать, что до 1729 г.
въ коммерческомъ оборотѣ были только особыя долговыя обязатель-
ства „кабала“, которыя отличались особою подвижностью и пере-
даваемостью *). Но объ этой „кабалѣ“ также нѣтъ ничего въ за-
дачахъ Магницкаго. Но зато у него разработаны, какъ видимъ,
всякаго рода товарищества и срочные платежи, a въ эти платежи
входитъ и ростъ, т.-е., понынѣшнему, „процентъ“. Сопоставляя
все это, можно думать, что, несмотря на заявленіе автора о томъ,
что его курсъ есть практически необходимый въ жизни для лицъ
разныхъ профессіи, этотъ курсъ на самомъ дѣлѣ есть теоретическій
курсъ, въ который вошли лишь теоретическіе вопросы практической
ариѳметики, оставшіеся какъ наслѣдіе старины. Подобно тому, какъ
современный школьный курсъ, въ которомъ существуетъ и пра-
вило товарищества и правило учета векселей и всякія задачи на
„акціи“, „облигаціи“ и т. п., остается лишь теоретическимъ кур-
сомъ, оторваннымъ отъ жизни и нужнымъ лишь для школьнаго
*) Брокгаузъ и Эфронъ. Т. У, статья г. Яновскаго „Вексель“.

обихода, такъ и курсъ Магницкаго не является курсомъ „коммер-
ческой ариѳметики“, a теоретическимъ курсомъ, въ которомъ раз-
смотрѣна функціональная зависимость практическихъ, входящихъ
въ торговлю величинъ.
Особое вниманіе въ этомъ курсѣ удѣлено задачамъ на смѣше-
ніе; этимъ задачамъ я посвящу отдѣльную главу, ибо онѣ въ пол-
ной неприкосновенности прожили слишкомъ 200 лѣтъ.
Правило смѣшенія.
Это правило Магницкій называетъ „правиломъ соединенія“ и
излагаетъ въ „предѣленіи седмомъ“. Въ современныхъ курсахъ оно
называется „правиломъ смѣшенія 2-го рода“ и излагается совер-
шенно такъ же, какъ его излагаетъ Магницкій. Но Магниц-
кій считаетъ, что правило „соединенія“ есть особое свойство
величинъ, и это особое свойство нуждается въ особомъ уста-
новленіи; мы же думаемъ, что рѣшеніе задачъ на смѣшеніе подчи-
няется общимъ законамъ дѣйствій и не нуждается въ какихъ-
либо особыхъ дополнительныхъ опредѣленіяхъ.
„Предѣленіе седмое“ Магницкаго распадается на 11 пунк-
товъ; я позволю себѣ привести начальные пункты дословно.
„Что есть правило соединенія и къ чему есть потребно?“ —
спрашиваетъ Магницкій и отвѣчаетъ: „Правило соединительное
того ради назвася, зане тѣмъ правиломъ изобрѣтается средняя
цѣна дву вещей, отъ нихъ же едина вещь малыя цѣны, другая же
вящшія цѣны, и изъ тѣхъ дву вещей по достоинству ИЗБОЛИТСЯ
кому взяти къ средней цѣнѣ, и соединити въ едину такову же
мѣру, къ нему же и потребно есть сирѣчь, егда у нѣкоего чело-
вѣка были продажныя віна, и едино цѣною по 10 гривенъ ведро,
другое же“ по 6 гривенъ, изволилося ему здѣлати изъ тѣхъ дву
вінъ, по части взявъ, едино третіе віно, ему же бы цѣна была
по 7 гривенъ, и коликія части достоитъ изъ тѣхъ дву вінъ взяти
къ наполненію ведра третьяго віна цѣною въ 7 гривенъ сущаго“.
Остановимся немного здѣсь и обратимъ вниманіе на то, какъ
ставитъ Магницкій задачу; эта постановка нѣсколько иная, чѣмъ
теперь и, пожалуй, болѣе правильная: онъ не ищетъ, сколько ве-
деръ того и другого вина нужно взять для смѣси, a ищетъ, какую
часть ведра нужно взять, чтобы составить ведро смѣси. Далѣе у
него идетъ схема записи; этой схемѣ записи, очевидно, придава-
лось тогда очень большое значеніе, потому что онъ говоритъ дальше:
„И къ сему правилу лѣпоствуетъ помнити, въ первыхъ яко не

пишется сіе правило въ правыхъ линіяхъ, но въ косвенныхъ,
якоже здѣ есть видѣти
И числа такоже писати достоитъ, якоже ту написано суть, и
нарицаются сія числа лигатура, или цѣна вещей, изъ нихъ же
смѣшеніе бываетъ, сирѣчь дву вінъ, или дву иныхъ таковыхъ ма-
терій, изъ нихъ же едина дражайшія цѣны, другая же меньшія,
якоже выше речеся“.
Этимъ оканчивается пунктъ первый; въ немъ постановка за-
дачи и ея запись; эта запись не только по формѣ не совпадаетъ
съ записью золотой строки, но и имѣетъ новое наименованіе вхо-
дящихъ въ нее чиселъ; эти числа называются лигатурой.
2. „Второе подобаетъ въ памяти имѣти оно число, или количе-
ство, по немуже оба вышеписанныя перечни мѣшаются, или ко
оному числу достойно придаютъ отъ своихъ вещей части, и то
число нарицается интентумъ, и пишется всегда отъ лѣвыя руки
всхожденіи дву оныхъ косвенныхъ линій сице 7:
Зане въ таковую цѣну хощу изъ тѣхъ дву цѣнныхъ вещей
по достойной части взяти въ таковую же мѣру но цѣною по 7“.
3. „Третіе же подобаетъ знати, яко сіе интентумъ или число
чемъ хощеши среднія цѣны вещь купити, всегда бываетъ среднее
первыхъ цѣнъ сирѣчь, болшія цѣны дешевле, меншія же дороже,
якоже въ настоящемъ прикладѣ 7, есть менше 10, болше же 6,
аще должно всегда имѣти, а не превосходити болшія цѣны, ниже
снизходити низше меншія“.
4. „Четвертое, егда въ правилѣ семъ всѣ перечни поставиши,
якоже выше указано, и тогда твори черезъ вычитаніе сице, малую
цѣну вычти изъ интента, сирѣчь 6 изъ 7, и останется 1, и то
едино постави противъ болшія цѣны, сирѣчь противъ 10 на крестъ,
якоже здѣ

Потомъ паки выти интентумъ изъ болшія цѣны, сирѣчь
7 изъ 10 и останется 3, еже постави противъ меншія цѣны, си-
рѣчь противъ б, якоже здѣ
И о семъ разумѣй, яко отъ дорогія вещи едина четверть въ
смѣшеніи достойна, отъ дешевыя же три четверти и будетъ едина
цѣлая вещь, достойная среднія цѣны сирѣчь 7, въ нюже цѣну же-
ланіе было вещь купити“.
Таковъ ходъ рѣшенія задачъ на правило соединенія. Здѣсь
я позволю себѣ обратить вниманіе читателя на ясность и точность
языка, на указаніе мельчайшихъ подробностей въ разсмотрѣніи во-
проса, и мы должны признать за Магницкимъ право быть пер-
вымъ русскимъ методистомъ по математикѣ. Въ подтвержденіе
этого слѣдуетъ обратить вниманіе еще и на то, что авторъ отъ
конкретнаго примѣра переходитъ къ обобщенію, давая такимъ об-
разомъ не рѣшеніе индивидуальной задачи, а схему общаго су-
жденія для рѣшенія всѣхъ задачъ. Въ этомъ обобщеній онъ дохо-
дитъ до понятія отвлеченной дроби, которая составляетъ часть цѣ-
лаго. Хотя это понятіе не вошло и не могло войти, по условіямъ
времени, въ теоретическій курсъ дробей, но изъ изученія трой-
ныхъ правилъ учащійся какъ бы вновь приходилъ къ этому курсу,
и у него возникало нѣкоторое новое понятіе, очень важное для по-
слѣдующаго мышленія ученика.
Самъ Магницкій, по-моему, былъ очень близокъ къ современ-
ному представленію дроби какъ части отвлеченной единицы (цѣ-
лаго), но онъ, быть-можетъ, не рѣшался построить курсъ на этомъ
новомъ представленіи дроби, но на фактическихъ урокахъ, быть-
можетъ, подробнѣе развивалъ новую точку зрѣнія и указывалъ
примѣры для ея приложенія. Въ этомъ отношеніи особно любо-
пытно одно мѣсто изъ предисловія къ пятой части курса, гдѣ онъ
разсматриваетъ вопросъ объ извлеченіи кв. и куб. корня. Здѣсь—
въ предисловіи онъ говоритъ между прочимъ, что алгебраическое
ученіе завершаетъ курсъ ариѳметики; „или паче особно цѣлую
ариѳметики науку черезъ алгебрумъ съ довольнымъ объясненіемъ
собрати и разпространити имамы, за еже вся ариѳметики части
чинно въ себѣ оному заключати“. Это мѣсто японимаю такъ, что, по
мнѣнію Магницкаго, можно было бы построить весь курсъ ариѳме
тики, исходя изъ тѣхъ обобщеній, какія даетъ алгебра, гдѣ раз-
сматривается не именованное число, а отвлеченное.

Возвращаясь теперь къ изложенію правилъ смѣшенія, мы долж-
ны отмѣтить ходъ его мысли. Я изложилъ то, что является какъ
общая схема рѣшенія всѣхъ задачъ; далѣе, въ слѣдующихъ пунктахъ:
5, 6, 7 и 8-мъ онъ даетъ приложеніе этой схемы къ задачамъ, въ
которыхъ берется уже именованная единица, и находятся ея части.
Далѣе онъ беретъ фунтъ серебра, но разсматриваетъ его какъ 96
золотниковъ; тогда части этого фунта, выраженныя въ золотникахъ,
требуютъ дополнительнаго рѣшенія; это рѣшеніе уже идетъ по трой-
ному правилу. Задача слѣдующая.
„Паки аще случится кому имѣти штуку сребра вѣсомъ токмо
единъ фунтъ, а была бы она двойного сребра: едино сребро
имѣетъ пробу 11, а другое 14, и хотително есть да будетъ оная
штука пробы 12, и коликому достоять въ той штукѣ быти луч-
шему сребру, и худшему и ты твори сице:
11
2
12
слож. 3
14
1
И будетъ общее число 3. еже пиши на тройное правило сице:
3
96
2
2
192
1
192
64 золотника.
33
Паки такожде пиши.
3
96
1
1
96
96
32 золотника.
33
И будутъ въ сребрѣ 12 пробы, въ фунтѣ изъ пробы 11,
64 золотника, a изъ пробы 14, 32 золотника“.
Итакъ, рѣшеніе задачи на смѣшеніе состоитъ изъ двухъ
схемъ: одна изъ нихъ есть схема собственно правила соединенія,
а другая общая схема тройного правила. Первая схема имѣетъ
дальнѣйшее развитіе: она прилагается къ соединенію не только
двухъ, но многихъ вещей, и Магницкій даетъ ея приложеніе къ
смѣси трехъ и четырехъ товаровъ. Такъ, въ пунктѣ 10 онъ гово-
ритъ: „А когда случится мѣшати трои товары, изъ нихъ же сдѣ-
лати четвертый по желаемой цѣнѣ и тогда единъ перечень малѣй-
шій дважды въ правилѣ полагается, якоже здѣ видимо есть

Г)
6
6
2
1
12
1
1
6
5
2
8
Паки клади 6
8
12
1
10
и буде всего 10.
11. Зри же ради познанія предложенный прикладъ, яко имаше
нѣкто троякъ шафранъ, турецкій по 5 гривенъ фунтъ, индійскій
по 8 гривенъ, угорскій же по 12 гривенъ, и когда вышеназна-
ченное собраніе 10 полагается и творится черезъ правило сице
8
768
10
76
4
5
10 96
1
96
10
9
3
5
1
96
10
9
3
5
Потолику достоитъ изъ всѣхъ трехъ шафрановъ въ единъ
фунтъ, ему же достойная цѣна будетъ С гривенъ“.
Въ заключеніе я приведу одну задачу, рѣшеніе которой до-
вольно любопытно.
,,Нѣкій человѣкъ имяше штуку сребра съ мѣдію смѣшаннаго,
и хотя увѣдати, коликая часть вмѣшана мѣди во ону штуку сребре-
ную, изобрѣтоша сице: взя прежде нѣкую часть циркулемъ смаш-
тапа, въ ней же части кубичной сребра обрѣтается единъ золот-
никъ, и оныхъ обрѣте въ долготу тая сребреныя штуки 44 части,
въ ширину же 7 тѣхъ же частей, a въ толстоту 6 частей, и измѣ-
ривъ умножилъ долготу шириною, и пришло ему 308, и сіе мно-
жилъ толстотою, и пришло ему въ той штукѣ частей 1848, то-
лико же и золотниковъ, зане едина часть кубковая имѣетъ золот-
никъ 1 и сего ради вѣрительно есть, яко и золотниковъ въ той
штукѣ быть толикоже 1848, но егда онъ на вагу положивъ свѣ-
силъ ону штуку и обрѣтеся въ ней тягости менше, сирѣчь 1830,
и есть разнства 18-[—менше по извѣшенію, нежели по измѣре-
нію, и по пропорціи рудъ, яже въ первой части на 31 листъ ме-
жду сребра и мѣди есть разнство.6 и симъ разнствомъ 6-ю дѣлилъ
здѣшнее разнство 18, и пришло ему 3, еже умножилъ черезъ всю
мѣдь пропорцію 50, и пришло 150, еже вычиталъ истягости яже
по извѣшенію изъ 1830, и осталося 1680. еже дѣлилъ, на пропор-

цію всю сребреную 56 и пришло ему 30, изъ разнства же вѣше-
нія съ размѣреніемъ когда его 18 дѣлилъ на 6 пришло 3 и сія
есть пропорція въ той сребреной штукѣ, яко бы было мѣди 3, а
сребра 30 . 33-хъ частей: сирѣчь или паче -^=- , толико мѣ-
ди, а или паче -^ есть сребра“.
Часть четвертая о правилахъ фальшивыхъ или
гадательныхъ.
Магницкій дѣлитъ все свое сочиненіе на 2 книги, изъ кото-
рыхъ каждая содержитъ въ себѣ какъ бы особое знаніе: ариѳме-
тики-практики и ариѳметики-логистики. Каждая книга подраздѣ-
ляется на части, изъ которыхъ каждая содержитъ замкнутое раз-
смотрѣніе нѣкотораго отдѣла. Таковы части: о числахъ цѣлыхъ,
о числахъ ломаныхъ, о правилѣ тройномъ и т. д. Каждый такой
замкнутый отдѣлъ распадается на предѣленія. Вотъ та логическая
система, по которой расположено все то, что авторъ считалъ нуж-
нымъ ввести въ курсъ ариѳметики. Исключеніе изъ этой системы
и притомъ единственное представляетъ часть 4-ая, которая рас-
падается не на „предѣленія“, а на „статьи“. Но статьями оза-
главлены, какъ мы видѣли, тѣ приложенія тройныхъ правилъ, въ
которыхъ разсмотрѣны свойства величинъ; поэтому является во-
просъ о причинахъ такого дѣленія; если это есть самостоятельный
отдѣлъ, то онъ долженъ содержать „предѣленія“; если это не-
самостоятельный отдѣлъ, a приложеніе предыдущихъ отдѣловъ, то
почему онъ выдѣленъ въ особую часть? Мнѣ кажется, что если
принять во вниманіе авторитетное мнѣніе г. Бобынина, что фаль-
шивыя правила суть замаскированный способъ рѣшенія уравненіи
первой степени съ одной неизвѣстной, и если допустить, что въ
своей основѣ таково же было и мнѣніе Магницкаго, то становится
понятнымъ, почему онъ выдѣлилъ этотъ способъ какъ особый ме-
тодъ для рѣшенія нѣкоторыхъ задачъ. Онъ не зналъ теоріи рѣшенія
уравненіи, а потому не могъ дать тѣхъ „предѣленій“, въ которыхъ
нуждался этотъ новый пріемъ, а потому онъ разсматриваетъ его
только какъ „правило“, въ силу котораго при двухъ произволь-
ныхъ положеніяхъ можно найти истинное числовое значеніе.
Правила ложныхъ положеній перешло въ средневѣковую Европу
отъ арабовъ, a къ этимъ послѣднимъ, какъ можно думать, отъ

индусовъ. Индусское происхожденіе правила устанавливается на
основаніи нѣкоторыхъ латинскихъ рукописей, находящихся въ
парижской библіотекѣ, по которымъ оказывается, что посвящен-
ное этому правилу индусское сочиненіе переведено было на еврей-
скій языкъ въ половинѣ XII вѣка Авраамомъ бень-Эзра; съ еврей-
скаго оно было переведено на латинскій. Что касается до араб-
скихъ писателей, то у нихъ это правило получило самое обширное
распространеніе и представляетъ собою любопытное поясненіе и
называется „методъ чашекъ вѣсовъ“. Вотъ какъ оно излагается
у Талкисъ Ибнъ Альбанн'а*). Возьмемъ вѣсы такого вида
и пусть 0 есть точка вращенія, а А и В чашки. У точки вра-
щенія ставится данное число, а на чашкѣ пишется предполагаемое.
Сочтя по условію задачи и сравнивъ результатъ съ даннымъ чис-
ломъ, мы находимъ ошибку; если полученное число больше дан-
наго, то ошибка пишется сверху, а если меньше даннаго, то снизу.
Возьмемъ, напр., такую задачу**). Найти число, которое, будучи
увеличено на 2/3 самого себя и на 1, даетъ 10. Положимъ, что
такое число 9, тогда 2/3 его будетъ 6, и мы получимъ 9 + 6 +
+ 1 = 16, больше 10 на 6; все это записываемъ такъ:
Положимъ, что оно будетъ 6, тогда 2/3 его будетъ 4, и мы
получимъ 6+4+1=11, больше на 1. Записываемъ такъ:
Теперь, чтобы найти число, умножаемъ 9 на 1 и 6 на 6; изъ
большаго 36 вычитаемъ меньшее 9, получимъ 27 и дѣленіемъ на
разность ошибокъ 6—1=5 находимъ 27/5 = 5 2/5.
Въ западно-европейскихъ учебникахъ обычно излагались два
правила: одно называлось Regula falsi simplicis positionis, a
другое — Regula falsi duplicis positionis. Въ русскихъ руковод
*) Бобынинъ. Очеркъ развитія мат. зн. въ Россіи; Вып. I. 1886 г. Стр. 90.
**) Колазатъ Бега Эддинъ (см. у Бобынина).

ствахъ конца XVIII вѣка и даже начала XIX обыкновенно изла-
гались оба эти правила; такъ они излагаются у Курганова (1758)»
у Аничкова (1786), въ переводной ариѳметикѣ Везу (1806) и дру-
гихъ. Въ рукописяхъ XVII вѣка и у Магницкаго излагается только
правило двухъ положеній. Такъ какъ позднѣйшее введеніе правила
одного положенія вполнѣ объясняется тѣмъ, что русская математи-
ческая литература продолжала заимствовать у западныхъ учебни-
ковъ, и позднѣйшіе авторы считали дефектомъ отсутствіе этого
правила, то намъ интересно опредѣлить, почему рукописи и Маг-
ницкій имъ не пользовались.
Чтобы выяснить это, укажемъ, когда достаточно одного пред-
положенія для рѣшенія задачи, и когда необходимы два положе-
нія. Всѣ задачи, рѣшаемыя этимъ методомъ, приводятся къ двумъ
видамъ уравненіи первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ: или
къ ах=Ь, или къ ax-J-Ъ—с; первое изъ этихъ уравненіи можетъ
быть рѣшено при одномъ предположеніи, въ самомъ дѣлѣ: возь-
мемъ за χ число m, и пусть am=b,, тогда —==-, т.-е. искомое
будетъ четвертымъ пропорціональнымъ къ m, b и b,. Второе
уравненіе не можетъ быть приведено къ столь простому виду, такъ
какъ мы въ данномъ случаѣ не можемъ перенести b въ лѣвую
часть равенства, а потому, чтобы исключить его, должны сдѣлать
два предположенія. Возьмемъ вмѣсто χ числа m и η, и пусть
am-(-l)=c1 и an+b=c2, тогда а(х—m)=c—с^ с—ct обозначимъ
к (первая погрѣшность), а (х—п)=с—с2; c-c^l^ (вторая по-
грѣшность). Слѣдоват. откуда —mkj =kx—nk и
Изъ этого видно, что формула будетъ справедлива, когда к и к,
будутъ одного знака, т.-е. когда C^Cj и с^с,; но если с^сп
ас^с2, то въ числителѣ и знаменателѣ надо перемѣнить знакъ
u χ=—k~p7~ · Теперь, если мы положимъ с=о, то ct и с2 бу-
дутъ ошибками, т.-е. ct=k и c2=kt\ тогда вторая формула будетъ
годиться и для перваго случая, который мы можемъ представить
въ видѣ ax-fb=o. Въ силу этого, чтобы не осложнять методовъ
рѣшенія, рукописи и Магницкій выбросили правило одного по-
ложенія.

Итакъ, въ освовѣ методовъ Магницкаго лежатъ слѣдующія
формулы
и онъ говоритъ: „сіе правило раздѣляется на три: первое пра-
вило есть, егда первое и второе положеніе суть болше; второе
правило, егда оба положенія суть менше; третіе же есть, егда
едино положеніе есть болше, другое же менше“. Всѣ эти три воз-
можности онъ разсматриваетъ на одномъ и томъ же примѣрѣ:
„искательно есть число, ему же аще приложится едина треть, и отъ
сложенія вычтется едина шестая часть, останется 100:а *)
Разсмотрѣвъ такимъ образомъ какъ бы теоретически способы
рѣшенія, онъ переходитъ къ ихъ практическимъ приложеніямъ въ
видѣ 3 статей. Статья первая содержитъ 15 задачъ, изъ кото-
рыхъ 8 (1, 2, 4, 6, 8, 11, 12, 13) взяты изъ старыхъ рукописей;
во второй статьѣ 8 задачъ, изъ нихъ 5 (1, 2, 6, 7, 8) взяты изъ
рукописей; въ третьей статьѣ 16 задачъ, изъ которыхъ 4 (2, 3,
4, 16) взяты изъ рукописей. Среди этихъ задачъ можно указать
на нѣкоторыя, дожившія до настоящаго времени, но съ измѣнен-
нымъ, болѣе жизненнымъ содержаніемъ; къ такимъ задачамъ отно-
сится слѣдующая: „Вопроси нѣкто учителя нѣкоего глаголя: по-
вѣждь ми колико имаши учениковъ у себе въ училищи, понеже
имамъ сына отдати во училище: и хощу увѣдати о числѣ учени-
ковъ твоихъ. Учитель же отвѣщавъ рече ему: аще придетъ ми
учениковъ толико же, елико имамъ, и полтолика, и четвертая
часть еще же и твой сынъ, и тогда будетъ у мене учениковъ 100.“
Эта задача, быть-можетъ, составлена самимъ Магницкимъ вмѣсто
извѣстной задачи на гусей.
Что касается до содержанія задачъ, какъ онѣ разбиты по
статьямъ, то задачи первой статьи можно характеризовать приве-
денной задачей на учениковъ; но, кромѣ задачъ этого характера,
здѣсь встрѣчаются задачи въ родѣ слѣдующей: „8)три человѣка хо-
тяше дворъ купити совопрошаются о денгахъ сице: первый ко
второму глаголетъ: даждь ми рече 3/4 денегъ ихже имаши, и азъ
единъ цѣну заплачю за дворъ, a другій къ третьему глаголетъ:
даждь ми — изъ твоихъ денегъ, и азъ единъ заплачю цѣну за
дворъ, a третій къ первому глаголетъ: даждь ми -і- изъ твоихъ
денегъ, и азъ единъ заплачю цѣну за дворъ, а двору цѣна 100 ру-
блевъ: и вѣдательно есть колико который имаше тогда денегъ?“
*) См. стр. 21.

Но здѣсь же встрѣчаются задачи въ родѣ слѣдующей: „Нѣкто мужъ
благоговѣинъ вниде въ сиротопитательницу милостыню дати убо-
гимъ, давъ же каждому ихъ по три пѣнязя, и усмотрѣ яко недо-
станетъ денегъ на три человѣка. Аще бы далъ имъ по два пѣнязя,
и тогда бы осталось денегъ на четыре человѣка: и вѣдательно есть,
колико бяше убогихъ въ сиротопитательницѣ оной, такожде и денегъ
колико у того мужа было, и по чему каждому отъ нихъ досталось?“
Задачи второй статьи можно характеризовать какъ задачи
неопредѣленныя, хотя ихъ неопредѣленность Магницкимъ не ука-
зывается. Какъ примѣръ я приведу задачу 2: „Купилъ нѣкто на
80 алтынъ гусей, утятъ и чирковъ, гуся покупалъ по 2 алтына,
утку по 1 алтыну, чирки же по 3 денги, a всѣхъ куплено 80 птицъ:
и вѣдователно есть, колико которыхъ птицъ купилъ?“ Задача
имѣетъ 27 рѣшеній, но Магницкій беретъ только одно: гусей 15,
утокъ 35, чирковъ 30.
Статья третья носитъ особое названіе: „торговая складная въ
притяжаніяхъ раздѣльная“. Подъ это заглавіе подходятъ только
первыя двѣ задачи; a потомъ содержаніе измѣняется, и, по-нашему,
измѣнился бы и методъ рѣшенія. Какъ примѣръ я приведу
3 задачи.
1. Три человѣци сложили въ купечество денегъ, и елико пер-
вый отъ нихъ положилъ, а второй въ полтретья жеребья при немъ.
A третій при другомъ —- и -~, a всѣхъ денегъ склали 32 рубли
3 алтына 2 денги, и притяжали тѣми денгами 3 рубли 30 алтынъ.
И вѣдательно есть, колико который денегъ вскладъ положилъ, и изъ
пробытка взялъ?“
4. Тріе человѣци дѣлятъ между собою 239 рублевъ, отъ
нихъ же елико первый возметъ: а другой при немъ возметъ втрое.
A третій противъ обоихъ возметъ ниже 12-ю рублями, и вѣдательно
есть, колико который изъ нихъ возметъ?“
10. Нѣкогда въ Константинѣ градѣ 20 человѣкъ, мыяхуся
въ банѣ, въ нихже бяху христіане, турки же и евреи, а уста-
новлено имати за баню, съ турчина по полденгѣ, a съ христіанина
но денгѣ, съ евреина же по 3 денги. Но всѣхъ бывшихъ въ бани
20 человѣкъ, дали бяху обще отъ всѣхъ 20 денегъ. И вѣдательно
есть, колико бяху христіанъ, турокъ же и евреевъ?“ Эта задача
также неопредѣленная, но ея неопредѣленность уже отмѣчена авто-
ромъ, и онъ даетъ такой отвѣтъ
либо еврей 3. христіанъ 5, турокъ 12
придетъ
или еврей 1 христіанъ 15, турокъ 4
или еврей 2 христіанъ 10, турокъ 8.

Эта задача не заимствована изъ старыхъ рукописей, но тѣмъ
не менѣе представляетъ собою очень старую задачу. Первыя не-
опредѣленныя задачи, изъ тѣхъ, которыя дошли до насъ на ла-
тинскомъ языкѣ, содержатся въ сборникѣ Алкуини (VIII ст.) и
выражается такъ: „100 шеффелей раздѣлить между мужчинами,
женщинами и дѣтьми и дать при этомъ мужчинѣ по 3 шеффеля,
женщинѣ по 2 и ребенку 1/2 шеффеля?“ Очевидно, что задача
Магницкаго того же типа; быть-можетъ, даже и содержаніе ея
можно отыскать въ какомъ-либо сборникѣ. Здѣсь нельзя не отмѣ-
тить, что творческая фантазія составителей ужасно слаба: задача
Алкуина живетъ до сихъ поръ и живетъ именно съ мужчинами,
женщинами и дѣтьми; живетъ не только тема, но и самая форма
темы. Совершенно справедливо говоритъ г. Беллюстинъ: „многое
множество тѣхъ задачъ, которыми пополняются современные намъ
сборники, идутъ изъ глубокой древности, пережили многія тысяче-
лѣтія и терпѣливо переписываются однимъ составителемъ изъ
другого“ *).
Послѣдняя статья четвертой книги озаглавлена: „о утѣшныхъ
нѣкіихъ дѣйствахъ черезъ ариѳметику употребляемыхъ“. По поводу
этой статьи, прежде, чѣмъ переходить къ ея разбору, я позволю
себѣ привести выдержку изъ „Исторіи элементарной математики“
Кэджори. „Въ англійскихъ и американскихъ изданіяхъ Дильворти
(1784), говоритъ онъ, а также въ Scholar's Arithmetic Даніила
Адамса (седм. изд. 1812) мы находимъ любопытное собраніе „Во-
просовъ для забавы и развлеченія. Мы всѣ слыхали о фермерѣ,
который, имѣя съ собой лисицу, гуся и гарнецъ зерна, захотѣлъ
переправиться черезъ рѣку; но такъ какъ онъ могъ перевести одновре-
менно только лисицу, или только гуся, или только зерно и боялся,
что въ его отсутствіе лисица съѣстъ гуся или гусь зерно, то не
зналъ, какъ ему быть. Кого не занимали задачи о томъ, какъ три
ревнивыхъ мужа со своими женами должны были переплыть рѣку
въ лодкѣ, въ которой помѣщались только двое, такъ, чтобы ни одна
изъ трехъ женъ не осталась въ обществѣ одного или двухъ муж-
чинъ въ отсутствіе мужа. Кто не пытался помѣстить однозначный
числа внутри квадрата такъ, чтобы сумма всякихъ трехъ чиселъ,
лежащихъ на одной линіи, равнялась 15?Никто изъ насъ, можетъ-
быть, не подозрѣвалъ вначалѣ великой древности этихъ, повиди-
мому, только-что появившихся порожденій фантазіи. Нѣкоторыя
*) Беллюстинъ. „Какъ постепенно дошли люди до настоящей ариѳметики“,
стр. 184. Тамъ же и задачи Алкуина.

изъ этихъ загадокъ заимствованы Дильвортомъ изъ Учтена въ
изданіи Керси. Керси отсылаетъ читателей къ Гаспару Баше де-
Мезиріаку (Gaspard Backet de Mesiriac) и его маленькой книжкѣ
„Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres
(Lyon 1624). Первая изъ этихъ загадокъ была извѣстна, вѣ-
роятно, Карлу Великому, потому что мы находимъ ее въ книгѣ
„Propositiones ad acuendos juvenes въ измѣненной версіи, въ
которой говорится о волкѣ, козѣ и капустѣ“*). Въ сборникѣ Баше
де Мезиріака помѣщена большая часть тѣхъ задачъ, какія встрѣ-
чаемъ и сейчасъ въ сборникахъ этого рода, напр., о задуманныхъ
числахъ, о работникѣ, котораго нанимаетъ хозяинъ съ условіемъ
платить ему за рабочіе дни и вычитать за прогульные и т. п.**).
Имѣлъ ли у себя подъ руками Магницкій сборникъ Мезиріака,
сказать трудно, но, несомнѣнно, всѣ его задачи представляются
взятыми откуда-нибудь; но всѣ онѣ имѣютъ хотя и однородный,
но довольно любопытный характеръ. Вотъ, напр., задача 3 „Егда
кто либо задаетъ, въ который день что учинися, или учинено бу-
детъ, и той да умножитъ число того дне черезъ 2 (числа же дней
начинаются отъ недѣли первымъ числомъ и до субботы седмымъ)
и къ произведенію приложи 5, и сіе множи черезъ δ, и потомъ
черезъ 10, и что всего будетъ, то бы вѣдать, изъ него же должно
вычитати 250, и по вычитаніи смотри что будетъ первый харак-
теръ отъ лѣвыя руки; той и день будетъ, якоже на прикладъ за-
данный день четвертокъ, его же есть 5.
δ
число дня
2
10
5
15
750
5
250
вычти
75
500
10
750
и пришло въ остаткахъ первый ха-
рактеръ 5, сирѣчь четвертокъ.
*) Кэджори, стр. 235.
**) Беллюстинъ, стр. J 90.

Часть пятая о прогрессіи и радиксахъ квадрат-
ныхъ и кубическихъ.
Г. Бобынинъ, разсматривая трудъ Магницкаго, называетъ его
„проводникомъ новыхъ знаній“ на томъ основаніи, что къ тому,
что содержали въ себѣ рукописи XYII-го вѣка, онъ добавилъ но-
вое алгебраическое ученіе. Это алгебраическое ученіе и начинается,
по мнѣнію г. Бобынина, съ пятой части, т.-е. съ вопроса о про-
цессіяхъ. Я вполнѣ согласенъ съ уважаемымъ изслѣдователемъ
въ томъ, что Магницкій является въ русской жизни выдающимся
педагогомъ, который „многія странныя еще здѣ невиданныя при-
клады и образы якоже о разнствѣ рудъ, тако и иныхъ граждан-
скихъ обычаяхъ“ впервые сообщилъ русской публикѣ въ связномъ
теоретическомъ построеніи. Онъ первый ввелъ и ученіе о про-
цессіяхъ, которое заняло столь видное мѣсто въ ариѳметикѣ въ
теченіе всего XVIII-ro вѣка; оно пополнилось ученіемъ о пропор-
ціи и получило значеніе основной главы ариѳметики, которую
многіе авторы (напр., Аничковъ) излагали тотчасъ же вслѣдъ за
ученіемъ о числахъ цѣлыхъ. Но я не согласенъ съ той мотиви-
ровкой, которую приводитъ г. Бобынинъ. Что касается до самой
статьи, то меня интересуетъ вопросъ, почему Магницкій, признавъ
за пятой частію своего труда алгебраическій характеръ: „въ на-
стоящей же сей части, говоритъ онъ, яко бо изяннѣйшей и выш-
шей, изящная и высшая правила, или паче рещи, особное ученіе
алгебраикумъ нарицаемое предложити“, хотя, какъ онъ и говоритъ
далѣе, ...„судихомъ оному ученію алгебра на иномъ мѣстѣ поло-
жену быти“. Зачѣмъ это нарушеніе общаго тона? Рѣшеніе этого
вопроса, по-моему, можетъ быть только такое, что среди статей
алгебраическаго содержанія, гдѣ числа, по его мнѣнію, могутъ быть
только представляемы умомъ, выражены словомъ „не имѣютъ (ха-
рактера) подлежащихъ вещей наручныхъ и въ гражданствѣ обно-
симыхъ“,—онъ не нашелъ мѣста для разсматриваемыхъ статей и
помѣстилъ ихъ какъ дополнительныя статьи къ первой, чисто
ариѳметической, книгѣ.
Онъ говоритъ по этому поводу въ предисловіи къ этой части:
„а паче же тако иди инако не по мнозѣ времени Богу помогающу
собранное (т.-е. алгебраическое ученіе) по силѣ нашей предложить
любви вашей, здѣ же якоже обѣщахомся въ дополненіе многихъ,
въ прешедшихъ частехъ различныхъ правилъ, и гражданскихъ
числительныхъ потребъ паче же воинскихъ: полагаемъ о прогрес-

сіяхъ, или шествованіяхъ къ примноженію или уменьшении чрезъ
различныя пропорціи числъ и съ дѣйствами ихъ, такожде и о
радиксахъ квадратныхъ и кубическихъ со многими и во граждан-
ствѣ потребными же приклады“. Итакъ, вотъ мотивъ автора: раз-
сматриваемыя статьи по своему содержанію относятся ко граж-
данству, т.-е. онѣ прилагаются къ именованнымъ числамъ, а по-
тому, хотя и имѣютъ алгебраическій характеръ, но должны быть
отнесены къ ариѳметикѣ.
Надо отмѣтить, что это соображеніе въ высшей степени важ-
ное, и важность его содержится именно въ томъ, „что“ заставило
позднѣйшихъ авторовъ включить ученіе о прогрессіяхъ въ кругъ
ариѳметическихъ вопросовъ.
Въ чемъ же состоитъ это „чтоа? Оно состоитъ, по моему мнѣ-
нію, въ вопросѣ о пропорціи. Магницкій, какъ мы увидимъ, не
различаетъ двухъ понятій: пропорція и прогрессія; не различаетъ
онъ ихъ потому, что онъ самъ, какъ и русскіе учителя его
времени, совершенно не были знакомы съ Эвклидомъ, а потому
всѣ вопросы объ отношеніи и пропорціи были для нихъ чужды.
Послѣдующіе математики второй половины XVIII-ro вѣка вводили
пропорціи, они были не только знакомы съ Эвклидомъ, но хорошо
знали современный курсъ элементарной геометріи, но продолжали
смѣшивать ученіе о прогрессіяхъ съ ученіемъ о пропорціяхъ, или,
лучше сказать, подходили къ пропорціямъ, исходя изъ прогрессій.
Первоначальникъ ихъ знаній, Магницкій, чувствовалъ, что въ изла-
гаемомъ имъ ученіи о прогрессіяхъ есть новая точка зрѣнія на
всѣ предшествующіе отдѣлы, но онъ не могъ вполнѣ выяснить всѣ
детали, даже не могъ выдѣлить изъ ученія о прогрессій ученія о
пропорціи. Онъ не зналъ геометріи Эвклида, а потому въ его ма-
тематическомъ представленіи былъ пробѣлъ, который онъ самъ не
могъ пополнить. При этомъ надо удивляться его математической
прозорливости, состоящей въ томъ, что онъ отчетливо и ясно на-
мѣчаетъ тѣ вопросы, которые должны быть разработаны его уче-
никами.
Переходя теперь къ разсмотрѣнію содержанія пятой части,
слѣдуетъ отмѣтить, что она содержитъ три статьи: ученіе о про-
грессіяхъ, извлеченіе квадратныхъ корней и извлеченіе корней ку-
бическихъ; эти статьи совершенно разнородны, хотя и вводятся
въ ариѳметику какъ „ предѣленія % но эти предѣленія не связаны
другъ съ другомъ и представляютъ собою дополнительныя статьи.
Прогрессій. Авторъ даетъ слѣдующее общее опредѣленіе про-
грессій: „прогрессіо есть пропорція, или подобенство числъ къ чис-
ламъ въ примноженіи или во уменьшеніи яковыхъ либо переч-

невъ“. Здѣсь надо обратить вниманіе на то, что Магницкій пи-
шетъ „прогрессіо“ и считаетъ это слово средняго рода: онъ пи-
шетъ „ариѳметическое прогрессіо“ и склоняетъ: „ариѳметического
прогрессія“. Затѣмъ, онъ говоритъ: „прогрессіо есть пропорція или
подобенство“; я уже говорилъ, что слово пропорція на языкѣ Маг-
ницкаго не есть математическій терминъ, а слово общежитейскаго
языка; здѣсь это слово связано со словомъ „подобенство“, т.-е.
отношеніе, лучше сказать, зависимость. Принимая во вниманіе это
значеніе словъ, можно передать опредѣленіе прогрессіи на совре-
менномъ языкѣ такъ: „прогрессія есть законъ составленія число-
вого ряда, въ которомъ числа идутъ, или увеличиваясь или умень-
шаясь“. Согласно этому опредѣленію онъ различаетъ три вида про-
грессіи: „ариѳметическое, геометрическое и армоническое“. По-
слѣдняго рода онъ совершенно не приводитъ, говоря: „о армони-
ческомъ же или мусікійскомъ нѣсть треба намъ глаголати“ *). Въ
прочихъ двухъ прогрессіяхъ онъ различаетъ два закона построенія
въ каждой. Такъ онъ говоритъ: „аріѳметіческое прогрессіо или
пропорція есть егда три или многая числа коеждо ихъ другъ отъ
друга равное разнство, но разныя пропорціи имать, и сіе или
единакимъ пошествіемъ яко 2.4.6.8.10.12 или не единакимъ,
яко 2 . 4 . 5 . 7 . 8 .10 .11.13“. Оба эти числовые ряда при усло-
віи, что 2-ой будетъ имѣть четное число членовъ, обладаютъ однимъ
и тѣмъ же свойствомъ: сумма членовъ, равноудаленныхъ отъ начала
и конца, равна суммѣ крайнихъ, a въ силу этого сумма членовъ
того и другого ряда выразится одной и той же формулой. Однако,
Магницкій не разсматриваетъ въ дальнѣйшемъ 2-го ряда, а огра-
ничивается только первымъ. Теперь, въ опредѣленіи прогрессіи
надо обратить вниманіе на выраженіе: „три или многія числа“.
Въ этомъ я вижу приведеніе прогрессіи къ пропорціи, и любо-
пытно то, что каждыя 4 числа того и другого ряда будутъ ариѳме-
тически пропорціональны.
*) Какъ извѣстно, гармонической пропорціей называется слѣдующая
пропорція (a—b):(b—с)=а:с. Если мы въ этой пропорціи возьмемъ произ-
веденіе крайнихъ и среднихъ, то получимъ ас—bc=ab—ас или 2ас—
=ab+bc; дѣля всѣ члены равенства abc, находимъ-—— 1 . откуда
— —. Итакъ, если члены конечнаго ряда, равноудаленные
отъ начала и конца его, удовлетворяютъ этому соотношенію, то такой рядъ
будетъ называться гармонической прогрессіей. Мнѣ кажется, что Магницкій
имѣлъ въ виду именно эту пропорцію, которой, какъ извѣстно, удовлетворяютъ
числа „совершеннаго аккорда“: тонъ, его терція и квинта. Въ силу этого
очень древняго соотношенія саму прогрессію Магницкій называетъ „муси-
кійской“.

„Геометрическое прогрессіо или пропорція есть, егда три или
многая числа, едину и туюжде между собою пропорціи), но разнства
различныя имуть, и сіе или единакимъ пошествіемъ, яко 2.4.8.
16 . 32 . 64 .128, или не единакимъ, яко 2 . 4 . 6 . 12 .18“. Если бы
Магницкій при второмъ примѣрѣ присоединилъ еще членъ 36,
тогда бы получился рядъ чиселъ, обладающій свойствомъ: произве-
деніе членовъ, равноудаленныхъ отъ начала и конца, равно произ-
веденію крайнихъ членовъ, и каждые четыре члены были бы гео-
метрически пропорціональны. Но онъ этого не сдѣлалъ, а потому
очевидно, что какъ во второмъ, такъ и въ первомъ случаѣ, т.-е.
въ случаѣ прогрессіи ариѳметической, онъ этого не имѣлъ въ виду;
тѣмъ не менѣе выраженіе „три или многая числа“ сохраняетъ
возможность думать, что вопросъ о пропорціональности какъ бы
напрашивался самъ собою, однако, авторъ его не замѣтилъ и не
ввелъ въ разсмотрѣніе. Второй рядъ чиселъ составленъ такъ:
и,, потомъ u,q, далѣе u1q+U|<-, потомъ ^q-j-^jq и т. д.;
его можно изобразить еще такъ u,, utqt ^ , —, , —|— ...
Въ дальнѣйшемъ авторъ разсматриваетъ только 1 первый рядъ
чиселъ.
Изъ изложеннаго мы видимъ, подъ какимъ угломъ зрѣнія Маг-
ницкій разсматривалъ вопросъ о прогрессіяхъ. При этомъ надо
отмѣтить, что, характеризуя ту и другую прогрессію какъ два ряда
чиселъ, изъ которыхъ одинъ имѣетъ „равное разнство, но разныя
пропорціи“, а другой—„едину и туюжду между собою пропорцію,
но разнства различныя“, онъ, очевидно, ясно себѣ представлялъ то,
что мы въ настоящее время называемъ ариѳметическимъ и геоме-
трическимъ отношеніями; но, представляя себѣ отношеніе, онъ имѣлъ
въ виду исключительно только свойства членовъ прогрессіи, не
обобщая этого понятія и не распространяя его далѣе. Кромѣ
того, не умѣя рѣшать уравненія первой степени, т.-е. не зная
той теоріи уравненіи, которую мы имѣемъ въ настоящее время, и
не умѣя обозначать число буквой, онъ не могъ выйти изъ число-
вого ряда и показать законы составленія общаго числа и тѣхъ
формулъ, которыя даютъ намъ возможность свести весь вопросъ
только къ доказательству трехъ теоремъ. Въ силу всего этого, мнѣ
кажется, что напрасно г. Бобынинъ упрекаетъ Магницкаго въ
лишнихъ подробностяхъ. Эти подробности ему были необходимы,
какъ необходимо было правило фальшивыхъ положеній, какъ не-
обходима была вся детальная разработка рѣшенія задачъ на трой-
ныя правила. Магницкій особенно подробно разсматриваетъ ариѳ-

метическую прогрессію, и мы здѣсь видимъ, съ какой осторож-
ностью онъ переходитъ отъ одного ея свойства къ другому.
Чтобы пояснить свою мысль, я позволю себѣ привести первыя
б положеній объ ариѳметической прогрессіи, которыя выдѣлены
въ особую нумерацію и считаются авторомъ особо важными.
Вотъ они:
1. „Во ариѳметическомъ прогрессіи въ примножительномъ, егда
къ первому числу приложиши разнство, тогда исполнится другое,
егда же ко другому числу тожде разнство приложиши, тогда будетъ
третіе число. А во умалителномъ прогрессіи аще вычтеши разнство
отъ перваго числа, останется другое, a отъ другого третіе: и
прочая“.
2. „Егда первый и послѣдній предѣлъ ариѳметическаго про-
цессія сложиши во едино, и произведеніе (очевидно, описка) въ двѣ
равныя части раздѣлиши, и сіе будетъ едино среднее пропорціо-
нальное число“.
3. „Аріѳметическаго процессія примножительнаго, чрезъ другое
и третіе число, первое познавается, егда разнство другого и
третьяго вычтеши изъ другого. А умалителнаго оное разнство ко
другому числу прилагается“.
4. „Разнство первого и другого числа толико же есть величе-
ствомъ, елико другого и третіаго, такожде третіяго и четвертаго“.
5. „Сего ариѳметическаго процессія, егда среднее пропорцио-
нальное число въ двое полагается, тогда толико бываетъ, елико
изъ сложенія перваго съ третьимъ“,
G. Аще все число ариѳметическаго процессія желателно есть;*)
тогда подобаетъ первый и послѣдній предѣлъ знати и числа ихъ
и тому познану [аще въ умножителномъ или умалителномъ про-
гресіи] твори сице:“ Здѣсь авторъ оставляетъ свою нумерацію и
начинаетъ новую, какъ бы связывая ее со старой совершенно но-
вымъ правиломъ. Онъ говоритъ далѣе: 1) Первый предѣлъ и по-
слѣдній сложи, и то сложеніе умножи съ половиною всѣхъ предѣ-
ловъ, якоже есть аріѳметическое процессіи“ и даетъ числовой
примѣръ n=14; u1=5; uu—44 вычисляя по формулѣ s14=^U|“^llA^.
Конечно, всѣхъ этихъ формулъ Магницкій не приводитъ; ихъ я
ввелъ только для краткости изложенія. Теперь спрашивается, по-
чему онъ такъ неожиданно разорвалъ свою нумерацію, помѣстивъ
начало въ одномъ счетѣ и конецъ въ другомъ? Мнѣ кажется, что
причиной этого было то, что первая нумерація относилась къ чле-
*) ; ость знакъ вопроса.

намъ ариѳметической пропорціи, а вторая къ членамъ прогрессій.
Не различая этихъ двухъ понятій или, лучше сказать, считая
ученіе о пропорціи частью ученія о прогрессій, онъ на числовыхъ
примѣрахъ отмѣтилъ свойство ея средняго члена, не умѣя обоб-
щить это свойство вообще для членовъ прогрессій; онъ устанавли-
ваетъ его только для первыхъ 4-хъ членовъ. Въ новой нумераціи
онъ уже не вьдѣляетъ теоретической части отъ практической: въ
первыхъ 5 пунктахъ идутъ, какъ мы бы сказали, общія теоремы,
а дальше 7 пунктовъ задачъ. Въ своей теоретической части онъ
всегда беретъ одну и ту же прогрессію: 5 . 8 .11 .14 .17 .20 . 23 .
26 . 29 . 32 . 35 . 38 . 41 . 44 . и находитъ для нее: сумму членовъ
въ 1 пунктѣ, во 2—послѣдній членъ, по первому и разности, въ
3 пунктѣ число членовъ по первому, послѣднему и разности. Въ
пунктѣ 4 онъ беретъ новую прогрессію въ 12 членовъ, первый
членъ равенъ 5, послѣдній 82, разность 7 и ищетъ первый членъ
по даннымъ u=12 1 u,.2=82 и d=7. Въ пунктѣ 5 онъ опять бе-
ретъ новую прогрессію, у которой u1=41 п=15 и u15=35 ищется
разность. Здѣсь у него, очевидно, описка: онъ находитъ разность,
дѣля 35 на 14; между тѣмъ какъ надо дѣлить на 14 разность
35—4: онъ забылъ вычесть 4. Интересно было бы отвѣтить на
вопросъ, что это случайный недосмотръ или незнаніе автора? По
ходу всего изложенія ариѳметической прогрессій я думаю, что это
случайный недосмотръ автора, а не ошибка изложенія. Однако,
нужно сказать, что, не умѣя обозначать буквами члены пропорціи,
авторъ попалъ въ очень тяжелое положеніе: онъ не могъ ни вы-
вести общихъ формулъ, ни выяснить свойствъ членовъ, а потому
мнѣ думается, что, беря новыя прогрессій, онъ былъ въ большомъ
затрудненіи, какъ рѣшить для нихъ тѣ задачи, которыя уже были
имъ рѣшены для взятыхъ прогрессій. Мнѣ кажется, что при со-
ставленіи этого отдѣла онъ бралъ определенную числовую прогрес-
сію и вычислялъ для нее сумму членовъ, число членовъ и т. д.;
но когда прогрессія была новая, то ему необходимо было вновь
продѣлать ту же работу. Это какъ будто сквозитъ и въ тѣхъ
практическихъ задачахъ, которыя онъ даетъ дальше. Эти задачи
я приведу.
1. Купецкій нѣкто человѣкъ имяше 14 чарокъ сребряныхъ,
ихже каяждо превышаетъ тягостью по чину прогрессій 4 лотами,
a послѣдняя чарка вѣситъ 59 лотовъ, и вѣдателно есть, колико
вся чарки лотовъ имуть?
Если бы мы стали рѣшать эту задачу, то сказали бы такъ:
здѣсь намъ неизвѣстенъ первый членъ прогрессій, который
мы можемъ опредѣлить по формулѣ u14 = щ -j- 13d.. Опредѣ-

ливъ его, мы вычисляемъ сумму по формулѣ s13——1 у
Магницкій рѣшаетъ эту задачу такъ: „число предѣловъ единымъ
менше суть - 1 (знакъ значитъ минусъ; онъ хочетъ сказать,
что число членовъ будетъ—1, какъ это онъ указалъ въ пунктѣ 4
второй нумераціи) еже множи черезъ разнство 4 - придетъ 52,
еже вычти отъ 59, останется 7, еже меншій предѣлъ есть, (фор-
мула очевидна, значитъ, въ пунктѣ 5 ошибка случайна) его же
приложи къ болшему 59 и придетъ 66 и сіе умножи съ половиною
иредѣловъ съ 7-ю, и будетъ 462 елико есть во всѣхъ чаркахъ
тягости лотовъ“. Рѣшеніе совершенно то же, какъ и у насъ; но
здѣсь есть число 14 членовъ прогрессіи, а это число встрѣчалось
и раньше, а это повтореніе наводитъ на мысль, что авторъ былъ
связанъ числами, боялся взять иныя числа, и ему приходилось
какъ будто каждый разъ придумывать одно и то же: онъ зналъ
способъ вычисленія, но не умѣлъ вывести правила.
2. Нѣкій домовитый господинъ подрядилъ колодезника копать
кладезь въ 9 саженъ глубины, широтою же по ариѳметическому
прогрессію, a обѣщавъ ему за работу 10 рублевъ, и егда нача
онъ копати обрѣтеся силный ключъ въ 6 саженяхъ, отъ него же
доволно воды истекаетъ, и вѣдателно есть, колико достоитъ ма-
стеру тому за работу взять?“
Формулировка этой задачи мнѣ неясна: въ ней непонятно вы-
раженіе „широтою же по аріѳметическому прогрессію“. Можно
было бы думать, что слово „широта“ выражаетъ собою увеличе-
ніе платы по мѣрѣ углубленія, и тогда эта плата будетъ выра-
стать по мѣрѣ углубленія въ ариѳметической прогрессіи. Однако,
такое предположеніе должно быть оставлено, ибо ни въ словарѣ
Даля, ни въ академическомъ словарѣ слово широта не имѣетъ под-
ходящаго значенія: ея значеніе вездѣ соотвѣтствуетъ слову „ши-
рина“, и намъ остается только допустить слово широта въ значе-
ніи ширины; но тогда что же значитъ указанная фраза? Един-
ственно возможное допущеніе будетъ то, что Магницкій предста-
влялъ себѣ данный колодецъ расширяющимся къ низу, и это расши-
реніе шло въ ариѳметической прогрессіи, т.-е. колодецъ имѣлъ
такой видъ: верхнее его отверстіе было въ 1 кв. саж., а нижнее
въ 9 кв. саж., и число вынутыхъ кубовъ увеличивалось въ гори-
зонтальномъ сѣченіи на 1 съ углубленіемъ на 1 сажень. Такому
пониманію задачи соотвѣтствуетъ и ея рѣшеніе, которое онъ даетъ

въ слѣдующемъ видѣ: „Число предѣловъ или послѣдній предѣлъ
есть 9, къ сему приложимъ первый 1 еже умножи половиною пре-
дѣловъ, сирѣчь на 4-^- и будетъ 45 саженей“. Согласно нашему
толкованію, это значитъ, что колодезникъ подрядился вынуть 45 куб.
саженъ за 10 рублей. Но онъ встрѣтилъ воду на глубинѣ 6 саж.,
сколько же кубовъ онъ вынулъ? Магницкій говоритъ далѣе: „По-
томъ иди черезъ то же правило прогрессіи въ шести мѣстѣхъ,
придетъ 21, и твори черезъ правило тройное сице: 45 — 1000 — 21“.
Очевидно, что полученный числа будутъ пропорціональны, и мы
получимъ отвѣтъ 466 -2/3- копеекъ. Рѣшивъ такимъ образомъ эту
задачу, онъ предлагаетъ слѣдующую: „Нѣкто колодезникъ подря-
женъ былъ кладезь копати въ 9 саженъ глубиною, a обѣщано ему
дать 10 рублевъ: онъ же обрѣте воду не докопавъ уреченныхъ 9
саженъ, взя цѣну 4662/3 копеекъ; и вѣдателно есть, въ коликихъ
саженяхъ обрѣте онъ воду?“ Въ этой задачѣ онъ не говоритъ уже
0 ширинѣ колодца, считая, очевидно, его форму уже извѣстной.
Рѣшаетъ эту задачу онъ такъ: сначала по тройному правилу
1000 — 45 — 4662/3 опредѣляетъ число выкопанныхъ саженъ;
ихъ будетъ, очевидно, 21, и говоритъ: „потомъ поставь отъ единицы
1 2 3 4 5 6 и потому вскорѣ обрящеши до коликія сажени онъ
копалъ въ глубину“. Это рѣшеніе показываетъ, что онъ не умѣлъ
опредѣлить число членовъ по данной суммѣ, первому числу и раз-
ности прогрессіи, не потому, чтобы не зналъ, какъ рѣшить полу-
чаемое здѣсь квадр. ур., а потому, что не могъ выразить алгебраи-
чески искомаго соотношенія.
Для послѣдней задачи онъ беретъ далѣе еще примѣръ съ но-
выми числами: „Егда же 9 саженъ колодезныя глубины за 9 ру-
блевъ копати подряженъ былъ, но обрѣте токмо въ глубину за 4
рубли доволную воду и вѣдателно есть въ коликой сажени доволно
обрѣтеся воды?“
Такая формулировка новой задачи ясно показываетъ, что ав-
торъ предполагалъ, что читатель будетъ читать безъ пропусковъ,
и то, что сказано раньше, не слѣдуетъ повторять вновь.
Послѣдняя задача въ этомъ отдѣлѣ слѣдующая: „Въ нѣкоей
единой мельницѣ быша трои жерновы, и едины жерновы въ ноще-
денствіе могутъ смолоти 60 четвертей, a другіе въ толикое же вре-
мя могутъ смолоти 54 четверти, третіи же въ толикое же время
могутъ смолоти 48 четвертей и нѣкій человѣкъ даде жита 81 че-

тверть желая въ скорости оно смолоть и насыпа на всѣ три жер-
новы, и вѣдательно есть, въ колико часовъ оно жито можетъ смо-
лотися и колико на всякіе жерновы достоитъ мельничу насыпати?“.
Геометрическая прогрессія. Начинается съ красной строки
такого содержанія: „О прогрессіо или пропорціи) геометрическомъ
како имъ что употребляется“. Здѣсь слово „пропорція“ приближа-
ется уже къ математическому термину, что слѣдуетъ какъ изъ ра-
нѣе разсмотрѣнныхъ опредѣленій ариѳметической и геометрической
прогрессіи, въ которыхъ „разнство“ противополагается „пропор-
ціи“, такъ еще болѣе изъ слѣдующаго поясненія, примыкающаго
непосредственно къ красной строкѣ: „идѣже достоитъ умствовати
яко егда, два числа геометрическаго прогрессіи, и едино другимъ
раздѣляется, и произведенія бываетъ пропорція, или умножитель-
ное число, имже прогрессія возвышается или вознижается, егда
же первое и третіе число между собою умножается и изъ произ-
веденія извлечеши радиксъ квадратный, и придетъ пропорціональ-
ное или среднее число“. Если мы теперь соединимъ всѣ эти „или“,
которыя группируются около слова пропорція, то получимъ: про-
грессіи — пропорція — умножительное число. Изъ этого сопоста-
вленія очевидно, что подъ словомъ „прогрессіи“ Магницкій понималъ
то, что мы въ настоящее время называемъ „знаменателемъ отно-
шенія“, a подъ этимъ послѣднимъ онъ понималъ число, при по-
мощи котораго составляется или образуется новая величина, т.-е.
нѣчто въ родѣ „общей мѣры“; въ этомъ смыслѣ у него сказано „о
пропорціи рудъ“.
Если мы теперь вышеприведенныя строки разобьемъ на двѣ
части, изъ которыхъ во второй будетъ говориться о среднемъ гео-
метрическомъ, то первая даетъ совершенно правильное опредѣле-
ніе геометрической прогрессіи, которое можно было бы передать
на современномъ языкѣ такъ: „если мы возьмемъ два какихъ-ли-
бо (сосѣднихъ) члена геометрической прогрессіи и раздѣлимъ одинъ
на другой, то получимъ такое число (пропорціи), умножая на ко-
которое данный членъ прогрессіи, будемъ получать слѣдующій“.
Очевидно далѣе, что авторъ не различаетъ возрастающей и убы-
вающей прогрессіи, но говоритъ такъ, что если полученное число
будетъ больше 1, то мы будемъ получать возрастающіе члены, т.-е.
двигаться вправо, а если меньше 1, то убывающіе члены; сама же
прогрессіи остается одна и та же.
Въ настоящее время мы обозначаемъ буквами члены про-
грессіи и выводимъ формулы для полученія любого члена
un=u,qn~1 и суммы всѣхъ ея членовъ S, =Uft^““--1. Такихъ фор-

мулъ Магницкій не зналъ, и потому онъ долженъ былъ прибѣгать
къ описательному пріему въ вычисленій. Онъ ставитъ себѣ рядъ
задачъ, изъ которыхъ въ первой требуется найти сумму прогрес-
сій, имѣющей крайними членами (случися быти краемъ) 4 и 8748;
знаменатель 3. Въ слѣдующей задачѣ ищетъ послѣдній членъ по
даннымъ щ, sw и q. Дальше отыскиваетъ и, при чемъ прогрессія
вездѣ берется одна и та же. Всѣ эти задачи онъ рѣшаетъ по при-
веденной второй формулѣ. Эта формула есть уравненіе первой сте-
пени по отношенію къ каждому изъ своихъ членовъ, и легко до-
гадаться ариѳметически, какъ вычислить каждый ея членъ, но ког-
да мы возьмемъ первую формулу uw=u1qn~l, то по отношенію къ
η получаемъ показательное уравненіе, а по отношенію къ q—урав-
неніе высшихъ степеней. Такія задачи не рѣшаются ариѳмети-
чески, и для Магницкаго онѣ представляли непреодолимую труд-
ность. Чтобы опредѣлить η, онъ дѣлитъ uw на q и считаетъ, сколько
дѣленій возможно: 8748 можно 7 разъ раздѣлить на 4, следова-
тельно, говоритъ онъ, число членовъ будетъ 8. Но когда ему надо
было опредѣлить q, то онъ дѣлаетъ нелѣпость: онъ дѣлитъ и,г на
и,, получаетъ q“-1 равно 2187. Теперь, такъ какъ п=8, то онъ
дѣлитъ 2187 на 7 и говоритъ, „что во остаткахъ будетъ, то есть
3
и разнство“. Получается 312 -=-: „остатокъ сирѣчь 3 есть разн-
ство въ семъ прогрессій“. Здѣсь слово „разнство“ употреблено
несогласно съ установленной имъ терминологией и какъ будто
показываетъ, что въ данной задачѣ самъ авторъ не былъ увѣренъ
въ себѣ и рѣшилъ ее по аналогіи съ ариѳметической прогрессіей,
гдѣ uM=U1+d (η—1). Онъ вмѣсто вычисленія un— ut дѣлаетъ дѣ-
леніе и думаетъ un:u19 что q получился какъ остатокъ отъ дѣле-
нія частнаго — на η—1 *). Это неумѣніе рѣшить такую задачу
приводитъ меня къ мысли, что Магницкій не былъ знакомъ съ со-
чиненіемъ Непера и не зналъ логариѳмовъ. При такомъ предпо-
ложеніи тѣмъ любопытнѣе становится рѣшеніе задачи, помѣщен-
ной въ концѣ статьи о прогрессіяхъ. Задача слѣдующая: „Нѣкій
человѣкъ продаде коня за 156 рублей, раскаявся же купецъ нача
отдавати продавцу глаголя: яко нѣсть мнѣ лѣпо взяти сицеваго
коня недостойнаго таковыя высокія цѣны: продавецъ же предложи
*) Эта ошибка возбуждаетъ довольно важный вопросъ: содержится ли она
въ иностранныхъ руководствахъ, и какъ тамъ рѣшается этотъ вопросъ? Если
и тамъ содержится та же ошибка, то, значитъ, во времена Магницкаго было
труднымъ отысканіе показателя, несмотря на то, что были уже извѣстны ло-
гариѳмы Непера. Если ея тамъ нѣтъ, то это показываетъ, что всѣ рѣшенія
задачъ принадлежатъ лично Магницкому.

ему ину куплю глаголя: аще ти мнится велика цѣна сему коню
быти, убо купи только гвоздіе ихже сей конь имать въ подковахъ
своихъ ногъ, коня же возми за тою куплею въ даръ себѣ. А гвоз-
дей во всякомъ подковѣ по шести и за единъ гвоздь даждь ми еди-
ну полушку, за другой же двѣ полушки, а за третій копейку, и
тако всѣ гвозди купи. Купецъ же видя столь малу цѣну и коня
хотя въ даръ себѣ взяти, обѣщася тако цѣну ему платити, чая
не больше 10 рублевъ за гвоздіе дати. И вѣдателно есть: коли-
кимъ купецъ проторговался?“
Приводя эту задачу, г-нъ Бобынинъ говоритъ: *) приведенная
задача, по всей вѣроятности, русскаго происхожденія. Какъ пред-
ставляющая варіантъ извѣстной задачи о наградѣ изобрѣтателя
шахматной доски, она должна быть отнесена къ числу тѣхъ мно-
гочисленныхъ варіантовъ этой задачи, которые находятся въ ариѳ-
метическихъ рукописяхъ XVI] ст. (напр., въ рукописи Румянцев-
скаго Музея изъ собранія Ундольскаго № 682). Если это такъ,
то разсматриваемая задача могла быть или составлена самимъ
Магницкимъ или же заимствована имъ изъ какой-нибудь рукописи“.
Но если эта задача русскаго происхожденія, то рѣшеніе ея за-
служиваетъ полнаго вниманія. Магницкій не даетъ всего вычисле-
нія, но показываетъ методъ и приводитъ окончательный резуль-
татъ 4178703-^- копейки. Онъ составляетъ три ряда:
1.2.3.4.5.6.7.8 и прочая числа мѣстъ,
1.2.4.8.16.32.64.128 геометрическое сугубое прогрессіо.
0.1.2.3.4.5.6.7 знаменованіе.
Здѣсь мы встрѣчаемъ новое слово „знаменованіе“, которое но
своему значенію есть показатель степени, въ которую надо воз-
высить 2, чтобы получить соотвѣтственно членъ прогрессіи. По-
томъ онъ говоритъ: „и аще изъ сего единъ на десятое мѣсто про-
грессіи обрѣщи желаемы, си есть число еже противъ 10 знамено-
вательныхъ чиселъ стали имать: и ты твори сице: умножи число
еже стоитъ противъ 5, си есть 32 квадратно, яко 32 съ 32, при-
детъ 1024, ихже раздѣли въ первый предѣлъ 1, и придетъ 1024,
еже будетъ и единодесятое мѣсто, противъ 10 знаменованій, по-
томъ обрѣтай 21 мѣсто, еже противъ 20-го числа знаменованій
стоитъ, такожде умножая число 1024 само въ себе придетъ 1048576,
и раздѣли въ первое мѣсто, и будетъ то же въ 21 мѣстѣ, и сіе
еще умножь 8 якоже четвертымъ мѣстомъ и въ первое такожде
раздѣли, и придетъ тоже, сирѣчь 8388608 къ 24 мѣсту, еже есть
*) Физ.-мат. наука въ наст, и прошл. T. VIII, 1889 г. 1-ая четв. Стр. 35.

послѣдній предѣлъ“. Далѣе отыскивается сумма по первому образ-
цу. Обобщая это рѣшеніе, г. Бобынинъ даетъ формулу его
1 2n+і=Щ*п== — ,а(^ • Заканчивая этимъ раз-
смотрѣніе прогрессіи, мы видимъ, что все ученіе о процессіяхъ
отличается отъ современнаго только отсутствіемъ формулъ. Число-
выя данныя задачъ требовали отъ автора особыхъ вычисленій, а
потому каждая задача имѣла и индивидуальное рѣшеніе. Заслуга
Магницкаго состояла, быть-можетъ, не только въ томъ, что онъ
познакомилъ русскую публику съ ученіемъ о процессіяхъ, но и
въ томъ, что само ученіе онъ переработалъ и возбудилъ рядъ во-
просовъ въ этомъ направленіи.
Предѣленіе второе. О радиксѣ квадратномъ. Это предѣленіе
распадается на три части: на изложеніе правила извлеченія кв.
корней, на геометрическія приложенія и на замѣтку о десятич-
ныхъ дробяхъ... Г. Бобынинъ, разсматривая эту статью, говоритъ:
„статья о квадратныхъ корняхъ не могла составить новость въ
русской литературѣ, такъ какъ почти всегда излагалась въ XVII ст.
въ рукописяхъ по землемѣрію. Но мы не находимъ ея въ ариѳ-
метикахъ этой эпохи. Вслѣдствіе этого новостью единственно явля-
ется сдѣланное Магницкимъ по примѣру иностранныхъ учебниковъ
введеніе и въ свою „Ариѳметику“. Такъ же, какъ новинка по срав-
ненію съ изложеніемъ землемѣрныхъ рукописей... можно указать на
разсмотрѣніе геометрическаго значенія квадратнаго корня и ква-
драта и на изложеніе, кромѣ употребительнаго въ упомянутыхъ ру-
кописяхъ способа извлеченія кв. корня, еще и другого, именно
того, который употребляется и въ настоящее время“ *). По поводу
этого замѣчанія я долженъ сказать, что вопросъ объ „иностран-
ныхъ руководствахъ“ долженъ быть откинутъ, ибо нѣтъ такого ру-
ководства, которому бы слѣдовалъ въ своемъ изложеніи Магницкій,
и, очевидно, не эта причина заставила его включить въ свой курсъ,
и именно въ конецъ первой части, квадратные и кубичные корни.
Этой причиной, какъ я уже говорилъ выше, была логическая не-
обходимость построенія самаго курса. Вторая часть, „алгебрумъ“
именуемая, есть ученіе о числѣ отвлеченномъ, а первая—о числѣ
именованномъ; корень есть число именованное, какъ то ясно слѣ-
дуетъ изъ геометрическихъ приложеній; слѣдовательно, его
мѣсто есть конецъ первой части. Такая точка зрѣнія Магниц-
каго ясно видна изъ замѣтки о десятичныхъ дробяхъ, равно и изъ
самаго опредѣленія корня.
*) ibid, стр. 36.

„Что есть радиксъ квадратный“?—спрашиваетъ Магницкій, и
отвѣчаетъ: „Радиксъ есть число яковыя либо четверобочныя и
равномѣрныя фигуры или вещи единъ бокъ содержащее. И того
ради радиксъ или корень именуется, зане отъ него вся пропорція
всея алгебры начинается или раждается, и егда сіе число само въ
себѣ множится, тогда произведеніе его нарицается число квадрат-
ное или четвертный радиксъ, зане всея равночетверобочныя су-
щія фигуры вся арея, или плоскость въ томъ произведеніи числа-
ми познавается, якоже егда радиксъ будетъ или единъ бокъ яко-
выя либо равномѣрныя фигуры 10 саженъ, или стопъ, или съ дру-
гимъ равнымъ ему, и тогда производится геометрическое число,
или квадратное, яко же сіе 10 множено съ 10, ихже произведеніе
есть 100 еже есть число квадратное или всея оныя равномѣрныя
фигуры во всей ареи равномѣрныхъ же яковыхъ либо мѣръ,
якоже здѣ 10
10
100 еже есть во всей равномѣрной фигурѣ равномѣрныя
же мѣры“.
Къ этому приложенъ чертежъ квадрата, сторона котораго раз-
дѣлена на 10 равныхъ частей, а площадь на 100 равныхъ частей.
„Аще же вся такая арея дана будетъ къ познанію единаго
ея бока въ числахъ. И той бокъ искомый познается черезъ из-
влеченіе радикса квадратнаго“. Итакъ, радиксъ квадратный есть
бокъ площади, площадь же есть величина, измѣряемая единицей
площадей, т.-е. число именованное, a слѣдовательно, и бокъ ея,
т.-е. корень, есть также число именованное.
Переходя теперь къ десятичнымъ дробямъ, мы видимъ здѣсь
логическое пополненіе только-что изложеннаго. „Здѣ потребно
есть, говоритъ Магницкій, кратко о иномъ чинѣ ариѳметики рещи,
яже децималь или десятная именуется, сирѣчь въ десятныхъ ча-
стяхъ, или въ сотыхъ, или въ тысячныхъ и множайше“. Отсю-
да видно, что десятичныя дроби составляютъ иной чинъ ариѳме
тики; это не дробь въ томъ смыслѣ, какъ она вошла въ курсъ
ариѳметики, это нѣчто особое, необходимое исключительно для ге-
ометрическихъ вычисленій, т.-е. непосредственно примыкающее къ
кв. корнямъ. „Понеже мнози сей чинъ“, продолжаетъ Магницкій,
„пріемше употребляются всякихъ геометрическихъ фигуръ во иска-
ніи количества линій и арей или суперфицій плоскихъ, и въ семъ
чинѣ пріемлютъ десятныя части аще: всякій сажень геометриче-
скій или мѣра яже германски нарицается рута *) имать въ себѣ
*) См. это слово въ словарѣ Брокгауза. Присутствіе десятичиыхъ дѣле-
ній мѣръ длины въ Германіи показываетъ, что десятичная система не есть
плодъ спеціально метрически, а была гораздо ея ранѣе.

10 стопъ или футовъ, стопа же 10 цоль или пальцевъ, палецъ же
10 гранъ или зеренъ, зерно же 10 скрупуль или дробей. И тако
во единой рутѣ исчисляется дробныхъ 1000 мѣръ, яже именуются
скрупули". Итакъ, этотъ особый чинъ арифметики еще не общепри-
нята; онъ принятъ только многими и исключительно для потреб-
ностей геометрическихъ вычисленій, но свойства этого чина тѣ же,
что и обычныхъ дробей, только онъ можетъ примѣняться въ тѣхъ
особыхъ случаяхъ, когда за единицу измѣренія мы возьмемъ дро-
бящуюся на 10 частей, какова нѣмецкая рута. Эту послѣднюю мысль
Магницкій поясняетъ такъ: „и егда сицевымъ чиномъ творится,
значатся вся сія мѣры сугубыми признаки: сирѣчь въ линійныхъ
количествъ исканіи суть особныя признаки, иже значатъ десятныя
части, уступающе но единому характиру сущаго количества числъ,
въ суиерфиціяхъ же плоскихъ по два, якоже послѣдовательно узри-
ши ясно
0 рута
1 футы
2 цоли
3 граны
Въ линейныхъ количествахъ сицевы
суть признаки
4 скрупулы.
0 руты
2 футы
4 цоли
6 граны
Въ суперфиціяхъ же плоскихъ сице .
8 скрупулы.
Въ линейныхъ количествахъ пишется: якоже обычно
РУ
ФУ
цоли
гра
скруп
82 .
3 .
9
3
8 |4
200.000 [3
24 [0
толико скрупулъ или дробей
толико гранъ
толико рутъ.
Въ суперфиціяхъ же по два характера уступающе именованіе
пріемности.
РУ
футы
цоли
гра
скруп
35 .
97 .
43 .
54 .
62 [8 толико есть скрупулъ или дробей
200.0000 |4 толико есть цоль."
Далѣе онъ излагаетъ правила дѣйствій .надъ десятичными дро-
бями въ очень краткомъ видѣ безъ всякихъ примѣровъ.
Надо отмѣтить, что такая краткость изложенія и неясность
хода всего разсужденія объясняется тѣмъ, что во время Магниц-
каго ученіе о десятичныхъ дробяхъ представляло собою новинку
и имѣло значеніе лишь въ качествѣ приближенныхъ вычисленій.
Эту же цѣль ставитъ и Магницкій, показывая съ большой подроб-
ностью, какъ извлекается квадратный корень съ той или иной сте-
пенью точности въ десятичныхъ доляхъ. Такимъ образомъ, все объ-

ясненіе правила извлеченія какъ точныхъ кв. корней, такъ и при-
ближенныхъ вполнѣ совпадаетъ съ современнымъ ученіемъ, и можно
сказать, что это ученіе отъ временъ Магницкаго дошло до нашихъ
дней въ совершенно неизмѣненномъ видѣ.
Здѣсь не безынтересна историческая справка о томъ, какъ
вошли въ жизнь десятичныя дроби. „Около середины XII столѣ-
тія Іоаннъ Севильскій для приближеннаго вычисленія квадратнаго
корня приписываетъ къ числу 2 η нулей, находитъ кв. корень и
принимаетъ его за числителя дроби, знаменателемъ которой слу-
житъ 1 съ η нулями. Тѣмъ же методомъ пользовался и Карданъ.
Однако, этотъ методъ, но словамъ историка Кэджори*), не полу-
чилъ всеобщаго распространенія, такъ какъ о немъ совершенно
не упоминаетъ Cataldi (γ 1626 г.) въ сочиненіи, посвященномъ
исключительно извлеченію корней. Orontius Finacus во Франціи
и William Buckley (γ 1550) въ Англіи извлекали кв. корни такъ же,
какъ и Карданъ.
Мы уже видѣли, что въ сочиненіи Магницкаго нахожденіе
кв. корня съ данной степенью точности опредѣляется но методу
Іоанна Севильскаго или Кардана. Зналъ ли онъ объ этихъ рабо-
тахъ или пользовался позднѣйшими источниками? Во всякомъ
случаѣ онъ не пользовался методомъ Orontius'a, такъ какъ этотъ
послѣдній, приписавъ къ числу 6 нулей и найдя величину корня
съ точностью до тысячныхъ долей, переводитъ далѣе эту точность
но шестидссятитысячнымъ дѣленіямъ. Но, можетъ-быть, позднѣй-
шіе авторы дали Магницкому эту идею? Изобрѣтатель десятичныхъ
дробей былъ Симонъ Стевинъ (1548—-1620), который въ 1585 году
издалъ книгу La Disme, содержащую только 7 страницъ, въ ко-
торой и были объяснены десятичныя дроби съ приложеніемъ къ
нимъ всѣхъ дѣйствій ариѳметики. Онъ говорилъ восторженно не
только о десятичныхъ дробяхъ, но также о десятичномъ дѣленіи
мѣръ и вѣсовъ и полагалъ, что государства обязаны были уста-
новить такую систему мѣръ. La Disme было переведено на англій-
скій языкъ Ричардомъ Нортономъ въ 1608 году. Послѣ Стевина
десятичныя дроби употребляли Joost Bürgi, швейцарецъ, остави-
вшій рукописное сочиненіе по ариѳметикѣ, написанное въ 1592 г.
Johann Hartmann Beyer въ 1603 году напечаталъ во Франк-
фурта на Майнѣ Lqgistica Decimalis, но считалъ эти дроби своимъ
собственнымъ изобрѣтеніемъ и, очевидно, не зналъ о предыдущихъ
работахъ по этому вопросу. Таково было начало новаго ученія
объ „иномъ чинѣ ариѳметіки'*.
Продолжая этотъ обзоръ, Кэджори говоритъ въ заключеніе:
*) Кэджори. „Исторія элемент, мат.“. Одесса. 1910. Стр. 159.

„Мы должны отнести къ первой четверти XVIII-ro вѣка не только
полную и окончательную побѣду десятичной точки *), но также и
побѣду общеупотребительныхъ теперь способовъ производства дѣй-
ствій дѣленія—извлеченія квадратнаго корня" **).
Послѣ такого авторитетнаго заявленія англійскаго историка
мы можемъ сказать, что нашъ авторъ едва ли почерпнулъ свои
знанія изъ какого-либо западнаго руководства по ариѳметикѣ, и
должны думать, что его ученіе о десятичныхъ дробяхъ есть плодъ
знакомства съ первоисточниками. Свой методъ отысканія прибли-
женнаго значенія кв. корня онъ заимствовалъ или у Кардана, а
еще вѣроятнѣе у Іоанна Севильскаго и поставилъ его въ концѣ
статьи о кв. корняхъ какъ нѣчто, составляющее одно цѣлое съ
этой статьей. Далѣе, авторъ нашелъ возможнымъ познакомить чи-
тателя съ „инымъ чиномъ ариѳметики" и ввелъ дополнительную
статью, позаимствовавъ ее у Беера или у Стевена, но перерабо-
тавъ сообразно своему изложенію. На это обстоятельство указы-
ваетъ способъ написанія десятичныхъ дробей.
Стевинъ и Вееръ означаютъ цѣлую часть знакомъ 0, десятыя
доли 1, сотыя 2 и т. д. Они пишутъ 123, 4598 въ такомъ видѣ
0
1
II
III
IV
123 .
4 .
5 .
9 .
8.
Магницкій это число написалъ бы въ именованномъ видѣ
рут
фут
цола
гран.
скуп.
123 .
4 .
5 .
9 .
8
[
4.
Эти точки между числами и поставленное сбоку |4 очень
сближаютъ эти два обозначенія, но наименованія дѣлаютъ способъ
Магницкаго какъ бы продолженіемъ идеи Стевина.
Я позволю себѣ здѣсь же сказать и объ извлеченіи корня
кубичнаго, что составляетъ уже „предписаніе третіе", a потомъ
скажу о геометрическомъ приложенія какъ квадратныхъ, такъ
и кубическихъ корней. Это „предѣленіе" я изложу словами г.
Бобынина.
„Кубичные корни, какъ и квадратные, не были новостью въ
русской математической литературѣ. Хотя и гораздо рѣже, но они
все-таки встрѣчаются въ рукописяхъ XVII столѣтія болѣе позд-
няго времени. Мы нашли ихъ, напр., въ заключеніи землемѣрной
части рукописи Румянцевскаго Музея № 682 (изъ собранія Ундоль-
скаго). Уступая кв. корнямъ въ распространеніи, они превосхо-
дили ихъ полнотою изложенія, что, можетъ-быть, слѣдуетъ разсма-
тривать какъ косвенное свидѣтельство ихъ болѣе поздняго по-
*) У англичанъ цѣлая часть отъ десятичной отдѣляется точкой.
*·) Кэджорн, стр. 163.

явленія на русской почвѣ*). Дѣйствительно, въ то время, какъ при
разсмотрѣніи кв. корней совсѣмъ не давалось понятія объ ихъ
геометрическомъ значеніи, изложеніе куб. корней именно съ этого
и начиналось, хотя бы и въ такой краткой формѣ, какъ „счетъ
геометрическаго разума, сирѣчь корени осьмоугольного, еже есть
въ длину и въ ширину и въ высоту и въ глубину ровного, яко
сице кубикъ“. Какъ и слѣдовало ожидать, въ виду непосредствен-
наго знакомства Магницкаго съ нѣкоторыми изъ иностранныхъ
руководствъ, онъ знакомитъ своихъ читателей съ геометрическимъ
значеніемъ куб. корня гораздо болѣе полнымъ образомъ, чѣмъ
приведенная выписка. „Радиксъ кубичный“, говоритъ онъ, „есть
якоже и квадратной едина фигуры страна, но кубичного корпуса
сирѣчь шестеробочного нѣкоего тѣла треразмѣрного, еже долготу,
широту и глубину имать равную, его же сице единъ бокъ дается въ
числахъ, ихже двое кратно само же ся умноживъ обрящеши сего всея
толстоты количество яко же единъ бокъ есть числомъ 8, его же
умноживъ квадратно и обрящеши 64, еже паки аще умножиши
черезъ тоже 8 и будетъ 512, еже есть всего того корпуса или куба
толстоты количество“. Все изложеніе иллюстрировано изображе-
ніемъ куба. Приведя затѣмъ квадраты и кубы первыхъ десяти
чиселъ, авторъ переходитъ къ извлеченію куб. корней изъ цѣлыхъ
раціональныхъ чиселъ. Какъ и въ статьѣ о кв. корняхъ, Магниц-
кій даетъ два пріема появленія куб. корня изъ точныхъ кубовъ.
Оба они основаны на тождествѣ (a-j-b)3=a3-|-3аab-}-3 ab2-j-b3, но
отличаются отъ пріема, даннаго въ рукописи Рум. Музея и также
основаннаго на этой формулѣ. Замѣчательно, что послѣдній, не-
смотря на свое нахожденіе въ болѣе древней рукописи, гораздо
ближе подходитъ къ современному, чѣмъ пріемы Магницкаго.
Первый изъ этихъ пріемовъ Магницкаго впервые появился въ
книгѣ Петра Апіона, напечатанной въ 1527 году въ Ингольштадтѣ.
Онъ изложенъ у Магницкаго по обыкновенію на примѣрѣ и безъ
всякаго доказательства слѣд. образомъ: „Аще дано будетъ ко извле-
*) Лично я думаю, что это едва ли вѣрно. Недостатокъ изслѣдованій
математич. знаній въ Россіи мѣшаетъ установить ту критическую точку зрѣ-
нія, съ которой только и можно было бы устанавливать подобныя положенія.
Я лично думаю, что вмѣстѣ съ торговлей въ Россію давно проникла и араб-
ская математика, а, слѣд., и извлеченіе куб. корня. Рукописи не восходятъ
далѣе XVII вѣка, но содержаніе ихъ показываетъ, что ни одна изъ нихъ не
есть списокъ съ заграничныхъ западныхъ руководствъ, а потому нѣтъ ничего
невѣроятнаго и въ томъ, что онѣ содержатъ на ряду съ западной и русскую
литературу.

ченію кубичнаго радикса сицевое число 627222016 и тогда начни
отъ правыя руки къ лѣвой ставити точки черезъ два характира,
сирѣчь съ перваго на четвертый, и тако до края, иже съ лѣвой
руки, якоже и въ квадратномъ сице: 627222010 и елико точекъ
будетъ надъ всѣмъ перечнемъ или внизу, или вверху, толико во
извлеченіи за черту и характировъ выдетъ сирѣчь аще три точки
будетъ подъ перечнемъ, то три числа и за чертою будетъ, якоже
ниже узриши и умствуй отъ лѣвыя руки до точки, сирѣчь въ 627
колико будетъ радиксъ кубичный и приискреное тѣмъ числамъ
обрящеши въ вышеписанной таблицѣ 512, его же радиксъ есть 8
и сіе постави за чертою къ правой рукѣ, а 512 надъ 627.
62722201 (>[8 и вычитай 512 изъ 027 и останется 115, потомъ
ищи новаго дѣлителя, умножи радиксъ 8 квадратно будетъ 64 и ты
оба сія 8 и 64 умножи черезъ 3 еже потребно есть ко извлеченію
кубика яко же всегда тако со-
держится и новообрѣтенные зна-
менатели 192 и 24 стави, 192
прямо подъ 1152, а 24 подъ 192,
уступая отъ лѣвыя руки по еди-
ному характиру, якоже видиши.
Та же умствуй, колико мощно
имѣти и въ 11-ти, придетъ 5 я
сіе постави на лѣвой рукѣ про-
тивъ 192 и паки то 5 квадратно
будетъ 25 еже постави на лѣ-
вой же рукѣ противъ 24, потомъ
множи 192 черезъ 5 будетъ 960
и 25 черезъ 24 будетъ 600, также
взятое 5 множи кубически, бу-
детъ 125, иже вся три перечня постави надъ чертою единъ подъ
другій, уступая по единому характиру къ правой рукѣ якоже есть.
A потомъ сведи ихъ во единъ же перечень подъ черту, и будетъ
102125 и сіе вычти изъ 115222 останется 13097, a потомъ ищи
иного дѣлителя сице: множи 85 квадратно придетъ 7225, то же
множи обои 7225 и 85 черезъ 3 и будетъ 21675 и 255, ихже по-
стави подъ 13097 что на верху единъ подъ другой уступивъ ха-
рактиръ яко же выше и умствуй паки коликожды можно взять
2 изъ 13, придетъ 6, еже постави за чертою на лѣвой рукѣ про-
тивъ 21675, паки множи тоже 6 квадратно будетъ 36 еже постави
противъ 255 на лѣвой же рукѣ и множи 21675 черезъ 6 и 255

черезъ 36 и будетъ 130050 и 9180 паки множи 6 кубически бу-
детъ 216 которыя вся перечни стави единъ подъ другимъ уступая
яко же велие и сложи всѣ во едино и будетъ 13097016 ихже сице
вычтеши изверхняго придетъ на цѣль и есть сіе извлеченіе совер-
шенно имже изобрѣлъ радиксъ кубичный 856 изъ 627222016 и
вышелъ исцѣло". За этимъ изложеніемъ слѣдуетъ примѣненіе его
къ числу 492290459136.
Второй пріемъ Магницкаго примѣняется къ тѣмъ же число-
вымъ примѣрамъ, но безъ всякаго объясненія. „Въ зап.-евр. ли-
тературѣ", говоритъ г. Бобынинъ, „этотъ пріемъ впервые появился
въ книгѣ Валентина Менгера въ 1556 году. Вотъ какъ онъ при-
веденъ у Магницкаго
Приведя этотъ примѣръ, Магницкій переходитъ къ нахожденію
приближенныхъ числовыхъ значеній кубическихъ корней и даетъ
два способа. Первый изъ нихъ можетъ быть выраженъ формулой
*) и описывается
слѣдующими словами: „Егда же таковое число прилучится изъ
него же на цѣло или наравно извлещи невозможно и по извлече-
ніи цѣлыхъ останутся въ доляхъ, ихъ же количество подобаетъ
означити тако: егда творится извлеченіе по настоящей наукѣ, и
которыми числы послѣднее вычитаеши изъ перваго перечня и къ
тѣмъ числамъ перечень, что вышелъ за черту умноживъ всегда
*) Формула дана г. Бобынинымъ. Въ рукописи P. M. иной способъ, ко-
торый можно подвести подъ такую формулу:
3(a-f-b)2

6-ю и приложивъ поставишъ подъ остатки, якоже творилъ извлецая
изъ 9265 и пришло ми 21 и 4 въ доляхъ и тѣ цѣлыя 21 мно-
жилъ черезъ 6 и пришло ми 126 ихже приложилъ къ 1261, имиже
послѣднее вычиталъ изъ болшого перечня и пришло ми всего 1387
ихъ же подложилъ подъ 4 и есть 21 яко же послѣдуетъ.
Второй пріемъ представляетъ собою обычный пріемъ нахо-
жденія числового значенія куб. корня съ точностью до 0,01. Здѣсь
любопытно только то, что въ вычисленій |/25585 съ точностью
до 0,01 Магницкій результатъ означаетъ 29.46, употребляя англій-
скій знакъ десятичной дроби. Однако, едва ли здѣсь можно искать
какихъ-либо подражаній; мнѣ кажется, что какъ и прежде онъ
отдѣлялъ руты отъ футовъ точкой, такъ и здѣсь онъ просто ста-
витъ точку, чтобы отдѣлить цѣлую часть отъ дробной. Въ оконча-
46
тельномъ отвѣтѣ онъ пишетъ 29
Вся эта мелкая подробность любопытна тѣмъ, что въ школь-
ной практикѣ, очевидно, быстро отпали наименованія: руты, футы,
доли и прочее, а осталась точка, отдѣляющая цѣлую часть числа
отъ дробной. Я склоненъ думать, что ученики Магницкаго также
хорошо обращались съ десятичными дробями, какъ это дѣлаемъ и
мы. Это обстоятельство важно потому, что первые годы XVIII го
вѣка какъ въ Зап. Евр.,такъ и у насъ пошли на уясненіе удоб-
ства новаго способа вычисленій.
Заключеніемъ статьи объ извлеченіи куб. корня служитъ извле-
ченіе изъ дробей, за которымъ уже слѣдуютъ геометрическія при-
ложенія. Авторъ ограничивается разсмотрѣніемъ только двухъ глав-
ныхъ случаевъ, когда дробь—точный кубъ и когда—неточный.
Первый случай не представляетъ ничего особеннаго; что же ка-
сается до второго, то онъ пользуется правиломъ умноженія числи-
теля на квадр. знаменателя и извлекаетъ корень изъ полученнаго
произведенія съ точностью до 1; найденный результатъ дѣлится
на знаменателя. Такой пріемъ не находится въ рукописяхъ.
Резюмируя теперь все изложенное, мы видимъ, что статья о
квадр. и куб. корняхъ изложена Магницкимъ съ исчерпывающей
полнотой, и его ученики, очевидно, хорошо умѣли извлекать эти
корни. Само изложеніе представляетъ собою крупный методическій
вкладъ въ русскую математическую литературу.
Геометрическія приложенія. Въ методическомъ отношеніи
эти геометрическія приложенія правилъ объ извлеченіи корня— едва ли
не болѣе крупный шагъ впередъ, чѣмъ изложеніе правилъ объ
извлеченіи корней. Современные методисты вновь приходятъ къ

той мысли, что геометрія должна быть связана съ ариѳметикой.
И любопытно то, что мысль, основная идея современныхъ мето-
дистовъ, почти совпадаетъ съ основной мыслью Магницкаго. Со-
временный методистъ думаетъ, что число и дѣйствія надъ нимъ
будутъ тѣмъ яснѣе для ребенка, чѣмъ конкретнѣе, ближе къ жизни
будетъ содержаніе тѣхъ задачъ, какія предлагаются въ курсѣ ариѳ
метики. Магницкій озаглавливалъ свои приложенія: „О прикладахъ
потребныхъ къ гражданству, яже черезъ извлеченіе квадрата тво-
рятся“. Правда, что только это давало ему право считать корни
принадлежащими ариѳметикѣ, а сама идея числа выходила изъ
сложнаго философскаго построенія. Ариѳметическое число, съ его
точки зрѣнія, можетъ быть только именованнымъ, и если кв. корень
есть число, то это—число именованное, имѣющее жизненное, прак-
тическое значеніе. Какіе же практическіе вопросы сюда относятся?
Магницкій даетъ 36 задачъ, изъ которыхъ первыя 4 занимаются
вычисленіемъ стороны прямоугольнаго треугольника по двумъ дру-
гимъ на основаніи теоремы Пиѳагора. Прямоугольный треугольникъ
въ этихъ задачахъ образуется стѣной зданія, приставленной къ
ней лѣстницей и разстояніемъ между ихъ основаніями. Каждая
задача снабжена рисункомъ, при чемъ умышленно или по недо-
смотру конецъ лѣстницы выступаетъ надъ башней; въ четвертой
задач в вмѣсто башни взятъ колодезь, въ который опущена лѣст-
ница, и требуется опредѣлить глубину колодца. Слѣдующія 12 за-
дачъ посвящены вопросамъ, связаннымъ съ измѣреніемъ площадей
квадрата и прямоугольника; эти задачи заимствуютъ свое содер-
жаніе отъ построенія полковъ и армій въ квадратныя и прямо-
угольныя карре. Каждая изъ нихъ иллюстрирована подходящимъ
рисункомъ. Площадь прямоугольника въ большинствѣ случаевъ
опредѣляется, сколько разъ въ немъ содержится площадь квадрата.
На эти задачи слѣдуетъ обратить особое вниманіе въ методи-
ческомъ отношеніи. Представленіе площадей вообще трудно; эту
трудность какъ будто очень ясно представлялъ себѣ Магницкій, а
потому свой отдѣлъ о площадяхъ онъ начинаетъ съ разстановки
людей на опредѣленномъ пространствѣ. Его первая задача слѣ-
дующая: „Въ древняя лѣта нѣцый обычай имяху ополченія четверо-
странно и равномѣрно поставляти и въ такомъ обыкновеній аще бы
кто великій господинъ имѣя воинскихъ людей 50176 и восхотѣлъ бы
вѣдати въ равномѣрномъ томъ устроеніи колико шереногъ и по
колику человѣкъ въ шеренгѣ?“ Площадь, заставленная людьми въ
ихъ воинскомъ построеніи, даетъ идею не только массы, но и про-
странства, занятаго этими людьми; эта идея есть наипростѣйшая
для представленія площади. Установивъ представленіе площади на

наиболѣе простой задачѣ, онъ переходитъ къ болѣе сложной:
„Нѣкто наполный господинъ имяше ратныхъ людей 57122 чело-
вѣкъ, и хощетъ ихъ таковымъ строемъ поставити, яко да будетъ
оно ополченіе двократно въ долготу и единократно въ широту.
И вѣдателно есть колико шереногъ и во всякой шеренгѣ человѣкъ
будетъ въ томъ воинствѣ?“ Очевидна связь этой задачи съ преды-
дущей: здѣсь сложены два квадрата, а потому, раздѣливъ площадь
пополамъ, получимъ предыдущую задачу. Такъ осложняя мало-по-
малу условія задачи, онъ, очевидно, иринужденъ измѣрять площади
квадратами. Очевидно, что это есть методическій пріемъ, на кото-
ромъ учащійся усваиваетъ понятіе о площади и ея измѣреніи.
Въ дальнѣйшемъ онъ вновь возвращается къ задачамъ на измѣре-
ніе площадей прямоугольниковъ (25—32), выбирая содержаніемъ
посадку деревьевъ въ саду, настилку пола камнемъ, размѣръ зе-
мельныхъ участковъ; но здѣсь измѣреніе площади дается какъ
произведеніе основанія на высоту. Чтобы привести учащагося къ
этому понятію, онъ отъ площадей переходитъ къ поверхностямъ и
въ задачахъ 17 и 18 опредѣляетъ боковую поверхность конуса,
который заданъ въ видѣ шатра. Въ задачѣ 17 дано: окружность
основанія и производящая, a въ—18 діаметръ основанія и высота.
Обѣ задачи рѣшаются по формулѣ —гдѣ г—радіусъ основа-
нія, и а—производящая конуса. Въ первой окружность дана, дана
производящая, и вся задача не представляетъ трудности; вторая
задача не такъ проста. Въ рѣшеніи этой задачи есть, очевидно,
описка, а потому я приведу ее цѣликомъ съ ея рѣшеніемъ*).
.,Паки иный полковникъ повелѣ себѣ шатеръ состроити, его же
перпендикуляръ, сирѣчь высота, да будетъ 16 стонъ, внизу же
діаметръ 24 стоны, и хощетъ взять крашенины ктому, ея же ши-
рота 1~ аршина, a всякій аршинъ по 4 алтына. И вѣдателно
есть колико аршинъ на сей шатеръ потребно взять и колико де-
негъ за ню платити, придетъ 377-^- аршина, a денегъ за кра-
шенину 45 рублевъ 8 алтынъ 2-у- денги. A изобрѣтай сице: множи
квадратно 16 стопъ и придетъ 256, потомъ множи 12 копеекъ
(очевидно, описка, числа 12 копеекъ въ задачѣ нѣтъ, и не въ духѣ
Магницкаго ставить число безъ вычисленій, если оно не дано въ
*) Г. Бобынинъ думаетъ, что Магницкій далъ невѣрное рѣшеніе этой
задачи, но очевидно, что это невѣрно; просто онъ допустилъ опечатку: вмѣсто
12 стопъ напечаталъ 12 копеекъ.

адачѣ; слѣдуетъ читать 12 стоит), придетъ 144, ихже сложи во-
едино 256 и 144 и будетъ 400, его же квадратный радиксъ есть
20, потомъ обрѣтай окруженіе шатра сице: 7 даде ми 22, что
дастъ 24, и придетъ 75-у стопъ (здѣсь авторъ принимаетъ
π= 22/7 и разсуждаетъ по тройному правилу: если діаметръ раздѣ-
ленъ на 7 частей, то въ окружности такихъ частей будетъ 22;
какъ велика будетъ окружность, когда діаметръ 24 стопы?), еже
умножи 20-ю что радиксомъ извлеклъ и придетъ 1508 4/7 его же
половина будетъ 757 22/7 и сіе умножи паки черезъ 2 придетъ
1508 4/7 и сіе множи еще черезъ 3 и придетъ 4525-у копейки,си-
рѣчь 45 рублевъ 8 алтынъ 2 денги и 5/7у копейки“.
Далѣе идетъ вычисленіе и рисунокъ.
Неясность въ изложеніи конца рѣшенія этой задачи происхо-
дитъ отъ того, что совершенно аналогичное вычисленіе болѣе по-
дробно изложено въ предыдущей задачѣ 17. Но все-таки мы бы
сказали, что въ методическомъ отношеніи введеніе этихъ задачъ
въ курсъ является не безупречнымъ: здѣсь вводятся новыя поня-
тія: измѣреніе окружности, боковая поверхность конуса. Но какъ
будто эти-то новыя понятія и заставили Магницкаго ввести здѣсь
именно эти задачи. Въ первыхъ геометрическихъ задачахъ онъ
измѣряетъ площадь прямоугольниковъ квадратомъ; здѣсь, вводя ши-
рину сукна и стоимость аршина, онъ измѣряетъ поверхность ко-
нуса прямоугольникомъ. Очевидно, онъ думаетъ, что вопросъ о
площадяхъ достаточно ясенъ, и можно перейти къ новому; это но-
вое есть окружность круга. Къ этому онъ и переходитъ черезъ
разсмотрѣнную задачу. Въ задачахъ 19 и 20 говорится „о коле-
сахъ въ каковыхъ либо часѣхъ или во иныхъ махинахъ“, устано-
вленныхъ „едино противъ другого“. Въ нихъ по даннымъ числамъ
оборотовъ двухъ колесъ и діаметру одного изъ нихъ (задача 19)
или окружности (20) — опредѣляются діаметръ или окружность
другого.
Далѣе идутъ задачи, о которыхъ слѣдуетъ сказать поподробнѣе
въ виду тѣхъ нареканій, которыя дѣлаетъ г. Бобынинъ *). Задача
*) Физ.-мат. науки въ ихъ наст, и прошл. T.VIII, 1889, 1-ая четв.
стр. 40.

21 слѣдующая: „Егда же кто можаше во едину вервь, которая
долготы 5 аршинъ связати 100 копій, и вѣдателно есть колико
таковыхъ же копій возможно связати другою вервію, яже долготно
есть 7 1/2 аршинъ". Рѣшеніе задачи, очевидно, основано на пропор-
ціональности объемовъ двухъ цилиндровъ съ одинаковыми высо-
тами квадратамъ окружностей ихъ основаній *). Пусть объемы ци-
линдровъ будутъ ν и Vj, окружности основаній с и Cj, тогда
Въ задачѣ намъ дано число копій, что составляетъ
объемъ ν, даны с и с,; слѣдовательно, искомое число копій будетъ
Магницкій вычисляешь задачу такъ: „умноживъ обои
верви квадратно и черезъ тройное правило твори якоже послѣдуетъ:
**).
Насколько ясно такое рѣшеніе, я судить не берусь; но очевидно,
что читатель долженъ былъ его такъ или иначе усвоить. Въ слѣ-
дующей задачѣ сказано: „Егда паки 36 копій вдвое вервію обя-
заны яже 9 стопъ долготы имать, и вѣдателно есть, когда ону
вервь разспрострети во единъ рядъ всю ону долготу 9 стопъ, ко-
лико копій можно обязати"; рѣшеніе дано очень кратко безъ вы-
численій и состоитъ въ слѣдующемъ: „36 умножи квадратно будетъ
1296, еже раздѣли черезъ 9 придетъ искомое 144, якоже въ пред-
варившихъ фигурахъ". Если мы воспользуемся данной выше фор-
мулой, то v=36; C=9/2 и C1=9; слѣдовательно, \\= ' , что,
очевидно, даетъ но это ясно только изъ формулы, а когда
*) Такая зависимость легко выводится: пусть объемы будутъ V и У19
радіусы основанія Г и Т19 высоты h; тогда У=πr2Іі; V1=πr13h; ихъ от-
ношенія
**) Кстати въ этой задачѣ три опечатки: номеръ задачи напечатанъ 12
вмѣсто 21; въ умноженія 15 на 15 пропущено 5, а именно: напечатано
; въ умноженія 225 на 100 произведеніе напечатано 52200.

ея нѣтъ, то можно ли рѣшить задачу подобнымъ вычисленіемъ?
Конечно, этого нельзя дѣлать, когда мы будемъ разсуждать о фор-
мулахъ, которыхъ Магницкій не зналъ и по нимъ не рѣшалъ; онъ
рѣшилъ „якоже въ предварившихъ фигурахъ“, т.-е. по тройному
правилу, a въ этомъ правилѣ сказано, что если дается въ доляхъ
первый перечень, то числитель оставляется, а знаменатель умно-
жается или со вторымъ или съ третьимъ перечнемъ. Кромѣ того,
первый и третій всегда должны быть однородны, слѣдовательно,
если строка будетъ
эту строку онъ замѣняетъ слѣдующей въ цѣлыхъ 9—36 — 36; рѣ-
шая ее, мы и получимъ то, что говоритъ Магницкій.
Слѣдующая задача 23 замѣняетъ копья мѣхомъ и содержитъ
то же рѣшеніе, т.-е. ищется объемъ цилиндра при томъ же геоме-
трическомъ соотношеніи. Болѣе любопытная задача 24: „Егда бы
такія же два мѣха равныя долготы но не равныя широты были и
въ единъ входило бы 4 четверти, a въ другій 9 четвертей: и егда
оные оба мѣха распороть и единъ изъ обоихъ широкій здѣлать,
потомъ вѣдателно есть колико въ той новый широкій мѣхъ всы-
патися можетъ жита“. „Рѣшеніе Магницкимъ этой задачи“, говоритъ
г. Бобынинъ, „можетъ быть выражено формулой
Сама задача имѣетъ общую тему съ задачей 34. „Имяше нѣкто
двѣ бочки, ихже каждая имѣ въ себѣ 80 галенковъ и егда тыя
бочки разобравъ и собрати изъ обоихъ едину, вѣдателно есть,
колико взимать та новая бочка въ себѣ галенковъ;“ Разница между
этими задачами состоитъ только въ томъ, что во второй изъ нихъ
v=vt, и тогда π1ι(Γ-|-Γ1)2=4ν. Эту именно разницу и отмѣчаетъ
Магницкій, упрощая свои вычисленія. Задачу 24 онъ рѣшаетъ
такъ: „обоихъ мѣру прежде сложи и будетъ 13, потомъ едину
другимъ умножи притъ 36 и изъ сего извлецы квадратный радиксъ
и вдвое положи, придетъ 12 и къ сему сложенное сирѣчь 13 при-
ложи и будетъ 25 четвертей входитъ во оный новый мѣхъ“. Какъ
видимъ, рѣшеніе точно слѣдуетъ формулѣ г. Бобынина. Задача 34
рѣшается такъ: „единыя бочки галенки, сирѣчь 80 умножи черезъ
4 и получити искомое зане обоихъ бочакъ равное число галенковъ
и того ради тако творится“.
Къ изложеннымъ задачамъ непосредственно примыкаютъ 2
послѣднія задачи 35 и 36; задачи отъ 25 до 31 мы разсмотрѣли,
такъ что намъ осталось указать содержаніе 32 и 33. Обѣ эти за-
дачи имѣютъ въ виду пропорціональность площадей круговъ ква-

дратамъ ихъ окружностей или, точнѣе, квадратамъ временъ ихъ
обхожденія при равномѣрномъ движеніи.
Что касается до геометрическихъ приложеній куб. корня, то
непосредственно къ нему примыкаютъ 18 задачъ. Первыя 10 по-
священы исключительно многогранникамъ, остальныя же 8—тѣ-
ламъ вращенія. Всѣ эти задачи помѣщены подъ общей нумераціей
съ текстомъ объ извлеченіи куб. корня, такъ что первая изъ нихъ
имѣетъ цифру 7 и состоитъ въ слѣдующемъ: „яко же нѣкій домо-
вый господинъ имяше коробъ мучный въ немже вмѣщашеся 30
четвериковъ муки, величествомъ же той коробъ въ долготу 2 ар-
шина: въ ширину IхIh аршина, a въ высоту 172 аршина, и по-
велѣ инъ коробъ здѣлать который бы вмѣщалъ 135 четвериковъ,
и вѣдателно есть колико долготою, широтою и высотою подобаетъ
оному быти.“ Рѣшеніе Магницкимъ этой задачи, по словамъ
г. Бобынина, можетъ быть выражено слѣдующей формулой
(гдѣ а, Ь, с суть измѣренія даннаго короба, η—объемъ его, а
m—объемъ искомого) *). Сама по себѣ задача, очевидно, неопредѣ-
ленная, но, надо думать, что это происходитъ отъ неточности за-
данія. Слѣдующая задача формулирована такъ: „Такожде имаше
нѣкто кучю жита на гумнѣ продолговатую и шатроватую, ея же
долгота 32 верш., широта же 24 вершка, а высота 10 верш, и вѣ-
дателно есть колико въ ней четвериковъ есть, который четверикъ
кубическихъ имать 512 вершковъ.“ Эту задачу почему-то г. Бо-
бынинъ считаетъ заимствованной „изъ неизвѣстныхъ математиче-
скихъ рукописей XVII вѣка или древнихъ иностранныхъ сочине-
ній“, тоже, несомнѣнно, неизвѣстныхъ. Я думаю, что съ тѣмъ же
правомъ я могу утверждать, что задача предложена самимъ Маг-
ницкимъ.
Да и насколько важно, что та или иная фраза, то или иное
вычисленіе находятся въ разныхъ книгахъ у разныхъ авторовъ.
У каждаго автора учебника попадаются задачи иныхъ авторовъ,
но мы никогда не говоримъ о томъ, что данный учебникъ не са-
мостоятельный. По отношенію къ Магницкому весьма важно уста-
новить именно то, что этотъ учебникъ составленъ лично Магниц-
кимъ и представляетъ плодъ его математическаго образованія. Въ
этомъ отношеніи гораздо интереснѣе способы рѣшенія задачъ, имъ
предложенные, чѣмъ самый текстъ задачи. Въ этомъ отношеніи
*) Въ текстѣ г. Бобынинъ ставитъ между корнями точку; но я думою,
что удобнѣе раздѣлить формулы знакомъ;

предложенный способъ рѣшенія очень любопытенъ. Вотъ что гово-
ритъ г. Бобынинъ: „вторую задачу можно рассматривать какъ
имѣющую предметомъ» опредѣленіе объема усѣченной непараллельно
основанію треугольной призмы. Это же, я думаю, имѣлъ въ виду и
Магницкій, приложивъ рисунокъ и указывая въ рѣшеніи на слѣ-
дующее: „умствуй прежде въ широтѣ 24 вершкахъ на обѣ стороны
скаты и острость тѣхъ скатовъ есть на 12 вершкахъ, высотою
10 вершковъ, убо и по ДОЛГОТЕ суть же скаты на 12 вершковъ“ *).
Очевидно, что здѣсь Магницкій не гонится за точнымъ опредѣле-
ніемъ вида этой кучи и отыскиваетъ ея приблизительный объемъ,
представляя ее въ видѣ усѣченной призмы. Г. Бобынинъ говоритъ
далѣе: „для опредѣленія объема этого тѣла Магницкій раздѣляетъ
его двумя проведенными черезъ концы верхняго ребра сѣченіями,
перпендикулярными къ боковымъ ребрамъ, на прямую треугольную
призму и 2 четыреугольныя пирамиды. Объемъ первой опредѣляется
имъ совершенно точно, какъ произведеніе площади основанія на
боковое ребро. Что же касается до пирамидъ, имѣющихъ въ этомъ
случаѣ основаніями прямоугольники, то объемъ ихъ опредѣляется
ошибочно, какъ */і произведенія площади основанія на высоту.
Вслѣдствіе этого получается результатъ (2400 куб. верш.), меньшій
настоящаго“ *).
Слѣдующія двѣ задачи занимаются опредѣленіемъ діагоналій
куба и прямоугольнаго параллелепипеда, производимымъ согласно
съ формулой |/a2-f-b2+c2. Пятая задача въ главной части своего
рѣшенія занимается вычисленіемъ объема рва „долготою 24 са-
жени, широтою кверху 6 саж., а внизу 5 саж., глубиною же 4
сажени“. Вычисленіе производится совершенно точно по формулѣ
ас
— (а—|—[Ъ—<Λ])· Слѣдующія двѣ задачи занимаются опредѣленіемъ
ел
объема прямоугольнаго параллелепипеда (каменной стѣны), произво-
димымъ въ первой для вычисленія стоимости кладки, а во второй—
количества кирпича. Въ обѣихъ задачахъ объемъ опредѣляется
какъ произведеніе трехъ измѣреній. Задачи 8-ая и 9-ая заняты
раздѣленіемъ прямоугольнаго параллелепипеда на извѣстное число
равныхъ или неравныхъ между собою кубовъ. Въ первой изъ нихъ
*) Вотъ текстъ: „и ты вычти отъ обоихъ краевъ по 12 вершк. и всего
останется долготы съ цѣлымъ верхомъ 8 вершк., ихже умножи высотою, си-
рѣчь черезъ 10 и придетъ 80 вершк. и сіе 80 паки множи черезъ половину
вся широты черезъ 12 придетъ 960 вершк. паки возми единъ отъятый ко-
нецъ, его же долгота 12 верш., широта же 24, ихже половину долготы множи
на половину широты, и будетъ 72 и сіе паки множи высотою, сирѣчь черезъ
10, придетъ 720 и сіе по другій конецъ положи вдвое и придетъ 1440, еже
сложи съ тѣмъ, что срединѣ обрѣлъ, сирѣчь 960, и будетъ 2400 куб. вершк.

кубъ дѣлится на 8 равномѣрныхъ кубовъ; вычисленіе совершенно
точно можно изобразить формулой I/ —.
Во второй данный прямоугольный параллелепипедъ дѣлится на 7
кубовъ пропорціонально числамъ -Q-, -5-, -^-, -Q-, -^-, —, .
Рѣшеніе состоитъ въ вычисленій объемовъ каждаго изъ этихъ ку-
бовъ по правилу пропорціональнаго дѣленія и въ опредѣленіи ихъ
измѣреній по формулѣ 3j/v.
Здѣсь оканчивается первая книга, которая содержитъ все то,
что необходимо знать каждому въ практической жизни; это то, что
отмѣчено въ гербѣ символомъ Пиѳагора и составляетъ „аріѳметіку
практіку“. Слѣдующая книга предназначается для особыхъ „счаст-
ливѣйшихъ“ людей, которые могутъ постигнуть отвлеченный счетъ.
Здѣсь число конкретно: оно составляетъ сущность вещи и служитъ
къ ея познаванію; во второй книгѣ число абстрактно, оно не имѣ-
етъ конкретнаго содержанія, а потому и все содержаніе стано-
вится труднымъ и малодоступнымъ. Я уже указывалъ выше, что
въ предисловіи къ послѣдней части разсмотрѣннаго курса у Маг-
ницкаго есть любопытная фраза, которая какъ будто показываетъ,
что онъ колебался, какъ построить свой курсъ, такъ ли, какъ онъ
его изложилъ, или иначе, исходя изъ представленія отвлеченнаго
числа. Онъ выбралъ первое, исходя, очевидно, изъ методическихъ
соображеній, о которыхъ можно догадаться. Онъ думалъ, что дѣ-
тямъ въ 13 лѣтъ, возрастъ, въ которомъ начиналось изученіе
ариѳметики, трудно понять отвлеченное число; и въ этомъ педа-
гогъ начала XVIII-го вѣка тѣсно соприкасается съ педагогами
XX-го.

Книга вторая аріѳметики.
1. Числа логистическія.
Такъ озаглавливаете авторъ вторую часть своего труда. Въ
самомъ началѣ своей ариѳметики, говоря о ея раздѣленіи на
„аріѳметіку практіку“ и „аріѳметіку логістіку“, послѣднюю онъ
опредѣляетъ такъ: „Аріѳметіка логістіка, не ко гражданству токмо,
но и къ движенію небесныхъ круговъ принадлежащая“. Здѣсь въ
предисловіи онъ развиваетъ эту свою мысль, говоря: „Аріѳметика
логістика, яже свойственнее небесныхъ движеній аріѳметика гла-
голется. Логистика бо того ради нарицается, зане не имѣетъ по-
длежащихъ вещей наручныхъ и въ гражданствѣ обносимыхъ, но
словомъ токмо обясняетъ искомая, паче же къ движенію небесъ
принадлежащая, чесо ради гречески и астрономская зовется: въ
свойственныхъ бо небесодвижныхъ числѣхъ и чинѣ употребляется
и пребываетъ, сирѣчь въ градусахъ, минутахъ секундахъ же и
прочихъ дробнѣйшихъ, въ ня же обще древній и нынѣшніи фило-
софи всякій кругъ, якоже небесный тако земный раздѣленъ пріяша“.
Итакъ, слово „логістика“ или „логістіка“ имѣетъ двойное зна-
ченіе: съ одной стороны оно означаетъ отвлеченіе отъ наименова-
ній, ибо „не имѣетъ подлежащихъ вещей наручныхъ, но словомъ
токмо обясняетъ искомая“, a съ другой—она означаетъ астроно-
мическія вычисленія. Что касается до этого послѣдняго наимено-
ванія, то о немъ я скажу подробнѣе нѣсколько дальше, a сейчасъ
отмѣчу, что въ словарѣ «Encyclopédie méthodique“ изд. 1785 г.
сказано, что латинскіе авторы давали наименованіе логистики той
части ариѳметики, которая разсматривала шестидесятеричныя
дроби, градусы, минуты, секунды *). Несомненно, это именно
имѣетъ въ виду и Магницкій, который, раздѣляя свою вторую
книгу на три части, первую изъ нихъ озаглавливаетъ такъ: „Ихже
первая есть о чинѣ аріѳметіки алгебраіка реченыя, и аріѳметіки
логистики черезъ градусы и минуты дѣйствующыя“. Отсюда можно
заключить, что понятіе „логистика“ обнимаетъ собою два ученія:
*) Encyclopédie méthodique слово «logistique».

ученіе алгебраическое, гдѣ мы имѣемъ дѣло съ отвлеченными ко-
личествами, и ученіе логистическое, которое разсматриваетъ осо-
быя числа. Такъ какъ эти особыя числа занимаютъ въ изложеніи
Магницкаго совершенно изолированное положеніе, хотя и соста-
вляютъ „третье предѣленіе“ первой части, и въ то же время они
являются малознакомыми, то я ихъ и разсмотрю сейчасъ, чтобы
болѣе къ нимъ не возвращаться. Что касается до происхожденія
этихъ чиселъ, то несомнѣнно, что ими пользовались вавилоняне
при своихъ вычисленіяхъ. При этомъ имѣются двѣ гипотезы: со-
гласно одной (Канторъ) вавилоняне считали вначалѣ въ году 360
дней. Это привело къ раздѣленію окружности круга на 360 гра-
дусовъ, каждый изъ которыхъ представлялъ соотвѣтствующую су-
ткамъ долю предполагаемаго годичнаго обращенія солнца вокругъ
земли. Вѣроятно, они знали, что радіусъ можно разсматривать какъ
хорду, соотвѣтствующую -ί- части окружности, содержащей такимъ
образомъ 60 градусовъ. Когда понадобилась большая точность
измѣренія, каждый градусъ былъ раздѣленъ на 60 равныхъ ча-
стей или минутъ. Такимъ путемъ и могло возникнуть шестидеся-
тичное счисленіе*). Другіе (Ковачъ) говорятъ, что оно возникло
какъ особый счетъ на пальцахъ, при которомъ принимаются во
вниманіе суставы и сторона руки.
По отношенію къ первой гипотезѣ любопытно отмѣтить, что Ма-
гницкій замѣчаетъ: „Нѣцыи же математицы пріемлютъ такожде
раздѣлятися и времени, си есть день раздѣляется на 60 минутъ и
прочая. А 60 дней составляютъ едину сексагену, и прочая“.
Но каково бы ни было происхожденіе шестидесятичной систе-
мы, она не утратилась и изъ Вавилоніи перешла въ Грецію, гдѣ
геометръ Гипсилъ пользовался имъ при извлеченіи кв. корней;
такъ сохранился образчикъ, данный Осономъ 1/4590° — 67°4Ιδ511·
Въ средніе вѣка Фибоначи, рѣшая ур-ніе х3-|-2х2-|-10х=20, далъ
значеніе одного изъ его корней въ видѣ х=1° 221 711 4Ш33IV
4 у 40VI, выразивъ его въ видѣ шестидесятичной дроби. Въ XVI вѣкѣ
OrontiusFinaeus, вычисляя|/10, находитъ его въ видѣ десятичной
дроби, но полученный результатъ спѣшитъ перевести въ шестиде-
сятичную дробь и пишетъ его въ видѣ 3° 91 43й 12ш. Къ этому
надо добавить, что Птоломей, который первый вычиcлилъ таблицу
хордъ, дѣлилъ окружность на 360 частей, a діаметръ на 120 ча-
стей, каждую часть онъ дѣлилъ въ свою очередь на 60 частей;
эти части по-латыни были названы partes minutae primae, par-
*) Кэджори, стр. 11.

tes minutae secundae и т. д., отсюда произошли наши названія:
минуты, секунды, терціи и т. д. Отсюда видно, что дѣленіе окруж-
ности на 360 частей совпадало съ особымъ счетомъ по шестиде-
сятеричной системѣ. Этотъ именно счетъ и разсматриваетъ Ма-
гницкій, называя его „логистіческими числы“. Онъ говоритъ: „Въ
семъ мѣстѣ усмогрихомъ приличное еже логистіческими числы и
чиномъ аріѳметики дѣйство показати, сирѣчь: како въ градусахъ,
минутахъ и секундахъ, и въ прочихъ колесъ сѣченіяхъ дѣйство и
чинъ аріѳметика содержитъ“. Далѣе, онъ раздѣляетъ окружность
на 360 градусовъ, градусъ на 60 минутъ первыхъ, минуту на 60
секундъ и прочая. Эти дѣленія идутъ довольно далеко, какъ это
мы видѣли у европейскихъ математиковъ. Изъ градусовъ соста-
вляются высшія единицы, которыя называются „сексагены“ и точ-
но такъ же различаются по порядку. Сексагена первая содержитъ
60 градусовъ, сексагена вторая содержитъ 60 первыхъ и т. д. Но
въ этотъ стройный счетъ по шестидесятичной системѣ встрѣчает-
ся посторонній элементъ—„зодія“, которая содержитъ 30 градусовъ.
Зодія обозначается особымъ знакомъ Z, а сексагены такъ: 1ае,
2ае, 3ае и т. д. Доли градуса всѣ называются минутами и обозна-
чаются черточками. Установивъ эти обозначенія, Магницкій раз-
сматриваетъ дѣйствія надъ этими числами, при чемъ сложеніе и
вычитаніе дается для трехъ случаевъ: когды даны зодіи, когда да-
ны сексагены и когда даны дни, мѣсяцы и годы. Въ этихъ пра-
вилахъ нѣтъ ничего новаго; вотъ, наприм , вычитаніе въ секса-
генахъ:
lae .
0 .
ι .
и .
III
34 .
24 .
26 .
36 .
48
8 .
9 .
10 .
11 .
12
26 .
15 .
16 .
25 .
36
Умноженіе представляетъ собою большую особенность: это есть
алгебраическое умноженіе многочисловъ. Вотъ причина, почему ло-
гистическія числа помѣщены послѣ алгебраическихъ. Умноженіе
сопровождается слѣдующимъ поясненіемъ: „По обыкновенному дѣй-
ству пишется число болшее или изъ многихъ видовъ сложное, яко
да будетъ умножаемъ перечень вышше, а множитель полагается
внизу и которыя виды умножаются черезъ таковыя же виды, и
тогда производятся виды сугубыя, сирѣчь, егда умножавши мину-
ты черезъ минуты бываютъ секунды, или секунды черезъ секунды
бываютъ кварты, или егда умножаеши секунды черезъ терціи, бы-
ваютъ въ произведеніи квинты и проч.“. Напримѣръ:

I
II
III
IV
V
II
III
IV
34 .
36 .
12 .
13 .
15
на
4 .
5 .
6
4 .
5 .
6.
3 .
27 .
37 .
13 .
29 .
30
2 .
53 .
1 .
1 .
6 .
15
2 .
18 .
24 .
48
53 .
0
II
m
IV
V
VI
ΥΠ
VIII
IX
2 .
21 .
21 .
17 .
31 .
19 .
34 .
30
Это умноженіе будетъ точно соотвѣтствовать алгебраическому
умноженію двухъ многочленовъ, которые мы можемъ представить
такъ:
(34. 60-4-36.60-2+12.60~3+13.60 +~4 + 15.60"5) (4.60"2+
+5.60-4-6.60-4),
но при этомъ умноженіи нужно имѣть въ виду, что коэффиціентъ,
большій 60, понижаетъ степень; такъ, 34.60-1 . 4.60-2 даетъ
136.60"3; но 136 есть 2.60+6; слѣдов., (2.60+6).60~3 будетъ
π
2.60 2+6.60-3; 2.60-2, или 2 остается высшимъ членомъ про-
изведенія, 6.60-3 соединяется съ вновь полученными и составитъ
21.60-3.
Что касается до дѣленія, то оно производится двоякимъ обра-
зомъ: 1) всѣ числа какъ дѣлимаго, такъ и дѣлителя приводятся
въ меньшія доли, при этомъ нѣтъ необходимости, чтобы эти доли
были одинаковы у дѣлимаго и дѣлителя; дѣлимое можетъ быть
дано въ терціяхъ, a дѣлитель въ секундахъ. По раздѣленіи част-
ное вновь обращается въ сложное число.
2ае Іае о ι π ш
Такъ, напр.: 18 . 5 . 9 .12 .17 .16, что составляетъ 12508388236
lae о ι π
(собственно терцій) надо раздѣлить на 21.23.25.16 или 9156946
(собственно секундъ). По раздѣленіи мы получимъ 1366 минутъ,
о ι
или 22 . 46. Какъ узнать, какое наименованіе мы получимъ, Ма-
гницкій не выясняетъ. Объ этомъ можно догадаться, если разсма-
тривать дѣленіе какъ дѣйствіе, обратное умноженію, тогда произ-
веденіе минуты на секунду даетъ терцію; слѣдовательно, терціи,
дѣленныя на секунды, должны дать минуты.
Второй способъ дѣленія есть дѣленіе алгебраическихъ много-
членовъ, расположенныхъ по нисходящимъ степенямъ 60. Для по-
казанія этого способа у Магницкаго взятъ такой примѣръ:

О I II III IV V Ο I II
54, 4, 31, 45, 51, 36 надо раздѣлить на 4 . 5 . 6 *). Это дѣленіе
Магницкій производитъ слѣдующимъ образомъ: онъ дѣлителя под-
писываетъ подъ дѣлимымъ, а частное пишетъ сбоку и находитъ
сначала градусы:
(произведеніе дѣлителя на 13, причемъ
ι
65 , подписываются 5 подъ минутами,
а 1 подъ градусами).
и останется
Вычти 53 . б . 18 изъ верхняго 58,13,45,51,36.
Это число вновь дѣлится на 4, 5, 6, но уже получаются ми-
I π ш
нуты и т. д.; всего получится 13° 24.15.16.
Чтобы оправдать это дѣленіе, стоитъ только произвести его
но современному алгебраическому способу, расположивъ по сте-
пени 60.
Кромѣ 1 дѣйствій надъ логистическими числами, Магницкій
еще даетъ указаніе на извлеченіе изъ нихъ квадратныхъ корней;
эти указанія суть слѣдующія:
1. Аще въ логистическихъ числахъ случится тебѣ квадратна-
*) Слѣдуетъ отмѣтить, что во второй книгѣ содержится масса опечатокъ
и даже ошибокъ. Такъ, во всемъ предыдущемъ числа отдѣляются другъ отъ
друга точками, здѣсь поставлены запятыя, a въ дѣлителѣ совсѣмъ нѣтъ раз-
дѣляющихъ знаковъ.

го радикса извлеченіе творити, и ты вся даная числа черезъ ум-
ноженіе въ послѣдній видъ приводи во едино именованіе либо въ
минуты, или секунды, или въ терціи, и прочая.
2. И во извлеченіи радикса именованія половинныя будутъ,
якоже егда извлецати имаши радиксъ изъ секстовъ, выдетъ ра-
диксъ въ терціяхъ, или аще извлецаеши изъ квартыхъ, придетъ
радиксъ въ секундахъ.
3. Егда же по извлеченіи явится радиксъ во единомъ коем-
либо видѣ, и тогда потребно есть приводити въ вященыя виды,
секунды въ минуты, а минуты въ градусы, и прочая, дѣленіемъ
черезъ 60.
4. Далѣе даны 3 примѣра безъ подробныхъ вычисленій.
Вотъ все о логистические числахъ; сами эти числа болѣе нигдѣ
не встрѣчаются. Тригонометрическія вычисленія сдѣланы уже по
новѣйшему образцу, принимая радіусъ за 10000000, какъ это сдѣ-
лано въ тригонометріи, напр., Гаспара Шотта (1677 г.). Корни
извлекаются съ точностью до десятичныхъ дробей. Очевидно, что
вся эта статья имѣетъ лишь чисто историческое значеніе; она по-
пала въ курсъ только потому, что когда-то употреблялась и имѣла
непосредственное жизненное значеніе; она встрѣчается въ руко-
водствахъ, и Магницкій не счелъ себя въ правѣ опустить эту статью,
тѣмъ болѣе, что теоретически она является удобнымъ дополненіемъ
къ обзору алгебраическихъ количествъ. Находясь на границѣ отжи-
вающихъ и нарождающихся понятій, Магницкій приводитъ тѣ и
другія, какъ будто не зная, которымъ изъ нихъ отдать предпочте-
ніе: ему какъ бы жаль разстаться со стариной, но и въ новомъ
онъ видитъ уже признаки господства.
2. Числа алгебраическія.
Что касается до чиселъ алгебраическихъ, то имъ посвящено
„предѣленіе первое“ книги второй. Но прежде, чѣмъ разсматри-
вать эти числа, полезно вернуться къ предисловію. Здѣсь авторъ
говоритъ, что онъ написалъ книгу вторую, имѣя въ виду двоякую
цѣль: во-первыхъ, для того, чтобы „аріѳметика чинъ свой, и во
всемъ потребный намъ, конецъ и совершеніе пріиметъ“, а, во-вто-
рыхъ, для того, что сообщаемыя имъ свѣдѣнія во 2-ой книгѣ не-
обходимы особенно въ настоящее время для очень многихъ должно-
стей, а особенно для мореплаванія.

Переходя же къ разсмотрѣнію алгебраическихъ количествъ,
онъ говоритъ, что часть этого ученія, а именно прогрессіи, квадр.
и куб. корни уже были имъ разсмотрѣны въ книгѣ первой. Это
было сдѣлано потому, что полное алгебраическое ученіе является
очень труднымъ и доступно только „тщаливѣйшимъ", а не „обще-
народному человѣку". Эта оговорка въ связи со множествомъ опе-
чатокъ и неточностей какъ будто показываетъ, что вся вторая
книга была написана наспѣхъ въ теченіе 1701 — 1702 года спе-
ціально для навигацкой школы, по тѣмъ черновымъ наброскамъ,
которые были заготовлены авторомъ для своего труда. Мы имѣемъ
здѣсь какъ бы искусственное сведеніе черновыхъ записей, гдѣ съ
блестящими и вполнѣ отдѣланными и законченными статьями попа-
даются наскоро написанныя статьи, содержащія множество не-
точностей. Къ такимъ наскоро написаннымъ статьямъ относится
н ученіе объ алгебраическихъ числахъ.
Это ученіе начинается опредѣленіемъ слова алгебра. „Алгебра
же назвася отъ изобрѣтателя, геберъ нарицаемаго *), a італійски
коссика отъ реченія косса, еже есть вещь".
Кэджори говоритъ, что такое производство слова алгебра отъ
имени арабскаго ученаго Джабиръ-ибнъ-Афлагъ изъ Севильи, ко-
тораго называли Geber, неправильно, такъ какъ онъ жилъ на два
вѣка позже Альхуаризми, у котораго впервые появилось это слово.
Кэджори говоритъ, что Алгебра Альхуаризми—первое сочиненіе, въ
которомъ встрѣчается слово „алгебра". Заглавіе этого труда—
альджебръ дальмукабала. Буква уау означаетъ по-арабски союзъ
„и"; аль — опредѣленный членъ. Арабы никогда не употребляли
одного слова альжебръ, но всегда добавляли мукабала(macabelah),
что означаетъ возстановленіе и противоположеніе. Подъ возста-
новленіемъ разумѣется перенесеніе отрицательныхъ членовъ въ
другую часть уравненія; подъ противоположеніемъ — отбрасы-
ваніе отъ обѣихъ частей уравненія одинаковыхъ членовъ.
Когда книга альджебръ уальмукабала Альхуаризми была переве-
дена на латинскій языкъ, арабское заглавіе было сохранено, но
съ теченіемъ времени второе слово было отброшено, а первое со-
хранилось въ формѣ алгебра. Здѣсь важно то, что арабы называли
алгеброй, какъ видно изъ этого искусства рѣшенія уравненіи;
древніе же итальянскіе авторы давали ей названіе Regula rei et
census, т.-е. правила корней и квадратовъ; корень у нихъ назы-
*) Quelques-uns pensent, que l'algèbre prend son nom de Geber,
philosophe chimiste et mathématicien célèbre, que les arabes appellent
Giabert et que l'on croit avoir été l'inventeur de cette science. Encyclop.
Méthodiqu. m. algèbre.

вался res, a квадратъ census. „Итальянцы“, говоритъ Кэджори,
„имѣли обыкновеніе называть неизвѣстное—вещью—соза. Въ Гер-
маніи это слово было принято еще во времена Іоганна Видмана
(XV вѣка) какъ названіе алгебра Regel algobre oder Cosse“.
Мы видимъ отсюда, что Магницкій принялъ общераспространен-
ную въ его время гипотезу о происхожденіи алгебры и примкнулъ
къ старо-итальянской точкѣ зрѣнія на эту науку Regula rei et
census. Въ отдѣлѣ объ алгебраической нумераціи онъ говоритъ:
Нумерацію или счисленіе
алгебраики есть числа алгебраи-
ческая или коссика именова-
ніями и характирами объявлен-
ная, отъ единицы коею либо
пропорціею примножаемыя, и въ
не оконченое приходящая, и
тою равною пропорціею еюже
приискренное единицы самую
оную превосходитъ ихже разстоя-
ніе отъ единицы числа естествен-
нымъ порядкомъ поступующая
показуютъ.
Алгебраическая нумерація, или
счисленіе, есть алгебраическія
числа, или коссика, т.-е. обозна-
ченныя буквами и знаками ве-
личины, начинающіяся отъ еди-
ницы и увеличивающіяся до без-
конечности въ опредѣленной про-
порціи, именно въ той равной
пропорціи, въ какой ближайшее
къ единицѣ число превосходитъ
ее самое, разстояніе чиселъ отъ
единицы опредѣляется въ по-
рядкѣ естественнаго поступатель-
наго ихъ увеличенія.
Согласно этому опредѣленію алгебраическихъ чиселъ, это есть
послѣдовательныя степени, образующіяся одна изъ другой по осо-
бому закону; это не степенныя количества, a какъ бы одни пока-
затели степеней съ особымъ наименованіемъ для каждой. Такъ,
первая степень всегда обозначается букрой R и называется бокъ
или радиксъ; вторая степень обозначается двояко: g или буквой q
и называется квадратъ или зензусъ; третья степень се, или С, на-
зывается кубусъ или кубикъ; 4-ая имѣетъ троякое обозначеніе JJ
или qq или bq и называется биквадратъ, квадрато квадратъ или
зензизензу; 5-ая степень имѣетъ новый знакъ β и называется со-
лидусъ или сурдесолидусъ. Дальнѣйшія степени представляютъ ком-
бинаціи этихъ знаковъ и комбинаціи наименованій; такъ, напр.,
8-я степень обозначается qqq и называется триквадратъ или
зензизензезенсусъ. Послѣдняя степень, приведенная Магницкимъ,
25-ая обозначена ββ и не имѣетъ наименованія; наименованія ука-
заны только для первыхъ 12-ти степеней. Далѣе слѣдуютъ поясне-
нія: „О пропорціи же и къ другъ другу ихъ сравненіи зри первѣе
яко радиксъ есть или бокъ, или число, изъ него же прочая числа

происходятъ". „Зензусъ или квадратъ бываетъ, когда радиксъ че-
резъ самого себѣ умножается" и т. д.
Эти поясненія, чрезвычайно важны, ибо они пріоткрываютъ
законъ умноженія степеней, что необходимо при особыхъ знакахъ
для этихъ степеней. Такъ, напр.: „Бисурсолидъ (7-ая) бываетъ,
когда сензикубусъ умножается черезъ радиксъ, или квадратъ че-
резъ сурсолидусъ (5-ая) или кубусъ черезъ квадрата квадратъ".
Такова нумерація или счисленіе алгебраическихъ чиселъ; но
за счисленіемъ авторъ помѣщаетъ „знаменованіе". Эту страницу
я приведу полностью:
„Знаменованіе алгебраики ничто же ино есть токмо литеры
гласныя полагаемыя за количество непознаное числъ, или о немже
взысканіе есть. Такожде и согласныя полагаемыя за количества
данныхъ числъ, или познанныхъ. Яко же:
Непознаная:
А .
АА .
AAA .
АААА .
ААААА.
R .
а ·
се
γγ
β и прочая.
Познаная же:
b .
bb .
bbb .
bbbb
bbbbb.
или даная
R
ь •
се
γγ
β и прочая.
Тое же знаменованіе инымъ образомъ сице;
А,
А3 .
Α..
К
ь
се
.33
и прочая.
Такожде и о согласныхъ
ь, .
ь2 .
ь, .
ь..
R
ь
се
-> з
и прочая.
Егда же нѣкоторыя числа полагаются прежде: тогда знаме-
нуютъ количество, еже пріимателно есть за числа коссика сі есть
алгебраика яко въ прикладѣ будетъ число.
Непознаное 4A3+5A2-f-15A1
Читается сице: 4 куба, болше 4 квадраты, менше 15 радиксъ.
Или число даное сіесть познаное
яко 5.D5.+3.D2.+12D,
Читается 5 сурсолиди. менши 3 квадраты, болше 12 ра-
диксы".
Вотъ и все; больше объ этихъ заимствованіяхъ авторъ нигдѣ
не говоритъ и ими не пользуется.
Если мы теперь обратимся къ иностранной литературѣ, то въ
сочиненіи Кэджори указаны нѣкоторыя обозначенія.
Cardano. Cubus ρ rebus aequalis 20 x3-|-6x2=20.
Regiomontanus. 16 census et 2000 äquales 680 rebus т.-е.
16x2+2000=680x

Vieta 1C--8Q+16N aequ. 40 т.-е. χ3—8x2-16x=40
A cubus-flB piano 3 in A aequari Ζ solido 20 или x3-|-3bx=2c.
Сравнивая эти обозначенія съ тѣми, которыя даны Магниц-
кимъ, мы видимъ, что его знаменованія всего ближе къ Віета.
Сочиненія Віеты, мало доступныя при его жизни, были изданы въ
Лейденѣ Францомъ Шутеномъ въ 1646 году подъ заглавіемъ
„Opera Vietae“. Какъ извѣстно, этотъ геніальный французъ со-
вершенно какъ бы перестроилъ алгебраическое ученіе; онъ разли-
чалъ двѣ алгебры: logistica numerosa и logistica speciosa. Подъ
первой онъ подразумѣвалъ старую числовую алгебру, a подъ вто-
рой новую буквенную. Но его главныя работы относятся къ рѣ-
шенію уравненіи. Теперь, если мы припомнимъ это, то можно ду-
мать, что Магницкій былъ знакомъ съ сочиненіемъ „Opera Vietae“
и заимствовалъ оттуда свои „знаменованія“. Тогда понятны его
„непознанная“ и „познанная“ числа и его обозначеніе первыхъ
черезъ A, a вторыхъ черезъ В, согласно 2-ой строкѣ Віета. Но
тогда непонятно, почему онъ такъ мало говоритъ объ уравненіяхъ
и почему не пользуется главнымъ принципомъ Віеты—приведеніемъ.
Вообще нужно сказать, что алгебраическое ученіе Магницкаго
требуетъ особаго изслѣдованія лица болѣе, чѣмъ я, знающаго исто-
рію математики, и я увѣренъ, что это изслѣдованіе откроетъ новые
горизонты на историческомъ ходѣ развитія алгебры.
Таковы числа алгебраическія. Итакъ, Магницкій подъ име-
немъ „аріѳметики логистики“ представляетъ себѣ ученіе о новыхъ
отвлеченныхъ количествахъ, которыя распадаются на два вида:
числа алгебраическія и числа логистическія. Оба эти вида чиселъ
объединяются въ своихъ свойствахъ и дѣйствіяхъ, которыя можно
съ ними произвести. Магницкій не называетъ здѣсь „пре-
дѣленіями“, какъ это онъ дѣлалъ раньше, но „видами“, хотя въ
заголовкѣ ставитъ „предѣленія“; но подъ этимъ словомъ онъ здѣсь
подразумѣваетъ цѣлый отдѣлъ. Такъ „предѣленіе первое“ содер-
житъ всѣ преобразованія алгебраическихъ количествъ какъ цѣлыхъ,
такъ и дробныхъ. Предѣленіе второе говоритъ объ извлеченіи
корней, a предѣленіе третіе о числахъ логистическихъ. Дѣйствія
же онъ называетъ „видами“: „Алгебра же назвася... и содержится
седмію виды яже суть“: счисленіе, знаменованіе, сложеніе, вычи-
таніе, умноженіе, дѣленіе и правило тройное. Наименованіе „виды“
я склоненъ отнести не къ случайной обмолвкѣ автора, a къ умы-
шленному стремленію оттѣнить новое ученіе отъ прежде бывшаго;
это есть logistica speciosa, наука о символахъ, надъ которыми
производятся не дѣйствія, а лишь преобразованія. Что касается до

самого термина „видъ", то въ словарѣ Срезневскаго сказано, что
это слово употреблялось въ грамматикѣ и означало грамматическій
терминъ*). Тогда становится понятнымъ, что подобно тому, какъ
въ дробяхъ, въ число „предѣленій" необходимо было включить пре-
мѣненіе и сокращеніе, такъ здѣсь необходимо было сказать о зна-
менованіи, и мнѣ хочется думать, что авторъ лишь по недостатку
времени не развилъ этого отдѣла и не далъ болѣе современной
алгебры. Быть-можетъ, на устныхъ бесѣдахъ съ учениками онъ
больше говорилъ объ алгебрѣ Віета, и на урокахъ они подходили
ближе къ современному строю, чѣмъ это можно было напеча-
тать въ 1703 году. Перейдемъ теперь къ алгебраическимъ дѣй-
ствіямъ.
Сложеніе состоитъ изъ правила приведенія подобныхъ чле-
новъ: „Сложеніе бываетъ другъ другу подобныхъ въ знакахъ", го-
воритъ Магницкій, „во единъ перечень сведете". Здѣсь слово
„знакъ" не есть+или—, a значитъ то, что выше Магницкій на-
зываетъ „характиръ". Употребленіе одного и того же слова „знакъ"
въ двухъ разныхъ смыслахъ много мѣшаетъ пониманію текста.
При передачѣ я буду ставить въ скобкахъ слово характиръ тамъ,
гдѣ слово знакъ означаетъ степенное количество. Показавши пра-
вило соединенія подобныхъ членовъ съ одинаковыми знаками у
авторъ даетъ примѣръ сложенія многочленовъ, a потомъ перехо-
дитъ къ случаю, когда характиры разные, и говоритъ: „Егда же
случится таковыя перечни слагати, которыя не суть единыхъ и
тѣхъ же знаковъ (характировъ), но инъ иного есть превосходи-
тельный, якоже 5 се съ 9q-)-5R, и тогда превосходительный въ
ДОЛЖНОМЪ его мѣстѣ поставляется на преди сице: 5 ce-f-9q-|-5R"
„Егда случится тебѣ слагати перечни не единакихъ знаковъ,
сирѣчь съ знаками -f- болше и —*— менше; твори сице": Здѣсь
авторъ беретъ такой примѣръ
5q+ 7R-:— 6
9q ! 12R+ 7
8q+ 7R ; 12.
23q-f 12R ; 11
и говоритъ: „Аще сложиши
два знака —,— 6 и 12 (тоже съ минусомъ) будетъ 18, изъ нихже
должно есть вычести знакъ -f- сіесть 7, и будетъ изъ трехъ въ
сложеніи 11 ". Здѣсь въ примѣрѣ написано совершенно правильно
-4— 11, и очевидно, что авторъ не оговорилъ этого точно по то-
*) Словарь Срезневскаго. Слово видъ грам. терминъ: Послѣдующа же
именомъ суть пять: роди, виды, начрьтанія, числа, паденія (Калайд. 169).
Видъ же именъ дѣлится въ сія: въ первобытно и дѣйствено, и повѣстно и
рододатно (т. ж. 169).

ропливости изложенія, потому что далѣе онъ излагаетъ второй
случай сложенія —I—7R-}-7R—Ε—12 сопровождая изложеніе указаніемъ,
знаковъ.
Вычитаніе „такожде поставляется якоже и сложеніе, и вы-
читается по обычной аріѳметіки, соблюдаемымъ знакомъ". Въ при-
веденныхъ примѣрахъ показывается, что значитъ „соблюдаемымъ
знакомъ", но въ самомъ важномъ изъ нихъ содержатся опечатки
настолько важныя, что по нему трудно судить о самомъ правилѣ.
Даны слѣдующіе многочлены
Изъ
9 се + 5q / 15R / 6
вычти
6 се / 9q + 6R + 8.
остается
3 се + 4q / 21R / 2.
Результатъ не вѣренъ. Поясненіе, приложенное къ нему, не
даетъ возможности исправить ошибки. Здѣсь сказано: „8 изъ б
не мощно есть вычитати, убо вычитай 6 изъ 8 и останется 2".
Согласно этому поясненію можно думать, что въ уменьшаемомъ
должно стоять не —6, а -\-6; но это можно замѣтить, лишь зная
правило вычитанія. Далѣе: „у числъ же 15R и у 6R суть различныя
знаки (очевидно —) и -}-, и тогда долженствуетъ вычитаніе
творити вмѣсто еже вычитати, 15 съ 6 сложити, и будетъ-^—21R".
Здѣсь обращаетъ на себя вниманіе фраза: „вычитаніе творити
вмѣсто еже вычитати". Я склоненъ думать, что эта фраза пред-
ставляетъ собой какъ бы заключеніе очень сложной логической
мысли, которая сопровождала изложеніе автора, и если бы онъ
имѣлъ болѣе времени и писалъ бы не такъ спѣшно, то при всей
лаконичности своего языка онъ необходимо развилъ бы эту мысль,
пояснивъ ее подходящими примѣрами. Здѣсь онъ бросилъ ее, какъ
обрывокъ логическаго процесса, и этотъ обрывокъ, какъ нарочно,
попалъ среди неправильныхъ дѣйствій, потому что дальше идетъ
опять невѣрное дѣйствіе „А 9q изъ 5q не возможно вычести, и
тогда вычитай 5 изъ 9, и останется 4q." Теперь, если придержи-
ваться текста задачи, то при правилѣ: „вычитаніе творити вмѣсто
еже вычитати", мы должны получить -f- 14q; если допустить, что
вычитаемомъ ошибочно дано — 9q, тогда какъ надо -f- 9q, тогда
результатъ будетъ — 4q, а написано -f- 4q. Очевидно, что здѣсь
какая-то путаница, которая могла бы заставить насъ заподозрить
автора въ незнаніи правила вычитанія многочленовъ; но всѣ даль-
нѣйшіе примѣры сдѣланы совершенно вѣрно, но даны безъ вся-
кихъ поясненій.
Умноженіе. При умноженіи алгебраическихъ количествъ Маг-
ницкій разсматриваетъ двѣ операціи: умноженіе знаковъ и умно-

женіе степеней. Онъ говоритъ: „Егда умножавши число умножае-
мое черезъ умножающее по общей наукѣ, и ты разумѣй первѣе,
яко аще умножавши знакъ -f- болше черезъ -J- болше или умножавши
знакъ -4— менше черезъ 4—менше, и тогда бываетъ знакъ -J-. Аще же
умножавши знакъ-|-черезъ знакъ —,— или -4—черезъ -{-, и тогда бы-
ваетъ всегда знакъ 4—· Второе егда знакъ (характиръ) умноженъ
черезъ таковой же знакъ (характиръ), и тогда бываетъ знакъ та-
ковый, яковый обрящеши въ таблицѣ числъ алгебраическихъ: на
прикладъ: когда умножается R черезъ R и тогда бываетъ q, и аще
умножается q черезъ R, бываетъ се.а
Далѣе слѣдуютъ 8 примѣровъ возрастающей трудности на умно-
женіе многочленовъ, при чемъ подобные члены подписываются одни
подъ другими и дѣлается ихъ приведеніе, какъ это дѣлается и въ
современныхъ учебникахъ.
Дѣленіе. Приведя правило знаковъ и правило дѣленія степе-
ней, Магницкій замѣчаетъ: „Яко же во умноженіи знаки (характиры)
примножаются,такъвъ настоящихъ правилахъ дѣленія знаки умаляют-
ся, якоже ниже явленное будетъ въ прикладѣхъ". Далѣе въ 8 при-
мѣрахъ нарастающей трудности данъ способъ дѣленія многочлена
на многочленъ, при чемъ дѣлитель подписывается надъ дѣлимымъ»
а частное пишется сбоку. Вотъ, напр., примѣръ 7
1
ш m в
дѣлимое
ittqq+lce liq -f 17k~R 1 5q+4k+3
дѣлитель
•Iq-fSk + 2
iq 4- 3k+ 2
Дроби. Послѣ разсмотрѣнія дѣйствій надъ цѣлыми многочле-
нами Магницкій переходитъ къ дробямъ, при чемъ дроби разсма-
триванія имъ съ той же точки зрѣнія, какъ и въ ариѳметикѣ,
но число основныхъ принциповъ здѣсь только δ.
1. Нумераціо бо есть, егда числа въ частехъ сущая обычно
значатся, и именованіемъ нарицаются, якоже егда поставляется
въ доляхъ 8 числъ 9-ти радиксовъ, яко
3
2. Или 5 цѣлыхъ и три осмины квадратныхъ, яко^^
3. Или три пятины радиксовыхъ яко F^-
Эти три пункта относятся къ одночленнымъ дробямъ. Къ со-
жалѣнію, здѣсь или небрежность составителя или недосмотръ кор-

ректуры. Алгебраическіе символы во 2-мъ и 3-мъ пунктѣ непра-
вильно помѣщены. Очевидно, по смыслу фразы слѣдовало написать
5 -JJ- q и послѣднюю дробь можно было написать и такъ-^-.
Такія неточности встрѣчаются и дальше въ изложеніи, дѣлая иногда
выводъ совершенно непонятнымъ.
4. Или четыре квадратныхъ кубиковъ болше 5-ти радиксы,
а менше 10-ги числы, въ доляхъ 4 квадратныхъ болше 5-ти,
5. Нотаціо или знаменованіе есть въ доляхъ якоже и въ цѣ-
лыхъ, но токмо значатъ сугубое якоже числитель и знаменатель
двократныя-g-qq или знаменатель токмо, яко —и проч.
Въ этомъ сокращенномъ обзорѣ новыхъ математическихъ сим-
воловъ — алгебраическихъ дробей, авторъ пытался установить и
ихъ „нумерацію“ и ихъ „знаменованіе“, совершенно такъ же, какъ
онъ устанавливалъ выше то же самое для алгебраическихъ мно-
гочленовъ. Такая настойчивость въ разграниченіи этихъ терми-
новъ заставляетъ насъ сдѣлать попытку въ ея уясненіи. Оба тер-
мина въ своей раздѣльности появляются только въ алгебраическомъ
курсѣ; когда авторъ говоритъ о числахъ, то онъ говоритъ только
о счисленіи или нумераціи. „Нумераціо есть счисленіе, говоритъ
онъ въ отдѣлѣ цѣлыхъ чиселъ, еже совершенно вся числа рѣчію
именовати, яже въ десяти знаменованіяхъ или изображеніяхъ со-
держатся“. Здѣсь содержатся оба слова, но смыслъ ихъ совершенно
ясенъ: „нумераціо“ есть выговариваніе чиселъ, a „знаменованіе“ —
изображеніе чиселъ. Въ отдѣлѣ дробей онъ говоритъ: „Счисленіе
въ доляхъ, якоже и въ цѣлыхъ, но со инымъ именованіемъ част-
нымъ“; это значитъ, что нумерація въ доляхъ то же самое, что и ну-
мерація въ числахъ цѣлыхъ, т.-е. выговариваніе долей, къ чему под-
ходитъ и добавленіе „но со инымъ именованіемъ“. Въ отдѣлъ ал-
гебры онъ вводитъ уже два понятія: „нумераціо“ и „знаменованіе“.
Здѣсь, какъ мы видѣли, онъ даетъ новое опредѣленіе первому по-
нятію, очевидно, отрываясь отъ вопроса о числахъ, вводя читателя
въ совершенно новый кругъ идей; „нумераціо“ въ алгебрѣ есть
величины, обозначенныя буквами и знаками (характирами). Это
не есть уже выговариваніе, но обозначеніе; это символы, выра-
жающіе понятіе. „Знаменованіе“ же есть какъ будто способъ отли-
чить искомый и данныя числа. Но это отличіе въ дальнѣйшемъ
пропадаетъ, нигдѣ имъ авторъ не пользуется и ввелъ его, какъ я
уже говорилъ, лишь для полноты изложенія. Теперь въ дробяхъ

онъ также различаетъ оба эти понятія, но различіе ихъ настолько
туманно, что невольно кажется, какъ будто и самъ авторъ не могъ
ихъ разграничить.
Въ с. д. „нумераціо есть, егда числа въ частехъ сущая
обычно значатся и именованіемъ нарицаются“; это напоминаетъ
курсъ дробей въ числахъ, здѣсь какъ будто авторъ припомнилъ
свое опредѣленіе дроби и повторилъ его; поясненіе не даетъ ни-
чего новаго: „якоже егда поставляется въ доляхъ 8 числъ 9-ти
радиксовъ“. При этомъ поясненій даже неясно есть ли эта дробь
или-; но само поясненіе опять какъ бы повторяетъ мысль
числовой дроби: „сирѣчь едина половина-^- или двѣ трети “.
Переходя къ знаменованію, онъ говоритъ: „нотаціо или знамено-
ваніе въ доляхъ якоже и въ цѣлыхъ“, какихъ цѣлыхъ? чиселъ
или многочленовъ? Слово „нотаціо“ французское „notation“ пред-
ставляетъ собой наименованіе возможности изображать числа зна-
ками caractères*). Но мнѣ кажется, что это мѣсто нельзя отнести
къ числамъ, а если отнесемъ его къ многочленамъ, то получимъ,
что авторъ имѣетъ въ виду разграниченіе извѣстныхъ и искомыхъ;
и это какъ будто подтверждаетъ дальнѣйшая фраза: „но токмо зна-
чатъ сугубое якоже числитель и знаменатель“. Если бы здѣсь была
поставлена точка, то я бы сказалъ, что въ алгебраическихъ дро-
бяхъ Магницкій различаетъ два случая: когда неизвѣстное стоитъ
въ числителѣ и когда оно стоитъ въ знаменателѣ; но своимъ при-
мѣромъ онъ не даетъ этой возможности, ибо говоритъ: „двократное
g-qq или знаменатель токмо -щ- и прочая“. Введеніе здѣсь не
буквъ Вьета, a старыхъ характеровъ не даетъ возможности обоб-
щить „знаменованіе“ дробей со знаменованіемъ цѣлыхъ алгебраи-
ческихъ многочленовъ.
Мнѣ кажется, что причиной такой неясности изложенія есть
спѣшность работы. Отдѣлъ о дробяхъ Магницкій писалъ въ періодъ
печатанія книги и физически не могъ отнестись къ нему съ долж-
нымъ вниманіемъ. Эта спѣшность сквозитъ и дальше въ дѣйствіяхъ
надъ дробями.
Такъ, въ примѣрахъ на сложеніе онъ пишетъ J^-4-JL==-i^R;
но въ то же время ^ -Кто = \ ' р ; здѣсь очевидно, что въ пер-
*) Notation—l'art de marquer les nombres par les caractères qui leur
sont propres et de les distinguer par leurs figures. Enc. meth.

вомъ случаѣ онъ имѣлъ въ виду сумму -g-R-f- -^-R; а во второмъ
3R _2
4 +3R-
Двучленныя дроби онъ приводитъ къ одному знаменателю
и ведетъ всѣ вычисленія правильно какъ въ сложеніи, такъ
и въ вычитаніи. При этомъ онъ даетъ наипростѣйшаго знамена-
теля и дѣлаетъ сокращенія, не указывая этихъ подробностей
вычисленія. Вотъ любопытный примѣръ, который я передамъ по
современному. Дано — ' , tJ OD . ... Приводя къ одному
знаменателю, онъ замѣчаетъ, первый знаменатель дѣлится на вто-
рой, а потому умножаетъ числителя второй дроби только на 3.
Тогда послѣ вычитанія получаемъ — ' , ' ; но числитель
полученной дроби дѣлится на 3R-J-1 и онъ ее сокращаетъ и
даетъ результатъ въ видѣ —3 ·
Что касается до умноженія, то вышеуказанные недочеты въ
обозначеніи одночленныхъ дробей здѣсь пропадаютъ. Авторъ даетъ
4 слѣдующихъ примѣра: -^-R на -j- будетъ “1/2^ jj£ на бу-
детъ -τ- на даетъ — ; -^-q на _ К будетъ-^се. Какъ
видитъ читатель, здѣсь все поставлено какъ слѣдуетъ. Потомъ
идетъ умноженіе многочленныхъ дробей. Дѣленіе дробей разсматри-
вается какъ дѣйствіе, обратное умноженію, и производится умно-
женіемъ на обращеннаго дѣлителя. Для поясненія производства
дѣйствія приложены 12 примѣровъ, которые идутъ по возрастаю-
щей трудности. Подобно тому, какъ и въ умноженіи, сначала дается
дѣленіе одночленной дроби на цѣлое число, потомъ на числовую
дробь, потомъ дѣленіе одночленныхъ дробей и т. д., пока не до-
ходитъ до сложнаго дѣленія многочленныхъ дробей. Въ этихъ по-
слѣднихъ примѣрахъ наблюдается сокращеніе. Вотъ, напримѣръ,
10-ый примѣръ, какъ онъ данъ авторомъ:

Если мы всмотримся въ этотъ примѣръ, то увидимъ, что онъ
сдѣланъ обратнымъ дѣйствіемъ: авторъ зналъ частное и, указавъ
его, произвелъ повѣрку черезъ умноженіе частнаго на дѣлителя.
Откровенно говоря, и я не знаю, какъ въ этихъ символахъ можно
угадать, что 6q-|— 5R-^— 4=(2R+1) (3R-^—4). Всего вѣроятнѣе,
такой результатъ былъ полученъ черезъ непосредственное дѣленіе,
если только весь примѣръ и его результатъ не былъ взятъ изъ ка-
кого-либо иностраннаго руководства. Здѣсь слѣдуетъ обратить вни-
маніе, что въ числителѣ и знаменателѣ дроби находятся квадрат-
ные многочлены, которые могли быть даны гдѣ-нибудь подъ ви-
домъ квадратныхъ уравненіи, тогда авторъ могъ ихъ взять какъ
распадающіеся на линейныхъ множителей. Въ дадьнѣйшихъ при-
мѣрахъ 11 и 12 нѣтъ уже этого случая: примѣръ 11 даетъ частное
двухъ многочленовъ съ числовыми дробными коэффициентами, а по-
слѣдній 12-й примѣръ рѣшенъ какъ произведеніе числителя дѣли-
маго на знаменателя дѣлителя и также найденъ и знаменатель
частнаго.
Но если такъ трудны были случаи дѣленія многочленныхъ
дробей, то въ остальныхъ примѣрахъ читатель свободно могъ ра-
зобраться и, идя отъ болѣе простыхъ къ болѣе сложнымъ преобра-
зованіямъ, онъ безъ большого труда могъ ознакомиться съ дѣле-
ніемъ дроби на дроби.
Въ заключеніи „предѣленія перваго" стоитъ „о правилѣ трой-
номъ", но это правило здѣсь не разсматривается, а только указы-
вается на то, что оно будетъ ясно изъ дальнѣйшаго: „за еже чину
тройного правила достоитъ въ прикладѣхъ явлену быти, ихже раз-
суждая уразумѣеши и правила".
Такимъ образомъ, мы разсмотрѣли два „предѣленія": предѣле-
ніе 3-іе—о шестидесятичной системѣ счисленія, и предѣленіе 1-ое--
о числахъ алгебраическихъ; намъ остается разсмотрѣть еще пре-
дѣленіе 2-ое—объ извлеченіи корней.

3. Извлеченіе корней.
Отдѣлъ объ извлеченіи корней составляетъ „предѣленіе вто-
рое“ второй книги ариѳметики. Это предѣленіе авторъ начинаетъ
со слѣдующаго заявленія: „Послѣдователно есть въ семь мѣстѣ
показати, како въ различныхъ радиксахъ извлеченіе бываетъ, и
прежде всего достоитъ аще и не всю сію таблицу на памяти имѣти,
или часто смотрѣти“. Эта таблица есть таблица послѣдовательныхъ
степеней первыхъ 9-ти чиселъ до 12-ой степени. Въ этомъ началѣ
методически интересна та подробность, что авторъ считаетъ воз-
можнымъ знать эту таблицу на память. Правда, что онъ дѣлаетъ
уступку, что можно знать ее не всю, даже можно ей пользоваться
при вычисленіи — „часто смотрѣти“. Это мѣсто даетъ возможность
сдѣлать предположеніе, что предѣлъ памяти самого автора не могъ
осилить всей таблицы, но въ практикѣ московской жизни быть
можетъ встрѣчались лица, могущія запомнить всю таблицу.
За таблицей степеней слѣдуетъ: „потомъ другую сію таблицу
подобаетъ всю на памяти имѣти, и въ коемждо радиксѣ своя его
числа во умноженіи употребляти“. Эта таблица есть таблица би-
номіальныхъ коэффиціентовъ послѣдовательныхъ степеней двучлена
отъ 2-ой до 10-ой степени.
За этими таблицами идетъ слѣдующее: „О извлеченіи радикса
квадратнаго, здѣ оставляемъ, зане въ первыя книги пятой части
довольно объ немъ обявлено. Такожде и кубичнаго радикса о из-
влеченіи пространно тамо речено есть двѣма образы, здѣ же хощу
кратко предложити о извлеченіи двократнаго (4-ой степени) ра-
дикса, и сурсолида (5-ой степени), и квадратокубичнаго и проч.“.
Что касается до самаго вычисленія числового значенія корня,
то оно производится авторомъ по формулѣ, которую г. Бобынинъ
приводитъ въ слѣдующемъ видѣ:
[(a+b+...)+l] m =(a+b+...) m +m(a+b+...) m—1 l+
m(m—1)(a+b+...) m—2 l 2 +..... *)
но я бы написалъ ее нѣсколько иначе, а именно
[a+(b+c+...)] m =a m +ma m—1 (a+b+...)+...,
такъ какъ у автора нахожденіе перваго числового знака корня
играетъ очень важную роль. У него размотрѣны способы извлече-
нія корней 4-ой, 5-ой, 6-ой, 7-ой и 8-ой степени, при чемъ всѣ
они взяты для одного и того же числа 246. Такое однообразіе
*) Бобынинъ. 1889 г. № 2, стр. 118.

можетъ имѣть методическій характеръ, потому что разбираться въ
вычисленій вообще довольно трудно; при степеняхъ же одного и того
же числа эта работа облегчается, и читатель, производя вычисленія
съ карандашомъ въ рукахъ, будетъ глубже вникать въ свойства
числовыхъ биномовъ, если эти биномы относятся къ одному и тому
же числу. Можно, конечно, предположить и то, что самъ авторъ
нѣсколько затруднялся въ этихъ сложныхъ вычисленіяхъ и для
облегченія ихъ взялъ степени одного и того же числа. Оба пред-
положенія совершенно равноправны, но мнѣ кажется, что первые
изъ нихъ гораздо вѣроятнѣе. Что касается до самыхъ вычисленій,
то у Магницкаго разсмотрѣно болѣе подробно только извлеченіе
корня 4-ой степени. Здѣсь онъ говоритъ: „ Аще хощеши или случится,
когда извлекаши радиксъ биквадратный изъ перечня 3662186256
и ты положи точки якоже и въ кубичномъ извлеченіи, съ перваго
характира черезъ три надъ пятый характиръ якоже 3662186256
и смотри въ вышеписанной таблицѣ биквадратныхъ числъ при-
ближнихъ сего перечня, первымъ числамъ 36, и обрящеши 16,
ихже вычти изъ 36, и останется 20, a тѣхъ же 16-ти радиксъ
есть 2. Его же положи за чертою, и умножай его квадратно, и
кубично, и радиксовое число, что за чертою множи, черезъ 4q,
еже въ памятной таблицѣ, всѣхъ радиксовъ обрѣтено есть биква-
драту свойственное, и будетъ 8".
Здѣсь я позволю себѣ пояснить мысль автора современной
формулой
[a+(b+c)l4-a4+4a3(b+c)+6a2(b+c)2+4a(b+c)3+(b+c)4.
Онъ нашелъ, что а=2; чтобы найти b—{—с, онъ долженъ воз-
вести a въ третью степень и умножить на 4; но въ его первомъ
остаткѣ 206218 будетъ только 4a3b, при чемъ 4а3 оканчивается
тремя нулями, a слѣдов., произведеніе 4а3или 32 будетъ содержаться
лишь въ 206. Теперь онъ дальше говоритъ: „Квадратное же изъ
радикса 2, что за чертою произведеное 4, множе черезъ 6q па-
мятныя же таблицы и будетъ 24. A потомъ кубичное число, что
за чертою отъ 2 родилось 8 умножи черезъ третіе число памят-
ныя же таблицы, еже есть черезъ 4се, и будетъ 32, и вся та
числа постави въ рядъ подъ перечень уступая по характеру въ
правой рукѣ, якоже явлено есть". Если мы теперь развернемъ
нашу формулу и отберемъ члены, содержащіе а, то получимъ
[a+(b+c)]4=a4-+4a3b+6a2b2+4ab3-f...
Это вычисленіе онъ поясняетъ слѣдующей таблицей, данной
при записи извлеченія.

Очевидно, что эта таблица есть приведенные три члена разло-
женія, но записанные символически. Далѣе, опредѣливъ указан-
нымъ способомъ вторую цифру корня 4, онъ вычисляетъ:
и складывается, получимъ 171776, что
и вычитается изъ остатка 206218. Точно такъ же находится и по-
слѣдняя цифра корня, для вычисленія которой уже надо взять
формулу
[(a+b)+c]4=(a+b)4-f4(a+b)3c^
Само вычисленіе онъ располагаетъ такъ;
А о другомъ дѣлителѣ твори та-
кожде ихже стави подъ перечень
и дѣли
Разсмотрѣвъ извлеченіе корня, Магницкій добавляетъ: „Тако-
вымъ же образомъ бываетъ извлеченіе радиксовъ, аще и во мно-

жайшихъ пропорціяхъ, и сего ради судихомъ краткости виною про-
чая оставити, въ нихже хотящій да тщатся усерднѣйше. A въ
доляхъ аще случится остатися нѣколикимъ числамъ, и къ нимъ де
прилагаются цифровъ толико, елико есть дѣлимый радиксъ, якоже
въ квадратномъ прилагается два цифра въ десятныхъ частехъ.
Въ кубичномъ три цифры, a въ двакратномъ четыре цифра, въ
десятыхъ же частехъ: a въ прочихъ радиксахъ такожде еликъ бу-
детъ радиксъ, толико и цифровъ прилагается въ десятыхъ частехъ,
въ сотныхъ же всегда вдвое, a въ тысячныхъ въ трое и прочая“.

Часть вторая.
О геометрическихъ черезъ аріфметіку дѣйствую-
щихъ.
Вторая часть алгебраической ариѳметики состоитъ изъ двухъ
„предѣленій“, изъ которыхъ первое посвящено опредѣленію площа-
дей плоскихъ фигуръ, а второе рѣшеніе уравненіи, приложенію ихъ
къ геометріи и вычисленію тригонометрическихъ функцій.
Что касается до геометрическихъ приложеній, то въ общемъ
курсѣ ариѳметики мы встрѣчаемся съ ними второй разъ. Объ этомъ
авторъ говоритъ такъ: „Въ первомъ предѣленіи хощемъ нѣкая
геометрическая дѣйства черезъ различный чинъ аріѳметіки въ
примѣрахъ показати. А паче планометріи и солидометріи свойствен-
ная, сіесть плоскости линіями опредѣленныя, или единого яко въ
колеси, или тремя, яко въ треуголіяхъ, или четырмя яко въ ква-
дратѣхъ, и прочая; иди въ корпусахъ яко въ сферахъ, въ кону-
сахъ, въ цилиндрахъ и въ пирамидахъ, аще нѣкая сицевая и по-
ложена суть первыя книги въ пятой части: но здѣ потребнѣе ради
аріѳметического различного чина, имже вся дѣйствовати мощно
предлагаемъ въ образъ“.
Я уже говорилъ ранѣе, что сочиненіе Магницкаго я разсма-
триваю какъ самоучитель по математикѣ, и выдержками изъ пре-
дисловій пытался доказать, что и самъ авторъ смотрѣлъ именно
такъ на свой курсъ: „аще бо кто и безъ учителя творится въ
ней обучителя“; „и мню азъ яко то имать быть, что самъ себѣ
всякъ можетъ учить“. Но если это такъ, то въ расположеніи курса
мы должны имѣть нѣкоторый методическій порядокъ, какъ бы такое
расположеніе матеріала, при которомъ психологически онъ усваи-
вается наилучшимъ образомъ. Если мы именно эту точку зрѣнія
приложимъ къ разсматриваемому отдѣлу, то должны сказать, что
раздробленіе геометрическихъ задачъ въ два концентра имѣемъ
огромное методическое значеніе, которое еще болѣе усиливается,

если мы обратимъ вниманіе на внѣшность изложенія. Въ пятой
части первой книги даны рисунки башенъ съ приставленными къ
нимъ лѣсницами, расположеніе полковъ, колодцы, кучи песку или
ядеръ, шатры, бочки и т. п.; здѣсь даны чертежи геометриче-
скихъ фигуръ. Тамъ опредѣляются стороны прямоугольнаго тре-
угольника при помощи только вычисленія квадратнаго корня; здѣсь
въ основѣ лежитъ рѣшеніе квадратныхъ уравненіи; тамъ были
площади простѣйшихъ фигуръ, здѣсь площади фигуръ болѣе слож-
ныхъ. Методическая мысль автора становится вполнѣ ясной: ему
нужно ввести читателя въ кругъ геометрическихъ вопросовъ, ко-
торые онъ считаетъ не только болѣе трудными, но и болѣе отвле-
ченными, и вотъ для этого онъ сначала какъ бы намѣчаетъ ихъ,
возбуждаетъ въ читателѣ рядъ вопросовъ, a потомъ вновь возвра-
щается къ этому и излагаетъ рѣшеніе этихъ вопросовъ. Мнѣ ка-
жется, что при разборѣ всего отдѣла необходимо установить именно
эту точку зрѣнія, тогда становятся понятными всѣ своеобразности
въ изложеніи. Изложеніе начинается вновь съ опредѣленія пло-
щади квадрата по его сторонѣ; но здѣсь уже дается чертежъ
квадрата и сразу рѣшаются двѣ задачи: опредѣленіе площади по
сторонѣ квадрата и стороны по площади. Затѣмъ авторъ перехо-
дитъ къ опредѣленію площади треугольника и говоритъ такъ:
„Такожде егда случится въ треуголіи данымъ бокомъ познати су-
перфицію, и бываетъ единъ даный бокъ черезъ другой даный умно-
женъ, и произведеніе раздѣлено черезъ 2, и иже по раздѣленіи
явится, толико будетъ и суперфиція коегождо тѣхъ треуголій“.
Далѣе дается чертежъ трехъ треугольниковъ: прямоугольнаго, остро-
угольнаго и тупоугольнаго, въ каждомъ изъ нихъ приведена вы-
сота и вычислена площадь. При этомъ надо отмѣтить, что всѣ
треугольники имѣютъ одно и то же основаніе 9,4 и одинаковую
высоту 4,6; но записаны эти числа довольно странно: въ первомъ
написано основаніе 94 и высота 4.6; въ двухъ остальныхъ: осно-
ваніе 9:4 и высота 4:6; въ рѣшеніи произведеніе 9,4 на 4,6 за-
писано въ видѣ 43.24, а по раздѣленіи на 2 записано 21:62.
Такая запись показываетъ, что здѣсь взяты не цѣлыя числа
94 и 46, a цѣлое съ дробью 9,4 и 4,8., произведеніе которыхъ
даетъ 43, 24. Очевидно, что здѣсь впервые Магницкій вводитъ
десятичныя дроби, но какъ ихъ обозначить, онъ затрудняется и
ставитъ между цѣлымъ числомъ и дробью то точку, то двоеточіе.
Здѣсь любопытно отмѣтить, что въ англійскихъ логариѳмическихъ
таблицахъ ставилась точка, въ Германіи была принята запятая.
Но такое обозначеніе не было всеобщимъ и еще въ 1742 году въ
„ Compendium elementorum matheseos imiversae“ Христіана

Вольфа*) десятичныя дроби обозначались 5°6'0"0'"; это значила
5,600. Быть-можетъ, здѣсь интересно болѣе подробно остановиться
на томъ, какъ Вольфъ выражаетъ длины. Онъ говоритъ, что для
измѣренія длинъ берется шестъ (Decempeda), который дѣлится на
10 равныхъ частей (pedes), каждая часть подраздѣляется въ свою
очередь на 10 равныхъ частей (digitus), потомъ идетъ дѣленіе дальше
(lineas). Окружность, говоритъ онъ далѣе, дѣлится на 360 частей; эта
часть называется градусомъ; градусы дѣлятся на минуты, минуты на
секунды и т. д. Потомъ говоритъ: „Градусъ обозначается (°), что
соотвѣтствуетъ Decempedae, минута (') соотвѣтствуетъ pedes (футы).
Напримѣръ, '3β25Ί7" означаетъ 3 градуса, 25 минутъ, 17 секундъ;
въ то же время 3°2'4" означаетъ 3 Decempedas, 2 Pedes, 4 digitos.
При измѣреніи площадей онъ говоритъ, что каждая изъ этихъ
мѣръ будетъ содержать уже не 10 единицъ, а 100; поэтому число
119025 digiti нужно читать 11 decempedas 90 pedes 25 digitos.
Площадь прямоугольника онъ вычисляетъ такъ: 3°4'5" одна
сторона и 1°2'3" другая. Тогда площадь будетъ по его вычисленію
3°4'5"
123
10 3 5
69 0
345
4β24' 35"
Если мы теперь сравнимъ изложеніе Вольфа и Магницкаго,
то найдемъ у нихъ много общаго. Оба они начинаютъ измѣреніе
площадей съ площади квадрата, потомъ переходятъ къ прямоуголь-
нику, параллелограмму и т. д.; оба не даютъ доказательствъ своихъ
вычисленій, а лишь показываютъ, какъ площадь найти въ числахъ.
Но есть, конечно, и существенная разница: у Вольфа геометрія со-
вершенно отдѣлена отъ аряѳметики и содержитъ нѣкоторыя тео-
*) У меня подъ руками женевское изданіе, полное заглавіе котораго:
„Compendium elementorum matheseos universae in usum studiosae juven-
tutis adornatum a Christiano Wolffio". Lausanne et Geneve Sumptib. Mari-
Michaelis Bousquet et sociorum MDCC XLII. Xp. Вольфъ (1679—1754) по
времени жизни какъ бы совпадалъ съ Магницкимъ, и можно было бы думать,
что послѣдній могъ заимствовать у него. Однако, первое сочиненіе Вольфа
Medicina mentis появилось лишь въ 1703, когда ариѳметика уже была напе-
чатана. Тѣмъ не менѣе можно найти много точекъ соприкосновенія у того
и другого автора, особенно въ геометріи. Это интересно въ томъ отношеніи,
что, очевидно, общій характеръ изложенія былъ одинъ и тотъ же. Между про-
чимъ, Вольфъ дѣлаетъ дѣленіе цѣлыхъ чиселъ совершенно такъ, какъ это
принято у Магницкаго.

ремы и ихъ доказательства, чего у Магницкаго нѣтъ. Но приве-
денное вычисленіе Вольфа показываетъ, какъ трудно было въ
XVIII вѣкѣ догадаться, какъ обозначать десятичную дробь. Вольфъ
здѣсь, я бы сказалъ, хуже Магницкаго: у него не исчезли еще
слѣды бывшей шестидесятичной системы въ обозначеніи; но
любопытно то, что объясненіе десятичныхъ дробей совершенно по-
чти одинаково у Магницкаго и Вольфа.
Такимъ образомъ, когда нашъ авторъ колеблется, какъ ему
отдѣлить десятичную дробь отъ цѣлой части, и ставитъ то точку,
то двоеточіе, то онъ все-таки идетъ далеко впереди своего вѣка,
когда западные авторы сохраняли здѣсь еще старое обозначеніе
шестидесятеричной системы.
Что касается до формулировки самой теоремы о вычисленій
площади треугольника, то г. Бобынинъ обвиняетъ Магницкаго въ
неточности, принимая слово „бокъ“ въ значеніи сторона треуголь-
ника.
Однако, такое пониманіе, быть-можетъ, не совсѣмъ правильно.
Вотъ что сказано въ словарѣ Даля: „Бокъ—сторона предмета; у
каждой вещи есть верхъ и низъ, остальныя внѣшнія плоскости на-
зываются боками“.
Далѣе въ изложеніи смысла этого слова онъ приводитъ его
геометрич. значеніе: „всякая прямая линія, составляющая часть
очертанія плоскости: бокъ треугольника“. Теперь если мы примемъ
во вниманіе слѣдующее: съ одной стороны, у насъ еще нѣтъ со-
вершенно изслѣдованій но математическому языку; термины и
слова, встръчающіеся хотя бы у Магницкаго, потому такъ и не-
ясны, что мы совершенно не знаемъ, какъ наши предки выражали
свои математическія понятія, и что они подразумѣвали подъ тѣмъ
или инымъ словомъ; съ другой стороны, мы уже имѣли примѣры
того, что ариѳметика часто однимъ и тѣмъ же словомъ выражаетъ
совершенно разныя понятія. Вотъ, почему, мнѣ кажется, и здѣсь
слѣдуетъ принять, что подъ словомъ „бокъ“ авторъ подразумѣ-
ваетъ какъ основаніе треугольника, т.-е. его сторону, такъ и вы-
соту треугольника, а не его боковую сторону. Опять повторяю, что
я далеко не склоненъ считать, что въ сочиненіи Магницкаго уста-
новлена опредѣленная математическая терминологія, но все-таки
думаю, что авторъ выбиралъ для своего изложенія наиболѣе под-
ходящія слова, которыя впослѣдствіи измѣнили свое значеніе. Такъ,
можетъ-быть, „бокъ“ въ треугольникѣ означалъ его высоту. Но я
готовъ согласиться и съ тѣмъ, что здѣсь у автора ариѳметики
описка, какъ это часто случается въ его курсѣ. На это сообра-
женіе наводитъ дальнейшая теорема о площади параллелограмма,

который онъ называетъ ромбомъ. Онъ говоритъ: Такожде и о
ромбоидѣхъ именуемыхъ, ниже сего положенныхъ, есть въ при-
кладахъ наблюдателно, яко аще дается который бокъ, и его пер-
пендикуляръ, ихже между собою умноживъ обрящеши арею, или
суперфицію коегождо ромбоида". Теперь и неясно, что же новыя
фигуры даютъ и новые элементы для опредѣленія площади, или
просто въ треугольникѣ автору не пришло въ голову слово пер-
пендикуляръ? А это очень и очень можетъ быть, потому что, го-
воря дальше о площади правильнаго пятиугольника, которая опре-
дѣляется какъ 5 площадей треугольниковъ, онъ говоритъ; „и тогда
творится по обычаю вышеписаннаго второго приклада (т.-е. пло-
щади треугольника) якоже здѣ данъ бокъ и перпендикуляръ".
Что же теперь: бокъ и перпендикуляръ одно и то же, или въ пер-
вомъ прикладѣ не подвернулось нужное слово?
Не менѣе любопытно и слѣдующее: какъ мы видѣли, паралле-
лограммы авторъ называетъ ромбоидами, далѣе онъ говоритъ о
трапеціи и называетъ ее параллелограммомъ, а неправильный
4-угольникъ—трапеціей. Площадь трапеціи опредѣляетъ какъ по-
лусумму параллельныхъ сторонъ на высоту, но слова „высота" не
употребляетъ, а просто указываетъ по чертежу ея числовое зна-
ченіе. Площадь неправильнаго четыреугольника опредѣляется какъ
сумма площадей двухъ треугольниковъ. Въ заключеніе онъ даетъ
площадь треугольника по тремъ сторонамъ и вычисляетъ ее по
формулѣ j/p (ρ—а) (ρ—b) (ρ—с). Затѣмъ переходитъ къ опредѣ-
ленію площади круга, принимая π = -γ-; онъ называетъ это Архи-
медовой пропорціей: „Въ колесѣхъ же пропорція Архимедова діа-
метра ко окруженію яко 7 (1, ко 22 (1, якоже въ первой книгѣ
въ пятой части явлено есть". Здѣсь обращаетъ на себя вниманіе
точность опредѣленія и еще слѣдующее: что значатъ (1; такіе
знаки въ текстѣ у него начинаются съ опредѣленія площади тра-
пеціи, a въ вычисленій—съ вычисленія площади „ромбоида", при
чемъ площадь отмѣчается (2; но иногда этотъ порядокъ нарушается:
въ послѣднемъ примѣрѣ „ромбоида" основаніе и высота отмѣчены
(2 и (2, а площадь (4; въ пятиугольникѣ основаніе и высота
треугольника отмѣчены (3 и (3, а окончательная площадь (6; въ
вычисленій площади треугольника по тремъ сторонамъ она отмѣ-
чена (4. Въ настоящее время я не могу разрѣшить этотъ вопросъ,
а потому указываю на него.
Отъ площадей прямолинейныхъ фигуръ онъ переходитъ къ
площади круга и говоритъ: „егда бо умножиши циркумферен-
цію или окруженіе черезъ діаметръ, и произведеніе раздѣлиши че-

резъ 4, и по раздѣленіи придетъ суперфиція“. По-нашему
будетъ j , т.-е. rcR2.
Приведя вычисленіе площади круга и окружности при радіусѣ,
равномъ 7. Магницкій замѣчаетъ: „или якоже пропорціи есть діаметръ
къ циркуфераціи яко 7 къ 22, тако той же діаметръ къ суперфи-
ціи яко 7 къ 77“. Г. Бобынинъ говоритъ, что послѣднее выра-
женіе ошибочно, но я не думаю этого: вѣдь если-^г-тч =О?Г, та
вполнѣ совпадаетъ съ его данными: діаметръ 14, окружность 44,
а площадь круга 154.
Прежде, чѣмъ разсматривать дальнѣйшія задачи, я отмѣчу
еще здѣсь слѣдующія наименованія: субтенза есть хорда; семидіа-
метръ есть радіусъ; оба эти наименованія были въ общемъ употре-
бленіи въ началѣ XVIII-ro вѣка, такъ, они встрѣчаются въ геоме-
тріи Вольфа.
Задача 11 начинается съ замѣчанія, что хорда, равная ра-
діусу, есть сторона правильнаго вписаннаго шестиугольника. От-
мѣтивъ это, авторъ спрашиваетъ: „И вѣдателно есть колико су-
перфиціа будетъ оныя шестероугольныя фигуры, въ томъ колеси
описанныя, такожде и суперфиціа оныя малыя частицы субтензого
be одѣленыя“. Послѣдній вопросъ онъ рѣшаетъ такъ: изъ площади
круга вычитаетъ площадь шестероугольника и разность дѣлитъ на
6. Площадь же шестероугольника вычисляетъ, опредѣляя пло-
щадь треугольника по тремъ сторонамъ: „всѣхъ боковъ количество
сложи будетъ 21, его же половина будетъ въ доляхъ — изъ того
вычти кійждо бокъ и останется умножи кубично придетъ
343 *) и сіе паки множи черезъ и придетъ въ доляхъ -jg -·
Еже паки подобаетъ множити черезъ 6 количество угловъ и при-
детъ въ доляхъ 259308 *) и сія извлѣцай квадратно будетъ 127 —
суперфиція шестероугольныя фигуры“. Кромѣ отмѣченныхъ въ вы-
носкѣ пропущенныхъ знаменателей, г. Бобынинъ указываетъ еще
ошибку, что множитель 6 неправильно введенъ подъ корень. Однако,
это недоразумѣніе, которое слѣдуетъ изъ текста, но самое вычис-
*) Здѣсь, очевидно, описка: пропущенъ знаменатель 8.

7203
леніе сдѣлано правильно, именно: подкоренное количество ^
умножено на 36, и потомъ изъ произведенія извлеченъ корень.
Опредѣливъ площадь сегмента, вырѣзаемаго стороной пра-
вильнаго шестероугольника, авторъ переходитъ къ опредѣленію
площади всякаго иного сегмента, если извѣстна его дуга; эту
площадь онъ опредѣляетъ какъ произведеніе длины дуги на *pa-
діуса. Далѣе онъ отмѣчаетъ: „пропорціа якоже 14 къ 11, тако
квадратъ діаметра къ суперфиціи. Или якоже 88 къ 7 тако ква-
дратъ циркумфераціи къ суперфиціи колесе“.
Если же эти замѣчанія переведемъ на современный языкъ,
то первое изъ нихъ даетъ 4r2 : πτ2 или, принимая π=—, полу-
чимъ 4 : —= = 14:11. Второе 4π2Γ2 : πι,2=4π : 1; подставляя π, по-
лучимъ : 1=88 : 7.
Отдѣдъ о площади круга оканчивается замѣчаніемъ, что отно-
шеніе площадей двухъ круговъ равно отношенію квадратовъ ихъ
діаметровъ или равно квадрату отношенія діаметровъ.
Въ заключеніе предѣленія перваго авторъ даетъ вычисленіе
размѣровъ земного шара, „косвенноугольнаго ромба“, цилиндра и
конуса.
Вопросъ о размѣрахъ земного шара онъ считаетъ очень важ-
нымъ и все вычисленіе заканчиваетъ такой таблицей.

Г. Бобынинъ въ своемъ изслѣдованіи, кратко приводя содер-
жаніе этого отдѣла, замѣчаетъ: „Изъ статей разсматриваемаго
„предѣленія“ совершенной новостью въ русской математической
литературѣ своего времени были, можетъ-быть, опредѣленія пло-
щадей параллелограммовъ, правильныхъ многоульниковъ, сегмен-
товъ круга, поверхности и объема земного шара, поверхностей и
объемовъ пирамиды и конуса. Все остальное можно встрѣтить
частію въ землемѣрныхъ рукописяхъ, частію въ сборникахъ мате-
матическаго содержанія XVII столѣтія. Какъ и нововведенія, сдѣ-
ланныя Магницкимъ, по отношенію къ нѣкоторымъ изъ этихъ зна-
комыхъ уже русскимъ статей, слѣдуетъ указать на употребленіе
совершенно точныхъ пріемовъ, недоставившихъ древнимъ рукопи-
сямъ, иногда также и на ихъ сравнительное разнообразіе“. Вполнѣ
довѣряя уважаемому изслѣдователю русской математической ста-
рины, я все же думаю, что онъ, быть-можетъ, слишкомъ умаляетъ
математическія свѣдѣнія нашихъ предковъ. Если Магницкій шелъ
вровень съ общимъ математическимъ образованіемъ Запада, а
иногда и впереди его, то, быть-можетъ, и его предшественники
не были столь отсталыми въ своихъ математическихъ знаніяхъ.
Рѣшеніе квадратныхъ уравненій.
Изложеніе рѣшенія квадратныхъ уравненіи составляетъ „предѣ-
леніе второе" второй части ариѳметики логистики; оно озаглавлено
такъ: „различныя дѣйствія черезъ различный чинъ ариѳметики". Это
заглавіе показываетъ, что авторъ имѣлъ въ виду не какое-либо
новое ученіе о рѣшеніи уравненіи, выведенное на основаніи
свойствъ равенства, а лишь тѣ же ариѳметическія дѣйствія, при-
ложенныя къ особому роду вычисленій. Чтобы яснѣе представить
себѣ ходъ мысли автора при этомъ изложеніи, слѣдуетъ припом-
нить то, что можно найти изъ исторіи этого вопроса. Квадратныя
уравненія умѣлъ рѣшать Діофантъ, но онъ всегда даетъ лишь
одинъ изъ двухъ корней, даже въ томъ случаѣ, когда оба они
положительны. Отрицательныхъ и ирраціональныхъ рѣшеній онъ
также не признаетъ. Затѣмъ Геронъ Александрійскій даетъ рѣше-
ніе уравненія ax8-f-bx=c, которое на современномъ языкѣ можно
выразить формулой x = j/ac-|-^-j—Хотя Магницкій при-
водитъ свое рѣшеніе именно къ этой формулѣ, однако, трудно ду-
мать, что онъ зналъ сочиненія этихъ математиковъ. Правда, со-

чиненія Діофонта были извѣстны арабамъ и отъ нихъ перешли въ
Испанію, a изъ Испаніи, какъ думаютъ нѣкоторые изслѣдователи.
въ Англію; но на континентѣ они были мало извѣстны.
Точно такъ же во времена Магницкаго были совершенно неиз-
вѣстны въ Европѣ сочиненія индусовъ, у которыхъ теорія ква-
дратнаго уравненія была разработана почти съ исчерпывающей
полнотой. Гораздо вѣроятнѣе становится знакомство Магницкаго
съ сочиненіемъ Кардана „Ars Magna sive de regulis Algebrae“,
а также возможно, что онъ зналъ и сочиненія Вьета, о которомъ
я говорилъ выше. Поэтому очень интересно указать, какъ эти ма-
тематики смотрѣли на отрицательные отвѣты. Карданъ въ своихъ
сочиненіяхъ хотя и обращаетъ вниманіе на отрицательные корни,
но называемъ ихъ фиктивными (положительные корни онъ назы-
ваетъ дѣйствительными). Что касается “до Вьета, то при рѣшеніи
уравненіи онъ постоянно прилагалъ принципъ приведенія; онъ
приводитъ полныя квадратныя уравненія къ неполнымъ при по-
мощи соотвѣтственно выбранной подстановки и въ этомъ вполнѣ
расходится съ изложеніемъ Магницкаго, но онъ отвергаетъ всѣ
корни, кромѣ положительныхъ, и здѣсь изложеніе Магницкаго съ
нимъ совпадаетъ, при томъ такъ, что въ случаѣ положительныхъ
корней сумма ихъ равна коэффиціенту при χ, что замѣчено Вьетомъ
и на что указываетъ Магницкій.
Только положительные корни признаетъ и нѣмецкій коссистъ
Рудольфъ, а его послѣдователь Стифель говоритъ, что отрицатель-
ныя числа есть „меньше чѣмъ ничто“ и называетъ ихъ „нелѣ-
пыми числами“. Кэджори, у котораго я заимствую всѣ эти свѣдѣнія,
говоритъ въ заключеніе: „Въ сущности только со средины XIX в.
ученіе объ отрицательныхъ числахъ стало правильно объясняться
въ школьныхъ руководствахъ по алгебрѣ. До XVII-го же столѣтія
большинство великихъ европейскихъ алгебраистовъ не поднялись
еще до высоты взглядовъ, встрѣчаемыхъ нами у индусовъ *).
Переходя теперь къ изложенію Магницкаго, мы встрѣчаемъ
у него страницу изъ исторіи этого вопроса. Очевидно, что онъ не
зналъ общей алгебраической формулы рѣшенія кв. уравненія, да
это и трудно было ему сдѣлать, пользуясь символическимъ обозна-
ченіемъ степеней неизвѣстнаго. Въ силу этого онъ разсматриваетъ
три вида кв. уравненіи, и для каждаго изъ нихъ даетъ особое
рѣшеніе. Первый изъ нихъ будетъ q--|-R=o; этотъ видъ соотвѣт-
ствуетъ нашему ax2-f-bx=c; знакъ о вѣроятно есть буква о и
обозначаетъ извѣстный членъ, который онъ называетъ „праздное
*) Кэджори, стр. 249.

число“. Второй видъ онъ выражаетъ формулой q=R-f-o, что co-
отвѣтствуетъ по-нашему ax2=bx-f-c; здѣсь членъ bx долженъ пе-
рейти въ первую часть со знакомъ минусъ, и этотъ минусъ измѣ-
няетъ форму рѣшенія, почему и выдѣленъ авторомъ въ особый
видъ или, какъ авторъ называетъ, „особое правило“. Третій видъ
уравненіи онъ выражаетъ формулой q-|-o=R, т.-е. ax2-f-c=bx;
это „правило“ отличается отъ перваго знакомъ при bx, a отъ
второго—знакомъ при с. Всѣ эти разновидности становятся по-
нятны, если мы допустимъ, что авторъ не вводитъ отрицатель-
ныхъ членовъ, а потому и рѣшеніе каждаго вида будетъ содер-
жать „особое правило“.
Однако, слѣдуетъ отмѣтить, что, разъясняя такъ вопросъ о
рѣшеніи кв. уравненіи, Магницкій знаетъ способъ перенесенія
членовъ изъ одной части въ другую, вслѣдствіе чего каждый видъ
кв. уравненія въ свою очередь подраздѣляется на 3 вида, объеди-
ненныхъ въ одномъ правилѣ рѣшенія, а именно:
1) q-f-R=o; q=o-4—R и o=q+R*).
2) q=R-f о; q-i—o=R; R+o=q.
3) q-j-o=R; q=R-i—o; R-|—o=q.
Въ этихъ подраздѣленіяхъ интересно отмѣтить, что авторъ
считаетъ различными два вида q-|-R=o и o=q-j-R. Какъ часто
мы удивляемся, что ученики, получивъ равенство 6=х, затрудня-
ются сказать, что х=6. Изъ примѣра Магницкаго ясно, что въ
этой перестановка нѣтъ той простоты и очевидности, какую мы
требуемъ отъ учениковъ, и что было время, когда и опытные мы-
слители не считали такую перестановку частей равенства оче-
видной.
Разсмотримъ теперь рѣшенія уравненіи. Магницкій говоритъ
относительно перваго вида: „Творится же сіе правило сице: пер-
вѣе, множи число праздное черезъ квадратъ: второе, множи поло-
вину радикса само на ся: третіе, оны два произведенія сложи во
едино: четвертое, изъ сложенія онаго извлецы радиксъ квадратъ:
пятое, отъ радикса квадрата вычти половину числа радикса, и
остатокъ раздѣли черезъ число квадрата и имѣти будеши простое
число радикса си есть 1 q“ **). Теперь, если мы въ этомъ пра-
вилѣ замѣнимъ слово „квадратъ“ коэффиціентомъ при χ2, а слово
„радиксъ“—коэффиціентъ при х, то получимъ формулу
*) Здѣсь въ текстѣ, очевидно, опечатка: второе подраздѣленіе дано въ
видѣ q=o+R, которое не соотвѣтствуетъ „правилу“ рѣшенія.
**) Знаки препинанія поставлены по подлиннику. Очевидно, что : надо
замѣнить ;

которая точно соотвѣтствуетъ формулѣ
Герона Александрійскаго. Въ приведенномъ „прикладѣ" взято
уравненіе q-f-20R=800. Рѣшеніе этого уравненія близко подхо-
дитъ къ формулѣ
но очевидно, что это—
недоразумѣніе, въ которое впалъ г. Бобынинъ, говоря, что приве-
денная формулировка Магницкаго неясна. Она, по-моему, совер-
шенно ясна, тѣмъ болѣе, что, приводя самое уравненіе q-f-R=o,
Магницкій говоритъ: „первое егда едино есть, или многая q-J-еди-
нымъ или многими радиксы равняются числу". Здѣсь слово „мно-
гая", поставленное при q, ясно показываетъ, что онъ имѣлъ въ
виду общій случай, когда въ уравненіи не только R, но q имѣетъ
коэффиціентъ.
При рѣшеніи второго вида онъ ссылается на первый и гово-
ритъ: „и творится якоже и въ первомъ правилѣ, токмо послѣднее
1/2ψ половина радикса, не вычитается, но прилагается". Оба при-
мѣра, приведенные здѣсь, содержатъ коэффиціентъ при R нечетный,
a потому подъ корнемъ приходится приводить къ одному знамена-
телю. Приведу рѣшеніе перваго примѣра. Взято уравненіе q=R—Ι—12.
Что касается до третьяго вида уравненіи, то Магницкій гово-
ритъ: „Обретенное же число сего правила выходитъ сугубо, сиесть
менше и болше, а творится сице: возми произведеніе еже изъ
умноженія само на ся половины радикса, и не прилагай числу
праздному якоже въ предварившихъ, вычитай отъ того и изъ
остатка извлецай квадратно, и той радиксъ квадратъ аще прило-
жиши къ половинѣ радикса числа, тогда будетъ болшее число
радикса искомое, аще же вычитается отъ половины радикса числа,

тогда будетъ меншее число радикса". Къ этому правилу прило-
жено два примѣра: q-{-75=20 R и q-f-108=24 R. Въ отвѣтѣ въ
обоихъ примѣрахъ дано два рѣшенія, въ первомъ δ и 15, а во
второмъ 6 и 36. Въ послѣднемъ примѣрѣ рѣшенія сложены и ука-
зано, что сумма ихъ равна коеффиціенту при R.
Разсмотрѣніе послѣдняго случая, когда оба корня кв. уравне-
нія всегда будутъ дѣйствительны и положительны, ясно показы-
ваетъ, что Магницкій зналъ два знака корня, зналъ, что кв.
уравненіе вслѣдствіе этого имѣетъ два рѣшенія, и что ихъ сумма
всегда равна коеффиціенту при х; но онъ не признавалъ ни отри-
цательныхъ, ни ирраціональныхъ, ни мнимыхъ рѣшеній, а потому
и даетъ въ первыхъ „правилахъ" только одно рѣшеніе.
Все это вмѣстѣ съ тѣмъ, что я говорилъ выше по вопросу
о „знаменованіи", сильно сближаетъ сочиненіе Магницкаго съ ра-
ботами Вьета, и мнѣ кажется, что будущему изслѣдователю необ-
ходимо обратить вниманіе на сравненіе сочиненій этихъ авторовъ.
Повторяю, что я думаю, какъ будто Магницкій является идейнымъ
послѣдователемъ Вьета, у котораго онъ взялъ все то, что казалось
ему совпадающимъ съ его міровоззрѣніемъ на число, но изложилъ
это, какъ всю вторую книгу, очень сжато, можетъ-быть, по недо-
статку времени, а можетъ-быть, и потому, что многіе алгебраиче-
скіе вопросы казались ему очень неясными.
Разсмотрѣвъ рѣшеніе кв. уравненіи, онъ даетъ „приклады",
въ которыхъ разсматриваются рѣшенія 6 задачъ. Первыя двѣ за-
дачи приводятся къ уравненію первой степени и рѣшаются обыч-
нымъ способомъ; 3-я задача даетъ два примѣра на рѣшеніе ку-
бичнаго уравненія вида ax3=b; -j- ce ~—2000=6000; 4-я и 5-я
приводятся къ рѣшенію полныхъ квадратныхъ уравненіи, и по-
слѣдняя 6-я—рѣшеніе уравненія биквадратнаго; это рѣшеніе можно
выразить формулой
Все изложеніе оканчивается слѣдующимъ замѣчаніемъ: „До-
селѣ о простыхъ линіяхъ полагахомъ правило елико убо ради обрѣ-
тенія линіи, множае же ради алгебраическаго чина, иже на коли-
чествахъ простыхъ линій явленъ да будетъ. Нынѣ же хощемъ
чрезъ той же чинъ алгебраики о нѣкоихъ обще линіяхъ, изъ них-
же фигуры составляются, показати: паче же о правыхъ въ ко-
леси елико мощно, купно же и правила, чрезъ нихже и таблицы
синусовъ тангенсовъ и секансовъ сотворены суть, усерднѣйше по-
кажемъ: и первое о треуголіи".

Чтобы понять это замѣчаніе, слѣдуетъ отмѣтить, что всѣ за-
дачи на рѣшеніе уравненіи авторъ выводитъ изъ разсмотрѣнія ча-
стей линіи. Такъ, напримѣръ, вотъ предпослѣдняя задача: „линія
раздѣлена на 4 части, составляющія геометрическую прогрессію,
знаменатель которой равенъ 4. Если изъ произведенія первой и
четвертой вычесть сумму второй и третьей, то въ остаткѣ полу-
чимъ 1500“. Эта связь линій съ уравненіями, очевидно, не случай-
ная: она входитъ по мысли автора въ сущность вопроса объ урав-
неніяхъ или, говоря иначе: вся статья о рѣшеніи уравненіи имѣетъ
смыслъ и значеніе только въ приложеніи къ длинѣ линій. Но во
всѣхъ вышеприведенныхъ задачахъ эта длина носитъ случайный
характеръ, теперь авторъ переходитъ къ такимъ длинамъ, вели-
чина которыхъ опредѣляется геометрической формой фигуры, а
это ему нужно для опредѣленія числовыхъ величинъ тригонометри-
ческихъ функцій. Новый подотдѣлъ онъ озаглавливаетъ: „О раз-
личныхъ линіяхъ и фигурахъ сущихъ“ и разсматриваетъ здѣсь
слѣдующія 13 задачъ.
1. Опредѣлить величину катетовъ равнобедреннаго прямоуголь-
наго треугольника, если его гипотенуза равна 7. Рѣшеніе этой
задачи приводитъ къ формулѣ: катетъ равенъ I/ —— ; чтобы вы-
числить эту формулу, онъ уничтожаетъ ирраціональность знамена-
теля и получаетъ r ; числителя вычисляете съ точностью
до 0,1 и получаетъ отвѣтъ 4 ^ , гдѣ двадцатыя доли получи-
лись отъ умноженія 0,1 на 2.
2. Въ прямоугольникѣ дано: квадратъ діагонали 505 и про-
изведеніе сторонъ 228, опредѣлить его стороны. Рѣшеніе этой за-
дачи довольно любопытно. Оно приводится къ двумъ уравненіямъ:
х2_|_у2=505 и ху=228. Чтобы рѣшить ихъ, авторъ дѣлитъ пер-
вое на 4, а второе на 2; потомъ складываетъ ихъ и вычитаетъ,
тогда по извлеченіи квадратнаго корня мы получимъ ~т^Л—^ =
Сумма этихъ
корней дастъ χ, а разность у. Такой методъ рѣшенія этой задачи
показываетъ, что во всякомъ случаѣ Магницкій хорошо понималъ
какъ квадратъ суммы и разности двухъ количествъ, такъ и свой-
ства равенства.
Въ 3-й задачѣ есть, вѣроятно, описка: „Дана ареа нѣкоего

треуголія равноугольного (?) и разнство дву боковъ правый уголъ
обьемлющихъ, познати вся три бока треуголія онаго его же арея
384 и разнство боковъ есть 8а. Рѣшеніе задачи приводитъ къ
уравненію
4. Даны сумма гипотенузы и катета прямоугольнаго треуголь-
ника 392 и другой катетъ 28, опредѣлить его стороны. Рѣшеніе
задачи приводится къ уравненію χ2—784=(392 — χ)2. Получивъ
это уравненіе, которое онъ пишетъ такъ: q -j—784=153664-^—
784R-f-q, Магницкій упрощаетъ его, отбрасывая q, и рѣшаетъ
какъ уравненіе первой степени.
5. По даннымъ тремъ сторонамъ прямоугольнаго треуголь-
ника (28, 27 и 17) опредѣлить отрѣзки гипотенузы, образованные
опущеннымъ на нее изъ вершины прямого угла перпендикуляромъ.
При рѣшеніи этой задачи указано два метода, изъ которыхъ пер-
выи по формулѣ приложенъ къ дан-
ной задачѣ, а другой но той же формулѣ, но въ упрощенномъ
видѣ къ треугольнику со сторонами 1.6, 15 и 9.
Перейдемъ теперь къ задачѣ 8, которая изложена г. Бобы-
нинымъ слѣдующимъ образомъ: „Восьмая задача представляетъ
единственный въ „Ариѳметикѣ“ Магницкаго примѣръ задачи, за-
нимающейся простѣйшими видами многоугольныхъ чиселъ, именно
треугольными и квадратными. Она состоитъ въ слѣдующемъ: „Аще
будетъ число нѣкоего треуголія равно числу фигуры квадратныя,
и радиксъ треуголія 3-мя единицами множае, нежели радиксъ ква-
драта. И вѣдателно есть, колицы будутъ оныхъ радиксы, и коли-
ки числа; придетъ радиксъ Δ 9, а квадрата радиксъ 6, число обо-
ихъ ееть 36“. Обозначимъ черезъ R радиксъ квадрата, a слѣдо-
вательно, по условіямъ задачи, черезъ R-f-З радиксъ треугольни-
ка и, найдя треугольное число по извѣстной формулѣ 2-^~tIi ?
авторъ составляетъ по данному въ задачѣ равенству треугольнаго
и квадратнаго чиселъ уравненіе, гдѣ q
есть R2“.
Послѣдняя 9-ая задача на треугольники формулирована Маг-
ницкимъ такъ: „Аще дано будетъ косвенное сицевое треуголіе
ABC и вся его страны AB 45, АС 12 и СВ39 и вѣдателно есть
о прочихъ послѣдовательныхъ дву линіяхъ правый уголъ соста-

вляющихъ сиесть CD и BD, колико каяждо ихъ таковыхъ же
частей имать, придетъ CD 15, а другая BD 36й.
Послѣднія три задачи этого отдѣла занимаются вычисленіемъ
линій въ окружности. Изъ нихъ первая вычисляетъ перпиндику-
ляръ, опущенный изъ точки окружности на діаметръ по отрѣзкамъ
діаметра, а также и величину хордъ, проведенныхъ изъ этой точки
къ концамъ діаметра. Вторая задача состоитъ изъ трехъ частей.
Въ первой вычисляется длина хорды по отрѣзкамъ перпендику-
лярная къ ней діаметра; въ двухъ другихъ одинъ изъ отрѣзковъ
діаметра, по даннымъ: перпендикуляру, на него опущенному, и
другому отрѣзку.
Послѣдняя 12-ая задача состоитъ въ вычисленій дуги сектора
по его площади и радіусу. Рѣшеніе этой задачи изложено такъ:
„данную арею (площадь) дѣли черезъ данный семидіаметръ (ра-
діусъ) и что выйдетъ множи черезъ 2 получиши искомое“.
Статья о геометрическихъ приложеніяхъ оканчивается такимъ
заключеніемъ: „Такожде и о прочихъ подвязаніяхъ (хордахъ) въ
колеси мощно есть домышлятися черезъ различныя правила, а
егда шестая часть колеси подвязуется, и та подвязующая или суб-
тенза не разнствуетъ въ количествѣ съ семидіаметромъ, но тожде
количество имать. Якоже въ настоящей фигурѣ (которая приложе-
на) яже всему зижденію синусовъ тангенсовъ и секансовъ есть за
фундаментъ, семидіаметръ бо бываетъ субтенза 60 градусовъ, а
полъ его есть синусъ 30 градусовъ изъ сихъ хочу объявити про-
чая вся синусы черезъ послѣдующія проблема™“. Далѣе идетъ
изложеніе тригонометріи.
Тригонометрическія вычисленія.
Въ отдѣлѣ тригонометріи Магницкій разсмариваетъ тѣ теоре-
мы, которыя даютъ возможность вычислять тригонометрическія
функціи различныхъ угловъ. Изложеніе Магницкаго совершенно
иное, чѣмъ современное, а именно, онъ пользуется болѣе хордами,
чѣмъ тригонометрическими линіями, а потому я считаю необходи-
мымъ дать предварительно въ очень краткомъ видѣ историческій
очеркъ развитія тригонометріи.
Первыя основанія тригонометріи, по словамъ Ѳеона Алексан-
дрійскаго, были положены Гиппархомъ изъ Ниневіи, который вы-
числилъ таблицу хордъ. Эти свѣдѣнія необходимы были древнимъ
грекамъ для астрономическихъ вычисленій, а потому, естественно,
такія вычисленія, которыя сдѣлалъ Гиппархъ, не могли забыться,

но развивались и дополнялись послѣдующими математиками. Мы
знаемъ только крупныя работы въ этой области, но само знаніе
несомнѣнно развивалось, мало-по-малу пополняясь и углубляясь.
Такъ, Клавдіи Птоломей въ своемъ сочиненіи „Альмагестъ“ вычи-
слилъ таблицу хордъ по методу, который, повидимому, принадле-
жалъ ему самому. Доказавъ такъ называемую птоломееву теорему
о свойствѣ сторонъ вписаннаго въ кругъ четыреугольника, онъ по-
казываетъ, какъ найти по хордамъ двухъ дугъ ихъ суммы и раз-
ности и по хордѣ какой-нибудь дуги ея половину. При этомъ вмѣ-
сто нашего синуса онъ разсматриваетъ хорду двойной дуги. Такъ,
въ его таблицѣ хорда 21'. 21'. 12“' соотвѣтвуетъ дугѣ 20°30'. Хор-
да взята по шестидесятеричной системѣ, такъ какъ Птоломей, дѣля
окружность на 360°, дѣлилъ діаметръ на 120 дѣленій, поэтому его
радіусъ имѣлъ 60 дѣленій и хорда 21'.21“. 12“', по нашему, будетъ
если мы ее вычислимъ въ десятичныхъ доляхъ,
то она приблизительно будетъ 0,35588, половина ея 0,17794 есть
sin 10° 15'. Несмотря на то, что сочиненія Птолемея имѣютъ глу-
бокую древность, но они долго оказывали свое вліяніе на евро-
пейскую математику, вотъ почему весьма важно отмѣтить нѣкото-
рую аналогію указаннаго способа вычисленій Птоломея и въ сочи-
неніи Магницкаго. Отъ грековъ мы перейдемъ къ индусамъ, ко-
торые точно такъ же дѣлили кругъ на 360° или 21600 минутъ. При-
нимая π=3,1416, мы изъ формулы 2πτ=21600 получимъ радіусъ
3438. Въ этомъ дѣленіи круга нужно указать, что Птоломей дѣ-
лилъ діаметръ на 60-я части независимо отъ мѣры окружности,
тогда какъ въ индусскомъ дѣленіи мѣра кривой и прямой одна и
та же; но въ то же время они пользовались не полной хордой, а
ея половиной. Въ силу этого, если мы примемъ синусъ прямого
угла sinus Totus за радіусъ, т.-е. положимъ, что онъ равенъ 3438,
то хорда дуги въ 60° будетъ также равна радіусу, т.-е. 3438, тогда
синусъ угла въ 30° будетъ половина радіуса, т.-е. будетъ равенъ 1719.
Замѣчая же, что sin 45°=cos 45°, мы можемъ вычислить sin 45°
по формулѣ j/^-> онъ будетъ 2431; a sin 60° = -^-^/3^2—
=2978.
Изъ формулы Sinvers 2a=2 sin2a, получимъ возможность вы-
числять синусы половинныхъ угловъ. Такимъ образомъ были со-
ставлены таблицы въ интервалѣ 3°45'. Такъ говоритъ Кэджори.
Русскій переводчикъ добавитъ къ этому такое примѣчаніе: „Въ
Сиддханта-Сиромани Бхаскара указываетъ на другой способъ вы-
численія таблицы синусовъ для всѣхъ дугъ черезъ каждый гра-

дусъ. Онъ исходитъ изъ равенства sin 1°=60 и пользуется вы-
раженіемъ для синуса суммы и разности въ такой формѣ:
sin (a±b; = + и получаетъ равенство
• /п , 10\ / . sin а\ . lOcos а,, т.
sin I a±lu l==l sin а — Q§QQ J —"573— Кэджори говоритъ далѣе,
что калифъ Альмансуръ пріобрѣлъ индусскую таблицу синусовъ въ
779 г., по всей вѣроятности заимствованную изъ Сиддханты Брах-
магупты. Арабы называли эту таблицу Синдхинтъ, и она пользо-
вались у нихъ большимъ авторитетомъ *).
„Возрожденіемъ тригонометріи въ Германіи, говоритъ Кэджо-
ри, мы обязаны Іоганну Мюллеру, называемому обыкновенно Ре-
гіомонтаномъ (1436—1476). Онъ учился у знаменитаго Георга
Пурбаха, начавшаго переводить Альмагестъ; переводъ этотъ былъ
законченъ Регіомонтаномъ, который перевелъ также Аполлонія,
Архимеда и Герона. Вмѣсто раздѣленія радіуса на 3438 частей
онъ принялъ раздѣленіе его на 600000 равныхъ частей и по-
строилъ болѣе точную таблицу синусовъ. Позднѣе онъ раздѣлилъ
радіусъ на 10000000 частей и вычислилъ таблицу тангенсовъ.
Онъ написалъ трактатъ по тригонометріи, заключающій рѣшеніе
плоскихъ и сферическихъ треугольниковъ. Форма, которую онъ
придалъ этой наукѣ, сохранилась и до настоящаго времени". За-
тѣмъ Ретикусъ вычислилъ подробныя таблицы тригонометрическихъ
функцій черезъ 10"; онъ первый построилъ прямоугольный тре-
угольникъ и поставилъ тригонометрическія функціи въ непосред-
ственную связь съ углами этого треугольника"**).
Мы подходимъ, такимъ образомъ, къ эпохѣ Магницкаго. Табли-
цы Ретикуса были изданы Валентиномъ Ото въ 1596 г., a потомъ
вновь переизданы въ 1613 году. Въ этихъ таблицахъ радіусъ
принятъ 1000000000000000. Въ изложеніи Магницкаго радіусъ
принятъ 10000000. Вотъ почему мнѣ кажется особенно важнымъ
подробно остановиться на изложеніи нашего автора, такъ какъ
въ исторіи математики оно составляетъ не безынтересную подроб-
ность. Изложеніе состоитъ изъ „проблемъ" числомъ 7 съ при-
ложеніемъ ихъ къ рѣшенію задачъ.
Проблема 1. „Дану синусу правому дуги меншія четверти ко-
лесе, синусъ дополненія или комплементъ изобрѣсти. Правило:
квадратъ синуса данаго вычти изъ квадрата радіуса или семидіа-
метра, и оставшаго радиксъ будетъ синусъ комплементъ". Эта
*) Стр. 131, 137.
**) Стр. 270.

„проблема" снабженаслѣдующ. чертеж, (черт. 1),изъ котораго видно, что
Магницкій тригонометрическія фун-
кціи выводитъ изъ свойствъ кате-
товъ прямоугольнаго треугольника,
считая синусъ дополнительнаго
угла, какъ синусъ комплементъ
даннаго, что еще яснѣе видно изъ
„приклада". Въ заключеніе онъ
говоритъ: „Такожде аще дана бу-
детъ субтенза дуги меншія полу-
колесе, возможно изобрѣсти суб-
тензу къ дополненію полуколесе
сице: аще бо квадратъ субтензы
DE вычтеши отъ квадрата діаме-
тра DF и оставшее будетъ квад-
ратъ субтензы EF (черт. 2).
Черт. 2.
Проблема 2. „Дану сущу синусу правому дуги, купно съ си-
нусомъ комплементомъ, синусъ дуги сугубыя изобрѣсти. Правило:
синусъ правый дуги множи черезъ синусъ комплементъ, и произ-
веденіе дѣли черезъ радіусъ, и возмеши половинный синусъ ду-
ги сугубыя“.
T.-e. Изъ приложеннаго „приклада“
видно, какъ выводится эта формула. Опустивъ перпендикуляръ изъ
Черт. 1.

точки d на линію Ab и, продолживъ его до точки F, мы получимъ
дугу двойного угла, которой синусъ будетъ Fg. Опустимъ изъ точ-
ки е перпендикуляръ на Ad и проведемъ Не | | Ad, получимъ, что
Fg=2Hg, ибо треугольники eJd и FHe равны. Этого построенія
Магницкій не даетъ, но, отмѣтивъ, что ed=bc и Ае=Ас, беретъ
пропорцію изъ которой опредѣляетъ eJ= т.-е.
Къ этому выводу онъ присоединяетъ другой:
„Такожде аще ИЗБОЛИТСЯ кому черезъ субтензы творити, да тво-
ритъ сице: зане якоже DE радіусъ къ ЕС субтензѣ комплемента,
Черт. 3.
Черт. 4.
тако Ε А даная субтенза, къ субтензѣ сугубыя дуги Ab". Это по-
нятно изъ подобія треугольниковъ CDe и Abe; но странно, чт
для поясненія столь простого соотношенія автору понадобился
столь сложный чертежъ.
Проблема 3. „Дана субтенза дуги меншія полуколеси, купно
съ субтензою сугубыя дуги, изобрѣсти субтензу трегубыя дуги.
Правило: квадратъ субтензы простыя дуги вычти отъ квадра-
та субтензы сугубыя дуги, и остатокъ раздѣли черезъ субтензу
простыя дуги, и придетъ по раздѣленіи субтенза трегубыя дуги".
Т.-е. хорды Что видно изъ чертежа,
гдѣ мы получаемъ равнобокую трапецію, и по теоремѣ Птоломея
находимъ AC.bd=Ab.Cd-f-bc.Ad; по Ad есть хорда За, кото-
рая отсюда и опредѣляется. Этотъ выводъ данъ еще иначе, исхо-

Черт. 5.
Черт. 6.
дя изъ чертежа 6, гдѣ можно написать, что Ad, хорда За=
Проблема 4. „Дана субтенза дуги меншія полуколесе купно
съ субтензою сугубыя и трегубыя дуги: субтензу пятерогубыя ду-
ги изобрѣсти.
Правило: квадратъ субтензы сугубыя дуги вычти отъ квадра-
та субтензы трегубыя дуги: и остатокъ черезъ субтензу данную
раздѣленный, будетъ субтенза пятерогубыя дуги". Эта теорема
можетъ быть выражена такой формулой:
Она легко выводится по теоремѣ Птоломея изъ чертежа.
Легко видѣть, что мы получаемъ такимъ образомъ общее пра-
вило, по которому можемъ опредѣлять и дальше: хорд. 7а, хорд. 9а
и т. д.; на это указываетъ Магницкій въ особомъ „увѣщаніи",
приложенномъ къ разсматриваемой проблемѣ. Планъ автора совер-
шенно ясенъ: зная это правило, мы всегда можемъ вычислить ду-
ги кратныя данной; онъ даетъ правило опредѣленія дугъ нечетной
кратности, но легко видѣть, что, зная формулу удвоенія, можно
всегда вычислить и соотвѣтствующую четную кратность.
Въ этомъ вычисленій есть одна особенность, на которую слѣ-
дуетъ обратить вниманіе, а именно: вначалѣ авторъ исходитъ изъ
свойствъ прямоугольнаго треугольника, какъ это было дано Регіо-
монтаномъ; но для вычисленія кратныхъ дугъ онъ, очевидно, ne-

реходитъ къ теоремѣ Птоломея, а я не знаю, было ли это усло-
віемъ времени, слѣдствіемъ общаго положенія тригонометрической
науки, или здѣсь авторъ ариѳметики слѣдовалъ своему особому
плану?
Какъ бы то ни было, но, давъ формулы для вычисленія дугъ
кратныхъ, Магницкій переходитъ къ формуламъ для вычисленія
дугъ дробныхъ.
Проблема 5. „Дану синусу дуги купно съ синусомъ компле-
ментомъ: синусъ дуги половинный изобрѣсти. Правило: „квадратъ
минуса праваго даныя дуги сложи съ квадратомъ синуса против-
наго верзусъ именуемаго тояжде дуги, [который синусъ верзусъ
обрящимъ вычитая синусъ комплементъ отъ радіуса] радиксъ сум-
мы сихъ дву квадратовъ будетъ субтенза дуги данныя, ея же по-
ловина будетъ синусъ дуги половиныя".
Эту теорему можно выразить такой формулой, какъ это дѣла-
етъ г. Бобынинъ, отъ котораго я заимствую всѣ вышеприведен-
ныя формулы:
Изъ чертежа ясенъ ея выводъ. Этотъ чертежъ г. Бобынинъ
считаетъ не совсѣмъ
вѣрнымъ. Если не оши-
баюсь, Магницкій стро-
итъ его такъ: онъ бе-
ретъ дугу be въ 30°
и проводитъ ея си-
нусъ bd, дѣлитъ дугу
пополамъ и точку F
соединяетъ съ d, тогда
хорда be есть двойной
синусъ угла въ 15°. Изъ
треугульника bde мы
имѣемъ вышеприведен-
ную формулу, ибо его
катетъ de есть sin-
versa. Точка же е не
есть половина хорды, а
эта половина получится, если мы соединимъ А и Р. Зачѣмъ по-
ставлена точка е, я не знаю, всего вѣроятнѣе, что это обычный
недосмотръ автора.
Черт. 7.
Проблема 6 говоритъ о способѣ нахожденія третьей части ду-
ги; слѣдующая проблема 7 говоритъ о нахожденіи пятой части ду-
ги. Оба пріема совершенно одинаковы и состоятъ въ слѣдующемъ.

Пусть дана дуга въ 30°; ея треть будетъ 10°. Ищемъ хорду дуги
въ 10°, пусть она будетъ -g- часть хорды дуги въ 30°, и по ней
опредѣляемъ хорду дуги въ 30°. Мы сдѣлали ошибку, которую и
опредѣляемъ. Потомъ дѣлаемъ новое произвольное предположеніе в
вновь опредѣляемъ ошибку. Затѣмъ по способу фальшивыхъ пра-
вилъ вычисляемъ хорду истинной дуги въ 10°.
Въ заключеніе авторъ говоритъ: „И по симъ вышеописаннымъ
седми проблематомъ можно есть вся правыя въ колеси линіи из-
обрѣсти и таблицы синусовъ реченныя созидати и черезъ пропор-
ціи) тройного правила такожде можно и иныхъ линій количество
изобрѣтати, и тангенсовъ и секансовъ таблицы созидати, о нихъ же
краткости ради кратко предложихъ, елико можно читателю тщали-
вѣйшему, къ тѣхъ зижденію самому достигнути“.
Изъ этого добавленія мы видимъ, что Магницкій очень спѣ-
шилъ съ окончаніемъ своего курса, вслѣдствіе чего онъ не только
не могъ приложить таблицы синусовъ, но даже не отмѣтилъ о
возможности вычисленія тангенсовъ. Причинъ для сокращенія
курса набралось, конечно, весьма много, и, быть-можетъ, самая
существенная изъ нихъ была та, что полнота изложенія увеличи-
вала объемъ книги, а это влекло за собой и трудность печатанія
и трудность обращенія. A такъ какъ излагаемые отдѣлы доступны
лишь особо одареннымъ людямъ „тщаливѣйшимъ“, то увеличивать
объемъ книги авторъ считалъ опаснымъ.
Намъ теперь жалко, что онъ не пренебрегъ нѣкоторыми не-
удобствами и не далъ всего того, что могъ; но эта жалость обус-
ловливается не существомъ дѣла, a любопытствомъ, на какомъ
уровнѣ стояла математическая образованность москвичей на рубежѣ
XVIII вѣка. Полной картины намъ Магницкій не даетъ, но и то,
что у него есть, все-таки ясно свидѣтельствуетъ, что математи-
ческія знанія въ московскомъ обществѣ не были ниже знаній за-
падныхъ сосѣдей. И если въ Москвѣ не было сдѣлано какихъ-
либо важныхъ открытій по математикѣ въ это время, то во вся-
комъ случаѣ методическая сторона была не ниже, если не выше,
какъ она стояла на Западѣ. Не забудемъ, что въ общемъ мы
очень мало знаемъ, что именно у насъ было, и мы должны съ
особой благодарностью разсматривать трудъ Магницкаго, какъ
единственный показатель высоты математическаго образованія.
Здѣсь оканчивается его математическая часть, и онъ перехо-
дитъ къ космографіи.

Часть третія.
Обще о земномъ размѣреніи и яже къ морепла-
ванію принадлежитъ.
Такъ озаглавилъ Магницкій свою послѣднюю часть общаго
математическаго курса. Г. Бобынинъ въ своемъ изслѣдованіи на-
зываетъ эту часть: „Свѣдѣнія изъ астрономіи, геодезіи и навига-
ціи“. Оба эти заглавія можно привести рядомъ одно съ другимъ,
ибо они взаимно пополняютъ одно другое и на разныхъ языкахъ
высказываютъ одну и ту же мысль. Это есть послѣдніе заключи-
тельные штрихи всей долгой работы, то, къ чему приходитъ авторъ
въ концѣ этой работы, для чего она была предпринята.
Вспомнимъ, что Магницкій писалъ не учебники, а книгу для
чтенія; такая книга не могла имѣть содержаніемъ лишь математи-
ческій матеріалъ, а должна была быть философскимъ сочиненіемъ,
въ которомъ путемъ изученія чиселъ изучается свойство вещей,
открываются тайны мірозданія, а эти тайны содержатся въ изуче-
ніи неба. Итакъ: движеніе небесныхъ свѣтилъ, законы измѣненій
на земной поверхности, условія и элементы соціальной жизни—
вотъ то, что составляетъ главное содержаніе книги; все остальное
есть лишь необходимая подготовительная ступень для этихъ глав-
ныхъ отдѣловъ. Послѣднимъ изъ нихъ есть астрономія, но въ то
же время и самый важный отдѣлъ въ естественно-научной фило-
софіи. Можно думать, что астрономія была любимой наукой нашихъ
наиболѣе отдаленныхъ предковъ или, лучше сказать, наиболѣе по-
пулярной наукой, какъ это можно видѣть по тѣмъ сравнительно об-
ширнымъ слѣдамъ, какіе сохранились по настоящее время. Такъ,
Кирикъ, ученый XII вѣка, вычисляетъ число денныхъ часовъ, про-
шедшихъ отъ Адама, вычисляетъ пасхаліи, т.-е. число, на которое
придется Свѣтлое Хр. Воскресеніе; на все это ему нужны нѣко-
торыя астрономическія свѣдѣнія. Въ сборникѣ XV вѣка, принад-
лежащемъ Синодальной библіотекѣ (№ 316), 23 листа посвящены
астрономіи, астрологіи, космографіи.

„Когда въ 1492 году", говоритъ г. Бобынинъ, „окончился пе-
ріодъ, для котораго существовали готовыя пасхальныя вычисленія^
тогда между духовенствомъ нашлось достаточно лицъ, способныхъ
продолжить ихъ далѣе на новые промежутки времени** *).
„Въ XYII столѣтіи, говоритъ тотъ же авторъ, мы находимъ
уже весьма обширную физико-математическую литературу, состоя-
щую изъ рукописей, посвященныхъ ариѳметикѣ, геометріи, пасха-
ліи, астрономіи и астрономическо-астрологическимъ свѣдѣніямъ и
космографіи. Число лицъ, для которыхъ предназначалась эта ли-
тература, и которыя, слѣдовательно, посвящали свои досуги прі-
обрѣтенію научныхъ знаній, должно было быть весьма значитель-
нымъ. Многія изъ нихъ не ограничивались однимъ лишь обогаще-
ніемъ знаніями, но частью по личнымъ вкусамъ, частью изъ-за
средствъ существованія стремились передать ихъ другимъ, пере-
ходили къ пропагандѣ. При своихъ домахъ, на собственный страхъ
и рискъ, безъ всякой поддержки съ чьей-либо стороны, можетъ-
быть, даже подъ опасеніемъ преслѣдованія, открывали школы для
передачи богатствъ своего знанія любознательной по природѣ или
нуждѣ молодежи" **).
Если все это такъ, скажу я отъ себя, то нѣтъ'ничего удиви-
тельнаго въ томъ, что на рынкѣ у Спасскихъ воротъ любознатель-
ный читатель могъ всегда найти астрономическую рукопись; a съ
другой стороны, несомнѣнно, что тотъ же любознательный чита-
тель слѣдилъ за успѣхами этой науки на Западѣ, и для него ко
времени Магницкаго не было закрыто ни ученіе Коперника, ни
болѣе поздніе труды Гюйгенса и Ньютона. На прилагаемомъ
снимкѣ ариѳметики Кипріанова мы видимъ очень похожія изобра-
женія Коперника, Тихо-де-Брага и другихъ астрономовъ.
Вотъ почему изложеніе Магницкаго для насъ становится еще
болѣе цѣннымъ. Мы вернемся къ предисловію всей второй части.
Здѣсь, послѣ того, какъ авторъ точно опредѣлилъ свое отно-
шеніе къ тому, что онъ намѣренъ изложить ***), онъ переходитъ
къ опредѣленію астрономическихъ терминовъ, которые я приведу
дословно, a въ концѣ предисловія даетъ картину амилярныхъ
сферъ со слѣдующимъ поясненіемъ.
„Въ сей фигурѣ А есть ноль міра и екватора, южный.
A сѣверный ноль есть В, и AB аксисъ или ось преходящая че-
резъ кентръ сферы, и AGB оризонтъ, и AEBQ есть полуденное,
и EGQ есть экваторъ, и CGP зодіоческое, его же аксисъ или ось
*) Бобынинъ. T. VII, стр. 35.
·*) Бобынинъ. Стр. 36.
***) См. Вып. I, стр. 51—54.

есть MN, и CJR есть тропикъ рака, и LFP тропикъ козерога и
ТМ колесо полярное арктикъ, и NO колесо полярное антарктикъ.
τ
Черт. 9.
Поясъ же разженный или торрида есть, иже содержится внутрь
CLPR. Благосмѣшенный же или температа сѣверный иже внутрь
CTRM. А южный внутрь LNPO. Померзшій же или фригида сѣ-
верный внутрь ТВМ и другій южный NAO. И коеждо колесъ
аще великое или не великое раздѣляется на 360° градусы, и вся-
кій градусъ на 60 минутъ, минута же на 60 секундъ и кійждо
секундъ на 60 терцій, и тако даже до десяти кратъ предѣля-
ются“.
Въ послѣднемъ замѣчаніи о дѣленіи окружности слышится
отзвукъ 60-ричной системы, ибо практически едва ли можно было
въ это время опредѣлять углы даже съ точностью секунды. Обо
всѣхъ этихъ кругахъ Магницкій подробно говоритъ сначала въ
предисловіи, a потомъ въ третьей части. Въ предисловіи онъ

опредѣляетъ сущность каждаго изъ этихъ сѣченій. Эти опредѣленія,
на мой взглядъ, существенно важны, а потому я позволю привести
ихъ полностью.
Основными координатами онъ считаетъ горизонтъ, меридіанъ,
экваторъ и эклиптику и говоритъ: „эти колеса земли великія,
сіесть черезъ кентръ ея преходящія, между собою равныя, и въ
равныя части другъ друга предѣляющія“. Меньшія же „колеса“,
которыя черезъ центръ не проходятъ, суть: параллели и климатъ,
два тропика, два полярные круга. Кромѣ того, необходимо еще
знать: „колесо вертикальное или надглавное, два колора и колеса
склоненія“. Эти координаты онъ опредѣляетъ такъ: „Оризонтъ есть
колесо великое, недвижимое, еже не едино и тоежде вездѣ есть,
но коемуждо мѣсту свойственное, отъ точки надглавная всюду равно
разстоящее, опредѣляющее являемую намъ и не являемую часть
міра и раздвояющее всю сферу міра, якоже полкружію убо надъ
землею остатися, полкружію же подъ землею. Глаголется же ори-
зонтъ того ради, зане оканчеваетъ и опредѣляетъ видѣніе, сіесть
раздѣляетъ видимую нами сущую верху земли половину міра, отъ
таимыя сущія ниже земли, и сего ради нарицаютъ его кончите-
лемъ, и колесо быти полкружія. Но раздѣляется оризонтъ дво-
кратно: есть бо правый и косвенный; и паки чувственный и сло-
вомъ зримый. Правый убо есть сферы правыя, оризонтъ глаго-
лется, въ его же плоскости оба поля міра видимы суть, или плос-
кость его съ экваторомъ составляетъ правые углы сферическіе.
Косвенный же оризонтъ есть: въ его же плоскости единъ полюсъ
міра возносится выше, a другій снижается, или его же плоскость
съ экваторомъ составляетъ не правыя углы, отнюду же и косвен-
ный глаголется, и елико косвенни бываетъ, толико полюсъ возно-
сится выше. Чувственный убо есть оризонтъ иже отъ нашего ви-
дѣнія описуемъ есть по окончанію зрѣнія; словомъ же зримый
оризонтъ есть, иже даже до видѣнія недвижимыхъ звѣздъ сферы
достизаяй и раздвояяй весь міръ. Но чувственный не на всякой
странѣ и градѣ, той же есть оризонтъ, но къ чувству убо, мало
не на четыреста стадій той же оризонтъ пребываетъ, яко и вели-
чествомъ дней, и климати и всѣмъ зримымъ тымъ же пребывати
многшимъ же стадіямъ бывшимъ по премѣненію селенія, инъ ори-
зонтъ бываетъ по климати разнствуя, и вся появляемая примѣня-
ются, такожде и надглавная точка глаголемая арабски семиѳь,
обще же зениѳь и противоположная той сущая подъ землею име-
нуемая надиръ премѣняются досели о оризонтѣ. Пространнѣе же
въ своемъ ему мѣстѣ рѣчемъ“. Это свое мѣсто есть „предѣленіе
первое“ третьей части, гдѣ онъ говоритъ „о полуденномъ колесѣ

и линіи, о возвышеніи поля и
величествѣ дня". Понятіе о
„полуденномъ колесѣ" или ме-
ридіанѣ онъ даетъ въ преди-
словіи вслѣдъ за приведеннымъ
опредѣленіемъ горизонта, a въ
„первомъ предѣленіи" онъ по-
казываетъ, какъ опредѣлить по-
ложеніе меридіана при помощи
гномона. Это опредѣленіе по-
ложенія меридіана поясняется
чертежомъ. Поставимъ въ
центрѣ окружности гномонъ и
будемъ наблюдать тѣнь при вос-
ходѣ солнца. Пусть точка вос-
хода будетъ А, тогда тѣнь
будетъ AB. Потомъ при закатѣ солнца: пусть точка заката будетъ
С, тогда тѣнь будетъ CD. Раздѣлимъ дугу АС пополамъ, и линія
DE будетъ меридіанъ, у котораго D будетъ югъ, а Ε — сѣверъ.
Далѣе онъ говоритъ, что вмѣсто точекъ восхода и захода солнца
можно брать время близкое къ полудню и также раздѣлить дугу
пополамъ.
Черт. 8.
Положеніе меридіана можетъ быть опредѣлено другими, но
очень сложными способами. Простѣйшій же, кромѣ гномона, есть
направленіе стрѣлки компаса. Здѣсь надо сдѣлать нѣкоторыя по-
ясненія. Какъ извѣстно, разработка вопроса о склоненіи магнита
была сдѣлана знаменитымъ англійскимъ физикомъ Вильгельмомъ
Гильбертомъ (1540—1603) въ его знаменитомъ сочиненіи „De
magnete magneticisque corporibus et de magno magnete tellure
которое было напечатано въ Лондонѣ въ 1600 г. Здѣсь онъ гово-
ритъ, что для объясненія склоненія и наклоненія магнитной стрѣлки
необходимо разсматривать землю, какъ большой магнитъ. Полное
собраніе его сочиненій было напечатано въ Амстердамѣ въ 1651 г.
подъ заглавіемъ „De mnndi nostri sublunaris philosophia nova".
Въ своемъ изложеніи Магницкій ссылается на этого физика,
онъ говоритъ: „Мнози о немъ („кумпасѣ") философи писали яко
зѣло не правильное (по различеству возвышенія поля) отъ равно-
отстоянія экваторнаго склоненія имать, и нѣціи о томъ отчасти
писаша яко гвилемъ философъ, иссабіи, но довольнѣе тѣхъ гиль-
бертъ физикъ въ пятой книгѣ своей яже о магнитѣ во главѣ 8 по-
лагаетъ. Отнюдуже аѳанасій кирхеръ состави правило тригономе-
трическое къ изобрѣтенію склоненія оныя въ кумпасѣ намагни-

ченныя иглы“. Изъ этого мѣста, какъ будто, можно думать, что
Магницкій, несомнѣнно, имѣлъ подъ руками сочиненія Гильберта,
но не лондонское изданіе 1600 г., а амстердамское—1651 года.
Что касается до Аѳанасія Кирхера (1602 — 1680), то это былъ
ученый нѣмецъ, іезуитъ, много занимавшійся самыми разнообраз-
ными вопросами, среди которыхъ былъ и вопросъ о склоненіи маг-
нитной стрѣлки. Для послѣдняго онъ далъ тригонометрическую
формулу, по которой можно вычислить истинное направленіе мери-
діана, зная широту мѣста. Магницкій говоритъ объ этой формулѣ,
но ее не приводитъ, a вмѣсто нея даетъ готовую таблицу, по ко-
торой можно опредѣлить направленіе меридіана.
Пусть, напримѣръ, широта будетъ 55°, то въ таблицѣ най-
демъ 77°17' къ востоку. Теперь, если мы возьмемъ компасъ, то
стрѣлка укажетъ намъ не сѣверъ, а отклонится такъ, что точка
востока будетъ лежать на 77°17', слѣдовательно, направленіе ме-
ридіана будетъ отстоять отъ стрѣлки на 12°45'. Такимъ образомъ,
мы можемъ опредѣлить долготу всякаго мѣста, имѣя таблицы и
зная широту его. Магницкій въ то же время предостерегаетъ, что
не всякій магнитъ годится для этой цѣли, и говоритъ, что „игла*
должна быть „правая“.
Опредѣленіе широты мѣста. Широту мѣста Магницкій на-
зываетъ „возвышеніемъ поля или полярныя точки“ и говоритъ,
что оно показываетъ „разстояніе коего-либо мѣста отъ экватора“.
Понятіе объ экваторѣ онъ даетъ во введеніи и опредѣляетъ его
такъ: „Экваторъ есть большой кругъ, находящійся посерединѣ
всей сферы и равноудаленный отъ обоихъ полюсовъ; онъ пересѣ-
кается эклиптикой въ двухъ точкахъ, которыя называются по-сла-
вянски равноденственными, потому что, когда солнце бываетъ въ
этихъ точкахъ, тогда на всей землѣ наступаетъ равноденствіе.
Экваторъ движется непрестанно отъ востока къ западу вокругъ
оси міра; вмѣстѣ съ нимъ движется и все небо отъ сѣвернаго до
южнаго полюса“.
Я привелъ опредѣленіе экватора въ переводѣ, такъ какъ въ
подлинникѣ многія слова не совсѣмъ понятны. Опредѣливъ эква-
торъ во введеніи, авторъ говоритъ, что широта мѣста отсчитыва-
ется отъ него къ югу и къ сѣверу по меридіану въ градусахъ и
минутахъ, и что это число градусовъ точно соотвѣтствуетъ вы-
сотѣ полярной звѣзды надъ горизонтомъ даннаго мѣста. Эта вы-
сота полюса опредѣляется при помощи довольно сложныхъ инстру-
ментовъ, но ее можно весьма просто опредѣлить при помощи ком-
паса и при помощи „регіума“.