Фуше А. Педагогика математики. — 1969 — Электронная библиотека ГНПБУ

NOUVELLE ENCYCLOPÉDIE PÉDAGOGIQUE

Collection fondée par ALBERT MILLOT
et dirigée par P. JOULIA

LA PÉDAGOGIE
DES MATHÉMATIQUES

par

André FOUCHÉ

Ancien Élève de l'École Normale Supérieure
Agrégé de l'Université
Docteur is Sciences

Préface de J. DESFORGE

Inspecteur général de l'Instruction publique

PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE
108, Boulevard Saint-Germain, Paris

1952

Фуше Андре.

Ф 95 Педагогика математики Перевод с французского М. З. Рабиновича. Под ред. проф И. К. Андронова. М., «Просвещение», 1969.

128 с. с илл. 48 000 экз 27 к.

Книга отражает одно из уже отстоявшихся направлений в
прогрессивной методике математики Франции. Автор не рассматривает всего курса математики, а только основательно анализирует начала алгебраического исчисления (включая элементы исчисления бесконечно малых) и начала планиметрии.

Во введении дано развитие общих принципов педагогики математики, отражена борьба двух противоположных по духу методов преподавания ― догматического и эвристического.

6-3

162-68

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К КНИГЕ А. ФУШЕ «ПЕДАГОГИКА МАТЕМАТИКИ»

I

Советскому учителю математики необходимо знать, что в настоящее время делается за границей в области математического образования. Время сейчас особое: многие традиционные идеи и практика преподавания математики развенчаны, а предлагаемое новое не проверено, оно экспериментируется в школах.

Дело в том, что за столетие XIX в. создалась традиционная система международного математического образования, которую можно характеризовать следующими особенностями:

1) начиная с половины XVII в. происходит полный разрыв между математикой-наукой и сложившимся учебным предметом математики, возникшим на базе науки математики античного и средневекового времени;

2) возник курс элементарной математики, состоящий из четырех самостоятельных дисциплин — арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии, изучаемых в средней школе, а в начальной школе определившийся пропедевтической арифметикой так, что не получилось преемственности между эмпирической арифметикой начальной школы и формально-логизированной математикой средней школы;

3) упрощена цель изучения учебного предмета математики:

а) усвоение исторически сложившихся элементарных фактов, а не математических идей; получение навыков вычисления, преобразования и доказательства на большом числе упражнений;

б) общелогическое развитие учащихся без учета психологии развивающегося мышления;

4) преобладает метод обучения готовым знаниям, когда учитель их передает, а учащийся запоминает и усваивает на решении большого числа традиционных задач, расположенных в четырех задачниках — арифметическом, геометрическом, алгебраическом и тригонометрическом;

5) в результате этой традиционной системы оформилась пирамидальная система продвижения учащихся, когда в каждые следующие классы переходила только часть учащихся (в среднем 90%), так что в последнем классе оказывалось до 50% от тех, которые поступали в начальный класс. Математика стала бичом для многих. Стала бытовать у родителей, школьников и учителей неверная точка зрения, что не все дети, подростки-учащиеся способны обучиться математике.

Вся эта система к концу XIX в. вступила в противоречие с новой практикой — обязательным школьным образованием. Возникло международное реформистское движение в математическом образовании. В 1899 г. в Париже организуется международный журнал «L'Enseignement Mathématique» под редакцией профессора Ш. Лезана и Г. Фера с участием в редакции 20 известных математиков: академиков и профессоров Европы и США. В 1908 г. на IV Международном конгрессе в Риме создается международная комиссия по реформе математического образования с избранием президента — известного математика, профессора Геттингенского университета Феликса Клейна (1849—1925), двух вице-президентов — профессора математики Морской академии Лондона Георга Гренхилла и профессора истории и методики математики Педагогического колледжа Нью-Йорка Давида Смита и генерального секретаря— профессора Цюрихского политехникума Генри Фера. Международная комиссия организовала 25 национальных подкомиссий государств Европы, США и Японии. Реформистское движение оставило большой след в математическом образовании:

1) выпущено 250 томов трудов, которые характеризуют традиционную постановку математики и намечающиеся реформы в математическом образовании в этих странах;

2) началось движение в каждой стране по созданию новых программ, учебников и методик, приближающих учебный предмет школьной математики к математике-науке

XVII и начала XVIII в., введение элементов аналитической геометрии на плоскости и элементов математического анализа одного независимого переменного, а также обновление содержания и метода элементарной математики. Ставятся более высокие цели преподавания математики — развитие у учащихся функционального мышления, пространственной интуиции и алгебраически-оперативной логики. Культивируются эвристические методы изучения математики.

Первая мировая война приостановила прогрессивное международное движение по реформе математического образования — распалась работа международной комиссии и национальных подкомиссий. Только на IX Международном конгрессе в 1932 г. в г. Цюрихе в секции педагогики математики решено избрать новый президиум, так как скончались профессора Клейн (1925) и Г. Гренхилл (1847— 1927).

Избран президентом Д. Е. Смит (США), два вице-президента — академик Ж. Адамар (Франция) и профессор В. Литцман (Германия) при генеральном секретаре — несменяемом Г. Фером. Деятельность новой комиссии не успела развернуться, так как вскоре началась жестокая вторая мировая война, и вопросы школы отошли в сторону.

После войны каждое государство, участвовавшее в мировой войне, по-своему залечивало свои раны.

СССР невиданными темпами стал развивать техническую, экономическую, научную, художественную и педагогическую культуру, вступая в соревнование со всеми передовыми странами.

К половине XX в. коренным образом изменилась роль науки, определившей мощное развитие технического и экономического могущества в мировом обществе. Опираясь на современную теорию математики, человечество получило реальные средства больших предвидений и тем самым возможность планового изменения жизни на Земле во имя счастья народа.

В 30-е годы XX в. во Франции — стране высокой математической культуры—выходит многотомный труд «Современная математика», написанный талантливым коллективом математиков: труд вышел под псевдонимом Николая Бурбаки. В этой работе дан итог развития математики XX в. — предмет и метод единой современной математики, данной на высшей ступени абстракции, развиваемой на идее

математических структур. С другой стороны, возникновение мощных электронно-вычислительных машин и их массовое внедрение в производственные, технологические, управленческие процессы, значительно повышающие производительность труда, потребовало подготовленного специалиста с хорошим математическим образованием. Чтобы овладеть современной математикой, необходимо пройти математическую школу в детстве, отрочестве и юности. К тому же современная наука психология доказала, что интеллект детей, подростков и юношей недооценивался и недооценивается с его возможностями убыстренного развития при творческой увлекательной работе, поставленной перед молодежью. Отсюда встала проблема о полной реконструкции математического образования с первых классов школы.

В 1950 г. возникает Интернациональная комиссия по изучению и улучшению обучения математике в школе во главе с математиком Г. Шоке (Франция), психологом математического мышления Ж. Пиаже (Швейцария), педагогом-математиком К. Гаттеньо (Англия), привлекших коллектив педагогов-математиков на местах.

В 1958 г. возникает научное Бюро кооперации ученых, выделивших в 1959 г. секцию по изучению новых взглядов на преподавание математики в школе, которую возглавили М. Х. Стоун (США), Г. Шоке (Франция), Ж. Дьедоне (француз, работающий в США).

Началось новое движение за реконструкцию всего математического образования, поставившее две новые задачи:

1) сближение основ наук, изучаемых в школе, с простейшими основными идеями современной математики-науки;

2) пробуждение творческой инициативы всех учащихся, изучающих обязательный курс математики и выбирающих по собственной инициативе дополнительные курсы из современной математики.

Пока меры не найдены в новом предмете и новом педагогическом методе изучения математики. Идут поиски, их и надо изучать, чтобы ставить передовой эксперимент в преподавании математики. Последнее и преследует перевод и издание современных зарубежных педагогов-математиков.

II

Андре Фуше родился во Франции в г. Бресте в 1901 г., учился в Педагогическом институте Парижа — l'Ecole normale supérieure. Эта знаменитая кузница культурных математиков-педагогов открыта в 1794 г. и поныне является славной гордостью одного из лучших французских вузов, куда мечтает поступить наиболее одаренная и способная, в частности к математике, молодежь.

Известные профессора и академики—математики Франции в большинстве прошли через эту школу. Андре Фуше счастлив, что он в 1922 г. окончил l'Ecole normale supérieure по специальности физики и получил место преподавателя лицея в провинции. С 1936 г. он переходит в один из парижских лицеев в качестве преподавателя математики, где работает 30 лет.

Андре Фуше за свои научные исследования сперва получает степень агреже, а потом степень доктора физико-математических наук. Свой большой педагогический опыт Андре Фуше передает в интересной небольшой книге «Педагогика математики», вышедшей из печати в 1952 г. Надо заметить, что учение о рациональном преподавании математики получило почти общепринятое название «Методики математики», впервые (1836) данное немецким педагогом-математиком Адольфом Дистервегом. «Методика математики» в переводе — «Путь в математику».

За сто лет развития традиционной системы математического образования курсы методики математики приобрели односторонний характер догматических стандартных обязательных рецептов для обезличенных средних учеников и средних учителей без основательного учета места и времени развития школы.

Вот почему вместо методики стал прививаться больше термин «дидактика математики», идущий от Яна Амоса Коменского, в переводе—«обучение математике», но в нем дается односторонняя направленность — обучение без воспитывающего обучения. Поэтому еще в 1910 г. в России возник термин «педагогика математики» (в переводе—«воспитание математическое») в труде «Педагогика математики», изданном в Петербурге педагогами-математиками В. Р. Мрочеком и Ф. В. Филипповичем. Этот термин вошел в употребление на шестой секции IX Международного математического конгресса (Цюрих, 1932), когда секция

преподавания математики была названа секцией педагогики математики, проходившей под председательством Давида Смита (Нью-Йорк) и Жака Адамара (Париж), при ученом секретаре Вальтере Литцмане (Гёттинген).

Очень удачное название дал Андре Фуше своему труду — «Педагогика математики», вышедшему в издательстве «Универсальная пресса Франции». Предисловие написано генеральным инспектором просвещения Ж. Дефоржем, который рекомендует книгу А. Фуше преподавателям математики Франции.

Автор книги «Педагогика математики», написанной в виде этюдов, обладает большим передовым опытом, высокой педагогической культурой и замечательным психологическим проникновением в ученическое мышление. Уже во введении в «Педагогику математики» говорится о двух противоположных методах обучения: первом методе, когда учитель передает готовые знания, а ученику остается их понять и запомнить, и втором, эвристическом методе воспитания, когда ученик ищет решение поставленной проблемы и находит знание, а учитель только направляет ученика. В двух случаях роль учителя различна: в первом случае учитель непогрешимый, стоящий над учениками и не терпящий учеников, делающих ошибки, во втором случае учитель — старший товарищ учеников, ищущих и допускающих в процессе искания ошибки, от которых не свободен иногда и учитель. Учитель первого типа передает знания быстро, отчетливо, не произнося ничего лишнего, но усваивают его уроки немногие ученики и запоминают не скоро; учитель второго типа пробуждает мысль учащихся и воспитывает их ум, ведет учеников медленно, но верно, продвигаясь со всей массой учащихся.

Обращая внимание на фактор времени, необходимого первому и второму учителю, автор приходит к выводу синтеза обоих методов.

Автор отмечает создавшийся предрассудок у родителей и в обществе в целом, что дети, подростки якобы распадаются на способных и неспособных к изучению математики. А. Фуше объясняет это односторонним методом догматического обучения такому своеобразному предмету, как математика, требующая активной мысли учащихся. Отсюда психологическое торможение, боязнь провала, отсутствие инициативы у значительной части учащихся.

В этюдах «Педагогика математики» передаются интересные наблюдения и рекомендации в связи с преподаванием начал алгебры и геометрии.

Автор считает необходимым знакомить учащихся с эволюцией алгебраической и геометрической культуры, отмечая, что историческое развитие алгебраической культуры шло медленнее, чем геометрической.

Автор рассматривает жизненные предложения, связанные с величинами, и перевод этих предложений на стенографический язык алгебры с входящими буквенными обозначениями как анонимов чисел. Надо стараться, говорит А. Фуше, чтобы учащиеся увидели в числе, букве и знаках действия не их противоположности, а единое целое операционное исчисление; особенно автор проводит операторную точку зрения на понятии дробного и рационального чисел.

Операции с рациональными числами автор проводит примерно в следующем виде:

+ (+ 3) — прибавить продвижение вперед на 3;

+ (— 3) — прибавить отступление на 3;

— (+ 3) — изъять продвижение на 3;

— (— 3) — изъять отступление на 3.

Надо переучивать учащихся переосмысливать понятия сложения и вычитания чисел, усвоенные в арифметике.

Автор замечает установившиеся неудачные традиции, принятые в алгебраических обозначениях, например: 7³ = 7 • 7 • 7 = (7 • 7) • 7, где имеются два одинаковых множителя, хотя по определению их три, а потому рекомендует 7³ = 1 • 7 • 7 • 7 = (1 • 7) • 7 • 7, где имеются три одинаковых множителя.

Далее переходит: 7² = (1 • 7) • 7 — два одинаковых множителя;

7¹ = 1 • 7 — один множитель;

7⁰ = 1 — ни одного множителя.

Автор рекомендует начать с аналогии родной речи, говоря подробно: «Взять стул, взять стол, взять скамейку» — или короче: «Взять стул, стол, скамейку».

Аналогично: 3 a + 3 b + 3 c = 3 (a + b + c).

Вместо записи a автор рекомендует писать 1 • a.

Особое внимание уделяет последовательности операций в многочлене в отличие от одночлена:

а) многочлен 3 + 4•5 (вычисления не в порядке записи, а вначале проводят действие II ступени);

б) одночлен 3•4•5 (вычисляют в порядке записи).

Особое внимание обращается на роль скобок:

а) в арифметике как «непреодолимого барьера, указывающего границы изолированной области, например:

3 (4 + 5) = 3 • 9 = 27»;

б) в алгебраическом исчислении скобки утрачивают характер непреодолимого барьера — они имеют лишь временный характер:

a (b + c) = a • b + a • c.

Все ведет к полному перевороту в привычках учащихся— начинается применение к многочленам соответствующих теорем:

a — (a — b) = b и др.

Интересное наблюдение автор отмечает, когда учащиеся впервые переходят к функции, например: у = 0,3 x ², когда можно давать произвольные значения переменному x и вычислять переменное y. «У учащихся возникает неожиданное удивление, что x — свободное переменное. Это внезапное отсутствие скованности вызывает у учащихся боязнь, похожую на страх перед пустотой». Чувство страха учащегося является психологическим тормозом в процессе учения.

Обращает внимание автор на особые случаи, когда a = 1 или a = 0. Например, 0 • x = 0, где надо правильно сделать перевод со стенографического языка, а именно найти число х, которое при умножении на нуль дает нуль; сделав несколько проб, учащийся видит, что все числа удовлетворяют решению предложенного вопроса.

Автор особое внимание обращает на понятие отношения двух величин y/x и на коэффициент k, где y/x = k, имеющих различный качественный, но одинаковый количественный смысл. Понятие скорости также носит двойственный характер, являясь одновременно отношением и коэффициентом, это относится и к производной функции. Приводится красивый пример производной функции от объема воды, заполняющей сосуд любой формы, где производная совпадает с площадью свободной поверхности сечения.

Интересно в «Педагогике математики» показывается, как воспитывать учащихся самостоятельно решать геометрические задачи; с этой целью автор останавливается на

четырех типах задач. Для каждого из этих типов задач автор показывает, как определить последовательность этапов решения, как искать и находить начало цепи, чтобы вытянуть всю цепь событий, приводящих к решению.

Автор выделяет следующие этапы: чтение условия без чертежа, переход к чтению со схематически построенным чертежом и с последующим исправлением (уточнением) чертежа; как усматривать в чертеже связь искомого с данными. На конкретных задачах автор показывает самое сложное — как экспериментировать и направлять поиски решения.

Особенно эффективны рекомендации, даваемые автором при отыскании геометрических мест точек, обладающих заданным свойством.

Обращается внимание учащихся на сложность и простоту решения (в зависимости от числа проводимых окружностей и прямых). Уделяется внимание развитию пространственного мышления, начиная с простейшего — видения треугольника ABC, когда даны только три точки A, B и C и воображают проведенные стороны AB, AC, BC, и переходят к тренировке видения и построения трехмерного образа на плоскости — тетраэдра SABC. Автор добивается того, что учитель и учащиеся различают абстрактную точность и конкретную правильность и, наоборот, конкретную точность и абстрактную правильность.

В целом этюды «Педагогика математики» заставляют читателя думать там, где привычка создала шаблоны преподавания математики. По-видимому, французскому учителю математики достаточны этюдные намеки, чтобы пробуждать у массы учащихся математическую мысль и интерес к предмету.

Перевод дословный. Пояснения редактора даны в сносках, а также в тексте в скобках (дополнительное разъяснение по смыслу). Условные обозначения в некоторых случаях сохранены, как в оригинале. Например, на рисунке 10 прямая обозначена буквой D, или дано «км 82».

Проф. И. К. Андронов

ПРЕДИСЛОВИЕ ГЕНЕРАЛЬНОГО ФРАНЦУЗСКОГО ИНСПЕКТОРА НАРОДНОГО ПРОСВЕЩЕНИЯ Ж. ДЕФОРЖА

Намерение изложить на нескольких страницах «Педагогику математики» может показаться смелой затеей. Ибо нельзя говорить о педагогике в какой бы то ни было области, не проникая в непрестанно изменяющийся мир фактов и идей; и, говоря о математике, в особенности о введении в математику, можно ли избежать соприкосновения с некоторыми из сложных проблем, связанных с генезисом знаний и научной мысли?

Господин Фуше очень четко определил границы предмета своего исследования: преподавание, главным образом, математики на второй ступени обучения и почти исключительно начал алгебры и начал геометрии.

Я говорю «алгебра»; но скорее должен был бы сказать «вычисление», ибо почти все главы этой части труда посвящены логике и технике вычисления. Может вызвать удивление качественное различие, которое, таким образом, устанавливается между алгеброй и геометрией, по крайней мере в начальной фазе. Это требует, по-моему, разъяснений, чтобы избежать какого-либо недоразумения.

Алгебра (включая, разумеется, основания арифметики, а также ее продолжение в анализе) изучает гораздо более широкий класс объектов, чем элементарная геометрия. По мере развития алгебры в ее объектах обнаруживаются свойства бесконечно более сложные и значительные, чем элементарная идея, заложенная в них первоначально; разнообразные возможности, скрытые в них, проявляются постепенно, очень медленно; приведение в порядок постепенно приобретенных ими свойств может быть достигнуто лишь очень

продолжительным трудом; впрочем, поле открытий в этой области безгранично по самому ее существу. Не этим ли объясняется медленное развитие вычисления в прошлом и отставание на два тысячелетия между построением элементарной алгебры и элементарной геометрии, которое справедливо отмечает господин Фуше?

Начала алгебры представляют собой основание, на котором построена теория и без которого не может обойтись человек, с какой бы то ни было целью приступающий к изучению математики; алгебраическое исчисление является ее первой составной частью. Господин Фуше тщательно анализирует этапы этих начал и высказывает нам в увлекательной форме соображения и мысли, которые ему подсказаны долгим опытом преподавания. Он особенно настаивает на приобретении приемов, почти автоматических, значимость и пользу которых, очевидно, нельзя отрицать. Однако не следует совершать ошибку, считая, что все в алгебре, и в частности в началах, должно сводиться к действию памяти, даже может быть пассивной памяти. В преподавании алгебры речь не идет о том, чтобы натаскивать начинающего и учить его работать подобно машине; речь идет о том, чтобы познакомить его с алгебраическими объектами и их свойствами, научить его умело обращаться с этими объектами, анализируя, насколько это возможно, достаточно ясно и достаточно глубоко выделять их основные качества, для того чтобы разум мог господствовать и был способен наилучшим образом выбирать и использовать их в каждом конкретном случае.

Впрочем, это направление в развитии умственных способностей, необходимое для хорошего применения алгебры, господин Фуше с присущим ему изяществом обсуждает во второй части («Геометрия»), примеры исследований, которые он приводит в связи с этим в очень живой форме, по моему мнению, могут быть распространены без большого усилия на первую часть («Алгебра»), особенно на раздел задач (уравнения, неравенства и т. д.).

Возникает вопрос: можно ли провести четкую границу между алгеброй и геометрией, если пойти дальше после изложения начал? Заимствуя у алгебры ее объекты и глубокий анализ их свойств, геометрия может выйти за пределы, определенные в ее традиционных началах; в свою очередь, она может прийти на помощь анализу, стимулируя новый его подъем.

Исследования в педагогике необходимо продолжать, так как непрерывно происходит прогресс в науках физиологии и психологии.

Маленькая книга господина Фуше своим фактическим содержанием и интерпретацией вносит очень важный вклад в изучение этих актуальных проблем. Если форма изложения, живая, подвижная, временами принимает повелительный характер, то это, по-моему, имеет целью сильнее поразить ум читателя, вызывая иногда противоречивые точки зрения и всегда размышления, —ибо господин Фуше хорошо знает, что неразумно в этих вопросах говорить: «нужно...» или «не нужно...»; об этом, без всякого сомнения, свидетельствует характер высказываемых им соображений, очень разнообразных и пронизывающих всю его книгу.

Ж. Дефорж

ВВЕДЕНИЕ. РАЗВИТИЕ ПЕДАГОГИКИ МАТЕМАТИКИ

Когда изучается история педагогики математики, то особенно поражает чередование двух противоположных методов.

Действительно, временами торжествует догматизм с его непримиримостью. Тогда требуется сначала выучить и лишь потом понять при помощи примеров, типовых задач, кратких изложений; всё принимает характер раскрытой истины. Тогда нужно доверять, подчиняться правилам, знать теоремы наизусть, действовать, и действовать быстро, ошибка считается недопустимым позором. Преподаватель принуждает следовать за собой паству своих учеников, и, если кто-то из них его не понимает, тем хуже для них, это их вина, и пусть они станут жертвой злого хищника—невежества. Преподаватель непогрешим, лишен человеческих слабостей, это сверхчеловек, который всё знает, никогда не ошибается и о котором невозможно представить, что он когда-то был учеником сам.

Затем входит в моду эвристический метод со свойственной ему свободой обсуждения. Прежде чем выучить, требуется понять, всё принимает характер открытия: надо искать, находить теоремы самим, осмысливать правила критически. Со временем не считаются, еще меньше считаются с затраченными усилиями. Ошибка — это не более чем легко устранимый, даже поучительный инцидент, ибо она помогает обнаруживать истину. Свою паству преподаватель гонит перед собой, заботясь лишь о том, чтобы всё было понятно всем. Не беда, если некоторые продвигаются

не очень быстро, злой хищник давно забыт. Преподаватель — не более чем человек, поводырь, почти старший товарищ. Когда ему случается ошибиться, он не смущается, и все понимают, что он не забыл своих детских мучений.

Легко заметить, что истина, правильный метод, который устраивает всех, как учителя, так и учеников, лежит как раз посередине. Можно было бы удивляться, что этот идеальный метод в течение долгого времени оставался неизвестным. Но для этого были веские причины, которые теперь едва начинаем понимать.

В самом деле, эволюция преподавания математики не ограничивается чередованием этих двух противоположных методов, она вместе с тем является поступательным движением вперед под воздействием внешних для преподавания причин. Главной из этих причин является увеличение, количественное и качественное, массы знаний, которые нужно приобрести за тот же промежуток времени. Следовательно, нужно стараться улучшать успеваемость и стараться найти счастливую комбинацию догматизма и эвристики. Эти поиски уже не новы, и они-то и приводят к замене одного метода другим, но они будут доведены до конца только тогда, когда все преподавание математики будет переосмыслено в свете результатов, достигнутых современной наукой о человеке, и особенно о ребенке.

Современный эксперимент с новыми классами, где человеческому фактору отводится очень важная роль, уже показал, что изменено должно быть не только преподавание. Надо будет в некоторых случаях пересмотреть также логические связи в самой математике. Таким образом, проблема исследования улучшения успеваемости (отдачи) относится не только к области психологии, как об этом раньше думали, но и к области чистой логики.

Полезно сопоставить наши педагогические задачи с проблемами современной промышленности, которая также требует повышения производительности. В самом деле, в промышленности это достигнется путем улучшения организации серийного производства, путем более рационального использования фактора времени и более разумного учета человеческого фактора. Обе проблемы имеют много точек соприкосновения, и изучение одной из них может помочь в изучении другой. Математика не должна больше оста-

ваться башней из слоновой кости, она должна изменить свой суровый, отталкивающий вид у некоторых учащихся. Она должна стать, по крайней мере в своих началах, доступной всем, и преподавание, лучше разработанное, лучше организованное, должно стабилизироваться в гармоническом и эффективном сочетании обоих противоположных методов.

Фактор времени. Когда изучают с логической точки зрения черты различия догматического и эвристического методов, то констатируют, что этим методам присущ разный ритм работы, что они не используют время одинаковым образом. Такая же противоположность существует между машиной и ремесленником, между инженером и художником, между роботом и ученым. Время для догматизма, машины, инженера, робота —это деньги. Для эвристики, умельца, художника, ученого время всегда остается самой жизнью.

Настоящий труд открытия обычно требует длительного времени, но все же в конечном счете приводит к выигрышу времени. В самом деле, труд открытия состоит главным образом в приспособлении к новым и непредвиденным обстоятельствам. Часто это труд продолжительный, мучительный и неблагодарный. Если открытие доводится до конца, появляется простой закон и может выкристаллизоваться правило, которое облегчит труд приспособления, когда вновь появятся непредвиденные обстоятельства. При многочисленных или частых повторениях навык может постепенно развиться, и этот навык в конечном итоге приводит почти попутно к выигрышу времени.

Выигрыш времени — это лишь побочный продукт открытия, но в преподавании этот побочный продукт имеет первостепенное значение. Поэтому хотя и является заманчивым избежать труда открытия и объяснить правила догматически, однако при этом выигрыш во времени теряется, так как навык «учиться» приобретается медленнее и менее надежно.

Если последовательные правила, которым следует обучить, логически связаны, то эвристический метод вызывает «снежный ком» и в итоге оказывается более выгодным во времени, которое он создает, способствует усвоению обнаруженного правила и ускоряет приобретение соответствующего навыка. В формулировке правила фиксируется его

разумное содержание, указывающее, что нужно делать, и объясняющее, почему нужно поступать именно так. Если нужно затем обучить новому правилу, которое логически увязывается с предыдущим, часть труда открытия уже сделана, и тем быстрее и легче приобретается навык. Напротив, догматический метод располагает рядом последовательных правил, и каждый раз одну и ту же работу приходится делать заново. Правила тогда уже не разумны, а только понятны. Они только говорят то, что нужно делать, но неизвестно, почему им нужно повиноваться. Всю работу выполняет память, навык приобретается только ценой очень большого количества упражнений, и время, затраченное на каждое правило, увеличивается сообразно с умственным утомлением.

Часто применяется промежуточный метод, при котором вначале формулируется правило, а затем оно объясняется или доказывается. При этом упраздняется труд открытия, используется логическая связь правил, откуда проистекает двойной выигрыш времени, но навык приобретается медленнее, и он менее надежен, чем при чистом методе открытия.

Преподаватель, располагающий определенным временем для прохождения данной программы, стоит перед подлинной проблемой экономии. Ритм при методе открытия слишком медлен, чтобы его всегда можно было принять, нужно его использовать в наиболее важных пунктах программы — в начале глав геометрии, в некоторых правилах алгебраического исчисления. Более быстрый ритм промежуточного метода часто необходим в других местах курса математики, а иногда настоятельно необходим чистый догматизм, например, для некоторых правил арифметических вычислений.

Педагогическая методика, которая обеспечит наилучшую успеваемость (отдачу), не может быть устойчивой и единственной комбинацией эвристики и догматизма, определяемой какой-то таинственной химией мышления. Каковы бы ни были успехи, которые мы могли бы сделать в наших исследованиях, педагогика всегда останется в той же мере искусством, как и наукой.

Человеческий фактор. Положение, которое мы только что сформулировали, относилось к идеальному среднему

ученику, который, однако, встречается очень редко. Оно подкрепляется рассмотрением человеческого фактора. Часть наших учеников обладает созерцательным мышлением, они являются слишком покорными, пассивными и индифферентными. Их нужно перевоспитать при помощи очень сильной дозы эвристики. Другим —свойственна бесплодная активность — они не умеют ни читать, ни слушать; их слышно всегда, но сами они никогда не слышат. Им нужно дать побольше догматизма.

Искусство и знания педагогов суть искусство и знания практики. Педагогу нужно суметь разобраться в индивидуальных особенностях своих учеников так же хорошо, как и в разнообразных трудностях преподаваемого предмета. Он должен также знать, что если некоторые из учеников его объяснений не понимают, то это не из-за отставания в умственном развитии, но из-за плохого здоровья или по причинам эмоциональным, иногда даже попросту потому, что они боятся преподавателя, боятся математики, боятся показаться глупыми.

В этой работе мы ставим себе основной целью проанализировать мотивы и причины боязни математики у учеников и указать педагогические и логические средства, найденные для ее преодоления. Мы хотим доказать, что не существует неспособности к математике, что эта таинственная и легендарная неспособность есть лишь предрассудок, который, к несчастью, лишил уверенности в своих силах многих детей, причинив им страдание.

Многие ученики, родители которых считают их неспособными к математике, а иногда и некоторые преподаватели так считают, в действительности попросту страдают от комплекса неполноценности, который достаточно проанализировать, чтобы ослабить, а затем и избавиться от него. У некоторых учеников речь идет только о боязни провала. У других этот комплекс проявляется в виде извращенного вкуса к исключительному, который стимулируется плохими научно-популярными изложениями, стремящимися читателя скорее удивить, чем просветить его. В некоторых случаях это связано с недостаточностью физиологической жизнедеятельности, в результате которой ученики стремятся к наименьшему усилию, к легкому труду.

И наоборот, ученики, признанные очень способными, часто в детстве в результате счастливого успеха увлеклись

математикой, иногда в ущерб другим предметам. Это увлечение скоро становится опасным, «снежный ком» нарастает неудержимо.

В этом маленьком труде не рассматривается весь курс математики. В нем основательно анализируются начала алгебраического исчисления и начала планиметрии. По поводу остальной части курса ограничиваемся отдельными замечаниями и указаниями.

Глава 1
СТРУКТУРА СЧЕТА
Эволюция техники счета
Слово «счет» (calcul) произошло от корня khalk,
который означает «известняк». Khalix и ка-khlex по-грече-
ски, calculus по-латыни, обозначает «галька».
Дети учились счету при помощи гальки. При помощи
камушков, а затем при помощи счетного инструмента дети
и торговцы прошлых времен считали и производили элемен-
тарные действия.
Сейчас вычисления производятся с помощью гигант-
ских электронных машин, мощность и скорость которых пре-
восходит воображение. Эти машины способны рассчитать
даже все детали своего собственного производства, что поч-
ти напоминает самозарождение.
Древние дидактические поэмы индийцев свидетельст-
вуют об изумительной силе первых попыток устного счета.
Позже арабы1 собрали, обогатили и передали нам их от-
крытия.
Затем мало-помалу техника счета систематизируется и
развивается со все возрастающей быстротой. В наши дни
этот прогресс достигает такой стремительности, что в те-
чение своей активной жизни человек должен много раз
пересматривать свои знания, чтобы быть на уровне про-
гресса.
Развитие арифметики было более медленным и более
запоздалым, чем развитие геометрии. В XVI столетии дей-
ствие деление, которому мы сейчас учим детей восьми лет,
1 Надо говорить: многие восточные народы средневековья,
писавшие на арабском языке.

было еще сложным делом, доверяемым особым специали-
стам, тогда как за две тысячи лет до этого геометрия имела
в своем активе теоремы, которым и сейчас обучают лишь
учеников старших классов.
У этого отставания та же глубокая причина, которая де-
лает таким трудным обучение вычислению: техника вы-
числения не проста и может стать легкой только после
длительных упражнений.
Поэтому может показаться, что работа наших детей бу-
дет становиться все более трудной, по мере того как новая
техника вычисления будет проникать в начальную школу.
К счастью, это не так, потому что технический прог-
ресс всегда ведет к уменьшению труда, делает его
более простым и благодаря новым навыкам становится
более легким. Так было с недавно изобретенным велосипе-
дом, который значительно облегчает передвижение для
тех, кто научился сохранять равновесие. Но хотя ребенок
меньше понимает, чем взрослый, он приспособляется зна-
чительно быстрее и легче. Не будем умиляться нашими
потомками, а вместо этого воздадим должное римлянам,
которые должны были умножать, пользуясь своей собст-
венной системой нумерации.
Обучение исчислению, будь то арифметическое, алгеб-
раическое, тригонометрическое, векторное..., включает
обучение методам и технике вычислений, развитие у ребен-
ка навыков, которые не являются врожденными. Педагог
не должен выпускать из виду двух категорий трудностей
различной природы и происхождения.
Все те, которые сделались техниками и которые хотят
развивать ее, хорошо понимают одну из этих категорий.
Это те логические и технические трудности, которые воз-
никают из особенностей самой техники.
Другая категория трудностей гораздо меньше известна.
Об этих трудностях люди бессознательно забывают по мере
своего развития и поэтому оказываются неспособными вос-
становить природу затруднения и способ его преодоления.
Первая категория затруднений преодолевается методом
догматизма или методом открытий в зависимости от имею-
щегося в наличии времени. Вторая категория требует при-
менения метода открытий, поскольку приспособляемость
играет более важную роль, чем понимание. Комбинация
обоих методов является тонкой, очень деликатной, и педа-
гогика, из нее вытекающая, в большей мере искусство, чем

наука, потому что она слишком зависит от характеров и
темпераментов учеников и преподавателя. Однако можно
вывести несколько общих законов. Одни связаны с пред-
ставлением о технике вычисления, другие — с психологи-
ческим поведением учеников и со следствиями, которые из
него вытекают для преподавателя. Эти законы связаны
между собой и могут изменяться в зависимости от техниче-
ских усовершенствований или состава аудитории. Те за-
коны, которые мы сейчас приведем, и те, которые мы при-
водим в курсе изучения вычисления, годятся почти во
всех случаях. Поражает количество и значимость этих за-
конов по сравнению с законами геометрии. Это связано с
тем, что в процессе эволюции вычисления возникло очень
высокое логическое построение с узким основанием. Для
того чтобы совместить значительную мощь вычисления с
легкостью понимания, необходимо было установить пра-
вила, т. е. сконденсированные выводы. В течение продол-
жительного времени в представлении учеников эти правила
были связаны лишь механически, не будучи объединены
логикой в стройное целое. Обычный здравый смысл и, сле-
довательно, приспособляемость подвергались тяжелому ис-
пытанию. К математической логике это не имеет отношения.
Только опыт преподавания дал возможность открыть эмпи-
рические законы практической педагогики исчисления.
ОБЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ О ПРАВИЛАХ
ВЫЧИСЛЕНИЯ
Правило является средством действия, выполняемо-
го автоматически и не требующего рассуждений.
Правило должно быть понятным, ясно излагающим то,
что нужно делать, но вовсе не обязательно, чтобы оно
указывало, почему нужно поступать так, как оно требует.
Правило есть описание и даже указание навыка, ко-
торый следует приобрести, следовательно, применение
правила должно стать бессознательным, и его содержа-
ние должно быть забыто, тотчас же по приобретении на-
выка.
Навык уничтожить очень трудно, следовательно, не
нужно давать правил, навыков, рефлексов, от которых
позже придется отказаться. Не нужна систематизация,
которая не сможет войти в последующую систематиза-

цию, не нужен навык, который не будет являться частью
более общего навыка. Не нужно ничего приблизительно-
го и приблизительных синонимов. Нужно следить за пра-
вильностью и точностью речи. Нужно подождать, чтобы
новые слова полностью вошли в разговорный язык, преж-
де чем пользоваться ими для определения новых поня-
тий. Слово «правило» («regle») и слово «прямой»
(«droite») оба происходят от слова «править»
(«regir»), которое значит «вести, не отклоняясь в
сторону». Понятие правила, следовательно, тесно связа-
но с понятием прямой линии, то есть с линией действия,
где ничто не изменяется, где ум может отдыхать, где уче-
ник полагается на «удобства». Правило должно, следо-
вательно, иметь минимум исключений. Лучше, например,
писать 1 х вместо просто х, без коэффициента. Особенно
не следует отступать перед трудностями вычисления и
применения правил и обходить их с ухищрениями мине-
ра и физика.
Данное правило может участвовать в двух различных
обобщениях, которые будут согласованы только на более вы-
сокой ступени. Так, — • Ь = а следует из определения деле-
ния. Это действие может составлять одно целое с умножением
дроби на число или с понятием обратного оператора (умно-
жение также есть действие, обратное делению). Эти два
обобщения сливаются затем в понятие группы. Кажется
благоразумным давать в течение продолжительного вре-
мени только первое обобщение, не выражать своего нетер-
пения, если ученики напишут — • Ь = — = а, и дать
им самим найти кратчайший путь, который будет поводом
переосмыслить первое правило.
В процессе доказательства следует уделять больше вни-
мания последовательной связи, переходу от одной дедук-
ции к другой, чем логике всей дедуктивной системы. Дока-
зательство должно выступать как цепь истин. Ученик,
склонный вообще скорее видеть целое, чем детали, должен
оттачивать свою способность разделять эту цепь на звенья.
Это особенно важно при обобщении правила, когда звенья
доказательства должны быть соединены заново, а также
для конкретных приложений, когда параметры прини-
мают численные значения (обычно 0, 1, 2).
Наоборот, для некоторых правил, несколько более

сложных (соотношение Шаля) *, доказательство, в котором
связь была хорошо установлена, позволяет требовать дове-
рия учеников к правилу, которое они понимают, но с тру-
дом применяют. Благодаря многочисленным упражнениям
можно создать искусственный навык, чтобы преодолеть
трудный переход и научить применять правило. Создан-
ный навык согласуется затем с уже приобретенными навы-
ками, теряет свой искусственный характер, и это есть на-
чало возросшей умственной культуры.
Алгебраические обозначения всегда нужно рассматри-
вать как стенографическую запись, т. е. буквы представ-
ляют анонимные числа (о неизвестных следует говорить
только начиная с уравнений). Следовательно, недопустимо,
чтобы ученик делал в буквах ошибки, которые он не дол-
жен был бы делать в числах. Единственным эффективным
методом для избежания этих ошибок является метод, при-
нятый в преподавании иностранных языков: так делают
переводы с иностранного на родной язык и обратно, помня,
что второй более труден, чем первый.
Дополнительная трудность связана с применением ал-
гебраической символики, ученика необходимо убедить в
законности символики, ее связности и универсальности.
Две первые характерные черты можно установить логиче-
ски и упражнениями в переводе с иностранного языка на
родной и обратно, но третья устанавливается наверняка
только комбинированными упражнениями и взаимным ис-
правлением. Например, преподаватель диктует, используя
минимум математических слов, алгебраическое выражение,
и во время этого диктанта ученики должны его немедленно
записать символически. А затем ученики обмениваются
тетрадями, и каждый ученик должен сделать обратный пе-
ревод записей своего соседа на родной язык учеников.
Правила и ученики
Не нужно давать слишком много объяснений, ибо
этим можно утомить внимание. Ученик не способен скон-
центрировать свое внимание больше чем на десять секунд.
Его внимание всегда колеблется, и имеются отрывки фраз,
которые он слушал, но которые он не слышал, которые не
проникли в его сознание. Нужно повторить теми же словами
1 Имеем: АВ + ВС + CD = АС + CD = AD, если Л, В, С, D
находятся в любом порядке на одной прямой.

то, что не было понято, немного изменив ритм речи. Следо-
вательно, преподаватель должен очень тщательно следить
за правильностью и точностью своего языка. Все по той
же причине колеблющегося внимания, которое ограничи-
вает возможности понимания, не нужно злоупотреблять
новыми условными обозначениями и менять их во время
объяснения. Не нужно идти слишком быстро, особенно
это относится к мальчикам, которые приспосабливаются
труднее, чем девочки. Усвоения следует добиваться путем
повторения и установления связи с другими навыками. Не
нужно забывать, что страх ошибиться в применении пра-
вила вычисления есть естественный, нормальный страх во
время приобретения навыка.
Главная трудность вычисления заключается в приобре-
тении техники вычисления. Как для приобретения всякого
навыка, для этого нужно много времени и много упражне-
ний. Не нужно забывать, что то, что кажется простым и
легким в результате продолжительной практики, в процес-
се обучения может быть простым и трудным (отношение
Шаля, производные...) или сложным и легким (арифметиче-
ские операции...).
Например, некоторые упрощения алгебраических запи-
сей (упразднение коэффициента 1, знака умножения между
числом и буквой, скобок, в которые берут произведения)
не логичны, точнее, не связаны с логикой вычисления.
В глазах детей эти упрощения являются искусственными и
произвольными и создают трудности, если их не обосно-
вать. Для этого нужно подниматься к логике намного
более элементарной и глубокой, которая привела бы к
упрощениям такого же рода, как и в обычном языке. Мы
это проиллюстрируем на подробных примерах.
Надо быть осторожным в применении двух правил, близ-
ких по форме (произведение сумм и произведение произве-
дений...). Дети искренне считают себя логичными, они
охотно обобщают в широком смысле, но в действительности
их выводы проистекают из-за склонности к справедливо-
сти, из любви к попетому, симметричному, из-за субъек-
тивного чувства эстетики или же, когда они более образо-
ванны, они всюду устанавливают пропорциональность.
Время от времени близкие по форме правила должны быть
вновь обоснованы, вновь доказаны, даже вновь открыты,
чтобы сохранить минимум понятного содержания, который
обусловливает различие соответствующих навыков.

Обычно 50% учеников, утверждающих, что они поняли
доказательства, говорят это, чтобы вам доставить удоволь-
ствие, чтобы избежать новой работы.., 30% могут быть
искренними, но они были более удивлены, более поражены,
чем действительно убеждены. Бывает, что вторая катего-
рия достигает 100% и что все ученики класса утверждают,
что они понимают начиная именно с того момента, когда
они перестали что-либо понимать. Полезно часто осторожно
контролировать так называемое понимание учеников, оп-
рашивая тех, которые чувствуют себя способными воспро-
извести доказательство, или время от времени вызывать
к доске одного из тех, которые утверждают, что они поня-
ли.
Реальные технические и логические
трудности вычисления
Алгебраическое выражение состоит из чисел, букв
и знаков действий. Нет никакого существенного различия
между числами и буквами, являющимися анонимами чисел.
На первый взгляд нет этого различия между числами или
буквами и операционными знаками. Технические трудно-
сти вычисления — это трудности изобретения и примене-
ния знаков. Логические трудности — это трудности комби-
наций этих знаков между собой и с числами.
Различие, которое обычно делают между техникой и ло-
гикой1 вычисления, является в действительности поверх-
ностным, а потому и опасным. Оно извращает в умах на-
ших учеников понятие числа, делая из него инертный ма-
териал, на который действуют операционные знаки, в то
время как число, особенно абстрактное, является первым
из всех операторов. Действительно, в практике преподава-
ния вычисления слишком быстро переходят от именован-
ных чисел к отвлеченным, при этом теряется из виду объект,
который умножается на эти числа. Отдельно взятое отвлечен-
ное число как бы теряет свой признак численности
множества и является только нарицательным именем суще-
ствительным. Когда переходят затем от арифметики к ал-
гебре, то отвлеченное число, теряя всякую индивидуаль-
ность, часто обозначается буквой (зло уже сделано), число
не имеет более конкретного содержания. Техника и логика
операционных знаков являются единственными объектами
1 Автор имеет в виду технику вычисления и логику ее
обоснования.

нашего внимания,и, так как они не имеют больше конкрет-
ной поддержки, мы видим, как наши ученики делают не
моргнув глазом грубейшие ошибки, которые они не делали
бы несколько лет до этого в арифметике. Мы увидим, что
достаточно будет восстановить действенный характер числа
как множителя, чтобы намного уменьшить трудности в
преподавании вычисления, в особенности преподавания
дробей.
Кроме понятия числа, которое начиная с III класса1
должно быть полностью восстановлено в уме наших уче-
ников, имеются другие трудности чисто логического по-
рядка, которые вновь встречаются в различных местах
курса. Главная трудность связана с понятием обратного
оператора. По нашему мнению, нельзя ограничиваться
объяснением одной лишь технической стороны обратной
операции, как это часто делают; техническое изложение
во всяком случае необходимо дублировать объяснением
сущности операции на вполне ясном символическом языке.
Ученики, впрочем, не любят этот вид объяснения, который
настоятельно требует понимания и усвоения. Они пред-
почитают хорошее и удобное техническое правило, которое
избавляет их от размышлений, но не воспитывает их.
Другая трудность заключается в том, что последова-
тельные действия читаются слева направо, как они напи-
саны, и что ученики имеют тенденцию производить их в том
же порядке. Приходится или выдумывать правила перво-
очередности действия, которые трудно оправдать, или же
ставить везде скобки.
Еще одна трудность заключается в употреблении скобок
и черт алгебраических дробей и их комбинаций.
Имеется еще много и других значительных трудностей
в преподавании арифметики, но в этой маленькой книге
невозможно привести их в объеме обычного курса. Это
нас увело бы слишком далеко. Нам показалось более инте-
ресным и более эффективным сгруппировать их вокруг
совокупности понятия числа и понятия обратного операто-
ра. Это приведет нас, вполне естественно, к дробным чис-
лам и действиям над дробями, затем к числам относитель-
ным и к классическим скобкам и, наконец, к алгебраичес-
ким рациональным дробям.
1 Речь идет о классе средней школы, соответствующем при
мерно нашему IX классу.

Глава II
ДРОБНОЕ ЧИСЛО И ДЕЙСТВИЯ
НАД ДРОБЯМИ
Целое число и число, обратное целому
Число—это слово (или группа слов), которое
дает возможность вспомнить и воспроизвести в другом
месте и в другое время простую1 величину с помощью дру-
гой простой величины той же природы. Чтобы это сравне-
ние было полезным, нужно выбрать эту вторую величину
таким образом, чтобы ее легко было запомнить. Ее назы-
вают эталоном или единицей.
Так, стадо баранов содержит некоторое число баранов,
деревня — некоторое число домов, расстояние содержит
определенное число шагов, или дней ходьбы, или повторен-
ную определенное количество раз длину палки.
Когда речь идет о баранах или домах, получают целое
число. Когда речь идет о длине, можно не получить целого
числа. Результат сравнения содержится между двумя по-
следовательными целыми числами, и мы дальше увидим,
как улучшить эффективность этого результата. Сначала
изучим собственный смысл целого числа независимо от
величины, для сравнения и измерения которых оно служит.
Когда говорят, что стадо содержит семь баранов, слово
«семь» имеет в результате пассивный характер, но когда
говорят в другом месте, что для воспроизведения стада той
же величины нужно купить семь раз по барану, то слово
«семь» имеет активный характер множителя. Слово «семь»
употребляется в таком случае со словом «раз», оно стано-
вится отвлеченным, и понятие, которое оно выражает,
1 Автор имеет в виду под простой величиной употребительную,
хорошо знакомую учащимся величину.

существует независимо от частных величин, для сравне-
ния или измерения которых оно могло служить.
Имеется эквивалентность между выражениями: «семь
баранов», «семь раз по барану», «один баран, умноженный
на семь» и «один баран, взятый семь раз». Можно заметить
инверсию второго выражения в третье и замену слов «ум-
ноженное на» операционным знаком, обозначаемым точкой.
Слово «семь» может также иметь активный характер де-
лителя, когда говорят, что, для того чтобы иметь одного
барана, нужно разделить на семь целое стадо (множество).
Говорят также, что один баран есть одна седьмая стада.
Окончание «-ая» служит для того, чтобы отличать от цело-
го обратные числа, выступающие делителями целых чи-
сел, которые обычно действуют как множители. Употреб-
ление окончания «-ая», которое также служит для поряд-
ковых чисел, определяющих место, может объясняться
тем, что, после того как данная величина была разделе-
на на семь равных частей, эти части считают, чтобы про-
верить число этих частей и чтобы найти последнюю, т. е.
седьмую.
Существует эквивалентность между выражениями: «седь-
мая часть стада», «стадо, разделенное на семь» и «стадо: 7».
Можно заметить также инверсию первого выражения
во второе и замену слов «разделенное на» операционным
знаком.
Первые попытки обобщения целого числа
Мы видим, что, когда хотят сравнить один отре-
зок с другим, меньшим, служащим эталоном сравнения, в
результате не всегда может получиться целое число. Как
показывает опыт, это даже самый общий случай. Это не
получается, говорят дети.
Рассмотрим два отрезка прямой AB и CD (просим чи-
тателя сделать чертеж, взяв AB длиной приблизительно
7 см и CD приблизительно 10 см). Мысленно наложим от-
резок AB на CD так, чтобы точки С и А совпали и чтобы
точки В и D были по одну сторону от совмещенных точек
Л и С. В таком случае оба отрезка имеют общий конец и
общую часть, и можно констатировать, что отрезок CD
больше отрезка AB.

Для большей точности нужно сравнить остаток, или
разность, BD с отрезком AB, и в нашем случае можно ут-
верждать, что BD меньше А В. Мы можем тогда сказать,
что CD больше AB и меньше двух AB. В другом случае
путем последовательного сравнения можно вывести, что
один отрезок больше увеличенного в четыре раза и меньше
увеличенного в пять раз другого отрезка. Результатом
сравнения обоих отрезков является целое число, и тогда
говорят, что длина первого отрезка равна четырем с недо-
статком или пяти с избытком, если второй отрезок взять за
основание сравнения, т. е. за единицу, или эталон.
Разум детей не может идти дальше. Они очень хорошо
видят, что операция, которую мы только что описали, есть
не что иное, как приблизительное конкретное деление; по-
скольку остаток незначителен, они удовлетворены цело-
численным частным. Однако, если их спросить, как они
могли бы сделать, чтобы лучше выразить этот остаток, они
его перенесут на маленький отрезок, служащий единицей,
и скажут в первом примере, что остаток BD содержится
в AB два раза, но не три раза. Они принимают остаток BD,
который теперь является наименьшим отрезком, за новую
единицу и пользуются ею, чтобы измерить прежнюю еди-
ницу, но им не придет в голову сравнить BD с половиной
или с третьей частью AB.
Следует признать, что значительно легче увидеть и
сказать, что BD содержится два раза в AB, но не три
раза, чем увидеть и сказать, что BD больше третьей части
и меньше половины AB. Здесь не только «жонглирование
языком» в целях введения целых делителей, здесь имеется
два разных суждения и конкретный факт раздробления AB
на две, затем на три части.
Чтобы идти дальше, нужно точно сохранить отрезок AB
в его роли основания для сравнения и учета остатка BD
прибегнуть к вспомогательной единице, меньшей AB, но
находящейся в прямой зависимости от него. Возьмем с
этой целью отрезок, который содержался бы целое число
раз в AB, т. е. делитель AB.
Египтяне всегда искали наибольший делитель еди-
ницы, содержащийся в остатке (в нашем примере это была
бы третья часть); для нового остатка они искали новый
наибольший делитель, содержащийся в нем, и т. д. Ре-
зультат этих вычислений имеет любопытный характер,
так как состоит из целого числа и ряда чисел, обратных це-

лым, или, как мы сказали бы теперь, последовательности
дробей, содержащих общий числитель единицу. Этот спо-
соб очень интересен с практической точки зрения и пред-
ставляет собой превосходное упражнение для учащихся.
В действительности этот метод очень быстро приводит к
достаточно точному результату, однако он неудобен тем,
что вынуждает к слишком разнообразному дроблению
единицы.
Дробное число
Метод, который теперь применяют для сравне-
ния двух отрезков, заключается в том, что непосредствен-
но выясняют, существует ли отрезок, который был бы дели-
телем и для AB, и для CD.
Обозначим через и такой отрезок, если он существует,
и предположим, что он содержится п раз в AB и т раз в
CD, пит — целые числа. Говорят, что длина CD, когда
берут AB за единицу, является дробным числом m/n и дли-
на AB, когда берут CD за единицу, является дробным чис-
лом n/m .
Прежде чем объяснить происхождение и смысл этих
дробных чисел, представляющих комбинацию целых чисел,
следует отметить, что нахождение отрезка и, если он суще-
ствует, не является ни простым, ни легким. В самом деле,
нельзя с первого взгляда сказать, какой делитель AB бу-
дет также делителем CD, ни даже, существует ли таковой.
Не надо забывать также, что наше рассуждение относится
только к отрезкам, заданным геометрически, для которых
неизвестны численные величины, выраженные через тре-
тий, вспомогательный, отрезок, принятый за единицу. Ре-
зультат может быть достигнут только тем методом последо-
вательного деления, которым дети находят наибольший
общий делитель в арифметике.
Мы несколько раз отмечали, что не всегда можно найти
общий делитель для двух данных отрезков, т. е. что эти
отрезки не обязательно измеримы один с помощью другого,
или, как говорят, соизмеримы. Тем не менее кажется, что
после достаточно долгих поисков наступит момент, когда
все уменьшающийся остаток наконец обратится в нуль.
Среди учащихся очень распространена эта псевдоидея, в

которой смешивается чувство, что после достаточно боль-
шого количества проб успех становится все более и более
вероятным, а затем достоверным, и смутное представление о
бесконечно малых отрезках, которые, как кажется учени-
кам, в конце концов становятся равными нулю. Это двой-
ственное представление неточно, можно доказать, что два
данных отрезка, вообще говоря, несоизмеримы. Мы про-
иллюстрируем это ниже, когда будем рассматривать квад-
ратные корни; понятие же бесконечности будет изучено в
главе V, посвященной вопросу о функциях. Следовательно,
в конкретной практике мы вынуждены довольствоваться
сравнениями и приближенными измерениями и признать,
что если бы не были придуманы десятичные дроби, то ме-
тод египтян был бы все еще наилучшим.
Активный характер дробных чисел
Сначала напомним во избежание путаницы, что
подразумевается под дробными числами в начальном обу-
чении: дробное число есть сумма целого числа и дроби.
Это важное замечание основывается на том, что дробь
обычно меньше единицы, так как она была придумана,
чтобы измерять остаток или вообще отрезок, меньший
единицы. Однако сложение дробей может привести практи-
чески к результату такого же вида, что и дробь, но с числи-
телем, большим знаменателя. В глазах учеников это логи-
ческая и этимологическая бессмыслица, так как слово
«дробь» обозначает часть единицы. Следовательно,
нужно выделить единицы из результата, который таким
образом легче и яснее можно себе представить. Эта точка
зрения вполне приемлема, если речь идет о конечном ре-
зультате, но если с полученными числами надо произво-
дить дальнейшие арифметические действия, то возникает
опасность серьезных осложнений. По этой причине поз-
же отказываются от этого вида чисел, которые к тому
же представляют то неудобство, что целое число и дробь
пишутся просто рядом и нет никакого знака сло-
жения, который указывал бы, что речь идет о некоторой
сумме.
Вернемся теперь к дробному числу в таком виде, как
мы его определили выше, и в каком оно употребляется в

средней школе, а именно с начала изучения алгебры. Ве-
дущая идея дробного числа — это понятие отношения,
которое встречается в геометрии при сравнении двух от-
резков, соизмеримых с третьим отрезком, причем нет необ-
ходимости уточнять, какой из них самый маленький. Это
понятие отношения по существу взаимно и может быть
обращено в зависимости от того, берем ли мы за эталон
сравнения один или другой из данных отрезков.
Понятие дробного числа чуть-чуть отличается от поня-
тия отношения величин, потому что дробное число есть со-
ставное численное выражение, которое измеряет отношение
в зависимости от того, берут ли один или другой из данных
отрезков за единицу. Можно сказать, что тому же понятию
геометрического отношения соответствуют два дробных
числа, взаимно обратных одно другому. Эта обратимость
долго мешает учащимся, так как имеется трудность в по-
нимании инверсии предложения, которое выражает отно-
шение. Более того, одно из рассматриваемых дробных чи-
сел меньше единицы, в то время как другое хотя и имеет
вид дроби, но превышает единицу.
Следует непременно преодолеть это затруднение, про-
исходящее от старой привычки (рассматривать дробное
число независимо от отношения), которая имела свое оп-
равдание несколько сотен лет назад, но теперь яв-
ляется причиной многочисленных ученических ошибок.
Наилучший способ преодоления этих затруднений — это
возвратить дробному числу его активный обратимый ха-
рактер, рассматривая его как комбинацию числа, обратного
целому (делителя), и целого числа (множителя). Здесь име-
ется деликатный переход, но его нужно преодолеть глав-
ным образом путем эвристики и иногда немного путем дог-
матизма. По нашему мнению, полезно изменить порядок
изложения действий над дробными числами, как мы даль-
ше укажем.
Приведем численный пример, чтобы яснее выразить
нашу мысль. Пусть даны два отрезка прямой AB и CD,
имеющие общий делитель и, содержащийся три раза в AB
и пять раз в CD.
С таким же успехом мы можем сказать, что А В содер-
жит три раза и, или что и есть третья часть AB, и что CD
содержит пять раз и, или что и есть пятая часть CD. Сле-
довательно, AB содержит три раза пятую часть CD, т. е.

AB = (CD : 5) • 3,
и CD содержит пять раз третью часть AB, т. е.
CD = (AB : 3) • 5.
Предыдущие выражения, являющиеся единственными,
которые могли бы правильно выражать понятие дробного
числа с помощью слов и знаков арифметических действий,
слишком длинны, чтобы их оставить без изменения.
Выражения на понятном языке могут быть сокращены
употреблением множественного числа, которое позволяет
опустить слово «раз». Например, говорят, что AB есть три
пятых CD. Что касается «стенографических выражений»,
записанных с помощью знаков деления, умножения и ско-
бок, то можно упростить запись, используя черту дроби,
наклонную или горизонтальную. Число, записанное под
чертой, есть делитель, или знаменатель, а число, записан-
ное над чертой, есть множитель, или числитель.
Следовательно, имеется эквивалентность между запи-
сями, которые обозначают три пятых CD :это (CD : 5)Х
Х3 и — CD. Остается преодолеть последнюю трудность —
отказаться от употребления слова de1, единственно остав-
шегося слова от первоначального предложения. Это не
просто и не легко, и, действительно, условность записи
кажется нелогичной и продолжительное время вызывает
недоумение многих учеников. Она заключается в переста-
новке — и CD и в замене слова de знаком умножения,
точно так же как для целых чисел, когда заменяют понятное
выражение «три раза CD» выражением «CD • 3».
Следует признать, что учащиеся имеют право на удив-
ление, потому что слово «раз» ничего не имеет общего со
словом de, и, делая перевод CD • — , они пытались бы
сказать «три пятых раза CD», что не имеет никакого смыс-
ла. Более того, в выражении «CD • — » умножение на 3
показано перед делением на 5 и не было доказано, что так
можно действовать.
1 В данном случае предлог de обозначает родительный падеж
и принадлежность, например — от Си.

Именно то, что мы только что сказали в последнем пред-
ложении, позволяет объяснить вторжение знака умноже-
ния перед дробным числом вместо слова de. В самом деле,
если доказывают, что (CD : 5) • 3 = (CD • 3) : 5, то за-
пись CD • — без скобок оправдывается. При чтении
этой записи слева направо действия выполняются в логи-
ческой последовательности (знак деления заменен чертой).
Доказательство простое и может, впрочем, основываться
на доказательстве коммутативности произведения двух це-
лых чисел.
Дробное число и понятие точного частного
Мы только что использовали эквивалентность де-
ления отрезка на 5, затем умножения полученного резуль-
тата на 3, или умножения данной длины на 3, затем деле-
ния полученного результата на 5. А мы знаем, что в ариф-
метике при умножении длины данного отрезка на целое
число, а затем при делении полученного результата на
другое целое число получают тот же результат, как и при
умножении данной длины на частное от деления первого
числа на второе, когда возможно точное деление.
Точное деление числителя дробного числа на его знаме-
натель вообще невозможно, но между тем существует со-
ответствующий геометрический результат. Следовательно,
можно сказать, что дробное число — представляет точное
частное от деления 3 на 5 и что записи — и 3 : 5 эквива-
лентны.
Однако с помощью десятичных дробей, определяемых
местоположением цифр, можно добавить еще одну запись:
— = 3:5 = 0,6. Но это лишь прогресс в записи. В гео-
метрическом определении CD • 0,6 всегда имеется две опе-
рации: сначала нужно разделить CD на 10, затем резуль-
тат умножить на 6. Тем не менее имеется прогресс, если
известен размер CD по отношению к третьему отрезку,
который служит вспомогательной единицей. Действительно,
умножение отрезка CD на 0,6 может быть произведено од-

ной арифметической операцией, и можно сказать, что 0,6
есть точное частное от деления 3 на 5.
Это расширение понятия точного частного при помощи
точных десятичных дробей, т. е. ограниченных в своем раз-
ложении после запятой, имеет очень ограниченное значе-
ние, так как основание нашей системы счисления равно 10.
Например, частное от деления 2 на 7 не ограничено в деся-
тичном разложении. Это частное могло бы быть ограничено
только в том случае, если бы основание системы счисления
равно было семи или кратным семи. Точное частное деле-
ние 2 на 7 может быть, следовательно, определено и удоб-
но записано только при помощи дробного числа 2/7.
Последовательные сравнения нескольких
отрезков. Произведения дробных чисел
Пусть даны три отрезка прямой AB, CD и EF.
Предположим, что AB и CD имеют общий делитель и, со-
держащийся три раза в А В и пять раз в CD, и что CD и
EF имеют также общий делитель и\ отличный от и, со-
держащийся 7 раз в CD и четыре раза в EF. Следователь-
но, имеем:
AB = - от CD = CD. 3/5
и
CD = - от EF = EF- -
и, таким образом,
AB=| от (I от ЕР) = (EF • I) • £,
следовательно, если предполагают данным отрезок EF,
то, чтобы получить отрезок AB, нужно разделить EF на
4, результат умножить на 7, затем разделить полученный
результат на 5 и умножить этот последний на 3.
Итак, в арифметике можно доказать, что возможно пе-
реставлять порядок последовательных действий умноже-
ния и деления, что возможно группировать операции того
же рода и заменять каждую группу чисел их произведе-
нием:

fEF. J)- |={[(HF:4)71:5}3=
={[(£F-7)-3]:4}:5=[£F.(7-3)]:(4.5),
или окончательно
Следовательно, произведение двух дробных чисел есть
дробное число, числитель которого равен произведению
числителей данных дробных чисел, а знаменатель — про-
изведению знаменателей этих самых чисел.
Это можно сформулировать короче: произведение двух
дробных чисел получается путем перемножения знамена-
телей между собой и числителей между собой.
Деление на дробное число
По определению частное от деления отрезка (ве-
личины) на число есть отрезок (величина), произведение
которого на число равно данному отрезку (или вообще ве-
личине).
В широком смысле можно, следовательно, записать, что
если AB = CD • -, то CD = AB : —. Но известно, что
CD = AB • —, следовательно,
AB : - = AB--,
и можно сказать, что деление на дробное число можно за-
менить умножением на обратное дробное число.
В таком виде правило деления на дробь теряет свой уди-
вительный характер, числитель дроби становится делителем,
а знаменатель становится множителем. Несколько вдаваясь
в крайность, можно было бы представить себе правило ком-
бинации знаков «•» и «:», аналогичное правилу комбинации
знаков «+» и «—», которое предшествует относительным
числам.

Упрощение и усложнение дробных чисел
В арифметике также можно показать, что в чис-
ленном выражении, состоящем только из последовательных
умножений и делений целых чисел, результат не изменяется,
если произвести умножение и деление на одно и то же чис-
ло (так же как можно прибавлять и вычитать одинаковые
числа).
Из этого можно сделать вывод, что дробное число может
быть упрощено путем одновременного деления числителя и
знаменателя на какой-либо общий делитель или усложнено
умножением числителя и знаменателя на одно и то же
число.
Например, — = — = — — это усложнение, и — =
= = — — это упрощение.
20:5 4
Короче, величина дроби не изменяется, если умножить
или разделить числитель и знаменатель на одно и то же
число.
Сравнение, сложение и вычитание дробных
чисел
Можно, наконец, использовать упрощение и ус-
ложнение дробей, чтобы сравнивать, складывать и вычи-
тать эти дроби, приводя их к одному и тому же знаменате-
лю, следуя классическому методу. Но эти действия более
сложны, чем умножение и деление дробей, и могут скрыть
от учеников простоту (сущность) понятия дроби. Нам
кажется целесообразным объяснять эти действия (сложе-
ние и вычитание) в последнюю очередь.
Такое изменение в последовательности изложения дей-
ствий, во-первых, может удивить учеников (но это удивле-
ние полезно) и, во-вторых, больше подчеркивает разницу
в правилах (действий первой и второй ступени) и предохра-
няет от механического распространения навыка и опера-
ционной техники на новый случай (выявляемый в дейст-
виях первой ступени).
Мы несколько раз писали слово «дробь» вместо слов
«дробное число». Это традиция, которая очень распростра-

Глава III
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА1 И СКОБКИ
Определение и свойства алгебраических чисел
Алгебраическое число определяют как комбина-
цию знака «+» или знака «—» с арифметическим числом,
целым или дробным. Алгебраические числа служат для
измерения направленных величин, т. е. таких величин,
которые могут отсчитываться в двух противоположных
направлениях, например продвижение вперед или отступ-
ление, прибыль или убыток.
Ученики легко воспринимают алгебраические числа и
тотчас же привыкают к факту, что знаки сложения и вычи-
тания применяются для указания направления, которое
включают в себя алгебраические числа. Ученики также
очень удивлены, когда преподаватель пытается оправдать
обобщение с введением понятия отрицательного числа,
которое ученикам и представляется уже ясным, так как
они знали из жизни прибор термометр, что создает
легкую привычку к обобщению. У ребенка есть жизненные
наблюдения, которые, к сожалению, в школе плохо ис-
пользуются. Между тем это естественное понятие сущест-
вует не у всех детей, и, по-видимому, довольно непрочно у
тех, у которых оно есть, это проявляется при интерпретации
отрицательных решений алгебраических задач. Какие
бы ни были мотивы для этого удивления, оно существует
и выявляется, когда ученик встречается с доказательством
более технического характера, чем логического. В самом
1 Фуше, как и многие авторы учебников во Франции, употреб-
ляет слово «алгебраический» не в установленном научном смысле,
как оно вошло в математику, а в школьном смысле, как число,
употребляемое в началах алгебры.

деле, вообще начинают с объяснения отрицательного числа,
получающегося в результате вычитания, в котором второе
число больше первого, затем говорят об условности запи-
си, которая оправдывается ее удобством и будет обоснована
позже.
Однако имеются основания как для желания препода-
вателя привести доказательства, так и для немедленного
усвоения учениками применения знаков сложения и вычи-
тания для ориентирования алгебраических чисел. Дейст-
вительно, знаки «+» и «—» активны, когда они применяют-
ся в сложении и вычитании, и они пассивны в алгебраиче-
ских числах, являющихся результатами; будь они активны
или пассивны, понятия, которые они выражают, сохраняют
свой смысл. Имеется, следовательно, материал для дока-
зательства, которое должно касаться исключительно пере-
хода от активных значений «+» и «—» к значениям пассив-
ным, а это почти вопрос грамматики.
Активный смысл знака «+» в сложении передается гла-
голами в неопределенном наклонении (в инфинитиве) «при-
бавить», «сложить», «присоединить», которые могут под-
разумеваться под словами «и», «потом», «затем» или даже
под простой запятой. Нужно избегать глагола «увеличи-
вать», который предполагает направление в результате
(характеристика новых чисел).
Активный смысл знака «—» в вычитании передается
глаголами «отнять», «изъять», «вычесть», «снять» (надо
избегать глагола «уменьшать»).
Пассивные числовые значения передаются теми же гла-
голами в форме причастия прошедшего времени, и в этом
проявляется настоящее логические затруднение. Пассив-
ные значения передаются также словами «продвижение
вперед» или «отступление», «прибыль» или «убыток», когда
речь идет о величинах с двояким направлением. Эти слова
означают, что ориентация пассивных результатов уже
выбрана в уме того, кто считает, и, очевидно, выбрана в том
(понятном) смысле, который соответствует его интересам
(рассматриваемой информации). В самом деле, человек,
который считает, выбирает ориентацию и навязывает ту же
самую ориентацию величинам, которые он исчисляет.
Следовательно, пешеход скажет «+ 3» при продвижении
вперед на 3, т. е. при перемещении на 3 в направлении,
куда он смотрит, впереди себя. Также бухгалтер применит
алгебраическое число —5 для убытка или расхода 5, по-

тому что этот убыток или расход заставляет его на 5 умень-
шить то, что он имеет в кассе, т. е. произвести вычитание.
Видно также, почему не следует применять слова
«увеличивать» и «уменьшать», чтобы выражать активные зна-
чения знаков «+» и «—», эти слова заранее ориентированы.
Они имели ясное, естественное значение для арифметичес-
ких чисел, которые измеряют величины с одним направле-
нием отсчета, естественно ориентированные в направлении
их роста, но для алгебраических чисел, как мы сейчас уви-
дим, они могут создать путаницу.
Сложение и вычитание алгебраических чисел
Эти действия ведут к комбинации активных зна-
чений знаков «+» и «—» сложения и вычитания и пассив-
ных значений знаков алгебраических чисел.
Можно непосредственно сформулировать правила этих
комбинаций знаков. В самом деле, можно записать:
+ (+ 3) = прибавить продвижение вперед на 3 = про-
двинуться вперед на 3 = + 3
+ (— 3) = прибавить отступление на 3 = отступить на
3 = — 3;
— (+ 3) = изъять продвижение на 3 = отступить на 3 =
= -3;
— (— 3) = изъять отступление на 3 = продвинуться
на 3 = + 3.
Таким путем приходят к классическому правилу в его
первоначальной форме.
Из этих примеров очень ясно видно, что активные зна-
чения, которые мы выразили глаголами «прибавить»,
«изъять», были бы менее ясными, если бы мы их выразили
словами «увеличить» и «уменьшить», и еще намного менее
ясными, если бы были применены глаголы «продвинуться
вперед» и «отступить». Глагол «прибавить» не является аб-
солютно совершенным в том значении, в котором мы его
применили, потому что он содержит легкий оттенок понятия
увеличения, но его эквивалент «сложить» является несколь-
ко замысловатым для некоторых учеников. Во всяком
случае, цель, поставленная з этой части курса, ясна. Сле-

дует логически (в некоторых случаях) или технически счи-
стить понятия сложения и вычитания от всех следов поня-
тий увеличения и уменьшения, которые они естественно
содержат в арифметике. Это нелегко, привыкание учеников
к этому различию очень мучительно, потому что здесь
нужно уничтожить навык. Нужно много упражнений,
и, несмотря на это, старый навык позже вновь часто будет
появляться.
Согласование правила скобок в арифметике
и правил сложения и вычитания
алгебраических чисел
В арифметике формулируют правило скобок в
виде теоремы.
Скобка, впереди которой стоит знак «+», может быть от-
брошена вместе со знаком, предшествующим ей, без ка-
ких-либо других изменений.
Скобка, впереди которой стоит знак «—», может быть
отброшена вместе с этим знаком при одновременном изме-
нении знаков, которые стоят впереди членов, содержащих-
ся внутри скобок.
Следует добавить, что первый член, стоящий в скобках,
не имеющий впереди себя никакого знака, должен рассмат-
риваться как имеющий впереди себя подразумеваемый
знак «+». То же самое в отношении скобок, которые мо-
гут стоять перед арифметическим выражением.
Представляя эти теоремы в виде формул, т. е. приме-
няя буквы, которые изображают анонимные числа, полу-
чают:
... + {а + b _ с) + ... = ... + а + b - с +
... — (а + Ь — с) + ... = ... — а — Ь + с + ... .
Следовательно, арифметическое число, перед которым
непосредственно стоит знак «+», подвергается действию
двух знаков «+», и эти два активных знака комбинируются
в один тоже активный знак «+». Также комбинация одного
знака «+» и одного знака «—» даст «—», комбинация одного
знака «—» и одного знака «+» даст «—», и, наконец, ком-
бинация двух знаков «—» даст «-{-». Получается то же самое

правило, что и при комбинации знаков в сложении и вы-
читании алгебраических чисел.
Другое пояснение, технически более ясное, но менее
ясное с точки зрения логики, может быть представлено сле-
дующим образом:
... — (0 + 6) = — 0 — 6 = — Ь (правило скобок),
— (0+6) = — (+6) = — Ь (правила алгебраичес-
ких чисел), но нужно доказать, что алгебраическое число
+ b эквивалентно сумме 0 + 6.
Правило скобок для алгебраических чисел
Правило то же самое, что и для арифметических
чисел, но практически каждое число, изображенное в скоб-
ках, имеет впереди себя три знака, которые (все три) ока-
зывают действие на него. Приходят, следовательно, к обоб-
щению правила скобок для арифметических чисел и к вве-
дению квадратных и фигурных скобок. Это лишь вопрос
операционной техники; следует много упражняться, чтобы
развить устойчивые навыки.
Умножение и деление алгебраических чисел
Предположим, что нужно сделать перевод на
язык алгебраических действий следующего предложения:
«Прибавить две прибыли по 100 франков к тому, что есть в
кассе, и изъять три убытка по 50 франков». Получим:
+ 2(+ 100)+ (-3) (-50).
Слова «прибавим 2» переводятся посредством + 2, со-
стоящего из знака сложения и арифметического числа, слова
«изъять три» естественно переводятся алгебраическим чис-
лом —3. Это число в нашей записи взято в скобки, чтобы
избежать соседства знаков «+» и «—», которые переводят
соответственно слова «и» и «изъять». Алгебраическое число
— 3 в этот раз остается целиком активным, потому что оно
является отвлеченным множителем. Можно было бы также

рассматривать + 2 как алгебраическое число и брать его
тоже в скобки, но это было бы бесполезно.
Заметим, что знак умножения больше не появляется в
алгебраическом переводе, так же как слово «раз» в пред-
ложении. Они, как одно, так и другое, не нужны.
Прибавить две прибыли по 100 франков эквивалентно
одной прибыли в 200 франков, следовательно,
+ 2(+ 100) = (+ 2) • (+ 100) = + 200,
изъять три убытка по 50 франков эквивалентно одной при-
были в 150 франков, следовательно,
(— 3) (— 50) = (— 3) • (— 50) = + 150.
Снова обнаруживается здесь правило комбинации зна-
ков «+» и «—», применяемое на этот раз к произведению
алгебраических чисел.
Техническое согласование умножения алгебраических чи-
сел с арифметическими теоремами, относящимися к произве-
дениям сумм и разностей, также может быть осуществлено
в форме доказательства, но его лучше осуществить путем
соединения навыков.
Напротив, правило знаков при делении алгебраических
чисел технически доказывается довольно просто с исполь-
зованием правила знаков произведения и определения
деления. Это техническое доказательство более приемле-
мо, чем логическое доказательство, требующее перевода
с языка арифметических знаков на разговорный язык, а
затем обратного перевода, оно наверняка не понравилось
бы ученикам, которые спешат достигнуть практических
правил.
Значение технических и логических
доказательств и их сопоставление
В III главе мы подчеркивали различие меж-
ду техническим и логическим доказательством. Это мо-
жет показаться странным и ненужным, если принять во вни-
мание, что техническое доказательство само по себе логично;

таким образом, введенные нами определения «техническое» и
«логическое» условны и не очень удачны. Однако мы не
смогли найти лучших терминов для двух способов доказа-
тельства, несколько примеров которых мы только что при-
вели. Мы назвали логическим доказательство, использую-
щее основоположные аксиомы и первоначальные понятия,
и техническим доказательство, которое использует ранее
доказанные теоремы.
В глазах учеников доказательство, которое мы называем
логическим, ведет к совершенно бесспорным результатам,
потому что оно покоится на первоначальных фактах, тоже
бесспорных. Наоборот, доказательство, которое мы назы-
ваем техническим, значительно менее убедительно, потому
что оно покоится на теоремах, которые были хорошо поня-
ты, приняты, но к которым ученики еще не полностью при-
выкли.
Нам могут возразить, что если дополнить техническое
доказательство доказательством использованных (в нем)
теорем, то получится логическое доказательство. Это,
конечно, верно, но такое рассуждение только яснее показы-
вает отличие технического доказательства от логического.
Техническое доказательство, утяжеленное доказательст-
вами предыдущих теорем, было бы логическим построением,
слишком внушительным, чтобы быть понятым во всем своем
объеме, особенно детьми.
Логическое доказательство, когда оно не слишком длин-
но, предпочтительнее доказательства технического, которое
не завоевывает сразу доверия учеников. Однако нужно
приучать детей доверять вычислению, увлекаться им, не
теряя необходимой осторожности, надо убедить детей, что
вычисление сильнее, мощнее, чем их воображение. Человек
изобрел механику вычисления, он ее постепенно совер-
шенствовал технически, проверяя ее. В некоторых случаях,
не предусмотренных операционной техникой, применение
ее приводило к результатам, которые имели вид на первый
взгляд неприемлемый для здравого смысла. Случалось,
что лишь через несколько поколений человек привыкал
к этим результатам, обнаруживал в них глубокий логиче-
ский смысл и их просто связывал с интуитивными, бес-
спорными фактами.
Нам не следует, однако, воспроизводить в своих объяс-
нениях исторический путь открытия простых законов, не-
смотря на кажущуюся его естественность, в тех случаях,

когда этот путь представляет собой тривиальное обобще-
ние. Мы должны давать логическое доказательство и да-
вать его эвристическим методом, несмотря на то что это
представляет историческую ошибку1.
Однако очень полезно, после того как логическое дока-
зательство хорошо понято, вкратце рассказать, каким
окольным бывает иногда исторический путь открытия. Мы
проиллюстрировали это примером в главе о дробных чис-
лах. Ученику, как зрителю, интересен этот рассказ, и он
убеждается в том, что нужно доверять вычислению и не
слишком полагаться на то, что он считает здравым смыс-
лом. Это будет особенно полезно для него при изучении
алгебраического исчисления, когда он столкнется с веща-
ми, к которым сразу нельзя привыкнуть.
1 Доказательство мы должны давать не в готовом виде — догма-
тически, а находить эвристическим методом. Не давать его там,
где его нет, когда это является новым определением, что истори-
чески не всегда соблюдалось.

Глава IV
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Показатели степени и одночлены
В арифметике объясняют понятие степени, гово-
ря, например, что 73 есть произведение трех множителей,
равных семи. Это определение неполно, потому что оно
дает лишь пассивный результат. Действительно, 7-7-7
представлено как произведение пассивного множимого
(первая семерка) на активный множитель (вторая семерка),
причем результат в свою очередь умножается на третье
число 7, также активное. Ученик смущен тем фактом, что
число умножений, нужное для получения 73, на единицу
меньше показателя, равного трем. Учащиеся доходят до раз-
говора о чудовищных вещах, например, что 73 есть произ-
ведение числа 7 на самого себя трижды или дважды,
смотря по минутному вдохновению.
Интереснее представить 73 как краткую стенографиче-
скую запись трех активных, последовательных множите-
лей, равных семи, и привести конкретный пример, где
какой-нибудь предмет служит пассивным множимым. Так,
73 столов = 1 стол • 73 = [(1 стол • 7) • 7] -7, говоря,
что речь идет о семи классах, в каждом из которых имеем
семь рядов по семи столов в каждом ряду. В этом примере
показатель степени обозначает число последовательных
множителей.
Этот способ изложения обладает также тем большим
преимуществом, что он логически объясняет смысл особых
показателей 1 и 0, которые сами по себе не имеют права
на существование, но появляются в связи с техникой сче-
та. (Это служит замечательным примером убедительного
различия между логическим и техническим доказатель-
ством.)

В самом деле, 71 означает один множитель 7, стало быть,
следует умножить один раз на 7, стало быть, нужно умно-
жить на 7. Это ясно показывает, что 7 1 тождественно семи
без показателя. Аналогично 7° означает 0 множителей 7,
стало быть, нужно умножить 0 раз на 7, стало быть, не
нужно умножать на 7, или, если обязательно хотят умно-
жить на число, умножают на 1. Это ясно показывает, что
7° тождественно единице. Этот вполне логичный результат
вызывает (психологическое) удивление учеников, так как
число 7 в результате не фигурирует и утрачивает всякое
значение. На этом надо настаивать, надо подчеркивать,
что число 7 действительно не имеет в данном случае значе-
ния, что любое число с показателем 0 тождественно едини-
це. Полезно также полностью повторить эти рассуждения
с другими числами.
Можно затем, после объяснения правил умножения и
деления степеней, технически согласовать логические по-
нятия, выраженные показателями степеней 1 и 0, с резуль-
татом деления степеней в тех частных случаях, когда деле-
ние приводит к особым показателям.
Таким способом можно гораздо лучше убедить учени-
ков пользоваться показателем 0, чем одним только класси-
ческим техническим доказательством. Последнее приводит
к непонятной условности, так как в этом доказательстве
ускользает самостоятельный (конкретный) смысл нулевого
показателя и ученикам кажется, что этот показатель мож-
но безболезненно упразднить.
Так как положение хорошо разъяснено логическим
объяснением показателей 1 и 0, деликатный вопрос о сте-
пенях алгебраических одночленов немного облегчается.
Одночлен — это алгебраическое выражение, в котором
фигурируют числа, буквы (т. е. анонимные числа) и опе-
рационные знаки, степени и корни, при этом знаки «-f» и
«—» (если они имеются) используются только для образо-
вания численных коэффициентов из слагаемых, имеющих,
например, вид корней, которые не могут быть выражены
десятичной дробью.
С этой оговоркой можно сказать, что одночлен пред-
ставляет собой комбинацию умножений, делений, степеней
и корней. Если рассматривать только рациональные одно-
члены, действие извлечения корня исключается (если не
считать численных коэффициентов). Следовательно, рацио-
нальный одночлен представляет собой комбинацию мно-

жителей и делителей, некоторые из которых могут повто-
ряться. Если известны численные значения букв, то можно
вычислить численное значение одночлена только умноже-
ниями и делениями.
Мы сказали, что вопрос о степенях щекотлив. В самом
деле, ученики ясно не видят, куда преподаватель клонит,
когда он сверх термина «показатель» вводит термин «сте-
пень» и переходит к сложению степеней; удивлению нет
границ, когда одновременно появляются степени по отно-
шению к множеству различных оснований.
В этот момент очень полезно привести несколько кон-
кретных примеров вычисления площадей и объемов.
Щекотливым моментом является еще и то, что в одночле-
не не пишут знаков умножения между различными множи-
телями. Эту привычку записи редко обосновывают. Однако
это очень просто объяснить ученикам, и это стоит сделать.
В разговорном языке не употребляют выражение «семь
раз один стол», вместо этого говорят «семь столов», заменяя
слово «раз» множественным числом. Аналогично вместо
«семь раз а», или «а • 7», скажут «7а» , подразумевая а во
множественном числе.
Суммы и разности. Многочлены. Техника при-
менения скобок
Мы только что видели, что рациональный одно-
член является алгебраическим выражением, содержащим
лишь множители и делители, некоторые из которых могут
повторяться. Но в арифметике знают, что эти умножения
и деления можно сделать в любом порядке, причем деле-
ние, если оно не может быть выполнено (точно), остается
обозначенным посредством дробной черты.
Следовательно, невозможно ошибиться, когда ищут чис-
ленное значение одночлена. То же самое относится и к ал-
гебраическим выражениям, которые содержат только обо-
значения суммы и разности. Однако когда алгебраическое
выражение содержит, например, знаки сложения и умно-
жения, то порядок действий уже небезразличен и должен
быть строго установлен с помощью скобок.
В этот момент алгебраическое исчисление опасно услож-
няется, так как, хотя понятие скобки весьма просто само

по себе, оно запутано как бы понапрасну необоснованными
сверхупрощениями записи и теоремами преобразования
произведений сумм и разностей.
Здесь наши ученики теряются и некоторое время спустя
забывают, в какой последовательности нужно производить
действия. Не находя другого выхода, они доходят до того,
что в простом численном выражении, записанном без ско-
бок, производят действия слева направо, в порядке чтения.
Они, например, спокойно пишут:
2 + 3• 4 = 5 • 4 = 20 вместо 2 + 3•4=2+12=14.
Или они всюду видят скобки, даже там, где их нет, и спо-
койно пишут также:
3•4 + 2=3•6=18 вместо 3•4 + 2=12 + 2=14.
Чтобы исправить это положение, нужно уточнить три
пункта различной природы, но одинаковой значимости.
Первый пункт чисто технический. Следует точно уста-
новить техническую роль скобок как непреодолимого
барьера, указывающего границы изолированной области.
Следует объяснить, почему считают ненужным брать
в скобки произведения и вообще одночлены.
Следует формулировать правила первоочередности, ко-
торые заменяют скобки.
Второй пункт также технический. Следует привести
много примеров нахождения численных значений много-
членов и других алгебраических выражений, соблюдая
порядок действий, предписываемый скобками, в которые
заключены суммы и разности, и правилами очередности
действий. Эти вычисления, производимые в последователь-
ности, в которой они записаны, называются прямыми вы-
числениями.
Третий пункт главным образом логический. Примене-
ние к многочленам арифметических теорем о произведениях
сумм и разностей ведет к полному перевороту в последова-
тельности действий. Скобки утрачивают характер непреодо-
лимого барьера, они имеют лишь временное значение. Этот
переворот должен оставаться логическим и ограни-
чиваться алгебраическим исчислением, распространяясь
лишь на буквенные выражения, но никоим образом не на
численные. Граница здесь должна быть очень четкой. В

порядке проверки численное значение алгебраического вы-
ражения может быть найдено до и после его преобразова-
ния. Численные вычисления, выполненные после преобра-
зований, называются косвенными вычислениями.
Техническое правило применения скобок. Скобки — это
письменные знаки, ограничивающие поле деятельности опе-
рационных знаков и чисел, которые содержатся внутри ско-
бок. Стало быть, операционный знак, или число, располо-
женные внутри скобок, не воздействуют на величины, на-
ходящиеся вне этих скобок (тем более, если эти величины
заключены в другие скобки). Скобка может быть упраздне-
на только тогда, когда все действия внутри скобок уже
произведены.
Тем не менее считают ненужным брать в скобки произ-
ведение и вообще одночлены. Это в основном является след-
ствием привычки упразднять знаки умножения между сом-
ножителями произведения, как и упразднять слово «раз» в
разговорном языке. Благодаря этому произведение и
вообще одночлен образуют единое целое, и нет необходимо-
сти брать его в скобки. Из этого проистекает экономия в
записи и особенно важная экономия в чтении. На всякий
случай полезно дополнить эту нелогичную привычку сле-
дующими правилами первоочередности.
Правила первоочередности. В алгебраическом выраже-
нии внутри скобок умножение и деление могут выполняться
в любой последовательности, но они должны быть выпол-
нены раньше сложения и вычитания. Короче, умножение и
деление предшествуют сложению и вычитанию.
Также возведение в степень и извлечение корня пред-
шествуют умножению и делению.
Совершенно необходимо закреплять эти правила перво-
очередности в сознании учеников посредством многочислен-
ных упражнений. Это должны быть упражнения на про-
изведения многочленов и на алгебраические дроби, с тем
чтобы закрепить привычку рассматривать скобки и черты
дробей как границы изолированных участков, в которых
должны быть полностью закончены вычисления перед тем,
как убрать эти границы. В самом деле, скобки и правила
первоочередности, которые предписывают очень строгий
порядок в последовательности выполнения действий, могут
быть обойдены различными правилами преобразования,
которые позволяют достичь того же конечного результата,
отнимая у скобок их характер непреодолимых барьеров.

Например, правило произведения суммы на другую сумму,
установленное в арифметике, позволяет умножить каждый
член первой суммы на каждый член другой суммы и сло-
жить полученные результаты. Наоборот, если преобразовать
выражение путем вынесения общего множителя, то сложе-
ние будет предшествовать умножению.
Для того чтобы лучше отметить разницу между прямыми
арифметическими действиями, когда скобки сохранены, и
косвенными вычислениями, когда скобки играют только
преходящую (временную) роль, превосходным и очень по-
лезным примером может послужить численная проверка
замечательных тождеств, в справедливости которых уче-
ники обычно убеждаются с большим трудом.
Разложение на множители алгебраического
выражения
Разложение на множители1 алгебраического выра-
жения — это операция, обратная почленному перемножению
многочленов. Разложение алгебраического выражения на
множители не всегда возможно, как и всякая обратная
операция. Разложение на множители достигается следующи-
ми способами: вынесением за скобки общего множителя
одночлена, использованием замечательных тождеств и ис-
следованием через распознавание и отождествление. Вы-
несение за скобки общего множителя не составляет труда
и довольно легко технически воспринимается учениками.
Тем не менее следует в течение продолжительного време-
ни заставлять учеников проверять результаты путем рас-
крытия скобок. Вынесение общего множителя имеет ана-
логию в языке, где глагол как бы выполняет функцию
общего множителя, когда он имеет несколько дополнений.
Однако роль и взаимоотношение алгебраических членов
(или дополнений в данной аналогии) могут глубоко разли-
чаться в зависимости от природы действия глагола.
Так, выражение «взять стол, взять стул и взять скамей-
ку» может быть записано в виде «взять стол, стул и скамей-
1 По-французски — factorisation. По мнению автора, этот
термин является очень выразительным.

ку» или алгебраически «взять (стол + стул + скамейку)».
То же самое:
3а + 3b + 3с = 3 (а + Ь + с).
Наоборот, выражение «увеличить а на 3, затем увели-
чить b на 3» можно записать таким образом: «увеличить а
на 3, затем Ъ на 3», но не так: «увеличить (а + Ь) на З»1.
Применение замечательных тождеств является пол-
ностью техническим. Оно не имеет никакой аналогии в раз-
говорной речи и поэтому требует очень большого числа
упражнений.
Исследования с помощью распознавания и отождествле-
ния также являются чисто техническим способом, но они
обладают тем достоинством, что заставляют ум работать
в направлении открытия, наталкивая его на целеустремлен-
ные поиски; полученные этим способом результаты кажутся
более убедительными. В частности, очень полезно давать
ученикам примеры на разложение, в которых надо распо-
знать квадрат суммы, с тем чтобы они быстрее и непосред-
ственнее привыкли к замечательным тождествам.
Рациональные алгебраические дроби
Почти все изложение этой части курса носит тех-
нический характер. Именно поэтому ученики испытывают
много трудностей, прежде чем научатся получать правиль-
ные результаты. Поэтому нужно восстанавливать взаимо-
связь с основными аксиомами и понятиями через посред-
ство вспомогательных теорем. Главная теорема касается
упрощения и усложнения дробей. Чтобы к ней привыкнуть,
нужны систематические упражнения на разложение чис-
лителя и знаменателя на множители; в течение продолжи-
тельного времени следует избегать устного сокращения.
1 В данных примерах противопоставляются две логические воз-
можности: 1) объекты из некоторой совокупности рассматриваются
не каждый в отдельности, а в сумме; 2) эти объекты рассматри-
ваются независимо, в отдельности. При вынесении глагола за
скобки в первом случае объекты соединяются знаком «+», а во
втором случае остаются разделенными.

Активный характер алгебраического
выражения
Алгебраическое выражение есть комбинация про-
стых операторов, действие которых не зависит от аноним-
ных чисел, к которым они относятся.
С этой точки зрения алгебраическое выражение имеет
активный характер сложного оператора и называется алгеб-
раической функцией (слово «функция» происходит от слова
«производить»). Каждый раз, когда системе анонимных чи-
сел, представленных буквами, дают определенные числен-
ные значения, алгебраическое выражение дает («произво-
дит») соответствующий численный результат. Эти аноним-
ные числа, на которые воздействует оператор и которые мо-
гут принимать различные значения, называются перемен-
ными величинами или, короче, переменными.

Глава V
ФУНКЦИИ. ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
Функции. Задачи
Понятие функции является более общим, чем
понятие алгебраической функции, которую мы только что
рассматривали. Когда существует зависимость между значе-
ниями нескольких величин, т. е. одна величина опреде-
ляется заданием остальных, говорят, что первая является
функцией остальных величин. В обычной жизни зависи-
мость между величинами выражается численными табли-
цами, полученными экспериментально; случай алгебраи-
ческой функции является исключительным или искусст-
венным. После того как изучение техники вычисления
будет окончено, очень уместно пояснить общее понятие функ-
ции и особенно общее понятие переменной величины, взя-
тых из физики. Изучение функций связано для учеников с
новым умственным процессом, в котором возникает очень
серьезное эмоциональное затруднение в тот момент, когда
приходится переходить от конкретных чисел к переменной
величине, свободно принимающей произвольное численное
значение. Это внезапное отсутствие скованности вызывает
у них боязнь, которая похожа на страх перед пустотой.
Они испытывают такое же чувство страха при изучении
геометрии, решая задачи на геометрические места или на
построение, в которых приходится изменять некоторые
элементы геометрических фигур. Это чувство страха (кото-
рое мы подробнее проанализируем в разделе геометрии)
является одной из глубоких причин влияния психичес-
кой деятельности человека на его умственные действия в
поисках решения алгебраической или геометрической проб-
лемы.

Вообще решить задачу — это значит собрать и согласо-
вать различные законы, непосредственно более пригодные
для поставленной цели. Для этого обычно приходится при-
равнивать или сравнивать несколько функций. Если эти
функции являются алгебраическими, мы имеем алгебраи-
ческие уравнения или неравенства.
Элементарное изучение уравнений и неравенств, оче-
видно, предполагает ознакомление с определенной техни-
кой, но эта техника не должна быть отрезана от логики цело-
го, ибо она в значительной мере представляет собой обду-
манное и обоснованное применение свойств алгебраичес-
ких объектов, о которых идет речь. Полезно подчеркнуть
этот в высшей степени активный аспект данного раздела
алгебры, который требует внимательного наблюдения, по-
рой некоторого воображения и всегда инициативы в выборе
необходимой операции.
Уравнение
Уравнение есть равенство, которое еще не яв-
ляется истинным, но которое стремятся сделать истинным,
не будучи уверенными, что этого можно достичь. Урав-
нение есть равенство, которого нужно достичь, и этот ак-
тивный смысл выражен суффиксом -tion1, который выра-
жает идею изменения во времени, тогда как суффикс -te2
содержит только неизменное понятие пассивного результа-
та. Знак равенства, употребленный в уравнениях, имеет
активный смысл3.
Решить уравнение — это значит определить, если воз-
можно, содержащиеся в нем неизвестные элементы так,
чтобы оно стало равенством. Это достигается путем пре-
образования уравнения по правилам, которые справедли-
вы, строго говоря, только для равенств; чтобы обосновать
это, следовало бы пользоваться условным наклонением.
1 «Уравнение» по-французски — equation.
2 «Равенство» по-французски — egalite.
3 Во французском языке существуют разные оттенки слова
«равно»: прилагательное egal (равный), носящее пассивный харак-
тер, и глагол egale (равняется), имеющий активный смысл. По мне-
нию автора, знак равенства пишется egal в случае тождества и
egale в случае уравнения.

Главное из этих правил является техническим; оно гласит,
что можно перенести член из одной части уравнения в дру-
гую с одновременным изменением его знака. Чтобы сделать
это правило понятным и логичным в представлении детей,
которых несколько удивляет возможность эквивалентного
преобразования уравнений, применяют много наглядных
сравнений, более или менее удачных, в частности сравнение
с равновесием чашек весов. Большей наглядности можно
достичь сравнением с гимнастической игрой с веревкой.
Веревку можно заменить жердью, каждый конец которой
удерживает команда игроков. В каждой из команд некото-
рые тянут, другие толкают, и в результате действий всех
игроков жердь остается неподвижной. Если руководитель
игры снимает какого-нибудь игрока из одной команды, он
должен послать этого игрока в другую команду, с тем чтобы
изменить направление его действия по отношению к коман-
де, но не по отношению к жерди. Если этот игрок тянул в
первой команде, он должен толкать во второй, а если он
толкал в первой команде, он должен тянуть во второй.
Можно также представить себе аналогичное правило по
отношению к множителям, которые могут переходить из
одной части уравнения в другую при условии измене-
ния операционного знака. Но это слишком рано для
средних учеников, которые могут спутать два внешне сход-
ных правила. Мы рассмотрим это правило в VI главе
II части.
Число нуль. Единственным щекотливым пунктом при
объяснении уравнений является роль числа 0. Это свя-
зано не столько с плохими воспоминаниями об этом числе,
которые могли остаться в памяти у ленивых учеников,
сколько с исключительным характером этого числа, так же
как и числа 1. Эти два числа часто смешиваются в представ-
лении учеников, которые запоминают только технику пра-
вил. Так, дробное число, в котором числитель и знамена-
тель есть одно и то же число, по их мнению, равно нулю,
потому что после упрощения более ничего не остается, и
это ничто есть 0. Иногда, наоборот, некоторые ученики,
получая в ответе число 0, колеблются назвать ответ, так
как он им кажется неправильным.
Ученики с трудом воспринимают запрет умножать или
делить на нуль обе части уравнения. Они не понимают, на
каком основании существует этот запрет. Напрасно им го-

ворить, что при умножение на нуль обеих частей ложного
равенства получают верное равенство, которое заставляет
думать, будто бы первое равенство также верно, все это
для них остается «разговорами ученого Косинуса» и не
имеет конкретного смысла.
Эту тему можно очень наглядно проиллюстрировать,
если нарисовать на листе бумаги два параллельных отрез-
ка прямой с четко различимой длиной и показать листок
ученикам так, чтобы отрезки были расположены верти-
кально. Потом надо повернуть лист вокруг его нижнего
края, и перспектива сократит отрезки. Когда наклон до-
стигнет 30° по отношению к горизонтальной плоскости,
отрезки уменьшатся вдвое и они по-прежнему будут вос-
приниматься как неравные. Когда лист примет горизон-
тальное положение и ученики увидят его с края, оба отрезка
умножены на 0 и они равны в перспективе. Ученик, кото-
рый не наблюдал бы за этими операциями и лишь увидел
бы конечный результат, имел бы полное право думать, что
оба отрезка были с самого начала равными.
Число 0 встречается также в (психологически) тяжелых
для учеников и для преподавателя условиях, когда при
последнем преобразовании уравнения первой степени все
члены, содержащие неизвестное, исчезают. Ученики согла-
шаются, что этот результат выражается словами «0 раз
неизвестное», это им кажется справедливым; однако, чтобы
они действительно поняли рассуждение, оно должно быть
переведено на ясный (алгебраический) язык и подробно
записано на классной доске. Например, если в результате
последнего преобразования уравнение примет вид «0 раз
неизвестное равно 2», следует напомнить ученикам, что
решить это уравнение — значит разыскать число, которое,
будучи умножено на 0, дает произведение, равное 2. Такого
числа не существует, предложенное уравнение не имеет
решения, решение невозможно. Далее, решить уравнение
«0 раз неизвестное равно 0» — это значит найти число, ко-
торое, умноженное на 0, дает произведение, равное 0. Если
все числа являются решениями, то уравнение является
неопределенным. Рассматривая уравнения вида 0 • х = а,
не следует слишком много говорить о том, что решением
является бесконечность. Это иллюзорное решение (психоло-
гически) удивляет учеников, и, что еще важнее, это ошибоч-
но с точки зрения чисто математической, как мы это уви-
дим дальше.

Неравенства
Техника решения неравенств довольно сложна и
должна быть объектом тщательного изложения. Наиболее
тонким местом при решении неравенств является умножение
или деление двух частей неравенства на одно и то же
положительное или отрицательное число или на алгебраи-
ческое выражение, знак которого неизвестен. Этот послед-
ний случай встречается, в частности, если ученик пытается
сократить в обеих частях неравенства одинаковые множи-
тели, содержащие неизвестное, или одинаковые знамена-
тели.
В случае неравенств, не содержащих неизвестного в
знаменателе, иногда стремятся согласовать технику пре-
образования с обычной логической процедурой, применяемой
при решении уравнений. С этой целью переносят члены,
содержащие неизвестное, в левую или правую часть не-
равенства таким образом, чтобы коэффициент при неиз-
вестном был положительным. Это не что иное, как стремле-
ние избежать технической трудности ценой рассуждения.
Такое стремление не согласуется с духом алгебры, где
всегда стараются расширить поле применения технических
правил, которым придают такую форму, чтобы эти правила
можно было интерпретировать единственным способом,
чтобы избежать двусмысленности и неопределенности
в изложении.
Для неравенств, где неизвестное фигурирует в знамена-
теле, операционная техника принимает совершенно дру-
гой вид. В этом случае применяется интересный техничес-
кий прием, в котором используется разложение числителя
и знаменателя на множители и который позволяет средним
ученикам в уме определять знак рациональной алгебраичес-
кой дроби.
Функции первой степени. Отношение
и коэффициент
Понятие об этих функциях основано на важной
идее пропорциональности между изменением функции и
изменением независимой переменной. Эту идею необходимо
поскорее подчеркнуть, надо поступить подобно физику,

изучающему экспериментально полученную функцию. Тем
хуже для красивых доказательств. Если слишком много
времени посвящается доказательству, внимание учеников
рассеивается и они окончательно теряют контакт с препо-
давателем. Идея пропорциональности выражена в графи-
ческом изображении постоянным наклоном. В самом деле,
наклон есть пассивное отношение изменения у к соответ-
ствующему х и в то же время коэффициент, на который
надо умножить изменение х для нахождения соответствую-
щего изменения у. Мы уже встречали это двойственное
понятие, пассивное и активное, отношения и коэффициента;
это очень общее понятие, которое возникает во всех слу-
чаях, когда производится измерение. Чтобы перейти от
понятия отношения к понятию коэффициента, необходимо
изменить способ мышления, что всегда тягостно для учени-
ков. Так, в физике плотность определяется как отноше-
ние массы тела к массе равного объема воды. Но яснее и
эффективнее будет, если сказать, что плотность есть число,,
на которое нужно умножить массу равного объема воды,
чтобы получить массу данного тела. Именно это второе
понятие выражает большая часть смертных (людей прак-
тики), говоря, например, что железо в 7,8 раза тяжелее
воды.
Так же обстоит дело и с понятием наклона: понятие от-
ношения и понятие коэффициента должны быть разделены,
чтобы в них можно было хорошо разобраться. Можно за-
тем получить без труда уравнение прямой с заданным на-
клоном, проходящей через данную точку. Превосходным
техническим упражнением может послужить нахождение
уравнения прямой, проходящей через две данные точки:
отношение изменения у к изменению х, от одной точки к
другой, дает наклон, и этот наклон, используемый как коэф-
фициент, дает затем уравнение прямой. Здесь не следует
еще уделять много внимания доказательствам, надо перей-
ти к действиям, причем действовать в какой-то степени дог-
матически: заставить применить формулу и проверить за-
тем численный результат. Таким образом, созданная ис-
кусственная привычка легко согласуется с логикой целого
и обогащает ее.
Очень полезным практическим применением может по-
служить общее уравнение равномерного движения, кото-
рое мы даем нашим ученикам, чтобы помочь им решать
задачи о курьере. Здесь понятие скорости также носит

двойственный характер, являясь одновременно отношением
и коэффициентом. Помимо этого, общее уравнение равно-
мерного движения дает возможность повторить понятия
вектора и абсциссы и использование соотношения Шаля,
которому также следовало бы «форсированно» обучать после
правильного и краткого доказательства, повторенного мак-
симум один или два раза. Так, чтобы записать уравнение
движения экипажа, проходящего 82-й километр в 13 ча-
сов, затем 32 километра за 15 часов, мы запишем1:
скорость — (км 32 — км 82) : (ч 15 — ч 13) =
= (— 50) : (+ 2) км/ч = — 25 км ч.
км х — км 82 = — 25 км/ч (ч t — ч 13),
Иными словами:
х —82 - — 25 (t — 13).
Заметим, что мы пишем км 82 таким образом, как, впро-
чем, принятое разговорном языке, чтобы отличать абсцис-
сы от векторов, таких, например, как пройденные расстоя-
ния. Абсциссы должны действительно выступать в роли
километровых столбов (знаков).
Производная функции
Понятие производной также двойственно; для
того чтобы эффективно дать ясное представление о нем,
сначала надо представить его как коэффициент, а только
потом как отношение. Для этого достаточно вычислить
приращение у в функции от приращения х и определить
отсюда производную как коэффициент пропорционально-
сти между приращениями у и х. То обстоятельство, что
приращения (затем) устремляют к нулю, является второсте-
пенным, и средним ученикам лучше говорить об очень ма-
лых (конечных) приращениях, как это делают физики.
В сущности понятие дифференциала, главной части при-
ращения, должно предшествовать понятию производной,
которая выступает, таким образом, как дифференциальный
«коэффициент». Все это должно быть пояснено разнообраз-
ными примерами из различных областей, для того чтобы
не сводить смысл производной исключительно к наклону
1 Отметим, что автор, следуя традициям французской школы,
пишет «км 32», тогда как у нас пишут «32 км», и т. д.

касательной к кривой. Очень хорошим примером является
производная объема воды, заполняющей сосуд какой-
нибудь формы (этот объем рассматривается как функция
уровня свободной поверхности воды). В этом случае про-
изводная как раз совпадает с площадью свободной поверх-
ности. Операция, обратная дифференцированию (отыска-
ние примитивных функций), в этом примере приобретает
очень ясный и поучительный смысл.
Понятие бесконечности
Для того чтобы окончить этот краткий обзор ал-
гебры, скажем несколько слов о бесконечности в том виде,
в каком считаем ее доступной нашим ученикам. Прежде
всего следует неустанно подчеркивать, что бесконечность
не число, что она не есть последнее число, пограничный
столб, за которым ничего нет. Не следует также думать,
что бесконечность есть понятие таинственное, объясняюще-
еся ее отдаленностью, тайна, в которую можно проник-
нуть только при помощи мощного телескопа. Когда уче-
никам приходится вычислять предельное значение функции
при бесконечно большом значении аргумента, удобно на-
чать с практической бесконечности, т. е. с бесконечности
в интерпретации физика; это постепенно приучает их к ма-
тематической бесконечности. Можно сказать ученикам, что
для фотографа практическая бесконечность — это 20 м,
для артиллериста — 100 км, для астронома — миллионы
световых лет1.
Чтобы быть еще более ясным и более определенным по
крайней мере в области практики, можно также сказать,
что физическая бесконечность не обратна нулю, но что она
обратна очень малой величине, такой малой, что самый
мощный микроскоп не может ее обнаружить, и что эта
величина никогда не является нулем. Эта микроскопичес-
кая величина может быть использована при вычислении
пределов и нахождении асимптот, так же как и обратная
ей практическая бесконечность. Очень полезно также
спрашивать учеников, почему они не боятся бесконечно
1 Здесь опущены два предложения (неудачные примеры),
которыми автор хочет пояснить, что такое бесконечность.

малой величины, тогда как они боятся бесконечно большой
величины.
Практическая бесконечность, которая не выходит за
пределы конкретной области, должна быть использована
для перехода к математической бесконечности, так как
иначе ученики привыкнут рассматривать бесконечность
не как процесс, а как большое число. Этой ошибки необхо-
димо остерегаться. В связи с этим можно отметить разницу
между ходом мышления физика, который ищет краткости,
и ходом мышления математика, который стремится достичь
точности.

Глава I
РАЗВИТИЕ И СТРУКТУРА ГЕОМЕТРИИ
Слово «геометрия» имеет греческое происхожде-
ние и буквально означает «измерение земли». Измерение
участков производилось для взимания земельных налогов.
Вообще говоря, древние открывали геометрию постепен-
но, пытаясь измерять площади и объемы. Геометрия
в основном была практической и ограничивалась опреде-
ленным количеством формул, которые были не совсем точ-
ными .
Греки, дав волю своему воображению, впоследствии
освободили геометрию от практических потребностей и
дали ей необычайное развитие.
Однако вывод результатов всегда основывался на ри-
сунке и опирался на наглядные представления; всегда ис-
пользовалась возможность наблюдения, измерения и про-
верки результатов умозаключений; абстрактному всегда
предшествовало конкретное.
Преподавание геометрии, следовательно, в силу самой
ее природы весьма отличается от преподавания счета. На-
глядный характер геометрии в большой степени способст-
вует ее пониманию, однако применение достигнутых ре-
зультатов не всегда бывает легким. Затруднения, возникаю-
щие в преподавании геометрии, связаны не с приобрете-
нием новых навыков, а с необходимостью освободить вооб-
ражение от всяких предубеждений и привычек, развить
способность к наблюдению и дерзанию.
Очень трудно убедить учеников в необходимости выше-
сказанного. Для многих из них курс геометрии представ-
ляется собранием теорем, которые надо знать наизусть, а
задача — коварной загадкой, попыткой сбить с толку и

обмануть. Некоторые из них не понимают, что можно за-
давать себе определенные вопросы, считают, что все и так
очевидно. Другие, более робкие, постоянно боятся оши-
биться, их приводят в изумление и внушают тревогу «ге-
ниальные озарения», освещающие путь к решению задачи.
Для тех и других геометрия является сборником, состоя-
щим из сухих доказательств.
С самого начала преподавания геометрии следует, однако,
убедить учеников, что тот, кто ищет, тот находит, что ус-
пех — больше вопрос характера и настойчивости, чем ума,
и что, имея терпение, воображение и искреннее желание,
каждый может добиться успеха. Ученики, несомненно, бу-
дут удивлены, что им не говорят об интуиции, этой таин-
ственной способности отгадывания, которой якобы владеют
сильные в математике. Интуиция придет позже, после пер-
вых успехов, она является почти немедленным их следст-
вием, но отнюдь не причиной, и нужно сначала обеспечить
эти первые успехи. Действительно, интуиция есть все
более и более быстрое мысленное видение, являющееся
результатом уверенности в себе, которую дает привычка
успеха, и силы воображения. Способность к интуиции
свойственна каждому, и только страх ошибиться парали-
зует нормальное ее развитие. Настоящий труд в геомет-
рии заключается в том, чтобы составлять задачи, рацио-
нально искать и находить их решения. Геометрия скорее
культура ума, умственная гимнастика, чем собрание вы-
водов.
Однако, для того чтобы искать и находить решения за-
дач, следует знать теоремы геометрии, а для того чтобы хо-
рошо знать ее теоремы, и следует их открывать как задачи.
Следовательно, метод эвристики обязателен в геометрии,
но вопрос осложняется тем, что первые теоремы кажутся
слишком простыми, слишком очевидными. Логика строй-
ного целого, непосредственно ощутимая, например в тео-
реме о вертикальных углах, преобладает над элементом
дедукции.
Ученики не видят необходимости в доказательстве
очевидного, абстрактное не достигает еще достаточной
значимости и не выделяется из конкретного. У учеников
возникает ложное представление о том, что такое доказа-
тельство, им надоедает пустословие, которое им кажется
неинтересным и смехотворно неэффективным.

В начале преподавания геометрии стоит принимать
некоторые утверждения как истинные, конкретная очевид-
ность которых непосредственно вытекает из опыта ощуще-
ний детей. В процессе решения задач с использованием
этих очевидных истин у детей изменяется психология вос-
приятия геометрии. В самом деле, как только ученик од-
нажды совершенно самостоятельно решил настоящую за-
дачу, курс геометрии принимает для него совершенно дру-
гой вид. Он оценивает как знаток тонкости рассужде-
ний, вместо того чтобы воспринимать их пассивно и со
скукой. Взаимосвязь умозаключений становится столь же
интересной, как и логика стройного целого, и входит
в ее состав.
Тогда хорошо снова постепенно повторить различные
очевидности, принятые как истинные, и попробовать, как
бы играя, их логически связать, привести несколько ва-
риантов доказательств. Собрание теорем гармонично упо-
рядочивается, становится связным, и логическое здание
геометрии начинает вырисовываться.
Ниже мы дадим изложение геометрии, построенное на
этом принципе.
Допустим, что мы быстро прошли и приняли значитель-
ную часть основных результатов первого раздела геометрии,
посвященного основным свойствам прямых углов. Мы под-
готовили учеников к решению некоторых «настоящих» за-
дач трех видов, принципиально различающихся с педаго-
гической точки зрения. Задачи первого вида предназначе-
ны для развития правильного образа мышления ученика и
носят психологический характер. Второй вид задач дол-
жен научить детей разбираться в сплетении логических
рассуждений и действовать самостоятельно. Задачи третье-
го вида должны пояснить детям сущность перехода от кон-
кретного к абстрактному, который заключается в поисках
абсолютной, идеальной, абстрактной правильности через
относительные материальные, конкретные уточнения. В свя-
зи с задачами первого вида мы подробно проанализируем
связь между формулировкой открытия решения и восприя-
тия его умом ученика. Вытекающие отсюда следствия
дадут нам возможность сократить изложение некоторых
вопросов, не нанося ущерба их воспитательному зна-
чению. Мы затем перейдем к рассмотрению классического
курса.

Общие положения о задачах
Этимологически задача означает вопрос, который
необходимо решить, для того чтобы продвинуться вперед.
Вообще говоря, как в обычной жизни, так и в научном
исследовании существуют задачи различных типов, в за-
висимости от того, насколько точно определены цель и
средства для достижения цели.
Имеется четыре основных типа геометрических задач:
1°. Обнаружить все свойства данной фигуры. Средства
даны, но цель остается неопределенной. Речь идет, следова-
тельно, о чистом открытии. Ученики не очень любят этот
тип задач, в связи с тем что цель не определена, и им ка-
жется, что нет границы, даже отдаленной, их усилиям.
2°. Доказать, что данная фигура, обладающая опреде-
ленными свойствами, имеет также другое свойство. Средства
даны и цель точно указана. Речь идет, следовательно, об
открытии и исследовании. В этом случае имеется граница
усилиям, но существование этой границы порождает нерв-
ное напряжение, которое изменяет направление этого уси-
лия. Торопясь достичь цели и покончить с задачей, боль-
шинство учеников ведут себя как попавшее в ловушку
животное и стараются скорее угадать,чем открыть, реше-
ние. Мы подробно проанализируем такое изменение на-
правления поисков в ходе рассмотрения первой задачи.
3°. Построить фигуру, обладающую данным свойством.
Выражаясь более точно, надо, во-первых, доказать, что
существует по крайней мере одна фигура, которая обладает
данным свойством и может быть в принципе построена, и,
во-вторых, указать, как можно построить эту фигуру, ис-
пользуя только линейку и циркуль. Цель здесь вполне
определена, но средства не указаны. Речь идет, следова-
тельно, о чистом исследовании, которое, как мы увидим в
рассматриваемых дальше задачах, отличается по своему
характеру от открытия.
4°. Какой должна быть фигура, все точки которой об-
ладают данным свойством? Это задача на геометрические
места, которую большинство учеников боится не только по
причине длинного названия, но и потому, что цель (т. е.
фигура) совершенно неизвестна. В задачах этого типа стрем-
ление учеников угадать ответ проявляется гораздо сильнее,
чем в других задачах. Мы укажем, как исправить этот не-
правильный ход рассуждений.

Глава II
КАК НАХОДИТЬ РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ ВТОРОГО ТИПА?
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОПРЕДЕЛЕННОГО СВОЙСТВА
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ФИГУРЫ
1°. Необходимо сначала прочитать условие зада-
чи, не изображая фигуры, для того чтобы составить себе
представление о задаче и привыкнуть к ней. Вновь прочитать
условие задачи, сделав наскоро общий набросок, для того
чтобы хорошо понять условие задачи. Можно пользоваться
условными значками, чтобы показать на чертеже равенство
элементов фигуры, вытекающее из условия задачи.
Если условие задачи уже хорошо понято, сделать но-
вый чертеж при помощи линейки и циркуля с использо-
ванием всех данных.
2°. Потом набраться спокойствия, терпения, как для
физического усилия, и приступить к исследованию, забы-
вая о том, что нужно доказать. Посмотреть, что точно
означают данные и какие непосредственные следствия
можно из них извлечь, говоря себе: «Раз правильно это,
то с необходимостью правильно и то». Не вычерчивать ли-
ний, не указанных в условии задачи, пока не будет полной
уверенности в том, что сделаны все возможные непосред-
ственные открытия. В противном случае будет усложнять-
ся фигура и возрастать число свойств, подлежащих откры-
тию; в результате исследование утратит целенаправлен-
ность.
Если сразу не видно ничего существенного, может ока-
заться полезным самому произвольно выбрать подходящие
численные величины и точно воспроизвести условие на
чертеже.
3°. Снова обратиться к условию и посмотреть, что тре-
буется доказать; если требуемое легко обозримо, попытать-
ся доказать это как одно целое.

В противном случае сделать заново другую фигуру тако-
го же вида, как та, над которой только что трудились,
но без условных обозначений, появившихся в результате
предварительного анализа. С помощью этого нового ри-
сунка надо попытаться доказать требуемое, «отступая
назад», т. е. путем рассуждений типа: для того чтобы было
правильно то, достаточно, чтобы было правильно вот
это.
Наступает момент, когда открытия, сделанные непосред-
ственно на основании данных задачи, и открытия, сделан-
ные путем «отступления назад», приходят к одному и тому
же, тогда задача решена.
Сказанного, вообще говоря, достаточно, но ученику,
который еще никогда не решал задачу без посторонней по-
мощи, это кажется слишком простым и красивым, но не-
достаточным; у него нет уверенности в себе и присутствия
духа, необходимых для достижения успеха. Нужно при-
знать, что трудно следовать советам пункта 2°, когда
встреча между двумя направлениями поисков наступает не
скоро. В этом случае ученики обычно упорствуют в поисках
путем «отступления назад» (пункт 3е), так как боятся отойти
от привлекающей и гипнотизирующей их цели. Учеников
охватывает нетерпение, и к тому же вмешивается само-
любие. Это мешает нормальному восприятию и понима-
нию.
В таких случаях имеет смысл отложить решение задачи
по крайней мере на несколько часов, чтобы вернулось спо-
койствие и цель перестала раздражать кажущейся близо-
стью и недоступностью.
Задача I
Исходят из того, что учащимся известны все слу-
чаи равенства треугольников и все то, что предшествует
этому в обычном курсе; но нельзя пользоваться теоремой
о сумме углов треугольника и каким-либо другим свойством
параллельных прямых.
Условие задачи. Пусть дан равнобедренный треуголь-
ник ABC, основание которого ВС меньше равных сторон
AB и АС. Продолжим AB за пределы В на отрезок BD и

о
Рис. I
О
Рис. 1а
ВС за пределы С на отрезок С£, причем отрезки BD и СЕ
оба равны разности AB — ВС (рис. I)1.
1°. Рассмотреть треугольники АСЕ и EBD и сравнить их.
2°. Рассмотреть треугольник EAD.
3°. Доказать, что угол ADE равен полусумме углов ВАС
и Л££> (рис. 1а).
Чтобы удобнее было следить за ходом изложения, мы
предлагаем читателю сделать рисунок исследуемой фигу-
ры и постепенно отмечать на нем сделанные открытия.
Было бы даже хорошо, чтобы он попытался самостоятельно
решить поставленную задачу, не читая решение, которое
мы даем. Он мог бы лучше судить о трудностях, с которыми
встречаются в поисках решения, и сравнить свой собст-
венный опыт с описываемым нами опытом ученика.
Ход поисков решения. Хорошо поняв условие задачи,
ученик начинает изображать первую фигуру, вычерчивая
равнобедренный треугольник определенно более высокий,
чем широкий, однако встречает необычную трудность при
нахождении разности AB —- ВС.
Следует ли с помощью циркуля из центра В отложить
ВС на ВА и циркулем-измерителем отметить разность или
1 В оригинале рисунки не приводятся, однако для большей
наглядности мы здесь и в дальнейшем будем пояснять текст рисун-
ками

же измерить AB и ВС на нарисованном равнобедренном
треугольнике, найти разность размеров и перенести ее на
BD и СЕ? Первая идея может явиться исходной в откры-
тиях, однако вторая более непосредственна, это та идея,
которая была принята с условием позже возвратиться к
первой идее в случае необходимости.
Расположив точки D и £, ученик отмечает на фигуре
равенство сторон А В и Л С, углов ABC и АС В и равенство
отрезков BD и СЕ (рис. 16).
Очень соблазнительно провести теперь отрезки DE и
Л£, чтобы получить треугольники, которые требуется рас-
смотреть; однако нами еще не использованы BD = СЕ =
= AB — ВС. Как ввести эти данные в цепь решения? Что
они точно означают? Представим эти данные в следующем
виде: отрезок BD, так же как и СЕ, является остатком
при откладывании отрезка ВС на AB. Следовательно,
добавлением отрезков СЕ и BD мы дополняем отрезок ВС
до отрезка AB, так что BE = AB = АС.
Это первый результат, который мы отмечаем на фигуре.
В отношении отрезка BD мы ничего интересного не видим.
Заметим мимоходом, что использование численных данных
при построении фигуры могло бы привести нас быстрее к
результату, но больше ничего не может дать. Проведем
теперь DE и Л£. В результате появляются два треугольни-
ка (рис. 1в), которые требуется рассмотреть в пункте 1°
условия задачи.
Рис. 1б
Рис. 1в

Рис. lr
Рис. 1 д
Очень сильным становится искушение, вопреки сове-
там преподавателя, всецело попытаться достигнуть цели
путем «отступления назад».
Оба треугольника АСЕ и EDB имеют по две равные
стороны СЕ = BD и АС = BE, и не хватает лишь третьей
стороны или заключенного между ними угла, чтобы тре-
угольники были равными. Мы не имеем никаких сведений
о третьих сторонах AE и DE, однако теперь, когда наше
внимание напряжено, мы видим, что углы АСЕ и EBD
равны между собой, потому что они являются пополнитель-
ными соответственно углам АСВ и ABC, равным между
собой. Мы должны были бы это увидеть раньше и отметить
перед тем, как проводить DE и AE. У нас не хватило тер-
пения.
Следовательно, треугольники АСЕ и EBD действитель-
но равны, и отсюда тотчас же делаем вывод, что AE = DE,
/-AEC = /EDB и Z.CAE = /LBED (рис. 1г).
Фигура, возникшая в результате поисков, становится
сложной, и возникает опасность, что исследование утра-
тит целенаправленность. Поэтому следует вновь обратиться
к условию задачи и посмотреть, что оно требует.
Пункт 1° решен. Пункт 2° требует рассмотреть треуголь-
ник EAD. Теперь видно, что этот треугольник равнобед-
ренный, потому что, как мы нашли, AE = DE, следова-
тельно, углы DAE и ADE равны. Здесь еще раз конста-
тируем, что у нас не хватило немного терпения.

Что касается пункта 3°, он на первый взгляд удивляет.
В самом деле, непонятно, как наглядно истолковать полу-
сумму, т. е. среднее арифметическое, углов в фигуре, кото-
рая стала достаточно сложной благодаря четырем различ-
ным обозначениям, которые отмечают равенства углов
Теперь наступило время сделать другой рисунок и по-
пытаться сделать открытие путем отступления, исходя из
поставленной цели. Так как полусумма является средне-
арифметическим, достаточно было бы доказать, что величина
угла ADE есть средняя арифметическая величина углов
ВАС и AED, но мы ничего еще не знаем об угле ВАС.
Отметим на новой фигуре (рис. 1д) найденные ранее
результаты, пользуясь теми же условными обозначениями
для равных отрезков или углов. Тогда три угла ADE, DAE
и AEC будут помечены одним значком, а углы CAE и BED
другим. У нас остаются значки двух видов, причем угол
ВАС придется рассматривать как разность двух углов,
помеченных разными значками, а угол AED — как их
сумму. Тогда можно записать:
/LBAC = /LBAE — /.CAE = /LADE — /LCAE
и
/LAED = /LAEB + /-BED = /.ADE + /LCAE,
откуда вытекает, что угол ADE — среднее арифметическое
углов ВАС и AED.
В самом деле, угол ВАС равен углу ADE минус угол
CAE и угол AED равен тому же первому углу ADE плюс
тот же второй угол CAE. Следовательно, величина угла
ADE находится посередине между величинами углов ВАС
и AED.
Тот же результат можно получить, складывая почленно
полученные два равенства. Тогда угол CAE исчезает и
получается:
Z-BAC + /LAED - 2/-ADE,
т. е. /LADE = {/BAC + /.AED) : 2.
Решение, которое мы только что привели, было найдено
учеником средних способностей, но очень добросовестным
в течение одного урока индивидуальной работы. Мы вос-
производим решение с наиболее возможной точностью, с
теми же рассуждениями, которые он нам привел, когда мы
пришли посмотреть, как у него идут дела, но мы не могли

знать всех попыток в различных направлениях, которые
он мог за это время предпринять.
Большинство из его товарищей представили работу со-
вершенно отличную, выполненную менее эффективно или
более разбросанно. Некоторые не могли увидеть, что BE —
= AB = АС. Те, которые сумели преодолеть это затруд-
нение, легко нашли пункт 1°, но некоторые, думая только
об углах, забыли отметить, что DE = Л£, и не могли вы-
полнить пункт 2°. Те, которые ответили на пункт 2°, не
смогли разобраться в пункте 3°, хотя потратили на него
много времени. Напротив, трое учеников гораздо легче
нашли ответ на пункт 1°, додумавшись отложить AB на
ВС, проведя окружность из центра В, вместо того чтобы
поступить наоборот, как их товарищи. Таким образом,
немедленно следует, что BE = AB. Затем мы потребовали
дать коллективное письменное изложение решения задачи.
Нам казалось, что стоит лучше подождать несколько дней,
чтобы объяснение было более объективным и не отражало
в чрезмерной степени трудности поисков. Детям могло по-
казаться несправедливым свести результаты поисков всего
лишь к двум линиям, которые надо провести, чтобы дока-
зать равенство BE = А В = АС.
После решения I задачи автор делает пояснения к каж-
дому из трех намеченных этапов решения I задачи.
Конец пункта 1° требовал нанесения нескольких ли-
ний, пункт 2° — нескольких слов, что должно было поль-
стить тщеславию авторов. Что касается пункта 3°, содержа-
щего «отступление назад», то дети не знали, с чего начать,
чтобы поставить это «отступление» на надлежащее место.
Письменное объяснение решения должно быть сделано
хладнокровно, не так, как при поисках решения.
Письменное изложение решения. Вот письменное объяс-
нение решения, сделанное сообща.
Чтобы получить разность AB — ВС, отложим на пря-
мой ВС, начиная от В, в направлении от В и С отрезок,
равный AB. Разность длин этого отрезка и отрезка ВС
равна искомой разности А В — ВС. Она оказывается рас-
положенной так, как это указано в условии задачи, чтобы
построить точку Е. Конец отрезка, отличный от точки В,
есть, следовательно, точка Е. Таким образом, получаем
BE = AB = АС.
Перенесем на продолжении AB, за В, отрезок С£, полу-
чим точку D.

Проведем AE и DE. В треугольниках АСЕ и EBD имеем
СЕ = BD, AC = BE и углы ACE и EBD равны как до-
полнительные равных углов С и В данного равнобедренного
треугольника. Оба треугольника АСЕ и EBD имеют, сле-
довательно, по равному углу, заключенному между соот-
ветственно равными сторонами. Они равны, и их другие
элементы соответственно равны. Следовательно, имеем:
AE = DE, /.CAE = /.BED, /LAEC = /.BDE.
2°. Треугольник EAD равнобедренный, так как он име-
ет две равные стороны AE и DE\ следовательно, углы DAE
и ADE равны.
3°. Из равенства углов, которые были получены, можно
записать:
Z-ADE - /.DAE = ^ВАС + /.CAE
и
/LADE = Z.AEB = ZL.AED — /.BED - /LAED —
— /.CAE,
или, сложив, получим:
/LADE + /.ADE = (/.ВАС + /.CAE) + (/LAED —
— /.CAE),
или
2/LADE - /.ВАС + /.AED,
или, наконец.
/LADE - (/.ВАС + /.AED) : 2.
Заметим, что все начало объяснения не свободно от
двусмысленностей, связанных с ненужными отрезками.
Следовало, с одной стороны, произвести построение точки
Е таким образом, чтобы разность AB — ВС была опреде-
лена без использования точки £, потому что эта разность
служит в дальнейшем, чтобы эту точку построить. С дру-
гой стороны, следовало использовать идею трех учащих-
ся, которые наложили В А на ВС, вместо того чтобы нало-
жить ВС на В А, потому что эта идея позволяет непосред-
ственно установить, что BE = AB = АС. Объяснение
должно было бы также удовлетворять общему принципу,
согласно которому указания должны быть достаточными
для того, чтобы читатель мог бы самостоятельно построить
фигуру, не прибегая к вспомогательному пояснительному
чертежу.
Можно также заметить ученикам по поводу этого на-
чала, что первая мысль, которая приходит в голову, чтобы

найти разность AB — ВС, — это наложить меньший отре-
зок на больший, и что только трое из них рассуждали до-
статочно свободно и решили испробовать обратное. Нет
никакого основания заранее считать, что вторая мысль
интереснее или глубже первой, но следует подумать об
обоих вариантах и исследовать эффективность каждого
из них, не предрешая результата. Больше того, хорошим
ученикам полезно показать, что их нерешительность при
использовании разности AB — ВС происходит главным
образом от того, что они рассматривают эту разность как
остаток, не думая о том, что она может быть рассматривае-
ма как дополнение (добавление) согласно самому опреде-
лению вычитания — действия, обратного сложению.
Можно, наконец, отметить, что никто из учеников не до-
гадался развить открытие пункта 1° следующим образом:
AB = BE, треугольник ABE равнобедренный, Z.BEA =
= /L.BAE. Затем, установив равенство треугольников АСЕ
и EDB, доказываем, что Z-BAE = /JEDB, треугольник
EAD равнобедренный.
Эти замечания ведут ко второму рабочему принципу,
трудному для восприятия начинающего, но необходимому
для освобождения творческого открытия от поспешности.
Этот принцип может быть сформулирован следующим обра-
зом: геометрия не является последовательным рядом фактов
и рассуждений, который можно вытянуть в одну линию.
В самом деле, научное исследование, в особенности в
геометрии, вообще говоря, не сводится к ряду связанных
один с другим открытий с одной-единственной нитью «сле-
довательно...»; но даже в этом случае очень редко создает-
ся впечатление прямой линии, так как не чувствуется, что
каждое открытие продолжает предшествующее. Вообще
говоря, ход открытия представляет разветвления, пере-
крестки, пути с односторонним движением, тупики, и самое
трудное в поиске, как в начале, так и в конце каждого от-
крытия,— найти направление, в котором нужно начинать
или вновь приниматься за поиски. Здесь требуется много
терпения, до тех пор пока не образуется нужная интуиция.
Очень важно, перед тем как приступать к письменному
объяснению решения, найти все пути открытия, которые
ведут из совокупности данных геометрических фактов в
совокупность геометрических фактов, которые нужно до-
казать. Это позволяет выбирать среди найденных рассуж-
дений те, цепь которых наиболее ясна.

Этот выбор порой мучителен для самолюбия учеников,
имеющих склонность считать свои рассуждения более по-
нятными, чем рассуждения других, авторское тщеславие
свойственно всем возрастам, но именно поэтому этот выбор
имеет большое воспитательное значение. Он способствует
освобождению творческого открытия от инстинкта собст-
венности, который приводит к тому, что ученик, зашедший
в логический тупик, не хочет отказаться от того, что он,
по его мнению, открыл и что принадлежит ему как подлин-
ное продолжение его самого. Так, мы видим учеников, ко-
торые упорствуют в доказательстве случайно верного ра-
венства на фигуре, которую они нарисовали; они не в со-
стоянии отказаться от своей мысли, не соглашаются даже
нарисовать другую фигуру, чтобы опытным путем прове-
рить, является ли дорогая для них мысль правильной.
Эта психологическая сторона открытия в геометрии го-
раздо важнее, о чем обычно не думают. Состояние духа, в
котором надлежит отправляться на открытие, то, что мы
короче называем творческим открытием, есть «умственная
спортивность», которая равным образом применяется в
играх и в жизни и представляет сущность эксперименталь-
ного направления. Эта «умственная спортивность» заклю-
чается в том, чтобы играть в открытую с трудностями, не
превращать успех в вопрос самолюбия, в том, чтобы не
терять терпения и не обижаться, если сразу же не нахо-
дишь решения или находишь медленнее, чем другие, в том,
чтобы не стараться угадать и слишком легко верить желае-
мому и особенно остерегаться «толчка», который завершает
поиски почти бессознательно. Именно поэтому мы требуем,
чтобы ученики забыли в начале поисков то, что им нужно
доказать, таким образом, чтобы их открытие было бы бо-
лее объективным и полнее отражало бы все направления,
искания, которые исходят из данных условия. В самом де-
ле, как только исследование получит цель, оно перестает
быть свободным поиском всевозможных открытий, оно
приобретает характер ориентированного поиска; отсюда
проистекает пренебрежение к сведениям, которые на пер-
вый взгляд не имеют отношения к преследуемой цели и в
особенности попытке к предвидению результата. Итак,
именно эти две тенденции одного и того же психологиче-
ского происхождения являются главными причинами не-
удач в решении задач.

Глава III
КАК НАХОДИТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
ЧЕТВЕРТОГО ТИПА?
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
(Автор начинает с оглавления, которое лучше было
бы назвать «Метод геометрических мест точек» при подоб-
ранных ниже геометрических задачах, и ставит в начале
также этапы, которые ученики проходят при решении
задачи.)
1°. Сначала прочитать условие задачи, не делая черте-
жа. Вновь прочитать условие задачи, сделав набросок, на
котором обозначены с помощью условных знаков данные
в условии равенства.
Вновь сделать другой чертеж с помощью линейки и
циркуля с размерами, соответствующими данным задачи.
2°. Набраться спокойствия, терпения и отправиться на
поиски открытия, исследуя опытным путем, как может
перемещаться точка, обладающая данным свойством. Ис-
следовать каждое возможное перемещение, отмечая ми-
моходом интересные частные случаи и особенно чрезвычай-
ные случаи.
3°. Когда геометрическое место точек нащупано опыт-
ным путем, соединить подвижную точку с основными точ-
ками фигуры и с особыми положениями (самой) подвижной
точки и действовать затем, как и в задаче второго типа,
т. е. доказывать свойство, которое заранее предполагается
верным. Если попытки доказательства не достигают цели,
снова приступить к более подробному исследованию опыт-
ным путем.
Благоразумнее не соединять подвижную точку со всеми
основными точками и особыми положениями одновремен-
но, а действовать постепенно, чтобы без необходимости не

усложнять слишком быстро чертеж. Первые линии про-
водятся в соответствии с опытным исследованием геомет-
рического места точек, но не следует придавать такому вы-
бору линий слишком большого, тем более окончательного
значения.
4°. Установить обратную теорему и исследовать ограни-
чения, налагаемые на геометрическое место.
Замечание I. Пункты 2° и 3° могут быть заменены
исследованием, носящим характер поисков чистого откры-
тия, причем набросок содержит всего лишь одну точку
геометрического места, как в задаче первого типа. Если в
процессе этого открытия без заранее определенной цели
находят такое свойство точки, которое определяет ее гео-
метрическое место, то это свойство непосредственно приво-
дит к решению задачи.
Этот способ действия носит более спортивный характер,
чем первый, в котором чистое открытие было заменено по-
иском вероятной цели опытным исследованием. Этот вто-
рой способ требует от учеников усилия на более высоком
математическом уровне, но рискует быть менее эффектив-
ным. В самом деле, ученик не знает, с какой точкой соеди-
нить точку геометрического места, не осмеливается вы-
брать какое-либо направление действий и испытывает ужас-
ные колебания «буриданова ослика», которому предстояло
выбрать один из двух одинаковых стогов сена.
С воспитательной точки зрения оба варианта различают-
ся менее, чем кажется на первый взгляд. В самом деле,
мы видели, что конфликт между открытием и исследованием
равным образом возникает в начале решения задач на дока-
зательство свойства; мы горячо советовали ученикам пре-
вращать начало решения в поиски чистого открытия, забывая
о том, что надлежит доказать. Мы считаем, что для начинаю-
щих предпочтителен метод опытного исследования, в кото-
ром конфликт «чистое открытие — направленные поиски»
разрешается доказательством вероятного свойства.
Замечание II. Условия задач на геометрические
места точек могут различаться в зависимости от того, тре-
буется ли найти линию, описанную подвижной или пере-
менной точкой, или требуется найти линию, на которой
находятся все точки, обладающие некоторым свойством.
Первое условие соответствует идее траектории, второе —
идее множества точек. Различие является довольно тонким,
такого же порядка, как и различие между двумя направ-

лениями исследования, о которых мы только что говорили,
но оно представляет интерес, когда речь идет об обратных
теоремах. Мы увидим примеры тому в ходе изучения кур-
са, но для начинающих систематизация по этому призна-
ку была бы преждевременной.
Задача II
Предполагаются известными основные теоремы
равенства и параллельности, изложенные в первой части
курса.
Условие задачи. Дан равнобедрен-
ный треугольник с вершиной А и осно-
ванием ВС (рис. 2).
Рис. 2
На стороне AB берется произволь-
ная точка М и на продолжении АС,
от точки Су — произвольная точка N.
Точки М и N могут перемещаться, но
всегда таким образом, чтобы ВМ и CN
были равны по длине. Строят затем па-
раллелограмм BMNP, три последова-
тельные вершины которого В, М и N.
Какой является линия, описанная
точкой Р, если точка М перемещается
от точки А к точке В?
Мы выбрали элементарную задачу, особенно интерес-
ную потому, что трудно заранее предвидеть положение ис-
комого геометрического места точек по отношению к тре-
угольнику ABC. Ученики долго не могут выйти из тупика,
даже после некоторого опытного исследования, которое
должно быть очень подробным и точным, чтобы быть эф-
фективным.
Мы попросим читателя сделать чертеж и постепенно до-
полнять его, следуя указаниям, которые мы дадим.
Поиски решения. Мы не будем описывать поиски реше-
ния ученика так полно, как в первой задаче, но только
укажем некоторые тонкие моменты.
Если точка М находится в вершине Л, то точка N совпа-
дает с фиксированной точкой D, расположенной на продол-
жении АС таким образом, что CD = АС. Тогда паралле-
лограмм BMNP совпадает с параллелограммом BADE

(точка £ определена как соответ-
ствующее положение точки Р,
рис. 2а).
Когда точка М находится в В,
то N и Р находятся в С (рис. 26).
Детальное опытное исследова-
ние показывает, что все построен-
ные точки Р, по-видимому, укла-
дываются на прямую линию, кото-
рая, очевидно, проходит через
предельные положения точки Р,
именно £ и С (рис. 2в).
Таким образом, поставленная
задача сводится к доказательству
того, что точка Р расположена на
одной прямой с £ и С. Теперь пост-
роим новую фигуру и нанесем
только точки Р и £. Треугольни-
ки CDE и CNP (рис. 2г) равно-
бедренные, их углы у вершины рав-
ны, как соответственные при парал-
лельных и секущей, их углы при
основании, следовательно, также
равны, так что углы DCE и PCN
равны. Так как эти два угла рав-
ны и имеют общую сторону и об-
щую вершину, то вторые стороны
этих углов СЕ и CP расположены
на одной прямой; следовательно, точки Р, С и £ находятся
на одной прямой.
Ученики, которые боятся использовать точку £, слиш-
ком удаленную от треугольника АВС, очень редко находят
это решение. Опытное исследование приводит их вообще
к тому, что они соединяют точку Р с точкой С, но это един-
ственная польза, которую они отсюда извлекают. Это,
впрочем, не является ничтожной пользой, потому что они
видят равнобедренный треугольник CNP, но многие на
этом останавливаются. В самом деле, параллельность ма-
ленького отрезка NP и прямой АВ от них ускользает, и
они поэтому не могут сделать вывод, что угол CNP является
постоянным, потому что он является пополнительным к
углу ВАС. Они, следовательно, не замечают, что угол меж-
Рис. 2а
Рис 2б

Рис. 2в
Рис. 2г
Рис. 2д
ду CP и продолжением Л С также является постоянным, а
это позволило бы им найти решение.
Второе заключение, которое вообще от них ускользает,
состоит в том, что CP параллельна биссектрисе угла ВАС,
следовательно, перпендикулярна ВС (рис. 2д).
Это замечание может быть сделано при помощи рассмот-
рения углов, но интересно показать ученикам, что можно
найти этот результат непосредственно. Действительно, так
как стороны равнобедренного треугольника CNP парал-
лельны сторонам данного треугольника, то биссектрисы
углов при вершинах N и А параллельны или попарно пер-
пендикулярны, следовательно, перпендикулярны также ос-
нования CP и ВС (рис. 2д).
Очевидно, нечего надеяться, что ученики найдут это
решение «большим искусством», которое требует большой
силы абстракции, но очень хорошо им дать его в са-
мом конце работы, чтобы показать, к каким в высшей сте-
пени простым решениям можно прийти путем чистого отк-
рытия.
Что касается обратной теоремы и ограничения на най-
денное геометрическое место точек, то оно не представля-

Глава IV
КАК НАХОДИТЬ РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕГО ТИПА?
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
(Автор начинает с указания характерных трех
этапов, которые учащиеся проходят при ниже предложен-
ной геометрической задаче.)
1°. Прочесть условие задачи, не делая чертежа. Снова
прочесть условие задачи, сделав краткий набросок, и от-
метить на нем данные в условии равенства, а также предла-
гаемые численные значения.
2°. Отправиться открывать, делая точный чертеж при
помощи линейки и циркуля. Ученик должен вообразить,
что он является чертежником, которому инженер вручил
пояснительный набросок, который он должен переписать
начисто, чтобы он служил образцом для исполнителя.
С этой целью чертежник опытным путем изучает воз-
можность непосредственного построения возможно боль-
шей части фигуры, начиная по очереди с каждого из ее
заданных элементов. Может случиться, причем чаще, чем
это кажется ученикам, что одно из этих исследований при-
ведет к полному построению. Следовательно, очень полезно
сделать все попытки перед тем, как упорствовать в завер-
шении одной из них.
3°. Обычно в исследовании имеется точка или прямая,
которую не удается построить непосредственно. Тогда
можно попытаться действовать путем пересечения геомет-
рических мест согласно классическим учебникам. Если
это не достигает цели, надлежит исследовать краткий на-
бросок как задачу первого типа, ища новое свойство фигу-
ры.
Мы классифицировали типы задач по характеру их эмо-
циональной трудности; однако часто классифицируют за-

дачи на построение анало-
гично задачам на геомет-
рические места, потому
что последние часто ис-
пользуются для решения
первых. Заметим, нако-
нец, следующее. При ре-
шении элементарных задач
на построение следует зна-
комить начинающих с раз-
личными аспектами этих за-
дач, но было бы преждевременно знакомить их с некоторым
особым понятием систематического исследования точности.
Это понятие приведет нас к третьему рабочему принципу
в геометрии. Этот принцип будет особенно полезен для
того, чтобы заставить учеников понять истинный смысл
абстрактного доказательства некоторых конкретных оче-
видностей. Мы сумеем также вновь переосмыслить курс
первой части более эффективно. Мы закончим рассмотре-
ние этих нескольких задач воспитательного характера не-
которой задачей на построение, которая поможет нам при-
близиться к сущности третьего рабочего принципа. Мы вы-
брали задачу, в которой не может быть использован метод
пересечения геометрических мест.
Рис. 3
Задача Ш
Условие задачи. Даны две некоторые прямые XY
и UV и на первой прямой точка Л, отличная от точки пе-
ресечения двух данных прямых, если они пересекаются.
Построить на XY точку М, равноудаленную от точки А и
от прямой UV (рис. 3).
Мы попросим читателя построить фигуру, постепенно
дополняя ее, и укажем ему, если он хочет самостоятельно
искать решение, что метод пересечения геометрических
мест не может быть использован для требуемого построе-
ния. В самом деле, геометрическое место точек, равноот-
стоящих от точки А и прямой UV, является параболой с
фокусом А и директрисой UV.
Исследование. Проведем две прямые, образую-
щие между собой угол, отличный от прямого угла, чтобы
избежать особого случая. Пусть О — их точка пересечения.

Рис. 3 а
Возьмем на одной из
прямых точку A, отли-
чную от O. Эта прямая
будет XY, другая UV.
Возьмем на XY точку
M, между O и A, напри-
мер, и опустим из точки
M перпендикуляр MH
на UV. Следует найти
M таким образом, чтобы
AM и MH были равны.
Очевидно, нужно брать точку M ближе к A, чем к O,
потому что MH меньше, чем MO.
Фигура, которую мы только что нарисовали, конечно,
неточна, несмотря на тщательность, с которой была вы-
брана точка M путем постепенных измерений MA и MH.
С помощью таких измерений принципиально невозможно
построить абсолютно точную фигуру. Мы, следовательно,
вынуждены рассуждать, смотря на искаженную фигуру,
но мы можем представить себе, что эта искаженная фигура
является неточным рисунком идеально точной фигуры, ко-
торую мы ищем, и предположить, что она существует. Та-
ким образом, мы должны выбрать один из двух способов
рассуждений: в условном наклонении, если мы рассуждаем
на неточной реальной фигуре, или в изъявительном на-
клонении, если мы рассуждаем на точной фигуре, которую
мы себе воображаем. Применение условного наклонения
сложнее, чем применение изъявительного, оно является
единственно правильным, потому что мы еще не знаем,
что точная фигура существует. Мы применим условное на-
клонение в этом примере. Если бы MH и MA были равны,
треугольник AMH был бы равнобедренным (рис. 3 а).
Проведем, следовательно, MH на реальной фигуре.
Первая мысль, которая приходит на ум по поводу равно-
бедренного треугольника, — углы при основании равны.
Итак, открытие может принять следующее направление.
Если бы MA равнялось MH, угол MAH равнялся бы
углу MHA и каждый из них равнялся бы половине угла
HMO, внешнего угла треугольника MAH. Но этот угол
дополнительный по отношению к известному углу MOH,
образованному двумя данными прямыми. Следовательно,
если бы фигура была точной, угол MAH должен был бы
равняться половине дополнительного к известному углу

Рис. 36
МОИ. Построение же по-
ловины угла с помощью
линейки и циркуля может
быть выполнено намного
точнее, чем непосред-
ственное определение точ-
ки М, которое мы вначале
приближенно произвели,
чтобы сделать чертеж. Та-
ким образом, абстрактное
рассуждение, которое мы
только что провели в усло-
вном наклонении, на ис-
каженном чертеже приво-
дит нас к более точному
построению фигуры,Теперь
поищем способ улучшить
наше решение. Проведем
из точки Л перпендикуляр
AK к UV (рис. 36), угол
OAK является дополнитель-
ным к углу МОЯ, следова-
тельно, угол МЛ Я должен
бы быть половиной этого
угла OAK, т. е. прямая АН должна бы быть биссектрисой
угла OAK.
Следовало бы, может быть, догадаться провести AK в
начале открытия и непосредственно доказать путем рас-
смотрения внутренних разносторонних углов, что прямая
АН должна быть биссектрисой угла OAK; однако эта мысль
появляется как «гениальный проблеск» или как смелое
открытие, к которому прибег бы тот, кто забыл бы, что
каждый угол при основании равнобедренного треугольни-
ка составляет половину внешнего угла при вершине.
Возможно и другое направление открытия, более ес-
тественное, чем рассмотренное только что исследование,
использующее теорему о внешнем угле, но одновременно
и более смелое. Представление о равнобедренном треуголь-
нике вызывает представление о совпадающих между собой
медиане, высоте, биссектрисе угла при вершине; следова-
тельно, было бы естественно опустить из точки М перпен-
дикуляр на ЛЯ и продолжить эту прямую до пересечения
с UV в точке Р (рис. Зв). Соединим затем Р с Л и заметим,
Рис. 3в

что PA = Р#, что от-
резок РА перпендику-
лярен к XY и что РМ
является биссектрисой
угла HP А. Этот естест-
венный ход открытия
приводит к новому спо-
собу построения.
Рис. 3г
Для того чтобы дать
ясное письменное изло-
жение решения, полезно
заново просмотреть всю
совокупность поисков.
При этом мы замечаем,
что вначале мы случайно
выбрали точку М меж-
ду О и Л. Очевидно,бы-
ло бы бесполезно пы-
таться взять точку М
за точкой О, но можно
было бы попытаться
Рис. 3д
взять точку М за точкой
Л. Опытным путем мы
устанавливаем, что имеется в самом деле такое
решение. Для нахождения этого решения также естествен-
но провести AK перпендикулярно к UV (рис. Зг) или АР
перпендикулярно к XY (рис. 3д).
Письменное изложение решения. Было бы недопу-
стимо признать в письменном объяснении, что второе ре-
шение было открыто эмпирически. Интуиция, которая нам
указывала дорогу, не обнаружила трех возможностей
решения. Каждая из этих возможностей должна быть рас-
смотрена отдельно (в письменном объяснении). Между тем
возможно составить решение более искусным образом, так,
чтобы оно объединяло все три случая в одном рассужде-
нии; однако оно слишком отвлеченно для начинающих.
Мы здесь видим другой подход второго рабочего прин-
ципа, который был рассмотрен в конце первой задачи и бу-
дет изучен более основательно в течение курса. В самом
деле, в процессе открытия говорят себе на каждом шагу:
«Если это правильно, то другое непременно правильно».
Таким образом устанавливают цепочку условий, в кото-
рой каждое предыдущее звено содержит в себе последую-

щее, но может содержать также и другие геометрические
свойства, которые не будут тотчас рассмотрены и даже,
быть может, вообще не будут использованы.
Каждое свойство, выраженное в теореме, не обязательно
должно повлечь за собой свойство, выраженное в предше-
ствующей теореме, так как первое свойство может не быть
достаточным для вывода второго потому, что первая и вторая
теоремы могут быть неэквивалентными. Следовательно,
необходимо установить обратную теорему или цепь ча-
стичных обратных теорем, чтобы быть уверенным в том,
что конечное свойство, полученное в результате построе-
ния, влечет за собой также первоначальные свойства, дан-
ные в условии. После этого объяснения не составляет тру-
да решение, и мы предоставляем читателю сделать его и
дополнить рассмотрением частных случаев, когда XY и UV
параллельны или перпендикулярны.
Техническая дискуссия. Этот логический подход к зада-
чам на построение заслоняет собой наиболее существенный
аспект, заключающийся в систематических поисках опре-
деленности и точности. Настоящее исследование этих задач
заключается в том, чтобы свести построение к непрерывной
последовательности набросков прямых и окружностей, а
затем глубоко проанализировать относительную ценность
найденных способов, рассматривая прямые и окружности,
используемые в каждом способе. Отметим, что порой воз-
никают сюрпризы. Так, в результате точного подсчета ока-
зывается, что в задаче, в которой мы только что рассмат-
ривали способ нахождения точки /(, потребовалось три-
надцать окружностей и пять прямых; тогда как второй
способ обходится лишь восьмью окружностями и тремя
прямыми. Второй способ, следовательно, на первый взгляд
является предпочтительным. Может быть, удалось бы вы-
играть еще одну или две окружности, но это потребовало
бы очень подробных исследований, которые, впрочем, спо-
собны очень заинтересовать учеников.
Действительный практический аспект обсуждения, на
который мы только что указали, обладает воспитательным
значением в гораздо большей степени, чем обычно думают.
Этот аспект подчеркивает переход от конкретного к аб-
страктному, который ученики склонны не принимать во
внимание, потому что они реализуют обратный переход от
абстрактного к конкретному. Чтобы еще лучше отметить
этот переход, такой деликатный для начинающих, прояв-

ляющийся, в частности, в необходимости доказательства
конкретных очевидностей, мы будем употреблять слово
«точный» в конкретной области и слово «правильный» в
абстрактной области. Выше мы применили в доказатель-
стве условное наклонение в тех случаях, когда, пользуясь
нарисованными фигурами, рассуждают на реальных фи-
гурах. Если же рассуждают, представляя себе идеальную
фигуру, то проникают в область абстрактного. Когда же
мы ведем исследование в области абстрактного, задача ста-
новится более легкой, элементы фигуры, на которых про-
водится рассуждение, — более удобными, можно их пере-
мещать, сравнивать, преобразовывать без усилия и без
потери времени, потому что все происходит в уме. Рассуж-
дения образуют конструкцию, где одно подкрепляется дру-
гим и происходит взаимная проверка.
Итак, рассмотрим реальную фигуру, обладающую неко-
торым свойством с некоторой точностью; соответствующая
идеальная фигура обладает тем же вполне правильным свой-
ством. Если рассуждение приводит к выводу, что идеаль-
ная фигура должна обладать другими свойствами, то реаль-
ная фигура должна обладать также другими свойствами,
более или менее точными.
Рассуждение на абстрактной фигуре делает бесполезным
экспериментальную проверку новых свойств, или, напро-
тив, эта экспериментальная проверка новых свойств поз-
воляет контролировать точность, с которой исходное свой-
ство было реализовано. Отсюда третий рабочий принцип:
точность в конкретном достигается с помощью правиль-
ности в абстрактном, и, наоборот, точность в конкретном
помогает открыть новые правильные закономерности в аб-
страктном.

Глава V
УЧЕБНЫЙ КУРС
Изложение курса
Когда какая-либо задача поставлена с указанием
цели, которую нужно достичь, ученик отчаянно цепляется
за то, что требуется доказать, предполагает его заранее
истинным и робко пятится к данным. Такой подход слиш-
ком естествен, чтобы в нем упрекать ученика. Открытие
решения, начиная с данных условия, трудно, так как раз-
ветвляется в слишком многих направлениях и среди этих
направлений необходимо выбрать те, которые ведут к цели;
тогда решение задачи сведется к соединению чистого от-
крытия и открытия путем «отступления назад».
Поэтому изложение решения должно учитывать два
требования. С одной стороны, нужно преодолеть автор-
ское тщеславие, отвергнуть то, что бесполезно, и не увле-
каться развитием того, что кажется трудным. С другой
стороны, подходя логически, нужно, изменяя направление
открытий, суметь направить решение в том направлении,
которое ведет к цели. Эта вторая сторона открытия кажет-
ся какой-то искусственной и удивляет своей кажущейся
гениальностью тех, которые не проследили за логической
линией поисков.
Эти две тенденции проявляются при изложении элемен-
тарных вопросов, составляющих то, что называется кур-
сом. Вторая из них проявляется с большей настойчивостью,
несмотря на все предосторожности, которые теперь прини-
мают при составлении обычных учебников. В самом деле,
невозможно представить весь курс в виде естественного
логического открытия, так, чтобы каждый результат вы-
текал непосредственно из элементарных геометрических

фактов. Чтобы выиграть время, необходимо прибегнуть
к техническим доказательствам, которые связывают новые
факты с теми, которые были доказаны прежде. Логика
стройного целого не всегда ясно выступает, техническая
связь становится основным средством развития теории, и,
если нужно прибегнуть к отдаленной теореме, ученик,
который уже больше о ней не думал, полностью сбит
с толку.
Другая причина, которая увеличивает замешательство^
учеников, заключается в том, что геометрия построена на
многочисленных и разрозненных элементарных фактах,,
которые кажутся непосредственно очевидными, но истин-
ность которых в действительности основана на экспери-
ментальной проверке; элементарные истины относятся,
таким образом, к практической, эмпирической области.
Всякое же экспериментальное доказательство, каким бы
точным оно ни было, не влечет за собой абсолютной пра-
вильности. Так, экспериментальная проверка того факта,
что прямая линия представляет собой кратчайшее расстоя-
ние от одной точки к другой, может быть сделана с точ-
ностью до 1 мм или до 0,001 мм, но она никогда не будет
совершенно точной.
Таким образом, мы имеем три принципа, которые были
сформулированы применительно к методике решения за-
дач, но целиком применимы к изложению курса. Первый
принцип утверждает, что, по меньшей мере, начало каждой
главы должно быть изложено способом чистого открытия,
без заранее поставленной конечной цели. Второй принцип
подтверждает необходимость косвенных технических дока-
зательств. Третий принцип предостерегает от слишком
поспешного принятия кажущихся истин, которые пред-
ставляются непосредственно очевидными. Часто эти три
принципа применяются одновременно. В самом деле, если
связь двух элементарных очевидностей обеспечена техни-
ческим доказательством, которое связывает следствия этих
очевидностей, то экспериментальная проверка одной из
них становится ненужной.
Согласно известному остроумному выражению, геомет-
рия является искусством правильно рассуждать на непра-
вильных фигурах. Это, действительно, глубокая истина,
и необходимо, чтобы наши ученики всегда сохраняли ее
в памяти. Это особенно важно в начале курса.

Приложения
1°. Вертикальные углы.
Пусть две прямые XY и UV пересекаются в одной
точке О (рис. 4). Полупрямые ОХ и OY образуют некоторый
развернутый угол. То же самое можно сказать относитель-
но полупрямых OU и OV. Эти два фак-
та — одна и та же очевидность, опи-
санная определенными словами «полуо-
борот» или «развернутый». Как только
понятие угла хорошо усвоено ученика-
ми, для них становится очевидным, что
углы XOU и YOV равны. Эти две оче-
видности бесспорны в глазах учеников.
Однако ни одна из них не может быть
проверена опытным путем. Прямые не
являются совершенными, транспортир
не обладает высокой степенью точно-
сти и не очень удобен в работе в связи с
плохим конкретным определением его
центра, и, если, с одной стороны читают 28°, с другой
стороны прочтут 29°. Проверка калькой может быть сде-
лана с большей степенью точности, но никогда не будет
совершенно точной.
Рис. 4
Перейдем к абстракции и для выражения своей мысли
воспользуемся условным наклонением. Если бы прямые
были совершенными, углы XOU и YOV были бы оба попол-
нительными одного какого-то из углов XOV или YOU,
то они, следовательно, были бы равны.
2°. Перпендикуляр, проведенный к
прямой через точку вне этой прямой.
Невозможно опытным путем доказать, что из некоторой
точки О, не расположенной на прямой XY, можно провести
к ней лишь только один перпендикуляр. Это кажется оче-
видным ученикам, которые невольно связывают эту оче-
видность с очевидностью кратчайшего расстояния. Они
считают, что опустить на прямую перпендикуляр означает
прямо идти к этой прямой.
Можно технически связать эту очевидность с одной из
тех, которые определяют прямую: прямая является един-
ственной линией, которая может вращаться вокруг самой
себя, не перемещаясь. (Это свойство используется для то-
го, чтобы экспериментально проверить прямолинейность

Рис. 5
края линейки.) В самом де-
ле, мы можем сказать, что,
если бы прямая XY была
совершенной, она совпада-
ла бы сама с собой при
вращении вокруг самой
себя. Эта операция, сде-
ланная таким же образом,
как и при проверке линей-
ки, оставляет фиксирован-
ными все точки прямой XY и переводит точку О в поло-
жение О'. Перпендикуляр OH, проведенный из О на XY,
займет положение ОН (рис. 5).
Если бы этот перпендикуляр был правильным, четыре
угла фигуры должны были бы быть прямыми и сумма двух
из них должна равняться развернутому углу. В частности,
угол ОНО', сумма углов OHX и О'HX, должен был бы
быть развернутым. Следовательно, точки О, Я и О' должны
были бы лежать на одной прямой.
Это доказательство, характер которого должен быть
выражен применением условного наклонения, особенно для
начинающих, позволяет утверждать, что существует перпен-
дикуляр OH, который указывает некоторый способ его
построения и показывает, что он является единственным,
потому что имеется только единственная прямая, проходя-
щая через О и О'.
Этому способу доказательства может быть поставлено
в упрек, что в нем используется вращение, которое являет-
ся операцией в пространстве трех измерений, однако клас-
сическое доказательство перегибанием имеет тот же недо-
статок. Можно также сказать, что практически доказатель-
ство, которое мы предлагаем, требует применения чертежа
на кальке и необходимость обозначить некоторую точку
на прямой XYf чтобы избежать ее перемещения, однако
операция перегибания практически еще менее удобна и
значительно менее точна.
Это рассуждение утрачивает интерес к абстрактной об-
ласти. Можно поэтому проводить доказательства как по-
средством перегибания, так и путем поворота, однако при
любом способе нужно четко выделить основную мысль, что
речь идет о техническом доказательстве, опирающемся на
некоторое характеристическое свойство прямой, и что это

свойство подсказывает мысль посмотреть, что происходит
по другую сторону от прямой XY.
Наиболее сильным ученикам, тем из них, которые про-
будились к творческому мышлению, можно добавить, что
было бы интересно попробовать опереться на свойство
скольжения линии самой по себе, которым обладают пря-
мая и окружность. Рассмотрение этого вопроса интересно,
так как оно раньше, чем нужно, ведет к идее постулата Ев-
клида. Постулат имеет огромное воспитательное значение
и показывает конкретную опору, которую могут иметь
неевклидовы геометрии. Здесь имеется прекрасное введе-
ние в аксиоматику.
Запоминание учебного курса
Для большинства учеников преждевременно за-
ниматься логической формалистикой, такой же головолом-
ной, как и эквилибристика рассуждений о постулате Ев-
клида. Главное заключается в том, чтобы ученик хорошо
знал свой курс, чтобы умел самостоятельно решать задачи.
Это единственный способ освободить ум от всякой форма-
листики и развить способность к открытию. Наилучшее
средство для этого заключается в том, чтобы ученик делал
сам фигуры больших размеров, которые целиком построе-
ны при помощи линейки и циркуля и на которые распро-
страняются все свойства равенства и неравенства. Различ-
ные свойства заранее не даны, работа заключается в том,
чтобы соединить их в последовательную систему и прове-
рить путем сопоставления. Это приводит в действие меха-
низм запоминания. Геометрические фигуры, как и геогра-
фические карты, развивают зрительную память; поэтому
интересно также делать немые чертежи. Более того,
свойства неравенства логически дополняют свойства ра-
венств и геометрические соотношения обоих видов согла-
суются между собой.
Эти геометрические «карты», которые можно «украсить»
штрихами различной толщины и разнообразных цветов,
представляют также интерес и тем, что крепко «сколачи-
вают» курс, обеспечивая внутреннюю связь каждой из
фигур целого и связь одной фигуры с другой.

Такая группировка свойств интересна также тем, что
придает каждой части курса логический аспект, который
непосредственно связывает их с элементарными фактами
геометрии. Технические доказательства, которые послу-
жили, установлению некоторых свойств фигуры,
предстают в общем логическом сплетении и перестают ка-
заться искусственными. Связь одной дедукции с другой
принимает конструктивный характер, который больше не
шокирует, потому что линия логики целого соблюдена.
Наконец, эти группы свойств понемногу включаются в
здравый смысл и помогают в развитии интуиции. В самом
деле, когда в какой-либо задаче какое-либо свойство груп-
пы затронуто, все другие появляются одновременно и уму
остается только выбирать из них те, которые нужны для
открытия.
Ученикам должна быть предоставлена инициатива в
построении системы фигур, обладающих аналогичными
свойствами, и особенно в рассмотрении свойств, которые
нужно выделить в одной фигуре. Некоторые ученики изу-
чат большое количество теорем на одном и том же рисунке,
другие будут испытывать необходимость сделать несколько
фигур для достижения того же самого результата.
Важно, чтобы эта работа была индивидуальной и чтобы
она была сделана самостоятельно. Вмешательство препода-
вателя должно ограничиваться необходимым моментом и
ставить себе целью только выбор объединяющей темы, не
навязывая количества фигур. (Дальше автор рассматри-
вает интересные поиски, возникающие у учащихся в про-
цессе классных занятий, которые учитель направляет в
должное русло.)
То, что не излагается в учебном курсе
На уроках преподаватель часто получает неожи-
данные признания учеников в связи с целесообразным под-
сказом, сделанным преподавателем. Например, когда уче-
ники должны найти окружность заданного радиуса, каса-
тельную к двум данным прямым, ученики легко устанавли-
вают, что центр окружности должен быть расположен на
одной из биссектрис, но не догадываются рассмотреть па-
раллельные прямые — геометрические места центров ок-
ружностей данного радиуса, касательных к одной из дан-

ных прямых. Они поражены, когда мы подаем им мысль
об этом. Один из учеников, одобряемый большинством
своих товарищей, непосредственно признался, что он ни-
когда бы об этом не подумал, потому что он не хотел бро-
сать циркуль, с помощью которого он только что провел
значительное количество окружностей. Мысль о прямой
линии не приходила ему больше в голову.
Другой пример, более близкий для преподавателя, —
это пример о треугольниках, которых ученики не видят.
Так, в фигуре, образованной прямой, несущей точки Л,
В, С, следующие друг за другом в указанном порядке, и
отрезками, соединяющими эти точки с некоторой точкой О,
расположенной вне прямой, большинство из учеников не
видит треугольника АОС. Они замечают треугольник толь-
ко тогда, когда он образован явным проведением отрезков,
соединяющих три данные точки.
Первый пример показывает, что процесс поисков моби-
лизует все способности детей. Нужно, чтобы они иногда
приостановили свои поиски для того, чтобы подумать о
другом направлении действий, отличном от прежнего на-
правления. Второй пример показывает неприятные послед-
ствия старой привычки, которая действует еще в течение
продолжительного времени, как в уме взрослых. Здесь нужно
заняться настоящим логическим воспитанием в вопросе гео-
метрических задач, распространить это воспитание на все
области, где должен упражняться аналитический ум.
Приведем последний пример, чтобы закончить это рас-
смотрение нелогичного поведения учеников при решении
геометрических задач. Этот пример покажет, что их непо-
нимание задачи может также иметь чисто физиологическое
происхождение. Мы увидим, впрочем, что речь идет ско-
рее о затруднениях в применении знаний, чем о непони-
мании.
Когда требуют от ученика провести на доске высоты
треугольника, одна из сторон которого была нарисована
горизонтально, он проводит правильно вертикальную высо-
ту и приблизительно правильно обе другие высоты, если
углы данного треугольника все три острые. Если один из
углов при основании треугольника тупой, ученик будет
колебаться, прежде чем провести вертикальную высоту,
потому что он удивлен тем, что высота проходит вне тре-
угольника; он решится на это после того, как взглянет
на преподавателя, робко и вопросительно. Если же по-

казать ему, как провести две остальные высоты, то он за-
являет, что это непонятно. Если, наконец, ему задают тре-
угольник, угол при вершине которого тупой, он без коле-
баний проводит вертикальную высоту и немного колеблется
в отношении двух других, которые он затем храбро прове-
дет внутри треугольника. При таком замешательстве вооб-
ще обвиняют преподавателя, что он плохо справился со
своими обязанностями, что он всегда рисует треугольники,
одна сторона которых горизонтальна, и, наконец, в том,
что он не сумел усовершенствовать представления о пер-
пендикуляре и прямом угле, отделяя их от первоначальных
понятий горизонтали и вертикали. Это не так просто,
как кажется, потому что можно принять все предосторож-
ности против этого обстоятельства, но ошибка остается
или скоро снова появляется. Чтобы предугадать истину,
достаточно спросить себя, почему так охотно называют
вертикальную прямую, нарисованную на листе, положен-
ном на стол, когда эта прямая направлена к наблюдателю.
Эта прямая тем не менее горизонтальна, как все прямые,
которые можно было бы нарисовать на листе.
Это объясняется тем, что мы имеем два глаза и что зри-
тельная память отметила движения в вертикальном направ-
лении, происходящие в плоскости симметрии человека, пер-
пендикулярной к горизонтальной линии глаз. Когда оба
глаза наблюдают за прямой, которая находится в плоскости
симметрии тела человека, естественно, что они передают
ее в мозг в виде вертикали. Следовательно, не нужно пы-
таться без предварительного длительного перевоспитания
отделять экспериментально восприятие вертикали от пер-
пендикуляра. В течение долгого времени нужно соглашать-
ся с тем, что учащийся наклоняет набок голову, нужно
даже его поощрять в этом, чтобы точно провести перпен-
дикуляр.

Глава VI
ГЕОМЕТРИЯ И СЧЕТ
Подобие и конфигурация
В разделах I и II планиметрии главным образом
рассматриваются вопросы равенства и неравенства. По-
средничество счета практически ограничено сложением,
вычитанием и умножением или делением на 2. Умножение
или деление на некоторое целое число применяется только
при исследовании соизмеримости углов или отрезков.
Умножение или деление отрезков (углов) производят также
для того, чтобы изобразить геометрически данные условия
(если в нем заданы соотношения между отрезками) или ре-
зультаты решения задач.
Начиная с третьего раздела понятие отношения и поня-
тие меры, которое вытекает из первого, занимают первое
место, и эти понятия позволят сейчас уточнить и лучше
определить неясное понятие о подобии, представление о
котором ученики имеют значительно раньше, чем представ-
ление о равенстве.
Для ребенка две фигуры подобны, когда одна может
быть рассматриваема как рисунок другой. Понятие формы
предшествует понятию величины, но положение по отно-
шению к наблюдателю играет для начинающих некоторую
роль в оценке подобия. Так, если переместить одну из фи-
гур произвольным образом, то подобие более не воспри-
нимается; но если фигура перемещается так, что ее по-
ложение относительно линии глаз не изменяется, то
восприятие подобия сохраняется. Это перемещение может
привести к тому, что фигу рабу дет дальше ил и ближе к глазу
наблюдателя, а изображение ее на сетчатке глаза соответ-
ственно меньше или больше, но форма изображения вос-
принимается такой же самой. Именно понятие формы воз-

никает у ребенка таким образом: форма есть множество
признаков фигуры, которые остаются неизменными, когда
изменяется расстояние, с которого наблюдают фигуру.
Если фигура образована из прямых линий, этими призна-
ками являются углы и отношения отрезков.
Если две фигуры подобны, углы одной равны соответст-
вующим углам другой. Также отношение некоторых раз-
меров одной из фигур равно отношению двух соответствую-
щих размеров другой фигуры. Так, художник, рисующий
голову, выбирает на своем рисунке основной размер, на-
пример общую высоту, и с помощью карандаша, который
он держит в вытянутой руке, он измеряет отношения, ко-
торые существуют между высотой головы, с одной стороны,
и размерами, которые его интересуют, с другой. Если он
находит, что ширина составляет — высоты, он сделает то
же самое на своем рисунке. Что касается углов, он их оп-
ределяет в долях прямого угла. Следовательно, первона-
чальное понятие подобия есть понятие равенства углов и
отношений соответствующих отрезков. Это понятие суще-
ствует независимо от понятий относительной величины од-
ной фигуры по отношению к другой. Все рисунки одной и
той же головы, которые художник может сделать, подоб-
ны между собой и подобны оригиналу, какой бы ни была
выбранная на рисунке общая высота. В каждом из рисун-
ков, например, ширина составляет — высоты.
Существует другой способ рисовать, заключающийся в
том, что на оригинале отмечают углы и отрезки, затем ум-
ножают все эти отрезки на одно и то же число. Тогда полу-
чают единственный рисунок, величина которого по отно-
шению к оригиналу определена этим числом.
Следовательно, подобие двух фигур может выражаться
двумя различными способами. Так, если два треугольника
ABC и MNP подобны, углы Л, В, С первого будут соответ-
ственно равны углам М, N, Р второго (рис. 6), можно запи-
сать первым способом:
AB_MN, AB_MN. BC^NP
ВС~ NP' АС~MP' АС~МР
и вторым способом:
AB _АС _ВС9
MN~MP~~~ NP

Если речь идет лишь
о двух фигурах, второй
способ более удобен, но
если речь идет больше чем
о двух фигурах, более
приемлем первый способ.
От первой системы про-
порций ко второй перехо-
дят путем перестановки
средних или крайних чле-
нов пропорции.
Рис. 6
Оба способа могут быть показаны хорошим ученикам
одновременно, это предохранит их от грубых ошибок, но
для средних учеников стоит лучше выбрать один определен-
ный способ. В самом деле, ученикам следует дать техничес-
кое средство открывать подобие двух фигур независимо
от их взаимной ориентации или положения относительно
линии глаз, когда непосредственно не воспринимается
подобие фигур. Мы выбрали второй способ, потому что мы
рассуждаем сначала о двух фигурах.
Раздел курса, посвященный подобию, начинается с
теоремы Фалеса1. Затем рассматриваются случаи подобия
треугольников. С помощью технических экстраполяции
приходят к гомотетии, которая сильнее подчеркивает от-
ношение одной фигуры к другой. Наконец, подходят с
новой точки зрения к подобию фигур, говоря, что они
подобны, если одна фигура равна некоторой фигуре, гомо-
тетичной другой. После всего этого технического изложе-
ния весьма интересно возвратиться к понятию подобия, к
его естественной исходной точке и рассмотреть другой спо-
соб его выражения. Для этого мы применим слово «кон-
фигурация» вместо слова «форма», а внутренние отноше-
ния некоторой фигуры назовем конфигурационными отно-
шениями. Мы уточняем и подтверждаем с помощью при-
меров, что эти отношения являются признаками формы в
такой же степени, как и углы, и затем мы формулируем
следующую теорему.
Теорема. Если несколько фигур подобны, то признаки
соответствующих форм, а именно углы и конфигурацион-
ные отношения, равны между собой.
1 Мыслитель (из Милета), VI в. до н. э.

Случаи подобия треугольников могут быть, таким обра-
зом обобщены, при утверждении, что треугольники подоб-
ны, если они имеют два признака формы, надлежащим
образом выбранные, соответственно равные. В частности,
прямоугольные треугольники подобны, когда они, кроме
прямого угла, имеют одинаковый признак формы, характе-
ризующий элементы, одинаково расположенные по отноше-
нию к прямому углу. Можно, наконец, технически связать
случаи подобия со случаями равенства путем следующего
следствия.
Следствие. Если две фигуры подобны и, кроме
того, имеют по одной соответственно равной стороне, они
равны..
Тригонометрия. Отношения и коэффициенты
Конфигурационные отношения часто встречаются
на протяжении курса, в частности при рассмотрении пра-
вильных многоугольников и окружности. Впрочем, поня-
тие конфигурационных отношений является весьма общим;
оно выходит за рамки геометрии и встречается во всех
областях науки, где приходится изучать две группы вели-
чин разной природы, но со сходными внутренними (кон-
фигурационными) отношениями.
В геометрии систематическое изучение конфигурацион-
ных отношений очень интересно, потому что для данной
фигуры число признаков формы избыточно и часть этих
признаков формы является следствием других. В частности,
в прямоугольном треугольнике существует 8 признаков
формы: 2 острых угла и 6 отношений каждой из сторон к
другим. Если один признак дан, форма прямоугольного
треугольника фиксирована, следовательно, также семью
другими признаками, это показывает, что восемь призна-
ков формы любого прямоугольного треугольника связаны
семью независимыми соотношениями.
Оба острых угла являются дополнительными, а конфи-
гурационные отношения связаны между собой перестанов-
кой и теоремой Пифагора.
Зависимость конфигурационных отношений от углов не
поддается вычислению средствами, доступными для наших
учеников, но она объективно существует. Она может быть

определена с помощью изме-
рений, результаты которых мож-
но свести в таблицу; это естест-
венное начало тригонометрии.
Рис. 7
Чтобы фиксировать соответ-
ствие углов и конфигурацион-
ных отношений в прямоуголь-
ных треугольниках, назвали си-
нусом одного из углов от-
ношение противоположного это-
му углу катета к гипотенузе,
косинусом — отношение прилежащего катета к гипоте-
нузе, тангенсом — отношение противоположного катета
к прилежащему и котангенсом — отношение, обратное
предыдущему. Отношения, обратные двум первым, были
названы секансом и косекансом, но они вышли из упот-
ребления. Так, в треугольнике ABC с прямым углом А
устанавливают (рис. 7):
— = sin В = cos С; — = cos В = sin С;
ВС ВС
f=tg B=ctg С; ^=ctg B=tg С.
AB АС
Чтобы приучить учеников к этим названиям и заста-
вить их составить численную таблицу, одновременно под-
готавливая обобщение, которое будет сделано позже, мож-
но поступить следующим образом.
На листе миллиметровой бумаги проводят радиусом
114 мм круг, который, следовательно, имеет окружность
длиной приблизительно 720 мм, т. е. 2 мм в дуговом гра-
дусе. Затем только с помощью линейки и циркуля проводят
два перпендикулярных диаметра A'OA и В'ОВ, потом
все с той же линейкой и циркулем делят прямой угол АОВ
на шесть равных частей (рис. 8). Дуга AB в таком случае
разделена на шесть дуг по 15°. Так как каждая из этих
дуг имеет длину, приблизительно равную 30 мм, можно
ее разделить на пятнадцать равных частей с помощью ли-
нейки, на которой имеются миллиметровые отметки. Фи-
гура, таким образом, представляет собой превосходный
транспортир.
Проводят затем из того же самого центра О радиусом
100 мм окружность, которая автоматически разделена на

градусы предыдущими отметками. Легко прочесть синусы
и косинусы углов с помощью миллиметровой сетки. Для
нахождения тангенсов достаточно провести касательную
ко второй окружности в точке ее пересечения с OA и про-
читать соответствующие размеры на сетке. В том случае,
когда углы слишком близки к 90°, касательные выходят
за пределы рисунка, однако значения тангенсов можно про-
честь на основании подобия на перпендикуляре к OA, ко-
торый проходит в 10 мм от 0.
Ученики выполняют этот рисунок с удовольствием, и те,
которые делают его точно и проводят достаточно тонкие
линии, достигают точности двух десятичных знаков. Они
очень довольны констатировать, что они вновь находят те
же значения от 0° до 45° и от 90° до 45°, которые в науке
были открыты раньше, но с большей точностью. Так возни-
кает интерес к численным таблицам.
Несколько упражнений для подтверждения формул
sin2 x + cos2 x = 1, tg x = sin x/cos x
и ctg x = cos x/ sin x=1/tg x,
и вот наши ученики вооружены, чтобы заниматься триго-
нометрией. Но именно в этот момент появляется новая
трудность, хотя и прежнего свойства, при использовании
только что составленной таблицы. В самом деле, все эти
числа передают отношения, являются частными от деления
и в то же время они будут использованы как множители
или делители, т. е. как коэффициенты. Наши ученики
вновь сталкиваются с теми же противоречивыми аспек-
тами отношения, которые их несколько раз ставили в ту-
пик в курсе алгебры, начиная с дробных чисел.
Рассмотрим, например, треугольник ABC с прямым
углом A, угол B которого содержит 28° (признак формы),
сторона AB равна 23 мм (линейный размер), и зададимся
целью вычислить AC и BC. С одной стороны, имеем AC/AB =
= tg 28°, т. е. AC/23 = 0,532, откуда AC = 23 • 0,532, и,
с другой стороны, AB/BC = cos 28°, т. е. 23/BC = 0,883,
откуда BC = 23:0,883.
Вычисление AC является легким, так как оно следует

из определения деления: делимое равно произведению де-
лителя 23 на частное 0,532. Однако иначе обстоит дело при
вычислении ВС. В самом деле, чтобы получить ВС, нужно
перейти через промежуточное равенство 23 = ВС • 0,883,
которое следует из определения деления, переставить
оба члена этого равенства, не изменяя в них знаков, за-
писав ВС • 0,883 = 23, чтобы, наконец, прийти к ВС =
= 23 : 0,883.
Для большинства наших учеников вычисление ВС яв-
ляется, следовательно, продолжительным. Эта техника вы-
числения не была рассматриваема в классических учебни-
ках в виде правила или теоремы. Однако постепенно учени-
ки выдумывают для своего собственного пользования не-
большое практическое правило, согласно которому можно
переставить число слева, снизу (из знаменателя) направо,
вверх (т. е. в числитель) или же слева, сверху направо,
вниз. Это правило позволяет им производить устно относи-
тельно громоздкие вычисления.
Очень полезно уточнить это правило и придать ему ло-
гическую форму, с тем чтобы на него можно было бы ссы-
латься в технике вычисления. Можно это сделать в алгеб-
ре, в отношениях и пропорциях или в уравнении первой
степени, но эффективность этого была бы менее значитель-
ной. Лучше всего сейчас же придать этому правилу логи-
ческую форму, связывая его с понятием обратного операто-
ра, которое возникло при рассмотрении действий над дроб-
ными числами.
Правило, В равенстве, в котором обе части содержат
только знаки умножения и деления, можно перенести мно-
житель из одной части в другую при условии изменения
его операционного знака.
Это правило имеет очень сходную форму с правилом,
которое позволяет перенести выражение из одной части
равенства в другую при условии изменения его знака. От-
сюда видно, что было бы опасно очень рано дать это пра-
вило, потому что могло бы произойти смешение одного
правила с другим. Следует подождать, чтобы правило,
относящееся к выражениям прибавляемым и вычитаемым,
стало интуитивным рефлексом, и только после этого да-
вать правило, относящееся к множителям, которые умно-
жают или делят. Это второе правило, ставшее в свою оче-
редь интуитивным рефлексом, может быть распространено
на любые равенства следующим образом: можно переносить

множитель из одной части равенства в другую, изменяя
его операционный знак, при условии, что рассматривае-
мый множитель умножается на всю левую или правую часть
равенства.
Что касается перестановки обеих частей одного равен-
ства, то она является слишком очевидной, чтобы требовать
доказательства, однако благоразумно ее не разрешать
слишком рано, потому что имеется опасность смешения с
правилом, которое предписывает изменение знака при пе-
ренесении слагаемого из одной части равенства в другую.
Метрические соотношения в треугольнике и
круге (несоизмеримые отрезки, иррациональ-
ные числа)
Классическое изложение метрических соотноше-
ний в треугольнике и круге обычно делается с помощью
рассмотрения пар подобных треугольников с использова-
нием понятия подобия, которое учитывает постоянное от-
ношение соответственных элементов одной и другой фигу-
ры. Можно это сделать также с помощью конфигурацион-
ных отношений и тригонометрии. Оба способа изложения
отличаются только с технической точки зрения. В обоих
случаях приходят к применению свойств отношений и про-
порций, однако новым является то, что появляются произ-
ведения отрезков. Древние придавали конкретный смысл
этим произведениям, которые фактически измеряют пло-
щади прямоугольника, и теорема Пифагора формулиро-
валась так: площадь квадрата, построенного на гипотену-
зе, равна сумме площадей квадратов, построенных на каж-
дой из сторон прямого угла. В настоящем курсе площади
нами были отнесены к разделу IV. Изложение курса гео-
метрии от этого выигрывает в технической простоте и ста-
новится более абстрактным, следовательно, более поддаю-
щимся обобщению.
Таким образом, мы вынуждены говорить об отрезке,
квадрат которого равен произведению двух других, затем,
взяв единицу длины, мы вынуждены говорить о числе,
квадрат которого равен произведению двух чисел. В общем
случае первый отрезок не является соизмеримым с двумя

другими и число, которое его измеряет, не является дроб-
ным числом, когда за единицу берут некоторый общий де-
литель этих двух других отрезков. В этом заключается
удивительный на первый взгляд факт, и, не желая система-
тически смущать ум учеников, полезно уточнить на
примере конкретную реальность этой неправдоподобно-
сти. Наиболее простым и наиболее ярким примером
является диагональ квадрата, несоизмеримая со стороной;
этот пример показывает, что не существует дробного числа,
квадрат которого равен двум. Древние нашли доказатель-
ство, основанное на факте, что измерения диагонали и
стороны не могут быть одновременно ни четными, ни не-
четными числами. Это доказательство, очень остроумное,
может быть упрощено при помощи дробей. Если диагональ
и сторона квадрата имеют общую меру, их отношение
выражается дробью, которую можно предположить не-
сократимой, и квадрат такой дроби является также несо-
кратимой дробью, следовательно, он не может быть целым
числом. Однако теорема Пифагора показывает, что отноше-
ние диагонали к стороне является числом, квадрат кото-
рого равен двум, следовательно, имеется противоречие.
Можно добавить, что отсутствие общей меры является
намного более частым фактом, чем это предполагает здра-
вый смысл, и что два любых отрезка, вообще говоря, не-
соизмеримы.

Глава VII
ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Увидеть в пространстве и построить фигуру
Трудности, которые наши ученики встречают в
этой области, значительно отличаются от тех, которые они
встретили в планиметрии. Представления намного менее
ясны для большинства учеников. Все могут хорошо уви-
деть в пространстве, это лишь дело тренировки, приобре-
тения навыка, что должно с особой тщательностью при-
виваться с самого начала. В самом деле, чтобы научиться
видеть в пространстве, следует научиться рисовать пред-
меты объемно на одном плоском чертеже, видимые части
сплошными линиями, а невидимые части пунктиром; но
чтобы рисовать, нужно мысленно представлять себе, а
чтобы способствовать воображению, нужно рисовать. Здесь
имеется дилемма, которая доминирует во всей стереомет-
рии в такой мере, что в большинстве задач на степень ба-
калавра, которые относятся к части программы, половина
трудностей заключается в построении пространственной
фигуры.
Мы только что сказали «построить фигуру», это больше,
чем ее просто нарисовать правдоподобным образом. На-
стоящее затруднение в стереометрии и в то же самое время
средство, чтобы его преодолеть, заключается в том, что
требуется совершенно иной подход, чем для имитационного
рисунка, ибо невидимые части имеют такое же значение,
как и видимые части, и могут помочь определить эти по-
следние.
Наилучшее средство для того, чтобы развивать этот
подход, который мы называем конструктивным мышлени-
ем, заключается в том, чтобы сделать как можно больше
задач на построение при помощи прямых и секущих плос-

костей. Не следует приступать
к рассмотрению параллельных
прямых, прежде чем ученики не
сумеют определить и правильно
нарисовать сечение тетраэдра
A BCD плоскостью, определенной
тремя точками /С, L, М, соот-
ветственно расположенными на
трех ребрах AB, ВС, CD (рис. 9).
Рис. 9
Существует добрый десяток за-
дач на нахождение отдельных то-
чек геометрической фигуры,
которые предшествуют только
что приведенной. Процесс поисков доказательства, что
три точки L, Ку Р находятся на одной прямой, потому что
они одновременно расположены в плоскости сечения и в
плоскости боковой грани, имеет очень большое воспита-
тельное значение, и этому следует посвятить достаточно
времени.
Также хорошо заставить решить в уме, без фигуры,
несколько более простых задач такого же рода. Ученики
очень не любят этого, они настойчиво просят преподава-
теля, чтобы он им помог изобразить рисунок. Однако все
же следует настоять на своем, уменьшая в случае надобно-
сти трудность заданных вопросов. Следует также заставить
их подробно описать фигуру, возникшую в их воображе-
нии, и на этой фигуре провести настоящее доказательство.
Это трудные упражнения, их нужно делать медленно, од-
нако общая продолжительность умственной и словесной
работы не должна превышать каждый раз примерно двад-
цати минут.
Все это воспитание ума задачами на построение, реше-
ние которых требует лишь знания определяющих свойств
плоскости, должно предшествовать рассмотрению парал-
лельных прямых. В самом деле, изучение параллельных
прямых требует применения перспективы и бесчисленных
теорем со сложными доказательствами, что особенно усу-
губляет главную трудность, которая заключается в необ-
ходимости видеть фигуру в пространстве и строить ее.
Кроме того, навыки, приобретаемые решением задач на
построение, дают еще то большое преимущество, что
ученики начинают отличать различные плоскости, хорошо

представлять себе скрещивающиеся прямые, и это очень
помогает им ориентироваться в запутанных переплетениях
технических доказательств, используемых в курсе.
Доказательство от противного.
Противоположные и противоречивые факты
Доказательство от противного является особен-
но четко выраженным видом технического доказательства.
Порой его встречают в планиметрии, и ученики принима-
ют его довольно легко, но в стереометрии этот вид доказа-
тельства имеет огромное значение и соответствующие ар-
гументы, труднее для понимания. Поэтому хорошо ска-
зать или напомнить, если об этом уже говорили, что до-
казательство от противного есть не непосредственное дока-
зательство истинности данного свойства, а доказательство
ложности свойства, противоположного данному.
Настоящая трудность в том, чтобы хорошо показать, что
образовавшаяся в конце доказательства противоречивость
ведет к доказательству истинности первоначального суж-
дения. Здесь возникают два понятия: противоположное и
противоречивое, которые являются синонимами для уче-
ников и даже взрослых. Следует уточнить основное их
различие. Общее между этими понятиями состоит в том,
что два противоречивых или два противоположных факта
взаимно исключают друг друга: если один из них является
истинным, то другой не может быть истинным. Два факта
являются противоречивыми, если, сверх того, один из
двух фактов обязательно истинен (например, быть в клас-
се и быть вне этого класса). Два факта являются только
противоположными, если они не могут быть одновременно
истинными, например быть в каком-то классе и быть в дру-
гом классе; можно в самом деле быть в каком-то III клас-
се или в другом месте. Два противоречивых факта взаимно
исключаются и дополняются, они оба содержат в себе все
возможности. Два противоположных факта взаимно исклю-
чаются, но не дополняются, вне их существуют другие воз-
можности.
Когда разница этих обоих слов вполне ясна в умах уче-
ников, можно добавить, что если несколько фактов, взаим-
но исключающих друг друга, содержат все возможности,

Рис. 10а
Рис. 106
то один из фактов противоположен каждому из других
фактов и противоречив по отношению к совокупности
остальных фактов. Для того чтобы первый факт был бы
истинным, нужно, следовательно, доказать, что каждый из
этих остальных фактов является ложным.
Доказательство от противного очень выигрывает в яс-
ности, когда оно представлено как исследование всех воз-
можностей, причем заранее не дается предпочтения ни
одной из них.
Пример. Прямая D параллельна прямой D', принадле-
жащей плоскости Р. Относительное положение прямых D,
D' и плоскости Р на первый взгляд представляет четыре
возможности.
1°. Прямая D пересекает плоскость Р в некоторой един-
ственной точке М, не расположенной на D' (рис. 10а).
2°. Точка М лежит на D' (рис. 106).
3°. Прямая D целиком лежит в плоскости Р (рис. 10в).
4°. Прямая D не пересекает плоскость Р (рис. Юг).
Так как прямые D и D' параллельны, они расположены
в одной и той же плоскости Q. Прямая D является общей
Рис. 10в
Рис. 10г

прямой плоскостей Р и Q. Рассмотрим последовательно
четыре возможности.
1°. Точка М, расположенная в плоскости Р и на пря-
мой D плоскости Q, является общей для Р и Q.
Эти плоскости имеют, следовательно, общую прямую D'
и точку М, не расположенную на D\ они, следователь-
но, совпадают. Прямая D плоскости Q расположена, сле-
довательно, в плоскости Р, это невозможно, потому что
мы предположили, что прямая D и плоскость Р имеют
общую единственную точку М.
2°. Точка М является общей для D и D'. Так как пря-
мые параллельны, то этот случай невозможен.
3° и 4°. Эти случаи не являются невозможными, но они
взаимно исключают друг друга. Они, следовательно, взаим-
но противоречивы. Один из этих случаев имеет место тогда
и только тогда, если второй не имеет места.
Можно, следовательно, сформулировать:
Теорема. Если прямая параллельна прямой, принад-
лежащей плоскости, она либо не пересекает плоскость,
либо целиком ей принадлежит.
Характерные свойства. Необходимые
и достаточные условия
Существует теорема, обратная по отношению к
предыдущей, которую можно доказать аналогично и ко-
торая формулируется так:
Если прямая не пересекает плоскости, она параллельна
некоторой прямой этой плоскости и, как следствие, всем
прямым плоскости, которые параллельны последней пря-
мой.
Первая теорема доказывает существование прямых, не
пересекающих плоскость, и позволяет сказать, что прямая)
называется параллельной к плоскости, если она ее не пе-
ресекает. Действительно, следует доказать существование
объекта перед тем, как дать ему наименование.
Можно сформулировать вместе обе теоремы одним пред-
ложением:
Характерным свойством прямой, параллельной к пло-
скости является ее параллельность некоторой прямой
этой плоскости.

Это не единственное характерное свойство. Плотник бу-
дет больше убежден в том, что прямая параллельна плос-
кости, если он проверит, что расстояния двух точек прямой
от плоскости равны.
Можно, наконец, сформулировать обе теоремы в одном
следующем предложении:
Условие, которое необходимо выполняется, если пря-
мая параллельна плоскости, и достаточно для того, чтобы
она была ей параллельна, заключается в параллельности
ее к какой-нибудь прямой плоскости.
Обе формулировки: 1) характерное свойство или же
2) условие, одновременно необходимо выполняющееся,
«если...» и достаточное, «для того чтобы...», совершенно
бесспорны.
Они не вызывают никакой двусмысленности в умах
учеников, чего, однако, нельзя сказать о классической фор-
мулировке, в которой говорится только о необходимом и
достаточном условии «для того чтобы».
Выражение «необходимый и достаточный» является бес-
полезным, если не вредным, точно так же, как выражение
«нужно и достаточно». Эти слова лишь могут более или
менее удачно усилить смысл союзов «если» и «чтобы», кото-
рые сами по себе указывают, что является предпосылкой
и что заключением. Две отдельные формулировки, которые
мы выше дали, начинаются союзом «если» и не используют
слово «необходимо», которое могло бы только неприятно
утяжелить смысл предложения.
Проще всего полностью отказаться от терминов «необхо-
димо» и «достаточно» и использовать понятие о характер-
ном свойстве, которое является совершенно ясным. Что
касается отдельных формулировок, желательно их изла-
гать при помощи слова «если», которое позволяет указать
предпосылку, а потом заключение.
Эта дискуссия, которая заканчивает наше рассмотре-
ние геометрии, показывает, что в математике чрезмерная
краткость в языке, обусловленная стремлением облегчить
запоминание, не всегда достигает цели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Педагогика математики должна руководствоваться общей научной педагогикой. Так, ученик интересуется изучаемой им областью науки только в той мере, в какой он является ее участником. Следовательно, экспериментальное направление со всеми его психологическими воздействиями должно быть преимущественным для ученика класса математики. Речь идет не только о том, чтобы внушить ему чувство ответственности, когда он доводит до конца численные расчеты и делает точные чертежи, но и о том, чтобы придать его мышлению направление открытия и воспитать в нем вкус к несколько аналогичной деятельности настоящего ученого.

Чтобы воспитывать детей в этом направлении, мы показали в алгебре важность переводов и обратных переводов алгебраических символов и в геометрии пользу, которую можно извлечь из противопоставления конкретной точности и абстрактной правильности. Мы также видели в нашей преподавательской практике, что было очень часто заманчивым смешивать объективно простое и субъективно легкое, что приносит большой вред ученикам.

Именно две простые идеи, которые нам стали так близки, что мы их больше не осознаем, делают таким трудным для детей понимание абстрактных рассуждений. Двойственность числа, пассивного результата и активного оператора, и то обстоятельство, что техника, фрагмент логики, иногда не совпадает с основной логической линией, находится в кажущемся противоречии с ней.

Мы надеемся, что достаточно будет осознать и учесть в преподавании математики эти две идеи, для того чтобы помочь многим ученикам победить в себе большой страх перед математикой.

Фуше А. Педагогика математики. — 1969

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К КНИГЕ А. ФУШЕ «ПЕДАГОГИКА МАТЕМАТИКИ»

I

II

ПРЕДИСЛОВИЕ ГЕНЕРАЛЬНОГО ФРАНЦУЗСКОГО ИНСПЕКТОРА НАРОДНОГО ПРОСВЕЩЕНИЯ Ж. ДЕФОРЖА

ВВЕДЕНИЕ. РАЗВИТИЕ ПЕДАГОГИКИ МАТЕМАТИКИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ