Эвенчик Э. Е. Преподавание механики в курсе физики средней школы. - 1967

Глава I
КИНЕМАТИКА
§ 1. Относительность движения. Системы отсчета
Формирование понятия о механическом движении
невозможно без введения понятия о системе отсчета. Для
описания движения тела, т. е. его перемещения в прост-
ранстве относительно каких-то других тел, с этими телами
жестко связывается система отсчета: система координат
и часы для отсчета времени. Как известно, в классической
механике Ньютона постулируется существование избран-
ной системы отсчета, которая является абсолютно покоя-
щейся. Всякое тело, которое по отношению к этой систе-
ме покоится, находится в абсолютном покое, а движение
тел по отношению к ней является абсолютным движе-
нием.
Гипотеза об абсолютном пространстве к концу прош-
лого века значительно укрепилась в связи с успехами кон-
цепции эфира. Движение по отношению к эфиру рас-
сматривалось как абсолютное. И только в опытах Май-
кельсона и Морли, отрицательный результат которых
показал невозможность определить движение относи-
тельно эфира, была развеяна иллюзия о существовании
абсолютной системы отсчета.
Однако у Ньютона абсолютная система отсчета не
связывалась с каким-либо неподвижным телом. Никакие
попытки найти привилегированную систему координат,
укрепленную на абсолютно неподвижном теле, не при-
вели к положительным результатам.
В «Математических началах натуральной философии»
Ньютон писал, что абсолютное пространство не может
быть предметом наблюдения, наблюдаемыми могут быть
лишь относительные положения тел: «...Ибо, возможно, не
существует тела поистине покоящегося, относительно

которого все положения и все движения других тел мож-
но было бы отсчитать...»
Аргументы в пользу существования абсолютного про-
странства, остававшиеся непоколебленными вплоть до со-
здания общей теории относительности (1916 г.), Ньютон
видел в появлении так называемых сил инерции в неинер-
циальных системах отсчета, т. е. системах, движущихся
с ускорением. Известно, что .ускорение движения систе-
мы отсчета может быть определено абсолютным обра-
зом, т. е. независимо от тел, находящихся вне ее. Уско-
ренное движение не подчиняется галилеевскому прин-
ципу относительности.
Классический принцип относительности был сформу-
лирован еще на начальном этапе развития механики.
История открытия Коперника и ожесточенная борьба,
которая развернулась вокруг него, была и историей от-
крытия принципа относительности. Противники Копер-
ника аргументировали тем, что мы, жители Земли, никак
не ощущаем ее движения. В споре с церковниками и был
сформулирован принцип относительности, утверждаю-
щий, что равномерное и прямолинейное движение систе-
мы тел не может быть обнаружено в результате наблю-
дения в ней механических явлений. С физической точки
зрения это означает, что поступательное равномерное
и прямолинейное движение системы не оказывает ника-
кого влияния на механические процессы в системе. Все
физические процессы, происходящие внутри такой систе-
мы, не зависят от того, покоится ли эта система как це-
лое или движется равномерно и прямолинейно.
Это полностью относится и к Земле как системе от-
счета. Равномерное и прямолинейное движение Земли
(если пренебречь малой кривизной ее эллиптической тра-
ектории) не оказывает влияния на физические процес-
сы, происходящие на ней. Поэтому ее равномерное и
прямолинейное движение непосредственно не может
быть замечено. Для этого нужно обратиться к телам,
не участвующим в движении Земли. Точно так же
и прямолинейное равномерное движение, например, паро-
хода, если оно происходит совершенно плавно без толч-
ков и ускорений, не оказывает влияния на происходящие
на нем процессы: так же, как и в неподвижной системе,
будут в нем двигаться тела — упругий удар бильярдных
шаров на покоящемся и равномерно прямолинейно дви-

жущемся пароходах заканчивается разлетом этих шаров
на одинаковые углы; брошенное вверх тело вернется
в ту же точку, по отношению к пароходу, из которой оно
было брошено, а не отстанет от движения парохода (не
отклонится в сторону); тело, брошенное вдоль каюты
парохода, достигнет противоположной стенки за то же
время, независимо от направления движения плавучей
лаборатории и т. д.
Нет необходимости перечислять все примеры и ил-
люстрации этого общего закона природы, который со
всей отчетливостью сформулировал Галилей. Этот закон
неразличимости покоя и равномерного прямолинейного
движения и носит название принципа относительности
Галилея. Подтверждаемый все новыми и новыми фак-
тами, он вошел в физику так прочно, что стал необходи-
мой составной частью научного мировоззрения.
И все-таки, как это ни парадоксально, принцип отно-
сительности Галилея до сих пор не изучается в средней
школе.
Разбирая целый ряд механических явлений, легко
и просто объясняемых на основании принципа относи-
тельности, в школьном курсе физики приводят более
сложные объяснения на основе закона инерции и прин-
ципа независимости действия сил, обладающего значи-
тельно меньшей общностью. Отсутствие в разделе меха-
ники классического принципа относительности лишает
преподавание механики возможности развивать одну из
важнейших идей — относительность движения. Развитие
этой идеи невозможно без изучения принципа относи-
тельности.
Недостаточное внимание к формированию представ-
ления об относительности движения в преподавании ме-
ханики совершенно справедливо подвергалось критике
в методической литературе !. Часто вопросу об относи-
тельности движения учителя уделяют внимание лишь на
одном из первых уроков и ограничиваются анализом ря-
да тривиальных примеров, показывающих, что всякое
движение и покой являются относительными. Далее идея
относительности движения не развивается в кинематике,
1 М. И. Блудов, К изучению систем отсчета на уроках физи-
ки, «Физика в школе», 1961, № 4. Л. А. Иванова, К изучению от-
носительности механического движения в курсе физики средней шко-
лы, там же.

и о ней полностью забывают при изучении динамики
и других разделов механики. Между тем из принципа
относительности вытекает ряд положений, которые
должны быть усвоены учащимися. И прежде всего то,
что такие понятия, как пространственные координаты
точки, траектория и скорость, являются понятиями отно-
сительными, они зависят от выбора системы отсчета.
Однако из принципа относительности вытекает также
и то, что некоторые величины являются абсолютными
(инвариантными в отношении различных систем от-
счета). Например, расстояние между телами не зависит
от того, по отношению к какой системе отсчета мы рас-
сматриваем движение этих тел. То же относится и к про-
межуткам времени между событиями. Ускорения, если
мы ограничиваемся рассмотрением только инерциаль-
ных, или так называемых галилеевых, систем, движу-
щихся равномерно и прямолинейно друг относительно
друга, тоже являются величинами абсолютными. Ведь
если тело движется с некоторым ускорением в какой-то
системе отсчета, то его ускорение останется тем же
и в другой системе, движущейся равномерно и прямо-
линейно относительно первой; поскольку сама система
движется без ускорения, то изменение скорости, которое
тело получило в первой системе, останется таким же и по
отношению ко второй системе. Теннисный мяч, получив-
ший некоторое ускорение под действием удара ракетки
относительно теплохода, будет иметь то же ускорение
относительно берегов, так как поступательное равномер-
ное движение теплохода не влияет на изменение ско-
рости мяча !. В то же время скорость теннисного мяча —
относительная величина — будет различна в каждый
момент времени в этих системах отсчета.
Мы видим, что принцип относительности по своему
содержанию глубоко диалектичен: наряду с утвержде-
нием относительности ряда величин и понятий он содер-
жит и утверждение об абсолютности (инвариантности)
ряда других величин. Кроме того, в принципе относи-
тельности содержится и нечто большее — утверждение
об абсолютности законов динамики: во всех инерциаль-
1 Инвариантность ускорения в отношении различных инерциаль-
ных систем отсчета легко устанавливается из преобразований Гали-
лея.

ных системах отсчета, независимо от их относительной
скорости, все механические явления протекают одина-
ково, т. е. все три закона Ньютона одинаково справед-
ливы. В этом именно и заключается равноправие этих
систем отсчета. Утверждение, что все явления протекают
одинаково, означает одинаковость проявления всех зако-
нов. В то же время ряд величин и понятий будут, конеч-
но, различны. Явления будут выглядеть в разных систе-
мах по-разному, так как в них неодинаковы начальные
условия: траектория воды, падающей в движущемся рав-
номерно и прямолинейно поезде, будет по отношению
к поезду отвесная прямая, а по отношению к полотну
дороги — парабола.
Это и понятно, так как начальные условия в этих
системах различны: в поезде тела уже имеют относи-
тельно полотна дороги определенно направленную на-
чальную скорость. Инвариантны в инерциальных систе-
мах именно все законы, а не все величины, из которых
многие относительны.
При изучении кинематики, пока речь идет об описа-
нии движения, мы не можем установить никакого прин-
ципиального различия между разными системами отсчета,
все они равноправны. Только в динамике, при изу-
чении законов движения, обнаруживается принципиаль-
ное различие между некоторыми системами отсчета
и преимущества одного класса систем по сравнению
с другим. Вопрос о том, как выбрать эти обладающие
преимуществами системы отсчета, будет выяснен даль-
ше. Там же при анализе преподавания некоторых вопро-
сов динамики мы обсудим, как дать определение инер-
циальных систем отсчета и проанализируем вопрос
о том, как изложить учащимся принцип относитель-
ности Галилея, формулировка которого может быть дана,
конечно, только при изучении динамики. Однако уже
при изучении кинематики идея относительности механи-
ческого движения должна быть развита со всей доступ-
ной в этом разделе полнотой.
Уже на первых уроках, на которых дается определе-
ние механического движения, нужно выяснить прежде
всего, что сами по себе слова «тело движется» абсолютно
бессодержательны, пока мы не укажем тело, которое по
определению считаем неподвижным. Разъясняют уча-
щимся, что выбор тела отсчета произволен. При его

выборе руководствуются лишь удобством наблюдения
и вычислений, которые позволяют детально изучить ин-
тересующее нас движение. Так, при изучении движения
автомобиля удобно в качестве тела отсчета выбрать
Землю (или тела, неподвижные относительно нее). Вы-
бор же для этой цели Солнца приведет к необходимости
учета движения Земли вокруг Солнца и ее вращения во-
круг оси, что очень усложнит исследование. Между тем
автомобиль используется для перемещения по земле,
движение которой при этом несущественно. Но зато при
изучении движения Земли, планет, искусственных спут-
ников и т. д. удобнее всего в качестве тела отсчета при-
нять Солнце. При изучении движения всей солнечной си-
стемы или движения космических кораблей в глубины
Вселенной в качестве тела отсчета удобно брать звезды.
Введя систему отсчета, на ряде примеров далее выяс-
няют, что движение любого тела описывается по-разно-
му в различных системах отсчета.
Например, по отношению к движущемуся вагону па-
дающее в нем яблоко совершает прямолинейное движе-
ние, а по отношению к перрону — криволинейное; шарик,
катящийся по желобу вдоль радиуса вращающегося ко-
леса, относительно колеса совершает прямолинейное дви-
жение, а относительно земли — криволинейное.
Если провести по линейке мелом черту по диаметру
быстро вращающегося диска (рис. 1), то получится спи-
раль, изображающая траекто-
рию куска мела по отношению
к диску, тогда как траектория
движения мела по отношению
к линейке — прямая линия.
Можно предложить учащимся
самим разобрать, например,
какова траектория точки обода
катящегося по рельсам колеса
относительно наблюдателя, на-
ходящегося в вагоне, и отно-
сительно полотна железной
дороги. Такие примеры, разобранные в достаточном ко-
личестве, позволят учащимся убедиться в том, что
траектория движения — понятие относительное, завися-
щее от системы отсчета. Для формирования этого поня-
тия важно, чтобы с учащимися были разобраны приме-
Рис. 1

ры, показывающие, что для удобства следует в ряде слу-
чаев в качестве системы отсчета брать не землю, а ка-
кие-нибудь тела, движущиеся относительно нее. Это
поможет развеять иллюзию, присущую мышлению уча-
щихся (и не только учащихся), что «истинное» движе-
ние— это движение относительно земли, а движение
относительно других систем отсчета — это движение
«кажущееся».
Интересный пример такой абсолютизации Земли как
системы отсчета приводит В. П. Смилга, цитирующий
одного из авторов, критикующих якобы философскую
несостоятельность теории относительности на том осно-
вании, что в ней признается относительным понятие тра-
ектории.
Не понимая того, что он «воюет», вообще говоря, не
с теорией относительности Эйнштейна, а с механикой
Ньютона, этот автор писал: «Разговоры об относитель-
ности траектории нелепы, потому что, например, молния,
которая наблюдателю в поезде представляется падаю-
щей по косой линии, а наблюдателю на Земле отвесно
вниз, на земле, ударив в песок, оставляет вертикальный
след от удара в виде вертикально торчащего «чертова
пальца» — спеченного песка» К По этому поводу
В. П. Смилга пишет: «Самое забавное даже не то, что
нашим воителем была атакована классическая механи-
ка Ньютона,— дело в том, что подобный опыт (правда,
не с молнией, а с дождем) как раз прекрасно иллюстри-
рует относительность траектории. Все, очевидно, сотни
раз наблюдали косые следы дождя на вагонных окнах.
Чисто же психологически рассуждения нашего «ученого
соседа» заслуживают особого внимания, потому что по-
казывают, как интуитивно и бессознательно мы возво-
дим систему отсчета, связанную с землей, в ранг абсо-
лютной. В самом деле, отвечая на вопрос, что же дви-
жется на «самом деле» — «поезд» относительно земли
или «земля» относительно поезда,— невольно хочется
сказать: «Конечно, поезд»... По существу все недоумения
связаны только с чисто психологическим фактором —
бессознательным желанием цепляться за привычное».
Вот почему уже на первых уроках по кинематике не-
обходимо разобрать с учащимися достаточное число при-
1 Цитируется по статье В. П. Смилги в книге «Физика: близ-
кое и далекое», изд. «Знание», М., 1963, стр. 26—27.

меров, в которых соображения удобства требуют при-
нять в качестве системы отсчета как раз не Землю, а дви-
жущиеся относительно нее тела. В следующем парагра-
фе мы разберем ряд таких примеров, связанных с выяс-
нением относительности понятия скорости и сложением
скоростей.
Формирование у учащихся понятия об относительно-
сти движения и его кинематических характеристик, в част-
ности траектории, требует не только анализа ряда при-
меров, но и постановки демонстрационного эксперимен-
та, а также решения ряда экспериментальных задач.
Относительность траектории легко продемонстриро-
вать в классе при помощи длинной вертикально постав-
ленной стеклянной трубки с вязкой жидкостью, в кото-
рой падает шарик (рис. 2).
Движение шарика относи-
тельно трубки будет равно-
мерное, по отвесному на-
правлению вниз; если же мы
одновременно будем дви-
гать трубку вдоль классной
доски, отмечая мелом поло-
жения шарика через некото-
рые промежутки времени,
то мы можем по этим точ-
кам начертить траекторию
шарика относительно клас-
сной доски.
Хороший пример экспе-
риментального задания по
выяснению относительности траектории капли дождя для
наблюдателя внутри вагона и вне его приведен в указан-
ной статье М. И. Блудова. Предлагают учащимся вы-
резать из плотной бумаги два одинаковых прямоуголь-
ника, на одном из них провести жирную наклонную чер-
ту (след капли на оконном стекле), а в другом сделать
узкую вертикальную прорезь. Наложив лист с прорезью
на лист с чертой, медленно перемещают последний гори-
зонтально. В прорези видно, как черное пятнышко (кап-
ля) движется вертикально.
Можно предложить учащимся выполнить такое зада-
ние: перемещать угольник одним из его катетов вдоль
линейки, положенной на бумагу, как по направляющей
Рис. 2

Рис. 3
(рис. 3). Если при этом каран-
дашом проводить вдоль верти-
кального катета, то на бумаге
получится наклонная траекто-
рия; относительно же угольни-
ка траектория — вертикальная
линия.
Кроме относительности
траектории, на первых уроках
по кинематике полезно разо-
брать вопрос и об относитель-
ности координат движущейся
материальной точки.
Опыт преподавания показывает, что несложные рас-
суждения о галилеевых преобразованиях координат легко
воспринимаются учащимися. Двигаясь по определен-
ной траектории в выбранной системе отсчета, материаль-
ная точка последовательно занимает различные положе-
ния в пространстве. Положение точки в пространстве
может быть в данной системе отсчета охарактеризовано
значением трех координат. Разумеется, в разных систе-
мах отсчета координаты одной и той же точки в один
и тот же момент времени будут различными. Если,
например, координаты тела, находящегося на столике не-
Рис 4

подвижного вагона, в системе земля будут х, у, ζ
(рис. 4), то в системе отсчета поезд они будут уже х\у',
ζ', причем, как видно из рисунка, х'=х—х0; у'=у—у0;
ζ'=ζ—ζ0, где х0, y0, ζ0— координаты начала отсчета
О' вагона относительно земли1.
Рассмотрев относительность траекторий и координат,
надо так же подробно на конкретных примерах рас-
смотреть относительность понятия скорости. Закон сло-
жения скоростей, вытекающий из относительности этого
понятия, мы рассмотрим в следующем параграфе.
§ 2. Сложение скоростей
Классический закон сложения скоростей непосредст-
венно связан с относительностью понятия скорости. От-
метим прежде всего, что из-за неточностей формулиро-
вок, допускаемых в ряде элементарных учебников, при
применении этого закона в практике преподавания воз-
никают некоторые ошибки.
Часто можно встретить утверждения о том, что ма-
териальная точка одновременно совершает два различ-
ных движения. При этом о системе отсчета ничего не
говорится, следовательно, предполагается, что оба дви-
жения совершаются в одной и той же системе отсчета.
(Обычно в практике преподавания, когда не указывает-
ся система отсчета, имеется ввиду система, связанная
с Землей.) Причем если еще при выводе закона сложе-
ния скоростей на примере двух прямолинейных и рав-
номерных движений указывается, что эти движения со-
вершаются относительно различных систем отсчета, то
1 Несколько более сложные рассуждения, приводящие к выводу
формул преобразования Галилея для координат, когда одна из си-
стем отсчета движется относительно другой, имеет смысл давать уча-
щимся только в классах, с хорошим математическим развитием.
В этих классах учащимся можно объяснить, что вектор скорости
может быть задан тремя его компонентами по координатным осям —
vx> vy> υζ- Тогда, предположив, что, например, система поезд дви-
жется со скоростью υχ вдоль оси легко найти координаты тела
в любой момент времени в другой системе, например, в системе
земля:
χ = χ0 -J- Vxt + Х'\
У = Уо + У'і ζ = ζ0 + ζ'.

при переходе к изучению криволинейных движений об
этом совершенно забывают.
Выясним, что означает утверждение, что материаль-
ная точка одновременно совершает два различных дви-
жения в одной и той же системе отсчета. Как известно,
положение точки в данной системе отсчета может быть
определено тремя пространственными координатами
или, что нам сейчас удобнее, радиусом-вектором г.
Если точка участвует одновременно в двух различных
движениях, то радиус-вектор получает сразу два различ-
ных приращения: Аг\ и Аг2. Тогда в один и тот же
момент времени положение точки определится двумя
векторами: Γι=γ+Δ/ί и г2 = г+Аг2,что означает одновре-
менное нахождение точки в двух различных местах про-
странства. Нелепость последнего утверждения совершен-
но очевидна. Следовательно, исходное положение о том,
что точка может одновременно участвовать в двух раз-
личных движениях в одной системе отсчета, неправильно.
Разъяснение этого вопроса встречается в ряде работ
по механике. «Одно движение было задано двумя движе-
ниями: такое задание представляет не более как только
математический прием, математический способ рассмо-
трения вопроса... Когда мы говорим: «Тело имеет сразу
два движения», то фраза эта, если понимать ее букваль-
но, заключает в себе нелепость» К
«Если указано движущееся тело и система отсчета,
то по отношению к этой системе отсчета движение, раз
оно определено, может быть только единственным: не
может тело одновременно занимать два различных
положения по отношению к одной и той же системе отсче-
та. Но движение твердого тела мы можем рассматри-
вать по отношению к различным системам отсчета; дви-
жущееся тело может одновременно двигаться относи-
тельно различных систем отсчета...»2.
Что собой представляет криволинейное движение тела
и как его следует трактовать в средней школе, будет
предметом нашего обсуждения несколько позже. Здесь
же для нас важно другое — выяснить, при каких усло-
виях возникает задача сложения движений.
1 Л. Кирпичев, Начала механики, 1871, стр. 58.
2 И. Н. Веселовский, Курс механики, ГТТЛ, 1951,
стр. 245—246.

Совершенно очевидно, что в одной системе отсчета
происходит лишь одно движение материальной точки.
Однако движение любого тела происходит по-раз-
ному в разных системах отсчета. Как уже было выяс-
нено, в разных системах отсчета телу соответствуют
различные координаты, траектории, скорости.
Представим себе, что некоторая материальная точка
движется по отношению к какой-то системе отсчета
(например, шарик движется по канавке вдоль линейки),
которая сама перемещается по отношению к другой си-
стеме отсчета (к поверхности стола), которую мы счи-
таем неподвижной.
Движение первого тела (шарика) по отношению
к движущейся системе отсчета называют относительным;
движение перемещающейся системы отсчета (линейки)
по отношению к той, которую мы считаем неподвиж-
ной, называют переносным.
Но шарик, движущийся относительно линейки одно-
временно движется относительно стола. И это движение
относительно системы отсчета, которую мы считаем не-
подвижной, принято называть результирующим, полным
или абсолютным движением. Условность всех этих на-
званий совершенно очевидна.
Легко видеть, что если нам известно относительное
перемещение шарика, то его перемещение относительно
стола можно найти сложением относительного и пере-
носного перемещений. Другими словами, изменение си-
стемы отсчета, переход от одной системы к другой, при-
водит к задаче сложения перемещений.
От сложения перемещений легко перейти к сложению
скоростей, так как скорости мы определяем как отноше-
ния перемещений ко времени, в течение которого они
произошли.
Здесь нужно лишь иметь в виду следующее. Относи-
тельное движение — это может быть как движение точ-
ки, так'и тела. Переносное движение — это движение си-
стемы отсчета, т. е. некоторого тела. Если система совер-
шает поступательное движение, то все ее точки движутся
одинаково. В общем же случае переносной скоростью
точки называют скорость той точки подвижной системы
отсчета, в которой в данный момент находится движу-
щаяся относительным движением материальная точка.
Однако если мы ограничимся рассмотрением только по-

ступательного движения системы отсчета, то этой ого-
ворки можно не делать.
Итак, сложение скоростей тела, участвующего одно-
временно в двух движениях относительно различных
систем отсчета состоит в изменении системы отсчета,
в пересчете скорости от одной системы к другой. Фор-
мула этого пересчета (преобразование Галилея)
^а = ^о + ^п
и представляет собой закон сложения скоростей в клас-
сической механике.
Эта формула выражает математически тот уже не-
однократно отмечавшийся факт, что координаты тела
и его скорость относительны, они различны в различных
системах отсчета. Формулы преобразования Галилея яв-
ляются «словарем», позволяющим переходить от одной
системы отсчета к другой.
Итак, в одной системе отсчета происходит лишь одно
движение материальной точки и в каждый данный мо-
мент существует лишь один вектор скорости этой точки.
Конечно, любой вектор можно представить как сум-
му векторов, являющихся его составляющими по коор-
динатным осям. Всякий вектор скорости можно пред-
ставить как векторную сумму двух или более составляю-
щих скоростей. Например, при ζ=0 две составляющие
вектора однозначно определяют величину и направ-
ление скорости в плоскости ху.
Составляющая вектора вдоль определенной оси пред-
ставляет собой скорость проекции тела на данную ось.
Ее можно наглядно представить себе как скорость тени
движущегося тела.
Две составляющие скорости, направленные вдоль
осей χ и у, представляют собой скорости двух теней дви-
жущегося тела, отбрасываемых на два экрана, располо-
женные перпендикулярно осям χ и у.
Зная скорости теней на двух экранах, мы однозначно
определим величину и направление скорости тела на
плоскости:
v = vx + vr
Смысл классического закона сложения скоростей
должен быть достаточно четко разъяснен учащимся.

Для этого достаточны те традиционные примеры, на ко-
торых обычно выводится закон сложения скоростей:
человек перемещается относительно палубы теплохода,
а теплоход перемещается относительно берегов.
Однако для правильного усвоения вопроса при ана-
лизе этого примера следует: а) четко разъяснять, что
движение человека одновременно осуществляется в двух
различных системах отсчета — в системе теплоход и в си-
стеме берега, по отношению к каждой из систем данное
тело совершает одновременно лишь одно движение;
б) формулируя задачу о сложении скоростей, нужно
предложить учащимся вычислить скорость тела по от-
ношению к системе отсчета S, если эта скорость задана
в системе отсчета S0, которая сама движется с некото-
рой скоростью v0 по отношению к системе S. Решение
этой задачи приведет к сложению скоростей и его физи-
ческий смысл выяснится естественным образом.
То же самое относится и к параболическому движе-
нию тел, брошенных горизонтально и под углом к гори-
зонту, или к падению тела, например, в движущемся
поезде.
Относительно земли тело совершает одно движение
и в каждый данный момент обладает одной скоростью.
Однако можно рассматривать движение, например, гру-
за, сброшенного с самолета, относительно самолета как
системы отсчета, а затем, зная скорость самолета отно-
сительно земли, определить движение груза (его траек-
торию и скорость) относительно земли К
Решение ряда задач помогает учащимся достаточно
глубоко осознать и усвоить этот вопрос, весьма важный
для понимания и развития идеи относительности дви-
жений. Приведем примеры таких задач.
1. Пловец желает переплыть реку по кратчайшему
расстоянию из точки А в точку В. Если известны скорость
пловца относительно воды ν и скорость течения воды от-
носительно берегов υ2 и ширина реки d, то под каким
углом α к прямой АВ он должен плыть и сколько вре-
мени займет переправа?
Проведем анализ задачи.
1 Подробнее методика изучения этого вопроса будет рассмотре-
на в параграфе о параболическом движении тел.

Рис. 5
Итак, известна скорость пловца V\ относительно воды,
а для решения поставленного в задаче вопроса нужно
определить скорость пловца υ относительно другой си-
стемы— берегов, если известна еще скорость течения
реки ν2, т. е. скорость первой системы отсчета. Для этого
нужно к скорости v\ прибавить скорость V2. Результи-
рующая скорость ν и будет искомой скоростью пловца
относительно берегов.
Направление скорости υ в системе берега задано тем,
что переправа должна происходить по кратчайшему
пути, т. е. эта скорость должна быть направлена от
А к В (рис. 5).
Так как скорость υ равна геометрической сумме ско-
ростей V\ и ν2, т. е. равна диагонали параллелограмма,
построенного на этих скоростях, то, следовательно, ско-
рость Vi должна быть направлена под некоторым углом α
к направлению АВ. Пловец должен плыть под этим уг-
лом α вверх по течению.
Этот угол мы получим, построив параллелограмм
(или треугольник) скоростей, в котором диагональ рав-
на результирующей скорости, т. е. скорости пловца υ
относительно берегов, а одна из сторон — скорости υ\
относительно воды.
Решение. Из ΔΑΜΝ находим:
Скорость движения относительно берега v=Yv\—v\,
а время которое потребуется для переправы,

Задача могла бы быть поставлена иначе, если бы
требовалось найти кратчайшее время для переправы че-
рез реку. В этом случае пловец должен был бы держать
курс прямо в точку В, т. е. направление скорости отно-
сительно воды должно быть перпендикулярно берегу
(рис. 6).
Рис. 6
В этом случае скорость пловца относительно берегов
υ будет направлена вниз по течению под углом αϊ к бе-
регу. Она будет равна:
а путь, пройденный пловцом с этой скоростью, будет
равен АС.
Причем
т. е. этот путь больше пути в спокойной воде во столько
раз, во сколько скорость абсолютного движения больше
скорости в спокойной воде. В этом случае время пере-
правы / будет равно т. е. времени переправы в спо-
койной воде.
Пользуясь координатным методом, эту задачу можно
решить еще и другим способом.
Начало прямоугольной системы координат совме-
стим с точкой, в которой пловец входит в воду. Ось Ох
направим вдоль берега по течению, ось Оу—перпенди-
кулярно к берегу. Предположим, что скорость пловца V\
составляет неизвестный нам угол α с осью Ох.
Составляющие этой скорости по осям координат бу-
дут: i/i^='u1cosa и V\y==visinoL. Тогда уравнение движе-

ния для проекции на ось Оу будет: y = V\ sina-/. Пловец
попадает на другой берег при y=d. Следовательно, вре-
мя переправы t = v f[na . Оно будет минимальным,
когда sina максимален, т. е. при a = 90°. Следовательно,
скорость пловца V\ должна быть направлена перпенди-
кулярно берегу и кратчайшее время переправы t= —.
Как мы уже отмечали, для жителей Земли психологи-
чески вполне понятна тенденция абсолютизировать в ка-
честве системы отсчета землю или тела, жестко связан-
ные с ней. Этому способствует не только то, что в обы-
денной жизни мы рассматриваем происходящие вокруг
нас движения по отношению к земле (или предметам,
с ней скрепленным), но и то, что мы в школе чаще всего
решаем такие задачи, в которых требуется найти ско-
рости относительно земли.
Для того чтобы не происходило такой абсолютиза-
ции Земли как системы отсчета в сознании учащихся,
желательно решать и такие задачи, в которых проще
всего находится ответ при пересчете скорости в систему,
движущуюся относительно земли. При решении таких
задач затруднения у учащихся возникают часто именно
из-за их стремления всегда определять скорость отно-
сительно земли.
Приведем пример. При решении задачи на нахожде-
ние угла, который образует с вертикалью след дождевой
капли на стекле вагона, падающей со скоростью υχ, если
поезд движется со скоростью υ2ι у многих учащихся
наблюдается следующая ошибка. Складывают скорость
ϋι капли относительно земли со скоростью ν2 поезда от-
носительно Земли и получают, естественно, совсем не то
направление следа (рис. 7), который они, находясь
в движущемся поезде, наблюдают на окнах вагона.
Ошибка происходит вслед-
ствие того, что учащиеся в ка-
честве неподвижной системы
отсчета, по отношению к кото-
рой они привыкли находить
результирующую скорость, счи-
тают и в этом случае землю.
А в данном случае надо было
пересчет движения вести из
Рис. 7
Рис. 8

системы земля в систему поезд, т. е. нужно находить ре-
зультирующую скорость относительно поезда. Капли па-
дают со скоростью Ό\ относительно земли. Так как опре-
деление скорости ведется относительно системы поезд, то
именно его мы считаем неподвижным, а землю — дви-
жущейся со скоростью — υ2 (рис. 8). Тогда скорость
капли относительно поезда определится диагональю па-
раллелограмма, построенного на скоростях Ό\ и —1;2; угол
α легко найти из треугольника:
Приведем еще примеры задач, в которых учащимся
самим приходится решать вопрос о наиболее целесооб-
разном выборе системы отсчета.
Корабль плывет на юг со скоростью 42,3 км/ч. Заме-
тив в море катер, наблюдатель, находящийся на палубе
корабля, определил, что катер движется на северо-восток
со скоростью 30 км/ч.
Какова скорость катера в системе земля и в каком
направлении он идет?
Заметим, кстати, что в одном из новых задачников \
в котором помещена эта задача, вопрос сформулирован
неудачно. Автор спрашивает: «Какова в действитель-
ности скорость катера...», т. е. подчеркивает, что ско-
рость относительно земли это «действительная», а ско-
рость относительно корабля это уже какая-то не «истин-
ная», а «кажущаяся».
В этой задаче относительная скорость дана в системе
корабль; переносная скорость самой системы отсчета —
корабля — известна. Поэтому скорость в системе земля
легко определяется сложением относительной и перенос-
ной скоростей.
Приведенная ниже вторая задача решается значи-
тельно проще, если в качестве системы отсчета выбирает-
ся тело, движущееся относительно земли.
Трамвай идет со скоростью ν{ по прямому пути MN
из точки А (рис. 9). Из точки В, находящейся на рас-
стоянии I от А, выезжает автомобиль, развивающий
скорость υ2. Под каким углом к трамвайному пути
1 В. А. Балаш, Задачи по физике, изд. «Просвещение», М.,
1964, задача 11.

Рис. 9
должна быть направлена
скорость, чтобы автомобиль
догнал трамвай по кратчай-
шему пути?
Для решения этой зада-
чи целесообразно выбрать в
качестве системы отсчета
трамвай. Тогда скорость
земли относительно трам-
вая будет ( — υ\). Скоростью
автомобиля относительно
трамвая (принимаемого за
неподвижное тело отсчета) находится сложением ско-
ростей ν2 и —Ό\. По условию задачи (кратчайший путь!)
эта скорость должна быть направлена по прямой АВ.
Решение ряда таких задач приводит учащихся к яс-
ному пониманию смысла сложения скоростей, непосред-
ственно связанного с понятием относительного дви-
жения.
§ 3. Границы применимости классического закона
сложения скоростей
Раскрытие границ применимости ряда физических по-
нятий и закономерностей, изучаемых в средней школе,
является важной стороной формирования мировоззре-
ния учащихся.
В основе теории познания диалектического материа-
лизма лежит принципиальное положение о том, что,
с одной стороны, наши представления и понятия не апри-
орны, а являются обобщением опыта человечества и что,
с другой стороны, природа неисчерпаема, и поэтому
наши понятия и представления имеют ограниченную
применимость.
Раскрытию этого положения не придается должного
значения даже в старших классах. В частности, при
изучении механики учащиеся не получают представления
о том, что понятия и закономерности классической меха-
ники не обладают абсолютной точностью и универсаль-
ной применимостью. На протяжении изучения всего раз-
дела не приводится ни одного примера, показывающего
границы применимости изучаемых закономерностей.

Именно поэтому наши учащиеся, по крылатому выра-
жению Д. Данина1, «успевают на школьной скамье
стать современниками Ньютона, но не успевают стать
современниками Эйнштейна».
У учащихся не формируется понятие об относитель-
ности ряда изучаемых закономерностей, не выясняется
соотношение между относительной и абсолютной исти-
нами в процессе познания. Это является существенным
пробелом в физическом образовании учащихся, в фор-
мировании их мировоззрения, так как вопрос о соотно-
шении относительной и абсолютной истин имеет непо-
средственное отношение к основному вопросу филосо-
фии — об отношении создаваемых нами понятий и теорий
к объективному миру.
«Озабоченная только тем, чтобы мы знали назубок
законы Ома и Гей-Люссака... школа совершенно не за-
ботится о нашем физическом мировоззрении. А между
тем каждый жаждет хотя бы почувствовать неизбеж-
ность и осознать необходимость той неклассической, по
слухам — совершенно непонятной картины движущейся
материи, которую рисует физика XX века»2.
Несмотря на некоторое преувеличение Д. Данина,
нельзя не признать справедливости его критики о недо-
статочной заботе, проявляемой в отношении формирова-
ния мировоззрения учащихся, создания у них современ-
ной научной картины мира.
Вопрос заключается не в том, чтобы одновременно
с классической учащиеся изучали уже в VIII классе и ре-
лятивистскую механику. Это вряд ли возможно и не мо-
жет привести к хорошему усвоению механики. Однако,
преподавая классическую механику, следует показывать
учащимся, что она справедлива в определенных грани-
цах, показывать относительный характер некоторых по-
лучаемых ими знаний. Как известно, новые крупные от-
крытия обнаружили ограниченность и относительность
ряда фундаментальных понятий классической физики.
Понятия и теории изменяются в ходе познания. Они
меняются по мере того, как мы все глубже познаем ма-
териальный мир. Научные понятия и теории отражают
1 Д. Данин, Неизбежность странного мира, изд. «Молодая
гвардия», М., 1962.
2 Там же.

Неполно, иногда односторонне, определенные черты дей-
ствительности; поэтому для определенного историческо-
го этапа они служат ступенью для последующего более
глубокого познания.
Каждая ступень познания есть ступень относительно-
го, а не абсолютного знания, но в этом относительном
знании есть частица абсолютного, в нем есть объектив-
ное содержание, не зависящее от человека.
Вопрос об изменчивости научных понятий не имеет,
конечно, ничего общего с вопросом об их объективном
содержании. Последнее подтверждается тем, что, воз-
никнув, эти понятия позволяют нам, во-первых, решать
ряд нынешних практических задач и, во-вторых, дви-
гаться к еще более глубокому знанию.
Процесс развития научных идей определяется необ-
ходимостью приводить теории в соответствие с более
широкой практикой, достигнутой на основе предыдущего
познания.
Так, например, идеи теории относительности возник-
ли в науке в результате обобщения новой практики, свя-
занной с необходимостью отразить движение электри-
чески заряженных тел с околосветовыми скоростями.
Появившись, она помогла разрешить ряд новых, ранее
не возникавших практических задач, например создать
новый тип ускорителей и т. п.
В этом процессе развития познания выкристаллизо-
вываются взгляды, которые точнее отображают действи-
тельность. Характерным здесь является то, что пере-
смотр основных физических понятий и закономерностей
завершается не простым отрицанием накопленных ранее
представлений, а отрицанием глубоко диалектическим,
которое сопровождается обобщением основных понятий
на значительно более широкую область явлений. Сущ-
ность пересмотра сводится обычно к пересмотру тех гра-
ниц, в пределах которых классические представления
применимы к реально существующим условиям.
Физическая теория является правильной, если она
имеет определенную область применения, где она не про-
тиворечит себе и опытным фактам. Такой теорией яв-
ляется ньютоновская механика.
Дальнейшее развитие теории не отменяет и не опро-
вергает правильную теорию, а только расширяет ее по-
нятия так, чтобы охватить новые области применения.

Это неразрывно связано с объективным характером фи-
зических знаний.
Теория относительности и квантовая механика не от-
брасывают предшествующие теории, а являются по от-
ношению к ним обобщенными теориями. При некоторых
предельных значениях параметров эти обобщенные тео-
рии возвращаются к классическим, которые оказывают-
ся, таким образом, частными случаями обобщенных
теорий.
Формирование у учащихся правильного понимания
закономерного хода развития познания — важный воп-
рос идеологического воспитания. Оно должно происхо-
дить постепенно и систематически по мере изучения
курса физики.
Для этого необходимо:
а) в тех случаях, где это возможно, показывать
границы применимости изучаемых в школе понятий и за-
конов, т. е. разъяснять эти закономерности как истину,
имеющую объективное содержание, проверяемое прак-
тикой, применимостью к ряду явлений, но истину отно-
сительную— ступень более обобщенного знания;
б) показать, что новые научные идеи возникают не
беспорядочно, а развиваются в определенном направле-
нии. Этот процесс определяется необходимостью приво-
дить теории в соответствие с более широкой практикой,
достигнутой на основе предыдущего знания;
в) показать, что новые знания, возникающие в ходе
исторического развития познания, являются обобщенны-
ми по отношению к старым, а не отрицают их.
Содержание школьного курса физики позволяет в из-
вестной мере осуществить эти требования. Первая воз-
можность такого рода в разделе механики возникает
в связи с изучением классического закона сложения ско-
ростей.
После того как учащиеся изучат и хорошо усвоят этот
закон, следует показать, что он является достаточно
точным лишь для скоростей малых в сравнении со ско-
ростью света, а движения с релятивистскими скоростями
подчиняются более общему закону, по отношению к ко-
торому классический является частным случаем. Это
можно сделать уже при изучении кинематики. Однако
не исключена и другая возможность — вынести изучение

этого вопроса вместе с другими подобными (например,
выяснением границ применимости классического поня-
тия массы) в динамику и рассмотреть их после изучения
законов динамики и принципа относительности Галилея,
Этапы ознакомления учащихся с границами примени-
мости классического закона сложения скоростей сводят-
ся к следующему:
а) Выясняют, что скорость света, в отличие от ско-
ростей любых других материальных тел, является не от-
носительной, а абсолютной величиной — она одинакова
во всех системах отсчета, т. е. знакомят учащихся с од-
ним из двух постулатов специальной теории относитель-
ности. Это утверждение должно получить обоснование,
во всяком случае неизбежность этого вывода должна
быть разъяснена учащимся.
В VIII классе можно разъяснить абсолютность вели-
чины скорости света прежде всего на основе обсуждения
результатов астрономических наблюдений над двойны-
ми звездами.
В самом деле, если исходить из того, что скорость
света является величиной относительной, как любая дру-
гая скорость, то необходимо указать систему отсчета,
от которой она зависит (по отношению к которой она
может быть измерена).
Естественнее всего представить себе, что она зависит
от движения источника, испустившего его. В этом случае
она должна складываться со скоростью источника, по-
добно тому как скорость движения человека в поезде по
отношению к станции складывается из скорости чело-
века в системе поезд и скорости поезда в системе земля.
Однако наблюдения над двойными звездами опроверга-
ют эту гипотезу.
Известно, что двойными звез-
дами называются пары звезд, на-
ходящиеся на сравнительно близ-
ком расстоянии друг от друга, из
которых одна обращается вокруг
другой (рис. 10). Для этих звезд
измерены расстояния друг от
друга, скорость обращения одной
звезды вокруг другой, а также
расстояние до Земли. Пусть звез-
да В обращается вокруг звезды
Рис. 10

А по часовой стрелке. В положении I скорость света по
отношению к Земле будет c+v, где с — скорость света
относительно звезды, a ν — скорсть движения звезды.
В положении II она будет с — υ. Несмотря на то что ско-
рость движения звезд чрезвычайно мала по сравнению
со скоростью света, этой разности в скорости вполне до-
статочно, чтобы при движении до Земли «быстрый» свет
догнал «медленный» или даже перегнал его.
Если оба луча света дойдут до Земли одновременно,
то в телескоп вместо двойной звезды мы увидим трой-
ную: кроме центральной, мы увидим вторую звезду сра-
зу в двух положениях, из которых распространялся
«быстрый» и «медленный» свет.
Если расстояние до Земли так велико, что «быстрый»
свет за время своего движения перегонит «медленный»,
то астрономы увидят звезду В в положении II раньше,
чем в положении I. Однако такие явления никогда не
наблюдались. Это заставляет считать, что скорость света
не складывается с движением источника, не зависит от
него.
Обоснование абсолютности скорости света, вообще
говоря, требует проверки и второй гипотезы — возмож-
ности измерить скорость света в пустоте относительно
движущегося тела.
Если бы оказалось, что относительно этого тела ско-
рость света в пустоте различна в разных направлениях,
например вдоль пути и перпендикулярно к нему, то мож-
но было бы говорить об относительности этой скорости
и о применении к ней закона сложения скоростей.
Известно, что ответ на этот вопрос и притом отрица-
тельный дан в историческом опыте Майкельсона и Мор-
ли (1887 г.).
Однако идея этого опыта сложна для учащихся
IX класса. В некоторых частях она и недоступна им, так
как требует знания явления интерференции. Поэтому,
в лучшем случае, можно только сослаться на то, что
такой опыт был поставлен. Лабораторией для экспери-
мента являлась наша Земля, движущаяся вокруг Солн-
ца со скоростью 30 км/сек. Изучая распространение
света на Земле вдоль ее движения и перпендикулярно
к нему, установили, что скорость света не складывается
со скоростью Земли. Подробно с идеей опыта Майкель-
сона учащихся можно знакомить лишь в X классе.

Таким образом, скорость света в вакууме не склады-
вается ни с какой другой скоростью. Относительно лю-
бого тела она равна одной и той же величине —
300 000 км/сек.
Итак, получен важнейший вывод о том, что скорость
света — величина абсолютная. Классический закон сло-
жения скоростей к ней неприменим. Однако нужно по-
казать, что он неприменим также ко всем телам, движу-
щимся с околосветовыми скоростями.
Из факта абсолютности скорости света еще не сле-
дует, что она является предельной, что ни одно тело не
может двигаться, ни один материальный процесс не
может происходить с большей скоростью. Между тем
только существование в мире предельной скорости ли-
шает закон сложения скоростей его универсальной при-
менимости к большим и малым скоростям.
Ведь если какая-то система (поезд Эйнштейна) дви-
гается относительно другой системы (земля) со скоро-
стью, например, 240 000 км/сек., а относительно первой
системы движется тело со скоростью 100 000 км/сек, то
его скорость относительно другой системы не может
быть равна
240 000 км/сек+100 000 км/сек = 340000 км/сек,
так как она превышает предельную скорость, сущест-
вующую в природе. Для больших скоростей должен дей-
ствовать более точный закон сложения, который остав-
ляет величину скорости света в вакууме предельной для
всех тел в природе.
б) Второй этап, приближающий к ознакомлению
учащихся с границами применения классического зако-
на сложения скоростей, связан с выяснением существо-
вания в природе предельной скорости движения тел
и протекания материальных процессов, равной скорости
света в пустоте.
Обоснование этого положения далеко не просто. Ко-
нечно, можно найти такой выход. Учащимся просто со-
общается, что скорость света не только абсолютная ве-
личина. Она играет исключительно важную роль в сов-
ременной физике именно в связи с тем-, что является
максимальной для движения тел, для передачи действия
(сигнала) из одной точки пространства в другую.
Можно сослаться на то, что экспериментальные фак-
ты, с которыми учащиеся будут знакомиться в дальней-

тем, например при изучении электронной теорий, слу-
жат подтверждением этого закона.
В дальнейшем можно будет привести сколько угодно
парадоксальных примеров, следующих из того допуще-
ния, что скорость электронов может быть больше ско-
рости света. Невозможность ситуаций, к которым при-
водят эти примеры, показывает, что последовательная
электронная теория не может быть построена на основе
механики Ньютона, в которой отсутствует представле-
ние о существовании предельной скорости, и, следова-
тельно, имеет место классический закон сложения ско-
ростей.
В той части курса, в которой учащиеся будут знать
о фотонах как о частицах материи, существующих толь-
ко в движении со скоростью с, т. е. у которых масса по-
коя равна нулю, легко будет показать, что не может
быть такого тела, которое может двигаться с такой же
скоростью. Ведь относительно такого тела фотон будет
находиться в покое. А значит, для тела, движущегося
со скоростью света, фотон перестанет существовать, так
как его масса покоя равна нулю. В то же время для
других тел он будет существовать! Это уже нелепость,
несовместимая с научной теорией. Отсюда вывод: нет
таких материальных тел, которые движутся со скоростью
света *. Однако эти вопросы можно будет обсуждать
с учащимися значительно позже, а не при изучении ме-
ханики.
Открытие существования в мире предельной скорости
является одним из величайших триумфов человече-
ской мысли. Поэтому изложение этого вопроса без
должной аргументации нельзя считать наилучшим вари-
антом.
В классе с достаточно развитыми учащимися можно
обоснование предельной скорости строить на основе рас-
смотрения относительности понятия одновременности.
Элементарный доступный учащимся VIII класса и вполне
корректный анализ понятия одновременности можно
1 Л. Инфельд в статье «История развития теории относитель-
ности» писал, что, еще будучи 16-летним гимназистом, Эйнштейн за-
думывался над вопросом о том, «что случится, если кто-нибудь по-
бежит за световым лучом и попытается догнать его».
«Эйнштейн и современная физика. Сборник памяти А. Эйнштей-
на». Гостехиздат, М., 1956.

найти во многих научно-популярных книгах по теории
относительности К
Изложение этого вопроса проводится в виде анализа
некоего мысленного эксперимента. Пусть по прямому
пути с постоянной скоростью движется длинный поезд.
В некоторый момент времени точно в середине поезда
вспыхивает лампочка. Через некоторое время свет от
нее достигает дверей, которые находятся в переднем
и заднем концах поезда. Двери при этом автоматически
открываются.
Как это явление будет происходить с точки зрения
пассажиров в поезде и наблюдателей на платформе?
Люди, сидящие в поезде, увидят, что обе двери от-
крываются одновременно. Ведь скорость света во всех
направлениях одинакова, а пути света от середины по-
езда до обеих дверей одинаковы.
Для неподвижных наблюдателей на платформе свет
также распространяется во все стороны с одинаковой
скоростью. Но поезд движется. Задний вагон идет на-
встречу световому лучу, а передний уходит от него. По-
этому задней двери он достигнет раньше, чем передней.
Наблюдатели на платформе увидят, что вначале от-
кроется задняя дверь, а затем передняя. Конечно, раз-
ница во времени может быть заметной лишь в том слу-
чае, если поезд движется со скоростью, близкой к ско-
рости света.
Итак, из абсолютности скорости света, доказанной
экспериментально, вытекает вывод о том, что события,
являющиеся одновременными в одной системе отсчета,
оказываются разделенными некоторым промежутком
времени в другой системе.
Логически совершенно неопровержимо доказывается
тем самым относительность понятия одновременности.
Нет необходимости в этом месте курса прослеживать
за остальными выводами из этого мысленного экспери-
мента, касающимися замедления времени и сокращения
масштабов. Это будет вопросом изучения в X классе.
Здесь мы получили лишь тот вывод, который необходим
для обоснования предельности скорости света.
1 Л. Д. Ландау и Ю. Б. Румер, Что такое теория относи-
тельности, Новосибирское книжное изд., 1963; М. Гарднер, Теория
относительности для миллионов, Атомиздат, М., 1965; и др.

Полученный вывод, несомненно, покажется учащимся
удивительным, противоречащим здравому смыслу. По-
этому с ними необходимо на эту тему более подробно
побеседовать и объяснить, что наука не боится столкно-
вений с так называемым здравым смыслом, т. е. с пред-
ставлениями, которые кажутся нам привычными, скла-
дываются интуитивно.
Представления об абсолютности понятия одновре-
менности сложились потому, что мы живем в мире ско-
ростей, далеких от скорости света. Различия в интерва-
лах между двумя событиями в различных системах
отсчета, движущихся относительно друг друга со скоро-
стями, с которыми мы привыкли иметь дело, ничтожны.
Они не могут быть обнаружены.
Однако, если в науке обнаруживается несогласие
существующих представлений с новыми данными опыта,
она безжалостно ломает сложившиеся представления,
поднимая наши знания на более высокую ступень. Новые
экспериментальные данные привели к непреложному
выводу: два события являются одновременными не во
всех системах отсчета, не во всех лабораториях, а лишь
в тех, которые покоятся относительно друга друга; если
же они движутся относительно друг друга, то события,
одновременные в одной лаборатории, будут неодновре-
менными в другой.
Если относительность одновременности является до-
казанным непреложным фактом, то отсюда сразу
следует тот вывод, ради которого мы анализировали
этот вопрос,— вывод о том, что скорости имеют
предел.
В самом деле, если бы можно было осуществить пе-
редачу сигналов с бесконечной скоростью, то одновре-
менные события в одной лаборатории мы должны были
бы считать одновременными во всех других, независимо
от их относительной скорости, так как бесконечно быст-
рый сигнал о первом событии приходил бы во всех слу-
чаях одновременно с сигналом о втором событии. А это
противоречит, как мы убедились, выводам, полученным
из эксперимента. Скорость передачи любых сигналов не
может быть бесконечной; она имеет предел, совпадаю-
щий со скоростью света.
Таким образом, на основе довольно длинной логиче-
ской цепи мы получили необходимый вывод. Надо заме-

тить, что каждое звено этой цепи вполне доступно уча-
щимся, хотя вся последовательность выводов не всеми
учащимися самостоятельно может быть воспроизведена.
Но это и не обязательно от них требовать. Все же все
учащиеся усвоят необходимый вывод не догматически;
они будут знать, что он может быть доказан, хотя не все
полностью запомнят логику умозаключений, построен-
ных на экспериментальных фактах.
Подобная беседа воспринимается учащимися с ис-
ключительным интересом. Она рождает в сознании уча-
щихся представления, к которым они постепенно будут
привыкать и которые помогут им в дальнейшем усвоить
важные идеи современной физики.
Итак, закон сложения скоростей неприменим к около-
световым скоростям, он должен быть заменен другим,
более точным, справедливым как для малых, так и для
больших скоростей. Классический закон сложения ско-
ростей— не абсолютная, а относительная истина. Его
достаточная точность для большого круга явлений —
движений со скоростями, далекими от скорости света,—
доказывает объективность его содержания. Однако для
того чтобы показать, что он представляет собой опре-
деленную ступень познания, необходимо показать так-
же, что он является частным случаем более общего ре-
лятивистского закона.
Вывод этого закона, хотя и возможен в VIII классе,
но требует слишком сложного для них анализа понятий
времени и пространства.
Поэтому возникает необходимость релятивистский
закон сложения скоростей ν<>'= Vn ~*~ V] дать без вы-
вода, но с последующим его анализом.
Этот анализ должен показать следующее:
а) При скоростях v0 и υ\, малых по сравнению с с,
величина V(^x < 1, и ею можно пренебречь. Тогда,
в этом частном случае, получают уже известную класси-
ческую формулу O2 = V0 + O\. Значит, классический закон
является частным случаем более общего и точного реля-
тивистского закона.
б) При скоростях щ и Ou сравнимых со скоростью
света, применение релятивистской формулы, вместо

классической, дает вполне ощутимую разницу в резуль-
тате: скорость t>2, вычисленная по обобщенной формуле,
будет меньше, чем по классической, в k раз, где £ = 1 +
+ Vpl . Чем больше скорости v0 и ν и тем больше этот
коэффициент k.
в) Главный вывод из анализа, подтверждающий его
справедливость, должен показать, что, применяя его
к скоростям, не превышающим скорость света, снова по-
лучают скорость, не превышающую с. Ведь именно су-
ществование предельной скорости показало непримени-
мость закона v2=Vo+v{ К околосветовым скоростям.
Для этого представим формулу в следующем виде:
Так как ^о^С с и V\ числитель и знаменатель, а с ними и вся дробь положи-
тельны. Кроме того, раскрыв круглые скобки, можно по-
казать, что числитель дроби меньше знаменателя, т. е.
что эта дробь правильная:
Поэтому величина в квадратных скобках меньше еди-
ницы, а, следовательно, v2^Cc.
Если v0=c и V\ = c, то и v2=c. Это есть не что иное,
как закон постоянства скорости света. Таким образом,
релятивистский закон сложения скоростей эквивалентен
утверждению о существовании в природе предельной
скорости.
При разъяснении учащимся приведенной формулы
нужно не упускать из виду того, что она применяется
при изменении системы отсчета при пересчете скорости
от одной системы отсчета к другой. Полученная реляти-
вистская формула также предназначена именно для пе-
ресчета величины скорости одного и того же тела от
одной системы к другой. Если же из одной и той же
системы отсчета наблюдаем два движущихся навстречу

друг другу тела, причем скорости этих тел, например,
равны 2/3 с, то расстояние между этими телами будет
уменьшаться на 4/з с, т. е. на 400 000 км за каждую се-
кунду.
Ряд упражнений может помочь лучше уяснить связь
между классическим и релятивистским законами, пока-
зать, почему нет смысла применять общий закон, спра-
ведливый как для больших, так и малых скоростей, к
скоростям, малым по отношению к с.
1. Найти с помощью классической и релятивистской
формул скорость пули относительно земли, если она
выпущена из горизонтально летящего самолета со ско-
ростью 1000 м/сек, а скорость самолета относительно
земли 1440 км/ч. Сравните полученные значения.
2. Произведите по обеим формулам сложение отно-
сительной и переносной скоростей, каждая из которых
равна: а) Уг с; б) 2/з с. Сравните полученные результаты.
§ 4. Формирование понятия о векторных величинах.
Последовательность изучения вопросов кинематики
В программах курса физики средней школы и соот-
ветственно им в учебниках вопросы кинематики прямо-
линейного и криволинейного движений до сих пор дава-
лись раздельно; между ними включается тема «Дина-
мика прямолинейных движений». Однако в последнее
время высказываются мнения о том, что изучение вопро-
сов кинематики прямолинейных и криволинейных дви-
жений следует проводить совместно. Это мнение пред-
ставляется правильным.
Объединение однородного материала в пределах од-
ной темы может дать некоторую экономию во времени,
что уже является немаловажным фактором, так как
бурный рост научной информации, которую постепенно
необходимо вводить в среднюю школу, требует изыска-
ния всех возможностей интенсификации обучения. Од-
нако при всей важности указанного аргумента не в нем
заключается основное преимущество такой системати-
зации материала.
При изучении кинематики формируются понятия
рении. Трудно переоценить, насколько важно глубокое
и полное понимание векторных величин для усвоения
о векторных величинах — перемещении, скорости, уско-

всех вопросов механики. Не случайно в прекрасной книге
А. Эйнштейна и Л. Инфельда «Эволюция физики» под-
черкивается, что понимание векторного характера вели-
чин является одной из путеводных нитей, позволяющих
понять руководящие идеи, ведущие к раскрытию основ-
ных закономерностей механики.
Может ли быть сформировано понятие о векторной
величине в пределах изучения кинематики прямолиней-
ного движения в той мере, в какой это нужно для пони-
мания динамики? Совершенно очевидно, что нет. В са-
мом деле, какое значение усматривают учащиеся в том.
что скорость есть векторная величина? Как этот вектор-
ный характер скорости или ускорения сказывается при
изучении прямолинейных движений?
В связи с тем, что в прямолинейных движениях из-
менения скорости всегда направлены по линии скорости
(в ту же или в противоположную сторону), нахождение
скорости в каждый следующий момент времени произ-
водится алгебраически. Только при переходе к криволи-
нейному движению совершается переход от мышления
непрерывно изменяющимися алгебраическими величина-
ми к мышлению непрерывно изменяющимися векторны-
ми величинами. То, что направленность, так же как
и размер (число), существенна для характеристики ско-
рости, определяет ее величину, учащиеся не могут по-
нять при анализе прямолинейных движений. Только
в тех случаях, когда ускорения направлены под углом
к скорости, выяснится, что два вектора скорости, имею-
щие одинаковый размер, но направленные под углом
друг к другу, это неравные векторы, и равномерное дви-
жение по окружности есть движение с ускорением.
Оставаясь в рамках изучения прямолинейного движе-
ния, учащиеся не вкладывают в понятия векторных ве-
личин иного смысла, кроме того, что это перевод неко-
торых фраз о направленности ряда физических величин
на другой символический язык. То, что эта символика
приводит к важным обобщениям, в которых понятия век-
тора являются весьма существенными, они увидят и пой-
мут лишь при изучении криволинейных движений. При
переходе к криволинейным движениям происходит обоб-
щение понятий перемещения, скорости, ускорения, ранее
введенных в кинематике прямолинейных движений. Эти
понятия, которые были полезны при изучении прямоли-

нейных движений, оказываются применимыми и к кри-
волинейным — в этом состоит обобщение этих понятий,
причем операции над ними происходят по тем же пра-
вилам. При всяком обобщении должно быть строго удо-
влетворено одно требование: любое обобщенное понятие
должно сводиться к первоначальному, когда выполняют-
ся первоначальные условия.
Кривая включает в это понятие и прямую. Если ско-
рость и изменение скорости введены для движения по
кривой, то они тем самым автоматически вводятся и для
движения по прямой. Но этот результат не должен про-
тиворечить результатам, полученным ранее. Если кривая
становится прямой, то все обобщенные понятия должны
свестись к обычным понятиям, описывающим прямоли-
нейное движение.
Именно так и вводятся эти понятия. Действительно,
скорость в криволинейном движении есть вектор, на-
правленный по касательной к криволинейной траектории
в данной точке. Касательная к прямой есть сама прямая,
следовательно, понятие скорости в криволинейном дви-
жении сводится к прежнему понятию, если криволиней-
ная траектория становится прямолинейной.
Изменение скорости при движении вдоль прямой изо-
бражается вектором (рис. 11, пунктир), замыкающим
Рис. 11 Рис. 12
концы векторов, изображающих скорости в начальный
и конечный моменты времени. Второй вектор переносит-
ся вдоль прямой так, что оба. имеют одну и ту же на-
чальную точку. (Векторы скорости изображены парал-
лельными отрезками, чтобы на чертеже они не слива-
лись.) Но так же находится и изменение скорости
в криволинейном движении, когда направление скоростей
составляет некоторый угол друг с другом (рис. 12). Та-
ким образом, все понятия, относящиеся к прямолиней-
ным движениям, оказываются частным случаем обоб-
щенных понятий.

К началу изучения динамики необходимо, чтобы уча-
щиеся владели этими обобщенными понятиями скорости
и ускорения, знали те случаи, когда вектор ускорения не
совпадает по направлению с вектором скорости, состав-
ляет с ним некоторый угол (в частности, прямой). Тогда
им легче будет понять, что тело вовсе не обязательно
движется в том направлении, куда направлена сила.
Нельзя недооценивать трудности которая возникает
у учащихся при усвоении основной руководящей идеи
в анализе механических движений, заключающейся
в том, что силы ответственны за ускорения, а не за
скорости. Не так легко происходит уяснение уча-
щимися, что не движения, а изменения движений свя-
заны с действиями сил, не скорости, а ускорения имеют
то же направление, что и силы, действующие на тело.
Учащимся свойственно то интуитивное мышление,
которое отличало аристотелевский период науки и под-
держивалось его авторитетом.
Наша интуиция связывает движение с такими дейст-
виями, как толчок или тяга. Кажется естественным за-
ключение, что, чем сильнее действие, оказываемое на
тело, тем больше будет его скорость. Интуиция говорит
о том, что скорость существенно связана с внешним
воздействием.
Однако метод рассуждений, навязанный интуицией,
неверен и приводит к ложным идеям в понимании дви-
жения, которые (поддерживаемые авторитетом Аристо-
теля) сохранялись в течение столетий. Он писал: «Дви-
жущееся тело останавливается, если сила, его толкаю-
щая, прекращает свое действие».
Именно этот образ мышления очень характерен для
многих учащихся, и это понятно, так как весь их жиз-
ненный опыт, все повседневные наблюдения, которые
они не пытаются глубоко осмыслить, не противоречат
динамике Аристотеля. Динамика Ньютона не так оче-
видна, она требует более глубокого проникновения
в явления.
Помочь в преодолении этой трудности нужно уже
в кинематике, при формировании обобщенных понятий
о скоростях и ускорениях как о векторных величинах.
Вот почему так существенно совместное изучение кине-
матики прямолинейных и криволинейных движений до
динамики.

Рассмотрим этапы формирования основных кинема-
тических понятий и последовательность изучения вопро-
сов этого раздела механики.
Путь и перемещение. В определение векторной вели-
чины должно входить не только то, что она характери-
зуется как размером, так и направлением, но также и то,
что операции с векторами, в частности сложение, произ-
водятся геометрически (по правилу параллелограмма
или треугольника). Именно это определяет векторный
характер величин. Если только ограничиться указанием
на их направленность, то не всегда учащиеся поймут,
почему, например, такая величина, как сила тока, имею-
щая определенное направление, не является векторной
величиной.
Нагляднее всего вводится понятие о векторной вели-
чине и операции с ней при введении понятия о переме-
щении на первых уроках кинематики.
В учебниках для средней школы и в практике препо-
давания, к сожалению, не всегда разграничивают поня-
тия пути и перемещения, а последнее иногда вовсе не
вводят. Между тем легко их разграничить и показать,
что одна из них—величина скалярная (путь), а вто-
рая— векторная (перемещение). Если движущаяся точ-
ка в некоторый момент времени находилась в А (рис. 13)
и за время Δ/ перешла в В, то ее перемещение характе-
ризуется отрезком АВ,
имеющим определен-
ное направление в про-
странстве (относитель-
но избранной системы
отсчета). Путь же точ-
ки, представляющий
собой отрезок траекто-
рии между начальным
и конечным ее положениями, зависит от формы траек-
тории: двигаясь по траектории I, она проходит меньший
путь, чем при движении по траектории II. Перемеще-
ние— вектор, имеющий направление от А к В. При пря-
молинейном движении вектор перемещения 5 по вели-
чине совпадает с пройденным путем.
Из определения понятия перемещения сразу же вы-
текает правило сложения перемещений. Если точка пере-
Рис. 13

ходит из А в В, а затем в С, то ее второе перемещение
есть отрезок ВС. Результирующее перемещение вы-
ражается отрезком АС (рис. 14), АС— замыкающая
двух составляющих пере-
мещений, или, что то же,
диагональ параллело-
грамма, построенного на
составляющих перемеще-
ниях.
Так впервые для уча-
щихся возникает, причем
с полной очевидностью, правило параллелограмма (или
треугольника) для сложения векторных величин. Это
правило сложения величин, характеризующихся не толь-
ко числом (размером), но и направлением, должно быть
введено в определение векторной величины: такие вели-
чины, которые, подобно перемещениям, характеризуют-
ся не только размером, но и определенным направлени-
нием в пространстве и складываются геометрически, на-
зываются векторными величинами.
Интересно отметить, что в книге Л. Ландау и А. Ки-
тайгородского 1 в определение векторной величины вхо-
дит только последнее — геометрическое сложение. По-
казав, что перемещения нельзя складывать алгебраиче-
ски, и выведя из рассмотрения чертежа метод нахожде-
ния результирующего перемещения, авторы пишут: «Сло-
жение описанным способом называется геометрическим,
а величины, складываемые этим способом, называются
векторами».
Вектор скорости. Векторный характер скорости не-
посредственно вытекает из того, что перемещение
является вектором. Скорость определяется как отноше-
ние перемещения ко времени, в течение которого оно про-
изошло. Именно отношение вектора перемещения ко вре-
мени, а не скалярной величины пути ко времени, как
часто определяют скорость в учебниках для средней
школы. Правда, как всякое обобщенное понятие, оно
справедливо и для частного случая: в прямолинейном
движении вектор перемещения совпадает с пройденным
путем. Однако векторный характер скорости непосредст-
Рис. 14
1 Л. Д. Ландау и А. И. Китайгородский, Физика для
всех, Физматгиз, М., 1963, стр. 18.

венно вытекает из обобщенного определения понятия
скорости.
Поскольку перемещение — вектор, то и скорость —
вектор, направленный в ту же сторону, что и переме-
щение.
Чтобы узнать направление вектора скорости в криво-
линейном движении, следует взять настолько малый от-
резок времени, чтобы в течение его можно было считать
отрезок траектории прямолинейным, а движение по это-
му отрезку равномерным. Направление этого отрезка,
практически совпадающего с касательной к траектории,
можно принять за направление вектора скорости. Итак,
существенно, что для определения скорости в криволи-
нейном движении необходимо брать очень короткий ин-
тервал времени, точно так же как при определении мгно-
венной скорости неравномерного прямолинейного дви-
жения. Скорость в криволинейном движении есть
мгновенная скорость в данной точке траектории.
Известно, что строгий анализ таких понятий, как
«очень короткий интервал времени», «очень малый отре-
зок траектории» и т. д., привел в свое время Ньютона
и Лейбница к открытию дифференциального исчисления.
Однако учащиеся средней школы не владеют аппаратом
исчисления бесконечно малых величин.
Методическое решение вопроса о предельных пере-
ходах, целесообразное для средней школы, дано в эле-
ментарном учебнике физики под редакцией акад.
Г. С. Ландсберга 1.
Сущность этого метода заключается в том, что вместо
математического понятия бесконечно малой величины
(промежутка времени в данном случае), строгое опре-
деление которого затруднительно дать учащимся VIII
класса, вводится понятие физически малой величины.
Это значит, что при определении мгновенной скорости
берется такой малый промежуток времени, в пределах
которого изменение скорости уже перестает улавливать-
ся физическими приборами. Этим ставится естественный
предел стремлению получить все более точное определе-
ние мгновенной скорости. Дальнейшее уменьшение про-
межутков времени теряет смысл, и среднюю скорость
1 «Элементарный учебник физики», под ред. акад. Г. С. Ланд-
сберга, т. I, «Наука», М., 1966.

за такой малый промежуток времени можно принять за
мгновенную скорость с той степенью точности, которая
имеет практический смысл.
Пользуясь этим понятием о пределе уменьшения фи-
зических величин, который естественным образом ста-
вится приборами, используемыми для их измерения, вво-
дится понятие о мгновенной скорости (или, что то же,
скорости в данной точке траектории) прямолинейного
движения и о мгновенной скорости в криволинейном
движении. Поэтому переход от изучения этого понятия
в прямолинейном движении к криволинейному будет со-
вершенно естествен и не вызовет затруднений учащихся.
Учащиеся получают сразу обобщенное понятие скорости
применительно к прямолинейным и криволинейным дви-
жениям.
Понятие ускорения. Так же как и скорость, понятие
ускорения должно быть развито у учащихся как обобщен-
ное, имеющее смысл для всех видов движений. В прямо-
линейном движении изменение скорости имеет то же на-
правление, что и скорость, или противоположное ей. По-
этому при сложении изменений скорости за некоторый
промежуток времени векторный характер ускорения не
проявляется, сложение производится алгебраически.
В том, что ускорение в прямолинейном движении всегда
направлено по линии скорости, кроется одна из причин
того, что учащиеся часто связывают направление силы
с направлением скорости, а не ускорения. Со случаями,
когда ускорение направлено под углом к скорости и ког-
да, следовательно, гораздо ярче могут быть связаны на-
правления сил и ускорений, они встречаются уже после
изучения динамики прямолинейных движений. В этом
состоит недостаток существующей систематики учебного
материала. Отсюда вытекает необходимость такого вве-
дения ускорения, которое показывает справедливость
этого понятия и для криволинейных движений.
Методика введения понятия ускорения при изучении
прямолинейных движений хорошо разработана и обще-
известна. Отметим лишь следующее:
а) Кроме среднего ускорения переменного движения
желательно ввести понятие мгновенного ускорения. От-
сутствие в программе этого понятия является большим
недостатком. Ведь равнопеременные движения в при
роде так же редки, как и равномерные. Поэтому учащие-

ся должны понимать, что ускорение при движении может
изменяться, и, следовательно, они должны иметь понятие
о мгновенном ускорении. Это значительно облегчит
в дальнейшем усвоение понятия о центростремительном
ускорении, поможет понять, почему при выводе форму-
лы центростремительного ускорения нужно рассматри-
вать изменения скорости именно в малый промежуток
времени. Непонимание учениками того, что при равно-
мерном движении по окружности не только скорость, но
и ускорение — переменный вектор (направление его
в каждой точке траектории меняется) и что, определяя
центростремительное ускорение, мы определяем мгно-
венное ускорение, приводит к тому, что весь вывод пред-
ставляется учащимся несколько надуманным и искусст-
венным. В дальнейшем понятие мгновенного ускорения
будет совершенно необходимо при изучении колебатель-
ного движения.
Проверка знаний большого числа учащихся различ-
ных школ показала хорошее усвоение того факта, что
скорость при равномерном движении по окружности —
величина переменная. Но, как правило, никто не уясняет
себе того, что и ускорение в этом движении — перемен-
ная величина (если на это специально не обращает вни-
мания учитель).
Методика введения понятия мгновенного ускорения
такова же, как и мгновенной скорости. Разъясняют, что
Δι/ . ,
-д-£ является средним ускорением в течение времени At.
Среднее ускорение в течение малого промежутка време-
ни называется мгновенным ускорением в том месте пути,
в котором находится тело в рассматриваемый промежу-
ток времени. Понятие о «малом промежутке времени»
дается в таком понимании, как было разъяснено выше.
б) При введении понятия ускорения в прямолиней-
ном движении вектор изменения скорости за данный
промежуток времени полезно изобразить на чертеже
(рис. 11). Для этого векторы скоростей в начальный и
конечный моменты времени представляем исходящими
из одной точки, так как начальная точка не имеет зна-
чения. Для того чтобы векторы не слились, изображаем
их параллельными отрезками. Тогда пунктирный вектор,
замыкающий концы векторов скорости, изображает из-
менение скорости за данный промежуток времени: Такой

чертеж полезен при переходе к изучению ускорения
в криволинейном движении. Он поможет понять, что из-
менение скорости при любом криволинейном движении
(обобщенное понятие) сводится к частному при измене-
нии условий, а это приведет к лучшему пониманию того,
как изображается вектор изменения скорости в криво-
линейном движении. Если такая связь не устанавливает-
ся, то учащиеся воспринимают изображение этого век-
тора, особенно при равных по величине скоростях, как
некоторый искусственный прием.
Учащиеся уже знают, как направлена скорость в кри-
волинейном движении (рис. 15, а). Для того чтобы изо-
Рис. 15.
Сразить изменение скорости в криволинейном движении,
применяют такой же прием, как и при прямолинейном
движении: изображают векторы скорости в различные
моменты времени исходящими из одной точки (рис. 15 6).
Тогда пунктирный вектор, замыкающий концы векторов
скорости, изображает изменение скорости. Из чертежа
ясно видно, что обобщенное понятие изменения скорости
переходит в частное, если движение по кривой перехо-
дит в движение по прямой. Смысл изображения вектора
изменения скорости и ускорения становится яснее, те-
ряется впечатление искусственности, которое невольно мо-
жет создаться у учащихся.
Итак, вектор изменения скорости в любом криволи-
нейном движении изображается замыкающей стороной
треугольника или стороной параллелограмма, построен-
ного на начальной и конечной скоростях движений.

Рис. 16
Вывод формул ускорения в прямолинейном дви-
жении и всех формул равнопеременных движений не вы-
зывает обычно затруднений. Отметим лишь,
что для усвоения их учащимися необходимо
соблюдение следующих условий:
а) Обеспечить демонстрацию записи как
равномерных, так и неравномерных движе-
ний (в частности, и равнопеременных). Де-
монстрации такого рода обеспечиваются
прибором Румянцева, записью с помощью
капельниц и т. д. Описание их имеется в ме-
тодической литературе К
б) При изучении равноускоренных дви-
жений, в частности свободного падения тел,
кроме измерений ускорения в известных
опытах, например с падающим цилиндром,
полезно использовать стробоскопические
снимки падающих тел. По таким снимкам
(рис. 16) можно предложить учащимся рас-
считать ускорение свободного падения.
в) Формирование понятий о функцио-
нальных зависимостях требует широкого
привлечения в преподавание графиков дви-
жений. Изучение равнопеременных движе-
ний необходимо сопровождать решением
графических задач и упражнений. Здесь
одинаково важны как задачи, требующие
для своего решения вычерчивания графи-
ков, так и упражнения в чтении готовых гра-
фиков различных движений.
г) При рассмотрении равнопеременного
движения необходимо особенно внимательно
отнестись к применению формул пути и ско-
рости этого движения. Приступая к реше-
нию задач, учащиеся должны четко пред-
ставить себе описанные в них физические яв-
ления и наметить общий план решения задачи. Особое
внимание нужно уделить выбору наиболее удобного по-
ложительного направления координатной оси и догово-
риться об общем начале отсчета времени движения и пу-
1 Л. И. Резников, Э. Е. Эвенчик, В. Ф. Юськович: Ме-
тодика преподавания физики, т. I, изд. АПН РСФСР, М., 1958.

тей, проходимых телами. Это значительно облегчает
решение задач в том случае, если в задаче рассматри-
вается движение нескольких тел, например брошенных
вертикально вверх в разные моменты времени (или из
различных пунктов). Если ось h направлена вверх, а за
начало отсчета времени выбирается момент бросания
одного из тел, то, очевидно, начальные скорости следует
считать положительными, а ускорение g отрицательным.
Высоты поднятия обоих тел в какой-то момент времени t
(например, в момент встречи этих тел) выразятся анало-
гичными формулами hi = v0t— Щ- и h2 = v0(t—τ) —
g(t — τ)2
—- 2 ' в которых время движения одного тела t9 а
второго (t—τ).
Общий случай криволинейных движений, так же,
впрочем, как и общий случай переменных прямолиней-
ных движений, в средней школе не изучается. Из криво-
линейных движений рассматриваются два частных слу-
чая—равномерное движение по окружности и параболи-
ческое движение брошенных тел. Необходимо отметить,
что параболическое движение брошенного тела и дви-
жения по окружности являются двумя различными ви-
дами криволинейного движения и ни одно из них не
включает в себя другое как частный случай. Так как об-
щие виды криволинейного движения не изучаются, а оба
указанных движения не сводятся одно к другому, нет не-
обходимости следовать принятому до сих пор порядку
изучения этих вопросов—сначала изучать движения бро-
шенных тел, а затем равномерное движение по окруж-
ности. Можно поступить как раз наоборот, и кинемати-
ку более простого равномерного движения по окруж-
ности, в котором скорость изменяется только по направ-
лению, изучать раньше, вслед за кинематикой равно-
мерных прямолинейных движений.
Что касается движения тел, брошенных горизон-
тально и под углом к горизонту, то этот более сложный
случай движения мы рассматриваем после изучения
законов динамики и принципа относительности Гали-
лея. Вместе с тем не исключается возможность такого
подхода к анализу параболических движений, при ко-
тором они изучаются сразу же после равнопеременных
прямолинейных движений.

Центростремительное ускорение. Выводы формулы
центростремительного ускорения, применяемые в учеб-
никах для средней школы и анализируемые в методиче-
ской литературе, можно разбить на 3 группы:
а) вывод, основанный на представлении движения
по окружности как сложного;
б) вывод, основанный на понятии годографа ско-
рости;
в) вывод, основанный на рассмотрении изменения
скорости в течение малого промежутка времени.
Первый способ неприемлем потому, что в нем дви-
жение по окружности трактуется как сложное. Причем,
так как система отсчета при этом не указывается, а, сле-
довательно, имеется в виду одна система отсчета, то та-
кой способ вообще неправомерен. Конечно, любое дви-
жение, в частности и движение по окружности, можно
истолковать как сложное и задавать двумя движения-
ми. Но формально-математический метод разложения
на составляющие не утверждает, что эти составляющие
движения являются одновременными движениями в од-
ной системе отсчета.
В основе координатного метода лежит введение
условной (а в некоторых случаях реальной) системы
отсчета, и одно из составляющих движений является дви-
жением именно в этой системе. Введение такой услов-
ной системы отсчета при изучении кинематики движе-
ния по окружности нецелесообразно. Поэтому указан-
ный метод неприемлем.
Вывод, основанный на понятии годографа вектора,
можно применить, однако и он не избавляет от необ-
Рис. 17

ходимости пользоваться понятием предельного пере-
хода. Изобразив векторы скорости в различных точках
окружности (рис. 17, а) исходящими из одной точки
(рис. 17, б), можно обосновать вывод о том, что дуга
годографа скорости—в данном случае длина окруж-
ности — является полным изменением скорости только
в том случае, если ее рассматривают как сумму бес-
конечно большого числа бесконечно малых изменений
вектора скорости. Так как понятием годографа вектора
учащиеся не владеют, нет смысла вводить его для вы-
вода формулы центростремительного ускорения.
Наиболее целесообразным остается вывод, основан-
ный на рассмотрении отношения-^-1. Введение понятия
мгновенного ускорения, а также последовательное рас-
смотрение вектора изменения скорости, начиная с пря-
молинейных движений, позволяет устранить основные
затруднения, которые обычно возникают при изучении
этого вывода.
Напомним еще об одном положении, существенном
для усвоения понятия ускорения, которое необходимо
разобрать с учащимися уже в кинематике до изучения
принципа относительности Галилея: в отличие от ско-
рости, ускорение является величиной абсолютной (ин-
вариантной) по отношению ко всем системам отсчета,
движущимся равномерно и прямолинейно друг относи-
тельно друга. Доступные учащимся рассуждения, при-
водящие к этому выводу, приведены в § 1 этой главы.
1 «Элементарный учебник физики», под ред. акад. Г. С. Ланд-
сберга, т. I, изд. «Наука», М., 1966, стр. 68—69.

Глава II
ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
§ 1. Развитие идеи относительности движения
в преподавании динамики. Инерциальные
и неинерциальные системы отсчета
Вопросы методики преподавания динамики, как
наиболее сложные из всего раздела механики, всегда
привлекали к себе внимание методистов и учителей фи-
зики. Многие методические проблемы, связанные с фор-
мированием основных понятий (массы, силы и др.)
и с изложением законов динамики, исследовались в ряде
диссертационных работ; им посвящены также многие
страницы в руководствах по методике физики.
Мы не ставим перед собой задачи касаться всех этих
проблем, так как многие из них нашли уже достаточно
хорошее методическое решение. В данном случае нас
будут интересовать лишь те, которые так или иначе свя-
заны с поставленной проблемой современного изложе-
ния механики, в том его понимании, как это было сфор-
мулировано выше.
В связи с этим в данной главе ставится задача обсу-
дить, как могут быть развиты при изучении динамики
некоторые основные идеи, которые мы пытались зало-
жить в преподавании кинематики. Среди них важное
место занимает идея относительности движения.
В практике преподавания часто забывают об относи-
тельности движения, когда приступают к изучению ди-
намики. Формулируя законы динамики как обобщения
опытных фактов, перед учащимися даже не ставят во-
проса о том, в каких системах отсчета справедливы эти
законы и существуют ли такие системы, в которых эти
законы не действуют. В качестве единственной системы
отсчета при этом молчаливо подразумевается земля или
тела, жестко связанные с ней.
Абсолютизация земли в качестве системы отсчета
неудачна не только в силу тех причин, которые обсуж-

дались выше. В современную эпоху космических полетов
земля потеряла свое исключительное значение как си-
стема отсчета. Кроме того, она не является строго инер-
циальной, и целый ряд явлений, рассматриваемых в
школе, со всей очевидностью это показывают.
При изучении кинематики уже разбирались случаи,
когда соображения удобства требовали применения
иных систем отсчета. Однако в рамках кинематики все
системы отсчета равноправны и не обладают преимуще-
ствами одна по отношению к другой. И лишь в динами-
ке выявляется класс систем отсчета, обладающих опре-
деленными преимуществами.
Идея относительности движения, развитию которой
в кинематике мы придавали такое значение, требует,
чтобы сразу же при изучении законов динамики был по-
ставлен вопрос о том, в каких системах отсчета они
действительны.
В самом деле, если при изучении кинематики уча-
щиеся усвоили, что движение тела описывается по-раз-
ному в различных системах отсчета, что траектория, ско-
рость, ускорение относительны, т. е. зависят от выбора
системы отсчета, то естественно возникает вопрос: в ка-
ких системах отсчета мы будем изучать движения и вы-
яснять законы, управляющие ими?
Здесь выясняется, что разумнее всего в качестве си-
стемы отсчета выбрать такую, в которой тела, не
подвергающиеся воздействию со стороны других тел,
сохраняют состояние покоя или равномерного прямо-
линейного движения. Другими словами, такие системы,
в которых выполняется закон инерции.
Таким образом, понятие об инерциальных системах
отсчета возникает сразу же при изучении первого закона
Ньютона. Возникает, однако, далеко не простой вопрос:
как дать четкое определение инерциальных систем от-
счета?
Если мы определяем эти системы как такие, в кото-
рых тела, не взаимодействующие с другими, сохраняют
состояние покоя или равномерного прямолинейного дви-
жения, то как-то необходимо установить, что на тела не
действуют внешние силы. Непротиворечивый ответ на
этот вопрос заключался бы в следующем: увести наше
тело настолько далеко от всех других тел, чтобы они не
могли на него подействовать. Однако, не говоря уже

b том, что понятие «далеко» не является достаточно
определенным, такой способ выбора системы отсчета
не представляется практически достаточно инте-
ресным.
Можно считать, что тело не находится под действи-
ем сил, если сумма сил, действующих на него, равна
нулю. Однако, для того чтобы убедиться в том, что
равнодействующая всех сил, действующих на тело, рав-
на нулю, необходимо опять-таки воспользоваться пер-
вым законом Ньютона. Из этого логического круга
выбраться «без потерь» невозможно. По этому поводу
В. П. Смилга пишет: «Инерциальность системы мы пы-
таемся установить, используя тело, свободное от воздей-
ствия сил, а свободу от воздействия сил устанавливаем,
используя инерциальность системы отсчета. Нехорошо
это? Конечно, и еще как.
Что же делать?
Математик не смирился бы с таким положением.
Физик же в каком-то смысле просто отмахивается от
вопроса.
Он использует сотни и тысячи косвенных соображе-
ний, позволяющих полагать, что сумма сил, действую-
щих на данное тело, равна нулю, но в конечном итоге
не дает, безусловно, четкого ответа. Порочный круг
остается, идеальной аксиоматики нет, но, если бы физик
пытался всегда добиться идеальной аксиоматики, физи-
ки, очевидно, не существовало бы...
...Возможность более или менее четко сказать, что
же такое «инерциальная система», возможность дать
хороший рецепт, как логически безупречным экспери-
ментом определить эту систему, появилась только с воз-
никновением общей теории относительности. И в клас-
сической механике, и в специальной теории относитель-
ности хорошего ответа не было» К
Итак, выход остается один, используя косвенные со-
ображения, установить, что на данное тело не действуют
внешние силы, а затем определить инерциальную систе-
му как такую, в которой данное тело в отсутствие внеш-
них сил сохраняет неизменным состояние покоя или
равномерного прямолинейного движения, или, иначе,
1 В. П. Смилга, О теории относительности. «Физика: близкое
и далекое», изд. «Знание», М., 1963, стр. 23—24.

как такую, в которой все ускорения обусловлены дейст-
виями каких-либо тел.
Такое определение инерциальной системы отсчета
мы встречаем в ряде курсов механики, например
у С. Э. Хайкина: «Такие системы координат, в которых
все ускорения обусловлены действиями каких-либо тел,
носят название инерциальных систем координат»1.
Но важно не столько определение инерциальной си-
стемы, сколько установление эталона такой системы,
выяснение того, какую из известных нам систем отсчета
можно считать инерциальной. Этот вопрос решается
опытом.
Прежде всего выясняется, что система отсчета земля
не является строго инерциальной системой. Тела, нахо-
дящиеся на Земле и предоставленные самим себе, начи-
нают перемещаться относительно нее. Это подтверждает
известный опыт с маятником Фуко.
Действительно, согласно законам Ньютона маятник
должен качаться в одной плоскости. Фактически же по
отношению к Земле плоскость качаний маятника мед-
ленно поворачивается—это и доказывает, что Земля не
является главной системой отсчета ньютоновской меха-
ники.
Опыт показывает, что практически достаточно стро-
гой системой является система звезды, т. е. система ко-
ординат, жестко связанная с неподвижными звездами.
Одна из звезд принимается за начало координат, затем
находят еще три такие звезды, направления на которые
из начала координат взаимно перпендикулярны. Эти
четыре звезды и представляют собой те тела, с которы-
ми жестко связывается система отсчета звезды.
Для большого класса практически важных задач
механики отступления системы отсчета земля от инер-
циальности незначительны, и ими можно пренебречь.
Понятие инерциальной системы отсчета не будет ка-
заться надуманным, а предстанет как важная проблема,
связанная со свойствами пространства, если мы пока-
жем учащимся, что существуют системы отсчета, в ко-
торых закон инерции не соблюдается — изменение ско-
рости в них не всегда является результатом действия
1 С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз,
М., 1963, стр. 121.

других тел на данное тело, т. е. существуют неинерци-
альные системы отсчета.
Для этого достаточно обратиться к ряду примеров,
которые все достаточно часто наблюдали и наблюдают
в окружающей нас жизни. Первый закон механики
(закон инерции) утверждает, что тело, предоставленное
самому себе, т. е. не испытывающее никаких воздейст-
вий со стороны других тел, сохраняет по отношению
к системе звезды состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения.
Представим себе теперь поезд, начинающий свое
движение от станции со все возрастающей скоростью.
Останется ли справедливым внутри этого поезда закон
инерции для любого тела, свободно лежащего внутри
вагона? Конечно, нет. В этом поезде мы наблюдаем яв-
ления, которые никак не увязываются с законом инер-
ции. Ведь если мы по-прежнему полагаем, что сила —
проявление взаимодействия тел, то мы должны конста-
тировать, что никаких новых тел при возрастании
скорости поезда не появилось, а вместе с тем книга, поко-
ившаяся на столике вагона, внезапно слетела с него,
пассажиры отклонились назад и т. д. Т. е. внутри такого
вагона происходит изменение покоя или равномерного
прямолинейного движения тела не только под воздей-
ствием со стороны других тел. Следовательно, если си-
стемой отсчета мы выберем поезд, движущийся с уско-
рением, то законы динамики (и в частности, закон инер-
ции) в ней должны формулироваться иначе. Причем их
формулировка будет сложнее. Вот почему выше мы об-
ращали внимание на то, что разумнее при формулиров-
ке законов динамики выбрать именно такую систему от-
счета, в которой выполняется закон инерции, т. е. инер-
циальную систему отсчета.
Нужно ли в средней школе развивать далее знания
о неинерциальных системах отсчета и вводить понятие
о силах инерции?
По этому поводу в последнее время высказывались
различные точки зрения. Мы по-прежнему придержи-
ваемся той, которая была сформулирована в брошюре
об изучении вращательного движения1 и нашла
1 Э. Е. Эвенчик, К изучению темы «Вращательное движение:
в курсе физики средней школы, изд. АПН РСФСР, М., 1952.

отражение в редакционной статье журнала «Физика
в школе» К
Если введение понятия о неинерциальных системах
отсчета вызывается необходимостью, так как без них
не получает достаточной ясности и убедительности по-
нятие инерциальных систем (а формулировка законов
динамики без введения систем отсчета физически бес-
содержательна), то во введении сил инерции такой не-
обходимости нет.
Конечно, в смысле возможности расчетов инерциаль-
ная и неинерциальная системы отсчета совершенно рав-
ноправны, так как любую задачу можно решить, поль-
зуясь и той и другой системами. Более того, в ряде слу-
чаев применение неинерциальной системы быстрее
и проще приводит к необходимому результату. Однако
методическая ценность этих подходов неодинакова.
Во-первых, силы инерции не являются силами вза-
имодействия. При их введении в преподавание значи-
тельно затрудняется процесс формирования у учащих-
ся понятия о силе. Анализируя механические процессы
в инерциальной системе координат, учащиеся всегда
могут указать другое тело, которое взаимодействует
с данным телом и сообщает ему ускорение. Вводя же
силы инерции в неинерциальной системе координат,
этого сделать нельзя.
Во-вторых, понимание возможности пользования
различными системами отсчета и того обстоятельства,
что выбор системы отсчета произволен, уже само по се-
бе предъявляет достаточно высокие требования к уров-
ню развития учащихся. Предъявлять же требования
к учащимся, чтобы они умели производить анализ меха-
нических явлений с точки зрения наблюдателей в раз-
личных системах и производить в том или ином случае
выбор такой системы отсчета, неразумно, так как это
превосходит возможности учащихся массовой средней
школы. Поэтому мы считаем необходимым при изуче-
нии закона инерции ограничиться рассмотрением с уча-
щимися вопроса о том, в какой системе отсчета справед-
лив этот закон, и введением понятий об инерциальных
и неинерциальных системах отсчета, используя для это-
го анализ ряда явлений, которые были разобраны выше.
1 «Физика в школе», 1960, № 3.

§ 2. К вопросу об изучении первого
закона динамики
Постановка перед учащимися вопроса о системе от-
счета, в которой справедлив закон инерции,— это то
принципиально новое, что отличает изучение этого зако-
на в старших классах от его изучения в VI—VII классах.
Мы не касались при этом вопроса о том, какова ме-
тодика изложения первого закона Ньютона, каким
путем учащиеся подводятся к его формулировке. Этот
вопрос достаточно хорошо разработан и освещен в ме-
тодической литературе.
Остановимся лишь еще на одном вопросе. Каждый
из законов Ньютона имеет самостоятельное значение,
в частности и первый. Иногда приходится слышать ут-
верждение, что первый закон целиком вытекает из вто-
рого. Оно основано на том, что при отсутствии внешних
воздействий, т. е. когда F = 0 и а = 0, тело будет дви-
гаться равномерно и прямолинейно либо находиться в по-
кое. Это, конечно, справедливо. Однако значение первого
закона динамики к этому не сводится.
Известно, что движения происходят в пространстве
и времени, свойства которых проявляются в законах
движения. В основе классической механики Ньютона
заложены определенные представления о свойствах
пространства и времени, которые выражены в сформу-
лированных им законах.
Некоторые из этих представлений являются общими
для классической механики и для специальной теории
относительности. Как классическая механика, так и спе-
циальная теория относительности пользуются представ-
лением о пустом, однородном и изотропном пространстве.
Первый закон Ньютона как раз и содержит в неяв-
ном виде это представление об однородности и изотроп-
ности пространства. Вернее, формулировка этого закона
эквивалентна утверждению об однородности и изотроп-
ности пространства относительно инерциальной систе-
мы отсчета.
В самом деле, однородность пространства означает,
что в нем нет выделенных точек, которые отличались бы
от других. Изотропность пространства означает равно-
правие его свойств по всем направлениям. Это значит,
что если некоторое тело, свободное от внешних воздей-

ствий, покоится в какой-то момент времени относитель-
но инерциальной системы и сохраняет состояние покоя
во все остальные моменты, то пространство однородно
относительно этой системы. Если тело, свободное от
внешних воздействий, в начальный момент движется
с некоторой скоростью и сохраняет эту скорость неиз-
менной (по величине и направлению) во все последую-
щие моменты, то пространство изотропно. Сами свойст-
ва пространства таковы, что они не вызывают измене-
ния величины или направления скорости. Это и
выражено в первом законе Ньютона, в котором говорится,
что, когда нет внешних воздействий (или сумма их рав-
на нулю), ничто не может изменить скорости тела отно-
сительно инерциальной системы. Пространство, как та-
ковое, не может изменить эту скорость.
Это легко понять из такой аналогии. Если на идеаль-
ной гладкой горизонтальной поверхности лежит шар,
то, в какую бы точку его ни поместили, он будет сохра-
нять состояние покоя. Или если он движется с какой-то
скоростью, то свойства этой поверхности (если в ней
нет выбоин) сами по себе не могут изменить направле-
ния или величины его скорости.
Именно эти представления об однородности и изо-
тропности пространства относительно инерциальной
системы отсчета выражены в законе инерции. Поэтому
нельзя считать, что он является всего лишь частным
случаем второго закона.
Рассуждая об аксиоматике классической механики,
мы не предполагаем необходимым и возможным дово-
дить эти рассуждения до учащихся. Не следует думать,
что учащимся можно давать, например, определение
инерциальных систем отсчета как таких, относительно
которых пространство однородно и изотропно, или рас-
сказывать им о том, что существуют такие системы —
неинерциальные,— относительно которых пространство
и неоднородно, и неизотропно.
По-видимому, об инерциальной и неинерциальной
системах отсчета нужно говорить лишь в том плане, как
это было показано выше. Однако сам учитель, обучая
учащихся законам динамики, должен иметь в виду этот
неявно выраженный смысл, скрывающийся в формули-
ровках этих законов. Это поможет ему утвердиться
в следующем методическом выводе.

В связи с тем, что понятие пространство не имеет
никакого содержания, пока не определена система от-
счета, мы тем самым еще раз убеждаемся в том, что
нельзя говорить с учащимися о первом законе Ньютона,
не поставив сейчас же при этом вопроса о системе отсче-
та, в которой он выполняется.
В заключение обратимся вновь к некоторым вопро-
сам аксиоматики классической механики.
Представления классической механики об однород-
ном и изотропном пространстве существенным образом
отличаются от старой, доньютоновой концепции абсо-
лютного пространства.
В древности пространство считали неоднородным,
некоторые его точки наделяли особыми свойствами и,
поместив в этих точках начало координат, получали
привилегированную систему отсчета.
Таким был центр мироздания — неподвижная Зем-
ля. «Естественное место» тяжелых тел — центр Вселен-
ной. В таком случае пространство неоднородно; одни
места в пространстве располагают тела к покою, дру-
гие — к движению. Абсолютное движение — это дви-
жение относительно земли. Поэтому можно было не-
посредственно увидеть абсолютное движение, наблюдая
движущиеся тела и абсолютно неподвижное тело от-
счета — землю.
«Нужна была колоссальная смелость мысли, чтобы
отказаться от такой, казавшейся очевидной, системы
мира в пользу нового взгляда, исходившего из понятия
бесконечного пустого пространства, без выделенных
«естественных мест», не оказывающего влияния на тела,
скорость которых меняется лишь в силу взаимодейст-
вия с другими телами, а без такого взаимодействия
остается постоянной. Идея однородности пространства
означала переворот в мировоззрении» 1.
Однородное постранство Ньютона является также
абсолютным. Однако абсолютное пространство Ньюто-
на не содержит абсолютно неподвижного материального
тела, к которому можно было бы прикрепить абсо-
лютные оси координат. Ньютон писал в «Математиче-
ских началах натуральной философии», что абсолютное
1 Б. Г. Кузнецов, Беседы о теории относительности, изд.
АН СССР, М., 1964, стр. 62.

Пространство не может быть предметом наблюде-
ния, наблюдаемы лишь относительные положения тел.
Однако появление сил инерции в системах, движущихся
с ускорениями, он считал тем динамическим эффектом,
который позволял зарегистрировать абсолютное движе-
ние в абсолютном пустом пространстве.
Абсолютный характер ускоренного движения отме-
чается не сопоставлением положения движущегося тела
с положением другого абсолютно неподвижного тела —
невозможность этого была ясна,— а внутренними дина-
мическими эффектами, возникающими при таком дви-
жении, т. е. появлением сил инерции. В абсолютном
пустом пространстве нужно было видеть причину реаль-
ных процессов — появление сил инерции.
Ньютон смог построить свою систему классической
механики без понятия абсолютно неподвижного тела,
допуская мгновенное действие одного тела на другое че-
рез пустоту. Законы динамики были сформулированы
Ньютоном относительно абсолютного пустого прост-
ранства.
Однако «пространство, в котором не существует ни
одного места, которое могло бы быть фиксировано при
помощи каких бы то ни было фактических^ средств,
представляется по крайней мере весьма смутной и абст-
рактной идеей, а не просто ящиком, наполненным мате-
риальными объектами» 1.
Нам нет необходимости вводить в рассмотрение эту
абстракцию — абсолютное пустое пространство. Имен-
но поэтому в качестве системы отсчета, в которой вы-
полняются законы динамики, мы ввели систему не-
подвижные звезды, как пример инерциальной системы,
в которой они выполняются достаточно точно.
Далее при изучении принципа относительности будет
показано учащимся, что существует бесконечное мно-
жество эквивалентных систем, совершающих равномер-
ное прямолинейное движение относительно друг друга,
в которых законы динамики выполняются в своей клас-
сической форме.
Развитие физики показало, что проблема пространст-
ва тесно связана с механикой. Не пространство сущест-
1 М. Борн, Эйнштейновская теория относительности, изд.
«Мир», М., 1964, стр. 91.

вует и отпечатывает свой) форму на вещах, но вещи
и физические законы, управляющие ими, определяют
пространство. Эта точка зрения получила свое полное
обоснование в общей теории относительности Эйнштейна,
§ 3. Второй закон динамики. Понятие о массе
Масса является одним из основных понятий механи-
ки. В основе классической механики Ньютона лежит по-
нятие о массе как об абсолютной величине, т. е. как
о величине неизменной, не зависящей от скорости дви-
жения относительно той системы отсчета, в которой
ведется измерение, и от выбора системы отсчета.
Относительность понятия массы, ее зависимость от
скорости раскрыты в теории относительности и экспери-
ментально обнаружены на движении быстрых элек-
тронов.
Вывод формулы этой зависимости возможен в сред-
ней школе. Однако целесообразно его проводить не
в курсе механики, а значительно позднее, например
после изучения оптики, где желательно ввести отдель-
ную тему программы — «Вопросы специальной теории
относительности». Вместе с тем уже при изучении клас-
сического понятия массы в механике мы имеем возмож-
ность показать границы применимости этого понятия,
представить его как частный случай более общего поня-
тия. Эта задача предъявляет определенные требования
к методике формирования понятия массы при изучении
механики.
Понятие о физической величине никогда не может
рассматриваться в отрыве от тех основных законов,
которым подчиняется рассматриваемая физическая ве-
личина и которые устанавливают ее взаимосвязь с дру-
гими физическими величинами. К представлению о массе
пришли, исследуя явление инерции. Было установлено,
что все тела обладают тем объективным свойством, что
каждое из них под влиянием определенного внешнего
воздействия приобретает совершенно определенное уско-
рение, т. е. совершенно определенным образом меняет
свою скорость. Это свойство каждого физического тела
может быть охарактеризовано физической величиной,
называемой инертной массой. Различные тела обладают

одинаковой по величине массой, если оказывается, что
при одних и тех же условиях под влиянием одинакового
внешнего воздействия они приобретают одинаковое уско-
рение.
К представлению о массе ведет изучение и другой
группы явлений—явлений тяготения или гравитации.
Сила тяготения между телами определяется объектив-
ным свойством тел, которое характеризуется физической
величиной — гравитационной массой.
Если закон всемирного тяготения рассматривать изо-
лированно от второго закона динамики, то вытекающее
из него понятие гравитационной массы будет являться
новой физической величиной.
Однако, исходя из факта одинаковости для всех тел
ускорения, приобретаемого ими у поверхности земли
под влиянием силы притяжения, обе массы отождест-
вляются, так как этим доказывается, что обе массы не
только всегда строго пропорциональны, но и всегда су-
ществуют совместно. Нет тела, обладающего только
гравитационной массой или только инертной массой.
Совокупность большого числа разнообразных фак-
тов приводит нас к представлению о физической вели-
чине, массе, проявляющейся как в инерционных явле-
ниях, так и в явлениях гравитации.
Тождественность гравитационной и инертной масс
полностью выясняется в теории тяготения Эйнштейна.
В уравнениях этой теории фигурирует одна физическая
величина, проявляющаяся и в качестве массы инертной,
и в качестве массы гравитационной.
Формирование понятия о массе, таким образом,
можно начинать либо с изучения инерционных явлений,
либо с явлений гравитации. Однако структура совре-
менного курса физики в школе складывается более ра-
ционально, если изучение инерционных явлений пред-
шествует изучению тяготения. Кроме того, поставленная
нами задача разъяснения учащимся относительности
понятия массы решается в том случае, если основным
является его определение из явлений инерции. Полное
представление о массе составляется на основе всей со-
вокупности фактов, включающих в себя и инерционные,
и гравитационные явления.
Способ обоснованного введения и измерения массы
при изучении механики связан с изучением второго за-

кона динамики. Принципиальное значение второго за-
кона Ньютона заключается в том, что он устанавлива-
ет прямую пропорциональность между ускорением
и силой К
Методика установления этой зависимости известна.
Она устанавливается опытным путем. На одном из при-
меняемых в школе приборов, например на приборе Ру-
мянцева (рис. 18), проводят ряд опытов с движением
Рис. 18
тележки под действием различных сил. Изменение сил,
действующих на тележку, производится путем измене-
ния веса грузов, натягивающих нить. Ускорения, при-
обретаемые тележкой, легко вычисляются по пройден-
ному пути ( из записи движения на барабане) и времени
движения.
Из этих опытов устанавливают, что ускорение, при-
обретенное телом, изменяется пропорционально дейст-
вующей на него силе, или, иными словами, отношение
F
— для данного тела является величиной постоянной.
Это записывается в виде:
где через т обозначается некоторая постоянная для
данного тела величина.
1 Отметим, что в формулировке второго закона, данной Ньюто-
ном, в явной форме не содержится понятия массы.

Не выясняя пока, что собой представляет эта вели-
чина, проделывают подобные опыты с другим телом
(например, с нагруженной тележкой) и находят, что от-
ношение — опять остается величиной постоянной, пока
мы прикладываем различные силы к одному и тому же
телу, но оно уже для этого тела имеет иную величину,
чем для первого.
Таким образом устанавливают, что отношение силы F
к вызываемому ею ускорению а, обозначенное нами
через т, зависит только от того, к какому телу прило-
жена эта сила. Следовательно, величина т= ^- ха-
рактеризует какое-то динамическое свойство данного
тела.
Остается выяснить, какое именно. Для этого ста-
вится на том же приборе ряд опытов: на два разных
тела — пустую и нагруженную тележку — действуют
одинаковыми силами. Одно тело при этом приобретает
большее ускорение, второе — меньшее.
Если вначале обе тележки покоились, то через один
и тот же промежуток времени первое тело успеет на-
брать значительно большую скорость.
Про второе тело говорят, что оно инертнее первого,
так как требуется большее время для того, чтобы оно
приобрело под действием той же силы ту же скорость,
что и первое, или, иначе, нужна большая сила, чтобы
сообщить ему такое же ускорение.
Всякое тело инертно, т. е. всегда требуется какой-то
промежуток времени для разгона его до определенной
скорости (или для торможения) под действием силы.
Никакая сила не может мгновенно изменить скорость
тела. Чем больше этот промежуток времени разгона
(или торможения) под действием данной силы, т. е. чем
меньшее ускорение оно приобретает под действием дан-
ной силы, тем инертнее тело.
Количественной мерой инертности служит, таким
образом, постоянное для данного тела отношение ,
которое обозначается буквой т и называется массой.
Масса есть мера инертности, равная отношению лю-
бой приложенной к телу силы к вызываемому ею уско-
рению.

Отсюда для второго закона Ньютона получается
выражение:
F = ma, или а = —,
т. е. ускорение любого тела совпадает по направле-
нию с приложенной к нему силой, а по величине прямо
пропорционально силе и обратно пропорционально мас-
се этого тела.
При такой методике основное содержание второго
закона динамики — зависимость ускорения от прило-
женной к телу силы — устанавливается до введения по-
нятия массы. Последнее выясняется уже на основе
установленного опытом соотношения.
В некоторых учебниках и пособиях по курсу физики
поступают иначе. Опираясь на понятие массы как коли-
чества вещества, устанавливают на опыте зависимость
между ускорением и силой для одного и того же тела,
а затем между ускорением и массой разных тел под
действием одной и той же силы. Соединяя полученные
два вида зависимостей, получают выражение для вто-
рого закона Ньютона.
Этот путь представляется неприемлемым по следую-
щим причинам.
Определение массы как количества вещества ниче-
го, по существу, не определяет. Оно подвергается спра-
ведливой критике в научной и педагогической литера-
туре. В самом деле, как можно сравнить «количество
вещества», например, электрона и протона?
Макс Борн по этому поводу пишет: «В бытовом
смысле слово масса означает нечто вроде количества
вещества или материи; эти понятия сами по себе не
определяются далее. Понятие вещества считается са-
моочевидным. В физике, однако,— и мы должны это
подчеркнуть самым решительным образом — слово
масса не имеет иного смысла, кроме того, которое ему
придает формула» К (Здесь имеется в виду формула т =
Δι/ ·'
«Количество вещества» не является определенным
физическим понятием. Мы не располагаем ни особыми
1 М. Борн, Эйнштейновская теория относительности, изд.
«Мир», М., 1964, стр. 48.

единицами, ни специальными приборами, ни способами
для его измерения. Для измерения «количества вещест-
ва» мы должны воспользоваться какими-то определен-
ными физическими величинами. В некоторых случаях
это может быть объем; более общей мерой является
масса.
Масса является вполне определенной физической
величиной, измеряющей наиболее общие свойства тел.
Она, в отличие от «количества вещества», имеет вполне
определенные способы измерения.
В рамках классической механики по величине мас-
сы можно судить о количестве вещества, исходя из того,
что согласно классическим представлениям увеличить
массу тела или уменьшить ее можно лишь путем при-
соединения к нему или отделения от него некоторой его
части.
Таким образом, о «количестве вещества» можно су-
дить по массе, но невозможно обратное: пытаться мас-
су определять через весьма неопределенное понятие
«количество вещества». Отмечая неопределенность по-
нятия «количество вещества», мы имеем в виду то, что
это понятие не отражает каких-либо определенных
свойств материи, оно непосредственно не входит ни в ка-
кие физические закономерности. Не приходится при этом
ссылаться на применение этого термина самим Ньюто-
ном. Независимо от того, как он пользовался этим тер-
мином, понятие массы он связывал лишь с инертными
и гравитационными свойствами тел.
К понятию инертной массы можно было бы прийти
из второго закона Ньютона, установленного в форме
Ft
-—=·πι, полученной из опытов, до его вывода в форме
F = ma.
Такой путь введения понятия инертной массы в сред-
ней школе методически менее разработан и не изложен
ни в одном из элементарных учебников физики.
Один из возможных вариантов методики такого под-
хода можно извлечь из книги М. Борна \ тем более ин-
тересного, что он принадлежит одному из крупнейших
физиков современности.
1 М. Борн, Эйнштейновская теория относительности, изд,
«Мир», М., 1964, стр. 46—50.

Рис. 19
Последовательность изложения в этом случае такова.
Вначале при помощи эксперимента с импульсными ве-
сами (рис. 19) вводится понятие импульса силы.
Опыт показывает, что равновесие балансира сохра-
няется тогда, когда постукивание молотком по баланси-
ру производится слабее, но чаще или сильнее, но реже.
Следовательно, если для удержания равновесия прихо-
дится производить η коротких ударов в секунду (каж-
дый из которых длится t=-~ сек), то они вместе про-
изводят такое же действие, как сила F, равная весу гру-
за, действующая в течение всей секунды.
Поэтому физическая величина, характеризующая
действие каждого такого короткого удара и называемая
импульсом силы, равна /г-й части F:
импульс силы
Введя понятие импульса силы и получив метод его
измерения, можно перейти к определению тех изменений
скорости, которые получают различные тела под влия-
нием одинаковых импульсов.
Для этого ставится
эксперимент, в котором
гладкий шар на горизон-
тальном столе приобрета-
ет определенную скорость
(из состояния покоя) под
влиянием ударов молот-
ка, вращающегося вок-
руг горизонтальной оси
(рис. 20). Если удары мо-
Рис. 20

лотка предварительно прокалиброваны на импульсных
весах, то легко установить, что между импульсом силы
и изменением скорости шара существует прямо пропор-
циональная зависимость. Если же этот эксперимент про-
делать с разными шарами (например, деревянными ша-
рами равного объема, но сплошным и полым), то под
действием одинаковых импульсов они будут приобретать
разные скорости из состояния покоя или по-разному из-
менять скорости, если они их имели до удара.
Отношение импульса к изменению скорости "^" = /и
будет для этих шаров различным, оставаясь постоянным
для каждого из них. Отсюда следует тот же смысл инерт-
ной массы, как и из отношения— = т.
Завершением изучения вопроса о массе является рас-
смотрение границ применимости классического понятия
массы и выяснение того, что в теории относительности,
где рассматривают движения со скоростями, близкими
к скорости света, масса не является постоянной ве-
личиной.
§ 4. Методика введения понятия силы
Введение понятия инертной массы из второго закона
Ньютона (в любой его форме) требует, чтобы до его изу-
чения были независимым от него путем введены понятия
ускорения и силы.
Понятие ускорения формируется у учащихся уже при
изучении кинематики. Несколько сложнее обстоит дело
с введением понятия силы. Обсудим этот вопрос.
Понятие о силе вытекает уже из первого закона Нью-
тона. В самом деле, в этом законе утверждается, что тело
сохраняет неизменной свою скорость, если оно не взаи-
модействует с другими телами. Но если на него дейст-
вуют другие тела, то оно изменяет скорость. Следова-
тельно, изучение первого закона Ньютона приводит нас
к необходимости изучать взаимодействия тел, в резуль-
тате которых изменяются их скорости, т. е. появляются
ускорения.
Ряд наблюдений и самых простых опытов показыва-
ет, что ускорения тел всегда вызываются действием на
данное тело каких-либо других тел, если производят

Рис. 21
измерения ускорения и весь
анализ явления в инерциаль-
ной системе отсчета. Причем
действия тел носят взаимный
характер — характер взаимо-
действия.
Термин «сила» — это есть обобщенное обозначение
меры взаимодействия, в результате которого взаимодей-
ствующие тела сообщают друг другу ускорения. Таков
смысл понятия силы в механике Ньютона.
Однако этого мало. Кроме такого определения силы,
необходимо указать способ ее измерения. Только после
этого можно пользоваться понятием силы для экспери-
ментального вывода второго закона Ньютона.
И здесь мы встречаемся с определенной логической
(а следовательно, и методической) трудностью: нужно
дать способы измерения сил до изучения второго закона
динамики и независимо от него, т. е. когда динамиче-
ского метода измерения сил мы еще учащимся сообщить
не можем.
Во всех наиболее известных курсах механики для
высшей школы !, а также в ряде элементарных учебни-
ков 2 этот вопрос решается следующим образом.
Для измерения сил устанавливается эталон силы
и затем дается способ сравнения других сил с этим эта-
лоном. В качестве эталона может быть выбра-
на сила, с которой вполне определенная пру-
жина, растянутая до некоторой длины, дейст-
вует на прикрепленное к ней тело (рис. 21).
Способ сравнения других сил с этим этало-
ном состоит в следующем: допустим, что к телу
приложены одновременно две силы, направ-
ленные противоположно. Например, сила при-
тяжения к земле тянет его вниз, а растянутая
пружина — вверх (рис. 22). В этом случае
либо одна из двух сил перетянет и тело начнет
двигаться с ускорением в ее сторону, либо
же обе силы уравновесят друг друга и тело
Рис. 22
1 С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, М.,
1963, стр. 77—79; С. П. Стрелков, Механика, Гостехиздат, М.,
1956, стр. 48—55.
2 «Элементарный учебник физики», под ред. акад. Г. С. Ланд-
сберга, т. I, изд. «Наука», М, 1966, стр. 80—89.

останется в покое. В последнем случае говорят, что силы
равны по величине.
Итак, принцип, который используется здесь для срав-
нения некоторой силы с эталоном, состоит в том, что
при равновесии все силы взаимно уравновешиваются;
в этом состоит ньютоновский принцип равенства дейст-
вия и противодействия.
Приведенным способом можно лишь установить, рав-
на ли измеряемая сила Fx эталону силы FQ> но нельзя
измерить любую силу.
Возможность измерения сил любой величины мето-
дом сравнения вытекает из следующего рассуждения.
Силу-эталон можно воспроизводить в любом числе эк-
земпляров (описанным выше методом, которым было
установлено равенство двух сил). Располагая несколь-
кими эталонами силы Fd, можно измерять силы, вели-
чина которых не равна эталону силы.
Рис 23
Например, если сила притяжения магнита уравнове-
шивает одновременно силы, с которыми действуют две
или три пружинки-эталона, расположенные параллель-
но, то считают, что она вдвое или соответственно втрое
больше любой из них (рис. 23). Таким путем можно вос-
производить эталоны 2F3,
3Fd и т. д.
Для воспроизводства
эталонов, меньших 2FQr
нужно пружинки распо-
ложить под углом друг
к другу_ (рис. 24). Тогда
1 Практически, конечно, поступают иначе. Любую подходящую
пружину калибруют при различных ее растяжениях.
Рис. 24

Однако в этих последних рассуждениях имеется не-
которая логическая брешь, на которую указал академик
И. К. Кикоин в своих выступлениях на заседаниях про-
граммной комиссии по физике.
В самом деле, аддитивность сил (две пружинки-эта-
лона, расположенные параллельно, действуют с силой
вдвое большей, чем одна) не вытекает непосредственно
из законов Ньютона. Это положение является некоторым
дополнительным постулатом, который приходится вво-
дить при указанной выше методике изложения вопросов
динамики.
В связи с этим возможна иная методика введения по-
нятий о массе и силе, при которой эта логическая труд-
ность отсутствует. Далее мы изложим кратко предло-
женный И. К. Кикоиным путь формирования понятий
о массе и силе. Забегая несколько вперед, укажем, что
по этой методике вначале, до силы и второго закона
Ньютона, вводится понятие о массе — на основе явления
отдачи. Затем дается понятие об импульсе (mv) и адди-
тивности импульса, а сила вводится как скорость изме-
нения импульса
В этом случае, конечно, аддитивность сил вытекает
из установленной опытом аддитивности импульса и ука-
занная выше трудность отпадает.
Критика принятого метода введения понятия о силе
и способа ее измерения (до второго закона Ньютона),
безусловно, справедлива, так как в этом случае прихо-
дится пользоваться дополнительным постулатом, правда,
безусловно, справедливым и совершенно очевидным. Но
нельзя не признать, что приучать учащихся доверять
очевидным положениям нежелательно. Эйнштейн гово-
рил, что здравый смысл — это тот груз предрассудков,
который человек приобретает до 18 лет.
Вместе с тем в защиту принятой методики можно
высказать ряд аргументов. Понятие силы, безусловно,
ближе и понятнее учащимся, чем понятие массы. Оно
проистекает из субъективного чувства напряжения, ко-
торое мы испытываем, поднимая тяжелое тело или
растягивая пружину. «Мы говорим, что из двух людей
сильнее тот, который может поднять более тяжелый
камень или растянуть более тугой лук. Эта мера силы,
с помощью которой Улисс (Одиссей) завоевал свое

право среди соперников и которая, несомненно, играет
большую роль в историях о древних героях, сама уже
содержит зерно объективизации субъективного понятия
усилия. Следующим шагом был выбор единицы силы
и измерение всех сил в терминах их отношений к этой
единице, т. е. релятивизация понятия силы» К
Поэтому представляется гораздо более доступной
учащимся такая методика изучения динамики, когда
вначале развивается близкое учащимся из их жизненно-
го опыта понятие силы, дается измерение ее из прин-
ципа равновесия (с тем, чтобы после изучения второго
закона динамики дать и динамический способ ее изме-
рения как скорость изменения импульса), а затем на
понятии силы уже строится понятие массы, которое
получается из второго закона. Поэтому от описанной
методики мы не считаем целесообразным отказы-
ваться.
Вместе с тем справедливость критических замечаний
к указанной линии развития понятий заставляет нас
обратиться ниже (§8) и к другой возможной методике
изложения основных понятий динамики.
§ 5. Границы применимости классического понятия
массы. Зависимость массы от скорости
Одно из отличий релятивистской механики от меха-
ники Ньютона заключается, как известно, в пересмотре
классического понятия массы как абсолютной вели-
чины.
В релятивистской механике приписывается разная
масса совершенно тождественным между собой телам,
единственное физическое различие между которыми за-
ключается в том, что одно из них в данной системе от-
счета движется с малой скоростью, а другое — с около-
световой.
На протяжении значительного времени обучения уча-
щихся мы приучаем их к тому, что масса — одно из наи-
более важных свойств тел — всегда остается неизмен-
ной, в частности она не зависит от скорости.
1 М. Борн, Эйнштейновская теория относительности, изд.
«Наука», М., 1964, стр. 26.

Откуда следует это представление? Оно вытекает из
того, что скорость тела при действии на него постоянной
силы растет прямо пропорционально времени действия
этой силы, т. е. ускорение, приобретаемое данным телом
под действием постоянной силы, постоянно на протяже-
нии всего времени действия силы. Это ускорение не за-
висит от того, в каких пределах меняется скорость, по-
действовала ли сила на тело, уже имевшее скорость, или
на покоящееся тело.
Таковы известные учащимся экспериментальные фак-
ты классической механики, имеющей дело со скоростями,
далекими от световых, лежащие в основе представления
о постоянстве инертной массы. Ведь если ускорение по-
F
стоянно, не зависит от скорости тела, то и отношение—,
измеряющее инертную массу, является величиной по-
стоянной, не зависящей от скорости. Именно так и было
введено понятие инертной массы.
Однако формирование понятия об инертной массе на
этом не должно закончиться. Уместно поставить перед
учащимися вопрос, заставляющий проанализировать,
откуда следует исходное представление о том, что ско-
рость тела растет прямо пропорционально времени дей-
ствия на него силы. Это утверждение основано на обыч-
ном правиле сложения скоростей. Ведь для того, чтобы
получить значение скорости в конце второй, третьей,
четвертой и т. д. секунды, мы должны сложить скорость,
которую тело имело в конце предшествующей секунды,
с изменением скорости за последующую секунду. При-
чем это сложение производится по классическому закону
сложения скоростей.
При изучении кинематики было уже выяснено, что
классический закон сложения скоростей имеет опреде-
ленные границы применимости; им можно пользоваться
лишь до тех пор, пока приобретаемые телом скорости не
станут сравнимы со скоростью света.
Складывая скорости по релятивистскому закону,
всегда получают результат несколько меньший, чем при
применении классического правила сложения. Отсюда
следует, что при достижении больших значений скорость
уже будет расти не пропорционально времени, а медлен-
нее и тем медленнее, чем ее величина будет ближе к ско-
рости света.

Замедление возрастания скорости под действием по-
стоянной силы при больших значениях скорости показы-
вает, что ускорение не остается постоянным — оно умень-
шается. Следовательно, отношение — по мере прибли-
жения скорости тела к скорости света увеличивается.
А это значит, что масса тела растет с ростом скорости,
стремясь к бесконечности, когда скорость тела прибли-
жается к скорости света.
Такой анализ вполне доступен учащимся. Уяснение
его обеспечивается тем, что в кинематике достаточно
подробно анализируется релятивистский закон сложе-
ния скоростей.
Объяснение зависимости массы от скорости не тре-
бует вывода количественной зависимости релятивист-
ской массы от скорости. Однако учащимся желательно
показать графически зависимость массы тела от ско-
рости (рис. 25), указав им на то, что эта зависимость
количественно была под-
тверждена прямыми экс-
периментами. В современ-
ных экспериментальных
установках есть возмож-
ность разгонять элемен-
тарные частицы до очень
больших скоростей. В спе-
циальных ускорителях
электроны разгоняются
до скоростей, отличаю-
щихся от скорости света
меньше, чем на 30 км/сек.
Так, например, масса бы-
строго электрона, выле-
тающего из синхротрона,
превышает массу покоя-
щегося протона.
Тело, движущееся со
скоростью 240 000 км/сек
относительно данной системы отсчета, имеет массу
в 10/6 раза большую, чем в том случае, если оно покоится
в этой системе отсчета. Однако со всей определенностью
учащимся нужно показать, что при обычных скоростях,
с какими движется современный транспорт и детали ра-
Рис. 25

ботающих машин, зависимость массы от скорости прак-
тически совсем не сказывается. Так, например, при ско-
рости порядка 1000 км/ч (скорость реактивного
самолета) масса увеличивается всего лишь на
0,00000000005%.
Обсуждение с учащимися полученного вывода помо-
жет им глубже понять относительность ряда научных
понятий, в частности и классического понятия массы.
Тот факт, что при малых скоростях это понятие является
достаточно точным и позволяет правильно производить
все инженерные расчеты, показывает, что это понятие
имеет объективное содержание. Это дает возможность
раскрыть учащимся соотношение между относительной
и абсолютной истинами в историческом процессе разви-
тия знаний.
В заключение необходимо остановить внимание еще
на одном вопросе. При объяснении понятия инертной
массы, учащимся иногда говорят, что этой величиной
можно пользоваться как мерой количества вещества.
Но эта возможность обеспечивается лишь тем, что массу
можно было рассматривать как постоянную величину,
изменять которую можно было, лишь отделяя или при-
соединяя к ней какую-то часть.
Обнаруженная зависимость инертной массы от ско-
рости показывает, что использование этого понятия как
меры количества вещества также имеет границы примени-
мости. Ведь иначе пришлось бы признать, что увеличение
скорости тела, в том числе и в результате перехода к дру-
гой системе отсчета, равносильно добавлению к нему не-
которого количества вещества. А это, конечно, абсурдно.
Одно и то же тело по отношению к разным системам
отсчета ведет себя более инертно или менее инертно.
Относительно той системы отсчета, в которой оно дви-
жется с большей скоростью, оно обладает большей мас-
сой, ускорить его в этой системе отсчета труднее, чем
относительно той системы, где оно покоится или движет-
ся медленно. Однако в обоих случаях речь идет об одном
и том же теле, в котором никаких различий в строении
не произошло.
Таким образом, при больших скоростях, когда зави-
симостью массы от скорости уже пренебрегать нельзя,
исключается возможность использования ее в качестве
хотя бы условной меры количества вещества.

§ 6. Принцип относительности Галилея
Понятие относительности механического движения
в преподавании вопросов динамики находит свое осо-
бенно яркое выражение и развитие в изучении механиче-
ского принципа относительности (принципа относитель-
ности Галилея). Подготовка к его изучению была прове-
дена в кинематике, когда была раскрыта относительность
ряда кинематических понятий (координаты точки,
траектория, скорость), а также абсолютность других по-
нятий, таких, как расстояние между телами, промежуток
времени, ускорение (последнее только в системах, дви-
жущихся равномерно и прямолинейно друг относительно
Друга).
Дальнейшая подготовка к изучению классического
принципа относительности проводится уже в динамике,
когда при изучении закона инерции ставится вопрос
о том, по отношению к какой системе отсчета справед-
лив этот закон, т. е. по отношению к какой системе от-
счета тело, предоставленное самому себе, сохраняет со-
стояние покоя или равномерного и прямолинейного дви-
жения.
Оказывается, что этот закон точно выполняется по
отношению к системе отсчета звезды, а также почти точ-
но, с небольшими отклонениями, по отношению к системе
земля. Именно в этих системах отсчета — инерциальных—
законы динамики, в частности первый, формулируются
наиболее просто, и именно по отношению к ним они
и были сформулированы. Что же касается такой системы
отсчета, как, например, останавливающийся или уско-
ряющий свое движение поезд, то по отношению к такой
системе этот закон не имеет места. Пользуясь этими
системами отсчета, мы должны были бы утверждать, что
тело, предоставленное самому себе, в какой-то момент
времени начинает двигаться с некоторым ускорением без
всякой видимой причины, так как мы не можем указать
при этом действующих на него тел, которые вызвали
изменение движения. Налицо, таким образом, явное на-
рушение первого (а значит, и второго) закона Ньютона.
Постановкой вопроса о системах отсчета при изуче-
нии законов динамики и выяснением того, что они спра-
ведливы лишь в определенным образом выбранных си-

стемах, заканчивается подготовка к изучению принципа
относительности.
Дальше логически вытекает вопрос, который может
быть поставлен перед учащимися: существует ли лишь
одна инерциальная система, в которой справедливы за-
коны динамики, или имеется множество таких систем,
в которых эти законы формулируются совершенно тож-
дественно?
Учащиеся уже знают, что законы динамики выпол-
няются точно в главной системе — системе звезды и поч-
ти точно в системе земля. Кроме того, они знают, что
в системе останавливающийся поезд эти законы не име-
ют места. Поэтому выясняем, как будут формулировать-
ся эти законы, т. е. как будут протекать все механические
явления в системе, которая движется равномерно и пря-
молинейно относительно указанной выше инерциальной
(или почти инерциальной) системы земля, например
в равномерно и прямолинейно движущемся поезде, теп-
лоходе и т. д.
Жизненный опыт, имеющийся у учащихся, помогает
нам подготовить их к правильному ответу: в поезде,
который движется равномерно и прямолинейно, никаких
отступлений от законов динамики мы не замечаем. Ле-
жащая на полке вагона книга сохраняет состояние покоя
относительно поезда, продолжая равномерное прямоли-
нейное движение по отношению к земле. А оба эти
утверждения одинаково хорошо согласуются с законом
Ньютона.
Если под действием силы тело приобретает некото-
рое ускорение в системе поезд, то это ускорение остается
тем же в системе земля, так как сам поезд движется
с постоянной скоростью. В любой из указанных систем
можно с одинаковым успехом провести все рассужде-
ния, измерения и вычисления, необходимые для опреде-
ления массы, ускорения и действующих сил; результаты
получатся одни и те же. А это значит, что второй закон
Ньютона одинаково точно выполняется в системе земля
и в системе равномерно и прямолинейно движущийся
поезд, лишь бы эта скорость сохранялась постоянной.
Силы в указанных системах отсчета одинаковы, поэтому
одинаково хорошо выполняется и третий закон.
Можно привести учащимся выдержку из диалога Га-
лилея, в которой красочно описываются наблюдения,

подтверждающие то, что все механические явления в та-
ких системах, движущихся равномерно и прямолинейно
друг относительно друга, протекают одинаково.
«Заключите себя с каким-нибудь приятелем в зале под палубой
какого-нибудь большого корабля... и заставьте привести в движение
корабль с какой угодно быстротой. И вот (если только движение бу-
дет равномерное) вы не заметите ни мельчайшей перемены во всех
явлениях и ни по одному из них не в состоянии будете судить — дви-
жется ли корабль или стоит на месте: вы, прыгая, будете проходить
по полу те же самые пространства, как и при покое корабля, то
есть вы не сделаете — оттого что корабль движется весьма быстро —
больших прыжков к корме, чем к носу корабля, хотя в то время, когда
вы находитесь в воздухе, пол, находящийся под вами, бежит в сто-
рону, противоположную вашему прыжку, и, бросая какую-нибудь
вещь товарищу, вам не нужно будет с большей силой кидать ее, если
он будет около носа корабля, вы же около кормы, чем если бы вы
стояли наоборот; капельки из подвешенной к потолку кружки с во-
дой будут падать вертикально на пол и ни одна не упадет по направ-
лению к корме, хотя, покуда капля находится в воздухе, корабль
уходит вперед... Мухи будут продолжать свои полеты безразлично
во все стороны, и никак не случится, чтобы они (как будто уставши
следовать за быстрым бегом корабля) собрались к той стороне, кото-
рая ближе к корме»1.
Эти рассуждения об опытах в закрытых лаборатори-
ях (движущейся и покоящейся относительно земли) Га-
лилей приводил для того, чтобы объяснить, почему оби-
татели Земли совершенно не ощущают ее очень быстрого
движения вокруг Солнца. Ведь именно на то, что мы
совершенно не замечаем движения Земли, опирались
церковники в борьбе против гелиоцентрической системы
мира.
Эту выдержку из диалогов Галилея достаточно хо-
рошо понимают учащиеся, так как она опирается на их
жизненный опыт. Все знают, что, когда поезд идет дей-
ствительно прямолинейно и равномерно (без толчков
и качаний), пассажиры этого движения не ощущают.
Они могут производить в вагоне любые механические
опыты (играть в мяч, бильярд), не принимая во внима-
ние движение самого поезда, т. е. точно так, как они де-
лали бы это на земле.
Одинаковость протекания механических явлений во
всех системах, движущихся равномерно и прямолинейно
1 Выдержка из диалогов Галилея цитируется по книге К. А. Пу-
тилова, Курс физики, т. I, Учпедгиз, М., 1962, стр. 75.

друг относительно друга, означает и тождественность
законов динамики в них, их абсолютность для всех таких
систем. Поскольку величина вектора скорости движения
системы никак не сказывается на протекании явлений
в ней, то отсюда следует логический вывод — инерциаль-
ных систем можно построить бесконечное множество.
Законы Ньютона справедливы не в одной инерциаль-
ной системе (звезды или земля), а в множестве таких
систем, в целом классе инерциальных систем отсчета.
Любая система отсчета, движущаяся равномерно и пря-
молинейно относительно инерциальной системы отсчета,
тоже является инерциальной.
Итак, из всего многообразия различных систем отсче-
та физически выделяется группа инерциальных систем,
так как в них, и только в них, выполняются законы
Ньютона. Но между собой все инерциальные системы
физически равноценны; ни одна из них не имеет ка-
кого-либо принципиального преимущества перед дру-
гими.
В этих рассуждениях, проводимых в форме беседы
с учащимися и вполне доступных их пониманию, уже
содержатся все возможные формулировки классическо-
го принципа относительности.
Итак, физический смысл принципа относительности
заключается в том, что результаты всех механических
экспериментов, производимых в двух лабораториях —
в инерциальной системе звезды или в любой другой,
движущейся равномерно и прямолинейно относительно
нее,— будут совершенно тождественны. Название «прин-
цип относительности» указывает на то, что тождествен-
ность законов движения во всех инерциальных системах
отсчета исключает возможность признать движение от-
носительно одной из них абсолютным, и тем самым
утверждает принципиальную неразличимость покоя
и равномерного прямолинейного движения, т. е. относи-
тельность движения. Из него непосредственно вытекает,
что в мире не существует абсолютно неподвижного
тела — всякий покой относителен.
Как известно, в курсах физики высшей школы и в на-
учной литературе можно встретить следующие формули-
ровки принципа относительности:
законы механики формулируются одинаково относи-
тельно всех инерциальных систем отсчета;

никакие механические опыты и наблюдения, произве-
денные внутри инерциальной системы, не дают возмож-
ности решить вопрос, имеет ли вся система в целом пря-
молинейное и равномерное движение или же она по-
коится;
любая система отсчета, равномерно и прямолинейно
движущаяся относительно инерциальной, тоже инерци-
альна.
Совершенно ясно, что все эти формулировки совер-
шенно равноправны и каждая из них может привести
к остальным.
В самом деле, если любая система, движущаяся рав-
номерно и прямолинейно относительно инерциальной,
тоже инерциальна (III формулировка), то в ней должны
выполняться все законы динамики, а следовательно, все
механические явления протекают внутри этих систем
одинаково и не дают возможности судить о том, дви-
жется эта система равномерно и прямолинейно или по-
коится (II формулировка).
Однако, несмотря на равноправие всех формулиро-
вок, учащиеся значительно лучше уясняют себе физиче-
ский смысл принципа относительности из первых двух,
особенно из первой.
Опыт преподавания этого вопроса показал, что прин-
цип относительности усваивается учащимися достаточно
глубоко. Они отчетливо уясняют, что полностью тожде-
ственны во всех инерциальных системах именно законы
динамики, а не кинематические величины, характеризую-
щие движение. Они дают обстоятельные ответы на воп-
рос о том, как будет выглядеть какое-либо явление, на-
пример траектория падения мяча в движущемся поезде,
по отношению к различным системам отсчета. В движу-
щемся равномерно поезде траектория падения будет
вертикальной прямой, в точности такой же, как если
предмет уронить в покоящемся поезде. Но относительно
земли траектория падения предмета в движущемся по-
езде совсем не будет прямой — она будет представлять
собой часть параболы. Это и понятно, так как для на-
блюдателя на станции и в вагоне начальные условия
опыта различны: в вагоне к скорости мяча относительно
вагона прибавляется скорость самого поезда относи-
тельно земли. В то же время для наблюдателя, изучаю-
щего падение мяча в вагоне и на земле, они будут совер-

шенно одинаковы. Следовательно, форма траектории,
координаты точки, скорость зависят от системы отсчета,
а законы механики формулируются независимо от нее,
они тождественны или абсолютны для всех инерциаль-
ных систем.
Помогают усвоению этого важнейшего принципа ме-
ханики некоторые упражнения в анализе механических
явлений в различных системах отсчета, которые учащие-
ся выполняют самостоятельно. Например, внутри движу-
щегося ускоренно (или замедленно) вагона наблюдают-
ся явления, которые в покоящемся поезде наблюдаться
не могут,— без видимой причины отклоняется маятник,
вода выплескивается из стакана. Предлагается описать
эти явления в системе земля и показать, что при таком
описании они вполне согласуются в законами Ньютона.
Далее будет показано, как усвоенный учащимися
принцип относительности применяется к анализу и объ-
яснению ряда других вопросов механики, в частности при
изучении параболического движения тела (брошенного
горизонтально и под углом к горизонту).
Для проверки усвоения учащимися принципа отно-
сительности им следует предложить вопросы, требую-
шие не только сформулировать этот принцип, но и при-
менить его к анализу ряда явлений, получить на его
основе некоторые самостоятельные выводы.
Приведем некоторые из этих вопросов.
а) Мы находимся в закрытой со всех сторон лабора-
тории, например на космическом корабле, которая дви-
жется равномерно и прямолинейно. Можно ли каким-
либо образом, не выглядывая за пределы этой лабора-
тории, измерить скорость, с которой она движется?
Обсуждение этого вопроса всегда бывает очень жи-
вым, причем учащиеся обоснованно, со ссылками на
принцип относительности Галилея, утверждают, что при
любой скорости лаборатории все явления в ней проис-
ходят совершенно одинаково, подчиняясь одним и тем
же законам. Поэтому принципиально невозможно соз-
дать такой прибор, который был бы измерителем абсо-
лютной скорости.
б) Является ли космический корабль-спутник Земли
инерциальной или неинерциальной системой отсчета?
В доказательство неинерциальности системы ко-
рабль-спутник учащиеся приводят примеры самых раз-

нообразных явлений, которые на этом корабле происхо-
дят не так, как в инерциальной системе: лишенные опоры
тела не падают; вода не выливается из бутылки; маят-
ник не совершает колебаний и т. д. Все эти отклонения
поведения тел от законов механики приводились как
доказательства неинерциальности этой системы отсчета.
в) Можно ли в закрытой со всех сторон лаборатории,
движущейся с ускорением, создать измеритель уско-
рения?
Предложений по идеям создания таких измерителей
ускорений поступает обычно от учащихся несколько. На-
пример, предлагается поместить какое-либо тело в ящик,
содержащий упругую среду. Тогда, при движении систе-
мы с ускорением, эта среда по одну сторону тела будет
сжата, а по другую — разрежена — тело несколько сме-
стится от середины ящика. От этого указателя наличия
ускорения системы учащиеся приходят к более удобной
конструкции (рис. 26): тело укреплено в ящике при по-
мощи двух пружин, из которых
одна несколько сожмется при
движении с ускорением, а другая
растянется. По величине резуль-
тирующей силы и массе тела оп-
ределяется ускорение системы.
В качестве измерителей уско-
рений учащиеся предлагают оп-
ределять углы отклонения маят-
ников, перегрузки и т. д.
Такого рода беседы с учащимися позволяют прове-
рить усвоение ими принципа относительности Галилея.
Рис. 26
§ 7. Силы в природе
Каждый учитель физики знает, какие трудности воз-
никают часто у учащихся при применении законов ди-
намики к анализу различных частных случаев прямоли-
нейных и особенно криволинейных движений.
Многие трудности возникают из-за того, что мы не
раскрываем перед учащимися в достаточной степени
вопроса о единстве сил природы.
Картина царящих в природе взаимодействий на
первый взгляд кажется бесконечно сложной. Однако,

несмотря на удивительное разнообразие, по современ-
ным данным, имеется всего лишь четыре типа сил. Это
всемирное тяготение, или гравитационные силы, элек-
тромагнитные силы, ядерные силы и так называемые
слабые взаимодействия. Причем только два первых типа
сил рассматриваются как силы в смысле ньютоновской
механики.
Если учащиеся не получают представления о том,
какова природа сил, не видят единства в многообразии
воздействий тел друг на друга, то они начинают вводить
в рассмотрение силы центростремительные, центробеж-
ные, реакции, ускоряющие и т. д., относясь к ним как
к силам особой природы, которые действуют наряду
с тяготением или с трением и упругими силами, т. е.
с силами электромагнитной природы.
Нередко можно слышать, как учащиеся, анализируя
движение тел по окружности, складывают силу тяжести
или упругую силу деформации связи с центростреми-
тельной силой, не понимая, что эти первые силы или их
равнодействующая и сообщают телу центростремитель-
ное ускорение (т. е. являются тем, что принято называть
центростремительной силой). К сожалению, даже в ли-
тературе, особенно в научно-популярной, можно встре-
тить такое объяснение, например, эффектов в центробеж-
ной петле: на обращающееся по окружности тело
действуют сила тяжести и центробежная сила, уравнове-
шивающие друг друга. При этом явление анализируется
в инерциальной системе отсчета, где нет никаких сил
инерции, в частности и центробежной, которые бы дейст-
вовали на движущееся по окружности тело 1.
Опыт показывает, что устранению этого заблужде-
ния в большой мере способствует прежде всего разъяс-
нение того, что в инерциальной системе отсчета ускоре-
ния возникают только под действием других тел на дан-
ное тело. Значит, всегда, когда учащиеся приступают
к анализу движения или его изменения, они должны
искать те реальные физические тела, которые взаимо-
действуют с данным телом. Тогда сразу отпадут всякие
1 Такое объяснение пришлось однажды слышать на уроке,
причем один из вдумчивых учащихся спросил, за счет чего же соз-
дается в этом случае центростремительное ускорение, если тяготе-
ние и центробежная сила уравновешивают друг друга.

центростремительные и центробежные силы, не являю-
щиеся действиями других тел на данное тело.
В проекте новой программы эти термины (центро-
стремительная, центробежная) вообще изъяты — именно
из указанных выше соображений. Однако это лишь пер-
вый шаг к устранению указанного недостатка в пони-
мании учащимися механических явлений.
В средней школе при изучении механики мы имеем
дело лишь с гравитационными силами и с силами упру-
гости и трения как проявлениями электромагнитных сил.
Для того чтобы учащиеся это усвоили, в проект но-
вой программы по механике введен специальный вопрос
«Силы в природе», который изучается сразу же после
законов динамики.
Начинается этот раздел с изучения закона всемирно-
го тяготения, т. е. с гравитационных сил. Затем повто-
ряется с некоторым углублением изученное в восьмилет-
ней школе понятие о силах упругости и силе трения.
Только после этого, вооруженные пониманием природы
сил, учащиеся приступают к изучению применений зако-
нов динамики к анализу частных случаев движения —
прямолинейных и криволинейных.
Закон всемирного тяготения. Гравитационные силы.
Методика изучения закона всемирного тяготения хорошо
известна, мы не будем ее рассматривать. Новым в про-
екте программы является лишь то, что закон всемирного
тяготения и гравитационные силы изучаются в теме
«Силы в природе», а их применение к расчетам, например
космических скоростей, несколько позднее, там, где рас-
сматривается применение законов динамики к криволи-
нейным движениям.
Однако это новое место закона всемирного тяготения
в структуре раздела механики никак не сказывается на
методике его изучения. Учащимся сообщается, что Нью-
тон его сформулировал как обобщение известных астро-
номических данных, и рассказывается, как гравитацион-
ная постоянная определяется из лабораторных изме-
рений.
В связи с применением системы СИ указывают зна-
чение гравитационной постоянной:

Отметим то, на что не всегда обращается должное
внимание учащихся. Направление силы всемирного тя-
готения всегда совпадает с линией, соединяющей центры
тяжести взаимодействующих объектов. Поэтому грави-
тационные силы называют центральными.
В форме /^/р^г этот закон справедлив не только
для материальных точек, но и для однородных тел сфе-
рической формы. Любое однородное тело сферической
формы притягивает все, что находится вне его, совер-
шенно так же, как материальная точка, находящаяся
в центре шара и обладающая массой этого сферического
тела, т. е. оно создает также поле центральных сил.
В то же время тела другой формы притягивают сов-
сем иначе, чем сферическое, даже если центры тяжести
этих тел занимают одно и то же место в пространстве.
Неоднородный шар, составленный из некоторого чис-
ла однородных слоев, также дает поле сил, близкое
к центральному. К этому случаю относится наша Земля.
Нецентральность земного притяжения сказывается
на движении спутников, космических аппаратов и даже
Луны, и она учитывается в расчетах. И наоборот, от-
клонения спутников от «правильного» движения в цен-
тральном поле тяготения позволяет уточнить форму на-
шей планеты.
И еще одно положение, на которое обращают вни-
мание учащихся,— малость гравитационных взаимодей-
ствий. Поэтому гравитационными взаимодействиями
между телами сравнительно малой массы, даже близко
расположенными, мы пренебрегаем. Если подсчитать
силу притяжения между двумя телами с массами по
100 г, расстояние между которыми равно 10 м, то полу-
чится значение порядка 0,006 я.
Сила тяжести и вес. Изучение гравитационных сил
приводит к понятиям веса и силы тяжести.
До недавнего времени в школьных учебниках
и в практике преподавания разграничивались обычно
лишь сила тяготения, направленная к центру Земли,
и ее составляющая — сила тяжести, которая, вследст-
вие вращения Земли вокруг оси, зависит от широты
местности и не совпадает с силой тяготения. Вес тела
не всегда разграничивался с силой тяжести: часто эти
понятия отождествлялись. Однако необходимо четко

разграничивать эти понятия, особенно в связи с объяс-
нением невесомости.
Естественнее всего начать изложение этих вопросов
с объяснения понятия веса, так как он измеряется непо-
средственно, например, пружинными весами. Все тела
притягиваются к земле, поэтому они производят давле-
ние на опору или растягивают подвес. Отсюда определе-
ние веса — сила, с которой притягиваемое землей тело
давит на горизонтальную опору или растягивает подвес,
называется весом.
Отметим сразу же, что в ряде учебников весом назы-
вают силу, с которой тело давит на опору или растяги-
вает подвес, неподвижные относительно земли. На наш
взгляд, вводить условие неподвижности опоры в опреде-
ление веса не следует. Удобнее считать весом силу, ко-
торая действует на опору во всех случаях, и тогда, когда
опора движется с ускорением. Тогда можно будет гово-
рить об изменении веса тела в зависимости от ускоре-
ния опоры или подвеса. О равенстве веса и силы тяжести
при этом можно будет говорить лишь в том случае,
когда тело находится в равновесии относительно земли.
Введя вес как давление на опору, мы должны сразу
же, на основе третьего закона Ньютона, ввести равную
ему и противоположно направленную силу упругости
опоры (рис. 27), приложен-
ную уже к самому телу.
Далее перед учащимися
ставится вопрос: тело нахо-
дится в равновесии на по-
верхности Земли, какие
силы обеспечивают его рав-
новесие? Другими словами,
какую силу уравновешивает
сила упругости опоры?
Если бы Земля не вра-
щалась вокруг оси, тогда от-
вет был бы прост: непо-
движное относительно Зем-
ли тело находилось бы в равновесии под действием силы
тяготения, направленной к центру Земли, и силы упру-
гости опоры.
Рассмотрим тело с массой т, лежащее на поверх-
ности Земли (или на опоре, связанной с ней) в точке,
Рис. 27

Рис. 28
находящейся на широте φ (рис. 28). Для простоты бу-
дем считать форму Земли правильной сферой с радиу-
сом /?3.
Наблюдатель, находящийся на земле, себя и поверх-
ность земли считает телами неподвижными. Поэтому
равновесие тела в указанной точке он объясняет равен-
ством противоположно направленных радиальных сил
тяготения и упругости опоры.
Однако известно, что земля не является строго
инерциальной системой отсчета, она вращается вокруг
своей оси. Точка зрения наблюдателя, со стороны свя-
занного с инерциальной системой отсчета звезды, позво-
ляет уточнить все понятия. Каждое тело на земной по-
верхности движется вместе с ней равномерно вокруг
земной оси по окружности, совпадающей с географиче-
ской параллелью. Такое движение, как уже известно
учащимся из изучения кинематики криволинейных дви-
жений, совершается с ускорением, направленным к цент-
ру окружности (центростремительным).
Следовательно, на него должна действовать сила,
которая сообщает ему это ускорение. Если бы такая

сила не действовала на тела, свободно лежащие на зем-
ной поверхности, то они, подчиняясь первому закону
Ньютона, двигались бы только равномерно и прямоли-
нейно и отрывались бы от вращающейся земли.
Какая же сила сообщает телам это ускорение, удер-
живает их на поверхности земли, заставляет их дви-
гаться с нею? Ведь если бы сила упругости опоры урав-
новешивала силу тяготения, то их равнодействующая
должна была бы равняться нулю, и мы не могли бы
указать такую силу.
Значит векторная сумма силы тяготения и силы упру-
гости опоры не равна нулю и создает центростремитель-
ное ускорение в этой точке земной поверхности. Эта сила
направлена к центру окружности, совпадающей с гео-
графической параллелью. Упругая сила деформации
опоры уравновешивает не силу тяготения, а ее состав-
ляющую, которая называется силой тяжести (рис. 28).
Итак, относительно земли равновесие тела обеспечи-
вается действием силы упругости опоры и составляющей
силы тяготения, которая называется силой тяжести.
Сила тяжести во всех точках земной поверхности,
кроме полюсов и экватора, не совпадает по направле-
нию с силой тяготения и меньше ее (везде, кроме полю-
сов) по величине. Она находится векторным вычитани-
ем из силы тяготения г=γ·-^-у силы гц=——, которая
сообщает телу центростремительное ускорение.
Остается напомнить учащимся, что вес тела и упру-
гая сила деформации опоры равны и противоположны
(по третьему закону динамики).
Так как равновесие тела относительно земли обеспе-
чивается силой тяжести и упругостью опоры, то в этом
случае (покой или равномерное движение) сила тяжести
равна весу тела. Напоминаем при этом учащимся, что
сила тяжести, как составляющая тяготения, приложена
к телу, а вес — к опоре или подвесу.
Однако далее, при разборе, например, явлений в ус-
коренно движущемся лифте и в других случаях, когда
опора движется с ускорением относительно земли, эти
силы — вес и сила тяжести — могут как угодно отли-
чаться друг от друга, в зависимости от ускорения опоры
относительно земли.

Вообще говоря, силу тяжести можно было бы
не вводить и рассматривать лишь силу тяготения
и вес, которые для опоры, неподвижной относительно
земли, отличаются незначительно (на величину силы,
сообщающей телу центростремительное ускорение),
а при движении опоры с ускорением могут сколь угодно
отличаться друг от друга в зависимости от ускорения.
Так делается во многих курсах механики. Однако это
лишает рассмотрение вопроса необходимой четкости.
Как видно из изложенного, разграничение понятий
силы тяжести и силы тяготения заставило уже в этой
части курса применить законы динамики к криволиней-
ному движению, выяснить необходимость учета действия
силы, обеспечивающей центростремительное ускорение1.
В качестве первого примера этот случай не самый
простой. Поэтому подробно на вопросе о зависимости
силы тяжести от широты места здесь можно не останав-
ливаться, количественное рассмотрение этого вопроса
произвести несколько позднее, при изучении применений
законов динамики к различным случаям прямолинейных
и криволинейных движений. Там же можно будет рас-
смотреть вопрос о невесомости. Здесь же полезно со-
средоточить внимание учащихся на понятии весомости.
Это тоже поможет им далее лучше понять состояние не-
весомости.
В состоянии весомости находятся тела, которые под-
вержены одновременно действию сил тяжести и уравно-
вешивающих их сил упругости опоры. Под влиянием
этих сил тела деформируются.
Чтобы обратить внимание учащихся на характер де-
формаций, возникающих при этом в телах, показывают
им мягкую пружину, свитую из толстой проволоки
и подвешенную на нити или опирающуюся одним кон-
цом о стол.
Подвешенная пружина оказывается растянутой,
причем вверху сильнее всего, книзу растяжение посте-
пенно уменьшается. Опирающаяся о стол пружина де-
формируется сильнее всего внизу и совсем слабо у верх-
него конца.
1 Отсутствие термина «центростремительная сила» делает до-
вольно громоздким и тяжеловесным объяснение. Утешает лишь то,
что тяжело тем, кто объясняет, но легче тем, кому эти объяснения
предназначены — учащимся!

Наше тело, находясь на какой-либо опоре, также
испытывает действие этих двух видов сил — тяжести
и упругости опоры. При этом органы нашего тела ока-
зываются в известной мере деформированными, что
и создает привычное нам ощущение весомости.
Если в классе представляется возможность рассмот-
реть вопрос о весомости несколько подробнее, то можно
разобрать различия во внутренних напряжениях, возни-
кающих, например, в пружине под действием силы тя-
жести и упругой силы опоры, по сравнению с теми на-
пряжениями, которые возникают, когда она сжимается
или растягивается руками. Во втором случае пру-
жина деформирована на всем ее протяжении одина-
ково.
Разница в распределении напряжений объясняется
тем, что при деформации пружины руками действующая
сила распределялась по поверхности ее торца. В случае
деформации под действием силы тяжести и упругости
опоры первая сила распределена по всей массе тела
(объемная сила), а уравновешивающая ее упругая сила
действует лишь на поверхность одного торца. Поэтому
напряжения в первом случае одинаковы на всем его
протяжении, а во втором они возрастают от нуля на
одном конце до максимума на нижнем.
В этом проявляется характерная особенность весо-
мости тел, которая объясняется тем, что притяжение про-
порционально массе, т. е. объему тела. Обязательным
условием существования состояния весомости является
одновременное действие на тело и массовых сил тяжести
и поверхностных сил упругости, возникающих при де-
формациях опор, на которых находятся тела.
Этот вопрос с большей степенью подробности может
быть рассмотрен только с наиболее интересующимися
учащимися. Можно воспользоваться для этого книгой
В. И. Левантовского \ в которой удачно разобраны все
эти вопросы.
Сила упругости. Сила трения. С упругими силами
и силами трения учащиеся начинают знакомиться еще
в восьмилетней школе. В VI классе они изучают закон
Гука; усваивают понятия о силах трения при скольже-
1 В. И. Левантовский. Тяжесть, невесомость, перегрузка,
изд. «Знание», М., 1964.

нии и качении, коэффициенте трения скольжения.
В старших классах эти вопросы кратко повторяются
и несколько углубляются.
Учащимся показывают, что упругие силы возникают
в результате их деформации при непосредственном со-
прикосновении тел. Попробуем привести в движение те-
ло при помощи прикрепленной к нему пружины. Мы уви-
дим, что тело будет увеличивать свою скорость только
в том случае, если пружина растянется. Значит, только
деформированная пружина действует с некоторой силой
на тело. При этом деформируется и само тело, но так
мало, что это удается обнаружить лишь с помощью спе-
циальных приборов.
К этой же категории сил относятся и силы, действую-
щие на любое тело, лежащее на опоре, со стороны опоры
и со стороны самого тела на опору (или силы, действую-
щие со стороны веревки на привязанный к ней вращаю-
щийся груз и со стороны груза на веревку). При этом
деформации тел, вызвавшие возникновение упругих сил,
часто бывают настолько малы, что обнаружить их без
специальных приборов трудно.
Обязательность наличия деформации для возникно-
вения упругих сил особенно важно разъяснить учащим-
ся, причем нужно показать, что деформируются оба вза-
имодействующих тела.
Итак, мы создаем у учащихся достаточно ясное пред-
ставление о том, что упругие силы определяются харак-
тером деформации.
Далее, обращаемся к примеру сил, которые тоже воз-
никают при непосредственном соприкосновении тел, но за-
висят от других факторов — от состояния поверхности
соприкасающих тел, от скорости относительного движе-
ния этих тел. К этому типу относятся силы трения, дей-
ствующие между соприкасающимися телами вдоль по-
верхности соприкосновения, когда должно возникнуть
или уже возникло скольжение одного тела по поверх-
ности другого.
Известно, что силы трения по своему характеру су-
щественно отличаются от упругих сил и сил всемирного
тяготения. Отличие состоит в том, что силы трения в той
или иной мере зависят не только от конфигурации тел (от
их координат), но и от относительной скорости тех тел,
между которыми силы трения действуют.

Как измеряются силы трения, учащиеся уже знают
к этому времени. Измеряя силы трения, возникающие
при различных движениях, обнаруживают сразу, что
эти силы зависят от относительной скорости соприка-
сающихся тел уже по одному тому, что при изменении
направления относительной скорости изменяется и на-
правление силы трения. Даже этого одного факта до-
статочно, чтобы учащиеся узнали об этой характерной
особенности сил трения, хотя и величина силы трения
всегда в большей или меньшей степени зависит от вели-
чины относительной скорости.
Интересно отметить еще одно обстоятельство, кото-
рое понадобится в дальнейшем при изучении криволиней-
ных движений. Если какое-либо тело увлекается за счет
одного лишь трения в ускоренное движение, то сила тре-
ния покоя (увлекаемое в движение тело покоится по от-
ношению к увлекающему) будет всегда направлена вдоль
ускорения. Поэтому сила трения покоя может являться
силой, сообщающей центростремительное ускорение.
Различие между сухим и жидким трением не входит
в программу средней школы как самостоятельный во-
прос. Но вместе с тем преподавание механики не обхо-
дится без того, чтобы не упоминался в какой-то мере во-
прос о том различии, которое существует в проявлении
тех и других сил трения при малых скоростях. В случае
соприкосновения твердых тел, как бы ни мала была от-
носительная скорость, силы трения всегда имеют конеч-
ную величину и сохраняют ее, даже когда эта скорость
убывает до нуля. В случае же соприкосновения твердого
тела с жидкостью или газом силы трения с уменьшением
скорости уменьшаются и падают до нуля, когда скорость
тела относительно среды падает до нуля.
Это существенное различие между силами трения
легко продемонстрировать. Если деревянный брусок пла-
вает в сосуде с водой, то его можно заставить прийти
в медленное движение сколь угодно малыми силами —
достаточно подуть на него или подействовать полоской
бумаги (рис. 29, а). Значит, эта малая сила все же боль-
ше, чем сила трения между ним и водой. Но если тот же
брусок лежит на столе, то его можно привести в движе-
ние только значительной силой, уравновешивающей тре-
ние покоя (рис. 29, б). Эти дополнительные сведения
углубляют знания учащихся о силах трения. Все эти

Рис. 29
знания будут закрепляться и усваиваться при примене-
нии к решению конкретных задач.
Заметим попутно, что правильное применение поня-
тия о силе трения покоя устраняет одно довольно рас-
пространенное в преподавании заблуждение. Нередко
можно встретить неправильное утверждение о том, что
тела оказывают сопротивление действию силы, что они
«пассивны», «неподатливы» и т. п. Именно в этом якобы
и заключается инертность тела. При этом иногда еще
различают инерцию покоя и инерцию движения, пони-
мая под инерцией покоя то сопротивление, которое при-
ходится преодолевать для того, чтобы сдвинуть тело
с места.
Это толкование глубоко ошибочно. Оно связано с не-
правильным пониманием и инертности и трения или,
точнее, различия между жидким и сухим трением, нали-
чия в последнем случае силы трения покоя.
Инертность проявляется, как известно, в том, что
различные тела в зависимости от их массы — меры
инертности — по-разному меняют скорость под действи-
ем одинаковых приложенных к ним сил. Чем больше
масса тела, тем медленнее растет его скорость под дей-
ствием заданной силы. Однако любое тело «послушно»
изменяет скорость, как только на него подействует сила.
То, что в ряде случаев мы испытываем сопротивление
действию силы, например, когда хотим с места сдвинуть
тяжелый предмет, объясняется не «инерцией покоя»,

а наличием трения покоя. В этом можно легко убедить-
ся, если тело такой же массы мы попробуем сдвинуть
с места не по суше, а по воде. В этом случае трение
покоя отсутствует (жидкое трение). Поэтому любая сколь
угодно малая сила оказывается достаточной, чтобы со-
общить телу пропорциональное этой силе ускорение.
Остается обсудить еще один вопрос. В какой части
курса физики учащиеся должны получить представле-
ния о единой электромагнитной природе упругих сил
и сил трения? Мы думаем, что при изучении механики
учащимся можно лишь сообщить. об этом, не вдаваясь
ни в какие объяснения этого вопроса.
Не говоря о том, что этот вопрос не свойствен меха-
нике, выходит за ее пределы, он требует многих кон-
кретных знаний об электромагнитных силах. Учащиеся
же в младших классах не изучают даже закона Кулона.
Поэтому объяснение вопроса о том, что и упругие силы,
и силы трения являются лишь проявлениями электро-
магнитных сил, может быть дано учащимся в дальней-
шем при изучении основ электродинамики.
Особо интересующихся учащихся можно отослать
к интересно и живо написанной книге В. И. Григорьева
и Г. Я. Мякишева К
§ 8. Второй путь введения понятий
о массе и силе
Как было уже отмечено, понятие о массе можно
ввести до изучения второго закона динамики, не опира-
ясь на понятие силы, а используя для этого явление от-
дачи. Опишем кратко логическую линию развития поня-
тий о массе и силе при этом способе их введения 2.
Явление отдачи демонстрируют, например, с по-
мощью прибора, основной частью которого служит сжа-
тая пружина. Пружина, разворачиваясь, выталкивает
из прибора вложенное в него тело, например стальной
шарик.
Если шарик вылетает с какой-то скоростью Ό\, ТО ока-
зывается, что прибор откатывается с некоторой ско-
1 В. И. Григорьев, Г. Я. Мякишев, Силы в природе, изд.
«Наука», М., 1964.
М. П. Бронштейн, Строение вещества, ОНТИ, 1935,
стр. 17—19.

ростью ν2. Эти скорости могут быть измерены. Оказы-
вается, что отношение скоростей приобретаемых эти-
ми двумя взаимодействующими телами — прибором
с пружиной и шариком — постоянно. Оно зависит только
от самих взаимодействующих тел, от некоторого прису-
щего им свойства. Если в прибор закладывается другое
тело, например стальной шарик большего диаметра, то
отношение скорости отдачи прибора к скорости этого
большего шара увеличится, но и для этих двух тел оно
будет оставаться величиной постоянной. Пружина может
быть сжата больше, или меньше. Скорости вылета ша-
рика и отдачи прибора могут при этом быть разными —
большими при большей деформации пружины и мень-
шими при меньшей деформации. Но отношение скоро-
стей, приобретенных этими двумя взаимодействующими
телами, будет всегда оставаться одним и тем же.
Заметим, что и шары, закладываемые в прибор, и сам
прибор до взаимодействия покоились. Значит, определяя
скорость отдачи прибора и скорость вылета шара, мы
измеряем изменение скоростей тел, взаимодействующих
друг с другом в течение некоторого промежутка вре-
мени. Это обстоятельство настолько важно, что на него
необходимо обратить особое внимание учащихся.
Практически опыт легче осуществить при помощи
двух тележек — одинаковых или порожней и нагружен-
ной,— прижатых друг к другу и расталкиваемых буфер-
ными пружинами. Скорости, которые приобретают тележ-
ки при взаимодействии друге другом, можно определить,
измерив расстояния, пройденные ими за одинаковые
промежутки времени. Эти расстояния пропорциональны
скоростям, приобретенным тележками при взаимодейст-
вии, если движение происходит с ничтожным трением.
Одинаковое время движения фиксируется одновремен-
ным ударом тележек об упоры, поставленные на соот-
ветствующих расстояниях.
Чтобы показать учащимся, что скорости, приобретае-
мые взаимодействующими телами (изменения их скоро-
стей), могут быть самыми различными, а постоянно лишь
их отношение для данных двух тел, опыт может быть
поставлен в различных вариантах: а) одна из тележек,
например нагруженная, вначале покоится, а вторая дви-
жется с некоторой скоростью и ударяется о нее; б) обе

тележки движутся навстречу друг другу; в) вначале по-
коится порожняя тележка, а ударяется о нее нагружен-
ная и т. п. Во всех случаях скорости, которые приобре-
тают тележки, будут различны, но их отношение мы мо-
жем изменить лишь в том случае, если нагрузим одну
из них или обе дополнительным грузом.
Итак, мы приходим к выводу, что все тела обла-
дают свойством, проявляющимся в том, что при взаимо-
действии друг с другом они приобретают скорости, от-
ношение которых остается всегда постоянным для дан-
ных двух тел.
Физическую величину, характеризующую это свойство
тел, называют массой тела.
Чтобы лучше изучить эту величину, предлагаем уча-
щимся продолжить исследование.
Если мы приводим во взаимодействие две одинако-
вые тележки, то они приобретают одинаковые по вели-
чине скорости V\ и v2, отношение которых равно единице.
Если вторую тележку заменить двумя такими же, соеди-
ненными вместе, то они при взаимодействии с первой
приобретут скорость v2> вдвое меньшую, чем скорость
первой тележки vu т. е. отношение скоростей — увели-
чится вдвое. При трех тележках — втрое и т. д.
Обозначим массу одного тела через m1, а другого че-
рез т2. Тогда мы можем записать:
Это полученное из опыта соотношение выражает опре-
деленный закон природы. Его можно использовать для
сравнения масс любых взаимодействующих тел, напри-
мер при столкновениях.
Выберем какое-либо тело за единичную массу. Для
сравнения массы другого тела с массой-эталоном необ-
ходимо измерить скорости, которые эти тела приобрета-
ют при взаимодействии, например при помощи расталки-
вающей их сжатой пружины. Масса второго тела будет
равна эталонной, умноженной на обратное отношение
абсолютных величин скоростей этих тел.
Итак, мы ввели понятие массы и дали способ ее изме-
рения. Учащимся следует тут же пояснить, что практи-

чески массу измеряют другим способом, более простым
и точным. Однако усвоить этот метод измерения массы
они смогут лишь после изучения законов динамики и за-
кона всемирного тяготения.
Вместе с тем описанный выше способ измерения мас-
сы в принципе является вполне возможным. Кроме того,
он дает возможность показать замечательное свойство
этой величины — аддитивность, благодаря которой поня-
тие массы приобретает особый интерес (масса двух оди-
наковых тележек вдвое больше, чем одной, трех — втрое
больше и т. д., что видно из отношения приобретаемых
ими скоростей).
Выведенное из опыта соотношение
дает возможность ввести понятие импульса (mv) и по-
казать, что импульсы, которые приобретают взаимодей-
ствующие тела, равны по величине и противоположны по
направлению.
Дальнейший путь очевиден. Второй закон динамики,
устанавливаемый на опыте, дает возможность измерять
силы.
Сила определяется как действие на данное тело дру-
гого тела, измеряемое скоростью изменения импульса:
Изложенные в этом параграфе контуры методики
введения понятий о массе и силе не проверялись нами
в практике преподавания (в отличие от всех других во-
просов). Указанный выше путь логически непротиворе-
чив, не требует введения каких-либо дополнительных
положений, не вытекающих из эксперимента. Однако его
методические достоинства могут быть установлены лишь
после проверки в практическом опыте многих учителей.

Глава III
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ ДИНАМИКИ
§ 1. Движение тел по окружности
Вопросы кинематики криволинейного движения рас-
сматривались нами совместно с кинематикой прямоли-
нейных движений. Аналогично и динамику криволиней-
ных движений не следует выносить в отдельную тему. Ее
нужно изучать совместно с динамикой поступательных
прямолинейных движений как приложение законов ди-
намики к некоторым конкретным частным случаям дви-
жения. Методический эффект такого объединения за-
ключается в следующем.
Как мы уже отмечали, типичные недостатки в зна-
ниях учащихся и затруднения, которые они встречают
при изучении динамики криволинейных движений
(в частности, динамики движения материальной точки
по окружности), сводятся к тому, что они рассматрива-
ют силы, действующие на тело, движущееся по окруж-
ности, как силы какой-то особой природы, не связанные
с взаимодействиями тел.
Учащиеся обычно твердо усваивают, что равномер-
ное движение по окружности — это движение с ускоре-
нием, направленным к центру окружности, и, следова-
тельно, на движущееся по окружности тело действует
сила, сообщающая ему это ускорение,— центростреми-
тельная сила. Однако они склонны рассматривать ее
как некую особую силу, действующую помимо и неза-
висимо от сил, обусловленных взаимодействием данно-
го тела с другими телами К
1 Подробно об этом см.: Л. И. Резников, Э. Е. Эвенчик,
В. Ф. Юськович, Методика преподавания физики в средней шко-
ле, т. II, изд. АПН РСФСР, М., 1960, стр. 11—12.

Причина этого заключается не только в том, что
этой силе принято давать особое название — центро-
стремительная. От этого термина, указывающего не при-
роду силы, а лишь результат ее действия, в проекте но-
вой программы отказались. Причина заключается
в том, что учащиеся не всегда приучаются к тому, чтобы
во всех конкретных случаях анализировать изучаемые
движения с точки зрения взаимодействия данного тела
с другими телами. Этот анализ должен выявить все силы,
с которыми действуют на данное тело другие тела, опре-
делить составляющие этих сил, действующие в направ-
лении радиуса окружности (перпендикулярно к ско-
рости тела) и обеспечивающие тем самым центростре-
мительное ускорение.
Если учащиеся недостаточно четко усвоили, что под
силами, действующими на данное тело, всегда понимают
воздействия на него других тел, приводящие к измене-
нию его скорости, то они склонны к силам тяготения
и электромагнитным (к которым сводятся силы трения
и упругости), обеспечивающим в каждом отдельном
случае движения по окружности, прибавлять еще цент-
ростремительную или центробежную силу. Как мы уже
указывали, недостаточно четкое изложение этих вопро-
сов приводит иногда учащихся к мысли, что эти силы
имеют особую природу и обязаны своим возникновением
именно движению тела по окружности.
Изучение динамики движения по окружности как
частного случая приложения законов динамики к дви-
жению, при котором ускорение направлено к центру
окружности, может помочь избавиться от этого недостат-
ка. Переход от изучения динамики поступательного дви-
жения к динамике движения по окружности должен
представлять собой логическое развитие и углубление
известного уже учащимся знания о движении тел под
действием неуравновешенных сил. При изучении дина-
мики поступательного движения учащиеся рассматри-
вают равнопеременные движения тел под действием не-
скольких сил, равнодействующая которых не равна
нулю и имеет направление, совпадающее с направлени-
ем скорости или противоположное ему.
Решение целесообразно подобранных задач помога-
ет учащимся овладеть важным методом исследования
динамических явлений. Они усваивают, что необходимо

Рис. 30
всегда отыскивать те реальные фи-
зические тела, которые действуют
на данное тело и сообщают ему ус-
корение. Таковы задачи на вычис-
ление давления груза на пол лифта,
натяжение нитей, связывающих не-
сколько движущихся по горизон-
тальной поверхности или в верти-
кальном направлении тел, и др.
При решении этих задач прежде
всего выясняют, какие тела дейст-
вуют на данное тело и сообщают
ему ускорение. В тех случаях, когда
движения происходят в вертикаль-
ном направлении, силами, участвующими в создании
ускорения, являются притяжение к земле и силы упру-
гости нитей (рис. 30), деформации пола и т. д. На-
пример, при подъеме кабины лифта с ускорением α на груз
действуют: сила тяжести P = mg и сила упругости пола
лифта F, равнодействующая которых и сообщает ускоре-
ние этому телу.
Выбрав положительное направление координатной
оси, составляют уравнение второго закона Ньютона для
данного тела.
При движении связанных тел по горизонтальной по-
верхности (рис. 31) сила тяжести и сила упругости
поверхности, по которой перемещаются тела, уравнове-
Рис. 31

шивают друг друга. Поэтому, если трением пренебре-
гают, то в уравнения движения, составляемые для каж-
дого тела, входят лишь действующие на него силы на-
тяжения нитей.
При решении такого рода задач в уравнение движе-
ния будет входить не искомая сила, действующая на ка-
нат, на дно лифта и т. д., а равная ей по величине сила
упругости, участвующая в сообщении ускорения этому
телу, для которого на основе второго закона Ньютона
составляется уравнение.
Определение сил, действующих на тело, движущееся
по окружности, представляет собой некоторое развитие
этого метода; при определенных начальных условиях под
действием сил, приложенных к данному телу, возникает
ускорение, направленное перпендикулярно к направле-
нию начальной скорости. Метод решения задач остается
тем же.
Так же как в прямолинейном движении, в этих слу-
чаях необходимо вначале рассмотреть характер измене-
ния вектора скорости, направление и величину вектора
ускорения, представить себе картину взаимодействия
тел, которыми создаются силы, действующие на данное
тело, выбрать положительное направление координат-
ной оси и применить второй закон Ньютона к движению
каждого из взаимодействующих тел.
При этом нужно иметь в виду, что успех усвоения
учащимися этого метода во многом зависит от того, ус-
воили ли учащиеся понятие центростремительного уско-
рения как величины, которая принципиально не отлича-
ется от ускорения в прямолинейном движении. Понима-
ние одинаковой физической природы этих ускорений, из
которых одно представляет собой изменение величины
вектора скорости, а другое — только его направления,
обеспечивает правильное применение законов динамики
к расчету этих величин. Учащиеся усваивают, что для
расчета центростремительного ускорения не существует
каких-то «особых» сил, возникающих при взаимодейст-
вии тел.
Для того чтобы учащиеся достаточно хорошо усвои-
ли, что силы, действующие на тело, равномерно движу-
щееся по окружности, не имеют какой-то особой приро-
ды, чтобы не было неправильного противопоставления
этих сил силам трения, упругим силам или силам тяготе-

ния, известным им из курса механики, необходимо
в каждом отдельном случае выяснить происхождение
этих сил. Недостаточно формальной констатации того,
что при равномерном движении тела по окружности на
него действует сила, сообщающая ему центростреми-
тельное ускорение. В каждом отдельном случае наблю-
даемого движения необходимо не только находить вели-
чину этой силы, но и выяснять, как она возникает. Это
значительно важнее, чем то, приписываем ли мы этой
силе специальное название «центростремительная» или
вообще (что, по-видимому, лучше) не будем ее на-
зывать.
§ 2. Системы отсчета при изучении движения
по окружности
Как и при изучении любых вопросов механики, важ-
ным вопросом методики изучения динамики движения
тела по окружности является вопрос о системе отсчета,
относительно которой рассматривается это движение
Тот путь рассмотрения, который указан выше, справед-
лив в том случае, если мы пользуемся только инерциаль-
ной системой отсчета.
Изучение законов динамики должно было привести
учащихся к усвоению того, что эти законы наиболее про-
сто формулируются именно в инерциальных системах от-
счета. Лишь в этих системах ускорения, получаемые те-
лами, всегда можно приписать силам, являющимся дей-
ствиями тел друг на друга. В
неинерциальных системах для
объяснения ускорений требует-
ся, кроме этих сил, вводить
еще так называемые силы
инерции, происхождение кото-
рых не связывается с взаимо-
действиями тел.
Если, например, мы рас-
сматриваем движение тела,
прикрепленного к пружине, в
горизонтальной плоскости
(рис. 32) в инерциальной си-
стеме отсчета (например, с
точки зрения наблюдателя,
Рис. 32

связанного с лабораторией), то мы можем утверждать
следующее: центростремительное ускорение
с которым движется тело относительно неподвижного на-
блюдателя, возникает вследствие того, что деформиро-
ванная пружина с некоторой силой F действует на при-
крепленное к ней тело и сообщает ему это ускорение.
Это же явление будет выглядеть иначе, с точки зре-
ния наблюдателя, связанного с самим вращающимся
телом, т. е. в неинерциальной системе отсчета. Относи-
тельно этого наблюдателя тело, прикрепленное к пру-
жине, находится в состоянии покоя. Каким же образом
наблюдатель может объяснить отсутствие ускорения
у данного тела, несмотря на наличие силы упругости
пружины, действующей на него? Желая сохранить
для объяснения механических явлений первый и вто-
рой законы Ньютона, наблюдатель, движущийся уско-
ренно вместе с телом, должен прийти к выводу, что
на тело действует еще одна сила, равная той, которая
сообщает телу центростремительное ускорение в инер-
циальной системе координат, но направленная в про-
тивоположную сторону (рис. 33). Эту силу принято на-
зывать центробежной си-
лой инерции. Благодаря
действию на тело обеих
сил — силы упругости
пружины, играющей в
данном случае роль цен-
тростремительной силы, и
центробежной силы инер-
ции,— равных по величи-
не, противоположных по направлению и приложенных
к одному и тому же телу, можно объяснить на основе
закона Ньютона отсутствие ускорения в неинерциальной
системе отсчета.
Однако введенная таким образом сила инерции не
является результатом действия тел на данное тело. Эту
силу часто называют фиктивной. Это надо понимать
только в том смысле, что она не связана с взаимодейст-
вием тел и потому в инерциальных системах, где силы
всегда связаны с действиями тел друг на друга, отсут-
ствует.
Рис. 33

При изучении динамики поступательного движения
мы не вводим неинерциальных систем отсчета и сил
инерции. Точно так же при изучении криволинейных дви-
жений есть полная возможность обойтись без введения
неинерциальных систем отсчета.
Приняв определенную точку зрения по поводу введе-
ния лишь одной системы отсчета, а именно инерциаль-
ной, мы не будем вводить силы инерции и при примене-
нии законов динамики к движению тела по окружности.
Поэтому понятием центробежной силы инерции мы не
будем пользоваться и этот термин не будем вводить.
Что касается термина «центробежная сила», кото-
рым часто пользуются для обозначения в инерциальной
системе силы, действующей на связи, удерживающие те-
ло на круговой траектории, то им пользоваться вообще
не следует.
В самом деле, какой смысл может иметь понятие
центробежной силы в инерциальной системе отсчета? Не
возникает, конечно, никаких сомнений в том, что третий
закон Ньютона применим полностью к движению тел по
окружности. Следовательно, если центростремительное
ускорение возникает благодаря взаимодействию тела со
связями, удерживающими его на окружности, то можно
говорить о силах, действующих не только на тело, но
и на связи.
Однако имеет ли смысл называть эту силу центро-
бежной? Ведь в это понятие вкладывается то, что это си-
ла равна по величине центростремительной, но направле-
на в противоположную ей сторону, т. е. по радиусу от
центра окружности. Вместе с тем анализ различных дви-
жений показывает, что мы такой силы вообще указать не
можем.
Рассмотрим случай, когда центростремительное ус-
корение тела создается в результате действия на него
нескольких тел (т. е. центростремительная сила, если
пользоваться этим термином, является равнодействую-
щей нескольких сил). В этом случае мы не можем ука-
зать такого тела, к которому была бы приложена сила,
равная по величине и противоположная по направлению
центростремительной силе.
В самом деле, рассмотрим силы, действующие на
шарик, проходящий в «центробежной петле» ее верхнюю
точку. Если скорость шарика такова, что центростреми-

тельное ускорение создается только силой тяжести, дей-
ствующей на шарик (v=Vgr), то связью, удерживаю-
щей тело на окружности, будет земля, а не полотно пет-
ли. В этом случае сила, противоположная той, которая
сообщает центростремительное ускорение, и равная ей
по величине, приложена к земле (стоит ли ее все же на-
зывать центробежной, мы обсудим ниже). Но если ско-
рость шарика больше, чем Wr, то центростремительное
ускорение создается не только притяжением к земле, но
и упругой силой, действующей со стороны полотна пет-
ли, деформированного движением шарика. Центростре-
мительная сила будет являться равнодействующей этих
двух сил. При этом мы не можем указать тела, к кото-
рому была бы приложена сила, равная и противополож-
ная центростремительной. В данном случае введение по-
нятия о центробежной силе лишено физического смысла.
Отсутствие центробежных сил в инерциальной систе-
ме отсчета ясно выступает в следующем примере. Если
надеть на шкив электро-
двигателя цепь, состоя-
щую из ряда звеньев, и,
приведя в быстрое вра-
щение двигатель, стол-
кнуть цепь со шкива, то
вращающаяся цепь будет
катиться по поверхности
(рис. 34). На каждое зве-
но цепи будет действо-
вать равнодействующая
двух сил F\ и F2 со сто-
роны смежных звеньев,
деформированных во вре-
мя раскручивания. Эта
равнодействующая сила
направлена к центру
кольца, т. е. являет-
ся центростремительной.
Сил, действующих в на-
правлении от центра,
здесь нет.
Рис. 34
Рассмотрим еще слу-

чай движения в горизонтальной плоскости тела, прикре-
пленного к нити, или движение Луны вокруг Земли. Во
всех подобных случаях легко найти силу, действующую
на связь (силу противодействия), равную и противо-
положную той, которая сообщает данному телу центро-
стремительное ускорение. Однако эта сила направлена
не от центра окружности, а всегда к общему для взаимо-
действующих тел центру масс, вокруг которого обраща-
ются эти тела. Всегда движутся оба взаимодействующих
тела. Если одно из взаимодействующих тел движется по
окружности, то и второе тоже движется по окружности,
причем центры этих окружностей совпадают. Движению
по окружности тела, при-
крепленного к нити, соот-
ветствует движение по
окружности руки, держа-
щей конец нити (рис. 35).
Если масса одного из
взаимодействующих тел
во много раз больше мас-
сы другого, то при движе-
нии меньшего тела по ок-
ружности большее теле
описывает окружность
иногда столь малого радиуса, что кажется неподвижным.
Камень и рука движутся по концентрическим окружно-
стям большого (камень) и малого (рука) радиусов. Зем-
ля и Луна также движутся вокруг их общего центра
масс.
Во всех этих случаях силы взаимодействия, которые
действуют на оба обращающихся по окружности тела—
на Землю и на Луну, на камень и на руку — направле-
ны не от центра, а к центру окружности, обе создают
центростремительные ускорения тел. Следовательно, ни
одну из них нет никаких оснований называть центро-
бежной.
Термин «центробежная сила» имеет смысл применять
лишь в отношении силы инерции в неинерциальной си-
стеме отсчета: эта сила приложена к самому вращающе-
муся телу и направлена, действительно, по радиусу от
центра окружности. Но так как этой системой мы не
считаем целесообразным пользоваться в средней школе
при анализе движений тел по окружности, то, следова-
Рис. 35

тельно, термин «центробежная сила» вообще нет смысла
вводить.
Эту мысль всегда высказывал известный советский
методист-физик Д. И. Сахаров. В его учебнике она на-
шла хорошее методическое воплощение К
Для того чтобы учащиеся научились правильно при-
менять третий закон динамики к движению по окруж-
ности, прежде всего подчеркивается мысль, что движе-
ния тел взаимосвязаны и что изменению движения од-
ного тела соответствует изменение движения другого
тела. Это относится и к движению тел по окружности.
Рис. 36
На опыте показывают, как движутся оба взаимодей-
ствующих тела (рис. 36, α и б). Опыт показывает, что
если массы взаимодействующих тел одинаковы, то оба
они движутся по окружностям одинакового радиуса.
Если же масса одного из тел больше, то они движутся
по концентрическим окружностям разных радиусов. Обе
силы F\ и F2, которые действуют на тела А и В, направ-
лены к общему центру окружностей и сообщают телам
центростремительные ускорения.
Опыт показывает, что эти силы равны, в противном
случае нить I не оставалась бы вертикальной. При верти-
кальности нити горизонтальные составляющие F\ и F2
натяжений нитей равны, что лишний раз подтверждает
справедливость третьего закона Ньютона.
1 Д. И. Сахаров и М. И. Блудов, Физика для техникумов,
Физматгиз, М., 1960, стр. 135—136.

Из равенства F\ = F2 вытекает:
То же самое можно показать на хорошо известном
в школьной практике опыте с вращающейся скобой, на
которой укреплены два шара разной массы (рис. 37).
Силы F\ и F2 сообщают шарам центростремительные ус-
корения. Если расположить шары так, чтобы ma :тв =
= R2:Ru то ни один из них
не будет перетягивать дру-
гой. При этом стол, на ко-
тором стоит центробежная
машина со скобой, не испы-
тывает никаких толчков. На
этом приборе интересно по-
казать случай возникнове-
ния биений: если располо-
жить шары так, что один из
них перетягивает, то маши-
на начинает «бить».
Могут ли учащиеся сами
объяснить это явление на
основе тех знаний, которые
им были сообщены? По-ви-
димому, да. Если оба шара
сдвигаются к одному концу
скобы и обращаются по окружности с некоторым центро-
стремительным ускорением, то машина получает им-
пульс, имеющий противоположное направление. При
этом ось вращения не проходит через центр тяжести
всей системы. Это явление и воспринимается как биение
машины.
Рис. 37
§ 3. Центробежный эффект
Начинать изучение движения тела по окружности сле-
дует с того случая, когда это движение уже установилось.
Только после того как учащиеся усвоят, что непремен-
ным условием движения тела по окружности является
наличие силы, направленной к центру окружности, и
изучат формулу для вычисления этой силы, следует
перейти к вопросу о том, что предшествует установивше-

муся движению по окружности. Выясняют, что происхо-
дит, если сила, действующая на тело, меньше той, кото-
рая необходима, чтобы при данной скорости тела сооб-
щить ему центростремительное ускорение. Удаление тел
от центра окружности, наблюдаемое при этом, следует
назвать центробежным движением или центробежным
эффектом.
Этот эффект обусловлен наличием у тела скорости
и тем, что действующая на тело по направлению к цент-
ру сила недостаточна, чтобы сообщить ему при данных
условиях центростремительное ускорение.
Отсутствие понятия «центробежная сила» при при-
менении инерциальной системы отсчета ни в коей мере
не может создать трудностей при объяснении ряда из-
вестных явлений, связанных с обращением тел по окруж-
ности, которые обычно рассматриваются в средней
школе (разрыв маховиков; нитей, на которых удержи-
ваются вращающиеся тела; действие ряда так называе-
мых центробежных механизмов).
Многих учителей часто беспокоит вопрос о том, как
же пользоваться названием «центробежные механизмы»,
принятым в литературе, если понятие центробежной
силы не вводится. Однако если мы введем понятие
центробежного движения или центробежного эффекта,
очень полезного для объяснения явлений, то от термина
«центробежные механизмы» не будет необходимости от-
казываться.
В самом деле, рассмотрим, как можно объяснить воз-
никновение движения по окружности в горизонтальной
плоскости (рис. 38) тела, прикрепленного к пружине
(или нити). Получив
благодаря толчку
некоторую скорость
в направлении, пер-
пендикулярном к
нерастянутой пру-
жине, тело начи-
нает двигаться пря-
молинейно в напра-
влении толчка. Это
движение приводит
к некоторому растя-
жению пружины.
Рис. 38

Возникающая при деформации пружины упругая сила
действует на тело в направлении к точке О, в которой за-
креплена пружина, и вызывает искривление его траекто-
рии. Упругая сила пропорциональна растяжению. Пока
растяжение пружины мало, эта сила может быть недо-
статочна, чтобы при скорости нити ν удержать его на ок-
ружности, радиус которой равен длине пружины. Поэто-
му тело будет продолжать удаляться от точки О, двигаясь
по раскручивающейся спирали. Это движение вызывает
дальнейшее растяжение пружины и, следовательно, уве-
личение силы упругости, действующей на тело.
Растяжение пружины прекратится, когда сила упру-
гости, возрастающая с увеличением растяжения, станет
mv2
равна ,где т — масса тела, υ — его линейная ско-
рость, a R — расстояние от оси вращения. При этом
сила упругости сообщит телу центростремительное уско-
рение, необходимое для его равномерного движения со
скоростью υ по окружности, радиус которой равен длине
деформированной пружины.
Если увеличить скорость тела, то пружина должна
будет создать большее центростремительное ускорение,
т. е. развить большую упругую силу. До тех пор пока
сила не достигнет нужной величины, тело будет продол-
жать удаляться от центра, пружина — удлиняться. Но
деформация не может продолжаться сколько угодно,
нить или пружина не могут удлиняться бесконечно. Если
при наибольших допустимых для данного тела дефор-
мациях все еще не развиваются внутри них силы упру-
гости, достаточные для сообщения ускорения или
со2/?, то деформация будет продолжаться, превзойдет
наибольший допустимый предел и нить (пружина) ра-
зорвется. По этой же причине происходит иногда разрыв
маховиков и других быстровращающихся тел.
Правомерна ли при этом постановка вопроса о том,
какие силы рвут нить (пружину)? Очевидно, нет. Этот
вопрос так же неправомерен, как и вопрос о том, почему
тело, вращающееся в вертикальной плоскости, «не па-
дает», находясь под действием силы натяжения нити и си-
лы тяготения. Задавать такой вопрос нельзя, потому что
тело именно падает; оно падает с ускорением, равным
центростремительному, а потому оно движется не пря-

молинейно, а удерживается на окружности, т. е. оно па-
дает с прямолинейной траектории, по которой оно дви-
галось бы при отсутствии действия на него силы, на кру-
говую.
В данном случае вопрос о том, какие силы рвут нить,
также неправомерен. Нить рвется тогда, когда разви-
вающиеся силы недостаточны, чтобы удержать тело на
окружности, чтобы всем его частям сообщить нужные
ускорения.
«Причиной разрыва маховика являются не силы,
а, наоборот, отсутствие сил, достаточных для того, что-
бы сообщить внешним частям маховика нужные уско-
рения. Силы необходимы для того, чтобы маховик вра-
щался как целое, и маховик разрывается, когда эти силы
отсутствуют или их величина недостаточна» 1.
Итак, мы вводим понятие о центробежном движении,
которое происходит в том случае, когда тело движется
с некоторой скоростью и действующая перпендикуляр-
но к ней сила (направленная к центру окружности) не-
достаточна для удержания этого тела на окружности
данного радиуса.
Понятие о центробежном движении и его возникнове-
нии применяется далее для объяснения ряда известных
центробежных механизмов (центробежный регулятор,
центрифуга, центробежный насос, тахометр и др.). Объ-
яснение их действия имеется в методической литерату-
ре и в ряде элементарных учебников физики.
§ 4. Последовательность изучения применений
законов динамики. Подбор задач
Рассмотрев принципиальные вопросы изучения ди-
намики движения материальной точки (тела) по окруж-
ности, остановимся на некоторых важных методических
вопросах.
Прежде всего об отборе и последовательности изуче-
ния учебного материала. Поскольку динамика движения
по окружности рассматривается как частный случай
приложения законов динамики, то после решения задач
по динамике прямолинейных движений следует выяснить
1 С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, М.,
1963, стр. 172.

условия, при которых возникает криволинейное движе-
ние вообще (сила направлена под углом к начальной
скорости) и движение по окружности в частности (сила
перпендикулярна к начальной скорости).
Известны опыты, демонстрирующие искривление
траектории движения стального шарика на стеклянной
пластине под действием магнита, расположенного на
некотором расстоянии от линии движения ша-
рика.
При движении по окружности мы в любом случае мо-
жем указать силу, действующую на тело со стороны ка-
кого-либо другого тела и направленную к центру окруж-
ности,— сила натяжения растянутой нити, сила давле-
ния деформированного желоба и т. д.
Величина силы, сообщающей центростремительное
ускорение, находится по второму закону Ньютона.
В связи с тем что при изучении кинематики учащиеся
должны были усвоить вывод формулы центростреми-
тельного ускорения, нет необходимости эксперименталь-
но проверять формулу F = или F = m®2R. В этом
была необходимость, когда в программу не входил вы-
вод формулы центростремительного ускорения. Однако
показать на опытах подтверждение зависимости F от га,
ν и R имеет смысл. Это можно сделать на известном опы-
те, смысл которого ясен из рисунка 39.
Установив факт действия на обращающееся по ок-
ружности тело силы, направленной к центру и сообщаю-
щей ему центростремительное ускорение, необходимо
выяснить происхождение этой силы.
Это можно сделать на разобранном выше примере
движения шарика, прикрепленного к нити или пружине
в горизонтальной плоскости. Здесь разбирается вопрос
о происхождении деформации и выясняется, таким обра-
зом, возникновение силы упругости, действующей на тело.
Разбор этого примера позволяет вместе с тем выяснить
причину разрыва нитей, маховиков и т. д.
Далее открывается возможность на ряде задач про-
анализировать примеры движения тел по окружности,
на которых можно показать, что центростремительное
ускорение создается различными силами — тяготения,
упругости, электрическими или магнитными. Трение по-
коя также может создавать нормальные ускорения.

Рис. 39
Целесообразно так подобрать систему задач, чтобы
вначале рассмотреть примеры движений, в которых цент-
ростремительное ускорение создается одной какой-либо
из этих сил, затем двумя, действующими по одной пря-
мой (вращение на нити в вертикальной плоскости, дви-
жение по выпуклому или вогнутому мосту), и лишь за-
тем рассмотреть более сложные примеры, когда ускоре-
ние создается силами, действующими под углом друг
к другу (конический маятник и его применения) К
Все эти вопросы рассматриваются на основе второго
закона Ньютона. Поэтому вопрос о силах, действующих
на связи, пока не ставится. Во всех случаях, когда тре-
бовалось определить силы, действующие на связи (дав-
1 Подробно о подборе задач см.: Л. И. Резников,
Э. Е. Эвенчик, В. Ф. Юськович (под ред. проф. Б. М. Явор-
ского), Методика преподавания физики, т. II, изд. АПН РСФСР,
М., стр. 38—49.

ление на мост, на полотно центробежной петли, силы
натяжения нити), в уравнение, составленное по второму
закону Ньютона, входила не эта сила, а равная ей, но
противоположно направленная сила, действующая на
само движущееся по окружности тело.
После овладения учащимися этим материалом во-
прос о применении третьего закона Ньютона к движению
по окружности также должен быть поставлен в той плос-
кости, как это было разобрано выше.
Переход к изучению ряда центробежных механизмов
требует предварительного введения понятия о центро-
бежном движении. Из механизмов имеет смысл рассмо-
треть центробежный регулятор, тахометр, центрифугу
и центробежный насос.
§ 5. Космические скорости. Понятие невесомости.
Перегрузки
а) Среди задач, решаемых на движение тел по
окружности, особый интерес вызывают задачи на вы-
числение космических скоростей.
Вычисление первой космической скорости, т. е. той
минимальной скорости, которая должна быть сообщена
телу в горизонтальном направлении, чтобы оно стало
спутником Земли, не вызывает никаких затруднений.
Рассмотрим эту задачу.
Обозначим массу спутника через т. Так как размеры
спутника значительно меньше радиуса орбиты, спутник
может быть принят за материальную точку.
Чтобы двигаться равномерно по окружности вокруг
Земли, тело должно обладать ускорением, направлен-
ным к центру Земли. Если пренебречь слабыми силами
притяжения к Луне, Солнцу и другим небесным телам,
а также малым сопротивлением при движении в около-
земном пространстве на высоте Η над земной поверх-
ностью (Я — заданная высота полета спутника), то
останется только одна сила, действующая на спутник,
которая сообщает ему это ускорение,— сила гравитаци-
онного притяжения Земли F. Скорость спутника на за-
данной орбите, радиус которой равен R3+H, должна
быть такова, чтобы сила Fu, необходимая для создания
центростремительного ускорения, была равна F. При
меньшей скорости спутник будет падать на Землю;

при большей скорости действующая на тело сила тяго-
тения будет недостаточна для сообщения спутнику цен-
тростремительного ускорения на орбите данного радиуса
и спутник будет двигаться вокруг Земли, но не по кру-
говой траектории, или покинет ее.
Для устойчивого движения по окружности должно
выполняться равенство 77 = FU или
где Vi — первая космическая скорость, которую можно
вычислить из этого уравнения, так как γ, М3 и Яз — из-
вестные постоянные, а Η — заданная высота полета.
Если пренебречь слабым эффектом вращения Земли,
то выражение для первой космической скорости можно
преобразовать, освободив его от величины массы Земли.
В самом деле, в этом случае силу тяготения к земле
с, тМз η
г = γ — и силу тяжести P = mg можно считать рав-
ными не только для полюсов, но и в любой точке земной
поверхности. Следовательно, F=P и
Мы видим, что значение первой космической скорости
зависит от высоты Я полета спутника над поверхностью
земли. В непосредственной близости от земной поверх-
ности Vi = VgR « 7,93 км/сек.
Вычисление второй космической скорости, т. е. той
минимальной скорости, при которой орбита становится
параболической и космическое тело (ракета) навсегда
покидает Землю, представляет известные трудности
и потому не включалось в программу средней школы.
Однако учащихся настолько интересуют все вопросы,
связанные с освоением человеком космического прост-
ранства, что, если не на уроках, то во внеклассных заня-
тиях, этот вопрос необходимо рассмотреть.

Трудности здесь связаны с тем, что учащиеся не вла-
деют понятием потенциала поля тяготения. Поэтому из-
ложение нужно строить так, чтобы можно было обойтись
без этого понятия, используя лишь понятия кинетиче-
ской и потенциальной энергии 1.
Прежде всего напоминают, что тела удерживаются
возле Земли силой тяготения, причем энергия тяготения
(потенциальная) определяет прочность этой связи. Для
того чтобы брошенное с Земли тело не вернулось обрат-
но, ему нужно придать достаточную скорость, т. е. до-
статочную кинетическую энергию. Минимальное значе-
ние этой скорости ϋ\\ (вторая космическая скорость)
определится из равенства кинетической энергии у земной
поверхности и потенциальной энергии тела на бесконеч-
ном удалении. Потенциальную энергию тела у поверх-
ности земли примем равной нулю. Таким образом, для
вычисления второй космической скорости мы приходим
к задаче об определении потенциальной энергии тяго-
тения.
Если высота подъема тела над поверхностью Земли Л
мала в сравнении с радиусом Земли, то энергия тяго-
тения, как известно учащимся, измеряется величиной
mgh.
Однако этой формулой нельзя пользоваться при h
достаточно больших в сравнении с /?з, так как при этом
g уже нельзя считать величиной постоянной; она изме-
няется в соответствии с формулой
Итак, нужно рассмотреть более общий случай, когда
тело удаляется на большое расстояние Я от центра на-
шей планеты (или на Я—/?з от поверхности Земли).
В этом случае сила тяготения будет уменьшаться обрат-
но пропорционально квадрату расстояния от центра
Земли.
Подсчитаем работу переменной силы на участке
Я—/?3 (рис. 40).
1 Заметим, что задача о вычислении второй космической ско-
рости, которую мы рассматриваем в данной главе вместе с вопросом
о первой космической скорости, может быть разобрана с учащимися
лишь в соответствующем месте курса — после изучения закона сохра-
нения энергии в механических процессах.

Рис. 40
Разделим расстояние h на большое число малых
участков, на которых силу можно считать постоянной,
и подсчитаем работу, произведенную на каждом участке
отдельно. Полная работа, которую нужно совершить на
всем пути, равна сумме элементарных работ.
В начале первого участка г#3 = γ ^—, в конце его
ρΗ==γ. ^γ-. Поскольку /?3и Hi мало отличаются друг
н\
от друга, то для вычисления силы в средней точке этого
участка Fcp можно R\O заменить произведением R3H\:
А работа на этом участке будет равна:
Аналогично работа на следующих участках будет:

Сложив полученные значения работы на отдельных
участках, получим общую работу:
так как все промежуточные числа взаимно уничто-
жаются.
Для перенесения тела с массой т с поверхности Зем-
ли в бесконечность, т. е. для преодоления силы земного
тяготения, должна быть совершена работа А= т υ 3 ,
так как при #-»оо-^- равняется нулю.
Эта работа совершается за счет кинетической энер-
гии тела; при этом скорость тела должна быть доведена
до величины Όιυ называемой второй космической ско-
ростью.
откуда ^и=у^2-^^ или, заменив ^Мз = £*#з,получим
vn =l/2g7?3. Как мы видим, эта скорость в^2 раз боль-
ше первой космической скорости искусственного спут-
ника, вращающегося около земной поверхности, т. е.
Vii=Y~2v\ . Итак, для запуска космических кораблей
с земной поверхности вторая космическая скорость
^н»11,2 км/сек.
Разговор с учащимися о второй космической ско-
рости интересно продолжить, выведя формулу для рас-
чета этой скорости, если точка запуска будет находиться
на высоте А от поверхности Земли. Легко показать, что
в этом случае ^Η=#3|/^^, τ· е- опять в Ϋ2 раз
больше значения первой космической скорости на этой
высоте
Можно предложить учащимся рассчитать значение
второй космической скорости, на основе составленного
уравнения, для различных значений А, например для
А=#з.
1 Для этого нужно иметь в виду, что

Им нужно разъяснить, что космические скорости не
сообщаются телам вблизи земной поверхности, где они
встречают огромные сопротивления. Плотные слои атмо-
сферы преодолеваются со сравнительно малыми скоро-
стями. И лишь на высоте разреженных слоев им сооб-
щается вторая космическая скорость, которая может
быть меньше 11,2 км/сек (в зависимости от К).
б) Понимание явления невесомости учащимися под-
готовлено при изучении понятия о весе тел и о состоя-
нии весомости.
К выяснению понятия невесомости целесообразно
подойти от рассмотрения вопроса об изменении веса тел
в опускающемся с некоторым ускорением а лифте. Осо-
бо следует остановиться на случае падения лифта с ус-
корением g.
Задачи на изменение веса тел при их подъеме или
опускании с ускорением решаются с учащимися при
применении законов динамики к различным случаям
прямолинейных движений. В задачах предлагается
обычно такой вопрос: найти давление тела на пол лифта
или натяжение троса, на котором висит груз, при уско-
ренном движении лифта вниз или подъеме вверх.
В связи с тем что вес тела мы определяем как вызы-
ваемое притяжением к земле давление тела на опору
или натяжение подвеса, то мы можем и вопрос в таких
задачах ставить непосредственно так: найти, чему равен
вес тела в лифте при его движении с различными уско-
рениями.
Итак, разбираем вопрос о весе тела в лифте, движу-
щемся вниз с ускорением а,
т. е. о натяжении пружины, на
которой оно подвешено. Под
действием силы тяжести mg и
направленной вверх силы уп-
ругости пружины F (рис. 41)
груз, имеющий массу т, дви-
жется вместе с лифтом с уско-
рением а. Примем за положи-
тельное направление оси от-
счета направление ускорения
лифта. Тогда ma = mg — F и
F=mg — та.
Рис. 41

Вес груза равен силе упругости, но направлен про-
тивоположно:
Р = F = mg — та.
Таково будет показание пружинных весов в лифте,
опускающемся с ускорением а — оно меньше, чем в по-
коящемся или равномерно движущемся лифте, и зави-
сит от величины ускорения. В покоящемся лифте пока-
зание динамометра было бы равно mg. Когда же лифт
опускается с ускорением, то это показание, т. е. вес
тела, может как угодно отличаться от mg. Это зависит
от величины ускорения, с которым весы движутся отно-
сительно неподвижной системы координат.
Выделяем теперь особо случай, когда лифт падает
с ускорением a = g. В этом случае F = 0; натяжение пру-
жины исчезает, а следовательно, и вес тела P = F = 0.
К этому выводу можно подойти и непосредственно:
падение лифта и находящегося в нем груза с ускоре-
нием g означает, что, кроме силы притяжения земли mg,
никакие силы на тело не действуют — натяжение пру-
жины отсутствует, Р = 0.
Так мы приходим к понятию невесомости, особо под-
черкивая, что оно заключается в отсутствии давления
на опору (или натяжения подвеса) и соответственно
упругих сил деформации опоры (или подвеса) и самого
тела, но никак не связано с отсутствием силы притяже-
ния к Земле. Наоборот, оно как раз наступает, как было
показано, именно тогда, когда на тело действуют только
силы тяготения.
В самом деле, если на тела действуют только силы
тяготения, они всем телам системы, всем частицам каж-
дого тела сообщают одинаковые ускорения. При этом
ни одно из них не может быть опорой для другого; точ-
но так же никакая часть каждого из этих тел не может
служить опорой для других его частей. Поэтому в телах,
находящихся под действием одних только сил тяготе-
ния, отсутствуют деформации и внутренние напряжения.
Именно в этом и состоит явление невесомости.
Явление невесомости необходимо учащимся проде-
монстрировать на опытах. Среди множества описанных
в последнее время в методической литературе опытов,
демонстрирующих явление невесомости, нужно выбрать

Рис. 42
такие, которые наиболее убеди-
тельно демонстрируют явление
«в чистом виде».
К таким опытам относятся, с
нашей точки зрения, все много-
численные разновидности хорошо
известных опытов Любимова. На-
помним их. На легкой рамке
(рис. 42), которая скользит вдоль
вертикальных направляющих
проволок, укреплены на одинако-
вых пружинах несколько грузов
разной массы. При неподвижной
рамке эти грузы по-разному рас-
тягивают пружины. Но если ос-
вободить рамку и предоставить
ей возможность падать свободно,
растяжения пружин исчезают и
все грузы располагаются на одной
высоте, соответствующей одина-
ковой длине нерастянутых пру-
жин.
Достоинством этих опытов яв-
ляется то, что в них демонстри-
руется исчезновение деформа-
ции К Быстрота протекания опы-
тов затрудняет наблюдение яв-
ления, это заставляет обратиться
к другим опытам, которые могут
быть основными в демонстрации данного явления.
Опыт, позволяющий демонстрировать явление не-
весомости, описан в книге Р. Гирке и Г. Шпрокхофа 2
1 Почему исчезает деформация пружины? Это не самоочевидно
и не вытекает непосредственно из данного выше объяснения невесо-
мости; оно требует специального пояснения. В самом деле, в первый
момент рамка движется под действием не только силы тяжести, но
и растянутых пружин, поэтому она движется с ускорением, большим
g. Гири начинают падать с ускорением, меньшим g, так как, кроме
силы тяжести, на грузы действуют натяжения пружин, направлен-
ные вверх. Поэтому рамка догоняет гири, и растяжения пружин
уменьшаются. Так будет продолжаться до тех пор, пока все пружи-
ны не сократятся до нормальной длины.
2 Р. Гирке и Г. Шпрокхоф, Эксперимент по курсу элемен-
тарной физики, Учпедгиз, М., 1959, ч. I, стр. 161.

Рис. 43
и конструктивно усовер-
шенствован Б. С. Зворы-
киным. Пластинка из жес-
ти или фанеры (рис. 43)
подвешивается при помо-
щи шнуров, укрепленных
по его краям. На пластин-
ку кладут два куска ме-
талла с массами по 2 кг.
Между ними зажимается
конец длинной полоски
газетной бумаги. Выта-
щить эту полоску бумаги
из-под верхнего куска ме-
талла не удается, так
как при первой же попытке она обрывается.
Однако если, держа второй конец бумажной полоски
в руке, пережечь шнур подвеса, то падающий груз пе-
рестает ее прижимать и она свободно повисает в воздухе,
оставаясь неповрежденной.
Итак, при свободном падении тел наступает невесо-
мость1. Здесь важно разъяснить, что невесомость на-
ступает не только при свободном падении, но и при лю-
бом движении, происходящем под действием одних
только сил тяготения.
Рассмотрим движение космического корабля во вре-
мя свободного полета по орбите, после того как уже
в безвоздушном пространстве его двигатель прекратил
свою работу и корабль отделился от ракеты-носителя.
Во время «свободного» полета корабль совершает отно-
сительно земли криволинейное движение по орбите,
близкой к круговой. Силой, которая сообщает кораблю
и всем телам, находящимся в нем, ускорение, является
сила тяготения к земле. Следовательно, при прекраще-
нии работы двигателей корабль-спутник, выведенный на
орбиту со скоростью, равной первой космической ско-
рости, «падает» с центростремительным ускорением под
действием силы земного тяготения. Легко понять, что
1 При этом не учитывается сопротивление воздуха, незначитель-
ное при малых скоростях. При больших скоростях (при падении
с большой высоты) его нельзя не учитывать, поэтому нельзя говорить
о полной невесомости.

в корабле-спутнике возникает при этом состояние неве-
сомости так же, как и в лифте, который под действием
силы тяжести падает с ускорением свободного падения.
Сила F= сообщает космическому кораблю
и всем телам в нем одинаковые по величине ускорения.
Поэтому корабль и все, что в нем находится, все части-
цы, из которых он состоит, совершают под действием сил
тяготения абсолютно одинаковые движения, т. е. имеют
одинаковые скорости и траектории. Поэтому совершен-
но исчезают обусловленные весомостью давление одной
части корабля на другую, давление головы на плечи,
ступней человека на пол; человек не чувствует тяжести
предмета, который он держит; исчезает давление крес-
ла пилота на опору. Все предметы, находящиеся внутри
корабля, свободно парят в воздухе, т. е. возникают все
явления, о которых учащиеся много слышали, читали
и многие даже видели на экранах своих телевизоров.
Отметим, что все объяснения мы проводили с точки
зрения неподвижного наблюдателя, связанного с зем-
лей. А то, что было видно на экранах телевизоров, мы
наблюдали «глазами» телекамеры, находившейся на
борту корабля. Для космонавта, связанного с кораблем,
все предметы, выпущенные из рук, «не падают» на пол,
как будто на них перестала действовать сила тяжести,
хотя эти силы, конечно, не исчезли. Дело в том, что дви-
жения всех тел и самого космонавта происходят с одной
и той же скоростью, и относительно него они находятся
в покое. Проявление силы тяжести, удерживающей ко-
рабль и все, что в нем находится, на орбите, он не заме-
чает.
Рассмотрение явлений с точки зрения наблюдателя
в неинерциальной системе отсчета проводить в средней
школе не приходится. Подробное изложение этих вопро-
сов, которое может служить пособием для учителя,
а также может быть с интересом прочитано учащимися,
можно найти в книге В. И. Левантовского1.
В заключение остановимся на объяснении явления
перегрузки. Оно уже почти очевидно из изложенного вы-
ше. Начать объяснение можно опять-таки с явлений
1 В. И. Левантовский, Тяжесть, невесомость, перегрузка,
изд. «Знание», М., 1964.

в движущемся с ускорением лифте и показать, что если
лифт поднимается, например, с ускорением а, то вес тела
Ρ будет больше силы тяжести на величину та:
та= — mg + F и F = mg + та,
где F — сила упругости пружины. (За положительное
направление оси отсчета снова выбираем направление
ускорения лифта.) Значит, и вес Р, определяемый натя-
жением пружины, больше, чем сила тяжести mg, на ве-
личину та.
Перегрузкой называют отношение негравитационных
сил, действующих на тело, к силе тяжести.
Отметим, что термин «перегрузка» неточно выражает
смысл этого понятия. Приставка «пере» не означает из-
бытка над весом. При равномерном подъеме лифта, т. е.
при а = 0, сила упругости F, с которой дно лифта дейст-
вует на тело, равна силе тяжести Р. Перегрузка при
Ρ
этом равна -^- = 1. Если бы лифт подымался с ускорени-
ем a = g, a = 2g,..., сила упругости была бы равна соот-
ветственно F = 2mg, 3mg,... и перегрузка была бы
2-^=2, 3^=3 и т. п.
Аналогичная ситуация создается на борту космиче-
ского корабля при его движении на активных участках
траектории, т. е. когда работает двигатель, сообщающий
ему ускорение,— при выходе на орбиту или при спуске
с нее.
При включении ракетного двигателя на корпус кораб-
ля действует сила негравитационного происхождения.
Она создается благодаря давлению стремительно рас-
ширяющихся газов — продуктов сгорания топлива. Дно
кабины, получающей ускорение, направленное верти-
кально вверх, будет давить на космонавта, на все тела,
находящиеся в кабине. Тела в кабине корабля будут
прижаты к полу с некоторой силой F, которая при a = g,
a = 2g, a = 3g и т. д. будет равна соответственно удвоен-
ной, утроенной, учетверенной и т. д. силе притяжения
к земле. Аналогично и при спуске корабля с орбиты сила
тяги двигателя изменяет движение, которое корабль
имел под действием одних лишь гравитационных сил.

Состояние невесомости сменяется весомостью, тела
вновь оказываются прижаты к полу кабины с силой, ко-
торая соответственно полученному кораблем ускорению
может превосходить силу тяжести в несколько раз.
§ 6. Движение тел, брошенных горизонтально
и под углом к горизонту
Кроме движения тела по окружности, которое про-
исходит под действием центральных сил, в курсе физики
средней школы обычно рассматривается еще один вид
криволинейного движения — параболическое движение
тел, брошенных горизонтально или под углом к горизон-
ту. Эти движения происходят под действием силы тяже-
сти, которая направлена под углом к начальной скорости
тела.
Изучение этих движений в практике преподавания,
а также и изложение этих вопросов в ряде элементар-
ных учебников ведется следующим образом. Утвер-
ждается, что брошенное горизонтально тело участвует
одновременно в двух движениях — равноускоренном под
действием силы тяжести вертикально вниз и равномер-
ном, по инерции, в направлении начальной скорости.
Причем, так как о системе отсчета при этом ничего не
говорится, то имеется в виду одна система—земля. Не
будем повторять здесь того, что мы уже выясняли выше
о возможности утверждения об одновременном сущест-
вовании двух движений. Совершенно очевидно, что по
отношению к одной системе отсчета тело совершает
лишь одно движение. По отношению к земле это движе-
ние совершается по криволинейной (параболической)
траектории. Однако его, как и любое криволинейное дви-
жение, можно представить как результат сложения двух
перемещений по отношению к различным системам от-
счета.
Представим себе, что с летящего равномерно и прямо-
линейно самолета падает груз. Движение падающего
груза можно рассматривать в двух системах отсчета.
По отношению к самолету (продолжающему равно-
мерное прямолинейное движение) груз совершает равно-
ускоренное движение по вертикальному направлению.
Это так называемое относительное движение (по отно-

шению к движущейся равномерно и прямолинейно си-
стеме отсчета).
Такое заключение о характере движения тела по от-
ношению к движущейся системе отсчета тела можно сде-
лать на основе изученного учащимися принципа относи-
тельности Галилея. Этот принцип утверждает, что во
всех системах, движущихся равномерно и прямолинейно
по отношению друг друга, все механические явления про-
текают одинаково, т. е. законы этих движений тождест-
венны, они не зависят от системы отсчета. Так, например,
в движущемся равномерно и прямолинейно вагоне пред-
мет, выпущенный из рук пассажира, падает по отноше-
нию к нему по вертикали равноускоренно, так же как он
падает, когда мы находимся в покоящемся вагоне.
То же имеет место и с грузом, падающим с самолета.
Если самолет продолжает полет с неизменной скоростью,
то его можно принять за инерциальную систему отсчета,
по отношению к которой падающий груз движется так,
как если бы он был сброшен с неподвижного тела (напри-
мер, горы), находящегося на той же высоте. Перемеще-
ние по отношению к движущейся равномерно и прямо-
линейно системе отсчета есть так называемое относитель-
ное перемещение.
Однако в системе отсчета земля, по отношению к ко-
торой движется самолет, поезд и т. д. (переносное пере-
мещение), движение груза выглядит по-другому — оно
имеет в каждый момент полета иную скорость и его тра-
ектория является кривой линией. Для того чтобы опре-
делить перемещение, скорость и траекторию тела относи-
тельно земли, нужно сложить эти величины в относи-
тельном и переносном движениях.
Задача сложения перемещений и скоростей состоит
в том, чтобы по заданным относительному и переносному
движениям определить движение относительно системы
отсчета, условно принимаемой за неподвижную.
Нужно заметить, что самолет (поезд) динамически не
связан с телами, падающими с него, т. е. изменение дви-
жения самолета после падения груза с него не может
сказаться на движении падающего груза. В том случае,
когда самолет изменяет скорость, он уже не может слу-
жить системой отсчета. Для анализа движения падающе-
го тела в этом случае можно ввести условную подвиж-
ную систему отсчета, которая движется с той же по ве-

личине и направлению скоростью, которую имел самолет
(поезд) в момент падения груза. Относительное движе-
ние рассматривается по отношению к этой условной си-
стеме отсчета.
На этом, собственно, и основан координатный метод
разложения криволинейного движения точки на два пря-
молинейных. Допустим, что движущаяся точка Μ описы-
вает в некоторой системе отсчета, изображаемой систе-
мой координатных осей Oxy, некоторую кривую линию
Рис. 44
ΚΝ (рис. 44). Представим себе, что через точку Μ про-
ходит параллельная оси Оу прямая АА1, движущаяся
поступательно (в частном случае равномерно) так, что
некоторая ее точка А0 перемещается вдоль оси Ох. Мы
можем считать, что точка Μ совершает относительное
движение вдоль прямой АА1, которая в свою очередь пере-
мещается поступательно (в частности, равномерно и пря-
молинейно) вдоль оси Ох. Введенная нами прямая АА1
является, таким образом, условной подвижной системой
отсчета, совершающей переносное движение по отноше-
нию к системе отсчета Оху.
Итак, мы можем определить криволинейное движение
точки Μ как результат сложения двух прямолинейных
движений — относительного по прямой АА1 и перенос-
ного параллельно оси Ох.
Для задания обоих прямолинейных движений должны
быть известны законы, по которым можно определить,

как меняется для любого момента времени t расстояние
у движущейся точки Μ от выбранной нами точки А0 на
оси Ох и расстояние χ любой точки подвижной системы
отсчета (например, А0) от начала координат О:
у = Л(*); х=Ш).
В обоих равенствах под f\(t) и /2 (0 понимают какие-то
определенные зависимости, позволяющие для заданного
значения / найти соответствующие значения χ и у.
Для интересующего нас частного случая криволиней-
ного движения — параболического движения под дейст-
вием силы тяжести — относительное движение задается
формулами равноускоренного движения с ускорением g,
а переносное — формулами равномерного движения со
скоростью ϋο, полученной в момент бросания.
Если vy — скорость точки в относительном движении,
а υχ — скорость этой точки подвижной системы отсчета
в переносном движении, то скорость движения относи-
тельно неподвижной системы отсчета Оху мы найдем по
правилу сложения скоростей, т. е. по правилу параллело-
грамма, построенного на скоростях νχ и vy:
Приведенный анализ помогает определить, какова
должна быть методика изучения параболических движе-
ний в школьном курсе физики.
Здесь возможны два пути.
Первый из них может быть принят в том случае, если
с координатным методом изучения механических движе-
ний учащиеся не знакомы. Изучение движения тел, бро-
шенных горизонтально (или под углом к горизонту), же-
лательно начинать в этом случае с рассмотрения падения
тел в движущемся равномерно вагоне или с летящего
равномерно самолета. Это позволит принять в качестве
системы отсчета вагон или самолет и не вводить вна-
чале в рассмотрение условную систему отсчета, что мо-
жет показаться учащимся ничем не оправданным и пото-
му искусственным.
Применив известный уже учащимся принцип относи-
тельности Галилея, утверждают, что относительно вагона
(самолета) тело совершает движение так же, как и в не-
подвижной системе отсчета, т. е. падает с ускорением

Рис. 45
свободного падения. Перемещение в этом направлении
откладывается на вертикальной оси координат Оу, счи-
тая начало координат О точкой падения тела. Для пере-
счета перемещения по отношению к другой системе от-
счета — поверхности земли — производим сложение от-
носительного смещения тела в системе отсчета поезд
(самолет) и переносного смещения самой системы отсче-
та поезд (самолет) относительно земли. Переносное сме-
щение откладывается по оси Ох.
Таким образом строится параболическая траектория
движения тела, брошенного горизонтально и происходя-
щего под действием постоянной силы тяжести (рис.45).
Далее необходимо указать учащимся, что самолет
(поезд) можно рассматривать в качестве инерциальной
системы отсчета только в том случае, если он продол-
жает и после падения тела двигаться прямолинейно
и равномерно с той же скоростью, с которой он двига-
лся в момент бросания.

Рис. 46
Это обосновыва-
ет необходимость
введения движу-
щейся равномерно и
прямолинейно ус-
ловной системы от-
счета. В этом случае
введение этой си-
стемы отсчета не по-
кажется учащимся
искусственным и по-
зволит перейти к
рассмотрению того,
как движутся тела,
брошенные горизонтально или под углом к горизонту.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту,
анализируется таким же образом: принимаем, что в на-
правлении бросания равномерно и прямолинейно дви-
жется условная система отсчета (рис. 46), и выполняем
построение траектории движения тем же способом, что
и для бросания в горизонтальном направлении.
Рис. 47 а
Мы не будем останавливаться на хорошо известных
демонстрациях построения и вычерчивания траектории
параболического движения с помощью шариков, скаты-
вающихся с желобов, струи воды (рис. 47 а и 47 б) и т. д.
и моделирования траектории с помощью маятников, дли-

Pnc. 476
ны которых пропорциональны квадратам целых чисел
(рис. 48).
Второй путь изучения параболического движения под
действием силы тяжести тел, брошенных под углом к го-
ризонту, основан на координатном методе разложения
криволинейного дви-
жения. Этот путь целе-
сообразен в том случае,
если и в начале разде-
ла механики, при изу-
чении кинематики, ко-
ординатный метод уже
применялся. В этом
случае изучение движе-
ния тел, брошенных
горизонтально или под
углом к горизонту, сле-
дует начать с демон-
страции этих движе-
ний.
Рис. 48
На указанных вы-
ше опытах и моделях
показывают учащимся,
что траектория движе-

ния этих тел — кривая линия, не выясняя пока характера
этой кривой.
После этого переходят к анализу того, как можно
любое криволинейное движение, и в частности движение
брошенных тел, представить в виде суперпозиции двух
прямолинейных движений, совершающихся в двух раз-
личных системах отсчета, т. е. можно разложить пере-
мещения и скорости криволинейного движения на состав-
ляющие— горизонтальную νΓ и вертикальную νΒ.
В качестве исходного эксперимента, помогающего
уяснению того, что в основе координатного метода раз-
ложения криволинейного движения на две составляющие
лежит рассмотрение его в различных системах отсчета,
можно воспользоваться установкой, состоящей из рав-
номерно движущейся тележки, с которой падает груз,
записывающий на доске движение — параболическую
кривую.
После этого приводят чертеж, показывающий, что
любое криволинейное движение может быть разложено
на два прямолинейных движения (рис. 49).
Рис. 49
Дальнейший путь изучения этих движений очевиден.
Ход изложения примерно следующий. Устанавливают,
что при движении тела, брошенного горизонтально, гори-
зонтальная составляющая скорости не изменяется, а вер-
тикальная изменяется под действием силы тяжести по
закону свободного падения тел: vB=gt. Поэтому для лю-
бого момента времени эти составляющие могут быть вы-
числены, а по ним определена скорость сложного дви-
жения (относительно земли) для любого момента вре-
мени.

Для построения траектории движения вычисляют го-
ризонтальную и вертикальную составляющие перемеще-
ния для последовательных равных промежутков времени,
по ним определяют координаты точки относительно зем-
ли, выполняют построение и выясняют, что полученная
кривая — парабола.
Изучение движения тела, брошенного под углом к го-
ризонту, проводят тем же методом. Если начальная ско-
рость брошенного тела υ0 направлена вверх под углом α
к горизонту, то в начальный момент тело имеет не только
скорость в горизонтальном направлении ι;Γ=ι>ο cosa, но
и вертикальную составляющую vB = v0s'ma (рис. 49).
И в этом случае горизонтальная составляющая скорости
изменяться не будет, а вертикальная сначала будет убы-
вать по закону равнозамедленного движения с ускоре-
нием —g, а затем, в тот момент, когда эта составляющая
скорости обратится в нуль, тело начнет опускаться и ско-
рость движения будет возрастать по тому же закону
с ускорением g, причем время подъема тела равно вре-
мени падения тела.
При построении траектории движения тела, брошен-
ного под углом α к горизонту, находят составляющие
смещения тела в последовательные равные промежутки
времени. Для этого нужно предварительно, зная верти-
кальную составляющую начальной скорости, определить
время подъема:
^-подъема — ~~g~*
Вертикальные составляющие перемещения за одну,
две, / сек найдем по формуле:
S = vJ — -γ- = v0sin a. t —
Горизонтальные составляющие перемещения находят
по формулам равномерного движения. Далее по коорди-
натам тела относительно земли строят траекторию
(рис. 50).
Анализ движения и построение траектории с помощью
координатного метода несколько более громоздок. Од-
нако он дает возможность легко решать задачи, касаю-
щиеся дальности полета, наибольшей высоты подъема,
времени подъема, времени спуска и т. д.

Рис. 50
Приведем примеры решения задач.
С башни высотой #=25 м бросили камень со скоро-
стью υ0=15 м/сек под углом а = 30° к горизонту. Найти:
1) Сколько времени камень будет в движении? 2) На ка-
ком расстоянии от основания башни он упадет на зем-
лю? 3) С какой скоростью он упадет? 4) Какой угол φ
составит траектория камня с горизонтом в точке его па-
дения на землю?
Горизонтальная и вертикальная составляющие на-
чальной скорости будут (рис. 49):
Максимальная высота подъема над уровнем башни:
высота подъема над уровнем земли:
Общее время движения камня t = t\ + t2, где U — вре-
мя подъема на высоту h и U — время падения с высоты 5:
Расстояние от основания башни до места падения:
Скорость падения камня v=Yv2x-\-v2y, где
^=^ocosa, а vy='gt.

Угол, образованный траекторией камня с горизонтом,
находится из выражения ^v=ivtg(p, откуда tg φ =
Подставляя числовые значения получают:
1) = 0,77 сек; /2=2,39 сек и / = 3,16 сек.
2) /«41 м.
3) υ=26,7 м/сек.
4) tgcp=l,8 и φ = 61°.

Глава IV
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
§ 1. Законы сохранения в курсе физики
средней школы
Из трех законов сохранения, действующих в области
механических явлений, в курсе физики средней школы
подробно изучается лишь один — закон сохранения и пре-
вращения энергии. Этот закон не только изучается, но
им пользуются (правда, не в достаточной степени) как
определенным методом, позволяющим объяснять кон-
кретные явления, выводить частные закономерности, ре-
шать разнообразные задачи.
Закону сохранения линейного импульса (количества
движения) уделено значительно меньше внимания. С ним
знакомят учащихся, но им очень мало пользуются в са-
мой механике и почти совсем не применяют при изуче-
нии других разделов физики, например физики ядра, где,
как известно, он очень важен, так как он лежит в основе
одного из методов идентификации элементарных частиц.
Что касается последнего из законов сохранения в ме-
ханике — закона сохранения вращательного импульса
(момента импульса), то он до сих пор вообще не изу-
чался в курсе физики средней школы.
Недостаточное внимание к изучению законов сохра-
нения в средней школе, в частности при изучении меха-
ники, совершенно неоправдано. Законы сохранения в фи-
зике занимают особое место. Их исключительная
общность определяет научное, методологическое и фило-
софское значение этих законов.
Законы сохранения являются пробным камнем лю-
бой физической теории. Непротиворечивость теории за-
конам сохранения служит убедительным доказательст-
вом ее справедливости. Они являются основой важней-
ших расчетов в прикладной физике и технике.

Особенное значение они приобретают в тех случаях,
когда возникает необходимость исследовать процессы,
совершающиеся в телах, внутренние связи которых еще
не известны. В этих случаях законы сохранения являют-
ся методом проникновения в структурные закономер-
ности материи.
Глубокое проникновение в микромир не только по-
казало выполнение классических законов сохранения —
тех, которые были сформулированы в области механиче-
ских движений, а также закона сохранения массы,
электрического заряда, — но и позволило открыть
специфические законы, действующие в мире микро-
частиц. Это законы сохранения орбитального и собствен-
ного момента (спина) электрона в атоме, законы сохра-
нения четности, барионного заряда, лептонного заряда,
странности и т. д.
Все развитие физики убедительно показывает методо-
логическое значение изучения законов сохранения, дей-
ствующих как в области механики, так и в других обла-
стях природы.
Каждый из этих законов выражает сохранение не-
которых фундаментальных свойств материи, характери-
зуемых соответствующими физическими величинами,
а также связь материи с формами ее существования —
пространством и временем. Основные принципы материа-
лизма получили в этих законах подтверждение и кон-
кретизацию, например принцип неуничтожимости и не-
сотворимости материи.
В последние годы была произведена тщательнейшая
экспериментальная проверка известных в настоящее вре-
мя законов сохранения. О результатах этих эксперимен-
тов, выполненных на пределе современных технических
возможностей в отношении точности измерений, расска-
зано в статьях, опубликованных в журнале «Вопросы
философии» К Строгое выполнение законов сохранения,
а вместе с тем и основных принципов материализма на-
шло свое полное подтверждение.
Задача формирования у учащихся средней школы
научного диалектико-материалистического мировоззре-
ния не может быть решена без раскрытия универсаль-
1 Г. Фейнберг, М. Гольдхабер, Законы сохранения в фи-
зике, «Вопросы философии», 1964, № 10.

ного характера законов сохранения, без показа их зна-
чения в науке и технике.
Обратим внимание еще на следующий аспект разви-
тия мышления учащихся. Формируя мировоззрения уча-
щихся, развивая их мышление, мы постоянно привлекаем
их внимание к процессам изменения, присущим телам.
Однако в самой действительности изменение неотделимо
от сохранения.
В физике атома открыта, например, всеобщая пре-
вращаемость элементарных частиц. Вместе с тем извест-
но, что в процессах взаимных превращений частиц не-
которые их фундаментальные свойства сохраняются.
«Нет сомнения, что объекты, окружающие нас, долж-
ны в течение какого-то времени изменяться в отношении
формы и положения... Человеческий разум, однако, всег-
да стремится отыскать за изменяющимися свойствами
физических объектов нечто неизменное. В развитии фи-
зики эти поиски были щедро вознаграждены открытием
закона сохранения»1.
Для развития научного мышления оба эти аспекта —
раскрытие диалектики изменяющегося и сохраняющего-
ся в явлениях природы — одинаково важны.
«Нельзя думать, что можно отразить в научном по-
знании адекватную картину исследуемых процессов, кон-
статируя лишь вечно текущее, изменяющееся, точно так
же, как невозможно познать мир, рассматривая лишь
абсолютно неизменное, статичное в объектах природы.
Только вскрывая противоречивое единство изменяющего-
ся и неизменного, можно познать законы действитель-
ности» 2.
В старших классах средней школы необходимо зна-
комить учащихся в доступной для них форме с наиболее
общими законами физики, какими и являются законы
сохранения.
Раскрытие универсального значения таких сохраняю-
щихся величин, как энергия, линейный импульс, враща-
тельный импульс и соответствующих им законов сохра-
нения, должно начинаться в механике и продолжаться
1 Г. Фейнберг, М. Гольдхабер, Законы сохранения в фи-
зике, «Вопросы философии», 1964, № 10.
2 Н. Ф. Овчинников, К статье «Законы сохранения в физи-
ке», «Вопросы философии», 1964, № 10.

во всех остальных разделах школьного курса физики.
Это расширит научный кругозор учащихся, позволит им
лучше понимать физические явления и процессы, будет
способствовать развитию у них материалистического ми-
ровоззрения.
В этой главе мы рассмотрим лишь вопрос о том, как
эти законы изучаются в механике. Но в этом изучении
предусмотрим также и то, что необходимо для примене-
ния знания об этих сохраняющихся величинах и законо-
мерностях в других разделах физики.
§ 2. Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульса является прямым след-
ствием второго и третьего законов Ньютона.
Для изолированного тела этот закон является оче-
видным следствием второго закона Ньютона. Если вто-
рой закон динамики записать в форме г ==-др, то не
требуется особых усилий, чтобы учащимся стало ясно,
что когда на тело не действуют силы, то изменение им-
пульса равно нулю, т. е. импульс тела p = mv остается
постоянным. Значительно сложнее добиться того, чтобы
учащиеся достаточно ясно представили значение вели-
чины mv и ее сохранения.
Полезно обращать их внимание на то, что скорость
и импульс, хотя и связаны друг с другом, но это разные
характеристики движения. Одна из них чисто кинемати-
ческая. Знание одной лишь скорости говорит нам о том,
как движется тело, т. е. дает описание движения, но ни-
чего не говорит о силах, необходимых для того, чтобы
привести его в движение из состояния покоя или оста-
новить его. Импульс mv является динамической харак-
теристикой движения. Он не указывает скорости тела,
хотя и определяет ее направление; импульс связан с си-
лами, изменяющими скорость тела.
Огромное значение понятия импульса и закона его со-
хранения становится очевидным лишь при рассмотрении
взаимодействия двух или нескольких тел.
В случае нескольких взаимодействующих тел закон
сохранения импульса выводится из второго и третьего
законов Ньютона и оказывается справедливым в том

случае, когда эти тела взаимодействуют между собой, но
не подвергаются действию внешних сил.
Рассматривают два тела, движущиеся вдоль одной
и той же прямой со скоростями υ\ и v2. Сталкиваясь, они
действуют друг на друга с силами, которые по третьему
закону будут равны и направлены в противоположные
стороны F\ = —F2. Время действия сил на оба тела Δ/
одинаково.
На основе второго закона динамики записывают:
F^t = /η2(Δτ/2),
F2M = ηιί(Δν1).
Если ввести обозначения скоростей двух тел до и пос-
ле столкновений — νχ и ν'ν ν2 и ν'ν то:
Fx Δ t = m2[v'2—v2),
На основе третьего закона (F\ = —F2) получают:
m2[v'2—v2)= —M-\-m1v1. Если теперь перенести в левую часть уравнения
все величины, относящиеся к движению до столкно-
вения, а в правую—величины, относящиеся к движению
после столкновения, то получают:
ftiiVi~Ь TYI2V2 = τη,χν'ι -f- ηι2ν'2.
Слева мы имеем полный импульс двух тел (p = m{v\ +
+ m2v2) до столкновения, а справа (р'=m1v1 + m2v'2) —
после столкновения:
Ρ=Ρ'·
Полный импульс системы тел не изменяется в резуль-
тате взаимодействия.
Другими словами, в отсутствие внешних сил одни
лишь внутренние силы взаимодействия между телами не
могут изменить полного импульса системы. Внутренние
силы позволяют лишь отдельным телам системы частич-
но или полностью обмениваться импульсами.
Этот вывод необходимо проиллюстрировать экспери-
ментально и применить к объяснению ряда явлений, ина-
че ценности его учащиеся не поймут.

Рис. 51
Хорошие демонст-
рации, которые легко
могут быть поставлены
в средней школе, опи-
саны у С. Э. Хайкина
Сущность опытов
ясна из приведенных
рисунков 51, а и б.
Осуществляются они с
помощью «пушки»,
укрепленной на тележ-
ке. Ставится опыт в
двух видах:
а) демонстрируется
явление отдачи при
выстреле — при выле-
те «снаряда» «пушка»
получает импульс в про-
тивоположном направ-
лении (рис. 51, а);
б) затем опыт видо-
изменяется. «Пушка»
скатывается с наклонной плоскости (рис. 51, б) и при
выстреле уже имеет некоторую скорость. После выстре-
ла она останавливается, весь импульс, которым она
обладала, она передала снаряду. Эти опыты хорошо ил-
люстрируют то, что внутренние силы не изменяют пол-
ного импульса системы, а позволяют телам системы
лишь обмениваться импульсами.
Приведем еще один опыт, который может быть по-
ставлен для демонстрации закона сохранения импульса
в случае трех тел. На тележку, движущуюся с малым
трением (рис. 52 а), поставлен ящик с песком. По же-
лобу, укрепленному наклонно, в тележку скатывается
стальной шар. При этом она начинает двигаться в на-
правлении, в котором двигался шар. Затем устанавлива-
ем второй желоб (рис. 52 б). Если два шара равной
массы одновременно падают в тележку с одинаковой вы-
соты, то тележка остается на месте.
1 С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, М.,
1963, стр. 116—117.

Рис. 52 а
Из закона сохране-
ния импульса следует
получить очень важ-
ный вывод о движении
центра масс. Само по-
нятие центра масс по-
является именно в этой
части курса; до этого
учащиеся знали толь-
ко о центре тяжести
тел.
Указываем, что положение центра тяжести в данном
теле не зависит от того, где находится тело — на Земле
или на Марсе, ведь при переносе тела на другую планету
силы тяжести его частей меняются одинаково. Поскольку
силы тяжести пропорциональны их массам, естественно
называть центр тяжести центром масс.
Рис. 52 б
Закон движения центра масс выводим на примере
системы из двух материальных точек:
а) Прежде всего показываем, что если общий импульс
системы равен нулю, то центр масс находится в состоя-
нии покоя.
Это нетрудно
сделать путем ана-
лиза такого опыта.
Два тела с массами
т\ и т2 касаются
упругой пружины,
сжатой и связанной
ниткой (рис. 53)
Рис. 53

Если нить поджечь, то тела разлетятся. Причем, на осно-
вании закона сохранения импульса, скорости этих тел
будут обратно пропорциональны их массам. Значит,
и расстояния, которые будут пройдены телами (без тре-
ния) до упоров, о которые они ударятся одновременно,
будут также обратно пропорциональны массам. Если те-
ло большей массы прошло отрезок s2, то тело меньшей
массы прошло за это время больший путь S\ причем,
st :s2 = m2 \ ти
а это значит, что центр масс, который по определению
находится в точке, делящей прямую, соединяющую тела,
на отрезки, обратно пропорциональные массам, остался
в месте старта тел. Иными словами, центр масс не пере-
местился, он неподвижен.
Это очень важный вывод. Он показывает простой фи-
зический смысл нулевого значения общего импульса си-
стемы— ее центр масс сохраняет неизменное положение
в пространстве.
Этот вывод нужно закрепить разбором каких-либо
примеров. Учащихся могут заинтересовать примеры из
художественной литературы. Как известно, барон Мюн-
хаузен вытащил самого себя из болота за волосы. Поче-
му нельзя этого сделать? В литературе таких шутливых
примеров много. Герой комедии Ростана Сирано де Бер-
жерак утверждал, что добраться до Луны можно очень
простым способом: лечь на железный лист и подбрасы-
вать вверх магнит; он притянет к себе лист с вами, а вы
опять подбрасываете магнит и так долетите до Луны.
Все улыбаются, понимая, что это невозможно. Но
почему невозможно, это можно объяснить лишь на осно-
вании закона сохранения импульса (или следствия из
него — сохранения положения центра масс).
Приведем еще такую задачу: человек стоит посреди
замерзшего пруда, лед идеально гладок и лишен всякого
трения. Как он сможет добраться до берега?
Итак, если внешние силы отсутствуют, т. е. система
замкнутая, то полный ее импульс равен нулю. Внутрен-
ние силы не могут изменить положения центра масс, он
находится в состоянии покоя.
б) Дальнейшее развитие этого вопроса приводит
к выводу о том, что если полный импульс системы не
равен нулю, то центр масс взаимодействующих тел всегда

движется так, как если бы вся масса была сосредоточена
в нем. Другими словами, центр масс ведет себя как мате-
риальная точка, в которой сосредоточена вся масса систе-
мы и к которой приложены все действующие на систему
внешние силы.
Чтобы убедиться в этом, представим себе, что оба
взаимодействующих тела уже двигались до того, как мы
пережгли нить. Общий импульс системы был отличен от
нуля. Значит, центр масс перемещается с какой-то ско-
ростью 1>ο·
Введем вспомогательную систему отсчета, которая
движется вместе с центром масс, т. е. допустим, что мы
будем наблюдать за движением обоих взаимодействую-
щих тел из центра масс. Здесь опять нам придется опи-
раться на понятие относительности движения и принцип
относительности Галилея.
По отношению к этому наблюдателю скорости обоих
тел V\ и υ'2 находятся по тем же законам, что и в первом
случае. Эти скорости таковы, что общий импульс тел ра-
вен нулю (центр масс относительно этого наблюдателя
покоится, т. е. m\V\' + πΐ2ν2=0). А для наблюдателя на
Земле? Скорость любого тела относительно земли будет
геометрически складываться из скорости ν' во вспомога-
тельной системе отсчета и скорости самой системы отсче-
та і;0, т. е.
Поэтому общий импульс в системе отсчета земля
будет:
τη,ν, + m2v2 = mt[v0+ v[) + m2(v0+ v2) =
= m{v0 + mxv\ -f m2v0 -j- m2v2 =
= (mt + m2)v0 + [mtv[ + rn2v'2).
Последняя скобка содержит в себе общий импульс во
вспомогательной системе отсчета, и, как мы видели выше,
он равен нулю.
Итак, в конечном счете общий импульс взаимодейст-
вующих тел в системе отсчета земля
Р = (Щ + Щ)і>о,
где Όο—скорость движения ее центра масс.

Общий импульс остается таким, как если бы общая
масса системы двигалась вместе с центром масс. Части
тела могут перемещаться по отношению друг друга. Како-
вы бы ни были эти движения, центр массы тела движется
так, как если бы вся масса была сосредоточена в нем.
Все эти вопросы учащиеся достаточно отчетливо усва-
ивают лишь при решении ряда задач, когда они имеют
возможность убедиться, что в ряде случаев расчеты с по-
мощью закона сохранения импульса значительно упро-
щают решение задачи, которое было бы весьма затрудни-
тельно на основании трех законов Ньютона.
При решении задач уточняются, конкретизируются
и углубляются, кроме того, некоторые положения, касаю-
щиеся условий применения закона сохранения импульса
и особенностей этого закона.
Эти уточнения касаются прежде всего следующего:
I. Импульс — векторная величина. Поэтому постоян-
ными остаются не только абсолютная величина, но и его
направление. Понимание этого положения должно быть
закреплено конкретным расчетом. Векторный характер
импульса хорошо вскрывается, например, при расчете
упругого косого удара. Один из таких простейших
случаев мы разберем. Однако это можно будет сде-
лать лишь позднее, когда учащиеся будут знать и закон
сохранения механической энергии. Вместе с тем уже
в этой части курса необходимо, чтобы векторный харак-
тер импульса был усвоен, иначе во многих случаях уча-
щиеся не поймут возможности применения закона сохра-
нения импульса (например, когда система не замкнута,
но в интересующем нас направлении составляющая внеш-
ней силы равна нулю). Можно решить, например, такую
задачу:
Взрыв разделяет камень на три части. Два куска раз-
летаются под прямым углом друг к другу. Килограммо-
вый кусок — со скоростью 12 м/сек и двухкилограммо-
вый со скоростью 8 м/сек. Третий кусок отлетает со
скоростью 40 м/сек. а) Начертите диаграмму, показываю-
щую направление, в котором летит третий осколок, б) Ка-
кова масса третьего осколка?
II. Закон сохранения импульса справедлив для замк-
нутой системы. Однако мы его применяем, например,
к расчету смещения лодки, в которой человек переходит
от носа к корме. Эту систему мы можем считать замкну-

той лишь в том случае, если мы пренебрегаем трением
воды о лодку: в противном случае в нашу систему нужно
было включить воду и учитывать импульс, передаваемый
воде. Кроме того, мы учитываем, что сила тяжести, дей-
ствующая на лодку, уравновешивается Архимедовой
силой.
Вообще на все тела, как известно, действует сила при-
тяжения к земле. Применяя закон сохранения импульса,
нужно было бы поэтому в систему тел включать землю и
учитывать изменение импульса земли.
Однако этого можно избежать потому, что уравнение
закона сохранения импульса векторное. Если нас интере-
сует составляющая от импульса в горизонтальном на-
правлении, в котором не действует сила тяжести, т. е.
отсутствует внешняя сила, то незамкнутая система в этом
направлении будет вести себя как замкнутая. Компонен-
та импульса будет оставаться постоянной. Эти соображе-
ния хорошо усваиваются учащимися при решении
задач.
Приведем несколько примеров решения задач, в кото-
рых рассматриваемая система тел, хотя и не является
замкнутой, но в горизонтальном направлении, в котором
компонента силы тяжести равна нулю, ведет себя как
замкнутая.
1. Человек весом 60 кГ бежит со скоростью 8 км/ч.
Догнав тележку, движущуюся со скоростью 2,9 км/ч, он
вскакивает на нее. Какова будет скорость тележки после
этого, если вес ее равен 80 кГ? Какова будет скорость те-
лежки при условии, что человек бежал ей навстречу?
Трение о рельсы не учитывать.
Прежде чем приступить к решению, устанавливают,
что в горизонтальном направлении система является зам-
кнутой (трением пренебрегаем по условию). Скорости
человека и тележки даны в одной и той же системе земля.
Поэтому, выбрав положительное направление оси отсче-
та по направлению заданных скоростей, составляют урав-
нение закона сохранения импульса:
a) miVi + m2v2= (mx-\-m2)v,
где р\ = mxvi — импульс человека, р2 = m2v2 — импульс
тележки.
mxvx + moV2 - 1 км
ml+m2 9 "я

б) Аналогично для второго случая (положительным
направлением координатной оси выбираем направление
скорости человека):
2. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает
груз весом 10 кГ под углом 30° к горизонту со скоростью
5 м/сек. Какова будет начальная скорость движения конь-
кобежца, если вес его равен
64 кГ? Перемещением конь-
кобежца во время броска
пренебречь.
На чертеже (рис. 54)
указывают векторы импуль-
сов тел до и после измене-
ния их движения и положи-
тельное направление коор-
динатной оси.
В горизонтальном направ-
лении систему тел конько-
бежец — груз можно считать замкнутой. Находят состав-
ляющую р\ импульса груза в горизонтальном направле-
нии и импульс р2 конькобежца в этом же направлении:
p1 = mivicosai и ρ2 = —m2v2.
Составляют уравнение закона сохранения импульса:
mivi cos α — m2v2 = 0.
Отсюда
Рис. 54
3. Через неподвижный блок переброшена веревка
длиной /, на концах которой висят два гимнаста весом Ρ
каждый. Через сколько времени первый гимнаст достиг-
нет блока, если он поднимается вверх со скоростью uq.
относительно веревки? Массу веревки не учитывать, тре-
нием в блоке пренебречь.
В этой задаче, в связи с тем что на обоих гимнастов
действует сила тяжести, в замкнутую систему тел долж-
на быть включена земля. Однако нетрудно видеть, что

изменение импульса, которое приобретет земля, ничтож-
но мало благодаря тому, что масса ее во много раз
больше массы гимнастов. Поэтому этой величиной мож-
но пренебречь и не учитывать ее в уравнении закона со-
хранения импульса.
Обратим внимание еще на одно важное положение.
В условии задачи указана относительная скорость
гимнаста в системе отсчета веревка. Составляя уравне-
ние относительно системы земля, нужно выразить дан-
ную скорость в этой системе. На это нужно специально
обратить внимание учащихся.
Тогда, выбрав положительным направлением коорди-
натной оси направление скорости первого гимнаста, со-
ставляем уравнение закона сохранения импульса:
Отсюда
4. Большой интерес представляет задача на вычисле-
ние реактивной силы тяги, решаемая на основе закона
сохранения импульса. Рассмотрим эту задачу.
Из ракетного двигателя ежесекундно выбрасывается
некоторая порция продуктов сгорания топлива массой т
со скоростью и относительно ракеты. Масса ракеты по-
сле вылета очередной порции продуктов сгорания равна
М, а ее скорость до вылета топлива V\. Определить реак-
тивную силу тяги.
Рис. 55
Определим полный импульс системы ракета — порция
топлива до (р1) и после (р2) выброса топлива из ракеты.
Положительным направлением оси отсчета выбираем на-
правление движения ракеты (рис. 55). Тогда

После выброса из ракеты порция продуктов сгорания
топлива двигалась со скоростью и относительно ракеты
или, учитывая положительное направление оси, со ско-
ростью V\— и относительно земли. Поэтому
p2 = nt(v1~ u)+Mv2,
где υ2—скорость ракеты после выброса топлива.
Из закона сохранения импульса получаем:
mvx + Mxvx = m(v{— и) -f Mv2;
mu = Μ (ν 2 — νχ) = Μ Δ ν.
Напомним, что т— масса продуктов сгорания, выбрасы-
ваемая за одну секунду. Поэтому MAv = F. Таким обра-
зом, реактивная сила тяги равна:
т. е. она пропорциональна скорости выброса продуктов
сгорания топлива.
В заключение интересно обратиться к примерам не-
замкнутой системы, т. е. такой, на которую действуют
внешние силы. В этом случае изменение полного импуль-
са системы определяется действием только внешних сил,
так как внутренние силы всегда входят попарно и уравно-
вешивают друг друга. Это те случаи, когда, например,
нельзя пренебречь трением (между лодкой и водой, авто-
мобилем и дорогой, паровозом и рельсами и т. д., а вода,
земля и т. д. не входят в замкнутую систему).
Изменение импульса системы (и движение центра
масс) легко продемонстрировать на следующем опыте
(рис. 56). Подвесим на нитях, привязанных к штативу,
заводной игрушечный автомобиль. Колесики его будут
вращаться, но корпус его
не будет двигаться поступа-
тельно — центр масс остает-
ся в покое относительно
штатива. Это объясняется
тем, что внутренние силы
взаимодействия между пру-
жиной завода и корпусом
не могут изменить полного
импульса системы тел (пру-
жина—корпус), и полный им-
пульс остается равным нулю.
Рис. 56

Поднесем к колесам кусок фанеры или картона. Как
только колеса коснутся ^фанеры, автомобиль поедет впе-
ред. Внешние силы трения, подействовав на него, измени-
ли его полный импульс. Так же объясняется движение
автомобиля по асфальту, имеющему большой коэффи-
циент трения покоя; если дорога обледеневает и коэффи-
циент трения покоя автомобиля на такой дороге очень
мал, то он не может по ней двигаться.
§ 3. Работа. Энергия. Закон сохранения
и превращения энергии
С законом сохранения и превращения энергии, значе-
ние которого в школьном курсе физики особенно велико,
тесно связаны понятия работы и энергии. Успешное ус-
воение энергетических вопросов раздела механики воз-
можно лишь в том случае, если уделено должное внима-
ние формированию у учащихся этих основных понятий.
Раскрывая понятия работы и энергии, необходимо,
с одной стороны, четко их разграничить, а с другой сторо-
ны, выявить тесную связь между ними.
Известно, что термин работа в его современном пони-
мании впервые появился в трудах французского ученого
Понселе в 1826 г. Согласно определению Понселе, работа
равна произведению силы, действующей на материальную
точку в направлении перемещения, на величину переме-
щения точки приложения силы.
Однако произведение Fs ≠ 0 является скорее лишь при-
знаком, позволяющим выделить те случаи, когда совер-
шается работа, и позволяет вычислить ее, но не выражает
в достаточной степени физической сущности этого
понятия. Только в связи с законом сохранения и превра-
щения энергии было раскрыто его глубокое содержание.
На основе этого закона возникло представление о работе
как об одном из процессов преобразования энергии при
ее передаче от одного тела к другому.
Передача энергии может осуществляться не только
в форме работы, но и в процессах теплообмена. Тепло-
обмен и работа — это две эквивалентные (но неравно-
ценные) формы передачи энергии.
Понятие механической работы всегда связано с упоря-
доченным процессом движения тел под действием сил,
при котором происходит передача энергии от одного тела

к другому. Следовательно, работа представляет собой
упорядоченную (макрофизическую) форму передачи
энергии.
В этом заключается физическая сущность процесса
работы. Отсюда вытекает, что величина работы1 измеря-
ет величину энергии, переданной от одного тела к другому
или превращенной из одной формы в другую в этом про-
цессе. Произведение сил и перемещений точек их прило-
жения, которым измеряется механическая работа, вы-
ражает как раз величину энергии, претерпевшей изме-
нение.
Совершенно ясно, что полное раскрытие сущности ра-
боты и его определение учащиеся могут получить лишь
в связи с усвоением понятия энергии и закона сохранения
и превращения энергии в механических процессах. Одна-
ко это потребовало бы того, чтобы понятия об энергии
было дано учащимся до понятия работы, независимо от
него. Здесь мы сталкиваемся с методической трудностью,
так как само понятие об энергии весьма сложно раскрыть
в средней школе без связи с понятием работы, не опира-
ясь на него.
Понятие энергии — одно из самых сложных в физи-
ке — окончательно сформировалось в науке лишь в сере-
дине XIX в., т. е. значительно позднее понятия работы.
Существенной стороной понятия энергии является то,
что она является однозначной функцией состояния систе-
мы, определяемой через координаты и импульсы, темпе-
ратуру, давление и объем, напряженности магнитного
и электрического полей, т. е. через величины, изменение
которых представляет собой ту или иную форму движе-
ния. Любому переходу материальной системы из одного
состояния в другое всегда соответствует строго опре-
деленное изменение энергии. Таким образом, если систе-
ма, претерпев ряд изменений, возвращается в исходное
состояние, то общее изменение энергии системы в ре-
зультате всех процессов равно нулю.
Если мы имеем изолированную систему, на которую
не оказываются внешние воздействия, то Е2=Е\—энер-
гия изолированной системы постоянна, какие бы процес-
1 Термин величина работы обычно не применяется; говорят про-
сто работа, имея в виду и второе значение этого термина, относяще-
гося уже не к процессу, а к физической величине, характеризующей
его количественно.

сы в ней ни происходили. Это положение представляет
собой закон сохранения энергии. Однако энергия являет-
ся не единственной функцией состояния, сохраняющейся
в механических процессах. Поэтому использовать этот
существенный признак для ее определения не представ-
ляется возможным. Под это определение с таким же успе-
хом подошли бы и другие сохраняющиеся величины (мас-
са, импульс и т. д.).
Многочисленные физические факты, относящиеся
к области превращения одних форм движения материи
в другие, показали, что существуют эквивалентные со-
отношения между механическими, тепловыми, электри-
ческими и другими воздействиями на систему.
Это позволяет характеризовать рассматриваемые
в физике конкретные виды движущейся материи с по-
мощью физической величины — энергии, которая в изо-
лированной системе остается постоянной при любых про-
исходящих в ней изменениях. Последнее указывает на то,
что энергия является мерой движения, т. е. той общей
характеристикой различных физических форм движения,
которая остается неизменной при их взаимных превраще-
ниях. В этом и состоит специфическое отличие энергии от
других сохраняющихся величин.
В методических исследованиях известна попытка
ввести понятие энергии как меры движения, независимо
и до изучения работы. Так сделано, например, в диссер-
тации А. В. Селенгинского. Однако этот опыт не получил
распространения потому, что оказалось затруднительным
раскрыть учащимся при изучении механики физическое
содержание понятия мера движения.
Правильное представление об энергии раскрывается
со всей глубиной не при изучении чисто механических яв-
лений, а только тогда, когда рассматривают факты вза-
имного превращения различных форм движения друг
в друга. Раскрытие понятия энергии как меры движения
станет доступным учащимся лишь тогда, когда будут
изучены факты существования эквивалентных соотноше-
ний между различными формами движения материи.
Каковы же возможные пути формирования понятия
энергии и работы в курсе физики средней школы, в част-
ности в разделе механики?
Логически непротиворечивый путь независимого от ра-
боты определения энергии, а затем раскрытие работы как

одной из форм превращения энергии кажется весьма за-
манчивым. Например, такой план введения понятий рабо-
ты и энергии мы находим в получившей широкую извест-
ность книге «Физика для всех» К
Авторы здесь ведут читателя по пути поисков сохра-
няющейся в механических процессах величины —+ ragft,
в которой, далее -γ- называют кинетической, a mgn —-
потенциальной энергией.
После этого вводится работа как величина, представ-
ляющая собой приращение кинетической энергии в ме-
ханических процессах (^=-тг-).
Такой способ изложения, по-видимому, уместен в по-
пулярной литературе. Однако нельзя не признать искус-
ственным и мало приемлемым в обучении прием, при
котором учащиеся должны следить за сохранением неко-
торой величины, значение которой выяснится лишь в даль-
нейшем, когда на ряде примеров они убедятся в том, как
полезно знать эту величину, сохраняющуюся в различных
механических процессах.
Более целесообразным нам представляется путь,
предложенный Ю. И. Соколовским 2. Отказываясь от по-
очередного изучения понятий работа и энергия, он вводит
их совместно при изучении уравнения живых сил. Но под-
ход к этому уравнению и цель его изучения очень осно-
вательно обосновываются учащимся, а это одно из усло-
вий успешности восприятия ими знаний.
Изучению уравнения живых сил предшествует рас-
смотрение вопроса о разгоне и торможении тел. Этот
вопрос непосредственно вытекает из законов динамики
и требует от учащихся понимания самого их существа.
В самом деле, если учащиеся достаточно хорошо усвоили
второй закон динамики, то они понимают, что никакая
сила не может мгновенно прекратить движение тела, об-
ладающего некоторой скоростью υ. Для этого требуется
время, за которое рассматриваемое тело пройдет некото-
рый путь s.
1 Л. Д. Ландау и А. И. Китайгородский, Физика для
всех, Физматгиз, М., 1963.
2 Ю. И. Соколовский, Понятие работы и закон сохранения
и превращения энергии, изд. АПН РСФСР, М., 1962.

Точно так же нельзя мгновенно сообщить неподвиж-
ному телу скорость v. Для этого требуется время, за кото-
рое тело опять-таки должно сместиться на расстояние 5.
Другими словами, ускорения, сообщаемые телам силами,
не могут быть бесконечно большими: они всегда конечны,
так как тела обладают массой. В этом, собственно, и со-
стоит смысл понятия массы как меры инертности. Итак,
как процесс разгона, так и процесс торможения требует
не только времени, но и прохождения некоторого пути.
Вычисляя этот путь, получают уравнение:
которое выводится вначале независимо от его энергети-
ческого содержания. Последнее выявляется лишь в по-
следующем, причем величина Fs получает название ра-
боты, а —кинетической энергии тела.
Для того чтобы приобрести эту энергию, тело должно
пройти соответствующий путь разгона. Это дает возмож-
ность-ввести и понятие потенциальной энергии, как опре-
деленного «запаса», за счет которого возникает кинети-
ческая энергия.
Следующий шаг — выявление постоянства суммы
кинетической и потенциальной энергий и введение поня-
тия механической энергии — совершенно очевиден.
Методика изучения энергетических вопросов меха-
ники в указанном выше плане подробно изложена в ци-
тированной выше книге Ю. И. Соколовского. Ее достоин-
ство состоит в том, что она позволяет выявить существен-
ные черты понятий работы и энергии, непротиворечиво
и последовательно их раскрыть, ввести понятие механиче-
ской энергии как величины, не только не изменяющейся
при чисто механических процессах, но и способной к пре-
вращениям. Эта методика отличается большой логиче-
ской стройностью и, несмотря на некоторую сложность,
всегда присущую таким логическим построениям, вполне
доступна учащимся средней школы. Каждый шаг ее обо-
снован и может быть принят учащимися, не вызывает
у них чувства внутреннего протеста, как всегда бывает,
когда им предлагают какие-то выводы и преобразования,
смысл которых будет выявлен лишь в дальнейшем.

Однако в этой методике не учитывается в достаточной
мере то, что учащиеся в младших классах уже знакоми-
лись с понятием механической работы.
Понятие работы, сформированное у них в VI классе,
естественно, весьма узко; введено оно до и независимо от
изучения энергии, а потому учащиеся владеют лишь не-
достаточно мотивированным определением работы как
величины, зависящей от действующей силы и от пути, на
котором она действует.
Однако они знают признаки работы (Fs=£0), умеют
пользоваться формулой A=Fs для случаев, когда на-
правление действующей силы совпадает с направлением
перемещения. Поэтому не следует начинать изучение
энергетических вопросов в старших классах, совершенно
игнорируя имеющиеся у учащихся знания и устанавливая
связь с ними лишь впоследствии, когда им будет пока-
зано, что к ранее известному вопросу подошли с иной
точки зрения. В этом случае имевшиеся у учащихся зна-
ния не могут быть ступенькой, на которую можно
опереться для постепенного развития физических по-
нятий.
Учитывая все трудности, связанные с раскрытием фи-
зического содержания работы до изучения энергии и не-
зависимого от работы определения энергии, целесообраз-
но формирование понятия работы во второй ступени изу-
чения физики проводить в два этапа.
Вначале, до введения понятия энергии, опираясь на
вынесенное из VI—VII классов школы формальное опре-
деление работы в связи с процессом перемещения тел под
действием сил, рассматриваются различные случаи рабо-
ты, расширяющие это понятие: действующая сила сов-
падает по направлению с перемещением (положительная
работа), противоположна ему (отрицательная работа),
перпендикулярна ему (работа равна нулю), составляет
с ним любой угол α (A=Fscosa).
Для того чтобы далее можно было глубже раскрыть
понятие работы в связи с процессом превращения энер-
гии, уже здесь, на первых уроках, разбирая различные
случаи работы, необходимо воспользоваться понятием
механического состояния тел, определяемого их скоро-
стями и координатами, и выявлять связь совершенной ра-
боты с изменением координат или скоростей тел, участ-
вующих в процессе работы.

Для чисто механических процессов, когда мы отвле-
каемся от трения и сопротивления среды, примерами ра-
боты являются равномерный или ускоренный подъем
против действия силы тяжести и разгон по горизонталь-
ной поверхности.
В этих случаях изменения механического состояния
тел очевидны — меняется положение тел относительно
земли или других тел, изменяется их относительная ско-
рость.
Эти указания при рассмотрении частных случаев ра-
боты используются далее на втором этапе формирования
этого понятия, после введения понятия энергии. Но в этом
случае само понятие энергии уже может быть раскрыто
на основе работы.
Учащиеся из восьмилетней школы выносят некоторое
представление об энергии. Они определяли ее в связи
с возможностью совершения работы: тело обладает энер-
гией, если оно может совершать работу,— в таком плане
раскрывалось это понятие.
Дальнейший путь углубления этого понятия заключа-
ется в следующем. Показывают ряд примеров, что тела
обладают энергией, т. е. могут совершать работу только
тогда, когда они находятся в определенном состоянии,
которое может изменяться — могут изменяться их ско-
рости и координаты (сжатая пружина может распрям-
ляться, поднятое на некоторую высоту над данным уров-
нем тело может опускаться). Следовательно, энергия рас-
крывается как некоторое свойство тел, зависящее от их
состояния, благодаря которому они могут совершать
работу.
Для сил, зависящих только от взаимного расположе-
ния тел (силы тяготения, упругости, электрические), по-
казывают, что работа Fs этих сил приводит к изменению
величины (кинетическая энергия) или mgh (потен-
циальная энергия), характеризующей состояние этих
тел.
Этот вывод является количественным определением
энергии как изменяющейся при совершении работы вели-
чины, приращение которой в механических процессах
равно совершенной работе. Вместе с тем благодаря тому
что в нем выявлена связь с энергией, он раскрывает и бо-
лее глубоко работу как такой процесс, который приводит

к изменению энергии. При таком подходе мы раскрываем
энергию как функцию состояния, что является важной
чертой этого понятия.
Итак, логическая линия развития энергетических по-
нятий такова: дается независимое от энергии определе-
ние работы как характеристики процесса перемещения
тел под действием сил; затем вводится понятие об энер-
гии как величине, зависящей от состояния тел, изменение
которой в механических процессах равняется совершен-
ной работе. Далее, благодаря выявлению связи работы
с энергией углубляется понимание работы. Подробно
этот путь формирования энергетических понятий раскрыт
в первом томе «Методики преподавания физики в сред-
ней школе» 1.
§ 4. Столкновения
Значение законов сохранения импульса и энергии
учащиеся хорошо осознают и усваивают при решении
такой важной механической задачи, как столкновения.
Учащиеся всегда склонны соударения понимать в уз-
ком смысле этого слова. Поэтому, приступая к изучению
этого явления, разъясняют, что к соударениям относятся
любые встречи тел, при которых взаимодействие длится
короткий срок. Поэтому к ним, кроме удара шаров или
столкновения элементарных частиц, относятся прыжок
человека на движущуюся платформу, попадание пули
в баллистический маятник и т. п. При коротких взаимо-
действиях возникают такие большие силы, что другими
постоянно действующими силами можно пренебречь. Это
дает право рассматривать соударяющиеся тела как зам-
кнутую систему и применять к ним законы сохранения.
Действующие программа и учебник по физике, к со-
жалению, не дают до сих пор должной ориентировки на
достаточное выяснение этого важного вопроса.
Между тем столкновения представляют собой хоро-
шую динамическую задачу, помогающую усвоению важ-
нейших законов и понятий механики, а, кроме того, изу-
чение этого вопроса подготавливает учащихся к усвоению
1 Л. И. Резников, Э. Е. Э в е н ч и к, В. Ф. Ю с ь к о в и ч, Ме-
тодика преподавания физики в средней школе, т. I, Механика, изд.
АПН РСФСР, М., 1958.

ряда вопросов курса физики, которые будут далее изу-
чаться, например физики атомного ядра. Напомним такие
вопросы, как явление замедления нейтронов, представ-
ляющие собой по существу упругое столкновение. Извест-
но также, что в ряде случаев идентификации элементар-
ных частиц по снимкам треков в камере Вильсона или
в фотоэмульсиях возможна только на основе законов со-
хранения импульса и энергии, т. е. на основе решения за-
дачи о столкновении частиц. Это относится, например,
к определению параметров нейтральных частиц, где ме-
тод отклонения в электрических и магнитных полях не-
применим.
Подходя к отбору учебного материала с этой точки
зрения, мы видим, что необходимо рассмотреть такие
типы столкновений, на которых учащиеся могут выяснить
и те случаи, когда могут быть применены оба закона со-
хранения (импульса и энергии), и те, когда имеется воз-
можность применить один из них. Следовательно, необ-
ходимо рассмотреть и упругий и неупругий удары.
Для простоты следует рассматривать только цент-
ральный удар. Однако желательно рассмотреть также
один из простейших случаев косого упругого удара
шаров, имеющих равные массы.
Эта задача решается достаточно просто. К упругому
удару, как известно, можно применить оба закона сохра-
нения и написать векторное уравнение закона сохранения
импульса:
mxvx + m2v2 = τηχ\ΐγ + т2и2,
и уравнение закона сохранения энергии:
~~2 г ~2~ = ~Т~ + ~~2~~'
Если внести в задачу некоторое упрощение — рассма-
тривать частный случай, когда второй шар до столкнове-
ния покоится (t/2 = (J), то, сократив уравнения на mi = m2,
получим:
νι = и\ + и2 и = #і + #2.
Вектор v1_есть векторная сумма щ и ы2. А это значит,
что векторы щ, и2 и υ\ образуют треугольник (или u1 и u2
являются сторонами параллелограмма, в котором V\—
диагональ).

Второе равенство показывает, что этот треугольник
прямоугольный, в котором квадрат гипотенузы (υ\) ра-
вен сумме квадратов катетов (и\ ιί$\ щ и и2 образуют
между собой прямой угол.
Решение этой задачи показывает, что при любом ко-
сом упругом ударе тела равной массы разлетаются под
прямым углом (рис. 57).
Рис. 57
Рассмотрение хотя бы одного частного случая косого
удара важно потому, что в этом случае подчеркивается
векторный характер импульса и закона сохранения им-
пульса. Сумма импульсов определяется как векторная
сумма и закон сохранения импульса для замкнутой систе-
мы предусматривает сохранение величины и направления
общего импульса системы. При изучении только цент-
рального удара, когда скорости направлены вдоль одной
линии, эта сторона вопроса раскрывается не полностью.
Рассмотренный случай интересен еще и тем, что он
может быть использован при изучении фотографий тре-
ков, образовавшихся, например, в пузырьковой камере
при столкновении частиц равной массы. Прямой угол,
под которым разлетаются частицы, сразу же показывает,
что имело место столкновение частиц равной массы.
На рисунке 58 показано последовательное соударение
протона с другим протоном (ядром жидкого водорода),
находившимся в состоянии покоя.
Оба рисунка — косой удар бильярдных шаров
и столкновение протонов — целесообразно рассмотреть
с учащимися совместно.
Случаи центрального неупругого удара можно изу-
чить на задачах, подобрав следующие случаи: а) второе

Рис. 58
тело до удара покоится;
б) движется навстречу пер-
вому; в) движется в том же
направлении.
Такие задачи имеются в
достаточном количестве в
распространенных задачни-
ках. Это, например, задачи
такого типа:
1. Пуля массой ть вы-
пущенная горизонтально из
духового ружья со ско-
ростью ν, попадает в дере-
вянный шар с массой М,
подвешенный на нити /, и застревает в нем. Найти ско-
рость υ\, которую приобретает шар вместе с застрявшей
в нем пулей. Определить угол отклонения такого маят-
ника.
2. Человек весом Ρ бежит со скоростью υ. Догнав те-
лежку, движущуюся со скоростью Ou он вскакивает на
нее. Какова будет скорость тележки после этого, если ее
вес равен Р1? Какова будет скорость тележки при усло-
вии, что человек бежал ей навстречу? Трением прене-
бречь.
На какой-либо задаче можно разобрать вопрос об из-
менении механической энергии при неупругом ударе. На-
пример тело массой т движется со скоростью ν и ударя-
ется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар
центральным и неупругим, найти количество теплоты,
выделяющееся при ударе.
На основе закона сохранения импульса можно опре-
делить скорость обоих тел после удара и:
(так как удар центральный, то знаки векторов над им-
пульсами можно опустить).
При v2 = 0 и m1 = m2 получают:
Кинетическая энергия тел до столкновения:

после столкновения:
Значит, часть кинетической энергии
при ударе рассеялась (перешла в другие виды энергии).
Имеется в виду, что до решения задач на неупругие
столкновения разобран с учащимися вопрос о том, почему
в этих случаях механическая энергия тел не сохраняется.
Приведенное выше решение задачи лишь закрепляет зна-
ние этого вопроса.
Обратим внимание на одну, часто встречающуюся
ошибку учащихся. Усвоив несколько поверхностно, что
к неупругому удару неприменим закон сохранения меха-
нической энергии, они не понимают возможности его при-
менения к поведению слипшегося при неупругом ударе
тела после столкновения. Так, в приведенной выше зада-
че 1, в которой нужно определить не только скорость
маятника с застрявшей в нем пулей, но и угол его откло-
нения, необходимо:
а) применить закон сохранения импульса [mv=(m +
+ М)и] и найти скорость маятника с пулей:
Здесь для процесса столкновения шара и пули мы имеем
возможность применить только этот закон;
б) применить закон сохранения и превращения энер-
гии для маятника с пулей и приравнять значения меха-
нической энергии для него в положения А и В (рис. 59):
что позволит далее найти искомый угол отклонения1.
или, учитывая, что
Из чертежа (рис. 59) видно, что
Подставив
выражение для h, получим:

Рис, 59
Закон сохранения энер-
гии применяется уже не к
процессу столкновения, а к
движению маятника, полу-
чившего некоторую кинети-
ческую энергию.
К упругому удару, осу-
ществляемому при соударе-
нии тел, для которых силы
взаимодействия зависят
только от величины дефор-
маций (а не от скорости де-
формаций), применимы оба закона сохранения — им-
пульса и энергии.
Так как при упругом ударе деформация полностью
исчезает, то это значит, что нет перехода механической
энергии в другие виды энергии. В этом случае за первую
половину времени удара (при сближении тел) происхо-
дит переход кинетической энергии в потенциальную энер-
гию деформации, а за вторую половину времени удара
(при удалении тел и исчезновении деформации) потен-
циальная энергия целиком снова переходит в кинетиче-
скую.
Разобрав с учащимися упругий удар, нужно подо-
брать систему задач, при решении которых этот вопрос
будет усвоен.
Рассматривают общий случай, когда заданы импуль-
сы (скорости) тел до взаимодействия и требуется найти
импульсы (или скорости) этих тел после взаимодействия.
Для нахождения двух неизвестных записывают два урав-
нения на основе обоих законов сохранения:
и
Нужно отметить, что решение этой системы уравнений
не так просто. Оно производится с помощью некоторого
искусственного приема.
Уравнения приводят к виду:
(О
(И)

и затем, разделив второе уравнение на первое, получают:
^1 + ^1=^2+^2·
Последнее уравнение умножают сначала на т\, а за-
тем на га2, полученные выражения вычитают или прибав-
ляют к уравнению (I) и, решая систему относительно не-
известных значений скоростей после удара, получают:
(тх — m2)vx-\- 2m2v2
ui— mx+m2 '
(m2- ml)v2+2m1vi
U2— ml+m2
Совершенно ясно, что предлагать учащимся самостоя-
тельно выводить эти выражения для скоростей при реше-
нии задачи на упругий удар нецелесообразно. Этот вывод
можно произвести при решении одной задачи коллектив-
но на уроке, а затем, в случае необходимости, учащиеся
могут воспользоваться выведенными выражениями, за-
писанными в их тетрадях. Запоминать вывод выражений
для скоростей нет необходимости.
Вообще возможно ограничиться рассмотрением двух
частных случаев:
1) Сумма импульсов обоих тел до удара равна нулю,
т. е.
TTL{U\ = — ffl2V2.
Тогда выражения для скоростей после удара принимают
вид:
т. е. импульсы обоих тел при ударе только изменяют свой
знак.
2) Один шар до удара покоится:
τ>2 = 0.
Тогда

После удара второй шар движется в ту же сторону,
куда двигался первый до удара. Скорость и поведение
первого шара зависят от соотношения масс Ш\ и т2.
Если m1>m2, το первый шар продолжает двигаться
в том же направлении, как и до удара, но с меньшей ско-
ростью.
При т\<т2 направление движения первого шара при
ударе изменяется — он отскакивает обратно, а второй
движется в ту сторону, в которую двигался первый до
удара, но с меньшей скоростью.
Этот случай интересен тем, что позволяет понять явле-
ние замедления нейтронов. Поэтому можно предложить
учащимся решить, например, такие задачи К
1) Нейтрон (масса т0) ударяется о неподвижное
ядро атома углерода (га=12 т0). Считая удар централь-
ным и упругим, найти, во сколько раз уменьшится кине-
тическая энергия нейтрона при ударе.
2) Нейтрон (масса т0) ударяется о неподвижное
ядро:
а) атома углерода (/л=12т0);
б) атома урана (т = 235га0).
Считая удар центральным и упругим, найти, какую
часть своей скорости потеряет нейтрон при ударе.
Чем ближе массы соударяющихся шаров, тем больше
эффект замедления.
В приведенных выше задачах нетрудно рассчитать, что
нейтрон (масса 1) отскочит от ядра атома углерода
(масса 12), потеряв 2/і3 своей скорости, а от ядра атома
урана (масса 235), потеряв всего лишь 2/236 своей ско-
рости.
Решение таких задач можно проводить уже в курсе
механики. Это явится хорошей подготовкой учащихся
к изучению физики атомного ядра.
Отметим еще один интересный случай, когда массы
шаров одинаковы (т\ = т2).
Тогда
ul = v2; u2 = vu
т. е. шары равной массы при ударе обмениваются скоро-
стями. Это явление легко продемонстрировать на ударе
1 В. С. Волькенштейн, Сборник задач по общему курсу фи-
зики, Физматгиз, М.—Л., 1963, задачи № 2.93 и 2.94.

стальных или костяных
шаров (рис. 60).
Может быть поле-
зен еще один случай,
когда m2>mi. Для ис-
следования удобно чис-
литель и знаменатель
выражений для щ и и2
разделить на т2:
Рис. 60
Пренебрегая-—- по сравнению с единицей, получим:
— vx-\- 2v2 и u2^v2.
Мы видим, что при этих условиях скорость тела боль-
шей массы практически остается неизменной. Если эта
скорость v2 = 0, то щ = —vu т. е. малое тело отскакивает от
большого с той же по величине скоростью, с которой оно
ударилось, но в противоположном направлении.
Последний случай интересен тем, что он применяется
к случаю упругого удара шара о неподвижную стенку
при движении его перпендикулярно стенке.
В этом случае изменение импульса тела (молекулы
газа, ударяющейся о стенку сосуда) равно m\U\—miV\ =
= —mxvx—m\O\ = —2m\V\. Стенка получит равный, но про-
тивоположный по знаку импульс p = 2m\V\. Рассмотрение
этого случая будет необходимо при выводе основного
уравнения кинетической теории газов.
§ 5. Вращательное движение твердого тела.
Закон сохранения момента импульса
(вращательного импульса)
Из трех законов сохранения, действующих в механи-
ческих процессах, в средней школе учащиеся изучают до
сих пор лишь два — закон сохранения импульса и закон
сохранения и превращения энергии. Динамика враща-
тельного движения твердого тела и закон сохранения мо-
мента импульса (вращательного импульса) не изучаются

в настоящее время. Между тем понятия о вращательном
импульсе и законе его сохранения не только являются
весьма полезными при анализе ряда распространенных
механических явлений, но и очень важны для изучения
ряда вопросов, изучаемых в других разделах курса физи-
ки (магнитных свойств вещества и физики атомного
ядра).
При известном упрощении изложения эти вопросы
оказываются вполне доступными школьникам и, как по-
казал опыт их преподавания, вызывают у них живой ин-
терес.
Трудным для учащихся является понимание угловой
скорости как векторной величины. Однако если не ка-
саться вопроса о сложении угловых скоростей, когда
только и проявляется векторный характер угловой ско-
рости, то об этой величине как о векторе не придется го-
ворить. А усвоение понятия о величине угловой скорости
(и даже углового ускорения) учащихся совершенно не
затрудняет. То же относится и к понятиям момента силы
и момента импульса.
Эти соображения заставляют строго.ограничить учеб-
ный материал этой темы и дать только тот минимум, кото-
рый позволит познакомить учащихся с указанными выше
важными понятиями и закономерностями, но не в вектор-
ной форме. Отсюда следует, что придется отказаться от
объяснения гироскопов и всех гироскопических эф-
фектов.
Возможны различные пути изучения вопросов враща-
тельного движения твердого тела в средней школе. Опыт
преподавания этих вопросов показал, что, если имеется
возможность выделить примерно пять уроков на изуче-
ние этой темы, вполне возможно достаточно обоснованно
ввести понятия о моменте импульса, основном уравнении
динамики вращательного движения тела и законе сохра-
нения импульса.
Однако в классах с более слабым составом учащихся
можно дать более упрощенное изложение вопросов, огра-
ничив введение основных понятий и закономерностей
в основном лишь экспериментальным их обоснова-
нием.
Рассмотрим оба варианта изложения.
Угловая скорость. При изучении равномерного дви-
жения материальной точки по окружности учащиеся ус-

воили понятие линейной скорости υ= (для равномер-
ного движения по окружности v = 2nRn,mn υ= ——).
Понятие угловой скорости имеет смысл лишь для враще-
ния тела, поэтому и вводиться оно должно лишь при изу-
чении этого движения.
Угловая скорость определяется как отношение прира-
щения угла поворота тела (радиуса-вектора, проведен-
ного из оси вращения в любую точку тела) к промежутку
времени, в течение которого это приращение произошло:
Δα
Точка, лежащая на расстоянии г от оси вращения, при
повороте на малый угол Δα описывает малую дугу Δ/ =
= τΔα. Отсюда -^-=гили υ = ωί.
Для равномерного вращения со = 2πл, и соотношение
между линейной и угловой скоростями получают из срав-
нения формул
V = 2πrn и ω = 2πΛ,
Уже при введении угловой скорости уместно начать
проводить сопоставление вращательного и поступатель-
ного движений: в поступательном движении характери-
стиками являются перемещение и линейная скорость; во
вращательном — угол поворота тела (т. е. угол поворота
радиуса-вектора, проведенного из оси в любую точку
тела) и угловая скорость.
Момент силы. Понятие о моменте силы относительно
оси учащиеся получили при изучении вопросов статики К
Однако повторение и некоторое углубление этого поня-
тия потребуется внести при изучении вращательного дви-
жения тела, хотя и здесь мы не будем касаться вопроса
о векторном характере как угловой скорости, так и мо-
мента силы.
Уточнение касается вопроса о том, какая сила может
вызвать вращательное движение, т. е. обладает враща-
тельным моментом относительно оси. Очевидно, ни сила,
1 По проекту программы эти вопросы будут изучаться только
и младших классах.

Рис. 61
направление которой проходит через ось вращения, ни
сила, которая параллельна оси, не могут повернуть тело
вокруг оси 00'.
Следовательно, при определении момента силы F от-
носительно оси (рис. 61) нужно учитывать действие лишь
составляющей Fn этой силы, лежащей в плоскости, пер-
пендикулярной к оси. Момент Μ этой силы относительно
оси определяют как
Μ = Fnd = FnRsinЕдиница момента силы—1 ньютонметр.
Учащимся полезно предложить на ряде примеров
представить себе и разобраться, в каком направлении бу-
дет происходить вращение тела в различных случаях
действия силы.
Интересен пример вращения «послушной» и «непо-
слушной» катушек (рис. 62) К Правда, в этом случае
имеется в виду вращение вокруг мгновенной оси, но не
на это здесь обращается внимание.
Как видно из рисунка, держа нить достаточно поло-
го, можно принудить к послушанию самую неподатливую
катушку, и она наматывается на нить, за которую мы ее
тянем к себе. В противном случае момент силы вызывает
1 Р. В. Поль, Механика, акустика и учение о теплоте, Гостех-
издат, М., 1957, стр. 97.

Рис. 62
вращение катушки в противоположную сторону, и она за-
катывается от нас еще дальше.
Как пишет Р. В. Поль: «Здесь, как и во многих дру-
гих случаях жизни, немножко физики дает больше тол-
ку, чем самые бурные проявления темперамента».
Кинетическая энергия вращающегося тела. Вывод
формулы кинетической энергии тела не вызывает ника-
ких затруднений у учащихся и легче всего позволяет вве-
сти понятие о моменте инерции.
Как обычно, разбивают тело на маленькие объемы
с массами Ати Ат2,находящиеся на расстояниях ги
г2, ... от оси вращения.
Записав кинетическую энергию тела как сумму кине-
тических энергий частиц
II
выразив различные для всех точек линейные скорости че-
рез общую для всего тела угловую скорость (υ = ωί)1 по-
лучают:
Величина, стоящая в скобках {Lmir2l), не зависит от
скорости движения. Она характеризует инертные свойства
тела во вращательном движении: чем больше эта величи-
на, тем большую энергию надо затратить, чтобы достичь
заданной скорости. Этим пояснением можно оправдать
название момент инерции, которое принято для величины
/=2т/г2і. Мы видим, что роль массы во вращательном
движении играет момент инерции. Значение этой величи-
ны зависит от характера распределения массы по отно-
шению к оси вращения. Частицы, лежащие дальше от оси
вращения, вносят в сумму значительно больший вклад,
чем те, которые ближе расположены к оси.

Теперь можно продолжить сопоставление поступа-
тельного и вращательного движений.
Физическое значение момента инерции легко показать
на всех примерах, где приводится во вращение тело, за-
крепленное на оси. Рассмотрим два таких опыта.
1. Блок (рис. 63) приводится во вращательное дви-
жение вокруг горизонтальной оси опускающимся грузом
Ρ (потенциальная энергия падающего груза превращает-
ся в кинетическую энергию вращательного движения бло-
ка). С блоком жестко соединен стержень А, на котором
на равных расстояниях от оси вращения помещены грузы
Рис. 63

m1\ и m2. Эти грузы можно закреплять на различных рас-
стояниях от оси вращения.
Проводят два наблюдения. Первый раз грузы Ш\ и т2
закрепляют на стержне А близко к оси, а во второй — на
концах стержня. Наблюдения показывают, что в первом
случае конечная (в момент соприкосновения груза Ρ с по-
верхностью стола) угловая скорость вращения ωι значи-
тельно больше, чем ω2 во втором случае. Это объясняется
меньшим значением момента инерции блока и грузов
в первом случае.
2. Берутся два цилиндра с одинаковыми радиусами
и массой — один сплошной, а другой полый. Оба цилинд-
ра помещают на верхний край наклонной плоскости
(рис. 64), с которой они
скатываются. При этом
потенциальная энергия
цилиндров превраща-
ется в кинетическую
энергию. Очевидно, что
потенциальная энергия
на верхнем уровне и
приобретенная при ска-
тывании кинетическая
энергия обоих цилинд-
ров будут одинаковы. Опыт показывает, что полый ци-
линдр, имеющий больший момент инерции, скатывается
заметно медленнее (отстает от сплошного) и приобрета-
ет к концу движения меньшую угловую скорость, чем
сплошной.
Если учитель посчитает возможным ввести понятие
углового ускорения ε= (опять-таки без указа-
ния на его векторный характер), то не представит
большого труда вывод основного уравнения вращатель-
ного движения (М^'ХГ ^ этом слУчае описанные
опыты могут быть истолкованы динамически: вращатель-
ные моменты Pr, действующие на оба цилиндра, одина-
ковы, так как вес и радиусы обоих цилиндров одинаковы;
поэтому полый цилиндр с большим моментом инерции
получает при скатывании меньшее угловое ускорение
и приобретает к концу скатывания меньшую угловую
скорость. Аналогично объясняется и первый опыт.
Рис. 64

Рис. 65
Вывод основного уравнения,
приемлемый для учащихся сред-
ней школы, можно найти в ряде
курсов механики для вузов К
Вычислять моменты инерции
тел /= \r2dm учащиеся средней
школы не имеют возможности.
Исключение составляют такие
случаи, когда интегрирование мо-
жет быть заменено суммирова-
нием конечного числа величин.
Например, для тела, состоя-
щего из восьми одинаковых ша-
риков, расположенных в верши-
нах куба с ребром а (рис. 65),
момент инерции относительно оси, проходящей через
ребро куба, будет равен:
/ = 4та2 + 2т(а2 + а2) = 8та2.
(Заметим, что это справедливо, если диаметр шариков
мал в сравнении с а.)
Момент инерции у двухатомной молекулы относитель-
но оси, перпендикулярной к соединительной линии:
/ = тАг\-\-тв г\,
где ТА и г в — расстояния атомов Л и β до центра инер-
ции. Если / — расстояние между атомами, то г А -\-ГВ = I
и
Отсюда момент инерции равен:
Моменты инерции некоторых сплошных тел (шара,
цилиндра, тонкого диска) могут быть сообщены учащим-
ся без вывода.
Момент импульса. Понятие о моменте импульса может
быть введено на основе аналогии, которую мы проводим
между величинами, характеризующими поступательное
1 С. П. Стрелков, Механика, Гостехиздат, М., 1956; К. А. Пу-
тилов, Курс физики, т. I, Учпедгиз, М., 1959.

движение материальной точки и вращательное движение
тела.
Продолжая аналогию между обоими видами движе-
ний, напоминаем учащимся, что введение понятия об им-
пульсе (mv) для движения материальной точки позволи-
ло вывести важный закон природы — закон сохранения
импульса, которым мы пользовались при анализе ряда
задач механики точки. Аналогичную величину можно
ввести для вращательного движения.
Учащиеся уже убедились (при выводе формулы ки-
нетической энергии), что величинами, аналогичными
массе и скорости в поступательном движении, являются
во вращательном движении момент инерции и угловая
скорость. Поэтому вводим величину вращательного им-
пульса
аналогичную понятию импульса.
Мотивом к ее введению является то, что с помощью
этой величины мы можем сформулировать еще один за-
кон сохранения, действующий в механике,— закон сохра-
нения вращательного импульса.
Изменение импульса (mv) материальной точки может
происходить только под действием силы. Изменение вра-
щательного импульса тела происходит под действием
момента силы (вращательного момента). Если момент
силы относительно оси (или какой-либо точки) равен
нулю, то угловая скорость тела не меняется и момент
импульса L остается постоянным.
Вращательный импульс удовлетворяет закону сохра-
нения: в замкнутой системе тел (на которую не действу-
ет внешний вращательный момент) полный вращатель-
ный импульс входящих в эту систему тел не изменяется:
(Увеличение вращательного импульса одного из тел ком-
пенсируется равным уменьшением вращательного им-
пульса остальных тел системы.)
Поскольку мы не выводим уравнения моментов
а следовательно, и закон сохранения враща-
тельного импульса, нужно привести достаточно убеди-
тельные экспериментальные подтверждения этого закона.

При подборе и постановке этих опытов нужно обойти
еще одну трудность: учащимся мы не даем понятия
о вращательном импульсе как о векторе и, следователь-
но, закон сохранения импульса даем также не в вектор-
ной форме. Мы можем говорить лишь о направлении
вращения тела.
Наиболее эффектные и интересные опыты, которые
объясняются на основе закона сохранения вращательно-
го импульса, а потому могут служить его подтверждени-
ем, производятся на скамье Жуковского.
1. На скамью Жуковского садится ученик. Он сидит
неподвижно и держит в левой руке (примерно на уровне
глаз) велосипедное колесо со свинцовым вкладышем на
ободе (рис. 66, а). Вращательный импульс вначале равен
Рис. 66
нулю. Ученик берется снизу правой рукой за спицы и при-
водит колесо во вращение. Оно получает некоторый вра-
щательный импульс Ι\(ύ\ и вращается по часовой
стрелке. По закону сохранения вращательного импульса
ученик должен получить вращательный импульс /2со2 та-
кой же величины, но противоположного направления.
Действительно, мы наблюдаем вращение скамьи с сидя-
щим учеником против часовой стрелки, причем угловая
скорость 0)2 вращения скамьи и ученика меньше скорости
οι вращения колеса, так как момент инерции скамьи
и ученика больше момента инерции колеса.
2. Ученик, прижав обод колеса к груди (рис. 66, б),
затормаживает вращение колеса. Одновременно прекра-
щается и вращение скамьи. Оба импульса одновременно
обращаются в нуль.

3. Ученик сидит на скамье неподвижно. Ему переда-
ют вращающееся колесо. Вращательный импульс колеса
Λωι теперь принадлежит уже колесу и человеку на
скамье. Поэтому скамья вращается в ту же сторону,
куда и колесо. Угловая скорость вращения скамьи ω2
меньше ωι; она может быть найдена из уравнения:
Л<°1 = (Л+Д)«>2-
Но если ученик перевернет колесо так, что нижний конец
оси будет направлен вверх, то этим он изменит враща-
тельный импульс (об этом можно сказать, даже не дав
определения направления вращательного импульса,—
вначале, глядя сверху, мы видели колесо вращающимся
против часовой стрелки, а теперь — по часовой стрелке).
В этом случае человек со скамьей начинает вращаться
в противоположную сторону (рис. 66, в).
Эти опыты убеждают учащихся в справедливости за-
кона сохранения вращательного импульса.
Следует обратить внимание учащихся на следующий
факт. Движение тела с постоянным импульсом mv (на-
пример, движение тела, свободного от взаимодействий
или когда равнодействующая всех действующих на него
сил равна нулю) является равномерным.
При движении тела с постоянным вращательным им-
пульсом / ω (когда момент силы равен нулю) угловая
скорость ω может изменяться, так как может изменять-
ся во время движения момент инерции /. Это явление
демонстрируется на ряде опытов. На той же вращающей-
ся скамье это можно показать хорошо известными опы-
тами, когда момент инерции сидящего на ней человека
с гантелями в руках меняют разведением рук в стороны
или, наоборот, прижиманием их к груди (рис. 67).
Рис. 67

Рис. 68
Известны многочисленные примеры использования
этого явления гимнастами, танцорами при всякого рода
поворотах и кружениях: скорость сообщается отталки-
ванием от пола в положениях с большим моментом инер-
ции, а затем изменением позы (рис. 68) уменьшают мо-
мент инерции и тем увеличивают угловую скорость вра-
щения.
С введением в программу вопросов вращательного
движения твердого тела скамья Жуковского должна
стать обязательным предметом оборудования кабинета
физики. Частично ее можно заменить, изготовив неслож-
ные приборы, аналогичные описанным в книге «Демон-
страционный эксперимент»1 и в журнале «Физика
в школе» 2.
В связи с тем что учащиеся средней школы не имеют
возможности вычислять моменты инерции тел (а запо-
минать их нет смысла) и им не выводится уравнение
моментов (м=4т)' вряд ли целесообразно изучение
этой темы проводить с помощью решения задач. Значи-
тельно эффективнее оказывается качественный анализ
различных примеров и опытов, аналогичных приве-
денным.
1 В. А. Буров, Б. С. Зворыкин и др., Демонстрационный
эксперимент по физике в старших классах средней школы, т. I, изд.
«Просвещение», М., 1967.
2 Н. В. Понырко, Прибор для демонстрации закона сохране-
ния момента количества движения, «Физика в школе», 1965, № 3.

Как бы ни были многочисленны опытные обоснования
закона сохранения момента импульса, нельзя считать,
что они могут заменить строгий аналитический вывод
этого закона. Нельзя не учитывать также того, что во
всех предложенных опытах обоснование закона давалось
только качественное. Измерять моменты инерции тел
и угловые скорости вращения велосипедного колеса
и скамьи Жуковского мы не имеем возможности. Уча-
щихся, приученных к строгим выводам механики, не мо-
жет полностью удовлетворить предложенный путь озна-
комления с одним из важных законов.
В классах с более сильным составом учащихся мож-
но дать несколько более обоснованное изложение этого
учебного материала. Для этого выводят уравнение мо-
ментов М= -Δt- и из него устанавливают, что, если
момент внешней силы равен нулю, вращательный им-
пульс тела остается величиной постоянной.
Элементарный вывод можно предложить в таком
виде. В то время как для поступательного движения тела
мы вводили величину им-
пульса mv, для тела, со-
вершающего движение
относительно оси О
(рис. 69), мы вводим ве-
личину L = mvd. Устанав-
ливаем связь между мо-
ментом внешних сил и мо-
ментом импульса тела,
движущегося относитель-
но оси О. Пусть тело дви-
жется так, что расстоя-
ние d от оси вращения не меняется (тело движется по
окружности вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
чертежа). Запишем уравнение второго закона Ньютона
для этого тела:
Рис. 69
Умножим обе части уравнения на d, тогда

Левая часть уравнения есть момент силы относительно
выбранной оси. Легко видеть, что правая часть представ-
ляет собой изменение момента импульса тела в единицу
времени:
, Δmv ^mvd AL
Отсюда
т Δ t *
Если момент внешней силы Μ равен нулю, то момент
импульса L остается постоянным.
Можно далее выразить момент импульса через мо-
мент инерции. В самом деле, линейную скорость υ вы-
ражаем через ωr, тогда
mvd = md2u.
Выражение md2 есть знакомое уже учащимся выражение
момента инерции /, тогда момент импульса может быть
выражен:
L =Iω,
a vnaBHeHHe моментов:
Приведенные выше опыты в данном случае мы при-
водим как иллюстрации этого вывода.
Рассмотрение методики изучения всех законов сохра-
нения, действующих в механике, в одной главе не озна-
чает, конечно, что и в программе они должны быть по-
ставлены совместно.
Каждый из них изучается в соответствующем месте —
динамика материальной точки, энергетические вопросы
механики, динамика вращательного движения твердого
тела. Объединением их в одной главе мы хотели под-
черкнуть лишь их особое значение для повышения уровня
знаний учащихся в области механики.