Чекмарев Я. Ф. Упражнения на зависимость между компонентами действий. — 1968

ГЛАВА
I
ОБЩИЕ ЗАДАЧИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ
ЗАВИСИМОСТИ
МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ
И РЕЗУЛЬТАТАМИ ДЕЙСТВИЙ
§ 1. ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ, ВЫРАЖЕННЫЕ В ПРЯМОЙ
И КОСВЕННОЙ ФОРМЕ И ЗНАЧЕНИЕ ИХ РЕШЕНИЯ
Простые задачи, выраженные в прямой
и в косвенной форме
Простые задачи, выраженные
в прямой форме.
Простые задачи, выраженные
в косвенной форме.
Сложение и вычитание
Нахождение суммы.
1. В клетке было 7 белых кро-
ликов, к ним посадили 3 се-
рых кроликов. Сколько всего
кроликов стало в клетке?
Увеличение числа
на несколько
единиц.
2. Одно дерево было высо-
той 6 м, а другое на 2 м вы-
ше. Какой высоты было дру-
гое дерево?
Нахождение остатка.
3. В бочке было 19 ведер во-
ды. Из нее взяли на поливку
1. В клетке было несколько
белых кроликов, к ним поса-
дили 3 серых кроликов. Всего
в клетке стало 10 кроликов.
Сколько было белых кроли-
ков?
10 кр. — 3 кр. = 7 кр.
Формулировка задачи на-
талкивает учащегося на сло-
жение, а решается задача вы-
читанием.
2. Одно дерево высотой 6 м,
и это дерево выше второго на
2 м. Какой высоты второе де-
рево?
6 м — 2 м = А м
Формулировка задачи соот-
ветствует сложению, а задача
решается вычитанием.
3. Из бочки на поливку цве-
тов взяли 11 ведер воды, и в

цветов 8 ведер. Сколько ведер
воды осталось в бочке?
Уменьшение числа на
несколько единиц.
4. Длина забора 19 м, а дли-
на дома на 12 м меньше. Како-
ва длина дома?
Разностное
сравнение.
5. В горелки играли 7 маль-
чиков и 12 девочек. На сколь-
ко больше было девочек, чем
мальчиков?
бочке осталось 8 ведер. Сколь-
ко ведер воды было в бочке?
11 вед. + 8 вед. = 19 вед.
Формулировка «в бочке оста-
лось 8 ведер» соответствует
вычитанию, а решается зада-
ча сложением.
4. Длина дома 7 м, и это на
12 м меньше, чем длина за-
бора. Какова длина забора?
7 м + 12 м = 19 м
Формулировка «на 12 м мень-
ше» соответствует вычитанию,
а задача решается сложе-
нием.
5. В горелки играли 12 де-
вочек, и это на 5 человек боль-
ше, чем мальчиков. Сколько
играло в горелки мальчиков?
12 чел. — 5 чел. = 7 чел.
Формулировка «на 5 человек
больше» соответствует дейст-
вию сложения, а решается за-
дача вычитанием.
Умножение и деление
Нахождение суммы
равных слагаемых.
1. Ученик купил 3 тетради
по 13 копеек. Сколько он
уплатил денег?
Увеличение
в несколько раз.
2. Катя нашла в лесу 9 оре-
хов, а Миша нашел орехов
1. Ученик купил несколько
тетрадей по 13 копеек и упла-
тил за них 39 копеек. Сколько
тетрадей он купил?
39 коп. : 13 коп.=3 (тетр.).
Формулировка «несколько
тетрадей по 13 коп.» соответ-
ствует умножению, а решает-
ся задача делением.
2. Миша нашел в лесу 27 оре-
хов, и это в 3 раза больше,

в 3 раза больше. Сколько оре-
хов нашел Миша?
Деление на равные
части.
3. Отец разделал 3-м детям
12 груш поровну. Сколько груш
получил каждый из его детей?
Уменьшение
в несколько раз.
4. Для столовой купили са-
хару 18 кг, а печенья в 3 раза
меньше. Сколько килограммов
печенья купили?
Деление
по содержанию.
5. Мама купила 15 яблок.
Она дала каждому ребенку
по 5 яблок. Сколько детей
было у мамы?
Кратное сравнение.
6. Высота березы 12 м, а
яблони 3 м. Во сколько раз бе-
реза выше яблони?
чем нашла Катя орехов. Сколь-
ко орехов нашла в лесу Катя?
27 ор.: 3 = 9 ор.
Формулировка «в 3 раза
больше» соответствует умно-
жению, а решается задача де-
лением.
3. Отец разделил несколько
груш 3-м детям по 4 груши каж-
дому. Сколько груш у него
было?
4 гр. X 3 = 12 гр.
Формулировка «отец разде-
лил 3 детям груши» соответ-
ствует делению, а задача ре-
шается умножением.
4. Для столовой купили са-
хар и печенье. Печенья купили
б кг, это в 3 раза меньше, чем
купили сахару. Сколько кило-
граммов сахара купили?
6 кг X 3 = 18 кг.
Формулировка «в 3 раза
меньше» соответствует деле-
нию, а задача решается умно-
жением.
5. Мама купила яблоки и раз-
делила их между 3-мя детьми,
каждому дала по 5 яблок.
Сколько мама купила яблок?
5 яб. X 3 = 15 яб.
Формулировка «разделила их
между 3-мя детьми» соответст-
вует делению, а задача реша-
ется умножением.
6. Высота яблони 3 м, и это
в 4 раза ниже березы. Какова
высота березы?
3 м Х 4 = 12 м.
Формулировка «в 4 раза ни-
же» соответствует делению, а
задача решается умножением.

Приучить учащихся видеть функциональную зависи-
мость между величинами и выражать ее формулой —
числовой или буквенной — одна из задач обучения ариф-
метике. Первые шаги в этом направлении учащийся
делает при решении простых задач. В каждой простой
задаче даются величины, находящиеся между собой
в некоторой зависимости, а новая величина — искомая —
находится в зависимости от данных. Неизвестное можно
обозначать через х не только в задачах, выраженных
в косвенной форме, но и в задачах, выраженных в пря-
мой форме. Например, в первой задаче на сложение
в прямой форме читаем: «В клетке было 7 белых кроли-
ков. К ним посадили 3 серых кроликов. Сколько всего кро-
ликов стало в клетке?» Решение задачи можно записать
с х: 7+3=x.
В первой задаче в косвенной форме читаем: «В клетке
было несколько белых кроликов. К ним посадили 3 серых
кроликов. Всего стало 10 кроликов. Сколько было белых
кроликов?»
Задачу можно записать с х: х + 3 = 10.
Данную задачу, выраженную в косвенной форме,
можно решить подбором (подстановкой). Вместо х ста-
вится такое число, которое вместе с числом 3 дает в сум-
ме число 10, а именно: 7 + 3=10. Следовательно, х=7.
Но решение способом подбора (прикидки) можно выпол-
нять в задачах и при первом знакомстве с задачами
в косвенной форме (с детьми 6 и 7 лет) и с небольшими
числами.
После ознакомления с решением подобных задач
прикидкой (подбором) полезно переходить к решению
задач, выраженных в косвенной форме, с записью тех
действий, которые нужны для решения. В дальнейшем
задачи в косвенной форме решаются на основании зави-
симости между элементами действий. Вернемся к задаче
в косвенной форме о кроликах. Условие задачи «к ним
посадили...» наталкивает на сложение (x+3=10), а ре-
шается она обратным действием — вычитанием: от 10
отнять 3 получится 7 (10 — 3=7). Вследствие этого в на-
чальных классах школы такие задачи, выраженные в кос-
венной форме, называют иногда задачами «с обратным
ходом решения».
Но не всегда задачи в косвенной форме решаются
обратным действием. Покажем на примере:

Задача. Дети принесли маме 9 яблок. Мама взяла
несколько яблок, а остальные 3 яблока оставила детям.
Сколько яблок взяла мама?
Неизвестное обозначаем через х. Принесли маме
9 яблок, мама взяла х яблок (вычитаемое), детям оста-
лось 3 яблока.
Запись: 9 —х=3; решение: 9 — 3 = 6; х = 6.
Как видим, задача в косвенной форме записана вы-
читанием и решается тоже вычитанием. Приведем задачу
в косвенной форме с неизвестным делителем.
Задача. 16 горшков с геранью поставили в школь-
ном коридоре, поровну на каждое окно. На сколько окон
поставлены горшки, если на каждом окне оказалось по
2 горшка?
16 горшков поставили (распределили, разделили) на
несколько окон — х окон (делитель). На каждом окне
оказалось 2 цветка.
Запись: 16:л: = 2; решение: 16:2 = 8, #=8 (окон).
Условие задачи направляет мысль на деление, и за-
дача решается делением. Надо заметить, что задачи
этих двух видов в косвенной форме—с неизвестным
вычитаемым и неизвестным делителем — являются зада-
чами с прямым ходом решения, а не с обратным ходом,
как все остальные задачи в косвенной форме.
Как известно, из каждой простой задачи, выраженной
в прямой или косвенной форме, принятой за основную
или исходную, можно составить производные задачи в
косвенной или в прямой форме. В производной задаче
искомое основной (или исходной) задачи берется данным
производной задачи, а данные основной (или исходной)
задачи поочередно являются искомыми производных за-
дач. В дальнейшем будем употреблять термин «основная
задача». Приведем примеры:
Основная задача. В зоологическом саду было
7 бурых медвежат. В зоосад привезли еще 12 белых мед-
вежат. Сколько медвежат стало в зоологическом саду?
Запись: 7+12=x; решение: 7+12 = 19; x=19.
Сумма — искомая величина; 7 и 12 — данные слагаемые.

В производных задачах данными величинами являют-
ся сумма и одно из слагаемых, а второе слагаемое явля-
ется искомым.
1- я производная задача. В зоологическом са-
ду 19 медвежат, из них 7 бурых, остальные белые. Сколь-
ко белых медвежат в зоологическом саду?
Простая задача на вычитание: по сумме и одному
из слагаемых найти второе слагаемое.
Запись и решение: 19 — 7=х\ 19 — 7= 12; х= 12.
Во второй производной задаче неизвестным является
слагаемое — бурые медвежата, а сумма 19 и слагаемое
12 являются данными.
2- я производная задача. В зоологическом
саду 19 медвежат, из них 12 белых, остальные бурые.
Сколько бурых медвежат в зоологическом саду?
Запись и решение: 19— \2 = х\ 19—12 = 7; х = 7.
Простая задача на вычитание с прямым ходом реше-
ния. Но из данной основной задачи можно составить так-
же две производные задачи в косвенной форме с обрат-
ным ходом решения.
1- я задача, выраженная в косвенной
форме. В зоологическом саду было 7 бурых медве-
жат. Привезли еще несколько белых медвежат, и всего
стало 19 медвежат. Сколько белых медвежат привезли?
Запись: 7 + #=19; решение: 19 — 7=12; х=\2.
Формулировка задачи наводит на мысль о сложении,
а задача решается вычитанием, т. е. задача в косвенной
форме с обратным ходом решения.
2- я задача. В зоологическом саду было несколько
бурых медвежат, к ним привезли 12 белых медвежат.
Всего стало 19 медвежат. Сколько было бурых медвежат?
Запись: х+12=19; решение: 19—12 = 7; х = 7.
Судя по формулировке, задача на сложение, а реша-
ется обратным действием, т. е. задача с обратным ходом
решения.
Итак, из основной задачи в прямой форме на сложе-
ние — нахождение суммы — составлены 4 производные
задачи: 2 — простые на вычитание в прямой форме и 2
задачи в косвенной форме, с обратным ходом решения.

За основную задачу возьмем задачу в косвенной фор-
ме с обратным ходом решения.
Основная задача. На строительство прислан
самосвал грузоподъемностью 30 т, что в 6 раз больше
грузоподъемности прежних самосвалов. Какова грузо-
подъемность прежних самосвалов?
Запись: л;-6 = 30; решение: 30:6 = 5; #=5.
В производной задаче для определения множителя
(6) в условие входят 30 г и 5 г.
1- я задача. На строительство прислан самосвал
грузоподъемностью 30 т, прежние самосвалы имели гру-
зоподъемность 5 т. Во сколько раз больше грузоподъем-
ность нового самосвала?
Запись: 30:5=х; решение: 30:5 = 6; х=6. Задача
в прямой форме. В производной задаче для определения
произведения (30) в условие входят 5 (т) и 6 (раз).
2- я задача. Грузоподъемность самосвала 5 т. На
строительство прислан новый самосвал, грузоподъем-
ность которого в 6 раз больше. Какова грузоподъемность
нового самосвала?
Запись: 5.6 = x; решение: 5.6 = 30; х=30. Про-
стая задача в прямой форме.
Итак, за основную задачу взята задача в косвенной
форме с обратным ходом решения. Производные зада-
чи— 2 простые задачи в прямой форме.
За основную задачу возьмем простую задачу в кос-
венной форме с прямым ходом решения.
Основная задача. В сквере росло 10 кленов.
Часть кленов пересадили на бульвар. Осталось 6 кленов.
Сколько кленов пересадили?
Запись: 10—х = 6; решение: 10 — 6 = 4; х = 4.
В условие одной производной задачи войдут 4 и 10.
Определить оставшиеся клены (6). В условие другой
производной задачи войдут 6 и 4. Определить, сколько
кленов было в сквере (10).
Производные задачи. 1. В сквере росло 10
кленов. 4 клена пересадили на бульвар. Сколько кленов
осталось?
Запись и решение: 10 —4 = #; 10 — 4 = 6; х = 6.

Простая задача в прямой форме на вычитание,
2. Из кленов, растущих в сквере, пересадили на буль-
вар 4 клена. В сквере осталось 6 кленов. Сколько кленов
было в сквере?
Запись: х —4 = 6; решение: 4 + 6=10; #=10.
Простая задача в косвенной форме с обратным ходом ре-
шения.
Итак, из основной задачи в косвенной форме получили
две производные задачи: одну в прямой форме, вторую в
косвенной форме с обратным ходом решения. Таким об-
разом, задачи в косвенной форме встречаются как при со-
ставлении производных задач из основной задачи, выра-
женной в прямой форме, так и при составлении произ-
водных задач из основной задачи, выраженной в косвен-
ной форме.
Опыт работы в школах в течение многих лет показы-
вает, что решение задач и примеров в косвенной форме
при систематическом изучении первого десятка, второго
десятка и т. д. помогает изучению арифметических дей-
ствий над целыми числами и особенно — сознательному
решению задач учащимися. В задачах косвенной формы
текст задачи подсказывает одно действие, а задача ре-
шается обратным действием, например, в условии сло-
ва «прилетел», «прибежал», «дал» и т. п. подсказыва-
ют действие сложение, а задача решается вычитанием,
или слова «улетел», «убежал», «отдал» и т. п. под-
сказывают вычитание, а задача решается обратным дей-
ствием. Поэтому ученику приходится думать, рассуж-
дать, устанавливать зависимость между данными и иско-
мыми больше, чем при решении задач с прямым ходом
решения.
В стабильном сборнике задач по арифметике (учеб-
ник арифметики для I класса) отсутствуют примеры
и задачи в косвенной форме в пределах 20. Таким
образом, нарушена система решения задач и приме-
ров в косвенной форме, которая существовала раньше в
сборниках задач до выхода в свет последнего стабиль-
ного сборника задач для II класса (А. С. Пчелко и
Г. Б. Поляк, 1965 г.).
В настоящее время в стабильном сборнике задач при-
меры и задачи в косвенной форме впервые даются в пре-
делах 100. Такое нарушение системы решения задач в

косвенной форме, во-первых, вызывает большие затруд-
нения в их решении; во-вторых, на небольших числах
(в пределах 10 и в пределах 20) быстрее и лучше дети
понимают эти задачи и примеры; в-третьих, занимаясь
решением примеров и задач в косвенной форме, учащие-
ся лучше и сознательнее усваивают арифметические дей-
ствия в пределах 10, 20, 100 и т. п.
Исследования психологов, опыт работы учителей по-
казывают, что невнимательное отношение к задачам и
примерам в косвенной форме является одной из причин
трудного усвоения арифметических действий и больших
затруднений в решении задач. За последнее время в ме-
тодической литературе печатаются статьи, в которых ре-
комендуется обратить внимание на решение примеров и
задач в косвенной форме.
При составлении проектов программ по арифметике
для начальной школы подчеркивается большое значение
примеров и задач, выраженных в косвенной форме, для
развития логического мышления.
Простые задачи и примеры, выраженные в косвенной
форме или с обратным ходом решения, имеют следующее
значение при изучении арифметики и других дисцип-
лин.
1. В подготовительном курсе арифметики эти задачи
и примеры помогают усваивать понятия о составе чисел,
сложение и вычитание при изучении 20 и таблицу умно-
жения и деления при изучении 100.
Поясним это на следующем случае сложения в пре-
делах 20 с переходом через десяток: 8 + 5. Сначала пред-
лагается учащимся решить пример: 8 + ? = 10. Учащиеся,
решая пример, говорят: «К 8 следует прибавить 2, чтобы
получить 10». Затем предлагается решить пример: 2 +
+ ? = 5. Учащиеся, решая второй пример, рассуждают:
«К 2 надо прибавить 3, чтобы получилось 5». Задавая
соответствующие вопросы, учитель подводит детей к
приему сложения: «Чтобы к 8 прибавить 5, сначала надо
к 8 прибавить 2, а затем к полученному числу прибавить
3». Наконец, учащиеся записывают: 8 + 2=10; 10 + 3=13;
8+5=13.
Такой способ объяснения поможет первоклассникам
сознательно усвоить и самостоятельно решить примеры
на все случаи сложения с переходом через десяток при
изучении таблицы сложения.

2. В этом курсе задачи и примеры, выраженные в кос-
венной форме, подготавливают к изучению темы «Зави-
симость между элементами действий и к проверке дейст-
вий при прохождении многозначных чисел».
3. Решение простых задач и примеров, выраженных
в косвенной форме, дает хорошую подготовку для реше-
ния составных неприведенных задач. В составную зада-
чу могут входить простые задачи, выраженные как в пря-
мой форме, так и в косвенной форме. Но решение состав-
ных неприведенных задач начинается с младших классов.
Поэтому задачи, выраженные в косвенной форме на
все действия, должны входить в простые и составные
примеры и задачи во всех концентрах, от 10 до чисел лю-
бой величины. Кроме того, в практике и при изучении
других дисциплин встречаются составные задачи, содер-
жащие простые задачи в косвенной форме. Это относит-
ся ко всем отделам математики, особенно же часто зада-
чи, выраженные в косвенной форме, встречаются в фи-
зике и химии.
4. Решение задач и примеров, выраженных в косвен-
ной форме, используемое при изучении действий и реше-
нии задач в неприведенном виде, способствует развитию
логического мышления, дает понятие о соотношении
между величинами, о связи между арифметическими
действиями. Большое значение имеет не только система
решения задач в косвенной форме, но и методы их реше-
ния, особенно в пределах первого десятка и в пределах
20. Подробные советы о методах решения задач, выра-
женных в косвенной форме, даются ниже.
§ 2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И ПРИМЕРОВ
В КОСВЕННОЙ ФОРМЕ
Простые задачи, выраженные в косвенной форме, ре-
комендуется начинать решать в I классе, применяя кар-
тинки и наглядное пособие «Угадай-ка».
При решении задач на задуманные числа, например
«Какое число надо прибавить к 4, чтобы получить 6?»
или такого же вида задачи с конкретным содержанием,
учитель может использовать картину, на которой нарисо-
вано дерево с двумя ветками. На одной ветке сидят 4
птички, а на другой — 2 птички. Учитель вешает картинку
с птичками, предлагает посмотреть, что нарисовано и на-

звать число птичек. Когда
учащиеся назовут число 6,
учитель прибегает к тако-
му приему: закрыв на кар-
тине 2-х птичек, он пред-
лагает оставшихся птичек
пересчитать и назвать их
число (4 птички). Затем он
задает вопрос: «А сколько надо прибавить к этим 4 птич-
кам, чтобы стало 6 птичек?»
Таким образом, при помощи картин можно решать
задачи на сложение и вычитание в пределах 10 и задачи,
выраженные в косвенной форме. Желательно пользовать-
ся картинами с подвижными моделями (птички, живот-
ные, цветы, грибы, фрукты, ягоды и т. п.). Модели встав-
ляются в прорезы картины или прикрепляются к картине
кнопками. Наконец, картину можно заменить макетом:
изображение дерева с птичками. Конечно, все ука-
занные выше наглядные пособия используются и при
решении других видов задач.
Кроме того, следует познакомить учащихся с решени-
ем задач, выраженных в косвенной форме, при помощи
наглядного пособия «Угадай-ка». Пособие это следую-
щее (рис. 1): в куске картона или фанеры делаются три
прореза в форме прямоугольника. Между первым (слева)
и вторым отверстиями ставится знак « + » (плюс), или
« —» (минус), или «X» (умножение), или « : » (деление),
а между вторым и третьим — знак «=» (равенство).
За каждым прорезом движется лента с цифрами и
знаком вопроса. Передвигая ленты, можно разнообра-
зить задания, т. е. составить пример на любое из четы-
рех арифметических действий. Если нужно усложнить за-
дание, т. е. дать пример с двузначными и трехзначными
числами, то следует воспользоваться соответственно лен-
той с двузначными или трехзначными числами.
Решая пример, изображенный на рисунке, учитель
спрашивает: «Скажите, какое число надо прибавить к 6,
чтобы получить 10?» Когда же произносит число «6» или
«10», то показывает указкой на соответствующие числа.
Если ученик ответит «3», то учитель, двигая ленту, ста-
Рис. 1

вит вместо вопроса «3» и предлагает проверить получен-
ный пример или устно, или на наглядном пособии. При
проверке ученик убеждается, что цифра 3 названа не-
правильно. После этого учитель заменяет цифру 3 зна-
ком вопроса и вновь спрашивает: «Какое число надо
прибавить к 6, чтобы получить 10?»
Учащиеся с большим интересом решают подобные
примеры. Наглядное пособие «Угадай-ка» повышает ин-
терес к решению примеров и задач на зависимость между
компонентами действий.
При изучении решения задач и примеров, выражен-
ных в косвенной форме, в пределах 10 полезно приме-
нять наглядные пособия «Угадай-ка», иметь картину и
закрывать один из компонентов действий. При первом
ознакомлении учащихся с решением подобных задач в
пределах 10 полезно иметь соответствующие картины, в
которых предлагаются задачи, выраженные в косвенной
форме.
Проиллюстрируем для примера картины с задачами,
выраженными в косвенной форме, и покажем их решение.
Учитель вывешивает картину на классной доске. Поло-
вина картины закрыта. Указывая на открытую половину
картины, учитель спрашивает: «Что здесь нарисовано?»
(Дедушка в лодке плывет. В лодке у него 4 зайца.) Учи-
тель открывает вторую половину картины, (8 зайчат в
лодке, дедушка снимает 9-го с льдины). Под руковод-
ством учителя дети составляют задачу: У дедушки в лод-
ке было сначала четыре зайца, потом он увидел еще нес-
колько зайцев на льдине. Он их спас. Всего у него в лод-
ке стало 9 зайчат. Сколько зайчат снял дедушка с льди-
ны?
Далее, учитель сам записывает на доске под диктовку
учеников или вызывает к доске ученика и предлагает
ему записать решение задачи. На доске появляется
запись: «4+П=9». Учитель спрашивает: «Какую цифру
надо поставить вместо квадратика?» (Вместо квадратика
нужно поставить цифру 5.) Потом учитель сам записы-
вает на доске под диктовку учащихся или предлагает
записать ученику. На доске появляется запись: «4 + 5 =
=9». Наконец, повторяется условие задачи и ее решение.
Предлагаем сюжеты картин и задачи, составленные
по картинам. Картины следует нарисовать такого раз-
мера, чтобы учащимся, сидящим за партами, отчетливо

были видны все изображенные предметы. Однако для
фронтального решения задач в классе можно использо-
вать цветные картины, которые имеются на вкладке в
конце данной книги. Но для этого надо иметь эпидиа-
скоп, при помощи которого можно увеличить изобра-
жение.
Задачи в косвенной форме
Неизвестное слагаемое
В детском саду на полке
стоит кукла-космонавт. Де-
журная девочка подходит
к полке, в руках у нее кор-
зинка с игрушками.
На полке 3 куклы-космо-
навта. Девочка отходит от
полки.
Задача 1. На полке стояла одна кукла-космонавт. Дежур-
ная поставила на полку еще несколько кукол. На полке стало 3 кук-
лы. Сколько кукол поставила девочка?
1 + • = 3.
У Пети 3 машины.
Два мальчика играют. Пе-
ред ними 5 машин.
Задача 2. У Пети 3 машины и у Бори тоже есть свои маши-
ны. Мальчики стали играть вместе. У них 5 машин. Сколько машин
Бориных?
3 + • = 5.
На полу 5 игрушечных ва-
гонов. Мальчик достает из
коробки вагоны.
Мальчик составляет поезд
из 9 вагонов.
Задача 3. Мальчик составляет поезд из 5 вагонов. У него
есть еще вагоны в коробке. Мальчик достал их из коробки. Теперь
у него поезд из 9 вагонов. Сколько вагонов было в коробке?
5 + • = 9.
На стебельке распустился
1 колокольчик.
На стебельке распустилось
8 колокольчиков.
Задача 4. Шура поставила цветы в вазу. Расцвел 1 коло-
кольчик. На следующий день на стебельке было 8 колокольчиков.
Сколько колокольчиков расцвело за день?

Неизвестное вычитаемое
6 ежей пьют молоко.
Остались 2 ежа, остальные
убежали.
Задача 5. Дети пионерского лагеря принесли из леса
б ежей. Несколько ежей забралось в клетку. Около миски с моло-
ком осталось 2 ежа. Сколько ежей в клетке?
6 — • = 2.
В аквариуме 9 золотых ры-
бок.
В аквариуме осталось 6 ры-
бок. Девочка уносит банку
с рыбками.
Задача 6. У девочки в аквариуме было 9 золотых рыбок.
Несколько рыбок она подарила школе. В аквариуме осталось 6 ры-
бок. Сколько рыбок подарила девочка школе?
9 — • = 6.
В самолете было 9 парашю-
тистов. Несколько человек
осталось в самолете.
5 парашютистов приземли-
лись.
Задача 7. С самолета прыгнули 9 парашютистов. Из них
несколько человек еще в воздухе, а 5 человек приземлились. Сколь-
ко парашютистов еще в воздухе?
9 — • = 5.
На поляне было 10 лосей.
Три лося подняли голову,
прислушиваются.
Осталось 7 лосей. На поля-
ну вышли два мальчика.
Задача 8. На поляне было 10 лосей. Несколько лосей убе-
жало в лес. На поляне осталось 7 лосей. Сколько лосей убежало?
Ю — • =7.
Неизвестное уменьшаемое
На поляне много ландышей,
но распустились еще не все.
У девочки в руках 3 распус-
тившихся сорванных ланды-
ша. Еще осталось 6 • рас-
пустившихся ландышей.
Задача 9. Распустилось несколько ландышей. Девочка со-
рвала 3 ландыша, осталось еще 6 ландышей. Сколько ландышей
распустилось?
• — 3 = 6.

Девочка будет плести венок
из ромашек. Около нее со-
рванные цветы, но сосчитать
их трудно.
Девочка начала плести ве-
нок. Вплела уже 4 ромаш-
ки. Около нее лежат 6 ро-
машек.
Задача 10. Девочка нарвала ромашек для венка. 4 ромаш-
ки она уже вплела. Осталось у нее 6 ромашек. Сколько ромашек
сорвала девочка?
• —4 = 6.
Мальчик пускает бумажные
кораблики.
3 кораблика плывут хоро-
шо. 5 корабликов застряли
у берега.
Задача 11. У мальчика было несколько бумажных кораб-
ликов. 3 кораблика поплыли, а остальные 5 корабликов остались на
берегу. Сколько корабликов было у мальчика?
• -3 = 5.
Коля вынимает из коробки
солдатиков, ставит их на
плот.
Плот прибило - к берегу.
2 солдатика упали в воду,
чуть видны. На плоту 7 сол-
датиков.
Задача 12. Коля построил плот, поставил на него несколько
солдатиков и пустил плот на воду. Плот прибило к берегу. Из всех
солдатиков 2 упали в воду, на плоту остались 7 солдатиков. Сколь-
ко солдатиков поставил Коля на плот?
• -2 = 7.
Неизвестное слагаемое
В альбоме открытки с порт-
ретами космонавтов. Девоч-
ка несет еще 2 открытки.
В альбоме всего 11 откры-
ток.
Задача 13. У детей были открытки с портретами всех космо-
навтов. Девочка купила еще 2 открытки с портретами новых космо-
навтов, и у нее стало 11 открыток. Сколько открыток с портретами
космонавтов было у девочки раньше?
• +2= 11.

На опушке леса 6 мальчи-
ков, один трубит сбор,
7-й выходит из леса.
Построились парами 14 че-
ловек, 1 впереди.
Задача 14. На опушке леса 6 мальчиков, к ним подходит
из лесу еще 1. Несколько мальчиков в лесу. Наконец, все собра-
лись, построились. Всего 15 человек. Сколько мальчиков было
в лесу?
• + 7= 15.
Кусты смородины для по-
садки. Мальчик посадил
4 кустика.
На участке посажено 12 ку-
стов.
Задача 15. Дети сажали смородину. Володя посадил 4 ку-
ста, несколько кустов посадила сестра. Всего дети посадили 12 ку-
стов. Сколько кустов смородины посадила сестра?
4+П= 12.
3 пчелы сидят на цветах.
К ним летит еще много
пчел.
На цветах сидят 15 пчел.
Задача 16. На цветах сидят 3 пчелы. К ним летят еще
пчелы. На цветах стало всего 15 пчел. Сколько пчел прилетело?
3 + • = 15.
•7 грачей расхаживают по
пашне. Вдали летят грачи.
На пашне 13 грачей.
Задача 17. На пашне 7 грачей выбирают червяков. К ним
прилетели грачи. Всего на пашне стало 13 грачей. Сколько грачей
прилетело?
7 + • = 13.
На высокой березе 5 гра-
чиных гнезд.
На березе 16 грачиных
гнезд.
Задача 18. Вчера на березе было 5 грачиных гнезд, а сего-
дня Сережа насчитал 16 гнезд. Сколько новых гнезд свили грачи?
5 + • = 16.

Неизвестное вычитаемое
16 уток плавают в пруду.
На воде осталось 6 уток.
Несколько уток в камы-
шах.
Задача 19. На озере плавали 16 уток. Несколько уток уплы-
ло в камыши. На озере осталось 6 уток. Сколько уток уплыло
в камыши?
16-• = 6.
Во дворе курица с 15 цып-
лятами.
Показался ястреб. Цыпля-
та бросились к курице. Она
накрыла их крыльями, а
3 цыпленка продолжают
клевать зерна под кустом.
Задача 20. Во дворе гуляла курица с 15 цыплятами. Вдруг
показался ястреб, цыплята бросились к курице, она накрыла их
крыльями. 3 цыпленка остались клевать зерна под кустом. Сколько
цыплят спряталось у курицы под крыльями?
15-• = 3.
На столе в коробке 14 яиц.
Несколько яиц едят дети.
Остальные 10 яиц лежат
в коробке.
Задача 21. Мама купила 14 яиц. Она сварила детям на
завтрак несколько яиц. Осталось 10 яиц. Сколько яиц сварила мама?
И—• = 10.
Перед мальчиком на столе
много яблок.
Мальчик 10 яблок отложил
в решето, а остальные
8 остались на столе.
Задача 22. Яблоки созрели. Алеша их сорвал и положил на
стол. 10 яблок он положил в решето. На столе осталось 8 яблок.
Сколько яблок сорвал Алеша?
• -10= 8.
На тарелке 18 слив. Маль-
чик у стола, смотрит на
сливы.
На тарелке 15 слив. Маль-
чик уходит.
Задача 23. На тарелке 18 слив. Взял ли мальчик сливы
и сколько, если на тарелке осталось 15 слив?
18— • = 15.

Неизвестное уменьшаемое
Из таза мальчик взял
8 штук рассады помидоров.
Девочка берет остальные
б штук рассады.
Задача 24. Для посадки принесли рассаду помидоров.
Мальчик взял 8 кустиков. Осталось б кустиков. Сколько кустиков
рассады принесли для посадки?
• — 8 = 6.
Грузовик с мешками муки
около пекарни. Борт от-
крыт, видны мешки.
Выгрузили 12 мешков.
В грузовике видны 7 меш-
ков.
Задача 25. К хлебопекарне подъехал грузовик, привез муку
в мешках. В пекарню выгрузили 12 мешков. На грузовике осталось
7 мешков. Сколько мешков муки было на грузовике?
• — 12 = 7.
На грузовике саженцы.
11 саженцев посажены, их
поливают.
7 саженцев уносят школь-
ники.
3 а д а ч а 26. На школьный участок привезли саженцы груш
и яблонь. 11 яблонь отдали шестому классу, а остальные саженцы
груши посадил пятый класс. Сколько всего саженцев привезли на
школьный участок, если пятый класс посадил 7 груш?
• — 11 =7.
Составить задачу по картинке и по вопросу к примеру.
Строится дом. Около него
строительный кран. Два эта-
жа готовы.
Выстроен 7-этажный дом.
Задача 27. Сколько еще этажей выстроили?
2 + • = 7.
В клетке 10 обезьян.
В клетке осталось 7 обезьян.
Задача 28. Сколько обезьянок перевели в другую клетку?
10— • = 7.

6 скворечников.
11 скворечников.
Задача 29. Сколько скворечников еще принесли пионеры?
6+ • = 11.
В магазине на стойке висит
7 школьных платьев.
Со склада принесли еще
платья. Теперь на стойке ви-
сит 15 детских платьев.
Задача 30. Сколько платьев принесли со склада?
7 + • = 15.
13 ласточек сидят на про-
водах.
Осталось 5 ласточек. Осталь-
ные улетают.
Задача 31. Сколько ласточек улетело?
13 — • = 5.
11 человек идут к вертолету.
Вертолет в воздухе. Остав-
шиеся 8 человек смотрят
вслед вертолету.
Задача 32. Сколько человек улетело?
11 — • - 8.
На бульваре растут 5 боль-
ших лип. Видно несколько
вырытых ям для посадки.
Подъехал грузовик с де-
ревьями. Около него рабо-
чие с лопатами.
На бульваре всего 14 лип.
Рабочие на грузовике уез-
жают.
Задача 33. Сколько лип вновь посажено?
5 + • = 14.
На кормушке 2 птички. Ве-
ра насыпает зерна.
На кормушке собралось
11 птичек.
Задача 34. Сколько птичек прилетело?
2 + • = 11.

На аэродроме стояли 12 са-
молетов.
Несколько самолетов подня-
лось в воздух. На аэродро-
ме осталось 5 самолетов.
Задача 35. Сколько самолетов улетело?
12 — • = 5.
На полке 3 книги. Девуш-
ка распаковывает связку
книг.
На полке 12 книг.
Задача 36. Сколько книг было в связке?
3 + • = 12.
4 собаки бегут к погранич-
нику. И он ведет еще на по-
водке несколько собак.
Всего у пограничника «а
площадке стало 16 собак.
Задача 37. Сколько собак было у пограничника на поводке?
4 + • = 16.
Трое школьников встречают
пионеров у автобусной оста-
новки. Подошел автобус. Из
автобуса выходят пионеры.
Дети построились. Всего
20 человек.
Задача 38. Сколько человек приехало?
3 + • = 20.
На детской площадке много
детей. На качелях 6 детей.
К ним подошло еще не-
сколько человек, и они от-
правились на горку. На гор-
ке их было 11.
Задача 39. Сколько детей добавилось?
6 + D =11.
Дети построили снежную
крепость. Играют: нападаю-
щие и защитники. Всего
14 человек.
Остались 2 защитника и
1 нападающий. Остальные
стоят в стороне.
Задача 40. Сколько человек вышло из игры?
14— • = 3.

Задачи и примеры
1. Маша сорвала с грядки 3 огурца, несколько огур-
цов сорвала ее сестра. Девочки сорвали всего 8 огурцов.
Сколько огурцов сорвала Машина сестра?
Запиши решение задачи и сосчитай.
3 + • - 8.
2. Мама купила 5 коробок спичек. Через неделю
у нее осталось 2 коробки. Сколько коробок истратила
мама за неделю?
3. На блюде лежало 5 яблок. Яблоки накрыли сал-
феткой. Видно одно яблоко. Сколько яблок накрыто?
Запиши: 5 — • = 1 — и реши.
4. Реши примеры:
1 + • =3 3—• = 1 1 + П=5
• +2=4 5— • = 1 3— п=0
5. Составь задачу к примеру 6—П=3 и реши ее.
6. Поставь пропущенное число и проверь:
3+П=6 п+4 = 6 6—П=2 • —1 = 5
3+П=5 п+5 = 6 4—П=0 •— 2 = 0
7. Мальчикам дали 7 шурупов, чтобы они починили
петли парт. После ремонта у мальчиков осталось 3 шу-
рупа. Сколько шурупов израсходовали мальчики?
8. 4+П=7 2+П=7 5—П=4 7 — • = 1
• + 5=7 1 + • =6 7—П=3 0 — 5=0
9. Задумай какое хочешь число, меньшее 5. Прибавь
к нему 3, отними 2 и отними сколько задумал. В ответе
у тебя получилось 1. Верно?
* Попробуй задумать какое-нибудь другое число и
опять в ответе получишь 1. Проверь.
10. Придумай задачу к примеру 5+П=7 и реши ее.
11. Витя положил на стол 7 рыбок и вышел из комна-
ты. Когда он вернулся, на столе лежало только 5 рыбок,
а под столом облизывался кот. Сколько рыбок съел кот?
12. Мама сделала несколько котлет, и 2 котлеты сде-
лала ее дочь. Обе они сделали 8 котлет. Сколько котлет
сделала мама?
Запиши: • +2=8 — и реши.

13. Придумай задачу к решению: □ + 1 = 8:
14. Пионеры сделали 9 флажков, а надо было сде-
лать 8 флажков. Сколько лишних флажков сделали
пионеры?
15. Надо было исправить печь. Для этого принесли
9 кирпичей. После ремонта печи осталось 3 кирпича.
Сколько кирпичей израсходовал печник на ремонт печи?
Запиши решение:9 — □ = 3
17. Составь задачу и реши ее. На цветах сидят 3 пче-
лы, потом их стало 9.
18. На полке стояло 7 кувшинов. Несколько кувшинов
сняли с полки. Осталось • кувшинов. Сколько кувшинов
сняли с полки?
Подбери число и реши задачу.
19. В сарае стояло несколько леек. Дети взяли для
полива грядок 6 леек. 3 лейки осталось. Сколько леек
было в сарае?
Запиши условие • — 6 = 3 и реши задачу.
20. Мальчик дал своему товарищу 9 слив, у него оста-
лось еще 11 слив. Сколько слив было у мальчика сна-
чала?
21. Девочка купила перьев на 8 копеек, и у нее оста-
лось еще 12 копеек. Сколько денег было у девочки до
покупки перьев?
22. Поставь пропущенные знаки действий и пропу-
щенные числа:
□ ... 4 = 5
□ ... 2 = 10
9 ... □ = 4
□ ... 3 = 7
8 ... □ = 9
10 ... □ = 8
□ ... 5 = 10
□ ... 5 = 16
12 ... □ = 2
□ ... 6 = 16
14 ... □ = 10
8 ... □ = 20
23. Составь примеры:
□ + □ = 20
□ + □ = 19
□ + □ = 9
□ - □ = 10
□ + □ = 10
□ + □ = 13

24. Составь пример и придумай к нему задачу:
1) • + • = 8 и 2) • — • = 10
25. Реши примеры:
26. Подбери примеры к ответам:
При решении задач на зависимость между компонен-
тами необходимо прежде всего установить, в какой зави-
симости находятся данные и искомая величина. При
первоначальном знакомстве с записью таких примеров
и задач неизвестное сначала обозначают квадратиком
«•», потом знаком вопроса «?» и затем как обычно бук-
вой «х». Но их же можно решать и как простые арифме-
тические задачи. Например:
* На воскресник по устройству спортивной площад-
ки обещали прийти 40 человек, кроме них пришло еще
несколько человек. Всего пришли 52 человека. На сколь-
ко человек больше пришло на воскресник?
Обозначив искомое через записываем решение
задачи: 40 + х=52.
Неизвестное слагаемое находится вычитанием: 52 —
— 40=12, х=\2. Эту же задачу можно рассматривать
как простую задачу на разностное сравнение 52 чел.—
— 40 чел.= 12 чел.
* 23 человека записались ехать на рыбалку автобу-
сом. Из них несколько человек приехали поездом. В авто-
бусе было 18 человек. Сколько человек поехало поездом?
Число человек, уехавших поездом, обозначим через х,
записываем решение задачи: 23—x=18. Неизвестное
вычитаемое находим вычитанием: 23—18=5.

Эту же задачу можно рассматривать как простую
задачу на нахождение остатка: из 23 записавшихся че-
ловек поехали автобусом 18 человек, остальные уехали
поездом. Сколько человек поехало поездом?
Решение. 23 чел. —18 чел.=5 чел.
т Несколько человек внесли каждый по 3 рубля для
покупки лодки. Набралась сумма 21 рубль. Сколько
человек покупали лодку?
Обозначаем через х искомую величину, 3 (руб.) и
х (человек) являются сомножителями, а 21 (руб.) —
произведением. Задача записывается: 3 Х x=21, чтобы
найти х, применяют правило нахождения множителя:
21 : 3=7.
Эту же задачу можно рассмотреть как простую зада-
чу на деление по содержанию: 21 руб. : 3 руб. = 7 (чел.).
* Несколько корешков капустной рассады раздели-
ли для посадки между 12 школьниками. Каждый полу-
чил по 10 корешков. Сколько всего корешков рассады
получили школьники?
Обозначим искомое через х. Текст задачи и результат:
«разделили и получили по 10 корней» — подсказывает
действие: х: 12=10. Чтобы найти делимое, нужно выпол-
нить умножение: 12X10=120; х=120.
Эту же задачу можно рассматривать как простую
задачу на умножение: нахождение суммы равных сла-
гаемых
10 к. х 12= 120 к.

ГЛАВА
II
ЗАВИСИМОСТЬ
МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ
И РЕЗУЛЬТАТОМ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
§ 3. ЧИСЛА ПЕРВОГО ДЕСЯТКА
Зависимость компонентов 4-х действий следует изу-
чать в курсе арифметики начальной школы с самой пер-
вой темы. Уже в отделе чисел 1-го десятка учитель,
предлагая для решения задачи и примеры в форме
вопросов на сложение «К какому задуманному числу
надо прибавить 5, чтобы получилось 7», или «Какое число
надо прибавить к 5, чтобы получилось 8», подводит
детей к определению слагаемого по сумме и другому
слагаемому. Применение игры «Угадай-ка» на числах
в пределе 1-го десятка есть не что иное, как решение
примеров на нахождение компонентов первых двух дей-
ствий над числами первого десятка. Например: 4 + ?=6,
или ? + 5 = 9, или задача: В живом уголке несколько белых
кроликов, а остальные 7 — черные. Всего же в живом
уголке 10 кроликов. Сколько белых кроликов в живом
уголке?
В примере 4 + ? = 6 от 6-ти отсчитываем 4 единицы
первого числа, оставшиеся единицы составят второе
число, так как число 6 состоит из единиц того и другого
числа. Точно так же объясняется решение второго при-
мера ?+5=9. Число 9 содержит все единицы обоих чи-
сел: 5-ти и неизвестного числа. Отняв 5 единиц от 9-ти,
найдем число единиц неизвестного числа. При записи
условия учитель может обозначать неизвестное число
знаком вопроса.
Решение задачи о кроликах записывается следующим
равенством: ? + 7=10, неизвестное число находится от-
считыванием 7-ми от 10-ти, потому что 10 состоит из
единиц неизвестного числа и 7-ми. Отсчитав 7 от 10-ти,
найдем неизвестное число.

Задания, подобные приведенным, даются и на вычита-
ние в пределах 10, когда приходится по компонентам
вычитания находить неизвестное число.
Например: От какого числа надо отнять 3, чтобы оста-
лось 4? (Запись условия: ? — 3=4.)
Или: Какое число надо отнять от 8, чтобы получить 6?
(Запись: 8 — ?=6.)
Или задача: Девочка заплатила за краски 7 копеек
и получила сдачи 3 копейки. Сколько денег она подала
в кассу?
При решении первого примера ? —3=4 к числу 4 при-
считываем 3, потому что в неизвестном числе должны
содержаться как 3 единицы, которые отсчитываются, так
и 4 единицы, которые остаются. Запись примера дела-
ется следующая:
? —3 = 4; 7 — 3 = 4; 8— ? = 6; 8 —2 = 6 и т. д.
Во 2-м примере (8 —?=6) дети отсчитывают от 8 одну,
две единицы, пока в остатке не получится 6.
При решении задачи к 7 копейкам присчитывают
3 копейки, так как в первоначальной монете должны
заключаться и уплаченные 7 копеек и лишние 3 копейки,
составившие сдачу.
Первый и третий примеры приводят к нахождению
неизвестного уменьшаемого, второй пример — к нахож-
дению вычитаемого. Проанализировав несколько приме-
ров и задач, учитель дает задания для тренировки. Здесь
подробный разбор делается только в случае, если мно-
гие учащиеся не справятся с заданием.
Примеры и задачи

4. К какому числу надо прибавить 7, чтобы получи-
лось 8?
5. Какое число надо прибавить к 4, чтобы получи-
лось 9?
6. Какое число надо увеличить на 2, чтобы получи-
лось 7?
7. На какое число надо увеличить 6, чтобы получи-
лось 9?
8. Я задумал число, если сложить его с 5-ю, то полу-
чится 10. Какое это число?
9. Мальчику дали несколько тетрадей в клетку и
6 тетрадей в линейку, а всего 10 тетрадей. Сколько тет-
радей было в клетку?
10. Девочка истратила 8 копеек на тетради и несколь-
ко копеек на перья, всего она уплатила 10 копеек. Сколь-
ко стоили перья?
11. К началу полевых работ отремонтировали 7 плу-
гов и несколько борон, всего 10 машин. Сколько отре-
монтировали борон?
12. Дети сделали 7 флажков. Сколько еще надо сде-
лать флажков, чтобы их было 9?
13. На покосе было 5 копен сена. Сколько копен надо
еще сложить, чтобы их стало 10?
14. Ученик решил несколько устных примеров, потом
еще 5 письменных примеров, а всего оказалось 9 решен-
ных примеров. Сколько устных примеров решил ученик?
15. Мальчик поймал несколько ершей, а окуней на
3 больше, всего 9 окуней. Сколько ершей поймал
мальчик?
16. У стола стояло несколько стульев. Когда поста-
вили еще 4 стула, их стало 10. Сколько стульев стояло
у стола?
7 — ? = 3
8 — ? = 5
9 — ? = 4
10 — ? = 7
6 — ? = 5
9— ? = 8
10 —? = 6
8— ? = 5
5— ? = 3
9— ? = 7
7 — ? = 5
8 — ? = 6

20. От какого числа надо отнять 3, чтобы осталось 4?
21. Какое число надо уменьшить на 5, чтобы полу-
чилось 2?
22. Я задумал число, если уменьшить его на 3, то
получится 6. Какое число я задумал?
23. Какое число надо отнять от 8-и, чтобы осталось 4?
24. На какое число надо уменьшить 9, чтобы оста-
лось 1?
25. Задуманное число я отнял от 9-и, осталось 6. Ка-
кое число я задумал?
26. Задуманное число отняли от 10-и, получилось 5.
Какое число задумали?
27. Хозяйка купила несколько штук помидоров, ис-
тратила на обед 7 штук, и осталось 2 штуки. Сколько
помидоров было куплено?
28. У девочки были тетради. Она отдала брату
4 тетради и осталось 6 тетрадей. Сколько тетрадей было
у девочки?
29. На полке стояли книги. Когда сняли 3 книги, на
полке осталось 5 книг. Сколько книг было на полке?
30. Надо измерить шагами расстояние от одной стены
до другой. Мальчик сделал 7 шагов, ему осталось
сделать еще 3 шага. Сколько шагов было от одной стены
до другой?
31. Ученик учится писать все цифры. Он умеет писать
4 цифры, осталось научиться писать еще 6 цифр. Сколько
цифр должен научиться писать ученик?
32. С яблоневой ветки упало 3 яблока, еще 5 яблок
осталось на ветке. Сколько яблок было на ветке сна-
чала?

33. В коробке было 9 конфет, несколько конфет дали
детям, и осталось 2 конфеты. Сколько конфет дали детям?
34. Из заданных 7 примеров несколько примеров
мальчик выполнил, осталось сделать 1 пример. Сколько
примеров мальчик выполнил?
35. Лестница состоит из 9 ступеней. Ребенок прошел
часть лестницы, ему осталось пройти 3 ступеньки. Сколь-
ко ступенек прошел ребенок?
36. Для строящегося дома надо 10 рам. Когда часть
рам изготовили, осталось сделать 2 рамы. Сколько рам
было изготовлено?
37. Из конюшни вывели 2-х лошадей, и там осталось
еще 5 лошадей. Сколько лошадей было в конюшне?
38. Из гаража выехали 4 грузовые машины, и там
осталось еще 5 легковых машин. Сколько всего машин
было в гараже?
39. С речки привезли бочку воды, 4 ведра воды оста-
вили для питья, а 6 ведер израсходовали на поливку.
Сколько ведер воды было в бочке?
40. За огурцы девочка заплатила сначала несколько
копеек, а потом доплатила еще 2 копейки. Огурцы стоили
7 копеек. Сколько копеек заплатила девочка сначала за
огурцы?
41. На пне росли опенки. Мальчик сорвал 7 грибов,
а 3 гриба оставил. Сколько грибов было на пне?
42. У ученика было 5 копеек. На покупку ручки ему
не хватило 4 копейки. Сколько стоила ручка?
43. В бочке было 6 ведер воды. На поливку грядок
не хватило 3-х ведер. Сколько ведер воды требовалось
для поливки грядок?
44. В бидон влили 5 кружек молока. Чтобы наполнить
бидон, не хватило 3-х кружек молока. Сколько кружек
молока вмещал бидон?
45. На тарелке лежало 6 яблок. Сколько яблок взяла
девочка, если на тарелке осталось 5 яблок?
46. В мешке было 8 корзин картофеля. Часть карто-
феля взяли. Осталось 6 корзин картофеля. Сколько
корзин картофеля было взято из мешка?
47. У ученика было 10 копеек; после покупки конвер-
та у него осталось 9 копеек. Сколько он заплатил за
конверт?
48. Ручка стоила 9 копеек. На покупку ручки ученику
не хватило 7 копеек. Сколько денег было у ученика?

49. Карандаш стоил 6 копеек. После покупки у уче-
ника осталось 4 копейки. Сколько денег было у ученика?
50. В пачке было 10 коробок спичек. К концу месяца
в ней осталось 6 коробок. Сколько коробок спичек израс-
ходовали за месяц?
51. Из посаженных 10-и березок не принялось 2.
Сколько березок принялось?
52. На ремонт дома требовалось 9 бревен. Сколько
бревен имел колхозник, если ему не хватало 7 бревен?
53. В школу принимают детей 7-летнего возраста.
Сколько лет девочке, если она пойдет в школу через
3 года?
54. Мальчику сейчас 10 лет. Сколько лет назад ему
было 8 лет?
55. Девочке сейчас 9 лет. Сколько лет назад ей было
7 лет?
56. Девочке сейчас 6 лет. Через сколько лет ей будет
9 лет?
57. Дети сделали для елки 7 игрушек. Сколько еще
нужно сделать игрушек, чтобы их было 10?
58. В составе поезда было 8 вагонов. Сколько ваго-
нов нужно еще прицепить, чтобы их было 10?
59. В прошлом году в городе было 8 школ, а в этом
году их стало 9. Сколько школ построили в этом году?
60. Ученику сейчас 10 лет. В школу он поступил,
когда ему было 7 лет. Сколько лет он учился в школе?
61. Обедать должны были 9 человек. У стола стояло
6 стульев. Сколько еще стульев нужно поставить к столу?
62. Ученик купил карандаш и, уплатив 10 копеек,
получил 4 копейки сдачи. Сколько стоил карандаш?
63. Хозяйка купила коробку спичек и, уплатив 5 ко-
пеек, получила 4 копейки сдачи. Сколько стоила коробка
спичек?
64. Брат обещал сестре для коллекции 10 марок. Он
ей дал 3 марки. Сколько марок он ей еще должен?
65. Нужно было решить 6 примеров. Ученик же ре-
шил 8 примеров. Сколько лишних примеров решил
ученик?
66. Мальчик набрал 8 корзин картофеля, и ему оста-
лось набрать еще 2 корзины. Сколько корзин картофеля
должен набрать мальчик?
67. Ученик решил 5 примеров, ему осталось решить
3 примера. Сколько примеров было задано ученику?

68. Ученику нужно было решить 8 примеров. Ему
осталось решить 3 примера. Сколько примеров он решил?
69. Ручка стоила 8 копеек. Сколько копеек не хватило
ученику на покупку ручки, если у него было только
5 копеек?
70. Ручка стоила 8 копеек. Сколько копеек было у
ученика, если на покупку ручки ему не хватило 5 ко-
пеек?
71. Ученик купил карандаш, который стоил 6 копеек,
и подал в кассу 10 копеек. Сколько он получил сдачи?
72. В бидон вмещается 9 кружек молока, а влили
туда 6 кружек. Сколько кружек молока может еще
вместить бидон?
73. В бидоне сначала было 9 кружек молока. Потом
в нем осталось 7 кружек молока. Сколько кружек молока
взяли из бидона?
74. В бидон вмещается 9 кружек молока, не долили
4 кружки. Сколько кружек молока влили в бидон?
75. Для починки пола нужна была доска в 6 метров.
Купили же доску в 8 метров. Какой длины придется
отрезать конец у этой доски?
76. Для белья нужна была веревка длиной в 7 мет-
ров. У хозяйки была веревка длиной в 5 метров. Какой
длины потребуется веревка, чтобы надвязать имеющуюся
веревку? (Узлы не учитывать.)
77. От покупки карандаша за 6 копеек у ученика
осталось 4 копейки. Сколько денег было первоначально
у ученика?
78. Мальчику было разрешено взять 5 яблок, а он
взял 7 яблок. Сколько лишних яблок взял мальчик?
79. У девочки было 9 копеек. При покупке листа
цветной бумаги она получила сдачу 2 копейки. Сколько
стоил лист цветной бумаги?
80. Расстояние от пола до потолка 4 метра, высота же
двери равна 2 метрам. Сколько метров было от верха
двери до потолка? Сделай рисунок стены.
81. Длина забора вместе с воротами была равна
9-и метрам. Ворота были шириной 4 метра. Какой длины
забор без ворот? Сделай рисунок.
82. Ширина комнаты была равна 8-и метрам. Прово-
да электрической лампочки были протянуты по потолку
на 5 метров. На сколько метров провода не доходили
до другой стены? Сделай рисунок.

83. Колодец был глубиной в 7 метров, а веревка для
ведра была длиной в 8 метров. Как велик был лишний
конец веревки?
§ 4. ЧИСЛА ВТОРОГО ДЕСЯТКА
В пределе чисел второго десятка примеры и задачи
на нахождение компонентов двух действий берутся в тех
же формах, как над числами первого десятка; кроме
того, добавляются вычисления компонентов умножения
и деления. Поясним на задачах и примерах.
/. Я задумал число, если к нему прибавить 8, то пог
лучится 13. Какое это число?
Вопрос записывается учителем в прежней форме:
? + 8=13.
2. Придумайте число, к которому надо прибавить 6,
чтобы получилось 14.
Запись вопроса: ? + 6=14.
3. Какое число надо прибавить (присчитать) к 8,
чтобы получилось 15?
Запись: 8 + ?=15.
4. В бригаде было 9 мужчин и несколько женщин,
всего 16 человек. Сколько в бригаде женщин?
5. Я придумал число. Если от него отнять (отсчитать)
8, то получится 9. Какое это число?
Запись: ? — 8=9.
6. Какое число надо отнять от 12, чтобы осталось 5?
Или: 12 —?=5.
7. Я задумал число, если отсчитать (отнять) его от
16, то останется 12. Какое это число?
8. В кувшине было несколько стаканов молока. Когда
выпили 6 стаканов, осталось еще 7 стаканов молока.
Сколько стаканов молока было в кувшине?
9. В столовой было 12 кг моркови, когда истратили
несколько килограммов на приготовление обеда, то оста-
лось 7 кг. Сколько моркови истратили на обед?
Решение примеров объясняется следующим образом:
в первом примере (? + 8= 13) число 13 содержит все
единицы обоих чисел: того, к которому присчитывают,
и того, которое присчитывают. Следовательно, отняв от
13-и 8 единиц второго числа, найдем неизвестное число.

Примеры: ? + 6=14 и 8 + ? = 15 — объясняются так же.
Содержание 4-й задачи сводится к вопросу: сколько надо
прибавить к 9-и, чтобы получилось 16? Задача решается
отсчитыванием от 16-и 9-и.
Решение первых четырех примеров приводится, сле-
довательно, к определению слагаемого по сумме и дру-
гому слагаемому. Пример 5-й (? —8 = 9) решается при-
считыванием 9-и к 8-и, потому что искомое число должно
заключать в себе все единицы того числа, которое отсчи-
тывают, и того числа, которое осталось. Примеры 6-й
(12—? = 5) и 7-й (16—? = 12) решаются отсчитыванием
меньшего числа от большего, потому что большее число
заключает в себе единицы обоих чисел — оставшегося
и того неизвестного, которое отсчитывают. Отняв коли-
чество единиц, содержащееся в оставшемся числе, узна-
ем, сколько единиц было отсчитано от большего числа.
Решение задачи 8-й (Сколько стаканов молока было
в кувшине?) сводится к примеру: «От какого числа надо
отнять 6, чтобы осталось 7». Ответ находится присчиты-
ванием.
Задачу 9-ю можно было бы сформулировать так:
Сколько надо отнять от 12, чтобы осталось 7? Результат
находится вычитанием.
Задания 5-е и 9-е связаны с нахождением зависимо-
сти компонентов вычитания. После подробного разбора
9-ти задач учитель дает ряд подобных же устных задач
или примеров для тренировки.
Примеры и задачи
3. Какое число надо увеличить на 3, чтобы полу-
чить 18?

4. К какому числу надо прибавить 5, чтобы получи-
лось 14?
5. Я задумал число. Если к нему прибавить 5, то
получится 13. Какое число я задумал?
Составить 3 задачи, похожие на предыдущие.
6. Какое число надо прибавить к 11, чтобы получи-
лось 18?
7. На сколько единиц надо увеличить 9, чтобы полу-
чилось 20?
8. Я задумал число, прибавил его к 3-м и получил 20.
Какое число задумано?
* Составить задачи, похожие на предыдущие.
9. В тетради исписано 8 страниц. Сколько страниц
надо еще исписать, чтобы тетрадь в 20 страниц окончи-
лась?
10. Морковью сначала засадили грядку длиной 10 ж,
потом прибавили еще несколько метров, так что всего
под морковь отвели 18 м. Сколько метров грядки приба-
вили под морковь?
11. Длина класса 9 ж, коридор на несколько метров
длиннее, его длина 15 ж. На сколько метров коридор
длиннее класса?
12. Пустой ящик весил 3 кг, когда в него положили
яблоки, его вес оказался 19 кг. Сколько килограммов
яблок положили в ящик?
13. Девочка нашла несколько белых грибов, а под-
березовиков на 7 больше, а именно 16 подберезовиков.
Сколько белых грибов нашла девочка?
14. К поезду из нескольких вагонов прицепили 3 ваго-
на, в поезде оказалось 15 вагонов. Сколько вагонов было
в поезде первоначально?
15. Несколько килограммов меда положили в бочо-
нок, весивший 3 кг, вес бочонка с медом был 20 кг.
Сколько весил мед?
16. В детской столовой израсходовали за завтраком
несколько литров молока, а за обедом на 5 л больше,
а именно 16 л. Сколько молока было израсходовано за
завтраком?
17.

18.
19. От какого числа надо отнять 5, чтобы осталось 14?
20. Какое число надо уменьшить на 7, чтобы получи-
лось 12?
21. Если отнять от задуманного числа 6, то останется
11. Какое число задумано?
22. На сколько единиц надо уменьшить 16, чтобы
получилось 7?
23. Если от 20-и отнять задуманное число, то оста-
нется 9. Какое число задумано?
24. Если 19 уменьшить на задуманное число, то по-
лучится 3. Какое число задумано?
27. Я задумал число, отнял его от 15-ти и получил 9.
Какое число я задумал?
* Составить задачу, похожую на предыдущую.
28. Поезд состоял из нескольких пассажирских ваго-
нов. Когда отцепили 1 вагон, в поезде осталось 15 ваго-
нов. Сколько вагонов было в поезде первоначально?
29. На крыше сидела стая воробьев. Когда улетели
5 воробьев, осталось 12 воробьев. Сколько воробьев
сидело на крыше?
30. Для ремонта дома и сарая привезли бревна. Из
них на ремонт дома пошло 8 бревен, на ремонт сарая
осталось 4 бревна. Сколько бревен было привезено?

31. Хозяйка купила несколько метров полотна. Из них
9 м она израсходовала на простыни, осталось 5 м.
Сколько полотна было куплено?
32. В столярной мастерской заказали для школы
20 столов. В первую неделю было сделано несколько
столов, осталось сделать еще 2 стола. Сколько столов
было сделано в первую неделю?
33. У мальчика было 18 гвоздей. После того как он
израсходовал несколько гвоздей на изготовление тележ-
ки, осталось 7 гвоздей. Сколько гвоздей было израсхо-
довано?
34. В столовой обедали 13 человек. Из них несколько
человек кончили обед раньше и ушли, остались 4 чело-
века. Поставить вопрос.
35. От веревки длиной 15 м отрезали несколько мет-
ров, тогда осталось 6 м. Сколько метров веревки было
отрезано?
36. Мальчик дал своему товарищу 6 слив, и у него
осталось еще 11 слив. Сколько слив было у мальчика
сначала?
37. Девочка купила перьев на 8 копеек, и у нее оста-
лось еще 12 копеек. Сколько денег было у девочки до
покупки перьев?
38. Из бидона продали 3 л молока, и там еще оста-
лось 16 л. Поставить вопрос.
39. Из корзинки взяли 2 яйца, и тогда там осталось
15 яиц. Сколько яиц было сначала в корзинке?
40. В коробке было 16 спичек. Несколько спичек
истратили, и в коробке осталось 13 спичек. Сколько
спичек истратили?
41. На ветке висело 18 орехов. Несколько орехов
упало, и на ветке осталось 14 орехов. Сколько орехов
упало?
42. В коробке было 20 пуговиц. Несколько пуговиц
пришили к платью, тогда в коробке осталось 12 пуговиц.
Сколько пуговиц пришили к платью?
43. У мальчика было 20 копеек. Он купил карандаш,
и у него осталось 14 копеек. Сколько он заплатил за
карандаш?
44. Из кадки взяли на поливку грядок 5 ведер воды,
а там осталось еще 6 ведер. Сколько ведер воды было
в кадке сначала?
* Составить задачу, похожую на предыдущую.

45. У мальчика была одна монета. Он заплатил за
перья 6 копеек и получил сдачи 9 копеек. Какая монета
была у мальчика?
46. Из бочонка продали 7 кг масла, а в нем осталось
еще 8 кг. Сколько килограммов масла было сначала
в бочонке?
47. Для школы заготовили дрова. 5 возов перевезли
в школу, а 7 возов еще осталось перевезти. Сколько
возов дров было заготовлено?
48. У мальчика было 8 копеек. На покупку записной
книжки ему не хватило 4-х копеек. Сколько стоила
записная книжка?
49. Купили 12 м материи. Девочке сшили из нее
платье, и еще осталось 9 м. Сколько метров материи
пошло на платье?
50. На клумбе распустилось 15 цветов. Несколько
цветов сорвали, и на клумбе осталось еще 8 цветов.
Что можно сосчитать?
51. Сколько метров проплыл мальчик, если ширина
речки 15 м, а ему осталось плыть 6 м?
52. На грядку нужно было посадить 15 луковиц, но
6 луковиц не хватило. Сколько луковиц посадили?
53. По краю стола от одного конца до другого маль-
чик хотел положить 13 кубиков, но ему не хватило 7 ку-
биков. Поставить вопрос.
54. Придумайте задачи к следующим примерам:
В отделе чисел 2-го десятка вводятся вопросы на за-
висимость компонентов умножения и деления.
Возьмем примеры и задачи.
1. Я задумал число. Если повторить его 3 раза, то
получится 15. Какое это число?
2. Сколько раз надо повторить 2, чтобы получи-
лось 16?
3. Определить число, которое при делении его на
6 равных частей дает 3. Какое это число?

4. Я задумал число, в котором 6 содержится 2 раза.
Какое это число?
5. Если 20 разделить на несколько равных частей,
в каждой части получится 5. На сколько частей надо
делить?
6. Ящики отправили на товарную станцию, нагрузив
по нескольку ящиков на каждый из 3-х грузовиков. На
станцию отправлено всего 18 ящиков. Сколько ящиков
отвез каждый грузовик?
7. Девочка купила несколько марок по 2 копейки за
штуку и заплатила 12 копеек. Сколько марок она купила?
8. Несколько бревен погрузили на 3-е саней. На каж-
дые сани положили по 4 бревна. Сколько всего бревен
погрузили?
9. В ящике было 15 тюбиков краски, их выдали не-
скольким ученикам, по 3 тюбика краски каждому. Сколь-
ко учеников получили краски?
Для решения 1-го примера ? Х 3=15 (и задачи 6-й)
надо узнать число, которое, будучи повторено 3 раза,
дает 15 (или 18). Искомое число содержится 3 раза в 15
(или в 18), поэтому для нахождения его надо 15 (18)
разделить на равные части. Видно, что решение сводится
к определению множимого по множителю и произведе-
нию.
Пример 2-й (2Х?=16) и задача 7-я (запись условия:
2Х?=12) решаются делением по содержанию, так как
надо узнать, сколько раз повторяется меньшее число для
составления большего (16 : 2; 12 коп. : 2 коп.).
Таким образом, в этих вопросах заключается нахож-
дение множителя по остальным компонентам умножения.
В примерах 3-м (? : 6 = 3), 4-м (? : 6 = 2) и задаче 8-й
(запись условия: ?:3 = 4) по данной части и числу та-
ких равных частей определяют целое число. Выполнив
умножение, находят целое число, т. е. находят делимое
по делителю и частному.
В примере 5-м (20: ? = 5) и задаче 9-й (запись усло-
вия: 15 : ? = 3) даны целое число и число единиц в одной
из равных частей, т. е. выполнив деление, найти делитель
по делимому и частному. При записи этих вопросов
числами неизвестное обозначается знаком вопроса (?).
Вычисления выполняются устно.
Чтобы полнее использовать каждый пример или зада-
чу для выяснения соотношения между компонентами дей-

ствий, следует после решения основного примера или за-
дачи давать их некоторые варианты, оставляя одно из чи-
сел без изменения.
Разберем несколько примеров. Изучая соотношения
слагаемых и суммы, даем пример: ? + 5 = 9. Реше-
ние. 9 — 5 = 4. Изменяем слагаемое: «К какому числу на-
до прибавить 2, чтобы получилось 9? ...прибавить 6, что-
бы получилось 9? ...прибавить 8, чтобы получилось'9?»
Разбор этих примеров поясняет учащимся 2 момента:
1) 9 есть сумма (получаемая сложением двух чисел),
2) неизвестное число находится вычитанием меньшего
числа из большего.
Разбирая соотношение компонентов вычитания, пред-
лагаем задачу: «Придумать число, от которого надо от-
нять 5, чтобы осталось 7?» После решения основного во-
проса (5 + 7=12) учитель изменяет условие: «От какого
числа надо отнять 6, чтобы осталось 7? ...отнять 8, чтобы
осталось 7?» Решив все примеры, учащиеся выясняют,
что: 1) 7 получается вычитанием меньшего числа из боль-
шего, 2) неизвестное число находится сложением двух
данных чисел. Подобным же образом при разборе зави-
симости вычитаемого от остальных компонентов вычита-
ния даем пример: «Какое число надо отнять от 12, чтобы
получилось 5? ...отнять от 13, чтобы получилось 5? ...от-
нять от 15, чтобы получилось 5» и т. д.
Решение всех примеров разъясняет учащимся зави-
симость чисел: неизвестное число находят, если от боль-
шего данного числа отнимают меньшее.
Сказанное относится также к разбору примеров на
зависимость компонентов умножения и деления. Задача:
«Я задумал число, если повторить его 3 раза, то получит-
ся 18. Какое это число?» Решение. 18:3 = 6. Приме-
нение деления 18-ти на 3 объясняется тем, что неизвест-
ное число содержится в 18-ти 3 раза, или составляет его
третью часть.
Дальше учитель изменяет условие: «Если задуманное
число повторить 3 раза, то получится 15. Какое число за-
думано?» Решение разбирается: в 15-ти неизвестное
число содержится 3 раза, значит 15 надо разделить на 3
равные части. Из решения этого ряда примеров учащиеся
прочнее запоминают, что неизвестное число — это третья
часть данного числа (18-ти, 15-ти), поэтому данное число
надо делить на 3 равные части.

После разбора нескольких примеров и задач с объяс-
нением учитель дает такие же примеры для тренировки,
останавливаясь на подробном объяснении только тогда,
когда в примере будут сделаны ошибки.
Примеры и задачи
55.
56.
57. Задумано число, если повторить его 3 раза, то по-
лучится 12. Какое число задумано?
58. Какое число надо увеличить в 2 раза, чтобы полу-
чилось 18?
59. Я задумал число, увеличил его в 8 раз и получи-
лось 16. Какое число задумано?
* Составить задачи, похожие на предыдущие,
60. Сколько раз надо повторить 7, чтобы получилось
14?
61. Во сколько раз надо увеличить 2, чтобы получи-
лось 18?
62. Какое число надо умножить на 2, чтобы получи-
лось 6?
63. На какое число надо умножить 3, чтобы получи-
лось 15?
64. Уплатив поровну за 9 комплектов учебников для
школьной библиотеки, израсходовали 18 рублей. Сколько
стоит каждый комплект учебников?
65. Какую монету надо взять 5 раз, чтобы получить
15 копеек?
66. В течение четырех дней в столовой расходовали
крупу поровну каждый день и израсходовали 20 кг.
Сколько крупы варили ежедневно?
67. 5 ребят получили с елки поровну игрушек, а все-
го 20 игрушек. Сколько игрушек получил каждый ре-
бенок?

68. Ученики посадили по 3 цветка в каждый ящик, а
всего было 18 цветков. Во сколько ящиков ученики поса-
дили цветы?
69. Пионеротряд проходил в час по 4 о и шел не-
сколько часов. Всего он прошел 12 км. Поставить во-
прос.
70. Один пионеротряд собрал в лесу всего 8 кг грибов,
другой — в несколько раз больше, чем первый, а именно
16 кг грибов. Во сколько раз второй отряд собрал больше
грибов?
71.
72.
73.
74. Какое число надо разделить на 6 равных частей,
чтобы получить в каждой части по 2?
75. Какое число надо уменьшить в 6 раз, чтобы полу-
чилось 3?
76. Задуманное число разделили на части, по 5 еди-
ниц в каждой, получили 3 части. Какое число задумано?
77. Какое число надо разделить на 2, чтобы получи-
лось 10?
78. Составить 2 задачи, похожие на предыдущие.
79. На сколько равных частей надо разделить 12, что-
бы получить по 4 в каждой части?
80. Школьники выполнили задание по сбору лекарст-
венных растений, собрав в каждый из трех дней по 5 кг
растений. Какое задание было дано школьникам?
81. Ласточки свили 5 гнезд. В каждом гнезде птен-
цов было поровну. По скольку птенцов было в каждом
гнезде, если всего было 20 птенцов?

82. У мамы были бобы для посадки. Она отдала их
3 детям. Каждый получил 6 бобов. Сколько бобов было
у мамы?
83. Из наколотых дров третью часть, а именно 5 по-
леньев, заложили в печь. Сколько поленьев дров было
наколото?
84. 12 яблок разделили поровну нескольким детям.
Каждый ребенок получил по 3 яблока. Что можно сосчи-
тать?
85. Пионеры собрали 20 кг черного металлолома и
несколько килограммов цветного металла. Черного ме-
талла было в 4 раза больше, чем цветного. Сколько цвет-
ного металла собрали пионеры?
86. Грядка под огурцами занимает 12 ж, она в не-
сколько раз больше, чем грядка под салатом, в которой
6 м. Во сколько раз грядка под огурцами больше, чем
грядка под салатом?
В случае, если упражнение в отвлеченной форме труд-
но понимается детьми, его следует дать в форме конкрет-
ной задачи. Вместо вопроса: «Сколько раз надо повто-
рить 4, чтобы получилось 20», можно дать задачу: «Если
заплатить по 4 рубля за 1 кг конфет, то сколько можно
купить конфет на 20 рублей?»
Часто при решении задач дети заменяют действие,
которым оно решается, обратным действием. Так, напри-
мер, 8—? = 6 решают отсчитыванием от 8 по одному до
тех пор, пока не получат 6, или присчитыванием к 6 по
1 до тех пор, пока не получат 8 (прибавляемые единицы
при этом пересчитывают). Такие приемы также можно
применить, так как при этом детям становится яснее
взаимосвязь прямых и обратных действий: сложения с
вычитанием и умножения с делением.
Все задачи в пределе 20 решаются устно. После того
как учащиеся проделали ряд примеров и задач для тре-
нировки, полезно дать им задание: придумать подоб-
ные же примеры и задачи.
Выше мы говорили, что из простой задачи, основной,
можно составить производные задачи, выраженные в
прямой или косвенной форме. Покажем составление про-
изводных задач на умножение и деление, выраженных в
косвенной форме, из простой задачи, выраженной в пря-
мой форме.

1) Основная задача.
Макулатуру собрали 7 учащихся, каждый по 2 кг.
Сколько килограммов макулатуры собрали учащиеся?
2 X 7 = 14 (кг).
1- я производная задача к решению: 2X? =
= 14 (кг).
Несколько учащихся собрали макулатуру по 2 кг каж-
дый. Всего они собрали 14 кг. Сколько учащихся соби-
рали эту макулатуру?
2- я производная задача к решению: ?Х7=
= 14 (кг).
Макулатуры собирали 7 учащихся, поровну каждый.
Всего они собрали 14 кг. По скольку килограммов маку-
латуры собрал каждый?
2) Основная задача.
В школьном саду 6 юннатов посадили 18 вишенок,
каждый поровну. Сколько вишенок посадил каждый?
18:6 = 3 (вишни).
1- я производная задача к решению: ? : 6 =
= 3 (вишни).
Несколько вишенок были распределены для посадки
между 6 юннатами. Каждый получил 3 вишенки. Сколь-
ко вишенок привезли для посадки?
2- я производная задача к решению: 18:? =
= 3 (вишни).
Посадку 18 вишенок поручили нескольким юннатам.
Каждый посадил по 3 вишенки. Сколько было юннатов?
Составить производные задачи в косвен-
ной форме из следующих основных задач и ре-
шить их.
87. Каждый из 5 учащихся подклеил по 3 книги.
Сколько всего книг подклеили помощники библиотеки?
88. Из нашего класса в прошлом году умели плавать
только 6 учащихся, а в этом году умеют плавать в 2 раза
больше учащихся. Сколько учащихся умеют плавать?
89. Ко Дню птиц 4 мальчика сделали 12 скворечни-
ков. Сколько скворечников сделал каждый?
90. Для посадки огурцов дети из звена «дружных»
сделали 20 торфяных горшочков. Каждый сделал 4 гор-
шочка. Сколько человек в звене «дружных»?

§ 5. ЧИСЛА ПЕРВОЙ СОТНИ
Переходя к числам первой сотни, учитель продолжа-
ет давать вопросы и задачи, подводящие к выяснению
зависимости между компонентами и результатом дей-
ствий. Запись условия здесь усложняется, так как вво-
дится буква х (икс) для обозначения неизвестного
числа.
В существующей программе по арифметике для
младших классов отсутствует название компонентов и
результатов действий в пределах 100. Поэтому решение
примеров и задач, выраженных в косвенной форме, в
пределах 100 можно объяснить без названия компонен-
тов, конкретно. Но если учитель пожелает расши-
рить существующую программу по арифметике, то по-
лезно познакомить учащихся с названиями компонентов
и результатов действий и дать формулировку зависимо-
сти между ними.
Надо заметить, что в проекте программы с трехгодич-
ным сроком обучения по арифметике предлагается
в I классе вводить названия компонентов и результатов
действий. Разберем примеры и задачи.
/. На сколько единиц надо увеличить 56, чтобы полу-
чилось 80?
Запись условия: 56 + х = 80.
2. Какое число надо увеличить на 23 единицы, чтобы
получилось 72?
Запись: х + 23 = 72.
3. Какое число надо уменьшить на 35, чтобы полу-
чилось 29?
х — 35 = 29.
4. На сколько единиц надо уменьшить 100, чтобы
получилось 67?
100 — х= 67.
5. Когда в ящик с апельсинами прибавили еще 11 кг
апельсинов, в ящике стало 40 кг. Сколько апельсинов
было в ящике?
6. В автобусе ехали 16 человек. Когда на остановке
вошли еще несколько человек, все 25 мест оказались

занятыми. Сколько пассажиров сели в автобус на оста-
новке?
7. Число учащихся в классе увеличилось за месяц
на 5 человек. В классе в конце месяца стало 42 человека.
Сколько учащихся было в классе в начале месяца?
8. Завод выпустил в день 58 сеялок, на другой день
выработка увеличилась на несколько машин и было вы-
пущено 65 сеялок. На сколько машин увеличилась вы-
работка за день?
9. В большой кастрюле было несколько стаканов
молока. В меньшей кастрюле было на 12 стаканов моло-
ка меньше, и в ней молока оказалось 24 стакана. Сколь-
ко молока было в большой кастрюле?
10. В колхозе при клубе организовали хор народных
песен. В хоре участвовало 40 женщин, кроме того, были
и мужчины. Женщин было на 23 человека больше, чем
мужчин. Сколько мужчин участвовало в хоре?
Решение 1-го и 2-го примеров (56 + х = 80 и х + 23 =
= 72) состоит в вычислении слагаемого по сумме и дру-
гому слагаемому. Так как в числе 80 заключаются все
единицы числа 56 и неизвестного числа, то, чтобы найти
неизвестное, надо от 80 отсчитать 56. Может быть, не-
которые учащиеся будут к 56 присчитывать те или иные
числа для получения суммы 80— этот прием нельзя счи-
тать ошибочным.
Сказанное целиком относится к примеру х + 23 = 72.
Пример 3-й (х — 35 = 29) приводит к нахождению
уменьшаемого. Учащиеся объясняют его решение сле-
дующим образом. Неизвестное число больше 29-ти на
35 единиц, поэтому к 29 присчитываем 35. В примере
4-м (100 — х = 67) определяют вычитаемое по осталь-
ным компонентам вычитания. Объясняют это так: число
100 после уменьшения на несколько единиц дало 67 еди-
ниц, значит, в числе 100 заключаются и 67 единиц, и не-
известное число.
Задачи 5-я (запись условия: х+11=40), 6-я (запись
условия: 16 + х = 25) и 8-я (запись условия: 58+х = 65)
решаются нахождением слагаемого по сумме и другому
слагаемому, так как в каждой из этих задач должен
быть поставлен вопрос: «Какое число (или к какому
числу) надо прибавить к одному из данных чисел (или
одно из данных чисел), чтобы получить другое данное
число?»

Решение задачи 9-й можно объяснить как нахожде-
ние суммы двух слагаемых (увеличить 24 на 12 единиц)
или как нахождение уменьшаемого по вычитаемому
и остатку (какое число надо уменьшить на 12, чтобы
получилось 24)?
Решение 10-й задачи объясняется или как уменьше-
ние числа на несколько единиц (40 уменьшить на 23),
или как нахождение вычитаемого по остальным компо-
нентам вычитания (40 больше неизвестного числа на 23,
какое это число? или 40 — х = 23).
При решении указанных примеров и задач в пределе
сотни каждый пример или задача объясняется по воз-
можности конкретно.
В этом разделе чисел также полезно применять из-
менение одного из компонентов при решении примеров
и задач, чтобы зависимость между членами действий
усваивалась учащимися более прочно при разборе кон-
кретных вопросов.
Разберем пример: Какое число надо увеличить на 23,
чтобы получилось 72? Получив первый ответ (49), учи-
тель изменяет одно из чисел условия: Какое число надо
увеличить на 27, чтобы получилось 72? ...на 31, чтобы по-
лучилось 72? ...на 58, чтобы получилось 72? и т. д. При
разборе примеров выясняется, что 72 содержит все еди-
ницы числа данного (27-ми, 31-го, 58-ми) и неизвестно-
ного, поэтому неизвестное число находится вычитанием
из 72-х второго данного числа.
Вернемся к задаче: «...Когда в ящик с апельсинами
прибавили 11 кг апельсинов, стало 40 кг. Сколько апель-
синов было в ящике?» После решения задачи (40 кг —
— 11 кг = 29 кг) учитель изменяет условие: «Если в ящик
прибавили 9 кг, стало 40 кг, то сколько апельсинов было
в ящике?» Если прибавили 25 кг, стало 40 кг, то сколько
апельсинов было в ящике?» и т. д. Разбирая решения,
учащиеся видят, что неизвестное число и данные числа
(11, 9, 25,...) дают в сумме 40 и что неизвестное находит-
ся вычитанием из 40 другого данного числа.
Разберем еще примеры и задачи на умножение и де-
ление в пределе 100.
/. Я задумал число, если увеличить его в 3 раза, то
получится 57. Какое это число?
2. Если увеличить 15 в несколько раз, то получит-
ся 75. Во сколько раз надо увеличить 15?

3. Миша поймал несколько окуней, а карасей в 3 раза
больше. Он поймал 36 карасей. Сколько окуней поймал
Миша?
4. С одного участка собрали 32 мешка картофеля, а
с другого — в несколько раз больше, а именно 96 меш-
ков. Во сколько раз больше картофеля собрали со второ-
го участка?
5. Я задумал число. Если уменьшить его в 5 раз, то
получится 12. Какое это число?
6. 98 разделили на несколько равных частей, полу-
чилось по 14 в каждой части. На сколько равных частей
разделили 98?
7. Купили письменный стол и кресло. За кресло за-
платили 10 рублей, оно стоило в 8 раз дешевле стола.
Сколько стоил стол?
8. Я задумал число, в котором 18 содержится 4 раза.
Какое это число?
9. С огорода собрано 90 мешков картофеля, а поса-
жено было в несколько раз меньше, а именно 9 мешков.
Во сколько раз уродилось больше, чем было посажено?
10. В числе 96 задуманное мною число содержится
4 раза. Какое число задумано?
11. Библиотечные книги разложены в шкафу, на каж-
дой полке по 28 книг, всего на 3-х полках. Сколько книг
в библиотечном шкафу?
12. 100 физкультурников завода вышли на парад рав-
ными группами, всего было 4 группы. Сколько человек
было в каждой группе?
Для решения 1-го примера (запись условия: х Х 3 =
= 57) и задачи 3-й (запись условия: x Х 3 = 36) надо
уменьшить данное число (57 и 36) в 3 раза, потому что
числа эти получаются увеличением неизвестного числа
в 3 раза. Неизвестное число находится делением 57 и 36
на 3 равные части. Здесь по произведению и множителю
определяется множимое.
При решении примера 2-го (запись условия: 15 Х x =
= 75) и задачи 4-й (запись условия: 33 Х х = 96) находим
число, показывающее, во сколько раз одно данное число
больше другого (75 больше 15, 96 больше 32), т. е. при-
меняем деление по содержанию. Здесь находится мно-
житель по произведению и множимому.
Решение примера 5-го (запись условия: х:5=12) и
задачи 7-й (запись условия: х : 8=10) приводит к нахож-

дению неизвестного числа, определенная часть которого
(5-я, 8-я) дана в условии (12, 10). Для решения этих во-
просов выполняем умножение 12x5 и 10X8. Здесь на-
ходим делимое по остальным компонентам деления.
Решение примера 6-го (запись условия: 98:х=14)
и задачи 9-й (запись условия: 90:,v = 9) объясняется
так: 98 разделили на столько равных частей, сколько
раз в 98 содержится 14; разделив 98 на 14, узнаем число
этих частей; ответ: 7.
На посадку картофеля (задача 9-я) пошло картофеля
меньше, чем уродилось, во столько раз, сколько раз в 90
содержится по 9. Делим 90 мешков на 9 мешков; ответ:
10 раз. В этих двух примерах по делимому и частному на-
ходится делитель.
Для решения примера 8-го (запись условия: х : 18 =
= 4) находим число, которое больше 18 в 4 раза, следо-
вательно, выполняем умножение 18X4. Точно так же
в задаче 11-й (запись условия: х:28 = 3), увеличив 28 в
3 раза, найдем неизвестное число. Эти два вопроса при-
водят к нахождению делимого в делении по содержанию.
В примере 10-м (запись условия: 96:x = 4) и задаче
12-й (запись условия: 100 : х = 4) надо найти число, со-
держащееся в данном числе (96, 100) 4 раза. Выполнив
деление 96 и 100 на 4 равные части, найдем неизвестное
число, которое является делителем в делении по содер-
жанию.
Решая примеры с х в пределах 100, дети выполняют
все действия устно, а затем записывают пример в тетрадь,
заменяя х полученным числом. Можно также записать
действие, посредством которого решается пример.
1) х + 34 - 92 2) х — 45 = 27
92 — 34 - 58 45 + 27 = 72
х = 58 х = 72
Проверка: 58 + 34 = 92 Проверка: 72 — 45 = 27
3) х X 3 = 51 4) 98 : х = 14
51 : 3 = 17 98: 14 = 7
х= 17 х = 7
Проверка: 17 x 3 = 51 Проверка: 98 : 7 = 14

Примеры и задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.

7. Задумано число, если увеличить его на 28, то по-
лучится 60. Какое число задумано?
8. Какое число надо прибавить к 37, чтобы полу-
чить 80?
9. Какое число надо сложить с 19-ю, чтобы получи-
лось 52?
10. На сколько единиц надо увеличить 25, чтобы по-
лучилось 63?
11. Какое число надо прибавить к 47, чтобы получи-
лось 73?
12. Если задуманное число прибавить к 53, то полу-
чится 75. Какое число задумано?
13. Придумать условие к записи задачи: х+45 = 63;
28 + х = 95 и решить.
14. Задуманное число уменьшено на 18, получилось 42.
Какое число задумано?
15. От какого числа надо отнять 37, чтобы получи-
лось 54?
16. Какое число надо уменьшить на 25, чтобы полу-
чилось 48?
17. На сколько единиц надо уменьшить 90, чтобы
получилось 35?
18. Какое число отняли от 82, если осталось 17?
19. Из 100 вычли задуманное число, осталось 48. Ка-
кое число задумано?
20. Восстанавливая карту продвижения партизан-
ского отряда, школьники — «Красные следопыты» —
прошли 70 км. Им осталось идти еще 20 км. Какое рас-
стояние пройдут школьники?
21. Детскую спортивную площадку надо огородить
забором длиной 80 м. Какой длины построен забор, если
осталось построить 30 м забора?
22. Для осмотра музея с экскурсоводом пошла груп-
па в 25 человек. Остались ждать своей очереди 54 чело-
века. Сколько человек приехало в музей?
23. Дети заплатили за билеты в кино 75 копеек, у них
осталось 18 копеек. Сколько денег было у детей?
24. В столовой заготовили на день 96 кг хлеба. К кон-
цу дня осталось 12 кг хлеба. Сколько килограммов хле-
ба было израсходовано в столовой за день?
25. При постройке дома на каждую из 4-х стен по-
шло по 21 бревну и еще осталось 15 бревен. Сколько
бревен было заготовлено для постройки дома?

26. От ленты отрезали кусок длиной 69 см, остался
кусок длиной 31 см. Какой длины была вся лента?
27. Цена на пальто снизилась на 8 руб. Сколько стои-
ло пальто раньше, если теперь оно стоит 82 рубля?
28. На корм лошадям заготовили 90 кг сена. Через
две недели сена осталось 7 кг. Сколько сена скормили
лошадям?
29. Колхоз израсходовал на корм скоту 86 т куку-
рузного силоса и осталось еще 14 т. Сколько тонн сило-
са заготовлено?
30. В вагоне поезда было 78 человек. На станции из
вагона вышло несколько человек, и в нем осталось 54
человека. Сколько человек вышло из вагона?
31. Колхозник накосил 100 кг травы. Когда трава
высохла, то стала весить 34 кг. Сколько воды было в
траве?
32. От дома до реки 100 шагов. Девочка прошла от
дома только 59 шагов. Сколько шагов она не дошла до
реки?
33. На покупку цветных карандашей и бумаги уче-
ник израсходовал 85 копеек, и у него осталось еще 8 ко-
пеек. Сколько денег было вначале у ученика?
34. Из бочки продали 89 л керосина, в ней осталось
7 л. Сколько литров керосина первоначально было в
бочке?
35. Дети набрали 52 кг грибов. Когда грибы высох-
ли, то стали весить 7 кг. Сколько воды было в грибах?
36. В пионерлагере девочка поправилась на 2 кг и
стала весить 23 кг. Сколько весила девочка до пионер-
лагеря?
37. Утром коровам принесли 90 кг сена. К концу дня
осталось 12 кг сена. Сколько сена съели коровы?
38. Когда мальчик прочитал несколько страниц кни-
ги, ему осталось читать до конца книги 55 страниц, все-
го же в книге 90 страниц. Сколько страниц мальчик про-
читал?
39. С грядки собрали в первый день 38 огурцов. За
два дня всего собрали 100 огурцов. Сколько огурцов
собрали во второй день?
40. От колхоза до железнодорожной станции 27 км.
От станции до города надо проехать еще несколько ки-
лометров. Сколько километров от станции до города,
если от колхоза до города 63 км? Сделать чертеж.

41. Через мост прошли автомашины, из них 9 было
легковых, остальные 23 — грузовые. Поставить вопрос
к задаче на сложение.
42. Для поливки огорода сделан запас воды. Когда
взяли на поливку 70 ведер воды, осталось еще 20 ведер.
Сколько воды было заготовлено для поливки?
43. Внесение удобрений и правильный полив дали
урожай хлопка 30 ц с гектара, что на 6 ц превысило
урожай прошлых лет. Сколько центнеров хлопка соби-
рали до внесения удобрений?
44. В колхозе было 35 коров, когда несколько коров
продали, осталось 28 коров. Поставить вопрос.
45. В то время, как лыжник прошел 100 ж, пешеход
прошел на сколько-то метров меньше, именно 35 м. На
сколько метров меньше прошел пешеход?
46. В магазин привезли 75 холодильников. Часть из
них продали в первый день, осталось 18 холодильников.
Поставить вопрос.

51. Задумано число. Если увеличить его в 7 раз, то
получится 42. Какое число задумано?
52. На какое число надо умножить 3, чтобы полу-
чить 27?
53. Во сколько раз надо увеличить 2, чтобы полу-
чить 18?
54. Какое число надо повторить 8 раз, чтобы полу-
чить 56?
55. Какое число надо умножить на 9, чтобы полу-
чить 36?
56. Задумано число. Если уменьшить его в 6 раз, то
получится 8. Какое число задумано?
57. Задумано число. Если разделить его на 9 равных
частей, то получится 6. Какое число задумано?
58. В задуманном числе 9 содержится 5 раз. Какое
число задумано?
59. 72 разделили на несколько равных частей и по-
лучили по 9 в каждой части. На сколько равных частей
разделили число 72?
60. Число 63 уменьшили в несколько раз и получи-
ли 9. Во сколько раз уменьшили число 63?
61. В числе 42 задуманное число содержится 6 раз.
Какое число задумано? Составить похожую задачу.
62. Какое число надо повторить 12 раз, чтобы полу-
чить 36? Какое число надо умножить на 15, чтобы полу-
чить 75?
63. На какое число надо умножить 14, чтобы полу-
чилось 42?
64. Во сколько раз надо увеличить 13, чтобы полу-
чилось 52?
65. Я задумал число, умножил 17 на задуманное чис-
ло и получил 68. Какое число задумано? Составить по-
хожую задачу.
66. В числе 80 задуманное число содержится 5 раз.
Какое число задумано?
67. Пионерский отряд собрал несколько килограм-
мов лекарственных растений, другой отряд собрал в два
раза больше—18 кг. Сколько лекарственных растений
собрал первый отряд?
68. На колхозном огороде посадили за день несколь-
ко мешков картофеля, а на другой день посадили в 4 ра-
за больше, именно 32 мешка. Сколько мешков картофе-
ля посадили в первый день?

69. Продано 9 химических карандашей, а простых—
в несколько раз больше, именно 45. Во сколько раз
простых карандашей продано больше, чем химиче-
ских?
70. Каждый из 7-ми самолетов сделал одинаковое
число вылетов с парашютистами. Всего сделано 56 вы-
летов. Поставить вопрос.
71. Пионеры собрали несколько килограммов подбе-
резовиков, а белых грибов — в 4 раза меньше, 8 кг.
Сколько подберезовиков собрали пионеры?
72. В цехе несколько мужчин, а женщин в 3 раза
меньше, именно 15. Сколько мужчин в цехе?
73. Бригада скосила траву на 29-ти га, что составляет
третью часть площади всех лугов колхоза. Сколько гек-
таров луга имеет колхоз?
74. Засеяно несколько гектаров свеклой, по 16 кг се-
мян на каждый гектар. Всего высеяно 80 кг семян свек-
лы. Сколько гектаров засеяно этими семенами?
75. Для подарков в День праздника цветов сделали
несколько букетов, по 7 гвоздик в каждом. Сколько сде-
лано букетов из 84 гвоздик?
76. На лодочной переправе перевозчик за одну по-
ездку перевозит 11 человек. Он сделал несколько по-
ездок и перевез 55 человек. Сколько поездок сделал пе-
ревозчик?
77. Колхозник продал 84 кг картофеля, причем кар-
тофеля он продал в 4 раза больше, чем моркови. Сколь-
ко продано моркови?
78. Туристы прошли 15 км. И это расстояние в 3 раза
меньше того, которое они проплыли на лодках. Поста-
вить вопрос.
79. Путь от станции до колхоза равен 12 км, причем
он в 4 раза меньше, чем путь от колхоза до города. Ка-
кое расстояние от колхоза до города?
80. При изготовлении раствора для кладки кирпича
взяли 48 кг песку, что в 2 раза больше взятой глины.
Сколько глины взяли для кладки кирпича?
81. В школьном саду 96 яблонь. Это в 4 раза боль-
ше, чем груш. Сколько груш в саду?
82. Уплатив за покупку одинаковыми 5-ю монетами,
ученик отдал в кассу 1 рубль. Какими монетами распла-
чивался ученик?
* Составить задачу, похожую на предыдущую.

83. 96 карандашей разложены поровну в несколько
коробок. В каждой коробке оказалось 12 карандашей.
Во сколько коробок разложили карандаши?
84. Группа лыжников сделала переход в несколько
километров за 2 дня. Какое расстояние они прошли, если
проходили по 50 км в день?
85. Птицеферма отправила на продажу цыплят. Если
рассадить их по 16 в каждую клетку, то понадобится
6 клеток. Сколько цыплят отправлено на продажу?
86. Экскурсанты прошли 60 км в несколько дней. Они
проходили по 15 км в день. Поставить вопрос.
87. В саду собрали 100 кг слив. Слив было собрано
в несколько раз больше, чем груш, которых набрали
25 кг. Во сколько раз слив набрали больше, чем груш?
88. Для детского сада купили на 90 копеек картинок
по одинаковой цене. Было куплено 15 картинок. Сколь-
ко стоила каждая картинка?
89. 90 пионеров вышли на демонстрацию рядами по
одинаковому числу ребят в каждом ряду, они шли 9-ю
равными рядами. Поставить вопрос.
* Придумать задачи к записи решения л::6 = 14
и 90 : х=\Ъ.
90. Найти значение неизвестного в примерах и зада-
чах на деление с остатком.
91. Я задумал число, разделил его на 8, получил 9 и
в остатке 2. Какое число я задумал?
92. На какое число надо разделить 50, чтобы полу-
чить бив остатке 2?
93. На сколько детей дедушка разделил 38 орехов,
если каждый получил по 7 орехов и осталось 3 ореха?
94. На сколько человек разделили 46 цветных каран-
дашей, если каждый получил по 6 карандашей и оста-
лись 4 карандаша?
* Придумай похожую задачу.
95. Учительница раздала несколько тетрадей 9 уче-
никам. Каждый получил по 6 тетрадей и осталось еще
1 тетрадь. Сколько тетрадей было у учительницы?

96. Для детского праздника купили 83 мандарина,
их стали раскладывать в несколько пакетов, по 3 ман-
дарина в каждый, осталось 2 мандарина. Во сколько па-
кетов положены мандарины?
97. У портнихи было несколько пуговиц. Она сшила
19 рубашек и к каждой рубашке пришивала по 4 пуго-
вицы. У нее осталось 3 пуговицы. Сколько пуговиц было
у портнихи?
§ 6. ЧИСЛА ПЕРВОЙ ТЫСЯЧИ
Изучая зависимость между компонентами и резуль-
татами действий на числах в пределах 1000, учащиеся
знакомятся с названиями компонентов и результатов
действий и с формулировкой зависимости компонентов
действий. К тем формам вопросов и задач, которые упо-
требляются над числами до 100, прибавляются вопросы
в новой форме и даются для решения составные приме-
ры и задачи. Разберем примеры и задачи.
/. Какое число надо прибавить к 329, чтобы получи-
чилось 800?
Ученики устно решают пример. После этого предла-
гается записать условие (применение х уже известно).
Получается запись: 329 + ^ = 800. Затем учитель предла-
гает назвать эти числа. Ученики называют: «329 — пер-
вое слагаемое, х — второе слагаемое, 800 — сумма».
Учитель спрашивает:
— Какое число мы нашли?
— Неизвестное число х.
— Как мы находим х?
Ученики рассказывают. Потом учитель спрашивает
еще раз.
— Как назвали мы х?
— Это есть второе слагаемое.
— Что же мы сделали, чтобы найти х, или второе
слагаемое?
Ученики рассказывают решение и записывают от-
вет: х = 471.
После решения ряда примеров переходят к другим
формам вопросов. Например: сумма равна 400, слагае-
мое 179. Найти другое слагаемое.
Решение можно объяснить так: в сумме 400 заклю-
чаются все единицы обоих слагаемых; значит, отняв 179

от 400, найдем, чему равно второе слагаемое. Пример:
179+л; = 400; ответ: х = 22\.
2. Какое число надо уменьшить на 458, чтобы полу-
чилось 212?
Пример решается устно, потом условие записывает-
ся. Так как неизвестное число заключает в себе и 458
и 212 единиц, то оно находится сложением 458 и 212.
Ученики пишут: х— 458 = 212 и ответ: х = 670.
Учитель ставит вопросы: «Как называется число х?
458? 212? Что мы делаем, чтобы найти уменьшаемое?
Как называли мы числа 458 и 212? Так, что мы делаем,
чтобы найти уменьшаемое?» Подобным образом разби-
раются 2—3 примера, после чего можно давать задания
в другой формулировке: Вычитаемое 500, остаток 378.
Найти уменьшаемое.
Решение объясняется так: в неизвестном числе содер-
жится и 500 и 378 единиц, значит, оно равно сумме
(500 + 378). После этого даются 2—3 примера для за-
крепления.
3. Какое число надо вычесть из 1000, чтобы получи-
лось 375?
Находя ответ устно, ученики записывают условие:
1000-л:=375 — и ответ: х = 625.
Решение объясняется так: 1000 заключает в себе все
единицы числа 375 и неизвестного числа. Значит, отняв
375 от 1000, найдем х. Задается ряд вопросов: «Как на-
зывается при вычитании число 1000? х? 375? Каким дей-
ствием нашли мы х, или вычитаемое? От какого числа
какое отняли? Итак, как нашли вычитаемое?»
Разобрав таким же способом 2—3 примера, можно
дать примеры в другой формулировке: по уменьшаемо-
му 500, остатку 200 найдите вычитаемое. Решение объ-
ясняется так: в числе 500 должны заключаться все еди-
ницы числа, которое вычитаем, и число, которое остает-
ся. Отняв 200 от 500, найдем вычитаемое. Затем следуют
примеры в новой формулировке.
4. Какое число надо увеличить в 4 раза, чтобы полу-
чилось 420?
Решение объясняют так: неизвестное число меньше
420 в 4 раза, следовательно, 420 надо разделить на 4, по-
лучится неизвестное число. После устного решения учи-
тель предлагает записать условие с х. Получается: х Х
Х 4 = 420. Задаются вопросы: «Как называется число, ко-

торое множат? Число на которое множат? Число, полу-
чаемое от умножения? Как находим х? Какое число на
какое делим? Как эти числа называются? Итак, как мы
нашли множимое?» Разобрав еще 2—3 примера так же
подробно, можно в дальнейшем ввести новую формули-
ровку, дав, например, задачу:
* Найти множимое, если множитель 3, а произведе-
ние 600, а также и еще несколько задач в такой же фор-
ме — для тренировки.
5. Во сколько раз надо увеличить 48, чтобы, получи-
лось 240, или на какое число надо помножить 48, чтобы
получилось 240?
Решение состоит в делении 240 на 48 (Сколько раз
в 240 содержится 48?). После устного решения ученики
записывают пример: 48 X x = 240, затем следует подроб-
ный разбор: «Как называют число 48? х? 240? Каким дей-
ствием нашли неизвестное число? Как называются числа,
участвующие в делении?» Делается вывод, как найти
множитель, если известно множимое и произведение?
Сделав разбор 2—3 примеров, можно перейти к новой
формулировке вопросов, используя названия компонен-
тов: множимое 200, произведение 800. Найти множитель.
6. Какое число надо уменьшить в 2 раза, чтобы по-
лучилось 64?
Решение. Искомое число больше 64 в 2 раза, сле-
довательно, оно находится умножением 64-х на 2. Записав
условие с х, ученики с помощью учителя отвечают на во-
просы: «Как называются числа в примере х:2 = 64? Ка-
ким действием находят х? Как называются перемножа-
емые числа? Сформулируйте, как найти делимое, если
даны делитель и частное?»
После подробного разбора 2—3 примеров, учитель
вводит новую формулировку вопросов на нахождение де-
лимого, т. е. называя компоненты действий: найти дели-
мое, если делитель 2, частное 250? В этой формулировке
предлагаются несколько примеров для тренировки: х:3 =
= 140, х: 4 = 160, х: 20 = 30.
7. От какого числа 25 составляет 7-ю часть или какое
число надо разделить на 7 равных частей, чтобы получи-
лось по 25 в каждой части? После устного решения, за-
писи условия: л:: 7 = 25 — и подробного разбора учитель
переходит к новой форме вопросов: «Найти делимое,
если делитель 8, частное 40. В неизвестном числе 40 со-

держится 8 раз, поэтому ответ находят путем умноже-
ния 40 на 8, или делимое находят умножением частного
на делитель». В аналогичной формулировке даются при-
меры для тренировки: х : 15=12, х: 20 = 50 и т. д.
8. На сколько равных частей надо разделить 960,
чтобы получилось 24?
Решение. Число частей показывает, сколько раз 24
содержится в 960, поэтому находится путем деления
(960:24). После устного решения, записи условия
(960:x = 24) и подробного разбора переходят к вопро-
сам в новой форме: делимое 600, частное 75, найти дели-
тель. Запись условия: 600:л: = 75. Здесь решение объяс-
няется или делением по содержанию: число частей пока-
зывает, сколько раз 75 содержится в 600, или делением
на части: 600 разделить на части, число которых 75.
В каждой части меньше 600 в 75 раз. х = 8.
9. Во сколько раз надо уменьшить 180, чтобы полу-
чилось 45?
Запись: 180:х = 45. Решение. Неизвестное число
показывает, во сколько раз 45 меньше 180, и находится
делением 180 на 45. Разобрав пример подобно предыду-
щим, рассказывают, как нашли делитель, зная делимое
и частное. После такой предварительной подготовки сле-
дующие примеры можно задавать в новой форме: «Най-
ти делитель, если делимое 200, частное 25, или 200 : х =
= 25, 320:х = 80, 320 : x = 40, 390 : х=<130».
10. Какое число содержится 6 раз в 270? или 270 :х =
= 6. После разбора переходят к другой форме: «Делимое
270, частное 6, найти делитель». Решение сводится к де-
лению 270 на 6, так как искомое число меньше 270
в 6 раз.
11. Какой длины канал Москва — Волга, если Суэц-
кий канал длиннее его на 36 км. Панамский же короче
Суэцкого на 82 км и имеет длину 82 км.
Первое решение. 1) Узнаем длину Суэцкого ка-
нала, для этого по вычитаемому 82 и разности 82 найдем
уменьшаемое: 82 + 82=164; 164 км. 2) Узнаем длину ка-
нала Москва — Волга, для этого по сумме 164 и слагае-
мому 36 найдем другое слагаемое: 164 — 36=128. От-
вет: 128 км.
Второе решение. 1) Узнаем, на сколько канал
Москва — Волга длиннее Панамского: 82 — 36 = 46.
2) Узнаем длину канала Москва — Волга, для этого по

вычитаемому 46 и разности 82 найдем уменьшаемое:
46 + 82=128. Ответ: 128 км.
Третье решение. Обозначить неизвестное че-
рез х и записать решение формулой: (х+36) —82 = 82.
12. Магазин утром начал торговлю, имея 546 м ткани.
К концу дня была продана большая часть ткани, но по-
том магазин получил вновь 450 м, тогда в магазине ока-
залось 550 м. Сколько метров ткани было продано за
день?
Первое решение. 1) 550 м—450 м=100 м ткани
осталось в магазине в момент получения нового товара;
здесь по сумме 550 и слагаемому 450 находим другое
слагаемое. 2) 546 ж—100 ж = 446 м было продано за день;
здесь по уменьшаемому и остатку находим вычитаемое.
Второе решение. 1) К концу дня было больше
ткани, чем в начале торговли на 550 м — 546 м = 4 м. 2) Бы-
ло продано 450 м — 4 м = 446 м; здесь по уменьшаемому
450 м и остатку 4 м находим вычитаемое.
Третье решение. 1) Если бы магазин не продал
части товара, то имел бы 546 ж + 450 ж = 996 м. 2) Было
продано 996 м —550 м =446 м\ здесь по уменьшаемому
996 и остатку 550 узнаем вычитаемое.
Четвертое решение. Обозначить неизвестное
через х. Записать пример при помощи скобок и найти х:
(546-х)+450 = 550.
13. Совхоз собрал с каждого гектара земли по 25 т
картофеля. Из собранного картофеля 200 т было прода-
но, а 50 т картофеля осталось для нужд совхоза. Сколь-
ко гектаров земли было под картофелем?
Решение. 1) Совхоз собрал 200 т + 50 г = 250 т кар-
тофеля (по вычитаемому 200 т и остатку 50 г находим
уменьшаемое). 2) Под картофелем была площадь в
250 т : 25 т= 10 (га) земли (здесь по произведению и мно-
жимому находим множитель). Ответ: 10 га.
14. Кассир парохода продал на 988 руб. билетов II
класса. Билетов I класса было продано на И меньше, а
именно 41 билет. Сколько стоит билет II класса?
Решение. 1) Число проданных билетов II класса:
41 + 11=52 (по вычитаемому и разности нашли умень-
шаемое). 2)Стоимость билета II класса: 988 руб. : 52 =
= 19 руб. (по делимому и частному нашли делитель).
Ответ: 19 руб. Запись решения формулой: х- (41 +
+ 11) =988.

15. В полдень термометр на улице показывал 22° теп-
ла. Температура стала снижаться равномерно на 2° в
час. Через сколько часов термометр показал 14°?
Решение. 1) На сколько градусов снизилась тем-
пература? 22°—14° = 8° (по уменьшаемому и остатку
нашли вычитаемое); 2) 8°:2° = 4 (часа); температура
снизилась до 14° через 4 часа (по произведению и множи-
мому нашли множитель). Ответ: через 4 часа.
16. Служащий ежемесячно после взноса в сберкассу
имеет на руках 100 руб. В течение 7 месяцев он внес
в сберкассу 84 руб. Какова месячная зарплата служа-
щего?
Решение. 1) Ежемесячный взнос служащего в сбер-
кассу 84 руб. : 7= 12 руб.; по произведению и множи-
телю нашли множимое.
2) Месячная зарплата служащего 100 руб.+ 12 руб.=
= 112 руб.; по вычитаемому и остатку нашли уменьшае-
мое. Ответ: 112 руб.
17. Совхоз назначил на уборку сена 300 женщин
и некоторое число мужчин. Все рабочие разделились
на 40 бригад, по 16 человек в каждой бригаде. Сколько
мужчин назначено на сеноуборку?
Решение. 1) Число всех рабочих, назначенных на
сеноуборку: 16x40 = 640; 640 человек. По делителю и
частному нашли делимое. 2) Число рабочих мужчин на
сеноуборке: 640 — 300 = 340 (мужчин); по сумме и слагае-
мому нашли другое слагаемое. Ответ: 340 мужчин.
Условие задачи или примера следует давать в не-
скольких вариантах, чтобы более четко выяснилась
зависимость между компонентами. Так, после ответа на
вопрос, какое число содержится 6 раз в 270, учитель
спрашивает: Какое число содержится 9 раз в 270? 3 раза?
5 раз? 10 раз? Решение подобных примеров дает возмож-
ность более отчетливо пояснить учащимся, что в 270
неизвестные числа содержатся 6, 9, 3, 5, 10 раз, поэтому
находятся делением 270 соответственно на 6, 9, 3, 5, 10.
Примеры и задачи

3. К какому числу надо прибавить 298, чтобы получи-
лось 825?
4. На какое число надо увеличить 335, чтобы полу-
чить 502?
5. Какое число надо прибавить к 399, чтобы полу-
чить 551?
6. Задумано число, к нему прибавлено 137 и полу-
чено 805. Какое число задумано?
7. Какое число надо увеличить на 256, чтобы полу-
чилось 701?
8. Если от задуманного числа отнять 399, то полу-
чится 418. Найти задуманное число.
9. От какого числа надо отнять 386, чтобы оста-
лось 409?
10. Какое число надо отнять от 607, чтобы полу-
чить 479?
11. Какое число надо уменьшить на 298, чтобы полу-
чить 447?
12. Если к 289 прибавить задуманное число, то полу-
чится 433. Какое число задумано?
13. Если от 722 отнять задуманное число, то останет-
ся 329. Какое число задумано?
14. К какому числу надо прибавить 298, чтобы полу-
чить 825?
15. На какое число надо увеличить 335, чтобы полу-
чить 802?
16. На какое число надо уменьшить 573, чтобы полу-
чить 297?
17. Если от задуманного числа отнять 489, то полу-
чится 511. Найти задуманное число.
18. От какого числа надо отнять 386, чтобы оста-
лось 409?
19. Как надо изменить число 593, чтобы получить 811?
20. Как :надо изменить число 613, чтобы получить 289?
21. Сумма двух слагаемых 596, одно из них 377.
Найти другое.

22. Сумма трех слагаемых 806, сумма первых двух
689. Найти третье слагаемое.
23. Разность двух чисел 356, меньшее число 297. Най-
ти большее число.
24. На сколько единиц надо уменьшить 633, чтобы
получилось 399?
25. Разность двух чисел 366, большее число 811.
Найти меньшее число.
26. Найти уменьшаемое, если вычитаемое 246, раз-
ность 167.
27. Найти вычитаемое, если уменьшаемое равно 702,
разность 637.
28. Составить три задачи на нахождение неиз-
вестных: 1) слагаемого, 2) уменьшаемого, 3) вычитае-
мого.
29. Если неизвестное число увеличить на сумму чи-
сел 134 и 65, то получится 870. Найти неизвестное число.
30. Если неизвестное число уменьшить на 158, то по-
лучится число, равное сумме чисел 239 и 163. Найти не-
известное число.
31. а) Задумай число, к нему прибавь 15, от получен-
ной суммы отними 9, от остатка отними задуманное
число. В результате получится 6. Проверь.
б) Задумай число, к нему прибавь 29, от полученной
суммы отними 17, от остатка отними задуманное число.
В результате получится 12. Проверь.
в) Задумай число. К нему прибавь 47, от полученной
суммы отними 39, от остатка отними задуманное число.
В результате получится 8. Проверь.
г) Задумай число, большее 20, прибавь 18, от суммы
отними 13, к полученной разности прибавь 5. В резуль-
тате получишь число на 10 единиц больше задуманного
числа. Проверь.
32. Число парашютистов на заводе увеличилось за
год на 37 человек, их оказалось 120. Сколько парашюти-
стов было год тому назад?
33. Рабочий рассчитал, что если он купит велосипед
за 45 руб. и костюм, то израсходует 81 руб. Сколько стоит
костюм?
34. Со склада до обеда было отправлено 180 станков;
после обеда отправлено еще некоторое количество стан-
ков, а всего за день отправлено 250 станков. Сколько
станков отправлено после обеда?

35. Увеличив сменную норму выработки на 48 изде-
лий, рабочий стал вырабатывать по 373 изделия за смену.
Чему равна сменная норма выработки? Какое слагаемое
нужно обозначить буквой х?
36. Бригада должна выработать за неделю 750 изде-
лий. После первого дня работы ей осталось выработать
595 изделий. Поставить вопрос.
37. Снизив себестоимость изделий на 35 руб., рабо-
чий довел себестоимость их до 168 руб. Чему равнялась
себестоимость изделия раньше? Записать задачу форму-
лой, обозначив искомое число буквой х.
38. Ученик прочитал книгу, в которой было 203 стра-
ницы, и сколько-то страниц второй книги. Всего он про-
читал 451 страницу. Сколько страниц второй книги про-
читал ученик?
39. В доме жили 723 человека. Когда дом надстроили,
то вселили еще несколько семей, и жильцов в доме стало
911 человек. Сколько человек вселили в дом? Составить
формулу решения задачи, обозначив искомое число бук-
вой х.
40. У рабочего было 210 руб. После покупки стираль-
ной машины у него осталось 114 руб. Сколько стоила
стиральная машина?
41. У киоскера было 437 журналов. К концу дня оста-
лось 48 журналов. Сколько журналов продано?
42. Длина одного моста 145 ж, он на 45 м короче
другого моста. Какова длина другого моста?
43. Месячный заработок рабочего составил 92 руб.,
а вместе с премиальными рабочий получил за месяц
123 руб. Сколько рублей составляла премия? Составить
формулу решения задачи и решить ее.
44. От начала года прошло 284 дня. Сколько дней не
достает до Нового года?
45. В колхозе из 918 ц овса к концу зимы осталось
325 ц. Сколько овса израсходовали на зиму?
46. В фабричном поселке 294 каменных дома, причем
их на несколько домов больше, чем деревянных, которых
насчитывают 218. На сколько в поселке больше камен-
ных домов, чем деревянных?
47. В бане за день продали 580 талонов, часть тало-
нов была продана до полудня и 382 талона — во вторую
половину дня. Сколько талонов было продано до по-
лудня?

48. Одна бригада рабочих выкопала канаву длиной
900 м, другая бригада выкопала канаву на некоторое
число метров короче, именно 780 м. На сколько метров
короче выкопала канаву вторая бригада?
49. В ремонтно-тракторной мастерской надо отремон-
тировать имеющиеся машины. Когда в первую неделю
отремонтировали 98 машин, осталось отремонтировать
302 машины. Сколько машин в мастерской?
50. Отцу 54 года, он старше матери на 7 лет. Сколько
лет сыну, если всем троим вместе 125 лет? Составить
формулу решения задачи.
51. Домоуправление закупило гвоздей, проводов и
электрических лампочек на 690 руб., и от отпущенной
суммы осталось 195 руб. Сколько было отпущено на
покупку материалов?
52. Область должна по плану собрать определенное
количество сухих плодов шиповника. Школьники села
собрали 280 т, остальные 140 т должны собрать школь-
ники города. Поставить вопрос.
53. Составить задачу к формуле: х + 240 = 600 —
и решить.
54. Составить задачи к формулам: х — 350 = 500 и
479 — х = 370 — и решить их.
55. х × 2=468 3 × х=636 х × 6=726
х × 9=729 7 × х=637 7 × х=812
х × 6=324 5 × х=745 8 × х=984
х × 8=936 3 × х=531 9 × х=846
56. х:3=218 230:х=5 х:2=376
х:4=212 970:х=2 744:х=6
х:2=279 784:х=7 х:6=156
х:5=189 928:х=4 882:х=7
57. х:13=67(ост. 9) х:207=4 (ост. 72)
х:87=9(ост. 17) х:119=8 (ост. 48)
627:х=6(ост. 3) 1000:х=9 (ост. 1)
720:х=7(ост. 6) 900:х=9 (ост. 27

х : 73= 12 (ост. 3) 800 : х = 8 (ост. 56)
JC : 109 = 9 (ост. 56) 700 : х = 7 (ост. 42)
58. На какое число надо умножить 28, чтобы полу-
чилось 336?
59. Во сколько раз надо увеличить 25, чтобы полу-
чить 425?
60. Какое число надо умножить на 7, чтобы полу-
чить 602?
61. Какое число надо увеличить в 4 раза, чтобы полу-
чить 824?
62. Произведение двух чисел 672, одно из них 42.
Найти другое.
63. Найти множимое, если множитель 14, а произве-
дение 210.
64. Найти множитель, если произведение 1000, а мно-
жимое 50.
65. Составить задачу на нахождение множимого.
66. Если неизвестное число разделить на 9, получит-
ся 23. Найти неизвестное число.
67. Какое число при делении на 5 дает в част-
ном 199?
68. В каком числе 209 содержится 4 раза?
69. От какого числа 125 составляет 6-ю часть?
70. Какое число надо уменьшить в 3 раза, чтобы полу-
чить 312?
71. Во сколько раз надо увеличить 37, чтобы полу-
чить 444?
72. Задумано число, его увеличили в 6 раз и полу-
чили 912. Какое число задумано?
* Составить похожую задачу.
73. Задумано число, его увеличили в 7 раз, приба-
вили 14 и получили 742. Какое число задумано?
74. Задумано число, его увеличили в 5 раз, отняли 35,
осталось 605. Какое число задумано?
75. Найти делимое, если делитель равен И, а част-
ное 43?
76. Во сколько раз надо уменьшить 475, чтобы полу-
чилось 25?
77. Какое число содержится 35 раз в 420?
78. На сколько равных частей надо разделить 372,
чтобы получить 12?

79. Которую часть составляет 36 от 288?
80. Найти делитель, если делимое 275, а частное 25?
81. Составить задачу на нахождение делимого.
82. Составить задачу на нахождение делителя.
83. Если неизвестное число увеличить в 5 раз, потом
прибавить 405, то получится 905. Найти неизвестное
число.
84. Если неизвестное число уменьшить в 4 раза, по-
том прибавить 72, то получится 260. Найти неизвестное
число.
85. Если неизвестное число умножить на 8, от полу-
ченного произведения отнять 56, получится 736. Чему
равно неизвестное число?
86. Составить задачу, похожую на предыдущую.
87. Задумали число, взяли его третью часть, приба-
вили к ней 75 и получили 220. Какое это число?
88. Задумали число, отняли от него 200, раздели-
ли остаток на 8 и получили в частном 79. Какое это
число?
89. Задумано число. Если увеличить его в 13 раз, а
произведение увеличить на 350, то получится 1000. Какое
число задумано?
90. Задумано число. Если уменьшить его на 45 еди-
ниц, а результат уменьшить в 105 раз, то получится 9.
Какое это число?
91. Задумано число, уменьшили его в 3 раза, умень-
шили частное на 115 и получили ответ 218. Какое это
число?
92. Задумано число. Взяли его четвертую часть, уве-
личили ее на 108 единиц и получили ответ 300. Какое это
число?
93. Задумай однозначное число, увеличь его в 4 раза,
к полученному произведению прибавь 45, от суммы от-
ними учетверенное задуманное число, остаток раздели на
5. Получится 9. Проверь.
94. Задумай однозначное число, увеличь его в 3 раза,
к полученному произведению прибавь 28, от суммы от-
ними утроенное задуманное число, остаток раздели на 7.
Получится 4. Проверь.
95. На канале каждая насосная станция перекачи-
вает в секунду 100 куб. м воды, все насосные станции
перекачивают в секунду 500 куб. м воды. Сколько насос-
ных станций на канале?

96. Сняв с каждой яблони в среднем по 64 яблока,
собрали 960 яблок. Со скольких яблонь собрали
яблоки?
97. Крупу расходовали в столовой по 12 кг в день. За-
паса ее хватило на 45 дней. Поставить вопрос.
98. На постройку дома достали некоторое количество
извести, ее привезли на 50 грузовиках, по 5 г на каждом.
Сколько извести привезли на стройку?
99. Составить задачу к формуле: х : 40= 14 — и
решить.
100. Машинистка перепечатала рукопись за 32 часа,
печатая по 7 страниц в час. Поставить вопрос.
101. В совхозе 780 голов крупного рогатого скота, из
них 65 голов — племенного скота. Которую часть скота
составляет племенной скот?
102. Новыми хлопкоуборочными машинами собрали
600 т «белого золота» — в 2 раза больше, чем намечали
по плану. Каков был план сбора хлопка машинами?
103. Комбайнер убирал в среднем за день по 28 га
хлебов. Он работал несколько дней и убрал 196 га.
Сколько дней работал комбайнер на уборке хлебов?
104. На больших рыболовных траулерах на каждого
члена команды приходится в среднем 1000 ц улова рыбы
в год, что в 20 раз больше улова рыбака с парусной ша-
ланды. Поставить вопрос.
105. Составить задачу к формуле: х Х 25 = 800.
106. В рыбном хозяйстве улов форели с 1 га площади
водоема был равен 40 кг, что в 4 раза больше улова зер-
кального карпа с такой же площади. Каков улов зеркаль-
ного карпа с площади водоема в 2 га?
С какой площади водоема получен улов 50 кг зер-
кального карпа?
107. Строители закончили сборку нескольких квар-
тир по 40 кв. м каждая. Площадь всех собранных квар-
тир равна 1000 кв. м. Сколько квартир собрано?
108. Каждый из трех трактористов за день боронует
в среднем по 38 га. 3 тракториста за несколько дней ра-
боты забороновали 456 га. Поставить вопрос. Составить
формулу решения задачи.
109. Весь путь туриста был равен 336 км. Часть пути
он прошел пешком, остальной путь проехал по каналу
имени Москвы туда и обратно. Длина канала 128 км.
Сколько километров турист прошел пешком?

110. В баке было 282 л керосина. Когда из бака отли-
ли несколько раз по 6 л, то в нем осталось 192 л. Сколько
раз был отлит керосин?
111. В магазине была тонна картофеля. Когда про-
дали несколько пакетов расфасованного по 3 кг карто-
феля, в магазине осталось 520 кг картофеля. Сколько
пакетов картофеля продано?
112. За день выставку картин посетило несколько эк-
скурсий, по 20 человек в каждой, и 312 отдельных посети-
телей. Всего посетили выставку 772 человека. Сколько
экскурсий прошло за день?
113. На заправку автомобилей отпущено 730 л бен-
зина. Часть бензина отпущена машинам «Москвич»,
остальное — 8 машинам «Волга». Бак автомашины
«Москвич» вмещает 30 л бензина, «Волги» — 60 л. Сколь-
ко было машин «Москвич»?
Решение следующих задач записать в виде числового
примера с х и решить.
114. Какое число задумано, если при делении его на
108 получилось в частном 9 и в остатке 27?
* На какое число разделили 530, если получили в
частном 75 и в остатке 5?
115. Сколько килограммов сена имелось в сарае, если
его хватило для 48 коров и осталось 7 кг? Каждая корова
съедала за день 12 кг сена.
116. Вырытую морковь связали в кучки по 15 штук.
Получилось 23 пучка и 11 морковок осталось. Сколько
моркови вырыто?
117. Какой запас крупы имела столовая, если при
ежедневном расходе по 6 кг крупы ее хватило на 30 дней
и осталось 4 кг крупы?
118. Какова норма высева семян яровой пшеницы на
1 га, если тонной семян можно засеять 5 га и еще оста-
нется 100 кг?
119. Из 4 кусков полотна, по 65 м в каждом, сшили
несколько мужских рубашек. На каждую рубашку шло
3 м. От всего полотна осталось 2 м. Сколько рубашек
сшили?
120. При расфасовке 812 кг муки в пакеты получили
270 пакетов и 2 кг осталось. Сколько килограммов муки в
каждом пакете?

§ 7. МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА
При решении простых задач, выраженных в косвен-
ной форме, учащиеся решали задачи с конкретным со-
держанием и без него, а также и примеры на зависимость
между компонентами и результатами действий в преде-
лах 10, 20, 100 и 1000.
Согласно программе 1960 г. зависимость между ком-
понентами и результатами арифметических действий изу-
чается в IV классе. При этом предлагается учащимся
знать теорию, а также решать примеры и задачи на за-
висимость между компонентами и результатами дей-
ствий.
Для выяснения зависимости между слага-
емыми и суммой решается пример 4+16 = 20. Так
как название чисел: слагаемое, сумма — известны уча-
щимся, то вопросы можно формулировать так:
«Найти сумму 4 и 16. Как получить слагаемое 4 из
суммы 20 и слагаемого 16? Значит, чему равно слагае-
мое в этом примере?» (слагаемое 4 равно сумме 20 без
другого слагаемого 16). А как получить слагаемое 16 из
суммы 20 и слагаемого 4?
Затем учитель предлагает еще одну задачу на сложе-
ние. Дети выясняют, что простой задаче на сложение
двух слагаемых соответствуют две производные задачи
на вычитание, в которых по сумме и одному слагаемому
находится другое слагаемое.
Для выяснения зависимости между компонентами
действий следует сделать сопоставление задач: основной
и двух производных, полученных из основной. Например:
При постройке дома заплачено 2300 руб. за материал
и 1400 руб. за работу. Во что обошлась постройка дома?
Решив задачу сложением: 2300+1400 = 3700 (руб.),
учащиеся составляют другие задачи: а) Дом стоил
3700 руб., причем за материал уплачено 2300 руб. Осталь-
ные деньги уплачены за работу. Сколько стоила работа?
и б) Дом стоил 3700 руб., причем за работу уплачено
1400 руб., остальные деньги уплачены за материал.
Сколько стоил материал?
Сопоставляя решения трех задач: 2300 + 1400 =
= 3700 (руб.), 3700-2300=1400 (руб.) и 3700— 1400 =
=2300 (руб.), учащиеся видят, что в 1-й задаче нахо-
дится сумма двух данных чисел, а во 2-й и 3-й задачах —

по сумме и слагаемому находят другое слагаемое. Под
руководством учителя учащиеся делают вывод: Если да-
на сумма 2-х слагаемых и одно из них, то неизвестное
слагаемое равно сумме без другого слагаемого.
Для такого же разбора учитель дает еще задачу на
сложение двух слагаемых. Например: В цехе 200 рабо-
чих мужчин и 175 женщин. Сколько всего рабочих в це-
хе? Решив задачу сложением, учащиеся получают (или
сами составляют) 2 задачи, решаемые вычитанием.
* В цехе 375 рабочих, из них 200 мужчин, осталь-
ные — женщины. Сколько в цехе женщин?
* В цехе 375 рабочих, из них 175 женщин, осталь-
ные — мужчины. Сколько мужчин в цехе?
Решение этих задач записывается с помощью х, по-
вторяется выше выведенное правило нахождения неиз-
вестного слагаемого.
Вывод применяется при решении примеров с х.
х + 250 = 470; 370 + х = 520 и т. д.
Для устного счета следует брать числа более удобные
для вычисления, для письменного вычисления можно
задачи усложнить.
При нахождении зависимости между компонентами
действий важно, чтобы дети умели в каждом отдельном
примере показать ее. В сложении после решения приме-
ров с двумя слагаемыми следуют примеры и задачи на
три и более слагаемых. Например: 8+х + 4=15. Учащие-
ся сначала складывают 8 и 4, потом из общей суммы 15
вычитают полученную сумму 12: 15—12 = 3.
После решения нескольких примеров:
л:+ 20+ 30 = 90; 15 + х + 25 = 100; 25 + 50 + х = 155,
учащиеся приходят к выводу: Если дано больше двух
слагаемых, то каждое слагаемое равно общей сумме без
суммы остальных слагаемых. Если такая формулировка
окажется трудной для детей, то ее можно не заучивать.
Достаточно того, что учащиеся будут уметь находить не-
известное слагаемое и пояснять ход решения.
Определение неизвестного слагаемого по сумме и не-
скольким слагаемым можно разъяснить и на задаче. На-
пример: В магазине один мальчик купил перо и ручку и
заплатил 10 коп., другой мальчик взял ручку и карандаш

и заплатил 15 коп., третий купил все 3 вещи и уплатил
17 коп. Сколько стоила каждая вещь?
При решении выясняется, что стоимость пера, ручки
и карандаша — слагаемые, 17 коп.— это их сумма,
числа 15 коп. и 10 коп. каждое есть сумма двух слагае-
мых, а вычитая из 17 коп. 15 коп. или из 17 коп. 10 коп.,
мы найдем 3-е слагаемое.
Затем даются задачи, примеры для тренировки:
1. х + 120 + 50 = 200; 45 + х + 125 = 240;
99+ Л: + 27 = 250; 199 + 293+ х = 504;
2. 33 500 + х = 110 350; х + 31 732 = 80 726;
110 275 + x = 205 300; х+ 11999= 13 500.
3. Киоск «Союзпечать» продал в 1-й и 2-й день неде-
ли 2500 газет, во 2-й и 3-й — 3300, а за 3 дня всего
4300 газет. Сколько газет продавали отдельно в каждый
день?
* Составить похожую задачу.
Ознакомление детей с зависимостью чисел при вычи-
тании можно сделать и на примерах, и на задачах.
Дается задача на вычитание: В магазине было 60 ве-
лосипедов, продали 50. Сколько велосипедов осталось
в магазине?
После решения задачи вычитанием (60 — 50=10)
учитель предлагает детям на основании этой задачи
составить производные задачи, из которых в одной
определялось бы, сколько велосипедов было в магазине,
а в другой — сколько велосипедов продали. Из сопостав-
ления решения трех задач (60 — 50=10; 50+10 = 60;
60—10 = 50) учащиеся делают вывод, что из задачи на
вычитание составлены 2 задачи: одна — на сложение,
другая — на вычитание. В задаче на сложение по вычи-
таемому и остатку находится уменьшаемое, в задаче
на вычитание по уменьшаемому и остатку определяют
вычитаемое. Отсюда выводится формулировка зависи-
мости членов вычитания: Уменьшаемое равно вычитае-
мому плюс остаток (разность); вычитаемое равно
уменьшаемому минус остаток (разность).
Выводы повторяются на задачах, например: Матери
45 лет, дочь на 20 лет моложе матери. Сколько лет до-
чери?

Решив задачу: 45 — 20 = 25 (лет), учащиеся состав-
ляют производные задачи. В первой задаче, решаемой
посредством сложения, определяется возраст матери,
т. е. находится уменьшаемое посредством сложения
вычитаемого и разности; во второй задаче, решаемой
вычитанием, определяют, на сколько лет мать старше
дочери, т. е. вычитая из уменьшаемого остаток, находят
вычитаемое. Сделанные выводы закрепляются рядом
упражнений (устных и письменных).
Зависимость между компонентами вычитания рас-
сматривается на примерах с маленькими числами.
Например: 11—4 = 7. Задаются вопросы: как называ-
ются числа при вычитании? Как составить уменьшаемое
11 из вычитаемого 4 и остатка 7? А как составить вычи-
таемое из уменьшаемого 11 и остатка 7?
Подобным же образом разбираются примеры:
20 — 15 = 5; 100 — 80 = 20. После их разбора дети делают
вывод: Уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность
(или остаток); вычитаемое равно уменьшаемому минус
разность.
Затем предлагаются задания такого типа:
а) Вычитаемое 240, разность 160. Найти умень-
шаемое.
Записав пример при помощи х, учащиеся решают его.
х — 240 = 160; 240 + 160 = 400.
б) Уменьшаемое 600, разность 120. Найти вычи-
таемое.
Учащиеся записывают условие и решение: 600 — х=
120; 600-120 = 480.
Примеры и задачи

7. К какому числу надо прибавить 207 495, чтобы
получилось 717 211?
* Какое число надо увеличить на 19 314, чтобы полу-
чилось 100 512?
8. Сумма двух слагаемых 800 524, одно из слагаемых
376 919. Найти другое слагаемое.
9. На сколько единиц надо увеличить 763 825, чтобы
получилось 1 215 049?
10. Задумано число. Если увеличить 2101 на это
число, то получится 1 001 010. Найти это число.
11. Найти уменьшаемое, если вычитаемое 826 719
и остаток 117 528.
12. Если задуманное число уменьшить на 3 028 715,
то получится 5 748 285. Какое число задумано?
13. Вычитаемое 23 447 879, остаток 28 174 548. Найти
уменьшаемое.
14. На какое число надо уменьшить 263 391, чтобы
получилось 93 999?
15. Задумано число. Если его вычесть из 5 000 200,
то останется 377 595. Какое число задумано?
16. Уменьшаемое 4 000 000, остаток 1 377 848. Найти
вычитаемое.
Уменьшаемое 2 111 222, остаток 954 388. Найти
вычитаемое.
17. Бак для нефти вмещает 900 т. В него налито
697 т нефти. Сколько тонн нефти надо добавить, чтобы
бак наполнился?
18. Составить задачу к формуле решения: х+240 =
730 — и решить ее.
19. Протяженность нашей страны с запада на восток
равна 11 000 км, на 6500 км больше протяженности
нашей страны с севера на юг. На сколько километров
протянулась наша страна с севера на юг?
20. Река Обь длиннее Лены на 1300 км. Найти длину
Лены, если длина Оби равна 5570 км.
21. В словаре Ожегова на 33 751 слово меньше, чем
в словаре Ушакова. Сколько слов в словаре Ушакова,
если в словаре Ожегова 51 538 слов?

22. Второй искусственный спутник Земли весил на
424 кг 700 г больше, чем первый. Сколько весил первый
спутник Земли, если второй спутник весил 508 кг 300 г?
23. Площадь Московского моря составляет 330 кв. км,
что на 4220 кв. км меньше площади Рыбинского моря и
на 110 кв. км больше Угличского моря. Найти площадь
Рыбинского и Угличского морей.
24. В магазине было тетрадей в клетку на 2100 боль-
ше, чем тетрадей в линейку. Тетрадей в клетку было
13 600. Сколько было в магазине тетрадей в линейку?
25. Посевная площадь России в 1913 г. составляла
118 200 000 га или на 100 300 000 га меньше площади в
1964 г. Какова площадь посева в 1964 г.?
26. Из запаса красного кирпича израсходовано на
постройку школы 1 328 000 штук и осталось 15 640 штук
на постройку спортивного зала. Сколько красного кир-
пича было в запасе?
27. В одном из колхозов расходы на покупку удоб-
рений и уборку добавочного урожая на 1 га составили
16 руб. 30 коп., на 74 руб. 10 коп. меньше стоимости до-
бавочного урожая с 1 га. Какова стоимость добавочного
урожая с 1 га при внесении удобрений?
28. Из обуви, имевшейся в магазине, за неделю про-
дали 8150 пар, после чего осталось 1820 пар. Сколько
пар обуви было в магазине?
29. Для оборудования школы заказаны парты и 70
столов. Столов заказано меньше, чем парт, на 1210 штук.
Сколько парт заказано для школы?
30. Турист из намеченного маршрута в 1120 км часть
пути проехал автобусом, остальные 240 км прошел пеш-
ком. Какое расстояние турист проехал? Составить фор-
мулу решения задачи и решить ее.
31. Осенью на склад привезли 1216 куб. м сосновых
дров, к весне осталось 139 куб. м. Сколько сосновых
дров продали за зиму?
32. На одном участке срубили 7235 деревьев, другой
участок дал меньше, а именно 6348 деревьев. На сколь-
ко деревьев меньше срубили на втором участке?
33. После распашки целины площадь пашни колхо-
за увеличилась на 278 га, и всего пахотной земли в кол-
хозе стало 1164 га. Сколько гектаров пашни было в кол-
хозе до распашки целины? Составить формулу решения
задачи и решить ее.

34. В кладовой цеха до начала работы смены было
1106 резцов, а после выдачи резцов рабочим в кладовой
осталось 689 резцов. Сколько резцов было выдано ра-
бочим? Составить формулу решения задачи и решить ее.
35. Составить задачу к формуле решения: 1300—х =
= 276 — и решить ее.
36. В колхозе под пшеницей занято 1370 га, а осталь-
ная часть пашни занята под другие культуры. Всего в
колхозе 2840 га пашни. Сколько земли под другими
культурами? Составить формулу решения задачи и ре-
шить ее.
37. В 1963 г. в области было 1374 механизированных
звеньев и отрядов, на 125 меньше, чем в 1964 г. Поста-
вить вопрос и решить задачу.
38. Составить задачу к формуле решения: 1800—х=
= 1200 — и решить ее.
Для рассмотрения зависимости между чле-
нами умножения берется пример: 14x7=98. За-
даются вопросы: «Как называются числа при умноже-
нии?», «Как получить множимое 14 из произведения 98
и множителя 7?» (Произведение 98 разделить на множи-
тель 7.) Дальше рассматривается нахождение множите-
ля: «Как получить множитель 7 из произведения 98 и
множимого 14?»
После разбора нескольких примеров учащиеся под
руководством учителя формулируют выводы. Множимое
равно произведению, деленному на множитель, и множи-
тель равен произведению, деленному на множимое.
Затем зависимость между компонентами умножения
рассматривают и на задачах.
* На фабрике ежедневно расходуется 15 т угля.
Сколько угля израсходуется за 8 дней? После решения
задачи умножением 15x8 = 120 (т) учащимся предла-
гается из этой задачи составить две новые задачи: в пер-
вой по общему количеству угля и числу дней узнать
ежедневный расход угля; во второй — по общему коли-
честву угля и ежедневному расходу узнать, за сколько
дней расходуется этот уголь.
Сопоставив решение трех задач: 15x8 = 120 (г),
120:8=15 (т) и 120:15 = 8 (дней) — учащиеся видят,
что из задачи на умножение составлены две задачи на
деление, в которых по произведению и одному сомножи-

телю находится другой сомножитель, а для нахождения
неизвестного сомножителя надо произведение разделить
на другой сомножитель. Выводы проверяются на другой
задаче.
* С одного улья в среднем взято 52 кг меду. Сколь-
ко килограммов меду взято с 10 ульев? Решив задачу
умножением 52x10 = 520 (кг), учащиеся составляют две
новые задачи. В одной по общему количеству меда
(произведению) и числу ульев (множителю) находят,
сколько меду взято с одного улья (множимое). В дру-
гой задаче по общему количеству меда (произведению)
и по количеству меда, взятого с одного улья (множимо-
му), находят число ульев (множитель).
Из решения задачи делается вывод: Чтобы найти не-
известный сомножитель, надо произведение разделить
на другой сомножитель. Выводы закрепляются решени-
ем примеров сначала устных, потом письменных.
Для выяснения зависимости между члена-
ми деления (без остатка) берется несложный при-
мер (на небольших числах): 68:4=17.
Учитель задает вопросы: «Какое действие дано в
этом примере? Как называются числа 68, 4,17? Как со-
ставить делимое 68 из делителя 4 и частного 17?»
Разобрав несколько подобных примеров, дети под
руководством учителя делают выводы: Делимое равно
делителю, умноженному на частное, или частному, умно-
женному на делитель. Делитель равен делимому, разде-
ленному на частное.
Зависимость чисел при делении можно вывести и на
задачах, например:
* Заводской комитет приготовил автобусы для от-
правки детей в пионерлагерь. В каждый автобус садятся
20 учащихся. Всего отправляют 360 учащихся. Сколько
приготовлено автобусов?
Задача на деление по содержанию. Делимое —
360 учащихся, делитель — 20 учащихся, частное —
18 автобусов. Затем под руководством учителя дети со-
ставляют две новые задачи. В одной задаче по делителю
и частному находят делимое; в другой — по делимому и
частному находят делитель.
В пионерлагерь дети уехали в 18 автобусах, по 20
учащихся в каждом. Сколько всего детей уехало в пио-
нерлагерь?

В пионерлагерь уехали 360 детей в 18 автобусах, в
каждом поровну. Сколько детей было в каждом авто-
бусе?
Отсюда учащиеся делают вывод, что каждой задаче
на деление соответствуют две задачи: одна — на умно-
жение, в ней по делителю и частному находится дели-
мое; другая — на деление, в ней по делимому и частному
находится делитель; для определения делимого надо пе-
ремножить делитель и частное, а для определения дели-
теля надо делимое разделить на частное.
Дальше рассматривается задача на деление на рав-
ные части и на ней повторяются разбор и выводы, на-
пример:
Колхоз отправил на базу 952 кг гороха в 14 мешках.
Сколько весит в среднем каждый мешок гороха?
Делимое — общий вес гороха, делитель — число меш-
ков. Частное — вес одного мешка гороха.
По предложению учителя дети составляют две зада-
чи: одна задача для нахождения делимого (Сколько все-
го гороха отправлено на базу?) и другая задача для
нахождения делителя (Сколько мешков гороха отправ-
лено на базу?).
Решив задачи, ученики видят, что задаче на деление
(на ,равные части) соответствуют две задачи: одна на
умножение, где посредством умножения частного на де-
литель находится делимое, а другая задача на деление,
где посредством деления делимого на частное находит-
ся делитель. Выведенные правила применяются к реше-
нию примеров и задач —. сначала устных, потом пись-
менных.
Чтобы выяснить зависимость между чис-
лами при делении с остатком, можно взять
пример: 51:6 = 8 (остаток 3). Этот пример и 2—3 дру-
гих разбираются под руководством учителя по образцу
предыдущих. Делаются выводы: а) В случае деления с
остатком делимое равно делителю, умноженному на ча-
стное, плюс остаток, б) В случае деления с остатком
делитель равен делимому без остатка, деленному на ча-
стное. Можно для вывода этих правил использовать за-
дачу, например:
* Школьники собрали 317 книжек-сказок в подарок
детям, родители которых работают на целине. Каждому
ребенку приготовили комплект из 6 книжек. Сколько

полных комплектов приготовила школьники и сколько
книжек осталось?
317 : 6 = 52 (остаток 5).
Новые задачи составляются для нахождения дели-
мого— числа собранных книг и делителя — числа книг
в одном комплекте.
а) Из собранных книг составили 52 полных комплек-
та, по 6 книг в каждом, и один неполный — из 5 книг.
Сколько всего книг собрано?
б) Из собранных 317 книг школьники составили
52 полных комплекта. Осталось 5 книг. Сколько книг
было в каждом комплекте?
Решение записывается:
а) 6 кн. х 52 = 312 кн.; 312 кн.+ 5 кн. = 317 кн.
б) 317 кн. — 5 кн. = 312 кн.; 312 кн. : 52 = 6 кн.
Из сопоставления этих задач и их решения дети де-
лают вывод, что из задачи на деление с остатком со-
ставлены две задачи: одна на умножение и сложение —
в ней по делителю, частному и остатку определяется дели-
мое; другая на вычитание и деление — в ней по делимому,
остатку и частному находится делитель. Из решения
этих задач делают выводы: а) Для определения дели-
мого надо перемножить делитель и частное и это про-
изведение сложить с остатком, б) Для определения де-
лителя надо из делимого вычесть остаток и эту разность
разделить на частное.
Здесь зависимость между числами сложнее, чем в
делении без остатка, поэтому надо обратить особое вни-
мание на то, чтобы дети умели объяснить, почему имен-
но так они должны находить делимое и делитель.
Во всех случаях к выводу нужно приступать только
тогда, когда на достаточном количестве задач и приме-
ров дети вполне осознают зависимость между числами.
39. х х 412 = 18 952
х х 56= 16968
х х 154 = 49 280
х х 66 = 43560
699 х Л: = 59 415
472 х х = 19824
1728 х х = 64
4387 х л: = 43 141 758

43. Множитель 551, произведение 24 795. Найти мно-
жимое. Какое число надо увеличить в 635 раз, чтобы
получилось 38 100?
44. Произведение 4 046 544, множитель 783. Найти
множимое.
45. Во сколько раз нужно увеличить 4536, чтобы по-
лучить 5 474 952?
46. Произведение 43 132 000, множимое 263 000. Най-
ти множитель,
47. Найти множитель, если произведение 7 258 304,
множимое 2413. Во сколько раз увеличили число 457,
если получили 2 924 800?
48. Делитель 125, частное 768. Найти делимое.
* Какое число надо уменьшить в 2013 раз, чтобы по-
лучилось 4308?
49. От какого числа 360 часть составляет 953?
* В каком числе 724 содержится 2005 раз?
50. Найти делимое, зная делитель 8004 и частное
5200?
* Делимое 17 325, частное 495. Найти делитель,
51. Во сколько раз надо уменьшить 1 665 000, чтобы
получилось 4625? Какое число содержится в 1 428 768 246
раз?
52. Найти делимое, если делитель равен 752, частное
9072, остаток 419.

г* Найти делимое, зная делитель 8004, частное 705,
остаток 1029.
53. В делении с остатком найти делитель, если дели-
мое 5 850 000, частное 34 и остаток 2000.
* Найти делитель, если делимое 1 757 588, частное
5724, остаток 13.
54. Делимое 636 946, остаток 123, частное 3047. Най-
ти делитель.
55. В течение года рабочие завода получили некото-
рое число путевок в санатории и в 8 раз большее число
путевок в дома отдыха. В дома отдыха отправили
2032 человека. Сколько рабочих поехали в санаторий?
56. Земельный участок прямоугольной формы имеет
680 м ширины. Его площадь 51 га. Какова его
длина?
57. В среднем за месяц выставку посещает 60 225
человек. Выставку за несколько месяцев посетили
240 900 человек. Сколько месяцев была открыта вы-
ставка?
58. Группа геологов проделала летом одного года
маршрут в 2548 км. Летом следующего года ее маршрут
в несколько раз увеличился и составил 7644 км. Во
сколько раз увеличился маршрут экспедиции?
59. От огорода отделили четвертую часть, именно
250 ж, и засадили капустой. Какова была площадь ого-
рода?
60. Изготовленную партию коробок спичек упаковали
в пачки, в каждой пачке было по 12 коробок, вышло
4440 пачек. Сколько коробок спичек было изготовлено?
61. Самолет доставил почту из Москвы в Севасто-
поль. Это расстояние он пролетел со средней скоро-
стью 308 км в час за 5 часов. Какое расстояние он про-
летел?
62. На хлебозаводе выпекают в сутки 15 750 кг хле-
ба. Сколько рабочих на заводе, если средняя выпечка
на каждого рабочего 105 кг?
63. Совхоз собрал со своего поля 5760 ц пшеницы.
При том же среднем урожае с 1 га совхоз собрал в не-
сколько раз больше, чем соседний колхоз, сбор которого
составлял 1440 ц. Во сколько раз поле колхоза было
меньше, чем совхозное поле?
64. Картофелем надо было засадить участок в 1 га
5 ар. Какой длины взят участок, если ширина его 70 м?

65. На изготовление изделия пошло 1005 станкоча-
сов. Работали несколько станков в продолжение 67 ча-
сов. Сколько станков были заняты работой?
66. Совхоз заготовил сочные корма для 160 коров.
Если количество заготовленных сочных кормов разде-
лить на количество коров, то в среднем на 1 корову при-
ходится по 145 ц кормов. Сколько центнеров сочных
кормов заготовлено совхозом для коров?
67. Для определения среднего урожая пшеницы раз-
делили весь урожай, равный 4130 ц, на число гектаров
пшеницы и узнали, что средний урожай составлял 35 ц
с 1 га. Скольким гектарам равняется площадь, засеян-
ная пшеницей?
68. От Баку до Ленинграда 3150 км. Самолет проле-
тел это расстояние за несколько часов, причем средняя
скорость полета оказалась равной 450 км в час. Сколь-
ко часов летел самолет?
69. Цементный завод дает 1320 тыс. т цемента в год,
в 40 раз превышает производительность полукустарного
цементного заводика 1913 г. того же города. Поставить
вопрос и решить задачу.
70. При постройке железной дороги 1689 т вырытой
земли использовали для засыпки оврага, а остальную
землю, которой было в 6 раз меньше,— для насыпи.
Сколько земли использовали для устройства насыпи?
Задачи на деление с остатком
71. Ящик яиц разделили между собой 4 столовые,
взявшие по 300 яиц каждая. Пятая столовая получила
остальные 240 яиц. Сколько яиц было в ящике? Соста-
вить формулу решения задачи.
72. Расстояние от Киева до Харькова 495 км. Поезд
шел из Киева в Харьков и через 10 часов движения был
в 5 км от Харькова. С какой скоростью он шел?
73. В мастерской из имеющейся бумаги сделали об-
щие тетради, употребив по 9 листов на каждую из 100
тетрадей, осталось 8 листов. Сколько бумаги было в ма-
стерской?
74. Турист, наметив определенный маршрут, прошел
по 25 км в каждый из 6-ти дней, после чего осталось
идти 20 км. Какой длины маршрут был намечен?

75. Несколько рублей разменяли на монеты по
15 коп. Их было 66, кроме того, был один гривенник.
Сколько рублей разменяли?
Составные примеры и задачи
Усвоению зависимости между компонентами и ре-
зультатами действий помогает решение примеров с х
и задач, записанных в виде числовой формулы с обозна-
чением неизвестного через х — простейших уравнений.
Запись решения задач в виде числовой формулы вы-
рабатывает умение выразить функциональную зависи-
мость между величинами с помощью знаков арифмети-
ческих действий, что имеет большое значение при со-
ставлении уравнений. Вместе с записью решения задач
в виде числовой формулы полезно проводить и такие
упражнения: к примеру с х (простейшему уравнению)
составить задачу с конкретным содержанием.
Приведем примеры в несколько действий, к не-
которым из них дадим решение с объяснением.
1) (x — 8) + 30 = 50; 2) (х — 48) — 25 = 50;
3) (42 — х) + 24 = 60; 4) 90 — (55 — х) = 65;
5) 4х + 13 = 53; 6) 72 — 3x = 18:
7) 5x : 3 = 20; 8) 120 : 2х = 3;
9) (х — 7) х 9 = 72; 10) (20 — х) + 3 = 21;
11) 50 : (40 — х) = 2; 12) (8x + 2) : 3 = 14;
13) 32 : (12 — х) + 2 = 6; 14) (5x + 8) : 2 + 1 = 20;
15) (32:4х + 20):6 = 4;
16) 35 : (32 : х + 3) = 5;
17) 1(х + 2)х 8—15]x2 = 34;
18) {[(1000 : х + 75) : 4 + 25] х 2 —60} : 3 —6 = 24;
19) 405 — {[(504 : х + 87) : 6 + 56] х4 —70} : 2 = 278.
В первое время эти упражнения предлагаются в бо-
лее легкой форме. От задуманного числа отняли 8, к по-
лученному числу прибавили 30, полученная сумма рав-
на 50. Какое число задумано? Затем учащиеся посте-

пенно повторяют названия чисел, после чего чтение
примеров может принять другую форму. Например, № 3.
42 уменьшить на неизвестное число, к разности приба-
вить 24, полученная сумма равна 60. Найти неизвестное.
Или № 12. Неизвестное число умножить на 8, произве-
дение увеличить на 2, сумму разделить на 3, частное рав-
но 14. Найти неизвестное число.
Разберем пример № 12. Учитель спрашивает: «Какое
действие является последним в этом примере? Какие
числа известны в этом делении? Как найти делимое,
если известны делитель и частное?» Делимое (8х + 2) =
=3X14 = 42. Чем служит число 42 в этом выражении?
Число 2? Число 8х? Как найти неизвестное слагаемое
8х? Найти один х (х меньше в 8 раз, чем 8x:).
Разберем решение примера № 18. В этом примере
последнее действие вычитание. Сложив вычитаемое и
разность, найдем уменьшаемое.
1) 6 + 24 = 30. Число 30 есть частное от деления неиз-
вестного числа на 3. Отсюда неизвестное делимое равно
делителю, умноженному на частное. 2) 30x3 = 90. Число
90 получается как разность при вычитании 60 из не-
известного уменьшаемого. Уменьшаемое же равно вы-
читаемому, сложенному с разностью. 3) 60 + 90=150.
150 есть произведение неизвестного множимого на 2.
Множимое равно произведению, деленному на множи-
тель. 4) 150:2 = 75. Число 75 есть сумма неизвестного
слагаемого и числа 25. Неизвестное слагаемое равно
сумме без другого слагаемого. 5) 75 — 25 = 50. Число 50
есть частное от деления неизвестного делимого на дели-
тель 4. Делимое же равно делителю, умноженному на ча-
стное, т. е. 6) 50X4 = 200. Число 200 — сумма, 75 — одно
из слагаемых. Чтобы найти второе слагаемое, надо от
суммы 200 отнять слагаемое 75. 7) 200 — 75=125. Число
125 — частное от деления 1000 на неизвестный делитель.
Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на ча-
стное. 8) 1000 : 125 = 8.
Разберем пример № 19. В этом примере неизвестное
входит в состав вычитаемого. Чтобы найти вычитаемое,
надо от уменьшаемого отнять разность. 1) 405 — 278=127.
Число 127 есть частное от деления неизвестного делимо-
го на 2. Делимое равно делителю, помноженному на ча-
стное. Отсюда делимое 2) 127x2 = 254. Число 254 есть
остаток от вычитания 70 из неизвестного уменьшаемого,

но уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному с
остатком, отсюда 3) уменьшаемое равно 354 + 70=424.
Но 424 есть произведение неизвестного множимого на 4.
Чтобы найти множимое, делим произведение на множи-
тель. Отсюда 4) 324 : 4 = 81. Если сумма двух слагаемых
81, а одно из них 56, то неизвестное слагаемое найдем,
отняв от суммы второе слагаемое. Следовательно, сла-
гаемое равно 5) 81—56 = 25. Это число есть частное от
деления неизвестного числа на 6. Перемножив делитель
и частное, найдем делимое. 6) 25x6=150. Дальше по
сумме 150 и слагаемому 87 найдем второе слагаемое.
7) 150 — 87 = 63. Наконец, делитель х найдем, разделив
делимое 504 на частное 63. 8) 504 : 63 = 8.
Записав все действия, как показано, можно сделать
проверку и записать следующим образом: 1) 504:8 =
= 63; 2) 63 + 87=150; 3) 150:6 = 25; 4) 25 + 56 = 81;
5) 81X4 = 324; 6) 324-70 = 254; 7) 254:2 = 127; 8) 405-
-127 = 278.
Запись решения задачи с х может быть и такая.
К примеру (л:—8) +30 = 50 пишем: 1) (х-8)=50-
30 = 20; 2) х = 20 + 8 = 28.
К примеру № 12 условие: (8х + 2) :3 = 14.
Решение:!) (8х + 2) =3 Х 14 = 42; 2) 8х=42-2 =
= 40; 3) х = 40 : 8 = 5.
К примеру № 18. Условие примера:
{[(1000:л; + 75) :4 + 25]Х2-60} : 3-6 = 24, решение:
1) {[(1000 : х + 75) : 4 + 25]x2-60) : 3 = 6 + 24 = 30;
2) [(1000 : х + 75) : 4 + 25]x2-60 = 3X30 = 90;
3) [(1000 : JC + 75) : 4 + 25]х2 = 60 + 90= 150;
4) (1000 : Х+-75) : 4 + 25= 150 : 2 = 75;
5) (1000 : х+75) : 4 = 75-25 = 50;
6) (1000 : х+75) =4X50 = 200;
7) 1000 :х = 200-75= 125;
8) х=1000: 125 = 8.
Приемы решения задач должны выясняться с по-
мощью учителя, так как сами учащиеся стараются уга-
дать искомое число, а если число угадано верно, трудно
доказать детям необходимость особых приемов решения.
Задача может быть записана на классной доске, вы-
полняются задания устно или письменно, смотря по чис-
лам, которые в них входят. Достаточно ограничиться

такими видами задач, где неизвестное входит только в
одну часть равенства.
Вначале решение численных задач трудно дается
школьникам, но после усвоения приемов решения они
очень интересуют учащихся и могут служить удобным
материалом для самостоятельных работ. Задачи долж-
ны даваться учащимся только тогда, когда понятия о
4-х действиях усвоены прочно. Вначале следует да-
вать задачи, в которых не больше 2-х действий, и в них
не должно быть определения вычитаемого и делителя по
остальным компонентам, так как эти вопросы требуют
более трудных соображений, чем определение уменьшае-
мого и делимого. Точно так же вначале не должны быть
задачи с повторением одного и того же действия, так
как при первом знакомстве это затрудняет детей.
Приведем примеры и задачи:
76. (XX 13) + (864X15) =20 175; (783 Х x) - (849 Х
X 18) =6642.
77. (3416+12 319)-(136 Х x) =6759.
78. (х: 65) + (72 675:85) = 1426.
79. (61 332:76)-(х Х 91) = 170; 18 072:[х-(23 х
Х 65)] = 4.
80. [(42 615:45) - (27 216:x)] x 23 = 4393.
81. 51 102: (5151 : [28785 : (х : 4)1} —51 х 29 = 1527.
82. [(5х + 178) X 15 + 90]: 45 = 63.
83. [(8х — 98) : 2 + 56] X 36— 268) : 500 = 4.
Обозначив неизвестное число через х, записать зада-
чи в виде примеров с х и найти х.
86. а) Я задумал число, уменьшил его в 9 раз, полу-
ченное число разделил на 20 и получил 4. Какое число
я задумал?
б) Я задумал число, уменьшил его в 3 раза, получен-
ное число умножил на 4 и получил 120. Какое число я
задумал?
87. а) Я задумал число, увеличил его в 4 раза, к по-
лученному числу прибавил 30 и получил 290. Какое чис-
ло я задумал?

б) Я задумал число, увеличил его в 9 раз, к получен-
ному числу прибавил 10 и получил 1000. Какое число я
задумал?
* Составить задачу, похожую на предыдущую.
88. Я задумал число, уменьшил его на 25, разность
умножил на 2 и получил 276. Какое число я заду-
мал?
89. Я задумал число, прибавил к нему 48, разделил
сумму на 6 и получил 192. Найти задуманное число.
* Составить похожую задачу.
90. Если неизвестное число умножить на 250, это
произведение разделить на 50 и от частного отнять 20,
то получим 130. Найти неизвестное.
а) Задумайте число, удвойте его, прибавьте 150, раз-
делите пополам, отнимите задуманное число, разделите
его на 5. В ответе получите 15. Проверьте.
б) Задумайте число, прибавьте к нему 40, удвойте,
отнимите 60, отнимите задуманное число. Ответ полу-
чится на 20 единиц больше задуманного числа. Про-
верьте.
91. Если неизвестное число умножить на 30, из про-
изведения вычесть 100 и эту разность разделить на 10,
то получим 11. Найти неизвестное.
92. Какое число надо вычесть из 1000, чтобы, умно-
жив разность на 6, прибавив к произведению 600, по-
множив сумму на 3, вычтя из полученного произведения
9000, разделив эту разность на 6, получить в частном
500?
93. Если сумму чисел 375 и 225 разделить на раз-
ность тех же чисел, полученное частное помножить на
некоторое число, то получится 800. Найти неизвестное
число.
94. Произведение чисел 144 и 250 разделили на про-
изведение чисел 180 и 2, полученное частное уменьшили
в несколько раз; новое частное равнялось 50. Найти не-
известный делитель.
95. Разность чисел 1020 и 715, уменьшенная в 5 раз,
сложена с произведением неизвестного числа на 207,
сумма равняется 2752. Найти неизвестное число.
96. Произведение неизвестного числа и 46, сложенно-
го с частным от деления 77 517 на 99, дало в сумме
33 627. Найти неизвестное число.
Приведем составные задачи и решение их.

* В школе было 1152 учащихся, в конце учебного го-
да выпущено 101 человек, после нового приема в школе
стало 1173 учащихся. Сколько учащихся было вновь
принято в школу?
Первое решение. 1) Найдем сначала число уча-
щихся, состоявших в школе в конце учебного года:
1152—101 = 1051. 2) Теперь по сумме 1173 и слагаемому
1051 узнаем второе слагаемое, т. е. число принятых в
школу в начале нового учебного года: 1173—1051 = 122;
ответ: 122 учащихся.
Второе решение. Обозначаем неизвестное че-
рез х. Записываем решение задачи в виде числовой фор-
мулы и решаем. В школе было 1152 ученика, выпущен
101 ученик. Осталось в конце учебного года (1152—
— 101) ученик. Вновь принято х учеников. К оставшимся
в конце учебного года прибавляем х: (1152—101) +х.
По условию задачи стало 1173. Пишем решение задачи
в виде примера с х: (1152—101) +х = 1173.
Решение. 1) 1152-101 = 1051; 2) 1173-1051 = 122;
x=122. Действия при решении примера такие же, как и
при решении задачи по вопросам.
* В колхозе было 3217 голов крупного и мелкого
скота. Прирост молодняка равнялся 892 головам скота.
После того как часть скота была продана, в колхозе
осталось 3666 голов. Сколько голов скота было про-
дано?
Первое решение. 1) Узнаем количество скота
в колхозе вместе с молодняком: 3217 + 892 = 4109 (го-
лов). 2) По уменьшаемому 4109 и остатку узнаем вычи-
таемое, т. е. количество проданного скота: 4109 — 3666 =
= 443; ответ: 443 головы.
Второе решение. Обозначив неизвестное через
х, записываем решение в виде числовой формулы и ре-
шаем: (3217 + 892)-х = 3666.
* Кассирша универмага начала работу, имея 57 руб-
лей; ко времени обеденного перерыва она сдала
3791 руб. 75 коп., и у нее осталось 93 руб. 25 коп. Какая
сумма поступила в кассу от покупателей?
Первое решение. 1) Узнаем, сколько денег бы-
ло в кассе ко времени обеденного перерыва. Для этого
по вычитаемому 3791 руб. 75 коп. и остатку 93 руб.
25 коп. найдем уменьшаемое: 3791 руб. 75 коп.+ 93 руб.
25 коп. = 3885 руб. 2) Узнаем, сколько поступило в кассу

от покупателей, для этого по сумме 3885 руб. и слагае-
мому 57 найдем другое слагаемое: 3885 — 57 = 3828; от-
вет: 3828 руб.
Второе решение. 1) Узнаем, сколько денег,
полученных от покупателей, осталось у кассирши. Для
этого по сумме 93 руб. 25 коп. и одному слагаемому
57 руб. находим второе слагаемое: 93 руб. 25 коп.—
— 57 руб. = 36 руб. 25 коп. 2) Узнаем, сколько денег
поступило от покупателей. Для этого по вычитаемому
3791 руб. 75 коп. и остатку 36 руб. 25 коп. узнаем умень-
шаемое: 3791 руб. 75 коп. + 36 руб. 25 коп. = 3828 руб.
Третье решение. 1) 3791 руб. 75 коп.—
— 57 руб. = 3734 руб. 75 коп. сдала кассирша из денег,
полученных от покупателей; 2) 3734 руб. 75 коп.+
+ 93 руб. 25 коп. = 3828 руб. поступило от покупате-
лей; здесь по вычитаемому 3734 руб. 75 коп. и остатку
93 руб. 25 коп. находим уменьшаемое.
Четвертое решение.
(57 руб.+х)-3791 руб. 75 коп. = 93 руб. 25 коп.
К нижеследующим задачам дать решение в виде
числовой формулы с х.
т Крымский совхоз из собранного за неделю
винограда 7 ц 50 кг оставил для своих нужд, а осталь-
ной отослал в Москву в 250 ящиках, по 15 кг в каж-
дом. Сколько винограда было собрано в совхозе за не-
делю?
Решение. 1) 15 кг Х 250 = 37 ц 50 кг винограда бы-
ло послано в Москву; по делителю и частному нашли де-
лимое; 2) 37 ц 50 кг + 7 ц 50 кг = 45 ц винограда собрал
совхоз за неделю; по вычитаемому и остатку узнали
уменьшаемое; ответ: 45 ц.
* Пошивочная мастерская, получив 37 м 20 см шер-
стяной материи, часть ее употребила на починку костю-
мов, а из остальной материи сшила 28 пар брюк, взяв
по 1 м 10 см на пару. Сколько материи взято на починку
костюмов?
Решение. 1) 1 ж 10 см х 28 = 80 м 80 см материи
пошло на брюки; по делителю и частному нашли дели-
мое; 2) 37 м 20 см — 30 м 8 см = 6 м 4 см материи взято
на починку костюмов, по уменьшаемому и остатку на-
шли вычитаемое.
* Колхозница продала 8 десятков яиц по одной и
той же цене за десяток. На вырученные деньги она ку-

пила 4 м ткани по 2 руб. 60 коп. за метр. По какой цене
колхозница продавала десяток яиц?
Решение. 1)2 руб. 60 коп.х 4= 10 руб. 40 коп. вы-
ручено за яйца (по делителю и частному нашли дели-
мое); 2) 10 руб. 40 коп. : 8=1 руб. 30 коп. брала колхоз-
ница за десяток яиц (по произведению и множителю
нашли множимое).
* Если длину реки Дона уменьшить вдвое и потом
уменьшить еще на 293 км, то получится длина его при-
тока Медведицы, равная 692 км. Какова длина реки
Дон?
Решение. 1) Длина реки Дон, уменьшенная вдвое:
692 км + 293 км = 985 км (находим уменьшаемое, зная
вычитаемое 293 и остаток 695); 2) длина Дона 985 км Х
Х 2=1970 км (находим делимое, зная делитель 2 ж и
частное 985); ответ: 1970 км.
* В саду собрали с кустов красной смородины в
среднем по 2 кг 500 г ягод. Собранную смородину рас-
сыпали в 15 корзин, по 7 кг в каждую. Со скольких ку-
стов была собрана смородина?
Решение. 1) 7 кг х 15= 105 кг смородины было со-
брано (по делителю и частному находим делимое);
105 кг: 2 кг 500 г = 42; с 42 кустов была собрана сморо-
дина (по произведению и множимому нашли мно-
житель) .
* В столярной мастерской из 15 досок сделали 3
стола. Сколько столов сделали из 285 досок?
Решение. 1) 15 досок: 3 = 5 досок шло на один
стол; 2) 285 досок : 5 досок = 57; 57 столов сделано из
285 досок (по произведению и множимому нашли мно-
житель) .
* Киоск продал в начале учебного года 2580 тетра-
дей всем ученикам поровну. Сколько учеников было в
школе, если на каждый класс из 35 учеников было про-
дано 420 тетрадей?
Решение. I) 420 m : 35= 12 m купил каждый уче-
ник; 2) 2590 m : 12 m = 215 (учеников); 215 учеников бы-
ло в школе (по произведению и множимому нашли мно-
житель) .
* Хлебозавод из 35 ц белой муки, благодаря при-
пеку, изготовил 9800 батонов, по 500 г каждый. Сколько
килограммов получилось припеку?
Решение. 1) Вес батонов 500 г Х 9800 = 49 ц (по

делителю и частному нашли делимое); 2) вес припека:
49 ц —35 ц=14 ц; по сумме 49 и слагаемому 35 нашли
другое слагаемое; ответ: 14 ц.
* Колхозница получила за работу 1 т зерна, причем
за каждый трудодень выдавали 12 кг 500 г. Муж кол-
хозницы заработал на несколько трудодней больше,
а всего 101 трудодень. На сколько трудодней муж зара-
ботал больше жены?
Решение. Колхозница заработала 1 т : 12 кг 500 г =
= 80 (трудодней). 2) Колхозник заработал 101 тру-
додень. Здесь по сумме 101 и слагаемому 80 находим
второе слагаемое.
* Тяжелый колун весит 4 кг, а легкий 3 кг. На склад
привезли одинаковое число тяжелых и легких колунов,
общий вес которых был равен 182 кг. Сколько было при-
везено тех и других колунов?
Решение. 1) Вес одного тяжелого и одного легко-
го колуна: 4 кг + 3 кг = 7 кг; 2) число тяжелых и легких
колунов, привезенных на склад: 182 кг : 7 кг = 26 (колу-
нов); (здесь по произведению и множимому нашли мно-
житель).
* На станкозаводе слесари зарабатывали в среднем
4 рубля в день. После применения рациональных мето-
дов работы дневной заработок слесарей стал составлять
в среднем 9 руб. За сколько дней повышение дневного
заработка составит 105 руб.?
Решение. 1) Повышение среднего дневного зара-
ботка слесаря после применения рациональных методов
работы: 9 руб. —4 руб. = 5 руб. 2) Срок, за который по-
вышение заработка составит 105 руб. : 5 руб. = 17;
17 дней. (Здесь по произведению и множимому находим
множитель.)
* Человек проходит ежедневно несколько километ-
ров. За 45 лет жизни, считая в году 365 дней, человек
прошел около 164 250 км. Сколько километров в сред-
нем человек проходил ежедневно?
Решение. 1) Расстояние, которое человек прохо-
дил в год: 164 250 км : 45 = 3650 км. 2) Расстояние, ко-
торое человек проходил в среднем ежедневно 3650 км :
: 365 ot=10 км. (Оба действия сводятся к нахождению
множимого по произведению и множителю.)
Другое решение. 1) 365 x 45=16425—число
дней в 45 годах; 2) 164 250:16 425=10; 10 км человек

проходил в среднем в день. (Здесь по произведению и
множителю найдено множимое.)
* Колесо делает 52 оборота в каждые 4 мин. За
сколько времени оно сделает 390 оборотов?
Решение. 1) Колесо делает в минуту 52 об. : 4 =
= 13 об. 2) Время, в течение которого оно сделает
390 оборотов: 390 об.: 13 об. = 30 (мин.). Здесь находит-
ся множитель по произведению 390 и множимому 13;
ответ: 30 мин.
* Черные нитки намотаны на 302 катушки. Белые
нитки намотаны на другие катушки так, что на белой
катушке ниток на 10 м больше, чем на черной, а всего
на белой катушке намотано 250 м. Сколько черных ни-
ток намотано на всех катушках?
Решение. 1) Сколько черных ниток намотано на
катушке? 250 м—10 м = 240 м (по сумме и слагаемому
находим другое слагаемое). 2) Сколько черных ниток
намотано на 302 катушках? 240 м X 302 = 72 480 м (нахо-
дим делимое по делителю и частному); ответ: 72 480 м.
* Между двумя станциями 42 км. Часть этого рас-
стояния отремонтировала первая бригада, остальные
1 км 500 м станционных путей ремонтировала вторая
бригада. Всего отремонтировано 12 км. Какую часть
пути между станциями ремонтировала первая бригада?
Решение. 1) 12 км—l км 500 м = \0 км 500 м пути
между станциями будет ремонтироваться (по сумме и
слагаемому находим другое слагаемое); 2) 42 км:
: 10 км 500 м = 4; будет ремонтироваться четвертая часть
пути между станциями (по делимому и частному нашли
делитель); ответ: 4-я часть.
97. Составить задачи к примерам:
а) х+180=506; б) 4х—150 = 250; в) 120+л:=600:3;
г) 16x + 40 X 10 = 640; д) 240х: + 80 = 140.
§ 8. ПРОВЕРКА ДЕЙСТВИЙ
Существующая программа по арифметике младших
классов в IV классе предлагает изучать: переместитель-
ное свойство сложения — сложение нескольких чисел с
использованием сочетательного свойства сложения, пе-
реместительное свойство умножения, умножение чисел
с использованием сочетательного и распределительного

свойства умножения, зависимость между компонентами
и результатами действий.
Все эти свойства используются при объяснении про-
верки четырех арифметических действий, поэтому их
следует повторить и знать безукоризненно. Перед объ-
яснением каждого приема, проверки действия необхо-
димо повторить соответствующий теоретический мате-
риал.
Проверка сложения
Проверку сложения можно выполнять тремя спосо-
бами: сложением, вычитанием и округлением чисел.
I способ проверки сложения основан на переме-
стительном свойстве сложения: сумма не меняется от
перемены мест слагаемых.
Чтобы проверить сложение сложением, можно, поль-
зуясь свойством переместительности, снова произвести
сложение, переставив слагаемые в другом порядке,
складывая снизу вверх, если сначала складывали свер-
ху вниз. Если получатся одинаковые результаты, то есть
основание думать, что первоначальный результат верен.
Для вывода этого правила проверки учащимся пред-
лагается сложить, например, следующие числа: 175, 432
и 225. Сложив 175 + 432 + 225 = 832, ученики для провер-
ки результата складывают те же числа в другом поряд-
ке: 432+225+175=832. После решения примеров и их
разбора ученики самостоятельно выводят правила про-
верки сложения сложением.
Затем можно предложить детям проверить письмен-
но сложение на следующих больших числах: 735, 434, 23,
845. Сложив сверху вниз
учащиеся складывают эти числа снизу вверх. Получив
в результате сложения одинаковые суммы, число 2037,
учащиеся выводит правило проверки сложения сло-
жением.

Наконец, можно показать при проверке, как склады-
вать слагаемые в другом порядке, не переписывая их,
например:
II способ проверки сложения основан на зави-
симости между компонентами и результатами действия:
если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то
получится другое слагаемое.
Чтобы проверить результат сложения чисел вычита-
нием, достаточно вычесть из полученной суммы одно из
слагаемых. Если получится другое слагаемое, то есть
основание предполагать, что действие выполнено пра-
вильно.
Для вывода этого правила проверки важно, чтоб уче-
ники помнили зависимость между компонентами и ре-
зультатами действий. Предлагается сложить два числа:
269 и 123; 269+123 = 392. Дети для проверки результата
из суммы (392) вычитают второе слагаемое (123) и по-
лучают первое слагаемое (269), или 392—123 = 269.
После решения примеров и их разбора учащиеся са-
мостоятельно выводят правило проверки сложения вы-
читанием. Можно показать проверку сложения вычита-
нием, когда складывают письменно большие числа и бо-
лее двух слагаемых.
Например, даются числа: 3752, 1231, 4268, 2736—
Сложив эти числа и получив сумму 11 987, учащиеся скла-
дывают первые три числа и получают сумму трех чисел:

Затем предлагается из суммы четырех чисел (11 987)
вычесть сумму первых трех чисел (9251), и получается
четвертое число:
Учащиеся выводят правило проверки сложения вычита-
нием, когда складывается более двух чисел.
Самый естественный способ проверки — это повто-
рение того же вычисления. Если оба результата будут
равны, то можно с некоторой вероятностью думать, что
вычисление сделано верно. Но этот способ ненадежен,
потому что человек может незаметно для себя повторить
сделанную ошибку. Нельзя считать, что какой-либо из
способов проверки дает гарантию правильности вычис-
лений, потому что человек может допустить ошибки и в
вычислениях, связанных с проверкой. Поэтому очень
важно приучить детей к проверке, состоящей в нахожде-
нии пределов, между которыми должны заключаться по-
лученные результаты. Чтобы применять этот прием, уча-
щийся должен владеть устным счетом и уметь округ-
лять числа, грубые ошибки легко обнаруживаются этим
приемом.
III способ проверки сложения — округление
чисел. Для вывода этого приема проверки учащимся
предлагается предварительно повторить правила округ-
ления чисел.
Разберем пример. При сложении чисел 453 и 397
должно получиться число большее 700 и меньшее 900.
Оно будет больше 700, так как 437>400 и 397>300, и
меньше 900, так как сумма чисел 453 и 397 должна быть
меньше 900, так как 453<500 и 397<400.
Еще пример. При сложении 1241+3075 + 5248 +
+ 1955 сумма должна быть больше 10 000, потому что
I слагаемое больше 1000, II — больше 3000, III — боль-
ше 5000 и IV— больше 1000; но сумма эта меньше 14 000,
так как I слагаемое меньше 2000, II — меньше 4000,
III —меньше 6000 и IV —меньше 2000.
Проверка вычитания
Проверку вычитания можно выполнять тремя спосо-
бами: сложением, вычитанием и округлением.

I способ проверки вычитания основан на зависи-
мости между компонентами и результатами действий:
уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность.
Чтобы проверить вычитание сложением, достаточно
сложить вычитаемое с разностью. Если получится умень-
шаемое, то есть основание предполагать, что действие
выполнено правильно.
Предполагается, что учащиеся твердо помнят зави-
симость между компонентами и результатами действий.
Даются два числа: 3756 и 1524, и учащимся следует вы-
полнить вычитание из большего числа меньшее число.
Выполнив вычитание (3756—1524 = 2232), учащиеся для
проверки результата к вычитаемому (1524) прибавляют
разность (2232) и получают уменьшаемое (3756), или
1524 + 2232 = 3756.
После решения примеров, учащиеся самостоятельно
выводят правило проверки вычитания сложением.
II способ проверки вычитания основан на зависи-
мости между компонентами и результатами действий:
вычитаемое равно уменьшаемому минус разность.
Чтобы проверить вычитание вычитанием, достаточно
вычесть из уменьшаемого разность. Если в результате
получится вычитаемое, то есть основание думать, что
действие выполнено правильно.
Например: даются два числа (5796 и 2152) и предла-
гается учащимся выполнить вычитание из большего чи-
сла меньшее число. Выполнив вычитание (5796 — 2152 =
= 3644), учащиеся для проверки результата из уменьша-
емого (5796) вычитают разность (3644) и получают вы-
читаемое (2152), или 5796 — 3644 = 2152. После решения
примеров и их разбора учащиеся самостоятельно выво-
дят правило проверки вычитания вычитанием.
III способ проверки вычитания округлением. На-
пример, выполнить вычитание чисел 800 и 238. Резуль-
тат вычитания 800 — 238 должен быть больше 500, так
как вычитаемое меньше 300. Остаток должен быть мень-
ше 600, потому что вычитаемое больше 200.
Проверка умножения
Проверку умножения можно выполнять тремя спосо-
бами: умножением, делением и округлением чисел.
I способ проверки умножения основан на переме-

стительном свойстве умножения: произведение не меня-
ется от перемены порядка сомножителей. Чтобы прове-
рить умножение умножением, можно, пользуясь свойст-
вом переместительности, снова произвести умножение,
переставив сомножители в другом порядке, умножая
снизу вверх, если сначала умножали сверху вниз. Если
получаются одинаковые результаты, то есть основание
думать, что первоначальный результат верен.
Для вывода э-ого правила проверки учащимся пред-
лагается перемножить следующие числа: 23 и 56 (23 X
X 56 =1288). Для проверки результата дети перемножа-
ют те же числа в другом порядке: 56 X 23=1288. После
решения примеров и их разбора учащиеся самостоятель-
но выводят правило проверки умножения умножением.
После того как правило проверки усвоено, можно ис-
пытать этот способ на больших числах: 328 и 1045. Пе-
ремножив сверху вниз:
учащиеся умножают эти числа снизу вверх:
Если получают в результате одинаковые произведения,
число 342 760, то решение выполнено правильно.
II способ проверки основан на зависимости меж-
ду компонентами и результатами действий: при умноже-
нии двух чисел каждый из сомножителей равен произве-
дению, деленному на другой сомножитель.
Чтобы проверить умножение делением, достаточно
разделить полученное произведение на множимое или на
множитель. В первом случае в частном должен полу-
читься множитель, а во втором — множимое.

Например: даются два числа (34 и 26) и предлагает-
ся перемножить эти числа (34x26 = 884), учащиеся для
проверки результата произведения (884) делят его на
множимое (34) и получают множитель (26). После ре-
шения примеров и их разбора учащиеся самостоятельно
выводят правило проверки умножения делением.
III способ проверки умножения — округление чи-
сел.
Например, необходимо перемножить числа 7054 и 251.
Должно получиться число, большее произведения 7000 X
Х 200, так как 7054 больше 7000 и 251 больше 200, и при
умножении 7054 на 251 должно получиться число, мень-
шее произведения 8000x300, потому что 7054 меньше
8000 и 251 меньше 300.
Проверку умножения можно выполнять и сложени-
ем. Для вывода правила проверки умножения сложени-
ем учащимся следует вспомнить определение умноже-
ния. Умножением на целое число называется действие,
посредством которого одно данное число повторяется
слагаемым столько раз, сколько единиц заключается в
другом числе.
Из этого определения умножения следует, что пра-
вильность полученного от умножения результата может
быть проверена путем сложения. Однако этот путь про-
верки при больших числах занял бы очень много време-
ни, поэтому сложением умножение на практике не про-
веряется.
Проверка деления
Проверку деления можно выполнять умножением и
делением.
I способ проверки деления основан на зависимо-
сти между компонентами и результатами действий: де-
лимое равно делителю, умноженному на частное.
Чтобы проверить деление умножением, достаточно
умножить делитель на частное. Если получится делимое,
то есть основание предполагать, что действие выполне-
но правильно. Выводить правило проверки начинают
с решения примера: даются два числа (375 и 25) и пред-
лагается выполнить деление: большее число разделить
на меньшее. Выполнив деление 375:25=15, учащиеся
для проверки результата делитель (25) умножают на
частное (15) и получают делимое (375), или 25x15 = 375.

После решения примеров учащиеся самостоятельно вы-
водят правило проверки деления умножением.
II способ проверки деления делением основан на
зависимости между компонентами и результатами дей-
ствий: делитель равен делимому, деленному на частное.
Чтобы проверить деление делением, достаточно делимое
разделить на частное. Если в результате получится де-
литель, то есть основание думать, что действие выполне-
но правильно.
Пример. Даются два числа (2 316 992 и 328) и
предлагается разделить большее число на меньшее чис-
ло. Выполнив деление 2 316 992:328 = 7064, учащиеся
для проверки результата делимое (2 316 992) делят на
частное (7064) и получают делитель (328), или 2 316 992 :
: 7064 = 328. После решения примеров и их разбора уча-
щиеся самостоятельно выводят правило проверки деле-
ния делением.
Проверку деления можно выполнить сложением и
вычитанием. Частное может быть найдено посредством
сложения и вычитания, поэтому и проверка деления мо-
жет быть выполнена с их помощью путем отыскания ча-
стного соответственно каждым из этих действий. Одна-
ко такая проверка, особенно при больших числах, явно
нерациональна, так как отнимает много времени. Поэто-
му на практике деление сложением и вычитанием не
проверяется.
Проверка деления с остатком
Для проверки деления с остатком можно предложить
учащимся два числа (75 и 8) и разделить большее число
на меньшее число. Выполнив деление 75:8 = 9 (остаток)
и зная зависимость между компонентами и результата-
ми действий, проверяют деление умножением 8x9 и
прибавлением к произведению 3, в результате получает-
ся 75, так как делимое равно делителю, умноженному на
частное, плюс остаток. Тот же пример можно проверить,
вычитая 3 из 75 (75 — 3) и разделив 72 на 8, в результа-
те деления получается 9. Здесь применяется следующее
свойство деления: в случае деления с остатком делитель
равен разности делимого и остатка, деленной на частное.

ГЛАВА
III
ИЗМЕНЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТА ДЕЙСТВИЙ
ОТ ИЗМЕНЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ
Значение этого раздела в курсе арифметики следую-
щее: на изменении результатов арифметических дейст-
вий основаны ряд особых приемов вычислений, примене-
ние рациональных приемов решений задач. Изменения-
ми результатов действий пользуются при изучении
свойств дробей и правил действий над дробями, просты-
ми и десятичными.
Изложение этого отдела начинается с конкретных
вопросов и задач. Важно, чтобы учащиеся поняли зави-
симость изменения результатов от изменения компонен-
тов действий и умели воспользоваться ею для упроще-
ния вычислений.
§ 9. ИЗМЕНЕНИЕ СУММЫ
Изменение суммы в зависимости от изменения сла-
гаемых вытекает непосредственно из основного понятия
0 сложении. Прежде всего следует разъяснить детям
положение, что каждая единица, прибавленная к сла-
гаемому, должна войти в сумму, так как сумма содер-
жит все единицы, заключенные в слагаемом, и всякая
единица, исключенная из слагаемого, исключается из
суммы. Берется задача на сложение.
* Хозяйка купила сахару на 8 руб. и ягод на
10 руб., ее сестра также купила сахару на 8 руб., а
ягод на 11 руб. Кто из них больше израсходовал денег?
На сколько больше? Почему на 1 руб.?
Для решения задачи выполняют два действия сло-
жения и одно вычитания. Посредством вопросов выяс-
няется, что сумма увеличилась на 1 руб., так как на
1 руб. увеличилось второе слагаемое (первые слагае-
мые равны в обеих суммах).
Задачу можно продолжить.

Соседка купила сахару на 9 руб. и ягод на 10 руб.
Кто из них израсходовал больше денег? На сколько
больше? Почему?
Здесь посредством вопросов выясняется, что сумма
увеличилась на 1 руб., потому что на 1 руб. увеличи-
лось 1-е слагаемое.
Запись решения: 1) 8 руб.+ 10 руб.= 18 руб.;
2) 8 руб. + 11 руб. (2-е сла-
гаемое увеличено на 1 руб.) = 19 руб. (увеличение суммы
на 1 руб.);
3) 9 руб. (1-е слагаемое увели-
чено на 1 руб.)+ 10 руб.= 19 руб. (увеличение суммы
на 1 руб.).
Затем дается пример: в первый раз сложили числа
12 и 19, во второй раз сложили 12 и 20. Когда получи-
лась большая сумма? На сколько больше? Почему боль-
ше? Как короче узнать, на сколько увеличилась сумма?
Тот же пример можно изменить так: сложите 12 и 19,
потом сложите 13 и 19. На сколько единиц увеличилась
сумма? Почему?
Запись: 1) 12+19 = 31 1) 12+19 = 31
2) 12 + 20 = 32 2) 13+ 19 = 32
В ы в о д: От прибавления единицы к одному из сла-
гаемых к сумме прибавляется тоже единица, потому что
сумма должна заключать в себе все единицы, которые
находятся в слагаемых, а следовательно, в нее должна
войти и та новая единица, которую прибавили к слагае-
мому.
Потом разбирается случай, когда сумма изменяется
от прибавления к слагаемому нескольких единиц.
Задача.
1. В два водоема пустили по 900 мальков карпа. По-
том в один водоем пустили еще 150 мальков, а в другой
100 мальков. Сколько мальков стало в каждом водое-
ме? В каком больше? На сколько больше? Почему на
50 больше?
Задача дается в другом варианте.
2. В одном водоеме было 900 мальков карпа, в дру-
гой пустили 950 мальков. Потом в каждый водоем пу-
стили по 100 мальков. Сколько мальков в каждом во-
доеме? В каком водоеме больше мальков? На сколько
больше? Почему?

Запись решения:
1) 900+ 100= 1000 2) 900+ 100= 1000
900+ 150 = 1050 950+ 100 = 1050
1050 — 1000 = 50 1050 — 1000 = 50
Дальше даются два примера:
* 45 + 50 и 49 + 50. Какая сумма больше? На сколь-
ко единиц? Почему?
Затем изменяется второе слагаемое:
* 45 + 53. Почему сумма увеличилась на 3 едини-
цы?
Затем учащимся предлагаются вопросы: как изме-
нится сумма от прибавления к слагаемому 6 единиц?
10? 20? И, наконец, общий вопрос: как изменится сум-
ма от прибавления нескольких единиц к одному из сла-
гаемых?
Наконец выводится правило: Если к какому-ли-
бо слагаемому прибавить несколько единиц, то сумма
увеличится на столько же единиц.
Подобным же образом рассматривается изменение
суммы при вычитании из слагаемого сначала одной
единицы, потом нескольких единиц.
* В группе детского сада 12 мальчиков и 10 дево-
чек, в другой группе 11 мальчиков и 10 девочек. В ка-
кой группе меньше детей? На сколько меньше? Поче-
му? В третьей группе 12 мальчиков и 9 девочек. Почему
в третьей группе меньше на одного ребенка, чем в пер-
вой группе?
31 +40+ 22 (= 93)
31 + 40+ 21 (= 92)
После решения примеров делается вывод.
Если от какого-либо слагаемого отнять единицу, то
сумма уменьшается на единицу.
Точно так же рассматривается уменьшение одного
из слагаемых на несколько единиц. Дальше переходят
к изменению суммы при изменении двух слагаемых.
Задача: На одной фабрике было 240 мужчин и
160 женщин, а на другой — мужчин на 50 больше,
а женщин — на 30 больше, чем на первой. На какой
фабрике больше работающих?
Учащиеся обычно решают задачу, определяя число
всех работающих на 1-й и на 2-й фабрике и находя раз-

ность между этими числами. Можно принять это реше-
ние, как верное, но сейчас же нужно указать другое
решение, основанное на изменении слагаемых и приво-
дящееся к одному сложению.
Изменение суммы объясняется последовательно —
сначала от изменения одного слагаемого, потом друго-
го. Проводится сравнение суммы в таком порядке:
На сколько же больше число работающих на
2-й фабрике? Как узнать короче, на сколько человек
больше?
Потом условие задачи изменяется: На 3-й фабрике
мужчин было на 100 человек, а женщин на 70 человек
больше, чем на 1-й фабрике. На сколько больше было
работающих на 3-й фабрике, чем на 1-й?
Решение объясняется так: число работающих на
каждой фабрике есть сумма числа мужчин и числа жен-
щин. В последней сумме первое слагаемое больше на
100, а второе — на 70. Поэтому сумма больше на 170
(100 + 70=170).
Дальше таким же образом рассматривается измене-
ние суммы от уменьшения двух слагаемых,
потом — от увеличения одного слагаемого
и уменьшения другого.
Условие задачи для объяснения последнего случая
изменяется так:
* На одной фабрике 240 мужчин и 160 женщин, на
другой фабрике мужчин на 50 больше, а женщин на 30
меньше. На какой фабрике больше работающих?
Если ребята решат задачу обычным способом, вы-
полнив 3 действия сложения и 2 вычитания, нельзя от-
вергать это решение, но сейчас же нужно указать дру-
гое, основанное на изменении слагаемых и суммы. Число
работающих на фабрике есть сумма числа мужчин и
числа женщин (240+160), одно из слагаемых этой сум-
мы увеличилось на 50, значит, сумма должна увеличить-
ся на 50 (290+160), но другое слагаемое уменьшилось
на 30, поэтому новая сумма уменьшится на 30 (290 +
+ 130). Поэтому сумма увеличится на 50 — 30 = 20.

Таким же путем решаются примеры на сложение
двух слагаемых, причем оба слагаемых на несколько
единиц уменьшаются, потом одно увеличивается, другое
уменьшается.
Дальше рассматривается изменение суммы
более чем двух слагаемых.
Изменение суммы при изменении трех слагаемых
рассматривается последовательно. Например: 30+25 +
+ 75 + 20=150. Как изменится сумма, если первое сла-
гаемое увеличим на 10, второе на 5 и третье уменьшим
на 8. Запись решения примерно может быть такая:
Объясняются решения следующим образом: от уве-
личения первого слагаемого на 10, сумма увеличивается
на, 10, от увеличения второго слагаемого на 5 сумма еще
увеличивается на 5, т. е. всего сумма увеличится на 15.
От уменьшения 3-го слагаемого на 8 сумма уменьшает-
ся на 8; значит, сравнительно с первой суммой она уве-
личится на 15 без 8, т. е. на 7, и будет равна 157.
Разбирают еще подобный пример: 75 + 30+14 + 49 =
= 168. Второе слагаемое уменьшится на 10, 3-е слагае-
мое увеличится на 21, 4-е слагаемое уменьшится на 24.
Запись решения должна быть сделана в четырех строках:
Решение объясняется последовательно: если одно
слагаемое (30) уменьшается на 10, то и сумма умень-
шится на 10, если слагаемое (49) уменьшится на 24, то
сумма уменьшится еще на 24; всего сумма уменьшится
на 10 + 24 = 34; когда слагаемое (14) увеличится на 21,
то сумма увеличится на 21, итого сумма уменьшится на
34-21 = 13, т. е. будет равна 168-13=155.
После разбора примеров делается вывод: Если од-
ни слагаемые увеличим на несколько единиц, а другие

уменьшим, то сумма увеличится или уменьшится, смотря
по тому, что больше: общее увеличение или общее умень-
шение, и на столько единиц, на сколько одно больше
другого.
Особо следует остановиться на случае, когда одно
слагаемое увеличивается, а другое уменьшается на
столько же единиц, т. е. сумма не изменяется. Можно
взять сначала конкретную задачу, например: У маль-
чика в правом кармане 20 орехов, в левом 16. Сколько
орехов у мальчика?
А если взять из правого кармана 10 орехов и пере-
ложить в левый карман, сколько орехов будет у маль-
чика?
Количество орехов в двух карманах — это сумма.
Сумма эта не изменилась, потому что от одного слага-
емого отняли 10 единиц и прибавили эти 10 единиц
к другому слагаемому.
* А если из правого кармана мальчик отдаст то-
варищу 15 орехов, а в левый ему кто-нибудь положит
еще 15 орехов, то сколько орехов будет у мальчика?
Здесь количество орехов — или сумма двух слагае-
мых — тоже не изменилось, так как от одного слагае-
мого отняли 15 единиц, зато к другому столько же до-
бавили.
То же свойство суммы следует проверить на приме-
ре: прибавить несколько единиц к одному слагаемому,
потом отнять столько же от другого слагаемого. На-
пример:
375 + 91 = 466
395 + 91 = 486
395 + 71 = 466
Делается вывод: Если к одному слагаемому при-
бавить несколько единиц, а от другого отнять столько
же единиц, то сумма не изменится.
После этого идут упражнения:
1) в определении изменений суммы при одновре-
менном изменении нескольких слагаемых;
2) в определении измененной суммы по данной сум-
ме и по данным изменениям в слагаемых, применение
свойств слагаемых и суммы на особых приемах сложе-
ния, в особенности на числах, близких к круглым;

3) в определении изменений, которые нужно сде-
лать в слагаемых, чтобы достичь желаемого изменения
в сумме;
4) в составлении детьми задач на изменения слагае-
мых и в применении этих правил в решении задач.
Приведем примеры упражнений:
/) На трамвайной остановке из первого вагона вы-
шли 10 человек, а из второго — 8 человек, из третье-
го— 11 человек; но в первый вагон вошли 12 человек,
во второй — 9 и в третий — 7 человек. Пассажиров в
трамвае стало больше или меньше и на сколько?
Решение объясняется так: число пассажиров каж-
дого вагона — это слагаемое, число пассажиров в трех
вагонах — это сумма. На сколько уменьшилась сумма,
когда слагаемые уменьшились соответственно на 10,
8 и 11? На сколько увеличилась сумма, когда слагае-
мые увеличились соответственно на 12, 9, 7? На сколь-
ко единиц уменьшилась сумма? Почему на 1?
2) На трех сберкнижках лежало 4800 руб. С одной
книжки взяли 500 руб., на другую положили 800 руб.
и на третью положили 60 руб. Сколько денег оказалось
на трех сберкнижках?
Здесь дана сумма трех слагаемых 4800 руб., второе
и третье слагаемые увеличились на 800 + 600, т. е. на
1400, но первое слагаемое уменьшилось на 500. Поэто-
му сумма увеличилась на 900 (1400 — 500 = 900). Новая
сумма 5700 (4800 + 900 = 5700).
3) Сделать вычисления:
3299+ 1998 + 5795
В этом примере дополняем слагаемые до круглых
(удобных для вычислений) чисел, складываем 3300 +
+ 2000 + 5800 и уменьшаем сумму на 8: 11 100-8=11 092.
Другой пример: 598 + 402 + 300 — решаем так: если
уменьшить второе слагаемое на 2, первое же увеличить
на 2, сумма не изменится: 600 + 400 + 300=1300.
Подобно приведенным, решаются примеры:
143 + 98 = 143+ 100 — 2 = 241
2853 + 1997 = 2853 + 2000 — 3 = 4850
329 + 299 = 329 + 300 — 1 = 628 и т. д.
На вычисления с округленными слагаемыми можно
дать задачи, например: За купленные вещи покупатель

должен уплатить в кассу 198 руб. В кассе есть 764 руб.
Сколько денег станет в кассе?
Покупатель даст 200 руб., но получит сдачи 2 руб.
Следовательно, сложение выполняется так:
764 руб. + 200 руб. — 2 руб. = 962 руб.
4) Задание. Сумма двух слагаемых 400. Как
нужно изменить слагаемые, чтобы в сумме получи-
лось 330?
Решение. 330 меньше 400 на 70. Чтобы умень-
шить сумму на 70, можно придумать много способов:
1) от одного слагаемого отнять 70; 2) от одного слага-
емого отнять часть 70 (например, 40), от другого —
остальное (30); 3) от одного слагаемого отнять боль-
ше 70 (например, 90), зато к другому прибавить столь-
ко единиц, на сколько отнятое превышает 70 (20) и т. д.
5) Одно из слагаемых увеличить на 50, что надо
сделать с другим слагаемым, чтобы сумма увеличилась
на 75? на 100? чтобы она уменьшилась на 60? на 80?
чтобы она не изменилась?
* Составить задачу, которая решалась бы сложе-
нием чисел 3250 и 7100. Изменить условия задачи так,
чтобы: 1) каждое слагаемое увеличить на 200; 2) от-
нять от слагаемых 200; 3) прибавить к одному 200 и от-
нять от другого 200.
Если сумма двух слагаемых увеличивается или
уменьшается на несколько единиц, а одно из слагаемых
остается без изменения, то другое слагаемое должно
увеличиться или уменьшиться на столько же единиц.
Задача: Состав класса увеличился на 5 человек,
число мальчиков не изменилось. Как изменилось число
девочек?
Если сумма двух слагаемых и одно из этих слагае-
мых увеличивается на одно и то же число, то другое
слагаемое остается без перемены.
* Складывая два числа, ученик получил в сумме
1100, но цифра 3 в первом слагаемом 351 была ошибоч-
но принята за 8. Каково второе слагаемое?
Если одно из двух слагаемых увеличивается на не-
сколько единиц, а сумма остается без изменения, то
другое слагаемое должно уменьшиться на столько же
единиц, и наоборот: с уменьшением 1-го слагаемого 2-е
должно увеличиваться на столько же единиц.

* На одном лотке было 23 яйца, на другом 18 яиц.
Не изменяя общего числа яиц, нужно дополнить число
яиц первого лотка до 30 яиц. Сколько яиц надо пере-
ложить со второго лотка на первый и сколько яиц оста-
нется на втором лотке?
23 + x = 30; 30 — 23 = 7; 18 —7= 11
Итак, одно слагаемое увеличили на 7 единиц, сумму не
изменили, следовательно, второе слагаемое уменьшили
на 7 единиц.
Сложить 369 + 231.
Первое слагаемое увеличиваем на 31. Второе сла-
гаемое уменьшаем на это же число: 369 + 31 + 231 — 31,
по сочетательному закону заключаем в скобки: (369 +
31) + (231—31) = 400 + 200 = 600.
Примеры и задачи
1. Как изменится сумма, если одно из слагаемых
увеличить на 498, а другое на 218?
2. Что сделается с суммой, если одно слагаемое
уменьшить на 174, а другое на 288?
3. Что сделается с суммой, если одно слагаемое уве-
личить на 225, другое уменьшить на 223?
4. Что сделается с суммой, если одно слагаемое уве-
личить на 303, другое уменьшить на 147?
5. Как изменится сумма, если одно слагаемое уве-
личить на 295, другое уменьшить на 374?
6. Что сделается с суммой трех слагаемых, если от
одного отнять 287, от другого 667, а к третьему приба-
вить 199?
7. Как изменится сумма трех слагаемых, если одно
увеличить на 98, другое на 299, а третье уменьшить на
397?
8. Приведем об-
разец записи в виде
таблицы (табл. 1)
примеров на измене-
ние слагаемых и
суммы. Здесь «+»
означает увеличение
на несколько единиц,
«—» означает умень-
шение.
Таблица 1
1-е
слагае-
мое
2-е
слагае-
мое
3-е
слагае-
мое
Сумма
+10 -8 +12 ?
-11 +5 ? +1

а) В 1-й строке записан пример: как изменится сум-
ма, если 1-е слагаемое увеличить на 10, 2-е уменьшить
на 8, 3-е увеличить на 12.
б) Во 2-й строке записан пример: 1-е слагаемое
уменьшить на 11, 2-е увеличить на 5. Что надо сделать
с 3-им слагаемым, чтобы сумма увеличилась на 1?
9. Сыну и дочери вместе 31 год. Отец старше сына
на 28 лет, а мать старше дочери на 23 года. Сколько
лет отцу и матери вместе?
10. На станции стояло несколько товарных вагонов.
С этой станции было отправлено 35 вагонов, а принято
48 вагонов. Всего же на станции осталось 82 ва-
гона. Сколько вагонов стояло на станции первона-
чально?
11. В утренней смене училища учатся 295 человек,
в вечерней 197. Сколько всего учащихся в училище?
Решить устно.
12. В первую неделю привезли на склад 198 куб. м
дров, во вторую 197 куб. м, а в третью неделю 205 куб. м
дров. Сколько куб. метров дров привезли на склад
в три недели? Решить устно.
13. Школьный киоск, получив 850 учебников, рас-
продал за день 727 учебников, но на другой день полу-
чил еще 620 учебников. Сколько учебников было в ки-
оске на второй день? Решить устно.
14. Отцу, матери, дочери и сыну вместе ПО лет.
Сколько лет им всем вместе было 10 лет тому назад?
Сколько лет им всем вместе будет через 5 лет?
15. В одном ящике на 117 гвоздей больше, чем в
другом. На сколько больше или меньше будет гвоздей
в первом ящике, если:
1) переложить 50 гвоздей из первого ящика во вто-
рой?
2) переложить 60 гвоздей из первого ящика во вто-
рой?
3) переложить из второго ящика в первый 50 гвоз-
дей?
4) переложить из второго ящика в первый 70 гво-
здей?
16. В двух садах было 725 кустов малины, смороди-
ны и крыжовника. Сколько кустов ягод стало в этих са-
дах, когда из второго пересадили в первый 45 кустов
смородины, во второй посадили 55 кустов крыжовника

и в первый вместо 20 кустов малины посадили плодо-
вые деревья?
17. На дровяном складе было 510 куб. м березовых,
сосновых и осиновых дров. За неделю склад отпустил
18 куб. м березовых дров, 10 куб. м сосновых и 14 куб. м
осиновых, а получил 6 куб. м березовых дров, 8 куб. м
сосновых и 10 куб. м осиновых. Как изменилось за эту
неделю количество дров на складе?
18. На заводе 5 цехов. В первом, втором и третьем
цехах вместе 170 станков, в четвертом на 12 станков
меньше, чем во втором, в пятом на 11 станков меньше,
чем в третьем цехе. Сколько всего станков на заводе?
19. В городе 4 района. В одном районе число жите-
лей увеличилось за год на 217 человек, в другом умень-
шилось на 98 человек, в третьем уменьшилось на 128 че-
ловек, в четвертом увеличилось на 230 человек. Как
изменилось за год население города?
20. Предполагалось, что в двух соседних школах
будет 860 учащихся, фактически в первую поступило
на 28, а во вторую на 22 учащихся больше, чем предпо-
лагалось, после чего в обеих школах оказалось уча-
щихся поровну. Какое число учащихся намечено было
принять в каждую школу?
21. В совхозе было засеяно пшеницей и рожью
1410 га. На следующий год площадь под пшеницей уве-
личили на 250 га, а под рожью на 100 га. Какую пло-
щадь занимают теперь посевы пшеницы и ржи?
22. Длина забора вокруг огорода прямоугольной
формы 300 м. Какой длины забор вокруг другого огоро-
да, длина которого на 25 ж и ширина на 10 м больше?
23. В трех ящиках 1 ц 44 кг яблок. Из одного ящика
продали 18 кг, из другого 20 кг, из третьего 15 кг.
Сколько яблок осталось в трех ящиках?
24. Один магазин продал за день 1 г 200 кг карто-
феля и свеклы, другой продал картофеля на 120 кг
меньше, а свеклы на 150 кг больше, чем первый мага-
зин. Сколько овощей продал за день второй магазин?
25. В столовой был запас сахара в 115 кг. Столовая
купила еще 18 кг 500 г, но израсходовала за неделю
20 кг 800 г. Сколько сахара осталось в запасе?
26. Составить задачу к примеру: 150 + 70. Изменить
условие так, чтобы: 1) одно слагаемое увеличить на 30,
а другое уменьшить на 20; 2) сумму уменьшить на 80.

Изменение суммы от изменения слагаемых приме-
няется при решении типовых задач, требующих деления
числа на 2 или нескольких частей, разностные отноше-
ния которых даны (нахождение неизвестных по их сум-
ме и разности). Разберем примеры.
* Сумма двух чисел 3120, первое меньше второго
на 280. Найти эти числа.
Для решения сделаем оба слагаемых равными:
1) Причем слагаемое большее сделаем равным
меньшему, для этого уменьшим его на 280 единиц.
Сумма должна уменьшиться на 280 единиц, она будет
равна 3120—280 = 2840. Поэтому меньшее слагаемое
должно быть равно половине числа 2840, т. е. 2840:
: 2= 1420, отсюда найдем большее число: 1420 + 280 =
= 1700.
Рис. 2
Решение этой задачи хорошо иллюстрировать ри-
сунком (рис. 2). Пусть неизвестные слагаемые изобра-
жены неопределенными отрезками прямых.
Рисунок показывает, что вся прямая содержит
3120 единиц, одна часть 280, остальная 3120 — 280 со-
стоит из двух равных меньших слагаемых.
2) Однако решение задач можно начать с нахожде-
ния большего слагаемого. Сделаем оба слагаемых рав-
ными большему числу, для этого меньшее увеличим на
280. Сумма должна увеличиться на 280, она будет рав-
на 3120 + 280 = 3400, отсюда большее число равно
3400:2=1700.
Возьмем линию, изображающую сумму 2-х слагае-
мых (рис. 3). Чтобы уравнять второе слагаемое с пер-
Рис. 3

вым, надо прибавить к нему часть, равную 280. Рису-
нок показывает, что 3120 + 280 = 3400 равно двум боль-
шим слагаемым.
Решим задачу на вычисление 3-х слагаемых: Сум-
ма 3-х слагаемых 495, второе слагаемое на 120 больше
и 3-е на 30 меньше 1-го. Найти слагаемые.
Для решения задачи уравняем второе и третье сла-
гаемые первому. Для этого надо уменьшить второе
слагаемое на 120 и увеличить 3-е на 30, от чего сумма
уменьшится на 120 — 30=90; сумму 495 — 90 = 405 делим
на три равные части, каждая из которых равна перво-
му слагаемому 405:3=135; второе слагаемое: 135 +
+ 120 = 255; третье: 135-30=105.
Но задача может быть решена иначе. Приравняем
второму слагаемому как первое, так и третье. Для это-
го первое слагаемое увеличим на 120, 3-е увеличим на
150 (120 + 30); сумма 3-х чисел, равных 2-му слагаемо-
му, равна 495+150+120 = 500+150+120-5=765. От-
сюда найдем 2-е слагаемое.
Но сумму можно изменить и третьим способом, при-
равняв первое и второе слагаемые к третьему. Для это-
го надо уменьшить 1-е слагаемое на 30, второе на 150,
от чего сумма уменьшится на 180; 495—180 = 315; итак,
3-е слагаемое равно 105 (315:3=105).
В задачах этого типа учеников часто затрудняет
установление разности между искомыми слагаемыми
данной суммы. В этом случае можно воспользоваться
изображением чисел в виде неопределенных отрезков,
указывая на рисунке 4 разности этих отрезков. Рисунок
поможет решить задачу как 1-м, так 2-м и 3-м способа-
ми. Действительно рисунок показывает:
Рис. 4
а) чтобы все слагаемые уравнять с 1-м, надо 2-е
уменьшить на 120, а 3-е увеличить на 30;

б) чтобы все слагаемые уравнять со 2-м, надо 1-е
увеличить на 120 и 3-е на 150 (120 + 30=150);
в) чтобы все слагаемые уравнять с 3-м слагаемым,
надо 1-е уменьшить на 30, 2-е уменьшить на 150 (30 +
+ 120=150).
27. Летчики-космонавты А. Николаев и П. Попович
во время группового полета в 1962 г. вместе совершили
112 витков вокруг Земли. П. Попович сделал на 16 вит-
ков меньше, чем А. Николаев. Сколько витков вокруг
Земли сделал каждый космонавт?
28. Автомобиль израсходовал на три поездки 23 л
бензина. В третью поездку израсходовано бензина на
2 л больше, чем во вторую, а во вторую — на 3 л боль-
ше, чем в первую. Сколько километров проехал авто-
мобиль во вторую поездку, если в третью он проехал на
55 км больше, чем в первую?
29. Три завода выпустили за неделю 201 автомо-
биль. Первый завод выпустил на 2 машины больше, чем
второй, а третий на 5 машин меньше второго. Сколько
автомобилей выпустил за неделю каждый завод?
30. Для пробы посеяли 400 зерен. Проросло на
240 зерен больше, чем не проросло. Сколько зерен про-
росло?
31. В двух школах 900 учащихся. Если перевести
из одной школы в другую 40 человек, в каждой школе
будет учащихся поровну. Сколько учащихся было в
каждой школе?
32. В международный юношеский день на демонст-
рацию вышли 810 учащихся. От первой школы вышло
на 63 человека меньше, чем от второй, а от третьей
школы на 42 человека больше, чем от второй. Сколько
человек вышло на демонстрацию от каждой школы?
33. Бригада рабочих сэкономила на расходах и ма-
териале за квартал 988 руб., причем в январе на 95 руб.
меньше, чем в феврале, а в марте на 182 руб. больше,
чем в январе. Сколько рублей сэкономила бригада в
каждый месяц?
34. Для начальной школы купили пособия на
895 руб. Для I класса куплено на 45 руб. меньше, чем
для II, для II на 35 руб. больше, чем для III. На сколь-
ко рублей куплены пособия для каждого класса?
35. На электропроводку в трех квартирах пошло
414 м шнура. На первую квартиру пошло на 41 м мень-

ше, чем на третью, а на вторую квартиру пошло на 31 м
больше, чем на первую. Сколько шнура пошло на каж-
дую квартиру?
36. Подводная лодка прошла под водой и на по-
верхности воды 1548 км, причем под водой лодка про-
шла на 590 км больше, чем на поверхности воды.
Сколько километров прошла лодка под водой?
37. Площадь трех земельных участков равна 7200 га,
причем второй на 300 га больше первого, третий уча-
сток одинаков по площади со вторым. Какова площадь
каждого участка?
38. На фабрике за три смены выработали 12 840 м
ткани. В первую смену выработали на 594 м больше,
чем во вторую, а во вторую — на 312 ж меньше, чем в
третью. Сколько метров ткани выработали в каждую
смену?
39. Швейная мастерская купила на 276 руб. два
куска одной и той же ткани. Больший кусок ткани, в
котором было 57 м, стоил на 66 руб. дороже меньшего
куска. Сколько метров ткани было в меньшем ку-
ске?
40. В совхозе с двух участков при одинаковом уро-
жае собрали 9000 ц овса, причем с участка в 240 га со-
брали на 600 ц больше, чем с другого. Какая площадь
была засеяна овсом?
41. По плану две зерноочистительные машины долж-
ны за 24 дня очистить 7680 ц зерна, а очистили 1680 ц
зерна сверх плана. Первая машина очистила на 480 ц
зерна больше, чем вторая. Сколько зерна очищала
в среднем за день каждая машина?
42. Общая площадь Каспийского и Аральского мо-
рей 493 000 кв. км. Каспийское море на 355 000 кв. км
больше Аральского моря. Поставить вопрос.
43. На земле насчитывается 17 000 видов земновод-
ных, пресмыкающихся и рыб вместе. Сколько видов зем-
новодных, пресмыкающихся и рыб в отдельности, если
пресмыкающихся на 4000, а рыб на 7000 больше, чем
земноводных?
44. Который час в то время, когда прошедшая от
начала часть суток на 4 часа 40 мин. больше оставшей-
ся части.
45. Теплоход прошел путь между двумя пристаня-
ми за 2 часа 10 мин., причем по течению он шел на

40 минут меньше, чем против течения. Поставить во-
прос.
46. Семья рабочего занимает две комнаты общей
площадью 30 кв. м. Одна комната на 3 кв. м 50 кв. см
больше другой. Определить площадь каждой комнаты.
47. В колхозе собрали 7 ц 20 кг винограда первого
и второго сорта и разложили его в корзины по 12 кг в
каждую. Корзин с виноградом первого сорта было на
16 больше, чем с виноградом второго сорта. Сколько
было корзин с виноградом каждого сорта.
48. Два звена с одинаковых участков общей пло-
щадью в 4 га собрали 358 ц 90 кг зеленого чайного ли-
ста. Первое звено собрало с каждого гектара на 10 ц
45 кг листа больше, чем второе звено. Сколько листа
собрало в среднем первое и второе звено с 1 га?
49. Длина изгороди вокруг участка, имеющего фор-
му прямоугольника, равна 212 м, причем ширина на
20 м короче длины. На участке расположен сад, дом
и хозяйственный двор. Площадь под садом на 6 а боль-
ше площади под домом, а площади под домом и под
хозяйственным двором одинаковы. Какую площадь в
отдельности занимает дом, сад и хозяйственный двор?
В существующей программе по арифметике для младших клас-
сов школы и объяснительной записке к ней предлагается, кроме за-
висимости между компонентами и результатом действия, изучать
переместительное и сочетательное свойства суммы. Следствия, выте-
кающие из этих свойств, записаны в проекте настоящей программы
с трехгодичным сроком обучения; практически они используются
в начальной школе при изучении целых чисел.
Приведем упражнения на переместительный и сочетательный
законы и следствия из них.
I. Замена нескольких слагаемых их суммой
(сочетательный закон сложения)
1. 146 + 154 + 137 - (146 + 154) + 137 (группу слагаемых за-
ключаем в скобки на основании сочетательного закона) = 300 +
+ 137 = 437 (выполняем сложение).
3 2. 368 + 173 + 127 = 68 + (173 + 127) = 368 + 300 = 668.
3. 643 + 357 + 957.
II. Перестановка слагаемых
(переместительный закон суммы)
/. 238 + 467 + 362 = 238 + 362 + 467 (делаем перестановку
слагаемых, чтобы получить круглые числа при сложении) = (238 +

+ 362) + 467 (группу слагаемых заключаем в скобки на основании
сочетательного закона) = 600 + 467 = 1067 (выполняем сложение).
2.. 179 + 284 + 721.
III. Прибавление суммы к числу
1. 564 + (246 + 973) = 564 + 246 + 973 = (564 + 246) + 973 =
= 810 + 973 - 1783.
2. 435 + (279 + 565).
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы прибавить к какому-нибудь
числу сумму нескольких слагаемых, достаточно последовательно
прибавить к нему все слагаемые данной суммы одно за другим.
IV. Прибавление числа к сумме
/. (337 + 488) + 663 = 1000 + 488 = 1488.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы к сумме нескольких слагае-
мых прибавить число, достаточно прибавить это число к одному из
слагаемых.
2. (453 + 689) + 547 = (453 + 547) + 689 = 1000 + 689 = 1689.
3. (329 + 468) + 21,
V. Прибавление к сумме другой суммы
Прибавление к сумме другой суммы основано на следующем
свойстве арифметических действий: Чтобы к сумме нескольких сла-
гаемых прибавить другую сумму, достаточно к каждому слагаемому
первой суммы соответственно прибавить каждое слагаемое второй
суммы и т. д. и, наконец, полученные суммы сложить.
1. (1224 + 2758) + (3776 + 242) - (1224 + 2758) + 3776 +
242 = 1224 + 2758 + 3776 + 242 = (1224 + 3776) + (2758 + 242) =
= 5000 + 3000 = 8000.
2. (453 + 782) + (547 + 218).
§ 10. ИЗМЕНЕНИЕ РАЗНОСТИ
В самом начале при изучении темы «Изменение раз-
ности» надо обратить внимание ребят на то, что умень-
шаемое есть сумма вычитаемого и разности, или что
уменьшаемое показывает, сколько было всего единиц,
вычитаемое — сколько единиц отнято, и разность, или
остаток,— сколько единиц осталось. Зависимость меж-
ду компонентами при вычитании повторяется на каком-
либо числовом примере: 1050 — 300 = 750.
Первым упражнением на изменение разности мо-
жет быть задача.

К началу месяца на заводе было 5800 т угля. К на-
чалу второго месяца было 5500 т угля. Расход угля
каждый месяц был одинаковый — по 5370 т. В конце
какого месяца осталось больше угля и на сколько тонн?
Почему?
Решение задачи сводится к сравнению двух разно-
стей при одном и том же вычитаемом. Если дети начи-
нают решение обычным способом, выполнив три дейст-
вия вычитания, не надо называть решение неверным,
но необходимо выяснить более короткий способ — срав-
нение уменьшаемых (при равных вычитаемых) путем
одного действия вычитания. При объяснении вопрос
ставится конкретно. Расход угля каждый месяц одина-
ков. Но к началу первого месяца угля было на 300 г
больше, следовательно, и остаток угля к концу первого
месяца должен быть на 300 т больше. После этого да-
ется пример на изменение разности при увеличении
уменьшаемого на 1, 2 и т. д. единицы.
После сравнения остатков и уменьшаемых дети де-
лают вывод: Если к уменьшаемому прибавить не-
сколько единиц, остаток увеличится на столько же еди-
ниц.
В случае затруднений напоминается, что уменьшае-
мое показывает, сколько было всего единиц, если это
число увеличилось на несколько единиц, а вычитаемое
не изменилось, значит, в остаток должны войти все
прибавленные единицы.
Подобным же образом делается вывод правила
при уменьшении уменьшаемого сначала на 1, 2, потом
на несколько единиц: Если от уменьшаемого отнять не-
сколько единиц, то остаток уменьшится на столько же
единиц.
В этом случае общее количество (сумма) единиц вы-
читаемого и остатка уменьшается, но вычитаемое не
изменяется, следовательно, остаток должен уменьшить-
ся на столько же единиц.
Дальше изучается изменение остатка при измене-
нии вычитаемого. Рассматривается задача:

Чтобы осушить болото, надо вырыть две канавы по
526 м каждая. Одна бригада вырыла 200 м, вторая
250 м. Какой бригаде осталось больше работать? На
сколько метров одна бригада вырыла больше другой?
Почему на 50 м?
Если задача сначала решается тремя действиями,
необходимо потом перейти к другому способу решения.
Вопрос ставится в конкретной форме. Каждая бригада
должна вырыть по 526 м канавы, то есть работа у них
одинаковая. Но вторая бригада вырыла на 50 м больше,
чем первая, следовательно, ей осталось рыть на 50 м
меньше, чем первой, или, если первая бригада вырыла
на 50 м меньше второй, значит, ей осталось рыть на 50 м
больше, чем второй. Таким путем выясняют, что: если
уменьшаемое не изменено, а вычитаемое сделали больше
на несколько единиц, то остаток стал меньше на столько
же единиц, или если вычитаемое сделали меньше на
несколько единиц, то остаток стал больше на столько же
единиц (вычитаемое больше — остаток меньше; вычитае-
мое меньше — остаток больше).
Изменение вычитаемого и остатка — вопрос трудный
для учащихся. Поэтому надо больше обратить внимание
на разбор примеров на увеличение вычитаемого на 1, 2
и т. д., тщательно разъясняя в каждом примере, что все
единицы вычитаемого отнимаются от уменьшаемого;
всякая единица, прибавленная к вычитаемому, должна
быть отнята от уменьшаемого, в остаток не войдет, и
потому остаток на эту единицу уменьшится. Конкретные
случаи увеличения или уменьшения вычитаемого (на-
пример, если из имеющихся денег истратить больше,
то останется меньше, если истратить меньше, то оста-
нется больше) помогают разъяснить закон изменения
остатка и должны проводиться во всех затруднительных
случаях. Точно так же разбираются примеры на увеличе-
ние вычитаемого на несколько единиц.

После сравнения вычитаемых и остатков дети делают
вывод: Если к вычитаемому прибавили несколько
единиц, то остаток уменьшится на столько же единиц.
Изменение остатка при уменьшении вычитаемого
объясняется аналогично. Сначала дается задача.
Одному ученику предложили вычесть 342 из 517, а
другому — 310 из 517. У кого получился остаток боль-
ше? На сколько единиц? Почему?
Задача должна решаться сравнением вычитаемых
при одном и том же уменьшаемом. Уменьшаемое 517
заключает в себе единицы вычитаемого и остатка. Вы-
читаемое второго примера меньше на 32 единицы, по-
этому в остатке должно быть больше на 32 единицы.
Дальше подробно разбираются примеры.
Если от вычитаемого отнимем 1, 2, ... единицы, то
их не придется вычитать из уменьшаемого и остаток
будет соответственно больше на 1, 2, ... единицы; следо-
вательно, разность увеличится на столько же единиц.
Сравнив вычитаемые и остатки этих примеров, дети
делают вывод: Если от вычитаемого отнимем не-
сколько единиц, то остаток увеличится на столько же
единиц.
Изменение остатка при одновременном изменении
обоих чисел усваивается детьми труднее уже разобран-
ных случаев. Здесь надо обратить особое внимание на
тот случай, когда остаток не изменяется, если к обоим
компонентам вычитания прибавляют одно и то же число
или от обоих компонентов отнимают одно и то же число.
Берется задача с конкретным содержанием.
* Из колхозной хлебопекарни при ежедневной вы-
печке в 100 кг отправляли в магазин 80 кг, остальной
хлеб брали в столовую. Когда выпечку увеличили на
30 кг, стали отправлять в магазин на 30 кг больше,
остальной хлеб по-прежнему брали в столовую. Сколько
хлеба брали в столовую до увеличения выпечки и после
увеличения выпечки?

Решение задачи объясняется так: 100 кг— это умень-
шаемое, 80 кг — вычитаемое, количество хлеба для сто-
ловой — остаток.
Во втором случае к уменьшаемому и вычитаемому
прибавили по 30 кг, остаток не изменился. Действительно,
если увеличить только выпечку хлеба (уменьшаемое), то
и остаток увеличится на 30.
100 кг — 80 кг = 20 кг, 130 кг — 80 кг = 50 кг.
Но к вычитаемому прибавили тоже 30 кг, следовательно,
остаток 50 кг должен уменьшиться на 30 кг, т. е. 130 кг —
— 110 кг=20 кг. Итак, остаток не изменился.
Хорошо иллюстрировать этот случай изменения ком-
понентов вычитания (увеличение уменьшаемого и вычи-
таемого на одно и то же число) задачами на сравнение
возраста двух людей в данный момент и через несколько
лет. Пример:
* Сестре 30 лет, брату 27 лет. Какая разница будет
в их возрасте через 10 лет?
Решение задачи. Возраст сестры — уменьшае-
мое, возраст брата — вычитаемое, 3 года — разность их
лет. К уменьшаемому и вычитаемому прибавилось по
10 лет, разность не изменилась. А какая будет разность
через 12 лет? Через 20 лет?
Дальше прибавление к компонентам вычитания
одного и того же числа иллюстрируется на примерах:
Изменение остатка рассматривается последовательно
при изменении уменьшаемого, потом при изменении вычи-
таемого. Объяснение может быть такое: при прибавлении
нескольких единиц к уменьшаемому эти единицы, если
вычитаемое не изменилось, должны войти в остаток.
Дальше увеличиваем вычитаемое на столько же единиц
(уменьшаемое берем измененное), остаток должен быть
меньше на это число единиц. Поэтому остаток принимает
первоначальную свою величину.
Уменьшение на одно и то же число обоих компонентов
вычитания должно рассматриваться также сначала на
задачах, например на задачах о разности возрастов.

* Сестре 30 лет, брату 27 лет. А какая была разница
в их возрастах 5 лет тому назад? 10 лет тому назад?
13 лет тому назад?
Решение объясняется подобно приведенному выше.
Примеры: 170 — 90 = 80; 150 — 90 = 60; 150 —
— 70 = 80 или 845 — 320 = 525; 805 — 320 = 485; 805 —
— 280 = 525 и др.
Другие случаи одновременного изменения компонен-
тов вычитания на несколько единиц приводятся также
к последовательному изменению остатка сначала от из-
менения уменьшаемого, потом от изменения вычитаемого.
Разберем пример:
375—213=162. Л' уменьшаемому прибавить 55, от
вычитаемого отнять 15. Как изменится остаток?
Объяснение р е ш е н и я: если к уменьшаемому при-
бавить 55, то остаток увеличится на 55: 430—213 = 217;
если теперь от вычитаемого отнять 15, то остаток еще
увеличится на 15. Остаток увеличится 55+15 = 70,
430— 198 = 232, 232— 162= 70.
Объяснение можно давать без промежуточных ре-
шений.
Например: 215—183 = 32. От уменьшаемого отни-
мем 27, остаток станет меньше на 27. От вычитаемого от-
нимем 60, следовательно, остаток должен увеличиться
на 60, т. е. новый остаток уменьшится на 27 и увеличится
на 60 единиц. Увеличение больше, чем уменьшение, на 33
(60 — 27 = 33). В итоге изменения уменьшаемого и вы-
читаемого остаток станет больше на 33. Новый остаток
равен (32 + 33 = 65) 65. Проверка. (215-27)-
— (183 — 60) = 188 — 123 = 65.
При рассмотрении изменений обоих компонентов вы-
читания могут быть следующие случаи:
1. К уменьшаемому и вычитаемому прибавляют по
нескольку единиц, причем к уменьшаемому больше, чем
к вычитаемому. Остаток увеличится на разность при-
бавляемых чисел.
170 — 25= 145.
(170 + 30) — (25 + 10) = 145 + (30 — 10) = 165.
Проверка. 200 — 35= 165.
2. К обоим членам вычитания прибавляют по несколь-
ку единиц, но к уменьшаемому меньше, чем к вычитае-

мому. Остаток уменьшается на разность прибавляемых
чисел.
(170+ 15) —(25 + 45)= 145 —(45— 15)= 115.
Проверка: 185-70=115.
3. От уменьшаемого и вычитаемого отнимают по
нескольку единиц, но от уменьшаемого отнимают боль-
ше, чем от вычитаемого. Остаток уменьшается на раз-
ность отнимаемых чисел.
170 — 25= 145; (170 - 50) — (25 - 15) = 145 — 35 = 110;
120—10= ПО; 50— 15 = 35 и 145 — 35 = ПО.
4. От обоих компонентов вычитания вычитают по
нескольку единиц, но от уменьшаемого меньше, чем от
вычитаемого. Остаток увеличивается на разность отни-
маемых чисел.
170 — 25 = 145.
(170 — 15) — (25 — 20) = 145 + (20 — 15).
5. К уменьшаемому прибавляют, от вычитаемого от-
нимают. Остаток увеличивается на сумму чисел: при-
бавляемого и отнимаемого.
150—115 = 35
(150 + 30) — (115 — 15) = 35 + (30 + 15)
180 — 100 = 80; 30 + 15 = 45; 35 + 45 = 80.
6. От уменьшаемого отнимают, к вычитаемому при-
бавляют. Остаток уменьшается на сумму чисел:
отнимаемого и прибавляемого.
220— 130 = 90
(220 — 20) — (130 + 10) = 90 — (20 + 10)
200 — 140 = 60; 20 + 10 = 30; 90 — 30 = 60.
Выводы относительно изменения остатка применяются
при решении задач, примеров, составлении задач уча-
щимися, в которых определяют:
1) изменения остатка по данным изменениям умень-
шаемого и вычитаемого,

2) измененную разность по первоначальной разности
и изменениям уменьшаемого и вычитаемого,
3) изменения, которые нужно сделать в уменьшаемом
и вычитаемом, чтобы получилось желаемое изменение
в разности,
4) изменения остатка в особых приемах устного счета.
Разберем некоторые задачи и примеры.
/. Как изменится остаток, если к уменьшаемому при-
бавить 100, от вычитаемого отнять 20?
Решение. Если к уменьшаемому прибавить 100, к
остатку также прибавится 100, когда от вычитаемого
отнимем 20, измененный остаток станет больше еще на
20, итого (100 + 20) 120 — таково увеличение остатка.
* Ученик из некоторого числа вычитал 175 и получил
в остатке 280. Сколько получил в остатке другой ученик,
если от такого же числа он вычитал 200?
Решение. Уменьшаемые обоих примеров равны, но
вычитаемое у второго ученика больше на 25 (200— 175),
потому и остаток должен быть меньше на 25. Остаток
будет равен (280 — 25 = 255) 255.
2. В примере на вычитание получена разность 405.
Какая будет разность, если в уменьшаемом цифру сотен 6
заменить цифрой Бив вычитаемом цифру десятков 9
заменить цифрой 8?
Решение. Измененное уменьшаемое на 100 единиц
меньше, измененное вычитаемое на 10 единиц меньше.
Следовательно, разность должна уменьшиться на 100
единиц и увеличиться на 10 единиц. В итоге разность
уменьшится на £0 единиц и будет равняться 315.
3. К уменьшаемому прибавить 200 единиц, остаток
же увеличить на 140. Как надо изменить вычитаемое?
К уменьшаемому прибавили 200, остаток увеличился
на 200, от изменения вычитаемого он уменьшился на
(200—140 = 60) 60; значит, вычитаемое увеличили
на 60.
* Вычитаемое увеличено на 50; остаток увеличен
на 10. Как изменено уменьшаемое?
Вычитаемое увеличено на 50, остаток должен умень-
шиться на 50, а он увеличился на 10; следовательно,
уменьшаемое увеличено и на 50, и на 10, т. е. на (50 +
+ 10 = 60) 60 (если бы уменьшаемое увеличить на 50,
то остаток был бы равен первоначальной величине, но
его надо увеличить еще на 10, а всего на 60).

4. Изменение остатка в зависимости от изменения
уменьшаемого и вычитаемого изучается в особых приемах
устного счета.
Задача. В кассе 720 руб., из которых надо выдать
399 руб. Сколько денег останется в кассе?
1- е решен и е.720 руб. —399 руб. = 720 руб.—
— 400 руб. + 1 руб. = 321 руб. Объяснение: кассир вы-
дает 400 руб., но 1 руб. получает обратно.
720 — 399 = (720 — 400) + 1 = 321.
Здесь вычитаемое 399 увеличено на 1, получившийся
остаток 320 уменьшился на 1, потому увеличиваем его
на 1.
2- е решение. Если бы кассир сначала взял сдачу
1 руб., то у него составилось бы 721 руб., из которых
нужно отдать 400 руб. Здесь уменьшаемое и вычитаемое
увеличивается на 1 руб., остаток не изменился.
(720+ 1) —(399+ 1)- 721—400 - 321.
(4251 + 2) — (1998 + 2) = 4253 — 2000 = 2253.
Объяснение такое же.
* 8348-2006= (8348-2000) -6 = 6348-6 = 6342.
Вычитаемое уменьшаем на 6 (2000 вместо 2006),
остаток увеличиваем на 6, потому делаем поправку:
6348-6 = 6342.
В вышеразобранных примерах делается округле-
ние вычитаемого.
* 3997 - 480 = 4000 - 480 - 3 = 3520 -3 = 3517.
* 5999 - 3845 = 6000 - 3845 -1 = 2155 -1 = 2154.
В этих случаях упрощаем вычисления, делаем
округления уменьшаемого. При увеличении уменьшае-
мого на несколько единиц (на 3, на 1) остаток увели-
чивается на столько же единиц, поэтому делаем по-
правку, уменьшая остаток (на 3, на 1).
Примеры и задачи
1. Что сделается с разностью, если уменьшаемое
увеличить на 168, а вычитаемое уменьшить на 253?
2. Как изменится разность, если уменьшаемое
уменьшить на 277, а вычитаемое увеличить на 135?
3. Как изменится разность, если к уменьшаемому
и вычитаемому прибавить по 198?

4. Как изменится разность, если к уменьшаемому
прибавить 394, а к вычитаемому 301?
5. Что сделается с разностью, если от уменьшаемо-
го отнять 317, а от вычитаемого 98?
6. Что сделается с разностью, если от уменьшаемо-
го отнять 498, а от вычитаемого 542?
7. Что сделается с разностью, если к уменьшаемо-
му прибавить, а от вычитаемого отнять 198?
8. Что сделается с разностью, если от уменьшаемо-
го отнять, а к вычитаемому прибавить 299?
9. Условия примеров на
изменение разности можно
записывать кратко в виде
таблицы 2 (см. § 9 «Измене-
ние суммы»).
а) Здесь в первой строч-
ке записан пример: умень-
шаемое увеличено на И, вы-
читаемое уменьшено на 3.
Как изменилась разность?
б) Во второй строчке:
вычитаемое увеличено на 15. Что надо сделать с умень-
шаемым, чтобы разность уменьшилась на 1?
в) Уменьшаемое уменьшено на 4. Что надо сделать
с вычитаемым, чтобы разность не изменилась?
10. В огороде, площадь которого 60 а, были посаже-
ны картофель, лук и морковь, в другом огороде под
картофелем было на 10 а больше, чем, в первом, а под
луком и морковью на 8 а меньше, чем в первом. Какую
площадь занимал второй огород?
11. В семье взрослых меньше, чем девочек, на од-
ного человека, и больше, чем мальчиков, на 3 чело-
века. На сколько в семье девочек больше, чем мальчи-
ков?
12. На столе тарелок на 5 штук больше, чем стака-
нов, а чашек на 4 штуки меньше, чем тарелок. Чего на
столе больше: чашек или стаканов и на сколько?
13. Плата за квартиру на 3 руб. больше платы за
газ, а плата за электричество на 2 руб. меньше платы
за квартиру. Что больше: плата за газ или за электри-
чество и на сколько?
14. Среди молодежи колхоза участников спортивно-
го кружка на 13 больше, чем участников драматическо-
Таблица 2

го кружка, и на 21 меньше, чем участников хорового
кружка. В каком кружке больше участников — в хоро-
вом или в драматическом — и на сколько человек?
15. В саду вишневых деревьев больше, чем груше-
вых, на 30 и меньше, чем яблонь, на 40. Каких деревь-
ев больше — яблонь или груш — и на сколько?
16. Отец старше матери на 3 года и старше дочери
на 26 лет. На сколько лет дочь моложе матери?
17. В огороде гряд с морковью на 10 штук больше,
чем с редисом, и на 11 штук меньше, чем с огурцами.
Каких гряд в огороде больше: с огурцами или с реди-
сом и на сколько гряд?
18. Ученик купил тетради в клетку и в линейку, при-
чем тетрадей в клетку он купил на 25 больше, чем тет-
радей в линейку. Сколько надо израсходовать тетрадей
в клетку, чтобы их осталось на 10 меньше, чем тетра-
дей в линейку?
19. На первой полке на 23 книги больше, чем на
второй. Как изменится разность между числом книг на
полках, если с первой переложить на вторую 11 книг?
20. В двух мешках лежат яблоки; в первом мешке
на 70 яблок больше, чем во втором. В каком мешке яб-
лок будет больше и на сколько, если переложить из
первого мешка во второй 45 яблок?
21. На этажерке лежало на 53 книги больше, чем
в шкафу. Сколько книг надо переложить с этажерки
в шкаф, чтобы на этажерке было на 13 книг меньше,
чем в шкафу?
22. В одном баке на 16 л керосина больше, чем
в другом. Что надо сделать: 1) чтобы в первом баке
стало больше, чем во втором на 20 л?
2) чтобы в первом баке стало больше на 10 л?
3) чтобы в первом баке стало меньше на 4 л?
4) чтобы в первом баке стало меньше на 20 л?
23. К концу недели в магазине осталось 25 кг су-
шеных грибов II сорта. Сколько осталось в магазине
сушеных грибов I сорта, если в начале недели их было
на 15 кг меньше и продали их на 15 кг меньше, чем гри-
бов II сорта?
24. Трактористу осталось убрать на его участке
14 га. Сколько осталось убрать другому трактористу,
если его участок был больше на 3 га и убрал он боль-
ше на 3 га, чем первый?

25. На одном заводе на 235 рабочих больше, чем
на другом. На первый завод приняли еще 178 рабочих,
на второй 345. На сколько рабочих больше работает
теперь на первом заводе?
26. В совхозном стаде овец больше, чем коров, на
578 голов, прикупали 350 овец и 200 коров. На сколько
голов овец стало больше, чем коров?
27. В одном баке на 250 л керосина меньше, чем в
другом. Из второго бака перелили в первый 125 л. В ка-
ком баке стало больше керосина и на сколько?
28. В одной коробке на 400 г меньше конфет, чем
в другой. Сколько конфет надо переложить из второй
в первую, чтобы: а) в обеих стало поровну? б) чтобы
в первой стало на 100 г больше, чем во второй?
29. Два тракториста обрабатывали пашню. Одному
из них осталось обработать 350 га пашни. Сколько гек-
таров пашни осталось обработать второму трактори-
сту: 1) если он обработал на 30 га меньше первого,
а его пашня была на 40 га больше? 2) если он обрабо-
тал на 45 га меньше первого, а его пашня была на 28 га
больше? 3) если он обработал на 13 га больше первого,
а его пашня была на 21 га меньше? 4) если он обрабо-
тал на 32 га больше первого, а его пашня была на 14 га
меньше?
30. Из суммы, отпущенной на постройку дачи, оста-
лось после постройки 275 рублей. На постройку другой
дачи было отпущено на 1785 рублей больше, а после
постройки осталось 3265 рублей. На сколько дороже
обошлась постройка первой дачи?
31. В одном городе 65 000 жителей, а в другом 40 000.
Население первого города возрастает ежегодно на 4000
человек, а население второго — на 6500 человек. Через
сколько лет население обоих городов уравняется?
32. В одном мешке на 1 кг 500 г больше сахара, чем
в другом мешке, а) Во второй мешок прибавили 2 кг.
В каком мешке стало больше и на сколько? б) Из пер-
вого мешка отсыпали 3 кг, во второй прибавили 2 кг.
На сколько больше сахара стало во втором мешке?
33. Один овощной магазин получил с базы больше
на 500 кг овощей, чем другой магазин. Первый магазин
продал за день 1 т 300 кг овощей, второй 1 т 100 кг. На
сколько больше овощей осталось к концу дня в первом
магазине?

34. В магазине были яблоки и 210 кг мандаринов. За
день мандаринов было продано на 20 кг 500 г больше,
чем яблок, а осталось их к концу дня на 50 кг 500 г мень-
ше, чем яблок. Сколько яблок было в магазине сначала?
35. Составить задачу на вычитание числа 387 из чис-
ла 529. Изменить условие задачи так, чтобы: 1) умень-
шаемое и вычитаемое увеличить на 13; 2) уменьшаемое
увеличить на 70, а вычитаемое уменьшить на 70; 3) раз-
ность (или остаток) уменьшить на 40 (два способа).
Изменение суммы и разности в зависимости от изме-
нения компонентов применяется при решении типовых
задач, требующих деления чисел на 2 или на несколько
частей, разностные отношения которых даны (нахожде-
ние неизвестных чисел по сумме и разности).
36. Когда из ящика переложили в корзину 30 яиц,
то в корзине оказалось на 10 яиц больше, чем в ящике.
На сколько яиц в ящике первоначально было больше,
чем в корзине?
37. В колхозе имеются два смежных участка: боло-
тистый и пахотный. После того как осушили 600 кв. м
болотистого участка и присоединили к пахотному, пахот-
ный участок оказался на 140 кв. м больше болотистого.
На сколько квадратных метров болотистый участок был
больше пахотного?
38. Два садовода-любителя купили 300 штук цветоч-
ной рассады и заплатили поровну. Один в своем саду
посадил на 40 штук рассады меньше, чем второй садо-
вод, и поэтому он получил со второго садовода 1 руб.
60 коп. Сколько стоил десяток рассады?
39. В библиотеке были немецкие и английские книги.
1) Если бы вместо 80 немецких книг было столько же
английских книг, то все же немецких осталось бы на
20 книг больше, чем английских. На сколько больше
немецких книг в библиотеке?
2) Если бы вместо ПО немецких книг было ПО ан-
глийских книг, то каких бы книг было больше и на
сколько?
3) Составить похожие задачи, изменяя число немец-
ких или английских книг и не изменяя общего числа
книг.
40. При постройке железной дороги сделаны 3 тонне-
ля. Длина первого и второго тоннелей составляет
1440 му длина первого и третьего 1350 м, длина второ-

го и третьего тоннелей — 1520 м. Найти длину каждого
тоннеля.
41. Благодаря применению искусственных материа-
лов для обуви ежегодно сберегается 27 млн. шкур круп-
ного и мелкого рогатого скота, причем шкур мелкого ро-
гатого скота сберегается на 17 млн. меньше, чем шкур
крупного рогатого скота. Поставить вопрос.
42. Четыре летчика малой авиации обработали с са-
молета 119 000 га колхозных полей. Первый летчик обра-
ботал на 1000 га больше второго, третий и четвертый лет-
чики обработали поровну, но вместе они обработали с
воздуха на 31 000 га меньше, чем первые два летчика.
Сколько гектаров колхозных полей обработал каждый
летчик?
43. За первое полугодие 1965 года по СССР автомо-
билей, тракторов и мотоциклов с мотороллерами произ-
ведено всего 837 тысяч штук. При этом мотоциклов и
мотороллеров выпустили на 62 тыс. штук больше, чем
автомобилей, а автомобилей на 130. тыс. больше, чем
тракторов. Сколько штук каждого вида транспорта
произведено по Союзу за полугодие?
44. За первое полугодие 1965 года по СССР произве-
дено 3617 млн. кв. метров ткани. При этом хлопчатобу-
мажной ткани произведено на 1823 млн. кв. м больше,
чем шерстяной, льняной и шелковой ткани. Шерстяной
ткани произведено на 52 млн. кв. м меньше, а шелковой
на 133 млн. кв. м больше, чем льняной. Сколько каждой
ткани произведено по Союзу за первое полугодие
1965 года?
В существующей программе по арифметике для младших клас-
сов школы предлагается изучать зависимость между компонентами
и результатами действий. Свойства суммы и разности записаны
в проекте программы школы с трехгодичным сроком обучения.
В практике работы школы эти свойства находят применение на уро-
ках и на внеклассных занятиях при изучении целых чисел. Поэтому
мы приводим примеры на свойства суммы и разности, которые
можно использовать три изучении арифметики.
I. Перестановка компонентов сложения
и вычитания
А. 1) 5687 + 579 - 687 = 5000 + 579 = 5579.
2) 7235 + 697 - 235 = 7235 - 235 + 235 + 697 - 235 - 7235-
- 235 + (235 + 697) - 235 = 7235 - 235 + (697 + 235) - 235 =

= 7235 - 235 + 697 + 235 - 235 = 7235 - 235 + 697 = 7000 + 697 =
= 7697.
3) 8495 + 572 - 495.
Б. 1) 727 - 484 - 127 = 600 - 484 = 116.
2) 2475 - 592 - 142 = 2475 - 142 + 142 - 592 - 142 = 2475-
- 142 - 592 + 142 - 142 = 2475 - 142 - 592 = 2333 - 592 - 1741.
3) 3561 - 672 - 561.
II. Прибавление к числу разности
Л. 1) 642 + (358 - 269) = 1000 - 269 = 731.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы к данному числу прибавить
разность двух других чисел, достаточно к данному числу прибавить
уменьшаемое и вычесть вычитаемое.
2) 6420 + (3580 - 1736) = 6420 + 3580 - 1736 = (6420 +
+ 3580) - 1736 = 10 000 - 1736 = 8864.
3) 8425 + (1575 - 4798).
Б. 1) 548 + (629 - 348) = 200 + 629.
При решении подобных примеров применяется свойство ариф-
метических действий: Чтобы к данному числу прибавить разность
двух других чисел, достаточно из данного числа вычесть вычитаемое
и прибавить уменьшаемое.
2) 372 + (459 - 272) - 372 + 459 - 272 = 372 - 272 + 459 =
= (372 - 272) 4- 459 = 100 + 459 = 559.
3) 1268 + (547 - 268).
III. Вычитание из числа суммы
1) 847 - (147 + 278) = 700 - 278 = 422.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы из данного числа вычесть сум-
му, достаточно вычесть из него каждое слагаемое одно за другим.
2) 1548 - (629 + 348) = 1548 - 629 - 348 = 1548 - 348 - 629 =
= 1200 - 629 = 571.
3) 847 - (147 + 288).
IV. Вычитание из числа разности
Л. 1) 912 - (212 - 137) = 700 + 137 = 837.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы из данного числа вычесть
разность двух чисел, достаточно вычесть уменьшаемое и прибавить
вычитаемое.
2) 6120 - (2120 - 382) = 6120 - 2120 + 382 = (6120 - 2120) +
+ 382 = 4000 + 382 = 4382.
3) 3742 - (1742 - 2678).
Б. 1) 827 - (368 - 173) = 1000 - 368 = 632.
Таким образом, чтобы из данного числа вычесть разность, до-
статочно к этому числу прибавить вычитаемое и отнять уменьшае-
мое, так как в арифметике нельзя из меньшего числа вычитать боль-
шее число, то в случае, если уменьшаемое будет больше данного
числа, из которого вычитается разность двух чисел, применять необ-
ходимо второй прием вычитания из числа разности, во всех осталь-

ных случаях выбираем то правило вычитания из числа разности,
которое дает более быстрые и простые вычисления.
2) 2354 - (965 - 1246) = 2354 - 965 + 1246 = 2354 + 1246 —
- 965 = (2354 + 1246) - 965 = 3600 - 965 = 2635.
V. Вычитание из суммы числа
/) (357 + 476) - 257 = 100 + 476 = 576.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы из суммы нескольких чисел
вычесть какое-нибудь число, достаточно вычесть его из одного (боль-
ше этого числа или равного ему) слагаемого данной суммы.
2) (527 + 486) - 227 = 527 + 486 - 227 - 527 - 227 + 486 =
= (527 - 227) + 486 = 300 + 486 = 786.
3) (735 + 268) - 435.
VI. Вычитание из разности числа
Л. I) (826 - 438) - 126 = 700 - 438 = 262.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы из разности вычесть какое-ни-
будь число, достаточно из уменьшаемого вычесть данное число и из
полученного числа вычесть вычитаемое.
2) (4317 - 1928) - 317 = 4317 - 1928 - 317 = (4317 - 317) -
- 1928 = 4000 - 1923 = 2072.
3) (5739 - 897) - 739.
Б. 1) (732 - 453) - 247 = 732 — 453 - 247 = 732 - (453 + 247)
(сочетательное свойство) = 732 — 700 (сложение чисел) = 32 (вычи-
тание) .
При решении подобных примеров применяется следующее свойст-
во арифметических действий: Чтобы из разности вычесть какое-ни-
будь число, достаточно данное число прибавить к вычитаемому и по-
лученное число вычесть из уменьшаемого.
2) (5243 - 1354) - 1646 = 5243 - 1354 - 1646 = 5243 - (1354 +
+ 1646) = 5243 - 3000 = 2243.
VII. Вычитание из суммы другой суммы
/) (343 + 674) - (243 + 324) = 100 + 350 = 450.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы из суммы нескольких слагае-
мых вычесть другую сумму, достаточно из отдельных слагаемых
первой суммы вычесть меньшие или равные им по величине слагае-
мые второй суммы, а результаты этих вычитаний сложить.
2) (743 + 678) - (543 + 328) = (743 + 678) - 543 - 328 =
= 743 + 678 - 543 - 328 = 743 - 543 + 678 - 328 = (743 -
- 543) + (678 - 328) = 200 + 350 = 550.
3) (965 + 987) - (765 + 813).
§ 11. ИЗМЕНЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Изменение произведения может происходить от изме-
нения сомножителей путем сложения, вычитания, умно-
жения, деления Начнем с изменения произведения пу-

тем прибавления к одному из сомножителей нескольких
единиц.
1. Изменение произведения от прибавления к
множителю и от вычитания из множителя
нескольких единиц.
Начнем с задачи. Карандаш стоит 8 коп. Сколько
стоят 5 карандашей?
А если купить не 5, а 6 карандашей?
Запишем решения: 8 коп.Х5 = 40 коп.
8 коп. х 6 = 48 коп.
Сравнив множимые, множители и произведения, уче-
ники видят, что второе произведение увеличилось на 8,
т. е. на одно множимое, потому что к множителю при-
бавили 1. Результат сравнения можно разъяснить ука-
занием на то, что оба произведения представляют суммы
равных слагаемых, но только во второй сумме одним
слагаемым больше.
8 + 8 + 8 + 8 + 8-40
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 48
После этого к множителю прибавляют несколько еди-
ниц, например: Сколько стоили бы 9 карандашей по
8 коп.?
Результат находят, вычислив сумму не 5-ти, а 9-ти
равных слагаемых.
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8= 72
Сравнив новое произведение с первоначальным, уста-
навливают, что новое произведение больше первоначаль-
ного на 32, или на 8x4, так как в последней сумме на
4 слагаемых больше, чем в первой.
Разбираются и другие примеры:
14x3= 42 14+14+ 14 = 42
14x4= 56 14+14+14+14 = 56
14x8= 112 14 + 14+14+14+14+14+ 14 + 14=112
Умножение заменяют сложением равных слагаемых.
Учащиеся сравнивают суммы и устанавливают, по-
чему вторая сумма больше первой на 14 и третья больше
первой на 14x5 = 70.

Решают примеры: 12 х 3 = 36
12 х 4 = 48
12 х 7 = 84
Сравнивая результаты, ученики объясняют, какое
увеличение произошло в результатах и почему именно
такое.
Закон изменения произведения путем изменения мно-
жителя сложением можно формулировать так: Если мно-
житель увеличить на несколько единиц, то произведение
увеличится на число этих единиц, умноженных на мно-
жимое.
Учащиеся могут объяснить увеличение произведения,
указав на увеличение числа равных слагаемых.
Таким же путем разбираются задачи и примеры на
уменьшение множителя на 1 или несколько единиц. Мож-
но, например, предложить учащимся придумать задачу,
в которой надо было бы 60 умножить на 5, и потом из-
менить ее так, чтобы 60 множилось на 4. Какое произ-
ведение меньше? Почему?
Из примеров, где от множителя отнимают 2, 3, 4,
делается соответствующий вывод об уменьшении произ-
ведения при уменьшении множителя на несколько
единиц.
2. Изменение произведения от измене-
ния множимого на 1 или несколько еди-
ниц.
Задача. Ручка стоит 7 коп. Сколько стоят 5 ру-
чек?
7 коп. X 5 = 35 коп.
А если бы каждая ручка была на 1 коп. дороже,
сколько стоили бы 5 ручек?
8 коп. X 5 = 40 коп.
Объяснение может быть таким. Заменим умножение
сложением: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35; прибавим к каждому
слагаемому по 1, к сумме 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40, т. е. к произ-
ведению прибавилось столько единиц, сколько было сла-
гаемых, т. е. 5, или произведение увеличилось на число,
равное множителю.
Сколько стоили бы 5 ручек, если бы каждая была
дороже на 3 коп.?

Записываем решение путем сложения: 11 + 11 + 11 +
+ 11 + 11=55. К каждому слагаемому прибавилось 3,
к сумме, т. е. к произведению, прибавилось столько раз
по 3, сколько было слагаемых, т. е. 3x5, или 3, умножен-
ное на множитель.
Разбираются еще примеры:
Дано: 2x7 = 14
3x7 = 21 (произведение увеличилось на 7)
5 х 7 = 35 (произведение увеличилось на [3x7 =
= 21] 21)
В случае затруднения делают замену умножения сло-
жением:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2= 14
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35
Этот закон изменения произведения можно форму-
лировать так: Если множимое увеличить на несколько
единиц, то произведение увеличится на число этих еди-
ниц, умноженных на множитель.
Дети сумеют объяснить увеличение произведения
увеличением каждого из равных слагаемых на одно и то
же число, в результате чего это число повторяется столь-
ко раз, сколько было слагаемых, т. е. сколько единиц
во множителе.
Точно так же проводится объяснение уменьшения
произведения вследствие уменьшения множимого на не-
сколько единиц.
Вследствие того, что множимое и множитель явля-
ются равносильными сомножителями, оба случая изме-
нения (множителя и множимого) можно соединить в
одной формулировке: Если один из сомножителей уве-
личим (уменьшим) на какое-нибудь число, то произве-
дение увеличится (уменьшится) на это число, умножен-
ное на другой сомножитель.
3. Изменение произведения от умно-
жения одного из сомножителей на неко-
торое число.
Начинаем с задачи: В книжный магазин доставили
из типографии сначала 8 пачек книг по 25 штук в каж-
дой, потом еще 8 таких же пачек и, наконец, еще 8 та-

ких же пачек. Сколько книг доставлено в первый раз?
Сколько книг доставлено в первые два раза? Во все три
раза?
Чтобы определить число книг, доставленных в пер-
вый раз, надо 25 умножить на 8 (результат 200); для
определения числа книг, доставленных в первые два раза,
можно или 25 умножить на 16, или сложить 200 и 200;
для определения числа книг, доставленных во все три
раза, можно 25 умножить на 24, или сложить 200 + 200 +
+ 200. Получаются три произведения: 25x8 = 200; 25 Х
X 16 = 200 + 200=400; 25x24 = 200 + 200 + 200 = 600, самое
образование которых показывает, что от умножения
множителя на 2 произведение умножается на 2, что от
умножения множителя на 3 произведение умножается
на 3. Этот вывод применяется на примерах, причем уча-
щиеся не только определяют изменение произведения,
но и объясняют его.
Берем пример: 50x6, а 6 увеличим в 4 раза. Если
вместо множителя 6 возьмем 6, повторенное 4 раза, то
к 6 прибавляем 6 + 6 + 6. Но при умножении 50 на 6+
+ 6 + 6 + 6 к начальному произведению 50x6 = 300 при-
бавится еще 50X6 + 50X6 + 50X6, или 300 + 300 + 300.
Итак, произведение 50Х (6X4) =300 + 300 + 300 + 300,
т. е. (50X6) Х4. Иначе: так как 50x6 = 300, то от каж-
дого прибавления к множителю 6 к произведению каж-
дый раз прибавляется 6 раз по 50, т. е. 300; когда к
множителю прибавили 3 раза по 6, то к произведению
прибавится 3 раза по 300, да в нем было 300, и потому
в нем будет 4 раза по 300, т. е. оно умножится на 4.
Разберем еще один пример. В произведении 15x3
увеличим множитель в 2 раза. Сделаем вывод, что про-
изведение тоже увеличится в 2 раза. Действительно:
умножение 15x3 есть сложение трех равных слагаемых:
15+15+15 = 45. Тогда как умножение 15x6 есть на-
хождение суммы 6-ти таких же слагаемых: 15+15+15 +
+ 15+15+15, а эта сумма больше первой в 2 раза.
Увеличение множителя в несколько
раз следует проработать графически, с помощью пря-
моугольника. На рисунке 5 — прямоугольник, длина ко-
торого 5 единиц, ширина 2 единицы, площадь его 5Х
Х2=10 (кв. ед.). Не изменяя длины, увеличим ширину
до 4 единиц. Площадь нового прямоугольника равна
5X4 = 20 (кв. ед.).

Задаются вопросы: Какова длина первого прямо-
угольника? Какова его ширина? Какова площадь? За-
даются те же вопросы относительно второго прямоуголь-
ника. Во сколько раз ширина второго прямоугольника
Рис. 5
больше ширины первого прямоугольника? Во сколько
раз площадь второго больше, чем площадь первого пря-
моугольника? Ответьте на вопросы, глядя на рисунок 5.
Из всего разобранного материала делается вывод:
Если множитель увеличить в несколько раз, произведе-
ние увеличится во столько же раз.
4. Изменение произведения от умно-
жения множимого на некоторое число.
Это изменение лучше объяснить детям графически,
с помощью прямоугольника (рис. 6).
Рис. С
На рисунке 2 прямоугольника с одинаковой высотой
(3 ед.), но различными основаниями (4 и 8 ед.). Под
руководством учителя дети сравнивают длину, ширину
и площади прямоугольников. Площадь первого равна
4X3=12 (кв. ед.). Площадь второго равна 8X3 =
= 24 (кв. ед.).

Множимое 8 больше 4-х в два раза, и произведение
24 больше 12 в два раза, что видно и на рисунке.
Дальше разбираем задачу:
Скорость велосипедиста 15 км в час, скорость авто-
мобиля 60 км в час. Какое расстояние проехал вело-
сипедист за 3 часа? Какое расстояние проехал автомо-
биль за 3 часа? Во сколько раз автомобиль проедет
больше, чем велосипедист? Почему в 4 раза?
Решение запишем так:
15x3=45 (км); 60x3=180 (км); 180 км : 45 км = \.
Дети сравнивают множимые и произведения и де-
лают вывод: если множимое увеличить в 4 раза, произ-
ведение увеличится в 4 раза.
Разбирается пример: 30x3 = 90. Увеличим множимое
в 2 раза: 60x3=180. Произведение увеличилось в 2 раза.
Действительно, первое и второе произведения можно
заменить суммой трех равных слагаемых: 30 + 30 + 30 =
= 90. Второе произведение 60 + 60 + 60=180, но здесь
каждое слагаемое в два раза больше, чем слагаемое
первой суммы, т. е. 2-е произведение больше 1-го произ-
ведения в два раза.
Из разобранных задач и примеров делается вывод:
Если множитель увеличить в несколько раз, то произве-
дение увеличится во столько же раз.
Выводы относительно увеличения произведения при
увеличении множимого и множителя можно объединить:
Если один сомножитель увеличить в несколько раз, то
произведение увеличится во столько же раз.
5. Изменение произведения путем де-
ления одного из сомножителей.
Это изменение произведения можно формулировать
так: если сомножитель уменьшить в несколько раз,
то произведение уменьшится во столько же раз.
Разбор этого вопроса ведется так же, как изменение
произведения от уменьшения одного из сомножителей.
Лучше начать с графической иллюстрации вопроса на
прямоугольниках, потом разбираются задачи и записи
примеров на отвлеченных числах. Числовые примеры
ограничиваются случаями, когда данный сомножитель
делится нацело на целое число.
6. Изменение произведения от измене-
ния обоих сомножителей.

Изменения произведения при одновременных изме-
нениях сомножителей легко понимаются детьми, если
требуется найти измененное произведение. Если же тре-
буется определить, как изменится произведение при
данных изменениях сомножителей, то в большей части
случаев дети ошибаются, полагая, что при умножении
множимого на одно число и множителя на другое про-
изведение умножается на сумму этих чисел; что при
делении каждого сомножителя произведение разделит-
ся на сумму делителей; что при умножении одного со-
множителя на какое-нибудь число и при делении другого
сомножителя на другое число произведение умножится
или разделится на разность этих чисел. Исправить эти
ошибки, исходя из понятия об умножении, для детей
трудно; более понятным для них является сопоставление
измененных произведений с начальными.
Так, взяв пример: 20X10 = 200, и найдя, во что обра-
тится произведение 200, когда множимое умножится
на 3, множитель на 5, дети из сравнения полученного
произведения 3000(60x50) с начальным 200 смогут вы-
вести, что начальное произведение умножилось на 15,
т. е. на произведение 3x5, а не на сумму 3 + 5 = 8.
Чтобы подготовить учащихся к изменению произве-
дения от одновременного изменения сомножителей, мож-
но предложить примеры следующего характера:
* Возьмем линию определенной длины, например
в 5 см, изобразим ее одной клеткой (рис. 7), потом уве-
личим в три раза, что получится? Увеличим в два раза
полученный результат. Во сколько раз увеличилась дли-
на линии?
Рис. 7
Произведение 5x3, это 5 + 5 + 5; увеличим его в два
раза, получим (5 + 5 + 5) + (5 + 5 + 5).
Вычисление: 5X3=15, 15x2=30, 30:5 = 6, ответ:
в 6 раз.

* Возьмем линию определенной длины, например
в 60 см. Изобразим ее, например, 10-ю клетками, умень-
шим эту линию в 5 раз, уменьшим в 2 раза. Во сколько
раз уменьшилась линия? (Рис. 8.)
Рис. 8
Ответ: уменьшилась в 10 раз.
* Вычисли: 60 уменьшить в 5 раз; что получится,
уменьшить в 2 раза. 60:5=12; 12:2 = 6; 60:6=10.
* Возьми линию определенной длины, например
5 см. Изобрази ее одной клеткой, потом увеличь ее в
12 раз; то, что получится, уменьши в 4 раза. Как изме-
нилась длина линии? (Рис. 9.)
Рис. 9
Увеличилась в 3 раза. Сосчитай: 5 увеличить в 12 раз,
что получилось? 5X12 = 60. Уменьшить в 4 раза. 60:4 =
= 15; во сколько раз больше длина линии? 15:5 = 3 или
5x12 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5+5 + 5 + 5 = 60. Эти 12
равных слагаемых делим на 4, получаем 3 равных сла-
гаемых.
* Возьми линию определенной длины, например
60 см. Уменьши ее в 20 раз, то, что получится, увеличь
в 4 раза. Как изменится длина линии?
Изобрази 60 см, хотя бы 10-ю клетками. Сосчитай:
60 уменьшить в 20 раз, то, что получится, увеличить в
4 раза.
(60:20)Х4=12; 60:12 = 5. Здесь 20-я часть числа
берется 4 раза, а — это -g- числа.
Если оба сомножителя изменяются одновременно, то
произведение иногда увеличивается, иногда уменьшает-

ся или остается без перемены. Чтобы определить зара-
нее, что сделается с произведением при одновременном
изменении обоих сомножителей, следует предположить,
что сначала изменяется только множимое, потом новое
измененное произведение опять изменяется от изменения
множителя.
Рассмотрим четыре случая одновремен-
ного изменения сомножителей.
а) Увеличиваем в несколько раз и множимое и мно-
житель.
Этот случай иллюстрируется рисунками. Берутся два
прямоугольника: один с размерами 3 ед. и 2 ед., длина
другого больше в 3 раза, ширина в 2 раза. Сравним
длину, ширину и площади двух прямоугольников
(рис. 10). Учащиеся видят, что если длину увеличить
в 3, а ширину в 2 раза, то площадь увеличится в б раз.
Дальше разбираются задачи и примеры:
* Пешеход шел два часа со скоростью 5 км в час,
а велосипедист ехал в 4 раза дольше, скорость же его в
3 раза больше. Во сколько раз расстояние, сделанное ве-
лосипедистом, больше, чем расстояние, пройденное пеше-
ходом?
Решение. 5x2= 10 15x8=120
15 х 2 - 30 120 : 10 = 12
Рис. 10
Изменение произведения (5X2=10) объясняется
последовательно. Множимое умножить на 3 (получилось
10+10+10 вместо 10). Если теперь в произведении
(15x2) множитель увеличить в 4 раза (умножить на 4),
то новое произведение увеличится в 4 раза, так что

10+10+10 надо повторить 4 раза: (10+10+10) + (10 +
+ 10+10) + (10+10+10) + (10+10+10) = 10X12 = 120.
Произведение увеличилось в 3X4=12 раз.
Решается численный пример:
4X5 = 20. Умножим множимое на 3, множитель на 6,
получим 12X5 = 60; 60x6 = 360; 12x30 = 360.
Сравнивая полученное произведение с начальным,
делают вывод: если один сомножитель умножить на 3,
а другой на 6, то произведение умножится на 18 (3X6);
360:20=18.
Из разобранного материала должен быть сделан вы-
вод: Если множимое и множитель умножить на некото-
рые числа, то произведение умножится на произведение
этих чисел.
б) Уменьшаем в несколько раз множимое и множи-
тель (деление даных чисел на целые числа должно совер-
шаться нацело).
Изучение этого вопроса может быть проведено по
образцу изменения произведения при увеличении обоих
сомножителей в несколько раз, т. е. можно использовать
графический способ решения задач и числовых примеров.
Разберем пример:
24 х 8 = 192.
Уменьшаем множимое в 6 раз, множитель в 4 раза.
При уменьшении множимого в 6 раз произведение умень-
шится в 6 раз, получится не 192, а 4x8 = 32. Теперь
4 надо умножить не на 8, а на 2, от чего произведение 32
уменьшится в 4 раза, получится 8. Итак, начальное про-
изведение 192, последнее 8. Произведение уменьшилось
в 192 : 8 = 24 раза; 24 = 6X4.
Чтобы уменьшение обоих сомножителей сделать на
рисунке, возьмем прямоугольник 9X4 кв. единиц. Умень-
шим длину в 3 раза, а ширину в 2 раза. Получим новый
прямоугольник, площадь которого меньше в 6 раз.
(рис. 11).
в) Увеличим в несколько раз один сомножитель и
уменьшим в другое число раз второй сомножитель.
Пример: 15x8=120. Увеличим множимое в 6 раз,
а множитель уменьшим в 2 раза: 90x4 = 360.
Решение объясняется так: если множимое увеличится
в 6 раз, то произведение увеличится в 6 раз. Новое
произведение (90X8) при уменьшении множителя в

2 раза должно уменьшиться в 2 раза, 90x4 = 360, или
увеличенное в 6 раз произведение должно уменьшиться
в 2 раза; значит, после двух изменений произведение
увеличится в 3 раза (6:2). Необходимо, чтобы учащиеся
разбирались в числовых примерах, делая последова-
тельно изменение множимого, потом множителя.
Рис. 11
г) Увеличим один сомножитель и уменьшим другой
в одинаковое число раз.
Пример: 15x6 = 90. Увеличим множимое и умень-
шим множитель в 2 раза, 30x3 = 90. Или уменьшим
множимое и увеличим множитель в 3 раза: 15x6 = 90;
5X18 = 90.
При увеличении множимого в 2 раза имеем: 30x6 =
180; при уменьшении множителя в 2 раза новое произве-
дение уменьшится в 2 раза: 30x3 = 90. Значит, произве-
дение не изменится. Если уменьшим множимое в 3 раза,
произведение уменьшится в 3 раза (15x6=90; 5x6 =
30); если увеличить множитель в 3 раза, новое произве-
дение увеличится в 3 раза (5x18 = 90). Значит, произве-
дение не изменилось.
Закон об изменяемости произведения затрудняет
детей. Надо разобрать этот вопрос графически на пря-
моугольниках, причем длину прямоугольника можно
увеличить, а ширину уменьшить во столько же раз (или
наоборот).
Пример: первый прямоугольник имеет длину
10 единиц, ширину 4; второй прямоугольник — длину 5,
ширину 8. Определить площадь каждого прямоуголь-
ника (рис. 12).

Каждый вывод относительно изменения произведе-
ния должен сопровождаться целым рядом упражнений.
Из них одни назначаются для закрепления вывода, дру-
гие для применения его к вычислениям и решению задач.
Только после этого можно переходить к следующему
Рис. 12
выводу. Если же сначала дать все выводы, а потом
их применение, то работа будет носить монотонный
характер. Каждое теоретическое положение дети ценят
постольку, поскольку оно может быть применено на
вычислениях и решении задач.
Изменения прозведения можно приме-
нять в упражнениях следующих 5-ти ви-
дов:
1) Определить, как изменится произведение при
данных изменениях сомножителей;
2) найти измененное произведение по данному на-
чальному произведению и данным изменениям сомножи-
телей;
3) определить изменения в сомножителях, необходи-
мые для получения желаемого изменения в произве-
дениях;
4) приложение изменений произведения в вычисле-
ниях и в решениях задач;
5) составление задач детьми.
Выводы всех перечисленных законов должны быть
поставлены в виде исследований. Дети должны дойти

до них самостоятельно путем обобщения результатов
правильно подобранных упражнений.
Приведем примеры упражнений различных
видов.
1. Что сделается с произведением, если множимое
разделим на 12, а множитель умножим на 3?
Уменьшив множимое в 12 раз, получим произведение,
которое меньше начального в 12 раз и составляет его
12-ю часть. Потом в новом произведении множитель
увеличится в 3 раза, значит, новое произведение, состав-
ляющее 12-ю часть начального, увеличилось в 3 раза.
Поэтому последнее произведение будет составлять
4-ю часть начального, или начальное уменьшилось в 4 ра-
за. В случае затруднений в решении подобных примеров
можно: а) использовать рисунок прямоугольника, б) при-
менить указанные в примере изменения на числах.
* а) Например: Прямоугольник с площадью 12X2
заменить таким, у которого длина в 12 раз меньше,
а ширина в 3 раза больше.
Сравнив их площади, увидим, что площадь второго
меньше в 4 раза (рис. 13).
б) Возьмем числовой пример: 2 х 6 = 12
24 х 2 = 48
48 : 12- 4.
Рис. 13

2. Куплен отрез ситца за 7 руб. 20 коп. Сколько нуж-
но заплатить за отрез сукна, если сукно в 15 раз дороже
ситца, а длина отреза его в 3 раза меньше?
Решение. 7 руб. 20 коп.— это произведение цены
метра (множимое) на число метров (множитель). Если
множимое увеличилось в 15 раз, то и произведение уве-
личится в 15 раз, но множитель в 3 раза уменьшился.
Значит, увеличенное в 15 раз произведение уменьшилось
потом в 3 раза, потому начальное произведение увели-
чилось в 15:3 = 5 раз, и новое произведение равно
7 руб. 20 коп. X 5 = 36 руб.
3. Множимое уменьшилось в 15 раз. Что нужно
сделать с множителем, чтобы произведение увеличилось
в 3 раза?
Если множимое уменьшится в 15 раз, то произведение
уменьшится в 15 раз. Пусть множитель увеличится в
15 раз, тогда произведение, уменьшенное в 15 раз, увели-
чится в 15 раз и примет первоначальное значение, но
нужно, чтобы оно увеличилось в 3 раза. Значит, множи-
тель, увеличенный в 15 раз, должен увеличиться в 3 раза,
в результате множитель должен увеличиться в 45 раз.
Что можно сделать с сомножителями 4 и 5 в произ-
ведении 4X5 = 20, чтобы произведение их увеличилось
в 12 раз?
Решение, а) Множимое увеличить в 12 раз: 48Х
Х5 = 240.
б) Множитель увеличить в 12 раз. 4x60 = 240.
в) Множимое увеличить в 2, множитель в 6 раз, и на-
оборот: 8X30 = 240 и 24X10 = 240.
г) Множимое увеличить в 3, множитель в 4 раза,
и наоборот: 12X20 = 240 и 16X15 = 240.
4. Вот образец примеров для упрощения умножения.
а) 120x9=120x10-120=1200-120=1080 (множи-
тель 9 — число, близкое к круглому).
б) 390X3= (400X3)-(10X3) = 1200-30= 1170 (ок-
ругляем множимое).
в) 79x40 = 80X40-40 = 3200-40 = 3160.
г) 37X90 = 37X100-37x10 = 3700-370 = 3330 (вме-
сто 90 взяли 100-10).
Д) 68X5= (68Х10) : 2= (68 : 2) X 10 = 340, т. е. для уве-
личения числа в 5 раз множитель увеличим в 2 раза,
полученное произведение в 2 раза больше верного, по-
этому делаем поправку, уменьшив 680 в 2 раза.

Другой способ: множимое уменьшили в 2 раза,
множитель увеличили в 2 раза, произведение не изме-
няется. Последний способ применяется преимущест-
венно к четным числам.
е) 36 х 25 = (36 х 100) : 4, или (36 : 4) х 100 = 900.
В первом случае увеличиваем множитель в 4 раза,
произведение увеличится в 4 раза, уменьшив 3600 в 4 ра-
за, получим правильное произведение. Во втором случае
уменьшаем множимое и увеличиваем множитель в 4 раза.
Произведение не изменяется. Последний способ удобен
при умножении на 25 чисел, кратных 4-х.
ж) 32Х125= (32Х 1000) :8, или (32:8) X 1000 = 4000.
Объяснение такое же, как и при умножении на 5 и 25.
з) Зная, сколько будет 16x25, сосчитайте, как можно
скорее, сколько будет 32X25 или 32X75?
16X25= (16 : 4)Х100 = 400,
32X25 в 2 раза больше 400, т. е. 800,
32 х 75 в 3 раза больше 800, т. е. 2400
и) 18X15 = 9X30 = 270; 12X35 = 6X70 = 420.
Множимое делим на 2, множитель умножаем на 2,
произведение не изменяется, вычисления сводятся к бо-
лее удобным числам.
к) Дается ряд произведений:
15 х 12 150 х 120
30 X 60 750 х 240
Не вычисляя произведений каждой пары чисел, сказать,
во сколько раз 2-е, 3-е, 4-е произведение больше 1-го?
3-е, 4-е больше 2-го? 4-е больше 3-го?
л) Вычислить: 58 х 3 + 26; (80 х 6) : (16 х 6)
35 х 12 + 580; 35 х 7 + 25 х 7 + 40 х 7
1000 х 15 — 997 х 15
В первом примере вместо 58 умножаем 60 на 3 и от
180 отнимем 2 множителя, т. е. 6. 174 + 26 = 200.
Во втором примере множители обоих произведений
одинаковы и чтобы узнать, во сколько раз первое произ-

ведение больше второго, надо узнать, во сколько раз
множимое 80 больше множимого 16. Результат равен 5.
В третьем примере вместо умножения 35 на 12 мно-
жим 140x3 = 420. Здесь множимое увеличено, а мно-
житель уменьшен в 4 раза, произведение не изменилось.
В четвертом примере множители трех слагаемых
равны, поэтому сумму множимых 35 + 25 + 40=100 можно
множить на 7. 100X7 = 700.
В пятом примере—разность множимых 3 множим
на 15; 3X15=45.
5. Образцы задач. Произведение 220, Один сомножи-
тель в 10 раз больше другого. Какое получится произве-
дение, если меньший множитель сделается равным
большему? Если больший множитель сделается равным
меньшему?
Решение. Если увеличить меньший множитель в
10 раз, то произведение увеличится тоже в 10 раз и будет
равно 220X10 = 2200.
Если уменьшить больший множитель в 10 раз, то
произведение уменьшится в 10 раз и будет равно
220:10 = 22,
При составлении задач самими детьми на различные
изменения сомножителей представляется возможность
учащимся глубже вдумываться в соотношения величин
задачи, проверить найденные соотношения между изме-
нениями компонентов и изменением результата этих
действий.
Упражнения
1. Как изменится произведение, если множимое уве-
личить в 32 раза, множитель в 9 раз?
Что сделается с произведением, если множимое умень-
шить в 16 раз, а множитель в 11 раз?
2. Что сделается с произведением, если множимое
увеличится в 392 раза, а множитель уменьшится в 28 раз?
Что сделается с произведением, если множимое
увеличится в 18 раз, а множитель уменьшится в 18 раз?
3. Что сделается с произведением, если множимое
увеличится в 12 раз, а множитель уменьшится в 228 раз?
Как изменится произведение, если множимое умень-
шится в 324 раза, а множитель увеличится в 36 раз?
4. Что сделается с произведением, если множимое
уменьшится в 12 раз, а множитель увеличится в 12 раз?

5. Что сделается с произведением, если множи-
мое уменьшится в 25 раз, а множитель увеличится
в 675 раз?
6. Запись примеров на изменение произведения мож-
но делать в виде таблицы. Увеличение в несколько раз
обозначается знаком «X» (умножить), уменьшение
в несколько раз знаком «:»
(табл. 3.)
Здесь записаны задачи:
1) Множимое увеличено
в 4 раза, множитель умень-
шен в 12 раз. Как измени-
лось произведение?
2) Множитель увеличен
в 3 раза, произведение уве-
личилось в 18 раз. Что сделано с множимым?
7. При библиотеке два читальных зала. В первом зале
столы поставлены в 4 ряда по 6 столов в каждом. Сколь-
ко столов во втором зале, если в каждом ряду в 2 раза
меньше столов, а рядов в 3 раза больше, чем в первом
зале. (Решить двумя способами.)
8. Бригада рабочих заработала некоторую сумму
денег. Во сколько раз больше заработала за то же время
другая бригада, если:
1) при той же поденной оплате число рабочих в ней
было в 4 раза больше?
2) при том же числе рабочих поденная оплата в
2 раза больше?
3) если число рабочих было в 3 раза, а поденная
оплата в 2 раза больше?
9. Столовая имела запас сахару на 24 дня, предпо-
лагая расходовать его ежедневно равными количествами.
На сколько дней хватило бы запаса, если бы:
1) он был вдвое больше? 2) расходовался бы еже-
дневно втрое большими количествами?
10. Физкультурники одной организации поставлены
в 20 рядов по 24 человека в каждом ряду, физкультур-
ники другой организации — в 40 рядов по 12 человек
в каждом ряду. В какой организации больше физкуль-
турников и во сколько раз?
11. Одна бригада работала три недели и получила
за работу некоторую сумму денег. Во сколько раз боль-
ше денег получила другая бригада, если в ней рабочих
Таблица 3

втрое больше, если рабочий второй бригады получает
за неделю вдвое больше рабочего первой бригады и если
вторая бригада работала две недели?
12. В одной книге заключается некоторое число букв.
Во сколько раз больше или меньше букв в другой книге,
в которой число страниц в 4 раза больше, чем в первой,
на каждой странице в 3 раза больше строк, но в каждой
строке вдвое меньше букв?
13. Если на работу поставить в 3 раза больше рабо-
чих и для такого числа рабочих ввести две смены, то во
сколько раз быстрее будет окончена работа?
14. Швейная фабрика купила на некоторую сумму
720 м ситца. Сколько можно было бы купить на вдвое
большую сумму ткани, которая вдвое дороже ситца?
15. Рабочий изготовил за несколько часов 104 детали.
Сколько деталей изготовил бы рабочий, если бы прора-
ботал вдвое меньше времени, изготовляя в час вдвое
больше деталей?
16. Несколько рабочих получили за работу 600 руб-
лей. Сколько надо было заплатить рабочим, если бы их
было в 8 раз меньше, а плата каждому вдвое больше?
Записать решение в виде формулы.
17. Огород колхозника прямоугольной формы имеет
площадь, равную 600 кв. м. Длина огорода другого
колхозника вдвое больше, а ширина вдвое меньше, чем
у первого. Какова площадь второго огорода?
18. Один интернат заготовил капусты для 168 чело-
век на 72 дня, а другой по той же норме для 84 человек
на 144 дня. Какой интернат заготовил больше капусты
и во сколько раз?
19. Поезд прошел за некоторое время 420 км. Какое
расстояние пролетел самолет за время, в 3 раза меньшее,
если скорость его в 6 раз больше скорости поезда?
20. Поезд прошел в несколько часов 324 км. Сколько
километров прошел бы теплоход, если бы он шел в 6 раз
дольше, но проходил в час втрое меньше, чем поезд?
21. Площадь сада 67 200 кв. м. Длина огорода в
4 раза меньше длины сада и ширина огорода в 3 раза
меньше ширины сада. Определить площадь огорода.
22. В двух библиотеках 2280 книг. Когда первая
библиотека передала второй 180 книг, во второй библио-
теке оказалось книг в 2 раза больше, чем в первой. Сколь-
ко книг было первоначально в каждой библиотеке?

23. В совхозе 15 тракторов обработали за год 2700 га
посевной площади. Сколько гектаров обработали бы за
это время лошади совхоза, если лошадь обрабатывает
земли в 15 раз меньше трактора, а рабочих лошадей в
совхозе 45?
Пояснение. Посевная площадь (2700 га) есть произведе-
ние производительности каждого трактора на число тракторов. При
замене 15 тракторов таким же количеством лошадей в 15 раз умень-
шается один сомножитель — производительность работы. Если ло-
шадей не 15, а 45, то второй сомножитель увеличивается в 3 раза.
Следовательно, произведение уменьшается в 15 раз и увеличивается
в 3 раза. Уменьшение в 5 раз больше увеличения. Следовательно,
все произведение уменьшится в 5 раз. 2700: 15 X 3 = 540 (га), или
2700 : 5 = 540 (га).
24. Кусок материи стоил 96 руб. 80 коп. В другом
куске было вдвое меньше материи, но 1 ж ее стоил в
4 раза дороже. Сколько стоил второй кусок материи?
25. Площадь пола комнаты 54 кв. м 60 кв. дм. Какова
площадь коридора, который в 3 раза короче и в 2 раза
уже?
26. Составить задачу на движение к ответу: пройден-
ное расстояние равно 160 км. Изменить условие так, чтобы
1) расстояние увеличилось в 3 раза; 2) расстояние умень-
шить в 2 раза; 3) скорость увеличить на 10 км; 4) время
уменьшить на 2 единицы. Как изменится расстояние?
Изменение произведения в зависимости от изменения
компонентов применяется при решении типовых задач,
требующих умножения или деления числа на несколько
частей, кратные отношения которых даны (пропорцио-
нальная зависимость и пропорциональное деление).
27. На птицеферме кур в 10 раз или на 4230 голов
больше, чем петухов. Сколько кур и петухов на птице-
ферме?
28. Белый медведь на 600 кг или в 4 раза тяжелее
льва. Сколько весит медведь и сколько весит лев?
29. Производительность веялки-сортировки ВС-2 в
4 раза меньше производительности веялки-сортировки
ВС-8. Сколько часов затрачено на сортировку зерна
веялкой ВС-2, если на сортировку такого же количества
зерна веялкой ВС-8 затрачено на 4 часа меньше?
30. Два тракториста должны были вспахать одинако-
вые участки. После того, как первый вспахал 420 га, a
второй 500 га, первому трактористу осталось вспахать

в три раза больше, чем второму. Какой участок должен
был вспахать каждый тракторист?
31. Из двух городов, расстояние между которыми
484 км, выехали одновременно друг другу навстречу вело-
сипедист и мотоциклист. Через 4 часа расстояние между
ними оказалось 292 км. Определить скорость велосипе-
диста и скорость мотоциклиста, если скорость мотоцик-
листа в 3 раза больше скорости велосипедиста.
32. В пчеловодческом совхозе 182 улья, причем ульев
с грузинскими пчелами в 6 раз меньше, чем с другими
пчелами. От всех грузинских пчелосемей получено
1976 кг меда. Сколько меда в среднем получено от одной
грузинской пчелосемьи?
33. Для чистки медных и латунных предметов берут
состав из поваренной соли и молочной сыворотки, причем
соль берут в 8 раз меньше сыворотки. Сколько приготов-
лено такого состава, если соли взято на 490 г меньше
сыворотки?
34. Для уничтожения жуков-древоточцев берут сос-
тав из 3 частей скипидара, 1 части нафталина и 1 части
смолы. Сколько приготовлено такого состава, если наф-
талина взято на 2 кг 500 г меньше, чем скипидара.
В существующей программе по арифметике для младших клас-
сов предлагается изучать зависимость между компонентами и ре-
зультатами действий, переместительное свойство произведения, соче-
тательное и распределительное свойства произведения. Следствия,
вытекающие из этих свойств, записаны в проекте программы с трех-
годичным сроком обучения. В практике работы школы предлагаемые
свойства и следствия из этих свойств применяются на уроках ариф-
метики и на внеклассных занятиях. Поэтому мы приводим примеры
на свойства произведения, суммы и разности.
I. Замена нескольких сомножителей
их произведением (сочетательное свойство
произведения)
* 1) 17 × 25 × 4 = 17 × (25 × 4) = 17 × 100 = 1700.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы перемножить несколько со-
множителей, достаточно отдельные сомножители соединить в какие--
нибудь группы, произвести умножение по группам, а затем пере-
множить полученные произведения.
2) 69 × 5 × 2 × 125 × 8 = 69 × (5 × 2) × (125 × 8) = 69 ×
× 10 × 1000 = 690 000.
3) 47 × 25 × 8.

II. Перестановка сомножителей
(переместительное свойство произведения)
/) 4 X 8 X 3 X 25 X 125 = 4 X 25 X 8 X 125 X 3 (перемести-
тельное свойство произведения) = 100 X 1000 X 3 = 300 000 (выпол-
няем умножение).
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы перемножить несколько со-
множителей, достаточно переменить места отдельных сомножителей,
затем соединить их в какие-нибудь группы, произвести умножение
по группам, а потом перемножить полученные произведения.
2) 20 X 70 X 50 X 25 X 400 = 20 X 50 X 25 X 400 X 70 = (20 X
X 50) X (25 X 400) X 70 = 1000 X 10 000 X 70 = 700 000 000.
3) 8 X 13 X 4 X 125 X 25.
III. Умножение произведения на число
/) (40 X 7 X 3) X 25 = 1000 X 7 X 3 = 21 000.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы умножить произведение не-
скольких сомножителей на какое-нибудь число, достаточно один из
сомножителей произведения умножить на это число и полученное
произведение последовательно умножить на каждый из остальных
сомножителей.
2) (20 X 11 X 30) X 5 - 20 X И X 30 X 5 = 20 X 5 X 11 X
X 30 = (20 X 5) X 11 X 30 = 100 X 11 X 30 = 33 000.
3) (7 X 125 X 3) X 8.
IV. Умножение числа на произведение
/) 48 X (125 X 7 X 3) = 48 X 125 X 7 X 3 = 6000 X 7 X 3 =
= 126 000.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы умножить данное число на
произведение нескольких сомножителей, достаточно умножить это
число сначала на первый сомножитель, потом полученное произведе-
ние — на второй, затем новое произведение — на третий и т. д.—
на все сомножители произведения.
2) 128 X (90 X 250) = 128 X 90 X 250 = 128 X 250 X 90 =
= 32 000 X 90 = 2 880 000.
3) 24 X (27 X 125).
К указанному способу близок прием умножения посредством за-
мены множителя соответствующим произведением (иногда называют
последовательным умножением): 145 X 8 = 145 X (2 X 2 X 2) =
- (145 X 2) X 2 X 2 = (290 X 2) X 2 = 580 X 2 = 1160.
V. Умножение произведения на произведение
/) (8 X 12) X (125 X 25) = (8 X 12) X 125 X 25 = 8 X 12 X
X 125 X 25 = 8 X 125 X 12 X 25 = (8 X 125) X (12 X 25) = 1000Х
X 300 = 300 000.

При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических чисел: Чтобы умножить произведение несколь-
ких сомножителей на другое произведение, достаточно последова-
тельно перемножить все сомножители обоих произведений.
2) (24 X 96 X 100) X (25 X 125) = 24 X 96 X 100 X 25 X
X 125 = 24 X 25 X 96 X 125 X 100 = (24 X 25) X (96 X 125) X
X 100 = 600 X 12 000 X 100 = 720 000 000.
3) (32 X 48) X (125 X 25).
VI. Умножение, сложение и вычитание
Л. Умножение суммы на число (распределительное свойство
произведения).
1) (64 + 28) X 25 = 64 X 25 + 28 X 25 (распределительное свой-
ство произведения) = 1600 4- 700 = 2300 (выполняем умножение
и сложение).
При решении подобных примеров .применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы умножить сумму нескольких
чисел на данное число, достаточно умножить каждое слагаемое на
это число и полученные произведения сложить.
2) (117 + 56) X 30 == 117 X 30 + 56 X 30 = 3510 + 1680 - 5190.
3) (88 + 48) X 125.
К указанному способу по обоснованию приема близок способ
вынесения за скобку общего множителя или множимого.
1) 124 X 4 + 116 X 4 = (124 + 116) X 4 = 240 X 4 = 960.
2) 24 X 6 + 24 X 3 + 24 X 7 + 24 X 4 = 24 X (6 + 3 + 7 +
+ 4) = 24 X 20 = 480.
Б. Умножение разности на число.
1) (25 - 7) X 4 = 25 X 4 - 7 X 4 = 100 - 28 = 72 (умножение
разности на число).
2) (3750 - 125) X 8 = 3750 X 8 - 125 X 8 = 30 000 - 1000=
= 29 000.
3) (96 - 58) X 5.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы умножить разность двух чисел
на какое-нибудь число, достаточно умножить на это число отдельно
уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть
второе.
К указанному способу по обоснованию приема близок способ
вынесения за скобку общего множителя.
/; 237 X 23 - 137 X 23 = (237 - 137) X 23 = 100 X 23 = 2300.
2) 1779 X 1243 - 779 X 1243 = (1779 - 779) X 1243 = 1000 X
X 1243 - 1 243 000.
§ 12. ИЗМЕНЕНИЕ ЧАСТНОГО
Изменение частного представляет один из самых труд-
ных вопросов курса. Объясняется это более сложной,
чем в других действиях, зависимостью между компонен-
тами, двояким смыслом деления (на части и по содер-
жанию). Остановимся на этом вопросе.

Изменение частного при изменении
делимого
Для объяснения изменения частного от умножения
делимого можно использовать задачи.
* 24 рабочих за первую неделю получили 960 руб.
(поровну); за вторую неделю они опять заработали
960 руб.; за третью неделю еще заработали 960 руб.
Сколько заработал каждый рабочий за первую неделю?
За первые две недели? За три недели?
Для ответа на первый вопрос надо 960 разделить на
24, для ответа на второй вопрос надо сумму (960 + 960)
разделить на 24 и для ответа на третий вопрос сумму
(960 + 960 + 960) надо разделить на 24:
960 : 24 = 40 (руб.).
(960 + 960) : 24 = 960 : 24 + 960 : 24 (делим каждое слагае-
мое) ;
40 + 40 = 80; короче: (960X2):24 = 80.
(960 + 960 + 960) : 24 = 960 : 24 + 960 : 24 + 960 : 24 = 40+;
+ 40 + 40=120 (руб.).
Короче: (960x3) :24= 120 (руб.).
Данный способ решения задачи и сделанная запись
приведут ребят к заключению, что если делимое умно-
жить на 2, то частное умножится на 2, если делимое
утроить, и частное утроится.
Дальше решаются примеры примерно такие: 32:4 =
= 8, 32 увеличиваем в 5 раз 160:4 = 40. Частное увели-
чилось в 5 раз (40 : 8 = 5).
Объяснение решения этого примера может быть сле-
дующим. Умножить делимое на 5, значит, к делимому
прибавить еще 4 делимых; к частному каждый раз при-
бавляется прежнее частное, всего прибавляется 4 част-
ных, следовательно, частное умножится на 5.
Этот закон изменения частного хорошо объяснить
следующим образом: дается ряд примеров на деление
при одном и том же делителе, делимое же постепенно
увеличивается в несколько раз. Дети сравнивают дели-
мые и частные этих примеров сначала в одном столбце,
потом — в другом. В первом столбце они найдут при-
меры на увеличение в 2, 4, 8, 16 раз; во втором делимое
увеличивается в 2, 3, 4, 5 раз.

20 : 4 = 160 : 4 = или 24 : 6 = 96 : 6 =
40 : 4 = 320 : 4 = 48 : 6 = 120 : 6 =
80 : 4 = 72 : 6 =
После разбора задач и примеров делается вывод:
Если делимое увеличить в несколько раз, то частное уве-
личится во столько же раз. Изменение частного от деле-
ния делимого можно объяснить на задаче:
* Местком выдал 3 туристские путевки на сумму
240 руб. и столько же путевок в дом отдыха на четвер-
тую часть этой суммы. Сколько стоила туристская пу-
тевка? Путевка в дом отдыха? Во сколько раз путевка
в дом отдыха дешевле туристской путевки? Почему?
Объяснение может быть такое. Чтобы заплатить за
путевки в дом отдыха (их также 3), надо 240 руб. сна-
чала разложить на 4 равные части: 60 руб.+ 60 руб.+
+ 60 руб.+ 60 руб. Если одну такую часть (60 руб.)
разделим на 3 (по числу путевок), то получим 20 руб.,
т. е. в 4 раза меньше, чем от деления 240 руб.
Рис. 14
Можно это изменение частного показать графически:
берем одну прямую линию длиною в 24 ед., другую в
6 ед. Делим ту и другую на 3 равные части (рис. 14).
Сравниваем полученные частные 8 и 2. Первое в (8 : 2 =
= 4) 4 раза больше. Можно изменение частного при де-
лении делимого показать на числовых примерах, дав для
вычисления 2 ряда частных:
320 : 4 80 : 4 360 : 3 90 : 3
160 : 4 40 : 4 180 : 3 45 : 3
20 : 4 30 : 3
Сравнивая делимые между собой, частные между
собой, ученики легко устанавливают зависимость изме-
нения частного от изменения делимого. После разбора
задач и примеров делается вывод: Если делимое умень-
шить в несколько раз, то и частное уменьшится во столь-
ко же раз.

Изменение частного от изменения
делителя
Изменение частного от умножения делителя можно
иллюстрировать решением следующей задачи.
* 720 яиц разложили поровну в 4 ящика, а потом
яйца из каждого ящика разложили поровну в 3 корзины.
Сколько яиц было в каждом ящике? Сколько яиц было
в каждой корзине?
Рис. 15
После решения задачи (720 : 4=180) учитель предла-
гает детям сосчитать, сколько яиц было в каждой кор-
зине и во сколько корзин будут разложены все яйца,
если из каждого ящика их переложат поровну в 3, 4,
5 корзин. Решение этой задачи можно пояснить рисун-
ком (рис. 15). Решая задачу, дети замечают, что:
если делитель умножить на 3, то частное разделится
на 3;
если делитель умножить на 4, то частное разделит-
ся на 4 и т. д.
Прилагая этот вывод к примерам с отвлеченными
числами, дети дают такое приблизительно объяснение:
120:4 = 30; 120:24 = 5. Здесь делитель 4 умножен
на 6, т. е. из каждой прежней части сделано 6 новых
частей, потому прежнее частное должно разделиться на 6.
Наконец, делается вывод: Если делитель увеличить в
несколько раз, то частное уменьшится во столько же раз.

Изменение частного от деления делителя можно
объяснить на задаче.
* В колхозном саду в 12 корзин набрали 3600 ман-
даринов, поровну в каждую корзину; сколько мандаринов
в каждой корзине? Для перевозки мандаринов в город
их разделили в ящики. Сколько ящиков понадобилось
и по скольку мандаринов было в каждом ящике, если
из каждых четырех корзин мандарины переложили
в один ящик? Если из каждых 6 корзин в один ящик?
Решение задачи можно пояснить рисунком (рис. 16).
Рис, 16
3600 : 12 = 300 3600 : 12 = 300 3600 : 12 = 300
3600 : (12:4)= 1200 3600 : (12:3) = 900 3600 : (12:2) = 600
Из решения задачи делаются выводы.
Если делитель разделить на 2, 3, 4, 6, то частное
соответственно умножится на 2, 3, 4, 6 и т. д.
Отмечается, что при делении делителя на 4 мы соеди-
няем 4 прежние части в одну, поэтому частное должно
увеличиться в 4 раза.
После разбора задачи решаются примеры:
96:24 = 4; 96:12=8; 96:8=12; 96:6=16; 96:4 = 24.
Пример можно объяснить так же, как в предыдущей
задаче: если 96 делим не на 24, а на 12 частей, то преж-
ние 2 части соединяются в одну, и потому частное стано-

вится больше в два раза. Наконец, формулируется пра-
вило: Если уменьшить делитель в несколько раз, то част-
ное увеличится во столько же раз.
Изменение частного при изменении
обоих компонентов
Изменения частного при изменении обоих компонен-
тов вначале трудно усваиваются детьми. Разъяснения
можно проводить тем же путем, как и при изменении
произведения: для того чтобы определить изменение
частного, надо изменить сначала только делимое, затем
новое измененное частное изменить в связи с изменением
делителя.
Прежде чем начать изучение этого вопроса, можно
напомнить примеры, приведенные в отделе умножения,
на последовательное изменение чисел в несколько раз.
а) Возьмем линию определенной длины, например
в 10 см. Изобразим ее 1 клеткой. Увеличим ее в 3 раза.
Что получится? Увеличим в 5 раз. Во сколько раз увели-
чилась длина линии? (рис. 17).
Рис. 17
Сосчитай: 10x3 = 30; 30x5= 150; 150 : 10= 15.
Ответ. В 15 раз.
б) Возьмем линию определенной длины, например
в 48 см. Изобразим ее клетками. Уменьшим в три раза.
Что получится? Уменьшим в 4 раза. Во сколько раз
уменьшилась длина линии (рис. 18)?
Рис. 18

Сосчитай: 48:3=16; 16:4 = 4; 48:12=4. Точно так
же можно повторить последовательное увеличение, потом
уменьшение в несколько раз, или наоборот.
При одновременных изменениях компонентов надо
обратить особое внимание на случаи неизменяемости
частного. На остальных случаях можно не останавли-
ваться долго.
Из решения задач и примеров делаем вывод: Если
делимое и делитель умножить на одно и то же число,
то частное не изменится.
Точно так же изучается тема об уменьшении обоих
компонентов в одинаковое число раз.
Задача. Пешеход и велосипедист двинулись одно-
временно в одно и то же селение из 2-х разных мест.
Велосипедист, проезжающий по 16 км в час, должен про-
ехать 128 км; пешеход, проходящий по 4 км в час, дол-
жен пройти 32 км. Кто из них раньше явится в назначен-
ное место и на сколько часов раньше?
Решение объясняется так: 128 км — делимое, 16 км —
делитель, 8 — частное. Велосипедист ехал 8 часов. Если
расстояние уменьшить в 4 раза (вместо 128 км — 32 км),
то при той же скорости 16 км (делитель) велосипедист
проедет его в 2 часа (32 км: 16 км = 2)у т. е. частное
уменьшилось в 4 раза. Но если на расстоянии 32 км
двигаться со скоростью 4 км, т. е. делитель уменьшить
в 4 раза, то время движения в 4 раза увеличится,
т. е. частное 2 увеличится в 4 раза. Значит, частное не
изменится, если делимое и делитель уменьшатся в 4 раза.
Дальше можно дать другой вариант задания, напри-
мер, если в то же селение едет колхозник со скоростью
8 о в час из города, отстоящего на 64 км от места их
встречи, то за сколько часов он проедет все расстояние?
Оказывается, частное не изменилось, когда делимое
и делитель уменьшились в 2 раза. Потом можно дать
примеры на разбираемый случай изменения частного:
800 : 200 - 4
400 : 100 = 4
200 : 50 -4
100: 25 = 4
Сравнив делимые и делители между собой, частные
между собой, устанавливается, что делимое и делитель
уменьшились в одно и то же число раз, причем частное
не изменилось.

Этот вывод и формулируется: Если делимое и дели-
тель разделить на одно и то же число, частное не изме-
нится.
Разберем некоторые случаи одновременного измене-
ния делимого и делителя.
Если делимое увеличить в 5 раз, а делитель умень-
шить в 2 раза, то частное увеличится в 10 раз.
Запись. 72: 12 = 6; 360:6 = 60.
Решение. Если делимое увеличить в 5 раз, то част-
ное увеличится в 5 раз: 360: 12 = 30. Если при изменен-
ном делимом уменьшить в 2 раза делитель, то частное,
увеличенное в 5 раз, увеличится в 2 раза; значит, сравни-
тельно с начальным оно увеличится в 10 раз.
Если делимое уменьшить в 4 раза, а делитель увели-
чить в 5 раз, то частное уменьшится в 20 раз.
Запись. 400:5 = 80; 100:25 = 4.
Решение объясняется изменением сначала только де-
лимого, потом в измененном примере делается увеличе-
ние в 5 раз делителя. В результате частное сначала
уменьшилось в 4 раза, потом это уменьшенное частное
уменьшилось в 5 раз. Во втором делении частное в 20 раз
меньше, чем в первом.
Так же изучаются с учащимися и другие случаи
изменения частного от изменения делимого и делителя.
Все рассмотренные изменения частного относятся
к делению без остатка. Когда в делении получается
остаток, то изменения частного могут отступать от вы-
веденных правил, за исключением правила о неизменяе-
мости частного при умножении или делении делимого
и делителя на одно и то же число.
Положения об изменениях частного должны сопро-
вождаться упражнениями:
1) в определении изменения частного по данным из-
менениям делимого и делителя,
2) в определении измененного частного по данному
частному и изменениям делимого и делителя,
3) в определении изменений, которые необходимо
сделать в данных числах для того, чтобы достигнуть
желаемого изменения в частном,
4) в приложении изменения частного к вычислениям
и к решению задач,
5) в составлении детьми задач на различные измене-
ния частного.

Дадим примеры этих упражнений.
1) Делимое увеличено в 12 раз, делитель увеличен
в 4 раза, как изменилось частное?
Если делимое увеличить в 12 раз, то частное увели-
чится в 12 раз. Но в измененном примере, где частное
и делимое увеличены в 12 раз, надо увеличить делитель
в 4 раза, от чего новое частное уменьшится в 4 раза.
12-кратное частное, уменьшенное в 4 раза, дает утроен-
ное начальное частное.
2) Несколько рабочих заработали 160 руб. Сколько
рабочих можно было бы нанять на такое же время за
80 руб., если бы плата каждому была увеличена в
3 раза?
160 руб.— это делимое, плата одному рабочему—это
делитель, число рабочих — частное. Делимое уменьшено
в 2 раза (160:80 = 2), делитель увеличен в 3 раза, част-
ное должно уменьшиться в 6 раз.
* В питомнике фруктовых деревьев саженцы груш
посажены в ряды, по равному числу саженцев в каждом.
Рядов всего 30. Саженцев яблонь в 8 раз больше. Они
также посажены рядами, но в каждом ряду в 4 раза
больше саженцев, чем саженцев груш. Сколько рядов
саженцев яблонь?
Решение. Делимое увеличилось в 8 раз, дели-
тель — число деревьев в одном ряду — увеличился в 4 ра-
за. При увеличении делимого в 8 раз частное увеличится
в 8 раз; но при увеличении делителя в 4 раза изменен-
ное 8-кратное частное уменьшится в 4 раза, потому
частное будет в 2 раза увеличено сравнительно с началь-
ным. Число рядов саженцев яблонь больше в 2 раза, чем
число рядов саженцев груш. Ответ. 60 рядов.
3) а) Делитель уменьшен в 7 раз. Что надо сделать
с делимым, чтобы частное уменьшилось в 4 раза?
Решение. Если делитель уменьшить в 7 раз, част-
ное увеличится в 7 раз. Чтобы уменьшить частное
в 4 раза, надо: 1) уменьшить его в 7 раз, тогда его вели-
чина будет равна первоначальной величине, потом еще
уменьшить в 4 раза, т. е. уменьшить (7X4) раз, а для
этого делимое уменьшить в 28 раз.
б) Делимое увеличено в 4 раза. Что надо сделать
с делителем, чтобы частное уменьшилось в 20 раз?
Решение. Если делимое увеличить в 4 раза, то
частное увеличится в 4 раза. Его надо уменьшить в 4 ра-

за, для чего делитель увеличим в 4 раза, тогда частное
вернется к начальной величине, но частное должно
уменьшиться в 20 раз, значит, учетверенный делитель
надо увеличить в 20 раз, и делитель будет увеличен в
4X20 = 80 раз.
4) а) Зная, что 111:37 = 3, найти кратчайшим спо-
собом частные: 222 : 37; 333 : 37; 555 : 37.
Решение. Делимые этих примеров больше 111 в 2,
3, 5 раз, частные должны увеличиться в 2, 3, 5 раз. Част-
ные: 6, 9, 15.
б) Зная, что 888 : 37 = 24, найти кратчайшим способом,
сколько будет 444: 37; 222 : 37; 111:37.
Решение. С уменьшением делимого в 2, 4 и 8 раз
частное уменьшается в 2, 4, 8 раз. Частные: 12, 6, 3.
в) Зная, что 1080:15 = 72, найти как можно короче
1080:30; 1080:45; 1080:90.
Решение. С увеличением делителя в 2, 3, 6 раз
частное уменьшается в 2, 3, 6 раз. Частные равны 36,
24, 12.
г) Зная, что 1536:96=16, быстро найти частные
1536:48; 1536:24; 1536: 12.
Решение. При уменьшении делителя в 2, 4, 8 раз
частное увеличится в 2, 4, 8 раз. Частные равны 32,
64, 128.
д) Упрощаем деление на 5, 25, 125. Пример: 140:5.
Возьмем делитель 10, т. е. увеличим делитель 5 в
2 раза, частное 14 меньше истинного в 2 раза. Делаем
поправку: 14X2 = 28; итак, 140 : 5= (140 : 10) Х2 = 28.
1200 : 25= 1200 : 100X4 = 48. Здесь делитель 25 увеличи-
ваем в 4 раза, от чего частное получается меньше
истинного в 4 раза, поэтому надо умножить на 4, полу-
чится 48.
7000: 125= (7000: 1000) Х8 = 56. Здесь делитель 125
увеличен в 8 раз, частное 7 меньше истинного в 8 раз,
потому множим 7 на 8.
е) Зная, что 75:3 = 25, быстро найти частное 375:15;
750:30; 1500:60.
ж) Зная, что 36 000 : 1200 = 30, найти кратчайшим спо-
собом 3600 : 120; 360 : 12; 1800 : 60.
Решения этих примеров основаны на неизменяемости
частного при умножении и делении делимого и делителя
на одно и то же число.
з) 1200: 50= (1200: 100) Х2= 12x2 = 24.

Объяснение решения такое же, как при делении на 5,
25, 125.
и) Если делимое и делитель оказываются с нулями,
то у них можно зачеркнуть поровну нулей: 32 000 : 8000 =
= 32:8 = 4.
Делимое и делитель разделены на 100, частное не
изменилось. Запись решения может быть и другая:
32 000:8000 = 4.
4) Вычислить 900 : 18-49; 1200 : 24X200; 600 : 8-
-552:8; 2800: 175.
В первом примере делим 900 последовательно на 9,
потом результат на 2. Разделив 900 на 9, мы получим
частное в 2 раза больше истинного, потому уменьшаем
его в 2 раза (900:9) :2 = 50.
Во втором примере таким же способом делим 1200
на 6, результат делим на 4: 1200 : 24x200= (1200 : 6) :4Х
Х200=10 000.
В третьем примере делимое 600 больше 552 на 48,
а 48 есть ушестеренный делитель. Потому первое частное
больше второго на 6.
В четвертом примере делим 2800 на 700, но частное
увеличиваем в 4 раза, так как делитель увеличен, и, зна-
чит, частное уменьшено в 4 раза. 2800:175= (2800:700) X
Х4 = 16.
Упражнения
1. Как изменится частное, если делимое увеличится
в 54 раза, а делитель уменьшится в 9 раз?
* Как изменится частное, если делимое уменьшится
в 36 раз, а делитель увеличится в 12 раз?
2. Что сделается с частным, если делимое увеличится
в 405 раз, а делитель в 15 раз?
* Что сделается с частным, если делимое и делитель
увеличатся в 28 раз?
3. Что сделается с частным, если делимое увеличится
в 5 раз, а делитель в 180 раз?
Что сделается с частным, если делимое уменьшится
в 240 раз, а делитель в 15 раз?
4. Как изменится частное, если делимое и делитель
уменьшатся в 16 раз?
Как изменится частное, если делимое уменьшится
в 42 раза, а делитель в 672 раза?

5. Как изменится частное, если делимое увеличить
в 18 раз, а делитель уменьшить в 18 раз?
Как изменится частное, если делимое уменьшить
в 12 раз, а делитель увеличить в 12 раз?
6. Решить. В первой
строчке табл. 4 записана за-
дача: делимое увеличено
в 6 раз, делитель в 2 раза.
Как изменилось частное?
Предложить сформули-
ровать самостоятельно зада-
чи вторую и третью.
7. Насосом выкачивают
воду из шахты в 24 часа. За
сколько времени можно выкачать воду из другой шахты,
в которой воды вдвое больше, чем в первой, насосом,
работающим втрое быстрее первого насоса?
8. Вода может быть выкачана из бассейна за 12 ча-
сов. Во сколько времени можно выкачать воду из бассей-
на, в котором в 4 раза больше воды, чем в первом
бассейне, посредством насоса, подающего в час в 2 раза
меньше воды?
9. Товарный поезд проходит расстояние между горо-
дами за 18 часов. Во сколько времени скорый поезд
пройдет расстояние в 3 раза меньшее, если скорость его
в 3 раза больше, чем товарного?
10. Сравнить скорость поезда и пешехода, если авто-
мобиль шел в 6 раз быстрее пешехода, но вдвое медлен-
нее поезда.
11. Два земельных участка одинаковой площади
засеяны: один — хлопком, другой — рисом. На следую-
щий год под хлопок заняли втрое больший участок,
а под рис — вдвое меньший, чем в предыдущем году.
Во сколько раз участок под хлопком стал больше участ-
ка, засеянного рисом?
12. На теплоходе запас продуктов для пассажиров
был сделан на 8 дней. На сколько дней хватило бы про-
дуктов, если бы запас увеличить в 4 раза, а число пасса-
жиров увеличить в 2 раза?
13. Буфет сделал запас сахара на 12 дней, предпола-
гая расходовать ежедневно равными количествами. На
сколько дней хватило бы запаса, если бы он был в 2 раза
больше, а ежедневный расход в 6 раз больше?
Таблица 4

14. Один колхоз собрал с гектара 60 ц хлопка. Второй
колхоз, засеяв земли вдвое больше, собрал хлопка
втрое меньше. Сколько хлопка собрал с 1 га второй
колхоз?
15. Билет на выставку стоил 15 коп. Когда входную
плату уменьшили, количество посетителей увеличилось
в 6 раз, а сбор увеличился в 2 раза. На сколько снижена
входная плата?
16. Самолет пролетел некоторое расстояние за 10 ча-
сов. Во сколько времени автомобиль пройдет расстояние
в 2 раза большее, если его скорость в 8 раз меньше?
17. Для 90 учащихся привезли тетради, по 6 тетра-
дей каждому. По скольку тетрадей получит каждый,
если учащихся будет 180 человек, а тетрадей в 3 раза
больше?
18. В одной колонне демонстрантов шло 2400 человек,
а в другой 400 человек, причем в каждом ряду второй
колонны было вдвое меньше человек, чем в каждом ряду
первой. Во сколько раз число рядов первой колонны
больше числа рядов второй колонны?
19. Колхоз собрал 2640 ц свеклы с участка в 6 га.
С другого участка, площадь которого была в 10 раз
больше, колхоз собрал пшеницу, которой было собрано
в два раза меньше, чем свеклы. Сколько свеклы и сколько
пшеницы было собрано с 1 га?
20. Грузовой автомобиль шел несколько часов со ско-
ростью 24 км в час. С какой скоростью шел легковой
автомобиль, если расстояние, в 6 раз большее, он прошел
за время, в 3 раза большее, чем первый?
21. В мастерской изготовили 240 конвертов. Сколько
конвертов будет изготовлено, если бумаги отпущено
в 3 раза больше, а на каждый конверт расходуется ее в
3 раза меньше?
22. Площадь одного участка 9600 кв. м, длина его
160 м. Какова длина другого участка, площадь которого
в 2 раза меньше и ширина в 2 раза больше, чем у первого
участка? (Решить двумя способами.)
23. Для 48 лошадей сделан запас овса на некоторое
время. Сколько времени можно прокормить 16 лошадей
шестой частью сделанного запаса при той же норме
выдачи овса на каждую лошадь?
24. Для 280 коров заготовлен силос на некоторое
время. Сколько коров можно было бы прокормить в те-

чение такого же времени, если бы силоса было в 10 раз
меньше, а ежедневная выдача силоса в 2 раза меньше?
25. Метр ткани стоит 1 руб. 40 коп. Сколько стоит
метр другой ткани, если кусок ее в 6 раз дороже, а число
метров в куске в 3 раза больше?
26. Поезд проходит расстояние между двумя горо-
дами за 6 час. 20 мин. Во сколько времени скорый поезд
пройдет расстояние в 2 раза большее, если скорость его
в 2 раза больше?
27. Составить задачу к примеру 240:10. Изменить
условие так, чтобы: 1) делимое и делитель увеличить
или уменьшить в одинаковое число раз; 2) делитель
увеличить в 3 раза; 3) делимое уменьшить в 3 раза, а де-
литель увеличить в 2 раза. Во сколько раз изменится
частное?
В конце темы хорошо дать задачи для повторения
всех выводов.
* Произведение двух чисел 49 000, а если от множи-
теля отнять 12, то в произведении будет 44 800. Найти эти
числа.
Решение. Когда от множителя отнимем 12, то от
произведения отнимается 12 множимых. Следовательно,
49 000 — 44 800 = 4200 — это число равно 12 множимым.
Множимое равно 4200:12 = 350, а множитель равен
49 000: 350 = 4900: 35 =(4900: 7) :5=(700: 10) Х2 = 140.
* Какое число от умножения на 13 увеличится на
6000? 6000 — разность между числом, повторенным
13 раз, и самим числом, т. е. 6000 равно числу, повторен-
ному 13—1 = 12 раз. Отсюда, чтобы найти искомое число,
надо 6000 делить на 12 (6000 : 12 = 500).
* Частное двух чисел 72, а если от делимого отнимем
2000, то частное будет равно 32. Найти эти числа.
Когда от делимого отняли 2000, частное стало мень-
ше на 72 — 32 = 40. Это значит, что от делимого отняли
40 делителей (делитель содержался в делимом 72 раза,
а после вычитания 2000 делитель содержится в делимом
32 раза). Следовательно, делитель равен 2000:40 = 50,
отсюда найдем делимое, умножив делитель на частное:
50X72 = 72X50= (72x100) : 2 = 3600.
Действия над частным.
а) Чтобы умножить частное на какое-нибудь число,
можно умножить на это число делимое или разделить
делитель.

(1875 : 75) х 4 = (1875 х 4) : 75 = 7500 : 75 = 100,
(2540 : 76) X 19 = 2540 : (76 : 19) 2540 : 4 = 635.
б) Чтобы разделить частное на какое-нибудь число,
можно разделить на это число делимое или помножить
делитель.
(6800 : 85) : 8 = (6800 : 8) : 85 = 850 : 85 = 10.
(2442 : 37) : 6 = 2442 : (37 х 6) - 2442 : 222 = 11.
Правила эти следуют из того, что: а) частное увели-
чится в несколько раз, если увеличить в это число раз
делимое или уменьшить делитель, б) частное уменьшит-
ся в несколько раз, если уменьшить в это число раз дели-
мое или увеличить делитель.
в) Чтобы умножить какое-нибудь число на частное,
можно умножить его на делимое и результат разделить
на делитель.
15 х (12 : 9) = (15 х 12) : 9 = 180 : 9 = 20.
г) Чтобы разделить какое-нибудь число на частное,
надо помножить это число на делитель и результат раз-
делить на делимое.
60 : (20 : 12) = (60 х 12) : 20 = 720 : 20 = 36.
Вывод этих правил основан на изменении частного и
произведения при изменении данных чисел в несколько
раз. Например:
в) 15X (12 : 9); если 15 помножим на 12, то второй
множитель будет увеличен в 9 раз, потому произведение
15x12 больше истинного в 9 раз, и для получения вер-
ного результата надо произведение 15x12 уменьшить в
9 раз;
г) 60 : (20 : 12); если 60 разделим на 20, то делитель
будет увеличен в 12 раз, потому частное 60:20 меньше
истинного в 12 раз, для получения верного результата
умножим его на 12.
Изменение произведения и частного от изменения
компонентов применяется при решении типовых задач,
требующих умножения или деления числа на несколько
частей, кратные отношения которых известны (пропор-
циональная зависимость и пропорциональное деление).

28. Из двух тонн свежих яблок получают 548 кг яб-
лочного сока. Сколько яблочного сока получат из 7 т
свежих яблок?
29. За 3 час. электротрактор может вспахать
2400 кв м площади. За сколько часов вспашут 2 элек-
тротрактора площадь 6400 кв. м?
30. Для 201 коровы изготовили запас сена из расче-
та по 16 кг сена в день на корову. Для скольких коров
хватит запаса вдвое большего, если, увеличив выдачу
сочных кормов, выдавать корове сена 8 кг?
31. По плану 30 комбайнов должны убрать площадь
посева за 10 дней. За сколько дней уберут площадь в
2 раза большую 40 таких комбайнов?
32. Для зимовщиков заготовлен провиант на 15 дней.
На сколько дней хватит провианта, если норму выдачи
увеличить вдвое, число зимовщиков уменьшить в три
раза, а запас провианта увеличить в два раза?
33. Применяя рациональные методы работы, бригада
за месяц выдала на гора 8568 т угля, в три раза повы-
сив производительность труда и в четыре раза ускорив
проходку. Какова была первоначальная производитель-
ность труда бригады за месяц?
34. От двух пристаней, расстояние между которыми
равно 942 км, отошли одновременно навстречу друг
другу катер и теплоход. Средняя часовая скорость кате-
ра в 5 раз больше средней скорости теплохода. Какое
расстояние до встречи прошел катер?
35. Три автомашины перевезли 801 т зерна, причем
первая машина перевезла в 3 раза меньше, чем вторая,
и в 5 раз меньше, чем третья. По скольку тонн зерна
перевезла каждая машина, если за поездку каждая пе-
ревозила одинаковое количество зерна?
36. Проведенный школьниками анализ почвы пока-
зал, что в ее составе песка вдвое больше, чем перегноя,
а глины вдвое больше, чем песка. Сколько земли взято
для анализа, если глины на 288 г больше, чем перегноя?
В существующих программах по арифметике для младших клас-
сов предлагается изучить зависимость между компонентами. Свой-
ства произведения и частного в проекте программы школы с трех-
годичным сроком обучения записаны. Эти свойства используются
на уроках и на внеклассных занятиях при изучении целых чисел.
Поэтому мы приводим примеры на свойства произведения и частно-
го, которые можно применять при изучении арифметики

Умножение и деление
I. Перестановка компонентов умножения
и деления
1) 144 X 16 : 9 = 144 : 9 X 9 X 16 : 9 (если данное число сна-
чала разделить на какое-нибудь число, а затем полученное частное
умножить на то же число, то данное число останется без измене-
ния) = 144 : 9 X 16 X 9 :9 (переместительность произведения) =
= 144:9 X 16 (если данное число сначала умножить на какое-ни-
будь число, а затем полученное произведение разделить на это же
число, то данное число останется без изменения) = 144: 9 X 16 =
= 256 (выполняем деление и умножение).
2) 1458 : 9 : 2 = 1458 : 2 X 2 : 9 X 2 (если данное число сначала
разделить на какое-нибудь число, а затем полученное частное умно-
жить на то же число, то данное число останется без изменения) =»
= 1458 : 2 : 9 X 2 : 2 (переместительность) = 1458 : 2 : 9 (если дан-
ное число сначала умножить на какое-нибудь число, а затем полу-
ченное произведение разделить на это число, то данное число
останется без изменения) = 729:9 = 81 (делим полученные числа).
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: результат умножения и деления не
меняется от перестановки компонентов.
3) 150 X 70 : 5 = 150 : 5 X 70 = 30 X 70 = 2100.
4) 14 700 : 20 : 7 = 14 700 : 7 : 20 = 2100 : 20 = 105.
II. Умножение числа на частное
/) 40 X (20 :8) = 40 X (20: 8) X 8 :8 (если данное число сна-
чала умножить на какое-нибудь число, а затем полученное произ-
ведение разделить на это же число, то данное число останется без
изменения) = 40 X [(40:8) X 81 (сочетательность произведения) =
= 40 X 20:8 (если данное число сначала умножить на какое-ни-
будь число, а затем полученное произведение разделить на то же
число, то данное число останется без изменения) = 800 : 8 = 100
(умножаем и делим полученные числа).
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы умножить данное число на
частное, достаточно сначала умножить его на делимое, а затем по-
лученное произведение разделить на делитель.
2) 125 X (48 : 25) = 125 X 48 : 25 = 6000 : 25 = 240.
3) 64 X (125:8).
III. Деление числа на произведение
/) 945: (9 X 7) = 945 : 9 X 9 : (9 X 7) (если данное число раз-
делить на какое-нибудь число, а затем полученное частное умно-
жить на то же самое число, то данное число останется без изме-
нения) = 945: 9 : 7 X 7 X 9 : (9 X 7) (то же) = 945 : 9 : 7 х 9 X 7:
: (9 X 7) (переместительное свойство произведения) = 945 : 9 : 7 X
X (9 X 7) : (9 X 7) (сочетательное свойство произведения) = 945 :
: 9: 7 = (если данное число сначала умножить на какое-нибудь число,
а затем полученное произведение разделить на это же число, то
данное число останется без изменения) 105 : 7 = 15 (делим данные
числа).

2) 8160 : (80 X 3) - 8160 : 80 : 3 = 102 : 3 = 34.
3) 225: (9 X 5).
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действии: Чтобы разделить какое-нибудь чис-
ло на произведение, достаточно разделить это число на первый со-
множитель, полученное частное — на второй, новое частное — на
третий и т. д.
IV. Деление числа на частное
1) 3200 : (800 : 27) = 3200 : 800 X 800 : (800 : 27) (если данное
число сначала разделить на какое-нибудь число, а затем полученное
частное умножить на то же число, то данное число останется без
изменения) = 3200 : 800 X 800 X 27 : 27 X 800 : (800 : 27) (если дан-
ное число сначала умножить на какое-нибудь число, а затем полу-
ченное произведение разделить на это же число, то данное число
останется без изменения) = 3200 : 800 X 27 X 800 : 27 : (800 : 27)
(переместительное свойство) = 3200 : 800 X 27 X (800 : 27) : (800 :
: 27) (сочетательное свойство) = 3200 : 800 X 27 (если данное число
сначала умножить на какое-нибудь число, а затем полученное про-
изведение разделить на это же число, то данное число останется без
изменения) = 4 X 27 = 108 (делим и умножаем полученные числа).
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы разделить данное число на
частное, достаточно разделить его на делимое, а затем полученное
частное умножить на делитель.
2) 16 : (8 : 25) = 16: 8 X 25 = 2 X 25 = 50.
3) 72 : (18:35).
К указанным способам по обоснованию приема устных вычисле-
ний близки следующие способы: разложение делителя на мно-
жители, последовательное деление и сочетательное свойство с по-
следующим делением.
а) 1890 : 54 - 1890 : (9 X 3 X 2) = (1890 : 9) : 3 : 2 = (210 : 3) :
: 2 = 70 : 2 - 35.
б) 2800 : 25 : 8 = 2800 : (25 X 8) = 2800 : 200 - 14.
V. Деление произведения на число
1) (3200 X 120 X 1000) : 8 = [(8 X 400) X 120 X 1000]: 8 (так
как 3200 = 8 X 400) = (8 X 400 X 120 X 1000) : 8 (сочетательное
свойство произведения) = (400 X 120 X 1000 X 8) : 8 (перемести-
тельное свойство произведения) — (400 X 120 X 1000) X 8:8 (соче-
тательное свойство произведения) = 400 X 120 X 1000 (если данное
число сначала умножить на какое-нибудь число, а затем полученное
произведение разделить на это же число, то данное число останет-
ся без изменения) = 48 000 X 1000 = 48 000 000.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы разделить произведение не-
скольких сомножителей на какое-нибудь число, достаточно разде-
лить на это число один из сомножителей произведения и получен-
ное частное последовательно умножить на каждый из остальных
сомножителей.
2) (12 X 50 X 800) : 4 = (12 : 4) X 50 X 800 = 3 X 50 X 800 =
= 120 000.
3) (64 X 12 X 25) : 16

VI. Деление произведения нескольких
сомножителей на другое произведение
1) (350 X 300 X 2) : (5 X 25) = [(5 X 70) X (25 X 12) X 2]: (5 X
X 25) (так как 350 = 5 X 70, а 300 - 25 X 12) - (5 X 70 X 25 X
X 12 X 2) : (5 X 25) (сочетательное свойство произведения) = (70 X
X 12 X 2 X 5 X 25) : (5 X 25) (переместительное свойство произве-
дения) = (70 X 12 X 2) X (5 X 25) : (5 X 25) (сочетательное свой-
ство произведения) = 70 X 12 X 2 (если данное число умножить
на какое-нибудь число, полученное произведение разделить на то же
число, то данное число останется без изменения) = 1680. Умножаем
полученные числа.
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы разделить произведение не-
скольких сомножителей на другое произведение, все сомножители
которого входят в первое произведение, достаточно разделить каж-
дый из сомножителей первого произведения на соответствующий
сомножитель второго произведения, а затем полученные частные
и оставшиеся сомножители от первого произведения перемножить.
2) (81 X 24 X 10) : (27 X 12) = (81 : 27) X (24: 12) X 10=
- 3 X 2 X 10 = 60.
3) (96 X 72 X 25) : (24 X 18).
VII. Деление, сложение и вычитание
Л. 1) (56 014 4- 49 028) : 7 = 56 014 : 7 + 49 028 : 7 (деление сум-
мы на число) = 8002 4- 7004 = 15 006 (делим данные числа и скла-
дываем полученные частные).
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы разделить сумму нескольких
слагаемых на данное число, достаточно разделить на него каждое
слагаемое и полученные результаты сложить.
2) (640 + 1280) : 8 = 640 : 8 + 1280 : 8 = 80 4- 160 = 240.
3) (497 4- 343) : 7.
Б. 1) (36 042 - 18 024) : 6 = 36 042 : 6 - 18 024 : 6 (деление раз-
ности на число).
6007 — 3004 = 3003 (делим данные числа и вычитаем получен-
ные частные).
При решении подобных примеров применяется следующее свой-
ство арифметических действий: Чтобы разделить разность двух чи-
сел на третье число, достаточно разделить на него уменьшаемое и
вычитаемое, а затем из первого частного вычесть второе частное.
2) (8154 - 3618) : 9 = 8154 : 9 - 3618:9 - 906 - 402 = 504.
3) (9113 - 5239) : 13.
В. К указанному способу по обоснованию близок способ выне-
сения общего делителя за скобки.
1) 675 : 45 4- 225 : 45 = (675 + 225) : 45 = 900 : 45 = 20
2) 948: 12 - 804: 12 = (948 - 804) : 12 = 144: 12 = 12.

ГЛАВА
IV
ПОВТОРЕНИЕ И ДОПОЛНЕНИЕ
В последнее время составлено несколько проектов
программы по математике для младших классов началь-
ной школы. В этих проектах предлагается за 3 года изу-
чить не только арифметику, но и элементы алгебры.
Экспериментаторы этих проектов программ утверж-
дают, что дети хорошо усваивают материал, предлагае-
мый проектом программы с 3-годичным сроком обуче-
ния. Следует сказать, что и для IV класса составлен
проект программы, материал которого проверяется в
школах. По этому проекту ребята изучают не только
уравнения первой степени с одним неизвестным, но и от-
рицательные числа. Экспериментаторы проекта програм-
мы IV класса утверждают, что учащиеся хорошо усваи-
вают материал.
За 4 года в младших классах, как показывает экспе-
риментальная работа в школе, можно изучить свойства
арифметических действий с включением, тем: «Зависи-
мость между компонентами и результатами арифмети-
ческих действий», «Изменение результатов действий от
изменения компонентов» и «Простейшие уравнения».
В данной работе мы подробно изложили первую и вто-
рую темы и дали ряд приемов устных вычислений, осно-
ванных на законах и свойствах арифметических дейст-
вий с целыми числами. В повторении мы остановимся
на устных вычислениях с применением зависимости меж-
ду компонентами и результатами действий, изменения
результатов действий от изменения компонентов и на
простейших уравнениях первой степени.
§ 13. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Предлагаемые приемы основаны на зависимости между компо-
нентами и результатами арифметических действий и на изменении
результата действий от изменения компонентов.

Сложение и вычитание
I. Округление одного или нескольких
слагаемых основано на изменении суммы
от изменения слагаемых
А. Если одно из слагаемых увеличить (или уменьшить) на не-
сколько единиц, а другое слагаемое оставить без изменения, то сум-
ма увеличится (или уменьшится) на столько же единиц.
1) 497 + 328 = 500 - 3 + 328 = 500 + 328 - 3 = 828 - 3 = 825;
2) 576 + 209 = 576 + 200 + 9 = 776 + 9 = 785.
Округляя слагаемые, мы увеличиваем (или уменьшаем) его,
а следовательно, и сумму на несколько единиц. Чтобы сумма не из-
менилась, надо уменьшить (или увеличить) ее на столько же единиц.
Решить. 1) 299 + 435; 3) 406 + 257;
2) 324 + 598; 4) 272 + 604.
Б. Если одно из слагаемых увеличить (или уменьшить) на не-
сколько единиц, а другое слагаемое уменьшить (или увеличить) на
столько же единиц, остальные слагаемые оставить без изменения,
то сумма не изменится.
1) 196 + 194 = (200 - 4) + (190 + 4) = 200 - 4 + 190 + 4 =
= 200 + 190 - 4 + 4 = 390.
2) 69 + 513 = (69 + 13) + (513 - 13) = 82 + 500 = 582.
Переместили несколько единиц из одного слагаемого в другое,
и сумма не изменилась.
Решить. 1) 693 + 468; 3) 197 + 825;
2) 818+ 196; 4) 294 + 399.
В том случае, когда одно из слагаемых близко к разрядной еди-
нице (на несколько единиц больше или меньше), удобнее заменить
его разрядной единицей, а в полученный от сложения результат
внести необходимую поправку.
II. Округление уменьшаемого или вычитаемого
на несколько единиц
А. Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на несколько
единиц, то разность соответственно увеличится или уменьшится на
столько же единиц.
/; 792 - 246 = (800 - 246) - 8 = 554 - 8 = 546.
Уменьшаемое увеличено на несколько единиц, получившаяся
разность должна быть уменьшена на столько же единиц.
2) 603 - 325 = (600 - 325) + 3 = 278.
Из уменьшаемого вычли несколько единиц, получившаяся раз-
ность должна быть увеличена на столько же единиц.
Округляя уменьшаемое, мы увеличиваем (или уменьшаем) его
на несколько единиц. Следовательно, и разность увеличивается (или
уменьшается) на столько же единиц. Чтобы разность не изменилась,
надо ее уменьшить (или увеличить) на столько же единиц.

Решить. /) 693 — 456; 3) 504 — 368;
2) 392 — 275; 4) 402 — 239;
Б. Если вычитаемое увеличить (или уменьшить) на несколько
единиц, то разность соответственно уменьшится (или увеличится)
на столько же единиц.
783 - 598 = (783 - 600) + 2 = 183 + 2 = 185.
Вычитаемое увеличено на несколько единиц, получившаяся раз-
ность должна быть увеличена на столько же единиц.
2) 910 - 514 = (910 - 510) - 4 = 400 - 4 = 396.
Вычитаемое уменьшено на несколько единиц, получившаяся раз-
ность должна быть уменьшена на столько же единиц.
Округляя вычитаемое, мы увеличиваем (или уменьшаем) его
на несколько единиц, а следовательно, разность уменьшается (или
увеличивается) на столько же единиц. Чтобы разность не измени-
лась, надо ее увеличить (или уменьшить) на столько же единиц.
Решить. 7; 363— 199; 3) 572 — 205;
2) 741 — 392; 4) 1057 — 602.
Всегда выгоднее округлять вычитаемое, так как разрядное число
легче вычитается из любого числа.
III. Округление уменьшаемого и вычитаемого
Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (или уменьшить) на
одинаковое число единиц, то разность не меняется.
A. 1) 131 - 96 = (131 + 4) - (96 + 4) = 125 - 100 = 25;
2) 987 - 192 = (987 + 13) - (192 + 13). - 1000 - 205 = 795.
В данных примерах уменьшаемое и вычитаемое увеличено на
одно и то же число, разность не изменилась.
Решить. /) 675 — 293; 3) 964 — 498;
2) 845 — 596; 4) 798 — 329.
Б. 1) 752 - 309 = (752 - 9) - (309 - 9) = 743 - 300 = 443.
В данном примере уменьшаемое и вычитаемое уменьшены на
одно и то же число, разность не изменилась.
Решить. 1) 841 — 404; 3) 702 —539;
2) 672 — 305; 4) 905 — 758.
B. 1) 602 - 398 - (600 + 2) - (400 - 2) - (600 - 400) + 2 +
+ 2 = 200 + 4 = 204;
2) 903 - 296 = (900 + 3) - (300 - 4) - (900 - 300) + 3 + 4 =
= 600 + 7 = 607.
В данных примерах, округляя уменьшаемое, мы уменьшаем раз-
ность на несколько единиц, округляя вычитаемое, мы увеличиваем
разность на несколько единиц. Следовательно, полученная разность
должна быть увеличена на такую сумму единиц, на какую мы
уменьшили уменьшаемое и увеличили вычитаемое.

Решить. 7) 403— 198; 3) 706 — 298;
2) 502 — 295; 4) 706 — 506.
Умножение и деление
I. Умножение
Если один из сомножителей произведения увеличить во сколь-
ко-нибудь раз, другой уменьшить во столько же раз, то произведе-
ние не изменится. На этом свойстве основывается применение со-
кращенных способов умножения на 5, 25, 125 и на другие числа,
представляющие какую-нибудь часть числа, изображенного едини-
цей с нулями.
А. Умножение числа на 5, 50, 500 и т. д.
Умножение числа на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением
на 10, 100, 1000 и т. д. и делением на 2 полученного произведения
или сначала данное число делится на 2, а потом полученное част-
ное умножается на 10, 100, 1000 и т. д.
/) 34 X 5 = (34 : 2) X Ю = 17 X 10 = 170.
2) 37 X 5 = (37 X 10) : 2 = 370: 2 = 185.
3) 63 X 5 = (62 + 1) X 5 - 62 X 5 + 1 X 5 = (62 : 2) X 10 +
+ 5 = 310+ 5 = 315.
Решить. 1) 56x5; 3) 426 x 5; 5)147x5;
2) 156 х 5; 4) 49 х 5; 6) 471 х 5.
4) 488 X 50 = (488: 2) X 100 = 244 X 100 = 24 400;
5) 18 X 50 = (18 X 100) : 2 = 1800 : 2 = 900;
6) 23 X 50 = (22 + 1) X 50 == 22 X 50 + 1 X 50 = (22 : 2) X
X 100 + 50 = 1150;
Решить. 7) 16 х 50; 9) 94 х 50; И) 27 х 50;
8) 56 х 50; 10) 19 х 50; 12) 57 х 50.
7) 48 X 500 = (48 : 2) X 1000 = 24 X 1000 = 24 000;
8) 39 X 500 = (38 + 1) X 500 = 38 X 500 + 1 X 500 = (38 :
: 2) X 1000 + 500 = 19 X 1000 + 500 = 19 500;
9) 71 X 500 = (71 X 1000) : 2 = 71 000 : 2 = 35 500;
Решить. 13) 32 х 500; 15) 96 х 500; 17) 83 х 500;
14) 78 х 500; 16) 67 х 500; 18) 29 х 500.
Б. Умножение числа на 25, 250, 2500 и т. д.
При умножении числа на 25, 250, 2500 и т. д. достаточно дан-
ное число умножить на 100, 1000, 10 000 и т. д. и произведение раз-
делить на 4 или сначала данное число разделить на 4 и полученное
частное умножить на 100, 1000, 10 000 и т. д.
/) 24 X 25 = (24 :4) X 100 = 6 X 100;
2) 37 X 25 - (36 -f- 1) X 25 = 36 X 25 + 1 X 25 = (36 : 4) X
X 100 + 25 = 925;
3) 47 X 25 = 4700:4 = 1175.

Решить. 1) 64 х 25; 2) 27 х 25; 3) 67 х 25.
4) 56 X 250 = (56 : 4) X 1000 - 14 X 1000 = 14 000;
5) 74 X 250 - (72 + 2) X 250 = 72 X 250 + 2 X 250 = (72 :
:4) X 1000 + 500 = 18 500.
Решить. 4) 48 X 250; 5) 35 х 250; 6) 55 х 250.
6) 12 X 2500 = (12 : 4) X 10 000 = 30 000;
7) 17 X 2500 = (16 + 1) X 2500 = 16 x 2500 + 1 X 2500 =
= 42 500.
Решить. 7) 28 х 2500; 8) 84 х 2500; 9) 13 х 2500.
В. Умножение на 125, 1250 и т. д.
При умножении числа на 125, 1250 и т. д. данное число умно-
жают на 1000, 10 000 и т. д. и полученное произведение делят на 8
или сначала данное число делят на 8 и полученное частное умно-
жают на 1000, 10 000 и т. д.
1) 96 X 125 = (96 : 8) X (125 X 8) - 12 X 1000 = 12 000;
2) 35 X 125 - (35 X 125 X 8) : 8 = (35 X 1000) : 8 - 35 000 :
: 8 = 4375.
Решить. 1) 56 х 125; 3) 27 х 125;
2) 64 х 125; 4) 42 X 125.
Г. Умножение числа на 37.
При умножении числа на 37, если данное число кратно 3, то
его делят на 3 и умножают на 111.
1) 27 X 37 = (27 : 3) X (37 X 3) = 9 X 111 = 999.
Если же данное число не кратно 3, то 37 умножают на ближай-
шее число, кратное 3, и из произведения вычитают 37 или к произ-
ведению прибавляют 37.
2) 23 X 37 = (24 - 1) X 37 - (24 : 3) X (37 X 3) - 37 = 8 X
X 111 - 37 = 888 - 37 = 851;
3) 28 X 37 = (27 + 1) X 37 = 27 X 37 + 1 X 37 = 999 + 37 =
= 1036.
Решить. /; 69 х 37; 3) 13 х 37; 5) 21 х 37;
2) 35 х 37; 4) 26 х 37; 6) 29 X 37.
II. Деление
Если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одинако-
вое число раз, то частное не изменится. На этом свойстве основы-
вается применение сокращенных способов деления на 5, 25, 125
и другие числа, представляющие какую-либо часть числа, изобра-
женного единицей с нулями.
А. Деление на 5, 50, 500 и т. д.
Деление числа на 5, 50, 500 и т. д. заменяется делением на 10,
100, 1000 и т. д. и умножением на 2 полученного частного или сна-
чала делимое умножается на 2, а потом полученное произведение
делится на 10, 100, 1000 и т. д.
1) 8740 : 5 - (8740 : 10) X 2 = 874 X 2 = 1748.
2) 2735 : 5 - (2735 X 2) : (5 X 2) = 5470 : 10 = 547.

Решить. 1) 190 : 5; 3) 490 : 5; 5) 475 : 5;
2) 780 : 5; 4) 945 : 5; 6) 675 : 5.
3) 197 500 : 50 = (197 500 : 100) X 2 = 3950;
4) 23 750: 50 = (23 750 X 2) : (50 X 2) = 475;
5) 147 500 : 500 = (147 500 : 1000) X 2 = 295;
6) 437 500 : 500 = (437 500 X 2) : (500 X 2) = 875 000 : 1000 =
= 875.
Б. Деление на 25, 250 и т. д.
При делении числа на 25, 250 и т. д. достаточно разделить его
на 100, 1000 и т. д. и полученные частные умножить на 4 или сна-
чала делимое умножить на 4, а потом полученное произведение раз-
делить на 100. 1000 и т. д.
1) 14 200 : 25 = (14 200 : 100) X 4 = 142 X 4 = 568.
2) 2375 : 25 = (2375 X 4) : 100 = 95.
Решить. 7) 925:25; 3) 1150:25;
2) 625 : 25; 4) 2075 : 25.
В. Деление числа на 125, 1250 и т. д.
При делении числа на 125, 1250 и т. д. достаточно разделить
его на 1000, 10 000 и т. д. и полученное частное умножить на 8 или
сначала делимое умножить на 8, а потом полученное произведение
разделить на 1000, 10 000 и т. д.
1) 35 000 : 125 - (35 000 : 1000) X 8 = 280;
2) 2250 : 125 = (2250 X 8) : (125 X 8) = 18 000 : 1000 = 18.
Умножение, сложение и вычитание
I. Округление одного из сомножителей
Если один ,из двух сомножителей увеличить или уменьшить на
несколько единиц, то произведение соответственно увеличится или
уменьшится на число, равное произведению другого сомножителя на
прибавляемое или вычитаемое число единиц.
А. Округляем множимое до разрядного числа единиц, отнимая
от него несколько единиц, затем умножаем отдельно разрядное чис-
ло и отнятые единицы на множитель и полученные произведения
складываем.
* 402 X 7 = (400 + 2) X 7 = 400 X 7 + 2 X 7 = 2814.
Решить. 7) 705 x 8; 3) 508 x 7;
2) 504 x 6; 4) 814x2.
Б. Округляем множимое до разрядного числа, прибавляя не-
сколько единиц, умножаем отдельно разрядное число и прибавлен-
ные единицы на множитель и из первого произведения вычитаем
второе произведение.
Г) 298 X 4 = (300 - 2) X 4 = 1200 — 8 = 1192; 2) 197 X 3.
Решить. 1) 192x8; 3) 694 x 4; 5) 197x5;
2) 495 х 3; 4) 399 х 6; 6) 296x8.

II. Округление множителя
Л. Округляем множитель до разрядного числа, уменьшая его
на несколько единиц, затем отдельно умножаем множимое на раз-
рядное число и на отнятые единицы и полученные произведения
складываем.
23 X 1004 = 23 X (1000 + 4) - 23 X 1000 + 23 X 4 = 23 000 +
+ 92 = 23 092.
Решить. 1) 3 x 207; 3) 4 х 302; 5) 17 х 208;
2) 6 х 515; 4) 13 X 7004; 6) 24 X 325.
К этому способу сокращенного умножения подходит умноже-
ние на 15, 150, на 11, 111, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.
При умножении на 15 умножают на 10 и прибавляют полови-
ну полученного произведения.
* 1) 386 X 15 = 386 X (10 + 5) = 386 X 10 + (386 X 10) : 2 =
= 3860 + 1930 = 5790.
2) 27 X 15 = 27 X (10 + 5) = 27 X 10 + 27 X 5 = 270 +
+ (27 X Ю) : 2 = 270 + 235 - 405.
Решить. 1) 29 х 15; 3) 18 х 15; 5) 130 X 15;
2) 43 X 15; 4) 24 х 15; 6) 668 X 15.
При умножении на 150 умножают на 100 и прибавляют поло-
вину полученного произведения.
1) 12 X 150 = 12 X (100 + 50) = 12 X 100 + (12 X 100) :2=
= 1200 + 600 = 1800.
2) 17 X 150 - (17 X 100) + (17 X 100) :2 = 1700 + 850 = 2550.
Решить. 1) 26 х 150; 3) 64 х 150; 5) 88 х 150;
2) 33 х 150; 4) 47 х 150; 6) 19 х 150.
При умножении на одиннадцать данное число умножают на
десять и к полученному произведению прибавляют данное число.
/) 24 X 11 = 24 X (10 + 1) = 24 X 10 + 1 X 24 = 240 +
+ 24 - 264.
2) 45 X И - 45 X (10 + 1) = 45 X 10 + 1 X 45 = 450 +
4- 45 = 495.
Решить. /; 35 х 11;
2) 63 х 11;
3) 54 х 11;
4) 79 х 11
5) 71 х 11
6) 84 х 11
7) 29 х 11;
8) 38 х 11.
К этому же способу сокращенного умножения подходит умножение
на 12.
Б. Округляем множитель до разрядного числа, увеличивая
его на несколько единиц, затем умножаем отдельно разрядное
число и прибавленные единицы, умноженные на множитель, и из
первого произведения вычитаем второе произведение.
* 46 х 0 = 46 X (Ю - 1) = 46 X Ю - 46 X 1 = 460 - 46 =
= 414.

Решить. 1) 24x9; 4) 87 х 9; 7)43x9;
2) 75 х 9; 5) 59 х 9; 5) 54 х 9.
3) 48 X 9; 6) 66 X 9;
К этому же способу сокращенного умножения подходит умножение
на 99, 999 и т. п.
При умножении на 9, 99, 999 и т. д. умножают данное число
на 10, 100, 1000 и т. п. и из полученного произведения вычитают
данное число.
При умножении на 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 данное число
умножается на 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и из полученного произ-
ведения вычитают данное число.
III. Округление слагаемого или уменьшаемого
и умножение
Л. Округление слагаемых и замена сложения умножением. На
основании определения умножения и изменения суммы от измене-
ния слагаемых можно округлять слагаемые до одного и того же
разрядного числа, разрядное слагаемое число умножить на число
слагаемых и к произведению прибавить или из произведения вы-
честь разницу, которая получается в результате замены каждого
слагаемого разрядным числом.
97 + 101 4- 98 4- 96 4- 105 = (100 4- 100 4- 100 + 100 + 100)-
-34-1-2-4-5 = 100 Х 5 - 3 = 497.
Решить. 1) 31 + 33+ 30+ 27+ 29 + 25;
2) 62+ 64+ 58+ 56+ 65;
3) 132 + 130 + 133 + 129 + 127.
Б. Округление уменьшаемого и умножение. Если уменьшаемое
можно разложить на два слагаемых, одно из которых является
множимым вычитаемого и легко отнимается от уменьшаемого, то
вычитание производят следующим образом:
* 1032 - 32 X 6 = (1032—32) - 32 X 5 = 1000 - 160 = 840.
Решить. /) 206— 6 x 13; 5)621—21x6;
2) 1160 —60 х 9; 4) 856 — 56 x 7.
Деление, сложение и вычитание
Округление делимого основано на изменении частного от изме-
нения делимого на несколько единиц.
От увеличения или уменьшения делимого на какое-нибудь чис-
ло частное увеличивается на частное, полученное от деления прибав-
ленного числа на делитель, или уменьшается на частное, получен-
ное от деления отнятого числа на делитель.
810 045 : 9 = (810 000 4- 45) : 9 = 810 000 : 9 4- 45 : 9 =
= 90 000 4- 5 = 90 005.
Решить. /) 64032 : 16; 3) 720036 : 18;
2) 96048 : 24; 4) 900045 : 15.

§ 14. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ
Перед изучением простейших уравнений остановимся
на записи решения задачи в виде числовой формулы.
Формула записи решения задачи имеет большое зна-
чение для подготовки учащихся к изучению простейших
уравнений.
Однако в методической литературе встречается и не-
дооценка записи решения задачи в виде числовой фор-
мулы.
В записи решения задачи в виде числовой формулы
указано, какие действия, в каком порядке и над какими
числами нужно выполнять, чтобы решить задачу.
Сущность этого приема заключается в следующем.
После усвоения условия задачи производится разбор за-
дачи, устанавливается порядок действий, необходимых
для решения задачи. После этого каждое действие
лишь обозначается, отдельные действия связываются
между собой в той последовательности, которая соот-
ветствует порядку решения задачи. В результате полу-
чается числовая формула, отражающая весь ход разбо-
ра задачи и показывающая характер и порядок действий
для ее решения.
Упражнения в составлении формул следует начинать
на задачах в два действия и постепенно переходить к за-
дачам в три и больше действий, усложняя характер за-
висимости между данными задачи.
Примеры записи решения задач
в виде числовой формулы
I. Две садовые машины-ямокопатели заменяют труд
28 человек. Труд скольких человек заменяют 5 машин?
Запись числовой формулой: 28:2x5 = 70 (человек).
II. Одно звено обрабатывает 3 гектара свеклы, а дру-
гое звено обрабатывает 4 гектара. Оба звена вместе со-
брали 7255 ц свеклы, причем первое звено собрало в
среднем с каждого гектара по 1105 ц. Сколько свеклы
собрало в среднем с каждого гектара второе звено?
Запись числовой формулой: х= (7255— 1105x3) : 4.
III. В питомнике 690 деревьев посажены рядами.
В каждом из первых 8 рядов посажено по 30 деревьев,
а в каждом из остальных — по 9 деревьев. Сколько ря-
дов занято деревьями?

Запись числовой формулой: х = 8+ (690 — 30x8) : 9.
IV. В театре было 840 зрителей. По окончании спек-
такля часть из них отправилась домой пешком, а часть
разместилась в 18 вагонах трамвая, причем в каждый
вагон входило на 5 человек больше, чем было в нем
мест. Если бы в каждый вагон входило столько народу,
сколько было в нем мест, то понадобилось бы еще 3 ва-
гона, причем в последнем вагоне было бы 6 мест свобод-
ных. Сколько человек пошли пешком?
Запись числовой формулой: х = 840 — [(5Х18 +
+ 6) :3 + 5]Х18.
V. Стоимость билетов всех пассажиров теплохода
равнялась 1857 руб. Причем было 23 пассажира I клас-
са, плативших за проезд по 20 руб., 78 пассажиров
II класса, плативших за проезд по 9 руб., остальные пас-
сажиры III класса. На обратном пути число пассажи-
ров I а II классов не изменилось, а в III классе стало
меньше на 32 человека. За обратный проезд на теплохо-
де касса выручила 1697 руб. Сколько было пассажиров
III класса первоначально?
Запись числовой формулой: х = [1857—(20Х23 + 9Х
78)]: [(1857-1697) : 32]= 139.
Начинать ознакомление учащихся с записью решения
задачи в виде числовой формулы следует с задачи, где
формула несложна, и постепенно увеличивать количест-
во данных, необходимых для решения задач.-
Запись решения задачи в виде числовой формулы не
только имеет большее значение для изучения простейших
уравнений. Она помогает выработать умение охватить
одной формулой ряд действий, связанных конкретным
материалом задачи. Эта работа весьма ценна, как под-
готавливающая учащихся к составлению алгебраиче-
ских формул.
Существующая программа, а также и проект про-
граммы с трехгодичным сроком обучения для младших
классов школы рекомендуют при решении примеров и
задач выполнять «запись решения задач в виде числовой
формулы». Следует заметить, что встречается название
и «запись решения задачи арифметической формулой».
Кроме записи решения задачи в виде числовой фор-
мулы, для составления простейших уравнений большое
значение имеет решение задач, выраженных в косвен-
ной форме.

В первом десятке начинается подготовка к уравнени-
ям. Когда учащиеся решают примеры на угадывание
числа («закрыть форточку», как часто называют малыши
примеры с незаполненными квадратиками), задачи на
угадывание задуманных чисел — все эти упражнения яв-
ляются первой ступенью подготовки к решению урав-
нений. В это время учащиеся составляют формулы ре-
шения простых задач, сначала обозначая искомую вели-
чину так же, как и в примерах с квадратиком, за-
тем знаком вопроса и потом буквой х. Например:
* У Маши было 8 слив. Несколько слив она отдала
сестре. У нее осталось 5 слив. Сколько слив Маша отда-
ла сестре?
Запись решения задачи: 8 — Г1 = 5,
или позже: 8 — х = 5.
При записи решения задачи в виде формулы учащие-
ся привыкают выделять в задаче неизвестное, обозначив
его через х, выражать зависимость между ним и осталь-
ными величинами, входящими в условие задачи. На за-
дачах с «задуманными числами» легко показать уча-
щимся составление формулы: действия подсказаны усло-
вием задачи. Например:
* Задумано число больше 10. От него отняли 8, по-
лученную разность умножили на 2 и получили 10. Какое
число задумано?
Запись: (х — 8)Х2=10. Учащиеся рассуждают при-
мерно так: после умножения разности на 2 получили 10,
значит, умножали число 5, т. е. разность равнялась 5.
5 получили после того, как из задуманного числа вычли
8, следовательно, задуманное число было на 8 больше,
т. е. 8 + 5=13.
Приведем задачу с конкретным содержанием.
* На тарелке было несколько орехов, добавили еще
20 .орехов и все орехи разделили пятерым детям. Каж-
дый получил по 6 орехов. Сколько орехов лежало на та-
релке?
Запись решения задачи: (х + 20) : 5 = 6. Когда уча-
щиеся будут знать зависимость между компонентами,
они будут применять свои знания в этой области при ре-
шении подобных примеров и задач.
Для решения уравнений необходимо использовать
знание учащимися составления алгебраической форму-

лы, зависимость между компонентами и изменение ре-
зультата действий от изменения компонентов.
Задача на сложение.
* В огороде было 180 грядок разных овощей, потом
добавили еще несколько грядок, после чего в огороде
стало 200 грядок. Сколько грядок было добавлено?
Можно, конечно, сразу ответить, что добавлено было
20 грядок. Но разберемся в решении этой задачи. Обо-
значив неизвестное число добавленных грядок какой--
нибудь буквой, например буквой л', рассуждаем так:
к 180 грядкам добавили х грядок, стало 180 + х грядок,
но по условию это число равно 200; следовательно, мы
можем записать равенство:
180 + х - 200.
Эта запись условия задачи показывает и способ ее
решения, а именно: имеется сумма двух слагаемых, из
которых х— неизвестное слагаемое, сумма же равна 200.
Из арифметики известно, что каждое из двух слагаемых
равно сумме без другого слагаемого. Поэтому л: = 200 —
-180; х = 20.
Проверка. 180 + 20 = 200.
Итак, решение этой задачи основано на использова-
нии зависимости между слагаемыми и суммой — именно
на том факте, что
если а + b = с, то b = с — а, а = с — b, где
а, b — слагаемые, с — сумма.
Рассмотрим задачу на вычитание.
* После того как поезд прошел 168 км из всего рас-
стояния между городами, ему осталось идти еще 483 км.
Определить расстояние между городами.
Обозначив расстояние между городами (в км) бук-
вой х, можем записать условие задачи так: х— 168 = 483;
здесь х — уменьшаемое, 168 — вычитаемое, 483 —
остаток.
Но из арифметики известно, что уменьшаемое равно
сумме вычитаемого и остатка (разности). Поэтому х =
= 168 + 483; Л'= 651 (км).
Мы использовали свойство вычитания, которое мо-
жет быть записано в общем виде так:
если а — b = с, то а = b + с.

Изменим условие этой же задачи. Расстояние между
городами А и В равно 651 км. На какое расстояние от
города А отошел поезд, если ему осталось идти до горо-
да В 483 км?
Обозначив неизвестное расстояние (в км) поезда от
А через х, условие задачи записывают так: 651—х = 483.
В этом равенстве х — неизвестное вычитаемое, 651 —
уменьшаемое, 483 — остаток, но из арифметики извест-
но: вычитаемое равно уменьшаемому минус разность
(остаток). Итак, х = 651—483; л:= 168.
Использованное свойство вычитания записывается в
общем виде так:
если а — Ъ = с, то b = а — с.
Решим задачу на умножение.
* Поезд, идя с постоянной средней скоростью 45 км
в час, за несколько часов прошел 135 км. Сколько часов
он шел?
Обозначив неизвестное число часов через х. Записы-
ваем условие в виде равенства. Расстояние, пройденное
поездом за х часов, равно 45 х км и равно по условию
135 км. Получается равенство: 45х=135; здесь 45 и х —
сомножители, 135 — произведение. Из арифметики из-
вестно, что каждый из двух сомножителей равен произ-
ведению, деленному на другой сомножитель (при усло-
вии, что другой сомножитель не равен нулю).
Решение задачи: х=135:45; х = 3. Записывают это
свойство произведения:
если аЪ = с и b ф О (не равно нулю), то а =c/b
Задача на деление.
* Некоторое расстояние поезд прошел за 3 часа.
Средняя скорость его 45 км в час. Какое расстояние про-
шел поезд?
Обозначим неизвестное расстояние (в км) какой-ни-
будь буквой, например буквой х. Время движения (в ча-
сах) равно расстоянию х, деленному на скорость, т. е.
х/45, но по условию время движения равно 3 час. Следо-
вательно, -^g- =3. В этом равенстве х — делимое, 45 —
делитель, 3 — частное. Из арифметики известно, что де-
лимое равно произведению делителя на частное. Поэто-

му л: = 45 х 3; х=135. Мы использовали следующее свой-
ство деления:
если а : b = с, то а = bc.
Решить уравнение — это значит найти то чис-
ло, от подстановки которого вместо неизвестной буквы
уравнение обращается в верное равенство. Такое число
называется корнем или решением уравнения.
Тождествами называются равенства, справед-
ливые для любых допустимых значений входящих в них
букв, т. е. при всех значениях букв, при которых обе ча-
сти тождества имеют определенное числовое значение,
а также справедливые числовые равенства. Например:
а + b = b + а, 35 : 7 + 4=18 : 2.
Необходимо давать учащимся упражнения на выде-
ление из ряда данных равенств: а) уравнений и б) тож-
деств, посредством подстановки вместо букв — чисел
или буквенных выражений.
Например: a(b — c) =ab — ac и 5х — 8 = 42.
Все равенства, выражающие основные законы и свой-
ства действий, являются тождествами.
При решении уравнений необходимо выполнить
проверку полученного решения (корня), так как
ошибки в вычислениях и преобразованиях всегда воз-
можны. Подстановка в уравнение вместо неизвестного
найденного решения должна обратить уравнение в тож-
дество.
Решение
5х = 8 + 42
5х = 50
х= 10
Проверка
5-10 = 8 + 42
50 = 50 (тождество)
Уравнение состоит из двух алгебраических выраже-
ний, соединенных знаком равенства. Выражение, нахо-
дящееся по левую сторону от знака равенства, называет-
ся левой частью уравнения; выражение, находящееся по
правую сторону знака равенства,— правой частью урав-
нения.
К изучению простейших уравнений можно перейти
от арифметических задач.
Задача. Задумано число, разделим его на 3, из ча-
стного вычтем 5, в остатке получим 15. Какое число за-
думано?

Арифметическое решение задачи довольно сложно.
Задуманное число разделено на 3, т. е. взята его третья
часть. После вычитания из нее 5 осталось 15, до вычита-
ния третья часть задуманного числа равнялась 15 + 5 =
= 20, искомое число равно 20x3 = 60. При арифметиче-
ском способе решения трудно записать условие задачи
в математических символах. Условие требует сложного
разбора для решения задачи. Алгебраический способ ре-
шения, при котором для неизвестного числа вводится
обозначение х, позволяет сделать удобную четкую за-
пись условия, из которой видно, как решать задачу.
Обозначив задуманное число через х, записываем
условие:
x/3—5=15,
решение уравнения начинается с использования зависи-
мости между компонентами вычитания. Уменьшаемое
x/3 равно сумме вычитаемого и остатка: у = 5 + 15; -j =
- 20.
Дальше применяется зависимость между компонен-
тами деления: делимое х равно произведению делителя
на частное (или частного на делитель): Л' = 3Х20; х = 60.
Запись всего хода решения должна быть
четкой, например:
/. Составление уравнения.
Задуманное число есть х; третья часть задуманного
числа у; третья часть числа х, уменьшенная на 5, рав-
на у —5 = 15.
2. Запись решения уравнения.
При объяснении решения уравнения, основанном на
использовании свойства арифметических действий, по-
степенно записывается ход вычислений: ~- —5=15;
-f = 5+15, -f=20;
х = 20 X 3; х = 60.
При записи вычислений каждое уравнение должно,
согласно определению, состоять из двух выражений, со-
единенных знаком равенства.

Решение уравнений начинается с устного решения
простейших примеров на определение компонентов че-
тырех действий. Подбирая примеры, надо ввести в вы-
числения различные приемы устного счета как общие,
так и особые. Например:
x+98 = 250; 99+х=320; x : 25 = 56; 302-x = 75 и т. д.
Решение каждого примера учащиеся объясняют на
основании зависимости между компонентами действий;
так, х: 25 = 56 решается и объясняется свойствами ком-
понентов деления: делимое равно произведению делите-
ля и частного. 25x56 = 56x25 (переместительность умно-
жения).
Объяснение вычисления может быть следующим:
если множимое 56 разделим на 4, а множитель 25 умно-
жим на 4, произведение не изменится (56:4, 25 x 4),
т. е. x = 56 Х 25;x=(56:4) Х (25 х 4); х=14 х 100; х=1400.
Домашнее задание должно содержать примеры той
же категории, но с большими числами. Здесь надо обра-
тить внимание на применение более трудных случаев
письменных вычислений, например на деление с нулями
на конце, в середине частного и т. п. Пример: 54 756 : х =
= 507 и т. п.
Вместе с решением примеров на уравнения надо
предлагать учащимся и простейшие задачи на составле-
ние уравнений, соблюдая в подборе задач постепенность
в отношении трудности содержания. Примеры задач:
Л' 199 прибавили неизвестное число и получили 286.
Найти неизвестное число.
Условие примеров может быть предложено в разных
формулировках, например:
1) К неизвестному числу х прибавили 98 и получили
250, найти х.
2) К 99 прибавили неизвестное число (некоторое чис-
ло) и получили 320, найти неизвестное число.
3) Задуманное число разделили на 25 и получили 56,
какое число задумали?
4) Какое число надо отнять от 302, чтобы получи-
лось 75? И др.
Формулировки 1, 2, 3 указывают, какое действие вы-
полняется над искомым числом, названия которого в
этих формулировках мало чем отличаются одно от дру-

гого. Здесь видно, каким компонентом является неизве-
стное число. Условия примеров в этих формулировках
легко записываются учащимися под диктовку учителя.
Формулировка 4-я несколько сложнее, так как прежде
чем записать условие примера учащийся должен поду-
мать, каким компонентом является это «какое число»,
на какое место в уравнении надо его поставить.
Например, указанный выше пример 4 «Какое число
надо отнять от 302, чтобы получить 75» может быть за-
писан в виде уравнения только тогда, когда учащийся
выяснит для себя, что неизвестное число х служит вычи-
таемым. Получается уравнение: 302 — x = 75. Решение
объясняется так: х — вычитаемое — находится посред-
ством вычитания разности 75 из уменьшаемого 302. Вы-
числение л: = 302 —75 может быть объяснено свойствами
вычитания. 302 представляем как сумму 300 + 2. Чтобы
вычесть 75 из этой суммы, надо вычесть 75 из слагае-
мого 300, результат сложить с числом 2.
Вычисления идут в таком порядке: x = 302 — 75; х =
= (300 + 2)-75; х= (300-75) +2; x = 225 + 2; х = 227.
Постепенно усложняя примеры на решение уравне-
ний, после примеров на одно действие переходят к
решению и составлению примеров на два действия,
например: 4х—29=111; 795-2x = 545; (18 + x) Х 3 = 201
и т. д.
Пример: (18+х) Х 3 = 201.
Решение. (18+x) =201 : 3; 18 + x = 67; x = 67-18;
л: = 49.
Желательно решение всякого уравнения проверять,
подставив значение корня в заданное уравнение (в его
первоначальной форме). Подставив 49 вместо x, имеем:
(18 + 49) Х3 = 201. Является ли это равенство тождест-
вом (верным равенством)? 18 + 49 = 67; 67x3 = 201;
201=201.
Найденное значение корня подставляется в данное
уравнение, в котором не сделаны преобразования, так
как последние могут внести в решение уравнения
ошибки.
Для составления уравнения, решаемого двумя дейст-
виями, можно дать задачи аналогично следующей.
* Если неизвестное число уменьшить в 12 раз и от
результата отнять 84, то останется 16. Найти неизвест-
ное число.

1. Составление уравнения.
Обозначим неизвестное число через х\ х, уменьшенное
в 12 раз, равно x/12, вычитая из x/12 число 84, находим
разность x/12—84.
По условию
x/12-84=16.
2. Решение уравнения.
x/12 — 84 = 16; x/12 =84+16, так как уменьшаемое равно
вычитаемому, сложенному с разностью, т. е, x/12 = 100.
Но делимое х равно произведению делителя и част-
ного:
х = 12 х 100; х= 1200.
Корень 1200 может быть проверен с помощью под-
становки его в уравнение x/12 —84=16.
Для решения и составления уравнений берутся даль-
ше задачи с тремя и большим числом действий и более
трудными условиями.
Например, решить уравнение: х Х 3 — 74 000 + 4000 =
= 200 000.
Рассматривая левую часть уравнения как сумму, на-
ходим, что неизвестное слагаемое (х Х 3 —74 000) равно
сумме 200 000 без другого слагаемого 4000. Итак,
х х 3 — 74 000 = 200 000 — 4000; 3x — 74 000 = 196 000;
уменьшаемое 3x равно вычитаемому 74 000, сложен-
ному с остатком:
3x = 74 000 + 196 000; 3x = 270 000,
сомножитель х равен произведению 270 000, деленно-
му на другой сомножитель 3;
х = 270 000:3; x = 90 000.
Проверка корня уравнения (90 000):
левая часть 90 000 X 3 - 74 000 + 4000 = 270 000-
-74 000 + 4000 = 200 000;

правая часть также равна 200 000,
200 000 = 200 000, получили тождество.
Рассмотрим еще пример для составления уравнения.
Седьмую часть числа 42 000 увеличили в 8 раз, полу-
ченное число уменьшили на некоторое число и получили
6000.
Искомое вычитаемое обозначаем через х. Состав-
ляем уравнение:
1) делим 42 000 на 7; получаем частное 42 000/7
2) это частное увеличиваем в 8 раз: 42000/7 х 8;
3) от полученного произведения отнимаем х:
42 000 Л 0
-7— X 8 — х\
4) по условию это выражение равно 6000, т. е.
42 000 w Q
—j— X 8 — х = 6000.
Р е ш е н и е. Выполнив вычисления над известными
числами, получим: 6000X8 = 48 000.
Уравнение примет такой вид:
48 000 —х = 6000.
Неизвестное вычитаемое равно уменьшаемому минус
разность:
х = 48 000 — 6000; х = 42 000.
Проверка корня 42 000.
Вычисляем левую часть:
~^ X 8 = 6000 х 8 = 48 000; 48 000 — 42 000 = 6000;
6000 - 6000.
Полученное тождество показывает, что корень х = 42 000
найден правильно.
Решение задач при помощи составления уравнений
важно в образовательном отношении, так как этот метод
решения задач способствует упрощению некоторых во-
просов практического и научного характера; решение
задач при помощи составления уравнений подготовляет
к систематическому курсу математики.
Решение задач при помощи составления уравнений
состоит из трех частей: 1) составления уравнения из

условия задачи, 2) решения уравнения, 3) проверки ре-
шения.
Задача. Один экскаватор вынул 680 куб. м грун-
та. Вместе с третьей частью грунта, вынутого вторым
экскаватором, это составило 1580 куб. м. Сколько грунта
вынуто вторым экскаватором?
1. Составление уравнения. Вторым экскаватором вы-
X
нуто х куб. м. Третья часть вынутого грунта ^-куб. м.
Согласно условию 680 куб. м и -g- куб. м составляют
1580 куб. м.
Уравнение: 680 + -|- = 1580.
2. Решение уравнения. -|- = 1580—680; =900, на
основании зависимости между компонентами сложения;
х = 3 х 900; х = 2700 — на основании зависимости между
компонентами деления.
3. Проверка: x/3=2700/3; x/3= 900; 680 + 900 = 1 580;
1580=1580. Задача решена правильно.
Дальше решаются задачи, требующие последователь-
ного выполнения нескольких действий. Например:
Если задуманное число разделить на 5, к частному
прибавить 18 и полученную сумму разделить на 2, то
получится 45. Какое число задумано?
1. Составление уравнения. Задуманное число х еди-
ниц, если х разделить на 5, получится -g-; к этому числу
надо прибавить 18, получится+18, полученную сумму
надо разделить на 2: (x/5 + 18) : 2. Результат по условию
равен 45. Получается уравнение: (x/5 +18) : 2 = 45.
2. Решение. x/5 +18 = 2 X 45 (делимое равно произве-
дению делителя и частного); x/5+18 = 90; x/5= 90— 18
(слагаемое равно сумме без другого слагаемого);x/5= 72;