Барсуков А. Н. Алгебра. — 1961 — Электронная библиотека ГНПБУ

ГЛАВА ПЕРВАЯ.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.
§ 1. Употребление букв.
В алгебре числа обозначаются часто не цифрами, а
буквами. Приведём примеры.
Пример 1. Из арифметики известно, что сложение
чисел обладает переместительным законом: сумма не из-
меняется от перестановки слагаемых.
Например:
5 + 7 = 7 + 5= 12;
11 +20 = 20+ И =31 и т. д.
Как записать, что этот закон верен не только для
чисел 5 и 7 или И и 20, а для любых чисел? Поступим
так: обозначим одно из слагаемых буквой а, а другое —
буквой Ъ. Сумму этих чисел запишем, как обычно: а + Ь.
Тогда переместительный закон сложения запишется так:
а + b = Ь + а.
Эта запись показывает, что какие бы два числа а и Ь
мы ни взяли, всегда получим в сумме одно и то же число,
прибавим ли Ь к а или а к 6.
Пример 2. Решим три сходные задачи: Брат старше
сестры на 3 года. Сколько лет брату, если сестре:
1) 5 лет? 2) 11 лет? 3) 24 1 года?
Получим следующие решения:
1) 5 + 3 = 8; 2) 11 + 3= 14;
3) 241+ 3 = 271.

Вообще, каков бы ни был возраст сестры, к нему надо
прибавить 3 года, чтобы получить возраст брата. Сфор-
мулируем поэтому задачу так: Брат старше сестры на
3 года. Сколько лет брату, если сестре т лет?
Здесь буквой т обозначен возраст сестры. Значит,
возраст брата будет равен (т + 3) годам.
В нашей первой задаче т = 5, во второй m = 11,
в третьей т = 24 ~.
Мы решили задачу в общем виде. Запись т + 3 даёт
общую формулу решения множества сходных, или,
как говорят, однородных, задач, которые получим, заме-
няя т различными числами.
Пример 3. В задачниках по арифметике встречаются
упражнения, например, такого вида:
* + 3= 11.
Требуется найти х.
Здесь буквой х (икс) обозначено неизвестное число —
слагаемое. Зная, что каждое из двух слагаемых равно
их сумме минус другое слагаемое, найдём х:
х = 11 — 3, то есть х = 8.
Здесь буква х означает число, которое было сначала
для нас неизвестным и которое мы определили, пользуясь
правилами арифметики.
В первом примере буквы а и b означали любые
числа. Говорят, что в этом случае буквы а и b могут
принимать любые числовые значения.
Во втором примере буква т тоже может принимать
различные значения, но уже не любые. Например, бес-
смысленно было бы дать букве т значение т = 500, так
как до такого возраста люди не доживают.
Наконец, в третьем примере, для того чтобы равенство
было верным, буква х может принимать только единст-
венное значение 8.
Обычно в алгебре для обозначения чисел употребля-
ются буквы латинского алфавита.

§ 2. Алгебраические выражения.
Решим задачу.
Ученик купил п тетрадей по 2 коп. за тетрадь и учеб-
ник за 8 коп. Сколько заплатил он за всю покупку?
Чтобы узнать стоимость всех тетрадей, надо цену од-
ной тетради умножить на число тетрадей. Значит, стои-
мость тетрадей будет равна 2 • п копейкам.
Стоимость же всей покупки будет равна
(2 • п + 8) копейкам.
Заметим, что перед множителем, выраженным буквой,
знак умножения принято опускать, он просто подразу-
мевается. Поэтому предыдущую запись можно предста-
вить в таком виде:
2n + 8.
Получили формулу решения задачи. Она показывает,
что для решения задачи надо цену тетради умножить на
число купленных тетрадей и к произведению прибавить
стоимость учебника.
Вместо слова «формула» для подобных записей упо-
требляют также название «алгебраическое выражение».
Алгебраическим выражением называется запись, состо-
ящая из чисел, обозначенных цифрами или буквами и со-
единённых знаками действий.
Для краткости вместо «алгебраическое выражение» го-
ворят иногда просто «выражение».
Приведём ещё примеры алгебраических выражений:
£±|; 3mn; 9(p+q); а\ (3 + 8) • 7; 4,5.
Из этих примеров видим, что алгебраическое выра-
жение может состоять только из одной буквы, а мо-
жет совсем не содержать чисел, обозначенных буквами
(два последних примера). В этом последнем случае
выражение называется также арифметическим выраже-
нием.

Дадим в полученном нами алгебраическом выражении
2/2 + 8 букве п значение 5 (значит, ученик купил 5 те-
традей). Подставив вместо п число 5, получим:
2-5 + 8,
что равно 18 (то есть 18 коп.).
Чисто 18 является значением данного алгебраического
выражения при п = 5.
Значением алгебраического выражения называется чис-
ло, которое получится, если в это выражение подставить
вместо букв данные их значения и произвести над числами
указанные действия.
Например, мы можем сказать: значение выражения
2n + 8 при n = 2 равно 12 (12 коп.).
Значение этого же выражения при п = 3 равно 14
(14 коп.) и т. д.
Мы видим, что значение алгебраического выражения за
висит от того, какие значения мы дадим входящим в него
буквам. Правда, иногда бывает, что значение выражения
не зависит от значений входящих в него букв. Например,
выражение 2(а + 3)— 2a равно 6 при любых значениях а.
Найдём в виде примера числовые значения выражения
За + 26 при различных значениях букв а и 6.
Пусть а = 4 и Ь = 2.
Подставим в данное выражение вместо а число 4, а
вместо 6 число 2 и вычислим полученное выражение:
За + 2b = 3 • 4 + 2 - 2 = 12 + 4 = 16.
Итак, при а = 4 и 6 = 2 значение выражения За + 2b
равно 16.
Таким же образом найдём, что при а = 5 и 6 = 7 зна-
чение выражения равно 29, при а = 0 и 6=1 оно рав-
но 2 и т. д.
Результаты вычислений можно записать в виде таб-
лицы, которая наглядно покажет, как изменяется значе-
ние выражения в зависимости от изменения значений
входящих в него букв.
Составим таблицу из трёх строк. В первой строке бу-
дем записывать значения а, во второй — значения 6 и

в третьей — значения выражения За + 2b. Получим такую
таблицу:
а 4 5 0 3 3
Ь 2 7 1 5 1
ba + 2b 16 29 2 19 11
В § 1, говоря о переместительном законе сложения,
мы записали, что два выражения а + b и b + а равны:
а + b = b + а.
Такая запись называется равенством.
Два алгебраических выражения, соединённые знаком
«равно», образуют равенство.
Как известно из арифметики, кроме знака равенства,
употребляются ещё знаки неравенства:
>—этот знак означает больше,
<—этот знак означает меньше.
Например:
5>2 — читается: пять больше двух;
3<7 — читается: три меньше семи.
Следует запомнить, что знак неравенства всегда об-
ращен остриём к меньшему числу.
Два выражения, соединённые знаком «больше» или
«меньше», образуют неравенство.
Пример. Измерив отрезок, получили, что его дли-
на d больше 5 сму но меньше 6 см. Результат измерения
можно записать в виде двойного неравенства:
5 см < d < 6 см.
§ 3. Допустимые значения букв.
Из примеров, приведённых в § 1, заключаем, что
буквы, входящие в какое-либо алгебраическое выраже-
ние, могут принимать иногда любые значения (первый

пример), иногда лишь некоторые, но не любые значения
(второй пример).
Определение. Значения, которые могут принимать
буквы в данном алгебраическом выражении, называются
допустимыми значениями для этих букв.
Если выражение получилось в результате решения
задачи, то совокупность, или, как принято говорить, мно-
жество, допустимых значений для букв определяется по
смыслу самой задачи.
Так, в выражении 2n + 8, полученном в § 2, множест-
вом допустимых значений для п является только мно-
жество натуральных чисел, так как количество
тетрадей может выражаться лишь натуральным числом.
Если о значениях букв в данном выражении ничего
не сказано, то для такого выражения допустимыми счи-
таются все те значения букв, при которых выражение
имеет смысл.
Пусть дано выражение:
2x— 15
2
Найдём его значение при х = 2. Подставив в него
вместо х число 2, получим:
2 2—15 4—15
2 ~~ 2 '
Получили в числителе уменьшаемое, которое меньше
вычитаемого. Выражение при х = 2 потеряло смысл. Зна-
чит, число 2 не является допустимым значением для х.
Легко видеть, что х в этом выражении может принимать
значения только большие или равные -у-. При всех зна-
чениях х, меньших выражение теряет смысл. Ко-
ротко эти допустимые значения для х можно записать
так: х> -у-.
Знак > означает «больше или равно».
В выражении д_о допустимыми значениями для а
будут только числа, большие 3, так как при а = 3, в зна-

менателе получается нуль, а (как известно из арифме-
тики) на нуль делить нельзя; если же а меньше, чем 3,
то нельзя из а вычесть 3. Множество допустимых значе-
ний для а можно записать так: а > 3.
§ 4. Порядок действий.
Когда в арифметике над числами нужно было произ-
вести различные действия, то мы производили их в по-
рядке, установленном особыми правилами. Эти же пра
вила остаются и в алгебре.
Напомним, что
сложение и вычитание называются действиями пер-
вой ступени;
умножение и деление называются действиями второй
ступени.
Напомним теперь правила о порядке действий.
Правило 1. Действия одной и той же сту-
пени производятся в том порядке, в каком они
записаны.
Пример 1.
17—Ц +8 = 6 + 8= 14;
8:2 .3 = 4-3- 12.
Правило 2. Если выражение содержит дейст-
вия различных ступеней, то сначала произво-
дят действия высшей ступени, затем низшей
ступени.
Поясним это правило на примерах.
Пример 1.
3 + 5 . 7 = з + 35 = 38.
Первым произведено умножение (действие второй сту-
пени), затем — сложение.
Пример 2.
2,5-3,7+ 5,9-6,1—2,4-3,2 =
= 9,25 + 35,99 — 7,68 = 37,56.
И в этом примере мы сначала выполнили все умножения
(действие второй ступени), а затем (в порядке записи)

произвели сложение и вычитание (действия первой сту-
пени).
Но иногда приходится отступать от порядка, указан-
ного в правиле 2. Покажем это на задаче.
Задача. Из двух пунктов одновременно выехали на
встречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного
а км в час, другого b км в час. Каково расстояние между
пунктами, если велосипедисты встретились через t часов?
Решим задачу по вопросам.
1) Какое расстояние проходили за час оба велосипе-
диста вместе?
а + b (км).
2) Чему равно расстояние между двумя пунктами?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо полученное рас-
стояние а + b умножить на t. Если мы запишем это дей-
ствие в виде
а \ Ы (км),
то ответ будет неверен, так как по правилу 2 мы должны
в этом выражении b умножить на / и результат приба-
вить к а. Нам надо показать, что здесь сначала следует
произвести сложение (действие первой ступени), а затем
умножение (действие второй ступени). Показывается это
при помощи скобок, и выражение записывается так:
(а + b) t (км).
Правило 3. Если нужно произвести раньше
действия низшей ступени, то применяются
скобки. Действия над числами, заключёнными
в скобки, производятся первыми.
Приведём примеры.
1) П—2-4= 11—8 = 3, но (И—2) .4 = 9-4 = 36.
2) (5 + 3). (8 — 2) = 8 • 6 = 48, но 5 + 3 • 8 — 2 =»
= 5 + 24 — 2 = 27.
Если дано дробное выражение, записанное с помощью
черты, то черта заменяет скобки и означает, что надо
вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и

отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый
результат разделить на второй.
Пример.
£±^ = (a + 6):(c-d).
При а = 20, 6=16, с = 8, d = 2 получим:
Q + 6 _ 20+ 16 36 _ fi
c — d~~ 8-2 ~~ 6 '
§ 5. Основные законы сложения и умножения.
В дальнейшем, когда будем изучать действия над
числами, изображёнными цифрами или буквами (безраз-
лично), нам придётся во многих выводах опираться на
те законы действий, которые изучались в арифметике.
В силу важности этих законов они называются основными
законами действий.
Напомним их.
1. Переместительный закон сложения.
Сумма не изменяется от перемены порядка
слагаемых.
Этот закон уже был записан в § 1 в виде равенства:
а + Ь = b + а,
где а и & — любые числа.
Из арифметики известно, что переместительный закон
верен для суммы любого числа слагаемых.
2. Сочетательный закон сложения.
Сумма нескольких слагаемых не изменится,
если какую-нибудь группу рядом стоящих сла-
гаемых заменить их суммой.
Для суммы трёх слагаемых имеем:
{а + Ь) + с = а + (Ь + с).
Например, сумму 5 + 7 + 11 можно вычислить двумя
способами так:
(5 + 7) + 11 = 12+ 11 =23,
5 + (7+ 11) = 5+ 18 = 23.

Сочетательный закон справедлив для любого числа
слагаемых.
Так в сумме а + b -f с + d четырёх слагаемых рядом
стоящие слагаемые можно как угодно объединять в груп-
пы и заменять эти слагаемые их суммой:
a+b + c + d = (a+b + c) + d==(a + b) + (c + d) =
= а + (b + c) + d = a+b + (c + d) = (a + b) + c + d.
Например, 1+3 + 5 + 7=16; мы получим то же
число 16, каким бы способом ни группировали рядом
стоящие слагаемые:
1+(3 + 5) +7= 1 + 8 +7 =16,
1 + 3 +(5 + 7) = 1 + 3+ 12 = 16,
(1 +3) +(5 + 7) = 4+ 12= 16.
Переместительным и сочетательным законами часто
пользуются при устных вычислениях, располагая слагае-
мые так, чтобы легче было их сложить в уме.
Пример 1.
89 + 67+ 11.
Поменяем местами два последних слагаемых, получим:
89 + 11 + 67.
Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо
легче.
Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают,
а производят их перемещение в уме: переставив мыслен-
но 67 и И, сразу складывают 89 и 11 и затем прибав-
ляют 67.
Пример 2.
221 + 7Т + 3 + 4-
Чтобы легче было сложить эти числа в уме, изменим
порядок слагаемых так:
2|+3+71 + 2±.
Пользуясь сочетательным законом, заключим два по-
следних слагаемых в скобки:
2| + 3 + (7 1|2 + 1|2).

Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:
2| + 3+10 = 2|+13=15|.
3. Переместительный закон умножения.
Произведение не изменяется от перемены по-
рядка сомножителей:
ab — ba,
где а и Ь — любые числа.
Из арифметики известно, что переместительный закон
верен для произведения любого числа сомножителей.
4. Сочетательный закон умножения.
Произведение нескольких сомножителей не
изменится, если какую-нибудь группу рядом
стоящих сомножителей заменить их произве-
дением.
Для произведения трёх сомножителей имеем:
(AB)c = a (be).
Например, произведение трёх сомножителей 5-3-4
можно вычислить так:
(5 - 3) • 4 = 15 - 4 = 60
или так:
5- (3-4) = 5- 12 = 60.
Для произведения четырёх сомножителей имеем:
abcd = (abc) d = (AB) cd = a (be) d = (AB) (cd) =
= a (bed) = AB (cd).
Например, 2 • 6 • • 5 = 20; то же число 20 полу-
чится при любой группировке рядом стоящих сомножи-
телей:
2 (б • -1) - 5 = 2 - 2 - 5 = 20; (2 - 6) (у - б) =
= 12 - | = 20;
2 (б • I • 5) = 2 - 10 = 20.

Применение переместительного и сочетательного законов умно-
жения часто значительно облегчает вычисления.
Пример 1.
25 • 37 • 4.
Умножить 25 на 37 не очень легко. Переместим два последних
сомножителя:
25 • 4 • 37.
Теперь умножение легко выполняется в уме.
Пример 2.
75 • 35 • 4 • 2.
Применив переместительный и сочетательный законы, запишем
это выражение так:
75 • 4 • (35 • 2).
Все эти действия легко выполняются в уме.
5. Распределительный закон умножения по отноше-
нию к сложению.
Чтобы умножить сумму двух (или несколь-
ких) чисел на какое-либо число, можно каждое
слагаемое умножить на это число и резуль-
таты сложить:
(а + Ь)с = ас + be.
Пример 1. Распределительный закон мы применяем,
например, при умножении двузначных (и многозначных)
чисел. Так, чтобы умножить 26 на 7, мы представляем 26
в виде суммы 20 + 6, умножаем 20 на 7, 6 на 7 и резуль-
таты складываем:
26 . 7 = (20 + 6) • 7 = 20 • 7 + 6 . 7 = 140 + 42 = 182.
Но иногда бывает выгоднее поступать наоборот: вместо
того чтобы умножить каждое слагаемое на одно и то же
число, сначала находят сумму этих слагаемых и умножают
её на данное число.
Пример 2.
87 • 28 + 13 • 28.
Представим выражение в другом виде:
(87 + 13) • 28.

Мы применили здесь распределительный закон, но
только записанный в обратном порядке:
ас + be = (а + Ь)с.
Теперь вычисление выполняется очень легко (устно).
§ 6. Краткие исторические сведения.
Первые алгебраические сведения можно найти у древних на-
родов.
В древнем египетском сочинении по математике (около 2000 лет
до нашей эры) также содержались некоторые сведения из алгебры.
Особо следует отметить сочинение выдающегося математика
IX века нашей эры Мухаммеда аль-Хорезми. Самое про-
звище его, аль-Хорезми, указывает на его родину — Хорезм (ныне Уз-
бекская ССР). Его сочинение по математике содержит подробное изло-
жение алгебраических знаний того времени. В те времена ещё не
были введены специальные знаки для сокращённой записи формул
и правил. Не было, например, знаков сложения и вычитания, знака
равенства и пр. Поэтому аль-Хорезми все правила излагал пол-
ностью словами.
Желая сократить запись, математики стали прибегать к сокра-
щениям некоторых часто встречающихся слов. Например, при сло-
жении и вычитании вместо слов «плюс» и «минус» писали только
первые буквы: п и м.
Обозначение чисел буквами принято в математике со времени
французского математика Виета (1540—1603). В своём математи-
ческом сочинении Виет обозначал неизвестные числа гласными бук-
вами латинского алфавита, а известные — согласными. Введение
буквенных обозначений имело большое значение. С помощью букв
стало возможным записывать правила и формулы в общем виде
для любых чисел.
В 1703 году в России вышел учебник по математике русского
математика-педагога Л. Ф. Магницкого. Назывался он «Ариф-
метика», но на самом деле содержал не только арифметику, а
и сведения из алгебры, геометрии, астрономии, геодезии и др.
Л. Ф. Магницкий, так же как и Виет, употреблял для обозначе-
ния неизвестных чисел гласные буквы («литеры гласные, полагаемые
за непознанное число»), а для обозначения известных — согласные
(«согласные, полагаемые за количества данных чисел»).
Книга Л. Ф. Магницкого была в России основным руковод-
ством по математике в течение десятков лет. По ней учился ве-
ликий русский учёный М. В. Ломоносов.
Современный вид алгебраические записи приняли в работах зна-
менитого английского учёного Исаака Ньютона (1642—1727).

ГЛАВА ВТОРАЯ.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
§ 7. Положительные и отрицательные числа.
Если на вопрос «Какова температура воздуха сейчас?»
ответить: «Термометр показывает 4°», то это не будет
точным ответом: термометр может
показывать 4° тепла или 4° холода
(черт. 1).
Говорят также: 4° выше нуля
и 4° ниже нуля. Эти пояснитель-
ные слова: «тепло», «холод», «выше
нуля», «ниже нуля» — приходится
добавлять потому, что темпера-
тура может от нуля изменяться
в двух противоположных направ-
лениях.
Она может повышаться (ртуть
в термометре движется от нуля
вверх) и понижаться (ртуть дви-
жется от нуля вниз).
Но когда передают по радио
сводку погоды, то этих пояснитель-
ных слов не употребляют. Говорят
коротко, например, так: «В Якутске
было минус 6°, в Мурманске — ми-
нус 1°, в Казани — плюс Г, в Минске — плюс 3°, в Ро-
стове— плюс 12°».
Таким образом, вместо слов «выше» или «ниже нуля»
к числу градусов присоединяют знак плюс или минус.
Черт. 1.

Указанную температуру можно записать так:
Якутск —6° Минск + 3°
Мурманск —1° Ростов —J—12°
Казань +1°
Эту запись так и понимают, что температура в Якут-
ске была 6° ниже нуля, в Казани 1° выше нуля и т. д.
Однако часто, когда термометр показывает тепло, то
знак плюс опускают и вместо +13° пишут просто 13°.
Таким образом, для обозначения температуры выше ну-
ля употребляются числа 1, 2, 3, 3 1/2 , 7 и т. д., то есть
те числа, которые известны из арифметики. Они назы-
ваются положительными числами.
Для обозначения температуры ниже нуля употреб-
ляются новые числа: —1, —2, —3, —3 1/2, —7 и т. д.
Они называются отрицательными числами.
Температура в нуль градусов выражается числом нуль.
Это число не относится ни к положительным, ни к отри-
цательным числам. Перед ним можно поставить и знак
плюс и знак минус или не ставить никакого. Записи 0;
+0; —0 обозначают одно и то же число — нуль.
Отрицательные числа применяются не только при изме-
рении температуры.
Положительные и отрицательные числа можно приме-
нять для обозначения: будущего и прошедшего времени,
количества выигранных и проигранных очков в соревно-
ваниях, прихода и расхода, поступлений в кассу и выдач
из неё и т. п.
Ещё более тысячи лет тому назад индийские матема-
тики обозначали имущество положительными, а долг отри-
цательными числами.
Изменение величин. Можно применять положи-
тельные и отрицательные числа к измерению изменений
величин, записывая положительными числами их увели-
чение и отрицательными — уменьшение. Например, поло-
жительными числами можно записывать повышение, а
отрицательными — понижение температуры.

Числа положительные (целые и дробные), отрицатель-
ные (целые и дробные) и нуль составляют множество
рациональных чисел.
§ 8. Числовая ось.
Отметим на прямой произвольную точку О (черт. 2).
Назовём её начальной точкой. Выберем какую-либо еди-
ницу длины, например 1 см. Отложим на прямой вправо
от точки О один за другим отрезки, равные 1 см. Конец
первого отрезка обозначим числом 1, конец второго — чис-
лом 2 и т. д.
Те же самые построения выполним слева от точки О.
Черт. 2.
Концы отрезков, проведённых влево от точки О, будем
обозначать числами —1, —2, —3 и т. д.
Понятно, что по обеим сторонам от точки О можно
отложить и отрезки, выражающиеся любым дробным чис-
лом. Например, на чертеже 2 точка В изображает чис-
ло у, точка А число —2,3.
Прямая, на которой каждое число изображается соот-
ветствующей точкой, называется числовой прямой или
числовой осью.
Черт. 3.
Чтобы найти, где расположена на числовой оси точ-
ка М (черт. 3), соответствующая, например, числу —у ,
откладываем от точки О влево отрезок, равный 4 1/2 выбран-
ным единицам длины (в нашем случае 4-^см).

Для краткости вместо слов «точка, соответствующая
числу а» говорят просто «точка а». На числовой оси
з
(черт. 3) изображены точки: —у (точка Л), 3,2 (точка В),
нуль (точка О).
В предыдущем параграфе мы уже встретились с число-
вой осью: шкала термометра представляет собой часть
числовой оси.
В дальнейшем при изучении алгебры нам много раз
придётся пользоваться числовой осью.
§ 9. Противоположные числа.
Числа 6 и —6 изображаются на числовой оси точками,
находящимися на одинаковом расстоянии от начальной
точки О, но по разные от неё стороны (черт. 4). Такие
числа называются противоположными.
~7 -? -J -4 Т~0 / 2 3 I 5 6 7~
Черт. 4.
Определение. Два числа называются противопо-
ложными, если соответствующие им точки числовой пря-
мой расположены по разные стороны от начальной точ-
ки и на одинаковом расстоянии от неё.
Так, например, числа 2,5 и —2,5 взаимно противо-
положны.
Правило 1. Чтобы обозначить число, противополож-
ное данному, перед данным числом ставят знак минус.
Так, в приведённом примере, чтобы обозначить число,
противоположное числу 2,5, достаточно поставить перед
ним знак—; тогда получим —2,5.
Если дано отрицательное число, например —2, то про-
тивоположное ему число есть 2, поэтому — (-^2) = 2.
Число 0 противоположно самому себе, поэтому —0 =0.
В примере § 7 мы видели, что положительную тем-
пературу можно записать числом градусов со знаком +.
Вообще, если некоторое число записано со знаком -f,
например +5, то такая запись обозначает само данное
число, то есть +5 = 5.

Правило 2. Если перед данным числом поставлен
знак +, то данное число берётся без изменения.
Итак, согласно правилам 1 и 2
-\-а = а\ —(+а) = —а; + (—а) = — я; —(—а) = а.
Например, если а = 3, то +3 = 3, — (+3) = — 3,
+ (-3) = -3, -(-3) = 3;
если а =-- — 4, то + а = + (—4) = — 4,
— а =— (—4) = 4, — (—а) = а = — 4.
Заметим, что и сами знаки + и — называются про-
тивоположными.
§ 10. Абсолютная величина числа.
Из некоторого пункта О выехали в противоположных
направлениях два автомобиля. Первый прошёл 40 км
вправо от пункта О, второй прошёл 50 км влево от того
же пункта.
Желая показать не только пройденный путь, но и на-
правление его, мы можем записать, что первый автомобиль
прошёл +40 км, или просто 40 км, а второй прошёл
—50 км.
Теперь ответим на следующий вопрос: какой из авто-
мобилей прошёл большее расстояние?
Сравним между собой число километров, пройденных
каждым автомобилем независимо от того, в каком на-
правлении он двигался.
Первый автомобиль прошёл путь длиной в 40 км,
второй — путь длиной в 50 км. Значит, второй автомобиль
прошёл расстояние на 10 км больше, чем первый.
Сравнивая расстояния, пройденные обоими автомобиля-
ми, мы интересуемся только длиной пути независимо от
направления, в каком этот путь пройден.
Длина пройденного пути всегда записывается положи-
тельным числом. Поэтому вместо отрицательного числа
—50 мы взяли противоположное ему положительное число
+ 50, которое и выражает число километров, пройденное
вторым автомобилем. Говорят, что мы берём абсолютную
величину числа —50.

Определение 1. Абсолютной величиной отрица-
тельного числа называется противоположное ему по-
ложительное число.
Таким образом, абсолютная величина числа —10 равна
+ 10, числа —0,3 равна +0,3 и т. д.
Для обозначения абсолютной величины числа употреб-
ляется особый знак — данное число заключается между
двумя вертикальными чертами так: |—50|.
Значит:
1—501 = 50; |—0,3| = 0,3; = | —3,871 =3,87.
Итак, на вопрос, поставленный выше, должны ответить
так: второй автомобиль прошёл большее расстояние, так
как
| —501 > 40.
Мы сравниваем здесь абсолютную величину числа —50
с числом 40. В целях единства вводится также понятие
абсолютной величины и для положительных чисел и для
нуля.
Определение 2. Абсолютной величиной положи-
тельного числа и нуля называется само это число.
Следовательно:
|5| = 5; 1401 = 40; |0| = 0 и т. д.
Таким образом, сравнивая расстояния, пройденные
автомобилями, можем сказать, что сравниваем абсолютные
величины чисел —50 и 40 и убеждаемся, что
|-50|>|40|.
Записи 5; +5; |5| обозначают одно и то же положи-
тельное число пять. Очень важно запомнить, что и запись
I—5| означает то же самое число 5.
5= + 5 = |5| = |+5| = |-5|.
Возьмём какое-нибудь число, например -—7.
Точка числовой оси, изображающая это число, на-
ходится влево от начальной точки и на расстоянии 7, то
есть | — 7| единиц длины от неё.

Вообще, абсолютная величина числа а есть
расстояние точки, изображающей это число на
числовой оси от начальной точки.
§ 11. Сравнение рациональных чисел.
Мы умеем сравнивать между собой любые положитель-
ные числа, то есть всегда сможем указать, какое из двух
данных положительных чисел больше и какое меньше.
Теперь, когда введены новые, отрицательные числа,
нужно установить правило сравнения этих чисел как между
собой, так и с положительными числами.
Для этого обратимся к числовой оси. Посмотрим, как
расположены на ней положительные числа, сравнивать
которые мы уже умеем.
Мы видим, что по мере продвижения вправо от точки
О положительные числа становятся все больше и больше.
По мере продвижения влево (к точке О) числа, наоборот,
уменьшаются до нуля. Значит, из двух положительных
чисел то больше, которое на числовой оси изображается
точкой, расположенной правее.
Распространим этот признак на всю числовую ось,
установив такое правило:
из любых двух чисел то больше, которое на
числовой прямой изображается точкой, рас-
положенной правее.
Если число а больше числа 6, то, так же как и в
арифметике, пишут а > Ь (или b < а), обращая знак не-
равенства остриём к меньшему числу.
Черт. 5.
Так, например, рассматривая чертёж 5, мы видим, что:
3>0; 1>—5; —у<0; — 3 > — 10; —4<— 1.
Из установленного правила вытекает, что:
1. Всякое положительное число больше нуля
и больше всякого отрицательного числа.

2. Всякое отрицательное число меньше нуля.
Возьмём какие-нибудь два отрицательных числа, на-
пример —5 и —15.
Согласно правилу сравнения можно написать:
— 5 > — 15.
Но если возьмём абсолютные величины этих чисел и
сравним их, то получим:
|-5|<|-15|.
Мы видим, что если одно отрицательное число больше
другого, то его абсолютная величина меньше абсолютной
величины другого, и, наоборот, если абсолютная величина
одного отрицательного числа больше абсолютной величины
другого отрицательного числа, то само это число меньше
другого числа.
Например:
I—15|>|— 8|, но — 15 < — 8;
|-1-1|>|-1|, но -1±<-1.
Итак,
3. Из двух отрицательных чисел то больше,
абсолютная величина которого меньше.
Поэтому
— 11 > — 12, так как 11 < 12;
— 1,2 < — 1, так как 1,2 > 1.
§ 12. Сложение рациональных чисел.
Нам нужно теперь установить правила действий с ра-
циональными числами, то есть правила сложения, вычи-
тания, умножения и деления любых рациональных чисел.
Начнём со сложения.
Постараемся установить такое правило сложения ра-
циональных чисел, чтобы выполнить три следующих тре-
бования:
1. Чтобы задачи, которые в арифметике (то есть для
положительных чисел) решались сложением, решались бы
тем же действием в случае любых рациональных чисел.

2. Чтобы правило сложения любых рациональных чисел
осталось для положительных чисел тем же, каким мы
его знаем из арифметики.
3. Чтобы основные законы сложения, известные для
положительных чисел (§ 5), сохранились и для сложения
любых рациональных чисел.
Возьмём поэтому задачу, которая в арифметике ре-
шалась сложением, например:
Термометр показывал а°. Затем температура изме-
нилась на Ь°. Сколько градусов по-
казывает термометр теперь?
Пусть а и b — положительные
числа. Положительное изменение тем-
пературы есть её повышение. Для
решения этой задачи мы должны к
а° прибавить Ь°. Получим ответ:
(а + Ь) градусов.
Проверим это на примере.
1) Пусть а= + 4; b = + 2.
Значит, термометр показывал 4°
тепла, затем температура повысилась
на 2°. Очевидно, термометр показывает
теперь 6° (черт. 6).
Следовательно:
( + 4) + (+2) = +6,
как и должно быть.
Посмотрим теперь, какие значения должна принимать
сумма а + b при различных рациональных (не только
положительных) значениях а и Ь.
2) Пусть а = —4; b = —2.
Отрицательное изменение температуры есть её пониже-
ние. Значит, термометр показывал сначала 4° холода, за-
тем температура ещё понизилась на 2°. Ясно, что теперь
термометр показывает —6° (черт. 7).
Следовательно:
(-4)+ (-2) = -6.
Сравнивая результаты задач 1 и 2, установим следую-
щее правило.
Черт. 6.

Правило 1. Чтобы сложить два числа с одина-
ковыми знаками, надо сложить их абсолютные
величины и перед результатом поставить их
общий знак.
Так, чтобы сложить —11 и —8, сложим их абсолют-
ные величины, то есть 11 и 8, и перед полученным чис-
лом 19 поставим знак минус. Получим:
(—11)4- (—8) = — 19.
Сложение положительных чисел остаётся таким же,
каким мы его знаем из арифметики.
3) Пусть а= + 6, b = —2.
Черт. 7.
Черт. 8.
Черт. 9.
Значит, термометр показывал сначала 6° тепла, а
затем температура понизилась на 2°. Очевидно, сейчас
термометр показывает 4° тепла (черт. 8).
Следовательно, если мы хотим, чтобы и в этом случае
задача решалась сложением, то должны будем записать:
(+6) + (-2)- +4.
4) Пусть а= + 2, Ь = —6.
Так же как и в предыдущем случае, найдём, что тер-
мометр после понижения на 6° стал показывать 4° холода
(черт. 9).

Значит, решая и эту задачу сложением, мы должны
записать:
(+2)+ (-6)= -4.
Рассматривая случаи 3 и 4, установим правило.
Правило 2. Чтобы сложить два числа с про-
тивоположными знаками и с разными абсолют-
ными величинами, надо из большей абсолютной
величины вычесть меньшую и перед разностью
поставить знак числа с большей абсолютной
величиной.
Так, например, по этому правилу получим:
(-5) + ( + 7) = +2;
(+Б) + (-7)--2;
(-3,5)+ (+1,2) = -2,3.
5) Пусть а = + 3, b = — 3.
Если термометр показывал 3° тепла, а затем темпера-
тура понизилась на 3°, то термометр будет показывать
0°. Ясно также, что какое бы число а° ни показывал тер-
мометр, если затем температура понизится на а°, то тер-
мометр будет показывать 0°.
Значит:
Правило 3. Сумма двух противоположных
чисел равна нулю.
а + (—а) = 0.
Отметим, что будет верно и обратное положение.
Если сумма двух чисел равна нулю, то эти
числа взаимно противоположны.
Наконец, легко установить (и проверить на том же
термометре), что, например:
2 + 0 = 2; (—3) + 0 = —3; 0 + 0 = 0.
0 + 2 = 2; 0 + (-3) = -3;
Правило 4. Если одно из двух слагаемых
равно нулю, то их сумма равна другому слагае-
мому.
Установленные здесь четыре правила исчерпывают все
возможные случаи сложения двух рациональных чисел.

§ 13. Сложение нескольких чисел.
Сложение нескольких рациональных чисел выполняется
по тому же правилу, по которому производится сложение
нескольких чисел в арифметике.
Чтобы сложить несколько рациональных чисел, надо
сложить первые два слагаемых, затем к полученной сумме
прибавить третье слагаемое, к полученной сумме прибавить
четвёртое и так далее до конца.
Например:
(-7) + ( + 5) + ( + 2) + (-3) + ( + 9)
= (-2) + (+2) + (-3) + (+9) = 0 + (-3) + (+9) =
= (-3) + (+9) = +6.
§ 14. Законы сложения.
Убедимся в том, что при сложении рациональных чи-
сел остаются в силе основные законы сложения, устано-
вленные для положительных чисел.
Переместительный закон. Для любых двух рациональ-
ных чисел а и b справедливо равенство:
а + b = b -f а.
Это следует из правил сложения рациональных чисел.
В самом деле, если числа имеют одинаковые знаки
(правило 1), то мы складываем их абсолютные величины,
то есть положительные числа, а для них переместитель-
ное свойство сложения справедливо.
Если же числа имеют противоположные знаки (пра-
вило 2), то мы из большей абсолютной величины вычи-
таем меньшую независимо от того, стоит ли число с боль-
шей абсолютной величиной на первом или на втором месте.
Значит, и здесь величина суммы не зависит от порядка
слагаемых.
Например,
5 +(—7) = -(7-5) = —2 и
(-7) + 5 = -(7-5) = -2.
В правилах 3 и 4 ничего не говорится о порядке сла-
гаемых, значит, они верны при любом порядке слагаемых.

Переместительный закон справедлив при сложении
любого числа слагаемых.
Покажем это на примере.
Складывая числа (—5), 2 и (—4) в любом порядке,
мы получим одно и то же число (—7).
(-5) + (+2) + (-4) = (-3) + (-4) = -7,
(+2) + (-5) + (-4) = (-3) + (-4) = -7,
(-4) + (+2) + (-5) = (-2) + (-5) = -7
и т. д.
Сочетательный закон. При сложении рациональных чи-
сел остаётся в силе сочетательный закон сложения.
Убедимся в этом на примере суммы трёх слагаемых:
(а + Ь) + с = а + (Ь + с).
При а = — 5, 6 = 3; с = — 7 получим:
[(-5) + ( + 3)] + (-7) = (-2) + (-7) = - 9
и (-5) + [(+3) + (-7)] = (-5) + (-4) = -9.
Нередко в вычислениях одновременно пользуются
и переместительным и сочетательным законами.
Приведём такой пример.
Вычислим сумму
187 + 46 + 38 + 54 + 113.
Переместим слагаемые так:
187 + 113 + 46 + 54 + 38.
Произведём сложение в таком порядке:
(187+ 113)+ (46 + 54)+ 38 = 300 + 100 + 38 = 438.
Такое одновременное применение переместительного
и сочетательного законов иногда выражают кратко в виде
следующего правила.
Слагаемые можно соединять в группы любым способом.
При вычислении суммы, содержащей и положительные
и отрицательные слагаемые, можно применять следующее
правило:
Чтобы сложить несколько рациональных чисел, можно
сложить отдельно все положительные, отдельно все отри-

цательные числа и полученные два числа сложить по пра
вилу сложения двух чисел.
В справедливости этого правила нетрудно убедиться.
Пользуясь переместительным законом, расположим
(мысленно) слагаемые так, чтобы сначала стояли все по-
ложительные слагаемые, а за ними все отрицательные.
Затем, пользуясь сочетательным законом, сложим отдельно
все положительные слагаемые и отдельно все отрица-
тельные. Получим два числа, которые сложим по пра-
вилу сложения двух рациональных чисел.
Пример. Сумму
(—5) + (+4) + (—10) + (+12)
можно вычислить так:
1) Сложить положительные слагаемые:
(+4)+ (+12) = +16.
2) Сложить отрицательные слагаемые:
(-5) + (-10) = -15.
3) Сложить полученные суммы:
(+16) + (-15) = 1.
§ 15. Вычитание рациональных чисел.
Вычитание определяется как действие, обратное сло-
жению.
Вычесть из одного числа другое — значит найти та-
кое третье число, которое, будучи сложено со вторым
числом, даст первое число.
Другими словами, вычесть из какого-либо числа а число
Ъ — значит найти такое третье число с, чтобы было спрА-
Ведливо равенство:
с + b = а.
Например:
5 — (+7) = —2, так как (—2) + (+7) = +5;
(—3) —(+8) = —11, так как (— 11) + (+8) = — 3;
(—1) — (—5) = +4, так как (+4) + (—5) « — 1.

Чтобы вывести общее правило вычитания для любых
рациональных чисел, поступим следующим образом. За-
меним в предыдущих примерах вычитание прибавлением
числа, противоположного вычитаемому. Получим:
5 + (-7) = -2;
(—3) + (—8) = —11;
(—1) + (+5) =+4.
Как видим, мы получили те же результаты, что и при
вычитании. Отсюда можем вывести следующее правило.
Чтобы из одного числа вычесть другое, доста-
точно к уменьшаемому прибавить число, про-
тивоположное вычитаемому:
а — Ь = а + (— 6).
Докажем это правило.
Нам дано доказать справедливость равенства
а — Ь = а + (—6)
при любых а и Ь.
Если выражение a + (—Ь) в правой части является разностью
чисел а и Ь, то, сложив его с вычитаемым Ь, мы должны получить
уменьшаемое а.
Проверим это; сложив а + (—Ь) и 6, получим:
[а+ (-6)1+(+6).
По сочетательному закону сложения это выражение запишем
так:
а + К-Ь) + (+6)1.
Но сумма в квадратных скобках равна нулю, как сумма двух
противоположных чисел.
Следовательно, будем иметь:
[а + (-6)] + (+Ь) шт а + [(-6) + (+6)] = а + 0 » а.
Получили уменьшаемое. Значит, равенство (1) верно.
Приведённое правило заменяет вычитание сложением,
а правило сложения нам уже известно.
Итак, оказалось, что вычитание одного рационального
числа из другого можно заменить сложением двух рацио-
нальных чисел. Но сложение двух рациональных чисел
всегда возможно и даёт единственный результат (§ 12).
Значит, мы можем заключить, что в множестве рацио-

нальных чисел вычитание всегда возможно и даёт един-
ственный результат (как говорят, однозначно).
В арифметике, где действия выполнялись лишь над
положительными числами, вычитание было не всегда воз-
можно (например, из 5 нельзя вычесть 6), а теперь, когда
мы ввели отрицательные числа, вычитание в множестве
рациональных чисел стало всегда возможным.
Известные из арифметики свойства вычитания остаются
в силе для любых рациональных чисел. Напомним эти
свойства.
1. Прибавление разности.
Чтобы прибавить разность, можно прибавить умень-
шаемое и от результата отнять вычитаемое.
Например:
(-7) + [(+3) - (-10)] = (-7) + (+13) = 6
[(-7) + (+3)] - (-10) - (-4) - (-10) =
= (-4) + (+Ю) = 6.
Значит: (-7) + [(+3)—(—10)] = (-7) + (+3)-(-10).
В общем виде это свойство можно записать так:
а + (Ь — с) = (а + Ь) — с.
2. Вычитание суммы.
Чтобы вычесть сумму нескольких чисел, можно вы-
честь первое слагаемое, из результата вычесть второе
и так далее до конца.
Пример.
(-7) - [(-3) + (+8)] = (-7) - (+5) - -12,
[(-7)-(-3)]-(+8) = (-4) + (-8) = -12.
3. Вычитание разности.
Чтобы вычесть разность, можно вычесть уменьшаемое
и к результату прибавить вычитаемое.
Пример.
(_8) - [(-6) - (+3)] = (-8) - (-9) = 1
[(_8)_(_б)] + (+3) = (-2) + (+3) = 1.
В общем виде:
а — ф — с) = (а — Ь) + с.

§ 16. Алгебраическая сумма.
Рассмотрим выражение:
(+7)-(+4) + (+2)-(-5>-(+3), (1)
обозначающее несколько сложений и вычитаний.
На основании правила вычитания мы можем все вы-
читания заменить сложением чисел, противоположных вы-
читаемым. Получим:
(+7) + (-4) + (+2) + (+5) + (-3). (2)
Таким образом, все числа в выражении (1) стали сла-
гаемыми.
Определение. Выражение, обозначающее несколь-
ко последовательных сложений и вычитаний, называет-
ся алгебраической суммой.
В алгебраической сумме всякое вычитание можно за-
менить прибавлением числа, противоположного вычитае-
мому.
Например:
а+ (- Ь) -(-с)-(+ d) + (- е) - а + (- Ь) + (+ с) +
+ (-d) + (-e).
Заменив в алгебраической сумме все вычитания сло-
жениями, можно записать её в виде суммы, в которой
слагаемые могут быть любыми рациональными числами
(положительными, отрицательными, равными нулю), а
также числами, обозначенными буквами.
Для упрощения записи мы можем везде знак сложения
перед скобками опустить, запомнив раз навсегда, что
каждый знак в выражении относится к следующему за
ним числу и что все эти числа следует сложить.
Так, выражение (2) можно записать короче:
7_4-|-2 + 5 — 3.
Это выражение и показывает, что надо сложить чис-
ла 7; -4; +2; +5; —3.
В алгебраической сумме всякое сложение можно за-
менить вычитанием противоположного числа.

Так, например,
а + b + с — а — (— Ь) + с.
Здесь прибавление числа b заменено вычитанием чис-
ла — Ь.
§ 17. Умножение.
При установлении правила умножения для любых
рациональных чисел положим в основу те же требования,
что и для сложения рациональных чисел (см. § 12).
Возьмём опять задачу на изменение температуры.
Температура изменяется каждый час на а°. В на-
стоящий момент термометр показывает 0°. Сколько гра-
дусов покажет термометр через t часов?
Как и раньше, будем обозначать понижение темпера-
туры отрицательными числами.
Кроме того, в задачу входит ещё и время, в течение
которого изменялась температура. Время, отсчитываемое
от настоящего момента в будущее, считается положи-
тельным, а время, отсчитываемое в прошедшее, счи-
тается отрицательным.
Вернёмся к задаче. Так как каждый час температура
изменялась на а°, то через / часов температура изменится
на at градусов.
Посмотрим, чему будет равно произведение at при
различных значениях а и t.
1) а = 2; / = 3.
В настоящий момент термометр показывает 0°. В те-
чение трёх часов температура будет повышаться каждый
час на 2°. Очевидно, что за 3 часа температура повысится
на 6° (черт. 10). Значит: 2-3 = 6.
2) а = —2; t = 3.
Температура понижается каждый час на 2°. Значит,
за 3 часа она понизится на 6° (черт. 11). Таким образом:
(_2).3 = —6.
3) а = 2; t = —3.
Температура повышается каждый час на 2°. Сейчас
термометр показывает 0°. Значит, 3 часа тому назад
температура была ниже нуля на 6° (за 3 часа темпера-

тура поднималась каждый час на 2° и достигла к на-
стоящему моменту нуля градусов) (черт. 12). Значит:
2 • (—3) = —6.
4) а = —2; t = —3.
Температура понижается каждый час на 2°. Сейчас
0°. Значит, 3 часа тому назад она должна была быть
выше нуля на 6° (понижаясь каждый час на 2°, она за
3 часа достигнет нуля градусов) (черт. 13).
Отсюда: (—2).( — 3) = 6.
Черт. 10.
Черт. 11.
Сопоставим все рассмотренные случаи умножения:
2-3 = 6; (-2) • (-3) = 6;
(—2) - 3 = — 6; 2 • (—3) = —6.
Учитывая полученные результаты, введём следующее
правило умножения рациональных чисел.
Правило 1. Произведение двух чисел равно
произведению их абсолютных величин, взятому
со знаком плюс, если оба сомножителя имеют
одинаковые знаки, и со знаком минус, если сом-
ножители имеют противоположные знаки.

Таким образом, согласно введённому правилу, полу-
чим:
(_3).5 = -15; (_»).»-_•;
4 • (—25) = —100.
Кроме того, будем иметь при любом а:
а . 0 = 0 • а = 0
Черт. 12.
Черт. 13.
(произведение абсолютных величин двух чисел, из кото-
рых хотя бы одно равно нулю, будет тоже равно нулю).
Правило 2. Произведение двух чисел равно
нулю, если хотя бы один из сомножителей
равен нулю.
§ 18. Умножение нескольких чисел.
Умножение нескольких рациональных чисел выполня-
ется по тому правилу, по которому производится умно-
жение нескольких чисел в арифметике.
Чтобы перемножить несколько рациональных чисел,
надо найти произведение первых двух чисел, затем этот

результат умножить на третий данный сомножитель, по-
лученный результат умножить на четвёртый и так далее
до конца. Например:
(_3). 4 . (-2) • (-5) • 6 - (-12) • (-2) • (-5) • 6 =
= 24 • (—5) • 6 = (—120) • 6 = —720.
Но более употребителен другой способ умножения не-
скольких чисел.
При умножении приходится всё время перемножать
абсолютные величины: сначала находим произведение аб-
солютных величин первых двух чисел, затем произведе-
ние абсолютной величины результата и абсолютной вели-
чины третьего числа и т. д. Значит, абсолютная величина
всего произведения равна произведению абсолютных ве-
личин всех сомножителей.
Так, если в приведённом выше примере сначала найти
произведение
3.4.2.5.6 = 720,
то получится абсолютная величина искомого произведения.
Заметим, что если хотя бы один из сомножителей рА-
Вен нулю, то и всё произведение равно нулю, например:
2 . (—3) . 0 • 15 = (—6) -0.15 = 0.15 = 0.
Допустим, что ни один из сомножителей не равен ну-
лю; определим знак произведения.
При последовательном перемножении данных сомно-
жителей знак произведения изменится на противополож-
ный всякий раз, когда приходится умножать на отрица-
тельный множитель. Отсюда ясно, что произведение будет
положительным числом, если отрицательных сомножителей
имеется чётное число.
Пример.
2 . (_4) • 3 • (-|) • (-5) • (-10) =
= (_8).3(-1) • (_5).(-10)=(-24).(-1).(-5).(-10) »
= 12 • (—5) • (-10) - (—60) • (—10) = 600.
Отрицательных сомножителей было 4, в произведении
получилось положительное число 600.

Произведение будет отрицательным числом, если от-
рицательных сомножителей имеется нечётное число.
Пример.
8 • (-4) • (~4> • I' <-5> = <-12> • (~4) • i • (~5) =
= 48 - 1 • (-5) = 8 • (-5) = —40.
Отрицательных сомножителей было 3, в произведении
получилось отрицательное число — 40.
Отсюда следует, что для определения знака произ-
ведения достаточно знать, имеет ли данное выражение
чётное или нечётное число отрицательных сомножителей.
Таким образом, получаем следующее правило для
умножения нескольких чисел.
Произведение нескольких чисел равно произ-
ведению абсолютных величин всех сомножите-
лей, взятому со знаком плюс, если число отри-
цательных сомножителей чётное (или их нет
совсем), и со знаком минус, если число отрица-
тельных сомножителей нечётное.
Пример. Вычислить произведение:
(-5) • 3 • (-2) • (-1) • 10.
1) Перемножаем абсолютные величины сомножителей:
5.3.2-1. 10 = ^.
2) Найденное произведение берём со знаком—, так
как среди данных сомножителей три отрицательных.
Искомое произведение равно —у.
§ 19. Законы умножения.
Для рациональных чисел остаются справедливыми
те же законы умножения, которые были приведены в § 5
для положительных чисел.
1. Переместительный закон.
Для любых рациональных чисел а и b справедливо рА-
Венство
AB = ba.

Это следует из определения умножения рациональных
чисел. В самом деле, мы берём произведение абсолютных
величин сомножителей, а оно не зависит от порядка, в
котором берём эти абсолютные величины.
Знак произведения тоже определяем независимо от
того, в каком порядке следовали сомножители. Мы смот-
рим только, одинаковые ли знаки у обоих сомножителей
или различные.
Переместительный закон справедлив для произведения
любого числа сомножителей. Так, например, перемножая
числа — 2, 3, 5 и — 8 в любом порядке, мы получим одно
и то же число 240. В самом деле, в каком бы порядке
мы ни перемножали абсолютные величины сомножителей,
получим одно и то же число 2 • 3 • 5 • 8 = 240. Знак про-
изведения получим, подсчитав количество отрицательных
сомножителей независимо от порядка, в каком они рас-
положены. В нашем примере число 240 следует взять со
знаком +, так как в произведении содержится два отри-
цательных сомножителя.
2. Сочетательный закон.
При умножении любых рациональных чисел остаётся
в силе сочетательный закон умножения.
Для любых трёх рациональных чисел a, b и c спра-
ведливо равенство:
(ab)c = a (bc).
В самом деле, в выражении a (bc) мы должны абсо-
лютную величину a умножить на произведение абсолютных
величин b и c; в выражении (ab) c мы должны произве-
дение абсолютных величин a и b умножить на абсолютную
величину c. Но абсолютные величины — это неотрицатель-
ные числа (то есть положительные или равные нулю), а
для таких чисел сочетательный закон верен.
Значит, абсолютная величина обеих частей равенства
одна и та же. Легко также убедиться, что и знак обоих
произведений будет один и тот же, каковы бы ни были
знаки чисел a, b и c (оба произведения положительны,
если среди чисел a, b и c нет отрицательных или два из
них отрицательны; оба произведения отрицательны, если

одно из этих чисел или все три отрицательны; оба про-
изведения равны нулю, если хотя бы одно из чисел а, Ь
или с равно нулю).
Таким же образом можно убедиться в справедливости
сочетательного закола для произведения любого числа
сомножителей.
Пример.
5.(-|).6(-8).
Это произведение нетрудно вычислить, перемножив
сначала второй и третий сомножители:
5 . . 6 • (-8) = 5 • (-4) • (-8) = 160.
3. Распределительный закон.
Для любых рациональных чисел а, Ь и с справедливо
равенство
(а + Ь)с = ас + be.
Убедимся в этом на нескольких примерах.
1) [2 + (-3)] .4 = 2-4 + (-3) • 4.
Действительно:
[2 + (-3)] • 4 = (—1) - 4 = —4;
2.4 + (—3) • 4 = 8 —12 = —4.
2) [(-3) + 5] • (-6) = (-3) • (-6) + 5 • (-6).
Действительно:
[(—3) + 5] • (—6) = 2 • (—6) = — 12;
(—3) • (—6) + 5 • (—6) - 18 — 30 = — 12.
Распределительный закон имеет место при умножении
на какой-либо множитель суммы любого числа слагаемых.
Именно:
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно
умножить на это число каждое слагаемое и полученные
произведения сложить.
Пример.
[(+7) + (-3) + (+2)] • (-3) = ( + 6) • (-3) = - 18
( + 7). (-3) + (-3) - (-3) + (+2) - (-3) =
= (-21)+ (+9)+ (-6) = -18.

Пользуясь переместительным законом умножения,
в последнем примере можно переставить сомножители,
тогда получим следующее:
(-3) • [( + 7) + (-3) + ( + 2)] = (-3) • (+6) = -18
(_3)(+7) + (-3)(-3)+(-3)(+2) =
= (-21) + (+9)+ (-6) = -18.
Отсюда вывод:
Чтобы умножить какое-либо число на сумму, можно
умножить на это число каждое слагаемое и полученные
произведения сложить.
Отметим следующие два свойства умножения:
1. Умножение произведения.
Чтобы умножить произведение нескольких чисел на
число, можно умножить на это число один из сомножи-
телей, оставив остальные без изменения.
Пример.
[4 . (-3) . 5] • (-2) = (-60) • (-2) = 120
[4 • (-2)] • (-3) • 5 = (-8) • (-3) - 5 = 120.
2. Умножение на произведение.
Чтобы умножить число на произведение нескольких
чисел, можно умножить это число на первый сомножи-
тель, полученный результат умножить на второй со-
множитель и так далее до конца.
Пример.
4 • [5 • (—2) . 3] = 4 • (—30) = —120
(4.5). (_2) - 3 = 20 . (—2) • 3 = (—40) -3 = —120.
Эти последние свойства вытекают из законов умно-
жения.
§ 20. Деление.
Деление определяется как действие, обратное умно-
жению.
Разделить одно число на другое — значит найти такое
третье число, которое, будучи умножено на делитель,
даст в произведении делимое:
а:Ь = с, если be = а.

Основываясь на этом определении, выведем правило
деления для рациональных чисел.
Прежде всего укажем раз навсегда, что делитель
не может быть нулём. Деление на нуль исключается
по той же причине, по которой оно было исключено в
арифметике.
Абсолютная величина а равна произведению абсолют-
ных величин b и с. Значит, абсолютная величина с равна
абсолютной величине а, делённой на абсолютную вели-
чину Ь.
Определим знак частного с.
Если делимое и делитель имеют одинаковые знаки,
то частное—положительное число. Действительно, если
а и b положительны, то частное с тоже будет положи-
тельным числом.
Пример. 12 : 4 = 3, так как 4 • 3 = 12.
Если а и b отрицательны, то частное сив этом случае
должно быть положительным, так как, умножив на него
отрицательное число 6, мы должны получить отрицатель-
ное число а.
Пример. —12 : (—4) = 3, так как (—4) • 3 = —12.
Если делимое и делитель имеют разные знаки, то
частное — отрицательное число. Действительно, если а
положительно, a b отрицательно, то с должно быть
отрицательным, так как, умножив на него отрица-
тельное число 6, мы должны получить положительно?
число а.
Пример. 12: (—4) = —3, так как (—4) . (—3) = 12.
Если а отрицательно, a b положительно, то и в этом
случае с должно быть отрицательным числом, так как,
умножив на него положительное число Ь, мы должны
получить отрицательное число а.
Пример. (—12) : 4 = — 3, так как 4 - (—3) = — 12.
Итак, мы пришли к следующему правилу деления.
Чтобы разделить одно число на другое, надо
абсолютную величину делимого разделить на
абсолютную величину делителя и перед част-
ным поставить знак плюс, если делимое и дели-
тель имеют одинаковые знаки, и знак минус,

если делимое и делитель имеют противополож-
ные знаки.
Как мы уже говорили, деление на нуль невозможно,
поясним это более подробно. Пусть требуется разделить
какое-нибудь не равное нулю число, например —- 3, на 0.
Если число а есть искомое частное, то, умножив его на
делитель, то есть на 0, мы должны получить делимое,
то есть — 3. Но произведение а • 0 равно 0, и делимое —3
не может получиться. Отсюда мы заключаем, что число
—3 на нуль разделить нельзя.
Пусть требуется число 0 разделить на 0. Пусть а —
искомое частное; умножив а на делитель а • 0, получим
в произведении 0 при любом значении а:
а • 0 = 0.
Таким образом, мы не получили никакого определён-
ного числа: умножив на 0 любое число, мы получим 0.
Поэтому деление нуля на нуль также считается невозмож-
ным.
Для рациональных чисел остаётся в силе следующее
основное свойство частного:
частное двух чисел не изменится, если дели-
мое и делитель умножить на одно и то же
число (не равное нулю).
Поясним это такими примерами.
1. Рассмотрим частное 6:3 = 2; умножим делимое и
делитель на —4; тогда получим новое частное [6 • (—4)] :
: [3(—4)] = (—24) : (—12) = 2. Итак, в новом частном мы
получили то же самое число 2.
Рассмотрим частное 5 :7 = у'» умножим делимое и де-
литель на —у; тогда получим такое частное:
И-#['-И)И-4)=К)=^.
Частное не изменилось, так как получилось то же
самое число у.

§ 21. Свойства деления.
Отметим свойства деления, известные из арифметики;
эти свойства остаются в силе для любых рациональных
чисел.
1. Деление суммы.
Чтобы разделить сумму нескольких чисел на число,
можно разделить на это число каждое слагаемое и резуль-
таты сложить.
Пример.
[12 + (—28) + 32] : 4 = 16 : 4 = 4
и
12:4 + (—28) : 4 + 32 : 4 = 3 + (—7) + 8 = 4.
2. Деление произведения.
Чтобы разделить произведение нескольких чисел на
число, можно разделить на это число любой из сомно-
жителей, оставив остальные без изменения.
Пример.
[12 • (—18) • 30] :6 = (—6480) :6 = —1080
и
(12 : 6) • (—18) • 30 = 2 - (—18) • 30 = —1080,
12 • [(—18) : 6] . 30 = 12 - (—3) • 30 = —1080,
12 • (—18) (30 :6) = 12 • (—18) . 5 = —1080.
3. Деление на произведение.
Чтобы разделить число на произведение нескольких
чисел, можно разделить это число на первый сомножи-
тель, полученный результат разделить на второй сомно-
житель и так далее до конца.
Пример.
120 : [2 . (—3) • 5] = 120 : (—30) = — 4
и
120 :2 : [(—3) . 5] = 60 : [(—3) • 5] = — 20 :5 = — 4.
§ 22. Возведение в степень.
В арифметике сложение равных чисел рассматривается
как новое действие — умножение.
При этом число-слагаемое пишется только один раз,
а за ним (после знака умножения) пишется число-

множитель, которое показывает, сколько раз надо взять
слагаемым первое число. Например:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3.5;
2 2 2 2 о
у + у + у = уЗ.
В алгебре умножение равных между собой чисел рас-
сматривается как новое действие, которое называется
возведением в степень.
Если, например, число 5 умножается само на себя,
то произведение 5 • 5 = 25 называется второй степенью
числа 5; произведение 5-5.5= 125 называется третьей
степенью числа 5, число 5.5-5.5 = 625 — четвёртой
степенью этого числа и т. д. При этом говорят, что число
5 возводится во вторую, в третью, в четвёртую и т. д.
степень.
Определение. Действие, посредством которого на-
ходится произведение нескольких равных сомножителей,
называется возведением в степень.
При этом:
1. Произведение п сомножителей, равных а, назы-
вается /г-й степенью числа а.
2. Число, которое возводится в степень, называется
основанием степени.
3. Число, которое показывает, в какую степень воз-
водится основание, называется показателем степени.
Так в рассмотренном примере основанием степени было
взято число 5; показателем степени в первом случае было
число 2, во втором — число 3, а в третьем— 4.
Степень коротко записывают так: пишут основание
степени и справа от него вверху пишется (более мелко)
показатель степени:
52 = 25, 53 = 125, 54 = 625 и т. д.
В общем случае
ап = а • а • а ... а.
п раз
Приведём примеры, поясняющие всё сказанное.

1. Примем за основание число 3 и будем возводить
его в различные степени.
З2 = 3 • 3 = 9; З3 = 3 . 3 • 3 = 27; З4 = 3 - 3 • 3 - 3 = 81;
З5 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243 и т. д.
2. Примем за основание какое-нибудь отрицательное
число, например—2, тогда получим:
(_2)2 = (-2) • (-2) = 4;
(_2)з = (_2). (-2) • (-2) = -8;
(_2)4 = (_2) , (-2) • (-2) • (-2) = 16;
(-2)5 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32 и т. д.
3. Приняв за основание дробное число, например у,
получим:
2\2 _ _ 4_ в /2 \3 _ 8 в /_2 \4 _ \6
3 / ~~ 3 • 3 ~~ 9 ' \ 3 / ~~ 27 ' \ 3 / ~~ 81 И Т* Д'
4. Приняв за основание дробное отрицательное число,
например —^ , получим:
(-3/4-И)-(-4)-й'(-3/4-
\ 4 / V 4 / \ 4 1 64'
(~3/4 = (-4) • (-т) • (-4) • (-т) = 256и т- д-
Следует запомнить, что нуль в любой степени равен
нулю, единица в любой степени равна 1, так как:
О" = 0 • О • О ... О = 0; \п = Ы - ... .1 = 1.
п раз п раз
Принято вторую степень числа называть квадратом,
а третью степень — кубом этого числа.
Это объясняется тем, что площадь квадрата со сто-
роной а выражается второй степенью числа а, то есть
а • а = а2 (квадратных единиц), а объём куба с ребром,
равным а, выражается третьей степенью этого числа:
а • а • а = а3 (кубических единиц). Возведение чисел во

вторую и третью степень короче называют возведением
в квадрат и в куб.
По смыслу определения действия возведения в степень
показатель степени может равняться двум, трём, четырём
и т. д., то есть может быть только натуральным числом,
большим единицы.
Принято считать, что первая степень любого числа есть
само это число, например:
51 = 5; 8,351 = 8,35; (—З)1 = —3.
Заметим, однако, что показатель 1 обычно не пишется.
Итак, если число записано без показателя степени, то
подразумевается, что этот показатель равен 1.
В арифметике показателями степени пользуются для
краткой записи разложения целых чисел на множители
в том случае, когда среди простых множителей данного
числа имеются равные между собой. Разложив, например,
на простые множители число 60984, получим:
60984 = 2-2.2.3.3.7. 11 • 11.
Кратко, пользуясь показателями степени, это число
можно записать так:
60984 = 23.32-7. 11*.
Полезно запомнить запись единиц различных разрядов
в виде степеней числа 10:
100 = 10»; 1000 = 103; 10000 = 104; 100000 = 105;
1000000= 10е и т. д.
Из приведённых числовых примеров видно, что при
возведении отрицательного числа в чётную степень полу-
чается положительное число, а при возведении в нечётную
степень получается отрицательное число.
Это и понятно. Чётная степень всякого числа есть про-
изведение чётного числа сомножителей, а чётное число
отрицательных сомножителей даёт в произведении поло-
жительное число (§ 18).
Нечётная степень отрицательного числа как произведе-

ние нечётного числа отрицательных сомножителей будет
отрицательным числом.
Итак, чётная степень отрицательного числа положи-
тельна, нечётная степень отрицательна.
§ 23. Порядок выполнения действий.
Возведение в степень считается арифметическим дейст-
вием третьей ступени. Если алгебраическое выражение
содержит различные арифметические действия, то сперва
производится возведение в степень, как действие высшей
(третьей) ступени, затем умножение и деление (действия
второй ступени) и, наконец, сложение и вычитание (дейст-
вия первой ступени).
Поясним сказанное примерами-
Пример 1.
4-52:2 = 4-25:2 = 100:2 = 50.
Первым произведено возведение в квадрат (действие
третьей ступени).
Пример 2.
5 . 2* — б2 : 12 = 5 • 8 — 36 : 12 = 40 — 3 = 37.
Произведены действия сначала третьей (возведение в
куб и в квадрат), затем второй и, наконец, первой ступени.
Пример 3.
3 . (4 —б)3 + (3 . 7)2 + 5 - 3 • (—2)3 + 212 + 5.
Сначала вычислены разность и произведение, заклю-
чённые в скобки, затем выполнено возведение в степень
и т. д.
Пример 4. Вычислить значение алгебраического вы-
ражения
при а = 1, Ъ = — 2; при а = —3, 6 = 5; при а = 2, 6=2.
При а=1, й = — 2 получим:
_lLi!_ + 3.1 .(_2)з==_|_ + з.(_8) =
-з з •

При а =—3, b = 5 получим:
?|_^г + 3(-3).5 3 = ^-|- + 3.(-3).125 =
18 110С. 9009
16"~И^~ 8~*
При а = 2, ft = 2 данное выражение вычислить нельзя;
оно теряет смысл, так как в знаменателе получается
22 — 22 = 0, а на нуль делить нельзя.
§ 24. Уравнения.
Задача. К некоторому числу прибавили 8 и получили
17. Найти это число.
Решим задачу так: обозначим неизвестное число какой
либо буквой, например а. Прибавив к нему 8, получим
а + 8. Но по условию задачи эта сумма должна быть равна
17. Значит:
а + 8= 17.
Здесь а и 8 являются слагаемыми, а 17 — их суммой.
Каждое из двух слагаемых равно их сумме минус другое
слагаемое. Значит:
а = 17 — 8, или а = 9.
Проверим, подставив 9 вместо а в выражение а + 8:
9 + 8= 17.
Задача решена верно.
Равенства, в которые входит неизвестное число, носят
особое название.
Определение 1. Равенство, содержащее неизвест-
ное число, обозначенное буквой, называется уравнением.
Вот ещё примеры уравнений:
2m + 5 = 2; £ k + 7 = 13; х2 — 5x= 6.
Выражение, стоящее слева от равенства, называется
левой частью, а стоящее справа — правой частью
уравнения. В уравнении а + 8 = 17, а + 8 — левая, а 17 —
правая часть уравнения.

Определение 2. Решить уравнение — значит найти
те значения неизвестного, при которых обе части урав-
нения равны одному и тому же числу (другими словами:
все те значения неизвестного, при которых равенство
будет верным).
Говорят, что эти значения неизвестного удовлетво-
ряют уравнению.
Определение 3. Значения неизвестного, которые
удовлетворяют уравнению, называются корнями, или ре-
шениями, уравнения.
Так, мы видели, что а = 9 есть корень, или решение,
уравнения а+ 8 =17. Подстановкой можно убедиться,
что т = — является корнем уравнения 2m -[-5 = 2;
k = 8 — уравнения -^k + 7 = 13; —2 и —3 — корнями
уравнения х2 — 5x = 6.
Примечание. Большею частью неизвестные числа в урав-
нении обозначаются последними буквами латинского алфавита:
х, у, г. Но это не обязательно. Неизвестное число может быть обо-
значено любой буквой.
Решение простейших уравнений. Приведём ещё не-
сколько примеров уравнений, которые легко решаются на
основании известных из арифметики зависимостей.
Пример 1.
л;—187 = 215.
Неизвестное число х является уменьшаемым. Но умень-
шаемое равно вычитаемому, сложенному с разностью.
Следовательно, будем иметь:
х= 187 + 215, или х = 402.
Проверка. 402 — 187 = 215.
Пример 2.
±. — 1
15 :х ~ з *
Делитель равен делимому, делённому на частное. Сле-
довательно:
Х ~" 15 : 3 ~~ 15 • 2 ~~ 5 '

„ 4 2 4-52
Проверка. -:у = _ = т.
Пример 3.
5*+ 14 = 6.
Находим 5x как неизвестное слагаемое:
5х = 6— 14, 5x = —8.
Теперь находим х как неизвестный сомножитель:
* = —8:5 = —~ = —1,6, А: = — 1,6.
Проверка. 5 - (—1,6) + 14 = —8 + 14 = 6.
Значит, х~ — 1,6 есть корень уравнения.
§ 25. Решение задач с помощью уравнений.
В дальнейшем, по мере изучения алгебры, будет видно,
какую огромную роль играют уравнения в решении задач.
С помощью уравнений легко решаются многие задачи, ко-
торые с большим трудом или даже совсем не могут быть
решены арифметически, причём арифметическое решение
обычно бывает очень сложным и громоздким. Примеры
таких задач будут даны в дальнейших разделах алгебры.
Здесь же дадим примеры решения с помощью уравнений
некоторых простых задач.
Задача 1. Для класса были заготовлены тетради.
Когда роздали 48 тетрадей, то их осталось 32 штуки.
Сколько тетрадей было заготовлено?
Составим уравнение по условию задачи. Число заго-
товленных тетрадей обозначим через х. Когда роздали 48
тетрадей, то их запас уменьшился на 48, то есть тетрадей
стало:
х — 48.
Но в задаче сказано, что тетрадей осталось 32. Значит,
остаток х — 48 должен равняться 32, то есть
х — 48 = 32.
Решим это уравнение. Неизвестное число — уменьшаемое
равно вычитаемому, сложенному с разностью. Значит:
х = 48 + 32, или х = 80.

Проверка. 80 — 48 = 32.
Возникает вопрос: что означает отрицательное число,
если оно получится в результате решения задачи?
Рассмотрим несколько задач.
Задача 1. Я задумал число. Когда прибавил к нему
27 и результат разделил на 6, то получил 3. Какое число
я задумал?
1) Обозначим задуманное число через х.
2) Прибавив к нему 27, получим х + 27.
л* 4- 27
3) Разделив результат на 6, получим —-—.
4) По условию задачи в итоге должно получиться 3.
Значит:
A'+27_Q
5) Решим это уравнение. Найдём х + 27 как неизвест-
ное делимое:
х+ 27 = 18.
Теперь найдём х как неизвестное слагаемое;
х= 18 — 27, х = —9.
6) Проверим подстановкой:
—9 + 27 18 _ о
6 — "6 — 6'
Итак, здесь число—9 является ответом на вопрос за-
дачи. Я действительно задумал число—9, произвёл над
ним указанные действия и получил 3. Отрицательные числа
здесь являются допустимыми значениями для неизвестного.
Задача 2. Ученик купил тетрадь за 7 коп. и не-
сколько карандашей по 2 коп. за карандаш. Сколько ка-
рандашей он купил, если заплатил за всю покупку 3 коп.?
1) Обозначим число купленных карандашей через х.
2) Тогда все карандаши стоят 2х копеек.
3) Карандаши и тетрадь вместе стоят (2х + 7) копеек.
4) По условию задачи:
2х + 7 = 3.

5) Решаем уравнение:
2х = —4; х = —2.
Но нельзя купить «минус два карандаша». Число ка-
рандашей не может быть отрицательным. Отрицательные
значения не являются допустимыми для неизвестного.
Значит, полученное отрицательное число показывает, что
задача не имеет решения. Это и понятно: нельзя за ка-
рандаши и тетрадь заплатить меньше, чем за одну тетрадь.
Задача 3. автомобиль идёт из города со скоростью
60 км в час. В настоящий момент он находится от города
в 240 км. Через сколько часов автомобиль будет на рас-
стоянии 120 км от города?
Приняв за х часов время, через которое автомобиль
будет в 120 км от города, последовательно получим:
60* + 240= 120, 60x: = —120, х = — 2.
Можно сделать вывод, что и здесь отрицательный ответ
указывает на отсутствие решения. Действительно, если
автомобиль находится в данный момент в 240 км от города
и продолжает удаляться от него, то никогда не наступит
такой момент, когда автомобиль будет находиться в 120 км
от города.
Но можно подойти к полученному ответу и по-другому.
Условимся, как и раньше, время, отсчитываемое в будущее
от настоящего момента, обозначать положительным числом
и отрицательным, если время отсчитывается в прошлое.
При этом условии для неизвестного будут допустимыми
как положительные, так и отрицательные значения и по-
лученный ответ—2 приобретает определённый смысл: он
означает «2 часа назад». Действительно, 2 часа назад
автомобиль находился от города на расстоянии
240 — 60-2 = 120 (км).
Итак, отрицательные значения неизвестного, получен-
ные в результате решения задачи, или дают определён-
ный ответ на вопрос задачи, или указывают на отсутствие
решения в зависимости от того, являются ли отрицатель-
ные значения допустимыми для неизвестного или нет.

§ 26. Графики.
1. График равномерного движения. Решим задачу.
Пионеры в походе шли со скоростью 3 км в час. Какое
расстояние они прошли за i часов?
Если искомое расстояние обо-
значим через s, то получим:
s = 3t.
Давая / значения 1,2, 3, 3 1|2
и т. д., найдём значения .9, то
есть расстояние, пройденное за
1 час, 2 часа, 3 часа и т. д.
С помощью отрезков можно
наглядно представить расстоя-
ния, пройденные за различные
промежутки времени. На чер-
теже 14 проведены из одной
точки два взаимно перпенди-
кулярных луча, которые назо-
вём горизонтальной и
вертикальной осями. На
горизонтальной оси отметим в
часах время движения, выбрав
некоторый отрезок (например,
размер одной клетки), соответ-
ствующий одному часу. На вер-
тикальной оси отметим расстоя-
ние в километрах (сторона одной
клетки обозначает 1 км). Длины
перпендикуляров, проведённых
к горизонтальной оси из любой её точки, покажут рас-
стояние, пройденное за указанный внизу промежуток
времени. Величину этого расстояния можно определить,
проведя из верхнего конца перпендикуляр к вертикальной
оси.
Так как нас интересует только длина каждого перпен-
дикуляра, то можно чертёж упростить, оставив только
точки—верхние концы этих перпендикуляров (черт. 15).
Черт. 14.

По этому графику можно определить расстояние, прой-
денное за любой промежуток времени.
Пусть, например, мы хотим определить расстояние,
пройденное за 4 1|2 часа. Найдя на горизонтальной оси точку
проведём к ней перпендикуляр до пересечения с гра-
фиком в точке А. Длина этого перпендикуляра изобра-
жает расстояние, пройденное за 4^ часа-. Величину этого
расстояния KMJ можно определить по отметкам на
вертикальной оси.
По этому же графику можно решить и обратную задачу:
определить, за какое время будет пройдено некоторое
расстояние, например 8 км.
Из точки 8 на вертикальной оси проведём к ней пер-
пендикуляр до пересечения с графиком в точке В. Из
этой точки опустим перпендикуляр на горизонтальную
ось. Нижний конец этого перпендикуляра и покажет время
(приблизительно 2,7 часа), за которое был пройден путь
8 км.
2. График температуры. Следующая таблица показы-
вает изменение температуры воздуха в один из ноябрьских
дней с 12 часов ночи до 12 часов дня.
Нулём обозначен момент начала измерения, то есть
12 часов ночи.
Изменение температуры можно изобразить графически,
откладывая в определённом масштабе на горизонтальной
оси время в часах. Концы перпендикуляров, проведён-
ных из точек на горизонтальной оси, покажут (тоже

в определённом масштабе) соответствующую температуру
(число градусов).
Но в таблице температур стоят не только положитель-
ные, но и отрицательные числа. Как отметить их на гра-
фике? Если величину, например 4°, мы изображали пер-
пендикуляром, проведённым вверх от горизонтальной оси,
то число —4° естественно изобразить перпендикуляром,
проведённым вниз от этой оси. Значит, вертикальную ось
мы должны продолжить вниз для отсчёта температур
ниже нуля (черт. 17).
Черт. 17.
И здесь можно вместо перпендикуляров оставить только
их концы (черт. 18). Если соединим последовательно эти
точки отрезками прямых, то получим график темпе-
ратуры (черт. 19), по которому можно приблизительно
определить температуру воздуха в любой момент от 12 ча-
сов ночи до 12 часов дня.

§ 27. Краткие исторические сведения.
(Из истории отрицательных чисел.)
Ещё несколько тысяч лет назад потребности в измерении при-
вели к расширению множества натуральных чисел, которыми до тех
пор пользовались люди. Были введены новые, дробные числа, с по-
мощью которых стало возможно производить измерения (длин, пло-
щадей, веса и пр.) с любой степенью точности, допускаемой инстру-
ментами.
Не так обстояло дело с отрицательными числами. В практической
деятельности людей не ощущалась потребность во введении отрица-
тельных чисел, и они прочно вошли в математику и получили при-
менение лишь в XVII веке.
Но в самой математике потребность в расширении числового
множества путём введения новых отрицательных чисел ощущалась
уже давно, и по мере развития математической науки эта потреб-
ность становилась всё более настоятельной.
Так, ещё в III веке греческий математик Диофант при вы-
полнении некоторых преобразований, например
(2х — 3) (2х — 3) = 4х2 — 12* + 9,
фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных
чисел, которое он выражал так: «Отнимаемое, умноженное на при-
бавляемое, даёт в результате отнимаемое. Отнимаемое, умноженное на
отнимаемое, даёт в результате прибавляемое».
Из этой формулировки видно, что Диофант ещё не признавал
самостоятельного существования отрицательных чисел; для него они
были прежними числами, «отнимаемыми» от какого-либо другого
числа. Поэтому, если, например, при решении уравнения получался
отрицательный корень, Диофант его просто отбрасывал как «недо-
пустимый».
Но уже индийский учёный Брамагупта (VII век) в своих
вычислениях свободно пользовался отрицательными числами и давал
им наглядное истолкование. Он обозначал имущество положитель-
ными числами, а долг — отрицательными.
В этой наглядной форме он давал и правила действий с рацио-
нальными числами, например: «Сумма двух имуществ — имущество.
Сумма двух долгов — долг. Сумма имущества и долга равна их раз-
ности, а если они равны, то нулю» и т. д.
Индийский же математик Бхаскара (XII век) пользуется
степенью отрицательного числа. В его сочинении «Венец системы»
говорится:
«Квадрат как положительного, так и отрицательного числа даёт
положительное число, например:
(4-5)2 = 25 и (—5)2=25».
В Европе математики XVI века, хотя и пользовались иногда
отрицательными числами, всё же называли их «ложными» и «неяс-
ными», «меньшими, чем ничто» и т. п.

Лишь голландский математик Жирар (XVI—XVII века) поль-
зуется отрицательными числами наравне с положительными. Так,
решая уравнение
*з__2x'2 — 5* +6 = О,
он приводит три его корня:
*i*=+3, *2 = +1, *з = —2.
Бурное развитие естествознания и техники в XVII веке предъ-
являло повышенные требования и к математике, требовало её даль-
нейшего развития и усовершенствования математического аппарата.
Неприменение отрицательных чисел создавало излишние трудности
в математических вычислениях и преобразованиях. Начиная с XVII ве-
ка отрицательные числа прочно входят в математику и находят
практические применения. Французский философ и математик Де-
карт даёт наглядное истолкование чисел с помощью точек число-
вой оси. Он пользуется отрицательными числами для графического
изображения различных процессов и алгебраических выражений.

ГЛавА ТРЕТЬЯ.
ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ
ВЫРАЖЕНИЯМИ.
§ 28. Одночлен и многочлен.
1. Рациональные алгебраические выражения. В преды-
дущих главах рассматривались пять действий над рацио-
нальными числами: сложение, вычитание, умножение, де-
ление и возведение в степень.
В настоящей главе будем рассматривать алгебраические
выражения, составленные с помощью этих пяти действий.
Все такие выражения называются рациональными.
Определение 1. Алгебраические выражения, со-
ставленные из чисел, обозначенных цифрами и буквами
с помощью действий сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в степень, называются рациональ-
ными.
Примеры рациональных выражений:
а + Ь а*Ь- m2 + n2- 0 25- (а-6)'+ (*' + *').
а^°> a2> т2-п2> U'Z*> 3(a2 + b2)
х 4- хи — ц2 .2 4
а — b ' b * b
а
а
2. Целые и дробные выражения. Рассмотрим следую-
щие рациональные выражения:
fl2_of0,3ab+l; j\ a+f-.
При рассмотрении различных выражений в алгебре об-
ращают главное внимание на действия, которые надо
произвести над числами, обозначенными буквами.

Первое и второе из этих выражений совсем не содержат
действия деления на числа, обозначенные буквами. Такие
выражения называются целыми.
Второе выражение содержит действие деления на
число 4, обозначенное цифрой. Но мы можем, разделив
сначала 5 на 4, записать это второе выражение так:
-j-х, или 1,25x:.
Выражение
52 — Ах + 5
2
также является целым; его можно представить в виде:
4**-2*+!-.
Наконец, третье выражение содержит деление на число,
записанное буквой. (Говорят также, что это выражение
имеет буквенный делитель.) Такие выражения называются
дробными.
Ещё примеры дробных выражений:
х щ а-\- с ( т -f-1 ( . 3
Определение 2. Рациональное выражение назы-
вается целым, если оно не содержит деления на буквен-
ное выражение.
Определение 3. Рациональное выражение назы-
вается дробным, если оно содержит деление на буквен-
ное выражение.
Можно короче сказать: рациональное алгебраическое
выражение называется целым или дробным, смотря по тому,
имеет или не имеет оно буквенного делителя.
3. Одночлен. Из целых выражений наиболее простыми
считаются такие, которые содержат только действия ум-
ножения и возведения в степень, например:
2а; ЗаЧ; jx2y2; ав2c3; — 0,23.
Такие выражения называются одночленами.
Определение 4. Алгебраическое выражение, кото-
рое содержит только действия умножения и возведения
в степень, называется одночленом.

Таким образом, одночлен представляет собой произве-
дение числового множителя и букв, каждая из которых
взята в определённой степени.
Примечание. Так как возведение в степень есть частный
случай умножения (мы можем, например, а8 записать в виде ааа),
то можно сказать, что одночлен содержит только одно действие —
умножение.
Выражение, состоящее только из одной буквы, также
считается одночленом.
Одночленом считается и всякое отдельное число, запи-
санное цифрами.
Выражение вида тоже считается одночленом, так
как хотя оно и содержит деление, но делитель 4 мы мо-
жем отнести к числовому множителю и записать выраже-
ние так:
та2Ь> или 0,75а2Ь.
4. Многочлен. Несколько одночленов, соединённых
знаками сложения и вычитания, образуют новое алгебраи-
ческое выражение, которое называется многочленом.
Например: 3х2— 5ху-\-6у2 — 8.
Мы уже знаем, что всегда вычитание можно заменить
сложением и всякое выражение, в которое входят сложе-
ние и вычитание, представить в виде алгебраической суммы.
Например, приведённое выше выражение можно записать
так:
3*2 + (__5^) + 6у2 + (-8).
Определение 5. Алгебраическая сумма несколь-
ких одночленов называется многочленом.
Каждый одночлен, входящий в состав многочлена,
называется его членом.
Многочлен, состоящий из двух членов, называется так-
же двучленом; многочлен, состоящий из трёх членов, на-
зывается трёхчленом и т. д.
Примеры двучленов:
*2+l; a + b; 3a2b — 4b2c.
Примеры трёхчленов:
х2 + х+ 1; 3уд — 4ау2 + 4.

Одночлен считается частным случаем многочлена: это
многочлен, состоящий из одного члена.
Примечание. Изучив действия над одночленами и много-
членами, мы сможем любое целое алгебраическое выражение предста-
вить в виде алгебраической суммы одночленов (в частности, может
получиться одночлен). Поэтому всякое целое выражение, как на-
пример
(х + у)Ь; 2 (а2 + 363) — 6b2\ т (т + п) — т2,
считается многочленом. Алгебраическая сумма одночленов есть так
называемый нормальный (обычный), простейший вид целого алгебраи-
ческого выражения. С этого простейшего вида мы и начнём изучать
многочлены.
Дробные рациональные выражения, как например
а_ х — У. 2А;2 —3
Ь ; х *' 4x3 + 5 + *•
не являются целыми, поэтому их нельзя считать многочленами,
в частности их нельзя считать одночленами.
§ 29. Тождества и тождественные преобразования.
Пусть даны два алгебраических выражения:
1) 2 (х + 5) — 4 и 2) 2х + 6.
Составим таблицу значений каждого из этих выраже-
ний при различных числовых значениях буквы х.
X —7 -5 —3 —2 — 1 0 1 1/2
5 7 20 50
2 (л: 4- 5) — 4 —8 —4 0 2 4 6 8 9 16 20 46 106
2х + 6 —8 —4 0 2 4 6 8 9 16 20 46 106
Мы видим, что при всех тех значениях, которые да
вались букве х, значения обоих выражений оказывались
равными. То же будет и при всяком другом значении х.
Чтобы убедиться в этом, преобразуем первое выраже-
ние. На основании распределительного закона запишем:
2 (д: + 5) — 4 = 2* + 2 • 5 — 4.

Произведя над числами указанные действия, получим:
2х+ 10 — 4 = 2х + 6.
Итак, первое выражение после его упрощения оказа-
лось совершенно таким же, как и второе выражение.
Теперь ясно, что при любом значении х значения обоих
выражений равны.
Выражения, значения которых равны при любых зна-
чениях входящих в них букв, называются тождественно
равными или тождественными.
Значит, 2(х + Ь)— 4 и 2х + 6 — тождественные выра-
жения.
Сделаем одно важное замечание. Возьмём выражения:
О 7=Т и 2) * + 3-
Составив таблицу, подобную предыдущей, убедимся,
что оба выражения при любом значении х, кроме х = 3,
имеют равные числовые значения. Только при х = 3 вто-
рое выражение равно 6, а первое теряет смысл, так как
в знаменателе получается нуль. (Вспомним, что на нуль
делить нельзя.) Можно ли сказать, что эти выражения
тождественны?
Мы раньше условились, что каждое выражение будем
рассматривать только при допустимых значениях букв,
то есть при тех значениях, при которых выражение не
теряет смысла. Значит, и здесь, сравнивая два выраже-
ния, принимаем во внимание только те значения букв,
которые допустимы для обоих выражений. Поэтому зна-
чение х = 3 мы должны исключить. А так как при всех
остальных значениях х оба выражения имеют одно и то же
числовое значение, то мы вправе считать их тождест-
венными.
На основании сказанного дадим такое определение
тождественных выражений.
1. Выражения называются тождественными, если они
имеют одинаковые числовые значения при всех допу-
стимых значениях входящих в них букв.
Если два тождественных выражения соединим знаком
равенства, то получим тождество. Значит:

2. Тождеством называется равенство, верное при всех
допустимых значениях входящих в него букв.
Мы уже раньше встречались с тождествами. Так, на-
пример, тождествами являются все равенства, которыми
мы выражали основные законы сложения и умножения.
Например, равенства, выражающие переместительный
закон сложения
а + Ь = Ь + а
и сочетательный закон умножения
a (be) = (AB) с,
справедливы для любых значений букв. Значит, эти рА-
Венства являются тождествами.
Тождествами считаются также все верные арифмети-
ческие равенства, например:
2 + 5 =с 7; 3 . 5 - 6 = 90; (3 + 6) . 7 = 63.
В алгебре часто приходится какое-либо выражение за-
менять другим, ему тождественным. Пусть, например,
требуется найти значение выражения
37а + 36а + 27а
при а = 6,53.
Мы значительно облегчим вычисления, если данное
выражение заменим выражением, ему тождественным. На
основании распределительного закона можем записать:
37а + 36а + 27а = (37 + 36 + 27) а.
Но числа в скобках дают в сумме 100. Значит, имеем
тождество:
37а + 36а + 27а = 100а.
Подставив в правую часть его 6,53 вместо а, сразу (в уме)
найдём числовую величину (653) данного выражения.
Замена одного выражения другим, тождественным
ему, называется тождественным преобразованием этого
выражения.
Напомним, что всякое алгебраическое выражение при
любых допустимых значениях букв является некоторым

числом. Отсюда следует, что к алгебраическим выраже-
ниям применимы все законы и свойства арифметических
действий, которые были приведены в предыдущей главе.
Итак, применение законов и свойств арифметических дей-
ствий преобразует данное алгебраическое выражение в тож-
дественное ему выражение.
§ 30. Коэффициент.
Мы знаем, что одночлен представляет собой произве-
дение числового (записанного цифрами) множителя и букв,
каждая из которых берётся в определённой степени. Чис-
ловой множитель имеет специальное название — коэффи-
циент и ставится обычно на первое место. Так, например,
число 4 является коэффициентом одночлена 4а2ху. Если
произведение содержит несколько числовых множителей
(целых или дробных), то обычно (пользуясь перемести-
тельным и сочетательным законами умножения) перемно-
жают их отдельно и полученное произведение ставят впе-
реди буквенных сомножителей.
Пусть, например, дано выражение g——; перепи-
шем его в таком виде:
3 • 4 .±a2bxy» = l-£a2bxy*.
12
Коэффициентом будет число ^.
Определение. Числовой множитель, стоящий впе-
реди буквенных множителей, называется коэффици-
ентом.
Если выражение содержит только буквенные множи-
тели, то говорят, что его коэффициент равен единице.
Действительно, например, выражения AB к \ AB равны
между собой, так как от умножения на единицу число не
изменяется. Поэтому коэффициент единица обычно не пи-
шется.
Коэффициент—1 также не пишется, а ставится знак —
перед всем произведением. Например, (—1)*2# = —х2у.
Приведём несколько примеров.

Пример 1.
— 4а2b*.
Коэффициент этого одночлена равен—4.
Пример 2. Алгебраическое выражение 2а(х + у) за-
писано в виде произведения, поэтому число 2 можно счи-
тать его коэффициентом.
Пример 3. Выражение 2а2Ь — 3AB2 + 5ab есть мно-
гочлен, в котором коэффициент первого члена равен 2,
коэффициент второго — 3,а коэффициент третьего 5.
Иногда в произведении, содержащем различные буквен-
ные (и числовые) множители, выбирают одну или несколько
букв и считают эти буквы главными.
Если заранее указано, какие буквы выбраны глав-
ными, то в данном произведении можно выделить степени
главных букв и написать впереди этих букв произведение
всех остальных сомножителей. Это произведение называется
коэффициентом. Поясним это на примерах.
1. Примем х за главную букву, тогда коэффициент
одночлена 2ax будет равен 2a; коэффициент одночлена
—5abx 22 равен—5ab.
2. Примем за главные буквы и и v, тогда коэффициент
одночлена 3lmu2v2 равен 3/т; коэффициент одночлена
5aubv3 •= 5авuv3 (переставляем местами сомножители) ра
вен 5ab.
В одночлене 4ав выражение 4а — коэффициент при Ь
(если главная буква Ь), а 4Ь — коэффициент при а (если
главная буква а). В последнем случае лучше записать
4Ьа.
Итак, мы видим, что первоначальное понятие о коэф-
фициенте как множителе, выраженном цифрами, можно
расширить: коэффициентом может быть не только число,
записанное цифрами, но и буквенное выражение.
§ 31. Расположенные многочлены.
Пусть многочлен содержит только одну букву в раз-
личных степенях, например
8а — За3 + 5а4 — 1. (1)

Пользуясь переместительным законом сложения, мы
можем расположить его члены по убывающим степе-
ням буквы а:
5а4 — За3 + 8а— 1. (2)
Тот же многочлен (1), расположенный по воз-
растающим степеням буквы а, примет вид:
— 1 + 8а —За3 + 5а4. (3)
Расположение многочлена по степеням данной буквы
есть тождественное преобразование этого многочлена.
В дальнейшем, говоря о расположении членов много-
члена, мы будем подразумевать расположение по убываю-
щим степеням главной буквы.
Если многочлен содержит две или несколько букв, то
выбирают одну из них, которую считают главной, и рас-
полагают многочлен по степеням этой главной буквы. На-
пример, выражение
ЗА:3 — 2а*2 + а4* — 5а2 (4)
является многочленом, расположенным по убывающим
степеням буквы х.
Первый член расположенного многочлена, содержащий
главную букву в наивысшей степени, называется стар-
шим, а последний — низшим членом этого многочлена.
Степень старшего члена называется степенью и самого
многочлена (по отношению к главной букве).
Многочлен (2) — четвёртой, а (4) — третьей степени от-
носительно главной буквы. Если низший член совсем не
содержит главной буквы, то он называется свободным
членом.
В многочлене (2) 5 есть коэффициент при а4; —3 — ко-
эффициент при а3, 8 — коэффициент при а; —1—свобод-
ный член.
В многочлене (4) 3 — коэффициент при х8, —2а — ко-
эффициент при х2; а4 — коэффициент при х\ —5а2 — сво-
бодный член.

§ 32. Приведение подобных членов.
Задача 1. Тетрадь стоит а копеек. Коля купил
3 тетради, Вера 7, а Вася 5 тетрадей. 1) Сколько запла-
тил каждый? 2) Сколько стоили все купленные тетради?
Ответом на первый вопрос будут выражения:
За; 7а; 5а копеек. (1)
Ответом на второй вопрос будет сумма этих выраже-
ний:
(За + 7а + 5а) копеек. (2)
Это последнее выражение можно упростить. На осно-
вании распределительного закона запишем:
За + 7а + 5а = (3 + 7 + 5)а = 15а.
Выражение (2) мы заменили тождественным ему выра-
жением 15а.
При любом значении а значение выражения 15а вычи-
сляется быстрее и легче, чем значение выражения (2).
Определение 1. Одинаковые или отличающиеся
только коэффициентами одночлены называются подоб-
ными.
Например, одночлены Ъах2у и 10ах2у подобны, а од-
ночлены Зах2у и За2х2у не подобны.
В равенстве За + 7а + 5а = 15а алгебраическая сумма
подобных членов заменена одним членом, тождественным
этой сумме.
Определение 2. Замена алгебраической суммы
подобных членов одним членом, тождественным этой
сумме, называется приведением подобных членов.
Таким образом, приведение подобных членов есть тож-
дественное преобразование.
Правило. Чтобы привести подобные члены, надо
сложить их коэффициенты и к полученной сумме при-
писать (в виде сомножителя) то же буквенное выражение.
Пример. 3a2b — a2b + 7,4a2b = (3 — 1 +7,4)а26 =
= 9,4а26.
(Проверить подстановкой: а = 2; 6 = 5.)
В дальнейшем, как правило, мы будем упрощать вся-
кий данный многочлен, сделав в нём с самого начала

приведение подобных членов (если они были), так что
окончательно получится такой многочлен, в котором ни-
какие два члена не подобны.
Пример. Возьмём многочлен
2х2 — х + 4х* + 2х + 4х2 + 7
и выполним следующие тождественные преобразования.
Воспользуемся переместительным и сочетательным за-
конами сложения: на первом месте напишем старший член
4л:3 — он не имеет подобных; затем выпишем два подобных
члена, содержащих х2 (первый и пятый); затем выпишем
подобные члены, содержащие х (второй и четвёртый) и,
наконец, напишем свободный член:
4х3 + (2х2 + 4х2) + (— х + 2х) + 7.
Окончательно получим:
4хъ + 6x:2 + х + 7.
Мы сделали приведение подобных членов и вместе
с тем расположили члены по убывающим степеням буквы х.
§ 33. Сложение одночленов и многочленов.
1. Сложение одночленов. Пусть требуется сложить
одночлены:
13x:2; —8x:; 4х*\ -5; —3x.
Получим:
13х2 + (-8x:) + ( + 4х*) + (-5) + (-3x).
Полученное выражение является алгебраической сум-
мой. Согласно введённому условию (§ 16), мы можем знак
сложения везде опустить и написать короче:
13x:2 — 8x: + 4x:3 — 5 — 3x:.
В этом выражении имеются два подобных члена.
Приведём их и заодно расположим многочлен по убы-
вающим степеням относительно х:
4х* + 13x'2— Их — 5.
(Проверить подстановкой в данные одночлены и в по-
лученную сумму значений: I) *= 1; 2) *=—2.)

Значит, мы можем вывести такое правило.
Чтобы сложить одночлены, достаточно за-
писать их (в виде алгебраической суммы) один
за другим с их знаками.
Если в полученном выражении окажутся по-
добные члены, то их надо привести.
2. Сложение многочленов. Решим задачу. В одной
корзине было х яблок, в другой на у яблок больше, чем
в первой, а в третьей на 27 яблок меньше, чем во второй.
Сколько яблок было во всех трёх корзинах?
Решение.
1) В первой корзине было х яблок.
2) Во второй корзине было (х + У) яблок.
3) В третьей корзине было (л: + у — 27) яблок.
4) В трёх корзинах было х + (х + у) + (х + у — 27)
яблок.
Полученный ответ представляет собой сумму одночлена
и двух многочленов.
Упростим этот ответ.
Мы знаем, что каждое из выражений х+ у и х + у — 27
является алгебраической суммой. Поэтому по правилу
прибавления суммы можем записать:
х + (х + у) + (х + у — 27) = х + х + у + х + у -27.
После приведения подобных членов получим оконча-
тельно:
3x + 2у — 27.
Определить, сколько было яблок в корзинах, если:
1) х = 40; у = 30; 2) х = 35; у = 42.
Значит, мы можем вывести такое правило для сложе-
ния многочленов.
Чтобы сложить многочлены, надо записать
последовательно (в виде алгебраической суммы)
все их члены с их знаками.
Если в полученном выражении окажутся по-
добные члены, их надо привести.
3. Раскрытие скобок. При решении предыдущей за-
дачи пришлось раскрывать скобки, перед каждой из ко-

торых стоял знак плюс. Значит, мы можем сделать такой
вывод.
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми
стоит знак плюс, надо записать без скобок все
члены, стоящие в скобках, с их знаками.
Примечание. Если выражение начинается со скобки, перед
которой нет никакого знака, то подразумевается знак плюс, на-
пример:
(а2 — За + 2) + (За — 7) = а» — За + 2 + За — 7 = а2 — 5.
4. Заключение в скобки. Иногда бывает нужно, на-
оборот, заключить многочлен или часть его в скобки.
Так мы поступали, делая приведение подобных членов
(см. пример предыдущего параграфа). Возьмём такой
пример. Пусть надо вычислить выражение
136 + 258 — 238.
Очевидно, что здесь выгоднее сначала вычесть 238
из 258 и разность 20 прибавить к 136. Вычисления легко
и быстро выполняются в уме. Чтобы показать это, за-
ключим второй и третий члены в скобки:
136 + (258 —238).
Пусть вообще нужно заключить в скобки многочлен
или часть его и перед скобкой поставить знак плюс. Бу-
дем руководствоваться следующим правилом.
Чтобы заключить многочлен в скобки со зна-
ком плюс перед ними, надо записать в скобках
все члены многочлена с их знаками.
Убедиться в верности этого равенства легко, раскрыв
скобки по правилу, изложенному в п. 3.
5. Сложение расположенных многочленов. Если много-
члены расположены по степеням одной и той же буквы
(оба по возрастающим или оба по убывающим), то их
сложение удобнее производить следующим образом: под-
писывают многочлен один под другим так, чтобы подоб-
ные члены находились один под другим; после этого сразу
делают приведение подобных членов и записывают окон-
чательный результат.

Пример 1.
Зх4— 7х3 + х2— Их — 5
' 2x;4 — 4x:3 + 14x:+ 2
5x:4 — 11x:3 + х2 + 3x — 3
Так же производится сложение расположенных много-
членов и тогда, когда они содержат более одной буквы.
Пример 2.
За3 — 5а2Ь + 7ab2 + б3
+ —5а3 — баб2 + 4b33
—2а3 —5а26+ ав2 + 5&3
§ 34. Противоположные многочлены.
Мы знаем, что два противоположных числа имеют
одну и ту же абсолютную величину и противоположные
знаки.
Мы знаем также, что сумма двух противоположных
чисел равна нулю [например 5 + (—5) = 0], и обратно,
если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа проти-
воположные.
Рассмотрим два таких многочлена, которые состоят
из членов, одинаковых по абсолютной величине, но про-
тивоположных по знаку.
Возьмём, например, многочлены
х2 + 2ax: — За2 и —х2 — 2ax: -f За2.
Сложив эти многочлены
л:2 + 2ax: —За2
+ _л;2 _ 2ах + За2
0
получим сумму, тождественно равную нулю, то есть рав-
ную нулю при всех значениях букв а и х.
Два многочлена, состоящие из членов, одинаковых по
абсолютной величине, но противоположных по знаку, на-
зываются противоположными.
Сумма двух противоположных многочленов тожде-
ственно равна нулю, так как равна нулю сумма каждых
его двух противоположных членов.

Из сказанного вытекает, что значения двух противопо-
ложных многочленов противоположны (конечно, при оди-
наковых значениях букв).
Итак, какие бы числовые значения (одинаковые для
обоих многочленов) мы ни давали входящим в них бук-
вам, получим два взаимно противоположных числа. В са-
мом деле, так как сумма значений двух противоположных
многочленов равна нулю, то эти значения являются про-
тивоположными числами.
Примечание. Сказанное относится и к одночлену, как к
многочлену, имеющему только один член.
§ 35. Вычитание одночленов и многочленов.
1. Вычитание одночленов. Пусть из одночлена 5а2Ь
требуется вычесть одночлен 3ав2. Запишем:
5a2b — (+3ав2).
Одночлены 3ав2 и —3ав2 являются противоположными,
то есть имеют противоположные числовые значения при
любых значениях а и Ь. Но мы знаем, что вычитание
любого числа можно заменить прибавлением числа, про-
тивоположного вычитаемому.
Значит:
5a2b — (+3ав2) « 5а2Ь + {—3ab2).
По правилу сложения одночленов получим:
5а2b + (—3ab22) = 5a2b—3ав2.
Итак, имеем:
Ъа2Ь — (+3ав2) = Ъа2Ь — 3ав2.
Проверим правильность нашего вывода, сложив раз-
ность с вычитаемым:
Ъа2Ь — 3ав2 + (+3ав2) = 5а2Ь.
Мы получили уменьшаемое. Значит, вычитание произ-
ведено верно.
Отсюда выводим такое правило.

Чтобы вычесть одночлен, достаточно при-
писать его с противоположным знаком к умень-
шаемому.
Если в полученном выражении окажутся по-
добные члены, их надо привести.
2. Вычитание многочленов. Пусть требуется из много-
члена Ъх2 — Ъху + у2 вычесть многочлен 6х2 — 8ху + у3.
Надо найти такой третий многочлен — разность, который
в сумме с вычитаемым 6х2— 8ху + у3 даст многочлен,
тождественно равный уменьшаемому 5х2 — Ъху + у2. Если
из значения уменьшаемого вычесть значение вычитаемого,
то должно получиться значение разности. Но мы знаем,
чтобы вычесть какое-либо число, надо к уменьшаемому
прибавить число, противоположное вычитаемому.
Прибавим к многочлену 5л:2 — Ъху + у2 многочлен
—6х2 + 8ху — у3, противоположный вычитаемому, тогда
получим:
(Ъх2 ~ Ъху + у2) - (6х2 - 8ху + у3)
= (Ъх2 - Ъху + у2) + (-6х2 + 8ху — у3) =
= 5*2 — Ъху + у2 — 6Л:2 + 8ху — у3 =з
= —Л:2 + Ъху + у2 — у3.
Проверим, что вычитание выполнено правильно; для
этого сложим полученный многочлен с многочленом вы-
читаемым:
(_Х2 + 5ху + у2_у3) + (6х2 _ 8ху + у3) в
= —х2 + Ъху + У2 —У3 + 6х2 — 8ху + у3 =*
= 5Л:2 — Ъху + у2.
Получили уменьшаемое. Отсюда выведем правило.
Чтобы вычесть многочлен, достаточно при-
писать к уменьшаемому все члены вычитаемого
с противоположными знаками.
Если в полученном выражении окажутся по-
добные члены, их надо привести.
3. Раскрытие скобок. Из сказанного в § 34 о противо-
положных многочленах можно вывести следствие.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми
стоит знак минус, надо записать с противопо-
ложными знаками (без скобок) все члены, стоя-
щие в скобках.
—(а — b + с) = —а + b — с.
4. Заключение в скобки. Иногда бывает нужно заклю-
чить многочлен или его часть в скобки, поставив перед
скобкой знак минус. Будем руководствоваться следующим
правилом.
Чтобы заключить многочлен в скобки со зна-
ком минус перед ними, надо записать в скобках
все члены многочлена, взяв их с противополож-
ными знаками.
а — Ь + с = —(—а + Ь — с).
Убедиться в правильности этого равенства легко, рас-
крыв в правой части скобки по правилу, изложенному
в п. 3.
Пример. Вычислить выражение:
368— 179+ 149.
Заключим второй и третий члены в скобки, поставив
перед ними знак минус. Согласно правилу получим:
368—(179—149).
Проделав сначала вычитание в скобках, легко произ-
ведём в уме все вычисления.
5. Вычитание расположенных многочленов. Вычитание
расположенных многочленов выполняется так: у вычи-
таемого многочлена меняют знаки всех членов на противо-
положные, подписывают его под уменьшаемым так же, как
и при сложении, и делают приведение подобных членов.
Пример.
(8х4 — Зх3 + 7х2 + х — 18) — (5х4 — б*3 + ЗА:2 + Ах — 7).
Располагаем действие так:
8х4 — Зх3 + 7х2 + х— 18
+ _5х* + бх3—Зх2 —4х + 7
Зх4 + 3х3 + 4х2 — ЗА:— 11

§ 36. Умножение одночленов.
1. Умножение степеней одного и того же основания.
Вычислим выражение 23 • 22:
23 . 22 = (2 • 2 • 2) • (2 • 2) = 2 • 2 • 2 . 2 . 2 = 25.
Итак:
23 . 22 = 25.
Действительно:
23 • 22 = 8 . 4 = 32 = 25.
Точно так же:
3 • З3 = 3 • 3 • 3 • 3 = З4.
а2 • а4 = аааааа = а6.
Мы видим, что показатель в произведении каждый
раз равен сумме показателей в сомножителях (в частности,
вспомним, что а = а1). Это и понятно: ведь каждый раз
основание степени приходится брать сомножителем столько
раз, каков показатель в первом сомножителе, и ещё
столько раз, каков показатель во втором сомножителе.
Следовательно, в произведении равный сомножитель
будет повторяться столько раз, сколько единиц содержит
сумма показателей сомножителей.
Если буквами тип обозначить любые целые поло-
жительные (натуральные) числа, то это правило можно
записать так:
ат . ап = ат+п.
Отсюда можно вывести такое правило.
Правило. При умножении степеней одного
и того же числа показатели степеней скла-
дываются, а основание остаётся прежним.
Правило остаётся то же, если перемножаются не два,
а три и более сомножителей, например:
22 . 22 • 23 = 22+2+3 = 27.
В общем виде:
ат • ап • ар = ат+п+р.

2. Умножение одночленов. Пусть требуется перемно-
жить одночлены
3a2b3c*с и 5a3bc2d.
По правилу умножения на произведение имеем:
За263с • 5 • а9 - 6 . с2 • d.
Воспользовавшись переместительным и сочетательным
законами, можем это произведение записать так:
(3 • 5) (а2 • а3) (б3 • Ъ) (с . с2) d.
Произведя умножение в каждой скобке, получим окон-
чательно:
15a664c3d.
Итак:
За263с • 5a36c2d = 15a664c3d.
(Проверить подстановкой: a = 1; 6=1; с = 2; d = 5.)
Если надо перемножить более двух одночленов, то
поступаем таким же образом, например:
2х2у • 0,5х3у • 4*/2z2=(2 - 0,5 - 4) (х2. л:3) {jyyf) г2=4х*у*г*.
Отсюда видно, что произведение двух одночленов есть
одночлен, который составляется по следующему правилу.
При перемножении одночленов их коэффи-
циенты перемножаются, показатели степеней
одинаковых букв, содержащихся в обоих сомно-
жителях, складываются, а буквы, входящие
только в один сомножитель, берутся в произ-
ведении с их показателями.
Пример.
7x2y2z3 • 2х3у2 = 14x56#4Z3.
§ 37. Умножение многочлена на одночлен.
Пусть требуется умножить многочлен
За3 — 5а26 + 6а2е на одночлен 4а6а.
Многочлен представляет собой алгебраическую сумму.
Поэтому на основании распределительного закона можно
записать:
(За3 — 5а26 + 6а2с) . 4а62 = За3 . 4а62 — 5а26 . 4а62 +
+ 6а2с • 4а62.

Произведя затем умножение по правилу умножения
одночленов, получим:
(За8 — 5a2b + ба2^ - 4ав2 = 12а4Ь2 — 20а863 + 24а»*8с.
Отсюда выводим правило.
Чтобы умножить многочлен на одночлен,
надо умножить на этот одночлен каждый член
многочлена и полученные произведения сложить.
Пример. Умножить многочлен
4x2yz — 7xy2z2 + 3x2yz2 на одночлен — 5х2yz.
Имеем:
(4х2уг — ?xy*г2 + 3x2yz2) (—5х2уг) =
« — 20x*y2z2 + 35x8y3z8 — \5x*y2z3.
§ 38. Умножение многочленов.
Пусть требуется перемножить многочлены:
а + 6 — с и т — п.
Их произведение будет:
(а + Ъ — с) (т — п).
Нам нужно алгебраическую сумму а + b — с умножить
на число т — п.
По правилу умножения суммы можем записать:
а (т — п) + Ь(т — п) — с (т — п).
Применив распределительный закон, получим:
(am — an) + (bm — bn) — (cm — cn).
Наконец, раскрыв скобки, получим окончательно:
am — an + bm — bn — cm + cn.
Итак, имеем:
(a + b — c)(m — n) = am — an -f bm — bn — cm + cn.
Мы видим, что последнее выражение получилось после
того, как каждый член множимого а + b — с умножили
на каждый член множителя т — п.
Отсюда выводим правило.
Чтобы умножить многочлен на многочлен,
надо каждый член одного многочлена умножить

на каждый член другого и полученные произве-
дения сложить.
Число членов произведения. Предположим, что в множимом 5
членов, в множителе 3. Умножив все члены множимого на первый
член множителя, получим в произведении 5 членов; умножив на
второй и третий члены множителя, получим ещё 2 раза по пяти
членов. Всего получим 15 членов.
Число членов произведения (до приведения подобных
членов) равно числу членов множимого, умноженному на
число членов множителя.
Правило умножения многочленов можно применить для упроще-
ния арифметических вычислений.
Например, пусть надо перемножить два числа, у которых число
десятков одинаково, а единицы в сумме дают 10, например: 43 и
47; 62 и 68; 103 и 107; 51 и 59.
Обозначим число десятков обоих чисел через а, а число единиц
у одного числа — через Ьу у другого — через с. Тогда числа запи-
шутся так: 10а+ 6 и 10а + с.
Перемножим их по правилу умножения многочленов:
(Юа + Ъ) (10а + с) — 100а2 + Юаб + \0ас+ bc =
«= 100а2+ 10а(Ь + с) + Ьс.
Но по условию b + с = 10.
Сделав замену, получим:
(10а + 6) (10а + с) = 100а2 + 100а + Ьс=* 100а (а + \) + Ьс.
Эта формула позволяет быстро вычислять в уме произведение
двух чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма еди-
ниц равна десяти; для вычисления произведения надо число десят-
ков умножить на число, единицей большее, и к результату припи-
сать произведение единиц, например:
43- 47 = 4- 5.100 + 8.7- 2021;
62- 68= 6- 7. 100 + 2. 8« 4216;
103- 107 = 10- 11 • 100 + 3-7 = 11021.
§ 39. Умножение расположенных многочленов.
Покажем на примере, как производится умножение
расположенных многочленов.
Зх2 — 2ах + 5а2
х _ х2 + Зах + 4а2
— Зх4 + 2ах3— Ъа2х2
+ 9ах3— 6а2х2 + \5а3х
я 12а2лг2 — 8а3л: + 20а4
— Зх4 + 1 \ах3+ а2х2 + 7а3х + 20а4

Из этого примера видим, что многочлены располага-
ются один под другим (оба многочлена расположены по
убывающим степеням относительно буквы л;).
Все члены множимого умножаются на первый член
множителя, и результат записывается в строку под чертой.
Затем все члены множимого умножаются на второй член
множителя, и результат записывается во второй строке
так, чтобы подобные члены оказались друг под другом.
Так же записываются произведения всех членов мно-
жимого на третий член множителя и так далее до конца.
В результате получается столько строк, сколько членов
в множителе, причём все подобные члены окажутся в
одном столбце.
Эти подобные члены приводятся, и окончательный ре-
зультат записывается внизу под чертой. В итоге получится
тоже расположенный многочлен.
(Проверить подстановкой в данные многочлены и в
произведение значений: 1) х =* 1, а = 1; 2) х = 1; а = — 1.)
Приведём ещё пример.
2х3 — 5х — 4
х зх2 _ 7Х + 8
6л:6 —\5х3 — \2х2
+ — 14x:4 +35*2 + 28x: 16^ — 40x: — 32
6x:5 — 14л:4 + х3 + 23л;2 — 12л: — 32
Умножив 2х3 на З*2, получили б*6 и записали это
произведение. Умножив—5* на Зл:2, получили—15л:3.
Для записи этого произведения мы отступили вправо,
оставив после 6х5 свободное место на тот случай, если
в последующих произведениях окажется член, содержа-
щий x1 (так оно и случилось). В дальнейшем опять под-
писывали подобные члены под подобными.
(Проверить подстановкой: х = 1 и х = —1.)
Рассматривая приведённые примеры умножения двух
расположенных многочленов, можно сделать следующие
выводы.
1. Старший член произведения равен произведению
старших членов перемножаемых многочленов.

Действительно, перемножая члены с наибольшими по-
казателями главной буквы, мы и в произведении полу-
чим член с наибольшим показателем при этой букве.
Других членов с тем же показателем мы получить в
произведении не можем, так как во всех остальных
произведениях хотя бы один из перемножаемых членов
будет иметь показатель меньший, чем показатель в стар-
шем члене того же многочлена.
Рассуждая подобным же образом, найдём:
2. Низший член произведения равен произведению низ-
ших членов перемножаемых многочленов.
Таким образом, старший и низший члены произведения
не могут иметь подобных членов. Следовательно, когда
мы будем приводить в полученном произведении подоб-
ные члены, то старший и низший члены непременно оста-
нутся; остальные же — все или некоторые — после приведе-
ния могут сократиться. Отсюда следует:
3. Произведение двух многочленов, если оба они не
одночлены, не может иметь менее двух членов.
Пример.
аз_2а2 + 4а —8
2 а +2
, а4 — 2а3 + 4а2 — 8а
т 2а3 — 4а2 + 8а— 16
а4 —16
После приведения подобных членов получили в произ-
ведении а4— 16, то есть остались только старший и низ-
ший члены. Остальные сократятся.
(Проверить подстановкой а = 3.)
§ 40. Возведение одночленов в степень.
I. Возведение степени в степень. Возведём а3 в квад-
рат и в куб. Получим:
(а3)2 = а3 • а8 = a6\
(а3)3 = а3 • а3 • а3 = а9.
Точно так же:
(х2)4 = х2 • х2 • х* • х2 — х8.

Вообще:
(ат)п = ат -ат - ... • ат = атп.
л раз
Значит: (am)n = атп.
(Проверить: 1) при а = 2, m = 2, п = 3; 2) при а = —3,
m = 2, л = 2.)
Мы получили правило, которое кратко можно сформу-
лировать так:
При возведении степени в степень показатели
перемножаются, а основание не изменяется.
2. Возведение в степень одночленов. Возведём одночлен
4а2Ьс3 в квадрат и куб. По правилу умножения одночле-
нов будем иметь:
(4a2bc3)2 = 4а2Ьс* • 4а2be3 » 16a*b2c*.
(4a2bc3)3 = 4a2bc3 • 4a2bc3 • 4a2bc3 = 64a663c9.
Отсюда можем вывести такое правило:
Чтобы возвести в степень одночлен, доста-
точно возвести в эту степень каждый сомно-
житель и полученные результаты перемно-
жить.
Пример.
(2x2y3z)* = \6x*y12z*.
(Проверить подстановкой: x=l, у =—1, 2 = 2.)
§ 41. Формулы сокращённого умножения.
При выполнении различных алгебраических преобра-
зований встречаются часто некоторые частные случаи умно-
жения. Получающиеся при этом произведения полезно
запомнить наизусть, чтобы в дальнейшем, когда эти
случаи встретятся, можно было сразу написать произ-
ведение, не производя каждый раз почленного умножения.
Эти произведения и называются поэтому формулами со-
кращённого умножения.
1. Квадрат суммы. Возведём в квадрат сумму двух
чисел а и Ь.
(а + b)2 = (a + b)(a + b)=a2+AB + AB + b2.

Приведя подобные члены, получим:
(а + bf = а2 + 2аЬ + Ь2.
Эту формулу следует запомнить как в приведённой
записи, так и в словесном выражении.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату
первого числа, плюс удвоенное произведение пер-
вого числа на второе, плюс квадрат второго
числа.
Примеры:
1. (За + 2Ь)2 = (За)2 + 2 • За - 26 + (26)* «*
= 9а2 + \2ав + 4b2.
Следует приобрести навык писать сразу окончательный
результат, не производя промежуточной записи, которая
показана в этом примере.
2. Эта формула применяется при устном возведении в квадрат
чисел, немного больших «круглого» числа, например:
41» = (40+ I)1 = 402 + 2 . 40+ 1 = 1681;
322 = (30 + 2)2 = 302 + 2 • 2 • 30+ 22 = 900+ 120 + 4 - 1024.
3. Особенно легко запомнить приём возведения в квадрат чисел,
оканчивающихся пятёркой. Положим, число имеет а десятков и
5 единиц. Тогда его можно записать так:
10а+ 5.
Возведём это число в квадрат по формуле:
(10а+5)2 « 100а2+ 2 . 5 • 10а + 52 - 100а2 + 100а+ 25 =
- 100а (а + 1) + 25.
Полученное выражение показывает, что для возведения в квад-
рат числа, оканчивающегося пятёркой, надо число его десятков
умножить на число, единицей большее, и к произведению приписать
25. Например:
652 = 6-7. 100 + 25 = 4225;
852 - 8 • 9 (сотен) + 25 = 7225;
3,52 = 3 • 4 + 0,25 = 12,25.
Последний пример можно записать так:
(4)' = 3.4 + 1 = 121.
Значит, чтобы возвести в квадрат смешанное число, дробная

часть которого равна , достаточно целую часть умножить на чис-
ло, единицей большее, и к произведению прибавить —.
(8±)t==8.9 + -i = 72i-; (24i)2 = 24.25+-i= 600l.
2. Квадрат разности.
(a — b)2 = (a — b)(a — b) = a2 — AB — AB + b2.
(а — b)2 = а2 — 2ав + Ъ2.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату
первого числа, минус удвоенное произведение
первого числа на второе, плюс квадрат второ-
го числа.
Эта формула отличается от ранее выведенной форму-
лы только знаком среднего члена. Поэтому часто пишут
сразу обе формулы так:
(a±b)2 = a2±2ав + Ъ2.
Примеры.
1. (4a2b — AB)2 = 16а462 — 8а2Ь • AB + а2Ь2 =
= 16а462 — 8a*b2 + a2b2.
И здесь следует стараться написать сразу результат,
производя промежуточные вычисления в уме.
2. Эта формула применяется при устном возведении в квадрат
чисел, немного меньших «круглого» числа, например:
392 = (40 — I)2 = 402 — 2 • 40+ 1 = 1521;
482 — (50 — 2)2 == 2500 — 2 • 2 . 50 + 4 - 2304;
792 - (80 — I)2 = 6400— 160 + 1 = 6241.
3. Произведение суммы двух чисел на их разность.
(а + b) (а — Ь) = а2 + AB — AB — b2\
(a + b) (a — b) = a2 — b2.
Произведение суммы двух чисел на их раз-
ность равно разности квадратов этих чисел.
Примеры.
1. (5а + 26) (5а — 26) = 25а2 — 4Ь2.
2. (2а2 + 3ft8) (2а2 — 3bs) = 4а4 — 966.

3. Эта формула применяется при устном умножении двух чисел,
из которых одно на столько единиц больше «круглого» числа, на
сколько другое меньше его, например: 47 и 53, 68 и 72.
47 . 53 = (50 — 3) (50 + 3) = 50* — З2 = 2491;
68 • 72 = 70а — 4 = 4896;
33 • 27 = 900 — 9 = 891.
4. Но иногда бывает полезно поступить наоборот: для вычис-
ления разности квадратов двух чисел заменить эту разность про-
изведением суммы оснований на их разность, например:
1022 — 1012 = (102 — 101) (102 + 101) = 203;
54а — 462 = (54 — 46) (54 + 46) = 800;
(4)44)44-4) (4+4)=»-
4. Куб суммы.
(а + b)3 = (а + b)2 (a + b) = (а2 + 2ab + Ь2)(а + Ь) =
= а3 + 2ай6 + аЬ2 + а2Ъ + 2ав2 + б3;
(а + ft)3 = а3 + За2& + 3ав2 + ft3.
Куб суммы двух чисел равен кубу первого
числа, плюс утроенное произведение квадрата
первого на второе, плюс утроенное произведе-
ние первого на квадрат второго, плюс куб вто-
рого числа.
Примеры.
1. (2а + Зb)3 = 8а3 + 3 • 4а2 • ЗЬ + 3 - 2а . 962 + 2763 =
= 8а3 + 36а26 + 54ab2 + 2763.
2. 113 = 103 + 3 • 102 + 3 - 10+ 1 = 1331.
5. Куб разности.
(а — 6)3 = (а — Ь)2(а — 6) = (а2 — 2ав + Ь2)(а — Ь).
Произведя умножение и приведя подобные члены, полу-
чим:
(а — ft)3 = а3 — 3a2ft + За»2 — ft3.
Куб разности двух чисел равен кубу первого
числа, минус утроенное произведение квадрата

первого на второе, плюс утроенное произведе-
ние первого на квадрат второго, минус куб
второго числа.
Примеры.
1. (х — 2)3 = х3 — 6х2+ 12* — 8.
2. (За — 2b)3 = 27а3 — 54a2 + 36ab2 — 863.
§ 42. Общие замечания о делении целых
алгебраических выражений.
Как известно из арифметики, при делении целых чи-
сел не всегда можно получить целое частное. В этом
случае говорят, что делимое не делится нацело на де-
литель. Например, 17 не делится нацело на 5.
В таких случаях записывают частное в виде дробно-
го числа, беря делимое числителем, а делитель — знаме-
нателем. Например:
17:5 = £; 3:8 = |.
Введение дробных чисел сделало возможным деление
любых чисел (кроме деления на нуль).
Так же обстоит дело и при делении целых алгебраи-
ческих выражений. Частное не всегда является целым
алгебраическим выражением.
Если частное от деления целых алгебраических выра-
жений является целым алгебраическим выражением, то
говорят, что деление выполнено нацело или что делимое
нацело разделилось на делитель.
Поясним сказанное примерами.
Пример 1. 2ав:b.
В этом случае деление выполняется нацело: частное
равно целому выражению 2а. Действительно, умножим
частное на делитель:
2а • Ь = 2аb.
Получили делимое. Значит, выражение 2ав нацело
разделилось на Ь.

Пример 2. Трёхчлен х2 — 3x + 2 делится на дву-
член х—1, при этом частное равно х — 2. Это можно
проверить, умножив делитель х—1 на х — 2:
1
2^
-х
-2х + 2
- 3x + 2
Мы получили делимое, значит, двучлен х — 2 дей-
ствительно является искомым частным.
Пример 3. (2ав + c):b.
В этом случае мы не сможем найти такое целое вы-
ражение, которое, будучи умножено на 6, дало бы де-
лимое 2ав + с. Деление нацело здесь невозможно.
Действительно, какое бы целое выражение, содержа-
щее буквы а, Ьу су мы ни взяли, умножив его на дели-
тель Ь, получим многочлен, все члены которого содер-
жат букву Ь\ однако второй член делимого равен с, этот
член не содержит букву Ь.
В этом случае записывают частное в виде дробного
выражения, беря делимое числителем, а делитель—зна-
менателем, например:
Сделаем ещё одно замечание. При всяком делении
алгебраических выражений мы будем предполагать, что
делитель не равен нулю, так как делить на нуль нель-
зя. Поэтому, если делитель содержит одну или несколь-
ко букв, то для них допустимыми являются только та-
кие значения, которые не обращают делитель в нуль.
Это условие надо всегда иметь в виду при делении ал-
гебраических выражений.
Если знаменатель данного выражения равен нулю
при всех значениях входящих в него букв, то такое вы-
ражение не имеет смысла. Так, например, выражение
ba__L не имеет смысла.

§ 43. Деление одночленов.
1. Деление степеней одного и того же основания.
Пусть требуется разделить 25 на 22:
25 : 22 = 32 : 4 = 8 = 23.
Итак:
25:22 = 23.
Точно так же:
3е: З4 = З2.
Проверка. З2 . З4 = 3е.
а5: а3 = а2.
Проверка, а2 • а3 = а5.
Вообще при делении степеней одного и того же чис-
ла в частном должно получиться то же число с таким по-
казателем, который в сумме с показателем делителя даст
показатель делимого. Значит, показатель в частном должен
быть равен разности показателей в делимом и в делителе.
а1: а4 = а3.
Вообще:
ат : ап = ат~п.
Здесь т и п — натуральные числа, причем т>п.
Действительно, умножим частное ат~п на делитель ап:
ат-п . ап _ а(т-п)+п __ ат
Мы получили делимое, значит, деление выполнено прА
Вильно.
Мы пришли к правилу, которое кратко можно сфор-
мулировать так:
При делении степеней одного и того же чис-
ла из показателя делимого надо вычесть по-
казатель делителя.
Примечание. Если т равно л, то в этом случае делитель
и делимое равны и, значит, частное равно единице:
ат :ат = 1.
2. Деление одночленов. Пусть требуется выполнить
деление:
10a5bsc: 4a3b.

Воспользуемся свойствами деления, приведёнными
в §21.
Разделим делимое на 4. Для этого достаточно разде-
лить на 4 коэффициент 10. Получим:
2,5аьЬ3с.
Разделим результат на а3. Для этого достаточно а5
разделить на а3. Получим:
2,5а2Ь3с.
Разделим результат на Ъ. Для этого достаточно раз-
делить Ь3 на Ь. Получим окончательно:
10а563с:4а36==2,5а262с.
Умножив 4а36 на 2,5а262с, получим делимое.
Значит, деление произведено верно.
Конечно, нет необходимости записывать отдельно все
промежуточные результаты. Все деления производятся
последовательно и сразу записывается результат.
Пример 1. 18х*y2z3:6x2y2z = 3x*z2.
Делим 18 на 6; в частном записываем 3.
Делим х* на х2\ в частном записываем х*.
Делим у* на у2\ в частном получается единица, кото-
рую не пишем.
Делим z3 на г; в частном записываем г2.
В итоге получили частное 3xAz2.
(Проверить подстановкой: х=1, # = 2, 2 = 2.)
Пример 2. Решить уравнение:
бах3: За*2 = 4.
Произведя деление, получим:
2х = 4; х = 2.
Проверить ответ подстановкой в данное уравнение.
Итак, можем вывести такое правило.
Правило. Чтобы разделить одночлен на од-
ночлен, достаточно:
1) разделить коэффициент делимого на коэф-
фициент делителя;

2) к полученному частному приписать мно-
жителями каждую букву делимого с показа-
телем, равным разности показателей этой
буквы в делимом и делителе.
Применяя это правило, надо иметь в виду, что:
1. Если какая-либо буква входит только в делимое,
то она входит в частное с тем же показателем.
2. Если показатели какой-либо буквы в делимом и в
делителе одинаковы, то эта буква не войдёт в частное.
Деление одночленов нацело невыполнимо:
1. Если показатель какой-либо буквы в делителе
больше показателя той же буквы в делимом.
2. Если делитель содержит букву, которой нет в де-
лимом.
§ 44. Деление многочлена на одночлен.
Воспользуемся правилом деления суммы (§ 21).
Применим это правило к делению многочлена на од-
ночлен.
Пусть надо выполнить деление:
(6а*62 _ 7а3b + 3,6а263): 2а2Ь.
Разделив на 2а2Ь каждый член многочлена, получим:
За26 — 3,5а + 1,862.
Проверим умножением частного на делитель:
(За2Ь — 3,5а + 1,862) - 2а2Ь = 6а462 — 7а36 + 3,6а263.
Получили делимое. Значит, деление произведено верно.
Отсюда получаем такое правило:
Чтобы разделить многочлен на одночлен,
надо разделить на этот одночлен каждый член
многочлена и полученные частные сложить.
Из этого правила следует, что многочлен делится на-
цело на одночлен лишь в том случае, если каждый член
многочлена делится на этот одночлен.
Другими словами, необходимо, чтобы делитель был
общим множителем всех членов многочлена.
Поэтому, если, например, делитель содержит букву,
не входящую хотя бы в один из членов многочлена, то

мы сразу можем сказать, что деление нацело невыпол-
нимо.
Точно так же деление невыполнимо, если показатель
какой-либо буквы в делителе больше, чем показатель
этой же буквы хотя бы в одном из членов делимого мно-
гочлена.
§ 45. Примеры решения уравнений.
Задача. Каждую сторону квадратной площадки
увеличили на 2 метра, при этом её площадь увеличилась
на 12 квадратных метров. Чему была равна сторона
площадки?
Решим эту задачу составлением уравнения.
Пусть х — длина (в метрах) стороны площадки; тогда
площадь этой площадки будет равна х2.
После того как сторону увеличили на 2 метра, полу-
чилась квадратная площадка со стороной х + 2 метров,
а площадь стала равной (х + 2)2 квадратных метров. Зна-
чит, площадь увеличилась на (х + 2)2 — х2 квадратных
метров; но по условию увеличение площади равно 12 кв. м9
значит,
(х + 2)2 — х2= 12.
Мы получили уравнение. Чтобы его решить, сначала упрос-
тим левую часть. Применим формулу квадрата суммы:
(х + 2)2 — х2 = х2 + 4х + 4 — х2 = Ах + 4.
Значит, уравнение можно записать так:
4* +4= 12.
Находим 4х (как неизвестное слагаемое):
4х = 8 и, наконец, х =• 2.
При решении получившегося уравнения мы сперва
упростили его левую часть.
Во многих случаях, преобразовав сначала выражения,
содержащиеся в уравнении, можно упростить это уравне-
ние и привести его к такому виду, который мы уже умеем
решать.
Пример.
(х — 3) {х + 4) — (х + 2) {х — 3) = 2. (1)

ГЛавА ЧЕТВЁРТАЯ.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.
§ 46. Общие сведения.
Из предыдущего мы знаем, что равенства, содержа-
щие буквы, могут быть двух родов: тождества и урав-
нения.
Тождество (см. § 29) — это такое равенство, которое
верно при любых (допустимых) значениях входящих в
него букв. Так, например, формулы сокращённого умно-
жения:
(а + b) {а - Ь) = а2 — Ь2, (а + Ь)2 = а2 + 2ab + Ь2 и т. д. —
это тождества. В § 41 мы установили, пользуясь основ-
ными законами арифметических действий, что всегда, ка-
кими бы ни были числа а и 6, левая часть для каждого
из этих равенств равна правой.
Равенство а 1 = а + 1 также есть тождество, так
как при всяком допустимом значении а (а именно при
а ф 1) левая его часть равна правой.
В § 24 и 45 мы встречались с другого рода равенст-
вами, содержащими буквы, а именно с уравнениями. Рас-
смотренные нами в этих параграфах равенства содержали
обозначенные буквами неизвестные числа, и нам требова-
лось решить уравнение, то есть выяснить, существуют
ли такие значения неизвестного, при которых равенство
будет верным, и найти эти значения неизвестного.
Пусть, например, даны два алгебраических выражения:
4х — 5 и 2х + 9.

Числовое значение каждого из этих выражений зави-
сит от значения буквы x, как это видно из следующей
таблицы, где в первой строке даны различные значения x,
а во второй и третьей — соответствующие значения данных
алгебраических выражений.
x
—2 —1 0 1 2 3 4
4 — x —5 — —13 9 5
1 + 3
7 11 2 x 9 5 7 9 11 13 15 17
Поставим такой вопрос: найдутся ли такие значения
x, при которых оба данных выражения будут иметь одно
и то же значение?
Другими словами: при каких значениях х будет спра-
ведливо равенство:
4 [???] x — 5 = 2 x + 9.
(1)
Если продолжить эту таблицу, то окажется, что при
x = 7 данные выражения имеют одно и то же значение 23.
Однако из наших рассуждений не видно, существуют ли
ещё какие-нибудь значения x, при которых левая часть
равенства (1) равна правой. Чтобы получить полный ответ,
надо изучить свойства уравнений.
В настоящей главе мы изучим основные свойства урав-
нений и укажем способы их решения в простейших слу-
чаях.
Заметим, что уравнение, кроме букв, обозначающих
неизвестные числа, может содержать и другие буквы, ко-
торые будут означать некоторые известные, определён-
ные числа.
Приведём ещё примеры уравнений с одним неизвест-
ным.

Во всех этих уравнениях х является неизвестным чис-
лом, а там, где имеются другие буквы (во втором и шес-
том уравнениях), мы считаем их известными.
Выражения, стоящие слева и справа от знака равенст-
ва, называются левой и правой частями уравнения.
1. Корни уравнения. Пусть дано уравнение:
3x — 7 = 29 — 6*.
Подставив в него вместо х число 4, получим:
3.4 — 7 = 5 и 29 — 6.4=5.
Обе части уравнения оказались равными одному и
тому же числу. Получили верное равенство. Наоборот,
если подставим вместо х любое другое число, например
5, то будем иметь:
3. 5 — 7 = 8; 29 —6- 5=*—1.
Левая часть оказалась равной 8, а правая —1.
Мы не получили равенства. Задача решения урав-
нения и состоит в том, чтобы определить, имеются ли
такие значения неизвестного, при которых обе части урав-
нения равны одному и тому же числу (см. § 24), и найти
эти значения.
Итак:
Решить уравнение с одним неизвестным — зна-
чит найти все те значения неизвестного, при
которых уравнение обращается в верное равенство.
Все такие значения неизвестного называются его кор-
нями или решениями.
Так, в предыдущем примере х = 4 является корнем,
или решением, уравнения
5x — 7 = 29 — 6х.
Наоборот, например, значение х = 5 не является корнем
этого уравнения.
2. Число корней уравнения. Уравнение может иметь
единственный корень.
Например, уравнение
х + 3 = 7
имеет единственный корень: х = 4.

Действительно, подставив в уравнение 4 вместо х9
получим:
4 + 3 = 7
верное равенство. Подставив же в уравнение вместо х
любое число, меньшее 4, получим в сумме с 3 число, мень-
шее 7, а подставив число, большее 4, получим в сумме
с 3 число, большее 7. Значит, число 4 является единст-
венным, которое в сумме с 3 даёт 7, то есть обращает
данное уравнение в верное равенство.
Уравнение может иметь несколько корней.
Так, уравнение
1)(х — 2) —5) =0
имеет три корня: ^x1; х2 = 2; х3 = 5.
Действительно, при х = 1 обратится в нуль первый
множитель в левой части, при х =» 2 — второй множитель,
при х «я 5 — третий. А если хотя бы один из сомножителей
равен нулю, то и всё произведение равно нулю.
Если же мы подставим в уравнение вместо х любое
другое число, то ни один из сомножителей в левой части
не обратится в нуль. Следовательно, не будет равно нулю
и их произведение.
Уравнение может совсем не иметь корней.
Возьмём, например, уравнение:
x+5=*+ 1.
Какое бы значение мы ни давали букве левая часть
этого уравнения всегда будет на 4 больше правой. Зна-
чит, нет таких значений которые обращали бы это
уравнение в верное равенство. Уравнение не имеет
корней.
Уравнение может иметь бесконечное множест-
во корней.
Пусть дано уравнение:
5 (х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.
Подставляя вместо х любое число, убедимся, что ле-
вая и правая части уравнения будут равны. Значит, лю-
бое число является корнем этого уравнения. Покажем это.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:
5* _ 15 + 2 = 3* — 12 + 2х — 1,
или
5x — 13 = 5x:— 13.
В обеих частях оказалось одно и то же выражение.
Итак, данное уравнение оказалось равенством, спрА
Ведливым при любых значениях буквы х.
Говорят, что данное уравнение удовлетворяется
тождественно.
§ 47. Равносильные уравнения.
1. Решим уравнения:
1)2*— 5 =11 и 2) 7х + 6 = 62.
Получим:
1) 2х = 16 и 2) 7* = 56,
1) * = 8 и 2) л: =8.
Оба эти уравнения имеют один и тот же единственный
корень.
Определение. Два уравнения называются равно-
сильными, если каждое из них имеет те же корни, что
и другое.
Значит, приведённые выше два уравнения являются
равносильными.
Наоборот, такие, например, уравнения:
(* — 2) (* — 5) = 0 и х — 2 = О,
неравносильны, так как первое имеет корни 2 и 5, а вто-
рое только корень 2; значит, корни у них не одни и те же.
Возьмём такие два уравнения:
*+2 = 2(* + 1)— х и 3* = 3(*— 1) + 3.
Оба уравнения удовлетворяются любыми значениями *.
Чтобы убедиться в этом, раскроем скобки в обоих урав-
нениях:
* + 2 = 2* + 2 — х и 3* = 3* —3 + 3,
или
* + 2 = х + 2 и 3x = 3*.

В обеих частях каждого уравнения стоит одно и то же
выражение, поэтому понятно, что при любых значени-
ях х правые и левые части каждого из этих уравнений
равны одному и тому же числу.
Согласно нашему определению эти уравнения тоже
будут равносильными, так как все корни любого из них
являются корнями и другого.
Наконец, если возьмём такие уравнения:
х + 2 = х + 5 и 2х + 7 = 2х,
то убедимся, что оба они не имеют корней. В самом деле,
какие бы значения ни давали х9 в первом уравнении всегда
значение правой части будет на 3 больше значения левой
и, следовательно, ни при каком значении х мы не полу-
чим верного равенства.
Точно так же при любых значениях х значение левой
части второго уравнения будет всегда на 7 больше зна-
чения правой, и никогда они не смогут оказаться равными.
Итак, оба эти уравнения не имеют ни одного корня.
Уравнения, которые не имеют корней, также счи-
таются равносильными.
Вспомним, как мы до сих пор решали уравнения.
Решим для примера уравнение
!* —7=13. (1)
Рассматривая -g- как неизвестное уменьшаемое, можем
написать:
§ = 20. (2)
Рассматривая 5x как неизвестное делимое, приходим
к уравнению
5* =160. (3)
Наконец, рассматривая х как неизвестный множитель,
приходим к уравнению
х - 32, (4)
из которого заключаем, что корнем его, а значит и всех
предыдущих уравнений, является число 32.

Таким образом, мы переходили от одного уравнения
к другому, более простому. Найдя, что уравнение (4)
имеет единственный корень 32, заключили, что этот един-
ственный корень имеют и уравнения (3), (2) и, наконец,
заданное (1). Мы, следовательно, считали, что все эти
четыре уравнения равносильны.
Но действительно ли так обстоит дело? Действитель-
но ли при всех преобразованиях, которые производились
над уравнениями, мы каждый раз получали уравнение,
равносильное предыдущему?
Выяснению этого вопроса посвящен следующий па-
раграф.
§48. Два основных свойства уравнений.
Покажем на примерах, что уравнения обладают сле-
дующими двумя важными свойствами.
Свойство 1. Если к обеим частям уравнения
прибавить одно и то же число или один и
тот же многочлен, содержащий неизвестное,
то новое уравнение будет равносильно данному.
Примеры.
1. Пусть дано уравнение:
6*+ 7 = 31.
Решив его, найдём единственный корень: х = 4.
Прибавим к обеим частям уравнения одно и то же
число 15:
6х + 22 = 46.
Решив это уравнение, найдём, что и оно имеет един-
ственный корень: х = 4.
Прибавив к обеим частям данного уравнения —7;
2-^; —4, получим уравнения:
6х = 24;
6х + 9у = 33-^;
6* + 3 = 27.
Решив их, опять получим для всех уравнений тот же
единственный корень: х = 4.

2. Пусть дано уравнение:
3x — 7 = 8.
Решив его, найдём его единственный корень: х — 5.
Прибавим к обеим частям этого уравнения одночлен
—2х, получим уравнение:
3x — 7 — 2х = 8 — 2х\
х — 7 = 8 — 2х.
Подставив в него значение х = 5, убедимся, что 5 яв-
ляется корнем и этого уравнения. На основании свойства 1
это уравнение никаких других решений иметь не может.
В самом деле, при х = 5 обе части этого уравнения равны од-
ному и тому же числу. Если дадим х значение, большее 5, то ле-
вая часть уравнения х — 7 = 8 — 2х увеличивается (так как увели-
чится уменьшаемое), а правая уменьшается (так как увеличивается
вычитаемое) и, следовательно, равенство нарушится. Если же да-
дим х значение, меньшее 5, то, наоборот, левая часть уменьшится,
а правая увеличится.
Следовательно, уравнение х — 7 = 8 — 2х равносильно уравне-
нию 3* — 7 = 8.
3. Пусть дано уравнение:
2* + 6 = 2(*-f 1) +4.
Этому уравнению удовлетворяют любые значения неизвестного
(в чём убедимся, раскрыв скобки).
Прибавив к обеим его частям числа 7, —4, получим уравнения:
2х+13 = 2(х + \)+П,
2х+ 2 = 2(*+ 1).
Эти уравнения тоже удовлетворяются любыми значениями х.
Значит, оба эти уравнения равносильны данному уравнению.
4. Возьмём уравнение:
х = х 4-3.
Это уравнение не имеет решений. Прибавив к обеим частям,
например, х2—3, получим уравнение:
х2 + х — 3 = *2 + .«.
Очевидно, что и это уравнение не имеет решения, так как при
любых значениях х правая часть будет на 3 больше левой.
Значит, и в этом случае получили уравнение, равносильное
данному.
Свойство 2. Если обе части уравнения умно-
жить на одно и то же не равное нулю число,
то новое уравнение будет равносильно данному.

Примеры.
1. Возьмём, например, уравнение:
3x — 5= 13.
Оно имеет единственный корень: х = 6.
Умножим обе части его на 4:
12x: — 20 = 52.
Решив его, найдем, что и оно имеет единственный ко-
рень: х = 6. Значит, оба уравнения равносильны.
Умножив обе части данного уравнения на —2; на 5;
на , получим уравнения:
_6* +10 = —26;
15* — 25 = 65;
_ _5 13
х з ~~ з •
Решив их, найдём для каждого единственный корень:
* = 6. Значит, все они равносильны данному уравнению.
2. Возьмём уравнение:
2* + 6 = 2(*+ 1) + 4.
Мы уже знаем, что этому уравнению удовлетворяют любые зна-
чения неизвестного. Умножив обе его части на 3; —2; ~ , получим
уравнения:
6x+ 18 = 6(х -f 1) + 12;
—4х— 12 = —4 (х + 1) — 8;
* + 3 = (JC + 1) + 2.
Легко убедиться, раскрыв в правой части скобки, что каждому
из этих уравнений удовлетворяет любое значение неизвестного.
Значит, они равносильны данному уравнению.
3. Взяв, наконец, уравнение
2х + 7 = 2х + 9,
не имеющее решений, умножим обе части его, например, на числа
Получим уравнения:
—6x: —21 = — 6* — 27;
7 9
* + "2 =*+ Т "
Легко видеть, что оба эти уравнения тоже не имеют решений
и, следовательно, равносильны данному уравнению.

Пользуясь этими двумя свойствами, мы можем теперь
все уравнения, которые решали раньше, решать, уже не
ссылаясь на зависимость между данными и результатами
арифметических действий.
Решим, например, уравнение:
^-7=13. (1)
Прибавим к обеим частям уравнения по 7. На основании
первого свойства полученное уравнение
j = 20 (2)
равносильно данному.
Умножим обе части этого уравнения на 8. На осно-
вании второго свойства полученное уравнение
5x = 160
равносильно (2), а следовательно, и данному.
Разделив обе части этого уравнения на 5 (или умно-
жив на-jl-j, получим уравнение
л: = 32,
равносильное данному.
§ 49. Уравнения, содержащие неизвестное
в обеих частях.
До этого мы решали уравнения, в которых неизвест-
ное входило в одну часть уравнения. Но могут быть
уравнения, которые содержат неизвестное в обеих частях,
например:
3x — 17= 18 — 2х.
Мы сумеем решить уравнение такого вида, если смо-
жем преобразовать его так, чтобы члены, содержащие
неизвестное, оказались только в одной части уравнения
(то есть приведём уравнение к такому виду, который мы
уже умеем решать).
Воспользовавшись первым свойством уравнения, мы
легко решим уравнение
3x— 17= 18 — 2*.

Прибавив к обеим частям этого уравнения по 2x, по-
лучим уравнение, равносильное данному:
3x — 17 + 2х = 18 — 2х + 2х,
или после упрощения:
5x— 17= 18.
Но это уравнение мы решать уже умеем, получим:
5x = 35, А* = 7.
Подставив х = 7 в данное уравнение, получим:
37— 17 = 4, 18 — 2.7 = 4,
4 = 4.
Корень найден верно.
Выведем некоторые следствия из первого свойства
уравнений.
Возьмём уравнение:
2x: — 5 + 4х = 17 + 4х.
В обеих частях этого уравнения есть один и тот же
член 4x. Очевидно, если мы прибавим к обеим его час-
тям по —4х (или, что то же, вычтем 4x;), то эти члены
в обеих частях уравнения сократятся и мы сразу полу-
чим уравнение 2х — 5= 17, равносильное данному.
Если в обеих частях уравнения имеются
одинаковые члены, то их можно опустить.
Возьмём уравнение:
Зx; + 11 =26 —2x:.
Чтобы сгруппировать в левой части члены, содержа-
щие неизвестное, нужно к обеим частям уравнения при-
бавить по 2x:, а чтобы сгруппировать в правой части сво-
бодные члены, надо к обеим частям прибавить по —11.
Получим:
Зx: + 11 + 2x: — 11 = 26 — 2х + 2x: — 11,
или
Зx: + 2x: = 26—11.
Сравнивая это уравнение с данным, видим, что член
—2x оказался в левой части, а 11 — в правой, но оба

при этом изменили знак на противоположный. Отсюда
правило:
Любой член уравнения можно перенести из
одной части уравнения в другую, переменив его
знак на противоположный.
Пример.
7х — 11 — 2х + 4 = 3x + 18 + х — 2.
Перенесём все члены, содержащие неизвестное, в ле-
вую часть, а все свободные члены — в правую, переме-
нив у каждого из них знак на противоположный. Полу-
чим:
7х — 2х — 3x — 18 — 2+ И— 4,
или
* = 23.
§ 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным.
Уравнением первой степени с одним неизвестным
называется уравнение вида
ax + b = 0, (1)
где х—неизвестное число, а (коэффициент при неиз-
вестном)— любое данное число, не равное нулю,
Ь (свободный член) — любое данное число.
Уравнение (1) называется уравнением первой степени,
потому что его левая часть есть многочлен первой сте-
пени относительно неизвестного х.
Примеры уравнений первой степени с одним неизвест-
ным:
3x—17 = 0; 0,5* +8 = 0; у — |-= 0 и т. д.
Многие уравнения после некоторых преобразований
приводятся к уравнению первой степени с одним неиз-
вестным.
Приведём пример.
3(х- 1) , х-4 _ 10 (х+ 1)
2 з — 2 '
Умножив обе части уравнения на 6, по сокращении
получим:
9 (х — 1) + 2 (х — 4) = 72 — 3 (х + 1).

Раскроем скобки:
9х — 9 + 2х — 8 = 72 — 3x — 3.
Перенесём все члены из правой части в левую (с про-
тивоположными знаками) и приведём подобные члены.
Получим:
Их — 86 = 0.
На основании первого и второго свойств уравнений
полученное уравнение 14x: — 86 = 0 равносильно данному.
Оба они имеют корень х = у .
В общем случае уравнение первой степени с одним
неизвестным имеет единственный корень.
В самом деле, перенеся в уравнении
ах + Ъ = 0
Ъ в правую часть, получим уравнение, равносильное дан-
ному:
ах = —Ь.
Разделив теперь обе части уравнения на не равное
нулю число а, получим единственное значение для х,
а именно:
а
§ 51. Общие указания к решению уравнений.
Во многих случаях решение уравнения сводится
к тому, что мы данное уравнение заменяем другим, ему
равносильным, но более простым, это другое заменяем
третьим и так продолжаем до тех пор, пока не получим
самое простое уравнение вида х = а, которое прямо ука-
зывает, что неизвестное должно быть равно числу а.
Следовательно, х = а должно быть корнем и всех пре-
дыдущих равносильных ему уравнений, в том числе и
данного.
Возьмём несколько уравнений и проследим, какие
преобразования приходится над ними производить, чтобы
прийти к простейшему уравнению.

Решим уравнение:
*-4 . 2(х+\) _ 5(^-3) 9 11x + 43
—3— -i 5 1 — 2 h 2x б '
1) Сделаем коэффициенты всех членов целыми числами.
Для этого умножим каждый член уравнения на 12. Про-
изведя сокращения, получим:
4(л:_4) 4- 6(* + 1)— 12 = 30(JC — 3) +
+ 24* —2(11* + 43).
2) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестное и
свободные члены, раскроем скобки:
4Х — 16 + 6* + 6 — 12 = 30* — 90 + 24* — 22* — 86.
3) Сгруппируем теперь в одной части члены, содер-
жащие неизвестное, в другой — свободные члены.
4) Упростим уравнение, приведя подобные члены:
154 = 22*.
5) Разделим обе его части на 22. Получим:
* = 7.
Корнем этого уравнения, а следовательно и всех пре-
дыдущих, является 7.
Предлагаем учащимся проверить корень, подставив
в каждое из полученных уравнений * = 7, и убедиться;
что 7 является корнем всех этих уравнений.
Из рассмотренного примера видно, что к решению
уравнения первой степени можно дать такие указания:
1. Привести уравнение к уравнению с целыми коэф-
фициентами.
2. Раскрыть скобки.
3. Сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в
одной части уравнения, а свободные члены — в другой.
4. Привести подобные члены.
5. Если коэффициент при неизвестном не нуль, то
разделить на него обе части уравнения.
Но эти указания ни в коей мере не будут являться
обязательными для всякого уравнения.

Во-первых, при решении многих более простых
уравнений приходится начинать не с первого, а со вто-
рого, третьего и даже сразу с пятого этапа.
Во-вторых, при решении некоторые промежуточные
этапы могут оказаться ненужными.
Пример.
Х_ J_ X , 1
3 — 2 — Т + У *
Умножив обе части уравнения на 12, получим уравнение
с целыми коэффициентами:
Ах — 6 = 5x + 4
и сразу переходим к третьему этапу:
Ах — 5x = 4 + 6.
Откуда х = 10.
Раскрывать скобки здесь не пришлось.
В-третьих (и это главное), иногда бывает выгоднее
нарушить указанный порядок, если уравнение решается
проще и короче.
Примеры.
1. 7(х — 3) = 56.
Здесь следует, не раскрывая скобок, сначала разде-
лить обе части на 7:
Л: — 3 = 8; *= 11.
Уравнение решается в два действия.
Решение по схеме потребовало бы четырёх действий
(два умножения, сложение и деление).
2. L7* + 3 = 87.
Здесь выгоднее сразу начать с третьего этапа, так
как видно, что после приведения подобных членов коэф-
фициент при х будет целым.
Ещё лучше одновременно выполнить третий и четвёр-
тый этапы, то есть вычесть в уме у из у и 3 из 87,
и сразу записать:
7x: = 84; х=12.

§ 52. Решение задач с помощью уравнений.
Вспомним, в каком порядке мы до сих пор решали
задачи с помощью уравнений.
1. Обозначали буквой (обычно буквой х) неизвестное
число, определить которое требуется вопросом задачи.
2. С помощью этой буквы и данных в задаче чисел
выражали другие неизвестные числа, о которых говорит-
ся в задаче.
3. Составляли выражение, которое было бы равно
одному из чисел, данных в задаче.
4. Приравнивали полученное выражение этому числу.
Получали уравнение.
5. Решали уравнение и получали ответ на вопрос
задачи.
6. Если задача требовала найти не одно, а несколько
чисел, то, узнав одно из них, находили и остальные.
Покажем все эти этапы на решении таких задач.
Задача 1. Длина Днепра и Дона вместе равна
4255 км. Днепр длиннее Дона «а 315 км. Какова длина
Днепра и Дона в отдельности?
1) В задаче требуется узнать два числа: длину Днеп-
ра и длину Дона. Обозначим через х любое из них, на-
пример длину Дона. Запишем это:
длина Дона х километров.
2) Другое неизвестное число — длина Днепра. Но в
задаче сказано, что Днепр длиннее Дона на 315/км. Зна-
чит, чтобы выразить длину Днепра, достаточно к длине
Дона прибавить 315 км. Запишем:
длина Днепра (# + 315) километров.
3) В задаче имеется ещё одно данное — общая длина
Днепра и Дона. Но мы можем выразить эту общую
длину и другим способом, сложив уже выраженные че-
рез х длины Дона и Днепра.
Запишем:
длина Дона и Днепра вместе # + (л: + 315) километ-
ров.
4) Так как эта общая длина Днепра и Дона по
условию задачи равна 4255 км, то составляем уравнение:
х + (х + 315) = 4255.

5) Решив уравнение, найдём: * = 1970.
Итак, длина Дона равна 1970 км.
6) В задаче требуется найти ещё длину Днепра. Но
она у нас уже записана во втором пункте. Подставив
1970 вместо х, получим:
длина Днепра равна 1970 + 315 = 2285 (км).
Задача 2. Для детского сада купили 16 больших
и малых мячей, всего на 24,4 руб. Большой мяч стоил
2,5 руб., малый 1,2 руб. Сколько было куплено тех и дру-
гих мячей в отдельности?
Решение проведём в таком порядке.
1) Больших мячей куплено х штук.
2) Малых мячей куплено (16 — *) штук.
3) Все большие мячи стоили 2,5* рублей.
4) Все малые мячи стоили 1,2(16 — х) рублей.
5) Все большие и малые мячи вместе стоили
2,5* + 1,2(16 — *) рублей.
По условию:
2,5*+ 1,2(16 —*) = 24,4.
6) Решив уравнение, найдём: * = 4.
7) Малых мячей куплено 16 — 4= 12 (шт.).
При решении этой задачи для каждого сорта мячей
имелись три зависящие друг от друга величины: число
мячей, стоимость одного мяча и стоимость всех мячей.
Эта зависимость становится более ясной, а отсюда и со-
ставление уравнения будет более лёгким, если весь ход
решения записать не по отдельным пунктам, как сделано
выше, а в виде таблицы.
Составим такую таблицу:
Число Цена одного Стоимость
мячей мяча всех мячей
1. Большие мячи
2 Малые мячи
Заполним клетки этой таблицы в таком порядке:
1) записываем в третьем столбце известные цены одного

мяча; 2) записываем буквой х во втором столбце число
больших или малых мячей; тогда число других мячей
запишется через 16 — х\ 3) заполняем четвёртый столбец,
умножая цену мяча на их число.
Вся таблица заполнена. Остаётся сложить выражения
в четвёртом столбце и сумму приравнять 24,4. Получим
уравнение.
Всё решение представится в виде такой записи:
Число мячей Цена одного
мяча
Стоимость
мячей
всех
1. Большие мячи . . .
X
2,5
2,5*
2. Малые мячи ....
16 — JC
1,2
1,2(16 — х)
По условию:
2,5* + 1,2(16 — *) = 24,4.
Предлагается решить эту задачу с помощью составле-
ния таблицы, обозначив через х число малых мячей.
Задача 3. На первом складе было 2300 м3 дров, на
втором 2800 м3. Со второго склада взяли впятеро больше
дров, чем с первого, и тогда на обоих складах дров стало
поровну. Сколько дров взяли с каждого склада?
Так как в задаче сказано, что дров на обоих складах
осталось поровну, то выразим с помощью х остаток дров
на каждом складе и приравняем эти остатки.
Решение будет иметь такой вид.
1) С первого склада взяли х м3.
2) Осталось на первом складе (2300 — х) м3.
3) Со второго склада взяли 5x м3.
4) Осталось на втором складе (2800 — 5x) м3.
5) По условию:
2300 — х == 2800 — 5x.
6) Решаем уравнение:
4* = 500; х = 125.
7) С первого склада взято 125 м3.
Со второго склада взято 125 • 5 = 625 (м3).

8) Проверка. 2300— 125 = 2175, 2800 — 625 = 2175.
Для составления уравнения и здесь очень удобно
представить ход решения в виде таблицы:
Было
Взяли
Осталось
2300
X
2300 — х
2800
5x
2800 — 5*
Но условию:
2300 — х = 2800 — 5*.
§ 53. Краткие исторические сведения.
(Из истории уравнений.)
Ещё в глубокой древности в математических сочинениях встре-
чались уравнения, а также задачи, решаемые с помощью уравнений.
Так, в египетском папирусе около 2000 лет до нашей эры (при-
чём, как указывает в нём автор, писец Ахмес, это математическое
сочинение является копией с другого, более древнего сочинения)
имеются задачи на отыскание неизвестного числа. Это неизвестное
называлось «хау» (куча) и обозначалось особым иероглифом.
Вот примеры задач из этого папируса.
1) «Неизвестное, его седьмая часть, его целое составляет 19».
В современном виде задача запишется так:
+ 19.
2 I
2) «-^- сложено и ~ отнята; остаток 10».
о о
Судя по приведённому в папирусе решению, задачу следует
понимать так: к неизвестному прибавлено ~ его и отнята ~ по-
о о
лученной суммы; остаток 10; найти число.
Задача в современном виде запишется так:
*+f *-т(*+1*)=10-
Ответ, х = 9.
У Диофанта (III век, см. § 27) также встречаются урав-
нения с одним неизвестным, например:
«Числа 20 и 100. Нужно одно и то же число прибавить к мень-
шему и вычесть из большего; отношение суммы к разности равно 4».

Задача приводит к уравнению:
100 —х
В индийской рукописной арифметике VII или VIII века нашей
эры, являющейся копией с более древней рукописи (III—IV века),
имеется такая задача:
«Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого,
третий втрое больше второго, четвёртый вчетверо больше третьего,
а все вместе дали 132.
Сколько дал первый?»
Получаем уравнение:
х + 2х + 6х + 24х = 132.
В рукописи задача решается способом «ложного положения».
(Этим способом пользовался и Л. Ф. Магницкий в своей
«Арифметике».)
«Если бы первый дал 1, то второй дал бы 2, третий 6, четвёр-
тый 24, а все вместе 33. Но всего было дано 132, то есть вчетверо
больше. Значит, и каждый из жертвователей дал вчетверо больше».
Ответ. 4; 8; 24; 96.
Но общее правило для решения уравнений первой степени с
одним неизвестным дал в IX веке Мухаммед аль-Хорезми.
В своём сочинении «Аль-джебр и аль-мукабала» он даёт два
приёма, применяемых при решении уравнений.
Приём «аль-джебр» заключается в том, что если имеются в
уравнении отрицательные (вычитаемые) члены, то их следует при-
бавить к обеим частям уравнения, и тогда все члены будут поло-
жительными.
Приём «аль-мукабала» заключается в вычитании из обеих час-
тей уравнения одинаковых членов, что приводит к его упрощению.
Пусть, например, дано уравнение:
5x— 17 = 2А: — 5.
Применяем «аль-джебр»: прибавляем к каждой части уравнения
5 и 17.
Получим:
5* + 5 = 2х+17.
Применяем «аль-мукабала»; вычитаем из каждой части 2л: и 5.
Получим:
5x «= 12.
Отсюда легко находится х.
Появление этого замечательного сочинения аль-Хорезми можно
считать началом выделения алгебры как самостоятельной, отдельной
отрасли математики.
Самое название «алгебра» взято из заглавия этого сочинения
(«Аль-джебр»),

ГЛАВА ПЯТАЯ.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ.
§ 54. Понятие о разложении на множители.
Пусть требуется найти числовую величину выражения
AB + ас — ad
при
а = 37, Ь = 26, с = 17 и d = 23.
Подставив заданные значения букв, найдём:
37 - 26 + 37 . 17 — 37 • 23 = 962 + 629 — 851 =740.
Но можно найти числовую величину этого выражения
гораздо быстрее и легче, если преобразовать его.
На основании распределительного закона можем за-
писать:
AB + ас — ad = а (Ь + с — d).
Найдём числовую величину полученного выражения,
тождественного данному:
37 • (26 + 17 — 23) = 37 . 20 = 740.
Все вычисления легко производятся в уме.
Итак, в этом случае оказалось выгодным данное вы-
ражение (алгебраическую сумму) представить в виде
произведения двух сомножителей — одночлена и много-
члена.
Разложить многочлен на множители — значит тож-
дественно преобразовать его в произведение двух или
нескольких сомножителей — многочленов.
В частности, некоторые из сомножителей могут ока-
заться одночленами.

Разложение на множители алгебраических выражений
во многом сходно с разложением целых чисел на простые
множители в арифметике. Там мы прибегали к разло-
жению на множители, когда нужно было сократить дробь
или привести несколько дробей к общему знаменателю
(при сложении и вычитании дробей).
Такое же применение имеет в алгебре разложение на
множители алгебраических выражений. В следующей главе
излагаются алгебраические дроби и действия с ними.
Сокращение дробей, нахождение наиболее простого об-
щего знаменателя при сложении и вычитании дробей зна-
чительно облегчают тождественные преобразования и
вычисления. А для этого требуется предварительно пред-
ставить (когда это возможно) числитель и знаменатель в
виде произведения, то есть разложить их на множители.
Но в алгебре разложение на множители применяется
не только при действиях с дробями.
Выше уже приведён пример того, как разложение на
множители облегчило нахождение числовой величины
алгебраического выражения.
Разложение на множители применяется также при
решении некоторых уравнений и в других разделах
алгебры.
Приведём наиболее употребительные и наиболее про-
стые приёмы разложения многочленов на множители.
§ 55. Вынесение за скобки общего множителя.
Пример 1. Пусть дан многочлен:
6а2 — 8аЬ + 4а.
Легко видеть, что все его члены имеют общим множителем
2а, так что можно это выражение записать в таком виде:
2а • За — 2а . 46 + 2а • 2.
Применив распределительный закон, получим:
6а2 — 8ав + 4а = 2а - (За — 46 + 2).
Таким образом, данный многочлен мы представили в
виде произведения одночлена и многочлена.

Из этого примера видно, что для разложения много-
члена на множители путём вынесения за скобки общего мно-
жителя следует:
1) определить этот общий множитель,
2) разделить на него данный многочлен,
3) записать произведение общего множителя и получен-
ного частного (заключив это частное в скобки).
Покажем на примере, как это обычно делается.
Пример 2. Разложить на множители многочлен:
12JC V — 18*3£/2 + 24л:2yz3.
1) Заметим, что число 6 является общим делителем
коэффициентов всех членов данного многочлена.
2) Берём первую букву первого члена * и смотрим,
в какой степени она входит во все члены. Наименьший
показатель * равен двум (в третьем члене). Отсюда сле-
дует, что все члены многочлена делятся на *2, то есть
х2 является их общим делителем.
3) Находим, что вторая буква первого члена у долж-
на быть взята в первой степени. (Букву z не рассматри-
ваем, так как уже в первом члене она отсутствует.)
Таким образом, общим делителем всех членов много-
члена является одночлен 6х2у.
Остаётся найти частное от деления данного многочлена
на этот одночлен.
Получим:
12* V — 18*302 + 24х2 yz3 = 6х2у (2х2у — Зху + 4г3).
Это и есть окончательный результат.
Пример 3. Разложить на множители многочлен:
10а36 — 8а263 + 2а.
Здесь сразу видно, что общим множителем может быть
лишь 2а, так как на 2 и на а делятся все члены; с другой
стороны, последний член 2а никакого другого множите-
ля не имеет. Поступив, как в предыдущем примере,
получим:
10а36 — 8а263 + 2а = 2а (5а26 — 4а63 + 1).
Иногда алгебраическое выражение представляет со-
бой алгебраическую сумму двух или нескольких слагае-

мых, причём все они имеют один и тот же многочленный
множитель. Тогда он выносится за скобки так же, как и
отдельная буква.
Пример 4. Разложить на множители:
5*3 (а — Ь) — 4х2у (а — Ь) + 7ху2 (а — Ь).
Общий множитель будет х(а — Ь).
Получим:
5*3 (а — Ь) — 4х2у (а — Ь) + 7ху2 (а — Ь) =»
«= х (а — Ь) (Ъх2 ~ 4ху + 7у2).
§ 56. Способ группировки.
Пример 1. Разложить на множители выражение:
с(а — b) + d(a — b). (1)
Вынося общий множитель а — 6, получим:
(a-b)(c + d). (2)
Между тем, если бы выражение (1) было дано в виде
ас — bcArad — bd, (3)
то, пытаясь применить изложенный в § 55 способ разло-
жения, мы оказались бы в затруднении, так как все члены
общего множителя не имеют. Только разбив члены на
две группы
(ас — be) + (ad — bd)
и вынеся в первой группе общий множитель с, а во вто-
рой общий множитель d
с (а — b) + d (а — 6),
получим выражение (1), в котором ясно виден общий
множитель а — Ь.
Заметим, что в выражении (3) мы могли бы сгруппи-
ровать члены и так:
(ас + ad) — (be + bd).
По вынесении общих множителей в каждой группе
получим:
a(c + d) — b(c + d).

Здесь общим множителем является с + d. Вынося его,
получим:
(c + d)(a-b).
Это выражение отличается от (2) только порядком
множителей.
Такой способ разложения на множители называется
способом группировки. Приведём ещё примеры разло-
жения на множители этим способом.
Пример 2. 2ас + 36 — be — 6а.
Общего множителя все члены данного многочлена не
имеют. Следовательно, первый способ неприменим. По-
пробуем применить способ группировки. Если сгруппируем
члены по два в том порядке, как они написаны, то
получим:
(2ас + 36) — (be + 6а).
Оказалось, что в обеих группах нет общих множите-
лей, а потому и общего двухчленного множителя мы не
получим. Проба оказалась неудачной. Попробуем сгруп-
пировать члены по-другому, именно первый с третьим
и второй с четвёртым:
(2ас — 6с)+ (36 — 6а).
По вынесении за скобки общих множителей получим:
с (2а —6)+ 3(6 —2а).
Как видим, двучлены 2а—6 и 6 — 2а отличаются
только знаками. Чтобы сделать их одинаковыми, доста-
точно переменить знаки у каждого члена во второй скоб-
ке, а чтобы результат не изменился, надо переменить
одновременно знак перед скобкой. Получим:
с (2а — 6)— 3(2а — 6).
Теперь легко находим, что данное выражение равно
(2а— 6) (с — 3).
Если сгруппировать первый член с четвёртым, а вто-
рой с третьим, то получим:
(2ас — 6а) + (36 — be) = 2а (с — 3) + 6 (3 — с) =
= 2а(с — 3) — Ь(с — 3) = (с — 3) (2а — 6),
то есть то же, что и раньше.

При некотором навыке можно избежать перемены
знака во второй скобке, ставя сразу перед скобкой знак
минус. Именно, заметив, что в первой группе первым
членом в скобке будет с, члены второй группы распола-
гают так, чтобы первым членом был также член, содер-
жащий с. Тогда порядок преобразований был бы такой:
(2ас — 6а) — (be — 36) = 2а (с — 3) — Ь (с — 3) =
= (с — 3) (2а —Ь)
Пример 3. Разложить на множители:
AB — а — b + 1.
Учитывая сделанное выше замечание, сразу запишем;
(AB — a) — (b—\) = a(b — \) — (b — \) = (b—\)(a —1).
§ 57. Применение формул сокращённого умножения.
Иногда многочлен удаётся разложить на множители,
применив одну из формул сокращённого умножения (§ 41).
Запишем третью из формул § 41 в обратном порядке:
a* —&2 = (a + ft) (а — Ь).
В левой части этого равенства двучлен, в правой же
он представлен в виде произведения, то есть разложен на
множители.
Значит, разность квадратов двух чисел можно предстА-
Вить в виде произведения суммы этих чисел на их раз-
ность.
Пример: 16а462 — 9х* = (4а2Ь + Зх3) (4a2b — З*3).
Возьмём теперь формулу:
a2 + 2ав + b2 = (a + b)2.
Значит, если данный трёхчлен представляет собой
сумму двух квадратов, сложенную с удвоенным произведе-
нием их оснований, то его можно представить в виде
квадрата суммы (то есть в виде произведения двух оди-
наковых множителей).
Примеры.
1. х2+ 12x + 36 = (x + 6)2.
2. 4a2b2 + 20авc2 + 25с4 = (2ав + 5с2)2.

Точно так же применяется формула:
a2~2ab + b2=*(a-b)2.
Примеры.
1. 16m2 — 8m + 1 = (4m—1)а.
2. Вычислить выражение:
а2 — 14а + 49 при а = 47.
Вычисление выполняется в уме, если выражение раз-
ложить на множители:
а2— 14а + 49 = (а — 7)2.
Подставив в правую часть а 47, сразу получаем:
(47 — 7)2 = 40а= 1600.
Так же применяются формулы:
а3 + За2Ь + 3ab2 + b* = (a + Ь)3.
а3 — За2Ь + 3ab2 — Ь3 = (а — Ь)3.
Пример.
Вычислить выражение
а = х3 + 9a:2 + 27* + 27 при * = 17.
Разложив данный многочлен на множители, получим:
*з + 9X2 + 27* + 27 = (* + З)3.
Подставив * = 17, найдём: а = 203 = 8000.
Кроме перечисленных выше формул сокращённого
умножения, применяется ещё формула, позволяющая раз-
ложить на множители сумму (или разность) кубов двух
чисел.
Рассмотрим трёхчлен а2 — AB + б2, который называется
неполным квадратом разности чисел а и ft. Умно-
жим его на а + Ь:
а2 — AB + Ь2
X и
а + b
а3 — a2b + ab2
+ +a2b — ab2 + b3
а3 +Ь3

Отсюда имеем:
(а + ft) (а2 — аЬ + ft2) = а3 + &3. (1)
Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат
их разности равно сумме кубов этих чисел.
Эту формулу можно читать справа налево так:
Сумма кубов двух чисел равна сумме этих чисел, умно-
женной на неполный квадрат их разности:
а3 + б3 = (а + ft) (а2 — AB + ft2). (2)
Это и есть формула разложения на множители суммы
кубов двух чисел.
Умножим трёхчлен а2 + аЬ + Ь2, который называется
неполным квадратом суммы чисел а и Ь, на а — Ь:
a2 + AB + Ь2
Х а — Ь
а3 + а26 + аб2
+ —а*Ъ — аЪ2 — Ъ3
а3 —Ь3
Отсюда имеем:
(а — Ъ) (а2 + а& + Ь2) = а3 — Ъ*. (3)
Эту формулу можно читать и справа налево:
а3 — Ъ3 = (а — ft) (а2 + аЬ + ft2). (4)
Формулы (3) и (4) читаются так:
Произведение разности двух чисел на неполный квадрат
их суммы равно разности кубов этих чисел.
Разность кубов двух чисел равна разности этих чисел,
умноженной на неполный квадрат их суммы.
Примеры.
1. 27а363 + 8с3 = (За& + 2с) (9a2b2 — 6авc + 4с2).
2. 64аб&3 — 1 = (4а2Ь — 1)(16а462 + 4a2b + 1).
§ 58. Применение нескольких способов.
При разложении на множители заданного выражения
прежде всего следует посмотреть, не имеют ли все его слагае-
мые общего множителя. Вынесение за скобки всех общих

множителей является операцией, которую надо выполнить
в первую очередь.
После этого следует рассмотреть многочлен, заклю-
чённый в скобках. Может случиться, что он в свою оче-
редь допускает разложение каким-либо из способов, рас-
смотренных в § 56 и 57.
В таком случае это разложение и нужно выполнить.
Задача. Доказать, что разность между кубом лю-
бого целого числа и самим числом всегда делится на 6.
Обозначим произвольное целое число через п.
Надо доказать, что значение выражения п3— п при
любом целом значении п делится на 6.
Разложим полученное выражение на множители. Преж-
де всего вынесем за скобку общий множитель п. Получим:
п3 — п = п(п2 — 1).
Видим, что выражение в скобках является разностью
квадратов. Применив формулу, получим:
п3 — п = п(п — 1) (п + 1).
Расположим числа в порядке возрастания:
п3 — п = (п — 1) п (п + 1).
Это равенство показывает, что выражение п3 — п пред-
ставляет собой произведение трёх последовательных це-
лых чисел. Но из трёх последовательных чисел одно
непременно делится на 3 и по крайней мере одно делится
на 2. Значит, п3 — п делится на 2 и на 3. Из арифме-
тики мы знаем, что в таком случае оно делится и на 6.
§ 59. Деление многочленов при помощи разложения
на множители.
В арифметике выполнение действия деления можно
упростить, если делимое и делитель разложены на мно-
жители. Пусть, например, требуется разделить число
2772 на 28. Разложив (способами, известными из ариф-
метики) число 2772 на множители, получим:
2772 = 22.За-7. 11.

Зная, что 28 = 22 • 7, мы можем выделить в делимом
сомножитель, равный делителю:
2772 = (22 • 7) • (З2 • 11).
Отсюда без труда находится искомое частное (как
произведение оставшихся множителей):
2772 _ (22. 7). (3*. 11) о2 || QQ
28 ~ 22 • 7 о • 11 = 99.
Сказанное можно применить и к делению многочле-
нов. Если, разложив на множители данные многочлены,
можно в многочлене-делимом выделить сомножитель, рав-
ный делителю, то деление выполняется нацело и частное
равно произведению оставшихся множителей.
Приведём пример. Выполнить деление:
х'° — ахх
х2 -f- ах
Разложим делимое на множители:
хь — CL^X = х (х* — а4) = х {х2 — а2) (х2 + а2) =
=я- (х — а)(х + а) (х2 + а2).
Разложим на множители делитель:
х2 + ах = х(х + а).
Мы видим, что первый и третий множители делимого
дают (в произведении) делитель.
Значит, частное есть целое выражение:
*5-"4* _ [х(х + а)\ (х-а)(х* + а*) _ . 2 2
х* + ах ~ xjx + a) (X — а) (X + а) -
= х3 — ах2 + а2х — а3.
Из формул сокращённого умножения вытекают сле-
дующие формулы деления, которые полезно запомнить:
= а + о.
а — Ь 1
Разность квадратов двух чисел, делённая на разность
оснований, равна сумме этих чисел.
—г-7- = а — о.
a+b-о

ГЛАВА ШЕСТАЯ.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ.
§ 60. Понятие об алгебраической дроби.
1. Определение алгебраической дроби. В § 42 было
сказано, что если деление многочленов нельзя выполнить
нацело, то частное записывается в виде дробного выраже-
ния, в котором делимое является числителем, а дели-
тель — знаменателем.
Примеры дробных выражений:
а_ . а*-Ь . 3(х + у)-Ь . (а + с)» - (а - с)»
26 ' 26 — с • &/5 1 х* + xy + у* Т* А*
Числитель и знаменатель дробного выражения и сами
выражения могут быть дробными, например:
а + b , Ь
с 1 с
5a2* • а '
Т~е
Из дробных алгебраических выражений наиболее часто
приходится иметь дело с такими, в которых числитель и
знаменатель являются многочленами (в частности, и од-
ночленами). Каждое такое выражение называется алгеб-
раической дробью.
Определение. Алгебраическое выражение, пред-
ставляющее собой дробь, числитель и знаменатель кото-
рой — многочлены, называется алгебраической дробью.
Как и в арифметике, числитель и знаменатель алгеб-
раической дроби называются членами дроби.

В дальнейшем, изучив действия над алгебраическими
дробями, мы сможем всякое дробное выражение при по-
мощи тождественных преобразований преобразовать в
алгебраическую дробь.
Примеры алгебраических дробей:
2x — 5 д* —ab» + 36« 12 2_
х* + х+1* аз _ за262 abг > х2+ 1 • а-
Заметим, что целое выражение, то есть многочлен,
можно записать в виде дроби, для этого достаточно за-
писать в числителе данное выражение, а в знаменателе 1.
Например,
2. Допустимые значения букв. Буквы, входящие толь-
ко в числитель, могут принимать любые значения (если
не введены какие-либо дополнительные ограничения
условием задачи).
Для букв же, входящих в знаменатель, допусти-
мыми являются только те значения, которые не обра-
щают в нуль знаменатель. Поэтому в дальнейшем всегда
будем считать, что знаменатель алгебраической дроби
не равен нулю.
3. Значение дроби. Надо различать алгебраическую
дробь от её значения. Значение алгебраической дроби
может быть как целым, так и дробным числом, положи-
тельным, отрицательным, нулём. Например, значение
дроби ~
при а = 6, 6 = 3 равно 2;
при а = —5, 6 = 2 равно —|-;
при а = 0, 6 = 5 равно 0.
§ 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей.
Дробь, у которой числитель и знаменатель являются
любыми рациональными числами (при условии, что зна-
менатель не равен нулю), обладает следующим основ-
ным свойством.

Значение дроби не изменится, если числи-
тель и знаменатель умножить на одно и то же
не равное нулю число:
а ат
Ь
где т может быть любым числом — целым и дробным,
положительным и отрицательным, но не равным нулю.
Для алгебраической дроби основное свойство форми-
руется так:
Если числитель и знаменатель алгебраиче-
ской дроби умножить на один и тот же мно-
гочлен, то получится дробь, тождественно
равная данной.
Поясним это следующим примером. Рассмотрим дробь
Умножим её числитель и знаменатель на двучлен х— 2,
тогда получим следующую дробь:
(х + 2) (*-2) 0
(х — 3) (х — 2) * W
Мы считаем допустимым лишь те значения х9 при
которых знаменатель данной дроби (1), а также много-
член, на который умножают её числитель и знаменатель,
не равны нулю. Но от умножения числителя и знамена-
теля дроби (1) на число, не равное нулю, её значения
не меняются. Итак, при любых допустимых значениях х
дроби (1) и (2) имеют одно и то же значение, то есть
эти дроби тождественны:
х + 2 (х + 2) (х — 2)
х — 3 ~~ (* — 3)(ж — 2) '
Или, выполнив умножение в числителе и знаменателе
второй дроби, получим:
х + 2 _ х2 — 4
х — 3 """" х* — 5x + 6 '
Примечание. В нашем примере допустимыми являются все
значения х> кроме чисел 2 и 3: при х = 3 обращается в нуль зна-
менатель данной дроби (1), а при х = 2 обращается в нуль множи-
тель, на который умножаются её числитель и знаменатель.

Сокращение дробей. Перепишем последнее равенство
в обратном порядке, переставив между собой его прА
Вую и левую части:
х* — 4 х + 2
х2 — 5x:+ 6 ~" х — 3 *
х2 4
Мы преобразовали дробь x2__^x_^q в более простую
дробь о , разделив числитель и знаменатель на
общий множитель х— 2.
Если числитель и знаменатель алгебраической дроби
разделить на один и тот же многочлен, то получится
дробь, тождественно равная данной.
Этим свойством пользуются для упрощения дроби:
если числитель и знаменатель дроби имеют общий мно-
житель, то, разделив на него числитель и знаменатель,
приведём дробь к более простому виду.
Такое преобразование называется сокращени-
ем дроби.
Примеры.
5а ^ а б*2 __ 5x # \Sa*b*c За» в
106 26 ; 2ху ~~ у ' 12ab4с а 26 •
6а (р — q) ^ За t 5а2 (а2 — аб + б2) 5а
4n(p—q) 2/i; баб (а2 — AB + Ь*) в 66 е
Чтобы сократить алгебраическую дробь, надо пред-
варительно разложить числитель и знаменатель на мно-
жители (если это возможно) и после этого произвести
возможные сокращения.
Пример.
а2 — 5а6 а (а — 56) J_
а26 — 5аb2 = аб (а — 56) в 6 "
§ 62. Перемена знака у членов дроби.
Из основного свойства дроби вытекает, что величина
дроби не изменится, если её числитель и знаменатель
умножить на —1, например:
6 _ —6 _ 12_ z± ±_ _ii
Т —4 2 ' 4 в — 4 ~ 2 '

Но умножение любого числа на —1 только меняет
его знак на противоположный. Итак:
Значение дроби не изменится, если изменить знаки
числителя и знаменателя на противоположные:
а ___ —-а
7 ~~~Ь'
К такому преобразованию дробей приходится иногда
прибегать, например, при их сложении.
Пример.
5, _2 5, —2 _ 5 + (— 2) 3_
7 —7 ~~ 7 7 ~~ 7 ~~ 7 9
Посмотрим, что получится с дробью, если переменить
знак только у одного из членов дроби:
Мы видим, что когда переменили знак только у чис-
лителя или только у знаменателя, то получили число,
противоположное прежнему, то есть знак у дроби пере-
менился на противоположный.
Пусть мы изменили знак у одного из членов дроби;
согласно предыдущему получили число, противополож-
ное прежнему. Значит, если у этой новой дроби переменим
знак на противоположный, то получим прежнюю дробь.
Пример. Пусть дана дробь = — у. Изменив знак
5
у числителя, получим у • Изменив знак перед этой
дробью, получим — -|, то есть прежнее значение дроби.
Отсюда заключаем:
Значение дроби не изменится, если переменить знак
у одного из членов дроби и перед самой дробью.
а _ —а _ а
Ь ~~ V ~~~^Ь'
Это правило применяется и при действиях с дробями.
Так, предыдущий пример можно было выполнить и та-
ким образом:
5 . 2 5 2 5 — 2 3
7+_73=s7 7 — 7 — 7 '

Переменив знак у знаменателя второй дроби, мы пе-
ременили знак и перед самой дробью.
Приведём ещё пример:
8_ 4_ _8 _=4 8 — (--4) = 12
13 —13 ~ 13 13 13 ~~ 13*
ИЛИ
13 —13 13 13 13*
В первом случае мы переменили знак у обоих чле-
нов второй дроби, оставив тот же знак перед дробью.
Во втором случае мы переменили знак только у зна-
менателя, но одновременно переменили знак и перед
дробью.
В обоих случаях получили один и тот же результат,
как и должно быть.
§ 63. Целая отрицательная и нулевая
степени числа.
В практике часто для краткого обозначения боль-
ших чисел пользуются степенями числа 10. Так, напри-
мер, среднее расстояние от Земли до Солнца в миллио-
нах километров (приближённо) равно 150 (млн. км). Это
число можно записать так: 150000000 км, или кратко:
150 • 10е км. Средний радиус земного шара в миллионах
метров выражается числом 6,37 (млн. м); кратко это
число запишется так: 6,37 • 10е м. В астрономии за еди-
ницу измерения больших расстояний принят парсек. Пар-
сек составляет 30 800000000 000 км. Кратко это число
принято записывать так: 30,8 • 1012 км. Так, например,
расстояние от Земли до ближайшей звезды (альфа Цен-
тавра) равно 1,3 парсек, в километрах это составит
(приближённо) 40 • 1012 км.
Для краткой записи малых чисел в виде степеней
числа 10 приняты следующие обозначения. Принято счи-
тать, что
1 ю—1 - — = Ю~2- — = 10~8- ! = 10~в
10 10 • 100 Ш 9 1000 Ш ' 1000000 ш

и вообще
10n lKJ •
Так, например, бактерии (палочковидные) имеют
2 5 „
длину от до iQQQQ см. Кратко эти числа запишем
так: 2 • 10-44 см и 5 • 10~4 см.
Диаметр молекулы воды равен (приближённо)
100 000 000 см> или 3 ' 10~8 см'
Определение. — п-и (где п натуральное число)
степенью числа а, не равного нулю, считается число,
обратное n-fi степени основания а.
«Г—А-
ап
Нулевая степень числа а считается равной 1:
а°= 1.
Так, например:
о—з — JL — _L . / 2 _ 1 _ J_.
23 8 • * ' (—З)2 9 *
/2 Г5 1 3125.
Ы
10°= 1.
Примечание. Отрицательная и нулевая степени нуля не
имеют смысла. Так, например, 0~"2, 0—3, 0°—выражения, не
имеющие смысла.
§ 64. Приведение дробей к общему знаменателю.
Основное свойство дроби даёт возможность алгебраи-
ческие дроби с различными знаменателями преобразовать
в тождественные им дроби с одинаковыми знаменателями
(говорят: привести дроби к общему знаменателю).
Такое преобразование приходится производить, как
и в арифметике, при сложении и вычитании дробей
с разными знаменателями.
Из рассмотрения нескольких примеров выведем общее
правило приведения дробей к общему знаменателю.

1. Дроби с одночленными знаменателями. Приведем
к общему знаменателю дроби:
т п р
4ab^* 6а3б2 ; 9а4Ь2 '
Общий знаменатель должен делиться на каждый из
данных знаменателей. Составим его в таком порядке.
1) Коэффициент общего знаменателя должен делиться
на 4, на 6 и на 9. Наименьшим таким числом будет 36.
2) Общий знаменатель должен делиться на а, на а3 и
на а4. Значит, он должен содержать множитель а4.
3) Точно так же найдём, что буква Ь должна войти
в знаменатель в пятой степени, а буква с — во второй
степени.
В итоге получим общий простейший знаменатель:
36а4Ь*с2.
Чтобы получить в первой дроби знаменатель 36а46бс2,
надо её числитель и знаменатель умножить на 9а3са.
Получим:
т 9а*с2т
4ab5 "~ 36а465с2 *
Таким же образом найдем:
п 6ub5n р АЬгс2р
6а Зс2 ~~ гва4Ьъс2 И 9аЧ)* ~~ 36о4 Ъьс2 '
За общий знаменатель можно было бы взять, напри-
мер, одночлен 72аьЬ1сг, так как он делится на каждый
из знаменателей данных дробей. Однако этот одночлен
имеет больший коэффициент и содержит буквы в более
высоких степенях, чем одночлен 36а465с2.
Одночлен 36а4Ь5с2 для данных дробей является прос-
тейшим общим знаменателем.
Отсюда следует, что простейший общий знаменатель
дробей с одночленными знаменателями есть наименьшее
общее кратное коэффициентов знаменателей, умножен-
ное на все различные буквы, входящие в знаменатели,
причём каждая буква берётся с наибольшим показате-
лем, о каким она входит в знаменатели.
Примечание. Алгебраическую дробь с дробными коэффи-
циентами числителя и знаменателя всегда можно заменить дробью,

у которой числитель и знаменатель имеют целые коэффициенты. Так.
л 0,25а26 л Т°Ч Ъа2Ь
например, дробь — можно заменить дробью — = —— .
о о о2хи
2. Дроби с многочленными знаменателями. Приве-
дём к общему знаменателю дроби:
a t Ь % с
4х2 — 4у2 » 5JC2 + Wxy + 5y2 ' \0х2 — 20ху + 10//а *
Разложим на множители знаменатели:
4х*-4у* = 4(х*-у2) = 4(х + у)(х-у);
5х2 + Юху + 5#2 = 5 (х2 + 2ху + у2) = 5 (х + у)2;
Юх2 — 20ху + Юу2 = 10 (х2 — 2ху + у2) = 10(лг — у)2.
Составим общий знаменатель так же, как и в слу-
чае одночленных знаменателей.
Коэффициентом общего знаменателя будет наимень-
шее общее кратное чисел 4, 5 и 10, то есть 20.
Множитель (х + у) возьмём в наибольшей степени, в
которой он входит в знаменатели, то есть во второй.
Множитель (Л: — у) также возьмём во второй степени.
Простейший общий знаменатель будет: 20(х-\-у)2 (х—у)2.
Дроби примут следующий вид:
а а = 5а (х -\-у)(х — у) щ
4х2-4у2 4(х + у)(х-у) 20 (х + у)2 (х - у)2 '
Ь Ь 4Ь (х — /у)2 t
5х2+\0ху + 5у2 ~~ Ь(х + у)2 " 20(х + у)2(х — у)*1
с с 2с(х-\- у)2
\0х2 — 20ху-\- Юу2 ~~ 10 (х — и)2 ~~ 20 (х-\-у)2 (х — у)2'
(Проверить при х = 2, у = 1, а = b = с = 10.)
Отсюда такое правило:
Чтобы привести к простейшему знаменателю алгебраи-
ческие дроби с многочленными знаменателями, надо зна-
менатели разложить на множители. Простейшим общим
знаменателем будет наименьшее общее кратное коэффи-
циентов знаменателей, умноженное на все различные мно-
жители, входящие в знаменатели, причём каждый множи-

тель берётся с наибольшим показателем, с каким он входит
в знаменатели.
Примечание. Если какой-либо из знаменателей не разла-
гается на множители, то он берётся весь целиком как множитель.
§ 65. Сложение дробей.
Задача 1. В первом классе роздали а тетрадей, во
втором Ь тетрадей. Каждый ученик получил по т тетра-
дей. Сколько было учеников в обоих классах?
Решим задачу двумя способами.
1- й способ.
1) Сколько было учеников в первом классе?
— учеников.
т J
2) Сколько было учеников во втором классе?
ь
— учеников.
т J
3) Сколько было учеников в обоих классах?
+ Узников.
2-й способ.
1) Сколько роздано тетрадей в обоих классах?
(а + Ь) тетрадей.
2) Сколько было учеников в обоих классах?
а + Ь
—— учеников.
Сравнивая оба ответа, заключаем, что:
£ + А = а_±*. (1)
mm т v '
Справедливость этого равенства для любых рациональ-
ных значений a, b и т можно показать так.
Мы знаем свойство деления (§ 21): чтобы разделить
сумму на какое-либо число, можно разделить каждое сла-
гаемое на это число и полученные частные сложить. Значит:
а-\- b а . b
т ~~ т • т

Читая это равенство справа налево, получим равен-
ство (1). Значит, сложение выполнено нами верно.
Правило. Чтобы сложить дроби с одинако-
выми знаменателями, надо сложить их числи-
тели и сумму разделить на их общий знамена-
тель.
При сложении дробей с различными знамена-
телями надо предварительно привести их к обще-
му знаменателю.
Задача 2. Школьника выехали на экскурсию в город.
Они проехали до станции на лошадях а километров со
скоростью v км в час, затем поездом b километров со
скоростью, в т раз большей. Сколько часов школьники
находились в пути?
Решение.
1) До станции школьники ехали -2- часов.
2) Скорость поезда равна mv км в час.
3) Школьники ехали поездом — часов.
' mv
4) Всего школьники пробыли в пути + ^ часов.
Чтобы упростить полученный ответ, произведём сло-
жение. Так как знаменатели дробей различны, то надо
дроби сначала привести к общему знаменателю. Легко
видеть, что общий знаменатель mv. Значит, числитель
и знаменатель первой дроби надо умножить на т. Полу-
чим:
а , b am j b am + b
v ' mv = ma ' mv ~~ mv
§ 66. Вычитание дробей.
Вычитание определяется как действие, обратное сло-
жению: вычесть одно выражение из другого — значит
найти такое третье выражение, которое, будучи сложено
с вычитаемым, даст уменьшаемое.
Отсюда следует правило вычитания дробей с одинако-
выми знаменателями.
Чтобы вычесть дробь из другой дроби с тем же
знаменателем, надо из числителя уменьшаемого

вычесть числитель вычитаемого и разность раз-
делить на их общий знаменатель.
а Ь а — Ь
т т т
Чтобы доказать справедливость этого равенства, сложим
вычитаемое с разностью:
Ъ , а — Ь b -\-а — b а
mm т т
Получили уменьшаемое. Значит, вычитание произведе-
но верно.
При вычитании дробей с различными знаменателями
надо предварительно привести ах к общему знаменателю,
а затем применить правило вычитания дробей с одинако-
выми знаменателями.
Пример. Произведём вычитание дробей:
а а
Т~Ь~+с'
Общий знаменатель Ь (Ь + с).
Получим:
а_ _ а __а{Ь -\- с) — AB ас
Ь ~~ b + c ~~ b (b + с) ~~ b (6 -f с) *
§ 67. Умножение дробей.
Правило умножения алгебраических дробей такое же,
как и для арифметических дробей.
Правило. Чтобы перемножить дроби, надо
перемножить отдельно их числители и их зна-
менатели и первое произведение записать числи-
телем, а второе — знаменателем произведения.
а с __ ас
Т ~d~~ Ы '
Так как целое выражение можно рассматривать как
дробь с знаменателем, равным единице, то приведённое
правило применяется и в том случае, когда некоторые из
сомножителей — целые выражения.

§ 68. Деление дробей.
Рассматривая деление как действие, обратное умноже-
нию, получим следующее правило для деления дробей.
Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое
умножить на дробь, обратную делителю.
SL • JL — SL d __ ad
b * d ~~ b ' с ~~ be '
Докажем справедливость этого равенства. Умножим
полученное частное на делитель:
ad с adc а
be d ~ bed b
Получили делимое. Значит, деление произведено верно.
Так как всякое целое выражение можно рассматривать
как дробь с знаменателем 1, то приведённое правило при-
менимо и в том случае, когда делимое или делитель —
целое выражение.
§ 69. Возведение дроби в натуральную степень.
2
Чтобы возвести данную дробь, например у, в квадрат.
надо эту дробь умножить саму на себя. Применив прА-
Вило умножения дробей, получим:
/2_\* 2 _2 2_2 _ 22 _
\ 3 / 3 3~~3.3"~3*"~9'
Мы видим, что у получившейся дроби числитель рА
Вен квадрату числителя, а знаменатель равен квадрату
знаменателя данной дроби.
Возведём данную дробь в куб:
[ 3 / ~~3*3'3~"~3.3.3 — З3 ~" 27 '
Мы видим, что у получившейся дроби числитель \
знаменатель равны кубу числителя и знаменателя данное
дроби.
Правило. Чтобы возвысить дробь в какую
либо степень, достаточно возвести в эту сте-
пень числитель и знаменатель данной дроби:
I а\п_ an

Для доказательства этого правила применим правило
умножения дробей:
/ а\п а а а а * а • ... • а ап
Vb) ~Ь ' Т ' * ' " ' ь ~~ ь . ь..... ь ~ •
п раз
Пример:
(4a*b\* (4а26)3 = Ш*Ь*
\ 3x I ~~ (Эх)3 ~ "27x3- '
§ 70. Дробные уравнения.
До сих пор мы решали только уравнения целые отно-
сительно неизвестного, то есть уравнения, в которых зна-
менатели (если таковые имелись) не содержали неизвестное.
Часто приходится решать уравнения, содержащие не-
известное в знаменателях; такие уравнения называются
дробными.
Примеры.
1-^3 = 2. (1)
Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части
на х — 3, то есть на многочлен, содержащий неизвестное.
Будет ли новое уравнение равносильно данному? Чтобы
ответить на вопрос, решим это уравнение.
Умножив обе части его на х — 3, получим:
1 = 2 (л; — 3). (2)
Решив это уравнение первой степени, найдём:
7
7
Итак, уравнение (2) имеет единственный корень х = у.
Подставив его в уравнение (1), получим;
yi— = -f=2; 2 = 2.
Т ~3 2
7
Значит, х = у является корнем и уравнения (1).
Других корней уравнение (1) не имеет. В нашем при-
мере это видно, например, из того, что в уравнении (1)

х — 3 как неизвестный делитель должен быть равен де-
лимому 1, разделённому на частное 2, то есть
х — 3= 1 :2 = ~.
Отсюда:
_ 1 о. 7
— "2 "~ ' 2"
Итак, уравнения (1) и (2) имеют единственный корень
х = у. Значит, они равносильны.
2) Решим теперь такое уравнение:
i+5_l±i + * =0 (1)
х— 1 * —3^ (JC— — 3) v '
Простейший общий знаменатель: (х—1) (х — 3); умножим
на него все члены уравнения:
(х + 5)(х— 1) (л: — 3) (х + !)(*— 1)(x— 3) 8(JC—!)(*—3) л
х- 1 .v-З 3)
После сокращения получим:
(* + 5) (д; _ 3) — (JC + 1) Раскроем скобки:
х2 + 5x — 3x — 15 — х2 + 1 + 8 - 0.
Приведя подобные члены, будем иметь:
2х — 6 = 0. (2)
Решив это уравнение, найдём:
х = 3.
Подставив л: = 3 в уравнение (1), получим:
В левой части получили выражения, не имеющие
смысла.
Значит, х = 3 корнем уравнения (1) не является. От-
сюда следует, что уравнения (1) и (2) неравносильны.

Говорят в этом случае, что уравнение (1) приобрело по-
сторонний корень.
Сравним решение уравнения (1)с решением уравнений,
рассмотренных нами раньше (см. § 51). При решении этого
уравнения нам пришлось выполнить две такие операции,
которые раньше не встречались: во-первых, мы умножи-
ли обе части уравнения на выражение, содержащее
неизвестное (общий знаменатель), и, во-вторых, мы
сокращали алгебраические дроби на множители, со-
держащие неизвестные.
Сравнивая уравнение (1) с уравнением (2), мы видим,
что не все значения х, допустимые для уравнения (2),
являются допустимыми для уравнения (1).
Именно числа 1 и 3 не являются допустимыми зна-
чениями неизвестного для уравнения (1), а в результате
преобразования они стали допустимыми для уравнения (2).
Одно из этих чисел х = 3 оказалось решением уравнения
(2), но, разумеется, решением уравнения (1) оно быть не
может.
Этот пример показывает, что при умножении обеих
частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное,
и при сокращении алгебраических дробей может полу-
читься уравнение, неравносильное данному, а именно
могут появиться посторонние корни.
Отсюда делаем такой вывод. При решении уравнения,
содержащего неизвестное в знаменателе, полученные
корни надо проверять подстановкой в первоначальное
уравнение. Посторонние корни надо отбросить.
Примеры:
1 * + 1 — * —3
х — 2 х -J- 2
Значения 2 и —2 не являются допустимыми для х9
так как при этих значениях уравнение теряет смысл.
Простейший знаменатель:
(х — 2) (х + 2) = х* — 4.
Умножив на него обе части уравнения и произведя
сокращение, получим уравнение:
(х + 1) (х + 2) = (х — 3) (х — 2).

Решив его, найдём х = ~ . Подстановка в данное урав-
нение показывает, что х = является и его корнем.
9 *+1 *-3_ 12
z- *_2 х + 2 "~ .V2 — 4 * I1'
И здесь общий наименьший знаменатель х2 — 4 (при-
чем х Ф 2 и х Ф —2). Умножив на него обе части урав-
нения, получим:
(х+ \)(х + 2)-(х-3)(х-2) = 12;
х2 + 3x + 2 — х2 + 5х — 6= 12; 1 ;
8x: —4 = 12, л: = 2.
Итак, уравнение (2) имеет корень х = 2. Но он явля-
ется посторонним для уравнения (1), так как 2 не яв-
ляется допустимым значением для х.
Значит, уравнение (1) не имеет корней.
§ 71. Примеры решения уравнений
с буквенными коэффициентами.
Покажем на примерах решение уравнений первой сте-
пени с буквенными коэффициентами.
Пример 1. Решить уравнение:
а (х — 2) + 3x = а (х + 2) — 3, (1)
где а — данное число.
1) Раскроем скобки:
ах — 2а + 3x = ах + 2а — 3. (2)
2) Перенесём члены, содержащие неизвестное, в левую,
а свободные члены — в правую часть:
3x = 2а — 3+ 2а.
3) Приведём подобные члены:
3x = 4а — 3. (3)
Разделив обе части уравнения (3) на 3, получим сле-
дующее решение:

Если букве а придать какое-нибудь определённое зна-
чение, например положить а = 3, то уравнение (1) обра-
тится в уравнение с числовыми коэффициентами:
3(* — 2) + 3x = 3(х + 2) — 3.
Теперь нет необходимости решать это последнее урав-
нение, так как достаточно заменить а в формуле (4) чи-
слом 3:
Пример 2. Решить уравнение
mx — (Ъ — т) = 2(х + 5). (1)
1) Раскроем скобки:
mx — 3 + т = 2х + 10. (2)
2) Перенесём члены, содержащие неизвестные, в ле-
вую, а свободные члены — в правую часть:
mx — 2х= 10 + 3 — т.
3) Приведём подобные члены:
(m — 2)*= 13 — т. (3)
Это последнее уравнение мы сможем решить, если
коэффициент при х не равен нулю (то есть т—2=^0,
или т ф 2):
* = (4)
Если m = 2, то m — 2 = 0, а на нуль делить нельзя, а потому
нельзя применять формулу (4).
Уравнение (3) равносильно уравнению (1); но если в уравне-
ние (3) подставить т = 2, то получится уравнение 0 • JC ===== 11, ко-
торое не имеет корней.
Поэтому при m = 2 уравнение (3), а значит, и уравнение (1)
не имеют корней.
Пример 3.
При а = 0 правая часть уравнения теряет смысл. Гово-
рят, что а = 0 не является допустимым значением для а.
Поэтому будем считать, что а не равно нулю.

1) Умножив обе части уравнения на 2а, после сокра-
щений получим:
а (х — 2) — 2а = 2 (л: — 4).
2) Раскроем скобки:
ах — 2а — 2а = 2х — 8.
3) Сгруппируем члены, содержащие неизвестное, в од-
ной части, а свободные члены — в другой.
ах — 2х = — 8 + 2а + 2а:
4) Приведём подобные члены:
ах — 2х — 4а — 8,
или
(а — 2)х = 4(а — 2). (2)
Если коэффициент при х не равен нулю, получим:
х = 4.
Если а = 2, то уравнение (2) примет вид:
О • х — 0.
Очевидно, что это равенство будет верным при любом значении
*, так как нуль, умноженный на любое число, даст в результате
нуль.
Уравнение (1), равносильное уравнению (2), удовлетворяется
всеми значениями х. Это можно проверить, подставив а = 2 в дан-
ное уравнение (1):
х — 2 х — 4 х — 4 х — А
~2 1==~~2~' Или ~2~ = ~~2~'
Последнее равенство верно при всех значениях х.
Окончательный ответ запишем так:
1) х = 4, если а Ф 0 и а Ф 2.
2) Уравнению удовлетворяет любое число, если а = 2 (напом-
ним, что при а = 0 заданное уравнение теряет смысл, а потому
значение а = 0 и не рассматривается).

ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.
§ 72. Координаты точки на плоскости.
Проведём на плоскости две взаимно перпендикуляр-
ные числовые оси: первая ось ОХ, и вторая ось OY
(черт. 20а). Эти оси будем называть осями коорди-
нат. Первая ось ОХ (изображённая на чертеже 20а в
горизонтальном положении) называется осью абсцисс.
Вторая ось OY (изображённая на чертеже 20а в вер-
тикальном положении) называется осью ординат.
Точка О пересечения осей координат называется нача-
лом координат. Эту точку будем считать «нулевой»
точкой для обеих осей. Положительные числа будут изо-
бражаться на оси абсцисс точками вправо, а на оси ор-
динат— точками вверх от нулевой точки. Отрицатель-
ные числа будут изображаться точками влево и вниз
от начала координат О. Плоскость, на которой даны
оси координат, кратко называет-
ся координатной плос-
костью.
Оси координат делят пло-
скость на четыре части, называе-
мые четвертями (или квад-
рантами).
Принято эти четверти нуме-
ровать (римскими цифрами) в том
порядке, как показано на чер-
теже 20а.
Черт. 20а.

Возьмём на плоскости произвольную точку М и опус-
тим из неё перпендикуляры на оси координат. Пусть
Мх — основание перпендикуляра, опущенного из точки М
на ось абсцисс. Число, которое точка Мх изображает на
оси абсцисс, называется абсциссой точки М. Пусть М22 —
основание перпендикуляра, опущенного из точки М на
ось ординат (черт. 206). Число, ко-
торое точка М2 изображает на
оси ординат, называется ордина-
той точки М. На чертеже 21 аб-
сцисса точки М равна 3, а ордина-
та 5, абсцисса точки А равна —2,
ордината —3; абсцисса точки В
равна 2, ордината 4.
Абсцисса и ордината называ-
ются координатами данной точки
плоскости.
Координаты точки записываются в скобках справа от
обозначения точки. Первой записывается абсцисса, а за
ней ордината.
Так, запись М (3; 5) означает, что абсцисса точки М
равна трём, а ордината —
пяти.
Рассмотрим некоторые ча-
стные положения точки.
Если точка лежит на оси
абсцисс, то её ордината рав-
на нулю.
Так, например, точка С на
чертеже 21 имеет коорди-
наты —3 и 0.
Если точка лежит на оси
ординат, то её абсцисса рав-
на нулю, например точка
D (0; —3) (черт. 21).
Наконец, начало ко-
ординат — точка О — име-
ет и абсциссу и ординату,
равные нулю: О (0; 0).
Черт. 206.
Черт. 21.

Задача 1. Построить точку по данным её коорди-
натам, например построить точку А (2; —3).
Решение. На оси абсцисс (черт. 22) находим точ-
ку 2 и проводим из неё перпендикуляр к этой оси. На оси
ординат находим точку —3 и проводим из неё перпенди-
куляр к этой оси. Пересе-
чение перпендикуляров и
даст искомую точку А.
Таким образом, если за-
даны два числа в опреде-
лённом порядке, то есть
указано, какое из этих чи-
сел считается первым (аб-
сцисса), какое вторым (ор-
дината), то такая пара чи-
сел определяет на коорди-
натной плоскости положе-
ние точки.
Значит, координаты
точки — это числа, опре-
деляющие её положение
на плоскости.
Задача 2. На плоскости даны оси координат и про-
извольная точка N. Найти её координаты.
Решение ясно из определения координат точки. Про-
водим из заданной точки перпендикуляры к осям коор-
динат. Основания этих перпендикуляров и определят
её координаты.
Так, на чертеже 22 заданная точка N имеет коорди-
наты (—1; —2).
§ 73. Прямо пропорциональная зависимость.
В арифметике уже изучались прямо пропорциональные
величины.
Приведём примеры таких величин.
1) Путь (при равномерном движении) и время, в те-
чение которого этот путь пройден.
Черт. 22.

Пусть скорость равномерного движения равна 3 км
в час. Обозначим длину пройденного пути через у, а
число часов, за которое этот путь пройден, через х\ тогда
зависимость между этими двумя величинами выразится
равенством:
У = 3х.
2) Стоимость отреза материи и числа метров в отрезе.
Пусть 1 м материи стоит 8 руб. Тогда, если обозна-
чить через х число метров в отрезе, а через у стоимость
всего отреза, зависимость между этими двумя величи-
нами можно выразить равенством:
У = 8х.
3) Длина окружности и длина её диаметра.
Известно, что для определения длины любой окруж-
ности надо длину её диаметра умножить на некоторое
число, одно и то же для всех окружностей и прибли-
жённо равное 3,14.
Значит, зависимость между.длиной окружности и дли-
ной её диаметра можно (приближённо) выразить равенством:
у = 3,14x:,
где х — длина диаметра, а у — длина окружности.
Из рассмотренных равенств получим:
^ = 3; ^ = 8; £ = 3,14.
X X X
Из этих равенств видно, что отношение соответствен-
ных значений двух прямо пропорциональных величин
всегда остаётся одним и тем же. В первом примере оно
равно 3, во втором 8 и в третьем 3,14.
Из приведённых примеров можно сделать следующий
вывод.
Если две величины прямо пропорциональны, то при
любом значении одной величины, например Л:, соответствую-
щее значение у будет равно этому значению х, умножен-
ному на одно и то же число.
Такая зависимость называется прямо пропорцио-
нальной зависимостью.

Определение, Зависимость между двумя величина-
ми х и у, выражающаяся формулой у = кх, где k — число,
не равное нулю, называется прямо пропорциональной
зависимостью.
Число k называется коэффициентом пропор-
циональности. В первом примере k = 3, во втором
к = 8, в третьем £ = 3,14.
В предыдущих примерах х и у могли принимать только
положительные значения. Теперь, дав общее определение
прямо пропорциональной зависимости для любых двух
величин, мы можем снять это
ограничение. В дальнейшем
х, следовательно, и у могут
принимать любые значения.
§ 74. График прямо
пропорциональной
зависимости.
Рассмотрим прямо пропор-
циональную зависимость с не-
которым определённым коэф-
фициентом пропорционально-
сти. Например, у = 3x. При
помощи системы координат на
плоскости можно наглядно
изобразить данную зависи-
мость. Объясним, как это
делается.
Дадим х какое-нибудь чис-
ловое значение; положим, на-
пример, х = 2 и вычислим
соответствующее значение у\ в нашем примере # = 3-2 = 6.
Построим на координатной плоскости точку с абсциссой
^2ис ординатной у = 6. Эту точку М (2; 6) назовём
точкой соответствующей значению х = 2 (черт. 23).
Будем придавать х различные значения и для каждого
значения х построим соответствующую точку на плоскости.
Составим такую таблицу (в верхней строчке будем
Черт. 23.

выписывать те значения, которые мы придаём а под
ними в нижней строчке — соответствующие значения у):
X —3 —2 — 1 0 1 2 3
У —9 —6 —3 0 3 6 9
Составив таблицу, построим для каждого значения х
соответствующую ему точку на координатной плоскости.
Нетрудно проверить (приложив, например, линейку),
что все построенные точки лежат на одной прямой, про-
ходящей через начало координат.
Разумеется, что х можно придавать любые значения,
а не только те, которые выписаны в таблице. Можно
брать любые дробные значения, например:
х = ~ '> * = Т» х = 10,7 и т. п.
Нетрудно проверить, вычислив значения у, что соответ-
ствующие точки расположатся на той же прямой.
Если для каждого значения построить соответствующую
ему точку, то на плоскости выделится множество точек
(в нашем примере прямая), координаты которых находятся
в зависимости у = 3x.
Это множество точек плоскости (то есть построенная
на чертеже 23 прямая) называется графиком зави-
симости у = 3x.
Построим график прямо пропорциональной зависимости
с отрицательным коэффициентом пропорциональности. По-
ложим, например, //= — 2х.
Поступим так же, как в предыдущем примере: будем
придавать х различные числовые значения и вычислять
соответствующие значения у.
Составим, например, такую таблицу:
X —3 —2 — 1 0 1 2 3
У 6 4 2 0 —2 —4 —6

Построим на плоскости соответствующие точки.
Из чертежа 24 видно, что, как и в предыдущем при-
мере, точки плоскости, координаты которых находятся в
зависимости у = —2x:, расположены на одной прямой, про-
ходящей через начало координат и расположенной во II
и IV четвертях.
Ниже (в курсе VIII класса) будет доказано, что:
графиком прямо пропорциональной зависимости с любым
коэффициентом пропорциональности является прямая,
проходящая через начало координат.
Черт. 24.
Можно строить график прямой пропорциональности
гораздо проще и легче, чем строили до сих пор.
Для примера построим график зависимости
у = 2х.
Мы знаем, что графиком должна быть прямая, про-
ходящая через начало координат.
Но прямая линия определяется двумя своими точками.
Значит, чтобы построить прямую, достаточно знать две
её точки.
Одну точку, через которую должен проходить график,
мы уже знаем — это точка О (0; 0) — начало координат.
Чтобы найти вторую точку, дадим величине х про-
извольное значение, например х = 3. (Лучше взять число,
не очень близкое к нулю, чтобы получить точку, не очень

близкую к началу координат; тогда чертёж будет точнее.)
Получим у = 6. Итак, точка А (3; 6) лежит на искомой
прямой. Построив эту точку, проведём через неё и через
начало координат прямую (черт. 25). Эта прямая и будет
графиком прямой пропорциональ-
ности, выраженной формулой
у = 2х.
§ 75. Линейная зависимость.
1. Определение линейной за-
висимости.
Задача. Пионерский отряд
отправился из города в поход.
Сейчас он находится в 5 км
от города и идёт со скоростью
3 км в час. На каком рас-
стоянии от города он будет че-
рез х часов?
Решение. За х часов отряд пройдёт 3 х километров.
Да ещё ранее он прошёл 5 км. Значит через х часов
расстояние от города будет равно (За: -f- 5) километров.
Обозначив это расстояние через у, будем иметь:
у = 3x + 5.
Это равенство выражает зависимость пути от времени,
но это уже не будет прямо пропорциональная зависимость,
как легко видеть из следующей таблицы:
Черт. 25.
X 1 2 3
у 8 11 14
Отношение пути ко времени здесь не равно одному и
тому же числу.
Определение. Зависимость между двумя величи-
нами х и у, выражающаяся формулой у = kx + й, где
k и Ь — числа, называется линейной зависимостью.
В частности, если Ь = 0, то у = kx.

Значит, прямо пропорциональная зависимость является
частным случаем линейной зависимости.
Черт. 26.
2. График линейной зави-
симости. Построим график ка-
кой-либо данной линейной за-
висимости; положим, например:
y = 2 x + 3.
Поступим следующим обра-
зом. Построим сначала график
зависимости
y = 2 x.
Это будет прямая, проходя-
щая через начало координат
(черт. 26).
Посмотрим, как будут распо-
ложены относительно этой пря-
мой точки графика линейной
зависимости: y = 2 x + 3.
Составим, например, такую
таблицу значений x и y::
x 2 1 0 1 2 3
2 x 4 2 0 2 4 6
2 x + 3 1 1 3 5 7 9
Мы видим, что при любой абсциссе ордината точки
второго графика на 3 единицы больше ординаты точки
первого графика. Значит, и соответствующая точка второго
графика будет на 3 единицы выше точки первого.
Построив эти точки, получим прямую, параллельную
первой прямой (черт. 26).
Графиком линейной зависимости является прямая.
Отсюда следует, что для построения графика линей-
ной зависимости достаточно найти две его точки.
Покажем это на рассмотренном примере y = 2 x + 3.

Положив х = — 1, получим у=\. Итак, одну точку
(—1; 1) мы нашли. Положив ещё х = 2, получим у = 7.
Вторая точка (2; 7). Построив эти точки и проведя через
них прямую, получим искомый график, то есть график
линейной зависимости, выражен-
ной формулой у = 2х + 3.
Обычно для построения гра-
фика линейной зависимости берут
две точки, в которых прямая пере-
секает оси координат. Так, пола-
гая х = 0, получим у = 3. Пола-
гая у =5 0, получим х——у. Прове-
дя прямую через точки А (0; 3) и
Я (— -|-; 0\ , получим искомый
график (черт. 27).
§ 76. Обратно пропорциональная
зависимость.
1. Определение обратно про-
порциональной зависимости.
Наряду с прямо пропорцио-
нальными величинами в арифметике рассматривались
также и величины обратно пропорциональные.
Приведём примеры.
1) Длины основания и высоты прямоугольника при
постоянной площади.
Пусть требуется выделить для огорода прямоугольный
участок площадью в 600 кв. м.
Мы можем произвольно установить, например, длину
участка. Но тогда ширина участка будет зависеть от
того, какую длину мы выбрали. Различные (возможные)
значения длины и ширины приведены в таблице.
Черт. 27.
Длина в метрах
20 30 40 50 60
Ширина в метрах
30 20 15 12 10
Площадь в квадратных метрах 600 600 600 600 600

Вообще, если обозначить длину участка через л:, а
ширину — через у, то зависимость между ними можно
выразить формулой:
xy = 600.
Выразив у через получим:
600
Давая х произвольные значения, будем получать со-
ответствующие значения у.
2) Время и скорость равномерного движения при
определённом расстоянии.
Пусть расстояние между двумя городами равно 200 км.
Чем больше будет скорость движения, тем меньше вре-
мени потребуется, чтобы проехать данное расстояние. Это
видно из следующей таблицы:
Скорость в километрах в час 10 20 40 50 80
Время в часах
20 10 5 4 •4
Путь в километрах
200 200 200 200 200
Вообще, если обозначить скорость через xy а время
движения — через у, то зависимость между ними выразит-
ся формулой:
xy = 200.
Определение. Зависимость между двумя величи-
нами х и у, выраженная равенством xy = Л, где k — опре-
делённое число (не равное нулю), называется обратно
пропорциональной зависимостью.
Число k и здесь называется коэффициентом про-
порциональности.
Так же как и в случае прямой пропорциональности,
в равенстве xy =» k величины х и у в общем случае могут
принимать положительные и отрицательные значения.
Но во всех случаях обратной пропорциональности ни
одна из величин не может быть равной нулю. В самом
деле, если хоть одна из величин х или у будет равна нулю,
то в равенстве xy = k левая часть будет равна нулю, а

Если будем брать значения х через меньшие промежут-
ки, то и точки расположатся теснее.
При всевозможных значениях х соответствующие точки
расположатся на двух ветвях графика, симметричных
относительно начала координат и проходящих в I и III
четвертях координатной плоскости (черт. 29).
Черт. 29.
Итак, мы видим, что графиком обратной пропорцио-
нальности является кривая линия. Эта линия состоит
из двух ветвей.
Одна ветвь получится при положительных, другая —
при отрицательных значениях х.
График обратно пропорциональной зависимости назы-
вается гиперболой.
Чтобы получить более точный график, надо строить
возможно больше точек.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.
§ 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными.
В главе IV мы изучали уравнения, содержащие одно
неизвестное; однако уравнение может содержать не одно,
а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформу-
лируем определение уравнения в общем виде.
Определение. Уравнением называется равенство,
в котором одно или несколько чисел, обозначенных
буквами, являются неизвестными.
Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух
неизвестных чисел х и у равна 7; это можно записать
при помощи следующего уравнения с двумя неизвестными:
д:2 + у* = 7.
Для уравнений с двумя неизвестными остаются спрА
Ведливыми все те свойства, которые были установлены для
уравнений с одним неизвестным (§ 48).
Уравнением первой степени с двумя неизвестными
называется уравнение вида
ах + &у = с, (1)
где хну — неизвестные, а и & (коэффициенты при неиз-
вестных)— данные числа, не равные оба нулю, с (сво-
бодный член) — любое данное число.
Примеры уравнений первой степени:
5х-2у= 1; 3x + у = 4.
Уравнения:
1) 5x — 2у + 3 = 2х + у — 1; 2) у= 1,7*;
3) ^ = 4;с —9; 4) |_3 = ^,

после переноса членов, содержащих неизвестные, в
левую часть, а известных чисел — в правую часть при-
водятся к виду (1), а потому эти уравнения также явля-
ются уравнениями первой степени.
Уравнение (1) называется нормальным видом
уравнения первой степени с двумя неизвестными.
Из приведённых примеров видно (примеры 2 и 3), что
рассмотренные ранее равенства, выражающие прямо про-
порциональную и линейную зависимости, являются урав-
нениями первой степени с двумя неизвестными.
Равенство, выражающее обратно пропорциональную
зависимость, например xy = 8, уже не является уравне-
нием первой степени.
Рассмотрим какое-нибудь уравнение с двумя неизвест-
ными, например
2х — г/ = 3.
Возьмём какую-либо пару чисел, например х« 1,
у =— 1. Подставив эти значения в данное уравнение, по-
лучим верное равенство:
2-(-1)=3.
Говорят, что эта пара чисел удовлетворяет дан-
ному уравнению или что она (эта пара) есть решение
данного уравнения.
Возьмём теперь такую пару чисел: х = 2, у — 4.
Подставив эти значения в данное уравнение, получим
в его левой части 2-2 — 4 = 0. При этих значениях левая
часть (нуль) оказалась неравной правой части (т. е.
числу 3). Говорят, что пара чисел х = 2, у = 4 не
удовлетворяет данному уравнению или что она не
есть решение уравнения.
Каждая пара значений х и у, подстановка которых в
уравнение с двумя неизвестными х и у обращает его в
верное равенство, называется решением этого уравнения.
Решим такую задачу.
Задача 3. Сумма двух чисел равна 6. Чему равно
каждое слагаемое?
Обозначим через х и у искомые слагаемые.

Задача приводит к уравнению:
х + у - 6.
Дадим х какое-либо значение, например х =» 2, тогда
для другого неизвестного у получим уравнение:
2 + у - б,
из которого найдём # = 4. Пара чисел х = 2, # = 4 даёт
решение нашей задачи.
Однако вместо х — 2 мы могли бы взять какое-нибудь
другое значение для х, например х=1, и тогда мы
нашли бы у = 5. Значит, мы получили ещё одно реше-
ние уравнения: х= 1, # = 5.
В таблице приведено несколько решений данного урав-
нения: значения х и у записаны друг под другом, а в
нижней строчке показано, что сумма этих значений равна 6.
X
6
8
-15
11,3
У
0
—2
21
-5.3
Х + У
6
6
6
6
Ясно, что одному из неизвестных (например, х) можно
придать любое значение и, подставив его в данное урав-
нение, найти соответствующее значение другого неизвест-
ного.
Как видим, задача имеет бесконечное множество ре-
шений.
Уравнение не даёт определённого ответа на вопрос
задачи. Оно лишь указывает на зависимость между двумя
неизвестными. На основании этой зависимости, зная зна-
чение одного неизвестного, мы могли найти значение и
другого.
Итак, уравнение первой степени, содержащее два не-
известных, имеет бесконечное множество решений.
Одному из неизвестных можно придать произвольное
значение и из данного уравнения найти соответствующее
значение другого неизвестного.

Мы уже видели, что в случае линейной (в частности
прямо пропорциональной) зависимости, выражающейся
уравнением первой степени с двумя неизвестными, графи-
ком является прямая линия. Докажем, что прямая ли-
ния будет графиком и любого уравнения первой степени
с двумя неизвестными.
Начнём с примера.
Возьмём уравнение:
19* —6*/ = —4.
Выразив в нём не-
известное у через х, по-
лучим:
6у = 19* + 4;
19 . 2
У = 19Х+ 3 •
Мы видим, что это
уравнение представляет
собой не что иное, как
линейную зависимость:
у = kx -f b при k = ~
и »_«.
Значит, графиком этого уравнения является прямая
линия (черт. 31).
Какое бы уравнение первой степени, содержащее два
неизвестных х и у, мы ни взяли, всегда можно выразить
одно из неизвестных, например у, через другое (через х)
и получить уравнение, выражающее линейную зависи-
мость у = kx + b. Например, если 2х + 3y = 5, то
т*+т-
Отсюда вывод:
Г рафиком уравнения первой степени с двумя неиз-
вестными является прямая линия.
Примечание. Мы рассматривали выше уравнения, содер-
жащие два неизвестных, однако может оказаться, что коэффициент
Черт. 31

при одном из неизвестных будет равен нулю, так что уравнение
запишется в виде уравнения с одним неизвестным.
Возьмём, например, уравнение:
х-\-2у-г = 2(у-х) + 5.
Приведём это уравнение к нормальному виду:
3x + О • у = 8.
Это уравнение также имеет бесконечное множество решений; ему
удовлетворяет любая пара чисел х = , у, где у — произвольное
число. Обычно член 0 « у не пишут и уравнение записывают так:
5x = 8.
§ 78. Системы двух уравнений первой степени
с двумя неизвестными.
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными,
например: /х +2^ = 13;
\3х — у = 4. (О
Каждое из них имеет бесконечное множество решений.
Поставим вопрос: среди всех этих решений не бу-
дут ли общие для обоих уравнений?
Такие общие решения могут быть, а могут и не быть.
Так, общим решением данных уравнений будет х = 3,
у = 5, что легко проверить подстановкой. (Дальше будет
показано, что других общих решений эти уравнения иметь
не могут.)
Но, например, уравнения
х + 2{/=15 и JC + 2y/ = 7 (2)
не имеют ни одного общего решения. В самом деле,
какие бы значения мы ни давали х и у, выражение
х + 2у не может одновременно равняться 15 и 7. Поэтому
ни одно решение первого уравнения не может быть ре-
шением второго и ни одно решение второго уравнения
не может быть решением первого.
Два уравнения с двумя неизвестными образуют си-
стему, если одноимённые неизвестные обозначают в
них одни и те же числа.

Пара чисел х = 3, у = 5 есть решение системы (1), а си-
стема (2) не имеет решений.
Всякая пара значений неизвестных, удовлетворяющая
обоим уравнениям, образующим систему, называется ре-
шением данной системы.
Решить систему — это значит найти все её решения.
§ 79. Равносильные системы.
Понятие равносильности для систем уравнений опре-
деляется так же, как и для одного уравнения (см. § 47).
Определение. Две системы уравнений называются
равносильными (эквивалентными), если все решения
каждой из них являются решениями и другой.
При решении системы уравнений, как и при решении
уравнений с одним неизвестным, приходится переходить
от данной системы к другой, более простой, от неё —
к третьей и так далее, пока не получится простейшая
система вида
/ х = а;
\У = Ь9
которая сразу даёт значения неизвестных.
Возникает вопрос: будут ли все системы, которыми
заменяется данная система, равносильны ей? Ведь только
в этом случае мы можем быть уверены, что полученные
решения будут решениями и данной системы уравнений,
а также, что мы не получим посторонних решений.
Укажем на некоторые преобразования, после выпол-
нения которых можно быть уверенным, что новая систе-
ма будет равносильна данной.
1. Можно любое из уравнений системы заменить рав-
носильным ему уравнением.
Например, системы:
/ 2х — 3y = 4; / 4х — 6у = 8;
\3х + 2у=19 и \9х + 6у=57
равносильны, так как первое и второе уравнения первой
системы заменены равносильными (§ 48, свойство 2).

Если имеем два уравнения А — В и C = D, то урав-
нение А -f В = С + D обычно называют суммой, а урав-
нение А — В = С — D — разностью данных уравнений.
2. Можно любое из уравнений системы заменить сум-
мой или разностью данных уравнений, оставив другое
уравнение без изменения.
Например, системы:
J 4х — 6*/= 8; / 13* = 65;
1 9x: + 6у = 57 и 1 4* — 6y/ = 8
равносильны, так как первое уравнение второй системы
является суммой уравнений первой системы, а второе
уравнение второй системы то же, что первое первой си-
стемы.
3. Можно из одного уравнения системы выразить
какое-либо неизвестное через другое и подставить это
выражение во второе уравнение. Новое уравнение вместе
с первым образуют систему, равносильную данной.
Например, системы:
\2х-\-3y = 23; / 2(2y/+ 1) + Зг/ = 23;
\х-2у=1 И \х = 2у+1
равносильны (в первом уравнении х заменён выраже-
нием, найденным из второго уравнения).
§ 80. Решение систем уравнений.
Систему двух уравнений первой степени с двумя не-
известными можно решить несколькими различными спо-
собами.
1. Способ алгебраического сложения.
Примеры.
1. Решим систему:
/ 5х — 3у = 17;
\2х + 3у = 11.
Коэффициенты при у в обоих уравнениях одинаковы
по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Поэтому, если вместо, например, первого уравнения

возьмём сумму данных уравнений, то в этой сумме со-
кратятся члены, содержащие неизвестное у.
Получим систему:
/ 7* = 28;
\ 2х + 3у= 11.
Эта система равносильна данной (§ 79, п. 2.). Но в
ней первое уравнение содержит только одно неизвест-
ное х, из которого найдём х = 4.
Подставив это значение х во второе уравнение, полу-
чим уравнение, содержащее одно неизвестное:
8 + 3из которого получим у = 1.
( х = 4-
Решением системы является пара чисел: | _ j'
2. Решим систему:
/ 2х— 7у = 2;
\ 6*—11*/= 26.
Коэффициент при х во втором уравнении втрое больше,
чем в первом. Умножим поэтому обе части первого урав-
нения на 3. Получим систему (§ 48, свойство 2), равно-
сильную данной:
/ 6х — 21*/ = 6;
\ 6x— 11*/= 26.
Коэффициенты при х стали одинаковыми. Возьмём
разность этих уравнений:
— 10у = —20 и у = 2.
Подставив 2 вместо у в одно из данных уравнений,
найдём х = 8.
у = 2
Мы могли бы уравнять коэффициенты не при х,
а при у, умножив первое уравнение на И, а второе на 7.
Из приведённых примеров видно, что решение систе-
мы уравнений способом алгебраического сложения заклю-
чается в следующем:

1. Уравниваем абсолютные величины коэффициентов
при одном из неизвестных.
2. Призводим сложение полученных уравнений, если
равные по абсолютной величине коэффициенты имеют
противоположные знаки. Если же они имеют одинаковые
знаки, то производим вычитание.
3. Полученное уравнение содержит одно неизвестное;
находим это неизвестное.
4. Подставляем найденное значение неизвестного в одно
из данных уравнений и находим значение второго неиз-
вестного.
2. Способ подстановки.
Возьмём систему:
( 5х — 3y = 17; m
\ 2х + 3у = 11.
Выразив из второго уравнения одно из неизвестных,
например х, через другое, получим:
х = ^. (2)
Подставим это выражение для х в первое уравнение:
5.^Ц^-3y = 17. (3)
Система уравнений (2) и (3) равносильна системе урав-
нений (1) (§ 79, п. 3). Из уравнения (3) у — 1.
Подставив у = 1 в уравнение (2), найдём:
11—3-1 л
х = ^ *' * = 4-
( х = 4*
Решение системы: | je
Из этого примера видим, что решение системы уравнений
способом подстановки заключается в следующем:
1. Из одного из данных уравнений выражаем одно не-
известное через другое.
2. Подставляем полученное выражение в другое данное
уравнение.
3. Решаем полученное уравнение, содержащее одно не-
известное; находим это неизвестное.

4. Подставляем найденное значение неизвестного в по-
лученное выражение для другого неизвестного и находим
второе неизвестное.
Способ подстановки удобно применять тогда, когда
один из коэффициентов при неизвестном равен единице.
§ 81. Графическое решение системы двух уравнений.
Пусть дана система уравнений:
/ 4х — у = 5;
I 3x + 2у = 12.
Построим график каждого из этих уравнений. Графиком
первого уравнения будет прямая AB (черт. 32), проходя-
щая через точки А (0; —5) и
В ; 0 ; графиком второ-
го — прямая CD, проходящая че-
рез точки С (0; 6) и D (4; 0).
Координаты точек прямой
AB дают множество всех ре-
шений первого уравнения, а ко-
ординаты точек прямой CD дают
множество всех решений второго
уравнения. Значит, если эти
уравнения имеют общее реше-
ние, то соответствующая этому
решению точка должна лежать
и на прямой AB и на прямой
CD, то есть прямые А В и CD
должны иметь общую точку. Из
чертежа видим, что такой общей
точкой является точка M, ко-
ординаты которой (х = 2; у — 3)
и образуют решение системы. Черт. 32.
Черт. 32.
Действительно, подстановка зна-
чений х = 2; у = 3 в уравнения системы даёт верные рА-
Венства :
42 — 3 = 5,
3 2 + 2 3= 12.

Итак, графический способ решения заключается в сле-
дующем:
1. Строим график каждого из данных уравнений.
2. Находим координаты точки пересечения построен-
ных прямых (если они пересекаются).
Эти координаты и образуют решение системы.
Число решений системы. Графический способ решения
системы двух уравнений первой степени с двумя неизвест-
ными позволяет легко установить число решений системы.
Две прямые могут пересекаться, могут совпадать и мо-
гут быть параллельными.
Рассмотрим все эти три случая.
1. Прямые пересекаются. В этом случае они
имеют одну общую точку. (Как известно, более одной
общей точки две прямые иметь не могут.) Координаты
этой общей точки и дают единственное решение
системы. Примером является только что рассмотренная
система:
\ 4х — у = 5;
1 3x + 2у = 12.
2. Прямые совпадают. В этом случае координаты
каждой точки общего графика данных уравнений дают
решение системы, и, следовательно, система имеет беско-
нечное множество решений.
Пример.
/ 2х + 3у = 7;
\4х + 6у= 14.
Графиком обоих уравнений является одна и та же пря-
мая, проходящая через точки А (о; и о).
Координаты любой точки этой прямой являются решением
системы. Это и понятно. Если разделить обе части второго
уравнения на 2, то получим равносильное ему уравнение:
2х + 3у = 7.
Но это будет как раз первое из данных уравнений. Урав-
нения, образующие данную систему, равносильны. Всякое
решение одного из этих уравнений есть решение другого.
Значит, можно рассматривать лишь одно из данных урав-

нений, а другое (ему равносильное) отбросить. Итак, фак-
тически мы имеем здесь одно уравнение с двумя неизвест-
ными. А такое уравнение, как мы знаем, имеет бесконечное
множество решений.
3. Прямые параллельны. В этом случае прямые
не имеют ни одной общей точки. Значит, и система урав-
нений, графиками которых являются эти прямые, не име-
ет решений.
Пример.
| х — 2у = 6;
\2х — 4у = —8.
Графиком первого уравнения будет прямая AB (черт. 33),
проходящая через точки А (0; —3) и В (6; 0).
Черт. 33.
Графиком второго уравнения будет прямая CD, прохо-
дящая через точки D (0; 2) и С (—4; 0).
Как видим, эти прямые параллельны. Система не имеет
решений.
В этом можно убедиться и следующим образом.
Разделим обе части второго уравнения на 2. Получим
систему, равносильную данной:
| х — 2у = 6;
[х — 2у = — 4.

Любая пара значений х и у, удовлетворяющая первому
уравнению, должна дать для выражения х — 2у значение
6 и не может, следовательно, равняться —4, как это сле-
дует из второго уравнения.
Итак, мы показали:
1. Если прямые — графики данных уравнений — пересе-
каются, то система имеет единственное решение.
2. Если прямые совпадают, то система имеет бесконеч-
ное множество решений.
3. Если прямые параллельны, то система не имеет ре-
шений.
Заметим, что будут верны и обратные положения:
1. Если система имеет единственное решение, то прямые
(графики данных уравнений) пересекаются.
2. Если система имеет бесконечное множество решений,
то прямые совпадают.
3. Если система не имеет решений, то прямые парал-
лельны.
Все эти три положения легко доказываются методом
от противного.
§ 82. Решение задач.
Решение очень многих задач может быть приведено
к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными.
В частности, все задачи, в которых требуется узнать
два неизвестных числа и которые мы до сих пор решали
с помощью уравнения с одним неизвестным, можно решить
и с помощью системы уравнений. Приведём пример.
Задача 1. Для детского сада купили на 24,4 руб.
16 больших и малых мячей. Большой мяч стоит 2,5 руб.,
малый 1,2 руб. Сколько было куплено тех и других мячей
в отдельности?
Эта задача была уже решена (§ 52) с помощью урав-
нения с одним неизвестным. Решим её теперь с помощью
системы уравнений:
1) число малых мячей х штук;
2) число больших мячей у штук;
3) по условию:
x + y=lQ. (1)

Одно уравнение составлено. Для составления второго
уравнения используем остальные данные задачи:
4) стоимость всех малых мячей 1,2* рублей;
5) стоимость всех больших мячей 2,5y/ рублей;
6) по условию:
1,2* + 2,50 = 24,4. (2)
Уравнения (1) и (2) составляют систему. Решим её.
Умножим первое уравнение на 12, второе на 10 и вычтем
из второго, тогда получим:
131/= 52; У = 4.
Подставив найденное значение у в первое уравнение,
найдём:
*=12.
Итак, малых мячей было куплено 12, а больших 4.
Задача 2. В двух корзинах было 148 яблок, причём
во второй было в 3 раза больше яблок, чем в первой. Сколь-
ко яблок было в каждой корзине?
И в этой задаче требуется найти два неизвестных числа.
Решим её с помощью системы уравнений. Введём обозна-
чения :
1) число яблок в первой корзине х штук.
2) число яблок во второй корзине у штук.
3) по условию:
х + у=т. (1)
4) Во второй корзине было яблок в 3 раза больше,
чем в первой. Следовательно:
У = 3x. (2)
Получили систему уравнений. Решить её удобнее спо-
собом подстановки, так как в уравнении (2) одно из не-
известных уже выражено через другое. Делая подстановку
из (2) в (1), получим:
х 3x = 148, или х = 37.
Подставив это значение в уравнение (2), найдём:
У= ill.
Итак, в первой корзине было 37, во второй — 111 яблок.

§ 83. Уравнения с тремя неизвестными.
1. Одно уравнение с тремя неизвестными.
Рассмотрим, например, такое уравнение с тремя неизвестными:
15x: + lOi/+ 8*= 164. (1)
Можно показать, что уравнение (1) имеет бесконечное множество
решений. Действительно, взяв для х и у какие-либо произвольные
числа, например л = 2, у = 5, и подставив эти значения в уравне-
ние, получим:
15 • 2+10 • 5 + 82 = 164,
или
80 + 82 = 164.
Откуда найдём: г = ~ .
Дав другие произвольные значения х и у, получим другое зна-
чение для z и т. д.
Итак, одно уравнение с тремя неизвестными имеет (в общем
случае) бесконечное множество решений.
2. Система двух уравнений с тремя неизвестными.
Теперь рассмотрим систему двух уравнений с тремя неизвест-
ными
Присоединим к уравнению (1), например, следующее уравнение:
x + y + z=\Q. (2)
Итак, имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными.
Покажем, что и эта система имеет бесконечное множество решений.
Убедимся подстановкой, что системе удовлетворяют, например, сле-
дующие тройки чисел:
1) л: = 2, (/=11, 2 = 3; 2) х = 4, у = 4, z = 8.
Дадим теперь одному из неизвестных, хотя бы х, какое-либо
произвольное значение, например х = -g-. Подставив это значение
в уравнения (1) и (2), получим:
[ у + 10// + 82 = 164;
|+5# + 4z = -j-;
| 27
37 17
Решив эту систему, найдем: у = — ; г = -у .

5 37 17
Итак, система имеет еще решение: х — » У = '» 2 = "4"
Взяв для л другое значение, получим новую систему с двумя
неизвестными, из которой найдём у и z и т. д.
Значит, вообще говоря, система двух уравнений с тремя неиз-
вестными тоже имеет бесконечное множество решений.
Однако можно привести пример системы, не имеющей ни одного
решения, например:
Г х — у + 2z = 5;
I х — у + 2z*=7.
Какие бы значения ни имели х, у и z, выражение х — у-\-2
не может одновременно быть равно 5 и 7.
§ 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными.
Присоединим к уравнениям (1) и (2)
15х+ 10// + 82 = 164; (1)
х + у + г= 16 (2)
третье уравнение:
г = 2у. (3)
Получили систему трёх уравнений с тремя неизвестными.
Прежде всего заметим, что все свойства, о которых говорилось
в § 48, остаются справедливыми и для системы уравнений с тремя
(и более) неизвестными. Поэтому для решения данной системы при-
менимы те же способы, что и для решения системы двух уравнений
с двумя неизвестными.
1. Способ алгебраического сложения.
Так как уравнение (3) уже не содержит х, то исключим х из
системы уравнений (1) и (2). Для этого умножим обе части уравне-
ния (2) на 15. Получим систему:
( 15*+15*/+15z = 240;
I. 15*+ 10*/ + 8z = 164.
Коэффициенты при х равны. Вычтем из первого уравнения
второе, тогда получим:
5у + lz = 76.
Получили уравнение с двумя неизвестными у и z. Вместе с
уравнением (3) оно образует систему двух уравнений с двумя не-
известными:
( 5у + lz = 76;
I г - 2/у.
Решив её одним из способов, изложенных в § 80, найдём:
у = 4; г = 8.

Подставив эти значения в (1) или (2) уравнения, найдём: х = 4.
Итак, если данная система трёх уравнений с тремя неизвест-
ными имеет решение, то это решение будет следующей тройкой
чисел:
х = 4; у = 4; г = 8.
Подставляя эти значения в данную систему, можно убедиться,
что полученная тройка чисел является решением системы.
2. Способ подстановки.
Для данной системы этот способ более удобен, так как в урав-
нении (3) неизвестное z уже выражено через у. Сделав подстановку
в уравнения (1) и (2), получим:
( 15* + 10//+ 16;/= 164;
1 х + у + 2у= 16,
или
Г 15* + 26*/= 164; (4)
\ JC+ 3y = 16. (5)
Решим эту систему любым способом, изложенным в § 81, на-
пример способом алгебраического сложения.
Умножим уравнение (5) на 15 и вычтем из него уравнение (4):
lfy = 76.
Отсюда найдем: у = 4.
Подставив найденное значение у в уравнение (5), найдём:
* = 4. Наконец, подставив значение // в (3), найдём: г = 8. Полу-
чили то же решение, что и первым способом.
Решим ещё систему способом алгебраического сложения:
Г 2х — 3*/ + г = 7;
х + 4*/-г = 6;
I 3* — 2*/ + 2г= 14.
ИСКЛЮЧИМ ОДНО ИЗ неизвестных, например г. Для этого сло-
жим первое и второе уравнения, получим:
3x + у= 13.
Умножим теперь второе уравнение на 2 и сложим с третьим,
ПОЛУЧИМ: 5*+ 6, = 26.
Оба полученных уравнения образуют систему уравнений с дву-
мя неизвестными:
/ 3x + у= 13;
\ 5x + 6у = 26.
Решив её одним из известных способов, найдём: х = 4, у=\.
Подставив эти значения в одно из данных уравнений, например в
первое, найдём: z = 2. Итак, если данная система имеет решение,
то оно может быть только такое: # = 4; у = \ \ z = 2. Подставив
эти значения во второе и третье уравнения, убедимся, что они
действительно дают решение данной системы.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.
СЧЕТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА.
Счётная линейка получила широкое применение в ин-
женерных расчётах, а с повышением технического уровня
нашей страны она становится необходимым инструментом
не только инженера, но и квалифицированного рабочего.
Устройство счётной линейки основано на теории лога-
рифмов, но для практического пользования линейкой мож-
но обойтись без знания логарифмов.
Для того чтобы в совершенстве овладеть вычисления-
ми на линейке, необходимо непрерывно упражняться и
пользоваться ею при всевозможных расчётах на уроках
математики, физики, химии, машиноведения, а также в
мастерских и вне школы.
§ 85. Равномерные и неравномерные шкалы.
Рассмотрим обыкновенную миллиметровую линейку
(черт. 34). На ней нанесён ряд делений с равными про-
Черт. 34.
межутками в 1 мм; в начале стоит цифра 0, а под каж-
дым десятым делением надписаны цифры 1, 2, 3 ... 10.
Такая миллиметровая линейка представляет пример рав-
номерной шкалы.
Если принять за единицу длины отрезок в 1 см, то
в точке а (черт. 35) мы прочтём число 0,8, в точке Ь — 4,3,
в точке с — 6,25. Если же положить, что единица выра-

жается длиной не в 1 см, а в 1 мм, то штрих, помеченный
цифрой 1, будет уже изображать число 10, а в точке а
мы прочтём 8, в точке b — 43, в точке с — 62,5.
Итак, в зависимости от того, какую длину мы при-
нимаем за единицу, значение одного и того же штриха
шкалы изменяется.
Черт. 35.
Отсюда следует, что на этой шкале можно отсчитывать
какие угодно числа. Например, отметку в точке а
можно читать, как 0,8; 8; 80; 800; 0,08; 0,008 и т. д.
Так как один и тот же штрих шкалы может обозна-
чать различные числа, отличающиеся друг от друга в 10,
100, 1000 ... раз, то мы часто будем читать числа как
цифровой ряд, не обращая внимания на положение запя-
той и нули в конце числа. Например, числа 6,25; 62,5;
625; 6250; 0,0625 читаются одинаково: шесть—два—пять.
Черт. 36.
При помощи двух равномерных шкал можно устроить
прибор для сложения и вычитания чисел. На чертеже 36
показано, как на таком приборе найти сумму 14 и 26.
Для того чтобы осуществить это сложение, нужно про-
тив 14 на нижней шкале поставить 0 (начало) верхней
шкалы, и тогда против 26 на верхней шкале прочтём на

нижней 40 (14 -f- 26 = 40), а против 34 на верхней про-
чтём на нижней 48 (14 + 34 = 48). Легко сообразить, как
на этом приборе можно производить вычитание двух чисел.
Но если вместо равномерных шкал воспользоваться
специальными неравномерными шкалами, то оказывается
возможным производить умножение, деление, возведение
в степень и многие другие действия над числами.
Познакомимся с некоторыми неравномерными шкалами.
На чертеже 37 изображена мерная коническая мензурка,
которая кверху расширяется, и расстояния между деле-
ниями шкалы постепенно уменьшаются, хотя соответствую-
щие им объёмы жидкости равны. На мензурке мы видим
неравномерную шкалу.
На многих электрических приборах можно увидеть не-
равномерные шкалы, например на амперметре (черт. 38),
вольтметре и др. Дальше мы подробно рассмотрим нерав-
номерные шкалы на счётной линейке.
§ 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки.
Линейка в собранном виде показана на чертеже 39.
Она состоит из трёх частей:
1) Корпус (черт. 39а), на котором имеется несколько
шкал. Мы в дальнейшем рассмотрим шкалу D (основная
Черт. 37.
Черт. 38.

шкала), шкалу А (шкала квадратов) и шкалу
К (шкала кубов).
2) Движок (черт. 396), который свобод-
но передвигается в корпусе вправо и Елево.
В первоначальном положении
все деления шкалы движка С
совпадают с делениями основ-
ной шкалы корпуса.
3) Бегунок (черт. 39в) —
металлическая рамка со стеклом,
Черт. 39в.
на котором нанесена черта, на-
зываемая визирной чертой
или, короче, визир (указатель).
Бегунок передвигается вдоль
корпуса и визирной чертой фик-
сирует на шкалах числа.
Нашей промышленностью вы-
пускаются линейки разных раз-
меров, но самыми практичными,
а потому и наиболее распро-
странёнными являются линейки
с длиной шкалы в 250 мм.
§ 87. Основная шкала.
Рассмотрим на корпусе ли-
нейки шкалу D и научимся чи-
тать на ней различные числа.

Только после того, как мы научимся свободно читать и
устанавливать всевозможные числа на шкале, можно
приступить к действиям на линейке.
На шкале нанесено десять основных штрихов, поме-
ченных крупными цифрами 1, 2, 3, 4 ... 10 (черт. 40).
Промежутки между штрихами неравные (шкала неравно-
мерная). Самый большой промежуток между цифрами 1
и 2. Последующие промежутки постепенно уменьшаются.
Эти штрихи соответствуют числам 1, 2, 3 ... 10, а
также числам, которые больше или меньше их в 10, 100,
1000 и т. д. раз. Это значит, что, например, штрих, по-
меченный цифрой 6, может, смотря по смыслу задачи,
обозначать числа: 6; 60; 600; 0,6; 0,06 и т. д.
Черт. 41.
Промежутки между главными штрихами разделены на
более мелкие части, и мы достаточно точно можем читать
на шкале числа, записанные двумя и тремя значащими
цифрами. Самый большой промежуток между цифрами 1
и 2 разделен на большее число частей, чем промежуток
между цифрами 9 и 10. На промежутке 1—2 (черт. 41)
отмечены более мелкими цифрами числа 1,1; 1,2; 1,3; ...
1,9 и расстояние между ними разбито еще на 10 частей.
Значит, промежуток 1—2 разбит на 100 частей, и
цена одного деления от 1 до 2 равна 0,01. Последова-
тельные штрихи изображают числа: 1; 1,01; 1,02; 1,03 . ..
1,98; 1,99; 2.
В этой части шкалы можно точно взять три знака и
«на глаз» четыре знака.
Рассмотрим теперь следующий участок шкалы между
цифрами 2 и 3; 3 и 4 (черт. 42). Каждый из этих про-
межутков разделён уже не на 100, а на 50 частей, и це-
на деления здесь не 0,01, а 0,02. Последовательные штри-
хи, начиная от цифры 2, означают числа: 2,02; 2,04; 2,06;

2,08; 2,10; 2,12; 2,14 ... 2,96; 2,98; 3. Посредине между
штрихами будут находиться числа: 2,01, 2,03; 2,05 и т. д.
Аналогично читаем деления на участке от 3-х до 4-х.
В остальной части шкалы от 4 до 10 (черт. 43) про-
межутки между основными штрихами разделены сначала
на 10 частей и затем каждая часть ещё пополам — всего,
значит, на 20 частей. Следовательно, здесь цена каждого
Черт. 42.
деления равна только 0,05. Последовательные штрихи,
начиная от цифры 4, означают числа: 4,05; 4,10; 4,15...
9,00; 9,05; 9,10; 9,15... 9,90; 9,95; 10.
Прежде чем приступить к выполнению действий на
линейке, нужно научиться безошибочно читать на основ-
ной шкале числа. На чертеже 44 положению визира
а) 1—0—6 могут соответствовать числа 1,06; 10,6; 106;
Черт. 43.
1060; 0,106; 0,0106 и т. д. Аналогично можно прочитать
числа, соответствующие положению визира: б) 1—7—6,
с) 2—0—5, d) 3—8—4, е) 8—5—5.
Очевидно, вычисления, производимые в начальном
участке шкалы, дают несколько большую точность, чем
в конце шкалы, но в целом можно считать, что на ли-
нейке мы считаем с точностью, соответствующей трёх-
значным таблицам. Относительная погрешность вычисле-
ний на линейке примерно равна 0,3%, что для инженер-
ных и других практических расчётов оказывается доста-
точной.

§ 88. Умножение и деление с помощью
счётной линейки.
Умножение. По тому же принципу, как
при помощи двух равномерных шкал можно
было производить сложение чисел, теперь,
пользуясь основной шкалой D на корпусе
линейки и шкалой С на движке, будем про-
изводить умножение чисел.
Найдём произведение 2 • 3. Ставим ви-
зирную черту против пометки 2 на основ-
ной шкале, затем передвигаем движок вправо
так, чтобы 1 на движке пришлась против
визирной черты; затем бегунок перемещаем
вправо так, чтобы визир стоял против по-
метки 3 на движке, тогда на основной
шкале корпуса линейки читаем результат —
6 (черт. 45).
Таким же образом для произведения
1,37 • 2,92 получим на линейке: 1,37- 2,92^4.
Проверка умножением даёт 1,37 • 2,92 =
= 4,0004.
Так как при умножении, согласно прА
Вилу приближённых вычислений, в произве-
дении мы должны оставить лишь три первые
цифры, то получим 4,00, то есть то же
самое число, которое мы гораздо быстрее
нашли с помощью линейки.
Найдём произведение х = 3,4 • 4,5.
Поставив метку 1 движка над меткой
3,4 основной шкалы, замечаем, что метка
4,3 верхней шкалы (С) вышла за пределы
корпуса линейки. В таком случае умножение
надо произвести следующим образом.
Против 3,4 основной шкалы надо постА
Вить не 1 (начало) движка, а конец движка
(метку 1 справа), и тогда под делением 4,5
на движке читаем 15,3 (черт. 46). Перемно-
жив данные числа, найдём 3,4 • 4,5 = 15,30,

что по округлении до трёх цифр даёт то же число, ко-
торое было найдено на линейке.
Правило умножения двух чисел на линейке:
1) Отмечаем визирной чертой на основной шкале (D)
деление, соответствующее одному из сомножителей, и уста-
навливаем против него начало или конец движка.
Черт. 45.
2) На шкале С движка находим деление, соответству-
ющее другому сомножителю, и ставим над ним визир.
3) Под визирной чертой на основной шкале (D) читаем
произведение.
Находя произведение 3,4 • 4,5, мы результат читаем
как цифровой ряд: один — пять — три. Это может быть
153; 15,3; 1,53 и т. д., но грубая прикидка показывает,
что это может быть только 15,3, а не 153 и не 1,53.
Поэтому мы в дальнейшем будем результат действий
оценивать грубой прикидкой. Решая задачу о скорости
поезда и получив на линейке цифры шесть — три, легко
сообразить, что это будет 63 км в час, а не 6,3 км в час
и не 630 км в час, если же речь идёт о скорости само-
лёта, то понятно, что надо принять 630 км в час, а не
63 км в час и не 6300 км в час.
Черт. 46.
Деление. Деление на линейке производится ещё проще,
чем умножение. Разделим 6 на 3.
Отмечаем визирной чертой 6 на основной шкале кор-
пуса линейки (D), ставим под визирную черту 3 на шка-
ле С движка, тогда против 1 (начала) движка читаем
частное 2 (черт. 47). Если надо разделить 4,25 на 5,13,

то, поступая таким же образом, мы получим результат
0,828 против конца движка (черт. 48).
Черт. 47.
Правило деления:
1) Отмечаем визирной чертой делимое на основной
шкале D корпуса линейки.
2) Против визирной черты устанавливаем деление
движка, соответствующее делителю.
Черт. 48.
3) На основной шкале D против начала (или конца)
движка читаем частное.
Легко и быстро вычисляются различные сложные вы-
ражения, в которых надо сделать несколько умножений
и делений, например:
_ 13,8 • 43,3
Х~~ 16,7 '
Черт. 49.
Здесь выгодней производить действия в таком порядке:
сначала делим 13,8 на 16,7, а затем, не читая результата
деления, умножаем на 43,3; ответ 35,8 получаем всего
лишь при одном перемещении движка (черт. 49).
Выражения вида а '£ вычисляются по схеме ^j^jr •

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ.
§ 89. Построение графика зависимости у = х2.
Рассмотрим зависимость между х и у, выражающуюся
формулой:
у = х*. (1)
В такой зависимости находятся длина (х) стороны
квадрата и его площадь (у).
Для построения графика мы будем поступать так же,
как поступали раньше при построении графиков линейной
зависимости (см. § 74 и 75) и обратной пропорциональ-
ности (§ 76).
Составим, например, такую таблицу значений х и со-
ответствующих значений у:
X —4 —3,5 —3 —2,5 —2 — 1,5 — 1 —0,5 0 1.5 2 2,5
У 16 12.25 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 2,25 6,25
Построим по этой таблице точки (черт. 50) на коор-
динатной плоскости. Если будем давать х значения, про-
межуточные между уже взятыми, то точки расположатся
на плоскости плотнее. При всевозможных значениях х
все точки расположатся на некоторой линии (кривой),
называемой параболой (черт. 51).
Из чертежа 51 видно, что весь график расположится
в верхней полуплоскости (т. е. выше оси абсцисс) и лишь
одна его точка О(0, 0) лежит на оси абсцисс.

Это и понятно: у есть квадрат числа х, поэтому у не
может иметь отрицательных значений; запишем это так:
у>0 (читают: у — неотрицательное число).
Черт. 50.
Черт. 51.
Мы видим далее, что все точки графика расположены
попарно симметрично относительно оси ординат. Это
и понятно. Так как (—З)2 = З2; (—5)2 = 52 и вообще
(—а)2 = а2, то точки, имеющие абсциссы, одинаковые по
абсолютной величине, но противоположные по знаку,
имеют одинаковые ординаты. Значит, каждой точке
А (х\ у) графика соответствует точка В (—х\ у) того же гра-
фика, расположенная по другую сторону оси ординат на
том же расстоянии от этой оси. Таким образом, ось ор-
динат является осью симметрии графика зависимости
У = х2.
Аккуратно построенный график (например, на милли-
метровой бумаге) можно использовать для приближённого

возведения чисел в квадрат, если не требуется большая
точность вычислений.
Пусть, например, требуется найти квадрат числа 3,2.
На оси абсцисс находим точку 3,2 (точка А) и из неё
проводим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения
с графиком в точке М. Ордината этой точки, приблизи-
тельно равная 10,2, и даст приближённое значение квад-
рата числа 3,2 (точное значение 10,24). Ординату можно
найти или измерив длину перпендикуляра AM, или опустив
из точки М перпендикуляр на ось ординат. Полученная
точка на оси ординат покажет величину квадрата дан-
ного числа.
Примечание. Ввиду симметрии графика для практических
вычислений достаточно начертить только ту его часть, которая раз-
положена в первой четверти координатной плоскости. В самом деле,
квадрат положительного числа находится непосредственно по гра-
фику; если же нужно найти квадрат отрицательного числа, напри-
мер— 3,6, то ищем по графику квадрат числа 3,6, противополож-
ного данному.
§ 90. Вычисление квадратов чисел по таблицам
и при помощи счётной линейки.
Вычисление квадратов чисел по таблицам. Для прак-
тических вычислений составляются специальные таблицы,
в которых приводятся квадраты чисел.
В учебном пособии В. М. Брадиса «Четырёхзначные
математические таблицы» имеется таблица квадратов чи-
сел, состоящих не более чем из четырёх цифр.
Квадраты чисел, состоящих из одной или двух цифр,
находятся легко. В первом столбце таблицы размещены
числа от 1 до 10 с промежутком в 0,1. Рядом с каждым
из этих чисел во втором столбце помещён его квадрат,
например:
4,32 = 18,49; 5,62 = 31,36 ; 8,02 = 64.
Если в первых двух столбцах таблицы не будем об-
ращать внимания на запятые, то получим таблицу квад-
ратов целых чисел от 10 до 100, например:
432 = 1849 ; 562 = 3136 ; 802 = 6400.

В самом деле, число 43 в 10 раз больше числа 4,3,
то есть 43 = 10 • 4,3. Отсюда найдём, что 132 в 100 раз
больше, чем (4,3)2:
432 = 102 • 4,32.
Увеличив число 4,32 = 18,49 в 100 раз, мы и получим
1849.
Эти же два столбца могут служить для нахождения
квадратов любых чисел, состоящих из двух цифр с ну-
лями перед ними или после них.
Для этого надо запомнить правило:
Если в числе перенести запятую вправо или влево на
несколько цифр, то в квадрате этого числа надо перенести
запятую в ту же сторону на удвоенное количество цифр.
Возьмём, например, число 0,078. Оно в 100 раз меньше
числа 7,8:
0,078 = jjjj • 7,8, откуда (0,078)2 = ^ • 7,82.
Значит, число 7,82 = 60,84 надо уменьшить в 10000
раз: 0,0782 = 0,006084, то есть надо перенести запятую
на 4 знака влево.
Таблица квадратов к книге В. М. Брадиса, кроме
двух столбцов, рассмотренных выше, содержит ещё столбцы,
помеченные вверху и внизу номерами от 1 до 9. Эти
столбцы служат для нахождения квадратов чисел от 1
до 10, состоящих из трёх цифр, то есть содержащих, кроме
десятых долей, ещё и сотые.
Покажем на примере, как находить квадраты таких
чисел.
Пусть требуется найти квадрат числа 7,24. В первом
столбце находим число 7,2 (первые две цифры данного
числа). В той же строке в столбце под номером 4 (третья
цифра данного числа) находим число 52,42 — квадрат
числа 7,24.
Но если мы будем находить квадрат числа 7,24 умно-
жением, то получим:
7,242 = 7,24-7,24 = 52,4176,
а не 52,42. Значит, в таблице дано лишь приближённое
значение квадрата числа 7,24.

Число 52,4176 округлено до четырёх цифр. При этом
последняя оставленная цифра увеличена на единицу, так
как отброшенная часть составляет больше половины еди-
ницы последнего оставленного разряда, то есть больше
0,005 (число 52,42 ближе к 52,4176, чем число 52,41).
Таким же образом находим в таблице:
2,482 = 6,150 вместо 6,1504;
1,742 = 3,028 вместо 3,0276;
5,792 = 33,52 вместо 33,5241;
9,162 = 83,91 вместо 83,9056.
Для нахождения квадрата чисел, имеющих четыре
цифры, в таблицах В. М. Брадиса справа помещены ещё
9 занумерованных столбцов — «поправок».
Пусть требуется найти квадрат числа 7,824. Находим
по предыдущему квадрат числа 7,82. Он равен 61,15.
Затем в той же строке в столбце «поправок» за номером 4
(последняя цифра заданного числа) находим число 6, ко-
торое и прибавляем к последней цифре числа 61,15.
Получаем:
7,8242 ^ 61,21.
Ещё пример: найти 47,332.
Найдём сначала 4,732. По таблице находим: 4,732^
^ 22,37. В столбце «поправок» за номером 3 находим
число 3, которое прибавляем к последней цифре числа
22,37. Получим: 4,7332 ж 22,40. Значит, по правилу, при-
ведённому на странице 188, будем иметь:
47,33а^2240.
На практике обычно действия производят над прибли-
жёнными числами, руководствуясь правилами приближён-
ных вычислений. Если, например, числовые данные полу-
чены измерением с двумя значащими цифрами,то и числа,
взятые из таблиц, надо округлить до двух значащих цифр;
третья цифра оставляется в качестве запасной, если с чис-
лами, взятыми из таблицы, производятся дальнейшие вы-
числения.
Пример 1. Сторона квадрата равна (приближённо)
4,3 м. Вычислить его площадь S.

Решение. Из таблиц В. М. Брадиса найдём 4,32 =
= 18,49. Так как сторона 4,3 дана с двумя значащими
цифрами, то и число, взятсе из таблицы, следует округ-
лить, оставив в кем две значащие цифры. Итак,
S « 18 кв. м.
Пример 2. Радиус круга равен (приближённо) 4,3 м.
Найти площадь S круга.
Решение. Как известно, площадь круга выражается
формулой S = r:R2t где R— радиус круга, а 7:^3,14.
Теперь берём /?2^ (4,3)2^ 18,5. Здесь значение R2 взято
из таблицы с округлением до трёх значащих цифр. Третья
цифра взята как запасная, потому что над R2 произво-
дятся дальнейшие вычисления. В окончательном резуль-
тате надо сохранить две значащие цифры.
S = 3,14 - 18,5 = 58,09^ 58 (кв. м).
Полезно запомнить очень лёгкий способ приближённого возве-
дения в квадрат чисел, близких к единице.
Обозначим число, немного большее единицы, через 1 + а. Тогда:
(1 +а)2^1 -f 2а-f а2.
Но а2 — очень малое число, которое мы можем отбросить. По-
лучим легко запоминаемую формулу:
(1 + а)2^1 + 2а.
Примеры:
1,02» ж 1,04 (точный результат: 1,0404);
1,04* ж 1,08 ( » » 1,0816).
Мы видим, что, округлив до трёх цифр точные квадраты, по-
лучим как раз те же числа, которые получили устно по формуле.
Пользуясь этой же формулой, мы можем устно вычислить:
10,2*^104; 10,4*^108; 10,5«=110;
1022 ж 10 400; ЮЗ2 ж 10 600; 1042 ж 10 800.
Здесь мы применили правило о переносе запятой, приведённое
в начале этого параграфа (стр. 188).
Можно вычислять в уме квадраты чисел, немного меньших
единицы.
Обозначим точное число через 1—а:
(1— а)2 = 1— 2а + а*.
Отбрасывая малое число а2, получим:
(1— 2а.

Примеры.
0,98* = (1 —0,02)* ^ 1 —0,04 = 0,96
0,97*^ 1 — 0,06 = 0,94
9,92« 100 —2 = 98.
Возведение чисел в квадрат на счётной ли-
нейке. Очень легко на линейке находить при-
ближённое значение квадрата любого числа.
Для этого на корпусе линейки имеется шкала
квадратов А (черт. 52). Эта шкала состоит из
двух частей: левая содержит деления от 1 до
10; правая — от 10 до 100 — в точности повто-
ряет левую.
Каждая из этих частей представляет собой
основную шкалу D, но уменьшенную вдвое.
Если поставить визирную черту на любое
число основной шкалы D, то на шкале квадратов
А прочтём квадрат этого числа.
На чертеже 39 читаем: V = 4.
Ниже приведено несколько примеров возве-
дения чисел в квадрат и для сравнения даны
квадраты этих же чисел, вычисленные по четырёх-
значным таблицам.
X
3 3,4 6,3 24,4 0,461
х2 на линейке
х2 по таблице
9
9,000
11,6
11,56
39,7
39,69
595
595.4
0,213
0,2125
Так же как при умножении и делении на
линейке, место запятой результата возведения
в квадрат определяем грубой прикидкой. Читая
6,32 три — девять — семь, ясно, что это не
может быть ни 3,97, ни 397, значит, 6,32 = 39,7.
С большой скоростью и простотой вычисля-
ются на линейке комбинации из нескольких дей-
ствий. Найдём значение х =^ 4,53 • 2,382.

Ставим визир против 2,38 на основной шкале D. Тогда
на шкале квадратов А визир покажет число 2,382. Не
читая этого числа и не трогая бегунка, переставим дви-
жок так, чтобы его начало 1 совпало с визирной чертой.
Черт. 53.
Теперь передвинем бегунок и против 4,53 на шкале В чи-
таем на шкале А окончательный ответ 25,7. Для нахож-
дения результата понадобилось только одно перемещение
движка (черт. 53). Так же экономно вычислим площадь
Черт. 54.
круга, если радиус его R = 15,3 см. По формуле S=pR/?2
найдём: S = TC • 15,32=735 см2. (Число на на линейке имеет
специальную отметку) (черт. 54).
§ 91. Понятие об извлечении корня.
Решим две задачи.
Задача 1. Сторона квадратного участка земли равна
8 м. Определить его площадь.
Площадь S участка равна квадрату его стороны.
Значит:
S = 82 = 64 (м2).

Задача 2. Площадь квадратного участка равна 81 м2.
Вычислить его сторону.
Эта задача является обратной по отношению к пер-
вой. В первой задаче была известна длина стороны квад-
рата и требовалось найти его площадь; здесь, наоборот,
известна площадь квадрата, требуется найти длину его
стороны.
Обозначим неизвестную длину стороны квадрата через
х метров. Тогда площадь квадрата будет равна х2м2. Но
по условию эта площадь равна 81 м2. Получаем уравнение:
х2 = 81.
Значит, чтобы решить задачу 2, надо найти число,
квадрат которого был бы равен 81. Из таблицы квадра-
тов найдём, что таким числом является 9. Действительно:
92 = 9.9 = 81.
Число 9 называется корнем второй степени или, ко-
роче, квадратным корнем из 81. Точно так же 7 является
2
квадратным корнем из 49, так как 72 = 49; число —
4 /2\2 4
квадратный корень из -g-, так как ^yj ^-g-.
Определения. 1. Квадратным корнем из числа а
называется число, квадрат которого равен а.
2. Действие, посредством которого отыскивается квад-
ратный корень, называется извлечением квадратного
корня.
Извлечение корня (квадратного) является действием,
обратным возведению в квадрат: при возведении в квад-
рат известно число, требуется найти его квадрат; при
извлечении квадратного корня известен квадрат числа,
требуется найти само число.
Поэтому правильность извлечения квадратного корня
можно проверить, возведя найденный корень в квадрат;
если получится данное число, значит, корень найден верно.
Рассмотрим уравнение:
х2 = а (1)
при различных значениях а.

1) Пусть а <0.
В этом случае уравнение (1) не имеет решений. Дей-
ствительно, какое бы значение х мы ни взяли, квадрат
его будет всегда неотрицательным числом (т. е. положи-
тельным числом или нулём) и, следовательно, не может
равняться отрицательному числу а.
2) Пусть а = 0.
Очевидно, что в этом случае уравнение (1) имеет един-
ственное решение х = 0.
Действительно, 02=0 • 0=0, если же x=0, то и х2 Ф 0.
3) Пусть а > 0.
В этом случае, как мы уже видели на примере урав-
нения х2 = 81, уравнение может иметь решение.
Из всего сказанного можно сделать вывод.
Для того чтобы из числа можно было извлечь квад-
ратный корень, необходимо, чтобы оно было неотрица-
тельным числом, то есть положительным числом или нулём.
§ 92. Арифметический корень.
Решая в § 91 уравнение *3 = 81, мы нашли его поло-
жительный корень: х = 9. Но легко установить, что и
число — 9 тоже является решением этого уравнения, так
как (—9)2 = (—9) • (—9) = 81. Значит, число 81 имеет два
квадратных корня: 9 и —9. Положительное число 9 на-
зывают арифметическим корнем из 81. Точно так
же число 144 имеет два квадратных корня: 12 и —12.
Положительное число 12 называют арифметическим кор-
нем из 144. Вообще, если Ь является квадратным корнем
из какого-либо положительного числа а, то и число, про-
тивоположное числу Ь, тоже является квадратным корнем
из а. Действительно, если Ь2=а, то и (—6)2=(—Ь) • (—Ь) =
= Ь2=а. Один из корней является положительным, другой
отрицательным числом.
Если а=0, то единственным числом, квадрат которого
равен 0, есть 6=0.
Определение. Неотрицательный квадратный корень
из неотрицательного числа называется арифметическим
квадратным корнем из этого числа.

Арифметический корень из числа а обозначается так:
/а. Число а, из которого извлекают корень, называется
подкоренным числом.
Примеры: ]/Г=1; /0=0; /4=2; |/| = |;
/0,25=0,5; /—25 не имеет смысла.
Нетрудно убедиться, что арифметический корень из
неотрицательного числа может иметь лишь одно един-
ственное значение. Поясним это примером. Имеем: /49=7,
но никакое другое неотрицательное число, будучи возве-
дено в квадрат, не может дать 49.
В самом деле, если взять любое число (неотрицатель-
ное), меньшее 7 (например, 6; 6,5; 6,7 и т. п.), то, воз-
ведя его в квадрат, получим число, меньшее 49.
Если же взять любое число, большее 7 (например 8;
7,5; 7,9 и т. п.), то, возведя его в квадрат, получим число,
большее 49, и лишь одно положительное число 7, возве-
дённое в квадрат, даст 49.
Таким образом, из всего сказанного выше вытекает
следующее:
1. Для выражения /а допустимыми значениями а
могут быть лишь неотрицательные числа, то есть а > 0.
2. Само выражение У а также может иметь лишь
неотрицательные значения, то есть /а > 0.
3. Уравнение х2 = а при а > 0, кроме решения *=/а,
имеет ещё отрицательное решение — |/а, значит, данное
уравнение имеет два решения: х = + /а
(при а = 0 получается одно решение х = 0).
Из неотрицательности арифметического корня, сле-
дует, что равенство
/а2 = а.
имеет место не всегда.
Это равенство будет верным лишь при условии, что а > 0,
Если а < 0, то верным будет такое равенство:
У а2 = —а.
Например, если а = —5, то будем иметь:
/(=5)2 = /25 = 5 = -(-5).

Точно так же V(—4)2 = 4, ]/"(—11)2= 11 и т. п.
Таким образом, правильно можно записать так:
У а2 = а при а > 0;
]/а2 = —а при а < 0.
Приняв во внимание, что абсолютная величина числа
всегда положительна (или равна нулю), оба эти равен-
ства можно объединить в одно:
Va = \a\.
Например: V(—Ю)2 = |—10| = 10.
§ 93. Приближённый квадратный корень
из положительного числа.
Задача. Комната квадратной формы имеет площадь,
равную 20 кв. м. Найти её длину и ширину.
Так как комната квадратная, то её длина х равна её
ширине. По условию задачи мы должны иметь:
х2 = 20,
и нам требуется найти арифметический корень из числа 20.
Очевидно, что х не может быть целым числом, так
как 42 < 20 < 52, а между двумя соседними целыми чис-
лами 4 и 5 не содержится ни одного целого числа.
Наша задача имеет вполне определённый практиче-
ский смысл, и её можно решить приближённо с требуемой
точностью.
Покажем, как это можно сделать.
Мы указали, два соседних целых числа 4 и 5 такие,
что 42 меньше, а 52 больше, чем 20.
Число 4 называется приближённым квадратным кор-
нем из 20 с точностью до 1 с недостатком, число
5 — приближённым корнем из 20 с точностью до 1
с избытком.
Рассмотрим теперь десятичные дроби, заключающиеся
между 4 и 5 и имеющие целое число десятых долей:
4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5; 4,6; 4,7; 4,8; 4,9.

Будем последовательно возводить эти дроби в квадрат,
пока не получим числа, большего 20.
X 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5
У 16,81 17,64 18.49 19,36 20,25
Итак, мы получили:
(4,4)2 < 20 < (4,5)2.
Числа 4,4 и 4,5 называются приближёнными значе-
ниями квадратного корня из 20 с точностью до 0,1 с не-
достатком и с избытком (соответственно).
Если нам недостаточна полученная точность, то по-
ступим так: будем выписывать десятичные дроби, заклю-
чённые между 4,4 и 4,5 и содержащие целое число сотых
долей, а затем будем последовательно возводить эти дроби
в квадрат, пока не получим числа, большего 20:
X 4,41 4,42 4,43 4,44 4,45 4,46 4,47 4,48
X2 19,4481 19,5364 19,6249 19,7136 19,8025 19,8916 19,9809 20.0704
Числа 4,47 и 4,48 называются приближёнными значе-
ниями квадратного корня из 20 с точностью до 0,01 с
недостатком и с избытком.
Точно так же (если это нужно) можно получить при-
ближённые значения \^20 с точностью до 0,001; это будут
числа 4,472 и 4,473, так как (4,472)2 = 19,998784 и
(4,473)2 = 20,007729 и, значит:
(4,472)2 < 20 < (4,473)2.
Итак, наша задача получила решение с точностью до
трёх значащих цифр; такая точность вполне достаточна
во многих практических измерениях. Можно считать, что
х = 4,47.
Дадим теперь общее определение приближённого корня.

Приближёнными значениями квадратного корня из
данного числа с точностью до единицы называются два
последовательных натуральных числа, из которых квадрат
первого меньше, а квадрат второго больше данного числа.
Первое из этих чисел называется приближённым зна-
чением корня с недостатком, второе — приближённым
значением корня с избытком.
Записывают приближённые значения корня так:
10^З (с нед.); 10^4 (с изб.).
Примеры.
134» 11 (с нед.); ]134^12 (с изб.);
/1000^31 (с нед.); /1000 ^32 (с изб.).
Вместо слов «приближённое значение квадратного кор-
ня» часто говорят просто «приближённый квадратный
корень».
Чтобы найти приближённый корень с точностью до 1 с
недостатком, надо найти наибольшее натуральное число,
квадрат которого меньше подкоренного числа. Это можно
сделать или путём испытаний, или пользуясь таблицами
квадратов натуральних чисел.
Прибавив 1 к приближённому корню с недостатком, по-
лучим приближённый корень с избытком.
Определение. Приближёнными квадратными кор-
нями с недостатком и с избытком из числа с точностью
до 0,1 называются такие два числа, отличающиеся друг
от друга на 0,1, из которых квадрат одного меньше,
а квадрат другого больше данного числа.
Приближённые корни с точностью до 0,1 записывают
в виде десятичных дробей с одним знаком после за-
пятой. Прибавив 0,1 к приближённому корню с недо-
статком, получим приближённый квадратный корень с
избытком.
Например, приближёнными корнями с точностью до 0,1
из 32 будут числа 5,6 и 5,7, так как
5,62 = 31,36; 5,72 = 32,49.
Значит,
5,62 < 32 < 5,7а.

Аналогично определяются приближённые корни с точ-
ностью до 0,01, 0,001 и т. д. из данного числа.
Пример. Числа 3,77 и 3,78 являются приближён-
ными значениями |^14,24 с точностью до 0,01.
Проверим это:
(3,77)2 = 14,2129; (3,78)2 = 14,2884.
Значит,
(3,77)2< 14,24 <(3,78)2.
Итак, числа 3,77 и 3,78 отличаются друг от друга
на 0,01, квадрат первого меньше, а квадрат второго больше,
чем 14,24. Это и означает, что 3,77 и 3,78 суть прибли-
жённые корни из 14,24 с точностью до 0,01.
§ 94. График зависимости у = √x.
Построим график зависимости у = Ух.
Составим, например, такую таблицу значений х и у,
взяв приближённые корни с точностью до 0,01:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y = V~x 0 1 1.41 1,73 2 2,24 2.45 2,65 2.83 3 3,16
Черт. 55
Построив по этой таблице точки на координатной плос-
кости и соединив их последовательно кривой линией, по-
лучим график, изображённый на чертеже 55.

С помощью аккуратно построенного графика можно
находить приближённые значения квадратного корня, если
не требуется большой точности.
Найдём по графику 6,7. На оси абсцисс найдём точ-
ку Л с абсциссой 6,7 и через неё проведём перпендику-
ляр к этой оси, который пересечёт график в точке М.
Ордината этой точки, равная приблизительно 2,6, и даст
приближённое значение 6,7.
Так как по определению арифметического корня х и у
не могут быть отрицательными числами, то график зави-
симости у = Yx расположен в I четверти координатной
плоскости.
Приближённые формулы. Если в тождестве
(1±т),-1±в+т (1)
число а мало по сравнению с единицей, то, отбросив член —, получим по
извлечении из обеих частей квадратного корня приближённые равенства:
VT±i« 1 ± j,
которые позволяют легко найти в уме приближённые корни из чи-
сел, близких к единице.
Примеры.
По формуле. Более точные значения.
1,03 « 1,016; КШ« 1,01489;
1,04 « 1,02; ]/Ш « 1,01980;
/096 « 1 — 0,02 = 0,98; /096 « 0,97979;
/097 « 1 — 0,015 = 0,985; /097 ^ 0,98489.
Передвинув в подкоренном числе запятую на две цифры, а в
полученном корне на одну цифру вправо (см. п. 1, пример 4),
получим:
/105 « 10,25; /165 « 10,24695;
/106 « 10,3; /106 « 10,29563;
/98 «10 — 0,1=9,9; /98 « 9,89949;
/95 « 10 — 0,25 = 9,75; /95 « 9,74679.

§ 95. Извлечение квадратного корня из целых чисел.
В настоящем параграфе мы выведем правило извлечения квад-
ратного корня из целых чисел. В случае, если данное число не яв-
ляется квадратом целого числа, по этому правилу можно найти
приближённый корень с недостатком с точностью до 1.
Извлечение корня из целого числа, меньшего 10 000, но боль-
шего 100. Пусть надо найти j/4082. Так как это число меньше
10 000, то корень из него меньше 100. С другой стороны, данное
число больше 100, значит, корень из него больше 10 (или равен 10).
Но всякое число, которое больше 10 (или равно 10), но меньше 100,
имеет две цифры, значит, искомый корень есть сумма:
десятки + единицы,
и поэтому квадрат его должен равняться сумме:
(десятки)2 + 2 • (дес.) • (един.) -f (единицы)2.
Сумма эта должна быть наибольшим квадратом, заключающимся
в 4082. Так как (десятки)2 составляют сотни, то квадрат десятков
надо искать в сотнях данного числа. Сотен в данном числе 40 (мы
находим их число, отделив запятой две цифры справа). Но в 40
заключается несколько целых квадратов: 36, 25, 16, ... и др. Возь-
мём из них наибольший: 36, и допустим, что квадрат десятков
корня будет равен именно этому наибольшему квадрату. Тогда
число десятков в корне должно быть 6. Проверим теперь, что всегда
число десятков корня равно наибольшему целому корню из числа
сотен подкоренного числа. Действительно, в нашем примере число
десятков корня не может быть больше 6, так как (7 дес.)2 = 49 со-
тен, что превосходит 4082. Но оно не может быть и меньше 6,
так как 5 дес. (с единицами) меньше 6 дес, а между тем (6 дес)2 =
= 36 сотням, что меньше 4082. А так как мы ищем наибольший це-
лый корень, то не следует брать для корня 5 дес, когда и 6 дес
оказывается мало. Итак, мы нашли число десятков корня, именно 6.
Пишем эту цифру направо от знака равенства, запомнив, что она
означает десятки корня. Возвысив её в квадрат, получим 36 сотен.
Вычитаем эти 36 сотен из 40 сотен подкоренного числа и к остатку
приписываем число 82:
Уг40782 = 6
_36
48'2
В числе 482 должна содержаться сумма:
2 • (6 дес) • (един.) -f (единицы)2.
Произведение (6 дес) • (един.) должно составлять десятки, по-
этому удвоенное произведение десятков на единицы надо искать
в десятках остатка, то есть в 48 (мы получим число их, отделив
в остатке 48'2 одну цифру справа). Удвоенные десятки корня со-

ставляют 12. Значит, если 12 умножим на единицы корня (которые
пока неизвестны), то мы должны получить число, содержащееся в 48.
Поэтому разделим 48 на 12. Для этого влево от остатка проводим
вертикальную черту и за ней (отступив от черты на одно место
влево, для цели, которая сейчас обнаружится) напишем удвоенную
первую цифру корня, то есть 12, и на неё разделим 48.
В частном получим 4. Однако заранее нельзя ручаться, что
цифру 4 можно принять за единицы корня, так как мы сейчас раз-
делили на 12 всё число десятков остатка, тогда как некоторая часть
из них может и не принадлежать удвоенному произведению десятков
на единицы, а входить в состав квадрата единиц. Поэтому цифра 4
может оказаться велика. Надо её испытать. Она, очевидно, будет
годиться в том случае, если сумма 2 • (6 дес.) • 4 + 42 окажется не
больше остатка 482. Сумму эту мы можем вычислить сразу таким
простым приёмом: за вертикальной чертой к удвоенной цифре корня
(к 12) приписываем справа цифру 4 (поэтому мы и отступили от
черты на одно место) и на неё же умножим полученное число
(124 на 4):
VWM==e>
36
124 |48'2
4 |49 6
Действительно, проводя это умножение, мы умножаем 4 на 4,
значит, находим квадрат единиц корня; затем мы умножаем 12 де-
сятков на 4, значит, находим удвоенное произведение десятков
корня на единицы. В результате получаем сразу сумму того и дру-
гого. Полученное произведение сказалось 496, что больше остатка
482, значит, цифра 4 велика. Тогда испытаем таким же образом
следующую меньшую цифру, 3. Для этого сотрём цифру 4 и произ-
ведение 496 и вместо цифры 4 поставим 3 и умножим 123 на 3;
V/40782 = 63
36
123 48 2
3 36 9
11 3
Произведение 369 оказалось меньше остатка 482; значит, цифра 3
годится (если бы случилось, что и эта цифра велика, тогда надо
было бы испытать следующую меньшую цифру, 2). Напишем цифру 3
в корне направо от цифры десятков. Последний остаток 113 пока-
зывает избыток данного числа над наибольшим целым квадратом,
заключающимся в нём. Для проверки возвысим в квадрат 63 и к
результату прибавим 113:
632 - 3969
+ из
4082

Так как в сумме получилось данное число 4082, то действие сде-
лано верно.
Примеры.
I. l/12725 = 35 2. l/86755 = 93 3. /16705 = 40
9 81 16
65 32'5 183 55'5 8 | 0'5
5 32 5 3 54 9
0 6
4. ]/8772 == 29 5. ]/64 00 = 80
4 64
49 47'2 00
9 44 1
3 1
В четвёртом примере при делении 47 десятков остатка на 4 мы
получаем в частном 11. Но так как цифра единиц корня не может
быть двузначным числом 11 или 10, то надо прямо испытать цифру 9.
В пятом примере после вычитания из первой грани квадрата 8
остаток оказывается равным 0 и следующая грань тоже состоит из
нулей. Это показывает, что искомый корень состоит только из 8 де-
сятков, и потому на место единиц надо поставить нуль.
Извлечение корня из целого числа, большего 10 000. Пусть тре-
буется найти "^35 782. Так как подкоренное число превосходит
10 000, то корень из него больше |/10 000 = 100 и, следовательно,
он состоит из трёх цифр или более. Из скольких бы цифр он ни
состоял, мы можем его всегда рассматривать как сумму только де-
сятков и единиц. Если, например, корень оказался бы 482, то мы
можем его считать за сумму 48 десятков + 2 единицы. Тогда квад-
рат корня будет состоять по-прежнему из трёх слагаемых:
(десятки)2 + 2 • (дес.) • (един.) -f (единицы)2.
Теперь мы можем рассуждать совершенно так же, как и при
нахождении j/4082 (в предыдущем примере). Разница будет только
та, что для нахождения десятков корня из 4082 мы должны были
извлечь корень из 40, и это можно было сделать по таблице умно-
жения; теперь же для получения десятков уг357782 нам придётся из-
влечь корень из 357, что по таблице умножения выполнить нельзя.
Но мы можем найти К 357 там приёмом, который был описан в пре-
дыдущем примере, так как число 357 < 10 000:
У> 5 V 8 2 = 189
1 | | ! |
28 2 5'7 ! !
8 2 2 4 J !
369 5!Г~8'2
9 3 3 2 1

Наибольший целый корень из 357 равен 18. Значит, в \ 3'57'82
должно быть 18 десятков.
Чтобы найти единицы, надо из 3'57'82 вычесть квадрат 18 де-
сятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к
остатку снести две последние цифры подкоренного числа. Остаток
от вычитания квадрата 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит,
для получения остатка от вычитания квадрата 18 десятков из
3'57'82 достаточно к 33 приписать справа цифры 8 и 2.
Далее поступаем так, как мы поступали при нахождении 4082,
а именно: влево от остатка 3382 проводим вертикальную черту и
за нею пишем (отступив от черты на одно место) удвоенное число
найденных десятков корня, то есть 36 (дважды 18). В остатке от-
деляем одну цифру справа и делим число десятков остатка, то есть
338, на 36. В частном получаем 9. Эту цифру испытываем, для
чего её приписываем к 36 справа и на неё же умножаем. Произве-
дение оказалось 3321, что меньше остатка. Значит, цифра 9 го-
дится, пишем её в корне.
Вообще, чтобы извлечь квадратный корень из какого угодно
целого числа, надо сначала извлечь корень из числа его сотен;
если это число больше 100, то придётся искать корень из числа со-
тен этих сотен то есть из десятков тысяч данного числа; если и
это число больше 10 000, придётся извлекать корень из числа сотен
десятков тысяч, то есть из миллионов данного числа, и т. д.
Примеры:
I. V 8' 7 2' 0 0' 0 0 = 2952 2. /З7 5 0' 3 2' б 0' 8 9 = 18 717
4 | j j ! j j J i j ! s i J
49 4 7' 2 I ! J 28 2 5'0 ! j I i i i
9 4 4 1 I : j 8 2 2 4 j j j i j j
585 3 1 0' 6 j 367 2 6 3' 2 ! j i j
5 2 9 2 5 ij 7 25 6 9 j j j ;
5902 1 7 5 O'O 3741 6 3 6'0 : !
2 118 0 4 1 3 7 4 1 j j
5 6 9 6 37427 2 6 1 9 8'9
7 2 6 1 9 8 9
0
3. /9' 5 1' 1 0' 5 6 = 3084
9
608 5 1 10
8 4 8 6 4
6164 2 4 6 5'6
4 2 4 6 5 6
0
В последнем примере, найдя первую цифру и вычтя квадрат её,
получаем в остатке 0. Сносим следующие две цифры, 5 и 1. Отделив
десятки, мы получаем 5 десятков, тогда как найденная удвоенная
цифра корня есть 6. Значит, от деления 5 на 6 мы получаем 0.

Ставим в корне 0 на втором месте и к остатку сносим следующие
две цифры; получаем 5110. Далее продолжаем как обыкновенно.
Правило. Чтобы извлечь квадратный корень из данного це-
лого числа, разбивают его от правой руки к левой на грани по две
цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может
быть и одна цифра.
Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный ко-
рень из первой грани.
Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квад-
рат первой Цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число
десятков получающегося числа делят на удвоенную первую цифру
корня; полученное целое число подвергают испытанию.
Испытание это производится так: за вертикальной чертой
(налево от остатка) пишут удвоенное ранее найденное число корня
и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру, полу-
чившееся после этой приписки число умножают на испытуемую
цифру. Если после умножения получится число, большее остатка,
то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую
меньшую Цифру.
Следующие цифры корня находятся по тому же приёму.
Если после снесения грани число десятков получившегося числа
окажется меньше делителя, то есть меньше удвоенной найденной
части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и про-
должают действие дальше.
§ 96. Извлечение корня с точностью до 0,1; 0,01 и т. д.
Пусть требуется найти |/2,35104 с точностью до (с недостат-
ком). Расположим вычисления так:
/2',35'10'4 = 1,5
1
251 13'5
5 I 12 5
1 0
Мы сначала находим приближённый корень с точностью до 1, только
из целого числа 2. Получим 1 (и в остатке 1). Пишем в корне цифру 1
и ставим после неё запятую. Теперь находим цифру десятых. Для этого
приписываем к остатку 1 цифры 3 и 5, стоящие направо от запятой, и
продолжаем извлечение так, как будто мы извлекали корень из целого
числа 235. Полученную цифру 5 пишем в корне на месте десятых.
Остальные цифры подкоренного числа (104) нам не нужны. Что по-
лученное число 1,5 будет действительно приближённым корнем с точ-
ностью до у^г , видно из следующего; если бы мы находили наиболь-

ший целый корень из 235 с точностью до 1, то получили бы 15,
значит,
152<235< 16я.
Разделив каждое из этих чисел на 100, получим:
или
1,52<2,35< 1,б2,
и, наконец,
1,52 < 2,35104 < 1,62.*
Пусть требуется найти с точностью до j-L приближённый /248
с недостатком. Найдём целое число, потом — цифру десятых, затем —
и цифру сотых. Корень из целого числа будет 15 целых. Чтобы
получить цифру десятых, надо, как мы видели, приписать к остатку
23 ещё две цифры, стоящие направо от запятой:
)/2'48',0000= 15,74
1
25 14 8
б 1 12 5
307 2 30'0
7 2 14 9
3144 15 Ю'О
4 12 57 6
2 52 4
В нашем примере этих цифр нет вовсе; ставим на их место
нули. Приписав их к остатку и продолжая действие так, как будто
находим корень из целого числа 24 800, мы найдём цифру десятых, 7.
Остаётся найти цифру сотых. Для этого приписываем к остатку 151
ещё два нуля и продолжаем извлечение, как будто мы находим
корень из целого числа 2 480 000. Получаем 15,74. Что это число
действительно есть приближённый корень из 248 с точностью до
с недостатком, видно из следующего. Если бы мы находили наибольший
целый квадратный корень из целого числа 2 480 000, то получили бы
1574, значит:
15742 <2 480 000 < 15752.
Разделив каждое из этих чисел на 10 000 (1002), получим:
15742 ^94* 0000 ^ 15758
100< 248.0000 <100,
* От прибавления числа 0,00104 двойной знак < должен изме-
ниться, очевидно, в знак <, а знак > остаётся (так как 0,00104 <
<0,01).

или
15,74* < 248; 15,75* > 248.
Значит 15,74 есть та десятичная дробь, которую мы назвали
приближённым корнем с недостатком с точностью до ^ из 248.
Правило. Чтобы извлечь из данного целого числа или из
данной десятичной дроби приближённый корень с недостатком
с точностью до , до до -^QQ и т. д., находят сначала при-
ближённый корень с недостатком с точностью до 1, извлекая корень
из целого числа (если его нет, пишут в корне 0 целых).
Потом находят цифру десятых. Для этого к остатку припи-
сывают две цифры подкоренного числа, стоящие направо от запятой
(если их нет, приписывают к остатку два нуля), и продолжают
извлечение так, как это делается при извлечении корня из целого
числа. Полученную цифру пишут в корне на месте десятых.
Затем находят цифру сотых. Для этого к остатку приписы-
вают снова две цифры, стоящие направо от тех, которые были
только что снесены, и т. д.
Таким образом, при извлечении корня из целого числа с деся-
тичной дробью надо делить на грани по две цифры в каждой, на-
чиная от запятой, как влево (в целой части числа), так и вправо
(дробной части).
Примеры.
1. Извлечь с точностью до щ корни: а) У 2; б) У 0,3.
а) ]/2= 1,41 б) /030 = 0,54
1 25
24 Ю'О 104 50 0
4 9 6 4 41 6
281 40'0 8 4
1 284
11 9
2. Извлечь с точностью до ! а) /0,38472; б) |/ у.
а) }Л),38'47'20 = 0,6202 б) l/ 4 « VW&WTVW
36 г 7
122 ~WT }Л),42'85'71'42 = 0,6546
2 24 4 36
12402 3200'0 12'£
2 2480 4 5 р62_5_
719 в 1304 6 074
/° 4 5 21 6
13086 85 5 4'2
6 78 5 16
7 0 26

В последнем примере мы обратили дробь — в десятичную, вы-
числив восемь десятичных знаков, чтобы образовались четыре грани,
потребные для нахождения четырёх десятичных знаков корня.
§ 97. Квадратный корень из произведения, дроби
и степени.
В настоящем параграфе мы будем рассматривать ариф-
метические квадратные корни.
В случае буквенного подкоренного выражения будем
считать, что буквы, содержащиеся под знаком корня, обо-
значают неотрицательные числа.
1. Корень из произведения.
Рассмотрим такой пример.
/2601 = 51, так как (51)2 = 2601.
С другой стороны, заметим, что число 2601 есть про-
изведение двух сомножителей, из которых корень извле-
кается легко:
2601 = 9 • 289.
Извлечём квадратный корень из каждого сомножителя
и перемножим эти корни:
/9-/289 = 3. 17 = 51.
Мы получили одинаковые результаты и тогда, когда
извлекали корень из произведения, стоящего под корнем,
и тогда, когда извлекали корень из каждого сомножи-
теля отдельно и результаты перемножали.
Во многих случаях вторым способом найти результат
легче, так как приходится извлекать корень из меньших
чисел.
Теорема 1. Чтобы извлечь квадратный корень
из произведения, можно извлечь его из каждого
сомножителя отдельно и результаты перемно-
жить.
Докажем теорему для трёх сомножителей, то есть до-
кажем справедливость равенства:
abc «/а- УЪ- У с. (1)

Доказательство проведём непосредственной проверкой,
на основании определения арифметического корня.
Допустим, что нам надо доказать равенство:
√A = B.
(А и В — неотрицательные числа.) По определению квад-
ратного корня, это значит, что
B2 = A.
Поэтому достаточно возвести в квадрат правую часть до-
казываемого равенства и убедиться, что получится под-
коренное выражение левой части.
Применим это рассуждение к доказательству равен-
ства (1). Возведём в квадрат правую часть; но в правой
части находится произведение, а чтобы возвести в квадрат
произведение, достаточно возвести в квадрат каждый со-
множитель и результаты перемножить (см. § 40):
(√a √b √c)2 = (√a)2 (√b)2 (√a)2 = abc.
Получилось подкоренное выражение, стоящее в левой
части. Значит, равенство (1) верно.
Мы доказали теорему для трёх сомножителей. Но рас-
суждения останутся теми же, если под корнем будет
4 и т. д. сомножителей. Теорема верна для любого числа
сомножителей.
Пример.
√4 • 9 • 25 • 36 = 2 • 3 •5 • 6 = 180.
Результат легко найден устно.
2. Корень из дроби. Вычислим √121/144:
Проверка.
С другой стороны:

значит,
Т/121 = 121
V 144 у
Докажем теорему.
Теорема 2. Чтобы извлечь корень из дроби
можно извлечь корень отдельно из числителя,
и знаменателя и первый результат разделить
на второй.
Требуется доказать справедливость равенства:
Для доказательства применим способ, которым была
доказана предыдущая теорема.
Возведём правую часть в квадрат. Будем иметь:
(Va\2_ (Vol _ а
\b) (b)2 ь-
Получили подкоренное выражение, стоящее в левой
части. Значит, равенство (2) верно.
Итак, мы доказали следующие тождества:
и сформулировали соответствующие правила извлечения
квадратного корня из произведения и частного. Иногда
при выполнении преобразований приходится применять
эти тождества, читая их «справа налево».
Переставив левую и правую части, перепишем дока-
занные тождества следующим образом:
vivi=vb. Ц-VJ-
Чтобы перемножить корни можно перемножить под-
коренные выражения и из произведения извлечь корень.
Чтобы разделить корни, можно разделить подкоренные
выражения и из частного извлечь корень.
3. Корень из степени. Вычислим J/26.
= 64 = 8.
Но 8 = 23 = 22 .

Значит,
J/26 = 2 2 = 23.
Точно так же
УЗ* = /§Т = 9 = З2 - 3^.
В обоих примерах мы в результате получали основание
подкоренного выражения в степени, равной частному от
деления показателя степени на 2.
Докажем это положение в общем виде.
Теорема 3. Если т —чётное число, то
т
Уат = а 2 . (3)
Кратко говорят так: чтобы извлечь квадратный корень
из степени, достаточно разделить на 2 показатель сте-
пени (не меняя основания).
Для доказательства применим тот способ проверки,
которым были доказаны теоремы 1 и 2.
Так как т — чётное число (по условию), то у—целое
число. Возведём в квадрат правую часть равенства (3),
для чего (см. § 40) умножим на 2 показатель степени,
не меняя основания:
{а 2 )2 = а 2 ' =ат.
Получили подкоренное выражение, стоящее в левой
части. Значит, равенство (3) верно.
Пример. Вычислить l/7e.
На вычисление 76 пришлось бы потратить значительное
время и труд. Теорема 3 позволяет найти результат устно.
У 7* = 73 = 343.
§ 98. Простейшие преобразования.
1. Вынесение множителей за знак квадратного корня.
Пусть дано выражение j/162. Мы можем этот корень
представить в более простом виде, применив к нему тео-
рему об извлечении корня из произведения (§ 97).
162 = 81^2 = /81 ]/2 =-- 9 2.

Точно так же
Ко"3 = V~tfa = a У а.
81a5b77 = V$2a*AB«b = У¥a4b6? ab = 9a263 УаЬ.
Такое преобразование называется вынесением мно-
жителя за знак корня.
В результате применения этого преобразования данное
выражение упрощается и часто сокращаются требуемые
вычисления. В этом можно убедиться на следующих при-
мерах.
Пример 1. Вычислить с точностью до 0,01 выра-
жение j/48 + У 27 — J/108.
Вычислим каждый из корней с точностью до 0,01:
У 48 -f- У 27 — УШ ^ 6,93 + 5,20—10,39 = 1,74.
Нам пришлось извлечь квадратный корень из трёх
чисел, и притом мы не можем быть уверены, что резуль-
тат действительно даст величину выражения У 48 + У 27—
— У108 с точностью до 0,01 (для уверенности в этом
нужно было бы вычислить корни с точностью большей,
чем заданная).
Попробуем упростить данное выражение, вынося за
знак радикала те множители, которые возможно:
/48 + j/27 — УШ = /ТбТз + У 9^3 — ]/36~7з =
= 4 • j/3 + 3 • УЗ — 6 • J/3 = V3.
Итак, после преобразования нам придётся извлечь
квадратный корень только из одного числа.
Вычислив его с точностью до 0,01, найдём:
1/48 + 1/27 — 1/108 = 1/3 « 1,73.
Теперь видно, что в первом вычислении мы сделали
ошибку на одну сотую, то есть получили результат не
с заданной точностью.
Пример 2. Вычислить выражение уг48х1 при х = 3.
Подставив в данное выражение х = 3, получим:
J/4JP37 = J/104 976.

Нам придётся извлечь корень из шестизначного числа.
Мы значительно упростим вычисления, если предвари-
тельно вынесем за знак корня те множители, которые
возможны. Будем иметь:
48* = УЗ . 16 - х* . х = 4*3 Зх.
Подставив теперь х = 3, легко найдём:
4 . З3. 3^3 = 4 • З4 шт 4 . 81 = 324.
Во всех предыдущих примерах подкоренное выражение
мы разлагали на множители, выделяя такие, показатель
которых делится на два, и извлекали из них корень.
В дальнейшем надо приобрести навык сразу выносить
нужные множители за знак корня, не прибегая к предва-
рительному разложению на множители подкоренного вы-
ражения.
Пример 3.
l/'5a48 = a263ce 5bc.
Как видно из примеров, для вынесения множителей
из-под знака квадратного корня достаточно показатель
каждого множителя разделить на два и записать перед
знаком корня этот множитель с показателем равным
полученному частному, а под знаком корня тот же мно-
житель с показателем, равным полученному остатку.
В предыдущем примере 4 : 2=2 (ост. 0); 7 :2 = 3 (ост. 1);
13:2 = 6 (ост. 1).
2. Внесение множителей под знак квадратного корня.
Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак
корня множители, стоящие перед ним.
Пусть, например, требуется вычислить с точностью
до 0,001 выражение 201/7. Вычислив ]/7 с точностью
до 0,001 и умножив результат на 20, получим:
20/7 — 20. 2,646 = 52,92.
Заранее можем сказать, что результат не соответствует
заданной точности, так как, умножив приближённое число
2,646 на 20, мы увеличили в 20 раз и ошибку. Чтобы

получить большую точность, возьмём У 7 с точностью до
0,0001. Получим:
20 7 = 20 • 2,6457 = 52,914.
Но мы не можем и теперь быть уверены, что достигли
требуемой точности.
Произведём вычисление другим способом. Представим
данное выражение в таком виде:
20 7 = 202 • "|/7 = У 2^7 = 400 7 = 1/2800. (1)
Вычислив J/2800 с точностью до 0,001, получим:
201/7 = 1/2800^52,915.
Такова действительная величина данного выражения,
вычисленная с точностью до 0,001.
Рассмотренное преобразование называется внесе-
нием множителя под знак корня.
Приведённый пример показывает целесообразность в не-
которых случаях такого преобразования.
Чтобы внести под знак квадратного корня стоящие
перед ним множители, достаточно возвысить эти мно-
жители в квадрат и подкоренное выражение умножить
на полученный результат.
Примеры.
1. 31/2 = 1/2"3* = 1/18;
2. a3 У 5а = У barf = У 5а7;
3. 2x:V 3ху = У\2хьу\
В двух первых примерах сначала множитель, стоящий
перед знаком корня, был подведён под знак корня, затем
произведено умножение.
В третьем примере обе эти операции были выполнены
сразу.
3. Приведение подкоренного выражения к целому
виду. Если подкоренное выражение дробное, то часто
бывает целесообразно привести его к целому виду, или,
как говорят, освободить подкоренное выражение от зна-
менателя.
Покажем на примерах, как это делается.

Пример 1.
Чтобы из знаменателя подкоренного выражения можно
было извлечь корень, умножим числитель и знаменатель
этого выражения на а. Получим:
га га? у а2 а г
Пример 2.
Умножив числитель и знаменатель подкоренного вы-
ражения на xy, извлечём квадратный корень из знамена-
теля. По сокращении получим:
Значит, чтобы привести подкоренное выражение к це-
лому виду, достаточно его числитель и знаменатель умно-
жить на такое выражение, чтобы показатели всех сомно-
жителей в знаменателе делились на два; после этого
извлечь корень из знаменателя.
Примечание. Во всех предыдущих примерах буквы обозна-
чали неотрицательные числа; если это условие не выполнено, то надо
поступать так, как пояснено на следующих примерах.
Пример 1.
VcPb, где а < О, Ь > 0;
вынести а за знак корня.
Мы знаем, что при а < 0
У а2 = —а,
поэтому
Ytfb - —а УЪ.
При любом а верно такое равенство:
a2b = У а2У~Ь = \а[\b.

Пример 2. Внести множитель х под знак корня
х У За, если х < 0.
Если х — отрицательное число, то х = — | х |, где | * | —
положительное число, значит:
x 3а = — \х\УЗа = — УЩ~х\* = — УЗах2,
так как | х \2 = х2.
Так, в частности, —3 УЪ = — 9 • 5 = — 45.
§ 99. Извлечение квадратного корня по таблицам
и при помощи счётной линейки.
Извлечение квадратного корня по таблицам. В § 93
на примере извлечения квадратного корня из числа 20
мы показали, как можно вычислить приближённо /20
с необходимой степенью точности. Однако, даже для того
чтобы найти искомый корень с точностью до 0,01, при-
шлось проделать много вычислений. Чтобы облегчить вы-
числительную работу, составлены специальные таблицы
квадратных корней, в которых даны приближённые зна-
чения квадратных корней из чисел.
В таблицах В. М. Брадиса даны квадратные корни
с точностью до 0,001 чисел от 1 до 10 с промежутком
в 0,01 и чисел от 10 до 100 с промежутком в 0,1. Уст-
ройство и употребление таблицы такое же, как и таблицы
квадратов.
Поясним на примерах, как следует пользоваться таб-
лицами квадратных корней.
1) /6,7. В первом столбце находим число 6,7 и ря-
дом с ним на втором столбце квадратный корень из
него: 2,588 (по округлению получим: 2,6).
2) /27,6. В первом столбце находим число 27; в
этом же ряду в столбце под номером 6 находим:
/27,6^5,254 (по округлении получим: 5,25).
3) /56,34. По предыдущему находим: /56,3^
^7,503. В столбце «поправок» за № 4 находим число
3, которое прибавляем к последней цифре числа 7,503.
Получаем: У 56,34 « 7,506.

4) l/427. Подкоренное число можно записать так:
427 = 4,27 • 100,
тогда
427= /4,27 • 100 = 10 У 4^7 = 10 • 2,066 = 20,66
(или по округлении 20,7).
Чтобы получить подкоренное число 427, мы должны
в числе 4,27, которое содержится в таблице, передви-
нуть запятую на два знака вправо, тогда в результате
2,066, взятом из таблицы, пришлось перенести запятую
в ту же сторону на один знак.
5) 1/0,2868. Находим 1/2^68^5,355. Тогда
1/0,2868^0,5355. Это нетрудно объяснить. Число 28,68,
корень из которого находится по таблице, в 100 раз
больше подкоренного числа.
Значит, правильный результат будет в 10 раз меньше
результата, найденного из таблицы.
6) 1/39440^ 198,5 + 0,1 = 198,6.
Поясним подробнее эту запись. Сначала находим
1/3,944^ 1,985, затем к последнему знаку прибавляем
поправку, равную 1: "J/3,944 = 1,986.
Увеличив результат в 100 раз, получим: "J/39 440^
ж 198,6.
7) Вычислить значение выражения ab2 — l/a + 2,8
при а ^3,9, 1,4.
Решение. Находим Ь2 и У а по таблицам:
Ъ2 ж (1,4)» ж 1,96; Уа^УЗ^х 1,98
(третьи цифры оставлены как запасные).
Умножаем:
ab2 ^3,9 • 1,96 ж 7,64.
Складываем:
7,64 + 1,98+ 2,8 ж 12.
Примечание: Если два числа состоят из одних и тех же
значащих цифр, то отсюда ещё не следует, что квадратные корни
из этих чисел также состоят из одних и тех же значащих цифр.

Поясним это такими примерами:
Vх 37 = 6,083; /3/7= 1,924;
0,37 = /37 • 0,01 = /370 = /3,7 . 100 = 19,24.
= 0,6083;
/3700 = /37 • 100 = /0,037 = /3,7 . 0,01 =
= 60,83; =0,1924.
Извлечение квадратного корня на счётной линейке.
Так как извлечение квадратного корня есть действие,
обратное возведению чисел в квадрат, то для вычисле-
ния квадратного корня пользуемся теми же шкалами,
что и при возведении в квадрат, то есть шкалой квадра-
тов А и основной шкалой Д.
Но действие извлечения квадратного корня произво-
дится в порядке, обратном действию возведения в квад-
рат. При возведении в квадрат мы основание отмечали
визиром на шкале Д и результат читали на шкале Л.
Здесь же наоборот, значение подкоренного числа отме-
чаем визирной чертой на шкале квадратов А и против
визирной черты на основной шкале Д читаем значение
корня. На чертеже 39 находим /4 = 2.
Если надо найти /40, то визирную черту ставим
против 40 в правой половине шкалы квадратов и чи-
таем ответ на основной шкале 6,32.
Извлечение квадратного корня из любых чисел мож-
но свести к одному из двух рассмотренных случаев.
В качестве примеров возьмём те числа, из которых
мы на страницах 216—217 извлекали квадратный корень
по таблицам.
1) V&J = 2,59; 2)_ /27^ = 5,25; 3) /427 =
= /4,27 • 102 = 10 • /4,27 = 10 - 2,07 = 20,7; 4)/^287=
= УЩ = ^6 = 0>536; 5) J/39400 = /3,94-10*= 1,98 х
X 102 = 198.
Теперь сформулируем правило извлечения квадрат-
ного корня.

1) Подкоренное число представляем в виде однознач-
ного или двузначного числа, умножив (или разделив) его
на чётную степень десяти.
2) Если подкоренное число представлено в виде одно-
значного числа, его устанавливают визиром на левой по-
ловине квадратной шкалы А; если же оно представлено
двузначным числом, то — на правой половине квадратной
шкалы.
3) Результат отчитывается по визиру на основной
шкале.
Существует другое правило, позволяющее определить, в какой
половине шкалы квадратов следует установить подкоренное число
при извлечении квадратного корня.
Подкоренное число разбивают на грани по две цифры в каж-
дой грани влево от запятой, если число меньше 1, и вправо от за-
пятой, если число больше 1.
Если первая слева грань {не считая граней, состоящих из од-
них нулей) содержит одну значащую цифру, то число устанавли-
вается в левой половине шкалы квадратов, если же в этой грани
две цифры, — то в правой половине.
Например: 1) >/3,75=l,94; 2) ^0,04'32 = 0,208; 3)/15737 =
- 39,2; 4) |/75,30) = 8,68; 5) 0,00.02 = 0,0141.
Пользуясь этим способом, легко установить значность числа и
положение запятой, так как каждая грань подкоренного числа,
стоящая слева от запятой, даёт у корня один знак до запятой, а
каждая чисто нулевая грань справа от запятой (если подкоренное
число меньше единицы) даёт у корня один нуль после запятой.
§ 100. Краткие исторические сведения.
Возведение в квадрат. Практические задачи (например, вычис-
ление площади квадратного участка) уже в глубокой древности
приводили к потребности находить квадраты чисел. Очевидно, эта
потребность возникала настолько часто, что, так же как и в нас-
тоящее время, составлялись специальные таблицы квадратов нату-
ральных чисел.
Особый интерес представляет таблица квадратов чисел от 1 до
60, найденная при раскопках в Вавилоне и составленная около
четырёх тысяч лет назад.
Приведём выдержки из этой таблицы в современной записи.
б2 = 36 82 = 1;4 112 = 2; 1 192 = 6; 1
72 = 49 92 = 1; 21 122 = 2; 24 582 = 56; 4.

Эта запись становится понятной, если первые цифры, стоящие
до точки с запятой, считать единицами второго разряда содержа-
щими 60 единиц первого разряда.
Действительно, тогда мы имеем:
82 = 1 • 60 + 4; 92 = 1 • 60 + 21; 112 = 2 . 60 + 1 и т. д.
Таким образом, эта таблица является одним из свидетельств
об употреблении в древнем Вавилоне шестидесятеричной системы
счисления.
В более поздние времена эта система счисления перешла из
Вавилона в другие страны. Она применялась главным образом в
астрономических вычислениях.
Извлечение корня. К извлечению квадратного корня также
ещё в древние времена приводили задачи практического характера
(например, выделение квадратного участка земли заданной площади,
решение задач, приводящих к квадратным уравнениям).
Так, в китайской математической рукописи, написанной во
II в. до нашей эры по ещё более древним источникам, уже име-
ется описание способа нахождения квадратных корней.
Умели извлекать квадратные корни из чисел и индийцы ещё в
IV—V вв. нашей эры. Индийский математик XII в. Бхаскара
отмечал, что положительное число имеет два квадратных корня —
положительный и отрицательный и что нельзя извлечь квадратный
корень из отрицательного числа.
Извлечение квадратного корня (например, при решении квад-
ратных уравнений) встречается и в сочинении знаменитого средне-
азиатского математика аль-Хорезми.
Интересен способ, по которому древние вавилоняне находили
приближённые квадратные корни ещё за две тысячи лет до нашей
эры. В современной алгебраической записи этот способ может быть
выражен формулой
VaT+b^a+±. (1)
Пример 1. Найти /28. Так как 28 = 52 -f-3, то получим по
формуле (1):
/28 = /25 + 3 = 5 + А = 5,3.
Так как 5,32 = 28,09, то приближённый корень получен с дос-
таточно большой точностью.
Пример 2. 130 = /И2+ 9 = П+^~ 11.41,
Проверка. 11,41* = 130,1881.

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§ 101. Квадратные уравнения.
Уравнение, в котором левая часть — многочлен вто-
рой степени относительно неизвестного, а правая — нуль,
называется уравнением второй степени или, короче,
квадратным.
В нормальном виде квадратное уравнение запи-
сывается так:
ax2 + bx + c=0, (1)
где а — любое не равное нулю число, a, b и с — любые
числа, а х — неизвестное.
Так, например, уравнения х2 — х — 1 = 0;
2х2 — 3x + 5 = 0, 0,21*2 + 1,23* + 0,7 = 0 являются квад-
ратными.
Если коэффициент при х2 отрицателен, то мы можем
сделать его положительным, умножив обе части уравне-
ния на —1.
Например, умножив обе части уравнения
— Зх2 -\-5x — 6 = 0 на — 1, получим равносильное ему
уравнение З*2 — 5x + 6 = 0. Поэтому в дальнейшем для
простоты будем всегда предполагать, что а > 0.
В частности, Ь или с, или оба вместе могут быть
равны нулю. Тогда уравнение называется неполным
квадратным уравнением. Значит, неполные квадратные
уравнения могут быть таких видов:
1) ax2 + bx = 0 (при с = 0);
2) ах2 + с = 0 (при b = 0).
В частности, если во втором случае и с = 0, то урав-
нение примет вид: ах2 = 0.

Если в уравнении (1) а=* 1, то уравнение называется
приведённым. Оно обычно записывается в таком
виде:
х2 + px + q « О,
где р и q — любые числа.
Всякое уравнение вида (1) можно сделать приведён-
ным; для этого достаточно все его члены разделить на а.
В дальнейшем для краткости будем называть в урав-
нении (1) а первым коэффициентом, Ь — вторым и
с — свободным членом.
§ 102. Уравнение вида ах2 + bx = 0.
Задача. Длина прямоугольного участка в 5 раз
больше его ширины. Когда ширину участка увеличили на
9 м, то площадь его увеличилась в 4 раза. Найти перво-
начальные размеры участка.
Решение. Обозначим через х метров первоначаль-
ную ширину участка. Тогда можно составить такую
таблицу:
Ширина Длина Площадь
Первоначальный участок X
5x
Расширенный участок Х + 9 5x 5x (х + 9)
По условию площадь расширенного участка в 4 раза
больше площади первоначального. Значит, получаем
уравнение:
4 • 5x:2 = 5x (х -f- 9). (1)
Разделим обе части уравнения на 5 и приведём его
к нормальному виду:
Зх2 — 9х = 0,
или
х2 —3* = 0. (2)

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его.
Вынеся х за скобки, получим:
х (х — 3) = 0.
Но произведение равно нулю в том, и только в том,
случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Значит, должно быть: 1) либо х = 0, 2) либо х — 3 =
= 0, то есть х = 3.
Итак, мы получили два корня уравнения: x1 = 0;
х2 = 3.
Подстановкой в уравнение (1) убедимся, что оба они
ему удовлетворяют. Но по смыслу задачи число х, вы-
ражающее ширину участка, не может быть нулём. Зна-
чит, остаётся одно решение: х = 3.
Длину участка найдём, умножив ширину на 5:
3 • 5 = 15.
Задача имеет единственное решение: длина первона-
чального участка была равна 15 м, а ширина 3 м.
Решим теперь неполное квадратное уравнение
ах2 + bx = 0 (3)
в общем виде. Вынеся х за скобки, получим:
х(ах + Ь) = 0. (4)
И здесь, как и для уравнения (1), будем иметь два
корня:
1) ^ = 0;
2) ах + Ь = 0, откуда х2 = — — .
В частности, если 6 = 0, то получим: х2 = 0, то есть
уравнение (3) или, что то же, уравнение (4) имеет лишь
один корень: х = 0.
Действительно, если b = 0, то уравнение (3) примет
вид ах2 = 0, где а Ф 0. Очевидно, что левая часть этого
уравнения будет равна нулю только при х = 0.
§ 103. Уравнение вида ах2 + с = 0.
Задача. Длина прямоугольного участка земли в
5 раз больше его ширины, а площадь равна 720 ж2. Вы-
числить длину и ширину участка.

Решение. Обозначим ширину участка через х мет-
ров. Тогда длина его будет равна 5x метров. Площадь
равна 5x • х = 5х2 (м2).
По условию
5х2 = 720.
Получили уравнение с одним неизвестным.
Решим его. Разделив обе части уравнения на 5, по-
лучим равносильное ему уравнение:
х2= 144,
из которого найдём:
х= ±144= ± 12.
Уравнение имеет два корня
х1 = — 12 и х2= 12.
Но по условию задачи для неизвестного допус-
тимыми являются только положительные значения. Зна-
чит, решением задачи будет только х= 12.
Ответ. Ширина участка равна 12 м, а длина равна
12 • 5 = 60 м.
Пусть вообще имеем уравнение, которое после пере-
несения всех членов в левую часть и приведения подоб-
ных будет иметь вид:
ах2 + с = 0 (где а Ф 0). (1)
Перенесём свободный член с в правую часть и разде-
лим уравнение на а; тогда получим уравнение
*а = -7> (2)
равносильное данному.
Рассмотрим следующие возможные случаи.
Случай 1. Пусть а и с — числа одинакового знака
(то есть либо оба положительны, либо оба отрицательны);
тогда — есть положительное число, а —— отрицательное
число. Но мы знаем, что х2 > 0, а потому не может рав-
няться отрицательному числу; в этом случае уравнение
(2), а значит, и данное, равносильное ему, уравнение
(1) не имеют решений.

Так, например, уравнение 2х* + 3 = 0 не имеет ре-
шений.
Это и понятно: левая его часть — положительное
число при всех значениях х, а потому не может рав-
няться нулю.
Случай 2. Пусть с = 0. Тогда уравнение (2) при-
мет вид: х2 = 0. Очевидно, что это равенство будет вер-
ным только при х = 0. Значит, при с = 0 уравнение (1),
равносильное (2), имеет единственное решение х = 0.
Случай 3. Числа а и с имеют противоположные
знаки (одно из них положительно, а другое отрица-
тельно). Тогда число — отрицательно, а противополож-
ное ему число — — положительно.
В этом случае уравнение
х2 = ,
а 9
равносильное данному, имеет два корня:
Следовательно, и уравнение (1) имеет два корня:
Примеры: 1) 9х2 — 4 = 0; x1 = — -j , x2 = v.
2) х2— 1,69 = 0; xlt 2= + 1,3.
Извлечь корень ]/ — мы всегда можем прибли-
жённо с той степенью точности, какая нам требуется.
Пример.
х2 — 5 = 0 и, значит, х = 4; /5.
Следовательно, мы можем записать (см. таблицу
В. М. Брадиса) + (с двумя значащими цифрами),
х^ + 2,24 (с тремя значащими цифрами); х»^ 2,236
(с четырьмя значащими цифрами)»

§ 104. Приведённое квадратное уравнение.
Задача. Одна сторона прямоугольника на б см
меньше другой. Площадь его равна 40 см2. Вычислить
стороны прямоугольника.
Решение. Пусть большая сторона равна х см.
Тогда вторая сторона равна (х — 6) см, а площадь
прямоугольника равна х(х — 6) см2.
По условию
х(х — 6) = 40.
Приведём это уравнение к нормальному виду:
х2 — 6х —40 = 0.
Получили приведённое квадратное уравнение. Чтобы
решить его, выделим в левой части квадрат двучлена.
Замечая, что
х2 — 6* = х2 — 2 • 3 • х,
дополним это выражение до полного квадрата. Прибавив
к этому выражению З2, получим квадрат двучлена
х — 3. Поэтому прибавим 9 к левой части уравнения
х2 — 6х — 40 = 0 и вычтем то же число. Получим:
х2 — 6х + 9 — 9 — 40 = 0,
или
(А:_3)2_49==о.
Из последнего уравнения найдём:
х — 3 = ±7, или х = 3 ± 7.
Отсюда получим два корня уравнения:
х1 = ~4, х2 = 10.
Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Но
по смыслу задачи для х допустимыми являются
только положительные значения (и притом большие шес-
ти). Следовательно, задача имеет единственное решение:
большая сторона прямоугольника равна 10 см, а мень-
шая 10 — 6 = 4 см.
Решим приведённое квадратное уравнение в общем
виде.

Пусть дано уравнение:
х2 + px + q = 0.
Чтобы решить его, поступим так же, как и в приве-
дённом выше примере.
Так как р =• 2 • , то, если прибавим и вычтем в
левой части уравнения (1) одно и тоже число ^~-) = ~,
получим:
(*+fM+«-«
(«+*M*-*)-*
(*+'1)'-т-«- и
Левая часть уравнения (2) неотрицательна, а относи-
тельно выражения j— q представится три случая.
Случай 1.
?-«>о.
Из уравнения (2) находим:
Мы получили два корня:
Итак, в этом случае уравнение (1) имеет два корня.
Формула (Л) является общей формулой корней
приведённого квадратного уравнения. Словами её можно
выразить так:
Корни приведённого квадратного уравнения
равны половине второго коэффициента, взя-
того с противоположным знаком, плюс-минус
квадратный корень из квадрата этой половины
без свободного члена.

Запомнив формулу (Л), мы можем найти корни при-
ведённого квадратного уравнения, не производя никаких
преобразований, а просто подставив в формулу (А) дан-
ные значения р и q.
Примеры.
1. Х2_7Х+ ю = 0.
Здесь р = —7, q = 10. Вычислим сначала подкорен-
ное выражение в формуле (Л):
4-_,=^_,о=4>о.
Уравнение имеет два решения.
Подставив в формулу (А) значения р и q, получим;
7 , -i/~9 7 , 3
*- 2 ± 4 = -2 ± 2'
7 3 7 3 _
Отсюда имеем: А:, = — — — = 2; *2 = — -|- — = 5.
Подстановкой убедимся, что корни найдены верно.
2. х2 + х — 3 = 0.
Здесь р= 1, q = -3, - ? = | + 3 = ^3 > 0.
Подставив в формулу (Л), значения р и q, получим:
*—4±4—т*Ч*—4-o*vt*
Корни уравнения можно найти приближённо. Поло-
жив, например,
J/13^3,6, найдём *! = — 4-j = — 2»3; х2«1,3.
Проверим, например, корень #х:
(—2,3)2 — 2,3 — 3^ 5,29 — 2,3 — 3 = —0,01.
Мы получили результат, близкий к нулю. Если взять
корень с большей точностью, то при проверке получим
результат, более близкий к нулю.
Случай 2.
л2
«7 = 0.

Тогда уравнение (2) примет вид:
ми.
Отсюда:
ж + | = 0;
Итак, в этом случае уравнение имеет один корень.
Пример.
х2 — 8х + 16 = 0.
р = -8; (?= 16; (—4)2— 16 = °-
Левая часть является квадратом двучлена. Имеем:
(х — 4)2 = 0; * —4 = 0; х = 4.
Случай 3.
£-<7<0.
Тогда уравнение (2) можно переписать так:
Правая часть этого уравнения — отрицательное число.
Левая же часть ни при каком значении х отрицательной
быть не может. Следовательно в этом случае уравне-
ние (1) не имеет корней.
Пример.
х2 — 6х+\3 = 0.
Здесь -~ <7 = 9 — 13 = —4 < 0 и уравнение не
имеет корней.
Действительно, представив уравнение в виде
(^_3)2 + 4==о, или (х — 3)2 = — 4,
замечаем, что левая часть ни при каком значении х не
может стать отрицательной. Следовательно, уравнение
не имеет корней.

§ 105. Квадратное уравнение общего вида.
Решим уравнение:
4x:2 — 5^ — 21 =0.
Разделив все его члены на 4, получим:
X2— -4x —-г = 0.
4 4
Но это уравнение — приведённое, и решать его мы уже
умеем.
Применим формулу (А) предыдущего параграфа:
Л 8 - \ 64 + 4 '
Произведём вычисления:
25 21 _ 25 + 21 • 16 _ 361 > l/"361 _ 19
64 + 4 ~~ 64 64 ; V 64 — 8 '
Итак, имеем:
_5 19
Х "~ 8 ± 8 '
Отсюда
Xi = т- i х2 = 3.
Таким же путём решим теперь квадратное уравнение
в общем виде:
а*2+ + = 0. (1)
Разделим обе части этого уравнения на а (мы знаем,
что а Ф 0). Получим приведённое уравнение, равносиль-
ное данному:
х2, А х -\ = 0, где р = — , о = —.
Вычислим подкоренное выражение в формуле (Л)
корней приведённого квадратного уравнения (2):
£ / Ь \2 с _ б2 с _ б2 — 4ac п.
4 9 \2а) а ~ 4а2 а *~~ 4а2 * 1 '
Если это выражение неотрицательно, то, применив фор-
мулу (Л), получим корни уравнения (1):
Ь_ -1 /> — 4ас
Х~ 2а ± V 4а2 9

n i А2 — 4ас V Ъ* — 4ас*
Заметив, что I/ —=1—g- , получили окон-
чательно следующую общую формулу корней квадратного
уравнения:
* ~ 2а ' W
Если выражение (3) отрицательно, то уравнение не
имеет корней.
Словами формулу (В) можно выразить так:
Корни квадратного уравнения равны дроби,
знаменатель которой равен удвоенному перво-
му коэффициенту, а числитель второму коэф-
фициенту, взятому с противоположным зна-
ком, плюс-минус квадратный корень из квадра-
та этого коэффициента без учетверённого
произведения первого коэффициента и свобод-
ного члена.
Примеры:
1. х2 — 7х + 12 = 0.
Здесь а = 1, b = —7, с = 12. Применяя формулу (В),
получим:
— 7 ± /49-4 - 1~12 _ 7 ± VT _ 7 ± 1 , «
X — 2. j 2 — 2 ' Х* — ^2 —
2. Зх2 — 5А: — 2 = 0.
Здесь а = 3, 6 = — 5, с = — 2. По формуле (В) по-
лучим:
_ 5 ± /25 — 4 • 3 •(—2~) _ 5 + /25 + 24 _ 5 ± 7 л
Х ~~ 6 ~~ 6 ~~ 6 '
Х^ = Q~ АГ2 = 2.
Формула (В) применима и в том случае, когда один
из коэффициентов b или с равен нулю.
3. 9х2 —49 = 0.
Здесь а = 9, 6 = 0, с = — 49. По формуле (В) по-
лучим:
_ 0 ± /0 + 4 • 9 '49 /4 • 9 • 49 2 • 3 ; 7 _ 7
2-9 ~~ ± 18 — — 18 ~ — 3*
* Так как мы считаем, что а > 0 (стр. 222), то /4а2 = 2а.

4. 2*2 + 5* = 0.
Здесь a = 2, 6 = 5, с = 0.
Формула (В) даёт:
-5± ^25-4» 2-0 _ -5 ± 5 . _ п. 5^
22 — 2 • 2 ' 1 ~" 22е
Если 6 = 2k, то уравнение (1) запишется так:
ах2 + 2kx + c = 0
и формула (В) примет вид:
—b ± Vb* — 4ac —2к±У4к* — 4ас _ —2k ± 2Vk2 — ac _
2а 2а ~~ 2а ~
= —k±Vk2 — ac
а
Этой формулой удобно пользоваться, если k — чётное
число.
Следовательно,
x = -k±VEEE. (О
Пример. 5x:2 — 14x: + 8 = 0.
Так как коэффициент при х — чётное число, то при-
меняем формулу (С):
__ 7±/49 — 5 • 8 _ 7 ± 3.
Х ~ 5 ~" 5 »
xi == "g*; ^2 =
Решим дробное уравнение:
__х 2 3
А; — 2 (JC — 2) (x — 3) х — 3 #
Умножим обе части данного уравнения на (х—2)(х—3).
Получим:
_ 3) + 2 = 3 (х — 2), или х2 — 6* + 8 = 0.
Получили квадратное уравнение. Так как (—З)2 — 8=
= 1 > 0, то оно имеет два корня. Решив его по форму-
ле (Л), найдём:
x1 = 2; х2 = 4.

Теперь проверим корни, так как возможно появление
посторонних корней (см. § 70).
Для данного уравнения значение х = 2 не является
допустимым, а поэтому уравнение имеет единственный
корень х = 4.
§ 106. Дискриминант.
В предыдущем параграфе было установлено, что
квадратное уравнение ах2 + 5x + с = 0 имеет корни, если
Но знаменатель 4a2 всегда положителен (а Ф 0). Зна-
чит, знак левой части в неравенстве зависит от знака
выражения Ь2— 4ас.
Выражение Ь2 — 4ас называется дискриминантом
(различителем) уравнения (1). Обозначим его через D.
D = b2 — Аас.
Формулу (В) корней квадратного уравнения можно
записать короче:
—ъ ± УЪ
х = —^— .
Таким образом, число корней уравнения (1) зависит
от значения D. Именно.
1) Если D > 0, то уравнение имеет два корня:
—ъ — УЪ _ —ь + У В
Х] ~~ 2а ; *2 - 2а -
2) Если D = 0, то уравнение имеет один корень:
Ь
Х=-Га'
3) Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Примеры.
1. ЗА:2 — 2Х + 7 = 0.
Вычислим дискриминант:
D = 22 — 4-3-7 = —80 < 0.

Уравнение не имеет корней.
2. 9x:2— 12* +4 = 0.
D = 122 — 4 . 9 • 4= 144— 144 = 0.
Уравнение имеет один корень: х = —- — у .
3. 4x:2— 12* +7 = 0.
D = 122 — 4 • 4 • 7 = 144 — 112 = 32 > 0.
Применяя формулу (С), получим:
= 6 ± V 36 — 4 . 7 = 6 ± ]/8 _ 6 ± 2 1' 2 3 + /2
Л 4 4 ~~ 4 ~~ 2
Последняя формула позволяет вычислить корни при-
ближённо. Так, полагая ]/2^1,41, получим:
§ 107. Графическое решение квадратного уравнения.
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение
л:2 + px + q = 0;
перепишем его так:
л:2 = —px — q. (1)
Построим графики зависимостей:
у = х2 И 0 = — px — ^.
График первой зависимости нам известен, это есть
парабола (см. § 89); вторая зависимость — линейная; её
график есть прямая линия. Из уравнения П) видно, что
в том случае, когда число х является его решением,
ординаты точек обоих графиков равны между собой.
Значит, данному значению х соответствует одна и та же
точка как на параболе, так и на прямой, то есть пара-
бола и прямая пересекаются в точке с абсциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квад-
ратного уравнения (1): чертим параболу у = х2 (эта па-
рабола для всех уравнений одна и та же, и её достаточно
начертить один раз или сделать лекала), чертим (например,
по двум точкам) прямую у = —px — q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абсциссы
точек пересечения являются корнями квадратного урав-
нения. Этот способ удобен, если не требуется большой
точности.
Примеры.
1. Решим уравнение
Ах2 — 12* +7 = 0.
Представим его в виде:
х2 = 3x — 1
Построим параболу у — х2 и прямую у = 3х — j.
Для построения можно взять, например, точки ^0; —
и ^2; Ш. Парабола и прямая пересекаются в двух точ-
ках с абсциссами JCx^0,8 и
х2 = 2,2.
2. х2 — х+ 1 =0.
Запишем уравнение в виде:
X2 = X — 1.
Построив параболу у = х2
и прямую у — х — 1, уви-
дим, что они не пересекаются
(черт. 56). Значит, уравне-
ние не имеет корней.
Проверим это. Вычислим
дискриминант:
D = (—1)2 — 4 • 1.1 =
= -3 < 0,
а поэтому уравнение не имеет
корней.
Пример 3.
х2 — 2х +1=0.
Если аккуратно начертим параболу у = х2 и прямую
#= 2х— 1, то увидим, что они имеют одну общую точку
(прямая касается параболы) х= 1, у= 1; уравнение имеет
один корень х = 1 (проверить это вычислением).
Черт. 56.

§ 108. Решение задач, приводящих к квадратным
уравнениям.
Квадратные уравнения применяются при решении
многих задач. Значительная часть задач, легко решаемых
при помощи уравнений первой степени, может быть ре-
шена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более
трудным, длинным и часто искусственным путём. Зада-
чи же, приводящие к квадратным уравнениям, как прА-
Вило, совсем не поддаются арифметическому решению.
А к таким задачам приводят многочисленные и самые
разнообразные вопросы физики, механики, гидромеха-
ники, аэродинамики и многих других прикладных наук.
Основные этапы составления квадратных уравнений
по условиям задачи те же, что и при решении задач,
приводящих к уравнениям первой степени. Приведём
примеры.
Задача 1. Две машинистки перепечатали рукопись
за 6 час. 40 мин. Во сколько времени могла бы перепе-
чатать рукопись каждая машинистка, работая одна,
если первая затратила бы на эту работу на 3 часа
больше второй?
Решение. Пусть вторая машинистка затратит на
перепечатку рукописи х часов. Значит, первая машинистка
затратит на эту же работу (х + 3) часов.
Узнаем, какую часть всей работы выполняет за один
час каждая машинистка и обе вместе.
Первая машинистка выполнит за час ^qrg часть.
Вторая » » » » — часть.
Обе машинистки выполняют » » — -I r-s часть.
Отсюда имеем:
или
х + х + 3 20 *
По смыслу задачи х — положительное число (х > 0).

Умножим обе части уравнения на 20х(х + 3). После
упрощения получим квадратное уравнение:
Зх2 — 31* — 60 = 0.
Так как D = 312 — 4 • 3 • (—60) = 1681 > 0, то урав-
нение имеет два корня. По формуле (В) найдём:
Х| = 2~: х<1 — 12.
5
Но так как должно быть х > 0, то значение х = ——
о
не является допустимым для данной задачи.
Далее, значение л: = 12 необходимо проверить по
условию задачи и только после этого записать ответ.
Ответ. Первая машинистка затратила на работу
12 + 3=15 часов, вторая 12 часов.
Задача 2. Собственная скорость самолёта v км
в час. Расстояние в I км самолёт пролетел дважды:
сначала по ветру, затем против ветра, причём на вто-
рой перелёт он затратил на t часов больше. Вычислить
скорость ветра.
Ход решения изобразим в виде схемы.
Скорость ветра х км в час.
Путь Скорость Время
По ветру / v х v\-x
Против ветра / v — х • _^
По условию — г— = t.
V — X V + X
Умножим обе части уравнения на (v — x)(v + x). После
упрощения получим квадратное уравнение:
tx2 + 21х — tv2 = 0.
Решив его (/ Ф 0), найдём:
-/ ± Vl* + t*v*
х- f
Из полученной формулы заключаем:
1. Уравнение всегда имеет решение, так как подко-
ренное выражение всегда положительно.

2. Задача имеет единственное решение; второй корень
отбрасываем как отрицательный, так как по смыслу за-
дачи х > 0.
§ 109. Теорема Виета.
Решим приведённое уравнение:
х2 — 7х + 12 = 0.
По формуле (В) получим:
7 ± 49 — 4 12
х- 2
Отсюда x1 = 3; х2 = 4.
Обратим внимание на следующее: если сложить най-
денные корни, то получим число, противоположное коэф-
фициенту при х. Действительно: в уравнении р = —7,
a *j + х2 = 4 + 3 = 7.
Если найденные корни перемножить, то получим
число, равное свободному члену уравнения. Действи-
тельно, свободный член равен 12.
Возьмём ещё уравнение:
х2 + 2х — 35 = 0.
Его корни
х1 == —7; х2 = 5.
Опять имеем
x1 + х, = 5 + (—7) = —2 (р= 2);
хг • х2 = 5 • (—7) = —35 = —35).
Докажем, что корни любого приведённого уравнения
обладают этим свойством.
Теорема. Сумма корней приведённого квад-
ратного уравнения равна второму коэффициен-
ту, взятому с противоположным знаком,
а произведение корней равно свободному члену:
*i + *2 = —р, хг • х2 = q.
Доказательство. Пусть имеем уравнение:
х2 -f- px + q = 0.

Если уравнение имеет решения, то они соответственно
равны (§ 104):
Отсюда получим:
--f+Kf^-l-K?17'--''-
Итак, -f х2 = —р.
-(-tf-df^M-G-*)-
Итак,
*! • *2 =
Теорема доказана.
Эта теорема называется теоремой Виета по име-
ни французского математика Ф. Виета (1540—1603).
Полное квадратное уравнение ах2 + bx + с = 0. Заме
ним данное уравнение равносильным ему приведённым
разделив его обе части на а:
1 а 1 а
Тогда по теореме Виета будем иметь:
, Ь с
Если дискриминант квадратного уравнения D = 0, то
уравнение имеет один корень и, следовательно, теорем*
Виета в этом случае неприменима.
Но введём следующее условие: будем считать, что
уравнение х2 -f px + Q = 0 и в случае, когда D = 0, тоже
имеет два корня, но равных.

Каждый корень равен —у.
Эти два корня мы получим из формул:
Положив в них <7 = О, получим х1 = — у;
х2= — у • При введённом условии теорема Виета оста-
ётся верной и в случае, когда D = 0. Действительно,
*i + *2 = — у + (— у) = —р; *i • *2 = т = q-
Таким образом, теорема Виета верна для любого
квадратного уравнения, имеющего корни.
Пример.
х2 — 10x + 25 = 0.
Имеем:
х^ — x2\ — 5, х^ *2 — Ю, • *2 —— 25.
Теорема (обратная). £с/ш сумма двух чисел рав-
на р, а их произведение равно q, то эти числа
являются корнями квадратного уравнения
x2—px + q = 0. (1)
Доказательство. Пусть дано, что
а + Ъ = р\ AB = q. (2)
Докажем, что тогда числа а и Ь являются корнями урав-
нения.
Пользуясь равенствами (2), мы можем уравнение (1)
переписать так:
х2 — (а + b)x + AB = 0. (3)
Докажем, например, что а удовлетворяет этому урав-
нению, а следовательно, и уравнению (1).
Подставив а вместо х в уравнение (3), получим:
а2 — (а + b) а + AB = а2 — а2 — AB + AB =0.
Левая часть оказалась равной нулю. Значит, а —
корень уравнений (3) и (1).

На основании этой теоремы легко решаются следую-
щие задачи.
Задача 1. Составить квадратное уравнение, корнями
которого были бы данные числа.
Пусть т и п — данные числа. На основании теоремы,
обратной теореме Виета, тип являются корнями урав-
нения:
х2 — (т + п)х + mn = 0.
Пусть, например, т = 3; п = —5.
Тогда
т + п = — 2; mn = —15.
Искомое уравнение:
х2 + 2х— 15 = 0.
Задача 2. Решить систему уравнений:
I х + у = а;
\xy = Ь.
На основании той же теоремы заключаем, что х и у
являются корнями уравнения:
г2 — az + b = 0.
Решив его (если а2 — 4b > 0), найдём два значения
(различных или равных) zt и z2. Тогда, положив
х = ги у = г2 и x = z2 у = z1
получим два (или одно) решения системы.
Пример 1.
\х + у = 4;
\xy = -2\.
Здесь 42 — 4 (— 21) = 100 > 0. Уравнение г2 — 4z —
— 21=0 имеет корни гх = — 3, г2 = 7; система имеет
два решения:
\x1 = — 3; / *2 = 7;
Ui = 7, Ь? = -з.
Пример 2.
ix + y = 10;
U# = 25.

Здесь 102 — 4-25 = 0. Система имеет одно решение
\ х = 5;
It/-5.
Пример 3. (х + у = 7:
\xy = 15.
Здесь 72 — 4 • 15 = — 11 < 0. Система не имеет ре-
шений.
§ 110. Исследование корней квадратного уравнения.
Пусть дано или составлено при решении задачи квад-
ратное уравнение. Часто бывает полезно для решения
этого уравнения получить некоторые сведения о его кор-
нях, или, как говорят, исследовать корни уравнения.
1. Исследование корней квадратного уравнения по
дискриминанту. Прежде всего нужно установить, стоит
ли решать данное уравнение, то есть имеет ли оно корни.
Из § 106 известно, что ответ на этот вопрос зависит от
дискриминанта D = Ь2— 4ас, а именно:
Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.
Если D = 0, то уравнение имеет два равных корня.
Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Примеры всех трёх случаев приводились в предыду-
щих параграфах.
2. Исследование корней приведённого квадратного
уравнения по его коэффициентам. Пусть дано уравнение:
х2 + px + q = 0 (р =0 и q =0).
Тогда, рассматривая коэффициенты этого уравнения,
можно получить ещё некоторые сведения относительно
его корней, не решая самого уравнения.
Рассмотрим различные случаи.
1) Пусть q < 0. Тогда прежде всего заключаем, что
уравнение имеет корни. В самом деле, в этом случае
всегда
q > 0, так как ^ 0 и -— q > 0.

Итак, мы пришли к важному выводу: если в приве-
дённом квадратном уравнении свободный член отрицате-
лен, то уравнение имеет корни.
Далее, по теореме Виета имеем:
*i + *2 = — Р О)
*i • х2 = q. (2)
Из условия q < 0 заключаем, что произведение кор-
ней хл • х2 отрицательно, а это означает, что корни имеют
противоположные знаки: один из них положителен, дру-
гой отрицателен.
Пример 1.
Х2_ цж_26 = 0.
q = — 26 < 0, значит, уравнение имеет корни, и они
имеют противоположные знаки.
Решив уравнение, найдём его корни:
x1 = 13; х2 = — 2.
2) Пусть q > 0. Тогда из (2) заключаем, что если
уравнение имеет корни, то есть если D > 0, то произве-
дение их ххх2 положительно, а это означает, что корни
имеют одинаковые знаки.
Поставим вопрос: какие именно? Ответ получим из
соотношения (1).
а) Пусть р > 0. Тогда сумма x1 -f х2 отрицательна,
и, значит, оба корня отрицательны.
б) Пусть р < 0, тогда сумма х{ + х2 положительна,
и, значит, оба корня положительны.
Пример 2.
х2— \10х + 22 = 0.
D = 102 — 4 • 22 = 12 > 0. Уравнение имеет корни, и они
имеют одинаковые знаки, так как хл - х2 = 22 > 0.
Сумма корней равна 10. Значит, оба они положительны.
Решив уравнение, найдём: x1 = 5-{-\3\ х2 = 5 — 3 .
Возьмём, УЗ ^ 1,73, тогда xt ^ 6,73 > 0 и х2 ^ 3,27>0.
3. Исследование корней уравнения общего вида. Пе-
рейдём теперь к уравнению вида
ах2 + bx + с = 0 (а Ф 0).

Разделив обе части этого уравнения на а, получим
равносильное ему уравнение, но уже приведённое:
*2+~* + Т = 0'
Здесь Р = 4"; <7 = ~--
Но так как по условию а > О, то знаки чисел р и q
совпадут соответственно со знаками бис.
А отсюда следует, что все выводы, которые были
сделаны выше для приведённого уравнения, остаются в
силе и для уравнения общего вида. Во всех выводах
нужно только буквы р и q заменить буквами & и с.
Пример 3.
3*2 + 10* + 2 = 0.
Так как D = 102 — 4 • 3 • 2 = 76 > 0, то уравнение
имеет два различных корня; с = 2 > 0, а поэтому корни
имеют одинаковые знаки; — b = — 10 < 0, значит, оба
корня отрицательны.
§ 111. Разложение квадратного трёхчлена
на множители.
1. Квадратный трёхчлен и его корни. Многочлен вто-
рой степени относительно какой-либо буквы называется
иначе квадратным трёхчленом или трёхчленом
второй степени относительно этой буквы.
Общий вид квадратного трёхчлена
ах2 + 5x + с, (1)
где коэффициенты а, Ь и с являются некоторыми опре-
делёнными числами, причём а ф 0 (заметим, что теперь а
может быть и отрицательным), а * может принимать раз-
личные значения. В зависимости от значения * трёхчлен
может принимать различные значения. Букву * будем на-
зывать главной буквой или аргументом.
Пример. Обозначим через у трёхчлен
у = х2 — 3x + 2. (2)

Будем давать х произвольные значения. Соответству-
ющие значения трёхчлена х2 — 3x-f-2, или, что то же
самое, значения у даны в следующей таблице:
— 1 0 1 2 3
6 2 0 0 2
Из этой таблицы видим, что при х = 1 и при х = 2
значение трёхчлена становится равным нулю.
Определение. Те значения аргумента, при которых
значение трёхчлена равно нулю, называются корнями
этого трёхчлена.
Так 1 и 2 являются корнями трёхчлена (2).
Чтобы найти корни трёхчлена (1), надо вычислить
те значения х, при которых он обращается в нуль, то
есть те значения xt при которых
ах2 + bx + с = 0. (3)
Значит, корни трёхчлена (1) мы найдём, решив урав-
нение (3). Но мы знаем, что это уравнение в зависимости
от величины его дискриминанта Ь2 — \ас может иметь два
(различных или равных) корня либо не иметь корней.
Значит, то же можно сказать и о трёхчлене (1). Он
а) имеет два корня (различных или равных), если
Ь2 — 4ac > 0, б) не имеет корней, если Ь2 — 4ac < 0.
Дискриминант уравнения (3) называется также дис-
криминантом и трёхчлена (1).
2. Разложение на множители трёхчлена вида
х2 + px + q.
Допустим, что трёхчлен
у = х2 + px + q
имеет два корня хг и х2. Тогда числа x1 и х2 являются
корнями уравнения
х2 + px -J- q = 0.
Но по теореме Виета будем иметь:
xi + х2 = — Pi Х1' Х2 = Я*

Значит,
Р = — (*i + *a)» <7 = *i
Подставим значения р и q в данный трёхчлен и пре-
образуем полученное выражение:
у = х2 — (x1 + х2)х + x1 • х2 = х2 — Л^Л: — х2х + л^ • *2 =
= х (х — x1) — х2 (х — хл) = (х — x1) (х — х2).
Итак, мы получили:
х2 + px + q = (х — x1) (х — х2).
Таким образом, если трехчлен вида у = х2 + px + q
имеет корни, то он может быть представлен в виде
произведения двух сомножителей: один из них является
разностью между аргументом и одним корнем, другой —
разностью между аргументом и другим корнем.
Пример:
у = х2 — 6х + 8.
Решив уравнение
х2 — 6х -f 8 = О,
найдём корни трёхчлена: х{ = 2, х2 = 4. Тогда
х2 — 6x: + 8 = (х — 2) (х — 4).
3. Разложение трёхчлена ах2 + bx + с. Возьмём те-
перь трёхчлен
у = ах2 -f- bx -к с, (1)
где а Ф 0. Пусть корни уравнения
ал:2 + 6*+ с = 0 (2)
будут *х и л:2.
Вынеся в данном трёхчлене а за скобки, получим:
ах* + bx + с = а(х* + ± x+-ty. (3)
Но так как x1 и л:2 — корни уравнения (2), или, что то
же, уравнения (приведённого) л:2 -f- — х + = 0, то по
предыдущему:
*2 + т* + т^*-*^-*2)-

Подстановка в (3) даёт:
ах2 + 5x + с = а (* — *г) (х — х2).
Трёхчлен ах2 + 5x + с, имеющий корни, можно предстА
Вить в виде произведения трёх сомножителей: один рА
Вен коэффициенту при х2, а два другие — разности между
аргументом и корнями трёхчлена.
Пример 1.
у = Зх2 + 5х + 2;
D = (— 5)2 — 4 • 3 • 2 = I > 0.
Уравнение
Зх2 + 5x + 2 ш> 0
имеет два корня:
*] 1 » XQ ^ а
Тогда
3x* + 5х + 2 = 3(х + \) (х + .
Полученное произведение можно представить в более
удобном виде: перемножив сомножители 3 и j^+yj* по*
лучим:
Зх2 + 5x + 2 = (х + \)(3х + 2).
Пример 2.
у = — 6*2 + 17* —5.
D = (— 17)2 — 4 • (— 6) - (— 5) = 289 — 120 = 169 > 0.
Уравнение
— б*2 + 17* —5 = 0,
или, что то же
б*2 — 17* +5 = 0,
имеет корни:
_L • А
*! — 3 ; *2 — 2 .
Тогда
_6*2+ 17*-5 = -б(*-А) (х--У),
или
у = — б*2 + 17* — 5 = — (2* — 5) (3* — 1).

§ 112. Система двух уравнений, из которых
одно второй и одно первой степени.
Задача. Прямоугольный участок площадью 1000 м2
огорожен забором длиной 130 м. Вычислить длину и
ширину участка.
Решение. Пусть длина участка равна х метрам,
ширина у метрам. Тогда площадь его будет равна xy m2.
По условию эта площадь равна 1000 м2. Получаем урав-
нение:
«0= 1000. (1)
Мы получили уравнение, содержащее произведение
неизвестных xy. Степенью одночлена, содержащего две
буквы, считается сумма показателей степеней, с кото-
рыми эти буквы входят в одночлен. Так, одночлен 2х2у*
имеет степень 2 + 3 = 5 относительно букв хну.
Значит, в полученном уравнении (1) член xy имеет
вторую степень, и мы получили уравнение второй степени.
Кроме того, в задаче дана величина периметра участка.
Так как периметр его равен 2х + 2у, то получаем вто-
рое уравнение:
2х + 2*/=130,
или (разделив все члены на 2):
х + у = 65. (2)
Это уравнение первой степени.
Итак, для решения задачи мы имеем систему уравне-
ний, из которых одно второй и одно первой степени:
^ = 1000; m
! х + у = 65. w
Решим её способом подстановки. Выразим из второго
уравнения у через х:
У = 65-х. (4)
Сделав подстановку в первое уравнение, получим:
л:(65—*) = 1000. (5)
Система уравнений (4) и (5) и система (3) равно
сильны (§ 79).

Решив уравнение (5), найдём: x1 = 40, х2 = 25.
Отсюда подстановкой в (4) получим соответственно:
Ух = 65 — 40 = 25; у2 = 65 — 25 = 40.
Получили два решения:
1) длина участка 40 м, ширина 25 ж;
2) длина 25 м, ширина 40 м. Очевидно, что факти-
чески получен один ответ на вопрос задачи.
Решим в общем виде систему уравнений, из которых
одно второй и одно первой степени.
Пусть имеем систему:
| ах2 + bxy + су2 + dx + ey + f = 0; ,fi.
\ mx + ny + р = 0. VUJ
Найдём из второго уравнения у:
У = -'Пmx1- (7)
Сделав подстановку в первое уравнение, получим:
axr-bx-fJL + c^ +
+ c!X-eEL±±+f^o. (8)
Система уравнений (7) и (8) равносильна системе (6).
Но уравнение (8) является уравнением с одним неиз-
вестным и не выше второй степени. Решив его, найдём
значения х\ подставив их в (7), найдём соответствующие
значения у.
Пример. Решить систему:
14Х2_у2 + 2х — 2у— 17 = 0; (9)
\2х — у — 3 = 0. w
Из второго уравнения находим:
*/ = 2x —3. (10)
Подставив вместо у в первое уравнение 2х— 3, по-
лучим:
4х2 — (2х — 3)'2 + 2x — 2 (2x — 3) — 17 = 0.

Это уравнение по упрощении примет вид:
х — 2 = 0.
Отсюда
* = 2.
Подстановка в уравнение (10) даёт:
§ 113. Краткие исторические сведения.
Квадратные уравнения и способы их решения были известны в
глубокой древности. Так, ещё за две тысячи лет до нашей эры за-
дачи измерения земельных участков приводили древних вавилонян
к решению квадратных уравнений.
В древней Греции (Пифагор, Евклид) квадратные уравне-
ния решались геометрическим способом.
Знаменитый узбекский математик аль-Хорезми решал квад-
ратные уравнения как алгебраическим, так и геометрическим спо-
собами.
Так как общая формула решения квадратных уравнений тогда
ещё не была выведена, то аль-Хорезми приводит решения шести
различных видов квадратных уравнений, например:
1. Один квадрат равен корням (л2, = ах).
2. Один квадрат и корни равны числу (х2 + ах = Ь),
3. Один квадрат и число равны корням (х2 + а — 5x)\
и т. д.
Приведём примеры решений аль-Хорезми обоими способами:
х2 + 2\ = lO.v. (1)
1. Раздели число корней пополам: 10:2 = 5.
2. Умножь это число на самого себя: 5 • 5 = 25.
3. Вычти из него число: 25 — 21 = 4
4. Извлеки квадратный корень: | 4=2.
5. Этот корень прибавь к половине корней или вычти из неё:
5+2 = 7; 5 — 2 = 3.
Если записать все проведённые действия одной формулой, то
получим:
Как видим, решение аль-Хорезми полностью совпадает с совре-
менным решением по формуле.
Приведём пример геометрического решения.
х2 + 10x = 39. (21

Пусть отрезок AB = х (черт. 57), а отрезок CD = 5.
Строим квадрат со стороной, равной AB -f CD, то есть равной
х -f 5, и разбиваем его на четыре участка, как показано на чертеже.
Площадь квадрата равна
(х -f 5)я. С другой стороны, пло-
щадь участков I, II и III равна
по условию 39, площадь IV рав-
на 25. Значит, площадь всего
квадрата равна 39 + 25 = 64. От-
сюда имеем:
(х + 5)2 = 64; х 4- 5 — 8, х « 3.
Задачи, приводящие к квад-
ратным уравнениям, имеются в
старинных китайских и индийских
математических трактатах.
Приведём задачу из сочине-
ния индийского математика Бхас-
кары.
Стая обезьян забавлялась; квадрат одной восьмой части их
резвился в лесу; остальные двенадцать кричали на вершине холма.
Скажи мне: сколько было всех обезьян?
Черт. 57

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ.
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ.
§ 114. Переменные величины.
Если надувать детский воздушный шар, то будут уве-
личиваться его поверхность и объём, будет уменьшаться
толщина его оболочки; вес же этой оболочки остаётся не-
изменным.
Черт. 58.
Если наблюдать движение поезда от одной станции к
другой, то также легко заметить, что некоторые величины,
участвующие в движении поезда, изменяются, например:
расстояние поезда от станции, запасы топлива и воды. Дру-
гие величины остаются неизменными, например: число ва-
гонов, колёс и пр.
То же можно наблюдать и в других процессах. Одни
величины в течение данного процесса сохраняют одно и то
же значение; такие величины называются постоянными.
Другие принимают различные значения; такие величины
называются переменными.
1. Пусть дан прямоугольный равнобедренный треуголь-
ник АБС (черт. 58). Через вершину В прямого угла про-
ведём вправо прямую ВМ, параллельную гипотенузе АС

Черт. 59.
Будем перемещать вершину В по прямой ВМ. Треугольник
будет последовательно занимать положения авХСУ ав2С...
Какие элементы треугольника будут при этом оставаться
постоянными и какие будут принимать различные значения?
Легко проследить, что будут сохранять неизменной свою
величину: основание АС; высота /г, опущенная из верши-
ны Ь; площадь треугольника (так как она равна —^— 1 •
Напротив, будут изменять свою величину: боковые сто-
роны AB и ВС; угол при
вершине В; углы при ос-
новании АС.
Следовательно, в рас-
сматриваемых условиях
первые три величины явля-
ются постоянными, а пять
последних — переменными.
2. Около того же пря-
моугольного треугольника
ABC опишем окружность (гипотенуза АС будет диаметром
этой окружности). Будем теперь перемещать вершину В по
окружности в направлении к вершине С (черт. 59). Легко
убедимся, что при этом остаются неизменными по вели-
чине: основание АС; угол В (как вписанный, опирающийся
на диаметр и, следовательно, равный 90°).
Напротив, переменными величинами являются: высота h,
опущенная из вершины В; площадь треугольника (так как
изменяется высота при неизменном основании); боковые сто-
роны AB и ВС; углы А и С при основании.
Обычно входящие в формулу постоянные величины обоз-
начаются первыми буквами латинского алфавита: а, 6, с,
ci, а переменные последними: z, ... Конечно, это
условие не является обязательным и соблюдается не
всегда.
§ 115. Понятие о функциональной зависимости.
Несколько учеников покупают в магазине одинаковые
тетради. Одна тетрадь стоит 2 коп. Если один ученик ку-
пил 3 тетради, а другой 5, то и уплата их за покупку будет

различна; первый заплатит б коп., второй —10 коп. Мы здесь
имеем дело с тремя величинами: ценой тетради, числом куп-
ленных тетрадей и стоимостью всей покупки. Из этих трёх
величин первая (цена одной тетради) является постоянной,
а две остальные — переменными, они принимают различные
значения.
При этом каждому значению одной величины — числу
купленных тетрадей,—соответствует определённое значение
другой — стоимость всех купленных тетрадей.
Это соответствие видно из следующей таблицы:
Число тетрадей 1 2 3 4 5 6 7
Стоимость в копей-
ках
2 4 6 8 10 12 14
Определение. Если две переменные величины свя-
заны между собой так, что каждому значению одной из
них соответствует определённое значение другой, то гово-
рят, что между этими переменными существует функци-
ональная зависимость.
Значит, между числом купленных тетрадей и их стои-
мостью существует функциональная зависимость.
Приведём ещё примеры величин, находящихся друг с
другом в функциональной зависимости.
1. Время движения и путь, пройденный за это время.
2. Рост человека и его возраст.
3. Вес тела и его расстояние от центра Земли.
4. Время суток и температура воздуха.
5. Площадь посева и размер снятого урожая.
§ 116. Аргумент и функция.
Вернёмся снова к покупке тетрадей, о которой говори-
лось в § 115. Мы видели, что в этом процессе участвуют
две переменные величины: число купленных тетрадей и их
стоимость. Но легко видеть, что эти две величины играют
в процессе покупки неодинаковую роль.
Количество тетрадей устанавливает сам ученик; эта ве-
личина может принимать произвольные значения, 3; 5; 8

и т. д. (Конечно, эти значения должны быть допустимыми;
нельзя купить -|- или — 3 тетради.j
Значение же другой переменной величины — стоимости
покупки — будет уже зависеть от значения первой,— от чис-
ла купленных тетрадей.
Точно так же, если мы будем произвольно изменять
длину стороны квадрата, то уже в зависимости от этого
будет изменяться и его площадь
Определение 1. Если две переменные находятся
в функциональной зависимости, то та из них, которая
может принимать произвольные (допустимые) значения,
называется независимой переменной или аргументом.
Другая переменная, значения которой зависят от зна-
чений аргумента, называется зависимой переменной или
функцией этого аргумента.
Значит, сумма денег, уплаченная за тетради, является
функцией их количества.
Площадь квадрата—функция длины его стороны.
В §111, рассматривая трёхчлен ах2 -f- bx + с, мы на-
звали букву х аргументом. Теперь это название понятно.
Как было указано, мы давали букве х произвольные
числовые значения, а значение трёхчлена зависело от этих
значений х. Если задать вопрос, какие же именно произ-
вольные значения может принимать аргумент, то ответ
будет различен в зависимости от особенностей рассматри-
ваемого процесса.
Так, длина стороны квадрата может принимать лю-
бые положительные значения. Количество купленных
тетрадей может выражаться только натуральным числом.
Определение 2. Множество всех (допустимых)
значений аргумента называется областью определения
функции.
Говорят также, что функция определена на данном
множестве значений аргумента.
Таким образом, площадь квадрата—функция, которая
определена на множестве положительных чисел. Стоимость
купленных тетрадей—функция, которая определена на
множестве натуральных чисел.

Во многих случаях (однако не всегда), если существует
функциональная зависимость между двумя переменными,
то каждая из них по тем или иным мотивам может быть
принята за аргумент, а другая будет функцией этого аргу-
мента .
Рассмотрим снова пример с покупкой тетрадей.
Пусть у одного ученика было 4 коп., у другого 8 коп.,
у третьего 10 коп. и т. д. Поставим вопрос: сколько каж-
дый из них может купить тетрадей, если одна тетрадь
стоит 2 коп.? Очевидно, ответ на этот вопрос зависит от
величины суммы, имеющейся у ученика. Здесь количество
купленных тетрадей является уже функцией суммы денег,
что можно изобразить таблицей:
4 6 8 10 12
Количество тетрадей
2 3 4 5 6
Точно так же двояко можно рассматривать зависимость
между длиной стороны квадрата и его площадью.
В приведённом выше примере длина стороны являлась
аргументом, а площадь—его функцией.
Пусть требуется отмерить квадратные участки земли
различной площади. Тогда длина стороны квадрата зави-
сит от заданной площади. Площадь будет аргументом, а
длина стороны—её функцией.
§ 117. Способы задания функции.
Из предыдущего параграфа следует, что основным
признаком функциональной зависимости между двумя пе-
ременными величинами является наличие соответствия между
значениями этих величин: каждому (допустимому) значе-
нию одной из них соответствует вполне определённое зна-
чение другой.
Как только такое соответствие установлено, то говорят,
что задана функция.
Это соответствие может быть установлено различными
способами. Рассмотрим некоторые из них.

1. Табличный способ. Всего проще установить соот-
ветствие между значениями двух переменных так: указать
значения аргумента и для каждого из них указать соот-
ветствующее значение функции. Такой способ задания функ-
ции называется табличным.
Вообще, всякие таблицы, как например таблицы квад-
ратов чисел, квадратных корней, таблицы синусов и др.
являются не чем иным, как табличным заданием функ-
ции. Так в таблице синусов аргументом является угол,
а функцией — его синус. Каждому данному в таблице значе-
нию угла соответствует в той же таблице определённое
значение его синуса.
2. Графический способ. Табличное задание функции
неудобно тем, что даёт значения функции только для тех
значений аргумента, которые приведены в таблице.
Если надо иметь значения функции для любых значе-
ний аргумента (в тех или иных границах) и если при этом
не требуется для значений функции большой точности, то
в этих случаях часто применяется графический способ.
Он основан на следующем: для каждого значения аргу-
мента на плоскости строится точка, абсцисса которой рав-
на данному значению аргумента, а ордината — соответствую-
щему значению функции.
При всевозможных изменениях абсциссы (то есть аргу-
мента) соответствующие точки на плоскости образуют
некоторую линию, которая называется графиком данной
функции. Дав аргументу определённое значение, восстав-
ляем в соответствующей точке оси абсцисс перпендикуляр
к ней. Ордината точки пересечения с графиком и даёт
соответствующее значение функции.
Пример. В § 89 был дан график зависимости у = х2.
Здесь любое данное число является значением аргумента,
а соответствующая ордината является значением функции
этого аргумента, именно его квадратом.
Из сказанного видно, что если задана некоторая функ-
ция, то можно построить её график; графиком можно поль-
зоваться для нахождения приближённых значений функции.
В практике нередко функция задаётся готовым, начер-
ченным графиком. Так, например, в современном производ-

стве широко применяются самопишущие приборы, которые
автоматически вычерчивают графики изменения тех или
иных величин (температуры, давления и т. п.)
3. Аналитический способ. Функция может быть зада-
на формулой, показывающей, как по данному значению
аргумента вычислить соответствующее значение функции.
Такой способ задания функции называется аналити-
ческим.
Пример. Функция у = х2 задана формулой, показы-
вающей, как для каждого значения аргумента х вычислить
соответствующее значение функции.
Возможны и другие способы задания функции.
Выше было сказано, что переменные величины приня-
то обозначать последними буквами латинского алфавита —
А, у, г,... При этом обычно аргумент обозначают буквой v,
а функцию — буквой у. Такое обозначение связано с тем,
что при графическом изображении функциональной зави-
симости значения аргумента отсчитываются по оси абсцисс
(оси «иксов»), а соответствующие значения функции — по
оси ординат (оси «игреков»). Выше это показано на примере
графика функции у = х2.
§ 118. Функция у = kx.
В § 73 было дано определение прямо пропорциональ-
ное зависимости между двумя величинами. Она выража-
лась равенством:
y = kx, (1)
где k — число, не равное нулю.
При любом данном k значение у зависит от значения х.
Следовательно, мы можем считать х аргументом, а у функ-
цией этого аргумента.
В § 74 на примерах, путем построения нескольких
точек было показано, что графиком функции у = kx яв-
ляется прямая. Докажем теперь это положение.
Теорема. Графиком функции у = kx является
прямая линия, проходящая через начало коор-
динат.

Доказательство. Построим две точки графика.
Положим х = 0. Тогда из (1) находим у = 0. Значит,
точка О (0; 0) принадлежит графику, то есть график про-
ходит через начало координат.
Положим х= 1. Тогда из (1) получим у = k. Значит,
график проходит через точку А (1; k). Построим эту
точку. Она будет лежать выше оси абсцисс, если k > 0
(на чертеже 60 k — 2), и ниже этой оси, если k < 0 (на
чертеже 61 k = —2).
Л
Черт. 60.
Черт. 61.
Проведём через точки О и А прямую и докажем, что
эта прямая является графиком функции у = kx.
Доказательство разобьём на две части.
1) Докажем, что все точки прямой OA принадлежат
графику функции у = kx.
2) Докажем, что никакая другая точка плоскости не
принадлежит графику функции у = kx.
Для доказательства первого положения достаточно
доказать, что координаты любой точки прямой OA удов-
летворяют равенству у = kx.
Возьмём на прямой OA (черт. 60) произвольную точ-
ку В (т\ п). Треугольники ОМА и ON В подобны, так
как имеют по прямому углу и угол AOM у них общий.

Из подобия их заключаем:
вы _ AM (С?,
ON~~ ОМ' К)
Но BN = п, ON = т, AM = k, ОМ = 1. Сделав под-
становку в (2), получим
Л = L
ml'
Отсюда
п = km. (3)
Равенство (3) показывает, что координаты точки
В(т\ п) удовлетворяют равенству (1), и, следовательно,
эта точка принадлежит графику функции у = kx.
Мы взяли на прямой OA точку В, лежащую выше оси абсцисс.
Возьмём теперь на этой же прямой точку С, лежащую ниже оси
абсцисс (черт. 60).
Пусть её координаты равны р и q.
Из подобия треугольников ОМА и OEC находим:
EC AM
EO~ ОМ~ 1 ' (4'
Координаты р и q здесь отрицательные числа.
Следовательно, длина EO равна положительному числу — />,
а длина EC — положительному числу — q. Сделав подстановку в (4),
получим:
=3 * , или ^ = k, q « kp. (5)
—Р 1 Р
Равенство (5) показывает, что и точка С (р; q) принадлежит
графику.
Так как точки В и С на прямой OB мы брали произ-
вольно, то отсюда следует, что любая точка прямой ВС
лежит на графике функции у = kx.
Докажем теперь второе положение: если точка не ле-
жит на прямой OA, то она не принадлежит графику
функции у = kx.
Для этого достаточно доказать, что координаты лю-
бой точки, не лежащей на прямой OA, не удовлетво-
ряют уравнению (1).
Возьмём произвольную точку Р, лежащую, например,
выше прямой OA.

Перпендикуляр на ось абсцисс, опущенный из этой
точки, пересечёт прямую OA в некоторой точке Q
(черт. 62).
Точка Q, по доказанному, принадлежит графику функ-
ции у = kx. Значит: QN = k • ON. Но PN > ON\ следо-
вательно, PN > k • ON. Это значит, что координаты точ-
ки Р не удовлетворяют уравнению (1) и, следовательно,
точка Р не принадлежит графику функции у = kx. Та-
ким же способом докажем, что
любая точка, лежащая ниже пря-
мой О Л, не принадлежит графику
функции y=kx.
Итак, мы доказали, что все
точки прямой OA, и только эти
точки, принадлежат графику функ-
ции у = kx, то есть прямая OA
является графиком функции y=kx.
Предлагается учащимся повто-
рить всё доказательство этой тео-
ремы для чертежа 61 (при дока-
зательстве учитывать знаки ко-
ординат рассматриваемых точек).
Для краткости вместо фразы «пря-
мая, являющаяся графиком функ-
Черт. 62. ции у = kx» принято говорить
«прямая у = kxy>.
Черт. 62.
Строя графики функции у = kx при различных значе-
ниях k, легко заметить следующее:
1) Если k > 0, то обе координаты любой точки гра-
фика имеют одинаковые знаки: они или обе положительны,
или обе отрицательны, или обе равны нулю. Это значит,
что прямая расположена в I и III четвертях (черт. 60).
Если k < 0, то координаты любой точки графика (кроме
точки О) имеют противоположные знаки. Это значит, что
прямая расположена во II и IV четвертях (черт. 61).
2) Если k > 0, то из треугольника ОАМ (черт. 62)
имеем:
£=* = tg

то есть коэффициент k равен тангенсу угла, образуемого
прямой OA с осью абсцисс.
Поэтому число k называется угловым коэффи-
циентом.
§ 119. Линейная функция.
В § 75 рассматривалась линейная зависимость между
двумя величинами. Она выражалась равенством
y = kx + b, (1)
где k и Ъ — определённые числа (k=£0).
При заданных k и Ь значение у зависит от значения х.
Следовательно, мы можем считать х аргументом, а у — его
функцией. Функция такого
вида называется линейной.
Так как правая часть рА-
Венства (1) — многочлен пер-
вой степени относительно х,
то линейной функции можно
дать такое определение.
Определение. Много-
член первой степени относи-
тельно аргумента называет-
ся линейной функцией этого
аргумента.
Так как при 6 = 0 функ-
ция примет вид у = kx, то рас-
смотренная в предыдущем па-
раграфе функция является
частным случаем линейной
функции.
В § 75 было показано построением, что графиком ли-
нейной функции является прямая. Докажем это.
Теорема. Графиком линейной функции яв-
ляется прямая.
Доказательство. Построим сначала прямую
y = kx (2)
(черт. 63; k = 2). Дадим абсциссе х произвольное значе-
ние х = а. Тогда ордината точки прямой (2) будет равна:
У = ka, (3)
Черт. 63.

а ордината точки графика функции (1) будет равна:
У = ka + Ь. (4)
Так как абсциссу х мы взяли произвольно, то орди-
ната любой точки графика функции у = kx -f- Ь равна
значению 6, сложенному с ординатой точки прямой
у = kx, имеющей ту же абсциссу.
Установив это, легко построим график функции
y = kx + b. Пусть b > 0 (на чертеже 63 b = 4). Дадим х
произвольное значение, например х = 0. Тогда из (1) по-
лучим:
y = k-0 + b; y=b.
Получили одну точку графика функции у = kx -f- b.
Построим её и проведём через неё вторую прямую, па-
раллельную прямой y — kx. Эта вторая прямая и будет
графиком функции у — kx + b. Действительно, ординат и
любой точки М этой прямой равна сумме MN = b и N А
ординаты точки прямой у = kx с той же абсциссой. Зна-
чит, координаты любой точки второй прямой удовлетво-
ряют уравнению (4).
С другой стороны, если координаты какой-либо точки
удовлетворяют уравнению (4), то ордината у = kx -f b
этой точки равна ординате kx соответствующей точки
прямой y = kx плюс Ь. Значит, рассматриваемая точка
лежит на второй прямой. Эта прямая, параллельная пря-
мой у = kx, и отсекает на оси ординат отрезок, равный
по величине Ь.
Если b < 0, то графиком функции у = kx -f b будет
прямая, лежащая ниже графика функции у = kx (из
ординат точек прямой у = kx вычитается
Рассмотрим некоторые частные случаи функции
у = kx + b.
1) Пусть b = 0. Тогда у = kx. Мы знаем, что графи-
ком этой функции является прямая, проходящая через
начало координат 0(0; 0).
2) Пусть k = 0, b Ф 0. Тогда: у = Ь.
Из этого равенства видно, что при любом значении х
ордината точки графика функции у = b будет равна Ь.

Это значит, что все точки гра-
фика находятся на одном и
том же расстоянии |6| от оси
абсцисс. При Ь > 0 график
лежит выше, а при Ъ < О
ниже оси абсцисс. Другими
словами, графиком функции
у = Ь является прямая, парал-
лельная оси абсцисс. Эта пря-
мая проходит через точку
(0; Ь). На чертеже 64 по-
строены графики функций:
у = 3 и у = —2.
3) Пусть а = 0 и 6 = 0,
тогда при любом значении х ордината у = 0. Очевидно,
что этому условию удовлетворяют все точки оси абсцисс,
и только они. Значит, графиком функции у = 0 является
ось абсцисс.
г
О
Черт. 64
§ 120. Трёхчлен второй степени.
Общий вид трёхчлена второй степени, как мы знаем,
ах2 + bx + с,
где а, & и с — любые числа (а Ф 0). Давая * любые зна-
чения, будем получать соответствующие значения трёх-
члена.
Значит, трёхчлен является функцией аргумента х.
Обозначим эту функцию через у:
y = ax2 + bx + c. (1)
Те значения аргумента, которые обращают его в нуль,
называются корнями трёхчлена. Чтобы найти эти
корни, достаточно решить уравнение:
ах2 + bx + с = 0. (2)
Пример 1.
у = Х2 — 4Х^- 5. (3)
Приведём таблицу значений этого трёхчлена при неко-
торых значениях х.

x —4 —2 —1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y
\
27 7 0 —5 —8 —9 —8 —5 0 7 16 27 40
Корнями трёхчлена являются числа —1 и 5. Эти
числа мы могли найти, решив уравнение:
x 2 — 4 x — 5 = 0.
Рассматривая таблицу, замечаем, что при увеличении
значений x значения y сначала убывают, затем воз-
растают. Докажем, что при x = 2 значение трёхчлена
y = —9 является наименьшим. Для этого представим трёх-
член в таком виде:
y = (x — 2)2 — 9.
Раскрыв скобки, убедимся, что это выражение тож-
дественно с (3).
Отсюда видим, что при любом значении x, кроме x = 2,
значение y будет больше (—9), так как к (—9) прибав-
ляется положительное число.
Значит, при x = 2 трёхчлен принимает наименьшее
значение, равное (—9).
Пример 2.
y = —x 2 + 2 x + 8.
Составим таблицу:
x —5 —4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y —27 —16 —7 0 5 8 9 8 5 0 —7 —16 —27 —40
Таблица показывает, что при увеличении значений х
значения трёхчлена сначала увеличиваются, затем умень-
шаются. Докажем, что при x = 1 трёхчлен имеет наи-
большее значение. Запишем трёхчлен в таком виде:
y = — (x — 1)2 + 9.

Отсюда видим, что при любом значении х, кроме х = 1,
значение у будет меньше 9, и только при х = 1 оно бу-
дет равно 9, то есть будет наибольшим.
Построим теперь график трёхчлена (1), начав с неко-
торых частных случаев.
§ 121. График функции у = х2 + n.
С графиком функции у = х2 мы уже встречались (§89).
Он представляет собой линию, называемую парабо-
лой (черт. 65). В дальнейшем для
краткости вместо слов «парабола,
изображающая функцию у = х2»,
будем говорить «парабола у = х2».
Напомним, что для параболы
у •= х2 ось ординат является осью
симметрии; её называют осью
параболы.
Точка О, в которой парабола
пересекается с осью симметрии,
называется вершиной парабо-
лы. Значит, вершина параболы
у = х2 находится в точке О (0; 0),
то есть в начале координат.
Построим график функции:
у = х2+3. (1)
Сравнивая эту функцию с функцией
У = х2, (2)
замечаем, что при одном и том же значении х значе-
ние у функции (1) будет на 3 больше значения у функ-
ции (2). Например:
Черт. 65.
X —5 —2 0 1 3 7
X2 25 4 0 1 9 49
л:2 + 3 28 7 3 4 12 52

Это значит, что каждая точка графика первой функ-
ции будет лежать на 3 единицы длины выше точки с той
же абсциссой графика второй функции (черт. 66). Отсюда
следует, что график функции (1) можно получить, перене-
ся на 3 единицы вверх в направлении оси ординат гра-
фик функции (2).
Примечание. Практически при построении графика функции
(/ = х8-г-3 нет надобности два раза строить параболу, а именно
сначала строить график у = х*, а затем переносить его в новое
положение. Достаточно через точку (0; 3) провести вспомогатель-
ную ось 0\Хи параллельную оси абсцисс, и построить параболу
У\ =а х* в системе координат XiOiYi.
Y
Черт. 66.
Черт. 67.
Рассуждая таким же образом, покажем, что график
функции
у = х* — 4 (3)
можно получить, перенеся график функции у — х2 в на-
правлении оси ординат на 4 единицы вниз (черт. 67);
говорят, что график переносится на —4 единицы в на-
правлении оси ординат.

Отсюда можно сделать общий вывод.
Г рафик функции у = х2 + п можно получить, перене-
ся график функции у — х2 в направлении оси ординат на
п единиц.
Надо иметь в виду, что п может быть как положи-
тельным, так и отрицательным числом; в первом слу-
чае перенос производится на \п\ единиц вверх, а во
втором на | п | единиц вниз.
Таким образом, графиком функции у = х2 + п является
парабола, расположенная симметрично относительно оси
ординат. Её вершина находится в точке (0; п).
§ 122. График функции у = (х + m)2.
Построим график функции
«/=(* +3)2. (1)
Сравнивая эту функцию с функцией
У = х2, (2)
можно заметить, что при каком-либо значении х = а
функция (1) будет иметь то же значение, какое имеет
функция (2) при х = а + 3.
X —8 —6 —4 —3 —1 1 4
(* + 3)2 25 9 1 0 4 16 49
X -5 —3 — 1 0 2 4 7
X2 25 9 1 0 4 16 49
Это значит, что если некоторая точка лежит на графи-
ке (2) второй функции, то точка, у которой абсцисса на
3 единицы меньше, а ордината та же, лежит на графике
(1) первой функции.
Отсюда следует, что график функции (1) можно полу-
чить, перенеся на 3 единицы влево график функции(2);

говорят, что график (2) переносится на —3 единицы в
направлении оси абсцисс (черт. 68).
Рассуждая таким же образом, можно показать, что
график функции
у = (х-4)2
можно получить, перенеся график функции у = х2 на 4
единицы вправо, в направлении оси абсцисс (черт. 69).
Отсюда можно сделать общий вывод.
Черт. 68.
Черт. 69
График функции у = (х + я*)2 можно получить, перенеся
график функции у — х2 в направлении оси абсцисс на — т
единиц. Перенос производится на \т\ единиц влево при
т>0 и вправо при т<0. Таким образом, графиком
функции у = (х + т)2 является парабола, расположенная
симметрично относительно прямой, параллельной оси орди-
нат и отстоящей от неё на расстояние, равное | т |. Вер-
шина параболы находится в точке (—т\ 0).
Примечание. Практически для построения графика можно
поступить так: через точку (—3; 0) провести вспомогательную ось
OiY\, параллельную оси OY, и в системе координат XOjYi построить
параболу у = jtj, которая и будет являться графиком функции
У = (х-{-3)* в системе координат XOY.

§ 123. График трёхчлена у = х2 + px + q.
Построим график трёхчлена:
у=-х2 — 8х + 19. (1)
Сначала преобразуем этот трёхчлен, выделив в нём
квадрат двучлена х — 4:
у = {х _ 4)2 + 3. (2)
Черт. 70
Видим, что график функции (2) можно получить,
перенеся в направлении оси ординат вверх на 3 единицы
график функции у = (х — 4)2 (§ 121).
Но график функции у = (х — 4)2 является графиком
функции у = х2, перенесённым в направлении оси абсцисс
на 4 единицы вправо (§ 122).
Отсюда следует, что график функции (2), или, что то
же, функции (1), можно получить, перенеся график функ-
ции у = х2 на 4 единицы вправо и на 3 единицы BBt^px
(черт. 70).

Рассуждая таким же образом, построим график трёх-
члена:
у = х2 + 6х + 7. (3)
Представим трёхчлен в таком виде:
у=(х + 3)2-2. (4)
Заключаем, что график трёхчлена (3) можно получить,
перенеся график функции у = х2 на 3 единицы влево и
на 2 единицы вниз (черт. 71).
Точно так же графиком
трёхчлена
у = х2 — 5x— 1,
который можно представить
в виде:
у = х2 — 2 -~х +
25_25__ .
ИЛИ
/ 5\а 29
У = {х--2) -Т'
является парабола у = х2,
5
перенесенная на ^- единицы
вправо и на -j единицы
вниз.
Возьмём теперь трёхчлен:
у = х2 + px + q. (5)
Его можно представить в таком виде:
или
Отсюда заключаем, что график трёхчлена у = х2 + px + q
можно получить, перенеся график функции у ~ х2
Черт. 71.

в направлении оси абсцисс на —у единиц и в направлении
оси ординат на 4q ~р единиц.
Таким образом, графиком трёхчлена у = х2 + px + q
является парабола у=х2, расположенная симметрично
относительно прямой, параллельной оси ординат и отсто-
Черт. 72.
Черт. 73.
ящей от неё на расстояние, равное Вершина пара-
болы находится в точке (— у ; 4q ~р j .
Пример 1.
у= х2 + 2х — 3.
Здесь -p2 = 1; 4q~7P =•—4. Значит, графиком трёх-
члена является парабола */ = х2, перенесённая на 1 едини-
цу влево и на 4 единицы вниз (черт. 72).
Пример 2.
у = х2 + 4х + 3.
Здесь = 2; 4(1 = — 1. График дан на чертеже 73.

§ 124. График трёхчлена у = ах2 + bx + с.
Построим график функции у = 2х2 и сравним между
собой функции
у = х2 (1)
У = 2х\ (2)
Мы видим, что при одном и том же значении аргу-
мента х значения у функции (2) будут в 2 раза больше
значения функции (1). Например:
!
i Х
—4
1
—3 —2 — 1 0 1 2 3 4
16 9 4 1 0 1 4 9 16
2x-2 32 18 8 2 0 2 8 18 32
Это значит, что ордината каждой точки графика функ-
ции (2) равна удвоенной ординате точки с той же абсцис-
сой графика функции (1).
Отсюда следует, что гра-
фик функции (2) можно по-
лучить так: построить график
функции (1) (черт. 74) и
удвоить ординату каждой его
точки.
Наглядно это преобразо-
вание можно представить при
помощи следующей модели.
Представим себе ось ОХ в
виде неподвижной планки,
а верхнюю полуплоскость —
в виде растяжимой (например,
резиновой) плёнки, на кото-
рой начерчена парабола у=х2.
Если теперь растянуть
плёнку по направлению вверх
в 2 раза, то парабола у = х2 перейдёт в параболу
у = 2x- (черт. 75).
Черт. 74.

Полученная линия (черт. 75) и будет графиком функ-
ции (2). Эта линия тоже называется параболой. По
сравнению с параболой у = *2 ветви её «более круто»
поднимаются вверх.
Рассмотрим теперь функ-
цию
*/=|*2 (3)
Чтобы перейти от гра-
фика (I) к графику (3), доста-
точно все ординаты точек гра-
фика (1) уменьшить в 2 раза.
Черт. 75.
На нашей модели это будет соответствовать не растя-
жению, а сжатию плёнки в 2 раза. Вообще, чтобы
построить график функции у = ах2, где а — положитель-
ное число, достаточно все ординаты точек параболы у = х2
умножить на а.
При помощи нашей модели этот переход можно пояснить
как растяжение при а > 1 (в а раз) либо сжатие при
а < 1 (в -~ раз) основной параболы у = х2.
Рассмотрим график функции
у = —2х\ (4)

Очевидно, при любом значении х значения у в (2) и (4)
будут равны по абсолютной величине и противоположны
по знаку. Это значит, что точки графиков функций (2) и
(4) с одной и той же абсциссой имеют противоположные
ординаты, то есть расположены симметрично относитель-
но оси абсцисс.
Отсюда следует, что и весь график функции (4) бу-
дет симметричен с графиком (2) относительно оси абсцисс.
Таким образом, график функции у = — 2х2 можно
получить, повернув (в пространстве) график функции
у = 2х2 на 180° вокруг оси абсцисс.
Иначе говоря, парабола у = —2х2 получается зеркаль-
ным отражением параболы у = 2х2 в оси абсцисс.
Вообще, при а < 0 график функции у = ах2 можно
получить из основной параболы у = х2 так: умножить
ординаты точек параболы у = х2 на | а \ (растяжение либо
сжатие), а затем зеркально отразить полученную пара-
болу в оси абсцисс.
На чертеже 76 изображён ряд парабол у = ах2 при
различных значениях а. Мы видим, что при а > 0 ветви
парабол обращены вверх, а при а<0 — вниз.
Построим график полного квадратного трёхчлена, на-
пример,
у = 2x:2 + Ах + 6.
Проделаем такие преобразования. Вынесем за скобку
коэффициент при х2, а затем выделим полный квадрат:
у = 2 (х2 + 2х 4- 3) = 2 (х2 + 2х + 1 + 2)
и, наконец,
у = 2(х+ 1)2 + 4.
Этот график можно получить из параболы у — х2 по-
степенными преобразованиями так:
1) перенесём параболу у = х2 на 1 единицу влево (черт.
77а), получим:
у=(х+ I)2;
2) умножим все ординаты на 2 единицы (растяжение
в 2 раза), получим:
i/ = 2(*+l)2;

Строим график постепенно так:
1) переносим параболу у = х2 на 3 единицы вправо:
у = (х-3)2;
2) умножаем ординаты на ~ (сжатие): ~(х — З)2;
3) отражаем зеркально в оси абсцисс:
0=-у(*-3)*;.
4) переносим вверх на 2 единицы:
i_(*_3)2 + 2.
Всё сказанное применимо к квадратному трёхчлену
с любыми коэффициентами.
Рассмотрим квадратный трёхчлен в общем виде:
у = ах2 + 5x + с.
Выполним такие преобразования:
/ 9 , 2b , с \ ( о . 2bx . Ь* Ь* , с\
У = а(х2 + Тах+-) = а(х~ + _+___+_ =
К b\2 4ас — Ь2]
и, наконец:
/ ъ \2 . Аас — б2
Мы видим, что искомый график можно получить, пере-
неся параболу у = х2 на —^ в направлении оси абсцисс,
умножив ординаты точек полученной параболы на а и
, 4ас — b
перенеся последний график на —^— в направлении оси
ординат.
В результате этих преобразований вершина параболы
/ b 4ac—b2\
окажется в точке (—^ ; —т-—); при этом ветви пара-
болы обращены вверх при а > 0 и вниз при а < 0.

§ 125. Возрастание и убывание квадратного трёхчлена.
Рассматривая параболу у = х2, мы видим, что при
положительных значениях аргумента х линия «поднима-
ется вверх», а при отрицательных «опускается вниз».
Из чертежа 78 видно, что если взять два положительных
значения аргумента x1 и х21 то большему значению
аргумента х соответствует большее значение функции у:
если *, < x2f то и ух < у2.
Черт. 78. Черт. 79.
Возьмём теперь значения хг и х2 отрицательными.
Тогда, как показывает чертёж 79, если хг < х29 то уг > у2.
Значит, большему значению аргумента # соответ-
ствует меньшее значение функции у.
В общем случае можно рассуждать так: пусть x1 и
х2 — два положительных числа, причём хг < х2
Вычислим соответствующие значения функции:
уг = х\ и у2 = xl
Чтобы узнать, какое из чисел, уг или у2, больше,
составим их разность:
У2 — У\ = x\—xl = (х2 + хг) (х2 — x1). (1)

Сумма х2 + х>\ положительных чисел положительна и
разность х2 — x1 положительна, так как мы взяли х2 > xv
Правая часть равенства (1) есть произведение положи-
тельных чисел, а потому положительна. Это значит, что
разность у2 — ух положительна, но тогда ух < у2. Значит,
при x1 < х2 действительно ух < у2.
Определение. Если из двух различных значений
аргумента большему значению аргумента соответствует
большее значение функции, то данная функция называ-
ется возрастающей.
Следовательно, при положительных значениях
аргумента х функция у = х2 возрастает.
Возьмём теперь два отрицательных значения хл и х2
так, что x1<х2. Мы уже составили разность у2 — ух и
представили её в виде произведения:
Теперь (в отличие от предыдущего случая) сумма
х2 + x1 отрицательных чисел будет отрицательна, а потому
разность у2 — ух окажется отрицательной, то есть при
x1 < х2 имеем ух > у2.
Определение. Если из двух различных значений
аргумента большему значению аргумента соответствует
меньшее значение функции, то данная функция называ-
ется убывающей.
Следовательно, при отрицательных значениях
аргумента функция у = х2 убывает.
То же самое можно сказать про возрастание и убы-
вание функции у —ах2, где а — положительное число.
При х < О функция у = ах2 убывает, при х > 0 воз-
растает, при х = О имеет наименьшее значение у = 0.
Очевидно, что при отрицательном коэффициенте а
имеет место противоположное заключение, а именно:
при х < 0 функция у = ах2 возрастает; при х > О
убывает, при х = 0 имеет наибольшее значение у = 0.
Формула преобразования квадратного трёх ^члена
У2 — y1 = (*2 + *i) С*2 —

позволяет ответить на вопрос о возрастании и убывании
квадратного трёхчлена общего вида у = ах2 + 5x + с.
Вершина параболы у = ах2 оказалась перенесённой в
точку (— —^—1; но при переносе параболы направ-
ление её ветвей (вверх или вниз) не изменяется. Значит,
если а > О, то при х <—^ трёхчлен убывает, при
х > —^ возрастает, при х = —^ имеет наименьшее зна-
чение, равное —^— .
Если а < 0, то при х < —^ трёхчлен возрастает, при
х>—^а убывает, при х = —— имеет наибольшее значе-
4ас — Ь2
ние, равнее —^—.
Задача. Забором данной длины I = 100 м требуется
огородить прямоугольный участок, прилегающий к стене.
Каковы должны быть длина и
ширина участка, чтобы он имел
наибольшую площадь?
Решение. Пусть х и у —
длина и ширина участка (черт.
80); тогда S = xy, где S — пло-
щадь участка. Но по условию
длина забора равна 2х +- у = 100, откуда у = 100 — 2л:
и, значит,
S = x(100 — 2л:) = 100x: — 2x:2.
Мы видим, что площадь S выражается квадратным трёх-
членом, в котором а = —2, 6 = 100, с = 0. Этот трёхчлен
имеет наибольшее значение при х = — ^ = 25, тогда
у^ 100 — 2x: = 50.
Итак, мы нашли стороны участка, имеющего наиболь-
шую площадь: х = 25, у = 50.
Заметим, что можно было бы и не пользоваться гото-
вой формулой, а применить к трёхчлену преобразование
выделения полного квадрата:
Черт. 80.

S = — 2 (JC2 — 50x) = — 2 [(A:2 — 50* + 625) — 625] =
= — 2(x — 25)2 + 1250.
Отсюда ясно, что наибольшее значение S есть 1250 при
х = 25.
§ 126. Функция у = х3 и её график.
Составим таблицу значений функции у = х3.
X — 3 —2 — 1 —0,5 —0.25 0 0.25 0.5 I 2 3
У —27 -8 — 1 —0,125^0.02 0 ^0.02 0.125 1 8 27
Мы видим, что при х> 0 и */ > 0
(куб положительного числа положи-
телен), а при JC < 0 и # < 0 (куб
отрицательного числа отрицателен).
Следовательно, график расположится
на координатной плоскости в I и III
четвертях. Заменим значение аргу-
мента х противоположным значе-
нием— х, тогда и функция примет
противоположное значение; так как
если у = x3t то
(-х)3 = —х* = -у.
Значит, каждой точке (х; у) гра-
фика соответствует точка (—х\ —у)
того же графика, расположенная сим-
метрично относительно начала коор-
динат.
Таким образом, начало координат
является центром симметрии гра-
фика.
График функции у = х3 изображён
на чертеже 81. Эта линия называется
кубической параболой.
В 1 четверти кубическая парабола
(при х > 0) «круто» поднимается вверх
Черт. 81.

(значения у «быстро» возрастают при возрастании х, см.
таблицу), при малых значениях х линия «тесно» подходит
к оси абсцисс (при «малых» х значение у «весьма мало»,
см. таблицу). Левая часть кубической параболы (в III чет-
верти) симметрична правой относительно начала координат.
Аккуратно вычерченный график может служить сред-
ством приближённого возведения чисел в куб. Так, на-
пример, положив х= 1, 6, найдём по графику #^4,1.
Для приближённого вычисления кубов составлены
специальные таблицы.
Такая таблица имеется и в пособии В. М. Брадиса
«Четырёхзначные математические таблицы».
Эта таблица содержит приближённые значения кубов
чисел от 1 до 10, округленные до 4-х значащих цифр.
Устройство таблицы кубов и правила пользования ею
такие же, как и таблицы квадратов. Однако при увели-
чении (или уменьшении) числа в 10, 100 и т. д. раз его
куб увеличивается (или уменьшается) в 1000, 1000 000
и т. д. раз. Значит, при пользовании таблицей кубов
надо иметь в виду следующее правило переноса запятой.
Если в числе перенести запятую на несколько цифр,
то в кубе этого числа надо перенести запятую в ту же
сторону на утроенное количество цифр.
Поясним сказанное примерами:
1) Вычислить 2,2353. По таблице находим: 2,233^
^11,09; прибавляем к последней цифре поправку 8 на
последний знак: 2,2353^ 11,17.
2) Вычислить (—179,8)3. Так как (—а)3 = — а3, то
находим (179,8)8.
По таблице найдём 1,7983^ 5,813, перенеся запятую,
получим (179,8)3^ 5813000.
Значит, (—179,8)3^ —5813000.
Приближённые формулы. Если в тождестве
(1 ± а)8 = 1 ± За + За* ± а'
число а мало по сравнению с единицей, то, отбросив члены с а8
и а8, получим приближённые формулы:
(1 ±а)8^1 ± За.

По этим формулам легко найти приближённые кубы
чисел, близких к единице, например:
1,023^ 1 + 3 • 0,02= 1,06 точный куб: 1,061208;
1,038 ^ 1 + 3 • 0,03 = 1,09 » » 1,092727;
0,988 ^ 1 — 3 • 0,02 = 0,94 » » 0,941192;
0,97 3 ^ 1 — 3 • 0,03 = 0,91 1 » 0,912673.
Возведение чисел в куб на счётной линейке.
Для возведения чисел в куб на корпусе ли-
нейки имеется шкала кубов /С. Шкала кубов
состоит из трёх частей: левой, средней и прА-
Вой (см. черт. 82); каждая из этих частей
представляет собой основную шкалу D, но
уменьшенную в три раза.
Значение возводимого в куб числа отмечаем
визиром на основной шкале D, а результат чи-
таем на шкале кубов /0
Например, 23 = 8 (см. черт. 39).
Несколько примеров возведения чисел в куб
приведено в следующей таблице. Для сравне-
ния даны значения кубов тех же чисел, вычи-
сленных по четырёхзначным таблицам.
§ 127. Понятие о кубическом корне.
Задача. Бак имеет форму куба, объём бака
равен 8 м3. Найти длину, ширину и высоту бака.
Так как бак представляет собой куб, то
его длина, ширина и высота равны между
собой и равны ребру х куба.
По условию задачи объём куба х3 равен 8 м3.
Значит, мы получаем уравнение: х3 = 8.
Требуется найти число х, куб которого равен
числу 8. Искомое число равно 2, так как 23 = 8.
Черт. 82.

Итак, бак имеет размеры 2м х 2м х 2м.
Определение. Кубическим корнем из числа а на-
зывается число, куб которого равен а.
Действие, посредством которого отыскивается куби-
ческий корень, называется извлечением кубического
корня. з
Кубический корень из числа а обозначается так: V а.
з
Из определения следует, что (|/а)3=а.
Примеры. |/Т= 1; 1^8 = 2; 3|/27 = _3;
§ 128. Приближённое извлечение кубического корня.
Мы знаем, что для приближённого извлечения квад-
ратных корней можно пользоваться специальными табли-
цами. Точно так же таблицами можно пользоваться и для
приближённого извлечения кубического корня. Кубичес-
кие корни встречаются значительно реже, чем квадратные,
поэтому в пособии В. М. Брадиса нет специальной таб-
лицы кубических корней. Для извлечения кубических
корней пользуются таблицей кубов.
Поясним на примерах, как это делается. Для извле-
чения кубического корня надо проделать те же операции,
что и при возведении в куб, но в обратном порядке.
Таблица кубов содержит кубы чисел с некоторыми про-
межутками от 1 до 10. Так как при возрастании числа
от 1 до 10 его куб возрастает от 1 до 1000 (проследите
это по таблице), то по таблице можно извлекать куби-
ческие корни из чисел от 1 до 1000.
Пусть, например, требуется найти f/712,1. В таблице
среди значений кубов находим число 712,1. Оно стоит
в строке с пометкой 8,9 и в столбце с пометкой 3. Значит,
1/712,1 ^8,93, так как (8,93)3 « 712,1. Проверим это вы-
числением:
8.933 = (8,93)2 • 8,93 = 79,7449 . 8,93= 712,121957 « 712,1.

Теперь вычислим V 56,23. В таблице среди значений
кубов нет числа 56,23, но ближайшим к нему числом
является 56,18, которое стоит в строке с пометкой 3,8
и в столбце с пометкой 3. Поэтому можно считать \ 56,23^г
^3,83.
Проверим это вычисление:
(3,83)а = (3,83)2 • 3,83 = 14,6689 • 3,83 = 56,181887 ^ 56,2.
Если желательно определить четвёртую значащую цифру
корня, то составим разность 56,23 — 56,18 = 0,005.
В табличке поправок в соответствующей строке нет
поправки 5, а есть ближайшая к ней поправка 4, которая
стоит в столбце с пометкой 1; значит, V 56,23^3,831.
Вычислить |/ 0,2838. Увеличим подкоренное число
г
в 1000 раз, тогда получим 283,8. Корень [/283,8 мы мо-
з
жем найти по таблице |/283,8^6,57. Но если подкорен-
ное число увеличить в 1000 раз, то корень увеличится
в 10 раз (например, ^27 = 3, но V 27000 = 3 . 10 = 30).
Значит, чтобы получить верный результат, надо получен-
ное число уменьшить в 10 раз. Итак 1/0,2838^0,6571.
Извлечение кубического корня на счётной линейке.
Извлечение кубического корня производится на тех же
шкалах, что и возведение в куб. Но действие извлечения
кубического корня производится в порядке, обратном
действию возведения в куб. При возведении в куб мы
с снование отмечали визиром на шкале D, а результат
читали на шкале К. Здесь же наоборот, на шкале кубов К
визиром отмечаем подкоренное число, а под ним на основ-
ной шкале D читаем значение корня.
Так, например: 1) Vs = 2 (черт. 39); 2) |/~80 = 4,31;
3) >/800 = 9,28.
В первом примере подкоренное число однозначнее (8),
и оно ставится в левой трети шкалы, во втором примере
подкоренное число двузначное (80), и оно ставится в сред-

ней трети, в третьем примере подкоренное число трёх-
значное (800), и оно ставится в правой трети шкалы. Чтобы
знать, в какой трети ставить произвольное подкоренное
число, нужно привести его к одному из разобранных
случаев.
Поясним это на примерах:
1) ^6750 = 6975 • 10* » 1,89- 10= 18,9;
2) 3/67500 = i/~67,5 • 103 = 4,07 - 10 = 40,7;
3) 0,675 -675-T?- °'877;
4) 3^б^675 = УЩ = - 0,407.
В итоге получаем правило, аналогичное извлечению
квадратного корня.
1) Подкоренное число представляем в виде однозначного,
двузначного или трёхзначного числа, умножив его (или
разделив) на степень числа 10 с показателем степени,
кратным трём.
2) Если подкоренное число представлено в виде одно-
значного числа, оно устанавливается визиром на левой
части шкалы кубов; если оно представлено двузначным
числом,— на средней части шкалы кубов, если же оно пред-
ставлено трёхзначным числом,—то на правой части
шкалы кубов.
3) Результат отсчитывается по визиру на основной
шкале линейки.
Для того чтобы выяснить, в какой трети шкалы следует уста-
новить подкоренное число при извлечении кубического корня, можно
рекомендовать такое правило.
Подкоренное число разбивают на грани, по три цифры в каждой
грани, влево от запятой, если число больше 1, и вправо от запятой9
если оно меньше 1. Если первая слева грань (не считая граней,
состоящих из одних нулей) содержит одну значащую цифру, то число
устанавливается на левой части шкалы кубов, если в этой грани
две цифры,— то на средней части, и если в этой грани три циф-
ры,—то на правой части шкалы.
Пользуясь этим способом, легко найти значность числа и по-
ложение запятой, так как каждая грань подкоренного числа,

стоящая слева от запятой, даёт у корня один знак до запятой,
а каждая чисто нулевая грань справа от запятой (если подкоренное
число меньше единицы) даёт у корня один нуль после запятой.
Рассмотрим применение этого правила на тех же примерах:
fy&ffij = 18,9; 67 500 = 40,7; f/'oToTo7 = 0,877;
f/0,067'5 = 0,407; \ 0,000'675 = 0,0877.
§ 129. График функции у = √3 x.
Для построения графика функции у = \Г х составим
таблицу кубических корней (приближённые значения):
X —2 —1 —0.5 —0.1 0 0,1 0,5 1 2 8 27
-
V х —1,26 —1 «—0.79 «—0.46 0 «0,46 «0.79 1 1,26 2 3
Эти значения можно взять, например, из таблицы
В. М. Брадиса и построить на плоскости соответствующие
точки. График функции у = у х изображён на чертеже 83.
Черт. 83.
§ 130. Примеры графического решения уравнений
и систем уравнений.
Пример 1. Решить уравнение:
х* + х — 2 = 0.
Это уравнение кубическое, так как содержит неизвест-
ное х в кубе. Такие уравнения в школьном курсе алгебры

Пример 2. Решить уравнение:
*з _ Х2 _ 2 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде:
хг = х2 + 2.
Построим (на миллиметровой бума-
ге) параболы: кубическую у = х3
и квадратную у = х2 + 2. Из чер-
тежа 85 видим, что эти линии пе-
ресекаются в одной точке /И.
Опустив перпендикуляр из точки
М на ось абсцисс, найдём при-
ближённо корень данного уравне-
ния: 1,7.
В § 81 был показан графиче-
ский способ решения системы урав-
нений первой степени с двумя
неизвестными. Строились прямые—
графики данных уравнений. Если
эти прямые пересекались, то ко-
ординаты точки пересечения и
являлись решением системы.
Совершенно так же решаются
графически и системы уравнений
второй степени с двумя неизвест-
ными.
Строится график каждого из
уравнений системы. Если эти гра-
фики имеют одну или несколько
общих точек, то координаты каждой из этих точек удо-
влетворяют обоим уравнениям, то есть являются реше-
нием системы. Приведём пример.
Черт. 85.
Пример 3.
(х + у=7;
\xy = 6.

Барсуков А. Н. Алгебра. — 1961

От издательства

ОГЛАВЛЕНИЕ